Lehrtext zu Gruppenaxiomen,Diedergruppen und Permutationen

Nach M.A.Armstrong: Groups and Symmetry. (1988)

von Alexander MullerMatr.Nr: 3265725im Proseminar Algebra SS 07von Prof. Dr. Ulrike Baumann

Inhaltsverzeichnis

1 Gruppen 2

2 Diedergruppen 4

3 Permutationen 7

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1 Gruppen

Definition 1.1 (Gruppe) Eine Gruppe G besteht aus einer Menge G undeiner Verknupfung ◦ (d.h. einer vorschrift, die fur jedes geordnete Paar x, y ∈Gein eindeutiges Ergebnis liefert), die die folgenden Axiome erfullt:

0. AbgeschlossenheitDie Verknupfung zweier Elemente liegt wieder in G, das heißt es giltx ◦ y = z, z ∈ G ∀x, y ∈ G

1. AssoziativiatDie Verknupfung ist assoziativ, das heißt es gilt(x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z)fur alle (nicht notwendigerweise verschiedenen) Elemente aus G

2. Existenz der IdentitatEs gibt ein Element e in G, welchesx ◦ e = x = e ◦ xfur jedes x aus G erfullt. Es heißt neutrales Element oder Identitat.

3. Existenz des InversenZu jedem Element x aus G gibt es ein Element x−1, welchesx ◦ x−1 = e = x−1 ◦ xerfullt. Das Element x−1 heißt Inverses zu x.

Die Axiome sind nicht beweisbare Aussagen, aus denen sich jedoch weitereAussagen herleiten lassen. Immer wenn eine Menge mit einer Verknupfungdiese Axiome erfullen - also eine Gruppe bilden - konnen diese weiteren Aus-sagen ohne zusatzlichen Beweis als gegeben betrachtet werden.

Bemerkung: Im Folgenden werden wir a◦ b zu ab abkurzen. Da wir in einerGruppe bleiben, ist klar welche Operation gemeint ist.

Zwei dieser Aussagen sind etwa:

Satz 1.1 Die Identitat ist eindeutig bestimmt.

Beweis: Seien e und e Identitaten. Dann ist ee = e, da e Identitat ist undee = e, da e Identitat ist. Also muss e = e sein.

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Satz 1.2 Das Inverse zu jedem Element der Gruppe ist eindeutig bestimmt.

Beweis: Seien x−1 und x−1 Inverse zu x. Dann gilt:

x−1 = ex−1

x−1 = (x−1x)x−1

x−1 = x−1(xx−1)

x−1 = x−1e

x−1 = x−1

Man beachte, dass fur die Beweise lediglich die Axiome verwendet werden.Daher konnen wir sicher sein, dasss die Satze fur jede Gruppe gelten!

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2 Diedergruppen

Ein Dieder ist ein regelmaßiges n-Eck, dass 2 unterscheidbare Seiten besitzt.Diese bilden eine Familie von Symmetriegruppen, die nicht kommutativ sind:die sogenannten Diedergruppen. Betrachten wir als Beispiel den dreieckigenDieder. Die zugehorige Symmetriegruppe heißt D3.

Abb. 2.1

Seien r und s die Rotation in Abbildung 2.1, dann sind die Elemente vonD3:

e, r, r2, s, rs, r2s

Dabei steht r2 fur die zweimalige Ausfuhrung von r; rs steht, ahnlich derNotation von Funktionen, fur die Ausfuhrung von r nach s. Offensichtlich istr3 die Identitat, ebenso wie s2.

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Weiterhin sollten wir die Abgeschlossenheit absichern. Man kann die Verknupfungzweier Elemente geometrisch uberprufen, wie etwa in Abbildung 2.2, wogezeigt wird, dass sr = r2s.

