Gjenerimi Vargjeve Te Rastit

8/3/2019 Gjenerimi Vargjeve Te Rastit

1/58

UNIVERSITETI I PRISHTINSFAKULTETI I INXHINIERIS ELEKTRIKE DHE KOMPJUTERIKE

PUNIM DIPLOME

Tema:

GJENERIMI I VARGJEVE T RASTIT ME SHPRNDARJE TNJTRAJTSHME

Sudenti: Mentori:Besnik Duriqi Dr.sc. Ilir Limani, Prof.Asc.

Janar, 2007Prishtin


2/58


3/58


4/58

4

Hyrje

Pr shkak se shum metoda statistikore mbshteten n shembuj t rastit, statisticientt aplikativshum shpesh kan nevoj pr nj burim t numrave t rastit. Librat e vjetr, q prdoreshin

si libra referues n aplikimet statistikore, prmbanin tabela t numrave t rastit, qllimi i tcilave ka qen prdorimi i tyre n shembuj t caktuar ose pr t dizajnuar ndonj eksperiment.N kt koh, statisticientt shum rrall i prdorin tabelat e printuara t numrave t rastit. Portani m shum prdoret kompjuteri pr t gjeneruar numra t rastit n mnyr direkte.Prdorimi numrave t rastit n statistik sht zgjeruar prapa vrojtimeve ose detyrave ttrajtimit n njsit eksperimentale. Tani, prdorime m t shpeshta ka n studime simuluese tproceseve stokastike (stochastic), shprehje matematike analitikisht t vshtira etj. Megjithsenuk bjm ndonj ndarje precize n mes termave, kto dy fusha t prgjithshme t aplikimitnganjher quhen simulimeN inxhinieri dhe n shkenca natyrore, simulimi prdoret gjersisht n studimin procesevefizike dhe biologjike. Prdorime tjera t shpeshta t numrave t rastit jan edhe n kriptografi.

Aplikimet n kriptografi krkojn disi kritere tjera pr numra t rastit nga ato t prdorura nsimulime. N fund t punimit do tw flasim m shum rreth aplikimit t numrave t rastit.

1 Numrat e Rastit

Praktikisht sht shum vshtir dhnia e ndonj definicioni rreth asaj se ka sht numri irastit edhe pse duket shum thjesht n shikim t par.Numr i rastit mund t quhet numri q gjenerohet nga ndonj proces, dalja e t cilit sht epaparashikueshme dhe i cili nuk mund t riprodhohet prsri. Megjithat ekzistojn disa kritereq duhet ti plotsoj ndonj sekuenc numrash n mnyr q t konsiderohet si e rastit:

* Paparashikueshmria;* Pavarsia;* T qenit e pastruktur.

Gjithashtu sht shum e rndsishme t definohet se a sht nj sekuenc e pafundme e rastit apo jo. Kjo sekuenc sht e rastit nse sasia e informacionit q e prmban sht gjithashtu epafundme. Me fjal tjera, nuk duhet t jet e mundshme pr ndonj program kompjuterik,gjatsia e t cilit sht e fundme, q ta prodhoj kt sekuenc. Ndrsa nj sekuenc e pafundmee rastit prmban t gjitha sekuencat e fundme t mundshme. N rastin e sekuencave t fundme


5/58

5

t numrave sht pothuajse e pamundshme t vrtetohet nse sht e rastit apo jo. E mundshmesht vetm t vrtetohet se ajo ka disa karakteristika statistikore t sekuencs s rastit si ekuiprobabilitetin e t gjith numrave. Q ta ilustrojm kt, le t marrim si shembull njgjenerator t numrave binar t rastit q i prodhon sekuenca 10-bitshe. Edhe pse sekuenca1111111111 sht sikur sekuencat tjera 10-bitshe, kjo duket m pak e rastit se sa 0110101000.

Ekzistojn definicione t ndryshme pr t karakterizuar sekuencat praktike t rastit. SipasKnuth-it, sekuenc e numrave t rastit sht nj sekuenc e numrave t pavarur me njshprndarje specifike dhe me nj probabilitet specifik n rnien n nj rang t dhn vlerash.Pr Schneider-in, ajo sht nj sekuenc q ka karakteristika t njjta statistikore si bitt erastit, sht e paparashikueshme dhe nuk mund t riprodhohet n mnyr t besueshme. Njkoncept q sht i dukshm n t dy definicionet sht se sekuencat e numrave nuk duhet t jen t korreluara. Dituria pr njrin nga numrat e sekuencs nuk duhet t na ndihmoj nparashikimin e tjerve.

1.1 Testimi i Rastsis

M lart kemi cekur se nj prej kritereve q nj sekuenc n dalje t jet e rastit sht q ajo t jet e paparashikueshme. Megjithat ka raste kur pr disa numra mund t parashikohet daljadhe, n kt rast, kta numra nuk jan edhe aq t rastit dhe quhen si numra pseudo t rastit, qdo t thot se ata mund t parashikohen nse e dim se ku sht marr numri i par nsekuenc. Megjithkt, parashikueshmria, pr disa qllime sht e mir e pr disa jo.Testet statistikore t rastsis mtojn t prcaktojn nse nj sekuenc e caktuar e numravesht prodhuar prej ndonj gjeneratori t numrave t rastit. Kjo arrihet duke llogaritur disakuantitete statistikore dhe me krahasimin e tyre me vlerat mesatare q do t fitoheshin n rastine nj sekuence t rastit . Kto vlera mesatare fitohen prej llogaritjeve t bra n modelin e njgjeneratori ideal t numrave t rastit.

Testimi i rastsis sht nj shtje empirike. Ekzistojn testime t ndryshme. Nj prej tyresht testimi frekuencor. N rastin e sekuencave binare, testi frekuencor fokusohet nfrekuencn relative t t parit ndaj t dytit. Testi i autokorrelacionit, i cili shqyrtonkorrelacionet ndrmjet bitve t afrm, sht nj shembull tjetr. Mauer-i ka demonstruar se tgjitha testimet mund t nxjerrn nga tentimi i kompresimit t nj sekuence. Nse ndonjsekuenc e dhn do t mund t kompresohej, ather ajo nuk sht e rastit. Kur flasim ngaperspektiva e definicionit t m siprm pr nj sekuenc t pafundme t rastit, vzhgimi sht inatyrshm.Pr shkak t vshtirsis s definimit se ka sht numri i rastit, sht esenciale t zgjedhet njgjenerator adekuat pr prodhimin e ktyre numrave. Por para se t diskutojm pr ktagjenerator, do t shpjegojm pak pr burimin e numrave t rastit.

1.2 Burimet e Numrave t Rastit

Burimet e numrave t rastit jan dy llojesh:*Software-ike dhe*Fizike.


6/58

6

Nga pikpamja e prgjithshme, gjeneratort software-ik prodhojn t ashtuquajturit numrapseudo t rastit. Megjithse kta lloj gjeneratorsh mund t jen shum t dobishm n disaaplikime, ata nuk duhet t prdoren n aplikimet ku krkohet rastsia.

1.3 Burimet Software-ike

Kompjutert jan sisteme deterministike. Pr disa t dhna hyrse, programet kompjuterike doher japin t njjtn dalje. Pr shkak t ksaj karakteristike shum fundamentale, pr njprogram sht e pamundshme t prodhoj nj sekuenc t numrave t rastit. Sekuenca e fituarmund t ket disa karakteristika t sekuencs s rastit, dhe n kt rast mund ti kaloj disa testestatistikore t rastsis, por gjithmon sht i mundshm riprodhimi i saj. Pr shkak sesekuencat q prodhohen n kt rast duken sikur sekuenca t rastit, kta gjenerator quhengjenerator t numrave pseudo t rastit. Zakonisht, numrat pseudo t rastit llogariten prejformulave t ndryshme matematikore ose thjesht mund t merren prej ndonj liste tparallogaritur.

1.4 Burimet Fizike t Numrave t Rastit

Pr shkak se burimet software-ike (algoritme, formula matematike, programe etj.) nuk janburime t numrave vrtet t rastit, ne do ti shqyrtojm burimet fizike t numrave t rastit. Naplikimet ku numrat pseudo t rastit nuk na interesojn, duhet t prdorim gjenerator fizik tnumrave t rastit. Kur t prdoret nj gjenerator i till, sht e rndsishme t shqyrtohetprocesi fizik i shfrytzuar si burim i rastsis. Ky burim mund t bazohet ose n ndonj procest prshkruar nga fizika klasike ose nga fizika kuantike. Fizika klasike paraqet teorit ezhvilluara nga fizicientt para fillimit t shekullit XX dhe t cilat i prshkruajn sistemet

makroskopike si: rnia e monedhs etj. Ndrsa fizika kuantike paraqet teorit e elaboruara ngafizicientt gjat gjysms s par t shekullit XX t cilat i prshkruajn sistemet mikroskopikesi: atomet ose grimcat elementare etj. Tani do ti prezantojm disa gjenerator t bazuar nseciln prej ktyre teorive.

1.5 Proceset e Prshkruara nga Fizika Klasike-Prcaktueshmria e Fshehur PrapaKomplikueshmris

Proceset makroskopike t prshkruara nga fizika klasike mund t prdoren pr gjenerimin enumrave t rastit. sht shum e rndsishme t dihet se fizika klasike sht fundamentalisht

deterministike. Evoluimi i nj sistemi t prshkruar nga fizika klasike mund t parashihet, dukennkuptuar se kushtet fillestare jan t njohura. N rastin e monedhs, fizicienti q e njeh nmnyr precize peshn e saj, pozitn e saj fillestare, forcn e ushtruar nga dora, shpejtsin eers, sikurse edhe parametrat tjer relevant, n parim, duhet t jet n gjendje ta parashikojdaljen e gjuajtjes. Prse ndodh q n praktik ky parashikim sht i pamundshm? Pr shkak selkundja e monedhs sht nj sistem kaotik. Kaosi sht nj lloj i sjelljes n sistemet evzhguara, evoluimi i t cilave shfaq nj ndjeshmri ekstreme ndaj kushteve fillestare.Lkundja e monedhs nuk sht i vetmi sistem fizik me evoluim kaotik. Turbulencat n


7/58

7

rrjedhje (turbulencat e llavs gjithashtu jan prdorur pr gjenerimin e numrave t rastit) osefenomenet meteorologjike jan shembuj t mir t sistemeve kaotike. Evoluimi i ktyresistemeve sht shum i ndjeshm ndaj kushteve fillestare, e q thjesht, nuk sht e mundshmet prcaktohen n mnyr mjaft precize q t mundsohet nj parashikim i besueshm itransformimeve t ardhshme.

Prkundr popullaritetit t saj, lkundja e monedhs nuk sht shum praktike kur krkohenshum ngjarje t rastit. Shembuj t tjer t gjeneratorve fizik t numrave t rastit, t bazuar nprocese kaotike, prfshijn monitorimin e nj rryme t zhurms elektrike n nj rezistor ose nnj Zener diod. Formalisht, evoluimi i ktyre gjeneratorve nuk sht i rastit por vetm shumi komplikuar. Dikush mund t thot se, prcaktueshmria sht fshehur prapakomplikueshmris. Megjithse numrat e tyre t rastit duken sikur i kalojn testet e rastsis,kta gjenerator jan shum vshtir t modelohen.

1.6 Proceset e Prshkruara nga Fizika Kuantike-Rastsia e Zbuluar nga Thjeshtsia

N kundrshtim me fiziken klasike, fizika kuantike sht fundamentalisht e rastit. Kjo sht evetmja teori brenda fizikes moderne q e prfshin rastsin.Me rastin e dizajnimit t ndonj gjeneratori t numrave t rastit, do t ishte zgjidhje enatyrshme prdorimi i proceseve kuantike si burime t rastsis. Formalisht, gjeneratortkuantik jan t vetmit gjenerator t vrtet t numrave t rastit. Megjithse ky vshtrim mund t jet i rndsishm pr disa aspekte, kta gjenerator kan edhe disa prparsi tjera. Kjo rastsiqensore e fizikes kuantike lejon zgjedhjen e nj procesi shum t thjesht si burim t rastsis.Kjo tregon se nj gjenerator i till sht leht t modelohet dhe funksionimi i tij mund tmonitorohet me qllim q t konfirmohet operimi i tij dhe nse sht duke prodhuar numra trastit. N kundrshtim me rastin kur sht prdorur fizika klasike si burim i rastsis dhe kuprcaktueshmria ka qen e fshehur prapa komplikueshmris, dikush mund t thot se me

fiziken kuantike, rastsia sht fituar nga thjeshtsia.Deri m tani, i vetmi gjenerator kuantik i numrave t rastit q ka ekzistuar, ka qen i bazuar nvzhgimin e zbrthimit radioaktiv t ndonj elementi. Megjithse prodhojn numra t kualitetitt shklqyeshm, kta gjenerator jan shum masiv dhe prdorimi i materialeve radioaktivemund t shkaktoj probleme shndetsore. Fakti q nuk ka ekzistuar ndonj gjenerator kuantik ithjesht dhe i lir i numrave t rastit, e ka privuar fiziken kuantike nga t qenit burim dominanti rastsis. N vazhdim do ta prshkruajm nj gjenerator kuantik t numrave t rastit meqllim q ta kuptojm parimin e gjenerimit t numrave t rastit nga burimet e fizikes kuantike.

1.7 Gjeneratori Kuantik i Numrave t Rastit - Quantis

N vitin 2001, id Quantique e ka paraqitur gjeneratorin e par kuantik t numrave t rastit i cilika zgjuar nj interesim t madh. Quantis-i sht gjenerata e dyt e gjeneratorit kuantik tnumrave t rastit q e shfrytzon nj proces optik kuantik si burim t rastsis. Quantis-i shtunik n at se ai mbshtetet n fiziken kuantike pr t prodhuar nj shkall t lart transferibitsh prej 4 deri n 16 Mbits/sec t bitve vrtet t rastit. Produkti sjellt si nj kartel PCI.sht e mundshme t download-ohen numra t rastit t prodhuar nga gjeneratori kuantik inumrave t rastit-Quantis duke e vizituar faqenwww.randomnumbers.info.


