Giuseppe Peano - Opere Scelte Vol. 3

G I U S E P P E P E A N O

O P E R E S C E L T Ea c u r a

d e i r U N I O N E M A T E M A T I C A I T A L I A N A

e col contributo del

CONSIGLIO N A Z IO N A L E B E L L E RIC ERC H E

V O L U M E I I I

G E O M E T R I A E F O N D A M E N T I M E C C A N IC A R A Z IO N A L E - V A R IE

E D I Z I O N I C R E M O N E S E R O M A 1 9 5 9

S o n o r i s e r v a t i t u t t i * d i r i t t i a l l a U n i o n e M a t e m a t i c a I t a l i a n a

G u b b i o -

{c ) 1959 by Edizioni Cremonese, Roma

Soc . T i p o g r a f i c a O D E R I S I , , 1 9 5 9

P R E F A Z I O N E A L V O L . I l i

I lavori di G. P e a n o contenuti nel presente vol. I l i delle Opere scelte sono divisi secondo il programma pubblicato nella PR EFA ZIO N E al vol. I nelle tre categorie: Geometra e fondamenti, Meccanica razionale, Varie.

Poich (secondo detto programma) ci si dovuti limitare alla pubblicazione di note e memorie (salvo alcuni eccezionali brevi estratti di trattati), chi vuole avere unHdea completa dei risultati conseguiti da G. P e a n o nel campo della geometria dovr ricorrere ai trattati, specialmente alle Applicazioni geometriche del 1887 ed al Calcolo geometrico del 1888, sullimportanza dei quali rimando al passo di G. A s c o l i da me riportato neZZ'INTRODUZIONE contenuta nel vol. I .

Cosicch, fr a i lavori geometrici della categoria Geometria e fondamenti, mi limito a citare i lavori giovanili sulla teoria invariantiva delle forme algebriche {2, 3, 4) ed i saggi di calcolo geometrico (30, 90), con alcuni brevi complementi estratti dalle Applicazioni geometriche del 1887 e dalle Lezioni di Analisi infinit. del 1893 e pubblicati sotto il titolo: Alcuni teoremi di Peano sulle curve reali.

Nella stessa categoria di lavori invece compresa la serie pressoch completa dei lavori sui fondamenti delVaritmetica e sui fondamenti della geometria, salvo gli Arithmetices principia nova methodo exposita (16) ed I principii di geometria logicamente esposti (18), entrambi del 1889, gi pubblicati nel vol. I I di queste Opere scelte f r a i lavori di logica matematica per la loro importanza ideografica.

In particolare cito Vestratto del lavoro n. 99 (pubblicato col titolo: I fondamenti delParitmetica nel Formulario del 1898) ed il lavoro n. 105 (Sui numeri irrazionali, 1899) che contengono Vesposizione quasi definitiva dei fondamenti dellfaritmetica neWindirizzo di P e a n o j il lavoro n. 64 (Sui fondamenti della geometria, 1894) che contiene la redazione definitiva dei fondamenti della geometria basata sulle idee primitive di punto, segmento e moto', ed il lavoro n. 98 (Analisi della teoria dei vettori, 1898) che contiene i fondamenti della geometria

VI

basata sulle idee primitive di punto, vettore e prodotto interno di due vettori, teoria che sar poi riprodotta in tutte le edizioni successive del Formulario [a partire da F. 1899).

Fra i lavori di Meccanica razionale cito quelli sul moto del polo (79, 80, 89) e quello sul pendolo di lunghezza variabile (87).

Non mi possibile invece accennare, neppur brevemente, al contenuto dei numerosi lavori raccolti nella categoria denominata Varie, in cui sono compresi lavori storici, critici, didattici e di interesse vario quali, per es., Vapplicazione della numerazione binaria alla stenografia (103), Vimportanza dei simboli in matematica (176), Vesecuzione tipografica delle formule (178), i problemi sul calendario (196), le operazioni sulle grandezze (197), ecc.

Questi lavori provano la grande estensione del campo scientifico coltivato da G. P e a n o secondo la sua massima ; bene non restringere lo studio alla sola matematica perch tutta la scienza bella se la si studia per se stessa e non allo scopo di esami o di lucro .

Essi provano inoltre che, anche negli scritti minori come per es. nelle recensioni che per lui sono quasi sempre occasione di esporre idee originali e complementi vari suggeriti dal libro recensito , egli lascia sempre secondo le parole di B . S e g r e (1955) Vimpronta del suo spirito logico e del suo ingegno lucido ed originale .

I l volume termina con le fra s i conclusive deWopuscolo n. 203 (Giochi di aritmetica e problemi interessanti, 1924), che sono come la sintesi delle concezioni di G. P ean o suWinsegriamento della matematica esposte nel lavoro n. 143 (Sui fondamenti dellanalisi, 1910) pure contenuto in questo volume.

Le annotazioni da me premesse alla maggioranza dei lavori e le note a pi di pagina (tutte munite della sigla IL C.) sono sempre redatte secondo le norme indicate nell*AVVERTENZA pubblicata nel vol. I.

Ho pensato opportuno di corredare il volume di una breve aggiunta alla BIBLIOGRAFIA (Sulla vita e sulle opere di G. Peano) e di un elenco in ordine cronologico dei titoli dei lavori pubblicati nelle Opere scelte , con ^indicazione del volume in cui si trovano e della pagina iniziale.

Cos, a due anni e quattro mesi dal conferimento delVincarico di curare Vedizione dei tre volumi delle Opere scelte di G. P e a n o (13 gennaio 1957), ho il piacere di terminare Vopera affidatami.

VII

Ci stato possibile per il continuo interessamento della presidenza dell*Unione Matematica Italiana e della casa editrice Cr e m o n e s e .

A d esse rinnovo il mio p i vivo ringraziamento, come alla mia assisteite D r. F u lv ia S k o f che ha continuato a coadiuvarmi efficace- mente nella correzione delle bozze di stampa.

Coneluso il compito affidatomi, mi sia permesso di formulare Vaugurio che le presenti Opere scelte siano completate con la pubblicazione se won di tutte le opere del P e a n o almeno del F orm u lar io m atliem atico .

Sul valore e Vimportanza di tale opera ho scritto ampiamente in due lavori del 1955, citati nella B i b l i o g r a f i a pubblicata nel vol. I ; qui mi limiter a riportare il seguente giudizio conclusivo del matematico polacco E . S ta m m (1933) : unopera classica nella letteratura matematica di ogni secolo, di valore inestimabile per gli studiosi di matematica .

Milano, maggio 1959

U go Ca s s i n a

yGEOMETRIA E FONDAMENTI

(2). UN TEOREMA SULLE FORME MULTIPLE(Atti della Reale Accad. delle Scienze di Torino, Vol. X V H , A . 1881, pp. 73-79)

I lavori n. 2, 3 e 4, collegati fra di loro e che sono fra i primi scritti di G. P e a n o allora 23-enne, riguardano la teoria delle forme algebriche.

Essi si collegano a precedenti ricerche d i A. C l e b s c h , di A. C a p e l l i e di E. D O v i d i o .

Da notare, nel lavoro n. 3 (del 1881), il primo uso sistematico, da parte d i G. P e a n o , del principio di induzione matematica per la dimostrazione dei suoi teoremi sulle formazioni invariantive delle corrispondenze algebriche. U. C.

Dir form a multipla una funzione omogenea rispetto a pi serie di variabili in numero qualunque. Formazione invariantiva di pi forme multiple una funzione F intera, omogenea, dei coefficienti di queste forme, e delle variabili, tale che se si fanno in tu tte le variabili sostituzioni lineari indipendenti, ovvero non, fra loro, la funzione analoga alla F, calcolata sulle forme trasformate sia eguale alla trasformata di F moltiplicata per una funzione dei parametri delle sostituzioni. Caso particolare delle forme multiple sono le forme binarie doppie, che, poste eguali a zero, rappresentano corrispondenze fra gli elementi di due forme di prima specie. Finora poco fatto intorno alle formazioni invariantive sia delle corrispondenze, supposte le variabili assoggettate a sostituzioni indipendenti, che delle forme multiple pi generali ; anzi fu messa in dubbio resistenza, per le corrispondenze, di un sistema finito di formazioni invariantive, in funzione razionale intera delle quali si possa esprimere ogni forma invariantiva (1). Io mi propongo di dimostrare l esistenza di questo sistema per le forme binarie doppie (corrispondenze), e per alcune altre forme multiple comprese nellenunciato del seguente

T E O R E M A : .

Suppongasi esistere nelle forme multiple date

(*) A. C a p e l l i , Sulla corrispondenza (2 ,2). Giornale di Matematiche, 1879, pag. 70.

4 Giu s e p p e p e a n o

una serie di variabili binarie x i e assoggettate a sostituzioni indipendenti da quelle a cui si assoggettano le altre variabili j si ordinino le forme date rispetto alle x :

f fo %i + m fi xT*1 x2 + g = Po x + n g x l~ 1 x2 + .. . .

dove lefo t A > - So > Si ! ( 2)

sono forme non contenenti le x } ma che possono contenere le altre variabili. Se le forme (2) ammettono un sistema finito di forme in variantive fondamentali, esiste pure tale sistema per le forme date .

Divider la dimostrazione in tre parti :

a] Sia F una forma invariantiva del sistema dato (1) j la si ordini rispetto alla a?, e sia :

F = Fo'tff + p Fi tcf~l x,, + . . .le forme F 0 , F i , . . . sono formazioni invariantive del sistema (2). Infatti, mantenendo fsse le x , si facciano nelle altre variabili tra sformazioni qualunque, e si rappresentino colle stesse lettere accentate le trasformate delle funzioni precedenti j sar :

f ' f o %T ~b m f i T 1 #2 + * * 0 ' ff 0i X i -1 x 2 H

F ' = F i x ? + p Fi x ? - 1 afa + . . . J e si calcoli sulle trasformate la forma analoga di F } e sia :

F" = n , x ? + p F [ x r 1x2 + . . . y essendo F una forma invariantiva, sar identicamente F " = h F ', dove h funzione dei parametri delle sostituzioni eseguite, ed eguagliando in questa identit i successivi coefficienti di #2, si avr:

Fi' = ftFJ, F i' = f t F . . . , il che prova appunto che F 0 , Fiy . . . sono formazioni invariantive del sistema (2).

Si suppose nellenunciato del teorema che il sistema (2) ammetta un numero finito di forme fondamentali, e siano esse

J ^2 i 4 > (3)le F 0 , F j , . . . sono funzioni razionali intere delle (3), ossia ogni formazione invariantiva del sistema (1) funzione razionale intera delle a? e di un numero finito di funzioni (3) non contenenti le x .

UN TEOREMA SULLE FORME MULTIPLE 5

b] Si pu trovare un sistema finito di forme invariantive del sistema (1), tale che in funzione razionale intera (lineare) dei coefficienti nelle x di esse si possano esprimere le P. Infatti pon

gasi A co = -- ( - ^ y i -f- y2 ) , dove co una funzione di gradoq \ o x i o %2

g in a?, e le sono variabili cogredienti colle x ; pongasi inoltre A% co = A (A a>), ecc. Si calcoli la funzione analoga alla P sul seguente sistema :

f , A f , A * f , . . . A f 9, d g , A *g , . . . An g

s i o tterr u n a form a in v a r ia n t iv a Q , c o n te n e n te x , y, e l e var iab il i c h e com parivan o in P, e la si potr ordinare seco n d o le p o te n z e del d eterm in a n te (#y) ( C l e b s c h , B in a r e n F o rm en , 7), e s i a vr :

Q = + [xy) + (xy)2 Ai~2x + . ,dove q il grado a cui Q contiene y , e le , . . . forme invariantive contenenti x e non y :

(p

6 GIUSEPPE PEANO

fsse tu tte le altre variabili, si faccia nelle x la seguente trasformazione :

x i = yi -|- z i X 8 , x2 = y% X 4 -|- X2 , dove X 4 , X 2 sono le nuove variabili y i} y ^ t z2 i coefficienti della trasformazione di modulo (yz) j indicando con un accento la trasformata d una forma, e posto, per comodit di scrittura : F = F, si avr :(p '= (p {yi Xi -(- 2i X2, /2 Xi -(- 2:2 ^ 2) = y X f -f- [j,(py cpzX f 1X2+ . . . I

/ V 'V7'V I V--1 '17' V1 TT I fv> = v/jXi + yv'y V*x i X 2 + - (d).

