Gráficas aproximadas para algunos polinomios de grado 3 o más.
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Gráficas aproximadas para algunos polinomios de grado
3 o más
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• Una vez se identifican los ceros de una función polinómica, se puede construir un boceto o una aproximación a la gráfica de la función manualmente.
• Para construir una gráfica aproximada, localizas los ceros en un plano cartesiano. Localizas el int-y. Finalmente, debemos saber como unir los puntos con una curva suave.
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Trazar la gráfica de
• Este es un polinomio de grado 3• Su coeficiente principal es +1, lo
cual indica que la cúbica es creciente en ambos extremos.
• Recuerde: Una gráfica es creciente en ambos extremos cuando sus extremos apuntan en diferentes direcciones.
xxxxf 107)( 23
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Trazar la gráfica de
• Encontramos en el estudio anterior que los ceros son: x=0, x=2, x=5.
• Un punto adicional fácil de identificar para un polinomio es el intercepto en y. En este caso si x=0, f(x)=y=0, que coincide con un int-x.
• Como el polinomio es de grado 3, tiene un máximo de 2 puntos de retorno.
xxxxf 107)( 23
)0,2((5,0), 0,0),(
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Trazar la gráfica de
xxxxf 107)( 23
1. Localizar ceros en un plano cartesiano
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Trazar la gráfica dexxxxf 107)( 23
2. Trazar una curva suave q une los puntos y que muestra las características que hemos indicado.
3. Los puntos de retorno deben estar a cerca de la mitad de la distancia entre dos ceros.
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Trazar la gráfica dexxxxf 107)( 23
Nota: Si queremos estimar el valor de la función en los puntos de retorno podemos evaluar la función para valores de x adicionales. Por ejemplo:
•f(1)=•f(4)=
4; el punto (1,4)- 8; el punto (4,-8)
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Comportamiento típico de polinomios de grado 3 (cúbicas)
• Polinomios de grado 3 con coeficiente principal positivo.Gráfica azul: 1 cero (int-x)Gráfica rojo: 3 ceros (int-x)
•Polinomios de grado 3 con coeficiente principal negativo.
Gráfica azul: 1 cero (int-x)
Gráfica verde: 3 ceros (int-x)
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Trazar la gráfica de
• Este es un polinomio de grado 4• Su coeficiente principal es -2, lo cual
indica que este polinomio es creciente en el extremo izquierdo y decreciente en el extremo derecho. Para un polinomio de grado par, esto implica abrir hacia abajo.
• Recuerde: Una gráfica es creciente en un extremo y decreciente en el otro si sus extremos apuntan en la misma dirección.
242)( 24 xxxg
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Trazar la gráfica de
• Los ceros se consiguen:
)1(1)1(12
más. factorizan scuadrático factores dos Estos
112 g(x)
sea o 112 :factoriza que
122
: tenemospor doSustituyen
122
22
2
2
24
x)(xx)(x -g(x)
))(x(x-
))(u(u- -g(x)
uu-g(x)
xu
xxg(x)
242)( 24 xxxg
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Trazar la gráfica de
• Los ceros son: x=1, x= -1 [los puntos (1,0) y (-1,0)]. Decimos que tienen multiplicidad doble.
• Un punto adicional fácil de identificar para un polinomio es el intercepto en y. En este caso si x=0, f(x)=y=- 2; o sea el punto (0,-2)
242)( 24 xxxg
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Trazar la gráfica de
1. Localizar ceros y el intercepto en y en un plano cartesiano
242)( 24 xxxg
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Trazar la gráfica de
242)( 24 xxxg2. Trazar una curva suave q une los puntos y que muestra las características que hemos indicado.
3. En este caso los puntos de retorno coinciden con los intercepts en x.
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Práctica 1
• Usa el método presentado anteriormente para trazar la gráfica de las siguientes funciones:
xxxxp 963)( a) 23
66)( c) 23 xxxxh345 24183)( d) xxxxq
))(x-)(x-)(x(x.f(x) 521350 b)
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Soluciones
))(x-)(x-)(x(x.f(x) 521350
345 24183)( xxxxq
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¿Y ahora qué?
• Una vez hayas estudiado esta presentación y realizado las prácticas (los ejercicios en esta presentación y en el texto), puedes pasar al blog del curso a tomar la prueba corta sobre: Las gráficas de polinomios.
Herramientas visuales disponibles en el Internet• http://www.mathopenref.com/cubicexplorer.html• http://www.mathopenref.com/graphfunctions.html• http://www.explorelearning.com/index.cfm?
method=cResource.dspDetail&ResourceID=62