Gravitation regiert die Welt Einsteins Gleichungen leicht gemacht.
-
Upload
burke-landsberger -
Category
Documents
-
view
222 -
download
0
Transcript of Gravitation regiert die Welt Einsteins Gleichungen leicht gemacht.
Gravitation regiert Gravitation regiert die Weltdie WeltEinsteins Gleichungen leicht Einsteins Gleichungen leicht
gemachtgemacht
Am Anfang war das GesetzAm Anfang war das Gesetz
ΛόγοςΛόγος
ἐν ἀρχῇ ἦν ὁ Λόγος ἐν ἀρχῇ ἦν ὁ Λόγος καὶ ὁ Λόγος ἦν πρὸς καὶ ὁ Λόγος ἦν πρὸς τὸν Θεὸν καὶ Θεὸς ἦν τὸν Θεὸν καὶ Θεὸς ἦν ὁ Λόγοςὁ Λόγος
„„Im Anfang war das Im Anfang war das Wort, und das Wort Wort, und das Wort war bei Gott, und das war bei Gott, und das Wort war Gott.“Wort war Gott.“
VorhersagbarkeitVorhersagbarkeit
Gleichung für die Gleichung für die kosmologische Evolution : kosmologische Evolution :
Friedmann GleichungFriedmann Gleichung
a(t) : Skalenfaktora(t) : Skalenfaktorρρ(t) : Energie-(t) : Energie- DichteDichte t : Zeitt : Zeit
M M : Planck-Masse: Planck-Masseverknüpft mit verknüpft mit GravitationskonstanGravitationskonstante te GG
Friedmann GleichungFriedmann Gleichung beschreibt die Änderung der beschreibt die Änderung der kosmologischen Abstände mit der Zeit ; kosmologischen Abstände mit der Zeit ; a(t)a(t) enthält Ableitungenthält Ableitung DifferentialgleichungDifferentialgleichung erlaubt Bestimmung der Zukunft und erlaubt Bestimmung der Zukunft und
Vergangenheit wennVergangenheit wenn aa und und ρρ zu bestimmtem zu bestimmtem ZeitpunktZeitpunkt tt gegebengegeben
benötigt Eigenschaftenbenötigt Eigenschaften von von ρρ
Friedmann GleichungFriedmann Gleichung Mit Friedmann GleichungMit Friedmann Gleichung läßt sich Evolution desläßt sich Evolution des Universums einfachUniversums einfach verstehen verstehen
Spezialfall derSpezialfall der Einstein GleichungEinstein Gleichung
AbleitungAbleitungSpezialfall: Spezialfall: konstante konstante SteigungSteigung
Ableitung und Ableitung und TangentenvektorTangentenvektor
je kleiner je kleiner v, v, desto desto kleinerkleinerist dieist dieSteigungSteigung
DifferentialgleichungDifferentialgleichung
v(a,v(a,t)t)
Friedmann GleichungFriedmann Gleichung Verschiedene Verschiedene
AnfangsbedingungAnfangsbedingungen ergeben en ergeben verschiedene verschiedene Geschichten des Geschichten des UniversumsUniversums
Zukunft und Zukunft und VergangenheitVergangenheit
v: Expansions-v: Expansions-geschwindigkeitgeschwindigkeit
wenn Materie dominiert :wenn Materie dominiert :
n : n : TeilchendichteTeilchendichte
Expansion Expansion wird wird langsamer , langsamer , wennwennaa größer größer wirdwird
The Accelerating UniverseThe Accelerating Universe Brian P. Schmidt, Brian P. Schmidt,
Mainz, 17.6.Mainz, 17.6.
Vorhersagen für Kosmologie mit Vorhersagen für Kosmologie mit Dunkler EnergieDunkler Energie
Die Expansion des Universums
beschleunigt sich heute !
