GUIA EC DIF
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PROBLEMARIO DE ECUACIONES DIFERENCIALES.
1. Proporcione ejemplos de ecuaciones diferenciales.
Solución.
2. Dé tres ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Solución
3. proporciones tres ejemplos de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.
Solución
4. Determine el orden de las siguientes ecuaciones diferenciales.
Solución
5. Dé tres ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias en su representación en derivadas.
Solución
6. Proporcione tres ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias en su forma diferencial.
Solución
7. Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias en lineales y no lineales.
Solución
8. Compruebe que es solución de la ecuación diferencial
Solución
9. ¿Es y = 5 sen x solución de + y = 0?
Solución
10. Verificar que es solución de la ecuación diferencial .
Solución
Por tanto si es solución.
11. Probar que x2 + y2 = c2 es solución de .
Solución
12. Determinar si x2 + 4xy + y2 = C es solución de la ecuación diferencial (x + 2y)dx + (2x + y)dy = 0.
Solución
13. ¿Es x2 + 2y2 = C, solución de la ecuación diferencial ?
Solución
Si es solución.
14. Determinar si x3 + y3 = k, es solución de la ecuación diferencial .
Solución
8. Verificar que x2 + xy2 + y = Cx2 es solución de la ecuación diferencial (x + 2x2y)dy – (xy2 + 2y)dx = 0.
NOTA: En una ecuación diferencial no deben existir constantes arbitrarias.
9. Probar que x + y = Cxy es solución de .
10. Probar que x2 + y2 = C[xy]2 es solución de .
Solución
11. Hallar la solución de aplicando el método de las variables separables.
Solución
La solución general de una ecuación diferencial de primer orden siempre representa una familia de curvas.Analicemos la solución de la ecuación diferencial
y
x
12. Aplique el método de separación de variables para resolver .
Solución
y
x
13. Determinar la solución de .
Solución
14. Determinar la solución de .
Solución
15. Determinar si las siguientes funciones son homogéneas.
Solución
a) f(x, y) = x2 + 3xy – y2
f(tx, ty) = (tx)2 + 3(tx)(ty) – (ty)2
= t2x2 + 3t2xy – t2y2
= t2 (x2 + 3xy – y2) = t2 f(x, y)
f(x, y) es homogénea de grado 2
c) g(u, v) = 3u3 + 4u2v + v2
g (tu, tv) = 3(tu)3 + 4(tu)2 (tv) + (tv)2
= 3t3u3 + t3u2v + t2v2
= t3 (3u3 + 4u2v) +t2v2
t3 g(u, v) g(u, v) no es homogénea
16. Determinar si la siguiente ecuación diferencial es homogénea y, de serlo, hallar su solución
(x + y)dx + xdy = 0 ...
N(tx, ty) = tx = t N(x, y) grado 1
ecuación diferencial es homogéneaComo N(x, y) es más simpley = ux ... dy = udx + xdu ... sust. y en :
17. Ahora utilizamos M(x, y) en el ejemplo anterior.
Soluciónx = vy ... dx = vdy + ydv ... sust. y en :(vy + y) (vdy + ydv) + vydy = 0
v2ydy + vydy + vy2dv + y2dv + vydy = 0
18. Probar que la siguiente ecuación diferencial es homogénea y resolverla
Solución
= t (x + y)= t M(x, y) grado 1
N(tx, ty) = - tx + ty= t (- x + y)= t N(x, y) grado 1
es homogéneaUsamos N(x, y)y = ux ...
19. Probar que la siguiente ecuación diferencial es homogénea y resolverla
Solución
N(tx, ty) = - tx = t (- x)= t N(x, y) grado 1
es homogénea la ecuación diferencial
20. Probar que la siguiente ecuación diferencial es homogénea y resolverla
Solución
es homogénea
21. Resolver el siguiente problema con valor inicial
Solución
N(tx, ty) = - tx= t N(x, y) grado 1
es homogéneaComo N(x, y) es más simple
22. Resolver la siguiente ecuación diferencial eligiendo el cambio de variable apropiado
Solución
23. Resolver la ecuación diferencial mostrada a continuación
Solución
24. Resolver la ecuación diferencial :
Solución
25. Hallar la solución de la siguiente ecuación diferencial
transformándola a una homogénea.
Solución
26. Resolver (2x – y – 2)dx + (x – 2y – 1)dy = 0 empleando los cambios de variable apropiados para transformarla a una homogénea.
