Guia Practicas Bme-2012
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PRACTICA NRO. 1
LA ECUACIÓN GENERAL DE BALANCE
1. La Ecuación General de Balance
.
Esta ecuación es aplicable a cualquier sistema y para el balance de materia, el
balance de energía y el balance de momento.
Para un sistema específico se debe determinar cuales de los términos de la
ecuación general de balance deben considerarse y cuales no son aplicables.
Luego, cada término a incluir se tiene que expresar en forma matemática; es
decir, en función de las variables conocidas y las incógnitas.
Velocidad Velocidad Velocidad Velocidad Velocidad de de de de deAcumulación = Entrada - Salida + Generación - Consumo Dentro del hacia el desde el dentro del transporte Sistema Sistema Sistema Sistema través de interfases
ACU = E – S + G - C
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 2
Para el caso del balance de materia la ecuación general puede aplicarse a:
La masa total Balance global
El total de moles Balance global
La masa de un componente específico Balance por componente
Los moles de un componente específico Balance por componente
De acuerdo al sistema y a las suposiciones que se hagan, los balances anteriores
pueden expresarse en términos de masa, de volumen o de concentraciones.
Para aplicar la ecuación de balance debe definirse claramente el sistema sobre
el cual se realiza el balance.
Si un sistema tiene n componentes, entonces se pueden formular n balances de
materia independientes, conformándose un sistema de n ecuaciones que se
resuelven simultáneamente.
El sistema de ecuaciones puede estar constituidos por:
los n balances de cada componente
o por el balance global y n -1 balances por componente.
Acumulación: Se refiere al aumento o disminución de material dentro del
sistema a lo largo del tiempo
Si hay aumento se tiene una acumulación positiva
Si hay disminución se tiene una acumulación negativa
La acumulación se expresa en forma de una derivada respecto al tiempo:
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 3
dmdt
Acumulación positiva de la masa m
−dC A
dt
Acumulación negativa de la concentración del componente A
Generación: Incluye la producción o consumo de material por una reacción
química o bioquímica
Si hay producción se tiene una generación positiva
Si hay consumo se tiene una generación negativa
No todos los términos de la ecuación se aplican a todos los sistemas
Si Acu = 0 la ecuación queda como 0 = E – S + G - C
Si además G = 0 y C = 0 0 = E – S
Si E = 0 la ecuación queda como ACU = - S + G – C
Si además S = 0 y C = 0 ACU = G
En general: Si ACU = 0 el sistemas esta en Estado Estacionario
Si ACU 0 el sistema está en Estado No Estacionario
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 4
Formulación de la Ecuación del Balance Global
En el balance global no se considera el término de generación. La masa total no
varía por la reacción química. Puede haber paso de una forma química a otra
pero la cantidad total de masa no aumenta ni disminuye.
La ecuación es ACU = E – S – C
Para obtener la ecuación general se toma un periodo de tiempo muy pequeño,
de duración t, denominado tiempo diferencial.
Inicio del periodo t
Fin del periodo t + t
Acumulación = Masa total dentro del sistema al final del periodo – masa
total dentro del sistema al inicio del periodo
ACU=m|t+ Δt−m|t
Entrada E = met me : Flujo másico de entrada Kg./min.
Salida S = mstms : Flujo másico de salida
Consumo por interfase: C = rct rc : Velocidad de consumo a través de una
superficie de interfase Kg/min
Remplazando en la ecuación general:
m/ t + t – m/t = met - mst - rct
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 5
Si se divide entre t y se lleva al límite
LimΔt →0
=m /t+ Δt −m / t¿
Δt=me−ms−r c ¿
Aplicando la definición de derivada
dmdt
=me−ms−r c
Si en el sistema no ocurre transferencia de interfase:
dmdt
=me−ms
Si el sistema es sencillo y no ocurre acumulación
0=me−m s
me=ms
Formulación de la Ecuación de Balance por Componente
Si se toma un periodo de tiempo diferencial t
Acumulación de A en el tiempo: mA/ t + t – mA/t
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 6
Entrada del componente A meAt
Salida del componente A msAt
Generación del componente A rgAt
Consumo del componente A por interfase rcAt
Remplazando en la ecuación general:
mA/ t + t – mA/t = meAt - msAt + rgAt - rcAt
Llevando al límite, dividiendo entre t y aplicando la definición de derivada se
obtiene la ecuación general del balance para un componente
dm A
dt=meA−msA +rgA−r cA
dmA
dt
Indica la velocidad de cambio de masa del componente A
dentro del sistema
meA, msA, rgA, rcA Pueden ser constantes en el tiempo ( no varían en el
tiempo)
o pueden ser función del tiempo ( varían en el tiempo)
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 7
Con frecuencia los problemas de balance conducen a un conjunto de ecuaciones
que deben ser resueltas simultáneamente. En este caso deben cumplirse las
siguientes condiciones:
El número de incógnitas debe ser igual al número de ecuaciones
independientes
Por lo regular (aunque no siempre) para mezclas, en ausencia de
reacciones químicas, el número de balances de materia independientes
( ecuaciones independientes) es igual al número de componentes de la
mezcla.
Si se tienen más ecuaciones que incógnitas dice que el problema esta
sobreespecificado y se tendrán infinitas soluciones
Si se tienen menos ecuaciones que incógnitas dice que el problema
esta subespecificado
Grados de Libertad (F): es la diferencia entre el número de incógnitas (I) y el
número de ecuaciones (E)
F = I – E
Si F > 0 No hay solución. Se requieren F ecuaciones
adicionales para obtener una solución única o se deben
especificar o fijar el valor de F incógnitas
Si F < 0 Exceso de ecuaciones. Soluciones infinitas
Si F = 0 Problema bien especificado. Se tiene una solución
única.
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 8
2. Problemas Propuestos
2.1 Para los sistemas siguientes:
a) Preparar un diagrama indicando las corrientes de entrada y salida, las
variables y sus unidades
b) Indicar si el sistema esta en estado estacionario o en no estacionario.
2.1.1 Para preparar una solución de ácido sulfúrico al 50% se refuerza un ácido
diluido al 28% con un ácido concentrado que contiene 96% de ácido sulfúrico.
Cuantos Kg de ácido concentrado se tienen que comprar por cada 100 Kg de
ácido diluido
2.1.2 Una corriente de 1000 Kg/Hr que contiene 10% de alcohol, 20% de
azúcar y el resto agua, se mezclan con 2000 Kg/Hr de una corriente con 25% de
alcohol, 50% de azúcar el resto de agua. Cual será la composición de la mezcla
resultante
2.1.3 Se utiliza un evaporador para concentrar soluciones de azúcar de caña.
Cuando se tratan 10,000 Kg/día de una solución al 38% en peso de azúcar se
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 9
obtiene una solución concentrada con 74% en peso de azúcar. Calcular el peso
de azúcar de la solución concentrada y la cantidad de agua evaporada
2.1.4 La carne de pescado es utilizada como suplemento proteínico. El proceso
extrae primeramente el aceite para obtener un producto con 80% en peso de
agua., esta torta húmeda es secada en un tambor rotatorio y la torta seca
contiene 40% de humedad. Finalmente la torta es finamente molida y envasada.
