Grupe kretanja. Izometrijske transformacije i njihove grupe · Univerzitet u Ni su Prirodno...

Univerzitet u NisuPrirodno matematicki fakultet

Departman za matematiku

Master rad

Grupe kretanja. Izometrijsketransformacije i njihove grupe

Student Mentor

Aleksandar Kostic Dr Snezana Ilic

Nis, Oktobar 2015.

Sadrzaj

1 Uvod 31.1 Ciklicne grupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Grupe permutacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Dejstvo grupe na skup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Opste o izometrijskim transformacijama 162.1 Grupa izometrijskih transformacija . . . . . . . . . . . . . . . 162.2 Izometrijske transformacije prave (prostora E1) . . . . . . . . 20

3 Grupa E(2) 253.1 Odredenost izometrija ravni slikama tacaka . . . . . . . . . . . 253.2 Osna refleksija ravni E2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3 Transmutacija izometrija i automorfizmi grupe E(2) . . . . . . 273.4 Centralna rotacija ravni E2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.5 Centralna simetrija reda n u ravni E2 . . . . . . . . . . . . . . 313.6 Translacija ravni E2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.7 Translatorna (klizajuca) refleksija ravni E2 . . . . . . . . . . . 353.8 Klasifikacija izometrijskih transformacija ravni E2 . . . . . . . 363.9 Reprezentacije grupe E(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 Grupa E(3) 424.1 Specificne vrste izometrija prostora . . . . . . . . . . . . . . . 424.2 Osna rotacija prostora E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3 Osna simetrija reda n prostora E3 . . . . . . . . . . . . . . . . 464.4 Translacija prostora E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.5 Rotaciona refleksija prostora E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.6 Centralna refleksija prostora E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.7 Klizajuca refleksija prostora E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.8 Zavojno kretanje prostora E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.9 Klasifikacija izometrijskih transformacija prostora . . . . . . . 51

1

SADRZAJ 2

5 Neke grupe kretanja 545.1 Dijedarska grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.2 Grupe rotacija pravilne piramide i bipiramide . . . . . . . . . 575.3 Tetraedarska grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.4 Oktaedarska grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.5 Ikosaedarska grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.6 Grupe rotacija kao konacne podgrupe u SE(3) . . . . . . . . . 63

Glava 1

Uvod

U ovoj glavi je dat pregled teorijskog aparata iz algebre koriscenog u ovomradu.

1.1 Ciklicne grupe

Grupa G je ciklicna akko postoji a ∈ G takav da je 〈a〉G. Za element akazemo da je generator ciklicne grupe G.

Teorema 1.1.1. Konacna grupa G je ciklicna akko postoji a ∈ G takav da jer(a) = |G|. Element b ∈ G je generator ciklicne grupe G akko je r(b) = |G|.

Dokaz. Pretpostavimo da je G ciklicna grupa. Dakle, postoji a ∈ G takavda je G = 〈a〉. Odavde, i iz r(a) = |〈a〉| sledi da je r(a) = |G|. Obratno,pretpostavimo da postoji a ∈ G takav da je r(a) = |G|. Kako je r(a) = |〈a〉|,to je |〈a〉 = |G|. Odatle, i iz cinjenice da je 〈a〉 podgrupa grupe G, i Gkonacna grupa, sledi da je 〈a〉 = G. Dakle, G je ciklicna grupa.

Ako je b ∈ G generator grupe G, onda je G = 〈b〉 pa je prema prethodnomr(b) = |G|. S druge strane, ako je r(b) = |G|, onda se na isti nacin kao uprvom delu dokaza dokazuje da je 〈b〉 = G, tj. da je b generator grupe G

Konacnu ciklicnu grupu reda n oznacavacemo sa Cn.

Teorema 1.1.2. Svaka grupa prostog reda je ciklicna.

Dokaz. Neka je G grupa prostog reda p i a ∈ G \ e proizvoljan element.Prema teoremi Lagranza, red podgrupe 〈a〉 deli red grupe G. Dakle, |〈a〉| = 1ili |〈a〉| = p. Ako je |〈a〉| = 1, onda je r(a) = 1, pa je a = e, sto jenetacno. Dakle, |〈a〉| = p pa je prema prethodnoj teoremi G ciklicna grupasa generatorom a.

3

GLAVA 1. UVOD 4

Teorema 1.1.3. Svaka ciklicna grupa je komutativna.

Dokaz. Neka je G = (G, ·) ciklicna grupa sa generatorom a, i g1, g2 ∈ Gproizvoljni elementi. Prema definiciji ciklicne grupe, postoje α1, α2 ∈ Z takvida je g1 = aα1 i g2 = aα2 . Tada je

g1 · g2 = aα1 · aα2 = aα1+α2 = aα2+α1 = aα2 · aα1 = g2 · g1

Dakle, G je komutativna grupa.

Posledica 1.1.1. Svaka podgrupa ciklicne grupe je normalna.

Teorema 1.1.4. (1) Konacna ciklicna grupa reda n je izomorfna grupi osta-taka po modulu n, (Zn,+n).

(2) Beskonacna ciklicna grupa je izomorfna aditivnoj grupi celih brojeva(Z,+).

Dokaz. (1) Neka je G = 〈a〉 ciklicna grupa reda n; G = ai | 0 ≤ i ≤ n− 1.Definisacemo preslikavanje h : Zn → G na sledeci nacin:

(∀i ∈ Zn)h(i) = ai

Ocigledno je h dobro definisano preslikavanje. Iz i 6= j, 0 ≤ i, j ≤ n− 1 slediai 6= aj. Dakle,

i 6= j ⇒ h(i) 6= h(j)

pa je h ”1-1”preslikavanje. Ocigledno je h preslikavaje ”na”. Ostaje dapokazemo da je h homomorfizam. Neka su i, j ∈ Zn proizvoljni elementi.Tada

h(i+nj) =

h(i+ j), 0 ≤ i+ j ≤ n− 1

h(i+ j − n), n ≤ i+ j ≤ 2n=

ai+j, 0 ≤ i+ j ≤ n− 1

ai+j−n, n ≤ i+ j ≤ 2n

=

ai · aj, 0 ≤ i+ j ≤ n− 1

ai · aj · a−n, n ≤ i+ j ≤ 2n=

ai · aj, 0 ≤ i+ j ≤ n− 1

ai · aj · (an)−1, n ≤ i+ j ≤ 2n

=

ai · aj, 0 ≤ i+ j ≤ n− 1

ai · aj · e, n ≤ i+ j ≤ 2n= ai · aj = h(i) · h(j)

(2) Neka je G = 〈a〉 beskonacna ciklicna grupa i h : Z → G preslikavanjedefinisano sa

(∀i ∈ Z)h(i) = ai

GLAVA 1. UVOD 5

Ocigledno je h dobro definisano preslikavanje i preslikavanje ”na”. Ako sui, j ∈ Z takvi da je h(i) = h(j), odn. ai = aj, onda je i = j, dakle h je”1-1”preslikavanje. Neka su i, j ∈ Z proizvoljni elementi. Vazi

h(i+ j) = ai+j = ai · aj = h(i) · h(j)

pa je h homomorfizam.

Teorema 1.1.5. Podgrupa ciklicne grupe je ciklicna grupa.

Dokaz. Neka je g = 〈a〉 ciklicna grupa i H podgrupa grupe G. Ako je H=E,onda je H = 〈e〉, dakle ciklicna grupa. Pretpostavimo da je H 6= E. Neka jem = mink ∈ N | ak ∈ H. Pokazacemo da je H = 〈am〉.

Iz am ∈ H, 〈am〉 = (am)α |α ∈ Z sledi da je 〈am〉 ⊆ H. Neka je b ∈ Hproizvoljan element. Kako je H ⊆ G, G = 〈a〉, to postoji n ∈ Z takav da jeb = an. Prema teoremi o deljenju celih brojeva postoje jedinstveni q, r ∈ Ztakvi da je n = qm + r, 0 ≤ r ≤ m − 1. Tada iz b = an = aqm+r = aqm · arsledi da je ar = b ·(aqm)−1 ∈ H. Odavde, i iz 0 ≤ r ≤ m−1, na osnovu izborabroja m dobijamo da je r = 0. Dakle, n = qm, pa je b = aqm = (am)q ∈ 〈am〉,pa imamo H ⊆ 〈am〉. Dakle, H = 〈am〉.

Teorema 1.1.6. Homomorfna slika ciklicne grupe je ciklicna grupa.

Dokaz. Neka je G = 〈a〉 ciklicna grupa a grupa S homomorfna slika grupeG. Dakle, postoji epimorfizam h iz grupe G u S. Pokazacemo da je S ciklicnagrupa sa generatorom h(a). Prema definiciji je 〈h(a)〉 ⊆ S. Neka je s ∈ Sproizvoljan element. Kako je h preslikavanje ”na”to postoji g ∈ G tako daje h(g) = s. Grupa G je ciklicna sa generatorom a, pa postoji k ∈ Z takavda je g = ak. Tada je s = h(g) = h(ak) = (h(a))k, pa s ∈ 〈h(a)〉. Dakle, iS ⊆ 〈h(a)〉, pa je S = 〈h(a)〉.

Teorema 1.1.7. Kolicnicka grupa ciklicne grupe je ciklicna.

Dokaz. Neka je G = 〈a〉, H podgrupa grupe G, i g ∈ G proizvoljan element.Tada je g = ak za neko k ∈ Z. Stoga, imamo gH = akH = (aH)k, odaklesledi da je G/H = (aH)k | k ∈ Z, odn. G/H je ciklicna grupa generisanasa aH.

Teorema 1.1.8. Neka je G = 〈a〉G konacna ciklicna grupa reda n sa jedi-nicom e i b ∈ G.

(1) Postoji k ∈ 0, 1, 2, . . . , n− 1 takav da je b = ak.(2) Element b je generator grupe G akko je (k, n) = 1.

GLAVA 1. UVOD 6

Dokaz. Iz G = 〈a〉 i |G| = n sledi da je G = ai | 0 ≤ i ≤ n− 1.(1) Ako je b ∈ G\e, onda iz oblika skupa G neposredno sledi da postoji

k ∈ 0, 1, 2, . . . , n− 1 tako da je b = ak.(2) Pretpostavimo da je b = ak generator grupe G. Pokazacemo da je

(n, k) = 1. Prema prvoj teoremi je r(b) = n. Pretpostavimo da je (n, k) =d > 1. Neka je n = n1d i k = k1d. Tada je

bn1 = (ak)n1 = akn1 = ak1dn1 = ak1n = (an)k1 = ek1 = e

sto je netacno jer je r(b) = n, a n1 < n. Dakle, (n, k) = 1.Obratno, neka je (n, k) = 1. Pokazacemo da je r(b) = n odakle, prema

prvoj teoremi, sledi da je b generator grupe G. Neka je r(b) = m. Iz bn = esledi da m deli n. Kako je e = bm = (ak)m = akm, a r(a) = n, to n | km.Odavde i iz cinjenice da (k, n) = 1 sledi da n deli m. Dakle, n = m.

Teorema 1.1.9. Neka su G1 i G2 konacne ciklicne grupe reda m i n redom.Direktan proizvod G1 ×G2 je ciklicna grupa akko je (m,n) = 1.

Dokaz. Neka je Cm = 〈a〉 i Cn = 〈b〉. Znamo da je Cm ×Cn grupa reda mn.Pretpostavimo da je Cm ×Cn ciklicna grupa. Pokazacemo da je (m,n) = d.Neka je (α, β), α ∈ Cm, beta ∈ Cn generator ciklicne grupe Cm ×Cn. Premaprvoj teoremi r((α, β)) = mn. Pretpostavimo da je (m,n) = d > 1. Nekaje m = m1d, n = n1d, i neka su e1 i e2 redom jedinice u Cm i Cn. Tada je(α, β)m1n1d = (αm1n1d, βm1n1d) = ((αm1d)n1 , (βn1d)m1) = ((αm)n1 , (βn)m−1) =(en1

1 , em12 ) = (e1, e2). Ovo je nemoguce jer je r((α, β)) = mn, a m1n1d < mn.

Dakle (m,n) = 1.Obratno, neka je (m,n) = 1. Pokazacemo da je r((a, b)) = mn, oda-

kle prema prvoj teoremi sledi da je Cm ×Cn ciklicna grupa. Neka je s =r((a, b)). Iz

(a, b)mn = (amn, bmn) = ((am)n, (bn)m) = (en1 , em2 ) = (e1, e2)

sledi da s | mn. S druge strane (e1, e2) = (a, b)s = (as, bs) povlaci e1 = as ie2 = bs. Dakle, r(a) = m deli s i r(b) = n deli s. Odavde i iz (m,n) = 1sledi da mn | s. Dakle, s = mn.

Teorema 1.1.10. Neka je G konacna ciklicna grupa reda n. Za svaki deliteljd broja n postoji jedinstvena podgrupa H grupe G takva da je |H| = d.

Dokaz. Neka je G = 〈a | an = e〉 i H = 〈an/d〉. Pokazacemo da je |H| = d.Znamo, |H| = r(an/d). Neka je r(an/d) = s. Dakle, (an/d)s = asn/d = e.Odavde, zbog r(a) = n sledi da n deli n

ds, tj. d deli s. S druge strane,

(an/d)d = an = e, pa s deli d. Dakle, s = d.

GLAVA 1. UVOD 7

Pokazacemo da je H jedinstvena podgrupa grupe G reda d. Pretpo-stavimo da postoji podgrupa K grupe G, takode reda d. Prema jednoj odnavedenih teorema, K je ciklicna grupa. Dakle, K = 〈am〉 za neki 0 < m < n.Iz (am)d = e, tj. amd = e sledi da n = r(a) deli md, odn. n/d deli m. Neka jem = q n

d. Tada je am = aq

nd = (a

nd )q, pa am ∈ H. Iz definicije podgrupe 〈am〉

sledi da je K = 〈am〉 podgrupa grupe H. Odavde zbog |K| = |H| = d < ∞sledi K=H.

1.2 Grupe permutacija

Teorema 1.2.1. Neka je A neprazan skup i Sym(A) skup svih permutacijaskupa A. Tada je SA = ((Sym(A), ) grupa.

Za grupu SA kazemo da je grupa permutacija (simetricna grupa)skupa A. Nas ce zanimati samo permutacije konacnih skupova, sto nadaljepodrazumevamo.

Napomena. Za α, β ∈ Sym(A) umesto α β pisacemo cesto αβ.

Neka je α permutacija skupa A. Za a ∈ A takav da je α(a) = a kazemoda je fiksni (nepokretni) element, a u suprotnom, pokretni element zaα. Ako svi pokretni elementi permutacije α obrazuju ciklus, kazemo da je αciklicna permutacija. Pri tome, ako je ciklus konacan, moze se predstavitiu obliku

α = (ai1ai2 . . . aik), k ≥ 2

gde je

α(ai1) = ai2 , α(ai2) = ai3 , . . . , α(aik) = ai1 , α(x) = x za x 6= aij , 1 ≤ j ≤ k

Identicno preslikavanje oznacavamo sa (1). Red permutacije α skupa A jenjen red kao elementa simetricne grupe SA.

Teorema 1.2.2. Red ciklicne permutacije jednak je duzini ciklusa.

Dokaz. Ako je α = (a1a2 . . . an) ∈ Sym(A), tada je po definiciji α(ai) =ai+1, i = 1, n− 1, α(an) = a1 i α(x) = x, x ∈ A \ a1, . . . , an, pa ce bitiαn(ai) = ai, i = 1, n i αn(x) = x, x ∈ A \ a1, . . . , ak, tj. αn(a) = a, ∀a ∈A, sto znaci da je αn = idA; jasno je da je n najmanji prirodan broj sa ovimsvojstvom.

Za permutacije α i β skupa A kazemo da su disjunktne akko zadovolja-vaju sledeci uslov:

(∀a, b ∈ A)α(a) 6= a⇒ β(a) = a, β(b) 6= b⇒ α(b) = b

GLAVA 1. UVOD 8

Teorema 1.2.3. Ako su α i β disjunktne permutacije, tada je αβ = βα.Ciklusi permutacije αβ sa vise od jednog elementa (tj. netrivijalni ciklusi) suodgovarajuci ciklusi permutacija α i β.

Dokaz. Neka su α, β ∈ Sym(A) disjunktne permutacije i a ∈ A proizvoljanelement. Tada a moze biti pokretna tacka najvise jedne od permutacija α iβ. Ako je a ∈ A nepokretna tacka svake od tih permutacija, onda vazi

αβ(a) = α(a) = a = β(a) = βα(a)

Neka je a pokretna tacka, npr. permutacije α i neka je α(a) = b 6= a. Tadaje i α(b) 6= b (u protivnom bi vazilo α(a) = α(b) = b, a to nije moguce jerje α bijekcija). Prema tome, elementi a i b su pokretne tacke permutacije α,pa su zato oni nepokretne tacke permutacije β. Odatle sledi

αβ(a) = α(a) = b = β(b) = βα(a)

Time smo dokazali da je αβ = βα

Teorema 1.2.4. Proizvoljna permutacija α se moze jedinstveno (do na ra-spored ciklusa) predstaviti kao proizvod disjunktnih ciklusa.

Dokaz. Primetimo najpre da je sa

x ∼ y ⇔ (∃i ∈ N)αi(x) = y, x, y ∈ A

definisana relacija ekvivalencije na A. Klase ekvivalencije su

[x] = y |x ∼ y = αi(x) | i ∈ N = x, α(x), α2(x), . . . , αk−1(x)

gde je k = r(α); nazivju se i orbitama permutacije f .Posto je A konacan skup, za dato α ∈ Sym(A) relacija ∼ razbija A na

konacno mnogo klasa ekvivalencije, tj. orbita O1, . . . , On. Svakoj orbiti Ci =x, α(x), . . . , αj(x) se moze pridruziti ciklus αi = (x;α(x);α2(x) . . . αj(x))(ostali elementi su fiksirani). Kako su orbite disjunktne i pokrivaju ceo skupA, ovako dobijeni ciklusi su disjunktni i

α = α1α2 . . . αn

Jedinstvenost: neka su α1, . . . , αi i β1, . . . , βj ciklusi takvi da je α = α1 . . . αn =β1 . . . βj. Za svako a ∈ A za koje α(a) 6= a postoje k, l (1 ≤ k ≤ i, 1 ≤ l ≤ j)tako da je f(a) = αk(a) = βl(a). Kako je za svako n ∈ N αnk(a) = βnl (a) slediαk = βl.

GLAVA 1. UVOD 9

Teorema 1.2.5. Ako je permutacija α konacan proizvod disjunktnih ciklicnihpermutacija, njen red je najmanji zajednicki sadrzalac duzina tih ciklusa.

Dokaz. Neka je α = α1α2 . . . αk, gde su αi (i ∈ 1, . . . k) disjunktni ciklusi,i neka je r(α) = m. Tada je αm = idA i

αm = (α1 . . . αk)m = αm1 . . . α

mk

jer ciklusi α1, . . . , αk komutiraju. S obzirom da su stepeni disjunktnih ciklusatakode disjunktni, to je

αm = idA ⇔ (∀i ∈ 1, . . . , k)αmi = idA

odakle neposredno sledi r(αi) | m, i = 1, k. Dakle, m = [r(α1), . . . , r(αk)].

Teorema 1.2.6. Neka je permutacija α proizvod ciklusa, a β proizvoljnapermutacija. Ako u ciklusima koji cine α sve simbole zamenimo onako kako topropisuje permutacija β, dobijena permutacija je jednaka permutaciji βαβ−1.

Dokaz. Neka je α = (i1 . . . ik) . . . (j1 . . . jl) ciklusna dekompozicija permuta-cije α. U njoj uocimo proizvoljan element i, i neposredno naredni u ovojdekompoziciji je α(i). Slike elemenata i i α(i) u permutaciji β su β(i) iβα(i). Koristeci cinjenicu da je

βα(i) = βαβ−1β(i)

zakljucujemo da je u ciklicnoj dekompoziciji permutacije βαβ−1, iza elementaβ(i) neposredno naredni (tj. njegova slika) upravo element βα(i), sto je itrebalo dokazati.

Neka je A = 1, 2, . . . , n. U ovom slucaju, grupu permutacija SA skupaA oznacavamo sa Sn. Neka je α permutacija skupa A. Kazemo da elementiα(i) i α(j) prave inverziju akko je α(i) > α(j) za i < j. Permutacija αje parna akko ima paran broj inverzija, a neparna u suprotnom slucaju. SaAn oznacavamo skup svih parnih permutacija skupa od n elemenata. Ako jeα ∈ Sn data permutacija, sa α(ij) oznacavamo permutaciju koja se dobija izα kada α(i) i α(j) zamene mesta.