F '= P y X /> + i)F yp 1 F*Xf-1X2+ .. . )Siano poi . . . nellespressione (6), ed eguagliamo i coefficienti di X f in ambo i membri :

(z)*F*=F0[(z)>, (yxfq^~1 r V ]Si ordini il membro di destra secondo le potenze del determi

nante {yz) che vi comparisce esplicitamente j i coefficienti saranno funzioni di

UN TEOREMA SULLE FORME MULTIPLE 7

Ora le forme binarie , . . . in numero finito, ammettono un nnmero finito di forme invariantive fondamentali (teorema di Gordan), e siano esse

- . . . (5)in funzione intera delle quali si potr esprimere F j onde ogni formazione invariantiva del sistema (1) funzione intera razionale di un sistema finito di forme invariantive .

Cos dimostrato il teorema, passo ad esaminare i pi importanti sistemi di forme multiple contenuti nellenunciato del medesimo.

Un sistema di forme binarie doppie, o corrispondenze, ammette per forme (2) forme binarie semplici, che soddisfanno alle condizioni del teorema ; dunque :

finito il sistema di forme invariantive di quante si vogliano forme binarie doppie o corrispondenze .

Abbiasi un sistema di forme binarie triple ; le forme (2) saranno forme binarie doppie, e per ci che si or ora dimostrato, esse soddisfanno alle condizioni del teorema ; e cos continuando si :

T e o r e m a . Ogni sistema di forme binarie multiple contenenti quante si vogliano coppie di variabili indipendenti ammette un numero finito di formazioni invariantive fondamentali .

Anche alla forma / = & ? (o ad un sistema di tali forme) dove le x sono variabili binarie e le w ternarie o quaternarie (coordinate di rette nel piano, o di piani nello spazio) applicabile il teorema. Si osservi che / = 0 individua la rappresentazione para- metrica dei punti d una curva razionale dordine m piana o sghemba ; e le formazioni invariantive di / tu tti gli enti geometrici collegati proiettivamente colla curva, o con punti della curva. Ecc., ecc.

La dimostrazione del teorema ci offre anche una regola pel calcolo delle forme invariantive ; invero, date le forme (1), se ne calcolino successivamente i sistemi (2), (3), (4) e (5); nel sistema (5) sono tu tte comprese le forme fondamentali cercate. Ma non tu tte le forme (5) sono fondamentali, ed il numero troppo grande di forme(5) sovrabbondanti fa s che questo non sia in generale il metodo migliore pel calcolo delle formazioni invariantive.

(3). FORMAZIONI INVARIANTIVE DELLE CORRISPONDENZE

(Giornale di Matematiche (di Batta gli Ni), Vol. X X , A . 1881, pp. 70-100)

Dicesi forma binaria doppia (w, fx) una funzione intera omogenea di due coppie di variabili x , x2 e , 2 contenente le prime al grado m , le seconde al grado p :

f = S ----- ----------------^T T -7-, a (-J %ij (m i) \% I {fi j ) ! j ! v 1 2 1 2

o simbolicamente f = a> a . Se le variabili {xi a?s) (t 2) sono le coordinate di due forme geometriche di prima specie, / 0 individua fra gli elementi di esse una corrispondenza {m , /*).

Supporr le due coppie di variabili assoggettate a trasformazioni lineari indipendenti fra loro ; gi dimostrai esistere un numero finito di forme invariantive fondamentali, e dalla dimostrazione dedussi un procedimento per trovarle (4).

Io mi propongo ora di calcolare il sistema completo per una o pi corrispondenze (1, 1), per la (2, 1) e finalmente per la (2, 2).

Ma in questa ricerca converr sostituire al procedimento gi noto un altro pi utile e simmetrico.

Doppio scorrimento.

Abbiansi due forme binarie doppie / = a a , g = 6* f i l . Intendo per doppio scorrimento (/t, k) della prima sulla seconda l espressione :

[ab)h (oc,1*)* a^~h b*~h a * fijr* e lo rappresenter col simbolo (fg)h,k

(4) XJn teorema sulle forme multiple. Atti della R. Accademia delle Scienze di Torino, 27 Nov. 1881.

FORMAZIONI INVARIANTIVE DELLE CORRISPONDENZE 9

evidente che questo doppio scorrimento una forma invariantiva delle due forme date, e viceversa ogni forma invariantiva di due forme doppie contenente a primo grado sia i coefficienti della prima che quelli della seconda uno scorrimento doppio delle due forme. Lo scorrimento (0,0) il prodotto delle due forme ; lo scorrimento (kj 0) lo scorrimento semplice imo delle due forme considerate come binarie semplici funzioni della sola x j facile poi a vedersi che

{fg)h,k = ( 1)*+* ( f f /k t La forma g pu essere identica alla / , e fra gli scorrimenti

d una forma su s stessa non sono a considerarsi che quelli in cui h + le pari, gli altri essendo identicamente nulli.

T e o r e m a . Ogni forma invarian tiva . di forme date, contenente ai grado h i coefficienti di una di esse / = a a , si pu decomporre nella somma di pi forme invariantive, ciascuna delle quali si ottiene facendo un doppio scorrimento di / su forme invariantive contenenti i coefficienti di / al grado h 1 .

Infatti si immagini la formazione invariantiva F calcolata sotto forma simbolica ; entreranno, in F, h simboli doppi equivalenti di / ; sia uno di questi a a . Sostituisco in questa espressione simbolica ad a 4, a2, otj, a2 rispettivamente y2, y r2, essendo le y variabili cogredienti colle #, le rj cogredienti colle , avr una forma F ' invariantiva, contenente i coefficienti di / al grado h 1 (il grado nei coefficienti delle altre forme rimanendo inalterato), contenente le variabili e f agli stessi gradi di F, e le variabili y ed v\ ai gradi m e fi* F ' contenendo le due variabili cogredienti (xr y), si potr ordinare secondo le potenze ascendenti del determinante (xy) (C le b s c h , Binaren Formen 7), e si avr :

F ' = Dm

10 GIUSEPPE PEANO

doye

Geometricamente p o i / = 0 rappresenta una corrispondenza (1 ,1), ossia una collineazione fra due forme di prima specie ed A ne il modulo.

Abbiansi due forme bilineari / , = ax a$ = ax = . . . ,f i = A bx fit = .

La teoria precedente ci offre gi due invarianti

a u = (aa') (') A22 = m (/*/?'), e gli scorrimenti di / 4 su f 2 dnno :

( /1/ 2)01 = (/?) = D j ( fi / 2)10 = (a )^ af fa =( /1/ A i = W ( = A 12,

e vedremo che le sette forme

f i /2 - -^ii -^ -12 -^22 D e idcostituiscono il sistema completo ; prima converr studiare alcune propriet di queste forme.

Facciasi lo scorrimento di D su / 2 :

2 (D /2)10 = (db') bxfa (ap) + a* (bb') fa (ap)= (ab)(ccp)b^fa + 2az(b b ')p ^P )

. = A + ax(bb') ((a/?) fa - (a/T) fa ) ^ 12/2 ^ 22/1

Analogamente

2 (^ /2)01 = ^ 12/2 ^ 22/12 (D /^jq = 2 = A h / 2 A 2/ j .

F ra le sette forme precedenti passa una relazione identica, che potremo trovare nel seguente modo:

D J = axbx (&p) (a'V) a*sfa = axbx (a'b') j (ppf) a* + (a0') fa ) a*= - / , * W ) (*'&') M f + / 2

12 GIUSEPPE PEANO

e finalmente

2DA = A ttf * - a A itf lf t + An f* .Conosciamo gi i significati geometrici di / , = 0 , / 2 = 0, A = 0,

A Z2 = 0, le quali formazioni contengono i coefficienti d una sola forma. D = (a/?) axbx il risultato delUel imi nazione delle | fra / , = 0 ed / 2 = 0 j quindi D = 0 rappresenta due elementi x i cui corrispondenti in f i ed / 2 coincidono j e questi elementi saranno le radici di A = 0 .

Ad un elemento corrisponda in un elemento x , in / 2 un elemento y ; si avr axa$ = 0, byfe 0, ed eliminando le , si trova la relazione fra x ed y 1

Dy = {fi f})01 ( )^.. n(n 1) in numero di ---- -,

^1 2 t f dij ( f i f j io (3)

pure in numero di - D


in numero di

A = (aa') (ota'),. . . , A = ( //)u .

A 12 = (ab) (a/?) , A ij = (/< /,) . i(n + 1)

(4)

Facciansi ora gli scorrimenti delle D sulle / j si avr :Djg = {&fi) Mzbz j f s == j

2 (D 12/3)l0 = M (aC) hx n + (* f t (&C) ax Yt .Si consideri daltra parte questa forma invariantiva

123 = ( e scambiando le lettere latine colle greche :

2 (^12/ 3)01 = 1^23 -^13 / 2 ^23/ i 5

(6)

(7)quindi si conchiude che gli scorrimenti delle / sulle D e sulle A in-

n (n 1) (n 2)troducono le forme 9 .1 . 2 . 3

Formiamo ora gli scorrimenti delle 9 sulle / :

V ic t7i

ftla2

W .

i?i

(2S ) fJo i ai al bi fi

e%Vi

a2a2

C2?2~x^(d^^ x ^ JPj-(~d'^^x^ x ^ [ d ^ ~ I-

a^ oCj ftjOtjj a^ cc^ ttgOt* I 0 J* 0 a*a2 (ad) (a

14 GIUSEPPE PEANO

Analogamente

(^ 128 > /JlO = ^12 ^34 ^23 ^14 + ^3t ^24Si in seguito

(9)

(0128 >/4)11 Cl'^OC^ djOCgM i ...........................

c Y ..............................................

* M i ...........................

= (a c )(6 ^ ( /5 )(y i)-(a 6 )(c )( y )O T = B M (10)

e questi invarianti sono in numero din (n 1) (n 2) (n 3)

TiCosi si un sistema di forme / , D , A , A , 9 , E tale che ogni

scorrimento di una / su una qualunque di queste d luogo a forme dello stesso sistema : e vedremo ben presto che esse costituiscono il sistema completo.

Fra le forme precedenti passano numerose relazioni :

Dijfh + Djhfi + D /; 0 (11)identit che si ricava dalla (ab) cx + (bc) ax -J- (c&) bx = 0 moltiplicando per oiPsYs analogamente

Aij fu + Ajh f i + Am f j 0 DDftik -f- j- DftiDjifc = 0Aij Ahk + A^ -f* AfiiAjk = .

(12)(13)(14)

Il prodotto di due invarianti R si pu eseguire colla moltiplicazione dei determinanti, e si avrebbe :

R 1234 ^5078 L15

L25

3^5

ki6 L17 Li8 (15)

Analogamente

1^ 1234 * 5^87 ^15 ^lfl a 7 / .^25 ^26 a 27 A^35 ^36 ^37 /3

A45 a 46 a 47 /4

(16)


1^23 4^56 ^14 ^16 -^16 f i ' (17)

Sono poi facili a riscontrarsi le seguenti identit

2 D 12*Zl34 A 13/ g / 4 A 14/ 2/ g ^ 2 3 / l / 4 + ^ 2 4 / l / 3 h/20134 /l0234 (*8)

Possiamo ora dimostrare clie ogni forma invariantiva delle n forme bilineari date una funzione razionale intera delle / , D, A,9, R. Supponiamo invero dimostrata la proposizione per tu tte le formazioni invariantive contenenti i coefficienti delle singole forme a gradi non maggiori di certi numeri dati ; dimostrer la proposizione anche per le formazioni invariantive in cui si aumenti di un unit il grado nei coefficienti di una forma qualunque j siccome la proposizione evidente per le forme di gradi p. e. 1, 0, 0 ,... essa risulter dimostrata in generale.

