Grile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie.docGrile Rezolvate la Matematici Aplicate in...

8/14/2019 Grile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie.docGrile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie

1/35

7) Daca A,Bsunt matrice

echivalente (A B) atunci:

a) A,Bsunt matrice patratice;

b)rang A = rang B;

c) daca determinantul lui A = 0

rezulta, si det B = 0;d) daca det A = 1 rezulta ca si det B

= 1.

8) Fie A Mn(R). Daca rang A= r,

atunci prin trans!"rmari elementare

se "#tine:

a) cel putin r c"l"ane ale matricei

unitate;

#) cel mult r c"l"ane ale matricei

unitate;c)e$act r c"l"ane ale matricei

unitate;

d) t"ate c"l"anele matricei unitate.

%) Fie A Mn(R) cu det A & 0.

'tunci:

a)rang A= n;

b)Aeste echivalenta cu matricea

unitate In (A - In);

c) prin trans!. elementare putemdetermina inversa A1.

d)!"rma aus*"rdan a matricei A

este In.10) +entru a a!la inversa unei

matrice A Mn(R) prin trans!"rmari

elementare, acestea se aplica:

a) numai liniil"r;#) numai c"l"anel"r;

c) atat liniil"r cat si c"l"anel"r;

d) intai liniil"r ap"i c"l"anel"r.

11) Daca A Mn(R) cu det A= 1

atunci !"rma auss*"rdan as"ciata

va avea:

a) " singura linie a matricei unitateIn;b) t"ate liniile si c"l"anele matricei

unitate In;c) " singura c"l"ana a matricei

unitate In;d) numai " linie si " c"l"ana a

maricei unitate In.

1) -et"da de a!lare a inversei unei

matrice Acu trans!"rmari

elementare se p"ate aplica:

a) "ricarei matrice AM

n(R) ;b)numai matricel"r patratice;

c) maricel"r patratice cu det A& 0;

d) tutur"r matricel"r cu rang A& 0.

1) +entru a!larea inversei uneimatrice A Mn(R) prin trans!"rmari

elementare, acestea se aplica:

a) direct asupra lui A;

#) asupra matricei transpuse A/;

c)matricei atasate ' 2 3n= M ;

d) matricei atasate

/ 2 ' 3n

= M.

14) Fie A Mn(R) si matriceaatasata acesteia in met"da a!larii

inversei lui Aprin trans!

elementare.'tunci:

a) Mn(R);

b) Mn,2n(R);

c) M2n,n(R);

d) M2n,2n(R);

15) Fie A Mn(R) si matriceaatasata lui Apentru determinarea lui

A1prin trans!"rmari elementare.

Daca

0 1

1 0 1 4

M atunci:

a)A1=

1 4

#) A1 =

1 4

c)A1


2/35


3/35

d)rang A= =9 & 0. d) se "#tin una din alta prin

trans!"rmari elementare.

5) Fie A M(R) cu det A= .

'tunci !"rma auss*"rdan a lui A:

a)are acelasi rang cu matricea A, () R;

#) are acelasi rang cu matricea A,numai pt = 0;

c) c"incide cu I =9 & 0;

d) are cel mult d"ua c"l"ane ale

matricei unitate I daca = 0

6) D"ua sisteme liniare de ecuatii

se numesc echivalente daca:

a) au acelasi numar de ecuatii;

#) au acelasi numar de necun"scute;

c) au aceleasi s"lutii;d)matricele l"r e$tinse sunt

echivalente.

7) -atricea unui sistem liniar

"arecare, in !"rma e$plicita are:

a)!"rma auss*"rdan;

b) c"l"anele varia#ilel"r principale,

c"l"anele matricei unitate;c) t"ate elementele de pe liniile

varia#ilel"r secundare nule

d) elementele c"respunzat"are de pe

c"l"anele varia#ilel"r secundare,

negative.

8) -et"da auss*"rdan de

rez"lvare a sistemel"r liniare printrans!"rmari elementare se aplica:

a) numai sistemel"r patratice;

b)"ricarui sistem liniar;

c) numai daca rangul matricei

sistemului este egal cu numarul de

ecuatii;

d) d"ar sistemele c"mpati#ile

nedeterminate.

%) Fie Asi ' matricea, respectiv

matricea largita a unui sistem liniar.'plicand met"da auss*"rdan de

rez"lvare, se aplica trans!"rmari

elementare asupra:

a) liniil"r lui Asi c"l"anel"r lui ' ;

#) liniil"r si c"l"anel"r lui ' ;

c)liniil"r lui ' ;

d) c"l"anei termenil"r li#eri din ' .

0) +entru a "#tine matricea unui

sistem liniar su# !"rma e$plicita, seaplica trans!"rmari elementare:

a) numai c"l"anel"r c"respunzat"are

varia#ilel"r secundare;

#) numai c"l"anei termenil"r li#eri;

c) tutur"r liniil"r si c"l"anel"r

matricei e$tinse;

d)pentru a !ace c"l"anele

varia#ilel"r principal alese, c"l"anelematricei unitate.

1) 'plicand met"da auss*"rdan

unui sistem liniar de ecuatii, matricea

e$tinsa ' este echivalenta cu matricea

' =, 1 1 0 .

. 0 , 1 1

M . 'tunci sistemul

liniar:

a)este inc"mpati#il;#) este c"mpati#il nedeterminat;

) -atricea e$tinsa

c"respunzat"are unui sistem liniar in

!"rma e$plicita este ' =1 0 1 4

0 1 1 1

0 0 0 0 1

M .

'tunci sistemul liniar:

a)este inc"mpati#il;#) este c"mpati#il determinat;

) -atricea e$tinsa c"respunzat"are

unui sistem liniar in !"rma e$plicita

este ' =1 0 1 0 1

0 1 1 0

0 0 1 .

M . 'tunci sistemul

liniar:

a) sistemul este c"mpati#ilnedeterminat;


4/35

c) are s"lutia de #aza: $1=4, $=,

$=1, $4=0;

d) are " in!initate de s"lutii.

c) are s"lutia de #aza $1=1, $=,

$=1, $4=0;

d) are " in!initate de s"lutii.

b)varia#ilele principale alese sunt

$1, $, $4;

c) sistemul este inc"mpati#il;

d)s"lutia de #aza c"res. este $1=1,

$=, $=0, $4=.

4)


5/35

a) 9 0 si ? 90;

b) 0 si ? 0;

c) 90 si ? 0;

d) 0 si ? 90.

necun"scute este degenerata daca:

a)=0, ? &0;

b)&0, ? =0;

c)=0, ? =0;

d) &0, ? &0.

sistem liniar c"mpati#il

nedeterminat. 'tunci:

a) nA n@ ;

#) n n@ ;

c)int"tdeauna n= n@ ;

d) "#ligat"riu n9 n@ .4) Fie s"lutia de #aza X=(1,, 0, ? )/

c"respunzat"are varia#ilel"r

principale $1 si $4. 'tunci $ este

admisi#ila degenerata daca:

a) 90, ? =0;

b)=0, ? =0;

c) =0, ? 90;

d) 90, ? 90.

44) F"rma e$plicita a unui sistem

liniar are matricea de !"rma ' =1 0 0 1

0 0 1 .

0 1 0 1 1

M . 'tunci s"lutia de #aza

c"respunzat"are Xeste:

a) X=(1 1 0)/ ;

b)X=(1 1 0)/

;c) X=(1 0 1)/ ;

d) X=(1 1 0)/

45) F"rma e$plicita a unui sistem

liniar are matricea de !"rma ' =, 0 1 1 1

1 1 1 0 0

M . 'tunci s"lutia de #aza


a) admisi#ila;

b)degenerata;

c)neadmisi#ila;d) nedegenerata.

46) Fie ' =1 0 0

0 1 0 1

0 0 0 0

M maricea

c"respunzat"are !"rmei e$plicite a

unui sistem liniar. 'tunci sistemul

este inc"mpati#il daca:

a) =0;

b)=1;

c)=1;

d)=.

47) Fie ' =1 0

0 1 1 1

0 0 0

M matricea



este:

a)c"mpati#il nedeterminat, daca =

0;

b) c"mpati#il determinat, daca =1;

c) inc"mpati#il, daca & 0;

d) inc"mpati#il, daca = 0.

48) Fie ' =1 0

0 1 1 1

0 0

M matricea



este c"mpati#il nedeterminat daca:a) = 0, ? &0;

#) & 0, ? =0;

c) =", ? =0;

d) &0, ? &0.

4%) Fie X=(1,1,0,0)/s"lutia de #aza

a unui sistem liniar de ecuatiic"respunzat"are varia#ilel"r

50)


6/35

principale $1, $, $. 'tunci:

a)Xeste admisi#ila, daca 90;

b)Xeste degenerata, daca =0;

c)Xeste neadmisi#ila, daca = 1;

d)Xeste nedegenerata, daca = 1.

de !"rma:

' = . 'tunci s"lutia de #aza


a)admisi#ila, daca =1, ? =0;

b)degenerata, daca 0, ? =0;

c) neadmisi#ila, daca 9 0 si ? 0;

d) nedegenerata, daca 0 si ? A0.

b)cel mult Bm

n !"rme e$plicite;

c) e$act Bm

n !"rme e$plicite;

d) m>n !"rme e$plicite.

