GUÍA DE ESTUDIO DE MATEMÁTICAS I - UNEDCurso 2012/2013 Dr. Alberto A. Álvarez López Javier Sanz...

GUÍA DE ESTUDIO DE MATEMÁTICAS I2ª PARTE

PLAN DE TRABAJO Y ORIENTACIONES PARA SU DESARROLLO

Grado en Administración y Dirección de Empresas

Curso 2012/2013

Dr. Alberto A. Álvarez LópezJavier Sanz Pérez

2 Matemáticas I (Grado de ADE)

Universidad Nacional de Educación a Distancia

Índice

I Presentación y plan de trabajo 5Esquema – resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1. Presentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Plan de trabajo y plan de actividades . . . . . . . . . . . . . . 10

II Orientaciones para el estudio de los contenidos 13Esquema – resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Observaciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1. Tema I: Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2. Tema II: Aplicaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3. Tema III: Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4. Tema IV: Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . 37

5. Tema V: Sucesiones de números reales . . . . . . . . . . . . . 41

III Orientaciones para la realización del plan de activida-

des 51Esquema – resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1. Orientaciones sobre las actividades . . . . . . . . . . . . . . 53

I

PRESENTACIÓN Y PLAN DE

TRABAJO


ESQUEMA – RESUMEN

1. Presentación 7Contextualización de la asignatura . . . . . . 7Presentación de los contenidos . . . . . . . . 7Bibliografía básica de la asignatura . . . . . . 9Bibliografía complementaria de la asignatura . 9

2. Plan de trabajo y plan de actividades 10De qué tiempo disponemos. . . . . . . . . . 10

En qué orden estudiar los temas . . . . . . . 10Qué tiempo dedicar a cada tema . . . . . . . 11

Cómo distribuir el tiempo: plan de activida-des . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11


Equipo Docente 7

1 PRESENTACIÓN

Contextualización de la asignatura La asignatura de Matemáticas I del Grado

en Administración y Dirección de Empresas se estudia en el primer cuatrimestre de

su primer curso. Pertenece al grupo de asignaturas de formación básica de que consta

el título, y aporta 6 créditos ECTS, que suponen 150 horas de trabajo del estudiante.

En esta asignatura se inicia el estudio de las herramientas básicas de Matemáticas

que el alumno necesitará en el resto del Grado. En particular, sus contenidos serán

necesarios para las futuras asignaturas de Matemáticas, Estadística y Econometría,

así como para las de Teoría Económica (Microeconomía y Macroeconomía), aunque

también encuentran aplicación directa en el mundo de la Empresa.

La asignatura forma parte de la materia de Métodos Cuantitativos para la Em-

presa. Esta materia aporta 36 créditos ECTS (lo que implica un total de 900 horas de

trabajo por parte del estudiante), y se desarrolla en seis asignaturas que se imparten

sucesivamente en los primeros seis cuatrimestres del plan de estudios del Grado. La

asignatura de Matemáticas I es la primera de estas seis; las otras cinco serán dos

más de Matemáticas, dos de Estadística, y una de Econometría. La materia de Méto-

dos Cuantitativos para la Empresa es básicamente instrumental, en el sentido de que

sus contenidos serán utilizados en las otras materias del Grado. La asignatura de

Matemáticas I, en tanto es la primera de las seis asignaturas de la materia, supone

la primera toma de contacto del estudiante con ella, y puede considerarse a su vez

como instrumental para las cinco restantes asignaturas.

Presentación de los contenidos Esta asignatura es una introducción al Álgebra

Lineal, además de incluir un tema de presentación de las sucesiones de números

reales. El temario se completa con dos apéndices: uno dedicado a recordar cuestiones

de carácter preliminar, y otro dedicado a presentar los determinantes. Los temas del

apéndice no son objeto de examen.

Los temas del programa, con el detalle de sus epígrafes, son los siguientes:

Tema I. Espacios vectoriales

1. Definición de espacio vectorial

2. Subespacios vectoriales

3. Suma de subespacios vectoriales

4. Subespacios afines

5. Sistemas de vectores

6. Vectores linealmente dependientes

7. Vectores linealmente independientes

8. Sistemas de generadores y bases de un espacio vectorial

9. Dimensión de un espacio vectorial



10. Rango de un sistema de vectores

Tema II. Aplicaciones lineales

1. Definición de aplicación lineal

2. Propiedades de una aplicación lineal

3. Aplicaciones lineales con conjunto de partida un espacio vectorial de dimen-

sión finita

4. El espacio vectorial L(E, F)

5. Isomorfismos de espacios vectoriales

6. Formas lineales

7. Aplicaciones afines

Tema III. Matrices

1. Definición de matriz

2. Matriz asociada a una aplicación lineal

3. El espacio vectorial Mnm(E, F)

4. Producto de matrices

5. Rango de una matriz

6. Transformaciones elementales de una matriz

7. Inversa de una matriz cuadrada

8. Traspuesta de una matriz

Tema IV. Sistemas de ecuaciones lineales

1. Definiciones y propiedades

2. Resolución de un sistema de ecuaciones lineales

3. Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales

Tema V. Sucesiones de números reales

1. El conjunto de los números reales

2. Sucesiones de números reales

3. Sucesiones convergentes. Límites infinitos

4. Sucesiones monótonas

5. Series de números reales

Apéndice A. Preliminares

1. Conjuntos

2. Aplicaciones

3. Operaciones

4. Polinomios

Apéndice B. Determinantes

1. Determinantes de orden dos


Equipo Docente 9

2. Determinantes de orden tres

3. Permutaciones

4. Determinantes de n vectores en una base

5. Determinante de una matriz

6. Desarrollo de un determinante por los términos de una fila o columna

7. Aplicación al cálculo de la inversa de una matriz

8. Aplicación al cálculo del rango de una matriz

9. Sistemas de Cramer

Enfatizamos que los apéndices no serán objeto de examen.

Bibliografía básica de la asignatura Consta de dos manuales, uno para la

parte teórica y otro para la parte práctica. Son, respectivamente, los siguientes:

• Álgebra Lineal para Administración y Dirección de Empresas, de E. Prieto y

A. Álvarez, editado por Sanz y Torres, 2010.

• Problemas Resueltos de Álgebra Lineal para Administración y Dirección de Em-

presas, de E. Prieto y A. Álvarez, editado por Sanz y Torres, 2010.

El libro Álgebra Lineal para Administración y Dirección de Empresas es el ma-

nual básico que cubre toda la materia. Sus capítulos se corresponden con los temas

del programa, así como sus dos apéndices. Estos últimos presentan materias pre-

liminares o adyacentes, y —no queremos dejar de recordarlo— no serán específica-

mente objeto de examen. Este manual introduce los conceptos teóricos y las he-

rramientas que el alumno debe conocer, y está salpicado de ejemplos de distinta

dificultad. Cada capítulo incluye una amplia introducción, que ayuda al lector a en-

frentarse a la lectura del texto principal y le señala los aspectos en los que debe hacer

hincapié. Asimismo, todos los capítulos terminan con un detallado resumen. En la

parte siguiente de esta misma guía se dan más detalles útiles para abordar la lectura

de estos textos.

El otro texto: Problemas Resueltos de Álgebra Lineal para Administración y Di-

rección de Empresas, a modo de complemento del anterior recoge una amplia gama

de problemas basados en los conceptos y métodos vistos en la teoría. Todos los

ejercicios y problemas están resueltos con detalle.

Más adelante, en esta misma guía, se dan más detalles útiles para abordar la

lectura de estos textos (cf. p. 15).

Bibliografía complementaria de la asignatura En los textos básicos, antes

reseñados, se cita una amplia bibliografía para proporcionar al estudiante referencias

adicionales con las que cubrir los distintos temas del programa.

No obstante, como bibliografía complementaria hemos querido dejar aquí dos



manuales, de gran utilidad para quien necesite recordar cuestiones básicas de mate-

máticas.1 Son estos:

• Matemáticas Elementales Útiles para Economía y Empresa. Vademécum I, de

E. Prieto, A. Álvarez y M. A. Arándiga, editado por Centro de Estudios Ramón

Areces.

• Matemáticas Elementales Útiles para Economía y Empresa. Vademécum II, de

E. Prieto, y M. Buendía, editado por Centro de Estudios Ramón Areces.

El Vademécum I es especialmente útil, porque permite recordar, a quien lo nece-

site, materias como la manipulación de expresiones algebraicas, la resolución de

ecuaciones, el manejo de porcentajes, las potencias y las raíces cuadradas, o los

signos de expresiones algebraicas.

El Vademécum II está dedicado al estudio de la Geometría Plana. Es recomen-

dable no porque sus contenidos vayan a a ser utilizados en la asignatura, sino en

tanto cultura general de Matemáticas y como muestra de la forma de razonar en esta

disciplina.

2 PLAN DE TRABAJO Y PLAN DE ACTIVIDADES

De qué tiempo disponemos Esta asignatura, a tenor de sus 6 créditos ECTS,

implica 150 horas de trabajo del estudiante. Estamos en el primer cuatrimestre, lo

que significa unas 15 semanas entre octubre y enero, lo que da una media de 10 horas

semanales de trabajo. Pero esto es, desde luego, en teoría; en la práctica, el tener que

dedicar más o menos tiempo dependerá de las características de cada estudiante:

posibilidad de aprovechamiento, la base de conocimientos previos, mayor o menor

dificultad en leer matemáticas, etc.

Por otra parte, cada estudiante, y más en la UNED, tiene unas circunstancias

personales distintas, que le pueden obligar, por ejemplo, a estudiar sólo en ciertas

fechas. En los siguientes apartados, proponemos un plan de trabajo y de actividades

pensando en un estudiante que puede dedicar con regularidad su tiempo a la asig-

natura; cada cual deberá luego hacer las adaptaciones necesarias.

En qué orden estudiar los temas En principio, recomendamos al alumno que

estudie los distintos temas del programa en el mismo orden en que figuran. Es esen-

cial respetar este orden en lo que a los cuatro primeros temas se refiere, porque

cada uno se basa fuertemente en los anteriores. Pero el tema V trata una materia

distinta, y podría ser estudiado, por ejemplo, al principio del curso. Este tema enlaza

1Estos manuales fueron preparados precisamente tras numerosas peticiones de alumnos y tutores de

la antigua asignatura de Matemáticas I de la Licenciatura en Administración y Dirección de Empresas.


Equipo Docente 11

mejor que el tema I con los conocimientos previos que el estudiante pueda tener de

Bachillerato (o del Curso de Acceso), y puede ser una opción para quien encuentre el

tema I demasiado abstracto para empezar.

No obstante, razones pedagógicas de otra índole nos han hecho elegir esta dis-

tribución de los temas, y la planificación del curso (y en particular de las distintas

actividades) se desarrolla a tenor de ella.

Qué tiempo dedicar a cada tema En media, deberían dedicarse unas tres se-

manas a cada tema. Pero los temas no son todos iguales ni en extensión ni en difi-

cultad. El tema I es más largo, además de ser el primero, con lo cual requerirá más

tiempo, tiempo que puede “recortarse” del tema II —más corto— y de los temas IV

y V —menos abstractos y relativamente cortos—. La propuesta que hacemos, siempre

aproximada, es la siguiente:

• Tema I: entre tres y cuatro semanas.

• Tema II: entre dos y tres semanas.

• Tema III: tres semanas.

• Tema IV: tres semanas.

• Tema V: entre dos y tres semanas.

