Grafy inaczej, czyli inne modele grafów

• Multigrafy

• Grafy z wagami

• Grafy skierowane

• Hipergrafy

• Grafy losowe (MPK 410, STL 510)

Multigrafy

• Multigrafy to grafy z wagami na krawędziach; wagi to lczby naturalne – krotności krawędzi.

• Problem Chińskiego listonosza: znaleźć rozpięty nadgraf eulerowski o najmniejszej wadze.

• Inny problem: znaleźć rozpięty nadgraf o najmniejszej maksymalnej wadze krawędzi, w którym wszystkie stopnie są różne.

• Wariant: jak wyżej, ale chcemy tylko, by pary sąsiednich wierzchołków miały różne stopnie (stopnie w roli kolorów wierzchołków).

• Dla K_n odpowiedź wynosi 3 (ćw.)

Grafy z wagami• G=(V,E,w), w:ER• Wagę podgrafu określamy jako sumę wag jego

krawędzi.Klasyczne problemy optymalizacji:• MST – znaleźć rozpięte drzewo o minimalnej

wadze.• Optimal Assignment Problem – znaleźć

skojarzenie doskonałe w grafie dwudzielnym K_{n,n} o minimalnej (maksymalnej) wadze.

• TSP – znaleźć cykl Hamiltona o minimalnej wadze (problem w klasie NP– zupełnej).

Parametry ułamkowe

• Skojarzenie ułamkowe to funkcja w:E [0,1] taka, że dla każdego v

ev

ew 1)(

• α’*(G) to największa waga skojarzenia ułamkowego w grafie G, czyli rozwiązanie problemu PL

1)(:gdy ,)( MAX evEe

ewvew

Parametry dualne

• Wierzchołkowe pokrycie ułamkowe to funkcja w:V [0,1] taka, że dla każdej krawędzi e=uv

1)()( vwuw• β*(G) to najmniejsza waga wierzchołkowego pokrycia ułamkowego w grafie G, czyli rozwiązanie problemu PL

1)()(:gdy ,)( MIN

vwuwGuvvwVv

Twierdzenie o dualności PL

• Tw. o dualności: β*(G)= α’*(G) – tzn. ułamkowe tw. Königa zachodzi dla wszystkich grafów.

• Dla grafów dwudzielnych zachodzi tw. Königa: β(G)= α’(G) .

• Zatem, dla grafów dwudzielnych α’(G) ≤ α’*(G) = β*(G) ≤ β(G)= α’(G),a więc α’(G) = α’*(G) .

Grafy skierowane

Graf skierowany (digraf) to para (V,A), gdzie A jest zbiorem uporządkowanych par różnych wierzchołków z V.

Elementy zbioru A nazywamy łukami, a na rysunkach parę (u,v) przedstawiamy w postaci strzałki z u do v.

u v

Orientacje, turnieje i grafy podskórne

• Z (nieskierowanego) grafu G można utworzyć graf skierowny nadając kierunek każdej krawędzi – orientacja grafu G.

• Turniej to orientacja grafu pełnego K_n • Odwrotnie, z digrafu D można utworzyć

zwykły (multi)graf G(D) ,,wymazując” wszystkie strzałki – tzw. podskórny graf nieskierowany digrafu D.

Odpowiednik Tw. Diraca

• Półstopnie wejścia i wyjścia, d^-(v), d^+(v)

Twierdzenie Diraca dla digrafów. Jeśli wszystkie półstopnie wejścia i wyjścia są większe bądź równe n/2, to D zawiera skierowany cykl Hamiltona. �

Spójność i odpowiednik Tw. Eulera

• Digraf D jest spójny, gdy jego graf podskórny G(D) jest spójny.

• Digraf D jest silnie spójny, gdy dla każdej pary wierzchołków (u,v) istnieje w D skierowana ścieżka z u do v.

Tw. Eulera dla digrafow. Spójny digraf D ma skierowany obchód Eulera wgdy dla każdego v: d^-(v)=d^+(v).

Silna spójność orientacji

• Czy dany, spójny system dróg G można zmienić na jednokierunkowy, tak, by każdy wszędzie mógł (legalnie) dojechać?

• Chodzi tu o silnie spójną orientację grafu G.• Jeśli G ma most, to nie.Tw. o silnie spójnej orientacji (Robbins

1939). Jeśli G jest 2-krawędziowo-spójny, to posiada silnie spójną orientację.

