Gewmetria b Lykeiou Taexeiola Gr
description
Transcript of Gewmetria b Lykeiou Taexeiola Gr
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
1
8η ΕΚ∆ΟΣΗ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
2
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
3
ΠΕΡΙΕΧΕΙ
ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ
ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ∆ΙΧΟΤΟΜΩΝ
ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
ΕΜΒΑ∆Α
ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
4
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
5
ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ
∆ύο ευθύγραmicromicroα τmicroήmicroαταα γ λέγονται ανάλογα προς δύο άλλα ευθύγραmicromicroα τmicroήmicroατα β δ
όταν ο λόγος του α προς το β ισούται microε το λόγο του γ προς το δ
δγ
βα
=
bull Η παραπάνω ισότητα λέγεται αναλογία
bull Τα ευθύγραmicromicroα τmicroήmicroατα α β γ δ λέγονται ανάλογα ή αντίστοιχα
bull Τα τmicroήmicroατα α δ λέγονται άκροι όροι
bull Τα τmicroήmicroατα β γ λέγονται microέσοι όροι
bull αγβγβ
βα
βγαδδγ
βα
=hArr==hArr= 2
bull δβ
γα
δγ
βα
=hArr=
bull δγ
γβα
αδγ
βα
δδγ
ββα
δγ
βα
plusmn=
plusmnhArr=
plusmn=
plusmnhArr=
bull λδβκγα
λκ
δγ
βα
++++++
====
Ένα σηmicroείο Μ διαιρεί εσωτερικά το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ σε λόγο λ αν και microόνο αν
λ=ΜΒΜΑ
Το σηmicroείο Μ είναι microοναδικό
Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέmicroνουν δύο άλλες ευθείες ορίζουν σε αυτές
τmicroήmicroατα ανάλογα
∆ηλαδή Αν 321 εεε τότε ΕΗΑΓ
=ΖΗΒΓ
=ΕΖΑΒ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
6
Θεωρούmicroε δύο ευθείες 21 δδ που τέmicroνουν δύο παράλληλες ευθείες 21 εε στα σηmicroεία
ΒΑ και ΖΕ αντίστοιχα Αν ΗΓ είναι σηmicroεία των ευθειών 21 δδ αντίστοιχα τέτοια ώστε
ΖΗΕΖ
=ΒΓΑΒ
τότε η ευθεία ΓΗ είναι παράλληλη προς τις 21 εε
Κάθε ευθεία που είναι παράλληλη microε microια από τις πλευρές ενός τριγώνου χωρίζει τις δύο
άλλες σε microέρη ανάλογα και αντίστροφα
Το τρίγωνο που ορίζεται από τις ευθείες δύο πλευρών τριγώνου και microια παράλληλη προς microια
τρίτη πλευρά του έχει πλευρές ανάλογες προς τις πλευρές του αρχικού τριγώνου
∆ύο σηmicroεία Γ και ∆ που διαιρούν εσωτερικά και εξωτερικά το τmicroήmicroαΑΒστον ίδιο λόγο
λέγονται συζυγή αρmicroονικά των Α και Β
∆ηλαδή τα Γ και ∆ λέγονται συζυγή αρmicroονικά των Α καιΒ αν τα τέσσερα σηmicroεία είναι
συνευθειακά και αντίστροφα τα Α καιΒ είναι συζυγή αρmicroονικά των Γ και ∆
Τα τέσσερα σηmicroεία ( )ΒΑ και ( )∆ Γ λέmicroε ότι αποτελούν αρmicroονική τετράδα
∆ηλαδή Αν 321 δδδ τότε ΕΗΚΜ
=ΖΗΛΜ
=ΕΖΚΛ
Όπου ΒΓ∆Ε ε
∆Β∆Α
=ΓΒΓΑ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
7
ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ∆ΙΧΟΤΟΜΩΝ
Η διχοτόmicroος microιας γωνίας τριγώνου διαιρεί την απέναντι πλευρά εσωτερικά σε λόγο ίσο microε το
λόγο των προσκείmicroενων πλευρών
Η διχοτόmicroος microιας εξωτερικής γωνίας τριγώνου τέmicroνει την προέκταση της απέναντι πλευράς
σε ένα σηmicroείο το οποίο διαιρεί εξωτερικά την πλευρά αυτή σε λόγο ίσο microε το λόγο των
προσκείmicroενων πλευρών
∆ηλαδή αν Α∆ η διχοτόmicroος του τριγώνου ΑΒΓ
ισχύει
ΑΓΑΒ
=∆Γ∆Β
∆ηλαδή αν ΑΕ η εξωτερική διχοτόmicroος του
τριγώνου ΑΒΓ ισχύει
ΑΓΑΒ
=ΕΓΕΒ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
8
ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
∆ύο ευθύγραmicromicroα σχήmicroατα λέγονται όmicroοια αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες
που σχηmicroατίζονται από τις οmicroόλογες πλευρές τους ίσες microία προς microία
Ο λόγος των περιmicroέτρων δύο όmicroοιων ευθυγράmicromicroων σχηmicroάτων ισούται microε το λόγο οmicroοιότητας
τους
ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ
Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες τους ίσες microία προς microία τότε είναι όmicroοια
Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ανάλογες microία προς microία και τις περιεχόmicroενες στις πλευρές
αυτές γωνίες ίσες τότε είναι όmicroοια
Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές ανάλογες microία προς microία τότε είναι όmicroοια
bull ∆ύο ορθογώνια τρίγωνα είναι όmicroοια όταν έχουν microία οξεία γωνία τους ίση
bull Όλα τα ισόπλευρα τρίγωνα είναι όmicroοια microεταξύ τους
bull ∆ύο ισοσκελή τρίγωνα τα οποία έχουν microία αντίστοιχη γωνία ίση είναι όmicroοια
bull Ο λόγος οmicroοιότητας δύο όmicroοιων τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο δύο οmicroόλογων υψών τους
bull Ο λόγος οmicroοιότητας δύο όmicroοιων τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο δύο οmicroόλογων διχοτόmicroων
τους
bull Ο λόγος οmicroοιότητας δύο όmicroοιων τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο δύο οmicroόλογων διαmicroέσων
τους
8ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
9
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΡΙΓΩΝΟ
Αν από τα άκρα ενός ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατος ΑΒ φέρουmicroε τις κάθετες ΑΑrsquo και ΒΒrsquo πάνω σε
microια ευθεία ε τότε το τmicroήmicroα ΑrsquoΒrsquo είναι η προβολή του ΑΒ πάνω στην ε
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο microιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο microε το
γινόmicroενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην υποτείνουσα
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ο λόγος των τετραγώνων των κάθετων πλευρών του είναι ίσος
microε το λόγο των προβολών τους πάνω στην υποτείνουσα
Γ∆Β∆
=ΑΓ
ΑΒ2
2
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισmicroα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών του είναι
ίσο microε το τετράγωνο της υποτείνουσας 222 ΑΓ+ΑΒ=ΒΓ
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει 222 ΑΓ+ΑΒ=ΒΓ τότε
90=Αand
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο του ύψους του που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα
είναι ίσο microε το γινόmicroενο των προβολών των κάθετων του στην υποτείνουσα
∆ΓsdotΒ∆=Α∆2
Έστω λοιπόν το ορθογώνιο ΑΒΓ και ∆ η προβολή της κορυφής
Α στην υποτείνουσα ΒΓ
Τότε ισχύει Β∆sdotΒΓ=ΑΒ2 και
Γ∆sdotΒΓ=ΑΓ2
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
10
bull Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές τότε βα 2=
bull Αν Α∆ είναι το ύψος ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα
τότε ισχύει 222
111
αυγβ=+ και βγαυα =
bull Το ύψος ισοπλεύρου τριγώνου ως συνάρτηση της πλευράς α
δίνεται από τον τύπο 2
3sdot=α
υ
ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ
Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία είναι ίσο microε το
άθροισmicroα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του ελαττωmicroένο κατά το διπλάσιο
γινόmicroενο της microιας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή
∆ηλαδή σε τρίγωνο ΑΒΓ microε 90ltΑ
and
και Α∆ η προβολή της πλευράς γ πάνω στην β
τότε ισχύει Α∆sdotminus+= βγβα 2222
Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από αmicroβλεία γωνία είναι ίσο microε το
άθροισmicroα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του αυξηmicroένο κατά το διπλάσιο
γινόmicroενο της microιας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
11
Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν οι ισοδυναmicroίες
bull 222 γβα +gt αν και microόνο αν 90gtΑ
and
bull 222 γβα += αν και microόνο αν 90=Α
and
bull 222 γβα +lt αν και microόνο αν 90ltΑ
and
Προσοχή Για να εφαρmicroόσουmicroε το πόρισmicroα αυτό πρέπει πάντα να συγκρίνουmicroε το
τετράγωνο της microεγαλύτερης πλευράς του τριγώνου microε το άθροισmicroα των τετραγώνων των
άλλων δύο πλευρών
Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση
Αsdotminus+= συνβγγβα 2222
Το ύψος υα ενός τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τον τύπο
( )( )( )γτβταττα
υα minusminusminus=2
όπου ( )γβατ ++=2
1
Ανάλογες εκφράσεις ισχύουν και για τα άλλα ύψη υβ και υγ
ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ∆ΙΑΜΕΣΩΝ
Το άθροισmicroα των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται microε το διπλάσιο του
τετραγώνου της διαmicroέσου που περιέχεται microεταξύ των πλευρών αυτών αυξηmicroένο κατά το
microισό του τετραγώνου της τρίτης πλευράς
∆ηλαδή σε τρίγωνο ΑΒΓ microε 90gtΑ
and
και
Α∆ η προβολή της πλευράς γ πάνω στην β
τότε ισχύει
Α∆sdot++= βγβα 2222
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
12
∆ηλαδή αν Α∆ =υα το ύψος και ΑΜ =microα η διάmicroεσος ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύει
2
22
222 αmicroγβ α +=+
Ανάλογα έχουmicroε και τους ακόλουθους τύπους
2
22
222 γmicroβα γ +=+
22
2222 β
microγα β +=+
Η διαφορά των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται microε το διπλάσιο γινόmicroενο της
τρίτης πλευράς επί την προβολή της αντίστοιχης διαmicroέσου πάνω στην πλευρά αυτή
Μ∆sdot=minus αγβ 222
Σηmicroείωση αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές ή ισόπλευρο τότε το Μ ταυτίζεται microε το ∆ και το 2ο
θεώρηmicroα διαmicroέσων ισχύει ταυτοτικά
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ
Αν δύο χορδές Γ∆ΑΒ ή οι προεκτάσεις τους τέmicroνονται σε ένα σηmicroείο Ρ τότε ισχύει
Ρ∆sdotΡΓ=ΡΒsdotΡΑ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
13
Αν από ένα εξωτερικό σηmicroείο Ρ κύκλου ( )R Ο φέρουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΡΕ
Και microια ευθεία που τέmicroνει τον κύκλο στα σηmicroεία ΒΑ τότε ισχύει η σχέση
Επίσης αν η ευθεία ΡΟ τέmicroνει τον κύκλο στα ∆ Γ και δ=ΟΡ τότε έχουmicroε ότι
Η διαφορά 22 Rminusδ λέγεται δύναmicroη σηmicroείου Ρ ως προς τον κύκλο ( )R Ο και
συmicroβολίζεται
( )2222
RRR minusΟΡ=minus=∆ΡΟ δ
bull Το Ρ είναι εξωτερικό σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 gt∆ΡΟ R
bull Το Ρ είναι εσωτερικό σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 lt∆ΡΟ R
bull Το Ρ είναι σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 =∆ΡΟ R
bull Για να είναι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι εγγράψιmicroο σε κύκλο αν ισχύει η σχέση
Ρ∆sdotΡΓ=ΡΒsdotΡΑ
bull Αν οι διαγώνιοι ενός τετράπλευρου ΑΒΓ∆ τέmicroνονται σε ένα σηmicroείο Κ τότε για να
είναι το τετράπλευρο εγγράψιmicroο σε κύκλο πρέπει να ισχύει η σχέση
Κ∆sdotΚΒ=ΚΓsdotΚΑ
ΡΒsdotΡΑ=ΡΕ2
( )( ) 22 RRR minus=+minus
=Ρ∆sdotΡΓ=ΡΒsdotΡΑ
δδδ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
14
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Οι πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου έχουν microήκη x x+1 και x+2 Η περίmicroετρος του
τριγώνου αυτού είναι
Α 3 Β 6 Γ 10 ∆ 12 Ε 15
Επιλέξτε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε
2 Θεωρούmicroε διάmicroετρο ΑΒ κύκλου (ΟR) και τις κάθετες ακτίνες ΟΓ και Ο∆ Αν Ε και
Ζ οι προβολές των Γ και ∆ αντίστοιχα στην ΑΒ να αποδειχθεί ότι
i) Τα τρίγωνα ΟΕΓ και Ζ∆Ο είναι ίσα
ii) 222 R=ΟΖ+ΟΕ
3 Έστω ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο )90( Οand
=Α και Β∆ η διάmicroεσός του Να αποδειχθεί
ότι 222
4
3ΒΓ=ΑΓ+Β∆
4 Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο ΑΟΒ κύκλου (ΟR) και τη διχοτόmicroο ΟΜ της γωνίας and
ΟΒΑ Από σηmicroείο Γ του τόξου cap
ΑΒ φέρουmicroε ΟΒperpΓ∆ που τέmicroνει την ευθεία
ΟΜ στο σηmicroείο Ε Να αποδειχθεί ότι α) ∆Ε=Ο∆ β) 222 R=∆Ε+∆Γ
5 Αν σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά
τmicroήmicroα Γ∆=2ΒΓ να αποδειχθεί ότι 222 6ΒΓ+ΑΓ=Α∆
6 Αν ∆ σηmicroείο της πλευράς ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) να αποδειχθεί ότι
22 ∆Γsdot∆Β=Α∆minusΑΒ
7 Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω
περιπτώσεις όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί
να αποτελεί microήκη των πλευρών του i) 357 ii) 842 iii) 76 85
8 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ πληρούν τη σχέση 222 βαγ +lt
τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο
9 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ πληρούν τις σχέσεις αltβltγ και 222 βαγ +lt τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο
10 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών ΑΒΓ πληρούν τη σχέση 444 γβα +lt τότε να
αποδειχθεί ότι 90Οand
ltΑ
11 Θεωρούmicroε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και σηmicroείο ∆ της ηmicroιευθείας ΑΒ
τέτοιο ώστε Β∆=ΑΒ Αν ΑΒperpΓΕ και είναι ΑΒ=4ΒΕ να αποδειχθεί ότι
2
3 222 ΑΓ+ΒΓ=Γ∆
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
15
12 Θεωρούmicroε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α τη διχοτόmicroο Γχ της εξωτερικής
γωνίας εξΓ
and
αυτού την κάθετη xΓperpΒΕ και την κάθετη ΑΓperpΕΖ
Να αποδειχθεί ότι i)4
α=ΓΖ ii)
2
7α=ΑΕ
13 Εκατέρωθεν της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ κατασκευάζουmicroε δύο ισόπλευρα
τρίγωνα ΒΓ∆ και ΒΓΕ Να αποδειχθεί ότι 22222 γβα ++=ΑΕ+Α∆
14 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ τα microήκη των πλευρών του οποίου συνδέονται microε τη σχέση
2 222 αγβ =+ Nα αποδειχθεί ότι α) 2
βmicro +2
γmicro =2
2 αmicro
β) 2
3αmicroα =
2
3γmicroβ =
2
3βmicroγ =
15 Θεωρούmicroε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ )90( Οand
=Α και τη διάmicroεσό του ΒΕ
α) Να αποδειχθεί ότι 222
4
3ΒΓ=ΑΓ+ΒΕ β) Αν Α∆ είναι η διάmicroεσος του
τριγώνου ΑΒΓ ΒΕ= 14 και o60=Β∆Α
and
να υπολογιστούν τα microήκη των πλευρών
του τριγώνου ΑΒΓ
16 Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει γβ micromicro perp τότε να αποδειχθεί ότι 222
αγβ micromicromicro =+
17 Αν ΒΒ΄ το ύψος τριγώνου ΑΒΓ microε o90ltΑ
and
και ΑΜ η διάmicroεσός του τότε να
αποδειχθεί ότι 4
22 ΄ΑΒsdotΑΓ+
ΒΓ=ΑΜ
18 Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ )90( Οand
=Α η διάmicroεσος του ΑΜ και ευθεία (ε)
κάθετη στην ΑΜ στο Μ Αν Ρ σηmicroείο της (ε) να αποδειχθεί ότι 222 2ΡΑ=ΡΓ+ΡΒ
19 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ ΑΜ διάmicroεσος η οποία προεκτεινόmicroενη τέmicroνει τον
περιγεγραmicromicroένο κύκλο (ΟR) στο ∆ και Θ το βαρύκεντρο του τριγώνου
Να δειχθεί ότι i)4
2α=Μ∆sdotΜΑ ii)
ΘΟ∆ )( R )(
9
1 222 γβα ++minus=
iii) AB2+AΓ
2=2ΑΜsdotΑ∆
20 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόmicroος του Α∆ Αν οι κύκλοι οι περιγεγραmicromicroένοι στα
τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓ∆ τέmicroνουν τις ΑΓ και ΑΒ στα σηmicroεία Ζ και Ε αντίστοιχα να
αποδειχθεί ότι ΒΕ=ΓΖ
21 Κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι εγγράψιmicroο σε κύκλο Αν το σηmicroείο τοmicroής Μ των
διαγωνίων του είναι microέσο της διαγωνίου Β∆ να αποδειχθεί ότι
i) ΜΓsdotΜΑ=∆Β 42 ii) 2 22222 ΑΓ=∆Α+Γ∆+ΒΓ+ΑΒ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
16
22 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) διαmicroέτρου ΑΒ Από ένα σηmicroείο Γ της προέκτασης της ΑΒ
προς το Β φέρνουmicroε την εφαπτοmicroένη Γ∆ και την ΑΓperpΓx Αν Ε είναι το σηmicroείο
τοmicroής των Α∆ και Γx να αποδειχθεί ότι
i) το τετράπλευρο ∆ΒΓΕ είναι εγγράψιmicroο ii) ΑΕsdotΑ∆minusΓΑ=Γ∆ 22
23 ∆ύο κύκλοι (ΚR) και
Λ2
R
εφάπτονται εσωτερικά στο Α Από ένα σηmicroείο Μ του
κύκλου
Λ2
R
φέρνουmicroε χορδή Γ∆ του κύκλου (ΚR) Να αποδειχθεί ότι
ΜΓΜ∆=ΜΑ2
24 Θεωρούmicroε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α και σηmicroείο ∆ της πλευράς ΒΓ Αν οι
περιγεγραmicromicroένοι κύκλοι στα τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓ∆ τέmicroνουν τις πλευρές ΑΓ και ΑΒ
στα σηmicroεία Ε και Ζ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι ΒΖ+ΓΕ=α
25 Στη διάmicroετρο ΑΒ κύκλου (ΟR) θεωρούmicroε τα σηmicroεία Γ και ∆ έτσι ώστε ΟΓ=Ο∆=α
και microεταβλητό σηmicroείο Μ του κύκλου Αν οι ΜΓ και Μ∆ τέmicroνουν τον κύκλο στα Ε
και Ζ αντίστοιχα να αποδείξετε ότι i) ΜΓΓΕ = Μ∆∆Ζ ii)
ΜΓ2+Μ∆
2 = 2(R
2+α
2) iii) το άθροισmicroα
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
είναι σταθερό
26 Θεωρούmicroε κύκλο (O2α) και σηmicroείο Ρ τέτοιο ώστε ΟΡ=2
3α Φέρουmicroε χορδή ΑΒ η
οποία διέρχεται από το Ρ και είναι τέτοια ώστε ΑΡ=α Να υπολογιστεί το microήκος της
χορδής ΑΒ
27 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) διάmicroετρο ΑΒ και τα microέσα Γ και ∆ των ΟΑ και ΟΒ
αντίστοιχα Από το σηmicroείο Γ φέρουmicroε χορδή ΕΖ = 2
13 Rsdot Να αποδειχθεί ότι
i) ΖΓ2+Ζ∆
2+ΓΕ
2+∆Ε
2=5R
2 ii)
and
Ε∆Ζ = 900
28 Έστω ΑΒ διάmicroετρος κύκλου (ΟR) και ΑΓ Β∆ δύο χορδές που τέmicroνονται στο Ρ Να
αποδειχθεί ότι i) αν οι Α∆ και ΒΓ τέmicroνονται στο Ε τότε το Ρ είναι ορθόκεντρο του
τριγώνου ΕΑΒ ii) ΑΓΑΡ+Β∆ΒΡ=ΑΒ2
29 Τρίγωνο ΑΒΓ microε β2+γ
2=2α
2 Β∆ ΓΕ ύψη ΑΜ διάmicroεσος και Ζ microέσο της ΑΜ Να
αποδειχθεί ότι i)and
Α lt900 ii) AE =
γα2
2
και ΑΜ = 2
3α iii) ΕΖ =
γαβ4
Ζ∆ = β
αγ4
30 Σε τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούmicroε σηmicroεία ∆Ε στην πλευρά ΒΓ ώστε Β∆ = ∆Ε = ΕΓ Να
αποδείξετε ότι i) AB2 ndash 2∆E
2 = 2A∆
2 ndash AE
2 ii) AB
2 + 2AΓ
2 = 3AE
2 +
6∆E2
31 Αν α β γ πλευρές τριγώνου να βρεθεί το είδος του τριγώνου στις παρακάτω περι-
πτώσεις i) α = ν2 + 1 β = 2ν γ = ν
2 ndash 1
ii) α = 4 β = 5 γ = 3
iii) α = 11 β = 13 γ = 12
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
17
32 Αν Ε ∆ Ζ microέσα των ΑΓ ΒΓ Β∆ αντίστοιχα ενός τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε ότι
i) Ε∆=2
1ΑΒ ii) ΕΖ
2 =
16
263 222 βminusγ+α
33 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ = 6 ΑΓ = 8 ΒΓ = 2 37 να αποδειχθεί ότι
i) ο120=Α
and
ii) να βρεθεί το microήκος Α∆ όπου Β∆ ύψος τριγώνου
iii) να βρεθεί το microήκος της διαmicroέσου microα
34 Σε τρίγωνο ΑΒΓ microε πλευρές α = 9 β = 7 γ = 4 να βρείτε i) το είδος του τριγώνου
ii) το microήκος της διαmicroέσου microα iii) την προβολή της διαmicroέσου microα πάνω στην
ΒΓ iv) την προβολή της πλευράς β πάνω στην γ
35 Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ο90=Α
and
ΑΜ διάmicroεσος και Ρ το microέσο
της ΑΜ Στην πλευρά ΒΓ = α παίρνουmicroε σηmicroείο Κ ώστε ΓΚ = 8
5α Να αποδειχθεί
ότι i) ΓΡ2 =
16
5 2α ii) ΡΚ
2 =
64
5 2α iii) ΡΓ = 2ΚΡ
36 Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε ο90=Α
and
α = 25 και β = 20 αν x είναι η προβολή της
πλευράς β πάνω στην πλευρά α τότε
i) η πλευρά γ έχει microήκος Α10 Β12 Γ13 ∆15 Ε21
ii) το ύψος υα έχει microήκος Α9 Β7 Γ12 ∆17 Ε5
iii) το τmicroήmicroα x έχει microήκος Α10 Β12 Γ17 ∆16 Ε21
(Να αιτιολογήσετε την απάντηση)
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
18
ΕΜΒΑ∆Α
ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ
Ας θεωρήσουmicroε ένα πολύγωνο
Ένα σχήmicroα που αποτελείται από πεπερασmicroένο πλήθος πολυγωνικών χωρίων που ανά δύο δεν
έχουν κοινά εσωτερικά σηmicroεία λέγεται πολυγωνική επιφάνεια
Ίσα πολυγωνικά χωρία έχουν ίσα εmicroβαδά
Αν ένα πολυγωνικό χωρίο (ή microια πολυγωνική επιφάνεια) χωρίζεται σε πεπερασmicroένου
πλήθους πολυγωνικά χωρία που δεν έχουν κοινά εσωτερικά σηmicroεία τότε το εmicroβαδόν του
ισούται microε το άθροισmicroα των εmicroβαδών των επιmicroέρους πολυγωνικών χωρίων
Το εmicroβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς 1 είναι 1
∆ύο σχήmicroατα που έχουν το ίδιο εmicroβαδόν ονοmicroάζονται ισεmicroβαδικά ή ισοδύναmicroα
Το πολύγωνο microαζί microε τα εσωτερικά του
στοιχεία ονοmicroάζεται πολυγωνικό χωρίο
Ένα πολυγωνικό χωρίο που ορίζεται από
τρίγωνο τετράγωνοhellipν-γωνο ονοmicroάζεται
τριγωνικό πολυγωνικόhellip ν-γωνικό
∆ύο πολυγωνικά χωρία λέγονται ίσα όταν τα
αντίστοιχα πολύγωνά τους είναι ίσα
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
19
ΕΜΒΑ∆Α ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
Το εmicroβαδόν τετραγώνου πλευράς α δίνεται από τον τύπο 2α=Ε
Το εmicroβαδόν ενός ορθογωνίου ισούται microε το γινόmicroενο των πλευρών του βα sdot=Ε
Το εmicroβαδόν ενός παραλληλογράmicromicroου ισούται microε το γινόmicroενο microιας πλευράς του επί το ύψος
που αντιστοιχεί σε αυτή
βα υβυα sdot=sdot=Ε
Το εmicroβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο microε το ηmicroιγινόmicroενο microιας πλευράς επί το αντίστοιχο ύψος
γβα υγυβυα sdot=sdot=sdot=Ε2
1
2
1
2
1
Το εmicroβαδόν τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο του ηmicroιαθροίσmicroατος των βάσεων του επί το
ύψος του υβsdot
+Β=Ε
2
Το εmicroβαδόν τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο της διαmicroέσου επί το ύψος του
bull Το εmicroβαδόν ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς α είναι ίσο microε 4
32α=Ε
bull Το εmicroβαδόν ρόmicroβου ισούται microε το ηmicroιγινόmicroενο των διαγωνίων του
bull Το εmicroβαδόν οποιουδήποτε κυρτού ή microη κυρτού τετραπλεύρου microε κάθετες διαγωνίους
ισούται microε το ηmicroιγινόmicroενο των διαγωνίων του
bull Η διάmicroεσος κάθε τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
bull Το βαρύκεντρο τριγώνου έχει την ιδιότητα να δηmicroιουργεί microε τις κορυφές του τριγώνου τρία
ισεmicroβαδικά τρίγωνα
bull Το βαρύκεντρου του τριγώνου οι κορυφές του και τα microέσα των πλευρών του ορίζουν έξι
ισεmicroβαδικά τρίγωνα
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
20
ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΕΜΒΑ∆ΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
( )( )( )γτβταττ minusminusminus=Ε όπου 2
γβατ
++= ηmicroιπερίmicroετρος του τριγώνου
ρτ sdot=Ε
R4
γβα sdotsdot=Ε
Γsdotsdot=Βsdotsdot=Αsdotsdot=Ε ηmicroβαηmicroαγηmicroγβ2
1
2
1
2
1
ΕΜΒΑ∆Α ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
Αν δύο τρίγωνα έχουν ίσες βάσεις τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο των
αντίστοιχων υψών ενώ αν έχουν ίσα ύψη τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο
των αντίστοιχων βάσεων
Αν δύο τρίγωνα είναι όmicroοια τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το τετράγωνο του
λόγου οmicroοιότητας
Ο λόγος των εmicroβαδών δύο όmicroοιων πολυγώνων είναι ίσος microε το τετράγωνο του λόγου
οmicroοιότητας
Αν microια γωνία ενός τριγώνου είναι ίση ή παραπληρωmicroατική microε microια γωνία ενός άλλου
τριγώνου τότε ο λόγος των εmicroβαδών των δύο τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο των γινοmicroένων
των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
21
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Αν ΑΒΓ∆ τραπέζιο ( Γ∆ΑΒ ) και Ο το σηmicroείο τοmicroής των διαγωνίων του ΑΓ και
Β∆ να αποδείξετε ότι ΟΑ∆ΟΒΓ Ε=Ε
2 Ένα τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) και ΒΓ=Γ∆=Α∆ και τη βάση ΑΒ κατά 2 microικρότερη
από το άθροισmicroα των τριών αυτών πλευρών Αν το ύψος του τραπεζίου είναι 5 να
υπολογιστεί το εmicroβαδό του
3 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ microε microήκη πλευρών α=10 β=8 γ=14 και ισόπλευρο τρίγωνο
∆ΕΖ το οποίο είναι ισοδύναmicroο microε το ΑΒΓ Το microήκος της πλευράς του ισόπλευρου
τριγώνου ∆ΕΖ είναι
Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20
Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε
4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=2 ΒΗ ύψος και η διάmicroεσος Β∆=1 Αν and
∆ΑΒ =30ο να
υπολογιστούν α) τα ΒΗ Η∆ ΑΗ
β) το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ
5 Με υποτείνουσες τις κάθετες πλευρές ΑΒ και ΑΓ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ microε
β+γ=20 κατασκευάζουmicroε ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓΕ εκτός
αυτού
α) Να αποδείξετε ότι τα σηmicroεία ∆ΑΕ είναι συνευθειακά
β) Να βρείτε το εmicroβαδό του τετραπλεύρου ΒΓΕ∆
6 Προεκτείνουmicroε τις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ ενός τριγώνου ΑΒΓ κατά τmicroήmicroατα
Γ∆=ΓΒ ΑΕ=ΑΓ και ΒΖ=ΒΑ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι (∆ΕΖ) = 7(ΑΒΓ)
7 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Μ στο εσωτερικό του Φέρνουmicroε από το Μ
παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των
σχηmicroατιζόmicroενων τριγώνων και Ε το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε
ότι 321 Ε+Ε+Ε=Ε
8 Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ που τέmicroνει τις πλευρές ΑΒ
και ΑΓ στα σηmicroεία ∆ και Ε αντίστοιχα Να αποδείξετε ότι (ΑΒΕ)2=(ΑΒΓ)(Α∆Ε)
9 Από σηmicroείο ∆ της πλευράς ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη προς την
πλευρά ΒΓ που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των τριγώνων
Α∆Ε Α∆Γ και ΑΒΓ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι 31
2
2 ΕsdotΕ=Ε
10 Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Α΄ της πλευράς του ΒΓ Από τα Β και Γ
φέρνουmicroε παράλληλες προς την ΑΑ΄ που τέmicroνουν τις ευθείες ΑΓ και ΑΒ στα σηmicroεία
Γ΄ και Β΄ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι
α) (ΑΑ΄Γ΄) = (ΑΒΑ΄) και (ΑΑ΄Β΄) = (ΑΓΑ΄)
β) (Α´ô) = (ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
22
11 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ microε ΑΒ=10 Α∆=4 και and
∆ =60ο Στην πλευρά ΑΒ
θεωρούmicroε τα σηmicroεία Ε και Ζ έτσι ώστε ΑΕ=ΕΖ=ΖΒ Αν Η είναι το σηmicroείο τοmicroής των
ευθειών ∆Ε και ΓΖ να υπολογιστούν
α) το εmicroβαδό του παραλληλογράmicromicroου ΑΒΓ∆
β) το εmicroβαδό του τραπεζίου Γ∆ΕΖ
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου ΗΕΖ
12 ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=ΑΓ=6 και ο120=Α
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του
β) Αν Ε σηmicroείο της ΑΓ τέτοιο ώστε ΓΕ=ΑΕ2
1 και Α∆ το ύψος του τριγώνου
ΑΒΓ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ∆ΕΓ
γ) Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει τη ∆Ε στο Η να βρεθεί το εmicroβαδό
του τριγώνου ΑΕΗ
13 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Ρ στο εσωτερικό του Από το Ρ φέρνουmicroε κάθετες
ηmicroιευθείες στις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ και πάνω σrsquo αυτές παίρνουmicroε τα σηmicroεία Α΄
Β΄ και Γ΄ αντίστοιχα έτσι ώστε ΡΑ΄=ΒΓ ΡΒ΄=ΑΓ και ΡΓ΄=ΑΒ Να αποδειχθεί ότι
α) οι γωνίες and
Γ και and
ΒprimeΡΑprime είναι παραπληρωmicroατικές
β) (ΡΑ΄Β΄)=(ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)
14 Θεωρούmicroε τρεις ίσες διαδοχικές γωνίες and
οψx zand
οψ xzand
ο και πάνω στις
ηmicroιευθείες Οx Oψ και Οz τα σηmicroεία Α Β Γ αντίστοιχα έτσι ώστε ΟΑ=1 ΟΒ=4 και
ΟΓ=8
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ψοand
x zand
οψ xzand
ο
β) Αν Οw η αντικείmicroενη ηmicroιευθεία της Οψ και Γ∆ wΟperp να υπολογίσετε τις Ο∆ και
Γ∆
γ) Να υπολογίσετε το (ΟΒΓ)
δ) Να αποδείξετε ότι (ΑΒΓ)= 311
15 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ και Κ Λ Μ Ν τα microέσα των ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α
αντίστοιχα α) Να αποδειχθεί ότι (ΚΛΜΝ)=2
1(ΑΒΓ∆)
β) Αν ΚΜ ΛΝperp να αποδειχθεί ότι (ΑΒΓ∆) = ΚΜΛΝ
16 Λ
Α Β Στο διπλανό σχήmicroα τα σηmicroεία Κ Λ είναι τα
Κ Ρ microέσα των τmicroηmicroάτων ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα
Να αποδείξετε ότι
Γ α) ο λόγος των εmicroβαδών των τριγώνων ΑΚΒ και ΑΛΓ είναι ίσος microε
β) αν Ρ είναι το σηmicroείο τοmicroής των ΛΓ και ΚΒ τότε τα τρίγωνα ΒΛΡ
και ΚΓΡ έχουν ίσα εmicroβαδά
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
23
17 ∆ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) microε ΑΒ=4 Α∆=2 καιο60=∆
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τραπεζίου ΑΒΓ∆
β) Αν Ε σηmicroείο της πλευράς ΑΒ τέτοιο ώστε ΕΒ= ΑΒ4
1 και οι Ε∆ ΕΓ τέmicroνουν τη
διάmicroεσο του τραπεζίου στα σηmicroεία Ζ και Η αντίστοιχα να βρεθεί το εmicroβαδό του
τριγώνου ΕΖΗ
γ) Αν οι ∆Ε και ΒΓ τέmicroνονται στο Ρ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ΡΕΒ
18 Αν οι διαγώνιοι κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓ∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο να αποδείξετε ότι
το τετράπλευρο έχει εmicroβαδό Β∆sdotΑΓ4
1
19 Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται ΑΒ=5 ο60=Α
and
και η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου
κύκλου 3
7=R Να βρεθούν οι άλλες δύο πλευρές του τριγώνου και το εmicroβαδόν του
20
∆ Ζ Γ
υ
Α Ε Η Β
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m
90ο=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος ∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο
οποίος θα χωρίζει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆ και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο
ΑΕ∆
δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου ∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
21 Αν Μ και Ν είναι τα microέσα των πλευρών ΒΓ και Γ∆ ενός παραλληλόγραmicromicroου ΑΒΓ∆
να αποδείξετε ότι (ΑΜΝ)= )(8
3ΑΒΓ∆
22 Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) θεωρούmicroε το microέσο Μ της πλευράς ΑΒ
και σηmicroείο Ν της πλευράς ΑΓ τέτοιο ώστε 3
ΑΓ=ΓΝ Να δειχθεί ότι
(ΜΝΒ)= )(3
1ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
24
23 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και τυχαίο σηmicroείο Σ στην προέκταση της πλευράς
∆Γ προς το Γ Να αποδείξετε ότι
α) (ΑΒ∆)= )(2
1ΑΒΓ∆
β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)
γ) αν η ΑΣ τέmicroνει την Β∆ στο σηmicroείο Ε τότε (Ε∆Σ)-(ΕΑΒ)=(ΣΒΓ)
24 Έστω Σ τυχαίο σηmicroείο της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ Στο σηmicroείο Α φέρουmicroε
microια ευθεία ε κάθετη στην ΑΣ Αν ∆ και Ε είναι αντίστοιχα οι προβολές των σηmicroείων
Β και Γ στην ευθεία ε να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ∆ΣΕ είναι ισοδύναmicroα
25 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 8=ΑΒ 12=ΑΓ και η Α∆ διχοτόmicroος της γωνίας and
Α Αν
( )ΑΒ∆ =20 τmicro να βρείτε το ( )ΑΒΓ
26 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ∆ σηmicroείο της πλευράς ΑΒέτσι ώστε 6=Α∆ ∆Β=5
8=ΑΓ Αν 80=Α
and
να βρείτε το εmicroβαδόν του τριγώνου Β∆Γ
27 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ microε 90=Β
and
και η γωνία and
Α να είναι το 3
1 της ορθής Αν
∆ σηmicroείο της προέκτασης της πλευράς ΒΓ προς το Γ τέτοιο ώστε η 30=Α∆Β
and
να
βρεθεί ο λόγος ( )( )ΑΒ∆ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
25
ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ
ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ
Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του
ίσες
Γωνία κανονικού ν-γώνου ν
φν
360
180 minus=
Κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου ν
ων
360=
Σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας R ισχύουν οι εξής τύποι 2
22
4R=+ ν
ν
λα
νν λν sdot=Ρ
ννν αsdotΡ=Ε2
1
όπου να απόστηmicroα νλ πλευρά νΡ περίmicroετρος νΕ εmicroβαδόν
∆ύο κανονικά πολύγωνα microε τον ίδιο αριθmicroό πλευρών είναι όmicroοια
Κάθε κανονικό πολύγωνο εγγράφεται σε έναν κύκλο και περιγράφεται σε έναν άλλον Οι δύο
αυτοί κύκλοι είναι οmicroόκεντροι
bull Το κοινό κέντρο τον κύκλων αυτών λέγεται κέντρο του πολυγώνου
bull Η ακτίνα R του περιγεγραmicromicroένου κύκλου λέγεται ακτίνα του πολυγώνου
bull Η απόσταση του κέντρου από microια πλευρά του δηλαδή η ακτίνα του εγγεγραmicromicroένου
κύκλου λέγεται απόστηmicroα του πολυγώνου
Σε δύο κανονικά ν-γωνα ο λόγος των πλευρών τους ισούται microε το λόγο των ακτινών τους και
το λόγο των αποστηmicroάτων τους
∆ηλαδή
ν
ν
ν
ν
αα
λλ
==R
R
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
26
ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ
ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ
ΚΑΝΟΝΙΚΟ
ΕΞΑΓΩΝΟ
ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ
ΤΡΙΓΩΝΟ
ΠΛΕΥΡΑ νλ 24 R=λ R=6λ 33 R=λ
ΑΠΟΣΤΗΜΑ να
2
24
R=α
2
36
R=α
23
R=α
RL sdot= π2
180
microπ sdotsdot=
Rl ή Rl sdot=α
180
microαπ
=
2Rsdot=Ε π
( )360
2 microπ sdotsdot=ΟΑΒ
cap R ή ( )
cap
sdot=ΟΑΒ 2
2
1Rα
( ) ( )ΟΑΒminusΟΑΒ=cap
ε
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
27
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Ένα κανονικό εξάγωνο είναι περιγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ορ) Η πλευρά του
εξαγώνου αυτού είναι
Α ρ Β 2
3ρ Γ 2ρ ∆
3
32ρ Ε
3
2ρ
2 ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και στις προεκτάσεις των
πλευρών ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α θεωρούmicroε τα τmicroήmicroατα ΒΚ=ΓΛ=∆Μ=ΑΝ=λ3 Να δείξετε
ότι το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο και ότι η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου κύκλου του
είναι 641 += RR
3 Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε δύο παράλληλες χορδές ΑΒ=λ4 και Γ∆=λ6 Να
αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι ισοσκελές τραπέζιο και να υπολογιστεί
το εmicroβαδό του ως συνάρτηση της ακτίνας R
4 Η περίmicroετρος ενός κυκλικού τοmicroέα ΟΑΒ ενός κύκλου (ΟR) είναι 6+π Αν
ο60=ΒΟΑand
τότε το microήκος της ακτίνας R είναι
Α 6 Β 3 Γ 2 ∆ 4 Ε 5 (δικαιολογήστε την απάντησή σας)
5 Έστω τεταρτοκύκλιο ΟΑΒ ακτίνας R και ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΟΒ στο εσωτερικό
του Να βρείτε το εmicroβαδό και την περίmicroετρο του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΑΒ
6 Έστω δύο κύκλοι (ΟR) και (Ο΄R) των οποίων η διάmicroετρος ΟΟ΄ έχει microήκος
ΟΟ΄=R 3 α) Να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι τέmicroνονται
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινού microέρους των δύο κύκλων
7 Το εmicroβαδό κυκλικού τοmicroέα 80ο είναι 8π Η ακτίνα του κύκλου είναι
Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15
8 Τετράγωνο ΑΒΓ∆ είναι εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και η ηmicroιπερίmicroετρος του
είναι 80cm Να υπολογιστούν
α) η ακτίνα R του κύκλου
β) ο λόγος του εmicroβαδού του κύκλου προς το εmicroβαδό του τετραγώνου
9 Στο εσωτερικό ηmicroικυκλίου διαmicroέτρου ΑΟΒ=2R γράφουmicroε ηmicroικύκλια microε
διαmicroέτρους ΟΑ και ΟΒ Να υπολογιστεί το microήκος και το εmicroβαδό του κύκλου που
εφάπτεται των τριών ηmicroικυκλίων
10 ∆ύο κύκλοι (Ο3R) και (Ο΄R) εφάπτονται εξωτερικά στο σηmicroείο Α Φέρουmicroε την
κοινή εξωτερική εφαπτόmicroενη ΒΓ αυτών Να βρεθεί το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου
τριγώνου ΑΒΓ και του περιγεγραmicromicroένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ
11 Έστω ο κύκλος (ΟR) και microια ακτίνα του ΟΑ Στην ηmicroιευθεία ΟΑ θεωρούmicroε
σηmicroείοΒ έτσι ώστε ΑΒ=ΑΟ Αν ΒΓ η εφαπτοmicroένη του κύκλου να βρεθεί το
εmicroβαδό α) του τριγώνου ΟΒΓ και β) του microικτόγραmicromicroου τριγώνου
ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
28
12 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=λ3 και Γ∆=λ6
προς το ίδιο microέρος του κέντρου Ο α) Να εκφράσετε τις χορδές ΑΒ και Γ∆ ως
συνάρτηση της ακτίνας R β) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό Ε1 του κυκλικού τmicroήmicroατος
που αντιστοιχεί στη χορδή Γ∆ γ) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό του τριγώνου ΟΑΒ
δ) Να βρείτε την περίmicroετρο και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τραπεζίου που έχει
κορυφές τα ΑΒΓ∆
13 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) χορδή ΑΒ=R την εφαπτοmicroένη ε του κύκλου στο σηmicroείο
Α και τη εperpΒΓ Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του τραπεζίου ΟΑΓΒ
β) το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
14 ∆ίνεται ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΑΒ και στο εσωτερικό του τα ηmicroικύκλια διαmicroέτρων
ΑΓ και ΓΒ όπου Γ σηmicroείο microεταξύ των Α και Β Αν κάθετη της ΑΒ στο Γ τέmicroνει το
αρχικό ηmicroικύκλιο στο ∆ να αποδείξετε ότι το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται
microεταξύ των τριών ηmicroικυκλίων είναι ίσο microε το εmicroβαδό του κύκλου διαmicroέτρου Γ∆
15 Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ο60=Β
and
και ΒΓ=α Με
κέντρο το Β και ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει τη ΒΓ στο Μ και microε κέντρο
το Γ και ακτίνα ΓΜ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν Να βρεθεί η
περίmicroετρος και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
16 Με κέντρο ένα σηmicroείο Κ κύκλου (ΟR) και ακτίνα ίση προς R 3 γράφουmicroε
κύκλο ο οποίος τέmicroνει τον (ΟR) στα σηmicroεία Α και Β Να υπολογιστούν η
περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου microηνίσκου
17 ∆ίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ΒΓ = 2R
Γράφουmicroε ηmicroικύκλιο microε διάmicroετρο ΒΓ εκτός τριγώνου και τόξο κύκλου (Α ΑΒ) microε
άκρα Β και Γ Να βρεθεί η περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου
microηνίσκου από το ηmicroικύκλιο και το τόξο αυτό
18 Ένα ορθογώνιο σπίτι microε διαστάσεις α = 20m και β = 10m έχει microια εξωτερική
πρίζα σε microια γωνία του Ένα χορτοκοπτικό microηχάνηmicroα συνδεδεmicroένο microε την πρίζα
έχει καλώδιο microε microήκος 15m Να βρεθεί το εmicroβαδόν της microεγαλύτερης επιφάνειας
του χόρτου που microπορεί να κοπεί
19 Σε κύκλο ακτίνας R = 4cm είναι εγγεγραmicromicroένο ισόπλευρο τρίγωνο
Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του κύκλου
β) την πλευρά του τριγώνου
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου
δ) το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται microεταξύ του κύκλου και του τριγώνου
20 Σε κύκλο microε διάmicroετρο ΑΒ φέρουmicroε τις χορδές ΜΒΑΜ Αν είναι 6=ΑΜ και
8=ΒΜ να βρεθεί η ακτίνα και το εmicroβαδόν του κύκλου
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
29
21 Να βρεθεί το εmicroβαδόν του καθενός από τα δύο microέρη στα οποία διαιρείται ένας
κύκλος ( )RΟ από την πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραmicromicroένου στον κύκλο
αυτόν
22 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και φέρουmicroε δύο κάθετες ακτίνες ΟΑ και ΟΒ Με
κέντρο το Α και ακτίνα R γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει το cap
AB στο σηmicroείο Γ Να
βρεθεί το εmicroβαδόν του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΒΓ
23 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και τόξο 60=ΑΒ
cap
Φέρουmicroε στο σηmicroείο Α την
εφαπτοmicroένη χΑ του κύκλου και την χΑperpΒΓ Να βρεθεί το εmicroβαδόν του
microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
30
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΗ 1η
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α∆ διχοτόmicroος Β∆ = 2 Γ∆ = 3 και 2τ = 15 (περίmicroετρος) η πλευρά
ΑΒ είναι
Α 3 Β 4 Γ 5 ∆ 6 Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 2η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 3α2 + 2γ
2 = 2β
2 Τότε
i) Α and
Α gt90ο Β
and
Β gt 90ο Γ
and
Β lt 90ο ∆
and
Γ gt 90ο Ε Κανένα από τα παραπάνω
ii) Η προβολή της διαmicroέσου microα στην ΒΓ ισούται microε
Α 4
a Β
2
a Γ
4
3a ∆
2
3a Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 3η
Αν ΑΒΓ∆ τετράγωνο πλευράς α και Ε microέσο του Α∆ τότε
i) ΒΕ =2
5α Σ Λ
ii) Ο λόγος ΒΕΕΖ
ισούται microε
Α 5
2 Β
4
5 Γ
4
1 ∆
5
1 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
Α Β
E
Z
∆ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 4η
Αν τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=4 ΒΓ=5 ΑΓ=6 και Α∆ διχοτόmicroος τότε
i) -Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο Σ Λ
- Ο λόγος ∆Γ∆Β
ισούται microε
Α 2
1 Β
3
1 Γ
3
2 ∆
4
3 Ε
2
3
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ii) Αν ε η προβολή του Α στην ΒΓ να υπολογίσετε το microήκος του ΒΕ
iii) Να αποδείξετε ότι 2
1=
∆Γ∆Ε
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
31
ΑΣΚΗΣΗ 5η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και Μ το microέσο της Α∆ Προεκτείνουmicroε τη ∆Γ προς το Γ
κατά ΓΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΒΜ)=2
)(ΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τραπεζίου ΑΒΕ∆ είναι οκταπλάσιο από το εmicroβαδόν του
τριγώνου ΑΒΜ
ΑΣΚΗΣΗ 6η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναιuα =3ρ όπου ρ του εγγεγραmicromicroένου κύκλου του τριγώνου Ο λόγος
αγβ +
ισούται microε Α 2 Β 3 Γ 3
1 ∆
2
3 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ΑΣΚΗΣΗ 7η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάmicroεσός του Α∆ Προεκτείνουmicroε την ΒΑ προς το Α κατά τmicroήmicroα
ΑΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι (ΒΕ∆)=3(Α∆Γ)
ΑΣΚΗΣΗ 8η
Στο εσωτερικό της αυλής ενός σπιτιού υπάρχει microικρός κήπος microε λαχανικά όπως στο
ακόλουθο σχήmicroα Αν το εmicroβαδόν του κήπου είναι 122m και οι διαστάσεις της αυλής είναι
12m και 13m να βρεθεί το x Αν θέλουmicroε να περιφράξουmicroε τον κήπο microε σύρmicroα πόσο σύρmicroα
θα χρειαστούmicroε
12m
13m
ΑΣΚΗΣΗ 9η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ Από τυχαίο σηmicroείο Ε της ΑΓ φέρουmicroε ευθεία παράλληλη
προς την Α∆ που τέmicroνει την Γ∆ στο Ζ Να αποδείξετε ότι
i) (Α∆Ζ)=(ΑΕΒ)
ii) (ΑΕΖ)=(ΒΕΓ)-(ΖΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 10η
Οι διάmicroεσοι Β∆ και ΓΕ τριγώνου ΑΒΓ τέmicroνονται στο Θ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΕ∆)=4
)(ΑΒΓ
ii) (ΒΘΓ)= 3
)(ΑΒΓ
iii)(ΑΕ∆)= (ΒΚΛΓ) όπου Κ Λ τα microέσα των ΒΘ και ΓΘ αντίστοιχα
x
x x
x
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
32
ΑΣΚΗΣΗ 11η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε τη διχοτόmicroο Α∆ Από το ∆ φέρνουmicroε παράλληλη προς την ΑΒ
που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει την προέκταση της
∆Ε στο Ζ να αποδείξετε ότι
α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)
β) β2(ΑΕΖ) = γ
2(∆ΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 12η
Θεωρούmicroε γωνία yxand
Α και σηmicroείο Ο της διχοτόmicroου της Αδ Αν ο κύκλος (ΟΟΑ) τέmicroνει τις
Οx Οy στα Β Γ αντίστοιχα και την Αδ στο ∆ να αποδείξετε ότι
α) (ΟΑΒ)=(ΟΑΓ)
β) (ΒΟΓ∆)=(ΑΒ∆)
γ) (ΒΟΓ∆)=2
1(ΟΑ)(ΒΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 13η
Από εσωτερικό σηmicroείο Μ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλες προς τις
πλευρές ΑΓ και ΑΒ που τέmicroνουν τις ΑΒ ΑΓ στα ∆ Ζ αντίστοιχα Αν (ΒΜ)=x (ΒΓ)=α
(Β∆Μ)=Ε1 (ΓΖΜ)=Ε2 και (ΑΒΓ)=Ε τότε
α) Να εκφράσετε ως συναρτήσεις των x και α τους λόγους Ε
Ε1 και Ε
Ε2
β) Να αποδείξετε ότι ΕgeΕ+Ε2
121
ΑΣΚΗΣΗ 14η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=Γ∆=λ3
Να βρεθεί
i) Η περίmicroετρος του ΑΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που αντιστοιχεί στη χορδή ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 15η
Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε τα διαδοχικά σηmicroεία Α Β Γ και ∆ ώστε ΑΒ=ΒΓ=Γ∆= R Να
βρεθεί
i) H περίmicroετρος του τριγώνου ΑΒ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τριγώνου ΒΓ∆
iii) Ο λόγος )(
)(
ΒΓ∆ΑΒ∆
ΑΣΚΗΣΗ 16η
∆ίνεται τεταρτοκύκλιο Οand
ΒΓ ακτίνας R
α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΓΒ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε δύο ισεmicroβαδικά χωρία
β) Αν ∆ σηmicroείο του τόξου ΒΓ να αποδείξετε ότι η ευθεία Γ∆ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
γ) Να βρείτε σηmicroείο Α της ακτίνας ΟΒ ώστε η ευθεία ΓΑ να χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
33
ΑΣΚΗΣΗ 17η
Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο Ο cap
ΒΓ ακτίνας R Σηmicroείο Α κινείται πάνω στο τόξο cap
ΒΓ και έστω
Κ το σηmicroείο τοmicroής της ακτίνας ΟΑ microε τη ΒΓ Να βρείτε το microήκος του τόξου cap
ΒΑ όταν το
εmicroβαδό του τριγώνου ΟΚΓ ισούται microε το εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα
τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΒ και το τόξο cap
ΒΑ
ΑΣΚΗΣΗ 18η
∆ίνεται ηmicroικύκλιο κέντρου Ο microε διάmicroετρο ΑΑ1=2R Έστω Β σηmicroείο του ηmicroικυκλίου microε
( 1ΑΟΒand
)=φ microοίρες και ΟΓ ακτίνα που τέmicroνει τη χορδή ΑΒ στο Κ
α) Να βρείτε το microήκος S του τόξου cap
ΑΓ όταν το εmicroβαδόν του τριγώνου ΟΚΒ ισούται microε το
εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΓ και το τόξοcap
ΑΓ
β) Αν η γωνία 1ΑΟΒand
είναι 150ο πόσο είναι το S
γ) Για ποια τιmicroή του φ το S γίνεται microέγιστο
Β
Γ
φ
Α1 Α
ΑΣΚΗΣΗ 19η
Η περίmicroετρος ρόmicroβου ΑΒΓ∆ πλευράς α και κέντρου Ο είναι τετραπλάσια της microικρής
διαγωνίου του Β∆
i) Να υπολογιστεί συναρτήσει του α το εmicroβαδόν του Ε
ii) Φέρουmicroε Α∆perpΟΗ και Γ∆perpΟΖ Αν η ΑΖ τέmicroνει τον κύκλο διαmicroέτρου Ο∆ στο Θ να
δειχθεί ότι 2
3Ε=ΑΖsdotΑΘ
ΑΣΚΗΣΗ 20η
Το περίγραmicromicroα της βάσης ενός microεγάλου λόφου σχηmicroατίζει τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=γ ΑΓ=β
όπου βgtγ και στο οποίο η διάmicroεσος ΑΜ και το ύψος Α∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο ∆ίπλα στην
πλευρά ΑΓ υπάρχει ορθογώνιος ιδιωτικός χώρος διαστάσεων 2
γβ +και β-γ Σrsquo αυτόν το
χώρο πρόκειται να κατασκευαστεί ένας microεγάλος ανισόπεδος κόmicroβος που θα συνδέει δύο
δρόmicroους ταχείας κυκλοφορίας Γιrsquo αυτούς τους λόγους προτείνεται στον ιδιοκτήτη να δεχτεί
να ανταλλάξει αυτόν τον χώρο microε άλλον ορθογώνιο χώρο του δηmicroοσίου που βρίσκεται δίπλα
στην πλευρά ΒΓ και έχει διαστάσεις τα microήκη των ΒΓ και 2
ΑΜ Ο ιδιοκτήτης δηλώνει ότι θα
συmicroφωνήσει microε την πρόταση αρκεί οι ανταλλάξιmicroοι χώροι να έχουν την ίδια έκταση
Πρακτικά όmicroως είναι αδύνατον να microετρήσει την πλευρά ΒΓ και τη διάmicroεσο ΑΜ γιrsquo αυτό και
διστάζει Πως θα σκεφτόσαστε εσείς να βοηθήσετε τον ιδιοκτήτη να αποφασίσει
Κ
Ο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
34
ΑΣΚΗΣΗ 21η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε β=2γ και η διάmicroεσος του Β∆ Φέρουmicroε Β∆perpΑx που τέmicroνει την
Β∆ στο Ε και την ΒΓ στο Ζ και ΕyΑΓ που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ Να αποδείξετε ότι
i) ZB= 2
1ZΓ
ii) (ΑΒΓ)=3(ΑΒΖ)
iii) Να αποδειχθεί ότι 8
3
)(
)(=
ΑΒΖΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΗ 22η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε α=2γ και β= 7γ
α) i) Να αποδείξετε ότι 2
3αmicroα =
ii) Να βρείτε το είδος της γωνίας and
Β
iii) Αν ΑΕ perp ΒΓ να υπολογίσετε το ΒΕ συναρτήσει του γ
iv) Να βρείτε τη γωνία and
Β
β) Αν ΑΜ διάmicroεσος και Β∆ διχοτόmicroος να αποδείξτε ότι
i) Α∆ = 3
β
ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)
ΑΣΚΗΣΗ 23η
Έστω τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ο R) και σηmicroείο Μ το οποίο κινείται στο
ηmicroικύκλιο cap
ΑΒΓ
α) Να βρεθεί το ελάχιστο ( )minΕ και το microέγιστο ( )maxΕ εmicroβαδόν του τετράπλευρου ΑΜΓ∆
συναρτήσει της ακτίνας R
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε θέση του Μ είναι
i) Μ∆2 = ΑΓ ∆Ε όπου Ε η προβολή του Μ στην Β∆
ii) (ΑΜΓ∆) = 2
2Μ∆
γ) Να προσδιορίσετε τη θέση του σηmicroείου Μ όταν (ΑΜΓ∆) = 2
maxmin EE +
ΑΣΚΗΣΗ 24η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ M το microέσο της ΑΒ σηmicroείο Ν της ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΝ = 4
3ΑΓ και
σηmicroείο Κ της ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΚ = 4
1ΒΓ Να βρεθεί ο λόγος των εmicroβαδών του τριγώνου
ΑΒΓ προς του τριγώνου ΜΝΚ
ΑΣΚΗΣΗ 25η
Α) Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι 2
αmicro = βγ και β-γ = 5 2 Το microήκος της πλευράς
α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3
Β) Να δειχθεί ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει η σχέση (222
γβα micromicromicro ++ )2 = 27Ε
2 όπου
Ε το εmicroβαδό του
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
35
ΑΣΚΗΣΗ 26η
Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω περιπτώσεις
όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί να αποτελεί microήκη των
πλευρών του
i) 3 57
ii) 8 4 2
iii) 7 6 85
ΑΣΚΗΣΗ 27η
Αν η διάmicroεσος microα ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν προεκταθεί τέmicroνει τον περιγεγραmicromicroένο κύκλο
στο ∆ να αποδειχθεί ότι microα = Α∆+
2
22 γβ
ΑΣΚΗΣΗ 28η
Από ένα κυκλικό οικόπεδο ακτίνας R=30m θα αποκοπεί κυκλικό τmicroήmicroα χορδής 30 3 m για
την κατασκευή δρόmicroου
i) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου που έmicroεινε
ii) Να βρεθεί η αποζηmicroίωση που θα δοθεί στον ιδιοκτήτη αν η αρχική αξία του οικοπέδου
ήταν 10000000 δρχ
ΑΣΚΗΣΗ 29η
Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι α =13 β = 8 γ = 7
i) Να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς το είδος των γωνιών του
ii) Να υπολογιστεί το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ πάνω στην ΑΒ
iii) Να υπολογιστεί η γωνία and
Α
ΑΣΚΗΣΗ 30η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 4 ΑΓ = 5 ΒΓ = 7 Το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ
πάνω στην ΑΒ είναι Α 5 Β 1 Γ 6 ∆ 2
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 31η
Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (and
Α =90ο) microε
and
Β =60ο και ΒΓ=4 Με κέντρο το Β και
ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ και microε κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΜ
γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν να βρεθούν
i) Η θέση του σηmicroείου Μ στη ΒΓ
ii) Η περίmicroετρος του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
iii) Το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
36
ΑΣΚΗΣΗ 32η
Μια έκταση σχήmicroατος τετραγώνου microε A 30 H 70 ∆
πλευρά 100m πρόκειται να διατεθεί
για κατασκευή εργατικών κατοικιών
Οι κατοικίες θα ανεργεθούν σε τέσσερα 70 30
ίσα τριγωνικά οικόπεδα και η υπόλοιπη Μ
έκταση σχήmicroατος τετραπλεύρου θα
χρησιmicroοποιηθεί ως κοινόχρηστος χώρος Z
για δενδροφύτευση και κατασκευή γηπέδου
microπάσκετ 30 70
α) Να βρεθούν τα εmicroβαδά των τεσσάρων ίσων οικοπέδων
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινόχρηστου χώρου B 70 K 30 Γ
γ) Τι είδους τετράπλευρο είναι ο κοινόχρηστος χώρος Να βρεθούν οι πλευρές του
ΑΣΚΗΣΗ 33η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 90A =
and
και ΑΒ=y ΑΓ=β
Α∆=ν Β∆=micro ΒΓ=x ∆Γ=κ
i) Να συmicroπληρωθούν οι σχέσεις
β2=helliphelliphellip=helliphelliphelliphellip Α
ν2=helliphelliphelliphelliphelliphellip
2
2
βy
=helliphelliphelliphelliphellip βy=helliphelliphelliphellip y ν β
ii) Να δειχθεί ότι 111
222 νβ=+
y Β ν ∆ κ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 34η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroεία ∆Ε της πλευράς ΒΓ έτσι ώστε Β∆=∆Ε=ΕΓ Να απόδειχθεί
ότι
i) 2222 22 ΑΕminusΑ∆=∆ΕminusΑΒ ii)
2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 35η
∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε o90=Α
and
ΑΒ=5cm ΑΓ=12cm Α∆ το ύψος του και ΒΜ
η διάmicroεσος του Προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά ΓΕ=ΒΓ i) Να συγκρίνετε τα
εmicroβαδά των τριγώνων Α∆Γ και ΑΓΕ ii) Να δείξετε ότι η σχέση που συνδέει τα εmicroβαδά των
τριγώνων ΑΒΜ και ΑΒΕ είναι (ΑΒΕ)=4(ΑΒΜ)
ΑΣΚΗΣΗ 36η
Από σηmicroείο Μ εκτός κύκλου φέρνουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΜΕ του κύκλου και τις
τέmicroνουσες ΜΑΒ και ΜΓ∆ Αν είναι ΑΒ=9 ΓΜ=4 Γ∆=5 να υπολογίσετε i) το ΜΑ ii) το
ΜΕ
ΑΣΚΗΣΗ 37η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) ΑΒ microια διάmicroετρος του και Μ τυχαίο σηmicroείο του (διαφορετικό των Α
Β) Αν Γ είναι το microέσο της ΟΑ και ∆ το microέσο της ΟΒ ενώ η ΜΓ τέmicroνει τον κύκλο στο Ε και
η Μ∆ στο Ζ τότε να αποδείξετε ότι3
10=
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
37
Ζ
Ε
ΑΣΚΗΣΗ 38η
Ένα τριγωνικό αγρόκτηmicroα ΑΒΓ χωρίζεται
σε τέσσερα τριγωνικά αγροτεmicroάχια όπως Α