5)


7/35

(m,n). 'tunci matricea Aadmite

inversa daca:

a) det A& 0;

b)m=n si det A&0;

c) det A=0 si m=n;

d)det A= 1 si m=n.

liniar de ecuatii in unul echivalent,

se !"l"sesc:

a)trans!. elem. aplicate liniil"r

matricei atasate sistemului;

#) trans elem aplicate liniil"r si

c"l"anel"r matr. atasate sist

c) "peratii de adunare a c"l"anel"rmatricei atasate sist;

d) t"ate "peratiile care se p"t e!ectua

asupra unei matrice.

liniar se "#tine:

a) dand varia#ilel"r principale

val"area 0;

b)dand varia#ilel"r secundare

val"area 0;

c) dand varia#ilel"r principale val"ri

nenule;d) dand varia#ilel"r secundare val"ri

strict p"zitive.

II.ELEMENTE DE ALGEBRA LINIARA

1) $>...>H$H =0n .'tunci

$1,$,...,$H sunt liniar independenti

numai daca:

a)()i= 0, i=1, k

;

#) ()i= 0;

6) Fie vect"rii $1, $, ... , $H Rn a.i.

1$1>$>...>H$H =0n .'tunci

$1,$,...,$H sunt liniar dependenti

daca:

a) i= 0, () i=1,k

;

b) () i&0;


8/35

nr. Iecun"scutel"r. c) i& 0, ()i=1, k;d) H9n.

c)H9n;

d) i&0, ()i=1, k.7) Fie Xun spatiu liniar si vect"rii

$1,$,$ Xa.i. $1>$>$=0$.

'tunci vect"rii sunt:

a)liniar dependenti, daca =0;

#) liniar independenti, daca &0;

c)liniar dependenti, daca &0;

d) liniar independenti, daca =0.

8) Ject"rii $1, $, ... , $H Rn sunt

liniar independenti. 'tunci:

a) $1,$,...,$H1 sunt liniar

independenti;

b)$i&0n, ()i=1, n ;c)H A n;

d) $1>$>...>$H=0n

%) Fie $1, $,$ R vect"ri "arecare

a.i. $=$1$. 'tunci:

a) c""rd"natele lui $ sunt 1 si ;

b) $1,$,$ nu !"rmeaza " #aza in R

c)$1,$,$ sunt liniar dependenti;

d) de"arece $1$$=0 =9

$1,$,$ sunt liniar indep.

10) Fie Bsi B`d"ua #aze din spatiul

liniar Rsi Smatricea schim#arii de

#aza. 'tunci Seste:

a)patratica;

b)inversa#ila;c) dreptunghiulara;

d)nesingulara (det S&0).

11) Fie vect"rii $1, $, ... , $H

Rn.'t. ei !"rm " #aza daca:

a) sunt liniar independenti si H&n;

#) $i&0n si H=n;

c) sunt liniar independenti si H=n;d) H=n si i&0, ()i=1, k

1) Fie B= K$1, $,...,$HL " #aza in

spatiul liniar X. 'tunci:

a)dim X= H;

#) dim X9 H;

c) dim X H;d)$i &0$, () i=1, k.

1) Fie Smatricea de trecere de la "

#aza Bla #aza B`si u respecti# u

c""rd"natele vect"rului u in cele

d"ua #aze. 'tunci au l"c relatiile:

a) u= Susi u=S1u

#) u= S/usi u=S

1uc) u= S

/usi u=(S/)1 u

d) u=S1usi u= S

/u

14) Fie B= K$1,$,...,$HL " #aza in

Rn.'tunci:

a)$1,$,...,$H sunt liniar

independenti;

#) Hn;

c)H = n;

d) H9n.

15) 2n spatiul liniar Rne$ista:

a) cel mult n #aze;

#) e$act n #aze;

c) " singura #aza;

d)" in!initate de #aze.

16) Fie "perat"rul liniar M: RRsi 0,0vect"rii nuli ai cel"r spatii.

'tunci:

a) M(0) = 0;

#) M(0) = 0;c)M(0) = 0;

17) Daca M: RmRneste un"perat"r liniar, atunci:

a) "#ligat"riu m9n;

#) "#ligat"riu mn;c)m si n unt numere naturale

18) Fie M: RmRn un "perat"rliniar si kerM nucleul sau. Daca

$1,$ Her M, atunci:

a)$1>$ Her M;

b)$1 Her M, () B;c)$1> ? $ Her M, () , ? R;


9/35

d) M(0) = 0. "arecare, nenule;

d) "#ligat"riu m=n.

d) M($1) = $.

1%) Fie M: RnRmun "perat"rliniar si Her M nucleul sau. Daca $

Her M, atunci:

a)M($) = 0m;

b)M($) = 0m, () B;c) M($) = 0m, d"ar pt = 0;

d) M($) = 0n.

0) Daca M: RmRneste un"perat"r liniar si Amatricea sa !ata

de " pereche de #aze B,B`atunci:

a)AMm,n(R);

#) AMn,m(R);c) B,B sunt #aze in Rm;

d)Beste #aza in Rmsi B`este #aza

in Rn

1) Fie M: RnRnun "perat"r liniarsi $ un vect"r pr"priu pt. M. 'tunci:

a)(N) Ra.i. M($)=$;#) M($)=$, () R;c)$ & 0 ;

d)M($) = $, () R.

) Fie M: RnRnun "perat"r liniarsi $ un vect"r pr"priu c"respunzat"r

val"rii pr"prii . 'tunci:

a)M($) = $;#) daca M($) = 0n, atunci $=0n;

c)M($)= $;d)daca M($) = 0n, atunci = 0.

) -atricea atasata unei !"rme

liniaref: RnReste " matrice:a) patratica:

#) c"l"ana;c)linie;

d) inversa#ila.

4) Dacaf : RnReste " !"rmaliniara, atunci:

a) !($1>$) = $1 > $; () $1,$

Rn

b)!($1>$) = !($1) > !($); $1,$

Rn;

c) !($) = $, () Rsi () $ Rn;d)!($) = !($), () Rsi () $ Rn.

5) Fie M: RnRmun "perat"r

liniar. 'tunci M devine !"rma liniaradaca:

a) n = 1;

b)m = 1;

c) n = 1 si m = 1;

d) n=m.

6) Fie O: RnR " !"rma patratice

si Amatricea as"ciata acesteia.'tunci:

a)A= A/

#) AMn,1(R);

c)AMn(R);

d) Aeste inversa#ila.

7) Fie !"rma patratica.

.

1 . 1

:

( )

Q R R

Q x x x x x x

= + + ()$=($1,$,$)/R.'tunci matricea as"ciata lui O

este:

c)A=1 1 0

1 0

0 0 1

8) F"rma patratica O: RRare

matricea as"ciata A=

, 1

1 1

. 'tunci Oare e$presia:

%) F"rma patratica O: RRare!"rma can"nica as"ciata O(P)=

, , .

1 , .,y y y+ + . 'tunci:

0) F"rma patratica O: RRare

matricea as"ciata A=

1 ,

, .

. 'tunci!"rma can"nica as"ciata este:


10/35

c)O($) = , ,1 , 1 ,, ,x x x x +a)O este p"zitiv de!inita daca 90;

c)O este semip"zitiv de!inita daca

= 0;

d)O nu pastreaza semn c"nstant

daca 0 .

Iici una: O(P)= , ,1 ,y y sau

1 y y +

sau

1 y y sau

1 7y y +

1) F"rma patratica O: RR are!"rma can"nica as"ciata O(P) =

1 ay by+ . 'tunci O este negativ

de!inita daca:

c)a0, #0

) Fie O(P)= , , ,1 ,

1 , .

1 , .

1y y y

+ +

!"rma

can"nica as"ciata !"rmei patratice O:

RR.'tunci:

a)daca 1 0, 0, 0 > > > , O este

p"zitiv de!inita;

d)daca 1 0, 0, 0 < > < , O este

negativ de!inita.

) Fie Amatricea as"ciata !"rmei

patratice O: RnRsi 1 , ,..., n min"rii principali ai lui A. +entru a

aplica met"da lui *ac"#i de aducere

la !"rma can"nica, tre#uie "#ligat"riu

ca:

Iici una.

4) F"rmei patratice "arecare O: Rn

Ri se p"ate as"cia:

b)msi multe !"rme can"nice, dar cu

acelasi nr de c"e!icienti p"zitivi,

repectiv negativi.c)" matrice patratica si simetrica.

5) F"rma patratica1 1

:

( )

n

n n

ij i j

i j

Q

Q x a x x= =

=

spunem ca este p"zitiv de!inita daca:

b)O($)90, () $ Rn

, x 0.


:

( )

n

n n

ij i j

i j

Q

Q x a x x= =

=

spunem ca este seminegativ de!inita

daca:

b)O($)A0, () $ Rn

, x 0.

7) F"rma patratica O: RRare!"rma can"nica as"ciata: O(P)=

1 y y y + . 'tunci:

c)()$1,$ Ra.i.O($1)0 siO($)90


:

( )

n

n n

ij i j

i j

Q

Q x a x x= =

=

are !"rma can"nica as"ciata O(P)=

1 1 ... n ny y y + + + . 'tunci O este

degenerata daca:

%) Fie O(P)=

1 1 y y y + + !"rma

can"nica as"ciata !"rmei patratice O:

RR.'tunci O nu pastreaza semnc"nstant daca:

a)190, 0, 90;

d)190, 0, R.


