Grundlagen Mathematik - 5. Integralrechnungmatthies/Material/WiSe15/Kapitel5.pdf · Mathematik und...
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Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik
GRUNDLAGEN MATHEMATIK
5. Integralrechnung
Prof. Dr. Gunar Matthies
Wintersemester 2015/16
Motivation
x0 = a x1 x2. . . xn−1 xn = b
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Zerlegungen
Definition
Sei f : [a, b]→ R beschränkt. Für gegebene Zerlegung Z mita = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b
definieren wirmi := inf
x∈[xi−1,xi ]f (x), Mi := sup
x∈[xi−1,xi ]f (x)
als die größte untere bzw. kleinste obere Schranke der Funktion fauf [xi−1, xi ]. Die Größe∣∣Z ∣∣ := max
i=1,...,n(xi − xi−1)
heißt Feinheit der Zerlegung Z . Wir nennen
Of (Z ) :=n∑
i=1
Mi (xi − xi−1), Uf (Z ) :=n∑
i=1
mi (xi − xi−1)
die Obersumme bzw. die Untersumme von f bezüglich Z .
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Bestimmtes Integral
Definition
Weiterhin sindI f := inf
ZOf (Z ) und I f := sup
ZUf (Z )
das Oberintegral bzw. das Unterintegral von f auf [a, b], wobeiInfimum und Supremum über alle möglichen Zerlegungen Z von[a, b] gebildet werden. Stimmen Oberintegral und Unterintegralüberein, dann heißt f auf [a, b] (Riemann-)integrierbar und∫ b
af (x) dx := I f = I f
wird als bestimmtes Integral von f über [a, b] bezeichnet.
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Geometrische Deutung
• Ist f (x) ≥ 0 auf [a, b], dann ist∫ b
af (x) dx
der Inhalt der Fläche, die durch den Graphen von f , die x-Achse und die Geraden x = a und x = b begrenzt wird.
• Ist f (x) ≤ 0 auf [a, b], dann ist∫ b
af (x) dx
genau der negative Inhalt der Fläche, die durch den Graphenvon f , die x-Achse und die Geraden x = a und x = b begrenztwird.
• Wechselt f auf [a, b] ein- oder mehrmals das Vorzeichen, dannergibt sich der Flächeninhalt als Summe der Flächeninhalteoberhalb und unterhalb der x-Achse.
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Existenz von Integralen
Satz
Sei f : [a, b] → R stetig oder monoton. Dann ist f auf [a, b]integrierbar.
Folgerung
Seien p ein Polynom und [a, b] ein beliebiges beschränktes In-tervall. Dann ist p über [a, b] integrierbar. Gleiches gilt für dieSinus-Funktion und die Kosinus-Funktion.
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Berechnung von Integralen
Die Definition des bestimmten Integrals ist für die praktische Be-rechnung nicht geeignet.
Satz
Sei f : [a, b] → R eine Funktion, für die das bestimmte Integralvon f über [a, b] existiert. Dann gilt∫ b
af (x) dx = lim
n→∞Of (Zn) = lim
n→∞Uf (Zn),
wobei(Zn
)n∈N eine beliebige Folge von Zerlegungen des Intervalls
[a, b] mit∣∣Zn
∣∣→ 0 für n→∞ ist.
Bemerkung
Für die praktische Rechnung wählt man oft Zerlegungen mit gleichlangen Teilintervallen aus.
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Beispiel
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x0 = 1 x1 x2 xn = 1x0 = 1 x1 x2 xn = 1x0 = 1 x1 x2 xn = 1x0 = 1 x1 x2 xn = 1x0 = 1 x1 x2 xn = 1
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Rechenregeln für Integrale
Satz
Seien f , g : [a, b] → R integrierbare Funktionen. Dann gelten fürbeliebige c , d , e ∈ [a, b]
• Linearität: α, β ∈ R beliebig∫ d
cαf (x) + βg(x) dx = α
∫ d
cf (x) dx + β
∫ d
cg(x) dx
• Aufspaltung des Intervalls∫ e
cf (x) dx =
∫ d
cf (x) dx +
∫ e
df (x) dx
• Monotonie: Gilt f (x) ≤ g(x) für alle x ∈ [c , d ], dann ist∫ d
cf (x) dx ≤
∫ d
cg(x) dx .