Por supuesto, cada estudiante puede requerir más o menos tiempo en alguno de los

temas, en virtud de su base previa o de otras circunstancias.

Cómo distribuir el tiempo: plan de actividades El estudiante deberá dis-

tribuir su tiempo en tres clases de actividades:

1) Trabajo con contenidos teóricos: equivalente a las clases presenciales teóricas;

se centra en la consulta de los materiales didácticos.

Se trata de estudiar el libro de teoría, centrándose en las definiciones y en

los resultados (teoremas y proposiciones), y haciendo los primeros ejemplos

que figuran junto a ellos. Podría dedicarse a este tipo de trabajo teórico el 20%

del tiempo.

2) Realización de actividades prácticas: equivalente a clases presenciales prác-

ticas; se refiere a una serie de actividades de autoevaluación y de evaluación

continua.

Para cada tema, se colgarán en el curso virtual cuestiones de autoevalua-

ción (con sus correspondientes soluciones), similares a las de los exámenes.

Asimismo, en los primeros días lectivos de enero, se propondrá una activi-

dades de evaluación continua. También se tratará de cuestiones muy pareci-

das a las de los exámenes.

En la parte final de esta Guía se dan más detalles de estos tipos de pruebas

(cf. p. 53). El cómputo en tiempo de dedicación a ellas podría ser de un 20%.



3) Trabajo autónomo: estudio de los contenidos teóricos y de ejercicios y proble-

mas, y preparación y realización de las pruebas presenciales (exámenes).

Se trata, con los contenidos teóricos ya estudiados (o al menos tras haber

iniciado su asimilación), de trabajar los ejemplos más elaborados y los con-

tenidos teóricos de forma más detallada, así como los ejercicios y problemas

del texto de problemas resueltos. También se incluye la preparación específica

de los exámenes. Podría dedicarse a todo ello el 60% del tiempo.

Estrictamente hablando, la única actividad obligatoria es la prueba presencial

o examen. Pero todas las demás son altamente recomendables para conseguir la

asimilación adecuada de la asignatura. En particular, conviene tener en cuenta que la

actividad de evaluación continua tendrá su influencia en la calificación final.


II

ORIENTACIONES PARA EL

ESTUDIO DE LOS CONTENIDOS


ESQUEMA – RESUMEN

Observaciones generales 15Requisitos previos . . . . . . . . . . . . . . 15Cómo leer el libro de teoría . . . . . . . . . . 15Cómo leer el libro de problemas resueltos . . . 16Cómo ejercitarse: cuestiones de autoevalua-

ción, ejercicios y problemas, y actividadescomplementarias . . . . . . . . . . . . . 16

Cómo leer las orientaciones sobre cada temaen esta Guía (y por qué no hay específica-mente un glosario) . . . . . . . . . . . . 17

1. Tema I: Espacios vectoriales 18Presentación y objetivos . . . . . . . . . . . 18Conceptos clave más importantes. . . . . . . 181. Definición de espacio vectorial . . . . . . 182. Subespacios vectoriales . . . . . . . . . . 193. Suma de subespacios vectoriales . . . . . 194. Subespacios afines . . . . . . . . . . . . 20

5. Sistemas de vectores . . . . . . . . . . . 216. Vectores linealmente dependientes . . . . 217. Vectores linealmente independientes . . . 218. Sistemas de generadores. Bases . . . . . . 229. Dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . 2210. Rango de un sistema de vectores . . . . . 23Algunas cuestiones de autoevaluación. . . . . 23

2. Tema II: Aplicaciones lineales 25Presentación y objetivos . . . . . . . . . . . 25Conceptos clave más importantes. . . . . . . 261. Definición y propiedades . . . . . . . . . 262. Aplicaciones lineales con conjunto de par-

tida un espacio vectorial de dimensiónfinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3. El espacio vectorial L(E, F) . . . . . . . . 284. Isomorfismos de espacios vectoriales . . . 285. Formas lineales . . . . . . . . . . . . . 28

6. Aplicaciones afines . . . . . . . . . . . . 29Algunas cuestiones de autoevaluación. . . . . 29

3. Tema III: Matrices 30Presentación y objetivos . . . . . . . . . . . 30Conceptos clave más importantes. . . . . . . 301. Definición de matriz . . . . . . . . . . . 302. Matriz asociada a una aplicación lineal. . . 323. El espacio vectorial Mnm(K) . . . . . . . 324. Producto de matrices . . . . . . . . . . . 335. Rango de una matriz . . . . . . . . . . . 346. Transformaciones elementales de una

matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357. Inversa de una matriz cuadrada . . . . . . 358. Traspuesta de una matriz . . . . . . . . . 36Algunas cuestiones de autoevaluación. . . . . 36

4. Tema IV: Sistemas de ecuaciones lineales37

Presentación y objetivos . . . . . . . . . . . 37Conceptos clave más importantes. . . . . . . 381. Definiciones y propiedades . . . . . . . . 382. Resolución de un sistema de ecuaciones

lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Algunas cuestiones de autoevaluación. . . . . 40

5. Tema V: Sucesiones de números reales41

Presentación y objetivos . . . . . . . . . . . 41Conceptos clave más importantes. . . . . . . 411. El conjunto de los números reales . . . . . 412. Sucesiones de números reales . . . . . . . 443. Sucesiones convergentes. Límites infinitos . 444. Sucesiones monótonas . . . . . . . . . . 475. Series de números reales . . . . . . . . . 48Algunas cuestiones de autoevaluación. . . . . 49


Equipo Docente 15

OBSERVACIONES GENERALES

Requisitos previos Son más que suficientes los conocimientos de matemáticas

de un Bachillerato orientado a Ciencias Sociales, a Ciencias o a Ingeniería. También

son suficientes los contenidos de la asignatura de Matemáticas del Curso de Acceso

Directo a la Universidad para mayores de 25 años que imparte la propia UNED.1

En todo caso, a los estudiantes que necesiten recordar o consultar algo, les re-

comendamos tengan a mano el Curso 0 de Matemáticas que se puede encontrar en

el Portal de Cursos Abiertos de la UNED, y que ha sido preparado por profesores de

distintas facultades y escuelas. El enlace del Portal es este:

http://ocw.innova.uned.es/ocwuniversia

y específicamente el del Curso 0 de Matemáticas es este:

http://ocw.innova.uned.es/matematicas-industriales/

Por otra parte, en el libro de teoría hemos incluido un apéndice —el Apéndice A—

con contenido de carácter preliminar. Se recomienda la lectura de los apartados nece-

sarios a los estudiantes que lo precisen. Es especialmente importante la comprensión

de las partes dedicadas a conjuntos, aplicaciones y operaciones.

Cómo leer el libro de teoría Sobre este manual, observamos lo siguiente:

• Está estructurado en cinco capítulos o lecciones, más dos apéndices.

• Los cinco capítulos se corresponden con los cinco temas del programa, que son

objeto de examen. Los cuatro primeros capítulos desarrollan propiamente el

Álgebra Lineal, y el quinto está dedicado a las sucesiones de números reales.

Es de observar que no se incluye el concepto de determinante en la materia

obligatoria. En particular, no se hace uso de determinantes para resolver un

sistema de ecuaciones lineales o para calcular el rango de una matriz.

• El apéndice A recoge materia de carácter preliminar: conceptos fundamentales

y básicos que el alumno debe ya haber estudiado antes de adentrarse en esta

asignatura. Este apéndice, por su contenido y estructuración, está redactado de

forma que no sólo sirve como repaso y referencia a quien ya esté familiarizado

con sus contenidos, sino también como material de trabajo para quien por vez

primera los estudie.

• El apéndice B es una presentación de los determinantes, los cuales —como ya

hemos comentado— no se estudian durante el curso. La presentación es teórica,

1Esta asignatura se llamaba Matemáticas Especiales en el plan antiguo de Acceso vigente hasta el

curso 2008/2009.



pero también se incluyen sus aplicaciones más importantes: cálculo del rango

y de la inversa de una matriz, y regla de Cramer.

• Como primera sección de cada capítulo, se incluye una amplia introducción

que pretende ayudar y orientar para la lectura del resto del capítulo: enfatiza

los conceptos más importantes; particulariza éstos para los espacios Rn (R2, R3

y R4, sobre todo), que son casi los únicos que se utilizan en la práctica a este

nivel; introduce en los métodos prácticos de resolución de problemas y señala,

para estos métodos, los ejemplos del texto más representativos; comenta los

aspectos que más hay que tener en cuenta para las pruebas presenciales; y, en

general, trata de presentar, de una manera menos formal que en el texto, las

ideas básicas y fundamentales.

• A cada capítulo también se adjunta una recapitulación de los conceptos y resul-

tados vistos en su desarrollo. La experiencia nos dice que estas recapitulaciones

son de gran utilidad como “manual de consulta rápida” de la materia ya estu-

diada.

• Como complemento necesario a los conocimientos teóricos, se incluye un gran

número de ejemplos en los que tales conocimientos encuentran aplicación prác-

tica. Los ejemplos marcan la pauta de lo que luego será objeto de examen.

• También se incluyen ejercicios que se resuelven al final de su capítulo, y que

sirven como propuesta de actividades complementarias.

Cómo leer el libro de problemas resueltos Sobre este texto, observamos lo

siguiente:

• Consta de cinco capítulos, que se corresponden con los de la misma numeración

en el libro de teoría, y por ende con los temas del programa.

• Cada sección se inicia con un breve recordatorio de las definiciones necesa-

rias, y todos los ejercicios y problemas están resueltos. Los primeros ejercicios

sobre alguna materia concreta (sobre todo los que desarrollan algún método

específico por primera vez) están resueltos con especial detalle.

• Los ejercicios son similares a los ejemplos del libro de teoría y, como éstos,

marcan la pauta de lo que luego será objeto de examen. Los problemas —más

difíciles que los ejercicios— son de carácter fundamentalmente teórico, y su

fin es exclusivamente el de servir de complemento; no son indispensables para

preparar el examen, y se pueden obviar en las primeras lecturas.

Cómo ejercitarse: cuestiones de autoevaluación, ejercicios y problemas, y

actividades complementarias Con la idea de que practique y se ejercite, el

estudiante de esta asignatura tiene distintas posibilidades:

a) Cuestiones de autoevaluación. Las hay colgadas en el curso virtual, distri-


Equipo Docente 17

buidas por temas. Son cuestiones similares a las que se proponen en los

exámenes. Podemos decir que son de dos tipos: aisladas y combinadas; es-

tas últimas son varias cuestiones que hacen referencia a un enunciado común.

Hay una muestra de ambos tipos en esta misma guía, en los epígrafes siguien-

tes.

b) Ejercicios y problemas del libro de problemas resueltos. Están todos resueltos

con detalle, y son en general de resolución larga. Pero trabajar en uno de ellos

significa ser capaz eventualmente de responder varias cuestiones de autoeva-

luación combinadas (en el sentido que damos en el párrafo anterior). Son,

pues, altamente recomendables, aunque no se pida directamente la resolución

de un ejercicio largo en el examen. Los problemas se distinguen de los ejer-

cicios en que son más largos, o de carácter más teórico, o más difíciles (o las

tres cosas a la vez), y pueden obviarse en las primeras lecturas.

c) Actividades complementarias. A lo largo de cada capítulo del texto de teoría

hay propuestos varios ejercicios, cuyo contenido y función se acerca mucho a

la idea que en metodología a distancia se tiene de lo que son las actividades

complementarias: propuestas de carácter teórico o práctico que no son es-

trictamente necesarias para seguir la asignatura, pero con amplio contenido

formativo. Efectivamente, se trata de resultados teóricos adicionales que se

usan en demostraciones, de ejercicios prácticos que desarrollan algún aspecto

limítrofe de la materia, o de propuestas de trabajo para el lector. Por su for-

mato, se distinguen perfectamente del resto del texto.También son recomen-

dables, por supuesto, pero se pueden obviar en las primeras lecturas.

