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UNI - CEI, Milano 2000Riproduzione vietata. Tutti i diritti sono riservati. Nessuna parte del presente documentopuò essere riprodotta o diffusa con un mezzo qualsiasi, fotocopie, microfilm o altro, senzail consenso scritto dell’UNI e del CEI.

COMITATOELETTROTECNICO

ITALIANO

NORMA ITALIANA

Pagina I di IVNº di riferimento UNI CEI ENV 13005:2000

ENTE NAZIONALEITALIANO

DI UNIFICAZIONE

S P E R I M E N T A L E

UNI CEI ENV13005

LUGLIO 2000

Guida all’espressione dell’incertezza di misura

Guide to the expression of uncertainty in measurement

DESCRITTORI

Misura, misurazione, incertezza di misura, definizione, determinazione

dell’incertezza

CLASSIFICAZIONE ICS

17.020; 01.040.17

SOMMARIO

La norma, sperimentale, stabilisce le regole generali per la valutazione el’espressione dell’incertezza nella misurazione che possono essere ese-guite, a vari livelli di rigore, in molti campi, dal commercio al dettaglio allaricerca di base. Pertanto i principi di base della presente guida pretendonodi essere applicabili ad un vasto spettro di misurazioni tra cui quellenecessarie per:- mantenere il controllo e la garanzia della qualità nella produzione;- garantire la conformità a leggi e regolamenti o imporne il rispetto;- condurre ricerca di base, o applicata, o di sviluppo, nella scienza e

nell’ingegneria;- tarare campioni e strumenti, ed effettuare prove nell’ambito di un

sistema nazionale di misurazione allo scopo di conseguire la riferibilitàai campioni nazionali;

- sviluppare, mantenere e confrontare campioni di riferimento interna-

zionali e nazionali, inclusi i materiali di riferimento.

RELAZIONI NAZIONALI

La presente norma sostituisce la UNI CEI 9.La presente norma riprende integralmente il testo della UNI CEI 9, modifi-candone soltanto le pagine di copertina e di premessa a seguito del rece-

pimento della Guida ISO come norma europea sperimentale.

RELAZIONI INTERNAZIONALI

= ENV 13005:1999 (= ISO Guide to the expression of uncertainty inmeasurement 1995)La presente norma sperimentale è la versione ufficiale in lingua italiana

della norma europea sperimentale ENV 13005 (edizione maggio 1999).

ORGANO COMPETENTE

Commissione "UNI - CEI Metrologia generale"

RATIFICA

Presidente dell’UNI, delibera del 21 giugno 2000

Presidente del CEI, delibera del 23 giugno 2000

RICONFERMA

Gr. 21

Copyright Ente Nazionale Italiano di Unificazione Provided by IHS under license with UNI Licensee=Universita Bologna - related to 5972936/5935522001

Not for Resale, 02/10/2010 07:51:02 MSTNo reproduction or networking permitted without license from IHS

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Pagina II di IVUNI CEI ENV 13005:2000

Le norme UNI CEI sono revisionate, quando necessario, con la pubblicazione di nuoveedizioni o di aggiornamenti. È importante pertanto che gli utenti delle stesse si accertino di essere in possessodell’ultima edizione e degli eventuali aggiornamenti.

Le norme sperimentali sono emesse, per applicazione provvisoria, in campi in cui vieneavvertita una necessità urgente di orientamento, senza che esista una consolidata espe-rienza a supporto dei contenuti tecnici descritti.Si invitano gli utenti ad applicare questa norma sperimentale, così da contribuire a farematurare l'esperienza necessaria ad una sua trasformazione in norma raccomandata.Chiunque ritenesse, a seguito del suo utilizzo, di poter fornire informazioni sulla sua ap-plicabilità e suggerimenti per un suo miglioramento o per un suo adeguamento ad unostato dell'arte in evoluzione è pregato di inviare, entro la scadenza indicata, i propri con-tributi all'UNI, Ente Nazionale Italiano di Unificazione.

PREMESSA NAZIONALE

La presente norma costituisce il recepimento, in lingua italiana, dellanorma europea sperimentale ENV 13005 (edizione maggio 1999),che assume così lo status di norma nazionale italiana sperimentale.La traduzione è stata curata dall’UNI.La Commissione "UNI - CEI Metrologia generale" dell’UNI, che se-gue i lavori europei sull’argomento, per delega della CommissioneCentrale Tecnica, ha approvato il progetto europeo il 17 ottobre 1997e la versione in lingua italiana della norma il 18 novembre 1999.La scadenza del periodo di validità della ENV 13005 è stata fissatainizialmente dal CEN per maggio 2002. Eventuali osservazioni sullanorma devono pervenire all’UNI entro luglio 2001.



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INDICE

Pagina III di IVUNI CEI ENV 13005:2000

PREMESSA

2

0 INTRODUZIONE

4

1 SCOPO

6

2 DEFINIZIONI

62.1 Termini metrologici generali.................................................................................. 62.2 Il termine "incertezza" ........................................................................................... 72.3 Termini specifici della presente

guida

................................................................... 7

3 CONCETTI FONDAMENTALI

83.1 Misurazione .......................................................................................................... 83.2 Errori, effetti e correzioni....................................................................................... 93.3 Incertezza ........................................................................................................... 103.4 Considerazioni pratiche ...................................................................................... 12

4 VALUTAZIONE DELL'INCERTEZZA TIPO

134.1 Modello della misurazione .................................................................................. 134.2 Valutazione di categoria A dell'incertezza tipo.................................................... 154.3 Valutazione di categoria B dell'incertezza tipo.................................................... 174.4 Illustrazione grafica della valutazione dell'incertezza tipo................................... 21

5 DETERMINAZIONE DELL'INCERTEZZA TIPO COMPOSTA

255.1 Grandezze d'ingresso non correlate ................................................................... 255.2 Grandezze d'ingresso correlate .......................................................................... 28

6 DETERMINAZIONE DELL'INCERTEZZA ESTESA

306.1 Introduzione ........................................................................................................ 306.2 Incertezza estesa................................................................................................ 316.3 Scelta del fattore di copertura............................................................................. 31

7 DICHIARAZIONE DELL'INCERTEZZA

327.1 Criteri generali..................................................................................................... 327.2 Istruzioni specifiche............................................................................................. 33

8 RIASSUNTO DELLA PROCEDURA PER LA VALUTAZIONE E LADICHIARAZIONE DELL'INCERTEZZA

35

APPENDICE A RACCOMANDAZIONI DEL GRUPPO DI LAVORO E DEL CIPM

36A.1 Raccomandazione INC-1 (1980) ........................................................................ 36A.2 Raccomandazione 1 (CI-1981) ........................................................................... 36A.3 Raccomandazione 1 (CI-1986) ........................................................................... 37

APPENDICE B TERMINI METROLOGICI GENERALI

38B.1 Fonte delle definizioni ......................................................................................... 38B.2 Definizioni ........................................................................................................... 38

APPENDICE C TERMINI E CONCETTI STATISTICI FONDAMENTALI

44C.1 Fonte delle definizioni ......................................................................................... 44C.2 Definizioni ........................................................................................................... 44C.3 Elaborazione di termini e concetti ....................................................................... 48



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Pagina IV di IVUNI CEI ENV 13005:2000

APPENDICE D VALORE "VERO", ERRORE ED INCERTEZZA

52D.1 Misurando ........................................................................................................... 52D.2 Realizzazione della grandezza ........................................................................... 52D.3 Valore "vero " e valore corretto ........................................................................... 52D.4 Errore.................................................................................................................. 53D.5 Incertezza ........................................................................................................... 54D.6 Rappresentazione grafica................................................................................... 54

APPENDICE E MOTIVAZIONI E FONDAMENTI DELLA RACCOMANDAZIONE INC-1 (1980)

58E.1 "Prudenziale", "casuale" e "sistematico"............................................................. 58E.2 Giustificazione di una valutazione realistica dell'incertezza................................ 58E.3 Giustificazione dell'identico trattamento per tutte le componenti di incertezza... 59E.4 Scarto tipo come mezzo di espressione dell'incertezza ..................................... 62E.5 Confronto di due concezioni dell'incertezza........................................................ 64

APPENDICE F GUIDA PRATICA ALLA VALUTAZIONE DELLE COMPONENTI DELL'INCERTEZZA

66F.1 Componenti valutate mediante osservazioni ripetute:

valutazione di categoria A dell'incertezza tipo .................................................... 66F.2 Componenti valutate con altri metodi:

valutazione di categoria B dell'incertezza tipo .................................................... 69

APPENDICE G GRADI DI LIBERTÀ E LIVELLI DI FIDUCIA

76G.1 Introduzione ........................................................................................................ 76G.2 Teorema del limite centrale ................................................................................ 77G.3 Distribuzione

t

e gradi di libertà .......................................................................... 78G.4 Gradi di libertà effettivi ........................................................................................ 80G.5 Altre considerazioni ............................................................................................ 82G.6 Riassunto e conclusioni ...................................................................................... 83

APPENDICE H ESEMPI

87H.1 Taratura di blocchetti piano-paralleli ................................................................... 87H.2 Misurazione simultanea di resistenza e reattanza.............................................. 92H.3 Taratura di un termometro .................................................................................. 97H.4 Misurazione di attività ....................................................................................... 101H.5 Analisi della varianza ........................................................................................ 106H.6 Misurazioni con una scala di riferimento: durezza............................................ 112

APPENDICE J GLOSSARIO DEI SIMBOLI PRINCIPALI

117

APPENDICE K BIBLIOGRAFIA

121

Indice alfabetico

123



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La presente norma europea sperimentale (ENV) è stata approvata dal CEN,come norma per applicazione provvisoria,Il periodo di validità della presente norma ENV è limitato inizialmente a anni.I membri del CEN saranno invitati dopo anni a sottoporre i loro commenti, inparticolare per quanto riguarda la sua trasformazione da ENV a norma europea.I membri del CEN sono tenuti a rendere nota l’esistenza della presenteENV nello stesso modo utilizzato per una EN e a renderla prontamente di-sponibile a livello nazionale in una forma appropriata. È possibile mantene-re in vigore, contemporaneamente alla ENV, norme nazionali contrastanti,fino alla decisione finale sulla possibile conversione da ENV a EN. I membri del CEN sono gli Organismi nazionali di normazione di Austria,Belgio, Danimarca, Finlandia, Francia, Germania, Grecia, Irlanda, Islanda,Italia, Lussemburgo, Norvegia, Paesi Bassi, Portogallo, Regno Unito,Repubblica Ceca, Spagna, Svezia e Svizzera.

Pagina 1 di 132UNI CEI ENV 13005:2000

CENCOMITATO EUROPEO DI NORMAZIONE

European Committee for StandardizationComité Européen de NormalisationEuropäisches Komitee für Normung

Segreteria Centrale: rue de Stassart, 36 - B-1050 Bruxelles

CENTutti i diritti di riproduzione, in ogni forma, con ogni mezzo e in tutti i Paesi, sonoriservati ai Membri nazionali del CEN.

ENV 13005

MAGGIO 1999

PRENORMA EUROPEA

Guida all’espressione dell’incertezza di misura

EUROPEAN PRESTANDARD

Guide to the expression of uncertainty in measurament

PRÉNORME EUROPÉENNE

Guide pour l’expression de l’incertude de mesure

EUROPÄISCHE VORNORM

Leitfaden zur Angabe der Unsicherheit beim Messen

DESCRITTORI

Misura, misurazione, incertezza di misura, definizione, determinazione dell’incer-tezza

ICS

17.020

il 17 giugno 1998.

32

1999



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UNI CEI ENV 13005:2000 Pagina 2 di 132

PREMESSALa presente norma sperimentale europea è stata elaborata dal Comitato Tecnico CEN/TC 290"Specifiche e verifiche dimensionali e geometriche dei prodotti" la cui segreteria èaffidata al DIN.La presente norma sperimentale europea contiene interamente la "Guida all’espressionedell’incertezza di misura" elaborata dall’ISO/TAG 4 con la collaborazione di BIPM, IEC,IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP e OIML ed è stata pubblicata dall’ISO.In conformità alle Regole Comuni CEN/CENELEC, gli enti nazionali di normazione deiseguenti Paesi sono tenuti a recepire la presente norma europea: Austria, Belgio,Danimarca, Finlandia, Francia, Germania, Grecia, Irlanda, Islanda, Italia, Lussemburgo,Norvegia, Paesi Bassi, Portogallo, Regno Unito, Repubblica Ceca, Spagna, Svezia eSvizzera.Le organizzazioni internazionali che hanno partecipato ai lavori non hanno ritenutoopportuno pubblicare la presente guida come norma internazionale.L’ISO e l’IEC hanno tuttavia adottato la presente guida come Regola Tecnica daosservare nelle Direttive ISO/IEC parte 3.I Comitati tecnici dell’ISO e dell’IEC devono considerare la presente guida come base perl’espressione dell’ incertezza di misura.Nel 1977, riconoscendo la mancanza di accordo a livello internazionale circal'espressione dell'incertezza di misura, il Comitato Internazionale dei Pesi e delle Misure(Comité International des Poids et Mesures, CIPM), la più alta autorità mondiale in campometrologico, chiese all'Ufficio Internazionale dei Pesi e delle Misure (Bureau Internationaldes Poids et Mesures, BIPM) di impostare il problema, in collegamento con i laboratorimetrologici nazionali, e di elaborare una raccomandazione.Il BIPM preparò un dettagliato questionario sui vari aspetti della questione e lo distribuì a32 laboratori nazionali che si sapevano interessati all'argomento (e, per conoscenza, acinque organizzazioni internazionali). All'inizio del 1979 erano pervenute le risposte di 21laboratori [1]1). Quasi tutti concordavano sull'importanza di arrivare ad una procedurauniversalmente accettata per esprimere l'incertezza di misura e per combinare le singolecomponenti in un'unica incertezza totale. Tuttavia, emergeva la mancanza di accordo sulmetodo da seguire. Pertanto il BIPM organizzò un incontro finalizzato all'individuazione diuna procedura uniforme e da tutti accettabile per la specificazione dell'incertezza, al qualeparteciparono esperti di 11 laboratori nazionali. Questo Gruppo di lavoro sull'espressionedelle incertezze sviluppò la Raccomandazione INC-1 (1980), intitolata "Espressione delleincertezze sperimentali" [2]. Il CIPM approvò la Raccomandazione nel 1981 [3] e lariaffermò nel 1986 [4].Il compito di sviluppare una guida articolata, basata sulla Raccomandazione del Gruppo dilavoro (risultante più un breve abbozzo che una prescrizione dettagliata), venne conferitodal CIPM all'Organizzazione Internazionale di Normazione (International Organization forStandardization, ISO), ritenendo che poteva rappresentare meglio le esigenzeprovenienti dai disparati interessi dell'industria e del commercio.Della responsabilità venne investito il Gruppo Tecnico Consultivo sulla Metrologia(Technical Advisory Group on Metrology, TAG 4), poiché uno dei suoi compiti è quello dicoordinare lo sviluppo di linee guida su argomenti connessi con la misurazione e chesiano di comune interesse dell'ISO e delle sei organizzazioni che partecipano con l'ISO ailavori del TAG 4: la Commissione Elettrotecnica Internazionale (InternationalElectrotechnical Commission, IEC), partner dell'ISO nell'opera di normazione mondiale; ilCIPM e l'Organizzazione Internazionale di Metrologia Legale (Organisation Internationalede Métrologie Légale, OIML), le due organizzazioni metrologiche a livello mondiale;l'Unione Internazionale di Chimica Pura ed Applicata (International Union of Pure andApplied Chemistry, IUPAC) e l'Unione Internazionale di Fisica Pura ed Applicata(International Union of Pure and Applied Physics, IUPAP), le due associazioniinternazionali che rappresentano la chimica e la fisica; e la Federazione Internazionale diChimica Clinica (International Federation of Clinical Chemistry, IFCC).Il TAG 4 a sua volta istituì il Working Group 3 (ISO/TAG 4/WG 3), composto di espertidesignati da BIPM, IEC, ISO ed OIML e nominati dal Coordinatore del TAG 4. Al gruppovenne assegnato il seguente mandato:

1) Vedere bibliografia a pag. 121



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Sviluppare un documento guida basato sulla raccomandazione del Gruppo di lavoro delBIPM sulla dichiarazione delle incertezze, il quale fornisca regole per l'espressionedell'incertezza di misura atte all'uso nell’ambito della normazione, della taratura,dell’accreditamento dei laboratori e nei servizi metrologici;Proposito di tale guida è- promuovere una completa informazione sul come vengono dichiarate le incertezze;- fornire una base per il confronto internazionale dei risultati delle misurazioni.



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0 INTRODUZIONE

0.1 Nel riportare il risultato della misurazione di una grandezza fisica, è obbligatorio fornire unaqualche indicazione quantitativa della qualità del risultato, cosicché gli utenti ne possanoaccertare l'attendibilità. Senza tale indicazione i risultati delle misurazioni non possonoessere confrontati né tra di loro, né con valori di riferimento assegnati da specifiche onorme. È pertanto necessario che esista una procedura, di agevole comprensione edapplicazione, per caratterizzare la qualità del risultato di una misurazione, vale a dire, pervalutarne ed esprimerne l'incertezza.

0.2 Il concetto di incertezza in quanto attributo quantificabile è relativamente nuovo nellastoria della misurazione, benché concetti come errore ed analisi dell'errore siano statipresenti a lungo nella pratica della scienza della misurazione o la metrologia. Ora si accettageneralmente che, allorquando tutte le componenti di errore note o ipotizzate siano statevalutate e le relative correzioni apportate, rimanga tuttavia un'incertezza sulla correttezzadel risultato, vale a dire un dubbio su quanto bene questo rappresenti il valore dellaquantità misurata.

0.3 Così come l'uso pressoché universale del Sistema Internazionale di unità di misura (SI) haportato coerenza in tutte le misurazioni della scienza e della tecnologia, il consensogenerale sulla valutazione e sull'espressione dell'incertezza nella misurazionepermetterebbe di comprendere facilmente ed interpretare correttamente l’attendibilità diun vasto spettro di risultati di misurazioni nella scienza, nell'ingegneria, nel commercio,nell'industria e nella normativa. Nella presente epoca di mercato mondiale, è imperativoche il metodo per valutare ed esprimere l'incertezza sia uniforme nel mondo, cosicché lemisurazioni effettuate in Paesi diversi siano facilmente confrontabili.

0.4 Il metodo ideale per valutare ed esprimere l'incertezza del risultato di una misurazionedeve essere:- universale: il metodo deve essere applicabile a tutti i tipi di misurazione e di dati di

ingresso usati nelle misurazioni.La grandezza usata per esprimere l'incertezza deve essere:- internamente coerente: deve cioè essere sia derivabile direttamente dalle

componenti che vi contribuiscono, sia indipendente dal modo in cui questecomponenti vengono raggruppate e dalla scomposizione delle componenti insottocomponenti;

- trasferibile: l'incertezza valutata per un risultato deve essere direttamente utilizzabilecome componente nella valutazione dell'incertezza di un'altra misurazione nella qualeintervenga il primo risultato.

Inoltre, in molte applicazioni industriali e commerciali, così come nel campo sanitario edella sicurezza, è sovente necessario fornire un intervallo intorno al risultato dellamisurazione entro il quale ci si possa aspettare che cada una gran parte delladistribuzione dei valori ragionevolmente ascrivibili alla grandezza oggetto dellamisurazione. Pertanto, il metodo ideale per valutare ed esprimere l'incertezza nellamisurazione deve poter agevolmente fornire un intervallo di tal sorta, ed in particolare unintervallo con una probabilità di copertura, o livello di fiducia, che corrispondarealisticamente a quello richiesto.

0.5 L'impostazione su cui è fondata la presente guida è quella schematizzata nellaraccomandazione INC-1 (1980) [2] del gruppo di lavoro sull'espressione delle incertezze,istituito dal BIPM su richiesta del CIPM (vedere premessa). Questa impostazione, la cuigiustificazione è discussa nell'appendice E, soddisfa tutti i requisiti su esposti, adifferenza della maggior parte degli altri metodi sinora utilizzati. La raccomandazioneINC-1 (1980) fu approvata e riaffermata dal CIPM nelle proprie raccomandazioni1 (CI-1981) [3] e 1 (CI-1986) [4]; le traduzioni in italiano di queste raccomandazioni delCIPM sono riportate nell'appendice A (vedere A.2 ed A.3 rispettivamente). Poiché laraccomandazione INC-1 (1980) è il fondamento su cui si basa il presente documento, latraduzione in italiano è riportata in 0.7, mentre quella del testo di riferimento francese èriprodotto in A.1.



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0.6 Un sommario della procedura specificata nella presente guida per la valutazione el'espressione dell'incertezza di misura è riportato in 8, mentre un certo numero di esempisono presentati in dettaglio nell'appendice H. Le altre appendici trattano: termini generaliin metrologia (appendice B), termini e concetti statistici fondamentali (appendice C);valore "vero", errore ed incertezza (appendice D); suggerimenti pratici per la valutazionedelle componenti dell'incertezza (appendice F); gradi di libertà e livelli di fiducia(appendice G); principali simboli matematici adottati nel documento (appendice J); edinfine riferimenti bibliografici (appendice K). Un indice alfabetico conclude il documento.

0.7 Raccomandazione INC-1 (1980) Espressione delle incertezze sperimentali1) L'incertezza del risultato di una misurazione consiste in genere di svariate

componenti che possono essere raggruppate in due categorie a seconda del modoin cui se ne stima il valore numerico:A quelle valutate per mezzo di metodi statistici,B quelle valutate mediante altri metodi.Non sempre esiste una corrispondenza semplice tra la classificazione in categorie A oB e quella, precedentemente usata, tra incertezze "casuali" e "sistematiche". Iltermine "incertezza sistematica" è fuorviante e deve essere evitato.Un resoconto dettagliato dell'incertezza deve consistere di un elenco completo dellecomponenti, nel quale per ognuna sia specificato il metodo usato per ottenerne ilvalore numerico.

2) Le componenti appartenenti alla categoria A sono caratterizzate dalle loro varianzestimate si

2 (o dai corrispondenti "scarti tipo" stimati si) e dai gradi di libertà ν i . Senecessario, anche le covarianze devono essere indicate.

3) Le componenti appartenenti alla categoria B devono essere caratterizzate dagrandezzeu j

2 , interpretabili come approssimazioni delle varianze corrispondenti, che

si considerano esistenti. Le grandezze u j2 sono trattate come varianze e le

corrispondenti grandezze uj come scarti tipo. Quando opportuno, si trattano le

covarianze in modo analogo.4) L'incertezza composta deve essere caratterizzata mediante il valore numerico che si

ottiene applicando il metodo abituale per la composizione delle varianze. L'incertezzacomposta e le sue componenti devono essere espresse in forma di "scarti tipo".

5) Qualora sia necessario, per applicazioni particolari, moltiplicare l'incertezza compostaper un fattore, così da ottenere un'incertezza globale, il fattore moltiplicativo deveessere sempre indicato.



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1 SCOPO

1.1 La presente guida stabilisce le regole generali per la valutazione e l'espressionedell'incertezza nella misurazione che possono essere eseguite, a vari livelli di rigore, inmolti campi - dal commercio al dettaglio alla ricerca di base. Pertanto, i principi dellapresente guida pretendono di essere applicabili ad un vasto spettro di misurazioni, tra cuiquelle necessarie per:- mantenere il controllo e la garanzia della qualità nella produzione;- garantire la conformità a leggi e regolamenti o imporne il rispetto;- condurre ricerca di base, o applicata, o di sviluppo, nella scienza e nell'ingegneria;- tarare campioni e strumenti, ed effettuare prove nell'ambito di un sistema nazionale di

misurazione allo scopo di conseguire la riferibilità ai campioni nazionali;- sviluppare, mantenere e confrontare campioni di riferimento internazionali e nazionali,

inclusi i materiali di riferimento.

1.2 La presente guida si occupa fondamentalmente dell'espressione dell'incertezza nellamisurazione di una grandezza fisica ben definita - il misurando - che sia caratterizzabilemediante un unico valore. Se il fenomeno indagato può solo essere rappresentato comedistribuzione di valori, o se dipende da uno o più parametri, come il tempo, allora imisurandi necessari per la sua descrizione sono l'insieme di grandezze che descrivonoquella distribuzione o dipendenza.

1.3 La presente guida è anche applicabile alla valutazione ed all'espressione dell'incertezzaassociata alla progettazione a tavolino, o all'analisi teorica, di esperimenti, metodi dimisurazione e componenti o sistemi complessi. Poiché il risultato di una misurazione e lasua incertezza possono essere astratti e basati interamente su dati fittizi, la locuzione"risultato di una misurazione", utilizzata nella presente guida deve essere interpretata inquesto senso più ampio.

1.4 La presente guida fornisce regole generali per la valutazione e l'espressionedell'incertezza nella misurazione, piuttosto che istruzioni dettagliate, o finalizzate ad unaspecifica tecnologia. Inoltre, non vengono discussi i diversi impieghi dell'incertezza di unrisultato successivi alla sua valutazione, quali, per esempio, decidere circa la compatibilitàdi quel risultato con altri analoghi, o stabilire le tolleranze di un processo produttivo, odecidere se una certa linea d'azione può essere intrapresa in sicurezza. Può pertantorendersi necessario lo sviluppo di norme basate sulla presente guida e dedicate aiproblemi di settori specifici della misurazione, o ai vari impieghi delle espressioniquantitative dell'incertezza. Queste norme potranno essere versioni semplificate dellapresente guida, ma dovranno mantenere il livello di dettaglio appropriato al livello diaccuratezza e complessità delle misurazioni e degli impieghi cui saranno destinate.

Nota Possono presentarsi situazioni in cui il concetto stesso di incertezza di misura è da ritenersi nonapplicabile, come la determinazione della precisione di un metodo di prova (vedere per esempio,[5]).

2 DEFINIZIONI

2.1 Termini metrologici generaliI termini metrologici generali pertinenti alla presente guida, quali "grandezza misurabile","misurando" ed "errore di misura" sono riportati nell'appendice B. Queste definizionisono tratte dal Vocabolario Internazionale dei termini fondamentali e generali inmetrologia (abbreviato in VIM) [6]. Inoltre l'appendice C riporta la definizione di un certonumero di termini statistici fondamentali, tratti principalmente dalla norma InternazionaleISO 3534-1 [7]. Allorquando uno di questi termini metrologici o statistici (o altro terminecon questi strettamente correlato) viene usato per la prima volta nel testo, a partire dalpunto 3, esso è in grassetto ed in parentesi viene indicato il punto in cui esso è definito.



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La definizione del termine metrologico generale "incertezza di misura", a causa della suaimportanza per la presente guida, viene data sia nell'appendice B, sia in 2.2.3.Le definizioni dei più importanti termini specifici della presente guida sono da 2.3.1 a2.3.6. In tutti questi punti e nelle appendici B e C, l'uso di parentesi intorno a certe paroleo termini significa che questi possono essere omessi qualora non vi sia rischio diambiguità.

2.2 Il termine "incertezza"Il concetto di incertezza è trattato anche in 3 e nell'appendice D.

2.2.1 La parola "incertezza" significa dubbio, e pertanto "incertezza di misura", nella suaaccezione più ampia, significa dubbio circa la validità del risultato di una misurazione.Poiché non esistono parole diverse per esprimere questo concetto generale diincertezza e le specifiche grandezze che forniscono misure quantitative di tale concetto,per esempio lo scarto tipo, è necessario adottare la stessa parola "incertezza" perentrambi i significati.

2.2.2 Nella presente guida, la parola "incertezza" senza aggettivi si riferisce sia al concettogenerale di incertezza, sia a qualsivoglia valutazione quantitativa di tale concetto. Quandosi fa riferimento ad una valutazione quantitativa specifica dell’incertezza vengono usati gliaggettivi appropriati.

2.2.3 La definizione formale del termine "incertezza di misura" utilizzata nella presente guida enella attuale edizione del VIM [6] (punto 3.9 del VIM), è la seguente:incertezza (di misura)parametro, associato al risultato di una misurazione, che caratterizza la dispersione deivalori ragionevolmente attribuibili al misurando.

Nota 1 Il parametro può essere, per esempio, uno scarto tipo (o un suo multiplo dato), o la semiampiezzadi un intervallo avente un livello di fiducia stabilito.

Nota 2 L'incertezza di misura, in generale, comprende più componenti. Talune di queste possono esserevalutate dalla distribuzione statistica dei risultati di serie di misurazioni e possono dunque esserecaratterizzate mediante scarti tipo sperimentali. Le altre componenti, anch'esse caratterizzabilimediante scarti tipo, sono valutate da distribuzioni di probabilità ipotizzate sulla basedell'esperienza o di informazioni di altro tipo.

Nota 3 S’intende che il risultato della misurazione è la migliore stima del valore del misurando, e che tuttele componenti dell'incertezza, comprese quelle determinate da effetti sistematici, quali quelleassociate a correzioni e campioni di riferimento, contribuiscono alla dispersione.

2.2.4 La definizione di incertezza di misura data in 2.2.3 è una definizione operativa che siincentra sul risultato della misurazione e sulla sua incertezza valutata. Tuttavia, non èincompatibile con altri concetti di incertezza di misura quali- una valutazione quantitativa dell'errore possibile nel valore stimato del misurando,

rappresentato dal risultato di una misurazione;- una stima che caratterizza il campo di valori entro cui giace il valore vero di un

misurando (VIM, prima edizione, 1984, 3.09).Benché questi due concetti tradizionali possano avere validità sul piano ideale, essi siincentrano su entità inconoscibili: "l'errore" del risultato di una misurazione ed il "valorevero" del misurando (in contrasto con il suo valore stimato), rispettivamente. Tuttavia, unacomponente dell'incertezza viene sempre valutata a partire dai dati disponibili e dalleinformazioni ad essi collegate, quale che sia il concetto di incertezza adottato. (Vedereanche E.5).

2.3 Termini specifici della presente guidaIn generale, i termini specifici della presente guida sono definiti nel testo la prima voltache vi compaiono. Tuttavia le definizioni dei più importanti termini sono di seguitoriportate per facilità di consultazione.

Nota Questi termini sono anche discussi in: per 2.3.2, vedere 3.3.3 e 4.2; per 2.3.3, vedere 3.3.3 e 4.3;per 2.3.4, vedere 5 e le equazioni (10) e (13), infine, per 2.3.5 e 2.3.6, vedere 6.



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2.3.1 incertezza tipoincertezza del risultato di una misurazione espressa come scarto tipo.

2.3.2 valutazione (dell'incertezza) di categoria Ametodo di valutazione dell'incertezza per mezzo dell'analisi statistica di serie diosservazioni.

2.3.3 valutazione (dell'incertezza) di categoria Bmetodo di valutazione dell'incertezza con mezzi diversi dall'analisi statistica di serie diosservazioni.

2.3.4 incertezza tipo compostaincertezza tipo del risultato di una misurazione allorquando il risultato è ottenuto mediantei valori di un certo numero di altre grandezze; essa è uguale alla radice quadrata positiva diuna somma di termini, che sono le varianze o le covarianze di quelle grandezze, pesatesecondo la variazione del risultato della misurazione al variare di esse.

2.3.5 incertezza estesagrandezza che definisce, intorno al risultato di una misurazione, un intervallo che ci siaspetta comprendere una frazione rilevante della distribuzione di valori ragionevolmenteattribuibili al misurando.

Nota 1 La frazione può essere interpretata come la probabilità di copertura o livello di fiduciadell'intervallo.

Nota 2 Per poter associare uno specifico livello di fiducia all'intervallo definito dall'incertezza estesa ènecessario fare ipotesi, esplicite o implicite, sulla distribuzione di probabilità caratterizzata dalrisultato della misurazione e dalla sua incertezza tipo composta. Il livello di fiducia che può essereattribuito a questo intervallo può essere conosciuto solo nei limiti entro i quali quelle ipotesi sianogiustificate.

Nota 3 L'incertezza estesa è denominata incertezza globale nel paragrafo 5 della raccomandazioneINC-1 (1980).

2.3.6 fattore di coperturafattore numerico utilizzato come moltiplicatore dell'incertezza tipo composta per ottenereun'incertezza estesa.

Nota Il fattore di copertura k è tipicamente nell’intervallo da 2 a 3.

3 CONCETTI FONDAMENTALINell'appendice D si può trovare un'ulteriore trattazione dei concetti fondamentali,centrata sulle idee di valore "vero", errore ed incertezza, che include illustrazioni grafichedi tali concetti; nell'appendice E vengono esplorati i fondamenti statistici e le motivazionidella raccomandazione INC-1 (1980), sulla quale la presente guida è basata. L'appendiceJ è un glossario dei principali simboli matematici utilizzati nella presente guida.

3.1 Misurazione

3.1.1 L'obiettivo di una misurazione (B.2.5) è quello di determinare il valore (B.2.2) delmisurando (B.2.9), ossia il valore della particolare grandezza (B.2.1, nota 1), ograndezza in senso determinato (B.2.1, nota 1) da misurare. Una misurazione, pertanto,comincia con un'adeguata definizione del misurando, del metodo di misurazione(B.2.7) e del procedimento di misurazione (B.2.8).

Nota Il termine "valore vero" (vedere appendice D) non è utilizzato nella presente guida per le ragioniesposte in D.3.5; i termini "valore di un misurando" (o di una grandezza) e "valore vero di unmisurando" (o di una grandezza) sono considerati come equivalenti.



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3.1.2 In generale, il risultato di una misurazione (B.2.11) è solamente un'approssimazione ostima (C.2.26) del valore del misurando ed è pertanto completo solamente quando siaaccompagnato da una dichiarazione dell'incertezza (B.2.18) di quella stima.

3.1.3 In pratica, la specificazione o definizione richiesta per il misurando è dettata dallaaccuratezza di misura (B.2.14) richiesta. Il misurando dovrebbe essere definito concompletezza sufficiente rispetto all'accuratezza richiesta, in modo che il suo valore siaunico a tutti gli effetti pratici associati con la misurazione. È in questa accezione chel'espressione "valore del misurando" viene utilizzata in questa guida.

Esempio

Se la lunghezza di una barra di acciaio di lunghezza nominale un metro deve esseredeterminata con l'accuratezza di un micrometro, la sua specificazione dovrebbecomprendere la temperatura e la pressione a cui è definita la lunghezza stessa. Dunque ilmisurando dovrebbe essere specificato, per esempio, come la lunghezza della barra a25,00 °C e 101 325 Pa (più ogni altro parametro di definizione ritenuto necessario, comeil modo di sostenere la barra). Tuttavia, se la lunghezza deve essere determinatasolamente con l'accuratezza di un millimetro, la sua specificazione non richiede unatemperatura né una pressione di definizione, né un valore per alcun altro parametro didefinizione.

Nota L'incompleta definizione del misurando può dar luogo ad una componente di incertezzasufficientemente grande da dover essere inclusa nella valutazione dell'incertezza del risultato dellamisurazione (vedere D.1.1, D.3.4 e D.6.2).

3.1.4 In molti casi il risultato di una misurazione è determinato sulla base di serie di osservazioniottenute in condizioni di ripetibilità (B.2.15, nota 1).

3.1.5 Si ipotizza che le variazioni in osservazioni ripetute insorgano in quanto le grandezze diinfluenza (B.2.10) che possono, appunto, influenzare il risultato della misurazione nonsono mantenute rigorosamente costanti.

3.1.6 Il modello matematico della misurazione, che trasforma l'insieme di osservazioni ripetutenel risultato della misurazione, è di cruciale importanza poiché, oltre alle osservazioni,comprende, in genere, altre grandezze non esattamente conosciute. Questa inesattaconoscenza contribuisce all'incertezza del risultato della misurazione così come vicontribuiscono le variazioni nelle osservazioni ripetute ed ogni incertezza associata con ilmodello matematico stesso.

3.1.7 La presente guida tratta il misurando come uno scalare (cioè una singola grandezza).L'estensione al caso di un insieme di misurandi determinati simultaneamente nella stessamisurazione richiede la sostituzione del misurando scalare e della sua varianza (C.2.11,C.2.20, C.3.2) con un misurando vettoriale e con la sua matrice di covarianza (C.3.5).Tale caso è trattato nella presente guida solamente negli esempi (vedere H.2, H.3 edH.4).

3.2 Errori, effetti e correzioni

3.2.1 In generale, una misurazione presenta imperfezioni che danno luogo ad un errore(B.2.19) nel risultato della misurazione. Tradizionalmente, un errore è considerato averedue componenti, una casuale (B.2.21), o aleatoria, ed una sistematica (B.2.22).

Nota L'errore è un concetto idealizzato; gli errori non possono essere conosciuti esattamente.

3.2.2 Gli errori casuali (stocastici, aleatori) sono presumibilmente originati da variazioni nonprevedibili o casuali, nel tempo e nello spazio, delle grandezze di influenza. Gli effetti ditali variazioni, denominati d'ora in avanti effetti casuali danno luogo a variazioni inosservazioni ripetute del misurando. Benché non sia possibile correggere l'errorecasuale del risultato di una misurazione, è tuttavia possibile ridurlo aumentando il numero



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di osservazioni; la sua speranza matematica o valore atteso o valor medio, (C.2.9,C.3.1) è zero.

Nota 1 Lo scarto tipo sperimentale della media aritmetica di una serie di osservazioni (vedere 4.2.3) non èl'errore casuale della media, benché sia così chiamato in certe pubblicazioni. Esso è piuttosto unavalutazione quantitativa dell' incertezza della media dovuta agli effetti casuali. Il valore esattodell'errore sulla media dovuto a questi effetti non è conoscibile.

Nota 2 Nella presente guida si distingue nettamente tra i termini "errore" ed "incertezza". Essi non sonosinonimi, bensì rappresentano concetti completamente differenti; pertanto non devono essereconfusi l'uno con l'altro o adoperati impropriamente.

3.2.3 Così come l'errore casuale, anche l'errore sistematico non può essere eliminato masovente può essere ridotto. Se una grandezza di influenza produce sul risultato di unamisurazione un effetto identificato in un errore sistematico, talché l'effetto saràdenominato d'ora in avanti effetto sistematico, tale effetto può essere quantificato e, se diproporzioni significative rispetto all'accuratezza richiesta alla misurazione, compensatoapportando una correzione (B.2.23) o fattore di correzione (B.2.24). Si ipotizza che, aseguito della correzione, il valore atteso dell'errore generato da un effetto sistematico siazero.

Nota L'incertezza di una correzione applicata al risultato di una misurazione per compensare un effettosistematico non è l'errore sistematico, sovente denominato distorsione (in inglese: bias), delrisultato, come talvolta viene chiamato. Esso è piuttosto una valutazione quantitativadell'incertezza del risultato dovuta ad imperfetta conoscenza del valore necessario per lacorrezione. L'errore originato dall'imperfetta compensazione di un effetto sistematico non èconoscibile in modo esatto. I termini "errore" ed "incertezza" devono essere utilizzaticorrettamente e si deve porre ogni cura nel distinguerli.

3.2.4 Si ipotizza che il risultato di una misurazione sia stato corretto per tutti gli effetti sistematiciidentificati e significativi, e che si sia effettuato ogni sforzo rivolto all'identificazione di talieffetti.

Esempio

Si supponga di alimentare un resistore mediante un generatore ideale di corrente e diusare un voltmetro per determinare la differenza di potenziale preesistenteall’inserimento del voltmetro (il misurando) ai capi di esso; si supponga che il resistoreabbia impedenza non trascurabile rispetto all’impedenza interna del voltmetro. Siapplicherà dunque una correzione per ridurre l'effetto sistematico sul risultato dellamisurazione derivante dall'applicazione del carico costituito dal voltmetro. Tuttavia, i valoridelle impedenze di voltmetro e resistore utilizzati per stimare il valore della correzione, edottenuti da altre misurazioni, sono essi stessi incerti. Queste incertezze sono utilizzateper valutare la componente dell'incertezza sulla determinazione della differenza dipotenziale, originata dalla correzione e pertanto dall'effetto sistematico dovutoall'impedenza non infinita del voltmetro.

Nota 1 Sovente gli strumenti ed i sistemi di misurazione sono aggiustati o tarati usando campioni omateriali di riferimento allo scopo di eliminare gli effetti sistematici; anche in questo caso si devetenere conto delle incertezze associate con questi campioni e materiali.

Nota 2 Il caso in cui non si applica una correzione per un effetto sistematico noto e significativo èdiscusso nella nota in calce in 6.3.1 ed in F.2.4.5.

3.3 Incertezza

3.3.1 L'incertezza del risultato di una misurazione rispecchia la mancanza di una conoscenzaesatta del valore del misurando (vedere 2.2). Il risultato di una misurazione, pur dopoessere stato corretto per gli effetti sistematici identificati, è ancora solamente una stimadel valore del misurando a causa dell'incertezza originata dagli effetti casuali e dalla nonperfetta correzione del risultato per gli effetti sistematici.

Nota Può accadere che il risultato di una misurazione (dopo correzione), pur avendo una elevataincertezza, disti dal valore del misurando di una quantità molto piccola (ed abbia dunque un errore



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trascurabile), ancorché inconoscibile. Pertanto l'incertezza del risultato di una misurazione nondeve essere confusa con l'errore residuo, di entità ignota.

3.3.2 In pratica esistono molte possibili fonti di incertezza in una misurazione, tra le quali:

a) definizione incompleta del misurando;b) imperfetta realizzazione della definizione del misurando;c) non rappresentatività della campionatura (la campionatura scelta per le misurazioni

può non rappresentare il misurando definito);d) inadeguata conoscenza degli effetti delle condizioni ambientali sulla misurazione o

imperfetta misurazione delle condizioni stesse;e) distorsione personale dell'operatore nella lettura di strumenti analogici;f) risoluzione o soglia di risoluzione strumentali non infinite;g) valori non esatti di campioni e materiali di riferimento;h) valori non esatti di costanti ed altri parametri ottenuti da fonti esterne ed usati

nell'algoritmo di elaborazione dei dati;i) approssimazioni ed ipotesi semplificatrici inerenti al metodo ed al procedimento

sperimentali;j) variazioni nelle osservazioni del misurando ripetute in condizioni apparentemente

identiche.Queste fonti non necessariamente sono indipendenti, ed alcuni di quelle enunciate da a)ad i) possono contribuire alla fonte j). Naturalmente, non è possibile considerare uneffetto sistematico non identificato nella valutazione dell'incertezza di una misura,ancorché esso contribuisca, in modo peraltro ignoto, al suo errore.

3.3.3 La raccomandazione INC-1 (1980) del Gruppo di lavoro sull'espressione delle incertezzeraggruppa le componenti dell'incertezza in due categorie a seconda del metodo divalutazione, "A" e "B" (vedere 0.7, 2.3.2 e 2.3.3). Queste categorie si applicanoall'incertezza e non sostituiscono i termini "casuale" e "sistematico". L'incertezza di unacorrezione per un effetto sistematico noto può essere ottenuta con una valutazionetalvolta di categoria A, talvolta di categoria B; e analogamente per l'incertezza checaratterizza un effetto casuale.

Nota In talune pubblicazioni le componenti dell'incertezza sono classificate come "casuale" e"sistematica" e sono associate agli errori originati rispettivamente da effetti casuali da effettisistematici noti. Tale classificazione delle componenti dell'incertezza può essere ambigua segeneralizzata. Per esempio, quella che in una misurazione è una componente "aleatoria" puòdiventare una componente "sistematica" in un'altra misurazione in cui si utilizzi il risultato dellaprima misurazione come dato di ingresso. L'ambiguità si risolve classificando i metodi per valutarele componenti dell'incertezza piuttosto che le componenti stesse. Nello stesso tempo, in questomodo non si preclude la possibilità di raggruppare in gruppi designati, da utilizzarsi per scopiparticolari (vedere 3.4.3), componenti che siano state individualmente valutate con l’uno o l’altrodei due metodi.

3.3.4 Lo scopo della classificazione in categoria A e categoria B è quello di indicare le duediverse modalità di valutazione delle componenti dell'incertezza ed ha unicamente utilitàdidattica; la classificazione non sottintende l'esistenza di differenze nella natura dellecomponenti risultanti dai due tipi di valutazione. Entrambi i tipi di valutazione sono basatisu distribuzioni di probabilità (C.2.3) e le componenti risultanti da ambedue i metodisono quantificate mediante varianze o scarti tipo.

3.3.5 La varianza stimata u 2, che caratterizza una componente dell'incertezza ottenuta

mediante una valutazione di categoria A, viene calcolata da serie di osservazioni ripetuteed è la familiare varianza stimata statisticamente s 2 (vedere 4.2). Lo scarto tipo stimato(C.2.12, C.2.21, C.3.3) u, cioè la radice quadrata positiva di u 2, è dunque u s= ed ètalvolta chiamato per comodità incertezza tipo di categoria A. Per una componentedell'incertezza ottenuta mediante una valutazione di categoria B, la varianza stimata u 2 èvalutata sfruttando le informazioni disponibili (vedere 4.3) e lo scarto tipo stimato u ètalvolta chiamato incertezza tipo di categoria B.Dunque un'incertezza (tipo) di categoria A è ottenuta da una densità di probabilità(C.2.5) derivata da una distribuzione di frequenza osservata (C.2.18), mentre



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un'incertezza (tipo) di categoria B è ottenuta da una densità di probabilità ipotizzata sullabase del grado di credenza nel verificarsi di un evento [sovente chiamata probabilitàsoggettiva (C.2.1)]. Ambedue i metodi usano interpretazioni della probabilitàuniversalmente riconosciute.

Nota Una valutazione di categoria B di una componente dell'incertezza è solitamente fondata su uninsieme di informazioni attendibili (vedere 4.3.1).

3.3.6 L'incertezza tipo del risultato di una misurazione, quando tale risultato è ottenutocombinando i valori di altre grandezze, è denominata incertezza tipo composta, indicatacon uc . Essa è lo scarto tipo stimato associato con il risultato ed è uguale alla radicequadrata positiva della varianza composta ottenuta combinando tutte le componenti divarianza e covarianza (C.3.4), comunque valutate, per mezzo di quella che nellapresente guida viene denominata la legge di propagazione dell'incertezza (vedere 5).

3.3.7 Per soddisfare le esigenze di talune applicazioni di carattere industriale e commerciale,così come quelle del settore sanitario e della sicurezza, si ricava una incertezza estesa Umoltiplicando l'incertezza tipo composta uc per un fattore di copertura k. Lo scopo di U èquello di individuare un intervallo intorno al risultato di una misurazione che ci si aspettapossa comprendere una rilevante porzione della distribuzione dei valori che si possonoragionevolmente attribuire al misurando. La scelta del fattore k, solitamente compreso tra2 e 3, è basata sulla probabilità di copertura o livello di fiducia richiesto all'intervallo(vedere 6).

Nota Il fattore di copertura k deve essere sempre dichiarato, in modo che sia possibile ricavarel'incertezza tipo della grandezza misurata, da usarsi nel calcolo dell'incertezza tipo composta dialtri risultati di misurazioni eventualmente dipendenti da quella grandezza.

3.4 Considerazioni pratiche

3.4.1 Se si facessero variare tutte le grandezze dalle quali dipende il risultato di unamisurazione, la sua incertezza potrebbe essere valutata usando esclusivamente metodistatistici. Tuttavia, poiché ciò è raramente possibile a causa di limiti pratici di tempo e dirisorse, l'incertezza del risultato di una misurazione è solitamente valutata usando unmodello matematico della misurazione e la legge di propagazione dell'incertezza.Pertanto nella presente guida è implicita l'ipotesi che una misurazione possa esseremodellizzata matematicamente con il dettaglio imposto dall'accuratezza richiesta allamisurazione stessa.

3.4.2 Poiché il modello matematico può essere incompleto, tutte le grandezze di interessedovrebbero essere fatte variare entro il campo più ampio ammissibile nella pratica in modoche la valutazione dell'incertezza sia basata su dati osservati nella massima misurapossibile. Ogni qual volta sia possibile, dovrebbero essere utilizzati come elementiimportanti i modelli empirici della misurazione, fondati su dati quantitativi di lungo termine,e campioni e diagrammi di controllo atti ad indicare se una misurazione è sotto controllostatistico, nel tentativo di ottenere valutazioni attendibili dell'incertezza. Il modellomatematico dovrebbe sempre essere verificato quando i dati sperimentali, compresi irisultati di determinazioni indipendenti dello stesso misurando, evidenziano che ilmodello stesso è incompleto. Un esperimento ben progettato può agevolaregrandemente valutazioni attendibili dell'incertezza e costituisce una parte importantedell'arte della misurazione.

3.4.3 Per decidere se un sistema di misurazione funzioni correttamente, la variabilità dei dati inuscita, osservata sperimentalmente e misurata dallo scarto tipo osservato, è soventeparagonata con lo scarto tipo predetto, ottenuto combinando le varie componentidell'incertezza che caratterizzano la misurazione. In questi casi si devono consideraresolo le componenti (ottenute mediante valutazioni di categoria A o B) che possonocontribuire alla variabilità sperimentalmente osservata dei valori di uscita.

Nota Questa analisi può essere facilitata se si raggruppano le componenti che contribuiscono allavariabilità e quelle che non vi contribuiscono in due gruppi separati e adeguatamentecontrassegnati.



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3.4.4 In alcuni casi non è necessario includere, nella valutazione dell'incertezza del risultato diuna misurazione, l'incertezza di una correzione per un effetto sistematico. Benché siastata valutata, può essere ignorata se il suo contributo all'incertezza tipo composta èirrilevante. Se il valore stesso della correzione è trascurabile rispetto all'incertezza tipocomposta, può essere trascurato anch'esso.

3.4.5 Nella pratica, specialmente nel campo della metrologia legale, accade spesso che undispositivo sia provato per confronto con un campione di misura e che le incertezzeassociate al campione ed alla procedura di confronto siano trascurabili rispettoall'accuratezza richiesta alla prova. Un esempio è l'uso di una pesiera ben tarata perverificare l'accuratezza di una bilancia commerciale. In questi casi, essendo le componentidell'incertezza sufficientemente piccole da poter essere trascurate, la misurazione puòessere vista come finalizzata alla determinazione dell'errore del dispositivo sotto esame.(Vedere anche F.2.4.2).

3.4.6 La stima del valore di un misurando fornita dal risultato di una misurazione è talvoltaespressa in termini del valore adottato di un campione locale di misura piuttosto che intermini dell'unità appropriata del Sistema Internazionale di Unità di misura (SI). In questicasi l'incertezza attribuita al risultato della misurazione può essere notevolmente piùpiccola rispetto a quando il risultato sia espresso nell'unità SI appropriata. (In effetti ilmisurando è stato ridefinito come il rapporto tra il valore della grandezza sotto misurazioneed il valore adottato del campione).

Esempio

Un campione di tensione Zener di elevata qualità viene tarato per confronto con unriferimento di tensione ad effetto Josephson, basato sul valore convenzionale dellacostante di Josephson raccomandato dal CIPM per l'uso in campo internazionale.L'incertezza tipo composta relativa u V Vc s s( ) (vedere 5.1.6) della differenza di potenzialetarata Vs del campione Zener è 2 × 10-8, quando Vs è riferita al valore convenzionale, maè 4 × 10-7 quando Vs è riportata in termini dell'unità SI di differenza di potenziale, volt (V),a causa dell'incertezza aggiuntiva associata al valore SI della costante di Josephson.

3.4.7 Sviste di registrazione o di analisi dei dati possono introdurre un errore rilevante edignoto nel risultato di una misurazione. Le sviste grossolane sono di norma rivelate daun'accurata revisione dei dati; sviste minori possono essere mascherate da variazionicasuali, o apparire tali. Le valutazioni dell'incertezza non sono concepite per tenere contodi tali errori.

3.4.8 Benché questa guida fornisca uno schema generale per valutare l'incertezza, essa nonpuò sostituirsi al pensiero critico, all'onestà intellettuale ed alla capacità professionale. Lavalutazione dell'incertezza non è né un compito di routine né un esercizio puramentematematico, ma dipende dalla conoscenza approfondita della natura del misurando edella misurazione. La qualità e l'utilità dell'incertezza attribuita al risultato di unamisurazione dipendono pertanto, in definitiva, dall'approfondimento, dall'analisi critica edall'integrità morale di chi contribuisce ad assegnarne il valore.

4 VALUTAZIONE DELL'INCERTEZZA TIPOUlteriori suggerimenti, di carattere prevalentemente pratico, sulla valutazione dellecomponenti dell'incertezza si possono trovare nell'appendice F.