Teorema 1.2.7. Permutacija α je parna akko je α(ij) neparna permutacija

Dokaz. Ako u permutaciji α bilo koja dva elementa zamene mesta menja separnost permutacije.

Neka je najpre j = i+ 1, tj. izvrsena je transpozicija susednih elemenataα(i) i α(i+ 1). Oznacimo sa A skup elemenata permutacije α koji su ispred

GLAVA 1. UVOD 10

α(i), a sa B skup onih koji su iza α(i + 1). Medusobnom zamenom mestaelementi α(i) i α(i+1) ne prave nove inverzije sa clanovima iz A i B. Zato seu ovom slucaju broj inverzija u permutaciji umanjuje ili uvecava za 1 zavisnood toga jesu li ili nisu α(i) i α(i + 1) obrazovali inverziju u α, odn. svakakose menja parnost permutacije.

Neka je sada j − i > 1. Elementima α(i) i α(j), 1 ≤ i < j ≤ n mozemozameniti mesta na sledeci nacin: zamenjujemo α(i) redom sa elementimaα(i + 1), α(i + 2), . . . , α(j − 1), a zatim zamenjujemo mesto elementu b re-dom sa α(j − 1), α(j − 2), . . . , α(i + 1). Izvrseno je ukupno 2(j − i) + 1zamena mesta susednim elementima. S obzirom da se kod zamene mestasusednim elementima u permutaciji menja parnost permutacije, to se posleneparnog broja zamena mesta susednim elementima menja parnost polaznepermutacije.

Funkcija parnosti je preslikavanje P sa domenom Sn definisano slede-com formulom

P (f) =∏i<j

f(j)− f(i)

j − if ∈ Sn

Teorema 1.2.8. (i) (∀f ∈ Sn)P (f) ∈ −1, 1;(ii) Preslikavanje P je homomorfizam iz grupe Sn u grupu (−1, 1, ·)

Dokaz. (i) Neka je S = (i, j) | 1 ≤ i < j ≤ n o neka je za f ∈ Sn preslika-vanje g : S → S definisano sa

g(i, j) =

(f(i), f(j)), f(i) < f(j)

(f(j), f(i)), f(j) < f(i)

za (i, j) ∈ S. Neposredno se proverava da je g ∈ Sym(S). Dalje, uvedimofunkciju a sa domenom S: a(s) = |j− i|, gde s = (i, j) ∈ S. Tada, s obziromda je a(g(s)) = |f(j)− f(i)| imamo∏

i<j

|j − i| =∏s∈S

a(s) =∏s∈S

a(g(s)) =∏i<j

|f(j)− f(i)|

pa je P (f) ∈ −1, 1.(ii) Neka su f, g ∈ Sn proizvoljni elementi. Tada je

P (fg) =∏i<j

fg(j)− fg(i)

j − i=∏i<j

fg(j)− fg(i)

g(j)− g(i)· g(j)− g(i)

j − i=

∏i<j

fg(j)− fg(i)

g(j)− g(i)

∏i<j

g(j)− g(i)

j − i=

∏(k,l)∈S1

fg(l)− fg(k)

g(l)− g(k)

∏(k,l)∈S2

fg(l)− fg(k)

g(l)− g(k)·P (g)

GLAVA 1. UVOD 11

=∏

(k,l)∈S1

fg(l)− fg(k)

g(l)− g(k)

∏(k,l)∈S2

fg(k)− fg(l)

g(k)− g(l)· P (g)

gde jeS1 = (i, j) | 1 ≤ i < j ≤ n, g(i) < g(j)

S2 = (i, j) | 1 ≤ i < j ≤ n, g(i) > g(j)

Kako je preslikavanje φ : (i, j) 7→ (g(i), g(j)) bijekcija, to je dalje

=∏

(i,j)∈φ(S1)

f(j)− f(i)

j − i∏

(i,j)∈φ(S2)

f(j)− f(i)

j − i·P (g) =

∏i<j

f(j)− f(i)

j − i·P (g) = P (f)P (g)

Teorema 1.2.9. Permutacija f ∈ Sn je parna akko je P (f) = 1, odn.neparna akko je P (f) = −1

Dokaz. Neka je p(i, j) = 1 ako elementi f(i), f(j) cine inverziju, i p(i, j) = 0inace ((i, j) ∈ S, gde je skup S definisan u dokazu prethodne teoreme). Tadaje ocigledno

f(j)− f(i) = (−1)p(i,j)|f(j)− f(i)|

pa prema izvodenju u prethodnoj teoremi neposredno nalazimo∏i<j

(f(j)−f(i)) =∏i<j

(−1)p(i,j)|f(j)−f(i)| = (−1)inv(f)∏i<j

|f(j)−f(i)| = (−1)inv(f)∏i<j

(j−i)

Dakle, P (f) = (−1)inv(f), gde je inv(f) broj inverzija permutacije f . Odavdeimamo trazeni zakljucak.

Neka je α = (ij) ciklicna permutacija duzine 2, tj. α(i) = j, α(j) = i iα(k) = k za k 6= i, j. Za α kazemo da je transpozicija.

Teorema 1.2.10. Ciklicna permutacija α = (i1i2 . . . ik) ∈ Sn je konacanproizvod transpozicija:

α = (i1i2) . . . (i1ik−1)(i1ik)

Dokaz sledi direktnom proverom.

Posledica 1.2.1. Ciklicna permutacija je parna akko je neparne duzine.

Posledica 1.2.2. Svaka permutacija grupe Sn moze se predstaviti kao kom-pozicija konacnog broja transpozicija

Teorema 1.2.11. Skup An odreduje normalnu podgrupu grupe Sn reda n!/2.

GLAVA 1. UVOD 12

Dokaz. Kako jef ∈ An ⇔ P (f) = 1⇔ f ∈ Ker(P )

to je An = Ker(P ), pa je An C Sn. Da je |An| = n!/2 sledi iz prve teoreme.

Teorema 1.2.12. Skup (12),(13),...,(1n) generise grupu Sn.

Dokaz. Neka je (ab) ∈ Sn proizvoljna transpozicija. Iz

(ab) = (1b)(1a)(1b)

sledi da se svaka transpozicija moze prikazati pomocu datih. Odavde, i izcinjenice da se svaka permutacija grupe Sn moze predstaviti u obliku pro-izvoda transpozicija, sledi da transpozicije (12),(13),...,(1n) generisu grupuSn.

Teorema 1.2.13. Neka je α = (23...n) i β = (12). Dvoclani skup α, βgenerise grupu Sn.

Dokaz. Prema teoremi 1.5.6. je

α−1βα = (13)

α−2βα2 = α−1(α−1βα)α = (14)

· · ·

α−(n−2)βαn−2 = (1n)

Odavde na osnovu prethodnog tvrdenja sledi da permutacije α i β generisugrupu Sn.

Teorema 1.2.14. Permutacija α ∈ Sn je parna akko se moze predstaviti kaoproizvod ciklusa duzine tri.

Dokaz. Kako je ciklus neparne duzine parna permutacija, to ce svaka per-mutacija koja je proizvod ciklusa duzine 3 biti parna.

Obratno, neka je α = (a1b1) . . . (a2k−1b2k−1)(a2kb2k) parna permutacija.Iz

(ab)(cd) = (abc)(adc) , (ab)(bc) = (acb)

gde su a, b, c, d razliciti elementi skupa 1,2,...,n, sledi da je proizvod dvetranspozicije (a2i−1b2i−1)(a2i)(b2i) ili proizvod dva ciklusa duzine 3, ili je pakjedan takav ciklus. Dakle, α je proizvod ciklusa duzine 3.

Teorema 1.2.15. Alternativna grupa An je jednostavna za n ≥ 5.

GLAVA 1. UVOD 13

Dokaz. Neka je H 6= E normalna podgrupa grupe An. Dokazacemo da jeH = An.

(a) Dokazacemo najpre da H sadrzi bar jednu ciklicnu permutaciju duzine3.

Neka je α ∈ H nejedinicna permutacija koja ostavlja najvise fiksnih ele-menata. Pretpostavicemo da α nije ciklicna permutacija duzine 3. Akoα predstavimo kao proizvod disjunktnih ciklicnih permutacija, moguca susledeca dva slucaja:

(a.1) α je proizvod transpozicija

α = (. . . ) . . . (cd)(ab) (1.1)

Pri tome α ne moze biti transpozicija jer je parna permutacija. Zbog n ≥ 5,pored a, b, c, d postoji bar jos jedan element e skupa 1, 2, ..., n razlicit odnjih. U odnosu na α, e je fiksni element ili je α(e) = s, s 6= e, a, b, c, d.

(a.2) Bar jedan od ciklicnih faktora permutacije α je duzine vece od 2, tj.

α = (. . . ) . . . (abc . . . ) (1.2)

Pri tome, postoje bar jos dva pokretna elementa d i e razlicita od a, b, cjer bi u suprotnom bilo α = (abc) ili α = (abcd). Neka je β = (cde). Izβ ∈ An i cinjenice da je H normalna u An, sledi da β−1αβ ∈ H, pa iγ = β−1αβα−1 ∈ H.

Ako je α oblika (1.1), tada je γ(d) = α−1(e) 6= d, γ(a) = a, γ(b) = b.S druge strane, ako α : r 7→ r i r 6= e tada γ : r 7→ r. Prema tome, γ

je nejedinicna permutacija koja ostavlja vise fiksnih elemenata od α, sto jenemoguce zbog izbora permutacije α.

Ako α ima oblik (1.2), tada je γ(b) = α−1(d) 6= b, pa γ nije jedinicnapermutacija. Zatim, γ(a) = a i svi fiksni elementi za α su fiksni i za γ.Prema tome, γ fiksira vise elemenata od α, sto je nemoguce zbog izbora α.

Iz citave diskusije sledi da je nemoguca pretpostavka da α nije ciklicnapermutacija duzine 3.

(b) Dokazacemo da svaka ciklicna permutacija duzine 3 pripada H.Prema (a), u H postoji bar jedna ciklicna permutacija (abc) duzine 3.

Neka je (a′b′c′) bilo koja ciklicna permutacija duzine 3. Posmatracemo per-mutaciju

α =

(a b c . . .

a′ b′ c′ . . .

)Zbog n ≥ 5, postoje jos bar dva elementa d i e. Neka je α(d) = d′ i α(e) = e′.Pretpostavicemo da je α parna permutacija, jer u suprotnom permutacija

β =

(a b c d e . . .

a′ b′ c′ d′ e′ . . .

)

GLAVA 1. UVOD 14

bi bila parna, pa bi smo umest sa α radili sa permutacijom β. Iz (abc) ∈H i α ∈ An, zbog cinjenice da je H normalna u An, sledi da (a′b′c′) =α−1(abc)α ∈ H.

Dakle, H sadrzi sve ciklicne permutacije duzine 3. S obzirom da svakaparna permutacija moze da se predstavi kao proizvod ciklusa duzine 3, sledizakljucak da su sve parne permutacije elementi podgrupe H. Prema tome,H = An.

1.3 Dejstvo grupe na skup

Dati su grupa G = (G, ·,−1 , e), neprazan konacan skup S, Sym(S) skuppermutacija skupa S, i SS = (Sym(S), ,−1 , 1S) grupa permutacija skupaS. Dejstvo grupe G na skup S je svaki homomorfizam θ : G→ SS.Pisacemo θ(g)(s) = θg(s) = sg, g ∈ Sym(S), s ∈ S. Za dejstvo se takodekoristi termin permutacijska reprezentacija grupe G.

Sledecim definicijama i tvrdenjima uvodimo osnovne pojmove pridruzenedejstvu i ispitujemo njihove osobine. Nadalje, G oznacava grupu, S neprazanskup a θ dejstvo grupe G na skup S.

Napomena. Oznaku operacije · u proizvodu elemenata g, h ∈ G cesto cemoizostavljati i umesto g · h pisacemo gh.

Teorema 1.3.1. Neka je θ dejstvo grupe G na skup S. Tada:(1) (sg)h = sgh;(2) se = s,Za svaki g, h ∈ G i svaki s ∈ S.

Dokaz. Neka su g, h ∈ G i s ∈ S proizvoljni elementi.(1) (sg)h = θ(h)(θ(g)(s)) = θ(g) θ(h)(s) = θ(gh)(s) = sgh

(2) se = θ(e)(s) = 1S(s) = s

Stabilizator elementa s ∈ S je podskup od G odreden sa Gs = g ∈G | sg = s.

Teorema 1.3.2. Za svaki s ∈ S, Gs odreduje podgrupu grupe G.

Dokaz. Neka je s ∈ S proizvoljan element. Gs 6= ∅ jer e ∈ Gs. Neka sug, h ∈ Gs proizvoljni elementi. Kako je sgh = (sg)h = sh = s, to gh ∈ Gs. Izsg = s sledi (sg)g

−1= sg

−1, tj. sgg

−1= sg

−1, odn. se = sg

−1. Dakle, s = sg

−1,

pa g−1 ∈ Gs.

Orbita elementa s ∈ S je podskup od S odreden sa sG = sg | g ∈ G.Dejstvo je tranzitivno akko ima tacno jednu orbitu.

GLAVA 1. UVOD 15

Teorema 1.3.3. Neka je θ dejstvo grupe G na skup S i ∼ relacija skupa Sdefinisana sa

s ∼ t⇔ (∃g ∈ G) t = sg

Tada:(1) ∼ je relacija ekvivalencije skupa S.(2) s/ ∼= sG, s ∈ S.

Dokaz. (1) Kako je, za svaki s ∈ S, se = s, odn. s ∼ s, to je ∼ refleksivnarelacija. Neka za s, t ∈ S vazi s ∼ t. Dakle, postoji g ∈ G takav da je t = sg.No tada je tg

−1= s, tj. t ∼ s, pa je ∼ simetricna relacija. Ako za s, t, u ∈ S

vazi s ∼ t i t ∼ u, odn. t = sg i u = th za neki g, h ∈ G, tada je u = sgh,dakle s ∼ u i ∼ tranzitivna relacija.

(2) Neka je s ∈ S proizvoljan element. Iz t ∈ s/ ∼⇔ s ∼ t ⇔ (∃g ∈G) t = sg ⇔ t ∈ sG sledi s/ ∼= sG.

Posledica 1.3.1. sG | s ∈ S je particija skupa S.

Dokaz. Prema prethodnom tvrdenju ∼ je relacija ekvivalencije na skupu Spa je skup S/ ∼ particija skupa S. Iz s/ ∼ | s ∈ S = sG | s ∈ Sneposredno sledi zakljucak tvrdenja.

Teorema 1.3.4. Za svaki s ∈ S je |sG| = (G : Gs).

Dokaz. Za svaki s ∈ S je (G : Gs) = |Gsx |x ∈ G|. Oznacimo skupGsx |x ∈ G sa G/Gs. Neka je λ : sG → G/Gs preslikavanje definisano saλ(sg) = Gsg, sg ∈ sG. Dokazacemo da je λ bijekcija. Iz sg = sh ⇔ sgh

−1=

s ⇔ gh−1 ∈ Gs ⇔ g ∈ Gsh ⇔ Gsg = Gsh ⇔ λ(sg) = λ(sh), sg, sh ∈ sG,sledi dobra definisanost i injektivnost preslikavanja λ. Kako je λ(sg) = Gsgza proizvoljan Gsg ∈ G/Gs to je λ i ”na”, dakle bijekcija.

Posledica 1.3.2. Ako je S konacan skup, onda je |S| =∑s∈T|sG| =

∑s∈T

(G : Gs)

gde je T transverzala particije sG | s ∈ S.

Glava 2

Opste o izometrijskimtransformacijama

U ovom poglavlju bice prikazani osnovni pojmovi i svojstva izometrijskihtransformacija prostora En (n = 1, 2, 3), kao i grupe izometrijskih trans-formacija tih prostora. Prostor En cemo u daljem izlaganju identifikovatisa (realnim) vektorskim prostorom Rn, odnosno metrickim ili normiranimprostorom Rn sa standardnom metrikom:

d(x, y) =

√√√√ n∑k=1

(xk − yk)2 (n = 1, 2, 3)

i njome indukovanom normom:

‖x‖ = d(0, x) =

√√√√ n∑k=1

x2k

za x = (xk)nk=1, y = (yk)

nk=1; u skladu s tim, smatracemo da su elementi

prostora (tacke) zadati svojim koordinatama u odnosu na neki fiksiran De-kartov pravougli koordinatni sistem sa koordinatnim pocetkom 0=(0,...,0),ciji ortovi cine bazu posmatranog vektorskog prostora. Takode, kada je topogodno, ravan E2 (R2) poistoveticemo sa kompleksnom ravni, tj. poljemkompleksnih brojeva C.

2.1 Grupa izometrijskih transformacija

Navodimo definiciju i osnovna svojstva izometrijskih transformacija i nji-hovih grupa.

16

GLAVA 2. OPSTE O IZOMETRIJSKIM TRANSFORMACIJAMA 17

Definicija 2.1.1. Bijektivno preslikavanje f : En → En nazivamo izome-trijska transformacija (izometrija) prostora En (n = 1, 2, 3) ako za pro-izvoljne dve tacke A i B prostora En vazi

d(A,B) = d(f(A), f(B))

tj.(A,B) ∼= (f(A), f(B))

gde ∼= predstavlja relaciju podudarnosti parova tacaka.

Identicno preslikavanje (koincidencija, jedinicno preslikavanje) ε : En →En (n = 1, 2, 3) je ocigledno uvek izometrijska transformacija. Stoga je skupE(n) := f : En → En | (∀x, y ∈ En) d(x, y) = d(f(x), f(y)) svih izometrij-skih transformacija prostora En neprazan. Ako su f, g ∈ E(n) proizvoljneizometrije, onda je

d((f g)(x), (f g)(y)) = d(f(g(x)), f(g(y))) = d(g(x), g(y)) = d(x, y)

za svake dve tacke x, y ∈ En, pa vazi i f g ∈ E(n) . Ovime je pokazanoda je kompozicija (proizvod) bilo koje dve izometrije prostora En takodeizometrija prostora En. Posto je f izometrija, dakle bijekcija, definisano je ipreslikavanje f−1 : En → En, i bice:

d(f−1(x), f−1(y)) = d(f(f−1(x)), f(f−1(y))) = d(x, y)

sto ce reci da je i f−1 ∈ E(n), tj. inverzna transformacija izometrijsketransformacije prostora En je takode izometrija tog prostora.

Iz ovog razmatranja zakljucujemo da vazi sledece sustinski vazno tvrdenje:

Teorema 2.1.1 (Osnovna teorema o izometrijskim transformacijama). Skupsvih izometrijskih transformacija prostora En sa operacijom kompozicije pre-slikavanja predstavlja grupu (sa jedinicnim elementom ε - koincidencijom).

Definicija 2.1.2. Grupa E(n) = (E(n), ) ustanovljena prethodnom teo-remom naziva se grupa izometrijskih transformacija prostora En iliEuklidska grupa prostora En.

Ponegde se grupa izometrijskih transformacija prostora En oznacava i saIsom(En) ili ISO(n).

Cesto cemo kompoziciju preslikavanja f i g (tim redom) oznacavati samosa fg, umesto f g.

Iz same definicije izometrije ocigledno je da se bilo koji lik (ili opstije,skup tacaka) u prostoru En preslikava izometrijom na sebi podudaran lik.


Medutim, od posebnog interesa je prouciti izometrije koje dati neprazanskup S ⊂ En preslikavaju na samog sebe, tj. izometrije iz skupa GS :=f ∈ E(n) | f(S) = S = f ∈ E(n) | (∀A ∈ En)A ∈ S ⇔ f(A) ∈ S.Ocigledno, uvek je ε ∈ GS, pa je skup GS neprazan. Ako f, g ∈ GS, onda jei f g ∈ GS, a zbog A = f(f−1(A)) ∈ S ⇔ f−1(A) ∈ S vazi i f−1 ∈ GS.Time je dokazano da je skup GS snabdeven operacijom kompozicije funkcija grupa, tj. (posto je GS ⊂ E(n)) skup GS odreduje podgrupu grupe E(n).

Definicija 2.1.3. Podgrupa GS grupe E(n) ciji domen sadrzi sve izometrijekoje dati lik S ⊂ En slikaju u samog sebe naziva se grupa simetrija (grupakretanja) lika S.

Definicija 2.1.4. Za datu izometriju f ∈ E(n), tacka A ∈ En za koju jef(A) = A naziva se fiksna (invarijantna, nepokretna) tacka izometrijef .

Najosnovnija klasifikacija izometrijskih transformacija prostora En mozese izvrsiti u zavisnosti od toga da li data izometrijska transformacija presli-kava neki lik u njemu direktno ili indirektno podudaran lik, odnosno da li setim izometrijskim preslikavanjem menja orijentacija prostora. U skladu satim daje se sledeca definicija:

Definicija 2.1.5. Izometrijska transformacija f prostora En (n = 1, 2, 3)je direktna ako ne menja orijentaciju prostora En; u suprotnom ona jeindirektna.