Cómo leer las orientaciones sobre cada tema en esta Guía (y por qué no hay

específicamente un glosario) En las secciones siguientes, se presentan orienta-

ciones específicas para cada tema (una sección por tema, con la misma numeración

de unas y otros). Para cada uno, figura lo siguiente:

• Una breve presentación de los objetivos (o de los resultados de aprendizaje)

más destacados del tema.

• Los conceptos clave más importantes: se trata de los conceptos que son impre-

scindibles en el tema, aunque el alumno no debe pensar que los otros conceptos

no son objeto de evaluación.

• Un detallado resumen del tema, lo más completo posible. Pretendemos recoger

aquí las definiciones de todos los conceptos (no sólo los considerados antes

como especialmente importantes), y todos los resultados. Ello puede servir

de guía y referencia al alumno, al tener a mano en pocas páginas un resumen

completo de la asignatura.



• Una muestra de cuestiones de autoevaluación, con la respuesta correcta seña-

lada.

Para más orientaciones sobre el estudio de cada tema, remitimos al alumno a la

amplia introducción que figura al principio de cada capítulo en el manual de teoría.

Allí se recoge, con abundancia de ejemplos, lo que se debe saber del capítulo y se

comenta cómo se puede estudiar.

Asimismo, el índice analítico que figura al final del texto de teoría, con la ayuda de

estos resúmenes, cumple perfectamente las funciones de un glosario. Creemos que

un glosario propiamente hablando no es demasiado útil, porque muchas entradas

deberían contener demasiados antecedentes, haciéndolo poco manejable.

1 TEMA I: ESPACIOS VECTORIALES

Presentación y objetivos En este tema se introduce el concepto de espacio vec-

torial y se aprende a manejar vectores. Asimismo, se estudian los sistemas de vec-

tores y se presentan conceptos como el de dependencia lineal e independencia lineal;

y también se aprende a calcular el rango de unos vectores. Todo ello permite estudiar

una formulación adecuada del concepto de magnitud lineal.

Conceptos clave más importantes Espacio vectorial sobre un cuerpo. Subes-

pacio vectorial. Combinaciones lineales. Sistemas de vectores. Vectores linealmente

dependientes. Vectores linealmente independientes. Sistemas de generadores. Bases.

Dimensión. Rango de un sistema de vectores.

1. Definición de espacio vectorial Consideramos un conjunto E no vacío y un

cuerpo (K,+, ·) conmutativo:

• E es un espacio vectorial sobre el cuerpo K significa: sobre E están definidas:

⋄ una ley de composición interna que articula E como grupo abeliano;

⋄ una ley de composición externa para K que verifica: es asociativa en los

elementos de K, distributiva respecto de la operación + de K, distributiva

respecto de la operación + de E, y neutra para el elemento 1 de K.

Se llama a los elementos de E vectores; a los de K, escalares.

• Propiedades:

⋄ ∀x ∈ E, 0x = 0,

⋄ ∀λ ∈ K, λ0 = 0,

⋄ ∀x ∈ E, −x = (−1)x,

⋄ ∀λ ∈ K, ∀x ∈ E, λx = 0 ⇔

λ = 0

o

x = 0.


Equipo Docente 19

• K es espacio vectorial sobre K: al considerar la operación · como operación

externa.

• Kn (n á 1) es espacio vectorial sobre K con las operaciones:

(α1, α2, . . . , αn)+ (β1, β2, . . . , βn) = (α1 + β1, α2 + β2, . . . , αn + βn),

λ(α1, α2, . . . , αn) = (λα1, λα2, . . . , λαn).

En particular: Rn es espacio vectorial sobre R.

• Dados dos espacios vectoriales E y F sobre K, FE (conjunto de las aplicaciones

de E en F ) es espacio vectorial sobre K con las operaciones:

⋄ adición de aplicaciones: [f + g](x) = f (x)+ g(x);⋄ multiplicación por un escalar: [λf ](x) = λf(x).

El elemento neutro de la adición de aplicaciones se denota: O, y verifica: ∀x ∈E, O(x) = 0F (donde 0F designa el elemento neutro de la adición de vectores

de F ).

• Para un vector (α1, α2, . . . , αn) de Kn: α1 es su primera componente, α2 es su

segunda componente, etc, y αi es su i-ésima componente (1 à i à n).

2. Subespacios vectoriales Consideramos un espacio vectorial E sobre un cuer-

po K:

• Subespacio vectorial de E: F ⊆ E, F no vacío, y tal que:

(

∀ (v,w) ∈ F2, v +w ∈ F)

y(

∀λ ∈ K, ∀v ∈ F, λv ∈ F)

.

• Propiedades:

⋄ si F es subespacio vectorial de E, entonces: 0 ∈ F ;

⋄ todo subespacio vectorial es espacio vectorial;

⋄ {0} y E son subespacios vectoriales de E;

⋄ Kz ={

αz | α ∈ K}

es subespacio vectorial de E;

⋄ la intersección de subespacios vectoriales es un subespacio vectorial.

• Condición necesaria y suficiente: F es subespacio vectorial precisamente si:

∀ (α,β) ∈ K2, ∀ (v,w) ∈ F2, αv + βw ∈ F .

• El conjunto{

(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn | a1x1 + a2x2 + · · · + anxn = 0}

es subes-

pacio vectorial de Rn.

Si (a, b) ≠ (0,0):{

(x1, x2) ∈ R2 | ax1 + bx2 = 0}

= R(−b,a).

3. Suma de subespacios vectoriales Consideramos un espacio vectorial E so-

bre un cuerpo K:

• Si A ⊆ E y B ⊆ E son no vacíos, se define:

A+ B = {x +y | x ∈ A y y ∈ B} .



Caso particular: x +A = {x} +A.

Si A1, A2, . . . , An son subconjuntos no vacíos de E, se define la suma A1+A2 +· · · +An como el conjunto:

{

x1 + x2 + · · · + xn | x1 ∈ A1, x2 ∈ A2, . . . , y xn ∈ An}

.

• Si F1, F2, . . . , Fn son subespacios vectoriales, su suma es subespacio vectorial.

• Dos subespacios vectoriales F y G son independientes si: todo vector de F +Gse puede obtener de manera única como suma de un vector de F y un vector

de G.

Si F y G son independientes, su suma se llama suma directa, y se denota: F ⊕G.

Condición necesaria y suficiente de independencia: F y G son independientes

precisamente si: F ∩G = {0}.Dos subespacios vectoriales F y G son suplementarios si: son independientes

y su suma (directa) es E: F ⊕G = E.

• Combinación lineal de los vectores v1,v2, . . . ,vn de E: cada vector del subes-

pacio vectorial Kv1 +Kv2 + · · · +Kvn.

Un vector z ∈ E es una combinación lineal de v1,v2, . . . ,vn si y sólo si existen

escalares α1, α2, . . ., αn tales que: z = α1v1 +α2v2 + · · · +αnvn.

Toda combinación lineal de vectores de un mismo subespacio vectorial perte-

nece al subespacio vectorial.

4. Subespacios afines Consideramos un espacio vectorial E sobre un cuerpo K:

• Subespacio afín de E: A ⊆ E, A no vacío, y A = v +F , con v ∈ E y F subespacio

vectorial de E.

Son subespacios afines de E: {v} (donde v ∈ E), y cualquier subespacio vecto-

rial de E.

• Recta de E: v +Kw, donde w ≠ 0. Toda recta de E es subespacio afín de E.

• Propiedades:

⋄ (w ∈ v + F) ⇐⇒ (w + F = v + F);⋄ (v + F es subespacio vectorial ) ⇐⇒ (v ∈ F);⋄ si v + F = w +G, entonces F = G;

⋄ la intersección de subespacios afines, si no es vacía, es subespacio afín.

• Hiperplano de Rn: dados a1 , a2, . . ., an números reales no simultáneamente

nulos, es el conjunto:

{

(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn∣∣∣

n∑

i=1

aixi = d}

.

Todo hiperplano de Rn es subespacio afín de Rn.

• Subespacios afines paralelos: v + F y w +G son paralelos si: F = G.

El subespacio afín v + F es débilmente paralelo al w +G si: F ⊆ G.


Equipo Docente 21

• Combinación afín de los vectoresw1,w2, . . . ,wn de E: todo vector de la forma:

α1w1 +α2w2 + · · · +αnwn, donde α1 +α2 + · · · +αn = 1.

Todo vector que es combinación afín de vectores de un mismo subespacio afín

pertenece al subespacio afín.

5. Sistemas de vectores Consideramos un espacio vectorial E:

• Sistema de vectores de E: lista, o colección, finita ordenada de vectores de E.

El sistema S formado por los vectores v1, v2, . . ., vn se escribe de esta forma:

S = (v1,v2, . . . ,vn)

, y de ellos se dice son los vectores de S .

El cardinal del sistema S es: Card(S) = Card(

v1,v2, . . . ,vn)

= n.

• Que el sistema S es subsistema del sistema S ′ significa: todo vector de S es

de S ′ y no figura en la lista de S más veces que en la de S ′.

6. Vectores linealmente dependientes Consideramos un espacio vectorial E

sobre un cuerpo K:

• Los vectores v1, v2, . . ., vn de E son linealmente dependientes, o bien: el siste-

ma(

v1,v2, . . . ,vn)

es un sistema ligado, si: existen escalares α1, α2, . . ., αn,

no todos nulos, tales que α1v1 +α2v2 + · · · +αnvn = 0.

• Propiedades:

⋄ (0) es un sistema ligado;

⋄ si v ∈ E y v 6= 0, entonces (v) no es un sistema ligado;

⋄ todo sistema en el que figure el vector 0 es un sistema ligado;

⋄ todo sistema en el que uno de los vectores sea igual a una combinación

lineal de los restantes es un sistema ligado;

⋄ dados dos vectores: v ≠ 0 y w, (v,w) es sistema ligado precisamente

si w ∈ Kv;

⋄ si B′ es subsistema de B y B′ es sistema ligado, también lo es B.

7. Vectores linealmente independientes Consideramos un espacio vectorial E

sobre un cuerpo K:

• Los vectores v1, v2, . . ., vn de E son linealmente independientes, o bien: el

sistema(

v1,v2, . . . ,vn)

es un sistema libre, si: los vectores no son linealmente

dependientes, o equivalentemente: de la igualdad α1v1+α2v2+· · ·+αnvn = 0

se deduce: α1 = α2 = . . . = αn = 0.

• Propiedades:

⋄ (0) no es un sistema libre;

⋄ si v ∈ E y v ≠ 0, entonces (v) es un sistema libre;

⋄ todo sistema en el que figure el vector 0 no es un sistema libre;

⋄ todo sistema en el que uno de los vectores sea igual a una combinación

lineal de los restantes no es un sistema libre;



⋄ dados dos vectores: v ≠ 0 y w, (v,w) es sistema libre precisamente si

w ∉ Kv;

⋄ todo subsistema de un sistema libre también es sistema libre.

