Guia Teórico-práctico (Recuperado)
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7/25/2019 Guia Terico-prctico (Recuperado)
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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD PEDAGOGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR
INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIONUCLEO PORTUGUESA EXTENCION GUANARE
PROGRAMA DE EDUCACIN MENCIN INFORMTICAINTRODUCCIN AL CLCULO
GUIA TERICO-PRCTICO
UNIDAD I
Autor:Mart!"# C$ J"%&% A$
C$I$ '($)*+$*),
Eu.$ M"!./0! I!1or23t/.a
S"2"%tr" I S"../0! U
ELABORADO POR EL PROF JESS MARTNEZ - DICIEMBRE 2015
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'$'DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DE UN PLANO
La distancia entre dos puntos es igual a la longitud del segmento que los une.
Ahora buscaremos una frmula que permita hallar la distancia entre dos puntos
cualesquiera:
Representamos a y b sobre un sistema de ejes cartesianos, marcamos el
punto cde acuerdo al grfico tendr coordenadas (!, y"#
Luego podrs notar que
abc es un rectngulo y queab
es la
hipotenusa. Aplicando el teorema de $itgoras tenemos:
d(a, b#!% ab ! % ac ! & bc !pero al enunciado:
ac % !' " bc % y!' y" luego
ab ! % (!' "#!& (y!' y"# !
d(a, b#%
xy
(2x1)2
+(2y1)2
$odemos concluir que entre dos puntos a% ("y"# y b%(!, y!# en el plano
real, )iene dada por la frmula:
d(a,b#%
x
y
(2x1)2+(2y1)
2
*jemplo:
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a% (", y"# y4%5!, y!#
y= Ordend!
"= A#!$%!
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+i a% (, -# y b% (' ! ' !#, entonces:
d(a, b# % (24)2+(26)2 % 36+64
100 % "
*jercicios propuestos:
/eterminar la distancia entre cada par de puntos:
A# a % (0", # y b% (1, "# 2# c% (!,0# y d % (3, -# 4# e % (05, !# y f % ("0"#
/# g % (, 0!# y h% (", "# *# i % (05, 5# y j % (, 5# 6# 7% (0", 08# y l % (0",!#
'$6DETERMINAR LA ECUACIN DE UNA RECTA EN EL PLANO
La idea del9nea rectaes uno de los conceptos intuiti)os de la eometr9a (como
son tambi;n el
punto
y el
plano#.
La recta se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en
una ontal, )ertical o
diagonal (inclinada a la i>quierda o a la derecha#.
La l9nea de la derecha podemos )erla, pero a partir de los datos que nos
entrega la misma l9nea (par de coordenadas para A y par de coordenadaspara 2 en elplano cartesiano#es que podemos encontrar una epresin
algebraica (una funcin# que determine a esa misma recta.
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Ecuacin general de la recta
*sta es una de las formas de representar la ecuacin de la recta.
/e acuerdo a uno de los postulados de la eometr9a *uclidiana, para determinar
una l9nea recta slo es necesario conocer dos puntos (A y 2# de un plano (en
unplano cartesiano#, conabscisas (#yordenadas (y#.
Ahora bien, conocidos esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin ecepcin,quedan incluidas en la ecuacin
A & 2y & 4 %
?ue tambi;n puede escribirse como
a & by & c %
y que se conoce como: laecuacin generalde la l9nea recta, como lo afirma elsiguiente:
@allaremos la *cuacin eneral de la Recta que pasa por los puntos (1, !#y (0", 0!#
4on los puntos que conocemos )amos a determinar la pendiente de la recta(m# que se define de la siguiente manera:
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TeoremaLa ecuacin general de primer grado Ax + By + C = 0,donde A, B, C pertenecen a los nmeros reales ( ); y enue A y B no son simult!neamente nulos, representauna l"nea recta#
m =$endientem %
y
x %y 2y1x2x 1
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$rocedemos a nombre los puntos que tenemos de la siguiente manera:
(1, !# (0", 0!#
" y" ! y!
