Guia de Integración Indefinida 2014 - I
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.INTEGRACION INDEFINIDA
Y SUS APLICACIONES
Hebeth Cueva Valladolid
Marzo del 2014
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 1
USMP - FIA
U���N���I V E���R���S���I���D A D�������D��E
SAN�MARTIN�DE�PORRES
Guıa de Calculo 2Integracion Indefinida
Definiciones y propiedades basicasMetodos de Integracion
AplicacionesDocente : Hebeth Cueva Valladolid
La presente Guıa esta orientada a incrementar la calidad del proceso de ensenanza-aprendizaje de la Asignatura de Calculo II. Esta Guıa que se presenta, contiene defini-ciones , propiedades basicas , ejercicios resueltos , propuestos y problemas de apli-cacion que se realizaran en la primera unidad del presente semestre academico 2014 -I de acuerdo al silabo correspondiente. El estudiante debe estar familiarizado con ladiferenciabilidad de funciones
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0.1. Introduccion
El origen del calculo integral se remonta a la epoca de Arquımedes (287-212 a.C.),matematico griego de la antiguedad, que obtuvo resultados tan importantes como elvalor del area encerrada por un segmento parabolico. La derivada aparecio veinte siglosdespues para resolver otros problemas que en principio no tenıan nada en comun conel calculo integral. El descubrimiento mas importante del calculo infinitesimal (creadopor Barrow, Newton y Leibniz) es la ıntima relacion entre la derivada y la integraldefinida, a pesar de haber seguido caminos diferentes durante veinte siglos. Una vezconocida la conexion entre derivada e integral (teorema de Barrow), el calculo de inte-grales definidas se hace tan sencillo como el de las derivadas. El concepto de Calculoy sus ramificaciones se introdujo en el siglo XVIII, con el gran desarrollo que obtuvoel analisis matematico, creando ramas como el calculo diferencial, integral y de varia-ciones. El calculo diferencial fue desarrollado por los trabajos de Fermat, Barrow, Wallisy Newton entre otros. Ası en 1711 Newton introdujo la formula de interpolacion dediferencias finitas de una funcion f(x); formula extendida por Taylor al caso de infinitosterminos bajo ciertas restricciones, utilizando de forma paralela el calculo diferencialy el calculo en diferencias finitas. El aparato fundamental del calculo diferencial era eldesarrollo de funciones en series de potencias, especialmente a partir del teorema deTaylor, desarrollandose casi todas las funciones conocidas por los matematicos de laepoca. Pero pronto surgio el problema de la convergencia de la serie, que se resolvio enparte con la introduccion de terminos residuales, ası como con la transformacion deseries en otras que fuesen convergentes. Junto a las series de potencias se incluyeronnuevos tipos de desarrollos de funciones, como son los desarrollos en series asintoticasintroducidos por Stirling y Euler. La acumulacion de resultados del calculo diferencialtranscurrio rapidamente, acumulando casi todos los resultados que caracterizan su es-tructura actual Introducir el calculo integral, se logro con el estudio de J.Bernoulli,quien escribio el primer curso sistematico de calculo integral en 1742. Sin embargo, fueEuler quien llevo la integracion hasta sus ultimas consecuencias, de tal forma que losmetodos de integracion indefinida alcanzaron practicamente su nivel actual. El calculode integrales de tipos especiales ya a comienzos de siglo, conllevo el descubrimientode una serie de resultados de la teorıa de las funciones especiales. Como las funcionesgamma y beta, el logaritmo integral o las funciones elıpticas. Los creadores del AnalisisInfinitesimal introdujeron el Calculo Integral, considerando los problemas inversos desus calculos. En la teorıa de fluxiones de Newton la mutua inversibilidad de los prob-lemas del calculo de fluxiones y fluentes se evidenciaba claramente. Para Leibniz elproblema era mas complejo: la integral surgıa inicialmente como definida. No obstante,la integracion se reducıa practicamente a la busqueda de funciones primitivas. La ideade la integracion indefinida fue inicialmente la dominante. El Calculo Integral incluıaademas de la integracion de funciones, los problemas y la teorıa de las ecuaciones difer-enciales, el calculo variacional, la teorıa de funciones especiales, etc. Tal formulaciongeneral crecio inusualmente rapido. Euler necesito en los anos 1768 y 1770 tres grandesvolumenes para dar una exposicion sistematica de el. Segun Euler el Calculo Integralconstituıa un metodo de busqueda, dada la relacion entre los diferenciales o la relacion
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entre las propias cantidades. La operacion con lo que esto se obtenıa se denominaba in-tegracion. El concepto primario de tal Calculo, por supuesto, era la integral indefinida.El propio Calculo tenıa el objetivo de elaborar metodos de busqueda de las funcionesprimitivas para funciones de una clase lo mas amplia posible. Los logros principalesen la construccion del Calculo Integral inicialmente pertenecieron a J. Bernoulli y de-spues a Euler, cuyo aporte fue inusitadamente grande. La integracion llevada por esteultimo hasta sus ultimas consecuencias y las cuadraturas por el encontradas, todavıaconstituyen el marco de todos los cursos y tratados modernos sobre Calculo Integral,cuyos textos actuales son solo modificaciones de los tratados de Euler en lo relativo allenguaje. Estos juicios se confirman con la revision concreta del famoso Calculo Inte-gral de Euler y su comparacion con los textos actuales. La palabra calculo proviene dellatın calculus, que significa contar con piedras. Precisamente desde que el hombre ve lanecesidad de contar, comienza la historia del calculo. Tales piedrecitas ensartadas entiras constituıan el abaco romano que, junto con el suwanpan japones, constituyen lasprimeras maquinas de calcular en el sentido de contar. El calculo integral, encuadradoen el calculo infinitesimal, es una rama de las matematicas en la que se estudia el pro-ceso de integracion o antiderivacion, es muy comun en la ingenierıa y en la matematicaen general y se utiliza principalmente para el calculo de areas y volumenes de regionesy solidos de revolucion.
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0.2. Definiciones y Formulas basicas
Definicion 1. La funcion F : I ! R se le llama Antiderivada o primitiva de f : I ! R
si F
0(x) = f(x),8x≤I = [a, b].
Ejemplo : Si f(x) = 2x) F (x) = x
2 es una antiderivada ,pues F
0(x) = 2x = f(x)
Tambien F
1
(x) = x
2 + 3 es una antiderivada de f(x)
¿Que se Observa? al calcular las antiderivadas de una funcion no se determina unaunica funcion sino una familia de funciones que se difieren entre si en una constante.EnGeneral la representacion de su antiderivada mas general de f(x) la representaremospor : F (x) + c
X
Y
Y=X2+C
Definicion 2. Si F (x) es una antiderivada de f(x) sobre un intervalo I osea
F
0(x) = f(x)
Entonces a su antiderivada general F (x) + c se le denota por :
G(x) =
Zf(x)dx = F (x) + c , 8x≤I
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 5
En otras palabras la integral de una funcion que se designa conR
f(x)dx no es masque su antiderivada general F (x) + c.De ahora en adelante llamaremos integrando a loque esta dentro de la integral es decir a f(x)dx
NOTA:De la definicion anterior se tiene :
G
0(x) = F
0(x) = f(x)
i.ed
dx
Zf(x)dx = f(x)
Propiedades
De la definicion de integral indefinida se tiene :
1.d
dx
(
Zf(x)dx) = f(x)
2.
d(
Zf(x)dx) = f(x)
3. Zf
0(x)dx = f(x) + c
Teorema 0.1. Si dos funciones F y G son funciones primitivas o antiderivadas de
una funcion f en un intervalo I (abierto o cerrado) entonces estas funciones difieren
de una constante
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FORMULAS DE INTEGRACION
Siendo u = f(x) una funcion diferenciable en x
1.
Zu
n
du =u
n+1
n + 1+ c , n 6= °1
2.
Zdu
u
= ln|u| + c
3.
Ze
u
du = e
u + c
4.
Za
u
du =a
u
ln a
+ c ; a > 0, a 6= 1
5.