8. Sistemas de generadores. Bases Consideramos un espacio vectorial E so-

bre un cuerpo K, y un sistema B =(

v1,v2, . . . ,vn)

de vectores de E:

• Notación: L(B) = L(

v1,v2, . . . ,vn)

= Kv1 +Kv2 + · · · +Kvn.

• Sistema de generadores de E: se dice que B es sistema de generadores de E, o

que los vectores v1, v2, . . ., vn generan E, si: L(B) = E.

• Base de E: B es base de E significa: B es sistema de generadores de E y B es

sistema libre.

Condición necesaria y suficiente: B es base de E precisamente si todo vector

de E se puede expresar de manera única como combinación lineal de los vec-

tores de B.

Coordenadas de un vector v de E en la base(

v1,v2, . . . ,vn)

: los únicos es-

calares α1, α2, . . ., αn tales que: v = α1v1 +α2v2 + · · · +αnvn.

Base canónica de Kn: el sistema BC =(

e1,e2, . . . ,en)

, con: e1 = (1,0, . . . ,0),

e2 = (0,1,0, . . . ,0), . . . , en = (0, . . . ,0,1).Las coordenadas de un vector de Kn en la base canónica son sus componentes.

• Teorema de la base incompleta: si B es un sistema de generadores de E y v1,

v2, . . ., vp son vectores de B linealmente independientes, entonces existe una

base de E que es subsistema de B y en la que están los vectores v1, v2, . . ., vp .

Si B1 y B2 son dos bases de E, entonces: Card(B1) = Card(B2).

9. Dimensión Consideramos un espacio vectorial E:

• Dimensión finita: que E es de dimensión finita significa admite un sistema de

generadores(

v1,v2, . . . ,vm)

.

En particular, E = {0} es de dimensión finita.

Si E ≠ {0} y es de dimensión finita, admite una base.

• Dimensión de E: si E ≠ {0}, se define como el número de vectores de cualquiera

de sus bases (que es el mismo para toda base); si E = {0}, se define igual a 0.

Se denota: dimE.

Se tiene: dimKn = n, dim{0} = 0.

Propiedades: consideramos dimE = n, con n á 1:

⋄ n generadores de E forman una base de E;

⋄ n vectores linealmente independientes de E forman una base de E;

⋄ todo sistema de vectores de E de cardinal mayor que n es un sistema

ligado;

⋄ el número máximo de vectores linealmente independientes de E es n;


Equipo Docente 23

⋄ entre los vectores de un sistema de generadores de E es posible escoger n

linealmente independientes, pero no más de n;

⋄ todo subespacio vectorial de E es, como espacio vectorial, de dimensión

finita menor o igual que n;

si el subespacio está estrictamente incluido en E, entonces su dimensión

es menor que n;

si un subespacio vectorial de E es de dimensión igual a n, entonces coin-

cide con E.

10. Rango de un sistema de vectores Consideramos un espacio vectorial E:

• Rango del sistema(

v1,v2, . . . ,vn)

, o de los vectores v1, v2, . . ., vn: dimensión

del subespacio vectorial que estos vectores generan.

Se denota: rango(

v1,v2, . . . ,vn)

.

Por definición: rango(

v1,v2, . . . ,vn)

= dimL(

v1,v2, . . . ,vn)

.

Se verifica: rango (0) = 0.

• Propiedades: consideramos un sistema B de vectores de E:

⋄ el número máximo de vectores linealmente independientes de B coincide

con el rango de B;

⋄ el rango de B es menor o igual que el cardinal de B, y se da la igualdad si

y sólo si B es sistema libre;

⋄ si dimE = n, entonces el rango de B es menor o igual que n, y se da la

igualdad si B es sistema de generadores de E;

⋄ si B =(

v1,v2, . . . ,vm)

y el vector w es combinación lineal de los vectores

de B, al añadir w a B el rango no varía:

rango (w,v1,v2, . . . ,vm) = rango(

v1,v2, . . . ,vm)

;

pero si w no es combinación lineal de los vectores de B, al añadir w a B

el rango aumenta en 1:

rango (w,v1,v2, . . . ,vm) = rango(

v1,v2, . . . ,vm)+ 1.

• No se modifica el rango de unos vectores v1, v2, . . ., vm si:

⋄ se sustituye uno de los vectores: vi (1 à i à m), por αvi, donde α ≠ 0;

⋄ se permutan entre sí dos de los vectores;

⋄ se sustituye uno de los vectores por la suma de él mismo y una combi-

nación lineal de los restantes.

Algunas cuestiones de autoevaluación Presentamos algunas cuestiones de

tipo test, parecidas a las habituales en la prueba presencial. Con ♣ se señala la res-

puesta correcta:



1 ¿Cuál de los siguientes subconjuntos de R3 no es un subespacio vectorial de R3?

a){

(x,y, z) ∈ R3 | x − 2y = 0 y x +y = 0}

,

b){

(x,y, z) ∈ R3 | x = 2y = z}

,

c) R(1,3,2),

d) ♣{(x,y, z) ∈ R3 | x2 +y = 0}.

Consideremos los siguientes subespacios vectoriales de R3:

L = R(0,2,2)+R(−1,0,2) y M ={

(x,y, z) ∈ R3 | x = 0}

.

2 El vector (0,1, a) pertenece al subespacio L∩M si y solamente si a es igual a:

a) 0, b) ♣1, c) 2, d) 3.

3 La dimensión del subespacio vectorial L+M es:

a) ♣3, b) 2, c) 1, d) 0.

4 Consideremos los siguientes hiperplanos de R3:

H1 ={

(x,y, z) ∈ R3 | 3x −y + z = 3}

,

H2 ={

(x,y, z) ∈ R3 | 2y − z = 6}

.

El subespacio afín H1 ∩H2 es:

a) {(0,0,0)},b) (0,9,6)+

{

(x,y, z) ∈ R3 | x −y + 2z = 0}

,

c) ♣(2,3,0)+R(−1,3,6),

d) ninguna de las anteriores.

5 Consideremos los siguientes subespacios afines de R3:

U = (1,0,0)+ {(x,y, z) ∈ R3 | 2x +y = 0 y x −y + z = 0}

,

V = (2,−3,1)+{

(x,y, z) ∈ R3 | 4x −y + 2z = 0}

.

Se verifica:

a) U y V son paralelos;

b) ♣U es débilmente paralelo a V , pero V no es débilmente paralelo a U ;

c) U = V ;



Equipo Docente 25

6 Sean u1 = (0,1,1), u2 = (1,0,1) y u3 = (1,2,3) tres vectores de R3. Se verifica:

a) ♣son linealmente dependientes,

b) son linealmente independientes,

c) u1 y u2 son linealmente dependientes,


7 Consideremos las bases de R2 siguientes:

B =(

(1,−1), (0,2))

y B′ =(

(−1,0), (2,1))

.

Se sabe que las coordenadas de cierto vector en la base B son −1 y 1. Las coordenadas

del mismo vector en la base B′ son:

a) 5 y 7, b) 7 y 5, c) ♣7 y 3, d) − 3 y 7.

Consideremos los siguientes vectores de R3:

v1 = (2,3,0), v2 = (0,1,2), v3 = (2,2,−2), y v4 = (−2,−1,4).

8 El rango del sistema (v1,v2,v3,v4) (es decir, la dimensión del subespacio vectorial

generado por estos cuatro vectores) es:

a) 1, b) ♣2, c) 3, d) 4.

9 El sistema (v1,v2,v3,v4) es un sistema de generadores del subespacio vectorial:

a){

(x,y, z) ∈ R3 | 3x − 2y − z = 0}

,

b){

(x,y, z) ∈ R3 | x +y = 0 y z = 0}

,

c){

(x,y, z) ∈ R3 | 3x + 2y + z = 0}

,

d) ♣ninguna de las anteriores.

2 TEMA II: APLICACIONES LINEALES

Presentación y objetivos En este tema se estudian las aplicaciones entre es-

pacios vectoriales que “conservan” la linealidad, lo que permite formular relaciones

entre magnitudes lineales.



Conceptos clave más importantes Aplicación lineal. Núcleo de una aplicación

lineal. Imagen de una aplicación lineal. Rango de una aplicación lineal. Aplicaciones

lineales inyectivas. Aplicaciones lineales suprayectivas. Base dual.

1. Definición y propiedades Consideramos dos espacios vectoriales E y F so-

bre un mismo cuerpo K:

• Aplicación lineal de E en F : aplicación f de E en F que verifica:

∀ (v,w) ∈ E2, f (v +w) = f (v)+ f (w),∀ (α,v) ∈ K× E, f (αv) = αf(v).

Condición necesaria y suficiente: f de E en F es lineal precisamente si:

∀ (α,β) ∈ K2, ∀ (v,w) ∈ E2, f (αv + βw) = αf(v)+ βf(w).• Propiedades de una aplicación lineal f de E en F :

⋄ f conserva las combinaciones lineales:

f (α1v1+α2v2+· · ·+αnvn) = α1f (v1)+α2f (v2)+· · ·+αnf (vn);

⋄ f (0E) = 0F ;

⋄ ∀v ∈ E, f (−v) = −f (v);⋄ si

(

v1,v2, . . . ,vn)

es sistema ligado, entonces también es ligado el siste-

ma(

f (v1), f (v2), . . . , f (vn))

;

⋄ si(

f (v1), f (v2), . . . , f (vn))

es sistema libre, entonces también es libre el

sistema(

v1,v2, . . . ,vn)

;

⋄ rango(

v1,v2, . . . ,vm)

á rango(

f (v1), f (v2), . . . , f (vm))

;

⋄ si E1 es un subespacio vectorial de E: f [E1] es un subespacio vectorial

de F ;

en particular: Imf = f [E] = {

f (v) | v ∈ E} es un subespacio vectorial

de F ;

⋄ si F1 es un subespacio vectorial de F : f−1[F1] es un subespacio vectorial

de E;

⋄ si f es biyectiva, su inversa: f−1, también es lineal (y biyectiva);

⋄ la aplicación compuesta de dos aplicaciones lineales es una aplicación li-

neal.

• Núcleo de una aplicación lineal f de E en F : el conjunto f−1[{0F}], que es

subespacio vectorial de E.

Se denota: Ker f .

Por definición: Kerf = f−1[{0F}] ={

v ∈ E | f (v) = 0F}

.

Propiedad: f es inyectiva precisamente si: Ker f = {0E}.


Equipo Docente 27

2. Aplicaciones lineales con conjunto de partida un espacio vectorial de di-

mensión finita Consideramos una aplicación lineal f de un espacio vectorial E

de dimensión finita en un espacio vectorial F :

• Se verifica: Imf es de dimensión finita.

• Rango de f : dimensión de Imf .

Se denota: rango f .

Por definición: rangof = dim(Imf ).

Propiedades:

⋄ el rango de f es igual al rango del sistema formado por las imágenes de

los vectores de cualquier sistema de generadores de E;

⋄ rangof àmín{dimE,dimF};⋄ rango(g ◦ f ) àmín{rangof , rangog}.

• Caracterización de f por las imágenes de los vectores de una base: si F es

también de dimensión finita, y(

v1,v2, . . . ,vn)

es una base de E, la aplicación

lineal f está unívocamente determinada cuando se conocen las imágenes f (v1),

f (v2), . . . , f (vn) de los vectores de la base; en concreto:

f (α1v1 +α2v2 + · · · +αnvn) = α1f (v1)+α2f (v2)+ · · · +αnf (vn).