Calcular los Kg/Hr de torta húmeda que se requieren para producir 10,000
Kg/Hr del producto final.
2.1.5 Los frijoles de soya se procesan en tres etapas. En la primera entran
10,000 Kg de frijoles con 35% en peso de proteína, 27% de carbohidratos,
9.4% de fibra y cenizas, 10.5% de agua y 18% de aceite. Se muelen y prensan
para eliminar parte del aceite, saliendo la torta con 6% en peso de aceite.
En la segunda etapa, los frijoles prensados se extraen con hexano para producir
un frijol con 0.5% en peso de aceite.
En la última etapa, los frijoles se secan para dar un producto con 8% de agua en
peso. Calcular:
a) Los Kg de frijoles prensados obtenidos en la primera etapa.
b) Los Kg de frijoles salientes de la segunda etapa
c) Los Kg de frijoles secos de la tercera etapa y el porcentaje de proteínas que
contienen.
2.1.6 Un tanque contiene inicialmente 100 Kg de sal disuelta en 1500 lt de
agua. En un instante dado se bombea una solución salina a razón de 15 lt/min
con una concentración de 0.25 Kg/lt. Asumiendo que el tanque esta
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 10
perfectamente agitado, determinar la cantidad de sal a distintos tiempos si es
que simultáneamente se tiene una salida de 10 lt/min
2.1.7 Un fluido con una concentración de 0.5 moles de A/m 3 es alimentado a
un reactor tipo tanque agitado a razón de 2 m3/min. Del mismo tanque sale una
corriente de 2 m3/min. En el tanque el componente A se descompone por una
reacción de primer orden:
→ con r = -KCA
donde r es la velocidad de reacción en moles/tiempo-vol.
Inicialmente el tanque contenía 10 m3 de una solución con una concentración
de 0.2 mol/m3. Asumiendo que el tanque está perfectamente agitado, hallar
a) Una ecuación que permita determinar la concentración del componente A en
cualquier tiempo t.
b) Graficar la concentración de A vs t
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 11
PRACTICA NRO. 2
FORMULACIÓN DE BALANCES DE MATERIA: ESTADO ESTACIONARIO
1. Balance de Materia
Los balances de materia son la aplicación de la Ley de Conservación “La
materia no se crea ni se destruye”. Este enfoque excluye a los procesos con
transformaciones nucleares.
Si se supervisa, se diseña o si se optimiza una planta completa o una sección de
ella o solamente un equipo, haya algunas preguntas básicas que deben
plantearse:
Que cantidad total de materia prima se requiere que ingrese al sistema
Que cantidad de cada materia prima se requiere que ingrese al sistema
Que cantidad total de productos salen del sistema
Que cantidad de cada producto sale del sistema
Que cantidad de subproductos salen del sistema
Que cantidad de pérdidas se tienen
Cual es la composición de cada una de las corrientes de entrada y salida en
diversos puntos del sistema
Que cantidad de agua caliente se requiere
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 12
Que cantidad de vapor se necesita
Que cantidad de aire caliente se necesita
Cuanto de petróleo se consume
Cual es la temperatura en la corriente de entrada y en la corriente de salida
Cuáles son las temperaturas dentro del sistema
Todas estas preguntas y otras adicionales se responden planteando y
resolviendo balances de materia y energía.
El balance de materia es el primer cálculo obligado en la resolución de los
problemas de ingeniería, sean éstos simples o complejos. El balance de materia
proporciona información muy útil para comprender el comportamiento del
proceso.
2. Resolución de Problemas
Uno de los objetivos del curso es aprender a
formular y resolver problemas de balance de
materia y energía. (BM y E). La formulación
y la resolución deben hacerse siguiendo un
procedimiento ordenado y lógico. El
propósito es desarrollar una metodología
que se aplique a todo tipo de problema.
Desarrollar esta metodología implica ejercitar nuestras capacidades de razonar
y analizar.
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 13
La resolución de problemas de balance de materia y energía no es una actividad
mecánica, no es memorística, sino que es razonamiento, uso de lógica y sentido
común.
ES ANALIZAR, ES APRENDER A PENSAR
Habilidades que Deben Adquirirse para Resolver Problemas
Formular preguntas específicas sobre el problema
Seleccionar estrategias efectivas de resolución de problemas
Decidir cuando es suficiente una solución aproximada en lugar de la
solución exacta
Estimar ordenes de magnitud para evaluar las respuestas
Juzgar la validez del trabajo de otros
Usar tablas, gráficos, calculadoras y computadoras para obtener, organizar
e interpretar resultados
Estrategia de Solución de Problemas
I. Definir el Problema
Consiste en determinar claramente lo que se busca. Para ello se requiere:
Leer completa y detenidamente el enunciado del problema para darnos
cuenta de toda la información disponible y determinar la información
faltante que debe buscarse en la bibliografía y cual debe calcularse
Preparar un diagrama del sistema indicando
Todas las corrientes de entrada y salida
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 14
Todas las variables conocidas. Usar símbolos, valores y
unidades
Todas las incógnitas
Se debe usar una simbología uniforme para todos los problemas.
El diagrama debe ser simple y muy legible (cualquier persona debe ser capaz de
entenderlo)
II. Analice y Piense el Problema
Piense hasta darse cuenta de lo que esta sucediendo en el sistema
Pregúntese y responda porque el sistema tiene ese comportamiento, que
variables o factores provocan tal comportamiento, que lo causa y que
consecuencias se tienen. Que requisitos o condiciones deben darse o
cumplirse para que ocurra dicho comportamiento
Que conceptos, teorías, principios y ecuaciones pueden aplicarse.
Que simplificaciones pueden hacerse
Anteriormente se resolvió un problema parecido? En que son iguales, en
que son diferentes
Exprese el problema en sus propias palabras. Trate de enunciarlo de
distinta manera.
Cuales son la variables independientes y cuales son las dependientes
Trate de formular preguntas de la forma que pasa si...? es posible que...?
III. Formule el Plan de Solución
Que cálculos deben hacerse
En que orden deben hacerse. Cual es la ecuación de partida. Se debe
calcular hacia delante o hacia atrás. Prepare un algoritmo de solución
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 15
Hay cálculos independientes, concatenados en paralelo. Son directos o
iterativos
Cual es la base de cálculo
El problema puede subdividirse en problemas más pequeños. Cuales son
esos subproblemas
Defina los métodos matemáticos a utilizar
Se requiere calculadora o computadora. Que tipo de software: Excel,
matlab, un lenguaje de programación, un paquete o escribirá su propio
programa?