+ustituimos )alores:
m %y
x %y 2y1x2x 1 %
2223 %
44 % "
$or ser un )alor positi)o obtendr9amos una recta ascendente
$rocedemos a encontrar la ecuacin de la presente recta utili>ando la siguienteformula:
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%&tendremos unarecta ascendenteue tiene pendientepositi'a
m =
MODELO PUNTO PENDIENTE
y * y = m(x *x)
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omando cualquiera de los )alores anteriores, en este caso tomaremos como
referencia la primera pareja de nando de la siguiente manera:
' & y &" %
Bultiplicamos por (0"#
0 y 0" %
*jercicios:
@allar la ecuacin de la recta que pasa por el punto (!, 0"# y (5, 3#
'$7DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
4onsideremos una recta Lcuya educacin general es A8 9 B 9 C ; *
+upongamos un punto $(", y"# que no pertenece a la recta L.
La distancia de un punto a una recta: se define como la longitud del segmento
perpendicular tra>ado desde este punto a la recta.
*l n
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d%Ax
1+By
1+C
A2+B2
*jemplo "
@allar la distancia d del punto $(!, 0"# a la recta 1 & y 05 %
Csemos la formula y sustituimos por sus )alores:
A% 1 2% 4% 05 "% ! y"% 0"
d%3.2+4 (1)5
32+42
%
645 9+16
%
3 25
%
3
5
d%3
5
*jemplo !:
@allar la distancia entre las rectas paralelas de ecuaciones L": ! ' 1y ' - % y
L!: ! 1y & 3 % .
/ebemos determinar, en una de las rectas, un punto de coordenadas ( ",
y"#. $ara ello seleccionamos la recta L"y demos a la un )alor arbitrario, por
ejemplo % !, obteni;ndose el )alor de y.
! ' 1y ' - % *cuacin de la recta L"
!(!# ' 1y ' - % +ustituyendo para % !
' 1y ' - % *fectuando el producto
1y ' - % Aislando el t;rmino 1y
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= 'alor
La /%ta!./a "!tr" o% r".ta%
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1y % ! Dperando el segundo miembro
y %2
3 /espejamos y luego el punto $(", y"# es p(2, 23 ) .
La distancia desde el punto p(2, 23 ) a la recta L!, de ecuacin ! ' 1y & 3 % es:
d%2.23( 23 )+7 22+32
%
4+27 4+9
%
13 13
%
13.13
13 %
13
d% 13
*jemplo 1
4alcular la distancia m9nima que eiste entre el punto A(, 1# y la recta
1 & !y ' - % , una )e> obtenido el resultado graf9que.
+ustituimos )alores usando la siguiente formula:
d%Ax
1+By
1+C
A2+B2
d% 3 (4 )+2 (3)+(6)
(3)2+(2)2
d%12+66
9+4
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d%12
13
d%12
13 % 1,1
$rocedemos a graficar:
$rimero tabulamos para hallar los )alores para construir la recta:
para % para y%
1 & !y ' - %
1(# & !y ' - %
!y - %
!y % -
y %6
2 % 1
1 & !y ' - %
1 & !(# ' - %
1 ' - %
1% -
y %6
3 % !
8 1 !
(, 1# (!, #
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*jercicios propuestos:
"# 4alcular la distancia medida desde el punto medio del segmento que une
los puntos (1,!# y (, 0-# a la recta ' 1y & "! % !# @allar la ecuacin general de la recta L que pasa por la interseccin de las
rectas L": ! ' 1y ' "3 % E L!: 5 & y 08 % , y es perpendicular a la recta
de ecuacin L1: 5 ' y & " % .
