Gravitacija kao specijalna relativistička teorija polja · Zaključak graviton mora biti bezmaseno...
Transcript of Gravitacija kao specijalna relativistička teorija polja · Zaključak graviton mora biti bezmaseno...
![Page 1: Gravitacija kao specijalna relativistička teorija polja · Zaključak graviton mora biti bezmaseno polje spina 2 opisano simetričnim Lorentzovim tenzorom najopćenitiji lagranžijan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022040507/5e4746e9b1919e19d037a996/html5/thumbnails/1.jpg)
Gravitacija kao specijalna relativistička teorija polja
Jelena Filipović
Fizički odsjek, PMF, Sveučilište u Zagrebu
![Page 2: Gravitacija kao specijalna relativistička teorija polja · Zaključak graviton mora biti bezmaseno polje spina 2 opisano simetričnim Lorentzovim tenzorom najopćenitiji lagranžijan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022040507/5e4746e9b1919e19d037a996/html5/thumbnails/2.jpg)
Uvod
● dugodosežna interakcija graviton je bezmasena čestica
● statička sila graviton je bozon
● nije opaženo negativno međudjelovanje spin je paran
● opaženo ogibanje svjetlosti kraj zvijezda spin nije 0
- propagator čestice s m=0, s=0 ~
- jedino vezanje:
- ali u elektromagnetizmu!
Svojstva gravitacije
GRAVITON : masa =0, spin =2
![Page 3: Gravitacija kao specijalna relativistička teorija polja · Zaključak graviton mora biti bezmaseno polje spina 2 opisano simetričnim Lorentzovim tenzorom najopćenitiji lagranžijan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022040507/5e4746e9b1919e19d037a996/html5/thumbnails/3.jpg)
SRTP spina 1● bezmaseno vektorsko polje
● rješenje: Lorentzov uvjet očuvanje struje
● želimo lagranžijan takav da iz jednadžbi
gibanja slijedi očuvanje struje
4 komponente, 2 stanja heliciteta gustoća energije nije poz. definitna
BAŽDARNI UVJET
![Page 4: Gravitacija kao specijalna relativistička teorija polja · Zaključak graviton mora biti bezmaseno polje spina 2 opisano simetričnim Lorentzovim tenzorom najopćenitiji lagranžijan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022040507/5e4746e9b1919e19d037a996/html5/thumbnails/4.jpg)
● najopćenitiji LI lagranžijan:
● jednadžba gibanja:
uvrstimo u baždarni uvjet :
● baždarna invarijantnost:
![Page 5: Gravitacija kao specijalna relativistička teorija polja · Zaključak graviton mora biti bezmaseno polje spina 2 opisano simetričnim Lorentzovim tenzorom najopćenitiji lagranžijan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022040507/5e4746e9b1919e19d037a996/html5/thumbnails/5.jpg)
● slobodni lagranžijan
● jednadžbe gibanja baždarne transformacije
● varijacija lagranžijana s obzirom na :
Vezanje na materiju
Noetherina struja
- vrijedi zakon očuvanja
globalna transformacija
lokalna transformacija
![Page 6: Gravitacija kao specijalna relativistička teorija polja · Zaključak graviton mora biti bezmaseno polje spina 2 opisano simetričnim Lorentzovim tenzorom najopćenitiji lagranžijan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022040507/5e4746e9b1919e19d037a996/html5/thumbnails/6.jpg)
● ali nije izvor za lagranžijanu dodajemo član koji reproducira
Maxwellovu jednadžbu
jednadžbe gibanja:
● za struju više ne vrijedi zakon očuvanja
NEKONZISTENTNOST!
RAZLOG: nije struja vezana uz , već uz
očuvana struja je
![Page 7: Gravitacija kao specijalna relativistička teorija polja · Zaključak graviton mora biti bezmaseno polje spina 2 opisano simetričnim Lorentzovim tenzorom najopćenitiji lagranžijan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022040507/5e4746e9b1919e19d037a996/html5/thumbnails/7.jpg)
● općenito: iz invarijantne na transformacije
konstruiramo
● izjednačimo parametre
transformacija
● za slobodni lagranžijan dodamo
dodamo
Noetherina metoda
takve da je invarijantna na
Dobili smo konzistentnu teoriju vezanu na materiju!