Dunkle Energie und Dunkle Dunkle Energie und Dunkle MaterieMateriesind ( heute ) Gegenspieler :sind ( heute ) Gegenspieler :
Dunkle Materie verlangsamt Dunkle Materie verlangsamt ExpansionExpansion
Dunkle Energie beschleunigt Dunkle Energie beschleunigt ExpansionExpansion ρρ konstant:konstant:
Expansion wird Expansion wird schneller,schneller,wenn wenn aa größer wird größer wird
(1) Vorhersage der Zukunft (1) Vorhersage der Zukunft aus dem Jetztaus dem Jetzt
DifferentialgleichungDifferentialgleichung
Gravitations - Gravitations - WechselwirkungWechselwirkung
Gravitation dominiert die Gravitation dominiert die Kräfte der MakroweltKräfte der Makrowelt
Gravitation ist die weitaus schwächste Wechselwirkung Gravitation ist die weitaus schwächste Wechselwirkung zwischen einzelnen Elementarteilchenzwischen einzelnen Elementarteilchen
Aber : alles zieht sich an !Aber : alles zieht sich an ! Elektromagnetische Wechselwirkung zum Teil abstoßendElektromagnetische Wechselwirkung zum Teil abstoßend
Gravitation dominiert die Gravitation dominiert die
Kräfte der MakroweltKräfte der MakroweltElektromagnetismus : Elektromagnetismus : ++ und und –– ++++ abstoßend , abstoßend , – – – – abstoßend , abstoßend , + – + –
anziehendanziehend
Gravitation nur Gravitation nur ++ ++++ anziehend anziehend
Gravitation dominiert MakrokosmosGravitation dominiert Makrokosmos Elektromagnetische Wechselwirkung Elektromagnetische Wechselwirkung
dominiert Mikrokosmosdominiert Mikrokosmos
(1) Gravitation ist die (1) Gravitation ist die dominierende dominierende Wechselwirkung Wechselwirkung (Kraft) (Kraft) bei großen bei großen AbständenAbständen
(1) Gravitation ist die (1) Gravitation ist die dominierende dominierende Wechselwirkung Wechselwirkung (Kraft) (Kraft) bei großen bei großen AbständenAbständen
GravitationsfeldGravitationsfeld
FelderFelderFelder haben einen Wert für Felder haben einen Wert für jeden Ort im Raum jeden Ort im Raum (x,y,z) (x,y,z) und und für jeden Zeitpunkt für jeden Zeitpunkt tt
Beispiel: Beispiel:
elektrisches Feld elektrisches Feld MagnetfeldMagnetfeld
talk talk WilczekWilczek
Gravitationspotenzial : Gravitationspotenzial : FeldFeld
ΦΦ(t,x,y,z)(t,x,y,z) Für jede Zeit Für jede Zeit tt , und für jeden Ort , und für jeden Ort (x,y,z) (x,y,z) , ,
hat das Gravitationspotenzial einen Wert hat das Gravitationspotenzial einen Wert ΦΦ Ähnlich wie elektrisches FeldÄhnlich wie elektrisches Feld Aber : keine Richtung ist ausgezeichnetAber : keine Richtung ist ausgezeichnet (kein Vektor )(kein Vektor )
Gravitationspotenzial Gravitationspotenzial ( Newton )( Newton )
ΦΦ(t,x,y,(t,x,y,z)z)
ΦΦ(r)(r) ΦΦ(x,y(x,y))
Gravitations - PotenzialGravitations - Potenzial Materieklumpen erzeugen Materieklumpen erzeugen
GravitationspotenzialGravitationspotenzial (Newton )(Newton ) Dies kann Dies kann vermessenvermessen werden werden Bestimmung der Masse des Bestimmung der Masse des
KlumpensKlumpens z.B. Sonnenmasse genau z.B. Sonnenmasse genau bekanntbekannt
GravitationsfeldGravitationsfeld
Elektromagnetisches Elektromagnetisches Feld:Feld:
6 Größen6 Größen
elektrisches Feld elektrisches Feld MagnetfeldMagnetfeld
Gravitations - Feld:Gravitations - Feld:10 Größen10 Größen