'$>CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO
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La Circunferencia: es el lugargeomtrico de los puntos del plano ueeuidistan de un punto -.o llamadocentro#
La distancia constante de un puntocualuiera $ al centro se llama radio
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E.ua./0! " =a ./r.u!1"r"!./a:
4onsideremos un punto $(, y# de la circunferencia de centro 4(h, 7# y radio r.
$or definicin la distancia desde 4(h, 7# al punto $(, y# es siempre constante e
igual al radio r, pudi;ndose escribir:
d(4, $# % r. si epresamos esta distancia anal9ticamente, podemos escribir que:
(x h)2+(y k)2 % r
*le)ando al cuadrado a ambos miembros nos queda que:
*sta es la ecuacin de la circunferencia es
funcin de las coordenadas del centro y el radio. ambi;n es llamada
ecuacin ordinaria$A partir de ella, y por simple inspeccin, es posible obtener
las coordenadas del centro (, y# y la longitud del radio r
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(xh)2+(yk)2 ; r6
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+i el centro de la circunferencia coincide con el origen, se tendr que h % 7
% , pudi;ndose escribir la ecuacin as9:
( ' #! & (y ' #!% r!
! & y!% r!
*sta *cuacin es llamada forma cannica de la ecuacin de la
circunferencia o ecuacin reducidade la circunferencia.
Forma general de la ecuacin de la circunferencia:
ratemos de desarrollar la ecuacin de la circunferencia de centro (h, 7# yradio r para encontrar otra forma de epresar dicha ecuacin.
+abemos que la ecuacin, en funcin de las coordenadas del centro y el
radio, )iene epresada as9:
( ' #! & (y ' #!% r!
!' !h & h!& y!' !7y & 7!% r! /esarrollando los productos notables
!' !h & h!& y!' !y7 & 7!% r!% ransponiendo e igualando a cero
!& y!' !h ' !y7 & h!& 7!' r!% Drdenando con)enientemente
+i en la epresin anterior hacemos / % 0!h * % 0!7 6 % h!& 7!' r! nos queda:
*sta epresin representa la ecuacin general de la circunferencia
R".or"2o% =a .o2
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$ara hacer de !& b un cuadrado perfecto debemos sumar el cuadrado de la la
mitad del coeficiente de , es decir, sumar ( b2 )2
". resol)er por completacin de cuadrados !' 8 & "1 %
!' 8 % 0 "1 ransponiendo 0"1 al segundo miembro
!' 8 & "- % 0 "1 &"- +umando a ambos miembros ( b2 )2
( ' #!% 1 *l primer miembro es un cuadrado perfecto
' % F 3 *trayendo ra9> cuadrada en ambos miembros
% F 3 /espejamos
Part/"!o " =a ".ua./0! ?"!"ra= .02o "t"r2/!a2o% "= ra/o "! ."!tro "
u!a ./r.u!1"r"!./a
$artimos de la ecuacin general de la circunferencia
!& y! & / & *y & 6 % *cuacin general de la circunferencia
(!& y! #& (/ & *y# & 6 % Agrupando con)enientemente los t;rminos
(!& y! #& (/ & *y# % 0 6 Aislamos 6 en el segundo miembro
/ebemos ahora completar cuadrado en cada parntesis, de tal manera que cada
uno se transforme en un cuadrado perfecto. $ara ello debemos sumar a cada
par;ntesis el cuadrado de la mitad del coeficiente del segundo trminoy para que
no se altere debemos tambi;n sumarlo en el segundo miembro:
(x
2
+Dx
+
D2
4
)&
(y
2
+Ey
+
E2
4
)%
D2
4 &
E2
4 % 6
6actoricemos en el primer miembro y sumemos en el +egundo miembro,
transformndose en:
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(x+D4)2
+(x+D4)2
=D
2+E2+4F4 GGGG(H#
omemos la epresin ( 'h#!& (y ' 7#!% r!GGGG.(HH# si comparamos las
epresiones (H# (HH# se tendr que:
/e la epresin (4# r=1
2D2+E24F , de donde pueden considerarse tres
casos:
a# si D2+E24F I la ecuacin corresponde a una circunferencia de cuyo
centro es: (D2 ,E
2) y radio r=1
2D2+E24F
b# +i D2+E24F % se dice que la ecuacin representa a una circunferencia
de radio cero, donde las coordenadas del centro corresponde al punto
(D2 ,E2)
c# si /!& *!' 6 J se dice que la ecuacin corresponde a un circunferencia
imaginaria y por lo tanto, no tiene representacin real.