4.1 Modello della misurazione

4.1.1 Nella maggior parte dei casi il misurando Y non viene misurato direttamente, madeterminato mediante altre N grandezze X1, X2, . . . . , XN attraverso una relazionefunzionale f :



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Y f X X XN= ( )1 2, , . . . , [1]

Nota 1 Per economia di notazione, nella presente guida viene utilizzato lo stesso simbolo tanto per lagrandezza fisica (il misurando) quanto per la variabile casuale (vedere 4.2.1) che rappresenta ilpossibile esito di un'osservazione di quella grandezza. Quando si afferma che X i ha unaparticolare distribuzione di probabilità, il simbolo è usato nella seconda accezione; si conviene chela grandezza fisica possa essere caratterizzata da un valore praticamente univoco (vedere 1.2 e3.1.3).

Nota 2 In una serie di osservazioni, si denota con Xi,k il k -esimo valore osservato di Xi; se dunque Rindica la resistenza di un resistore, il k -esimo valore osservato della resistenza è indicato da Rk.

Nota 3 La stima di Xi (a rigore del suo valore atteso) è indicata con xi .

Esempio

Se ai terminali di un resistore avente resistenza R0 alla temperatura t0 e dipendentelinearmente dalla temperatura secondo un coefficiente a si applica una differenza dipotenziale V, la potenza P (il misurando) dissipata dal resistore alla temperatura t dipendeda V, R0, a e t secondo l'equazione

P f V R t V R t t= ( ) = + −( )[ ], , ,0

20 01α α

Nota Altri metodi per misurare P verrebbero modellizzati da espressioni matematiche differenti.

4.1.2 Le grandezze di ingresso X1, X2, . . . . , XN dalle quali dipende la grandezza d'uscita Ypossono essere considerate esse stesse misurandi, che possono a loro volta dipendereda altre grandezze, come correzioni e fattori di correzione per effetti sistematici, cosicchéla relazione funzionale f risultante è talmente complicata da non poter essere scrittaesplicitamente. Ancora, f può essere determinata per via sperimentale (vedere 5.1.4), opuò essere valutabile solamente mediante un algoritmo numerico. La funzione f nellapresente guida è da interpretarsi in questa più ampia accezione, in particolare come lafunzione contenente ogni grandezza, incluse tutte le correzioni ed i fattori di correzione,che possa originare sul risultato della misurazione una componente di incertezzasignificativa.Pertanto, se i dati indicano che f non modellizza la misurazione così bene comel'accuratezza richiesta al risultato della misurazione vorrebbe, è necessario includere nellafunzione f altre grandezze di ingresso, così da colmare l'inadeguatezza (vedere 3.4.2).Ciò può rendere necessaria l'introduzione di una grandezza d'ingresso che rispecchil'incompleta conoscenza di un qualche fenomeno che influenza il misurando.Nell'esempio riportato in 4.1.1, potrebbero essere necessarie grandezze d'ingresso cheinterpretino una distribuzione di temperatura lungo il resistore che si sa non essereuniforme, un possibile coefficiente di temperatura della resistenza non lineare, o unapossibile dipendenza della resistenza dalla pressione atmosferica.

Nota L'equazione (1) può essere elementare, come per esempio Y X X= −1 2. Questa espressionemodellizza il confronto tra due determinazioni della stessa grandezza X.

4.1.3 L'insieme di grandezze d'ingresso X1, X2, . . . . , XN può essere classificato come:

- grandezze i cui valori e le cui incertezze sono determinati direttamente nellamisurazione. Questi valori ed incertezze possono essere ottenuti, per esempio, dauna singola osservazione, da osservazioni ripetute, o da un giudizio basatosull'esperienza, e possono comportare la determinazione di correzioni alle letturedegli strumenti o correzioni per le grandezze d'influenza, quali la temperaturaambientale, la pressione atmosferica e l'umidità;

- grandezze i cui valori e le cui incertezze sono introdotti nella misurazione da fontiesterne, come le grandezze associate con campioni di misura tarati, materiali diriferimento certificati, dati di riferimento ottenuti da manuali.



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4.1.4 Dall'equazione [1] si ricava una stima del misurando Y, denotata y, usando stimed'ingresso x1, x2, . . . . , xN per i valori delle N grandezze X1, X2, . . . . , XN. La stima d'uscitay, che è il risultato della misurazione, è dunque data da:

y f x x xN= ( )1 2, , . . . , [2]

Nota In alcuni casi la stima y può essere ottenuta da

y Yn

Yn

f X X Xkk

n

k k N kk

n

= = = ( )= =

∑ ∑1 1

11 2

1, , ,, , . . . ,

che rappresenta il caso in cui y è ottenuta come media aritmetica (vedere 4.2.1) di ndeterminazioni indipendenti Yk di Y, tutte aventi la stessa incertezza e basate su di un insiemecompleto di valori osservati delle N grandezze d'ingresso Xi , ottenuti simultaneamente. Questo

modo di mediare può essere preferibile all'altro, y f X X X N= ( )1 2, , . . . , , dove

X X ni i kkn= ( )=∑ ,1

è la media aritmetica delle singole osservazioni Xi k, , quando f è una

funzione non lineare delle grandezze d'ingresso X1 , X2 , . . . . , XN . I due metodi sono identiciquando f è funzione lineare delle Xi (vedere H.2 e H.4).

4.1.5 Lo scarto tipo stimato associato con la stima d'uscita o risultato della misurazione y,denominato incertezza tipo composta ed indicato con uc (y), è determinato dallo scartotipo stimato associato a ciascuna delle stime d'ingresso xi denominato incertezza tipo edindicato con u (xi) (vedere 3.3.5 e 3.3.6).

4.1.6 Ciascuna stima d'ingresso xi e ciascuna incertezza tipo corrispondente u(xi) sono ricavateda una distribuzione di valori possibili della grandezza d'ingresso Xi. Questa distribuzionedi probabilità può essere basata su frequenze empiriche, vale a dire su una serie diosservazioni Xi,k di Xi, oppure può essere una distribuzione iniziale. Le valutazioni dicategoria A delle componenti d'incertezza sono basate su distribuzioni di frequenzamentre le valutazioni di categoria B sono basate su distribuzioni iniziali. Si osservi che inentrambi i casi le distribuzioni sono modelli usati per rappresentare lo stato della nostraconoscenza.

4.2 Valutazione di categoria A dell'incertezza tipo

4.2.1 Nella maggioranza dei casi, la migliore stima dei valori attesi µq di una grandezza q chevaria casualmente [variabile casuale o aleatoria (C.2.2)] e della quale sono stateottenute n osservazioni indipendenti qk nelle stesse condizioni sperimentali (vedere

B.2.15), è la media aritmetica o valore medio q (C.2.19) delle n osservazioni:

qn

qkk

n

==

∑1

1

[3]

Pertanto, per una grandezza d'ingresso Xi stimata da n osservazioni ripetute

indipendenti Xi,k, la media aritmetica X i ottenuta dall'equazione (3) viene usata comestima d'ingresso xi nell'equazione (2) per determinare il risultato della misurazione y;

ovvero, x Xi i= . Le stime d'ingresso non valutate da osservazioni ripetute devonoessere ottenute con altri metodi, quali quelli indicati nel secondo gruppo di 4.1.3.

4.2.2 Le singole osservazioni qk differiscono a causa di variazioni casuali delle grandezzed'influenza, o effetti aleatori (vedere 3.2.2). La varianza sperimentale delle osservazioni,che stima la varianza σ 2 della distribuzione di probabilità di q, è data da:

s qn

q qk kk

n2 2

1

11

( ) =−

−( )=

∑ [4]



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Questa stima della varianza e la sua radice quadrata positiva s(qk), denominata scartotipo sperimentale (B.2.17), caratterizzano la variabilità dei valori osservati qk, o, più

specificatamente, la loro dispersione intorno alla media q .

4.2.3 La miglior stima di σ σ2 2q n( ) = , la varianza della media, è data da

s qs q

nk2

2

( ) =( )

[5]

La varianza sperimentale della media s q2( ) e lo scarto tipo sperimentale della medias q( ) (B.2.17), nota 2), uguale alla radice quadrata positiva di s q2( ), quantificano quantobene q stimi il valore atteso µq di q, ed entrambi possono essere adottati comevalutazione quantitativa dell'incertezza di q .Pertanto, per una grandezza d'ingresso Xi determinata mediante n osservazioni ripetute

indipendenti Xi,k, l'incertezza tipo u(xi) della sua stima x Xi i= è u x s Xi i( ) = ( ), con

s X i2( ) calcolato secondo l'equazione (5). Per comodità, u x s Xi i

2 2( ) = ( ) e u x s Xi i( ) = ( )sono talvolta chiamati rispettivamente varianza di categoria A ed incertezza tipo dicategoria A.

Nota 1 Il numero di osservazioni n deve essere grande abbastanza da garantire che q fornisca una

stima attendibile del valore atteso µq della variabile casuale q , e che s q2( ) fornisca una stima

attendibile della varianza σ σ2 2q n( ) = (vedere 4.3.2, nota). La differenza tra s q2( ) e

σ 2 q( )

deve essere considerata nella costruzione di intervalli di fiducia (vedere 6.2.2). In questo caso, se

la distribuzione di probabilità di q è una distribuzione normale (vedere 4.3.4), si tiene conto della

differenza mediante la distribuzione t di Student (vedere G.3.2).

Nota 2 Sebbene la grandezza primitiva fondamentale sia la varianza s q2( ) , lo scarto tipo s q( ) è piùconveniente nell'uso pratico in quanto ha la stessa dimensione di q ed il suo valore è interpretatopiù facilmente che non quello della varianza.

4.2.4 Nel caso di una misurazione ben caratterizzata e sotto controllo statistico, può essere

disponibile una stima cumulata della varianza si2 che caratterizza la misurazione (o uno

scarto tipo sperimentale cumulato si ). In questi casi, quando il valore di un misurando qviene determinato da n osservazioni indipendenti, la varianza sperimentale della media

aritmetica q delle osservazioni è stimata meglio da s np2 / che da s q n2( ) , e l'incertezza

tipo è u s n= p / (vedere anche nota in H.3.6).

4.2.5 Sovente la stima xi di una grandezza d'ingresso Xi è ricavata da una curva che è stataadattata ai dati sperimentali per mezzo del metodo dei minimi quadrati. Le varianze stimatee le corrispondenti incertezze tipo dei parametri che caratterizzano la curva e di ognipunto prefigurato di questa, possono di regola essere calcolati per mezzo di procedurestatistiche ben note (vedere H.3 e rif. [8]).

4.2.6 I gradi di libertà (C.2.31) νi di u(xi) (vedere G.3), pari a n − 1 nel caso semplice in cui

x Xi i= ed u x s Xi i( ) = ( ) siano ottenuti da n osservazioni indipendenti come in 4.2.1 ed

in 4.2.3, dovrebbero sempre essere dichiarati quando si documentino valutazioni dicomponenti dell'incertezza di categoria A.

4.2.7 Se le variazioni casuali delle osservazioni di una grandezza d'ingresso sono correlate, peresempio nel tempo, la media e lo scarto tipo sperimentale della media ricavati in 4.2.1 edin 4.2.3 possono essere stimatori (C.2.25) non appropriati della statistica (C.2.23)desiderata. In questi casi le osservazioni dovrebbero essere analizzate mediante i metodistatistici appropriati allo studio di serie di misurazioni correlate e soggette a variazionicasuali nel tempo.



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Nota Tali metoli sono usati per trattare le misurazioni dei campioni di frequenza. È peraltro possibile cheanche per altre grandezze di interesse metrologico, misurate non a breve ma a lungo termine,l'ipotesi di variazioni casuali non correlate non sia più valida e che dunque i metodi specialipossano essere usati per trattare anche queste misurazioni. (Vedere rif. [9], per esempio, per unadiscussione dettagliata della varianza di Allan).

4.2.8 La discussione della valutazione di categoria A dell'incertezza tipo nei punti da 4.2.1 a4.2.7 non intende essere esauriente; esistono molte situazioni, alcune delle qualipiuttosto complesse, che possono essere trattate con metodi statistici. Un esempioimportante è l'uso di schemi di taratura, sovente basati sul metodo dei minimi quadrati, pervalutare le incertezze determinate da variazioni casuali sia di breve, sia di lungo periodo,nei risultati dei confronti di campioni materiali di valore incognito, come blocchettipiano-paralleli e campioni di massa, con campioni di riferimento di valore noto. In questesituazioni sperimentali, relativamente semplici, si possono frequentemente valutare lecomponenti dell'incertezza mediante l'analisi statistica dei dati ottenuti da schemiconsistenti di annidate sequenze di misurazioni del misurando usando valori diversi dellegrandezze da cui questo dipende - la cosiddetta analisi della varianza (vedere H.5).

Nota Ai livelli più bassi della catena di taratura, quando i campioni di riferimento sono soventeconsiderati esatti, essendo stati tarati da un laboratorio metrologico nazionale o comunqueprimario, l'incertezza del risultato di una taratura può essere un'unica incertezza tipo di categoriaA valutata dallo scarto tipo sperimentale d'insieme che caratterizza la misurazione.

4.3 Valutazione di categoria B dell'incertezza tipo

4.3.1 Per una stima xi di una grandezza d'ingresso Xi che non è stata ottenuta da osservazioniripetute, la varianza stimata u2(xi ) o l'incertezza tipo u (xi ) sono valutate per mezzo di ungiudizio scientifico basato su tutte le informazioni disponibili sulla possibile variabilità di Xi.L'insieme di informazioni può comprendere:- dati di misurazione precedenti;- esperienza o conoscenza generale del comportamento e delle proprietà dei materiali

e strumenti di interesse;- specifiche tecniche del costruttore;- dati forniti in certificati di taratura o altri;- incertezze assegnate a valori di riferimento presi da manuali.Per comodità u2(xi) e u(xi), valutate in questo modo, sono talvolta chiamate varianza dicategoria B e incertezza tipo di categoria B rispettivamente.

Nota Quando xi è ottenuta da una distribuzione iniziale, la varianza associata è scritta in modo

appropriato come u2(Xi ), ma per semplicità nella presente guida si usano le notazioni u2 (xi ) e u(x i).

4.3.2 L'uso giudizioso dell'insieme di informazioni disponibili per una valutazione di categoria Bdell'incertezza tipo richiede capacità di approfondimento basata sul'esperienza econoscenze generali, ed una perizia che può essere appresa con la pratica. Si osserviche una valutazione di categoria B dell'incertezza tipo può essere tanto attendibilequanto una di categoria A, soprattutto in quelle situazioni sperimentali in cui la valutazionedi categoria A è basata su di un numero relativamente ridotto di osservazionistatisticamente indipendenti.

Nota Se la distribuzione di probabilità di q nella nota 1 di 4.2.3 è normale, allora σ σs q q( )[ ] ( ) , lo

scarto tipo di s q( ) rispetto a σ q( ), è approssimativamente 2 1

12n −( )[ ] −. Pertanto, considerando

σ s q( )[ ] come l'incertezza di s q( ) , per n = 10 osservazioni l'incertezza relativa di s q( ) è del

24%, mentre per n = 50 osservazioni essa è del 10%. (Altri valori sono riportati nel prospetto E.1nell'appendice E).

4.3.3 Se la stima xi è ricavata da una specifica del costruttore, da un certificato di taratura, da unmanuale o da altra simile fonte e se la sua incertezza è definita come un multiplo



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particolare di uno scarto tipo, l'incertezza tipo u(xi) è uguale semplicemente al valoredichiarato diviso il moltiplicatore e la varianza stimata u2(xi) è il quadrato di tale rapporto.

Esempio

Un certificato di taratura stabilisce che la massa ms di un campione di massa di acciaioinossidabile avente valore nominale 1 kg è 1 000,000 325 g e che "l'incertezza di questovalore è 240 µg al livello di tre scarti tipo". L'incertezza tipo del campione di massa è allorasemplicemente u(ms) = (240 µg)/3 = 80 µg. Questa corrisponde ad un'incertezza tiporelativa u (m s ) /m s di 80 × 1 0 - 9 (vedere 5.1.6). La varianza stimata èu 2(ms) = (80 µg)2 = 6,4 × 10-9 g2.

Nota In molti casi scarne, se non assenti, sono le notizie circa le singole componenti dalle quali è stataottenuta l'incertezza dichiarata. Ciò è usualmente irrilevante ai fini dell'espressione dell'incertezzasecondo i dettami della presente guida in quanto tutte le incertezze tipo sono trattate nello stessomodo nel calcolo dell'incertezza tipo composta di una misurazione (vedere 5).

4.3.4 L'incertezza di xi non è necessariamente dichiarata come un multiplo di uno scarto tipocome in 4.3.3. Si può infatti incentrare il caso in cui l'incertezza dichiarata definisce unintervallo avente un livello di fiducia del 90, 95 o 99 per cento (vedere 6.2.2). Se nondiversamente specificato si può ipotizzare che nel calcolo dell'incertezza dichiarata siastata adottata una distribuzione normale (C.2.14), e dunque ricostruire l'incertezza tipodi xi dividendo l'incertezza dichiarata per il fattore appropriato per la distribuzionenormale. I fattori corrispondenti ai livelli di fiducia succitati sono 1,64; 1,96; 2,58 (vedereanche prospetto G.1 nell'appendice G).

Nota Se l'incertezza fosse stata dichiarata secondo le raccomandazioni della presente guida, cheprescrivono di indicare sempre il fattore di copertura usato (vedere 7.2.3), non vi sarebbe alcunbisogno di ricorrere a tale ipotesi.

Esempio

Un certificato di taratura stabilisce che la resistenza Rs di un resistore campione aventevalore nominale 10 ohm è 10,000 742 Ω ± 129 µΩ a 23 °C e che "l'incertezza dichiaratadi 129 µΩ individua un intervallo avente un livello di fiducia del 99 per cento".L'incertezza tipo del resistore può essere assunta pari a u(Rs) = (129 µΩ)/2,58 = 50 µΩ,che corrisponde ad un'incertezza tipo relativa u(Rs)/Rs di 5,0 × 10-6 (vedere 5.1.6). Lavarianza stimata è u2(Rs) = (50 µΩ)2 = 2,5 × 10-9 Ω2.

4.3.5 Si consideri il caso in cui, sulla base delle notizie disponibili, si possa affermare che "èugualmente probabile che il valore della grandezza d'ingresso Xi giaccia all'interno oall'esterno dell'intervallo compreso tra a- ed a+" (in altre parole, la probabilità che Xi giacciaentro l'intervallo suddetto è 0,5 o 50 per cento). Se si può ritenere che la distribuzionedei possibili valori di Xi sia approssimativamente normale, allora si può prendere il puntomedio dell'intervallo come miglior stima xi di Xi. Inoltre, se la semiampiezza dell'intervallo èindicata con a = (a+ − a-)/2, si può prendere u (xi ) = 1,48 a, poiché per una distribuzionenormale con valore atteso µ e scarto tipo σ l'intervallo µ ± σ /1,48 comprende il 50 percento circa della distribuzione.

Esempio

Un operatore, nel determinare le dimensioni di un pezzo, stima che la sua lunghezzagiaccia, con probabilità 0,5, nell'intervallo tra 10,07 mm e 10,15 mm, e riportal = (10,11 ± 0,04) mm, intendendo che ± 0,04 mm definisce un intervallo avente livello difiducia del 50 per cento. Dunque, a = 0,04 mm, e se si ipotizza una distribuzionenormale per i possibili valori di l, l'incertezza tipo della lunghezza èu(l) = 1,48 × 0,04 mm ≈ 0,06 mm e la varianza stimata è u 2(l) = (1,48 × 0,04 mm)2 =3,5 × 10-3 mm2.



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4.3.6 Si consideri un caso simile a quello di 4.3.5 ma in cui, sulla base delle informazionidisponibili, "ci sono circa due probabilità su tre che il valore di Xi giaccia all'internodell'intervallo compreso tra a- ed a+" (in altre parole, la probabilità che Xi giaccia entrol'intervallo suddetto è circa 0,67). Si può allora ragionevolmente prendere u(xi) = a,poiché per una distribuzione normale con valore atteso µ e scarto tipo σ l'intervallo µ ± σcomprende il 68,3 per cento circa della distribuzione.

Nota Il valore di u(x i) avrebbe molto maggiore significatività di quella che gli si può concedere nel casocitato, se si usasse il valore esatto 0,967 42 corrispondente, per una distribuzione normale, allaprobabilità p = 2/3, se cioé si scrivesse u(x i) = a/0,967 42 = 1,033 a.

4.3.7 In altri casi solo limiti (superiore ed inferiore) possono essere stimabili per Xi in particolaresi può solo affermare che "la probabilità che il valore di Xi giaccia all'interno dell'intervallocompreso tra a- ed a+ è uguale, a tutti i fini pratici, ad uno e la probabilità che Xi giacciafuori dall'intervallo suddetto è praticamente zero". Se non esiste alcuna conoscenzaspecifica sui possibili valori di Xi entro l'intervallo, si può solamente affermare che Xi puògiacere in qualunque punto di esso con eguale probabilità (una distribuzione uniforme orettangolare dei possibili valori - vedere 4.4.5 e figura 2a). Allora xi, il valore atteso osperanza di Xi è il punto medio dell'intervallo, xi = (a- + a+)/2, con varianza associata

u x a ai2 2

12( ) = −( )+ − / . [6]

Se a a+ −− , la differenza tra i limiti, è indicata con 2a, allora l'equazione (6) diventa

u x ai2 2 3( ) = / . [7]

Nota Quando una componente d'incertezza determinata in questo modo contribuisce in misurasignificativa all'incertezza del risultato di una misurazione, è prudente ottenere dati aggiuntivi peruna sua successiva valutazione.

Esempio

1 Un manuale fornisce per il coefficiente di dilatazione termica lineare del rame puro a20 °C, α20(Cu), il valore 16,52 × 10-6 °C-1 ed afferma semplicemente che "l'errore diquesto valore non dovrebbe eccedere 0,40 × 10-6 °C-1." Sulla base di questeinformazioni limitate non è irragionevole supporre che il valore di α20(Cu) possagiacere con uguale probabilità in qualunque punto dell'intervallo compreso tra16,12 × 10-6 °C-1 e 16,92 × 10-6 °C-1 e che sia altamente improbabile che esso siaesterno a detto intervallo. La varianza di questa distribuzione rettangolare simmetricadi valori possibili di α20(Cu), avente semiampiezza a = 0,40 × 10-6 °C-1, è dunque,secondo l'equazione (7), u2(α20) = (0,40 × 10-6 °C-1)2 /3 = 53,3 × 10-15 °C-2, e

l'incertezza tipo è u(α20) = (0,40 × 10-6 °C-1) / 3 = 0,23 × 10-6 °C-1.

2 La specifica di un costruttore per un voltmetro digitale dichiara che "l'accuratezzadello strumento nel campo 1 V, tra uno e due anni dopo la sua taratura, è 14 × 10-6

volte la lettura più 2 × 10-6 volte il campo". Si supponga che lo strumento sia usato, 20mesi dopo la taratura, per misurare, sulla sua scala 1 V, una differenza di potenziale V,e che la media di un certo numero di osservazioni ripetute ed indipendenti di V siaV = 0,928 571 V con un'incertezza tipo (di categoria A) u(V ) = 12 µV. Si puòottenere l'incertezza tipo associata alla specifica del costruttore mediante unavalutazione di categoria B, assumendo che l'accuratezza dichiarata rappresenti i limitisimmetrici di una correzione additiva a V , ∆V , avente valore atteso nullo e probabilitàdi giacere indifferentemente in qualunque punto interno ai limiti. La semiampiezza adella distribuzione simmetrica rettangolare dei valori possibili di ∆V è alloraa = (14 × 10-6) × (0,928 571 V) + (2 × 10-6) × (1 V) = 15 µV, e, dall'equazione (7),u2(∆V ) = 75 µV2 e u(∆V ) = 8,7 µV. La stima del valore del misurando V, denominataper semplicità con lo stesso simbolo V, è data da V = V + ∆V = 0,928 571 V. Siottiene l'incertezza tipo composta di questa stima combinando l'incertezza tipo dicategoria A di V , 12 µV, con l'incertezza tipo di categoria B di ∆V , 8,7 µV. Il metodo



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generale per combinare componenti tipo dell'incertezza è descritto in 5, e questospecifico esempio è trattato in 5.1.5.

4.3.8 In 4.3.7, i limiti superiore ed inferiore a- ed a+ della grandezza d'ingresso Xi possonoessere non simmetrici rispetto alla sua miglior stima xi ; più precisamente, se il limiteinferiore è scritto come a- = xi - b- ed il limite superiore come a+ = xi + b+ , b- ≠ b+. Poichéin questo caso xi (ritenuto il valore atteso di Xi) non è al centro dell'intervallo compreso traa- ed a+, la distribuzione di probabilità di Xi non può essere uniforme entro l'intervallo.Tuttavia, le informazioni disponibili possono non essere sufficienti per la scelta di unadistribuzione plausibile; modelli differenti porteranno ad espressioni differenti dellavarianza. In assenza di informazioni sufficienti l'approssimazione più semplice è

u xb b a a

i2

2 2

12 12( ) =

+( )=

−( )+ − + − [8]

che è la varianza di una distribuzione rettangolare di ampiezza totale b b+ −+ . (Ledistribuzioni asimmetriche sono anche discusse in F.2.4.4 ed in G.5.3).

Esempio

Se nell'esempio 1 di 4.3.7 il valore del coefficiente nel manuale èα20(Cu) = 16,52 × 10-6 °C-1 e vi si afferma che "il minor valore possibile è 16,40 × 10-6 °C-1

ed il massimo possibile è 16,92 × 10-6 °C-1", allora b - = 0,12 × 10-6 °C-1,b+ = 0,40 × 10-6 °C-1 e, usando l'equazione (8), u(α20) = 0,15 × 10-6 °C-1.

Nota 1 In molte situazioni sperimentali in cui i limiti sono asimmetrici può essere opportuno applicare alla

stima xi una correzione pari a b b+ −−( ) 2 cosicché la nuova stima x'i di X i sia nel punto

intermedio tra i limiti: x'i = a a− ++( ) 2 . Ciò riconduce la situazione al caso di 4.3.7, con nuovi

valori ′ = ′ = +( ) =+ − + −b b b b 2 a + − a −( ) / 2 = a .

Nota 2 Secondo il principio di massima entropia, si può dimostrare che la densità di probabilità nel casoasimmetrico è

p X A X xi i i( ) = − −( )[ ]exp λ , con

A b b b b= ( ) + −( )[ ]− − + +

−exp expλ λ

1 e

λ λ λ= +( )[ ] − +( )[ ] + − + − − + +exp expb b b b b b1 .

Ciò conduce alla varianza

u x b b b bi2( ) = − −( )+ − + − λ ; per b b+ −> >, λ 0 , e per b b+ −< <, λ 0 .

4.3.9 In 4.3.7, a causa dell'assenza di informazioni specifiche sul possibile valore di Xiall'interno dei limiti per essa stimati a- ed a+, si poteva solo ipotizzare che tutti i valori entrogli estremi fossero equiprobabili per Xi e che la probabilità fosse nulla fuori dai limiti stessi.Sovente tali discontinuità a scalino in una distribuzione di probabilità hanno pocosignificato fisico. In molti casi è più realistico attendersi che i valori prossimi agli estremisiano meno probabili di quelli prossimi al centro. In tali casi è ragionevole sostituire alladistribuzione simmetrica rettangolare una distribuzione simmetrica trapezoidale avente ilati obliqui uguali (trapezio isoscele), la base maggiore di ampiezza a a a+ −−( ) = 2 e labase minore di ampiezza 2aβ, con 0 ≤ β ≤ 1. Per β → 1 questa distribuzione trapezoidaletende alla distribuzione rettangolare di 4.3.7, mentre per β = 0 essa è la distribuzionetriangolare (vedere 4.4.6 e figura 2b). Attribuendo ad Xi questa distribuzione triangolare

si ricava che il valore atteso di Xi è x a ai = +( )− + 2 e la varianza ad esso associata è

u x ai

2 2 21 6( ) = +( )β , [9a]



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che diventa per la distribuzione triangolare, per cui β = 0,

u x ai2 2 6( ) = , [9b]

Nota 1 Per una distribuzione normale avente valor medio µ e scarto tipo σ, l'intervallo µ ± 3σ comprendeapprossimativamente il 99,73 per cento della distribuzione. Pertanto, se gli estremi superiore edinferiore a+ ed a- definiscono limiti al 99,73 per cento invece che al 100 per cento, e se si può perXi ipotizzare una distribuzione approssimativamente normale, contrariamente alla situazione di

ignoranza totale circa Xi all'interno dei limiti, come in 4.3.7, allora u x ai2 2 9( ) = . A titolo di

confronto, la varianza di una distribuzione rettangolare simmetrica di semiampiezza a è a2 /3[equazione (7)] e quella di una distribuzione triangolare simmetrica di semiampiezza a è a2 /6[equazione (9b)]. I valori delle varianze delle tre distribuzioni sono sorprendentemente simili tenutoconto delle grandi differenze nelle quantità di informazione necessarie a giustificarle.

Nota 2 La distribuzione trapezoidale è equivalente alla convoluzione di due distribuzioni rettangolari [10],una di semiampiezza a1 uguale alla semiampiezza media del trapezio, a1 = a (1 + β)/2, l'altra disemiampiezza a2 uguale all'ampiezza media di una delle parti triangolari del trapezio

a2 = a (1 - β)/2. La varianza della distribuzione è u a a212

223 3= + . La distribuzione della

convoluzione può essere interpretata come una distribuzione rettangolare la cui ampiezza 2a1 haanch'essa un'incertezza rappresentata da una distribuzione rettangolare di ampiezza 2a2 emodella il fatto che gli estremi di una grandezza d'ingresso non sono noti esattamente. Tuttavia,

per a2 pari a ben il 30 per cento di a1, u è maggiore di a1 3 di meno del 5 per cento.

4.3.10 È importante non contare due volte le componenti dell'incertezza. Se una componentedovuta ad un certo effetto è ottenuta da una valutazione di categoria B, essa dovrebbeessere inclusa come componente indipendente nel calcolo dell'incertezza tipo compostasolamente nella misura in cui l'effetto non contribuisce alla variabilità osservata delleosservazioni. Ciò in quanto l'incertezza dovuta alla parte dell'effetto che contribuisce allavariabilità osservata è già inclusa nella componente d'incertezza ottenuta dall'analisistatistica delle osservazioni.

4.3.11 La discussione della valutazione di categoria B dell'incertezza tipo nei punti da 4.3.3 a4.3.9 vuole essere puramente indicativa. Peraltro le valutazioni dell'incertezzadovrebbero essere basate su elementi quantitativi nella massima misura possibile, comeevidenziato in 3.4.1 e 3.4.2.

4.4 Illustrazione grafica della valutazione dell'incertezza tipo

4.4.1 La figura 1 rappresenta la stima del valore di una grandezza d'ingresso Xi e la valutazionedell'incertezza della stima sulla base della distribuzione ignota dei possibili valori misuratidi Xi , o distribuzione di probabilità di Xi, campionata mediante osservazioni ripetute.

4.4.2 Nella figura 1a si ipotizza che la grandezza d'ingresso Xi sia una temperatura t e che la suadistribuzione ignota sia normale, con valore medio µt = 100 °C e scarto tipo σ = 1,5 °C. Lasua densità di probabilità (vedere C.2.14) è allora

p t t t( ) = − −( )[ ]1

22

2 2

σ πµ σexp .

Nota La definizione di una densità di probabilità p (z ) richiede che sia soddisfatta la relazione

p z z( ) =∫ d 1.



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figura 1 Illustrazione grafica della valutazione dell’incertezza tipo di una grandezza d’ingresso medianteosservazioni ripetute

p(t)/°C-1

t/°Ct -µ

t µ

σ t +µ σ0,0

0,1

0,2

0,3

0 95 100 105

Nu

me

ro d

ell

e o

ss

erv

az

ion

i

t/°C

0

2

1

4

6

3

5

7

0

a)

b)

95 100 105t -s ( t k) t +s ( t k)

t -s ( t )t

t +s ( t )

4.4.3 La figura 1b mostra un istogramma di n = 20 osservazioni ripetute tk della temperatura tche si ipotizzano estratte casualmente dalla distribuzione della figura 1a. Per ottenerel'istogramma, le 20 osservazioni o campioni, i cui valori sono riportati nel prospetto 1,sono raggruppate in intervalli di ampiezza 1 °C. (Naturalmente, l'analisi statistica dei datinon richiede la preparazione di un istogramma).



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prospetto 1 Venti osservazioni ripetute di temperatura t raggruppate in intervalli di 1 °C

Intervallo t1 ≤ t < t 2 Temperatura

t1/°C t2/°C t /°C

94,5 95,5 -

95,5 96,5 -

96,5 97,5 96,90

97,5 98,5 98,18; 98,25

98,5 99,5 98,61; 99,03; 99,49

99,5 100,5 99,56; 99,74; 99,89; 100,07; 100,33; 100,42

100,5 101,5 100,68; 100,95; 101,11; 101,20

101,5 102,5 101,57; 101,84; 102,36

102,5 103,5 102,72

103,5 104,5 -

104,5 105,5 -

La media aritmetica t delle n = 20 osservazioni, calcolata mediante l'equazione (3), è t =100,145 °C ≈ 100,14 °C ed è considerata la miglior stima del valor medio µt di t basata suidati disponibili. Lo scarto tipo sperimentale s(tk), calcolato mediante l'equazione (4), è

s(tk) = 1,489 °C ≈ 1,49 °C, e lo scarto tipo sperimentale della media s( t ), calcolato con

l'equazione (5), che è l'incertezza tipo u( t ) della media t , è u( t ) = s( t ) = s(tk)/ 20 =0,333 °C ≈ 0,33 °C. (Per calcoli successivi è bene conservare tutte le cifre decimali).

Nota Sebbene i dati del prospetto 1 siano plausibili, alla luce dell'uso sempre più diffuso di termometrielettronici digitali ad alta risoluzione, essi hanno propositi illustrativi e non devono esserenecessariamente interpretati come rappresentativi di una misura reale.

4.4.4 La figura 2 rappresenta la stima del valore di una grandezza d'ingresso Xi e la valutazionedell'incertezza della stima a partire da una distribuzione iniziale dei possibili valori misuratidi Xi o distribuzione di probabilità di Xi basata su tutte le informazioni disponibili in merito.Per entrambi i casi esemplificati, la grandezza d'ingresso è ancora una temperatura t.

4.4.5 Nella figura 2a si illustra il caso in cui l'informazione disponibile sulla grandezza d'ingressot sia scarsa, per cui l'unica ipotesi possibile è che t sia descritta da una distribuzione diprobabilità iniziale rettangolare simmetrica avente estremo inferiore a- = 96 °C, estremo

superiore a+ = 104 °C e dunque semiampiezza a = a a+ −−( ) =2 4 °C (vedere 4.3.7). Ladensità di probabilità di t è allora

p(t) = 1/2a, a- ≤ t ≤ a+

p(t) = 0 , altrimenti

Come indicato in 4.3.7, la miglior stima di t è il suo valor medio µt a a= +( )+ − 2 = 100 °C,

come discende da C.3.1. L'incertezza tipo di questa stima è u atµ( ) = ≈3 2,3 °C, comediscende da C.3.2 [vedere equazione (7)].



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figura 2 Illustrazione grafica della valutazione dell’incertezza tipo di una grandezza d’ingresso mediante unadistribuzione iniziale

p(t)/°C-1

p(t)/°C-1

t/°C

t µ

t µ

t -a/ 3µ t +a/ 3µ

t -a/ 6µ t +a/ 6µ

0,000

0,025

0,050

0,075

0,100

0,125

0 95

a- a+

a- a+

100 105

t/°C

0,000

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

0

a)

b)

95 100 105

1/a

1/2a

aa

aa

4.4.6 Nella figura 2b si illustra il caso in cui l'informazione disponibile su t sia meno limitata e chet possa essere descritta da una distribuzione di probabilità iniziale triangolare simmetricaavente lo stesso estremo inferiore a- = 96 °C, lo stesso estremo superiore a+ = 104 °C e



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pertanto la stessa semiampiezza a = a a+ −−( ) =2 4 °C del caso precedente 4.4.5(vedere 4.3.9). La densità di probabilità di t è allora

p t t a a a t a a

p t a t a a a t a

p t

( ) = −( ) ≤ ≤ +( )( ) = −( ) +( ) ≤ ≤

( ) =

− − + −

+ + − +

2

2

2

2

0

,

,

, altrimenti

Come indicato in 4.3.9, il valore atteso di t è µt a a= +( )+ − 2 = 100 °C, come discende da

C.3.1. L'incertezza tipo di questa stima è u atµ( ) = 6 ≈ 1,6 °C, come discende da C.3.2[vedere equazione (9b)].

Questo valore, u tµ( ) =1,6 °C, può essere confrontato con u tµ( ) = 2,3 °C ottenuto in4.4.5 da una distribuzione rettangolare della stessa ampiezza di 8 °C; con σ = 1,5 °C delladistribuzione normale della figura 1a la cui ampiezza tra - 2,58σ e + 2,58σ, comprendenteil 99 per cento della distribuzione, è circa di 8 °C; infine, con u( t ) = 0,33 °C ottenuta in4.4.3 da 20 osservazioni per cui si è ipotizzata l'estrazione a caso dalla stessadistribuzione normale.

5 DETERMINAZIONE DELL'INCERTEZZA TIPO COMPOSTA

5.1 Grandezze d'ingresso non correlateQuesta parte tratta il caso di grandezze d'ingresso tutte indipendenti (C.3.7). Il caso didue o più grandezze d'ingresso in relazione mutua, ovvero interdipendenti o correlate(C.2.8) è discusso in 5.2.

5.1.1 L'incertezza tipo di y, che è la stima del misurando Y e quindi il risultato della misurazione,è ottenuta mediante composizione opportuna delle incertezze tipo delle stimed'ingresso x1, x2, . . . , xN (vedere 4.1). Questa incertezza tipo composta della stima èdenominata uc (y).

Nota Per ragioni simili a quelle fornite nella nota in 4.3.1, si usano ovunque i simboli uc(y) ed u yc2( ) .

5.1.2 L'incertezza tipo composta uc(y) è la radice quadrata positiva della varianza composta

u yc2( ) , a sua volta data da

u yfx

u xi

ii

N

c2

22

1

( ) =

( )=∑ ∂

∂, [10]

dove f è la funzione specificata nell'equazione (1). Ciascuna u(xi) è un'incertezza tipovalutata come descritto in 4.2 (valutazione di categoria A), od a 4.3 (valutazione dicategoria B). L'incertezza tipo composta uc(y) è uno scarto tipo stimato e caratterizza ladispersione dei valori ragionevolmente attribuibili al misurando Y (vedere 2.2.3).L'equazione (10) e la sua corrispondente per grandezze d'ingresso correlate,l'equazione (13), ambedue basate su di una approssimazione di Y f X X XN= ( )1 2, , . . . , al prim'ordine di una serie di Taylor, esprimono quella che nella presente guida vienechiamata la legge di propagazione dell'incertezza (vedere E.3.1 ed E.3.2).

Nota Quando la non linearità di f è significativa, si devono includere nell'espressione di u yc2( ) , cioè

nell'equazione (10), anche termini di ordine superiore. Quando la distribuzione di ciascuna Xi èsimmetrica intorno al valor medio, i principali termini dell'ordine successivo da aggiungereall'equazione (10) sono



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12

22

3

211

2 2∂∂ ∂

∂∂

∂∂ ∂

fx x

fx

f

x xu x u x

i j i i jj

N

i

N

i j

+

( ) ( )==∑∑ .

Vedere H.1 per un esempio di una situazione in cui è necessario considerare i contributi ad u yc2( )

di ordine superiore.

5.1.3 Le derivate parziali ∂ ∂f x i sono uguali alle ∂ ∂f X i valutate per Xi = xi (vedere nota 1seguente). Queste derivate, sovente chiamate coefficienti di sensibilità, descrivonocome la stima d'uscita y varia al variare dei valori delle stime d'ingresso x1, x2, . . . , xN. Inparticolare, la variazione in y prodotta da una piccola variazione ∆xi nella stima d'ingressoxi, è data da ∆ ∆y f x xi i i( ) = ( )( )∂ ∂ . Se questa variazione è generata dall'incertezza tipo

della stima xi, la variazione corrispondente in y è ∂ ∂f x u xi i( ) ( ) . La varianza composta

u yc2( ) può pertanto essere vista come una somma di termini, ognuno dei quali

rappresenta la varianza stimata associata alla stima d'uscita y generata dalla varianzastimata associata ad ogni stima d'ingresso xi. Ciò suggerisce di scrivere l'equazione (10)come

u y c u x u yi ii

N

ii

N

c2 2

1

2

1( ) = ( )[ ] ≡ ( )

= =∑ ∑ [11a]

dove

c f x u y c u xi i i i i≡ ( ) = ( )∂ ∂ , [11b]

Nota 1 A rigore, le derivate parziali sono ∂ ∂ ∂ ∂f x f Xi i= valutate nei valori attesi delle Xi . Tuttavia inpratica le derivate parziali sono stimate da

∂∂

∂∂

fx

fX x x xi i

N

=1 2, ,...,

Nota 2 L'incertezza tipo composta uc(y) può essere calcolata numericamente sostituendo c u xi i( )nell'equazione (11a) con

Z f x x u x x f x x u x xi i i N i i N= + ( )( ) − − ( )( )[ ]12 1 1, . . , , . . , , . . , , . . ,

cioè ui (y) viene valutata numericamente calcolando la variazione determinata su y da variazioni di

xi pari a +u(xi ) e -u(x i). Come valore di ui (y) viene preso Zi come valore di ci , il coefficiente disensibilità corrispondente, viene preso Z i/u(xi ).

Esempio

Nell'esempio di 4.1.1, usando per semplicità lo stesso simbolo tanto per la grandezzaquanto per la sua stima,

c P V V R t t P V1 0 02 1 2≡ = + −( )[ ] =∂ ∂ α /

c P R V R t t P R2 0

202

0 01≡ = − + −( )[ ] = −∂ ∂ α /

c P V t t R t t P t t t t3

20 0 0

20 01 1≡ = − −( ) + −( )[ ] = − −( ) + −( )[ ]∂ ∂α α α

c P t V R t t P t t4

20 0

201 1≡ = − + −( )[ ] = − + −( )[ ]∂ ∂ αα αα



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e

u PPV

u VPR

u RP

uPt

u t

c u V c u R c u c u t u

22

2

0

22

0

22

22

12

2 02

32

42

( ) =

( ) +

( ) +

( ) +

( ) =

( )[ ] + ( )[ ] + ( )[ ] + ( )[ ] =

∂∂

∂∂

∂∂α

∂∂

α

α 112

22

32

42P u P u P u P( ) + ( ) + ( ) + ( )

5.1.4 Invece di essere calcolati dalla funzione f, i coefficienti di sensibilità sono talvoltadeterminati sperimentalmente: si misura la variazione prodotta in Y da una variazione inuna specifica Xi, mantenendo costanti le altre grandezze d'ingresso. In questo caso laconoscenza della funzione f (o di una sua parte quando solo alcuni coefficienti disensibilità vengono così determinati) è corrispondentemente limitata al primo termine diuno sviluppo empirico in serie di Taylor basato sui coefficienti di sensibilità misurati.

5.1.5 Se l'equazione (1) per il misurando viene sviluppata intorno ai valori nominali Xi,0 dellegrandezze d'ingresso Xi, si ottiene, al prim'ordine (approssimazione di norma sufficiente),

Y Y c c cN N= + + + +0 1 1 2 2δ δ δ... , in cui Y f X X XN0 10 2 0 0= ( ), , ,, ,..., , c f Xi i= ( )∂ ∂ , valutati a

Xi = Xi,0 e di = Xi - Xi,0. Pertanto, ai fini dell'analisi dell'incertezza, il misurando è solitamenteapprossimato mediante una funzione lineare delle sue variabili trasformando le suegrandezze d'ingresso da Xi a di (vedere E.3.1).

Esempio

Dall'esempio 2 di 4.3.7, la stima V del valore del misurando è V V V= + ∆ , doveV = 0,928 571 V, u(V ) = 12 µV, la correzione additiva ∆V = 0 e u(∆V ) = 8,7 µV. Poiché

∂ ∂V V = 1 e ∂ ∂V V∆( ) = 1, la varianza composta associata a V è data da

u V u V u Vc2 2 2( ) = ( ) + ( ) =∆ (12 µV)2 + (8,7 µV)2 = 219 × 10-12 V2

e l'incertezza tipo composta è u Vc ( ) = 15 × µV, corrispondente ad un'incertezza tipo

composta relativa u V Vc ( ) di 16 × 10-6 (vedere 5.1.6). Questo è un esempio del caso in

cui il misurando già è una funzione lineare delle grandezze da cui dipende, concoefficienti ci = + 1. Dall'equazione (10) discende che se Y c X c X c XN N= + + +1 1 2 2 ... e

se le costanti ci = + 1 o - 1, allora u y u xiiN

c2 2

1( ) = ( )=∑ .

5.1.6 Se Y è della formaY cX X Xp pNpN= 1 2

1 2 ... e gli esponenti pi sono numeri noti positivi onegativi aventi incertezza trascurabile, la varianza composta, data dall'equazione (10),può essere espressa come

u y y p u x xi i ii

N

c ( )[ ] = ( )[ ]=∑2 2

1

[12]

Questa equazione è della stessa forma della (11a), ma qui la varianza composta u yc2( ) è

espressa come una varianza relativa composta u y yc ( )[ ]2 e la varianza stimata u xi

2( )associata a ciascuna stima d'ingresso è espressa come una varianza relativa stimata

u x xi i( )[ ]2. [L'incertezza tipo composta relativa è u y yc ( ) e la incertezza tipo relativa di

ciascuna stima d'ingresso è u x xi i( ) , y ≠ 0 e xi ≠ 0].



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Nota 1 Quando Y ha la forma suddetta, è facile trasformarla in una funzione lineare di variabili (vedere

5.1.5) ponendo X Xi i i= +( ),0 1 δ , in quanto così facendo vale la relazione approssimata

Y Y Y pi ii

N−( ) = =∑0 0 1δ . D'altra parte la trasformazione logaritmica Z Y= ln e W Xi i= ln porta

ad una linearizzazione esatta in termini delle nuove variabili: Z c p Wi iiN= + =∑ln

1.

Nota 2 Se ogni pi vale + 1 o - 1, l'equazione (12) diventa u y y u x xi iiN

c ( )[ ] = ( )[ ]=∑2 2

1, che mostra

come in questo caso speciale la varianza composta relativa associata alla stima y è ugualesemplicemente alla somma delle varianze stimate relative associate alle stime d'ingresso xi .

5.2 Grandezze d'ingresso correlate

5.2.1 L'equazione (10) e quelle che da essa discendono, come la (11) e la (12), sono validesolamente se le grandezze d'ingresso Xi sono indipendenti o scorrelate (le variabilicasuali, non le grandezze fisiche, che vengono considerate invarianti - vedere 4.1.1,nota 1). Se alcune Xi sono correlate in misura significativa, occorre tenere conto dellecorrelazioni.

5.2.2 Quando le grandezze d'ingresso sono correlate, l'espressione appropriata per la varianza

composta u yc2( ) associata al risultato di una misurazione è

u yfx

fx

u x xfx

u xfx

fx

u x xi j

i jj

N

i

N

ii

i

N

i ji j

j i

N

i

N

c2

11

22

1 11

1

2( ) = ( ) =

( ) + ( )== = = +=

−

∑∑ ∑ ∑∑∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

, , [13]

dove xi e xj sono le stime di Xi e Xj ed u x x u x xi j j i, ,( ) = ( ) è la covarianza stimata associata

a xi e xj. Il grado di correlazione tra xi e xj è caratterizzato dal coefficiente di correlazionestimato (C.3.6)

r x xu x x

u x u xi j

i j

i j

,,( ) =

( )( ) ( ) [14]

dove r x x r x xi j j i, ,( ) = ( ), e − ≤ ( ) ≤ +1 1r x xi j, . Se le stime xi e xj sono indipendenti, allora

r x xi j,( ) = 0 , ed una variazione in una delle due non comporta che ci si aspetti una

variazione nell'altra. (Vedere C.2.8, C.3.6 e C.3.7 per un approfondimento.)Il termine di covarianza dell'equazione (13) può essere scritto in funzione dei coefficientidi correlazione, di interpretazione più facile rispetto alle covarianze, come

211

1 ∂∂

∂∂

fx

fx

u x u x r x xi j

i jj i

N

i

N

i j( ) ( ) ( )= +=

−

∑∑ , [15]

L'equazione (13), tenendo conto della (11b), diventa allora

u y c u x c c u x u x r x xi ii

N

i j i j i jj i

N

i

N

c2 2 2

1 11

1

2( ) = ( ) + ( ) ( ) ( )= = +=

−

∑ ∑∑ , . [16]

Nota 1 Nel caso specialissimo che tutte le stime d'ingresso siano correlate con coefficienti di correlazione

r x xi j,( ) = +1, l'equazione (16) si riduce a

u y c u xfx

u xi ii

N

ii

i

N

c2

1

2

1

2

( ) = ( )

= ( )

= =

∑ ∑ ∂∂

L'incertezza tipo composta uc (y) è allora semplicemente una somma lineare di termini cherappresentano la variazione della stima d'uscita y generata dall'incertezza tipo di ciascuna stimad'ingresso x i (vedere 5.1.3). [Questa somma lineare non deve essere confusa con la leggegenerale di propagazione dell'errore, benché abbia una forma simile; le incertezze tipo non sonoerrori (vedere E.3.2)].



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Esempio

Dieci resistori, ognuno avente resistenza nominale Ri = 1 000 Ω, vengono tarati, conincertezza di taratura trascurabile, rispetto allo stesso resistore campione da 1 000 Ω, Rs,

caratterizzato da un'incertezza tipo u(Rs) = 100 mΩ, come dichiarato dal certificato ditaratura. I resistori sono collegati in serie mediante conduttori aventi resistenzatrascurabile in modo da ottenere una resistenza di riferimento Rrif di valore nominale

10 kΩ. Dunque R f R Ri iirif = ( ) = =∑ 110

. Poiché r x x r R Ri j i j, ,( ) = ( ) = +1 per ogni coppia di

resistenze (vedere F.1.2.3, esempio 2), è appropriato l'uso dell'equazione descritta nellanota 1. Poiché per ogni resistore ∂ ∂ ∂ ∂f x R Ri i= =rif 1, e u x u R u Ri i( ) = ( ) = ( )s (vedereF.1.2.3, esempio 2), l'equazione dà per l'incertezza tipo composta di R rif,

u R u Ric rif s( ) = ( )=∑ 1

10 = 10 × (100 mΩ) = 1 Ω. Il risultato u R u R

ic rif s( ) = ( )

=∑ 2

1

1012

= 0,32 Ω

ottenuto dall'equazione (10) è scorretto poiché non tiene conto del fatto che tutti i valoridi taratura dei dieci resistori sono correlati.

Nota 2 Le varianze stimate u xi2( ) e le covarianze stimate u x xi j,( ) possono essere considerate

elementi di una matrice di covarianza con elementi uij. Gli elementi diagonali uii della matrice sono

le varianze u xi2( ) , mentre gli elementi non diagonali u ij (i≠ j) sono le covarianze

u x x u x xi j j i, ,( ) = ( ). Se due stime d'ingresso sono scorrelate, la loro covarianza e quindi icorrispondenti elementi uij e uji della matrice di covarianza sono nulli. Se le stime d'ingresso sonotutte scorrelate, tutti gli elementi non diagonali sono nulli e la matrice di covarianza è diagonale(vedere anche C.3.5).

Nota 3 Ai fini della valutazione numerica, l'equazione (16) può essere scritta come

u y Z Z r x xi j i jj

N

i

N

c2

11( ) = ( )

==∑∑ ,

dove Z i è dato in 5.1.3, nota 2.