• Caracterizaciones de una aplicación lineal inyectiva: son equivalentes las si-

guientes afirmaciones:

⋄ f es inyectiva;

⋄ si v1, v2, . . ., vp son p vectores linealmente independientes de E, enton-

ces f (v1), f (v2), . . . , f (vp) son p vectores linealmente independientes

de F ;

⋄ el rango de f es igual a la dimensión del espacio vectorial de partida:

rangof = dimE;

⋄ Ker f = {0F}.Consecuencia: el rango de un sistema de vectores se conserva por una apli-

cación lineal inyectiva: para f inyectiva, se verifica:

rango(

v1,v2, . . . ,vn)

= rango(

f (v1), f (v2), . . . , f (vn))

.

• Caracterización de una aplicación lineal suprayectiva: si F es también un

espacio vectorial de dimensión finita, se verifica: f es suprayectiva si y sólo

si: rango f = dimF .

• Teorema de las dimensiones: dim(Kerf )+ dim(Imf ) = dimE.

• Si E y F son de la misma dimensión finita, se verifica:

f es inyectiva ⇐⇒ f es suprayectiva ⇐⇒ f es biyectiva.



3. El espacio vectorial L(E, F) Consideramos dos espacios vectoriales E y F

sobre un mismo cuerpo K:

• L(E, F) designa el conjunto de las aplicaciones lineales de E en F ;

• L(E, F) es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, y es subespacio vectorial

de FE.

4. Isomorfismos de espacios vectoriales Consideramos dos espacios vectoria-

les E y F sobre un mismo cuerpo K:

• Isomorfismo de E en F : aplicación lineal biyectiva de E en F . Se dice entonces: E

y F son isomorfos.

Automorfismo de E: isomorfismo de E en E.

• Propiedades: si E y F son de dimensión finita:

⋄ E y F son isomorfos si y sólo si tienen la misma dimensión;

⋄ si(

v1,v2, . . . ,vn)

es una base de E, entonces f ∈ L(E, F) es un isomor-

fismo si y sólo si(

f (v1), f (v2), . . . , f (vn))

es una base de F ;

⋄ si dimE = dimF = n, entonces f ∈ L(E, F) es un isomorfismo si y sólo si:

rangof = n.

5. Formas lineales Consideramos un espacio vectorial E sobre un cuerpo K, y

suponemos que E es de dimensión finita:

• Espacio dual de E: L(E,K), conjunto de las aplicaciones lineales de E en K.

Se denota: E⋆.

Forma lineal sobre E: cada elemento de E⋆.

• Si B =(

v1,v2, . . . ,vn)

es una base de E:

⋄ Dado x = λ1v1 + λ2v2 + · · · + λnvn, se define la forma lineal ℓ(x) como:

ℓ(x) =

v1 −−− → λ1

· · ·vi −−− → λi

· · ·vn −−− → λn.

⋄ Los espacios E y E⋆ son isomorfos, y ℓ es un isomorfismo de E en E⋆.

⋄ Base, de E⋆, dual de la base B de E:(

ℓ(v1), ℓ(v2), . . . , ℓ(vn))

.

Se denota: B⋆ =(

v⋆1 ,v⋆2 , . . . ,v

⋆n

)

.

Si x = λ1v1+λ2v2+· · ·+λnvn: v⋆1 (x) = λ1, v⋆2 (x) = λ2, . . . , v⋆n(x) = λn(la imagen por la forma lineal v⋆i del vector x es la i-ésima coordenada

de x en la base B).

• Una forma lineal f ∈ E⋆ y un vector v ∈ E son ortogonales si: f (v) = 0.

Se verifica:{

w ∈ E | f y w son ortogonales}

= Ker f .


Equipo Docente 29

6. Aplicaciones afines Consideramos dos espacios vectoriales E y F sobre un

mismo cuerpo K:

• Aplicación afín de E en F : aplicación φ de E en F para la que existen w ∈ Fy f ∈ L(E, F) tales que: ∀x ∈ E, φ(x) = w + f (x).

• Propiedades de una aplicación afín φ:

⋄ la aplicación f y el vector w están unívocamente determinados por φ;

⋄ φ conserva las combinaciones afines: si λ1 + λ2 + · · · + λn = 1:

φ(λ1v1+λ2v2+· · ·+λnvn) = λ1φ(v1)+λ2φ(v2)+· · ·+λnφ(vn);

⋄ la imagen por φ de un subespacio afín de E es un subespacio afín de F ;

⋄ la imagen inversa por φ de un subespacio afín de F , si no es vacía, es un

subespacio afín de E.



puesta correcta:

Consideremos la aplicación lineal f : R3 -→R2 definida por:

f (x,y, z) = (x +y,x − z).

1 Las dimensiones respectivas de los subespacios vectoriales Ker f y Imf son:

a) ♣1 y 2, b) 2 y 1, c) 2 y 2, d) 0 y 2.

2 El núcleo de la aplicación lineal f es:

a) ♣Ker f ={

(t,−t, t) | t ∈ R}

,

b) Kerf ={

(t,0, t) | t ∈ R}

,

c) Kerf ={

(0,0,0)}

,


3 La imagen de la aplicación lineal f es:

a) ♣ Imf = R2,

b) Imf ={

(x,y) ∈ R2 | x +y = 0}

,

c) Imf ={

(x,y) ∈ R2 | x −y = 0}

,

d) Imf = R(0,−1).



4 La aplicación lineal f es:

a) inyectiva, pero no suprayectiva,

b) ♣suprayectiva, pero no inyectiva,

c) un isomorfismo,


5 Si(

u⋆1 ,u⋆2

)

es la base dual de la base(

(2,−1), (−1,−1))

de R2, entonces:

a) u⋆1 (x,y) = −13x + 1

3y, u⋆2 (x,y) =

23x + 2

3y,

b) ♣u⋆1 (x,y) =13x − 1

3y, u⋆2 (x,y) = −

13x − 2

3y,

c) u⋆1 (x,y) =13x + 2

3y, u⋆2 (x,y) =

13x − 2

3y,

d) u⋆1 (x,y) = −13x + 1

3y, u⋆2 (x,y) =

23x − 1

3y.

3 TEMA III: MATRICES

Presentación y objetivos En este tema se definen las matrices y se aprenden a

operar (adición, multiplicación por un escalar, y multiplicación de matrices); se intro-

ducen, y utilizan profusamente, las transformaciones elementales, y se ven algunas

de sus aplicaciones (rango de una matriz, inversa, traspuesta, etc.).

Conceptos clave más importantes Definición de matriz: filas y columnas de

una matriz, términos de una matriz. Tipos de matrices. Vectores fila y vectores

columna. Matriz asociada a una aplicación lineal fijadas unas bases. Aplicación lineal

canónicamente asociada a una matriz. Adición de matrices. Producto de matrices.

Rango de una matriz. Transformación elemental. Inversa de una matriz cuadrada.

Matriz traspuesta.

1. Definición de matriz Consideramos un cuerpo K y dos enteros positivos n

y m:

• Matriz A con términos en K de orden (n,m): disposición de n ·m elementos

de K en forma rectangular en n filas y m columnas (las filas y columnas de A).

Matriz real: matriz con términos en R.

• Término de A de posición (i, j): elemento de A situado en la fila i-ésima y la

columna j-ésima.

Se denota: aij .


Equipo Docente 31

• Notaciones para la matriz A de orden (n,m) con términos en K:

A =

a11 a12 . . . a1j . . . a1m

a21 a22 . . . a2j . . . a2m

......

. . ....

. . ....

ai1 ai2 . . . aij . . . aim...

.... . .

.... . .

...an1 an2 . . . anj . . . anm

o A =(

aij ; 1 à i à n, 1 à j à m)

, o simplemente: A =(

aij)

(si no hay con-

fusión).

Términos de la i-ésima fila (1 à i à n) de A: ai1, ai2, . . ., aim; términos de

la j-ésima columna (1 à j à m) de A: a1j , a2j , . . . , anj .

• Matriz fila: matriz de orden (1,m).

• Matriz columna: matriz de orden (n,1).

• Matriz cuadrada de orden n: matriz de orden (n,n) (mismo número de filas

que de columnas).

Términos de la diagonal principal de una matriz cuadrada de orden n: los de

posición (1,1), (2,2), . . . , (n,n).

• Matriz identidad, o unitaria, de orden n con términos en K: matriz cuadrada

de orden n con los términos de la diagonal principal iguales a 1 y los restantes

iguales a 0.

Se denota: In. Se tiene:

In =

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 1

.

• Matriz cero, o nula, con términos enK de orden (n,m): matriz de orden (n,m)

con todos sus términos iguales a 0.

Se denota: O.

Consideramos una matriz A con términos en K y de orden (n,m):

• Matriz columna j-ésima de la matriz A (1 à j à m): matriz columna de or-

den (n,1) cuyos términos son los de la j-ésima columna de A.

Se denota: Aj . Se tiene:

Aj =

a1j

a2j

...anj

.

La notación por columnas de A es: A =(

A1 A2 . . . Am)

.



Las matrices columna de In se denotan: E1, E2, . . ., En.

• Matriz fila i-ésima de la matriz A (1 à i à n): matriz fila de orden (1,m) cuyos

términos son los de la i-ésima fila de A:(

ai1 ai2 . . . aim)

.

Si F1, F2, . . ., Fn son las matrices fila de A, la notación por filas de A es:

A =

F1

F2

...

Fn

.

Las matrices fila de In se denotan: L1, L2, . . ., Ln.

• Vector columna j-ésimo de A (1 à j à m): el vector de Kn cuyas componentes

son los términos de Aj.

Se denota: aj . Se tiene: aj = (a1j , a2j , . . . , anj).

Vector fila i-ésimo de A (1 à i à n): el vector de Km cuyas componentes son

los términos de la i-ésima fila de la matriz A; es decir: (ai1, ai2, . . . , aim).

2. Matriz asociada a una aplicación lineal Consideramos una aplicación li-

neal f de Km en Kn, y unas bases de estos espacios vectoriales: V =(

v1,v2, . . . ,vm)

de Km y W =(

w1,w2, . . . ,wn

)

de Kn:

• Matriz asociada a f , o representante de f , en las bases V y W : es la matriz

A =(

aij)

de orden (n,m) cuyos términos de la j-ésima columna (1 à j à m)

son las n coordenadas de f (vj) en la base W :

f (vj) = a1jw1 + a2jw2 + · · · + anjwn, 1 à j à m.

Caso particular: siW = BC (base canónica), entonces f (vj) = aj (j-ésimo vector

columna de A, 1 à j à m).

Propiedad: si m = n (es decir: Km = Kn), si V y W son iguales, y si A = In,

entonces f es la identidad de Kn.

• Aplicación lineal canónicamente asociada a una matriz A =(

aij)

con térmi-

nos en K de orden (n,m): la única aplicación lineal A deKm enKn cuya matriz

asociada en las bases canónicas es A.

Gráficamente:BCKm

A−−−−−−→B′CKn

ej −−− → aj ,(1 à j à m).

3. El espacio vectorial Mnm(K) Consideramos un cuerpo K y unos enteros

positivos n y m:


Equipo Docente 33

• Mnm(K) denota el conjunto de las matrices con términos enK de orden (n,m).

• Consideramos dos matrices A =(

aij)

y B =(

bij)

de Mnm(K). La suma de A

y B es la matriz (de Mnm(K)): A+ B =(

aij + bij)

.

El producto de un escalar λ por A es la matriz (de Mnm(K)): λA =(

λaij)

.

