Gli autovalori di una matrice simmetrica sono tutti reali...
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Endomorfismi auto-aggiunti. Matrici simmetriche.Il teorema spettraleGli autovalori di una matrice simmetrica sono tutti reali.(Dimostrazione fatta usando i numeri complessi).Dimostrazione del teorema spettrale.Forme quadratiche. Riduzione a forma diagonale.Forme quadratiche definite, semidefinite, indefinite.Applicazioni geometriche: Riduzione di una conica agliassi principali.(Complementi) Decomposizione polare.
Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 1/24
Operatori auto-aggiunti. Matrici simmetriche
Definizione
V spazio vettoriale euclideo. Un endomorfismo F : V −→ V sidice auto-aggiunto o simmetrico se, per ogni v,w ∈ V,
(Fv) ·w = v · (Fw) (1)
Si dimostra facilmente il seguente:
Teorema
Se B = (v1, ...,vn) e una base ortonormale, un endomorfismoF e auto-aggiunto se e solo se la sua matrice rispetto a B esimmetrica, cioe A = At .Se A = At e una matrice simmetrica, per ogni X ,Y ∈ Rn si ha
AX · Y = X · AY (2)Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 2/24
Il teorema spettrale
Teorema (Teorema spettrale)
Sia A = At una matrice reale simmetrica n × n. Allora:1 Tutti gli autovalori λ1, ..., λn di A sono reali.2 Autovettori relativi ad autovalori distinti sono ortogonali.3 A e ortogonalmente diagonalizzabile. Questo significa che
esiste una base ortonormale B′ di Rn che e formata daautovettori di A. Dunque, esiste una matrice invertibile Pper la quale
A′ = P−1AP = diag (λ1, ..., λn) (3)
P e ortogonale (P−1 = P t ), perche le sue colonne sono i vettoridella base ortonormale B′. Dunque si puo scrivere anche
A′ = P−1AP = P tAP = diag (λ1, ..., λn) (4)
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Conseguenze della proprieta di simmetria
Lemma 1
Gli autovalori di un operatore auto-aggiunto sono reali.
Lemma 2
Autovettori di un operatore auto-aggiunto (o di una matricesimmetrica), relativi ad autovalori distinti, sono ortogonali.
Lemma 3
Sia v un autovettore di un operatore auto-aggiunto F . Allora Ftrasforma il complemento ortogonale V0 = v⊥ in se.Dunque e definita la restrizione F |V0
F |V0 : V0 −→ V0
In breve: il sottospazio V0 = v⊥ e F -invariante.
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Lemma 1: Gli autovalori di una matrice simmetricasono reali. (Uso dei numeri complessi).
Per il teorema fondamentale dell’algebra, esiste un numerocomplesso λ = α+ iω per il quale PA(λ) = 0. Ora proviamoche λ e reale (cioe, ω = 0).
Idea: pensiamo alla matrice A come a un endomorfismo
Cn A−→ Cn
Il numero λ e autovalore di A. Dunque, esiste un autovettoreZ = X + iY in Cn (X ,Y ∈ Rn),
Z =
z1··
zn
=
x1 + iy1··
xn + iyn
∈ Cn
Si ha AZ = λZ , ossia A(X + iY ) = (α+ iω)(X + iY )
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Separando le parti reali e immaginarie,
AX = αX − ωY , AY = αY + ωX (5)
Ricordare: la condizione di simmetria A = At equivale a:
AX · Y = X · AY (6)
Allora, da (5) e (6) segue
(αX − ωY ) · Y = X · (αY + ωX )
ossiaα(X · Y )− ω(Y · Y ) = α(X · Y ) + ω(X · X )
ovveroω(‖X‖2 + ‖Y‖2) = 0
Poiche X + iY = Z 6= 0 (e quindi ‖X‖2 + ‖Y‖2 6= 0), deve essereω = 0. Conclusione: λ = α e un numero reale. �
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Lemma 2: Autovettori relativi ad autovalori distinti diuna matrice simmetrica, sono ortogonali
Siano X1,X2 autovettori della matrice simmetrica A,
AX1 = λ1X1, AX2 = λ2X2,
con autovalori distinti: λ1 6= λ2. Poiche A e simmetrica,
(AX1) · X2 = X1 · (AX2)
Quindi(λ1X1) · X2 = X1 · (λ2X2)
ossia(λ1 − λ2)(X1 · X2) = 0
Poiche λ1 − λ2 6= 0, si deve avere X1 · X2 = 0. �
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Lemma 3: Se v e autovettore di F auto-aggiunto, ilcomplemento ortogonale v⊥ e F -invariante
Ipotesi: v ∈ V autovettore dell’operatore autoaggiunto F ,
Fv = λv
e w ∈ v⊥, cioev ·w = 0
Tesi: Fw appartiene a v⊥, cioe
(Fw) · v = 0
La dimostrazione e semplice:
(Fw) · v = w · (Fv) = w · (λv) = λ(w · v) = 0
Dunque, posto V0 = v⊥, la restrizione F |V0 trasforma V0 in se:
F |V0 : V0 −→ V0
�Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 8/24
Dimostrazione del teorema spettrale
Teorema spettrale
Ogni endomorfismo auto-aggiunto su uno spazio vettorialeeuclideo V ha una base ortonormale di autovettori.