8/58

8

1.8 Parimi i Puns

Optika sht shkenca pr dritn. Nga pikpamja e fiziks kuantike, drita prbhet nga grimcaelementare q quhen fotone. Fotonet, n situata t ndryshme, shfaqin sjellje t rastit. Nj situate till, q i prshtatet shum gjenerimit t numrave binar t rastit, sht transmetimi npr nj

pasqyr gjysmtransparente. Fakti se fotoni i rn n nj komponent t till reflektohet osetransmetohet, sht qensisht e rastit dhe nuk mund t ndikohet nga ndonj parametr i jashtm.Figura 1 e tregon n mnyr skematike kt sistem optik.

Fig.1. Sistemi optik i prdorur pr t gjeneruar numra t rastit

Figura e dyt paraqet nj bllokdiagram t gjeneratorit t numrave t rastit Quantis. E para shtbrthama e gjeneratorit dhe prmban elementet optike q jan prdorur pr t implementuarprocesin e rastit dhe prodhon dalje t rastit. Ajo prmban nj diod emetuese t drits qprodhon fotone, nj element transmetues, ku ndodh procesi i rastit, dhe dy detektor tfotoneve-detektor me rezolucion nj-fotonik-pr ti incizuar daljet. Sistemi optik kontrollohetnga nj qark elektronik sinkronizues dhe prvetsues. Nnsistemi prmban nj or dheelektronikn shkrepse pr burimin e fotoneve, sikurse edhe elektronikn prvetsuese prdetektort nj-fotonik. Nnsistemi procesues dhe ndrfaqsues bn kontrollime hardware-ikedhe statistikore. Ky nnsistem gjithashtu i jep form sinjaleve elektronike dalse.

1.9 Monitorimi i Gjendjes

Si sht diskutuar edhe m par, nj prej prparsive kryesore t gjeneratorve kuantik tnumrave t rastit sht se ata jan t bazuar n nj proces t thjesht dhe fundamentalisht trastit q sht leht t modelohet dhe t monitorohet. Njsia procesuese e Quantis-it bn njverifikim direkt t funksionimit t vet. Ajo n mnyr t vazhdueshme kontrollon nse burimete drits dhe dy detektort punojn n mnyr korrekte, dhe q statistikat e vargut t rreshtitdals jan brenda kufijve t caktuar. Biti i gjendjes sht dalja e Quantis-it. Nse janprmbushur t gjitha kushtet, ky bit sht i barabart me 1. Nse njra prej kushteve nukprmbushet, biti i gjendjes vendoset n 0-ro dhe vargu i bitve ndalohet. Duke iu faleminderuar


9/58


10/58

10

1.11 Rekurzioni i Shumfisht

Lloji m i prdorshm i gjeneratorve t proceseve pseudo t rastit ofron nj sekuenc aktualet rastit n kuptimin q paraqitet t jet si e rastit. Nj gjenerator i till i prcaktuar, f, prodhonnumra n mnyr rekurzive n nj sekuenc fikse. K numrat paraprak (shpesh vetm numrat e

veant paraprak) e prcaktojn numrin e ardhshm:),...,( 1 k iii x x f x = (1.1)

Numri k i numrave t prdorur paraprak, quhet urdhri i gjeneratorit. Pr shkak se vargu inumrave n kompjuter sht i fundm, sekuenca do t prsritet.Vargu i vlerave n fillim t rekurzionit quhet fara . N seciln koh q rekurzioni fillon me tnjjtn far, gjenerohet e njjta sekuenc. Gjatsia e sekuencs para se t filloj t prsritetquhet perioda e gjatsis s ciklit. (Nganjher sht i domosdoshm preciziteti n definimin eperiods s llogaritur pr faktin se, me disa gjenerator, subsekuenca t ndryshme startuese dot prodhojn perioda t ndryshme dhe se prsritja mund t filloj pa u kthyer n gjendjenfillestare).

1.12 Parashikueshmria

Gjenerimi i numrave t rastit gjen aplikim n kriptografi, ku krkesat pr rastsi jan m trrepta se sa pr aplikime t zakonshme n simulim. Objektivi n kriptografi sht disi indryshm, q qon n nj koncept dinamik t rastsis e q n esenc sht nj prejparashikimeve: procesi sht i rastit n oft se probabiliteti i kushtzuar i njohur i ngjarjess ardhshme, me histori paraprake t dhn (ose ndonj informacion tjetr pr te), nuk sht indryshm prej probabilitetit t pakushtzuar t njohur. (Kushti i t qenit i njohur n nj

definicion t till sht nj koncept primitiv dhe i padefinuar). Ky lloj i definimit t qon tkoncepti i funksioni nj-drejtimsh. Funksioni nj-drejtimsh sht nj funksion f, i till q,pr ndonj x n domenin e tij, f(x) mund t llogaritet n koh polinomiale dhe, pr f(x) tdhn, x-i nuk mund t llogaritet n koh polinomiale. (Koh polinomiale d.m.th. se koha enevojshme mund t shprehet ose kufizohet me ndonj polinom n disa matje t madhsis sproblemit).N gjenerimin e numrave t rastit, funksioni i interesit prodhon nj varg t numrave tpaparashikueshm; q do t thot se funksioni f n ekuacionin (1.1) leht mund t llogaritetprve 1i x -it, t vargut k ii x x ,..., , i cili nuk sht leht pr tu llogaritur.Ekzistenca e funksionit njdrejtimsh nuk sht vrtetuar, por gjeneratori i Blum-it (Blum-i dheShub-i 1986) sht i paparashikueshm nn disa supozime. Boyar-i (1989) dhe Krawczyk-u(1992) jan marrur me problemin e prgjithshm t parashikimit t daljes s gjeneratorve tnumrave pseudo t rastit. Ata e definojn problemin si nj loj n t ciln parashikuesi e bnnj supozim t vlers s ardhshme q do t gjenerohet dhe pastaj gjeneratori e jep vlern. Nseperioda e gjeneratorit shtp , ather nj skem supozuese (qlluese) vrtet naive do t bheje suksesshme pasp supozimeve. Pr disa lloje t gjeneratorve m t shpesht, Boyar-i (1989)dhe Krawczyk-u (1992) ofrojn metoda pr parashikimin e daljes n t ciln, numri isupozimeve mund t kufizohet me nj polinom n logp . Nj prafrim rrethpaparashikueshmris ka qen prshkruar dhe implementuar nga Andre Seznec-u dhe Nicolas


11/58

11

Sendrier-i. Ata sugjerojn prdorimin e informacionit t gjendjes s sistemit kompjuterik qsht i disponueshm pr prdoruesin, pr t gjeneruar vlerat startuese pr gjeneratort enumrave pseudo t rastit. Ata kan zhvilluar nj metod t varur nga sistemi q njihet siHAVEGE ( nga Hardware Volatile Entropy Gathering and Expansion-Grumbullimi dheZgjerimi i Entropis s Paqndrueshme Harduerike), pr tu qasur n gjendjen e sistemit pr

lloje t ndryshme t kompjuterve. Numri i gjendjeve t mundshme sht shum i madh dhe nsistemet aktuale ndrron n shkalln e mbi 100 megabitve pr sekond.

1.13 Terminologjia e Prdorur

Megjithse e kuptojm se vargu i numrave t gjeneruar vrtet sht vetm pseudo i rastit, nkt punim ne zakonisht e prdorim vetm termin i rastit ,me prjashtim kur dshirojm tatheksojm faktin se procesi nuk sht vrtet i rastit, ku n kt rast e prdorim termin pseudoi rastit. Qllimi i numrave pseudo t rastit sht pr ta simuluar mostrimin e rastit. Gjenerimi inumrave t rastit sht edhe qllimi i ktij punimi. Ne prdorim termet gjenerimi i numrave t

rastit ( ose gjenerator) dhe mostrim (ose mostrues) n mnyr t zvendsueshme.Disa autor e prdorin termin ndryshime t rastit vetm kur kta numra, q rezultojn ngatransformimi i numrave t rastit, formojn nj shprndarje t njtrajtshme.Edhe nj vrejtje n terminologji: Disa autor bjn dallim n mes numrave t rastit dhendryshimeve t rastit. N prdorimin e tyre, termi numra t rastit aplikohet n numrapseudo t rastit q dalin prej nj shprndarje t njtrajtshme, ndrsa termi ndryshime t rastitaplikohet te numrat pseudo t rastit prej ndonj shprndarje tjetr.

1.14 Rndsia e Shprndarjes s Njtrajtshme

Rndsia shprndarjes s njtrajtshme t numrave qndron n faktin se vetm numrat meshprndarje t till jan vrtet t rastit. Kjo sht pr shkak se t gjith numrat q priten ndalje pas gjenerimit kan probabilitete t njjta t shfaqjes. Sa m e njtrajtshme q t jetshprndarja aq m t rastit jan numrat e fituar. Duke qen se t gjith numrat kanprobabilitete t njjta, ather sht e pamundshme q t parashikohet apo ti jepet prparsishfaqjes s ndonjrit n dalje.

2 Integjert e Njtrajtshm dhe Aproksimimi i Densitetit t Njtrajtshm

N t shumtn e rasteve, ne dshirojm numra pseudo t rastit t gjeneruar me qllim q t

simulojm nj shprndarje t njtrajtshme n intervalin njsi (0,1) (e q sht nj shprndarjeme funksionin e densitetit probabilitar):

p( x) = 1 nse 0< x < 1;= 0 n rastet tjera.

Kt shprndarje e shnojm me U(0,1). N mnyr m t prgjithshme, ne e prdorimsimbolin U(a,b) q t shnojm nj shprndarje t njtrajtshme absolutisht t vazhdueshme n


12/58

12

intervalin (a,b). Shprndarja e njtrajtshme sht e prshtatshme pr prdorim sepse ekzistojnshum teknika t thjeshta pr transformimin e mostrave t njtrajtshme n mostra q jan prejshprndarjeve tjera q na interesojn.

2.1 Aritmetika Kompjuterike

N gjenerimin e numrave t rastit n kompjuter, ne zakonisht s pari gjenerojm integjerpseudo t rastit t nj kufiri t caktuar dhe pastaj i shkallzojm n intervalin (0,1). Nse kufirii integjerve sht mjaft i madh, granulariteti (grimcimi) rezultues sht i rndsis s vogl nmodelimin e shprndarjes s njtrajtshme. (granulariteti ka t bj me natyrn diskrete enumrave t dhn. Granulariteti sht m i madh kur distancat ndrmjet numrave suksesiv tdhn jan m t mdha). Granulariteti i numrave pseudo t rastit, q dalin prej gjeneratorve tmir, nuk sht m i madh se granulariteti i numrave me t cilt zakonisht punon kompjuteri.N modelin standard t reprezentimit pik-qarkullues t numrave me baz ose rrnj b dhe ppozicione, ne e aproksimojm ndonj numr real me:

)( 221

1 pe

pee bd bd bd +++ (1.2)

T cilin mund ta shkruajm si

e p bd d d 21.0

Ku secilad j sht integjer jonegativ m i vogl se b, dhee sht nj integjer ndrmjet numravefiks mine dhe maxe gjithprfshirs. N sistemet kompjuterike m t zakonshm sht b=2. Ne eshnojm kt nnvarg t fundm t numrave real me IR, e q sht reprezentuar n kt form

si IF. Ky varg, s bashku me dy operacionet q jan t ngjashme me mbledhjen dheshumzimin dhe q prcaktojn fushn IR, formojn nj objekt m t komplikuar q gjithashtue shnojm me IF. Ky objekt sht i ngjashm me nj fush, por nuk sht fush. (Duhet tkihet parasysh se ktu mbingarkohen simbolet q t prezantohen edhe nj varg edhe nj objektq prbhet prej vargut plus disa operacioneve).N kt prezantim, pr elementet e nj nnvargu t numrave real, numrat m t vegjl dhe mt mdhenj n intervalin (0,1) q mund t reprezentohen jan peb min dhe pb1 respektivisht. Numrat kompjuterik q i aproksimojn numrat real n intervalin e hapur (0,1) jan nj varg ifundm i intervalit t mbyllur ]1,[ min p pe bb , i cili sht

[ ] { }1 \ , 11

min

pi pi p

ei bbU S+

== (1.3)

Numri i numrave real t reprezentuar sht i fundm, dhe nuk jan t shprndar n mnyr tnjtrajtshme rreth S-it. Pr 1maxmin e je , numrat n intervalin ],[ 1+ j j bb jan aproksimuarn kompjuter me numrat prej vargut diskret

{ }1111 ,)1()1()1(,...,, +++ +++ j p j j j p j j bbbbbbbbb


13/58

13

Nj gjenerator ideal i njtrajtshm do t jepte nj dalje t till q, pr nj vler t dhn 0e ,shprndarja e secilit numr n shprehjen (1.2) sht e pavarur nga numrat tjer p 1 dhe ka njshprndarje diskrete t njtrajtshme ndaj vargut{0 , . . . , b 1 }. Nse X sht nj variabl erastit, reprezentimi i s cils n shprehjen (1.2) kae = 0, dhe ka shprndarje t njtrajtshme t

pavarura pr numra, pastajE( X ) (1.4)

dheV( X ) 1 / 12 (1.5)

ku E(X) paraqet pritjen (shpresn) e X-it, dhe V(X) paraqet variancn e X-it. Aproksimimet(1.4) dhe (1.5) jan shum pak m t mdha se sa vlerat reale. Nse shtohet kufizimi ashtu q0.0 0 nuk lejohet, ather kemi E( X ) = . Pritja dhe varianca e variabls s rastit me njshprndarje U(0,1) jan dhe respektivisht.

