Gliwice - polsl.pldydaktyka.polsl.pl/kwmimkm/wyklad_02_dzienne.pdf · 2009. 10. 22. · Metoda...
Transcript of Gliwice - polsl.pldydaktyka.polsl.pl/kwmimkm/wyklad_02_dzienne.pdf · 2009. 10. 22. · Metoda...
Metoda simpleks
Gliwice
Sprowadzenie modeludo postaci bazowej
Gliwice
Sprowadzenie modelu do postaci bazowej
Przykład 4
Model matematyczny z Przykładu 1 sprowadzić do postaci bazowej.
( )1 2 1 2, 6 5 MAXZ x x x x= + →FC:
O:1 2
1 2
1 2
9 7 638
3 2 6
x xx xx x
+ ≤+ ≤+ ≥
1
2
3
1 20, 0x x≥ ≥WB:
Gliwice3
1 29 7 63x x+ ≤
Sprowadzenie modelu do postaci bazowej
Ograniczenie 1
Aby otrzymać ograniczenie w postaci równania wprowadzamy dodatkową zmienną do ograniczenia:
1 2 39 7 63x x x+ + =
x3 – zmienna bilansująca
Zmienna bilansująca x3 określa ilość środka S1 jaki nie zostanie wykorzystany w procesie produkcji.
Gliwice4
1 2 39 7 63x x x+ + =
Sprowadzenie modelu do postaci bazowej
3 1 263 9 7x x x= − −
Gdyby przyjąć: x1 = 0 i x2 = 0:
3 63 0x = ≥
Zmienna bilansująca x3 spełnia postulat nieujemności.
Gliwice5
1 2 8x x+ ≤
Sprowadzenie modelu do postaci bazowej
Ograniczenie 2
Aby otrzymać ograniczenie w postaci równania wprowadzamy dodatkową zmienną do ograniczenia (analogicznie jak dla pierwszego ograniczenia):
1 2 4 8x x x+ + =
x4 – zmienna bilansująca
Zmienna bilansująca x4 określa ilość środka S2 jaki nie zostanie wykorzystany w procesie produkcji.
Dla x1 = 0 i x2 = 0: x4 = 8 ≥ 0
Gliwice6
1 23 2 6x x+ ≥
Sprowadzenie modelu do postaci bazowej
Ograniczenie 3
Aby otrzymać ograniczenie w postaci równania wprowadzamy dodatkową zmienną do ograniczenia:
1 2 53 2 6x x x+ − =
x5 – zmienna bilansująca
Dla x1 = 0 i x2 = 0: x5 = −6 < 0
Gliwice7
Sprowadzenie modelu do postaci bazowej
W postaci bazowej, w każdym ograniczeniu musi znajdowaćsię jedna zmienna, która po wyzerowaniu wszystkich pozostałych zmiennych w ograniczeniu jest nieujemna.
Wprowadzamy kolejną zmienną:
1 2 5 63 2 6x x x x+ − + =
x6 – zmienna sztuczna
Dla x1 = 0, x2 = 0 oraz x5 = 0: x6 = 6 ≥ 0
Gliwice8
Sprowadzenie modelu do postaci bazowej
Rozwiązanie zadania po wprowadzeniu zmiennej sztucznej nie jest równoważne z rozwiązaniem zadania początkowego.
Byłoby równoważne tylko wtedy, gdyby w rozwiązaniu optymalnym zmienna sztuczna miała wartość zero.
Gliwice9
Sprowadzenie modelu do postaci bazowej
Aby zapewnić x6 = 0 w rozwiązaniu optymalnym, każdązmienną sztuczną wprowadza się do funkcji celu.
Współczynnik przy zmiennej sztucznej w funkcji celu dobiera się tak, aby niezerowa wartość tej zmiennej mocno pogarszała wartość funkcji celu.
( )1 2 6 1 2 6, , 6 5 MAXZ x x x x x Mx= + + →FC:
1000M = −
Gliwice10
Sprowadzenie modelu do postaci bazowej
Czy zmienne bilansujące należy uwzględnić w funkcji celu?