• (Mnm(K),+)

es un grupo abeliano. Su elemento neutro es la matriz O (de

orden (n,m)), y el opuesto de A es la matriz: −A = (−1)A.

El conjunto Mnm(K) es espacio vectorial sobre K con la adición de matrices y

la multiplicación por los elementos de K.

• Fijadas unas bases, la matriz asociada a la aplicación lineal suma de aplica-

ciones lineales es la matriz obtenida sumando las matrices asociadas a las apli-

caciones.

• Fijadas unas bases, si λ es un escalar y f una aplicación lineal, la matriz aso-

ciada a λf es el producto del escalar λ por la matriz asociada a la aplicación f .

• Los espacios vectoriales L(Km,Kn) y Mnm(K), ambos sobre el cuerpo K, son

isomorfos.

La aplicación de L(Km,Kn) en Mnm(K) que a cada aplicación lineal asigna su

matriz asociada en las bases canónicas es un isomorfismo.

4. Producto de matrices Consideramos dos matrices, la primera de ellas de

orden (n,m) y la segunda de orden (m,p):

A =(

aij ; 1 à i à n, 1 à j à m)

y B =(

bij ; 1 à i à m, 1 à j à p)

:

• Producto de A por B: matriz C =(

cij)

, de orden (n,p), con: cij =m∑

k=1

aikbkj .

También se dice: C es el producto por la izquierda de B por A, o el producto

por la derecha de A por B.

El producto de dos matrices se define sólo cuando el número de columnas de

la primera es igual al número de filas de la segunda.

Se verifica (notaciones por filas y por columnas):

A(

B1 B2 . . . Bp)

=(

AB1 AB2 . . . ABp)

,

F1

F2

...

Fn

B =

F1B

F2B

...

FnB

.

• Fijadas unas bases, si A es la matriz asociada a una aplicación lineal f , y B es

la matriz asociada a una aplicación lineal g: la matriz asociada a f ◦ g es AB.

La aplicación lineal canónicamente asociada a AB es la composición A ◦B.



• Propiedades de la multiplicación de matrices:

⋄ Asociatividad: A(BC) = (AB)C;

⋄ Distributividad (por la derecha y por la izquierda) respecto de la adición:

A(B1 + B2) = AB1 +AB2, (A1 +A2)B = A1B +A2B.

⋄ InA = A = AIm;

⋄ OA = O, AO = O.

• Las matrices A y B conmutan si: los productos AB y BA están definidos y

coinciden.

La multiplicación de matrices cuadradas de orden n, con n á 2, no es conmu-

tativa.

• Se tiene la equivalencia:

A(x1, x2, . . . , xm) = (y1, y2, . . . , yn) ⇐⇒ A

x1

x2

...xm

=

y1

y2

...yn

.

Dada una aplicación lineal f de Km en Kn, y fijadas unas bases V y W , respec-

tivamente, si A =(

aij)

es la matriz asociada a f en estas bases, se verifica: la

imagen por f del vector de coordenadas x1, x2, . . ., xm en V es el vector cuyas

coordenadas y1, y2, . . ., yn en W vienen determinadas por la relación matricial:

y1

y2

...yn

=

a11 a12 . . . a1m

a21 a22 . . . a2m

......

. . ....

an1 an2 . . . anm

x1

x2

...xm

.

5. Rango de una matriz

• Rango de una matriz A =(

aij)

de orden (n,m): el rango de los vectores

columna de A.

Se denota: rangoA. Por definición: rangoA = rango(

a1,a2, . . . ,am)

.

• Propiedades:

⋄ el rango de una matriz es menor o igual que el número de sus filas y que

el número de sus columnas;

⋄ no se modifica el rango de una matriz permutando entre sí sus columnas;

⋄ el rango de una matriz es igual al rango de cualquier aplicación lineal a la

que la matriz esté asociada;

⋄ rango(AB) àmín{rangoA, rangoB};⋄ una condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada de

orden n represente un isomorfismo es que el rango de la matriz sea n;

⋄ si A es una matriz cuadrada de orden n de rango igual a n, y B es una


Equipo Docente 35

matriz de orden (n,m) (ambas matrices con términos en K), entonces:

rango(AB) = rangoB.

6. Transformaciones elementales de una matriz

• Transformación elemental de una matriz: es cualquiera de los tipos:

⋄ permutar entre sí dos filas,

⋄ multiplicar una fila por un escalar no nulo,

⋄ sumar a una fila el resultado de multiplicar otra por un escalar.

Una transformación elemental conserva el rango de la matriz a la que se aplica.

• Matriz elemental de orden n asociada a una transformación elemental: resul-

tado de aplicar la transformación elemental a la matriz identidad In.

Propiedades:

⋄ el rango de una matriz elemental de orden n es igual a n,

⋄ el resultado de aplicar a una matriz una transformación elemental es el

producto por la izquierda de la matriz por la matriz elemental asociada a

la transformación elemental.

• Si A es una matriz de orden (n,m), y si rango(A) = r á 1, y los r primeros

vectores columna de A son linealmente independientes, se puede obtener, apli-

cando a A transformaciones elementales sucesivas, una matriz A′ de la forma:

A′ =

1 0 . . . 0 a′1(r+1) . . . a′1m0 1 . . . 0 a′2(r+1) . . . a′2m...

.... . .

......

. . ....

0 0 . . . 1 a′r(r+1) . . . a′rm0 0 . . . 0 0 . . . 0...

.... . .

......

. . ....

0 0 . . . 0 0 . . . 0

r

n−r

︸︷︷︸

r︸︷︷︸

m−r

.

Existe una matriz T , cuadrada de orden n, y de rango n, tal que: TA = A′.

7. Inversa de una matriz cuadrada Consideramos una matriz cuadrada A de

orden n con términos en K:

• Inversa de A: matriz B cuadrada de orden n tal que: AB = BA = In.

Se dice: A es invertible.

Si A es invertible, su inversa es única. Se denota: B = A−1.

• Propiedades:

⋄ AA−1 = A−1A = In;

⋄ (

A−1)−1 = A;

⋄ I−1n = In



⋄ (A es invertible) ⇐⇒ rangoA = n.

• Para el cálculo práctico de A−1: se aplican a In las mismas transformaciones

elementales sucesivas que llevan la matriz A a la matriz In.

8. Traspuesta de una matriz Consideramos una matriz A con términos en K

de orden (n,m):

• Matriz traspuesta de A: es la matriz de orden (m,n) cuyo término de posi-

ción (i, j) es el de posición (j, i) de A, 1 à i à m, 1 à j à n.

Se denota: At.

• Propiedades:

⋄ Itn = In;

⋄ (At)t = A;

⋄ (A+ B)t = At + Bt;

⋄ (αA)t = αAt;

⋄ (BA)t = AtBt;

⋄ rangoAt = rangoA;

⋄ si A es cuadrada e invertible:(

At)−1 =

(

A−1)t

.



puesta correcta:

1 Sean las matrices reales A =(

1 0−1 2

)

y B =(

21

)

. La matriz C que verifica AC = Bes:

a) ♣(

23/2

)

, b)

(

33/2

)

, c)(

1 0)

, d)

(

1 20 3/2

)

.

2 Considérese la matriz real siguiente:

b a− b 1 −10 b −1 1b a b a

,

donde a y b son parámetros reales. Su rango verifica:

a) ♣no es igual a 2 cualesquiera que sean a y b;

b) es igual a 2 si a = b = 0;

c) es igual a 3 cualesquiera que sean a y b;

d) es igual a 2 si a = b = 1.


Equipo Docente 37

Consideremos la aplicación f : R3 -→R2 definida por: f (x,y, z) = (x +y,x − z).

3 La matriz asociada a la aplicación lineal f en las bases canónicas de R3 y R2 es:

a)

(

1 0 10 −1 1

)

, b) ♣(

1 1 01 0 −1

)

,

c)

2 0−1 3−1 1

, d)

(

0 −1 21 3 −1

)

.

4 Consideremos las bases V =(

(1,0,0), (0,1,0), (1,1,1))

y W =(

(2,2), (1,0))

de R3

y R2, respectivamente. La matriz asociada a f en las bases V y W es:

a)

1/2 10 10 1

, b)

(

1 1 00 1/2 1

)

,

c) ♣(

1/2 0 00 1 2

)

, d)

(

1 1 00 1 2

)

.

5 Dada la matriz:

1 0 22 −1 34 1 8

,

su inversa es:

a)

2 −11 20 −4 1−1 6 −1

, b) ♣

−11 2 2−4 0 1

6 −1 −1

,

c)

6 −1 −1−4 0 1−11 2 2

, d)

−1 6 −11 −4 02 −11 2

.

4 TEMA IV: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Presentación y objetivos Se formula de forma adecuada un sistema de ecua-

ciones lineales; se aprende a escribirlo de forma matricial, a discutirlo (determinar

si tiene solución o no, y en caso afirmativo si tiene una o infinitas soluciones) y a

resolverlo.



Conceptos clave más importantes Sistema de ecuaciones lineales. Matriz aso-

ciada y matriz ampliada. Solución y sistemas equivalentes. Discusión y resolución de

un sistema.

1. Definiciones y propiedades Consideramos un sistema en K de n ecuaciones

con las m incógnitas x1, x2, . . . , xm:

a11x1 + a12x2 + · · · + a1mxm = c1

a21x1 + a22x2 + · · · + a2mxm = c2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an1x1 + an2x2 + · · · + anmxm = cn :

• El sistema se escribe de la forma: AX = C, donde:

X =

x1

x2

...xm

(matriz de incógnitas),

C =

c1

c2

...cn

(matriz de términos independientes),

A =

a11 a12 . . . a1m

a21 a22 . . . a2m

......

. . ....

an1 an2 . . . anm

(matriz asociada al sistema).

• Aplicación lineal asociada al sistema: la aplicación lineal A canónicamente

asociada a A.

• Matriz ampliada del sistema: la que tiene por matrices columna las matrices

columna de A y C.

Se denota:(

A C)

.

• Solución de un sistema: matriz columna X1 con términos en K de orden (m,1)

tal que: AX1 = C.

Si los vectores columna de A, X1 y C son a1, a2, . . ., am, x1 y c, respectiva-

mente: X1 es solución del sistema precisamente si se verifica cualquiera de las

siguientes condiciones:

⋄ A(x1) = c, o bien: x1 ∈ A−1 [{c}];⋄ el vector c es combinación lineal de los vectores a1, a2, . . ., am;

⋄ rango(

A C)

= rangoA.

• Sistemas equivalentes: sistemas que tienen el mismo conjunto de soluciones.


Equipo Docente 39

Si T es una matriz cuadrada de orden n y rango n, entonces son equivalentes

los sistemas AX = C y (TA)X = TC.

2. Resolución de un sistema de ecuaciones lineales Consideramos un sis-

tema en K, AX = C, de n ecuaciones con m incógnitas, que verifica: rangoA = r á 1

y los r primeros vectores columna de A son linealmente independientes; sea:

C′ =

c′1c′2...c′n

el resultado de aplicar a C las mismas transformaciones elementales que llevan A a

una matriz A′ de la forma:

A′ =

1 0 . . . 0 a′1(r+1) . . . a′1m0 1 . . . 0 a′2(r+1) . . . a′2m...

.... . .

......

. . ....

0 0 . . . 1 a′r(r+1) . . . a′rm0 0 . . . 0 0 . . . 0...

.... . .