Meqense n analizat numerike nuk mund t jemi n gjendje t punojm me numrat nintervalin )1,1( pb , ne presim t jemi n gjendje t punojm me numrat n intervalin),0( pb i cili sht i gjatsis s njjt. (Kjo sht pr shkak se zakonisht ndryshimet relative

jan m t rndsishme se sa ndryshimet absolute). Nj variabl e rastit sikurse X m lart, edefinuar n numrat kompjuterik me e=0, nuk sht adekuate pr simulimin e variabls s rastitU(0,1). Meqense densiteti i numrave kompjuterik afr 0-os sht m i madh se ai i numraveafr 1-shit, nj gjenerator i mir i numrave t rastit do t jepte, esencialisht, t njjtinproporcion t numrave n intervalin ),0( k sikur n intervalin )1,1( k , ku k sht nj numr ivogl si 3-shi ose 4-shi dhe pb= nj epsilon i makins. (Fraza Epsilon i makins prdoretn m s paku dy mnyra. N prgjithsi, epsiloni i makins sht nj matje e ndarjes relative

t numrave kompjuterik. Ky sht vetm nj ndryshim ndrmjet 1-shit dhe dy numrave ncilndo an t 1-shit dhe numri m i vogl i ardhshm i reprezentuar sht epsiloni i makins iprdorur m lart. Ky gjithashtu quhet edhe ndarja m e vogl relative. Ndryshimi ndrmjet 1-shit dhe numrit m t madh t ardhshm t reprezentuar sht nj epsilon tjetr i makins. Kjogjithashtu quhet ndarja m e madhe relative). Nse numrat e rastit n kompjuter do tgjeneroheshin duke gjeneruar komponentt e ekuacionit (1.2) n mnyr direkte, ne do t naduhej t prdornim nj shprndarje t bashkuar m t komplikuar n e dhe d-ja.

2.2 Aritmetika Modulare

Metodat standarde pr gjenerimin e numrave t rastit, prdorin reduktimin modular nmarrdhniet kongruente. Aktualisht, ekzistojn dy teknika themelore pr gjenerimin enjtrajtshm t numrave t rastit: Metoda kongruente dhe metoda e regjistrit me zhvendosjerivepruese (feedback shift register). Pr seciln metod themelore ekzistojn shum variante.(T dy klasat e metodave prdorin marrdhnie kongruente por pr arsye historike, vetmnjres klas t metodave i referohet si metod kongruente).Si metoda kongruente ashtu edhe metoda e regjistrit me zhvendosje rivepruese prdorinaritmetik modulare, kshtu q tani do t prshkruajm dika rreth prmbajtjes s ksaj


14/58

14

aritmetike. Relacioni themelor i aritmetiks modulare sht ekuivalenca modulo m, ku m shtndonj integjer. Kjo gjithashtu quhet edhe kongruenca modulo m. Pr dy numra thuhet se janekuivalent ose kongruent modulo m, nse diferenca ndrmjet tyre sht nj integjer do her ipjestueshm me m. Pra dhe b, ky relacion sht shkruar si

mba mod P.sh. 5 dhe 14 jan kongruent modulo 3 (ose vetm mod 3); 5 dhe -1 jan gjithashtukongruent mod 3, sikurse edhe 1.33 dhe 0.33 jan kongruent mod 1. Prej definicionit, sht eart se , kongruenca sht-Simetrike:a b modm rrjedhb a modm-Refleksive:a a modm pr ndonj a-Transitive:a b modm dhe b c modm rrjedh a c modm; e q do t thot, kongruenca sht nj

relacion ekuivalence.Nj operacion themelor i aritmetiks modulare sht reduktimi modulo m; e q do t thot, prnj numr t dhn b, gjeje nja t till q vlena b modm dhe 0 a < m. Nse a -ja i knaqkto dy kushte, athera quhet rezidiumi (mbetja) e b modulo m.Reduksioni i b modulo m mund t definohet edhe si

mmbba / =

ku funksioni i poshtm sht integjer m i madh ose i barabart me argumentin. Prejdefinicionit t kongruencs shohim se, numrata dhe b jan kongruent modulo m n oft sedhe vetm n oft se ekziston nj integjer k i till q

km = a b.

(N kt shprehje,a dhe b nuk jan patjetr integjer por, m dhe k po). Ky rrjedhim ikongruencs sht shum i dobishm n prcaktimin e relacioneve t ekuivalencs. P.sh., dukeprdorur kt veti, sht leht t shihet se reduktimi modular zbatohet edhe n mbledhje edhen shumzim:

(a + b)modm a modm + b modmdhe

ab modm (a modm) (b modm).

Pr nj modul t dhn m, secila bashksi e integjerve q jan ekuivalent modulo m, formojnnj klas rezidiumi (mbetjeje) modulo m. Pr m=5, ekzistojn pes klas mbetjeje:

{ 10 , 5 , 0 , 5 , 10 , }{ , 9 , 4 , 1 , 6 , 11 , }{ , 8 , 3 , 2 , 7 , 12 , }{ , 7 , 2 , 3 , 8 , 13 , }{ , 6 , 1 , 4 , 9 , 14 , }


15/58

15

Pr ndonj integjer 0m , ekzistojn |m| klasa mbetjesh dhe bashksia e t gjitha klasave tmbetjeve |m| sht vargu i t gjith numrave integjer. (N vazhdim do t merremi vetm memodulet q jan pozitive). N aplikime, klasat e mbetjeve, antart e s cilave jan t part e m-it, jan t rndsishme. Numri i klasave t tilla t mbetjeve sht natyrisht vetm numri iintegjerve pozitiv m t vegjl se m q jan t part e m-it. Funksioni q i prcakton m-it

numrin e klasave t mbetjeve (mod m), e q jan t parat e m-it, quhet funksioni i plot i Euler-it (Eulers totient function) dhe shnohet me(m). Prej t gjitha klasave t mbetjeve mod 5,katr prej tyre jan t parat n 5 dhe, pr ndonj vler m, kemi(m) = m 1. Funksioni i plotluan rol t rndsishm n prcaktimin e periods s disa gjeneratorve t numrave t rastit.Nj fakt i dobishm q sht leht t shihet sht se nse p sht numr relativisht i thjesht1 (prime) dhe e sht integjer pozitiv ather

)1()( 1 = p p p e p (1.6)

Nj fakt tjetr i dobishm e q sht m i vshtir pr tu paraqitur sht nse n dhe m jan vlerarelativisht t thjeshta (prim), ather

)()()( mnnm = (1.7)

Me kto dy fakte mund ta llogaritim n ndonj integjer pozitiv.

2.3 Fushat e Fundme

Sistemi i aritmetiks modulare zakonisht sht i definuar n integjert jonegativ. Reduktimimodular s bashku me dy operacionet e unazs rezulton n nj fush t fundme (ose fushGaloisane) pr nj varg t numrave integjer. Kardinaliteti (themelorja) e fushs sht m evogl ose e barabart me m-in dhe sht e barabart me m n oft se dhe vetm n oftse m-isht nj numr relativisht i thjesht (prim). Do ta shnojm fushn Galoisane pr nj varg tdhn me m elemente si )(mG/ . Nse, p.sh. m=5, definohet nj fush e fundme pr n vargun{0 , 1 , 2 , 3 , 4 } me mbledhjen dhe shumzimin e fushs e definuar n mnyr t zakonshme dhet prcjellur me nj reduktim modulo f. Nsem = 6, megjithat mund t definohet nj fush efundme n vargun{0 , 2 , 4 }, vargun {0 , 3 } ose vargun {0 , 1 , 5 }, prsri me mbledhjen oseshumzimin t definuara n mnyrn e zakonshme t prcjellur me nj reduksion modulo 6.Gjeneratort e thjesht t numrave t rastit q bazohen n metodat kongruente, zakonishtprdorin nj fush t fundme t integjerve t prbr prej integjerve jonegativ q jan treprezentuar ne kompjuter n mnyr direkte. (Kjo sht rreth 231 integjera).

2.4 Reduktimi Modular n Kompjuter

Reduktimi modular sht nj operacion binar ose nj funksion me dy argumente. Reduktimimodular mund t zbatohet duke prdorur shifrat e rendit t ult t reprezentimit t nj numri n

1 Numrat relativisht t thjesht apo numrat prim (ang. Prime) jan numrat t cilt e plotsojn kushtin q t jen tplotpjestueshm vetm me vetveten dhe numrin 1. Kt kusht e plotsojn t gjith numrat tek (si 1,3,5,11,)dhe 2-shi. 2-shi, edhe pse sht ift, bn prjashtim sepse i plotson kushtet pr t qen prim.


16/58

16

nj baz t dhn. P.sh., duke i marr dy shifra t rendit t ult t nj baze t zakonshme, dhjetreprezentime t integjerve negativ japin reprezentimin decimal t numrit t reduktuar modulo100. Kur numrat, t reprezentuar n nj skem me pik t fiksuar n kompjuter shumzohen,produkti q sht ruajtur n t njjtn skem me pik t fiksuar sht nj mbetje (rezidium) iproduktit modulo numrit m t lart t reprezentuar. Pr integjert pozitiv x dhe y, t

reprezentuar n variablat me pik fikse ix dhe iy n ift-komplementin (twos-complement) 32bitsh, produkti iz = ix*iy prmban ose 312mod xy ose 3131 22mod xy e q sht negative. Prshkak se numrat pseudo t rastit q dshirojm ti gjenerojm jan ndrmjet 0-os dhe 1-shit, ndisa algoritme prdoret reduktimi modulo 1. Rezultantet jan pjes frakcionale t numrave real.

2.5 Aritmetika Modulare me Variabla t Njtrajtshme t Rastit

Aritmetika modulare i ka disa aplikime shum t dobishme me variabla vrtet t rastit. Njfakt me rndsi, p.sh., sht se nse Y sht variabl e rastit e shprndar si U(0,1) dhe

1mod)( ckY X + (1.8)

ku k sht nj integjer konstant i ndryshm nga 0-ro, dhe c sht nj konstant reale, atheredhe X ka nj shprndarje U(0,1). Aritmetika modulare mund t prdoret gjithashtu edhe pr tgjeneruar dy numra t pavarur t rastit prej vetm nj numri t rastit. Nse

0.d 1d 2d 3

sht reprezentim i nj numri t njtrajtshm t rastit Y n nj baz t dhn, ather njsubsekuenc e shifraved 1 , d 2 , . . . mund t prdoret pr t formuar numra tjer t njtrajtshm.(Nse subsekuenca sht e fundme, si zakonisht sht n aplikimet kompjuterike, numrat jandiskret t njtrajtshm, por nse subsekuenca sht mjaft e gjat, rezultati konsiderohet sinjtrajtsisht i vazhdueshm). Pr m shum, subsekuenca t caktuara t pabashkuara mund tprdoren pr t formuar numra t pavarur t rastit.Sekuenca e shifraved 1 , d 2 , . . . mund t rirregullohet pr t formuar m shum se nj variant tnjtrajtshm; p.sh.:

0.d 1d 3d 5 dhe

0.d 2d 4d 6 .

Prdorimi i subsekuencave t bitve n nj reprezentim binar m pik t fiksuar t numravepseudo t rastit pr t formuar numra tjer pseudo t rastit quhetformim i bitve (bit stripping).

3 Gjeneratort e Thjesht Kongruent Linear

M 1948, D.H.Lehmer-i propozoi nj gjenerator t thjesht kongruent linear si burim tnumrave t rastit. N kt gjenerator, secili numr i vetm e prcakton pasardhsin e tij me


17/58

17

ndihmn e funksionit t thjesht linear t prcjellur me nj reduktim modular. Megjithse, kygjenerator sht i kufizuar n mundsin e tij pr t prodhuar vargje shum t gjata t numrave,e q duken t jen realizime t pavarura t procesit t njtrajtshm, ky sht element themelorn gjeneratort tjer adekuat. Kuptimi i karakteristikave t tij sht i domosdoshm pr taprdorur at pr ndrtimin e gjeneratorve m t mir.