V. Calcule
Revise errores de digitación
Revise unidades
Revise signos
Si hay bloqueo
Determine cuales son las posibles causas.
Trabaje en sentido contrario.
Hay alguna restricción incorrecta, faltante, sobrante?
Falta un dato, está implícito?
Falta una ecuación, es dimensionalmente correcta?
Establezca que cosas con correctas y cuales no
No se desespere
Trate un nuevo enfoque
Repase las etapas anteriores
V. Revise y Generalice
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 16
¿Los resultados son razonables? ¿ Como se pueden verificar?
¿Las restricciones fueron satisfechas?
¿Que errores se cometieron?
¿Que falsos razonamientos se tuvieron?
¿Se podría resolver de otra manera? Como se podría resolverlo más
rápido?
¿Que variantes y modificaciones se podrían hacer al problema? Sería más
fácil o más difícil
¿Se podrían crear problemas semejantes?
¿Que es lo que se debería memorizar para mejorar nuestra capacidad y
velocidad?
3. Balance de Materia en Estado Estacionario
La ecuación general de balance de materia es:
Cuando no hay acumulación el sistema se encuentra en estado estacionario y la
ecuación general de balance se simplifica a:
Con frecuencia no es necesario incluir el término de consumo:
La ecuación anterior describe el balance de materia para un sistema en estado
estacionario con reacción química.
Si no hubiera reacción química se tiene la conocida relación:
ACU = E – S + G - C
0 = E – S + G - C
0 = E – S + G
0 = E – S
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 17
Normalmente se le encontrará como:
Cuando se formula el balance de materia en torno a sistemas en estado
estacionario, se obtienen ecuaciones algebraicas, las que con frecuencia serán
lineales. En caso de aquellos sistemas con reacción química, dependiendo del
orden de la reacción, se podrían tener ecuaciones algebraicas no lineales.
3. Problemas Propuestos
Resolver manualmente y paso a paso los siguientes problemas
3.1 Se utiliza un evaporador para concentrar soluciones de azúcar de caña.
Cuando se tratan 10,000 Kg/día de una solución al 38% en peso de azúcar se
obtiene una solución concentrada con 74% en peso de azúcar. Calcular el peso
de azúcar de la solución concentrada y la cantidad de agua evaporada.
3.2 La carne de pescado es utilizada como suplemento proteínico. El proceso
extrae primeramente el aceite para obtener un producto con 80% en peso de
agua., esta torta húmeda es secada en un tambor rotatorio y la torta seca
contiene 40% de humedad. Finalmente la torta es finamente molida y envasada.
Calcular los Kg/Hr de torta húmeda que se requieren para producir 10,000
Kg/Hr del producto final.
3.3 Los frijoles de soya se procesan en tres etapas. En la primera entran
10,000 Kg de frijoles con 35% en peso de proteína, 27% de carbohidratos,
E = S
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 18
9.4% de fibra y cenizas, 10.5% de agua y 18% de aceite. Se muelen y prensan
para eliminar parte del aceite, saliendo la torta con 6% en peso de aceite.
En la segunda etapa, los frijoles prensados se extraen con hexano para producir
un frijol con 0.5% en peso de aceite.
En la última etapa, los frijoles se secan para dar un producto con 8% de agua en
peso. Calcular:
a) Los Kg de frijoles prensados obtenidos en la primera etapa.
b) Los Kg de frijoles salientes de la segunda etapa
c) Los Kg de frijoles secos de la tercera etapa y el porcentaje de proteínas que
contienen.
3.4 En un proceso de ósmosis inversa se reduce la concentración de sal en el
agua hasta niveles potables, figura 1. La unidad de ósmosis inversa
produce agua con una concentración de 100 mgr de sal /lt. Determine la
alimentación a la unidad en lt/seg y la concentración de la sal en la
salmuera y resto de corrientes en mgr/lt
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 19
3.5 El azúcar refinada (sacarosa) se puede convertir en glucosa y fructosa
mediante el proceso de inversión:
La mezcla de glucosa y fructuosa se denomina azúcar invertido. Si ocurre una
conversión del 90% de la sacarosa en una pasada por el reactor ¿Cual será el
flujo de reciclaje por cada 100 Kgr de alimentación fresca?
¿Cual será la concentración del azúcar invertido (I) en el flujo de reciclaje y
en el flujo del producto? Las concentraciones de los componentes en el flujo de
reciclaje y en flujo del producto son las mismas
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 20
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 21
PRACTICA NRO. 3
FORMULACIÓN DE BALANCES DE MATERIA: ESTADO NO ESTACIONARIO
1. Balances en Estado No Estacionario
Hasta el momento se han revisado problemas en estado estacionario (es decir,
sin incluir el término de acumulación) pero las situaciones en que el sistema se
encuentra en estado no estacionario también son frecuentes.
Definición: Un sistema se encuentra en estado no estacionario cuando al
menos una de las variables varía con el tiempo.
Balance Global
En la figura siguiente, por simple inspección se puede afirmar que a medida
que transcurre el tiempo el volumen del líquido aumenta, entonces el volumen
varía con el tiempo y se dice que el volumen es función del tiempo:
V =Ψ ( t ) V (t )
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 22
En la figura anterior, por simple inspección se puede afirmar que a medida que
transcurre el tiempo el volumen del líquido aumenta, entonces el volumen varía
con el tiempo y se dice que el volumen es función del tiempo:
V =Ψ ( t ) V (t )
En el ejemplo anterior F1 y F2 son constantes en el tiempo. También puede
darse el caso en el que F1 y/o F2 varían con el tiempo, esto permite la
existencia de una acumulación y por lo tanto el sistema se encuentra en estado
no estacionario.
Anteriormente se dedujo la ecuación de balance global:
dmdt
=me−ms−r c
0
50
100
150
200
0 2 4 6
t (hr)
V (lt
) Vo
F1 = 80 lt/min
V (0) = Vo ltV
F2 = 70 lt/min
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 23
Si se asume que no hay consumo de masa por las interfases, se tendría:
dmdt
=me−ms
Esta ecuación puede expresarse de diversas maneras. Si
Densidad del fluido en el tanque
e Densidad del fluido de entrada
s Densidad del fluido de salida
F1 Flujo volumétrico en lt/seg
F1 Flujo volumétrico en lt/seg
Se cumple que:
m=ρV me=ρe F1 ms=ρ s F2
y por lo tanto se tiene:
d ( ρV )dt
=ρe F1−ρs F2
[1]
Si se asume que las soluciones son diluidas, entonces las densidades son
aproximadamente iguales y constantes en el tiempo:
d (V )dt
=F1−F2
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 24
y las condiciones iniciales t = 0 V = V0
Que nos indica que la variación del volumen en el tanque se debe a la
diferencia de los flujos de entrada y salida.
