Giorgio SPINOLO – Scienza dei Materiali - 6 marzo / 19 aprile 2007 – Corsi ordinari IUSS Laser...
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Giorgio SPINOLO – Scienza dei Materiali - 6 marzo / 19 aprile 2007 – Corsi ordinari IUSS
Laser
Un breve presentazione
Giorgio SPINOLO – Scienza dei Materiali - 6 marzo / 19 aprile 2007 – Corsi ordinari IUSS
Laser
Decadimento radiativo (approccio di Einstein)
Interazione della luce con Ntotale atomi identici.
Due livelli elettronici: fondamentale con energia E1 ed
eccitato con E2.
Livelli non degeneri con numero di atomi N1 e N2
Ntotale = N1 + N2
Giorgio SPINOLO – Scienza dei Materiali - 6 marzo / 19 aprile 2007 – Corsi ordinari IUSS
TkB
Se
Energia termica
Gli atomi non possiedono energia per transizione dallo stato 1 allo stato 2:
:
N1 = Ntotale
E2 - E1 >> kBT
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Campione esposto a radiazione elettromagnetica di frequenza ν12
1212 EEh
Alcuni atomi assorbono luce e compiono transizione da stato 1 a stato 2
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Densità di energia radiante ρ: energia radiante per unità di volume (J m-3)
Densità spettrale di energia radiante ρv: misura della densità di
energia radiante per unità di frequenza ρv = dρ/dv (J m-3 s)
Per la transizione da 1 a 2: ν = ν12
ρv(ν12)
Consideriamo la densità spettrale di energia radiante a ν12 della
luce incidente:
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Tasso di eccitazione dallo stato fondamentale allo stato elettronico eccitato:
)()()(
112121 tNvB
dt
tdNtasso
B12 è detto coefficiente di Einstein
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Ovviamente occorre considerare anche che l’atomo emette energia per tornare nello stato elettronico fondamentale.
L’aspetto fondamentale della teoria di Einstein è di considerare accanto all’ovvia emissione “spontanea” anche una emissione “stimolata” dalla stessa radiazione elettromagnetica
1) Emissione spontanea
Gli atomi emettono fotoni di energia 1212 EEh
)()(
2122 tNA
dt
tdN
spont
A12 : coefficiente di Einstein
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2) Emissione stimolata
Per un atomo in stato elettronico eccitato esposto a radiazione em di energia h = E – E, il tasso di emissione stimolata è:
)()()(
212212 tNvB
dt
tdN
stim
B21 è un coefficiente di Einstein (non necessariamente uguale a B12)
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Per esposizione alla luce un atomo subisce simultaneamente assorbimento, emissione spontanea ed emissione stimolata. Il tasso di variazione delle popolazioni (dello stato elettronico fondamentale e dello stato elettronico eccitato) è dato da:
)()()()()(
)()(
2122121211212
21
tNvBtNAtNvBdt
tdN
dt
tdN
Giorgio SPINOLO – Scienza dei Materiali - 6 marzo / 19 aprile 2007 – Corsi ordinari IUSS
Le relazioni tra i coefficienti di Einstein
L’equazione vale per condizioni qualunque (cioè per differenti valori delle variabili N1 e N2).
)()()()()()(
21221212112122 tNvBtNAtNvB
dt
tdN
Nell’equazione cinetica compaiono tre coefficienti (A, B12 e B21) che NON dipendono da N1 e N2.
Quindi vale anche nel caso (molto particolare) in cui i due livelli sono all’equilibrio. In questo caso, le condizioni di equilibrio permettono di introdurre relazioni addizionali che alla fine consentono di ricavare i coefficienti (che ovviamente sono sempre quelli, anche in condizioni FUORI equilibrio).
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Le relazioni tra i coefficienti di Einstein
1
8/
312
312 12
kThec
h
L’equilibrio termico del campo elettromagnetico è descritto dalla legge di Planck:
Le condizioni di equilibrio riguardano i due livelli e il campo elettromagnetico.