Bez dubljeg upustanja u definisanje orijentacije prostora, ovo prakticno(geometrijski) znaci:

1. (U E1, tj. na pravoj:) Za duzi AB,A′B′ ⊂ E1 smatramo da su

direktno (indirektno) podudarne ako je−→AB =

−−→A′B′ (

−→AB = −

−→AB), tj.

ako je |AB| = |A′B′|, a usmerene duzi isto (suprotno) orijentisane; zatoje izometrija f prave E1 direktna (indirektna) ako svaku duz te pravepreslikava na direktno (indirektno) podudarnu duz.

2. (U E2, tj. u ravni:) Ako su O,A,B tri nekolinearne tacke u ravni E2,onda je ugao ∠AOB orijentsan pozitivno odn. negativno ako njegovikraci cine uredjen par polupravih, a ”prvi”krak se rotacijom u smerusuprotnom kretanju kazaljke na satu (odn. u smeru kazaljke na satu)preko oblasti tog ugla moze prevesti u ”drugi”; stoga, izometrija f ∈E(2) je direktna (indirektna) ako svaki ugao ravni preslikava u njemupodudaran i isto (suprotno) orijentisan ugao.


3. (U E3, tj. u prostoru:) Ako suO,A,B,C ∈ E3 cetiri nekomplanarnetacke, njima je odreden triedarOABC. Uzimajuci da su uglovi koji cinestrane triedra svi isto orijentisani (u odgovarajucoj ravni), orijentacijatih uglova smatra se odgovarajucom orijentacijom triedra; izometrijaf ∈ E(3) je direktna (indirektna) ako svaki triedar preslikava u isto(suprotno) orijentisan triedar.

Obelezimo skup svih direktnih izometrija prostora En sa E+(n), a sa E−(n)skup svih indirektnih izometrija istog prostora. Posto postoje tacno dverazlicite orijentacije prostora i likova u njemu, lako je zakljuciti da je svakaizometrija ili direktna ili indirektna, tj. E+(n)∩E−(n) = ∅ i E(n) = E+(n)∪E−(n).

Nije tesko videti ni da je proizvod (kompozicija) dve direktne ili dve indi-rektne izometrije direktna, a da je proizvod direktne i indirektne izometrijeindirektna izometrija. Indukcijom se dalje moze pokazati i da je proizvodproizvod konacno mnogo direktnih izometrija direktna izometrija; kompozi-cija parnog broja indirektnih izometrija bice direktna, a neparnog indirektnaizometrija. Pored toga, ako je f direktna, odn. indirektna izometrija, ondaje takva i njoj inverzna izometrija f−1.

Teorema 2.1.2. Skup E+(n) direktnih izometrijskih transformacija prostoraEn (n = 1, 2, 3) odreduje normalnu podgrupu grupe E(n) indeksa 2 (tj.(E(n) : E+(n)) = 2).

Dokaz. Da je skup E+(n) zatvoren u odnosu na operacije i −1 vidi se izprethodno recenog, pa posto je E+(n) 6= ∅ (jer ocigledno ε ∈ E+(n)) sledi daje (E+(n), ) = E+(n) < E(n). Iz istih razloga vazi i g−1fg ∈ E+(n), ∀g ∈E(n),∀f ∈ E+(n) tj. g−1E+(n)g ⊆ E+(n), ∀g ∈ E(n), sto znaci da jeE+(n)CE(n), i slicno, zbog gE+(n) = E+(n), ∀g ∈ E+(n), odn. gE+(n) =E−(n), ∀g ∈ E−(n) zakljucujemo da se skup E(n)/ ∼LE+(n)

sastoji od svega

dva koseta: E(n)/ ∼LE+(n)= E(n)/E+(n) = E+(n), E−(n)

Podgrupa E+(n) cesto se naziva specijalna Euklidska grupa prostoraEn, i oznacava se sa SE(n).

Primetimo da skup E−(n) indirektnih izometrija u En (sa operacijomkompozicije preslikavanja) ne moze ciniti grupu, jer kao sto smo vec videlikompozicija dve indirektne izometrije je uvek direktna izometrija, tj. skupE−(n) nije zatvoren u odnosu na operaciju .


2.2 Izometrijske transformacije prave (pro-

stora E1)

Ovde cemo detaljnije izuciti samo izometrije prave, odn. grupu E(1)zbog ne tako bogate strukture koju ona poseduje. Osobine izometrija ravnii prostora ce zato biti prezentovane u posebnim odeljcima.

Pocinjemo sa tvrdenjima o karakterizaciji izometrija prave na osnovu slikapojedinih tacaka.

Teorema 2.2.1. Svaka izometrija prave l ≡ E1 jedinstveno je odredenaslikom dveju razlicitih tacaka te prave.

Dokaz. Neka su A,B ∈ l dve razne tacke, a f, g : l→ l date izometrije takveda vazi f(A) = A′ = g(A), f(B) = B′ = g(B). Zbog A 6= B i 0 < d(A,B) =d(A′, B′) bice i A′ 6= B′. Pokazimo da je tada f(C) = g(C) za svaku tackuC ∈ l, iz cega ce slediti f ≡ g. Ako je C ∈ A,B, to trivijalno vazi. Zato,uzmimo A 6= C 6= B, pa ce biti d(A,C) =: a > 0 i d(B,C) =: b > 0. Tada jei d(f(A), f(C)) = d(A′, f(C)) = a i d(f(B), f(C)) = d(B′, f(C)) = b jer jef izometrija, i analogno: d(A′, g(C)) = a i d(B′, g(C)) = b, odakle konacno(posto je A′ 6= B′) mora biti f(C) = g(C).

Posledica 2.2.1. Svaka izometrijska transformacija prave koja ima dve ra-zne invarijantne tacke predstavlja koincidenciju, tj. identicko preslikavanje.

Iz ove posledice moze se zakljuciti i da je izometrija prave sa n fiksnihtacaka (n ≥ 2) koincidencija.

Teorema 2.2.2. Izometrija f : l → l prave l koja ima tacno jednu invari-jantnu tacku O je indirektna.

Dokaz. Neka je u izometriji f : l→ l, f(O) = O. Za proizvoljnu tacku A ∈ lrazlicitu od O, ako je f(A) = A′ bice A 6= A′ (jer je O jedina fiksna tacka zaf), kao i d(O,A) = d(f(O), f(A)) = d(O,A′), sto znaci da su tacke A i A′ saraznih strana tacke O (tj. vazi raspored A− O − A′), i |OA| = |OA′|, pa je−→OA = −

−−→OA′. Lako se pokazuje da je f(

−→OA) = −

−−→OA′. Sledi da f mora biti

indirektna izometrija.

Definicija 2.2.1. Izometrijska transformacija prostora E1 sa jednom i samojednom nepokretnom tackom (neka je to tacka O) zove se centralna sime-trija prave E1, u oznaci σO. Tacka O je centar simetrije σO.

Dakle, na osnovu poslednje teoreme, centralna simetrija σO ∈ E(1) imasvojstva:

σO(O) = O


a ako je E1 3 A 6= O:

σO(A) = A′ ⇔ |OA| = |OA′| ∧ A−O − A′

i tada je σO(−→OA) = −

−−→OA′. Iz iste teoreme vidi se da je centralna simetrija

indirektna izometrijska transformacija.

Definicija 2.2.2. Izometrijska transformacija f prostora En (n = 1, 2, 3) jeinvolutivna akko je f f = f 2 = ε, tj. element f je reda 2 u grupi E(n).

Teorema 2.2.3. Centralna simetrija prave je involutivna.

Dokaz. Neka je σO : l → l centralna simetrija prave l sa centrom simetrijeO ∈ l. Ako je l 3 A 6= O, i ako je A′ = σO(A), po definiciji je A−O−A′ i O jesrediste duzi AA′, pa je, dualno, i po definiciji σO(A′) = σO(σO(A)) = A.

Specijalno, ovo kazuje da je svaka centralna simetrija sama sebi inverzna.Kompozicijom dve centralne simetrije dobija se nova vrsta izometrija

prave.

Definicija 2.2.3. Ako su σP i σQ centralne simetrije prave E1 ≡ l, i P ′ =σQ(P ), tada se kompozicija σQ σP naziva translacija prave l za vektor−−→PP ′, u oznaci τ−−→

PP ′.

Ovo znaci da za proizvoljnu tacku A ∈ l (ako P 6= Q), zbog:

σP (A) = A′ ⇔−→PA = −

−−→PA′

σQ(A′) = A′′ ⇔−−→QA′ = −

−−→QA′′

σQ(P ) = P ′ ⇔−→QP = −

−−→QP ′

vazi: −−→AA′′ =

−→AP +

−→PQ+

−−→QA′′ =

−−→PA′ +

−−→QP ′ +

−−→A′Q =

−−→PP ′

pa imamo:

τ−−→PP ′

(A) = A′′ ⇔−−→AA′′ =

−−→PP ′

sto znaci da je translacija ”pomeraj”prave za duzinu PP ′ u smeru od P ka

P ′, tj. za vektor−−→PP ′, koji jednoznacno odreduje translaciju, i naziva se

vektor translacije. Ako je P = Q, tada je zbog involutivnosti centralnesimetrije τ−→

PP= τ−→

0= ε, tj. i koincidenciju mozemo smatrati za translaciju

za nula-vektor.Translacija je direktna izometrija, kao proizvod dve indirektne izometrije.

Takode, jasno je da translacija (za ne-nula vektor) nema fiksnih tacaka.


Teorema 2.2.4. Proizvoljna izometrija prave E1 ≡ l bez fiksnih tacaka jestetranslacija.

Dokaz. Neka su A,B ∈ l i A 6= B, i f : l → l izometrija prave l bez fiksnihtacaka. Tada, ako f(A) = A′ i f(B) = B′ mora biti A 6= A′ i B 6= B′. Akoje f direktna izometrija, onda je 0 < d(A,B) = d(A′, B′) i usmerene duzi

AB i A′B′ su istog smera, tj.−→AB =

−−→A′B′, pa je

−−→AA′ =

−→AB +

−−→BB′ +

−−→B′A′ =

−→AB −

−−→A′B′ +

−−→BB′ =

−−→BB′, i zato sto je svaka izometrija prave jedinstveno

odredena slikom dveju raznih tacaka, zakljucujemo da je f = τ−−→AA′

.

Ako je pak f indirektna, imacemo−→AB = −

−−→A′B′. Neka je C srediste duzi

BB′. Tada je B 6= C 6= B′ i C je jedinstvena tacka prave l sa svojstvom−−→BC = −

−−→B′C. Ako je C ′ = f(C), tada je C 6= C ′ i slicno

−−→BC = −

−−→B′C ′. Iz

svega izlozenog sledi da mora biti C ≡ C ′, sto bi znacilo da je C fiksna tackaza f - kontradikcija.

Kao sto je na pocetku poglavlja napomenuto, radi lakseg izucavanja izo-metrija mozemo pravu E1 ≡ l posmatrati kao realnu pravu R, na kojojbiramo tacku koja odgovara broju 0 - koordinatni pocetak, i jedinicni vektori, ciji smer predstavlja ”pozitivan smer”na brojevnoj pravoj. U tom smislu,

svakoj tacki A ∈ l odgovara broj a ∈ R, odn. vektor−→OA = a = ai.

Tako, translacija τa prave E1 za vektor a = ai, a ∈ R tacki X = X(x)kojoj odgovara vektor x = xi dodeljuje tacku kojoj odgovara vektor:

τa(x) = x + a

cija je koordinata na brojevnoj pravoj:

τa(x) = x+ a

Ovime su definisana preslikavanja τa : R → R i τa : R → R redom, realneprave kao vektorskog prostora, i odgovarajuceg afinog prostora.

Slicno, centralnu simetriju prave E1 sa centrom A obelezavacemo i sa

σa, odn. σa, gde je A = (a), tj.−→OA = a. Sada, mozemo i za centralnu

simetriju dati i ”analiticki izraz”, odredujuci koordinatu slike u zavisnosti odkoordinate originala: ako je tacka A = A(a) centar simetrije σa, a X = X(x)proizvoljna tacka prave, po definiciji centralne simetrije imacemo:

σA(X) = X ′ ⇔−−→AX = −

−−→AX ′ ⇔

−−→OX −

−→OA =

−→OA−

−−→OX ′ ⇔ x− a = a− x′

pa jeσa(x) = x′ = 2a− x odn. σa(x) = 2a− x


Na ovaj nacin, proucavanje izometrijskih preslikavanja svedeno je naproucavanje realnih funkcija.

Upotrebljavajuci navedene cinjenice, odredimo kompoziciju dveju trans-lacija prave τa i τb. Imamo:

(τa τb)(x) = τa(τb(x)) = τa(x+ b) = (x+ b) + a = x+ (b+ a), x ∈ R

sto govori da je τa τb = τb+a. Slicno bi se dobilo i τb τa = τa+b, a kakoje sabiranje vektora, odn. brojeva komutativna operacija, to je zapravoτa τb = τb τa. Inverzna transformacija translacije τa bila bi τ−a. Odavdevidimo da je T (1) - skup svih translacija prave E1 (sa slaganjem preslikava-nja) Abelova grupa.

S obzirom da je kompozicija translacija ponovo neka translacija, a trans-lacija je kompozicija dve centralne simetrije, moze se izvesti zakljucak da pro-izvod parnog broja centralnih simetrija predstavlja translaciju (ukljucujuci ikoincidenciju).

Kompozicija jedne centralne simetrije σA i jedne translacije τb (tim re-dom) je centralna simetrija. Zaista,

(σAτb)(X) = σA(τb(X)) = σa(x+b) = 2a−(x+b) = 2(a−b/2)−x = σa−b/2(x)

gde je A = A(a), b = bi, X = X(x) (a, b, x ∈ R). Primetimo da i kompo-zicija τb σA predstavlja centralnu simetriju, zbog cinjenice da je translacijakompozicija neke dve centralne simetrije, i asocijativnosti kompozicije pre-slikavanja (ali pomenuta kompozicija nije komutativna, sto se moze direktnoproveriti). Stoga, dodajmo jos i da proizvod neparnog broja centralnih sime-trija predstavlja ponovo neku centralnu simetriju.

Osvrnimo se sada na osobine koje se ticu fiksnih tacaka pomenutih izo-metrija. Videli smo da je izometrijska transformacija prave E1:

• sa dve ili vise fiksnih tacaka akko je koincidencija;

• sa tacno jednom fiksnom tackom akko je indirektna (i to centralnasimetrija);

• bez fiksnih tacaka akko je translacija (za ne-nula vektor)

sto ce reci da, ako je Ek(1), k ∈ N0 skup izometrija prave E1 sa tacno kfiksnih tacaka, vazi:

E0(1) = T (1) \ ε, E1(1) = E−(1), E2(1) = Ei(1) = ε, i > 2

E(1) =⋃k∈N0

Ek(1) = E0(1) ∪ E1(1) ∪ E2(1) = E+(1) ∪ E−(1)


E0(1) ∩ E1(1) ∩ E2(1) = E+(1) ∩ E−(1) = ∅

pa jeE+(1) = E0(1) ∪ ε = T (1)

Sumiranje sadrzaja ovog odeljka dokazuje sledece tvrdenje:

Teorema 2.2.5. Grupa E(1) izometrijskih transformacija prostora E1 ge-nerisana je skupom svih centralnih simetrija tog prostora, i svaka izometrijaf ∈ E(1) moze se predstaviti kao kompozicija najvise dve centralne simetrije,tj.

E(1) = σA σB |A,B ∈ E1

Elementi skupa svih direktnih izometrija prostora E1 su translacije (sa koin-cidencijom), a skupa svih direktnih izometrija centralne simetrije, odn.

E+(1) = SE(1) = T (1) = τ−→AB|A,B ∈ E1, E−(1) = σA |A ∈ E1

Specijalna Euklidska grupa SE(1) (grupa direktnih izometrija u E1) je izo-morfna aditivnoj grupi realnih brojeva (R,+). Preslikavanje φ : R→ SE(1)dato sa

φ(a) = τai

je izomorfizam grupa (R,+) i SE(1).

Razmotrimo jos i grupu simetrija duzi AB ⊂ E1. Ocigledno, GAB =ε, σC, gde je C srediste duzi AB, i vazi σ2

C = ε, pa je

GAB = 〈ε, σC |σ2C = ε〉 ∼= C2

Moze se pokazati da vazi:

Teorema 2.2.6. Jedine konacne netrivijalne podgrupe grupe E(1) su oblika(ε, σA, ), A ∈ E1 (i sve su izomorfne sa C2).

Dokaz. Ocigledno je da je (ε, σA, ) za svako A ∈ E1 podgrupa grupe E(1)izomorfna sa C2. Neka je G < E(1) konacna podgrupa. Ako je |G| = 1, morabiti G = ε. Ako |G| = 2 sledi G ∼= C2, jer je jedina grupa reda 2 ciklicna.Zato, neka je |G| = n ∈ N \ 1, 2. Tada je i G+ = SE(1) ∩G konacnapodgrupa. Ako je G+ 6= ε, tada G+ sadrzi neku translaciju τa, a 6= 0.Medutim, r(τa) = ∞ (red elementa τa je beskonacan), a mora biti r(τa) ≤|G+| ≤ |G| = n, pa smo dobili kontradikciju, tj. jedina direktna izometrijaiz G je koincidencija. Zato, posto |G| = n > 2 postoje σA, σB ∈ G, A 6= B.Ali, tada je ε 6= σA σB ∈ G translacija, i ponovo imamo kontradikciju.

Glava 3

Grupa E(2)

3.1 Odredenost izometrija ravni slikama tacaka

Analogno kao i kod izometrija prave, vazi:

Teorema 3.1.1. Svaki element grupe izometrija ravni jednoznacno je odredenslikom triju nekolinearnih tacaka.

Dokaz. Neka su A,B,C ∈ E2 tri nekolinearne tacke, i neka je za f, g ∈E(2): f(A) = g(A) = A′, f(B) = g(B) = B′, f(c) = g(C) = C ′.Neka je dalje D proizvoljna tacka ravni (razlicita od A,B i C) pa pokazimoda je f(D) = g(D). Ako je d(A,D) = a, d(B,D) = b i d(C,D) = c,tada je d(A′, f(D)) = d(A′, g(D)) = a, d(B′, f(D)) = d(B′, g(D)) = b id(C ′, f(D)) = d(C ′, g(D)) = c. Prema tome, tacke f(D) i g(D) leze upreseku kruznica K1, K2 i K3 sa centrima u A′, B′, C ′ respektivno, i polu-precnicima a, b i c. No onda je f(D) = g(D); u suprotnom bi kruzniceK1, K2 i K3 imale dve zajednicke tacke, pa bi njihovi centri bili kolinearni,ali trougao 4ABC podudaran je trouglu 4A′B′C ′ (radi se o trouglovima sajednakim stranama).

Posledica 3.1.1. Svaka izometrijska transformacija ravni E2 koja ima trinekolinearne invarijantne tacke predstavlja koincidenciju.

Nadalje cemo izucavati vrste izometrijskih transformacija ravni.

3.2 Osna refleksija ravni E2

Definicija 3.2.1. Osna refleksija ravni E2 u odnosu na pravu p je izo-metrijska transformacija σp koja nije koincidencija i u kojoj je svaka tackaprave p invarijantna. Prava p je osa refleksije σp.

25

GLAVA 3. GRUPA E(2) 26

Iz definicije sledi da pored prave p u ravni E2 osna refleksija nema inva-rijantnih tacaka. Rec refleksija koriscena je umesto reci simetrija jer pojamsimetrije, kao sto smo videli, u geometrijskoj teoriji izometrijskih transforma-cija moze imati sire znacenje, i oznacava svaku izometrijsku transformacijukoja lik S datog prostora prevodi u samog sebe.

Sada cemo navesti neke osobine osne refleksije.

Teorema 3.2.1. Ako su P i P ′ tacke ravni E2 takve da je P ′ = σp(P ) tadaje prava p simetrala duzi PP ′

Teorema 3.2.2. Osna refleksija σp ravni E2 jedinstveno je odrdena ako jedata njena osa p ili jedan par odgovarajucih neistovetnih tacaka P i P ′ (tj.takvih da je σp(P ) = P ′).

Teorema 3.2.3. Osna refleksija σp ravni E2 je indirektna izometrijska trans-formacija.

Teorema 3.2.4. Osna refleksija σp ravni E2 je involutivna izometrija.

Teorema 3.2.5. Ako je izometrija f ∈ E(2) indirektna i involutivna, ondaje f osna refleksija.

