Giai Bai Tap Co Luong Tu

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ĐỒNG NAI

KHOA SƯ PHẠM KHOA HỌC TỰ NHIÊN

--o0o--

BÀI TẬP LỚN HỌC KỲ

Môn: Cơ học lƣợng tử

Đề bài: Cách giải bài tập chƣơng 3,4,5,6,7.

Sinh viên : Nguyễn Quang Thịnh

GVHD: Th.S Hoàng Công Phương

MSSV: 111030144

Lớp: Đại học Vật lý A_K1

Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 2 -

Lời nói đầu

Cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết cơ bản của Vật lý học. Cơ học lượng tử

là phần mở rộng và bổ sung của cơ học Newton( còn gọi là cơ học cổ điển). Nó là cơ

sở của rất nhiều các chuyên ngành khác của vật lý như vật lý chất rắn, vật lý hạt. Khái

niệm lượng tử để chỉ một đại lượng vật lý không liên tục mà rời rạc. Cơ học lượng tử

được coi là cơ bản hơn cơ học Newton vì nó cho phép mô tả chính xác và đúng đắn rất

nhiều các hiện tượng vật lý mà cơ học Newton không thể giải thích được. các tiên

đoán của cơ học lượng tử chưa bao giờ bị thực nghiệm chứng minh là sai sau một thế

kỷ. Cơ học lượng tử là sự kết hợp chặt chẽ của ít nhất ba loại hiện tượng mà cơ học cổ

điển không tính đến, đó là: (a) sự lượng tử hoá một số đại lượng vật lý, (b) lưỡng tính

sóng hạt, (c) nguyên lý bất định. Trong các trường hợp nhất định, các định luật của cơ

học lượng tử chính là các định luật của cơ học cổ điển ở mức độ chính xác cao hơn.

Việc cơ học lượng tử được rút về cơ học cổ điển nhờ nguyên lý gọi là nguyên lý tương

ứng. Như vậy, cơ học lượng tử có tầm quan trọng rất lớn nên việc nghiên cứu môn cơ

học lượng tử là rất quan trọng đối với sinh viên vật lý. Ngoài việc cũng cố niềm tin

vào khoa học cho sinh viên cơ học lượng tử còn giúp cho sinh viên có cơ sở để nghiên

cứu các chuyên ngành khác của vật lý.

Nhằm tạo điều kiện thuận lợi cho các sinh viên trong quá trình nghiên cứu môn cơ học

lượng tử, tôi xin làm bài tập lớn về nội dung và bài tập của cơ học lượng tử. Nội dung

được trình bày theo Giáo trình Cơ học lượng tử của tác giả Lê Đình - Trần Công

Phong trường Đại học sư phạm Huế tháng 8 năm 2011. Nội dung bao gồm phần:

I. Phần tóm tắt lý thuyết cần để giải bài tập các chương 3,4,5,6,7

II. Giải bài tập các chương 3,4,5,6,7.

Hi vọng rằng với nội dung này sinh viên có thể dễ dàng hơn trong việc nghiên cứu cơ

lượng tử.

Xin cám ơn Th.s Hoàng Công Phương đã tận tâm giúp đỡ em trong quá trình làm bài.

Trong quá trình làm bài tập chắc chắn sẽ có những sai sót nên rất mong sự góp ý xây

dựng để bài tập trở nên hoàn thiện hơn.


Mục lục

Chương 3: Các tiên đề của cơ học lượng tử.......................................................................... 1

I. Tóm tắt lý thuyết cần để giải bài tập .................................................................................. 1

II. Bài tập ................................................................................................................................... 2

Chương 4: Phương trình Schrodinger..................................................................................11

I. Tóm tắt lý thuyết cần để giải bài tập ................................................................................11

II. Bài tập .................................................................................................................................13

Chương 5: Sự thay đổi các đại lượng động lực theo thời gian .........................................23


II. Bài tập .................................................................................................................................24

Chương 6: Chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm ...............................................30


II. Bài tập .................................................................................................................................32

Chương 7: Lý thuyết biểu diễn ............................................................................................41


II. Bài tập .................................................................................................................................41

Tài liệu tham khảo .................................................................................................................55


CHƢƠNG 3:

CÁC TIÊN ĐỀ CỦA CƠ HỌC LƢỢNG TỬ

I. Tóm tắt lý thuyết cần để giải bài tập:

1. Nội dung các tiên đề:

a. Tiên đề I:Trạng thái của một hạt hay một hệ hạt lượng tử được xác định bởi một

hàm chuẩn hoá của toạ độ không giang và thời gian. Hàm này chứa toàn bôh thông tin

về hạt.

b. Tiên đề II: Tương úng với mỗi đại lượng động lực A là một toán tử tuyến tính và

Hermite tác dụng trong không gian Hilbert các hàm trạng thái.Các kết quả đo được

về đại lượng A chỉ có thể là các trị riêng của toán tử .

c. Tiên đề III: Tính chất thống kê trong cơ học lượng tử

d. tiên đề IV: Sự thay đổi trạng thái theo thời gian( Chương 4)

2. Kiến thức cần có để giải bài tập:

a. Xác suất đo đại lượng động lực:

Trong đó là hệ số trong khai triển hàm sóng theo hàm riêng của toán tử .