Solución
Resolvemos el sistema
N(tu, tv) = tu – 2tv = t(u – 2v) = t N(x, y) h. grado 1 ec. dif. es homogénea
Tomamos N(x, y)
27. Comprobar que la siguiente ecuación diferencial es exacta y hallar su solución(xy2 + 1)dx + (x2y + 2)dy = 0
Solución
M(x, y) = xy2 + 1 N(x, y) = x2y + 2
28. Resolver la siguiente ecuación diferencial4(x3y + x2)dx + (x4 + 4y3)dy = 0
Solución
M(x, y) = 4 (x3y + x2) N(x, y) = x4 + 4y3
29. Verificar que la siguiente ecuación diferencial es exacta y hallar su solución(2xy + tan y)dx + (x2 + x sec2 y)dy = 0
Solución
M(x, y) = 2xy + tan y N(x, y) = x2 + x sec2 y
30. Probar que la siguiente ecuación diferencial no es exacta, halle un factor integrante y resuélvala
ydx – xdy = 0
Solución
M(x, y) = y N(x, y) = - x
31. La siguiente ecuación diferencial no es exacta. Calcular un factor de integración y resolverla
2xydx + (y2 – x2)dy = 0
Solución
M(x, y) = 2x N(x, y) = y2 – x2
32. Probar que la ecuación diferencial (- xy sen x + 2y cos x)dx + 2x cos x dy no es exacta, luego verificar que xy es un factor de integración y hallar su solución.
Solución
33. Resolver la siguiente ecuación diferencial lineal empleando el método de variación de parámetro
.
Solución
33. Resolver aplicando el método de variación de parámetro.
Solución
34. Resolver la ecuación diferencial lineal (3xy + 3y – 4)dx + (x + 1)2 dy = 0 por el método de variación de parámetro.Solución
dividiendo entre dx:
4
62
6
23
3
3
3
C1xy
13
1
1
2
2
2
2
2
1xu3u1x
1xu3u1x1x
1x1x3uu1x
dxdy
1x
uy
1xCy
C1xy
C1xy
C1x3y
C1x
dx3y
dyy
dx0y1x
3dxdy
1x
4y1x
3dxdy
:1x entre dividiendo
4y1x3dxdy1x
0dxdy1x4y1x3
0dxdy1x4y3xy3
13
'
''
ln ee
ln
lnln
2444
234
1x4
1xu3
1xu3
1xu1x
1x4
1xu
1x3
1xu3u1x
:en sust
'
'
.
3
33
2
3
2
2
2
3
23
1xC
1x2y
1xC
1x1x2y
C1x1x2y
:en sust
C1x2u
dx1x4du
1x41x1x4u
1x4
1xu
.
'
'
35. Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método del factor integrante.
xxy
dxdy
Solución
x
xdxx1(x)dxP
x1 P(x)
xP(x)dx
lnee
ln
2xydxdyx
xxy
dxdyx
:por mult
.
xC
3xy
x
Cy
C3xyx
Cdxxyx
:integrando
xyxdxd
2
3
2
2
3
3x
36. Aplique el método del factor integrante para resolver
1x4y
1x3
dxdy
2
Solución
3
3
2
23
3
23
23
31xP(x)dx
3
1xC
1x2y
C1x1x2y
C1x2dx1x41xy
1x41xydxd
1x41x3dxdy1x
1x4y
1x3
dxdy1x
:por mult.
1xee
1x1x31x
dx3P(x)dx1x
3P(x)
3
ln
lnln
37. Resolver xyxdxdy
cotcsc por el método del factor integrante.
Solución
xxydxdy
csccot
xCxy
Cdxxy
:integrando
1xydxd
1xydxdyx
xxydxdyx
:por mult.
x
xxdxP(x)dxx P(x)
xP(x)dx
sen
sen
sen
cossen
csccotsen
senee
senlncotcot
senln
38. Resolver la ecuación diferencial de Bernoulli 24yxydxdyx .
Solución
dividiendo entre x: la ecuación diferencial
x3xu3
dxdu
sust. y u como
x3xy3
dxdu
y3yxxy
dxdu
3y1
:en sust.
dxdu
y31
dxdy
:y despejamos
dxdyy3
dxdu
yu
yy u Sea
yxxy
dxdy
3
3
33
2232
2
'
2
3
32-1
23
,
31
34
3131331
3
34
373
73
63
63
623
3x
Cxx73y
uyyyu
y u : ec. de
Cxx73u
xCx73ux
Cx73ux
dxx3ux
:integrando
x3uxdxd
x3ux3dxdux
:por mult
x
x3dxx13P(x)dx
x3 P(x)
3
.
e
ln
ln
39. hallar la solución de la ecuación diferencial de Bernoulli
xyy
x1x
dxdy 2
Solución
dxdyy
dxduyu
yy u Sea
2
1
121
1:y despejando
2
'
dxdu
ydxdy
1
11-
x
x
lnln
1
22
2
ee
y u
ee
eeuxe
:integrando
ee
e1ee
11ex
:por .
eeee
ln1(x)dxx
1x P(x)
11dxdu
:éstaen sust.