In v irt dellipotesi fatta, una forma invariantiva i cui gradi non superano certi numeri dati la somma di pi termini del tipo : c n f tzD jiA * n9 ti A * tzR, dove o una costante, n f il prodotto di tan ti fattori / , ecc.j e per ottenere le formazioni contenenti i coefficienti di f i ad un grado maggiore dununit baster fare tu tti gli scorrimenti di f i sul prodotto precedente. Potr supporre che in questo prodotto manchino gli invarianti A ed E , perch, essi riproducendosi inalterati nello scorrimento, daranno luogo a forme decomponibili. Potr supporre che nello stesso prodotto manchino o le Do le A, perch al prodotto A D&* si pu sostituire l espressione (18) ; potr supporre manchino le / e le 0, perch altrimenti una parte dello scorrimento sarebbe il prodotto dello scorrimento della / su una / 0 0 qualunque per gli altri fattori inalterati, risultati questi tu tti noti ) ed in virt delle supposizioni precedenti, il prodotto su cui si deve fare lo scorrimento un prodotto delle sole D o delle sole A ) nel primo caso, essendo la funzione su cui si deve fare lo

f i 234 f% 1^34 + / 3 1^24 /4 1^23 (19)

^16 ^2345

^16^ 2345

= 0 (22) = 0 (23)

ecc. ecc.

16 GIUSEPPE PEAN

scorrimento di f i funzione della sola a, Punico scorrimento a farsi 10 (1, 0), ed esso si decomporr in pi termini ciascuno dei quali 11 prodotto dello scorrimento (1, 0) di f i su una delle D per gli altri fattori, risultati questi perfettamente noti ; analogamente nel secondo caso.

Quindi conchiudendo il sistema completo di forme invariantive delle forme date consta :

1. delle n forme date f i ,2. delle n forme D{J, ( i j essendo una combinazione sem-

2tplice binaria dei numeri 1, 2,. . . w),

3. delle - forme A ^ ( i j combinazione semplice binaria di 1, 2, '

4. degli ^ invarianti A y ( i j essendo una combinazione2

completa binaria di 1, 2,... w),5. delle ----- forme 0y* (ijfc combinazione ternaria

di 1, 2, . . . ,n ) ,6. degli ^ ^ ----- invarianti R^b (ij Je l combina-

zione quaternaria di 1, 2,... n).Ed i loro significati geometrici sono :

f i = 0 rappresenta una collineazione fra due forme di prima specie, D# = 0 rappresenta i due punti x ai quali corrisponde uno stesso

punto | in f i = 0 ed f j = 0, l = D (3)(ff)n = (ab) (a/5) ax f (tt = 1 ,?2{ = 0 (4)( /f f c = (abf (affi = A . (5)

Facciansi gli scorrimenti di / eu D ,. J , 0 , e si avranno le forme di terzo grado :

(/0)io = (at) ax tx 4 4 = mi /4 (6)(M oi = (>) f al il = nx 4 (7)(fd )n = (at)(a&)ax tx as &s = p l 4 (8)( / 0)20 = (

m-ic= (tt'f $1 # { = *4 (1?)(00)1 I = J - B / (20)(06)22 = ( t t ' f ( W f = C (21)(dA)m = { A )tld s 4 = 2 r lel (22)(0J)o2 = . . . = - i - l / - - i - A 0 (23)

(0D)1O = 2 4 Of (24) (er)20 = B / (25)

22 GIUSEPPE PEANO

Quindi le forme invarianti ve di quarto grado sono cinque r. s, E, E, C.

Potremo esprimere in funzione delle forme note altri, scorrimenti che dnno luogo a forme di quarto grado j si avr, eseguiti i calcoli :(fp)i0 = r y (./01 = * (26> (2 )( / i 20= - E , (fP \2 = ~ \ v (28) (29)

( / i ) , i = - r A 0 + j j E/ (3 )

( / i >)21 = 0 identicamente, ( fp ) l8 = 0 , (31) (32)( M * = 0 (33)

(DD)20 = - - AD + E , ( J J )0? = - - A J + E (34) (35)

(DD)40 = - | - A * - 2 C , ( Jd )01 = - | - A * - 2O (36) (37) ecc.

Fra le^ forme precedenti passano alcune identit, che converr stabilire. Si trovato m = (/0)1O = (/^o (formolo 6 e 15) : quindi m si pu in doppio modo considerare come un Jacobiano, ed avremo due espressioni pel suo quadrato :

2 = - 4 - K /A o e* - 2 ( / e t s o / e + W s o / 2] = E/ 2

2 = Y [ ( / / W ^ 2 - 2 (/z f)2/ d + ( ^ ) 02/ 2]

. = - y - 2, ) - - ( y A * + * )/*


e paragonando queste due espressioni, dopo aver diviso per A , si trova lidentit :

T>A = 02 + A/ 2 4 p / , . (38)e con questa :

2w2 = J0 2 + E/ 2 , 2n2 = D03 + E / 2. (39) (40)U naltra identit si ricava da quella che esprime il prodotto

degli scorrimenti (01) e (10) di due forme bilineari, moltiplicandola per simboli in modo da renderla applicabile a forme di gradi qualunque. Si in generale

2 (/irto, {fg)i o = ( f f )n g* 2 {fg)fg + (gg)Hf 2 , e posto, invece di g, 0, si avr :

- 2 = ( / A i 02 - 2 ( /0)H/ 0 + W t i / 2 ,ossia :

2ffl = 03 2/0p + - - B / 3 . (41)O

Questa identit per contenuta nelle precedenti ; e si pu ricavare dalle (39) e (40) moltiplicandole ed avendo riguardo alla identit (38); si trover il quadrato della (41); quindi essa contenuta nelle precedenti irrazionalmente.

Le forme di 5 grado si otterranno facendo gli scorrimenti di / sulle forme del quarto grado :

r ~ ifp ) io = ~2 ~ (OA)0i , $ = (fp)oi y (0D)1O ,

E = (00)O2 = - 2 {fp) , E = (00)2O = - 2 (fp)20e sul prodotto VA ; ma a causa dellidentit (38) questi ultimi scorrimenti si possono tralasciare, e negli altri ci compariranno i simboli di p ; onde essi si possono ottenere facendo gli scorrimenti di p sulle forme di 2 grado 0, D, A ; e si avr :

(p 6)i = qx xs , (p 9)n = >4 (42) e (43)

(p6)m = {at)(a& ( 0 ( > s # # '!= l (atXat'Xtt'iaitdiKadjf (#')#{]

= - \ 1 (44)

(i>0).i = X c/ + - B0 (46)

{p9)ti = 0 , {pQ)w = 0 (47) (48)

^ AB )i0 = A fc (50) (51)

(2>^ )o2= M (* ^ )( 4)(^)M a^I=(*)( 'J)2(^^)M i^f^{{at)(xA)(A)aJzaiAe'!2

ora (a^)2 al A] = A / 2 p , e quindi il primo termine, clie lo scorrimento (1,1) di 6 su questa espressione varr 2 (p0)i t

y A (/0),, = Y C / + ~ B0 y Ap ; analogamente (# J )2 4 4 =

-i- B / ---- A0 ; ed il secondo termine varr

y B ( / A l + y A(0/)l l = - y B0 + y Ap ,

e sostituendo :

(2>A2= 4 c / - 4 B 0 _ y A^ e ( ^D)2O==Y c / _ T B e - T A^- (52) (53)Quindi le forme fondamentali di quinto grado sono due :

9 = ( i > % > * = 20 = (pt)(ap)(at) 4 n\ &2e = (0/-)2o = - (i)2o = T | ; . (56)

analogamente

( / * ) * = ( 0 * ) u = - ( P * ) 0, = t i - . (57)(fq )o -decomponibile, essendo q un Jacobiano; (fq)n un

termine {pt) (pa) ta ax {noi) n{t a f , il quale parte dello scorrimento (1 , 0) di 9 su {pa) {noe) p x ax n$ a$ , il quale decomponibile ; {fq)02 una parte dello scorrimento che (p t)px tx ax n\ (a#)2 , il qualecontiene il fattore effettivo B, e quindi decomponibile j. (/#)12

2 2una parte dello scorrimento che : {pt){pa) ax txn^ (a # ) , che ammette

24 GIUSEPPE PEANO


il fattore effettivo B ; lo stesso fattore ammette una parte dello scorrimento (fq)zz ; e lo scorrimento (2, 1) di / su q una sua parte che si pu considerare come scorrimento (2,0) di 0 su { p a ^ ^ p ^ n ^ , risultato anche questo decomponibile. ,

Scambiando le lettere latine colle greche, si deduce che tu tti gli altri scorrimenti di / su le non dnno forme nuove ; quindi le forme di sesto grado sono due :

T{ = (ap)(at)(pt) al jrf e ' T* = (a7i)(a)(n) a lp i tl Potremo quindi esprimere in funzione delle forme trovate altri

scorrimenti che dnno luogo a forme invariantive di grado non superiore al sesto ; e si avr :

(M o = -j- 2 + ^ -B /0 A02 C /2 . (64)OIn modo analogo si potrebbe ottenere unaltra identit parago

nando i due sviluppi del quadrato di q ; ma pi semplicemente assumasi per un momento per forma data 0, e si rappresentino colle stesse lettere accentuate le forme invariantive calcolate in questa ipotesi ; si avr

f ' = 6 , fl' = | B / , , D ' = E , J ' = E , A ' = C ,e sostituendo nella (38) :

EE = - i -B 2/ 2 H-O02 (65) y Le forme finora trovate / , D, A , 0, A, w, fi, p, B, r, s, E, E,

C, 2, k , T, T costituiscono il sistema completo di forme invariantive.

26 GIUSEPPE PEANO

Suppongasi iuvero dimostrato che tu tte le forme invariantive i cui gradi nei coefficienti non superino un numero dato N siano funzioni intere delle forme precedenti j dimostrer che questa proposizione sussiste anche per le forme di grado N -{- 1 . Invero per ottenere le forme di grado N + 1 bisogner fare i successivi scorrimenti di f sulle forme di grado N, che per ipotesi sono prodotti di potenze delle forme precedenti j ma questi prodotti dnno risultati decomponibili, e quindi noti, se vi compaiono come fattori o invarianti A B C, o forme invariantive i cui gradi rispetto ambe le variabili non siano minori dei gradi di / ; quindi non vi potranno comparire / , 0, j), m, r, q n , s, le $ e dovremo limitarci a fare gli scorrimenti di / su prodotti di D, A, E, E, T, T, e precisamente sui prodotti di una delle D, E, T ed una delle A, E, T, ossia DA, DE, ZIE, EE, DT, JT , ET, ET, T T ; e a causa delle identit (38) e (65) sar inutile il fare gli scorrimenti su DA e su EE.

(fT)io decomponibile essendo T = ---- ^-(DE)10.2i( / T)20 una sua parte che ax {htf p i {a.){ocn)(nd') e quindi,

contenendo il fattore (btf contiene il ftittore effettivo B, ed decomponibile.

Analogamente saranno decomponibili ( / T )01 ed ( /T ) 08.Lo scorrim ento. (/, T x T)y si otterr facendo lo scorrimento

(i 0) di / su T, e poi lo scorrimento (0 j) di T su questo j ma il primo scorrimento essendo decomponibile, lo sar pure il secondo j per la stessa ragione dnno risultati decomponibili gli scorrimenti di / su T J , TE, TD, TE.

Rimangono a farsi gli scorrimenti (1,1), (1,2), (2,1), (2,2), di / su DE e su A'E.

(/, DE)lt si pu ottenere facendo lo scorrimento (10) di / s u D , e si trova n = ( /D )10 = ( /0 )O1 e poi lo scorrimento (01) di questa espressione su E,* ma il risultato sar decomponibile essendo n un Jacobiano.

(/, D E)12 si ottiene facendo lo scorrimento (02) di / su E, e si trova una forma di quinto grado esprimibile in funzione delle note, e quindi del tipo

b Ap + j u m + (vC + qA * )fessendo X} fi, v, g coefficienti numerici, e poi lo scorrimento (10) di D su questa espressione j il risultato evidentemente decomponibile ; per la stessa ragione decomponibile (/, DE)22.