∑

b. Mật độ xác suất để trong phép đo đại lượng động lực A ở trạng thái được giá trị

a là

Với là hệ số trong khai triển hàm trạng thái theo hàm riêng của toán tử

c. Trị trung bình trong phép đo một đại lượng động lưc:


d. Hệ thức bất định Heisenberg:

e. Các kiến thức toán cần có:

+ tích phân Poisson:

∫

√

∫

( )

√

+ cách tính tích phân từng phần.

+ Điều kiện trực chuẩn của hàm sóng:

⟨ | ⟩

II. Bài tập:

+ Chuẩn hoá để tìm A:

Ta có

√

+ Động năng trung bình:

⟨ ( )| ( )⟩ ∫ ( )

( )

∫ ( )

( )


∫ ( )

(

) |

+ Sử dụng điều kiện chuẩn hoá xác định A:

∫

∫

∫

√

+ Tính :

∫ ( ) ( )

∫

Đặt

Tính ( ) :

( ) ∫

Sử dụng tích phân Poison:


∫

( )

√

Ta được:

( )

√

( ) √

√

+ Tính :

∫ ( ) ( )

∫ ( )

(

)

∫

( ) (

)

∫

∫

∫

∫

Tính :

∫ ( )

( )

∫ ( )

(

)

∫ ( )

(( )

)

∫ ( )

(

)

∫ ( )

(

)


∫ ( )

∫ ( )

( )

∫ ( )

( ( ) )

∫

∫

Vậy:

( )

Kiểm tra hệ thức bất định:

( ) ( )

thoả hệ thức bất định

+ Sử dụng điều kiện chuẩn hoá xác định A:

∫

√

+ tính ;

∫

∫

∫ ( )

∫

∫

|


+ Tính :

∫

( )

∫

∫

+ xác định A bằng điều kiện chuẩn hoá:

∫

∫

( )

∫

( )

∫

(

)

√

Xác suất đo : | |

Với ⟨ | ⟩

∫

∫

√

√

√ ∫

Áp dụng công thức Euler:

Suy ra:


√ ∫ (

)

√ ∫ ( )

Sử dụng điều kiện trực chuẩn của hàm riêng toán tử:

⟨ | ⟩

∫

Vậy:

√

√

√

Giá trị khả dĩ của m

Xác suất tương ứng với giá trị

| |

| |

| |

∑

∑ ( )

( )

( )

Trị trung bình của bình phương toán tử :

⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩

Do là Hermite nên


⟨ | ⟩

Tích vô hướng ⟨ | ⟩ luôn luôn dương nên

Ta có:

⟨ ( )| ( )⟩ ∫ ( )

( )

( ( ) *

∫ ( )

( ) ∫ ( )

( )

∫ ( )

( )

vậy:

khi ( ) là hàm thực.

Lưu ý tính chất sau:

[ ]

⟨ | ⟩

⟨ |[ ] ⟩

⟨ | ⟩

⟨ | ⟩

⟨ | ⟩

⟨ | ⟩

⟨ | ⟩

⟨ | ⟩


Tương tự đối với

Ta cũng tính được

Đặt ta được:

( ) ⟨ ( )|( ) ( )⟩

⟨ ( )| ( )⟩ ⟨ ( )| ( )⟩ ⟨ ( )| ( )⟩

+ tìm cực tiểu của V:

( )

Hàm V đạt cực trị khi:

( )

Lúc này có giá trị:

( ) ( ) ( ) ( )

+ Trước tiên ta xét xem trạng thái | ⟩ có chuẩn hóa hay không??

⟨ | ⟩

⟨ | ⟩

⟨ | ⟩

⟨ | ⟩

⟨ | ⟩

Như vậy hàm | ⟩ là hàm chuẩn hóa.

a) Các giá trị năng lượng khả dĩ là:


Các xác suất tương ứng với giá trị năg lượng này là:

( ) |⟨ | ⟩| |√

⟨ | ⟩|

( ) |⟨ | ⟩| |√

⟨ | ⟩|

( ) |⟨ | ⟩| |√

⟨ | ⟩|

( ) |⟨ | ⟩| |√

⟨ | ⟩|

b) Các giá trị khả dĩ của toán tử là:

Các xác suất để đo các giá trị , , , lần lượt là:

( ) |⟨

| ⟩| |√

⟨

| ⟩|

( ) |⟨ | ⟩| |√

⟨ | ⟩|

( ) |⟨ | ⟩| |√

⟨ | ⟩|

( ) |⟨ | ⟩| |√

⟨ | ⟩|

c) Phép đo năg lượng cho giá trị nghĩa là hệ đang ở trạng thái . Vì vậy nếu

ta đo đại lượng động lực A liền sau đó thì ta sẽ nhận được giá trị


Chương IV

PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER

I. Tóm tắt lý thuyết cần để giải bài tập:

1. Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian

Tiên đề IV: Sự thay đổi theo thời gian của hàm trạng thái của một hạt (hệ hạt) lượng

tử được cho bởi phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian, có dạng:

( )

( )

Trong đó:

( ) là hàm Hamilton của hệ.

2. Phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian

Phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng:

( ) ( )

Nghiệm của phương trình có dạng:

( ) ( )

Do tính chất tuyến tính của phương trình nên nghiệm tổng quát có dạng khác nhau tùy

theo phổ trị riêng gián đoạn hay liên tục.

Khi có phổ trị riêng gián đoạn:

( ) ∑ ( )

∑ ( ) ( )

Khi có phổ trị riêng liên tục:

( ) ∫ ( )

∫ ( ) ( )

Trong đó:

⟨ ( )| ( )⟩

⟨ ( )| ( )⟩

3. Chuyển động của hạt trong giếng thế một chiều sâu vô hạn

Thế năng có dạng:

( ) ,

Phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng có dạng:


( )

( )

Các điều kiện:

Trong miền I và III: ( )

Điều kiện biên: ( ) ( )

Năng lượng của hạt ở trạng thái thứ n:

Hàm sóng ứng với hạt có năng lượng En:

( ) √

4. Dao động điều hòa lượng tử

Thế năng có dạng:

( )

Phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng có dạng:

( )

(

) ( )

Biểu thức của năng lượng:

(

*

Năng lượng của dao động tử điều hòa có giá trị gián đoạn. Năng lượng thấp nhất của

dao động tử là:

Hàm sóng ứng với một số mức năng lượng khác nhau:

( )

√ √

( )

( )

√ √

( ) (

*

( )

√ √

( ) (

)


II. Bài tập:

Bài giải:

+ hạt ở trạng thái thứ n có hàm trạng thái là √

Như vậy xác suất tìm thấy hạt ở trạng thái thư n là:

∫

∫ (

*

(

* |

Bài giải:

+ Dùng điều kiện chuẩn hóa xác định A

∫ (

)

∫ (

*

∫ (

*

∫ (

*

∫ (

*

(

* |

(

* |

√


+ Xác suất đo năng lượng ở trạng thái cơ bản

( ) | | |⟨ | ⟩|

Với √

Ta được

∫ √

√

√ ∫

√ ∫ (

*

√ (

* |

√ (

*

√

Vậy xác suất

( ) | | |

√ |

Bài giải:

+ Dùng điều kiện chuẩn hóa xác định A:

∫ ( )

∫ ( )

√

+ Phân bố xác suất của năng lượng:

| | |⟨ | ⟩|


⟨ | ⟩ ∫

Với √

Ta được:

∫ √

( )

√

∫

√

∫

√

(

( ) ) √

(

( )

(( ) )+

√

( ( ) )

Vây phân bố xác suất sẽ là

| | ( √

( ( ) ),

( ( ) )

( ( ) )

+ Động năng trung bình:

∫ ∫ ( ) (

( ( ))+

∫ ( )

+ Động năng bình phương trung bình:

∫

∫

∫

( ( ))

( ( ))


Bài giải:

∫

Với √

Ta được:

∫ ∫ √

(

) √

(

)

∫ (

)

∫ ( (

**

∫

∫ (

*

|

Tính bằng phương pháp tích phân từng phần, ta được:

Đặt ,

(

) ,

(

)

Suy ra

(

* |

∫ (

*

Vậy

Tính

Ta có

∫

∫ √

√

∫ (

)


∫

∫ (

*

Ta tính I bằng phương pháp tích phân từng phần 2 lần. Sau khi ta lấy từng phần 2 lần

ta được

( )

Suy ra

( )

( )

Vậy

( )

( )

(

( ) *

Xác suất phân bố của xung lượng của một hạt trong giêng thế 1 chiều sâu vô hạn (n=1)

( ) | |

Với ⟨ ( )|

( )⟩

Trong đó

( )

√

( ) √

(

)

Suy ra:

√ ∫

(

)

Với

Suy ra


√ ∫

(

)

√ ∫ * (

) (

) +

√ ∫ [ (

) (

) ]

√ [

( ) (

)

( ) (

) ] |

√ [

( )

( )

( )

( )]