Silna spójność turnieju

Tw. (Moon 1966) Jeśli D jest silnie spójnym turniejem, to dla każdego k=3,…,n każdy wierzchołek leży na skierowanym cyklu długości k.

Szkic dowodu (ind. wzgl. k): • Ustal wierzchołek u i pokaż, że u leży na

skierowanym trójkącie. • Pokaż, ze skoro u leży na cyklu C_k, to leży też na

cyklu C_{k+1}. �Wniosek. Turniej ma skierowny cykl Hamiltona

wgdy jest silnie spójny.

Liczba chromatyczna a najdłuższa ścieżka skierowana

• Niech l(D) będzie długością najdłuższej ścieżki skierowanej w D.

Tw. (Roy 67, Gallai 68) χ(G(D)) ≤ l(D) +1.

Wniosek. χ(G)=min {l(D)+1}, gdzie minimum jest wzięte po wszystkich orientacjach G.

Dowód wniosku

Dowod Wniosku: Pokolorujmy G optymalnie kolorami 1,2,…, χ i skierujmy krawędzie od koloru mniejszego do większego. Wtedy najdłuższa skierowana ścieżka nie będzie dłuższa niż χ-1. Nierówność w drugą stronę wynika z Tw. (Roy 67, Gallai 68). �

Ilustracja

1 2 χ

Skierowane ścieżki Hamiltona w turnieju

Wniosek (Redei, 1934) Każdy turniej ma ścieżkę Hamiltona.

Dowod: Jeśli D jest turniejem, to χ(G(D))=n

i na podstawie Tw. (Roy 67, Gallai 68) ma ścieżkę skierowaną długości n-1. �

Dowód indukcyjny (ćw.)

Królewskie zbiory niezależne

Tw. (Chvatal i Lovasz, 1974) Każdy digraf posiada zbiór niezależny, z którego każdy inny wierzchołek jest osiągalny ścieżką skierowaną długości 1 lub 2.

Szkic dowodu: indukcja względem n; w kroku indukcyjnym usunąć wierzchołek v wraz ze zbiorem sąsiadów N^+(v) (strzałki wychodzące). �

Wniosek. Każdy turniej ma króla, tzn. wierzchołek, z którego każdy inny wierzchołek jest osiągalny ścieżką skierowaną długości 1 lub 2.

Dowod: α(G(D))= α(K_n)=1. �Dowód indukcyjny (ćw.)

Hipergrafy

• Hipergraf to para H=(V,E), gdzie E to rodzina niepustych pozdbiorów zbioru V.

• V – zbiór wierzchołków, E – zbiór krawędzi

• Hipergraf jest k-jednostajny, gdy wszystkie krawędzie mają tę samą moc k.

• Hipergraf 2-jednostajny to po prostu graf.

Skojarzenia i pokrycia hipergrafów

• Skojarzenie to zbiór rozłącznych krawędzi.

• α’(H) – moc największego skojarzenia w H.

• Pokrycie to zbiór wierzchołków, który przecina każdą krawędź.

• β(H) – moc najmniejszego pokrycia w H.

• Jasne: α’(H) ≤ β(H)

• Problem: Kiedy α’(H) = β(H) ???

Problemy NP-zupełne

• W przeciwieństwie do grafów, wyznaczenie α’ (H) jest problemem z klasy NP-zupełnej.

• Nawet, jeśli ograniczyć sie do hipergrafów 3-jednostajnych.

• Pokażmy równoważność (redukcję wielomianową) tego problemu z obliczaniem α(G):

α’(H)= α(L(H)), gdzie L(H) – graf krawędziowy (albo: przecięć) hipergrafu H.

α(G)= α’(St(G)), gdzie St(G) jest hipergrafem gwiazd, tzn. wierzchołkami są krawędzie G, a krawędziami są maksymalne gwiazdy w G. (ćw)

Hipergrafy 2-kolorowalne

• H nazywamy 2-kolorowalnym, gdy jego wierzchołki można pomalować 2 kolorami tak, by każda krawędź mocy co najmniej 2 zawierała wierzchołki obu kolorów.

• Podhipergraf indukowany przez U to H[U]=(U,E’), gdzie E’sklada sie ze wszystkich niepustych części wspólnych zbioru U z krawędziami H.

• H jest zrównoważony, gdy każdy podhipergraf indukowany jest 2-kolorowalny.

Tw. (Berge i Las Vergnas, 1970) Każdy zrównoważony hipergraf spełnia własność Königa: α’(H) = β(H). �

Podhipergraf indukowany