Forma e gjeneratorit kongruent linear shtmcax x ii mod)1( + me m xi


18/58

18

kompjuterike. Perioda maksimale e gjeneratorve multiplikativ me modul t till sht m/4,dhe, pr udi, kjo period sht arritur pr ndonj shumzues q sht 3 mod 8. Perioda egjeneratorit multiplikativ kongruent me shumzuesa dhe modul m varet nga vlera m e voglpozitive e k-s pr t ciln

ma k mod1 (1.11)

Kjo sht pr shkak se, kur knaqet ky relacion, sekuenca fillon t prsritet. Perioda, m tej,nuk mund t jet m e madhe se k. Teorema Euler-Ferma tregon se nsea dhe m jan numrarelativisht t thjesht (prim), ather ma m mod1)( , ku )(m sht funksioni total i Euler-it.Perioda, m tej, nuk mund t jet m e madhe se )(m . Pr nj vler t dhn t m-it, ekrkojma t till q k-ja n ekuacionin (1.11) sht )(m . Nj numr i tilla quhet rrnjprimitive modulo m. Nse m sht prim, numri i rrnjve primitive modulo m sht(m 1).P.sh., le t marrim m=31 dhea =7, e q sht

31mod7 1 ii x x

dhe fillojm me 190 = x . Integjert e ardhshm n sekuenc jan

9 , 1 , 7 , 18 , 2 , 14 , 5 , 4 , 28 , 10 , 8 , 25 , 20 , 16 , 19 ,

kshtu q, natyrisht, n kt pik sekuenca fillon t prsritet. Perioda sht 15. Tani kemi

31mod1715

e q tregon se 7 nuk sht nj rrnj primitive modulo 31.Tani le t marrim m=31 dhea =3 dhe prsri fillojm me 190 = x . Shkojm npr 30 numrapara se t kthehemi tek 19. Kjo sht ngase 3 sht nj rrnj primitive modulo 31.Ekzistojn 8)30( = rrnj primitive modulo 31. Kjo tregon se m e ka nj rrnj primitive noft se dhe vetm n oft se m sht i forms 10 12 e p

e , ku p sht nj numr i thjesht (prim)tek, 00 =e ose 1 dhe 11 e .Pr ndonj m t caktuar, sht me interes t prcaktohet nja e tillq k t jet sa m e madhe pr at m. Nj numr i tilla quhet nj element primitiv modulo m.Pr m t forms s prgjithshme et e t

e p p 10 12 ,ku secila i p sht nj prim tek dhe secila 0ie .Q gjeneratori i numrave t rastit t jet i dobishm n shumicn e aplikimeve t thjeshtapraktike, perioda duhet t jet e nivelit, s paku 109, q do t thot se moduli n gjeneratortkongruent linear duhet t jet s paku aq i madh. Vlerat e modulit, n rastet m t shpeshta t

prdorimit, me radh, jan prej rreth 109 deri 1015. Madje, perioda e gjeneratorve t tillsht relativisht e shkurt, pr shkak t shpejtsis me t ciln kompjutert mund t sillen rrethperiods s plot dhe pr shkak t numrit shum t madh t disa eksperimenteve simuluese.


19/58

19

3.2 Modulet e Prbra

Bitt n reprezentimin binar t sekuencave prej gjeneratorve, modulet e t cilve jan t renditt dyt, kan struktura shum t rregullta. Perioda e bitit t nivelit m t ult sht m s shumti1(e q sht doher e njjt), perioda e bitit vijues t nivelit t ult sht m s shumti 2,

perioda e bitit vijues t nivelit t ult sht t shumtn 4, e kshtu me radh. N prgjithsi,bitt e nivelit t ult n vargje, q rezultojn prej nj moduli t prbr, do t ken perioda q ikorrespondojn faktorve. Periodat e vogla mund t japin nj teknik bit-nxjerrse kompletinvalide me gjenerator t numrave t rastit me modul q sht i nivelit 2. Struktura t ngjashmet rregullta, nganjher paraqesin modulin q ka nj faktor q sht prim i vogl. Nse modulisht ift (shumzuesi duhet t jet tek), ne i fitojm dy strukturat e para q i prmendm mlart: perioda e bitit t nivelit m t ult sht t shumtn 1 dhe, perioda e bitit vijues t nivelitm t ult sht t shumtn 2. Nse moduli sht i pjestueshm me 4, dalja i jep kto dystruktura plus strukturn e lartprmendur t bitit t tret t nivelit m t ult. sht leht tidentifikohen edhe struktura tjera pr module tjera t prbra. Nse moduli sht i pjestueshmme 3, p.sh., pala e bitve t nivelit t ult do t ken periodn t shumtn 3.

Aktualisht, numrat e prdorur si module n gjeneratort prodhues t numrave t rastit, janzakonisht prima dhe shpesh prima t Mersenne-it, t cilt e kan formn12 p . (Pr ndonj prim p 31, numrat e ksaj forme jan prima me prjashtim t ktyre tri vlerave, p = 11, 23, dhe 29.Vlerat m t mdhaja t p nuk japin prima. Nj vler e madhe q jep nj prim sht p =13466917).

3.3 Modulet dhe Shumzuesit

Moduli q m s shpeshti prdoret sht prima e Mersenne-it 1231 dhe pr kt modul,shumzuesi m i zakonshm sht57 . Prima e Mersenne-it 1261 gjithashtu prdoretnganjher. Rrnjt primitive pr kto dy module jan studiuar gjersisht. Wu (1997) i sugjeronshumzuesit e forms 21 22 qq ,sepse kta rezultojn nga llogaritje t thjeshta partikulare qenden n prgjithsi, q duken t ken karakteristika t mira. Wu, pr modulin e 1231 , isugjeron 1015 22 dhe 2116 22 dhe pr modulin 1261 , 1930 22 dhe 3142 22 . Efikasitetillogarits i ktyre shumzuesve rrjedh nga fakti se shumzimi nga shumzuesi i formsq2 dhei prcjellur nga nj reduktim modular me modulin e forms 12 p , rezulton n nj shkmbim tbllokut t q bitve m t rndsishm dhe bllokut t p q bitve t rndsis m t vogl.Shumzuesit e forms s sugjeruar prej Wu-s, kt lloj shkmbimi e bjn dy her n mnyrefektive dhe pastaj i mbledhin rezultatet. LEcuyer-i dhe Simard-i (1999), megjithatprmendin se, nj operacion q prbhet prej dy shkmbimeve t dy blloqeve t bitve i

prcjellur me mbledhjen e rezultateve, mton t jep nj vler, reprezentimi binar i s cils e kanj numr t 1-sheve t ngjashm me numrin 1-sheve n vlern origjinale. Numri i 1-sheve, nreprezentimin binar t vlers, quhet pesha e Hamming-ut. LEcuyer-i dhe Simard-i (1999) edefinojn nj test t pavarsis s vlerave suksesive s peshave t Hamming-ut n vargjetdalse t gjeneratorve t numrave t rastit dhe, n aplikimin e testit n gjenerator mshumzues t forms 21 22 qq , arrijn q gjeneratort e till t performojn dobt n baz tktij kriteri.


20/58

20

3.4 Struktura n Numrat e Gjeneruar

Prve shtjes rreth gjersis s periods, ekzistojn edhe disa gjra tjera me rndsi. sht ekuptueshme q nse perioda sht m, ather dalja e gjeneratorit gjat ciklit t plot, do tshprndahet rregullisht n intervalin njsi. Nse e anashkalojm rendin sekuencial t sekuencs

me period t plot prej gjeneratorit kongruent, do t paraqitet si U(0,1); n fakt, mostra do tparaqitet sikur nj mostr prej U(0,1).Nj gjenerator i mir, megjithat, duhet t gjeneroj nnmostra t ciklit t plot q paraqiten t jen t shprndara njtrajtsisht n intervalin njsi. Pr m tepr, numrat duhet t paraqiten tshprndar n mnyra pavarura ndaj njri tjetrit; e q do t thot, korrelacionet serike duhet t jen t vogla.Fatkeqsisht, struktura e sekuencs, q rezulton prej nj gjeneratori kongruent linear, shtshum e rregullt. Marsaglia (1968) tregoi se, dalja e nj gjeneratori kongruent linear qndron nnj rrjet t thjesht n nj hapsir k me boshtet, q reprezentojn numrat suksesiv n dalje.Kjo sht me t vrtet evidente n inspektimin e algjebrs s gjeneratorit. Se sa e keqe shtkjo (kjo dmth, sa shkakton kjo situat q dalja t paraqitet jo e rastit), varet nga struktura e

rrjets. Rrjeta definohet n termet e kombinimeve t integjerve t nj vargu t vektorvebaz. Duke e marr nj varg t vektorve linearisht t pavarur{ }d vvv ,...,, 21 n d IR , rrjeta shtvargu i vektorve t forms =d i iiv z1 ,ku i z jan integjera. Vargu i vektorve{ }iv sht baza prrrjetn. Fig.4 tregon nj rrjet n dy dimenzione me baz{ }21,vv .Pr nj shembull t strukturs n nj varg t numrave t rastit, t prodhuar nga nj gjeneratorkongruent linear, le t merret dalja e gjeneratorit (1.10) mem = 31 dhe a = 3 q fillon prej

90 = x . Integjert vijues n sekuenc jan paraqitur n fig.5. Ajo sekuenc pastaj prsritet.Perioda sht 30; ne e dim se 3-shi sht nj rrnj primitive modulo 31. Vlersimi vizual osemadje llogaritja e pakt e statistiks deskriptive, nuk ofron kuptime serioze rreth asaj q, a ereprezenton kjo nj mostr nga shprndarja diskrete e njtrajtshme n integjert prej 1 deri n30 prve pr faktin nse nuk ka prsritje n mostr. Numrat e shkallzuar (integjert tpjestuar me 30) kan nj mostr t vlers 0.517 dhe nj varianc mostr t 0.86-ve. T dy ktovlera jan n prputhje me vlerat e pritura prej shprndarjes U(0.1).

Fig.4. Rrjeta n 2D


21/58

21

27, 19, 26, 16, 17, 20, 29, 25, 13, 8, 24, 10, 30, 28, 22, 4, 12, 5, 15, 14, 11, 2, 6, 18,23, 7, 21, 1, 3, 9,

Fig.5. Nj varg dals prej 31mod3 1 ii x x

Autokorrelacionet pr intervalet 1 deri n 5 jan

0.27 , 0.16 , 0.10 , 0.06 , 0.07

Megjithse korrelacioni i intervalit 1 sht disi i madh pr nj mostr t ksaj madhsie, ktovlera nuk jan n paprputhshmri me hipotezn e pavarsis. Megjithat, kur i vendosim palt(ndrmbuluese) suksesive

(27 , 19) , (19 , 26) , (26 , 16) , . .

si n figurn 6, fitohet nj imazh i ngatrruar. T gjitha pikat n rrjetn e palve rrin larg njratjetrs vetm pr tri linja, secila me pjerrtsi 3. (Gjithashtu ekzistojn dhjet linja mepjerrtsi 101 dhe dhjet linja me pjerrtsi 112 , nse i llogarisim si linja vazhdimet ngambshtjellja modulo 31). N shumicn e aplikimeve, ne me gjas nuk do ti prdornim paltndrmbuluese. Palt suksesive jondrmbuluese jan paraqitur si rrath t hapur n figurn 6.Struktura paraqitet madje si m pak e rastit, sikur grumbulli i palve jondrmbuluese n njlinj ose tjetr linj.Kjo struktur n fakt ka t bj me korrelacionin relativisht t madh n intervalin 1. Megjithsekorrelacioni mund t mos paraqitet shum i madh pr madhsi t vogl t mostrs, vlera emadhe e korrelacionit do t vazhdonte edhe nse do ta zmadhonim madhsin e mostrs dukegjeneruar m shum numra t rastit sepse numrat e rastit vetm do ta prsritnin veten. shtleht t shihet se kjo lloj strukture rezulton nga vlera e vogl e shumzuesit.

Fig.6. Palt e numrave suksesiv prej 31mod3 1 ii x x


22/58

22

Gjithashtu, problem i njjt do t rezultonte prej nj shumzuesi q sht shum i afrt memodulin, p.sha = 27. Ekzistojn tet rrnj primitive modulo 31, kshtu ne do t provonimndonj tjetr, t themi 12. Le t filloj prsria = 12 me 90 = x . Integjert vijues n sekuenc jan paraqitur n figurn 7.

15, 25, 21, 4, 17, 18, 30, 19, 11, 8, 3, 5, 29, 7, 22, 16, 6, 10, 27, 14, 13, 1, 12, 20, 23, 28, 26, 2,24, 9.

Fig.7. Vargu dals prej 31mod12 1 ii x x

Vlersimi vizual nuk tregon ndryshim t madh ndrmjet ksaj sekuence dhe sekuencs snumrave t gjeneruar pra = 3 t treguar n fig.5. Numrat jan saktsisht t njjt sikurse atam par, kshtu q karakteristikat statike t vlers (mean) dhe variancs jan t njjta.Megjithat, autokorelacionet jan t ndryshme.Pr intervalet 1 deri n 5, ato jan

0.01 , 0.07 , 0.17 , 0.15 , 0.03 , 0.35

Vlera m e vogl pr intervalin 1 tregon se struktura e palve suksesive mund t jet m e mir,dhe, n fakt, pikat do t paraqiten m mir t shprndara, si e shohim n fig.8. Aty jan gjashtlinja me pjerrtsi 52 dhe shtat linja me pjerrtsi 35 .