lokalne transformacije
![Page 8: Gravitacija kao specijalna relativistička teorija polja · Zaključak graviton mora biti bezmaseno polje spina 2 opisano simetričnim Lorentzovim tenzorom najopćenitiji lagranžijan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022040507/5e4746e9b1919e19d037a996/html5/thumbnails/8.jpg)
Slobodno spin-2 polje● Graviton: masa=0, spin=2
opisan simetričnim tenzorom
● izvor gravitacije je masa u SRTP izvor je
tražimo vezanje takvo da vrijedi
+ zakon očuvanja
● želimo naći linearnu teoriju najopćenitiji lagranžijan:
● jednadžba gibanja
BAŽDARNI UVJET
+ baždarni uvjet
![Page 9: Gravitacija kao specijalna relativistička teorija polja · Zaključak graviton mora biti bezmaseno polje spina 2 opisano simetričnim Lorentzovim tenzorom najopćenitiji lagranžijan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022040507/5e4746e9b1919e19d037a996/html5/thumbnails/9.jpg)
Jednadžba gibanja:
Baždarna invarijantnost:
FIERZ-PAULI LAGRANŽIJAN
![Page 10: Gravitacija kao specijalna relativistička teorija polja · Zaključak graviton mora biti bezmaseno polje spina 2 opisano simetričnim Lorentzovim tenzorom najopćenitiji lagranžijan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022040507/5e4746e9b1919e19d037a996/html5/thumbnails/10.jpg)
Problem nekonzistentnostii Noetherina metoda
![Page 11: Gravitacija kao specijalna relativistička teorija polja · Zaključak graviton mora biti bezmaseno polje spina 2 opisano simetričnim Lorentzovim tenzorom najopćenitiji lagranžijan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022040507/5e4746e9b1919e19d037a996/html5/thumbnails/11.jpg)
Vezanje na materiju
Tenzor energije i impulsa:
NEKONZISTENTNOST!
Pokrata:
ZAKON OČUVANJA
Je li u skladu s jednadžbama gibanja?
RAZLOG: očuvan je ukupni tenzor energije i impulsa!
![Page 12: Gravitacija kao specijalna relativistička teorija polja · Zaključak graviton mora biti bezmaseno polje spina 2 opisano simetričnim Lorentzovim tenzorom najopćenitiji lagranžijan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022040507/5e4746e9b1919e19d037a996/html5/thumbnails/12.jpg)
Newtonska granica
- tenzor energije i impulsa slobodne čestice:
,
jednadžbe gibanja
- koristimo de Donderovo baždarenje:
možemo ga identificirati s Newtonskim potencijalom:
- model daje dobro slaganje s ogibanjem svjetlosti, 0.75 puta od opažene vrijednosti zakreta perihela Merkura
![Page 13: Gravitacija kao specijalna relativistička teorija polja · Zaključak graviton mora biti bezmaseno polje spina 2 opisano simetričnim Lorentzovim tenzorom najopćenitiji lagranžijan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022040507/5e4746e9b1919e19d037a996/html5/thumbnails/13.jpg)
● slobodni lagranžijan
● jednadžbe gibanja
● transformacije polja
● kanonski tenzori en. i impulsa
Noetherina metoda
tenzori su očuvani:
![Page 14: Gravitacija kao specijalna relativistička teorija polja · Zaključak graviton mora biti bezmaseno polje spina 2 opisano simetričnim Lorentzovim tenzorom najopćenitiji lagranžijan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022040507/5e4746e9b1919e19d037a996/html5/thumbnails/14.jpg)
● tenzor nije izvor za polje dodajemo član
● jednadžbe gibanja
NEKONZISTENTNOST!
RAZLOG: očuvana je ukupna energija sustava gravitacija se mora vezati na samu sebe
![Page 15: Gravitacija kao specijalna relativistička teorija polja · Zaključak graviton mora biti bezmaseno polje spina 2 opisano simetričnim Lorentzovim tenzorom najopćenitiji lagranžijan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022040507/5e4746e9b1919e19d037a996/html5/thumbnails/15.jpg)
ne daje dobru jednadžbu gibanja:
trebamo složeniji član samomeđudjelovanja
takav da
![Page 16: Gravitacija kao specijalna relativistička teorija polja · Zaključak graviton mora biti bezmaseno polje spina 2 opisano simetričnim Lorentzovim tenzorom najopćenitiji lagranžijan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022040507/5e4746e9b1919e19d037a996/html5/thumbnails/16.jpg)
● simetrije tražimo teoriju invarijantnu na lokalnu verziju simetrija polja i
parametri lokalnih transformacija
zahtjev: baždarne transformacije generiraju istu algebru na i
nove transformacije polja:
● najopćenitiji izraz za :
20 članova, 16 koeficijenata određujemo ih iz baždarnog uvjeta:
![Page 17: Gravitacija kao specijalna relativistička teorija polja · Zaključak graviton mora biti bezmaseno polje spina 2 opisano simetričnim Lorentzovim tenzorom najopćenitiji lagranžijan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022040507/5e4746e9b1919e19d037a996/html5/thumbnails/17.jpg)
konzistentan rezultat u prvom redu u
dobro slaganje s opaženim vrijednostima zakreta perihela Merkura
Ali računanje viših redova u je komplicirano!