In breve: Ogni endomorfismo auto-aggiunto e ortogonalmentediagonalizzabile.
Dimostrazione (Per induzione sulla dimensione n di V )
Base dell’induzione: caso n = 1. Banale. Un qualunquevettore non nullo e autovettore. Per ottenere una baseortonormale, basta normalizzarlo.Supponiamo l’enunciato vero in dimensione n − 1. SiaF : V −→ V auto-aggiunto, dim V = n. Abbiamodimostrato che F possiede un autovettore v (che possiamopensare unitario).
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Dimostrazione del teorema spettrale (Continuazione).
Dimostrazione (Continuazione)
Il complemento ortogonale V0 = v⊥ ha dimensione n − 1 ed eF -invariante (Fatto 3). Consideriamo allora la restrizione F |V0di F a V0:
F |V0 : V0 −→ V0
Per l’ipotesi induttiva, l’operatore autoaggiunto F |V0 possiedeuna base ortonormale v1, ...,vn−1 di autovettori.Allora v1, ...,vn−1,v e una base ortonormale di V formata daautovettori di F . �
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Operatore auto-aggiunto F
Assi principali: Vλ1 ,Vλ2 , (λ1 6= λ2)
v1
v2
Base o.n. di autovettori
Fv1 = λ1v1
Fv2 = λ2v2
S1
F (S1)
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Forme quadratiche in due variabili
Forma quadratica in due variabili
La forma quadratica associata alla matrice simmetrica (At = A)
A =
∣∣∣∣ a bb c
∣∣∣∣e il polinomio omogeneo di secondo grado in x1, x2
q(X ) = X tAX = (AX ) · X
dove X =
∣∣∣∣ x1x2
∣∣∣∣. Esplicitamente:
X tAX =∣∣ x1 x2
∣∣ ∣∣∣∣ a bb c
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ x1x2
∣∣∣∣= ax2
1 + 2bx1x2 + cx22
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Forme quadratiche in n variabili
Definizione (Forme quadratiche su Rn)
La forma quadratica in n variabili associata alla matricesimmetrica A, n×n, e il polinomio omogeneo di secondo grado:
Rn q−→ R, q(X ) = X tAX =∑
i,j=1,...,n
aijxixj
In modo equivalente, si puo anche scrivere: q(X ) = (AX ) · XEsempio:
q(x1, x2, x3) = x21 + x2
2 + x23
e una forma quadratica in tre variabili.
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Cambio di coordinate in una forme quadratica
X = (x1, ..., xn)t : Coordinate rispetto alla base canonica
q(X ) = X tAX : Forma quadratica.Cambio di variabili: X = PX ′.Il polinomio X tAX diventa
(PX ′)tA(PX ′) = X ′ t (P tAP) X ′
Quindi la matrice A che rappresenta la forma quadratica, sitrasforma in
A′ = P tAP
Una matrice A′ si dice congruente a A se esiste una Pinvertibile per la quale A′ = P tAP. (E’ una relazione diequivalenza).Dunque, la matrice A rappresentativa di una forma quadraticasi trasforma per congruenza.
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Diagonalizzazione di forme quadratiche
Se A e una matrice diagonale diag (λ1, ..., λn), la formaquadratica q(X ) = X tAX si scrive nella forma diagonale
q(x1, ..., xn) = λ1 x21 + · · ·+ λn x2
n
Teorema (Ogni forma quadratica puo essere scritta in formadiagonale)
Sia q una forma quadratica su Rn. Allora esiste una baseortonormale B′ di Rn che diagonalizza q. Questo significa che,dette (x ′1, ..., x
′n) le coordinate rispetto a tale base, si ha
q(x ′1, ..., x′n) = λ1(x ′1)
2 + · · ·+ λn(x ′n)2
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Dimostrazione
Per il teorema spettrale, esiste una matrice ortogonale P (dicambio di base) che diagonalizza A:
A′ = P−1AP = P tAP = diag (λ1, ..., λn) (7)
Con il cambio di coordinate X = PX ′, la matricerappresentativa della forma quadratica q si trasforma proprionella matrice diagonale A′ = P tAP. Dunque, nelle coordinateX ′ la forma quadratica si scrive in forma diagonale. �
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Classificazione: forme quadratiche definite e indefinite
Definizione
Una forma quadratica q(X ) si dice:Definita positiva, se q(X ) > 0 per ogni X 6= 0.Esempio:
q(x1, x2) = λ1x21 + λ2x2
2 , λ1, λ2 > 0
Definita negativa, se q(X ) < 0 per ogni X 6= 0.Esempio:
q(x1, x2) = λ1x21 + λ2x2
2 , λ1, λ2 < 0
Indefinita, se assume sia valori positivi che valori negativi.Esempio:
q(x1, x2) = λ1x21 + λ2x2
2 , λ1 > 0, λ2 < 0Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 17/24
Classificazione: forme quadratiche semidefinite
Definizione
Una forma quadratica q(X ) si dice:Semidefinita positiva, se q(X ) ≥ 0.Esempio:
q(x1, x2) = λ1x21 , λ1 > 0, λ2 = 0
Semidefinita negativa, se q(X ) ≤ 0.Esempio:
q(x1, x2) = λ1x21 , λ1 < 0, λ2 = 0
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Segnatura di una forma quadratica
Una riduzione in foma diagonale di q sia:
q(x1, ..., xn) = λ1 x21 + · · ·+ λn x2
n ,
La segnatura di q(X ) e la sequenza (+, ..,+,−, ..,−,0, ..,0),dove i segni + (risp., i segni −) sono quanti i λ positivi (risp.,negativi), e gli zeri quanti i λ nulli. Esempi:q(x1, x2, x3) = x2
1 − x22 (+,−,0).