11
11
:en .
x
x
x
x
xx
xx
xxx
xxxxx
xC
y
yupero
xCu
Cdx
uxdud
uxdxdux
xu
xx
dxdu
mult
x
xxdxx
dxP
xu
xx
xy
xx
dxdu
yxyy
xx
dxdu
y
sust
40. Determine la soución de 34xy3y6xy '
Solución
22
22
2
2x
31
3434
34
34
'
34
31341
34
34
xuxdxd
xxx2
dxdux
:por mult
x
x2dxx12P(x)dx
x2 P(x)
1xu2
dxdu
:éstaen sust
1yx2
dxdu
3yy3y
x6
dxdu
y3
:en sust.
dxdu
y3
dxdy
:y despejando
dxdyy
31
dxdu
yy u Sea
y3yx6
dxdy
xxy3y6dxdyx
2
.
e
ln
.
ln
32
331
2
22
22
yu
1
1ux
:integrando
Cxxy
uypero
Cxxu
xCx
ux
Cx
dxx
41. Resolver la siguiente ecuación diferencial de Ricatti 2yy2y ' .
Solución
13
13
131
1441221
121221
:en y sust.
1y
u12y Sea
2y
1y ó 2y 01220
0
.y que Suponiendo
'
'
22
'2
2'
2
2'
2
'2
'
1
11
11211
1
1
uu
uu
uuu
uu
uuuu
u
uuu
u
uu
tomemos
yyyydxdy
cte
x3C3
1-
12y
:en sust
C31u
C3
u
dxu
:integrando
udxd
1u3u
:por mult.
x3dx3P(x)dx3P(x)
x3
x3x3
x3x3
x3x3
x3
x3
e
.
e
ee
ee
ee
e
e
'
42. Hallar la solución de la ec. Dif. De Ricatti
xy ;y2xyx2y 1
22'
Solución
22
2
2'
u1x2
xx2u
u11
:en y sust.
uu11y
u1 x y Sea
u
1x
'
'
2
222 u
1ux2x2
xu11x2u
u11 '
222
2 u2
ux4x2
xu1x2u
u1
'
2x21Cx1x2
11xy
:en sust.
Cxx21u
xC21ux
C21dxx2xu
:integrando
x2uxdxd
2ux4x1ux
:por mult.
x
x2xdxx4x1dx(x)Px4
x1 P(x)
2ux4x1u
2ux4x1u
2xu4xuu
uu2
ux4
xu1u
u1
2
222
222
22
2
22
x211
x21x2x2
x2x2x2
x2x2
x2
x2x2x
2
222
e
e
eee
eee
ee
e
ee
ln
'
ln
'
'
'
'
43. Resolver la siguiente ecuación diferencial lineal de orden superior homogénea
0y2yy2y '''''' .