√ *

( ) ( ) +

Với

Suy ra

√ * (

*

( ) ( ) +

√ *

( ) ( )

( ) ( ) +

√

( ) ( ) (

*

Vậy:

( ) | |

(( ) ( ) ) (

* (

*

(( ) ( ) ) [

]

(( ) ( ) ) (

)

(( ) ( ) ) (

)

Sử dụng tính chất:

( )

Ta được:


( )

(( ) ( ) ) * ( (

))+

(( ) ( ) ) ( (

))

(( ) ( ) ) (

)

Ta có:

Thế năng của hạt lúc này:

+ Phương trình Schrodinger của hạt cho trạng thái dừng:

( )

( ) ( )

Yêu cầu của bài toán này là tìm E

Ta biến đổi phương trình trên ta được:

( )

( )

( )

( )

(

* ( )

( ) ( )

Nếu ta đặt

⁄ thì:

(

)

(

)

(

(

)

*

( )

Thay vào ( ) ta được:

( )

(

) ( )

( )

( )

( ) (

) ( )


Phương trình trên ta đã khảo sát ta được:

(

*

(

*

a. Dùng điều kiện chuẩn hoá để tìm A:

⟨ ( )| ( )⟩

∑(

√ *

⟨ ( )| ( )⟩

√

b.Hàm sóng tại thời điểm t có dạng:

( ) ∑ ( )

Vì là dao động tử điều hoà nên ( ⁄ + nên:

( )

√ ∑(

√ *

( ) ( ⁄ )

∑(

√ *

( ) ( ⁄ )

c. Trị trung bình của năng lượng khi t=0:

⟨ ( )| ( )⟩ ⟨ ( )| (

* ( )⟩


∑(

√ *

(

* ⟨ ( )| ( )⟩

Ta có:

⟨ ( )| ( )⟩ ⟨ ( )|(

) ( )⟩

⟨ ( )|

( )⟩

⟨ ( )|

( )⟩

Mà ta có:

Ta có:

⁄

Suy ra:

Ta tìm cực tiểu của biểu thức trên:

( )

( )

Vậy (

)

+ Dùng điều kiện chuẩn hoá xác định A:


∫ ( )

√

+ Hàm sóng tại thời điểm bất kỳ có dạng:

( ) ∑ ( )

Với

( ) ∑ ( )

Với

( ) √

Như vậy hàm ( ) có thể viết lại như sau:

( ) ∑ √

(

)

Với

⟨ ( )| ( )⟩ √

∫ ( )

(

)

Sử dụng phương pháp tích phần ta tính được:

√

[ ( ) ]

Vậy:

( ) √

√

∑

(

)

[ ( ) ]

( )

√

∑

(

)

[ ( ) ]


Chương V:

SỰ THAY ĐỔI CÁC ĐẠI LƢỢNG

ĐỘNG LỰC THEO THỜI GIAN

I. Tóm tắt l ý thuyết cần để giải bài tập:

1. Đạo hàm của toán tử theo thời gian

Đạo hàm của trị trung bình của đại lượng động lực A bằng trung bình của đạo hàm

của đại lượng động lực A theo thời gian,

Biểu thức đạo hàm theo thời gian của toán tử A:

[ ]

Phương trình trên còn được gọi là phương trình chuyển động Heisenberg

Đối với số hạng thứ hai ta kí hiệu như sau:

[ ]

Trong trường hợp đại lượng động lực A không phụ thuộc tường minh vào thời gian, thì

đạo hàm của toán tử A theo thời gian:

[ ]

2. Tích phân chuyển động

Theo phương trình chuyển động Heisenberg ta thấy rằng A là một tích phân chuyển

động khi:

[ ]

[ ]

Điều kiện để một đại lượng động lực là tích phân chuyển động là đại lượng động lực

đó không phụ thuộc tường minh vào thời gian và toán tử tương ứng giao hoán với toán

tử Hamilton.


II. Bài tập:

Chứng minh:

( )

Ta có:

( )

( )

[ ]

[ ]

[ ]

(

[ ]) (

[ ])

Như vậy đạo hàm của tổng bằng tổng các đạo hàm.

Chứng minh:

( )

Ta có:

( )

( )

[ ]

[ ]

[ ]

(

[ ]) (

[ ])

Như vậy đạo hàm của tích hai toán tử cũng có quy tắc lấy đạo hàm như lấy đạo hàm

của hàm số.

a.


( )

(

*

b.

( )

( )

( )

Chú ý: Đề có chút sai sót về dấu.

c.

