Mühendislikte İstatistik

Yrd. Doç. Dr. Ümit Deniz Uluşar

Bilgisayar Mühendisliği

Öğrenme Amaçlarımız

Mühendislik-Problem çözme işleminde

istatistiğin rolünü belirlemek.

Karar verme için veri toplama ve

kullanma sırasındaki değişkenliğin

etkisini tartışmak.

Mühendisler veri toplarken ne tür

metotlar kullanır.

Rassal örneklerin önemini tartışmak.

Kaynaklar

Mühendislikte Olasılık, İstatistik, Risk ve Güvenilirlik,

Altay Gündüz

Mühendisler için İstatistik , Prof. Dr. Mehmetçik

Bayazıt, Prof. Dr. Beyhan Oğuz

Engineering Statistics, Douglas C. Montgomery

Mühendislikte İstatistik

Mühendislik, problemlerle

çözümler arasındaki boşluğu

doldurmaktır ve bu işlem bilimsel

bir yöntem gerektirir.

İstatistik Nedir?

17. Yüzyıla kadar sadece bilgi kaydetme şeklinde gerçekleşen istatistiki çalışmalar, 18. ve 19. Yüzyıllarda J. Bernoulli (1645-1705) ve K.Gauss'un (1777-1855) katkılarıyla matematik temelleri üzerine oturtulmuş, ihtimal teorisi geliştirilmiştir. Sosyal ve antropolojik olaylara istatistiği kapsamlı bir şekilde uygulayan ilk matematikçi olan Adolphe Quételet (1796-1874) ise modern istatistiğin kurucusu olarak kabul edilmiştir. 20. Yüzyılın başında R. A. Fisher, K. Pearson ve W. S. Gosset'in katkılarıyla tahmin yapma ve karar verme konuları ön plana çıkarak istatistik artık sayısal verilerin yorum ve değerlendirmesini yapan bir bilimsel metotlar topluluğu haline gelmiştir.

İstatistik Nedir ?

Verilerin toplanması

(Ör: Gözlem, Anket, Simülasyon)

Veriyi Tanımlama

(Organize etme/ Sınıflandırma, Sayma, Özetleme)

Veriyi Sunma

(Tablolar, Grafikler vs.)

Veriyi Yorumlama

(Güven aralığını belirleme)

Neden ?

Karar Verme

İstatistik Nedir ?

İstatistik veriden sonuç almanın yöntemidir.

Veri

İstatistik

Bilgi Veri: Gerçekler,

özellikle sayısal veriler Bilgi: Spesifik bir

gerçek hakkında bilgi.

"Ne olabilir?" veya "Ne muhtemeldir?"

Mühendislik Metodu ve İstatistiksel

Düşünme

Mühendislik metodundaki adımlar:

1. Problemi kısa ve net şekilde ortaya koy.

2. Problemi ve çözümünü etkileyebilecek önemli

faktörlerin belirle. (En azından geçici bir şekilde)

3. Bilim ve mühendisliğin mevcut çalışmalarını

kullanarak problem hakkında bir model öner. Burada

sınırlamaları ve varsayımları belirt.

Mühendislik Metodu ve İstatistiksel

Düşünme

4. 2. ve 3. adımda belirtilen geçici modeli veya sonuçları

test etmek ve onaylamak için uygun deneyleri

gerçekleştir ve veri topla.

5. Elde edilen bilgilerin ışığında modeli iyileştir ve

çözüme yardımcı olabilecek bir şekle getir.

6. Önerilen sonucun verimli ve etkili olabileceğine

yönelik uygun testleri gerçekleştir.

7. Problem çözümünü temel alarak sonuçlar ve

öneriler çıkart.

Problemi Kısa ve Net

Şekilde Ortaya Koy

Önemli Faktörleri

Belirle

Model öner yada

Mevcut Modeli İyileştir

Veri Topla

Modeli Düzenle

Çözümün

Doğruluğunu Test Et

Sonuçlar Çıkart ve

Öneriler Getir

Mühendislik Problem-Çözme Metodu

Değişkenlik

İstatistiksel yöntemler, değişkenliği anlamamızı ve

tanımlamamızı sağlar.

Değişkenlik aynı sonuçları üretmeyen bir sistemin ya

da olayın gözlemleridir.

Bir depo benzinle gidebileceğiniz mesafe.

Model : X=µ+e

Burada X bir depo benzinle gidebileceğiniz mesafeyi

gösteren rastgele değişken. µ bir sabit ve e de gürültü ya

da rasgele etki.

Değişkenliğin sebepleri nelerdir ?