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Folgerungen
Insbesondere gelten die folgenden Beziehungen
•∫ c
cf (x) dx = 0
•∫ d
cf (x) dx = −
∫ c
df (x) dx
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Mittelwertsatz der Integralrechnung
Satz (Mittelwertsatz)
Sei f : [a, b]→ R stetig. Dann existiert ein z ∈ (a, b) derart, dass∫ b
af (x) dx = (b − a)f (z)
gilt
Satz (Verallgemeinerter Mittelwertsatz)
Seien f , g : [a, b] → R stetig und g(x) > 0 für alle x ∈ [a, b].Dann existiert ein z ∈ (a, b) so, dass∫ b
af (x)g(x) dx = f (z)
∫ b
ag(x) dx
erfüllt ist.
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Illustration zum Mittelwertsatz
a z b
f (z)
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Stammfunktion
Definition
Seien F , f : [a, b]→ R und F differenzierbar auf (a, b). WennF ′(x) = f (x) für alle x ∈ (a, b),
dann heißt F Stammfunktion von f auf (a, b).
Satz
Sei F : [a, b] → R eine Stammfunktion von f : [a, b] → R. Dannlässt sich jede Stammfunktion G von f auf [a, b] in der Form
G (x) = F (x) + C für alle x ∈ [a, b]
schreiben, wobei C ∈ R eine Konstante ist.
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Unbestimmtes Integral
Definition
Die Menge aller Stammfunktionen zu einer Funktion f : [a, b]→ Rauf dem Intervall [a, b] nennen wir unbestimmtes Integral von fauf [a, b]. Es wird als ∫
f (x) dx
geschrieben.
Satz
Seien f , g : [a, b]→ R integrierbar. Dann gilt∫αf (x) + βg(x) dx = α
∫f (x) dx + β
∫g(x) dx
für alle α, β ∈ R.
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Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Satz
Sei f : [a, b]→ R stetig. Dann ist F : [a, b]→ R mit
F (x) :=
∫ x
cf (t) dt
für jedes c ∈ [a, b] eine Stammfunktion von f auf [a, b].
Satz
Seien f : [a, b] → R stetig und F eine beliebige Stammfunktionvon f auf [a, b]. Dann gilt∫ d
cf (x) dx = F (d)− F (c) = F (x)
∣∣∣dc
=[F (x)
]dc
für alle c , d ∈ [a, b].
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Partielle Integration
Satz
Seien u, v : [a, b]→ R stetig differenzierbar. Dann gelten∫u(x)v ′(x) dx = u(x)v(x)−
∫u′(x)v(x) dx
und ∫ b
au(x)v ′(x) dx = u(x)v(x)
∣∣∣ba−∫ b
au′(x)v(x) dx .
Die Regel der partiellen Integration ist die Umkehrung der Pro-duktregel der Differentiation.
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Substitution
Satz
Seien h : [a, b] → [c , d ] stetig differenzierbar und f : [c, d ] → Rstetig mit Stammfunktion F . Dann gelten∫
f(h(t)
)h′(t) dt =
∫f (x) dx
∣∣x=h(t)
= F(h(t)
)und ∫ b
af(h(t)
)h′(t) dt =
∫ h(b)
h(a)f (x) dx = F (x)
∣∣∣h(b)x=h(a)
.
Die Regel der Substitution ist die Umkehrung der Kettenregel derDifferentiation.
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Anwendung der Substitution
1. Ersetze x durch eine umkehrbare Funktion h(t), alsox = h(t) bzw. t = h−1(x)
2. Leite x nach t abdx
dt=
d
dth(t) = h′(t)
und multipliziere formal mit dtdx = h′(t) dt
3. Setze ∫f (x) dx =
∫f(h(t)
)h′(t) dt, t = h−1(x)
oderd∫
c
f (x) dx =
h−1(d)∫h−1(c)
f(h(t)
)h′(t) dt
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Integrale rationaler Funktionen
Addition von rationalen Funktionx
x2 + 2+
3x + 1
=x2 + x + 3x2 + 6(x + 1)(x2 + 2)
=4x2 + x + 6
x3 + x2 + 2x + 2
rationale Funktion als Summe einfacherer rationaler Funktionen4x2 + x + 6
x3 + x2 + 2x + 2=
x
x2 + 2+
3x + 1
Nutzung bei Integration∫4x2 + x + 6
x3 + x2 + 2x + 2dx =
∫x
x2 + 2dx +
∫3
x + 1dx
=12ln(x2 + 2) + 3 ln |x + 1|+ C
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Zerlegung von Polynomen
Satz
Seien n ∈ N undq(x) = anx
n + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0, an 6= 0,
ein Polynom vom Grad n. Dann lässt sich q in der Formq(x) = an(x − x1)r1 . . . (x − xk)rk
(x2 + p1x + q1)s1 . . . (x2 + p`x + q`)s`
mit xi 6= xj für i 6= j , rj , sj ∈ N und quadratischen Polynomenx2 + pjx + qj ohne Nullstellen schreiben.
