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GROSSKREISNAVIGATION
AUSBILDUNGSINHALT
Allgemeines
Elemente des Großkreises und ihre Berechnung
▪ Berechnung der Distanz
▪ Berechnung des Anfangskurses
▪ Berechnung der Scheitelpunktkoordinaten
▪ Berechnung der Zwischenpunkte
Mischsegeln
Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten auf er als Kugel angenommenen Erde ist der Großkreis.
Schiffe, die sich mit konstantem Kurs bewegen, fahren auf einer Loxodromen. Der Unterschied zwischen
dlox und dort kann in hohen Breiten zwischen A und B und bei großen Entfernungen recht erheblich sein.
Daher wird man hier das Fahren auf dem Großkreis vorziehen (Hochseenavigation). Dabei ist zu beachten:
• Meteorologische und hydrologische Bedingungen
• Hindernisse, wie Land und Eis
• Hindernisse aus den Ozeanhandbüchern
In vielen Fällen wird man das Mischsegeln, eine Kombination zwischen Großkreis- und Loxodromensegeln
anwenden. In der Seekarte lässt sich die Orthodrome nicht als gerade Linie darstellen, so dass man die
Elemente des Großkreises errechnen bzw. auf Spezialkarten darstellen muss. Beim Fahren auf dem
Großkreis ist ständig der Kurs zu ändern. Hier hilft man sich, indem man den Großkreis durch
Zwischenpunkte unterteilt und zwischen diesen Punkten auf der Loxodromen fährt (Annäherung an den
Großkreis durch Loxodromstücke mit Kursänderungen von 001°). Die Berechnung von Zwischenpunkten
ermöglicht den Überblick.
ANWENDUNG
Die Orthodrome (griech. orthos für „gerade“, dromos für „Lauf“) ist die kürzeste
Verbindung zweier Punkte auf einer Kugeloberfläche.
Die Orthodrome ist eine Geodäte für den speziellen Fall auf einer Kugeloberfläche.
Die Orthodrome ist immer ein Teilstück eines Großkreises. In der Mercartorkarte stellt
sich dieses Bogenstück als Kurve dar und kann somit nicht dort gezeichnet werden.
LOXODROME UND ORTHODROME
Eine Loxodrome (gr. loxos „schief“, dromos „Lauf“) ist eine Kurve auf einerKugeloberfläche z. B. der Erdoberfläche, die die Meridiane im GeographischenKoordinatensystem immer unter dem gleichen Winkel schneidet und daher auchKursgleiche, Winkelgleiche oder Kurve konstanten Kurses genannt wird. Beginnend amÄquator endet diese in den Polen als Spirale, auch als logarithmische Spirale bezeichnet.Sie ist somit nicht die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten auf der Kugel.Auf der Mecartorseekarte stellt sich die Loxodrome als gerade Linie da, die alleMeridiane unter dem gleichen Winkel schneidet!
GROSSKREIS AUF DER MECARTORKARTE
Der Großkreis ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten auf der als Kugel angenommenen Erde. Auf
der Mecartorkarte ergibt sich folgende Darstellung, wobei deutlich die Wegeinsparung beim Fahren auf dem
Großkreis erkennbar ist.