İstatistiğin Uygulamaları

Sigorta Bilimi : Aylık ödeme miktarlarının

hesaplanması, emeklilik planlarının oluşturulması,

kayıpların sergilenmesi ve kontrolü.

Finans : Faizlerin ve çeşitli seçeneklerin hesaplanması.

Finansal riskin modellenmesi ve yönetilmesi.

İş, Muhasebe ve Endüstri : Yönetimin karar

vermesini sağlamak amacıyla satışların hacminin

hesaplanması, üretme, takip etme ve muhasebe

verilerin elde edilmesi.

İnşaat İçin İstatistik

Risk hesaplaması ve yönetimi

Zarar analizi

Olasılıksal dizayn

Risk tabanlı optimal dizayn

Tamirat ve inceleme

Beton yada ağaç yapılar

Köprüler ve özel yapılar

Deprem mühendisliği

Rüzgar mühendisliği

Makine Müh. İçin İstatistik

İstatistiksel proses kontrol teknikleri, ağırlıklı olarak sanayide imalat sürecinde, sürecin kontrol altında tutularak kalitenin artırılması ve maliyetlerin düşürülmesi amacıyla kullanılmaktadır.

Ör:

İstatistiksel proses kontrol teknikleri kullanılarak, yenileştirme, montaj ve test işlemlerinden oluşan motor yenileştirme sürecinde hataların minimize edilerek işçilik ve malzeme kayıplarının düşürülmesi

Proses yeterliliğinin artırılarak yenileştirilmiş motorlara yapılan testlerin örnekleme yöntemi kullanılarak gerçekleştirilmesi.

Örnek Sorular

En sık kullanılan harf hangisidir ? İlk 5 nelerdir.

Seçim öncesi yoklamalarda doğru bir tahminde bulunmak

için en az kaç kişinin görüşünün alınması lazım? Hata payı

ne kadar?

Bir araba diğerlerine göre ne kadar az yakıt kullanıyor.

Not ortalamanızla iş bulma olasılığınız arasında bir ilişki

var mı ?

Hangi hisse senetlerine yatırım yapmalıyız?

Hangi bölgede emlak fiyatları ne kadar ?

Emlaktan para kazanmak için hangi

bölgelere yatırım yapmalıyız?

Mühendislik Verisi Toplama

Genellikle mühendislik verisi alttaki 3 yöntemden birisi

kullanılarak toplanır:

Retrospektif Çalışma

Geçmişe dönük verilerin tamamının ya da bir kısmının incelenmesi ile

yapılan çalışmadır.

Gözlemsel Çalışma

Prosesin ya da toplumun rutin gidişatı sırasında incelenmesiyle yapılan

çalışmadır.

Problem için Dizayn Edilmiş Deneyler

Sonucu etkileme olasılığı bulunan değişkenler üzerinde kontrollü bir

şekilde değişiklik yapılarak sonuçların incelendiği çalışmalardır.

Temel Kavramlar

Ölçme (Measurement)

Veri (Data)

Ana kütle (Population)

Birim (Unit)

Örneklem (Sample)

Örnekleme (Sampling)

Tamsayım (Census)

Değişken (Variable)

Değişkenlik (Variation)

Tümevarım (Induction)

Tümdengelim (Deduction)

Betimsel İstatistik (Descriptive Statistics)

Çıkarımsal İstatistik (Inferential Statistics)

Ölçme - Veri

Sayıların elde edilme sürecine ölçme denir (measurement)

Gerçek nesne, birey veya olayları ölçmek, gözlemek ve

saymakla elde edilen sayılara veri (data) adı verilir.

(Ör: Nüfus sayımı gibi araştırmadan elde edilen

sonuçlar)

Birim ve Anakütle

Veri topladığınız özne, nesne, kurum veya olay birimdir

(unit).

İstatistiki araştırmalar bu birimlerin çeşitli

özelliklerini gözleyerek veya ölçerek yapılır.

Üzerinde araştırma yapılacak tüm birimlerden oluşan

kümeye anakütle (population) denir.

Tamsayım ve Örnekleme

Anakütlede bulunan bütün birimlerden veri toplama

işlemine tamsayım denir.

Anakütleden rassal olarak çekilen bir alt küme olan

örneklem (sample) seçilerek örnekleme (sampling)

yapılır.

Hemen hemen bütün istatistiksel analizler bir anakütlenin

örneklemini kullanarak yapılır.

Değişken ve Değişkenlik

Değişken anakütlenin ya da örneklemin bizi ilgilendiren

bir karakteristiğidir.

Hastanede bekleme süresi

Yıllık harcama

Veri değişkenlerin ölçülerek elde edilen gerçek

değerleridir.