Beispielex3 − x2 + x − 1 = (x − 1)(x2 + 1),
x5 − x3 − 4x2 − 3x − 2 = (x − 2)(x2 + x + 1)2
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Zerlegung von rationalen Funktionen
Gegeben:
echt gebrochen rationale Funktionp(x)
q(x)Wunsch:
p(x)
q(x)=
. . .
(x − x1)r1+ · · ·+ . . .
(x − xk)rk
+. . .
(x2 + p1x + q1)s1+ · · ·+ . . .
(x2 + p`x + q`)s`,
wobei sich die auftretenden Summanden leicht integrieren lassen
G. Matthies Grundlagen Mathematik 21/58
Integrale einfacher rationaler Funktionen
Integrale von Linearfaktoren∫dx
(x − a)k=
ln |x − a|+ C , k = 1,−1
k − 11
(x − a)k−1 + C , k ≥ 2,
Integrale der quadratischen Terme∫Bx + C
x2 + px + qdx =
B
2ln(x2 + px + q)
+2C − Bp√4q − p2
arctan2x + p√4q − p2
+ C ,
wobei 4q − p2 > 0 ist, da x2 + px + q keine Nullstellen hat
Die Integrale ∫Bx + C
(x2 + px + q)rdx , r = 2, 3, . . .
schlägt man in einer Formelsammlung nach.G. Matthies Grundlagen Mathematik 22/58
Partialbruchzerlegung I
Satz
Sei f (x) =p(x)
q(x)eine echt gebrochen rationale Funktion, d. h.,
der Grad von p ist kleiner als der Grad von q. Weiterhin besitze qdie Zerlegung
q(x) = (x − x1)r1 · · · (x − xk)rk
(x2 + p1x + q1)s1 · · · (x2 + p`x + q`)s`
mit xi 6= xj für i 6= j , rj , sj ∈ N und quadratischen Polynomenx2 + pjx + qj ohne Nullstellen. Dann kann f mittels der Partial-bruchzerlegung als
f (x) =k∑
i=1
ri∑j=1
Ai ,j
(x − xi )j+∑̀i=1
si∑j=1
Bi ,jx + Ci ,j
(x2 + pix + qi )j
geschrieben werden.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 23/58
Partialbruchzerlegung II
ausführlich
p(x)
q(x)=
k∑i=1
ri∑j=1
Ai,j
(x − xi )j+∑̀i=1
si∑j=1
Bi,jx + Ci,j
(x2 + pix + qi )j
=A1,1
x − x1+
A1,2
(x − x1)2 + · · ·+ A1,r1
(x − x1)r1
...
+Ak,1
x − xk+
Ak,2
(x − xk)2 + · · ·+ Ak,rk
(x − xk)rk
+B1,1x + C1,1
x2 + p1x + q1+ · · ·+ B1,s1x + C1,s1
(x2 + pix + qi )s1
...
+B`,1x + C`,1
x2 + p`x + q`+ · · ·+ B`,s`x + C`,s`
(x2 + p`x + q`)s`
G. Matthies Grundlagen Mathematik 24/58
Beispiele zur Partialbruchzerlegung
f (x) =x
(x − 1)2(x − 2)
=−2x − 1
− 1(x − 1)2 +
2x − 2
f (x) =4x3
(x − 1)(x2 + 1)2
=1
x − 1+−x + 3x2 + 1
+2x − 2
(x2 + 1)2
f (x) =x2 + 1
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
=1
x − 1+−5x − 2
+5
x − 3
G. Matthies Grundlagen Mathematik 25/58
Bestimmung der Partialbruchzerlegung
Gegeben: rationale Funktion f (x) =p(x)
q(x), wobei der Grad von p
kleiner als der Grad von q ist (sonst zunächst Polynomdivision zurAbspaltung des polynomialen Anteils)
Schrittweises Vorgehen1. Ansatz zur Partialbruchzerlegung
p(x)