MatrixMatrix
Newton –Newton –Näherung Näherung : : GravitatioGravitations-ns-potenzialpotenzial
GPS braucht die 10 GPS braucht die 10 GrößenGrößen
(3) Gravitation wird durch (3) Gravitation wird durch ein Gravitations - ein Gravitations - FeldFeld
beschriebenbeschrieben
GeometrieGeometrie
Ist Raum einfach da ?Ist Raum einfach da ? Eigenschaften des Raums werden durch Eigenschaften des Raums werden durch
physikalische Eigenschaften bestimmtphysikalische Eigenschaften bestimmt Wie lange braucht ein Lichtstrahl von Wie lange braucht ein Lichtstrahl von
Mainz nach Wiesbaden oder Heidelberg ?Mainz nach Wiesbaden oder Heidelberg ? Wieviele Atome liegen in einem Kristall Wieviele Atome liegen in einem Kristall
zwischen zwei Punkten A und B ?zwischen zwei Punkten A und B ? Es gibt keinen „leeren Raum“ außerhalb Es gibt keinen „leeren Raum“ außerhalb
physikalischer Prozessephysikalischer Prozesse
Abstand und MetrikAbstand und MetrikPythagorPythagoras :as :
Riemann Riemann Geometrie :Geometrie :
Metrik Metrik ggμνμν
dsds2 2 = g= g11 11 dxdx2 2 + g+ g22 22
dydy22
+g+g12 12 dx dydx dy
Einheitlicher Raum für Einheitlicher Raum für Ort und Zeit : RaumzeitOrt und Zeit : Raumzeit
Vierer - VektorVierer - Vektor
Abstand und MetrikAbstand und Metrik
Riemann Riemann Geometrie :Geometrie :
MetrikMetrik ggμνμν
Das Gravitationsfeld ist Das Gravitationsfeld ist diedie
Metrik der RaumzeitMetrik der Raumzeit
Geometrie wird dynamisch !Geometrie wird dynamisch !
Wie zeigt sich die Wie zeigt sich die Geometrie ?Geometrie ?
Massive Körper oder Massive Körper oder Elementarteilchen nehmen Elementarteilchen nehmen
den „kürzesten Weg“den „kürzesten Weg“
minimale minimale EigenzeitEigenzeit
Räumliche Geometrie ändert sich Räumliche Geometrie ändert sich mit der Zeitmit der Zeit
Vier – dimensionale Geometrie Vier – dimensionale Geometrie : (t,x,y,z): (t,x,y,z)
Lichtstrahlen werden durch Lichtstrahlen werden durch Massen abgelenktMassen abgelenkt
Metrik des UniversumsMetrik des Universumshomogen und isotrophomogen und isotrop
Räumlicher Abstand ist Räumlicher Abstand ist proportional proportional a(t)a(t)Ausdehnung des Raums wenn Ausdehnung des Raums wenn a(t)a(t) wächst wächst
(4) Das Gravitationsfeld (4) Das Gravitationsfeld bestimmt die Geometrie bestimmt die Geometrie
von Raum und Zeitvon Raum und ZeitMetrikMetrik
Einstein GleichungEinstein Gleichung
Einstein GleichungEinstein Gleichung
Differentialgleichung für Gravitationsfelder Differentialgleichung für Gravitationsfelder (Metrik)(Metrik) Verknüpft Geometrie und Materie Verknüpft Geometrie und Materie ( Energie-Impuls-Tensor)( Energie-Impuls-Tensor) Benötigt weitere Gleichung für Eigenschaften des Benötigt weitere Gleichung für Eigenschaften des
Energie-Impuls-Tensors ( Zustandsgleichung )Energie-Impuls-Tensors ( Zustandsgleichung )
Wenn Verteilung der Materie sowie Metrik und ihre Wenn Verteilung der Materie sowie Metrik und ihre Ableitung an Ableitung an jedem Ort jedem Ort zu einer zu einer bestimmten Zeit bestimmten Zeit gegeben: gegeben:
Berechnung für jeden späteren oder früheren Zeitpunkt Berechnung für jeden späteren oder früheren Zeitpunkt möglich !möglich !