In un sistema all’equilibrio a T: TkhTkEE BB eeN
N //
1
2 1212
)()()()()(0)(
21221212112122 tNvBtNAtNvB
dt
tdN
ed anche:
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Sostituendo:
TkhTkhTkEE BBB etN
tNtree
N
N /
2
1//
1
2 121212 ;
21/
12
1212 12
)(BeB
Av
Tkh B
)(
)()(;
)()()(
)()(
2
1
2112
12
221112
21212 tN
tNtr
BBtr
A
tNBtNB
tNAv
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Le equazioni:
sono equivalenti se (e soltanto se):
B12 = B21
e
213
312
12
8B
c
vhA
e 1
18/3
312
12 12
kThec
h
1221/
12
1212 /
1)(
12 BBeB
Av Tkh B
Per sistemare la dipendenza dalla T
Per sistemare la parte indipendente dalla T (fattore di scala)
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Per avere amplificazione, occorre che un fotone che passa attraverso il campione abbia maggiore probabilità di stimolare l’emissione (da parte di un atomo eccitato) che di essere assorbito (da parte di un atomo nel suo stato fondamentale).
)()()()( 1121221221 tNvBtNvB
N2 > N1 INVERSIONE DI POPOLAZIONE:
Il processo di emissione stimolata produce DUE FOTONI a partire da UN FOTONE,
cioè moltiplica i fotoni,
cioè amplifica l’intensità della luce
Si possono costruire dispositivi che amplificano la luce usando l’emissione stimolata (laser)
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Un sistema a due livelli non può raggiungere
l’inversione di popolazione
)()]()()[()()(
2211221 tANtNtNvB
dt
tdN
dt
tdN
Considerando (come caso tipico) che al tempo t =0 tutti gli atomi siano nello stato fondamentale: N1 = Ntotale e N2 = 0
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Questo valore massimo dipende dalle caratteristiche del sistema (cioè da A e da B) ma non può comunque superare il valore ½ (che si ottiene come limite per A << B, oltre che per t ).
Per un dato sistema, irradiando un campione che inizialmente è nello stato fondamentale, la popolazione dello stato eccitato parte da zero e raggiunge il suo valore massimo allo stato stazionario (t ).
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Il numero di atomi nello stato eccitato non può mai superare il numero di atomi nello stato fondamentale.
Un sistema a due livelli non può raggiungere l’inversione di popolazione
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Generalizzazioni
Non occorre parlare di atomi, nella trattazione non c’è nulla che non possa essere riferito a sistemi più complessi (molecole, ad esempio).
Si possono considerare vari livelli discreti (fondamentale 1; primo eccitato 2, secondo eccitato 3, …:Allora avremo:
tanti Aij (quante sono le coppie ij con i > j) etanti Bik (quante sono le coppie ik con i k)
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Per una certa coppia di livelli, si ottengono risultati analoghi al caso in cui si considerano due soli livelli:
I coefficienti Bik (con i > k) di emissione stimolata ed i coefficienti Bik (con i < k) di assorbimento sono legati tra loro da relazioni del tipo Bik = Bki e sono legati ai coefficienti Aik di emissione spontanea dalle relazioni Aik = (8h3/c3)Bik.
Generalizzazioni
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L’inversione di popolazione si raggiunge in un sistema a tre (o più)
livelli
Due stati eccitati con energie E2 e E3
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In condizioni di stazionarietà per lo stato 2:
23232332322213322 )()(0
)(NBvNBvNANA
dt
tdN
323232
323221
2
3
)(
)(
BvA
BvA
N
N
Ovvero:
L’inversione di popolazione tra gli stati 3 e 2 è possibile quando gli atomi eccitati nello stato 3 decadono spontaneamente nello stato 2 più lentamente di quanto gli atomi eccitati nello stato 2 decadono spontaneamente nello stato fondamentale (A32 < A21)
Tale sistema è denominato mezzo amplificatore e può funzionare come laser
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Sistema laserante a tre livelli
3
2
1
lento
veloce
pompa
Transizione laserante
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Sistema laserante a quattro livelli
3
2
1
lento
veloce
pompa
Transizione laserante
4
veloce