Finalmente pure decomponibile (/, DE)2j , perch basta fare questo scorrimento nella identit (64) per averlo espresso in funzione di forme note.

Scambiando le lettere latine colle greche, si trova che gli scorrimenti di / sul prodotto zi E non dnno forme nuove.

Potremo quindi conchiudere la trattazione precedente col dire che una corrispondenza (2,2) ammette 18 forme invariantive fondamentali, cio :

1 Tre corrispondenze (2,2): la data / , B i> = ( /0 )n .2 Tre invarianti : A = { f f )22, B = (/0 )22, C = (00)22 = (fp)22.3 Tre corrispondenze (2,4): m = (/9 )10, r ~ ( f p ) i0, = (j?0)lo4 Tre corrispondenze (4,2) : n = ( / 0)o, , 8 (f p )0l, k = (p9)0 i.5 Tre funzioni contenenti la sola x :

D = ( / / ) 02 , E = (00)O2

6 Tre funzioni contenenti la sola :

J = ( / / ) 20 , E = (00)2O

T = - y ( D E ) 10.

= - f ( ^ E ) 0 l.

Fra queste 18 forme invariantive passano numerose relazioni j gi vedemmo le identit (38), (64), (65), che esprimono in funzione di / , 0, p le quantit T>A, DE + E J , EE ; altre se ne possono trovare osservando che / , 0, p sono tre forme quadratiche nelle x , di cui conosciamo tu tte le forme invariantive :

(/&)io = m . ( f f l io = r 1 (BPho = 2 s (ffh o = A t(00)JO = E , (J)J))20 = (AE + CA)

(M io = 0 , (fpho = - y E , m 0 = - L BA ;

e l invariante simultaneo delle tre forme quadratiche T j quindi si possono applicare ad esse tu tte le identit che si trovano nel C le b sc h , Binar en Formen 58, ed esprimere in funzione di A, E, / , 0, p i prodotti mm , mr, mq, rr, rq, qq, mri \ rT f qrl\ T* (forinole (3), (4), (5) del trattato) j la prima lidentit (39) j lultima sarebbe :

J 0 - i - E

2 T 2 = E

E - - B A

-=-BA

- ^ ( A E + C A)

(66)

28 GIUSEPPE PEANO

e le formule (7) e (9) del trattato dnno :

/ 2 ^ * (67)

A

0 E

0 /

0= 0 . (68 )

_ 4 ' e 1~b a - 4 -(a b + c j ) pf o p o

Inoltre quella teoria ci fornisce metodi semplici per esprimere in funzione delle forme note gli scorrimenti delle fo rm e/, 0, p , i, r , q considerate come funzioni della sola a?; fra questi ne ricorder uno solo :

Scambiando le lettere latine colle greche si troverebbero a ltre ttante identit.

A ltre si possono ottenere ricordando l identit (18) per le forme bilineari.

Queste ci permettono di esprimere in funzione d i f $ p e degli invarianti i prodotti mn, ms, mie, ni, rs, rie, qn, qs, qk. Una di queste Pidentit (41).

A ltre identit poi si possono ottenere eseguendo sopra ambi i membri di una identit qualunque uno stesso scorrimento di una forma.

Ma la ricerca particolareggiata di queste identit, lo studio delle importanti propriet analitiche e geometriche della corrispondenza (2,2), che derivano da ciascuna delle formule ed identit precedenti, la sua costruzione, ecc. mi porterebbero fuori dei limiti che mi sono prefissi ; mi limiter solo ad accennare alle propriet geometriche di ognuna delle 18 forme trovate.

/ = a? a | = 0 individua una corrispondenza (2, 2). Considero due punti ed , " a cui . corrispondono in / = 0 le coppie a j .= 0 , a = e coPPia armonica con amendue sar :

(mr) (mq) (rq) p* e* = - - T 2 . (69)

{ab) ax bx *\ 0* = - i - {ab) (afi) ax bx (a{ fin + a , fi() (fi?);


ossia potremo assumere per equazione della coppia

(a)) (a $ f a Pv + S Pi) 0 ?

e facendo tendere j? verso | , questequazione si trasforma in | = 0, ossia 0 = 0 fa corrispondere ad ogni punto | quei due punti x clie dividono armonicamente la coppia corrispondente a in / , e la coppia corrispondente in / al punto infinitamente prossimo di .

% ay 0L\ = ^ice C^ e x e

30 GIUSEPPE PEAN

invece dalla trattazione precedente che il denominatore sempre riduttibile all'unit, ossia quella forma funzione intera degli invarianti, e di D, E, T.

Converr, per rendere del tu tto soddisfacente ci che precede, far vedere che nessuna delle 18 forme invariantive esprimibile in funzione di altre, ossia che esse sono fra loro irriduttibili, bench non si abbia l abitudine di farlo.

Nel nostro caso la dimostrazione molto semplice : facile il vedere, con esempi particolari che nessuna delle 18 forme identicamente nulla. Ci premesso, gli invarianti A, B, C sono fra loro irreduttibili (anzi fra loro non passa relazione di sorta), perch possiamo attribuire loro quei valori che pi ci piacciono.

/ , 0, p, ove non fossero tu tte fondamentali, una di esse si potrebbe esprimere in funzione lineare delle altre due ; e se ci avviene, considerando / , 0, p come forme contenenti la sola x , dovr essere nullo il loro invariante simultaneo, che T ; e siccome T in generale non identicamente nullo, / , 0, p sono irreduttibili fra loro, e quindi anche colle altre forme.

Se m, r , q non fossero fondamentali, una di esse dovrebbe esprimersi linearmente in funzione delle altre due, e quindi dovr essere nullo il loro invariante, considerandole come funzione della sola a?, iJ

che non avviene, perch questo invariante v a l e -----^ T 4 (formula 69).L

In modo analogo sono fondamentali le forme , s, Jc.D irreduttibile con altre forme, e quindi fondamentale; E,

ove non fosse fondamentale, non potrebbe valere che D moltiplicato per un invariante, ed in questo caso (DE)J0 sarebbe identicamente nullo, il che non , perch questo scorrimento vale T ; T poi fondamentale perch, a causa del suo grado nelle x , irreduttibile con altre forme.

Analogamente sono fondamentali J , E, T, c. v. d.

(4). SUI SISTEMI DI FORME BINARIE DI EGUAL GRADO E SISTEMA COMPLETO

DI QUANTE SI VOGLIANO CUBICHE(Atti della Reale ccad. delle Scienze di Torino, Vol. X V II, A. 1882, pp. 580-580)

Si immagini il sistema completo di forme invariantive di forme binarie di grado eguale n ; si dicano d uno stesso tipo due formazioni che si possono ottenere l una dallaltra con operazioni polari, derivando rispetto ai coefficienti di una forma, ed introducendo quelli di u n altra ; le forme del sistema completo apparterranno ad un certo numero di tipi. Si supponga ora che N cresca indefinitamente ; si presenta la questione se il numero dei tipi cresce pure indefinitamente, o rimane finito. Il calcolo diretto mostra che per# = 1 , e per n = 2 il numero dei tipi finito (e vale rispettivamente 2 e 4) ; voglio dimostrare che lo stesso avviene qualunque sia il grado delle forme. La dimostrazione che sto per dare basa sul seguente teorema :

Una funzione F omogenea di n sistemi di n variabili si pu ordinare secondo le potenze ascendenti del determinante delle variabili in modo che i coefficienti siano forme polari di funzioni ottenute da / con operazioni polari, e che contengono un sistema di variabili di meno .

Questo teorema, che per n 2 d la formola di Gordan (4) fu dimostrato dal chiar. Prof. A. Capelli prima per n = 3 (2) ed ultimamente per ogni valore di n (3).

(*) Math. Annalen, Bd. I l i Clebsch - Binren Formen, pag. 15.(2) Form algebriche ternarie a pi, serie di variabili. Giornale di matematiche,

voi. 18, pag. 17. Confr. anche id. id ., voi. 19, pag. 87.(8) Debbo alla gentilezza del C a p e l l i la conoscenza di questo teorema,

presentato allAccademia dei Lincei nella aednta 5 Febbraio 1882. Confr. anche Transunti, pag. 165.

32 GIUSEPPE PEANO

Siano :f i = cto na i X\ 1 a?2 ~| * f i = &o #1 "H &1 3?2

= ho X\ -J- 1 -J- . . r

/ + i = ^0 -f* wfci % 1 a?2 +

n + 1 forme binarie di grado n j .F una funzione intera omogenea dei coefficienti di queste n + 1 forme (e, ove occorra, di altre quantit) ; posto :

R = a0 a t . ,. . an

K \ . .. K

h *4 . KF si potr, in v irt del teorema citato, ordinare secondo le potenze di R , in modo che i coefficienti siano forme polari di funzioni 9>o Pi ottenute da F mediante operazioni polari, e le quali funzioni non contengono k 0 k t . . . kn .

Se F una forma invariantiva delle

f l j f i y ^ ^ f n y fn+1 ? /+2 ? * fn+i jordinandola secondo le potenze di R, le funzioni (p, che si o ttengono da F con operazioni polari, sono funzioni invariantive di tu tte le forme date, eccettuata la / n+i* Considerando le funzioni e cos operando i volte di seguito si avr la forma F espressa in funzione di invarianti dello stesso tipo R } e di forme che si ottengono con operazioni polari da formazioni invariantive di n sole fra le forme date. Quindi s pu enunciare la seguente proposizione:

In un sistema di quante si vogliano forme binarie dello stesso grado n prendansene n ad arbitrio, se ne calcoli il sistema completo, e- si aggiunga ad esso l invariante R (ove sia fondamentale) ; si facciano di queste forme invariantive tu tti i sistemi polari, introducendo i coefficienti delle altre forme ) si avr un sistema di forme invariantive, in funzione delle quali si esprime ogni forma invariantiva delle date ; in questo sistema trovansi perci tu tte le forme fondamentali delle date forme .

Sui s i s t e m i d i f o r m e b i n a r i e d i e g u a l g r a d o e c c . 33

Od ancora, siccome le forme invariantive di n forme binarie (rimanendo n costante) sono in numero finito, ed appartengono ad un numero finito di tipi, non alterato con operazioni polari, conchiudo:

Le forme invariantive di forme binarie di egual grado, crescenti in numero indefinitamente, appartengono ad un numero finito di tipi .

Le proposizioni precedenti ci permetterebbero agevolmente di ritrovare i sistemi completi gi noti delle forme lineari e delle quadratiche j io lapplicher alla ricerca del sistema ancora incognito di quante vogliansi cubiche.

Abbiansi le cubiche binarie in numero qualunque :

f i = Q-z = #1 ~|~ a? a?2 b = bx = a?i #2 "f*

La proposizione precedente dice che il loro sistema completo si ottiene con operazioni polari dal sistema composto delle forme fondamentali di tre di esse, per es. / t , / 2 , / 3 e dellinvariante

= {ab) {ac) {ad) {bc) {bd) {cd) ;= 0 i a % a 3h h h

co c i C2 3

d Q d t *2 d$

ma far vedere che R non fondamentale, e che il sistema di tre cubiche si pu dedurre da quello di due.

Si ha invero V identit :

(ab) (ac) (ad) (bc) (bd) (cd) = L [(aft) (ed)3 + (bcf (adf + (caf (M)3] (4),o

che dice appunto non essere R fondamentale.Per la seconda parte mi occorre premettere una formula (5). Il

teorema accennato del Capelli, d per n S:

F = 2A

34 IISEPPE PEAN

che contengono le sole variabili X ed Y, A il simbolo dun sistema d operazioni polari, ed il 2 si estende alla somma di pi termini analoghi. Siccome unoperazione polare fatta sul determinante {XYZ)lo annulla, si potr portare il simbolo operativo A davanti al fattore determinante, e si avr :

F = 2 An + 2 A [(XYZ) + S A { (X Y Z f

SUI SISTEMI DI FORME BINARIE Di EGUAL GRADO ECC. 35

cienti di questa funzione effettiva entrano a primo grado ; e la formula cos interpretata dice :

Una funzione F di tre sistemi di n variabili a?, y, z si pu ottenere mediante operazioni polari da funzioni delle variabili x , y e dei determinanti della matrice (#, y, z), ottenute alla loro volta da F con operazioni polari .