Tak.
Z jakimi współczynnikami?
Wszystkie współczynniki przy zmiennych bilansujących w funkcji celu mają wartość równą zero.
( )1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6, , , , , 6 5 0 0 0 1000 MAXZ x x x x x x x x x x x x= + + + + − →
Gliwice11
Sprowadzenie modelu do postaci bazowej
Postać bazowa zadania z Przykładu 1:
FC:
( )1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6, , , , , 6 5 0 0 0 1000 MAXZ x x x x x x x x x x x x= + + + + − →
O:
1 2 3
1 2 4
1 2 5 6
9 7 638
3 2 6
x x xx x xx x x x
+ + =+ + =+ − + =
1
2
3
WB:
1 2 3 4 5 60, 0, 0, 0, 0, 0x x x x x x≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥
Gliwice12
Sprowadzenie modelu do postaci bazowej
Sprowadzenie do postaci bazowej ograniczenia typu:
1 22 4x x+ =
Wprowadzamy zmienną sztuczną:
1 2 32 4x x x+ + =
Zmienną sztuczną x3 należy uwzględnić w funkcji celu w podany poprzednio sposób, czyli tak, aby jej niezerowa wartość mocno pogarszała wartość funkcji celu.
Gliwice13
Sprowadzenie modelu do postaci bazowej
Postać bazowa:
Wszystkie ograniczenia w postaci równań
W każdym ograniczeniu znajduje się zmienna, która po wyzerowaniu pozostałych zmiennych ma wartość nieujemną
Współczynnik przy zmiennej sztucznej ma wartość 1
Wprowadzone zmienne bilansujące wprowadza się do funkcji celu z zerowymi współczynnikami
Wprowadzone zmienne sztuczne uwzględnia się w funkcji celu ze współczynnikami mocno pogarszającymi jej wartość
Gliwice14
Metoda simpleks
Gliwice
Metoda simpleks
Przykład 5
Rozwiązać zadanie z Przykładu 1 metodą simpleks.
FC:
( )1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6, , , , , 6 5 0 0 0 1000 MAXZ x x x x x x x x x x x x= + + + + − →
O:
1 2 3
1 2 4
1 2 5 6
9 7 638
3 2 6
x x xx x xx x x x
+ + =+ + =+ − + =
1
2
3
WB:
1 2 3 4 5 60, 0, 0, 0, 0, 0x x x x x x≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥
Gliwice16
Metoda simpleks
Tablica simpleks:
cTx→MAXbi
x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6
Gliwice17
Metoda simpleks
Tablica simpleks:
cTx→MAX
x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6
bi6 5 0 0 0 -1000
9 7 1 0 0 0 63
1 1 0 1 0 0 8
3 2 0 0 -1 1 6
Gliwice18
Metoda simpleks
Tablica simpleks:
cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000
x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6
9 7 1 0 0 0 63
1 1 0 1 0 0 8
3 2 0 0 -1 1 6
bi
Gliwice19
Metoda simpleks
Tablica simpleks:
cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000
x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6
9 7 1 0 0 0 63
1 1 0 1 0 0 8
3 2 0 0 -1 1 6
bi
x3 0
x4 0
x6 -1000
Gliwice20
Metoda simpleks
Tablica simpleks:
cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000
x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6
x3 0 9 7 1 0 0 0 63
x4 0 1 1 0 1 0 0 8
x6 -1000 3 2 0 0 -1 1 6
bi
zj -3000
( )1 0 9 0 1 1000 3 3000z = ⋅ + ⋅ + − ⋅ = −
Gliwice21
Metoda simpleks
Tablica simpleks:
cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000
x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6
x3 0 9 7 1 0 0 0 63
x4 0 1 1 0 1 0 0 8
x6 -1000 3 2 0 0 -1 1 6
zj -3000 -2000
bi
( )2 0 7 0 1 1000 2 2000z = ⋅ + ⋅ + − ⋅ = −