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D2+E2+4F
4=r2(y+E4)
2
=(yk)2(x+D4)2
=(xh)2
/n general:
oda ecuacin de una circunferencia de radio diferente de cero se puede
epresar de la forma
!& y! & / & *y & 6 %
slo cuando /!& *!' 6 I
+iendo (D2
,E2) las coordenadas del centro y el radio
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'$( LA PARBOLA EN EL PLANO CARTESIANO
*lementos de la parbola:
Des la directri>F es el foco
E@" Fo.a= o"@" " =a que pasa por el foco y el );rtice.
E= Vrt/."= es el punto de interseccin del eje con la parbola. *s el punto medio
de A6, punto medio entre el foco y la directri>.
E=
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E.ua./0! " =a Par34o=a
La ecuacin de la cnica de una parbola se obtiene cuando su eje coincide
con uno de los ejes coordenados y su );rtice est en el origen.
+ea el eje la recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directri>, es
decir, el eje de la parbola.
+ean:
!p: distancias entre directri> y foco
6(p, #: las coordenadas del foco.
A(p, #: coordenadas del ponto A
4ualquier punto $(, y# sobre la parbola est a la misma distancia del foco y de la
directri>, por lo que puede describirse, de acuerdo con la definicin, que:
d($, ?# % d($, 6# GGGGGGGGGGGGGGG....(H#
d($, ?# % d($, R# & d(R, ?
d($, ?# % & pGGGGGGGGGGGGGGG.. (HH#
d($, 6# % (xp )2+ (y0 )
2
% (xp )2+y2 G..(HHH#
+ustituyendo (HH# y (HHH# en (H# se tiene que:
& p % (xp )2+y2
+i ele)amos ambos miembros al cuadrado nos queda que:
(xp )2 % (xp )2+y2
/esarrollando los productos notables se tiene que:
! & !p & p!% !' !p & p!& y!
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232
L
L3
B
4
B3 53
43
5p
%
$$3
4 43
/esarrollando y simplificando obtenemos finalmente que:
y! % p
*sta y lo colocamos dentro de la cuerda, de tal manera que ;sta se mantenga
tensa. Al desli>ar el lpi> sobre el plano, siempre con la cuerda tensa,
obtendremos una elipse.
E="2"!to% " =a E=/
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B
y
$(x, y)
&
04(6c, 0) 43(c, 0)2(6a, 0) 23(a, 0)
Lo% Vrt/."%:son los puntos de corte del eje focal con la elipse. *llos son ="y =!.
E@" Maor o "@" quierdo 6", tambi;n es c.
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*sto indica que las coordenadas del foco 6"son (0c, # y las coordenadas
de 6! son (c, #.
La distancia entre los focos, 6"y 6"es !c.
Llamemos, por ultimo, !a la suma de las distancias desde un punto cualquiera $(,
y# de la elipse a las focos.
+i $(, y# es un punto cualquiera de la elipse, podemos escribir de acuerdo con la
definicin que:
Ctili>ando la frmula de la distancia entre dos puntos podemos escribir que:
(x+c)2+y2 & (x+c)
2+y2 % !a
+i procedemos a simplificar pasamos el primer t;rmino al segundo
miembro, quedndonos:
(xc )2+y2 % ! ' (x+c)
2+y2
*le)emos al cuadrado a ambos miembros y desarrollemos:
((xc)2+y2 )2
% (2a(x+c)2+y2 )2
( ' c#!& y!% a! ' a (x+c)2+y2 & ( &c#!& y!