Zdu
u
2 + a
2
=1
a
arctan(u
a
) + c
6.
Zdu
a
2 ° u
2
=1
2aln|u + a
u° a
| + c
7.
Zdu
u
2 ° a
2
=1
2aln|u° a
u + a
| + c
8.
Zdup
a
2 ° u
2
= arcsen(u
a
) + c
9.
Zdup
u
2 + a
2
= ln|u +p
u
2 + a
2| + c
10.
Zdup
u
2 ° a
2
= ln |u +p
u
2 ° a
2| + c
11.
Z pa
2 ° u
2
du =u
2
pa
2 ° u
2 +a
2
2arcsin(
u
a
) + c
12.
Z pu
2 ° a
2
du =u
2
pu
2 ° a
2 ° a
2
2ln|u +
pu
2 ° a
2| + c
13.
Z pu
2 + a
2
du =u
2
pu
2 + a
2 +a
2
2ln|u +
pu
2 + a
2| + c
14.
Zdu
u
pu
2 ° a
2
=1
a
arcosec
|u|a
+ c
15.
Zsin udu = °cosu + c
16.
Zcos udu = senu + c
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 7
17.
Ztan udu = ° ln | cos u| + c
18.
Zcot udu = ln | sin u| + c
19.
Zcsc udu = ln | csc u° cot u| + c
20.
Zsec2
udu = tan u + c
21.
Zcsc2
udu = ° cot u + c
22.
Zsec u tan udu = sec u + c
23.
Zcsc u cot udu = ° csc u + c
Ejercicios
1. Probar que las dos formulas son equivalentesZ
sec xdx = ln | sec x + tan x |
Zsec xdx = ° ln | sec x° tan x |
Para conseguir que ambas formulas son equivalentes deberıamos probar la sigu-iente igualdad :
° ln | sec x° tan x |= ln | sec x + tan x |
Ası tenemos que :
° ln | sec x° tan x |= ° ln | 1
cos x
° sin x
cos x
|= ° ln | 1° sin x
cos x
|
= ln | cos x
1° sin x
|= ln | cos x(1 + sin x)
(1° sin x)(1 + sin x)|
ln | 1
cos x
+sin x
cos x
|= ln | sin x + tan x |
2. Probar que las dos formulas son equivalentesZ
csc xdx = ° ln | csc x + cot x |
Zcsc xdx = ln | csc x° cot x |
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Ejercicios de Aplicacion
Resolvamos los siguientes ejercicios aplicando las reglas para integrales :
1.
Z2x · 3x+1
5x+2
dx
2.
Ze
x(1 + x ln x)
x
dx
3.
Z1° x ln x
xe
x
dx
4.
Zsin x
cos2
x
dx
5.
Ztan y ° sec y
cos y
dy
6.
Z px + 4
x
dx
7.
Zsin x° x ln x · cos x
x sin2
x
dx
8.
Z rsec x° tan x
sec x + tan x
dx
9. Se da la grafica de la derivada de una funcion.Esbozar las graficas de 2 funcionesque tengan por derivada a la funcion dada
2 f ´
x
y
Grafico (1) Grafico (2)
Del grafico (2) se observa que
f
0 = 2 =) f(x) = 2x + k
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 9
entonces las 2 funciones cuyas derivadas resultan f
0 = 2 son :
f(x) = 2x + 1 , f(x) = 2x° 1
10. En cada caso ,f es una funcion contınua y la figura muestra la grafica de lafuncion y = f
0(x) ,la funcion derivada de f .Bosqueje la grafica de la funciony = f(x),analizando intervalos de monotonıa y de concavidad,valores extremos ypuntos de inflexion ; si :
1 2 3 2
2
−1 3
−1
−2
Figura (1)Figura(2)
Para la figura (1) se tiene que f(1) = 0 y x ∏ 0 ,de la misma forma para la figura (2)se tiene que f(0) = 1 y x ∏ °1
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METODOS DE INTEGRACION
0.3. Integracion por sustitucion
Este metodo para resolver integrales es muy aplicado en su gran mayoria cuando seaposible encontrar dentro del integrando una funcion y su derivada consiguiendo unaintegral conocida o facil de operar .El metodo consiste en que una vez identificada lafuncion y su derivada se debe elegir a la funcion como la nueva variable y luego usarlas formulas de integracion descritas con anterioridad.Ejemplos
1. Resolver Zx
5
1 + x
3
dx
la idea es tratar de hacer aparecer dentro del integrando una funcion y su derivadapara lo cual haremos un artificio facil que consiste en descomponer el numeradorde la siguiente forma : Z
x
3
x
2
1 + x
3
dx
si llamamos al denominador u = 1 + x
3 observamos que
du = 3x2
dx =) x
2
dx =du
3
Ası de este modo sustituyendo en la integral anterior se obtiene :Z
u° 1
u
du
3=
1
3
Z(1° 1
u
)du
=1
3
Zdu° 1
3
Z1
u
du =1
3u° 1
3ln |u| + c
Luego regresemos a las variables originales
1
3(1 + x
3)° 1
3ln |1 + x
3| + c
2. Resolver Zln(ln x)
x ln x
dx
Escogeremos u = ln x =) du = 1
x
dx Ası de este modo se tendrıa
Zln u
u
du
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 11
y si aplicamos otro cambio de variable en esta nueva integral
v = ln u =) dv =1
u
du
se llega a: Zvdv =
v
2
2+ c
volviendo a las variables originales
=(ln u)2
2+ c
=(ln(ln x))2
2+ c
3. Resolver Z2ex + e
°x
3ex + 4e°x
dx
Es preciso observar que en el integrando no existe relacion entre el numerador yel denominador ,lo unico que pudieramos hacer es separar en dos integrales
Z2ex
3ex + 4e°x
dx +
Ze
°x
3ex + 4e°x
dx
Ahora en cada una de las integrales multipliquemos a la primera en su numeradory denominador por e
x y en la segunda por e
°x asi se tendrıa :
Z2e2x
3e2x + 4dx +
Ze
°2x
3 + 4e°x
dx
Si en la primera elegimos el cambio de variable
u = 3e2x + 4 °! du = 6e2x
4. Resolver Z1
x
2
(1
x
° 1)23dx
5. Resolver Zx
3(4° x
2)°12
dx
6. Resolver Zx
13 (x
23 + 1)
32dx
7. Resolver Z1
e
x + e
°x
dx
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 12
8. Resolver Zarctan
pxp
x + 2x2 + x
3
dx
9. Resolver Z2x°
parcsin xp
1° x
2
dx
10. Resolver Ze
x+e
x
dx
11. Resolver Ze
ln(x)+
1x
x
3
dx
12. Resolver Zsin(2x)dx
cos2
x + 4
13. Resolver Zx
3
1 + x
4
dx
14. Resolver Zx
2x(ln(x) + 1)dx
15. Resolver Zdx
sin2
x
3p
cot(x)° 1
16. Resolver Zcos2
x(tan2
x + 1)
(sin x + cos x)2
dx
17. Resolver Zdxp
e
x ° 1
18. Resolver Z p1 + e
°2x
e
°3x
dx
19. Resolver Zdxppx + 1
20. Resolver Zcos3
x
1° sin x
dx
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 13
21. Resolver Zxp
9° x
4
dx
22. Resolver Z rx
2° x
dx
23. Resolver Z q2 +
pxdx
24. Resolver Zdx
x°p
x
2 ° 1dx
25. Resolver Zx
3
pa
2 ° x
2
dx
26. Resolver Z2
x(x4 + 25)12
dx
27. Resolver Z(x2 ° 25)
32
x
6
dx
28. Resolver Z(4° x
2)12
x
2
dx
29. Resolver Zx
2 ° 3
x
px
4 ° 4dx
30. Resolver Z1
x
2
p1 + x
2
dx
31. Resolver Ze
1x
x
2
dx
32. Resolver Z p1 + sin xdx
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 14
0.4. Integracion por partes
Este metodo es de mucha utilidad en la practica,cuyo procedimiento lo describiremosa continuacion:
Siendo u = f(x) y v = g(x) dos funciones diferenciables de la variable x .De la formulapara la diferencial de un producto de dos funciones se tiene :
d(uv) = udv + vdu
que es equivalente a:udv = d(uv)° vdu
ahora si integramos ambos miembros se tiene:Z
udv = uv °Z
vdu
La cual se denomina Formula para la Integracion por partes
Nota: La eleccion de u y de v es arbitraria no existe una formula especıfica para podertomarlos,lo que ayuda en gran medida es que cuando aparezcan dentro del integrandofunciones trigonometricas ,exponenciales o logarıtmicas es preferible tomarlas como dv.