Gliwice22
Metoda simpleks
Tablica simpleks:
cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000
x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6
x3 0 9 7 1 0 0 0 63
x4 0 1 1 0 1 0 0 8
x6 -1000 3 2 0 0 -1 1 6
zj -3000 -2000 0
bi
( )3 0 1 0 0 1000 0 0z = ⋅ + ⋅ + − ⋅ =
Gliwice23
Metoda simpleks
Tablica simpleks:
cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000
x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6
x3 0 9 7 1 0 0 0 63
x4 0 1 1 0 1 0 0 8
x6 -1000 3 2 0 0 -1 1 6
zj -3000 -2000 0 0
bi
( )4 0 0 0 1 1000 0 0z = ⋅ + ⋅ + − ⋅ =
Gliwice24
Metoda simpleks
Tablica simpleks:
cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000
x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6
x3 0 9 7 1 0 0 0 63
x4 0 1 1 0 1 0 0 8
x6 -1000 3 2 0 0 -1 1 6
zj -3000 -2000 0 0 1000
bi
( ) ( )5 0 0 0 0 1000 1 1000z = ⋅ + ⋅ + − ⋅ − =
Gliwice25
Metoda simpleks
Tablica simpleks:
cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000
x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6
x3 0 9 7 1 0 0 0 63
x4 0 1 1 0 1 0 0 8
x6 -1000 3 2 0 0 -1 1 6
zj -3000 -2000 0 0 1000 -1000
bi
( )6 0 0 0 0 1000 1 1000z = ⋅ + ⋅ + − ⋅ = −
Gliwice26
Metoda simpleks
Tablica simpleks:
cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000
x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6
x3 0 9 7 1 0 0 0 63
x4 0 1 1 0 1 0 0 8
x6 -1000 3 2 0 0 -1 1 6
zj -3000 -2000 0 0 1000 -1000
bi
cj – zj -3006
( )1 1 6 3000 3006c z− = − − =
Gliwice27
Metoda simpleks
Tablica simpleks:
cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000
x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6
x3 0 9 7 1 0 0 0 63
x4 0 1 1 0 1 0 0 8
x6 -1000 3 2 0 0 -1 1 6
zj -3000 -2000 0 0 1000 -1000
cj – zj 3006 2005
bi
( )2 2 5 2000 2005c z− = − − =
Gliwice28
Metoda simpleks
Tablica simpleks:
cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000
x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6
x3 0 9 7 1 0 0 0 63
x4 0 1 1 0 1 0 0 8
x6 -1000 3 2 0 0 -1 1 6
zj -3000 -2000 0 0 1000 -1000
cj – zj 3006 2005 0
bi
3 3 0 0 0c z− = − =
Gliwice29
Metoda simpleks
Tablica simpleks:
cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000
x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6
x3 0 9 7 1 0 0 0 63
x4 0 1 1 0 1 0 0 8
x6 -1000 3 2 0 0 -1 1 6
zj -3000 -2000 0 0 1000 -1000
cj – zj 3006 2005 0 0
bi
4 4 0 0 0c z− = − =
Gliwice30
Metoda simpleks
Tablica simpleks:
cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000
x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6
x3 0 9 7 1 0 0 0 63
x4 0 1 1 0 1 0 0 8
x6 -1000 3 2 0 0 -1 1 6
zj -3000 -2000 0 0 1000 -1000
cj – zj 3006 2005 0 0 -1000
bi
5 5 0 1000 1000c z− = − = −
Gliwice31
Metoda simpleks
Tablica simpleks:
cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000
x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6
x3 0 9 7 1 0 0 0 63
x4 0 1 1 0 1 0 0 8
x6 -1000 3 2 0 0 -1 1 6
zj -3000 -2000 0 0 1000 -1000
cj – zj 3006 2005 0 0 -1000 0
bi
( )6 6 1000 1000 0c z− = − − − =
Gliwice32
Metoda simpleks
cj – zj wskaźniki optymalności
Dla zmiennych bazowych wskaźniki optymalności zawsze są równe 0.
