guía 2
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Gua 2.- Definicin de Funcin En esta segunda gua trataremos la definicin de funciones de variable compleja y la determinacin de los dominios de las mismas, se recomienda leer con cuidado y buscar ms material de apoyo.
Abril
2010
Lic. Marcos Lizana A. Gua para Ingenieros de la UNEFA-Los Teques.
01/04/2010
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La Funcin Compleja
FUNCIN COMPLEJA
En Clculo se estudio ampliamente el concepto de Funciones Real de
variable Real, entonces a modo de repaso podemos ver que el decir funcin de ,
esto es, que , significa que dado un valor de , disponemos de un mtodo
para determinar un valor de . Decimos que es la variable independiente e la
variable dependiente de la relacin. Generalmente, para trazar una grfica usted
construy una tabla o lista de datos dando valores a y determinando los de ,
por medio de la relacin que se cumple.
Adems de las tablas existen otras formas de expresar una relacin
funcional. El mtodo ms comn consiste en describir la relacin por medio de una
ecuacin matemtica, como las que ya usado en otras materias, y en ese caso
proporciona un valor de para cada valor de , claro est que debe tener las
precauciones pertinentes a cuales son los elementos del dominio de la funcin.
La expresin funcin multiforme (o multivaluada) es un trmino que
usaremos ocasionalmente a partir de ahora en este curso. Con la finalidad de que
recuerde esto, veamos que ocurre con funciones como , al asignar valores
a debemos tomar solamente valores positivos y obtenemos para cada valor dos
posibles resultados, uno positivo y otro negativo, que difieren solo en el signo.
Debido a que ocurre esto con esta ecuacin, el cual define dos valores para una
misma variable y no uno solo, no define por si sola una funcin de .
La manera ms sencilla de visualizar la mayora de las relaciones
funcionales es por medio de una grfica y, sin duda alguna, a aprendido a
realizarla en los cursos anteriores a est, si no est totalmente empapado de el
mtodo de graficacin sera bueno que por su cuenta lo repase.
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Algunos de estos conceptos, pero no todos, se aplican tambin al estudio
de las funciones de una variable compleja. Aqu se usa una variable
independiente, por lo regular , que toma valores complejos. Consideraremos en
general funciones definidas en algn
dominio o regin del plano complejo. A
cada valor de perteneciente a esta regin
le corresponder un valor de la variable
dependiente, llamemosla , y diremos que
es funcin de , es decir, que
en esta regin, a menudo la regin ser
todo el plano complejo. Es de suponer que
, como , puede tomar valores complejos,
reales o imaginarios puros. A continuacin
se presentan algunos ejemplos.
Regin en que est definida
a) Todo el plano
b) Todo el plano
c) Todo el plano
d) Todo el plano, salvo
A menudo la expresin de , en trminos de e , puede volverse a
escribir fcilmente en trminos de ; en otros casos la notacin resulta
incmoda. Sea como sea, las identidades
Son tiles si queremos pasar de las variables a .
Con frecuencia se usa el trmino dominio de definicin (de una funcin) para describir el conjunto de valores de la variable independiente para los cuales la funcin est definida. Un dominio en este sentido puede o no ser un dominio en el sentido que hemos dado a este trmino (es decir, como lo definimos para valores de funciones reales)
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Ejemplo
Exprese en trminos de con
Solucin:
Por medio de las ecuaciones planteadas antes del ejemplo, escribimos de nuevo
lo anterior en la forma
Esta es la respuesta.
En general, tiene parte real y parte imaginaria, y podemos escribir la
funcin en la forma , o bien , donde
y son funciones reales de las variables e .
En el ejemplo tenemos
y
Una diferencia entre una funcin de una variable compleja y
una funcin real de una variable real es que mientras, en general, la
relacin puede representarse grficamente en el plano cartesiano, no es
tan fcil elaborar la grfica de una funcin compleja. Se requieren dos nmeros
e para definir un valor cualquiera y otros dos nmeros para los valores de y
correspondientes. As pues, en general se requiere un espacio de cuatro
dimensiones para representar en forma grfica; dos dimensiones
corresponden a la variable independiente y las otras dos a la variable
dependiente .
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Evidentemente una grfica de cuatro dimensiones no es un medio
conveniente para estudiar una funcin. Es preciso recurrir a otros mtodos para
visualizar , sin embargo, vamos a dar un breve vistazo a un mtodo. Se
representan, uno junto a otro, dos planos coordenados: el plano con ejes e , y
el plano con ejes y . Consideremos ahora un nmero complejo
perteneciente a una regin del plano en que est definida. El valor de
que corresponde a es . Denotamos por . Ahora representamos
grficamente los nmeros y en los planos y , respectivamente.
Decimos que el nmero complejo es la imagen de bajo la
transformacin y que los puntos y son imgenes uno del otro.
Ejercicio2
1. Suponga que .
Diga en qu punto o puntos de cada uno de los siguientes dominios no est definida
a)
b)
c)
d)
2) Para cada una de las siguientes funciones calcule
a)
b)
c)
d)
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3) Escriba las siguientes funciones de en la forma ), donde y son funciones
reales explcitas de e .
a)
b)
c)
d)