Teorema 3.2.6. Ako indirektna izometrija f ∈ E(2) ima invarijantnu tackuO tada je f osna refleksija cija osa sadrzi tacku O.

Dokaz. Kako je f indirektna, a ε direktna izometrija to je f 6= ε. Prematome u ravni E2 postoji tacka P takva da je f(P ) = P ′ i P 6= P ′. Neka je psimetrala duzi PP ′. Kako je f(O) = O i f(P ) = P ′ bice d(O,P ) = d(O,P ′).Dakle, O ∈ p. Dokazacemo da je f = σp. Kompozicija σp f je direktnaizometrija sa dve fiksne tacke, pa je σp f = ε. Odavde je σp σp f = σp,tj. f = σp.

Sada navodimo rezultat o predstavljanju izometrijskih transformacija ravnipomocu osnih refleksija.

Teorema 3.2.7. Svaka izometrija f ∈ E(2) moze se prestaviti u obliku kom-pozicije najvise tri osne refleksije.

Dokaz. S obzirom na broj fiksnih tacaka razlikujemo 4 slucaja koji se mogujaviti u pogledu bilo koje izometrije f ∈ E(2).

(i) Izometrija f ima bar 3 nekolinearne fiksne tacke. Tada je f = ε, paako je p proizvoljna prava u E2, vazi ε = σp σp.

(ii) Izometrija f ima dve razne fiksne tacke A i B. Zbog toga je svakatacka prave AB invarijantna za f , i osim tacaka te prave f nema fiksnih


tacaka, jer bi se u protivnom ovaj slucaj sveo na prethodni. Prema tomef 6= ε, pa postoji P ∈ E2 tako da je f(P ) = P ′ 6= P . Neka je p simetraladuzi PP ′. Kako u izometriji f tackama A,B, P odgovaraju redom tackeA,B, P ′, to vazi A,B ∈ p. Izometrija σp f ima tri nekolinearne fiksne tackeA,B i P , pa je σp f = ε. Mnozenjem sleva ove jednakosti sa σp i zboginvolutivnosti osne refleksije dobijamo f = σp.

(iii) f ima jednu fiksnu tacku A. Tada, f 6= ε, pa postoji tacka P takva daf(P ) = P ′ 6= P . Neka je p simetrala duzi PP ′. Kako je f(A) = A, f(P ) = P ′

to je d(A,P ) = d(A,P ′), tj. A ∈ p. Sada σp f ima dve fiksne tacke A i P ,pa po (ii) je σp f = σq za neku pravu q, odakle f = σp σq.

(iv) f nema fiksnih tacaka. Tada je f 6= ε pa postoji P ∈ E2 tako daf(P ) = P ′ 6= P . Neka je p simetrala duzi PP ′. Tada σp f ima jednu fiksnutacku P pa je po (iii): σp f = σq σr. Odavde sledi f = σp σq σr.

Primetimo da se svaka izometrija ravni moze predstaviti kao proizvod bilokog broja osnih refleksija, ali je od interesa da taj broj bude minimalan.

Posledica 3.2.1. Grupa E(2) generisana je skupom svih osnih refleksijaravni E2.

Definicija 3.2.2. Svaku kompoziciju konacnog broja osnih refleksija ravniE2 kojom je predstavljena neka izometrija f te ravni nazivamo osno - re-fleksivna (simetrijska) reprezentacija izometrije f . Simetrijska repre-zentacija za f sastavljena iz najmanjeg moguceg broja osnih refleksija zovese minimalna (optimalna) simetrijska reprezentacija.

3.3 Transmutacija izometrija i automorfizmi

grupe E(2)

Definicija 3.3.1. Ako su date izometrije f, g ∈ E(2), tada je kompozicijagfg−1 = f g transmutacija (preobrazenje) funkcije f funkcijom g.

Teorema 3.3.1 (O transmutaciji osnih refleksija). Neka je σp bilo koja osnarefleksija ravni E2 i f bilo koja izometrija te ravni. Tada je fσpf

−1 = σf(p),tj. σfp = σf(p).

Dokaz. Po definiciji osne refleksije za svaku tackuX prave f(p) je σp(f−1(X)) =

f−1(X) jer je f−1(X) ∈ p tj. σpf−1(X) = f−1(X). Mnozenjem obe strane

sa f dobijamo fσpf−1(X) = X, te indirektna izometrija fσpf

−1 ima invari-jantnu tacku pa predstavlja osnu refleksiju. U toj osnoj refleksiji svaka tackaX prave f(p) je invarijantna pa je fσpf

−1 = σf(p).


Teorema 3.3.2. Neka je data proizvoljna kompozicija osnih refleksija σp1σp2 ...σpn.Tada je za svaku izometriju f :

f(σp1σp2 . . . σpn)f−1 = σf(p1)σf(p2) . . . σf(pn)

Dokaz. U kompoziciji σp1σp2 . . . σpn izmedu svake dve susedne osne refleksijemozemo ubaciti koincidenciju u obliku ε = f−1f . Na taj nacin dobijamo

f(σp1σp2 . . . σpn)f−1 = fσp1f−1fσp2f

−1f . . . f−1fσpnf−1 = σfp1σ

fp2. . . σfpn =

= σf(p1)σf(p2) . . . σf(pn)

Navedene teoreme predstavljaju deo opstije teoreme o automorfizmimagrupe izometrija E(2). Naime, prva teorema je primenljiva na proizvoljneizometrije i u tom slucaju njena formulacija bi bila sledeca:

Teorema 3.3.3. Neka je f izometrijska transformacija prostora En (n =1, 2, 3) sa skupom invarijantnih tacaka A. Tada je za proizvoljnu izometrijug prostora En transformacija gfg−1 = f g takode izometrija prostora En istogtipa kao transformacija f sa skupom fiksnih tacaka g(A).

Takode primenjena na niz izometrijskih transformacija f1, f2, . . . , fn trans-mutacija daje novu izometrijsku transformaciju koja je proizvod izometrijskihtransformacija istog tipa dobijenih pojedinacnim transmutacijama svake odizometrijskih transformacija u nizu f1, f2, . . . , fn, tj.

g(f1f2 . . . fn)g−1 = f g1 fg2 . . . f

gn

Pri tome, ako skupovi A1,A2, . . . ,An predstavljaju respektivno skupove in-varijantnih tacaka transformacija f1, f2, . . . , fn, tada ce skupovi f(A1), f(A2), . . . , f(An)predstavljati respektivno skupove invarijantnih tacaka transformacija dobi-jenih transmutacijom.

Nije tesko dokazati da vazi i sledeca

Teorema 3.3.4. Neka su σa i σb osne refleksije sa osama a i b. Relacijaσaσb = σbσa vazi akko je a⊥b.

Definicija 3.3.2. Skup L pravih neke ravni E2 nazivamo pramenom pra-vih ako za svake tri prave a, b, c skupa L kompozicija σcσbσa predstavlja nekuosnu refleksiju σd.


Iz definicije neposredno zakljucujemo sledece:(i) Ako su a, b, c tri prave jednog pramena i ako σcσbσa predstavlja osnu

refleksiju σd tada i d pripada tom pramenu pravih.(ii) Ako prave a, b, c pripadaju jednom pramenu L tada i ose refleksija

σaσbσc, σbσcσa, σcσaσb, σaσcσb, σbσaσc, σcσbσa pripadaju pramenu L.(iii) Za svaku tacku X u ravni E2 postoji u pramenu pravih L tacno jedna

prava p koja je sadrzi.(iv) Ako su a, b, c tri prave pramena L tada je σcσbσa = σaσbσc.Zaista, neka je σcσbσa = σd. Tada je σ2

d = ε, pa je σcσbσaσcσbσa = ε.Mnozenjem sa leve strane redom sa σa, σb, σc dobijamo da je σcσbσa = σaσbσc.

3.4 Centralna rotacija ravni E2

Definicija 3.4.1. Kompoziciju dveju osnih refleksija ravni E2 cije se oseseku u nekoj tacki O nazivamo centralna rotacija ravni E2 oko tacke O.

Ako pomenute osne refleksije oznacimo sa σa i σb tada je σbσa = ρabcentralna rotacija ravni E2. Ako je O presecna tacka pravih a i b tada tackuO nazivamo sredistem centralne rotacije ρab.

Iz definicije centralne rotacije u ravni E2 neposredno sledi da centralnarotacija ravni E2 ima jedinstvenu invarijantnu tacku: centar te rotacije.

Centralna rotacija ravni je po definiciji kompozicija dveju osnih refleksija,koje su indirektne izometrijske transformacije, te ona predstavlja direktnuizometrijsku transformacijuravni E2.

Svakoj tacki X ∈ E2 razlicitoj od sredista O centralne rotacije ρab u ravniE2 odgovara neka druga tacka X ′, tj. X ′ = ρab(X) pri cemu je orijentisaniugao ∠XOX ′ jednak dvostrukom orijentisanom uglu izmedu pravih a i b.Oznacimo taj dvostruki orijentisani ugao sa ω. Tada mozemo oznaciti: ρab =ρO,ω. Ugao ω nazivamo uglom centralne rotacije.

Nije tesko ustanoviti da se centralna rotacija ρO,ω ravni E2 moze predsta-viti kao kompozicija bilo koje dve osne refleksije σa i σb, pri cemu se prave ai b seku u tacki O i orijentisani ugao ω jednak je dvostrukom orijentisanomuglu izmedu pravih a i b. Na taj nacin izbor generisucih refleksija σa i σb do-zvoljava slobodan izborjedne od osa refleksija koja sadrzi centar rotacije O.Ako su a′, b′ prave u ravni koje sadrze tacku O takve da je orijentisani ugaoizmedu pravih a′ i b′ jednak polovini orijentisanog ugla ω tada je ρab = ρa′b′ .

Teorema 3.4.1 (O transmutaciji centralnih rotacija). Ako je ρO,ω centralnarotacija ravni E2 i f bilo koja izometrijska transformacija te ravni tada je

ρfO,ω = ρf(O),f(ω)


Dokaz. Po definiciji je ρO,ω = σbσa, za neke prave a, b. Transmutacijomtransformacije ρO,ω vrsimo u stvari transmutaciju svake od generisucih osnihrefleksija:

ρfO,ω = fρO,ωf−1 = fσbf

−1fσaf−1 = σf(b)σf(a)

tj. dobijamo ρfO,ω = σf(b)σf(a).Kako se prave a i b seku u tacki O njihove slike u izometriji f se seku

u tacki f(O) sto znaci da transformacija σf(b)σf(a) ima invarijantnu tackuf(O) pa predstavlja centralnu rotaciju ρf(O),f(ω). Naime, transformacija fprevodi prave a i b u prave f(a) i f(b), prevodi orijentisani ugao ω (ω/2) uorijentisani ugao f(ω) f(ω/2) koji je po velicini jednak uglu ω, ali u pogleduorijentacije moze imati istu orijentaciju ako je f direktna izometrija, odn.suprotnu orijentaciju ako je f indirektna izometrija.

Stav o transmutaciji centralne rotacije omogucuje da se ustanove stavovio komutativnosti centralnih rotacija sa drugim izometrijskim transformaci-jama.

Teorema 3.4.2. Skup svih centralnih rotacija ravni E2 koje imaju zajednickosrediste O ukljucujuci i koincidenciju (sa operacijom kompozicije preslikava-nja) predstavlja Abelovu grupu izomorfnu aditivnoj grupi realnih brojeva.

Dokaz. Posto je O centar svake rotacije iz pomenutog skupa, one su jedno-znacno odredene uglom rotacije ω, dok svakom orijentisanom uglu ω jedno-znacno odgovara realan broj ω, cija apsolutna vrednost predstavlja meru togugla u radijanima i koji je pozitvan (negativan) ako je ugao orijentisan po-zitivno (negativno). Obelezimo zato skup tih rotacija sa RO(2) := ρω |ω ∈R. Lako se pokazuje:

ρωρψ = ρω+ψ (∀ω, ψ ∈ R)

odakle sledi ρωρψ = ρψρω, ρ−1ω = ρ−ω, tj. RO(2) = (RO(2), ) je Abelova

grupa, kao i da je preslikavanje φ : R → RO(2) definisano sa φ(ω) = ρωizomorfizam grupa (R,+) i RO(2).

Definicija 3.4.2. Grupu sacinjenu od centralnih rotacija ravni E2 koje imajuzajednicki centar O nazivamo Grupom rotacija ravni E2 sa centrom Oi simbolicki je obelezavamo RO(2).

Primetimo da skup svih centralnih rotacija jedne ravni u odnosu narazlicito srediste ne predstavlja grupu.


3.5 Centralna simetrija reda n u ravni E2

Definicija 3.5.1. Kaze se da je u ravni E2 lik λ obrtno (rotaciono) po-dudaran sa likom λ′ u odnosu na tacku O ako postoji centralna rotacijaρO,ω ravni E2 tako da je ρO,ω(λ) = λ′.

Iz definicije zakljucujemo da relacija obrtne podudarnosti predstavlja re-laciju ekvivalencije. Poseban znacaj ima slucaj kada je λ = λ′.

Definicija 3.5.2. Kaze se da u ravni E2 lik λ raspolaze centralnom si-metrijom reda n ako postoji centralna rotacija ρO,2π/n ravni E2 tako da jeρO,2π/n(λ) = λ, gde je O tacka ravni E2, π orijentisan opruzen ugao, a n ceopozitivan broj ili racionalan broj oblika p

qpri cemu su p i q uzajamno prosti.

Tacka O se naziva sredistem centralne simetrije ρO,2π/n.

Navodimo sada neke osnovne osobine centralne simetrije reda n u E2.

Teorema 3.5.1. Ako lik λ u ravni E2 raspolaze centralnom simetrijom redan gde je n ceo pozitivan broj deljiv celim pozitivnim brojem m > 1, tada likλ raspolaze centralnom simetrijom reda m.

Teorema 3.5.2. Centralna simetrija reda n lika λ u ravni E2 je periodicnatransformacija (tj. element ρO,2π/n je konacnog reda u grupi E(2)). Ako jek = r(ρO,2π/n) tada je k = n ako je n ceo broj veci od jedan, odn. k = p akoje n racionalan broj oblika p/q pri cemu su p i q uzajamno prosti.

Centralna simetrija reda n lika λ u ravni E2 omogucava da pomocu izo-metrijskih transformacija definisemo pojam pravilnog poligona.

Definicija 3.5.3. Za poligon A1A2 . . . Ap u ravni E2 kazemo da je pravilan(regularan) ako raspolaze centralnom simetrijom reda p.

Centralna simetrija reda 2 je kao involutivna transformacija od posebnogznacaja u skupu centralnih rotacija. Primetimo da centralna simetrija reda2 zapravo predstavlja poluobrt ravni oko tacke O, tj. rotaciju za opruzenugao. Ovakva involutivna transformacija moze se predstaviti kao kompozicijadveju osnih refleksija cije su ose medusobno upravne. S obzirom na to daje prav ugao polovina opruzenog, pomenuta kompozicija je komutativna, tj.ρO,π = σaσb = σbσa gde je a⊥b.

Centralna simetrija reda 2 se u literaturi najcesce naziva samo centralnasimetrija ili centralna refleksija. Ovaj drugi naziv se moze smatrati opravda-nim posto je centralna simetrija reda 2 jedina u skupu centralnih simetrijareda n koja je involutivna.


Teorema 3.5.3. Centralna simetrija reda 2 je involutivna transformacija, ipredstavlja proizvod komutativnih osnih refleksija σa i σb.

Dokaz. Centralna simetrija reda 2 se moze predstaviti kao kompozicija dvejuosnih refleksija cije su ose a i b uzajamno upravne, tj. σO = σbσa. Iz or-togonalnosti osa a i b sledi komutativnost osnih refleksija σa i σb, tj. vaziσaσb = σbσa. Sada je σ2

O = (σbσa)2 = σbσaσaσb = ε jer je σ2

a = ε i σ2b = ε.

Teorema 3.5.4 (O kompoziciji centralnih refleksija u ravni E2). Kompo-zicija neparnog broja centralnih simetrija u ravni E2 cija sredista pripadajujednoj pravoj l ravni E2 predstavlja takode centralnu simetriju cije je sredistena pravoj l.

Dokaz. Neka je n broj centralnih simetrija koje ucestvuju u kompoziciji.Neka je najpre n = 3, tj. f = σO3σO2σO1 . Oznacimo sa o1, o2 i o3 praveupravne na pravu l redom u tackama O1, O2 i O3. Tada je σO3 = σo3σl =σlσo3 , σO2 = σo2σl = σlσo2 i σO1 = σo1σl = σlσo1 pa imamo f = σo3σlσlσo2σlσo1 =σo3σo2σo1σl. Medutim, ose o1, o2 i o3 su paralelne (jer su upravne na l) pa jeσo3σo2σo1 = σo, tj. kao rezultat se dobija osna refleksija σo cija osa o pripadaistom pramenu pravih pa je i o⊥l. Prema tome, f = σoσl = σO gde je Opresecna tacka pravih o i l. Ako je n > 3 dokaz se izvodi indukcijom.

Teorema 3.5.5 (O kompoziciji centralnih refleksija). Kompozicija neparnogbroja (proizvoljnih) centralnih simetrija ravni E2 predstavlja takode centralnusimetriju te ravni.

Dokaz. Neka je dat neparan broj centralnih simetrija σO1 , σO2 , . . . σOn ravniE2.

Slucaj kada su tacke O1, O2, . . . On kolinearne razmotren je u prethodnojteoremi. Neka tacke O1, O2, . . . On ne pripadaju jednoj pravoj. Razmotrimoslucaj n = 3. Obelezimo sa s pravu odredenu tackama O1 i O2, a sa o1, o2 io3 prave koje sadrze redom tacke O1, O2 i O3 i upravne su na pravoj s. Nekaje t prava koja sadrzi tacku O3 paralelna sa pravom s. Tada je

f = σO3σO2σO1 = σtσo3σo2σsσsσo1 = σtσo3σo2σo1 = σtσo = σO

jer prave o1, o2, o3 pripadaju jednom pramenu pravih posto su sve tri upravnena pravoj s, pa je prema tome kompozicija osnih refleksija σo1 , σo2 i σo3 takodeosna refleksija u odnosu na neku pravu o koja je upravna na s. Kako je pravao upravna na pravu t u nekoj tacki O to je σtσo = σO. Slucaj kada je n > 3dokazuje se indukcijom.

Teorema 3.5.6 (Sala-Hjelmsleva). Sredista duzi koje spajaju odgovarajucetacke indirektne izometrijske transformacije f ravni E2 pripadaju jednoj pra-voj.


Dokaz. Neka je P ∈ E2 proizvoljna tacka i P ′ = f(P ), i neka je O sredisteduzi PP ′. Neka je X bilo koja druga tacka ravni E2 i X ′ = f(X), a X ′′ tackasimetricna sa tackom X ′ u odnosu na tacku O. U tom slucaju kompozicijaσOf sastavljena je iz direktne izometrije σO i indirektne izometrije f pa jeona indirektna izometrija ravni E2. U toj indirektnoj izometriji tacka P jeinvarijantna te ova kompozicija prestavlja neku osnu refleksiju σp cija osa psadrzi tacku P .

Kako u toj kompoziciji tacki X odgovara tacka X ′′, prava p je simetraladuzi XX ′′. Ako je Y srediste duzi XX ′ bice i prava odredena sredistimaO i Y stranica X ′X ′′ i XX ′ trougla 4XX ′X ′′ upravna na simetrali p duziXX ′′. S obzirom da postoji tacno jedna prava koja sadrzi fiksiranu tacku O iupravna je na datoj pravoj p, sredista svih duzi koje spajaju korespondentnetacke indirektne izometrije f ravni E2 pripadaju jednoj pravoj, u nasemslucaju to je prava OY .

Definicija 3.5.4. Pravu odredenu sredistima duzi koje spajaju odgovarajucetacke indirektne izometrijske transformacije f ravni E2 nazivamo osom teizometrijske transformacije.

3.6 Translacija ravni E2

Definicija 3.6.1. Neka su σp i σq osne refleksije ravni E2 cije su ose pi q upravne na nekoj pravoj s u tackama P i Q redom i neka je P ′ =σq(P ). Translacija ravni E2 po pravoj s za duz PP ′ je kompozicija σqσp.Oznacavamo je sa τ−−→

PP ′.

Translacija cuva invarijantnost prave s, kao i svake prave paralelne sas. Pored ove osobine, iz navedene definicije sledi da je translacija direktnaizometrijska transformacija ravni E2 i da nema invarijantnih tacaka.