![Page 18: Gravitacija kao specijalna relativistička teorija polja · Zaključak graviton mora biti bezmaseno polje spina 2 opisano simetričnim Lorentzovim tenzorom najopćenitiji lagranžijan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022040507/5e4746e9b1919e19d037a996/html5/thumbnails/18.jpg)
Deserov argument
transformacije polja:
jednadžbe gibanja:
djelujemo s i
polja nisu nezavisna!
![Page 19: Gravitacija kao specijalna relativistička teorija polja · Zaključak graviton mora biti bezmaseno polje spina 2 opisano simetričnim Lorentzovim tenzorom najopćenitiji lagranžijan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022040507/5e4746e9b1919e19d037a996/html5/thumbnails/19.jpg)
ista jednadžba gibanja kao za Fierz-Pauli lagranžijan!
- tražimo korekciju na zbog samointerakcije takvu da vrijedi
koristimo Rosenfeldovu metodu: 1.
2.
3. 4. polja: tenzori ili gustoće tenzora?
je gustoća tenzora (transformira se kao ) !
![Page 20: Gravitacija kao specijalna relativistička teorija polja · Zaključak graviton mora biti bezmaseno polje spina 2 opisano simetričnim Lorentzovim tenzorom najopćenitiji lagranžijan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022040507/5e4746e9b1919e19d037a996/html5/thumbnails/20.jpg)
- ukupni lagranžijan:
korekcija nema član koji se treba zamjeniti s
nema novog doprinosa tenzoru en. i impulsa
- jednadžbe gibanja: Riccijev tenzor
- definiramo:
je beskonačni red od ,
ponaša se kao metrika
![Page 21: Gravitacija kao specijalna relativistička teorija polja · Zaključak graviton mora biti bezmaseno polje spina 2 opisano simetričnim Lorentzovim tenzorom najopćenitiji lagranžijan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022040507/5e4746e9b1919e19d037a996/html5/thumbnails/21.jpg)
● na jednadžbu za djelujemo s i + izraz za
● konzistentnost: na jednadžbu za djelujemo s i
Einsteinova jednadžba
![Page 22: Gravitacija kao specijalna relativistička teorija polja · Zaključak graviton mora biti bezmaseno polje spina 2 opisano simetričnim Lorentzovim tenzorom najopćenitiji lagranžijan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022040507/5e4746e9b1919e19d037a996/html5/thumbnails/22.jpg)
● za invarijantnost na generalne transformacije koordinata
dodajemo članove :
u skladu s prijašnjim izrazima
EINSTEIN-HILBERTLAGRANŽIJAN
![Page 23: Gravitacija kao specijalna relativistička teorija polja · Zaključak graviton mora biti bezmaseno polje spina 2 opisano simetričnim Lorentzovim tenzorom najopćenitiji lagranžijan](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022040507/5e4746e9b1919e19d037a996/html5/thumbnails/23.jpg)
Zaključak● graviton mora biti bezmaseno polje spina 2 opisano simetričnim Lorentzovim tenzorom
● najopćenitiji lagranžijan za slobodno polje je Fierz-Pauli lagranžijan
● problem nekonzistentnosti pri vezanju na materiju
1. rješenje: Noetherina metoda - dobri rezultati u prvom redu s obzirom na
- komplicirana u višim redovima
2. rješenje: Deserov argument - konzistentna teorija
- reproducira Hilbert-Einstein lagranžijan
LITERATURA
[1] R.P. Feynman, “Lectures on gravitation”, edited by F. B. Morinigo, W. G. Wagner, and B. Hatifeld. 1995.[2] T. Ortin, “Gravity and strings”. Cambrige University Press, 2004.[3] M. Fierz i W. E. Pauli, “On relativistic wave equations for particles of arbitrary spin in an electromagnetic field.” Proc. R. Soc. Lond. (1939), str. 211.-232.[4] V. I. Ogievetsky i I. V. Polubarinov, “Interacting field of spin 2 and the Einstein equations”. Anals of Physics 35.2 (1965), str. 167-208.[5] R. M. Wald, “Spin-two fields and general covariance”. Physical Review D. 33.12 (1986), str. 3613.