GRÁFELMÉLET

Alapfogalmak 2.

Alapfogalmak

Sétának nevezzük a gráf éleinek egymáshoz csatlakozó sorozatát, amelyben ugyanazok az élek és pontok többször is előfordulhatnak.

Ha egy séta kezdőpontja megegyezik a séta végpontjával akkor zárt sétának nevezzük, különben nyílt sétának nevezzük.

Alapfogalmak• Séta: kiindulunk egy pontból, nem emeljük fel

a ceruzát, és éleket húzunk (akár többször is mehetünk egy-egy élen vagy ponton keresztül oda is, vissza is, ahogy tetszik).

X1

X3

X2

X5

X4

e1

e3

e2

e4

e6

e7

e5

Nyílt séta:

(x1, e1, x3, e3, x5, e4, x1, e1, x3, e2, x4)

Zárt séta:

(x1, e1, x3, e3, x5, e7, x2, e7, x5, e4, x1)

Alapfogalmak Vonalnak nevezzük a gráf éleinek egymáshoz csatlakozó

sorozatát, amelyben minden él legfeljebb egyszer fordulhat elő, de lehetnek olyan pontok, amelye többször is előfordulnak.

Vonal: Egy séta vonal, ha nincs benne élismétlődés.

Egy gráf minden élét tartalmazó vonalat Euler vonalnak nevezünk.

X1

X3

X2

X5X4

e1

e3

e2

e4

e6

e7

e5

Vonal:

(x1, e1, x3, e3, x5, e4, x1, e5, x4)

Alapfogalmak Útnak nevezzük a gráf éleinek olyan egymáshoz

csatlakoztatott sorozatát, amely egyetlen ponton sem megy át egynél többször.

Út: Egy séta út, ha nincs benn pontismétlődés

X1

X3

X2

X5X4

e1

e3

e2

e4

e6

e7

e5

Út:

(x1, e1, x3, e3, x5, e7, x2, e6, x4)

Alapfogalmak Körnek nevezzük a gráf éleinek olyan egymáshoz

csatlakozó sorozatát, amelyben a kiindulási pont megegyezik a végponttal, de minden él és minden más pont legfeljebb egyszer fordul elő

Egy gráf minden pontját tartalmazó kört Hamilton körnek nevezünk

X1

X3

X2

X5X4

e1

e3

e2

e4

e6

e7

e5

Kör:

(x1, e1, x3, e3, x5, e7, x2, e6, x4, e5, x1)

Alapfogalmak

Egy vonal, út vagy kör hosszán az őket alkotó élek számát értjük.

h (x1, e1, x3, e3, x5, e7, x2, e6, x4) = 4

Letezesi feltetelek Mi a nyilt Euler-vonal létezésének a

feltétele? Egy összefüggő gráfban akkor és csak akkor

van nyílt Euler-vonal, ha két pont fokszáma páratlan, a többi pont fokszáma pedig páros.

Mi a zárt Euler-vonal létezésének a feltétele?

Egy összefüggő gráfban akkor és csak akkor van zárt Euler-vonal, ha minden pont fokszáma páros.

Feladat: Meg lehet-e egyetlen vonallal

rajzolni a köv. ábrákat?

Feladat A Repülő Elefántok Társaságának igazgatótanácsa tíztagú. Az

igazgató tanácsi ülésre érkezvén néhányan kezet fogtak egymással. A titkárnő a társaság minden tagját megkérdezte, hogy hány másikkal fogott kezet. A következőket jegyezte fel:

a) 3; 4; 6; 7; 6, 9; 5; 8; 7; 4. Az igazgató leszidta a titkárnőt, hogy a feljegyzései pontatlanok

voltak. Honnan tudta?

b) Lehetnek-e pontosak a titkárnő feljegyzései, ha a következőket írta:

2; 2; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 9?

c) Lehetnek-e pontosak a titkárnő feljegyzései, ha a következőket írta:

0; 1; 2; 2; 3; 4;4 ;5 ;6 ;9?

d) Lehetnek-e pontosak a titkárnő feljegyzései, ha a következőket írta:

9; 6; 4; 9; 6; 9; 8; 9; 9; 3?

FeladatX1

X3

X2

X5

X4

e1

e3

e2e4

e5

e6

Adott a következő gráf. Határozzátok meg a következő pontok és élek sorozatáról, hogy nyílt vagy zárt séták, vonalak, utak vagy körök-e?

(x1, e4, x5, e3, x3, e1, x1, e4, x5, e6, x2)

(x1, e1, x3, e2, x4, e5, x2, e6, x5, e3, x3)

(x1, e1, x3, e3, x5, e6, x2, e5, x4)

(x3, e1, x1, e4, x5, e6, x2, e5, x4, e2, x3)

Alapfogalmak

A gráf összefüggő, ha bármely pontjából bármely más pontjába élek mentén el lehet jutni.

Alapfogalmak

Ha egy adott G gráf nem összefüggő pontjait olyan csoportokra osztjuk, hogy az azonos csoportba eső bármely két pont között létezzen út, de különböző csoportokban lévők között ne, akkor az azonos csoportban lévő pontok és a hozzájuk tartozó élek összessége a gráf egy összefüggő komponensét alkotják.

Alapfogalmak

Egy irányított G gráf gyengén összefüggő ha bármely két pontja között csak egy irányba van út, erősen összefüggő ha mindkét irányban van út.

1

2 3

4

0

1

2 3

4

0