( )

( )

( )

( )

(

( )

( )

)

Ta có:

⟨ ( )| ( )⟩

Với

[ ]

Vì không phụ thuộc tường minh vào thời gian. Suy ra:

⟨ ( )|[ ] ( )⟩

⟨ ( )| ( )⟩

⟨ ( )| ( )⟩

Do tính chất Hermite của toán tử năng lượng nên:

⟨ ( )| ( )⟩

⟨ ( )| ( )⟩

⟨ ( )| ( )⟩

⟨ ( )| ( )⟩


giả sử A là đại lượng vật lý đang xét

⟨ ( )|

( )⟩

Mà

[ ]

Suy ra:

⟨ ( )|[ ] ( )⟩

⟨ ( )| ( )⟩

⟨ ( )| ( )⟩

⟨ ( )| ( )⟩

⟨ ( )| ( )⟩

⟨ ( )| ( )⟩

⟨ ( )| ( )⟩

Ta có: [ ]

Vậy: Năng lượng là tích phân chuyển động.

Chứng minh: [ ]

[ ] *(

( )) +

[

] [ ( ) ]

Vậy: Momen xung lượng là tích phân chuyển động.

Chứng minh: [ ]

[ ] *(

( )* ( )+

([

] [ ]) [ ( ) ] [ ( ) ]

( [

] [ ] [

] [ ] )

Vậy: Hình chiếu momen xung lượng lên trục x (Lx) là tích phân chuyển động.

Chứng minh: [ ]


[ ] *(

( )* (

)+

([

] [

] [

]) [ ( )

] [ ( )

] [ ( )

]

([

] [

] [

])

Tính: [ ]

[ ] [ ( )] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

Suy ra: [

]

Tính: [ ]

[ ] [ ( )] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

Suy ra: [

]

Tính: [ ]

[ ] [ ( )] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

Suy ra: [

] [

] [

]

( [ ] [ ] ) ( [ ] [ ] )

( )

Do đó: [ ]

([

] [

] [

])

Vậy: Momen toàn phần không phải là tích phân chuyển động.


Ta có:

[ ]

Vậy xác định được [ ] là ta xác định được dạng của toán tử vận tốc.

+ Ta tính [ ]

[ ]

(

(

)

( )+ (

(

)

( )+

Tác dụng lên hàm ( ) ta được:

(

(

)

( )+ ( ) (

(

)

( )+ ( )

(

(

)

* ( )

(

(

)

* ( )

( )

( )

( )

( )

( ( ))

( ( ))

( )

( )

( ( )

( )+

( ( )

( )+

( )

( )


( )

(

( )

( )+

( ( )

( )+

( )

( )

( )

( )

Vậy:

[ ]

(

)

Suy ra:

[ ]

(

)

(

)


Chƣơng VI

CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT TRONG

TRƢỜNG XUYÊN TÂM

I. Tóm tắt lý thuyết:

1. Phương trình Schrodinger của hạt trong trường xuyên tâm:

Với

[

(

* ]

Do biến số r hoàn toàn độc lập với hai biến số nên hàm ( ) có thể viết dưới

dạng:

( ) ( ) ( )

Trong đó ( ) chỉ phụ thuộc vào bán kính nên gọi là hàm bán kính hoặc hàm xuyên

tâm. ( ) gọi là hàm góc.

2. Bài toán nguyên tử Hidro và các ion tương tự:

Về nguyên tắc đây là bài toán hệ 2 hạt ( electron và hạt nhân). Vì khối lượng của hạt

nhân rất lớn nên bài toán này có thể quy về bài toán một hạt. Đó là chuyển động của

electron trong trường Culoumb của hạt nhân.

Kết luận:

a. sự lượng tử hoá năng lương:

Vì n có giá trị khả dĩ nên năng lượng có giá trị gián đoạn hay bị lượng tử hoá.

b. Sự suy biến của năng lượng: nghĩa là ứng với một giá trị năng lượng sẽ có 1 số

hàm sóng thoả mãn năng lượng đó.

3. Sự phân bố electron trong nguyên tử Hidro và các ion tương tự:


Mật độ xác suất tìm electron chung quanh hạt nhân nguyên tử tại một điểm

có toạ độ (r, θ, ϕ) là:

ρnℓm(r, θ, ϕ) = |ψnℓm(r, θ, ϕ)|2

.

Xác suất để tìm electron trong phần tử thể tích dV tại lân cận điểm (r, θ, ϕ) có

toạ độ ở trong khoảng r → r + dr; θ →θ + dθ; ϕ → ϕ + dϕ là:

dWnℓm(r, θ, ϕ) = ρnℓm(r, θ, ϕ)dV = |ψnℓm(r, θ, ϕ)|2dV.

Vì trong toạ độ cầu dV = r2dr sin θdθdϕ, nên:

dWnℓm(r, θ, ϕ) = |Rnℓ(r)|2

r2

dr.Yℓm

(θ, ϕ)|2

dΩ,

với dΩ = sin θdθdϕ là phần tử góc khối.

Lưu ý: Nếu tìm xác suất theo bán kính thì thành phần tích phân theo góc khối sẽ là

đơn vị và ngược lại.