Wolfgang Kösling
Kurs und
Distanz
Das wahre
Kursdreieck
in der Ebene
Δφ
Δλ
cb
aC
A
B
αλA
φA
φB
λB
Zählweise
des Kurses
N 135° E
S 45° E
rwK = 135°
Wahres Kursdreieck in der Ebene
Elemente des Großkreises
Abfahrtsort : φA
Bestimmungort: φB
Breitenunterschied: Δφ
Abfahrtsort : λA
Bestimmungsort: λB
Längenunterschied: Δ λ
A
BOrthodrome Distanz zw. A und B dort
Orthodromer Anfangskurs von A rwKA
Scheitelpunkt des Großkreises φS, λS
Zwischenpunkte Zi Koordinaten φi, λi
Wolfgang Kösling
Abfahrtsort
Bestimmungsort
Geographischer
Nordpol der Erde
Distanz vom
Abfahrtsort zum
Bestimmungsort
Geographischer
Längenunterschied
(Δλ)
Kurswinkel
Geographischer
Breitenkomplement
(90° - φ)
Geographischer
Breitenkomplement
(90° - φ)
Paralaktischer
Winkel
Sphärisches Grunddreieck beim Fahren auf Großkreis
Das nautische Grunddreieck für die Großkreisnavigation
Als Winkel im nautischen Grunddreieck bilden sich:
am Punkt A als Abfahrtsort: Anfangskurs (αA)
am Punkt B als Bestimmungsort: Endkurs (βE),
am Punkt C als Pol (P): der Längenunterschied (Δλ),
Als Seiten im nautischen Grunddreieck bilden sich:
Seite a als Δφ‘B (90° - B)
Seite b als Δφ‘A (90° - φA)
Seite c Distanz (dort)
Die Elemente des Großkreises
A
P
B
β
α
Δλ
90° − φA
90° − φB
α = Kurswinkel am Abfahrtsort
Δλ = Längenunterschied
β = Kurswinkel am Bestimmungsort
P = geographischer Pol
A = Abfahrtsort
B = Bestimmungsort
S = Scheitelpunkt des Großkreises
Mit Hilfe des Sinussatzes, des Seitenkosinussatzes und des
Winkelkosinussatzes kann man sämtliche allgemeinen sphärischen
Dreiecke berechnen, sofern drei Stücke eines solchen Dreiecks
gegeben sind. Es werden sechs Fälle der Berechnung der Seiten und
Winkel für die Navigation verwendet.
In der Regel müssen der Kurs und die Distanz sowie der
Scheitelpunkt berechnet werden.
Gegeben:
• φA → Koordinaten des Abfahrtsortes
• φB → Koordinaten des Bestimmungsortes)
• Δλ → aus der algebraischen Summe λA - λB
Gesucht:
• Distanz und Kurswinkel
• Scheitelpunkt S des Großkreises
S
Berechnung der Distanz
Die Distanz zwischen folgenden Orten ist gesucht!
Abfahrtsort: φA = 37° 42‘ N λA = 123° 04‘ W
Zielort: φB = 34° 50‘ N λB = 139° 53‘ E
Δλ = 097° 03‘ W
cos d = sin 37° 42‘ sin 34° 50‘ + cos 37° 42‘ cos 34° 50‘ cos 97° 03‘
d = 74, 36023° = 4461,6 sm
Nach dem Seitenkosinussatz gilt im Dreieck APB:
cos d = cos (90° - φA ) cos (90°- φB ) + sin (90°- φA ) sin (90°- φB ) cos Δλ(Diese Umstellung gilt sinngemäß für alle folgende Formeln)
Daraus folgt:
cos d = sin φA sin φB + cos φA cos φB cos Δλ
Berechnung des Anfangskurses
Unter Verwendung der bereits errechneten Distanz von 74° 21,6‘ ist der Anfangskurs
zu berechnen!
Abfahrtsort: φA = 37° 42‘ N λA = 123° 04‘ W
Zielort: φB = 34° 50‘ N λB = 139° 53‘ E
Δλ = 097° 03‘ W
cos α = (sin 34° 50′− sin 37°42′ cos 74° 21,6′)
cos 37° 42′ : sin 74° 21,6′
α = N 57,772°W rwKA = 302,2°
Soll der Anfangskurs ohne Benutzung der Distanz berechnet werden, so ist die
folgende mathematische Beziehung anzuwenden:
tan 𝛼 =sin Δλ
tan φB cos φA − sin φA cos Δλ
cos α = 𝑠𝑖𝑛𝜑𝐵− 𝑠𝑖𝑛𝜑𝐴 cos 𝑑
cos 𝜑𝐴 sin 𝑑
Merkt Ihr was?