Las condiciones iniciales señalan que en el tanque se tenía un volumen de
fluido igual a V0 y que a medida que pasa el tiempo este volumen cambia
Se podrán tener tres casos:
F1 > F2
F1 < F2
F1 = F2
Al integrar se tiene:
dV =( F1−F2) dt
V=( F1−F2) t+ I
Siendo I una constante de integración. Al aplicar las condiciones iniciales
V=V 0+( F1−F2 ) t
Se debe recordar que esta ecuación es válida si las densidades son
aproximadamente iguales y constantes en el tiempo.
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 25
Si la densidad no es constante en el tiempo se tendría que la ecuación [1] al
efectuar la derivada del producto queda como:
ρd (V )
dt+V
d ( ρ )dt
=ρe F1−ρs F2
Balance por Componente
La ecuación general de balance por componente es:
dm A
dt=meA−msA +rgA−r cA
Si se asume que no hay reacción química ni consumo por interfase:
dm A
dt=meA−msA
La masa del componente dentro del sistema se expresa en función de la
concentración y el volumen, mientras que la masa de entrada del componente
puede expresarse en términos de la concentración del componente en la entrada
y del flujo volumétrico:
m=CV me=C1 F1 ms=C2 F2
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 26
de modo que la ecuación de balance queda como:
d (CV )dt
=C1 F1−C2 F2
Si se asume que el sistema esta perfectamente mezclado la concentración
dentro del sistema es igual a la concentración de la salida y por tanto
d (CV )dt
=C1 F1−CF 2
Si el flujo de entrada es igual al flujo de salida, el volumen es constante e igual
al volumen inicial V0, y puede salir de la derivada y pasar al otro miembro de la
ecuación:
dCdt
=F1
V 0
C1−F2
V 0
C
Pero si el volumen no es constante se tiene la derivada de un producto de
funciones del tiempo, por lo tanto se tiene:
VdCdt
+CdVdt
=C1 F1−CF 2
[2]
Cuando el volumen no es constante, el balance global informa que:
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 27
V=V 0+( F1−F2 ) td (V )
dt=F1−F2
al reemplazar estas dos ecuaciones en la ecuación [2 ]
se tiene:
[V 0+( F1−F2 ) t ] dCdt
+C ( F1−F2)=C1 F1−CF 2
[V 0+( F1−F2 ) t ] dCdt
+C ( F1−F2)=C1 F1−CF 2
al reordenar:
dCdt
=F1
V 0+( F1−F2) t (C1−C )
2. Problemas Propuestos
Resolver manualmente y paso a paso los siguientes problemas
2.1 Un tanque con capacidad de 1500 lt contiene 300 lt de leche. Si se
alimentan 20 lt/min de leche y simultáneamente se descargan 12.5 lt/min
calcular el tiempo de llenado del tanque.
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 28
2.2 Un tanque contiene inicialmente 100 Kg de sal disuelta en 1500 lt de agua.
Se bombea una solución salina a razón de 15 lt/min con una concentración de
0.25 Kg/lt. Asumiendo que el tanque esta perfectamente agitado, determinar la
cantidad de sal a distintos tiempos si es que se tiene una salida de 10 lt/min.
3.3 Se tiene un tanque con 200 lt de una solución con 80 gr//lt de componente.
Si al tanque se le alimenta con un flujo que no es constante en el tiempo, sino
que varía linealmente: F1 = 1 + 5t (lt/min).
a) Formule la educación diferencial que debe resolverse.
b) Indique como se resolvería dicha ecuación diferencial
3.4 Una planta de tratamiento de aguas residuales tiene un tanque de
almacenamiento con una capacidad de 100,000 mil gal. Inicialmente, el tanque
esta lleno hasta las tres cuartas partes de su volumen con un líquido que
contiene 60000 lb de material orgánico en suspensión. Se introduce agua en el
tanque a razón de 20,000 gal/hr y el líquido sale a razón de 15,000 gal/hr
¿Cuánto material orgánico quedará al cabo de tres horas?
3.5 Un fluido con una concentración de 0.5 moles de A/m3 es alimentado a un
reactor tipo tanque agitado a razón de 2 m3/min. Del mismo tanque sale una
corriente de 2 m3/min. En el tanque el componente A se descompone por una
reacción de primer orden:
→ con r = -KCA
donde r es la velocidad de reacción en moles/tiempo-vol.
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 29
K = 0.1
Inicialmente el tanque contenía 10 m3 de una solución con una concentración
de 0.2 mol/m3. Asumiendo que el tanque está perfectamente agitado, hallar
a) Una ecuación que permita determinar la concentración del componente A en
cualquier tiempo t.
b) Graficar la concentración de A vs t
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 30
PRACTICA NRO. 4
BALANCES DE MATERIA CON EXCEL: FUNCIONES MATRICIALES
1. Herramientas Computacionales en Ingeniería.
Son muchas las herramientas computacionales o software que pueden usarse
en ingeniería y que de manera general se podrían clasificarlas en:
1.1 HOJAS DECALCULO
La más representativa es Excel que se ha convertido en una de las herramientas
más útiles y comunes en el trabajo de los Ingenieros de Procesos debido a que
se ha hecho más fácil de usar y es más potente.
Las hojas de cálculo se usan cuando se requieren resultados rápidamente y el
problema bajo análisis es poco complejo.
Sus características principales son:
Corto tiempo de aprendizaje. Prácticamente se pueden desarrollar
aplicaciones de manera inmediata
Flexibilidad para manejar gráficos. Rápidamente los datos pueden ser
representados en distintos tipos de gráficos, además se actualizan
automáticamente al cambian los datos
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 31
Incorporación de numerosas funciones matemáticas, estadísticas y
financieras que facilitan y que han aumentado tremendamente el poder
de cálculo.
1.2 LENGUAJES DE PROGRAMACION
Se podrían mencionar desde el Basic, Pascal, C++, Fortran hasta los más
evolucionados como Visual Basic, Visual C, etc.
Sus características principales son:
Requieren de un periodo de aprendizaje para manejarlos.
Una vez que se escribe un programa es necesario un trabajo de
refinamiento para detectar errores de codificación y asegurar su
funcionamiento correcto.
Cuando el programa está depurado permite trabajar en forma no
interactiva, es decir sin la intervención directa del programador.
Se usan cuando la complejidad de los problemas es tal que no se pueden
manejarlos con una hoja de cálculo o cuando el problema tiene que ser
resuelto de manera repetitiva y automática.
1.3 SOFTWARE ESPECIALIZADO
Se tiene un grupo de paquetes que están orientados a la matemática y estadística
como Matlab, Mathcad, Statistics, etc. Los que han sido diseñados para atacar
situaciones matemáticas y estadísticas comunes en Ingeniería con mayor
facilidad que el software de uso general.