11/35

c)() 1=0, pentru i=1, n . 4) -atricea "perat"rului M: RR!ata de #aza can"nica din R are

e$presia A= 1 1

, 0

. 'tunci "perat"rul

M are e$presia:

b)M($)= ( )1 1 T

x x x+ .

40) -et"da lui *ac"#i de a "#tine

!"rma can"nica, se p"ate aplica in

cazul !"rmel"r patratica:

a)p"zitiv de!inite;

c)negativ de!inite.

41) Fie "perat"rul liniar

1 1

:

( ) ( , )TL

L x x x x x

= +

,

()$=($1,$,$)/ R.'tuncimatricea "perat"rului in #azele

can"nice ale cel"r d"ua spatii are

!"rma:

b)A=

1 ,

0 1

1 0

.

45) Fie "perat"rul liniar M: RR

cu matricea A= 1 0

1 1

'tunci ecuatia

caracteristica c"recpunzat"are:

c) 1 0 + =

4) +entru a se determina val"rile

pr"prii ale "perat"rului M: RnRncu matricea c"respunzat"are A, se

rez"lva ecuatia:

c)det ( )' 0T

n

I =

44) Cperat"rul liniar M: RRare

matricea A= 1 ,

. 1

'tunci ecuatia

caracteristica pt "#tinerea val"ril"r

pr"prii are !"rma:

c)1

0 1

=

46) Fie "perat"rul liniar M: RR.'tunci:

c)"perat"rului nu i se p"ate atasa

ecuatia caracteristica.

48) Fie A= 1 1

1 1

matricea atasata

"perat"rului M: RR'tunci:b)val"rile pr"prii ale lui M sunt

1 0, = = ;

d)sistemul caracteristic atasat este

1

1

(1 ) 0

(1 ) 0

x x

x x

+ =

+ =

4%)Cperat. M: RRare val"rilepr"prii 1 1, = = . 'tunci:

c)daca $1,$ sunt vect"ri pr"prii

pentru 1 , respectiv =9 $1,$ sunt

liniar independenti.

d)e$ista " #aza !ata de care matricea

"perat"ului are !"rma A=1 0

0

47) Cperat"rul liniar M: RRare

matricea A= 0

1

'tunci, val"rile

pr"prii ale lui M sunt:

c) 1 , = =

51) Bare din urmat"arele a!irmatii

sunt adevarateQ

a)"rice spatiu liniar este grup

a#elian;

#) "rice grup a#elian este spatiu

liniar;

c) e$ista spatii liniare care nu suntgrupuri a#eliene;

50) Fie "perat"rul

1 1

:

( ) ( , )TL

L x x x x

= +

.'tunci :a)HerM=K(0,0)/L


12/35

d)e$ista grupuri a#eliene care nu

sunt spatii liniare.

5) Fie vect"rii $1,$,...,$m Rmsi

Amatricea c"mp"nentel"r acest"ra.

'tunci:

a)vect"rii sunt liniar independenti

daca rang A= m;

b)vect"rii sunt liniar dependenti

daca rang A m.

5) 2n spatiul Rn" multime de

vect"ri liniar independentip"ate

avea:

a)cel mult n vect"ri;

c)e$act n vect"ri.



'tunci sunt liniar dependenti daca:

c)rang A m;

d)det A=0.



'tunci sunt liniar independenti daca:

a)rang A= m;

d)det A& 0.

56) Fie vect"rii $1,$,...,$m Rn

liniar independenti. 'tunci vect"rii :

c) !"rmeaza " #aza in Rn, numai

daca m=n;

d)nu c"ntin vect"r nul.

57) -ultimea $1,$,...,$m este

!"rmata din vect"ri liniar dependenti.

'tunci:

b)cel putin un vect"r se p"ate

e$prima ca " c"m#inatie liniara de

ceilalti;

d)p"ate c"ntine vect"r nul.

58) Fie vect"rii $1,$,...,$n Rn,

n9, liniar independenti. 'tunci:

a)vect"rii $1,$,...,$n !"rmeaza "

#aza in Rn;

b)vect"rii $1,$,...,$H sunt liniar

independenti, ()H=1, n .

5%) Bare din urmat"arele a!irmatii

sunt adevarate:a)"rice su#multime a unei multimi

de vect"ri liniar independenti este t"t

liniar independenta;

#) " su#multime a unei multimi de

vect"ri linair dependenti este t"t

liniar dependenta;

c)c""rd"natele unui vect"r in #aza

can"nica din Rnc"incid cuc"mp"nentele acestuia.

60) B""rd"natele unui vect"r din Rn:

a)sunt unice relativ la " #aza !i$ata;

b)se schim#a la schim#area #azei;

c) sunt aceleasi in "rice #aza.


13/35

d) daca " multime de vect"ri nu

c"ntine vect"rul nul, atunci este

liniar independenta.

61)


14/35

d)$1,$,...,$n sunt liniar

independenti.

7) Iucleul unui "perat"r liniar M:

RmRneste:a) un su#spatiu liniar;

b)" multime de vect"ri din Rm

74)


15/35

independenti.

88) Iucleul unui "perat"r liniar M: RmRn: b)c"ntine t"tdeauna vect"rul nul al spatiului Rm; c)estesu#spatiu liniar; d)nu c"ntine vect"rul nul al spatiului Rm.

III.ELEMENTE DE PROGRAMARE LINIARA

1) C pr"#lema de pr"gramare liniara

are int"tdeauna:

a)!unctia "#iectiv liniara;c)restrictiile liniare.

) 2n !"rma vect"riala, " pr"#lema

de pr"gramare liniara are vect"rii

+1,+,...+n de!initi de:b)c"l"anele matricei A

c"respunzat"are sistemului de

restrictii.

) 2n !"rma standard " pr"#lema de

prgramare liniara are int"tdeauna:

c)restrictiile de tip ecuatie.

4) 2ntr" pr"#lema de pr"gramare

liniara c"nditiile de negativitate cer

ca:

d)necun"scutele pr"#lemei sa !ienegative.

5) +t a aplica alg"ritmul imple$ de

rez"lvare a unei pr"#l. de

pr"gramare liniara, aceasta tre#uie sa

!ie in !"rma:c)standard.

6) +t a aduce " pr"#lema de

pr"gramare liniara de ma$im la una

de minim se !"l"seste realtia:

c)ma$(!) = min(!)

7) C multime - Rnse numestec"nve$a daca:

c) 1 ( ) ,x x M si ( ) 0,13 avem

1 (1 )x x M + .

8) B"m#inatia liniara 1 1 x x x + + G

este c"nve$a daca:

b) 0,13, ( ) 1,i i = si 1 1 + + =

%) Daca - Rneste " multimec"nve$a spunem ca $ - este var!

(punct e$trem) al multimii - daca:

Iici una.

10) Fie 'multimea s"lutiil"r

admisi#ile al unei pr"#leme de

pr"gramare liniara. 'tunci:a)

1 1 ( ) , (1 ) , ( ) 0,13A Ax x S x x S +

11) Fie 'si 'multimea s"lutiil"r

admisi#ile, respectiv multimea

s"lutiil"r admisi#ile de #aza a uneipr"#leme de pr"gramare liniara.

'tunci, daca $ 'rezulta ca:

b) 1 1 ( ) , ,Ax x S x x avem

1 1 (1 ) , ( ) 0,13x x + .

1) Fie ', ', Cmultimile

s"lutiil"r admisi#ile., de #aza

admisi#ile, respectiv "ptime pentru "pr"#lema de pr"gramare liniara.

'tunci:

d)', Csunt multimi c"nve$e.


16/35

1) 2n rez"lvarea unei pr"#leme de

pr"gramare liniara cu alg"ritmul

imple$ se aplica:

a)intai criteriul de intrare in #aza,

ap"i criteriul de iesire din #aza;

d)criteriul de "ptim la !iecare etapa

a alg"ritmului.

14) Daca $1 si $ sunt s"lutii

"ptime distincte ($1,$ C) ale unei

pr"#leme de pr"gramare liniata,

atunci:

a) 1 (1 ) , ( ) 0,13Ox x S + ;

b)Care " in!initate de elemente;

c)!($1)=!($), cu !($) !unctia"#iectiv.

15) C pr"#lema de pr"gramare liniara

cu cerinte de minim are urmat"rul

ta#el imple$:

B +0 1 0 0

+1 + + +4 +5+1

+

1

1

1

0

0

1

1

1

1zR

c

1 0 0 4 4 1

a)2ntra in #aza +;

c)iese din #aza +1.