Einstein GleichungEinstein Gleichung
M M : Planck-Masse: Planck-Masseverknüpft mit verknüpft mit GravitationskonstantGravitationskonstante e GG
Einstein GleichungEinstein Gleichung
KrümmungstensorKrümmungstensor
ZusammenhZusammenhangang
inverse inverse Metrik Metrik ggμνμν
KrümmungsskaKrümmungsskalarlar
Newton GravitationNewton Gravitation
Einstein GleichungEinstein Gleichungfür für zeitunabhängiges zeitunabhängiges ΦΦ : :
Newton - GravitationNewton - Gravitation
Altes Gesetz ist in neuemAltes Gesetz ist in neuemals Näherung enthaltenals Näherung enthalten
Kosmologische Kosmologische GleichungGleichung
Einstein Einstein ––GleichuGleichung ng für für MetrikMetrik ρρ : Energie- : Energie-
DichteDichte
Friedmann Friedmann GleichungGleichung
Hubble ParameterHubble Parameter
Kritische DichteKritische Dichte ρρcc =3 H² M² =3 H² M² Kritische Energiedichte des Kritische Energiedichte des
Universums Universums ( M : reduzierte Planck-Masse , M( M : reduzierte Planck-Masse , M-2-2=8 =8 ππ G ; G ; H : Hubble Parameter )H : Hubble Parameter )
ΩΩbb==ρρbb//ρρcc
Anteil der Atome ( Baryonen ) an Anteil der Atome ( Baryonen ) an der (kritischen) Energiedichteder (kritischen) Energiedichte
Modifikation der Einstein Modifikation der Einstein GleichungGleichung
modifiziermodifizierteteGravitatioGravitationn
DunklDunkleeEnergiEnergieeUnterschied ist nicht Unterschied ist nicht
eindeutig !eindeutig !Kosmologische Konstante links oder Kosmologische Konstante links oder rechts ?rechts ?
(5) Das Materielle (5) Das Materielle bestimmt die bestimmt die
GeometrieGeometrie Einstein GleichungEinstein Gleichung
Was steckt hinter der Was steckt hinter der Einstein Gleichung ?Einstein Gleichung ?
SymmetrieSymmetrie Allgemeine RelativitätstheorieAllgemeine Relativitätstheorie Invarianz unter Änderung der Invarianz unter Änderung der
KoordinatenKoordinaten
Quantengravitation : Metrik ist Quantengravitation : Metrik ist Erwartungswert eines Metrik- OperatorsErwartungswert eines Metrik- Operators
SymmetrieprinzipSymmetrieprinzip
Physik ist die Physik ist die Gleiche Gleiche
in allen frei fallenden in allen frei fallenden SystemenSystemen
(6) Konstruktionsprinzip (6) Konstruktionsprinzip SymmetrieSymmetrieAllgemeine Allgemeine
RelativitätstheorieRelativitätstheorie
ZusammenfasssungZusammenfasssung
(1) Vorhersage der Zukunft (1) Vorhersage der Zukunft aus dem Jetztaus dem Jetzt
DifferentialgleichungDifferentialgleichung
(2) Gravitation ist die (2) Gravitation ist die dominierende dominierende Wechselwirkung Wechselwirkung (Kraft) (Kraft) bei großen bei großen AbständenAbständen
(3) Gravitation wird durch (3) Gravitation wird durch ein Gravitations - ein Gravitations - FeldFeld
beschriebenbeschrieben
(4) Das Gravitationsfeld (4) Das Gravitationsfeld bestimmt die Geometrie bestimmt die Geometrie
von Raum und Zeitvon Raum und ZeitMetrikMetrik
(5) Das Materielle (5) Das Materielle bestimmt die bestimmt die
GeometrieGeometrie Einstein GleichungEinstein Gleichung
(6) Konstruktionsprinzip (6) Konstruktionsprinzip SymmetrieSymmetrieAllgemeine Allgemeine
RelativitätstheorieRelativitätstheorie