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 32
Otro grupo es algo más específico e incluye a Labview, Simulink y otros que
manejan más fácilmente los cálculos de procesos. Algunos de ellos ponen fuerte
énfasis en el control automatizado del proceso.
Polymath, que es un utilitario muy especifico para la resolución de ecuaciones
algebraicas y ecuaciones diferenciales ordinarias, su gran ventaja es su facilidad
de uso, lo que lo ha hecho muy extendido en el ámbito universitario
internacional
1.4 SIMULADORES COMERCIALES
A nivel comercial se encuentran dos grandes categorías de simuladores:
Simuladores de Propósito General que pueden utilizarse como
herramientas para el diseño conceptual de numerosos procesos,
manejando diversidad de operaciones unitarias y sustancias químicas.
Ejemplos de ellos son Hysys, actualmente denominado Aspen Hysys
también se puede mencionar a Chemcad
. Simuladores Específicos, es decir orientados a la simulación en un
área muy específica, dígase, reactores, columnas de destilación, redes
de tuberías, etc.
CHEMCAD
Con ChemCad se puede estudiar y calcular los balances de masa, los
requerimientos de energía, los equilibrios químicos y de fases, el
comportamiento de equipos complejos, el dimensionamiento de equipos, etc.
Dispone de numerosos modelos termodinámicos y una amplia base de datos
para las propiedades de más de mil compuestos químicos
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 33
ASPEN HYSYS
Aspen HYSYS es una herramienta para el modelamiento conceptual, para la
optimización, y monitoreo de rendimiento de la industria del gas, del petróleo,
del aire, industrias químicas y de separación.
Originalmente propiedad de HYPROTECH, fue adquirida por ASPENTECH
y actualmente es un componente central del paquete integrado ASPEN ONE.
Aspen Hysys tiene una base de datos para el cálculo de propiedades físicas,
termodinámicas y de transporte y para el comportamiento de fases. Igualmente
posee una extensa librería de modelos para las operaciones unitarias.
COMSOL
Comsol es un programa interactivo para el modelamiento y resolución de
variados problemas de ingeniería basados en ecuaciones diferenciales parciales.
El usuario de Comsol puede formular sus propias ecuaciones diferenciales
parciales, o puede utilizar los modelos prediseñados. Comsol cuenta con una
extensa librería de modelos, los cuales pueden ser adaptados, modificados,
expandidos, etc. para satisfacer necesidades específicas
1.5 GRAFICADORES
Como Visio, Solid Works, Corel Draw, Autocad, etc que permiten la
elaboración de diagramas de bloques, representación en 3D de equipos,
preparación de planos, etc. Los mismos que los ingenieros deben dominar de
acuerdo a sus necesidades.
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 34
2. Excel.
A medida que pasan los años Excel, es cada vez más usado en el campo de la
Ingeniería, porque en sus nuevas versiones ha incorporado más herramientas
estadísticas, matemáticas y de programación.
Dependiendo de la naturaleza de las ecuaciones involucradas en los problemas
de ingeniería, Excel puede resolverlas mediante:
Hojas de cálculo que incluyen funciones matriciales
Función objetivo
Solver.
APLICACIONES CON FUNCIONES MATRICIALES
Muchos problemas de balance en estado estacionario se describen mediante un
sistema de ecuaciones algebraicas lineales. Si se tienen m ecuaciones con m
incógnitas el sistema se representaría como:
Donde:
aij: Coeficientes
a11 X1+a12 X 2+a13 X3+.. .. a1m Xm=C1
a21 X1+a22 X2+a23 X3+. .. a2m Xm=C2
a31 X1+a32 X2+a33 X3+. .. a3m Xm=C3
⇓ ⇓ ⇓am
1X1+am 2 X2+am 3 X3+. .. amm Xm=Cm
mmmmm3 m21
333m333231
222m232221
11m1131211
C X ...a aa am
C X ...a a a a
C X ...a a a a
C X a.... a a a
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 35
Xi: Incógnitas
Ci: Términos independientes
Como se dijo anteriormente el sistema de ecuaciones se puede representar
matricialmente:
En notación matricial se tiene:
[ A ] [ X ]=[ C ]
El sistema matricial se puede resolver por diversos métodos
METODO DE LA MATRIZ INVERSA
En este método se multiplica a toda la ecuación matricial por la matriz inversa:
[ A ]−1 [ A ] [ X ]=[ A ]−1 [ C ]
Y como el producto de una matriz por su inversa es igual a la matriz identidad
se tiene.
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 36
[ I ] [ X ]=[ A ]−1 [ C ]
A su vez, el producto de la matriz identidad por una matriz es igual a la misma
matriz, entonces se tienen lo siguiente:
[ X ]= [ A ]−1 [C ]
En consecuencia, se debe hallar la inversa de la matriz de coeficientes y luego,
multiplicarla por la matriz de los términos independientes, para obtener los
valores de la matriz de incógnitas, resolviendo así el sistema de ecuaciones.
Se disponen de varios métodos para hallar la matriz inversa. Igualmente se
podría usar una hoja de cálculo como Excel o lenguajes de programación como
Visual Basic, Matlab, Mathcad u otro software
En Excel se tienen varias funciones matriciales que facilitan el manejo de las
ecuaciones matriciales.
MINVERSA(rango de celdas)
Devuelve la matriz inversa de una matriz
Para utilizar MINVERSA se procede como sigue:
Escribir los elementos de la matriz de coeficientes
Seleccionar un conjunto de celdas de igual tamaño que el de la matriz de
coeficientes
En la barra de fórmulas de Excel escribir MINVERSA( rango de celdas)
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 37
En (rango de celdas) se coloca el rango de celdas de Excel que contienen
los elementos de la matriz de coeficientes
Presionar simultáneamente las teclas CTRL MAYUSCULAS ENTER
MMULT(rango de celdas 1; rango de celdas 2)
Efectúa el producto de dos matrices.
Para utilizar MMULT se procede como sigue:
Escribir los elementos de la matrices a multiplicar
Seleccionar un conjunto de celdas de tamaño apropiado para la matriz
resultante.
En la barra de fórmulas de Excel escribir MMULT( rango de celdas 1;
rango de celdas 2)
En (rango de celdas 1; rango de celdas 2) se colocan los respectivos rangos
de celdas de Excel que contienen a las matrices a multiplicar
Presionar simultáneamente las teclas CTRL MAYUSCULAS ENTER
METODO DE LA MATRIZ AMPLIADA
Se parte del sistema matricial
mmmmm3 m21
333m333231
222m232221
11m1131211
C X ...a aa am
C X ...a a a a
C X ...a a a a
C X a.... a a a
mmmm3 m21m
33m333231
22m232221
1m1131211
C ...a aa a
C ...a a a a
C ...a a a a
C a.... a a a
m
3
2
1
X ...1 0 0 0
X ...0 1 0 0
X ...0 0 1 0
X 0.... 0 0 1
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 38
La matriz de coeficientes es ampliada para incluir a los términos independientes
Efectuando operaciones adecuadas sobre esta matriz ampliada, se le debe
transformar a la matriz identidad.