Solución
31 2 0 1
1 1
0 21 1-
0 1 0 2 1 1
1 2 1 211
1- 2 1121 2 1
2 112
11 raíces posibles
1 div. 1 a 2 1, div. 2a
caract. ec. 02mm2m
y Sea
3
0
23
mx
,,
e
1 2 - 2-2
1 0
x23
x2
x1
x233
x22
x11
cccy
y 2m
y 1m
y 1m
eee
e
e
e
44. Resolver 0yy3y3y '''''' .
Solución
1raíces posibles1 div. 1a1 div. 1a
caract. ec. 01m3m3m
y Si
3
0
23
mx
e
1 -3 3 -1 - 1-1 4 -7
1 -4 7 -8
1 -3 3 -1 11 -2 1
1 -2 1 0 1
1 -1
1 -1 0 1
11 0
m = 1 mult. 3
x23
x2
x1
x23
x2
x1
xcxccy
xy xy
y
eee
ee
e
45. Resolver 0yy 4 .
Solución
1 raíces posibles1 div. 1a1 div. 1a
caract. ec. 01m
y Sea
4
0
4
mx
e
1 0 0 0 -1 -1 1 -1 1 -1 1-1 -1 1 1 1 0 1
1 -1 1 -1 0 -1 1 0 1 0 1-1 2 -3 1 1
1 -2 3 -4 1 1 2
1m1m
01m
Cmm
1 0 1
2
2
2
senxcxcccy
senxx
isenxxyy
immm
xx
x
x
4321
4
3
ix
2
1
2
1
cosee
ycosy
cose : Tomemos e
e
11
46. Resolver 0y16y8y 4 '' .
Solución
x2xcx2xcx2cx2cy
x2xy xy
x2xy x2y
x2ix2xxe
x2ix2e
mult.dos i2m4m
4x04x4x016x8x
mx
16 8, 4, 2, 1, raíces pos.1 div. 1a
16 8, 4, 2, 1, div. 16a
caract. ec. 016m8m
y Sea
4321
4
2
3
1
ix2
2ix
2
2
2
4
0
24
mx
sencossencos
sensen
coscos
sencos
sencos
e
47. Resolver 0y10yy5y3y 4 '''''' .
Solución
10 5, 2, 1, raíces pos.1 div. 1a
10 5, 2, 1, div. 10a
caract. ec. 010mm5m3m
y Sea
4
0
234
mx
e
1 -3 5 -1 -10 -1 1 -4 9 -10 2-1 4 -9 10 2 -4 10
1 -4 9 -10 0 -1 1 -2 5 0 2-1 5 -14 2 0
1 -5 14 -24 1 0 5
x2cx2cccy
x2y x2y
2i 1 - m Tomemos
yy
2m1m
i212
i422
51422m
05m2m
Cmm5 21
x4
x3
x22
x1
x4
x3
x2i1-
x22
x1
2
1
2
2
2
senecoseee
senecosee
ee
48. Resolver 0y2y8y13y11y5y 45 '''''' .
Solución
2 1, raíces pos.1 div. 1a
2 1, div. 2a
02m8m13m11m5m
ey
5
0
2345
mx
1 -5 11 -13 8 2 -1 1 -5 11 -13 8 -2 1-1 6 -17 30 -38 1 -4 7 -6 2
1 -6 17 -30 38 -40 1 -4 7 -6 2 0 11 -3 4 -2
1 -2 2 1 1 -3 4 -2 0 11 -1 1 -2 2
1 -1 1 1 -2 2 0
02m2mCmm221 2
2
xcxcxcxccy
xy xy
y 3 mult. 1m
xy xy
i 1 m Tomemos
i12
i222
21422m
x5
x4
x23
x2
x1
x23
x2
x1
x5
x4
xi1
2
senecoseeee
ee
e
senecosee
49. Probar que F(D) = (D – 1)2 es un operador anulador de f(x) = xex.
Solución
F(D)f(x) = (D – 1)2 xex = (D – 1) (D – 1) xex 01D
xx1DxeDx1Dxxx
xxxxx
eee
eeee
50. Hallar los operadores anuladores de las siguientes funciones mostradas abajo.
Solución
a) f(x) = 4x2 – 7x + 1D3
b) f(x) = x sen 2x + cos 2x
22
2
4D
42
2n11n
c) xxx3 8x25x (x)g eee
41D
14n31n
d) xx x (x)g x33x cosesene
2222 10D6D19D6D
1 32n11n
51. Calcular el operador anulador de las siguientes funciones.
Solución
a) g(x) = x5 – 4x3 + 6x2 – 5 D6
b) x2 x g(x) x23 cose
4242 8D4D44D22D
2 4n 2
c) x3xx3 x (x)h 2 2 sencos
32 9D
3 n 3
d) x3xx3 x24x2 cosesene
5252 13D4D94D22D
5 n 2 - 3
52. Calcular los operadores anuladores de las funciones mostradas abajo.
Solución
a) f(x) = 3x2 – 5x + e2x
3x2 – 5x e2x D3 (D – 2) D3(D – 2)
b) f(x) = x2 sen x + x cos 3xx2 sen x x cos 3x(D2 + 1)3 (D2 + 9)2
(D2 + 1)3 (D2 + 9)2
c) f(x) = 1 + xe-x
1 xe-x
D (D + 1)2
D(D + 1)2
d) f(x) = 2ex sen x + 3 xex + 4x 2ex sen x 3xex 4x(D2 – 2D + 2) (D – 1)2 D2
D2 (D – 1)2 (D2 – 2D + 2)
53. Resolver 30y15y2y ''' aplicando el método de los coeficientes indeterminados.
Solución
0y15D2DD
: ec. la a F(D) Aplicando
0 (D)F30 g(x)
30y15D2D
30y15Dy2yD
ccy
yy
3m5m
03m5m015m2m
y Sea
0y15y2y
2
2
2
x32
x51h
x32
x51
2
1
2
mx
ee
ee
e
'''
2ccy
:en sust.
2y2 A 30A15020sust
0y 0y Ay
30y15y2y
:en y sust
Ay
Ac Sea cy
cccy
cccy
1y y y
3 m 5 m 0m015m2mm
y Sea
x32
x51
p
''p
'pp
pp'''
p
p
p
33p
y3
y
x32
x51
3x3
2x5
1
3x3
2x5
1
2
mx
ph
ee
.