Fig.8. Palt e numrave suksesiv prej 31mod12 1 ii x x

Prej nj inspektimi vizual, mund t konkludojm se nj gjenerator me numr t vogl t linjaven ndonj drejtim nuk e mbulon mir hapsirn. Gjeneratori me daljen t treguar n fig.6 i kadhjet linja me pjerrtsi 101 por vetm tri linja me pjerrtsi 3. Marsaglia (1968) ka treguar se,


23/58

23

kur d sekuencat ndrmbuluese t daljes s nj gjeneratori kongruent me modul m paraqiten(plotohen) sikur kemi vepruar pr d=2, pikat do t vendosen n hiperplane (mbirrafshe) paralele(linjat paralele n figurat 6 dhe 8), dhe do t jet nj drejtim i disa hiperplaneve n t cilt nukdo t ket m shum se sa k / 1m)(d! hiperplane paralele. N shembullin e thjesht m lart, prnj modul ekzistonin vetm tri linja paralele, por pr modulin tjetr ekzistonin gjasht, e qsht afr kufirit t shtatshit.Nj matje tjetr kuantitative pr rreptsin e strukturs s rrjets sht distanca ndrmjetlinjave, gjegjsisht, distanca m e vogl ndrmjet dy anve t vllimit maksimal tparalelogramit t formuar prej katr pikave dhe q nuk mbyll (rrethon) ndonj pik. Distancandrmjet linjave me pjerrtsi 35 sht 6.96, si sht paraqitur n figurn 8. Distanca ndrmjetlinjave me pjerrtsi 52 sht 5.76.Figurat 6 dhe 8 paraqesin t gjitha pikat e periods s plot t ktyre gjeneratorve t vegjl.Pr nj gjenerator me period m t madhe, do t fitonim m shum pika. Por, me njgjenerator m t varfr, t gjitha ato do t mund t mbeteshin prgjat nj numri t vogl tlinjave. sht ide e mir ta shohim nj paraqitje (plotim) t ngjashm pr nj mostr t pikaveprej ndonj gjeneratori t numrave t rastit q planifikojm ta prdorim. P.sh., urdhri i S-Plus-it

xunif


24/58

24

Fig.9. Palt e numrave suksesiv prej funksionit runif t S-Plus-it

Gjeneratori n RANDU, n esenc sht

231mod65539 1= ii x x (1.12)

Gjeneratori n ekuacionin (1.12) mund t shkruhet pr paraqitjen e relacioneve n mes trenumrave suksesiv t sekuencs dalse:

( )

( )( ) 3121

312

216

312

2

2mod962mod32

2mod65539

+

ii

i

ii

x x

x

x x

E q sht31

21 296 c x x x iii =+ (1.13)

ku c sht nj integjer. Derisa 3120 i x , t gjitha treshet e tilla duhet t vendosen n jo mshum se 15 rrafshe n 3 IR .Nse nj pjes e holl e kubit projektohet n nj faqe t kubit, t gjitha pikat n at pjes do t

paraqiteshin vetm n nj numr t vogl regjionesh lineare. Paraqitjet e tresheve n koordinataparalele mund t zbulojn gjithashtu varsi lineare. Megjithse sht shum e ditur segjeneratori (1.12) ka pasur probleme, dhe madje edhe analizat e reprezentuara nga ekuacioni(1.13) jan kryer, natyra e sakt e problemit nganjher sht keqkuptuar. P.sh., James- i (1990)thot: Tani ne e dim s ndonj shumzues kongruent n 5 mod 8do t ishte m i mirT qenit kongruent n 5 mod 8 nuk e zgjedh problemin. Kta shumzues e kan t njjtinproblem nse jan afr 162 -it pr t njjtat arsye. RANDU ende prdoret n nj numr qendrashkompjuterike dhe prdoret n disa analiza statistikore dhe paketa simuluese.


25/58

25

Struktura e rrjets, e llojeve m t zakonshme t gjeneratorve kongruent, mund t caktohet ngatesti spektral i Coveyou-it dhe Macpherson-it (1967) ose nga testi i rrjets s Marsaglia-s(1927).

3.5 Testimet e Gjeneratorve Kongruent Linear t Thjesht

Ndonj numr i testeve statistike mund t zhvillohej q t aplikohet n dalje t nj gjeneratori tdhn. Ideja m e thjesht sht formimi i ndonj transformimi n subsekuenc dhe prcaktimii shprndarjes s transformimit nn hipotezn inekzistente (null) t njtrajtshmris s pavarurt sekuencs. Nj transformim i thjesht sht vetm futja e termeve suksesive. (Duke futur dyterma suksesive do t fitohej nj shprndarje trekndore).Pr disa gjenerator specifik apo familje gjeneratorsh, ekzistojn studime t shumta empirike traportuara npr literatur. Pr 1231 =m , p.sh., studimet e bra nga Fishman- i dhe Moor- i(1982, 1986) tregojn se, numra t ndryshm t shumzuesve, ku t gjith performojn mirnn testin e rrjetit dhe testin spektral, mund t japin mostra statistikisht t ndryshme prej

mostrave t ndonj shprndarjeje t njtrajtshme t vrtet. Park-u dhe Miller-i (1988) iprmbledhin disa probleme me gjeneratort e numrave t rastit m t zakont dhe propozojnnj standard minimal pr nj gjenerator kongruent linear. Gjeneratori duhet t performoj spaku m mir se ndonj me 1231 =m dhe a =16807, i cili sht nj rrnj primitive. Zgjedhjae m-it dhe a -s sht br nga Lewis-i, Goodman-i dhe Miller-i (1968) dhe prdoret gjersisht.(Rrnja m e vogl primitive e 1231 sht 7 dhe, 1680775 = sht fuqia m e madhe e 7-it etill q x p7 , pr vlern m t madhe t x-it (e q sht 2231 ), mund t reprezentohet nformatin m t zakonshm pik-qarkullues 64 bit-sh).Ferrenberg-u, Landau dhe Wong-u (1992), kan prdorur disa gjenerator q iu ofruanstandardeve minimale t Park-ut dhe Miller-it pr t br disa studime simuluese n t cilat,prgjegjja e sakt ka qen e njohur. Rezultatet e tyre t simulimit sugjeruan se madje edhe disaprej gjeneratorve t mir nuk mund t jen t sigurt n disa simulime. Vattulainen-i, Ala-Nissila dhe Kankaala (1994) n t njjtn mnyr prdorn disa prej ktyre llojeve tgjeneratorve sikurse edhe t llojeve tjera dhe kuptuan se simulimet e tyre shpesh nuk ikorrespondonin proceseve q i modelonin. Problemi sht se standardi minimal shtminimal.Vargu i numrave t rastit, i prodhuar n mnyr sekuenciale nga gjeneratort kongruent linear,shfaq nj mori shmangiesh prej asaj q pritet n nj mostr t rastit nse numri i numrave trastit n varg e kalon prafrsisht rrnjn katrore t periods s gjeneratorit. (Parastsia edukshme qndron n shprndarjen e distancave ndrmjet pikave n rrjet t dimensioneve tndryshme t formuar nga numrat e rastit, si n figurat 6 dhe 8 pr dy dimensione. Nj periode sigurt shum e prdorshme sht m e vogl se 50,000. Deng-u dhe Lin-i (2000) erefuzojn at pr shkak t periods relativisht t shkurt t tij (madje edhe n periodn e plott 1231 -it, m e sakt se perioda e sigurt) dhe n strukturn e tij rrjetore, standardiminimal sht i papranueshm pr pun serioze. Ata sugjerojn prdorimin e gjeneratorvekongruent matricor.


26/58

26

3.6 Przierja e Vargut Dals

MacLaren-i dhe Marsaglia (1965) kan sugjeruar se vargu dals i gjeneratorit kongruent linearduhet t przihet duke prdorur nj gjenerator tjetr (ndoshta edhe m t thjesht) pr tndryshuar renditjen (prmutuar) e sekuencave prej gjeneratorit origjinal. Kjo przierje mund ta

rris periodn (sepse nuk sht patjetr q vlera e njjt ta prcjell nj vler t dhn n dokoh q paraqitet) dhe mundet gjithashtu ta prish strukturn e rrjets. (Natyrisht se ende do tmbetet nj rrjet; ajo vetm do t ket numr tjetr t rrafsheve).Pr shkak se nj numr i vetm i rastit mund t prdoret pr t gjeneruar numra t pavarur trastit, mund t prdoret nj gjenerator i vetm pr ta przier vetveten.Bays-i dhe Durham-i (1976) prshkruajn nj metod pr prdorimin e nj gjeneratori t vetmpr plotsimin e nj tabele t gjersis k dhe pastaj prdorimin e nj vargu t vetm pr tzgjedhur nj numr prej tabels dhe pr ta rimbushur tabeln. Pasi t inicializohet nj tabel Tq t prmbaj k x x x ,...,, 21 , e vendos i = k + 1 dhe gjeneron i x pr ta prdorur si indeks ntabel. Pastaj, ngritt tabela me 1+i x . Kjo metod sht treguar n Algoritmin 1.1 pr gjenerimine vargut yi pr i = 1 , 2 , . . .

3.7 Algoritmi 1.1 i Bays-Durham-it Pr Przierjen e Devijimeve t Njtrajtshme

0. Inicializone tabeln T me k x x x ,...,, 21 , 1=i , gjenerone 1+k x dhe vendoseni 1+= k i k y .1. Gjenerone j prej i y (prdoreni formimin e bitve ose mod k).2. Vendoseni 1+= ii .3. Vendoseni )( jT yi = .4. Gjeneroni 1+k x dhe ripajiseni )( jT me 1+k x .Perioda e gjeneratorit mund t zmadhohet nga kjo przierje. Bays-i dhe Durham-i (1976)tregojn se perioda nn kt przierje sht 2

1c)O(k! , ku c sht gjersia e ciklit t gjeneratorit

origjinal dhe t paprzier. Nse k zgjedhet e till qk ! > c, ather perioda zmadhohet. P.sh.,me gjeneratorin e prdorur n fig.6 (m=31,a =3 dhe fillon me 90 = x ), i cili jepte sekuencn

27 , 19 , 26 , 16 , 17 , 20 , 29 , 25 , 13 , 8 , 24 , 10 , 30 , 28 , 22 , 4 , 12 , 5 , 15 , 14 , 11 , 2 , 6 , 18 , 23 , 7 , 21 , 1 ,3 , 9 ,

ne e zgjedhim k=8 dhe e inicializojm tabeln si

27 , 19 , 26 , 16 , 17 , 20 , 29 , 25.

Pastaj e prdorim numrin vijues, 13, si vler e par n vargun dals dhe gjithashtu pr tformuar nj indeks t rastit n tabel. Nse e formojm indeksin si 13 mod 8+1, ather efitojm vlern e gjasht tabelore 20 si vlera e dyt n vargun dals. Ne e gjenerojm numrinvijues n vargun origjinal, 8, dhe e vendosim n tabel, kshtu q tani e kemi tabeln

27 , 19 , 26 , 16 , 17 , 8 , 29 , 25.


27/58

27

Tani e prdorim 20-shin si indeks n tabel dhe e fitojm vlern e pest tabelore, 17, si numri itret n vargun dals. Duke vazhduar n kt mnyr do ti fitojm 10,000 pal suksesive tdevijuara dhe t plotuara dhe e kemi fig.10. Struktura shum e keqe e rrjets s treguar n fig.6sht paksuar. (Kujtoni at se, megjithat ekzistojn vetm 30 vlera t ndryshme).

Fig.10. Palt suksesive t numrave prej nj verzioni t przier (shuffled) t 31mod3 1 ii x x(krahasone me Fig.6)

3.8 Gjenerimi i Nnvargjeve n Gjeneratort e Thjesht Kongruent Linear

Nganjher sht shum e dobishme t gjenerojm subsekuenca t ndara dhe t pavarura me tnjjtin gjenerator. N kt nnseksion do t diskutojm metodat themelore pr gjenerimin ennvargjeve t ndara duke prdorur nj gjenerator t thjesht kongruent linear dhe disa prejkarakteristikave t atyre nnvargjeve. Si kemi treguar n fillim t ktij seksioni, megjithsegjeneratort e thjesht kongruent linear formojn bazat pr shum gjenerator t mir tnumrave t rastit, n prgjithsi nuk jan t prshtatshm pr aplikime serioze.

3.9 Blloqet Jokufizuese

Pr gjenerimin e subsekuencave, n prgjithsi nuk sht ide e mir zgjedhja arbitrare e dyfarave pr subsekuenca sepse, n prgjithsi, nuk kemi informata rreth relacioneve n mes tyre.N fakt, nj zgjedhje e pafat e farave do t rezultonte n kufizim shum t madh tsubsekuencave. Nj mnyr m e mir sht fiksimi i fars s nj subsekuence dhe pastajkalimi (skip) i nj distance t njohur m tutje pr t filluar subsekuencn tjetr. Relacionithemelor i ekuivalencs s gjeneratorit


28/58

28

max x ii mod1 =+ (1.14)

rrjedhonm xa x i

k i mod1 =+

Kjo ofron nj mnyr t thjesht e kalimit t mtutjeshm n sekuencn e gjeneruar nga njgjenerator kongruent linear. Kjo do t ishte shum e dobishme n llogaritje paralele, ku dodshironim nj procesor pr ta lvizur sekuencn

,...,, 21 ++ sss x x x (1.15)

dhe nj tjetr procesor pr ta lvizur sekuencn jokufizuese

,...,, 21 +++++ k sk sk s sss (1.16)

Fara pr vargun e dyt mund t gjenerohet nga

mbxs k s mod01 + ku

mab k mod (1.17)

Vreni se ndonj element n sekuencn e dyt (1.16) mund t fitohet duke shumzuar me b-ne elementit korrespondues t sekuencs s par (1.15) t prcjellur me reduktim modulo m.

3.10 Leapfrogging 2-u

Nj subsekuenc tjetr me rndsi e q sht e pavarur nga sekuenca e par sht

,...,, 2k sk ss x x x ++ (1.18)

Kjo sekuenc gjenerohet nga

mbx x ii mod1 + (1.19)

ku b-ja sht si m par. Kjo metod pr gjenerimin e vargjeve t pavarura quhet leapfrog me

k. Subsekuenca t ndryshme t pavarura mund t formohen duke prdorur leapfrog distancat ndryshme. (Distancat duhet t zgjedhen shum me kujdes. Minimumi i krkuar sht qdistancat t jen numra relativisht t thjesht (prim)).Ne do t mund ta lenim nj procesor pr fillimin e leapfrog-ut ns x dhe procesorin e dyt prfillimin e leapfrog-ut n 1+s x dhe duke prdorur distancn e njjt leapfrog. Nsea -ja n

2 Krcimi i bretkoss


29/58

29

ekuacionin (1.14) sht nj rrnj primitive modulo m, ather ndonj b n ekuacionin (1.19)mund t fitohet nga disa integjera k n ekuacionin (1.17). P.sh., le t merren gjeneratort ethjesht t diskutuar n 2.1,

31mod3 1 ii x x

Dhe31mod12 1 ii x x

Pr shkak se31mod312 1

19 i x (1.20)

Sekuenca e gjeneruar nga gjeneratori i dyt mund t fitohet prej sekuencs s gjeneruar ngagjeneratori i par duke e prsritur sekuencn n fig.5 dhe duke marr do t nntmbdhjetinnumr. Nse distanca e kaluar sht numr relativisht i thjesht (prim) ndaj periods, athersekuenca e formuar duke leapfrog-uar do t ket periodn e njjt me sekuencn origjinale.