Gliwice33
Metoda simpleks
Kryterium optymalności
Rozwiązanie jest optymalne, jeżeli wartości wszystkich wskaźników optymalności są niedodatnie.
Rozwiązanie w bazie [x3, x4, x6] nie jest rozwiązaniem optymalnym.
Należy przejść do następnej bazy
Gliwice34
Metoda simpleks
Kryterium wejścia do bazy
Do bazy wchodzi zmienna, która ma największą wartośćwskaźnika optymalności.
Jeżeli największa wartość wskaźnika optymalności odpowiada więcej niż jednej zmiennej, wybieramy zmiennąo niższym indeksie.
W przykładzie kryterium wejścia spełnia zmienna x1.
Gliwice35
Metoda simpleks
Kryterium wyjścia z bazy
Obliczamy ilorazy wyrazów wolnych (kolumna bi) przez elementy (tylko dodatnie) kolumny zmiennej wchodzącej do bazy.
Bazę opuszcza ta zmienna, dla której obliczony iloraz jest najmniejszy.
Jeżeli najmniejsza wartość ilorazu występuje dla więcej niżjednej zmiennej, to jako zmienną opuszczającą bazę można wybrać dowolną z nich.
Gliwice36
cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000
x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6
x3 0 9 7 1 0 0 0 63
x4 0 1 1 0 1 0 0 8
x6 -1000 3 2 0 0 -1 1 6
zj -3000 -2000 0 0 1000 -1000
cj – zj 3006 2005 0 0 -1000 0
bi
Metoda simpleks
3 : 63/9 7x = 4 : 8 /1 8x = 6 : 6 /3 2x =
W przykładzie kryterium wyjścia spełnia zmienna x6.
Gliwice37
cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000
x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6
x3 0 9 7 1 0 0 0 63
x4 0 1 1 0 1 0 0 8
x6 -1000 3 2 0 0 -1 1 6
zj -3000 -2000 0 0 1000 -1000
cj – zj 3006 2005 0 0 -1000 0
bi
Metoda simpleks
Gliwice38
Metoda simpleks
Metoda zamiany zmiennych
Elementy wiersza usuwanego i kolumny wchodzącej wyróżniono szarym tłem.Element centralny wyróżniono ramką.
Gliwice39
cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000
x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6
x3 0 9 7 1 0 0 0 63
x4 0 1 1 0 1 0 0 8
x1 6 3 2 0 0 -1 1 6
bi
Metoda simpleks
Gliwice40
Metoda simpleks
Metoda zamiany zmiennych
Elementy nowej tablicy simpleksowej wyznaczamy stosując regułęprostokąta, nie uwzględniając elementów w wierszu usuwanym oraz kolumnie wchodzącej.
Elementy kolumny wchodzącej, poza elementem centralnym, sąrówne zero.
Elementy w wierszu odpowiadającemu usuwanej zmiennej dzielimy przez element centralny.