Abb. 2.2

Sie konnen aber auch algebraisch berechnet werden, wie in folgendemBeispiel:

r(r2s) = r3s = es = s

All diese Ergebnisse lassen sich in einer Multiplikationstabelle (Abb. 2.3)zusammenfassen, in der man zum Beispiel das Ergebnis der Verknupfung(rs)s in der Spalte rs und der Zeile s ablesen kann. Hier sieht man, dassjedes Produkt zweier Elemente der Gruppe wieder ein Element der Gruppeergibt. Ausserdem sieht man, dass das neutrale Element in jeder Zeile undSpalte nur einmal steht - dass muss auch so sein, denn wir haben gezeigtdas es eindeutig bestimmt ist. Es ist sogar so, dass bei jeder Gruppe in derMultiplikationstabelle pro Spalte und Zeile jedes Element nur einmal auftritt.

e r r2 s rs r2se e r r2 s rs r2sr r r2 e rs r2s sr2 r2 e r r2s s rss s r2s rs e r2 rrs rs s r2s r e r2

r2s r2s rs s r2 r eAbb. 2.3

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Wir wollen nun die allgemeine Diedergruppe Dn untersuchen. Ihre El-emente konnen ahnlich wie bei D3 beschrieben werden: Sei r die Rotationdes n-Ecks um 2π

num die Symmetrieachse die senkrecht zum Dieder, s die

Rotation um π um eine Symmetrieachse die im Dieder liegt. Dann sind dieElemente von Dn:

e, r, e2, . . . , en−1, s, rs, r2s, . . . , rn−1s

Offensichtlich ist rn = e und s2 = e, und geometrisch ist schnell er-sichtlich, dass sr = rn−1s. damit konnen wir wieder jede beliebige Verknupfungberechnen, zum Beispiel:

sr2 = srr = rn−1sr = rn−2s

Jedes Element kann als ra oder ras mit a ∈ (0, n− 1) dargestellt werden,und es kann gezeigt werden, dass

rarb = rk

ra(rbs) = rks

}wobei k = a+n b

(ras)rb = rls

(ras)(rbs) = rl

}wobei l = a+n (n− b)

Wir sagen, r und s erzeugen die Gruppe.

Definition 2.1 (Ordnung einer Gruppe) Die Ordnung |G| einer endlichenGruppe G entspricht der Anzahl der Elemente in der Gruppe. Eine Gruppemit unendlich vielen Elementen hat unendliche Ordnung.

Definition 2.2 (Ordnung eines Elements) Wenn fur ein x ∈ G einenaturliche Zahl n existiert, fur die xn = e gilt, dann hat x endliche Ordnungund die kleinste Zahl m, die xm = e erfullt, heißt Ordnung des Elements x.Andernfalls hat x unendliche Ordnung.

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3 Permutationen

Wir wollen unser Beispielrepertoire fur Gruppen erweitern, indem wir unsnun mit den Permutationen beschaftigen. Permutationen sind, einfach aus-gedruckt, Neuordnungen einer Menge von Zahlen.

Definition 3.1 Eine Permutation α der Menge X ist eine bijektion auf sichselbst.

Beispiel: α : X → X,X = 1, 2, 3α(1) = 3, α(3) = 1, α(2) = 2

Satz 3.1 Alle Permutationen der Menge X zusammengenommen bilden dieGruppe SX , die Verknupfung ist die Nacheinanderausfuhrung von Permuta-tionen.

Beweis: Seien α : X → X, β : X → X, und γ : X → X, Permutationen.

0. Die Zusammensetzung der Permutationen α und β ergibt wieder einePermutation: αβ : X → X, die Zusammensetzung wird definiert alsNacheinanderausfuhrung: αβ(x) = α(β(x))

1. Die Zusammensetzung von Funktionen ist assoziativαβγ(x) = (αβ)γ(x) = α(βγ(x))

2. Die Identitatsabbildung existiert in der Permutation ε, die jedes Ele-ment auf sich selbst abbildet und somit θε(x) = θ(x) = εθ(x) fur jedesθ ∈ SX erfullt.

3. Da jede Permutation eine bijektion ist, existiert auch fur jede Permu-tation θ ein inverses θ−1 : X → X, das θθ−1 = ε = θ−1θ erfullt.