Donde los elementos de la matriz de coeficientes se han transformado en ceros
excepto los de la diagonal principal que son iguales a uno. Mientras que los
términos independientes toman otros valores que corresponden a los valores de
las incógnitas.
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 39
Hay varios métodos para resolver la matriz ampliada como el de Gauss Jordan,
eliminación triangular, etc. Los mismos que se han implementado en distintos
lenguajes de programación.
3. Ejemplos Ilustrativos
Como ilustración del uso de Excel para la resolución de balance de masa
tomaremos el problema
3.1 Los frijoles de soya se procesan en tres etapas. En la primera entran 10,000
Kg de frijoles con 35% en peso de proteína, 27% de carbohidratos, 9.4% de
fibra y cenizas, 10.5% de agua y 18% de aceite. Se muelen y prensan para
eliminar parte del aceite, saliendo la torta con 6% en peso de aceite.
En la segunda etapa, los frijoles prensados se extraen con hexano para producir
un frijol con 0.5% en peso de aceite.
En la última etapa, los frijoles se secan para dar un producto con 8% de agua en
peso. Calcular:
a) Los Kg de frijoles prensados obtenidos en la primera etapa.
d) Los Kg de frijoles salientes de la segunda etapa
e) Los Kg de frijoles secos de la tercera etapa y el porcentaje de proteínas que
contienen.
Como se vio anteriormente la resolución de este problema requiere el
planteamiento de varios balances. Las ecuaciones resultantes son:
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 40
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 41
Alrededor del prensado:
Balance global: F1 = F2 + F3
10000 = F2 + F3
Balance para el aceite F1 A1 = F2 + F3A3
1800 = F2 + 0.06F3
Alrededor de la extracción
Balance global: F3 = F5 + F6
Balance para el aceite F3 A3 = F5 + F6A6
523.404 = F5 + 0.005 F6
Alrededor de todo el sistema
Balance global: F1 = F2 + F5 + F7 + F8
10000 = F2 + F5 + F7 + F8
Balance para agua
F1 W1 = F7 + F8W8
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 42
1050 = F7 + 0.08F8
En resumen, el sistema de ecuaciones lineales esta constituido por seis
ecuaciones y seis incógnitas:
10000 = F2 + F3
1800 = F2 + 0.06F3
F3 = F5 + F6
523.404 = F5 + 0.005 F6
10000 = F2 + F5 + F7 + F8
1050 = F7 + 0.08F8
Reordenando para darle la forma convencional:
F2 + F3 = 10000
F2 + 0.06F3 = 1800
F3 - F5 - F6 = 0
F5 + 0.005 F6 = 523.404
F2 + F5 + F7 + F8 = 10000
F7 + 0.08F8 = 1050
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 43
En forma matricial se tendría:
[ 1 1 0 0 0 0 ¿ ] [1 0 . 06 0 0 0 0 ¿ ] [ 0 1 -1 -1 0 0 ¿ ] [ 0 0 1 0 . 005 0 0 ¿ ] [1 0 1 0 1 1 ¿ ] ¿¿
¿¿
La resolución en Excel seguiría los siguientes pasos:
Escribir los elementos de la matriz de coeficientes
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 44
Seleccionar un conjunto de celdas de igual tamaño que el de la matriz de
coeficientes
En la barra de fórmulas de Excel escribir MINVERSA( rango de celdas)
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 45
Presionar simultáneamente las teclas CTRL MAYUSCULAS ENTER
Escribir los términos independientes
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 46
Seleccione el tamaño adecuado para la matriz resultante del producto
En la barra de fórmulas escriba MMULT( Rango de celdas 1, rango de
celdas 2)
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 47
Presionar simultáneamente las teclas CTRL MAYUSCULAS ENTER
4. Problemas Propuestos
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 48
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 49
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 50
PRACTICA NRO. 5
APLICACIONES EN EXCEL: FUNCIÓN OBJETIVO Y SOLVER
RESOLUCION CON FUNCION OBJETIVO
Ecuaciones Cúbicas de Estado
Los fluidos, gases y líquidos, son materiales que se utilizan con bastante
frecuencia en los procesos industriales, por lo tanto, es muy útil contar con
modelos matemáticos que permitan estudiar su comportamiento y calcular o
predecir sus propiedades físicas y termodinámicas, que su vez sirvan para
determinar el calor y el trabajo requeridos por los procesos industriales, o para
diseñar y construir tanques de almacenamiento, tuberías, entre otras
aplicaciones.
Las ecuaciones de estado de los fluidos en esencia tratan de reproducir las
relaciones de las variables PVT, de modo que, conocidos los valores de dos de
ellas, se pueda calcular la tercera.
Las ecuaciones de estado han resultado ser de bastante utilidad en un amplio
intervalo de temperatura y presión, además se pueden aplicar a gases, líquidos y
vapores sin ser demasiado complicadas.
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 51
La primera EDE cúbica fue presentada por Van der Waals y actualmente se
tiene un número bastante elevado. En la Tabla 3.1 se muestran algunas de las
ecuaciones más comunes
3.2 Hallar el volumen molar para el oxígeno a la presión de 50 atm y 373 K
Para resolver se utiliza el método de bisección. La forma de la ecuación de Redlich – Kwong a emplear es la siguiente:
[ P+a
T 1/2V (V +b ) ] (V−b )−RT= 0 [3.5]
Las propiedades críticas y las constantes a y b son:
Gas Pc (atm) Tc (K) a b
O2 49,7 154,4 17,14472 0,02209
Primeramente se prepara una tabla en Excel (figura 4.1) donde se ingresan los
valores de presión, temperatura, la constante universal de los gases y las
propiedades críticas de presión y temperatura. Luego, se calculan los valores de
las constantes a y b.
Igualmente, se define una celda para ingresar un valor estimado del volumen
molar, y finalmente, en otra celda, se escribe la ecuación a resolver, la
denominada función objetivo.
Tabla 4.1 Ecuaciones Cúbicas de Estado
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 52
Van der Waals
[ P+a
V 2 ] (V −b )=RT
a=27 R2 Tc 2
64 Pc b= RTc
8 PcRedlich-Kwong
[ P+a
T 1/2V (V +b ) ] (V−b )=RT
a=0 .42748R2 Tc2 . 5
Pc b=0 .08664
RTcPc
SoaveEs una modificación de la ecuación de Redlich-Kwong y ha sido formulada para cálculos de equilibrio vapor-líquido y obtener presiones de vapor aceptables para fluidos puros.