.
ee
ee
ee
e
'
54. Resolver 2xx2yyy2 ''' por el método de los coeficientes indeterminados.
Solución
xx2y1DD2
ccy
yy
1m21m
431
2212411
m
01mm2
y Sea
0yyy2
22
x2
x211h
x2
x211
2
1
2
2
mx
ee
ee
e
'''
0y1D2DD
: ec. la a F(D) Aplicando
D (D)F
x2x g(x)
23
3
2
2x2
x211
22
22
''p
'p
2p
2pp
'''p
p
2p
543
y
2543
y
x2
x211
2543
x2
x211
2543
x2
x211
3
23
mx
x4ccy
:en sust.1C-1C- 0B2BC2 4A0ABC4
xx2CxxBC2ABC4
xx2CxBxACx2BC22
sust
C2y Cx2By CxBx Ay
xx2yy2y
:en y sust
CxBxAy
cC c B c A Sean
xcxccccy
xcxccccy
xy xy 1y y y
1- m 21 m 0m
01mm2m
y Sea
ph
ee
.
.
ee
ee
ee
e
'
55. Resolver x21yy e'' .
Solución
4x
3p
y4
x3
y
x2
x1
4x
3x
2x
1
4x
3x
2x
1
4321
2
mx
2
x
x2
x2
x1h
x2
x1
2
mx
cxcy
cxcccy
cxcccy
1y xy y y
0m 1m 1m 1m01m1mm
y Sea
0y1D1DD
: a F(D) Aplicando
1DD (D)F21 g(x)
21y1D
ccy
y y
1m01m
y Sea
0yy
ph
e
eee
eee
eee
e
e
e
ee
ee
e
''
1xccy
yy y como
1xy
1 A 22A1 B 1B21BA2
21BAxA2Ax
:sust
A2Axy AAxy BAxy
21yy
:en y Sust
Bxcy
Bc Ac Sea
xx2
x1
ph
xp
xx
xxxx
xx''p
xx'p
xp
xp
''p
p
x3p
43
eee
e
ee
eeee
.
eeeee
e
.
e
56. Aplique el método de variación de parámetros para resolver 4yy '' .
Solución
x2
x1p
p
x2
x1h
x2
x1
2
mx
uuy
:y como propone Se
ccy
y y
1 m01m
y Sea
0yy
ee
ee
ee
e
''
4ee
y y
422ee2ee2y
:en .
e2e2u e22e4
e2e2u e22
e4
e44e
0e
e4e4
e0
211ee
eeW
2 1, k ,
21
h
p
22'
2
11'
1
2
1
'
xx
p
xxxx
xxxx
xxxx
xx
x
xx
x
xx
xx
kk
ccy
ycomo
sust
dxWW
u
dxWW
u
W
W
WW
u
57. Resolver x4y2y3y e''' por el método de variación de parámetros.
Solución
xx
xxh
xx
uu
ccy
y
mmm
mm
Sea
yyy
eey
:y como propone Se
ee
ey e
1m 2012
023
e y
023
22
1p
p
22
1
22
1
2
mx
'''
x3x3xx2
x2x
kk
212
W
2 1, k WWu
eeee
ee
,'
xx2
x21
ph
xxxxx2x2x3p
x2x2
x22
x2x3
x2
2
xx3
1x3
x31
1
xxx2
x2
2
xx
x
1
32ccy
yy y como322
342
34y
:en sust
22
4dx4u 44WW
u
34dx2u 44
WW
u
442
0W
44
0W
eee
eeeeeee
.
eeeee
e
eeee
eee
e
eee
'
'
58. Resolver x28y4y sen'' .
Solución
2sen2cosy
:y como propone Se
sencos2seny cos
2sen2cose
2i 04
e y
04
21p
p
21
21
2ix
2
mx
''
xuxu
xcxcyxxy
xix
mm
Sea
yy
h
xxxx
x
xxx
x
xxxx
xxWW
u kk
2cos2sen82sen82sen2
02cosW
2sen82cos22sen8
2sen0W
2122sen2cos22cos22sen2
2sen2cosW
2 1, k ,
2
21
22
'
x2x2x2x2cx2cy
yy y comox2x2x2
x2x2x2x2x2
x2x22
x2x2x22x2x2
x2x2x22
x4x2y
:en sustdx2x 2 dz2x z
x2zdz2dx2x2x22xdx2x24u
x2x242
x2x28WW
u
2x4x2
4x4x2dx
2x414xdx24u
2x 42
x28WW
u
21
ph
22
2
2p
22
22
21
22
11
sencossencos
sencossencossencos
sensencoscossencos
sensencossen.