Hier überlaufen wir die
Datumsgrenze
von West nach Ost
Berechnung der Scheitelpunktkoordinaten
Im Scheitelunkt S erreicht der Großkreis seine größte Breite. Der Meridian durch S steht senkrecht auf dem
Großkreis. Es gilt das rechtwinklig sphärisches Dreieck APS. Nach der NERPERSCHEN Regel gilt dann:
cos φS = sin α cos φA und tan ΔλA = 1
sin 𝜑𝐴 tan 𝛼
Die Länge des Scheitelpunktes ergibt sich wie folgt:
λS = λA ± ΔλA
Hinweis:
Man beachte, dass für ΔλA ≤ 180° der gesuchte Scheitelpunkt bei spitzem Winkel α in Richtung des
Anfangskurses und bei stumpfen Winkeln α in entgegengesetzter Richtung liegt!
Berechnung der Scheitelpunktkoordinaten
Scheitelpunktberechnung:
cos φS = sin α cos φA und tan ΔλA = 1
sin 𝜑𝐴 tan 𝛼
Die Länge des Scheitelpunktes:
λS = λA ± ΔλA
Abfahrtsort: φA = 37° 42‘ N λA = 123° 04‘ W
Zielort: φB = 34° 50‘ N λB = 139° 53‘ E
Δλ = 097° 03‘ W
d = 74, 36023° = 4461,6 sm α = N 57,772°W
Ergebnisse:
φS = 47° 59,1‘ N ΔλA = 45° 52,3‘
damit
λA = 123° 04,0‘ W
ΔλA = 045° 52,3‘ W
λS = 168° 56,3‘ W
T-rechner: 37,7 sin x 57,772 tan
= 1/x = shift tan shift DEG
Berechnung von Zwischenpunkten
Mit der Berechnung von Zwischenpunkten kann der Großkreis durch Polygonzug loxodromer Teildistanzen und
zugehöriger Kurse annähernd auf der Mecartorseekarte dargestellt werden. Für die nautische Praxis haben sich zwei
Methoden bewährt:
Erste Methode: Vorgabe der geographischen Länge und Berechnung der entsprechend dazu gehörigen Breiten (lt.
Beispiel):
Abfahrtsort: φA = 37° 42‘ N λA = 123° 04‘ W
Zielort: φB = 34° 50‘ N λB = 139° 53‘ E
Δλ = 097° 03‘ W
rwK A ort = 302,2° d = 4461,6 sm
Wie richtig erkannt, wird dabei die Datumsgrenze von West nach Ost übersegelt!
Als Zwischenpunkte in der Länge lassen sich festlegen:
140° W, 160° W, 180°nach West, 160° E. Danach errechnen sich die Breiten nach der Formel tan φZp = cos ΔλZp tan φS
gemäß dieser Längenvorgabe wie folgt:
Zwischenpunkte:
Zp 1 Zp 2 Zp 3 Zp 4 .
140° 00,0‘ W 160° 00,0‘W 180° 00,0‘W 160° 00,0‘ E festgelegte Länge
44° 10,2‘ N 47° 38,4‘ N 47° 27,0‘ N 43° 33,4‘ N dazu berechnete Breite
Mit der Besteckrechnung können wir dann Kurs und Distanz neu berechnen und mit dem Großkreis abgleichen. Auch können wir diese
Koordinaten in die Seekarte eintragen und somit Kurs und Distanz (Loxodrom) direkt entnehmen!
Berechnung von Zwischenpunkten
Hat man eine Großkreiskarte (siehe Bild) zur Verfügung, kann man durch Einzeichnen des Großkreises die
Zwischenpunkte als Schnittpunkte mit den vorgegebenen Meridianen (λZ) bestimmen und Breiten (φZ) der
Karte entnehmen. Die loxodromen Kurse und Distanzen werden dann durch Übertragung in die Mercatorkarte
bestimmt.
Berechnung von Zwischenpunkten
Zweite Methode: Vorgabe der Kursänderungsrate um je 1° von Zwischenpunkt zu Zwischenpunkt.
