Graficando Situaciones Físicas de Movimiento
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Taller: Análisis gráfico de situaciones dinámicas
Por: Ricardo De la Garza González, MC.
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AgendaIntroducción
La ciencia escolarEnfoque epistémico Modelo de GiereBreve semblanza histórica del estudio del movimiento de los cuerpos
Construcción del Modelo NewtonianoPrincipios básicosMovimiento uniformeMovimiento uniforme acelerado
Análisis cinemático de situaciones ordinarias (¿cómo?)Situaciones de movimiento en el eje “X”Situaciones de movimiento en el eje “y” Caida libre y tiro verticalSituaciones de movimiento en los ejes “x” y “y”: Tiro parabólico
Análisis dinámico (¿por qué?)Enfoque de fuerzas: Cantidad de movimientoEnfoque energético: Energía potencial gravitacional y energía cinética
Comentarios y discusiones
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Introducción• La ciencia escolar
construcción gradual de significados mediante su participación eficaz en su propio aprendizaje (Sanmartí, 2002)busca que los alumnos logren dar sentido a lo aprendido e interpreten su realidad desde un nuevo enfoque, el científicolos modelos tienen un importante componente epistémico (Izquierdo, et al. 2007)el docente ha de ser un agente activo al realizar una transposición didáctica, donde ha de transformar el saber científico en algo apropiado para ser accesible a alumnos de diferentes edades y en diversos contextos, y que puedan construir modelos sin que por ello dejen de ser rigurosos (Izquierdo, et al, 1999).
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Introducción• Enfoque epistémico Modelo de Giere
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IntroducciónBreve semblanza histórica del estudio del movimiento de los cuerposUna de las finalidades de la física es la descripción y explicación acerca de un
amplio rango de fenómenos y procesos naturales, es decir, resolver los cómos y porqués
384 ac- 322 ac. 1564-1642 1643-1727 1596-1650
Aristóteles Galileo NewtonDescartes
Evidencia Observaciónal Y
Evidencia probatoria
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Análisis gráfico de situaciones físicas
Visualización del fenómeno utilizando CBR 2Identificación de variables relevantes y construcción de hipótesis teóricasUso del modelo construido en situaciones varias
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Actividad 1. Define el fenómeno de movimiento que vamos a analizar
1. Te vas a acercar rápido2. Me voy a alejar despacio
Tratemos de identificar las variables que nos permiten visualizar el fenómeno ( se hace el experimento)
1. Distancia2. Tiempo
Se construyen las hipótesis teóricas para construir el modeloModelo
3. Velocidad
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Hipótesis teóricasAcercarse: La recta se dirige hacia abajoAlejarse: La recta se dirige hacia arribaLento: La recta es poco inclinadaRápido: La recta es muy inclinada Sin movimiento: La recta es horizontal
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Construcción del modeloPedir a los alumnos que traten proponer un modelo matemático para cada sección del fenómeno.Discutir como es que se relacionan los adjetivos con el fenómeno:
LentoRápidoAcercarse Alejarse
Conclusiones acerca del modelo.Se le pide al alumno realizar una predicción del experimento a partir de sus hipótesis teóricas
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Superposición del modelo y fenómeno vía experimento
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Construcción del Modelo Newtoniano• Principios básicos
Marco de referenciaDesplazamientoTiempo
• Para un movimiento uniforme la velocidad promedio se define como:
td
ttdd
vΔΔ
=−−
=12
12
tvdd ⋅+= 0
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EjerciciosUn vehículo que tiene una velocidad de 35 m/s se mueve hacia el este.¿Cuánta distancia ha recorrido después de 3 hrs?
3hrs ‐‐‐‐‐min ‐‐‐‐‐ seg3 hrs ‐‐‐‐‐‐ seg
Si la posición del camión al inicio parte del origen. ¿Cuánto tiempo transcurre para que se localice en el kilometro 250
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EjerciciosUn niño sale de su casa y se mueve hacia el este con una velocidad de 2 m/s. Simultáneamente otro niño que vive a 100 m al este del primero, sale de su casa y se dirige al oeste con una velocidad de 3 m/s. Analiza simultáneamente el movimiento de los niños y determina el punto en donde se encuentran.
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Reflexión crítica del modelo¿Todas las situaciones de movimiento corresponderán al modelo que hemos construido?Por ejemplo, que sucede si una pelota cae libremente y rebota con el sueloRealicemos el experimento y observemos la gráfica d vs tQué podemos decir de las pendientes para esta situación en distintos punto
Nueva variables aceleración = cambio de velocidad
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Revisión del Modelo TeóricoGraficas de movimiento
D vs. T. La velocidad es la pendiente
Caso (+)Caso (0)Caso (‐)
Modelo y=mx + b d = v t + d0Existen situaciones donde hay muchas pendientes
V vs. T.La aceleración es la pendiente como cambio de velocidad a= v2‐v1 / t2‐ t1
Modelo lineal y = mx + b ‐ v = v t + v0
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Revisión al modelo• Movimiento acelerado: Analicemos ahora desde el punto
de vista matemático que implicaciones tiene el tener un cambio de velocidad constante en el tiempo:
tavvttvva
⋅+=−−
=
0
12
12 ( )
( )( )
( )∫∫∫
⋅⋅+=
⋅⋅+=
⋅⋅+=
⋅+=
⋅+=
dttavr
dttavdr
dttavdr
tavdtdr
tavv
0
0
0
0
0
Área del gráfico Velocidad contra tiempo
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EjemploImaginemos la siguiente situación:Un niño parte del reposo y de una posición a 5 m del origen. Después de 2 seg tiene una velocidad 5 m/s.