Supozojm, p.sh., se n nj prej sekuencave t msiprme, secila me period 30, zgjedhim prta marr do t pestin element. Prej sekuencs n fig.5, mund ta formojm subsekuencn

27 , 20 , 24 , 4 , 11 , 7 , 27 , . . ..

Ndonj pik tjetr startuese do t jepte n t njjtn mnyr nj sekuenc me period 6. Prejekuacionit (1.17), gjeneratori pr kalimin mtutje t pes elementeve sht

31mod3 15

ii x x

dhe 26 sht nuk sht nj rrnj primitive modulo 31.

Ndonjra prej 30 farave t mundshme do t gjeneron nj subsekuenc me period 6 dhe do tket pes subsekuenca q nuk kufizohen (mbyllen). Pr nj varg themelor t dhn prejgjeneratorit (1.14), fig.11 paraqet dy blloqe t pakufizuara (nonoverlapping) t nnvargjeve dhedy vargje t leapfrog-uara.

Vargu themelor ,...,)1(1)1(1 ,...,,...,,...,,...,,..., sk t k sk sk t x x x x x x ++ Blloku 1 k t x x x ,...,,...,1 Blloqu s sk t k sk s x x x ,...,,..., )1(1)1( ++ Vargu i leapfrog-uar 1 ,1 x ...,1)1( + k s x

Vargu i leapfrog-uar t ...,,,....)1( t k st

x x + Fig.11. Blloqet e pakufizuara t nnvargjeve dhe nnvargjet e Leapfrog-uara

3.11 Pemt e Lehmer-it

Frederickson-i (1984) e prshkruan nj mnyr t kombinimit t gjeneratorve kongruent linearpr t formuar t ashtuquajturn pemn e Lehmer-it, e cila sht nj pem binare n t ciln t


30/58

30

gjitha degt e djathta ose t gjitha degt e majta e formojn nj sekuenc prej gjeneratoritkongruent linear t Lehmer-it. Pema sht e definuar prej dy rekurzioneve, ku q t dyt janrekurzione themelore (1.9)

mcaLx x Li L

i mod)( 1)( +

dhemcaRx x Ri

Ri mod)( 1

)( +

N nyjn 1i -t t pems, nj sekuenc e rregullt e Lehmer-it me brtham1ii gjenerohet ngat gjitha nyjet e degve t djathta posht saj. Nj sekuenc e re inicohet duke marrur nj deg tmajt nga nyja e par posht saj dhe pastaj t gjitha nyjet e degve t djathta nn nyjen e dhn jan t pavarura prej sekuencs (s fundme) t t gjitha nyjeve t degve t djathta q jan nnnyjen e degs s majt menjher nn nyjn e dhn. (Pavarura pr kto subsekuenca tfundme mund t interpretohet n mnyr strikte sikur nuk ka elemente t njjta). Frederickson-ika dhn kushtet n La , Lc , Ra , Rc , dhe m q do ta garantonin pavarsin e sekuencave me

gjatsi t fiksuar.

3.12 Korrelacionet Ndrmjet Nnvargjeve

Kujdesi sht i domosdoshm n zgjedhjen e fars dhe distancs pr t kaluar m tej.Anderson-i dhe Titterington-i (1993) tregojn se, pr nj gjenerator kongruent multiplikativ,korrelacioni ndrmjet sekuencs ,...)( i x dhe ,...)( k i x + sht prafrsisht asimptotisht

121 )(n

n , ku

ik i xnn x ) / ( 21=+ dhe 1n dhe 2n jan numra relativisht t thjesht (prim). Fig.12 tregon njplotim t dy subsekuencave, secila me gjatsi 100, q kan fara q ndryshojn nga nj faktor

5. Korrelacioni i ktyre dy subsekuencave sht 0.375. Kjo do t tregonte se kur zgjedhim tkalojm mtej pr k hapa, fara nuk duhet t jet nj shumfish apo frakcion i k-s. Nganjher,n vend t sekuencave t pavarura, mund t dshirojm nj sekuenc q sht fuqishmnegativisht e korreluar me sekuencn e par. (Kto sekuenca quhen Antitetike. Mund t jenshum t dobishme n reduktim t variancs). Nse nj sekuenc fillon me farn0 x dhe njsekuenc tjetr fillon me 0 xm , ather termi ii -t n t dy sekuencat do t jet i x dhe i xm .Sekuencat jan t korreluara negativisht n mnyr perfekte. Nj pal tjetr e sekuencave qmund t jen me interes jan ato q shkojn n mnyr t kundrt (reverse); e q sht, nse njsekuenc sht

,...,,...,,, 321 k x x x x (1.21)

ather sekuenca tjetr sht

,...,,,...,,, 12321 x x x x x x k k k (1.22)


31/58

31

Fig.12. Sekuencat iu dhe iv t gjeneruara nga nj gjenerator i mir kongruent multiplikativ ,q fillon n farat 999 dhe 4995 respektivisht.

Nse sekuenca e par sht gjeneruar nga max x ii mod1 + , ather sekuenca e dyt sht egjeneruar nga mby y ii mod1 + , ku

mab p mod1 dhe p sht perioda.

4 Implementimi Kompjuterik i Gjeneratorve Kongruent Linear t Thjesht

Ekzistojn shum shtje t rndsishme q duhet t merren parasysh gjat shkrimit tsoftware-it kompjuterik pr gjenerimin e numrave t rastit. Para se t vazhdojm me diskutimin

e llojeve tjera t gjeneratorve t numrave t rastit, do ta shohim implementimin kompjuterik tgjeneratorve kongruent linear t thjesht t forms (1.10)

max x ii mod1

Kto lloje t njjta t marrura parasysh, mund t aplikohen edhe ndaj gjeneratorve tjer.Krkesat pr nj kodim kompjuterik t nj gjeneratori t numrave t rastit prfshijnriprodhueshmri dhe transportueshmri strikte. Riprodhueshmri strikte do t thot q ndonjvarg i prodhuar nga gjeneratori mund t prsritet (n precizitetin e brendshm t makins nsecilin element), pr kushte t njjta fillestare. Transportueshmria e ka kuptimin brendakontekstit t nj vargu t sistemeve kompjuterike dhe do t thot se kodi jep rezultatet esencialen at varg t sistemeve kompjuterike. Ne mund t flasim pr transportueshmrin eprogrameve ekzekutuese, transportueshmrin e kodit burimor, transportueshmrin n niveline prdoruesit e kshtu me radh.Si problem n analizat numerike, riparaqitja themelore e gjeneratorit kongruent linear sht disie keq-kushtzuar. Kjo sht ngase preciziteti i plot duhet t mbahet kudo; nse ndonj term nsekuenc nuk sht saktsisht n vendin e fundit, t gjitha termet subsekuente do t ndryshojnn mnyr radikale prej sekuencs s vrtet.


32/58

32

4.1 Sigurimi i Llogaritjeve t Sakta

Pr shkak t numrit t rndsishm t shifrave n kuantitete n kt rikthim, madje edheprogramert fillestar msojn shum shpejt se mund t krkohen hapa special pr t ofruar njprecizitet komplet t krkuar. Nse shumzuesia sht relativisht i madh, nj mnyr pr ta

shmangur nevojn pr nj precizitet t lart sht brja e llogaritjeve prmax x ii mod1 si

mmexmdxc x iii mod]mod)mod([ 11 + (1.23)

ku ecd a += . Vlerat c, d dhe e jan zgjedhur ashtu q, gjith produktet t jen t reprezentuarn mnyr t sakt. Kjo sht e mundshme sa m gjat q preciziteti i disponueshm sht spaku mblog5.1 vende n bazn aritmetike b. Origjina e ides pr prdorimin edekompozicionit (1.23), sikur edhe pr shum ide t dobishme n llogaritje numerike, ka

humbur n antik. Idea sht rizbuluar shum her. Madje edhe nsea sht relativisht evogl, sikur n standardin minimal t Park-ut dhe Miller-it (1988), llogaritjet nuk mund tbhen direkt n fjalt e zakonshme pik-qarkulluese n kompjuter me fjal 32-bit-she.Nj mnyr tjetr pr shmangien e nevojs pr precizitet t lart pr shumzues relativisht tvegjl-e q jan, shumzues m t vegjl sem (sikur n rastin e treguar n fig.13)- sht brjae llogaritjeve n hapat vijues. Le t jet

amq / = Dhe

amr mod

subroutine rnlcm (dseed, nr, u)double precision dseed, dm, dmpreal u(*)data dm/2147483647.d0/, dmp/2147483655.d0/!(dmp is computer specific)do 10 i = 1, nrdseed = dmod (16807.d0*dseed, dm)u(i) = dseed/dmp10 continueEnd

Fig.13. Nj program i Fortran-it q e ilustron nj gjenerator kongruent pr nj makin me fjal

32-bitshe.

Pastaj,

mr q xq xa

mr q xqq x xa

mr aqq xax

mmq xaxmax

i xi x

i xi xi x

i xi x

i xi xi x

mod] / )mod([mod] / ) / ([

mod)]( / [mod) / (mod

=

=

+=

=

(1.24)


33/58

33

Pr operacionet e ekuacionit (1.24), LEcuyer-i (1988) ka dhn kodimin e forms vijuese:

k = x/qx = a*(x - k*q) - k*rif (x < 0) x = x + m

Si m lart, shpesh sht e prshtatshme prdorimi i faktit q reduktimi modular sht ekuivalentme

maxmax x i xi xi / =

Por n formulime ekuivalente, operacioni i nivelit m t ult duhet t bhet simultantivisht meoperacionin e pjestimit.

4.2 Kufizimi q Dalja t Jet n Intervalin e Hapur (0,1)

Ekziston edhe nj pik tjetr q shpesh sht e shumshiquar n diskutimet e gjeneratorve tnumrave t rastit. Ne rastsisht e kemi prmendur m lart se dshirojm t simulojm njshprndarje t njtrajtshme n (0,1). Matematikisht sht e njjt sikur shprndarja enjtrajtshme n [0,1]; megjithat, kjo nuk sht e njjt n kompjuter. Gjat prdorimit tmetodave q i kemi diskutuar, duhet nganjher t jemi t kujdesshm ndaj prjashtimit tpikave t fundit. Kurdo q prdoret gjeneratori kongruent i przier, ne duhet t ndrmarrimhapa special q ta mbajm rastin ku 0=i x . Pr gjeneratorin kongruent multiplikativ (1.10),nuk do t na duhej t brengoseshim rreth nj 0-je. N nj standard t sistemit aritmetik me pikfikse apo pik lvizse, nse 1i x , normalizimi m xu ii / = nuk do t jepte 0-ro. Megjithat,normalizimi mund t jep nj 1 oft gjeneratori i przier apo multiplikativ. Q ta shmangim at,e zgjedhim nj tjetr normalizues )(~ mm > .

4.3 Konsiderata Rreth Efektshmris

N disa arkitektura kompjuterike, operacionet n numra me pik t fiksuar jan m t shpejta seato n numrat me pik lvizse. Nse moduli sht i fuqis 2, mund t jet e mundshme tbjm reduktim modular duke mbajtur n mnyr t thjesht vetm bitt e rendit t ult tproduktit. Pr m tepr, nse fuqia 2 i korrespondon numrit t bitve numerik, mund t jet emundshme prdorimi i mbirrjedhjes pr t br reduktim modular. Ky sht nj mashtrim ivjetr, q sht implementuar n shum gjenerator t hershm, prfshir edhe RANDU-n.Mbirrjedhja mund t konsiderohet si nj gabim aritmetik. Megjithat, fuqia 2 n prgjithsi nuksht modul i mir. Mashtrimi i mbirrjedhjes me pik t fiksuar mund t modifikohet pr tbr nj reduktim modular pr 12 = pm . Le t jet

)1mod()(~ 1 ++ mcax x ii

Dhe nse 1~ +< m xi , ather


34/58

34

x xi~=

n rastet tjera,m x x ii =

~

Ky mashtrim mund t implementohet tri her nse shumzuesia sht i madh dhe nseprdoret reprezentimi i ekuacionit (1.23). Disa shumzime, veqanrisht ata me pik fikse,kishin pr t performuar n mnyr rapide sikur njri prej t shumzuarve sht i fuqis 2. Kyfakt ofron nj tjetr mundsi pr ti prshpejtuar llogaritjet q prdorin ekuacionin (1.23).Dekompozimi i shumzuesita mund t ket dy komponente q jan t fuqis 2.

4.4 Procesort Vektorial

Pr shkak se nj gjenerator i numrave t rastit mund t thirret me miliona hera n nj programt vetm, sht e rndsishme q operacionet t bhen n mnyr efektive. Brophy (1989)prshkruan nj implementim t gjeneratorit kongruent linear pr nj procesor vektorial. Nseshumzuesi shta , moduli m dhe gjatsia e regjistrit vektorial sht k, kuantitetet

maa j j mod , pr j = 1 , 2 , . . . , k

jan parallogaritur dhe ruajtur n nj regjistr vektorial. Megjithat, operacioni i moduloreduktimit (zakonisht) nuk sht nj operacion vektorial. Pr nj gjenerator t veant q e kanshqyrtuar, 1231 =m dhe pr shkak se

...2212

623131 ++=

x x x

Ata e kan br reduktimin modular si xa xa j j 3131 2)12( . Pr nj i x t dhn, kdevijimet subsekuente fitohen me disa operacione n regjistrin vektorial. Se si timplementohet nj gjenerator i numrave t rastit n nj mjedis t dhn, varet nga kto gjra, si:

lloji i arkitekturs (vektorial, paralel, etj.), preciziteti i disponueshm, disponimi i aritmetiks modulare, nse mbirrjedhja e integjerve sht ekuivalente me reduktimin modular, baza e aritmetiks,

shpejtsit relative t shumzimit dhe pjestimit, shpejtsit relative t Mod-it dhe INT-it.Kualiteti i gjeneratorit nuk duhet t lihet pr shkak t efektshmris, pa marr parasysh se fararkitekture kompjuterike sht duke u prdorur.