Teorema 3.6.1 (O transmutaciji translacije ravni E2). Ako je τ−−→MN

transla-cija a f bilo koja izometrija ravni E2, tada je

fτ−−→MN

f−1 = τ−−−−−−−→f(M)f(N)

Dokaz. Translacija τ−−→MN

se moze prikazati kao kompozicija osnih refleksija σmi σn, pri cemu su prave m i n upravne na pravu MN respektivno u tackamaM i S, a S je srediste duzi MN . Prema tome vazi

fτ−−→MN

f−1 = fσnσmf−1 = fσnf

−1fσmf−1 = σfnσ

fm = σf(n)σf(m) = τ−−−−−−−→

f(M)f(N)


Ovaj stav omogucuje da se ustanove stavovi o komutativnosti translacijesa ostalim izometrijama.

Teorema 3.6.2. Kompozicija parnog broja osnih reflrksija ravni E2 cije suose upravne na nekoj pravoj s predstavlja koincidenciju ili translaciju sa osoms.

Teorema 3.6.3. Kompozicija dveju centralnih rotacija ravni E2 predstavljacentralnu rotaciju, translaciju ili koincidenciju.

Dokaz. Neka su ρA,α i ρB,β dve centralne rotacije ravni E2.U slucaju kada je A ≡ B, vec smo videli da je pomenuta kompozicija

centralna rotacija (ili eventualno koincidencija).Neka je A 6= B. Oznacimo sa c pravu odredenu tackama A i B a sa a i b

prave takve da je ρA,α = σcσa i ρB,β = σbσc. Tada je

ρB,βρA,α = σbσcσcσa = σbσa

U zavisnosti da li se prave a i b seku u nekoj tacki C ili ne, razmatranakompozicija predstavlja centralnu rotaciju oko tacke C za neki ugao γ ilineku translaciju za izvesnu duz MN .

Teorema 3.6.4. Kompozicija parnog broja centralnih simetrija Euklidskeravni E2 je translacija ili koincidencija.

Teorema 3.6.5. Skup svih translacija ravni E2 sa operacijom kompozicijecini komutativnu grupu izomorfnu sa grupom vektora ravni: (R2,+), odn. saaditivnom grupom kompleksnih brojeva (C,+).

Dokaz. Obelezimo sa T (2) skup svih translacija ravni. Svaka translacijaravni jednoznacno je odredena vektorom translacije (koji moze biti i nula-vektor, u kom slucaju je translacija zapravo koincidencija), pa je T (2) =τa | a ∈ R2 Kako je svaki vektor ravni odreden svojim koordinatama uodnosu na bazu datog koordinatnog sistema, to mozemo pisati: T (2) =τ(a,b) | a, b ∈ R.

Lako se proverava da je za svako a,b ∈R2

τaτb = τa+b = τbτa τ−1a = τ−a

odakle direktno sledi tvrdenje teoreme.

Definicija 3.6.2. Grupa T(2) = (T (2), ) je grupa translacija ravni E2.

Teorema 3.6.6. Grupa T(2) je normalna podgrupa grupe E(2).


3.7 Translatorna (klizajuca) refleksija ravni

E2

Definicija 3.7.1. Translatorna (klizajuca) refleksija ravni E2, u oznacig−−→MN

je kompozicija translacije τ−−→MN

i osne refleksije σMN sa osom MN , tj.

g−−→MN

= σMNτ−−→MN

Kompozicija iz definicije je komutativna. Zaista, uzimajuci u obzir da jeτ−−→MN

= σnσm, σmσp = σpσn, σnσp = σpσn, gde je p ≡MN , imamo

τ−−→MN

σp = σnσmσp = σnσpσm = σpσnσm = σpτ−−→MN

Pored ove osobine iz definicije neposredno sledi da je g−−→MN

indirektna izome-trijska transformacija.

Teorema 3.7.1 (Osnovna teorema o klizajucoj refleksiji). Kompozicija trijuosnih refleksija ravni E2 u odnosu na prave koje ne pripadaju jednom pra-menu pravih predstavlja klizajucu refleksiju ravni E2. Naime, ako je f =σrσqσp gde prave p, q i r ne pripadaju jednom pramenu pravih, tada je fklizajuca refleksija.

Dokaz. Izometrijska transformacija f ne moze imati invarijantnih tacaka, jerako bi imala invarijantnu tacku ona bi predstavljala osnu refleksiju u odnosuna neku pravu koja bi sa pravama p, q i r cinila pramen, sto je nemoguce jer popretpostavci prave p, q, r ne pripadaju istom pramenu. Neka je S proizvoljnatacka ravni E2 i S ′ tacka ravni E2 takva da je S ′ = f(S) i S 6= S ′. Neka je Osrediste duzi SS ′. U kompoziciji σOf tacka S je invarijantna, tj. σOf(S) = S.Indirektna izometrijska transformacija σOf ima invarijantnu tacku pa morapredstavljati neku osnu refleksiju σp′ , pri cemu S ∈ p′. Iz σOf = σp′ sledif = σOσp′ jer je σ2

O = ε. Pri tome tacka O ne pripada pravoj p′ jer bi usuprotnom f predstavljala neku osnu refleksiju σr′ cija je osa r′ upravna napravoj p′ u tacki O sto je po pretpostavci teoreme iskljuceno jer bi u tomslucaju prave p, q i r pripadale istom pramenu. Obelezimo sa P podnozjenormale iz tacke O na pravu p′, a sa q′ pravu koja sadrzi tacku O i upravnaje na pravoj p. Tada je

f = σrσqσp = σOσp′ = σOPσq′σp′ = σOP τ−−→PP ′ = g−−→PP ′


3.8 Klasifikacija izometrijskih transformacija

ravni E2

Klasifikaciju izometrijskih transformacija ravni E2 prvi je dao LeonardOjler 1748. godine u delu Analiza beskonacnih velicina. Klasifikacija jeizvedena metodom analiticke geometrije te je imala analiticki karakter.

Geometrijsku klasifikaciju izometrijskih transformacija ravni dali su Ber-nuli i Sal.

Teorema 3.8.1 (Bernuli-Sala). Svaka direktna izometrijska transformacijaf ravni E2 predstavlja koincidenciju, translaciju ili centralnu rotaciju.

Dokaz. Kako je f : E2 → E2 direktna izometrija, to se ona moze predstavitikao kompozicija dveju osnih simetrija tog prostora, tj. f = σpσq. U zavisnostiod medusobnog polozaja pravih p i q razlikujemo tri slucaja:

(i) Ako je p ≡ q onda je zbog involutivnosti osne simetrije f = ε.(ii) Ako je p ∩ q = ∅ tada su prave p i q paralelne, tj. upravne na nekoj

pravoj t, pa je f = σpσq = τ−−−→MM ′

pri cemu tacke M i M ′ pripadaju pravoj t.(iii) Ako se prave p i q seku u nekoj tacki O tada je f = σpσq = ρO,ω gde

je ω = 2∠(p, q).

Teorema 3.8.2 (Bernuli-Sala). Svaka indirektna izometrijska transforma-cija ravni E2 predstavlja osnu refleksiju ili klizajucu refleksiju.

Dokaz. Neka transformacija f predstavlja indirektnu izometrijsku transfor-maciju ravni E2. Tada se njena optimalna izometrijska reprezentacija sastojiod jedne ili tri osne refleksije.

(i) Ako je f = σp onda je u ovom slucaju dokaz zavrsen.(ii) Neka je f = σpσqσr pri cemu ose tih refleksija ne pripadaju jednom

pramenu pravih. Prema ranije dokazanom stavu f je klizajuca refleksija.

3.9 Reprezentacije grupe E(2)

U ovom odeljku pozabavicemo se predstavljanjem izometrija ravni pomocumatrica i kompleksnih brojeva.

Zato se prisetimo da ravan E2 mozemo identifikovati sa unitarnim prosto-rom R2, gde je skalarni proizvod elemenata (odn. vektora) x =

(x1x2

), y =

(y1y2

)dat sa

x · y = xTy = (x1y1 + x2y2)

(T predstavlja transponovanje matrica).


Pokazimo da je svaka izometrija f : R2 → R2 koja ostavlja fiksnim koordi-natni pocetak linearno i ortogonalno preslikavanje. Za linearno preslikavanjeA : R2 → R2 reci cemo da je ortogonalno ako se njime ocuvava skalarniproizvod, tj. ako vazi

Ax ·Ay = x · y, ∀x,y ∈ R2

gde je A matrica preslikavanja A. Ovo je ekvivalentno sa

xTATAy = xTy

odn. mora da vazi ATA = I, tj.

A−1 = AT

Matrice za koje vazi poslednja jednakost nazivaju se ortogonalne matrice.Skup svih takvih matrica (dimenzije 2× 2) cini podgrupu generalne linearnegrupe GL(2) svih regularnih matrica istog formata, i naziva se ortogonalnagrupa O(2).

Teorema 3.9.1. Svako ortogonalno linearno preslikavanje A : R2 → R2 jeizometrija. Obratno, svaka izometrija f prostora R2 za koju je koordinatnipocetak O ≡ 0 fiksna tacka, je ortogonalno linearno preslikavanje.

Dokaz. Neka je najpre A linearno i ortogonalno preslikavanje prostora R2 nasebe, i A ∈ O(2) njegova matrica. Tada

d(Ax,Ay)2 = ‖Ax−Ay‖2 = A(x− y) ·A(x− y) = (x− y) · (x− y) =

= d(x,y)2

pa je A izometrija.Neka je sada f izometrija ravni R2 za koju je f(O) = O. Iz polarizacione

jednakosti

2x · y = ‖x‖2 + ‖y‖2 − ‖x− y‖2 = d(x,0)2 + d(y,0)2 − d(x− y,0)2

sledi da jefx · fy = x · y

za sve x,y ∈ R2, cime je pokazano da je f ortogonalno preslikavanje. Pokazi-mo i njegovu linearnost. Ako su i, j ortovi koordinatnih osa, oni cine ortonor-miranu bazu za R2, pa je i (fi, fj) ortonormirana baza zbog upravo pokazaneortogonalnosti za f . Za proizvoljan vektor x je

x = (x · i)i + (x · j)j


Ponovo, jer je f ortogonalno, vazi i

fx = (fx · fi)fi + (fx · fj)fj = (x · i)fi + (x · j)fj

tj.f((x · i)i + (x · j)j) = (x · i)fi + (x · j)fj

sto znaci da je f linearno.

Neka je sada f bilo koja izometrija prostora R2. Kompozicijom sa trans-lacijom τ−1

f(0) = τ−f(0) dobija se izometrija τ−f(0)f za koju je O fiksna tacka.Stoga, vazi:

Posledica 3.9.1. Ako je f : E2 → E2 izometrija ravni E2, tada postojev ∈ R2 i A ∈ O(2) tako da je

f(x) = Ax + v (x ∈ R2)

Vazi i obrat, tj. svako preslikavanje navedenog oblika je izometrija ravni E2.

Dokaz. Neka je f izometrija ravni E2, i f(0) = v. Tada je

g = τ−f(0)f : x 7→ f(x)− f(0)

izometrija koja fiksira O, pa je po prethodnoj teoremi g ortogonalno presli-kavanje, i vazi f(x) = g(x) + v.

Obratno, pretpostavimo da je A ∈ O(2), v ∈ R2 i f(x) = Ax + v. Tadaje f kompozicija izometrije cija je matrica A i translacije τv, pa je i f izo-metrija.

Teorema 3.9.2. Preslikavanje φ : E(2)→ O(2) dato sa

φ(f) = A, gde je A ∈ O(2)takva da je f(x) = Ax + v

je homomorfizam grupa E(2) i O(2) cije je jezgro skup (grupa) translacijaravni T(2).

Dokaz. Neka su f1 i f2 izometrije ravni E2 i A1,A2 ∈ O(2) matrice za kojeje fi(x) = Aix + vi, za svako x ∈ R2 i i = 1, 2. Tada vazi

f2f1(x) = f2(A1x + v1) = A2(A1x + v1) + v2 = A2A1x + (A2v1 + v2)

Zato je φ(f2f1) = A2A1 = φ(f2)φ(f1), tj. φ je homomorfizam.Ker(φ) = φ−1(I), pa je f ∈ Ker(φ) ako i samo ako je

f(x) = Ix + v = x + v = τv(x) (x ∈ R2)

.


Nije tesko videti da je homomorfizam φ opisan u prethodnoj teoremizapravo epimorfizam. Na osnovu prve teoreme o izomorfizmu, tada imamo:

Teorema 3.9.3. E(2)/T(2) ∼= O(2)

U navedenoj teoremi mozemo staviti i znak jednakosti umesto ∼=, akogrupu O(2) identifikujemo sa grupom (linearnih) ortogonalnih preslikavanjaprostora R2 na sebe (sto se moze uciniti zbog obostrano jednoznacne kore-spondencije izmedu linearnog preslikavanja prostora R2 i njegove matrice).

Zgodno je prostor E2 identifikovati sa ravni u R3 koja ne sadrzi koordi-natni pocetak 0. Tada svaku izometriju ravni E2 mozemo predstaviti kaomatricu formata 3× 3.

Uzmimo da je E2 ravan y = (yk)3k=1 ∈ R3 | y3 = 1 u R3. Tada svakom

vektoru x u R2 odgovara tacka(

x1

)u E2. Standardna metrika na E2 je

restrikcija metrike na R3:

d(y, z) = ‖y − z‖

Neka je f izometrija ravni E2. Po jednoj od dokazanih teorema f preslikavavektor x ∈ R2 u vektor Ax + v za neku matricu A ∈ O(2) i neki vektorv ∈ R2, tj. f preslikava

(x1

)u(

A v0 1

)(x1

)=(

Ax+v1

), sto znaci da izometriji f

odgovara blok-matrica (A v0 1

)∈M3×3(R)

Napomena. Primetimo da se rezultati izlaganja u ovom odeljku mogu pri-rodno uopstiti za bilo koji prostor En (n = 1, 2, 3), posto su njihove formu-lacije i dokazi nezavisni od dimenzije prostora.

Iskoristimo dobijene rezultate da opisemo izometrije ravni E2.

Potrazimo najpre matrice A ∈ O(2). Neka je A =

(a bc d

). Tada, iz

ATA = I dobijamo:

a2 + c2 = 1, ab+ cd = 0, b2 + d2 = 1

Prema tome, postoje uglovi φ, ψ takvi da je

a = cosφ, c = sinφ; b = cosψ d = sinψ

za koje vazi

cosφ cosψ + sinφ sinψ = 0⇔ cos(φ− ψ) = 0


Tako dobijamo ψ − φ = π/2 ili ψ − φ = 3π/2 i zato

a = cosφ, b = − sinφ, c = sinφ, d = cosφ

ilia = cosφ, b = sinφ, c = sinφ, d = − cosφ

Zakljucujemo da su sve ortogonalne matrice reda 2 razbijene u dva skupa:(cosφ − sinφsinφ cosφ

) ∣∣∣∣φ ∈ [0, 2π)

i (

cosφ sinφsinφ − cosφ

) ∣∣∣∣φ ∈ [0, 2π)

Ocigledno su determinante svih matrica prvog skupa jednake 1, a drugog -1.Lako se moze ustanoviti da prvi skup odreduje podgrupu grupe O(2). Tapodgrupa se naziva specijalna ortogonalna grupa SO(2). Njeni elementi,kako je to poznato iz srednjoskolske matematike, opisuju rotacije pravou-glog koordinatnog sistema za orijentisani ugao φ ∈ R. Dakle, zakljucujemo:RO(2) ∼= SO(2).

Matricama iz drugog skupa opisane su osne refleksije u odnosu na osu(x, y) | y = tan(φ/2)x.

Prisetimo se da svakom vektoru x =(x1x2

)∈ R2 odgovara jedinstven kom-

pleksan broj z = x1 + ix2 ∈ C (i obratno). Takode, poznato je da je polje

kompleksnih brojeva izomorfno polju

((a −bb a

) ∣∣∣∣ a, b ∈ R,+, ·

), i da je

izomorfizam dat sa φ(z) =

(Re z −Im zImz Re z

).

Neka je f ∈ E(2) izometrija, i neka je f(x) = Ax + v, A ∈ O(2), v ∈ R2

za svako x ∈ R2. Ako je A =

(cosφ − sinφsinφ cosφ

)∈ SO(2), videli smo da ma-

trici A odgovara kopleksan broj α = eiφ takav da je |α| = 1, a vektorima x,vodgovaraju neki kompleksni brojevi z, β redom, pa f mozemo predstaviti kaokompleksnu linearnu funkciju

f(z) = αz + β (|α| = 1)

U ovom konkretnom slucaju vidimo da f predstavlja komoziciju rotacije zaugao φ oko koordinatnog pocetka i translacije za β; specijalno, za β = 0dobija se da je rotacija za ugao φ oko 0 izrazena sa

ρ0,φ(z) = eiφz


Ako je pak matrica A oblika

(cosφ sinφsinφ − cosφ

)=

(cosφ − sinφsinφ cosφ

)(1 00 −1

)=

BC, tada matrica B opet predstavlja broj α = eiφ ∈ C, a matrica C odredujeosnu refleksiju cija je osa upravo realna osa, tj. konjugaciju kompleksnogbroja, pa je tada izraz za f dat sa

f(z) = αz + β (|α| = 1)

Dakle, pokazali smo da se svaka izometrija ravni moze predstaviti kao kom-pleksna funkcija jednog od sledeca dva oblika:

f(z) = αz + β ili f(z) = αz + β

gde je u oba slucaja |α| = 1. Primecujemo da su prvom jednacinom datedirektne, a drugom indirektne transformacije.

Glava 4

Grupa E(3)

Navodimo bez dokaza stavove o odredenosti izometrija prostora slikamatacaka.

Teorema 4.0.4. Ako su A,B,C,D i A′, B′, C ′, D′ dve cetvorke nekompla-narnih tacaka prostora E3 takve da je (A,B,C,D) ∼= (A′, B′, C ′, D′) tadapostoji jedinstvena izometrijska transformacija f : E3 → E3 koja prevoditacke A,B,C i D respektivno u tacke A′, B′, C ′, D′.

Posledica 4.0.2. Svaka izometrijska transformacija prostora E3 koja imacetiri nekomplanarne invarijantne tacke predstavlja koincidenciju.

4.1 Specificne vrste izometrija prostora

Definicija 4.1.1. Refleksija u odnosu na ravan π je neidenticna trans-formacija σπ prostora E3 kojoj je svaka tacka ravni π invarijantna. Ravan πnazivamo osnovom te ravanske refleksije.

Iz definicije neposredno zakljucujemo da ravanska refleksija σπ nema in-varijantnih tacaka van ravni π. Neposredno se moze uociti da je ravanskarefleksija prostora E3 jednoznacno odredena osnovom π ili parom neistovet-nih korespondentnih tacaka. Takode se lako moze ustanoviti da je ravnaskarefleksija indirektna involutivna izometrija prostora E3.

Teorema 4.1.1 (O transmutaciji ravanske refleksije). Ako je σπ ravanskarefleksija prostora E3 tada je σfπ = σf(π) za svaku izometriju f ∈ E(3).

Dokaz se vrsi analogno dokazu odgovarajuce teoreme o transmutaciji osnerefleksije. Ova teorema u stvari predstavlja posledicu opstijeg stava o trans-mutacijama, odnosno automorfizmima grupe E(3).

42


Teorema 4.1.2. U prostoru E3 dve ravanske refleksije σα i σβ komutirajuakko su im osnove medu sobom upravne.

Teorema 4.1.3. Svaka izometrijska transformacija f prostora E3 moze sepredstaviti kao kompozicija najvise cetiri ravanske refleksije tog prostora.

Dokaz. S obzirom na maksimalan broj linearno nezavisnih tacaka invarijant-nih u izometriji f prostora E3 mogu nastupiti pet razlicitih slucajeva.

(i) Izometrija f ima bar cetiri nekomplanarne invarijantne tacke. Oznacimoih sa A,B,C i D. Tada je f(A) = A, f(B) = B, f(C) = C, f(d) = D.Prema stavu navedenom u uvodu takva izometrijska transformacija predsta-vlja koincidenciju prostora E3, tj. f = ε. Kako je σπ involutivna izometrijskatransformacija, sledi f = σπσπ, tj. u ovom slucaju f je predstavljena kaokompozicija dve ravanske refleksije.

(ii) Izometrija f raspolaze sa tri nekolinearne invarijantne tacke, oznacimoih sa A,B i C. Van ravni odredene tackama A,B i C izometrija f nemainvarijantnih tacaka, pa je f 6= ε. Prema tome, postoji tacka X prostora E3

takva da je f(X) = X ′ i X 6= X ′. Oznacimo sa π simetralnu ravan duziXX ′. Kako je AX = AX ′, BX = BX ′ i CX = CX ′ sledi da tacke A,B i Cpripadaju ravni π. Kompozicija σπf ima cetiri invarijantne nekomplanarnetacke A,B,C i X pa predstavlja koincidenciju. Dakle σπf = ε, odakle jef = σπ.

