GRAFICA DE FUNCIONES: Ejercicios Resueltos, Se pide:Graficar, determinando: Dominio, Asíntotas, intervalos de crecimiento, Extremos Relativos, Intervalos de Concavidad y Puntos de Inflexión y Rango:Función     f (x) = x 4 - 2x 2

Dominio: x ε R

Cortes con los ejes Coordenados: Con el eje X: si y=0 → x=0 y x= ± √2 entonces los

puntos son : (0,0),

Con el eje Y:Si x=0 → y=0 , el punto es: (0,0)

ASINTOTAS : No tiene, es poli nómicaSIMETRIA: Es Par ( Es simétrica con respecto al eje Y)

Extremos Relativos: Derivando:

Puntos Criticos:a) ,

Resolviendo: x= 0, +1, -1

intervalo Signo derivad Crecimiento<-∞, -1> - Decrece< -1, 0> + crece< 0,1 > - Decrece< 1, +∞> + crece

EXTREMOS RELATIVOS Máximo: (0, 0); Mínimos: (1 -1), (-1, -1

Concavidad y puntos de Inflexión: Derivando la deriva de f(x)

Puntos Criticos de Inflexión:

a) ,

Resolviendo: x= +√3, y x= -√3, son P.C

intervalo Signo. 2º derivada Concavidad

<-∞,-√3 > + Hacia arriba<-√3 , √3> - Hacia abajo<, √3.+∞> + Hacia arriba

Puntos de Inflexión:

GARFICA DE LA FUNCION

Rango: y <-1, +∞ >

Función  

 Dominio: R - {-1,1}

Corte con los ejes: Con el eje X: Si y=0 x=0, el punto es (0,0)Con el eje Y: Si x=0 y=0, el pto es (0,0)

Simetrías: Existe con el origen f(-x) = - f(x)

ASINTOTAS:1,- A. Horizontales:

No existen, Gr(N)> Gr(D)

2.- A. Verticales Denominador=0, x2-1=0

Resolviendo: A:V: x =-1, x=1

3.- A. Oblicuas, si hay , Grd(N) = Grad(D)+1 Hay A.O. a la Derecha y a la Izquierda ver el Df

Calculo de la : A.O.D:

,

Entonces: m = 1

, calculando

Entonces b = 0 Asuntota Oblicua a la Derecha: y=x

De igual forma se obtenemos, la A.O. a la Izquierda: y = x

Extremos Relativos:Calculo de los puntos criticos:Derivando la funcion:

, entonces:

a) → x= 0, x= ±√3

como son del Df son P.C

b)

x2 - 1=0 → x= 1, x= -1 como no son del Df no son P.C

son P.C: 0, ±√3

intervalo Signo 1º derivada Crecimiento<-∞, -√ 3 > + Crece<-√3, -1 > - Decrece< -1, 0 > - Decrece< 0, 1> - Decrece<1, √ 3> - Decrece<√ 3,+ ∞> + Crece

Entonces tendremos :

Extremos Relativos:

Máximo: , Mínimo:

Concavidad y Ptos de Inflexión    

Derivando la 1º derivada, tendremos:

Puntos criticos de inflexión:

a) Donde ,

Obtenemos: x =0

b) Donde

observe que no hay los valores que anulan el denominador no son del Df

intervalo Signo 2º derivada

concavidad

< -∞, -1> + Cóncava<-1, 0 > - Convexa< 0, 1> + Cóncava<1,+ ∞> - convexa

GRAFICA DE LA FUNCION:

Rango: y R

1.- Gráficar

1. Dominio

Se necesita: lo cual se cumple cuando 2. Intersección con los ejes:

Eje X: , luego en el punto interseca al eje x.

Como también en interseca al eje Y.

3.- ASINTOTAS HORIZONTALES a) AHD

: b) AHÍ:

de a) y b) no existen asintotas horizontales, pèro puede tener asintotas oblicuas.

4.- ASINTOTAS VERTICALESPosibles Asintotas Verticales x2-4 = 0 x=-2 o x=2Analicemos los limites cuando x → -2- y x→ 2+

a) b)

de a) y b) tenemos que: x=2 es AVD y x=-2 es AVI

5.- ASINTOTAS OBLICUAS: y =mx + b AOD: Calculo de m:

de donde m= 1Calculo de b:

, de donde b= 0. Entones AOD: y = x

ASINTOTAS OBLICUAS A LA IZQUIERDA

Calculo de m:

de donde m = 1 Calculo de b:

, de donde b = 0

Luego, la recta con ecuación y = x es AOI.