φαίνεται στο σχήmicroα έτσι ώστε ΑΒ=Α∆3
2
ΒΕ= ΒΓ4
1και ΓΖ= ΑΓ
2
1 α) Αν το εmicroβαδό ∆
του ΑΒΓ είναι 48 στρέmicromicroατα να υπολογίσετε το Β
Γ
εmicroβαδό του ∆ΕΖ β) Αν τα ∆ Ε Ζ είναι τα microέσα των ΑΒ
ΒΓ ΑΓ αντίστοιχα να βρεθούν τα εmicroβαδά των
τεσσάρων αγροτεmicroαχίων
ΑΣΚΗΣΗ 39η
∆ίνεται εγγράψιmicroο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ ώστε οι πλευρές του ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α microε τη σειρά
που δίνονται να αποτελούν γεωmicroετρική πρόοδο Να αποδείξετε ότι η διαγώνιος του Β∆ το
χωρίζει σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
ΑΣΚΗΣΗ 40η
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ∆ Ζ Γ
την ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m και
ο90=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος υ
∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο οποίος
θα χωρίσει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆
και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα α) Να βρεθεί
το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆ β) Να
βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο
ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο Α Ε Η Β
ΑΕ∆ δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου
∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
ΑΣΚΗΣΗ 41η
∆ίνεται ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ και τα σηmicroεία του ∆Γ έτσι ώστε ∆Β=Γ∆=ΑΓ Αν
Μ τυχαίο σηmicroείο εκτός του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατοςΑΒ
Να δείξετε ότι 2222 33 ΜΓ+ΜΒ=ΜΒ+ΑΜ
ΑΣΚΗΣΗ 42η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 222 2αγβ =+ Αν η διάmicroεσος ΑΜ τέmicroνει το περιγεγραmicromicroένο
κύκλο του τριγώνου στο ∆ να δείξετε ότι
α) 6
3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
38
ΑΣΚΗΣΗ 43η
Από ένα εξωτερικό σηmicroείο Α κύκλου ( )RΟ φέρουmicroε microια τέmicroνουσα ΑΒΓ έτσι ώστε
ΒΓ=ΑΒ Αν 7R=ΟΑ τότε να δείξετε ότι
i) ΒΓ=ΑΒ =λ3
ii) η γωνία and
ΑΟΓ είναι αmicroβλεία
iii) η προβολή της ΟΓ πάνω στην ΟΑ είναι ίση microε ΟΑ7
2
iv) Να δείξετε ότι ( )( ) 2
1=
ΑΟΓΒΟΓ
και στην συνέχεια να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του τριγώνου
and
ΑΟΓ
v) Να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που ορίζεται από την χορδή ΒΓ και
το microέτρο του τόξου cap
ΒΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
39
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
40
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
2
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
3
ΠΕΡΙΕΧΕΙ
ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ
ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ∆ΙΧΟΤΟΜΩΝ
ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
ΕΜΒΑ∆Α
ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
4
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
5
ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ
∆ύο ευθύγραmicromicroα τmicroήmicroαταα γ λέγονται ανάλογα προς δύο άλλα ευθύγραmicromicroα τmicroήmicroατα β δ
όταν ο λόγος του α προς το β ισούται microε το λόγο του γ προς το δ
δγ
βα
=
bull Η παραπάνω ισότητα λέγεται αναλογία
bull Τα ευθύγραmicromicroα τmicroήmicroατα α β γ δ λέγονται ανάλογα ή αντίστοιχα
bull Τα τmicroήmicroατα α δ λέγονται άκροι όροι
bull Τα τmicroήmicroατα β γ λέγονται microέσοι όροι
bull αγβγβ
βα
βγαδδγ
βα
=hArr==hArr= 2
bull δβ
γα
δγ
βα
=hArr=
bull δγ
γβα
αδγ
βα
δδγ
ββα
δγ
βα
plusmn=
plusmnhArr=
plusmn=
plusmnhArr=
bull λδβκγα
λκ
δγ
βα
++++++
====
Ένα σηmicroείο Μ διαιρεί εσωτερικά το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ σε λόγο λ αν και microόνο αν
λ=ΜΒΜΑ
Το σηmicroείο Μ είναι microοναδικό
Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέmicroνουν δύο άλλες ευθείες ορίζουν σε αυτές
τmicroήmicroατα ανάλογα
∆ηλαδή Αν 321 εεε τότε ΕΗΑΓ
=ΖΗΒΓ
=ΕΖΑΒ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
6
Θεωρούmicroε δύο ευθείες 21 δδ που τέmicroνουν δύο παράλληλες ευθείες 21 εε στα σηmicroεία
ΒΑ και ΖΕ αντίστοιχα Αν ΗΓ είναι σηmicroεία των ευθειών 21 δδ αντίστοιχα τέτοια ώστε
ΖΗΕΖ
=ΒΓΑΒ
τότε η ευθεία ΓΗ είναι παράλληλη προς τις 21 εε
Κάθε ευθεία που είναι παράλληλη microε microια από τις πλευρές ενός τριγώνου χωρίζει τις δύο
άλλες σε microέρη ανάλογα και αντίστροφα
Το τρίγωνο που ορίζεται από τις ευθείες δύο πλευρών τριγώνου και microια παράλληλη προς microια
τρίτη πλευρά του έχει πλευρές ανάλογες προς τις πλευρές του αρχικού τριγώνου
∆ύο σηmicroεία Γ και ∆ που διαιρούν εσωτερικά και εξωτερικά το τmicroήmicroαΑΒστον ίδιο λόγο
λέγονται συζυγή αρmicroονικά των Α και Β
∆ηλαδή τα Γ και ∆ λέγονται συζυγή αρmicroονικά των Α καιΒ αν τα τέσσερα σηmicroεία είναι
συνευθειακά και αντίστροφα τα Α καιΒ είναι συζυγή αρmicroονικά των Γ και ∆
Τα τέσσερα σηmicroεία ( )ΒΑ και ( )∆ Γ λέmicroε ότι αποτελούν αρmicroονική τετράδα
∆ηλαδή Αν 321 δδδ τότε ΕΗΚΜ
=ΖΗΛΜ
=ΕΖΚΛ
Όπου ΒΓ∆Ε ε
∆Β∆Α
=ΓΒΓΑ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
7
ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ∆ΙΧΟΤΟΜΩΝ
Η διχοτόmicroος microιας γωνίας τριγώνου διαιρεί την απέναντι πλευρά εσωτερικά σε λόγο ίσο microε το
λόγο των προσκείmicroενων πλευρών
Η διχοτόmicroος microιας εξωτερικής γωνίας τριγώνου τέmicroνει την προέκταση της απέναντι πλευράς
σε ένα σηmicroείο το οποίο διαιρεί εξωτερικά την πλευρά αυτή σε λόγο ίσο microε το λόγο των
προσκείmicroενων πλευρών
∆ηλαδή αν Α∆ η διχοτόmicroος του τριγώνου ΑΒΓ
ισχύει
ΑΓΑΒ
=∆Γ∆Β
∆ηλαδή αν ΑΕ η εξωτερική διχοτόmicroος του
τριγώνου ΑΒΓ ισχύει
ΑΓΑΒ
=ΕΓΕΒ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
8
ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
∆ύο ευθύγραmicromicroα σχήmicroατα λέγονται όmicroοια αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες
που σχηmicroατίζονται από τις οmicroόλογες πλευρές τους ίσες microία προς microία
Ο λόγος των περιmicroέτρων δύο όmicroοιων ευθυγράmicromicroων σχηmicroάτων ισούται microε το λόγο οmicroοιότητας
τους
ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ
Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες τους ίσες microία προς microία τότε είναι όmicroοια
Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ανάλογες microία προς microία και τις περιεχόmicroενες στις πλευρές
αυτές γωνίες ίσες τότε είναι όmicroοια
Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές ανάλογες microία προς microία τότε είναι όmicroοια
bull ∆ύο ορθογώνια τρίγωνα είναι όmicroοια όταν έχουν microία οξεία γωνία τους ίση
bull Όλα τα ισόπλευρα τρίγωνα είναι όmicroοια microεταξύ τους
bull ∆ύο ισοσκελή τρίγωνα τα οποία έχουν microία αντίστοιχη γωνία ίση είναι όmicroοια
bull Ο λόγος οmicroοιότητας δύο όmicroοιων τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο δύο οmicroόλογων υψών τους
bull Ο λόγος οmicroοιότητας δύο όmicroοιων τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο δύο οmicroόλογων διχοτόmicroων
τους
bull Ο λόγος οmicroοιότητας δύο όmicroοιων τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο δύο οmicroόλογων διαmicroέσων
τους
8ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
9
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΡΙΓΩΝΟ
Αν από τα άκρα ενός ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατος ΑΒ φέρουmicroε τις κάθετες ΑΑrsquo και ΒΒrsquo πάνω σε
microια ευθεία ε τότε το τmicroήmicroα ΑrsquoΒrsquo είναι η προβολή του ΑΒ πάνω στην ε
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο microιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο microε το
γινόmicroενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην υποτείνουσα
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ο λόγος των τετραγώνων των κάθετων πλευρών του είναι ίσος
microε το λόγο των προβολών τους πάνω στην υποτείνουσα
Γ∆Β∆
=ΑΓ
ΑΒ2
2
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισmicroα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών του είναι
ίσο microε το τετράγωνο της υποτείνουσας 222 ΑΓ+ΑΒ=ΒΓ
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει 222 ΑΓ+ΑΒ=ΒΓ τότε
90=Αand
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο του ύψους του που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα
είναι ίσο microε το γινόmicroενο των προβολών των κάθετων του στην υποτείνουσα
∆ΓsdotΒ∆=Α∆2
Έστω λοιπόν το ορθογώνιο ΑΒΓ και ∆ η προβολή της κορυφής
Α στην υποτείνουσα ΒΓ
Τότε ισχύει Β∆sdotΒΓ=ΑΒ2 και
Γ∆sdotΒΓ=ΑΓ2
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
10
bull Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές τότε βα 2=
bull Αν Α∆ είναι το ύψος ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα
τότε ισχύει 222
111
αυγβ=+ και βγαυα =
bull Το ύψος ισοπλεύρου τριγώνου ως συνάρτηση της πλευράς α
δίνεται από τον τύπο 2
3sdot=α
υ
ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ
Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία είναι ίσο microε το
άθροισmicroα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του ελαττωmicroένο κατά το διπλάσιο
γινόmicroενο της microιας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή
∆ηλαδή σε τρίγωνο ΑΒΓ microε 90ltΑ
and
και Α∆ η προβολή της πλευράς γ πάνω στην β
τότε ισχύει Α∆sdotminus+= βγβα 2222
Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από αmicroβλεία γωνία είναι ίσο microε το
άθροισmicroα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του αυξηmicroένο κατά το διπλάσιο
γινόmicroενο της microιας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
11
Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν οι ισοδυναmicroίες
bull 222 γβα +gt αν και microόνο αν 90gtΑ
and
bull 222 γβα += αν και microόνο αν 90=Α
and
bull 222 γβα +lt αν και microόνο αν 90ltΑ
and
Προσοχή Για να εφαρmicroόσουmicroε το πόρισmicroα αυτό πρέπει πάντα να συγκρίνουmicroε το
τετράγωνο της microεγαλύτερης πλευράς του τριγώνου microε το άθροισmicroα των τετραγώνων των
άλλων δύο πλευρών
Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση
Αsdotminus+= συνβγγβα 2222
Το ύψος υα ενός τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τον τύπο
( )( )( )γτβταττα
υα minusminusminus=2
όπου ( )γβατ ++=2
1
Ανάλογες εκφράσεις ισχύουν και για τα άλλα ύψη υβ και υγ
ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ∆ΙΑΜΕΣΩΝ
Το άθροισmicroα των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται microε το διπλάσιο του
τετραγώνου της διαmicroέσου που περιέχεται microεταξύ των πλευρών αυτών αυξηmicroένο κατά το
microισό του τετραγώνου της τρίτης πλευράς
∆ηλαδή σε τρίγωνο ΑΒΓ microε 90gtΑ
and
και
Α∆ η προβολή της πλευράς γ πάνω στην β
τότε ισχύει
Α∆sdot++= βγβα 2222
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
12
∆ηλαδή αν Α∆ =υα το ύψος και ΑΜ =microα η διάmicroεσος ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύει
2
22
222 αmicroγβ α +=+
Ανάλογα έχουmicroε και τους ακόλουθους τύπους
2
22
222 γmicroβα γ +=+
22
2222 β
microγα β +=+
Η διαφορά των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται microε το διπλάσιο γινόmicroενο της
τρίτης πλευράς επί την προβολή της αντίστοιχης διαmicroέσου πάνω στην πλευρά αυτή
Μ∆sdot=minus αγβ 222
Σηmicroείωση αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές ή ισόπλευρο τότε το Μ ταυτίζεται microε το ∆ και το 2ο
θεώρηmicroα διαmicroέσων ισχύει ταυτοτικά
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ
Αν δύο χορδές Γ∆ΑΒ ή οι προεκτάσεις τους τέmicroνονται σε ένα σηmicroείο Ρ τότε ισχύει
Ρ∆sdotΡΓ=ΡΒsdotΡΑ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
13
Αν από ένα εξωτερικό σηmicroείο Ρ κύκλου ( )R Ο φέρουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΡΕ
Και microια ευθεία που τέmicroνει τον κύκλο στα σηmicroεία ΒΑ τότε ισχύει η σχέση
Επίσης αν η ευθεία ΡΟ τέmicroνει τον κύκλο στα ∆ Γ και δ=ΟΡ τότε έχουmicroε ότι
Η διαφορά 22 Rminusδ λέγεται δύναmicroη σηmicroείου Ρ ως προς τον κύκλο ( )R Ο και
συmicroβολίζεται
( )2222
RRR minusΟΡ=minus=∆ΡΟ δ
bull Το Ρ είναι εξωτερικό σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 gt∆ΡΟ R
bull Το Ρ είναι εσωτερικό σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 lt∆ΡΟ R
bull Το Ρ είναι σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 =∆ΡΟ R
bull Για να είναι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι εγγράψιmicroο σε κύκλο αν ισχύει η σχέση
Ρ∆sdotΡΓ=ΡΒsdotΡΑ
bull Αν οι διαγώνιοι ενός τετράπλευρου ΑΒΓ∆ τέmicroνονται σε ένα σηmicroείο Κ τότε για να
είναι το τετράπλευρο εγγράψιmicroο σε κύκλο πρέπει να ισχύει η σχέση
Κ∆sdotΚΒ=ΚΓsdotΚΑ
ΡΒsdotΡΑ=ΡΕ2
( )( ) 22 RRR minus=+minus
=Ρ∆sdotΡΓ=ΡΒsdotΡΑ
δδδ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
14
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Οι πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου έχουν microήκη x x+1 και x+2 Η περίmicroετρος του
τριγώνου αυτού είναι
Α 3 Β 6 Γ 10 ∆ 12 Ε 15
Επιλέξτε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε
2 Θεωρούmicroε διάmicroετρο ΑΒ κύκλου (ΟR) και τις κάθετες ακτίνες ΟΓ και Ο∆ Αν Ε και
Ζ οι προβολές των Γ και ∆ αντίστοιχα στην ΑΒ να αποδειχθεί ότι
i) Τα τρίγωνα ΟΕΓ και Ζ∆Ο είναι ίσα
ii) 222 R=ΟΖ+ΟΕ
3 Έστω ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο )90( Οand
=Α και Β∆ η διάmicroεσός του Να αποδειχθεί
ότι 222
4
3ΒΓ=ΑΓ+Β∆
4 Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο ΑΟΒ κύκλου (ΟR) και τη διχοτόmicroο ΟΜ της γωνίας and
ΟΒΑ Από σηmicroείο Γ του τόξου cap
ΑΒ φέρουmicroε ΟΒperpΓ∆ που τέmicroνει την ευθεία
ΟΜ στο σηmicroείο Ε Να αποδειχθεί ότι α) ∆Ε=Ο∆ β) 222 R=∆Ε+∆Γ
5 Αν σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά
τmicroήmicroα Γ∆=2ΒΓ να αποδειχθεί ότι 222 6ΒΓ+ΑΓ=Α∆
6 Αν ∆ σηmicroείο της πλευράς ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) να αποδειχθεί ότι
22 ∆Γsdot∆Β=Α∆minusΑΒ
7 Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω
περιπτώσεις όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί
να αποτελεί microήκη των πλευρών του i) 357 ii) 842 iii) 76 85
8 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ πληρούν τη σχέση 222 βαγ +lt
τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο
9 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ πληρούν τις σχέσεις αltβltγ και 222 βαγ +lt τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο
10 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών ΑΒΓ πληρούν τη σχέση 444 γβα +lt τότε να
αποδειχθεί ότι 90Οand
ltΑ
11 Θεωρούmicroε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και σηmicroείο ∆ της ηmicroιευθείας ΑΒ
τέτοιο ώστε Β∆=ΑΒ Αν ΑΒperpΓΕ και είναι ΑΒ=4ΒΕ να αποδειχθεί ότι
2
3 222 ΑΓ+ΒΓ=Γ∆
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
15
12 Θεωρούmicroε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α τη διχοτόmicroο Γχ της εξωτερικής
γωνίας εξΓ
and
αυτού την κάθετη xΓperpΒΕ και την κάθετη ΑΓperpΕΖ
Να αποδειχθεί ότι i)4
α=ΓΖ ii)
2
7α=ΑΕ
13 Εκατέρωθεν της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ κατασκευάζουmicroε δύο ισόπλευρα
τρίγωνα ΒΓ∆ και ΒΓΕ Να αποδειχθεί ότι 22222 γβα ++=ΑΕ+Α∆
14 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ τα microήκη των πλευρών του οποίου συνδέονται microε τη σχέση
2 222 αγβ =+ Nα αποδειχθεί ότι α) 2
βmicro +2
γmicro =2
2 αmicro
β) 2
3αmicroα =
2
3γmicroβ =
2
3βmicroγ =
15 Θεωρούmicroε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ )90( Οand
=Α και τη διάmicroεσό του ΒΕ
α) Να αποδειχθεί ότι 222
4
3ΒΓ=ΑΓ+ΒΕ β) Αν Α∆ είναι η διάmicroεσος του
τριγώνου ΑΒΓ ΒΕ= 14 και o60=Β∆Α
and
να υπολογιστούν τα microήκη των πλευρών
του τριγώνου ΑΒΓ
16 Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει γβ micromicro perp τότε να αποδειχθεί ότι 222
αγβ micromicromicro =+
17 Αν ΒΒ΄ το ύψος τριγώνου ΑΒΓ microε o90ltΑ
and
και ΑΜ η διάmicroεσός του τότε να
αποδειχθεί ότι 4
22 ΄ΑΒsdotΑΓ+
ΒΓ=ΑΜ
18 Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ )90( Οand
=Α η διάmicroεσος του ΑΜ και ευθεία (ε)
κάθετη στην ΑΜ στο Μ Αν Ρ σηmicroείο της (ε) να αποδειχθεί ότι 222 2ΡΑ=ΡΓ+ΡΒ
19 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ ΑΜ διάmicroεσος η οποία προεκτεινόmicroενη τέmicroνει τον
περιγεγραmicromicroένο κύκλο (ΟR) στο ∆ και Θ το βαρύκεντρο του τριγώνου
Να δειχθεί ότι i)4
2α=Μ∆sdotΜΑ ii)
ΘΟ∆ )( R )(
9
1 222 γβα ++minus=
iii) AB2+AΓ
2=2ΑΜsdotΑ∆
20 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόmicroος του Α∆ Αν οι κύκλοι οι περιγεγραmicromicroένοι στα
τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓ∆ τέmicroνουν τις ΑΓ και ΑΒ στα σηmicroεία Ζ και Ε αντίστοιχα να
αποδειχθεί ότι ΒΕ=ΓΖ
21 Κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι εγγράψιmicroο σε κύκλο Αν το σηmicroείο τοmicroής Μ των
διαγωνίων του είναι microέσο της διαγωνίου Β∆ να αποδειχθεί ότι
i) ΜΓsdotΜΑ=∆Β 42 ii) 2 22222 ΑΓ=∆Α+Γ∆+ΒΓ+ΑΒ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
16
22 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) διαmicroέτρου ΑΒ Από ένα σηmicroείο Γ της προέκτασης της ΑΒ
προς το Β φέρνουmicroε την εφαπτοmicroένη Γ∆ και την ΑΓperpΓx Αν Ε είναι το σηmicroείο
τοmicroής των Α∆ και Γx να αποδειχθεί ότι
i) το τετράπλευρο ∆ΒΓΕ είναι εγγράψιmicroο ii) ΑΕsdotΑ∆minusΓΑ=Γ∆ 22
23 ∆ύο κύκλοι (ΚR) και
Λ2
R
εφάπτονται εσωτερικά στο Α Από ένα σηmicroείο Μ του
κύκλου
Λ2
R
φέρνουmicroε χορδή Γ∆ του κύκλου (ΚR) Να αποδειχθεί ότι
ΜΓΜ∆=ΜΑ2
24 Θεωρούmicroε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α και σηmicroείο ∆ της πλευράς ΒΓ Αν οι
περιγεγραmicromicroένοι κύκλοι στα τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓ∆ τέmicroνουν τις πλευρές ΑΓ και ΑΒ
στα σηmicroεία Ε και Ζ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι ΒΖ+ΓΕ=α
25 Στη διάmicroετρο ΑΒ κύκλου (ΟR) θεωρούmicroε τα σηmicroεία Γ και ∆ έτσι ώστε ΟΓ=Ο∆=α
και microεταβλητό σηmicroείο Μ του κύκλου Αν οι ΜΓ και Μ∆ τέmicroνουν τον κύκλο στα Ε
και Ζ αντίστοιχα να αποδείξετε ότι i) ΜΓΓΕ = Μ∆∆Ζ ii)
ΜΓ2+Μ∆
2 = 2(R
2+α
2) iii) το άθροισmicroα
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
είναι σταθερό
26 Θεωρούmicroε κύκλο (O2α) και σηmicroείο Ρ τέτοιο ώστε ΟΡ=2
3α Φέρουmicroε χορδή ΑΒ η
οποία διέρχεται από το Ρ και είναι τέτοια ώστε ΑΡ=α Να υπολογιστεί το microήκος της
χορδής ΑΒ
27 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) διάmicroετρο ΑΒ και τα microέσα Γ και ∆ των ΟΑ και ΟΒ
αντίστοιχα Από το σηmicroείο Γ φέρουmicroε χορδή ΕΖ = 2
13 Rsdot Να αποδειχθεί ότι
i) ΖΓ2+Ζ∆
2+ΓΕ
2+∆Ε
2=5R
2 ii)
and
Ε∆Ζ = 900
28 Έστω ΑΒ διάmicroετρος κύκλου (ΟR) και ΑΓ Β∆ δύο χορδές που τέmicroνονται στο Ρ Να
αποδειχθεί ότι i) αν οι Α∆ και ΒΓ τέmicroνονται στο Ε τότε το Ρ είναι ορθόκεντρο του
τριγώνου ΕΑΒ ii) ΑΓΑΡ+Β∆ΒΡ=ΑΒ2
29 Τρίγωνο ΑΒΓ microε β2+γ
2=2α
2 Β∆ ΓΕ ύψη ΑΜ διάmicroεσος και Ζ microέσο της ΑΜ Να
αποδειχθεί ότι i)and
Α lt900 ii) AE =
γα2
2
και ΑΜ = 2
3α iii) ΕΖ =
γαβ4
Ζ∆ = β
αγ4
30 Σε τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούmicroε σηmicroεία ∆Ε στην πλευρά ΒΓ ώστε Β∆ = ∆Ε = ΕΓ Να
αποδείξετε ότι i) AB2 ndash 2∆E
2 = 2A∆
2 ndash AE
2 ii) AB
2 + 2AΓ
2 = 3AE
2 +
6∆E2
31 Αν α β γ πλευρές τριγώνου να βρεθεί το είδος του τριγώνου στις παρακάτω περι-
πτώσεις i) α = ν2 + 1 β = 2ν γ = ν
2 ndash 1
ii) α = 4 β = 5 γ = 3
iii) α = 11 β = 13 γ = 12
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
17
32 Αν Ε ∆ Ζ microέσα των ΑΓ ΒΓ Β∆ αντίστοιχα ενός τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε ότι
i) Ε∆=2
1ΑΒ ii) ΕΖ
2 =
16
263 222 βminusγ+α
33 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ = 6 ΑΓ = 8 ΒΓ = 2 37 να αποδειχθεί ότι
i) ο120=Α
and
ii) να βρεθεί το microήκος Α∆ όπου Β∆ ύψος τριγώνου
iii) να βρεθεί το microήκος της διαmicroέσου microα
34 Σε τρίγωνο ΑΒΓ microε πλευρές α = 9 β = 7 γ = 4 να βρείτε i) το είδος του τριγώνου
ii) το microήκος της διαmicroέσου microα iii) την προβολή της διαmicroέσου microα πάνω στην
ΒΓ iv) την προβολή της πλευράς β πάνω στην γ
35 Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ο90=Α
and
ΑΜ διάmicroεσος και Ρ το microέσο
της ΑΜ Στην πλευρά ΒΓ = α παίρνουmicroε σηmicroείο Κ ώστε ΓΚ = 8
5α Να αποδειχθεί
ότι i) ΓΡ2 =
16
5 2α ii) ΡΚ
2 =
64
5 2α iii) ΡΓ = 2ΚΡ
36 Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε ο90=Α
and
α = 25 και β = 20 αν x είναι η προβολή της
πλευράς β πάνω στην πλευρά α τότε
i) η πλευρά γ έχει microήκος Α10 Β12 Γ13 ∆15 Ε21
ii) το ύψος υα έχει microήκος Α9 Β7 Γ12 ∆17 Ε5
iii) το τmicroήmicroα x έχει microήκος Α10 Β12 Γ17 ∆16 Ε21
(Να αιτιολογήσετε την απάντηση)
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
18
ΕΜΒΑ∆Α
ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ
Ας θεωρήσουmicroε ένα πολύγωνο
Ένα σχήmicroα που αποτελείται από πεπερασmicroένο πλήθος πολυγωνικών χωρίων που ανά δύο δεν
έχουν κοινά εσωτερικά σηmicroεία λέγεται πολυγωνική επιφάνεια
Ίσα πολυγωνικά χωρία έχουν ίσα εmicroβαδά
Αν ένα πολυγωνικό χωρίο (ή microια πολυγωνική επιφάνεια) χωρίζεται σε πεπερασmicroένου
πλήθους πολυγωνικά χωρία που δεν έχουν κοινά εσωτερικά σηmicroεία τότε το εmicroβαδόν του
ισούται microε το άθροισmicroα των εmicroβαδών των επιmicroέρους πολυγωνικών χωρίων
Το εmicroβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς 1 είναι 1
∆ύο σχήmicroατα που έχουν το ίδιο εmicroβαδόν ονοmicroάζονται ισεmicroβαδικά ή ισοδύναmicroα
Το πολύγωνο microαζί microε τα εσωτερικά του
στοιχεία ονοmicroάζεται πολυγωνικό χωρίο
Ένα πολυγωνικό χωρίο που ορίζεται από
τρίγωνο τετράγωνοhellipν-γωνο ονοmicroάζεται
τριγωνικό πολυγωνικόhellip ν-γωνικό
∆ύο πολυγωνικά χωρία λέγονται ίσα όταν τα
αντίστοιχα πολύγωνά τους είναι ίσα
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
19
ΕΜΒΑ∆Α ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
Το εmicroβαδόν τετραγώνου πλευράς α δίνεται από τον τύπο 2α=Ε
Το εmicroβαδόν ενός ορθογωνίου ισούται microε το γινόmicroενο των πλευρών του βα sdot=Ε
Το εmicroβαδόν ενός παραλληλογράmicromicroου ισούται microε το γινόmicroενο microιας πλευράς του επί το ύψος
που αντιστοιχεί σε αυτή
βα υβυα sdot=sdot=Ε
Το εmicroβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο microε το ηmicroιγινόmicroενο microιας πλευράς επί το αντίστοιχο ύψος
γβα υγυβυα sdot=sdot=sdot=Ε2
1
2
1
2
1
Το εmicroβαδόν τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο του ηmicroιαθροίσmicroατος των βάσεων του επί το
ύψος του υβsdot
+Β=Ε
2
Το εmicroβαδόν τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο της διαmicroέσου επί το ύψος του
bull Το εmicroβαδόν ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς α είναι ίσο microε 4
32α=Ε
bull Το εmicroβαδόν ρόmicroβου ισούται microε το ηmicroιγινόmicroενο των διαγωνίων του
bull Το εmicroβαδόν οποιουδήποτε κυρτού ή microη κυρτού τετραπλεύρου microε κάθετες διαγωνίους
ισούται microε το ηmicroιγινόmicroενο των διαγωνίων του
bull Η διάmicroεσος κάθε τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
bull Το βαρύκεντρο τριγώνου έχει την ιδιότητα να δηmicroιουργεί microε τις κορυφές του τριγώνου τρία
ισεmicroβαδικά τρίγωνα
bull Το βαρύκεντρου του τριγώνου οι κορυφές του και τα microέσα των πλευρών του ορίζουν έξι
ισεmicroβαδικά τρίγωνα
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
20
ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΕΜΒΑ∆ΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
( )( )( )γτβταττ minusminusminus=Ε όπου 2
γβατ
++= ηmicroιπερίmicroετρος του τριγώνου
ρτ sdot=Ε
R4
γβα sdotsdot=Ε
Γsdotsdot=Βsdotsdot=Αsdotsdot=Ε ηmicroβαηmicroαγηmicroγβ2
1
2
1
2
1
ΕΜΒΑ∆Α ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
Αν δύο τρίγωνα έχουν ίσες βάσεις τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο των
αντίστοιχων υψών ενώ αν έχουν ίσα ύψη τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο
των αντίστοιχων βάσεων
Αν δύο τρίγωνα είναι όmicroοια τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το τετράγωνο του
λόγου οmicroοιότητας
Ο λόγος των εmicroβαδών δύο όmicroοιων πολυγώνων είναι ίσος microε το τετράγωνο του λόγου
οmicroοιότητας
Αν microια γωνία ενός τριγώνου είναι ίση ή παραπληρωmicroατική microε microια γωνία ενός άλλου
τριγώνου τότε ο λόγος των εmicroβαδών των δύο τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο των γινοmicroένων
των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
21
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Αν ΑΒΓ∆ τραπέζιο ( Γ∆ΑΒ ) και Ο το σηmicroείο τοmicroής των διαγωνίων του ΑΓ και
Β∆ να αποδείξετε ότι ΟΑ∆ΟΒΓ Ε=Ε
2 Ένα τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) και ΒΓ=Γ∆=Α∆ και τη βάση ΑΒ κατά 2 microικρότερη
από το άθροισmicroα των τριών αυτών πλευρών Αν το ύψος του τραπεζίου είναι 5 να
υπολογιστεί το εmicroβαδό του
3 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ microε microήκη πλευρών α=10 β=8 γ=14 και ισόπλευρο τρίγωνο
∆ΕΖ το οποίο είναι ισοδύναmicroο microε το ΑΒΓ Το microήκος της πλευράς του ισόπλευρου
τριγώνου ∆ΕΖ είναι
Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20
Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε
4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=2 ΒΗ ύψος και η διάmicroεσος Β∆=1 Αν and
∆ΑΒ =30ο να
υπολογιστούν α) τα ΒΗ Η∆ ΑΗ
β) το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ
5 Με υποτείνουσες τις κάθετες πλευρές ΑΒ και ΑΓ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ microε
β+γ=20 κατασκευάζουmicroε ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓΕ εκτός
αυτού
α) Να αποδείξετε ότι τα σηmicroεία ∆ΑΕ είναι συνευθειακά
β) Να βρείτε το εmicroβαδό του τετραπλεύρου ΒΓΕ∆
6 Προεκτείνουmicroε τις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ ενός τριγώνου ΑΒΓ κατά τmicroήmicroατα
Γ∆=ΓΒ ΑΕ=ΑΓ και ΒΖ=ΒΑ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι (∆ΕΖ) = 7(ΑΒΓ)
7 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Μ στο εσωτερικό του Φέρνουmicroε από το Μ
παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των
σχηmicroατιζόmicroενων τριγώνων και Ε το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε
ότι 321 Ε+Ε+Ε=Ε
8 Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ που τέmicroνει τις πλευρές ΑΒ
και ΑΓ στα σηmicroεία ∆ και Ε αντίστοιχα Να αποδείξετε ότι (ΑΒΕ)2=(ΑΒΓ)(Α∆Ε)
9 Από σηmicroείο ∆ της πλευράς ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη προς την
πλευρά ΒΓ που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των τριγώνων
Α∆Ε Α∆Γ και ΑΒΓ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι 31
2
2 ΕsdotΕ=Ε
10 Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Α΄ της πλευράς του ΒΓ Από τα Β και Γ
φέρνουmicroε παράλληλες προς την ΑΑ΄ που τέmicroνουν τις ευθείες ΑΓ και ΑΒ στα σηmicroεία
Γ΄ και Β΄ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι
α) (ΑΑ΄Γ΄) = (ΑΒΑ΄) και (ΑΑ΄Β΄) = (ΑΓΑ΄)
β) (Α´ô) = (ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
22
11 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ microε ΑΒ=10 Α∆=4 και and
∆ =60ο Στην πλευρά ΑΒ
θεωρούmicroε τα σηmicroεία Ε και Ζ έτσι ώστε ΑΕ=ΕΖ=ΖΒ Αν Η είναι το σηmicroείο τοmicroής των
ευθειών ∆Ε και ΓΖ να υπολογιστούν
α) το εmicroβαδό του παραλληλογράmicromicroου ΑΒΓ∆
β) το εmicroβαδό του τραπεζίου Γ∆ΕΖ
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου ΗΕΖ
12 ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=ΑΓ=6 και ο120=Α
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του
β) Αν Ε σηmicroείο της ΑΓ τέτοιο ώστε ΓΕ=ΑΕ2
1 και Α∆ το ύψος του τριγώνου
ΑΒΓ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ∆ΕΓ
γ) Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει τη ∆Ε στο Η να βρεθεί το εmicroβαδό
του τριγώνου ΑΕΗ
13 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Ρ στο εσωτερικό του Από το Ρ φέρνουmicroε κάθετες
ηmicroιευθείες στις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ και πάνω σrsquo αυτές παίρνουmicroε τα σηmicroεία Α΄
Β΄ και Γ΄ αντίστοιχα έτσι ώστε ΡΑ΄=ΒΓ ΡΒ΄=ΑΓ και ΡΓ΄=ΑΒ Να αποδειχθεί ότι
α) οι γωνίες and
Γ και and
ΒprimeΡΑprime είναι παραπληρωmicroατικές
β) (ΡΑ΄Β΄)=(ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)
14 Θεωρούmicroε τρεις ίσες διαδοχικές γωνίες and
οψx zand
οψ xzand
ο και πάνω στις
ηmicroιευθείες Οx Oψ και Οz τα σηmicroεία Α Β Γ αντίστοιχα έτσι ώστε ΟΑ=1 ΟΒ=4 και
ΟΓ=8
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ψοand
x zand
οψ xzand
ο
β) Αν Οw η αντικείmicroενη ηmicroιευθεία της Οψ και Γ∆ wΟperp να υπολογίσετε τις Ο∆ και
Γ∆
γ) Να υπολογίσετε το (ΟΒΓ)
δ) Να αποδείξετε ότι (ΑΒΓ)= 311
15 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ και Κ Λ Μ Ν τα microέσα των ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α
αντίστοιχα α) Να αποδειχθεί ότι (ΚΛΜΝ)=2
1(ΑΒΓ∆)
β) Αν ΚΜ ΛΝperp να αποδειχθεί ότι (ΑΒΓ∆) = ΚΜΛΝ
16 Λ
Α Β Στο διπλανό σχήmicroα τα σηmicroεία Κ Λ είναι τα
Κ Ρ microέσα των τmicroηmicroάτων ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα
Να αποδείξετε ότι
Γ α) ο λόγος των εmicroβαδών των τριγώνων ΑΚΒ και ΑΛΓ είναι ίσος microε
β) αν Ρ είναι το σηmicroείο τοmicroής των ΛΓ και ΚΒ τότε τα τρίγωνα ΒΛΡ
και ΚΓΡ έχουν ίσα εmicroβαδά
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
23
17 ∆ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) microε ΑΒ=4 Α∆=2 καιο60=∆
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τραπεζίου ΑΒΓ∆
β) Αν Ε σηmicroείο της πλευράς ΑΒ τέτοιο ώστε ΕΒ= ΑΒ4
1 και οι Ε∆ ΕΓ τέmicroνουν τη
διάmicroεσο του τραπεζίου στα σηmicroεία Ζ και Η αντίστοιχα να βρεθεί το εmicroβαδό του
τριγώνου ΕΖΗ
γ) Αν οι ∆Ε και ΒΓ τέmicroνονται στο Ρ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ΡΕΒ
18 Αν οι διαγώνιοι κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓ∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο να αποδείξετε ότι
το τετράπλευρο έχει εmicroβαδό Β∆sdotΑΓ4
1
19 Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται ΑΒ=5 ο60=Α
and
και η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου
κύκλου 3
7=R Να βρεθούν οι άλλες δύο πλευρές του τριγώνου και το εmicroβαδόν του
20
∆ Ζ Γ
υ
Α Ε Η Β
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m
90ο=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος ∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο
οποίος θα χωρίζει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆ και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο
ΑΕ∆
δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου ∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
21 Αν Μ και Ν είναι τα microέσα των πλευρών ΒΓ και Γ∆ ενός παραλληλόγραmicromicroου ΑΒΓ∆
να αποδείξετε ότι (ΑΜΝ)= )(8
3ΑΒΓ∆
22 Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) θεωρούmicroε το microέσο Μ της πλευράς ΑΒ
και σηmicroείο Ν της πλευράς ΑΓ τέτοιο ώστε 3
ΑΓ=ΓΝ Να δειχθεί ότι
(ΜΝΒ)= )(3
1ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
24
23 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και τυχαίο σηmicroείο Σ στην προέκταση της πλευράς
∆Γ προς το Γ Να αποδείξετε ότι
α) (ΑΒ∆)= )(2
1ΑΒΓ∆
β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)
γ) αν η ΑΣ τέmicroνει την Β∆ στο σηmicroείο Ε τότε (Ε∆Σ)-(ΕΑΒ)=(ΣΒΓ)
24 Έστω Σ τυχαίο σηmicroείο της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ Στο σηmicroείο Α φέρουmicroε
microια ευθεία ε κάθετη στην ΑΣ Αν ∆ και Ε είναι αντίστοιχα οι προβολές των σηmicroείων
Β και Γ στην ευθεία ε να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ∆ΣΕ είναι ισοδύναmicroα
25 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 8=ΑΒ 12=ΑΓ και η Α∆ διχοτόmicroος της γωνίας and
Α Αν
( )ΑΒ∆ =20 τmicro να βρείτε το ( )ΑΒΓ
26 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ∆ σηmicroείο της πλευράς ΑΒέτσι ώστε 6=Α∆ ∆Β=5
8=ΑΓ Αν 80=Α
and
να βρείτε το εmicroβαδόν του τριγώνου Β∆Γ
27 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ microε 90=Β
and
και η γωνία and
Α να είναι το 3
1 της ορθής Αν
∆ σηmicroείο της προέκτασης της πλευράς ΒΓ προς το Γ τέτοιο ώστε η 30=Α∆Β
and
να
βρεθεί ο λόγος ( )( )ΑΒ∆ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
25
ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ
ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ
Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του
ίσες
Γωνία κανονικού ν-γώνου ν
φν
360
180 minus=
Κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου ν
ων
360=
Σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας R ισχύουν οι εξής τύποι 2
22
4R=+ ν
ν
λα
νν λν sdot=Ρ
ννν αsdotΡ=Ε2
1
όπου να απόστηmicroα νλ πλευρά νΡ περίmicroετρος νΕ εmicroβαδόν
∆ύο κανονικά πολύγωνα microε τον ίδιο αριθmicroό πλευρών είναι όmicroοια
Κάθε κανονικό πολύγωνο εγγράφεται σε έναν κύκλο και περιγράφεται σε έναν άλλον Οι δύο
αυτοί κύκλοι είναι οmicroόκεντροι
bull Το κοινό κέντρο τον κύκλων αυτών λέγεται κέντρο του πολυγώνου
bull Η ακτίνα R του περιγεγραmicromicroένου κύκλου λέγεται ακτίνα του πολυγώνου
bull Η απόσταση του κέντρου από microια πλευρά του δηλαδή η ακτίνα του εγγεγραmicromicroένου
κύκλου λέγεται απόστηmicroα του πολυγώνου
Σε δύο κανονικά ν-γωνα ο λόγος των πλευρών τους ισούται microε το λόγο των ακτινών τους και
το λόγο των αποστηmicroάτων τους
∆ηλαδή
ν
ν
ν
ν
αα
λλ
==R
R
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
26
ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ
ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ
ΚΑΝΟΝΙΚΟ
ΕΞΑΓΩΝΟ
ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ
ΤΡΙΓΩΝΟ
ΠΛΕΥΡΑ νλ 24 R=λ R=6λ 33 R=λ
ΑΠΟΣΤΗΜΑ να
2
24
R=α
2
36
R=α
23
R=α
RL sdot= π2
180
microπ sdotsdot=
Rl ή Rl sdot=α
180
microαπ
=
2Rsdot=Ε π
( )360
2 microπ sdotsdot=ΟΑΒ
cap R ή ( )
cap
sdot=ΟΑΒ 2
2
1Rα
( ) ( )ΟΑΒminusΟΑΒ=cap
ε
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
27
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Ένα κανονικό εξάγωνο είναι περιγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ορ) Η πλευρά του
εξαγώνου αυτού είναι
Α ρ Β 2
3ρ Γ 2ρ ∆
3
32ρ Ε
3
2ρ
2 ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και στις προεκτάσεις των
πλευρών ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α θεωρούmicroε τα τmicroήmicroατα ΒΚ=ΓΛ=∆Μ=ΑΝ=λ3 Να δείξετε
ότι το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο και ότι η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου κύκλου του
είναι 641 += RR
3 Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε δύο παράλληλες χορδές ΑΒ=λ4 και Γ∆=λ6 Να
αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι ισοσκελές τραπέζιο και να υπολογιστεί
το εmicroβαδό του ως συνάρτηση της ακτίνας R
4 Η περίmicroετρος ενός κυκλικού τοmicroέα ΟΑΒ ενός κύκλου (ΟR) είναι 6+π Αν
ο60=ΒΟΑand
τότε το microήκος της ακτίνας R είναι
Α 6 Β 3 Γ 2 ∆ 4 Ε 5 (δικαιολογήστε την απάντησή σας)
5 Έστω τεταρτοκύκλιο ΟΑΒ ακτίνας R και ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΟΒ στο εσωτερικό
του Να βρείτε το εmicroβαδό και την περίmicroετρο του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΑΒ
6 Έστω δύο κύκλοι (ΟR) και (Ο΄R) των οποίων η διάmicroετρος ΟΟ΄ έχει microήκος
ΟΟ΄=R 3 α) Να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι τέmicroνονται
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινού microέρους των δύο κύκλων
7 Το εmicroβαδό κυκλικού τοmicroέα 80ο είναι 8π Η ακτίνα του κύκλου είναι
Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15
8 Τετράγωνο ΑΒΓ∆ είναι εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και η ηmicroιπερίmicroετρος του
είναι 80cm Να υπολογιστούν
α) η ακτίνα R του κύκλου
β) ο λόγος του εmicroβαδού του κύκλου προς το εmicroβαδό του τετραγώνου
9 Στο εσωτερικό ηmicroικυκλίου διαmicroέτρου ΑΟΒ=2R γράφουmicroε ηmicroικύκλια microε
διαmicroέτρους ΟΑ και ΟΒ Να υπολογιστεί το microήκος και το εmicroβαδό του κύκλου που
εφάπτεται των τριών ηmicroικυκλίων
10 ∆ύο κύκλοι (Ο3R) και (Ο΄R) εφάπτονται εξωτερικά στο σηmicroείο Α Φέρουmicroε την
κοινή εξωτερική εφαπτόmicroενη ΒΓ αυτών Να βρεθεί το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου
τριγώνου ΑΒΓ και του περιγεγραmicromicroένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ
11 Έστω ο κύκλος (ΟR) και microια ακτίνα του ΟΑ Στην ηmicroιευθεία ΟΑ θεωρούmicroε
σηmicroείοΒ έτσι ώστε ΑΒ=ΑΟ Αν ΒΓ η εφαπτοmicroένη του κύκλου να βρεθεί το
εmicroβαδό α) του τριγώνου ΟΒΓ και β) του microικτόγραmicromicroου τριγώνου
ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
28
12 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=λ3 και Γ∆=λ6
προς το ίδιο microέρος του κέντρου Ο α) Να εκφράσετε τις χορδές ΑΒ και Γ∆ ως
συνάρτηση της ακτίνας R β) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό Ε1 του κυκλικού τmicroήmicroατος
που αντιστοιχεί στη χορδή Γ∆ γ) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό του τριγώνου ΟΑΒ
δ) Να βρείτε την περίmicroετρο και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τραπεζίου που έχει
κορυφές τα ΑΒΓ∆
13 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) χορδή ΑΒ=R την εφαπτοmicroένη ε του κύκλου στο σηmicroείο
Α και τη εperpΒΓ Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του τραπεζίου ΟΑΓΒ
β) το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
14 ∆ίνεται ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΑΒ και στο εσωτερικό του τα ηmicroικύκλια διαmicroέτρων
ΑΓ και ΓΒ όπου Γ σηmicroείο microεταξύ των Α και Β Αν κάθετη της ΑΒ στο Γ τέmicroνει το
αρχικό ηmicroικύκλιο στο ∆ να αποδείξετε ότι το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται
microεταξύ των τριών ηmicroικυκλίων είναι ίσο microε το εmicroβαδό του κύκλου διαmicroέτρου Γ∆
15 Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ο60=Β
and
και ΒΓ=α Με
κέντρο το Β και ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει τη ΒΓ στο Μ και microε κέντρο
το Γ και ακτίνα ΓΜ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν Να βρεθεί η
περίmicroετρος και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
16 Με κέντρο ένα σηmicroείο Κ κύκλου (ΟR) και ακτίνα ίση προς R 3 γράφουmicroε
κύκλο ο οποίος τέmicroνει τον (ΟR) στα σηmicroεία Α και Β Να υπολογιστούν η
περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου microηνίσκου
17 ∆ίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ΒΓ = 2R
Γράφουmicroε ηmicroικύκλιο microε διάmicroετρο ΒΓ εκτός τριγώνου και τόξο κύκλου (Α ΑΒ) microε
άκρα Β και Γ Να βρεθεί η περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου
microηνίσκου από το ηmicroικύκλιο και το τόξο αυτό
18 Ένα ορθογώνιο σπίτι microε διαστάσεις α = 20m και β = 10m έχει microια εξωτερική
πρίζα σε microια γωνία του Ένα χορτοκοπτικό microηχάνηmicroα συνδεδεmicroένο microε την πρίζα
έχει καλώδιο microε microήκος 15m Να βρεθεί το εmicroβαδόν της microεγαλύτερης επιφάνειας
του χόρτου που microπορεί να κοπεί
19 Σε κύκλο ακτίνας R = 4cm είναι εγγεγραmicromicroένο ισόπλευρο τρίγωνο
Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του κύκλου
β) την πλευρά του τριγώνου
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου
δ) το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται microεταξύ του κύκλου και του τριγώνου
20 Σε κύκλο microε διάmicroετρο ΑΒ φέρουmicroε τις χορδές ΜΒΑΜ Αν είναι 6=ΑΜ και
8=ΒΜ να βρεθεί η ακτίνα και το εmicroβαδόν του κύκλου
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
29
21 Να βρεθεί το εmicroβαδόν του καθενός από τα δύο microέρη στα οποία διαιρείται ένας
κύκλος ( )RΟ από την πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραmicromicroένου στον κύκλο
αυτόν
22 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και φέρουmicroε δύο κάθετες ακτίνες ΟΑ και ΟΒ Με
κέντρο το Α και ακτίνα R γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει το cap
AB στο σηmicroείο Γ Να
βρεθεί το εmicroβαδόν του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΒΓ
23 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και τόξο 60=ΑΒ
cap
Φέρουmicroε στο σηmicroείο Α την
εφαπτοmicroένη χΑ του κύκλου και την χΑperpΒΓ Να βρεθεί το εmicroβαδόν του
microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
30
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΗ 1η
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α∆ διχοτόmicroος Β∆ = 2 Γ∆ = 3 και 2τ = 15 (περίmicroετρος) η πλευρά
ΑΒ είναι
Α 3 Β 4 Γ 5 ∆ 6 Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 2η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 3α2 + 2γ
2 = 2β
2 Τότε
i) Α and
Α gt90ο Β
and
Β gt 90ο Γ
and
Β lt 90ο ∆
and
Γ gt 90ο Ε Κανένα από τα παραπάνω
ii) Η προβολή της διαmicroέσου microα στην ΒΓ ισούται microε
Α 4
a Β
2
a Γ
4
3a ∆
2
3a Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 3η
Αν ΑΒΓ∆ τετράγωνο πλευράς α και Ε microέσο του Α∆ τότε
i) ΒΕ =2
5α Σ Λ
ii) Ο λόγος ΒΕΕΖ
ισούται microε
Α 5
2 Β
4
5 Γ
4
1 ∆
5
1 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
Α Β
E
Z
∆ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 4η
Αν τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=4 ΒΓ=5 ΑΓ=6 και Α∆ διχοτόmicroος τότε
i) -Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο Σ Λ
- Ο λόγος ∆Γ∆Β
ισούται microε
Α 2
1 Β
3
1 Γ
3
2 ∆
4
3 Ε
2
3
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ii) Αν ε η προβολή του Α στην ΒΓ να υπολογίσετε το microήκος του ΒΕ
iii) Να αποδείξετε ότι 2
1=
∆Γ∆Ε
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
31
ΑΣΚΗΣΗ 5η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και Μ το microέσο της Α∆ Προεκτείνουmicroε τη ∆Γ προς το Γ
κατά ΓΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΒΜ)=2
)(ΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τραπεζίου ΑΒΕ∆ είναι οκταπλάσιο από το εmicroβαδόν του
τριγώνου ΑΒΜ
ΑΣΚΗΣΗ 6η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναιuα =3ρ όπου ρ του εγγεγραmicromicroένου κύκλου του τριγώνου Ο λόγος
αγβ +
ισούται microε Α 2 Β 3 Γ 3
1 ∆
2
3 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ΑΣΚΗΣΗ 7η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάmicroεσός του Α∆ Προεκτείνουmicroε την ΒΑ προς το Α κατά τmicroήmicroα
ΑΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι (ΒΕ∆)=3(Α∆Γ)
ΑΣΚΗΣΗ 8η
Στο εσωτερικό της αυλής ενός σπιτιού υπάρχει microικρός κήπος microε λαχανικά όπως στο
ακόλουθο σχήmicroα Αν το εmicroβαδόν του κήπου είναι 122m και οι διαστάσεις της αυλής είναι
12m και 13m να βρεθεί το x Αν θέλουmicroε να περιφράξουmicroε τον κήπο microε σύρmicroα πόσο σύρmicroα
θα χρειαστούmicroε
12m
13m
ΑΣΚΗΣΗ 9η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ Από τυχαίο σηmicroείο Ε της ΑΓ φέρουmicroε ευθεία παράλληλη
προς την Α∆ που τέmicroνει την Γ∆ στο Ζ Να αποδείξετε ότι
i) (Α∆Ζ)=(ΑΕΒ)
ii) (ΑΕΖ)=(ΒΕΓ)-(ΖΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 10η
Οι διάmicroεσοι Β∆ και ΓΕ τριγώνου ΑΒΓ τέmicroνονται στο Θ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΕ∆)=4
)(ΑΒΓ
ii) (ΒΘΓ)= 3
)(ΑΒΓ
iii)(ΑΕ∆)= (ΒΚΛΓ) όπου Κ Λ τα microέσα των ΒΘ και ΓΘ αντίστοιχα
x
x x
x
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
32
ΑΣΚΗΣΗ 11η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε τη διχοτόmicroο Α∆ Από το ∆ φέρνουmicroε παράλληλη προς την ΑΒ
που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει την προέκταση της
∆Ε στο Ζ να αποδείξετε ότι
α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)
β) β2(ΑΕΖ) = γ
2(∆ΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 12η
Θεωρούmicroε γωνία yxand
Α και σηmicroείο Ο της διχοτόmicroου της Αδ Αν ο κύκλος (ΟΟΑ) τέmicroνει τις
Οx Οy στα Β Γ αντίστοιχα και την Αδ στο ∆ να αποδείξετε ότι
α) (ΟΑΒ)=(ΟΑΓ)
β) (ΒΟΓ∆)=(ΑΒ∆)
γ) (ΒΟΓ∆)=2
1(ΟΑ)(ΒΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 13η
Από εσωτερικό σηmicroείο Μ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλες προς τις
πλευρές ΑΓ και ΑΒ που τέmicroνουν τις ΑΒ ΑΓ στα ∆ Ζ αντίστοιχα Αν (ΒΜ)=x (ΒΓ)=α
(Β∆Μ)=Ε1 (ΓΖΜ)=Ε2 και (ΑΒΓ)=Ε τότε
α) Να εκφράσετε ως συναρτήσεις των x και α τους λόγους Ε
Ε1 και Ε
Ε2
β) Να αποδείξετε ότι ΕgeΕ+Ε2
121
ΑΣΚΗΣΗ 14η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=Γ∆=λ3
Να βρεθεί
i) Η περίmicroετρος του ΑΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που αντιστοιχεί στη χορδή ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 15η
Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε τα διαδοχικά σηmicroεία Α Β Γ και ∆ ώστε ΑΒ=ΒΓ=Γ∆= R Να
βρεθεί
i) H περίmicroετρος του τριγώνου ΑΒ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τριγώνου ΒΓ∆
iii) Ο λόγος )(
)(
ΒΓ∆ΑΒ∆
ΑΣΚΗΣΗ 16η
∆ίνεται τεταρτοκύκλιο Οand
ΒΓ ακτίνας R
α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΓΒ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε δύο ισεmicroβαδικά χωρία
β) Αν ∆ σηmicroείο του τόξου ΒΓ να αποδείξετε ότι η ευθεία Γ∆ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
γ) Να βρείτε σηmicroείο Α της ακτίνας ΟΒ ώστε η ευθεία ΓΑ να χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
33
ΑΣΚΗΣΗ 17η
Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο Ο cap
ΒΓ ακτίνας R Σηmicroείο Α κινείται πάνω στο τόξο cap
ΒΓ και έστω
Κ το σηmicroείο τοmicroής της ακτίνας ΟΑ microε τη ΒΓ Να βρείτε το microήκος του τόξου cap
ΒΑ όταν το
εmicroβαδό του τριγώνου ΟΚΓ ισούται microε το εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα
τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΒ και το τόξο cap
ΒΑ
ΑΣΚΗΣΗ 18η
∆ίνεται ηmicroικύκλιο κέντρου Ο microε διάmicroετρο ΑΑ1=2R Έστω Β σηmicroείο του ηmicroικυκλίου microε
( 1ΑΟΒand
)=φ microοίρες και ΟΓ ακτίνα που τέmicroνει τη χορδή ΑΒ στο Κ
α) Να βρείτε το microήκος S του τόξου cap
ΑΓ όταν το εmicroβαδόν του τριγώνου ΟΚΒ ισούται microε το
εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΓ και το τόξοcap
ΑΓ
β) Αν η γωνία 1ΑΟΒand
είναι 150ο πόσο είναι το S
γ) Για ποια τιmicroή του φ το S γίνεται microέγιστο
Β
Γ
φ
Α1 Α
ΑΣΚΗΣΗ 19η
Η περίmicroετρος ρόmicroβου ΑΒΓ∆ πλευράς α και κέντρου Ο είναι τετραπλάσια της microικρής
διαγωνίου του Β∆
i) Να υπολογιστεί συναρτήσει του α το εmicroβαδόν του Ε
ii) Φέρουmicroε Α∆perpΟΗ και Γ∆perpΟΖ Αν η ΑΖ τέmicroνει τον κύκλο διαmicroέτρου Ο∆ στο Θ να
δειχθεί ότι 2
3Ε=ΑΖsdotΑΘ
ΑΣΚΗΣΗ 20η
Το περίγραmicromicroα της βάσης ενός microεγάλου λόφου σχηmicroατίζει τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=γ ΑΓ=β
όπου βgtγ και στο οποίο η διάmicroεσος ΑΜ και το ύψος Α∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο ∆ίπλα στην
πλευρά ΑΓ υπάρχει ορθογώνιος ιδιωτικός χώρος διαστάσεων 2
γβ +και β-γ Σrsquo αυτόν το
χώρο πρόκειται να κατασκευαστεί ένας microεγάλος ανισόπεδος κόmicroβος που θα συνδέει δύο
δρόmicroους ταχείας κυκλοφορίας Γιrsquo αυτούς τους λόγους προτείνεται στον ιδιοκτήτη να δεχτεί
να ανταλλάξει αυτόν τον χώρο microε άλλον ορθογώνιο χώρο του δηmicroοσίου που βρίσκεται δίπλα
στην πλευρά ΒΓ και έχει διαστάσεις τα microήκη των ΒΓ και 2
ΑΜ Ο ιδιοκτήτης δηλώνει ότι θα
συmicroφωνήσει microε την πρόταση αρκεί οι ανταλλάξιmicroοι χώροι να έχουν την ίδια έκταση
Πρακτικά όmicroως είναι αδύνατον να microετρήσει την πλευρά ΒΓ και τη διάmicroεσο ΑΜ γιrsquo αυτό και
διστάζει Πως θα σκεφτόσαστε εσείς να βοηθήσετε τον ιδιοκτήτη να αποφασίσει
Κ
Ο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
34
ΑΣΚΗΣΗ 21η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε β=2γ και η διάmicroεσος του Β∆ Φέρουmicroε Β∆perpΑx που τέmicroνει την
Β∆ στο Ε και την ΒΓ στο Ζ και ΕyΑΓ που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ Να αποδείξετε ότι
i) ZB= 2
1ZΓ
ii) (ΑΒΓ)=3(ΑΒΖ)
iii) Να αποδειχθεί ότι 8
3
)(
)(=
ΑΒΖΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΗ 22η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε α=2γ και β= 7γ
α) i) Να αποδείξετε ότι 2
3αmicroα =
ii) Να βρείτε το είδος της γωνίας and
Β
iii) Αν ΑΕ perp ΒΓ να υπολογίσετε το ΒΕ συναρτήσει του γ
iv) Να βρείτε τη γωνία and
Β
β) Αν ΑΜ διάmicroεσος και Β∆ διχοτόmicroος να αποδείξτε ότι
i) Α∆ = 3
β
ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)
ΑΣΚΗΣΗ 23η
Έστω τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ο R) και σηmicroείο Μ το οποίο κινείται στο
ηmicroικύκλιο cap
ΑΒΓ
α) Να βρεθεί το ελάχιστο ( )minΕ και το microέγιστο ( )maxΕ εmicroβαδόν του τετράπλευρου ΑΜΓ∆
συναρτήσει της ακτίνας R
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε θέση του Μ είναι
i) Μ∆2 = ΑΓ ∆Ε όπου Ε η προβολή του Μ στην Β∆
ii) (ΑΜΓ∆) = 2
2Μ∆
γ) Να προσδιορίσετε τη θέση του σηmicroείου Μ όταν (ΑΜΓ∆) = 2
maxmin EE +
ΑΣΚΗΣΗ 24η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ M το microέσο της ΑΒ σηmicroείο Ν της ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΝ = 4
3ΑΓ και
σηmicroείο Κ της ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΚ = 4
1ΒΓ Να βρεθεί ο λόγος των εmicroβαδών του τριγώνου
ΑΒΓ προς του τριγώνου ΜΝΚ
ΑΣΚΗΣΗ 25η
Α) Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι 2
αmicro = βγ και β-γ = 5 2 Το microήκος της πλευράς
α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3
Β) Να δειχθεί ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει η σχέση (222
γβα micromicromicro ++ )2 = 27Ε
2 όπου
Ε το εmicroβαδό του
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
35
ΑΣΚΗΣΗ 26η
Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω περιπτώσεις
όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί να αποτελεί microήκη των
πλευρών του
i) 3 57
ii) 8 4 2
iii) 7 6 85
ΑΣΚΗΣΗ 27η
Αν η διάmicroεσος microα ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν προεκταθεί τέmicroνει τον περιγεγραmicromicroένο κύκλο
στο ∆ να αποδειχθεί ότι microα = Α∆+
2
22 γβ
ΑΣΚΗΣΗ 28η
Από ένα κυκλικό οικόπεδο ακτίνας R=30m θα αποκοπεί κυκλικό τmicroήmicroα χορδής 30 3 m για
την κατασκευή δρόmicroου
i) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου που έmicroεινε
ii) Να βρεθεί η αποζηmicroίωση που θα δοθεί στον ιδιοκτήτη αν η αρχική αξία του οικοπέδου
ήταν 10000000 δρχ
ΑΣΚΗΣΗ 29η
Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι α =13 β = 8 γ = 7
i) Να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς το είδος των γωνιών του
ii) Να υπολογιστεί το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ πάνω στην ΑΒ
iii) Να υπολογιστεί η γωνία and
Α
ΑΣΚΗΣΗ 30η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 4 ΑΓ = 5 ΒΓ = 7 Το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ
πάνω στην ΑΒ είναι Α 5 Β 1 Γ 6 ∆ 2
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 31η
Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (and
Α =90ο) microε
and
Β =60ο και ΒΓ=4 Με κέντρο το Β και
ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ και microε κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΜ
γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν να βρεθούν
i) Η θέση του σηmicroείου Μ στη ΒΓ
ii) Η περίmicroετρος του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