......

. . ....

0 0 . . . 0 0 . . . 0

r

n−r

︸︷︷︸

r︸︷︷︸

m−r

:

• Los sistemas AX = C y A′X = C′ son equivalentes.

• El sistema AX = C tiene solución precisamente si: n = r , o bien n > r y

los (n − r) últimos términos de C′ son nulos.

• Cuando el sistema AX = C tiene solución:

⋄ si m = r , la solución es única: X1 =

c′1c′2...c′m

;

⋄ si m > r , las soluciones son las matrices columna de la forma:

X1 =

c′1...c′r0...0

r

m−r

+ λ1

a′1(r+1)

a′2(r+1)...

a′r(r+1)

−10...0

r

m−r

+ · · · + λm−r

a′1ma′2m

...a′rm

0...0

−1

r

m−r

,



siendo λ1, . . . , λm−r elementos de K.



puesta correcta:

1 Dado el subespacio vectorial L = R(0,1,1)+R(−1,0,2) de R3, unas ecuaciones de L

son:a) y = 0, b) 2x +y = 0,

c) ♣2x −y + z = 0, d) 2x −y + z = 0, y − z = 0.

Consideremos los sistemas de ecuaciones siguientes:

(∗) AX = C y (∗∗) BX = D,

donde:

A =

−1 32 2−4 1

, B =

−2 61 −33 −9

, C =

16

−7

, y D =

2−1−3

.

2 Se verifica:

a) ninguno de los dos sistemas tiene solución,

b) uno de los dos sistemas no tiene solución,

c) ♣uno de los sistemas tiene solución única y el otro infinitas,

d) los dos sistemas son equivalentes.

3 Las soluciones del sistema (∗) son:

a) ♣(

21

)

, b)

(

0−2

)

,

c)

(

13

)

+ λ(

2−3

)

, λ ∈ R, d) el sistema (∗) no tiene solución.

4 Las soluciones del sistema (∗∗) son:

a)

(

12

)

+ λ(

−15

)

, λ ∈ R, b) ♣(

−10

)

+ λ(

−3−1

)

, λ ∈ R,

c)

(

11

)

, d) el sistema (∗∗) no tiene solución.


Equipo Docente 41

5 Dado el siguiente subespacio vectorial de R4:

F ={

(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | x1 + 2x2 − x3 = 0 y x1 + x4 = 0}

,

una base de F es:

a) ♣ ((0,−1/2,−1,0), (1,−1/2,0,−1))

,

b)(

(1,−1/2,0,−1))

,

c)(

(1,0,1,−1), (1,1,2,−1))

,

d)(

(0,0,1,0), (2,0,0,1))

.

5 TEMA V: SUCESIONES DE NÚMEROS REALES

Presentación y objetivos En este tema se estudian ciertas propiedades bási-

cas de los números reales y se presenta el concepto de sucesión; se estudian las

sucesiones convergentes y se aprenden algunos métodos de cálculo de límites de

sucesiones.

Conceptos clave más importantes Conjunto acotado. Intervalo. Valor abso-

luto. Sucesión de números reales. Sucesión convergente; límite. Límites infinitos.

Serie de números reales.

1. El conjunto de los números reales Recuérdese que R designa el conjunto

de los números reales:

• Existe una correspondencia biyectiva entre los números reales y los puntos de

una recta cuando en ésta se fijan un origen y una unidad orientada.

• El conjunto de los números reales, dotado de las operaciones adición y multi-

plicación, tiene estructura de cuerpo conmutativo.

Elemento neutro de la suma: 0. Opuesto del número real x: −x.

Elemento neutro de la multiplicación: 1. Inverso del número real x no nulo

(x 6= 0): 1/x.

• La relación à es una relación de orden total en R.

La notación x à y se lee: “x es menor o igual que y”. La negación de x à y se

denota: y < x, que se lee: “y es menor que x”.

La relación x à y es compatible con la suma: x à y ⇒ x + z à y + z, y con la

multiplicación: (x à y y z á 0) ⇒ (xz à yz).



Consecuencias:

⋄ (x à y y x′ à y′) =⇒ (x + x′ à y +y′);⋄ (x à y) =⇒ (−y à −x);⋄ (x à y y x′ < y′) =⇒ (x + x′ < y +y′);⋄ (x < y y z > 0) =⇒ (xz < yz);

⋄ (x < y) =⇒(

x <x +y

2< y

)

.

• Se considera un conjunto A de números reales (esto es: A ⊆ R):

⋄ El conjunto A está acotado superiormente si: existe b ∈ R que es mayor

o igual que cada uno de los elementos de A.

De b se dice: b es una cota superior del conjunto A.

⋄ El conjunto A está acotado inferiormente si: existe b ∈ R que es menor

o igual que cada uno de los elementos de A.

De b se dice: b es una cota inferior del conjunto A.

⋄ El conjunto A está acotado si: A está acotado superior e inferiormente.

⋄ El número real b es máximo del conjunto A si: b es una cota superior

de A y b ∈ A.

Se escribe: b =máxA.

⋄ El número real b es mínimo del conjunto A si: b es una cota inferior de A

y b ∈ A.

Se escribe: b =mínA.

⋄ Si A está acotado superiormente y A no es vacío: existe el supremo de A:

cota superior mínima de A.

El supremo de A se denota: supA. En símbolos:

(∀x ∈ A, x à b) ⇔ (supA à b).

⋄ Si A está acotado inferiormente y A no es vacío: existe el ínfimo de A:

cota inferior máxima de A.

El ínfimo de A se denota: ínfA. En símbolos:

(∀x ∈ A, a à x) ⇔ (a à ínfA).

Propiedades (A es no vacío):

⋄ si A está acotado superiormente:

(x < supA) ⇒ (∃y ∈ A, x < y à supA)

;

⋄ si A está acotado superiormente y supA ∈ A: supA =máxA;

⋄ si A está acotado inferiormente y ínfA ∈ A: ínfA =mínA.

⋄ Propiedad arquimediana de los números reales: si y á 0 y x > 0, exis-

tem ∈ N tal que mx > y.

Si x > 0, existem ∈ N∗ tal que (1/m) < x.

⋄ Si A no está acotado superiormente, se escribe: supA = +∞.

Condición necesaria y suficiente: ∀b ∈ R, ∃x ∈ A, x > b.


Equipo Docente 43

⋄ Si A no está acotado inferiormente, se escribe: ínfA = −∞.

• Intervalo de números reales: cualquiera de los siguientes conjuntos (donde a

y b son números reales tales que a à b):

⋄ (a, b) ={

x ∈ R | a < x < b}

;

⋄ [a, b] = {x ∈ R | a à x à b};⋄ (a, b] = {x ∈ R | a < x à b};⋄ [a, b) =

{

x ∈ R | a à x < b}

;

⋄ [a,+∞) ={

x ∈ R | x á a}

;

⋄ (a,+∞) ={

x ∈ R | x > a}

;

⋄ (−∞, b] ={

x ∈ R | x à b}

;

⋄ (−∞, b) ={

x ∈ R | x < b}

;

⋄ R;

⋄ 0.

Si a = b, entonces los intervalos (a, b), (a, b] y [a, b) representan el conjunto

vacío: 0.

Se tiene: [a,a] = {a}.Intervalos acotados: los que son conjuntos acotados: [a, b], (a, b], [a, b),

(a, b) y 0.

• Valor absoluto de un número real x: |x| =

x, si x á 0,

−x, si x < 0.

Propiedades:

⋄∣∣xy

∣∣ = |x|

∣∣y∣∣;

⋄ (desigualdad triangular)∣∣x +y

∣∣ à |x| +

∣∣y∣∣;

⋄∣∣|x| −

∣∣y∣∣∣∣ à

∣∣x −y

∣∣.

• Consideramos un conjunto A de números reales:

⋄ Punto interior de A (o interior a A): punto (o número real) x para el que

existe un intervalo (a, b), con a < b, tal que: x ∈ (a, b) y (a, b) ⊆ A.

⋄ Interior de A: conjunto de sus puntos interiores.

Se denota:◦A.

Propiedades:◦A ⊆ A;

si A ⊆ B:◦A ⊆

◦B.

⋄ Conjunto abierto: A es abierto significa: todos sus puntos son interiores:

A ⊆◦A.

Un conjunto A es abierto precisamente si:◦A = A.

La unión arbitraria de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.

La intersección finita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.



Intervalos abiertos: los que son conjuntos abiertos:

(a, b) , (−∞, b) , (a,+∞) , R y 0.

⋄ Conjunto cerrado: un conjunto C de núneros reales es cerrado si: su

complementario: R− C = Cc , es abierto.

La intersección arbitraria de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.

La unión finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.

Intervalos cerrados: los que son conjuntos cerrados:

[a, b] , (−∞, b] , [a,+∞) , R y 0.

2. Sucesiones de números reales

• Sucesión de números reales: aplicación de N en R.

Se denota: (an;n ∈ N), o también: (an) (donde an es la imagen del número

natural n).

Término de orden k de la sucesión (an): imagen del número natural k: ak.

• La sucesión (an) está acotada superiormente si: existe b ∈ R tal que:

∀n ∈ N, an à b.

La sucesión (an) está acotada inferiormente si: existe a ∈ R tal que:

∀n ∈ N, a à an.

La sucesión (an) está acotada si: está acotada superior e inferiormente.

• Subsucesión de una sucesión (an): una sucesión(

ap(n)

)

, donde p es una apli-

cación de N en N estrictamente creciente (es decir, verifica:

∀n ∈ N, p(n) < p(n+ 1)).

El término de orden k de la sucesión(

ap(n))

es: ap(k) (coincide con el término

de orden p(k) de la sucesión (an)).

La sucesión (an+k) también se denota: (an;n á k).

• La notación:(

f (n);n á k)

, donde k ∈ N y f es una aplicación del conjun-

to {k, k+ 1, k+ 2, . . .} en R, designa la sucesión siguiente:(

f (n+ k))

.

• La sucesión (an) es constante si: todos sus términos son iguales a un mismo

número c ∈ R: ∀n ∈ N, an = c. También diremos que (an) es constante si

existe n0 ∈ N tal que an = c para todo n á n0.

3. Sucesiones convergentes. Límites infinitos Consideramos una sucesión de

números reales (an):

• Que la sucesión (an) converge al número real l, o que l es límite de la suce-

sión (an), significa:

∀ǫ > 0, ∃k ∈ N, ∀n á k, an ∈ (l− ǫ, l + ǫ)


Equipo Docente 45

(para cada ǫ > 0 todos los términos de la sucesión, salvo posiblemente una

cantidad finita, están en (l− ǫ, l + ǫ)).Se denota: lím(an) = l, o también: lím

n→∞an = l, que se lee: “el límite de la

sucesión (an) cuando n tiende a infinito es l”.

Sucesión convergente: la que converge a algún número real.

Sucesión no convergente: la que no converge a ningún número real.