cossen
sencossencossen
cossencossen
sensencossen
sensen
'
'
59. Resolver la siguiente ecuación de Cauchy Euler homogénea.09yxyyx '''2
Solución
32
31
32
31
21
2
m
xcxcy
xy xy
3m 3m3m09m
09m1mm xy Sea
60. Hallar la solución de 05yy2x ''2 .
Solución
lnx23senxclnx
23cosxcy
lnx23senxy lnx
23cosxy
lnx23senixln
23cosxx
i23
21 Tomemos
i23
21
46i2
2252442
m
052m2m
051m2m xy Sea
212
211
212
211
21xlni2321
2
m
e
61. Determine la solución de 0yxyyx '''2 .
Solución
xlnxcxcyxlnxyx y
2 mult. 1m01m
012mm
01m1mmxy Sea
21
21
2
2
m
62. Resolver la siguiente ecuación de Cauchy Euler no homogénea 4'''2 x4y3xyyx .
Solución
Sea y = xm
m(m – 1) – 3m + 4 = 0 m2 – 4m + 4 = 0(m – 2)2 = 0 m = 2 mult. dos y1 = x2 y2 = x2 ln xy = c1x2 + c2x2 ln x
Se propone yp = u1x2 + u2x2 ln x
4xlnxxcxcy
4x
2lnxxx
41
2lnxxlnxx
2xxx
41
2lnxxy
:yen sust.2
xxdxu x xxu
x41
2lnxxxlnxdxu xlnx
xlnxxu
xx2x0xW
lnxx2xlnxxxlnxx0W
x2xlnxx2xlnxxxW
2 1, k ,WWu
42
22
1
444
42
222
2
p
p
2
23
4'2
22
13
4'1
42
2
2
42
2
1
322
k'k
63. Hallar la solución de 12lnx2yyx ''2 .
Solución
02yyx ''2 Sea y = xm
m(m – 1) – 2 = 0 m2 – m – 2 = 0(m + 1) (m – 2) = 0 m1 = 2 m2 = - 1 y1 = x2 y2 = x-1
yh = c1x2 + c2x-1
Se propone yp = u1x2 + u2x-1
2 1, k ,WWu k'
k
31lnxxcxcy
31xln
31
32lnx
61
61
62lnxx
31
32xlnxx
6x
612lnxxy
:yen sust.
x31
32xlnxdx12lnx
31
312lnxu
3
12lnx3-
12lnx-u
6x
612lnxxdxx12lnx
31
3x12lnxu
3x-
12lnx3
x12lnx
u
1-2lnxx
12lnx-2x0x
W
x12lnx
x-x
12lnx-x-0
W
31-2x-2xxxW
1-2
21
1-22-2
p
p
2
'2
223
31
3
3'1
2
2
2
32-2
1-
1
2-
-12
x
64. Una masa de 40g. estira un resorte 10cm. Un mecanismo de amortiguación comunica una resistencia al movimiento numéricamente igual a 560 veces la velocidad instantánea. Encuentre la ecuación de movimiento si la masa se suelta desde la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia debajo de 2 cm/s.
Solución
M = 40g. d = 10 cm. = 560
tete
ii
e
scm
yyy
tt 7seny 7cosy
772
14142
981419614m
09814mm
y Sea
/20y 00y
09814
0F(t)M
F(t)yMk
dtdy
Mdtyd
m3920dina/c10cm980cm/s40g.
dP
dFk
mgPkdF
72
71
2
mt
'
'''
2
2
2
y = c1 e-7t cos 7t + c2 e-7t sen 7t y(0) = 0
0 = c1 e-7(0) cos 7(0) + c2 e-7(0) sen 7(0) 0 = c1
y = c2 e-7t sen 7t
7tsen72y
72c07c2
)0(7sen7)0(7cos7c2
20y t7sen77tcos7cy
7t
22
)0(7072
'7tt72
'
e
ee
ee
65. Un cuerpo de masa 0.204kg. estira un resorte de 0.5m. Si no hay fuerza de amortiguación y sabiendo que se aplica una fuerza externa F(t) = 5 sen 4t, calcular la ecuación de movimiento si el peso parte del reposo desde una posición de 0.2m debajo de la posición de equilibrio.
SoluciónM = 0.204kg. d = 0.5m = 0
0y20D16D
: a F(D) Aplicando
16D F(D)
25sen4t yD2D
t5sen2ct5cos2cy
t52senyt 52cosy
52 m Tomemos
52m
020m
y Sea
00y 2.00y
t4sen2520yy
MF(t)y
Mk
dtdy
Mdtyd
4tsen 5 F(t)
N/m 40.5cm
9.8m/s0.204kg.dFkkdF
22
2
2
21h
21
2
mt
'
''
2
2
2
i
i
e
sen4t425t5sen2
255t50.2cos2y
255
5225c2552c0
25cos4(0)(0)5cos2c52(0)5sen2c520
25cos4tt5cos2c52t5sen2c52y
c0.2sen4(0)425(0)5sen2c(0)5cos2c 0.2
0.2 y(0) sen4t 425t5sen2ct5cos2cy
425B254B0A04A
25sen4t4Bsen4t4Acos4t25sen4t20Bsen4t20Acos4t16Bsen4t16Acos4t
sust.