[ P+θS
V (V +b) ] (V−b )=RT
θS=a ' [1+( 0. 480+1.574 ϖ−0 .176 ϖ2) (1−Tr1/2 ) ]2
a '=0 . 42748R2 Tc2
Pc b=0 .08664
RTcPc
Peng RobinsonHa sido formulada para mejorar los cálculos de equilibrio vapor-líquido
[ P+θPR
(V 2+2 bV−b2 ) ] (V −b )=RT
θPR=a left [1+ left (0 . 37464 +1 . 54226 ϖ - 0 . 269926 ϖ rSup { size 8{2} } right ) left (1 - Tr rSup { size 8{1/2} } right ) right ] rSup { size 8{ 2} } } { ¿
a =0 . 45724 { {R rSup { size 8{2} } ital Tc rSup { size 8{2} } } over { ital Pc} } } {¿
b=0 .07780RTcPc
Figura 4.1. Tabla para Función Objetivo
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 53
Como se ve en la figura 4.1, cuando V = 2 la función objetivo F(V) no es igual
a cero, lo que significa que 2 no es valor que satisface a la función objetivo; por
tanto, se debe buscar otros valores de V, hasta encontrar uno que haga que
F(V) sea igual acero.
En la figura 4.2 se observa la secuencia para usar la herramienta de Excel
Buscar Objetivo: Menú Herramientas – Buscar Objetivo
Figura 4.2 Selección de Busca Objetivo
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 54
En la figura 4.3 se muestra la ventana de Buscar Objetivo, donde ya se han
seleccionado las celdas correspondientes
Figura 4.3 Ventana de Buscar Objetivo
En la figura 4.4 se presentan los resultados de la búsqueda. V ha cambiado de
valor de modo que la función objetivo alcance el valor deseado de cero.
Buscar objetivo proporciona un mensaje que indica si la búsqueda ha
encontrado una solución o no.
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 55
Figura 4.4 Resultado de la Búsqueda
RESOLUCION CON SOLVER
Solver es una de las herramientas más potentes de Excel, puede resolver
sistemas de ecuaciones algebraicas lineales y no lineales con o sin restricciones
en los valores para las variables involucradas. Por lo mismo que puede incluir
restricciones, Solver es una herramienta de optimización.
Sistemas Reaccionantes en Estado Estacionario
Se tiene un reactor tipo tanque agitado que opera en estado estacionario y en condiciones isotérmicas. Hallar las concentraciones de cada especie química
Figura 4.5 Sistema Reaccionante
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 56
Asumir que se tiene el siguiente sistema reaccionante
A r12 B
Ar 3
r 2 C
B r4 D+C
La información cinética es la siguiente:
r1 = k1CA r2 = k2CA3/2
r3 = k3CC2 r4 = k4CB
2
k1 = 1.0 seg-1 k2 = 0.2 l1/2/gmol1/2-seg
k3 = 0.05 l/gmol-seg k4 = 0.4 l/gmol-seg
V = 100 l Q = 50 l/seg
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 57
CAe =1 gmol/l
Un balance molar en estado estacionario conduce al sistema de ecuaciones siguiente:
F1=−C A+C Ae+VQ (−k 1C A−k2 C A
3/2+k3 CC2 )=0
F2=−C B+VQ (2 k1 C A−k 4 CB
2 )=0
F3=−CC+ VQ (k2 C A
3/2−k3 CC2 +k4 C B
2 )=0
F4=−CD+ VQ (k 4 CB
2 )=0
En la figura 4.6 se muestra la hoja de cálculo preparada para utilizar Solver.
Como se puede apreciar se asumen unas concentraciones iniciales iguales a
0.1 gmol/l y con estos valores las funciones son diferentes a 0.
En la figura 4.7 se presenta la ventana correspondiente a Solver.
Una de las funciones es tomada como función objetivo, en este caso F1. las
demás funciones son consideradas como restricciones, cada una de ellas debe
ser igual a cero..
Adicionalmente se han agregado una restricción para cada concentración,
deben ser positivas, ya que no existen concentraciones negativas.
Figura 4.6 Hoja de Cálculo para Solver
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 58
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 59
Cuando se ejecuta Solver muestra una ventana que informa si se halló o no una
solución, tal como se observa en la figura 4.7.
Debe apreciarse que las celdas correspondientes a las concentraciones han
cambiado de valor y que las funciones tienen valores prácticamente iguales a
cero.
Figura 4.7 Resultado de Solver
4. Problemas Propuestos
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 60
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 61
PRACTICA NRO. 6
HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES: APLICACIONES EN POLYMATH
Polymath es un software especialmente creado para uso educativo y
profesional. Esta orientado a la solución de ecuaciones algebraicas, ecuaciones
diferenciales ordinarias y regresión de datos experimentales. Es
regularmente usado en muchas universidades.
1. Ejemplos Ilustrativos
Un tanque contiene inicialmente 100 Kg de sal disuelta en 1500 lt de agua. Se
bombea una solución salina a razón de 15 lt/min con una concentración de 0.25
Kg/lt. Asumiendo que el tanque esta perfectamente agitado, determinar la
cantidad de sal a distintos tiempos si es que se tiene una salida de 10 lt/min.
En la figura 6.1 se representa gráficamente el sistema de mezclado planteado.
Un balance global proporciona la ecuación diferencial:
d (V )dt
=F1−F2
que al integrarse da:
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 62
Figura 6.1 Mezcla en Tanque: Estado No Estacionario
El balance por componente rinde la ecuación diferencial:
Al reemplazar el balance global y los valores de los flujos de entrada y salida se
obtiene:
Sujeta a las condiciones iniciales:
Cuando t = 0 C = 0.0667 Kg/lt
Fe = 15 lt/min
Ce = 0.25 Kg/lt
C (0) = 0.0667 Kg/lt
V (0) = 1500 ltV
C
Fs = 10 lt/min
C = ?
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 63
Figura 6.2 Ventana Principal de Polymath
Figura 6. Ventana del Editor
Figura 6. Resultado Gráfico
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 64
4. Problemas Propuestos
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 65
PRACTICA NRO. 7
FORMULACIÓN DE BALANCES DE ENERGÍA
1. Tipos de Energía
Trabajo: Energía que se transmite entre el sistema su entorno.
No se puede acumular en el sistema
Es positivo cuando el trabajo se realiza sobre el sistema
Es función del a trayectoria. Depende del estado inicial del sistema, de
cómo se llega al estado final y del estado final.
Trabajo mecánico: Una fuerza externa actúa sobre el sistema en
dirección s provocando el desplazamiento de las fronteras del
sistema.
Trabajo eléctrico: Cuando se aplica un voltaje a una resistencia en
un sistema y esto produce un flujo de corriente que a su vez
incrementa la energía interna del sistema
Trabajo de flecha: Cuando se hace girar el eje de un motor.