Değişkenlik istatistikte veri gruplarının birbirinden ve

ortalamadan ne ölçüde uzaklaştığı bilgisidir.

Tümevarım (Induction) ve Tümdengelim

(Deduction)

Bilimsel araştırmalarda tümevarım

ve tümdengelim metotları

kullanılır.

Toplanan küçük parçalar ve bilgiler

kullanılarak bütüne varma yöntemine

tümevarım denir.

Anakütleye ilişkin bilgilerden

yararlanarak, örneklem bilgisine

ulaşmaya tümdengelim (deduction)

denir.

Teori

Hipotez

Gözlem

Konfirmasyon

Tümdengelim

Gözlem

Patern

Hipotez

Teori

Tümevarım

İstatistiksel Yöntemler

Betimsel İstatistik

(Descriptive Statistics)

Çıkarımsal İstatistik

(Inferential Statistics)

Betimsel İstatistik

İstatistik, geçmişi ve içinde bulunulan durumu tanımlayarak

bir veri kümesine ilişkin özel değerler ve grafikler ortaya

koyduğunda betimsel istatistik (descriptive statistics)

adını alır.

İçerik Olarak

Veri Toplama

Veriyi Sergileme

Veriyi Karakterize Etme

Amaç

Veriyi Tarif Etmek

X=14.098.124 S2=30111416

İhracat

Çıkarımsal İstatistik

Bir örneklem yardımı ile anakütleye ilişkin çıkarımların yapılması durumunda istatistik çıkarımsal istatistik (inferential statistics) adını alır.

İçerik Olarak

Tahminleri

Hipotez testini

Amaç

Anakütlenin (populasyon) karakteristiklerine göre kararlar vermek.

Ör: Kafeinsiz kahve içmek kolesterol seviyesini %7 arttırabilir.

İstatistiki Çıkarım

İstatistiki çıkarım örnekleme kullanılarak elde edilen

bilgiler kullanılarak bir anakütle için tahmin, varsayım ya da

karar verme işlemine denir.

Parametre

Örneklem

İstatistik

Çıkarım

Rassal Örnekleme

n boyutunda bir basit rassal örneklem bir anakütleden

seçilme olasılığı eşit olan n örnekten oluşur

İstatistiksel metotların düzgün çalışması geçerli sonuçlar

çıkartması için rassal örnekler kullanılmalıdır.

Neden örnekleme yaparız ?

Para

Eleman

Zaman

Örnek

Anakütle Birim Örnek Değişken

Üniversiteye

kayıtlı olan

bütün

öğrenciler

Öğrenci Herhangi bir

departman

GNO, Haftalık

ders saati sayısı

Kütüphanedeki

bütün kitaplar

Kitap İstatistik

Kitapları

Fiyatı

Kampüsteki

restoranlar

Restoran Rıhtım döner Çalışan sayısı,

masa sayısı,

eleman arıyor

mu?

Örnek

25.000 kişilik bir şehirde yerel seçime hazırlanan bir

politikacı bir kamuoyu yoklaması yaptırır. Bu yoklamanın

sonucunda, yoklamaya katılan 200 kayıtlı seçmenin %48 i

kendisine oyunu vereceğini söyler ?

Tamkütle kaç kişiden oluşmaktadır?

Örneklem kaç kişiden oluşmaktadır?

%48 bir parametre midir yoksa bir istatistik mi ?

25.000

200

İstatistik

Örnek

Bir marketler zincirinde binlerce müşterinin hesabı var. Bir

muhasebeci ödenmemiş 50 hesabı inceleyerek ortalama

müşteri başına ödenmemiş hesap tutarının 75 TL

olduğunu tahmin ediyor?

Tamkütle kaç kişiden oluşmaktadır?

Örneklem kaç kişiden oluşmaktadır?

Merak edilen parametre nedir?

Ödenmemiş hesaplar

topluluğu

50

Ortalama borç miktarı

Mekanik ve Deneysel Modeller

Mekanik modeller temel fiziksel modellere dayanırlar.

Elektronik bir devrede

Voltaj = Akım*Direnç ( V=I*R )

Farklı zamanlarda gerçekleştirilen ölçümlerde ufak değer

değişiklikleri gözlemlenebilir. Daha gerçek bir model

V=I*R+e

Deneysel Modeller

Bazen çalışılan problemin kesin anlaşılmış mekanik modeli yoktur.

Ör: Bir polimerin ortalama molekül ağırlığı (Mn). Polimer oluşturulurken ortamda bulunan maddenin akışkanlığıyla (V), sıcaklıklığıyla (T) ve katalistin (C) miktarıyla ilişkili olduğunu biliyoruz.