16Bsen4t16Acos4ty
4Bcos4t4Asen4ty Bsen4t Acos4ty
25sen4t20yy
:en y sust.
t4senBt4cosAyBcA c Sea
t4senct4coscy
sen4tccos4tct52senct 52coscy
t4senct4cosct52senct 52coscy
t4senyt 4cosyt 52senyt 52cosy
4i m i52m
020m16m
e y Sea
22
21
21'
1
21
21
''p
'pp
p''p
p
p
43
43p
y43
y21
4321
4321
22
mt
ph
66. Calcular L {1}.
Solución
s11L
s10
sssdt11L
0s-st-
t0
st-
0st-
eelimee
67. Hallar L {t}.
Solución
222
s(0)s(0)
2
st-st-
t
0
st
0
st
0
st-
0
st
0st-
s1tL
s1
ss0
sst
ss1
stdt
sstdtttL
eeeelim
eeeee
68. Calcular L {tn}, n .
Solución
1nn
5434
4323
322
1nn
1n0
st-1n0
st-1n0s-nst-n
t
0st-1n
0
st-n
01n
st-
0
stn
0stnn
sn!tL
54!
53!
54tL
54tL 4n
53!
512
53tL
53tL 3n
52
51
52tL
52tL 2n
tLsntL
tLsndtt
sndtt
sn
s0
st
dttsn
stdtnt
sstdtttL
eeee
lim
eeeee
69. Hallar L {eat}.
Solución
a s ,as
1L 0 s ,as
1
as-as-asdtdtL
at
0as-tas-
t0
as-
0tas-
0st-atat
e
eelimeeeeet
70. Calcular L {cos kt}.
Solución
222222
ikt-iktiktikt
kssktcosL
kss
ks2s
21
iksiksiksiks
21
iks1
iks1
21LL
21
2LktcosL
eeee
71. Determinar L {sen kt}.
Solución
2222
ikt-ikt-iktikt
ksk
ks2ik
2i1
iksiks2ik
2i1
iks1
iks1
2i1LL
2i1
2iL
eeee
72. Obtener L {cos2 kt}.
Solución
22
22
22
22
22
222
22
4kss2ks
4kss2ks2
21
4ksss4ks
21
2kss
s1
21cos2kt1L
21
2cos2kt1L
73. Hallar L {sen2 kt}.
Solución
22
2
22
2
22
222
22
4kss2k
4kss4k
21
4ksss4ks
21
2kss
s1
21cos2kt1L
21
2cos2kt1L
74. Calcular L {sen kt cos kt}.
Solución
2222 4ks
k2ks
2k21sen2ktL
21
2sen2ktL
75. Determinar L {sen at cos bt}.
Solución
2222
222
2222
222
2222
2
2222
2222
2222
basbasbasa
basbasbas2a
21
basbas2ababas2a
21
basbasbabasbababasba
21
basba
basba
21
2tbasentbasenL
76. Hallar L {4t – 3e2t}.
Solución
2ss
84s3s2ss3s84s
2s3
s43Lt4L 2
2
2
2
22t
e
77. Calcular L {- 2 + 3t t2} .
Solución
3322
s23s2s
s2!
s3
s2tLt3L12L
78. Determinar L {e2t + e-2t}.
Solución
4s2s
2s2s2s2s
2s1
2s1
2
79. Calcular L {senh kt}.
Solución
2222
-ktkt
ksk
ks2k
21
ksksksks
21
ks1
ks1
21
2L
ee
80. Calcular L {cosh kt}.
Solución
2222
-ktkt
kss
ks2s
21
ksksksks
21
ks1
ks1
21
2L
ee
81. Calcular L {t2 e3t} aplicando las propiedades correpondientes.
Solución
33t2
32
3s23)F(stL
s2tLF(s)
e
82. Mediante las propiedades hallar L {sen 2t e-t}.
Solución
41s
21)F(ssen2tL
4s2sen2tLF(s)
2t-
2
e
83. Resolver L {cos 4t e2t}.
Solución
162s
2s2)-F(scos4t L
16sscos4tLF(s)
22t
2
e
84. Determine el valor de L {u(t – 4) (t – 4)3}.
Solución
f (t – 4) = (t – 4)3
f (t) = t3
4
s4
44s3
43
s6
s3!4t4tuL
s3!tLf(t)L
ee
85. Calular L {u(t – 1) sen 2(t – 1)}.
Solución
f (t – 1) = sen 2(t – 1)f (t) = sen 2t
4s
24s
21t2sen1tuL
4s2sen2tLf(t)L
2
s
2s
2
ee
86. Calcular L {t cosh t}.
Solución
22
2
22
22
2
2
1s
1s
1s
2s1s1s
sdsdF(s)
dsd1tcoshtL
1sscoshtLF(s)
87. Calcular L {t3 e-2t}.
Solución
4
432
12
2
3
3
3
332t-3
2t-
2s62s62s2
dsd2s
dsd
dsd
2sdsd
dsd
2s1
dsdF(s)
dsd1tL
2s1eLF(s)
e
88. Calcular
t
03dTTL .