Ejemplos:
1. Resolver Zx
2 sin(4x)dx
En este caso por la nota anterior considerare
u = x
2 =) du = 2xdx
lo que queda dentro del integrando sera
dv = sin(4x)dx =) v =° cos(4x)
4
Ası que al reemplazar en Formula para la Integracion por partes se tiene:Z
x
2 sin(4x)dx =°1
4x
2 cos(4x)°Z
(° cos(4x)
4)(2xdx)
=°1
4x
2 cos(4x) +1
2
Z(cos(4x))(xdx)
En la integral del lado izquierdo nuevamente la integraremos por partes asi deeste modo en ella eligo
u = x =) du = dx
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 15
dv = cos(4x)dx =) v =sin(4x)
4Asi de este modo
Zx cos(4x)dx = x
sin(4x)
4°
Zsin(4x)
4dx
Zx cos(4x)dx = x
sin(4x)
4+
cos(4x)
16
Luego
Zx
2 sin(4x)dx =°1
4x
2 cos(4x) +1
2(x
sin(4x)
4+
cos(4x)
16) + c
2. Resolver Zln(x)dx
Aquı hagamos u = ln(x) =) du = 1
x
dx y dv = dx =) v = x.De esta forma alutilizar la formula de integracion por partes se tiene:
Zln(x)dx = (ln(x))(x)°
Z(x)(
1
x
)dx
Zln(x)dx = (ln(x))(x)°
Zdx
Zln(x)dx = (ln(x))(x)° x
3. Resolver Zln(2 + 3
px)
3p
x
dx
4. Resolver Ze
1x
x
3
dx
5. Resolver Z3x2 + 2x° 1
4e3x
dx
6. Resolver Zarctan
pxdx
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7. Resolver Zarctan x
x
2(1 + x
2)dx
8. Resolver Zarctan
pxp
x
dx
9. Resolver Zx sin x cos xdx
10. Resolver Zx cos x
sin2
x
dx
11. Resolver Zsec5
xdx
12. Resolver Zsin2
x
e
x
dx
13. Resolver Zcos(ln x)dx
14. Resolver Zln(cos x)
cos2
x
dx
15. Resolver Zx
2 + 1
(x + 1)2
e
x
dx
16. Resolver Zsin(
p2y)dx
17. Resolver Zln(p
x +p
x + 1)dx
18. Resolver Zx ln(
1° x
1 + x
)dx
19. Resolver Zxe
x
(1 + x)2
dx
20. Resolver Zln(x +
p1 + x
2)dx
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 17
21. Resolver Z(2x° 3)(x2 ° 3x° 1)4 ln(x2 ° 3x° 1)dx
22. Resolver Zsec3
xdx
23. Resolver Zx arctan2
xdx
24. Resolver Zln(x2 + 2)dx
25. Resolver Zx
2 ln(x6 ° 1)dx
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0.5. Generalizacion del metodo de Integracion porpartes
Presentamos en esta oportunidad la Generalizacion del metodo de integracion porpartes (GMIP)aplicados siempre y cuando en el integrando exista el producto de dosfunciones una de las cuales debe ser un polinomio y la otra una funcion facil de inte-grar,la explicacion del metodo se hara en los ejercicios que a continuacion se muestran
1. Resolver Z(x3 + 2x + 1) cos xdx
Solucion
Como se observa dentro del integrando existe el producto de dos funciones una deellas es un polinomio y la otra es una funcion de facil integracion,el proceso parala resolucion por este metodo consiste en separar convenientemente el polinomioy la funcion mediante dos columnas a partir de la cual se debera en primerlugar a derivar el polinomio tantas veces se llegue a cero y de la misma forma seintegrara la otra funcion tantas veces se derivo la primera ,para luego empezar amultiplicar intercaladamente incluyendo el signo que debe empezar con positivosiendo este el resultado final de la integracion.
EL resultado final sera Z(x3 + 2x + 1) cos xdx
= (x3 + 2x + 1)(sin x) + (3x2 + 2)(cos x)° (6x)(sin x)° (6)(cos x)
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 19
2. Zx
5 sin xdx
3. Zx
n
e
x
dx
0.6. Integracion de funciones Trigonometricas
Recordemos algunas identidades trigonometricas :
sin2
µ + cos2
µ = 1
1 + tan2
µ = sec2
µ
1 + cot2
µ = csc2
µ
sin(Æ ± Ø) = sin Æ cos Ø ± cos Æ sin Ø
cos(Æ ± Ø) = cos Æ cos Ø ® sin Æ sin Ø
Apartir de estas se puede deducir algunas mas pero estas son las mas importantes.El procedimiento para resolver Integrales trigonometricas es tratar de que con ayudade las identidades dadas anteriormente hacer aparecer en el integrando funciones y susderivadas para ası de esa forma tener integrales conocidas y faciles de integrar medianteun cambio de variables.
1.
Z pcos x(sin5
x)dx
Solucion
Nuestro objetivo es buscar una relacion entre una funcion y su derivada asi deeste modoZ p
cos x(sin5
x)dx =
Z pcos x(sin2
x)2 sin xdx =
Z pcos x(1° cos2
x)2 sin xdx
=
Z pcos x(1°2 cos2
x+cos4
x)dx =
Z pcos x sin x°2
Zcos
52 sin xdx+
Zcos
92 sin xdx
Si en todas las integrales hacemos el cambio
u = cos x =) du = ° sin xdx
asi se tiene :
°Z
u
12du + 2
Zu
52du°
Zu
92
= °2
3u
32 +
4
7u
72 ° 2
11u
112 + k
regresando a las variables originales
= °2
3(cos x)
32 +
4
7(cos x)
72 ° 2
11(cos x)
112 + k
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 20
2.