Nota 4 Se le Xi hanno la forma speciale descritta in 5.1.6 e sono correlate, allora al secondo membrodell'equazione (12) devono essere aggiunti i termini

211

1

p u x x p u x x r x xi i i j j j i jj i

N

i

N

( )[ ] ( )[ ] ( )= +=

−

∑∑ ,

5.2.3 Si considerino due medie aritmetiche q ed r che stimano i valori attesi µq e µr di due

grandezze q ed r che variano in modo casuale, e siano q ed r calcolati da n coppieindipendenti di osservazioni simultanee di q ed r, effettuate nelle stesse condizioni dimisurazione (vedere B.2.15). La covarianza (vedere C.3.4) di q ed r viene allora stimatada

s q rn n

q q r rk kk

n

,( )

( ) =−

−( ) −( )=

∑11 1

[17]

dove qk ed rk sono le singole osservazioni delle grandezze q ed r, e q ed r sono calcolatidalle osservazioni mediante l'equazione (3). Se le osservazioni sono scorrelate, ci siaspetta che la covarianza calcolata sia prossima a zero.Pertanto la covarianza stimata di due grandezze d'ingresso Xi e Xj correlate, stimate dalle

medie X Xi j e , a loro volta determinate da coppie indipendenti di osservazioni

simultanee ripetute, è data da u x x s X Xi j i j,( ) = ( ), , con s X Xi j,( ) calcolato mediante

l'equazione (17). Questa applicazione dell'equazione (17) rappresenta una valutazione di



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categoria A della covarianza. Il coefficiente di correlazione stimato di X Xi j e è ottenutodall'equazione (14):

r x x r X X s X X s X s Xi j i j i j i j,( ) = ( ) = ( ) ( ) ( ), ,

Nota In H.2 ed H.4 si forniscono esempi in cui è necessario fare uso delle covarianze, calcolatemediante l'equazione (17).

5.2.4 Vi può essere correlazione significativa tra due grandezze d'ingresso se nella lorodeterminazione vengono usati o lo stesso strumento di misurazione, o lo stessocampione materiale, o lo stesso dato di riferimento. Per esempio, se un certo termometroviene usato per determinare una correzione di temperatura necessaria per la stima delvalore della grandezza d'ingresso Xi e lo stesso termometro viene usato per determinareun'analoga correzione di temperatura richiesta per la stima della grandezza d'ingresso Xj,

le due grandezze d'ingresso potrebbero risultare correlate in misura significativa.Tuttavia, se Xi e Xj in questo esempio vengono ridefinite in modo da essere le grandezzenon corrette, e le grandezze che definiscono la curva di taratura del termometro vengonoincluse come grandezze d'ingresso aggiuntive con le loro incertezze tipo indipendenti, lacorrelazione tra Xi e Xj viene rimossa. (Vedere F.1.2.3 e F.1.2.4 per un'ulterioreapprofondimento).

5.2.5 Le correlazioni tra grandezze d'ingresso, se esistenti e significative, non possono essereignorate. Le covarianze associate devono essere valutate sperimentalmente, sepossibile, facendo variare le grandezze d'ingresso correlate (vedere C.3.6, nota 3),oppure usando l'insieme di informazioni disponibili sulla variabilità correlata dellegrandezze in questione (valutazione di categoria B della covarianza). Quando si devestimare il grado di correlazione tra grandezze d'ingresso originato dagli effetti digrandezze di comune influenza, come temperatura ambiente, pressione atmosferica edumidità, è necessaria grande capacità di analisi, basata sull'esperienza e sulla culturascientifica generale (vedere 4.3.1 e 4.3.2). Fortunatamente, in molti casi, gli effetti diqueste influenze hanno dipendenza reciproca trascurabile, cosicché le grandezzed'ingresso interessate possono essere ritenute pressoché scorrelate. Tuttavia, se ciònon è possibile, le correlazioni stesse possono essere evitate se le grandezzed'influenza comuni sono introdotte come grandezze d'ingresso indipendenti aggiuntive,come indicato in 5.2.4.

6 DETERMINAZIONE DELL'INCERTEZZA ESTESA

6.1 Introduzione

6.1.1 La raccomandazione INC-1 (1980) del gruppo di lavoro sull'espressione delle incertezze,su cui è basata la presente guida (vedere introduzione), e le raccomandazioni 1 (CI-1981)ed 1 (CI-1986) del CIPM, che approvano e riaffermano la INC-1 (1980) (vedere A.2 edA.3), raccomandano l'incertezza tipo composta uc(y) quale parametro da usarsinell'espressione quantitativa dell'incertezza del risultato di una misurazione. In effetti,nella seconda delle sue raccomandazioni, il CIPM richiede che quella che viene oradenominata incertezza tipo composta uc(y) sia usata "da tutti coloro i quali partecipano aconfronti internazionali o altre attività svolte sotto gli auspici del CIPM e dei Comitaticonsultivi per esprimerne i risultati."

6.1.2 Sebbene uc(y) possa universalmente essere usata per esprimere l'incertezza del risultatodi una misurazione, in talune applicazioni commerciali, industriali e normative, e là dovesono coinvolte la salute e la sicurezza pubblica, è sovente necessario dare unavalutazione quantitativa dell'incertezza che definisca un intervallo intorno al risultato dellamisurazione che ci si aspetti comprendere una gran parte della distribuzione di valori chepossono essere ragionevolmente attribuiti al misurando. L'esistenza di questa esigenza



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fu riconosciuta dal gruppo di lavoro e portò al paragrafo 5 della raccomandazione INC-1(1980). Essa è anche adombrata nella Raccomandazione 1 (CI-1986) del CIPM.

6.2 Incertezza estesa

6.2.1 La valutazione quantitativa supplementare dell'incertezza che soddisfa il requisito difornire un intervallo del tipo indicato in 6.1.2 è denominata incertezza estesa ed è indicatacon U. L'incertezza estesa U viene ottenuta moltiplicando l'incertezza tipo composta uc(y)per un fattore di copertura k:

U ku y= c( ) [18]

Il risultato di una misurazione è allora espresso in modo appropriato come Y y U= ± , nelsenso che la miglior stima del valore attribuibile al misurando Y è y, e che ci si aspetta chel'intervallo da y U− ad y U+ comprenda una gran parte della distribuzione di valoriragionevolmente attribuibili ad Y . Un intervallo siffatto è anche espresso comey U Y y U− ≤ ≤ + .

6.2.2 Le espressioni intervallo di fiducia (C.2.27, C.2.28) e livello di fiducia (C.2.29)hanno in statistica definizioni specifiche e sono applicabili all'intervallo definito da Usolamente quando siano soddisfatte certe condizioni, tra cui quella che tutte lecomponenti dell'incertezza che contribuiscono ad uc(y) siano ottenute mediantevalutazioni di categoria A. Tuttavia nella presente guida il termine "fiducia" non vieneusato per modificare il termine intervallo quando è in relazione con l’intervallo definito daU; e il termine "intervallo di fiducia" non viene usato in relazione a tale intervallo, mapiuttosto a "livello di fiducia". Più specificamente, U viene interpretata come definente,intorno al risultato della misurazione, un intervallo che comprende una gran parte p delladistribuzione di probabilità caratterizzata dal risultato stesso e dalla sua incertezza tipocomposta, e p è la probabilità di copertura o livello di fiducia dell'intervallo.

6.2.3 Ogniqualvolta sia possibile, si dovrebbe stimare e dichiarare il livello di fiducia p associatocon l'intervallo definito da U. Si deve riconoscere che moltiplicare uc(y) per una costantenon aggiunge informazione ma semplicemente presenta l'informazione già disponibile informa diversa. Tuttavia, ci si deve anche rendere conto del fatto che nella maggior partedei casi il livello di fiducia p (soprattutto per valori di p prossimi ad 1) è incerto, non solo acausa della limitata conoscenza della distribuzione di probabilità caratterizzata da y e dauc(y) (particolarmente alle estremità), ma anche a causa dell'incertezza di uc(y) stessa(vedere nota 2 in 2.3.5 e 6.3.2 e appendice G, specialmente G.6.6).

Nota Per quanto riguarda i modi preferibili per dichiarare il risultato di una misurazione quando lavalutazione quantitativa dell'incertezza è uc(y) od U , vedere 7.2.2 e 7.2.4 rispettivamente.

6.3 Scelta del fattore di copertura

6.3.1 Il valore del fattore di copertura k viene scelto sulla base del livello di fiducia richiestoall'intervallo da y U− ad y U+ . In generale k è nel campo tra 2 e 3. Tuttavia, perapplicazioni speciali k può essere esterno a questo campo. La scelta del valoreappropriato di k può essere agevolata dall'esperienza e dalla conoscenza approfonditadelle applicazioni alle quali il risultato della misurazione è destinato.

Nota Ci si imbatte talvolta nel caso che una correzione nota b per un effetto sistematico non sia stataapplicata al risultato dichiarato, e che si sia invece tentato di tenere conto dell'effetto allargando"l'incertezza" assegnata al risultato. Questa pratica dovrebbe essere evitata; le correzioni pereffetti sistematici noti e significativi possono non essere applicate al risultato della misurazione soloin casi specialissimi (vedere F.2.4.5 per la trattazione di un caso specifico). La valutazionedell'incertezza del risultato di una misurazione non deve essere confusa con l'assegnazione di unlimite di sicurezza ad una qualche grandezza.

6.3.2 Idealmente, si vorrebbe poter scegliere un valore specifico del fattore di copertura chefornisca un intervallo Y y U y ku y= ± = ± ( )c corrispondente ad un particolare livello difiducia p, come 95 o 99 per cento; parimenti, per un valore dato di k, si vorrebbe poter



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stabilire in modo inequivocabile il livello di fiducia associato con l'intervallo. Tuttavia, ciònon è facile in pratica in quanto richiede la conoscenza approfondita della distribuzione diprobabilità caratterizzata dal risultato della misurazione y e dalla sua incertezza tipocomposta uc(y). Questi parametri, sebbene di importanza cruciale, sono di per séinsufficienti a stabilire intervalli aventi livelli di fiducia esattamente noti.

6.3.3 La raccomandazione INC-1 (1980) non specifica come debba essere stabilita la relazionetra k e p. Questo problema è discusso nell'appendice G, ed in G.4 si presenta un metodopreferenziale per la sua soluzione approssimata, schematizzato in G.6.4. Tuttavia unmetodo più semplice, discusso in G.6.6, è spesso adeguato in situazioni sperimentali incui la distribuzione di probabilità caratterizzata da y e da uc(y) è approssimativamentenormale ed i gradi di libertà effettivi sono sufficientemente elevati. In questo caso,frequente nella pratica, si può ritenere che k = 2 fornisca un intervallo avente un livello difiducia approssimativamente del 95 per cento, e che k = 3 fornisca un intervallo avente unlivello di fiducia approssimativamente del 99 per cento.

Nota Un metodo per stimare il numero effettivo di gradi di libertà di uc(y) è riportato in G.4. Si può allorautilizzare il prospetto G2 dell'appendice G come ausilio per decidere se questa soluzione èadeguata per una particolare misurazione (vedere G.6.6).

7 DICHIARAZIONE DELL'INCERTEZZA

7.1 Criteri generali

7.1.1 In generale, quanto più si risale la catena gerarchica delle misurazioni, tanto maggiorisono i dettagli richiesti circa il modo in cui il risultato di una misurazione e la sua incertezzasono stati ottenuti. Tuttavia, tutte le informazioni necessarie alla rivalutazione a posterioridella misurazione devono essere disponibili per chi ne abbia necessità. Ciò si deveverificare a qualunque livello della gerarchia delle misurazioni, comprendendo le attivitàcommerciali e quelle finalizzate alla loro disciplina, l'attività ingegneristica in campoindustriale, le strutture di taratura dei campioni di livello più basso, la ricerca e lo sviluppoindustriali, la ricerca universitaria, i laboratori di taratura dei campioni di riferimentoindustriali, per finire con i laboratori metrologici nazionali ed il BIPM. La differenzafondamentale è che ai livelli più bassi la maggior parte delle informazioni necessariepossono essere rese disponibili sotto forma di rapporti di taratura e di sistemi di prova, dispecifiche di prova, di certificati di taratura e di prova, di manuali di istruzioni, di normeinternazionali e nazionali e di regolamenti locali.

7.1.2 Quando i dettagli di una misurazione, comprendenti la valutazione dell'incertezza delrisultato, sono forniti facendo riferimento a documenti pubblicati, come è sovente il casoquando si riportano i risultati di taratura in un certificato, è imperativo che questepubblicazioni siano tenute aggiornate, in modo che siano compatibili con la procedura dimisurazione del momento.

7.1.3 Ogni giorno, nell'industria come nel commercio, si fanno numerose misurazioni prive diriferimenti all'incertezza. Tuttavia, molte di esse vengono effettuate mediante strumentisoggetti a taratura periodica o controllo legale. Se si sa che gli strumenti usati sonoconformi alle loro specifiche od ai documenti normativi pertinenti, l'incertezza della loroindicazione può essere dedotta da queste specifiche o da questi documenti normativi.

7.1.4 Sebbene nella pratica la quantità di informazione necessaria a documentare il risultato diuna misurazione dipenda dall'applicazione cui questo è destinato, il principiofondamentale su quanto è richiesto rimane inalterato: allorquando si riporta il risultato diuna misurazione e la sua incertezza, è preferibile esagerare piuttosto che risparmiaresulle informazioni fornite. Per esempio, si dovrebbea) descrivere chiaramente i metodi usati per calcolare il risultato della misurazione e la

sua incertezza dalle osservazioni sperimentali e dai dati d'ingresso;



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b) elencare tutte le componenti di incertezza e documentare in modo esauriente comeesse sono state valutate;

c) presentare l'analisi dei dati in modo tale che ogni passaggio importante possa essereagevolmente seguito e che il calcolo del risultato riportato possa essere ripetuto inmodo autonomo, se necessario;

d) fornire le correzioni e le costanti utilizzate nell'analisi e le loro fonti.Un modo di verificare l'elenco qui prodotto è quello di chiedersi "ho fornito informazionisufficienti in modo sufficientemente chiaro da permettere di aggiornare il mio risultatoqualora in futuro si rendano disponibili nuove informazioni o nuovi dati?"

7.2 Istruzioni specifiche

7.2.1 Quando si riferisce il risultato di una misurazione, e l'incertezza è espressa mediantel'incertezza tipo composta uc(y), si deve

a) fornire una descrizione completa di come è definito il misurando Y;b) fornire la stima y del misurando Y e la sua incertezza tipo composta uc(y); si devono

sempre definire le unità di misura di y e di uc(y);

c) quando opportuno, includere l'incertezza tipo composta relativa u y yc ( ) , y ≠ 0;

d) fornire le informazioni specificate in 7.2.7 o fare riferimento ad un documentopubblicato che le contenga.

Se sono ritenute utili ai potenziali utenti del risultato della misurazione, per esempio perun futuro calcolo di fattori di copertura o per aiutare la comprensione della misurazione, sipossono indicare le seguenti informazioni- i gradi di libertà effettivi stimati νeff (vedere G.4);

- le incertezze tipo composte di categoria A e BucA y( ) e ucB y( ) ed i loro gradi di libertàeffettivi stimati νeffA e νeffB (vedere G.4.1, nota 3).

7.2.2 Quando la valutazione quantitativa dell'incertezza è uc(y), è preferibile dichiarare ilrisultato numerico della misurazione in uno dei quattro modi seguenti, così da evitareinterpretazioni errate. (La grandezza di cui si riporta il valore è in questo caso un campionedi massa avente valore nominale 100 g e massa ms; le parole in parentesi possono perbrevità essere omesse se uc è definita in altro luogo del documento che riporta ilrisultato).1) "ms = 100,021 47 g con (incertezza tipo composta) uc = 0,35 mg."

2) "ms = 100,021 47(35) g, dove il numero entro parentesi è il valore numerico di(dell'incertezza tipo composta) uc riferita alle corrispondenti ultime cifre del risultatoriportato."

3) "ms = 100,021 47(0,000 35) g, dove il numero entro parentesi è il valore numerico diuc (incertezza tipo composta) espressa nell'unità di misura del risultato riportato."

4) "ms = (100,021 47 ± 0,000 35) g, dove il numero che segue il simbolo ± è il valorenumerico di uc (incertezza tipo composta) e non rappresenta un intervallo di fiducia."

Nota Si deve evitare per quanto possibile la formulazione mediante il simbolo ± in quanto questa eratradizionalmente adottata per indicare un intervallo corrispondente ad un livello di fiducia elevato, epotrebbero sorgere confusioni con l'incertezza estesa (vedere 7.2.4). Inoltre, benché lo scopo

dell'avvertimento in 4) sia proprio quello di evitare tale confusione, la scrittura Y y u y= ± ( )cpotrebbe ancora essere fraintesa lasciando intendere, specie se si omette l'avvertimento, che si

faccia riferimento ad una incertezza estesa con k = 1 e che l'intervallo y u y Y y u y− ( ) ≤ ≤ + ( )c cabbia un livello di fiducia p specifico, nella fattispecie quello associato con la distribuzione normale(vedere G.1.3). Come indicato in 6.3.2 e nell'appendice G, l'interpretazione di uc(y) in questosenso è di regola difficile da giustificarsi.

7.2.3 Quando si riferisce il risultato di una misurazione, e quando la valutazione quantitativadell'incertezza è l'incertezza estesa U = kuc(y), si deve



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a) fornire una descrizione completa di come è definito il misurando Y;

b) dichiarare il risultato della misurazione nella forma Y y U= ± e fornire altresì le unità dimisura di y ed U ;

c) includere, quando opportuno, l'incertezza estesa relativa U y y, ≠ 0;

d) fornire il valore di k usato per ottenere U [o, per maggiore comodità dell'utente, daresia k sia uc(y)];

e) indicare il livello di fiducia approssimato associato all'intervallo y U± e specificare inquale modo esso è stato ottenuto;

f) fornire le informazioni specificate in 7.2.7 o fare riferimento ad un documentopubblicato che le contenga.

7.2.4 Quando la valutazione quantitativa dell'incertezza è U, è preferibile, per amore dichiarezza, indicare il risultato numerico della misurazione secondo l'esempio seguente.(Le parole entro parentesi possono essere omesse per brevità se U, uc e k sono definitiin altra parte del documento che riporta il risultato)."ms = (100,021 47 ± 0,000 79) g, dove il numero che segue il simbolo ± è il valorenumerico di (un'incertezza estesa) U = kuc, con U determinata da (un'incertezza tipocomposta) uc = 0,35 mg e da (un fattore di copertura) k = 2,26, basato sulla distribuzione tper ν = 9 gradi di libertà, e definisce un'intervallo che si stima avere un livello di fiducia del95 per cento."

7.2.5 Se una misurazione determina simultaneamente più di un misurando, se cioè forniscedue o più stime d'uscita yi (vedere H.2, H.3 ed H.4), si indichino allora, oltre ad yi educ(yi), gli elementi della matrice di varianza e covarianza u(yi,yj ) o gli elementi r (yi,yj ) dellamatrice dei coefficienti di correlazione (C.3.6, nota 2) (e preferibilmente entrambi).

7.2.6 I valori numerici della stima y e della sua incertezza tipo uc(y) o dell'incertezza estesa Unon devono essere indicati con un numero eccessivo di cifre significative. È di regolasufficiente riportare uc(y) ed U [così come le incertezze tipo u(xi) delle stime d'ingresso xi]con due cifre significative, sebbene sia talvolta opportuno conservare ulteriori cifre perevitare errori di arrotondamento nei calcoli successivi.Quando si riportano i risultati finali, può essere appropriato arrotondare le incertezze pereccesso piuttosto che alla cifra più vicina. Così, per esempio, uc(y) = 10,47 mΩ saràarrotondato a 11 mΩ. Tuttavia è bene lasciarsi guidare dal buon senso, cosicché unvalore come u(xi) = 28,05 kHz sarà arrotondato per difetto a 28 kHz. Le stime d'ingresso ed'uscita saranno arrotondate in modo da armonizzarsi con le proprie incertezze; peresempio, se y = 10,057 62 Ω e uc(y) = 27 mΩ, allora y sarà arrotondato a 10,058 Ω. Icoefficienti di correlazione dovrebbero essere scritti con tre cifre significative se i lorovalori assoluti sono prossimi a 1.

7.2.7 Nel rapporto che descrive in dettaglio come si sono ottenuti il risultato di una misurazionee la sua incertezza, si dovrebbero seguire le raccomandazioni di 7.1.4 e, quindi, fornire:a) i valori di ciascuna stima d'ingresso xi e della corrispondente incertezza tipo u(xi),

insieme con la descrizione di come sono stati ottenuti;b) le covarianze stimate o i coefficienti di correlazione stimati (e preferibilmente entrambi)

associati a tutte le stime d'ingresso eventualmente correlate, ed i metodi seguiti perottenerli;

c) i gradi di libertà per l'incertezza tipo di ciascuna stima d'ingresso ed il metodo con ilquale sono stati calcolati;

d) la relazione funzionale Y f X X XN= ( )1 2, , . . . , e, quando opportuno, le derivate

parziali o coefficienti di sensibilità ∂ ∂f x i . Si dovrebbe tuttavia sempre indicare uncoefficiente di questo tipo, quando sia stato ottenuto per via sperimentale.



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Nota Poiché la relazione funzionale f può essere estremamente complessa o addirittura non esistere informa esplicita, ma solamente sotto forma di un programma di calcolo, non sempre può esserepossibile indicare f e le sue derivate. La funzione f può allora essere descritta in termini generali, osi può citare il programma usato mediante un'opportuno riferimento. In tali casi è importantechiarire come si sono ottenute la stima y del misurando Y e la sua incertezza tipo composta uc(y).

8 RIASSUNTO DELLA PROCEDURA PER LA VALUTAZIONE E LA DICHIARAZIONEDELL'INCERTEZZAI passi da seguire per la valutazione e la dichiarazione dell'incertezza del risultato di unamisurazione, presentati nella presente guida, possono essere riassunti come segue:1) Si esprima matematicamente la relazione tra il misurando Y e le grandezze d'ingresso

Xi da cui Y dipende: Y f X X XN= ( )1 2, , . . . , . La funzione f dovrebbe contenere ognigrandezza, comprese tutte le correzioni ed i fattori di correzione, che possacontribuire con una componente significativa all'incertezza del risultato dellamisurazione (vedere 4.1.1 e 4.1.2).

2) Si determini xi, il valore stimato della grandezza d'ingresso Xi, sulla base dell'analisistatistica di serie di osservazioni o mediante altri metodi (vedere 4.1.3).

3) Si valuti l'incertezza tipo u(xi) di ciascuna stima d'ingresso xi. Per una stima d'ingressoottenuta sulla base dell'analisi statistica di serie di osservazioni, l'incertezza tipo èvalutata secondo quanto descritto in 4.2 (valutazione di categoria A dell'incertezzatipo). Per una stima d'ingresso ottenuta con altri metodi, l'incertezza tipo u(xi) èvalutata secondo quanto descritto in 4.3 (valutazione di categoria B dell'incertezzatipo).

4) Si valutino le covarianze associate alle stime d'ingresso eventualmente correlate(vedere 5.22).

5) Si calcoli il risultato della misurazione, vale a dire la stima y del misurando Y, dallarelazione funzionale f usando, per le grandezze d'ingresso Xi, le corrispondenti stimexi determinate al passo 2) (vedere 4.1.4).

6) Si determini l'incertezza tipo composta uc(y) del risultato della misurazione y dalleincertezze tipo e dalle covarianze associate alle stime d'ingresso, come descritto in 5.Se la misurazione determina simultaneamente più di una stima d'uscita, se necalcolino le covarianze (vedere 7.2.5, H.2, H.3 ed H.4).

7) Se è necessario dare un'incertezza estesa U, con l'intendimento di fornireun'intervallo compreso tra y U− ed y U+ che ci si aspetti contenere una grandeporzione della distribuzione di valori ragionevolmente attribuibili al misurando Y, simoltiplichi l'incertezza tipo composta uc(y) per un fattore di copertura k, tipicamentecompreso tra 2 e 3, in modo da ottenere U = kuc(y). Si scelga k sulla base del livello difiducia richiesto per l'intervallo (vedere 6.2, 6.3 e specialmente l'appendice G, in cui sidiscute la selezione di un valore di k che dà origine ad un intervallo avente un livello difiducia prossimo ad un valore specificato).

8) Si riporti il risultato della misurazione y con la sua incertezza tipo composta uc(y), o lasua incertezza estesa U , come discusso in 7.2.1 e 7.2.3; si usi uno dei modiraccomandati in 7.2.2 e 7.2.4. Si descriva, secondo quanto delineato in 7, come sisono ottenuti y ed uc(y), o U.



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APPENDICE A RACCOMANDAZIONI DEL GRUPPO DI LAVORO E DEL CIPM

A.1 RACCOMANDAZIONE INC-1 (1980)Il Gruppo di lavoro sull'espressione delle incertezze (vedere premessa) venne convocatonell'ottobre 1980 dal Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) dietro istanza delComité International des Poids et Mesures (CIPM). Esso preparò un rapporto dettagliatoper il CIPM che si concludeva con la Raccomandazione INC-1 (1980) [2]. La traduzioneitaliana di questa Raccomandazione è in 0.7, ed il testo francese, che ha valore ufficiale, èqui riprodotto [2]:Expression des incertitudes expérimentales

Recommandation INC-1 (1980)1 L'incertitude d'un résultat de mesure comprend généralement plusieurs

composantes qui peuvent être groupées en deux catégories d'après la méthodeutilisée pour estimer leur valeur numérique:A celles qui sont évaluées à l'aide de méthodes statistiques,B celles qui sont évaluées par d'autres moyens.

Il n'y a pas toujours une correspondance simple entre le classement dans les catégoriesA ou B et le caractère "aléatoire" ou "systématique" utilisé antérieurement pour classerles incertitudes. L'expression "incertitude systématique" est susceptible de conduire àdes erreurs d'interprétation; elle doit être évitée.Toute description détaillée de l'incertitude devrait comprendre une liste complète de sescomposantes et indiquer pour chacune la méthode utilisée pour lui attribuer une valeurnumérique.

2 Les composantes de la catégorie A sont caractérisées par les variances estimées si2

(ou les "écarts-types" estimés si ) et les nombres νi de degrés de liberté. Le caséchéant, les covariances estimées doivent être données.

3 Les composantes de la catégorie B devraient être caractérisées par des termes uj2 qui

puissent être considérés comme des approximations des variances correspondantesdont on admet l'existence. Les termes uj

2 peuvent être traités comme des varianceset les termes uj comme des écarts-types. Le cas échéant, les covariances doiventêtre traitées de façon analogue.

4 L'incertitude composée devrait être caractérisée par la valeur obtenue en appliquantla méthode usuelle de combinaison des variances. L'incertitude composée ainsi queses composantes devraient être exprimées sous la forme d'"écart-types".

5 Si pour des utilisations particulières on est amené à multiplier par un facteurl'incertitude composée afin d'obtenir une incertitude globale, la valeur numérique dece facteur doit toujours être donnée.

A.2 RACCOMANDAZIONE 1 (CI-1981)Il CIPM esaminò il rapporto sottopostogli dal Gruppo di lavoro sull'espressione delleincertezze e adottò la seguente raccomandazione nel corso della sua 70a riunione,tenutasi nell'ottobre 1981 [3]:

Raccomandazione 1 (CI-1981)Espressione delle incertezze sperimentali

Il Comitato Internazionale dei Pesi e delle Misureconsiderato- la necessità di trovare un modo concordato per esprimere l'incertezza di misura in

metrologia,- lo sforzo dedicato a questo scopo da svariate organizzazioni nel corso di molti anni,



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- gli incoraggianti progressi compiuti verso una soluzione accettabile, come risulta dallediscussioni del Gruppo di lavoro sull'espressione delle incertezze riunitosi al BIPM nel1980,

riconosce- che le proposte del Gruppo di lavoro potrebbero costituire la base di un accordo

sull'espressione delle incertezze,raccomanda- che le proposte del Gruppo di lavoro abbiano la massima diffusione;- che il BIPM si adoperi per l'applicazione dei principi ivi enunciati nei confronti

internazionali condotti sotto i suoi auspici negli anni futuri;- che altre organizzazioni interessate siano incoraggiate ad esaminare e provare

queste proposte e comunichino i loro commenti al BIPM;- che entro due o tre anni il BIPM relazioni circa l'applicazione di tali proposte.

A.3 RACCOMANDAZIONE 1 (CI-1986)Il CIPM riconsiderò la questione dell'espressione delle incertezze nel corso della sua 75a

riunione tenutasi nell'ottobre 1986 e adottò la seguente raccomandazione [4]:Raccomandazione 1 (CI-1986)

Espressione delle incertezze nell'attività condotta sotto gli auspici del CIPM

Il Comitato Internazionale dei Pesi e delle Misure,considerata l'adozione della Raccomandazione INC-1 (1980) da parte del Gruppo di

lavoro sull'espressione delle incertezze e della Raccomandazione 1 (CI-1981) da partedel CIPM,

considerando che taluni membri di Comitati Consultivi possono desideraredelucidazioni in merito a detta raccomandazione per quanto attiene alle attività chericadono entro la loro sfera di competenza, specialmente i confronti internazionali,

riconosce che il punto 5 della raccomandazione INC-1 (1980) relativo ad applicazioniparticolari, specialmente a quelle di interesse commerciale, è in corso di esame da parte diun gruppo di lavoro dell'Organizzazione Internazionale di Normazione (ISO), comune adISO, OIML e IEC, con il concorso e la cooperazione del CIPM,

richiede che il punto 4 della Raccomandazione INC-1 (1980) sia applicato da tutti ipartecipanti nel fornire i risultati di tutti i confronti internazionali o altre attività svolte sottogli auspici del CIPM e dei Comitati Consultivi, e che dunque l'incertezza compostamediante le incertezze di categoria A e B sia dichiarata in termini di uno scarto tipo.



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APPENDICE B TERMINI METROLOGICI GENERALI

B.1 FONTE DELLE DEFINIZIONILe definizioni qui riportate dei termini metrologici generali di interesse della presenteguida sono tratte dal Vocabolario Internazionale dei termini fondamentali e generali inmetrologia (abbreviato in VIM), seconda edizione [6], pubblicato dall’OrganizzazioneInternazionale di Normazione (ISO) a nome delle sette organizzazioni che appoggiaronolo sviluppo e nominarono gli esperti per la sua elaborazione: Ufficio Internazionale deiPesi e delle Misure (BIPM), la Commissione Elettrotecnica Internazionale (IEC),Federazione Internazionale di Chimica Clinica (IFCC), ISO, Unione Internazionale diChimica Pura ed Applicata (IUPAC), Unione Internazionale di Fisica Pura ed Applicata(IUPAP) e Organizzazione Internazionale di Metrologia Legale (OIML). Il VIM costituisce lafonte di riferimento per le definizioni di termini non compresi qui e nell'intero testo.

Nota Alcuni termini e concetti statistici fondamentali vengono definiti nell’appendice C. Le espressioni“valore vero”, “errore” ed “incertezza” sono discusse più approfonditamente nell’appendice D.

B.2 DEFINIZIONIAnche qui, come in 2, si conviene di mettere entro parentesi, nelle definizioni seguenti,quelle parole o espressioni che si possono facoltativamente omettere se ciò non è fontedi equivoci.Gli eventuali termini in grassetto nelle note sono termini metrologici supplementari ividefiniti, implicitamente o esplicitamente (vedere riferimento [6]).

B.2.1 grandezza (misurabile) [VIM 1.1]attributo d'un fenomeno, d'un corpo o d'una sostanza, che può essere distintoqualitativamente e determinato quantitativamente.

Nota 1 Il termine “grandezza” può essere riferito ad una grandezza in senso generale [vedere esempi a)]oppure ad una grandezza in senso determinato [vedere esempi b)].

Esempi

a) grandezze in senso generale: lunghezza, tempo, massa, temperatura, resistenzaelettrica, concentrazione di quantità di sostanza;

b) grandezze in senso determinato:- lunghezza di una data barra- resistenza elettrica di un dato campione di filo- concentrazione di quantità di sostanza di etanolo in un dato campione di vino.

Nota 2 Le grandezze che si possono ordinare in ordine di grandezza l'una rispetto all'altra sono chiamategrandezze della stessa specie .

Nota 3 Le grandezze possono essere raggruppate insieme in categorie di grandezze, per esempio:

- lavoro, calore, energia

- spessore, circonferenza, lunghezza d'onda.

Nota 4 Simboli per grandezze sono indicati nella ISO 31.

B.2.2 valore (di una grandezza) [VIM 1.18]espressione quantitativa di una grandezza in senso determinato, generalmente in formadi una unità di misura moltiplicata per un numero.



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Esempi

a) lunghezza di una barra 5,34 m o 534 cm;b) massa di un corpo 0,152 kg o 152 g;c) quantità di sostanza di

un campione d'acqua (H2O): 0,012 mol o 12 mmol.Nota 1 Il valore di una grandezza può essere positivo, negativo o nullo.

Nota 2 Il valore di una grandezza può essere espresso in più modi.

Nota 3 I valori delle grandezze di dimensione uno sono generalmente espressi come numeri puri.

Nota 4 Una grandezza che non possa essere espressa come un'unità di misura moltiplicata per unnumero può venire espressa con riferimento a una scala convenzionale di riferimento o ad unprocedimento di misurazione o ad ambedue.

B.2.3 valore vero (di una grandezza) [VIM 1.19]valore compatibile con la definizione di una data grandezza in senso determinato.

Nota 1 Esso è un valore che sarebbe ottenuto da una misurazione perfetta.

Nota 2 I valori veri sono per natura indeterminati.

Nota 3 In connessione a "valore vero" si usa l'articolo indeterminativo "un" piuttosto che l'articolodeterminativo "il" perché vi possono essere diversi valori compatibili con la definizione di una datagrandezza in senso determinato.

Commento della guida: si veda nell’appendice D, in particolare D.3.5, per quali ragioninella guida non si usa il termine “valore vero” e si considerano equivalenti le espressioni“valore vero di un misurando” (o di una grandezza) e “valore di un misurando”.

B.2.4 valore convenzionalmente vero (di una grandezza) [VIM 1.20]valore attribuito ad una grandezza in senso determinato ed accettato, a volte perconvenzione, come avente un'incertezza adatta per un dato scopo.

Esempi

a) in un dato luogo, si può prendere come valore convenzionalmente vero il valoreassegnato alla grandezza realizzata da un campione di riferimento;

b) il valore raccomandato da CODATA (1986) per la costante d'Avogadro,6,022 136 7 × 1023 mol-1.

Nota 1 Il “valore convenzionalmente vero” è a volte denominato valore assegnato, miglior stima delvalore, valore convenzionale o valore di riferimento. Il termine "valore di riferimento" usato inquesto senso non dev'essere confuso con lo stesso termine usato nel senso della nota a) [VIM5.7].

Nota 2 Spesso per stabilire un valore convenzionalmente vero si utilizza un certo numero di risultati dimisurazione di una grandezza.

Commento della guida: vedere commento in B.2.3.

B.2.5 misurazione [VIM 2.1]insieme di operazioni che ha lo scopo di determinare un valore di una grandezza.

Nota Tali operazioni possono essere effettuate automaticamente.

B.2.6 principio di misurazione [VIM 2.3]base scientifica di una misurazione.

Esempi

a) l'effetto termoelettrico usato per le misurazioni di temperatura;



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b) l'effetto Josephson usato per le misurazioni di tensione;c) l'effetto Doppler usato per le misurazioni di velocità;d) l'effetto Raman usato per le misurazioni del numero d'onda di vibrazioni molecolari.

B.2.7 metodo di misurazione [VIM 2.4]sequenza logica di operazioni, descritte in termini generali, usate per effettuare unamisurazione.

Nota Il metodo di misurazione può essere qualificato in diversi modi come:

- metodo di sostituzione;

- metodo differenziale;

- metodo di zero.

B.2.8 procedimento di misurazione [VIM 2.5]insieme delle operazioni, descritte in termini dettagliati, usate per effettuare determinatemisurazioni secondo un dato metodo.

Nota Il procedimento di misurazione è di solito registrato in un documento che a volte è chiamato essostesso "procedura di misurazione" (o metodo di misurazione) e di solito è abbastanza dettagliatoda permettere ad un operatore di effettuare una misurazione senza bisogno di ulterioriinformazioni.

B.2.9 misurando [VIM 2.6]grandezza in senso determinato sottoposta a misurazione.

Esempio

pressione di vapore di un dato campione d'acqua a 20 °C.Nota La specificazione di un misurando può richiedere indicazioni su grandezze come tempo,

temperatura e pressione.

B.2.10 grandezza d'influenza [VIM 2.7]grandezza che non è il misurando ma che altera il risultato della misurazione.

Esempi

a) temperatura di un micrometro usato per misurare lunghezze;b) frequenza nella misurazione dell'ampiezza di una tensione elettrica alternata;c) concentrazione di bilirubina nella misurazione di concentrazione di emoglobina in un

campione di plasma sanguigno umano.Commento della guida: la definizione di grandezza d’influenza comprende implicitamentevalori associati a campioni di misura, materiali e dati di riferimento da cui possa dipendere ilrisultato della misurazione, così come fenomeni quali fluttuazioni a breve termine dellostrumento di misura e grandezze quali la temperatura ambiente, la pressione atmosfericae l’umidità.

B.2.11 risultato di una misurazione [VIM 3.1]valore attribuito ad un misurando, ottenuto mediante misurazione.

Nota 1 Quando si dà un risultato, occorre chiarire se ci si riferisce:

- all'indicazione

- al risultato bruto

- al risultato corretto

e se è stata effettuata una media su diversi valori.



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Nota 2 Un'espressione completa del risultato di una misurazione comprende informazioni sull'incertezzadi misura.

B.2.12 risultato bruto [VIM 3.3]risultato di una misurazione prima della correzione dell'errore sistematico.

B.2.13 risultato corretto [VIM 3.4]risultato di una misurazione dopo la correzione dell'errore sistematico.

B.2.14 accuratezza di misura [VIM 3.5]grado di concordanza tra il risultato di una misurazione e un valore vero del misurando.

Nota 1 "Accuratezza" è un concetto qualitativo.

Nota 2 Il termine precisione non deve essere usato per "accuratezza".

Commento della Guida: vedere commento in B.2.3.

B.2.15 ripetibilità (dei risultati di misurazione) [VIM 3.6]grado di concordanza tra i risultati di successive misurazioni dello stesso misurandoeffettuate nelle stesse condizioni di misura.

Nota 1 Queste condizioni sono denominate condizioni di ripetibilità.

Nota 2 Le condizioni di ripetibilità comprendono:

- lo stesso procedimento di misurazione

- lo stesso osservatore

- lo stesso strumento di misura utilizzato nelle stesse condizioni

- lo stesso luogo

- ripetizione entro un breve periodo di tempo.

Nota 3 La ripetibilità può essere espressa quantitativamente in termini delle caratteristiche di dispersionedei risultati.

B.2.16 riproducibilità (dei risultati di misurazione) [VIM 3.7]grado di concordanza tra i risultati di misurazioni dello stesso misurando effettuatecambiando le condizioni di misura.

Nota 1 Perché un'espressione della riproducibilità sia valida è necessario specificare le condizioni chesono state fatte variare.

Nota 2 Le condizioni che possono essere variate comprendono:

- il principio di misurazione;

- il metodo di misurazione;

- l'osservatore;

- lo strumento per misurazione;

- il campione di riferimento;

- il luogo;

- le condizioni di utilizzazione;

- la data.

Nota 3 La riproducibilità può essere espressa quantitativamente in termini delle caratteristiche didispersione dei risultati.

Nota 4 I risultati qui considerati sono di regola i risultati corretti.



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B.2.17 scarto tipo sperimentale [VIM 3.8]il parametro s(qk) che per una serie di n misurazioni dello stesso misurando caratterizza ladispersione dei risultati ed è dato dalla formula:

s qq q

nk

kk

n

( ) =−( )

−=

∑2

1

1

dove qk è il risultato della k-esima misurazione e q è la media aritmetica degli n risultaticonsiderati.

Nota 1 Considerando la serie di n valori come un campione di una distribuzione, q è una stima imparziale

della media µq, e s2(qk) è una stima imparziale della varianza σ2 di tale distribuzione.

Nota 2 L'espressione s q nk( ) è una stima dello scarto tipo della distribuzione di q ed è denominatascarto tipo sperimentale della media.

Nota 3 A volte lo scarto tipo sperimentale della media viene denominato erroneamente errore standarddella media.

Commento della guida: si sono cambiati alcuni dei simboli usati nel VIM, per salvare lacompatibilità con le notazioni usate in 4.2 della presente guida.

B.2.18 incertezza (di misura) [VIM 3.9]parametro, associato al risultato di una misurazione, che caratterizza la dispersione deivalori ragionevolmente attribuibili al misurando.

Nota 1 Il parametro può essere, per esempio, uno scarto tipo (o un suo multiplo dato), o la semiampiezzadi un intervallo avente un livello di fiducia stabilito.

Nota 2 L'incertezza di misura, in generale, comprende più componenti. Talune di queste possono esserevalutate dalla distribuzione statistica dei risultati di serie di misurazioni e possono dunque esserecaratterizzate mediante scarti tipo sperimentali. Le altre componenti, anch'esse caratterizzabilimediante scarti tipo, sono valutate da distribuzioni di probabilità ipotizzate sulla basedell'esperienza o di informazioni di altro tipo.

Nota 3 S’intende che il risultato della misurazione è la migliore stima del valore del misurando, e che tuttele componenti dell'incertezza, comprese quelle determinate da effetti sistematici, quali quelleassociate a correzioni e campioni di riferimento, contribuiscono alla dispersione.

Commento della guida: nel VIM si evidenzia che questa definizione e relative note sonoidentiche a quelle della presente guida (vedere 2.2.3).

B.2.19 errore (di misura) [VIM 3.10]risultato di una misurazione meno un valore vero del misurando.

Nota 1 Dato che un valore vero non si può determinare, in pratica si usa un valore convenzionalmentevero (vedere [VIM] 1.19 [B.2.3] e 1.20 [B.2.4]).

Nota 2 Quando è necessario distinguere tra "errore" ed "errore relativo", il primo è talvolta chiamatoerrore assoluto della misura. Non bisogna confondere questo termine con il valore assolutodell'errore , che è il modulo dell'errore.

Commento della guida: se il risultato di una misurazione dipende dai valori di grandezzediverse dal misurando, gli errori dei valori misurati di queste grandezze contribuisconoall’errore del risultato della misurazione. Vedere anche il Commento della guida in B.2.22ed in B.2.3.

B.2.20 errore relativo [VIM 3.12]errore della misura diviso per un valore vero del misurando.

Nota Dato che un valore vero non si può determinare, in pratica si usa un valore convenzionalmentevero (vedere [VIM] 1.19 [B.2.3] e 1.20 [B.2.4]).

Commento della guida: vedere Commento della guida in B.2.3.



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B.2.21 errore casuale [VIM 3.13]risultato di una misurazione meno la media che risulterebbe da un numero infinito dimisurazioni dello stesso misurando effettuate sotto condizioni di ripetibilità.

Nota 1 L'errore casuale è uguale all'errore meno l'errore sistematico.

Nota 2 Poiché si può eseguire solo un numero finito di misurazioni, è possibile determinare soltanto unastima dell'errore casuale.

Commento della guida: vedere Commento della guida in B.2.22.

B.2.22 errore sistematico [VIM 3.14]media che risulterebbe da un numero infinito di misurazioni dello stesso misurando,effettuate sotto condizioni di ripetibilità, meno un valore vero del misurando.

Nota 1 L'errore sistematico è uguale all'errore meno l'errore casuale.

Nota 2 Come il valore vero, l'errore sistematico e le sue cause non possono essere conosciuticompletamente.

Nota 3 Per uno strumento per misurazione vedere "errore sistematico strumentale" ([VIM] 5.25).

Commento della guida: l’errore del risultato di una misurazione (vedere B.2.19) puòsovente essere considerato come risultante da una varietà di effetti casuali e sistematiciognuno dei quali contribuisce all’errore stesso mediante una singola componente dierrore. Vedere anche il Commento della guida in B.2.19 e in B.2.3.

B.2.23 correzione [VIM 3.15]valore aggiunto algebricamente al risultato bruto di una misurazione per compensarel'errore sistematico.

Nota 1 La correzione è uguale all'errore sistematico stimato cambiato di segno.

Nota 2 Dato che l'errore sistematico non può essere conosciuto perfettamente, la compensazione nonpuò essere completa.

B.2.24 fattore di correzione [VIM 3.16]fattore numerico per il quale il risultato bruto di una misurazione viene moltiplicato percompensare l'errore sistematico.

Nota Dato che l'errore sistematico non può essere conosciuto perfettamente, la compensazione nonpuò essere completa.



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APPENDICE C TERMINI E CONCETTI STATISTICI FONDAMENTALI

C.1 FONTE DELLE DEFINIZIONILe definizioni dei termini statistici fondamentali date nella presente appendice sono trattedalla norma internazionale ISO 3534-1 [7], che dovrebbe essere il documento diriferimento per le definizioni dei termini qui non inclusi. Per facilitare l'uso della guida,alcuni di tali termini e dei concetti su cui essi si fondano sono spiegati in C.3,successivamente alla loro definizione formale in C.2. Tuttavia il punto C.3, checomprende anche la definizione di alcuni termini necessari alla comprensione, non èbasato direttamente sulla ISO 3534-1.

C.2 DEFINIZIONICome nel punto 2 della guida e nell'appendice B, le parole che compaiono tra parentesinelle definizioni possono essere omesse se ciò non ingenera confusione.I termini da C.2.1 a C.2.14 sono definiti in termini di proprietà delle popolazioni. Ledefinizioni dei termini da C.2.15 a C.2.31 sono riferite ad un insieme di osservazioni(vedere riferimento [7]).

C.2.1 probabilità [ISO 3534-1, 1.1]Numero reale compreso tra 0 ed 1, associato ad un evento casuale.

Nota Può essere riferita alla frequenza relativa a lungo termine o al grado di fiducia nel verificarsidell'evento. Per un alto grado di fiducia la probabilità è prossima ad 1.

C.2.2 variabile casuale; variabile aleatoria [ISO 3534-1, 1.2]Variabile che può assumere un valore qualsiasi di un insieme assegnato di valori, a cui èassociata una distribuzione di probabilità ([ISO 3534-1] 1.3 [C.2.3]).

Nota 1 Una variabile casuale che può assumere solamente valori isolati è detta "discreta". Una variabilecasuale che può assumere un valore qualsiasi entro un intervallo finito o infinito è detta "continua".

Nota 2 La probabilità di un evento A è indicata con Pr(a) o con P (A).

Commento della guida: qui si usa Pr(a) in luogo del simbolo Pr(A) usato nella ISO 3534-1.

C.2.3 distribuzione di probabilità (di una variabile casuale) [ISO 3534-1, 1.3]Funzione che dà la probabilità che una variabile casuale assuma un qualunque valoredato o appartenga ad un insieme dato di valori.

Nota La probabilità associata all'intero insieme di valori della variabile casuale è uguale a 1.

C.2.4 funzione cumulativa [ISO 3534-1, 1.4]Funzione che dà, per ogni valore x, la probabilità che la variabile casuale X sia minore ouguale a x:

F x X x( ) = ≤( )Pr

C.2.5 funzione di densità di probabilità (per una variabile casuale continua) [ISO 3534-1, 1.5]Derivata, (quando esiste,) della funzione cumulativa:

f x F x x( ) = ( )d d

Nota ( )f x xd è "l'elemento di probabilità":

( ) ( )f x x x X x xd Pr d= < < +



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C.2.6 Funzione di probabilità (o di massa) [ISO 3534-1, 1.6]Funzione che dà, per ogni valore xi di una variabile casuale discreta X, la probabilità pi

che la variabile casuale sia uguale ad xi :

( )p X xi i= =Pr

C.2.7 parametro [ISO 3534-1, 1.12]Grandezza utilizzata per descrivere la distribuzione di probabilità di una variabile casuale.

C.2.8 correlazione [ISO 3534-1, 1.13]Relazione tra due o più variabili casuali all'interno di una distribuzione di due o più variabilicasuali.

Nota La maggior parte delle valutazioni statistiche della correlazione misura l'intensità della relazionesolo per un modello lineare.

C.2.9 speranza matematica (di una variabile casuale o di una distribuzione di probabilità); valoreatteso; media [ISO 3534-1, 1.18]1 Per una variabile casuale discreta X che assuma i valori xi con probabilità pi, la

speranza matematica, se esiste, è

µ = ( ) = ∑E X p xi i

dove la sommatoria è estesa a tutti i valori xi che possono essere assunti da X.

2 Per una variabile casuale continua X avente la funzione di densità di probabilità f x( ) ,la speranza matematica, se esiste, è

µ = ( ) = ( )∫E X xf x xd

dove l'integrale è esteso all'intervallo, o intervalli, di variazioni di X.

C.2.10 variabile casuale centrata [ISO 3534-1, 1.21]Variabile casuale la cui speranza matematica è uguale a zero.

Nota Se la variabile casuale X ha una speranza matematica uguale a µ, la variabile casuale centratacorrispondente è (X - µ).

C.2.11 varianza (di una variabile casuale o di una distribuzione di probabilità) [ISO 3534-1, 1.22]Speranza matematica del quadrato della variabile casuale centrata ([ISO 3534-1] 1.21[C.2.10]).

σ2 2= ( ) = − ( )[ ] V X E X E X

C.2.12 scarto tipo (di una variabile casuale o di una distribuzione di probabilità) [ISO 3534-1, 1.23]Radice quadrata positiva della varianza:

σ = ( )V X

C.2.13 momento centrale1) di ordine q [ISO 3534-1, 1.28]In una distribuzione univariata, la speranza matematica della potenza q-esima dellavariabile casuale centrata (X - µ):

E X q−( )[ ]µ

1) Se, nella definizione dei momenti, alle grandezze X, X - a, Y, Y - b, eccetera si sostituiscono i loro valori assoluti, valea dire |X|, |X - a|, |Y|, |Y - b|, eccetera, vengono definiti altri momenti denominati "momenti assoluti".



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Nota Il momento centrale di ordine 2 è la varianza ([ISO 3534-1] 1.22 [C.2.11]) della variabile casuale X.

C.2.14 distribuzione normale; distribuzione di Laplace-Gauss [ISO 3534-1, 1.37]Distribuzione di probabilità di una variabile casuale continua X la cui funzione di densità diprobabilità è

f x

x( ) = − −

1

2

12

2

σ

µ

σπexp

per -∞ < < ∞x .

Nota µ è la speranza matematica e σ è lo scarto tipo della distribuzione normale.

C.2.15 caratteristica [ISO 3534-1, 2.2]Proprietà che permette di identificare o differenziare gli elementi di una data popolazione.

Nota La caratteristica può essere, quantitativa (per variabili) o qualitativa (per attributi).

C.2.16 popolazione [ISO 3534-1, 2.3]Totalità di elementi presi in considerazione.

Nota Nel caso di una variabile casuale, si prende in considerazione la distribuzione di probabilità (perdefinire la popolazione di tale variabile [ISO 3534-1] 1.3 [C.2.3]).

C.2.17 frequenza [ISO 3534-1, 2.11]Numero di volte che un dato evento si verifica o numero di osservazioni che cadonoentro una classe specificata.

C.2.18 distribuzione di frequenza [ISO 3534-1, 2.15]Relazione empirica tra i valori di una caratteristica e le loro frequenze o le loro frequenzerelative.

Nota La distribuzione può essere presentata graficamente sottoforma di un istogramma ([ISO 3534-1]2.17), di un grafico a barre ([ISO 3534-1] 2.18), di un poligono di frequenza cumulativa([ISO 3534-1] 2.19) o di una tabella di frequenza a doppia entrata ([ISO 3534-1] 2.22).

C.2.19 media aritmetica; media [ISO 3534-1, 2.26]Somma dei valori divisa per il loro numero.

Nota 1 Il termine inglese "mean" è utilizzato generalmente in riferimento ad un parametro dellapopolazione ed il termine "average" in riferimento al risultato di un calcolo sui dati ottenuti in uncampione.

Nota 2 La media di un campione casuale semplice estratto da una popolazione è uno stimatore nonviziato della media di questa popolazione. Tuttavia si usano talvolta altri stimatori, quali la mediageometrica o armonica, la mediana o la moda.

C.2.20 varianza [ISO 3534-1, 2.33]Misura della dispersione, definita come somma dei quadrati degli scarti delle osservazionirispetto alla loro media aritmetica, divisa per il numero delle osservazioni meno uno.

Esempio

Per n osservazioni x1, x2, . . . , xn con media

x n xi= ( )∑1

la varianza è

sn

x xi2 21

1=

−−( )∑

Nota 1 La varianza campionaria è uno stimatore non viziato della varianza della popolazione.



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Nota 2 La varianza è n n −( )1 volte il momento centrale di ordine 2 (vedere nota alla [ISO 3534-1] 2.39).

Commento della guida: La varianza qui definita viene denominata in modo più appropriato"la stima campionaria della varianza della popolazione". La varianza di un campione è diregola definita come il momento centrale di ordine 2 del campione (vedere C.2.13 eC.2.22).

C.2.21 scarto tipo [ISO 3534-1, 2.34]Radice quadrata positiva della varianza.