16) Fie urmat"rul ta#el simple$ al

unei pr"#leme de pr"gramare liniara:

d)=8

17) C pr"#lema de pr"gramare

liniara are urmet"rul ta#el imple$:

c)!=8, =1

18) C pr"#l. De pr"gramare liniara cu

cerinte de minim are urm.ta#el

imple$:

'tunci s"lutia "ptima a pr"#lemei

este: c)$0=(0,1,,0)/

1%) C pr"#l. De pr"gramare liniaracu cerinte de minim are urm.ta#el 0) C pr"#l. De pr"gramare liniaracu cerinte de minim are urm.ta#el 1) Bare din elementele urm.ta#elimple$ nu sunt c"recteQ

B +0 1 0 0+1 + + +4 +5

++1

1

1

1

0

1

1

1

0

1

1

1

zR

c1 0 0 0

B +0 1 0+1 + + +4

++1

1

0

1

1

1

1

0

1

zR

c! 0

B +0 0 1 0

+1 + + +4++

0

1

1

1

1

1

0

0

1

1

zR

c 1 0 0 1


17/35

imple$:

'tunci:c)!=6 si s"lutia "ptima este $0

=(1,,0,0)/;

d)pr"#lema admite s"lutie "ptima

unica.

imple$:

b)vect"rul +va iesi din #aza;

d)pr"#lema are " in!initate de s"lutii

"ptime.

b)di!erentele z1c1 si z5c5;

c) val"area !unctiei "#iectiv.

) 2n urm.ta#el imple$ pt "

pr"#lema de transp"rt cu cerinte de

minim:

b)intra in #aza +sau +5;

c)iese din #aza +4daca intra +5;

) 2n ta#.imple$ de mai "s, cu

cerinte de minim pentru !unctia

"#iectiv

4) 2n ta#elul simple$ de mai "s

c"nstantele !, , ? , S au urmat"arele

val"ri:

c)!=7, =1, ? =0, S =1

B +0 1 0

+1 + + +4++1

1

0

1

1

0

1

1

zR

c

! 0 0 1 6

B +0 1 1 0 0

+1 + + +4 +5++

1

1

1

4

1

0

0

1

1

1

1

zR

c

7 5 0 0 0

B +0 1 0 0

+1 + + +4 +5++

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

1

zR

c

0 0 4

B +0 1 0 0

+1 + + +4 +5+1+4

0

1

1

0

1

1

0

1

1

zR

c6 0 1 0

B +0 0

+1 + + +4++1

0

1

1

0

1

1

1

0

zR

c 6 0 0

B +0 1 1 0 0

+1 + + +4 +5 +6

++1

1

0

4

1

1

0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

0

0S

1

1

1

zR

c! 0 ? 1 0 1


18/35

c)=1 si pr"#lema admite "ptim

in!init.

5) 2n !aza 2 a met"dei cel"r !aze,

val"area "ptima a !unctiei arti!icialeg($ )=1a . 'tunci:

b)pr"#lema initiala nu are s"lutie.

6) Functia arti!iciala din met"da

cel"r d"ua !aze:

a)depinde d"ar de varia#ilele

arti!iciale intr"duse;

c)are c"e!icientii varia#ilel"r

arti!iciale egali cu 1.

7) +r"#l arti!iciala se ataseaza unei

pr"#l de pr"gramare:b)in !"rma standard;

d)pentru determinarea unei s"lutii de

#aza admisi#ile a pr"#lemei initiale.

8) Din ta#elul imple$ de mai "s pt

" pr"#lema de pr"gramare liniara cu

cerinte de minim:

d)$0=(0,4,6,0,0)/s"lutie "ptima, dar

nu este unica.

%) Din ta#elul imple$ de mai "s pt

" pr"#lema de pr"gramare liniara cu

cerinte de minim:

a)$0=(1,0,4,,0)/este s"lutie

"ptima.

c)pr"#lema are " in!initate de s"lutii

"ptime.

0) 2n ta#elul imple$ de mai "s pt "

pr"#lema de pr"gramare liniara cu

cerinte de minim:

a)p"ate intra in #aza +4sau +5;

b)va iesi din #aza numai +;

d)s"lutia de #aza admisi#ila gasita

este $0=(0,1,,0,0)/.

) 2n rez"lvarea unei pr"#leme de

transp"rt met"da c"stului minim se

aplica pt determinarea:

4) Bantitatile Tij din criteriul de

"ptim al pr"#lemel"r de transp"rt se

calculeaza pentru:

5) 2ntr" pr"#lema de transp"rt

ciclul celulei care intra in #aza este:

B +01 0 0

+1 + + +4 +5++1

6

4

4

0

1

1

0

1

1

4

zR

c6 0 0 0 5

B +0 1 0 0

+1 + + +4 +5

++1

0

4

1

0

1

0

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

zR

c 14 0 0 0 0 1

B +0 0 1 0 0

+1 + + +4 +5++1

1

0

1

0

1

1

0

1

zR

c 4 0 0


19/35

c)unei s"lutii de #aza admisi#ile

initiale.

c)celulele ne#azice.

a)$11.

6) "lutia unei pr"#leme de

transp"rt este "ptima daca:

c)()Tij A 0.

%) C s"lutie de #aza admisi#ila a

unei pr"#leme de transp"rt este

degenerata daca:

b)() $i= 0, cu (i,) celula #azica.

41) C s"lutie de #aza admisi#ila a

unei pr"#leme de transp"rt cu

dep"zite si 5 centre de des!acere este

degenerata daca are:b)7 c"mp"nente egale cu 0;

c)cel mult 5 c"mp"nente nenule.

1) +r"#lema de transp"rt de !"rma:

c)echili#rata, daca =5.

) "lutia de #aza admisi#ila a unei

pr"#leme de transp"rt este data de

ta#elul:


unei

pr"#leme

de

transp"rt

este data

de

ta#elul.

a)cantitatea t"tala de mar!a care

B1 B B

D11

0

D 4 1 0

D1

0 0 15

B1 B B B4

D1 1 015

D1 4 1

05 15 ?

D5 1

00

15 0 15 0

B1 B B

D1 1

10 10

D1 4

1

5 5

D 5

15


20/35

'tunci: c) = 15, ? = 0.

tre#uie transp este 65 u.m.

d) 1T =4.

8) Fie pr"#lema de transp"rt data de

urmat"rul ta#el:

'plicand met"da c"sPului minim se

determina mai intai val"area lui :

c) 1x .

40) Fie pr"#lema de transp"rt:

'tunci pr"#lema:

d)este neechili#rata.

4. "lutia "ptima a unei pr"#leme

de transp este unica daca cantitatileTij c"respunzat"are acesteia sunt t"ate:

b)strict negative.

4) "lutia unei pr"#leme de


c)()Tij A 0.45) 2ntr" pr"#lema de transp"rt va

intra in #aza varia#ila ijx

c"respunzat"are cantitatii Tij data de

relatia:b)T ma$K 0Lij kl = >

B1 B B

D1 0

D4

0

D1 5

0

15 5 0

B1 B

D1 1

0

D1

0

10 10


21/35

44) Fie s"lutia de #aza admisi#ila a

unei pr"#leme de transp"rt data de

ta#elul:

'tunci 1T se calculeaza dupa relatia:

c) 1T =1>=1>4

46) "lutia

de #aza

initiala a

unei

pr"#leme de

transp"rt

este data deta#elul:

'tunci val"area

!unctiei "#iectiv !,

c"respunzat"are

acestei s"lutii este:

b)!=65


varia#ila 11$ intra in #aza si are

urmat"rul ciclu:

'tunci: c) 10=

d) 1$ iese din #aza.

47) 2ntr" pr"#lema de transp"rt cu

m dep"zite si m centre de des!acere,

varia#ilele ne#azice ale unei s"lutii

de #aza admisi#ile sunt:

b)t"ate egale cu 0;

d)in numar de 1m m + .

4%) 2ntr" pr"#lema de transp"rt,

n"tiunea de ciclu se ataseaza:

b)celulel"r ne#azice.

50) B"e!icientii !unctiei "#iectiv a

unei pr"#leme de transp"rt "arecare

sunt:

c)numere negative.

51) +t " pr"lema de pr"gramare liniara, care din

urmat"arele a!irmatii sunt adevarate:

a)" s"lutie de #aza admisi#ila este punct e$trem al

multimii s"lutiil"r admisi#ile;

b)un punct e$trem al multimii s"lutiil"r admisi#ile este

" s"lutie de #aza admisi#ila.

5) 2ntr" pr"#lema de pr"gramare liniara se !"l"sesc

varia#ilele de c"mpensare cand:

a)restrictiile sunt de !"rma GAG;

b)restrictiile sunt de !"rma G.

5) C s"lutie de #aza admisi#ila are

c"mp"nente:


liniara cu cerinte de minim are mai


liniara cu cerinta de minim pentru

B1 B B

D1 1

15 5

D 1 4 10 0

B1 B

D11

0

D1

10 5

D


22/35

a) negative. multe s"lutii "ptime daca:

a) 0j jz c si e$ista vect"ri jPcare

nu !ac parte din #aza cu 0j jz c =

,care au si c""rd"natele strict

p"zitive.

!unctia "#iectiv, admite "ptim in!init

daca:

a) e$ista vect"ri jPcu t"ate

c""rd"natele negative, care nu !ac

parte din #aza si pentru care 0j jz c > .

56)2n !"rma standard, " pr"#lema de

pr"gramare liniara are:a)numarul restrictiil"r cel mult egal

cu al necun"scutel"r

57) Daca matricea unei pr"#leme de

pr"gramare liniara in !"rma standardare rangul egal cu nr. restrictiil"r,

atunci:

b)restrictiile sunt independente.