Các kiến thức cần có khi giải bài tập chương 6:

+ dạng của toán tử nâng và toán tử hạ.

+ Phương trình trị riêng và hàm riêng:

+ Công thức tính trị trung bình:

⟨ | ⟩

+ Tích phân Poison:

∫

+ Các hàm sóng đều có 1 năng lượng

+ Công thức khai triển Maclaurin:

II. Bài tập:


Bài giải:

Ta lưu ý tính chất sau:

[ ]

với

a.

Ta có:

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

b.[ ]

Xét [ ] ta có:

[ ] [ ] [ ] [ ]

( ) .

Tương tự: [ ]

c.

Ta có:

( ) ( )

[ ]

Vậy


Ta có phương trình trị riêng của toán tử là:

( )

( )

Với dạng toán tử của

ta có:

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

Với lúc này:

( )

( ) ( )

Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với phương trình đặc trưng là:

Vậy nghiệm của phương trình trị riêng là:

( )

Trị riêng:

Chuẩn hoá hàm sóng ta được:

∫ ( ) ( )

∫

√

Vậy hàm riêng chuẩn hoá sẽ là:

( )

√

√

+ Dùng điều kiện chuẩn hoá xác định A:

∫

( ) ( ) ( )

Trong đó là thành phần góc khối, có dạng:


( ) | | ∬ ( ) ( ) ( )

| | ∫ ( ) ∫ ( )

| |

| |

√

+ Tính :

⟨ ( )| ( )⟩

Với

(

(

*

)

Suy ra:

∫

( ) ( )

Với

( ) (

(

*

) ( )

(

( )

)

( )

( )

( )

( )

( )

( ( ) )

Vậy:

∫

( ( ) )

∫

( ( ) )


∫ ( )

∫

∫

∫

Tính lần lượt các tích phân:

∫ ( )

∫

∫

Như vậy:

(

*

a. Sử dụng điều kiện chuẩn hoá hàm sóng trong hệ toạ độ cầu:

∫

( ) ( )

| | ∫ ⁄

∫

∫

Tính lần lượt các tích phân:

∫ ⁄

Ta sử dụng công thức: ∫

∫

∫

Như vậy:

| |

√


b. Trị trung bình:

⟨ | ⟩ | | ∫ ⁄

∫

∫

| | ∫ ⁄

( ⁄ )

c. Trị trung bình:

⟨ | ⟩ | | ∫

⁄ ∫

∫

| | ∫ ⁄

( ⁄ )

+ Hàm riêng của toán tử ứng với các số lượng tử là:

√

+ Xác suất tìm thấy hạt ở trạng thái này là:

| |

Ta thấy xác suất không liên quan đến thành phần góc . Hạt phân bố đối xứng qua

trục z. Gọi W là xác suất để hạt nằm trong hình nón có trục đối xứng Oz v à có góc

hợp bởi đường sinh và trục Oz là ⁄ thì:

∫

∫

⁄

∫

∫

⁄

Đặt

Đổi cận:

⁄ √

⁄


Vậy:

∫

√ ⁄

|

√ ⁄

√

√

Hàm ( )là hàm chuẩn hoá vì:

⟨ ( )| ( )⟩

⟨ | ⟩

⟨ | ⟩

⟨ | ⟩

⟨ | ⟩

a. Trị trung bình của năng lượng:

⟨ ( )| ( )⟩

⟨ √ √ | ( √ √ )⟩

Vì nên:

⟨

| ⟩

⟨

| ⟩

⟨

| ⟩

⟨

| ⟩

Ta có:

Trong nguyên tử Hidro nên Z=1

Ta có

Vậy:


( )

b. Tìm xác suất tìm electron theo bán kính:

Đặt

Xác suất tìm hạt:

∫

Với ( ) ( )

Do điều kiện chuẩn hoá của hàm cầu ( ) nên tích phân theo góc sẽ bằng đơn vị.

Do đó:

∫ ( | |

| | )

Với :

(

*

⁄

⁄ | |

⁄

√

⁄ |

|

⁄

Suy ra:

∫ (

⁄

⁄ )

∫ ⁄

∫ ⁄

( )

Sử dụng công thức khai triển Maclaurin:

Vì nên theo công thức Maclaurin ta có:

⁄

( )

⁄

( )

Thay ( ) và ( ) vào ( ) ta được:

∫ (

*

∫ (

*


(

) |

(

)|

(

)

(

)

(

*

(

*

(

*

(

*

Với

ta được:

a. Dùng điều kiện chuẩn hoá hàm sóng trong toạ độ cầu:

∫

| | ∫

∫

∫

| |

( )

+Phương trình Schrodinger của nguyên tử có dạng:

( ) ( )

Trong đó:

(

*

Và

( )

( )

(

*


( ( ) )