Mn=f(V,C,T)

fakat fonksiyonun tam şekli bilinmiyor.

Mn=B0+B1V+B2C+B3T+e

Ve burada B0-3 deneysel modelin bilinmeyen parametreleri.

Deney

Deney (experiment) belirli bir amaç için deney özneleri

olan deneklerin üzerinde bir etki oluşturarak, bu etkinin

sonuçlarını ölçmeyi hedefler.

Değişkenler

Değişkenler araştırmada ölçtüğümüz, kontrol ve maniple ettiğimiz şeylerdir.

Bağımsız değişken (independent variable) : Bağımlı değişkende bir değişim oluşturacağını düşündüğümüz ve deney sırasında düzeyini değiştireceğimiz değişken.

Bağımlı değişken (dependent variable) : Deneyde ölçümleriyle ilgilendiğimiz ve sonuçları ölçtüğümüz değişken.

Kontrol değişkeni (control variable) : Deney sırasında sabit tutulan değişkendir.

Deneylerin amacı değişkenler arasındaki ilişkileri anlamak ve açıklamak.

Değişkenleri tahmin ve kontrol etmek.

Örnek

Yakıt 1 (kg) Yakıt 2 (kg) Füzenin ulaştığı yükseklik

(m)

100 110 5000

110 110 7000

120 110 9000

130 110 11000

140 110 10000

150 110 8000

Bir füze için optimal yakıt karışımını bulmak için deneyler

gerçekleştirilmektedir. Deney sonuçları.

Araştırma Türleri

Nicel araştırma (Quantitative Research)

Gözlem ve ölçmenin nesnel olarak yapılabildiği ve araştırmanın

tekrarlanabildiği

Nitel araştırma (Qualitative Research)

İnsan psikolojisi, sosyoloji ve benzeri bilimlerin açıklamaya

çalıştığı sosyal konular konusunda yapılan araştırma türüdür.

MATLAB

Command Penceresi

Komutları yazabildiğiniz ve hemen sonucunu

görebildiğiniz alan.

Editör

Komutlar bir araya

getirilebilir ve bir dosya

şeklinde saklanabilir.

Genellikle dosya uzantısı

.m

dir.

Workspace

Hafızada bulunan

değişkenleri gösteriri.

Aktif Klasör

Çalışmakta olduğunuz

klasörü gösterir. Yanındaki

ikonları kullanarak aktif

klasörünüzü

değiştirebilirsiniz.

Basit Aritmetik İşlemler

Toplama:

1+1 yada plus(1,1)

Çıkartma:

17-12 yada minus(17,12)

Çarpma:

5.*8 yada times(5,8)

Bölme:

17./9 yada rdivide(17,9)

Üs Alma:

99.^2 yada power(99,2)

Karekök:

sqrt(15)

Değişkenler

Belli bir türe ait veriyi saklayan veri deposudur.

a = 3.5

b = 4.1

a+b

c=a+b

Ör: fonksiyonunda a=3 ve

b=4 ise c nin değeri ne olur.

a=3

b=4

c=sqrt(a.^2+b.^2)

22 bac

Matrisler ve Seriler

Matlab’da temel veri yapısı matristir. Bütün veriler matris şeklinde tutulmaya ve işlenmeye çalışılır.

Matrisi oluştururken köşeli parantezle başlanır. Satırdaki elemanları boşluk karakteriyle ayırırız. Bir alt satıra ; karakteriyle geçilir. Son olarak köşeli parantez kapatılır.

>> a=[1 2 ; 3 4]

a =

1 2

3 4

>> b=[2 1; 0 1]

b =

2 1

0 1

>> a+b

ans =

3 3

3 5

>> f=a-b

f =

-1 1

3 3

>> d=a.*b

d =

2 2

0 4

>> c=a*b

c =

2 3

6 7

Transpoz

a'

ans =

1 3

2 4

Determinant

>> det(a)

ans =

-2

Tersi

>> inv(a)

ans =

-2.0000 1.0000

1.5000 -0.5000

>> a*inv(a)

ans =

1.0000 0

0.0000 1.0000

Elemanlara Erişim

>> a(1,1)

ans =

1

>> a(:,1)

ans =

1

3

>> a(2,:)

ans =

3 4

Seriler

>> t=1:1:10

t =

1 2 3 4 5 6 7

8 9 10

>> t=0:0.1:0.5

t =

0 0.1000 0.2000

0.3000 0.4000 0.5000

Ödev:

t = 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5

5.0 serisini oluşturan komutu yazın.

st= 2*t

plot(t,st) komutunu kullanarak grafiğini çizin

Grafiği yazıcı çıktısı olarak teslim edin.