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 66
Calor Energía que se transmite entre el sistema y sus alrededores debido a
una diferencia de temperaturas
Positivo cuando el sistema gana calor
Es función de la trayectoria
Se transporta por : Conducción, convección y radiación
Su cálculo requiere de un balance de calor
Cinética Energía que posee al sistema debido a su velocidad
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 67
Potencial Energía del sistema debido a su posición dentro de un campo
gravitacional o electromagnético
P=mgh
Interna Es una medida macroscópica de las energías molecular, atómica y
subatómica
No se puede medir directamente
Se calcula a partir de otras variables: P, T, V, C
Solo se pueden calcular las diferencias de energías interna respecto a
un estado de referencia
Es función de T y V
Entalpía Mide el contenido de calor
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 68
No se puede medir directamente
Se calcula a partir de otras variables: P, T, V, C
Solo se pueden calcular las diferencias de energías interna respecto a
un estado de referencia
Es función de T y P
2. Ecuación General del Balance de Energía
En términos matemáticos la ecuación general de energía se escribe como:
Velocidad Velocidad Velocidad Velocidad Velocidad de de de de deAcumulación = Entrada - Salida + Generación - Consumo Dentro del hacia el desde el dentro del transporte Sistema Sistema Sistema Sistema través de interfases
ACU = E – S + G - C
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 69
Si se considera a un sistema no reaccionante
Al sistema pueden ingresar o salir distintos tipos de energía
Entrada de energía:
Salida de energía:
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 70
En las ecuaciones anteriores pV es la energía consumida por el fluido para
ingresar y salir del sistema
Consumo por interfase:
Donde:
¿
es la energía asociada a la masa que sale por las interfases.
Por lo tanto la ecuación general de energía toma la forma siguiente:
dEdt
=m¿
e (U e+ Ke+ Pe+ peV e ) -ms (U e+ K s+ P s+ ps V s)
+Q¿+W
¿+B
¿
Que puede escribirse como
Por otro lado se tiene que:
dEdt
=m¿
e(U e+ve
2+ghe+ pe V e) -ms (U e+
vs
2+ghs+ ps V s)
+Q¿+W
¿+B
¿
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 71
Si se define delta X como:
La ecuación de energía toma la forma de:
dEdt
=Q¿+W
¿+B
¿−Δ¿¿
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 72
La ecuación anterior puede ser simplificada de acuerdo al problema específico
que se resuelva.
3. Cálculo del Cambio de Entalpía
En la figura se muestra la variación de la entalpía con la temperatura. Si se
tiene un sólido a una temperatura inicial y se le empieza a calentar, se observa
que su temperatura aumenta e igualmente aumenta su entalpía. Al continuar el
calentamiento el sólido alcanza cierta temperatura, denominada punto de
fusión, en la que pasa al estado líquido. Para mantener la fusión, se debe
continuar calentando, pero la temperatura no aumenta hasta que todo el sólido
pase a líquido. El calor que se absorbe durante el cambio de temperatura del
sólido se denomina calor sensible, mientras que el calor absorbido durante la
fusión toma el nombre de calor latente de fusión. Una vez que se tiene
solamente líquido, el calor suministrado provoca el aumento de temperatura del
líquido y consecuentemente, el aumento de su entalpía. Pero nuevamente se
alcanza otra temperatura especial, denominada punto de ebullición, en la que el
líquido se convierte en vapor. Para mantener la ebullición, es necesario seguir
calentando, observando que la temperatura no aumenta mientras coexista
líquido con vapor. El calor absorbido en la ebullición se llama calor latente de
condensación o calor latente de vaporización. Una vez que todo el líquido pasa
a vapor, el calor suministrado es utilizado en incrementar la temperatura, y por
tanto, en incrementar la entalpía del vapor.
En resumen, se diría que mientras no haya cambio de fase se tiene un cambio
de temperatura acompañado de un cambio de entalpía, pero en los cambios de
fase, mientras se tengan las dos fases, la temperatura se mantiene constante,
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 73
pero si ocurre un cambio de entalpía. Los calores absorbidos o desprendidos en
un cambio de fase son denominados calores latentes.
Figura Cambio de entalpía en función de la temperatura
Cambio de entalpía de una sustancia pura sin cambio de fase: se puede
calcular según la siguiente ecuación:
Δ ∫
Si la capacidad calorífica (Cp) no es función de la temperatura, es decir si Cp
es constante:
Δ Δ
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 74
Si Cp es función de la temperatura se tienen ecuaciones que describen como
varía la capacidad calorífica con la temperatura. Dicha ecuaciones son
semejantes a la siguiente:
En algunas ocasiones para simplificar el tratamiento matemático se prefiere
trabajar con una capacidad calorífica media en el intervalo T2 – T1
Δ
∫
donde Cp es función de la temperatura.
Una vez que se calcula la capacidad calorífica media, se le puede utilizar como
constante dentro del intervalo de temperatura T2 – T1
Para mezcla de gases ideales:
∑
Donde yi es la fracción molar
Calor sensible: es el cambio de entalpía sin cambio de fase
Δ
Calor latente: es el cambio de entalpía con cambio de fase.
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 75
λ
Donde es el calor latente de condensación o de evaporación, según corresponda
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 76
PRACTICA NRO. 8
BALANCE EXPERIMENTAL DE MASA:ESTADO ESTACIONARIO
Molienda
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 77
PRACTICA NRO. 9
BALANCE EXPERIMENTAL DE MASA: ESTADO NO ESTACIONARIO
Tanque mezcla con reacción
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 78
PRACTICA NRO. 10
BALANCE EXPERIMENTAL DE CALOR:ESTADO NO ESTACIONARIO
TANQUE DE ENFRIAMIENTO
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 79
PRACTICA NRO. 11
BALANCE EXPERIMENTAL COMBINADO
SECADO
DESTILACIONALAMBIQUE
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 80
PRACTICA NRO. 12
HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES: CHEMCAD Y HYSYS
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 81
PRACTICA NRO. 13
BALANCES EN PLANTA INDUSTRIAL I
1. Estudio de la Panificadora UNSA
1. BALANCES DIARIOS
2. PANIFICADORA UNSA: BALANCES
SEMANALES
3. BALANCES MENSUALES
Designar grupos para los turnos mañana y tarde
Cada grupo de be familiarizarse con la secuencia de
producción, formulas, productos, documentación
Hacer recomendaciones de controles y documentación,
hacer seguimiento de recomendaciones
Elaborar hojas de cálculo, informes, etc.
Realizar una presentación en Power Point.
Debe incluir materiales e insumos. Establecer consumos
Contrastar con compras y ventas
PRACTICA NRO. 14
Prácticas de Balance de Materia y Energía Miguel Angel Cárdenas Málaga 82
BALANCES EN PLANTA INDUSTRIAL II
EJEMPLOS
RECONCILIACION DE DATOS