q(x)=
A
x − x1+ . . .+
Bx + C
(x2 + px + q)s
2. Multipliziere Ansatz mit q(x). Dies führt auf eine Gleichheitvon Polynomen.
3. Bestimmung der Koeffizienten A,B,C , . . . mittels Koeffizien-tenvergleich und/oder Einsetzen von Werten für x
G. Matthies Grundlagen Mathematik 26/58
Beispiel: Bestimmung der Partialbruchzerlegung I
Gesucht:∫
1− x
x2(x2 + 1)dx
Zerlegung des Nennerpolynoms• 0 ist doppelte Nullstelle• x2 + 1 ist quadratischer Faktor ohne Nullstellen
Ansatz1− x
x2(x2 + 1)=
A1
x+
A2
x2 +Bx + C
x2 + 1Multiplikation mit q
1− x = A1x(x2 + 1) + A2(x2 + 1) + (Bx + C )x2
= (A1 + B)x3 + (A2 + C )x2 + A1x + A2
KoeffizientenvergleichA1 + B = 0, A2 + C = 0, A1 = −1, A2 = 1
G. Matthies Grundlagen Mathematik 27/58
Beispiel: Bestimmung der Partialbruchzerlegung II
KoeffizientenvergleichA1 + B = 0, A2 + C = 0, A1 = −1, A2 = 1
KoeffizientenA1 = −1, A2 = 1, B = 1, C = −1
in Ansatz1− x
x2(x2 + 1)=
A1
x+
A2
x2 +Bx + C
x2 + 1einsetzen:
1− x
x2(x2 + 1)=−1x
+1x2 +
x − 1x2 + 1
Integral bestimmen∫1− x
x2(x2 + 1)dx =
∫−1x
dx +
∫1x2 dx +
∫x − 1x2 + 1
dx
= − ln |x | − 1x
+12ln(x2 + 1)− arctan(x) + C
G. Matthies Grundlagen Mathematik 28/58
Beispiel: Bestimmung der Partialbruchzerlegung III
Gesucht:∫
5x + 1x2 + x − 6
dx
Zerlegung des Nennerpolynoms: x2 + x − 6 = (x − 2)(x + 3)
Ansatz:5x + 1
x2 + x − 6=
A1
x − 2+
A2
x + 3Multiplikation mit q
5x + 1 = A1(x + 3) + A2(x − 2) = (A1 + A2)x + 3A1 − 2A2
Einsetzmethode
x = 2 : 5 · 2 + 1 = 11 = (3 + 2)A1 = 5A1
x = −3 : 5 · (−3) + 1= −14 =(−3− 2)A2 = −5A2
}⇒
A1 =
115
A2 =145
somit ∫5x + 1
x2 + x − 6dx =
115
∫1
x − 2dx +
145
∫1
x + 3dx
=115
ln |x − 2|+ 145
ln |x + 3|+ C
G. Matthies Grundlagen Mathematik 29/58
Integrale über Ausdrücke mit Winkelfunktionen
Beispiele ∫dx
sin(x),
∫cos(x)
2 + sin(x)dx
Generalsubstitution nach Weierstraßt = tan
(x2
)
Umrechungen
sin(x) =2t
1 + t2, cos(x) =
1− t2
1 + t2, dx =
21 + t2
dt
G. Matthies Grundlagen Mathematik 30/58
Integrale über Ausdrücke mit Exponentialfunktionen
Beispiele ∫e2x
1 + exdx ,
∫ex
e2x + ex − 2dx
Substitution
t = ex , x = ln(t), dx =1tdt
Beispiele ∫e2x
1 + exdx =
∫t2
1 + t
1tdt =
∫t
1 + tdt
∫ex
e2x + ex − 2dx =
∫t
t2 + t − 21tdt =
∫1
t2 + t − 2dt
G. Matthies Grundlagen Mathematik 31/58
Begriff: Uneigentliche Integrale
2 Arten1. Integrale über unbeschränkte Bereiche
b∫−∞
f (x) dx ,
∞∫a
f (x) dx ,
∞∫−∞
f (x) dx ,
2. Integrale über unbeschränkte Funktionen
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Beispiele für uneigentliche Integrale I
1 2 3 4 5 6
1
2 ∫ ∞1
1xdx
G. Matthies Grundlagen Mathematik 33/58
Beispiele für uneigentliche Integrale II
1 2 3 4 5 6
1
2
∫ ∞1
1x2 dx
G. Matthies Grundlagen Mathematik 34/58
Beispiele für uneigentliche Integrale III
1 2 3
1
2
3
4
∫ 2
0
1√xdx
G. Matthies Grundlagen Mathematik 35/58
Uneigentliche Integrale I
Definition
Sei f : D → R. Dann heißt f lokal integrierbar über D, falls füber jedem abgeschlossenen Intervall [a, b] ⊂ D integrierbar ist.