/esarrollando y simplificando se tiene que:
!' !c & c!& y!% a!& (x+c)2+y2 & !& !c & c! & y!
0c ' a!% 0a (x+c)2+y2
6actori>ando se tiene que:
(c ' a!# % 0a (x+c)2+y2
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d ($, 6"# & d ($, 6!# % !a
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/i)idiendo ambos miembros entre 0 nos queda:
c ' a!% 0a (x+c)2+y2
*le)emos ambos miembros al cuadrado:
(c ' a!#!% 0a! [(x+c )2+ y2 ]
/esarrollando
!c!& !a!c & a% a!(!& !c & c!& y!#
!c!& !a! c & a% a!!& !a! c & a!c!& a!y!
+implificando se tiene que:
a& c!!' a!!' a! c!' a!y!%
Agrupando y factori>ando:
! (c!!' a!# ' a! y!% a! c!' a
(c!' a!# !' a! y!% a!(c!' a!#
Bultipliquemos por 0" en ambos miembros:
(a!' c!# !& a! y!% a!(a!' c!#
/i)idiendo ambos miembros entre a!(a!' c!# nos queda que:
x2
a2+
y2
a2c2
=1.(I)
4omo a I c, entonces a!I c!y as9 a!' c!I . +ea a!' c! % b!GGGG..(HH#.
Reempla>ando (HH# en (H# nos queda que:
x2
a2+y
2
b2=1a>b
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*sta es la ecuacin reducida de la elipse con centro en el origen de coordenadas
y eje focal coincidente con el eje .
*n forma anloga puede deducirse que si los focos estn sobre el eje y, con
coordenadas 6"(,c# y6!(, ' c# la ecuacin de la elipse es:
x2
b2+y
2
a2=1a>b
*sta ecuacin reducida de la elipse con centro en el origen de coordenadas y eje
mayor o eje focal coincidente con el eje y.
Dbser)aciones:
*jemplo:
x2
16+y
2
9=1
x2
9+y
2
25=1
Lao r".to "8."!tr/./a
Csemos la epresin siguientex
2
b2+y
2
a2=1 . *n ella tratemos de despejar y.
x2
b2+y
2
a2=1 %I
y2
b2=1 %I
x2
a2 %I
y2
b2=
a2x2
a2 = y!%
b2
a2 (a!' !#
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6 7i el denominador de x3es mayor ue el denominador de y3, entonces el e.e mayores paralelo al e.e x#
6 3 3
Como el 'alor a&soluto mayor corresponde al denominador dex3, los ocos est!n so&re el e.e x# /s 8ecir, e.e mayor paralelo ale.e x#
3 = = 3=
Como el 'alor a&soluto mayor corresponde al denominador dey3, los ocos est!n so&re el e.e y# /s 8ecir, e.e mayor paralelo ale.e y#
a3 = 3< a = < &3=
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4 42 2
a
y!%b2
a2 (a!' c!#
y!% Fb
a (a2 x
2) etrayendo ra9> cuadrada en ambos miembros
*)aluemos para % c abscisa del foco, quedando:
y!% Fb
a (a2 c
2)
y!% Fb
a b
2
porque b! % a!' c!
y!% Fb
a. b %I y % F
b2
a
*sta epresin representa la longitud del lado recto, la cual es !y.
Las coordenadas de los etremos del lado recto sern: (c , b2
a)y (c ,b2
a)
en toda elipse los focos estn
ubicados entre los );rtices y el centro, es
decir, J c J a.
+i c los focos tienden a ubicarse en
el centro de la elipse, tendiendo ;sta
hacia una circunferencia.
4uando c a, los focos tienden
hacia los );rtices y la elipse aplana.
odo esto sugiere, que la forma de
una elipse puede describirse en
t;rminos de la ra>n entre a y c.