(iii) Izometrija f raspolaze sa dve razne invarijantne tacke, oznacimo ihsa A i B. Van prave odredene tackama A i B izometrija f nema invarijantnihtacaka, pa je f 6= ε. Prema tome, postoji tacka X van prave AB prostoraE3 takva da je f(x) = X ′ i X 6= X ′. Oznacimo sa π simetralnu ravan duziXX ′. Kako je AX = AX ′ i BX = BX ′ sledi da tacke A i B pripadaju ravniπ. Kompozicija σπf ima tri invarijantne nekolinearne tacke A,B i X paprema prethodnom slucaju predstavlja neku ravansku refleksiju σπ′ . Dakle,σπf = σπ′ , odakle je f = σπσπ′ .

(iv) Izometrija f raspolaze sa jednom invarijantnom tackom A. Postojitacka X prostora E3 razlicita od tacke A takva da je f(X) = X ′ i X 6= X ′.Oznacimo sa π simetralnu ravan duzi XX ′. Kako je AX = AX ′ sledi datacka A pripada ravni π. Kompozicija σπf ima dve razne invarijantne tackeA i X pa prema prethodnom slucaju predstavlja kompoziciju dve ravanskerefleksije σπ′ i σπ′′ . Dakle σπf = σπ′σπ′′ , odakle je f = σπσpi′σπ′′ .

(v) Ostaje nam da razmotrimo slucaj kada izometrija f nema invari-jantnih tacaka. Postoji tacka X prostora E3 takva da je f(X) = X ′ iX 6= X ′. Oznacimo sa π simetralnu ravan duzi XX ′. Kompozicija σπfima invarijantnu tacku X pa prema prethodnom slucaju predstavlja kompo-ziciju tri ravanske refleksije σπ′ , σπ′′ i σπ′′′ . Dakle, σπf = σπ′σπ′′σπ′′′ , odakleje f = σπσπ′σπ′′σπ′′′ .


Time je dokaz teoreme u potpunosti zavrsen.

Napomena. Vazice i generalizacija ovakve teorme za n-dimenzionalni prostor,pri cemu ce se svaka izometrija f prostora En moci da prikaze kao kompozicijanajvise n+ 1 hiperravanskih refleksija, pri cemu pod pojmom hiperravanskerefleksije podrazumevamo neidenticnu izometriju koja cuva invarijantnim n−1 dimenzioni podprostor prostora En, tacku po tacku.

Definicija 4.1.2. Reprezentaciju izometrijske transformacije prostora E3 saminimalnim brojem ravanskih refleksija nazivamo minimalnom (optimal-nom) reprezentacijom.

Teorema 4.1.4. Ako indirektna izometrijska transformacija f prostora E3

poseduje dve invarijantne tacke A i B, tada ona predstavlja neku ravanskurefleksiju σπ, pri cemu tacke A i B pripadaju ravni π.

Dokaz. Kako je transformacija f indirektna, a koincidencija ε direktna, toje f 6= ε. Prema tome, postoji tacka X prostora E3 takva da je f(X) = X ′

i X 6= X ′. Oznacimo sa π simetralnu ravan duzi XX ′. Kompozicija σπfje direktna izometrijska transformacija sa tri nekolinearne invarijantne tackeA,B i X, pa predstavlja koincidenciju, tj. σπf = ε, odakle je f = σπ.

Ova teorema ima veliki znacaj pri dokazivanju mnogih stavova koji seodnose na izometrije prostora E3

Definicija 4.1.3. Skup X ravni prostora E3 predstavlja pramen ravni akoza tri proizvoljne ravni α, β i γ skupa X , kompozicija σγσβσα predstavljaneku ravansku refleksiju σδ.

Svojstva pramena ravni u prostoru E3 potpuno su analogna svojstvimapramena pravih ravni E2.

4.2 Osna rotacija prostora E3

Definicija 4.2.1. Neka su σα i σβ ravanske refleksije prostora E3 cije seosnove α i β seku po nekoj pravoj s i neka je ω dvostruki orijentisani ugaoizmedu ravni α i β. Osna rotacija prostora E3 oko prave s za ugao ωje transformacija ρs,ω = σβσα. Prava s je osa rotacije, a orijentisani ugao ωugao rotacije.

Kako je ravanska refleksija indirektna izometrijska transformacija, osnarotacija je kao kompozicija dveju ravanskih refleksija direktna izometrija.Nije tesko ustanoviti da je osnoj rotaciji ρs,ω invarijantna svaka tacka prave


s i da van prave s ta transformacija nema invarijantnih tacaka. Ako u osnojrotaciji ρs,ω ugao ω nije opruzen, s je jedina invarijantna prava ove transfor-macije, dok su invarijantne jedino ravni upravne na osi s. Ako je u osnojrotaciji ugao ω opruzen, tada sem prave s postoji neograniceno mnogo pravihkoje su invarijantne, i to su prave koje seku osu s pod pravim uglom. U tomslucaju sem ravni koje su upravne na pravu s postoji jos neograniceno mnogoinvarijantnih ravni, to su ravni koje sadrze pravu s.

S obzirom da su u osnoj rotaciji prostora E3 invarijantne jedino tacke oses, dve osne rotacije prostora E3 mogu biti jednake samo u slucaju da imajuzajednicku osu. Nije tesko pokazati da je osna rotacija ρs,ω jednoznacnoodredena pravom s i uglom rotacije ω.

Teorema 4.2.1. Skup Rs koji se sastoji od identicne transformacije i svihosnih rotacija prostora E3 koje imaju zajednicku osu s predstavlja grupu.

Tu grupu nazivamo grupom osnih rotacija prostora E3 oko prave si obelezavamo je sa Rs(3). Lako se dokazuje da je grupa Rs(3) Abelova iizomorfna aditivnoj grupi realnih brojeva.

Teorema 4.2.2 (Dalamberova teorema). Svaka direktna izometrijska trans-formacija f prostora E3 koja ima jednu invarijantnu tacku O predstavljakoincidenciju ε ili neku osnu rotaciju ρs,ω cija osa s sadrzi tacku O.

Dokaz. U slucaju kada je f = σπσπ = ε dokaz sledi neposredno. Pretpo-stavimo da je f 6= ε. Tada u E3 postoji tacka P takva da je f(P ) = P ′ iP 6= P ′. Neka je π1 simetralna ravan duzi PP ′. Kompozicija σπ1f je direktnaizometrijska transformacija i ima dve invarijantne tacke O i P , O 6= P , papredstavlja neku ravansku refleksiju σπ2 . Iz σπ2 = σπ1f sledi f = σπ1σπ2 , pricemu se ravni π1 i π2 seku po pravoj OP . Ako tu pravu obelezimo sa s advostruki orijentisani ugao izmedu ravni π1 i π2 sa ω bice f = ρs,ω.

Teorema 4.2.3 (Ojlerova teorema). Kompozicija dveju osnih rotacija pro-stora E3 kojima se ose seku u nekoj tacki O predstavlja takode osnu rotacijucija osa sadrzi tacku O.

Ojlerova teorema predstavlja specijalan slucaj Dalamberove, ali Ojlerunije bila poznata Dalamberova teorema.

Teorema 4.2.4 (O transmutaciji osnih rotacija). Ako je ρs,ω osna rotacijaprostora E3 i f proizvoljna izometrija istog prostora, tada je

ρfs,ω = ρf(s),f(ω)

Dokaz se vrsi analogno dokazu odgovarajuce teoreme za centralnu rotacijuu ravni E2.


Teorema 4.2.5. Dve osne rotacije ρa,α i ρb,β prostora E3 su komutativneakko se ose tih rotacija poklapaju.

Dokaz sledi neposredno iz prethodne teoreme.

Teorema 4.2.6. Osna rotacija ρs,ω = σασβ je ravanska refleksija σπ prostoraE3 sa komutativnom kompozicijom σασβ akko je prava s upravna na ravanπ.

Osna rotacija prostora E3 omogucuje da se definisu neke specificne vrstesimetrija prostora E3.

4.3 Osna simetrija reda n prostora E3

Definicija 4.3.1. U prostoru E3 lik Φ raspolaze osnom simetrijom redan ako postoji osna rotacija ρs,2π/n takva da je ρs,2π/n(Φ) = Φ, pri cemu jen ∈ N ili je n racionalan broj oblika p

qgde su p i q uzajamno prosti. Prava s

predstavlja osu navedene simetrije reda n.

Osobine osne simetrije reda n analogne su osobinama centralne simetrijeravni E2 reda n.

Teorema 4.3.1. Ako prostorni lik Φ raspolaze osnom simetrijom reda n,n ∈ N i n je deljiv celim pozitivnim brojem m > 1, tada lik Φ raspolaze iosnom simetrijom reda m.

Teorema 4.3.2. Osna simetrija reda n lika Φ je periodicna transformacija.Period k (tj. red u grupi E(3)) te transformacije odreden je relacijom k = nili k = p u zavisnosti od toga da li je n ceo broj ili je oblika p/q, gde su p i quzajamno prosti brojevi.

Specijalno, za n = 2 osnu simetriju reda dva nazivamo jednostavno osnomsimetrijom prostora E3. Svojstva osne simetrije prostora E3 u potpunosti suanalogna svojstvima centralne simetrije ravni E2.

4.4 Translacija prostora E3

Definicija 4.4.1. Neka su σµ i σν ravanske refleksije prostora E3 sa osnovamaµ i ν upravnim na pravoj s u tackama M i N i neka je M ′ tacka simetricnatacki M u odnosu na ravan ν. Translacija prostora E3 po pravoj s za

orijentisanu duz−−−→MM ′ je transformacija τ−−−→

MM ′= σνσµ. Pravu s nazivamo

osom te translacije.


Navodimo neke od osbina translacije prostora E3. Iz definicije neposrednozakljucujemo da je translacija τ−−−→

MM ′prostora E3 jednoznacno odredena tackama

M i M ′, tj. vektorom−−−→MM ′. S obzirom na to da je ravanska refleksija in-

direktna izometrija, translacija je kao kompozicija dveju ravanskih refleksijadirektna izometrijska transformacija. Nije tesko ustanoviti da translacijanema invarijantnih tacaka i da su sve prave paralelne sa osom s (ukljucujucii s) invarijantne za translaciju. Takode, nije tesko ustanoviti da skup T (3)koji se sastoji od identicke transformacije ε (tj. translacije za nula-vektor) isvih translacija prostora E3 predstavlja Abelovu grupu.

Definicija 4.4.2. Grupa koja se sastoji od identicke transformacije i svihtranslacija prostora E3 naziva se grupa translacija prostora E3. Obelezavamoje sa T(3).

Teorema 4.4.1 (O transmutacijama translacija). Ako je τ−−−→MM ′

translacija i

f bilo koja izometrijska transformacija prostora E3 tada je

τ f−−−→MM ′

= τ−−−−−−−−→f(M)f(M ′)

Dokaz se vrsi analogno odgovarajucvem dokazu za transmutacije transla-cija ravni E2.

Posledica 4.4.1. T(3)C E(3)

Nije tesko utvrditi da vaze sledece teoreme:

Teorema 4.4.2. Translacija τ−−−→MM ′

i ravanska refleksija σπ prostora E3 sukomutativne akko M i M ′ pripadaju ravni π.

Teorema 4.4.3. Translacija τ−−−→MM ′

i osna rotacija ρs,ω prostora E3 su komu-tativne akko tacke M i M ′ pripadaju pravoj s.

4.5 Rotaciona refleksija prostora E3

Definicija 4.5.1. Kompozicija jedne osne rotacije ρs,ω i jedne ravanske re-fleksije σπ prostora E3, pri cemu je prava s upravna na ravan π naziva serotaciona refleksija prostora E3 i obelezava se sa ρπ;s,ω. Ravan π zovemoosnovom, a orijentisani ugao ω uglom rotacione refleksije ρπ;s,ω, dok presecnutacku S prave s i ravni π nazivamo sredistem rotacione refleksije prostoraE3.

Navedimo sada neke osobine rotacione refleksije prostora E3.Iz definicije neposredno zakljucujemo da su osna rotacija ρs,ω i ravanska

refleksija σπ koje sacinjavaju rotacionu refleksiju ρπ;s,ω komutativne transfor-macije jer je s upravna na π.


Teorema 4.5.1. Rotaciona refleksija prostora E3 poseduje jedinstvenu inva-rijantnu tacku - srediste rotacione refleksije S.

Teorema 4.5.2. Svak indirektna izometrijska transformacija f koj aima je-dinstvenu invarijantnu tacku O u prostoru E3 predstavlja rotacionu refleksijusa sredistem O.

Dokaz. Kako je f indirektna izometrijska transformacija prostora E3, a εdirektna izometrijska transformacija tog prostora, bice f 6= ε. Zbog togapostoji tacka X prostora E3 takva da je f(X) = X ′ i X 6= X ′. Neka je π1

simetralna ravan duzi XX ′. Kompozicija σπ1f ima dve invarijantne tacke O iX. Kompozicija σπ1f je direktna izometrijska transformacija prostora E3 teprema Dalamberovoj teoremi predstavlja koincidenciju ili osnu rotaciju cijaosa sadrzi tacke O i X.

Kompozicija σπ1f nije koincidencija, jer ako bi bilo σπ1f = ε onda bi bilof = σπ1 te bi izometrijska transformacija f predstavljala ravansku refleksijui posedovala sem tacke O jos invarijantnih tacaka, sto je kontradikcija sapretpostavkom teoreme.

Prema tome, σπ1f = ρs,ω, tj. ako je prava s upravna na π1 neposrednozakljucujemo da je f rotaciona refleksija. Ako prava s nije upravna na π1 tadaobelezimo sa π2 ravan koja sadrzi pravu s i upravna je na ravan π1, a sa π3

obelezimo ravan takvu da je ρs,ω = σπ2σπ3 . U tom slucaju je f = σπ1σπ2σπ3 ,pri cemu je ravan π2 upravna na π1 i sece je po pravoj s1. Obelezimo saσ1 ravan koja sadrzi pravu s1 i upravna je na π3, a sa σ2 ravan takvu da jeσπ1σπ2 = σσ1σσ2 . S obzirom da je σπ1σπ2 = ρs1,π, bice i σσ1σσ2 = ρs1,π odaklesledi da prava s1 pripada ravni σ2 jer je π1∩π2 = s1 i da je ravan σ2 upravnana σ1 jer uglovi rotacije kod jednakih rotacija moraju biti podjednaki. Prematome je f = σπ1σπ2σπ3 = σσ1σσ2σπ3 . Ravni σ2 i π3 su upravne na ravan σ1

i seku se po nekoj pravoj o koja sadrzi tacku O i koja je upravna na σ1 tekompozicija σσ2σπ3 predstavlja osnu rotaciju ρo,θ oko prave o pri cemu je θdvostruki orijentisani ugao izmedu ravni σ2 i π3. Prema tome imamo da je

f = σσ1ρo,θ = ρσ1;o,θ

cime smo dokazali da izometrija f predstavlja rotacionu refleksiju sa sredistemO.

Teorema 4.5.3 (Teorema Sala). Svaka direktna izometrijska transformacijaf prostora E3 moze se predstaviti kao kompozicija dveju osnih refleksija togprostora.

Dokaz. Ako je f = ε, tada zbog involutivnosti osne refleksije za proizvoljnupravu p prostora E3 je f = σpσp.


Ako je f 6= ε tada postoji tacka X prostora E3 takva da je f(X) = X ′,X 6= X ′. Neka je π1 simetralna ravan duzi XX ′. S obzirom na to daje f direktna, a ravanska refleksija σπ1 indirektna izometrija prostora E3,kompozicija σπ1f je indirektna izometrija prostora E3 (sa fiksnom tackomX) pa predstavlja ili ravansku refleksiju ili rotacionu refleksiju sa sredistemX.

Neka je kompozicija σπ1f ravanska refleksija. Oznacimo je sa σπ2 . Tadaje σπ2 = σπ1f , odakle je f = σπ1σπ2 . Oznacimo sa π ravan upravnu na ravniπ1 i π2, a sa m i n prave po kojima ona sece ravni π1 i π2. Tada je

f = σπ1σπ2 = σπ1σπσπσπ2 = σmσn

Ako kompozicija σπ1f sem tacke X nema drugih invarijantnih tacaka tadaona predstavlja rotacionu refleksiju ρπ4;s,ω tj. σπ1f = ρπ4;s,ω kojoj je sredistetacka X. Obelezimo sa π2 ravan koja sadrzi pravu s i upravna je na π1, a saπ3 ravan takvu da je ρs,ω = σπ2σπ3 . U tom slucaju bice

f = σπ1ρπ4;s,ω = σπ1σπ2σπ3σπ4

Kako je prava s u ravni π3 i upravna je na π4 sledi da je ravan π3 upravnana ravan π4. Sem toga je π3 ∩π4 = n, π1 ∩π2 = m i π1⊥π2 odakle sledi da je

f = (σπ1σπ2)(σπ3σπ4) = σmσn

4.6 Centralna refleksija prostora E3

Osno rotaciona refleksija prostora E3 u opstem slucaju nije involucionatransformacija. Ona je involutivna samo u slucaju kada je ugao rotacijeopruzen.

Definicija 4.6.1. Osno rotacionu refleksiju za opruzen ugao zvacemo cen-tralna refleksija prostora E3.

Teorema 4.6.1. Centralna refleksija prostora E3 moze se predstaviti kaokompozicija tri ravanske refleksije kojima su ose upravne medu sobom usredistu te refleksije.

Dokaz. Vazi ρπ;s,2R = σπρs,2R i ρs,2R = σµσν pri cemu je s presecna pravaravni µ i ν i µ⊥ν (a R je prav ugao). Kako je s⊥π, to su ravni π, µ i ν trimedu sobom upravne ravni. Oznacimo sa O presecnu tacku tih triju ravni.Tada je ρπ;s,2R = σπσµσν .


Centralnu refleksiju ρπ;s,2R oznacavacemo sa σO.

Teorema 4.6.2. Kompozicija neparnog broja centralnih refleksija prostoraE3 cija sredista pripadaju nekoj pravoj p predstavlja takode neku centralnurefleksiju prostora E3 ciji je centar na pravoj p.

Dokaz. Neka su Oi, i = 1, 2, . . . , n sredista centralnih refleksija σOi pri cemutacke Oi, i = 1, 2, . . . , n pripadaju pravoj p. Neka je najpre n = 3, tj.posmatrajmo izometriju f = σO3σO2σO1 . Neka su π1, π2, π3 ravni upravne napravoj p redom u tackama O1, O2 i O3. Tada je σO3 = σpσπ3 , σO2 = σpσπ2i σO1 = σpσπ1 pri cemu je svaka od ove tri komozicije komutativna. Prematome imamo

f = σpσπ3σpσπ2σpσπ1 = σpσπ3σπ2σπ1

Osnove π1, π2 i π3 upravne su na istoj pravoj, te pripadaju istom pramenuravni. Prema tome kompozicija σπ3σπ2σπ1 predstavlja neku ravansku reflek-siju σπ cija osnova π pripada istom pramenu ravni, tj. π⊥p. Dakle, dobilismo da je f = σpσπ i π⊥p. Stoga f predstavlja neku centralnu refleksiju σOgde je O presecna tacka prave p i ravni π.

Za n > 3 dokaz se izvodi matematickom indukcijom.

Teorema 4.6.3. Kompozicija parnog broja centralnih refleksija prostora E3cijasredista pripadaju nekoj pravoj p predstavlja translaciju prostora E3 po pravcup.

Teorema 4.6.4 (generalizacija teoreme Hjelmsleva). Sredista duzi koja spa-jaju odgovarajuce tacke indirektne izometrijske transformacije f prostora E3

ili se poklapaju ili pripadaju jednoj ravni.

Dokaz. Ako transformacija f prostora E3 predstavlja centralnu refleksiju togprostora tvrdenje sledi neposredno. Razmotricemo slucaj kada transforma-cija f prostora E3 ne predstavlja centralnu refleksiju tog prostora.

Neka je u tom slucaju P proizvoljna tacka prostora E3 i f(P ) = P ′. Nekaje O srediste duzi PP ′ i X proizvoljna tacka prostora E3 razlicita od tacke P .Neka je jos f(X) = X ′ i σO(X ′) = X ′′. U tom slucaju tacka P je invarijantnatacka izometrijske transformacije σOf . Tada prema Dalamberovoj teoremiona predstavlja neku osnu rotaciju ρp,ω, pri cemu osa p sadrzi tacku P . Kakoje ρp,ω(X) = X ′′, simetralna ravan σ duzi XX ′′ sadrzi osu p osne rotacijeρp,ω. Oznacimo sa Y srediste duzi XX ′. Prava OY odredena sredistimastranica X ′X ′′ i XX ′ trougla 4XX ′X ′′ je upravna na simetralnoj ravni σ.Kako je OY⊥σ i ravan σ sadrzi pravu p to je prava OY upravna na pravu p.Kako su tacka Y i prava p fiksirane to tacka Y pripada ravni π koja sadrzitacku O i upravna je na pravoj p. Ravan π sadrzi sredista duzi koja spajajukorespondentne tacaka indirektne izometrijske transformacije f .