Solución
54t
03
43
33
s3!
s3!
s1dTTL
s3!tLF(s)
tf(t)Tf(T)
89. Hallar
t
0cosh3TdTL .
Solución
9s1
9ss
s1cosh3TdTL
9sscosh3TLF(s)
cosh3Tf(t)
22t
0
2
90. Calcular
t
02 dTT-tsenTL .
Solución
1ss2!
1s1
s2!dTTtsenTL
1s1sentLG(s)
s2!tLF(s)
sentg(t)TtsenTtgtf(t)Tf(T)
2323t
02
2
32
22
91. Hallar )dT T-tf(T)gL t
0 .
Solución
1ss2!
1s1
s2!dTTtsenTL
1s1sentLG(s)
s2!tLF(s)
sentg(t)TtsenTtgtf(t)Tf(T)
2323t
02
2
32
22
92. Calcular la transformada de Laplace de la siguiente función periódica. f(t)
1
1 2 3 4 5 t
Solución
2s-
s-s-
s2
s-s-0s-s-1
0
st-2
1st-1
0st-2
0st-
-1s11
s1
11)(
1s1
s1
ssssdt0dt1dtf(t)
21 010 1
)(
2
ee
ee
tfL
eeeeeeee
tt
tf
T
93. Calcular la transformada de Laplace de la siguiente función periódica.
f(t)
1
1 2 3 4 5 t
Solución
22
s-s-
s
22
s-s-1
02
st-st-1
0st-
s1
ss11)(
s1
sssstdtt
tf(t)0t10f(t)
10101m
1,1,0,01T
eee
tfL
eeeee
94. Calcular
41
s2L .
Solución
3!2t
s12L
3
41
95. Determinar el valor de
1s34sL 2
1 .
Solución
3sent4cost1s
3L1s
4sL 21
21
96. Obtener
2ss1L 1 .
Solución
21
22edT
F(T)2s
1Lf(t)
F(T)dT
F(s)s1L
2s1
s1L
2t02t-t
0
2Tt
02T
2Tt21
t
0
11
eeee
ee
97. Hallar
21
3s1L .
Solución
3t
21
21
22
t3s
1L
ts1Lf(t)
s1F(s)
3s13sF
e
98. Determinar
s1L 11 tan .
Solución
tsentsent
t1
1s1L
t1
s1tanL
t1f(t)
tf(t)1ds
dF(s)L
2111
1
99. Calcular
2ss1L 1 aplicando el método de las fracciones parciales.
Solución
21
21
21
2ssL
2ss1L
21A12A10A20A0s21A12A12A22A2s
1sA2sA2s
As
A2ss
1
2t2t11
1121
2221
2121
2
1
2
1e
e
100. Usar el método de fracciones parciales para hallar
2
1
112
ss
L .
Solución
t-t-
21
21
1121
221
21221
2
t21s
11s
2L1s12sL
2A11A102A1A0s1A112A0A -1s
12A1sA1s
A1s
A1s
12s
ee
s
101. Calcular
4s1s32sL 22
21 con el método de fracciones parciales.
Solución
2senh2t
35senht
31
4s1L
35
1s1L
31
4s1s32sL
0A0A
010A16A1132510A3816A
35B31B
2 6B 10 4B10B 124B16B
1104B10B43B4B
115B10A8B16A2s52B2A5B5A1s
52B2A5B5A1s3B4B3021B0A4B0A0s
32s1sB1ssA4sB4ssA
4sBsA
1sBsA
4s1s32s
21
21
22
21
2
12121
2
1
1
21
21
21
21
2211
2211
2211
212
2211
222
22
21
21
222
211
22
2
102. Resolver 1y(T)dTy(t)t
0 por el método de la transformada de Laplace.
Solución
1s1Y(s)
s1Y(s)
s11
s1
sY(s)Y(s)
1Ly(T)dTy(t)L
s
1ss
1
s
11
s
1
t
0
t
t11
y(t)
1s1LY(s)Ly(t)
e
e
103. Aplique el método de la transformada de Laplace para resolver.0)0(y 1 y(0) 12y3yy ''''
Solución
t2t
t2t111
33
22
11
321
3212
2
2
2
21
2
2
2
22
2
'2
'''
21
21
21
21
1s1L
2s1L
21
s1L
21y(t)
1A1A1s21A12A2s
21A12A0s2ssA1ssA1s2sA
1sA
2sA
sA
1s2ss13ss
23sss13ss
23sss13ssLy(t)
23sss13ss
23ssY(s)
s3ss13s
s1Y(s)23ss
s12Y(s)33sY(s)0sY(s)s
s12Y(s)y(0)sY(s)3(0)ysy(0)Y(s)s
s1y2Ly3LyL
s
13s2s
eey
ee