Llegamos as9 al concepto de ecentricidad:
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y %2b
2
a
c
La ecentricidad e de una elipse se define como el cociente e %
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*s de notar que J e J " en toda elipse.
Pro4="2a%:
"# @allar la ecuacin de la elipse que tiene en (, -# y sus focos estn en (, # y
(, 0#
Solucin:
+i obser)amos la posicin de los focos notaremos que le centro de la elipse est
ubicado en el origen y el eje mayor coincide el eje y.
+u ecuacin ser:
x2
b2+y
2
a2=1(I)
4omo a! % b!& c!%I b!% a!' c!
b!% 1- ' "- %I b!% !
Luego reempla>ando a!% 1- y b!% ! en (H# tendr9amos que:
*ste c3= 3
c3= 21
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Luego:
Las coordenadas de los )ienen dadas por 6"% (21,0 ) y 6!% (21 ,0)
Las coordenadas de los );rtices son ="(5, # y =!(5, #
La longitud del lado recto )iene dada por y=2b
2
a =
2.22
5=
8
5
La ecentricidad e )iene dada como e=
c
a=21
5 =e=21
5
*jercicios propuestos:
"# $ara cada una de las ecuaciones de elipses dadas, determinar en cada
caso las coordenadas de los focos, la longitud del lado recto y la
ecentricidad.
a# 1!& !y!% - b#x
2
169+ y
2
144=1 c#)"-!& !5y!%
b# !!& 1y!% "! ex
2
64+ y
2
100=1
'$, LA IPRBOLA:
*s importante hacer notar las diferencias entre una elipse una hip;rbola:
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a3= 3< => a = & = 3
/s el lugar geomtrico de los puntos de un plano tales ue el 'alor a&soluto dela dierencia de sus distancias a dos puntos es una constante positi'a y menorue la distancia entre los ocos# Los puntos -.os son los ocos de la ?ipr&ola#
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C
42
C
02343 x
y
@
$ LB
E="2"!to% " =a /
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26/40
4 (c, 0)2
C
0
23
43 (c, 0)
@
$(x,y)
B
B3
3a
Cu"ra 1o.a=:es la cuerda que pasa por el foco. *n la figura, LR es una cuerda
focal.
Lao r".to: es la cuerda focal que se perpendicular al eje focal . *l lado recto es
LR.
/istancia focal: es la distancia entre los focos. +e representa por !c.
(6" 6! % !c#
Ra/o 1o.a=:es la distancia entre los focos. +e representa por !c. (6"6! % !c#
Ra/o ".tor"%:son los segmentos 6" $ y 6!, que unen los focos con un punto $
cualquiera de la hip;rbola.
E.ua./0! " =a /
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La diferencia !a ser positi)a si $ est en la rama de la i>quierda dela
hip;rbola y negati)a si $ est ubicado en la rama de la derecha.
Aplicando la ecuacin de la distancia entre dos puntos podemos escribir:
(x+c)2+y2(xc )
2+y2=2a
+i transponemos el radical sustraendo nos queda:
(x+c)2+y2=2a+(xc)
2+y2
/ebemos resol)er la ecuacin irracional ele)ando al cuadrado los dos miembros,
quedando:
(x+c)2+y2=4a2+4a(xc)2+y2+(xc)2+y2
/esarrollando y simplificando:
x2+2cx+c2+y2=4 a2+4 a(xc )
2+y2+x22xc+c2+y2
4 cx4 a2=4a(xc)2+y2
omando com
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Al simplificar nos queda:
c! !& a % a! y!& a! c! & a! y!
Agrupando:
c! !0 a!!0 a! y! % 0 a & a! c!
6actori>ando:
!(c!' a!# ' a!y!% a!(c!' a!#GGGGG.(H#
4omo c I a %I c!I a!%I c!0 a! %
La epresin c!' a!la representamos por b!, el cual siempre es positi)o, nos
queda que b
!