( )

(

) (

)

Số hạng thứ nhất phải bằng 0, từ đó ta có:

Với

⁄

b. Vì số hạng thứ nhất bằng 0 nên số hạng thứ 2 cũng bằng 0. Suy ra:

Với

⁄

c. Trị trung bình của thế năng:

⟨ | ⟩ | | ∫

⁄

| | ∫ ⁄

∫

∫

( )

+ Trị trung bình của động năng:

⟨ |( ) ⟩ ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩

d.trị trung bình của r:

⟨ | ⟩ | | ∫

⁄ | | ∫ ⁄

∫

∫

( )


CHƢƠNG VII

LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN

I.KIẾN THỨC CẦN ĐỂ GIẢI BÀI TẬP:

1. Biểu thức phần tử ma trận của toán tử:

⟨ | ⟩

2. Cách tìm hàm sóng trong 1 biểu diễn bất kỳ: (F-biểu diễn)

Bước 1: Khai triển hàm sóng theo hàm riêng của toán tử F.

Bước 2: xác định hàm sóng trong F-biểu diễn:

( ) ⟨ | ⟩

3. Các công thức khai triển Eleur:

4. Cách tính tích phân dạng:

∫

biến đổi mủ về dạng bình phương rồi sử dụng công thức tích phân Poison

∫

√

5. Cách tìm trị riêng và hàm riêng dưới dạng ma trận:

6. Tích phân:

∫

II. BÀI TẬP:

Ta có:

⟨ ( )| ( )⟩


Ta lấy liên hợp phức hai vế biểu thức trên ta được:

( ) ⟨ ( )| ( )⟩

Do tính chất Hermite của toán tử nên:

( ) ⟨ ( )| ( )⟩

⟨ ( )| ( )⟩

Vậy:

( )

Hay ma trận là ma trận Hermite.

Trong E-biểu diễn, các phần tử ma trận của toạ độ có dạng:

⟨ ( )|

( )⟩

Với

( ) √

(

)

Và

( ) √

(

)

Suy ra:

⟨ ( )| ( )⟩

∫ (

)

(

)

∫ [ (

) (

*]

∫ (

( )

)

∫ (

( )

)

+ Tính lần lượt các tích phân:

* Tính :

Đặt:


(( )

)

( ) (

( )

)

Vậy:

( ) (

( )

) |

( ) ∫ (

( )

)

( )

( ) (

( )

) |

( ) [( ) ]

* Tính :

(( )

)

( ) (

( )

)

Vậy:

( ) (

( )

) |

( ) ∫ (

( )

)

( ) (

( )

) |

( ) [( ) ]

Suy ra:

( ) [( ) ]

( ) [( ) ]

( ) [( ) ]

( ) [( ) ]

[( ) ] [

( )

( ) ]

[( ) ]

( )

+ khi m=n

∫ (

)

∫ ( (

**


Trong E-biểu diễn, các phần tử ma trận của xung lượng có dạng:

⟨ ( )| ( )⟩

∫

(

)

∫

∫ (

( )

( )

)

(

( )

( )

( )

( )

) |

(

( ) [( ) ]

( ) [( ) ]*

( ) [( ) ]

( ) [( ) ]

Khi m=n:

∫

(

)

∫

∫

|

Khai triển hàm sóng ( ) theo hàm riêng của toán tử xung lượng ( )

√

:

Vì trị riêng của toán tử xung lượng có giá trị liên tục nên

( ) ∫ ( )

Trong đó, ( ) chính là hàm sóng trong biểu diễn xung lượng (p-biểu diễn)

( ) tìm được nhờ điều kiện trực chuẩn của hàm riêng:


( ) ⟨ ( )| ( )⟩

√ ∫

⁄

⁄

( )

√ ∫

( )

⁄

⁄

( ) √

( ) |

⁄

⁄

( )√ [

( )

( )

]

( ) √ (

( )

)

Vậy dạng hàm sóng trong p-biểu diễn:

( ) √

(

( )

)

+ Sử dụng điều kiện chuẩn hoá tìm A:

∫ (

) (

)

∫

√

√√


√

:


( ) ∫ ( )




( ) ⟨ ( )| ( )⟩

√ ∫

(

)

√ ∫ *

( ) +

√ ∫ *

( ) +

Ta biến đổi các số hạng trong dấu [ ] của hàm mũ:

( ) [

( ) ]

*

( )

( )

( ) ( )

( ) +

[

( )]

( )

Thay vào biểu thức ( ) ta có:

( )

√ ∫

* *

( )+

( )

+

√

( )

∫ *

( )+

Đặt

( )

Suy ra:

( )

√

( )

∫

√ √

( )

√ √

√

( )

( )

√ √

√

( )

√

( )


Đặt

( √

)

⁄

Suy ra hàm ( )


√

:


( ) ∫ ( )



( ) ⟨ ( )| ( )⟩

( )

√ ∫

√ ∫

√ ∫ ( )

Với:

( )

[

] *

+

[

]

Ta có:

( )

√ ∫

* +

√

∫ *

+

√

∫

√

√

√ √√

√

√


√

√

√ √

+ Dùng điều kiện chuẩn hoá để xác định A:

| | ∫

| |

√

Khai triển hàm ( ) theo hàm riêg cuả toán tử mômen xung lượng lên trục z

( )

√

( ) ∑ ( )

Trong đó, ( ) chính là hàm sóng trong -biểu diễn.