Falls die auftretenden Grenzwerte existieren, setzen wir für dielokal integrierbare Funktion f
1.∫ ∞a
f (x) dx = limz→∞
∫ z
af (x) dx
2.∫ b
−∞f (x) dx = lim
z→−∞
∫ b
zf (x) dx
3.∫ ∞−∞
f (x) dx =
∫ a
−∞f (x) dx +
∫ ∞a
f (x) dx
mit a ∈ R beliebig.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 36/58
Uneigentliche Integrale II
Definition
Sei f : D → R lokal integierbar. Falls die auftretenden Grenzwerteexistieren, definieren wir
4. D = (a, b] :
∫ b
af (x) dx = lim
z→a+0
∫ b
zf (x) dx
5. D = [a, b) :
∫ b
af (x) dx = lim
z→b−0
∫ z
af (x) dx
6. D = (a, b) :
∫ b
af (x) dx =
∫ c
af (x) dx +
∫ b
cf (x) dx
mit c ∈ (a, b) beliebig
7. D = [a, b] \ {c} :
∫ b
af (x) dx =
∫ c
af (x) dx +
∫ b
cf (x) dx
Die Integralaufteilung in den Fällen 3, 6 und 7 sorgt dafür, dassfür jede Problemstelle ein separater Grenzprozess betrachtet wird.G. Matthies Grundlagen Mathematik 37/58
Beispiel
Untersuchung von∫ ∞
1
dx
xαmit α ∈ R
für [a, z ] ⊂ [1,∞) ergibt sich∫ z
a
dx
xα=
1
1− α1
xα−1
∣∣∣za, α 6= 1,
ln |x |∣∣∣za, α = 1,
somit: f ist über [1,∞) lokal integrierbar
α > 1 ∫ ∞1
dx
xα= lim
z→∞
∫ z
1
dx
xα=
11− α
limz→∞
(1
zα−1 − 1)
=1
1− α(−1) =
1α− 1
G. Matthies Grundlagen Mathematik 38/58
Beispiel
Untersuchung von∫ ∞
1
dx
xαmit α ∈ R
für [a, z ] ⊂ [1,∞) ergibt sich∫ z
a
dx
xα=
1
1− α1
xα−1
∣∣∣za, α 6= 1,
ln |x |∣∣∣za, α = 1,
somit: f ist über [1,∞) lokal integrierbar
α = 1 ∫ ∞1
dx
x= lim
z→∞
∫ z
1
dx
x= lim
z→∞
(ln |z | − 0
)= lim
z→∞ln |z | =∞
G. Matthies Grundlagen Mathematik 38/58
Beispiel
Untersuchung von∫ ∞
1
dx
xαmit α ∈ R
für [a, z ] ⊂ [1,∞) ergibt sich∫ z
a
dx
xα=
1
1− α1
xα−1
∣∣∣za, α 6= 1,
ln |x |∣∣∣za, α = 1,
somit: f ist über [1,∞) lokal integrierbar
α < 1 ∫ ∞1
dx
xα= lim
z→∞
∫ z
1
dx
xα=
11− α
limz→∞
(1
zα−1 − 1)
=∞
da 1− α > 0 und somit limz→∞
1zα−1 = lim
z→∞z1−α =∞
G. Matthies Grundlagen Mathematik 38/58
Anwendungen der Integration
Bestimmung des Inhalts der Fläche zwischen einem Funktionsgra-phen und der x-Achse
−1 −0.5 0.5 1
−0.4
−0.2
0.2
0.4 f (x) = x3 − x
G. Matthies Grundlagen Mathematik 39/58
Anwendungen der Integration
Bestimmung des Flächeninhalts zwischen zwei Funktionsgraphen
−1 −0.5 0.5 1
−1
−0.5
0.5
1
f (x) = x3
g(x) = x
G. Matthies Grundlagen Mathematik 39/58
Bogenlänge
Sei f : [a, b] → R stetig differenzierbar. Wie lang ist die Kurve,die der Graph von f in der Ebene beschreibt?