Suppongasi ora n = 4, i tre sistemi di variabili quaternarie i coefficienti di tre c u b ic h e / , , /2, / 3, e la F funzione invariantiva di esse j si avr F espressa mediante forme polari di forme invariantive, funzioni dei coefficienti :

a0 ai

K he dei determinanti della matrice :

ao 1 a2 a3

h h h

co ct C2 C3Si consideri ora il covariante cubico delle tre forme :

= (ab) (ac) (bc) ax bx cx

T 3~ t/i ^23 + / 2 -^ -31 + / a A 12]>

posto A i2 = (abf, ecc., e l ultima riduzione ottenendosi colla stessa formula che gi serv per R . I determinanti della matrice (abc) sono eguali ai coefficienti di p * , e quindi funzioni lineari degli invarianti A j sostituendo questa loro espressione in F , tu tti i termini, a meno del primo, che contengono i determinanti della matrice (abc) al grado per es. r, vengono a contenere omogeneamente al grado r gli invarianti A , e si decomporranno in funzione di questi invarianti, e di altre forme invariantive di grado totale diminuito di 2r; e applicando a queste nuove forme lo stesso procedimento, si ricava che ogni forma invariantiva F simultanea di tre cubiche viene espressa in funzione di forme polari di formazioni invariantive di due cubiche, e degli invarianti A , che appartengono pure alla stessa categoria.

I risultati precedenti, uniti al sistema completo noto di due cubiche (6), ci permettono la seguente conclusione :

() Clebsch - Binttren Formen, $ 61. Ivi per presentatisi due covarianti li-

a o l a 2 3

bo h h h

co el H C2

*2 * 1 * 2 - * 1 * 2 X*

36 GIUSEPPE PEAN

Le forme invariantive di quante si vogliano cubiche binarie appartengono a 10 tipi distinti, che sono i seguenti ogni tipo essendo determinato da una forma :

1 Una delle cubiche date (covariante cubico) ;2 Il Jacobiano di due cubiche (covariante biquadratico) ;3 LHessiano di una cubica (covariante quadratico) ;4 Il terzo scorrimento di due cubiche (invariante) ;5 Il covariante Q di una cubica (covariante cubico) ;6 Il secondo scorrimento di una forma (3) su una cubica

(covariante lineare) ;7 Il risultante d una cubica (invariante) ;8 Il Jacobiano di due forme del tipo 3 (covariante qua

dratico) ;9 Il primo scorrimento di una forma (3) con un (6) (cova

riante lineare) ;10 Il risultante di due forme lineari (6) (invariante) .

Per completare la questione si potrebbe trovare il numero delle forme appartenenti ad ogni tipo, le relazioni che passano fra esse, ed i loro significati geometrici. Riguardo al numero osserver solamente che le 26 forme invariantive di due cubiche si raggruppano nei dieci tipi rispettivamente in numero di 2, 1, 3, 1, 4, 2, 5, 3,4, 1 ; e se le forme date sono in numero di le forme fondamentali appartenenti ad ogni tipo sono rispettivamente in numero di :

n , - L y p r - i ) , _ |_ 2 T ( y + i ) ,

J ^ N ( N + l ) ( N + 2), - l - ( J f _ l ) A r ( j r + 1 ) )

J - N ( N + 1) ( N + 2) ^ + 3), - g - ( f f - - l ) y ( 2T + l ) C y + 2), ecc.

come per alcuni evidente, e per altri si dimostra dopo alcune considerazioni.

neari appartenenti ad un undicesimo tipo, dimostrati sovrabbondanti dal Sylvk- st eii (Comptes'rendus, eto. nov. 1879) ed espressi in funzione dei fondamentali dal mio Chm Prof. DO v i d i o (A tti R, Aeo. Torino, Dicembre 1879).

(15). TEOREMI SU MASSIMI E MINIMI GEOMETRICI, E SU NORMALI A CURVE

E S U P E R F I C I E(Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Tomo II, A . 1888, pp. 189-192)

Le proposizioni che seguono permettono di risolvere alcuni problemi di geometria infinitesimale con procedimenti basati sulla composizione di segmenti, sui baricentri, e cos via. Alcune di esse sono note ; ma credetti utile lenunciarle onde far meglio scorgere la loro analogia colle seguenti, che ritengo nuove. Tutte queste proposizioni sono conseguenza di formule ottenute nel mio opuscolo Calcolo geometrico secondo VAusdehnungslehre di H . O r a s s m a n n . La loro dimostrazione pu essere un utile esercizio per gli studiosi.

I .

Se , r%, . . . sono le distanze dun punto variabile P dello spazio da punti, rette e piani fissi, e f ( r t , r 2 , . . . ) una loro funzione analitica, allora la normale alla superfcie luogo dei punti P per cui / costante ha la direzione della risultante di forze applicate al punto considerato P , dirette ai punti fssi, o normalmente

d f d falle rette e piani fssi, ed eguali a .

(17* | CLY gSi suppone che il punto P non coincida con alcuno dei punti

dati, n giaccia su alcuna delle rette o piani dati ; inoltre che la risultante di quelle forze non sia nulla.

Se per un punto P dello spazio, non giacente in alcuno dei punti, rette o piani dati, / diventa massima o minima, la risultante di quelle forze nulla.

Questa proposizione trovasi accennata nelle opere di L e ib n iz (1). Essa fu chiaramente enunciata dal P o i n s o t (z) ; e fu in seguito oggetto di studio di molti matematici. La risultante considerata, cambiata di segno, il parametro differenziale del L a m .

iII.

Se, nello spazio, r i , r%, . . . sono le distanze d un piano variabile n da punti fissi, e f ( r i , rz , . . . ) una loro funzione analitica, lequazione / = costante determina un inviluppo di piani. Se n un piano dellinviluppo, il punto di contatto di esso colla superfcie in viluppata il baricentro dei piedi delle perpendicolari abbassate dai

punti dati sul piano tf, ai quali siano affissi pesi eguali a .( I / 1 2

Si suppone che questo piano non passi, per alcuno dei punti dati, e che la somma dei pesi non sia nulla.

E se, per una posizione speciale del piano n , la funzione / diventa massima o minima, il sistema di forze applicate al piano n come a corpo rigido, dirette secondo le normali abbassate dai punti

dati sul piano n , ed eguali a , ~ ~ , . . . , in equilibrio.CtV ^

La prima parte di questa proposizione fu enunciata da P. S e r r e t . Si ha una proposizione analoga, pi semplice, per le rette dun piano fisso. La proposizione corrispondente per le rette dello spazio la seguente :

III.

Se p una re tta dello spazio, , r%, . . . le sue distanze da punti fissi, si immaginino le forze F, applicate alla re tta p , giacenti lungo le normali abbassate dai punti dati sulla re tta p , e in gran

dezza eguali a , . . . Le rette p per cui / costante formano drt J

un complesso.Le rette del complesso giacenti in un piano n inviluppano una

linea. Se p una re tta siffatta, per trovarne il punto di contatto

(*) Math. Schrifterif Berlin 1849, tomo VI, pag. 233.(2) Statique, Bruxelles 1836, pag. 291.

38 GIUSEPPE PEANO

TEOREMI SU MASSIMI E MINIMI GEOMETRICI ECC. 39

collinviluppo, si proiettino normalmente le forze F sul piano n , e si compongano considerandole applicate alla re tta p , come corpo rigido. Il punto dapplicazione della risultante sar il punto cercato.

Le rette del complesso passanti per un punto P formano un cono. Per trovare un piano normale a questo cono lungo una generatrice p , si decomponga ogni forza F in una forza passante per P ed in una coppia, e si compongano queste varie coppie. Il piano passante per P e parallelo alla coppia risultante sar il piano cercato.

Se, per una posizione della re tta p nello spazio, la funzione / diventa massima o minima, le forze F si fanno equilibrio.

IV.

Se, nello spazio, p una retta passante per un punto fisso P , e faciente gli angoli a d, a2 , . . . con rette fisse, che possiamo supporre pure passanti per P, il luogo delle rette p , per cui costante una funzione analitica /(o c j, a2 , . . . ) ^ questi angoli, un cono.

Si immaginino coppie di forze giacenti nei piani passanti per la

re tta p e per ognuna delle rette fsse, ed eguali a , . . . Il

piano normale al cono considerato lungo la generatrice p parallelo alla risultante di queste coppie. Se per una re tta p , / massimo o minimo, questa risultante nulla.

V.

Se un punto P si muove nello spazio in guisa che rimanga costante il volume del solido formato dalle piramidi aventi per vertice P e per basi le faccie duna superfcie poliedrica aperta, esso descrive un piano. Questo piano normale alla risultante dei segmenti diretti da P normalmente alle faccie del poliedro, e proporzionali a queste faccie stesse.

Questa proposizione dovuta a S t e i n e r .

VI.

Se un punto P si muove in guisa che rimanga costante larea della superfcie poliedrica formata dai triangoli aventi per vertice P e per basi i lati d una linea poligonale data, esso descrive una su

40 GIUSEPPE PEANO

perfide. La normale a questa superficie diretta secondo la risultante delle forze ai>plicate in P , dirette normalmente ai lati della linea poligonale, e proporzionali a questi lati. Se per un punto P l area minima, questa risultante nulla.

Nei due ultimi esercizii alla superficie poliedrica e alla linea poligonale si possono sostituire una superficie ed una linea qualunque.

Y I I .

Abbiasi nello spazio una superficie o fissa, ed un piano variabile n che incontri la superficie a secondo una linea chiusa.

Se il piano n si muove in guisa che il volume limitato dal piano n e dalla superficie o sia costante, il punto di contatto del piano n collinviluppo il baricentro dellarea piana limitata dallintersezione di questo piano colla superficie.

Se il piano n si muove in guisa che risulti costante l area piana limitata dallintersezione del piano colla superficie, il punto di conta tto del piano n collinviluppo il baricentro della linea dintersezione di n colla superficie data, supposto che la densit in un punto qualunque di questa liiiea sia proporzionale alla cotangente dellangolo che il piano tangente alla superficie in quel punto fa col piano n.

Se il piano n si muove in guisa che risulti costante la lunghezza della linea sezione di esso piano colla superfcie data, il punto di contatto di n col proprio inviluppo il baricentro della linea sezione, ove si supponga la densit in un punto qualunque proporzionale al prodotto della cotangente dellangolo che il piano tangente alla superficie fa col piano secante, moltiplicata per la curvatura della curva sezione.

(30). GLI ELEMENTI DI CALCOLO GEOMETRICO(Torino, tip. G. Candeletta 1891, pogg. 42)

I lavori principali dedicati da G. P ean o al calcolo geometrico, ed alle sue applicazioni, sono i t ra t ta t i n. 11 (Applicazioni geometriche del calcolo infinit., 1887) e n. 14 (Calcolo geometrico secondo V Ansdehnungslehre di S . Grassmann, 1888); oltre ad alcnui capitoli dei tra t ta t i n. 60 (Lezioni di analisi infinit., 1893, voi. 2) e n. 138 (Formulario mathematico, t. V, 1908).

Ma secondo il programma nelle presenti Opere scelte hanno potato trovare posto solo il presente opuscolo n. 30 (del 1891) a cni fa di complemento un breve estratto del tra tta to n. 60 ed il saggio n. 90 (del 1896).

Lopuscolo n. 30, che ebbe una versione tedesca (lavoro n. 30', del 1892), costituisce la prim a esposizione didattica degli elementi di calcolo geometrico secondo lindirizzo di Gkassmann-Pkano. In esso si fa uso solo delle formazioni geometriche di prima specie. U. C.