Z ptan x sec6
xdx
Solucion
Z ptan x sec6
xdx =
Z ptan x(sec2
x)2 sec2
xdx
Z ptan x(1 + tan2
x)2 sec2
xdx =
Z ptan x(1 + 2 tan2
x + tan4
x) sec2
xdx
=
Z ptan x sec2
xddx + 2
Z ptan x tan2
x sec2
xd +
Z ptan x tan4
x sec2
xdx
=
Ztan
12 sec2
xdx +
Ztan
52 sec2
xdx +
Ztan
92 sec2
xdx
Si aquı realizamos el cambio de variable
u = tan x =) du = sec2
xdx
3. Resolver Zsin3
x
3p
cos4
x
dx
4. Resolver Z(1 + cos 3x)
32dx
5. Resolver Ztan3(3x) sec4(3x)dx
6. Resolver Z(p
sin(2x)° cos(2x))2
dx
7. Resolver Zsin(10x) sin(20x) sin(30x)dx
8. Resolver Zcos x cos(3x) cos(5x)dx
9. Resolver Zsin3
x cos(3x)dx
10. Resolver Zcos2
x sin2(4x)dx
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 21
11. Resolver Zcos4(2x) sin3(2x)dx
12. Resolver Zcos5
xpsin x
dx
13. Resolver Ztan5
x
pcos3
xdx
14. Resolver Zsin3
x
3p
cos4
x
15. Resolver Z3
rsin2
x
cos14
x
dx
16. Resolver Zsin 2x · sin 3xdx
17. Resolver Zsin x sin(3x) sin(5x)dx
18. Resolver Z(sec x
tan x
)4
dx
19. Resolver Zsin(4x + 7) cos(5x + 8)dx
20. Resolver Zcos x
3p
sin7(2x) cos x
21. Resolver Z pcos2
x + cos xdx
22. Resolver Zdx
sin2
x cos4
x
dx
23. Resolver Zcos4
x + sin4
x
cos2
x° sin2
x
dx
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 22
24. Resolver Zdxp
sin x cos3
x
25. Resolver Z1 + tan x
1° tan x
dx
26. Resolver Zsin4(
x
2) cos2(
x
2)dx
27. Resolver Ztan3 4x sec
92 4xdx
28. Resolver Zx
2 cos 2x3
dx
29. Resolver Zsin6 2xdx
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 23
0.7. Formulas de Recurrencia
1. Obtener una formula de recurrencia para la integral I
n
=
Zsinn
xdx
Solucion
En primer lugar dentro del integrando haremos la descomposicionZ
sinn
xdx =
Zsinn°1
x sin xdx
aquı usaremos integracion por partes :
u = sinn°1
x =) du = (n° 1) sinn°2
x cos xdx
dv = sin x =) v = ° cos x
luego :
I
n
= °(sinn°1
x)(cos x) + (n° 1)
Zsinn°2
x cos x cos xdx
= °(sinn°1
x)(cos x) + (n° 1)
Zsinn°2
x cos2
xdx
I
n
= °(sinn°1
x)(cos x) + (n° 1)
Zsinn°2
x(1° sin2
x)dx
= °(sinn°1
x)(cos x) + (n° 1)
Zsinn°2
xdx + (n° 1)
Zsinn
xdx
I
n
= °(sinn°1
x)(cos x) + (n° 1)In°2
+ (n° 1)In
I
n
=1
2° n
[(sinn°1
x)(cos x) + (n° 1)In°2
]
2. Obtener una formula de recurrencia para la integral I
n
=
Zcosn
xdx
3. Demostrar que
Zx
n
e
°x
dx, n≤N °! I
n
= °x
n
e
°x + nI
n°1
4. Obtener una formula de recurrencia para la integralZ
secn
xdx
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 24
5. Halle una formula de recurrencia para la integral
I
n
=
Zx
n
p(ax + b)dx
Donde n es entero ∏ 0.Calcule I
2
6. Obtener una formula de recurrencia de
I
n
=
Z(x° a
x° b
)n
dx
7. Obtener una formula de recurrencia de
I
n
=
Z1
x
n
p1 + xdx
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 25
0.8. Integracion de funciones Racionales
No existe un procedimiento general para resolver integrales del tipo racional,poresta razon en los ejemplos que siguen detallaremos los tipos de Integrales que contienenfunciones racionales.
1. Integrales del tipo ZP (x)
Q(x)dx
Donde P (x), Q(x) son polinomios del mismo grado
Resolver la siguiente integralZ
x + 2
x + 1dx
Cuando tengamos el cociente entre dos polinomios de igual grado es aconsejablerealizar la division entre polinomios para ası de esta forma obtener integralesconocidas o faciles de integrar
Z(1 +
1
x + 1)dx =
Zdx +
Z1
x + 1dx
= x + ln |x + 1| + k
2. Integrales del tipo ZP (x)
Q(x)dx
Donde P (x) es un polinomio de grado m y Q(x)es un polinomio de grado n
,ademas m < n
Resolver la siguiente integral
Z4x2 + 9x° 1
x
3 + 2x2 ° x° 2dx
Para resolver integrales de este tipo donde el denominador sea un polinomio degrado mayor que el polinomio del numerador es conveniente usar FRACCIONESPARCIALES,metodo que a continuacion se detalla .
En primer lugar se debe factorizar el polinomio del denominador en la medida delo posible a lo mas en factores cuadraticos irreducibles,para el problema se tiene
4x2 + 9x° 1
x
3 + 2x2 ° x° 2=
4x2 + 9x° 1
(x + 1)(x° 1)(x + 2)
Una vez ejecutado el procedimiento y dado que en el denominador existen 3factores todos lineales se debe realizar una separacion en tres factores cada unode los cuales contendra dentro de cada denominador a uno de los factores lineales
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 26
y en su numerador respectivo a un polinomio de grado uno menos que el polinomiodel denominador en este caso una constante asi :
4x2 + 9x° 1
x
3 + 2x2 ° x° 2=
4x2 + 9x° 1
(x + 1)(x° 1)(x + 2)=
A
x + 1+
B
x° 1+
C
x + 2
Ahora el objetivo es hallar cada uno de los valores que representan a las constantesindicadas para asi de este modo simplificar la integracion
4x2 + 9x° 1
x
3 + 2x2 ° x° 2=
A(x + 2)(x + 1) + B(x° 1)(x + 1) + C(x° 1)(x + 2)
x
3 + 2x2 ° x° 2
como se tiene el mismo denominador al cancelarlos queda
4x2 + 9x° 1 = A(x + 2)(x + 1) + B(x° 1)(x + 1) + C(x° 1)(x + 2)
Existen dos formas de conseguir los valores de A,B, C una de ellas es tratando deigualar los coeficientes de los polinomios en ambos mienbros y la otra es tratandode dar valores arbitrarios al x de tal forma que se elimine por lo menos algunasde las variables y hallar las que quedan.En esta oportunidad realizare la segundaopcion y para esto
x = 1 °! A = 2
x = °1 °! C = 3
x = °2 °! B = °3
Por lo tanto
4x2 + 9x° 1
x
3 + 2x2 ° x° 2=
A
x + 1+
B
x° 1+
C
x + 2=
2
x + 1° 3
x° 1+
3
x + 2
=)Z
4x2 + 9x° 1
x
3 + 2x2 ° x° 2dx =
Z2
x + 1dx°
Z3
x° 1dx +
Z3
x + 2dx
= 2 ln |x° 1|° 3 ln |x + 2| + 3 ln |x + 1| + k
3. Resolver
Z1
1 + x
4
dx
Solucion
En esta integral es necesario recordar algunos metodos de integracion,recordemosque nuestro objetivo es factorizar la suma que aparece en el denominador como elproductos de factores o lineales o a lo mas en el de factores cuadraticos irreduciblesasi que completando cuadrados y haciendo uso de la diferencia de cuadrados setiene :
x
4 + 1 = x
4 + 2x2 + 1° 2x2 = (1 + x
2)2 ° 2x2
x
4 + 1 = (1 + x
2)2 ° (p
2x)2 = (x2 +p
2x + 1)(x2 °p
2x + 1)
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 27
asi de este modo usando fracciones parciales
1
x
4 + 1=
Ax + B
x
2 +p
2x + 1+
Cx + D
x
2 °p
2x + 1
de donde
1 = (A + C)x3° (p
2A + B +p
2C + D)x2 + (A°p
2B + C +p
2D)x + (B + D)
se obtiene el sistema de ecuaciones
A + C = 0
°p
2A +p
2C + B + D = 0
A + C °p
2B +p
2D = 0