Nota Lo scarto tipo campionario è uno stimatore viziato dello scarto tipo della popolazione.

C.2.22 momento centrale di ordine q [ISO 3534-1, 2.37]In una distribuzione di una sola caratteristica, la media aritmetica della potenza q-esimadella differenza tra i valori osservati e la loro media x :

1n

x xiq

i

−( )∑

dove n è il numero di osservazioni.Nota Il momento centrale di ordine 1 è uguale a zero.

C.2.23 statistica [ISO 3534-1, 2.45]Funzione di variabili casuali campionarie.

Nota Una grandezza statistica, essendo funzione di variabili casuali, è essa stessa una variabile casualee come tale assume valori differenti da campione a campione. Il suo valore ottenuto utilizzandonella funzione i valori osservati può essere utilizzato in un test statistico o come stima di unparametro della popolazione, come la media o lo scarto tipo.

C.2.24 stima (operazione) [ISO 3534-1, 2.49]Operazione di attribuire, sulla base delle osservazioni in un campione, valori numerici aiparametri di una distribuzione scelta come modello statistico della popolazione da cui èstato estratto il campione.

Nota Il risultato di questa operazione può essere espresso come un unico valore (stima puntuale;vedere [ISO 3534-1] 2.51 [C.2.26]) o come stima di intervallo (vedere [ISO 3534-1] 2.57 [C.2.27] e2.58 [C.2.28]).

C.2.25 stimatore [ISO 3534-1, 2.50]Statistica utilizzata per stimare un parametro di una popolazione.

C.2.26 stima (risultato) [ISO 3534-1, 2.51]Valore di uno stimatore ottenuto come risultato dello stimare.

C.2.27 intervallo di confidenza (fiducia) bilaterale [ISO 3534-1, 2.57]Quando T1 e T2 sono due funzioni dei valori osservati tali che, essendo θ il parametro

della popolazione da stimare, la probabilità Pr T T1 2≤ ≤( )θ è almeno uguale a 1−( )α [dove

1−( )α è un numero assegnato positivo e minore di 1], l'intervallo tra T1 e T2 è un intervallo

di confidenza bilaterale 1−( )α per θ.

Nota 1 I limiti T1 e T2 dell'intervallo di confidenza sono statistiche ([ISO 3534-1] 2.45 [C.2.23]) e come taliassumono valori differenti da campione a campione.

Nota 2 In una lunga successione di campioni, la frequenza relativa dei casi in cui il valore vero delparametro della popolazione θ giace entro l'intervallo di confidenza è maggiore o uguale ad

1−( )α .



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C.2.28 intervallo di confidenza (fiducia) unilaterale [ISO 3534-1, 2.58]Quando T è una funzione dei valori osservati tale che, essendo θ il parametro dellapopolazione da stimare, la probabilità Pr T ≥ θ( ) [o la probabilità Pr T ≤ θ( ) è almeno

uguale a 1−( )α [dove 1−( )α è un numero assegnato positivo e minore di 1], l'intervallodal più piccolo valore possibile di θ fino a T (o l'intervallo da T fino al massimo valorepossibile di θ) è un intervallo di confidenza unilaterale 1−( )α per θ.

Nota 1 Il limite T dell'intervallo di confidenza è una statistica ([ISO 3534-1] 2.45 [C.2.23]) e come taleassume valori differenti da campione a campione.

Nota 2 Vedere nota 2 della [ISO 3534-1] 2.57 [C.2.27].

C.2.29 livello di confidenza (fiducia); coefficiente di confidenza (fiducia) [ISO 3534-1, 2.59]Valore 1−( )α della probabilità associata ad un intervallo di fiducia o ad un intervallostatistico di copertura. (Vedere [ISO 3534-1] 2.57 [C.2.27], 2.58 [C.2.28] e 2.61[C.2.30]).

Nota 1−( )α viene sovente espresso in percentuale.

C.2.30 intervallo statistico di copertura [ISO 3534-1, 2.61]Intervallo per il quale si può affermare, con un dato livello di confidenza, che essocontiene parte della popolazione.

Nota 1 Quando entrambi i limiti sono definiti da statistiche, l'intervallo è bilaterale. Quando uno dei duelimiti non è finito o è costituito dal limite della variabile, l'intervallo è unilaterale.

Nota 2 Viene anche chiamato "intervallo statistico di tolleranza". Questo termine non dovrebbe essereusato in quanto può ingenerare confusione con "intervallo di tolleranza", definito nella ISO 3534-2.

C.2.31 gradi di libertà [ISO 3534-1, 2.85]In generale, numero dei termini in una somma meno il numero dei vincoli sui termini dellasomma.

C.3 ELABORAZIONE DI TERMINI E CONCETTI

C.3.1 Speranza matematicaLa speranza matematica di una funzione g z( ) su una densità di probabilità p z( ) dellavariabile casuale z è definita da

E g z g z p z z( )[ ] = ( ) ( )∫ d

dove, per la definizione di p z( ) , p z z( ) =∫ d 1. La speranza matematica della variabile

casuale z, indicata con µz, denominata anche valore atteso o valor medio di z, è data da

µz E z zp z z≡ ( ) = ( )∫ d .

Essa è stimata statisticamente da z , la media aritmetica di n osservazioni indipendenti zi

della variabile casuale z, la cui densità di probabilità è p z( )

zn

zii

n

==∑1

1



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C.3.2 VarianzaLa varianza di una variabile casuale è il valore atteso del suo scostamento quadraticorispetto alla sua media. La varianza di una variabile casuale z la cui densità di probabilità siap z( )è dunque

σ µ2

2z z p z zz( ) = −( ) ( )∫ d

dove µz è il valore atteso di z. La varianza σ2 z( ) può essere stimata da

s zn

z zi ii

n2 2

1

11

( ) =−

−( )=∑

dove zn

zii

n

==∑1

1

e le zi sono n osservazioni indipendenti di z.

Nota 1 Il fattore n-1 nell'espressione di s zi2( ) deriva dalla correlazione tra zi e z e riflette il fatto che vi

sono solamente n-1 elementi indipendenti nell'insieme z zi − .

Nota 2 Se è noto il valor medio µz di z, la varianza può essere stimata da

s z

nzi i z

i

n2 2

1

1( ) = −( )=∑ µ

La valutazione quantitativa appropriata dell'incertezza del risultato di una misurazione è lavarianza della media delle osservazioni, piuttosto che la varianza delle singoleosservazioni. Bisogna distinguere nettamente tra la varianza di una variabile z e la varianzadella sua media z . La varianza della media aritmetica di una serie di n osservazioni

indipendenti zi di z è data da σ σ2 2z z ni( ) = ( ) ed è stimata dalla varianza sperimentale

della media

s zs z

n n nz zi

ii

n2

22

1

11

( ) =( )

=−( ) −( )

=∑

C.3.3 Scarto tipoLo scarto tipo è la radice quadrata positiva della varianza. Mentre un'incertezza tipo dicategoria A è ottenuta prendendo la radice quadrata della varianza valutatastatisticamente, nella determinazione di un'incertezza di categoria B conviene soventevalutare, per via non statistica, innanzitutto uno scarto tipo equivalente ed ottenere poi lavarianza equivalente elevandolo al quadrato.

C.3.4 CovarianzaLa covarianza di due variabili casuali è una espressione quantitativa della loro dipendenzamutua. La covarianza di due variabili casuali y e z è definita come

cov covy z z y E y E y z E z, ,( ) = ( ) = − ( )[ ] − ( )[ ] che dà

cov cov d d d dy z z y y z p y z y z yzp y z y zy z y z, , , ,( ) = ( ) = −( ) −( ) ( ) = ( ) −∫∫ ∫∫µ µ µ µ ,

dove p y z,( ) è la funzione di densità di probabilità congiunta delle due variabili y e z. La

covarianza cov ,y z( ) [indicata anche come v y z,( )] può essere stimata da s y zi i,( ) ,ottenuto da n coppie indipendenti di osservazioni simultanee yi e zi di y e z,

s y zn

y y z zi i i ii

n

,( ) =−

−( ) −( )=∑1

1 1



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dove

yn

yii

n

==∑1

1

e zn

zii

n

==∑1

1

Nota La covarianza stimata delle due medie y e z è data da s y z s y z ni i, ,( ) = ( ) .

C.3.5 Matrice di varianza e covarianzaPer una distribuzione di probabilità multivariata, si definisce matrice di varianza ecovarianza la matrice V avente come elementi le varianze e le covarianze delle variabili. Glielementi diagonali v z z z,( ) ≡ ( )σ2 o s z z s zi i i,( ) ≡ ( )2 sono le varianze, mentre gli

elementi non diagonali v y z,( ) o s y zi i,( ) sono le covarianze.

C.3.6 Coefficiente di correlazioneIl coefficiente di correlazione è una espressione quantitativa della dipendenza mutuarelativa di due variabili ed è uguale al rapporto tra la loro covarianza e la radice quadratapositiva del prodotto delle loro varianze, cioé a

ρ ρσ σ

y z z yv y z

v y y v z z

v y z

y z, ,

,

, ,

,( ) = ( ) = ( )( ) ( )

= ( )( ) ( )

con stima

r y z r z ys y z

s y y s z z

s y z

s y s zi i i ii i

i i i i

i i

i i

, ,,

, ,

,( ) = ( ) =( )

( ) ( )=

( )( ) ( )

Il coefficiente di correlazione è un numero tale che − ≤ ≤ +1 1ρ o − ≤ ( ) ≤ +1 1r y zi i, .

Nota 1 Poiché ρ ed r sono numeri puri compresi nell'intervallo da - 1 a + 1 inclusi, mentre le covarianzesono di regola grandezze con dimensione e valori poco pratici da utilizzare, i coefficienti dicorrelazione sono generalmente più utilizzati delle covarianze.

Nota 2 Per distribuzioni di probabilità multivariate si usa di regola la matrice dei coefficienti di correlazione

invece della matrice di varianza e covarianza. Poiché ρ y y,( ) = 1 ed r y yi i,( ) = 1, gli elementidiagonali di questa matrice sono uguali ad 1.

Nota 3 Se le stime d'ingresso x i ed xj sono correlate (vedere 5.2.2) e se una variazione δi in xi produce

una variazione δj in xj , il coefficiente di correlazione associato ad x i ed xj è stimatoapprossimativamente da

r x x u x u xi j i j j i,( ) ≈ ( ) ( )δ δ

Questa relazione può costituire la base sulla quale stimare sperimentalmente i coefficienti dicorrelazione. Può anche essere utilizzata per calcolare la variazione approssimata indotta su diuna stima d'ingresso da una variazione di un'altra, quando sia noto il loro coefficiente dicorrelazione.

C.3.7 IndipendenzaLe due variabili casuali componenti una variabile casuale doppia sono statisticamenteindipendenti se la distribuzione di probabilità congiunta è uguale al prodotto delle duedistribuzioni marginali.

Nota Se due variabili casuali sono indipendenti, sono nulli la loro covarianza ed il loro coefficiente dicorrelazione, mentre il contrario non è necessariamente vero.

C.3.8 Distribuzione t ; distribuzione di StudentLa distribuzione t o di Student è la distribuzione di probabilità di una variabile casualecontinua t la cui densità di probabilità è



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p tt

,νν

ν

ν ν

ν

( ) =

+

+

− +( )1

12

2

12 1 2

π

Γ

Γ

- < < +∞ ∞t

dove Γ è la funzione gamma e ν > 0. Il valore atteso della distribuzione t è zero e la suavarianza è ν ν −( )2 per ν > 2. Per ν → ∞ la distribuzione t tende alla distribuzione

normale con µ = 0 e σ = 1 (vedere C.2.14).Se la variabile casuale z è distribuita, di regola, con valor medio µz, la distribuzione di

probabilità della variabile z s zz−( ) ( )µ è la distribuzione t; z è la media aritmetica di n

osservazioni indipendenti zi di z, s zi( ) è lo scarto tipo sperimentale delle n osservazioni e

s z s z ni( ) = ( ) è lo scarto tipo sperimentale della media z con ν = −n 1 gradi di libertà.



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APPENDICE D VALORE "VERO", ERRORE ED INCERTEZZA

Il termine valore vero (B.2.3), tradizionalmente usato in altre pubblicazionisull'incertezza, non viene utilizzato nella presente guida per le ragioni esposte in questaappendice. Inoltre, poiché i termini "misurando", "errore" ed "incertezza" sono soventemale interpretati, questa appendice presenta una discussione supplementare delle ideeche stanno alla base di tali concetti, a complemento della discussione presentata in 3.Due figure illustrano perché il concetto di incertezza adottato nella presente guida siabasato sul risultato della misurazione e sulla sua incertezza valutata, piuttosto che sullegrandezze inconoscibili valore "vero" ed errore.

D.1 MISURANDO

D.1.1 Il primo passo di una misurazione è la specificazione del misurando, cioè della grandezzada misurare; il misurando non può essere specificato da un valore ma solamente dalladescrizione di una grandezza. Tuttavia, in linea di principio, un misurando non puòessere completamente descritto se non da una quantità di informazione infinita. Pertantol'incompleta definizione del misurando, nella misura in cui lascia un margine diinterpretazione, introduce nell'incertezza del risultato una componente che può essere ono significativa rispetto all'accuratezza richiesta alla misura.

D.1.2 Di solito la definizione del misurando si attua attraverso la specificazione di certecondizioni e stati fisici.

Esempio

La velocità del suono in aria secca di composizione (frazione molare)N2 = 0,780 8, O2 = 0,209 5, Ar = 0,009 35 e CO2 = 0,000 35, alla temperaturaT = 273, 15 K ed alla pressione p = 101 325 Pa.

D.2 REALIZZAZIONE DELLA GRANDEZZA

D.2.1 Idealmente, la grandezza realizzata per la misurazione dovrebbe rispondere appieno alladefinizione del misurando. Spesso tuttavia non è possibile realizzare tale grandezza,cosicché la misurazione viene effettuata su di una grandezza che è soloun'approssimazione del misurando.

D.3 VALORE "VERO " E VALORE CORRETTO

D.3.1 Il risultato della misurazione della grandezza effettivamente realizzata viene corretto per ladifferenza tra questa ed il misurando, così da predire quale sarebbe stato il risultato dellamisurazione qualora la realizzazione della grandezza avesse pienamente soddisfatto ladefinizione del misurando. Il risultato della misurazione della grandezza effettivamenterealizzata viene corretto anche per ogni altro effetto sistematico identificato esignificativo. Sebbene il risultato finale, corretto come indicato, venga talvolta consideratola miglior stima possibile del valore "vero" del misurando, esso in realtà è semplicementela miglior stima possibile del valore della grandezza che si intende misurare.

D.3.2 A titolo di esempio, sia il misurando lo spessore di una data lamina di metallo ad unatemperatura specificata. Il provino viene portato ad una temperatura prossima a quella



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specificata e lo spessore viene misurato in un punto specifico con un micrometro. Lagrandezza realizzata è, in questo caso, lo spessore delle lamine in quel punto ed a quellatemperatura, sotto la pressione esercitata dal micrometro.

D.3.3 La temperatura del materiale all'istante della misurazione e la pressione applicata sonodeterminate. Il risultato della misurazione della grandezza effettivamente realizzata vieneallora corretto tenendo conto della curva di taratura del micrometro, dello scostamentodella temperatura del provino dalla temperatura di definizione, e della lieve compressionesulla lamina determinata dalla pressione esercitata dal micrometro.

D.3.4 Il risultato corretto può essere chiamato la miglior stima possibile del valore "vero", "vero"nel senso che rappresenta il valore di una grandezza che si ritiene soddisfare appieno ladefinizione del misurando; se tuttavia il micrometro fosse stato applicato in un puntodiverso della lamina, la grandezza realizzata sarebbe stata differente, con un valore "vero"differente. Tuttavia, quel nuovo valore "vero" è compatibile con la definizione delmisurando, poiché questa non specifica che lo spessore debba essere determinato in unpunto particolare della lamina. Dunque, in questo caso, il valore "vero" ha, a causa di unadefinizione incompleta del misurando, un'incertezza che può essere valutata attraversomisurazioni effettuate in punti differenti della lamina. Ogni misurando ha un'incertezza"intrinseca" di questo tipo che, almeno in linea di principio, può essere stimata in qualchemodo. Questa è la più piccola incertezza con cui si può determinare un misurando, edogni misurazione che raggiunga tale incertezza può essere interpretata come la migliormisurazione possibile del misurando. L'ottenimento, per la grandezza in questione, di unvalore avente incertezza minore richiede una definizione più completa del misurando.

Nota 1 Nell'esempio, la definizione del misurando lascia indeterminati molti altri elementi che potrebberoragionevolmente influenzare lo spessore: la pressione atmosferica, l'umidità, la posizione dellalamina nel campo gravitazionale, il modo in cui essa è sostenuta, ecc.

Nota 2 Sebbene un misurando debba essere definito ad un livello di dettaglio sufficiente a renderetrascurabile, rispetto all'incertezza richiesta alla misurazione, l'incertezza originata dalla suaincompleta definizione, bisogna rendersi conto che ciò può non essere sempre praticabile. Peresempio, la definizione può essere incompleta in quanto non specifica parametri consideratiingiustificatamente di effetto trascurabile; oppure, può richiedere condizioni impossibili dasoddisfare esattamente, e la cui imperfetta realizzazione è difficilmente compensabile. Peresempio, nell'esempio in D.1.2, la velocità del suono implica onde piane infinite di ampiezzainfinitesima. Di conseguenza, nella misura in cui la misurazione non soddisfa queste condizioni, ènecessario tenere in considerazione la diffrazione e gli effetti non lineari.

Nota 3 La definizione inadeguata del misurando può portare a discrepanze tra i risultati di misurazioniapparentemente relative alla stessa grandezza effettuate da laboratori diversi.

D.3.5 Il termine "valore vero di un misurando" o di una grandezza (spesso abbreviato in "valorevero") viene evitato nella presente guida poiché la parola "vero" viene considerataridondante. "Misurando" (vedere B.2.9) significa "particolare grandezza sottoposta amisurazione", dunque "valore di un misurando" significa "valore di una particolaregrandezza sottoposta a misurazione". Poiché generalmente si intende per "particolaregrandezza" una grandezza definita o specificata (vedere B.2.1, nota 1), l'aggettivo "vero"in "valore vero di un misurando" (o in "valore vero di una grandezza") è superfluo - il"vero" valore del misurando (o grandezza) è semplicemente il valore del misurando (ograndezza). Per di più, come evidenziato nella discussione precedente, un unico valore"vero" è solamente un concetto idealizzato.

D.4 ERROREIl risultato corretto di una misurazione non coincide con il valore del misurando - vale adire, è in errore - per via dell'imperfetta misurazione della grandezza realizzata, imperfettaa causa di variazioni casuali delle osservazioni (effetti aleatori), dell'inadeguatadeterminazione delle correzioni per gli effetti sistematici e dell'incompleta conoscenza ditaluni fenomeni fisici (effetti sistematici anch'essi). Né il valore della grandezza realizzata,né quello del misurando possono essere conosciuti esattamente; se ne possonoconoscere solamente i valori stimati. Nell'esempio precedente lo spessore della lamina



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misurato può essere in errore, cioé, può differire dal valore del misurando (lo spessoredella lamina), poiché ognuno degli elementi sotto elencati può combinarsi con gli altricontribuendo dunque ad un errore ignoto del risultato della misurazione:a) lievi differenze tra le indicazioni del micrometro quando questo sia ripetutamente

applicato alla stessa grandezza realizzata;b) imperfetta taratura del micrometro;c) imperfetta misurazione della temperatura e della pressione applicata;d) incompleta conoscenza degli effetti di temperatura, pressione atmosferica ed umidità

sul provino, o sul micrometro o su entrambi.

D.5 INCERTEZZA

D.5.1 Mentre i valori esatti dei contributi all'errore del risultato di una misurazione sono ignoti edinconoscibili, sono valutabili le incertezze associate agli effetti casuali e sistematici cheoriginano l'errore. Tuttavia, persino nel caso di incertezze valutate piccole, ancora non viè garanzia che l'errore nel risultato della misurazione sia piccolo; infatti, nelladeterminazione di una correzione, o nella valutazione del livello di incompletezzadell'informazione, si può aver trascurato un effetto sistematico, in quanto di esso ignari.Pertanto l'incertezza del risultato di una misurazione non è necessariamenteun'indicazione della verosimiglianza che il risultato stesso sia vicino al valore delmisurando; essa è semplicemente una stima della verosimiglianza della prossimità almiglior valore compatibilmente con il livello di conoscenza disponibile al momento.

D.5.2 Incertezza di misura è pertanto un'espressione del fatto che, per un dato misurando e perun dato risultato della sua misurazione, non vi è un solo valore, ma un'infinità di valoridispersi intorno al risultato che sono compatibili con tutte le osservazioni, i dati e laconoscenza del mondo fisico, e che possono essere attribuiti al misurando con vari gradidi plausibilità.

D.5.3 Fortunatamente in molte situazioni sperimentali pratiche, la maggior parte delladiscussione precedente non si applica. Esempi di questo tipo sono quando il misurandoè sufficientemente ben definito; quando campioni o strumenti sono tarati mediantecampioni di riferimento ben noti e riferibili a campioni nazionali; quando le incertezze dellecorrezioni di taratura sono trascurabili rispetto alle incertezze originate da effetti casualisulle indicazioni degli strumenti, o dal numero limitato di osservazioni (vedere E.4.3).Tuttavia, l'incompleta conoscenza delle grandezze d'influenza e dei loro effetti puòspesso contribuire in misura significativa all'incertezza del risultato di una misurazione.

D.6 RAPPRESENTAZIONE GRAFICA

D.6.1 La figura D.1 illustra alcune delle idee discusse in 3 della presente guida ed in questaappendice. Essa evidenzia perché nella presente guida si pone l'accento sull'incertezzapiuttosto che sull'errore. L'errore esatto del risultato di una misurazione è, in generale,ignoto ed inconoscibile. Si può al massimo: stimare i valori delle grandezze d'ingresso,comprendendovi le correzioni per gli effetti sistematici identificati, insieme con le loroincertezze tipo (scarti tipo stimati), mediante distribuzioni di probabilità ignote campionateper mezzo di osservazioni ripetute, o mediante distribuzioni soggettive o a priori basatesull'insieme di informazioni disponibili; calcolare poi il risultato della misurazione dai valoristimati delle grandezze d'ingresso e l'incertezza tipo composta di tale risultato dalleincertezze tipo delle stime d'ingresso. Si può ritenere che il risultato della misurazionecostituisca una stima affidabile del valore del misurando e che l'incertezza tipo compostacostituisca una valutazione quantitativa affidabile dell'errore possibile del risultato,solamente se si può fondatamente credere che ognuno di questi passi sia statoeffettuato correttamente, senza avere trascurato alcun effetto sistematico significativo.



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Nota 1 Nella figura D.1a le osservazioni sono mostrate sotto forma di istogramma a scopo illustrativo(vedere 4.4.3 e figura 1b).

Nota 2 La correzione di un errore è uguale alla stima dell'errore, cambiata di segno. Così nelle figure D.1e D.2 la freccia che rappresenta simbolicamente la correzione di un errore ha la stessa lunghezzama direzione opposta rispetto a quella che rappresenterebbe l'errore vero e proprio, e vice versa.Le didascalie chiariscono se una specifica freccia si riferisce ad una correzione o ad un errore.

D.6.2 La figura D.2 illustra in modo diverso alcune delle idee già illustrate nella figura D.1. In piùillustra l'idea che possono esservi molti valori del misurando se la sua definizione èincompleta (punto g della figura). L'incertezza che nasce da questa incompletezza nelladefinizione, misurata dalla varianza, è valutata attraverso misurazioni di differentirealizzazioni del misurando, effettuate usando lo stesso metodo, gli stessi strumenti,eccetera (vedere D.3.4).

Nota Nella colonna intestata "Varianza", le varianze vanno intese come le varianze u yi2( ) definite

nell'equazione (11) in 5.1.3; pertanto esse si sommano linearmente, come indicato.



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figura D.1 Illustrazione grafica di valore, errore ed incertezza

Media aritmetica delleosservazioni non corretta

Correzione che tiene conto di tutti gli effetti

sistematici identificati

a) Concetti basati su grandezze osservabili

Errore ignoto dovuto a tutti gli effetti

sistematici identificati

Media aritmetica delleosservazioni corretta

La media aritmetica è ilvalore stimato del misurando,cioè il risultato della misurazione

Incertezza tipo composta dellamedia corretta. Essa comprendel'incertezza della media primadella correzione, dovuta alla dispersione delle osservazioni, el'incertezza della correzioneapplicata

Incertezza tipo della media noncorretta, dovuta alla dispersione

delle osservazioni (qui mostrata come un intervallo, a scopo dimostrativo)

b) Concetti ideali basati su grandezze ignote

Valore ignotodel misurando

Distribuzione ignota (qui ipotizzataapprossimativamente normale)

dell'intera popolazione delle possibili osservazioni non corrette

Media ignota della popolazione,con scarto tipo ignoto

(indicato dall'ombreggiatura)

Errore ignoto della media corretta, dovuto all'errore"casuale" ignoto della media non corretta e all'errore ignoto della correzione applicata

Errore residuo ignoto della media corretta, dovuto all'effettosistematico non identificato

Errore "casuale" ignoto dellamedia delle osservazioni non corretta

Distribuzione ignota dell'intera popolazione delle possibili osservazioni corrette



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figura D.2 Illustrazione grafica di valori, errore ed incertezza

a) Osservazioni non corrette

b) Media aritmetica delleosservazioni non corretta

c) Correzione di tutti gli effetti sistematici identificati

d) Risultato della misurazione

f) Valore del misurando (ignoto)

e) Errore residuo(ignoto)

g) Valore del misurando dovuti alla sua incompleta definizione (ignoto)

h) Risultato finale della misurazione

GrandezzaValore

(non in scala)

Valori crescenti

Varianza(non in scala)

(osservazione singola)

(media aritmetica)

(non comprende la varianzadovuta alla definizione incompleta del misurando)



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APPENDICE E MOTIVAZIONI E FONDAMENTI DELLA RACCOMANDAZIONE INC-1 (1980)

Questa appendice fornisce una breve discussione delle motivazioni e dei fondamentistatistici su cui riposa la Raccomandazione INC-1 (1980) del Gruppo di lavoro perl'espressione dell'incertezza, sulla quale si fonda la presente guida. Per un'ulteriorediscussione, vedere i riferimenti [1, 2, 11, 12].

E.1 "PRUDENZIALE", "CASUALE" E "SISTEMATICO"

E.1.1 La presente guida illustra un metodo, utilizzabile nei più svariati contesti, per lavalutazione e l'espressione dell'incertezza di misura. Tale metodo fornisce un valorerealistico dell'incertezza piuttosto che un valore "sicuro", basandosi sul concetto che nonesiste differenza intrinseca tra una componente di incertezza originata da un effettocasuale ed una componente originata dalla correzione di un effetto sistematico (vedere3.2.2 e 3.2.3). Il metodo è tuttavia in contrasto con altri metodi che hanno le seguenti dueidee in comune tra loro.

E.1.2 La prima idea è che l'incertezza debba essere "sicura" o "prudenziale", nel senso chenon deve mai essere sbagliata per difetto. Di fatto l'incertezza, essendo di problematicavalutazione, spesso veniva deliberatamente allargata.

E.1.3 La seconda idea è che le sorgenti dell'incertezza fossero sempre classificabili in "casuali"o "sistematiche", e che le due classi fossero di diversa natura; che le incertezze associatead ogni classe dovessero essere composte secondo le specifiche regole della classe e idue risultati dovessero essere dichiarati separatamente (o, quando fosse statonecessario un solo numero, combinati in un qualche modo specificato). Di fatto, il metododi composizione delle incertezze veniva spesso finalizzato al requisito della prudenzialità.

E.2 GIUSTIFICAZIONE DI UNA VALUTAZIONE REALISTICA DELL'INCERTEZZA

E.2.1 Quando si riporta il valore di un misurando, si deve dare la miglior stima del suo valore e lamiglior valutazione possibile dell'incertezza, poiché se questa deve essere alterata, nonè di norma possibile decidere quale è la direzione di un'alterazione "prudenziale". Unasottovalutazione delle incertezze porta ad attribuire troppa fiducia nei valori riportati, conconseguenze talvolta fastidiose o addirittura disastrose. Ma anche una sopravvalutazioneintenzionale può avere ripercussioni indesiderabili. Potrebbe indurre gli utenti distrumentazione di misura ad acquistare strumenti più costosi del necessario, o potrebbefar scartare senza necessità prodotti costosi, o far respingere i servizi di un laboratorio ditaratura.

E.2.2 Non si vuol dire che gli utenti del risultato di una misurazione non possano, allo scopo diottenere un'incertezza estesa che definisca un intervallo avente un livello di fiduciavoluto che soddisfi le loro necessità, applicare il proprio fattore moltiplicativo all'incertezzaassegnata al risultato, né che, in determinate circostanze, le istituzioni produttrici dimisure non possano applicare istituzionalmente un fattore che fornisca un'analogaincertezza estesa che soddisfi le esigenze di una particolare classe di utenti delle loromisure. Semplicemente, tali fattori (da specificarsi sempre) devono essere applicatiall'incertezza determinata in modo realistico, cosicché l'intervallo definito dall'incertezzaestesa abbia il livello di fiducia richiesto e l'operazione sia facilmente reversibile.

E.2.3 Chi ha a che fare con le misurazioni deve sovente incorporare nelle sue analisi i risultati dimisurazioni altrui, ognuno dei quali è affetto dalla propria incertezza. Per la valutazionedell'incertezza del risultato della propria misurazione, è necessario disporre,relativamente ad ognuno dei risultati importati dall'esterno, del miglior valore di incertezzapossibile, non di un valore "sicuro". Inoltre, deve esistere un modo logico e semplice per



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combinare queste incertezze importate con quelle delle proprie osservazioni, edottenere l'incertezza del proprio risultato. La raccomandazione INC-1 (1980) forniscequesto metodo.

E.3 GIUSTIFICAZIONE DELL'IDENTICO TRATTAMENTO PER TUTTE LE COMPONENTIDI INCERTEZZAIl punto fondamentale della discussione oggetto di questo paragrafo è un sempliceesempio che illustra come la guida, nella valutazione dell'incertezza del risultato di unamisurazione, tratti esattamente nello stesso modo le componenti di incertezza originateda effetti casuali e da correzioni di effetti sistematici. L'esempio dunque esemplifica ilpunto di vista adottato nella guida e citato in E.1.1, cioé che tutte le componentidell'incertezza sono della stessa natura e devono pertanto essere trattate nello stessomodo. Il punto di partenza della discussione è una derivazione semplificatadell'espressione matematica della propagazione degli scarti tipo, denominata nella guidalegge di propagazione delle incertezze.

E.3.1 La grandezza d'uscita z f w w wN= ( )1 2, ,..., dipenda da N grandezze d'ingresso

w w wN1 2, ,..., , con ogni wi descritta dall'opportuna distribuzione di probabilità. Lo sviluppo

di f in serie di Taylor intorno ai valori attesi delle w E wi i i, ,( ) ≡ µ troncato al prim'ordine,fornisce, per piccoli scostamenti di z intorno a µz in funzione di piccoli scostamenti delle wi

intorno alle µi .

z

fw

wzii

N

i i− = −( )=∑µ µ

∂∂

1

[E.1]

in cui si considerano trascurabili i termini di ordine superiore e in cui µ µ µ µz Nf= ( )1 2, ,..., . Il

quadrato dello scostamento z z− µ è allora dato da

zf

wwz

ii

N

i i−( ) = −( )

=∑µ µ

2

1

2∂

∂ [E.2a]

che può essere scritta

zf

ww

fw

fw

w wzi

i ii

N

i ji i j j

j i

N

i

N

−( ) =

−( ) + −( ) −( )= = +=

−

∑ ∑∑µ µ µ µ2

22

1 11

1

2∂

∂∂

∂∂

∂ [E.2b]

Il valore atteso del quadrato dello scostamento z z−( )µ2 è la varianza di z, vale a dire

E z z z−( )[ ] =µ σ

2 2 e dunque l'equazione (E.2b) porta a

σ σ σ σ ρzi

ii

N

i ji j

j i

N

iji

Nfw

fw

fw

22

2

1 11

1

2=

+= = +=

−

∑ ∑∑∂∂

∂∂

∂∂

[E.3]

In questa espressione σ µi i iE w2 2= −( )[ ] è la varianza di wi e

ρ σ σij i j i jv w w= ( ) ( ), 2 2

12 è il

coefficiente di correlazione di w i e w j, in cui v w w E w wi j i i j j,( ) = −( ) −( )[ ]µ µ è la

covarianza di w i e w j.

Nota 1 σz2 e σ i

2 sono i momenti centrali di ordine 2 (vedere C.2.13 e C.2.22) delle distribuzioni diprobabilità di z e di wi rispettivamente. Una distribuzione di probabilità può essere completamentecaratterizzata mediante il suo valore medio, la varianza ed i momenti centrali di ordine superiore.

Nota 2 L'equazione (13) in 5.2.2 [insieme con l'equazione (15)], usata per calcolare l'incertezza tipocomposta, è identica all'equazione (E.3) salvo che l'equazione (13) è espressa in termini di stimedelle varianze, degli scarti tipo e dei coefficienti di correlazione.



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E.3.2 L'equazione (E.3) viene sovente chiamata, nella terminologia tradizionale, "leggegenerale di propagazione degli errori". Questa denominazione meglio si attaglia ad

un'espressione della forma ∆ ∆z f w wiiN

i= ( )=∑ ∂ ∂1

, dove ∆z è la variazione indotta su z da

variazioni ∆wi (piccole) delle wi [vedere l'equazione (E.8)]. Infatti, l'equazione (E.3) è piùcorrettamente definibile, e la guida segue questa impostazione, come legge dipropagazione delle incertezze, in quanto mostra come le incertezze delle grandezzed'ingresso, identificate dagli scarti tipo delle distribuzioni di probabilità delle wi, sicombinano per dare l'incertezza della grandezza di uscita z, se tale incertezza vieneidentificata dallo scarto tipo della distribuzione di probabilità di z.

E.3.3 L'equazione (E.3) descrive anche la propagazione di multipli di scarti tipo, in quanto seogni scarto tipo σi viene sostituito da un suo multiplo kσi, con lo stesso k per ogni σi, loscarto tipo della grandezza di uscita z viene sostituito da kσz. Tuttavia, l'equazione nonvale per la propagazione degli intervalli di fiducia. Se ciascuna σi viene sostituita da unagrandezza δi che definisce un intervallo corrispondente ad un livello di fiducia pspecificato, la grandezza risultante per z, δz, non definirà un intervallo corrispondente allostesso valore di p, se non nel caso che tutte le wi siano descritte da distribuzioni normali.Viceversa, l'equazione (E.3) non implica alcuna ipotesi riguardo alla normalità delledistribuzioni di normalità delle wi . Più specificatamente, se nell'equazione (10) in 5.1.2ciascuno scarto tipo u(xi) viene valutato da osservazioni ripetute e indipendenti, emoltiplicato per il fattore t appropriato ai suoi gradi di libertà per un particolare valore di p(per esempio, p = 95%), l'incertezza della stima y non definirà un intervallocorrispondente a quel valore di p (vedere G.3 e G.4).

Nota Il requisito di normalità per la propagazione di intervalli di fiducia mediante l'equazione (E.3) puòessere una delle ragioni per la separazione storica delle componenti di incertezza derivate daosservazioni ripetute, considerate a distribuzione normale, e quelle valutate semplicemente comelimiti superiore ed inferiore.

E.3.4 Si consideri l'esempio seguente: z dipende da una sola grandezza d'ingresso w,z f w= ( ) , dove w è stimato mediando n valori wk di w ; questi n valori sono ottenuti da nosservazioni ripetute ed indipendenti qk di una variabile casuale q; wk e qk sono legati da

w qk k= +α β [E.4]

dove α è uno scostamento costante "sistematico", comune a ciascuna osservazione e βè un fattore di scala comune. Si conviene che lo scostamento ed il fattore di scala,benchè di valore fisso nel corso delle osservazioni, siano caratterizzati da distribuzioni diprobabilità a priori, con α e β quali migliori stime possibili dei valori attesi di questedistribuzioni.

La miglior stima di w è la media aritmetica w ottenuta da

w

nw

nqk

k

n

kk

n

= = +( )= =

∑ ∑1 1

1 1

α β [E.5]

La grandezza z viene allora stimata da f w f q q qn( ) = ( )α β, , , ,...,1 2 e la stima u2(z) della sua

varianza σ2(z) è ottenuta dall'equazione (E.3). Se si assume per semplicità z = w, cosicchè

la miglior stima di z è z f w w= ( ) = , allora si può ottenere con facilità la stima u2(z). Notando

che dall'equazione (E.5)

∂∂

∂∂

∂∂

f fn

q qf

q nkk

n

kα β

β= = = ==

∑11

1

, , e ,

indicando con u2(α) e u2(β) rispettivamente le varianze stimate di α e β e assumendo chele singole osservazioni siano scorrelate, si trova dall'equazione (E.3)

u z u q u

s q

nk2 2 2 2 2

2

( ) = ( ) + ( ) +( )

α β β [E.6]



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in cui s qk2( ) è la varianza sperimentale delle osservazioni qk calcolata mediante

l'equazione (4) in 4.2.2, e s q n s qk2 2( ) = ( ) è la varianza sperimentale della media q

[equazione (5) in 4.2.3].

E.3.5 Nella terminologia tradizionale, il terzo termine del secondo membro dell'equazione (E.6)è denominato contributo "casuale" alla varianza stimata u2(z) in quanto normalmentedecresce al crescere del numero di osservazioni n, mentre i primi due termini sonodenominati contributi "sistematici" in quanto non dipendono da n.Un fatto più significativo è che in talune trattazioni tradizionali dell'incertezza di misural'equazione (E.6) è criticata, in quanto in essa non si fa distinzione tra incertezze originateda effetti sistematici ed incertezze originate da effetti aleatori. In particolare, vienedeprecata la prescrizione di combinare varianze ottenute da distribuzioni di probabilità apriori con varianze ottenute da distribuzioni basate sulla frequenza, in quanto si ritieneche il concetto di probabilità sia applicabile solamente ad eventi che si possono ripetereun grande numero di volte in condizioni praticamente costanti, cosicchè la probabilità p diun evento (0 ≤ p ≤ 1) indicherebbe la frequenza relativa con cui si verificherà l'eventostesso.In contrasto con questa concezione frequentista della probabilità, un'altra concezione,ugualmente valida, è che la probabilità sia una valutazione quantitativa del grado dicredenza nel verificarsi di un evento [13, 14]. Per esempio, si supponga che unoscommettitore razionale abbia la possibilità di vincere una piccola somma di denaro D. Ilsuo grado di credenza nel verificarsi dell'evento A, è p = 0,5 se egli è indifferente rispettoa queste due possibili scommesse: (1) ricevere D se si verifica l'evento A ma nulla se essonon si verifica; (2) ricevere D se l'evento A non si verifica ma nulla se esso si verifica. Laraccomandazione INC-1 (1980), sulla quale si fonda la presente guida, adottaimplicitamente questa concezione della probabilità, poichè ritiene che espressioni comel'equazione (E.6) rappresentino il modo appropriato per calcolare l'incertezza tipocomposta del risultato di una misurazione.

E.3.6 L'adottare l'interpretazione della probabilità basata sul grado di credenza, lo scarto tipo(incertezza tipo) e la legge di propagazione dell'incertezza [equazione E.3)], come basidella valutazione e dell'espressione dell'incertezza nella misurazione, come fa la guida,comporta tre distinti vantaggi:a) la legge di propagazione dell'incertezza consente di incorporare agevolmente

l'incertezza tipo composta di un risultato nella valutazione dell'incertezza tipocomposta di un altro risultato in cui si usi il primo;

b) l'incertezza tipo composta può rappresentare la base per il calcolo di intervallicorrispondenti realisticamente al livello di fiducia loro richiesto; infine;

c) non è necessario classificare le componenti come "casuali" o "sistematiche" (o inqualunque altro modo) quando si valuta l'incertezza, poiché tutte le componentidell'incertezza vengono trattate nello stesso modo.

Il vantaggio c) è notevole, poiché tale classificazione è sovente fonte di confusione; unacomponente dell'incertezza non è "casuale" o "sistematica". La sua natura è condizionatadall'uso fatto della grandezza corrispondente o, in termini formali, dal contesto in cui lagrandezza compare nel modello matematico che descrive la misurazione. Così, quando lagrandezza cui la componente si riferisce viene usata in un diverso contesto, unacomponente "casuale" può diventare "sistematica" e viceversa.

E.3.7 Per la ragione fornita in c), la Raccomandazione INC-1 (1980) non classifica le componentidell'incertezza come "casuali" o "sistematiche". Di fatto, per quanto riguarda il calcolodell'incertezza tipo composta del risultato di una misurazione non è necessaria alcunaclassificazione delle componenti dell'incertezza, e dunque non si sente l'esigenza dialcuno schema classificatorio. Cionondimeno, poiché etichette opportune possonoessere di qualche ausilio nella comunicazione e nella discussione delle idee, laRaccomandazione INC-1 (1980) fornisce uno schema per classificare i due possibilimetodi, "A" e "B", di valutazione delle componenti di incertezza (vedere 0.7, 2.3.2 e2.3.3).Classificando i metodi usati per valutare le componenti di incertezza si evita il problemaprincipale insito nella classificazione delle componenti stesse, vale a dire la dipendenzadella classificazione di una componente dall'uso che della corrispondente grandezza



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viene fatto. Tuttavia, la classificazione dei metodi piuttosto che delle componenti nonpreclude la possibilità di raggruppare le singole componenti valutate con i due metodi ingruppi specifici, destinati ad un'applicazione particolare in una data misurazione, peresempio, quando si debbano confrontare la variabilità osservata e quella teorica nei valoridi uscita di un esperimento complesso (vedere 3.4.3).

E.4 SCARTO TIPO COME MEZZO DI ESPRESSIONE DELL'INCERTEZZA

E.4.1 L'equazione (E.3) pretende che l'incertezza della stima di una grandezza d'ingresso siaespressa come incertezza tipo, cioè come scarto tipo stimato, indipendentemente dacome sia stata ottenuta. Se si è invece valutata una qualche alternativa "prudenziale",questa non è utilizzabile nell'equazione (E.3). In particolare, se nell'equazione (E.3) siusa l'"errore massimo" (il massimo scostamento concepibile dalla ipotetica migliore stima),l'incertezza risultante avrà un significato mal definito e non sarà utilizzabile da nessunoche volesse incorporarla in calcoli successivi di incertezze di altre grandezze (vedereE.3.3).

E.4.2 Quando non si può valutare l'incertezza di una grandezza d'ingresso dall'analisi deirisultati di un numero adeguato di osservazioni ripetute, si deve adottare unadistribuzione di probabilità basata su conoscenze molto meno vaste di quanto sarebbedesiderabile. Tuttavia, ciò non toglie validità né senso alla distribuzione; come tutte ledistribuzioni di probabilità, essa è un'espressione del livello di conoscenza esistente.

E.4.3 Le valutazioni basate su osservazioni ripetute non sono necessariamente superiori a

quelle ottenute con altri metodi. Si consideri s q( ) , lo scarto tipo sperimentale della media

di n osservazioni indipendenti qk di una variabile casuale q distribuita normalmente

[vedere equazione (5) in 4.2.3]. La grandezza s q( ) è una statistica (vedere C.2.23) che

stima σ q( ) , lo scarto tipo della distribuzione di probabilità di q , vale a dire lo scarto tipo

della distribuzione dei valori di q che si otterrebbero se la misurazione fosse ripetuta un

numero infinito di volte. La varianza σ 2 s q( )[ ] di s q( ) è data approssimativamente da

σ σ ν2 2 2s q q( )[ ] ≈ ( ) [E.7]

in cui ν = n - 1 sono i gradi di libertà di s q( ) (vedere G.3.3). Quindi lo scarto tipo relativo di

s q( ) , dato dal rapporto σ σs q q( )[ ] ( ) e che può essere considerato una espressione

dell'incertezza relativa di s q( ) , è approssimativamente pari a 2 112n −( )[ ] −. Questa

"incertezza dell'incertezza" di q, dovuta alla ragione squisitamente statistica dellalimitatezza di campionamento, può essere sorprendentemente grande; per n = 10osservazioni è del 24%. Questo ed altri valori sono dati nella tabella E.1, che mostra comelo scarto tipo di uno scarto tipo stimato per via statistica non sia trascurabile per valori di nfrequenti nella pratica. Se ne può pertanto concludere che valutazioni di categoria A nonsono necessariamente più attendibili di valutazioni di categoria B, e che in moltesituazioni sperimentali concrete, in cui il numero di osservazioni è limitato, le componentiottenute da valutazioni di categoria B possono essere conosciute meglio di quelleottenute da valutazioni di categoria A.



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prospetto E.1 σ σs q q( )[ ] ( ) lo scarto tipo dello scarto tipo sperimentale della media q di n osservazioni

indipendenti di una variabile casuale q distribuita normalmente, riferito allo scarto tipo di quellamedia(a)

Numero di osservazioni

n σ σs q q( )[ ] ( )

(espressa in percento)

2 76

3 52

4 42

5 36

10 24

20 16

30 13

50 10

(a) I valori sono stati calcolati dall'espressione esatta per σ σs q q( )[ ] ( ) e non dall'espressione

approssimata 2 112n −( )[ ] −.

E.4.4 Si è argomentato che, mentre le incertezze associate all'applicazione di un particolaremetodo di misurazione sono parametri statistici che caratterizzano variabili casuali, vi sianoinvece casi di "effetti puramente sistematici" la cui incertezza deve essere trattata in mododiverso. Un esempio è una deviazione avente valore fisso ma ignoto, comune a tutte ledeterminazioni effettuate con quel metodo e dovuta ad una imperfezione nel principiostesso del metodo o in una delle ipotesi ad esso sottostanti. Ma, anche in questo caso, ilfatto che di tale deviazione venga riconosciuta l'esistenza, e che l'entità ne venga ritenutasignificativa, implica la possibilità di descriverla mediante una distribuzione di probabilità,per semplice che questa sia, basata sulle conoscenze che hanno portato ad ipotizzarnel'esistenza e la significatività. Se dunque la probabilità viene interpretata comeespressione quantitativa del grado di credenza nel verificarsi di un evento, il contributo diun effetto sistematico come quello descritto può essere incluso nell'incertezza tipocomposta del risultato di una misurazione, valutandolo come scarto tipo di unadistribuzione di probabilità a priori, e trattandolo così come una qualsiasi incertezza tipo diuna grandezza d'ingresso.

Esempio

Una procedura di misurazione prescrive che una certa grandezza d'ingresso sia calcolatamediante uno sviluppo in serie specificato i cui termini di ordine superiore sono malconosciuti. L'effetto sistematico dovuto all'incapacità di trattare esattamente questitermini porta ad una deviazione fissa ed ignota che non può essere campionata per viasperimentale ripetendo la procedura. Pertanto l'incertezza associata all'effetto non puòessere valutata ed inclusa nell'incertezza del risultato finale della misurazione se si adottarigorosamente la concezione frequentista della probabilità. Viceversa, l'interpretazionedella probabilità come grado di credenza consente la valutazione dell'incertezza associataall'effetto mediante una distribuzione di probabilità iniziale (derivata dalle conoscenzedisponibili sui termini mal conosciuti) e la sua inclusione nel calcolo dell'incertezza tipocomposta del risultato della misurazione, come una qualsiasi altra incertezza.



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E.5 CONFRONTO DI DUE CONCEZIONI DELL'INCERTEZZA

E.5.1 Nella presente guida si pone l'accento sul risultato della misurazione e sulla suaincertezza valutata, piuttosto che sulle grandezze inconoscibili valore "vero" ed errore(vedere appendice D). Adottando il punto di vista operativo per cui il risultato di unamisurazione è semplicemente il valore attribuito al misurando e l'incertezza di tale risultatoè una valutazione quantitativa della dispersione dei valori ragionevolmente attribuibili almisurando, di fatto la guida tronca il collegamento, spesso fuorviante, tra incertezza e legrandezze inconoscibili valore "vero" ed errore.

E.5.2 Questo collegamento può essere compreso interpretando la derivazione dell'equazione(E.3), la legge di propagazione dell'incertezza, dal punto di vista di valore "vero" ederrore. In questo caso µi è visto come l'ignoto, unico valore "vero" della grandezzad'ingresso wi e si ipotizza che ogni wi sia legato al suo valore "vero" dalla relazione

wi i i= +µ ε , in cui εi è l'errore di wi . Il valore atteso della distribuzione di probabilità di ogni

εi è ipotizzato pari a zero, E iε( ) = 0, con varianza E i iε σ2 2( ) = . L'equazione (E.1) diventa

allora

ε εz

ii

i

N fw

==∑ ∂

∂1

[E.8]

in cui ε µz zz= − è l'errore di z e µz è il valore "vero" di z. Prendendo ora il valore attesodel quadrato di εz si ottiene un'equazione identica nella forma all'equazione (E.3), nella

quale però σ εz zE2 2= ( ) è la varianza di εz e

ρ ε ε σ σij i j i jv= ( ) ( )2 2

12 è il coefficiente di

correlazione di εi ed εj, nel quale v Ei j i jε ε ε ε,( ) = ( ) è la covarianza di εi ed εj. Le varianze e

le covarianze sono così associate agli errori delle grandezze d'ingresso piuttosto che allegrandezze d'ingresso stesse.

Nota Si ipotizza che la probabilità sia concepita come espressione quantitativa del grado di credenzanel verificarsi di un evento, cosicchè un errore sistematico può essere trattato nello stesso mododi un errore casuale ed εi è idoneo a rappresentare ambedue i tipi di errore.

E.5.3 In pratica la differenza nell'impostazione concettuale non porta a differenze nel valorenumerico del risultato della misurazione o dell'incertezza ad esso assegnata.Innanzitutto, in entrambi i casi vengono usate le migliori stime disponibili per le grandezzedi ingresso wi per ottenere la migliore stima possibile di z attraverso la funzione f; non faalcuna differenza, per quanto riguarda i calcoli, che queste migliori stime sianoconsiderate come valori più probabili da attribuire alle grandezze in questione o le miglioristime dei lori valori "veri".In secondo luogo, poiché ε µi i iw= − , e poiché le µi rappresentano valori fissi e dunquenon hanno incertezza, varianze e scarti tipo sono identici per le εi e le wi. Ciò significa cheper entrambi i casi le incertezze tipo usate come stime degli scarti tipo σi sono identiche eforniranno dunque lo stesso risultato per l'incertezza tipo composta del risultato dellamisurazione. Di nuovo, non fa alcuna differenza, per quanto riguarda i calcoli, cheun'incertezza tipo sia interpretata come valutazione quantitativa della dispersione delladistribuzione di probabilità di una grandezza di ingresso o come valutazione quantitativadella dispersione della distribuzione di probabilità dell'errore di quella grandezza.

Nota Senza l'ipotesi della nota in E.5.2, la presente discussione non varrebbe, a meno che tutte le stimedelle grandezze d'ingresso e le loro incertezze non fossero ricavate dall'analisi statistica diosservazioni ripetute, cioè da valutazioni di categoria A.



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E.5.4 Se l'impostazione concettuale basata su valore "vero" ed errore fornisce gli stessi risultatinumerici di quella seguita dalla guida (purché si accetti l'ipotesi della nota in E.5.2), laconcezione di incertezza della guida elimina la confusione tra errore ed incertezza(vedere appendice D). Invero, l'impostazione operazionale della guida, incentrata sulvalore osservato (o stimato) di una grandezza e sulla sua variabilità osservata (o stimata),rende del tutto superfluo il concetto di errore.



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APPENDICE F GUIDA PRATICA ALLA VALUTAZIONE DELLE COMPONENTI DELL'INCERTEZZA

Questa appendice fornisce suggerimenti ulteriori per la valutazione delle componentidell'incertezza, prevalentemente di natura pratica, a complemento di quelli già dati alpunto 4.

F.1 COMPONENTI VALUTATE MEDIANTE OSSERVAZIONI RIPETUTE: VALUTAZIONEDI CATEGORIA A DELL'INCERTEZZA TIPO

F.1.1 Casualità ed osservazioni ripetute

F.1.1.1 Le incertezze determinate mediante osservazioni ripetute vengono soventecontrapposte a quelle valutate con altri metodi come "oggettive", "statisticamenterigorose", ecc. Ciò implica scorrettamente che esse possano essere valutate mediante lapura e semplice applicazione alle osservazioni di formule statistiche, e che la lorovalutazione non richieda l'applicazione di una qualche valutazione soggettiva.