Definicija 4.6.2. Ravan π odredena sredistima duzi ciji su krajevi kore-spondentne tacke indirektne izometrijske transformacije f prostora E3 zovese osnova te izometrijske transformacije.

4.7 Klizajuca refleksija prostora E3

Definicija 4.7.1. Klizajuca (translatorna) refleksija gπ,−−−→MM ′

je kompo-

zicija sastavljena od translacije τ−−−→MM ′

i ravanske refleksije σπ, pri cemu pravaMM ′ pripada ravni π. Pravu s odredenu tackama M i M ′ nazivamo osom,a ravan π osnovom klizajuce refleksije.

Kompozicija iz definicije je komutativna jer ravan π sadrzi pravu MM ′.Navescemo sada neke osobine klizajuce refleksije prostora E3.Klizajuca refleksija prostora E3 je u potpunosti odredena osnovom π i

osom MM ′. Klizajuca refleksija nema invarijantnih tacaka. Ima samo jednuinvarijantnu pravu - osu MM ′, i dve invarijantne ravni: osnovu π i ravan kojasadrzi osu MM ′ i upravna je na osnovu π. Klizajuca refleksija je indirektnaizometrijska transformacija.

4.8 Zavojno kretanje prostora E3

Definicija 4.8.1. Zavojno (helikoidno) kretanje z−−−→MM ′,ω

prostora E3

je kompozicija sastavljena od jedne translacije τ−−−→MM ′

i jedne osne rotacije

ρMM ′,ω. Orijentisanu pravu−−−→MM ′ nazivamo osom, a orijentisani ugao ω

uglom tog zavojnog kretanja. U slucaju da je ugao ω opruzen, takvo za-vojno kretanje zovemo zavojnim poluobrtom.

Neposredno iz definicije sledi da je zavojno kretanje jednoznacno odredeno

ako su zadati vektor translacije−−−→MM ′ i ugao rotacije ω.

Zavojno kretanje je direktna izometrijska transformacija kao kompozicijadve direktne izometrije. Prema poznatom stavu translacija τ−−−→

MM ′i osna rota-

cija ρMM ′,ω su komutativne transformacije jer se ose osne rotacije i translacijepoklapaju. Zavojno kretanje nema invarijantnih tacaka i ima samo jednu in-varijantnu pravu - osu MM ′.

4.9 Klasifikacija izometrijskih transformacija

prostora

I klasifikaciju izometrijskih transformacija prostora E3 dao je Sal.


Teorema 4.9.1 (Sal). Svaka direktna izometrijska transformacija prostoraE3 predstavlja koincidenciju, translaciju, osnu rotaciju ili zavojno kretanje.

Dokaz. S obzirom da je f : E3 → E3 po pretpostavci direktna izometrijskatransformacija, prema poznatoj teoremi ona se moze predstaviti kao kom-pozicija dveju osnih refleksija, tj. f = σnσm. U zavisnosti od uzajamnogpolozaja osa m i n tih refleksija razlikujemo sledece slucajeve:

(i) Prave m i n se poklapaju, tj. m ≡ n. Tada je f = ε.(ii) Prave m i n su komplanarne i paralelne. Oznacimo sa π ravan

odredenu pravama m i n, a sa µ i ν ravni koje sadrze redom prave m in a upravne su na ravan π. Tada je

f = σnσm = σνσπσπσµ = σνσµ = τ−−−→MM ′

(iii) Prave m i n seku se u nekoj tacki O. Oznacimo sa π ravan odredenupravama m i n, a sa µ i ν ravni koje sadrze prave m i n redom i upravne suna ravni π. Tada je

f = σnσm = σνσπσπσµ = σνσµ = ρs,ω

pri cemu je s presecna prava ravni µ i ν a ω = 2∠(µ, ν).(iv) Prave m i n su mimoilazne. Tada postoji prava s koja je zajednicka

normala na prave m i n. Oznacimo sa M i N presecne tacke prave s redomsa pravama m i n, a sa π1 i π2 ravni koje su u tackama M i N upravne napravu s. Prave m i n pripadaju redom ravnima π1 i π2. Neka su σ1 i σ2 ravniodredene redom pravama s,m i s, n. Tada, s obzirom na to da su ravni σ1 iσ2 upravne na π1 i π2 istovremeno (jer su π1 i π2 paralelne), imamo

f = σnσm = σπ2σσ2σπ1σσ1 = σπ2σπ1σσ2σσ2 = τ−−−→MM ′ ρs,ω = z−−−→

MM ′,ω

tj. f je zavojno kretanje.

Teorema 4.9.2. Svaka indirektna izometrijska transformacija f prostora E3

predstavlja ravansku, osnorotacionu ili klizajucu refleksiju.

Dokaz. Kako je f indirektna izometrijska transformacija prostora E3, njenaoptimalna simetrijska reprezentacija sastoji se iz jedne ili tri ravanske reflek-sije.

(i) U prvom slucaju je f = σπ, tj. f je ravanska refleksija prostora E3.(ii) U drugom slucaju je f = σασβσγ, pri cemu ravni α, β i γ ne pripadaju

istom pramenu ravni. Naime, ako bi ove ravni pripadale istom pramenu, ondabi σασβσγ predstavljala ravansku refleksiju, te bi se slucaj (ii) sveo na slucaj(i).


Tri ravni α, β i γ u prostoru odreduju jedan snop ravni. U prostoru E3

postoje dve vrste snopova ravni: snop konkurentnih ravni i ortogonalni snopravni.

(a) Ako ravni α, β i γ pripadaju snopu konkurentnih ravni kome je sredistetacka O, tj. zajednicka tacka ravni α, β i γ, tada je tacka O invarijantna tackakompozicije σασβσγ. U tom slucaju izometrija f kao indirektna izometrijskatransformacija sa invarijantnom tackom O predstavlja rotacionu refleksijuprostora E3, tj. f = ρπ;s,ω.

(b) Ako ravni α, β i γ pripadaju ortogonalnom snopu ravni, kompozicijaσασβσγ predstavlja klizajucu refleksiju prostora E3.

Glava 5

Neke grupe kretanja

U ovom poglavlju upoznacemo karakteristicne primere grupa kretanjanekih ravanskih i prostornih figura.

5.1 Dijedarska grupa

Definicija 5.1.1. Neka je u ravni dat pravilan poligon Π ≡ A0A1 . . . An, n ≥3. Grupa kretanja poligona Π (GΠ) naziva se Dijedarska grupa reda n, ioznacava se sa Dn.

Teorema 5.1.1. Neka je Π pravilan n-tougao. Tada svaka izometrija fiz Dn ostavlja fiksnim centar opisanog kruga oko Π, a temena preslikava utemena. Takode vazi: |Dn| = 2n, ∀n ≥ 3.

Dokaz. Neka je O centar, a r poluprecnik kruznice opisane oko Π. Tacka O jejedinstvena tacka poligona Π sa svojstvom: (∀A ∈ Π) d(O,A) ≤ r. Kako jef(Π) = Π i kako f ocuvava rastojanje tacaka, to je f(O) = O, pa se i temenapreslikavaju u temena (jer je A ∈ Π teme poligona Π akko je d(O,A) = r).

Neka je s prava koja sadrzi centar O i jedno teme poligona Π, recimo A1

(da li ce jos jedno teme biti na pravoj s zavisi, naravno, od parnosti broja n;u svakom slucaju, s je jedna osa simetrije naseg n-tougla). Ocigledno su

ε, ρO, 2πn, ρO,2 2π

n= ρ2

O, 2πn, . . . , ρO,(n−1) 2π

n= ρn−1

O, 2πn

, σs, ρO, 2πnσs, . . . , ρO,(n−1) 2π

nσs

razliciti elementi grupe Dn. No vise od 2n elemenata i ne moze biti u Dn.Jer, slika temena A1 mora, kako smo upravo videli, opet biti teme; za njenizbor imamo, dakle, na raspolaganju n temena. Kako je slika temena A2

teme susedno slici temena A1, nakon ucinjenog izbora za sliku temena A1,preostaju nam dve mogucnosti za izbor slike temena A2, a jednom odabraneslike ova dva temena odreduju slike ostalih temena.

54

GLAVA 5. NEKE GRUPE KRETANJA 55

Prethodnom teoremom su opisani svi elementi grupe Dn za proizvoljnon ≥ 3. Uobicajeno je da se element ρO,2π/n obelezava samo sa ρ, i slicno, σskao σ. Dakle, vazi:

Dn = ρk | 0 ≤ k ≤ n− 1 ∪ ρkσ | 0 ≤ k ≤ n− 1

pa vidimo da je grupa Dn generisana elementima ρ i σ. Ocigledno je ρn = εi σ2 = ε, a po teoremi o transmutaciji rotacija vazi i

σρσ−1 = ρσ(O),σ(2π/n) = ρO,−2π/n = ρ−1 = ρn−1

odakle jeσρ = ρn−1σ

Tablica grupe Dn se lako moze dobiti na osnovu prethodne tri relacije. Za ovejednakosti kazemo da su strukturne jednakosti. Grupa Dn je onda odredenasledecom reprezentacijom:

Dn = 〈ρ, σ | ρn = ε, σ2 = ε, σρ = ρn−1σ〉

Sada navedimo neke osobine dijedarske grupe.Iz strukturnih jednakosti jasno je da grupa Dn (n ≥ 3) nije komutativna,

kao i da je r(ρ) = n i r(σ) = 2.Iz σρ = ρ−1σ sledi σρi = σρρi−1 = ρ−1σρi−1 = · · · = (ρ−1)iσ = ρ−iσ tj.

σρi = ρ−iσ za svako i ∈ N.Odredimo podgrupe grupe Dn za dato n ≥ 3. Skup D+

n = Dn ∩ SE(2)odreduje podgrupu grupe Dn ciji su elementi direktne izometrije u Dn; postosu to samo rotacije (i koincidencija), bice D+

n = ε, ρ, ρ2, . . . , ρn−1, pa jejedna podgrupa D+

n = 〈ρ〉Dn ciklicna generisana rotacijom ρ, koja je redan. Stoga i za svaki delilac d broja n postoji podgrupa grupe 〈ρ〉Dn reda d,koja je i sama ciklicna podgrupa grupe Dn, i generisana je elementom ρn/d,odn. to je 〈ρn/d〉Dn . Ako domenu neke od tih podgrupa (za d 6= 1) dodamoi element σ i odredimo podgrupu generisanu tim skupom, tj. 〈ρn/d, σ〉Dn ,dobicemo dijedarsku grupu Dd, jer je r(ρn/d) = d, r(σ) = 2 i (kao sto smovec pokazali) σρn/d = ρ−n/dσ = (ρn/d)−1σ = (ρn/d)d−1σ. Za d = 1 dobija seciklicna podgrupa 〈σ〉Dn reda 2.

Drugih podgrupa u Dn pored ovde navedenih nema, jer po Lagranzovojteoremi red podgrupe deli red grupe.

Napomena. Ako formalno, za n = 2 odredimo grupu generisanu sa 2 elementaa i b za koje vaze strukturne jednakosti dijedarske grupe, dobicemo 〈a, b | a2 =b2 = e, ab = ba〉 ∼= C2 ×C2

∼= K, gde je K Klajnova grupa, pa mozemosmatrati da je D2

∼= K. Takvu grupu simetrija poseduje, npr. romb (koji


nije kvadrat) u ravni; generatorni elementi bi tada bili dve simetrije u odnosuna dijagonale romba.

Slicnim postupkom bi dosli i do toga da je D1∼= C2. Ravanski likovi

cija je grupa simetrija ciklicna grupa reda 2 su likovi koji imaju samo jednuosu simetrije: duz, jednakokraki trougao (koji nije jednakostranicni), deltoid(koji nije romb), itd.

Teorema 5.1.2. Jedine konacne netrivijalne podgrupe grupe E(2) su izo-morfne ili ciklicnoj grupi Cn ili dijedarskoj grupi Dn za neko n ∈ N.

Dokaz. Neka je G < E(2) konacna grupa nekih izometrija ravni.Pokazimo najpre da postoji tacka ravni koja je fiksna za sve izometrije

iz G. U tu svrhu ravan E2 posmatrajmo kao vektorski prostor R2. Neka jea ∈ R2 proizvoljna tacka (vektor). Nije tesko videti da je tada:

c =1

|G|∑f∈G

f(a)

fiksna tacka za svako f ∈ G, jer je f linearno preslikavanje.Neka je C fiksna tacka svih izometrija u G. Skup direktnih izometrija

skupa G: G+ = G∩SE(2) takode odreduje konacnu podgrupu u E(2); nekaje |G+| = n. Ako je G+ 6= ε, tada G+ moze sadrzati samo rotacije oko Ckoje su konacnog reda. Tada, ako je ρω ∈ G+ rotacija sa centrom C, morabiti ρnω = ε. Stoga je ω = 2kπ/n za neko k ∈ 0, 1, . . . , n − 1. Postojiukupno n razlicitih rotacija tog oblika, pa sve one moraju biti u G+. ZatoG+ mora biti ciklicna grupa reda n, generisana rotacijom ρC,2π/n.

Ako su u grupi G samo direktne izometrije, onda je G = G+ = 〈ρ2π/n〉Gkako smo malocas utvrdili.

Ako postoji indirektna izometrija u G, tada ona ima fiksnu tacku C,pa predstavlja neku osnu simetriju σs cija osa s sadrzi C. Tada je |G+| =|G+σs| = n i zbog (G : G+) = 2 vazi |G| = 2n. Izometrije

σs, ρ2πnσs, ρ2π/nσs, . . . , ρn−12π/nσs

su sve razicite osne simetrije cije ose sa s redom zaklapaju uglove

0, π/n, 2π/n, . . . , (n− 1)π/n

Zato je G = Dn.


5.2 Grupe rotacija pravilne piramide i bipi-

ramide

Nadalje cemo se baviti konacnim grupama kretanja nekih poliedara. Naisti nacin kao i do sada se utvrduje da sve izometrije takve grupe imaju za-jednicku fiksnu tacku - centar datog poliedra, dok se temena preslikavaju utemena. Razmatracemo samo grupe direktnih izometrija, koje pod tim uslo-vom mogu sadrzati samo osne rotacije (cije ose sadrze pomenutu zajednickufiksnu tacku).

Pocnimo grupom rotacija pravilne n-tostrane piramide Π, cija je osnovapravilan n-tougao. Jedina rotacija koja takvu piramidu prevodi u samu sebemora imati za osu pravu h odredenu visinom te piramide. Restrikcija bilokoje takve osne rotacije na ravan baze B piramide jeste centralna rotacija teravni, sa sredistem u podnozju visine O (tacka O je ujedno i centar opisanogkruga oko pravilnog n-tougla B). Videli smo da je grupa rotacija pravilnog n-tougla 〈ρO,2π/n〉, pa prema tome jedino rotacije ρh,2kπ/n, k ∈ 0, 1, . . . , n− 1preslikavaju bazu piramide na samu sebe; lako je ustanoviti da se tim rotaci-jama i citava piramida preslikava u sebe, i da su njima iscrpljene sve rotacijesa tim svojstvom. Stoga je grupa rotacija pravilne n-tostrane piramide Πciklicna grupa reda n generisana rotacijom ρh,2π/n, tj. RΠ = 〈ρh,2π/n〉.

Odredimo sada grupu rotacija pravilne n-tostrane bipiramide. To telo jesastavljeno od pravilne n-tostrane piramide i njene simetricne slike u odnosuna ravan osnove. Jedine rotacije kojima se data bipiramida preslikava u sebesu:

1) rotacija oko ose h bipiramide (za uglove 0, 2π/n, . . . , 2(n− 1)π/n);2) rotacija za ugao π oko svake od osa simetrije osnove bipiramide; tih

osa simetrije ima n, te kretanja ovog tipa ima takode n.Prema tome, svih navedenih kretanja ima 2n i takvim kretanjima se i

osnova B bipiramide prevodi u sebe, pa ako opet izvrsimo restrikciju tihrotacija na ravan baze, dobicemo:

1) centralne rotacije ρO,2kπ/n, k = 0, n− 1 (gde je ponovo O prodornatacka ose h, odn. centar kruga opisanog oko B);

2) osne simetrije ρO,2kπ/nσs, k = 0, n− 1, gde je s proizvoljna osa simetrijepravilnog n-tougla B,

sto znaci da je grupa rotacija pravilne n-tostrane bipiramide Φ izomorfnadijedarskoj grupi Dn, tj. RΦ = 〈ρh,2π/n, ρs,π | ρnh,2π/n = ρ2

s,π = ε, ρs,πρh,2π/n =

ρn−1h,2π/nρs,π〉.


5.3 Tetraedarska grupa

Pravilan tetraedar T ≡ A1A2A3A4 je samo specijalan slucaj pravilnetrostrane piramide gde su sve ivice (ili strane) medusobno podudarne, pa ovdeza osu rotacije mozemo izabrati pravu odredenu bilo kojom visinom tetraedraAiA

′i, i ∈ 1, 2, 3, 4 (A′i je teziste jedanakostranicnog trougla naspram Ai),

a ugao rotacije, kako smo videli moze biti 2kπ/3, k = 0, 1, 2. Takvih rotacijaima ukupno 12-3=9 jer je rotacija za ugao 0 koincidencija, koja je uracunatacetriri puta.

Medutim, zbog pravilnosti tetraedra ima jos rotacija koje ga prevode usamog sebe. Njihove ose su prave odredene sredistima mimoilaznih ivica -ima ih koliko i parova mimoilaznih ivica, dakle tri. Ugao neidenticke rotacijeu svakom slucaju mora biti π, jer su pomenute ose jedinstvene zajednickenormale mimoilaznih ivica, a te ivice su duzi koje se takode moraju preslikatiu sebe.

Dakle, ima ukupno dvanaest rotacija koje pravilan tetraedar slikaju nasamog sebe. Da je dobijeni skup rotacija zaista grupa, moze se pokazati uzpomoc Ojlerove teoreme i teoreme o transmutaciji rotacija (zajednicka fiksnatacka, tj. zajednicka tacka svih osa pomenutih rotacija je teziste tetraedra -tacka koja ma koju visinu deli u odnosu 3:1 ,racunato od vrha).

Neka je sada dato dejstvo grupe RT na skup temena S = A1, A2, A3, A4,koji mozemo identifikovati sa skupom N4 = 1, 2, 3, 4 (tj. svako teme iden-tifikujemo sa njegovim ”rednim brojem”) tj. homomorfizam θ : RT → S4.

Za proizvoljno teme tetraedra uvek postoji rotacija koja ga prevodi u bilokoje drugo teme. Stoga je orbita proizvoljnog temena i ∈ N4 ceo skup N4, tj.dejstvo θ je tranzitivno, i |iRT | = |N4| = 4. S druge strane, teme i ostavljajufiksnim tacno tri rotacije (one cije ose sadrze to teme), pa je red stabilizatoratemena i jednak 3 (|RT i| = 3). Zbog |iRT | = (RT : RTi) = |RT | : |RT i|potvrdujemo da je |RT | = 12.

Pomenuti homomorfizam θ moze biti odreden i eksplicitno, posto svakojrotaciji u RT jednoznacno odgovara neka permutacija temena iz S4. Rotacijecije ose sadrze teme to teme ostavljaju fiksnim, a ostala temena ciklicno per-mutuju, pa su one date sa (123),(132), (124),(142), (134),(143), (234),(243) inaravno identicka permutacija (1). Svaka od preostale tri rotacije permutujekrajeve mimoilaznih ivica, pa ce njima odgovarati proizvodi transpozicija:(12)(34), (13)(24) i (14)(23).

Primetimo da su sve navedene permutacije parne, pa posto ih ima 12,zapravo smo nabrojali sve elemente alternativne grupe A4.

Iz svega recenog sledi da je θ : RT → A4 izomorfizam grupa, tj. dokazanoje da vazi


Teorema 5.3.1. Grupa rotacija pravilnog tetraedra izomorfna je alternativ-noj grupi A4.

Grupa RT se naziva tetraedarska grupa i obelezava se prosto sa TRazmotrimo sada podgrupe grupe T.Kao i svaka druga grupa, i grupa T ima dve takozvane nesvojstvene

podgrupe: to je, prvo, cela posmatrana grupa i, drudo, trivijalna podgrupakoju cini samo neutralni element. Nas interesuju ostale, prave netrivijalnepodgrupe grupe rotacija tetraedra. Tih podgrupa ima osam.