iii) Το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
36
ΑΣΚΗΣΗ 32η
Μια έκταση σχήmicroατος τετραγώνου microε A 30 H 70 ∆
πλευρά 100m πρόκειται να διατεθεί
για κατασκευή εργατικών κατοικιών
Οι κατοικίες θα ανεργεθούν σε τέσσερα 70 30
ίσα τριγωνικά οικόπεδα και η υπόλοιπη Μ
έκταση σχήmicroατος τετραπλεύρου θα
χρησιmicroοποιηθεί ως κοινόχρηστος χώρος Z
για δενδροφύτευση και κατασκευή γηπέδου
microπάσκετ 30 70
α) Να βρεθούν τα εmicroβαδά των τεσσάρων ίσων οικοπέδων
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινόχρηστου χώρου B 70 K 30 Γ
γ) Τι είδους τετράπλευρο είναι ο κοινόχρηστος χώρος Να βρεθούν οι πλευρές του
ΑΣΚΗΣΗ 33η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 90A =
and
και ΑΒ=y ΑΓ=β
Α∆=ν Β∆=micro ΒΓ=x ∆Γ=κ
i) Να συmicroπληρωθούν οι σχέσεις
β2=helliphelliphellip=helliphelliphelliphellip Α
ν2=helliphelliphelliphelliphelliphellip
2
2
βy
=helliphelliphelliphelliphellip βy=helliphelliphelliphellip y ν β
ii) Να δειχθεί ότι 111
222 νβ=+
y Β ν ∆ κ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 34η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroεία ∆Ε της πλευράς ΒΓ έτσι ώστε Β∆=∆Ε=ΕΓ Να απόδειχθεί
ότι
i) 2222 22 ΑΕminusΑ∆=∆ΕminusΑΒ ii)
2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 35η
∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε o90=Α
and
ΑΒ=5cm ΑΓ=12cm Α∆ το ύψος του και ΒΜ
η διάmicroεσος του Προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά ΓΕ=ΒΓ i) Να συγκρίνετε τα
εmicroβαδά των τριγώνων Α∆Γ και ΑΓΕ ii) Να δείξετε ότι η σχέση που συνδέει τα εmicroβαδά των
τριγώνων ΑΒΜ και ΑΒΕ είναι (ΑΒΕ)=4(ΑΒΜ)
ΑΣΚΗΣΗ 36η
Από σηmicroείο Μ εκτός κύκλου φέρνουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΜΕ του κύκλου και τις
τέmicroνουσες ΜΑΒ και ΜΓ∆ Αν είναι ΑΒ=9 ΓΜ=4 Γ∆=5 να υπολογίσετε i) το ΜΑ ii) το
ΜΕ
ΑΣΚΗΣΗ 37η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) ΑΒ microια διάmicroετρος του και Μ τυχαίο σηmicroείο του (διαφορετικό των Α
Β) Αν Γ είναι το microέσο της ΟΑ και ∆ το microέσο της ΟΒ ενώ η ΜΓ τέmicroνει τον κύκλο στο Ε και
η Μ∆ στο Ζ τότε να αποδείξετε ότι3
10=
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
37
Ζ
Ε
ΑΣΚΗΣΗ 38η
Ένα τριγωνικό αγρόκτηmicroα ΑΒΓ χωρίζεται
σε τέσσερα τριγωνικά αγροτεmicroάχια όπως Α
φαίνεται στο σχήmicroα έτσι ώστε ΑΒ=Α∆3
2
ΒΕ= ΒΓ4
1και ΓΖ= ΑΓ
2
1 α) Αν το εmicroβαδό ∆
του ΑΒΓ είναι 48 στρέmicromicroατα να υπολογίσετε το Β
Γ
εmicroβαδό του ∆ΕΖ β) Αν τα ∆ Ε Ζ είναι τα microέσα των ΑΒ
ΒΓ ΑΓ αντίστοιχα να βρεθούν τα εmicroβαδά των
τεσσάρων αγροτεmicroαχίων
ΑΣΚΗΣΗ 39η
∆ίνεται εγγράψιmicroο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ ώστε οι πλευρές του ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α microε τη σειρά
που δίνονται να αποτελούν γεωmicroετρική πρόοδο Να αποδείξετε ότι η διαγώνιος του Β∆ το
χωρίζει σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
ΑΣΚΗΣΗ 40η
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ∆ Ζ Γ
την ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m και
ο90=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος υ
∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο οποίος
θα χωρίσει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆
και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα α) Να βρεθεί
το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆ β) Να
βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο
ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο Α Ε Η Β
ΑΕ∆ δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου
∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
ΑΣΚΗΣΗ 41η
∆ίνεται ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ και τα σηmicroεία του ∆Γ έτσι ώστε ∆Β=Γ∆=ΑΓ Αν
Μ τυχαίο σηmicroείο εκτός του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατοςΑΒ
Να δείξετε ότι 2222 33 ΜΓ+ΜΒ=ΜΒ+ΑΜ
ΑΣΚΗΣΗ 42η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 222 2αγβ =+ Αν η διάmicroεσος ΑΜ τέmicroνει το περιγεγραmicromicroένο
κύκλο του τριγώνου στο ∆ να δείξετε ότι
α) 6
3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
38
ΑΣΚΗΣΗ 43η
Από ένα εξωτερικό σηmicroείο Α κύκλου ( )RΟ φέρουmicroε microια τέmicroνουσα ΑΒΓ έτσι ώστε
ΒΓ=ΑΒ Αν 7R=ΟΑ τότε να δείξετε ότι
i) ΒΓ=ΑΒ =λ3
ii) η γωνία and
ΑΟΓ είναι αmicroβλεία
iii) η προβολή της ΟΓ πάνω στην ΟΑ είναι ίση microε ΟΑ7
2
iv) Να δείξετε ότι ( )( ) 2
1=
ΑΟΓΒΟΓ
και στην συνέχεια να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του τριγώνου
and
ΑΟΓ
v) Να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που ορίζεται από την χορδή ΒΓ και
το microέτρο του τόξου cap
ΒΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
39
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
40
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
3
ΠΕΡΙΕΧΕΙ
ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ
ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ∆ΙΧΟΤΟΜΩΝ
ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
ΕΜΒΑ∆Α
ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
4
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
5
ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ
∆ύο ευθύγραmicromicroα τmicroήmicroαταα γ λέγονται ανάλογα προς δύο άλλα ευθύγραmicromicroα τmicroήmicroατα β δ
όταν ο λόγος του α προς το β ισούται microε το λόγο του γ προς το δ
δγ
βα
=
bull Η παραπάνω ισότητα λέγεται αναλογία
bull Τα ευθύγραmicromicroα τmicroήmicroατα α β γ δ λέγονται ανάλογα ή αντίστοιχα
bull Τα τmicroήmicroατα α δ λέγονται άκροι όροι
bull Τα τmicroήmicroατα β γ λέγονται microέσοι όροι
bull αγβγβ
βα
βγαδδγ
βα
=hArr==hArr= 2
bull δβ
γα
δγ
βα
=hArr=
bull δγ
γβα
αδγ
βα
δδγ
ββα
δγ
βα
plusmn=
plusmnhArr=
plusmn=
plusmnhArr=
bull λδβκγα
λκ
δγ
βα
++++++
====
Ένα σηmicroείο Μ διαιρεί εσωτερικά το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ σε λόγο λ αν και microόνο αν
λ=ΜΒΜΑ
Το σηmicroείο Μ είναι microοναδικό
Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέmicroνουν δύο άλλες ευθείες ορίζουν σε αυτές
τmicroήmicroατα ανάλογα
∆ηλαδή Αν 321 εεε τότε ΕΗΑΓ
=ΖΗΒΓ
=ΕΖΑΒ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
6
Θεωρούmicroε δύο ευθείες 21 δδ που τέmicroνουν δύο παράλληλες ευθείες 21 εε στα σηmicroεία
ΒΑ και ΖΕ αντίστοιχα Αν ΗΓ είναι σηmicroεία των ευθειών 21 δδ αντίστοιχα τέτοια ώστε
ΖΗΕΖ
=ΒΓΑΒ
τότε η ευθεία ΓΗ είναι παράλληλη προς τις 21 εε
Κάθε ευθεία που είναι παράλληλη microε microια από τις πλευρές ενός τριγώνου χωρίζει τις δύο
άλλες σε microέρη ανάλογα και αντίστροφα
Το τρίγωνο που ορίζεται από τις ευθείες δύο πλευρών τριγώνου και microια παράλληλη προς microια
τρίτη πλευρά του έχει πλευρές ανάλογες προς τις πλευρές του αρχικού τριγώνου
∆ύο σηmicroεία Γ και ∆ που διαιρούν εσωτερικά και εξωτερικά το τmicroήmicroαΑΒστον ίδιο λόγο
λέγονται συζυγή αρmicroονικά των Α και Β
∆ηλαδή τα Γ και ∆ λέγονται συζυγή αρmicroονικά των Α καιΒ αν τα τέσσερα σηmicroεία είναι
συνευθειακά και αντίστροφα τα Α καιΒ είναι συζυγή αρmicroονικά των Γ και ∆
Τα τέσσερα σηmicroεία ( )ΒΑ και ( )∆ Γ λέmicroε ότι αποτελούν αρmicroονική τετράδα
∆ηλαδή Αν 321 δδδ τότε ΕΗΚΜ
=ΖΗΛΜ
=ΕΖΚΛ
Όπου ΒΓ∆Ε ε
∆Β∆Α
=ΓΒΓΑ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
7
ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ∆ΙΧΟΤΟΜΩΝ
Η διχοτόmicroος microιας γωνίας τριγώνου διαιρεί την απέναντι πλευρά εσωτερικά σε λόγο ίσο microε το
λόγο των προσκείmicroενων πλευρών
Η διχοτόmicroος microιας εξωτερικής γωνίας τριγώνου τέmicroνει την προέκταση της απέναντι πλευράς
σε ένα σηmicroείο το οποίο διαιρεί εξωτερικά την πλευρά αυτή σε λόγο ίσο microε το λόγο των
προσκείmicroενων πλευρών
∆ηλαδή αν Α∆ η διχοτόmicroος του τριγώνου ΑΒΓ
ισχύει
ΑΓΑΒ
=∆Γ∆Β
∆ηλαδή αν ΑΕ η εξωτερική διχοτόmicroος του
τριγώνου ΑΒΓ ισχύει
ΑΓΑΒ
=ΕΓΕΒ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
8
ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
∆ύο ευθύγραmicromicroα σχήmicroατα λέγονται όmicroοια αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες
που σχηmicroατίζονται από τις οmicroόλογες πλευρές τους ίσες microία προς microία
Ο λόγος των περιmicroέτρων δύο όmicroοιων ευθυγράmicromicroων σχηmicroάτων ισούται microε το λόγο οmicroοιότητας
τους
ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ
Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες τους ίσες microία προς microία τότε είναι όmicroοια
Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ανάλογες microία προς microία και τις περιεχόmicroενες στις πλευρές
αυτές γωνίες ίσες τότε είναι όmicroοια
Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές ανάλογες microία προς microία τότε είναι όmicroοια
bull ∆ύο ορθογώνια τρίγωνα είναι όmicroοια όταν έχουν microία οξεία γωνία τους ίση
bull Όλα τα ισόπλευρα τρίγωνα είναι όmicroοια microεταξύ τους
bull ∆ύο ισοσκελή τρίγωνα τα οποία έχουν microία αντίστοιχη γωνία ίση είναι όmicroοια
bull Ο λόγος οmicroοιότητας δύο όmicroοιων τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο δύο οmicroόλογων υψών τους
bull Ο λόγος οmicroοιότητας δύο όmicroοιων τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο δύο οmicroόλογων διχοτόmicroων
τους
bull Ο λόγος οmicroοιότητας δύο όmicroοιων τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο δύο οmicroόλογων διαmicroέσων
τους
8ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
9
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΡΙΓΩΝΟ
Αν από τα άκρα ενός ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατος ΑΒ φέρουmicroε τις κάθετες ΑΑrsquo και ΒΒrsquo πάνω σε
microια ευθεία ε τότε το τmicroήmicroα ΑrsquoΒrsquo είναι η προβολή του ΑΒ πάνω στην ε
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο microιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο microε το
γινόmicroενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην υποτείνουσα
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ο λόγος των τετραγώνων των κάθετων πλευρών του είναι ίσος
microε το λόγο των προβολών τους πάνω στην υποτείνουσα
Γ∆Β∆
=ΑΓ
ΑΒ2
2
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισmicroα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών του είναι
ίσο microε το τετράγωνο της υποτείνουσας 222 ΑΓ+ΑΒ=ΒΓ
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει 222 ΑΓ+ΑΒ=ΒΓ τότε
90=Αand
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο του ύψους του που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα
είναι ίσο microε το γινόmicroενο των προβολών των κάθετων του στην υποτείνουσα
∆ΓsdotΒ∆=Α∆2
Έστω λοιπόν το ορθογώνιο ΑΒΓ και ∆ η προβολή της κορυφής
Α στην υποτείνουσα ΒΓ
Τότε ισχύει Β∆sdotΒΓ=ΑΒ2 και
Γ∆sdotΒΓ=ΑΓ2
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
10
bull Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές τότε βα 2=
bull Αν Α∆ είναι το ύψος ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα
τότε ισχύει 222
111
αυγβ=+ και βγαυα =
bull Το ύψος ισοπλεύρου τριγώνου ως συνάρτηση της πλευράς α
δίνεται από τον τύπο 2
3sdot=α
υ
ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ
Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία είναι ίσο microε το
άθροισmicroα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του ελαττωmicroένο κατά το διπλάσιο
γινόmicroενο της microιας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή
∆ηλαδή σε τρίγωνο ΑΒΓ microε 90ltΑ
and
και Α∆ η προβολή της πλευράς γ πάνω στην β
τότε ισχύει Α∆sdotminus+= βγβα 2222
Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από αmicroβλεία γωνία είναι ίσο microε το
άθροισmicroα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του αυξηmicroένο κατά το διπλάσιο
γινόmicroενο της microιας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
11
Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν οι ισοδυναmicroίες
bull 222 γβα +gt αν και microόνο αν 90gtΑ
and
bull 222 γβα += αν και microόνο αν 90=Α
and
bull 222 γβα +lt αν και microόνο αν 90ltΑ
and
Προσοχή Για να εφαρmicroόσουmicroε το πόρισmicroα αυτό πρέπει πάντα να συγκρίνουmicroε το
τετράγωνο της microεγαλύτερης πλευράς του τριγώνου microε το άθροισmicroα των τετραγώνων των
άλλων δύο πλευρών
Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση
Αsdotminus+= συνβγγβα 2222
Το ύψος υα ενός τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τον τύπο
( )( )( )γτβταττα
υα minusminusminus=2
όπου ( )γβατ ++=2
1
Ανάλογες εκφράσεις ισχύουν και για τα άλλα ύψη υβ και υγ
ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ∆ΙΑΜΕΣΩΝ
Το άθροισmicroα των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται microε το διπλάσιο του
τετραγώνου της διαmicroέσου που περιέχεται microεταξύ των πλευρών αυτών αυξηmicroένο κατά το
microισό του τετραγώνου της τρίτης πλευράς
∆ηλαδή σε τρίγωνο ΑΒΓ microε 90gtΑ
and
και
Α∆ η προβολή της πλευράς γ πάνω στην β
τότε ισχύει
Α∆sdot++= βγβα 2222
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
12
∆ηλαδή αν Α∆ =υα το ύψος και ΑΜ =microα η διάmicroεσος ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύει
2
22
222 αmicroγβ α +=+
Ανάλογα έχουmicroε και τους ακόλουθους τύπους
2
22
222 γmicroβα γ +=+
22
2222 β
microγα β +=+
Η διαφορά των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται microε το διπλάσιο γινόmicroενο της
τρίτης πλευράς επί την προβολή της αντίστοιχης διαmicroέσου πάνω στην πλευρά αυτή
Μ∆sdot=minus αγβ 222
Σηmicroείωση αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές ή ισόπλευρο τότε το Μ ταυτίζεται microε το ∆ και το 2ο
θεώρηmicroα διαmicroέσων ισχύει ταυτοτικά
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ
Αν δύο χορδές Γ∆ΑΒ ή οι προεκτάσεις τους τέmicroνονται σε ένα σηmicroείο Ρ τότε ισχύει
Ρ∆sdotΡΓ=ΡΒsdotΡΑ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
13
Αν από ένα εξωτερικό σηmicroείο Ρ κύκλου ( )R Ο φέρουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΡΕ
Και microια ευθεία που τέmicroνει τον κύκλο στα σηmicroεία ΒΑ τότε ισχύει η σχέση
Επίσης αν η ευθεία ΡΟ τέmicroνει τον κύκλο στα ∆ Γ και δ=ΟΡ τότε έχουmicroε ότι
Η διαφορά 22 Rminusδ λέγεται δύναmicroη σηmicroείου Ρ ως προς τον κύκλο ( )R Ο και
συmicroβολίζεται
( )2222
RRR minusΟΡ=minus=∆ΡΟ δ
bull Το Ρ είναι εξωτερικό σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 gt∆ΡΟ R
bull Το Ρ είναι εσωτερικό σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 lt∆ΡΟ R
bull Το Ρ είναι σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 =∆ΡΟ R
bull Για να είναι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι εγγράψιmicroο σε κύκλο αν ισχύει η σχέση
Ρ∆sdotΡΓ=ΡΒsdotΡΑ
bull Αν οι διαγώνιοι ενός τετράπλευρου ΑΒΓ∆ τέmicroνονται σε ένα σηmicroείο Κ τότε για να
είναι το τετράπλευρο εγγράψιmicroο σε κύκλο πρέπει να ισχύει η σχέση
Κ∆sdotΚΒ=ΚΓsdotΚΑ
ΡΒsdotΡΑ=ΡΕ2
( )( ) 22 RRR minus=+minus
=Ρ∆sdotΡΓ=ΡΒsdotΡΑ
δδδ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
14
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Οι πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου έχουν microήκη x x+1 και x+2 Η περίmicroετρος του
τριγώνου αυτού είναι
Α 3 Β 6 Γ 10 ∆ 12 Ε 15
Επιλέξτε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε
2 Θεωρούmicroε διάmicroετρο ΑΒ κύκλου (ΟR) και τις κάθετες ακτίνες ΟΓ και Ο∆ Αν Ε και
Ζ οι προβολές των Γ και ∆ αντίστοιχα στην ΑΒ να αποδειχθεί ότι
i) Τα τρίγωνα ΟΕΓ και Ζ∆Ο είναι ίσα
ii) 222 R=ΟΖ+ΟΕ
3 Έστω ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο )90( Οand
=Α και Β∆ η διάmicroεσός του Να αποδειχθεί
ότι 222
4
3ΒΓ=ΑΓ+Β∆
4 Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο ΑΟΒ κύκλου (ΟR) και τη διχοτόmicroο ΟΜ της γωνίας and
ΟΒΑ Από σηmicroείο Γ του τόξου cap
ΑΒ φέρουmicroε ΟΒperpΓ∆ που τέmicroνει την ευθεία
ΟΜ στο σηmicroείο Ε Να αποδειχθεί ότι α) ∆Ε=Ο∆ β) 222 R=∆Ε+∆Γ
5 Αν σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά
τmicroήmicroα Γ∆=2ΒΓ να αποδειχθεί ότι 222 6ΒΓ+ΑΓ=Α∆
6 Αν ∆ σηmicroείο της πλευράς ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) να αποδειχθεί ότι
22 ∆Γsdot∆Β=Α∆minusΑΒ
7 Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω
περιπτώσεις όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί
να αποτελεί microήκη των πλευρών του i) 357 ii) 842 iii) 76 85
8 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ πληρούν τη σχέση 222 βαγ +lt
τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο
9 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ πληρούν τις σχέσεις αltβltγ και 222 βαγ +lt τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο
10 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών ΑΒΓ πληρούν τη σχέση 444 γβα +lt τότε να
αποδειχθεί ότι 90Οand
ltΑ
11 Θεωρούmicroε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και σηmicroείο ∆ της ηmicroιευθείας ΑΒ
τέτοιο ώστε Β∆=ΑΒ Αν ΑΒperpΓΕ και είναι ΑΒ=4ΒΕ να αποδειχθεί ότι
2
3 222 ΑΓ+ΒΓ=Γ∆
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
15
12 Θεωρούmicroε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α τη διχοτόmicroο Γχ της εξωτερικής
γωνίας εξΓ
and
αυτού την κάθετη xΓperpΒΕ και την κάθετη ΑΓperpΕΖ
Να αποδειχθεί ότι i)4
α=ΓΖ ii)
2
7α=ΑΕ
13 Εκατέρωθεν της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ κατασκευάζουmicroε δύο ισόπλευρα
τρίγωνα ΒΓ∆ και ΒΓΕ Να αποδειχθεί ότι 22222 γβα ++=ΑΕ+Α∆
14 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ τα microήκη των πλευρών του οποίου συνδέονται microε τη σχέση
2 222 αγβ =+ Nα αποδειχθεί ότι α) 2
βmicro +2
γmicro =2
2 αmicro
β) 2
3αmicroα =
2
3γmicroβ =
2
3βmicroγ =
15 Θεωρούmicroε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ )90( Οand
=Α και τη διάmicroεσό του ΒΕ
α) Να αποδειχθεί ότι 222
4
3ΒΓ=ΑΓ+ΒΕ β) Αν Α∆ είναι η διάmicroεσος του
τριγώνου ΑΒΓ ΒΕ= 14 και o60=Β∆Α
and
να υπολογιστούν τα microήκη των πλευρών
του τριγώνου ΑΒΓ
16 Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει γβ micromicro perp τότε να αποδειχθεί ότι 222
αγβ micromicromicro =+
17 Αν ΒΒ΄ το ύψος τριγώνου ΑΒΓ microε o90ltΑ
and
και ΑΜ η διάmicroεσός του τότε να
αποδειχθεί ότι 4
22 ΄ΑΒsdotΑΓ+
ΒΓ=ΑΜ
18 Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ )90( Οand
=Α η διάmicroεσος του ΑΜ και ευθεία (ε)
κάθετη στην ΑΜ στο Μ Αν Ρ σηmicroείο της (ε) να αποδειχθεί ότι 222 2ΡΑ=ΡΓ+ΡΒ
19 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ ΑΜ διάmicroεσος η οποία προεκτεινόmicroενη τέmicroνει τον
περιγεγραmicromicroένο κύκλο (ΟR) στο ∆ και Θ το βαρύκεντρο του τριγώνου
Να δειχθεί ότι i)4
2α=Μ∆sdotΜΑ ii)
ΘΟ∆ )( R )(
9
1 222 γβα ++minus=
iii) AB2+AΓ
2=2ΑΜsdotΑ∆
20 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόmicroος του Α∆ Αν οι κύκλοι οι περιγεγραmicromicroένοι στα
τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓ∆ τέmicroνουν τις ΑΓ και ΑΒ στα σηmicroεία Ζ και Ε αντίστοιχα να
αποδειχθεί ότι ΒΕ=ΓΖ
21 Κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι εγγράψιmicroο σε κύκλο Αν το σηmicroείο τοmicroής Μ των
διαγωνίων του είναι microέσο της διαγωνίου Β∆ να αποδειχθεί ότι
i) ΜΓsdotΜΑ=∆Β 42 ii) 2 22222 ΑΓ=∆Α+Γ∆+ΒΓ+ΑΒ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
16
22 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) διαmicroέτρου ΑΒ Από ένα σηmicroείο Γ της προέκτασης της ΑΒ
προς το Β φέρνουmicroε την εφαπτοmicroένη Γ∆ και την ΑΓperpΓx Αν Ε είναι το σηmicroείο
τοmicroής των Α∆ και Γx να αποδειχθεί ότι
i) το τετράπλευρο ∆ΒΓΕ είναι εγγράψιmicroο ii) ΑΕsdotΑ∆minusΓΑ=Γ∆ 22
23 ∆ύο κύκλοι (ΚR) και
Λ2
R
εφάπτονται εσωτερικά στο Α Από ένα σηmicroείο Μ του
κύκλου
Λ2
R
φέρνουmicroε χορδή Γ∆ του κύκλου (ΚR) Να αποδειχθεί ότι
ΜΓΜ∆=ΜΑ2
24 Θεωρούmicroε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α και σηmicroείο ∆ της πλευράς ΒΓ Αν οι
περιγεγραmicromicroένοι κύκλοι στα τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓ∆ τέmicroνουν τις πλευρές ΑΓ και ΑΒ
στα σηmicroεία Ε και Ζ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι ΒΖ+ΓΕ=α
25 Στη διάmicroετρο ΑΒ κύκλου (ΟR) θεωρούmicroε τα σηmicroεία Γ και ∆ έτσι ώστε ΟΓ=Ο∆=α
και microεταβλητό σηmicroείο Μ του κύκλου Αν οι ΜΓ και Μ∆ τέmicroνουν τον κύκλο στα Ε
και Ζ αντίστοιχα να αποδείξετε ότι i) ΜΓΓΕ = Μ∆∆Ζ ii)
ΜΓ2+Μ∆
2 = 2(R
2+α
2) iii) το άθροισmicroα
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
είναι σταθερό
26 Θεωρούmicroε κύκλο (O2α) και σηmicroείο Ρ τέτοιο ώστε ΟΡ=2
3α Φέρουmicroε χορδή ΑΒ η
οποία διέρχεται από το Ρ και είναι τέτοια ώστε ΑΡ=α Να υπολογιστεί το microήκος της
χορδής ΑΒ
27 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) διάmicroετρο ΑΒ και τα microέσα Γ και ∆ των ΟΑ και ΟΒ
αντίστοιχα Από το σηmicroείο Γ φέρουmicroε χορδή ΕΖ = 2
13 Rsdot Να αποδειχθεί ότι
i) ΖΓ2+Ζ∆
2+ΓΕ
2+∆Ε
2=5R
2 ii)
and
Ε∆Ζ = 900
28 Έστω ΑΒ διάmicroετρος κύκλου (ΟR) και ΑΓ Β∆ δύο χορδές που τέmicroνονται στο Ρ Να
αποδειχθεί ότι i) αν οι Α∆ και ΒΓ τέmicroνονται στο Ε τότε το Ρ είναι ορθόκεντρο του
τριγώνου ΕΑΒ ii) ΑΓΑΡ+Β∆ΒΡ=ΑΒ2
29 Τρίγωνο ΑΒΓ microε β2+γ
2=2α
2 Β∆ ΓΕ ύψη ΑΜ διάmicroεσος και Ζ microέσο της ΑΜ Να
αποδειχθεί ότι i)and
Α lt900 ii) AE =
γα2
2
και ΑΜ = 2
3α iii) ΕΖ =
γαβ4
Ζ∆ = β
αγ4
30 Σε τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούmicroε σηmicroεία ∆Ε στην πλευρά ΒΓ ώστε Β∆ = ∆Ε = ΕΓ Να
αποδείξετε ότι i) AB2 ndash 2∆E
2 = 2A∆
2 ndash AE
2 ii) AB
2 + 2AΓ
2 = 3AE
2 +
6∆E2
31 Αν α β γ πλευρές τριγώνου να βρεθεί το είδος του τριγώνου στις παρακάτω περι-
πτώσεις i) α = ν2 + 1 β = 2ν γ = ν
2 ndash 1
ii) α = 4 β = 5 γ = 3
iii) α = 11 β = 13 γ = 12
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
17
32 Αν Ε ∆ Ζ microέσα των ΑΓ ΒΓ Β∆ αντίστοιχα ενός τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε ότι
i) Ε∆=2
1ΑΒ ii) ΕΖ
2 =
16
263 222 βminusγ+α
33 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ = 6 ΑΓ = 8 ΒΓ = 2 37 να αποδειχθεί ότι
i) ο120=Α
and
ii) να βρεθεί το microήκος Α∆ όπου Β∆ ύψος τριγώνου
iii) να βρεθεί το microήκος της διαmicroέσου microα
34 Σε τρίγωνο ΑΒΓ microε πλευρές α = 9 β = 7 γ = 4 να βρείτε i) το είδος του τριγώνου
ii) το microήκος της διαmicroέσου microα iii) την προβολή της διαmicroέσου microα πάνω στην
ΒΓ iv) την προβολή της πλευράς β πάνω στην γ
35 Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ο90=Α
and
ΑΜ διάmicroεσος και Ρ το microέσο
της ΑΜ Στην πλευρά ΒΓ = α παίρνουmicroε σηmicroείο Κ ώστε ΓΚ = 8
5α Να αποδειχθεί
ότι i) ΓΡ2 =
16
5 2α ii) ΡΚ
2 =
64
5 2α iii) ΡΓ = 2ΚΡ
36 Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε ο90=Α
and
α = 25 και β = 20 αν x είναι η προβολή της
πλευράς β πάνω στην πλευρά α τότε
i) η πλευρά γ έχει microήκος Α10 Β12 Γ13 ∆15 Ε21
ii) το ύψος υα έχει microήκος Α9 Β7 Γ12 ∆17 Ε5
iii) το τmicroήmicroα x έχει microήκος Α10 Β12 Γ17 ∆16 Ε21
(Να αιτιολογήσετε την απάντηση)
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
18
ΕΜΒΑ∆Α
ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ
Ας θεωρήσουmicroε ένα πολύγωνο
Ένα σχήmicroα που αποτελείται από πεπερασmicroένο πλήθος πολυγωνικών χωρίων που ανά δύο δεν
έχουν κοινά εσωτερικά σηmicroεία λέγεται πολυγωνική επιφάνεια
Ίσα πολυγωνικά χωρία έχουν ίσα εmicroβαδά
Αν ένα πολυγωνικό χωρίο (ή microια πολυγωνική επιφάνεια) χωρίζεται σε πεπερασmicroένου
πλήθους πολυγωνικά χωρία που δεν έχουν κοινά εσωτερικά σηmicroεία τότε το εmicroβαδόν του
ισούται microε το άθροισmicroα των εmicroβαδών των επιmicroέρους πολυγωνικών χωρίων
Το εmicroβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς 1 είναι 1
∆ύο σχήmicroατα που έχουν το ίδιο εmicroβαδόν ονοmicroάζονται ισεmicroβαδικά ή ισοδύναmicroα
Το πολύγωνο microαζί microε τα εσωτερικά του
στοιχεία ονοmicroάζεται πολυγωνικό χωρίο
Ένα πολυγωνικό χωρίο που ορίζεται από
τρίγωνο τετράγωνοhellipν-γωνο ονοmicroάζεται
τριγωνικό πολυγωνικόhellip ν-γωνικό
∆ύο πολυγωνικά χωρία λέγονται ίσα όταν τα
αντίστοιχα πολύγωνά τους είναι ίσα
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
19
ΕΜΒΑ∆Α ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
Το εmicroβαδόν τετραγώνου πλευράς α δίνεται από τον τύπο 2α=Ε
Το εmicroβαδόν ενός ορθογωνίου ισούται microε το γινόmicroενο των πλευρών του βα sdot=Ε
Το εmicroβαδόν ενός παραλληλογράmicromicroου ισούται microε το γινόmicroενο microιας πλευράς του επί το ύψος
που αντιστοιχεί σε αυτή
βα υβυα sdot=sdot=Ε
Το εmicroβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο microε το ηmicroιγινόmicroενο microιας πλευράς επί το αντίστοιχο ύψος
γβα υγυβυα sdot=sdot=sdot=Ε2
1
2
1
2
1
Το εmicroβαδόν τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο του ηmicroιαθροίσmicroατος των βάσεων του επί το
ύψος του υβsdot
+Β=Ε
2
Το εmicroβαδόν τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο της διαmicroέσου επί το ύψος του
bull Το εmicroβαδόν ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς α είναι ίσο microε 4
32α=Ε
bull Το εmicroβαδόν ρόmicroβου ισούται microε το ηmicroιγινόmicroενο των διαγωνίων του
bull Το εmicroβαδόν οποιουδήποτε κυρτού ή microη κυρτού τετραπλεύρου microε κάθετες διαγωνίους
ισούται microε το ηmicroιγινόmicroενο των διαγωνίων του
bull Η διάmicroεσος κάθε τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
bull Το βαρύκεντρο τριγώνου έχει την ιδιότητα να δηmicroιουργεί microε τις κορυφές του τριγώνου τρία
ισεmicroβαδικά τρίγωνα
bull Το βαρύκεντρου του τριγώνου οι κορυφές του και τα microέσα των πλευρών του ορίζουν έξι
ισεmicroβαδικά τρίγωνα
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
20
ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΕΜΒΑ∆ΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
( )( )( )γτβταττ minusminusminus=Ε όπου 2
γβατ
++= ηmicroιπερίmicroετρος του τριγώνου
ρτ sdot=Ε
R4
γβα sdotsdot=Ε
Γsdotsdot=Βsdotsdot=Αsdotsdot=Ε ηmicroβαηmicroαγηmicroγβ2
1
2
1
2
1
ΕΜΒΑ∆Α ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
Αν δύο τρίγωνα έχουν ίσες βάσεις τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο των
αντίστοιχων υψών ενώ αν έχουν ίσα ύψη τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο
των αντίστοιχων βάσεων
Αν δύο τρίγωνα είναι όmicroοια τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το τετράγωνο του
λόγου οmicroοιότητας
Ο λόγος των εmicroβαδών δύο όmicroοιων πολυγώνων είναι ίσος microε το τετράγωνο του λόγου
οmicroοιότητας
Αν microια γωνία ενός τριγώνου είναι ίση ή παραπληρωmicroατική microε microια γωνία ενός άλλου
τριγώνου τότε ο λόγος των εmicroβαδών των δύο τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο των γινοmicroένων
των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
21
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Αν ΑΒΓ∆ τραπέζιο ( Γ∆ΑΒ ) και Ο το σηmicroείο τοmicroής των διαγωνίων του ΑΓ και
Β∆ να αποδείξετε ότι ΟΑ∆ΟΒΓ Ε=Ε
2 Ένα τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) και ΒΓ=Γ∆=Α∆ και τη βάση ΑΒ κατά 2 microικρότερη
από το άθροισmicroα των τριών αυτών πλευρών Αν το ύψος του τραπεζίου είναι 5 να
υπολογιστεί το εmicroβαδό του
3 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ microε microήκη πλευρών α=10 β=8 γ=14 και ισόπλευρο τρίγωνο
∆ΕΖ το οποίο είναι ισοδύναmicroο microε το ΑΒΓ Το microήκος της πλευράς του ισόπλευρου
τριγώνου ∆ΕΖ είναι
Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20
Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε
4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=2 ΒΗ ύψος και η διάmicroεσος Β∆=1 Αν and
∆ΑΒ =30ο να
υπολογιστούν α) τα ΒΗ Η∆ ΑΗ
β) το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ
5 Με υποτείνουσες τις κάθετες πλευρές ΑΒ και ΑΓ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ microε
β+γ=20 κατασκευάζουmicroε ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓΕ εκτός
αυτού
α) Να αποδείξετε ότι τα σηmicroεία ∆ΑΕ είναι συνευθειακά
β) Να βρείτε το εmicroβαδό του τετραπλεύρου ΒΓΕ∆
6 Προεκτείνουmicroε τις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ ενός τριγώνου ΑΒΓ κατά τmicroήmicroατα
Γ∆=ΓΒ ΑΕ=ΑΓ και ΒΖ=ΒΑ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι (∆ΕΖ) = 7(ΑΒΓ)
7 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Μ στο εσωτερικό του Φέρνουmicroε από το Μ
παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των
σχηmicroατιζόmicroενων τριγώνων και Ε το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε
ότι 321 Ε+Ε+Ε=Ε
8 Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ που τέmicroνει τις πλευρές ΑΒ
και ΑΓ στα σηmicroεία ∆ και Ε αντίστοιχα Να αποδείξετε ότι (ΑΒΕ)2=(ΑΒΓ)(Α∆Ε)
9 Από σηmicroείο ∆ της πλευράς ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη προς την
πλευρά ΒΓ που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των τριγώνων
Α∆Ε Α∆Γ και ΑΒΓ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι 31
2
2 ΕsdotΕ=Ε
10 Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Α΄ της πλευράς του ΒΓ Από τα Β και Γ
φέρνουmicroε παράλληλες προς την ΑΑ΄ που τέmicroνουν τις ευθείες ΑΓ και ΑΒ στα σηmicroεία
Γ΄ και Β΄ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι
α) (ΑΑ΄Γ΄) = (ΑΒΑ΄) και (ΑΑ΄Β΄) = (ΑΓΑ΄)
β) (Α´ô) = (ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
22
11 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ microε ΑΒ=10 Α∆=4 και and
∆ =60ο Στην πλευρά ΑΒ
θεωρούmicroε τα σηmicroεία Ε και Ζ έτσι ώστε ΑΕ=ΕΖ=ΖΒ Αν Η είναι το σηmicroείο τοmicroής των
ευθειών ∆Ε και ΓΖ να υπολογιστούν
α) το εmicroβαδό του παραλληλογράmicromicroου ΑΒΓ∆
β) το εmicroβαδό του τραπεζίου Γ∆ΕΖ
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου ΗΕΖ
12 ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=ΑΓ=6 και ο120=Α
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του
β) Αν Ε σηmicroείο της ΑΓ τέτοιο ώστε ΓΕ=ΑΕ2
1 και Α∆ το ύψος του τριγώνου
ΑΒΓ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ∆ΕΓ
γ) Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει τη ∆Ε στο Η να βρεθεί το εmicroβαδό
του τριγώνου ΑΕΗ
13 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Ρ στο εσωτερικό του Από το Ρ φέρνουmicroε κάθετες
ηmicroιευθείες στις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ και πάνω σrsquo αυτές παίρνουmicroε τα σηmicroεία Α΄
Β΄ και Γ΄ αντίστοιχα έτσι ώστε ΡΑ΄=ΒΓ ΡΒ΄=ΑΓ και ΡΓ΄=ΑΒ Να αποδειχθεί ότι
α) οι γωνίες and
Γ και and
ΒprimeΡΑprime είναι παραπληρωmicroατικές
β) (ΡΑ΄Β΄)=(ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)
14 Θεωρούmicroε τρεις ίσες διαδοχικές γωνίες and
οψx zand
οψ xzand
ο και πάνω στις
ηmicroιευθείες Οx Oψ και Οz τα σηmicroεία Α Β Γ αντίστοιχα έτσι ώστε ΟΑ=1 ΟΒ=4 και
ΟΓ=8
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ψοand
x zand
οψ xzand
ο
β) Αν Οw η αντικείmicroενη ηmicroιευθεία της Οψ και Γ∆ wΟperp να υπολογίσετε τις Ο∆ και
Γ∆
γ) Να υπολογίσετε το (ΟΒΓ)
δ) Να αποδείξετε ότι (ΑΒΓ)= 311
15 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ και Κ Λ Μ Ν τα microέσα των ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α
αντίστοιχα α) Να αποδειχθεί ότι (ΚΛΜΝ)=2
1(ΑΒΓ∆)
β) Αν ΚΜ ΛΝperp να αποδειχθεί ότι (ΑΒΓ∆) = ΚΜΛΝ
16 Λ
Α Β Στο διπλανό σχήmicroα τα σηmicroεία Κ Λ είναι τα
Κ Ρ microέσα των τmicroηmicroάτων ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα
Να αποδείξετε ότι
Γ α) ο λόγος των εmicroβαδών των τριγώνων ΑΚΒ και ΑΛΓ είναι ίσος microε
β) αν Ρ είναι το σηmicroείο τοmicroής των ΛΓ και ΚΒ τότε τα τρίγωνα ΒΛΡ
και ΚΓΡ έχουν ίσα εmicroβαδά
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
23
17 ∆ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) microε ΑΒ=4 Α∆=2 καιο60=∆
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τραπεζίου ΑΒΓ∆
β) Αν Ε σηmicroείο της πλευράς ΑΒ τέτοιο ώστε ΕΒ= ΑΒ4
1 και οι Ε∆ ΕΓ τέmicroνουν τη
διάmicroεσο του τραπεζίου στα σηmicroεία Ζ και Η αντίστοιχα να βρεθεί το εmicroβαδό του
τριγώνου ΕΖΗ
γ) Αν οι ∆Ε και ΒΓ τέmicroνονται στο Ρ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ΡΕΒ
18 Αν οι διαγώνιοι κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓ∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο να αποδείξετε ότι
το τετράπλευρο έχει εmicroβαδό Β∆sdotΑΓ4
1
19 Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται ΑΒ=5 ο60=Α
and
και η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου
κύκλου 3
7=R Να βρεθούν οι άλλες δύο πλευρές του τριγώνου και το εmicroβαδόν του
20
∆ Ζ Γ
υ
Α Ε Η Β
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m
90ο=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος ∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο
οποίος θα χωρίζει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆ και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο
ΑΕ∆
δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου ∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
21 Αν Μ και Ν είναι τα microέσα των πλευρών ΒΓ και Γ∆ ενός παραλληλόγραmicromicroου ΑΒΓ∆
να αποδείξετε ότι (ΑΜΝ)= )(8
3ΑΒΓ∆
22 Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) θεωρούmicroε το microέσο Μ της πλευράς ΑΒ
και σηmicroείο Ν της πλευράς ΑΓ τέτοιο ώστε 3
ΑΓ=ΓΝ Να δειχθεί ότι
(ΜΝΒ)= )(3
1ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
24
23 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και τυχαίο σηmicroείο Σ στην προέκταση της πλευράς
∆Γ προς το Γ Να αποδείξετε ότι
α) (ΑΒ∆)= )(2
1ΑΒΓ∆
β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)
γ) αν η ΑΣ τέmicroνει την Β∆ στο σηmicroείο Ε τότε (Ε∆Σ)-(ΕΑΒ)=(ΣΒΓ)
24 Έστω Σ τυχαίο σηmicroείο της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ Στο σηmicroείο Α φέρουmicroε
microια ευθεία ε κάθετη στην ΑΣ Αν ∆ και Ε είναι αντίστοιχα οι προβολές των σηmicroείων
Β και Γ στην ευθεία ε να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ∆ΣΕ είναι ισοδύναmicroα
25 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 8=ΑΒ 12=ΑΓ και η Α∆ διχοτόmicroος της γωνίας and
Α Αν
( )ΑΒ∆ =20 τmicro να βρείτε το ( )ΑΒΓ
26 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ∆ σηmicroείο της πλευράς ΑΒέτσι ώστε 6=Α∆ ∆Β=5
8=ΑΓ Αν 80=Α
and
να βρείτε το εmicroβαδόν του τριγώνου Β∆Γ
27 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ microε 90=Β
and
και η γωνία and
Α να είναι το 3
1 της ορθής Αν
∆ σηmicroείο της προέκτασης της πλευράς ΒΓ προς το Γ τέτοιο ώστε η 30=Α∆Β
and
να
βρεθεί ο λόγος ( )( )ΑΒ∆ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
25
ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ
ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ
Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του
ίσες
Γωνία κανονικού ν-γώνου ν
φν
360
180 minus=
Κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου ν
ων
360=
Σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας R ισχύουν οι εξής τύποι 2
22
4R=+ ν
ν
λα
νν λν sdot=Ρ
ννν αsdotΡ=Ε2
1
όπου να απόστηmicroα νλ πλευρά νΡ περίmicroετρος νΕ εmicroβαδόν
∆ύο κανονικά πολύγωνα microε τον ίδιο αριθmicroό πλευρών είναι όmicroοια
Κάθε κανονικό πολύγωνο εγγράφεται σε έναν κύκλο και περιγράφεται σε έναν άλλον Οι δύο
αυτοί κύκλοι είναι οmicroόκεντροι
bull Το κοινό κέντρο τον κύκλων αυτών λέγεται κέντρο του πολυγώνου
bull Η ακτίνα R του περιγεγραmicromicroένου κύκλου λέγεται ακτίνα του πολυγώνου
bull Η απόσταση του κέντρου από microια πλευρά του δηλαδή η ακτίνα του εγγεγραmicromicroένου
κύκλου λέγεται απόστηmicroα του πολυγώνου
Σε δύο κανονικά ν-γωνα ο λόγος των πλευρών τους ισούται microε το λόγο των ακτινών τους και
το λόγο των αποστηmicroάτων τους
∆ηλαδή
ν
ν
ν
ν
αα
λλ
==R
R
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
26
ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ
ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ
ΚΑΝΟΝΙΚΟ
ΕΞΑΓΩΝΟ
ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ
ΤΡΙΓΩΝΟ
ΠΛΕΥΡΑ νλ 24 R=λ R=6λ 33 R=λ
ΑΠΟΣΤΗΜΑ να
2
24
R=α
2
36
R=α
23
R=α
RL sdot= π2
180
microπ sdotsdot=
Rl ή Rl sdot=α
180
microαπ
=
2Rsdot=Ε π
( )360
2 microπ sdotsdot=ΟΑΒ
cap R ή ( )
cap
sdot=ΟΑΒ 2
2
1Rα
( ) ( )ΟΑΒminusΟΑΒ=cap
ε
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
27
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Ένα κανονικό εξάγωνο είναι περιγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ορ) Η πλευρά του
εξαγώνου αυτού είναι
Α ρ Β 2
3ρ Γ 2ρ ∆
3
32ρ Ε
3
2ρ
2 ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και στις προεκτάσεις των
πλευρών ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α θεωρούmicroε τα τmicroήmicroατα ΒΚ=ΓΛ=∆Μ=ΑΝ=λ3 Να δείξετε
ότι το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο και ότι η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου κύκλου του
είναι 641 += RR
3 Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε δύο παράλληλες χορδές ΑΒ=λ4 και Γ∆=λ6 Να
αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι ισοσκελές τραπέζιο και να υπολογιστεί
το εmicroβαδό του ως συνάρτηση της ακτίνας R
4 Η περίmicroετρος ενός κυκλικού τοmicroέα ΟΑΒ ενός κύκλου (ΟR) είναι 6+π Αν
ο60=ΒΟΑand
τότε το microήκος της ακτίνας R είναι
Α 6 Β 3 Γ 2 ∆ 4 Ε 5 (δικαιολογήστε την απάντησή σας)
5 Έστω τεταρτοκύκλιο ΟΑΒ ακτίνας R και ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΟΒ στο εσωτερικό
του Να βρείτε το εmicroβαδό και την περίmicroετρο του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΑΒ
6 Έστω δύο κύκλοι (ΟR) και (Ο΄R) των οποίων η διάmicroετρος ΟΟ΄ έχει microήκος
ΟΟ΄=R 3 α) Να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι τέmicroνονται
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινού microέρους των δύο κύκλων
7 Το εmicroβαδό κυκλικού τοmicroέα 80ο είναι 8π Η ακτίνα του κύκλου είναι
Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15
8 Τετράγωνο ΑΒΓ∆ είναι εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και η ηmicroιπερίmicroετρος του
είναι 80cm Να υπολογιστούν
α) η ακτίνα R του κύκλου
β) ο λόγος του εmicroβαδού του κύκλου προς το εmicroβαδό του τετραγώνου
9 Στο εσωτερικό ηmicroικυκλίου διαmicroέτρου ΑΟΒ=2R γράφουmicroε ηmicroικύκλια microε
διαmicroέτρους ΟΑ και ΟΒ Να υπολογιστεί το microήκος και το εmicroβαδό του κύκλου που
εφάπτεται των τριών ηmicroικυκλίων
10 ∆ύο κύκλοι (Ο3R) και (Ο΄R) εφάπτονται εξωτερικά στο σηmicroείο Α Φέρουmicroε την
κοινή εξωτερική εφαπτόmicroενη ΒΓ αυτών Να βρεθεί το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου
τριγώνου ΑΒΓ και του περιγεγραmicromicroένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ
11 Έστω ο κύκλος (ΟR) και microια ακτίνα του ΟΑ Στην ηmicroιευθεία ΟΑ θεωρούmicroε
σηmicroείοΒ έτσι ώστε ΑΒ=ΑΟ Αν ΒΓ η εφαπτοmicroένη του κύκλου να βρεθεί το
εmicroβαδό α) του τριγώνου ΟΒΓ και β) του microικτόγραmicromicroου τριγώνου
ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
28
12 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=λ3 και Γ∆=λ6
προς το ίδιο microέρος του κέντρου Ο α) Να εκφράσετε τις χορδές ΑΒ και Γ∆ ως
συνάρτηση της ακτίνας R β) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό Ε1 του κυκλικού τmicroήmicroατος
που αντιστοιχεί στη χορδή Γ∆ γ) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό του τριγώνου ΟΑΒ
δ) Να βρείτε την περίmicroετρο και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τραπεζίου που έχει
κορυφές τα ΑΒΓ∆
13 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) χορδή ΑΒ=R την εφαπτοmicroένη ε του κύκλου στο σηmicroείο
Α και τη εperpΒΓ Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του τραπεζίου ΟΑΓΒ
β) το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
14 ∆ίνεται ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΑΒ και στο εσωτερικό του τα ηmicroικύκλια διαmicroέτρων
ΑΓ και ΓΒ όπου Γ σηmicroείο microεταξύ των Α και Β Αν κάθετη της ΑΒ στο Γ τέmicroνει το
αρχικό ηmicroικύκλιο στο ∆ να αποδείξετε ότι το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται
microεταξύ των τριών ηmicroικυκλίων είναι ίσο microε το εmicroβαδό του κύκλου διαmicroέτρου Γ∆
15 Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ο60=Β
and
και ΒΓ=α Με
κέντρο το Β και ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει τη ΒΓ στο Μ και microε κέντρο
το Γ και ακτίνα ΓΜ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν Να βρεθεί η
περίmicroετρος και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
16 Με κέντρο ένα σηmicroείο Κ κύκλου (ΟR) και ακτίνα ίση προς R 3 γράφουmicroε
κύκλο ο οποίος τέmicroνει τον (ΟR) στα σηmicroεία Α και Β Να υπολογιστούν η
περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου microηνίσκου
17 ∆ίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ΒΓ = 2R
Γράφουmicroε ηmicroικύκλιο microε διάmicroετρο ΒΓ εκτός τριγώνου και τόξο κύκλου (Α ΑΒ) microε
άκρα Β και Γ Να βρεθεί η περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου
microηνίσκου από το ηmicroικύκλιο και το τόξο αυτό
18 Ένα ορθογώνιο σπίτι microε διαστάσεις α = 20m και β = 10m έχει microια εξωτερική
πρίζα σε microια γωνία του Ένα χορτοκοπτικό microηχάνηmicroα συνδεδεmicroένο microε την πρίζα
έχει καλώδιο microε microήκος 15m Να βρεθεί το εmicroβαδόν της microεγαλύτερης επιφάνειας
του χόρτου που microπορεί να κοπεί
19 Σε κύκλο ακτίνας R = 4cm είναι εγγεγραmicromicroένο ισόπλευρο τρίγωνο
Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του κύκλου
β) την πλευρά του τριγώνου
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου
δ) το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται microεταξύ του κύκλου και του τριγώνου
20 Σε κύκλο microε διάmicroετρο ΑΒ φέρουmicroε τις χορδές ΜΒΑΜ Αν είναι 6=ΑΜ και
8=ΒΜ να βρεθεί η ακτίνα και το εmicroβαδόν του κύκλου
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
29
21 Να βρεθεί το εmicroβαδόν του καθενός από τα δύο microέρη στα οποία διαιρείται ένας
κύκλος ( )RΟ από την πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραmicromicroένου στον κύκλο
αυτόν
22 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και φέρουmicroε δύο κάθετες ακτίνες ΟΑ και ΟΒ Με
κέντρο το Α και ακτίνα R γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει το cap
AB στο σηmicroείο Γ Να
βρεθεί το εmicroβαδόν του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΒΓ
23 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και τόξο 60=ΑΒ
cap
Φέρουmicroε στο σηmicroείο Α την
εφαπτοmicroένη χΑ του κύκλου και την χΑperpΒΓ Να βρεθεί το εmicroβαδόν του
microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
30
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΗ 1η
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α∆ διχοτόmicroος Β∆ = 2 Γ∆ = 3 και 2τ = 15 (περίmicroετρος) η πλευρά
ΑΒ είναι
Α 3 Β 4 Γ 5 ∆ 6 Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 2η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 3α2 + 2γ
2 = 2β
2 Τότε
i) Α and
Α gt90ο Β
and
Β gt 90ο Γ
and
Β lt 90ο ∆
and
Γ gt 90ο Ε Κανένα από τα παραπάνω
ii) Η προβολή της διαmicroέσου microα στην ΒΓ ισούται microε
Α 4
a Β
2
a Γ
4
3a ∆
2
3a Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 3η
Αν ΑΒΓ∆ τετράγωνο πλευράς α και Ε microέσο του Α∆ τότε
i) ΒΕ =2
5α Σ Λ
ii) Ο λόγος ΒΕΕΖ
ισούται microε
Α 5
2 Β
4
5 Γ
4
1 ∆
5
1 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
Α Β
E
Z
∆ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 4η
Αν τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=4 ΒΓ=5 ΑΓ=6 και Α∆ διχοτόmicroος τότε
i) -Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο Σ Λ
- Ο λόγος ∆Γ∆Β
ισούται microε
Α 2
1 Β
3
1 Γ
3
2 ∆
4
3 Ε
2
3
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ii) Αν ε η προβολή του Α στην ΒΓ να υπολογίσετε το microήκος του ΒΕ
iii) Να αποδείξετε ότι 2
1=
∆Γ∆Ε
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
31
ΑΣΚΗΣΗ 5η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και Μ το microέσο της Α∆ Προεκτείνουmicroε τη ∆Γ προς το Γ
κατά ΓΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΒΜ)=2
)(ΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τραπεζίου ΑΒΕ∆ είναι οκταπλάσιο από το εmicroβαδόν του
τριγώνου ΑΒΜ
ΑΣΚΗΣΗ 6η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναιuα =3ρ όπου ρ του εγγεγραmicromicroένου κύκλου του τριγώνου Ο λόγος
αγβ +
ισούται microε Α 2 Β 3 Γ 3
1 ∆
2
3 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ΑΣΚΗΣΗ 7η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάmicroεσός του Α∆ Προεκτείνουmicroε την ΒΑ προς το Α κατά τmicroήmicroα
ΑΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι (ΒΕ∆)=3(Α∆Γ)
ΑΣΚΗΣΗ 8η
Στο εσωτερικό της αυλής ενός σπιτιού υπάρχει microικρός κήπος microε λαχανικά όπως στο
ακόλουθο σχήmicroα Αν το εmicroβαδόν του κήπου είναι 122m και οι διαστάσεις της αυλής είναι
12m και 13m να βρεθεί το x Αν θέλουmicroε να περιφράξουmicroε τον κήπο microε σύρmicroα πόσο σύρmicroα
θα χρειαστούmicroε
12m
13m
ΑΣΚΗΣΗ 9η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ Από τυχαίο σηmicroείο Ε της ΑΓ φέρουmicroε ευθεία παράλληλη
προς την Α∆ που τέmicroνει την Γ∆ στο Ζ Να αποδείξετε ότι
i) (Α∆Ζ)=(ΑΕΒ)
ii) (ΑΕΖ)=(ΒΕΓ)-(ΖΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 10η
Οι διάmicroεσοι Β∆ και ΓΕ τριγώνου ΑΒΓ τέmicroνονται στο Θ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΕ∆)=4
)(ΑΒΓ
ii) (ΒΘΓ)= 3
)(ΑΒΓ
iii)(ΑΕ∆)= (ΒΚΛΓ) όπου Κ Λ τα microέσα των ΒΘ και ΓΘ αντίστοιχα
x
x x
x
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
32
ΑΣΚΗΣΗ 11η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε τη διχοτόmicroο Α∆ Από το ∆ φέρνουmicroε παράλληλη προς την ΑΒ
που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει την προέκταση της
∆Ε στο Ζ να αποδείξετε ότι
α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)
β) β2(ΑΕΖ) = γ
2(∆ΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 12η
Θεωρούmicroε γωνία yxand
Α και σηmicroείο Ο της διχοτόmicroου της Αδ Αν ο κύκλος (ΟΟΑ) τέmicroνει τις
Οx Οy στα Β Γ αντίστοιχα και την Αδ στο ∆ να αποδείξετε ότι
α) (ΟΑΒ)=(ΟΑΓ)
β) (ΒΟΓ∆)=(ΑΒ∆)
γ) (ΒΟΓ∆)=2
1(ΟΑ)(ΒΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 13η
Από εσωτερικό σηmicroείο Μ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλες προς τις
πλευρές ΑΓ και ΑΒ που τέmicroνουν τις ΑΒ ΑΓ στα ∆ Ζ αντίστοιχα Αν (ΒΜ)=x (ΒΓ)=α
(Β∆Μ)=Ε1 (ΓΖΜ)=Ε2 και (ΑΒΓ)=Ε τότε
α) Να εκφράσετε ως συναρτήσεις των x και α τους λόγους Ε
Ε1 και Ε
Ε2
β) Να αποδείξετε ότι ΕgeΕ+Ε2
121
ΑΣΚΗΣΗ 14η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=Γ∆=λ3
Να βρεθεί
i) Η περίmicroετρος του ΑΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που αντιστοιχεί στη χορδή ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 15η
Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε τα διαδοχικά σηmicroεία Α Β Γ και ∆ ώστε ΑΒ=ΒΓ=Γ∆= R Να
βρεθεί
i) H περίmicroετρος του τριγώνου ΑΒ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τριγώνου ΒΓ∆
iii) Ο λόγος )(
)(
ΒΓ∆ΑΒ∆
ΑΣΚΗΣΗ 16η
∆ίνεται τεταρτοκύκλιο Οand
ΒΓ ακτίνας R
α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΓΒ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε δύο ισεmicroβαδικά χωρία
β) Αν ∆ σηmicroείο του τόξου ΒΓ να αποδείξετε ότι η ευθεία Γ∆ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
γ) Να βρείτε σηmicroείο Α της ακτίνας ΟΒ ώστε η ευθεία ΓΑ να χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
33
ΑΣΚΗΣΗ 17η
Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο Ο cap
ΒΓ ακτίνας R Σηmicroείο Α κινείται πάνω στο τόξο cap
ΒΓ και έστω
Κ το σηmicroείο τοmicroής της ακτίνας ΟΑ microε τη ΒΓ Να βρείτε το microήκος του τόξου cap
ΒΑ όταν το
εmicroβαδό του τριγώνου ΟΚΓ ισούται microε το εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα
τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΒ και το τόξο cap
ΒΑ
ΑΣΚΗΣΗ 18η
∆ίνεται ηmicroικύκλιο κέντρου Ο microε διάmicroετρο ΑΑ1=2R Έστω Β σηmicroείο του ηmicroικυκλίου microε
( 1ΑΟΒand
)=φ microοίρες και ΟΓ ακτίνα που τέmicroνει τη χορδή ΑΒ στο Κ
α) Να βρείτε το microήκος S του τόξου cap
ΑΓ όταν το εmicroβαδόν του τριγώνου ΟΚΒ ισούται microε το
εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΓ και το τόξοcap
ΑΓ
β) Αν η γωνία 1ΑΟΒand
είναι 150ο πόσο είναι το S
γ) Για ποια τιmicroή του φ το S γίνεται microέγιστο
Β
Γ
φ
Α1 Α
ΑΣΚΗΣΗ 19η
Η περίmicroετρος ρόmicroβου ΑΒΓ∆ πλευράς α και κέντρου Ο είναι τετραπλάσια της microικρής
διαγωνίου του Β∆
i) Να υπολογιστεί συναρτήσει του α το εmicroβαδόν του Ε
ii) Φέρουmicroε Α∆perpΟΗ και Γ∆perpΟΖ Αν η ΑΖ τέmicroνει τον κύκλο διαmicroέτρου Ο∆ στο Θ να
δειχθεί ότι 2
3Ε=ΑΖsdotΑΘ
ΑΣΚΗΣΗ 20η
Το περίγραmicromicroα της βάσης ενός microεγάλου λόφου σχηmicroατίζει τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=γ ΑΓ=β
όπου βgtγ και στο οποίο η διάmicroεσος ΑΜ και το ύψος Α∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο ∆ίπλα στην
πλευρά ΑΓ υπάρχει ορθογώνιος ιδιωτικός χώρος διαστάσεων 2
γβ +και β-γ Σrsquo αυτόν το
χώρο πρόκειται να κατασκευαστεί ένας microεγάλος ανισόπεδος κόmicroβος που θα συνδέει δύο
δρόmicroους ταχείας κυκλοφορίας Γιrsquo αυτούς τους λόγους προτείνεται στον ιδιοκτήτη να δεχτεί
να ανταλλάξει αυτόν τον χώρο microε άλλον ορθογώνιο χώρο του δηmicroοσίου που βρίσκεται δίπλα
στην πλευρά ΒΓ και έχει διαστάσεις τα microήκη των ΒΓ και 2
ΑΜ Ο ιδιοκτήτης δηλώνει ότι θα
συmicroφωνήσει microε την πρόταση αρκεί οι ανταλλάξιmicroοι χώροι να έχουν την ίδια έκταση
Πρακτικά όmicroως είναι αδύνατον να microετρήσει την πλευρά ΒΓ και τη διάmicroεσο ΑΜ γιrsquo αυτό και
διστάζει Πως θα σκεφτόσαστε εσείς να βοηθήσετε τον ιδιοκτήτη να αποφασίσει
Κ
Ο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
34
ΑΣΚΗΣΗ 21η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε β=2γ και η διάmicroεσος του Β∆ Φέρουmicroε Β∆perpΑx που τέmicroνει την
Β∆ στο Ε και την ΒΓ στο Ζ και ΕyΑΓ που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ Να αποδείξετε ότι
i) ZB= 2
1ZΓ
ii) (ΑΒΓ)=3(ΑΒΖ)
iii) Να αποδειχθεί ότι 8
3
)(
)(=
ΑΒΖΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΗ 22η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε α=2γ και β= 7γ
α) i) Να αποδείξετε ότι 2
3αmicroα =
ii) Να βρείτε το είδος της γωνίας and
Β
iii) Αν ΑΕ perp ΒΓ να υπολογίσετε το ΒΕ συναρτήσει του γ
iv) Να βρείτε τη γωνία and
Β
β) Αν ΑΜ διάmicroεσος και Β∆ διχοτόmicroος να αποδείξτε ότι
i) Α∆ = 3
β
ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)
ΑΣΚΗΣΗ 23η
Έστω τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ο R) και σηmicroείο Μ το οποίο κινείται στο
ηmicroικύκλιο cap
ΑΒΓ
α) Να βρεθεί το ελάχιστο ( )minΕ και το microέγιστο ( )maxΕ εmicroβαδόν του τετράπλευρου ΑΜΓ∆
συναρτήσει της ακτίνας R
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε θέση του Μ είναι
i) Μ∆2 = ΑΓ ∆Ε όπου Ε η προβολή του Μ στην Β∆
ii) (ΑΜΓ∆) = 2
2Μ∆
γ) Να προσδιορίσετε τη θέση του σηmicroείου Μ όταν (ΑΜΓ∆) = 2
maxmin EE +
ΑΣΚΗΣΗ 24η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ M το microέσο της ΑΒ σηmicroείο Ν της ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΝ = 4