F.1.1.2 Ci si deve innanzitutto chiedere: "In quale misura le osservazioni ripetute rappresentanoripetizioni completamente indipendenti dalla procedura di misurazione?" Se tutte leosservazioni sono relative ad una singola campionatura, e se il campionamento è partedella procedura di misurazione poiché il misurando è una proprietà di un materiale (e nondi una specifica partita di quel materiale), allora le osservazioni non sono state ripetute inmodo indipendente; alla varianza osservata delle osservazioni ripetute sulla singolapartita si deve aggiungere una valutazione della componente di varianza originata dallepossibili differenze tra partite diverse.Se l'azzeramento di uno strumento è parte della procedura di misurazione, lo strumentodeve essere azzerato ad ogni ripetizione, anche nel caso che la deriva nel periodo diosservazione sia trascurabile, poiché esiste potenzialmente un'incertezza attribuibileall'azzeramento e determinabile per via statistica.Similmente, se si deve leggere un barometro, lo si dovrebbe fare in linea di principio adogni ripetizione della misurazione (e preferibilmente dopo averlo perturbato e lasciatoritornare all'equilibrio), poiché vi può essere variazione sia nell'indicazione sia nella lettura,anche se la pressione atmosferica rimane costante.

F.1.1.3 In secondo luogo, ci si deve chiedere se tutte le influenze considerate casuali lo sonoveramente. Sono le medie e le varianze delle loro distribuzioni costanti, o vi è forse unaderiva del valore di una grandezza d'influenza non misurata nel corso delle osservazioni?Se queste sono in numero sufficiente, si possono calcolare medie e scarti tipo dei risultatidella prima e della seconda metà del periodo di osservazione e confrontare le due medieallo scopo di giudicare se la loro differenza è statisticamente significativa, rivelando cosìun effetto variabile nel tempo.

F.1.1.4 Se i valori dei "servizi comuni" del laboratorio (tensione e frequenza di rete, pressione etemperatura dell'acqua, pressione dell'azoto, ecc.) costituiscono grandezze d'influenza,esiste di norma, nelle loro variazioni, un elemento fortemente non casuale che non puòessere trascurato.

F.1.1.5 Se la cifra meno significativa di un'indicazione digitale varia continuamente duranteun'osservazione a causa del rumore, è talvolta difficile evitare di selezionareinconsciamente valori personalmente preferiti di quella cifra. È preferibile congegnarequalche sistema per congelare l'indicazione ad un istante arbitrario e registrare il risultato.

F.1.2 CorrelazioniBuona parte della discussione di questa parte si applica anche alla valutazione dicategoria B dell'incertezza tipo.



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F.1.2.1 La covarianza associata alle stime di due grandezze d'ingresso Xi ed Xj può essereassunta pari a zero o irrilevante sea) Xi ed Xj sono scorrelate (le variabili casuali, non le grandezze fisiche che sono

ipotizzate invarianti - vedere 4.1.1, nota 1), per esempio perché sono state misurateripetutamente ma non simultaneamente in esperimenti indipendenti distinti, o perchérappresentano grandezze risultanti da valutazioni distinte fatte indipendentemente, ose

b) l'una o l'altra delle grandezze Xi o Xj possono essere trattate come costanti, o se

c) vi è informazione insufficiente per valutare la covarianza associata alle stime di Xi ed Xj.

Nota 1 D'altra parte, in certi casi, quale l'esempio della resistenza di riferimento della nota 1 al 5.2.2, èevidente che le grandezze d'ingresso sono totalmente correlate e dunque che le incertezze tipodelle loro stime si combinano linearmente.

Nota 2 Esperimenti distinti possono non essere indipendenti se, per esempio, si usa in ognuno lo stessostrumento (vedere F.1.2.3).

F.1.2.2 Si può appurare se due grandezze d'ingresso osservate ripetutamente esimultaneamente sono correlate o no per mezzo dell'equazione (17) in 5.2.3. Se peresempio la frequenza di un oscillatore poco o nulla compensato per la temperatura ègrandezza d'ingresso, e la temperatura ambiente è grandezza d'ingresso anch'essa, e sele due grandezze sono osservate simultaneamente, vi può essere correlazionesignificativa rivelata dalla covarianza calcolata della frequenza dell'oscillatore e dellatemperatura ambiente.

F.1.2.3 Nella pratica, le grandezze d'ingresso sono sovente correlate in quanto nella stima delloro valore interviene lo stesso campione di misura, o lo stesso strumento, dato diriferimento o anche solo lo stesso metodo di misurazione, avente un'incertezzasignificativa. Si supponga, senza ledere la generalità, che due grandezze d'ingresso X1ed X2, stimate da x1 ed x2, dipendano entrambe da un insieme di variabili scorrelate Q1,Q2, . . ., QL. Quindi X1 = F(Q1, Q2, . . ., QL) e X2 = G(Q1, Q2, . . ., QL), benché di fatto alcunedi queste variabili possano apparire solo in una delle due funzioni. Se u2(ql) è la varianzastimata associata alla stima ql di Ql, allora la varianza stimata associata ad x1 è, secondol'equazione (10) in 5.1.2,

u xFq

u ql

ll

L2

1

22

1( ) =

( )=∑ ∂

∂ [F.1]

e analoga per u2(x2 ). La covarianza stimata associata ad x1 ed x2 è data da

u x xFq

Gq

u ql l

ll

L

1 22

1

,( ) = ( )=∑ ∂

∂∂∂

[F.2]

Poiché alla sommatoria contribuiscono solamente quei termini per cui, per l dato,∂ ∂F ql ≠ 0 e ∂ ∂G ql ≠ 0 , la covarianza è pari a zero se non vi sono variabili comuni ad F eG.Il coefficiente di correlazione stimato r(x1, x2) associato alle due stime x1 ed x2 vienedeterminato tramite u(x1, x2) [equazione (F.2)] e l'equazione (14) in 5.2.2, con u(x1)calcolato con l'equazione (F.1) ed u(x2) analogamente. [Vedere anche l'equazione (H.9)in H.2.3.] È altresì possibile che la covarianza stimata associata a due stime d'ingressoabbia sia una componente statistica [vedere equazione (17) in 5.2.3], sia unacomponente originata nel modo discusso in questo punto.

Esempi

1 Uno stesso resistore campione RS viene usato per determinare nella stessamisurazione sia una corrente I sia una temperatura t. La corrente viene determinatamisurando con un voltmetro digitale la differenza di potenziale ai terminali delcampione; la temperatura viene determinata misurando, con un ponte di resistenza



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ed il campione, la resistenza Rt(t) di un sensore di temperatura resistivo tarato la cui

caratteristica temperatura-resistenza, nel campo 15 °C ≤ t ≤ 30 °C è t aR t t= ( ) −t2

0 , incui a e t0 sono costanti note. La corrente è allora determinata mediante la relazione

I = VS/RS e la temperatura mediante la relazione t a t R t= ( ) −β 20S

2 , in cui β(t) è ilrapporto Rt(t)/RS misurato sul ponte.

Poiché solo la grandezza RS è comune all'espressione per I e t, l'equazione (F.2)fornisce per la covarianza di I e t

u t

Rt

Ru R

V

Rt R u R

t t

Ru RI

I I,( ) = ( ) = −

( )( ) ( ) = −

+( ) ( )∂∂

∂∂S S

SS

S2 S S

S2 S

2 2 2 0 222

αβ

(Per semplicità di notazione, in questo esempio si è usato lo stesso simbolo tanto perla grandezza d'ingresso quanto per la sua stima).Per ottenere il valore numerico della covarianza si sostituiscono in questaespressione i valori numerici delle grandezze misurate I e t ed i valori di RS ed u(RS)riportati nel certificato di taratura del resistore campione. L'unità di misura di u(I, t) èchiaramente ampere per gradi Celsius poiché la dimensione della varianza relativa[u(RS) / RS]2 è uno (vale a dire, essa è una grandezza cosiddetta adimensionale).

Inoltre, sia una grandezza P legata alle grandezze d'ingresso I e t dalla relazione

P C I T t= +( )02

0 , dove C0 e T0 sono costanti note con incertezze trascurabili[u2(C0) ≈ 0, u2(T0) ≈ 0]. L'equazione (13) in 5.2.2 dà allora per la varianza di P infunzione delle varianze di I e t e della loro covarianza

u P

P

u u t

T t

u t

T t

2

2

2

20

2

024 4

( ) = ( ) − ( )+( ) + ( )

+( )I

I

II

,

Le varianze u2(I) e u2(T) si ottengono applicando l'equazione (10) di 5.1.2 alle

relazioni I = VS/RS e t a t R t= ( ) −β 20S

2 . I risultati sono

u u V V u R R2 2 2 2 2 2I I( ) = ( ) + ( )s s s s

e

u t t t u t t u R R20

2 2 20

2 2 24 4( ) = +( ) ( ) + +( ) ( )β β s s

in cui per semplicità si è ipotizzato che anche le incertezze delle costanti t0 ed a sianotrascurabili. Queste espressioni sono valutabili agevolmente poiché u2(VS) ed u2(β)possono essere determinate rispettivamente dalle letture ripetute del voltmetro e delponte di resistenza. Naturalmente, anche tutte le incertezze inerenti agli strumenti edal procedimento di misurazione impiegati devono essere tenute in conto nelladeterminazione di u2(VS) ed u2(β).

2 Nell'esempio di nota 1 al 5.2.2, sia la taratura di ogni resistore rappresentata da

R Ri i= α S, con u(α i) quale incertezza tipo del rapporto α i misurato da osservazioniripetute. Inoltre sia α i ≈1 per ciascun resistore e sia u(α i) sostanzialmente la stessaper ogni taratura, cosicché u(α i) ≈ u(α ). Allora le equazioni (F.1) ed (F.2) danno

u R R u u Ri2 2 2( ) = ( ) + ( )S

2Sα e u R R u Ri j,( ) = ( )2

S . Ciò implica per via dell'equazione

(14) in 5.2.2 che il coefficiente di correlazione di due resistori qualunque (i ≠ j) è

r R R ru

u R Ri j i j, ,( ) ≡ = + ( )( )

−

1

2 1

α

S S

Poiché u R RS S( ) = −10 4 , se u ( α ) = 100 × 10- 6 , r i j ≈ 0,5; seu(α ) = 10 × 10-6, rij ≈ 0,990; e se u(α ) = 1 × 10-6, rij ≈ 1,000. Così, se u(α ) → 0,

rij → 1 e u R u Ri( ) → ( )s .



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Nota In generale, nelle tarature per confronto come quella dell'esempio precedente, i valori stimati deicampioni sono correlati, ed il grado di correlazione dipende dal rapporto tra l'incertezza delconfronto e quella del campione di riferimento. Quando, come sovente accade nella pratica,l'incertezza del confronto è trascurabile rispetto a quella del campione di riferimento, i coefficientidi correlazione sono uguali a + 1 e l'incertezza di ogni elemento tarato è la stessa di quella delcampione.

F.1.2.4 Si può aggirare la necessità di introdurre la covarianza u x xi j,( ) se l'insieme originario di

grandezze d'ingresso X1, X2, . . . , XN, da cui dipende il misurando Y [vedere equazione (1)in 4.1], viene ridefinito in modo da introdurre, come grandezze d'ingresso indipendentiaggiuntive, le grandezze Ql comuni a due o più delle Xi originali. (Può rendersinecessario effettuare misure supplementari per stabilire con esattezza la relazione tra Qle la Xi interessata.) Tuttavia, in talune situazioni accettare le covarianze può esserevantaggioso rispetto ad aumentare il numero di grandezze d'ingresso. Un processoanalogo può essere effettuato sulle covarianze osservate per osservazioni simultaneeripetute [vedere equazione (17) in 5.2.3], ma l'identificazione delle grandezze d'ingressoaddizionali appropriate è spesso ad hoc e senza motivazione fisica.

Esempio

Se nell'esempio 1 del precedente punto si introducono nell'espressione per P leespressioni per I e t in termini di RS, il risultato è

PC V

R T t R t=

+ ( ) −[ ]0

2

20

2 20

S

S Sαβ

e la correlazione tra I e t viene evitata al prezzo di sostituire le grandezze d'ingresso I e tcon le grandezze VS, RS e β. Poiché queste sono scorrelate, la varianza di P può essereottenuta dall'equazione (10) in 5.1.2.

F.2 COMPONENTI VALUTATE CON ALTRI METODI: VALUTAZIONE DI CATEGORIA BDELL'INCERTEZZA TIPO

F.2.1 La necessità di valutazioni di categoria BUn laboratorio di misura che disponesse di tempo e risorse illimitati potrebbe condurreun'indagine statistica esauriente su ogni causa di incertezza immaginabile, usando, peresempio, molti tipi ed esemplari diversi di strumenti, diversi metodi di misura, diverseapplicazioni dello stesso metodo e diversi livelli di approssimazione nei modelli teoricidella sua misurazione. In questo modo le incertezze associate a ciascuna di queste causepotrebbero essere valutate mediante l'analisi statistica di serie di osservazioni el'incertezza di ciascuna causa potrebbe essere caratterizzata da uno scarto tipo valutatoper via statistica. In altre parole, tutte le componenti di incertezza sarebbero ottenute davalutazioni di categoria A. Poiché tale indagine non è possibile in pratica, moltecomponenti dell'incertezza devono essere valutate usando un qualche metodopraticabile.

F.2.2 Distribuzioni determinate matematicamente

F.2.2.1 La risoluzione di un'indicazione digitaleUna delle fonti di incertezza in uno strumento digitale è la risoluzione del suo dispositivoindicatore. Per esempio, quand'anche le letture ripetute fossero tutte identiche,l'incertezza della misurazione attribuibile alla ripetibilità non sarebbe zero, in quanto vi èun campo di segnali d'ingresso, individuato da un intervallo noto, che produce la stessaindicazione in uscita. Se la risoluzione del dispositivo indicatore è δx, il valore dellasollecitazione che produce una indicazione data X può giacere con uguale probabilità inqualunque punto dell'intervallo compreso tra X - δx/2 e X + δx/2. La sollecitazione è allora



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descritta da una distribuzione di probabilità rettangolare (vedere 4.3.7 e 4.4.5) diampiezza δx con varianza u2 = (δx)2/12, vale a dire un'incertezza tipo u = 0,29 δx perqualsiasi indicazione.Pertanto uno strumento per pesare con dispositivo indicatore la cui cifra menosignificativa è 1 g ha, a causa della risoluzione del dispositivo, una varianza u2 = (1/12) g2

e dunque un'incertezza tipo u = (1 12 ) g = 0,29 g.

F.2.2.2 IsteresiCerti tipi di isteresi possono causare un'incertezza di tipo simile. L'indicazione di unostrumento può differire di una quantità fissa e nota a seconda che le letture siano insuccessione crescente o decrescente. L'operatore accorto prende nota della direzionedelle letture successive ed apporta la correzione del caso. Non sempre tuttavia ladirezione dell'isteresi è osservabile: vi possono essere oscillazioni nascoste intorno adun punto di equilibrio, cosicchè l'indicazione dipende dalla direzione ignota da cui siraggiunge il punto di equilibrio. Se il campo di possibili letture causate da questo effetto èδx, la varianza è u2 = (δx)2/12 e l'incertezza tipo dovuta all'isteresi è u = 0,29 δx.

F.2.2.3 Aritmetica a precisione finitaL'arrotondamento o il troncamento di numeri che si verifica nell'elaborazione automaticadei dati su calcolatore può costituire un'altra sorgente di incertezza. Si consideri peresempio un elaboratore elettronico con una lunghezza di parola di 16 bit. Se nel corsodell'elaborazione un numero avente questa lunghezza di parola viene sottratto da unaltro da cui differisce solo nel 16° bit, rimane un solo bit significativo. Un evento siffatto sipuò verificare nella valutazione di algoritmi "mal condizionati", difficili da predire. Si puòottenere una valutazione empirica dell'incertezza incrementando la grandezza d'ingressopiù importante ai fini del calcolo (spesso ve ne è una proporzionale alla grandezzad'uscita) di piccoli passi fino ad osservare una variazione della grandezza d'uscita; la piùpiccola variazione della grandezza d'uscita ottenibile in questo modo può essereadottatta come espressione quantitativa dell'incertezza; se tale variazione è δx, la varianzaè u2 = (δx)2/12 e l'incertezza tipo è u = 0,29 δx.

Nota Si può controllare la valutazione dell'incertezza confrontando il risultato del calcolo effettuato sullamacchina avente una lunghezza di parola limitata con il risultato dello stesso calcolo effettuato sudi una macchina avente una lunghezza di parola significativamente maggiore.

F.2.3 Valori di ingresso importati

F.2.3.1 Un valore importato di una grandezza d'ingresso è quello che non è stato stimato nelcorso di una misurazione ma è stato ottenuto altrove come risultato di una valutazioneindipendente. Sovente tale valore importato è accompagnato da una qualchedichiarazione circa la sua incertezza. Per esempio, questa può essere data come unoscarto tipo o un suo multiplo, o come semiampiezza di un intervallo avente un livello difiducia specificato. In alternativa possono essere dichiarati i limiti superiore ed inferiore, opuò non esservi alcuna notizia sull'incertezza. In quest'ultimo caso l'utente del valoredeve ricorrere alla sua personale conoscenza sulla possibile ampiezza dell'incertezza,data la natura della grandezza, l'affidabilità della fonte, le incertezze che si ottengono inpratica per tali grandezze, ecc.

Nota La discussione dell'incertezza di grandezze d'ingresso importate è inclusa in questo punto relativoalla valutazione di categoria B dell'incertezza tipo solo per comodità; l'incertezza di una talegrandezza potrebbe essere composta di componenti ottenute da valutazioni unicamente dicategoria A o da valutazioni delle due categorie, A e B. Non essendo necessario, ai fini del calcolodell'incertezza tipo composta, distinguere tra componenti valutate secondo i due metodi, non èparimenti necessario conoscere la composizione dell'incertezza di una grandezza importata.

F.2.3.2 Taluni laboratori di taratura hanno adottato la prassi di esprimere "l'incertezza" sotto formadi limiti superiore ed inferiore che definiscono un intervallo avente livello di fiducia"minimo", per esempio, "almeno del 95%". Tale pratica può essere vista come unesempio della cosiddetta incertezza "prudenziale" (vedere E.1.2) che non può essereconvertita in un'incertezza tipo senza sapere come è stata calcolata. Se sono dateinformazioni sufficienti, tale incertezza può essere ricalcolata secondo le regole dellaguida; altrimenti si deve procedere, con i mezzi disponibili, ad una valutazioneindipendente dell'incertezza.



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F.2.3.3 Talune incertezze sono date semplicemente sotto forma di limiti massimi entro i quali siasseriscono giacere tutti i valori della grandezza. È prassi corrente assumere che tutti ivalori interni ai limiti siano equiprobabili (distribuzione di probabilità rettangolare), ma nonci si dovrebbe comportare così se sussistono ragioni per ritenere che i valori interni ailimiti, ma ad essi vicini, siano meno probabili di quelli prossimi al centro. Una distribuzionerettangolare di semiampiezza a ha varianza a2/3; una distribuzione normale per cui a sia lasemiampiezza di un intervallo avente livello di fiducia del 99,73% ha varianza a2/9. Puòessere prudente adottare un compromesso tra questi valori, usando per esempio unadistribuzione triangolare per cui la varianza è a2/6 (vedere 4.3.9 e 4.4.6).

F.2.4 Grandezze di ingresso misurate

F.2.4.1 Osservazione singola, strumenti taratiSe una stima d'ingresso è stata ottenuta da una singola osservazione con un particolarestrumento che è stato tarato rispetto ad un campione avente piccola incertezza,l'incertezza della stima è dovuta prevalentemente alla ripetibilità. La varianza diosservazioni ripetute dello strumento può essere stata ottenuta in precedenteoccasione, ad un valore di lettura non necessariamente identico, ma a questosufficientemente vicino da essere utilizzabile come varianza del valore d'ingresso inquestione. Se non è disponibile una simile informazione, si deve fare una stima sullabase della natura dell'apparato dello strumento di misura o delle varianze note di altristrumenti di costruzione simile, ecc.

F.2.4.2 Osservazione singola, strumenti verificatiNon tutti gli strumenti di misura sono accompagnati da un certificato o da una curva ditaratura. La maggior parte di essi, tuttavia, sono costruiti in ottemperanza ad una norma edil costruttore o una autorità indipendente ne verifica la conformità alla norma stessa.Solitamente nella norma sono formulati requisiti metrologici, spesso sotto forma di "erroremassimo ammesso" a cui si chiede che lo strumento ottemperi. La conformità dellostrumento a questi requisiti viene accertata mediante confronto con uno strumento diriferimento la cui incertezza massima ammessa è di solito specificata nella norma. Questaincertezza è allora una componente dell'incertezza dello strumento verificato.Se non si sa nulla circa la curva caratteristica dell'errore dello strumento verificato, si devefare l'ipotesi che l'errore possa avere qualsiasi valore entro i limiti specificati, si deve cioèipotizzare una distribuzione rettangolare. Tuttavia, certi tipi di strumenti hanno curvecaratteristiche tali che gli errori hanno probabilità di essere positivi in una parte del campodi misura e negativi in altre parti. Talvolta queste informazioni possono essere desuntedallo studio della norma.

F.2.4.3 Grandezze controllateSovente le misurazioni vengono effettuate in condizioni di riferimento controllate chevengono considerate costanti nel corso di una serie di misurazioni. Per esempio, sipossono effettuare misurazioni su provini immersi in un bagno d'olio a circolazione la cuitemperatura è controllata da un termostato. La temperatura del bagno può esseremisurata ogni volta che si effettua una misurazione su un provino, ma se la temperaturadel bagno ha un andamento ciclico, la temperatura istantanea del provino può nonessere quella misurata. Il calcolo delle fluttuazioni di temperatura del provino e delle lorovarianze sulla base della teoria dello scambio termico va al di là degli scopi della presenteguida, ma presuppone un ciclo di temperatura del bagno noto o ipotizzato. Il ciclo puòessere osservato per mezzo di una termocoppia sottile e di un registratore ditemperatura, ma, in mancanza di ciò, se ne può dedurre un'approssimazioneconoscendo il tipo di controllo.

F.2.4.4 Distribuzioni asimmetriche dei valori possibiliVi sono occasioni in cui tutti i possibili valori di una grandezza giacciono da una parte soladi un solo valore limite. Per esempio, quando si misura l'altezza verticale h (il misurando) diuna colonna di liquido in un manometro, l'asse del dispositivo di misura può scostarsi dallaverticale di un piccolo angolo β. La distanza l determinata dal dispositivo sarà sempremaggiore di h; non sono possibili valori minori di h, poiché h è uguale alla proiezionel cos β, per cui l = h/cos β, e tutti i valori di cos β sono minori di uno; nessun valoremaggiore di uno è possibile. Questo cosiddetto "errore del coseno" si può anche



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verificare in modo che la proiezione h' cosβ di un misurando h' è uguale alla distanzaosservata l, l = h' cos β, cosicchè la distanza osservata è sempre minore del misurando.Se si introduce una nuova variabile δ β= −1 cos le due differenti situazioni sono,ipotizzando β ≈ 0, ovvero δ <<1 come di norma avviene,

h l= −( )1 δ [F.3a]

h l' = +( )1 δ [F.3b]

Qui l , la miglior stima di l, è la media aritmetica di n osservazioni ripetute indipendenti lk di l

ed ha varianza stimata u l2( ) [vedere equazioni (3) e (5) in 4.2]. Dalle equazioni (F.3a) ed

(F.3b) discende dunque che la stima di h o di h' richiede una stima del fattore dicorrezione δ, e che la valutazione dell'incertezza tipo composta della stima di h o di h'richiede la conoscenza di u

2 δ( ) , cioè la varianza stimata di δ. Più specificamente,applicando l'equazione (10) in 5.1.2 alle equazioni (F.3a) ed (F.3b) si ottiene peru h u hc c e per 2 2( ) ( )' (cui competono i segni - e + rispettivamente)

u u l l uc

2 2 2 2 21= ( ) ( ) + ( )m δ δ [F.4a]

≈ ( ) + ( )u l l u2 2 2 δ [F.4b]

Per stimare il valore atteso e la varianza di δ, si supponga che l'asse del dispositivoutilizzato per misurare l'altezza della colonna di liquido nel manometro sia vincolato sulpiano verticale e che la distribuzione dei valori dell'angolo di inclinazione β intorno al suovalore atteso (uguale a zero) sia normale con varianza σ2. Sebbene β possa avere valoripositivi e negativi, δ β= −1 cos è positivo per qualunque valore di β. Se si ipotizza che ildisallineamento dell'asse del dispositivo non sia vincolato sul piano verticale,l'orientamento dell'asse potrà variare su un angolo solido, in quanto sono possibili anchespostamenti azimuttali, ma in questo caso β sarà un angolo sempre positivo.

Nel caso vincolato o unidimensionale, l'elemento di probabilità p β β( )d (C.2.5, nota) è

proporzionale a exp d−( )[ ]β σ β2 22 ; nel caso non vincolato o bidimensionale, l'elemento

di probabilità è proporzionale a exp sin d−( )[ ]β σ β β2 22 . Le densità di probabilità p δ( ) nei

due casi sono le espressioni richieste per determinare il valore atteso e la varianza di δ, dausarsi poi nelle equazioni (F.3) ed (F.4). Esse possono essere ottenute agevolmentedagli elementi di probabilità poiché l'angolo β può essere considerato piccolo, per cui leespressioni δ β= −1 cos e sinβ possono essere approssimate dai termini del prim'ordine

dei loro sviluppi in serie di β . Questi sono δ β≈ 2 2 e sinβ β δ≈ ≈ 2 , da cui

d dβ δ δ≈ 2 . Le densità di probabilità sono allora

p δ

σ πδδ σ( ) = −( )1 2exp [F.5a]

in una dimensione, e

p δ

σδ σ( ) = −( )1

22exp [F.5b]

in due dimensioni, dove

p δ δ( ) =

∞

∫01d

Le equazioni (F.5a) ed (F.5b), che mostrano come il valore più probabile della correzioneδ è zero in entrambi i casi, danno nel caso unidimensionale E δ σ( ) = 2 2 e var δ σ( ) = 4 2

per il valore atteso e la varianza di δ; e nel caso bidimensionale E δ σ( ) = 2 e var δ σ( ) = 4 .Le equazioni (F.3a), (F.3b) ed (F.4b) diventano allora



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h l d u= −( ) ( )[ ]1 2 2 β [F.6a]

h l d u' = +( ) ( )[ ]1 2 2 β [F.6b]

u h u h u l d l uc c

2 2 2 2 42( ) = ( ) = ( ) + ( ) ( )' β [F.6c]

in cui d è la dimensione (d = 1 o 2) ed u(β) è l'incertezza tipo dell'angolo β, assunta comemigliore stima dello scarto tipo σ di una distribuzione ritenuta normale e da valutarsimediante tutte le informazioni disponibili sulla misurazione (valutazione di categoria B).Questo è un esempio di un caso in cui la stima del valore del misurando dipendedall'incertezza di una grandezza d'ingresso.Le equazioni da (F.6a) ad (F.6c) sono specifiche per la distribuzione normale, ma l'analisipuò essere condotta in modo analogo per altre distribuzioni di β. Se per esempio siipotizza per β una distribuzione rettangolare simmetrica con limiti superiore ed inferiore+β0 e -β0 per il caso unidimensionale, e +β0 e zero per quello bidimensionale, si ha

E δ β( ) = 02 6 e var δ β( ) = 0

4 45 in una dimensione, ed E δ β( ) = 02 4 e var δ β( ) = 0

4 48 indue dimensioni.

Nota È questa una situazione in cui il termine del primo ordine dello sviluppo in serie di Taylor della

funzione Y f X X XN= ( )1 2, , . . . , è insufficiente per ottenere u yc2( ) dall'equazione (10) in 5.1.2,

a causa della non linearità di f: cos cosβ β≠ (vedere nota 2 a 5.1.2 ed H.2.4). Sebbene si possaeffettuare l'analisi interamente in termini di β, l'introduzione della variabile δ semplifica la trattazione.

Un altro esempio di situazione in cui tutti i possibili valori di una grandezza giacciono dauna stessa parte rispetto ad un solo valore limite è la determinazione per titolazione dellaconcentrazione di un componente in una soluzione, caso in cui il punto di soglia èindicato dall'attivazione di un segnale; la quantità di reagente aggiunto è sempresuperiore a quella necessaria ad attivare il segnale. L'eccedenza titolata oltre il punto disoglia è una variabile richiesta dall'elaborazione dei dati, e la procedura in questo caso, edin altri analoghi, è di ipotizzare per l'eccedenza una distribuzione di probabilità appropriatae di usarla per ottenere il valore atteso e la varianza dell'eccedenza.

Esempio

Se per l'eccedenza si assume una distribuzione rettangolare avente come limite inferiorezero e come limite superiore C0, il valore atteso dell'eccedenza è C0/2 con varianza

associata C02 12. Se la densità di probabilità dell'eccedenza è ipotizzata normale con

0 ≤ z < ∞ , vale a dire p z z( ) = ( ) −( )−

σ σπ 2 21 2 2exp , il valore atteso è σ 2 π con

varianza σ2 1 2−( )π .

F.2.4.5 Incertezza quando non si applicano le correzioni date da una curva di taraturaLa nota al 6.3.1 discute il caso in cui una correzione b nota, derivante da un effettosistematico significativo, non viene applicata al risultato di una misurazione, ma si tieneinvece conto dell'effetto allargando la "incertezza" assegnata al risultato. Un esempio è lasostituzione di un'incertezza estesa U con U + b, dove U è l'incertezza estesa ottenutanell'ipotesi b = 0. Questa via è praticata talvolta in situazioni in cui valgano tutte leseguenti condizioni: il misurando Y è definito su di un campo di valori di un parametro t,come nel caso della curva di taratura di un sensore termico; U e b dipendono anch'essi dat; si deve dare un solo valore di "incertezza" per tutte le stime y(t) del misurandonell'intero campo dei possibili valori di t. In tali situazioni il risultato della misurazione vienesovente riportato come Y(t) = y(t) ± [Umax + bmax], dove il pedice "max" denota l'adozionedei valori massimi che U e la correzione nota b assumono nell'intero campo di valori di t.Benché la presente guida raccomandi l'applicazione, ai risultati delle misurazioni, dellecorrezioni per effetti sistematici identificati e significativi, ciò può non essere semprefattibile per via dell'onere, talvolta inaccettabile, insito nel calcolo e nell'applicazione diuna correzione individuale, e nel calcolo e nell'uso di un'incertezza specifica per ognivalore di y(t).



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Un metodo relativamente semplice, e tuttavia in accordo con i dettami della presenteguida, può essere il seguente:

Si calcoli un'unica correzione media b da

bt t

b t tt

t=

−( )∫1

2 1 1

2d [F.7a]

dove t1 e t2 definiscono il campo di interesse del parametro t, e si assuma, come miglior

stima di Y(t), y'(t) = y(t) + b , dove y(t) è la miglior stima non corretta di Y(t). La varianzaassociata alla correzione media b nel campo di interesse è data da

u bt t

b t b tt

t2

2 1

211

2( ) =−

( ) −[ ]∫ d [F.7b]

dove si trascura l'incertezza dell'effettiva determinazione della correzione b(t). La varianzamedia della correzione b(t) dovuta alla sua effettiva determinazione è data da

u b tt t

u b t tt

t2

2 1

211

2( )[ ] =−

( )[ ]∫ d [F.7c]

dove u b t2 ( )[ ] è la varianza della correzione b(t). Analogamente, la varianza media di y(t)

originata da tutte le fonti di incertezza ad esclusione della correzione b(t) è ottenuta da

u y tt t

u y t tt

t2

2 1

211

2( )[ ] =−

( )[ ]∫ d [F.7d]

dove u y t2 ( )[ ] è la varianza di y(t) originata da tutte le fonti di incertezza ad esclusione di

b(t). Il valore unico dell'incertezza tipo da usarsi per tutte le stime y'(t) = y(t) + b delmisurando Y(t) è allora la radice quadrata positiva di

u y u y t u b t u bc2 2 2 2'( ) = ( )[ ] + ( )[ ] + ( ) [F.7e]

Si può ottenere un'incertezza estesa U moltiplicando u yc '( ) per un fattore di copertura k

scelto in modo adeguato, U ku y= ( )c ' , il che dà Y t y t U y t b U( ) = ( ) ± = ( ) + ±' . Tuttavia, sideve evidenziare l'uso di una stessa correzione media per tutti i valori di t piuttosto chedella correzione specifica per ogni valore di t e si deve chiaramente esplicitare il significatodi U.

F.2.5 Incertezza del metodo di misurazione

F.2.5.1 La componente dell'incertezza forse più difficile da valutare è quella associata al metododi misurazione, soprattutto quando i risultati prodotti dall'applicazione del metodo hannoevidenziato la dispersione più bassa rispetto a quella ottenibile con qualunque altrometodo conosciuto. È tuttavia probabile che esistano altri metodi, alcuni dei quali ancorasconosciuti o impraticabili per qualche ragione, capaci di produrre risultatisistematicamente differenti ma, secondo ogni evidenza, ugualmente validi. Ciò implicauna distribuzione di probabilità a priori, non una da cui si possano facilmente trarrecampioni da trattare statisticamente. Sovente, dunque, l'unico tipo di informazioneutilizzabile per valutare l'incertezza tipo del metodo di misurazione, a dispetto del fattoche essa può essere il contributo dominante, è l'insieme delle conoscenze disponibili sulmondo fisico (vedere anche E.4.4).

Nota La determinazione dello stesso misurando, usando metodi diversi in uno stesso o in differentilaboratori, oppure usando lo stesso metodo in differenti laboratori, può sovente fornireinformazioni preziose sull'incertezza da attribuire ad un certo metodo. Lo scambio di campioni dimisura o di materiali di riferimento tra laboratori, allo scopo di effettuare misurazioni indipendenti èin generale un modo proficuo per verificare l'attendibilità delle valutazioni dell'incertezza e peridentificare effetti sistematici precedentemente non sospettati.



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F.2.6 Incertezza del campione

F.2.6.1 Molte misurazioni comportano il confronto di un oggetto incognito con un campione diriferimento avente caratteristiche analoghe, allo scopo di tarare l'incognito. Tra gli esempisi contano blocchetti pianparalleli, taluni termometri, pesiere, resistori e materiali di elevatapurezza. Nella maggior parte di tali casi i metodi di misurazione non sono particolarmentesensibili o negativamente influenzabili dalla selezione e dal trattamento del campione(vale a dire, lo specifico incognito in taratura), o dagli effetti delle varie grandezzeambientali d'influenza, in quanto in genere l'incognito ed il campione rispondono nellostesso modo (sovente predicibile) a tali variabili.

F.2.6.2 Il campionamento ed il trattamento dell'esemplare giocano un ruolo molto più rilevante intalune situazioni pratiche, quale l'analisi chimica di materiali naturali. Questi, a differenza diquelli prodotti artificialmente, che possono essere di omogeneità comprovata superiore aquella richiesta per la misurazione, sono sovente molto disomogenei. Taledisomogeneità introduce due nuove componenti dell'incertezza. La valutazione dellaprima richiede che si determini la rappresentatività del campione scelto rispetto almateriale sotto analisi. La valutazione della seconda richiede che si determini entro qualemisura i componenti secondari (non misurati) influenzano la misurazione e quanto netenga conto il metodo di misurazione.

F.2.6.3 In taluni casi un attenta progettazione dell'esperimento può consentire la valutazione pervia statistica dell'incertezza dovuta all'esemplare campionato (vedere H.5 ed H.5.3.2). Diregola tuttavia per valutare detta incertezza, specialmente quando sono significativi glieffetti delle grandezze d'influenza ambientali sull'esemplare campionato, sonoindispensabili la capacità e l'esperienza dello sperimentatore, unitamente a tutte leinformazioni disponibili.



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APPENDICE G GRADI DI LIBERTÀ E LIVELLI DI FIDUCIA

G.1 INTRODUZIONE

G.1.1 La presente appendice affronta il problema generale di ottenere, dalla stima y delmisurando Y e dall'incertezza tipo composta uc(y) della stima, un'incertezza estesa

U k u yp p= ( )c che definisca un intervallo y U Y y Up p− ≤ ≤ + avente probabilità di

copertura o livello di fiducia p elevato e specificato. Esso dunque riguarda l'esigenza dideterminare il fattore di copertura kp che genera un intervallo intorno al risultato dellamisurazione y che ci si aspetta comprendere una parte p rilevante e specificata delladistribuzione dei valori ragionevolmente attribuibili al misurando Y (vedere 6).

G.1.2 Nella maggior parte delle situazioni pratiche, il calcolo di intervalli aventi livelli di fiduciaspecificati - e invero, già la sola stima della maggior parte delle singole componenti - ènella migliore delle ipotesi solamente approssimato. Persino lo scarto tipo sperimentaledella media di ben 30 osservazioni ripetute di una grandezza descritta da unadistribuzione normale ha di per sé un'incertezza del 13% circa (vedere prospetto E.1dell'appendice E).Nella maggior parte dei casi non ha senso cercare di distinguere tra, per esempio, unintervallo avente livello di fiducia del 95% (una possibilità su 20 che il valore del misurandoY giaccia fuori dell'intervallo), ed uno al 94% o al 96% (una possibilità su 17 e su 25rispettivamente). Ottenere intervalli plausibili con livelli del 99% (una possibilità su 100) opiù è poi particolarmente difficile, anche nell'ipotesi di non avere trascurato alcun effettosistematico, a causa della scarsità di informazioni disponibili circa le parti estreme o "code"delle distribuzioni di probabilità delle grandezze d'ingresso.

G.1.3 Per ottenere il valore del fattore di copertura kp che genera un intervallo corrispondentead un livello di fiducia specificato è necessaria la conoscenza dettagliata delladistribuzione di probabilità caratterizzata dal risultato della misurazione e dalla suaincertezza tipo composta. Per esempio, per una grandezza z descritta da unadistribuzione normale con valore atteso µz e scarto tipo σ, il valore di kp che genera unintervallo µz ± kp σ comprendente la porzione p della distribuzione, e dunque aventeprobabilità di copertura o livello di fiducia p, è facilmente calcolabile. Il prospetto G.1fornisce alcuni esempi.

prospetto G.1 Valore del fattore di copertura kp che genera un intervallo avente livello di fiducia p, nel caso didistribuzione normale

Livello di fiducia p

(per cento)

Fattore di copertura kp

68,27 1

90 1,645

95 1,960

95,45 2

99 2,576

99,73 3

Nota Per contrasto, se z è descritta da una distribuzione di probabilità rettangolare con valore atteso µz

e scarto tipo σ = a 3 , dove a è la semiampiezza della distribuzione, il livello di fiducia p è il

57,74% per k p = 1; è il 95% per kp = 1,65; ed è il 99% per k p = 1,71; è il 100% per

kp ≥ 3 ≈ 1,73 . La distribuzione rettangolare è più "stretta" di quella normale nel senso che essaha estensione finita e non ha code.



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G.1.4 Se sono note le distribuzioni di probabilità delle grandezze d'ingresso X1, X2, . . . , XN dacui dipende il misurando Y [i loro valori attesi e le loro varianze, ed i momenti di ordinesuperiore (vedere C.2.13 e C.2.22) qualora le distribuzioni non siano normali], e se Y èfunzione lineare delle grandezze d'ingresso,Y c X c X c XN N= + + +1 1 2 2 ... , allora ladistribuzione di probabilità di Y può essere ottenuta come convoluzione delle singoledistribuzioni di probabilità [10]. Da questa convoluzione risultante si possono poicalcolare i valori di kp che producono intervalli corrispondenti ad un livello di fiduciaspecificato p.

G.1.5 Se la relazione funzionale tra Y e le sue grandezze d'ingresso non è lineare e se unosviluppo in serie di Taylor troncato al prim'ordine non rappresenta un'approssimazioneaccettabile (vedere 5.1.2 e 5.1.5), allora la distribuzione di probabilità di Y non può essereottenuta come convoluzione delle distribuzioni delle grandezze d'ingresso. In questi casiè necessario adottare altri metodi analitici o numerici.

G.1.6 In pratica, poiché i parametri che caratterizzano le distribuzioni di probabilità dellegrandezze d'ingresso sono di solito solo delle stime, poiché non è realistico aspettarsi dipoter conoscere con grande esattezza il livello di fiducia da associare ad un datointervallo, e poiché è complicato ottenere convoluzioni di distribuzioni di probabilità, taliconvoluzioni sono ben raramente utilizzate quando si debbano calcolare intervalli aventilivello di fiducia specificato. Al loro posto, si usano approssimazioni che sfruttano ilTeorema del Limite Centrale.

G.2 TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE

G.2.1 SeY c X c X c X c XN N iiN

i= + + + = =∑1 1 2 2 1... e se tutte le X i sono caratterizzate da

distribuzioni normali, anche la convoluzione risultante che rappresenta la distribuzione diY è normale. Tuttavia, anche quando le distribuzioni delle Xi non sono tutte normali, ladistribuzione di Y può sovente essere approssimata con una distribuzione normalegrazie al Teorema del limite centrale. Questo stabilisce che la distribuzione di Y sarà

approssimativamente normale con valore atteso E Y c E Xi iiN( ) = ( )=∑ 1

e varianza

σ σ2 2 2

1Y c X

i ii

N( ) = ( )=∑ , in cui E Xi( ) e σ

2 Xi( ) sono rispettivamente il valore atteso e la

varianza di Xi, se le Xi sono indipendenti e se σ2 Y( ) è molto più grande di ciascuna

singola componente c Xi i2 2σ ( ) originata da una Xi avente distribuzione non normale.

G.2.2 Il Teorema del limite centrale è notevole in quanto evidenzia il ruolo importante giocatodalle varianze delle distribuzioni delle grandezze d'ingresso, rispetto a quello deimomenti superiori, nel determinare la forma della distribuzione convoluta di Y. Inoltreesso implica: che la distribuzione di convoluzione converge alla distribuzione normale alcrescere del numero delle grandezze d'ingresso che contribuiscono a σ

2 Y( ) ; che la

convergenza è tanto più rapida quanto più i valori di ogni c Xi i2 2σ ( ) sono prossimi (ciò

equivale in pratica a che le stime d'ingresso xi contribuiscano in misura analogaall'incertezza della stima d'uscita y); e che quanto più prossime alla distribuzione normalesono le distribuzioni delle Xi, tanto più piccolo è il numero di queste necessario affinchésia normale la risultante distribuzione di Y.



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Esempio

La distribuzione rettangolare (vedere 4.3.7 e 4.4.5) è un esempio estremo didistribuzione non normale, ma la convoluzione di anche solo tre di esse di pari ampiezzaè approssimativamente normale. Se la semiampiezza di ciascuna delle tre è a, cosicché lavarianza è a2/3, la varianza della convoluzione è σ2 = a2. Gli intervalli comprendenti il 95%ed il 99% della distribuzione sono individuati da 1,937 σ e 2,379 σ rispettivamente,laddove i corrispondenti intervalli di una distribuzione normale avente lo stesso scartotipo σ sono definiti da 1,960 σ e 2,576 σ (vedere prospetto G.1) [10].

Nota 1 Per qualunque intervallo avente livello di fiducia p maggiore del 91,7% circa, il valore di k p per unadistribuzione normale è maggiore del corrispondente valore per la distribuzione risultante dallaconvoluzione di qualsivoglia numero di distribuzioni rettangolari di qualsivoglia ampiezza.

Nota 2 Dal Teorema del limite centrale discende che la distribuzione di probabilità della media aritmetica

q di n osservazioni qk di una variabile casuale q con valore atteso µq e scarto tipo finito σ tende,

per n → ∞, ad una distribuzione normale di media µq e scarto tipo σ n , quale che sia ladistribuzione di probabilità di q.

G.2.3 Una conseguenza pratica del Teorema del limite centrale è che, quando si può stabilireche le condizioni per la sua validità sono soddisfatte anche solo approssimativamente, inparticolare quando l'incertezza tipo composta uc(y) non è dominata né da unacomponente ottenuta da una valutazione di categoria A sulla base di poche osservazionisolamente, né da una componente ottenuta da una valutazione di categoria B basatasull'ipotesi di una distribuzione rettangolare, allora una prima approssimazioneragionevole per calcolare un'incertezza estesa Up = kpuc(y) che fornisca un intervalloavente livello di fiducia p è quella di usare per kp un valore preso dalla distribuzionenormale. I valori più comunemente usati per questo scopo sono riportati nel prospettoG.1.

G.3 DISTRIBUZIONE t E GRADI DI LIBERTÀ

G.3.1 Per ottenere un'approssimazione migliore di quella che può fornire il semplice uso di unvalore kp preso dalla distribuzione normale, come suggerito in G.2.3, si ricordi che per ilcalcolo di un intervallo avente livello di fiducia specificato è richiesta la distribuzione nondella variabile

Y E Y Y− ( )[ ] ( )σ , bensì della variabile y Y u y−( ) ( )c . Ciò poiché, in pratica, i

dati disponibili sono y, cioè la stima di Y ottenuta come y c xiiN

i= =∑ 1, dove le xi sono le

stime delle Xi, e u yc2( ) , cioè la varianza composta associata ad y, valutata mediante

u y c u xi ii

Nc2 2 2

1( ) = ( )

=∑ , dove u xi( ) è l'incertezza tipo (scarto tipo stimato) della stima xi.

Nota Stretto rigore, nell'espressione y Y u y−( ) ( )c , ad Y si dovrebbe sostituire E (Y). Nella presenteguida , per semplicità questa distinzione è stata fatta solamente in alcuni casi. In generale si è usatolo stesso simbolo per la grandezza fisica, per la variabile casuale che la rappresenta e per il valoreatteso di questa variabile (vedere 4.1.1, note).

G.3.2 Se z è una variabile casuale distribuita normalmente con valore atteso µz e scarto tipo σ, e

se z è la media aritmetica di n osservazioni indipendenti zk di z con s( z ) come scarto tipo

sperimentale di z [vedere le equazioni (3) e (5) in 4.2], la distribuzione della variabile

t z s zz= −( ) ( )µ è la distribuzione t o distribuzione di Student (C.3.8) con ν = −n 1

gradi di libertà.



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Di conseguenza, se il misurando Y è una singola grandezza X distribuita normalmente,Y = X e se X viene stimata mediante la media aritmetica X di n osservazioni indipendentiXk di X, con scarto tipo sperimentale della media s( X ), allora la miglior stima di Y è y X= ,

e lo scarto tipo sperimentale di questa stima è u y s Xc ( ) = ( ). Dunque la variabile

t z s z X X s X y Y u yz= −( ) ( ) = −( ) ( ) = −( ) ( )µ c è distribuita secondo la distribuzione t

con

Pr − ( ) ≤ ≤ ( )[ ] =t t t pp pν ν [G.1a]

ovvero

Pr c− ( ) ≤ −( ) ( ) ≤ ( )[ ] =t y Y u y t pp pν ν [G.1b]

che può essere riscritta come

Pr c cy t u y Y y t u y pp p− ( ) ( ) ≤ ≤ + ( ) ( )[ ] =ν ν [G.1c)]

In queste espressioni Pr[ ] significa "probabilità che" ed il fattore t p ν( ) è il valore di t, per

un valore specificato del parametro ν - i gradi di libertà (vedere G.3.3) - tale che la porzionep della distribuzione t è compresa entro l'intervallo da

− ( )t p ν a

+ ( )t p ν . Pertanto

l'incertezza estesa

U k u y t u yp p p= ( ) = ( ) ( )c cν [G.1d]

definisce un intervallo da y - Up a y + Up, convenientemente espresso come Y y Up= ± ,

che ci si aspetta comprendere la porzione p della distribuzione dei valori ragionevolmenteattribuibili a Y, e p è la probabilità di copertura o livello di fiducia dell'intervallo.

G.3.3 I gradi di libertà ν sono pari a n - 1 per una singola grandezza stimata attraverso la mediaaritmetica di n osservazioni indipendenti, come mostrato in G.3.2. Se si usano nosservazioni indipendenti per determinare sia la pendenza sia il termine noto di una linearetta mediante il metodo dei minimi quadrati, i gradi di libertà delle rispettive incertezzetipo sono ν = n - 2. Per l'aggiustamento ai minimi quadrati di m parametri con n puntisperimentali i gradi di libertà dell'incertezza tipo di ciascun parametro sono ν = n - m.(Vedere [15] per una più approfondita trattazione sui gradi di libertà).

G.3.4 Il prospetto G.2, alla fine di questa appendice riporta valori scelti di t p ν( ) per alcuni valori

di ν e p . Per ν → ∞ la distribuzione t tende alla distribuzione normale e

t kp pν ν( ) ≈ +( )1 2

12 , in cui kp è il fattore di copertura richiesto per ottenere un intervallo

avente livello di fiducia p nel caso di una variabile distribuita normalmente. Pertanto, per pspecificato, il valore di t p ∞( ) nel prospetto G.2 è uguale al valore di kp nella tabella G.1.

Nota Sovente la distribuzione t è tabulata in quantili; vengono cioè dati i valori di t1-α, dove 1 - α indicala probabilità cumulativa ed il quantile è definito dalla relazione

1

1− = ( )

∞

−

∫α να

f t tt

,-

d

nella quale f è la densità di probabilità di t. Dunque t p e t1−α sono legati da p = −1 2α . Per

esempio, il valore del quantile t0 975, , per il quale 1- α = 0,975 e α = 0,025 è lo stesso di

t p ν( ) per p = 0,95.



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G.4 GRADI DI LIBERTÀ EFFETTIVI

G.4.1 In generale, la distribuzione t non descrive la distribuzione della variabile y Y u y−( ) ( )c se

u yc2( ) è la somma di due o più componenti di varianze stimate u y c u xi i i

2 2 2( ) = ( ) (vedere5.1.3), anche se ciascuna xi è la stima di una grandezza d'ingresso Xi distribuitanormalmente. Tuttavia, la distribuzione di detta variabile può essere approssimata da unadistribuzione t avente gradi di libertà effettivi νeff ottenuti dalla formula di Welch-Satterthwaite [16, 17, 18]

u y u yi

ii

Nc

eff =

4 4

1

( ) = ( )∑ν ν

[G.2a]

ovvero

ν

ν

effc

=

= ( )( )∑

u y

u yi

ii

N

4

4

1

[G.2b]

con

ν νeff

=

≤ ∑ ii

N

1

[G.2c]

dove u y u yiiN

c =2 2

1( ) = ( )∑ (vedere 5.1.3). L'incertezza estesa U k u y t u yp p p= ( ) = ( ) ( )c eff cν

fornisce allora un intervallo Y y Up= ± che ha un livello di fiducia approssimato p.

Nota 1 Se il valore di νeff ottenuto dall'equazione (G.2b) non è intero, come accadrà frequentemente inpratica, il corrispondente valore di tp può essere ricavato dal prospetto G.2 per interpolazione o

troncando νeff all'intero adiacente più basso.

Nota 2 Se una stima d'ingresso xi è a sua volta ottenuta da due o più altre stime, il valore di νi da usare in

u y c u xi i i4 2 2 2( ) = ( )[ ] al denominatore dell'equazione (G.2b) è il numero di gradi di libertà effettivi

calcolato mediante un'espressione equivalente all'equazione (G.2b).

Nota 3 A seconda delle esigenze dei potenziali utenti del risultato della misurazione, può essere utilecalcolare e specificare, oltre a νeff , anche i valori di νeffA e νeffB, che si ottengono dall'equazione(G.2b) trattando separatamente le incertezze tipo derivanti da valutazioni di categoria A e B. Se si

indicano con u ycA2 ( ) e u ycB

2 ( ) , rispettivamente, i contributi separati di categoria A e B ad u yc2( ) ,

le varie grandezze sono legate da

u y u y u yc cA cB2 2 2( ) = ( ) + ( )

u y u y u yc

eff

cA

effA

cB

effB

4 4 4( ) = ( ) + ( )ν ν ν

Esempio

Si supponga che Y f X X X bX X X= ( ) =1 2 3 1 2 3, , , e si supponga altresì che le stime x1, x2,x3 delle grandezze d'ingresso, distribuite normalmente, X1, X2, X3 siano le mediearitmetiche di n1 = 10, n2 = 5 ed n3 = 15 osservazioni ripetute ed indipendenti, conincertezze tipo u(x1)/x1 = 0,25%, u(x2)/x2 = 0,57% e u(x3)/x3 = 0,82%, rispettivamente. Inquesto caso c f X Y Xi i i= =∂ ∂ (da valutarsi in x1, x2, x3 - vedere 5.1.3, nota 1),

u y y u x xi iic =( )[ ] = ( )[ ]∑2 2

13

= (1,03%)2 (vedere nota 2 in 5.1.6), e l'equazione (G.2b)

diventa



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ν

ν

effc

=1

=( )[ ]( )[ ]∑

u y y

u x xi i

ii

4

43

da cui

νeff =

−+

−+

−

=1 03

0 2510 1

0 575 1

0 8215 1

19 04

4 4 4

,

, , ,,

Il valore di tp per p = 95% e ν = 19 è, secondo il prospetto G.2, t95(19) = 2,09; dunquel'incertezza estesa relativa per questo livello di fiducia è U95 = 2,09 × (1,03%) = 2,2%. Si

può allora affermare che Y y U y= ± = ±( )95 1 0 022, (con y da determinarsi mediante

y bx x x= 1 2 3), ovvero che 0,978y ≤ Y ≤ 1,022y, e che il livello di fiducia da associareall'intervallo è approssimativamente del 95%.