a xi−1 xi b
Länge des Kantenzuges approximiert Länge der KurveG. Matthies Grundlagen Mathematik 40/58
Bogenlänge
Satz des Pythagoras für ∆xi = xi − xi−1, ∆yi = yi − yi−1:s2i = (xi − xi−1)2 + (yi − yi−1)2
= ∆x2i
(1 +
(∆yi∆xi
)2)
Länge des Kantenzuges
L(Z ) =n∑
i=1
si =n∑
i=1
√1 +
(∆yi∆xi
)2
∆xi
immer feiner werdende Zerlegungen∆yi∆xi→ f ′(xi )
Formel für Bogenlänge
L =
∫ b
a
√1 +
(f ′(x)
)2dx
G. Matthies Grundlagen Mathematik 41/58
Rotationskörper I
Graph einer Funktion f mit f (x) ≥ 0 rotiert um eine feste Achse,z. B. die x-Achse
=⇒ Rotationskörper entsteht
0.5 1 1.5 2
−1
1
x
y
G. Matthies Grundlagen Mathematik 42/58
Rotationskörper II
x
yz
G. Matthies Grundlagen Mathematik 43/58
Volumen von Rotationskörpern
x
yz
Körper durch Zylinderscheiben mit Querschnitt Qi approximieren
V (Z ) =n∑
i=1
Qi∆xi =n∑
i=1
π(f (xi )
)2∆xi
Grenzübergang: Volumen des Rotationskörpers
V = π
∫ b
a
(f (x)
)2dx
G. Matthies Grundlagen Mathematik 44/58
Inhalt der Mantelfläche von Rotationskörpern
x
yz
Körper durch Kegelstümpfe approximieren
M(Z ) =n∑
i=1
Mi
Grenzübergang: Inhalt der Mantelfläche des Rotationskörpers
M = 2π∫ b
af (x)
√1 +
(f ′(x)
)2dx
G. Matthies Grundlagen Mathematik 45/58
Inhalt der Mantelfläche eines Kegels
lr
l
l
2πr
α
Abwicklung des Kegelmantel = KreissegmentAseg
AKreis=
α
2π=
2πr2πl
Inhalt der Mantelfläche eines Kegels
Aseg =r
lπl2 = πrl
G. Matthies Grundlagen Mathematik 46/58
Inhalt der Mantelfläche eines Kegelstumpfes
l1
l2 − l1
l2
r1r2
r1r2
=l1l2
Inhalt der Mantelfläche eines KegelstumpfesAM = πr2l2 − πr1l1 = πr2l2 −πr2l1 + πr1l2︸ ︷︷ ︸
= 0
−πr1l1
= π(r1 + r2)(l2 − l1)
G. Matthies Grundlagen Mathematik 47/58
Inhalt der Mantelfläche eines Kegels
Inhalt der Mantelfläche
Mi = π(f (xi ) + f (xi + ∆xi )
)√∆x2
i + ∆y2i
= 2πf (xi ) + f (xi + ∆xi )
2
√1 +
(∆yi∆xi
)2
∆xi
Erinnerung
M(Z ) =n∑
i=1
Mi
Grenzübergang: Inhalt der Mantelfläche des Rotationskörpers
M = 2π∫ b
af (x)
√1 +
(f ′(x)
)2dx
G. Matthies Grundlagen Mathematik 48/58
Schwerpunkte
Erinnerung
Sind in den Punkten (x1, y1), . . . , (xn, yn) die Massenm1, . . . , mn angebracht, dann befindet sich der Schwer-punkt des Systems in (xs , ys) mit
xs =1M
n∑i=1
ximi , ys =1M
n∑i=1
yimi ,
wobei
M =n∑
i=1
mi
die Gesamtmasse des Systems darstellt.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 49/58
Berechnung von Schwerpunkten ebener Flächen I
Flächenstück ist oben und unten durch die Graphen der Funktionenf und g sowie seitlich durch die Geraden x = a und x = b begrenzt
a b
f
g
G. Matthies Grundlagen Mathematik 50/58
Berechnung von Schwerpunkten ebener Flächen II
a xi−1 xi b
f
g
f (xi )
g(xi )
f (xi ) + g(xi )
2
Anteile einer TeilflächeMi =
(f (xi )−g(xi )
)∆xi ,
Mxi =xiMi
=xi(f (xi )−g(xi )
)∆xi ,
Myi =yiMi
=f (xi )+g(xi )
2Mi
=
(f (xi ))2−
(g(xi )
)22
∆xi
M =
∫ b
a
(f (x)−g(x)
)dx ,
Mx =
∫ b
ax(f (x)−g(x)
)dx , My =
12
∫ b
a
(f (x))2−
(g(x)
)2dx
G. Matthies Grundlagen Mathematik 51/58
Schwerpunkt von Rotationskörpern
Der Graph der Funktion f : [a, b] → R mit f (x) ≥ 0 für allex ∈ [a, b] rotiere um die x-Achse.