3ΑΓ και
σηmicroείο Κ της ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΚ = 4
1ΒΓ Να βρεθεί ο λόγος των εmicroβαδών του τριγώνου
ΑΒΓ προς του τριγώνου ΜΝΚ
ΑΣΚΗΣΗ 25η
Α) Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι 2
αmicro = βγ και β-γ = 5 2 Το microήκος της πλευράς
α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3
Β) Να δειχθεί ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει η σχέση (222
γβα micromicromicro ++ )2 = 27Ε
2 όπου
Ε το εmicroβαδό του
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
35
ΑΣΚΗΣΗ 26η
Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω περιπτώσεις
όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί να αποτελεί microήκη των
πλευρών του
i) 3 57
ii) 8 4 2
iii) 7 6 85
ΑΣΚΗΣΗ 27η
Αν η διάmicroεσος microα ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν προεκταθεί τέmicroνει τον περιγεγραmicromicroένο κύκλο
στο ∆ να αποδειχθεί ότι microα = Α∆+
2
22 γβ
ΑΣΚΗΣΗ 28η
Από ένα κυκλικό οικόπεδο ακτίνας R=30m θα αποκοπεί κυκλικό τmicroήmicroα χορδής 30 3 m για
την κατασκευή δρόmicroου
i) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου που έmicroεινε
ii) Να βρεθεί η αποζηmicroίωση που θα δοθεί στον ιδιοκτήτη αν η αρχική αξία του οικοπέδου
ήταν 10000000 δρχ
ΑΣΚΗΣΗ 29η
Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι α =13 β = 8 γ = 7
i) Να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς το είδος των γωνιών του
ii) Να υπολογιστεί το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ πάνω στην ΑΒ
iii) Να υπολογιστεί η γωνία and
Α
ΑΣΚΗΣΗ 30η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 4 ΑΓ = 5 ΒΓ = 7 Το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ
πάνω στην ΑΒ είναι Α 5 Β 1 Γ 6 ∆ 2
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 31η
Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (and
Α =90ο) microε
and
Β =60ο και ΒΓ=4 Με κέντρο το Β και
ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ και microε κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΜ
γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν να βρεθούν
i) Η θέση του σηmicroείου Μ στη ΒΓ
ii) Η περίmicroετρος του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
iii) Το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
36
ΑΣΚΗΣΗ 32η
Μια έκταση σχήmicroατος τετραγώνου microε A 30 H 70 ∆
πλευρά 100m πρόκειται να διατεθεί
για κατασκευή εργατικών κατοικιών
Οι κατοικίες θα ανεργεθούν σε τέσσερα 70 30
ίσα τριγωνικά οικόπεδα και η υπόλοιπη Μ
έκταση σχήmicroατος τετραπλεύρου θα
χρησιmicroοποιηθεί ως κοινόχρηστος χώρος Z
για δενδροφύτευση και κατασκευή γηπέδου
microπάσκετ 30 70
α) Να βρεθούν τα εmicroβαδά των τεσσάρων ίσων οικοπέδων
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινόχρηστου χώρου B 70 K 30 Γ
γ) Τι είδους τετράπλευρο είναι ο κοινόχρηστος χώρος Να βρεθούν οι πλευρές του
ΑΣΚΗΣΗ 33η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 90A =
and
και ΑΒ=y ΑΓ=β
Α∆=ν Β∆=micro ΒΓ=x ∆Γ=κ
i) Να συmicroπληρωθούν οι σχέσεις
β2=helliphelliphellip=helliphelliphelliphellip Α
ν2=helliphelliphelliphelliphelliphellip
2
2
βy
=helliphelliphelliphelliphellip βy=helliphelliphelliphellip y ν β
ii) Να δειχθεί ότι 111
222 νβ=+
y Β ν ∆ κ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 34η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroεία ∆Ε της πλευράς ΒΓ έτσι ώστε Β∆=∆Ε=ΕΓ Να απόδειχθεί
ότι
i) 2222 22 ΑΕminusΑ∆=∆ΕminusΑΒ ii)
2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 35η
∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε o90=Α
and
ΑΒ=5cm ΑΓ=12cm Α∆ το ύψος του και ΒΜ
η διάmicroεσος του Προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά ΓΕ=ΒΓ i) Να συγκρίνετε τα
εmicroβαδά των τριγώνων Α∆Γ και ΑΓΕ ii) Να δείξετε ότι η σχέση που συνδέει τα εmicroβαδά των
τριγώνων ΑΒΜ και ΑΒΕ είναι (ΑΒΕ)=4(ΑΒΜ)
ΑΣΚΗΣΗ 36η
Από σηmicroείο Μ εκτός κύκλου φέρνουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΜΕ του κύκλου και τις
τέmicroνουσες ΜΑΒ και ΜΓ∆ Αν είναι ΑΒ=9 ΓΜ=4 Γ∆=5 να υπολογίσετε i) το ΜΑ ii) το
ΜΕ
ΑΣΚΗΣΗ 37η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) ΑΒ microια διάmicroετρος του και Μ τυχαίο σηmicroείο του (διαφορετικό των Α
Β) Αν Γ είναι το microέσο της ΟΑ και ∆ το microέσο της ΟΒ ενώ η ΜΓ τέmicroνει τον κύκλο στο Ε και
η Μ∆ στο Ζ τότε να αποδείξετε ότι3
10=
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
37
Ζ
Ε
ΑΣΚΗΣΗ 38η
Ένα τριγωνικό αγρόκτηmicroα ΑΒΓ χωρίζεται
σε τέσσερα τριγωνικά αγροτεmicroάχια όπως Α
φαίνεται στο σχήmicroα έτσι ώστε ΑΒ=Α∆3
2
ΒΕ= ΒΓ4
1και ΓΖ= ΑΓ
2
1 α) Αν το εmicroβαδό ∆
του ΑΒΓ είναι 48 στρέmicromicroατα να υπολογίσετε το Β
Γ
εmicroβαδό του ∆ΕΖ β) Αν τα ∆ Ε Ζ είναι τα microέσα των ΑΒ
ΒΓ ΑΓ αντίστοιχα να βρεθούν τα εmicroβαδά των
τεσσάρων αγροτεmicroαχίων
ΑΣΚΗΣΗ 39η
∆ίνεται εγγράψιmicroο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ ώστε οι πλευρές του ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α microε τη σειρά
που δίνονται να αποτελούν γεωmicroετρική πρόοδο Να αποδείξετε ότι η διαγώνιος του Β∆ το
χωρίζει σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
ΑΣΚΗΣΗ 40η
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ∆ Ζ Γ
την ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m και
ο90=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος υ
∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο οποίος
θα χωρίσει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆
και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα α) Να βρεθεί
το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆ β) Να
βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο
ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο Α Ε Η Β
ΑΕ∆ δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου
∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
ΑΣΚΗΣΗ 41η
∆ίνεται ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ και τα σηmicroεία του ∆Γ έτσι ώστε ∆Β=Γ∆=ΑΓ Αν
Μ τυχαίο σηmicroείο εκτός του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατοςΑΒ
Να δείξετε ότι 2222 33 ΜΓ+ΜΒ=ΜΒ+ΑΜ
ΑΣΚΗΣΗ 42η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 222 2αγβ =+ Αν η διάmicroεσος ΑΜ τέmicroνει το περιγεγραmicromicroένο
κύκλο του τριγώνου στο ∆ να δείξετε ότι
α) 6
3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
38
ΑΣΚΗΣΗ 43η
Από ένα εξωτερικό σηmicroείο Α κύκλου ( )RΟ φέρουmicroε microια τέmicroνουσα ΑΒΓ έτσι ώστε
ΒΓ=ΑΒ Αν 7R=ΟΑ τότε να δείξετε ότι
i) ΒΓ=ΑΒ =λ3
ii) η γωνία and
ΑΟΓ είναι αmicroβλεία
iii) η προβολή της ΟΓ πάνω στην ΟΑ είναι ίση microε ΟΑ7
2
iv) Να δείξετε ότι ( )( ) 2
1=
ΑΟΓΒΟΓ
και στην συνέχεια να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του τριγώνου
and
ΑΟΓ
v) Να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που ορίζεται από την χορδή ΒΓ και
το microέτρο του τόξου cap
ΒΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
39
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
40
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
4
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
5
ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ
∆ύο ευθύγραmicromicroα τmicroήmicroαταα γ λέγονται ανάλογα προς δύο άλλα ευθύγραmicromicroα τmicroήmicroατα β δ
όταν ο λόγος του α προς το β ισούται microε το λόγο του γ προς το δ
δγ
βα
=
bull Η παραπάνω ισότητα λέγεται αναλογία
bull Τα ευθύγραmicromicroα τmicroήmicroατα α β γ δ λέγονται ανάλογα ή αντίστοιχα
bull Τα τmicroήmicroατα α δ λέγονται άκροι όροι
bull Τα τmicroήmicroατα β γ λέγονται microέσοι όροι
bull αγβγβ
βα
βγαδδγ
βα
=hArr==hArr= 2
bull δβ
γα
δγ
βα
=hArr=
bull δγ
γβα
αδγ
βα
δδγ
ββα
δγ
βα
plusmn=
plusmnhArr=
plusmn=
plusmnhArr=
bull λδβκγα
λκ
δγ
βα
++++++
====
Ένα σηmicroείο Μ διαιρεί εσωτερικά το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ σε λόγο λ αν και microόνο αν
λ=ΜΒΜΑ
Το σηmicroείο Μ είναι microοναδικό
Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέmicroνουν δύο άλλες ευθείες ορίζουν σε αυτές
τmicroήmicroατα ανάλογα
∆ηλαδή Αν 321 εεε τότε ΕΗΑΓ
=ΖΗΒΓ
=ΕΖΑΒ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
6
Θεωρούmicroε δύο ευθείες 21 δδ που τέmicroνουν δύο παράλληλες ευθείες 21 εε στα σηmicroεία
ΒΑ και ΖΕ αντίστοιχα Αν ΗΓ είναι σηmicroεία των ευθειών 21 δδ αντίστοιχα τέτοια ώστε
ΖΗΕΖ
=ΒΓΑΒ
τότε η ευθεία ΓΗ είναι παράλληλη προς τις 21 εε
Κάθε ευθεία που είναι παράλληλη microε microια από τις πλευρές ενός τριγώνου χωρίζει τις δύο
άλλες σε microέρη ανάλογα και αντίστροφα
Το τρίγωνο που ορίζεται από τις ευθείες δύο πλευρών τριγώνου και microια παράλληλη προς microια
τρίτη πλευρά του έχει πλευρές ανάλογες προς τις πλευρές του αρχικού τριγώνου
∆ύο σηmicroεία Γ και ∆ που διαιρούν εσωτερικά και εξωτερικά το τmicroήmicroαΑΒστον ίδιο λόγο
λέγονται συζυγή αρmicroονικά των Α και Β
∆ηλαδή τα Γ και ∆ λέγονται συζυγή αρmicroονικά των Α καιΒ αν τα τέσσερα σηmicroεία είναι
συνευθειακά και αντίστροφα τα Α καιΒ είναι συζυγή αρmicroονικά των Γ και ∆
Τα τέσσερα σηmicroεία ( )ΒΑ και ( )∆ Γ λέmicroε ότι αποτελούν αρmicroονική τετράδα
∆ηλαδή Αν 321 δδδ τότε ΕΗΚΜ
=ΖΗΛΜ
=ΕΖΚΛ
Όπου ΒΓ∆Ε ε
∆Β∆Α
=ΓΒΓΑ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
7
ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ∆ΙΧΟΤΟΜΩΝ
Η διχοτόmicroος microιας γωνίας τριγώνου διαιρεί την απέναντι πλευρά εσωτερικά σε λόγο ίσο microε το
λόγο των προσκείmicroενων πλευρών
Η διχοτόmicroος microιας εξωτερικής γωνίας τριγώνου τέmicroνει την προέκταση της απέναντι πλευράς
σε ένα σηmicroείο το οποίο διαιρεί εξωτερικά την πλευρά αυτή σε λόγο ίσο microε το λόγο των
προσκείmicroενων πλευρών
∆ηλαδή αν Α∆ η διχοτόmicroος του τριγώνου ΑΒΓ
ισχύει
ΑΓΑΒ
=∆Γ∆Β
∆ηλαδή αν ΑΕ η εξωτερική διχοτόmicroος του
τριγώνου ΑΒΓ ισχύει
ΑΓΑΒ
=ΕΓΕΒ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
8
ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
∆ύο ευθύγραmicromicroα σχήmicroατα λέγονται όmicroοια αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες
που σχηmicroατίζονται από τις οmicroόλογες πλευρές τους ίσες microία προς microία
Ο λόγος των περιmicroέτρων δύο όmicroοιων ευθυγράmicromicroων σχηmicroάτων ισούται microε το λόγο οmicroοιότητας
τους
ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ
Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες τους ίσες microία προς microία τότε είναι όmicroοια
Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ανάλογες microία προς microία και τις περιεχόmicroενες στις πλευρές
αυτές γωνίες ίσες τότε είναι όmicroοια
Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές ανάλογες microία προς microία τότε είναι όmicroοια
bull ∆ύο ορθογώνια τρίγωνα είναι όmicroοια όταν έχουν microία οξεία γωνία τους ίση
bull Όλα τα ισόπλευρα τρίγωνα είναι όmicroοια microεταξύ τους
bull ∆ύο ισοσκελή τρίγωνα τα οποία έχουν microία αντίστοιχη γωνία ίση είναι όmicroοια
bull Ο λόγος οmicroοιότητας δύο όmicroοιων τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο δύο οmicroόλογων υψών τους
bull Ο λόγος οmicroοιότητας δύο όmicroοιων τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο δύο οmicroόλογων διχοτόmicroων
τους
bull Ο λόγος οmicroοιότητας δύο όmicroοιων τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο δύο οmicroόλογων διαmicroέσων
τους
8ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
9
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΡΙΓΩΝΟ
Αν από τα άκρα ενός ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατος ΑΒ φέρουmicroε τις κάθετες ΑΑrsquo και ΒΒrsquo πάνω σε
microια ευθεία ε τότε το τmicroήmicroα ΑrsquoΒrsquo είναι η προβολή του ΑΒ πάνω στην ε
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο microιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο microε το
γινόmicroενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην υποτείνουσα
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ο λόγος των τετραγώνων των κάθετων πλευρών του είναι ίσος
microε το λόγο των προβολών τους πάνω στην υποτείνουσα
Γ∆Β∆
=ΑΓ
ΑΒ2
2
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισmicroα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών του είναι
ίσο microε το τετράγωνο της υποτείνουσας 222 ΑΓ+ΑΒ=ΒΓ
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει 222 ΑΓ+ΑΒ=ΒΓ τότε
90=Αand
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο του ύψους του που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα
είναι ίσο microε το γινόmicroενο των προβολών των κάθετων του στην υποτείνουσα
∆ΓsdotΒ∆=Α∆2
Έστω λοιπόν το ορθογώνιο ΑΒΓ και ∆ η προβολή της κορυφής
Α στην υποτείνουσα ΒΓ
Τότε ισχύει Β∆sdotΒΓ=ΑΒ2 και
Γ∆sdotΒΓ=ΑΓ2
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
10
bull Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές τότε βα 2=
bull Αν Α∆ είναι το ύψος ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα
τότε ισχύει 222
111
αυγβ=+ και βγαυα =
bull Το ύψος ισοπλεύρου τριγώνου ως συνάρτηση της πλευράς α
δίνεται από τον τύπο 2
3sdot=α
υ
ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ
Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία είναι ίσο microε το
άθροισmicroα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του ελαττωmicroένο κατά το διπλάσιο
γινόmicroενο της microιας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή
∆ηλαδή σε τρίγωνο ΑΒΓ microε 90ltΑ
and
και Α∆ η προβολή της πλευράς γ πάνω στην β
τότε ισχύει Α∆sdotminus+= βγβα 2222
Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από αmicroβλεία γωνία είναι ίσο microε το
άθροισmicroα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του αυξηmicroένο κατά το διπλάσιο
γινόmicroενο της microιας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
11
Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν οι ισοδυναmicroίες
bull 222 γβα +gt αν και microόνο αν 90gtΑ
and
bull 222 γβα += αν και microόνο αν 90=Α
and
bull 222 γβα +lt αν και microόνο αν 90ltΑ
and
Προσοχή Για να εφαρmicroόσουmicroε το πόρισmicroα αυτό πρέπει πάντα να συγκρίνουmicroε το
τετράγωνο της microεγαλύτερης πλευράς του τριγώνου microε το άθροισmicroα των τετραγώνων των
άλλων δύο πλευρών
Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση
Αsdotminus+= συνβγγβα 2222
Το ύψος υα ενός τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τον τύπο
( )( )( )γτβταττα
υα minusminusminus=2
όπου ( )γβατ ++=2
1
Ανάλογες εκφράσεις ισχύουν και για τα άλλα ύψη υβ και υγ
ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ∆ΙΑΜΕΣΩΝ
Το άθροισmicroα των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται microε το διπλάσιο του
τετραγώνου της διαmicroέσου που περιέχεται microεταξύ των πλευρών αυτών αυξηmicroένο κατά το
microισό του τετραγώνου της τρίτης πλευράς
∆ηλαδή σε τρίγωνο ΑΒΓ microε 90gtΑ
and
και
Α∆ η προβολή της πλευράς γ πάνω στην β
τότε ισχύει
Α∆sdot++= βγβα 2222
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
12
∆ηλαδή αν Α∆ =υα το ύψος και ΑΜ =microα η διάmicroεσος ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύει
2
22
222 αmicroγβ α +=+
Ανάλογα έχουmicroε και τους ακόλουθους τύπους
2
22
222 γmicroβα γ +=+
22
2222 β
microγα β +=+
Η διαφορά των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται microε το διπλάσιο γινόmicroενο της
τρίτης πλευράς επί την προβολή της αντίστοιχης διαmicroέσου πάνω στην πλευρά αυτή
Μ∆sdot=minus αγβ 222
Σηmicroείωση αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές ή ισόπλευρο τότε το Μ ταυτίζεται microε το ∆ και το 2ο
θεώρηmicroα διαmicroέσων ισχύει ταυτοτικά
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ
Αν δύο χορδές Γ∆ΑΒ ή οι προεκτάσεις τους τέmicroνονται σε ένα σηmicroείο Ρ τότε ισχύει
Ρ∆sdotΡΓ=ΡΒsdotΡΑ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
13
Αν από ένα εξωτερικό σηmicroείο Ρ κύκλου ( )R Ο φέρουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΡΕ
Και microια ευθεία που τέmicroνει τον κύκλο στα σηmicroεία ΒΑ τότε ισχύει η σχέση
Επίσης αν η ευθεία ΡΟ τέmicroνει τον κύκλο στα ∆ Γ και δ=ΟΡ τότε έχουmicroε ότι
Η διαφορά 22 Rminusδ λέγεται δύναmicroη σηmicroείου Ρ ως προς τον κύκλο ( )R Ο και
συmicroβολίζεται
( )2222
RRR minusΟΡ=minus=∆ΡΟ δ
bull Το Ρ είναι εξωτερικό σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 gt∆ΡΟ R
bull Το Ρ είναι εσωτερικό σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 lt∆ΡΟ R
bull Το Ρ είναι σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 =∆ΡΟ R
bull Για να είναι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι εγγράψιmicroο σε κύκλο αν ισχύει η σχέση
Ρ∆sdotΡΓ=ΡΒsdotΡΑ
bull Αν οι διαγώνιοι ενός τετράπλευρου ΑΒΓ∆ τέmicroνονται σε ένα σηmicroείο Κ τότε για να
είναι το τετράπλευρο εγγράψιmicroο σε κύκλο πρέπει να ισχύει η σχέση
Κ∆sdotΚΒ=ΚΓsdotΚΑ
ΡΒsdotΡΑ=ΡΕ2
( )( ) 22 RRR minus=+minus
=Ρ∆sdotΡΓ=ΡΒsdotΡΑ
δδδ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
14
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Οι πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου έχουν microήκη x x+1 και x+2 Η περίmicroετρος του
τριγώνου αυτού είναι
Α 3 Β 6 Γ 10 ∆ 12 Ε 15
Επιλέξτε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε
2 Θεωρούmicroε διάmicroετρο ΑΒ κύκλου (ΟR) και τις κάθετες ακτίνες ΟΓ και Ο∆ Αν Ε και
Ζ οι προβολές των Γ και ∆ αντίστοιχα στην ΑΒ να αποδειχθεί ότι
i) Τα τρίγωνα ΟΕΓ και Ζ∆Ο είναι ίσα
ii) 222 R=ΟΖ+ΟΕ
3 Έστω ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο )90( Οand
=Α και Β∆ η διάmicroεσός του Να αποδειχθεί
ότι 222
4
3ΒΓ=ΑΓ+Β∆
4 Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο ΑΟΒ κύκλου (ΟR) και τη διχοτόmicroο ΟΜ της γωνίας and
ΟΒΑ Από σηmicroείο Γ του τόξου cap
ΑΒ φέρουmicroε ΟΒperpΓ∆ που τέmicroνει την ευθεία
ΟΜ στο σηmicroείο Ε Να αποδειχθεί ότι α) ∆Ε=Ο∆ β) 222 R=∆Ε+∆Γ
5 Αν σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά
τmicroήmicroα Γ∆=2ΒΓ να αποδειχθεί ότι 222 6ΒΓ+ΑΓ=Α∆
6 Αν ∆ σηmicroείο της πλευράς ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) να αποδειχθεί ότι
22 ∆Γsdot∆Β=Α∆minusΑΒ
7 Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω
περιπτώσεις όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί
να αποτελεί microήκη των πλευρών του i) 357 ii) 842 iii) 76 85
8 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ πληρούν τη σχέση 222 βαγ +lt
τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο
9 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ πληρούν τις σχέσεις αltβltγ και 222 βαγ +lt τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο
10 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών ΑΒΓ πληρούν τη σχέση 444 γβα +lt τότε να
αποδειχθεί ότι 90Οand
ltΑ
11 Θεωρούmicroε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και σηmicroείο ∆ της ηmicroιευθείας ΑΒ
τέτοιο ώστε Β∆=ΑΒ Αν ΑΒperpΓΕ και είναι ΑΒ=4ΒΕ να αποδειχθεί ότι
2
3 222 ΑΓ+ΒΓ=Γ∆
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
15
12 Θεωρούmicroε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α τη διχοτόmicroο Γχ της εξωτερικής
γωνίας εξΓ
and
αυτού την κάθετη xΓperpΒΕ και την κάθετη ΑΓperpΕΖ
Να αποδειχθεί ότι i)4
α=ΓΖ ii)
2
7α=ΑΕ
13 Εκατέρωθεν της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ κατασκευάζουmicroε δύο ισόπλευρα
τρίγωνα ΒΓ∆ και ΒΓΕ Να αποδειχθεί ότι 22222 γβα ++=ΑΕ+Α∆
14 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ τα microήκη των πλευρών του οποίου συνδέονται microε τη σχέση
2 222 αγβ =+ Nα αποδειχθεί ότι α) 2
βmicro +2
γmicro =2
2 αmicro
β) 2
3αmicroα =
2
3γmicroβ =
2
3βmicroγ =
15 Θεωρούmicroε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ )90( Οand
=Α και τη διάmicroεσό του ΒΕ
α) Να αποδειχθεί ότι 222
4
3ΒΓ=ΑΓ+ΒΕ β) Αν Α∆ είναι η διάmicroεσος του
τριγώνου ΑΒΓ ΒΕ= 14 και o60=Β∆Α
and
να υπολογιστούν τα microήκη των πλευρών
του τριγώνου ΑΒΓ
16 Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει γβ micromicro perp τότε να αποδειχθεί ότι 222
αγβ micromicromicro =+
17 Αν ΒΒ΄ το ύψος τριγώνου ΑΒΓ microε o90ltΑ
and
και ΑΜ η διάmicroεσός του τότε να
αποδειχθεί ότι 4
22 ΄ΑΒsdotΑΓ+
ΒΓ=ΑΜ
18 Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ )90( Οand
=Α η διάmicroεσος του ΑΜ και ευθεία (ε)
κάθετη στην ΑΜ στο Μ Αν Ρ σηmicroείο της (ε) να αποδειχθεί ότι 222 2ΡΑ=ΡΓ+ΡΒ
19 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ ΑΜ διάmicroεσος η οποία προεκτεινόmicroενη τέmicroνει τον
περιγεγραmicromicroένο κύκλο (ΟR) στο ∆ και Θ το βαρύκεντρο του τριγώνου
Να δειχθεί ότι i)4
2α=Μ∆sdotΜΑ ii)
ΘΟ∆ )( R )(
9
1 222 γβα ++minus=
iii) AB2+AΓ
2=2ΑΜsdotΑ∆
20 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόmicroος του Α∆ Αν οι κύκλοι οι περιγεγραmicromicroένοι στα
τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓ∆ τέmicroνουν τις ΑΓ και ΑΒ στα σηmicroεία Ζ και Ε αντίστοιχα να
αποδειχθεί ότι ΒΕ=ΓΖ
21 Κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι εγγράψιmicroο σε κύκλο Αν το σηmicroείο τοmicroής Μ των
διαγωνίων του είναι microέσο της διαγωνίου Β∆ να αποδειχθεί ότι
i) ΜΓsdotΜΑ=∆Β 42 ii) 2 22222 ΑΓ=∆Α+Γ∆+ΒΓ+ΑΒ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
16
22 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) διαmicroέτρου ΑΒ Από ένα σηmicroείο Γ της προέκτασης της ΑΒ
προς το Β φέρνουmicroε την εφαπτοmicroένη Γ∆ και την ΑΓperpΓx Αν Ε είναι το σηmicroείο
τοmicroής των Α∆ και Γx να αποδειχθεί ότι
i) το τετράπλευρο ∆ΒΓΕ είναι εγγράψιmicroο ii) ΑΕsdotΑ∆minusΓΑ=Γ∆ 22
23 ∆ύο κύκλοι (ΚR) και
Λ2
R
εφάπτονται εσωτερικά στο Α Από ένα σηmicroείο Μ του
κύκλου
Λ2
R
φέρνουmicroε χορδή Γ∆ του κύκλου (ΚR) Να αποδειχθεί ότι
ΜΓΜ∆=ΜΑ2
24 Θεωρούmicroε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α και σηmicroείο ∆ της πλευράς ΒΓ Αν οι
περιγεγραmicromicroένοι κύκλοι στα τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓ∆ τέmicroνουν τις πλευρές ΑΓ και ΑΒ
στα σηmicroεία Ε και Ζ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι ΒΖ+ΓΕ=α
25 Στη διάmicroετρο ΑΒ κύκλου (ΟR) θεωρούmicroε τα σηmicroεία Γ και ∆ έτσι ώστε ΟΓ=Ο∆=α
και microεταβλητό σηmicroείο Μ του κύκλου Αν οι ΜΓ και Μ∆ τέmicroνουν τον κύκλο στα Ε
και Ζ αντίστοιχα να αποδείξετε ότι i) ΜΓΓΕ = Μ∆∆Ζ ii)
ΜΓ2+Μ∆
2 = 2(R
2+α
2) iii) το άθροισmicroα
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
είναι σταθερό
26 Θεωρούmicroε κύκλο (O2α) και σηmicroείο Ρ τέτοιο ώστε ΟΡ=2
3α Φέρουmicroε χορδή ΑΒ η
οποία διέρχεται από το Ρ και είναι τέτοια ώστε ΑΡ=α Να υπολογιστεί το microήκος της
χορδής ΑΒ
27 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) διάmicroετρο ΑΒ και τα microέσα Γ και ∆ των ΟΑ και ΟΒ
αντίστοιχα Από το σηmicroείο Γ φέρουmicroε χορδή ΕΖ = 2
13 Rsdot Να αποδειχθεί ότι
i) ΖΓ2+Ζ∆
2+ΓΕ
2+∆Ε
2=5R
2 ii)
and
Ε∆Ζ = 900
28 Έστω ΑΒ διάmicroετρος κύκλου (ΟR) και ΑΓ Β∆ δύο χορδές που τέmicroνονται στο Ρ Να
αποδειχθεί ότι i) αν οι Α∆ και ΒΓ τέmicroνονται στο Ε τότε το Ρ είναι ορθόκεντρο του
τριγώνου ΕΑΒ ii) ΑΓΑΡ+Β∆ΒΡ=ΑΒ2
29 Τρίγωνο ΑΒΓ microε β2+γ
2=2α
2 Β∆ ΓΕ ύψη ΑΜ διάmicroεσος και Ζ microέσο της ΑΜ Να
αποδειχθεί ότι i)and
Α lt900 ii) AE =
γα2
2
και ΑΜ = 2
3α iii) ΕΖ =
γαβ4
Ζ∆ = β
αγ4
30 Σε τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούmicroε σηmicroεία ∆Ε στην πλευρά ΒΓ ώστε Β∆ = ∆Ε = ΕΓ Να
αποδείξετε ότι i) AB2 ndash 2∆E
2 = 2A∆
2 ndash AE
2 ii) AB
2 + 2AΓ
2 = 3AE
2 +
6∆E2
31 Αν α β γ πλευρές τριγώνου να βρεθεί το είδος του τριγώνου στις παρακάτω περι-
πτώσεις i) α = ν2 + 1 β = 2ν γ = ν
2 ndash 1
ii) α = 4 β = 5 γ = 3
iii) α = 11 β = 13 γ = 12
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
17
32 Αν Ε ∆ Ζ microέσα των ΑΓ ΒΓ Β∆ αντίστοιχα ενός τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε ότι
i) Ε∆=2
1ΑΒ ii) ΕΖ
2 =
16
263 222 βminusγ+α
33 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ = 6 ΑΓ = 8 ΒΓ = 2 37 να αποδειχθεί ότι
i) ο120=Α
and
ii) να βρεθεί το microήκος Α∆ όπου Β∆ ύψος τριγώνου
iii) να βρεθεί το microήκος της διαmicroέσου microα
34 Σε τρίγωνο ΑΒΓ microε πλευρές α = 9 β = 7 γ = 4 να βρείτε i) το είδος του τριγώνου
ii) το microήκος της διαmicroέσου microα iii) την προβολή της διαmicroέσου microα πάνω στην
ΒΓ iv) την προβολή της πλευράς β πάνω στην γ
35 Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ο90=Α
and
ΑΜ διάmicroεσος και Ρ το microέσο
της ΑΜ Στην πλευρά ΒΓ = α παίρνουmicroε σηmicroείο Κ ώστε ΓΚ = 8
5α Να αποδειχθεί
ότι i) ΓΡ2 =
16
5 2α ii) ΡΚ
2 =
64
5 2α iii) ΡΓ = 2ΚΡ
36 Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε ο90=Α
and
α = 25 και β = 20 αν x είναι η προβολή της
πλευράς β πάνω στην πλευρά α τότε
i) η πλευρά γ έχει microήκος Α10 Β12 Γ13 ∆15 Ε21
ii) το ύψος υα έχει microήκος Α9 Β7 Γ12 ∆17 Ε5
iii) το τmicroήmicroα x έχει microήκος Α10 Β12 Γ17 ∆16 Ε21
(Να αιτιολογήσετε την απάντηση)
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
18
ΕΜΒΑ∆Α
ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ
Ας θεωρήσουmicroε ένα πολύγωνο
Ένα σχήmicroα που αποτελείται από πεπερασmicroένο πλήθος πολυγωνικών χωρίων που ανά δύο δεν
έχουν κοινά εσωτερικά σηmicroεία λέγεται πολυγωνική επιφάνεια
Ίσα πολυγωνικά χωρία έχουν ίσα εmicroβαδά
Αν ένα πολυγωνικό χωρίο (ή microια πολυγωνική επιφάνεια) χωρίζεται σε πεπερασmicroένου
πλήθους πολυγωνικά χωρία που δεν έχουν κοινά εσωτερικά σηmicroεία τότε το εmicroβαδόν του
ισούται microε το άθροισmicroα των εmicroβαδών των επιmicroέρους πολυγωνικών χωρίων
Το εmicroβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς 1 είναι 1
∆ύο σχήmicroατα που έχουν το ίδιο εmicroβαδόν ονοmicroάζονται ισεmicroβαδικά ή ισοδύναmicroα
Το πολύγωνο microαζί microε τα εσωτερικά του
στοιχεία ονοmicroάζεται πολυγωνικό χωρίο
Ένα πολυγωνικό χωρίο που ορίζεται από
τρίγωνο τετράγωνοhellipν-γωνο ονοmicroάζεται
τριγωνικό πολυγωνικόhellip ν-γωνικό
∆ύο πολυγωνικά χωρία λέγονται ίσα όταν τα
αντίστοιχα πολύγωνά τους είναι ίσα
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
19
ΕΜΒΑ∆Α ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
Το εmicroβαδόν τετραγώνου πλευράς α δίνεται από τον τύπο 2α=Ε
Το εmicroβαδόν ενός ορθογωνίου ισούται microε το γινόmicroενο των πλευρών του βα sdot=Ε
Το εmicroβαδόν ενός παραλληλογράmicromicroου ισούται microε το γινόmicroενο microιας πλευράς του επί το ύψος
που αντιστοιχεί σε αυτή
βα υβυα sdot=sdot=Ε
Το εmicroβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο microε το ηmicroιγινόmicroενο microιας πλευράς επί το αντίστοιχο ύψος
γβα υγυβυα sdot=sdot=sdot=Ε2
1
2
1
2
1
Το εmicroβαδόν τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο του ηmicroιαθροίσmicroατος των βάσεων του επί το
ύψος του υβsdot
+Β=Ε
2
Το εmicroβαδόν τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο της διαmicroέσου επί το ύψος του
bull Το εmicroβαδόν ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς α είναι ίσο microε 4
32α=Ε
bull Το εmicroβαδόν ρόmicroβου ισούται microε το ηmicroιγινόmicroενο των διαγωνίων του
bull Το εmicroβαδόν οποιουδήποτε κυρτού ή microη κυρτού τετραπλεύρου microε κάθετες διαγωνίους
ισούται microε το ηmicroιγινόmicroενο των διαγωνίων του
bull Η διάmicroεσος κάθε τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
bull Το βαρύκεντρο τριγώνου έχει την ιδιότητα να δηmicroιουργεί microε τις κορυφές του τριγώνου τρία
ισεmicroβαδικά τρίγωνα
bull Το βαρύκεντρου του τριγώνου οι κορυφές του και τα microέσα των πλευρών του ορίζουν έξι
ισεmicroβαδικά τρίγωνα
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
20
ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΕΜΒΑ∆ΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
( )( )( )γτβταττ minusminusminus=Ε όπου 2
γβατ
++= ηmicroιπερίmicroετρος του τριγώνου
ρτ sdot=Ε
R4
γβα sdotsdot=Ε
Γsdotsdot=Βsdotsdot=Αsdotsdot=Ε ηmicroβαηmicroαγηmicroγβ2
1
2
1
2
1
ΕΜΒΑ∆Α ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
Αν δύο τρίγωνα έχουν ίσες βάσεις τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο των
αντίστοιχων υψών ενώ αν έχουν ίσα ύψη τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο
των αντίστοιχων βάσεων
Αν δύο τρίγωνα είναι όmicroοια τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το τετράγωνο του
λόγου οmicroοιότητας
Ο λόγος των εmicroβαδών δύο όmicroοιων πολυγώνων είναι ίσος microε το τετράγωνο του λόγου
οmicroοιότητας
Αν microια γωνία ενός τριγώνου είναι ίση ή παραπληρωmicroατική microε microια γωνία ενός άλλου
τριγώνου τότε ο λόγος των εmicroβαδών των δύο τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο των γινοmicroένων
των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
21
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Αν ΑΒΓ∆ τραπέζιο ( Γ∆ΑΒ ) και Ο το σηmicroείο τοmicroής των διαγωνίων του ΑΓ και
Β∆ να αποδείξετε ότι ΟΑ∆ΟΒΓ Ε=Ε
2 Ένα τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) και ΒΓ=Γ∆=Α∆ και τη βάση ΑΒ κατά 2 microικρότερη
από το άθροισmicroα των τριών αυτών πλευρών Αν το ύψος του τραπεζίου είναι 5 να
υπολογιστεί το εmicroβαδό του
3 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ microε microήκη πλευρών α=10 β=8 γ=14 και ισόπλευρο τρίγωνο
∆ΕΖ το οποίο είναι ισοδύναmicroο microε το ΑΒΓ Το microήκος της πλευράς του ισόπλευρου
τριγώνου ∆ΕΖ είναι
Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20
Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε
4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=2 ΒΗ ύψος και η διάmicroεσος Β∆=1 Αν and
∆ΑΒ =30ο να
υπολογιστούν α) τα ΒΗ Η∆ ΑΗ
β) το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ
5 Με υποτείνουσες τις κάθετες πλευρές ΑΒ και ΑΓ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ microε
β+γ=20 κατασκευάζουmicroε ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓΕ εκτός
αυτού
α) Να αποδείξετε ότι τα σηmicroεία ∆ΑΕ είναι συνευθειακά
β) Να βρείτε το εmicroβαδό του τετραπλεύρου ΒΓΕ∆
6 Προεκτείνουmicroε τις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ ενός τριγώνου ΑΒΓ κατά τmicroήmicroατα
Γ∆=ΓΒ ΑΕ=ΑΓ και ΒΖ=ΒΑ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι (∆ΕΖ) = 7(ΑΒΓ)
7 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Μ στο εσωτερικό του Φέρνουmicroε από το Μ
παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των
σχηmicroατιζόmicroενων τριγώνων και Ε το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε
ότι 321 Ε+Ε+Ε=Ε
8 Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ που τέmicroνει τις πλευρές ΑΒ
και ΑΓ στα σηmicroεία ∆ και Ε αντίστοιχα Να αποδείξετε ότι (ΑΒΕ)2=(ΑΒΓ)(Α∆Ε)
9 Από σηmicroείο ∆ της πλευράς ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη προς την
πλευρά ΒΓ που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των τριγώνων
Α∆Ε Α∆Γ και ΑΒΓ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι 31
2
2 ΕsdotΕ=Ε
10 Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Α΄ της πλευράς του ΒΓ Από τα Β και Γ
φέρνουmicroε παράλληλες προς την ΑΑ΄ που τέmicroνουν τις ευθείες ΑΓ και ΑΒ στα σηmicroεία
Γ΄ και Β΄ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι
α) (ΑΑ΄Γ΄) = (ΑΒΑ΄) και (ΑΑ΄Β΄) = (ΑΓΑ΄)
β) (Α´ô) = (ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
22
11 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ microε ΑΒ=10 Α∆=4 και and
∆ =60ο Στην πλευρά ΑΒ
θεωρούmicroε τα σηmicroεία Ε και Ζ έτσι ώστε ΑΕ=ΕΖ=ΖΒ Αν Η είναι το σηmicroείο τοmicroής των
ευθειών ∆Ε και ΓΖ να υπολογιστούν
α) το εmicroβαδό του παραλληλογράmicromicroου ΑΒΓ∆
β) το εmicroβαδό του τραπεζίου Γ∆ΕΖ
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου ΗΕΖ
12 ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=ΑΓ=6 και ο120=Α
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του
β) Αν Ε σηmicroείο της ΑΓ τέτοιο ώστε ΓΕ=ΑΕ2
1 και Α∆ το ύψος του τριγώνου
ΑΒΓ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ∆ΕΓ
γ) Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει τη ∆Ε στο Η να βρεθεί το εmicroβαδό
του τριγώνου ΑΕΗ
13 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Ρ στο εσωτερικό του Από το Ρ φέρνουmicroε κάθετες
ηmicroιευθείες στις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ και πάνω σrsquo αυτές παίρνουmicroε τα σηmicroεία Α΄
Β΄ και Γ΄ αντίστοιχα έτσι ώστε ΡΑ΄=ΒΓ ΡΒ΄=ΑΓ και ΡΓ΄=ΑΒ Να αποδειχθεί ότι
α) οι γωνίες and
Γ και and
ΒprimeΡΑprime είναι παραπληρωmicroατικές
β) (ΡΑ΄Β΄)=(ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)
14 Θεωρούmicroε τρεις ίσες διαδοχικές γωνίες and
οψx zand
οψ xzand
ο και πάνω στις
ηmicroιευθείες Οx Oψ και Οz τα σηmicroεία Α Β Γ αντίστοιχα έτσι ώστε ΟΑ=1 ΟΒ=4 και
ΟΓ=8
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ψοand
x zand
οψ xzand
ο
β) Αν Οw η αντικείmicroενη ηmicroιευθεία της Οψ και Γ∆ wΟperp να υπολογίσετε τις Ο∆ και
Γ∆
γ) Να υπολογίσετε το (ΟΒΓ)
δ) Να αποδείξετε ότι (ΑΒΓ)= 311
15 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ και Κ Λ Μ Ν τα microέσα των ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α
αντίστοιχα α) Να αποδειχθεί ότι (ΚΛΜΝ)=2
1(ΑΒΓ∆)
β) Αν ΚΜ ΛΝperp να αποδειχθεί ότι (ΑΒΓ∆) = ΚΜΛΝ
16 Λ
Α Β Στο διπλανό σχήmicroα τα σηmicroεία Κ Λ είναι τα
Κ Ρ microέσα των τmicroηmicroάτων ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα
Να αποδείξετε ότι
Γ α) ο λόγος των εmicroβαδών των τριγώνων ΑΚΒ και ΑΛΓ είναι ίσος microε
β) αν Ρ είναι το σηmicroείο τοmicroής των ΛΓ και ΚΒ τότε τα τρίγωνα ΒΛΡ
και ΚΓΡ έχουν ίσα εmicroβαδά
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
23
17 ∆ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) microε ΑΒ=4 Α∆=2 καιο60=∆
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τραπεζίου ΑΒΓ∆
β) Αν Ε σηmicroείο της πλευράς ΑΒ τέτοιο ώστε ΕΒ= ΑΒ4
1 και οι Ε∆ ΕΓ τέmicroνουν τη
διάmicroεσο του τραπεζίου στα σηmicroεία Ζ και Η αντίστοιχα να βρεθεί το εmicroβαδό του
τριγώνου ΕΖΗ
γ) Αν οι ∆Ε και ΒΓ τέmicroνονται στο Ρ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ΡΕΒ
18 Αν οι διαγώνιοι κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓ∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο να αποδείξετε ότι
το τετράπλευρο έχει εmicroβαδό Β∆sdotΑΓ4
1
19 Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται ΑΒ=5 ο60=Α
and
και η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου
κύκλου 3
7=R Να βρεθούν οι άλλες δύο πλευρές του τριγώνου και το εmicroβαδόν του
20
∆ Ζ Γ
υ
Α Ε Η Β
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m
90ο=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος ∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο
οποίος θα χωρίζει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆ και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο
ΑΕ∆
δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου ∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
21 Αν Μ και Ν είναι τα microέσα των πλευρών ΒΓ και Γ∆ ενός παραλληλόγραmicromicroου ΑΒΓ∆
να αποδείξετε ότι (ΑΜΝ)= )(8
3ΑΒΓ∆
22 Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) θεωρούmicroε το microέσο Μ της πλευράς ΑΒ
και σηmicroείο Ν της πλευράς ΑΓ τέτοιο ώστε 3
ΑΓ=ΓΝ Να δειχθεί ότι
(ΜΝΒ)= )(3
1ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
24
23 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και τυχαίο σηmicroείο Σ στην προέκταση της πλευράς
∆Γ προς το Γ Να αποδείξετε ότι
α) (ΑΒ∆)= )(2
1ΑΒΓ∆
β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)
γ) αν η ΑΣ τέmicroνει την Β∆ στο σηmicroείο Ε τότε (Ε∆Σ)-(ΕΑΒ)=(ΣΒΓ)
24 Έστω Σ τυχαίο σηmicroείο της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ Στο σηmicroείο Α φέρουmicroε
microια ευθεία ε κάθετη στην ΑΣ Αν ∆ και Ε είναι αντίστοιχα οι προβολές των σηmicroείων
Β και Γ στην ευθεία ε να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ∆ΣΕ είναι ισοδύναmicroα
25 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 8=ΑΒ 12=ΑΓ και η Α∆ διχοτόmicroος της γωνίας and
Α Αν
( )ΑΒ∆ =20 τmicro να βρείτε το ( )ΑΒΓ
26 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ∆ σηmicroείο της πλευράς ΑΒέτσι ώστε 6=Α∆ ∆Β=5
8=ΑΓ Αν 80=Α
and
να βρείτε το εmicroβαδόν του τριγώνου Β∆Γ
27 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ microε 90=Β
and
και η γωνία and
Α να είναι το 3
1 της ορθής Αν
∆ σηmicroείο της προέκτασης της πλευράς ΒΓ προς το Γ τέτοιο ώστε η 30=Α∆Β
and
να
βρεθεί ο λόγος ( )( )ΑΒ∆ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
25
ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ
ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ
Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του
ίσες
Γωνία κανονικού ν-γώνου ν
φν
360
180 minus=
Κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου ν
ων
360=
Σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας R ισχύουν οι εξής τύποι 2
22
4R=+ ν
ν
λα
νν λν sdot=Ρ
ννν αsdotΡ=Ε2
1
όπου να απόστηmicroα νλ πλευρά νΡ περίmicroετρος νΕ εmicroβαδόν
∆ύο κανονικά πολύγωνα microε τον ίδιο αριθmicroό πλευρών είναι όmicroοια
Κάθε κανονικό πολύγωνο εγγράφεται σε έναν κύκλο και περιγράφεται σε έναν άλλον Οι δύο
αυτοί κύκλοι είναι οmicroόκεντροι
bull Το κοινό κέντρο τον κύκλων αυτών λέγεται κέντρο του πολυγώνου
bull Η ακτίνα R του περιγεγραmicromicroένου κύκλου λέγεται ακτίνα του πολυγώνου
bull Η απόσταση του κέντρου από microια πλευρά του δηλαδή η ακτίνα του εγγεγραmicromicroένου
κύκλου λέγεται απόστηmicroα του πολυγώνου
Σε δύο κανονικά ν-γωνα ο λόγος των πλευρών τους ισούται microε το λόγο των ακτινών τους και
το λόγο των αποστηmicroάτων τους
∆ηλαδή
ν
ν
ν
ν
αα
λλ
==R
R
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
26
ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ
ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ
ΚΑΝΟΝΙΚΟ
ΕΞΑΓΩΝΟ
ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ
ΤΡΙΓΩΝΟ
ΠΛΕΥΡΑ νλ 24 R=λ R=6λ 33 R=λ
ΑΠΟΣΤΗΜΑ να
2
24
R=α
2
36
R=α
23
R=α
RL sdot= π2
180
microπ sdotsdot=
Rl ή Rl sdot=α
180
microαπ
=
2Rsdot=Ε π
( )360
2 microπ sdotsdot=ΟΑΒ
cap R ή ( )
cap
sdot=ΟΑΒ 2
2
1Rα
( ) ( )ΟΑΒminusΟΑΒ=cap
ε
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
27
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Ένα κανονικό εξάγωνο είναι περιγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ορ) Η πλευρά του
εξαγώνου αυτού είναι
Α ρ Β 2
3ρ Γ 2ρ ∆
3
32ρ Ε
3
2ρ
2 ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και στις προεκτάσεις των
πλευρών ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α θεωρούmicroε τα τmicroήmicroατα ΒΚ=ΓΛ=∆Μ=ΑΝ=λ3 Να δείξετε
ότι το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο και ότι η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου κύκλου του
είναι 641 += RR
3 Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε δύο παράλληλες χορδές ΑΒ=λ4 και Γ∆=λ6 Να
αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι ισοσκελές τραπέζιο και να υπολογιστεί
το εmicroβαδό του ως συνάρτηση της ακτίνας R
4 Η περίmicroετρος ενός κυκλικού τοmicroέα ΟΑΒ ενός κύκλου (ΟR) είναι 6+π Αν
ο60=ΒΟΑand
τότε το microήκος της ακτίνας R είναι
Α 6 Β 3 Γ 2 ∆ 4 Ε 5 (δικαιολογήστε την απάντησή σας)
5 Έστω τεταρτοκύκλιο ΟΑΒ ακτίνας R και ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΟΒ στο εσωτερικό
του Να βρείτε το εmicroβαδό και την περίmicroετρο του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΑΒ
6 Έστω δύο κύκλοι (ΟR) και (Ο΄R) των οποίων η διάmicroετρος ΟΟ΄ έχει microήκος
ΟΟ΄=R 3 α) Να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι τέmicroνονται
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινού microέρους των δύο κύκλων
7 Το εmicroβαδό κυκλικού τοmicroέα 80ο είναι 8π Η ακτίνα του κύκλου είναι
Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15
8 Τετράγωνο ΑΒΓ∆ είναι εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και η ηmicroιπερίmicroετρος του
είναι 80cm Να υπολογιστούν
α) η ακτίνα R του κύκλου
β) ο λόγος του εmicroβαδού του κύκλου προς το εmicroβαδό του τετραγώνου
9 Στο εσωτερικό ηmicroικυκλίου διαmicroέτρου ΑΟΒ=2R γράφουmicroε ηmicroικύκλια microε
διαmicroέτρους ΟΑ και ΟΒ Να υπολογιστεί το microήκος και το εmicroβαδό του κύκλου που
εφάπτεται των τριών ηmicroικυκλίων
10 ∆ύο κύκλοι (Ο3R) και (Ο΄R) εφάπτονται εξωτερικά στο σηmicroείο Α Φέρουmicroε την
κοινή εξωτερική εφαπτόmicroενη ΒΓ αυτών Να βρεθεί το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου
τριγώνου ΑΒΓ και του περιγεγραmicromicroένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ
11 Έστω ο κύκλος (ΟR) και microια ακτίνα του ΟΑ Στην ηmicroιευθεία ΟΑ θεωρούmicroε
σηmicroείοΒ έτσι ώστε ΑΒ=ΑΟ Αν ΒΓ η εφαπτοmicroένη του κύκλου να βρεθεί το
εmicroβαδό α) του τριγώνου ΟΒΓ και β) του microικτόγραmicromicroου τριγώνου
ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
28
12 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=λ3 και Γ∆=λ6
προς το ίδιο microέρος του κέντρου Ο α) Να εκφράσετε τις χορδές ΑΒ και Γ∆ ως
συνάρτηση της ακτίνας R β) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό Ε1 του κυκλικού τmicroήmicroατος
που αντιστοιχεί στη χορδή Γ∆ γ) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό του τριγώνου ΟΑΒ
δ) Να βρείτε την περίmicroετρο και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τραπεζίου που έχει
κορυφές τα ΑΒΓ∆
13 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) χορδή ΑΒ=R την εφαπτοmicroένη ε του κύκλου στο σηmicroείο
Α και τη εperpΒΓ Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του τραπεζίου ΟΑΓΒ
β) το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
14 ∆ίνεται ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΑΒ και στο εσωτερικό του τα ηmicroικύκλια διαmicroέτρων
ΑΓ και ΓΒ όπου Γ σηmicroείο microεταξύ των Α και Β Αν κάθετη της ΑΒ στο Γ τέmicroνει το
αρχικό ηmicroικύκλιο στο ∆ να αποδείξετε ότι το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται
microεταξύ των τριών ηmicroικυκλίων είναι ίσο microε το εmicroβαδό του κύκλου διαmicroέτρου Γ∆
15 Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ο60=Β
and
και ΒΓ=α Με
κέντρο το Β και ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει τη ΒΓ στο Μ και microε κέντρο
το Γ και ακτίνα ΓΜ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν Να βρεθεί η
περίmicroετρος και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
16 Με κέντρο ένα σηmicroείο Κ κύκλου (ΟR) και ακτίνα ίση προς R 3 γράφουmicroε
κύκλο ο οποίος τέmicroνει τον (ΟR) στα σηmicroεία Α και Β Να υπολογιστούν η
περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου microηνίσκου
17 ∆ίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ΒΓ = 2R
Γράφουmicroε ηmicroικύκλιο microε διάmicroετρο ΒΓ εκτός τριγώνου και τόξο κύκλου (Α ΑΒ) microε
άκρα Β και Γ Να βρεθεί η περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου
microηνίσκου από το ηmicroικύκλιο και το τόξο αυτό
18 Ένα ορθογώνιο σπίτι microε διαστάσεις α = 20m και β = 10m έχει microια εξωτερική
πρίζα σε microια γωνία του Ένα χορτοκοπτικό microηχάνηmicroα συνδεδεmicroένο microε την πρίζα
έχει καλώδιο microε microήκος 15m Να βρεθεί το εmicroβαδόν της microεγαλύτερης επιφάνειας
του χόρτου που microπορεί να κοπεί
19 Σε κύκλο ακτίνας R = 4cm είναι εγγεγραmicromicroένο ισόπλευρο τρίγωνο
Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του κύκλου
β) την πλευρά του τριγώνου
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου
δ) το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται microεταξύ του κύκλου και του τριγώνου
20 Σε κύκλο microε διάmicroετρο ΑΒ φέρουmicroε τις χορδές ΜΒΑΜ Αν είναι 6=ΑΜ και
8=ΒΜ να βρεθεί η ακτίνα και το εmicroβαδόν του κύκλου
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
29
21 Να βρεθεί το εmicroβαδόν του καθενός από τα δύο microέρη στα οποία διαιρείται ένας
κύκλος ( )RΟ από την πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραmicromicroένου στον κύκλο
αυτόν
22 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και φέρουmicroε δύο κάθετες ακτίνες ΟΑ και ΟΒ Με
κέντρο το Α και ακτίνα R γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει το cap
AB στο σηmicroείο Γ Να
βρεθεί το εmicroβαδόν του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΒΓ
23 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και τόξο 60=ΑΒ
cap
Φέρουmicroε στο σηmicroείο Α την
εφαπτοmicroένη χΑ του κύκλου και την χΑperpΒΓ Να βρεθεί το εmicroβαδόν του
microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
30
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΗ 1η
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α∆ διχοτόmicroος Β∆ = 2 Γ∆ = 3 και 2τ = 15 (περίmicroετρος) η πλευρά
ΑΒ είναι
Α 3 Β 4 Γ 5 ∆ 6 Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 2η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 3α2 + 2γ
2 = 2β
2 Τότε
i) Α and
Α gt90ο Β
and
Β gt 90ο Γ
and
Β lt 90ο ∆
and
Γ gt 90ο Ε Κανένα από τα παραπάνω
ii) Η προβολή της διαmicroέσου microα στην ΒΓ ισούται microε
Α 4
a Β
2
a Γ
4
3a ∆
2
3a Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 3η
Αν ΑΒΓ∆ τετράγωνο πλευράς α και Ε microέσο του Α∆ τότε
i) ΒΕ =2
5α Σ Λ
ii) Ο λόγος ΒΕΕΖ
ισούται microε
Α 5
2 Β
4
5 Γ
4
1 ∆
5
1 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
Α Β
E
Z
∆ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 4η
Αν τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=4 ΒΓ=5 ΑΓ=6 και Α∆ διχοτόmicroος τότε
i) -Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο Σ Λ
- Ο λόγος ∆Γ∆Β
ισούται microε
Α 2
1 Β
3
1 Γ
3
2 ∆
4
3 Ε
2
3
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ii) Αν ε η προβολή του Α στην ΒΓ να υπολογίσετε το microήκος του ΒΕ
iii) Να αποδείξετε ότι 2
1=
∆Γ∆Ε
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
31
ΑΣΚΗΣΗ 5η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και Μ το microέσο της Α∆ Προεκτείνουmicroε τη ∆Γ προς το Γ
κατά ΓΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΒΜ)=2
)(ΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τραπεζίου ΑΒΕ∆ είναι οκταπλάσιο από το εmicroβαδόν του
τριγώνου ΑΒΜ
ΑΣΚΗΣΗ 6η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναιuα =3ρ όπου ρ του εγγεγραmicromicroένου κύκλου του τριγώνου Ο λόγος
αγβ +
ισούται microε Α 2 Β 3 Γ 3
1 ∆
2
3 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ΑΣΚΗΣΗ 7η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάmicroεσός του Α∆ Προεκτείνουmicroε την ΒΑ προς το Α κατά τmicroήmicroα
ΑΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι (ΒΕ∆)=3(Α∆Γ)
ΑΣΚΗΣΗ 8η
Στο εσωτερικό της αυλής ενός σπιτιού υπάρχει microικρός κήπος microε λαχανικά όπως στο
ακόλουθο σχήmicroα Αν το εmicroβαδόν του κήπου είναι 122m και οι διαστάσεις της αυλής είναι
12m και 13m να βρεθεί το x Αν θέλουmicroε να περιφράξουmicroε τον κήπο microε σύρmicroα πόσο σύρmicroα
θα χρειαστούmicroε
12m
13m
ΑΣΚΗΣΗ 9η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ Από τυχαίο σηmicroείο Ε της ΑΓ φέρουmicroε ευθεία παράλληλη
προς την Α∆ που τέmicroνει την Γ∆ στο Ζ Να αποδείξετε ότι
i) (Α∆Ζ)=(ΑΕΒ)
ii) (ΑΕΖ)=(ΒΕΓ)-(ΖΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 10η
Οι διάmicroεσοι Β∆ και ΓΕ τριγώνου ΑΒΓ τέmicroνονται στο Θ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΕ∆)=4
)(ΑΒΓ
ii) (ΒΘΓ)= 3
)(ΑΒΓ
iii)(ΑΕ∆)= (ΒΚΛΓ) όπου Κ Λ τα microέσα των ΒΘ και ΓΘ αντίστοιχα
x
x x
x
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
32
ΑΣΚΗΣΗ 11η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε τη διχοτόmicroο Α∆ Από το ∆ φέρνουmicroε παράλληλη προς την ΑΒ
που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει την προέκταση της
∆Ε στο Ζ να αποδείξετε ότι
α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)
β) β2(ΑΕΖ) = γ
2(∆ΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 12η
Θεωρούmicroε γωνία yxand
Α και σηmicroείο Ο της διχοτόmicroου της Αδ Αν ο κύκλος (ΟΟΑ) τέmicroνει τις
Οx Οy στα Β Γ αντίστοιχα και την Αδ στο ∆ να αποδείξετε ότι
α) (ΟΑΒ)=(ΟΑΓ)
β) (ΒΟΓ∆)=(ΑΒ∆)
γ) (ΒΟΓ∆)=2
1(ΟΑ)(ΒΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 13η
Από εσωτερικό σηmicroείο Μ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλες προς τις
πλευρές ΑΓ και ΑΒ που τέmicroνουν τις ΑΒ ΑΓ στα ∆ Ζ αντίστοιχα Αν (ΒΜ)=x (ΒΓ)=α
(Β∆Μ)=Ε1 (ΓΖΜ)=Ε2 και (ΑΒΓ)=Ε τότε
α) Να εκφράσετε ως συναρτήσεις των x και α τους λόγους Ε
Ε1 και Ε
Ε2
β) Να αποδείξετε ότι ΕgeΕ+Ε2
121
ΑΣΚΗΣΗ 14η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=Γ∆=λ3
Να βρεθεί
i) Η περίmicroετρος του ΑΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που αντιστοιχεί στη χορδή ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 15η
Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε τα διαδοχικά σηmicroεία Α Β Γ και ∆ ώστε ΑΒ=ΒΓ=Γ∆= R Να
βρεθεί
i) H περίmicroετρος του τριγώνου ΑΒ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τριγώνου ΒΓ∆
iii) Ο λόγος )(
)(
ΒΓ∆ΑΒ∆
ΑΣΚΗΣΗ 16η
∆ίνεται τεταρτοκύκλιο Οand
ΒΓ ακτίνας R
α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΓΒ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε δύο ισεmicroβαδικά χωρία
β) Αν ∆ σηmicroείο του τόξου ΒΓ να αποδείξετε ότι η ευθεία Γ∆ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
γ) Να βρείτε σηmicroείο Α της ακτίνας ΟΒ ώστε η ευθεία ΓΑ να χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
33
ΑΣΚΗΣΗ 17η
Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο Ο cap
ΒΓ ακτίνας R Σηmicroείο Α κινείται πάνω στο τόξο cap
ΒΓ και έστω
Κ το σηmicroείο τοmicroής της ακτίνας ΟΑ microε τη ΒΓ Να βρείτε το microήκος του τόξου cap
ΒΑ όταν το
εmicroβαδό του τριγώνου ΟΚΓ ισούται microε το εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα
τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΒ και το τόξο cap
ΒΑ
ΑΣΚΗΣΗ 18η
∆ίνεται ηmicroικύκλιο κέντρου Ο microε διάmicroετρο ΑΑ1=2R Έστω Β σηmicroείο του ηmicroικυκλίου microε
( 1ΑΟΒand
)=φ microοίρες και ΟΓ ακτίνα που τέmicroνει τη χορδή ΑΒ στο Κ
α) Να βρείτε το microήκος S του τόξου cap
ΑΓ όταν το εmicroβαδόν του τριγώνου ΟΚΒ ισούται microε το
εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΓ και το τόξοcap
ΑΓ
β) Αν η γωνία 1ΑΟΒand
είναι 150ο πόσο είναι το S
γ) Για ποια τιmicroή του φ το S γίνεται microέγιστο
Β
Γ
φ
Α1 Α
ΑΣΚΗΣΗ 19η
Η περίmicroετρος ρόmicroβου ΑΒΓ∆ πλευράς α και κέντρου Ο είναι τετραπλάσια της microικρής
διαγωνίου του Β∆
i) Να υπολογιστεί συναρτήσει του α το εmicroβαδόν του Ε
ii) Φέρουmicroε Α∆perpΟΗ και Γ∆perpΟΖ Αν η ΑΖ τέmicroνει τον κύκλο διαmicroέτρου Ο∆ στο Θ να
δειχθεί ότι 2
3Ε=ΑΖsdotΑΘ
ΑΣΚΗΣΗ 20η
Το περίγραmicromicroα της βάσης ενός microεγάλου λόφου σχηmicroατίζει τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=γ ΑΓ=β
όπου βgtγ και στο οποίο η διάmicroεσος ΑΜ και το ύψος Α∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο ∆ίπλα στην
πλευρά ΑΓ υπάρχει ορθογώνιος ιδιωτικός χώρος διαστάσεων 2
γβ +και β-γ Σrsquo αυτόν το
χώρο πρόκειται να κατασκευαστεί ένας microεγάλος ανισόπεδος κόmicroβος που θα συνδέει δύο