G.4.2 In pratica, uc(y) dipende dalle incertezze tipo u(xi) di stime d'ingresso di grandezzedistribuite sia normalmente sia non normalmente, e le u(xi) sono ottenute da distribuzionidi tipo sia frequentista sia a priori (vale a dire, da valutazioni di categoria A e B).Considerazioni analoghe valgono per la stima y e per le stime d'ingresso xi da cui questa

dipende. Tuttavia, la distribuzione di probabilità della funzione t y Y u y= −( ) ( )c puòessere approssimata mediante la distribuzione t se si sviluppa la funzione stessa in seriedi Taylor nell'intorno del suo valore atteso. In sintesi, ciò è proprio quanto si realizza,all'ordine di approssimazione più basso, con la formula di Welch-Satterthwaite delleequazioni (G.2a) o (G.2b).

Sorge il problema di assegnare i gradi di libertà a un'incertezza tipo ottenuta da unavalutazione di categoria B quando si debba calcolare νeff mediante l'equazione (G.2b).Poichè la definizione appropriata di gradi di libertà attribuisce a ν, così come figura nella

distribuzione t, il significato di valutazione quantitativa dell'incertezza della varianza s z2( ) ,

si può ricorrere all'equazione (E.7) in E.4.3 per definire

ν

σi

i

i

i

i

u x

u x

u x

u x≈

( )( )[ ] ≈

( )( )

−12

12

2

2

2∆

[G.3)]

La grandezza entro parentesi è l'incertezza relativa di u xi( ) ; nel caso dunque di unavalutazione di categoria B dell'incertezza tipo, essa è una grandezza soggettiva il cuivalore è ottenuto con una valutazione scientifica basata sull'insieme delle conoscenzedisponibili.

Esempio

Si supponga che le informazioni disponibili su come sono state valutate la stimad'ingresso xi e la sua incertezza tipo u(xi) portino a concludere che il valore di u(xi) èattendibile entro il 25 per cento circa. Si può allora interpretare tale conclusione nel sensoche l'incertezza relativa è ∆u(xi)/u(xi) = 0,25, per cui, dall'equazione (G.3), si haνi = (0,25)-2/2 = 8. Se si fosse invece valutato che il valore di u(xi) è attendibile solamenteentro il 50 per cento, allora si avrebbe ν i = 2. (Vedere anche prospetto E.1nell'appendice E).

G.4.3 Nella discussione dei punti 4.3 e 4.4 sulla valutazione di categoria B dell'incertezza tipobasata su di una distribuzione di probabilità iniziale, si è fatta implicitamente l'ipotesi che ilvalore di u(xi ) risultante da una siffatta valutazione sia noto esattamente.

Per esempio, quando u(xi) è ottenuto da una distribuzione di probabilità rettangolare di

semiampiezza pari ad a = (a+ - a-)/2, come in 4.3.7 e in 4.4.5, u xi( ) = a 3 viene



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considerata come una costante senza incertezza, in quanto sia a+ sia a-, e dunque anchea, sono così considerati (ma vedere 4.3.9, nota 2). Ciò implica, dall'equazione (G.3), cheνi → ∞, cioè che 1/νi → 0, senza causare inconvenienti nella valutazione dell'equazione(G.2b). Inoltre, l'ipotesi che νi → ∞ non è necessariamente fuori dalla realtà; è infatti praticacomune scegliere a- e a+ in modo tale che la probabilità che la grandezza interessatagiaccia al di fuori dell'intervallo tra a- e a+ è estremamente piccola.

G.5 ALTRE CONSIDERAZIONI

G.5.1 Si trova frequentemente nella letteratura sull'incertezza di misura, o usata allo scopo diottenere un'incertezza che si vuole fornisca un intervallo con livello di fiducia del 95%,un'espressione del tipo

U t s u95 95

2 2 2312' '= ( ) +[ ]νeff [G.4]

Qui t95 νeff

'( ) è preso dalla distribuzione t per νeff' gradi di libertà e p = 95%; νeff

' sono i

gradi di libertà effettivi calcolati dalla formula di Welch-Satterthwaite [equazione (G.2b)] maconsiderando solamente le componenti di incertezza si valutate per via statistica sulla

base di osservazioni ripetute nell'esperimento in corso; s c si i2 2 2= ∑ ; c f xi i≡ ∂ ∂ ;

invece u u y c aj j j2 2 2 2 3= ( ) = ( )∑ ∑ comprende tutte le altre fonti di incertezza, in cui +aj e

-aj sono i limiti superiore ed inferiore, supposti noti esattamente, di Xj relativi alla suamigliore stima xj (vale a dire, xj - aj ≤ Xj ≤ xj + aj).

Nota Una componente basata su osservazioni ripetute ma effettuate in occasione diversadall'esperimento in corso viene trattata alla stregua di una qualsiasi altra componente inclusa in u2 .Pertanto, onde poter confrontare in modo significativo l'equazione (G.4) con la successiva (G.5),si supporrà che tali componenti siano comunque di entità trascurabile.

G.5.2 Se l'incertezza estesa, con livello di fiducia del 95 per cento, viene valutata usando imetodi raccomandati in G.3 e G.4, l'espressione appropriata è

U t s u95 95

2 212= ( ) +[ ]νeff [G.5]

in cui νeff è calcolato mediante l'equazione (G.2b) includendo nei calcoli tutte lecomponenti di incertezza.Nella maggior parte dei casi il valore di U95 ottenuto con l'equazione (G.5) sarà maggiore

del valore di U95' ottenuto con l'equazione (G.4), se si ipotizza che nella valutazione

dell'equazione (G.5) tutte le varianze di categoria B siano ottenute da distribuzioni a prioridi tipo rettangolare con semiampiezze uguali ai limiti aj adottati per il calcolo di u2

nell'equazione (G.4). La cosa si capisce se si considera che, sebbene t95 νeff

'( ) sia

solitamente lievemente maggiore di t95 νeff( ), ambedue i fattori sono prossimi a 2, mentre,

laddove in (G.5) u2 viene moltiplicato per t p

2 4νeff( ) ≈ , in (G.4) viene moltiplicato per 3. Ora,

per u2 << s2 le due espressioni danno valori uguali per U95' e U95 , ma, per u2 >> s2, U95

' èminore di U95 addirittura del 13 per cento. Dunque, in generale, dall'equazione (G.4) siottiene un'incertezza che individua un intervallo con un livello di fiducia minore di quelloindividuato dall'incertezza estesa calcolata secondo l'equazione (G.5).

Nota 1 Ai limiti u2/s2 → ∞ e e νeff → ∞, U95' → 1,732u mentre U95 → 1,960u. In questo caso U95

' dà un

intervallo con livello di fiducia solamente del 91,7%, mentre U95 dà un intervallo con livello difiducia del 95%. Questo caso è approssimato in pratica quando le componenti ottenute da stime



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di estremi superiori ed inferiori sono dominanti, numerose e hanno valori di u y c aj j j2 2 2 3( ) =

paragonabili.

Nota 2 Per una distribuzione normale il fattore di copertura k = 3 ≈ 1,732 produce un intervallo conlivello di fiducia p = 91,673...%. Questo valore di p è robusto nel senso che è, rispetto ad ognialtro valore, "ottimamente" insensibile a piccoli scostamenti dalla normalità delle grandezzed'ingresso.

G.5.3 Talvolta una grandezza d'ingresso Xi è distribuita asimmetricamente, cioè le deviazioni diun segno rispetto al valore atteso sono più probabili di quelle di segno opposto (vedere4.3.8). Questa caratteristica, sebbene non influisca sul calcolo dell'incertezza tipo u(xi)della stima xi di Xi, e dunque sulla valutazione di uc(y), può invece influenzare il calcolo diU.Di solito conviene fornire un intervallo simmetrico, Y y U= ± , a meno che l'intervallo nonsia tale che vi è una differenza di costo tra le deviazioni nei due segni. Se l'asimmetria di Xidetermina solo una piccola asimmetria nella distribuzione di probabilità caratterizzata dalrisultato della misurazione y e dalla sua incertezza tipo composta uc(y), allora la probabilitàpersa da una parte nel ridefinire un intervallo simmetrico è compensata dalla probabilitàguadagnata dall'altra parte. L'alternativa è dichiarare un intervallo simmetrico nellaprobabilità (e dunque asimmetrico in U): la probabilità che Y giaccia al di sotto dell'estremoinferiore y U− − è uguale alla probabilità che Y giaccia al di sopra dell'estremo superiorey U+ + . Ma per poter dichiarare limiti siffatti sono necessarie informazioni più dettagliatedelle semplici stime y e uc(y) [e dunque già delle semplici stime xi e u(xi) di ciascunagrandezza d'ingresso Xi].

G.5.4 La valutazione dell'incertezza estesa Up, qui proposta in termini di uc(y), νeff e del fattore

t p νeff( ) dalla distribuzione t è solo un'approssimazione, e dunque ha i suoi limiti. La

distribuzione di y Y u yc−( ) ( ) è rappresentata dalla distribuzione t solamente se ladistribuzione di Y è normale, se la stima y e la sua incertezza tipo composta uc(y) sono

indipendenti e se la distribuzione di u yc2( ) è una distribuzione del χ2. L'introduzione di

νeff , equazione (G.2b), affronta solo quest'ultimo aspetto, fornendo per u yc2( ) una

distribuzione approssimativamente del χ2; l'altro aspetto, quello legato alla non normalitàdi Y, richiede che si prendano in considerazione, oltre alla varianza, gli altri momenti diordine superiore.

G.6 RIASSUNTO E CONCLUSIONI

G.6.1 Il fattore di copertura kp che fornisce un intervallo avente livello di fiducia p prossimo ad unlivello specificato può essere individuato solamente se si conosce a fondo ladistribuzione di probabilità di ciascuna grandezza d'ingresso e se queste distribuzionivengono combinate per ottenere la distribuzione della grandezza d'uscita. Le stimed'ingresso xi e le loro incertezze tipo u(xi), da sole, non sono sufficienti a questo scopo.

G.6.2 Poichè i lunghi calcoli necessari per combinare distribuzioni di probabilità sono raramentegiustificati dalla quantità e qualità delle informazioni disponibili, è accettabileun'approssimazione sulla distribuzione della grandezza d'uscita. Grazie al Teorema dellimite centrale, è di norma sufficiente supporre che la distribuzione di probabilità diy Y u y−( ) ( )c sia la distribuzione t e scegliere

k tp p= ( )νeff , con il fattore t basato su di un

numero effettivo νeff di gradi di libertà di u yc ( ), ottenuto mediante la formula di Welch-Satterthwaite, equazione (G.2b).



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G.6.3 Per ricavare νeff dall'equazione (G.2b) è necessario conoscere i gradi di libertà νi di ognicomponente di incertezza tipo. Per una componente ottenuta da una valutazione dicategoria A, si ricava νi dal numero di osservazioni ripetute e indipendenti su cui è basatala corrispondente stima d'ingresso e dal numero di grandezze indipendenti determinateda quelle osservazioni (vedere G.3.3). Per una componente ottenuta da una valutazionedi categoria B, si ricava νi quantificando l'affidabilità del valore di quella componente[vedere G.4.2 e l'equazione (G.3)].

G.6.4 Si riassume qui il metodo preferibile per calcolare un'incertezza estesa U k u yp p= ( )c che

si vuole individui un intervallo Y y Up= ± avente livello di fiducia approssimato p:

1) Si ottengano y e uc(y) come descritto in 4 e 5.

2) Si calcoli νeff mediante la formula di Welch-Satterthwaite, equazione (G.2b) (quiripetuta per facilità di consultazione)

ν

ν

effc

=

= ( )( )∑

u y

u yi

ii

N

4

4

1

[G.2b]

Se u(xi) proviene da una valutazione di categoria A, si determini νi come delineato inG.3.3. Se u(xi) proviene da una valutazione di categoria B e può essere considerata notain modo esatto, come accade sovente, νi → ∞; altrimenti, si stimi νi usando l'equazione(G.3).

3) Si ricavi, dalla tabella G.2, il fattore t p νeff( ) corrispondente al livello di fiducia p

desiderato. Se νeff non è un numero intero, si interpoli, o si tronchi νeff .

4) Si scelga k tp p= ( )νeff e si calcoli U k u yp p= ( )c .

G.6.5 In talune situazioni, presumibilmente poco frequenti, le condizioni di validità del Teoremadel limite centrale possono non essere soddisfatte e dunque il metodo descritto in G.6.4porta a risultati non accettabili. Per esempio, se u yc ( ) è dominata da una componented'incertezza valutata da una distribuzione rettangolare i cui estremi si presumono notiesattamente, può accadere [se

t p νeff( ) > 3 ] che y + Up e y - Up, i limiti superiore ed

inferiore dell'intervallo definito da Up, giacciano al di fuori dei limiti della distribuzione diprobabilità della grandezza d'ingresso Y. Tali eventualità vanno trattate caso per caso, masono sovente riconducibili a trattamenti analitici approssimati (come per esempio laconvoluzione di una distribuzione normale con una rettangolare [10]).

G.6.6 Per molte situazioni pratiche, in un ampio spettro di campi di attività valgono le seguenticondizioni:- la stima y del misurando Y è ricavata da stime xi di un numero significativo di

grandezze d'ingresso Xi, caratterizzate da distribuzioni di probabilità ben individuate,come la distribuzione normale o quella rettangolare;

- le incertezze tipo u(xi) di queste stime, ottenute da valutazioni di categoria A o B,contribuiscono equamente all'incertezza tipo composta uc(y) del risultato dellamisurazione y;

- l'approssimazione lineare implicita nella legge di propagazione dell'incertezza èadeguata (vedere 5.1.2 ed E.3.1);

- l'incertezza di uc(y) è ragionevolmente piccola in quanto i gradi di libertà effettivi νeff

sono sufficienti, orientativamente più di 10.In queste circostanze, grazie al Teorema del limite centrale, si può ritenere normale ladistribuzione di probabilità caratterizzata dal risultato della misurazione e dalla suaincertezza tipo composta; inoltre, u c(y ) può essere considerata una stimaragionevolmente affidabile dello scarto tipo di quella distribuzione normale grazie al valoreragionevolmente elevato di νeff . Quindi, sulla base della discussione di questa



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appendice, in particolare di quanto detto a proposito della natura approssimata delprocesso di valutazione dell'incertezza e a proposito della vanità di ogni tentativo didistinguere tra intervalli aventi livelli di fiducia differenti di uno o due per cento, si puòprocedere come segue:- si adotta k = 2 e si ammette che U = 2uc(y) definisce un intervallo avente livello di

fiducia approssimativamente del 95%;oppure, per applicazioni più critiche,- si adotta k = 3 e si ammette che U = 3uc(y) definisce un intervallo avente livello di

fiducia approssimativamente del 99%.Sebbene questo metodo sia adatto in moltissimi casi pratici, la sua applicabilità aqualsivoglia caso specifico dipende da quanto prossimo a t95 νeff( ) deve essere k = 2, o

k = 3 a t99 νeff( ); vale a dire, da quanto prossimo al 95% o al 99%, rispettivamente, deveessere il livello di fiducia dell'intervallo definito da U = 2uc(y) o U = 3uc(y). Sebbene, per

νeff = 11, k = 2 e k = 3 sottostimino t95 11( )e t99 11( ) solo del 10% e del 4% rispettivamente(vedere prospetto G.2), ciò può, in certi casi, non essere accettabile. Inoltre, per tutti ivalori di νeff maggiori di 13, k = 3 produce un intervallo avente livello di fiducia maggioredel 99%. (Vedere prospetto G.2, in cui si evidenzia anche che per νeff → ∞ i livelli difiducia degli intervalli prodotti da k = 2 e k = 3 sono 95,45% e 99,73% rispettivamente).Pertanto, in pratica, l'applicabilità del metodo descritto è condizionata dal valore di νeff edalle finalità dell'incertezza estesa.



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prospetto G.2 Valore di t p ν( ) dalla distribuzione t con ν gradi di libertà che definisce un intervallo tra

− ( )t p ν e

+ ( )t p ν comprendente la frazione p della distribuzione

Gradi di libertà Frazione p in per cento

ν 68,27(a) 90 95 95,45(a) 99 99,73(a)

1 1,84 6,31 12,71 13,97 63,66 235,80

2 1,32 2,92 4,30 4,53 9,92 19,21

3 1,20 2,35 3,18 3,31 5,84 9,22

4 1,14 2,13 2,78 2,87 4,60 6,62

5 1,11 2,02 2,57 2,65 4,03 5,51

6 1,09 1,94 2,45 2,52 3,71 4,90

7 1,08 1,89 2,36 2,43 3,50 4,53

8 1,07 1,86 2,31 2,37 3,36 4,28

9 1,06 1,83 2,26 2,32 3,25 4,09

10 1,05 1,81 2,23 2,28 3,17 3,96

11 1,05 1,80 2,20 2,25 3,11 3,85

12 1,04 1,78 2,18 2,23 3,05 3,76

13 1,04 1,77 2,16 2,21 3,01 3,69

14 1,04 1,76 2,14 2,20 2,98 3,64

15 1,03 1,75 2,13 2,18 2,95 3,59

16 1,03 1,75 2,12 2,17 2,92 3,54

17 1,03 1,74 2,11 2,16 2,90 3,51

18 1,03 1,73 2,10 2,15 2,88 3,48

19 1,03 1,73 2,09 2,14 2,86 3,45

20 1,03 1,72 2,09 2,13 2,85 3,42

25 1,02 1,71 2,06 2,11 2,79 3,33

30 1,02 1,70 2,04 2,09 2,75 3,27

35 1,01 1,70 2,03 2,07 2,72 2,23

40 1,01 1,68 2,02 2,06 2,70 3,20

45 1,01 1,68 2,01 2,06 2,69 3,18

50 1,01 1,68 2,01 2,05 2,68 3,16

100 1,005 1,660 1,984 2,025 2,626 3,077∞ 1,000 1,645 1,960 2,000 2,576 3,000

(a) Per una grandezza z descritta da una distribuzione normale con valore atteso µz e scarto tipo σ,

l'intervallo µz ± kσ comprende p = 68,27%, 95,45% e 99,73% della distribuzione per k = 1, 2 e 3rispettivamente.



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APPENDICE H ESEMPI

Questa appendice presenta sei esempi, da H.1 ad H.6, sviluppati in modo da illustrare indettaglio i principi esposti nella presente guida per valutare ed esprimere l'incertezza dimisura. Questi esempi, unitamente agli altri già presentati, dovrebbero mettere l'utentedella presente guida nelle condizioni di poterne applicare i principi al proprio campo diattività.Gli esempi, date le finalità illustrative, sono stati per forza di cose schematizzati. Inoltreessi, essendo stati scelti, così come i valori usati per i dati, essenzialmente per dimostrarei principi della guida, non devono essere considerati necessariamente rappresentativi dimisurazioni reali. Per evitare errori di arrotondamento, si son conservate, nei calcoliintermedi sui dati, più cifre di quante se ne presentino. Pertanto, il risultato di un calcolo incui intervengano numerose grandezze può differire lievemente da quello che si avrebbeusando i valori numerici presentati nel testo.È già stato evidenziato in altre parti della guida che la classificazione in categoria A ecategoria B dei metodi usati per valutare le componenti dell'incertezza ha carattereesclusivamente pratico e non è necessaria per determinare l'incertezza tipo composta ol'incertezza estesa del risultato di una misurazione, poiché tutte le componenti sonotrattate nello stesso modo, indipendentemente da come sono state ottenute (vedere3.3.4, 5.1.2 e E.3.7). Pertanto negli esempi non si assegna esplicitamente una categoriaai metodi usati per valutare le varie componenti. Questa emergerà comunquechiaramente dalla discussione.

H.1 TARATURA DI BLOCCHETTI PIANO-PARALLELIQuesto esempio dimostra come anche una misurazione apparentemente semplicepossa implicare aspetti insospettati e sottili considerazioni in merito alla valutazionedell'incertezza.

H.1.1 Il problema sperimentaleLa lunghezza di un blocchetto piano-parallelo avente valore nominale 50 mm vienedeterminata per confronto con un campione di riferimento noto di pari lunghezzanominale. Il risultato del confronto tra i due blocchetti è direttamente la differenza d delleloro lunghezze:

d l l= +( ) − +( )1 1αθ α θS S S [H.1]

dove:l è il misurando, ovvero la lunghezza a 20 °C del blocchetto pianparallelo in

taratura;lS è la lunghezza a 20 °C del campione di riferimento, secondo il suo certificato di

taratura;α ed αS sono i coefficienti di dilatazione termica del blocchetto in taratura e del

blocchetto campione rispettivamente;θ e θS sono scostamenti della temperatura del blocchetto in taratura e del blocchetto

campione, rispettivamente, alla temperatura di riferimento di 20 °C.

H.1.2 Modello matematicoDall'equazione (H.1), il misurando è dato da

l

l dl d l=

+( ) ++( ) = + + −( ) +S S S

S S S S

1

1

α θ

αθα θ αθ ... [H.2]

Se si scrivono la differenza di temperatura tra il blocchetto in taratura ed il campione come

δθ θ θ= − S e la differenza dei loro coefficienti di dilatazione termica come δα α α= − S,l'equazione (H.2) diventa

l f l d= ( )S S, , , , ,α θ δα δθ = + − ⋅ + ⋅[ ]l d lS S Sδα θ α δθ [H.3]



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Si stimano nulle le differenze δθ e δα, ma non le loro incertezze; si assume altresì che

δα α δθ θ, ,S e siano scorrelati. (Se il misurando fosse espresso in funzione delle variabiliθ, θS, α ed αS sarebbe necessario tenere conto delle correlazioni tra θ e θS e tra α ed αS).

Dall'equazione (H.3) discende che la stima del valore del misurando l può essere ottenutadalla semplice espressione l dS + , dove lS è la lunghezza a 20 °C del campione di

riferimento, secondo il suo certificato di taratura, e d è stimata da d , la media di n = 5osservazioni indipendenti ripetute. Si ottiene l'incertezza tipo composta uc(l) di lapplicando l'equazione (10) di 5.1.2 all'equazione (H.3), come trattato nel seguito.

Nota Per semplicità di notazione, in questo come negli altri esempi si usa lo stesso simbolo tanto per lagrandezza quanto per la sua stima.

H.1.3 Varianze dei contributi all'incertezzaGli aspetti rilevanti di questo esempio, discussi in questo paragrafo e nei successivi, sonoschematizzati nel prospetto H.1.Poiché si è assunto δα = 0 e δθ = 0 , l'applicazione dell'equazione (10) di 5.1.2all'equazione (H.3) dà

u l c u l c u d c u c u c u c udc S S SS

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( )α θ δα δθα θ δα δθ [H.4]

con

c f lS S S= = − ⋅ + ⋅( ) =∂ ∂ 1 1δα θ α δθ

c f dd = =∂ ∂ 1

c f lα α δθS S S= = − =∂ ∂ 0

c f lθ θ= = − =∂ ∂ Sδα 0

c f lδα δα= = −∂ ∂ Sθ

c f lδθ δθ α= = −∂ ∂ S S

da cui

u l u l u d l u l uc S S2

S2

S22 2 2 2 2 2( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( )θ δα δθα . [H.5]



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prospetto H.1 Riassunto delle componenti tipo d'incertezza

Componentetipo di

incertezza

u xi( )

Sorgente dell'incertezza Valore dell'incertezzatipou xi( )

ci ≡

∂ ∂f xi/

u li ( ) ≡

c u xi i( )(nm)

Gradi di libertà

u lS( ) Taratura del campione di riferimento 25 nm 1 25 18

u d( ) Differenza misurata tra i blocchetti 9,7 nm 1 9,7 25,6

u d( ) osservazioni ripetute 5,8 nm 24

u d1( ) effetti casuali del comparatore 3,9 nm 5

u d2( ) effetti sistematici del comparatore 6,7 nm 8

u αS( ) Coefficiente di dilatazione termica del blocchettocampione

1,2 × 10-6 °C-1 0 0

u θ( ) Temperatura del supporto di lavoro 0,41 °C 0 0

u θ( ) temperatura media del supporto 0,2 °C

u ∆( ) variazione ciclica della temperatura ambiente 0,35 °C

u δα( ) Differenza dei coefficienti di dilatazione termica deiblocchetti

0,58 × 10-6 °C-1 − lSθ 2,9 50

u δθ( ) Differenza di temperatura dei blocchetti 0,029 °C − lS Sα 16,6 2

u l u lic2 nm2 2 1002( ) = ∑ ( ) =

u lc 32 nm( ) =

νeff l( ) = 16

H.1.3.1 Incertezza di taratura del campione di riferimento, u(lS)Il certificato di taratura dichiara un'incertezza estesa del campione U = 0,075 µm, ottenutausando un fattore di copertura k = 3. Dunque l'incertezza tipo è

u lS m nm( ) = ( ) =0 075 3 25, µ

H.1.3.2 Incertezza della differenza di lunghezza misurata, u(d)Lo scarto tipo cumulato che caratterizza il confronto di l ed lS, determinato in precedenzamediante la variabilità di 25 osservazioni ripetute e indipendenti della differenza dilunghezza di due blocchetti campione, è pari a 13 nm. Nel confronto di questo esempiosi sono effettuate cinque osservazioni ripetute. L'incertezza tipo associata alla loro mediaè pertanto (vedere 4.2.4)

u d s d( ) = ( ) = ( ) =13 5 5 8 nm nm,

Secondo il certificato di taratura del comparatore usato per confrontare l ed lS, la suaincertezza "dovuta ad errori casuali" è ± 0,01 µm ad un livello di fiducia del 95% e stimatasulla base di 6 misurazioni ripetute; pertanto l'incertezza tipo, usando il fattore tappropriato per ν = 6 - 1 = 5 gradi di libertà, t95(5) = 2,57 (vedere appendice G, prospettoG.2), è



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u d1 0 2 57 3 9( ) = ( ) =,01 m nmµ , ,

L'incertezza del comparatore "dovuta ad errori sistematici" è data nel certificato pari a0,02 µm "al livello di tre sigma". L'incertezza tipo corrispondente è dunque

u d2 0 3 6 7( ) = ( ) =,02 m nmµ ,

Si ottiene il contributo totale sommando le varianze stimate:

u d u d u d u d2 2 21

22 93( ) = ( ) ( ) + ( ) =+ nm2

ovvero

u d( ) = 9 7, nm

H.1.3.3 Incertezza del coefficiente di dilatazione termica, u ( αS)Il coefficiente di dilatazione termica del blocchetto campione è dichiarato pari adαS = 11,5 × 10-6 °C-1 con un'incertezza rappresentata da una distribuzione rettangolarecon limiti ± 2 × 10-6 °C-1. L'incertezza tipo è allora [vedere equazione (7) in 4.3.7]

u αS

-1 -1 C C( ) = × °( ) = × °− −2 10 3 1 2 106 6,

Poiché c f lα α δθS S S= = − =∂ ∂ 0, come indicato in H.1.3, questa incertezza, al

prim'ordine, non contribuisce all'incertezza di l. Esiste un contributo del secondo ordine,che sarà trattato in H.1.7.

H.1.3.4 Incertezza dello scostamento della temperatura del blocchetto, u (θ)La temperatura del supporto di lavoro è dichiarata pari a (19,9 ± 0,5) °C; la temperatura almomento delle singole osservazioni non è stata misurata. Si afferma altresì che loscostamento massimo dichiarato, ∆ = 0,5 °C, rappresenta l'ampiezza di una variazioneapprossimativamente ciclica della temperatura sotto l'effetto del controllo di un sistematermostatico, e non l'incertezza della temperatura media. Si dichiara che il valore delloscostamento medio della temperatura

θ = ° ° °19 9, C - 20 C = - 0,1 C

ha anch'esso un'incertezza tipo dovuta all'incertezza della temperatura media delsupporto di lavoro

u( θ) = 0,2 °C

mentre la variazione ciclica nel tempo produce una distribuzione di temperature ad U(arcoseno), che produce un'incertezza tipo

u ∆( ) = °( ) = °0 5 2 0 35, , C C

Lo scostamento della temperatura θ può essere considerato pari a θ , e l'incertezza tipo diθ è ottenuta da

u u u2 2 2 0 165θ θ( ) = ( ) + ( ) = °∆ , C2

da cui

u θ( ) = °0 41, C

Poiché, come indicato in H.1.3, c f lθ θ δα= = − =∂ ∂ S 0, anche questa incertezza, alprimo ordine, non contribuisce all'incertezza di l; anch'essa ha però un contributo disecondo ordine, trattato in H.1.7.

H.1.3.5 Incertezza della differenza dei coefficienti di dilatazione termica, u ( δα)I limiti di variabilità stimati per δα sono pari a ± 1 × 10-6 °C-1, con uguale probabilità perogni valore entro tali limiti. L'incertezza tipo è

u δα( ) = × °( ) = × °− −1 10 3 0 58 106 6 C C-1 -1,



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H.1.3.6 Incertezza della differenza di temperatura dei blocchetti, u(δθ)Ai due blocchetti è attribuita la stessa temperatura, ma si stima che la differenza tra essipuò avere con uguale probabilità un qualunque valore entro l'intervallo compresotra - 0,05 °C e + 0,05 °C. L'incertezza tipo è

u δθ( ) = °( ) = °0 3 0 029,05 C C,

H.1.4 Incertezza tipo compostaSostituendo nell'equazione (H.5) i valori numerici dei vari termini sopra discussi, si ottienel'incertezza tipo composta uc(l)

u lc-6 -1

-6 -1

nm ,7 nm m C ,58 10 C

m 10 C ,029 C

2 2 2 2 2 2

2 2 2

25 9 0 05 0 1 0

0 05 11 5 0

( ) = ( ) + ( ) + ( ) − °( ) × °( )+ ( ) × °( ) °( )

, ,

, , (H.6a)

= nm ,7 nm nm 6,6 nm

nm2

25 9 2 9 1

1002

2 2 2 2( ) + ( ) + ( ) + ( )=

,(H.6b)

da cui

u lc 2 nm( ) = 3 [H.6c]

La componente dominante dell'incertezza è ovviamente quella tipo,u lS nm( ) = 25 .

H.1.5 RisultatoIl certificato di taratura dà per la lunghezza a 20 °C del blocchetto campionelS = 50,000 623 mm. La media d di cinque osservazioni ripetute della differenza di

lunghezza tra il blocchetto campione e l'incognito è 215 nm. Pertanto, poiché l l d= +S

(vedere H.1.2), la lunghezza l a 20 °C del blocchetto incognito è 50,000 838 mm.Seguendo 7.2.2, si può dichiarare il risultato della misurazione nella forma:l = 50,000 838 mm con incertezza tipo composta uc 2 nm= 3 . L'incertezza tipo composta

relativa corrispondente è u lc = × −6 4 10 7, .

H.1.6 Incertezza estesaSi supponga che sia richiesta un'incertezza estesa U99 = k99uc(l) che dunque individua unintervallo avente un livello di fiducia del 99% approssimativamente. La procedura daseguire è delineata in G.6.4, ed i gradi di libertà richiesti sono indicati nel prospetto H.1.Essi sono stati ottenuti come segue:1) Incertezza di taratura del campione di riferimento, u(lS) [H.1.3.1]. Il certificato di

taratura dichiara che i gradi di libertà effettivi dell'incertezza tipo composta su cui èbasata l'incertezza estesa dichiarata sono νeff(lS) = 18.

2) Incertezza della differenza di lunghezza misurata, u(d) [H.1.3.2]. Benché d sia stato

ottenuto da cinque osservazioni ripetute, u d( ) risulta da uno scarto tipo cumulato

basato su 25 osservazioni; per questa ragione u d( ) ha un numero di gradi di libertà

ν d( ) = − =25 1 24 (vedere H.3.6, nota). L'incertezza dovuta ad effetti casuali sul

comparatore, u d1( ) , ha ν d1 6 1 5( ) = − = gradi di libertà, in quanto d1 risulta da seimisurazioni ripetute. L'incertezza di ± 0,02 µm per effetti sistematici sul componentepuò essere ritenuta affidabile entro il 25%, ed ha dunque, secondo l'equazione (G.3)in (G.4.2), ν d2 8( ) = gradi di libertà (vedere esempio di G.4.2). I gradi di libertà effettivi

di u(d), νeff d( ), vengono allora calcolati dall'equazione (G.2b) in G.4.1:



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ν

ν ν ν

eff nm

nm ,9 nm ,7 nmd

u d u d u d

u d

d

u d

d

u d

d

( ) =( ) + ( ) + ( )[ ]( )( ) + ( )

( ) + ( )( )

= ( )( ) + ( ) + ( )

=2 2

12

2

2

4 41

1

42

2

4

4 4 4

9 7

5 824

35

68

25 6,

,,

3) Incertezza della differenza dei coefficienti di dilatazione termica, u(δα) [H.1.3.5]. I limitidi variabilità stimati per δα, pari a ± 1 × 10-6 °C-1, sono attendibili entro il 10 per cento.Ciò dà, sulla base dell'equazione (G.3) in G.4.2, ν(δα) = 50.

4) Incertezza della differenza di temperatura dei blocchetti, u(δθ) [H.1.3.6]. L'intervallocompreso tra - 0,05 °C e + 0,05 °C, relativo alla differenza di temperatura stimata tra idue blocchetti, è affidabile solamente entro il 50 per cento, il che, dall'equazione(G.3) in G.4.2, dà ν(δθ) = 2.

Il calcolo di νeff(l) dall'equazione (G.2b) in G.4.1 procede esattamente nello stesso modo

di quello di νeff d( ) al punto 2) di cui sopra. Pertanto, dalle equazioni (H.6b) ed (H.6c), edusando i valori ottenuti per ν da 1) a 4),

νeff2 nm

5 nm ,7 nm ,9 nm ,6 nml( ) = ( )

( ) + ( ) + ( ) + ( )=

3

218

925 6

250

162

16 74

4 4 4 4

,

,

Per ottenere l'incertezza estesa richiesta, questo valore viene innanzitutto troncatoall'intero inferiore, νeff l( ) = 16. Dal prospetto G.2 nell'appendice G discendet99(16) = 2,92, e dunque U99 = t99(16)uc(l) = 2,92 × (32 nm) = 93 nm. Seguendo 7.2.4, ilrisultato della misurazione può essere espresso come:l = (50,000 838 ± 0,000 093) mm, dove il numero che segue il simbolo ± è il valorenumerico di un'incertezza estesa U = kuc, con U determinata sulla base di un'incertezzatipo composta uc = 32 nm ed un fattore di copertura k = 2,92 basato sulla distribuzione tper ν = 16 gradi di libertà, e definisce un intervallo che si stima avere un livello di fiduciadel 99 per cento. L'incertezza estesa relativa è U/l = 1,9 × 10-6.

H.1.7 Termini del secondo ordineLa nota al 5.1.2 evidenzia che l'equazione (10), usata in questo esempio per ottenerel'incertezza tipo composta uc(l), deve essere completata quando la funzione

Y f X X XN= ( )1 2, , . . . , è non lineare in misura così rilevante che i termini di ordinesuperiore nello sviluppo in serie di Taylor non possono essere tralasciati. È questo il casodell'esempio, per cui la valutazione di uc(l) qui presentata non è completa. Infatti, se siapplica l'espressione della nota di 5.1.2 all'equazione (H.3), si ottengono due distintitermini del secondo ordine non trascurabili, che devono dunque essere aggiuntiall'equazione (H.5). Questi termini, originati dal termine quadratico dell'espressionemenzionata, sono

l u u l u uS S S2 2 2 2 2 2δα θ α δθ( ) ( ) + ( ) ( )

ma solo il primo di essi contribuisce in misura significativa ad uc(l):

l u uS

-1 m C C nmδα θ( ) ( ) = ( ) × °( ) °( ) =−0 05 0 58 10 0 41 11 76, , , ,

l u uS S

-1 m C C nmα δθ( ) ( ) = ( ) × °( ) °( ) =−0 05 1 2 10 0 029 1 76, , , ,

I termini di secondo ordine aumentano il valore di uc(l) da 32 nm a 34 nm.

H.2 MISURAZIONE SIMULTANEA DI RESISTENZA E REATTANZAQuesto esempio illustra il caso in cui più misurandi (o grandezze d'uscita), sonodeterminati simultaneamente nella medesima misurazione evidenziando la conseguente



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correlazione delle loro stime. L'esempio considera solamente le variazioni casuali delleosservazioni; nella situazione reale, anche le incertezze delle correzioni per gli effettisistematici contribuiscono all'incertezza dei risultati della misurazione. I dati sono analizzatiin due modi diversi, che conducono agli stessi valori numerici.

H.2.1 Il problema sperimentaleLa resistenza R e la reattanza X di un elemento circuitale vengono determinate misurandol'ampiezza V di una differenza di potenziale sinusoidale attraverso i suoi terminali,l'ampiezza I della corrente alternata che lo attraversa e l'angolo di fase φ tra la differenza dipotenziale e la corrente. Dunque le tre grandezze d'ingresso sono V, I e φ mentre le tregrandezze d'uscita - i misurandi - sono le tre componenti dell'impedenza R, X e Z. PoichéZ R X2 2 2= + , vi sono solamente due grandezze d'uscita indipendenti.

H.2.2 Modello matematico e datiI misurandi sono legati alle grandezze d'ingresso dalla legge di Ohm:

R

VX

VZ

V= =I I I

cos = sen φ φ; ; [H.7]

Si supponga di ottenere cinque gruppi indipendenti di osservazioni simultanee delle tregrandezze d'ingresso V, I e φ, in condizioni simili (vedere B.2.15), rappresentati dai datiforniti nel prospetto H.2. Qui vengono riportate anche le medie aritmetiche delleosservazioni e gli scarti tipo sperimentali di queste medie calcolati dalle equazioni (3) e (5)in 4.2. Le medie vengono considerate le migliori stime dei valori attesi delle grandezzed'ingresso e gli scarti tipo sperimentali sono le incertezze tipo delle suddette medie.

Le medie V , e I φ , risultando da osservazioni simultanee, sono correlate e di talicorrelazioni si deve tenere conto nella valutazione delle incertezze tipo dei misurandi R, Xe Z. Dall'equazione (14) in 5.2.2 si ottengono facilmente i coefficienti di correlazione

cercati, usando i valori di s V , I( ) ,

s V ,φ( ) ed

s I,φ( ) calcolati mediante l'equazione (17) in

5.2.3. I risultati sono inclusi nella tabella H.2, a proposito della quale si ricordi che

r x x r x xi j j i, ,( ) = ( ) e r x xi i,( ) = 1.

H.2.3 Risultati: metodo 1Il metodo 1 è riassunto nella tabella H.3.Si ottengono i valori dei tre misurandi R, X e Z dalle relazioni date nell'equazione (H.7),usando per V, I e φ i valori medi V , e I φ del prospetto H.2. Si ottengono le incertezzetipo di R, X e Z dalla equazione (16) in 5.2.2 poiché, come sopra precisato, le grandezzed'ingresso V , e I φ sono correlate. Si consideri per esempio Z V= I . Identificando V

con x1, I con x2 e Z V= I con f, l'equazione (16) in 5.2.2 dà per l'incertezza tipocomposta di Z

u Z u V

Vu

Vu V u r Vc

22

22

22

2

12

1( ) =

( ) +

( ) +

−

( ) ( ) ( )I I

II I

I I, [H.8a]

=( )

+( )

−( )

( )

( )Z

u V

VZ

uZ

u V

V

ur V2

2

2

2

22I

I

I

II, [H.8b]

ovvero

u Z u V u u V u r Vc r r r r r, ,2 2 2 2( ) = ( ) + ( ) − ( ) ( ) ( )I I I [H.8c]

in cui u V s V( ) = ( ), u sI I( ) = ( ) ed il pedice "r" nell'ultima espressione indica che u è

un'incertezza relativa. Sostituendo nell'equazione (H.8a) i valori appropriati della tabellaH.2 si ha uc(Z) = 0,236 Ω.



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prospetto H.2 Valori delle grandezze d'ingresso V, I e φ ottenuti in cinque gruppi di osservazioni simultanee

Numero del gruppo Grandezze d'ingresso

k V

(V)

I

(mA)φ

(rad)

1 5,007 19,663 1,045 6

2 4,994 19,639 1,043 8

3 5,005 19,640 1,046 8

4 4,990 19,685 1,042 8

5 4,999 19,678 1,043 3

Media aritmetica V = 4 9990, I = 19 6610, φ = 1 044, 46

Scarto tipo sperimentaledella media s V( ) = 0 0032,

s I( ) = 0 009 5,

s φ( ) = 0 000 75,

Coefficienti di correlazione

r V , ,I( ) = −0 36

r V , ,φ( ) = 0 86

r I, ,φ( ) = −0 65

Poiché i tre misurandi, o grandezze d'uscita, dipendono dalle stesse grandezzed'ingresso, sono correlati anch'essi. L'elemento generico della matrice di varianza ecovarianza che descrive questa correlazione è

u y yyx

yx

u x u x r x xl ml

i

m

ji j i j

j

N

i

N

, ,( ) = ( ) ( ) ( )==∑∑ ∂

∂∂∂11

[H.9]

in cui y f x x xl l N= ( )1 2, ,..., ed y f x x xm m N= ( )1 2, ,..., . L'equazione (H.9) è unageneralizzazione dell'equazione (F.2) in F.1.2.3 al caso in cui le ql in quell'espressionesiano correlate. I coefficienti di correlazione stimati delle grandezze d'uscita sono dati dar y y u y y u y u yl m l m l m, ,( ) = ( ) ( ) ( ), secondo quanto indicato nell'equazione (14) in 5.2.2.

Si ricordi che gli elementi diagonali della matrice di covarianza, u y y u yl l l,( ) ≡ ( )2 , sono levarianze stimate delle grandezze d'uscita yl (vedere 5.2.2, nota 2) e che per m = ll'equazione (H.9) è identica all'equazione (16) in 5.2.2.Al fine di applicare a questo esempio l'equazione (H.9), si ponga:

y1 = R x 1 = V u(xi) = s(xi)

y2 = X x2 = I N = 3

y3 = Z x3 = φ

I risultati dei calcoli per R, X e Z e per le loro varianze e coefficienti di correlazioni stimatisono riportati nella tabella H.3.

H.2.4 Risultati: metodo 2Il metodo 2 è riassunto nel prospetto H.4.Poiché i dati sono stati ottenuti da cinque gruppi di osservazioni delle tre grandezzed'ingresso V, I e φ, è possibile calcolare un valore per R, X e Z da ciascun insieme di datid'ingresso, prendendo poi la media aritmetica dei cinque singoli valori per ottenere lemigliori stime di R, X e Z. Successivamente si calcola nel modo usuale lo scarto tiposperimentale di ogni media (cioè la sua incertezza tipo composta), dai cinque singoli valori



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[equazione (5) in 4.2.3]; infine le covarianze stimate delle tre medie sono calcolateapplicando l'equazione (17) in 5.2.3 direttamente ai cinque singoli valori da cui si èottenuta ogni media. Non vi sono differenze nei valori d'uscita, nelle incertezze tipo enelle covarianze stimate fornite dai due metodi a meno di effetti del secondo ordineassociati con la sostituzione di termini come V I e cos φ con V I e cos φrispettivamente.Per illustrare questo metodo, nel prospetto H.4 sono riportati i valori di R, X e Z calcolati daciascuno dei cinque insiemi di osservazioni. Medie aritmetiche, incertezze tipo ecoefficienti di correlazione stimati sono poi calcolati direttamente da questi valori singoli. Irisultati numerici ottenuti in questo modo sono sensibilmente uguali a quelli dati nellatabella H.3.Seguendo la terminologia della nota in 4.1.4, il metodo 2 è un esempio di come si possa

ottenere la stima y da Y Y nkkn= =∑ 1

, mentre il metodo 1 è un esempio di come si possa

ottenere y da y f X X X N= ( )1 2, , . . . , . Come già evidenziato in tale nota, i due metodi in

generale forniscono risultati identici se f è funzione lineare delle sue grandezzed'ingresso (purché, quando si usa il metodo 1, si tenga conto dei coefficienti dicorrelazione osservati sperimentalmente). Se f non è una funzione lineare, i risultati delmetodo 1 differiscono da quelli del metodo 2 a seconda del grado di non linearità e dellevarianze e covarianze stimate delle Xi, come si può vedere dall'espressione

y f X X Xf

X Xu X XN

i ji j

j

N

i

N

= ( ) + ( ) +==∑∑1 2

2

11

12

, , . . . , , ∂

∂ ∂K [H.10]

in cui il secondo termine del secondo membro è il termine di secondo ordine dellosviluppo di f in serie di Taylor di potenze delle Xi (vedere anche 5.1.2, nota). Nel caso quidiscusso il metodo 2 è preferibile in quanto evita l'approssimazione

y f X X X N= ( )1 2, , . . . , e meglio rispecchia la procedura di misurazione seguita - infatti i

dati furono raccolti in insiemi.



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prospetto H.3 Valori calcolati delle grandezze d'uscita R, X e Z : metodo 1

Indice del misurando

l

Relazione tra la stima del misurando yl ele stime d'ingresso xi

Valore della stima

yl, ovvero

risultato della misurazione

Incertezza tipo composta

uc(yl )

del risultato della

misurazione

1 y R V1 = = ( )I cos φ y R1 127 732= = , Ω u Rc ( ) = 0 071, Ω

u R Rc ( ) = × −0 06 10 2,

2 y X V2 = = ( )I sen φ y X2 219 847= = , Ω u Xc ( ) = 0 295, Ω

u X Xc ( ) = × −0 13 10 2,

3 y Z V3 = = I y Z3 254 260= = , Ω u Zc ( ) = 0 236, Ω

u Z Zc ( ) = × −0 09 10 2,

Coefficienti di correlazione r y yl m,( )

r y y r R X1 2 0 588, , ,( ) = ( ) = −

r y y r R Z1 3 0 485, , ,( ) = ( ) = −

r y y r X Z2 3 0 993, , ,( ) = ( ) =

prospetto H.4 Valori calcolati delle grandezze d'uscita R, X e Z : metodo 2

Numero del gruppo Valori singoli dei misurandi

k R V= ( )I cos φ

(Ω)

X V= ( )I sen φ

(Ω)

Z V= I

(Ω)

1 127,67 220,32 254,64

2 127,89 219,79 254,29

3 127,51 220,64 254,84

4 127,71 218,97 254,49

5 127,88 219,51 254,04

Media aritmetica y R1 127 732= = , y2 = X = 219,847 y3 = Z = 254,260

Scarto tipo sperimentale della medias R( ) = 0 071, s X( ) = 0 295, s Z( ) = 0,236

Coefficienti di correlazione r y yl m,( )r y y r R X1 2 0 588, , ,( ) = ( ) = −

r y y r R Z1 3 0 485, , ,( ) = ( ) = −

r y y r X Z2 3 0 993, , ,( ) = ( ) =



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D'altra parte, il metodo 2 sarebbe inadatto nel caso che i dati del prospetto H.2rappresentassero n1 = 5 osservazioni della differenza di potenziale V, seguite da n2 = 5osservazioni della corrente I, seguite infine da n3 = 5 osservazioni della fase φ, e sarebbeimpraticabile se n1 ≠ n2 ≠ n3. (Di fatto, effettuare le misurazioni in questo modorappresenterebbe una procedura inadeguata, in quanto la differenza di potenziale e lacorrente attraverso un'impedenza fissa sono direttamente collegate).

Se i dati del prospetto H.2 sono reinterpretati in questo modo, così da rendere nonappropriato il metodo 2, e se si ipotizza che siano assenti le correlazioni tra le grandezzeV, I e φ, i coefficienti di correlazione osservati non hanno significato e devono essereposti uguali a zero. Se si fa ciò nel prospetto H.2, l'equazione (H.9) si riduceall'equivalente dell'equazione (F.2) in F.1.2.3, cioè,

u yl,ym( ) ∂yl

∂xii=1

N

∑ ∂ym

∂xiu2 xi( ) [H.11]

e la sua applicazione ai dati del prospetto H.2 porta ai cambiamenti nel prospetto H.3mostrati nel prospetto H.5.

prospetto H.5 Variazioni nel prospetto H.3 nell'ipotesi che i coefficienti di correlazione del prospetto H.2 siano nulli

Incertezza tipo composta uc(yl )

del risultato della misurazione

u Rc ( ) = 0 195, Ω

u R Rc ( ) = × −/ ,0 15 10 2

u Xc ( ) = 0 201, Ω

u X Xc ( ) = × −/ ,0 09 10 2

u Zc ( ) = 0 204, Ω

u Z Zc ( ) = × −0 08 10 2,

Coefficienti di correlazione r y yl m,( )r y y r R X1 2 0 056, , ,( ) = ( ) =

r y1,y3( ) = r R,Z( ) = 0,527

r y2,y3( ) = r X,Z( ) = 0,878

H.3 TARATURA DI UN TERMOMETROQuesto esempio illustra l'applicazione del metodo dei minimi quadrati per ottenere unaretta di taratura; vi si mostra come i parametri dell'aggiustamento, cioè il termine noto e lapendenza, e le loro varianze e covarianza stimate, vengono utilizzati per ottenere dallacurva di taratura il valore e l'incertezza tipo di una correzione predetta.

H.3.1 Il problema sperimentaleUn termometro viene tarato confrontando n = 11 indicazioni di temperatura tk deltermometro, aventi incertezza trascurabile, con altrettante temperature di riferimento tR,knel campo tra 21 °C e 27 °C, allo scopo di ottenere le correzioni delle letture bk = tR,k - tk .Le correzioni misurate bk e le temperature misurate tk sono le grandezze d'ingresso.



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Una retta di taratura

b t y y t t( ) = + −( )1 2 0 [H.12]

viene aggiustata, con il metodo dei minimi quadrati, sulle correzioni e temperaturemisurate. I parametri y1 ed y2, rispettivamente termine noto e pendenza della curva ditaratura, sono i due misurandi o grandezze d'uscita da determinare. La temperatura t0 èuna temperatura di riferimento esatta scelta secondo convenienza, e non è dunque unulteriore parametro da determinarsi con l'aggiustamento ai minimi quadrati. L'equazione(H.12), una volta che siano stati determinati y1 ed y2, con le loro varianze e covarianzastimate, può essere usata per predire il valore e l'incertezza tipo della correzione daapplicarsi al termometro per qualsivoglia valore t di temperatura.

H.3.2 Aggiustamento ai minimi quadratiSecondo il metodo dei minimi quadrati, sotto le ipotesi fatte in H.3.1, le grandezzed'uscita y1 ed y2 e le loro varianze e covarianza stimate si ottengono minimizzando lasomma

S b y y t tk kk

n

= − − −( )[ ]=

∑ 1 2 02

1

Ciò conduce alle seguenti equazioni per y1 ed y2, le loro varianze sperimentali s2(y1) ed

s2(y2), ed il loro coefficiente di correlazione stimato r y y s y y s y s y1 2 1 2 1 2, ,( ) = ( ) ( ) ( ) , in cui

s y y1 2,( ) è la loro covarianza stimata:

y

b b

D

k k k k k1

2

=( )( ) − ( )( )∑ ∑ ∑ ∑θ θ θ

[H.13a]

y

n b b

D

k k k k2 =

− ( )( )∑ ∑ ∑θ θ [H.13b]

s y

s

Dk2

1

2 2

( ) = ∑θ [H.13c]

s y nsD

22

2

( ) = [H.13d]

r y yn

k

k

1 22

,( ) = − ∑∑θ

θ [H.13e]

sb b t

nk k2

2

2=

− ( )[ ]−

∑ [H.13f]

D n n n t tk k k k= −( ) = −( ) = −( )∑ ∑ ∑ ∑θ θ θ θ2 2 2 2

[H.13g]

in cui tutte le somme sono per k da 1 ad n, θk kt t= −( )0 , θ θ= ( )∑ k n , e t t nk= ( )∑ ;

b b tk k− ( )[ ] è la differenza tra la correzione misurata o osservata, bk alla temperatura tk e la

correzione b(tk) predetta dalla curva interpolatrice b t y y t t( ) = + −( )1 2 0 alla stessatemperatura tk. La varianza s2 è una valutazione quantitativa dell'incertezza globaledell'aggiustamento, in cui il fattore n - 2 rispecchia il fatto che, poiché con le nosservazioni si determinano due parametri, y1 ed y2, i gradi di libertà di s2 sono appuntoν = n - 2 (vedere G.3.3).