35/58

35

5 Gjenerator Tjer Kongruent Linear

Ekzistojn shum variacione (luhatje) n algoritmin themelor kompjuterik (1.1),

),...,( 1 k iii x x f x = (1.25)

pr t prodhuar numra t rastit. N gjeneratorin e thjesht kongruent linear t Lehmer-it (1951),ekuacioni (1.9), f sht nj funksion i thjesht linear (q shtk=1 ) i kombinuar me reduktimmodular. Nj variacion n gjeneratorin e thjesht kongruent linear, shkakton przierje nvargun dals. Variacionet tjera t gjeneratorit kongruent linear shkaktojn prdorimin e k-s mt madhe se 1:

mcva x iT

i mod)( 1 + me m xi 0 (1.26)

ku k sht nj vektor i konstanteve dhe 1iv sht vektorik ),...,( 1 k ii x x . Nj gjenerator i till me

sa duket krkon nj vektork pr far. Dy gjenerator kongruent linear shum t prdorur tforms (1.26) mek > 1 jan gjeneratort me rekurzione t ndryshme, n t cilt c=0 dhea =(0 , . . . , 0 , 1 , 0 , , 0 , 1). Ekzistojn edhe disa variacione tjera t gjeneratorit kongruent themelor. Disa e mbajnlinearitetin por fusin vlera kushtzuese t c-s.N prgjithsi, variacionet q jan propozuar, e zmadhojn kompleksitetin e gjeneratorit. Qgjeneratori t jet i dobishm, duhet t jemi t aft t analizojm dhe kuptojm karakteristikat etij s paku deri n at pik sa t sigurohemi se nuk fshihet ndonj jorastsi fshirse n dalje tgjeneratorit.

5.1 Gjenerator t Ndryshm Rekurziv

Nj zgjerim i thjesht i gjeneratorit kongruent multiplikativ bhet me prdorimin e k vlerave tndryshme paraprake pr t gjeneruar vijuesen:

m xa xa xa x k ik iii mod)( 2211 +++ (1.27)

Kur k > 1, kjo nganjher quhet si gjeneratori kongruent multiplikativ me rekurzion tshumfisht. Numri i k numrave paraprak t prdorur, quhet rendi (order) i gjeneratorit.(Nse k=1 , ai sht vetm nj gjenerator kongruent multiplikativ). Perioda e nj gjeneratorirekurziv t shumfisht mund t jet shum m e madhe se ajo e gjeneratorit t thjeshtmultiplikativ. Pr nj m prim, Knuth-i (1998) ka treguar se perioda maksimale sht1k m dheka dhn kushtet pr arritjen e asaj periode n termet e polinomit

)()( 11

1 k k k k a za za z z f +++=

(1.28)n )(mG/ .Efektiviteti llogarits mund t rritet duke zgjedhur disa prej ja si 0 ose 1. Deng-u dhe Lin-i(2000) propozojn nj gjenerator t shumfisht rekurziv m t shpejt n t cilin vetm


36/58

36

11 =a dhe t gjith ja tjer jan 0 prve k a -s. Pr nj modul t dhn, ata e prdorin kriterine Knuth-it (1998) nn kufizimin q 11 =a pr ta prcaktuar k a -n q jep periudhn maksimale.Pr 1231 =m dhe k=2,3,4 , ata japin disa vlera t tilla t k a -s. Ata gjithashtu diskutojnshtjet e kodimit pr efekshmri dhe transportueshmri. LEcuyer-i, Blouin-i dhe Couture-i(1993) kan studiuar disa karakteristikat statistikore t gjeneratorve t shumfisht rekurzivdhe bjn rekomandime pr shumzuesit pr disa module specifike, duke prfshir m tshpeshtin, 1231 . Krkimi i tyre pr kualitetin e gjeneratorve sht bazuar n shkalln (ratio)e Beyer-it dhe aplikohet n dimensionet prej 1 deri n 20. Ata diskutojn shtje t programimitpr gjenerator t till dhe japin kodin pr nj program t shkurt n gjuhn C pr gjeneratorine shumfisht rekurziv t rendit t pest,

12mod)104480107374182( 3151 + iii x x x (1.29)

Kodi i tyre sht i transportueshm dhe nuk do t kthen 0 ose 1. Ata gjithashtu prshkruajn si

t largohen m tej n gjeneratort e shumfisht rekurziv pr t formuar nnvargjet me t njjtatmetoda t diskutuara n seksionin 2.4.Kao dhe Tang-u (1997) gjithashtu kan testuar shumzues t ndryshm t periodave t plota prgjenerator t shumfisht rekurziv. Ata prcaktuan strukturn e rrjets rreth dimensionit 8. Ntestin e Kao-s dhe Tang-ut (1997), gjeneratort e shumfisht rekurziv jan me m pak terme serendi i gjeneratorit. Kjo duket t jet m shum si pasoj e disa gjeneratorve q i kanstudiuar sesa konkluzionit t prgjithshm. Teste tjera t disa gjeneratorve t till nuk kantreguar t jet problem kjo.

5.2 Moduli n Gjeneratort e Shumfisht Rekurziv

Moduli i prbr n gjeneratort e shumfisht rekurziv, nuk jep patjetr dalje me t njjtatlloje t strukturave pr gjeneratort e vetm rekurziv. Moduli i forms 2, shpesh sht ipranueshm pr nj gjenerator t shumfisht t rastit, por n prgjithsi kshillohet prdorimi imodulit prim.

5.3 Gjeneratort Kongruent Matricor

Nj prgjithsim i gjeneratorit kongruent linear dhe skalar n gjenerator t vektorve pseudo trastit sht si n vijim:

mc Ax x ii mod)( 1 + (1.31)

ku i x , 1i x dhe c jan vektor t gjatsis d, dhe A sht nj matric dxd. Elementet e vektorvedhe matricave jan integjera ndrmjet 1 dhem-1. Pastaj, elementet e vektorit jan tshkallzuara n intervalin (0,1) q t simulojn devijimet U(0,1). Nj gjenerator i till quhetgjenerator kongruent matricor. Sikurse me gjeneratort skalar, c-ja shpesh zgjedhet si 0 (njvektor me t gjitha elementet t barabarta me 0). Arsyet pr prdorimin e gjeneratorit matricor


37/58

37

jan pr t gjeneruar vargje paralele t devijimeve pseudo t rastit ose pr t futur nj strukturprmirsuese n vektort e numrave t rastit. Deng-u dhe Lin-i (2000) sugjerojn njimplementim t shpejt t nj gjeneratori kongruent multiplikativ matricor me

Kjo zgjidhje prfshin llogaritje t ngjashme me ato n gjeneratorin e tyre t shumfishtrekurziv.Nse A sht matric diagonale, gjeneratori matricor esencialisht sht nj varg i gjeneratorveskalar me shumzues t ndryshm. Pr A m t prgjithshme, elementet e vektorve jan t

korreluar. N vend se t koncentrohen direkt n korrelacione, shumica e studimeve tgjeneratorve matricor (Afflerbach-u dhe Grothe, 1988) jan fokusuar n strukturn e rrjets.Duke e zgjedhur A si faktor t Cholesky-t, nj qllim i nj matrice varianc-kovarianc mund tkishte kuptim dhe mund t ket situata tjera n t cilat nj gjenerator matricor do t ishte i disavlerave. Megjithat, n prgjithsi ndonj struktur e dshiruar korrelative do t simulohej metransformime n nj varg t pavarur t njtrajtshmrive n vend q t mundohemi tainduktojm at n gjenerator kongruent.Nga analogjia me gjeneratorin rekurziv t shumfisht me modul prim (me c=0) 1d m , dheedhe pse sht kshtu, megjithat analizat e periods s gjeneratorit kongruent matricor jan dim t komplikuara se sa ajo e gjeneratorit skalar. sht e art se A duhet t jet josingulare(brenda fushs s fundme t gjeneruar nga moduli), sepse n t kundrtn sht e mundshme

gjenerimi i nj vektori zero n t ciln pik t gjith vektort subsekuent jan zero. Nj zgjerimi mtutjeshm i gjeneratorit kongruent matricor sht gjeneratori matricor i numrave t rastitrekurziv dhe i shumfisht:

m x A x A x k ik ii mod)( 11 ++ (1.32)

Kjo sht ide e njjt sikur n gjeneratorin rekurziv t shumfisht t skalarve, si shttreguar m lart. Gjithashtu, si sht prmendur m lart, efektiviteti llogarits mund t ritetduke zgjedhur disa prej j A -ve si matrica 0, matrica identike ose skalar t thjesht (e q sht,shumllojshmri skalarsh t matrics identike).

5.4 Gjeneratort e Llojeve Mbledhje me Bartje (Add with-Carry), Zbritje me Huazim(Substract-with-Borrow) dhe Shumzim me Bartje (Multiply-with Carry)

Marsaglia dhe Zaman-i (1991) prshkruajn dy variante t nj gjeneratori q e quajtn Add with-Carry (AWC) dhe Substract-with-Borrow (SWB). Forma e AWC-s sht


38/58

38

mc x x x ir isii mod)( ++

ku 01 =c dhe 01 =+ic nse mc x x ir isi


39/58

39

Eichenauer-i dhe Lehn-i (1986), Grothe dhe Niederreiter-i (1988, 1989) tregojn se gjeneratortkongruent inverziv kan karakteristika t mira t njtrajtshmris, pjesrisht duke iufaleminderuar strukturs s rrjets dhe korrelacioneve serike.Eichenauer-Herrmann-i dhe Ickstadt-i (1994) paraqitn nj metod eksplicite (t hollsishme)

kongruente inverzive q jep integjera tek ndrmjet 0 dhe m-1, dhe Eichenauer-Herrmann-i(1996) bn nj modifikim t saj n mnyr q t mund t japi t gjith integjert jonegativ derin m-1. Gjeneratori i modifikuar eksplicit inverziv dhe kongruent sht dhn me

,...,2,1,0,2mod)( =+ ibaii x pi

ku a 2 mod 4, b 1 mod 2, dhe p 4. Eichenauer-Herrmann-i (1996) tregojn se periodasht m dhe mosprputhja dydimensionale sht ])(log[0 22

1mm

pr gjeneratorin eksplicitinverziv t modifikuar. Megjithse ekzistojn disa mnyra pr shpejtimin e llogaritjeve,vshtirsit llogaritse t gjeneratorve kongruent inverz e kan penguar prdorimin e gjer t

tyre. Ka pasur raporte t prziera t karakteristikave statistikore t vargjeve pseudo t rastit tprodhuara nga gjeneratort kongruent inverz. Chou dhe Niederreiter-i (1995) prshkruajn njtest t rrjets dhe disa rezultate t saj pr gjeneratort kongruent inverz. Nj gjeneratorkongruent inverz nuk jep rrafshe t rregullta sikurse nj gjenerator kongruent linear. Leeb-i dheWegenkittl-i (1997) raportojn pr disa teste t gjeneratorve kongruent inverz. Rastsia eshfaqur ka qen m e mir se ajo e gjeneratorve linear q i kan testuar. Megjithat,gjeneratort kongruent inverz nuk kan performuar aq mir n testet e bazuara n ndarje(spacings) t raportuara nga LEcuyer-i (1997). Evidentimi i madh nuk rekomandongjeneratort kongruent inverz.

6.2 Gjeneratort Tjer Kongruent JolinearNj prgjithsim i thjesht i gjeneratorit kongruent linear (1.9) sht sugjeruar nga Knuth-i(1998):

mcaxdx x iii mod)( 12

1 ++ me m xi 0 (1.34)

Gjithashtu, mund t prdoren polinomet e shkallve t larta. Edhe n oft se ekzistenca endonj prparsie n prdorimin e polinomeve t shkallve t larta nuk sht e art, ata kanprparsi t dukshme pr ta br gjeneratorin m t kuptueshm. Blum-i dhe Shub-i (1986)kan propozuar nj gjenerator t bazuar n

m x x ii mod2

1 (1.35)

Megjithat, kjo metod shkon prapa paraqitjes s transformimeve m t komplikuara nsekuencn e integjerve. Ata e formojn sekuencn e daljes si bita 321 bbb , ku 0=ib nse i x sht ift, ku 1 p dhe 2 p jan prima t ndryshm, secili kongruent n 3 mod 4, pastaj dalja ektij gjeneratori nuk sht e parashikueshme n kohn polinomiale pa i ditur1 p dhe 2 p . Pr


40/58

40

shkak ksaj paparashikueshmrie, ky gjenerator ka prdorime t mundshme t rndsishme nkriptografi. Nj gjenerator kongruent m i prgjithshm prdor nj funksion g t vlersparaprake pr t gjeneruar vijuesen:

m xg x ii mod)( 1 me m xi 0 (1.36)

Ksi lloj gjeneratorsh jan studiuar nga Eichenauer-i, Grothe dhe Lehn-i (1988). Zgjedhja emadhe e funksioneve mund t jep gjenerator me karakteristika shum t mira tnjtrajtshmris, por nuk ka tjetr prve linearve t thjesht ose inverz pr t cilt nj masteorie dhe eksperience do t sugjeronin prdorimin e tij n pun serioze. Kato, Wu dheYanagihara (1996) e shqyrtojn nj funksion g n ekuacionin (1.36) q kombinon nj funksiont thjesht linear me inverzion t shumfisht n ekuacionin (1.33). Gjeneratori i tyre sht

mcbxax x iii mod)( 11 ++ me m xi 0

Ata sugjerojn nj modul q sht i fuqis 2 dhe Kato-ja, Wu dhe Yanagihara (1996) i nxjerrinkarakteristikat pr kt gjenerator n mnyr t njjt si t atyre t nxjerrur nga Niederreiter(1989) pr gjeneratorin inverz n ekuacionin (1.33). Eichenauer-Herrmann-i (1995) dheWegenkittl-i (1998) ofrojn nj studim t puns s br nga gjenerator t ndryshm jolinear,duke prfshir edhe gjeneratort kongruent inverz.