δρόmicroους ταχείας κυκλοφορίας Γιrsquo αυτούς τους λόγους προτείνεται στον ιδιοκτήτη να δεχτεί
να ανταλλάξει αυτόν τον χώρο microε άλλον ορθογώνιο χώρο του δηmicroοσίου που βρίσκεται δίπλα
στην πλευρά ΒΓ και έχει διαστάσεις τα microήκη των ΒΓ και 2
ΑΜ Ο ιδιοκτήτης δηλώνει ότι θα
συmicroφωνήσει microε την πρόταση αρκεί οι ανταλλάξιmicroοι χώροι να έχουν την ίδια έκταση
Πρακτικά όmicroως είναι αδύνατον να microετρήσει την πλευρά ΒΓ και τη διάmicroεσο ΑΜ γιrsquo αυτό και
διστάζει Πως θα σκεφτόσαστε εσείς να βοηθήσετε τον ιδιοκτήτη να αποφασίσει
Κ
Ο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
34
ΑΣΚΗΣΗ 21η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε β=2γ και η διάmicroεσος του Β∆ Φέρουmicroε Β∆perpΑx που τέmicroνει την
Β∆ στο Ε και την ΒΓ στο Ζ και ΕyΑΓ που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ Να αποδείξετε ότι
i) ZB= 2
1ZΓ
ii) (ΑΒΓ)=3(ΑΒΖ)
iii) Να αποδειχθεί ότι 8
3
)(
)(=
ΑΒΖΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΗ 22η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε α=2γ και β= 7γ
α) i) Να αποδείξετε ότι 2
3αmicroα =
ii) Να βρείτε το είδος της γωνίας and
Β
iii) Αν ΑΕ perp ΒΓ να υπολογίσετε το ΒΕ συναρτήσει του γ
iv) Να βρείτε τη γωνία and
Β
β) Αν ΑΜ διάmicroεσος και Β∆ διχοτόmicroος να αποδείξτε ότι
i) Α∆ = 3
β
ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)
ΑΣΚΗΣΗ 23η
Έστω τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ο R) και σηmicroείο Μ το οποίο κινείται στο
ηmicroικύκλιο cap
ΑΒΓ
α) Να βρεθεί το ελάχιστο ( )minΕ και το microέγιστο ( )maxΕ εmicroβαδόν του τετράπλευρου ΑΜΓ∆
συναρτήσει της ακτίνας R
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε θέση του Μ είναι
i) Μ∆2 = ΑΓ ∆Ε όπου Ε η προβολή του Μ στην Β∆
ii) (ΑΜΓ∆) = 2
2Μ∆
γ) Να προσδιορίσετε τη θέση του σηmicroείου Μ όταν (ΑΜΓ∆) = 2
maxmin EE +
ΑΣΚΗΣΗ 24η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ M το microέσο της ΑΒ σηmicroείο Ν της ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΝ = 4
3ΑΓ και
σηmicroείο Κ της ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΚ = 4
1ΒΓ Να βρεθεί ο λόγος των εmicroβαδών του τριγώνου
ΑΒΓ προς του τριγώνου ΜΝΚ
ΑΣΚΗΣΗ 25η
Α) Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι 2
αmicro = βγ και β-γ = 5 2 Το microήκος της πλευράς
α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3
Β) Να δειχθεί ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει η σχέση (222
γβα micromicromicro ++ )2 = 27Ε
2 όπου
Ε το εmicroβαδό του
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
35
ΑΣΚΗΣΗ 26η
Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω περιπτώσεις
όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί να αποτελεί microήκη των
πλευρών του
i) 3 57
ii) 8 4 2
iii) 7 6 85
ΑΣΚΗΣΗ 27η
Αν η διάmicroεσος microα ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν προεκταθεί τέmicroνει τον περιγεγραmicromicroένο κύκλο
στο ∆ να αποδειχθεί ότι microα = Α∆+
2
22 γβ
ΑΣΚΗΣΗ 28η
Από ένα κυκλικό οικόπεδο ακτίνας R=30m θα αποκοπεί κυκλικό τmicroήmicroα χορδής 30 3 m για
την κατασκευή δρόmicroου
i) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου που έmicroεινε
ii) Να βρεθεί η αποζηmicroίωση που θα δοθεί στον ιδιοκτήτη αν η αρχική αξία του οικοπέδου
ήταν 10000000 δρχ
ΑΣΚΗΣΗ 29η
Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι α =13 β = 8 γ = 7
i) Να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς το είδος των γωνιών του
ii) Να υπολογιστεί το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ πάνω στην ΑΒ
iii) Να υπολογιστεί η γωνία and
Α
ΑΣΚΗΣΗ 30η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 4 ΑΓ = 5 ΒΓ = 7 Το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ
πάνω στην ΑΒ είναι Α 5 Β 1 Γ 6 ∆ 2
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 31η
Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (and
Α =90ο) microε
and
Β =60ο και ΒΓ=4 Με κέντρο το Β και
ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ και microε κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΜ
γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν να βρεθούν
i) Η θέση του σηmicroείου Μ στη ΒΓ
ii) Η περίmicroετρος του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
iii) Το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
36
ΑΣΚΗΣΗ 32η
Μια έκταση σχήmicroατος τετραγώνου microε A 30 H 70 ∆
πλευρά 100m πρόκειται να διατεθεί
για κατασκευή εργατικών κατοικιών
Οι κατοικίες θα ανεργεθούν σε τέσσερα 70 30
ίσα τριγωνικά οικόπεδα και η υπόλοιπη Μ
έκταση σχήmicroατος τετραπλεύρου θα
χρησιmicroοποιηθεί ως κοινόχρηστος χώρος Z
για δενδροφύτευση και κατασκευή γηπέδου
microπάσκετ 30 70
α) Να βρεθούν τα εmicroβαδά των τεσσάρων ίσων οικοπέδων
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινόχρηστου χώρου B 70 K 30 Γ
γ) Τι είδους τετράπλευρο είναι ο κοινόχρηστος χώρος Να βρεθούν οι πλευρές του
ΑΣΚΗΣΗ 33η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 90A =
and
και ΑΒ=y ΑΓ=β
Α∆=ν Β∆=micro ΒΓ=x ∆Γ=κ
i) Να συmicroπληρωθούν οι σχέσεις
β2=helliphelliphellip=helliphelliphelliphellip Α
ν2=helliphelliphelliphelliphelliphellip
2
2
βy
=helliphelliphelliphelliphellip βy=helliphelliphelliphellip y ν β
ii) Να δειχθεί ότι 111
222 νβ=+
y Β ν ∆ κ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 34η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroεία ∆Ε της πλευράς ΒΓ έτσι ώστε Β∆=∆Ε=ΕΓ Να απόδειχθεί
ότι
i) 2222 22 ΑΕminusΑ∆=∆ΕminusΑΒ ii)
2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 35η
∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε o90=Α
and
ΑΒ=5cm ΑΓ=12cm Α∆ το ύψος του και ΒΜ
η διάmicroεσος του Προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά ΓΕ=ΒΓ i) Να συγκρίνετε τα
εmicroβαδά των τριγώνων Α∆Γ και ΑΓΕ ii) Να δείξετε ότι η σχέση που συνδέει τα εmicroβαδά των
τριγώνων ΑΒΜ και ΑΒΕ είναι (ΑΒΕ)=4(ΑΒΜ)
ΑΣΚΗΣΗ 36η
Από σηmicroείο Μ εκτός κύκλου φέρνουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΜΕ του κύκλου και τις
τέmicroνουσες ΜΑΒ και ΜΓ∆ Αν είναι ΑΒ=9 ΓΜ=4 Γ∆=5 να υπολογίσετε i) το ΜΑ ii) το
ΜΕ
ΑΣΚΗΣΗ 37η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) ΑΒ microια διάmicroετρος του και Μ τυχαίο σηmicroείο του (διαφορετικό των Α
Β) Αν Γ είναι το microέσο της ΟΑ και ∆ το microέσο της ΟΒ ενώ η ΜΓ τέmicroνει τον κύκλο στο Ε και
η Μ∆ στο Ζ τότε να αποδείξετε ότι3
10=
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
37
Ζ
Ε
ΑΣΚΗΣΗ 38η
Ένα τριγωνικό αγρόκτηmicroα ΑΒΓ χωρίζεται
σε τέσσερα τριγωνικά αγροτεmicroάχια όπως Α
φαίνεται στο σχήmicroα έτσι ώστε ΑΒ=Α∆3
2
ΒΕ= ΒΓ4
1και ΓΖ= ΑΓ
2
1 α) Αν το εmicroβαδό ∆
του ΑΒΓ είναι 48 στρέmicromicroατα να υπολογίσετε το Β
Γ
εmicroβαδό του ∆ΕΖ β) Αν τα ∆ Ε Ζ είναι τα microέσα των ΑΒ
ΒΓ ΑΓ αντίστοιχα να βρεθούν τα εmicroβαδά των
τεσσάρων αγροτεmicroαχίων
ΑΣΚΗΣΗ 39η
∆ίνεται εγγράψιmicroο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ ώστε οι πλευρές του ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α microε τη σειρά
που δίνονται να αποτελούν γεωmicroετρική πρόοδο Να αποδείξετε ότι η διαγώνιος του Β∆ το
χωρίζει σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
ΑΣΚΗΣΗ 40η
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ∆ Ζ Γ
την ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m και
ο90=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος υ
∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο οποίος
θα χωρίσει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆
και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα α) Να βρεθεί
το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆ β) Να
βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο
ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο Α Ε Η Β
ΑΕ∆ δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου
∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
ΑΣΚΗΣΗ 41η
∆ίνεται ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ και τα σηmicroεία του ∆Γ έτσι ώστε ∆Β=Γ∆=ΑΓ Αν
Μ τυχαίο σηmicroείο εκτός του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατοςΑΒ
Να δείξετε ότι 2222 33 ΜΓ+ΜΒ=ΜΒ+ΑΜ
ΑΣΚΗΣΗ 42η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 222 2αγβ =+ Αν η διάmicroεσος ΑΜ τέmicroνει το περιγεγραmicromicroένο
κύκλο του τριγώνου στο ∆ να δείξετε ότι
α) 6
3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
38
ΑΣΚΗΣΗ 43η
Από ένα εξωτερικό σηmicroείο Α κύκλου ( )RΟ φέρουmicroε microια τέmicroνουσα ΑΒΓ έτσι ώστε
ΒΓ=ΑΒ Αν 7R=ΟΑ τότε να δείξετε ότι
i) ΒΓ=ΑΒ =λ3
ii) η γωνία and
ΑΟΓ είναι αmicroβλεία
iii) η προβολή της ΟΓ πάνω στην ΟΑ είναι ίση microε ΟΑ7
2
iv) Να δείξετε ότι ( )( ) 2
1=
ΑΟΓΒΟΓ
και στην συνέχεια να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του τριγώνου
and
ΑΟΓ
v) Να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που ορίζεται από την χορδή ΒΓ και
το microέτρο του τόξου cap
ΒΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
39
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
40
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
5
ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ
∆ύο ευθύγραmicromicroα τmicroήmicroαταα γ λέγονται ανάλογα προς δύο άλλα ευθύγραmicromicroα τmicroήmicroατα β δ
όταν ο λόγος του α προς το β ισούται microε το λόγο του γ προς το δ
δγ
βα
=
bull Η παραπάνω ισότητα λέγεται αναλογία
bull Τα ευθύγραmicromicroα τmicroήmicroατα α β γ δ λέγονται ανάλογα ή αντίστοιχα
bull Τα τmicroήmicroατα α δ λέγονται άκροι όροι
bull Τα τmicroήmicroατα β γ λέγονται microέσοι όροι
bull αγβγβ
βα
βγαδδγ
βα
=hArr==hArr= 2
bull δβ
γα
δγ
βα
=hArr=
bull δγ
γβα
αδγ
βα
δδγ
ββα
δγ
βα
plusmn=
plusmnhArr=
plusmn=
plusmnhArr=
bull λδβκγα
λκ
δγ
βα
++++++
====
Ένα σηmicroείο Μ διαιρεί εσωτερικά το ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ σε λόγο λ αν και microόνο αν
λ=ΜΒΜΑ
Το σηmicroείο Μ είναι microοναδικό
Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέmicroνουν δύο άλλες ευθείες ορίζουν σε αυτές
τmicroήmicroατα ανάλογα
∆ηλαδή Αν 321 εεε τότε ΕΗΑΓ
=ΖΗΒΓ
=ΕΖΑΒ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
6
Θεωρούmicroε δύο ευθείες 21 δδ που τέmicroνουν δύο παράλληλες ευθείες 21 εε στα σηmicroεία
ΒΑ και ΖΕ αντίστοιχα Αν ΗΓ είναι σηmicroεία των ευθειών 21 δδ αντίστοιχα τέτοια ώστε
ΖΗΕΖ
=ΒΓΑΒ
τότε η ευθεία ΓΗ είναι παράλληλη προς τις 21 εε
Κάθε ευθεία που είναι παράλληλη microε microια από τις πλευρές ενός τριγώνου χωρίζει τις δύο
άλλες σε microέρη ανάλογα και αντίστροφα
Το τρίγωνο που ορίζεται από τις ευθείες δύο πλευρών τριγώνου και microια παράλληλη προς microια
τρίτη πλευρά του έχει πλευρές ανάλογες προς τις πλευρές του αρχικού τριγώνου
∆ύο σηmicroεία Γ και ∆ που διαιρούν εσωτερικά και εξωτερικά το τmicroήmicroαΑΒστον ίδιο λόγο
λέγονται συζυγή αρmicroονικά των Α και Β
∆ηλαδή τα Γ και ∆ λέγονται συζυγή αρmicroονικά των Α καιΒ αν τα τέσσερα σηmicroεία είναι
συνευθειακά και αντίστροφα τα Α καιΒ είναι συζυγή αρmicroονικά των Γ και ∆
Τα τέσσερα σηmicroεία ( )ΒΑ και ( )∆ Γ λέmicroε ότι αποτελούν αρmicroονική τετράδα
∆ηλαδή Αν 321 δδδ τότε ΕΗΚΜ
=ΖΗΛΜ
=ΕΖΚΛ
Όπου ΒΓ∆Ε ε
∆Β∆Α
=ΓΒΓΑ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
7
ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ∆ΙΧΟΤΟΜΩΝ
Η διχοτόmicroος microιας γωνίας τριγώνου διαιρεί την απέναντι πλευρά εσωτερικά σε λόγο ίσο microε το
λόγο των προσκείmicroενων πλευρών
Η διχοτόmicroος microιας εξωτερικής γωνίας τριγώνου τέmicroνει την προέκταση της απέναντι πλευράς
σε ένα σηmicroείο το οποίο διαιρεί εξωτερικά την πλευρά αυτή σε λόγο ίσο microε το λόγο των
προσκείmicroενων πλευρών
∆ηλαδή αν Α∆ η διχοτόmicroος του τριγώνου ΑΒΓ
ισχύει
ΑΓΑΒ
=∆Γ∆Β
∆ηλαδή αν ΑΕ η εξωτερική διχοτόmicroος του
τριγώνου ΑΒΓ ισχύει
ΑΓΑΒ
=ΕΓΕΒ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
8
ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
∆ύο ευθύγραmicromicroα σχήmicroατα λέγονται όmicroοια αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες
που σχηmicroατίζονται από τις οmicroόλογες πλευρές τους ίσες microία προς microία
Ο λόγος των περιmicroέτρων δύο όmicroοιων ευθυγράmicromicroων σχηmicroάτων ισούται microε το λόγο οmicroοιότητας
τους
ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ
Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες τους ίσες microία προς microία τότε είναι όmicroοια
Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ανάλογες microία προς microία και τις περιεχόmicroενες στις πλευρές
αυτές γωνίες ίσες τότε είναι όmicroοια
Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές ανάλογες microία προς microία τότε είναι όmicroοια
bull ∆ύο ορθογώνια τρίγωνα είναι όmicroοια όταν έχουν microία οξεία γωνία τους ίση
bull Όλα τα ισόπλευρα τρίγωνα είναι όmicroοια microεταξύ τους
bull ∆ύο ισοσκελή τρίγωνα τα οποία έχουν microία αντίστοιχη γωνία ίση είναι όmicroοια
bull Ο λόγος οmicroοιότητας δύο όmicroοιων τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο δύο οmicroόλογων υψών τους
bull Ο λόγος οmicroοιότητας δύο όmicroοιων τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο δύο οmicroόλογων διχοτόmicroων
τους
bull Ο λόγος οmicroοιότητας δύο όmicroοιων τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο δύο οmicroόλογων διαmicroέσων
τους
8ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
9
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΡΙΓΩΝΟ
Αν από τα άκρα ενός ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατος ΑΒ φέρουmicroε τις κάθετες ΑΑrsquo και ΒΒrsquo πάνω σε
microια ευθεία ε τότε το τmicroήmicroα ΑrsquoΒrsquo είναι η προβολή του ΑΒ πάνω στην ε
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο microιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο microε το
γινόmicroενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην υποτείνουσα
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ο λόγος των τετραγώνων των κάθετων πλευρών του είναι ίσος
microε το λόγο των προβολών τους πάνω στην υποτείνουσα
Γ∆Β∆
=ΑΓ
ΑΒ2
2
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισmicroα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών του είναι
ίσο microε το τετράγωνο της υποτείνουσας 222 ΑΓ+ΑΒ=ΒΓ
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει 222 ΑΓ+ΑΒ=ΒΓ τότε
90=Αand
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο του ύψους του που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα
είναι ίσο microε το γινόmicroενο των προβολών των κάθετων του στην υποτείνουσα
∆ΓsdotΒ∆=Α∆2
Έστω λοιπόν το ορθογώνιο ΑΒΓ και ∆ η προβολή της κορυφής
Α στην υποτείνουσα ΒΓ
Τότε ισχύει Β∆sdotΒΓ=ΑΒ2 και
Γ∆sdotΒΓ=ΑΓ2
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
10
bull Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές τότε βα 2=
bull Αν Α∆ είναι το ύψος ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα
τότε ισχύει 222
111
αυγβ=+ και βγαυα =
bull Το ύψος ισοπλεύρου τριγώνου ως συνάρτηση της πλευράς α
δίνεται από τον τύπο 2
3sdot=α
υ
ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ
Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία είναι ίσο microε το
άθροισmicroα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του ελαττωmicroένο κατά το διπλάσιο
γινόmicroενο της microιας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή
∆ηλαδή σε τρίγωνο ΑΒΓ microε 90ltΑ
and
και Α∆ η προβολή της πλευράς γ πάνω στην β
τότε ισχύει Α∆sdotminus+= βγβα 2222
Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από αmicroβλεία γωνία είναι ίσο microε το
άθροισmicroα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του αυξηmicroένο κατά το διπλάσιο
γινόmicroενο της microιας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
11
Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν οι ισοδυναmicroίες
bull 222 γβα +gt αν και microόνο αν 90gtΑ
and
bull 222 γβα += αν και microόνο αν 90=Α
and
bull 222 γβα +lt αν και microόνο αν 90ltΑ
and
Προσοχή Για να εφαρmicroόσουmicroε το πόρισmicroα αυτό πρέπει πάντα να συγκρίνουmicroε το
τετράγωνο της microεγαλύτερης πλευράς του τριγώνου microε το άθροισmicroα των τετραγώνων των
άλλων δύο πλευρών
Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση
Αsdotminus+= συνβγγβα 2222
Το ύψος υα ενός τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τον τύπο
( )( )( )γτβταττα
υα minusminusminus=2
όπου ( )γβατ ++=2
1
Ανάλογες εκφράσεις ισχύουν και για τα άλλα ύψη υβ και υγ
ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ∆ΙΑΜΕΣΩΝ
Το άθροισmicroα των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται microε το διπλάσιο του
τετραγώνου της διαmicroέσου που περιέχεται microεταξύ των πλευρών αυτών αυξηmicroένο κατά το
microισό του τετραγώνου της τρίτης πλευράς
∆ηλαδή σε τρίγωνο ΑΒΓ microε 90gtΑ
and
και
Α∆ η προβολή της πλευράς γ πάνω στην β
τότε ισχύει
Α∆sdot++= βγβα 2222
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
12
∆ηλαδή αν Α∆ =υα το ύψος και ΑΜ =microα η διάmicroεσος ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύει
2
22
222 αmicroγβ α +=+
Ανάλογα έχουmicroε και τους ακόλουθους τύπους
2
22
222 γmicroβα γ +=+
22
2222 β
microγα β +=+
Η διαφορά των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται microε το διπλάσιο γινόmicroενο της
τρίτης πλευράς επί την προβολή της αντίστοιχης διαmicroέσου πάνω στην πλευρά αυτή
Μ∆sdot=minus αγβ 222
Σηmicroείωση αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές ή ισόπλευρο τότε το Μ ταυτίζεται microε το ∆ και το 2ο
θεώρηmicroα διαmicroέσων ισχύει ταυτοτικά
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ
Αν δύο χορδές Γ∆ΑΒ ή οι προεκτάσεις τους τέmicroνονται σε ένα σηmicroείο Ρ τότε ισχύει
Ρ∆sdotΡΓ=ΡΒsdotΡΑ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
13
Αν από ένα εξωτερικό σηmicroείο Ρ κύκλου ( )R Ο φέρουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΡΕ
Και microια ευθεία που τέmicroνει τον κύκλο στα σηmicroεία ΒΑ τότε ισχύει η σχέση
Επίσης αν η ευθεία ΡΟ τέmicroνει τον κύκλο στα ∆ Γ και δ=ΟΡ τότε έχουmicroε ότι
Η διαφορά 22 Rminusδ λέγεται δύναmicroη σηmicroείου Ρ ως προς τον κύκλο ( )R Ο και
συmicroβολίζεται
( )2222
RRR minusΟΡ=minus=∆ΡΟ δ
bull Το Ρ είναι εξωτερικό σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 gt∆ΡΟ R
bull Το Ρ είναι εσωτερικό σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 lt∆ΡΟ R
bull Το Ρ είναι σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 =∆ΡΟ R
bull Για να είναι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι εγγράψιmicroο σε κύκλο αν ισχύει η σχέση
Ρ∆sdotΡΓ=ΡΒsdotΡΑ
bull Αν οι διαγώνιοι ενός τετράπλευρου ΑΒΓ∆ τέmicroνονται σε ένα σηmicroείο Κ τότε για να
είναι το τετράπλευρο εγγράψιmicroο σε κύκλο πρέπει να ισχύει η σχέση
Κ∆sdotΚΒ=ΚΓsdotΚΑ
ΡΒsdotΡΑ=ΡΕ2
( )( ) 22 RRR minus=+minus
=Ρ∆sdotΡΓ=ΡΒsdotΡΑ
δδδ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
14
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Οι πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου έχουν microήκη x x+1 και x+2 Η περίmicroετρος του
τριγώνου αυτού είναι
Α 3 Β 6 Γ 10 ∆ 12 Ε 15
Επιλέξτε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε
2 Θεωρούmicroε διάmicroετρο ΑΒ κύκλου (ΟR) και τις κάθετες ακτίνες ΟΓ και Ο∆ Αν Ε και
Ζ οι προβολές των Γ και ∆ αντίστοιχα στην ΑΒ να αποδειχθεί ότι
i) Τα τρίγωνα ΟΕΓ και Ζ∆Ο είναι ίσα
ii) 222 R=ΟΖ+ΟΕ
3 Έστω ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο )90( Οand
=Α και Β∆ η διάmicroεσός του Να αποδειχθεί
ότι 222
4
3ΒΓ=ΑΓ+Β∆
4 Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο ΑΟΒ κύκλου (ΟR) και τη διχοτόmicroο ΟΜ της γωνίας and
ΟΒΑ Από σηmicroείο Γ του τόξου cap
ΑΒ φέρουmicroε ΟΒperpΓ∆ που τέmicroνει την ευθεία
ΟΜ στο σηmicroείο Ε Να αποδειχθεί ότι α) ∆Ε=Ο∆ β) 222 R=∆Ε+∆Γ
5 Αν σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά
τmicroήmicroα Γ∆=2ΒΓ να αποδειχθεί ότι 222 6ΒΓ+ΑΓ=Α∆
6 Αν ∆ σηmicroείο της πλευράς ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) να αποδειχθεί ότι
22 ∆Γsdot∆Β=Α∆minusΑΒ
7 Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω
περιπτώσεις όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί
να αποτελεί microήκη των πλευρών του i) 357 ii) 842 iii) 76 85
8 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ πληρούν τη σχέση 222 βαγ +lt
τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο
9 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ πληρούν τις σχέσεις αltβltγ και 222 βαγ +lt τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο
10 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών ΑΒΓ πληρούν τη σχέση 444 γβα +lt τότε να
αποδειχθεί ότι 90Οand
ltΑ
11 Θεωρούmicroε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και σηmicroείο ∆ της ηmicroιευθείας ΑΒ
τέτοιο ώστε Β∆=ΑΒ Αν ΑΒperpΓΕ και είναι ΑΒ=4ΒΕ να αποδειχθεί ότι
2
3 222 ΑΓ+ΒΓ=Γ∆
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
15
12 Θεωρούmicroε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α τη διχοτόmicroο Γχ της εξωτερικής
γωνίας εξΓ
and
αυτού την κάθετη xΓperpΒΕ και την κάθετη ΑΓperpΕΖ
Να αποδειχθεί ότι i)4
α=ΓΖ ii)
2
7α=ΑΕ
13 Εκατέρωθεν της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ κατασκευάζουmicroε δύο ισόπλευρα
τρίγωνα ΒΓ∆ και ΒΓΕ Να αποδειχθεί ότι 22222 γβα ++=ΑΕ+Α∆
14 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ τα microήκη των πλευρών του οποίου συνδέονται microε τη σχέση
2 222 αγβ =+ Nα αποδειχθεί ότι α) 2
βmicro +2
γmicro =2
2 αmicro
β) 2
3αmicroα =
2
3γmicroβ =
2
3βmicroγ =
15 Θεωρούmicroε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ )90( Οand
=Α και τη διάmicroεσό του ΒΕ
α) Να αποδειχθεί ότι 222
4
3ΒΓ=ΑΓ+ΒΕ β) Αν Α∆ είναι η διάmicroεσος του
τριγώνου ΑΒΓ ΒΕ= 14 και o60=Β∆Α
and
να υπολογιστούν τα microήκη των πλευρών
του τριγώνου ΑΒΓ
16 Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει γβ micromicro perp τότε να αποδειχθεί ότι 222
αγβ micromicromicro =+
17 Αν ΒΒ΄ το ύψος τριγώνου ΑΒΓ microε o90ltΑ
and
και ΑΜ η διάmicroεσός του τότε να
αποδειχθεί ότι 4
22 ΄ΑΒsdotΑΓ+
ΒΓ=ΑΜ
18 Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ )90( Οand
=Α η διάmicroεσος του ΑΜ και ευθεία (ε)
κάθετη στην ΑΜ στο Μ Αν Ρ σηmicroείο της (ε) να αποδειχθεί ότι 222 2ΡΑ=ΡΓ+ΡΒ
19 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ ΑΜ διάmicroεσος η οποία προεκτεινόmicroενη τέmicroνει τον
περιγεγραmicromicroένο κύκλο (ΟR) στο ∆ και Θ το βαρύκεντρο του τριγώνου
Να δειχθεί ότι i)4
2α=Μ∆sdotΜΑ ii)
ΘΟ∆ )( R )(
9
1 222 γβα ++minus=
iii) AB2+AΓ
2=2ΑΜsdotΑ∆
20 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόmicroος του Α∆ Αν οι κύκλοι οι περιγεγραmicromicroένοι στα
τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓ∆ τέmicroνουν τις ΑΓ και ΑΒ στα σηmicroεία Ζ και Ε αντίστοιχα να
αποδειχθεί ότι ΒΕ=ΓΖ
21 Κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι εγγράψιmicroο σε κύκλο Αν το σηmicroείο τοmicroής Μ των
διαγωνίων του είναι microέσο της διαγωνίου Β∆ να αποδειχθεί ότι
i) ΜΓsdotΜΑ=∆Β 42 ii) 2 22222 ΑΓ=∆Α+Γ∆+ΒΓ+ΑΒ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
16
22 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) διαmicroέτρου ΑΒ Από ένα σηmicroείο Γ της προέκτασης της ΑΒ
προς το Β φέρνουmicroε την εφαπτοmicroένη Γ∆ και την ΑΓperpΓx Αν Ε είναι το σηmicroείο
τοmicroής των Α∆ και Γx να αποδειχθεί ότι
i) το τετράπλευρο ∆ΒΓΕ είναι εγγράψιmicroο ii) ΑΕsdotΑ∆minusΓΑ=Γ∆ 22
23 ∆ύο κύκλοι (ΚR) και
Λ2
R
εφάπτονται εσωτερικά στο Α Από ένα σηmicroείο Μ του
κύκλου
Λ2
R
φέρνουmicroε χορδή Γ∆ του κύκλου (ΚR) Να αποδειχθεί ότι
ΜΓΜ∆=ΜΑ2
24 Θεωρούmicroε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α και σηmicroείο ∆ της πλευράς ΒΓ Αν οι
περιγεγραmicromicroένοι κύκλοι στα τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓ∆ τέmicroνουν τις πλευρές ΑΓ και ΑΒ
στα σηmicroεία Ε και Ζ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι ΒΖ+ΓΕ=α
25 Στη διάmicroετρο ΑΒ κύκλου (ΟR) θεωρούmicroε τα σηmicroεία Γ και ∆ έτσι ώστε ΟΓ=Ο∆=α
και microεταβλητό σηmicroείο Μ του κύκλου Αν οι ΜΓ και Μ∆ τέmicroνουν τον κύκλο στα Ε
και Ζ αντίστοιχα να αποδείξετε ότι i) ΜΓΓΕ = Μ∆∆Ζ ii)
ΜΓ2+Μ∆
2 = 2(R
2+α
2) iii) το άθροισmicroα
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
είναι σταθερό
26 Θεωρούmicroε κύκλο (O2α) και σηmicroείο Ρ τέτοιο ώστε ΟΡ=2
3α Φέρουmicroε χορδή ΑΒ η
οποία διέρχεται από το Ρ και είναι τέτοια ώστε ΑΡ=α Να υπολογιστεί το microήκος της
χορδής ΑΒ
27 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) διάmicroετρο ΑΒ και τα microέσα Γ και ∆ των ΟΑ και ΟΒ
αντίστοιχα Από το σηmicroείο Γ φέρουmicroε χορδή ΕΖ = 2
13 Rsdot Να αποδειχθεί ότι
i) ΖΓ2+Ζ∆
2+ΓΕ
2+∆Ε
2=5R
2 ii)
and
Ε∆Ζ = 900
28 Έστω ΑΒ διάmicroετρος κύκλου (ΟR) και ΑΓ Β∆ δύο χορδές που τέmicroνονται στο Ρ Να
αποδειχθεί ότι i) αν οι Α∆ και ΒΓ τέmicroνονται στο Ε τότε το Ρ είναι ορθόκεντρο του
τριγώνου ΕΑΒ ii) ΑΓΑΡ+Β∆ΒΡ=ΑΒ2
29 Τρίγωνο ΑΒΓ microε β2+γ
2=2α
2 Β∆ ΓΕ ύψη ΑΜ διάmicroεσος και Ζ microέσο της ΑΜ Να
αποδειχθεί ότι i)and
Α lt900 ii) AE =
γα2
2
και ΑΜ = 2
3α iii) ΕΖ =
γαβ4
Ζ∆ = β
αγ4
30 Σε τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούmicroε σηmicroεία ∆Ε στην πλευρά ΒΓ ώστε Β∆ = ∆Ε = ΕΓ Να
αποδείξετε ότι i) AB2 ndash 2∆E
2 = 2A∆
2 ndash AE
2 ii) AB
2 + 2AΓ
2 = 3AE
2 +
6∆E2
31 Αν α β γ πλευρές τριγώνου να βρεθεί το είδος του τριγώνου στις παρακάτω περι-
πτώσεις i) α = ν2 + 1 β = 2ν γ = ν
2 ndash 1
ii) α = 4 β = 5 γ = 3
iii) α = 11 β = 13 γ = 12
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
17
32 Αν Ε ∆ Ζ microέσα των ΑΓ ΒΓ Β∆ αντίστοιχα ενός τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε ότι
i) Ε∆=2
1ΑΒ ii) ΕΖ
2 =
16
263 222 βminusγ+α
33 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ = 6 ΑΓ = 8 ΒΓ = 2 37 να αποδειχθεί ότι
i) ο120=Α
and
ii) να βρεθεί το microήκος Α∆ όπου Β∆ ύψος τριγώνου
iii) να βρεθεί το microήκος της διαmicroέσου microα
34 Σε τρίγωνο ΑΒΓ microε πλευρές α = 9 β = 7 γ = 4 να βρείτε i) το είδος του τριγώνου
ii) το microήκος της διαmicroέσου microα iii) την προβολή της διαmicroέσου microα πάνω στην
ΒΓ iv) την προβολή της πλευράς β πάνω στην γ
35 Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ο90=Α
and
ΑΜ διάmicroεσος και Ρ το microέσο
της ΑΜ Στην πλευρά ΒΓ = α παίρνουmicroε σηmicroείο Κ ώστε ΓΚ = 8
5α Να αποδειχθεί
ότι i) ΓΡ2 =
16
5 2α ii) ΡΚ
2 =
64
5 2α iii) ΡΓ = 2ΚΡ
36 Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε ο90=Α
and
α = 25 και β = 20 αν x είναι η προβολή της
πλευράς β πάνω στην πλευρά α τότε
i) η πλευρά γ έχει microήκος Α10 Β12 Γ13 ∆15 Ε21
ii) το ύψος υα έχει microήκος Α9 Β7 Γ12 ∆17 Ε5
iii) το τmicroήmicroα x έχει microήκος Α10 Β12 Γ17 ∆16 Ε21
(Να αιτιολογήσετε την απάντηση)
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
18
ΕΜΒΑ∆Α
ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ
Ας θεωρήσουmicroε ένα πολύγωνο
Ένα σχήmicroα που αποτελείται από πεπερασmicroένο πλήθος πολυγωνικών χωρίων που ανά δύο δεν
έχουν κοινά εσωτερικά σηmicroεία λέγεται πολυγωνική επιφάνεια
Ίσα πολυγωνικά χωρία έχουν ίσα εmicroβαδά
Αν ένα πολυγωνικό χωρίο (ή microια πολυγωνική επιφάνεια) χωρίζεται σε πεπερασmicroένου
πλήθους πολυγωνικά χωρία που δεν έχουν κοινά εσωτερικά σηmicroεία τότε το εmicroβαδόν του
ισούται microε το άθροισmicroα των εmicroβαδών των επιmicroέρους πολυγωνικών χωρίων
Το εmicroβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς 1 είναι 1
∆ύο σχήmicroατα που έχουν το ίδιο εmicroβαδόν ονοmicroάζονται ισεmicroβαδικά ή ισοδύναmicroα
Το πολύγωνο microαζί microε τα εσωτερικά του
στοιχεία ονοmicroάζεται πολυγωνικό χωρίο
Ένα πολυγωνικό χωρίο που ορίζεται από
τρίγωνο τετράγωνοhellipν-γωνο ονοmicroάζεται
τριγωνικό πολυγωνικόhellip ν-γωνικό
∆ύο πολυγωνικά χωρία λέγονται ίσα όταν τα
αντίστοιχα πολύγωνά τους είναι ίσα
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
19
ΕΜΒΑ∆Α ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
Το εmicroβαδόν τετραγώνου πλευράς α δίνεται από τον τύπο 2α=Ε
Το εmicroβαδόν ενός ορθογωνίου ισούται microε το γινόmicroενο των πλευρών του βα sdot=Ε
Το εmicroβαδόν ενός παραλληλογράmicromicroου ισούται microε το γινόmicroενο microιας πλευράς του επί το ύψος
που αντιστοιχεί σε αυτή
βα υβυα sdot=sdot=Ε
Το εmicroβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο microε το ηmicroιγινόmicroενο microιας πλευράς επί το αντίστοιχο ύψος
γβα υγυβυα sdot=sdot=sdot=Ε2
1
2
1
2
1
Το εmicroβαδόν τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο του ηmicroιαθροίσmicroατος των βάσεων του επί το
ύψος του υβsdot
+Β=Ε
2
Το εmicroβαδόν τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο της διαmicroέσου επί το ύψος του
bull Το εmicroβαδόν ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς α είναι ίσο microε 4
32α=Ε
bull Το εmicroβαδόν ρόmicroβου ισούται microε το ηmicroιγινόmicroενο των διαγωνίων του
bull Το εmicroβαδόν οποιουδήποτε κυρτού ή microη κυρτού τετραπλεύρου microε κάθετες διαγωνίους
ισούται microε το ηmicroιγινόmicroενο των διαγωνίων του
bull Η διάmicroεσος κάθε τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
bull Το βαρύκεντρο τριγώνου έχει την ιδιότητα να δηmicroιουργεί microε τις κορυφές του τριγώνου τρία
ισεmicroβαδικά τρίγωνα
bull Το βαρύκεντρου του τριγώνου οι κορυφές του και τα microέσα των πλευρών του ορίζουν έξι
ισεmicroβαδικά τρίγωνα
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
20
ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΕΜΒΑ∆ΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
( )( )( )γτβταττ minusminusminus=Ε όπου 2
γβατ
++= ηmicroιπερίmicroετρος του τριγώνου
ρτ sdot=Ε
R4
γβα sdotsdot=Ε
Γsdotsdot=Βsdotsdot=Αsdotsdot=Ε ηmicroβαηmicroαγηmicroγβ2
1
2
1
2
1
ΕΜΒΑ∆Α ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
Αν δύο τρίγωνα έχουν ίσες βάσεις τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο των
αντίστοιχων υψών ενώ αν έχουν ίσα ύψη τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο
των αντίστοιχων βάσεων
Αν δύο τρίγωνα είναι όmicroοια τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το τετράγωνο του
λόγου οmicroοιότητας
Ο λόγος των εmicroβαδών δύο όmicroοιων πολυγώνων είναι ίσος microε το τετράγωνο του λόγου
οmicroοιότητας
Αν microια γωνία ενός τριγώνου είναι ίση ή παραπληρωmicroατική microε microια γωνία ενός άλλου
τριγώνου τότε ο λόγος των εmicroβαδών των δύο τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο των γινοmicroένων
των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
21
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Αν ΑΒΓ∆ τραπέζιο ( Γ∆ΑΒ ) και Ο το σηmicroείο τοmicroής των διαγωνίων του ΑΓ και
Β∆ να αποδείξετε ότι ΟΑ∆ΟΒΓ Ε=Ε
2 Ένα τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) και ΒΓ=Γ∆=Α∆ και τη βάση ΑΒ κατά 2 microικρότερη
από το άθροισmicroα των τριών αυτών πλευρών Αν το ύψος του τραπεζίου είναι 5 να
υπολογιστεί το εmicroβαδό του
3 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ microε microήκη πλευρών α=10 β=8 γ=14 και ισόπλευρο τρίγωνο
∆ΕΖ το οποίο είναι ισοδύναmicroο microε το ΑΒΓ Το microήκος της πλευράς του ισόπλευρου
τριγώνου ∆ΕΖ είναι
Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20
Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε
4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=2 ΒΗ ύψος και η διάmicroεσος Β∆=1 Αν and
∆ΑΒ =30ο να
υπολογιστούν α) τα ΒΗ Η∆ ΑΗ
β) το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ
5 Με υποτείνουσες τις κάθετες πλευρές ΑΒ και ΑΓ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ microε
β+γ=20 κατασκευάζουmicroε ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓΕ εκτός
αυτού
α) Να αποδείξετε ότι τα σηmicroεία ∆ΑΕ είναι συνευθειακά
β) Να βρείτε το εmicroβαδό του τετραπλεύρου ΒΓΕ∆
6 Προεκτείνουmicroε τις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ ενός τριγώνου ΑΒΓ κατά τmicroήmicroατα
Γ∆=ΓΒ ΑΕ=ΑΓ και ΒΖ=ΒΑ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι (∆ΕΖ) = 7(ΑΒΓ)
7 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Μ στο εσωτερικό του Φέρνουmicroε από το Μ
παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των
σχηmicroατιζόmicroενων τριγώνων και Ε το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε
ότι 321 Ε+Ε+Ε=Ε
8 Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ που τέmicroνει τις πλευρές ΑΒ
και ΑΓ στα σηmicroεία ∆ και Ε αντίστοιχα Να αποδείξετε ότι (ΑΒΕ)2=(ΑΒΓ)(Α∆Ε)
9 Από σηmicroείο ∆ της πλευράς ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη προς την
πλευρά ΒΓ που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των τριγώνων
Α∆Ε Α∆Γ και ΑΒΓ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι 31
2
2 ΕsdotΕ=Ε
10 Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Α΄ της πλευράς του ΒΓ Από τα Β και Γ
φέρνουmicroε παράλληλες προς την ΑΑ΄ που τέmicroνουν τις ευθείες ΑΓ και ΑΒ στα σηmicroεία
Γ΄ και Β΄ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι
α) (ΑΑ΄Γ΄) = (ΑΒΑ΄) και (ΑΑ΄Β΄) = (ΑΓΑ΄)
β) (Α´ô) = (ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
22
11 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ microε ΑΒ=10 Α∆=4 και and
∆ =60ο Στην πλευρά ΑΒ
θεωρούmicroε τα σηmicroεία Ε και Ζ έτσι ώστε ΑΕ=ΕΖ=ΖΒ Αν Η είναι το σηmicroείο τοmicroής των
ευθειών ∆Ε και ΓΖ να υπολογιστούν
α) το εmicroβαδό του παραλληλογράmicromicroου ΑΒΓ∆
β) το εmicroβαδό του τραπεζίου Γ∆ΕΖ
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου ΗΕΖ
12 ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=ΑΓ=6 και ο120=Α
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του
β) Αν Ε σηmicroείο της ΑΓ τέτοιο ώστε ΓΕ=ΑΕ2
1 και Α∆ το ύψος του τριγώνου
ΑΒΓ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ∆ΕΓ
γ) Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει τη ∆Ε στο Η να βρεθεί το εmicroβαδό
του τριγώνου ΑΕΗ
13 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Ρ στο εσωτερικό του Από το Ρ φέρνουmicroε κάθετες
ηmicroιευθείες στις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ και πάνω σrsquo αυτές παίρνουmicroε τα σηmicroεία Α΄
Β΄ και Γ΄ αντίστοιχα έτσι ώστε ΡΑ΄=ΒΓ ΡΒ΄=ΑΓ και ΡΓ΄=ΑΒ Να αποδειχθεί ότι
α) οι γωνίες and
Γ και and
ΒprimeΡΑprime είναι παραπληρωmicroατικές
β) (ΡΑ΄Β΄)=(ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)
14 Θεωρούmicroε τρεις ίσες διαδοχικές γωνίες and
οψx zand
οψ xzand
ο και πάνω στις
ηmicroιευθείες Οx Oψ και Οz τα σηmicroεία Α Β Γ αντίστοιχα έτσι ώστε ΟΑ=1 ΟΒ=4 και
ΟΓ=8
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ψοand
x zand
οψ xzand
ο
β) Αν Οw η αντικείmicroενη ηmicroιευθεία της Οψ και Γ∆ wΟperp να υπολογίσετε τις Ο∆ και
Γ∆
γ) Να υπολογίσετε το (ΟΒΓ)
δ) Να αποδείξετε ότι (ΑΒΓ)= 311
15 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ και Κ Λ Μ Ν τα microέσα των ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α
αντίστοιχα α) Να αποδειχθεί ότι (ΚΛΜΝ)=2
1(ΑΒΓ∆)
β) Αν ΚΜ ΛΝperp να αποδειχθεί ότι (ΑΒΓ∆) = ΚΜΛΝ
16 Λ
Α Β Στο διπλανό σχήmicroα τα σηmicroεία Κ Λ είναι τα
Κ Ρ microέσα των τmicroηmicroάτων ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα
Να αποδείξετε ότι
Γ α) ο λόγος των εmicroβαδών των τριγώνων ΑΚΒ και ΑΛΓ είναι ίσος microε
β) αν Ρ είναι το σηmicroείο τοmicroής των ΛΓ και ΚΒ τότε τα τρίγωνα ΒΛΡ
και ΚΓΡ έχουν ίσα εmicroβαδά
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
23
17 ∆ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) microε ΑΒ=4 Α∆=2 καιο60=∆
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τραπεζίου ΑΒΓ∆
β) Αν Ε σηmicroείο της πλευράς ΑΒ τέτοιο ώστε ΕΒ= ΑΒ4
1 και οι Ε∆ ΕΓ τέmicroνουν τη
διάmicroεσο του τραπεζίου στα σηmicroεία Ζ και Η αντίστοιχα να βρεθεί το εmicroβαδό του
τριγώνου ΕΖΗ
γ) Αν οι ∆Ε και ΒΓ τέmicroνονται στο Ρ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ΡΕΒ
18 Αν οι διαγώνιοι κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓ∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο να αποδείξετε ότι
το τετράπλευρο έχει εmicroβαδό Β∆sdotΑΓ4
1
19 Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται ΑΒ=5 ο60=Α
and
και η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου
κύκλου 3
7=R Να βρεθούν οι άλλες δύο πλευρές του τριγώνου και το εmicroβαδόν του
20
∆ Ζ Γ
υ
Α Ε Η Β
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m
90ο=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος ∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο
οποίος θα χωρίζει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆ και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο
ΑΕ∆
δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου ∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
21 Αν Μ και Ν είναι τα microέσα των πλευρών ΒΓ και Γ∆ ενός παραλληλόγραmicromicroου ΑΒΓ∆
να αποδείξετε ότι (ΑΜΝ)= )(8
3ΑΒΓ∆
22 Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) θεωρούmicroε το microέσο Μ της πλευράς ΑΒ
και σηmicroείο Ν της πλευράς ΑΓ τέτοιο ώστε 3
ΑΓ=ΓΝ Να δειχθεί ότι
(ΜΝΒ)= )(3
1ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
24
23 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και τυχαίο σηmicroείο Σ στην προέκταση της πλευράς
∆Γ προς το Γ Να αποδείξετε ότι
α) (ΑΒ∆)= )(2
1ΑΒΓ∆
β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)
γ) αν η ΑΣ τέmicroνει την Β∆ στο σηmicroείο Ε τότε (Ε∆Σ)-(ΕΑΒ)=(ΣΒΓ)
24 Έστω Σ τυχαίο σηmicroείο της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ Στο σηmicroείο Α φέρουmicroε
microια ευθεία ε κάθετη στην ΑΣ Αν ∆ και Ε είναι αντίστοιχα οι προβολές των σηmicroείων
Β και Γ στην ευθεία ε να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ∆ΣΕ είναι ισοδύναmicroα
25 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 8=ΑΒ 12=ΑΓ και η Α∆ διχοτόmicroος της γωνίας and
Α Αν
( )ΑΒ∆ =20 τmicro να βρείτε το ( )ΑΒΓ
26 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ∆ σηmicroείο της πλευράς ΑΒέτσι ώστε 6=Α∆ ∆Β=5
8=ΑΓ Αν 80=Α
and
να βρείτε το εmicroβαδόν του τριγώνου Β∆Γ
27 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ microε 90=Β
and
και η γωνία and
Α να είναι το 3
1 της ορθής Αν
∆ σηmicroείο της προέκτασης της πλευράς ΒΓ προς το Γ τέτοιο ώστε η 30=Α∆Β
and
να
βρεθεί ο λόγος ( )( )ΑΒ∆ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
25
ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ
ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ
Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του
ίσες
Γωνία κανονικού ν-γώνου ν
φν
360
180 minus=
Κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου ν
ων
360=
Σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας R ισχύουν οι εξής τύποι 2
22
4R=+ ν
ν
λα
νν λν sdot=Ρ
ννν αsdotΡ=Ε2
1
όπου να απόστηmicroα νλ πλευρά νΡ περίmicroετρος νΕ εmicroβαδόν
∆ύο κανονικά πολύγωνα microε τον ίδιο αριθmicroό πλευρών είναι όmicroοια
Κάθε κανονικό πολύγωνο εγγράφεται σε έναν κύκλο και περιγράφεται σε έναν άλλον Οι δύο
αυτοί κύκλοι είναι οmicroόκεντροι
bull Το κοινό κέντρο τον κύκλων αυτών λέγεται κέντρο του πολυγώνου
bull Η ακτίνα R του περιγεγραmicromicroένου κύκλου λέγεται ακτίνα του πολυγώνου
bull Η απόσταση του κέντρου από microια πλευρά του δηλαδή η ακτίνα του εγγεγραmicromicroένου
κύκλου λέγεται απόστηmicroα του πολυγώνου
Σε δύο κανονικά ν-γωνα ο λόγος των πλευρών τους ισούται microε το λόγο των ακτινών τους και
το λόγο των αποστηmicroάτων τους
∆ηλαδή
ν
ν
ν
ν
αα
λλ
==R
R
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
26
ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ
ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ
ΚΑΝΟΝΙΚΟ
ΕΞΑΓΩΝΟ
ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ
ΤΡΙΓΩΝΟ
ΠΛΕΥΡΑ νλ 24 R=λ R=6λ 33 R=λ
ΑΠΟΣΤΗΜΑ να
2
24
R=α
2
36
R=α
23
R=α
RL sdot= π2
180
microπ sdotsdot=
Rl ή Rl sdot=α
180
microαπ
=
2Rsdot=Ε π
( )360
2 microπ sdotsdot=ΟΑΒ
cap R ή ( )
cap
sdot=ΟΑΒ 2
2
1Rα
( ) ( )ΟΑΒminusΟΑΒ=cap
ε
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
27
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Ένα κανονικό εξάγωνο είναι περιγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ορ) Η πλευρά του
εξαγώνου αυτού είναι
Α ρ Β 2
3ρ Γ 2ρ ∆
3
32ρ Ε
3
2ρ
2 ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και στις προεκτάσεις των
πλευρών ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α θεωρούmicroε τα τmicroήmicroατα ΒΚ=ΓΛ=∆Μ=ΑΝ=λ3 Να δείξετε
ότι το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο και ότι η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου κύκλου του
είναι 641 += RR
3 Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε δύο παράλληλες χορδές ΑΒ=λ4 και Γ∆=λ6 Να
αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι ισοσκελές τραπέζιο και να υπολογιστεί
το εmicroβαδό του ως συνάρτηση της ακτίνας R
4 Η περίmicroετρος ενός κυκλικού τοmicroέα ΟΑΒ ενός κύκλου (ΟR) είναι 6+π Αν
ο60=ΒΟΑand
τότε το microήκος της ακτίνας R είναι
Α 6 Β 3 Γ 2 ∆ 4 Ε 5 (δικαιολογήστε την απάντησή σας)
5 Έστω τεταρτοκύκλιο ΟΑΒ ακτίνας R και ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΟΒ στο εσωτερικό
του Να βρείτε το εmicroβαδό και την περίmicroετρο του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΑΒ
6 Έστω δύο κύκλοι (ΟR) και (Ο΄R) των οποίων η διάmicroετρος ΟΟ΄ έχει microήκος
ΟΟ΄=R 3 α) Να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι τέmicroνονται
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινού microέρους των δύο κύκλων
7 Το εmicroβαδό κυκλικού τοmicroέα 80ο είναι 8π Η ακτίνα του κύκλου είναι
Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15
8 Τετράγωνο ΑΒΓ∆ είναι εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και η ηmicroιπερίmicroετρος του
είναι 80cm Να υπολογιστούν
α) η ακτίνα R του κύκλου
β) ο λόγος του εmicroβαδού του κύκλου προς το εmicroβαδό του τετραγώνου
9 Στο εσωτερικό ηmicroικυκλίου διαmicroέτρου ΑΟΒ=2R γράφουmicroε ηmicroικύκλια microε
διαmicroέτρους ΟΑ και ΟΒ Να υπολογιστεί το microήκος και το εmicroβαδό του κύκλου που
εφάπτεται των τριών ηmicroικυκλίων
10 ∆ύο κύκλοι (Ο3R) και (Ο΄R) εφάπτονται εξωτερικά στο σηmicroείο Α Φέρουmicroε την
κοινή εξωτερική εφαπτόmicroενη ΒΓ αυτών Να βρεθεί το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου
τριγώνου ΑΒΓ και του περιγεγραmicromicroένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ
11 Έστω ο κύκλος (ΟR) και microια ακτίνα του ΟΑ Στην ηmicroιευθεία ΟΑ θεωρούmicroε
σηmicroείοΒ έτσι ώστε ΑΒ=ΑΟ Αν ΒΓ η εφαπτοmicroένη του κύκλου να βρεθεί το
εmicroβαδό α) του τριγώνου ΟΒΓ και β) του microικτόγραmicromicroου τριγώνου
ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
28
12 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=λ3 και Γ∆=λ6
προς το ίδιο microέρος του κέντρου Ο α) Να εκφράσετε τις χορδές ΑΒ και Γ∆ ως
συνάρτηση της ακτίνας R β) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό Ε1 του κυκλικού τmicroήmicroατος
που αντιστοιχεί στη χορδή Γ∆ γ) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό του τριγώνου ΟΑΒ
δ) Να βρείτε την περίmicroετρο και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τραπεζίου που έχει
κορυφές τα ΑΒΓ∆
13 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) χορδή ΑΒ=R την εφαπτοmicroένη ε του κύκλου στο σηmicroείο
Α και τη εperpΒΓ Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του τραπεζίου ΟΑΓΒ
β) το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
14 ∆ίνεται ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΑΒ και στο εσωτερικό του τα ηmicroικύκλια διαmicroέτρων
ΑΓ και ΓΒ όπου Γ σηmicroείο microεταξύ των Α και Β Αν κάθετη της ΑΒ στο Γ τέmicroνει το
αρχικό ηmicroικύκλιο στο ∆ να αποδείξετε ότι το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται
microεταξύ των τριών ηmicroικυκλίων είναι ίσο microε το εmicroβαδό του κύκλου διαmicroέτρου Γ∆
15 Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ο60=Β
and
και ΒΓ=α Με
κέντρο το Β και ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει τη ΒΓ στο Μ και microε κέντρο
το Γ και ακτίνα ΓΜ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν Να βρεθεί η
περίmicroετρος και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
16 Με κέντρο ένα σηmicroείο Κ κύκλου (ΟR) και ακτίνα ίση προς R 3 γράφουmicroε
κύκλο ο οποίος τέmicroνει τον (ΟR) στα σηmicroεία Α και Β Να υπολογιστούν η
περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου microηνίσκου
17 ∆ίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ΒΓ = 2R
Γράφουmicroε ηmicroικύκλιο microε διάmicroετρο ΒΓ εκτός τριγώνου και τόξο κύκλου (Α ΑΒ) microε
άκρα Β και Γ Να βρεθεί η περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου
microηνίσκου από το ηmicroικύκλιο και το τόξο αυτό
18 Ένα ορθογώνιο σπίτι microε διαστάσεις α = 20m και β = 10m έχει microια εξωτερική
πρίζα σε microια γωνία του Ένα χορτοκοπτικό microηχάνηmicroα συνδεδεmicroένο microε την πρίζα
έχει καλώδιο microε microήκος 15m Να βρεθεί το εmicroβαδόν της microεγαλύτερης επιφάνειας
του χόρτου που microπορεί να κοπεί
19 Σε κύκλο ακτίνας R = 4cm είναι εγγεγραmicromicroένο ισόπλευρο τρίγωνο
Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του κύκλου
β) την πλευρά του τριγώνου
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου
δ) το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται microεταξύ του κύκλου και του τριγώνου
20 Σε κύκλο microε διάmicroετρο ΑΒ φέρουmicroε τις χορδές ΜΒΑΜ Αν είναι 6=ΑΜ και
8=ΒΜ να βρεθεί η ακτίνα και το εmicroβαδόν του κύκλου
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
29
21 Να βρεθεί το εmicroβαδόν του καθενός από τα δύο microέρη στα οποία διαιρείται ένας
κύκλος ( )RΟ από την πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραmicromicroένου στον κύκλο
αυτόν
22 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και φέρουmicroε δύο κάθετες ακτίνες ΟΑ και ΟΒ Με
κέντρο το Α και ακτίνα R γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει το cap
AB στο σηmicroείο Γ Να
βρεθεί το εmicroβαδόν του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΒΓ
23 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και τόξο 60=ΑΒ
cap
Φέρουmicroε στο σηmicroείο Α την
εφαπτοmicroένη χΑ του κύκλου και την χΑperpΒΓ Να βρεθεί το εmicroβαδόν του
microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
30
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΗ 1η
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α∆ διχοτόmicroος Β∆ = 2 Γ∆ = 3 και 2τ = 15 (περίmicroετρος) η πλευρά
ΑΒ είναι
Α 3 Β 4 Γ 5 ∆ 6 Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 2η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 3α2 + 2γ
2 = 2β
2 Τότε
i) Α and
Α gt90ο Β
and
Β gt 90ο Γ
and
Β lt 90ο ∆
and
Γ gt 90ο Ε Κανένα από τα παραπάνω
ii) Η προβολή της διαmicroέσου microα στην ΒΓ ισούται microε
Α 4
a Β
2
a Γ
4
3a ∆
2
3a Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 3η
Αν ΑΒΓ∆ τετράγωνο πλευράς α και Ε microέσο του Α∆ τότε
i) ΒΕ =2
5α Σ Λ
ii) Ο λόγος ΒΕΕΖ
ισούται microε
Α 5
2 Β
4
5 Γ
4
1 ∆
5
1 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
Α Β
E
Z
∆ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 4η
Αν τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=4 ΒΓ=5 ΑΓ=6 και Α∆ διχοτόmicroος τότε
i) -Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο Σ Λ
- Ο λόγος ∆Γ∆Β
ισούται microε
Α 2
1 Β
3
1 Γ
3
2 ∆
4
3 Ε
2
3
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ii) Αν ε η προβολή του Α στην ΒΓ να υπολογίσετε το microήκος του ΒΕ
iii) Να αποδείξετε ότι 2
1=
∆Γ∆Ε
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
31
ΑΣΚΗΣΗ 5η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και Μ το microέσο της Α∆ Προεκτείνουmicroε τη ∆Γ προς το Γ
κατά ΓΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΒΜ)=2
)(ΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τραπεζίου ΑΒΕ∆ είναι οκταπλάσιο από το εmicroβαδόν του
τριγώνου ΑΒΜ
ΑΣΚΗΣΗ 6η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναιuα =3ρ όπου ρ του εγγεγραmicromicroένου κύκλου του τριγώνου Ο λόγος
αγβ +
ισούται microε Α 2 Β 3 Γ 3
1 ∆
2
3 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ΑΣΚΗΣΗ 7η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάmicroεσός του Α∆ Προεκτείνουmicroε την ΒΑ προς το Α κατά τmicroήmicroα
ΑΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι (ΒΕ∆)=3(Α∆Γ)
ΑΣΚΗΣΗ 8η
Στο εσωτερικό της αυλής ενός σπιτιού υπάρχει microικρός κήπος microε λαχανικά όπως στο
ακόλουθο σχήmicroα Αν το εmicroβαδόν του κήπου είναι 122m και οι διαστάσεις της αυλής είναι
12m και 13m να βρεθεί το x Αν θέλουmicroε να περιφράξουmicroε τον κήπο microε σύρmicroα πόσο σύρmicroα
θα χρειαστούmicroε
12m
13m
ΑΣΚΗΣΗ 9η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ Από τυχαίο σηmicroείο Ε της ΑΓ φέρουmicroε ευθεία παράλληλη
προς την Α∆ που τέmicroνει την Γ∆ στο Ζ Να αποδείξετε ότι
i) (Α∆Ζ)=(ΑΕΒ)
ii) (ΑΕΖ)=(ΒΕΓ)-(ΖΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 10η
Οι διάmicroεσοι Β∆ και ΓΕ τριγώνου ΑΒΓ τέmicroνονται στο Θ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΕ∆)=4
)(ΑΒΓ
ii) (ΒΘΓ)= 3
)(ΑΒΓ
iii)(ΑΕ∆)= (ΒΚΛΓ) όπου Κ Λ τα microέσα των ΒΘ και ΓΘ αντίστοιχα
x
x x
x
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
32
ΑΣΚΗΣΗ 11η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε τη διχοτόmicroο Α∆ Από το ∆ φέρνουmicroε παράλληλη προς την ΑΒ
που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει την προέκταση της
∆Ε στο Ζ να αποδείξετε ότι
α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)
β) β2(ΑΕΖ) = γ
2(∆ΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 12η
Θεωρούmicroε γωνία yxand
Α και σηmicroείο Ο της διχοτόmicroου της Αδ Αν ο κύκλος (ΟΟΑ) τέmicroνει τις
Οx Οy στα Β Γ αντίστοιχα και την Αδ στο ∆ να αποδείξετε ότι
α) (ΟΑΒ)=(ΟΑΓ)
β) (ΒΟΓ∆)=(ΑΒ∆)
γ) (ΒΟΓ∆)=2
1(ΟΑ)(ΒΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 13η
Από εσωτερικό σηmicroείο Μ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλες προς τις
πλευρές ΑΓ και ΑΒ που τέmicroνουν τις ΑΒ ΑΓ στα ∆ Ζ αντίστοιχα Αν (ΒΜ)=x (ΒΓ)=α
(Β∆Μ)=Ε1 (ΓΖΜ)=Ε2 και (ΑΒΓ)=Ε τότε
α) Να εκφράσετε ως συναρτήσεις των x και α τους λόγους Ε
Ε1 και Ε
Ε2
β) Να αποδείξετε ότι ΕgeΕ+Ε2
121
ΑΣΚΗΣΗ 14η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=Γ∆=λ3
Να βρεθεί
i) Η περίmicroετρος του ΑΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που αντιστοιχεί στη χορδή ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 15η
Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε τα διαδοχικά σηmicroεία Α Β Γ και ∆ ώστε ΑΒ=ΒΓ=Γ∆= R Να
βρεθεί
i) H περίmicroετρος του τριγώνου ΑΒ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τριγώνου ΒΓ∆
iii) Ο λόγος )(
)(
ΒΓ∆ΑΒ∆
ΑΣΚΗΣΗ 16η
∆ίνεται τεταρτοκύκλιο Οand
ΒΓ ακτίνας R
α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΓΒ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε δύο ισεmicroβαδικά χωρία