58) +entru a aduce " pr"#lema de

pr"gramare liniara la !"rma standard,se !"l"sesc variaile:

b)de c"mpensare.

5%) "lutiile admisi#ile ale unei

pr"#leme de pr"gramare liniara

!"rmeaza t"tdeauna " multime.

c)c"nve$a.

60) "lutiile de #aza admisi#ila ale

unei pr"#leme de pr"gramare liniara

!"rmeaza " multime:

a)!inita.

61) C s"lutie de #aza admisi#ila are

numai c"mp"nente:

a)nenegative.

6) +entru aplicarea alg"ritmului

imple$, s"lutia de #aza initiala a

unei pr"#leme de pr"gramare liniara

tre#uie sa !ie:

a)admisi#ila.


unei pr"#leme de transp"rt cu m

dep"zite si n centre (mn) are:

a)cel mult m>n1 c"mp"nente

nenule.

64) +entru " pr"#lema de transp"rt

care din urmat"arele a!irmatii sunt

adevarateQ

a)admite t"tdeauna " s"lutie de #aza

admisi#ila;

c)are t"tdeauna "ptim !init.


met"da pertur#arii se aplica atuncicand:

a)s"lutia initiala este degenerata;

b)pe parcursul rez"lvarii se "#tine "

s"lutie degenerata.

66) C pr"#lema de transp"rt pt care

e$ista 0ij = pt " varia#ila ne#azica as"lutiei "ptime are:

b)mai multe s"lutii "ptime.

67) -et"da gra!ica de rez"lvare a

pr"#lemel"r de pr"gramare liniara seaplica pt pr"#leme:

c)cu d"ua necun"scute.

68) +entru " pr"#lema de pr"gramare

liniara, multimea ' a s"lutiil"r

admisi#ile si multimea 'a

s"lutiil"r admisi#ile de #aza satis!ac

relatiile:

6%) C pr"#lema de pr"gramare

liniara p"ate avea:

a)"ptim (!init sau nu) sau nici "

s"lutie admisi#ila.

70) +entru a aplica alg"ritmul de

rez"lvare a unei pr"#leme de

transp"rt tre#uie ca:

b)pr"#lema sa !ie echili#rata si sa


23/35

c) A ABS S

d) A AB AS S S =avem " s"lutie de #aza initiala

nedegenerata.

71) +t a rez"lva " pr"#lema de

transp"rt neechili#rata:

a)se intr"duce un n"u dep"zit, daca

cererea este mai mare decat "!erta;

b)se intr"duce un n"u centru, dacacererea este mai mica decat "!erta.

7) +entru " pr"#lema de pr"gramare

liniara care din urmat"arele a!irmatii

sunt adevarate:

d)multimea s"lutiil"r admisi#ile este

c"nve$a.

7) 2ntr" pr"#lema de pr"gramare

liniara nu se !"l"sesc varia#ile de

c"mpensare cand:

c)restrictiile sunt de !"rma =G

d)sistemul initial de restrictii este in!"rma standard.


liniara de minim are mai multe s"l.

"ptime daca avem satis!acut criteriul

de "ptim si:

b)e$ista vect"ri + care nu !ac parte

din #aza, cu 0j jz c = , care au

c""rd"nate p"zitive.


liniara de minim admite "ptim in!init

daca:

a)criteriul de "ptim nu este satis!acut

si vect"rii din a!ara #azei au t"ate

c""rd"natele negative.


liniara de minim admite s"lutie

"ptima unica daca:

a)criteriul de "ptim este satis!acut si

t"ti vect"rii din a!ara #azei au

di!erentele 0j jz c < ;

c)criteriul de "ptim este satis!acut si

vect"rii din a!ara #azei cu di!erentele0j jz c = au c""rd"natele negative.

77) 2n !"rma standard, " pr"#l. de

pr"gramare liniara are:

a)numarul restrictiil"r cel mult egal

cu al necun"scutel"r;

b)restrictiile de tip ecuatie.

78) Daca matricea unei pr"#lema de

pr"gramare liniara in !"rma standard

are rangul egal cu nr. restrictiil"r

atunci:

b)restrictiile sunt idependente.

7%) +entru a aduce " pr"#lema de

pr"gramare liniara la !"rma standard

se !"l"sesc:

b)varia#ile de c"mpensare.

80) "lutiile "ptime ale unei

pr"#leme de pr"gramare liniara

!"rmeaza t"tdeauna " multime:

c)c"nve$a.

81) C s"lutie de #aza admisi#ila

nedegenerata are int"tdeauna

c"mp"nentele principale:

b)stricti p"zitive.

8) C pr"#l. De transp"rt cu centre

si 4 dep"zite, are s"lutia de #aza

initiala nedegenerata, daca aceasta

are:

b)6 c"mp"nente p"zitive.


liniara p"ate !i rez"lvata cu

alg"ritmul imple$ numai daca:

a)este in !"rma standard.

84) +entru a rez"lva " pr"#lema de

transp"rt tre#uie ca:

b)pr"#lema sa !ie echili#rata.

85) -et"da cel"r !aze se aplica:

b)+entru determinarea unei s"lutii de

#aza admisi#ile a pr"#lemei initiale;

d)cu " !unctie "#iectiv di!erita de


24/35

!unctia initiala.

86) C pr"#lema de transp"rt: a)are int"tdeauna s"lutie "ptima !inita; c)p"ate avea mai multe s"lutii "ptime.

87) +entru a determina s"lutia

initiala a unei pr"#leme de transp"rt:

a)se aplica met"da diag"nalei;

d)pr"#lema tre#uie sa !ie echili#rata.

88) +entru aplicarea alg"ritmului

imple$ este necesar ca:

b)sistemul in !"rma standard sa ai#a

cel putin " s"lutie de #aza admisi#ila.

8%) "lutia unei pr"#leme de


b)t"ate cantitatile 0ij

%0) Briteriul de "ptim al uneipr"#leme de pr"gramare de minim

este satis!acut daca:

a)t"ate di!erentele 0j jz c ;

d)t"ti vect"rii + din a!ara #azei au

di!erentele 0j jz c .

%1) C pr"#lema de transp"rt are"ptim in!init:

b)nici"data.

%) C pr"#lema de transp"rt areint"tdeauna:

a)"ptim !init;

b)cel putin " s"lutie de #aza

admisi#ila.

%) Functia "#iectiv a pr"#lemei

arti!iciale are:a)t"tdeuna "ptim !init;

d)c"e!icienti negativi.

%4) Daca !unctia arti!iciala are "ptim

strict p"zitiv, atunci;a)pr"#lema initiala nu are s"lutii;

b)in #aza au ramas varia#ilele

arti!iciale.

%5) 2ntr" pr"#lema de transp"rt

c"e!icientii !unctiei "#iectivreprezinta:

c)cheltuieli de transp"rt.

%6) 2ntr" pr"#lema de transp"rt v"m

avea c"sturi de transp"rt egale cu 0

daca:

b)pr"#lema initiala este

neechili#rata.

%7) 2ntr" pr"#lema de transp"rt va

intra in #aza varia#ila

c"respunzat"are lui:

a) 0ij > , ma$im.

%8) Biclul unei celule ne#azice este

!"rmat:

a)din cel putin 4 celule;

c)dintrun numar par de celule.

%%) +r"#lemele de transp"rt: a)sunt cazuri particulare de pr"#leme de pr"gramare liniara; c)au numai "ptim

!init.

100) 2ntr" pr"#lema de transp"rt criteriul de iesire se aplica: b)celulel"r cu numar par din ciclul celulei care intra

in #aza.

IV. SERII NMERI!E. SERII DE PITERI

1) Fie seria1

n

n

a

=

c"nvergenta. 'tunci,as"ciind termenii in grupe !inite:

) Bare din urmat"arele "peratii

p"ate m"di!ica natura unei seriidivergente:

) uma unei serii c"nvergente se

m"di!ica at. cand:


25/35

b)seria ramane c"nvergenta;

d)suma seriei nu se m"di!ica. a)as"cierea termenil"r seriei in

grupe !inite.

b)adaugam un nr.!init de termeni;

c)suprimam un nr. !init de termeni ai

seriei;

d)inmultim termenii seriei cu un

scalar ennul.

4) Fie seria numerica1

,n nn

a a

=

.Baredin a!irmatiile de mai "s sunt

adevarate:

a)daca1

n

n

a

= c"nverge, atunci lim 0nn a =

;

d)daca lim 0nn a , atunci seria1

n

n

a

=

diverge.

5) Fie ( )n nS sirul sumel"r partiale

atasat seriei1

n

n

a

= Dacalim nn

S = ,

atunci:

a)seria c"nverge;

d)seria are suma =

6) Fie ( )n nS sirul sumel"r pariale

atasat seriei1

n

n

a

= silim nn

S S = . 'tunci

seria:

a)c"nverge, daca S ;

d)c"nverge, daca =1.

7) Fie seria ge"metrica0

n

n

a

= cu a&0.

'tunci seria:

a)c"nverge, pentru U (1,1);

8) eria arm"nica generalizata1

1a

n n

=

este " serie:

b)divergenta, daca 0;

c)c"nvergenta, daca 91;

d)divergenta, daca =1.