( ) ⟨ ( )| ( )⟩

√ ∫

Với

Ta được:

( )

√ ∫ ( )

√ ∫ ( )

√ ∫ ( ( ) ( ) ( ) )

Thay Avào ta được:


( )

√

∫ ( )

√

∫ ( )

√

∫ ( )

Ta có điều kiện trực chuẩn của hàm riêng của toán tử :

⟨ ( )| ( )⟩

∫ (

)

Vậy:

( )

√

√

√

Trong p-biểu diễn nên toán tử toạ độ và xung lượng có dạng:

Toán tử năng lượng:

Trong đó :

Trong p- biểu diễn, phương trình Schrodinger có dạng:

( ) ( )

*

+ ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) (

) ( )

( )

(

) ( )

( )

( )

(

)

| ( )|

(

)

( ) (

*

(

*


Tìm C bằng điều kiện chuẩn hoá:

∫ ( )

( )

∫

(

)

∫

(

)

(

( )) ( )

Ta có tính chất: ( )

( )

( )

√

Vậy hàm sóng cần tìm là:

( )

√

(

*

Trong p-biểu diễn toán tử Hamiltonian của dao động tử điều hoà có dạng:

Phương trình Schrodinger:

( ) ( )

( ( )) (

) ( )

( ( )) (

) ( ) ( )

Đặt

và

với

( )

( ( )) ( ) ( )

Phương trình này giống với phương trình trong dao động tử điều hoà mà ta đã khảo

sát:

+ Năng lượng: (

)

Hàm sóng:

( )

( )

Chuẩn hoá để tìm An


∫

( )

√

(√ )

⁄

Vậy hàm sóng cần tìm là:

( ) (√ )

⁄

⁄

(

*

Khai triển hàm theo hàm riêng của toán tử xung lượng trong 3 chiều:

( ) ( ) ( )

Với

( )

( ) ⁄

Trong đó ( ) chính là hàm sóng trong p-biểu diễn:

( ) ⟨ | ⟩

( ) ⁄

√ ∫

Ta tính tích phân trong toạ độ cầu và chọn phương của xung lượng như hình vẽ:

Suy ra

Khi đó:

𝜃

𝑟

𝑦

𝑧

𝑥

O


( )

√ ( ) ∫

⁄

√ ( ) ∫

∫

⁄ ∫

√ ( ) ∫

⁄

Ta tính :

∫

đặt lúc này là:

∫

(

*

(

*

Vậy:

( )

√ ( )

∫

⁄ (

*

√ ( ) ∫ *

(

)

(

)+

đặt

và

Ta được:

( )

√ ( ) ∫

√ ( ) ∫

√ ( ) (

*

Thay và ta được:

( )

√ ( )

( )

( (

)

*

√ ( )

( (

) *

√

( (

) *

Vậy:


( )

(

*

⁄

( (

)

*

Phương trình đặc trưng ứng với ma trận A có dạng:

|

|

( ) |

| ( ) ( )

√ √

Phương trình hàm riêng viết dưới dạng ma trận:

AC=aC

(

+ (

+ (

+

+ Khi a=7 suy ra ,

+ Khi √ (√ )

Sử dụng điều kiện chuẩn hoá:

( (√ ) ) (

(√ )

)

(√ )

( √ )


√ ( √ )

Tương tự với √

(√ )

√ ( √ )

Vậy trị riêng của toán tử A là 7 và √

+ khi trị riêng thì hàm riêng là ma trận cột có dạng

(

+

+ Khi trị riêng √ , hàm riêng là 1 ma trận cột có dạng:

(

√ ( √ )⁄

)

+ Khi trị riêng √ , hàm riêng là 1 ma trận cột có dạng:

(

√ ( √ )⁄

)


Tài liệu tham khảo [ ] Lê Đình - Trần Công Phong, Giáo trình cơ học lượng tử, Đại học sư phạm Huế,

tháng 8 năm 2011. [ ] Nguyễn Đình Trí - Tạ Văn Đĩnh - Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán học cao cấp - tập 1,

NXB Giáo dục, 2011

Giai Bai Tap Co Luong Tu

Documents

Transcript of Giai Bai Tap Co Luong Tu