β) Αν ∆ σηmicroείο του τόξου ΒΓ να αποδείξετε ότι η ευθεία Γ∆ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
γ) Να βρείτε σηmicroείο Α της ακτίνας ΟΒ ώστε η ευθεία ΓΑ να χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
33
ΑΣΚΗΣΗ 17η
Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο Ο cap
ΒΓ ακτίνας R Σηmicroείο Α κινείται πάνω στο τόξο cap
ΒΓ και έστω
Κ το σηmicroείο τοmicroής της ακτίνας ΟΑ microε τη ΒΓ Να βρείτε το microήκος του τόξου cap
ΒΑ όταν το
εmicroβαδό του τριγώνου ΟΚΓ ισούται microε το εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα
τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΒ και το τόξο cap
ΒΑ
ΑΣΚΗΣΗ 18η
∆ίνεται ηmicroικύκλιο κέντρου Ο microε διάmicroετρο ΑΑ1=2R Έστω Β σηmicroείο του ηmicroικυκλίου microε
( 1ΑΟΒand
)=φ microοίρες και ΟΓ ακτίνα που τέmicroνει τη χορδή ΑΒ στο Κ
α) Να βρείτε το microήκος S του τόξου cap
ΑΓ όταν το εmicroβαδόν του τριγώνου ΟΚΒ ισούται microε το
εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΓ και το τόξοcap
ΑΓ
β) Αν η γωνία 1ΑΟΒand
είναι 150ο πόσο είναι το S
γ) Για ποια τιmicroή του φ το S γίνεται microέγιστο
Β
Γ
φ
Α1 Α
ΑΣΚΗΣΗ 19η
Η περίmicroετρος ρόmicroβου ΑΒΓ∆ πλευράς α και κέντρου Ο είναι τετραπλάσια της microικρής
διαγωνίου του Β∆
i) Να υπολογιστεί συναρτήσει του α το εmicroβαδόν του Ε
ii) Φέρουmicroε Α∆perpΟΗ και Γ∆perpΟΖ Αν η ΑΖ τέmicroνει τον κύκλο διαmicroέτρου Ο∆ στο Θ να
δειχθεί ότι 2
3Ε=ΑΖsdotΑΘ
ΑΣΚΗΣΗ 20η
Το περίγραmicromicroα της βάσης ενός microεγάλου λόφου σχηmicroατίζει τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=γ ΑΓ=β
όπου βgtγ και στο οποίο η διάmicroεσος ΑΜ και το ύψος Α∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο ∆ίπλα στην
πλευρά ΑΓ υπάρχει ορθογώνιος ιδιωτικός χώρος διαστάσεων 2
γβ +και β-γ Σrsquo αυτόν το
χώρο πρόκειται να κατασκευαστεί ένας microεγάλος ανισόπεδος κόmicroβος που θα συνδέει δύο
δρόmicroους ταχείας κυκλοφορίας Γιrsquo αυτούς τους λόγους προτείνεται στον ιδιοκτήτη να δεχτεί
να ανταλλάξει αυτόν τον χώρο microε άλλον ορθογώνιο χώρο του δηmicroοσίου που βρίσκεται δίπλα
στην πλευρά ΒΓ και έχει διαστάσεις τα microήκη των ΒΓ και 2
ΑΜ Ο ιδιοκτήτης δηλώνει ότι θα
συmicroφωνήσει microε την πρόταση αρκεί οι ανταλλάξιmicroοι χώροι να έχουν την ίδια έκταση
Πρακτικά όmicroως είναι αδύνατον να microετρήσει την πλευρά ΒΓ και τη διάmicroεσο ΑΜ γιrsquo αυτό και
διστάζει Πως θα σκεφτόσαστε εσείς να βοηθήσετε τον ιδιοκτήτη να αποφασίσει
Κ
Ο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
34
ΑΣΚΗΣΗ 21η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε β=2γ και η διάmicroεσος του Β∆ Φέρουmicroε Β∆perpΑx που τέmicroνει την
Β∆ στο Ε και την ΒΓ στο Ζ και ΕyΑΓ που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ Να αποδείξετε ότι
i) ZB= 2
1ZΓ
ii) (ΑΒΓ)=3(ΑΒΖ)
iii) Να αποδειχθεί ότι 8
3
)(
)(=
ΑΒΖΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΗ 22η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε α=2γ και β= 7γ
α) i) Να αποδείξετε ότι 2
3αmicroα =
ii) Να βρείτε το είδος της γωνίας and
Β
iii) Αν ΑΕ perp ΒΓ να υπολογίσετε το ΒΕ συναρτήσει του γ
iv) Να βρείτε τη γωνία and
Β
β) Αν ΑΜ διάmicroεσος και Β∆ διχοτόmicroος να αποδείξτε ότι
i) Α∆ = 3
β
ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)
ΑΣΚΗΣΗ 23η
Έστω τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ο R) και σηmicroείο Μ το οποίο κινείται στο
ηmicroικύκλιο cap
ΑΒΓ
α) Να βρεθεί το ελάχιστο ( )minΕ και το microέγιστο ( )maxΕ εmicroβαδόν του τετράπλευρου ΑΜΓ∆
συναρτήσει της ακτίνας R
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε θέση του Μ είναι
i) Μ∆2 = ΑΓ ∆Ε όπου Ε η προβολή του Μ στην Β∆
ii) (ΑΜΓ∆) = 2
2Μ∆
γ) Να προσδιορίσετε τη θέση του σηmicroείου Μ όταν (ΑΜΓ∆) = 2
maxmin EE +
ΑΣΚΗΣΗ 24η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ M το microέσο της ΑΒ σηmicroείο Ν της ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΝ = 4
3ΑΓ και
σηmicroείο Κ της ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΚ = 4
1ΒΓ Να βρεθεί ο λόγος των εmicroβαδών του τριγώνου
ΑΒΓ προς του τριγώνου ΜΝΚ
ΑΣΚΗΣΗ 25η
Α) Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι 2
αmicro = βγ και β-γ = 5 2 Το microήκος της πλευράς
α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3
Β) Να δειχθεί ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει η σχέση (222
γβα micromicromicro ++ )2 = 27Ε
2 όπου
Ε το εmicroβαδό του
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
35
ΑΣΚΗΣΗ 26η
Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω περιπτώσεις
όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί να αποτελεί microήκη των
πλευρών του
i) 3 57
ii) 8 4 2
iii) 7 6 85
ΑΣΚΗΣΗ 27η
Αν η διάmicroεσος microα ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν προεκταθεί τέmicroνει τον περιγεγραmicromicroένο κύκλο
στο ∆ να αποδειχθεί ότι microα = Α∆+
2
22 γβ
ΑΣΚΗΣΗ 28η
Από ένα κυκλικό οικόπεδο ακτίνας R=30m θα αποκοπεί κυκλικό τmicroήmicroα χορδής 30 3 m για
την κατασκευή δρόmicroου
i) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου που έmicroεινε
ii) Να βρεθεί η αποζηmicroίωση που θα δοθεί στον ιδιοκτήτη αν η αρχική αξία του οικοπέδου
ήταν 10000000 δρχ
ΑΣΚΗΣΗ 29η
Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι α =13 β = 8 γ = 7
i) Να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς το είδος των γωνιών του
ii) Να υπολογιστεί το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ πάνω στην ΑΒ
iii) Να υπολογιστεί η γωνία and
Α
ΑΣΚΗΣΗ 30η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 4 ΑΓ = 5 ΒΓ = 7 Το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ
πάνω στην ΑΒ είναι Α 5 Β 1 Γ 6 ∆ 2
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 31η
Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (and
Α =90ο) microε
and
Β =60ο και ΒΓ=4 Με κέντρο το Β και
ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ και microε κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΜ
γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν να βρεθούν
i) Η θέση του σηmicroείου Μ στη ΒΓ
ii) Η περίmicroετρος του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
iii) Το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
36
ΑΣΚΗΣΗ 32η
Μια έκταση σχήmicroατος τετραγώνου microε A 30 H 70 ∆
πλευρά 100m πρόκειται να διατεθεί
για κατασκευή εργατικών κατοικιών
Οι κατοικίες θα ανεργεθούν σε τέσσερα 70 30
ίσα τριγωνικά οικόπεδα και η υπόλοιπη Μ
έκταση σχήmicroατος τετραπλεύρου θα
χρησιmicroοποιηθεί ως κοινόχρηστος χώρος Z
για δενδροφύτευση και κατασκευή γηπέδου
microπάσκετ 30 70
α) Να βρεθούν τα εmicroβαδά των τεσσάρων ίσων οικοπέδων
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινόχρηστου χώρου B 70 K 30 Γ
γ) Τι είδους τετράπλευρο είναι ο κοινόχρηστος χώρος Να βρεθούν οι πλευρές του
ΑΣΚΗΣΗ 33η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 90A =
and
και ΑΒ=y ΑΓ=β
Α∆=ν Β∆=micro ΒΓ=x ∆Γ=κ
i) Να συmicroπληρωθούν οι σχέσεις
β2=helliphelliphellip=helliphelliphelliphellip Α
ν2=helliphelliphelliphelliphelliphellip
2
2
βy
=helliphelliphelliphelliphellip βy=helliphelliphelliphellip y ν β
ii) Να δειχθεί ότι 111
222 νβ=+
y Β ν ∆ κ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 34η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroεία ∆Ε της πλευράς ΒΓ έτσι ώστε Β∆=∆Ε=ΕΓ Να απόδειχθεί
ότι
i) 2222 22 ΑΕminusΑ∆=∆ΕminusΑΒ ii)
2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 35η
∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε o90=Α
and
ΑΒ=5cm ΑΓ=12cm Α∆ το ύψος του και ΒΜ
η διάmicroεσος του Προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά ΓΕ=ΒΓ i) Να συγκρίνετε τα
εmicroβαδά των τριγώνων Α∆Γ και ΑΓΕ ii) Να δείξετε ότι η σχέση που συνδέει τα εmicroβαδά των
τριγώνων ΑΒΜ και ΑΒΕ είναι (ΑΒΕ)=4(ΑΒΜ)
ΑΣΚΗΣΗ 36η
Από σηmicroείο Μ εκτός κύκλου φέρνουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΜΕ του κύκλου και τις
τέmicroνουσες ΜΑΒ και ΜΓ∆ Αν είναι ΑΒ=9 ΓΜ=4 Γ∆=5 να υπολογίσετε i) το ΜΑ ii) το
ΜΕ
ΑΣΚΗΣΗ 37η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) ΑΒ microια διάmicroετρος του και Μ τυχαίο σηmicroείο του (διαφορετικό των Α
Β) Αν Γ είναι το microέσο της ΟΑ και ∆ το microέσο της ΟΒ ενώ η ΜΓ τέmicroνει τον κύκλο στο Ε και
η Μ∆ στο Ζ τότε να αποδείξετε ότι3
10=
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
37
Ζ
Ε
ΑΣΚΗΣΗ 38η
Ένα τριγωνικό αγρόκτηmicroα ΑΒΓ χωρίζεται
σε τέσσερα τριγωνικά αγροτεmicroάχια όπως Α
φαίνεται στο σχήmicroα έτσι ώστε ΑΒ=Α∆3
2
ΒΕ= ΒΓ4
1και ΓΖ= ΑΓ
2
1 α) Αν το εmicroβαδό ∆
του ΑΒΓ είναι 48 στρέmicromicroατα να υπολογίσετε το Β
Γ
εmicroβαδό του ∆ΕΖ β) Αν τα ∆ Ε Ζ είναι τα microέσα των ΑΒ
ΒΓ ΑΓ αντίστοιχα να βρεθούν τα εmicroβαδά των
τεσσάρων αγροτεmicroαχίων
ΑΣΚΗΣΗ 39η
∆ίνεται εγγράψιmicroο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ ώστε οι πλευρές του ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α microε τη σειρά
που δίνονται να αποτελούν γεωmicroετρική πρόοδο Να αποδείξετε ότι η διαγώνιος του Β∆ το
χωρίζει σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
ΑΣΚΗΣΗ 40η
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ∆ Ζ Γ
την ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m και
ο90=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος υ
∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο οποίος
θα χωρίσει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆
και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα α) Να βρεθεί
το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆ β) Να
βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο
ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο Α Ε Η Β
ΑΕ∆ δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου
∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
ΑΣΚΗΣΗ 41η
∆ίνεται ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ και τα σηmicroεία του ∆Γ έτσι ώστε ∆Β=Γ∆=ΑΓ Αν
Μ τυχαίο σηmicroείο εκτός του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατοςΑΒ
Να δείξετε ότι 2222 33 ΜΓ+ΜΒ=ΜΒ+ΑΜ
ΑΣΚΗΣΗ 42η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 222 2αγβ =+ Αν η διάmicroεσος ΑΜ τέmicroνει το περιγεγραmicromicroένο
κύκλο του τριγώνου στο ∆ να δείξετε ότι
α) 6
3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
38
ΑΣΚΗΣΗ 43η
Από ένα εξωτερικό σηmicroείο Α κύκλου ( )RΟ φέρουmicroε microια τέmicroνουσα ΑΒΓ έτσι ώστε
ΒΓ=ΑΒ Αν 7R=ΟΑ τότε να δείξετε ότι
i) ΒΓ=ΑΒ =λ3
ii) η γωνία and
ΑΟΓ είναι αmicroβλεία
iii) η προβολή της ΟΓ πάνω στην ΟΑ είναι ίση microε ΟΑ7
2
iv) Να δείξετε ότι ( )( ) 2
1=
ΑΟΓΒΟΓ
και στην συνέχεια να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του τριγώνου
and
ΑΟΓ
v) Να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που ορίζεται από την χορδή ΒΓ και
το microέτρο του τόξου cap
ΒΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
39
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
40
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
6
Θεωρούmicroε δύο ευθείες 21 δδ που τέmicroνουν δύο παράλληλες ευθείες 21 εε στα σηmicroεία
ΒΑ και ΖΕ αντίστοιχα Αν ΗΓ είναι σηmicroεία των ευθειών 21 δδ αντίστοιχα τέτοια ώστε
ΖΗΕΖ
=ΒΓΑΒ
τότε η ευθεία ΓΗ είναι παράλληλη προς τις 21 εε
Κάθε ευθεία που είναι παράλληλη microε microια από τις πλευρές ενός τριγώνου χωρίζει τις δύο
άλλες σε microέρη ανάλογα και αντίστροφα
Το τρίγωνο που ορίζεται από τις ευθείες δύο πλευρών τριγώνου και microια παράλληλη προς microια
τρίτη πλευρά του έχει πλευρές ανάλογες προς τις πλευρές του αρχικού τριγώνου
∆ύο σηmicroεία Γ και ∆ που διαιρούν εσωτερικά και εξωτερικά το τmicroήmicroαΑΒστον ίδιο λόγο
λέγονται συζυγή αρmicroονικά των Α και Β
∆ηλαδή τα Γ και ∆ λέγονται συζυγή αρmicroονικά των Α καιΒ αν τα τέσσερα σηmicroεία είναι
συνευθειακά και αντίστροφα τα Α καιΒ είναι συζυγή αρmicroονικά των Γ και ∆
Τα τέσσερα σηmicroεία ( )ΒΑ και ( )∆ Γ λέmicroε ότι αποτελούν αρmicroονική τετράδα
∆ηλαδή Αν 321 δδδ τότε ΕΗΚΜ
=ΖΗΛΜ
=ΕΖΚΛ
Όπου ΒΓ∆Ε ε
∆Β∆Α
=ΓΒΓΑ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
7
ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ∆ΙΧΟΤΟΜΩΝ
Η διχοτόmicroος microιας γωνίας τριγώνου διαιρεί την απέναντι πλευρά εσωτερικά σε λόγο ίσο microε το
λόγο των προσκείmicroενων πλευρών
Η διχοτόmicroος microιας εξωτερικής γωνίας τριγώνου τέmicroνει την προέκταση της απέναντι πλευράς
σε ένα σηmicroείο το οποίο διαιρεί εξωτερικά την πλευρά αυτή σε λόγο ίσο microε το λόγο των
προσκείmicroενων πλευρών
∆ηλαδή αν Α∆ η διχοτόmicroος του τριγώνου ΑΒΓ
ισχύει
ΑΓΑΒ
=∆Γ∆Β
∆ηλαδή αν ΑΕ η εξωτερική διχοτόmicroος του
τριγώνου ΑΒΓ ισχύει
ΑΓΑΒ
=ΕΓΕΒ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
8
ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
∆ύο ευθύγραmicromicroα σχήmicroατα λέγονται όmicroοια αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες
που σχηmicroατίζονται από τις οmicroόλογες πλευρές τους ίσες microία προς microία
Ο λόγος των περιmicroέτρων δύο όmicroοιων ευθυγράmicromicroων σχηmicroάτων ισούται microε το λόγο οmicroοιότητας
τους
ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ
Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες τους ίσες microία προς microία τότε είναι όmicroοια
Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ανάλογες microία προς microία και τις περιεχόmicroενες στις πλευρές
αυτές γωνίες ίσες τότε είναι όmicroοια
Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές ανάλογες microία προς microία τότε είναι όmicroοια
bull ∆ύο ορθογώνια τρίγωνα είναι όmicroοια όταν έχουν microία οξεία γωνία τους ίση
bull Όλα τα ισόπλευρα τρίγωνα είναι όmicroοια microεταξύ τους
bull ∆ύο ισοσκελή τρίγωνα τα οποία έχουν microία αντίστοιχη γωνία ίση είναι όmicroοια
bull Ο λόγος οmicroοιότητας δύο όmicroοιων τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο δύο οmicroόλογων υψών τους
bull Ο λόγος οmicroοιότητας δύο όmicroοιων τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο δύο οmicroόλογων διχοτόmicroων
τους
bull Ο λόγος οmicroοιότητας δύο όmicroοιων τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο δύο οmicroόλογων διαmicroέσων
τους
8ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
9
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΡΙΓΩΝΟ
Αν από τα άκρα ενός ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατος ΑΒ φέρουmicroε τις κάθετες ΑΑrsquo και ΒΒrsquo πάνω σε
microια ευθεία ε τότε το τmicroήmicroα ΑrsquoΒrsquo είναι η προβολή του ΑΒ πάνω στην ε
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο microιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο microε το
γινόmicroενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην υποτείνουσα
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ο λόγος των τετραγώνων των κάθετων πλευρών του είναι ίσος
microε το λόγο των προβολών τους πάνω στην υποτείνουσα
Γ∆Β∆
=ΑΓ
ΑΒ2
2
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισmicroα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών του είναι
ίσο microε το τετράγωνο της υποτείνουσας 222 ΑΓ+ΑΒ=ΒΓ
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει 222 ΑΓ+ΑΒ=ΒΓ τότε
90=Αand
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο του ύψους του που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα
είναι ίσο microε το γινόmicroενο των προβολών των κάθετων του στην υποτείνουσα
∆ΓsdotΒ∆=Α∆2
Έστω λοιπόν το ορθογώνιο ΑΒΓ και ∆ η προβολή της κορυφής
Α στην υποτείνουσα ΒΓ
Τότε ισχύει Β∆sdotΒΓ=ΑΒ2 και
Γ∆sdotΒΓ=ΑΓ2
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
10
bull Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές τότε βα 2=
bull Αν Α∆ είναι το ύψος ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα
τότε ισχύει 222
111
αυγβ=+ και βγαυα =
bull Το ύψος ισοπλεύρου τριγώνου ως συνάρτηση της πλευράς α
δίνεται από τον τύπο 2
3sdot=α
υ
ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ
Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία είναι ίσο microε το
άθροισmicroα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του ελαττωmicroένο κατά το διπλάσιο
γινόmicroενο της microιας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή
∆ηλαδή σε τρίγωνο ΑΒΓ microε 90ltΑ
and
και Α∆ η προβολή της πλευράς γ πάνω στην β
τότε ισχύει Α∆sdotminus+= βγβα 2222
Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από αmicroβλεία γωνία είναι ίσο microε το
άθροισmicroα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του αυξηmicroένο κατά το διπλάσιο
γινόmicroενο της microιας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
11
Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν οι ισοδυναmicroίες
bull 222 γβα +gt αν και microόνο αν 90gtΑ
and
bull 222 γβα += αν και microόνο αν 90=Α
and
bull 222 γβα +lt αν και microόνο αν 90ltΑ
and
Προσοχή Για να εφαρmicroόσουmicroε το πόρισmicroα αυτό πρέπει πάντα να συγκρίνουmicroε το
τετράγωνο της microεγαλύτερης πλευράς του τριγώνου microε το άθροισmicroα των τετραγώνων των
άλλων δύο πλευρών
Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση
Αsdotminus+= συνβγγβα 2222
Το ύψος υα ενός τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τον τύπο
( )( )( )γτβταττα
υα minusminusminus=2
όπου ( )γβατ ++=2
1
Ανάλογες εκφράσεις ισχύουν και για τα άλλα ύψη υβ και υγ
ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ∆ΙΑΜΕΣΩΝ
Το άθροισmicroα των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται microε το διπλάσιο του
τετραγώνου της διαmicroέσου που περιέχεται microεταξύ των πλευρών αυτών αυξηmicroένο κατά το
microισό του τετραγώνου της τρίτης πλευράς
∆ηλαδή σε τρίγωνο ΑΒΓ microε 90gtΑ
and
και
Α∆ η προβολή της πλευράς γ πάνω στην β
τότε ισχύει
Α∆sdot++= βγβα 2222
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
12
∆ηλαδή αν Α∆ =υα το ύψος και ΑΜ =microα η διάmicroεσος ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύει
2
22
222 αmicroγβ α +=+
Ανάλογα έχουmicroε και τους ακόλουθους τύπους
2
22
222 γmicroβα γ +=+
22
2222 β
microγα β +=+
Η διαφορά των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται microε το διπλάσιο γινόmicroενο της
τρίτης πλευράς επί την προβολή της αντίστοιχης διαmicroέσου πάνω στην πλευρά αυτή
Μ∆sdot=minus αγβ 222
Σηmicroείωση αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές ή ισόπλευρο τότε το Μ ταυτίζεται microε το ∆ και το 2ο
θεώρηmicroα διαmicroέσων ισχύει ταυτοτικά
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ
Αν δύο χορδές Γ∆ΑΒ ή οι προεκτάσεις τους τέmicroνονται σε ένα σηmicroείο Ρ τότε ισχύει
Ρ∆sdotΡΓ=ΡΒsdotΡΑ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
13
Αν από ένα εξωτερικό σηmicroείο Ρ κύκλου ( )R Ο φέρουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΡΕ
Και microια ευθεία που τέmicroνει τον κύκλο στα σηmicroεία ΒΑ τότε ισχύει η σχέση
Επίσης αν η ευθεία ΡΟ τέmicroνει τον κύκλο στα ∆ Γ και δ=ΟΡ τότε έχουmicroε ότι
Η διαφορά 22 Rminusδ λέγεται δύναmicroη σηmicroείου Ρ ως προς τον κύκλο ( )R Ο και
συmicroβολίζεται
( )2222
RRR minusΟΡ=minus=∆ΡΟ δ
bull Το Ρ είναι εξωτερικό σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 gt∆ΡΟ R
bull Το Ρ είναι εσωτερικό σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 lt∆ΡΟ R
bull Το Ρ είναι σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 =∆ΡΟ R
bull Για να είναι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι εγγράψιmicroο σε κύκλο αν ισχύει η σχέση
Ρ∆sdotΡΓ=ΡΒsdotΡΑ
bull Αν οι διαγώνιοι ενός τετράπλευρου ΑΒΓ∆ τέmicroνονται σε ένα σηmicroείο Κ τότε για να
είναι το τετράπλευρο εγγράψιmicroο σε κύκλο πρέπει να ισχύει η σχέση
Κ∆sdotΚΒ=ΚΓsdotΚΑ
ΡΒsdotΡΑ=ΡΕ2
( )( ) 22 RRR minus=+minus
=Ρ∆sdotΡΓ=ΡΒsdotΡΑ
δδδ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
14
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Οι πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου έχουν microήκη x x+1 και x+2 Η περίmicroετρος του
τριγώνου αυτού είναι
Α 3 Β 6 Γ 10 ∆ 12 Ε 15
Επιλέξτε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε
2 Θεωρούmicroε διάmicroετρο ΑΒ κύκλου (ΟR) και τις κάθετες ακτίνες ΟΓ και Ο∆ Αν Ε και
Ζ οι προβολές των Γ και ∆ αντίστοιχα στην ΑΒ να αποδειχθεί ότι
i) Τα τρίγωνα ΟΕΓ και Ζ∆Ο είναι ίσα
ii) 222 R=ΟΖ+ΟΕ
3 Έστω ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο )90( Οand
=Α και Β∆ η διάmicroεσός του Να αποδειχθεί
ότι 222
4
3ΒΓ=ΑΓ+Β∆
4 Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο ΑΟΒ κύκλου (ΟR) και τη διχοτόmicroο ΟΜ της γωνίας and
ΟΒΑ Από σηmicroείο Γ του τόξου cap
ΑΒ φέρουmicroε ΟΒperpΓ∆ που τέmicroνει την ευθεία
ΟΜ στο σηmicroείο Ε Να αποδειχθεί ότι α) ∆Ε=Ο∆ β) 222 R=∆Ε+∆Γ
5 Αν σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά
τmicroήmicroα Γ∆=2ΒΓ να αποδειχθεί ότι 222 6ΒΓ+ΑΓ=Α∆
6 Αν ∆ σηmicroείο της πλευράς ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) να αποδειχθεί ότι
22 ∆Γsdot∆Β=Α∆minusΑΒ
7 Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω
περιπτώσεις όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί
να αποτελεί microήκη των πλευρών του i) 357 ii) 842 iii) 76 85
8 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ πληρούν τη σχέση 222 βαγ +lt
τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο
9 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ πληρούν τις σχέσεις αltβltγ και 222 βαγ +lt τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο
10 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών ΑΒΓ πληρούν τη σχέση 444 γβα +lt τότε να
αποδειχθεί ότι 90Οand
ltΑ
11 Θεωρούmicroε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και σηmicroείο ∆ της ηmicroιευθείας ΑΒ
τέτοιο ώστε Β∆=ΑΒ Αν ΑΒperpΓΕ και είναι ΑΒ=4ΒΕ να αποδειχθεί ότι
2
3 222 ΑΓ+ΒΓ=Γ∆
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
15
12 Θεωρούmicroε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α τη διχοτόmicroο Γχ της εξωτερικής
γωνίας εξΓ
and
αυτού την κάθετη xΓperpΒΕ και την κάθετη ΑΓperpΕΖ
Να αποδειχθεί ότι i)4
α=ΓΖ ii)
2
7α=ΑΕ
13 Εκατέρωθεν της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ κατασκευάζουmicroε δύο ισόπλευρα
τρίγωνα ΒΓ∆ και ΒΓΕ Να αποδειχθεί ότι 22222 γβα ++=ΑΕ+Α∆
14 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ τα microήκη των πλευρών του οποίου συνδέονται microε τη σχέση
2 222 αγβ =+ Nα αποδειχθεί ότι α) 2
βmicro +2
γmicro =2
2 αmicro
β) 2
3αmicroα =
2
3γmicroβ =
2
3βmicroγ =
15 Θεωρούmicroε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ )90( Οand
=Α και τη διάmicroεσό του ΒΕ
α) Να αποδειχθεί ότι 222
4
3ΒΓ=ΑΓ+ΒΕ β) Αν Α∆ είναι η διάmicroεσος του
τριγώνου ΑΒΓ ΒΕ= 14 και o60=Β∆Α
and
να υπολογιστούν τα microήκη των πλευρών
του τριγώνου ΑΒΓ
16 Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει γβ micromicro perp τότε να αποδειχθεί ότι 222
αγβ micromicromicro =+
17 Αν ΒΒ΄ το ύψος τριγώνου ΑΒΓ microε o90ltΑ
and
και ΑΜ η διάmicroεσός του τότε να
αποδειχθεί ότι 4
22 ΄ΑΒsdotΑΓ+
ΒΓ=ΑΜ
18 Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ )90( Οand
=Α η διάmicroεσος του ΑΜ και ευθεία (ε)
κάθετη στην ΑΜ στο Μ Αν Ρ σηmicroείο της (ε) να αποδειχθεί ότι 222 2ΡΑ=ΡΓ+ΡΒ
19 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ ΑΜ διάmicroεσος η οποία προεκτεινόmicroενη τέmicroνει τον
περιγεγραmicromicroένο κύκλο (ΟR) στο ∆ και Θ το βαρύκεντρο του τριγώνου
Να δειχθεί ότι i)4
2α=Μ∆sdotΜΑ ii)
ΘΟ∆ )( R )(
9
1 222 γβα ++minus=
iii) AB2+AΓ
2=2ΑΜsdotΑ∆
20 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόmicroος του Α∆ Αν οι κύκλοι οι περιγεγραmicromicroένοι στα
τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓ∆ τέmicroνουν τις ΑΓ και ΑΒ στα σηmicroεία Ζ και Ε αντίστοιχα να
αποδειχθεί ότι ΒΕ=ΓΖ
21 Κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι εγγράψιmicroο σε κύκλο Αν το σηmicroείο τοmicroής Μ των
διαγωνίων του είναι microέσο της διαγωνίου Β∆ να αποδειχθεί ότι
i) ΜΓsdotΜΑ=∆Β 42 ii) 2 22222 ΑΓ=∆Α+Γ∆+ΒΓ+ΑΒ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
16
22 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) διαmicroέτρου ΑΒ Από ένα σηmicroείο Γ της προέκτασης της ΑΒ
προς το Β φέρνουmicroε την εφαπτοmicroένη Γ∆ και την ΑΓperpΓx Αν Ε είναι το σηmicroείο
τοmicroής των Α∆ και Γx να αποδειχθεί ότι
i) το τετράπλευρο ∆ΒΓΕ είναι εγγράψιmicroο ii) ΑΕsdotΑ∆minusΓΑ=Γ∆ 22
23 ∆ύο κύκλοι (ΚR) και
Λ2
R
εφάπτονται εσωτερικά στο Α Από ένα σηmicroείο Μ του
κύκλου
Λ2
R
φέρνουmicroε χορδή Γ∆ του κύκλου (ΚR) Να αποδειχθεί ότι
ΜΓΜ∆=ΜΑ2
24 Θεωρούmicroε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α και σηmicroείο ∆ της πλευράς ΒΓ Αν οι
περιγεγραmicromicroένοι κύκλοι στα τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓ∆ τέmicroνουν τις πλευρές ΑΓ και ΑΒ
στα σηmicroεία Ε και Ζ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι ΒΖ+ΓΕ=α
25 Στη διάmicroετρο ΑΒ κύκλου (ΟR) θεωρούmicroε τα σηmicroεία Γ και ∆ έτσι ώστε ΟΓ=Ο∆=α
και microεταβλητό σηmicroείο Μ του κύκλου Αν οι ΜΓ και Μ∆ τέmicroνουν τον κύκλο στα Ε
και Ζ αντίστοιχα να αποδείξετε ότι i) ΜΓΓΕ = Μ∆∆Ζ ii)
ΜΓ2+Μ∆
2 = 2(R
2+α
2) iii) το άθροισmicroα
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
είναι σταθερό
26 Θεωρούmicroε κύκλο (O2α) και σηmicroείο Ρ τέτοιο ώστε ΟΡ=2
3α Φέρουmicroε χορδή ΑΒ η
οποία διέρχεται από το Ρ και είναι τέτοια ώστε ΑΡ=α Να υπολογιστεί το microήκος της
χορδής ΑΒ
27 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) διάmicroετρο ΑΒ και τα microέσα Γ και ∆ των ΟΑ και ΟΒ
αντίστοιχα Από το σηmicroείο Γ φέρουmicroε χορδή ΕΖ = 2
13 Rsdot Να αποδειχθεί ότι
i) ΖΓ2+Ζ∆
2+ΓΕ
2+∆Ε
2=5R
2 ii)
and
Ε∆Ζ = 900
28 Έστω ΑΒ διάmicroετρος κύκλου (ΟR) και ΑΓ Β∆ δύο χορδές που τέmicroνονται στο Ρ Να
αποδειχθεί ότι i) αν οι Α∆ και ΒΓ τέmicroνονται στο Ε τότε το Ρ είναι ορθόκεντρο του
τριγώνου ΕΑΒ ii) ΑΓΑΡ+Β∆ΒΡ=ΑΒ2
29 Τρίγωνο ΑΒΓ microε β2+γ
2=2α
2 Β∆ ΓΕ ύψη ΑΜ διάmicroεσος και Ζ microέσο της ΑΜ Να
αποδειχθεί ότι i)and
Α lt900 ii) AE =
γα2
2
και ΑΜ = 2
3α iii) ΕΖ =
γαβ4
Ζ∆ = β
αγ4
30 Σε τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούmicroε σηmicroεία ∆Ε στην πλευρά ΒΓ ώστε Β∆ = ∆Ε = ΕΓ Να
αποδείξετε ότι i) AB2 ndash 2∆E
2 = 2A∆
2 ndash AE
2 ii) AB
2 + 2AΓ
2 = 3AE
2 +
6∆E2
31 Αν α β γ πλευρές τριγώνου να βρεθεί το είδος του τριγώνου στις παρακάτω περι-
πτώσεις i) α = ν2 + 1 β = 2ν γ = ν
2 ndash 1
ii) α = 4 β = 5 γ = 3
iii) α = 11 β = 13 γ = 12
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
17
32 Αν Ε ∆ Ζ microέσα των ΑΓ ΒΓ Β∆ αντίστοιχα ενός τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε ότι
i) Ε∆=2
1ΑΒ ii) ΕΖ
2 =
16
263 222 βminusγ+α
33 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ = 6 ΑΓ = 8 ΒΓ = 2 37 να αποδειχθεί ότι
i) ο120=Α
and
ii) να βρεθεί το microήκος Α∆ όπου Β∆ ύψος τριγώνου
iii) να βρεθεί το microήκος της διαmicroέσου microα
34 Σε τρίγωνο ΑΒΓ microε πλευρές α = 9 β = 7 γ = 4 να βρείτε i) το είδος του τριγώνου
ii) το microήκος της διαmicroέσου microα iii) την προβολή της διαmicroέσου microα πάνω στην
ΒΓ iv) την προβολή της πλευράς β πάνω στην γ
35 Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ο90=Α
and
ΑΜ διάmicroεσος και Ρ το microέσο
της ΑΜ Στην πλευρά ΒΓ = α παίρνουmicroε σηmicroείο Κ ώστε ΓΚ = 8
5α Να αποδειχθεί
ότι i) ΓΡ2 =
16
5 2α ii) ΡΚ
2 =
64
5 2α iii) ΡΓ = 2ΚΡ
36 Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε ο90=Α
and
α = 25 και β = 20 αν x είναι η προβολή της
πλευράς β πάνω στην πλευρά α τότε
i) η πλευρά γ έχει microήκος Α10 Β12 Γ13 ∆15 Ε21
ii) το ύψος υα έχει microήκος Α9 Β7 Γ12 ∆17 Ε5
iii) το τmicroήmicroα x έχει microήκος Α10 Β12 Γ17 ∆16 Ε21
(Να αιτιολογήσετε την απάντηση)
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
18
ΕΜΒΑ∆Α
ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ
Ας θεωρήσουmicroε ένα πολύγωνο
Ένα σχήmicroα που αποτελείται από πεπερασmicroένο πλήθος πολυγωνικών χωρίων που ανά δύο δεν
έχουν κοινά εσωτερικά σηmicroεία λέγεται πολυγωνική επιφάνεια
Ίσα πολυγωνικά χωρία έχουν ίσα εmicroβαδά
Αν ένα πολυγωνικό χωρίο (ή microια πολυγωνική επιφάνεια) χωρίζεται σε πεπερασmicroένου
πλήθους πολυγωνικά χωρία που δεν έχουν κοινά εσωτερικά σηmicroεία τότε το εmicroβαδόν του
ισούται microε το άθροισmicroα των εmicroβαδών των επιmicroέρους πολυγωνικών χωρίων
Το εmicroβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς 1 είναι 1
∆ύο σχήmicroατα που έχουν το ίδιο εmicroβαδόν ονοmicroάζονται ισεmicroβαδικά ή ισοδύναmicroα
Το πολύγωνο microαζί microε τα εσωτερικά του
στοιχεία ονοmicroάζεται πολυγωνικό χωρίο
Ένα πολυγωνικό χωρίο που ορίζεται από
τρίγωνο τετράγωνοhellipν-γωνο ονοmicroάζεται
τριγωνικό πολυγωνικόhellip ν-γωνικό
∆ύο πολυγωνικά χωρία λέγονται ίσα όταν τα
αντίστοιχα πολύγωνά τους είναι ίσα
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
19
ΕΜΒΑ∆Α ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
Το εmicroβαδόν τετραγώνου πλευράς α δίνεται από τον τύπο 2α=Ε
Το εmicroβαδόν ενός ορθογωνίου ισούται microε το γινόmicroενο των πλευρών του βα sdot=Ε
Το εmicroβαδόν ενός παραλληλογράmicromicroου ισούται microε το γινόmicroενο microιας πλευράς του επί το ύψος
που αντιστοιχεί σε αυτή
βα υβυα sdot=sdot=Ε
Το εmicroβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο microε το ηmicroιγινόmicroενο microιας πλευράς επί το αντίστοιχο ύψος
γβα υγυβυα sdot=sdot=sdot=Ε2
1
2
1
2
1
Το εmicroβαδόν τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο του ηmicroιαθροίσmicroατος των βάσεων του επί το
ύψος του υβsdot
+Β=Ε
2
Το εmicroβαδόν τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο της διαmicroέσου επί το ύψος του
bull Το εmicroβαδόν ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς α είναι ίσο microε 4
32α=Ε
bull Το εmicroβαδόν ρόmicroβου ισούται microε το ηmicroιγινόmicroενο των διαγωνίων του
bull Το εmicroβαδόν οποιουδήποτε κυρτού ή microη κυρτού τετραπλεύρου microε κάθετες διαγωνίους
ισούται microε το ηmicroιγινόmicroενο των διαγωνίων του
bull Η διάmicroεσος κάθε τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
bull Το βαρύκεντρο τριγώνου έχει την ιδιότητα να δηmicroιουργεί microε τις κορυφές του τριγώνου τρία
ισεmicroβαδικά τρίγωνα
bull Το βαρύκεντρου του τριγώνου οι κορυφές του και τα microέσα των πλευρών του ορίζουν έξι
ισεmicroβαδικά τρίγωνα
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
20
ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΕΜΒΑ∆ΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
( )( )( )γτβταττ minusminusminus=Ε όπου 2
γβατ
++= ηmicroιπερίmicroετρος του τριγώνου
ρτ sdot=Ε
R4
γβα sdotsdot=Ε
Γsdotsdot=Βsdotsdot=Αsdotsdot=Ε ηmicroβαηmicroαγηmicroγβ2
1
2
1
2
1
ΕΜΒΑ∆Α ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
Αν δύο τρίγωνα έχουν ίσες βάσεις τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο των
αντίστοιχων υψών ενώ αν έχουν ίσα ύψη τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο
των αντίστοιχων βάσεων
Αν δύο τρίγωνα είναι όmicroοια τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το τετράγωνο του
λόγου οmicroοιότητας
Ο λόγος των εmicroβαδών δύο όmicroοιων πολυγώνων είναι ίσος microε το τετράγωνο του λόγου
οmicroοιότητας
Αν microια γωνία ενός τριγώνου είναι ίση ή παραπληρωmicroατική microε microια γωνία ενός άλλου
τριγώνου τότε ο λόγος των εmicroβαδών των δύο τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο των γινοmicroένων
των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
21
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Αν ΑΒΓ∆ τραπέζιο ( Γ∆ΑΒ ) και Ο το σηmicroείο τοmicroής των διαγωνίων του ΑΓ και
Β∆ να αποδείξετε ότι ΟΑ∆ΟΒΓ Ε=Ε
2 Ένα τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) και ΒΓ=Γ∆=Α∆ και τη βάση ΑΒ κατά 2 microικρότερη
από το άθροισmicroα των τριών αυτών πλευρών Αν το ύψος του τραπεζίου είναι 5 να
υπολογιστεί το εmicroβαδό του
3 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ microε microήκη πλευρών α=10 β=8 γ=14 και ισόπλευρο τρίγωνο
∆ΕΖ το οποίο είναι ισοδύναmicroο microε το ΑΒΓ Το microήκος της πλευράς του ισόπλευρου
τριγώνου ∆ΕΖ είναι
Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20
Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε
4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=2 ΒΗ ύψος και η διάmicroεσος Β∆=1 Αν and
∆ΑΒ =30ο να
υπολογιστούν α) τα ΒΗ Η∆ ΑΗ
β) το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ
5 Με υποτείνουσες τις κάθετες πλευρές ΑΒ και ΑΓ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ microε
β+γ=20 κατασκευάζουmicroε ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓΕ εκτός
αυτού
α) Να αποδείξετε ότι τα σηmicroεία ∆ΑΕ είναι συνευθειακά
β) Να βρείτε το εmicroβαδό του τετραπλεύρου ΒΓΕ∆
6 Προεκτείνουmicroε τις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ ενός τριγώνου ΑΒΓ κατά τmicroήmicroατα
Γ∆=ΓΒ ΑΕ=ΑΓ και ΒΖ=ΒΑ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι (∆ΕΖ) = 7(ΑΒΓ)
7 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Μ στο εσωτερικό του Φέρνουmicroε από το Μ
παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των
σχηmicroατιζόmicroενων τριγώνων και Ε το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε
ότι 321 Ε+Ε+Ε=Ε
8 Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ που τέmicroνει τις πλευρές ΑΒ
και ΑΓ στα σηmicroεία ∆ και Ε αντίστοιχα Να αποδείξετε ότι (ΑΒΕ)2=(ΑΒΓ)(Α∆Ε)
9 Από σηmicroείο ∆ της πλευράς ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη προς την
πλευρά ΒΓ που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των τριγώνων
Α∆Ε Α∆Γ και ΑΒΓ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι 31
2
2 ΕsdotΕ=Ε
10 Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Α΄ της πλευράς του ΒΓ Από τα Β και Γ
φέρνουmicroε παράλληλες προς την ΑΑ΄ που τέmicroνουν τις ευθείες ΑΓ και ΑΒ στα σηmicroεία
Γ΄ και Β΄ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι
α) (ΑΑ΄Γ΄) = (ΑΒΑ΄) και (ΑΑ΄Β΄) = (ΑΓΑ΄)
β) (Α´ô) = (ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
22
11 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ microε ΑΒ=10 Α∆=4 και and
∆ =60ο Στην πλευρά ΑΒ
θεωρούmicroε τα σηmicroεία Ε και Ζ έτσι ώστε ΑΕ=ΕΖ=ΖΒ Αν Η είναι το σηmicroείο τοmicroής των
ευθειών ∆Ε και ΓΖ να υπολογιστούν
α) το εmicroβαδό του παραλληλογράmicromicroου ΑΒΓ∆
β) το εmicroβαδό του τραπεζίου Γ∆ΕΖ
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου ΗΕΖ
12 ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=ΑΓ=6 και ο120=Α
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του
β) Αν Ε σηmicroείο της ΑΓ τέτοιο ώστε ΓΕ=ΑΕ2
1 και Α∆ το ύψος του τριγώνου
ΑΒΓ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ∆ΕΓ
γ) Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει τη ∆Ε στο Η να βρεθεί το εmicroβαδό
του τριγώνου ΑΕΗ
13 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Ρ στο εσωτερικό του Από το Ρ φέρνουmicroε κάθετες
ηmicroιευθείες στις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ και πάνω σrsquo αυτές παίρνουmicroε τα σηmicroεία Α΄
Β΄ και Γ΄ αντίστοιχα έτσι ώστε ΡΑ΄=ΒΓ ΡΒ΄=ΑΓ και ΡΓ΄=ΑΒ Να αποδειχθεί ότι
α) οι γωνίες and
Γ και and
ΒprimeΡΑprime είναι παραπληρωmicroατικές
β) (ΡΑ΄Β΄)=(ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)
14 Θεωρούmicroε τρεις ίσες διαδοχικές γωνίες and
οψx zand
οψ xzand
ο και πάνω στις
ηmicroιευθείες Οx Oψ και Οz τα σηmicroεία Α Β Γ αντίστοιχα έτσι ώστε ΟΑ=1 ΟΒ=4 και
ΟΓ=8
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ψοand
x zand
οψ xzand
ο
β) Αν Οw η αντικείmicroενη ηmicroιευθεία της Οψ και Γ∆ wΟperp να υπολογίσετε τις Ο∆ και
Γ∆
γ) Να υπολογίσετε το (ΟΒΓ)
δ) Να αποδείξετε ότι (ΑΒΓ)= 311
15 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ και Κ Λ Μ Ν τα microέσα των ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α
αντίστοιχα α) Να αποδειχθεί ότι (ΚΛΜΝ)=2
1(ΑΒΓ∆)
β) Αν ΚΜ ΛΝperp να αποδειχθεί ότι (ΑΒΓ∆) = ΚΜΛΝ
16 Λ
Α Β Στο διπλανό σχήmicroα τα σηmicroεία Κ Λ είναι τα
Κ Ρ microέσα των τmicroηmicroάτων ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα
Να αποδείξετε ότι
Γ α) ο λόγος των εmicroβαδών των τριγώνων ΑΚΒ και ΑΛΓ είναι ίσος microε
β) αν Ρ είναι το σηmicroείο τοmicroής των ΛΓ και ΚΒ τότε τα τρίγωνα ΒΛΡ
και ΚΓΡ έχουν ίσα εmicroβαδά
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
23
17 ∆ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) microε ΑΒ=4 Α∆=2 καιο60=∆
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τραπεζίου ΑΒΓ∆
β) Αν Ε σηmicroείο της πλευράς ΑΒ τέτοιο ώστε ΕΒ= ΑΒ4
1 και οι Ε∆ ΕΓ τέmicroνουν τη
διάmicroεσο του τραπεζίου στα σηmicroεία Ζ και Η αντίστοιχα να βρεθεί το εmicroβαδό του
τριγώνου ΕΖΗ
γ) Αν οι ∆Ε και ΒΓ τέmicroνονται στο Ρ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ΡΕΒ
18 Αν οι διαγώνιοι κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓ∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο να αποδείξετε ότι
το τετράπλευρο έχει εmicroβαδό Β∆sdotΑΓ4
1
19 Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται ΑΒ=5 ο60=Α
and
και η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου
κύκλου 3
7=R Να βρεθούν οι άλλες δύο πλευρές του τριγώνου και το εmicroβαδόν του
20
∆ Ζ Γ
υ
Α Ε Η Β
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m
90ο=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος ∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο
οποίος θα χωρίζει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆ και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο
ΑΕ∆
δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου ∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
21 Αν Μ και Ν είναι τα microέσα των πλευρών ΒΓ και Γ∆ ενός παραλληλόγραmicromicroου ΑΒΓ∆
να αποδείξετε ότι (ΑΜΝ)= )(8
3ΑΒΓ∆
22 Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) θεωρούmicroε το microέσο Μ της πλευράς ΑΒ
και σηmicroείο Ν της πλευράς ΑΓ τέτοιο ώστε 3
ΑΓ=ΓΝ Να δειχθεί ότι
(ΜΝΒ)= )(3
1ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
24
23 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και τυχαίο σηmicroείο Σ στην προέκταση της πλευράς
∆Γ προς το Γ Να αποδείξετε ότι
α) (ΑΒ∆)= )(2
1ΑΒΓ∆
β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)
γ) αν η ΑΣ τέmicroνει την Β∆ στο σηmicroείο Ε τότε (Ε∆Σ)-(ΕΑΒ)=(ΣΒΓ)
24 Έστω Σ τυχαίο σηmicroείο της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ Στο σηmicroείο Α φέρουmicroε
microια ευθεία ε κάθετη στην ΑΣ Αν ∆ και Ε είναι αντίστοιχα οι προβολές των σηmicroείων
Β και Γ στην ευθεία ε να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ∆ΣΕ είναι ισοδύναmicroα
25 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 8=ΑΒ 12=ΑΓ και η Α∆ διχοτόmicroος της γωνίας and
Α Αν
( )ΑΒ∆ =20 τmicro να βρείτε το ( )ΑΒΓ
26 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ∆ σηmicroείο της πλευράς ΑΒέτσι ώστε 6=Α∆ ∆Β=5
8=ΑΓ Αν 80=Α
and
να βρείτε το εmicroβαδόν του τριγώνου Β∆Γ
27 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ microε 90=Β
and
και η γωνία and
Α να είναι το 3
1 της ορθής Αν
∆ σηmicroείο της προέκτασης της πλευράς ΒΓ προς το Γ τέτοιο ώστε η 30=Α∆Β
and
να
βρεθεί ο λόγος ( )( )ΑΒ∆ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
25
ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ
ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ
Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του
ίσες
Γωνία κανονικού ν-γώνου ν
φν
360
180 minus=
Κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου ν
ων
360=
Σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας R ισχύουν οι εξής τύποι 2
22
4R=+ ν
ν
λα
νν λν sdot=Ρ
ννν αsdotΡ=Ε2
1
όπου να απόστηmicroα νλ πλευρά νΡ περίmicroετρος νΕ εmicroβαδόν
∆ύο κανονικά πολύγωνα microε τον ίδιο αριθmicroό πλευρών είναι όmicroοια
Κάθε κανονικό πολύγωνο εγγράφεται σε έναν κύκλο και περιγράφεται σε έναν άλλον Οι δύο
αυτοί κύκλοι είναι οmicroόκεντροι
bull Το κοινό κέντρο τον κύκλων αυτών λέγεται κέντρο του πολυγώνου
bull Η ακτίνα R του περιγεγραmicromicroένου κύκλου λέγεται ακτίνα του πολυγώνου
bull Η απόσταση του κέντρου από microια πλευρά του δηλαδή η ακτίνα του εγγεγραmicromicroένου
κύκλου λέγεται απόστηmicroα του πολυγώνου
Σε δύο κανονικά ν-γωνα ο λόγος των πλευρών τους ισούται microε το λόγο των ακτινών τους και
το λόγο των αποστηmicroάτων τους
∆ηλαδή
ν
ν
ν
ν
αα
λλ
==R
R
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
26
ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ
ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ
ΚΑΝΟΝΙΚΟ
ΕΞΑΓΩΝΟ
ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ
ΤΡΙΓΩΝΟ
ΠΛΕΥΡΑ νλ 24 R=λ R=6λ 33 R=λ
ΑΠΟΣΤΗΜΑ να
2
24
R=α
2
36
R=α
23
R=α
RL sdot= π2
180
microπ sdotsdot=
Rl ή Rl sdot=α
180
microαπ
=
2Rsdot=Ε π
( )360
2 microπ sdotsdot=ΟΑΒ
cap R ή ( )
cap
sdot=ΟΑΒ 2
2
1Rα
( ) ( )ΟΑΒminusΟΑΒ=cap
ε
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
27
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Ένα κανονικό εξάγωνο είναι περιγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ορ) Η πλευρά του
εξαγώνου αυτού είναι
Α ρ Β 2
3ρ Γ 2ρ ∆
3
32ρ Ε
3
2ρ
2 ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και στις προεκτάσεις των
πλευρών ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α θεωρούmicroε τα τmicroήmicroατα ΒΚ=ΓΛ=∆Μ=ΑΝ=λ3 Να δείξετε
ότι το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο και ότι η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου κύκλου του
είναι 641 += RR
3 Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε δύο παράλληλες χορδές ΑΒ=λ4 και Γ∆=λ6 Να
αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι ισοσκελές τραπέζιο και να υπολογιστεί
το εmicroβαδό του ως συνάρτηση της ακτίνας R
4 Η περίmicroετρος ενός κυκλικού τοmicroέα ΟΑΒ ενός κύκλου (ΟR) είναι 6+π Αν
ο60=ΒΟΑand
τότε το microήκος της ακτίνας R είναι
Α 6 Β 3 Γ 2 ∆ 4 Ε 5 (δικαιολογήστε την απάντησή σας)
5 Έστω τεταρτοκύκλιο ΟΑΒ ακτίνας R και ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΟΒ στο εσωτερικό
του Να βρείτε το εmicroβαδό και την περίmicroετρο του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΑΒ
6 Έστω δύο κύκλοι (ΟR) και (Ο΄R) των οποίων η διάmicroετρος ΟΟ΄ έχει microήκος
ΟΟ΄=R 3 α) Να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι τέmicroνονται
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινού microέρους των δύο κύκλων
7 Το εmicroβαδό κυκλικού τοmicroέα 80ο είναι 8π Η ακτίνα του κύκλου είναι
Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15
8 Τετράγωνο ΑΒΓ∆ είναι εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και η ηmicroιπερίmicroετρος του
είναι 80cm Να υπολογιστούν
α) η ακτίνα R του κύκλου
β) ο λόγος του εmicroβαδού του κύκλου προς το εmicroβαδό του τετραγώνου
9 Στο εσωτερικό ηmicroικυκλίου διαmicroέτρου ΑΟΒ=2R γράφουmicroε ηmicroικύκλια microε
διαmicroέτρους ΟΑ και ΟΒ Να υπολογιστεί το microήκος και το εmicroβαδό του κύκλου που
εφάπτεται των τριών ηmicroικυκλίων
10 ∆ύο κύκλοι (Ο3R) και (Ο΄R) εφάπτονται εξωτερικά στο σηmicroείο Α Φέρουmicroε την
κοινή εξωτερική εφαπτόmicroενη ΒΓ αυτών Να βρεθεί το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου
τριγώνου ΑΒΓ και του περιγεγραmicromicroένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ
11 Έστω ο κύκλος (ΟR) και microια ακτίνα του ΟΑ Στην ηmicroιευθεία ΟΑ θεωρούmicroε
σηmicroείοΒ έτσι ώστε ΑΒ=ΑΟ Αν ΒΓ η εφαπτοmicroένη του κύκλου να βρεθεί το
εmicroβαδό α) του τριγώνου ΟΒΓ και β) του microικτόγραmicromicroου τριγώνου
ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
28
12 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=λ3 και Γ∆=λ6
προς το ίδιο microέρος του κέντρου Ο α) Να εκφράσετε τις χορδές ΑΒ και Γ∆ ως
συνάρτηση της ακτίνας R β) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό Ε1 του κυκλικού τmicroήmicroατος
που αντιστοιχεί στη χορδή Γ∆ γ) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό του τριγώνου ΟΑΒ
δ) Να βρείτε την περίmicroετρο και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τραπεζίου που έχει
κορυφές τα ΑΒΓ∆
13 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) χορδή ΑΒ=R την εφαπτοmicroένη ε του κύκλου στο σηmicroείο
Α και τη εperpΒΓ Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του τραπεζίου ΟΑΓΒ
β) το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
14 ∆ίνεται ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΑΒ και στο εσωτερικό του τα ηmicroικύκλια διαmicroέτρων
ΑΓ και ΓΒ όπου Γ σηmicroείο microεταξύ των Α και Β Αν κάθετη της ΑΒ στο Γ τέmicroνει το
αρχικό ηmicroικύκλιο στο ∆ να αποδείξετε ότι το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται
microεταξύ των τριών ηmicroικυκλίων είναι ίσο microε το εmicroβαδό του κύκλου διαmicroέτρου Γ∆
15 Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ο60=Β
and
και ΒΓ=α Με
κέντρο το Β και ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει τη ΒΓ στο Μ και microε κέντρο
το Γ και ακτίνα ΓΜ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν Να βρεθεί η
περίmicroετρος και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
16 Με κέντρο ένα σηmicroείο Κ κύκλου (ΟR) και ακτίνα ίση προς R 3 γράφουmicroε
κύκλο ο οποίος τέmicroνει τον (ΟR) στα σηmicroεία Α και Β Να υπολογιστούν η
περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου microηνίσκου
17 ∆ίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ΒΓ = 2R
Γράφουmicroε ηmicroικύκλιο microε διάmicroετρο ΒΓ εκτός τριγώνου και τόξο κύκλου (Α ΑΒ) microε
άκρα Β και Γ Να βρεθεί η περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου
microηνίσκου από το ηmicroικύκλιο και το τόξο αυτό
18 Ένα ορθογώνιο σπίτι microε διαστάσεις α = 20m και β = 10m έχει microια εξωτερική
πρίζα σε microια γωνία του Ένα χορτοκοπτικό microηχάνηmicroα συνδεδεmicroένο microε την πρίζα
έχει καλώδιο microε microήκος 15m Να βρεθεί το εmicroβαδόν της microεγαλύτερης επιφάνειας
του χόρτου που microπορεί να κοπεί
19 Σε κύκλο ακτίνας R = 4cm είναι εγγεγραmicromicroένο ισόπλευρο τρίγωνο
Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του κύκλου
β) την πλευρά του τριγώνου
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου
δ) το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται microεταξύ του κύκλου και του τριγώνου
20 Σε κύκλο microε διάmicroετρο ΑΒ φέρουmicroε τις χορδές ΜΒΑΜ Αν είναι 6=ΑΜ και
8=ΒΜ να βρεθεί η ακτίνα και το εmicroβαδόν του κύκλου
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
29
21 Να βρεθεί το εmicroβαδόν του καθενός από τα δύο microέρη στα οποία διαιρείται ένας
κύκλος ( )RΟ από την πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραmicromicroένου στον κύκλο
αυτόν
22 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και φέρουmicroε δύο κάθετες ακτίνες ΟΑ και ΟΒ Με
κέντρο το Α και ακτίνα R γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει το cap
AB στο σηmicroείο Γ Να
βρεθεί το εmicroβαδόν του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΒΓ
23 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και τόξο 60=ΑΒ
cap
Φέρουmicroε στο σηmicroείο Α την
εφαπτοmicroένη χΑ του κύκλου και την χΑperpΒΓ Να βρεθεί το εmicroβαδόν του
microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
30
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΗ 1η
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α∆ διχοτόmicroος Β∆ = 2 Γ∆ = 3 και 2τ = 15 (περίmicroετρος) η πλευρά
ΑΒ είναι
Α 3 Β 4 Γ 5 ∆ 6 Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 2η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 3α2 + 2γ
2 = 2β
2 Τότε
i) Α and
Α gt90ο Β
and
Β gt 90ο Γ
and
Β lt 90ο ∆
and
Γ gt 90ο Ε Κανένα από τα παραπάνω
ii) Η προβολή της διαmicroέσου microα στην ΒΓ ισούται microε
Α 4
a Β
2
a Γ
4
3a ∆
2
3a Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 3η
Αν ΑΒΓ∆ τετράγωνο πλευράς α και Ε microέσο του Α∆ τότε
i) ΒΕ =2
5α Σ Λ
ii) Ο λόγος ΒΕΕΖ
ισούται microε
Α 5
2 Β
4
5 Γ
4
1 ∆
5
1 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
Α Β
E
Z
∆ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 4η
Αν τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=4 ΒΓ=5 ΑΓ=6 και Α∆ διχοτόmicroος τότε
i) -Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο Σ Λ
- Ο λόγος ∆Γ∆Β
ισούται microε
Α 2
1 Β
3
1 Γ
3
2 ∆
4
3 Ε
2
3
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ii) Αν ε η προβολή του Α στην ΒΓ να υπολογίσετε το microήκος του ΒΕ
iii) Να αποδείξετε ότι 2
1=
∆Γ∆Ε
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
31
ΑΣΚΗΣΗ 5η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και Μ το microέσο της Α∆ Προεκτείνουmicroε τη ∆Γ προς το Γ
κατά ΓΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΒΜ)=2
)(ΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τραπεζίου ΑΒΕ∆ είναι οκταπλάσιο από το εmicroβαδόν του
τριγώνου ΑΒΜ
ΑΣΚΗΣΗ 6η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναιuα =3ρ όπου ρ του εγγεγραmicromicroένου κύκλου του τριγώνου Ο λόγος
αγβ +
ισούται microε Α 2 Β 3 Γ 3
1 ∆
2
3 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ΑΣΚΗΣΗ 7η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάmicroεσός του Α∆ Προεκτείνουmicroε την ΒΑ προς το Α κατά τmicroήmicroα
ΑΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι (ΒΕ∆)=3(Α∆Γ)
ΑΣΚΗΣΗ 8η
Στο εσωτερικό της αυλής ενός σπιτιού υπάρχει microικρός κήπος microε λαχανικά όπως στο
ακόλουθο σχήmicroα Αν το εmicroβαδόν του κήπου είναι 122m και οι διαστάσεις της αυλής είναι
12m και 13m να βρεθεί το x Αν θέλουmicroε να περιφράξουmicroε τον κήπο microε σύρmicroα πόσο σύρmicroα
θα χρειαστούmicroε
12m
13m
ΑΣΚΗΣΗ 9η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ Από τυχαίο σηmicroείο Ε της ΑΓ φέρουmicroε ευθεία παράλληλη
προς την Α∆ που τέmicroνει την Γ∆ στο Ζ Να αποδείξετε ότι
i) (Α∆Ζ)=(ΑΕΒ)
ii) (ΑΕΖ)=(ΒΕΓ)-(ΖΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 10η
Οι διάmicroεσοι Β∆ και ΓΕ τριγώνου ΑΒΓ τέmicroνονται στο Θ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΕ∆)=4
)(ΑΒΓ
ii) (ΒΘΓ)= 3
)(ΑΒΓ
iii)(ΑΕ∆)= (ΒΚΛΓ) όπου Κ Λ τα microέσα των ΒΘ και ΓΘ αντίστοιχα
x
x x
x
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
32
ΑΣΚΗΣΗ 11η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε τη διχοτόmicroο Α∆ Από το ∆ φέρνουmicroε παράλληλη προς την ΑΒ
που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει την προέκταση της
∆Ε στο Ζ να αποδείξετε ότι
α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)
β) β2(ΑΕΖ) = γ
2(∆ΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 12η
Θεωρούmicroε γωνία yxand
Α και σηmicroείο Ο της διχοτόmicroου της Αδ Αν ο κύκλος (ΟΟΑ) τέmicroνει τις
Οx Οy στα Β Γ αντίστοιχα και την Αδ στο ∆ να αποδείξετε ότι
α) (ΟΑΒ)=(ΟΑΓ)
β) (ΒΟΓ∆)=(ΑΒ∆)
γ) (ΒΟΓ∆)=2
1(ΟΑ)(ΒΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 13η
Από εσωτερικό σηmicroείο Μ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλες προς τις