%) Fie ( )n nS sirul sume"l"r partiale

atasat unei serii de termeni p"zitivi

1

n

n

a

= , ( 0na ). 'tunci sirul ( )n nS esteint"tdeauna:

b)m"n"t"n crescat"r.

10) Fie seriile cu termeni p"zitivi 1 nna

= si 1nn

b

= ast!el incatV, ( )n na b n .'tunci:a)

1

n

n

a

= c"nverge daca

1

n

n

b

= ; d)

1

n

n

b

= diverge daca

1

n

n

a

= diverge.

11) Fie seria cu termeni p"zitivi 1 nna

= ,0

n

a si seria

arm"nica1

1

n n

= . 'tunci:

b)1

n

n

a

= diverge daca 1na

n .

1) Fie seriile cu termeni p"zitivi

1n

n

a

= si 1n

n

b

= . Dacalim 1n

nn

a

b=

, atunci:

1) Briteriile de c"mparatie se aplica

seriil"r:

b)cu termeni p"zitivi.

15) Fie seria1

n

n

a

= , 0na . Daca


26/35

a)daca1 1

( ) ( )n nn n

a ! b !

= =

;

b)daca1 1

( ) ( )n nn n

b " a "

= =

.

1 1lim

n

nn

a

a

+

= , atunci:

a)1

lim

nn

na

=

b)1

n

n

a

= c"nverge.

14) Fie seriile de termeni p"zitivi

1

n

n

a

= si

1

n

n

b

= , care satis!ac relatia

lim nn

n

ak

b= .'tunci:

a)daca H (0,1) seriile au aceeasi

natura.b)H= si

1 1

( ) ( )n nn n

a ! b !

= =

.

c)H=1 si1 1

( ) ( )n nn n

b " a "

= =

.

17) +entru seria1

n

n

a

= , 0na avem

1lim nn

n

a

a+

= . 'tunci :

c)daca1

nn

a

=

, diverge.

d)daca1

10,

n

n

a

=

c"nverge.

16) Fie seria cu termeni p"zitivi1

n

n

a

=

, si n"tam cu1

1 lim n

nn

a

a +

= si limn n

na

= .

'tunci:

c) 1 = ; d)daca 1 = = .

18) +entru seria cu termeni p"zitivi

1

n

n

a

= avem lim n nn a = . 'tunci:

c)1

n

n

a

= diverge; d) 1lim nn

n

a

a

+

=

1%) Fie1

n

n

a

= , 0na ast!el incat

1

lim 1 nn

n

a

a +

=

. 'tunci :

a)1

n

n

a

= c"nverge.

0) Fie1

n

n

a

= , 0na ast!el incat

1

lim 1nn

n

a

a

+

=

. 'tunci:

d)daca1

(1, ) ( )nn

a !

=

1) eria cu termeni p"zitivi1

n

n

a

= are

sirul sumel"r partiale ( )n nS marginit.'tunci:

a)1

n

n

a

= c"nverge;

b)sirul ( )n nS c"nverge.

) 2n aplicarea criteriului lui Waa#e

Duhamel seriei 1 nn a

= 0na se cere

calculul limitei:

c)1

lim 1nn

n

a

a +

.

) Fie seria alternata1

( 1)n nn

a

=

cu0na . Briteriul lui Mei#niz a!irma ca

seria:

a)c"nverge, daca na 9 0 m"n"t"n

descrescat"r.

4) Fie seria1

1

( 1) ,n nn

a

+

=

0na ast!el

incat lim nn a =0. 'tunci seria c"nverge

daca:

5) eria1

n

n

u

= este " serie alternata

daca :

b) 1 0, ( )nu u n+ g ;

6) Fie seria de termeni "arecare

1

n

n

a

= , na . Bare din urmat"arelea!irmatii sunt adevarateQ


27/35

b) ( )n na este m"n"t"n descrescat"r. d)1( 1) , 0nn n nu a a

+= .b)daca

1 1

( ) ( )n nn n

a ! a !

= =

;

c)daca1 1

( ) ( )n nn n

a " a !

= =

.7) Fie seria

1

n

n

a

= , na ast!el incat 1

1lim

n

nn

a

a

+

= . 'tunci:

a)seria1

n

n

a

= c"nverge; b)seria

1

n

n

a

= c"nverge; c) 1lim

n

nn

a

=

8) C serie cu termeni "arecare1

n

n

a

=

,na se numeste semic"nvergenta

daca:

b)1

( )nn

a !

= si

1

( )nn

a "

=

%) Fie seria cu termeni p"zitivi1

n

n

a

=

, 0na . 'tunci:

a)daca1

( )nn

a !

= rezulta

1

( )nn

a !

= ;

b)daca1

( )nn

a "

= rezulta

1

( )nn

a "

= ;

c)1

n

n

a

= =

1

n

n

a

= .

0) eria cu termeni p"zitivi1

n

n

a

=

are

limita1

lim 1nn

n

an

a

+

=

. 'tunci daca:

c)=0 rezulta1

n

n

a

= diverge;

d)= rezulta1

n

n

a

= c"nverge.1) eria de puteri

1

n

n

n

a x

= , na are

1lim 1

n

nn

a

a

+

= . 'tunci:

b) lim 1n nn

a

= ; c)seria c"nverge

pentru $ (1,1)

) eria de puteri1

,nn nn

a x a

= are

limita lim 0n nn

a

= . 'tunci:

b)seria c"nverge, pentru ( )x ;

d)1

lim 0n

nn

a

a

+

= .

) eria de puteri 01

( )nnn

a x x

= cu

na are1

lim n

nn

a

a

+

= + . 'tunci seria:

c)are raza de c"nvergenta r=0;

d)c"nverge numai inXpentru $=$0.4) eria de puteri ( )

1

1 n

n

n

a x

=

+ are razade c"nvergenta r=1. 'tunci seria:

c)c"nverge, pentru $ (,0);

d)diverge, daca $(,)5) eria de puteri 0

1

( )nnn

a x x

=

arelim 0n nn

a

= 'tunci seria:

d)c"nverge, () $R.

6) eria de puteri 01

( )nnn

a x x

=

areraza de c"nvergenta r 90. 'tunci

te"rema lui '#el a!irma ca seria

c"nverge pe intervalul:

b)($0r,$0>r)

7) Fie seria de puteri1

n

n

n

a x

= cu

1 1lim

n

nn

a

a

+

= . 'tunci

b)raza de c"nvergenta este r=;

d)seria diverge ()$(,)(,>)

8) Fie seria de puteri ( )1

1n

n

n

x

n

=

. %) Fie r raza de c"nvergenta a seriei 40) eria de puteri ( )1

1n

n

n

x

n

=

are raza


28/35

'tunci c"e!icientii seriei sunt dati de

relatia:

c) ( )1

1 n

nan

=

de puteri1

n

n

n

a x

= . 'tunci seria:

a)c"nverge () $R, daca r = >;c)c"nverge int"tdeauna in $ = 0.

de c"nvergenta r=1. 'tunci d"meniul

ma$im de c"nvergenta a seriei este:

b)$ (1,13

41) Fie seria de puteri1

n

n

n

a x

= , a carei

raza de c"nvergenta este r 9 0 !inita.'tunci:

a)seria c"nverge, () $ (r,r)

c)1

limn nn

ar

= ;

d)1

lim n

nn

a

a

+

= limn n

na

.

4) eria /aPl"r atasata unei !unctii

!($) in punctul $0:

b)este " serie de puteri;d)are c"e!icientii de !"rma

( )

0( )

N

n

n

f xa

n= .

44) Fie :f I " !unctie

"arecare. Bare din c"nditiile de mai

"s sunt necesare pt ai atasa acesteia" serie /aPl"r in punctul $0:

a)"#ligat"riu $0 2;b)!($) admite derivate de "rice "rdin

in $0.

4) eria -acMaurin atasata unei

!unctii !($):

c)este " serie de puteri centrata in 0;

d)este un caz particular de serie

/aPl"r.

45) B"e!icientii numerici ai unei serii

-acMaurin atasate unei !unctii !($)

au !"rma:

b)( )

(0)

N

n

n

fa

n=

46) eria de puteri1

n

n

n

a x

= satis!ace pr"prietatea lim 1nn a = . 'tunci seria: c)c"nverge, () $ (1,1)

47) eria de puteri ( )1

1 n n

n

x

=

:

c)are raza de c"nvergenta r =1;d)c"nverge, () $(1,1)

48) +entru a studia c"nvergenta unei

serii alternate se aplica:

c)criteriul lui Mei#niz.

4%) eria de puteri1

n

n

n

a x

= este

c"nvergenta pe Rnumai daca:b)raza de c"nvergenta r = > ;c) limn n

na

= 0.

50) eria de puteri 01

( )n

n

n

a x x

=

c"nverge numai in $0, daca si numai

daca:

a)raza de c"nvergenta r=0;

c) lim n nn

a

= >.


n

n

a

= pentru

care lim nn a = 0. 'tunci seria:

d)nu se p"ate preciza natura seriei.

5)Daca pentru sirul numerel"r

partiale lim 1nn S = atunci seria1

n

n

a

= :

a)este c"nvergenta si are suma =1.


29/35

5) Daca pentru seria1

n

n

a

= , 0na sirul

sumel"r partiale este marginit, atunci

seria:

a)este c"nvergenta.