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H.3.3 Calcolo dei risultati

prospetto H.6 Dati utilizzati per ottenere una curva lineare di taratura per un termometro usando il metodo dei minimiquadrati

Numero dellalettura

Lettura del termometro Correzione osservata Correzione predetta Differenza tra correzione osservata epredetta

k tk b t tk k k= −R, b tk( ) b b tk k− ( )(°C) (°C) (°C) (°C)

1 21,521 - 0,171 - 0,167 9 - 0,003 1

2 22,012 - 0,169 - 0,166 8 - 0,002 2

3 22,512 - 0,166 - 0,165 7 - 0,000 3

4 23,003 - 0,159 - 0,164 6 + 0,005 6

5 23,507 - 0,164 - 0,163 5 - 0,000 5

6 23,999 - 0,165 - 0,162 5 - 0,002 5

7 24,513 - 0,156 - 0,161 4 + 0,005 4

8 25,002 - 0,157 - 0,160 3 + 0,0033

9 25,503 - 0,159 - 0,159 2 + 0,000 2

10 26,010 - 0,161 - 0,158 1 - 0,002 9

11 26,511 - 0,160 - 0,157 0 - 0,003 0

I dati da aggiustare sono riportati nella seconda e terza colonna del prospetto H.6.Scegliendo come temperatura di riferimento t0 = 20 °C, le equazioni da (H.13a) ad (H.13g)dannoy1 = - 0,171 2 °C s(y1) = 0,002 9 °Cy2 = 0,002 18 s(y2) = 0,000 67

r y y1 2 0 930, ,( ) = − s = 0,003 5 °CIl fatto che la pendenza y2 sia più di tre volte maggiore della sua incertezza tipo dà unaqualche indicazione che è necessario ricorrere ad una curva di taratura, e non a unacorrezione media fissa su tutto il campo.La curva di taratura può allora essere scritta come

b t( ) = - 0,171 2(29) °C + 0,002 18(67) (t - 20 °C) [H.14]

in cui i numeri entro parentesi sono i valori numerici delle incertezze tipo riferiti allecorrispondenti ultime cifre dei risultati riportati per termine noto e pendenza (vedere7.2.2). Questa equazione dà il valore predetto della correzione b(t) a qualunquetemperatura t, ed in particolare il valore b(tk) a t = tk. Questi valori sono riportati nella quartacolonna del prospetto, mentre l'ultima colonna dà la differenza tra il valore misurato equello predetto, b b tk k− ( ). Si può, attraverso un'analisi di queste differenze, verificare lavalidità del modello lineare; esistono prove ben codificate (vedere riferimento [8]) cheperò non vengono considerate in questo esempio.

H.3.4 Incertezza di un valore predettoL'espressione per l'incertezza tipo composta del valore predetto di una correzione vieneottenuta facilmente applicando la legge di propagazione dell'incertezza, equazione (16)in 5.2.2, all'equazione (H.12). Notando che b t f y y( ) = ( )1 2, e scrivendo u y s y1 1( ) = ( ) e

u y s y2 2( ) = ( ) si ottiene

u b t u y t t u y t t u y u y r y yc2 2

1 02 2

2 0 1 2 1 22( )[ ] = ( ) + −( ) ( ) + −( ) ( ) ( ) ( ), [H.15]



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La varianza stimata u b tc2 ( )[ ] è minima a t t u y r y y u ymin ,= − ( ) ( ) ( )0 1 1 2 2 , che in questo

esempio è tmin = 24,008 5 °C.

A titolo di esempio sull'uso dell'equazione (H.15), si supponga di volere la correzione deltermometro e la sua incertezza a t = 30 °C, cioè al di fuori del campo di temperatura entro ilquale il termometro fu tarato. Sostituendo t = 30 °C nell'equazione (H.14) si ha

b(30 °C) = - 0,149 4 °C

mentre l'equazione (H.15) diventa

u bc C2 30 °( )[ ] = (0,002 9 °C)2 + (10 °C)2(0,000 67)2

+ 2(10 °C)(0,002 9 °C)(0,000 67)(- 0,930)

= 17,1 × 10-6 °C2

ovvero

u bc C30 °( )[ ] = 0,004 1 °C

Pertanto la correzione a 30 °C è - 0,149 4 °C, con incertezza tipo compostauc = 0,004 1 °C avente ν = n - 2 = 9 gradi di libertà.

H.3.5 Rimozione della correlazione tra pendenza e termine notoL'equazione (H.13e) per il coefficiente di correlazione r y y1 2,( ) implica che se si sceglie t0

in modo che

θkk

nkk

nt t

= =∑ ∑= −( ) =1 01

0, si avrà r y y1 2 0,( ) = , cosicché y1 ed y2 saranno

scorrelati, semplificando dunque il calcolo dell'incertezza tipo della correzione predetta.

Poiché

θkk

n

=∑ =1

0 per t t t nkkn

0 1= = ( )=∑ , e poiché in questo caso t = 24,008 5 °C, la

ripetizione dell'aggiustamento ai minimi quadrati, scegliendo t t0 = = 24,008 5 °C, porta a

valori scorrelati di y1 ed y2. (La temperatura t è anche quella a cui u b t2 ( )[ ] è minima -

vedere H.3.4). Tuttavia, non è neppure necessario ripetere l'aggiustamento, in quanto sipuò dimostrare che

b t y y t t( ) = + −( )1 2' [H.16a]

u b t u y t t u yc2 2

12 2

2( )[ ] = ( ) + −( ) ( )' [H.16b]

r y y1 2 0',( ) = [H.16c]

in cui

y y y t t1 1 2 0' = + −( )t t s y r y y s y= − ( ) ( ) ( )0 1 1 2 2,

s y s y r y y21

21

21 21' ,( ) = ( ) − ( )[ ]

con le sostituzioni u y s y1 1' '( ) = ( ) e u y s y2 2( ) = ( ) nell'equazione (H.16b) [vederel'equazione H.15)].Applicando queste relazioni ai risultati riportati in H.3.3 si ottiene

b t( ) = - 0,162 5(11) + 0,002 18(67) (t - 24,008 5 °C) [H.17a]

u b tc2 ( )[ ] = (0,001 1)2 + (t - 24,008 5 °C)2(0,000 67)2 [H.17b]

Si può verificare che queste espressioni danno gli stessi risultati delle equazioni (H.14) e(H.15), ripetendo il calcolo di b(30 °C) e u bc C30 °( )[ ] . Sostituendo t = 30 °C nelle

equazioni (H.17a) e (H.17b) si ha



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b(30 °C) = - 0,149 4 °Cu bc C30 °( )[ ] = 0,004 1 °C

che sono risultati identici a quelli ottenuti in H.3.4. La covarianza stimata tra due correzionipredette b(t1) e b(t2) può essere ottenuta dall'equazione (H.9) in H.2.3.

H.3.6 Altre considerazioniIl metodo dei minimi quadrati può essere usato per aggiustare curve di ordine superiore aipunti sperimentali, anche qualora questi abbiano incertezze non trascurabili. Per i dettaglisi possono consultare testi sull'argomento [8]. Tuttavia, gli esempi seguenti illustranodue casi in cui le correzioni misurate bk non sono immuni da incertezza.

1) Si supponga che ciascuna tk abbia incertezza trascurabile, che ciascuno degli n valoritR,k sia ottenuto da una serie di m letture ripetute, e che la stima cumulata dellavarianza per tali letture, sulla base di un grande numero di dati, ottenuti nell'arco disvariati mesi, sia sp

2. Allora la varianza stimata di ciascuna tR,k è s m up2

02= e ciascuna

correzione osservata b t tk k k= −R, ha la stessa incertezza tipo u0. In questecircostanze (e nell'ipotesi che non vi sia motivo di dubitare della correttezza delmodello lineare), u0

2 sostituisce s2 nelle equazioni (H.13c) e (H.13d).

Nota Una stima cumulata della varianza basata su N serie di osservazioni indipendenti della stessavariabile casuale viene ricavata da

s

si ii

N

ii

Np2

2

1

1

= =

=

∑

∑

ν

ν

in cui si2 è la varianza sperimentale della i-esima serie di ni osservazioni indipendenti ripetute

[equazione (4) in 4.2.2], con νi in= −1 gradi di libertà. sp2 ha allora

ν ν=

=∑ ii

N

1 gradi di

libertà. La varianza sperimentale s mp2 (e lo scarto tipo sperimentale s mp ) della media

aritmetica di m osservazioni indipendenti, caratterizzata mediante la stima cumulata della

varianza sp2, ha anch'essa ν gradi di libertà.

2) Si supponga che ciascuna tk abbia incertezza trascurabile, che a ciascuno degli nvalori tR,k si applichi una correzione εk e che ognuna di queste correzioni abbia lastessa incertezza tipo ua. Allora anche l'incertezza tipo di ogni b t tk k k= −R, è ua,

s y21( ) viene sostituita da s y u2

12( ) + a ed s y2

1'( ) viene sostituita da s y u21

2'( ) + a .

H.4 MISURAZIONE DI ATTIVITÀQuesto esempio è analogo all'esempio H.2, la misurazione simultanea di resistenza ereattanza, nel senso che i dati possono essere analizzati in due modi differenti cheportano essenzialmente allo stesso risultato numerico. Il primo metodo illustra, ancorauna volta, la necessità di tenere conto delle correlazioni osservate tra le grandezzed'ingresso.

H.4.1 Il problema sperimentaleLa concentrazione di attività incognita del radon (222Rn) in un campione di acqua vienedeterminata mediante un apparato di conteggio a scintillazione liquida rispetto ad unasorgente campione di radon in acqua avente concentrazione di attività nota. Laconcentrazione di attività incognita viene ottenuta misurando tre sorgenti costituiteapprossimativamente di 5 g d'acqua e 12 g di liquido scintillante organico in fiale aventivolume di 22 ml:



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Sorgente (a) un campione di riferimento consistente di una massa mS della sorgentecampione con concentrazione di attività nota;

Sorgente (b) un campione d'acqua di bianco, cioè che non contiene alcun materialeradioattivo, utilizzato per ottenere il rateo di conteggio di fondo;

Sorgente (c) il campione di prova consistente di un'aliquota m x di acqua conconcentrazione di attività incognita.

Si effettuano sei cicli di misurazione delle tre sorgenti, nell'ordine: campione - bianco -campione di prova; ciascun intervallo di conteggio T0, corretto per tempo morto, durantetutti e sei i cicli è di 60 minuti. Sebbene il rateo di conteggio di fondo non possa essereconsiderato costante sull'intero periodo di conteggio (65 h), si ipotizza che il numero diconteggi ottenuto per ciascun campione di bianco sia rappresentativo del rateo diconteggio di fondo durante la misurazione dei campioni di riferimento e di prova nellostesso ciclo. I dati sono riportati nel prospetto H.7, in cuitS, tB, tx sono gli intervalli di tempo compresi tra il tempo di riferimento t = 0 ed il

punto medio degli intervalli di conteggio T0 = 60 min, corretti per tempomorto, e relativi, rispettivamente, al campione, al bianco ed al campione diprova; il tempo tB, fornito per completezza, non è in realtà necessarionell'analisi;

CS, CB, Cx sono i numeri di conteggi registrati nell'intervallo T0 = 60 min, corretto pertempo morto, rispettivamente per il campione, il bianco ed il campione diprova.

I conteggi osservati possono essere espressi come

C C A T m tS B S Se S= + −ε λ

0 [H.18a]

C C A T mx x xtx= + −

B eε λ0 [H.18b]

in cuiε è l'efficienza di rivelazione dell'apparato di conteggio per il 222Rn e per una specifica

composizione della sorgente, e che viene ritenuta indipendente dal livello diattività;

AS è la concentrazione di attività della sorgente del campione al tempo di riferimentot = 0;

Ax è il misurando, definito come la concentrazione di attività incognita del campione diprova al tempo di riferimento t = 0;

mS è la massa di soluzione campione;

mx è la massa di acqua del campione di prova;

λ è la costante di decadimento per il 222Rn: λ = ( ) =ln 2 T1

21,258 94 × 10-4 min-1

(T12

= 5 505,8 min).



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prospetto H.7 Dati di conteggio per la determinazione della concentrazione di attività di un campione incognito

Ciclo Riferimento Bianco Incognito

k tS

min

CS

conteggi

tB

min

CB

conteggi

tx

min

Cx

conteggi

1 243,74 15 380 305,56 4 054 367,37 41 432

2 984,53 14 978 1 046,10 3 922 1 107,66 38 706

3 1 723,87 14 394 1 785,43 4 200 1 846,99 35 860

4 2 463,17 13 254 2 524,73 3 830 2 586,28 32 238

5 3 217,56 12 516 3 279,12 3 956 3 340,68 29 640

6 3 956,83 11 058 4 018,38 3 980 4 079,94 26 356

Le equazioni (H.18a) e (H.18b) indicano che né i sei singoli valori di CS né quelli di Cxriportati nel prospetto H.7 possono essere mediati direttamente, a causa deldecadimento esponenziale delle attività del campione e del campione di prova e dellelievi fluttuazioni del conteggio di fondo da un ciclo all'altro. È invece necessario utilizzare iconteggi (o i ratei di conteggio, definiti come il numero di conteggi divisi per T0 = 60 min)corretti per decadimento e fondo. Ciò suggerisce di combinare le equazioni (H.18a) e(H.18b) allo scopo di ottenere le seguenti espressioni che legano la concentrazioneincognita alle grandezze note:

A f A m m C C C t tx x x x= ( )S S S B S, , , , , , , ,λ

=

−( )−( )

=−( )−( )

−( )Amm

C C

C CA

mm

C C

C Cx

xt

tx

x t tx

xs

S B

S Bs

S B

S B

e

ee

S

S

λ

λλ [H.19]

in cui C Cxtx−( )B eλ e C C t

S B e S−( ) λ sono i conteggi nell'intervallo T0 = 60 min, corretti perfondo, riferiti all'istante t = 0 e relativi al campione ed al campione di prova rispettivamente.In alternativa si può scrivere semplicemente

A f A m m R Rx x x= ( )S S S, , , ,

= Amm

RRx

xs

S

S

in cui i ratei di conteggio, corretti per fondo e per decadimento, Rx edRS sono dati da

R C C Tx x

tx= −( )[ ]B e0λ [H.21a]

R C C T t

S S B e S= −( )[ ]0λ [H.21b]

H.4.2 Analisi dei datiIl prospetto H.8 riassume i valori dei ratei di conteggio, corretti per fondo e perdecadimento, RS ed Rx , calcolati mediante le equazioni (H.21a) e (H.21b) usando i datidel prospetto H.7 e λ = 1,258 94 × 10-4 min-1 come specificato in precedenza. Si noti chesi ottiene più agevolmente il rapporto R R Rx= S usando l'espressione

C C C Cx

t tx−( ) −( )[ ] −( )B S B e Sλ

Le medie aritmetiche R R xS , ed R , così come i loro scarti tipo sperimentali s RS( ), s R x( )ed s R( ), sono calcolate nel solito modo [equazioni (3) e (5) in 4.2]. Il coefficiente di

correlazione r R Rx , S( ) viene calcolato dall'equazione (17) in 5.2.3 e dalla equazione (14)

in 5.2.2.



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A causa della variabilità relativamente modesta dei valori di Rx ed RS , il rapporto delle

medie R Rx S e la sua incertezza tipo u R Rx S( ) sono rispettivamente quasi uguali al

rapporto medio R ed al suo scarto tipo sperimentale s R( ) riportati nell'ultima colonna del

prospetto H.8 [vedere H.2.4 e l'equazione (H.10)]. Tuttavia, nel calcolo dell'incertezza

tipo u R Rx S( ) si deve tenere conto della correlazione tra Rx ed RS , rappresentata dal

coefficiente di correlazione r R Rx , S( ) , mediante l'equazione (16) di 5.2.2. [Questa

equazione dà per la varianza relativa stimata di R Rx S gli ultimi tre termini dell'equazione(H.22b).]

Si osservi che gli scarti tipo sperimentali di Rx ed RS , pari rispettivamente a 6s R x( ) e a

6s RS( ) , indicano per queste grandezze una variabilità da due a tre volte maggiore di

quella prevista dalla statistica di Poisson per le misure di conteggio; quest'ultima èperaltro già inclusa nella variabilità osservata dei conteggi e non deve pertanto essereconsiderata separatamente.

H.4.3 Calcolo dei risultati finaliLa determinazione, mediante l'equazione (H.20), della concentrazione di attivitàincognita Ax e della sua incertezza tipo composta uc(Ax) richiede la conoscenza di AS, mxed mS, e delle loro incertezze tipo. Queste sono

AS = 0,136 8 Bq/g

u(AS) = 0,001 8 Bq/g; u(AS)/AS = 1,32 × 10-2

mS = 5,019 2 g

u(mS) = 0,005 g; u(mS)/mS = 0,10 × 10-2

mx = 5,057 1 g

u(mx) = 0,001 0 g; u(mx)/mx = 0,02 × 10-2

Si ritengono trascurabili altre possibili sorgenti di incertezza, quali:- incertezze tipo degli intervalli temporali di decadimento, u(tS,k) e u(tx,k);

- incertezza tipo della costante di decadimento del 222Rn, u(λ) = 1 × 10-7 min-1. (Lagrandezza di interesse è il fattore di decadimento

exp Sλ t tx −( )[ ] , che varia tra

1,015 63 per i cicli k = 4 e 6 ed 1,015 70 per il ciclo k = 1. L'incertezza tipo di questivalori è u = 1,2 × 10-5);

- l'incertezza associata alla possibile dipendenza dell'efficienza di rivelazione delcontatore a scintillazione dalla sorgente usata (campione, bianco e campione diprova);

- l'incertezza della correzione per il tempo morto del contatore e quella per ladipendenza dell'efficienza di conteggio dal livello di attività.



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prospetto H.8 Calcolo dei ratei di conteggio corretti per decadimento e per fondo

Ciclo

kRx

(min-1)

RS

(min-1)

t tx − S

(min)

R R Rx= S

1 652,46 194,65 123,63 3,352 0

2 666,48 208,58 123,13 3,195 3

3 665,80 211,08 123,12 3,154 3

4 655,68 214,17 123,11 3,061 5

5 651,87 213,92 123,12 3,047 3

6 623,31 194,13 123,11 3,210 7

R x = 652 60, RS = 206 09, R = 3 170,

s R x( ) = 6 42, s RS( ) = 3 79, s R( ) = 0 046,

s R Rx x( ) = × −0 98 10 2, s R RS S( ) = × −1 84 10 2, s R R( ) = × −1 44 10 2,

R Rx S = 3 167,

u R Rx S( ) = 0 045,

u R R R Rx xS S( ) ( ) = × −1 42 10 2,

Coefficiente di correlazione

r R Rx , ,S( ) = 0 646

H.4.3.1 Risultati: metodo 1Come già indicato in precedenza, Ax ed uc(Ax) possono essere ottenuti in due modidiversi dalla equazione (H.20). Nel primo metodo, Ax viene calcolata usando le medie

aritmetiche R x ed RS con il risultato

A Amm

R

Rxx

x= =SS

S Bq g0 430 0, [H.22a]

Applicando a questa espressione l'equazione (16) in 5.2.2 si ha per la varianza compostau Axc

2( )u A

A

u A

A

u m

m

u m

m

u R

R

u R

R

x

x

x

x

x

x

c S

S

S

S

S

S

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

( )=

( )+

( )+

( )+

( )+

( )[H.22b]

− ( ) ( ) ( )2r R R

u R u R

R Rx

x

x, S

S

S

in cui, come già rilevato in H.4.2, gli ultimi tre termini danno u R R R Rx x2 2

S S( ) ( ) , vale a

dire la varianza relativa stimata di R Rx S . Analogamente al caso discusso in H.2.4, anche

i risultati del prospetto 8 mostrano che R non è esattamente uguale ad R Rx S , e che

l'incertezza tipo di R Rx S , u R Rx S( ) , non è esattamente uguale all'incertezza tipo di R ,

s R( ).



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Sostituendo i valori appropriati nelle equazioni (H.22a) e (H.22b) si ottiene

u A

Ax

x

c ( )= × −1 93 10 2,

u Axc Bq g( ) = 0 008 3,

Si può allora esprimere il risultato della misurazione nel modo seguente:Ax = 0 430 0, Bq g con incertezza tipo composta uc Bq g= 0 008 3, .

H.4.3.2 Risultati: metodo 2

Con il secondo metodo, che aggira la correlazione tra Rx ed RS , Ax viene calcolata

usando la media aritmetica R . Pertanto

A Amm

Rxx

= =SS Bq g0 430 4, [H.23a]

L'espressione per u Axc2( ) è semplicemente

u A

A

u A

A

u m

m

u m

m

u R

R

x

x

x

x

c S

S

S

S

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

( )=

( )+

( )+

( )+

( ) [H.23b]

che dà

u A

Ax

x

c ( )= × −1 95 10 2,

u Axc Bq g( ) = 0 008 4,

Si può allora esprimere il risultato della misurazione nel modo seguente:Ax = 0 430 4, Bq g con incertezza tipo composta uc Bq g= 0 008 4, .

I gradi di libertà effettivi di uc possono essere valutati usando la formula di Welch-Satterthwaite come illustrato in H.1.6.Come in H.2, tra i due risultati è da preferirsi il secondo, che non approssima la media delrapporto tra due grandezze mediante il rapporto delle medie; inoltre, esso rispecchia piùfedelmente il procedimento di misurazione effettivo, in quanto i dati furono raccolti in cicliseparati.Tuttavia, la differenza tra i valori di Ax ottenuti con i due metodi è evidentemente piccolarispetto alle incertezze tipo loro attribuite, e la differenza tra queste ultime è del tuttotrascurabile. Questo buon accordo testimonia che i due metodi sono equivalentiallorquando si tenga conto in modo adeguato delle correlazioni osservate.

H.5 ANALISI DELLA VARIANZAQuesto esempio costitusce una breve introduzione ai metodi di analisi della varianza(ANOVA). Queste tecniche statistiche sono usate per identificare e quantificare effetticasuali distinti in una misurazione così da poterne tenere conto in modo appropriato nellavalutazione dell'incertezza del risultato della misurazione stessa. Sebbene i metodiANOVA siano applicabili ad un vasto spettro di misurazioni, quali per esempio la taratura dicampioni di riferimento, come campioni di tensione Zener e campioni di massa, ed allacertificazione dei materiali di riferimento, essi di per sè stessi non possono rivelarel'eventuale presenza di effetti sistematici.

Nota nazionale In realtà i metodi ANOVA sono stati introdotti proprio allo scopo di individuare e valutare effettisistematici.

Mediante i metodi ANOVA si possono trattare modelli anche assai diversi. Quellodiscusso in questo esempio, che va sotto il nome di piano a nido equilibrato, è diparticolare rilievo. L'esempio numerico è relativo alla taratura di un campione di tensioneZener, ma l'analisi si applica ad una intera classe di situazioni sperimentali pratiche.



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I metodi ANOVA rivestono particolare importanza nella certificazione dei materiali diriferimento (MR) per mezzo di prove interlaboratorio, argomento questo esaurientementetrattato nella Guida ISO 35 [19] (vedere H.5.3.2 per una breve descrizione dellacertificazione dei MR per questa via). Poichè buona parte del materiale contenuto nellacitata Guida ISO 35 è suscettibile di più vasta applicazione, si consulti detta pubblicazioneper dettagli ulteriori concernenti l'ANOVA, compresi i piani a nido non equilibrati. Sipossono parimenti consultare i riferimenti [15] e [20].

H.5.1 Il problema sperimentaleSi supponga di tarare, nell'arco di due settimane, un campione di tensione Zener divalore nominale 10 V rispetto ad un riferimento stabile di tensione. Si abbiano, perognuno dei J giorni del periodo considerato, K osservazioni ripetute ed indipendentidella differenza di potenziale VS del campione. Se si denota con Vjk l'osservazionek-esima (k = 1, 2, . . . , K) del giorno j-esimo (j = 1, 2, . . . , J), la miglior stima della differenzadi potenziale del campione è la media aritmetica V delle JK osservazioni [vedereequazione (3) in 4.2.1],

VJK

V Vjkk

K

j

J

S = ===

∑∑1

11

[H.24a]

Lo scarto tipo sperimentale della media s V( ) , che è una valutazione quantitativa

dell'incertezza di V come stima della differenza di potenziale del campione, è ottenuto da[vedere equazione (5) in 4.2.3]

s VJK JK

V Vjkk

K

j

J2 2

11

11

( ) =−( ) −( )

==∑∑ [H.24b]

Nota Nell'esempio si ipotizza che tutte le correzioni applicate alle osservazioni per compensare gli effettisistematici abbiano incertezze trascurabili o tali da poter essere tenute in conto alla fine dell'analisi.Una di queste correzioni, che può essere applicata alla media delle osservazioni alla finedell'analisi, è la differenza tra il valore certificato (affetto da un'incertezza specificata) ed il valore dilavoro del riferimento stabile di tensione rispetto al quale viene tarato il campione Zener. Pertantola stima della differenza di potenziale del campione ottenuta per via statistica dalle osservazioninon è necessariamente il risultato finale della misurazione, così come lo scarto tipo sperimentale diquesta stima non è necessariamente l'incertezza tipo composta del risultato finale.

Lo scarto tipo sperimentale della media s V( ) , ottenuto dall'equazione (H.24b) è una

valutazione quantitativa appropriata dell'incertezza di V solamente se la variabilità delleosservazioni tra un giorno e l'altro coincide con la variabilità delle osservazioni di unsingolo giorno. Se la variabilità tra giorni diversi è significativamente maggiore di quanto cisi possa aspettare dalla variabilità giornaliera, l'uso di questa equazione può portare aduna considerevole sottostima dell'incertezza di V . Sorgono allora due domande: come sipuò decidere se la variabilità tra giorni diversi (caratterizzata da una componente tra giornidiversi della varianza) è significativa rispetto alla variabilità giornaliera, (caratterizzata da unacomponente giornaliera della varianza), e, in caso affermativo, come si deve valutarel'incertezza della media?

H.5.2 Esempio numerico

H.5.2.1 I dati sui quali verranno discusse le due questioni sopra menzionate sono riportati nelprospetto H.9, in cuiJ = 10 è il numero di giorni in cui si effettuarono osservazioni della differenza di

potenziale;K = 5 è il numero di osservazioni di differenza di potenziale fatte in ciascuna giornata;

VK

Vj jkk

K

==

∑1

1

[H.25a]

è la media aritmetica delle K = 5 osservazioni di differenza di potenziale effettuate nelgiorno j-esimo (vi sono dunque J = 10 medie giornaliere siffatte);



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VJ

VJK

Vjj

J

jkk

K

j

J

= == ==∑ ∑∑1 1

1 11

[H.25b]

è la media aritmetica delle J = 10 medie giornaliere e dunque la media generale delleJK = 50 osservazioni;

s VK

V Vjk jk jk

K2 2

1

11

( ) =−

−( )=

∑ [H.25c]

è la varianza sperimentale delle K = 5 osservazioni effettuate nel giorno j-esimo (vi sonodunque J = 10 stime siffatte della varianza);

s VJ

V Vj jj

J2 2

1

11

( ) =−

−( )=∑ [H.25d]

è la varianza sperimentale delle J = 10 medie giornaliere (vi è dunque questa sola stima ditale varianza).

H.5.2.2 La compatibilità delle variabilità tra giorni diversi e giornaliera delle osservazioni può

essere investigata confrontando due stime indipendenti di σW2 , la componente

giornaliera della varianza (vale a dire, la varianza delle osservazioni fatte nello stessogiorno).

Nota nazionale Si è mantenuto il pedice del testo originale (W sta per within-day, così come più avanti B starà perbetween-day).

La prima stima di σW2 , denominata sa

2, viene ricavata dalla variazione osservata delle

medie giornaliere V j . Poichè V j è la media di K osservazioni, la sua varianza stimata

s V j2( ), nell'ipotesi che la componente tra giorni diversi della varianza sia zero,

rappresenta una stima di σW2 K . Dall'equazione (H.25d) discende dunque che

s Ks VK

JV Vj j

j

J

a2 2 2

11= ( ) =

−−( )

=∑ [H.26a]

che è una stima di σW2 con νa = − =J 1 9 gradi di libertà.



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prospetto H.9 Prospetto dei dati ottenuti in J = 10 giorni, con ciascuna media giornaliera V j e scarto tipo

sperimentale s Vjk( ) basati su K = 5 osservazioni ripetute ed indipendenti

Giorno,

Grandezza

j 1 2 3 4 5

V Vj10,000 172 10,000 116 10,000 013 10,000 144 10,000 106

s Vjk( ) µV60 77 111 101 67

Giorno,

Grandezza

j 6 7 8 9 10

V Vj10,000 031 10,000 060 10,000 125 10,000 163 10,000 041

s Vjk( ) µV93 80 73 88 86

V = 10,000 097 V s V j( ) = 57 µV

s Ks V ja2 2= ( ) = 5(57 µV)2 = (128 µV)2 s s Vjkb

2 2= ( ) = (85 µV)2

La seconda stima di σW2 , denominata sb

2, è la stima cumulata della varianza ottenuta dai

J = 10 singoli valori di s Vjk2( ) mediante l'equazione della nota in H.3.6, ove si calcolino i

dieci singoli valori con l'equazione (H.25c). Poichè ciascuno di questi ha gli stessi gradi dilibertà νi = −K 1, l'espressione risultante per sb

2 è data semplicemente dalla loro media.Dunque

s s VJ

s VJ K

V Vjk jkj

J

jk j

k

K

j

J

b2 2 2

1

2

11

1 11

= ( ) = ( ) =−( ) −( )

= ==∑ ∑∑ [H.26b]

che è una stima di σW2 con νb = −( ) =J K 1 40 gradi di libertà.

Le due stime di σW2 prodotte dalle equazioni (H.26a) e (H.26b) sono sa

2 = (128 µV)2 e

sb2= (85 µV)2 rispettivamente (vedere prospetto H.9). Poichè la stima sa

2 è basata sulla

variabilità delle medie giornaliere mentre la stima sb2 è basata sulla variabilità delle

osservazioni giornaliere, la loro differenza indica la possibile presenza di un effettovariabile da un giorno all'altro ma relativamente costante nell'arco delle osservazioni di unsolo giorno. Per valutare questa possibilità, e dunque l'ipotesi che la componente tragiorni diversi della varianza sia zero, si usa il test F.



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H.5.2.3 La distribuzione F è la distribuzione di probabilità del rapporto F s sν ν ν νa b a a b b,( ) = ( ) ( )2 2 di

due stime indipendenti, sa a2 ν( ) ed sb b

2 ν( ), della varianza σ2 di una variabile casuale

distribuita normalmente [15]. I parametri νa e νb sono i rispettivi gradi di libertà delle due

stime e 0 ≤ ( ) < ∞F ν νa b, . I valori di F sono tabulati per differenti valori di νa e νb e per vari

quantili della distribuzione F. Un valore di F Fν νa b, ,( ) > 0 95 o F Fν νa b, ,( ) > 0 975 (il valore

critico) è di solito interpretato come un'indicazione che sa a2 ν( ) è maggiore di sb b

2 ν( ) diuna quantità statisticamente significativa, e che la probabilità di un valore così elevato, sele due stime fossero stime della stessa varianza, è minore di 0,05 e di 0,025rispettivamente. (Si possono scegliere naturalmente altri valori critici, come F0 99, ).

H.5.2.4 L'applicazione del test F all'esempio numerico illustrato dà

Fs

s

Ks V

s V

j

jk

ν νa ba

b

V

5 V, ,( ) = =

( )( )

= ( )( )

=2

2

2

2

2

2

5 57

82 25

µ

µ [H.27]

con νa = − =J 1 9 gradi di libertà al numeratore e νb = −( ) =J K 1 40 gradi di libertà al

denominatore. Poichè F0 95 9 40 2 12, , ,( ) = e F0 975 9 40 2 45, , ,( ) = , si conclude che l'effettotra giorni diversi risulta statisticamente significativo al livello di significatività del 5% ma nonal livello del 2,5%.

H.5.2.5 Se si respinge l'esistenza di un effetto tra giorni diversi poichè non si considera

statisticamente significativa la differenza tra sa2 ed sb

2 (decisione questa imprudente, in

quanto potrebbe portare ad una sottostima dell'incertezza), la varianza stimata s V2( ) di V

deve essere calcolata mediante l'equazione (H.24b). Questa relazione è equivalente alcumulo delle stime sa

2 ed sb2 (vale a dire una media di sa

2 ed sb2, pesate secondo i

rispettivi gradi di libertà νa e νb - vedere nota in H.3.6) in modo così da ottenere la migliorstima della varianza delle osservazioni, dividendola per JK, il numero di osservazioni, per

ottenere la miglior stima s V2( ) della varianza della media delle osservazioni. Seguendo

questa procedura si ottiene

s VJ s J K s

JK JK2

2 221 1

1

9 128 40 8

5 491( ) =

−( ) + −( )( ) = ( ) + ( )

( )( )( ) = ( )a2

b2

-

V 5 V

103 V

µ µµ , [H.28a]

ovvero

s V( ) = ( )13 Vµ [H.28b]

con s V( ) avente JK - 1 = 49 gradi di libertà.

Se si ipotizza di avere già considerato tutte le correzioni per effetti sistematici e siconsidera trascurabile ogni altra componente d'incertezza, il risultato della taratura puòessere stabilito come V VS = = 10,000 009 7 V (vedere prospetto H.9), con incertezza

tipo composta s V uc( ) = =13 Vµ e con 49 gradi di libertà per uc .

Nota 1 Nella pratica è molto probabile l'esistenza di componenti addizionali dell'incertezza di entitàsignificativa, che devono dunque essere composte con la componente d'incertezza ottenuta pervia statistica dalle osservazioni (vedere H.5.1, nota).

Nota 2 Si può dimostrare che l'equazione (H.28a) per s V2( ) è equivalente all'equazione (H.24b),

scrivendo in questa la doppia sommatoria, qui denominata S, come

S V V V V J s J K sjk j jk

K

j

J

= −( ) + −( )[ ] = −( ) + −( )==

∑∑2

11

2 21 1a b



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H.5.2.6 Se si accetta l'esistenza di un effetto tra giorni diversi (decisione questa prudente, poichèscongiura il rischio di sottostimare l'incertezza) e lo si considera casuale, allora la varianza

s V j2( ), calcolata dalle J = 10 medie giornaliere secondo l'equazione (H.25d), non stima

σW2 K , come postulato in H.5.2.2, ma σ σW B

2 2K + , in cui σB2 è la componente casuale tra

giorni diversi della varianza. Ciò implica che

s V s K sj2 2 2( ) = +W B [H.29]

in cui sW2 stima σW

2 e sB2 stima σB

2 . Poichè s Vjk2( ) calcolata dall'equazione (H.26b)

dipende solo dalla variabilità giornaliera delle osservazioni, si può prendere s s VjkW2 2= ( ) .

Pertanto il rapporto Ks V s Vj jk2 2( ) ( ) usato per il test F in H.5.2.4 diventa

FKs V

s V

s Ks

s

j

jk

=( )

( )= + = ( )

( )=

2

2

2 2

2

2

2

5 57

82 25W B

W

V

5 V

µ

µ, [H.30]

che porta dunque a

sKs V s V

K

j jkB V2

2 2243=

( ) − ( )= ( )µ , ovvero sB V= 43 µ [H.31a]

s s VjkW V2 2 285= ( ) = ( )µ , ovvero sW V= 85 µ [H.31b]

La varianza stimata di V viene ottenuta da s V j2( ), equazione (H.25d), in quanto s V j

2( )già tiene conto in modo adeguato delle due componenti tra giorni diversi e giornalieradella varianza [vedere equazione (H.29)]. Dunque

s V s V Jj2 2 257 10( ) = ( ) = ( )µV , ovvero s V( ) = 18 µV [H.32]

con S V( ) avente J - 1 = 9 gradi di libertà.

I gradi di libertà di sW2 (e dunque di sW ) sono pari a J(K - 1) = 40 [vedere equazione

(H.26b)]. I gradi di libertà di sB2 (e dunque di sB) sono quelli effettivi della differenza

s s V s V Kj jkB2 2 2= ( ) − ( ) [equazione (H.31a)], ma la loro stima è problematica.

H.5.2.7 La miglior stima della differenza di potenziale del campione di tensione è allora

V VS = = 10,000 097 V, con s V u( ) = =c 8 V1 µ come si è ricavato dall'equazione (H.32).

Questo valore di uc ed i suoi 9 gradi di libertà vanno confrontati con uc 3 V= 1 µ ed i suoi49 gradi di libertà, risultato questo ottenuto in H.5.2.5 [equazione (H.28b)] respingendol'esistenza di un effetto tra giorni diversi.In un esperimento reale un evidente effetto tra giorni diversi dovrebbe essereinvestigato, se possibile, sia per determinarne le ragioni sia per appurare la presenza diun effetto sistematico che invaliderebbe l'uso dei metodi ANOVA. Infatti, come giàprecisato all'inizio di questo paragrafo, i metodi ANOVA sono concepiti per identificare evalutare componenti dell'incertezza originate da effetti casuali; essi non possono direnulla riguardo a componenti originate da effetti sistematici.

Nota nazionale Vedere nota nazionale in H.5.

H.5.3 Il ruolo dell'ANOVA nella misurazione

H.5.3.1 L'esempio del campione di tensione illustra quello che normalmente viene chiamatopiano a nido bilanciato ad uno stadio. È piano a nido ad uno stadio poichè vi è un livello diraggruppamento delle osservazioni con un fattore, il giorno in cui si effettuarono leosservazioni, che varia nel corso della misurazione. È bilanciato poichè per ogni giorno si



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effettua lo stesso numero di osservazioni. L'analisi presentata in questo esempio puòessere utilizzata per determinare l'esistenza di un "effetto dell'operatore", di un "effettodello strumento", di un "effetto del laboratorio", di un "effetto del campionamento" opersino di un "effetto del metodo" in una specifica misurazione. Così, in questo esempio,si può immaginare di sostituire le osservazioni effettuate nei J giorni diversi conosservazioni fatte nello stesso giorno ma da J distinti operatori; la componente tra giornidiversi della varianza diventa allora una componente della varianza associata ad operatoridiversi.

H.5.3.2 Come si è rilevato in H.5, i metodi ANOVA sono largamente applicati nella certificazionedei materiali di riferimento (MR) mediante prove interlaboratorio. Simili certificazioniimplicano che un certo numero di laboratori indipendenti e di pari competenza misurinocampioni di un materiale per quanto attiene alla proprietà per la quale il materiale stessodeve essere certificato. Si ipotizza di norma che le differenze tra i singoli risultati, sia entrosia tra i laboratori, siano di natura statistica indipendentemente dalle cause. La media diciascun laboratorio è considerata una stima imparziale della proprietà del materiale, e disolito la media non pesata delle medie dei laboratori viene considerata la miglior stimadella proprietà in questione.La certificazione di un MR può riguardare differenti laboratori I, ognuno dei quali misura laproprietà richiesta di J diversi campioni del materiale, con K osservazioni ripetute edindipendenti per ogni misurazione di un singolo campione. Allora il numero totale diosservazioni è IJK ed il numero totale di campioni è IJ. È questo un esempio di piano anido bilanciato a due stadi analogo all'esempio ad uno stadio del campione di tensione. Inquesto caso vi sono due livelli di raggruppamento delle osservazioni con due distintifattori, il campione ed il laboratorio, che variano nel corso della misurazione. Il piano èbilanciato poichè ogni campione viene osservato un uguale numero di volte (K) inciascun laboratorio e ciascun laboratorio misura un uguale numero di campioni (J). Comeulteriore analogia con l'esempio del campione di tensione, nel caso dei MR scopodell'analisi dei dati è quello di appurare la possibile esistenza di effetti tra campioni e tralaboratori, e quello di determinare l'incertezza appropriata da assegnare alla miglior stimadel valore della proprietà da certificarsi. Secondo la linea del precedente punto, la stimaviene identificata con la media delle medie degli I laboratori, che è anche la media delleIJK osservazioni.

H.5.3.3 L'importanza di variare le grandezze d'ingresso da cui dipende il risultato di unamisurazione, cosicchè la sua incertezza sia basata su dati osservati elaborati per viastatistica, è evidenziata in 3.4.2. I piani a nido e l'analisi dei dati risultanti per mezzo deimetodi ANOVA possono essere applicati con successo in molte delle situazionisperimentali che si incontrano nella pratica.Cionondimeno, come già puntualizzato in 3.4.1, raramente è possibile variare tutte legrandezze d'ingresso, a causa di limiti di tempo e di risorse; al più, nella maggior partedelle situazioni pratiche, è possibile valutare con metodi ANOVA solo poche componentid'incertezza. Come evidenziato in 4.3.1, molte componenti devono essere valutate conun giudizio scientifico basato su tutte le informazioni disponibili in merito alla variabilitàdella grandezza d'ingresso in questione; in molte situazioni una componented'incertezza, originata da un effetto tra campioni, tra laboratori, tra strumenti o traoperatori, non potendo essere valutata mediante l'analisi statistica di serie di osservazionideve esserlo mediante il ricorso all'insieme delle informazioni disponibili.

H.6 MISURAZIONI CON UNA SCALA DI RIFERIMENTO: DUREZZALa durezza è un esempio di concetto fisico che non può essere quantificato senza farriferimento ad un metodo di misurazione; di conseguenza non esiste una sua unità dimisura che sia indipendente dal metodo stesso. La grandezza "durezza" si differenziadalle grandezze misurabili classiche in quanto non la si può far intervenire in equazionialgebriche per definire altre grandezze misurabili (sebbene sia talvolta usata in equazioniempiriche che legano la durezza a qualche altra proprietà per una certa categoria dimateriali). Ogni valore di durezza è determinato mediante una misurazioneconvenzionale, quella cioè della dimensione lineare di una impronta in un blocco delmateriale di interesse, o blocco di riferimento. La misurazione viene effettuata seguendo



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una norma, che comprende la descrizione del "penetratore", della macchina che loaziona e della procedura di impiego della macchina stessa. Poichè esistono diversenorme, esistono diverse scale di durezza.Il valore della durezza è una funzione (dipendente dalla scala) della dimensione lineareche viene misurata. Nell'esempio qui illustrato essa è una funzione lineare della mediaaritmetica delle profondità di cinque impronte ripetute, ma per altre scale la funzione ènon lineare.Particolari realizzazioni dell'apparecchiatura prevista dalla norma fungono da campioninazionali (non esiste un campione internazionale); il confronto tra una qualsiasi macchinae la macchina campione nazionale viene effettuato mediante un blocco di trasferimento.

H.6.1 Il problema sperimentaleIn questo esempio la durezza di un provino di materiale viene determinata nella scala"Rockwell C" usando una macchina tarata rispetto alla macchina campione nazionale.L'unità di misura della scala di durezza Rockwell C è 0,002 mm, cosicchè la durezza suquesta scala è definita come 100 × (0,002 mm) meno la media delle profondità in millimetridi cinque impronte. Il valore di questa grandezza diviso l'unità di misura della scalaRockwell, 0,002 mm, è chiamato "indice di durezza HRC". In questo esempio lagrandezza è chiamata per semplicità "durezza", con il simbolo hRockwell C. Il valorenumerico della durezza espresso in unità di lunghezza Rockwell è chiamato "indice didurezza" ed ha simbolo HRockwell C.

H.6.2 Modello matematicoLa media delle profondità delle impronte praticate nel provino dalla macchina usata perdeterminarne la durezza, la macchina di taratura, deve essere corretta allo scopo dideterminare la media delle profondità delle impronte che sarebbero state praticate nellostesso provino dalla macchina campione nazionale. Pertanto

h f d dRockwell C c b S c b S2 mm= ( ) = ( ) − − − −, , , ,∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆100 0 00 [H.33a]

H hRockwell C Rockwell C 2 mm= ( )0 00, [H.33b]

in cui

d è la media delle profondità di cinque impronte praticate con la macchina di taraturanel provino;

∆c è la correzione ottenuta da un confronto della macchina di taratura con la macchinacampione nazionale mediante un blocco di trasferimento, uguale alla media delleprofondità di 5m impronte praticate nel blocco con la macchina campione nazionalemeno la media delle profondità di 5n impronte praticate nello stesso blocco con lamacchina di taratura;

∆b è la differenza di durezza (espressa come differenza di profondità media diimpronta) tra le due parti del blocco di trasferimento utilizzate per le impronte con ledue macchine, che viene considerata pari a zero;

∆S è l'errore dovuto alla mancanza di ripetibilità della macchina campione nazionale edall'incompleta definizione della grandezza durezza. Sebbene debba essere postouguale a zero, ∆S ha un'incertezza tipo u( ∆S) non nulla.

Poichè le derivate parziali ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂f d f f f, , e c b S∆ ∆ ∆ della funzione dell'equazione

(H.33a) sono tutte uguali a - 1, l'incertezza tipo composta u hc2( ) della durezza del provino

misurata dalla macchina di taratura è data semplicemente da

u h u d u u uc c b S

2 2 2 2 2( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( )∆ ∆ ∆ [H.34]

dove per semplicità di notazione h h≡ Rockwell C.



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H.6.3 Varianze dei contributi all'incertezza

H.6.3.1 Incertezza della profondità media d del'impronta nel blocco, u d( )Incertezza di osservazioni ripetute. Non è possibile la ripetizione in senso stretto diun'osservazione in quanto non si può praticare una nuova impronta nella stessaposizione di una precedente. Poichè ogni impronta deve essere praticata in una diversaposizione, la variazione nel risultato comprende l'effetto delle variazioni nella durezza tra

una posizione e l'altra. Dunque u d( ) , l'incertezza tipo della media delle profondità di

cinque impronte nel provino, è pari a s dkp ( ) 5 , in cui s dkp ( ) è lo scarto tipo

sperimentale cumulato delle profondità di impronte determinata mediante misurazioni"ripetute" su di un blocco avente durezza sensibilmente uniforme (vedere 4.2.4).

Incertezza dell'indicazione. Benchè la correzione a d dovuta al visualizzatore dellamacchina di taratura sia zero, vi è un'incertezza su d dovuta all'incertezza dell'indicazionedella profondità, a causa della risoluzione δ del visualizzatore stesso, data da

u2 2 12δ δ( ) = (vedere F.2.2.1). La varianza stimata di d è pertanto

u d s dk

2 2 25 12( ) = ( ) + δ [H.35]

H.6.3.2 Incertezza della correzione per la differenza tra le due macchine, u ∆∆c( )Come indicato in H.6.2, ∆c è la correzione per la differenza tra la macchina campionenazionale e la macchina di taratura. Si può esprimere questa correzione come

∆c S= −z z' ' , in cui z z mii

m' ,S S=

=∑ 1

è la profondità media delle 5m impronte praticate

dalla macchina campione nazionale nel blocco di trasferimento, e z z nii

n' =

=∑ 1

è la

profondità media delle 5n impronte praticate nello stesso blocco dalla macchina ditaratura. Quindi, supponendo che nel confronto l'incertezza dovuta alla risoluzione finitadel visualizzatore sia trascurabile, la varianza stimata di ∆c è

u

s z

m

s z

n2

2 2

∆cav S av( ) =

( )+

( ) [H.36]

dove

s z s z mii

mav S S,2 2

1( ) = ( )

=∑ è la media delle varianze sperimentali delle medie di

ciascuna delle m serie di impronte z ikS, praticate dalla macchina campione;

s z s z niin

av2 2

1( ) = ( )[ ]=∑ è la media delle varianze sperimentali delle medie delle n serie di

impronte zik praticate dalla macchina di taratura.

Nota Le varianze s zav S2 ( ) e s zav

2 ( ) sono stime cumulate di una varianza - vedere la trattazione

dell'equazione (H.26b) in H.5.2.2.

H.6.3.3 Incertezza della correzione dovuta alle variazioni della durezza del blocco ditrasferimento, u ∆∆b( )La Raccomandazione OIML R 12, Verification and calibration of Rockwell C hardnessstandardized blocks, richiede che le profondità massima e minima delle impronteottenute dalle cinque misurazioni sul blocco di trasferimento differiscano tra di loro di nonpiù di una frazione x della profondità media di impronta, con x definito in funzione delvalore di durezza. Sia pertanto la massima differenza di profondità tra le improntesull'intero blocco pari a xz', con z' definita come in H.6.3.2 con n = 5. Sia tale differenzamassima descritta da una distribuzione di probabilità triangolare intorno al valor medioxz'/2 (nella fondata ipotesi che i valori intorno al valor medio siano più probabili dei valori



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estremi - vedere 4.3.9). Allora, se nell'equazione (9b) in 4.3.9 si pone a = xz'/2, la varianzastimata della correzione alla profondità media di impronta, dovuta alla differenza tra ledurezze viste dalla macchina campione e dalla macchina di taratura, è

u xz2 24∆b( ) = ' [H.37]

Come già indicato in H.6.2, si ipotizza che la miglior stima della correzione ∆b sia pari azero.

H.6.3.4 Incertezza della macchina campione nazionale e della definizione di durezza, u ∆∆S( )L'incertezza della macchina campione nazionale, unitamente a quella derivantedall'incompleta definizione della grandezza durezza, è descritta da uno scarto tipo stimatou( ∆S) (grandezza di dimensione lunghezza).

H.6.4 Incertezza tipo composta, u hc( )Sostituendo i vari termini discussi da H.6.3.1 a H.6.3.4 nell'equazione H.34 si ottiene perla varianza stimata della misurazione di durezza

u h

s d s z

m

s z

n

xzuk

cav S av

S2

2 2 2 2 22

5 12 24( ) =

( )+ +

( )+

( )+ ( ) + ( )δ '

∆ [H.38]

da cui si ricava l'incertezza tipo composta u hc ( ).

H.6.5 Esempio numericoI dati relativi a questo esempio sono presentati nel prospetto H.10.

prospetto H.10 Riassunto dei dati per la determinazione della durezza di un provino sulla scala Rockwell C

Origine dell'incertezza Valore

Profondità media d di 5 impronte effettuate dalla macchina di taratura nel provino: 0,072 mm 36,0 unità di scala Rockwell

Indice di durezza del provino indicato dalle 5 impronte:

HRockwell C = hRockwell C / (0,002 mm) =

[100(0,002 mm) - 0,072 mm] / (0,002 mm) (vedere H.6.1)

64,0 HRC

Scarto tipo sperimentale cumulato s dkp ( )delle profondità delle impronte praticate dalla macchina ditaratura in un blocco avente durezza uniforme

0,45 unità di scala Rockwell

Risoluzione δ del visualizzatore della macchina di taratura 0,1 unità di scala Rockwell

s zav S( ) , radice quadrata della media delle varianze sperimentali delle medie di m serie di impronte

praticate dalla macchina campione nazionale nel blocco di trasferimento

0,10 unità di scala Rockwell, m = 6

s zav S( ) , radice quadrata della media delle varianze sperimentali delle medie di n serie di impronte

praticate dalla macchina di taratura nel blocco di trasferimento

0,11 unità di scala Rockwell, n = 6

Variazione percentuale della profondità x consentita nel blocco di trasferimento 1,5 × 10-2

Incertezza tipo u( ∆S ) della macchina campione nazionale e della definizione di durezza 0,5 unità di scala Rockwell

La scala è la Rockwell C, indicata con HRC. L'unità di misura della scala Rockwell è0,002 mm, per cui, nel prospetto H.10 e qui di seguito, s'intende, per esempio, chel'espressione "36,0 unità di scala Rockwell" significa 36,0 × (0,002 mm) = 0,072 mm ed èsolamente un modo comodo di esprimere dati e risultati.Se si sostituiscono nell'equazione (H.38) i valori pertinenti indicati nel prospetto H.10, siottengono le seguenti espressioni:



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u hc

22 2 2 2 2

2

20 45

50 112

0 106

0 116

0 015 36 0

240 5( ) = + + + +

×( ) +

, , , , , ,, (unità di scala Rockwell)2

= 0,307(unità di scala Rockwell)2

u hc ( )= 0,55 unità di scala Rockwell = 0,001 1 mm

dove per il calcolo dell'incertezza è stato sufficiente porre z d' = = 36,0 unità di scalaRockwell.Pertanto, ipotizzando ∆c= 0, la durezza del provino è

hRockwell C = 64,0 unità di scala Rockwell, ovvero 0,128 0 mm con incertezza tipocomposta uc = 0,55 unità di scala Rockwell, ovvero 0,001 1 mm.