P R E F A Z I O N E

I I calcolo geometrico studia le questioni geometriche, eseguendo le operazioni analitiche direttamente su gli enti geometrici, senza aver bisogno di determinarli sempre mediante le coordinate. Questo calcolo, previsto da Leibniz, f u sviluppato nel corrente secolo sotto forme diverse, per opera specialmente di Mobius (1827), Bellavitis (1832), Grass- mann (1844) e Hamilton (1853) ; i fondamenti gi sono usati in molti trattati di meccanica, fsica matematica, e calcolo infinitesimale.

I l presente opuscolo (N. 1-47) contiene gli elementi del calcolo geometrico. Questi permettono gi di arrivare a un gran numero di r isultati ; incidentalmente si dimostrano le principali formule di geometria analitica ; la loro lettura presuppone sole cognizioni elementari di geometria. Per ulteriori ricerche veggasi' il mio :

Calcolo Geometrico, secondo l Ausdehnungslelire di H. Grass- mann, Torino, 1888.

Nei numeri successivi sono accennate alcune d quelle questioni di geometria infinitesimale le quali, per le teorie precedenti, acquistano form a pi semplice.

Torino, gennaio 189 i .L A utore.

42 GIUSEPPE PEANO

ELEMENTI DI CALCOLO GEOMETRICO

Tetraedri.

1. Essendo A, B, C, D dei punti, con A B CD intenderemo il tetraedro avente per vertici quei quattro punti.

2. La scrittura A B CD = 0 significa che i quattro punti giacciono in uno stesso piano. Cos A A B C = 0 .

3. Un tetraedro A B C D , non nullo, dicesi destrorso, se una persona disposta lungo A B , col capo in A, coi piedi in B, e rivolta verso il segmento CD, ha alla sua sinistra C ed alla destra D. Si

non nullo, sintende il numero che misura il rapporto dei due volumi, preso col segno -|- se hanno lo stesso verso, col segno se hanno verso contrario.

5. Due tetraedri a e b diconsi eguali, se hanno lo stesso volume e lo stesso verso. Se u un tetraedro non nullo, l eguaglianza a = 6

equivale alleguaglianza fra i numeri ~ e

6. Quindi, fissato ad arbitrio il tetraedro , ci sar la corrispondenza univoca fra i tetraedri a e i numeri reali (positivi, nulli o

anegativi) . Perci i tetraedri si possono sommare e sottrarre, e

a b a bmoltiplicare per numeri (reali). Si ha : --------= zb ; e se ?

dir sinistrorso nel caso contrario. Cos ad esempio, se A B C hanno la posizione che qui segnata, il volume ABC D sar destrorso o sinistrorso, secondocli D avanti o dietro al piano della figura.

4. Per rapporto di due tetraedri a e u , di cui il secondo

GLI ELEMENTI DI CALCOLO GEOMETRICO 43

onde, permutando in un tetraedro i vertici fra loro, il tetraedro non cambia in valore assoluto, ma cambia, o non cambia segno, secondocli il numero delle inversioni fatte dispari o pari.

Somme di punti.

8. Linsieme di pi punti A , B, 0 , . . . cui si immaginino affisai dei numeri m, n, p , . . . si indica con

mA + nB pC + . . .

Questo insieme si dir ancie Somma di punti, o Forma geometrica (di prima specie), o, per brevit, F.

9. Dicesi prodotto duna forma geometrica

S = mA + nB + pG + . . .

per una terna di punti PQ R , la somma dei tetraedri :SPQR = {mA + nB - f pC + . . . ) PQR = m APQ R +

+ nBPQR + pCPQR - f - . .10. Si dice che una forma geometrica S nulla, e si scrive

S = 0, se, comunque si prendano i tre punti PQ R , si ha SPQR = 0. Es. A A 0.

11. Due formazioni geometriche S ed S ' diconsi eguali ( = S '), se, comunque si prendano i punti PQ R , si ha SPQR = S'PQR.

Due P differenti solo per lordine dei termini sono fra loro eguali.

12. Essendo A e B dei punti, ed m ed n dei numeri, lequazione mA = nB significa che i punti A e B coincidono, e che i numeri m ed n sono fra loro eguali.

Infatti, se il piano PQR passa per A , sar APQ R = 0 , onde dovr essere BPQR = 0 , ossia ogni piano passante per A passa pure per B } quindi A e B coincidono. Prendasi ora un piano PQR non passante per A ; si avr AP Q R = BPQ R j e dovendo essere m APQ R = nBPQ R , sar m = n.

13. Sono naturali le convenzioni seguenti :Quando in una forma geometrica un punto non ha coefficiente

sintende che esso sia l unit. Cos A B indica l insieme dei punti A e B coi coefficienti l e 1.

Essendo S mA + nB + . . . e S ' = m 'A ' + n 'B ' + . . . due F, per loro somma intenderemo la F che si ottiene scrivendo i ter

44 GIUSEPPE PEANO

m in i d i S ' dopo qu ell i d i S :

8 + 8' = m i + nB + . . . + m 'A ' + n 'B ' + . . .Per prodotto di 8 = m A nB + . . . per un numero le si in

tende la F che si ottiene moltiplicando i coefficienti di S per le :

JcS IcmA + IcnB + . . .AQuando ci far comodo, scriveremo A m al posto di mA , e

. * m

invece di A .m , .

Riduzione delle F.

14. Teorema. Se A e B sono due punti, e m ed n due numeri tali che m + n ^ 0, allora la somma mA -|- nB si pu ridurre ad (i + n) C, ove 0 il punto che divide il segmento A B in parti in versamente proporzionali ad m ed n, internamente se m ed n hannolo stesso segno, esternamente se segno contrario ; vale a dire tale

ch e = ten en d o co n to de i se g n i .GB mInfatti, prendansi ad arbitrio i tre punti PQR. Se il piano PQR

risulta parallelo ad A B , sar

A P Q R = BPQ R = CPQR,perch tetraedri aventi la stessa base, e altezze eguali ; onde sar tiA PQ R |- nBPQR = (w -|- w) CPQR,

Se il piano PQR non parallelo ad A B , sia X il loro punto d incontro. Si ha dalla definizione di G,

mAG nBO = 0,ossia

m (XG X A ) + n (XC X B) = 0 ,o ancora

m X A + nX B == (m + ji) XC.Ora i tetraedri A P Q R , BPQR, CPQR, aventi la stessa base

PQR, sono proporzionali alle altezze, cio alle perpendicolari abbassate da A , B, C su PQR ; queste altezze sono proporzionali ai segmenti X A , X B , XC per una nota proposizione di Geometria elemen-, tare ; onde sar

m APQ R + nBPQ R = (m + n) CPQR.

LI ELEMENTI DI CALCOLO GEOMETRICO 45

Pertanto, comunque si prenda il triangolo PQR si ha(mA + nB) PQR = (m + n) CPQRy

vale a dire *mA nB = (m + n) 0.

15. EserciziL a). A -|- B rappresenta il punto medio di A e B col coefficiente 2 ; onde il punto medio di A B sar espresso da A + B

2 fi). Posto G = 2A B, sar G un punto. Lequazione prece

dente si pu pure scrivere 2A B C7 onde A sar il punto medio fra B e G.

y). Preso un punto qualunque G della retta A B , si possono sempre determinare due numeri m e n, non amendue nulli, tali che risulti (m -f* n) G = mA -j- nB.

Basta prendere i numeri m ed n proporzionali ai segmenti GB e AG, tenendo conto dei segni.

16. Dicesi massa duna forma S = mA + nB -|- pG -|- . . . , la somma dei coefficienti m + n + p + . . .

17. Teorema. Ogni F la cui massa non nulla, riduttibile ad un punto solo avente per coefficiente la massa della F data.

Infatti le somme dei coefficienti non possono essere due a due nulle ; poich se m, n, p non sono nulli, non pu essere ad un tempo m n = 0, m p = 0, n p 0. Suppongasi m + n ^ 0 ; allora mA + nB riduttibile ad (m -f- n) X , ove X un punto determinato j e quindi

mA + nB + pG + . . . = (m + ) X + pG -j- . . . ;cos la forma data ridotta ad unaltra con un punto di meno, e le masse delle due forme sono eguali. Cos continuando si ha il teorema.

18. Il punto 0 cui riduttibile m A nB pC , supposto m - ^ - n - ^ - p - ^ ' . ' ^ O , dicesi baricentro del sistema dato. Esso definito dalla eguaglianza:

( m - \ - n - { p - { - > . . ) G = mA -[- nB + pG + ovvero

^ _mA nB -|- pG -|- . . .m -f- n -j- p + . . .

19. Esercizio a). Essendo A , B, G i tre vertici di un triangolo,il suo baricentro - i - (A -f- B -f- G) j per esso passano le mediane

del triangolo, cio le rette

dividono nel rapporto 1 : 2./9). B C A rappresenta il punto d incontro delle parallele

condotte da B e da C ai lati opposti.A - \ - B B + G 0 4 - A x

y). Il baricentro del triangolo ^ ~ ^ ancoraZ 2

- ( A + B + C ) .). Costruire il triangolo ABC, conoscendone il baricentro G,

il punto K che divide il lato BG nel rapporto 1 : 2, e il punto K che divide esternamente il lato A G pure nel rapporto 1 : 2 . Si avranno le equazioni A -)- B G = 3G, 2B C = 3H, 2A C = K , che risolte danno :

A = ^ G - - H + - K , B ------ i - e + ^ H + 4 - i r ,

C = 3 G - - M - K .

e). Essendo A, B, 0, D i vertici d un tetraedro, il baricentro - i - (A + B + 0 + D) si trova sulle 4 rette che uniscono un vertic

A col baricentro - - (B -f- G + D) della faccia opposta, e le divide iJ

nel rapporto 3 : 1 ; esso sta pure sulle 3 rette che uniscono i punti

medii (A B) e (0 + D) di due spigoli opposti, e ne il2 2

punto medio.). Essendo A B C tre punti non collineari, e J> un punto del

piano A B C , si possono determinare tre numeri p non tu tti nulli, tali che si abbia

(m + n p) D = mA + nB + p G .rj). Essendo A , B , C, D quattro punti non complanari, ed E

un punto qualunque, si possono determinare quattro numeri m, n , P j q non tu tti nulli, in modo che si abbia

{m -f- n + p + q) E mA -f- nB -|- pG + qD.

Vettori.

20. Qui ci occuperemo delle F la cui massa nulla. Definizione, Dicesi vettore la differenza B A di due punti

A e B.

46 GIUSEPPE PEANO

A + B \e si


Il punto A dicesi origine, il punto B termine del vettore.Per verso di B A s intende quello da A a B. Nelle figure si

suol rappresentare un vettore mediante il segmento di re tta che ne unisce gli estremi, e una freccia che ne indica il verso.

Si ha B A + A = B, ossia un vettore aggiunto alla sua origine d il suo termine.

21. Teorema. Affinch due vettori B A e B ' A ' siano eguali, necessario e sufficiente che i segmenti A B e A 'B ' siano paralleli, eguali in lunghezza, e diretti nello stesso verso.

B 4- A 'Infatti, dire che B A = B ' A ' equivale a dire -------=B ' 4- A , ossia il punto medio di B A ' coincide col punto medio diA B ' j e questo equivale alle condizioni geometriche precedenti.

22. Problema. Costrurre la somma O (B A) di un punto0 e d*un vettore B A .

Si costruisca il punto X tale che X O = B A , vale a dire si porti da 0 il segmento OX, eguale, parallelo e nello stesso verso di A B j sar X = 0 (B A).

23. Problema. Costrurre la somma di pi vettori I , I 2 . . . I n . Si prenda un punto arbitrario 0 ; si costruiscano i punti

X i X2 . . . X n in modo che sia

X i = 0 + I t , X2 = X, -)- J 2 , . . . X X_i + I n.Sar :

X n 0 = l i + l i + . + I n .Il poligono i cui vertici sono 0, X t X2, . . . X n dicesi, in Mec

canica, il poligono delle traslazioni.24. Teorema. Ogni F la cui massa nulla, riduttibile ad un

vettore.Sia S una F di massa nulla ; preso ad arbitrio un punto P , la

8 + P ha per massa 1, onde riduttibile (N. 17) ad un punto Q = 8 -|- P. Di qui si ricava 8 = Q P, ossia S ridotta ad un vettore. Questo vettore pu anche annullarsi.