7 Gjeneratort me Regjistr me Zhvendosje Rivepruese

Tausworthe-i (1965) ka paraqitur nj gjenerator t bazuar n sekuencn e 0-ve dhe 1-sheve tgjeneruar nga prsritja (rekurenca) e forms

2mod)( 1111 + +++ i pi p pii babaabb (1.37)

ku t gjitha variablat marrin vlera ose 0 ose 1. Ky sht nj gjenerator rekurziv i shumfisht iekuacionit (1.27). Dallimi sht se b-jat do ti interpretojm si bita dhe do ti formojm nreprezentime binare t integjerve. Pr shkak se moduli sht nj prim, gjeneratori mund tlidhet me nj polinom

)()( 11

1 p p p p a za za z z f +++=

(1.38)

prgjat fushs Galois-ane )2(G/ t definuar me integjert 0 dhe 1 si dhe me mbledhjen dheshumzimin t definuar n mnyr t zakonshme dhe t prcjellur nga nj reduktim modulo 2. Nj rezultat i rndsishm nga teoria e zhvilluar pr polinome t tilla sht se, derisa vektorifillestar i b-ve nuk sht i tri 0-ro, perioda e prsritjes (rekurencs) (1.37) sht 12 p noft se dhe vetm n oft se polinomi (1.38) sht i pareduktueshm prgjat )2(G/ . (Njpolinom i pareduktueshm nganjher quhet polinom primitiv). sht leht t shihet se periodamaksimale sht 12 p sepse nse ndonj vektor p i b-ve prsritet, t gjitha vlerat subsekuente jan vlera t prsritura. Pr efektivitet llogarits, shumica ea -ve n ekuacionin (1.37) duhet t


41/58

41

jen zero. Pr nj modul t barabart me 2, ekziston vetm nj binom q sht ipareduktueshm dhe sht z+1 , i cili do t jepte nj period t papranueshme. Megjithat,ekzistojn shum trinome dhe polinome t shkallve t larta. Prsritja (rekurenca) (1.37)shpesh e ka formn

2mod)( q pi pii bbb + + (1.39)

q rezulton prej trinomit. Mbledhjet e 0-rove dhe 1-sheve modulo 2 jan operacione binareekskluzive-ose t shnuara me ; kshtu q, rekurencn mund ta shkruajm si

q pi pii bbb + (1.40)

Pasi q kjo rekurenc t jet prcaktuar shum her, t themi I (me I p), I-tufa e b-veinterpretohet si nj numr n bazn 2. Ksaj i referohet si nj I decimacion i menur isekuencs s b-ve. Nse l sht prim n 12 p (perioda e sekuencs s b-ve), perioda e I-tufave

do t jet gjithashtu 12 p

. N kt rast, decimacioni duhet t jet i prshtatshm. Vreni serekurenca e bitve sht e njjta rekurenc e I-tufave

q pi pii x x x + (1.41)

ku x-at jan numra t reprezentuar duke interpretuar I-tufat si shnime binare. Trinomithemelor sht

1++ r p x x

ku r=p-q. Nj gjenerator i numrave t rastit i ndrtuar n kt rekurenc nganjher shnohetme R(r,p). Si shembull, shikojm trinomin

14 ++ x x (1.42)

dhe fillojm me sekuencn e bitve

1 , 0 , 1 , 0

Pr kt polinom, p=4 dhe q=3 n rekurencn (1.40). Duke operuar me gjeneratorin, fitojm

1 , 1 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , 1 , 1 , 0 , 1 , 0

n t ciln pik, sekuenca prsritet; perioda e saj sht 124 . Nj decimacion i menur 4 (4-wise decimation) q prdor rekurencn (1.41) jep numrat

12 , 8 , 15 , 5 , . . .

(n t cilt 5 krkojn nj bit shtes n sekuencn e m siprme). Ne mund t vazhdojm nkt mnyr q t fitojm 15 (e q sht 124 ) integjera ndrmjet 1 dhe 15 para se sekuenca t


42/58

42

filloj t prsritet. Sikur n gjeneratort kongruent linear, vlera t ndryshme ta -ve dhemadje edhe t vlerave startuese t b-ve mund t japin ose gjenerator t mir (t till me daljeq duken t jen mostra t rastit t shprndarjes s njtrajtshme) ose gjenerator t kqij. Kyoperacion i rekurencs n ekuacionin (1.37) mund t zbatohet n regjistrin me zhvendosjerivepruese ( feedback shift register) , i cili sht nj vektor i bitve q sht i zhvendosur, t

themi n t majt, nj bit n koh dhe biti i zhvendosur sht i kombinuar me bitat tjer nregjistr q t formoj bitin m t djatht (rightmost). Operacioni mund t vizatohet si shtparaqitur n fig.14, ku bitt jan kombinuar duke prdorur .

Fig.14. Nj zhvendosje e regjistrit me zhvendosje rivepruese.

Dy burimet e bitve q zhvendosen n ann e djatht t regjistrit quhen Duqet (Taps). Kshtuq, fig.14 reprezenton nj gjenerator dy-tap-sh. Ideja themelore e zhvendosjes rivepruese tregjistrit mundet q leht t zgjerohet n m shum se dy tapa.

7.1 Regjistrat e Prgjithsuar me Zhvendosje Rivepruese dhe Variacionet

Regjistrat me zhvendosje rivepruese e kan nj teori t gjer sepse jan prdorur pr disa kohn komunikime dhe kriptografi. Nj variant n gjeneratorin e Tausworthe sht sugjeruar nga

Lewis-i dhe Payne-i (1973), t cilt e quajn gjeneratorin e tyre t modifikuar si gjenerator iprgjithsuar me regjistr me zhvendosje rivepruese (GFSRgeneralized feedback shift register generator ). N metodn GFSR, bitt e sekuencs prej rekurencs (1.39) formojn bitt n njpozit binare t numrave q gjenerohen. Pozita vijuese binare e numrave q gjenerohen sht embushur me t njjtn sekuenc t bitve por me nj vones. Duke e prdorur vargun e bitveprej trinomit 14 ++ x x dhe sekuencn startuese q e kemi prmendur m par, dhe prsriduke formuar fjal 4-bitshe duke vendosur bitt n pozita t fiksuara binare me vones 3ndrmjet pozitave binare, kemi


43/58

43

N t ciln pik sekuenca prsritet. Vreni se rekurenca (1.41)

q pi pii x x x +

ende qndron, ku x-at jan numra t reprezentuar duke interpretuar I-tufat si simbole binare.Lewis-i dhe Payne-i (1973) kan diskutuar metodat e inicializimit t gjeneratorit dhe kandhn programet edhe pr inicializim edhe pr gjenerim. Kirkpatrick-u dhe Stoll-i (1981) kanprezantuar nj mnyr m t shpejt t inicializimit t gjeneratorit dhe kan zhvilluar njprogram, R250, pr ta implementuar nj gjenerator me p = 250 dhe q = 103 (e q sht njR(103, 250)). Ky program prdoret shum nga fizicientt. Rezultatet empirike pr ktgjenerator jan t prziera. Gjeneratori ka performuar mir n testime t raportuara ngaLEcuyer-i (1997) dhe nga Kankaala, Ala-Nissila dhe Vattulainen-i (1993), por testet tjera tbazuara n simulime fizike kan shkaktuar disa probleme. Fushimi (1990) ka studiuar GFSRmetodat n gjenerator dhe ka prshkruar disa GFSR t pjesshm q ka treguar t ketkarakteristika t mira edhe teorike edhe empirike. Nj shtje e pjesshme e studiuar ngaFushimi ka 521= p me 132521 == aa (me nj modifikim t vogl n definimin e rekurzionit si

qi pii x x x 33 . Gjeneratori ka nj period prej 12521 . Gjithashtu ky gjenerator ka

performuar mir n testimet e raportuara nga LEcuyer-i (1997) por jo edhe aq mir n nj testnga Matsumoto dhe Kurita (1994).

7.2 Rrotullimi i Bitave

Matsumoto dhe Kurita (1992, 1994) kan modifikuar GSFR-n n rekurencn (1.41) dukerrotulluar strukturn e bitave n q pi x + . Kjo sht br duke e par x-at si I-vektor t prbrprej 0-rove dhe 1-sheve dhe shumzimin q pi x + nga nj ll matric A. rekurenca pastaj duket

q pi pii Ax x x + (1.43)


44/58


45/58

45

Megjithse mungojn studimet e publikuara pr korrelacionet n nnvargje t gjeneruara ngaleapfroging-u me nj gjenerator GFSR, mund t ekzistojn korrelacione serioze.

8 Burimet Tjera t Numrave t Njtrajtshm t Rastit

Jan zbuluar shum mekanizma pr t gjeneruar numra t rastit. Disa jan variante tthjeshta t gjeneratorit kongruent linear ose t regjistrit me zhvendosje rivepruese, mbase tdizajnuar pr mikrokompjuter ose pr disa mjedise tjera speciale. Kompani t ndryshmeshprndajn gjenerator t numrave t rastit t tyre, ndoshta t bazuar n disa procese fizike.Marsaglia (1995) i prdor disa prej tyre, dhe vlersimi i tij pr kta ka qen se ata nuk kanqen t kualitetit t lart. (Megjithat, ai i ka kombinuar ata me burime tjera dhe ka prodhuarvargje pseudo t rastit t kualitetit t lart). Shifrat n reprezentimet decimale t prafrimeve nnumra transcendent, si -ja ose e-ja, ose numra t thjesht iracional, si2 , shpesh jansugjeruar si vargje t numrave t pavarur diskret t njtrajtshm. Pr nj numr thuhet se shtnormal n baz b nse, n reprezentimin e tij n bazn b, do integjer jonegativ m i vogl se b

paraqitet me frekuenc 1/b dhe do subsekuenc e gjatsis l paraqitet me frekuenclb1 , prndonj l. sht e qart se vetm numrat iracional mund t jen normal. Nj numr q shtnormal n nj baz t dhn mund t mos jet normal n ndonj baz tjetr.

8.1 Gjeneratort e Bazuar n Automate Qelizore

John von Neumann-i e ka paraqitur automatin qelizor si nj mnyr e modelimit t sistemevebiologjike. Nj automat qelizor prbhet nga nj varg i numrueshm i pozitave t fiksuara,secili me nj vler t dhn t zgjedhur prej nj vargu t numrueshm (zakonisht t fundm).N hapat diskrete kohore, vlerat n t gjitha pozitat ndrrohen simultantivisht duke u bazuar nrregulla t thjeshta q prdorin vlerat e pozitave fqinje. Nse vlerat n hapin i-1 jan ,...,,,,,..., )1(2

)1(1

)1(0

)1(1

)1(2

iiiii bbbbb ather rregulla e ndrrimit sht

)1()1()1(1

)1()( ,...,,...,,( +

+

=i

r ji

ji

r ji

r ji

j bbbbb pr disa funksione . Ne mund ta mendojm kt si rrjet t elementeve )(i jb q sht i mbushur duke filluar me rreshtine dhn )1()1(1 ,..., k bb duke prcjellur rregulln ndrruese. Wolfram-i (1994, 2002) ofronprshkrime t gjera t mnyrave t konstruktimit t automatit qelizor dhe diskutime tkarakteristikave t tyre. Wolfram-i (1984) ka sugjeruar nj gjenerator t numrave t rastit duke

prdorur automatin qelizor n t cilin b-ja i merr vlerat 0 dhe 1 dhe

2mod)( )1( 1)1()1(

1)1()1(

1)(

+

+

+++=i

ji

ji

ji

ji

ji

j bbbbbb (1.44)

Kjo sht ekuivalente me rregulln n rrjetn dydimensionale q gjeneron elementin e j-dt nlinjn j prej linjs paraprake duke marrur elementin prej linjs paraprake vetm n t majt telementit t j-dt, nse edhe elementi i j-odt edhe elementi vetm n t djatht t elementit t j-dt jan q t dyt 0; n t kundrtn, duke e marrur elementin e j-odt n linjn j q t jet i


46/58

46

kundrt me at elementin vetm n t majt. Wolfram-i e quan kt rregulla 30. Linja e parn rrjet mund t iniciohet n nj mnyr t rastit por t reprodukueshme (pra pseudo e rastit).Efektet e skajeve n ekuacionin (1.44) mbahen duke ia caktuar 0-ot b-ve. Wolframi prshkruandisa mnyra pr t mapuar nj vektor t bitve n nj integjer dhe pastaj, prej nj integjeri tdhn t karakterizuar nga nj vektor i fundm i bitave, duke prdorur prsritjen (1.44)

gjeneron nj numr t ri. b-jat n ndonj linj, p.sh., mund t jen bitt n reprezentimin binart nj integjeri. Gjeneratori i numrave t rastit i bazuar n rregulln 30 t automatit qelizorsht i gatshm n sistemet software-ike matematikore.

8.2 Gjeneratort e Bazuar n Sistemet Kaotike

Pr shkak se sistemet kaotike shfaqin sjellje t rregullta dhe si duket t paparashikueshme,ekzistojn shum lidhje ndrmjet

Gjenerimi Vargjeve Te Rastit

Documents

Transcript of Gjenerimi Vargjeve Te Rastit