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A partir de aproximaciones identificar el modelo cuadrático para la distancia recorrida
Se pretende que partiendo de los datos obtenidos del área debajo de la curva de un movimiento con velocidad variable se llegue a identificar el modelo cuadrático d = ½ a t2.Se parte de un movimiento con velocidad inicial = 0 y que parte del origen.Posteriormente se completa el modelo para una situación en donde el objeto no empieza en el origen y tiene una velocidad inicial (+) y después (‐) Se puede terminar el análisis realizando una situación en donde exista desaceleración a(‐)
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Movimiento acelerado¿Cuándo un objeto tiene aceleración?
Cuando hay un cambio de velocidad
Si un objeto cambia su velocidad de 0 m/s a 6m/s en un tiempo de 5 segundos.
¿Cómo es la gráfica vel contra tiempo?
0
6
5
212
12 2.11
2.105
06s
ms
sm
ss
m
ttvvm ==
−
−=
−−
=
02.1 +⋅=+=tv
bmxy
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Cual es la velocidad en t=1s, t=2s, t=3s, t=5 segundos?V(t=1)=1.2(1)=1.2
Cual es la distancia en 1 s, 2s, 3s, 5s?D(t=1)=.6m, D(t=2)=2.4m, D(t=3)=5.4m, D(t=5)=15m
02.1 +⋅=+=tv
bmxy
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Claves para los gráficosD vs. T
Eje “X” tiempoEje “y” distancia recorridaPendiente (derivada) VelocidadÁrea NO TIENE SIGNIFICADO
V vs. TEje “X” tiempoEje “y” velocidad instantáneaPendiente (derivada) aceleraciónÁrea (Integral) distancia recorrida
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Modelos de movimientoMovimiento uniforme
Movimiento acelerado
tvdd ⋅+= 0
tavv ⋅+= 0
20 2
1 tatvdd o ⋅+⋅+=
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Problema 2.Un auto tiene una velocidad inicial de 3 m/s y acelera uniformemente a 1.2 m/s2. Partiendo del origen.
¿Qué velocidad alcanza después de 3 seg? V=6.6¿Qué distancia recorre en los primeros 8 seg?
32.1 +⋅=+=tv
bmxy
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Acerca de vectores y escalaresNota es importante distinguir entre distancia recorrida (escalar) y desplazamiento para los gráficos que son seccionados
Para responder la pregunta. ¿cuál es la distancia recorrida para los primeros 8 seg? Tenemos que calcular de 0 a 3 y de 3 a 8 y luego sumar y esto es el desplazamiento ya que tiene signo (además de utilizar los modelos y=mx+b para ambas) y del análisis gráfico podemos pensar en la distancia recorrida
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Ejercicios variosUna bala sale disparada de la boca de un cañón con una velocidad de 300 m/s. Si el cañón tiene un largo de 2 m.¿Cuánto tiempo le lleva a la bala recorrer el cañón?
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Ejercicio 2Un avión parte del reposo y el origen y acelera de manera que alcanza una velocidad de 150 km/hr en un tiempo de 4 seg.
Determina la distancia que recorrió¿Cual fue su aceleración?
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Análisis cinemático de situaciones ordinarias (¿cómo?)• Situaciones de movimiento en el eje “X”• Un automóvil viaja a una velocidad constante de 30 m/s
cuando rebasa a una patrulla de policía estacionada. El auto de policía acelera a 7 m/s2. ¿A qué velocidad irácuando alcance al auto con exceso de velocidad?
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Una bicicleta acelera de 0.0 m/s a 4.0 m/s en 4 s. ¿Qué distancia recorre?
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Análisis cinemático de situaciones ordinarias (¿cómo?)• Situaciones de movimiento en el eje “y” Caida libre y tiro
vertical• Un estudiante deja caer un balón desde una ventana
situada a 3.5 m por encima de la acera. El balón acelera a 9.8 m/s2(gravedad va hacia abajo). ¿Qué tan rápido iba cuando chocó contra la acera?
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EjemploArrojas un balón hacia abajo desde una ventana a una velocidad de 2.0 m/s. El balón acelera a 9,8 m/s2. ¿Qué tan rápido se está moviendo cuando choca contra la acera 2.5 m más abajo?
Si ahora arrojas hacia arriba el balón en lugar de hacerlo hacia abajo, ¿qué tan rápido se está moviendo cuando choca contra la acera (2.5 m)?
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EjerciciosUn camión viaja a 18 m/s hacia el norte partiendo del origen. El conductor de un automóvil, 500 m al norte y viajando hacia el sur a 24 m/s, pisa el freno y disminuye su velocidad a 3.5 m/s. ¿Dónde se encuentran?Una piedra cae libremente desde el reposo durante 8.0 s.
Calcula la velocidad de la piedra después de 8. S¿cuál es el desplazamiento de la piedra durante ese tiempo?
Una bolsa se deja caer desde un helicóptero que sube a una velocidad de 5 m/s.
Cuando la bolsa ha caído 2.0 s¿Cuál es la velocidad de la bolsa?¿Qué tan lejos ha caído la bolsa?
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Análisis cinemático de situaciones ordinarias (¿cómo?)• Situaciones de movimiento en los ejes “x” y “y”: Tiro
parabólico• Ejemplo: Una flecha es disparada con un ángulo de 50° y
una velocidad inicial de 20 m/s¿Qué posición tiene la flecha después de 0.5, 1 y 5 segundos?Si la flecha sale del origen, ¿Cuánto tiempo tarda en regresar al piso?¿Cuál es la altura máxima que alcanza y cuál es su recorrido máximo?
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Historial del Desarrollo con ecuaciones paramétricas como ecuaciones de movimiento
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Historial del Desarrollo utilizando dos ecuaciones independientes
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EjemploUna bola fue lanzada con una velocidad inicial de 4.47 m/s con un ángulo de 66° por encima de la horizontal.¿Cuál fue la altura máxima alcanzada por la bola? (La velocidad en “y” en el punto más alto tiene un valor de 0 m/s) ¿La velocidad en “x” será cero en el punto más alto?
¿Cuánto tiempo le tomó a la bola retornar a la altura del lanzamiento?¿Cuál fue su rango?
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Análisis dinámico enfoque de fuerzas (¿por qué?)
La cantidad de movimiento de un objeto se define como:
El cambio de la cantidad de movimiento en el tiempo nos dice que fuerza neta es la causante de dicho movimiento acelerado
Por lo tanto si construimos un gráfico v vs. T si multiplicamos eje de “v” por la masa del cuerpo, la pendiente del gráfico nos indicará que fuerza neta esta siendo ejercida sobre éste
vmp ⋅=
tpFΔΔ
=∑
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Análisis dinámico por energía (¿por qué?)Hay tipos de energía
Energía potencial gravitacional: Es un tipo de energía que un cuerpo obtiene por estar a un nivel mayo o menor del nivel de referencia o suelo.Energía cinética: Es un tipo de energía que se relaciona con la velocidad que lleva un cuerpo. Siempre que tenga velocidad tiene energía cinética. Si su velocidad vale 0 m/s entonces su energía cinética = 0 Energía calorífica: Es un tipo de energía que se da cuando dos superficies entran en contacto y hay fricción
2
21 vmK ⋅=
ygmU ⋅⋅=
Q
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Conservación de la energíaPunto inicio t=0
K inicialU inicioE total inicio = K inicial + U inicial
Punto final t = tfK finalU finalE total final = K final + U final
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Caída libreUna piedra de 2.5 kg se deja caer desde 50 m. analice su movimiento utilizando energías.A) Calcular la energía potencial antes de que caiga.B) calcular la energía potencial y cinética cuando esta a 15 m del suelo y su velocidadC) La energía cinética que tiene un instante antes de tocar el suelo y la velocidad con la que toca el suelo.
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Análisis energético y dinámico de una piedra en caída libre
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Análisis energético de un tiro parabólico
Un balón de 1 kg se dispara con una velocidad inicial de 40 m/s a un ángulo de 30°.
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EjemplosConsidere una auto compacto de 875 kg que acelera de 22 a 44 m/s en una superficie horizontal
¿Cuál es el valor de la energía cinética al inicio y al final?Determine el trabajo que se hace al acelerar de 22 a 44 m/s¿Qué cantidad de trabajo se hace al ponerlo en reposo?
Si el auto tiene una potencia de 85,004.7 Watts. ¿Cuánto tiempo le toma en acelerar 22 a 44 m/s?
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Ejemplo 2Un proyectil de 50 kg es disparado desde un cañón situado en el suelo, hasta una altura de 425 m.
¿Cuál es la energía potencial gravitacional del proyectil cuando se encuentra a esta altura?¿Cuál es el valor de la energía potencial cuando el proyectil desciende a una altura de 225m ? ¿Cuál es el valor de su energía cinética en ese punto así como su velocidad?¿Con qué velocidad fue disparada la bala?
425 m
A
B
Ua=0JKa = 208 250 J = (1/2) (m) Va
2
208 250 J =( 1/2) (50 kg) (Va2)Va= (208 250 * 2 /50 ) ^(1/2)Va=91.26 m/s
UB= m g y = (50 Kg) (9.8 m/s2) (425m) = 208 250 JKB= 0 J
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225 m c
BUc=(50 kg) (225 m) (9.8 m/s2) Uc= 122 500 JKc = 85 750 J = (1/2) (m) Vc
2
85 750 J =( 1/2) (50 kg) (Vc2)Vc= ( 85 750* 2 /50 ) ^(1/2)Vc= 58.56 m/s
UB= m g y = (50 Kg) (9.8 m/s2) (425m) = 208 250 JKB= 0 J
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