B + D = 1
Del sistema se obtiene que :
A =
p2
4, C =
°p
2
2, B =
1
2, D =
1
2
=)Z
1
x
4 + 1dx =
p2
4
Zx
x
2 +p
2x + 1dx+
1
2
Z1
x
2 +p
2x + 1dx°
p2
4
Zx
x
2 °p
2x + 1+
1
2
Zdx
x
2 °p
2x + 1
4. Resolver Z(2x + 1)
x
3 ° 7x + 6dx
5. Resolver Z2x2 ° 1
x
3 ° x
dx
6. Resolver Z5x2 ° 11x + 5
x
3 ° 4x2 + 5x° 2dx
7. Resolver Zx + 1
x
3 + 4xdx
8. Resolver Z2x2
x
4 + x
2 + 1dx
9. Resolver Z1
x
2(x + 1)2
dx
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 28
10. Resolver Zx
5
(x2 + 4)2
dx
11. Resolver Z1
x(x3 + 1)dx
12. Resolver Z2x2 + 41x° 91
(x° 1)(x + 3)(x° 4)dx
13. Resolver Z2x2 ° 5
x
4 ° 5x2 + 6dx
14. Resolver Z4x3 + 4x2 ° 18x + 6
x
4 ° 3x3 ° x
2 + 3xdx
15. Resolver Zx
2 + x° 1
x
3 ° x
2 ° x + 1dx
16. Resolver Zx
6 ° 2x4 + 3x3 ° 9x2 + 4
x
5 ° 5x3 + 4xdx
17. Resolver Zx
3 + 4x + 1
x
4 + x
2 + 1dx
18. Resolver Z5x2 + 6x + 9
(x° 3)2(x + 1)2
dx
19. Resolver Zx + 1
x
3 ° 2x2 + 3xdx
20. Resolver Zx
3 + x
2 ° 5x + 15
(x2 + 5)(x2 + 2x + 3)dx
21. Resolver Z4x2 ° 8x
(x° 1)2(x2 + 1)2
dx
22. Resolver Z2x2 + 1
x
3 ° x
2 ° 5x° 3dx
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 29
23. Resolver Z4x2 + 6
x
3 + 3xdx
24. Resolver Zx
3 + x° 1
(x2 + 2)2
dx
Metodo de Hermite-OstrogradskiUsando para integrales que presentan el tipo :
ZAx + B
(x2 + bx + c)n
dx , n 2 N, n ∏ 1
siendo x
2 + bx + c una cuadratica irreduciblePara esto se debe considerar :
ZAx + B
(x2 + bx + c)n
dx =P (x)
(x2 + bx + c)n°1
+
ZCx + D
x
2 + bx + c
dx
Donde :P (x) es un polinomio de grado uno menos que su denominador ,C,D 2 R
La explicacion del procedimiento se detalla en el siguiente ejemplo :Z
dx
(x2 + 1)2
=Ax + B
(x2 + 1)+
ZCx + D
x
2 + 1dx
Para hallar las constantes A,B,C,D debemos integrar ambos mienbros ası tenemos:
1
(x2 + 1)2
=A(x2 + 1)° 2x(Ax + B)
(x2 + 1)2
+(Cx + D)
(x2 + 1)
1
(x2 + 1)2
=A(x2 + 1)° 2x(Ax + B)
(x2 + 1)2
+(Cx + D)(x2 + 1)
(x2 + 1)2
Luego
1 = Ax
2 + A° 2Ax
2 ° 2Bx + Cx
3 + Cx + Dx
2 + D
De aquı
A = 1 , B = 0 , C = 0 , D = 1
reemplazandoZ
dx
(x2 + 1)2
=x
x
2 + 1+
Z1
x
2 + 1dx =
x
x
2 + 1+ arctan x
=x
2 arctan x + arctan x + x
x
2 + 1
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 30
Ademas en el caso en el que el denominador de la fucnion racional P (x)
Q(x)
tengafactores de multiplicidad
P (x)
Q(x)dx =
f(x)
Q
1
(x)+
Zg(x)
Q
2
(x)dx
Donde Q
1
(x) es el maximo comun divisro de los polinomios Q(x) y de su derivadaQ
0(x) y Q
2
(x) = Q(x)
Q1(x)
.Ademas f(x) y g(x) son polinomios con coeficientes indtermi-
nados ,cuyos grados son menores en una unidad que los polinomios Q
1
(x) y Q
2
(x)respectivamente.
Ejemplo : Resolver Zdx
(x + 1)2(x2 + 1)2
Se observa que :
Q(x) = (x + 1)2(x2 + 1)2 =) Q
0(x) = 2(x + 1)(x2 + 1)(3x2 + 2x + 1)
Luego
Q
1
= (x + 1)(x2 + 1)
yQ(x)
Q
1
(x)= (x + 1)(x2 + 1)
Zdx
(x + 1)2(x2 + 1)2
=Ax
2 + Bx + C
(x + 1)(x2 + 1)+
ZDx
2 + Ex + F
(x + 1)(x2 + 1)dx
Derivando ambos mienbros y resolviendo se obtiene :
A =°1
4, B =
1
4, C = 0 , D = 0 , E = °1
4, F =
3
4Z
dx
(x + 1)2(x2 + 1)2
=°x
2 + x
4(x + 1)(x2 + 1)+
Z °x + 3
4(x + 1)(x2 + 1)dx
=°x
2 + x
4(x + 1)(x2 + 1)+
1
2ln |x + 1|° 1
4ln |x2 + 1| + 1
4arctan x + c
Ejercicios
1. Z4x2 ° 8x
(x° 1)2(x2 + 1)dx
2. Z(x2 ° 1)2
(x + 1)(1 + x
2)3
dx
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 31
3. Z1
x
4(x3 + 1)2
dx
4. Zx + 2
((x2 + 2x + 2)3)dx
5. Z1
(x4 ° 1)2
dx
6. Z1
(x2 + 1)4
dx
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 32
0.9. Integracion de funciones Racionales de Seno yCoseno
Las integrales el tipo Zf(sin x, cos x)dx
donde f es una funcion racional.Generalmente se resuelve haciendo uso del siguientecambio de variables:
tan(x
2) = t °! x = 2 arctan t °! dx =
2
1 + t
2
dt
sin(x
2) =
tp1 + t
2
cos(x
2) =
1p1 + t
2
sin x = sin 2(x
2) = 2 sin(
x
2) cos(
x
2) =
2t
1 + t
2
cos x = cos 2(x
2) = cos2(
x
2)° sin2(
x
2) =
1° t
2
1 + t
2
Si este cambio convierte la integral en una muy complicada se debe tener en cuenta losiguiente :
1. Si f es impar respecto a sin x es decir
f(° sin x, cos x) = °f(sin x, cos x)
entonces realizar la sustitucioncos x = t
2. Si f es impar respecto a cos x es decir
f(sin x,° cos x) = °f(sin x, cos x)
entonces realizar la sustitucionsin x = t
3. SI f es par con respecto a sin x y cos x es decir
f(° sin x,° cos x) = f(sin x, cos x)
entonces la sustitucion estan x = t
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 33
1. Resolver
Zdx
(2 + cos x° 2 sin x) sin x
dx Usaremos
tan(x
2) = t °! x = 2 arctan t °! dx =
2
1 + t
2
dt
sin(x
2) =
tp1 + t
2
cos(x
2) =
1p1 + t
2
sin x = sin 2(x
2) = 2 sin(
x
2) cos(
x
2) =
2t
1 + t
2
cos x = cos 2(x
2) = cos2(
x
2)° sin2(
x
2) =
1° t
2
1 + t
2
=)Z
dx
(2 + cos x° 2 sin x) sin x
dx =
Z1
(2 + 1
°t
21 + t
2 ° 4t
1+t
2 )(2t
1+t
2 )(
2dt
1 + t
2
)
=
Z1 + t
2
t(t2 ° 4t + 3)dt =
Z1 + t
2
t(t° 3)(t° 1)dt
Usando fracciones parciales
1 + t
2
t(t° 3)(t° 1)=
A
t
+B
t° 3+
C
t° 1
=) A =1
3, B =
5
3, C = °1
=1
3
Z1
t
dt +5
3
Z1
t° 3dt° 2 1
t° 1tdt
=1
3ln |t| + 5
3ln |t° 3|° ln |t° 1| + k
2. Resolver Z2° sin x
2 + cos x
dx
3. Resolver Z1
(2 + cos x)(3 + cos x)dx
4. Resolver Zsin(2x)
sin4
x + cos4
x
dx
5. Resolver Z1
1° sin4
x
dx
6. Resolver Z1
(sin x + 2 sec x)2
dx
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 34
7. Resolver Zsec x
2 tan x + sec x° 1dx
8. Resolver Zsin x + 2 cos x° 3
sin x° 2 cos x + 3dx
9. Resolver Zsin2
x
1° tan x
dx
10. Resolver Z1
sin x + cos x + 2dx
11. Resolver Z1
5 + 3 cos x
dx
12. Resolver Z1
(sin x + cos x)2
dx
13. Resolver Zdx
1 + sin x + cos x
14. Resolver Zcos x
1 + 2 cos x
dx
15. Resolver Z1
4 sin x° 3 cos x
dx
16. Resolver Zsec x
2 tan x + sec x° 1dx
17. Resolver Z1
tan2 + sin2
x
dx
18. Resolver Zsin2
x
1° tan x
dx
19. Resolver Zcos(2x)
sin4
x + cos4
x
dx
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 35
0.10. Integracion de Funciones Irracionales
De la misma forma que la integracion de funciones Racionales no existe metodogeneral para el calculo de las mismas,lo primero que se debe buscar en una integraldel tipo irracional es convertirla en una racional y tal cambio se logra realizando con-venientemente un cambio de variable;no siempre es posible hacer esto por esta razondetallamos el procedimiento de algunos de los tipos mas encontrados a la hora decalcular una integral irracional.