πλευρές ΑΓ και ΑΒ που τέmicroνουν τις ΑΒ ΑΓ στα ∆ Ζ αντίστοιχα Αν (ΒΜ)=x (ΒΓ)=α
(Β∆Μ)=Ε1 (ΓΖΜ)=Ε2 και (ΑΒΓ)=Ε τότε
α) Να εκφράσετε ως συναρτήσεις των x και α τους λόγους Ε
Ε1 και Ε
Ε2
β) Να αποδείξετε ότι ΕgeΕ+Ε2
121
ΑΣΚΗΣΗ 14η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=Γ∆=λ3
Να βρεθεί
i) Η περίmicroετρος του ΑΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που αντιστοιχεί στη χορδή ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 15η
Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε τα διαδοχικά σηmicroεία Α Β Γ και ∆ ώστε ΑΒ=ΒΓ=Γ∆= R Να
βρεθεί
i) H περίmicroετρος του τριγώνου ΑΒ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τριγώνου ΒΓ∆
iii) Ο λόγος )(
)(
ΒΓ∆ΑΒ∆
ΑΣΚΗΣΗ 16η
∆ίνεται τεταρτοκύκλιο Οand
ΒΓ ακτίνας R
α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΓΒ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε δύο ισεmicroβαδικά χωρία
β) Αν ∆ σηmicroείο του τόξου ΒΓ να αποδείξετε ότι η ευθεία Γ∆ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
γ) Να βρείτε σηmicroείο Α της ακτίνας ΟΒ ώστε η ευθεία ΓΑ να χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
33
ΑΣΚΗΣΗ 17η
Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο Ο cap
ΒΓ ακτίνας R Σηmicroείο Α κινείται πάνω στο τόξο cap
ΒΓ και έστω
Κ το σηmicroείο τοmicroής της ακτίνας ΟΑ microε τη ΒΓ Να βρείτε το microήκος του τόξου cap
ΒΑ όταν το
εmicroβαδό του τριγώνου ΟΚΓ ισούται microε το εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα
τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΒ και το τόξο cap
ΒΑ
ΑΣΚΗΣΗ 18η
∆ίνεται ηmicroικύκλιο κέντρου Ο microε διάmicroετρο ΑΑ1=2R Έστω Β σηmicroείο του ηmicroικυκλίου microε
( 1ΑΟΒand
)=φ microοίρες και ΟΓ ακτίνα που τέmicroνει τη χορδή ΑΒ στο Κ
α) Να βρείτε το microήκος S του τόξου cap
ΑΓ όταν το εmicroβαδόν του τριγώνου ΟΚΒ ισούται microε το
εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΓ και το τόξοcap
ΑΓ
β) Αν η γωνία 1ΑΟΒand
είναι 150ο πόσο είναι το S
γ) Για ποια τιmicroή του φ το S γίνεται microέγιστο
Β
Γ
φ
Α1 Α
ΑΣΚΗΣΗ 19η
Η περίmicroετρος ρόmicroβου ΑΒΓ∆ πλευράς α και κέντρου Ο είναι τετραπλάσια της microικρής
διαγωνίου του Β∆
i) Να υπολογιστεί συναρτήσει του α το εmicroβαδόν του Ε
ii) Φέρουmicroε Α∆perpΟΗ και Γ∆perpΟΖ Αν η ΑΖ τέmicroνει τον κύκλο διαmicroέτρου Ο∆ στο Θ να
δειχθεί ότι 2
3Ε=ΑΖsdotΑΘ
ΑΣΚΗΣΗ 20η
Το περίγραmicromicroα της βάσης ενός microεγάλου λόφου σχηmicroατίζει τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=γ ΑΓ=β
όπου βgtγ και στο οποίο η διάmicroεσος ΑΜ και το ύψος Α∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο ∆ίπλα στην
πλευρά ΑΓ υπάρχει ορθογώνιος ιδιωτικός χώρος διαστάσεων 2
γβ +και β-γ Σrsquo αυτόν το
χώρο πρόκειται να κατασκευαστεί ένας microεγάλος ανισόπεδος κόmicroβος που θα συνδέει δύο
δρόmicroους ταχείας κυκλοφορίας Γιrsquo αυτούς τους λόγους προτείνεται στον ιδιοκτήτη να δεχτεί
να ανταλλάξει αυτόν τον χώρο microε άλλον ορθογώνιο χώρο του δηmicroοσίου που βρίσκεται δίπλα
στην πλευρά ΒΓ και έχει διαστάσεις τα microήκη των ΒΓ και 2
ΑΜ Ο ιδιοκτήτης δηλώνει ότι θα
συmicroφωνήσει microε την πρόταση αρκεί οι ανταλλάξιmicroοι χώροι να έχουν την ίδια έκταση
Πρακτικά όmicroως είναι αδύνατον να microετρήσει την πλευρά ΒΓ και τη διάmicroεσο ΑΜ γιrsquo αυτό και
διστάζει Πως θα σκεφτόσαστε εσείς να βοηθήσετε τον ιδιοκτήτη να αποφασίσει
Κ
Ο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
34
ΑΣΚΗΣΗ 21η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε β=2γ και η διάmicroεσος του Β∆ Φέρουmicroε Β∆perpΑx που τέmicroνει την
Β∆ στο Ε και την ΒΓ στο Ζ και ΕyΑΓ που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ Να αποδείξετε ότι
i) ZB= 2
1ZΓ
ii) (ΑΒΓ)=3(ΑΒΖ)
iii) Να αποδειχθεί ότι 8
3
)(
)(=
ΑΒΖΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΗ 22η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε α=2γ και β= 7γ
α) i) Να αποδείξετε ότι 2
3αmicroα =
ii) Να βρείτε το είδος της γωνίας and
Β
iii) Αν ΑΕ perp ΒΓ να υπολογίσετε το ΒΕ συναρτήσει του γ
iv) Να βρείτε τη γωνία and
Β
β) Αν ΑΜ διάmicroεσος και Β∆ διχοτόmicroος να αποδείξτε ότι
i) Α∆ = 3
β
ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)
ΑΣΚΗΣΗ 23η
Έστω τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ο R) και σηmicroείο Μ το οποίο κινείται στο
ηmicroικύκλιο cap
ΑΒΓ
α) Να βρεθεί το ελάχιστο ( )minΕ και το microέγιστο ( )maxΕ εmicroβαδόν του τετράπλευρου ΑΜΓ∆
συναρτήσει της ακτίνας R
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε θέση του Μ είναι
i) Μ∆2 = ΑΓ ∆Ε όπου Ε η προβολή του Μ στην Β∆
ii) (ΑΜΓ∆) = 2
2Μ∆
γ) Να προσδιορίσετε τη θέση του σηmicroείου Μ όταν (ΑΜΓ∆) = 2
maxmin EE +
ΑΣΚΗΣΗ 24η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ M το microέσο της ΑΒ σηmicroείο Ν της ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΝ = 4
3ΑΓ και
σηmicroείο Κ της ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΚ = 4
1ΒΓ Να βρεθεί ο λόγος των εmicroβαδών του τριγώνου
ΑΒΓ προς του τριγώνου ΜΝΚ
ΑΣΚΗΣΗ 25η
Α) Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι 2
αmicro = βγ και β-γ = 5 2 Το microήκος της πλευράς
α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3
Β) Να δειχθεί ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει η σχέση (222
γβα micromicromicro ++ )2 = 27Ε
2 όπου
Ε το εmicroβαδό του
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
35
ΑΣΚΗΣΗ 26η
Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω περιπτώσεις
όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί να αποτελεί microήκη των
πλευρών του
i) 3 57
ii) 8 4 2
iii) 7 6 85
ΑΣΚΗΣΗ 27η
Αν η διάmicroεσος microα ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν προεκταθεί τέmicroνει τον περιγεγραmicromicroένο κύκλο
στο ∆ να αποδειχθεί ότι microα = Α∆+
2
22 γβ
ΑΣΚΗΣΗ 28η
Από ένα κυκλικό οικόπεδο ακτίνας R=30m θα αποκοπεί κυκλικό τmicroήmicroα χορδής 30 3 m για
την κατασκευή δρόmicroου
i) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου που έmicroεινε
ii) Να βρεθεί η αποζηmicroίωση που θα δοθεί στον ιδιοκτήτη αν η αρχική αξία του οικοπέδου
ήταν 10000000 δρχ
ΑΣΚΗΣΗ 29η
Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι α =13 β = 8 γ = 7
i) Να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς το είδος των γωνιών του
ii) Να υπολογιστεί το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ πάνω στην ΑΒ
iii) Να υπολογιστεί η γωνία and
Α
ΑΣΚΗΣΗ 30η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 4 ΑΓ = 5 ΒΓ = 7 Το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ
πάνω στην ΑΒ είναι Α 5 Β 1 Γ 6 ∆ 2
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 31η
Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (and
Α =90ο) microε
and
Β =60ο και ΒΓ=4 Με κέντρο το Β και
ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ και microε κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΜ
γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν να βρεθούν
i) Η θέση του σηmicroείου Μ στη ΒΓ
ii) Η περίmicroετρος του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
iii) Το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
36
ΑΣΚΗΣΗ 32η
Μια έκταση σχήmicroατος τετραγώνου microε A 30 H 70 ∆
πλευρά 100m πρόκειται να διατεθεί
για κατασκευή εργατικών κατοικιών
Οι κατοικίες θα ανεργεθούν σε τέσσερα 70 30
ίσα τριγωνικά οικόπεδα και η υπόλοιπη Μ
έκταση σχήmicroατος τετραπλεύρου θα
χρησιmicroοποιηθεί ως κοινόχρηστος χώρος Z
για δενδροφύτευση και κατασκευή γηπέδου
microπάσκετ 30 70
α) Να βρεθούν τα εmicroβαδά των τεσσάρων ίσων οικοπέδων
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινόχρηστου χώρου B 70 K 30 Γ
γ) Τι είδους τετράπλευρο είναι ο κοινόχρηστος χώρος Να βρεθούν οι πλευρές του
ΑΣΚΗΣΗ 33η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 90A =
and
και ΑΒ=y ΑΓ=β
Α∆=ν Β∆=micro ΒΓ=x ∆Γ=κ
i) Να συmicroπληρωθούν οι σχέσεις
β2=helliphelliphellip=helliphelliphelliphellip Α
ν2=helliphelliphelliphelliphelliphellip
2
2
βy
=helliphelliphelliphelliphellip βy=helliphelliphelliphellip y ν β
ii) Να δειχθεί ότι 111
222 νβ=+
y Β ν ∆ κ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 34η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroεία ∆Ε της πλευράς ΒΓ έτσι ώστε Β∆=∆Ε=ΕΓ Να απόδειχθεί
ότι
i) 2222 22 ΑΕminusΑ∆=∆ΕminusΑΒ ii)
2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 35η
∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε o90=Α
and
ΑΒ=5cm ΑΓ=12cm Α∆ το ύψος του και ΒΜ
η διάmicroεσος του Προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά ΓΕ=ΒΓ i) Να συγκρίνετε τα
εmicroβαδά των τριγώνων Α∆Γ και ΑΓΕ ii) Να δείξετε ότι η σχέση που συνδέει τα εmicroβαδά των
τριγώνων ΑΒΜ και ΑΒΕ είναι (ΑΒΕ)=4(ΑΒΜ)
ΑΣΚΗΣΗ 36η
Από σηmicroείο Μ εκτός κύκλου φέρνουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΜΕ του κύκλου και τις
τέmicroνουσες ΜΑΒ και ΜΓ∆ Αν είναι ΑΒ=9 ΓΜ=4 Γ∆=5 να υπολογίσετε i) το ΜΑ ii) το
ΜΕ
ΑΣΚΗΣΗ 37η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) ΑΒ microια διάmicroετρος του και Μ τυχαίο σηmicroείο του (διαφορετικό των Α
Β) Αν Γ είναι το microέσο της ΟΑ και ∆ το microέσο της ΟΒ ενώ η ΜΓ τέmicroνει τον κύκλο στο Ε και
η Μ∆ στο Ζ τότε να αποδείξετε ότι3
10=
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
37
Ζ
Ε
ΑΣΚΗΣΗ 38η
Ένα τριγωνικό αγρόκτηmicroα ΑΒΓ χωρίζεται
σε τέσσερα τριγωνικά αγροτεmicroάχια όπως Α
φαίνεται στο σχήmicroα έτσι ώστε ΑΒ=Α∆3
2
ΒΕ= ΒΓ4
1και ΓΖ= ΑΓ
2
1 α) Αν το εmicroβαδό ∆
του ΑΒΓ είναι 48 στρέmicromicroατα να υπολογίσετε το Β
Γ
εmicroβαδό του ∆ΕΖ β) Αν τα ∆ Ε Ζ είναι τα microέσα των ΑΒ
ΒΓ ΑΓ αντίστοιχα να βρεθούν τα εmicroβαδά των
τεσσάρων αγροτεmicroαχίων
ΑΣΚΗΣΗ 39η
∆ίνεται εγγράψιmicroο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ ώστε οι πλευρές του ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α microε τη σειρά
που δίνονται να αποτελούν γεωmicroετρική πρόοδο Να αποδείξετε ότι η διαγώνιος του Β∆ το
χωρίζει σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
ΑΣΚΗΣΗ 40η
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ∆ Ζ Γ
την ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m και
ο90=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος υ
∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο οποίος
θα χωρίσει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆
και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα α) Να βρεθεί
το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆ β) Να
βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο
ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο Α Ε Η Β
ΑΕ∆ δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου
∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
ΑΣΚΗΣΗ 41η
∆ίνεται ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ και τα σηmicroεία του ∆Γ έτσι ώστε ∆Β=Γ∆=ΑΓ Αν
Μ τυχαίο σηmicroείο εκτός του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατοςΑΒ
Να δείξετε ότι 2222 33 ΜΓ+ΜΒ=ΜΒ+ΑΜ
ΑΣΚΗΣΗ 42η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 222 2αγβ =+ Αν η διάmicroεσος ΑΜ τέmicroνει το περιγεγραmicromicroένο
κύκλο του τριγώνου στο ∆ να δείξετε ότι
α) 6
3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
38
ΑΣΚΗΣΗ 43η
Από ένα εξωτερικό σηmicroείο Α κύκλου ( )RΟ φέρουmicroε microια τέmicroνουσα ΑΒΓ έτσι ώστε
ΒΓ=ΑΒ Αν 7R=ΟΑ τότε να δείξετε ότι
i) ΒΓ=ΑΒ =λ3
ii) η γωνία and
ΑΟΓ είναι αmicroβλεία
iii) η προβολή της ΟΓ πάνω στην ΟΑ είναι ίση microε ΟΑ7
2
iv) Να δείξετε ότι ( )( ) 2
1=
ΑΟΓΒΟΓ
και στην συνέχεια να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του τριγώνου
and
ΑΟΓ
v) Να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που ορίζεται από την χορδή ΒΓ και
το microέτρο του τόξου cap
ΒΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
39
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
40
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
7
ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ∆ΙΧΟΤΟΜΩΝ
Η διχοτόmicroος microιας γωνίας τριγώνου διαιρεί την απέναντι πλευρά εσωτερικά σε λόγο ίσο microε το
λόγο των προσκείmicroενων πλευρών
Η διχοτόmicroος microιας εξωτερικής γωνίας τριγώνου τέmicroνει την προέκταση της απέναντι πλευράς
σε ένα σηmicroείο το οποίο διαιρεί εξωτερικά την πλευρά αυτή σε λόγο ίσο microε το λόγο των
προσκείmicroενων πλευρών
∆ηλαδή αν Α∆ η διχοτόmicroος του τριγώνου ΑΒΓ
ισχύει
ΑΓΑΒ
=∆Γ∆Β
∆ηλαδή αν ΑΕ η εξωτερική διχοτόmicroος του
τριγώνου ΑΒΓ ισχύει
ΑΓΑΒ
=ΕΓΕΒ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
8
ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
∆ύο ευθύγραmicromicroα σχήmicroατα λέγονται όmicroοια αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες
που σχηmicroατίζονται από τις οmicroόλογες πλευρές τους ίσες microία προς microία
Ο λόγος των περιmicroέτρων δύο όmicroοιων ευθυγράmicromicroων σχηmicroάτων ισούται microε το λόγο οmicroοιότητας
τους
ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ
Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες τους ίσες microία προς microία τότε είναι όmicroοια
Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ανάλογες microία προς microία και τις περιεχόmicroενες στις πλευρές
αυτές γωνίες ίσες τότε είναι όmicroοια
Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές ανάλογες microία προς microία τότε είναι όmicroοια
bull ∆ύο ορθογώνια τρίγωνα είναι όmicroοια όταν έχουν microία οξεία γωνία τους ίση
bull Όλα τα ισόπλευρα τρίγωνα είναι όmicroοια microεταξύ τους
bull ∆ύο ισοσκελή τρίγωνα τα οποία έχουν microία αντίστοιχη γωνία ίση είναι όmicroοια
bull Ο λόγος οmicroοιότητας δύο όmicroοιων τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο δύο οmicroόλογων υψών τους
bull Ο λόγος οmicroοιότητας δύο όmicroοιων τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο δύο οmicroόλογων διχοτόmicroων
τους
bull Ο λόγος οmicroοιότητας δύο όmicroοιων τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο δύο οmicroόλογων διαmicroέσων
τους
8ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
9
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΡΙΓΩΝΟ
Αν από τα άκρα ενός ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατος ΑΒ φέρουmicroε τις κάθετες ΑΑrsquo και ΒΒrsquo πάνω σε
microια ευθεία ε τότε το τmicroήmicroα ΑrsquoΒrsquo είναι η προβολή του ΑΒ πάνω στην ε
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο microιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο microε το
γινόmicroενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην υποτείνουσα
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ο λόγος των τετραγώνων των κάθετων πλευρών του είναι ίσος
microε το λόγο των προβολών τους πάνω στην υποτείνουσα
Γ∆Β∆
=ΑΓ
ΑΒ2
2
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισmicroα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών του είναι
ίσο microε το τετράγωνο της υποτείνουσας 222 ΑΓ+ΑΒ=ΒΓ
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει 222 ΑΓ+ΑΒ=ΒΓ τότε
90=Αand
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο του ύψους του που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα
είναι ίσο microε το γινόmicroενο των προβολών των κάθετων του στην υποτείνουσα
∆ΓsdotΒ∆=Α∆2
Έστω λοιπόν το ορθογώνιο ΑΒΓ και ∆ η προβολή της κορυφής
Α στην υποτείνουσα ΒΓ
Τότε ισχύει Β∆sdotΒΓ=ΑΒ2 και
Γ∆sdotΒΓ=ΑΓ2
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
10
bull Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές τότε βα 2=
bull Αν Α∆ είναι το ύψος ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα
τότε ισχύει 222
111
αυγβ=+ και βγαυα =
bull Το ύψος ισοπλεύρου τριγώνου ως συνάρτηση της πλευράς α
δίνεται από τον τύπο 2
3sdot=α
υ
ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ
Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία είναι ίσο microε το
άθροισmicroα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του ελαττωmicroένο κατά το διπλάσιο
γινόmicroενο της microιας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή
∆ηλαδή σε τρίγωνο ΑΒΓ microε 90ltΑ
and
και Α∆ η προβολή της πλευράς γ πάνω στην β
τότε ισχύει Α∆sdotminus+= βγβα 2222
Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από αmicroβλεία γωνία είναι ίσο microε το
άθροισmicroα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του αυξηmicroένο κατά το διπλάσιο
γινόmicroενο της microιας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
11
Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν οι ισοδυναmicroίες
bull 222 γβα +gt αν και microόνο αν 90gtΑ
and
bull 222 γβα += αν και microόνο αν 90=Α
and
bull 222 γβα +lt αν και microόνο αν 90ltΑ
and
Προσοχή Για να εφαρmicroόσουmicroε το πόρισmicroα αυτό πρέπει πάντα να συγκρίνουmicroε το
τετράγωνο της microεγαλύτερης πλευράς του τριγώνου microε το άθροισmicroα των τετραγώνων των
άλλων δύο πλευρών
Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση
Αsdotminus+= συνβγγβα 2222
Το ύψος υα ενός τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τον τύπο
( )( )( )γτβταττα
υα minusminusminus=2
όπου ( )γβατ ++=2
1
Ανάλογες εκφράσεις ισχύουν και για τα άλλα ύψη υβ και υγ
ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ∆ΙΑΜΕΣΩΝ
Το άθροισmicroα των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται microε το διπλάσιο του
τετραγώνου της διαmicroέσου που περιέχεται microεταξύ των πλευρών αυτών αυξηmicroένο κατά το
microισό του τετραγώνου της τρίτης πλευράς
∆ηλαδή σε τρίγωνο ΑΒΓ microε 90gtΑ
and
και
Α∆ η προβολή της πλευράς γ πάνω στην β
τότε ισχύει
Α∆sdot++= βγβα 2222
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
12
∆ηλαδή αν Α∆ =υα το ύψος και ΑΜ =microα η διάmicroεσος ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύει
2
22
222 αmicroγβ α +=+
Ανάλογα έχουmicroε και τους ακόλουθους τύπους
2
22
222 γmicroβα γ +=+
22
2222 β
microγα β +=+
Η διαφορά των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται microε το διπλάσιο γινόmicroενο της
τρίτης πλευράς επί την προβολή της αντίστοιχης διαmicroέσου πάνω στην πλευρά αυτή
Μ∆sdot=minus αγβ 222
Σηmicroείωση αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές ή ισόπλευρο τότε το Μ ταυτίζεται microε το ∆ και το 2ο
θεώρηmicroα διαmicroέσων ισχύει ταυτοτικά
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ
Αν δύο χορδές Γ∆ΑΒ ή οι προεκτάσεις τους τέmicroνονται σε ένα σηmicroείο Ρ τότε ισχύει
Ρ∆sdotΡΓ=ΡΒsdotΡΑ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
13
Αν από ένα εξωτερικό σηmicroείο Ρ κύκλου ( )R Ο φέρουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΡΕ
Και microια ευθεία που τέmicroνει τον κύκλο στα σηmicroεία ΒΑ τότε ισχύει η σχέση
Επίσης αν η ευθεία ΡΟ τέmicroνει τον κύκλο στα ∆ Γ και δ=ΟΡ τότε έχουmicroε ότι
Η διαφορά 22 Rminusδ λέγεται δύναmicroη σηmicroείου Ρ ως προς τον κύκλο ( )R Ο και
συmicroβολίζεται
( )2222
RRR minusΟΡ=minus=∆ΡΟ δ
bull Το Ρ είναι εξωτερικό σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 gt∆ΡΟ R
bull Το Ρ είναι εσωτερικό σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 lt∆ΡΟ R
bull Το Ρ είναι σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 =∆ΡΟ R
bull Για να είναι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι εγγράψιmicroο σε κύκλο αν ισχύει η σχέση
Ρ∆sdotΡΓ=ΡΒsdotΡΑ
bull Αν οι διαγώνιοι ενός τετράπλευρου ΑΒΓ∆ τέmicroνονται σε ένα σηmicroείο Κ τότε για να
είναι το τετράπλευρο εγγράψιmicroο σε κύκλο πρέπει να ισχύει η σχέση
Κ∆sdotΚΒ=ΚΓsdotΚΑ
ΡΒsdotΡΑ=ΡΕ2
( )( ) 22 RRR minus=+minus
=Ρ∆sdotΡΓ=ΡΒsdotΡΑ
δδδ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
14
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Οι πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου έχουν microήκη x x+1 και x+2 Η περίmicroετρος του
τριγώνου αυτού είναι
Α 3 Β 6 Γ 10 ∆ 12 Ε 15
Επιλέξτε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε
2 Θεωρούmicroε διάmicroετρο ΑΒ κύκλου (ΟR) και τις κάθετες ακτίνες ΟΓ και Ο∆ Αν Ε και
Ζ οι προβολές των Γ και ∆ αντίστοιχα στην ΑΒ να αποδειχθεί ότι
i) Τα τρίγωνα ΟΕΓ και Ζ∆Ο είναι ίσα
ii) 222 R=ΟΖ+ΟΕ
3 Έστω ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο )90( Οand
=Α και Β∆ η διάmicroεσός του Να αποδειχθεί
ότι 222
4
3ΒΓ=ΑΓ+Β∆
4 Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο ΑΟΒ κύκλου (ΟR) και τη διχοτόmicroο ΟΜ της γωνίας and
ΟΒΑ Από σηmicroείο Γ του τόξου cap
ΑΒ φέρουmicroε ΟΒperpΓ∆ που τέmicroνει την ευθεία
ΟΜ στο σηmicroείο Ε Να αποδειχθεί ότι α) ∆Ε=Ο∆ β) 222 R=∆Ε+∆Γ
5 Αν σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά
τmicroήmicroα Γ∆=2ΒΓ να αποδειχθεί ότι 222 6ΒΓ+ΑΓ=Α∆
6 Αν ∆ σηmicroείο της πλευράς ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) να αποδειχθεί ότι
22 ∆Γsdot∆Β=Α∆minusΑΒ
7 Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω
περιπτώσεις όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί
να αποτελεί microήκη των πλευρών του i) 357 ii) 842 iii) 76 85
8 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ πληρούν τη σχέση 222 βαγ +lt
τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο
9 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ πληρούν τις σχέσεις αltβltγ και 222 βαγ +lt τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο
10 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών ΑΒΓ πληρούν τη σχέση 444 γβα +lt τότε να
αποδειχθεί ότι 90Οand
ltΑ
11 Θεωρούmicroε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και σηmicroείο ∆ της ηmicroιευθείας ΑΒ
τέτοιο ώστε Β∆=ΑΒ Αν ΑΒperpΓΕ και είναι ΑΒ=4ΒΕ να αποδειχθεί ότι
2
3 222 ΑΓ+ΒΓ=Γ∆
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
15
12 Θεωρούmicroε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α τη διχοτόmicroο Γχ της εξωτερικής
γωνίας εξΓ
and
αυτού την κάθετη xΓperpΒΕ και την κάθετη ΑΓperpΕΖ
Να αποδειχθεί ότι i)4
α=ΓΖ ii)
2
7α=ΑΕ
13 Εκατέρωθεν της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ κατασκευάζουmicroε δύο ισόπλευρα
τρίγωνα ΒΓ∆ και ΒΓΕ Να αποδειχθεί ότι 22222 γβα ++=ΑΕ+Α∆
14 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ τα microήκη των πλευρών του οποίου συνδέονται microε τη σχέση
2 222 αγβ =+ Nα αποδειχθεί ότι α) 2
βmicro +2
γmicro =2
2 αmicro
β) 2
3αmicroα =
2
3γmicroβ =
2
3βmicroγ =
15 Θεωρούmicroε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ )90( Οand
=Α και τη διάmicroεσό του ΒΕ
α) Να αποδειχθεί ότι 222
4
3ΒΓ=ΑΓ+ΒΕ β) Αν Α∆ είναι η διάmicroεσος του
τριγώνου ΑΒΓ ΒΕ= 14 και o60=Β∆Α
and
να υπολογιστούν τα microήκη των πλευρών
του τριγώνου ΑΒΓ
16 Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει γβ micromicro perp τότε να αποδειχθεί ότι 222
αγβ micromicromicro =+
17 Αν ΒΒ΄ το ύψος τριγώνου ΑΒΓ microε o90ltΑ
and
και ΑΜ η διάmicroεσός του τότε να
αποδειχθεί ότι 4
22 ΄ΑΒsdotΑΓ+
ΒΓ=ΑΜ
18 Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ )90( Οand
=Α η διάmicroεσος του ΑΜ και ευθεία (ε)
κάθετη στην ΑΜ στο Μ Αν Ρ σηmicroείο της (ε) να αποδειχθεί ότι 222 2ΡΑ=ΡΓ+ΡΒ
19 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ ΑΜ διάmicroεσος η οποία προεκτεινόmicroενη τέmicroνει τον
περιγεγραmicromicroένο κύκλο (ΟR) στο ∆ και Θ το βαρύκεντρο του τριγώνου
Να δειχθεί ότι i)4
2α=Μ∆sdotΜΑ ii)
ΘΟ∆ )( R )(
9
1 222 γβα ++minus=
iii) AB2+AΓ
2=2ΑΜsdotΑ∆
20 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόmicroος του Α∆ Αν οι κύκλοι οι περιγεγραmicromicroένοι στα
τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓ∆ τέmicroνουν τις ΑΓ και ΑΒ στα σηmicroεία Ζ και Ε αντίστοιχα να
αποδειχθεί ότι ΒΕ=ΓΖ
21 Κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι εγγράψιmicroο σε κύκλο Αν το σηmicroείο τοmicroής Μ των
διαγωνίων του είναι microέσο της διαγωνίου Β∆ να αποδειχθεί ότι
i) ΜΓsdotΜΑ=∆Β 42 ii) 2 22222 ΑΓ=∆Α+Γ∆+ΒΓ+ΑΒ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
16
22 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) διαmicroέτρου ΑΒ Από ένα σηmicroείο Γ της προέκτασης της ΑΒ
προς το Β φέρνουmicroε την εφαπτοmicroένη Γ∆ και την ΑΓperpΓx Αν Ε είναι το σηmicroείο
τοmicroής των Α∆ και Γx να αποδειχθεί ότι
i) το τετράπλευρο ∆ΒΓΕ είναι εγγράψιmicroο ii) ΑΕsdotΑ∆minusΓΑ=Γ∆ 22
23 ∆ύο κύκλοι (ΚR) και
Λ2
R
εφάπτονται εσωτερικά στο Α Από ένα σηmicroείο Μ του
κύκλου
Λ2
R
φέρνουmicroε χορδή Γ∆ του κύκλου (ΚR) Να αποδειχθεί ότι
ΜΓΜ∆=ΜΑ2
24 Θεωρούmicroε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α και σηmicroείο ∆ της πλευράς ΒΓ Αν οι
περιγεγραmicromicroένοι κύκλοι στα τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓ∆ τέmicroνουν τις πλευρές ΑΓ και ΑΒ
στα σηmicroεία Ε και Ζ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι ΒΖ+ΓΕ=α
25 Στη διάmicroετρο ΑΒ κύκλου (ΟR) θεωρούmicroε τα σηmicroεία Γ και ∆ έτσι ώστε ΟΓ=Ο∆=α
και microεταβλητό σηmicroείο Μ του κύκλου Αν οι ΜΓ και Μ∆ τέmicroνουν τον κύκλο στα Ε
και Ζ αντίστοιχα να αποδείξετε ότι i) ΜΓΓΕ = Μ∆∆Ζ ii)
ΜΓ2+Μ∆
2 = 2(R
2+α
2) iii) το άθροισmicroα
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
είναι σταθερό
26 Θεωρούmicroε κύκλο (O2α) και σηmicroείο Ρ τέτοιο ώστε ΟΡ=2
3α Φέρουmicroε χορδή ΑΒ η
οποία διέρχεται από το Ρ και είναι τέτοια ώστε ΑΡ=α Να υπολογιστεί το microήκος της
χορδής ΑΒ
27 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) διάmicroετρο ΑΒ και τα microέσα Γ και ∆ των ΟΑ και ΟΒ
αντίστοιχα Από το σηmicroείο Γ φέρουmicroε χορδή ΕΖ = 2
13 Rsdot Να αποδειχθεί ότι
i) ΖΓ2+Ζ∆
2+ΓΕ
2+∆Ε
2=5R
2 ii)
and
Ε∆Ζ = 900
28 Έστω ΑΒ διάmicroετρος κύκλου (ΟR) και ΑΓ Β∆ δύο χορδές που τέmicroνονται στο Ρ Να
αποδειχθεί ότι i) αν οι Α∆ και ΒΓ τέmicroνονται στο Ε τότε το Ρ είναι ορθόκεντρο του
τριγώνου ΕΑΒ ii) ΑΓΑΡ+Β∆ΒΡ=ΑΒ2
29 Τρίγωνο ΑΒΓ microε β2+γ
2=2α
2 Β∆ ΓΕ ύψη ΑΜ διάmicroεσος και Ζ microέσο της ΑΜ Να
αποδειχθεί ότι i)and
Α lt900 ii) AE =
γα2
2
και ΑΜ = 2
3α iii) ΕΖ =
γαβ4
Ζ∆ = β
αγ4
30 Σε τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούmicroε σηmicroεία ∆Ε στην πλευρά ΒΓ ώστε Β∆ = ∆Ε = ΕΓ Να
αποδείξετε ότι i) AB2 ndash 2∆E
2 = 2A∆
2 ndash AE
2 ii) AB
2 + 2AΓ
2 = 3AE
2 +
6∆E2
31 Αν α β γ πλευρές τριγώνου να βρεθεί το είδος του τριγώνου στις παρακάτω περι-
πτώσεις i) α = ν2 + 1 β = 2ν γ = ν
2 ndash 1
ii) α = 4 β = 5 γ = 3
iii) α = 11 β = 13 γ = 12
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
17
32 Αν Ε ∆ Ζ microέσα των ΑΓ ΒΓ Β∆ αντίστοιχα ενός τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε ότι
i) Ε∆=2
1ΑΒ ii) ΕΖ
2 =
16
263 222 βminusγ+α
33 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ = 6 ΑΓ = 8 ΒΓ = 2 37 να αποδειχθεί ότι
i) ο120=Α
and
ii) να βρεθεί το microήκος Α∆ όπου Β∆ ύψος τριγώνου
iii) να βρεθεί το microήκος της διαmicroέσου microα
34 Σε τρίγωνο ΑΒΓ microε πλευρές α = 9 β = 7 γ = 4 να βρείτε i) το είδος του τριγώνου
ii) το microήκος της διαmicroέσου microα iii) την προβολή της διαmicroέσου microα πάνω στην
ΒΓ iv) την προβολή της πλευράς β πάνω στην γ
35 Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ο90=Α
and
ΑΜ διάmicroεσος και Ρ το microέσο
της ΑΜ Στην πλευρά ΒΓ = α παίρνουmicroε σηmicroείο Κ ώστε ΓΚ = 8
5α Να αποδειχθεί
ότι i) ΓΡ2 =
16
5 2α ii) ΡΚ
2 =
64
5 2α iii) ΡΓ = 2ΚΡ
36 Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε ο90=Α
and
α = 25 και β = 20 αν x είναι η προβολή της
πλευράς β πάνω στην πλευρά α τότε
i) η πλευρά γ έχει microήκος Α10 Β12 Γ13 ∆15 Ε21
ii) το ύψος υα έχει microήκος Α9 Β7 Γ12 ∆17 Ε5
iii) το τmicroήmicroα x έχει microήκος Α10 Β12 Γ17 ∆16 Ε21
(Να αιτιολογήσετε την απάντηση)
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
18
ΕΜΒΑ∆Α
ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ
Ας θεωρήσουmicroε ένα πολύγωνο
Ένα σχήmicroα που αποτελείται από πεπερασmicroένο πλήθος πολυγωνικών χωρίων που ανά δύο δεν
έχουν κοινά εσωτερικά σηmicroεία λέγεται πολυγωνική επιφάνεια
Ίσα πολυγωνικά χωρία έχουν ίσα εmicroβαδά
Αν ένα πολυγωνικό χωρίο (ή microια πολυγωνική επιφάνεια) χωρίζεται σε πεπερασmicroένου
πλήθους πολυγωνικά χωρία που δεν έχουν κοινά εσωτερικά σηmicroεία τότε το εmicroβαδόν του
ισούται microε το άθροισmicroα των εmicroβαδών των επιmicroέρους πολυγωνικών χωρίων
Το εmicroβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς 1 είναι 1
∆ύο σχήmicroατα που έχουν το ίδιο εmicroβαδόν ονοmicroάζονται ισεmicroβαδικά ή ισοδύναmicroα
Το πολύγωνο microαζί microε τα εσωτερικά του
στοιχεία ονοmicroάζεται πολυγωνικό χωρίο
Ένα πολυγωνικό χωρίο που ορίζεται από
τρίγωνο τετράγωνοhellipν-γωνο ονοmicroάζεται
τριγωνικό πολυγωνικόhellip ν-γωνικό
∆ύο πολυγωνικά χωρία λέγονται ίσα όταν τα
αντίστοιχα πολύγωνά τους είναι ίσα
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
19
ΕΜΒΑ∆Α ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
Το εmicroβαδόν τετραγώνου πλευράς α δίνεται από τον τύπο 2α=Ε
Το εmicroβαδόν ενός ορθογωνίου ισούται microε το γινόmicroενο των πλευρών του βα sdot=Ε
Το εmicroβαδόν ενός παραλληλογράmicromicroου ισούται microε το γινόmicroενο microιας πλευράς του επί το ύψος
που αντιστοιχεί σε αυτή
βα υβυα sdot=sdot=Ε
Το εmicroβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο microε το ηmicroιγινόmicroενο microιας πλευράς επί το αντίστοιχο ύψος
γβα υγυβυα sdot=sdot=sdot=Ε2
1
2
1
2
1
Το εmicroβαδόν τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο του ηmicroιαθροίσmicroατος των βάσεων του επί το
ύψος του υβsdot
+Β=Ε
2
Το εmicroβαδόν τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο της διαmicroέσου επί το ύψος του
bull Το εmicroβαδόν ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς α είναι ίσο microε 4
32α=Ε
bull Το εmicroβαδόν ρόmicroβου ισούται microε το ηmicroιγινόmicroενο των διαγωνίων του
bull Το εmicroβαδόν οποιουδήποτε κυρτού ή microη κυρτού τετραπλεύρου microε κάθετες διαγωνίους
ισούται microε το ηmicroιγινόmicroενο των διαγωνίων του
bull Η διάmicroεσος κάθε τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
bull Το βαρύκεντρο τριγώνου έχει την ιδιότητα να δηmicroιουργεί microε τις κορυφές του τριγώνου τρία
ισεmicroβαδικά τρίγωνα
bull Το βαρύκεντρου του τριγώνου οι κορυφές του και τα microέσα των πλευρών του ορίζουν έξι
ισεmicroβαδικά τρίγωνα
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
20
ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΕΜΒΑ∆ΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
( )( )( )γτβταττ minusminusminus=Ε όπου 2
γβατ
++= ηmicroιπερίmicroετρος του τριγώνου
ρτ sdot=Ε
R4
γβα sdotsdot=Ε
Γsdotsdot=Βsdotsdot=Αsdotsdot=Ε ηmicroβαηmicroαγηmicroγβ2
1
2
1
2
1
ΕΜΒΑ∆Α ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
Αν δύο τρίγωνα έχουν ίσες βάσεις τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο των
αντίστοιχων υψών ενώ αν έχουν ίσα ύψη τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο
των αντίστοιχων βάσεων
Αν δύο τρίγωνα είναι όmicroοια τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το τετράγωνο του
λόγου οmicroοιότητας
Ο λόγος των εmicroβαδών δύο όmicroοιων πολυγώνων είναι ίσος microε το τετράγωνο του λόγου
οmicroοιότητας
Αν microια γωνία ενός τριγώνου είναι ίση ή παραπληρωmicroατική microε microια γωνία ενός άλλου
τριγώνου τότε ο λόγος των εmicroβαδών των δύο τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο των γινοmicroένων
των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
21
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Αν ΑΒΓ∆ τραπέζιο ( Γ∆ΑΒ ) και Ο το σηmicroείο τοmicroής των διαγωνίων του ΑΓ και
Β∆ να αποδείξετε ότι ΟΑ∆ΟΒΓ Ε=Ε
2 Ένα τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) και ΒΓ=Γ∆=Α∆ και τη βάση ΑΒ κατά 2 microικρότερη
από το άθροισmicroα των τριών αυτών πλευρών Αν το ύψος του τραπεζίου είναι 5 να
υπολογιστεί το εmicroβαδό του
3 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ microε microήκη πλευρών α=10 β=8 γ=14 και ισόπλευρο τρίγωνο
∆ΕΖ το οποίο είναι ισοδύναmicroο microε το ΑΒΓ Το microήκος της πλευράς του ισόπλευρου
τριγώνου ∆ΕΖ είναι
Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20
Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε
4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=2 ΒΗ ύψος και η διάmicroεσος Β∆=1 Αν and
∆ΑΒ =30ο να
υπολογιστούν α) τα ΒΗ Η∆ ΑΗ
β) το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ
5 Με υποτείνουσες τις κάθετες πλευρές ΑΒ και ΑΓ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ microε
β+γ=20 κατασκευάζουmicroε ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓΕ εκτός
αυτού
α) Να αποδείξετε ότι τα σηmicroεία ∆ΑΕ είναι συνευθειακά
β) Να βρείτε το εmicroβαδό του τετραπλεύρου ΒΓΕ∆
6 Προεκτείνουmicroε τις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ ενός τριγώνου ΑΒΓ κατά τmicroήmicroατα
Γ∆=ΓΒ ΑΕ=ΑΓ και ΒΖ=ΒΑ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι (∆ΕΖ) = 7(ΑΒΓ)
7 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Μ στο εσωτερικό του Φέρνουmicroε από το Μ
παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των
σχηmicroατιζόmicroενων τριγώνων και Ε το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε
ότι 321 Ε+Ε+Ε=Ε
8 Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ που τέmicroνει τις πλευρές ΑΒ
και ΑΓ στα σηmicroεία ∆ και Ε αντίστοιχα Να αποδείξετε ότι (ΑΒΕ)2=(ΑΒΓ)(Α∆Ε)
9 Από σηmicroείο ∆ της πλευράς ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη προς την
πλευρά ΒΓ που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των τριγώνων
Α∆Ε Α∆Γ και ΑΒΓ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι 31
2
2 ΕsdotΕ=Ε
10 Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Α΄ της πλευράς του ΒΓ Από τα Β και Γ
φέρνουmicroε παράλληλες προς την ΑΑ΄ που τέmicroνουν τις ευθείες ΑΓ και ΑΒ στα σηmicroεία
Γ΄ και Β΄ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι
α) (ΑΑ΄Γ΄) = (ΑΒΑ΄) και (ΑΑ΄Β΄) = (ΑΓΑ΄)
β) (Α´ô) = (ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
22
11 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ microε ΑΒ=10 Α∆=4 και and
∆ =60ο Στην πλευρά ΑΒ
θεωρούmicroε τα σηmicroεία Ε και Ζ έτσι ώστε ΑΕ=ΕΖ=ΖΒ Αν Η είναι το σηmicroείο τοmicroής των
ευθειών ∆Ε και ΓΖ να υπολογιστούν
α) το εmicroβαδό του παραλληλογράmicromicroου ΑΒΓ∆
β) το εmicroβαδό του τραπεζίου Γ∆ΕΖ
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου ΗΕΖ
12 ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=ΑΓ=6 και ο120=Α
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του
β) Αν Ε σηmicroείο της ΑΓ τέτοιο ώστε ΓΕ=ΑΕ2
1 και Α∆ το ύψος του τριγώνου
ΑΒΓ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ∆ΕΓ
γ) Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει τη ∆Ε στο Η να βρεθεί το εmicroβαδό
του τριγώνου ΑΕΗ
13 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Ρ στο εσωτερικό του Από το Ρ φέρνουmicroε κάθετες
ηmicroιευθείες στις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ και πάνω σrsquo αυτές παίρνουmicroε τα σηmicroεία Α΄
Β΄ και Γ΄ αντίστοιχα έτσι ώστε ΡΑ΄=ΒΓ ΡΒ΄=ΑΓ και ΡΓ΄=ΑΒ Να αποδειχθεί ότι
α) οι γωνίες and
Γ και and
ΒprimeΡΑprime είναι παραπληρωmicroατικές
β) (ΡΑ΄Β΄)=(ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)
14 Θεωρούmicroε τρεις ίσες διαδοχικές γωνίες and
οψx zand
οψ xzand
ο και πάνω στις
ηmicroιευθείες Οx Oψ και Οz τα σηmicroεία Α Β Γ αντίστοιχα έτσι ώστε ΟΑ=1 ΟΒ=4 και
ΟΓ=8
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ψοand
x zand
οψ xzand
ο
β) Αν Οw η αντικείmicroενη ηmicroιευθεία της Οψ και Γ∆ wΟperp να υπολογίσετε τις Ο∆ και
Γ∆
γ) Να υπολογίσετε το (ΟΒΓ)
δ) Να αποδείξετε ότι (ΑΒΓ)= 311
15 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ και Κ Λ Μ Ν τα microέσα των ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α
αντίστοιχα α) Να αποδειχθεί ότι (ΚΛΜΝ)=2
1(ΑΒΓ∆)
β) Αν ΚΜ ΛΝperp να αποδειχθεί ότι (ΑΒΓ∆) = ΚΜΛΝ
16 Λ
Α Β Στο διπλανό σχήmicroα τα σηmicroεία Κ Λ είναι τα
Κ Ρ microέσα των τmicroηmicroάτων ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα
Να αποδείξετε ότι
Γ α) ο λόγος των εmicroβαδών των τριγώνων ΑΚΒ και ΑΛΓ είναι ίσος microε
β) αν Ρ είναι το σηmicroείο τοmicroής των ΛΓ και ΚΒ τότε τα τρίγωνα ΒΛΡ
και ΚΓΡ έχουν ίσα εmicroβαδά
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
23
17 ∆ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) microε ΑΒ=4 Α∆=2 καιο60=∆
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τραπεζίου ΑΒΓ∆
β) Αν Ε σηmicroείο της πλευράς ΑΒ τέτοιο ώστε ΕΒ= ΑΒ4
1 και οι Ε∆ ΕΓ τέmicroνουν τη
διάmicroεσο του τραπεζίου στα σηmicroεία Ζ και Η αντίστοιχα να βρεθεί το εmicroβαδό του
τριγώνου ΕΖΗ
γ) Αν οι ∆Ε και ΒΓ τέmicroνονται στο Ρ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ΡΕΒ
18 Αν οι διαγώνιοι κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓ∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο να αποδείξετε ότι
το τετράπλευρο έχει εmicroβαδό Β∆sdotΑΓ4
1
19 Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται ΑΒ=5 ο60=Α
and
και η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου
κύκλου 3
7=R Να βρεθούν οι άλλες δύο πλευρές του τριγώνου και το εmicroβαδόν του
20
∆ Ζ Γ
υ
Α Ε Η Β
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m
90ο=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος ∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο
οποίος θα χωρίζει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆ και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο
ΑΕ∆
δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου ∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
21 Αν Μ και Ν είναι τα microέσα των πλευρών ΒΓ και Γ∆ ενός παραλληλόγραmicromicroου ΑΒΓ∆
να αποδείξετε ότι (ΑΜΝ)= )(8
3ΑΒΓ∆
22 Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) θεωρούmicroε το microέσο Μ της πλευράς ΑΒ
και σηmicroείο Ν της πλευράς ΑΓ τέτοιο ώστε 3
ΑΓ=ΓΝ Να δειχθεί ότι
(ΜΝΒ)= )(3
1ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
24
23 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και τυχαίο σηmicroείο Σ στην προέκταση της πλευράς
∆Γ προς το Γ Να αποδείξετε ότι
α) (ΑΒ∆)= )(2
1ΑΒΓ∆
β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)
γ) αν η ΑΣ τέmicroνει την Β∆ στο σηmicroείο Ε τότε (Ε∆Σ)-(ΕΑΒ)=(ΣΒΓ)
24 Έστω Σ τυχαίο σηmicroείο της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ Στο σηmicroείο Α φέρουmicroε
microια ευθεία ε κάθετη στην ΑΣ Αν ∆ και Ε είναι αντίστοιχα οι προβολές των σηmicroείων
Β και Γ στην ευθεία ε να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ∆ΣΕ είναι ισοδύναmicroα
25 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 8=ΑΒ 12=ΑΓ και η Α∆ διχοτόmicroος της γωνίας and
Α Αν
( )ΑΒ∆ =20 τmicro να βρείτε το ( )ΑΒΓ
26 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ∆ σηmicroείο της πλευράς ΑΒέτσι ώστε 6=Α∆ ∆Β=5
8=ΑΓ Αν 80=Α
and
να βρείτε το εmicroβαδόν του τριγώνου Β∆Γ
27 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ microε 90=Β
and
και η γωνία and
Α να είναι το 3
1 της ορθής Αν
∆ σηmicroείο της προέκτασης της πλευράς ΒΓ προς το Γ τέτοιο ώστε η 30=Α∆Β
and
να
βρεθεί ο λόγος ( )( )ΑΒ∆ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
25
ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ
ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ
Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του
ίσες
Γωνία κανονικού ν-γώνου ν
φν
360
180 minus=
Κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου ν
ων
360=
Σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας R ισχύουν οι εξής τύποι 2
22
4R=+ ν
ν
λα
νν λν sdot=Ρ
ννν αsdotΡ=Ε2
1
όπου να απόστηmicroα νλ πλευρά νΡ περίmicroετρος νΕ εmicroβαδόν
∆ύο κανονικά πολύγωνα microε τον ίδιο αριθmicroό πλευρών είναι όmicroοια
Κάθε κανονικό πολύγωνο εγγράφεται σε έναν κύκλο και περιγράφεται σε έναν άλλον Οι δύο
αυτοί κύκλοι είναι οmicroόκεντροι
bull Το κοινό κέντρο τον κύκλων αυτών λέγεται κέντρο του πολυγώνου
bull Η ακτίνα R του περιγεγραmicromicroένου κύκλου λέγεται ακτίνα του πολυγώνου
bull Η απόσταση του κέντρου από microια πλευρά του δηλαδή η ακτίνα του εγγεγραmicromicroένου
κύκλου λέγεται απόστηmicroα του πολυγώνου
Σε δύο κανονικά ν-γωνα ο λόγος των πλευρών τους ισούται microε το λόγο των ακτινών τους και
το λόγο των αποστηmicroάτων τους
∆ηλαδή
ν
ν
ν
ν
αα
λλ
==R
R
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
26
ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ
ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ
ΚΑΝΟΝΙΚΟ
ΕΞΑΓΩΝΟ
ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ
ΤΡΙΓΩΝΟ
ΠΛΕΥΡΑ νλ 24 R=λ R=6λ 33 R=λ
ΑΠΟΣΤΗΜΑ να
2
24
R=α
2
36
R=α
23
R=α
RL sdot= π2
180
microπ sdotsdot=
Rl ή Rl sdot=α
180
microαπ
=
2Rsdot=Ε π
( )360
2 microπ sdotsdot=ΟΑΒ
cap R ή ( )
cap
sdot=ΟΑΒ 2
2
1Rα
( ) ( )ΟΑΒminusΟΑΒ=cap
ε
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
27
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Ένα κανονικό εξάγωνο είναι περιγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ορ) Η πλευρά του
εξαγώνου αυτού είναι
Α ρ Β 2
3ρ Γ 2ρ ∆
3
32ρ Ε
3
2ρ
2 ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και στις προεκτάσεις των
πλευρών ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α θεωρούmicroε τα τmicroήmicroατα ΒΚ=ΓΛ=∆Μ=ΑΝ=λ3 Να δείξετε
ότι το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο και ότι η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου κύκλου του
είναι 641 += RR
3 Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε δύο παράλληλες χορδές ΑΒ=λ4 και Γ∆=λ6 Να
αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι ισοσκελές τραπέζιο και να υπολογιστεί
το εmicroβαδό του ως συνάρτηση της ακτίνας R
4 Η περίmicroετρος ενός κυκλικού τοmicroέα ΟΑΒ ενός κύκλου (ΟR) είναι 6+π Αν
ο60=ΒΟΑand
τότε το microήκος της ακτίνας R είναι
Α 6 Β 3 Γ 2 ∆ 4 Ε 5 (δικαιολογήστε την απάντησή σας)
5 Έστω τεταρτοκύκλιο ΟΑΒ ακτίνας R και ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΟΒ στο εσωτερικό
του Να βρείτε το εmicroβαδό και την περίmicroετρο του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΑΒ
6 Έστω δύο κύκλοι (ΟR) και (Ο΄R) των οποίων η διάmicroετρος ΟΟ΄ έχει microήκος
ΟΟ΄=R 3 α) Να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι τέmicroνονται
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινού microέρους των δύο κύκλων
7 Το εmicroβαδό κυκλικού τοmicroέα 80ο είναι 8π Η ακτίνα του κύκλου είναι
Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15
8 Τετράγωνο ΑΒΓ∆ είναι εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και η ηmicroιπερίmicroετρος του
είναι 80cm Να υπολογιστούν
α) η ακτίνα R του κύκλου
β) ο λόγος του εmicroβαδού του κύκλου προς το εmicroβαδό του τετραγώνου
9 Στο εσωτερικό ηmicroικυκλίου διαmicroέτρου ΑΟΒ=2R γράφουmicroε ηmicroικύκλια microε
διαmicroέτρους ΟΑ και ΟΒ Να υπολογιστεί το microήκος και το εmicroβαδό του κύκλου που
εφάπτεται των τριών ηmicroικυκλίων
10 ∆ύο κύκλοι (Ο3R) και (Ο΄R) εφάπτονται εξωτερικά στο σηmicroείο Α Φέρουmicroε την
κοινή εξωτερική εφαπτόmicroενη ΒΓ αυτών Να βρεθεί το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου
τριγώνου ΑΒΓ και του περιγεγραmicromicroένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ
11 Έστω ο κύκλος (ΟR) και microια ακτίνα του ΟΑ Στην ηmicroιευθεία ΟΑ θεωρούmicroε
σηmicroείοΒ έτσι ώστε ΑΒ=ΑΟ Αν ΒΓ η εφαπτοmicroένη του κύκλου να βρεθεί το
εmicroβαδό α) του τριγώνου ΟΒΓ και β) του microικτόγραmicromicroου τριγώνου
ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
28
12 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=λ3 και Γ∆=λ6
προς το ίδιο microέρος του κέντρου Ο α) Να εκφράσετε τις χορδές ΑΒ και Γ∆ ως
συνάρτηση της ακτίνας R β) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό Ε1 του κυκλικού τmicroήmicroατος
που αντιστοιχεί στη χορδή Γ∆ γ) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό του τριγώνου ΟΑΒ
δ) Να βρείτε την περίmicroετρο και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τραπεζίου που έχει
κορυφές τα ΑΒΓ∆
13 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) χορδή ΑΒ=R την εφαπτοmicroένη ε του κύκλου στο σηmicroείο
Α και τη εperpΒΓ Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του τραπεζίου ΟΑΓΒ
β) το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
14 ∆ίνεται ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΑΒ και στο εσωτερικό του τα ηmicroικύκλια διαmicroέτρων
ΑΓ και ΓΒ όπου Γ σηmicroείο microεταξύ των Α και Β Αν κάθετη της ΑΒ στο Γ τέmicroνει το
αρχικό ηmicroικύκλιο στο ∆ να αποδείξετε ότι το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται
microεταξύ των τριών ηmicroικυκλίων είναι ίσο microε το εmicroβαδό του κύκλου διαmicroέτρου Γ∆
15 Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ο60=Β
and
και ΒΓ=α Με
κέντρο το Β και ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει τη ΒΓ στο Μ και microε κέντρο
το Γ και ακτίνα ΓΜ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν Να βρεθεί η
περίmicroετρος και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
16 Με κέντρο ένα σηmicroείο Κ κύκλου (ΟR) και ακτίνα ίση προς R 3 γράφουmicroε
κύκλο ο οποίος τέmicroνει τον (ΟR) στα σηmicroεία Α και Β Να υπολογιστούν η
περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου microηνίσκου
17 ∆ίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ΒΓ = 2R
Γράφουmicroε ηmicroικύκλιο microε διάmicroετρο ΒΓ εκτός τριγώνου και τόξο κύκλου (Α ΑΒ) microε
άκρα Β και Γ Να βρεθεί η περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου
microηνίσκου από το ηmicroικύκλιο και το τόξο αυτό
18 Ένα ορθογώνιο σπίτι microε διαστάσεις α = 20m και β = 10m έχει microια εξωτερική
πρίζα σε microια γωνία του Ένα χορτοκοπτικό microηχάνηmicroα συνδεδεmicroένο microε την πρίζα
έχει καλώδιο microε microήκος 15m Να βρεθεί το εmicroβαδόν της microεγαλύτερης επιφάνειας
του χόρτου που microπορεί να κοπεί
19 Σε κύκλο ακτίνας R = 4cm είναι εγγεγραmicromicroένο ισόπλευρο τρίγωνο
Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του κύκλου
β) την πλευρά του τριγώνου
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου
δ) το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται microεταξύ του κύκλου και του τριγώνου
20 Σε κύκλο microε διάmicroετρο ΑΒ φέρουmicroε τις χορδές ΜΒΑΜ Αν είναι 6=ΑΜ και
8=ΒΜ να βρεθεί η ακτίνα και το εmicroβαδόν του κύκλου
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
29
21 Να βρεθεί το εmicroβαδόν του καθενός από τα δύο microέρη στα οποία διαιρείται ένας
κύκλος ( )RΟ από την πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραmicromicroένου στον κύκλο
αυτόν
22 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και φέρουmicroε δύο κάθετες ακτίνες ΟΑ και ΟΒ Με
κέντρο το Α και ακτίνα R γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει το cap
AB στο σηmicroείο Γ Να
βρεθεί το εmicroβαδόν του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΒΓ
23 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και τόξο 60=ΑΒ
cap
Φέρουmicroε στο σηmicroείο Α την
εφαπτοmicroένη χΑ του κύκλου και την χΑperpΒΓ Να βρεθεί το εmicroβαδόν του
microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
30
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΗ 1η
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α∆ διχοτόmicroος Β∆ = 2 Γ∆ = 3 και 2τ = 15 (περίmicroετρος) η πλευρά
ΑΒ είναι
Α 3 Β 4 Γ 5 ∆ 6 Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 2η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 3α2 + 2γ
2 = 2β
2 Τότε
i) Α and
Α gt90ο Β
and
Β gt 90ο Γ
and
Β lt 90ο ∆
and
Γ gt 90ο Ε Κανένα από τα παραπάνω
ii) Η προβολή της διαmicroέσου microα στην ΒΓ ισούται microε
Α 4
a Β
2
a Γ
4
3a ∆
2
3a Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 3η
Αν ΑΒΓ∆ τετράγωνο πλευράς α και Ε microέσο του Α∆ τότε
i) ΒΕ =2
5α Σ Λ
ii) Ο λόγος ΒΕΕΖ
ισούται microε
Α 5
2 Β
4
5 Γ
4
1 ∆
5
1 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
Α Β
E
Z
∆ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 4η
Αν τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=4 ΒΓ=5 ΑΓ=6 και Α∆ διχοτόmicroος τότε
i) -Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο Σ Λ
- Ο λόγος ∆Γ∆Β
ισούται microε
Α 2
1 Β
3
1 Γ
3
2 ∆
4
3 Ε
2
3
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ii) Αν ε η προβολή του Α στην ΒΓ να υπολογίσετε το microήκος του ΒΕ
iii) Να αποδείξετε ότι 2
1=
∆Γ∆Ε
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
31
ΑΣΚΗΣΗ 5η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και Μ το microέσο της Α∆ Προεκτείνουmicroε τη ∆Γ προς το Γ
κατά ΓΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΒΜ)=2
)(ΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τραπεζίου ΑΒΕ∆ είναι οκταπλάσιο από το εmicroβαδόν του
τριγώνου ΑΒΜ
ΑΣΚΗΣΗ 6η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναιuα =3ρ όπου ρ του εγγεγραmicromicroένου κύκλου του τριγώνου Ο λόγος
αγβ +
ισούται microε Α 2 Β 3 Γ 3
1 ∆
2
3 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ΑΣΚΗΣΗ 7η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάmicroεσός του Α∆ Προεκτείνουmicroε την ΒΑ προς το Α κατά τmicroήmicroα
ΑΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι (ΒΕ∆)=3(Α∆Γ)
ΑΣΚΗΣΗ 8η
Στο εσωτερικό της αυλής ενός σπιτιού υπάρχει microικρός κήπος microε λαχανικά όπως στο
ακόλουθο σχήmicroα Αν το εmicroβαδόν του κήπου είναι 122m και οι διαστάσεις της αυλής είναι
12m και 13m να βρεθεί το x Αν θέλουmicroε να περιφράξουmicroε τον κήπο microε σύρmicroα πόσο σύρmicroα
θα χρειαστούmicroε
12m
13m
ΑΣΚΗΣΗ 9η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ Από τυχαίο σηmicroείο Ε της ΑΓ φέρουmicroε ευθεία παράλληλη
προς την Α∆ που τέmicroνει την Γ∆ στο Ζ Να αποδείξετε ότι
i) (Α∆Ζ)=(ΑΕΒ)
ii) (ΑΕΖ)=(ΒΕΓ)-(ΖΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 10η
Οι διάmicroεσοι Β∆ και ΓΕ τριγώνου ΑΒΓ τέmicroνονται στο Θ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΕ∆)=4
)(ΑΒΓ
ii) (ΒΘΓ)= 3
)(ΑΒΓ
iii)(ΑΕ∆)= (ΒΚΛΓ) όπου Κ Λ τα microέσα των ΒΘ και ΓΘ αντίστοιχα
x
x x
x
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
32
ΑΣΚΗΣΗ 11η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε τη διχοτόmicroο Α∆ Από το ∆ φέρνουmicroε παράλληλη προς την ΑΒ
που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει την προέκταση της
∆Ε στο Ζ να αποδείξετε ότι
α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)
β) β2(ΑΕΖ) = γ
2(∆ΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 12η
Θεωρούmicroε γωνία yxand
Α και σηmicroείο Ο της διχοτόmicroου της Αδ Αν ο κύκλος (ΟΟΑ) τέmicroνει τις
Οx Οy στα Β Γ αντίστοιχα και την Αδ στο ∆ να αποδείξετε ότι
α) (ΟΑΒ)=(ΟΑΓ)
β) (ΒΟΓ∆)=(ΑΒ∆)
γ) (ΒΟΓ∆)=2
1(ΟΑ)(ΒΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 13η
Από εσωτερικό σηmicroείο Μ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλες προς τις
πλευρές ΑΓ και ΑΒ που τέmicroνουν τις ΑΒ ΑΓ στα ∆ Ζ αντίστοιχα Αν (ΒΜ)=x (ΒΓ)=α
(Β∆Μ)=Ε1 (ΓΖΜ)=Ε2 και (ΑΒΓ)=Ε τότε
α) Να εκφράσετε ως συναρτήσεις των x και α τους λόγους Ε