q(x1, x2, x3) = x21 + x2
2 − x23 (+,+,−).
La segnatura non dipende dalla particolare scrittura in formadiagonale (Teorema di inerzia, di Sylvester) e determina il tipodella forma quadratica q:
Se i segni sono tutti +, e definita positiva;Se i segni sono tutti −, e definita negativa;Se ci sono sia segni + che segni −, e indefinita;Se ci sono solo segni + (o solo −) e almeno uno 0, esemidefinita.
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Applicazione: studio di coniche
Problema
Classificare la conica (del piano) di equazione
3x21 + 2x1x2 + 3x2
2 = 1
La matrice di q(x1, x2) = 3x21 + 2x1x2 + 3x2
2 e A =
(3 11 3
).
Gli autovalori sono entrambi positivi: λ1 = 2, λ2 = 4. Con unaopportuna rotazione degli assi, la forma quadratica si trasformanella forma diagonale 2x ′21 + 4x ′22 = 1, o
x ′21(1/√
2)2+
x ′22(1/2)2 = 1
Si tratta di un’ellisse.
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Riduzione di una conica agli assi principali
x
y
Assi principali di simmetriav1
v2
y ′
x ′
3x2 + 2xy + 3y2 = 1, A =
(3 11 3
). λ1 = 2, λ2 = 4,
P =[v1,v2
]=
( √2/2
√2/2
−√
2/2√
2/2
), (P t = P−1), X = PX ′.
Forma canonica: 2x ′2 + 4y ′2 = 1 , ossiax ′21
(1/√
2)2+
x ′22(1/2)2 = 1
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Applicazione: studio di quadriche
Problema
Classificare la quadrica (dello spazio) di equazione
2x21 + 5x2
2 + +5x23 + 2x2x3 = 1
La matrice di q(x1, x2, x3) = 2x21 + 5x2
2 + +5x23 + 2x2x3 e
A =
2 0 00 5 10 1 5
. Gli autovalori sono tutti positivi:
λ1 = 2, λ2 = 4, λ3 = 6. Con una opportuna rotazione degli assi,la forma quadratica si trasforma nella forma diagonale2x2
1 + 4x22 + 6x2
3 = 1, o
x21
(1/√
2)2+
x22
(1/2)2 +x2
1
(1/√
6)2= 1
E un’ellissoide.
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Decomposizione polare
Teorema (Decomposizione polare)
Sia T un operatore lineare invertibile di uno spazio vettorialeeuclideo. Allora esistono, e sono unici, un operatoreautoaggiunto S positivo (cioe, con autovalori positivi) e unoperatore ortogonale Q (cioe, una isometria lineare), per i quali
T = QS (8)
Esistono anche, e sono unici, un operatore autoaggiuntopositivo S′ e un operatore ortogonale Q′, per i quali
T = S′Q′ (9)
Si ha Q = Q′ e S′ = QSQ−1.
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Decomposizione polare (Idea della dimostrazione)
La dimostrazione si basa sul seguente fatto notevole (n = 2): Perogni operatore lineare invertibile R2 T−→ R2, esistono sempre duevettori unitari v1, v2 ortogonali tra loro, tali che i loro trasformatiT (v1),T (v2) siano anch’essi ortogonali tra loro.
v1
v2
S1
T
T v1T v2
T (S1)
S: Operatore simmetrico che dilata gli assi di v1,v2,portando questi vettori a essere lunghi quanto T v1,T v2;Q: Isometria lineare che porta Sv1,Sv2 su T v1,T v2,rispettivamente.Allora, si ha T = QS.
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