• Propiedades de las sucesiones convergentes:

⋄ el límite de una sucesión convergente es único;

⋄ toda subsucesión de una sucesión convergente es una sucesión conver-

gente que tiene el mismo límite;

⋄ toda sucesión convergente está acotada;

⋄ toda sucesión acotada admite una subsucesión convergente;

⋄ la propiedad de convergencia a un límite es independiente de los k pri-

meros términos de la sucesión: si la subsucesión (an;n á k) es con-

vergente, también lo es la sucesión (an) y el límite es el mismo; esto

es: lím(an) = lím(an;n á k);

⋄ lím (an) = l ⇔ lím(an − l) = 0 ⇔ lím(|an − l| ) = 0;

⋄ si las sucesiones (an) y (bn) verifican: ∀n á n0, |an| à |bn| (para al-

gún n0 ∈ N), entonces: lím (bn) = 0 ⇒ lím(an) = 0;

⋄ si las sucesiones (an) y (bn) convergen a a y a b, respectivamente:

lím(|an| ) = |a| , lím(αan + βbn) = αa+ βb,

lím (anbn) = ab, lím (an/bn) = a/b (si b 6= 0),

lím (P(an)) = P(a) (donde P es un polinomio);

⋄ (número e) se tiene:

límn→∞

(

1+ 1n

)n= e,

con: e = 2,718281828459045 . . .

• Que la sucesión (an) tiende a más infinito (+∞) significa: para cada b ∈ R,

existe k ∈ N tal que todos los términos de la sucesión (an) de orden mayor o

igual que k son mayores que b.

En símbolos: ∀b ∈ R, ∃k ∈ N, ∀n ∈ N, n á k ⇒ an > b.

Se denota: lím (an) = +∞, o también: límn→∞an = +∞.

• Que la sucesión (an) tiende a menos infinito (−∞) significa: para cada b ∈ R,

existe k ∈ N tal que todos los términos de la sucesión (an) de orden mayor o

igual que k son menores que b.

En símbolos: ∀b ∈ R, ∃k ∈ N, ∀n ∈ N, n á k ⇒ an < b.

Se denota: lím (an) = −∞, o también: límn→∞

an = −∞.

• Propiedades de los límites infinitos:



⋄ si lím (an) = +∞ o lím (an) = −∞: la sucesión (an) no es convergente;

⋄ el límite de una sucesión es único, tanto si es finito como infinito;

⋄ condición necesaria y suficiente de límite más infinito: lím (an) = +∞ si

y sólo si todos los términos de (an), salvo quizá una cantidad finita, son

positivos y lím (1/an) = 0;

⋄ condición necesaria y suficiente de límite menos infinito: lím(an) = −∞si y sólo si todos los términos de (an), salvo quizá una cantidad finita,

son negativos y lím (1/an) = 0.

• Cuadro-resumen de propiedades para el cálculo de límites (cuando la suce-

sión (an) es convergente, a denota su límite; cuando lo es la sucesión (bn),

b denota su límite; ‘?’ significa que no se puede asegurar nada de la sucesión

correspondiente):

lím (an) lím(bn) lím(an + bn) lím(anbn)

a b a+ b ab

a +∞ +∞+∞, si a > 0

−∞, si a < 0

?, si a = 0

a −∞ −∞−∞, si a > 0

+∞, si a < 0

?, si a = 0

+∞ +∞ +∞ +∞+∞ −∞ ? −∞−∞ −∞ −∞ +∞

• Límites y polinomios: si P es un polinomio de grado p á 1 y ap es su coeficiente

de grado p (es decir, el coeficiente de np):

límn→∞

P(n) =

+∞, si ap > 0,

−∞, si ap < 0;

y si Q es un polinomio de grado q á 1 y bq es su coeficiente de grado q:


Equipo Docente 47

p y q lím (np−q) límn→∞

P(n)

Q(n)

p > q +∞+∞, si

apbq

> 0

−∞, siapbq

< 0

p = q lím (1) = 1apbq

p < q 0 0

• Consideramos un conjuntoA no vacío de números reales y un número real a. El

punto a es punto adherente de A significa: existe una sucesión cuyos términos

son puntos de A y que converge a a.

Adherencia de A: el conjunto de los puntos adherentes de A.

Se denota: A.

Convenio: 0 = 0.

Propiedades:

⋄ a ∈ A precisamente si: cada intervalo no vacío, abierto y acotado, al que a

pertenece contiene puntos de A;

⋄ dado un conjunto no vacío acotado superiormente: su supremo pertenece

a su adherencia;

dado un conjunto no vacío acotado inferiormente: su ínfimo pertenece a

su adherencia;

⋄ A ⊆ A (todo punto de A es adherente a A);

⋄ A es cerrado;

⋄ una condición necesaria y suficiente para que A sea cerrado es: A = A;

⋄ si A ⊆ B: A ⊆ B;

⋄ si los términos de una sucesión convergente son puntos de un conjunto

cerrado, su límite pertenece al conjunto cerrado.

4. Sucesiones monótonas Consideramos una sucesión (an) de números reales:

• La sucesión (an) es creciente si: ∀n ∈ N, an à an+1.

La sucesión (an) es decreciente si: ∀n ∈ N, an á an+1.

La sucesión (an) es estrictamente creciente si: ∀n ∈ N, an < an+1.

La sucesión (an) es estrictamente decreciente si: ∀n ∈ N, an > an+1.

La sucesión (an) es monótona si: es creciente o es decreciente.

• Si (an) es creciente y está acotada superiormente, entonces es una sucesión

convergente; si es creciente y no está acotada superiormente: lím (an) = +∞.

Si (an) es decreciente y está acotada inferiormente, entonces es una sucesión

convergente; si es decreciente y no está acotada inferiormente: lím (an) = −∞.



• Sucesión geométrica de razón q (q 6= 0): la sucesión(

qn)

.

Propiedades:

⋄ si q > 1: lím(

qn)

= +∞;

⋄ si q = 1: lím(

qn)

= 1;

⋄ si 0 <∣∣q∣∣ < 1: lím

(

qn) = 0;

⋄ si q à −1: la sucesión(

qn)

no es convergente.

5. Series de números reales Consideramos una sucesión (an) de números

reales:

• Serie asociada a la sucesión (an), o serie de término general an: la suce-

sión (Sn) donde Sn = a0 + a1 + · · · + an.

• Que la serie de término general an es convergente, y de suma S , significa: la

sucesión (Sn) es convergente y de límite S ; es decir: lím

( n∑

p=0

ap

)

= S .

Se denota:∞∑

n=0

an = S.

Serie divergente: la que no es convergente.

Si la serie asociada a una sucesión (an;n á k) es convergente y de suma S ,

también se escribe:∞∑

n=kan = S.

• Propiedades:

⋄ si la serie de término general |an| es convergente, también lo es la de

término general an;

⋄ una condición necesaria, pero no suficiente, para que la serie de término

general an sea convergente es: lím (an) = 0;

⋄ (comparación de series) suponemos que las sucesiones (an) y (bn) son

tales que: ∀n ∈ {k, k+ 1, . . .}, 0 à an à bn (para algún k ∈ N):

si la serie de término general bn es convergente, también lo es la de tér-

mino general an;

si la serie de término general an es divergente, también lo es la de término

general bn;

⋄ (criterio de convergencia de d’Alembert) suponemos:

lím

(∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣

)

= l, con l á 0;

si l < 1: la serie de término general |an| es convergente; si l > 1: la serie

de término general an es divergente;

⋄ (criterio de convergencia de Cauchy) suponemos:

lím

(

n√

|an|)

= l, con l á 0;


Equipo Docente 49

si l < 1: la serie de término general |an| es convergente; si l > 1: la serie

de término general an es divergente;

⋄ la serie asociada a la sucesión(

1/n2;n á 1)

es convergente.

• Serie armónica: la asociada a la sucesión(

1/(n+ 1))

; es divergente.

• Serie geométrica de razón q (q 6= 0): la asociada a la sucesión geométrica de

razón q.

Propiedades:

⋄ si∣∣q∣∣ á 1: la serie geométrica de razón q es divergente;

⋄ si 0 <∣∣q∣∣ < 1:

∞∑

n=0

qn = 11− q .



puesta correcta:

1 El conjunto de soluciones de la inecuación 2x − 1 á 0 es:

a) ♣ [1/2,+∞) , b) (−∞,1/2) , c) (−1/2,1/2], d) [−1/2,+∞) .

2 El conjunto de soluciones de la ecuación |3x + 2| = 1 es:

a) [2,+∞) , b) ♣{−1,−1/3}, c) {−1}, d) 0 (conjunto vacío).

3 El límite de la sucesión

(

2n2 −n3−n2

)

es:

a) −∞, b) ♣−2, c) 0, d) no admite límite.

4 El límite de la sucesión

(√2n2 −n3−n

)

es:

a) −∞, b) 0, c) ♣−√

2, d) no admite límite.

5 La serie de término general n/2n es:

a) ♣convergente, b) divergente c) constante, d) de suma igual a más infinito.


III

ORIENTACIONES PARA LA

REALIZACIÓN DEL PLAN DE

ACTIVIDADES


ESQUEMA – RESUMEN

1. Orientaciones sobre las actividades 53

1. Sobre las pruebas de autoevaluación . . . . 53

2. Sobre la Prueba de Evaluación Continua . . 53

3. Sobre las Pruebas Presenciales . . . . . . 53

4. Sobre la evaluación . . . . . . . . . . . . 53


Equipo Docente 53

1 ORIENTACIONES SOBRE LAS ACTIVIDADES

1. Sobre las pruebas de autoevaluación El alumno dispondrá de ellas en el

Curso Virtual, y podrá realizarlas en cualquier momento a lo largo del desarrollo del

curso, según su propio ritmo de estudio. Se trata de cuestiones de tipo test, muy

parecidas a las de los exámenes.

Son pruebas voluntarias, y no tendrán influencia en la nota final, pero son al-

tamente recomendables porque permiten a los estudiantes averiguar su grado de

comprensión de cada tema.

2. Sobre la Prueba de Evaluación Continua Se realizará una a lo largo del

curso, en los primeros días lectivos de enero. Esta prueba consistirá en una lista de

diez cuestiones de tipo test, en un formato muy similar al del examen. Será corregida

de forma automática por el sistema. Las instrucciones pertinentes serán colgadas

oportunamente en el Curso Virtual.

La Prueba de Evaluación Continua no es obligatoria, pero su realización sí tendrá

influencia en la calificación final, en la forma que especificamos más adelante.

3. Sobre las Pruebas Presenciales Se trata del examen propiamente dicho, que

se celebrará al final del cuatrimestre (o en septiembre, en convocatoria extraordi-

naria). Es de realización obligatoria. Constará de diez preguntas de tipo "test", con

cuatro opciones posibles de las cuales sólo una es correcta. Los estudiantes dispon-

drán de dos horas para realizarlo, y no podrán utilizar ningún tipo de material (ni

apuntes, ni libros, ni calculadora).

En el examen habrá cuestiones de todos los temas. También añadir que cada

respuesta correcta sumará 1 punto, y cada respuesta incorrecta restará 0,25 puntos.

4. Sobre la evaluación Insistimos en que la única actividad de evaluación de

carácter obligatorio es la Prueba Presencial. Insistimos también en que cada estudian-

te puede realizar, si lo desea, la Prueba de Evaluación Continua, y que esta Prueba

sí tendrá influencia en la nota final; y que las pruebas de autoevaluación no tendrán

influencia en esta calificación.

La nota final de la asignatura se calculará de la siguiente manera:

• Alumnos que sólo realizan la Prueba Presencial: obtendrán directamente la ca-

lificación del examen.

• Alumnos que, además de la Prueba Presencial, realizan la Prueba de Evaluación

Continua: según la calificación de esta prueba, podrán añadir hasta 1 punto a

la nota del examen, siempre y cuando ésta sea mayor o igual que 5.

En todo caso, para aprobar la asignatura la calificación final deberá ser superior o

igual a 5 puntos.


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