1. Zx
2 +p
1 + x
3p
1 + x
dx
haremos un cambio de variable
1 + x = u
6 =) dx = 6u5
du
Zx
2 +p
1 + x
3p
1 + x
dx =
Z(u6 ° 1)2 + u
3
u
2
(6u5
du) =
Z(u12 ° 2u6 + 1 + u
3)6u3
du
= 6
Z(u15 ° 2u9 + u
3 + u
6)du = 6(u
16
16° 2u10
10+
u
4
4+
u
7
7) + k
regresando a la variable original
= 6((x + 1)16
16° 2(x + 1)10
10+
(x + 1)4
4+
(x + 1)7
7) + k
2. Integrales del tipo Zax + bp
cx
2 + dx + e
dx
Donde cx
2 + dx + e tiene discriminante distinto cero
Resolver la siguiente integral
Zx + 2p
4° 2x° x
2
dx observemos en primer lugar que
el discriminante del polinomio cuadratico que se encuentra dentro del radical es(°2)2 ° 4(°1)(4) = 20 6= 0,primero completemos cuadrados en el polinomio deldenominador e inmediatamente debemos dar forma ala expresion lineal que seencuentra en el numerador tratando de que aparezca el factor lineal que esta el-evado al cuadrado y que esta en el denominador el cual aparecio al momento decompletar cuadrados
Zx + 2p
5° (x + 1)2
dx =
Z(x + 1) + 1p5° (x + 1)2
dx
Luego de realizar la separacion conveniente realizar un cambio de variable enambas integrales
Zx + 1p
5° (x + 1)2
dx +
Z1p
5° (x + 1)2
dx
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 36
En la primera integral hacemos el cambio de variable
u
2 = 5° (x + 1)2 =) 2udu = °2(x + 1)dx
Ası se tieneZ
x + 1p5° (x + 1)2
dx =
Z °u
u
du = °u = °p
5° (x + 1)2
En la segunda integral al hacer
u = x + 1 =) du = dx
se tiene la integral conocidaZ
1p5° (x + 1)2
dx =
Z1p
5° u
2
du = arcsin(up5)
3. Integrales de la forma ZP
n
(x)pax
2 + bx + c
dx
(1)
Donde P
n
(x) es un polinomio de grado n
ZP
n
(x)pax
2 + bx + c
dx = Q
n°1
(x)p
ax
2 + bx + c + ∏
Zdxp
ax
2 + bx + c
Donde Q
n°1
(x) es un polinomio de grado n ° 1 con coeficientes indeterminadosy ∏ se encuentra derivando (1)
Resolver la siguiente integral
Zx
2
px
2 ° x + 1dx
La integral es del tipo en mencion el polinomio que se encuentra en el numeradorP
n
(x) es de segundo grado asi de este modo adecuando los datos se tiene :
Zx
2
px
2 ° x + 1dx = (Ax + B)
px
2 ° x + 1 + C
Zdxp
x
2 ° x + 1
Como nuestro objetivo es hallar las cosntantes lo primero que se debe reazlizares la derivacion en ambos mienbros
x
2
px
2 ° x + 1= A
px
2 ° x + 1 + (Ax + B)(2x° 1)
2p
x
2 ° x + 1+
Cpx
2 ° x + 1
2x2 = 2A(x2 ° x + 1) + (Ax + B)(2x° 1) + 2C
2x2 = (4A)x2 + (°3A + 2B)x + (2A°B + 2C)
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 37
del sistema que se forma se obtiene que :
A =1
2, B =
3
4, C =
°1
8
De aquıZ
x
2
px
2 ° x + 1dx = (
1
2x +
3
4)p
x
2 ° x + 1° 1
8
Zdxp
x
2 ° x + 1
para resolver la integral Zdxp
x
2 ° x + 1
Tan solo se completa cuadrados y se realiza un cambio de variableZ
dxpx
2 ° x + 1=
Z1q
(x° 1
2
)2 + 3
4
dx
sea
u = x° 1
2=) du = dx
Z1q
(x° 1
2
)2 + 3
4
dx =
Z1q
u
2 + 3
4
du = ln |u +
ru
2 +3
4|
=)Z
1q(x° 1
2
)2 + 3
4
dx = ln |(x° 1
2) +p
x
2 ° x + 1|
LuegoZ
x
2
px
2 ° x + 1dx = (
1
2x +
3
4)p
x
2 ° x + 1° 1
8ln |(x° 1
2) +p
x
2 ° x + 1| + k
4. Integrales de la formaZ
dx
(ex + f)n
pax
2 + bx + c
, n≤Z
+
Este tipo de integrales se resuelve realizando el cambio de variable
t =1
ex + f
Resolver
Zdx
(x + 1)3
px
2 + 2x° 3
t =1
x + 1=) x =
1
t
° 1 =) dx = ° 1
t
2
dt
Zdx
(x + 1)3
px
2 + 2x° 3=
Zt
3
1q(1
t
° 1)2 + 2(1
t
° 1)° 3(°1
t
2
)dt
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 38
= °Z
t
2
p1° 4t2
dt
El cambio de variable transformo la integral en una del tipo anterior ası queejecutamos el procedimiento para tal tipo.
Zt
2
dtp1° 4t2
= (At + B)p
1° 4t2 + C
Zdtp
1° 4t2
Derivando ambos mienbros
t
2
p1° 4t2
= A
p1° 4t2 + (At + B)(
°4tp1° 4t2
) + C(1p
1° 4t2)
t
2 = A(1° 4t2)° 4t(At + B) + C
De donde
A =°1
8, B = 0, C =
1
8
5. Integrales de la forma Zx
m(a + bx
n)p
dx
LLamadas INTEGRALES DEL BINOMIO DIFERENCIAL donde m,n, p
son numeros racionales a y b son numeros reales distintos de cero.Para calcularestas integrales se aplica las condiciones de CHEBICHEV y mediante este cri-terio a la integral se puede expresar como una combinacion finita de funcioneselementales solamente en los tres casos siguientes :
a) Si p es un numero entero ,hacemos
x = z
s
siendo s el comun denominador de los exponentes fraccionarios m y n de lavariable x
b) Cuando m+1
n
es un numero entero en este caso
z
s = a + bx
n
donde s es el divisor de la fraccion de p
c) Cuando m+1
n
+ p es un numero entero ,en este caso hacer
z
s = ax
°n + b
donde s es el divisor de la fraccion de p.