L'indice di durezza del provino è hRockwell C / (0,002 mm) = (0,128 0 mm) / (0,002 mm),ovveroHRockwell C = 64,0 HRC con incertezza tipo composta uc = 0,55 HRC.

Oltre alla componente d'incertezza derivante dalla macchina campione nazionale edall'incompleta definizione della grandezza durezza, u( ∆S) = 0,5 unità di scala Rockwell,le componenti significative dell'incertezza sono quelle derivanti dalla ripetibilità dellamacchina, s dkp ( ) 5 = 0,20 unità di scala Rockwell, e le variazioni di durezza del blocco

di trasferimento, xz' ,( ) =2 24 0 11 unità di scala Rockwell. I gradi di libertà effettivi di uc

possono essere valutati usando la formula di Welch-Satterthwaite come indicato in H.1.6.



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APPENDICE J GLOSSARIO DEI SIMBOLI PRINCIPALI

a Semiampiezza di una distribuzione rettangolare dei possibili valori di unagrandezza d'ingresso Xi: a a a= −( )+ − 2

a+ Estremo, o limite, superiore di una grandezza d'ingresso Xi

a− Estremo, o limite, inferiore di una grandezza d'ingresso Xi

b+ Estremo, o limite, superiore dello scostamento di una grandezza d'ingressoXi dalla sua stima xi: b a xi+ += −

b − Estremo, o limite, inferiore dello scostamento di una grandezza d'ingressoXi dalla sua stima xi: b x ai− −= −

ci Derivata parziale o coefficiente di sensibilità c f xi i≡ ∂ ∂f Relazione funzionale tra il misurando Y e le grandezze d'ingresso Xi da cui Y

dipende, e tra la stima d'uscita y e le stime d'ingresso xi da cui y dipende

∂ ∂f x i Derivata parziale rispetto alla grandezza d'ingresso Xi della relazionefunzionale f tra il misurando Y e le grandezze d'ingresso Xi da cui Y dipende,

valutata mediante stime xi per le Xi: ∂ ∂ ∂ ∂f x f X x x xi iN

=1 2, ,...,

k Fattore di copertura utilizzato per calcolare l'incertezza estesa U ku y= ( )c

della stima d'uscita y dalla sua incertezza tipo composta u yc ( ), con U che

individua un intervallo Y y U= ± avente un alto livello di fiducia

kp Fattore di copertura utilizzato per calcolare l'incertezza estesa U k u yp p= ( )c

della stima d'uscita y dalla sua incertezza tipo composta u yc ( ), con Up che

individua un intervallo Y y Up= ± avente un livello di fiducia p elevato e

specificaton Numero di osservazioni ripetuteN Numero di grandezze d'ingresso Xi da cui dipende il misurando Y

p Probabilità; livello di fiducia: 0 1≤ ≤p

q Grandezza variabile in modo casuale descritto da una distribuzione diprobabilità

q Media aritmetica di n osservazioni ripetute ed indipendenti qk di unagrandezza q variabile in modo casuale; stima del valore atteso µq delladistribuzione di probabilità di q

qk k-esima osservazione ripetuta ed indipendente di una grandezza q variabilein modo casuale

r x xi j,( ) Coefficiente di correlazione stimato, associato con le stime d'ingresso xi ed

x j che st imano le grandezze d ' ingresso X i ed X j :

r x x u x x u x u xi j i j i j, ,( ) = ( ) ( ) ( )r X Xi j,( ) Coefficiente di correlazione stimato delle medie d'ingresso X i ed X j ,

determinato su n coppie indipendenti di osservazioni simultanee ripetute

Xi,k ed Xj,k di Xi ed Xj: r X X s X X s X s Xi j i j i j, ,( ) = ( ) ( ) ( )r y yi j,( ) Coefficiente di correlazione stimato, associato alle stime d'uscita yi e yj,

allorquando nella stessa misurazione sono determinati due o più misurandio grandezze d'uscita

sp2 Stima combinata, o cumulata, della varianza



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sp Scarto tipo sperimentale combinato, o cumulato, pari alla radice quadrata

positiva di sp2

s q2( ) Varianza sperimentale della media q ; stima della varianza σ2 n di q :

s q s q nk2 2( ) = ( ) ; varianza stimata ottenuta da una valutazione di

categoria A

s q( ) Scarto tipo sperimentale della media q , pari alla radice quadrata positiva di

s q2( ); s q( ) è uno stimatore polarizzato di σ q( ) (vedere C.2.21, nota);

incertezza tipo ottenuta da una valutazione di categoria A

s qk2( ) Varianza sperimentale determinata da n osservazioni ripetute ed

indipendenti qk di q; stima della varianza σ2 della distribuzione di probabilitàdi q

s qk( ) Scarto tipo sperimentale, pari alla radice quadrata positiva di s qk2( ); s qk( ) è

uno stimatore polarizzato dello scarto tipo σ della distribuzione di probabilitàdi q

s X i2( ) Varianza sperimentale della media d'ingresso X i , determinata da n

osservazioni ripetute ed indipendenti Xi,k di Xi; varianza stimata ottenuta dauna valutazione di categoria A

s X i( ) Scarto tipo sperimentale della media d'ingresso X i , pari alla radice quadrata

positiva di s X i2( ); incertezza tipo ottenuta da una valutazione di categoria A

s q r,( ) Stima della covarianza delle medie q ed r che stimano i valori attesi µq e µr

di due grandezze q ed r variabili in modo casuale, determinata su n coppieindipendenti di osservazioni simultanee ripetute qk ed rk di q ed r;covarianza stimata ottenuta da una valutazione di categoria A

s X Xi j,( ) Stima della covarianza delle medie d'ingresso X i ed X j , determinata su n

coppie indipendenti di osservazioni simultanee ripetute Xi,k ed Xj,k di Xi edXj; covarianza stimata ottenuta da una valutazione di categoria A

t p ν( ) Fattore t della distribuzione t per ν gradi di libertà corrispondente ad una

probabilità p specificata

t p νeff( ) Fattore t della distribuzione t per νeff gradi di libertà corrispondente ad una

probabilità p specificata, usato per calcolare l'incertezza estesa Up

u xi2( ) Varianza stimata associata alla stima d'ingresso xi che stima la grandezza

d'ingresso Xi

Nota Quando xi è determinata mediante la media aritmetica di n osservazioni ripetute ed

indipendenti, u x s Xi i2 2( ) = ( ) è una varianza stimata ottenuta da una valutazione

di categoria A.

u xi( ) Incertezza tipo della stima d'ingresso xi che stima la grandezza d'ingresso Xi,

pari alla radice quadrata positiva di u xi2( )

Nota Quando xi è determinata mediante la media aritmetica di n osservazioni ripetute ed

indipendenti, u x s Xi i( ) = ( ) è un'incertezza tipo ottenuta da una valutazione di

categoria A.

u x xi j,( ) Covarianza stimata associata a due stime d'ingresso xi ed xj che stimano le

grandezze d'ingresso Xi ed Xj



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Nota Quando xi ed xj sono determinate mediante n coppie indipendenti di osservazioni

ripetute e simultanee, u x x s X Xi j i j, ,( ) = ( ) è una covarianza stimata ottenuta da

una valutazione di categoria A.

u yc2( ) Varianza composta associata alla stima d'uscita y

u yc ( ) Incertezza tipo composta della stima d'uscita y, pari alla radice quadrata

positiva di u yc2( )

u ycA ( ) Incertezza tipo composta della stima d'uscita y determinata da incertezzetipo e covarianze stimate ottenute esclusivamente da valutazioni dicategoria A

u ycB( ) Incertezza tipo composta della stima d'uscita y determinata da incertezzetipo e covarianze stimate ottenute esclusivamente da valutazioni dicategoria B

u yic ( ) Incertezza tipo composta della stima d'uscita yi, allorquando nella stessamisurazione sono determinati due o più misurandi o grandezze d'uscita

u yi2( ) Componente della varianza composta u yc

2( ) associata alla stima d'uscita y

generata dalla varianza stimata u xi2( ) associata alla stima d'ingresso xi:

u y c u xi i i2 2( ) ≡ ( )[ ]

u yi ( ) Componente dell'incertezza tipo composta u yc ( ) della stima d'uscita y

generata dal'incertezza tipo della stima d'ingresso xi: u y c u xi i i( ) ≡ ( )u y yi j,( ) Covarianza stimata, associata alle stime d'uscita yi e yj determinate nella

stessa misurazione

u x xi i( ) Incertezza tipo relativa della stima d'ingresso xi

u y yc ( ) Incertezza tipo composta relativa della stima d'uscita y

u x xi i( )[ ]2 Varianza stimata relativa associata alla stima d'ingresso xi

u y yc ( )[ ]2 Varianza stimata relativa associata alla stima d'uscita y

u x x

x x

i j

i j

,( ) Covarianza stimata relativa associata alle stime d'ingresso xi ed xj

U Incertezza estesa della stima d'uscita y che individua un intervallo Y y U= ±avente un alto livello di fiducia, pari al prodotto del fattore di copertura k perl'incertezza tipo composta u yc ( ) di y: U ku y= ( )c

Up Incertezza estesa della stima d'uscita y che individua un intervalloY y Up= ± avente un livello di fiducia p elevato e specificato, pari al prodotto

del fattore di copertura kp per l'incertezza tipo composta u yc ( ) di y :

U k u yp p= ( )c

xi Stima della grandezza d'ingresso Xi

Nota Quando xi viene determinata mediante la media aritmetica di n osservazioni ripetute ed

indipendenti, x Xi i=

Xi Grandezza d'ingresso i-esima tra quelle da cui dipende il misurando Y

Nota Xi può indicare tanto la grandezza fisica quanto la variabile casuale (vedere 4.1.1, nota 1).

X i Stima del valore della grandezza d'ingresso Xi , uguale alla media aritmeticadi n osservazioni ripetute ed indipendenti Xi k, di Xi



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Xi k, Osservazione indipendente k-esima di Xi

y Stima del misurando Y; risultato di una misurazione; stima d'uscitayi Stima del misurando Yi allorquando nella stessa misurazione sono

determinati due o più misurandiY Misurando

∆u x

u xi

i

( )( ) Incertezza relativa stimata dell'incertezza tipo u xi( ) della stima d'ingresso xi

µq Speranza matematica o media della distribuzione di probabilità della

grandezza variabile in modo casuale qν Gradi di libertà (in generale)

νi Gradi di libertà, o gradi di libertà effettivi, dell'incertezza tipo u xi( ) della stimad'ingresso xi

νeff Gradi di libertà di u yc ( ), utilizzati per ottenere t p νeff( ) allo scopo di calcolare

l'incertezza estesa Up

νeffA Gradi di libertà effettivi di un'incertezza tipo composta determinata daincertezze tipo ottenute esclusivamente mediante valutazioni di categoria A

νeffB Gradi di libertà effettivi di un'incertezza tipo composta determinata daincertezze tipo ottenute esclusivamente mediante valutazioni di categoria B

σ2 Varianza della distribuzione di probabilità, per esempio, di una grandezzavariabile in modo casuale q, stimata da s qk

2( )σ Scarto tipo di una distribuzione di probabilità, pari alla radice quadrata

positiva di σ2; s qk( ) è uno stimatore distorto di σ

σ2 q( ) Varianza di q , pari a σ

2 n , stimata da s q s q nk2 2( ) = ( )

σ q( ) Scarto tipo di q , pari alla radice quadrata positiva di

σ2 q( ) ; s q( ) è uno

stimatore distorto di σ q( )

σ2 s q( )[ ] Varianza dello scarto tipo sperimentale s q( ) di q

σ s q( )[ ] Scarto tipo dello scarto tipo sperimentale s q( ) di q , pari alla radice quadrata

positiva di σ2 s q( )[ ]



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APPENDICE K BIBLIOGRAFIA

[1] CIPM (1980), BIPM Proc. - Verb. Com. Int. Poids et Mesures 48, C1 - C30 (infrancese); BIPM (1980), Rapport BIPM-80/3, Report on the BIPM enquiry on errorstatements, Bur. Intl. Poids et Mesures (Sèvres, Francia) (in inglese).

[2] KAARLS, R. (1981), BIPM Proc. - Verb. Com. Int. Poids et Mesures 49, A1-A12(in francese); Giacomo, P. (1981), Metrologia 17, 73-74 (in inglese).

Nota Esistono due traduzioni in inglese della Raccomandazione INC-1 (1980), che differisconolievemente: quella riportata nella versione in inglese della presente guida è la versione finale dellaRaccomandazione, tratta da un rapporto interno del BIPM, ed è coerente con il testo ufficialefrancese di BIPM Proc. - Verb. Com. Int. Poids et Mesures 49 , che è quello di riferimento,riportato anche nell'appendice A della presente guida, sotto A.1. Quella riportata in Metrologia 1 7si basa su di una bozza del rapporto BIPM.

[3] CIPM (1981), BIPM Proc. - Verb. Com. Int. Poids et Mesures 49, 8-9, 26 (infrancese); Giacomo, P. (1982), Metrologia 18, 43-44 (in inglese).

[4] CIPM (1986), BIPM Proc. - Verb. Com. Int. Poids et Mesures 54, 14, 35 (infrancese); Giacomo, P. (1987), Metrologia 24, 49-50 (in inglese).

[5] ISO 5725:1986, Precision of test methods - Determination of repeatability andreproducibility for a standard test method by inter-laboratory tests, OrganizzazioneInternazionale di Normazione (International Organization for Standardization, ISO)(Ginevra, Svizzera).

Nota Questa norma è attualmente in revisione. La revisione ha un nuovo titolo, "Accuratezza (veridicitàe precisione) dei metodi di misura e dei risultati". Essa è composta da sei parti.

[6] Vocabolario Internazionale dei termini fondamentali e generali in metrologia,seconda edizione, 1993, Organizzazione Internazionale di Normazione(International Organization for Standardization, ISO) (Ginevra, Svizzera).

L'abbreviazione del titolo di questo vocabolario è VIM.Nota 1 Le definizioni riportate nell'appendice B sono tratte dal testo inglese revisionato del VIM,

precedentemente alla sua pubblicazione come documento finale.

Nota 2 La seconda edizione del VIM è pubblicata dall'ISO a nome delle sette organizzazioni seguenti, chepartecipano ai lavori del Gruppo Tecnico Consultivo sulla Metrologia (Technical Advisory Group onMetrology, TAG 4) dell'ISO, cioè del gruppo responsabile dello sviluppo del VIM: l'UfficioInternazionale dei Pesi e delle Misure (Bureau International des Poids et Mesures, BIPM), laCommissione Elettrotecnica Internazionale (International Electrotechnical Commission, IEC), laFederazione Internazionale di Chimica Clinica (International Federation of Clinical Chemistry,IFCC), l'ISO stessa, l'Unione Internazionale di Chimica Pura ed Applicata (International Union ofPure and Applied Chemistry, IUPAC), l'Unione Internazionale di Fisica Pura ed Applicata(International Union of Pure and Applied Physics, IUPAP), e l'Organizzazione Internazionale diMetrologia Legale (Organisation Internationale de Métrologie Légale, OIML).

Nota 3 La prima edizione del VIM fu pubblicata dall'ISO nel 1984 a nome di BIPM, IEC, ISO e OIML.

[7] ISO 3534-1:1993, Statistics - Vocabulary and symbols - Part 1: Probability andgeneral statistical terms, Organizzazione Internazionale di Normazione(International Organization for Standardization, ISO) (Ginevra, Svizzera).

[8] FULLER, W. A. (1987), Measurement error models, John Wiley (New York, N.Y.).[9] ALLAN, D. W. (1987), IEEE Trans. Instrum. Meas., IM-36, 646-654.[10] DIETRICH, C. F. (1991), Uncertainty, calibration and probability, seconda

edizione, Adam-Hilger (Bristol).[11] MÜLLER, J. W. (1979), Nucl. Instrum. Meth., 163, 241-251.[12] MÜLLER, J. W. (1984), in Precision measurement and fundamental constants II,

Taylor, B. N., and Phillips, W. D., eds., Natl. Bur. Stand. (U.S.) Spec. Publ. 617,US GPO (Washington, D.C.), 375-381.

[13] JEFFREYS, H. (1983), Theory of probability, terza edizione, Oxford UniversityPress (Oxford).

[14] PRESS, S. J. (1989), Bayesian statistics: principles, models, and applications,John Wiley (New York, N.Y.).

[15] BOX, G. E. P., HUNTER, W. G., and HUNTER, J. S. (1978), Statistics forexperimenters, John Wiley (New York, N.Y.).



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[15] WELCH, B. L., (1936), J. R. Stat. Soc. Suppl. 3, 29-48; (1938) Biometrika 29,350-362; (1947), ibid. 34, 28-35.

[17] FAIRFIELD-SMITH, H. (1936), J. Counc. Sci. Indust. Res. (Australia) 9(3), 211.[18] SATTERTHWAITE, F. E. (1941), Psychometrika 6, 309-316; (1946) Biometrics

Bull. 2(6), 110-114.[19] ISO Guide 35:1989, Certification of reference materials - General and statistical

principles, seconda edizione, Organizzazione Internazionale di Normazione(International Organization for Standardization, ISO) (Ginevra, Svizzera).

[20] BARKER, T. B. (1985), Quality by experimental design, Marcel Dekker (New York,N.Y.).



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Indice alfabetico

Aaccuratezza di misura ......................................................................... 3.1.3, 3.4.1, B.2.14analisi dell'errore ...................................................................................................... 0.2analisi della varianza................................................................................. vedere ANOVAANOVA............................................................................................ 4.2.8, H.5 e seguentiarrotondamento dell'incertezza ................................................................................. 7.2.6

Bbias .............................................................................................................. 3.2.3 notaBIPM ................................................................................. premessa, 0.5, 7.1.1, A.1, A.2Bureau International des Poids et Mesures ...................................................... vedere BIPM

Ccalcolo numerico dell'incertezza di tipo composto .............................. 5.1.3 nota 2, 5.2.2 nota 3caratteristica ...................................................................................................... C.2.15casuale ................................................................................... 3.3.3, E.1.3, E.3.5 a E.3.7casuale, effetto.............................................................................. vedere effetto casualecasuale, errore ............................................................................... vedere errore casualecasuale variabile .......................................................................... vedere variabile casualecasualità....................................................................................... F.1.1, F.1.1.3 a F.1.1.5casuali variazioni, correlate .............................................. vedere variazioni casuali correlatecatena di taratura ............................................................................................ 4.2.8 notacategorizzazione delle grandezze di ingresso .............................................................. 4.1.3categorizzazione e classificazione delle componenti dell'incertezza...... 3.3.3, 3.3.4, E.3.6, E.3.7certificazione dei materiali di riferimento............................................................ H.5, H.5.3.2cifre significative dell'incertezza................................................................................ 7.2.6CIPM .................................................................. premessa, 0.5, 6.1.1, 6.1.2, A.1, A.2, A.3coefficiente di correlazione...................... 5.2.2, 5.2.3, C.3.6, F.1.2.3, H.2.3, H.2.4, H.3.2, H.1.2coefficiente di correlazione, matrice di .................. vedere matrice dei coefficienti di correlazionecoefficiente di fiducia ............................................................................................ C.2.29coefficiente di sensitività ................................................................................ 5.1.3, 5.1.4Comitato Elettrotecnico Internazionale ............................................................... vedere IECComitè International des Poids et Mesures ....................................................... vedere CIPMcomparazione di taratura................................................................................ F.1.2.3 notacomponenti dell'incertezza, categorizzazioni, e classificazioni dell'....... vedere categorizzazione

e classificazione delle componenti dell'incertezzacomponenti dell'incertezza, doppio conteggio ............................................................ 4.3.10componenti raggruppati di incertezza ................................................ 3.3.3 nota, 3.4.3, E.3.7condizioni di ripetibilità......................................................................... 3.1.4, B.2.15 nota 1controllo statistico......................................................................................... 3.4.2, 4.2.4convoluzione......................................................... 4.3.9 nota 2, G.1.4 a G.1.6, G.2.2, G.6.5coppie indipendenti di osservazioni simultanee............. 5.2.3, C.3.4, F.1.2.2, H.2.2, H.2.4, H.4.2correlazione .............................................. 5.1, 5.2 e seguenti, C.2.8, F.1.2, F.1.2.1 a F.1.2.4correlazione, coefficiente di.............................................. vedere coefficiente di correlazionecorrelazione, coefficiente di, numero di cifre significative ............................................... 7.2.6correlazione, eliminazione della .................................................... 5.2.4, 5.2.5, F.1.2.4, H.3.5correlazione, matrice di.......................................................................................... nota 2correzione.......................................................................... 3.2, 3.2.3, 3.2.4 nota 2, B.2.23correzione, fattore di ................................................................. vedere fattore di correzionecorrezione, incertezza di una........................................... vedere incertezza di una correzionecorrezione, trascurare una ................................................. vedere trascurare una correzionecovarianza.................................................................. 3.3.6, 5.2.2, C.3.4, F.1.2.1 a F.1.2.4covarianza di categoria A, valutazione della.............................................. vedere valutazione

della covarianza di categoria A



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covarianza di categoria B, valutazione della ............................................. vedere valutazionedella covarianza di categoria B

covarianza di due medie aritmetiche ........................ .............. 5.2.3, C.3.4, H.2.2, H.2.4, H.4.2covarianza di misurandi correlati ........................... vedere stime d'uscita o grandezze correlatecovarianza, matrice di ............................................................. vedere matrice di covarianzacovarianza, valutazione sperimentale della .............................................. vedere valutazione

sperimentale della covarianzacurva di errore di uno strumento verificato................................................................ F.2.4.2curva di taratura....................................................................................... F.2.4.2, F.2.4.5curva di taratura .......................................................................... vedere taratura, curva dicurva lineare di taratura............................................................................ H.3 e successivi

Ddefinizione o specifica del misurando ........................................................ vedere misurandodensità di probabilità ............................... 3.3.5, 4.3.8 nota 2, 4.4.2, 4.4.5, 4.4.6, C.2.5, F.2.4.4densità parziale ..................................................................................................... 5.1.3determinazione dell'errore........................................................................................ 3.4.5determinazione sperimentale dei coefficienti di sensibilità .............................................. 5.1.4dichiarazione dell'incertezza tipo composta........ vedere incertezza tipo composta, dichiarazionedistorsione..................................................................................................... 3.2.3 notadistribuzione asimmetrica ................................................................... 4.3.8, F.2.4.4, G.5.3distribuzione di frequenza............................................................ 3.3.5, 4.1.6, C.2.18, B.3.5distribuzione di Laplace-Gauss............................................................................... C.2.14distribuzione di probabilità ............................. .............3.3.4, 4.1.1 nota 1, 4.1.6, 4.2.3 nota 1,

4.4.1 a 4.4.4, C.2.3, E.4.2, G.1.4, G.1.5distribuzione di Student ................................................................................. C.3.8. G.3.2distribuzione F ................................................................................................... H.5.2.3distribuzione, funzione di ..................................................... vedere funzione di distribuzionedistribuzione iniziale ........ 4.1.6, 4.3.1 nota, 4.4.4 e successivi, D.6.1, E.3.4, E.3.5, G.4.2, G.4.3distribuzione normale............... 4.2.3 nota 1, 4.3.2 nota, 4.3.4 a 4.3.6, 4.3.9 nota 1, 4.4.2, 4.4.6,

C.2.14, E.3.3, F.2.3.3, G.1.3, G.1.4, G.2.1 a G.2.3, G.5.2 nota 2distribuzione rettangolare ........ 4.3.7, 4.3.9, 4.4.5, F.2.2.1 a F.2.2.3, F.2.3.3, G.2.2 nota 1, G.4.3distribuzione t............................................................ 4.2.3 nota 1, C.3.8, G.3, G.3.2, G.3.4,

G.4.1, G.4.2, G.5.4, G.6.2distribuzione T tabulata in quantili ....................................................................... G.3.4 notadistribuzione trapezoidale........................................................................................ 4.3.9distribuzione triangolare ...................................................................... 4.3.9, 4.4.6, F.2.3.3distribuzioni, convoluzione di............................................................... vedere convoluzionedistribuzioni determinate matematicamente................................................................. F.2.2

Eeffetto casuale ............................................................. 3.2.2, 3.3.1, 3.3.3, 4.2.2, E.1.1, E.3effetto sistematico ............................. 3.2.3, 3.2.4, 3.3.1, 3.3.2, 3.3.3, D.6.1, E.1.1, E.3, E.4.4elemento di probabilità........................................................................... C.2.5 nota, F.2.4.4errore casuale .................................................................................. 3.2.1 a 3.2.3, B.2.21errore, determinazione dello ............................................... vedere determinazione dell'erroreerrore di misura......................... 0.2, 2.2.4, 3.2, 3.2.1 nota, 3.2.2 nota 2, 3.2.3 nota, 3.3.1 nota,

3.3.2, B.2.19, D, D.4, D.6.1, D.6.2, E.5.1 e successivierrore e incertezza, confusione tra ........................................... 3.2.2 nota 2, 3.2.3 nota, E.5.4errore massimo ammesso ..................................................................................... F.2.4.2errore relativo...................................................................................................... B.2.20errore sistematico ............................................................................... 3.2.1, 3.2.3, B.2.22

FF distribuzione................................................................................ vedere distribuzione Ffattore di copertura............ 2.3.6, 3.3.7, 4.3.4 nota, 6.2.1, 6.3 e successivi, G.1.3, G.2.3, G.3.4,

G.6.1 e successivifattore di correzione..................................................................................... 3.2.3, B.2.24



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fattore T ............................................. E.3.3, G.3.2, G.3.4, G.4.1, G.5.4, G.6.2, G.6.4 a G.6.6fiducia, intervallo di ..................................................................... vedere intervallo di fiduciafiducia, livello di.............................................................................. vedere livello di fiduciafiducia, propagazione di intervalli di ........................................................................ ... E.3.3fonti di incertezza................................................................................................... 3.3.2formula di Welch-Satterthwaite..................................................... G.4.1, G.4.2, G.6.2, G.6.4frequenza ........................................................................................................... C.2.17frequenza relativa.................................................................................................. E.3.5funzione cumulativa............................................................................................... C.2.4funzione di densità di probabilità ................ 3.3.5, 4.3.8 nota 2, 4.4.2, 4.4.5, 4.4.6, C.2.5, F.2.4.4funzione di distribuzione ......................................................................................... C.2.4funzione di massa di probabilità ................................................................................ C.2.6

Ggiustificazione per una valutazione realistica dell'incertezza.......................... E.2, E.2.1 a E.2.3gradi di libertà .................................... 4.2.6, C.2.31, E.4.3, G, G.3, G.3.2, G.3.3, G.6.3, G.6.4gradi di libertà di un'incertezza tipo di categoria A...................................... G.3.3, G.6.3, G.6.4gradi di libertà di un'incertezza tipo di categoria B............................. G.4.2, G.4.3, G.6.3, G.6.4gradi di libertà di una stima cumulata della varianza ....................................... H.1.6, H.3.6 notagradi di libertà effettivi ........................................ 6.3.3, G.4, G.4.1, G.5.4, G.6.2 e successivigradi di libertà effettivi, di sole componenti di categoria A............................. 7.2.1, G.4.1 nota 3gradi di libertà effettivi, di sole componenti di categoria B............................. 7.2.1, G.4.1 nota 3grado di credenza................................................................. 3.3.5, E.3.5, E.4.4. E.5.2 notagrandezza controllata........................................................................................... F.2.4.3grandezza di influenza........................................................ 3.1.5, 3.1.6, 3.2.3, 4.2.2, B.2.10grandezza di influenza casuale ................................................................... F.1.1.3, F.1.1.4grandezza di ingresso ............................................................................................. 4.1.2grandezza di ingresso, limiti di una............................. vedere limiti di una grandezza di ingressograndezza di uscita................................................................................................. 4.1.2grandezza internamente consistente per esprimere l'incertezza ........................................ 0.4grandezza misurabile ............................................................................................. B.2.1grandezza o stima di uscita correlata............................. 3.1.7, 7.2.5, H.2.3, H.2.4, H.3.2, H.4.2grandezza o valore di ingresso importata......................................................... F.2.3, F.2.3.1grandezza particolare............................................................................ 3.1.1, B.2.1 nota 1grandezza realizzata.............................................................. D.2, D.2.1, D.3.1 a D.3.3, D.4grandezza trasferibile per l'espressione dell'incertezza.................................................... 0.4grandezza, valore di una....................................................... vedere valore di una grandezzagrandezza, valore vero convenzionale di una grandezza.............................. vedere valore vero

convenzionale di una grandezzagrandezza valore vero di ................................................ vedere valore vero di una grandezzagrandezze....................................................................... 3.4.1, 3.4.2, 4.2.8, F.2.1, H.5.3.3gruppo di informazioni per una valutazione di categoria B............... 3.3.5 nota, 4.3.1, 4.3.2, 5.2.5Gruppo di lavoro per l'espressione dell'incertezza......................... premessa, 0.5, 3.3.3, 6.1.1,

6.1.2, A.1, A.2, A.3Gruppo tecnico consultivo sulla metrologia ........................................................... premessa

IIEC................................................................................................... premessa, A.3, B.1IFC ......................................................................................................... premessa, B.1ignorare una componente di incertezza....................................................................... 3.4.4illustrazione grafica dell'incertezza tipo........................................................ 4.4 e successiviincertezza, arrotondamento dell'................................... vedere arrotondamento dell'incertezzaincertezza, cifre significative dell' ............................... vedere cifre significative dell'incertezzaincertezza, componenti ragruppati di ..................... vedere componenti raggruppati di incertezzaincertezza, confronto di due concezioni ...................................................... E.5 e successiviincertezza, definizione dei termini di ............................................. vedere incertezza di misuraincertezza del campione ........................................................................ F.2.6 e successiviincertezza del confronto ................................................................................ F.1.2.3 nota



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incertezza del metodo di misurazione.............................................................. F.2.5, F.2.5.1incertezza dello scarto tipo della media....................................................... 4.3.2 nota, E.4.3incertezza derivata da aritmetica a precisione finita ................................................... F.2.2.3incertezza di categoria A, valutazione dell' ............................................... vedere valutazione

dell'incertezza di categoria Aincertezza di categoria B ...................................................................... vedere valutazione

dell'incertezza di categoria Bincertezza di misura............................................ 0.1, 0.2, 1.1, 2.2, 2.2.1 a 2.2.4, 3.3.1, 3.3.2,

B.2.18, D, D.5, D.5.1 a D.5.3, D.6.1, D.6.2incertezza di una correzione..................................... 3.2.3 nota, 3.3.1, 3.3.3, D.6.1, E.1.1, E.3incertezza di una grandezza controllata................................................................... F.2.4.3incertezza di una osservazione singola di uno strumento tarato.................................... F.2.4.1incertezza di una osservazione singola di uno strumento verificato............................... F.2.4.2incertezza dovuta a isteresi .................................................................................. F.2.2.2incertezza dovuta al campionamento limitato............................................... 4.3.2 nota, E.4.3incertezza dovuta all'incompleta definizione del misurando............ 3.13 nota, D.1.1, D.3.4, D.6.2incertezza dovuta alla risoluzione di un'indicazione digitale ......................................... F.2.2.1incertezza estesa ................................................ 2.3.5, 3.3.7, 6, 6.2.1 a 6.2.3, G.1.1, G.2.3,

G.3.2, G.4.1, G.5.1 a G.5.4, G.6.4 a G.6.6incertezza estesa dichiarata ........................................................................... 7.2.3, 7.2.4incertezza estesa per una distribuzione asimmetrica.................................................... G.5.3incertezza estesa relativa........................................................................................ 7.2.3incertezza, fonti di....................................................................... vedere fonti di incertezzaincertezza, giustificazione per la valutazione realistica........................... vedere giustificazione

per la valutazione realisticaincertezza globale......................................................................................... 2.3.5 nota 3incertezza, grandezza internamente consistente per esprimere una............................... vedere

grandezza internamente consistente per esprimere una incertezzaincertezza, grandezza trasferibile per l'espressione dell'............................... vedere grandezza

trasferibile per l'espressione dell'incertezzaincertezza, Gruppo di lavoro per l'espressione dell' .............................. vedere Gruppo di lavoro

per l'espressione dell'incertezzaincertezza identificata dello scarto tipo.............................................. E.3.2, E.4, E.4.1, E.4.4incertezza, ignorare una componente di............... vedere ignorare una componente di incertezzaincertezza intrinseca .............................................................................................. D.3.4incertezza, legge di propagazione dell' .................. vedere legge di propagazione dell'incertezzaincertezza, mancanza di un rapporto esplicito di.......................................... vedere mancanza

di un rapporto esplicito di incertezzaincertezza massima ammessa............................................................................... F.2.4.2incertezza, metodo per la valutazione e l'espressione dell' ........................................... vedere

metodo per la valutazione e l'espressione dell'incertezzaincertezza minima .................................................................................................. D.3.4incertezza quando una correzione non è applicata............................. 3.4.4, 6.3.1 nota, F.2.4.5incertezza quotata, qualità ed utilità dell'............................................. vedere qualità ed utilità

dell'incertezza quotataincertezza, registrazione della ...................................................................... 7 e successiviincertezza, riassunto della procedura per la valutazione e l'espressione dell' ................... vedere

riassunto della procedura per la valutazione e l'espressione dell'incertezzaincertezza, sicura o prudenziale................................ E.1.1. E.1.2. E.2.1, E.2.3, E.4.1, F.2.3.1incertezza tipo.......................................... 2.3.1, 3.3.5, 3.3.6, 4.1.5, 4.1.6, 4.2.3, D.6.1, E.4.1incertezza tipo composta........................................ 2.3.4, 3.3.6, 4.1.5, 5, 5.1.1 a 5.1.3, 5.1.6,

5.2.2, 6.1.1, D.6.1, E.3.6incertezza tipo composta, calcolo numerico della ............................................ vedere calcolo

numerico dell'incertezza tipo compostaincertezza tipo composta e Comitati Consultivi....................................................... 6.1.1, A.3incertezza tipo composta e confronti internazionali ................................................. 6.1.1, A.3incertezza tipo composta esclusivamente di componenti di categoria A .......... 7.2.1, G.4.1 nota 3incertezza tipo composta esclusivamente di componenti di categoria B .......... 7.2.1, G.4.1 nota 3



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incertezza tipo composta, registrata ................................................................. 7.2.1, 7.2.2incertezza tipo composta relativa ..................................................................... 5.1.6, 7.2.1incertezza tipo di categoria A.................................................................. 3.3.5, 4.2.3, C.3.3incertezza tipo di categoria B.................................................................. 3.3.5, 4.3.1, C.3.3incertezza tipo, illustrazione grafica dell' ....................................... vedere illustrazione grafica

dell'incertezza tipoincertezza tipo relativa ............................................................................................ 5.1.6incertezza, valutazione statistica, variando le grandezze di ingresso dell' ...................... vedere

valutazione statistica variando le grandezze di ingresso, dell'incertezzaindipendenza.................................................................................................. 5.1, C.3.7influenza, grandezza di.......................................................... vedere grandezza di influenzaInternational Organization di Legal Metrology.................................................... vedere OIMLInternational Organization for Standardization..................................................... vedere ISOInternational System di Units (Sl) ......................................................................... 0.3, 3.4.6International Union di Pure and Applied Chemistry ............................................. vedere INPACInternational Union di Pure and Applied Physics ............................................... vedere INPAPintervallo di confidenza (di fiducia) ............................. 4.2.3 nota 1, 6.2.2, C.2.27, C.2.28, F.3.3intervallo di copertura statistica............................................................................... C.2.30intervallo di fiducia bilaterale................................................................................... C.2.27intervallo di fiducia, propagazione di ......................... vedere propagazione di intervallo di fiduciaintervallo di fiducia unilaterale ................................................................................. C.2.28intervallo di tolleranza statistica ..................................................................... C.2.30 nota 2ISO.................................................................................................. premessa, A.3, B.1ISO 3534-1 ....................................................................................................... 2.1, C.1ISO/TAG 4 ISO Technical Advisory Group on Metrology.......................................... premessaISO/TAG 4/WG 3 . ........................................................................................... premessaISO/TAG 4/WG 3, termini di riferimento ................................................................ premessaistogramma ......................................................................................... 4.4.3, D.6.1 nota 1IUPAC..................................................................................................... premessa, B.1IUPAP..................................................................................................... premessa, B.1International vocabulary of basic and general terms in metrology ............................ vedere VIM

Llaboratori, metrologia o norme nazionali sui ........................................................... premessaLaplace-Gauss, distribuzione di ................................... vedere distribuzione di Laplace-Gausslegge di propagazione dell'incertezza ............. 3.3.6, 3.4.1, 5.1.2, E.3, E.3.1, E.3.2, E.3.6, G.6.6legge generale di propagazione degli errori................................................. 5.2.2 nota 1, E.3.2limite centrale, teorema del ................................................. vedere teorema del limite centralelimite di sicurezza............................................................................................ 6.3.1 notalimite massimo ...................................................... vedere limite di una grandezza di ingressolimite massimo dell’errore ........................................................................................ E.4.1limiti di una grandezza d'ingresso ....................................... 4.3.7 a 4.3.9, 4.4.5, 4.4.6, F.2.3.3linearizzazione di una relazione funzionale .............................. 5.1.5, F.2.4.4 nota, 5.2.6 nota 1livello di confidenza................................ 0.4, 2.2.3 nota 1, 2.3.5 nota 1 e 2, 3.3.7, 4.3.4, 6.2.2,

6.2.3, 6.3.1 a 6.3.3, C.2.29, G, G.1.1 a G.1.3, G.2.3, G.3.2, G.3.4, G.4.1, G.6.1, G.6.4, G.6.6livello di fiducia............................................................................................ 6.2.2, C.2.29livello di fiducia minimo ......................................................................................... F.2.3.2

Mmancanza di un rapporto esplicito di incertezza............................................................ 7.1.3materiale di riferimento, certificazione di............. vedere certificazione del materiale di riferimentomatrice dei coefficienti di correlazione ...................................................... 7.2.5, C.3.6 nota 2matrice di varianza e covarianza................................. ..3.1.7, 5.2.2 nota 2, 7.2.5, C.3.5, H.2.3media (mean) ............................................................................................... C.2.9, C.3.1media aritmetica........................................................................... 4.1.4 nota, 4.2.1, C.2.19metodo dei minimi quadrati...................................................... 4.2.5, G.3.3, H.3, H.3.1, H.3.2metodo di misurazione............................................................................ ........3.1.1, B.2.7metodo di misurazione, incertezza del ................... vedere incertezza del metodo di misurazione



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metodo di misurazione, unità dipendente dal ....................................... vedere unità dipendentedal metodo di misurazione

metodo ideale per la valutazione e l'espressione dell'incertezza ......................................... 0.4metodo universale per la valutazione e l'espressione dell'incertezza ................................... 0.4metrologia, Gruppo tecnico consultivo sulla......................................... vedere Gruppo tecnico

consultivo sulla metrologiametrologia legale.................................................................................................... 3.4.5migliore misurazione possibile del .............................................................................. D.3.4minima incertezza ...................................................................... .vedere incertezza minimamisura, accuratezza di ........................................................... vedere accuratezza di misuramisurando.................................................. 1.2, 3.1.1, 3.1.3, B.2.19, D.1, D.1.1, D.1.2, D.3.4misurando, descrizione o specifica del ...................................................... vedere misurandomisurando, incertezza dovuta all'incompleta definizione del........................... vedere incertezza

dovuta all'incompleta definizione del misurandomisurando, migliore misurazione possibile del ................................................. vedere migliore

misurazione possibile del misurandomisurando, valore del ............................................................... vedere valore del misurandomisurando, valori del ................................................................. vedere valori del misurandomisurazione ...................................................................................... .....3.1, 3.1.1, B.2.5misurazione, accuratezza della..................................... vedere accuratezza della misurazionemisurazione, gerarchia................................................................................. ...........7.1.1misurazione, metodo di........................................................... vedere metodo di misurazionemisurazione, modello matematico..................................................................... 3.1.6, 3.4.1misurazione, principio di ........................................................ vedere principio di misurazionemisurazione, procedimento di .......................................... vedere procedimento di misurazionemisurazione, risultato di una............................................. vedere risultato di una misurazionemisurazione, ruolo dell'ANOVA nella.................. .......vedere ruolo dell'ANOVA nella misurazionemodello matematico della misurazione............................... 3.1.6, 3.4.1, 3.4.2, 4.1, 4.1.1, 4.1.2momento centrale di ordine q ..................................................... C.2.13, C.2.22, E.3.1 nota 1

Nnormale, distribuzione............................................................. vedere distribuzione normale

OOIML ........................................................................................... .....premessa, A.3, B.1Organizzazione Internazionale di Metrologia legale............................................. vedere OIMLOrganizzazione Internazionale di Normazione...................................................... vedere ISOosservazioni ripetitive........................................... ....3.1.4 a 3.1.6, 3.2.2, 3.3.5, 4.2.1, 4.2.3,

4.3.1, 4.4.1, 4.4.3, 5.2.3, E.4.2, E.4.3, F.1, F.1.1, F.1.1.1, F.1.1.2, G.3.2

Pparametro............................................................................................................. C.2.7particolare, grandezza .......................................................................... 3.1.1, B.2.1 nota 1piano a nido bilanciato.............................................................................. H.5.3.1, H.5.3.2popolazione ........................................................................................................ C.2.16precisione.................................................................................................. B.2.14 nota 2principio di massima entropia........................................................................... 4.3.8 nota 2principio di misurazione ........................................................................................... B.2.6probabilità.................................................... 3.3.5, 4.3.7 a 4.3.9, C.2.1, E.3.5, E.3.6, F.2.3.3probabilità, copertura ........................................................... vedere copertura di probabilitàprobabilità, densità di ............................................................... vedere densità di probabilitàprobabilità di copertura................................ 0.4, 2.3.5 nota 1, 3.3.7, 6.2.2, G.1.1, G.1.3, G.3.2probabilità, distribuzione.................................................... vedere distribuzione di probabilitàprobabilità, elemento di........................................................... vedere elemento di probabilitàprobabilità, funzione di massa di................................... vedere funzione di massa di probabilitàprobabilità, soggettiva.................................................................................... 3.3.5, D.6.1procedimento di misurazione ....................................................... 3.1.1, 7.1.2, B.2.8, F.1.1.2propagazione degli scarti tipo ................................................................... E.3, E.3.1, E.3.2



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propagazione dei multipli degli scarti tipo.................................................................... E.3.3propagazione di intervalli di fiducia ............................................................................ E.3.3

Qqualità ed utilità dell'incertezza quotata....................................................................... 3.4.8

RRaccomandazione I (CI-1986), CIPM..................................................... 0.5, 6.1.1, 6.1.2, A.3Raccomandazione I (Cl-1981), CIPM ....................................................... 0.5, 6.1.1, A.2, A.3Raccomandazione INC-I (1980) ........................... premessa, 0.5, 0.7, 3.3.3, 6.1.1, 6.1.2, 6.3.3,

A.1, A.3, E, E.2.3, E.3.7relazione funzionale....................................................................................... 4.1.1, 4.1.2relazione funzionale non lineare........................................ 4.1.4 nota, 5.1.2 nota, F.2.4.4 nota,

5.1.5, H.1.7, H.2.4retta di taratura ......................................................................................... H.3 e seguentiriassunto della procedura per la valutazione e la dichiarazione dell'incertezza ......................... 8ripetibilità, condizione di....................................................................... 3.1.4, B.2.15 nota 1ripetibilità dei risultati di misura................................................................................ B.2.15ripetizioni indipendenti .......................................................................................... F.1.1.2riproducibilità dei risultati di misura........................................................................... B.2.16risultato, bruto ..................................................................................................... B.2.12risultato corretto.......................................................................... B.2.13, D.3.1, D.3.4, D.4risultato di una misurazione ..................................................................... 1.3, 3.1.2, B.2.11risultati della misurazione e sulla sua incertezza, disponibilità di informazioni sui........ 7.1.1, 7.1.3risultati della misurazione e della sua incertezza, espressione per indicare i .............. 7.2.2, 7.2.4risultati della misurazione e della sua incertezza, espressione per indicare in dettaglio i....... 7.1.4,

7.2.7ruolo dell'ANOVA nella misurazione.......................................................... H.5.3 e successivi

Sscarto tipo.............................................................................. 3.3.5, C.2.12, C.2.21, C.3.3scarto tipo cumulato sperimentale................................... vedere stima cumulata della varianzascarto tipo, sperimentale............................................................................... 4.2.2, B.2.17scarto tipo sperimentale della media....................................................... 4.2.3, B.2.17 nota 2scarti tipo, propagazione degli......................................... vedere propagazioni degli scarti tiposcarti tipo, propagazione dei multipli degli ................................. vedere propagazioni dei multipli

degli scarti tiposensitività, coefficiente di ................................................... vedere coefficiente di sensitivitàserie di Taylor .......................................................... 5.1.2, E.3.1, G.1.5, G.4.2, H.1.7, H.2.4sicurezza, limite di ....................................................................... vedere limite di sicurezzaSistema Internazionale di Unità di misura (SI) ......................................................... 0.3, 3.4.6sistematico .............................................................................. 3.3.3, E.1.3, E.3.4 a E.3.7sistematico, effetto ................................................................... vedere effetto sistematicosistematico, errore ..................................................................... vedere errore sistematicosperanza matematica (o valore atteso) ........................................... 3.2.2, 3.2.3, 4.1.1 nota 3,

4.2.1, 4.3.7 a 4.3.9, C.2.9, C.3.1, C.3.2spettro della misurazione a cui si applicano i principi della guida......................................... 1.1statistica ................................................................................................... 4.2.7, C.2.23statistica, controllo ..................................................................... vedere controllo statisticostatistica, intervallo di copertura.................................. vedere intervallo di copertura statisticastima......................................................................................................... 3.1.2, C.2.26stima cumulata della varianza ........................... 4.2.4, 4.2.8 nota, H.1.3.2, H.3.6 nota, H.5.2.2,

H.5.2.5, H.6.3.1, H.6.3.2 notastima della varianza sperimentale ............................................. vedere varianza sperimentalestima d'ingresso................................................................................... 4.1.4, 4.1.6, 4.2.1stima d'uscita ...................................................................................... 4.1.4, 4.1.5, 7.2.5stimatore ................................................................................................... 4.2.7, C.2.25stime o grandezze di ingresso correlate .................................................. vedere correlazione



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stime o grandezze d'uscita correlate............................. 3.1.7, 7.2.5, H.2.3, H.2.4, H.3.2, H.4.2Student, distribuzione.......................................................... vedere distribuzione di Studentsviste .................................................................................................................. 3.4.7

Tt-distribuzione ................................................................................. vedere distribuzione tt-fattore.................................................................................................. vedere fattore ttaratura, catena di ....................................................................... vedere catena di taraturataratura, curva di........................................................................... vedere curva di taraturaTaylor, serie di ................................................................................. vedere serie di Taylorteorema del limite centrale................................. G.1.6, G.2, G.2.1 a G.2.3, G.6.2, G.6.5, G.6.6termini di ordine superiore ............................................................... 5.1.2 nota, E.3.1, H.1.7test F ....................................................................................................... H.2.2, H.5.2.4trascurare una correzione............................................ 3.2.4 nota 2, 3.4.4, 6.3.1 nota, F.2.4.5

UUnione Internazionale di Chimica Pura ed applicata........................................... vedere IUPACUnione Internazionale di Fisica Pura ed applicata.............................................. vedere IUPAPunità dipendente dal metodo di misurazione................................................................... H.6unità, utilizzazione di un valore adottato di una misurazione tipo come............................ vedere

utilizzazione di un valore adottato di una misurazione tipoutilizzazione di un valore adottato di una misurazione tipo come unità ................ 3.4.6, 4.2.8 nota

Vvalore atteso.................................................. 3.2.2, 3.2.3, 4.1.1 nota 3, 4.2.1, 4.3.7 a 4.3.9,

C.2.9, C.3.1, C.3.2valore del misurando..................................................................................... 3.1.1 a 3.1.3valore di una grandezza.................................................................................. 3.1.1, B.2.2valore o grandezza di ingresso impostata......................................................... F.2.3, F.2.3.1valore vero convenzionale di una grandezza................................................................ B.2.4valore vero di una grandezza........................................ 2.2.4, 3.1.1 nota, B.2.3, D, D.3, D.3.1,

D.3.4, D.3.5, E.5.1 a E.5.4valori del misurando................................................................................................ D.6.2valutazione dell'incertezza di categoria A.................................. 2.3.2, 3.3.3 a 3.3.5, 4.1.6, 4.2,

4.2.1 a 4.2.8, 4.3.2, 4.4.1 a 4.4.3, E.3.7, F.1, F.1.1.1 a F.1.2.4valutazione dell'incertezza di categoria B............. 2.3.3, 3.3.3 a 3.3.5, 4.1.6, 4.3, 4.3.1 a 4.3.11,

4.4.4 a 4.4.6, E.3.7, F.2 e successivivalutazione della covarianza di categoria A ................................................................. 5.2.3valutazione della covarianza di categoria B ................................................................. 5.2.5valutazione di categoria B........................................................................................ F.2.1valutazione sperimentale della covarianza ................................................ 5.2.5, C.3.6 nota 3valutazione statistica, variando le grandezze di ingresso, dell'incertezza........ 3.4.1, 3.4.2, 4.2.8,

F.2.1, H.5.3.3variabile aleatoria ................................................................................................... C.2.2variabile causale...................................................... 4.1.1, nota 1, 4.2.1, 4.2.3 nota 1, C.2.2,

C.3.1, C.3.2, C.3.4, C.3.7, C.3.8, E.3.4, F.1.2.1, G.3.2variabile casuale centrata ..................................................................................... C.2.10varianza............................................................... 3.1.7, 4.2.2, 4.2.3, C.2.11, C.2.20, C.3.2varianza, analisi della................................................................................. vedere ANOVAvarianza composta........................................................................................ 3.3.6, 5.1.2varianza della media ...................................................................................... 4.2.3, C.3.2varianza della media sperimentale .................................................................... 4.2.3, C.3.2varianza di Allan ............................................................................................. 4.2.7 notavarianza di categoria A............................................................................................ 4.2.3varianza di categoria B............................................................................................ 4.3.1varianza relativa .................................................................................................... 5.1.6varianza relativa composta ...................................................................................... 5.1.6varianza, sperimentale (o stima della)...................................................... ...4.2.2, H.3.6 nota



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varianza, stima cumulata della ....................................... vedere stima cumulata della varianzavariazioni casuali correlate ....................................................................................... 4.2.7VIM................................................................................................. 2.1, 2.2.3, 2.2.4, B.1Vocabolario Internazionale dei termini fondamentali e generali di metrologia .............. vedere VIM

WWelch-Satterthwaite formula......................................... vedere formula di Welch-Satterthwaite



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La pubblicazione della presente norma avviene con la partecipazione volontaria dei Soci,dell’Industria e dei Ministeri.Riproduzione vietata - Legge 22 aprile 1941 Nº 633 e successivi aggiornamenti.

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Pescara c/o Azienda Speciale Innovazione Promozione ASIPVia Conte di Ruvo, 2 - 65127 Pescara - Tel. 08561207 - Fax 08561487

Reggio Calabria c/o IN.FORM.A. Azienda Speciale della Camera di CommercioVia T. Campanella, 12 - 89125 Reggio Calabria - Tel. 096527769 - Fax 0965332373

Torino c/o Centro Estero Camere Commercio PiemontesiVia Ventimiglia, 165 - 10127 Torino - Tel. 0116700511 - Fax 0116965456

Treviso c/o Treviso TecnologiaPalazzo Cristallo - Via Roma, 4/d - 31020 Lancenigo di Villorba (TV) - Tel. 0422608858 - Fax 0422608866

Udine c/o CATASVia Antica, 14 - 33048 San Giovanni al Natisone (UD) - Tel. 0432747211 - Fax 0432747250

Vicenza c/o TECNOIMPRESA I.P.I. S.r.l.Piazza Castello, 2/A - 36100 Vicenza - Tel. 0444232794 - Fax 0444545573

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