25. Il prodotto di un vettore I per un numero x un vettore parallelo ad X, rivolto nello stesso verso o verso opposto secondoch x positivo o negativo, e la cui lunghezza sta a quella di I come x : 1 .

Infatti, se I = B A , sar x i xB xA una F di massa x x = 0, onde riduttibile ad un vettore. Fatto C A = x{B A ),

A Csar C = xB + (1 x) A ; onde - - = x .

48 GIUSEPPE PEANO

La costruzione grafica di col facile quando x commensurabile; pu essere difficile od anche impossibile coi comuni strumenti per x incommensurabile.

26. Essendo I e J due vettori paralleli, e il primo non nullo, si pu determinare un numero x tale che J = x l. Risulta dalla proposizione precedente.

27. Tre vettori diconsi complanari, se sono paralleli ad uno stesso piano. Essendo x e y due numeri reali, i vettori I , J , x l + y J sono complanari.

Teorema. Se I e J sono vettori non paralleli, ogni vettore JJ complanare con essi si pu decomporre nella somma di due vettori, Puno parallelo ad I e laltro ad J.

Infatti, preso ad arbitrio il punto 0, si costruiscano i punti A 0 -j- I , B = 0 - f J y P 0 + U. I punti 0, A , P giacciono in uno stesso piano. Da P s conduca la parallela a OB, che incontri OA nel punto M. Si avr

U = P 0 = (M 0) + (P M),e cos JJ decomposto nella somma del vettore M 0 parallelo adI e del vettore P M parallelo a J.

28. Essendo / e J due vettori non paralleli, e JJ un vettore complanare con essi, si possono determinare due numeri x e y in modo che risulti

JJ = x l + yJ-Infatti, decomposto TJ in due vettori, Puno parallelo ad l e

Paltro ad J , il primo si pu eguagliare ad x l ed il secondo ad y J .29. Dati tre vettori 7, *7, K non complanari, ogni vettore TJ si

pu decomporre nella somma di tre vettori, Puno parallelo ad I , Paltro ad J e il terzo a K.

Dimostrazione analoga a quella del 'N. 27.30. Dati tre vettori I ,

GLI ELEMENTI Di CALCOLO GEOMETRICO 49

Infatti, dalla relazione supposta si ricava(a? - X') I + (y _ y') j . + _ _ z') K = 0 ;

ora se una delle differenze x x ', y y', z z '} per esempio l?ultima, non nulla, dividendo per essa, si avr

K = ^ i + y ^ z i , j ,z z ' z zf 9

onde (27) K complanare con l e / , contrariamente alla ipotesi fatta.

Coordinate di vettori e di punti.

32. Siano 0 un punto fsso, e J, J, K tre vettori non complanari. Allora (3 0 e 3 1 ) ogni vettore JJ si pu ridurre e in un sol modo alla forma

' U x I + y J + z K .

I numeri x , y, z diconsi le coordinate del vettore JJ rispetto ai vettori di riferimento J, J, K.

33. Ogni punto P si pu ridurre alla forma P = O + x l + yJ + zK.

I numeri x , y, 2, coordinate del vettore P 0 , diconsi anche le coordinate del punto P nel sistema (0, J, 7, K).

34. La condizione di parallelismo dei due vettori

U = x i y J + zK e U' = x ' I + y 'J + z 'K

che le coordinate corrispondenti dei due vettori siano proporzionali, ossia che siano nulli i tre determinanti della matrice :

x y z x ' y ' z '

Infatti, se JJ non nullo, dire che JJ' parallelo ad JJ (25 e 2 0 ) equivale allesistenza di un numero k tale che U ' = IcJJ, ossia tale che

x I y 'J -(- z 'K = Icxl -j- IcyJ + kzK ,o ancora (31 ) x' = lex, y '= z f = lez \ e questo equivale alla proporzionalit fra le coordinate.

Converremo poi che un vettore nullo sia parallelo ad ogni direzione. Allora, se JJ nullo, soddisfatto il parallelismo, e i determinanti considerati sono pure nulli.

50 GIUSEPPE PEN

La condizione di parallelismo si scrive purex' _ y' _ z x y z *

convenendo che quando qualcuno dei denominatori nullo, questa scrittura equivalga a dire che si annullano i determinanti considerati.

35. La condizione di complanarit dei tre vettori JJ = xT -f- y J + zK, U = I + y 'J + *'JT, U" = x " I + y V +

x y z

x y z' = 0.x" y" z

Infatti, se U' e JJ" non sono paralleli, la condizione della loro complanarit (N., 27 e 28) che esistano due numeri /c' e hn tali che JJ = fe'Z/' + ossia tali che

a? = fcV + fe'V', y = Wy' -|- W y, z = feV + fc'V',e questo equivale alla condizione precedente.

Se poi JJ' e U" sono paralleli, soddisfatta la condizione di complanarit, e il determinante pure nullo.

30. EserciziL a). Date le coordinate di due punti P e P ', trovare quelle del vettore P ' P .

Se P = 0 + x l + y J + zK, e P ' = 0 + x ' I + i/ 'J + zJT, sar : P' P = (x* x) I (y' y) J + (*' *) K. '

P). Date le coordinate di due vettori, trovare quelle della loro somma e differenza.

Se JJ x l + y J + e V = 'I + y 'J -)- zK , sar :F CT = (*' x) I + (y y) J + (*' z ) K .

y). Date le coordinate d?un vettore JJ e un numero m, tro vare quelle di m . Si ha :

m (x l yJ -(- zK ) = m x l -|- viyJ -|-). Trovare le coordinate del baricentro di pi punti A itA Sf...,

con dati coefficienti w2, . . . , ove si conoscano le coordinate di questi punti.

Se A r = 0 -f- xrI + yrJ + * detto 0 il baricentro, si haq = ove ^ g^a per indicare la somma dei termini che

2 m rsi ottengono dando ad r i valori 1, 2 , . . . Sostituendo agli A r le loro espressioni, si ha :

2 m rxr 2 m r yr T . 2 m r zr


e). Dire che il punto P = 0 -f- x i y J -j- zK s ta sulla retta passante pel punto P 0 = 0 + xoI + VqJ + e parallela al vettore JJ = a l + bJ + cK equivale a dire che P P 0 parallelo ad Uf ossia (34):

x _ V Vo _ * H a b e '

equazioni della retta passante per Pq e parallela ad JJ.). Dire che il punto P = 0 -f- + * sta sulla re tta pas

sante pei due punti P 0 = 0 + + * e P 4 = 0 + x xI + . . . equivale a dire che P P 0 || P, - Po, ossia

x o = y yo = z zoX *0 Vi Vo *o

equazioni della retta passante per due punti dati.7j). Dire che il punto P = 0 x i + yJ + zK sta sul piano

passante pel punto P 0 = 0 + xQI + Vo'J + zqK e parallelo ai due vettori

U = a l + bJ + cK e JJ' = a 'I + fc'J + c'tf,

equivale a dire che i vettori P Po, JJ, F ' sono complanari, ossia che

y y0 * a b c

a' b' c'

= 0,

equazione del piano passante per un dato punto e parallelo a due dati vettori.

0). Cambiamento di coordinate. Siano (O, I , J , iT) e (0 ', P , J 7, JT) due sistemi di coordinate.

Siano note le coordinate d un punto P nel secondo sistema :P = 0 ' + x 'T + y 'J ' + s'JT,

e siano note le coordinate di O', I ' , J ' , K ' rispetto al primo sistema :

0 ' = 0 + a l + 6 J + cK , r = + qJ + rK,J ' = P 'I + g 'J + r 'tf , JT = _p"Z + gV + r"K ..

Si vogliono calcolare le coordinate di P nel primo sistema.Sostituendo, nellespressione data di P , a 0 ', J ' , JT le loro

espressioni, e ordinando, si ha : ,

P = o + (a + li' + p'y' + p"z') I + (b + qx' + 'y' +q"z') J + (c + r*' + r y + r'V ) K .

52 IUSEPPE PEANO

Vettori in un piano fisso. Operazione i.

37. Qui ragioneremo su punti e vettori contenuti in un piano fisso. In questo piano fisseremo un verso positivo per le rotazioni (e sia p. e. lopposto a quello in cui si muovono le lancette dun orologio).

Definizione. Essendo JJ un vettore, con i TJ intenderemo il vet' tore JJ rotato dun angolo retto positivo.

38. Facendo sopra i JJ di nuovo Poperazione i si avr ii JJ = JJ, ossia i2 = 1. Loperazione i lia adunque la propriet fondamentale delPunit immaginaria.

Essendo x un numero (reale) si ha \xTJ = x\TJ ) ossia moltiplicare un vettore JJ per un numero x , e poi farlo rotare dun angolo retto, equivale a prima farlo rotare di un angolo retto, e poi moltiplicarlo per x.

Se JJ e V sono due vettori, si ha i(TJ V ) \TJ Y .39. Colla parola numero intenderemo sempre numero reale.Definizione, Essendo JJ un vettore, x e y due numeri, porremo

(x -1- yi) JJ = xTJ + yiTJ.Loperazione x + yi dicesi un complesso. Quindi moltiplicando

un vettore JJ per il complesso x + yi si ha un nuovo vettore del piano j esso la somma di xU parallelo ad TJ, e di yiJJ perpendicolare ad TJ,

40. Essendo TJ un vettore, con grTJ indicheremo la sua lunghezza, cio la distanza fra i suoi estremi. Si ha: gr(iZ7) = grTJ,

Posto V = (x + tfiWi sar& ^ lipotenusa dun triangolo rettangolo di cateti xTJ e yiJJj onde si avr:

g rV = \x %+ y * grTJ,

cos (U, V) = - r X Sen ( XJ, V) = V

tang (TT,V) = ^ - .Cu

41. Ricordando le definizioni di modulo e di argomento di un complesso, queste formole dicono :

Teorema, Moltiplicare un vettore JJ per un complesso x + iy significa moltiplicarlo pel modulo e farlo rotare delPargomento del complesso.


Quindi (cos t -f- i sen t) U e[t JJ indica il vettore JJ rotato dellangolo t.

Essendo 0 un punto fisso, 0 -|- eu (P 0) rappresenta la posizione del punto P dopo aver rotato attorno ad 0 dellangolo t.

42, Se per vettori di riferimento in un sistema di coordinate si prendono un vettore I in grandezza eguale allunit di misura, ed il vettore iJ, le coordinate diconsi cartesiane (ortogonali). Il vettore U di coordinate cartesiane x e y dato da

'' = (* + yi) I,e il punto P di coordinate cartesiane x e y dato da

P = 0 + (x + yi) I.43, Se il comjjlesso x + i si riduce a forma normale re**, ogni

vettore si potr ridurre alla formaJJ = re'* J ,

ove r ne rappresenta la lunghezza, e t langolo che esso fa con I . Ogni punto si pu ridurre alla forma

P = 0 + reu I .

I numeri r e t chiamansi le coordinate polari del punto P.44, Esercizio a). Se un vettore I si fa rotare prima dun angolo

a e poi dun angolo fi, esso avr rotato dellangolo a + fii onde(cos fi + i sen fi) (cos a + *8en ) = cos (a -f- fi) + i sen (a + fi)-

Eguagliando separatamente le parti reali e i coefficienti di i, si dimostrano le formule trigonometriche per laddizione degli archi.

fi). Un punto P si fa rotare dun angolo t attorno ad un punto A , e poi dellangolo t attorno ad un punto B. Trovare la posizione finale di P.