Zunächst erfolgt die Berechnung des Scheitelpunktes
cos𝜑𝑍 =cos𝜑𝐴 sin 𝛼
sin 𝛼𝑍
Die αZ werden von einem Anfangspunkt α1 um
jeweils 1° oder allgemein um Δα verändert.
Um ganzgradzahlige Kurse zu erhalten, sollte man bei der Wahl von α1 beachten, dass sich die loxodromen Kurse
aus folgender Beziehung ergeben:
αλZ = αZ ±∆𝛼
2
Richtung der
Orthodrome und
der Loxodrome
Berechnung von Zwischenpunkten
Die geographische Länge der Zwischenpunkte wird mit Hilfe des Längenunterschiedes gegen die
Scheitellänge berechnet:
cos ΔλZ = tan 𝜑𝑧
tan 𝜑𝑆
Damit gilt:
λZ = λS ± ΔλZ
Zur Bestimmung der loxodromen Kurse und Distanzen überträgt man die Koordinaten der Zwischenpunkte
in eine Mercartorkarte oder berechnet diese nach dem Verfahren der Besteckrechnung.
Beispiel:
Abfahrtsort: φA = 37° 42‘ N λA = 123° 04‘ W
Zielort: φB = 34° 50‘ N λB = 139° 53‘ E
Δλ = 097° 03‘ W
rwK A ort = 302,2° d = 4461,6 sm
Scheitelpunkt: φS = 47° 59,1‘ N λS = 168° 56,3‘ W
Berechnung von Zwischenpunkten
Für die ersten Zwischenpunkte entsprechend dem Beispiel erhält man nach den beschriebenen Verfahren
folgende Werte:
Z φZ λZ αZ (°) rwKZ (°) dZ (sm)
A 37°42,0‘N 123°04,0‘W 057,7 058,1 65,9
Z1 38°16,8‘N 124°15,0‘W 058,5 059 87,5
Z2 39°01,8‘N 125°51,1‘W 059,5 060 84,3
Z3 39°44,0‘N 127°25,6‘W 060,5 061 81,7
Z4 40°23,6‘N 128°58,9‘W 061,5 062 79,0
Mischsegeln
Führt der Großkreis der Orte A und B in zu hohe Breiten, die eine unmittelbare Gefahr für das Schiff darstellen
könnte, so wird bei Erreichen der maximalen Breite vom Segeln auf der Orthodrome auf das Segeln auf der
Loxodromen solange übergegangen, bis man wieder orthodrom Segeln kann.
Man legt an dem Breitenparallel, der nicht übersegelt werden soll, zwei Großkreise an, die sich in den Punkten
S1 und S2 berühren. Vom Ort A segelt man bis zum Punkt S1 und von dort aus, dem Breitenparallel folgend
weiter bis zum Punkt S2. Ist S2 erreicht, so segelt man auf dem Großkreis bis zum Ort B.
Mischsegeln
Wolfgang Kösling
Beispiel:
Ein Schiff ist von Wellington (Neuseeland) nach Valparaiso (Chile) bestimmt.
Der Breitengrad von 50° S soll nicht übersegelt werden!
Wellington φA = 42° 00,0‘ S λA = 175° 00,0‘ E
Valparaiso φB = 32° 58,0‘ S λB = 071° 41,0‘ W
Die loxodrome Distanz und der rwK zwischen den Scheitelpunkten S1 und S2 sind zu berechnen!
cos ΔλA = tan φA
tan φ max
cos ΔλB = tan φB
tan φ max
ΔλA = 040° 55,7‘ E ΔλB = 057° 01,7‘ W
λS1 = λA ₋ ΔλA λS2 = λB ₋ ΔλB
= 134° 04,3‘ W = 128° 42,7‘ W
φS1 = 50° 00,0‘ S φS2 = 50° 00,0‘ S
Dlox = (λS2 ₋ λS1) cos φmax
= 592,3 sm rwK = 090°