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 39
1) Resolver Zx
3(1 + 2x2)°32
dx
Haciendo una identificacion de los datos se tiene :
m = 3, a = 1, b = 2, n = 2, p = °3
2
m + 1
n
=3 + 1
2= 2
=) z
2 = 1 + 2x2
Luego 2zdz = 4xdx
Zx
2(1 + 2x2)°32
xdx =
Z(z
2 ° 1
2)(z2)
°32 (
zdz
2)
=1
4
Z(1° z
°2)dz =1
4(z +
1
z
) + k
2) Resolver Zdx
px
3
3p
1 + 4p
x
3
=
Zx
°32 (1 + x
34 )°13
dx
aquı m = °3
2
, n = 3
4
, p = °1
3
m + 1
n
=°3
2
+ 13
4
=°2
3
como el numerador obtenido no es entero se debe considerar
m + 1
n
+ p =°2
3° 1
3= °1
Luego
z
3 = x
°34 + 1 =) x =
1
(z3 ° 1)43
=) dx = °4z2(z3 ° 1)°73
dz
Por lo queZ
x
°32 (1 + x
34 )°13
dx =
Z((z3 ° 1)
°43 )
°32 (1 +
1
z
3 ° 1)°13 (°4z2(z3 ° 1)
°73 )dz
= °4
Z(z3 ° 1)2+
13°
73zdz = °4
Zzdz = °2z2 + k
3) Resolver Zdx
1 +p
1° 2x° x
2
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 40
4) Resolver Z3
r1° x
1 + x
dx
x
5) Resolver Zdxp
x( 4p
x + 2)10
6) Resolver Zdx
x
7(1 + x
7)17
7) Resolver Zdx
(x + 2)p
x + 1
8) Resolver Zx
2 +p
1 + x
3p
1 + x
dx
9) Resolver Zx
2
px
2 ° x + 1dx
10) Resolver Zdx
(x + 1)3
px
2 + 2x° 3
11) Resolver Zdxp
x + 3p
x
12) Resolver Ze
2x
dx
4p
e
x + 1
13) Resolver Zdx
x
3p
x
2 + 4
14) Resolver Zdx
(x° 1)3
px
2 + 3x + 1
15) Resolver Zdx
3p
1 + x
3
16) Resolver Ze
2x
4p
e
x + 1dx
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 41
17) Resolver Z1°
p3x + 2
1 +p
3x + 2dx
18) Resolver Z1p
x + 1 + 4p
x + 1dx
19) Resolver Z q2 +
pxdx
20) Resolver Z2 + xp
4° 2x° x
2
dx
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 42
0.11. Aplicaciones de Integracion Indefinida
Economicas1. PROPENSION MARGINAL AL CONSUMO Suponga que la funcion de
consumo para cierto paıs es c(x), donde x es el ingreso nacional disponible. En-tonces la propension marginal al consumo esc0(x). Suponga que x y c ambas semiden en miles de millones de dolares y
c
0(x) = 0,9 + 0,3p
x
Si cuando x = 0 el consumo es de 10 mil millones de dolares, determine c(x).
2. COSTO MARGINAL En cierta fabrica, el costo marginal es 3(q° 4)2 dolarespor unidad cuando el nivel de produccion es q unidades.
a) Exprese el costo total de produccion en funcion de los gastos indirectos (elcosto de producir 0 unidades) y el numero de unidades producidas.
b) ¿Cual es el costo de producir 14 unidades si el gasto indirecto es de 436dolares?
3. INGRESO El ingreso marginal por la venta de x unidades de un cierto artıculose estima que sera
R
0(x) = 50 + 3,5xe
°0,01x
2
Dolares por unidad, donde R(x) es el ingreso en dolares.
a) Determine R(x), suponiendo que R(0) = 0.
b) ¿Que ingreso se espera por la venta de 1000 unidades?
4. Depreciacion El ritmo de depreciacion dV
dt
de una maquina es inversamenteproporcional al cuadrado de t+1,siendo V el valor a los t anos de su adquisicion.Siel valor inicial era 500 000 dolares y su valor decrecio 100 000 en el primerano,estimar su valor los cuatro anos despues de su compra.
5. Desembolso El ritmo de desembolso dQ
dt
de una subvencion estatal de 2 millonesde dolares es proporcional al cuadrado de 100 ° t .El tiempo t se mide en dıas(0 ∑ t ∑ 100) y Q es la cantidad que resta por desembolsar.Calcular la cantidadque resta por desembolsar tras 50 dıas,suponiendo que el desembolso se realizaen 100 dıas.
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 43
6. Funcion de costo
Suponga que la funcion de costo Marginal para el producto de un fabricante estadada por :
dc
dq
=100q2 ° 4998q + 50
q
2 ° 50q + 1
donde C(x) es el Costo Total en dolares cuando se producen q unidades.si losCostos Fijos son de 10 000 dolares encuentre el costo de producir 100 unidades.
7. Funcion de costo
La Funcion de Costo Marginal para el producto de un fabricante esta dada por :
dc
dq
=9
10
pq
q0,04q
34 + 4
donde C es el costo total en dolares cuando se producen q unidades.Los costosfijos son de 360 dolares .
a) Determine el costo marginal cuando se producen 25 unidades.
b) Encuentre el costo total de producir 25 unidades.
8. Funcion de Ingreso EL Ingreso marginal de una empresa esta dada por lasiguiente expresion :
R
0(x) =e
2x
p1 + e
x
determine el Ingreso para 200 unidades.
9. Funcion de Ingreso La funcion de Ingreso marginal para el producto de unfabricante esta dado por :
dr
dq
=1
e
q ° 1
Calcule el ingreso total.
10. Produccion Total
La Razon de produccion de un pozo en barriles diarios varıa de acuerdo con lasiguiente formula
P
0(t) =1200000
(t + 1600)32
donde t es el tiempo (en dıas) a partir del inicio de la produccion.Calcule la Pro-duccion Total hasta el tiempo t,tambien encuentre la Produccion Total disponiblees decir
lımt°!1
P (t)
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 44
11. El dinero depositado en cierto banco se incrementa de tal manera que la razonde cambio del saldo es igual al 7% del saldo en ese instante. Ademas si en uninicio se hizo un deposito de $3500 cuanto se obtiene al cabo de 18 meses.
12. La relacion entre el precio p y la cantidad demandada x es tal que la tasa dedisminucion en la demanda, a medida que el precio aumenta, es proporcional a lacantidad demandada e inversamente proporcional a la suma del precio mas unaconstante. Encontrar la funcion de demanda si p = p
0
cuando x = 1.
Geometricas13. La pendiente de la recta tangente en cualquier punto (x, y) de esta curva es 3
px
, si el punto (9,4) esta en la curva ,encontrar una ecuacion de la curva.
14. Halle una funcion y = f(x) dos veces derivable que cumpla lo siguiente :
y
00 = 4x°3 y la ecuacion de la recta tangente a su grafica en el punto (1,3) esy + 2x = 5
15. La pendiente de la recta tangente en cualquier punto (x, y) en una curva es 10°4xy el punto (1,-1) esta en la curva.Encontrar una ecuacion de la curva
16. Si f
00(x) = °af(x) y g
00(x) = bg(x) ,donde a y b son constantes encontrar laintegral Z
f(x)g00(x)dx
TRAYECTORIAS ORTOGONALES Dada una curva f(x) otra curva g(x)sera ortogonal a esta en x
0
si se cumple :
f
0(x0
) · g0(x0
) = °1
17. Hallar las trayectorias ortogonales de las siguientes familias de curvas
e
x + e
°y = c
18. Encontrar las trayectorias ortogonales de todas las parabolas con vertice en elorigen y foco sobre el eje X
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 45
g(x)
f(x)
x0
L T
LT g(x )0
0f(x )
RectaTangenteen g(x )
RectaTangenteen f(x )
19. Encontrar las trayectorias ortogonales de la familia de circunferencias de centroen el origen de coordenadas
20. Encuentre las trayectorias ortogonales de la familia de curvas.
a)y = kx
2
b)y = (x + k)°1
c)y = ke
°x
21. Encuentre las trayectorias ortogonales asociadas a lafamilia de curvas y
3 = kx
2
22. Encuentreel valor de la constante a ,de tal forma que las familias
y
3 = c
1
x , x
2 + ay
2 = c
2
sean ortogonales
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 46
Fısicas23. CONTAMINACION DEL AGUA Un derrame de petroleo en el oceano tiene
una forma aproximadamente circular, con radio R(t) pies, t minutos despues delinicio del derrame. El radio crece a una tasa de
R
0(t) =21
0,07 + 5
a) Determine una expresion para el radio R(t), suponiendo que R = 0 cuandot = 0
b) ¿Cual es el area A = ºR
2 del derrame despues de 1 hora?