Dopo la prima rotazione (N. 41) il punto si trova inP* = A + l {P A),

dopo la seconda in

sostituendo a P 4 la sua espressione, e fatte le riduzioni:P 2 = P + (1 e -1*) (B A)

ossia il punto P ha ricevuto una traslazione rappresentata dal vettore (1 e_ii) (B A) = B -f- e~u [A B) A ; la sua origine si pu prendere in A , e allora il suo termine B + e-14 {A B ), cioil punto A rotato attorno a B dellangolo t.

y). Il punto P 4 = 0 + e*(P 0) la posizione del punto P dopoaver rotato attorno ad 0 dellangolo 1 (N. 41), cio dopo aver descrittoun arco eguale al raggio. Esso si pu facilmente costrurre per appros-

( i8 i3 \ simazione. Invero si ha P 4 0 + 11 + i + g j + "gj + ) 0) Onde pongasi P ' = P + i (P 0 ), cio aggiungasi a P il vettore P 0 rotato dun angolo re tto ; poi P" = P ' + - ^ - ( P ' P),2(cio aggiungasi a P ' il vettore P ' P rotato dellangolo retto, e

diviso per 2 ; poi P " = P " + [P" P '), cio si aggiunga a P "il vettore P " P ' rotato dellangolo retto, e diviso per 3 ; poi

p ,v = P "' + J _ ( P " ' - P " ) , e cos v ia . I p u n ti 0 , P, P , P", P " , . . .sono i vertici duna spezzata spiraliforme, e si avvicinano rapidamente al punto cercato P t.

). Date le coordinate cartesiane dun vettore, calcolarne la lunghezza. Si ha (N. 40), supposto g rJ = 1, gr(# + i y) I + i) =

Date le coordinate cartesiane di due punti

P = 0 + (x + iy)I, P ' = 0 + (' + iy ') I , calcolarne la distanza. Sar

gr (P ' P) = gr [(*'*) + (/' y) i] 7 = {x* x f + (y y f .e). Date le coordinate di un vettore TJ (x -|~ i) 7, calcolare

quelle di iET. Si h a :

i7 = ( y + a?i) I .y

). Essendo TJ e F due vettori, per si pu intendere quelcomplesso x + \ y , per cui moltiplicando JJ si ha F . Si avr

F gr V Vmod = , e largomento di l angolo 7, F.

rj). Date le coordinate cartesiane di due vettori TJ = (x + iy) 7, F = (x' + i y') 7,

calcolare l anglo oc che essi fanno. Posto

r = gr JJ = fa?2 -|- y2 e r ' = gr F = i x '2 + y '2 ,si avr

F r f (C08 a + sen a )>

54 GIUSEPPE PEANO

ossiax' + iy' r* . . . .---- \ - r - = (cos a + i sen a) ;x + iy r

riducendo a forma normale il primo membro, si ricavano cos a e sen a .

0). Cambiamento di coordinate cartesiane. Siano (0, / ) gli eie* menti di riferimento antichi, e (0', I ') i nuovi. Sia 0 ' = 0 + (a + M) J, e J' = eia / . Allora se

0 ' + ( * '+ iy')I'ha per coordinate x' e y' rispetto al nuovo sistema, sostituendo e sviluppando si ha :

P = 0 + [(a + a?' cos a y' sen a) + (6 -|- sen a -f- y' cos a) i] I.Le quantit entro ( ) sono le coordinate di P nellantico sistema.

1). Essendo A, B , C, A', B ', 0' dei punti nel piano, lequazioneC A C' A'B A ~ ~ B' .A '

dice che i triangoli A B C e A'B'C' sono simili e nello stesso verso.x). Dati i punti A , B , A', B', trovare C in modo che i trian*

goli CAB e CA'B' siano simili e nello stesso verso. Si avr lequazione

C A C A'B A B' A' 1

e sostituendo a 0 A' = (C A) + (A A'), si ha una equazione di primo grado in 0 A, che risolta ci d il punto cercato 0.

Prodotto di due vettori.

45. Def. Chiamasi prodotto (interno, o geometrico) di due vettori JJ e V, e si indica con JJ x F, il prodotto delle loro grandezze pel coseno dellangolo compreso :

JJ x V = g rU X grF X cos (JJ, V) .Si ha :

a). Il prodotto di due vettori paralleli e nello stesso verso vale il prodotto delle loro grandezze.

fi). Il prodotto U x JJ, che indicheremo pure con JJ2, vale (gt U f .


56 GIUSEPPE PEANO

y). Il prodotto di due vettori paralleli e di verso opposto valeil prodotto delle loro grandezze preso col segno meno.

). Il prodotto TJ X V vale il prodotto di JJ per la proiezione ortogonale di V su JJ.

e). La condizione dortogonalit di due vettori TJ e V U x T = 0 .

). Si ha TJ x V V X TJ} ossia il prodotto geometrico di due vettori ha la propriet commutativa.

r). Se m un numero (reale), si ha(mTJ) X V = m(JJ X F),

ossia, se, nel prodotto di due vettori, si moltiplica un fattore per un numero, il prodotto viene moltiplicato per questo numero.

0). Essendo Z7, F, W dei vettori, si ha(TJ + V) X W = TJ X W + V X TF,

il che esprime la propriet distributiva della moltiplicazione rispetto alladdizione. Inflitti, questa propriet evidente se i vettori sono fra loro paralleli. Nel caso generale, siano U' e F' le proiezioni di TJ e F su W ; la proiezione di U -|- F sar TJ' V' ; onde (JJ' + F') X W = U' x W + V' x W \ di qui, e dalla 0), si ha la formula a dimostrarsi.

Coordinate cartesiane.

46. Se i vettori di riferimento 7, J , K prendonsi eguali allunit di misura, e a due a due ortogonali, il sistema di coordinate dicesi cartesiano (ortogonale). Si avr allora :

7* = J 2 = i P = l , I x J = I x K = J x K = 0 . a). Date le coordinate di due vettori, calcolare il loro prodotto

geometrico.Se TJ = x l -f- y J z K , e TJ' = x'I -f- y 'J 4* moltiplicando,

e tenendo conto delle regole , j;, 0, e delle ipotesi precedenti, si ha :TJ x V xx1 -f- y zz ' .

fi). La condizione d> ortogonalit di due vettori JJ e F TJ x V = 0 ; ossia xx( -j- yyf + zz* = 0.

y). Date le coordinate dun vettore, calcolarne la grandezza. Se TJ = x l + y J z K y si avr

JJ* = (gvU)* = *2 + y2 + *2, onde gr TJ j/2 -|- y2 + z2 .

). Date le coordinate di due vettori, calcolare il coseno del loro angolo. Dalla forinola U x F = grT x g r F x cos (U, F) sostituendo a V x F, g rU e grF i loro valori dati da a e y , si avr:

cos ( U, V) = * , ' + * + ----------,x% - f y2 + z% x'2 + '2 + z ,%

47. Esercizii. a). Dire che il punto P = O + x i + y J -f- z K sta sul piano passante per P 0 = O + x0 1 -f- y0 J z0 K e normale al vettore F a I bJ + ciT, equivale a dire che P P 0 perpendicolare a 7, ossia (46 fi)

(P - P0) x U = 0 ,ovvero

(a? a?0) a + (y y0) 6 + (z zQ) c = 0.Questa, sotto luna o laltra forma, lequazione del piano pas

sante pel punto P 0 e normale al vettore F.fi). Ogni equazione ax by + cz + d = 0 , supposto a2 -j-

fc2 + c2 > 0 , rappresenta un piano normale al vettore a l + bJ -f- cK. Infatti essa si pu identificare colla precedente.

y). La condizione di parallelismo del pianoax + by cz + d = 0

col vettore F = l i + niJ + nK , quella di perpendicolarit del vettore U = a I + bJ + c K e di F, ossia :

al + fon + cn = 0.La condizione di perpendicolarit del piano e del vettore prece

denti quella di parallelismo fra i vettori 27 e F, ossia

l m n a b c

). La condizione di perpendicolarit dei due pianiax + by + m + = 0 e a'x -|- b'y + c'z + d! = 0

quella di perpendicolarit dei vettori loro normali a l + bJ cE e a 'I + b'J -|- c'K, ossia

aa' + bb' + cc' = 0 .

La condizione di parallelismo sar analogamente


58 GIUSEPPE PEANO

Il coseno dellangolo formato dai due piani eguale a quello dellangolo formato dai vettori loro normali e quindi dato dalla formula al N. 46, .

e). Siano A , B , G dei punti. LidentitB A = [B C) {A 0),

elevata a quadrato, d{B A f = (B G f + (A G f 2{B G) X {A 0),

ossia in un triangolo qualunque il quadrato dun lato vale la somma dei quadrati degli altri due lati meno il loro doppio prodotto pel coseno dellangolo compreso.

). Essendo A , B y 0, D quattro punti qualunque, si ha :{A B) x [G D) + (B G) x (A D) +

+ (0 A) x {B D) = 0 .7]). Siano A, B, G i vertici dun triangolo, e sia D il punto

dincontro delle altezze abbassate da C su A B , e da A su BG j sar {A B) x (G D) = 0 , e (B G) x {A D) = 0; quindi, per la , sar pure (G i ) X {B J)) = 0, ossia il punto I) sta pure sulla terza altezza. Quindi :

In un triangolo le tre altezze passano per uno stesso punto.0). Se in un tetraedro A B G l gli spigoli opposti A B e CD

sono perpendicolari, come pure B C e A D , lo saranno pure gli spigoli A C e B D . Conseguenza della ).

1). Lequazione della sfera di centro C e di raggio r si pu scrivere (P C f = r2.

Linee*48. Se un punto P espresso in funzione d.una variabile

numerica t7 variando questa, il punto descrive un luogo (linea). (*) a). Essendo A un punto ed I un vettore dati, il punto P =

= A + I t descrive la retta passante per A e parallela ad I.P). Il punto P = 0 + ove 0 un punto fsso, I un

vettore eguale in grandezza allunit, r una costante positiva, col variare di t descrive la circonferenza di centro 0 e di raggio r.

y). Il punto P = 0 + I t + J tz ove 0 un punto dato, I e J due vettori qualunque, descrive una parabola passante per 0, tangente ad 01, e coi diametri paralleli ad J.

(*) Per alcuni complementi alla teoria delle cnrve reali ofr. il seguente estratto dal trattato.n. 60 (Lezioni d i analisi i n f i n i t 1893, voi. 2). U. C.

OLI ELEMENTI DI CALCOLO GEOMETRICO 59

). Il punto P = O + (a cos t - \ - i b sen t) J, ove O un punto fisso, J un vettore in grandezza eguale ad 1, e a e b due costanti positive, vale a dire il punto di coordinate cartesiane acostf e sentf, col variare di t descrive Vellisse di centro 0 e di semiassi a e b rivolti secondo I ed iJ.

Qt 1 0( git ,_ gE poich cos t = ------, sen t = ----- -----, sostituendo si ha

2 2 i

pure : P = O + e + e -j 7.e). Il punto P = O -f- % ove 0 un punto fisso, e

A e B sono due vettori qualunque, descrive sempre unellisse. Infatti sia I un vettore in grandezza eguale allunit di misura e diretto secondo la bisettrice dell angolo (A , B). Posto gr A = a , gr B = 6,' e 2 = angolo (B , A), sar A =

60 GIUSEPPE PEANO

La cicloide dicesi allungata, o propria, o accorciata secondoch h > r. Nel caso della cicloide propria sar

P = O + r [t + i (1 e-)] I .

t). Epicicloide (propria) la curva descritta da un punto della circonferenza dun centro mobile, il quale si sviluppa su dun cerchio fisso.

Sia P il punto che descrive la curva j siano 0 e 0 i centri del cerchio fisso e mobile, . B e r i loro rispettivi raggi, M il loro punto di contatto. Il punto P movendosi verr a trovarsi sulla circonferenza (0, R) ; sia 0 -|- R I questa posizione speciale di P. Dicasi t langolo di M 0 con I. Allora si avr M = 0 + R 11 j G M + reu I. Gli archi di circonferenza venuti a contatto hanno per lun-

'Rghezza Rt, onde l angolo di P 0 con M G vale t> quindi

s*P 0 = e r (M G), e sostituendo :

P = 0 + (B + r ) e i I re(1 + ' ) UI.x). Elica. Siano 0, J, J f K gli elementi di riferimento in coor

dinate cartesiane. Chiamisi i l operazio

Giuseppe Peano - Opere Scelte Vol. 3

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