Napomenimo, pre svega, da proizvod rotacija za ugao π oko dveju razlicitihosa koje su odredene sredinama mimoilaznih ivica daje rotaciju takode zaugao π oko trece takve ose (u to se mozemo uveriti kako geometrijski - postosu ose konkurentne i uzajamno normalne, tako i neposrednim mnozenjemnjima odredenih permutacija). Otuda proizilazi da rotacije za ugao π okopomenute tri ose obrazuju, zajedno sa identickom rotacijom grupu reda 4;ta grupa je izomorfna Klajnovoj grupi. Oznacimo tu podgrupu sa H. Medusvim podgrupama grupe rotacija tetraedra ona ima najveci red. U njoj susadrzane tri podgrupe reda 2, koje se sastoje od rotacija za uglove 0 i π okosvake date ose. Ove podgrupe oznacicemo sa H01 ,H02 ,H03 . Osim navede-nih, postoje jos cetiri podgrupe reda 3, naime, Hi, i ∈ 1, 2, 3, 4, od kojih sesvaka sastoji od rotacija za uglove 0, 2π/3 i 4π/3 oko odgovarajuce ose kojasadrzi teme Ai.

Osim pobrojanih podgrupa u grupi T nema vise nijedne druge podgrupe.

5.4 Oktaedarska grupa

Odredimo prvo grupu rotacija kocke - pravilnog heksaedra. Da bismoutvrdili sve rotacije kocke, razmatracemo najpre samo one rotacije kockeABCDA′B′C ′D′ ≡ H pri kojima jedno teme, recimo A, ostaje fiksno.

Prilikom svakog kretanja kocke teme se prevodi u teme, ivica u ivicu,strana u stranu, a i dijagonala kocke prevodi se u dijagonalu. Ako nekarotacija ostavlja tacku A nepokretnom, tada ce ona ostaviti nepokretnom idijagonalu AC ′ (jer postoji samo jedna dijagonala koja polazi iz temena A).Dakle, posmatrano kretanje je rotacija kocke oko dijagonale AC ′. Takvihrotacija, pored idenricne, ima dve: za ugao 2π/3 i za ugao 4π/3.

Prema tome, postoje samo tri rotacije kocke kojima se teme A prevodi usebe, tj. pri kojima je teme A invarijantno. Medutim, to teme A mozemopodesno izabranom rotacijom prevesti u svako od osam temena kocke; otudalako zakljucujemo da svih rotacija kocke ima ukupno 3 · 8 = 24.

Odredicemo sada svaku od tih rotacija. Zapazimo, pre svega, da kockaima sledecih 13 osa simetrije: cetiri dijagonale, tri prave koje prolaze kroz


centre suprotnih strana, sest pravih koje prolaze kroz sredine suprotnih ivica.Oko svake od cetiri dijagonale imamo po dve neidenticne rotacije kojima sekocka prevodi u sebe, tako da imamo ukupno osam rotacija oko dijagonala.

Oko svake prave koja spaja centre suprotnih strana kocke imamo po trineidenticne rotacije. Prema tome, takvih rotacija ima ukupno 9.

Na kraju, imamo i po jednu neidenticnu rotaciju (za ugao π) oko svakeod sest ivicnih osa; prema tome, tih rotacija ima ukupno sest.

Dakle, imamo 8+9+6=23 neidenticne rotacije kojima se kocka prevodi usebe. Ako im se doda jos i identicna rotacija, dobice se 24 rotacije, a to susve moguce rotacije kocke.

Na osnovu toga zakljucujemo da su rotacije kocke oko njenih osa simetrijejedine i sve rotacije kojima se kocka prevodi u sebe. One cine grupu rotacijakocke RH

Pre nego sto nastavimo izucavanje strukture grupa rotacija kocke, do-kazacemo da je jedina rotacija kocke kojom se svaka od njene cetiri dijagonaleprevodi u sebe identicna rotacija (koincidencija).

Zaista, zapazimo najpre da svaka rotacija kocke kojom se proizvoljne dvedijagonale, recimo AC ′ i DB′ prevode svaka u sebe, prevodi i dijagonalnuravan ADC ′B′ u nju samu. Svaka neidenticna rotacija kojom se neka ravanprevodi u sebe ima kao svoju osu: ili pravu u toj ravni (i tada je ugao rotacijeπ) ili pravu ortogonalnu na tu ravan. Medutim, osim ove ose, rotacijom ravniza ugao π oko ose koja pripada toj ravni prelaze u same sebe jos samo pravekoje su ortogonalne na tu osu. Kako pravougaonik ADC ′B′ nije kvadrat,to njegove dijagonale, koje nisu uzajamno normalne, ne mogu preci u sebeprilikom rotacije oko bilo koje ose u ravni pravougaonika. Prema tome, AC ′

i DB′ mogu preci svaka u sebe prilikom rotacija kocke oko ose ortogonalnena ravan ADC ′B′. Takva osa je prava MN , koja spaja sredine ivica A′D′ iBC. Jedina neidenticna rotacija kocke oko prave MN je rotacija za ugao π.To znaci da se jedino tom rotacijom svaka od dijagonala AC ′ i DB′ prevodiu sebe. Ali, prilikom te rotacije dve druge dijagonale, BD′ i CA′, medusobnomenjaju mesta, tako da, zakljucujemo, ne postoji nijednaneidenticna rotacijakojom se sve cetiri dijagonale kocke prevode u sebe.

Na taj nacin, prilikom svake neidenticke rotacije kocke njene cetiri dija-gonale ostvaruju neku neidenticnu permutaciju. Odatle proizilazi: prilikomdveju razlicitih rotacija a i b, dijagonale ostvaruju razlicite permutacije, jerako bi prilikom rotacija a i b doslo do jedne te iste permutacije dijagonala,onda bi prilikom rotacije ab−1 sve dijagonale ostale svaka na svom mestu, pabi ab−1 bila identicna rotacija, te bi i a i b bile dve istovetne rotacije.

Dakle, svim mogucim rotacijama kocke (a ima ih 24) odgovaraju razlicitepermutacije cetiri dijagonale koje nastaju prilikom tih rotacija, a kao stoznamo broj svih permutacija cetiri elementa je 4!=24. Ako numerisemo dija-


gonale kocke brojevima od 1 do 4, na ovaj nacin je definisano dejstvo grupeRH na skup N4, odn. homomorfizam φ : RH → S4.

Iz prethodnog razmatranja sledi da φ ima trivijalno jezgro, pa je φ in-jektivno preslikavanje, tj. monomorfizam φ(RH), kao i da φ(RH) odredujepodgrupu grupe S4 reda 24, pa je φ(RH) = S4, cime smo pokazali da je φizomorfizam.

Teorema 5.4.1. Grupa rotacija kocke izomorfna je grupi permutacija S4.

Medu podgrupama grupe rotacija kocke istaci cemo, pre svega, ciklicnepodgrupe reda 2, 3 i 4 koje se sastoje redom od rotacija oko po jedne od 13osa simetrije kocke. Ciklicnih podgrupa reda 2 ima sest (koliko ima osa kojeprolaze kroz sredine suprotnih ivica), ciklicnih podgrupa reda 3 ima cetiri(prema broju dijagonala kocke), a ciklicnih podgrupa reda 4 ima tri (premabroju osa koje prolaze kroz centre po dveju suprotnih strana).

Poseban znacaj imaju naredne podgrupe:a) Podgrupa reda 12, koja se sastoji od rotacija kojima se (istovremeno)

svaki od dvaju tetraedara ACB′D′ i BDA′C ′ upisanih u kocku prevodi usebe. Ta podgrupa se sastoji od 2 ·4 = 8 neidentickih rotacija oko dijagonalakocke, od triju rotacija za ugao π oko osa kroz sredine mimoilaznih ivica iod identicke rotacije.

b) Tri podgrupe reda 8, izomorfne dijedarskoj grupi D4. Svaka od ovihpodgrupa sastoji se od onih rotacija kocke kojima se jedna od pravih kojaspaja centre dveju suprotnih strana, recimo S i S ′, prevodi u sebe (one su vr-hovi pravilne cetvorostrane bipiramide upisane u kocku; grupa njenih rotacijakoje ostavljaju fiksnim ili permutuju te vrhove je izomorfna sa D4).

Ovu podgrupu reda 8 cine sledecih osam rotacija: cetiri rotacije oko oseSS ′ (zajedno sa identickom rotacijom), dve rotacije za ugao π oko dveju osakoje prolaze kroz sredine ivica, npr. AA′ i CC ′, odn. BB′ i DD′, dve rotacijeza ugao π oko osa koje prolaze kroz centre suprotnih strana, npr. ABB′A′ iCDD′C ′, odn. ADD′A′ i BCC ′B′.

c) Podgrupa reda 4, koja se sastoji od identicke rotacije i triju rotacijaza ugao π oko svake od triju osa koje prolaze krz centre suprotnih strana.Ta grupa se sastoji od onih rotacija koje ulaze u svaku od pobrojanih trijupodgrupa reda 8. Ova podgrupa reda 4 je komutativna i izomorfna Klajnovojgrupi.

Osim pomenutih, postoje jos i podgrupe reda 4 koje su takode izomorfneKlajnovoj grupi.

Definicija 5.4.1. Kod nekog poliedra su incidentni:(1) jedno teme i jedna ivica ako se to teme poklapa sa jednim krajem

ivice;


(2) jedno teme i jedna pljosan ako se to teme poklapa sa jednim temenomte pljosni;

(3) jedna ivica i jedna pljosa ako se ta ivica poklapa sa jednom stranicomte pljosni.

Dva poliedra F i F ′ su uzajamno dualni ako izmedu temena, ivica ipljosni poliedra F i pljosni, ivica i temena poliedra F ′ postoji bijektivan odnosu kome incidentnim temenima, ivicama i pljosnima poliedra F odgovarajuredom incidentne pljosni, ivice i temena poliedra F ′.

Kocka i pravilan oktaedar su medusobno dualni poliedri. Stoga nije teskozakljuciti da je grupa rotacija pravilnog oktaedra izomorfna grupi rotacijakocke. Da bismo se u to uverili dovoljno je da opisemo kocku oko pravilnogoktaedra ili da upisemo kocku u pravilan oktaedar; to se moze uciniti upravozbog toga sto su oni dualni poliedri. Svako kretanje oktaedra onda odgovaranekom kretanju kocke i obrnuto.

Grupa rotacija oktaedra (kocke) je dakle izomorfna sa S4, i naziva seoktaedarska grupa, u oznaci O.

5.5 Ikosaedarska grupa

Slicno, posto su dodekaedar i ikosaedar dualni poliedri, njihove gruperotacija su izomorfne. Ta grupa se naziva ikosaedarska grupa, oznacimo jesa Y.

Imajuci to na umu, ispitacemo rotacije dodekaedra i upotrebiti dobijenerezultate da izvedemo zakljucak o grupi rotacija ikosaedra, s obzirom da jedodekaedar u izvesnom smislu prostije telo.

Slicno kao u slucaju kocke, postoje tri kategorije rotacija dodekaedra okoosa jednog od tri tipa osa simetrije dodekaedra. To su:

-po cetri neidenticke rotacije za celobrojni umnozak od 2π/5 sa sestmogucih osa koje su odredene tezistima naspramnih (paralelnih) strana do-dekaedra;

-rotacija za π oko neke od petnaest prava koje spajaju sredine parovaparalelnih ivica;

-po dve neidenticke rotacije za 2π/3 odn. 4π/3 za svaku od deset osaodredenih parovima temena koja su krajevi dijametra sfere opisane oko do-dekaedra

Svih ovih rotacija, zajedno sa identickom, ima ukupno 60. To znaci dagrupa permutacija koja je izomorfna grupi rotacija dodekaedra mora biti reda60. Ovo navodi na zakljucak da je pomenuta grupa permutacija alternativnagrupa A5. Pokazimo da je zaista tako.


U dodekaedar se mogu upisati pet razlicitih kocki, cije su ivice dijagonalenekih strana dodekaedra (koje su pravilni petouglovi), s obzirom na to dadodekaedar ima sest parova paralelnih strana, a svaki takav par poseduje petparova paralelnih dijagonala. Obelezimo te kocke brojevima od 1 do 5. Svakarotacija dodekaedra ce odredivati jedinstvenu permutaciju tih pet kocki, tj.skupa 1,...,5. Na taj nacin uspostavljen je homomorfizam grupa Y i S5.

Svaka rotacija ”treceg tipa”ostavlja nepokretnim tacno dve kocke, i toone cija jedna dijagonala lezi na osi rotacije. Ostale tri kocke se permutujumedusobno, menjajuci pritom pozicije unutar dodekaedra. Odavde sledi dasu svim rotacijama navedenog tipa odgovaraju 3-ciklovi u S5. Setimo se datakvih rotacija ima ukupno 20. S druge strane, u S5 ima tacno

(53

)= 20

3-ciklova, a svi oni generisu podgrupu A5, koja je istog reda kao i grupa Y.Time je dokazano da vazi

Teorema 5.5.1. Grupa Y izomorfna je alternativnoj grupi A5.

5.6 Grupe rotacija kao konacne podgrupe u

SE(3)

Teorema 5.6.1. Neka je G konacna netrivijalna podgrupa grupe SE(3).Tada je G jedna od sledecih grupa rotacija:

a) pravilne n-tostrane piramide (izomorfna sa Cn) za neko n ∈ N;b) pravilne n-tostrane bipiramide (izomorfna sa Dn) za neko n ∈ N;c) tetraedarska grupa T ∼= A4;d) oktaedarska grupa O ∼= S4;e) ikosaedarska grupa Y ∼= A5.

Dokaz. Prostor E3 ovde identifikujemo sa R3. Kao u dokazu analogne teo-reme o podgrupama u E(2) zakljucujemo da postoji zajednicka fiksna tackaza sve izometrije iz G; neka je to (bez gubljenja opstosti) koordinatni pocetak0. Slicno se utvrduje da je svaki element iz G \ ε osna rotacija cija osasadrzi 0.

Neka je Ω = u ∈ R3 | ‖u‖ = 1 ∧ (∃f ∈ G \ ε) f(u) = u, tj. Ω je skuppreseka osa svih neidentickih rotacija iz G sa jedinicnom sferom S3 u R3.Tada je Ω konacan skup, i za f ∈ G, sa f(Ω) je definisana neka permutacijaskupa Ω. Stoga je preslikavanje θ : G→ Sym(Ω) dato sa θ(f) = f Ω dejstvogrupe G na skup Ω. Neka su Ω1,Ω2, . . . ,Ωk razlicite orbite u Ω. Tada svakielement u ∈ Ω ima stabilizator reda Sj = |G|/|Ωj| (za j ∈ 1, . . . , k).

Sada odredimo broj parova iz skupa

X := (f,u) | f ∈ G \ ε, u ∈ S3, f(u) = u


Svako f ∈ G\ε je rotacija koja fiksira tacno dva jedinicna vektora. Zato je|X| = 2(|G| − 1). Sa druge strane, svakom u ∈ Ω odgovara |Gu| − 1 parovau X. Zato je

|X| =k∑j=1

(Sj − 1)|Ωj| =k∑j=1

(|G| − |Ωj|)

Deljenjem obe strane zadnje jednakosti sa |G| dobija se

2− 2

|G|=

k∑j=1

(1− 1

Sj

)(5.1)

Stabilizator svakog u ∈ Ω je reda ne manjeg od 2, pa je

1− 1

Sj≥ 1

2

za svako j. Stoga je

2 > 2− 2

|G|=

k∑j=1

(1− 1

Sj

)≥ k

2

pa je k ∈ 1, 2, 3, tj. u Ω ima najvise tri razlicite orbite.Neka je S1 ≥ S2 ≥ S3 ≥ 2. Za k = 1 jednacina (5.1) ocito nema

celobrojnih resenja. Za k = 2 iz (4.1) sledi

2− 2

|G|= 2− 1

S1

− 1

S2

≤ 2− 2

S1

pa je S1 ≥ |G|, sto ce reci da mora biti S1 = |G| i |Ω1| = 1. Onda je

2− 2

|G|= 2− 1

S1

− 1

S2

= 2− 1

|G|− 1

S2

zbog cega je i S2 = |G| i |Ω2| = 1. Zakljucujemo da se Ω u ovom slucajusastoji od dva jedinicna vektora v i -v, pa postoji samo jedna osa neidenticnihrotacija, i grupa G mora biti ciklicna, tj. to je grupa rotacija neke pravilnepiramide.

Kada je k = 3, jednacina (5.1) daje

1

S1

+1

S2

+1

S3

= 1 +2

|G|

Ovo povlaci da vazi3

S3

≥ 1 +2

|G|> 1


pa je S3 = 2.Po (5.1) sada imamo

2

S2

≥ 1

S1

+1

S2

=1

2+

2

|G|>

1

2

i stoga S2 = 2 ili S2 = 3.Ako je S2 = 2 dobijamo

1

S1

=2

|G|i tada je S1 = n, S2 = 2, S3 = 2 i |G| = 2n. Orbita Ω1 sadrzi samo dvetacke. Neka je v jedna od njih. Stabilizator Gv je onda konacna grupakoja sadrzi n rotacija oko v, pa je to ciklicna grupa generisana rotacijomρ := ρv,2π/n. Neka je u jedna od tacaka u Ω3. Tada su ostale tacke togskupa: ρu, ρ2u, . . . , ρn−1u. Stabilizator za u je reda 2, pa sadrzi rotacijuσ := ρu,π reda dva. Ona slika v u -v. Sada je jasno da je svaki elemenat uG neka rotacija pravilne n-tostrane bipiramide.

Ako S2 = 3 imacemo

1

S1

=1

6+

2

|G|>

1

6

i S1 ∈ 3, 4, 5. Tada postoje sledece mogucnosti:

S1 |Ω1| S2 |Ω2| S3 |Ω3| |G|3 4 3 4 2 6 124 6 3 8 2 12 245 12 3 20 2 30 60

Svaka od njih karakterise redom tetraedarsku, oktaedarsku i ikosaedarskugrupu.

Razmotrimo npr. drugi red gornje tabele. Tada Ω1 ima sest elemenata.Stabilizator svakog od njih je ciklicna grupa reda S1 = 4. Izaberimo nekov ∈ Ω1. Neka je generator stabilizatora za v rotacija R. Tada je i -v fiksnatacka za R i ima isti stabilizator, pa je i −v ∈ Ω1. Preostale tacke u Ω1 suonda w, Rw, R2w, R3w i sve leze u ravni ortogonalnoj na v koja sadrzi 0.Zato su tacke u Ω1 temena pravilnog oktaedra.

Tacke iz Ω2 bi onda bile tezista strana oktaedra, a Ω3 bi bio skup sredistaivica. Primetimo da je Ω2 skup temena kocke upisane u oktaedar; kocka jedualno telo oktaedra, i kao sto znamo ima istu grupu rotacija.

Literatura

1. P.S.Aleksandrov - Uvod u teoriju grupa, M. Ilic - Dajovic - Izometrijsketransformacije i njihove grupe, Privredna stampa, Beograd, 1982.

2. Natasa Bozovic, Zarko Mijajlovic - Uvodu u teoriju grupa, Naucnaknjiga, Beograd, 1990.

3. Snezana Ilic - Algebarske strukture-materijal sa predavanja

4. Mica Stankovic - Osnovi geometrije, Prirodno-matematicki fakultet,Nis, 2006.

5. Ljubisa Kocinac - Linearna algebra i analiticka geometrija, Prosveta,Nis, 1997.

6. Pavle Mladenovic - Kombinatorika, Drustvo matematicara Srbije, Beo-grad, 2001.

7. T.K. Carne - Geometry and Groups, Notes Lent, Cambridge University,2011.

8. Milan Z. Grulovic - Uvod u teoriju grupa, Institut za matematiku uNovom Sadu, Novi Sad, 1997.

66

Biografija

Aleksandar Kostic roden je 28.04.1991. u Nisu. Zavrsio je osnovnu skoluRatko Vukicevic u Nisu. Gimnaziju Svetozar Markovic u Nisu, specijalizo-vano matematicko odeljenje, zavrsio je 2010. godine. Osnovne akademskestudije na Departmanu za matematiku Prirodno-Matematickog Fakulteta uNisu upisao je 2010. a zavrsio 2013. godine sa prosecnom ocenom 9,00. Istegodine upisao je master akademske studije - smer matematika na PMF uNisu. U Oktobru 2015. godine polozio je sve ispite na master studijama istekao pravo na odbranu master rada.

67

Grupe kretanja. Izometrijske transformacije i njihove grupe · Univerzitet u Ni su Prirodno...

Documents

Transcript of Grupe kretanja. Izometrijske transformacije i njihove grupe · Univerzitet u Ni su Prirodno...