Gliwice41
cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000
x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6
x3 0 9 7 1 0 0 0 63
x4 0 1 1 0 1 0 0 8
x1 6 3 2 0 0 -1 1 6
bi
Metoda simpleks
element centralny
11 3212 12
31
9 27 13
a aa aa⋅ ⋅
= − = − =
Gliwice42
cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000
x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6
x3 0 9 7 1 0 0 0 63
x4 0 1 1 0 1 0 0 8
x1 6 3 2 0 0 -1 1 6
bi
Metoda simpleks
2 2
13 2 3
1 4 2 4
15 2 5
16 2 6
1 2 113 3
9 0 1 01 1 0 03 3
9 0 1 00 0 1 13 3
9 ( 1) 1 ( 1) 10 3 03 3 3
9 1 1 1 10 3 03 3 3
a
a a
a a
a a
a a
⋅= − =
⋅ ⋅= − = = − =
⋅ ⋅= − = = − =
⋅ − ⋅ −= − = = − =
⋅ ⋅= − = − = − = −
1
2
9 663 453
1 68 63
b
b
⋅= − =
⋅= − =
Gliwice43
cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000
x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6
x3 0 0 1 1 0 3 -3 45
x4 0 0 1/3 0 1 1/3 -1/3 6
x1 6 1 2/3 0 0 -1/3 1/3 2
zj
cj – zj
bi
Metoda simpleks
1 6-10023 / 3
Gliwice44
Metoda simpleks
Współczynniki oraz wskaźniki optymalności obliczamy tak, jak w przypadku 1-szej tablicy simpleksowej
jz ( )j jc z−
Gliwice45
Metoda simpleks
cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000
x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6
x3 0 0 1 1 0 3 -3 45
x4 0 0 1/3 0 1 1/3 -1/3 6
x1 6 1 2/3 0 0 -1/3 1/3 2
zj 6 4 0 0 -2 2
cj – zj 0 1 0 0 2 -1002
bi
Rozwiązanie w bazie [x3, x4, x1] nie jest rozwiązaniem optymalnym.
Gliwice46
Metoda simpleks
Do bazy wchodzi zmienna: x5
Ilorazy:
( )3
4
1
: 45 / 3 15: 6 / 1/ 3 18:
xxx
==
− ujemny współczynnik – nie liczymy ilorazu
Z bazy wychodzi zmienna: x3
Gliwice47
Metoda simpleks
cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000
x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6
x5 0 0 1/3 1/3 0 1 -1 15
x4 0 0 2/9 -1/9 1 0 0 1
x1 6 1 7/9 1/9 0 0 0 7
zj 6 14/3 2/3 0 0 0
cj – zj 0 1/3 -2/3 0 0 -1000
bi
Rozwiązanie w bazie [x5, x4, x1] nie jest rozwiązaniem optymalnym.
Gliwice48
Metoda simpleks
Do bazy wchodzi zmienna: x2
Ilorazy:
( )( )( )
5
4
1
: 15 / 1/ 3 45: 1/ 2 / 9 4.5: 7 / 7 / 9 9
xxx
===
Z bazy wychodzi zmienna: x4
Gliwice49
Metoda simpleks
cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000
x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6
x5 0 0 0 1/2 -3/2 1 -1 27/2
x2 5 0 1 -1/2 9/2 0 0 9/2
x1 6 1 0 1/2 -7/2 0 0 7/2
zj 6 5 1/2 3/2 0 0
cj – zj 0 0 -1/2 -3/2 0 -1000
bi
Rozwiązanie w bazie [x5, x2, x1] jest rozwiązaniem optymalnym.
Gliwice50
cTx→MAX 6 5 0 0 0 -1000
x(B) c(B) x1 x2 x3 x4 x5 x6
x5 0 0 0 1/2 -3/2 1 -1 27/2
x2 5 0 1 -1/2 9/2 0 0 9/2
x1 6 1 0 1/2 -7/2 0 0 7/2
zj 6 5 1/2 3/2 0 0
cj – zj 0 0 -1/2 -3/2 0 -1000
bi
Metoda simpleks
Zmienne bazowe: x5 = 27/2 x2 = 9/2 x1 = 7/2
Zmienne niebazowe: x3 = 0 x4 = 0 x6 = 0
Gliwice51
Metoda simpleks
Rozwiązanie:
1 2 3 4 5 63.5 4.5 0 0 13.5 0x x x x x x= = = = = =
Funkcja celu:
( )1 2 3 4 5 6, , , , , 43.5Z x x x x x x =
Gliwice52
Różnice w algorytmiemetody simpleks na
MAX i MIN
Gliwice
Różnice w algorytmie metody simpleks na MAX i MIN
Kryterium wejścia do bazy
Zmienna z największą wartością wskaźnika optymalności.MAX:
Zmienna z najmniejszą wartością wskaźnika optymalności.MIN:
Gliwice54
Różnice w algorytmie metody simpleks na MAX i MIN
Kryterium wyjścia z bazy
Zmienna, dla której iloraz elementu z wektora wyrazów wolnych przez współczynnik z kolumny zmiennej wchodzącej do bazy ma najmniejszą wartość.