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Schreibweisen: Neben der bereits verwendeten, an Funktionen angelehntenSchreibweise

α(1) = 5, α(2) = 4, α(3) = 3, α(4) = 6, α(5) = 1, α(6) = 2

Ist auch diese Schreibweise gebrauchlich, in der das Bild einer Zahl vertikaldarunter steht: [

1 2 3 4 5 65 4 3 6 1 2

]Noch kurzer ist allerdings die zyklische Schreibweise:

α = (15)(246)

In jedem Klammerpaar wird die Zahl auf die folgende Zahl abgebildet, wobeidie letzte Zahl wieder auf die Erste abgebildet wird. Hier wird also die 1 aufdie 5, 5 auf 1, 2 auf 4, 4 auf 6, und 6 auf 2 abgebildet. Da die 3 auf sich selbstabgebildet wird, kann sie weggelassen werden.

Algorithmus fur das Aufstellen einer zyklischen Schreibweise:

• Klammer offnen

– Schreibe die niedrigste Zahl die durch die Permutation abgebildetwird (und noch nicht bearbeitet wurde)

∗ danach ihr Bild,

∗ danach dessen Bild,

∗ usw.

∗ bis das Element erreicht wird, das auf die erste Zahl in derKlammer abgebildet wird

• Klammer schließen (falls noch nicht alle Zahlen bearbeitet wurden, geheauf Anfang)

Definition 3.2 Eine Permutation (a1, a2, . . . , ak) nennt man eine zyklischePermutation, sie bildet a1 auf a2, a2 auf a3, . . . , ak−1 auf ak und ak auf a1

ab. Die Zahl k gibt die Lange des Zyklus an, man nennt Permutationen derLange k auch k-Zyklen.

Bemerkung: 2-Zyklen nennt man fur gewohnlich Transpositionen.

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Definition 3.3 Wenn die Menge X aus den ersten n naturlichen Zahlenbesteht, nennt man die zugehorige Gruppe symmetrische Gruppe Sn vomGrad n.

Satz 3.2 Die Ordnung von Sn ist n!.

Die Elemente von S3 sind

ε =

[1 2 31 2 3

],

[1 2 32 1 3

],

[1 2 33 2 1

],

[1 2 31 3 2

],

[1 2 32 3 1

],

[1 2 33 1 2

]bzw.

ε, (12), (13), (23), (123), (132)

Erinnern wir uns, dass die Verkupfungen zweier Permutationen αβ be-deutet, zuerst β und dann α anzuwenden, dann erkennen wir an der folgendenRechnung,

[1 2 32 1 3

] [1 2 31 3 2

]=

[1 2 32 3 1

]bzw. (12)(23) = (123)

und [1 2 31 3 2

] [1 2 32 1 3

]=

[1 2 33 1 2

]bzw. (23)(12) = (132)

dass S3 nicht abelsch ist.

Da wir einen Algorithmus fur die Zyklische schreibweise aufstellen kon-nten, haben wir gezeigt, dass jede Permutation als Produkt zyklischer Permu-tationen geschrieben werden kann. Diese Zyklen sind disjunkt in dem Sinne,dass jede Zahl nur in einem der Zyklen auftaucht und somit keine Zahl vonzwei Zyklen abgebildet wird. Da sie disjunkt sind, kommutieren sie.

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Beispiel: [1 2 3 4 5 6 7 8 91 8 9 3 6 2 7 5 4

]= (2856)(394)

Die Zahlen 2, 8, 5, und 6 werden nur von dem ersten, die Zahlen 3,9, und 4 nur vom zweiten Zyklus abgebildet. Daraus folgt naturlich, dass(2856)(394) = (394)(2856), d.h. die Zyklen kommutieren. Halten wir diesebeobachtung in einem Satz fest:

Satz 3.3 Wenn α, β ∈ Sn und α und β disjunkt sind, dann gilt αβ = βα.

Satz 3.4 Die Transpositionen in Sn erzeugen Sn .

Beweis: Jedes Element in Sn kann als Produkt zyklischer Permutationengeschrieben werden, und jede zyklische Permutation kann als Produkt vonTranspositionen dargestellt werden, denn

(a1a2 . . . ak) = (a1ak) . . . (a1a3)(a1a2)

Daher kann jedes Element in Sn als Produkt von Transpositionen geschriebenwerden.

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