% c
!
' a
!
Reempla>ando en el epresin (H# el )alor de b!obtenemos:
!b!' a! y!% a!b!
/i)idiendo cada miembro entre a!b!nos queda:
x2
a2y
2
b2=1
/e igual forma es posible obtener la ecuacin siguiente:
y2
a2x
2
b2=1
ELABORADO POR EL PROF JESS MARTNEZ - DICIEMBRE 2015
*sta es la ecuacin de la hip;rbola en
su forma cannica, con centro en el
origen y el eje focal paralelo al eje .
*sta es la ecuacin de la hip;rbola en
su forma cannica, con centro en elorigen y el eje focal paralelo al eje y.
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Lao r".to " u!a /
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4omo es una longitud escribiremos:
y=
|2b
2
a
|
Co! "= "@" 1o.a=
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'$ FUNCIONES
Cna funcin f de un conjunto A en otro 2 es una relacin que permite
asociar a cada elemento de un subconjunto / de A, que llamaremos dominio de f,
un
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$rimero, eamina la grfica de puntos discretos. Los
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*n algunas situaciones slo uno de los dos, el dominio o el rango, est restringido.
4onsidera la grfica del )alor absoluto de la funcin, y% KxK. La l9nea se etiende
indefinidamente en ambas direcciones sobre el ejex, por lo que el dominio son todos los
n
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Cna funcin elemental es una funcin construida a partir de una cantidad finita de
funciones elementales fundamentales y constantes mediante operaciones
racionales (adicin, sustraccin, multiplicacin y di)isin#y la composicin de
funciones. Csando eponenciales, logar9tmicas, potenciales, constantes, y las
funciones trigonom;tricas y sus in)ersas, todas consideradas dentro del grupo de
funciones elementales fundamentales.
Fu!./o!"%
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f(# % 1& !' '
Aplicamos:
". 4alcule f(x ) para determinar si la grfica tiene alguna simetr9a
f(0 # %(' #1& ('#!' ('# '
% ' 1& !& '
% ' ( 1' !' & #
% f(# no hay simetr9a
!.calcule el intersecto f(0) en y.
Q%
f(# % (#1& (#!' (# '
% ' por lo tanto las intersecciones en y % (, 0 #
1. 6actorice el polinomio.
f(# % 1& !' '
(1& !# & (' ' #agrupamos
!(&"# ' ( ' "# aplicamos el factor com
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('!, # (!, # ('", #
5. race una recta num;rica. /etermine los signos algebraicos de todos los factores entre
los intersectos en . esto indicar dondef(x )>0
y dondef(x )
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0! 0" 0!
0
FUNCIONES EXPONENCIALES:
En muchos casos, el crecimiento de poblaciones tiene un comportamiento al transcurrir del tiempo
que puede describirse a tra);s de una funcin eponencial, que es una funcin del tipo:
4on , , . $or ejemplo, si , , , se obtiene la funcin
4uya representacin grfica en el plano cartesiano es:
+e puede obser)ar que la cur)a que representa a la funcin est contenida en el
semiplano de los pares ordenados tales que (el semiplano que est por encima del
eje de las abscisas#.
*sto es as9 porque para cualquier n
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6$- *l Rango de es el inter)alo y se representa en el eje de las ordenadas.
7$-
La cur)a que es la representacin grfica de est en el plano cartesianoporque est constituida por pares ordenados de n ms )elo>mente. *sta es la ra>n por la
cual se habla de un crecimiento eponencial
cuando se hace referencia a un crecimiento
muy acelerado. Cna representacin grfica
aproimada de la funcin en el
inter)alo es la siguiente:
ELABORADO POR EL PROF JESS MARTNEZ - DICIEMBRE 2015
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Fu!./0! Lo?art2/.a:
+ea dada por , la funcin eponencial de base !, y
sea la funcin definida as9:
si
es la llamada funcin in)ersa de , porque si es un n