MAX:
Identycznie jak w zadaniu na MAX.MIN:
Gliwice55
Różnice w algorytmie metody simpleks na MAX i MIN
Rozwiązanie optymalne
Wszystkie wskaźniki optymalności muszą być niedodatnie.MAX:
Wszystkie wskaźniki optymalności muszą być nieujemne.MIN:
Gliwice56
Zmienne nie spełniają warunków nieujemności!!!
I co dalej???
Gliwice
Metoda simpleks a zadanie dualne
( )1 2 3 1 2 3, , 6 5 4 MAXZ x x x x x x= + − →FC:
O:1 2 3
1 2 3
1 2 3
9 7 4 53 6 8 8
3 2 4 6
x x xx x xx x x
+ − ≥ −− + − ≤
+ + =
1
2
3
1 2 30, , 0x x R x≥ ∈ ≤WB:
Gliwice58
2x R∈
Metoda simpleks a zadanie dualne
Zmienną x2 zastępujemy różnicą dwóch zmiennych nieujemnych:
* ** * **2 2 2 2 2, 0, 0x x x x x= − ≥ ≥
Gliwice59
3 0x ≤
Metoda simpleks a zadanie dualne
Zmienną x3 zastępujemy różnicą dwóch zmiennych nieujemnych:
* ** * **3 3 3 3 3, 0, 0x x x x x= − ≥ ≥
Gliwice60
Metoda simpleks a zadanie dualne
( ) ( ) ( )* ** * ** * ** * **1 2 2 3 3 1 2 2 3 3, , , , 6 5 4 MAXZ x x x x x x x x x x= + − − − →FC:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
* ** * **1 2 2 3 3
* ** * **1 2 2 3 3
* ** * **1 2 2 3 3
9 7 4 5
3 6 8 8
3 2 4 6
x x x x x
x x x x x
x x x x x
+ − − − ≥ −
− + − − − ≤
+ − + − =
O: 1
2
3
* ** * **1 2 2 3 30, 0, 0, 0, 0x x x x x≥ ≥ ≥ ≥ ≥WB:
Gliwice61
Metoda simpleks a zadanie dualne
Zmieniamy numery zmiennych:
( )1 2 3 4 5 1 2 3 4 5ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , 6 5 5 4 4 MAXZ x x x x x x x x x x= + − − + →FC:
O:1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ9 7 7 4 4 5ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 6 6 8 8 8
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 2 2 4 4 6
x x x x xx x x x xx x x x x
+ − − + ≥ −− + − − + ≤
+ − + − =
1
2
3
ˆ 0, 1,2,...,5jx j≥ =WB:
Gliwice62
Metoda simpleks a zadanie dualne
Ograniczenia, w których wyraz wolny jest liczbą ujemnąmnożymy przez –1 (tutaj ograniczenie 1):
( )1 2 3 4 5 1 2 3 4 5ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , 6 5 5 4 4 MAXZ x x x x x x x x x x= + − − + →FC:
O:1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ9 7 7 4 4 5ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 6 6 8 8 8
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 2 2 4 4 6
x x x x xx x x x xx x x x x
− − + + − ≤− + − − + ≤
+ − + − =
1
2
3
ˆ 0, 1,2,...,5jx j≥ =WB:
Gliwice63
Metoda simpleks a zadanie dualne
Dalsze postępowanie jest identyczne jak przy rozwiązywaniu zadania metodą simpleks.