24. CONCENTRACION DE UN MEDICAMENTO La concentracion C(t) enmiligramos por centımetro cubico mg
cm
3 de un medicamento en el torrente sanguıneode un paciente es de 0,5 mg
cm
3 inmediatamente despues de una inyeccion y t minutosmas tarde disminuye a la tasa de
C
0(t) =°0,01e0,01t
(e0,01t + 1)2
mg
cm
3 por minuto.
Se aplica una nueva inyeccion cuando la concentracion es menor que 0.05 mg/cm3.Determine una expresion para C(t). ¿Cual es la concentracion despues de 1 hora?¿Cual es despues de 3 horas?
25. Aceleracion :
Un automovil tarda 13 segundos en acelerar de 25 km/h a 80 km/h.Suponiendoaceleracion constante,calcular:
a) La aceleracion enm
s
2
b) La distancia que recorre en esos 13 segundos.
26. Movimiento
La velocidad de una partıcula que se desplaza a lo largo de una recta en el instante
v(t) = t
p1 + t
2
Determine la distancia recorrida por la partıcula desde el instante t
1
=p
8 hastat
2
=p
24.
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 47
27. Movimiento Vertical
Raul arroja una piedra hacia arriba,desde el suelo.La piedra alcanza una alturamaxima de 225 pies.¿Cual era su velocidad inicial?
28. Movimiento Vertical
Se lanza una bola verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidadinicial de 60 pies/s
2.¿Que altura alcanza? .
(Despreciar la resistencia del aire y tomar a(t) = °32pies/s2)
29. Movimiento Vertical
De lo alto de un edificio de 100 pies de altura se suelta una piedara.En funciondel tiempo,determinar la posicion y la velocidad con que cae y,luego , el instanteque toca suelo y la velocidad con que lo hace.
30. Movimiento Vertical
De una altura a 2 m del suelo y con una velocidad de 10 m/seg,se lanza vertical-mente hacia arriba una pelota.Determine la altura que alcanzara la pelota y elinstante que llege al suelo.
31. Crecimiento de un arbolUn vivero suele vender los arboles tras 6 anos decrecimiento.El ritmo de crecimiento en esos 6 anos viene dado por :
dh
dt
= 1, 5t + 5
donde t es el tiempo en anos y h es la altura en cm.en el momento de plantarlosmiden 12 cm.
Calcular su altura tras t anos y en el momento de ser vendidos.
32. Crecimiento de una Poblacion El ritmo de crecimiento dP
dt
de una poblacionde bacterias es proporcional a la raız cuadrada de t ,donde p es el tamano de lapoblacion y t es el tiempo en dias (0 ∑ t ∑ 10).El tamano de la poblacion es500.Tras un dıa ha crecido hasta 600.Estimar la poblacion a los 7 dıas
33. Ley de Enfriamiento de Newton Un termometro que marca 18oF ,se llevaa una cuarto cuya temperatura es de 70oF,un minuto despues la lectura deltermometro es de 31oF.Determınese las temperaturas medidasd como una funciondel tiempo y en particular encontrar la temperatura que marca el termometrocinco minutos despues que se lleva al cuarto.
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 48
34. Ley de Enfriamiento de Newton Un quımico desea enfriar desde 80oC hasta60oC una sustancia contenida en un matraz,se coloca el dispositivo en un recipi-ente ampilo por el que circula agua a 15oC.Se observa que despues de 2 minutosla temperatura ha descendido a 70oC.Estimar el tiempo total de enfriamiento.
35. Ley de Enfriamiento de Newton Dentro de cuanto tiempo la temperaturade un cuerpo calentado hasta 100oC descendera hasta 30oC.Si la temperatura dellocal es de 20oC y durante los primeros 20 minutos el cuerpo en cuestion se enfrıahasta 60oC.
36. Un termometro que esta inicialmente en el interior de una habitacion se lleva alexterior donde la temperatura es aproximadamente constante a 15oC. Despuesde un minuto marca 30oC y despues de 10 minutos marca 20oC. De acuerdo a laley de Newton ¿Cual era la temperatura de la habitacion?
37. Una masa de metal se extrae de un horno a 1000oC y se pone a enfriar en un lugarcuya temperatura se mantiene aproximadamente constante a 30oC. Despues de10 horas su temperatura desciende a 200oC ¿Cuanto tardara en llegar a 31oC? ¿Llegara en algun instante la temperatura a ser igual a la temperatura ambientede 30oC? Justifique su respuesta.
LEY DE DESINTEGRACION RADIOACTIVA La rapidez de cambio dedesintegracion de una sustancia radioactiva de una sustancia es proporcional,encualquier instante,a la cantidad de sustancia que esta presente.
Vida Media de una sustancia radioactiva .Se define como el tiempo que trasncurrepara que desaparezca el 50 por ciento de la sustancia.
38. Una cierta sustancia radioactiva tiene una media de 38 horas.Encontrar que tantotiempo toma el 80 por ciento de la radioactividad para disiparse.
39. En una poblacion bacteriana B se sabe que tiene un taza de crecimiento pro-porcional a B misma , si entre medio dıa y las 2 p.m.la poblacion se triplica.Aque tiempo,sino se efectua ningun control ,B sera 100 veces mayor que el mediodia.
40. Vida Media Un cierto material radiactivo tiene una vida media de dos ho-ras.Encuentre el intervalo de tiempo requerido para que una cantidad dada deeste material decaiga hasta un decimo de su masa original.
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 49
41. Vida Media Si el 45 por ciento de una sustancia radiactiva se desintegra en 200anos.¿Cual es su vida media?.¿En cuanto tiempo se desintegrara 60 por cientode la cantidad original?
42. Bacterias en un cierto cultivo incrementan a una tasa proporcional al numero pre-sente.Si el numero original se incrementa en 50 porciento en 2 horas.¿En cuantotiempo se espera tener dos veces el numero original?
43. Encuentre la vida media de una sustancia radioactiva si el 20 % de esta desapareceen 5 anos.
44. El uranio se descompone a una velocidad proporcional a la cantidad presente. Siinicialmente hay 10 gramos y despues de dos horas se ha perdido el 5% de sumasa original, hallar la cantidad restante de uranio como funcion del tiempo yLa cantidad de uranio despues de 5 horas.
45. Crecimiento de un arbol:
Un vivero suele vender los arboles tras 6 anos de crecimiento.EL ritmo de crec-imiento en esos 6 anos viene dado por:
dh
dt
= 1, 5t + 5
donde t es el tiempo en anos y h la altura en cm.En el momento de plantarlos,miden 12 cm(en t = 0)
a) Calcular su altura tras t anos
b) ¿Que altura tienen en el momento de ser vendidos?
46. Crecimiento de una poblacion:
El ritmo de crecimiento dP
dt
de una poblacion de bacterias es proporcional a laraız cuadrada de t ,donde P es el tamano de la poblacion y t el tiempo en dıas(0 ∑ t ∑ 10).El tamano inicial es 500.Tras un dıa ,ha crecido hasta 600.Estimarla poblacion a los 7 dıas.
47. Crecimiento Logistico En la ley de crecimiento Logıstico se supone que altiempo t la tasa de crecimiento
f
0(t) = Af(t)(B ° f(t))
donde A y B son constantes .Si f(0) = C calcular f(t).
Docente : Hebeth Cueva Valladolid 50
48. La poblacion de Cali era de 200 mil habitantes en 1,950 (t = 0) y de 1 millon en1,985 (t = 35). Si en cada instante crece con rapidez proporcional a la poblacionexistente en ese instante, ¿en que ano la poblacion de Cali excedera los 5 millonesde habitantes?
49. Los experimentos muestran que el radio se desintegra a una rapidez proporcionala la cantidad de radio instantaneamente presente. Su vida media, es de 1590 anos.¿Que porcentaje desaparecer´a en 1 ano?
50. Supongase que en un cultivo de levadura, en cada instante la rapidez de cambiorespecto al tiempo del fenomeno activo y(t) es proporcional a la cantidad exis-tente. Si y(t) se duplica en dos horas, ¿cuanto puede esperarse al final de 8 horas,a la misma rapidez de crecimiento?