54) Fie seria1

n

n

a

= , 0na si 1lim n

nn

a

a+

= .

'tunci seria

b) c"nverge daca 1;

c)c"nverge, daca =0

55) Fie seria1

n

n

a

= , 0na si

1lim 1n

n

n

a

a

+ =

. 'tunci seria:

a)este divergenta, daca =0;

d)este c"nvergenta, daca = > .

56) Fie seria ( )1

1 n

n

na

= , 0na si lim nn a

=0. 'tunci seria:

c)este c"nvergenta, daca 1n na a +

pentru price n V .

57) Fie seria1

n

n

a

= , silim nn

a =1. 'tunci

seria:

d)nu se p"ate preciza natura seriei;

se aplica criteriul lui Waa#e

Duhamel.

58) eria1

n

n

a

= este divergenta daca:

b) lim nn a =1

c) lim nn a = > .

5%) Fie seria1

n

n

a

= , 0na si limn n

n

a

= .

'tunci seria:b)este divergenta, pentru 91.

c)este c"nvergenta, pentru1

= .

d)este divergenta, daca = > .

60) Fie seria1

n

n

a

= , cu

1

lim 1n

n

n

a

a +

=0.

'tunci seria:b)este divergenta, pentru 0na .

61) Fie seria1

n

n

n

a x

= si 1lim 0n

nn

a

a

+

= .

'tunci seria:

a)este c"nvergenta, () $R.

6) +entru seria1

n

n

n

a x

= avem limn n

n

a

=

=. 'tunci raza de c"nvergenta reste:

a)r=1

; c)r=0, daca = > ; d)

r=1, daca =1.

6) eria1

n

n

n

a x

= are raza de

c"nvergenta r=0. 'tunci seria:

a)este c"nvergenta, numai in $=0.

64) Daca seria 01

( )n

n

n

a x x

=

are raza de

c"nvergenta r=", atunci seria:

b)este divergenta, () $ RYK$0L;c)este c"nvergenta, numai in $=$0.

65) eria 01

( )n

n

n

a x x

=

are 1lim 0nn

n

a

a

+

= .

'tunci seria:

a)este c"nvergenta, () $R


n

n

a

= . 'tunci

seria:

c)diverge, dacalim

nn

a & 0.

67) C serie cu termeni p"zitivi:

b)este divergenta, daca termenul

general nu tinde la 0;c)are t"tdeauna sirul numerel"r


30/35

partiale crescat"r.

68)Fie seria1

n

n

a

= , 0na si 1lim nn

n

a

a+

= .

'tunci seria

a)diverge, daca > ;

b)c"nverge, daca 1< .

6%) Fie seria1

n

n

a

= , 0na si

1

lim 1n

n

n

a

a

+

=

. 'tunci seria este

divergenta, daca:b)

1

= ;

d)= .

70) C serie cu termeni p"zitivi1

n

n

a

= ,

0na :

a)c"nverge, daca1lim 0n

nn

a

a

+

= ;

b)diverge, daca lim nn a =1;

c)diverge, daca lim nn a = > .71) eria

1

n

n

a

= , 0na este:

a)c"nvergenta, daca lim 0n nn

a

= ;

b)divergenta, daca limn nn

a

= ;

c)c"nvergenta, daca limn nn

a

= 1.

7) Fie seria1

n

n

a

= cu

1

lim 1n

n

n

an

a +

=

0.

'tunci seria

b)este divergenta, daca 0na .

7) C serie de puteri1

n

n

n

a x

= are raza

de c"nvergenta r=. 'tunci seria:

a)c"nverge pt $ (,)

d)diverge, daca $ 9.

74) C serie de termeni p"zitivi1

n

n

a

= ,

0na :

b)diverge, daca1lim n

nn

a

a

+

= ;

d)diverge, daca limn nn

a

= .

75) eria de puteri1

n

n

n

a x

= are

limnn

na

= + . 'tunci seria:

b)c"nverge, numai pentru $=0;

d)diverge, pentru $ & 0.

76) Fie " seria "arecare cu termeni

p"zitivi1

n

n

a

= , 0na si 1lim nn

n

a

a

+

=1.

'tunci:

a) limn nn

a

= 1; c)Waa#eDuhamel pt a

det. natura seriei

77) eria arm"nica generalizata1

1

n n

= cu R:b)diverge, daca 1;

d)c"nverge, daca = .

78) Fie seria cu termeni alternanti

1

( 1)n

n

na

=

, 0na . Daca lim nn a =1, atunci:

b)seria diverge c"n!"rm criteriului

general de divergenta.

7%) eria de puteri1

( 1)n

n

na x

= + , areraza de c"nvergenta r=1. 'tunci

seria:

b)diverge, pentru ( , ) (0, )x + ;

d)c"nverge, pentru $ (,0).

80) eria de puteri1

( 1)n

n

na x

=

+ are raza

de c"nvergenta r=1. 'tunci seria:b)diverge, pentru ( ,0) (, )x + ;

81) eria de puteri1

( 1)n

n

na x

=

+ , are

raza de c"nvergenta r=. 'tunciseria:

8) eria de puteri1

n

n

n

a x

= are raza de

c"nvergenta r =0. 'tunci seria:b)c"nverge, numai pentru $=0;


31/35

c)c"nverge, pentru $ (0,). c)c"nverge, pentru $ R. d)diverge, () $ R.V. "N!TII REALE DE NVARIABILE

1) Fie punctele +1(1,1), +(,) R.'tunci distanta dintre ele este egala

cu:

c)d(+1,+) = .

) Fie punctele +1($1,$) si

+(P1,P) R.'tunci distantab)d(+1,+)= 1 1 ( ) ( )x x y y + .

) Fie +($1,$) R; 'tunci distantade la C(0,0) la + este:

b)d(C,+)= 1 x x+ .

4) Fie sirul ( )n nx cu termenul

general de !"rma1

,1

n

nx

n n

= + . 'tunci

b)limita sirului este $0=(0,1)

5) Fie sirul ( )n nx cu termenul

general( )1

,1

n

n

nx

n n

= +

.'t.: b)sirul

divergeXlimita $0=(0, )

6) Fie sirul de puncte ( ) nn nx .'tunci sirul:

b)c"nverge, daca t"ate sirurile

c""rd"natel"r c"nverg;

d)diverge, numai daca t"ate sirurile

de c""rd"nte diverg.

7) Fie !($,P) " !unctie de varia#ile si n"tam cu lg limita gl"#ala, respectiv l1,l limitele partiale ale acesteia intrun

puct ($0,P0). Bare din urmat"arele a!irmatii sunt adevarate:a)daca () lg atunci () l1,l si l1=l=lg; c)daca ()l1,l si l1&l atunci nu e$ista lg.8) Fie :f " si ($0,P0) D.'tunci derivata partiala a lui !($,P) in

rap"rt cu varia#ila $ in punctul

($0,P0) se calculeaza cu relatia:

b)0

0 0 00 0

0

( , ) ( , )( , ) lim

x x

f x y f x yfx y

x x x

=

.

%) Fie !unctia !($,P)=x

y. 'tunci:

a)f x

x y

=

; d)

f x

x y

=

.

10) Derivatele partiale ale !unctiei

!($,P)=ln($P) sunt:

b)1f

x x

=

;

d)1f

x y

=

.

11) Fie !unctia !($,P)=$P, care dinurmat"arele egalitati sunt c"recteQ

b)f y

x

=

; d)

0

f

x

=

.

1) Di!erentiala de "rdin 2 a !unctiei!($,P)=$P calculata in punctul

+0(1,) are e$presia:

c)d!(+0)=4d$>4dP

1) Di!erentiala de "rdin 2 a !unctiei!($,P)=$P>$P in punctul +0(1,1)

are e$presia:

b)d!(+0)= 7d$>4dP.

14)Di!erentiala de "rdin 2 a !unctiei

!($,P) = $ePare e$presia

c)d!($,P) = eP

d$ > $eP

dP;

15) Fie ($,P) "" !unctie care satis!ace

criteriul lui chZartz si care are,

,fxyx y = . 'tunci:

16) Fie [($,P)=6

6

x

y

hessiana

atasata !unctiei !($,P). Daca +1(,1)si +(,1) sunt puncte critice ale lui


32/35

b)

f xyy x

=

!,atunci

c)+1 nu este punct de e$trem, iar +

este punct de ma$im;

17) +unctele critice ale !unctiei !($,P)

B(R) se "#tin:

c)rez"lvand sistemul

0

0

f

x

f

y

= =

.

18) Functia !($,P) are derivatele

partiale "rdinul 2 de !"rma:

b) f f

x y y x

=

; d)[($,P)=

,

,

ln

xy y

y

x xy x

y y

+

+

c)

f xx

y y

=

1%) Functia:

( , ) 1

f

f x y xy

= +

are:

c)un singur punct critic;

d)hessiana de !"rma [($,P)= 0 11 0

.

0) Functia,:

( , ) 1

f

f x y x y

= + +

are:

b)nici un punct critic.

1) Fie [(+0)=

1

hessiana atasata

!unctiei !($,P) in punctul critic +0.

'tunci +0:a)este punct de minim l"cal, daca

==1;c)nu este punct de e$trem l"cal, daca

=1 si =.