6.- Extremos relativos Hallemos la derivada:

(¡Compruébelo!)

PUNTOS CRITICOS: son: -√8 y √8

Intervalos Signo de

Crecimiento Extremos Relativos

<-∞, -√8> - Decrece X=--√8 existe un Mínimo RelatX= √8 existe un mínimo Relat

<-√8, -2 > + Crece

< 2, √8 > - Decrece

< √8, +∞> + Crece

7.- Concavidad y Puntos de Inflexión:

Hallemos la segunda derivada:

Como y por lo que f siempre es cóncava hacia arriba.

8.- Grafica de la funcion:

GRAFICA DE FUNCIONES: Ejercicios propuestosA.- FUNCIONES ALGEBRAICAS

Función     f(x) = x(x - 3) 2

Dominio: RSigno: Negativa en (- inf, 0) Positiva en (0, +inf)Cortes con los ejes: (0, 0), (3, 0)Simetrías: No tiene

Asintotas: No tiene, es poli nómica

CRECIMIENTO   Creciente: (-inf, 1) (3, +inf)Decreciente: (1, 3)

EXTREMOS RELATIVOSMáximo: (1, 4);Mínimo: (3, 0)

CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXION Convexa: (2, +inf) Cóncava: (-inf, 2)

Punto de inflexión: (2, 2)

Función     f(x) = 2x 3 - 3x 2

Dominio: RSigno: Negativa en (- inf, 3/2) Positiva en (3/2, +inf)Cortes con los ejes: (0, 0), (3/2, 0)Simetrías: No hay

Asintotas: No tiene

CrecimientoCreciente: (-inf, 0) (1, +inf)Decreciente: (0, 1)Extremos RelativosMáximo: (0, 1);Mínimo: (1, -1)

Concavidad   y puntos de inflexion   Convexa: (1/2, +inf)Cóncava: (-inf, 1/2)

Punto de inflexión: (1/2, -1/2)

Función     f(x) = x 3 - 3x 2 - 2Dominio: RSigno: f(3)<0; f(4)>0Cortes con los ejes: en x = 3,195 que pertence al intervalo (3, 4)Simetrías: No hay

Asintotas: No tiene

Crecimiento   Creciente: (-inf, 0) (2, +inf)Decreciente: (0, 2)

Extremos RelativosMáximo: (0, -2);Mínimo: (2, -6)

Concavidad   y puntos de Inflexion   Convexa: (1, +inf)Cóncava: (-inf, 1)

Punto de inflexión: (1, -4)

Función  

 Note que es una hiperbola

Dominio: R - {- 1/2}Corte con los ejes: (0, -1), (1, 0)Simetrías: No hay

Crecimiento   Creciente siempre

Note que no tiene Puntos Criticos, por lo tanto no tiene Extremos Relativos

Concavidad     y Ptos de InflexiónConvexa: (-inf, -1/2)Cóncava: (-1/2, +inf)Punto de inflexión: No tiene

Asíntotas     Horizontal: y = 1/2Vertical: x = - 1/2

Función  

 Dominio: R - {0}Corte con los ejes: (-1, 0)Simetrías: No hay

CrecimientoSiempre decrecienteExtremos Relativos: No tiene

Concavidad   y Ptos de Inflexión   Convexa: (0, +inf)Cóncava: (-inf, 0)Punto de inflexión: No

Asíntotas     Horizontal: y = 1Vertical: x = 0

Función  

 Dominio: R - {1}Corte con los ejes: (0,0)Simetrías: No hay

Crecimiento   Creciente en: (-inf,0) (2,+inf)Decreciente en: (0,2)Extremos Relativos:Máximo en (0,0)Mínimo: (2,8)

Concavidad y Ptos de Inflexión     Convexa: (1, +inf)Cóncava: (-inf, 1)

Punto de inflexión: No

Asíntotas     Oblicua: y = 2x + 2Vertical: x = 1

Función  

 Dominio: R - {0}Corte con los ejes: NoSimetrías: No tiene

Crecimiento   Creciente:

Decreciente

Extremos Relativos:

Máximo:

Mínimo:

Concavidad   y Ptos de Inflexion  

Convexa: (0, +inf)Cóncava: (-inf, 0)

Punto de inflexión: No hay

Asíntotas     Oblicua: y = x - 1Vertical: x = 0

Función    

Dominio: R - {-1,1}Corte con los ejes: (0,0)Simetrías: Con el origen f(-x) = - f(x)

CrecimientoCreciente:

Decreciente

Extremos Relativos:

Máximo: Mínimo:

Concavidad y Ptos de Inflexión    

Convexa: (-1,0) (1, +inf)Cóncava: (-inf, -1) (0,1)

Punto de inflexión: (0,0)

Asíntotas     Oblicua: y = xVerticales: x = ± 1

Función

 Dominio: R - {1}Corte con los ejes: (0,0)Simetrías: No hay

CrecimientoCreciente:(-inf,1) (3,+inf)Decreciente: (1,3)Extremos Relativos:Mínimo: (3, 27/4)

Concavidad   y Ptos de Inflexión :   Convexa: (0,1) (1, +inf)Cóncava: (-inf, -0)Punto de inflexión: (0,0);.

Asíntotas     Oblicua: y = x + 2Verticales: x = 1Corte asíntota oblicua:(2/3, 8/3)

Función  

 

Dominio: R - {0}

Corte con los ejes: Simetrías: Con el Origen

Crecimiento   Creciente en todo su dominio.

Concavidad   y Ptos de Inflexión:   Convexa: (-inf,0)Cóncava: (0,-inf)Puntos de Inflexión: No hay

Asíntotas     Oblicua: y = xVerticales: x = 0

Función  

 

Dominio: R - {-1,10}Corte con los ejes: (0, 0)Simetrías: Con el Origen

CrecimientoDecreciente en todo su dominio. No tiene puntos criticos, no tiene extremos relativos

Concavidad     Convexa: (-1,0) (1,+inf)Côncava: (-inf,-1) (0,1)

Punto inflexión: (0,0)

Asíntotas     Horizontal y = 0Verticales: x = ±1

Función  

 Dominio: RCorte con los ejes: (0, -1), (±2,0)Simetrías: Con el Eje Y (Par)

Crecimiento   Creciente en (0,+inf)Decreciente en (-inf,0)

Extremos Relativos:Mínimo: (0,-1)

Concavidad    

Convexa: Cóncava:

Punto inflexión:

Asíntotas     Horizontal y = 1

Función  

 Dominio: RCorte con los ejes: (0, 0)Simetrías: Con el Origen

Crecimiento:Creciente:(-1,1)Decreciente: (-inf,-1) (1,+inf)

Extremos Relativos:Máximo: (1, 1/2)Mínimo: (-1, -1/2)

Concavidad     Convexa:

Cóncava:

Puntos inflexión: (0,0),

Asíntotas     Horizontal y =0

B.- FUNCIONES EXPONENCIALES

Función     Dominio: RCorte con los ejes: (0, 1)Simetrías: Par

Monotonía     Creciente:(-inf,0)Decreciente: (0,+inf) (1,+inf)Máximo: (0,1)

Concavidad     Convexa:

Cóncava: Punto inflexión: (0,0),

Asínotas     Horizontal y = 0

Función     f(x) = (1 - x) e x

Dominio: RCorte con los ejes: (0,1), (1,0)Simetrías: No Asíntotas     Horizontal, solo por la izquierda y = 0 cuando x tiende a -inf

Monotonía     Creciente:(-inf,0)Decreciente: (0,+inf) (1,+inf)Máximo: (0,1)

Concavidad     Convexa: (-inf, -1)Cóncava: (-1, +inf)Punto inflexión: (-1, 2/e)

Función     Dominio: RCorte con los ejes: (0,0)Simetrías: Origen

Monotonía     Creciente

Concavidad     Convexa: (-inf, 0)Cóncava: (0, +inf)Punto inflexión: (0,0)

Asínotas     Horizontal y = 1 cuando x tiende a inf; y = - 1 cuando x tiende a -inf

Función     f(x) = x e x

Dominio: RCorte con los ejes: (0,0)Simetrías: No Asíntotas     Horizontal, solo por la izquierda y = 0 cuando x tiende a -inf

Monotonía     Creciente: (-1, +inf)Decreciente: (-inf, -1)Mínimo: (-1, -1/e)

Concavidad     Convexa: (-2, +inf)Cóncava: (-inf, -2)Punto inflexión: (-2, -2/e 2)

Función     f(x) = x 2 e-x

Dominio: RCorte con los ejes: (0,0)Simetrías: No

Asíntotas     Horizontal, solo por la derecha: y = 0 cuando x tiende a +inf

Monotonía     Creciente: (0, 2)Decreciente: (-inf, 0) (2, +inf)Máximo: (2, 4/e 2)Mínimo: (0, 0)

Concavidad    

Convexa:

Cóncava:

Punto inflexión: