- 1 -

A GOLDBACH SEJTÉS TÖRTÉNETE(History of Goldbach’s Conjecture)

Dr. phil. Klopfer Ervin, PhD, CSc.okl. villamosmérnök,

osztályvezet , ny. f munkatárs, MTA KFKI.

Összefoglalás: Prímszámok. Néhány tétel és sejtés a prímekkel kapcsolatban. Az er s és gyenge Goldbach-sejtés. Euler ötlete.Megoldási kísérletek és részeredmények (E. Waring, A. Desboves, A. Cunningham, V. Brun, G.H. Hardy, J.E.Littlewood, S. Ramanujan, L.G. Snyirelman, I.M. Vinogradov, K.V. Borodzin, Rényi A., T. Wang, J. Csen, O.Ramaré, S.K. Kapoor, R. Knjzek). A számítógépes ellen rzése igen nagy számokig megtörtént (N = 2×10exp17;N. Pipping, M.K. Shen, M.L. Stein & P.L. Stein, H.J.J. te Riele, J.-M. Deshouillers, J. Richstein, T.O. e Silva). AFaber-díj. Megoldható-e a Goldbach-sejtés egyáltalán? Páros számok prímösszeg-táblázata N ¿ 198-ig.

Summary: Prime Numbers. Some theorems and conjectures in connection with primes. Strong and weak GoldbachConjecture. Euler’s idea. Experiments and particular results for the solution (E. Waring, A. Desboves, A.Cunningham, V. Brun, G.H. Hardy, J.E. Littlewood, S. Ramanujan, L.G. Snyirelman, I.M. Vinogradov, K.V.Borodzin, A. Rényi, T. Wang, J. Csen, O. Ramaré, S.K. Kapoor, R. Knjzek). Computer tests have been done upto very large numbers (N = 2×10exp17; N. Pipping, M.K. Shen, M.L. Stein & P.L. Stein, H.J.J. te Riele, J.-M.Deshouillers, J. Richstein, T.O. e Silva). Faber Prize. Is it possible to solve Goldbach’s Conjecture at all? Tableof the sum of primes for even numbers up to N < 198.

- 2 -

1. PRÍMSZÁMOK

Mottó:„A prímek világítótornyok a számok tengerében”

„A matematika a tudományok királyn je,és a számelmélet a matematika királyn je”

(Gottfried Wilhelm Leibniz németmatematikus, filozófus, 1646-1716)

„Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht,alles andere ist Menschwerk”

(Az egészszámokat a Jóisten teremtette, mindenmás emberi alkotás, Leopold Kronecker

német matematikus, 1823-1891))

A prímszámok azok a természetes egészszámok, amelyek eggyel és önmagukon kívül másszámmal maradék nélkül nem oszthatók. A többi szám ún. összetett (kompozit) szám. Az egysem nem prím, sem nem összetett szám. Egyetlen páros prím van, a kett . A prímszámok atermészetes számok épít kövei, azaz minden természetes szám - a tényez k sorrendjét leltekintve - egyértelm en felírható prímszámok szorzataként. Végtelen sok prímszám van;erre alexandriai Eukleidész (kb. i. e. 365-300) görög matematikus minden id k egyik legszebbmatematikai bizonyítását adta. A prímszámok megtalálására Eratoszthenész (i. e. 276-195)görög matematikus és csillagász adott egy roppant egyszer módszert, ez az ún.Eratoszthenész-szita. A szita-módszer hatékony, egyszer és gyors számítógépes programmalfuttatható. Ha N ¿ 50, a prímek: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, összesen15 darab.

Az alábbiakban közlünk néhány prímekkel kapcsolatos bizonyított tételt és megoldatlankérdést:

Minden páros szám – legalább egyféleképen - el áll, mint két prím különbsége,

N és 2N között mindig van prím, ha N > 1 (P.F. Csebisev, Bertrand, Erd s Pál).

Két egymást követ prímszám között tetszés szerinti nagy „hézag” lehet.

Egy tetsz leges N egészszám körüli k hosszúságú intervallumban közelít leg k/ln N darab prímszámvan, azaz a prímek átlagos távolsága ln N.

Az n-edik prím p(n) ~ n ln (n). Ennél egy valamivel jobb becslés p(n) ~ n [ln(n) + ln ln(n) – 1] (Hardy és Wright).

Van-e végtelen sok ikerprím, ahol (pi – pi-1) = 2,

Van-e végtelen sok prím, amely (N2 + 1) formában írható fel?

Mindig van-e prím N2 és (N + 1)2 között?

Mindig van-e prím N2 és (N2 + N) között, ha N > 1?

Van-e végtelen sok prím, amely (4N + 1) formában írható fel?

Van-e végtelen sok prím, amely (4N - 1) formában írható fel? Melyik típusúból van több?

Van-e végtelen sok prím, amely (N! + 1) formában írható fel?

Van-e végtelen sok prím, amely (N! - 1) formában írható fel?

Létezik-e általános prímképlet?

Van-e általános formula a prímfaktorizációra?

A legnagyobb ismert ún. Mersenne prím (2004): 224036583-1. Ez a 41-edik Mersenne-prím, amelynekformája: (2p – 1).

Van-e végtelen sok Mersenne prím?

- 3 -

A legnagyobb ismert ún. Fermat prím (2004): 1361244131072+1. A Fermat prím (1650) formája

22n

1 .

Van-e végtelen sok Fermat prím?

Prímszámtétel:limn∞

n

∫2

ndz

ln z

=1, ha n jelöli az n egészszámig a prímek

számát (Jacques S. Hadamard, Charles de la Vallée-Poussin, Erd s Pál [1949], Atle Selberg) [15]. Leonhard Euler (1707-1783) vezette be els ként a számelméletbe az ún. ζ(s) (valós) zeta-függvényt:

ζ(s)=∑

n=1

∞ 1

ns=∏

p

1

1−1

ps

=∏p

ps

ps−1 =∏p

1

1−p−s ,

ahol n természetes szám, p = 2; 3; 5; 7; 11;… prímszám,

vagyis: 1

1s

1

2s

1

3s

1

4s

1

5s. . .= 2s

2s−1×

3s

3s−1×

5s

5s−1×

7s

7s−1×

11s

11s−1×. . .

Ha s ≤ 1, akkor a sor divergens (s = 1 eset a harmonikus sor), ha s > 1, akkor konvergens. Euler azt az esetet vizsgálta, amikor s = 2, vagyis:

2 =∑n=1

∞ 1

n2=114

19

116

. . .=2

6, illetve a végtelen produktumból:

2

6=

43×

98×

2524

×4948

×121120

×169168

×289288

×361360

×529528

×841840

׿

¿…

A produktum konvergenciájával kapcsolatban megjegyezzük, hogy tíz tényez (pn = 29) figyelembevétele esetén:

π2/6 ≅ 1,633070491…, és ebb l π ≅ 3,1(30243272…),vagyis az eredmény egy tizedesjegyre pontos.

1859-ben G. F. Bernhard Riemann (1826-1866) német matematikus kiterjesztette az Euler-féle zeta-függvény fogalmát komplex változóra is, amikor s = (x + iy).

A prímszámokkal kapcsolatban két fontos algoritmikus probléma fogalmazható meg: (1) ha adott egy k jegy szám, hogyan tudjuk eldönteni róla, hogy prímszám-e? (2) ha nem prímszám, hogyan tudjuk megtalálni a prímtényez it?

Az els probléma sokkal könnyebb, mint a második. Vannak hatékony polinomiális algoritmusok,amelyek akár 1000 jegy számról is viszonylag könnyen eldöntik, hogy prím-e. A prímtényez kre bontásra azonban egyel re csak olyan algoritmus ismert, amely 100-nál több számjegyesetén már csak igen nehezen, 150 számjegy fölött pedig egyáltalában nem m ködik (pl. a Miller-Rabinteszt, 1976, Gary L. MILLER [School of Computer Science, Carnegie Mellon Uni, Pittsburgh, PA, USA)]és Michael O. RABIN [Engineering and Applied Sciences, Harvard Uni, Cambridge, MA, USA]). Egy5000 jegy számnál a prímteszt próbaosztással kb. 102486 évig(!), egy egyszer sített prímteszttel kb. 5000évig tartana. A Miller-Rabin prímteszt kb. 8 óra gépid t igényel, megbízhatósági valószín sége ~10-140,ami nagyon jónak mondható! Nemrégiben az 5000 órás tesztid t is – egy nagyon hatékony számítógépes programmal – sikerültjelent sen csökkenteni (Karl-Heinz Indlekofer és Járai Antal, Universität Paderborn, Paderborn,http://www.adobe.com/Ostwestfalen-Lippe, Germany).

Mint említettük; az igen nagy számok prímfaktorizációja nagyon nehéz feladat. A kronológia:

1970 132 bit (39 jegy decimális szám) 1978 150 bit1981 156 bit1982 170 bit

- 4 -

1983 210 bit1984 240 bit1986 290 bit1987 299 bit (90 jegy decimális szám) 1988 332 bit1990 369 bit1991 386 bit1992 429 bit1996 432 bit1998 466 bit1999 512 bit (154 jegy decimális szám) 2018 (2037) 1024 bit (308 jegy decimális szám)

Az 512 bit-es prím faktorizációját Herman J.J. te RIELE és csoportja találta meg 1999.augusztus 22-edikén, amely két 78 digitb l álló prím szorzata. A módszer az ún. NumberField Sieve (számmez - szita) volt, a komputerid 3,7 hónap a Scientific Applications &Research Associates (SARA) Inc. (Albuquerque, New Mexico, USA) Cray-C916szuperkomputerével.

- 5 -

2. A GOLDBACH-SEJTÉS SZÜLETÉSE

Mottó:„Egy jó sejtés sokszor többet ér,

mint egy szép bizonyítás”„Sejts, és bizonyíts”

(Erd s Pál magyar matematikus, 1913-1996)„Lisez Euler, lisez Euler, c’est notre maitre à tous”

(Olvassátok Eulert, olvassátok Eulert; mindenben a mi mesterünk,Pierre Simon de Laplace francia matematikus, csillagász, 1749-1827)

„Imagination is more important than knowledge”(A képzelet sokkal fontosabb, mint a tudás,Albert Einstein német fizikus, 1879-1955)

„A magyarok szerint a tudományt nem helyes válaszok,hanem megválaszolhatatlan kérdések alkotják”

(Mathematical Intelligencer 4, 1983)„Noé bárkáját amat rök csinálták, a Titanicot profik”

Christian Goldbach (1690-1764) porosz amat r matematikus és történész (aki f legSzentpéterváron és Moszkvában élt és dolgozott) 1742. június 7-edikén azt írta LeonhardEuler-nek [1.ábra], hogy „Mindenesetre úgy néz ki, hogy egy 2-nél nagyobb szám el állíthatóhárom prímszám összegeként” („Es scheinet wenigstens, daß eine jede Zahl, die größer istals 2, ein aggregatum trium numerorum primorum sey”). Ez a „gyenge Goldbach-sejtés”.

Euler válaszában azt írta, hogy ennek bizonyításához elegend azt belátni, hogy „mindenkett nél nagyobb páros szám (2n) - legalább egyféle módon - felbontható két prímszám (p1 ésp2) összegére” (lásd alább), vagyis 2n = p1 + p2. Megengedett a p1 = p2 is. Ez az ún. Goldbach-sejtés, pontosabban a „páros Goldbach-sejtés”, („er s Goldbach-sejtés” vagy „kett sGoldbach-sejtés”). Pl: 4 = 2+2; 6 = 3+3; 8 = 3+5; 10 = 3+7 = 5+5, stb.

A Goldbach-sejtés - amit a matematikai irodalomban csak Goldbach Conjecture (GC) névenemlegetnek - legegyszer bb formájában tehát így hangzik:

„Minden kett nél nagyobb páros szám legalább egyféleképpen el áll, mint kétprím összege.”

Úgy t nik, hogy Euler nem próbálkozott a Goldbach-sejtés bizonyításával. Érdekesség, hogy Euler egy 1731-ben Goldbach-hoz írt levelében már találkozhatunk az e számmal.

Tréfásan azt szokták mondani, hogy: „Every even number is the sum of two primes” és „Everymarriage is the sum of two individuals” (Mansur DARLINGTON szakíró).

Egy budapesti napilap internetes online fórumán 2004. március 30-adikán jelent meg az alábbi versike:

Bertrand mester

Euler öcsém, látom, Bizonyíthatatlan itt egy posztulátum. Pedig sejtem, érzem: biztos, mint a halál, N és 2N között prímet mindig talál, Aki ilyent keres. Euler félretette, Talán jobb id kre. Vagy nem érdekelte. Csebisevnek viszont, kit épp dobott n je,

- 6 -

Volt b ven ideje és könyökvéd je. Papírt nem kímélve, agyát csikorgatva, Pótcselekvés gyanánt bebizonyította. Kicsit nyögvenyel s volt a bizonyítás, Nem is ezt akarta... De jó, amíg nincs más. Véletlen rábukkant a fiatal Erd s, Tizennyolc alig múlt, zseni volt, nem szájh s. Ránézett, s az ihlet elkapta a fiút, Már látta is, merre visz a királyi út. Volt zsebében éppen egy használt koperta, A megoldást azon nyomban rákaparta. Mára már közismert mind a három sora, Csak a szegény Bertrand nem tudta meg soha.

Az „er s GC” enyhébb formája a „hármas Goldbach-sejtés” vagy „három prím probléma”,amely szerint: „minden ötnél nagyobb páratlan szám felírható három prím összegeként”. Pl:9 = 2+2+5; 11 = 2+2+7; 103 = 3+47+53; 111 = 3+ 11+97; 117= 17+29+71; 189 = 41+59+89,stb.

Mint fentebb láttuk, Christian Goldbach 1742-ben Eulerhez írt levele egy olyan sejtést tartalmaz,miszerint „minden ötnél nagyobb szám felírható három prím összegeként”. Euler gondolatmeneteszerint: mivel (amennyiben ez igaz) páros számok esetén az egyik prím mindenképpen a 2 (mivelhárom páratlan prím összege szükségszer en páratlan lenne, és 2 az egyetlen páros prím), kézenfekvkövetkezmény, hogy „minden páros szám két prím összege”. Tehát nem is Goldbach, hanem Eulerfogalmazta meg a sejtést, ami ma a másik nevét viseli. Goldbach sejtését Eulerhez írt levelénekmargójára írta. Úgy látszik, hogy a levélmargók a matematikai sejtések megfogalmazásában gyakrankaptak jelent s szerepet (pl. Nagy Fermat Sejtés).

Megjegyzend , hogy Goldbach az 1-et is prímnek tekintette. De az 1 nem prím, mert akkor 2 = 1×2összetett szám lenne, mint két prím szorzata. De nem csak a 2 lenne összetett szám, hanem bármely prímis, hiszen pi = 1×pi.

Goldbach Eulerhez írt levelét el ször 1843-ban Pavel Nyikolajevics Fussz (1797-1855) oroszmatematikus tette közzé [10].

Pithagorasz (kb. i. e. 582-500) és követ i, a pithagoreusok éles különbséget tettek a páros és páratlanszámok között. Számmisztikájukban a páros számokat n i , a páratlanokat férfi jelleg nek tekintették (2= n ; 3 = férfi; 2+3 = 5 = házasság).

Christian Goldbach a Balti-tenger közelében, a Pregel folyó partján fekv – akkor porosz -Königsbergben (ma Kalinyingrád) született, apja lelkipásztor volt; matematikát és jogot tanult.Beutazta egész Európát (Északeurópa, Ausztria, Itália) és találkozott kora legkiválóbbmatematikusaival (Leibniz, Euler, Nicholas I. Bernoulli, Nicholas II. Bernoulli, Daniel Bernoulli,Moivre, Hermann). 1725-ben a Szentpétervári Birodalmi Egyetem matematika és történelemprofesszora, majd az akkoriban létesített Szentpétervári Tudományos Akadémia titkára lett. 1728-banMoszkvába ment és nevel je lett Péter cárevicsnek, a kés bbi II. Péter cárnak (1728-1732). 1734-benvisszatért Pétervárra, 1742-t l Moszkvában a Külügyminisztérium tisztvisel je. Jelent s eredményeketért el a számelmélet, a végtelen sorok összegezése, a görbék és egyenletek elméletében. Eulerrel és D.Bernoullival 20 évig levelezett, és mintegy 200 levelet írt.

Leonhard EULER (1707-1783) matematikus, fizikus és csillagász, a 18. század legnagyobb és mindenid k egyik legtermékenyebb matematikusa, a matematikatörténet egyik legnagyobb alakja volt; aki amatematika szinte minden területét m velte és ezeken maradandót alkotott. Egyike volt alegsokoldalúbb tudósoknak; állítólag elejét l a végéig kívülr l tudta az „Aeneis”-t.

A svájci Basel-ben született, apja Paul EULER Riehen-ben szegény kálvinista lelkész volt, aki azonbannagyon szerette a matematikát és ifjú éveiben szorgalmasan hallgatta Jacob BERNOULLI óráit. Apja aztszerette volna, hogy Leonhard is lelkész legyen. Leonhard – apja kívánságára – 1720-ban beiratkozott aBaseli Egyetemre, ahol el ször teológiát, görög, latin és héber nyelveket tanult, de több kedvet érzett amatematikához. Apja beleegyezett, hogy matematikát tanuljon. A Baseli Egyetemen JohannBERNOULLI (Jacob Bernoulli öccse) tanítványa lett, akinek házába is bejáratos volt, és jó barátságbakerült fiaival, Nicolaus (III.) és Daniel (I.) BERNOULLI-val. Tanára hamar felismerte rendkívüli

- 7 -

tehetségét és külön is foglalkozott Vele. Bár az egyetemet kíválóan végezte el és 16 éves korában mármegszerezte a magiszteri fokozatot, egyetemi állást nem sikerült kapnia. 1725-ben NAGY PÉTER (I.PÉTER, 1672-1725, uralk: 1682-1725) orosz cár az Általa alapított szentpétervári Akadémiára hívta mega két Bernoulli-fiút (Nagy Péter levelezésben állt LEIBNIZ-cel, akinek segítségével szervezte meg apétervári Akadémiát). Daniel 1727-ben kieszközölte I. KATALIN (1679-1727, uralk: 1725-1727) oroszcárn nél (Nagy Péter felesége) Euler meghívását. Euler I. Katalin halála napján érkezett Pétervárra, 1727-ben – Nicolaus 1726-ban bekövetkezett halála után egy évvel - került az élettani tanszékre (mivel csak ottvolt üres hely), és 1730-ban (23 évesen) lett a pétervári Akadémia fizika professzora. Daniel Bernoulli 1733-ban végleg visszatért Basel-be, így Euler átkerülhetett a helyére és 1733-ban - aligtöbb, mint 25 évesen - lett az Akadémia tagja, els számú matematikusa, egyetemi tanára. 14 évesszentpétervári tartózkodása alatt sokat dolgozott: tanított, szerkesztette Oroszország térképét és 130tudományos munkát írt; sokat a szentpétervári Akadémia által alapított „Commentarii AcademiaeScientiarum Imperialis Petropolitanae” cím tudományos folyóiratba (ahol még 43 évvel halála után isjelentek meg munkái). 1736-ban – 29 éves korában - jelent meg els könyve „Mechanica sive motusscientia analytice exposita” (Mechanika, azaz a mozgás tudománya analitikus módon kifejtve), amelybena tömegpont mozgását tárgyalta. 1733-ban Oroszországban házasodott össze Katharina Gsell-lel, egy svájci fest , a m vészeti Akadémiaigazgatójának leányával. Tizenhárom gyermekük közül csak öt maradt életben; három fiú és két leány. A19. század Oroszországában a gyermekek leszármazottai magas pozíciókba kerültek. 1735-ben - az er ltetett munka és egy szembetegség következtében – látászavarai lettek, majd jobbszemére megvakult (ezért nevezte t VOLTAIRE „Cyclope mathématique”-nek, a matematikaKüklopszá-nak). Panasz nélkül dolgozott tovább és csak annyit mondott: „most majd kevesebbetháborgatnak”. Csaknem 1000 matematikai értekezésén kívül több jelent s könyve jelent meg az analízisr l. 1741-ben elfogadta NAGY FRIGYES (II. FRIGYES, 1712-1786, uralk: 1740-t l) porosz király (a poroszmilitarizmus megteremt je, katonai zseni és zeneszerz , fanatikus Voltaire-rajongó) meghívását az I.FRIGYES (1657-1713; uralk: 1701-1713) porosz király (Gottfried Wilhelm LEIBNIZ patrónusa) által1707-ben alapított berlini Akadémiára (I. Frigyes csak úgy beszélt róla, hogy „az én Akadémiám”). Ett lkezdve Euler „udvari matematikus” (amely tisztségét kés bb LAGRANGE vette át), a berlini Akadémiaalelnöke, a matematikai osztály elnöke, matematika professzor. A szentpétervári Akadémiának továbbrais tagja, s t igazgatója maradt, évi 3000 rubel fizetést is kapott (halála után feleségének 1000 rubeltfolyósítottak, amire nagy szüksége is volt, hogy két házasságából született 13 gyermekét (!)felnevelhesse). Három fia jó állást kapott Péterváron, legid sebb fia Johann Albrecht fizikus azAkadémia titkára lett. Euler 25 évi berlini tartózkodása alatt további 275 tudományos munkát írt (!),amelyek egy része Oroszországban jelent meg. Euler – Nagy Frigyes kérésére – közrem ködött a porosz uralkodó potsdami Sanssouci kastélyábanépített, 30 méteres szök kút tervezésében is (a szök kút véglegesen csak 1841-ben készült el). Mivel Euler Nagy Frigyes porosz udvarának rideg, katonás légkörét nem tudta megszokni, így örömmelelfogadta NAGY KATALIN (II. Katalin, 1729-1796, uralk: 1762-t l) orosz cárn meghívását (akiVoltaire-rel és DIDEROT-val is levelezett és anyagilag is támogatta k et, és aki felvilágosult abszolutistauralkodó volt), és 1766-ban - családjával együtt, a „hétéves háború” el l - visszaköltözöttSzentpétervárra, ahol ett l kezdve élete végéig (még 17 évet), mint a matematika és a fizika professzoram ködött. Egy, a házában pusztító t zben majdnem megégett; csak saját magát és matematikai kézirataittudta megmenteni. Keményen dolgozott és tanított, miközben – a túlhajszolt munka következtében –1771-ben ép szemén hályog képz dött és teljesen megvakult. 1776-ban ugyan a hályogot m tétteleltávolították, de sebe elfert z dött és Euler visszazuhant a teljes vakságba. Johann Albrecht-nek, továbbátanítványainak és Svájcból hozatott titkárának vakon diktálta le 416 további munkáját. „Algebra” címkönyve – amelyet élete utolsó éveiben leányának diktált le – nemzedékeken át a legfontosabb matematikatankönyv volt. Sokat tett a matematika szimbólumrendszerének megalkotása terén: T le származik sokalapvet matematikai jelölés, pl. az

e , i , ,∑ ,∫ , f x

és még sok más; a fels bb matematika jelöléseinek jelent s része. Rendszerezte, és tovább fejlesztette azanalítikus geometriát, a függvénytant (analízist), a differenciál-és integrálszámítást, a komplex számokelméletét, teljessé tette a trigonometriát. Megalkotta a poliéderekre vonatkozó - ma Descartes-Eulerformulának nevezett – tételt, amely szerint:

LAP + CSÚCS = ÉL + 2

- 8 -

Megjegyzend , hogy fenti poliédertételt René du Peron DESCARTES (1596-1650) francia filozófus,matematikus és fizikus fedezte fel els ként 1619-ben, amikor a bajor hadseregben szolgált. Az e szimbólum megválasztásának okáról csak találgatni lehet. Vannak, akik szerint az e azexponenciális szó kezd bet je lenne, mások az a, b, c, d - az akkori matematikát m vel k között bevettenhasznált - bet k sorában a következ t látják benne. A rosszmájú irigyek véleménye az, hogy Euler aszámot önmagáról nevezte el. Euler foglalkozott a bolygók mozgásával is. Sok könyvet és könyvtárnyi tanulmányt írt. A matematikaminden ágában – a számelméletet is beleértve – jelent set alkotott; könyvei, tanulmányai átfogták ésszintetizálták az egész 18. századi matematikát. Elmondható Róla, hogy munkássága nyománmegváltozott szinte az egész matematika. Kortársai „mathematicus acutissimus”-nak (a legélesebbelméj matematikus) nevezték.

♦ Amikor 1783 szeptember 18-adikán Euler-t halálos szélütés érte, CONDORCET márki, franciafilozófus és matematikus, a francia Akadémia tagja ezt mondta: „…et il cessa de calculer et de

vivre” (…és [Euler] megsz nt számolni és élni).

♦ Mint érdekességet, megemlítjük, hogy a kommunista rezsim alatt megjelent szovjet könyvek –személyét kisajátítva - úgy emlegetik, mint „a mi nagy orosz matematikusunk, Ejler”. Ilyen jellegpatrióta, néha nacionalista kisajátításra sok példa akad: Johann Heinrich Lambertet (Jean HenriLambert) magukénak tekintik a németek, a franciák és a svájciak, Liszt Ferencet (Franz Liszt) amagyarok és az osztrákok, Lénárd Fülöpöt (Philipp Lenard) a szlovákok, az osztrákok, a németekés a magyarok, stb.

Euler 886 könyvet és tudományos értekezést publikált (átlagos teljesítménye évi 800 nyomtatott oldalvolt!). 1907-ben - születésének 200-adik évfordulójára – a Svájci Természettudományi Társulat - a berliniés pétervári Akadémiával közösen - elhatározta, hogy kiadja összegy jtött munkáit, amelyet kezdetben 35kötetre terveztek. A kiadás 1909-ben indult; az els kötet 1911-ben jelent meg (Teubner Verlag GmbH,Wiesbaden, Deutschland). Gustav ENESTRÖM (1852-1923) neves svéd matematikatörténész összeállította Euler m veinekcsaknem teljes gy jteményét; így kiderült hogy a 35 kötetre tervezett kiadás 72 kötet lett. 1931-ben már32 kötet volt készen (Birkhäuser Verlag, Basel, Schwitzerland. 1964-ig 59 kötet (egyenként 600 oldal)látott napvilágot. És eme gigantikus életm még nem tartalmazza kiterjedt szakmai levelezését aBernoulli-akkal, Goldbach-al és más kíváló matematikusokkal. Becslések szerint mintegy 4000 levélr lvan szó, amelyekb l 2791 maradt fenn. GAUSS írta: „Euler m veinek tanulmányozása mindig a legjobb iskola lesz… és semmi más nempótolhatja.” A fizikában – D’ALEMBERT mellett - az analitikus mechanika megalapítója: nevét a merev testekmozgását leíró Euler-egyenletek, valamint a hidrodinamika Euler-egyenletei (kontinuitási-egyenlet) rzik.A súlypont helyett bevezette a tömegközéppont fogalmát. Mint a variációszámítás megalapozója, jelent seredményeket ért el a mechanikai minimálelv megfogalmazásában (a Maupertuis-elvet is fogalmaztameg; korábban és precízebben, mint maga Maupertuis). HUYGENS-szel együtt részletesen vizsgálta ahúrok és membránok gerjesztett rezgéseit és az uralkodó NEWTON-i korpuszkuláris elmélettel szembena fényt, mint rezgési állapotot fogta fel; igaz, hogy nem transzverzális, hanem longitudinális hullámkéntkezelte. Megcáfolta Newton állítását az akromatikus lencsék készítésének lehetetlenségér l. Newton-tólfüggetlenül rájött, hogy er nem a mozgásállapot fenntartásához, hanem annak megváltoztatásáhozszükséges és felírta az er = tömeg × gyorsulás alapvet összefüggést (F = d(mv)/dt). Könyvet írt ahidraulikáról, a hajótervezésr l, a tüzérségr l, s t a zenér l is.

♦ Euler-nek volt néhány állandó levelez partnere, köztük d’Alembert, akit nem tartott valami sokra(!) és személyében sem kedvelte, továbbá Goldbach, a Bernoulli-ak, stb.

Euler-nek elképeszt számolókészsége, memóriája, „bels látása” és munkabírása volt. Egyik éjszaka –már vakon - fejben kiszámította az els 100 egészszám hatodik hatványát és néhány nappal kés bb mégemlékezett az egész táblázatra, és leírta! Sokszor úgy végezte fejben komplikált számításait, hogykedvenc macskája a nyakában, egyik gyermeke pedig az ölében ült. Legjelent sebb m vei :

♦ Mechanica, sive motus scientia analytice exposita (Mechanika, azaz a mozgás tudományaanalitikus módon kifejtve, 1736) - [tömegpontok dinamikája],

♦ Methodus inveniendi lineas curvas maximum minimumque proprietate gaudentes (A maximum ésminimum tulajdonságú görbék feltalálásának módja, 1744) - [széls érték- és variációszámítás],

- 9 -

♦ Introductio in analysin infinitorum I-II. (Bevezetés a végtelenek analízisébe, Berlin, 1748) -[trigonometria, jelölések, függvények sorbafejtése, imaginárius és komplex számok, analitikusgeometria, számelmélet, felületek és görbék tulajdonságai],

♦ Institutiones calculi differentialis I-II-III. (A differenciálszámítás alapjai, Berlin, 1755) -[differenciálszámítás, differenciálegyenletek],

♦ Institutiones calculi integralis I-II-III-IV. (Az integrálszámítás alapjai, Szentpétervár, 1768-70) -[differenciál- és integrálszámítás, differenciálegyenletek elmélete, Taylor sorok alkalmazásai,speciális integrálok],

♦ Vollständige Anleitung zur Algebra (Teljes algebrai bevezetés, 1770) - [harmad- és negyedfokúalgebrai egyenletek elmélete].

Egyébként René DESCARTES (1595-1650) francia matematikus, fizikus és filozófus márjóval Goldbach és Euler el tt ismerte a GC-problémát, és egy – posztumusz közzétett -levelében említette. Bár nem volt teljesen meggy z dve róla, így fogalmazott: „Mindenpáros szám egy, kett vagy három prím összege”. Pl: 2 = 2; 4 = 2+2 = 1+1+2; 6 = 3+3 =2+2+2; 8 = 3+5 = 1+2+5; 10 = 5+5 = 2+3+5; 12 = 5+7 = 2+5+5; stb. Láthatóan is aztételezte, hogy az 1 prímszám.

Erd s Pál a világhír magyar matematikus mondta: „Jobb, hogy a sejtést Goldbach után nevezték el,mivel matematikus nyelven szólva Descartes végtelenül gazdag, Goldbach pedig nagyon szegény volt”.

1999-ben Hongbo LI (Mathematics Mechanization Research Center, Institute of SystemsSciences, Chinese Academy of Sciences, Beijing, China) meghatározása szerint azokat apozitív egészszámokat, amelyek el állnak, mint két páratlan prím összege, Goldbach-számoknak nevezzük. Pl: 6 = 3 + 3; 18 = 5 + 13; 36 = 7 + 29, stb.

A számelméletnek azt az ágát, amely a számoknak prímszámokból való el állításával foglalkozik,additív számelméletnek nevezik.

A Goldbach-sejtés egyike a matematika (ezen belül a számelmélet) legrégebbi, máigmegoldatlan problémájának.

- 10 -

3. MEGOLDÁSI ER FESZÍTÉSEK - GOLDBACH SEJT… ÉS?

Mottó:„Nonne mathematici veri natique poetae?

Sunt, sed quod fingunt, hosce probare decet”(Vajon nem született és igaz poéták a matematikusok is?

Azok, de azt, amit kiagyalnak, bizonyítaniok kell,Leopold Kronecker (1823-1891) német matematikus)

„Arkhimédészre emlékezni fognak, amikorAiszkhüloszt már régen elfelejtették, mert a nyelvek

mulandók, de a matematikai gondolatok nem. Lehet,hogy buta szó a ’halhatatlanság’, de bármit jelentsen

is, a matematikus pályázik rá a legjobb eséllyel”(G.H. Hardy (1877-1947): Egy matematikus véd beszéde)

„Essentiae rerum sunt sicut numeri”(A dolgok lényegei a számok,

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) német matematikus)„Another roof, another proof”(Ahány ház, annyi bizonyítás,

Erd s Pál magyar matematikus, 1913-1996)

Edward WARING (1734-1798) angol matematikus a „Meditationes Analyticae” (Cambridge,1776) c. könyvében a következ sejtést fogalmazta meg: „Minden páros szám két prímösszege és minden páratlan szám vagy prímszám, vagy három prím összege”. Pl: 2 = 1+1; 6 =3+3; 8 = 3+5; 10 = 5+5; 14 = 7+7; 15 = 3+5+7; 21 = 7+7+7; stb. Az egyet is prímnektekintette.

„Minden páros szám (legalább egyféle módon) el áll, mint két prím különbsége” – ez a sejtésnagyon hasonló ahhoz, amit Goldbach állított, de mégsem ugyanaz. Pl: 10 = 17-7; 32 = 43–11= 39–7= 37-5; stb.

1855-ben A. DESBOVES francia matematikus igazolta, hogy minden 2 < 2n < 10.000 párosszám két prím összegeként áll el [11].

1894-ben Georg CANTOR (1845-1918), a kiváló dán/német matematikus kielemzett egyprímtáblázatot, aminek segítségével igazolta 2n < 1000-ig a Goldbach-sejtést.

CANTOR-t a kortárs matematikusok (Kronecker, Poincaré, Schwarz) meg nem értése mániásdepresszióba, majd az rületbe kergette; 1918-ban egy Halle-i ideggyógyintézetben szívroham végzettVele. Egyik megnyilatkozása: „Én vagyok a matematika Alfája és Omegája – én, Georg!… Akisujjamat se mozdítom, hogy megvédjem magam”.

1896-1903 között A. AUBRY igazolta a Goldbach-sejtést 1002 < 2n < 2000 közötti párosszámokra.

1896-ban R. HAUSSNER igazolta a sejtést 2n < 10.000-ig.

1896-ban Paul Gustav STÄCKEL (1862-1919) német matematikus – Kronecker ésWeierstrass tanítványa (differenciálegyenletek, halmazelmélet, prímszámok) - és másoklassan sz kítették a problémát.

- 11 -

A. CUNNINGHAM bebizonyította a sejtést N < 2×108-ig, speciális típusú számokra.Cunningham nevéhez f z dnek az ún. els és második típusú Cunningham-láncok. Legyen pprím, és q = 2p+1, r = 2q+1, s = 2r+1, stb. szintén prímek. Ekkor [p;q;r;s;…] els típusúCunningham-láncot alkot. Pl: [2; 5; 11; 23; 47] egy öt tagból álló, els típusú CC(„Cunningham Chain”). Legyen ismét p prím és q = 2p-1, r = 2q-1, s = 2r-1, stb. szintén prímek. Ekkor [p;q;r;s;…]második típusú Cunningham-láncot alkot. Pl: [2; 3; 5] vagy [1531; 3061; 6121; 12241;24481]. Utóbbi egy öt tagból álló, második típusú CC. Mindkét prímlánc típust komplettláncnak nevezzük.

1997-ben Tony FORBES talált egy 14 tagú els típusú és egy 16 tagú második típusú CC-t(utóbbi hossza 19 digit).

Phil CARMODY és Paul JOBLING 16 tagú, els típusú CC-t (hossza 21 digit) talált. P.JOBLING 1999-ben talált egy 15 tagú, els típusú CC-t (hossza 17 digit). A >1000 digitb lálló prímek a „titán-prímek” (Samuel YATES elnevezése).

1897-ben J.J. SYLVESTER (1814-1897) kijelentette; valószín leg igazolni tudja a Goldbach-sejtést. Szerinte „minden N = 2n páros szám el áll két prím összegeként, ahol az egyik prímp1 > N/2, a másik prím p2 < 3N/2” [6];[7]. Sejtését 2 < N < 1000-ig igazolta.

Srinivasza RAMANUJAN (1887-1920), a zseniális indiai matematikus (az angol Hardyfelfedezettje és kés bbi munkatársa) sejtése, hogy valamilyen nagyon nagy szám felett aGoldbach-sejtés ellenpéldájára bukkanhatunk.

Mottó:„When a distinguished but elderly scientist states that

something is possible he is almost certainly right.When he states that something is impossible,

he is very probably wrong”(Ha egy kiváló, de öregecske tudós valamir l azt állítja, hogy

lehetséges, akkor majdnem biztos, hogy igaza van. Ha aztállítja, hogy valami lehetetlen, nagyon valószín , hogy téved

Arthur C. Clarke: Profiles of the Future:An Inquiry into the Limits of the Possible)

„Ubi dubium, ibi libertus”(Ahol kételkednek, ott szabadság van)

1912-ben Edmund Georg Hermann LANDAU (1877-1938), világhír német matematikus,számelmélész azt mondta a Goldbach-sejtésr l: „a tudomány mai állása szerintmegoldhatatlan”.

Hermann Landau Göttingen-i egyetemi tanár 1934-ben – zsidó származása miatt - faji támadások

kereszttüzébe került, és eltávolították az egyetemr l Ludwig Georg Elias Moses BIEBERBACH (1886-1982) - egy egyébként kiváló - német számelmélet tudós, aki szégyenletessé tette önmagát fasiszta,antiszemita nézetei miatt, vezet szerepet játszott Landau eltávolításában, és a náci fajelmélet(Herrenvolk) szellemében fogant „indoklását” írásban is közzétette. G.H. Hardy angol matematikus voltaz, aki igen keményen és karakánul állt ki Landau mellett.

- 12 -

1915-ben fordulat következett be, amikor Jean MERLIN észrevette, hogy a Goldbach-sejtésvalamilyen módon összefüggésben van az ikerprímekkel. Sajnos korai halála miatt munkájátnem fejezhette be.

p1 és p2 akkor ikerprímek, ha (p2 – p1) = 2, pl: [3;5], [5;7], [11;13]; [17;19]; [29;31]; [41;43];…[101;103]; [821;823]; stb. Sejtés: végtelen sok ikerprím létezik (Richard F. ARENSTORF, VanderbiltUni, 2004. máj. 26.) – de bizonyítása hibás volt, amint arra Gérald TENENBAUM francia matematikusrámutatott.

1920-ban Viggo BRUN (1885-1978) norvég matematikus, számelmélész cikket publikált,amelyben – elemi módszerekkel – bebizonyította, hogy „minden ’elegend en nagy’ párosszám el áll, mint két olyan szám összege, amelyek mindegyike kevesebb, mint 9 prímszorzata”. Ezek a prímek lehetnek egyenl k is.

Viggo Brun 1910-t l Göttingenben tanult, 1914-ben párizsi tanulmányútra ment, 1915-ben jelent sszámelméleti munkát publikált (Brun-szita) az ikerprímekkel kapcsolatban. Azt tudjuk, hogy a pímekreciprokának sora divergens vagyis, ha pk a k-adik prím:

∑k=1

∞ 1pk

=12

13

15

17

111

1

13

117

1

19

123

1

29

131

. . .∞ .

Brun bizonyította be, hogy az ikerprímek reciprokának sora konvergens; összege a tiszteletére elnevezettBrun-állandó:

B2= limp∞

B2 p = 13

15 1

5

17 1

11

113 . . .≃1, 902160583104 . . .

Thomas R. NICELY (Lynchburg, VA, USA) 1993-ban számítógéppel összeadta az ikerprímek reciprokait3,155×1015-ig és a Brun-állandót 1,902160582310-nak találta. Eddig a határig összesen3.471.427.262.962 darab ikerprímet talált. Az ikreprímek reciprok sorának összegére a legjobb becslést 2002-ben Pascal SEBACH tette,megvizsgálva az ikerprímeket p < 1016-ig. Szerinte az ikreprím Brun-állandó B2 = 1,902160583104… és aprím-kvadruplettek reciprok sorának összege: B4 = 0,87058838 ± 5×10-10. Prím-kvadruplettek:[5;7,11;13]; [11;13;17;19]; [101;103;107;109]; stb. Brun 1919-20-ban megalkotta a sokdimenziós lánctörtek elméletét. 1923-tól a Technical UniversityTrondheim, majd 1946-1950 között az University of Oslo matematika professzora volt. Utóbbin olyankiváló matematikusok tanítottak, mint Abel, Lie, Størmer és Thue. David Underbakker, Phil Carmody et al. 2001-ben megtalálták az addig ismert legnagyobb ikerprímet,amely: 318032361×2107001±1 . Az ikerprím (twin prime) elnevezés Paul Gustav Stäckel (1862-1919) német matematikustól származik (számelmélet, differenciálegyenletek, halmazelmélet).

1849-ben tette közzé Alphonse de POLIGNAC (1817-1890) francia matematikus a prímekre vonatkozósejtését, ami szerint végtelen sok olyan [p1;p2] prímpár létezik, amelyek közötti különbség 2k, azaz (p2

– p1) = 2k. Ha k = 1, ez az ikerprímek esete. Az els 50 prím között 16 ikerprím található. A prímszámok reciprokának sorösszege – mint említettük - végtelen, de extrém lassan tart a

végtelenhez. Ha az els 50 millió (!) tagját összeadjuk, még mindig csak <4 összeget kapunk. A sor 11tagjának összege csak 1,565696836…

Az, hogy végtelen sok ikerprím létezik-e, a számelmélet egyik legnagyobb – megoldatlan – problémája,amir l Barbra Streisand által 1996-ban rendezett romantikus vígjáték filmjében is szó esik, címe:„Mirror Has Two Faces” (Tükröm tükröm). Két fiatal, Rose Morgan és Gregory Larkin – mindketten aColumbia University (New York, USA) professzorai – találkoznak. Rose romantikus irodalmat tanít, denincs románc a magánéletében, bár vágyik rá, csúnya n , szerelem és szex nélküli élettel. Greg jókép ,de unalmas matematikus, aki megcsömörlött a szext l, ami tönkretette életét; csalódott, nyugalomra ésintellektuális barátságra vágyik. Rose anyjával és amorális n vérével küszködik. Mindkett jükmagánélete frusztrált; kett jükben semmi közös nincsen; ez hozza ket össze. Nem sokkal szerelemnélküli, formális házasságuk után súlyos problémák merülnek fel; semmiben sem értenek egyet.Házasságuk – Greg szigorú kikötésére - szexmentes. Greg fél a szext l Rose-zal, amit utóbbi egyrejobban hiányol. Amíg Greg hosszabb el adókörúton van, Rose diétázni és tornázni kezd; átalakítja

- 13 -

magát csúf, antiszex kiskacsából szexbombává, hogy megmentse házasságát, de ez csak továbbibonyodalmak forrása. A fim zenéje is igen sikeres lett.

1923-ban Hans RADEMACHER (1892-1969) német matematikus Brun eredményét 7 prímszorzatára szorította le.

H. Rademacher algebrai- és analitikus számelmélettel, mértékelmélettel, moduláris formákkal,numerikus- és komplex analízissel, geometriával foglalkozott. 1934-t l a Swarthmore College, majd azUniversity of Pennsylvania (Philadelphia, PA, USA) professzora lett.

1932-ben T. ESTERMANN angol matematikus a Brun-eredményt 6 prím szorzatáramódosította, és 1938-ban bebizonyította, hogy „majdnem minden páros szám két prímösszege”. 1940-ben N. PIPPING igazolta ezt N ¿ 10.000-re (lásd alább).

1937-ben G. RICCI (1901-1973) bebizonyította, hogy „minden elegend en nagy egészszámel áll legfeljebb 67 prím összegeként”.

SCHNIZEL megmutatta, hogy a Goldbach-sejtés ekvivalens azzal a kijelentéssel, hogy„minden N > 17 egészszám három különböz prím összege”. Pl: 20 = 2 + 7 + 11; 25 = 3 + 5 +17; stb.

Godfrey Harold HARDY (1847-1877) 1921. október 6-odiki el adásában [8] kifejtette, hogya Goldbach-sejtés valószín leg egyike a matematika legnehezebb, megoldatlanproblémájának.

- 14 -

4. MUNKÁBAN A SZUPERKOMPUTEREK

Mottó:„Pourquoi faire simple si on peut faire compliqué?

(Miért legyen valami egyszer , amikor bonyolult is lehet?)„Wir Mathematiker sind ein biβchen meschugge”

(Mi matematikusok mindnyájan egy kissé bolondok vagyunk,Edmund Georg Hermann Landau [1877-1938] német matematikus)„Aki tudománnyal foglalkozik, az hülye. Aki nem, az az is marad!”

(Benedek Pál [1921-] magyar vegyészprofesszor)„A jó gondolatok általában gondolkodás eredményei”

„Két út áll el ttünk. Az egyik nem vezet sehová, a másik járhatatlan”„Minden út jó út, mert valahová vezet”

(Hioszi Tatiosz, i. e. 4-3. sz.)„Any sufficiently advanced technology is indistinguishable from magic”

(Bármely elegend en fejlett technológia megkülönböztethetetlena varázslattól, Arthur C. Clarke angol sci-fi szerz , 1917-)

A 20. sz. közepén megjelentek a gyors, digitális, elektronikus, programvezérelt komputerek,amivel a sejtés ellen rzése egyre nagyobb számokig – elfogadható id alatt – elvégezhetvolt.

Az alábbi összeállítás mutatja, hogy kik, mikor és meddig igazolták a páros Goldbach-sejtést:

A. Desboves 1855 104 (kézi)N. Pipping 1940 105 (komputer)M.K. Shen 1964 3,3×107 M.L. Stein & P.L. Stein 1965 108 A. Granville, J.v.d. Lune, H.J.J te Riele 1989 2×1010 M.Sinisalo 1993 4×1011 Jean-M. Deshouillers, H.J.J te Riele, Yannick Saouter 1998 1014 Yannick Saouter (páratlan GC) 1998 1020 Jörg Richstein 1999 4×1014 Tomás Oliveira e Silva 2003.03.24. 2×1016 Tomás Oliveira e Silva 2003.10.03. 6×1016 Tomás Oliveira e Silva 2004 2×1017 (Cray gép)

Silva célkit zése 2005 4×1018

Jörg Richstein 1999-es eredményét MS QBasis programmal, Dell 1,9 GHz-es Pentium 4 processzorral,256 MB memóriával, 29 nap futási id alatt produkálta. Pontosan N < 400000001068266. Szerinteeredményében a kisebbik prím sohasem nagyobb, mint 5569. Pl: 389965026819938 = 5569 +389965026814369.

Ez azonban még mindig nagyon messze van attól, amit Goldbach és Euler megsejtett. A sejtésáltalános matematikai bizonyítása vagy cáfolata a mai napig sem sikerült. Nevesszámelmélészek ma is azt mondják, hogy bizonyítása teljesen reménytelen.

A matematika problémái általában a következ kategóriák valamelyikébe sorolhatók: problémák, amelyeket egyszer en meg tudunk oldani,

problémák, amelyeket – ha nem is egyszer en , de - meg tudunk oldani,

- 15 -

problémák, amelyek megoldhatóak, de nem megoldottak,

problémák, amelyek megoldhatatlanok.

Lehetséges, hogy a Goldbach-sejtés az utolsó kategóriába tartozik? Fenti félelemnek ellentmond a Nagy Fermat Sejtés, amelynek megoldása 350 évig váratott magára.

Alátámasztja viszont az aggodalmat Gödel nem-teljességi tétele, ami ebben az esetben (is)áthághatatlan korlátot jelent(het).

1923-ban Godfrey Harold HARDY (1877-1947) és John Edensor LITTLEWOOD (1885-1977), a 20. sz. legkiválóbb számelmélészei bebizonyították, hogy „minden ’elegend ennagy’ páratlan szám el áll, mint három páratlan prím összege”. Hardy szerint a Goldbach-sejtés elemi úton nem bizonyítható; az analitikus megoldási próbálkozást preferálta. Egymásik – a témával kapcsolatos – sejtésük: „minden természetes szám el állítható legfeljebb4k számú k-adik hatvány összegeként”. Pl: ha k = 1; 14 = 21 + 31 + 41 + 51 , ha k = 2; 68 = 22

+ 22 +22 +22 +32 + 32 +32 +52 , stb.

1931-ben Lev Genrikovics SNYIRELMAN (1905-1938) nagyon fiatalon elhunyt szovjetmatematikus bebizonyította, hogy „minden természetes szám el állítható véges számúprímszám összegeként”. 1939-ben Snyirelman becslést is adott erre a számra és bebizonyította, hogy minden 2n ¿ 4páros szám el áll legfeljebb 300.000 prímszám összegeként. Ez – enyhén szólva is – meglepdolog volt.

1937-ben G. RICCI (1901-1973) bebizonyította, hogy „minden elegend en nagy egészszámel áll legfeljebb 67 prím összegeként”.

Snyirelman kés bb bebizonyította, hogy ehhez legfeljebb 20 prím összege elegend , majd 7prímre redukálódott ez a küszöb. Ez már nagyon is elfogadható volt, de még mindig nagyontávol a Goldbach-sejtés bizonyításától.

1937-ben Ivan Matvejevics VINOGRADOV (1891-1983) orosz/szovjet matematikusbebizonyította, hogy „minden ’elegend en nagy’ páratlan szám el áll három prímösszegeként”, ami a „hármas” Goldbach-sejtés egy partikuláris megoldása. Az eredményheztrigonometrikus összegek ún. „éles” becslésén keresztül jutott. Vinogradov bizonyításaindirekt volt, így nem tudott becslést adni erre az „elegend en nagy” számra.

I.M. Vinogradov egyike volt a 20. század legnagyobb matematikusainak, a modern analitikusszámelmélet megteremt inek. 1918-20 között a Permi Egyetem tanára, 1920-tól a SzentpéterváriÁllami Egyetem professzora, 1934-t l haláláig a Steklov Mathematical Institute (Moszkva, SzU)igazgatója (névadója Vlagyimir Andrejevics Steklov [1864-1926], orosz/szovjet fizikus-matematikus).Megkapta az összes létez szovjet kitüntetést, volt, amit többször. Többek között foglalkozott aRiemann-féle zeta függvénnyel, valószín ség-számítással, számelmélettel, primitív gyökökkel, stb).

HUA Lo-keng (1910-1985) kínai matematikus lényegesen leegyszer sítette Vinogradovbizonyítását. Foglalkozott számelmélettel és numerikus analízissel.

1938-ban T. ESTERMANN bebizonyította, hogy „’majdnem’ minden páros szám két prímösszege”.

- 16 -

N. PIPPING azt igazolta, hogy Estermann bizonyítása N = 2n ¿ 10.000 esetében igaz.

A Goldbach-sejtés matematikai bizonyítása – klasszikus esetben – három úton lehetséges:algebrai, analitikus és geometriai. Miután megjelentek a nagy teljesítmény elektronikusszuperszámítógépek, megnyílt a negyedik út, a számítógép, és az erre alapozott kísérletimatematika („experimental mathematics”).

1947-ben RÉNYI Alfréd (1921-1970, Linnyik és Vinogradov tanítványa) magyarmatematikus kandidátusi disszertációjában bebizonyította az ún. gyengített Goldbach sejtés-ta Linnyik-féle nagy szita segítségével.

1956-ban Konstantin V. BORODZIN - aki akkor Vinogradov tanítványa volt - megmutatta,

hogy Vinogradov „elegend en nagy” száma: N ¿ 3315 ≃ee16 .573¿3,25×106.846.168

=314 .348 . 907 . Ez a szám 6.846.168 jegy . A sejtés tehát ezután sem volt igazolt, mivel ekkoraszámig nem volt elvégezhet az ellen rzés.

1977-ben H.A. POGORZELSKI közölt egy „bizonyítást” a Goldbach-sejtésre, de munkájátmatematikus körökben nem fogadták el.

Paul STEIN és Stanislaw ULAM (1909-1986, lengyel származású amerikai matematikus)megfogalmazták azt a sejtésüket, hogy „minden ’elegend en nagy’ páros szám felírható, mintkét darab (6k + 1) alakú prím összege”.

Mottó:„A mesterséges intelligencia nem

pótolhatja a természetes butaságot”

1982-ben Douglas B. LENAT „Automata Matematikusa” újra felfedezte a Goldbach-sejtést.Ez volt az els demonstráció arra, hogy mesterséges intelligencia (Artifical Intelligency, AI)képes tudományos felfedezést produkálni.

Doug Lenat egyike a világ vezet komputer tudósainak. Philadelphiában született, vallásos zsidócsaládban. Szüleinek szódapalackozó üzeme volt. Nagyon szerette Isaac ASIMOV népszer fizika ésbiológia könyveit. 1967-ben díjat nyert egy számelméleti munkájával, és elutazott Detroitba. 1968-tól aUniversity of Pennsylvania hallgatója, ahol matematikát és fizikát tanult. 1971-ben John W. CARRvezette be a mesterséges intelligencia világába. 1984-ben elkezdte az els mesterséges intelligenciaprogramot (AM), amelynek célja matematikai problémák keresése (nem megoldása!) volt. Professzoraa Carnegie-Mellon és a Stanford University-nek. 1999-ben vezet je a Cyc-programnak („en-CYC-lopedia”, CyCorp, Austin, TX, USA). A számítógépbe – 600 emberévnyi munkával – betápláltak 3millió „ökölszabályt” és kb. 300.000 meghatározást, axiómát és tételt.

1989-ben WANG Tian-ze és CSEN Jing-run – két kínai matematikus - Vinogradov„elegend en nagy” számát ¿ ee11 , 503 ¿3,33×1043. 000 -ben határozta meg.

1995-ben Olivier RAMARÉ francia matematikus (Université de Lille I, Villeneuve d'AscqCédex, France) bebizonyította, hogy „minden páros egészszám el áll legfeljebb hat prímösszegeként [9].

- 17 -

1995-ben L. KANIECKI lengyel matematikus bebizonyította, hogy ha a Riemann-hipotézis(lásd alább) igaz, akkor „minden páratlan egészszám el áll legfeljebb öt prím összegeként”.Pl: 25 = 3+3+3+5+11; 39 = 2+2+3+3+29; stb.

Kés bb Jean-Marc DESHOUILLERS, Gove EFFINGER, H.J.J. te RIELE és D. ZINOVJEVbebizonyították, hogy ha a Riemann-hipotézis igaz, akkor „minden ötnél nagyobb páratlanszám el áll három prím összegeként”, vagyis igaz a hármas Goldbach-sejtés is. A Riemann-hipotézis azonban máig nem bizonyított.

A Riemann-sejtés egyike a hét, ún. „millenniumi” problémának, amelyek megoldásáért egy 2000-benalakult nonprofit alapítvány, a Clay Mathematical Institute (CMI, Cambridge, Massachusetts, USA)egy-egy millió dollárt ajánlott fel. A díjat egy bostoni milliomos, Landon T. Clay által alapított CMIszponzorálja.

A prímszámok eloszlásával szoros kapcsolatban álló sejtését Bernhard Riemann (1826-1866) németmatematikus - akinek a nem-euklideszi geometriával kapcsolatos munkásságára kés bb Einstein istámaszkodott - 1859-ben vetette fel egy számelméleti írásában. A Riemann-hipotézis kijelenti, hogy akomplex zeta-függvény összes - nem triviális - gyöke 1/2 valós rész , Re(s) = 1/2. A triviális gyökök anegatív páros számok: -2; -4; -6;… stb.

A sejtés, a többi „nagy” sejtéshez hasonlóan, az id k során kultikussá n tte ki magát; számosmatematikus tette fel az életét megoldására. John Forbes NASH [1928-], a „csodálatos elme” (PrincetonUni, Dept. of Math, Fine Hall, Princeton, NJ, USA, közgazdasági Nobel-díj: 1994) is megpróbálkozottvele, de eddig sem igazolni, sem cáfolni nem sikerült senkinek [14].

Louis De Branges de BOURCIA (1932-), a Purdue Mathematics Dept, Purdue Uni (Lafayette, Indiana,USA) francia származású matematikusa most egyetemi honlapján 2004. júniusban publikálta aRiemann-hipotézis 23 oldalas bizonyítását, amely azonban még igazolásra szorul. Állítólag De Brangesbizonyítása hibás, mert megközelítésére már 1998-ban J. Brian Conrey és Xian-Jin Li matematikusoktaláltak ellenpéldát.

Gove EFFINGER Professor of Mathematics, Director of Quantitative Reasoning, Dept. of Mathematics& Computer Science (Skidmore College, Saratoga Springs, NY, USA).

1996-ban CSEN Jing-run (1933-1996) kínai matematikus (Chinese Institute of Mathematics,Chinese Academy of Sciences, Peking, Kina) azt állította, hogy „minden elegend en nagypáros szám felírható vagy két prím összegeként, vagy egy prím plusz legfeljebb két prímszorzataként”, vagyis 2n = p1 + (p2×p3) alakú. Megengedett a p1 = p2 = p3 és a p3 = 1 is. A(p2×p3) típusú számok az ún. „semi-prímek”. Csen Jing-run sejtését szokás (P+P2) vagy P(1,2)formalizmussal is felírni; jelentése ugyanaz. Pl: 6 = 2+(2×2); 8 = 2+(2×3); 16 = 7+(3×3); 18 =3+(3×5); 60 = 11+(7×7); 100 = 23+(7×11) = 23 + 77 = 3 + 97; 120 = 29 + (7×13) = 29 + 91 =17 + 103, stb. A zárójeles kifejezés a „semi-prím” nevet viseli, ami két prím szorzatából álló,összetett (kompozit) szám. Csen nagyon közel került a bizonyításhoz; ez már majdnem aGoldbach-sejtés bizonyítása, de mégsem ugyanaz.

A sejtést Margaret CORBIT (Cornell Theory Center, Ithaca, NY, USA) 2n < 109-igellen rizte.

1999-ben Csen Jing-run eredményének tiszteletére a kínai posta bélyeget adott ki, amelyen portréja ésprímtétele látható. Csen reflexiója: „magas megtiszteltetés, de a továbblépés gondokat jelent”.

Alan BAKER Fields-érmes (1970) matematika professzor (Cambridge Uni) nem túl optimistánnyilatkozott, amikor ezeket mondta: „Csen 1996-os bizonyítása végül is az eddigi legjobb eredmény ésvalószín tlen, hogy további eredmény nyerhet valamilyen nagy áttörés nélkül. Sajnos nincsen hasonlónagy ötlet a láthatáron. Ha viszont jön egy nagy ötlet, akkor erre valamit rá lehet, és kell építeni. Nemgondolom, hogy a pénz (Faber-díj, lásd alább) ebben jelent s hajtóer t jelent. Ha az emberekmegoldják, akkor ezt nem a pénzért, hanem a kihívásért teszik.”

- 18 -

Ian STEWART (1945-) Faraday-érmes (1995) matematika professzor (Warwick Uni, UK), NagyBritannia és a világ egyik legismertebb matematikus ismeretterjeszt je, a Scientific American’Mathematical Recreation’ rovatának vezet je valamivel optimistább: „Azt gondolom, hogy néhánymatematikust elkápráztat egymillió dollár. Helyrebillenthetné az egyensúlyukat.”

1997-ben Jean-Marc DESHOUILLERS, Yannick SAOUTER és Herman J.J te RIELEbebizonyították, hogy Csen Jing-run sejtése minden N < 1014 pozitív egészszámra igaz.

1993-ban Thomas R. NICELY (Lynchburg College, Virginia, USA) 3,155×1015-ig összegezteaz ikerprímek reciprokait, és eddig a határig 3,471,427,262,962 darab ikerprímet talált. Ennekalapján az általa becsült Brun-állandó:

B2 ¿ 1,902160582310... Ezzel kapcsolatban érdekesség az, hogy T.R. Nicely fenti számításai során hibát talált az Intel Pentium

mikroprocesszor aritmetikai egységében. A gyártó – sok er feszítés és pénz árán – kijavította a hibát.

1996-ban Jörg RICHSTEIN et al. (Institut für Informatik, Universität Giessen, Deutschland)megtalálták az összes ikerprímet 1014-ig.

Patrick H. FRY et al. (Dept. of Computer Science, Rensselaer Polytechnic Institute, Troy,NY, USA) 1016-ig találták meg az összes ikerprímet.

S.K. KAPOOR (New Delhi, India) egy bizonyítást közölt, amely szerint egy N páros szám¿N módon bontható fel prímek összegére [4];[5]. Pl: ha N = 100, akkor a lehetségesfelbontások: [3+97]; [11+89]; [17+83]; [29+71]; [41+59]; [47+53]. Ez hatféle felbontás, és6100=10 . Ez azonban nincsen mindig így (pl. a 90 kilencféle, a 120 tizenkét féle, a 198

tizenhárom féle módon bontható fel prímpárok összegére); Kapoor erre egy szigorúbb limitetis adott.

A hindu védák (i. e. 1500-900) mintegy 3500 évre tekinthetnek vissza. A védikus matematika alapjai aszútrák, amelyek a sok évszázados szanszkrit sagak-ból alakultak ki. Évszázadok alatt részbenfeledésbe merültek, és a fiatalabb nemzedék nem használta. A védikus matematika – állítólag – az agymindkét féltekéjét használja; koherens és szép, a számítások fejben elvégezhet k. A terület úttör jeJagadguru Swami Sri Bharati Krsna Tirthaji Maharaja (1884-1960) hindu matematikus, történész,filozófus, aki 16 szútrát (matematikai szabályt, aforizmát vagy szó-formulát; mindössze 120 szóban)szerkesztett össze. 1911-18 között fedezte fel újra a nyugati világnak a védikus matematika ókorirendszerét. A XX. sz. elején igen nagy érdekl dés mutatkozott az ókori szanszkrit szövegek irántEurópában és a világban. A matematikai vonatkozásúak az ún. „Ghanita Szútrák”, amelyeket SriBharati Krsna hosszasan és alaposan tanulmányozott. Megírta a „Vedic Mathematics” c. könyvét(1965), amely halála után öt évvel jelent meg. A módszert és rendszert ma már egyre több indiai (ésnyugati) iskolában tanítják [4];[5].

2000. márciusban Masoud SHEYKI iráni matematikus hozzáfogott a GC bizonyításához,majd azt állította, hogy megoldotta a Goldbach-sejtést. „Azt hiszem, hogy bizonyításom alegjobb, és érdekes bizonyítás a Goldbach-sejtésre. Várom a további reflexiókatbizonyításomra. Mérnök vagyok egy réz kombinátban, Iránban, mint m szaki felügyel ” –írta. Bizonyítását több, kiváló angol és francia matematika professzornak küldte el; a reflexióknem ismertek, és nem tudunk arról, hogy elnyerte volna a Faber-díjat (lásd alább).

2000. március 20-adikán Tony FABER, a Faber & Faber brit könyvkiadó óriáscég tulajdonosa(az „Uncle Petros and Goldbach’s Conjecture” c. könyv [1] els kiadója) 1 millió dollárosdíjat t zött ki a Goldbach-sejtés két éven belüli megoldására. „Boldog lennék, ha valaki

- 19 -

megnyerné” – mondta T. Faber. A díj kiírásakor az volt a vélemény, hogy a világon legfeljebb20 ember lehet esélyes a díjra. Érdemi megoldás 2002. március 20-adikáig nem érkezett, aprobléma továbbra is nyitott!

Apostolos Doxiadis „Uncle Petros and Goldbach’s Conjecture” (Petrosz bácsi és a Goldbach-sejtés) c.könyve 15 nyelvre lefordított bestseller lett. Az 1953-ban született ausztrál szerz Athénbannevelkedett, a Columbia University-n 18 évesen matematikát végzett. Kés bb irodalommal ésszínházzal foglalkozott.

Regényének h se, Petrosz Papakrisztosz (Petrosz bácsi) megszállott matematikus, kicsit nevetséges,öntelt, bizalmatlan szobatudós, aki a Goldbach-sejtés bizonyítására teszi fel az életét. Az 1910-es évekvégén – matematikus zseniként - Cambridge-be kerül, ahol együtt dolgozik a kor legkiválóbbszámelmélészeivel (G.H. Hardy, J.E. Littlewood, S. Ramanujan), majd kapcsolatba kerül C.Charatheodory-val, A. Turing-gal és K. Gödel-lel is. Berlinben egyetemi katedrát kap. Kés bbvisszahúzódva, magányosan él, kutatásait titkolja, nehogy ellopják, és csak unokaöccsének fedi fel, hogymit dolgozik. Családja véleménye, hogy Petrosz bácsi „kész cs dtömeg”. A sejtés megoldását elemimódszerekkel kísérli meg; álmaiban az egészszámok életre kelnek (pl. 299 és 2100, mint gyönyörikerlányok) és személyes jó barátaivá válnak. Felfogása, számmiszticizmusra való hajlama és titkolódzásaa pithagoreusi iskolát idézi. Amikor végre eldönti, hogy fontos részeredményeit publikálja, kiderül, hogyel tte ezt már mások megtették. Petrosz összeomlik, majd amikor értesül Gödel (1906-1978) ún. nem-teljességi tételér l (1931), és világos lesz számára, hogy kit zött célja talán megoldhatatlan, meg rül.Egyik éjszaka azt hiszi, hogy megoldotta a problémát, de miel tt közölhetné unokaöccsével a (vélt)megoldást, egy szélütés végez vele, és titka sírba száll [1];[2].

Amikor A. Doxiadis-t megkérdezték; mi a véleménye a Faber-díjról, ezt mondta: „Igen, tudom, hogyAndrew Wiles hét évet töltött el a Nagy Fermat Sejtés bizonyításával. De ha valaki Wiles bizonyításibejelentése el tt azt mondta volna; ’azt gondolom, hogy néhány éven belül megoldom’, rültnektartották volna. Néha a dolgok váratlanul bukkannak el ”.

Rudolf KNJZEK (Ausztria) a következ sejtést fogalmazta meg: „Minden N > 4 párosegészszámhoz tartozik egy NpN /2 prím úgy, hogy q=N−p szintén prím, ésN=pq .” Pl: N = 64, akkor 8 < p < 32. Ha p = 23, akkor q = 64 – 23 = 41, és a felbontás:

64 = 23 + 41. Ha p = 17, akkor q = 64 – 17 = 47, és 64 = 17 + 47. Ez azt (is) jelenti, hogy egy„elegend en nagy” N számig mindig több prímpár van, mint N /4 [12].

Knjzek azt mondta: „ha ezt be tudjuk bizonyítani, akkor bizonyított a Goldbach-sejtés. Azt gondolom,hogy ez nem annyira nehéz, mint az eredeti sejtés bizonyítása”. Kés bb hozzátette: „sejtésem aztmondja ki, hogy nem szükségesek kis prímek ahhoz, hogy kielégítsék a Goldbach-sejtést… Nembizonyítás, csak egy er s érv a Goldbach-sejtés mellett”. Ötletét Goldbach-Knjzek sejtésnek nevezte el.

Victar KARPAU (Victor KARPOV) belorusz matematikus állítása szerint megtalálta(?) aGoldbach-sejtés bizonyítását, amelyet 2004. szeptemberben publikált [13].

Martin GARDNER (1914-) amerikai matematikus mondta: „Azt hiszem, ha száz év múlvafelébrednék… kíváncsi lennék arra, hogy mi minden újat fedeztek fel a matematikában és afizikában? Bebizonyították-e Goldbach sejtését? A Riemann-hipotézist?...”

Martin Gardner matematikus, tudományfilozófus, amat r b vész, ismeretterjeszt és szakíró, azáltudományok elleni küzdelem egyik zászlóviv je , a „matemágus” és „matematikai guru”, a „ScientificAmerican” c. neves folyóirat „Mathematical Games” rovatának 25 éven át (1956-1981) volt aszerkeszt je.

Gardner az áltudományok ellen harcoló szkeptikus mozgalom - az amerikai szkeptikusok (egyik, egybenlegnagyobb) szervezete, a CSICOP (Committee for the Scientific Investigation of Claims Of theParanormal, Paranormális Jelenségek Tudományos Vizsgáló Bizottsága) - alapító tagja és a 38.000példányban, kéthavonta megjelen lapjuk, a „The Skeptical Inquirer” „Notes of a Fringe Watcher” (Egykibic jegyzetei) cím , állandó rovatának vezet je. A CSICOP-ot - áltudós ellenségei - csak „PsiCops”-nak(Pszi Zsarúk) vagy „SciCops”-nak (Tudomány Hekusok) aposztrofálják.

- 20 -

Alább megadjuk a páros számok felbontásait két prím összegére, ha N = 2n ¿ 198:

4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 8 = 3 + 5 10 = 3 + 7 = 5 + 5 12 = 5 + 7 14 = 3 + 11 = 7 + 7 16 = 3 + 13 = 5 + 11 18 = 5 + 13 = 7 + 11 20 = 3 + 17 = 7 + 13 22 = 3 + 19 = 5 + 17 = 11 + 11 24 = 5 + 19 = 7 + 17 = 11 + 13 26 = 3 + 23 = 7 + 19 = 13 + 13 28 = 5 + 23 = 11 + 17 30 = 7 + 23 = 11 + 19 = 13 + 17 32 = 3 + 29 = 13 + 19 34 = 3 + 31 = 5 + 29 = 11 + 23 = 17 + 17 36 = 5 + 31 = 7 + 29 = 13 + 23 = 17 + 19 38 = 7 + 31 = 19 + 19 40 = 3 + 37 = 11 + 29 = 17 + 23 42 = 5 + 37 = 11 + 31 = 13 + 29 = 19 + 23 44 = 3 + 41 = 7 + 37 = 13 + 31 46 = 3 + 43 = 5 + 41 = 17 + 29 = 23 + 23 48 = 5 + 43 = 7 + 41 = 11 + 37 = 17 + 31 = 19 + 29 50 = 3 + 47 = 7 + 43 = 13 + 37 = 19 + 31 52 = 5 + 47 = 11 + 41 = 23 + 29 54 = 7 + 47 = 11 + 43 = 13 + 41 = 17 + 37 = 23 + 31 56 = 3 + 53 = 13 + 43 = 19 + 37 58 = 5 + 53 = 11 + 47 = 17 + 41 = 29 + 29 60 = 7 + 53 = 13 + 47 = 17 + 43 = 19 + 41 = 23 + 37 = 29 + 31 62 = 3 + 59 = 19 + 43 = 31 + 31 64 = 3 + 61 = 5 + 59 = 11 + 53 = 17 + 47 = 23 + 41 66 = 5 + 61 = 7 + 59 = 13 + 53 = 19 + 47 = 23 + 43 = 29 + 37 68 = 7 + 61 = 31 + 37 70 = 3 + 67 = 11 + 59 = 17 + 53 = 23 + 47 = 29 + 41 72 = 5 + 67 = 11 + 61 = 13 + 59 = 19 + 53 = 29 + 43 = 31 + 41 74 = 3 + 71 = 7 + 67 = 13 + 61 = 31 + 43 = 37 + 37 76 = 3 + 73 = 5 + 71 = 17 + 59 = 23 + 53 = 29 + 47 78 = 5 + 73 = 7 + 71 = 11 + 67 = 17 + 61 = 19 + 59 = 31 + 47 = 37 + 41 80 = 7 + 73 = 13 + 67 = 19 + 61 = 37 + 43 82 = 3 + 79 = 11 + 71 = 23 + 59 = 29 + 53 = 41 + 41 84 = 5 + 79 = 11 + 73 = 13 + 71 = 17 + 67 = 23 + 61 = 31 + 53 = 37 + 47 = 41 + 43 86 = 3 + 83 = 7 + 79 = 13 + 73 = 19 + 67 = 43 + 43 88 = 5 + 83 = 17 + 71 = 29 + 59 = 41 + 47 90 = 7 + 83 = 11 + 79 = 17 + 73 = 19 + 71 = 23 + 67 = 29 + 61 = 31 + 59 = 37 + 53 = 43 + 47 92 = 3 + 89 = 13 + 79 = 19 + 73 = 31 + 61 94 = 5 + 89 = 11 + 83 = 23 + 71 = 41 + 53 = 47 + 47 96 = 7 + 89 = 13 + 83 = 17 + 79 = 23 + 73 = 29 + 67 = 37 + 59 = 43 + 53 98 = 19 + 79 = 31 + 67 = 37 + 61 100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83 = 29 + 71 = 41 + 59 = 47 + 53 102 = 5 + 97 = 13 + 89 = 19 + 83 = 23 + 79 = 29 + 73 = 31 + 71 = 41 + 61 = 43 + 59 104 = 3 + 101 = 7 + 97 = 31 + 73 = 37 + 67 = 43 + 61 106 = 3 + 103 = 5 + 101 = 17 + 89 = 23 + 83 = 47 + 59 = 53 + 53 108 = 5 + 103 = 7 + 101 = 11 + 97 = 19 + 89 = 29 + 79 = 37 + 71 = 41 + 67 = 47 + 61 110 = 3 + 107 = 7 + 103 = 13 + 97 = 31 + 79 = 37 + 73 = 43 + 67 112 = 3 + 109 = 5 + 107 = 11 + 101 = 23 + 89 = 29 + 83 = 41 + 71 = 53 + 59

- 21 -

114 = 5 + 109 = 7 + 107 = 11 + 103 = 13 + 101 = 17 + 97 = 31 + 83 = 41 + 73 = 43 + 71 = 47 + 67 = 53 + 61 116 = 3 + 113 = 7 + 109 = 13 + 103 = 19 + 97 = 37 + 79 = 43 + 73 118 = 5 + 113 = 11 + 107 = 17 + 101 = 29 + 89 = 47 + 71 = 59 + 59 120 = 7 + 113 = 11 + 109 = 13 + 107 = 17 + 103 = 19 + 101 = 23 + 97 = 31 + 89 = 37 + 83 = 41 + 79 = 47 + 73= 53 + 67 = 59 + 61 122 = 13 + 109 = 19 + 103 = 43 + 79 = 61 + 61 124 = 11 + 113 = 17 + 107 = 23 + 101 = 41 + 83 = 53 + 71 126 = 13 + 113 = 17 + 109 = 19 + 107 = 23 + 103 = 29 + 97 = 37 + 89 = 43 + 83 = 47 + 79 = 53 + 73 = 59 + 67 128 = 19 + 109 = 31 + 97 = 61 + 67 130 = 3 + 127 = 17 + 113 = 23 + 107 = 29 + 101 = 41 + 89 = 47 + 83 = 59 + 71 132 = 5 + 127 = 19 + 113 = 23 + 109 = 29 + 103 = 31 + 101 = 43 + 89 = 53 + 79 = 59 + 73 = 61 + 71 134 = 3 + 131 = 7 + 127 = 31 + 103 = 37 + 97 = 61 + 73 = 67 + 67 136 = 5 + 131 = 23 + 113 = 29 + 107 = 47 + 89 = 53 + 83 138 = 7 + 131 = 11 + 127 = 29 + 109 = 31 + 107 = 37 + 101 = 41 + 97 = 59 + 79 = 67 + 71 140 = 3 + 137 = 13 + 127 = 31 + 109 = 37 + 103 = 43 + 97 = 61 + 79 = 67 + 73 142 = 3 + 139 = 5 + 137 = 11 + 131 = 29 + 113 = 41 + 101 = 53 + 89 = 59 + 83 = 71 + 71 144 = 5 + 139 = 7 + 137 = 13 + 131 = 17 + 127 = 31 + 113 = 37 + 107 = 41 + 103 = 43 + 101 = 47 + 97 = 61 +83 = 71 + 73 146 = 7 + 139 = 19 + 127 = 37 + 109 = 43 + 103 = 67 + 79 = 73 + 73 148 = 11 + 137 = 17 + 131 = 41 + 107 = 47 + 101 = 59 + 89 150 = 11 + 139 = 13 + 137 = 19 + 131 = 23 + 127 = 37 + 113 = 41 + 109 = 43 + 107 = 47 + 103 = 53 + 97 = 61+ 89 = 67 + 83 = 71 + 79 152 = 3 + 149 = 13 + 139 = 43 + 109 = 73 + 79 154 = 3 + 151 = 5 + 149 = 17 + 137 = 23 + 131 = 41 + 113 = 47 + 107 = 53 + 101 = 71 + 83 156 = 5 + 151 = 7 + 149 = 17 + 139 = 19 + 137 = 29 + 127 = 43 + 113 = 47 + 109 = 53 + 103 = 59 + 97 = 67 +89 = 73 + 83 158 = 7 + 151 = 19 + 139 = 31 + 127 = 61 + 97 = 79 + 79 160 = 3 + 157 = 11 + 149 = 23 + 137 = 29 + 131 = 47 + 113 = 53 + 107 = 59 + 101 = 71 + 89 162 = 5 + 157 = 11 + 151 = 13 + 149 = 23 + 139 = 31 + 131 = 53 + 109 = 59 + 103 = 61 + 101 = 73 + 89 = 79 +83 164 = 7 + 157 = 13 + 151 = 37 + 127 = 61 + 103 = 67 + 97 166 = 3 + 163 = 17 + 149 = 29 + 137 = 53 + 113 = 59 + 107 = 83 + 83 168 = 5 + 163 = 11 + 157 = 17 + 151 = 19 + 149 = 29 + 139 = 31 + 137 = 37 + 131 = 41 + 127 = 59 + 109 = 61+ 107 = 67 + 101 = 71 + 97 = 79 + 89 170 = 3 + 167 = 7 + 163 = 13 + 157 = 19 + 151 = 31 + 139 = 43 + 127 = 61 + 109 = 67 + 103 = 73 + 97 172 = 5 + 167 = 23 + 149 = 41 + 131 = 59 + 113 = 71 + 101 = 83 + 89 174 = 7 + 167 = 11 + 163 = 17 + 157 = 23 + 151 = 37 + 137 = 43 + 131 = 47 + 127 = 61 + 113 = 67 + 107 = 71+ 103 = 73 + 101 176 = 3 + 173 = 13 + 163 = 19 + 157 = 37 + 139 = 67 + 109 = 73 + 103 = 79 + 97 178 = 5 + 173 = 11 + 167 = 29 + 149 = 41 + 137 = 47 + 131 = 71 + 107 = 89 + 89 180 = 7 + 173 = 13 + 167 = 17 + 163 = 23 + 157 = 29 + 151 = 31 + 149 = 41 + 139 = 43 + 137 = 53 + 127 = 67+ 113 = 71 + 109 = 73 + 107 = 79 + 101 = 83 + 97 182 = 3 + 179 = 19 + 163 = 31 + 151 = 43 + 139 = 73 + 109= 79 + 103 184 = 3 + 181 = 5 + 179 = 11 + 173 = 17 + 167 = 47 + 137 = 53 + 131 = 71 + 113 = 83 + 101 186 = 5 + 181 = 7 + 179 = 13 + 173 = 19 + 167 = 23 + 163 = 29 + 157 = 37 + 149 = 47 + 139 = 59 + 127 = 73 +113 = 79 + 107 = 83 + 103 = 89 + 97 188 = 7 + 181 = 31 + 157 = 37 + 151 = 61 + 127 = 79 + 109 190 = 11 + 179 = 17 + 173 = 23 + 167 = 41 + 149 = 53 + 137 = 59 + 131 = 83 + 107 = 89 + 101 192 = 11 + 181 = 13 + 179 = 19 + 173 = 29 + 163 = 41 + 151 = 43 + 149 = 53 + 139 = 61 + 131 = 79 + 113 =83 + 109 = 89 + 103 194 = 3 + 191 = 13 + 181 = 31 + 163 = 37 + 157 = 43 + 151 = 67 + 127 = 97 + 97 196 = 3 + 193 = 5 + 191 = 17 + 179 = 23 + 173 = 29 + 167 = 47 + 149 = 59 + 137 = 83 + 113 = 89 + 107 198 = 5 + 193 = 7 + 191 = 17 + 181 = 19 + 179 = 31 + 167 = 41 + 157 = 47 + 151 = 59 + 139 = 61 + 137 = 67 +131 = 71 + 127 = 89 + 109 = 97 + 101

- 22 -

IRODALOM

[1] Apostolos Doxiadis: Uncle Petros and Goldbach’s Conjecture (Faber & Faber Publ,2003).[2] Aposztolosz Doxiadisz: Petrosz bácsi és a Goldbach-sejtés (Európa Könyvkiadó Kft,Budapest, 2004).[3] Simon Singh: A nagy Fermat-sejtés (Park Könyvkiadó, Budapest, 1999).[4] S.K. Kapoor: Proof of Goldbach Theorem.[5] S.K. Kapoor: (Vedic Mathematics Newsletter, 2000, Issue 10, New Delhi, India).[5] Jagadguru Swami Sri Bharati Krsna Tirthaji Maharaja: Vedic Mathematics (MotilalBanarasidass Publishers, Delhi, India, 1965).[6] Proceedings of the London Mathematical Society, Vol. 4, pp 4-6.[7] On the Goldbach-Euler Theorem Regarding Prime Numbers (The Mathematical Papers,Vol. IV, pp 734-73, Chelsea Publishing Co, New York, NY, USA).[8] Godfrey Harold Hardy (Mathematical Society of Coppenhagen).[9] On Schnirelmann’s Constant (Ann. Sc. Norm. Super, 22, Vol. 4, 1995, pp 645-706).[10] P.H. Fuss: Correspondance mathématique et physique de quelquescélébres géométres duXVIIIéme siécle, tome I (St. Petersburg, 1843).[11] A. Desboves (Nouv. Ann. Math. 14, p 293, 1855).[12] Rudolf Knjzek: About the maximum lenght of covered blocks.[13] www.wordiq.com/definition/Goldbach's_conjecture.[14] Sylvia Nasar: Egy csodálatos elme. A Nobel-díjas matematika géniusz, John Nash élete(Gabo Könyvkiadó Kft, 2002).[15] Paul Hoffman: A Prímember. Erd s Pál kalandjai a matematika végtelenjében (ScolarKiadó, 1999).

- 23 -

Á B R Á K

1. ábraLeonhard Euler (1707-1783),

a Goldbach-sejtés végs megfogalmazója.

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@