) Fie +0 un punct critic al !unctiei

!($,P) si hessiana c"respunzat"are

acestuia de !"rma: [(+0)= .

1

.'tunci +0 va !i punct de minim pt

!unctia ! daca:

c)=

; d)=

1

.

) [essiana !unctiei !($,P) in

punctul critic +0, este de !"rma

[(+0)= 1

. 'tunci +0 este punct

de ma$im l"cal pentru ! daca:

Nici #$a

4) [essiana !unctiei !($,P) in

punctul critic +0 are !"rma:

[(+0)= ,

+

. +0 de minim l"cal

pt ! daca:

b)9 si 90;

5) Daca !unctia !($,P) are derivatele

partiale de "rdin 2 de !"rma

( 1)

( 1)

fx x yx

fy x y

y

= + = +

, atunci ! are:

d)patru puncte critice.

6) Fie [(+0)=

1

hessiana

!unctiei !($,P) in punctul critic +0.

'tunci pentru :

7) [essiana atasata !unctiei !($,P)

are !"rma [($,P)=.

6

6 6

y xy

xy x y

; 'tunci

di!erentiala de "rdin 22 a !untiei are

8) Di!erentiala de "rdin 2 a !unctiei

!($,P) are !"rma d!($,P)=($>P)d$>

($>)dP. 'tunci !unctia !($,P);

c)are punctul critic unic +(,)


33/35

b)=4nu se p"ate preciza naturalui +0;

c)=1

+0 nu este punct de e$trem

l"cal;

d)=+0 este puct de minim

l"cal.

!"rma:

c) ( , ) 1 6# f x y y #x xy #x#y x y #y= + +%) Fie [($,P)=

0

y x

x

hessiana

atasata !unctiei !($,P). 'tunci

di!erentiala de "rdin 22 a !unctiei ! are

!"rma:

d) ( , ) 4# f x y y#x x#x#y= +

0) Fie [($,P)=

0

y x

x

hessiana

atasata !unctiei !($,P). Daca +1(1,1),

+(1,1) sunt punctele critice ale lui

!, atunci

c)+1,+ nu sunt puncte de e$trem

l"cal.

1) Fie [(+0)=1 0 0

0 0

0 0 1

+

hessiana

c"respunzat"are !unctiei !($,P,z) in

punctul critic +0. 'tunci:

a)+0 este punct de minim l"cal, daca

91;

c)+0 nu este punct de e$trem l"cal,

daca =1

;

d)+0 este punct de minim l"cal, daca

=.

) Fie +0 punct critic al !unctiei

!($,P) si

0( ) # f P #x #y= + . 'tunci:

c)+0 nu este punct de e$trem l"cal.

4) ) Fie +0 un punct critic al !unctiei

!($,P,z) si

0( ) 4# f P #x #y # z = + + .

'tunci:

a)+0 este punct de minim l"cal.) Fie +0 un punct critic al !unctiei

!($,P) si

0( ) 4# f P #x #x#y #y= + .

'tunci:

a)+0 este punct de minim l"cal.

5) Functia !($,P) are derivatele

partiale de "rdin 2 de !"rma

. ,f

x xx

= + respectiv,

1f

yy

= . 'tuncinumarul punctel"r critice ale lui !

este: d)4.


!($,P,z)=$P>Pz are !"rma:

b)d!($,P,z)=Pd$>($>Pz)dP>P

z;


!($,P,z)=$Pz are !"rma:

c)d!($,P,z)=Pzd$>$zdP>$Pdz;

8) Functia "arecare !($,P,z) satis!ace

c"nditiile din criteriul lui chZarz.

'tunci au l"c egalitatile:

b) f f

x z z x

=

; d)

f f

y z z y

=

.

%) Fie !unctia !($,P)= x y x y

x y

+ + + si

( )10 0

lim lim ( , )x y

l f x y

= , ( )0 0

lim lim ( , )y x

l f x y

=

limitele iterate ale !unctiei in C(0,0).

'tunci:d)l1=1, l=1.

40) Fie !unctia !($,P)=e$P.'tunci:

c)xyf ye

x

=

.

4) Fie [(+0)= 0 1

0 1 1

1 1 1

hessiana

>


34/35

atasata !unctiei !($,P,z) in punctul

critic +0. 'tunci:

c)+0 nu este punct de e$trem l"cal.

41) Fie !unctia !($,P)= e$>P. 'tunci:

d)x yf e

x

+ = .

4) Fie !unctia !($,P,z)=$>P>z.

'tunci:

b)!unctia ! nu are puncte critice;

c)!unctia ! nu are puncte de e$trem

l"cal.

44) Daca +0($0,P0) este punct critic

pentru !unctia !($,P) atunci:b) 0( ) 0

fP

x

=

si 0( ) 0

fP

y

=

; c)d!(+0)=0

45) Fie [(+0)=0

hessiana

atasata !unctiei !($,P) in punctul critic

+0. 'tunci, daca: Nici #$a

48) -et"da multiplicaril"r lui

Magrange se !"l"seste la determinareapunctel"r de e$trem l"cal, in cazul

!unctiil"r:

d)ale car"r varia#ile sunt supuse la "

serie de legaturi.

46) Fie [($,P)=.

, 6

6

y xy

xy x y

matricea

hessiana atasata !unctiei !($,P).

'tunci , daca !unctia !($,P) satis!acecriteriul lui chZarz avem:

a) =, =6;

47) Fie [($,P,z)=

0 .

0 6

y x

x z

z yz

hessiana atasata !unctiei !($,P,z)= x y yz+ . De"arece ! satis!ace criteriul

lui chZarz avem: c)=0, =, =.

4%) Fie !unctia !($,P)=$>P cu

varia#ilele satis!acand legatura

$>P=1. 'tunci !unctia lui Magrange

atasata are e$presia:

c)M($,P)=$>P>($>P1)50) Briteriul lui chZarz a!irma ca

!unctia !($,P) are:

c) derivatelepartiale mi$te de "rdinul

egale.

51) Bare din urmat"arele a!irmatii

sunt adevarate:

b)"rice punct de e$trem l"cal este

punct critic;

c)in un punct critic derivatelepartiale de "rdinul 2 sunt nule

d)punctele de ectrem l"cal se gasesc

printre pct. critice.

5) C !unctie : nf are

int"tdeauna:

d)numarul punctel"r critice si de

e$trem nu depinde de n.

5) C !unctie : nf are

int"tdeauna:

a)n derivate partiale de "rdinul 2;

d)n derivate partiale de "rdinul 22.

54) [essiana atasata !unctiei "arecare: nf :

a)este " matrice patratica de "rdinul

n;

d)este !"rmata cu derivatele partiale

55) +unctul +0Rneste punct criticpentru !unctia : nf dacaderivatele partiale:

c)de "rdin 2 se anuleaza in +0.

d di 22 l ! i i


35/35

de "rdin 22 ale !unctiei

56) Fie :f . Briteriul lui

chZarz a!irma ca:

a) f f

x y y x

=

; d)deriv. part.de

"rdin 22 c"ntinue

57) Briteriul luii chZarz implica

!aptul ca !unctia : nf are:

a)matricea hessiana simetrica;

b)derivatele partiale de "rdinul 22

mi$te, egale.

58) C !unctie "arecare : nf are:

d)numarul punctel"r critice si de

e$trem nu depinde de n.

5%) Daca punctul +0 este punct dema$im pentru !unctia !, atunci:

b)d!(+0) este negativ de!inita

d)+0 este punct critic pentru !.

60) Daca punctul +0 este punct deminim pentru !unctia !, atunci:

a)d!(+0) este p"zitiv de!inita;

d)+0 este punct critic pentru !unctia

!.

61) Daca 1 , sunt min"rii diag"naliai hessienei [(+0), atunci punctul

critic +0($0,P0) este punct de minim

daca:

a) 1 0, 0 > > .

6) Daca 1 , sunt min"rii diag"nali

ai hessienei [(+0), atunci punctul

critic +0($0,P0) este punct de ma$im

daca:d) 1 0, 0 < > ;

6) Daca 1 , , sunt min"rii

diag"nali ai hessienei [(+0), atunci

punctul critic +0($0,P0,z0) este punct

de ma$im daca:b) 1 0, 0, 0 < > < .

64)Daca 1 , , sunt min"rii

diag"nali ai hessienei [(+0), atunci

punctul critic +0($0,P0,z0) este punct

de minim daca:a) 1 0, 0, 0 > > >

65) C !unctie "arecare !($,P) are:

b) derivate partiale de "rdinul 2 si 4

derivate partiale de "rdinul 22;

d) derivate partiale de "rdinul 22

mi$te (dreptunghiulare).

66) C !unctie "arecare !($,P,z) are:

c) derivate partiale de "rdinul 2 si %

derivate partiale de "rdinul 22;

d)6 derivate partiale de "rdinul

mi$te (dreptunghiulare).

67) +unctele critice ale !unctiei

!($,P);

b)sunt s"lutiile sistemului

0

0

f

y

f

y

= =

Grile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie.docGrile Rezolvate la Matematici Aplicate in...

Documents

Transcript of Grile Rezolvate la Matematici Aplicate in Economie.docGrile Rezolvate la Matematici Aplicate in...