Bestimmung der x-Koordinate des Schwerpunktes
M(Z ) =n∑
i=1
π(f (xi )
)2∆xi , Mx(Z ) =
n∑i=1
xiπ(f (xi )
)2∆xi
Grenzübergang
M = π
∫ b
a
(f (x)
)2dx , Mx = π
∫ b
ax(f (x)
)2dx
Koordinaten des Schwerpunktes
xs =Mx
M, ys = 0, zs = 0
unter Ausnutzung der Rotationssymmetrie
G. Matthies Grundlagen Mathematik 52/58
Numerische Integration I
x0 = a x1 x2. . . xn−1 xn = b
Rechteckformel (linksseitig): Q(f ) =n∑
i=1
f (xi−1)(xi − xi−1)
G. Matthies Grundlagen Mathematik 53/58
Numerische Integration II
x0 = a x1 x2. . . xn−1 xn = b
Rechteckformel (rechtsseitig): Q(f ) =n∑
i=1
f (xi )(xi − xi−1)
G. Matthies Grundlagen Mathematik 54/58
Numerische Integration III
x0 = a x1 x2. . . xn−1 xn = b
Trapezformel Q(f ) =n∑
i=1
f (xi−1) + f (xi )
2(xi − xi−1)
G. Matthies Grundlagen Mathematik 55/58
Newton-Cotes-Formeln
Allgemeine Idee:
Ersetze die zu integrierende Funktion durch ein Interpo-lationspolynom und integriere dieses dann exakt
∫ b
af (x) dx ≈
∫ b
ap(x) dx
Interpolation durch quadratische Polynome∫ b
af (x) dx ≈ b − a
6
(f (a) + 4f
(a + b
2
)+ f (b)
)Simpson-Formel: integriert sogar Polynome dritten Grades exakt
G. Matthies Grundlagen Mathematik 56/58
Zusammengesetzte Quadraturformeln
Idee:Statt Interpolationspolynome hohen Grades zu bestim-men und diese dann zu integrieren, teile das Intervall[a, b] in (gleich lange) Teilintervalle und nutze dort ein-fache Formeln
Zusammengesetzte Simpson-Formel∫ b
af (x) dx ≈ h
6
(f (a) + 2
n−1∑k=1
f (xk) + f (b)
+ 4n∑
k=1
f
(xk−1 + xk
2
))mit
h =b − a
n, xk = a + k h, k = 0, . . . , n
G. Matthies Grundlagen Mathematik 57/58
Beispiel für zusammengesetzte Quadraturformeln
Gesucht: Näherungswert für∫ π/2
0sin(x) dx = 1
Fehler für zusammengesetzte Quadraturformeln
n � (links) � (rechts) Trapez Simpson4 2.09 · 10−1 1.83 · 10−1 1.28 · 10−2 8.29 · 10−6
8 1.01 · 10−1 9.49 · 10−2 3.21 · 10−3 5.16 · 10−7
16 4.98 · 10−2 4.82 · 10−2 8.03 · 10−4 3.22 · 10−8
32 2.47 · 10−2 2.43 · 10−2 2.00 · 10−4 2.01 · 10−9
64 1.23 · 10−2 1.22 · 10−2 5.02 · 10−5 1.26 · 10−10
128 6.14 · 10−3 6.12 · 10−3 1.25 · 10−5 7.87 · 10−12
256 3.07 · 10−3 3.06 · 10−3 3.13 · 10−6 4.91 · 10−13
512 1.53 · 10−3 1.53 · 10−3 7.84 · 10−7 3.10 · 10−14
1024 7.67 · 10−4 7.66 · 10−4 1.96 · 10−7 2.22 · 10−15
Faktor 2 2 4 16
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