Gliwice64
Szczególne przypadki rozwiązań
Gliwice
Szczególne przypadki rozwiązań
Zadanie sprzeczne
( )1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
, 6 5 MAXx 8
3 2 6, 0
Z x x x xx
x xx x
= + →+ ≥+ ≤
≥
1
2
W postaci bazowej:
1
2
( )1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
1 2 3 4
1 2 5
1 2 3 4 5
, , , , 6 5 0 1000 0 MAXx 83 2 6
, , , , 0
Z x x x x x x x x x xx x x
x x xx x x x x
= + + − + →+ − + =+ + =
≥
Gliwice66
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 x1
x2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1
2
Szczególne przypadki rozwiązań
Gliwice67
Szczególne przypadki rozwiązań
Zadanie sprzeczne:
Nie ma rozwiązań dopuszczalnych
Objawy w metodzie simpleks:
W rozwiązaniu optymalnym, zmienna sztuczna (w tym przykładzie zmienna x4) będzie miała wartość niezerową (czyli będzie w bazie).
Gliwice68
Szczególne przypadki rozwiązań
Alternatywne rozwiązania optymalne
( )1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
, 2 2 MAXx 8
3 2 6, 0
Z x x x xx
x xx x
= + →+ ≤+ ≥
≥
1
2
W postaci bazowej:
1
2
( )1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
1 2 3
1 2 4 5
1 2 3 4 5
, , , , 2 2 0 0 1000 MAXx 8
3 2 6, , , , 0
Z x x x x x x x x x xx x
x x x xx x x x x
= + + + − →+ + =
+ − + =≥
Gliwice69
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 x1
x2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1
2
C (0, 8): Z(0, 8) = 16D (8, 0): Z(8, 0) = 16
A
B
C
D
Szczególne przypadki rozwiązań
Gliwice70
Szczególne przypadki rozwiązań
Alternatywne rozwiązania optymalne:
Każdy punkt odcinka CD jest rozwiązaniem optymalnym − odpowiada alternatywnemu, optymalnemu rozwiązaniuMoże się zdarzyć, że zadanie ma nieskończenie wiele rozwiązań optymalnych
Objawy w metodzie simpleks:
W rozwiązaniu optymalnym, zerowe wartości wskaźników optymalności dla zmiennych niebazowych.
Rozwiązania optymalne można zidentyfikować przechodząc do kolejnych baz.
Gliwice71
Szczególne przypadki rozwiązań
Nieograniczony zbiór rozwiązań dopuszczalnych
( )1 2 1 2
1 2
1
1 2
, 2 3 MAX3x 2 6
7, 0
Z x x x xx
xx x
= + →+ ≥≤≥
1
2
W postaci bazowej:
1
2
( )1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
1 2 3 4
1 5
1 2 3 4 5
, , , , 2 3 0 1000 0 MAX3x 3 6
7, , , , 0
Z x x x x x x x x x xx x xx x
x x x x x
= + + − + →+ − + =
+ =≥
Gliwice72
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 x1
x2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
1 A
B
C
Szczególne przypadki rozwiązań
Gliwice73
Szczególne przypadki rozwiązań
W tym zadaniu:
Zbiór rozwiązań jest nieograniczonyFunkcja celu jest nieograniczona z góry
Objawy w metodzie simpleks:
W tablicy simpleks kolumna zmiennej wchodzącej do bazy ma wszystkie elementy niedodatnie.
Gliwice74
Szczególne przypadki rozwiązań
Czy funkcja celu może być nieograniczona od dołu?
Nie, ponieważ wymagana jest nieujemność zmiennych.
Czy pomimo tego, że zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest nieograniczony może istnieć „dokładne” rozwiązanie optymalne?
Może, gdy zadanie jest zadaniem na MIN.
Gliwice75
( )1 2 1 2
1 2
1
1 2
, 2 3 MIN3x 2 6
7, 0
Z x x x xx
xx x
= + →+ ≥≤≥
1
2
3
Szczególne przypadki rozwiązań
Z poprzedniego rysunku:
A (2, 0): Z(2, 0) = 4 → MINB (0, 3): Z(0, 3) = 9C (7, 0): Z(7, 0) = 14
Gliwice76