Ε1 και Ε
Ε2
β) Να αποδείξετε ότι ΕgeΕ+Ε2
121
ΑΣΚΗΣΗ 14η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=Γ∆=λ3
Να βρεθεί
i) Η περίmicroετρος του ΑΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που αντιστοιχεί στη χορδή ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 15η
Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε τα διαδοχικά σηmicroεία Α Β Γ και ∆ ώστε ΑΒ=ΒΓ=Γ∆= R Να
βρεθεί
i) H περίmicroετρος του τριγώνου ΑΒ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τριγώνου ΒΓ∆
iii) Ο λόγος )(
)(
ΒΓ∆ΑΒ∆
ΑΣΚΗΣΗ 16η
∆ίνεται τεταρτοκύκλιο Οand
ΒΓ ακτίνας R
α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΓΒ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε δύο ισεmicroβαδικά χωρία
β) Αν ∆ σηmicroείο του τόξου ΒΓ να αποδείξετε ότι η ευθεία Γ∆ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
γ) Να βρείτε σηmicroείο Α της ακτίνας ΟΒ ώστε η ευθεία ΓΑ να χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
33
ΑΣΚΗΣΗ 17η
Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο Ο cap
ΒΓ ακτίνας R Σηmicroείο Α κινείται πάνω στο τόξο cap
ΒΓ και έστω
Κ το σηmicroείο τοmicroής της ακτίνας ΟΑ microε τη ΒΓ Να βρείτε το microήκος του τόξου cap
ΒΑ όταν το
εmicroβαδό του τριγώνου ΟΚΓ ισούται microε το εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα
τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΒ και το τόξο cap
ΒΑ
ΑΣΚΗΣΗ 18η
∆ίνεται ηmicroικύκλιο κέντρου Ο microε διάmicroετρο ΑΑ1=2R Έστω Β σηmicroείο του ηmicroικυκλίου microε
( 1ΑΟΒand
)=φ microοίρες και ΟΓ ακτίνα που τέmicroνει τη χορδή ΑΒ στο Κ
α) Να βρείτε το microήκος S του τόξου cap
ΑΓ όταν το εmicroβαδόν του τριγώνου ΟΚΒ ισούται microε το
εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΓ και το τόξοcap
ΑΓ
β) Αν η γωνία 1ΑΟΒand
είναι 150ο πόσο είναι το S
γ) Για ποια τιmicroή του φ το S γίνεται microέγιστο
Β
Γ
φ
Α1 Α
ΑΣΚΗΣΗ 19η
Η περίmicroετρος ρόmicroβου ΑΒΓ∆ πλευράς α και κέντρου Ο είναι τετραπλάσια της microικρής
διαγωνίου του Β∆
i) Να υπολογιστεί συναρτήσει του α το εmicroβαδόν του Ε
ii) Φέρουmicroε Α∆perpΟΗ και Γ∆perpΟΖ Αν η ΑΖ τέmicroνει τον κύκλο διαmicroέτρου Ο∆ στο Θ να
δειχθεί ότι 2
3Ε=ΑΖsdotΑΘ
ΑΣΚΗΣΗ 20η
Το περίγραmicromicroα της βάσης ενός microεγάλου λόφου σχηmicroατίζει τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=γ ΑΓ=β
όπου βgtγ και στο οποίο η διάmicroεσος ΑΜ και το ύψος Α∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο ∆ίπλα στην
πλευρά ΑΓ υπάρχει ορθογώνιος ιδιωτικός χώρος διαστάσεων 2
γβ +και β-γ Σrsquo αυτόν το
χώρο πρόκειται να κατασκευαστεί ένας microεγάλος ανισόπεδος κόmicroβος που θα συνδέει δύο
δρόmicroους ταχείας κυκλοφορίας Γιrsquo αυτούς τους λόγους προτείνεται στον ιδιοκτήτη να δεχτεί
να ανταλλάξει αυτόν τον χώρο microε άλλον ορθογώνιο χώρο του δηmicroοσίου που βρίσκεται δίπλα
στην πλευρά ΒΓ και έχει διαστάσεις τα microήκη των ΒΓ και 2
ΑΜ Ο ιδιοκτήτης δηλώνει ότι θα
συmicroφωνήσει microε την πρόταση αρκεί οι ανταλλάξιmicroοι χώροι να έχουν την ίδια έκταση
Πρακτικά όmicroως είναι αδύνατον να microετρήσει την πλευρά ΒΓ και τη διάmicroεσο ΑΜ γιrsquo αυτό και
διστάζει Πως θα σκεφτόσαστε εσείς να βοηθήσετε τον ιδιοκτήτη να αποφασίσει
Κ
Ο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
34
ΑΣΚΗΣΗ 21η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε β=2γ και η διάmicroεσος του Β∆ Φέρουmicroε Β∆perpΑx που τέmicroνει την
Β∆ στο Ε και την ΒΓ στο Ζ και ΕyΑΓ που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ Να αποδείξετε ότι
i) ZB= 2
1ZΓ
ii) (ΑΒΓ)=3(ΑΒΖ)
iii) Να αποδειχθεί ότι 8
3
)(
)(=
ΑΒΖΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΗ 22η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε α=2γ και β= 7γ
α) i) Να αποδείξετε ότι 2
3αmicroα =
ii) Να βρείτε το είδος της γωνίας and
Β
iii) Αν ΑΕ perp ΒΓ να υπολογίσετε το ΒΕ συναρτήσει του γ
iv) Να βρείτε τη γωνία and
Β
β) Αν ΑΜ διάmicroεσος και Β∆ διχοτόmicroος να αποδείξτε ότι
i) Α∆ = 3
β
ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)
ΑΣΚΗΣΗ 23η
Έστω τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ο R) και σηmicroείο Μ το οποίο κινείται στο
ηmicroικύκλιο cap
ΑΒΓ
α) Να βρεθεί το ελάχιστο ( )minΕ και το microέγιστο ( )maxΕ εmicroβαδόν του τετράπλευρου ΑΜΓ∆
συναρτήσει της ακτίνας R
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε θέση του Μ είναι
i) Μ∆2 = ΑΓ ∆Ε όπου Ε η προβολή του Μ στην Β∆
ii) (ΑΜΓ∆) = 2
2Μ∆
γ) Να προσδιορίσετε τη θέση του σηmicroείου Μ όταν (ΑΜΓ∆) = 2
maxmin EE +
ΑΣΚΗΣΗ 24η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ M το microέσο της ΑΒ σηmicroείο Ν της ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΝ = 4
3ΑΓ και
σηmicroείο Κ της ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΚ = 4
1ΒΓ Να βρεθεί ο λόγος των εmicroβαδών του τριγώνου
ΑΒΓ προς του τριγώνου ΜΝΚ
ΑΣΚΗΣΗ 25η
Α) Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι 2
αmicro = βγ και β-γ = 5 2 Το microήκος της πλευράς
α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3
Β) Να δειχθεί ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει η σχέση (222
γβα micromicromicro ++ )2 = 27Ε
2 όπου
Ε το εmicroβαδό του
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
35
ΑΣΚΗΣΗ 26η
Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω περιπτώσεις
όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί να αποτελεί microήκη των
πλευρών του
i) 3 57
ii) 8 4 2
iii) 7 6 85
ΑΣΚΗΣΗ 27η
Αν η διάmicroεσος microα ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν προεκταθεί τέmicroνει τον περιγεγραmicromicroένο κύκλο
στο ∆ να αποδειχθεί ότι microα = Α∆+
2
22 γβ
ΑΣΚΗΣΗ 28η
Από ένα κυκλικό οικόπεδο ακτίνας R=30m θα αποκοπεί κυκλικό τmicroήmicroα χορδής 30 3 m για
την κατασκευή δρόmicroου
i) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου που έmicroεινε
ii) Να βρεθεί η αποζηmicroίωση που θα δοθεί στον ιδιοκτήτη αν η αρχική αξία του οικοπέδου
ήταν 10000000 δρχ
ΑΣΚΗΣΗ 29η
Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι α =13 β = 8 γ = 7
i) Να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς το είδος των γωνιών του
ii) Να υπολογιστεί το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ πάνω στην ΑΒ
iii) Να υπολογιστεί η γωνία and
Α
ΑΣΚΗΣΗ 30η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 4 ΑΓ = 5 ΒΓ = 7 Το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ
πάνω στην ΑΒ είναι Α 5 Β 1 Γ 6 ∆ 2
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 31η
Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (and
Α =90ο) microε
and
Β =60ο και ΒΓ=4 Με κέντρο το Β και
ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ και microε κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΜ
γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν να βρεθούν
i) Η θέση του σηmicroείου Μ στη ΒΓ
ii) Η περίmicroετρος του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
iii) Το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
36
ΑΣΚΗΣΗ 32η
Μια έκταση σχήmicroατος τετραγώνου microε A 30 H 70 ∆
πλευρά 100m πρόκειται να διατεθεί
για κατασκευή εργατικών κατοικιών
Οι κατοικίες θα ανεργεθούν σε τέσσερα 70 30
ίσα τριγωνικά οικόπεδα και η υπόλοιπη Μ
έκταση σχήmicroατος τετραπλεύρου θα
χρησιmicroοποιηθεί ως κοινόχρηστος χώρος Z
για δενδροφύτευση και κατασκευή γηπέδου
microπάσκετ 30 70
α) Να βρεθούν τα εmicroβαδά των τεσσάρων ίσων οικοπέδων
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινόχρηστου χώρου B 70 K 30 Γ
γ) Τι είδους τετράπλευρο είναι ο κοινόχρηστος χώρος Να βρεθούν οι πλευρές του
ΑΣΚΗΣΗ 33η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 90A =
and
και ΑΒ=y ΑΓ=β
Α∆=ν Β∆=micro ΒΓ=x ∆Γ=κ
i) Να συmicroπληρωθούν οι σχέσεις
β2=helliphelliphellip=helliphelliphelliphellip Α
ν2=helliphelliphelliphelliphelliphellip
2
2
βy
=helliphelliphelliphelliphellip βy=helliphelliphelliphellip y ν β
ii) Να δειχθεί ότι 111
222 νβ=+
y Β ν ∆ κ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 34η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroεία ∆Ε της πλευράς ΒΓ έτσι ώστε Β∆=∆Ε=ΕΓ Να απόδειχθεί
ότι
i) 2222 22 ΑΕminusΑ∆=∆ΕminusΑΒ ii)
2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 35η
∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε o90=Α
and
ΑΒ=5cm ΑΓ=12cm Α∆ το ύψος του και ΒΜ
η διάmicroεσος του Προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά ΓΕ=ΒΓ i) Να συγκρίνετε τα
εmicroβαδά των τριγώνων Α∆Γ και ΑΓΕ ii) Να δείξετε ότι η σχέση που συνδέει τα εmicroβαδά των
τριγώνων ΑΒΜ και ΑΒΕ είναι (ΑΒΕ)=4(ΑΒΜ)
ΑΣΚΗΣΗ 36η
Από σηmicroείο Μ εκτός κύκλου φέρνουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΜΕ του κύκλου και τις
τέmicroνουσες ΜΑΒ και ΜΓ∆ Αν είναι ΑΒ=9 ΓΜ=4 Γ∆=5 να υπολογίσετε i) το ΜΑ ii) το
ΜΕ
ΑΣΚΗΣΗ 37η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) ΑΒ microια διάmicroετρος του και Μ τυχαίο σηmicroείο του (διαφορετικό των Α
Β) Αν Γ είναι το microέσο της ΟΑ και ∆ το microέσο της ΟΒ ενώ η ΜΓ τέmicroνει τον κύκλο στο Ε και
η Μ∆ στο Ζ τότε να αποδείξετε ότι3
10=
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
37
Ζ
Ε
ΑΣΚΗΣΗ 38η
Ένα τριγωνικό αγρόκτηmicroα ΑΒΓ χωρίζεται
σε τέσσερα τριγωνικά αγροτεmicroάχια όπως Α
φαίνεται στο σχήmicroα έτσι ώστε ΑΒ=Α∆3
2
ΒΕ= ΒΓ4
1και ΓΖ= ΑΓ
2
1 α) Αν το εmicroβαδό ∆
του ΑΒΓ είναι 48 στρέmicromicroατα να υπολογίσετε το Β
Γ
εmicroβαδό του ∆ΕΖ β) Αν τα ∆ Ε Ζ είναι τα microέσα των ΑΒ
ΒΓ ΑΓ αντίστοιχα να βρεθούν τα εmicroβαδά των
τεσσάρων αγροτεmicroαχίων
ΑΣΚΗΣΗ 39η
∆ίνεται εγγράψιmicroο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ ώστε οι πλευρές του ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α microε τη σειρά
που δίνονται να αποτελούν γεωmicroετρική πρόοδο Να αποδείξετε ότι η διαγώνιος του Β∆ το
χωρίζει σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
ΑΣΚΗΣΗ 40η
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ∆ Ζ Γ
την ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m και
ο90=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος υ
∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο οποίος
θα χωρίσει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆
και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα α) Να βρεθεί
το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆ β) Να
βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο
ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο Α Ε Η Β
ΑΕ∆ δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου
∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
ΑΣΚΗΣΗ 41η
∆ίνεται ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ και τα σηmicroεία του ∆Γ έτσι ώστε ∆Β=Γ∆=ΑΓ Αν
Μ τυχαίο σηmicroείο εκτός του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατοςΑΒ
Να δείξετε ότι 2222 33 ΜΓ+ΜΒ=ΜΒ+ΑΜ
ΑΣΚΗΣΗ 42η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 222 2αγβ =+ Αν η διάmicroεσος ΑΜ τέmicroνει το περιγεγραmicromicroένο
κύκλο του τριγώνου στο ∆ να δείξετε ότι
α) 6
3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
38
ΑΣΚΗΣΗ 43η
Από ένα εξωτερικό σηmicroείο Α κύκλου ( )RΟ φέρουmicroε microια τέmicroνουσα ΑΒΓ έτσι ώστε
ΒΓ=ΑΒ Αν 7R=ΟΑ τότε να δείξετε ότι
i) ΒΓ=ΑΒ =λ3
ii) η γωνία and
ΑΟΓ είναι αmicroβλεία
iii) η προβολή της ΟΓ πάνω στην ΟΑ είναι ίση microε ΟΑ7
2
iv) Να δείξετε ότι ( )( ) 2
1=
ΑΟΓΒΟΓ
και στην συνέχεια να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του τριγώνου
and
ΑΟΓ
v) Να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που ορίζεται από την χορδή ΒΓ και
το microέτρο του τόξου cap
ΒΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
39
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
40
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
8
ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
∆ύο ευθύγραmicromicroα σχήmicroατα λέγονται όmicroοια αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες
που σχηmicroατίζονται από τις οmicroόλογες πλευρές τους ίσες microία προς microία
Ο λόγος των περιmicroέτρων δύο όmicroοιων ευθυγράmicromicroων σχηmicroάτων ισούται microε το λόγο οmicroοιότητας
τους
ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ
Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες τους ίσες microία προς microία τότε είναι όmicroοια
Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ανάλογες microία προς microία και τις περιεχόmicroενες στις πλευρές
αυτές γωνίες ίσες τότε είναι όmicroοια
Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές ανάλογες microία προς microία τότε είναι όmicroοια
bull ∆ύο ορθογώνια τρίγωνα είναι όmicroοια όταν έχουν microία οξεία γωνία τους ίση
bull Όλα τα ισόπλευρα τρίγωνα είναι όmicroοια microεταξύ τους
bull ∆ύο ισοσκελή τρίγωνα τα οποία έχουν microία αντίστοιχη γωνία ίση είναι όmicroοια
bull Ο λόγος οmicroοιότητας δύο όmicroοιων τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο δύο οmicroόλογων υψών τους
bull Ο λόγος οmicroοιότητας δύο όmicroοιων τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο δύο οmicroόλογων διχοτόmicroων
τους
bull Ο λόγος οmicroοιότητας δύο όmicroοιων τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο δύο οmicroόλογων διαmicroέσων
τους
8ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
9
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΡΙΓΩΝΟ
Αν από τα άκρα ενός ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατος ΑΒ φέρουmicroε τις κάθετες ΑΑrsquo και ΒΒrsquo πάνω σε
microια ευθεία ε τότε το τmicroήmicroα ΑrsquoΒrsquo είναι η προβολή του ΑΒ πάνω στην ε
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο microιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο microε το
γινόmicroενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην υποτείνουσα
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ο λόγος των τετραγώνων των κάθετων πλευρών του είναι ίσος
microε το λόγο των προβολών τους πάνω στην υποτείνουσα
Γ∆Β∆
=ΑΓ
ΑΒ2
2
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισmicroα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών του είναι
ίσο microε το τετράγωνο της υποτείνουσας 222 ΑΓ+ΑΒ=ΒΓ
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει 222 ΑΓ+ΑΒ=ΒΓ τότε
90=Αand
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο του ύψους του που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα
είναι ίσο microε το γινόmicroενο των προβολών των κάθετων του στην υποτείνουσα
∆ΓsdotΒ∆=Α∆2
Έστω λοιπόν το ορθογώνιο ΑΒΓ και ∆ η προβολή της κορυφής
Α στην υποτείνουσα ΒΓ
Τότε ισχύει Β∆sdotΒΓ=ΑΒ2 και
Γ∆sdotΒΓ=ΑΓ2
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
10
bull Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές τότε βα 2=
bull Αν Α∆ είναι το ύψος ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα
τότε ισχύει 222
111
αυγβ=+ και βγαυα =
bull Το ύψος ισοπλεύρου τριγώνου ως συνάρτηση της πλευράς α
δίνεται από τον τύπο 2
3sdot=α
υ
ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ
Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία είναι ίσο microε το
άθροισmicroα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του ελαττωmicroένο κατά το διπλάσιο
γινόmicroενο της microιας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή
∆ηλαδή σε τρίγωνο ΑΒΓ microε 90ltΑ
and
και Α∆ η προβολή της πλευράς γ πάνω στην β
τότε ισχύει Α∆sdotminus+= βγβα 2222
Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από αmicroβλεία γωνία είναι ίσο microε το
άθροισmicroα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του αυξηmicroένο κατά το διπλάσιο
γινόmicroενο της microιας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
11
Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν οι ισοδυναmicroίες
bull 222 γβα +gt αν και microόνο αν 90gtΑ
and
bull 222 γβα += αν και microόνο αν 90=Α
and
bull 222 γβα +lt αν και microόνο αν 90ltΑ
and
Προσοχή Για να εφαρmicroόσουmicroε το πόρισmicroα αυτό πρέπει πάντα να συγκρίνουmicroε το
τετράγωνο της microεγαλύτερης πλευράς του τριγώνου microε το άθροισmicroα των τετραγώνων των
άλλων δύο πλευρών
Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση
Αsdotminus+= συνβγγβα 2222
Το ύψος υα ενός τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τον τύπο
( )( )( )γτβταττα
υα minusminusminus=2
όπου ( )γβατ ++=2
1
Ανάλογες εκφράσεις ισχύουν και για τα άλλα ύψη υβ και υγ
ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ∆ΙΑΜΕΣΩΝ
Το άθροισmicroα των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται microε το διπλάσιο του
τετραγώνου της διαmicroέσου που περιέχεται microεταξύ των πλευρών αυτών αυξηmicroένο κατά το
microισό του τετραγώνου της τρίτης πλευράς
∆ηλαδή σε τρίγωνο ΑΒΓ microε 90gtΑ
and
και
Α∆ η προβολή της πλευράς γ πάνω στην β
τότε ισχύει
Α∆sdot++= βγβα 2222
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
12
∆ηλαδή αν Α∆ =υα το ύψος και ΑΜ =microα η διάmicroεσος ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύει
2
22
222 αmicroγβ α +=+
Ανάλογα έχουmicroε και τους ακόλουθους τύπους
2
22
222 γmicroβα γ +=+
22
2222 β
microγα β +=+
Η διαφορά των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται microε το διπλάσιο γινόmicroενο της
τρίτης πλευράς επί την προβολή της αντίστοιχης διαmicroέσου πάνω στην πλευρά αυτή
Μ∆sdot=minus αγβ 222
Σηmicroείωση αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές ή ισόπλευρο τότε το Μ ταυτίζεται microε το ∆ και το 2ο
θεώρηmicroα διαmicroέσων ισχύει ταυτοτικά
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ
Αν δύο χορδές Γ∆ΑΒ ή οι προεκτάσεις τους τέmicroνονται σε ένα σηmicroείο Ρ τότε ισχύει
Ρ∆sdotΡΓ=ΡΒsdotΡΑ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
13
Αν από ένα εξωτερικό σηmicroείο Ρ κύκλου ( )R Ο φέρουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΡΕ
Και microια ευθεία που τέmicroνει τον κύκλο στα σηmicroεία ΒΑ τότε ισχύει η σχέση
Επίσης αν η ευθεία ΡΟ τέmicroνει τον κύκλο στα ∆ Γ και δ=ΟΡ τότε έχουmicroε ότι
Η διαφορά 22 Rminusδ λέγεται δύναmicroη σηmicroείου Ρ ως προς τον κύκλο ( )R Ο και
συmicroβολίζεται
( )2222
RRR minusΟΡ=minus=∆ΡΟ δ
bull Το Ρ είναι εξωτερικό σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 gt∆ΡΟ R
bull Το Ρ είναι εσωτερικό σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 lt∆ΡΟ R
bull Το Ρ είναι σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 =∆ΡΟ R
bull Για να είναι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι εγγράψιmicroο σε κύκλο αν ισχύει η σχέση
Ρ∆sdotΡΓ=ΡΒsdotΡΑ
bull Αν οι διαγώνιοι ενός τετράπλευρου ΑΒΓ∆ τέmicroνονται σε ένα σηmicroείο Κ τότε για να
είναι το τετράπλευρο εγγράψιmicroο σε κύκλο πρέπει να ισχύει η σχέση
Κ∆sdotΚΒ=ΚΓsdotΚΑ
ΡΒsdotΡΑ=ΡΕ2
( )( ) 22 RRR minus=+minus
=Ρ∆sdotΡΓ=ΡΒsdotΡΑ
δδδ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
14
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Οι πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου έχουν microήκη x x+1 και x+2 Η περίmicroετρος του
τριγώνου αυτού είναι
Α 3 Β 6 Γ 10 ∆ 12 Ε 15
Επιλέξτε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε
2 Θεωρούmicroε διάmicroετρο ΑΒ κύκλου (ΟR) και τις κάθετες ακτίνες ΟΓ και Ο∆ Αν Ε και
Ζ οι προβολές των Γ και ∆ αντίστοιχα στην ΑΒ να αποδειχθεί ότι
i) Τα τρίγωνα ΟΕΓ και Ζ∆Ο είναι ίσα
ii) 222 R=ΟΖ+ΟΕ
3 Έστω ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο )90( Οand
=Α και Β∆ η διάmicroεσός του Να αποδειχθεί
ότι 222
4
3ΒΓ=ΑΓ+Β∆
4 Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο ΑΟΒ κύκλου (ΟR) και τη διχοτόmicroο ΟΜ της γωνίας and
ΟΒΑ Από σηmicroείο Γ του τόξου cap
ΑΒ φέρουmicroε ΟΒperpΓ∆ που τέmicroνει την ευθεία
ΟΜ στο σηmicroείο Ε Να αποδειχθεί ότι α) ∆Ε=Ο∆ β) 222 R=∆Ε+∆Γ
5 Αν σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά
τmicroήmicroα Γ∆=2ΒΓ να αποδειχθεί ότι 222 6ΒΓ+ΑΓ=Α∆
6 Αν ∆ σηmicroείο της πλευράς ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) να αποδειχθεί ότι
22 ∆Γsdot∆Β=Α∆minusΑΒ
7 Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω
περιπτώσεις όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί
να αποτελεί microήκη των πλευρών του i) 357 ii) 842 iii) 76 85
8 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ πληρούν τη σχέση 222 βαγ +lt
τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο
9 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ πληρούν τις σχέσεις αltβltγ και 222 βαγ +lt τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο
10 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών ΑΒΓ πληρούν τη σχέση 444 γβα +lt τότε να
αποδειχθεί ότι 90Οand
ltΑ
11 Θεωρούmicroε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και σηmicroείο ∆ της ηmicroιευθείας ΑΒ
τέτοιο ώστε Β∆=ΑΒ Αν ΑΒperpΓΕ και είναι ΑΒ=4ΒΕ να αποδειχθεί ότι
2
3 222 ΑΓ+ΒΓ=Γ∆
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
15
12 Θεωρούmicroε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α τη διχοτόmicroο Γχ της εξωτερικής
γωνίας εξΓ
and
αυτού την κάθετη xΓperpΒΕ και την κάθετη ΑΓperpΕΖ
Να αποδειχθεί ότι i)4
α=ΓΖ ii)
2
7α=ΑΕ
13 Εκατέρωθεν της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ κατασκευάζουmicroε δύο ισόπλευρα
τρίγωνα ΒΓ∆ και ΒΓΕ Να αποδειχθεί ότι 22222 γβα ++=ΑΕ+Α∆
14 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ τα microήκη των πλευρών του οποίου συνδέονται microε τη σχέση
2 222 αγβ =+ Nα αποδειχθεί ότι α) 2
βmicro +2
γmicro =2
2 αmicro
β) 2
3αmicroα =
2
3γmicroβ =
2
3βmicroγ =
15 Θεωρούmicroε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ )90( Οand
=Α και τη διάmicroεσό του ΒΕ
α) Να αποδειχθεί ότι 222
4
3ΒΓ=ΑΓ+ΒΕ β) Αν Α∆ είναι η διάmicroεσος του
τριγώνου ΑΒΓ ΒΕ= 14 και o60=Β∆Α
and
να υπολογιστούν τα microήκη των πλευρών
του τριγώνου ΑΒΓ
16 Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει γβ micromicro perp τότε να αποδειχθεί ότι 222
αγβ micromicromicro =+
17 Αν ΒΒ΄ το ύψος τριγώνου ΑΒΓ microε o90ltΑ
and
και ΑΜ η διάmicroεσός του τότε να
αποδειχθεί ότι 4
22 ΄ΑΒsdotΑΓ+
ΒΓ=ΑΜ
18 Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ )90( Οand
=Α η διάmicroεσος του ΑΜ και ευθεία (ε)
κάθετη στην ΑΜ στο Μ Αν Ρ σηmicroείο της (ε) να αποδειχθεί ότι 222 2ΡΑ=ΡΓ+ΡΒ
19 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ ΑΜ διάmicroεσος η οποία προεκτεινόmicroενη τέmicroνει τον
περιγεγραmicromicroένο κύκλο (ΟR) στο ∆ και Θ το βαρύκεντρο του τριγώνου
Να δειχθεί ότι i)4
2α=Μ∆sdotΜΑ ii)
ΘΟ∆ )( R )(
9
1 222 γβα ++minus=
iii) AB2+AΓ
2=2ΑΜsdotΑ∆
20 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόmicroος του Α∆ Αν οι κύκλοι οι περιγεγραmicromicroένοι στα
τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓ∆ τέmicroνουν τις ΑΓ και ΑΒ στα σηmicroεία Ζ και Ε αντίστοιχα να
αποδειχθεί ότι ΒΕ=ΓΖ
21 Κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι εγγράψιmicroο σε κύκλο Αν το σηmicroείο τοmicroής Μ των
διαγωνίων του είναι microέσο της διαγωνίου Β∆ να αποδειχθεί ότι
i) ΜΓsdotΜΑ=∆Β 42 ii) 2 22222 ΑΓ=∆Α+Γ∆+ΒΓ+ΑΒ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
16
22 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) διαmicroέτρου ΑΒ Από ένα σηmicroείο Γ της προέκτασης της ΑΒ
προς το Β φέρνουmicroε την εφαπτοmicroένη Γ∆ και την ΑΓperpΓx Αν Ε είναι το σηmicroείο
τοmicroής των Α∆ και Γx να αποδειχθεί ότι
i) το τετράπλευρο ∆ΒΓΕ είναι εγγράψιmicroο ii) ΑΕsdotΑ∆minusΓΑ=Γ∆ 22
23 ∆ύο κύκλοι (ΚR) και
Λ2
R
εφάπτονται εσωτερικά στο Α Από ένα σηmicroείο Μ του
κύκλου
Λ2
R
φέρνουmicroε χορδή Γ∆ του κύκλου (ΚR) Να αποδειχθεί ότι
ΜΓΜ∆=ΜΑ2
24 Θεωρούmicroε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α και σηmicroείο ∆ της πλευράς ΒΓ Αν οι
περιγεγραmicromicroένοι κύκλοι στα τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓ∆ τέmicroνουν τις πλευρές ΑΓ και ΑΒ
στα σηmicroεία Ε και Ζ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι ΒΖ+ΓΕ=α
25 Στη διάmicroετρο ΑΒ κύκλου (ΟR) θεωρούmicroε τα σηmicroεία Γ και ∆ έτσι ώστε ΟΓ=Ο∆=α
και microεταβλητό σηmicroείο Μ του κύκλου Αν οι ΜΓ και Μ∆ τέmicroνουν τον κύκλο στα Ε
και Ζ αντίστοιχα να αποδείξετε ότι i) ΜΓΓΕ = Μ∆∆Ζ ii)
ΜΓ2+Μ∆
2 = 2(R
2+α
2) iii) το άθροισmicroα
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
είναι σταθερό
26 Θεωρούmicroε κύκλο (O2α) και σηmicroείο Ρ τέτοιο ώστε ΟΡ=2
3α Φέρουmicroε χορδή ΑΒ η
οποία διέρχεται από το Ρ και είναι τέτοια ώστε ΑΡ=α Να υπολογιστεί το microήκος της
χορδής ΑΒ
27 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) διάmicroετρο ΑΒ και τα microέσα Γ και ∆ των ΟΑ και ΟΒ
αντίστοιχα Από το σηmicroείο Γ φέρουmicroε χορδή ΕΖ = 2
13 Rsdot Να αποδειχθεί ότι
i) ΖΓ2+Ζ∆
2+ΓΕ
2+∆Ε
2=5R
2 ii)
and
Ε∆Ζ = 900
28 Έστω ΑΒ διάmicroετρος κύκλου (ΟR) και ΑΓ Β∆ δύο χορδές που τέmicroνονται στο Ρ Να
αποδειχθεί ότι i) αν οι Α∆ και ΒΓ τέmicroνονται στο Ε τότε το Ρ είναι ορθόκεντρο του
τριγώνου ΕΑΒ ii) ΑΓΑΡ+Β∆ΒΡ=ΑΒ2
29 Τρίγωνο ΑΒΓ microε β2+γ
2=2α
2 Β∆ ΓΕ ύψη ΑΜ διάmicroεσος και Ζ microέσο της ΑΜ Να
αποδειχθεί ότι i)and
Α lt900 ii) AE =
γα2
2
και ΑΜ = 2
3α iii) ΕΖ =
γαβ4
Ζ∆ = β
αγ4
30 Σε τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούmicroε σηmicroεία ∆Ε στην πλευρά ΒΓ ώστε Β∆ = ∆Ε = ΕΓ Να
αποδείξετε ότι i) AB2 ndash 2∆E
2 = 2A∆
2 ndash AE
2 ii) AB
2 + 2AΓ
2 = 3AE
2 +
6∆E2
31 Αν α β γ πλευρές τριγώνου να βρεθεί το είδος του τριγώνου στις παρακάτω περι-
πτώσεις i) α = ν2 + 1 β = 2ν γ = ν
2 ndash 1
ii) α = 4 β = 5 γ = 3
iii) α = 11 β = 13 γ = 12
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
17
32 Αν Ε ∆ Ζ microέσα των ΑΓ ΒΓ Β∆ αντίστοιχα ενός τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε ότι
i) Ε∆=2
1ΑΒ ii) ΕΖ
2 =
16
263 222 βminusγ+α
33 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ = 6 ΑΓ = 8 ΒΓ = 2 37 να αποδειχθεί ότι
i) ο120=Α
and
ii) να βρεθεί το microήκος Α∆ όπου Β∆ ύψος τριγώνου
iii) να βρεθεί το microήκος της διαmicroέσου microα
34 Σε τρίγωνο ΑΒΓ microε πλευρές α = 9 β = 7 γ = 4 να βρείτε i) το είδος του τριγώνου
ii) το microήκος της διαmicroέσου microα iii) την προβολή της διαmicroέσου microα πάνω στην
ΒΓ iv) την προβολή της πλευράς β πάνω στην γ
35 Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ο90=Α
and
ΑΜ διάmicroεσος και Ρ το microέσο
της ΑΜ Στην πλευρά ΒΓ = α παίρνουmicroε σηmicroείο Κ ώστε ΓΚ = 8
5α Να αποδειχθεί
ότι i) ΓΡ2 =
16
5 2α ii) ΡΚ
2 =
64
5 2α iii) ΡΓ = 2ΚΡ
36 Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε ο90=Α
and
α = 25 και β = 20 αν x είναι η προβολή της
πλευράς β πάνω στην πλευρά α τότε
i) η πλευρά γ έχει microήκος Α10 Β12 Γ13 ∆15 Ε21
ii) το ύψος υα έχει microήκος Α9 Β7 Γ12 ∆17 Ε5
iii) το τmicroήmicroα x έχει microήκος Α10 Β12 Γ17 ∆16 Ε21
(Να αιτιολογήσετε την απάντηση)
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
18
ΕΜΒΑ∆Α
ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ
Ας θεωρήσουmicroε ένα πολύγωνο
Ένα σχήmicroα που αποτελείται από πεπερασmicroένο πλήθος πολυγωνικών χωρίων που ανά δύο δεν
έχουν κοινά εσωτερικά σηmicroεία λέγεται πολυγωνική επιφάνεια
Ίσα πολυγωνικά χωρία έχουν ίσα εmicroβαδά
Αν ένα πολυγωνικό χωρίο (ή microια πολυγωνική επιφάνεια) χωρίζεται σε πεπερασmicroένου
πλήθους πολυγωνικά χωρία που δεν έχουν κοινά εσωτερικά σηmicroεία τότε το εmicroβαδόν του
ισούται microε το άθροισmicroα των εmicroβαδών των επιmicroέρους πολυγωνικών χωρίων
Το εmicroβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς 1 είναι 1
∆ύο σχήmicroατα που έχουν το ίδιο εmicroβαδόν ονοmicroάζονται ισεmicroβαδικά ή ισοδύναmicroα
Το πολύγωνο microαζί microε τα εσωτερικά του
στοιχεία ονοmicroάζεται πολυγωνικό χωρίο
Ένα πολυγωνικό χωρίο που ορίζεται από
τρίγωνο τετράγωνοhellipν-γωνο ονοmicroάζεται
τριγωνικό πολυγωνικόhellip ν-γωνικό
∆ύο πολυγωνικά χωρία λέγονται ίσα όταν τα
αντίστοιχα πολύγωνά τους είναι ίσα
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
19
ΕΜΒΑ∆Α ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
Το εmicroβαδόν τετραγώνου πλευράς α δίνεται από τον τύπο 2α=Ε
Το εmicroβαδόν ενός ορθογωνίου ισούται microε το γινόmicroενο των πλευρών του βα sdot=Ε
Το εmicroβαδόν ενός παραλληλογράmicromicroου ισούται microε το γινόmicroενο microιας πλευράς του επί το ύψος
που αντιστοιχεί σε αυτή
βα υβυα sdot=sdot=Ε
Το εmicroβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο microε το ηmicroιγινόmicroενο microιας πλευράς επί το αντίστοιχο ύψος
γβα υγυβυα sdot=sdot=sdot=Ε2
1
2
1
2
1
Το εmicroβαδόν τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο του ηmicroιαθροίσmicroατος των βάσεων του επί το
ύψος του υβsdot
+Β=Ε
2
Το εmicroβαδόν τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο της διαmicroέσου επί το ύψος του
bull Το εmicroβαδόν ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς α είναι ίσο microε 4
32α=Ε
bull Το εmicroβαδόν ρόmicroβου ισούται microε το ηmicroιγινόmicroενο των διαγωνίων του
bull Το εmicroβαδόν οποιουδήποτε κυρτού ή microη κυρτού τετραπλεύρου microε κάθετες διαγωνίους
ισούται microε το ηmicroιγινόmicroενο των διαγωνίων του
bull Η διάmicroεσος κάθε τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
bull Το βαρύκεντρο τριγώνου έχει την ιδιότητα να δηmicroιουργεί microε τις κορυφές του τριγώνου τρία
ισεmicroβαδικά τρίγωνα
bull Το βαρύκεντρου του τριγώνου οι κορυφές του και τα microέσα των πλευρών του ορίζουν έξι
ισεmicroβαδικά τρίγωνα
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
20
ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΕΜΒΑ∆ΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
( )( )( )γτβταττ minusminusminus=Ε όπου 2
γβατ
++= ηmicroιπερίmicroετρος του τριγώνου
ρτ sdot=Ε
R4
γβα sdotsdot=Ε
Γsdotsdot=Βsdotsdot=Αsdotsdot=Ε ηmicroβαηmicroαγηmicroγβ2
1
2
1
2
1
ΕΜΒΑ∆Α ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
Αν δύο τρίγωνα έχουν ίσες βάσεις τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο των
αντίστοιχων υψών ενώ αν έχουν ίσα ύψη τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο
των αντίστοιχων βάσεων
Αν δύο τρίγωνα είναι όmicroοια τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το τετράγωνο του
λόγου οmicroοιότητας
Ο λόγος των εmicroβαδών δύο όmicroοιων πολυγώνων είναι ίσος microε το τετράγωνο του λόγου
οmicroοιότητας
Αν microια γωνία ενός τριγώνου είναι ίση ή παραπληρωmicroατική microε microια γωνία ενός άλλου
τριγώνου τότε ο λόγος των εmicroβαδών των δύο τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο των γινοmicroένων
των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
21
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Αν ΑΒΓ∆ τραπέζιο ( Γ∆ΑΒ ) και Ο το σηmicroείο τοmicroής των διαγωνίων του ΑΓ και
Β∆ να αποδείξετε ότι ΟΑ∆ΟΒΓ Ε=Ε
2 Ένα τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) και ΒΓ=Γ∆=Α∆ και τη βάση ΑΒ κατά 2 microικρότερη
από το άθροισmicroα των τριών αυτών πλευρών Αν το ύψος του τραπεζίου είναι 5 να
υπολογιστεί το εmicroβαδό του
3 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ microε microήκη πλευρών α=10 β=8 γ=14 και ισόπλευρο τρίγωνο
∆ΕΖ το οποίο είναι ισοδύναmicroο microε το ΑΒΓ Το microήκος της πλευράς του ισόπλευρου
τριγώνου ∆ΕΖ είναι
Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20
Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε
4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=2 ΒΗ ύψος και η διάmicroεσος Β∆=1 Αν and
∆ΑΒ =30ο να
υπολογιστούν α) τα ΒΗ Η∆ ΑΗ
β) το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ
5 Με υποτείνουσες τις κάθετες πλευρές ΑΒ και ΑΓ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ microε
β+γ=20 κατασκευάζουmicroε ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓΕ εκτός
αυτού
α) Να αποδείξετε ότι τα σηmicroεία ∆ΑΕ είναι συνευθειακά
β) Να βρείτε το εmicroβαδό του τετραπλεύρου ΒΓΕ∆
6 Προεκτείνουmicroε τις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ ενός τριγώνου ΑΒΓ κατά τmicroήmicroατα
Γ∆=ΓΒ ΑΕ=ΑΓ και ΒΖ=ΒΑ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι (∆ΕΖ) = 7(ΑΒΓ)
7 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Μ στο εσωτερικό του Φέρνουmicroε από το Μ
παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των
σχηmicroατιζόmicroενων τριγώνων και Ε το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε
ότι 321 Ε+Ε+Ε=Ε
8 Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ που τέmicroνει τις πλευρές ΑΒ
και ΑΓ στα σηmicroεία ∆ και Ε αντίστοιχα Να αποδείξετε ότι (ΑΒΕ)2=(ΑΒΓ)(Α∆Ε)
9 Από σηmicroείο ∆ της πλευράς ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη προς την
πλευρά ΒΓ που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των τριγώνων
Α∆Ε Α∆Γ και ΑΒΓ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι 31
2
2 ΕsdotΕ=Ε
10 Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Α΄ της πλευράς του ΒΓ Από τα Β και Γ
φέρνουmicroε παράλληλες προς την ΑΑ΄ που τέmicroνουν τις ευθείες ΑΓ και ΑΒ στα σηmicroεία
Γ΄ και Β΄ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι
α) (ΑΑ΄Γ΄) = (ΑΒΑ΄) και (ΑΑ΄Β΄) = (ΑΓΑ΄)
β) (Α´ô) = (ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
22
11 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ microε ΑΒ=10 Α∆=4 και and
∆ =60ο Στην πλευρά ΑΒ
θεωρούmicroε τα σηmicroεία Ε και Ζ έτσι ώστε ΑΕ=ΕΖ=ΖΒ Αν Η είναι το σηmicroείο τοmicroής των
ευθειών ∆Ε και ΓΖ να υπολογιστούν
α) το εmicroβαδό του παραλληλογράmicromicroου ΑΒΓ∆
β) το εmicroβαδό του τραπεζίου Γ∆ΕΖ
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου ΗΕΖ
12 ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=ΑΓ=6 και ο120=Α
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του
β) Αν Ε σηmicroείο της ΑΓ τέτοιο ώστε ΓΕ=ΑΕ2
1 και Α∆ το ύψος του τριγώνου
ΑΒΓ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ∆ΕΓ
γ) Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει τη ∆Ε στο Η να βρεθεί το εmicroβαδό
του τριγώνου ΑΕΗ
13 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Ρ στο εσωτερικό του Από το Ρ φέρνουmicroε κάθετες
ηmicroιευθείες στις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ και πάνω σrsquo αυτές παίρνουmicroε τα σηmicroεία Α΄
Β΄ και Γ΄ αντίστοιχα έτσι ώστε ΡΑ΄=ΒΓ ΡΒ΄=ΑΓ και ΡΓ΄=ΑΒ Να αποδειχθεί ότι
α) οι γωνίες and
Γ και and
ΒprimeΡΑprime είναι παραπληρωmicroατικές
β) (ΡΑ΄Β΄)=(ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)
14 Θεωρούmicroε τρεις ίσες διαδοχικές γωνίες and
οψx zand
οψ xzand
ο και πάνω στις
ηmicroιευθείες Οx Oψ και Οz τα σηmicroεία Α Β Γ αντίστοιχα έτσι ώστε ΟΑ=1 ΟΒ=4 και
ΟΓ=8
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ψοand
x zand
οψ xzand
ο
β) Αν Οw η αντικείmicroενη ηmicroιευθεία της Οψ και Γ∆ wΟperp να υπολογίσετε τις Ο∆ και
Γ∆
γ) Να υπολογίσετε το (ΟΒΓ)
δ) Να αποδείξετε ότι (ΑΒΓ)= 311
15 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ και Κ Λ Μ Ν τα microέσα των ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α
αντίστοιχα α) Να αποδειχθεί ότι (ΚΛΜΝ)=2
1(ΑΒΓ∆)
β) Αν ΚΜ ΛΝperp να αποδειχθεί ότι (ΑΒΓ∆) = ΚΜΛΝ
16 Λ
Α Β Στο διπλανό σχήmicroα τα σηmicroεία Κ Λ είναι τα
Κ Ρ microέσα των τmicroηmicroάτων ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα
Να αποδείξετε ότι
Γ α) ο λόγος των εmicroβαδών των τριγώνων ΑΚΒ και ΑΛΓ είναι ίσος microε
β) αν Ρ είναι το σηmicroείο τοmicroής των ΛΓ και ΚΒ τότε τα τρίγωνα ΒΛΡ
και ΚΓΡ έχουν ίσα εmicroβαδά
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
23
17 ∆ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) microε ΑΒ=4 Α∆=2 καιο60=∆
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τραπεζίου ΑΒΓ∆
β) Αν Ε σηmicroείο της πλευράς ΑΒ τέτοιο ώστε ΕΒ= ΑΒ4
1 και οι Ε∆ ΕΓ τέmicroνουν τη
διάmicroεσο του τραπεζίου στα σηmicroεία Ζ και Η αντίστοιχα να βρεθεί το εmicroβαδό του
τριγώνου ΕΖΗ
γ) Αν οι ∆Ε και ΒΓ τέmicroνονται στο Ρ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ΡΕΒ
18 Αν οι διαγώνιοι κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓ∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο να αποδείξετε ότι
το τετράπλευρο έχει εmicroβαδό Β∆sdotΑΓ4
1
19 Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται ΑΒ=5 ο60=Α
and
και η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου
κύκλου 3
7=R Να βρεθούν οι άλλες δύο πλευρές του τριγώνου και το εmicroβαδόν του
20
∆ Ζ Γ
υ
Α Ε Η Β
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m
90ο=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος ∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο
οποίος θα χωρίζει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆ και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο
ΑΕ∆
δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου ∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
21 Αν Μ και Ν είναι τα microέσα των πλευρών ΒΓ και Γ∆ ενός παραλληλόγραmicromicroου ΑΒΓ∆
να αποδείξετε ότι (ΑΜΝ)= )(8
3ΑΒΓ∆
22 Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) θεωρούmicroε το microέσο Μ της πλευράς ΑΒ
και σηmicroείο Ν της πλευράς ΑΓ τέτοιο ώστε 3
ΑΓ=ΓΝ Να δειχθεί ότι
(ΜΝΒ)= )(3
1ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
24
23 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και τυχαίο σηmicroείο Σ στην προέκταση της πλευράς
∆Γ προς το Γ Να αποδείξετε ότι
α) (ΑΒ∆)= )(2
1ΑΒΓ∆
β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)
γ) αν η ΑΣ τέmicroνει την Β∆ στο σηmicroείο Ε τότε (Ε∆Σ)-(ΕΑΒ)=(ΣΒΓ)
24 Έστω Σ τυχαίο σηmicroείο της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ Στο σηmicroείο Α φέρουmicroε
microια ευθεία ε κάθετη στην ΑΣ Αν ∆ και Ε είναι αντίστοιχα οι προβολές των σηmicroείων
Β και Γ στην ευθεία ε να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ∆ΣΕ είναι ισοδύναmicroα
25 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 8=ΑΒ 12=ΑΓ και η Α∆ διχοτόmicroος της γωνίας and
Α Αν
( )ΑΒ∆ =20 τmicro να βρείτε το ( )ΑΒΓ
26 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ∆ σηmicroείο της πλευράς ΑΒέτσι ώστε 6=Α∆ ∆Β=5
8=ΑΓ Αν 80=Α
and
να βρείτε το εmicroβαδόν του τριγώνου Β∆Γ
27 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ microε 90=Β
and
και η γωνία and
Α να είναι το 3
1 της ορθής Αν
∆ σηmicroείο της προέκτασης της πλευράς ΒΓ προς το Γ τέτοιο ώστε η 30=Α∆Β
and
να
βρεθεί ο λόγος ( )( )ΑΒ∆ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
25
ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ
ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ
Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του
ίσες
Γωνία κανονικού ν-γώνου ν
φν
360
180 minus=
Κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου ν
ων
360=
Σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας R ισχύουν οι εξής τύποι 2
22
4R=+ ν
ν
λα
νν λν sdot=Ρ
ννν αsdotΡ=Ε2
1
όπου να απόστηmicroα νλ πλευρά νΡ περίmicroετρος νΕ εmicroβαδόν
∆ύο κανονικά πολύγωνα microε τον ίδιο αριθmicroό πλευρών είναι όmicroοια
Κάθε κανονικό πολύγωνο εγγράφεται σε έναν κύκλο και περιγράφεται σε έναν άλλον Οι δύο
αυτοί κύκλοι είναι οmicroόκεντροι
bull Το κοινό κέντρο τον κύκλων αυτών λέγεται κέντρο του πολυγώνου
bull Η ακτίνα R του περιγεγραmicromicroένου κύκλου λέγεται ακτίνα του πολυγώνου
bull Η απόσταση του κέντρου από microια πλευρά του δηλαδή η ακτίνα του εγγεγραmicromicroένου
κύκλου λέγεται απόστηmicroα του πολυγώνου
Σε δύο κανονικά ν-γωνα ο λόγος των πλευρών τους ισούται microε το λόγο των ακτινών τους και
το λόγο των αποστηmicroάτων τους
∆ηλαδή
ν
ν
ν
ν
αα
λλ
==R
R
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
26
ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ
ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ
ΚΑΝΟΝΙΚΟ
ΕΞΑΓΩΝΟ
ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ
ΤΡΙΓΩΝΟ
ΠΛΕΥΡΑ νλ 24 R=λ R=6λ 33 R=λ
ΑΠΟΣΤΗΜΑ να
2
24
R=α
2
36
R=α
23
R=α
RL sdot= π2
180
microπ sdotsdot=
Rl ή Rl sdot=α
180
microαπ
=
2Rsdot=Ε π
( )360
2 microπ sdotsdot=ΟΑΒ
cap R ή ( )
cap
sdot=ΟΑΒ 2
2
1Rα
( ) ( )ΟΑΒminusΟΑΒ=cap
ε
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
27
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Ένα κανονικό εξάγωνο είναι περιγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ορ) Η πλευρά του
εξαγώνου αυτού είναι
Α ρ Β 2
3ρ Γ 2ρ ∆
3
32ρ Ε
3
2ρ
2 ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και στις προεκτάσεις των
πλευρών ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α θεωρούmicroε τα τmicroήmicroατα ΒΚ=ΓΛ=∆Μ=ΑΝ=λ3 Να δείξετε
ότι το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο και ότι η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου κύκλου του
είναι 641 += RR
3 Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε δύο παράλληλες χορδές ΑΒ=λ4 και Γ∆=λ6 Να
αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι ισοσκελές τραπέζιο και να υπολογιστεί
το εmicroβαδό του ως συνάρτηση της ακτίνας R
4 Η περίmicroετρος ενός κυκλικού τοmicroέα ΟΑΒ ενός κύκλου (ΟR) είναι 6+π Αν
ο60=ΒΟΑand
τότε το microήκος της ακτίνας R είναι
Α 6 Β 3 Γ 2 ∆ 4 Ε 5 (δικαιολογήστε την απάντησή σας)
5 Έστω τεταρτοκύκλιο ΟΑΒ ακτίνας R και ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΟΒ στο εσωτερικό
του Να βρείτε το εmicroβαδό και την περίmicroετρο του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΑΒ
6 Έστω δύο κύκλοι (ΟR) και (Ο΄R) των οποίων η διάmicroετρος ΟΟ΄ έχει microήκος
ΟΟ΄=R 3 α) Να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι τέmicroνονται
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινού microέρους των δύο κύκλων
7 Το εmicroβαδό κυκλικού τοmicroέα 80ο είναι 8π Η ακτίνα του κύκλου είναι
Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15
8 Τετράγωνο ΑΒΓ∆ είναι εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και η ηmicroιπερίmicroετρος του
είναι 80cm Να υπολογιστούν
α) η ακτίνα R του κύκλου
β) ο λόγος του εmicroβαδού του κύκλου προς το εmicroβαδό του τετραγώνου
9 Στο εσωτερικό ηmicroικυκλίου διαmicroέτρου ΑΟΒ=2R γράφουmicroε ηmicroικύκλια microε
διαmicroέτρους ΟΑ και ΟΒ Να υπολογιστεί το microήκος και το εmicroβαδό του κύκλου που
εφάπτεται των τριών ηmicroικυκλίων
10 ∆ύο κύκλοι (Ο3R) και (Ο΄R) εφάπτονται εξωτερικά στο σηmicroείο Α Φέρουmicroε την
κοινή εξωτερική εφαπτόmicroενη ΒΓ αυτών Να βρεθεί το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου
τριγώνου ΑΒΓ και του περιγεγραmicromicroένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ
11 Έστω ο κύκλος (ΟR) και microια ακτίνα του ΟΑ Στην ηmicroιευθεία ΟΑ θεωρούmicroε
σηmicroείοΒ έτσι ώστε ΑΒ=ΑΟ Αν ΒΓ η εφαπτοmicroένη του κύκλου να βρεθεί το
εmicroβαδό α) του τριγώνου ΟΒΓ και β) του microικτόγραmicromicroου τριγώνου
ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
28
12 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=λ3 και Γ∆=λ6
προς το ίδιο microέρος του κέντρου Ο α) Να εκφράσετε τις χορδές ΑΒ και Γ∆ ως
συνάρτηση της ακτίνας R β) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό Ε1 του κυκλικού τmicroήmicroατος
που αντιστοιχεί στη χορδή Γ∆ γ) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό του τριγώνου ΟΑΒ
δ) Να βρείτε την περίmicroετρο και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τραπεζίου που έχει
κορυφές τα ΑΒΓ∆
13 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) χορδή ΑΒ=R την εφαπτοmicroένη ε του κύκλου στο σηmicroείο
Α και τη εperpΒΓ Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του τραπεζίου ΟΑΓΒ
β) το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
14 ∆ίνεται ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΑΒ και στο εσωτερικό του τα ηmicroικύκλια διαmicroέτρων
ΑΓ και ΓΒ όπου Γ σηmicroείο microεταξύ των Α και Β Αν κάθετη της ΑΒ στο Γ τέmicroνει το
αρχικό ηmicroικύκλιο στο ∆ να αποδείξετε ότι το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται
microεταξύ των τριών ηmicroικυκλίων είναι ίσο microε το εmicroβαδό του κύκλου διαmicroέτρου Γ∆
15 Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ο60=Β
and
και ΒΓ=α Με
κέντρο το Β και ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει τη ΒΓ στο Μ και microε κέντρο
το Γ και ακτίνα ΓΜ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν Να βρεθεί η
περίmicroετρος και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
16 Με κέντρο ένα σηmicroείο Κ κύκλου (ΟR) και ακτίνα ίση προς R 3 γράφουmicroε
κύκλο ο οποίος τέmicroνει τον (ΟR) στα σηmicroεία Α και Β Να υπολογιστούν η
περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου microηνίσκου
17 ∆ίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ΒΓ = 2R
Γράφουmicroε ηmicroικύκλιο microε διάmicroετρο ΒΓ εκτός τριγώνου και τόξο κύκλου (Α ΑΒ) microε
άκρα Β και Γ Να βρεθεί η περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου
microηνίσκου από το ηmicroικύκλιο και το τόξο αυτό
18 Ένα ορθογώνιο σπίτι microε διαστάσεις α = 20m και β = 10m έχει microια εξωτερική
πρίζα σε microια γωνία του Ένα χορτοκοπτικό microηχάνηmicroα συνδεδεmicroένο microε την πρίζα
έχει καλώδιο microε microήκος 15m Να βρεθεί το εmicroβαδόν της microεγαλύτερης επιφάνειας
του χόρτου που microπορεί να κοπεί
19 Σε κύκλο ακτίνας R = 4cm είναι εγγεγραmicromicroένο ισόπλευρο τρίγωνο
Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του κύκλου
β) την πλευρά του τριγώνου
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου
δ) το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται microεταξύ του κύκλου και του τριγώνου
20 Σε κύκλο microε διάmicroετρο ΑΒ φέρουmicroε τις χορδές ΜΒΑΜ Αν είναι 6=ΑΜ και
8=ΒΜ να βρεθεί η ακτίνα και το εmicroβαδόν του κύκλου
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
29
21 Να βρεθεί το εmicroβαδόν του καθενός από τα δύο microέρη στα οποία διαιρείται ένας
κύκλος ( )RΟ από την πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραmicromicroένου στον κύκλο
αυτόν
22 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και φέρουmicroε δύο κάθετες ακτίνες ΟΑ και ΟΒ Με
κέντρο το Α και ακτίνα R γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει το cap
AB στο σηmicroείο Γ Να
βρεθεί το εmicroβαδόν του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΒΓ
23 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και τόξο 60=ΑΒ
cap
Φέρουmicroε στο σηmicroείο Α την
εφαπτοmicroένη χΑ του κύκλου και την χΑperpΒΓ Να βρεθεί το εmicroβαδόν του
microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
30
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΗ 1η
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α∆ διχοτόmicroος Β∆ = 2 Γ∆ = 3 και 2τ = 15 (περίmicroετρος) η πλευρά
ΑΒ είναι
Α 3 Β 4 Γ 5 ∆ 6 Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 2η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 3α2 + 2γ
2 = 2β
2 Τότε
i) Α and
Α gt90ο Β
and
Β gt 90ο Γ
and
Β lt 90ο ∆
and
Γ gt 90ο Ε Κανένα από τα παραπάνω
ii) Η προβολή της διαmicroέσου microα στην ΒΓ ισούται microε
Α 4
a Β
2
a Γ
4
3a ∆
2
3a Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 3η
Αν ΑΒΓ∆ τετράγωνο πλευράς α και Ε microέσο του Α∆ τότε
i) ΒΕ =2
5α Σ Λ
ii) Ο λόγος ΒΕΕΖ
ισούται microε
Α 5
2 Β
4
5 Γ
4
1 ∆
5
1 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
Α Β
E
Z
∆ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 4η
Αν τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=4 ΒΓ=5 ΑΓ=6 και Α∆ διχοτόmicroος τότε
i) -Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο Σ Λ
- Ο λόγος ∆Γ∆Β
ισούται microε
Α 2
1 Β
3
1 Γ
3
2 ∆
4
3 Ε
2
3
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ii) Αν ε η προβολή του Α στην ΒΓ να υπολογίσετε το microήκος του ΒΕ
iii) Να αποδείξετε ότι 2
1=
∆Γ∆Ε
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
31
ΑΣΚΗΣΗ 5η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και Μ το microέσο της Α∆ Προεκτείνουmicroε τη ∆Γ προς το Γ
κατά ΓΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΒΜ)=2
)(ΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τραπεζίου ΑΒΕ∆ είναι οκταπλάσιο από το εmicroβαδόν του
τριγώνου ΑΒΜ
ΑΣΚΗΣΗ 6η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναιuα =3ρ όπου ρ του εγγεγραmicromicroένου κύκλου του τριγώνου Ο λόγος
αγβ +
ισούται microε Α 2 Β 3 Γ 3
1 ∆
2
3 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ΑΣΚΗΣΗ 7η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάmicroεσός του Α∆ Προεκτείνουmicroε την ΒΑ προς το Α κατά τmicroήmicroα
ΑΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι (ΒΕ∆)=3(Α∆Γ)
ΑΣΚΗΣΗ 8η
Στο εσωτερικό της αυλής ενός σπιτιού υπάρχει microικρός κήπος microε λαχανικά όπως στο
ακόλουθο σχήmicroα Αν το εmicroβαδόν του κήπου είναι 122m και οι διαστάσεις της αυλής είναι
12m και 13m να βρεθεί το x Αν θέλουmicroε να περιφράξουmicroε τον κήπο microε σύρmicroα πόσο σύρmicroα
θα χρειαστούmicroε
12m
13m
ΑΣΚΗΣΗ 9η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ Από τυχαίο σηmicroείο Ε της ΑΓ φέρουmicroε ευθεία παράλληλη
προς την Α∆ που τέmicroνει την Γ∆ στο Ζ Να αποδείξετε ότι
i) (Α∆Ζ)=(ΑΕΒ)
ii) (ΑΕΖ)=(ΒΕΓ)-(ΖΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 10η
Οι διάmicroεσοι Β∆ και ΓΕ τριγώνου ΑΒΓ τέmicroνονται στο Θ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΕ∆)=4
)(ΑΒΓ
ii) (ΒΘΓ)= 3
)(ΑΒΓ
iii)(ΑΕ∆)= (ΒΚΛΓ) όπου Κ Λ τα microέσα των ΒΘ και ΓΘ αντίστοιχα
x
x x
x
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
32
ΑΣΚΗΣΗ 11η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε τη διχοτόmicroο Α∆ Από το ∆ φέρνουmicroε παράλληλη προς την ΑΒ
που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει την προέκταση της
∆Ε στο Ζ να αποδείξετε ότι
α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)
β) β2(ΑΕΖ) = γ
2(∆ΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 12η
Θεωρούmicroε γωνία yxand
Α και σηmicroείο Ο της διχοτόmicroου της Αδ Αν ο κύκλος (ΟΟΑ) τέmicroνει τις
Οx Οy στα Β Γ αντίστοιχα και την Αδ στο ∆ να αποδείξετε ότι
α) (ΟΑΒ)=(ΟΑΓ)
β) (ΒΟΓ∆)=(ΑΒ∆)
γ) (ΒΟΓ∆)=2
1(ΟΑ)(ΒΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 13η
Από εσωτερικό σηmicroείο Μ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλες προς τις
πλευρές ΑΓ και ΑΒ που τέmicroνουν τις ΑΒ ΑΓ στα ∆ Ζ αντίστοιχα Αν (ΒΜ)=x (ΒΓ)=α
(Β∆Μ)=Ε1 (ΓΖΜ)=Ε2 και (ΑΒΓ)=Ε τότε
α) Να εκφράσετε ως συναρτήσεις των x και α τους λόγους Ε
Ε1 και Ε
Ε2
β) Να αποδείξετε ότι ΕgeΕ+Ε2
121
ΑΣΚΗΣΗ 14η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=Γ∆=λ3
Να βρεθεί
i) Η περίmicroετρος του ΑΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που αντιστοιχεί στη χορδή ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 15η
Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε τα διαδοχικά σηmicroεία Α Β Γ και ∆ ώστε ΑΒ=ΒΓ=Γ∆= R Να
βρεθεί
i) H περίmicroετρος του τριγώνου ΑΒ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τριγώνου ΒΓ∆
iii) Ο λόγος )(
)(
ΒΓ∆ΑΒ∆
ΑΣΚΗΣΗ 16η
∆ίνεται τεταρτοκύκλιο Οand
ΒΓ ακτίνας R
α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΓΒ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε δύο ισεmicroβαδικά χωρία
β) Αν ∆ σηmicroείο του τόξου ΒΓ να αποδείξετε ότι η ευθεία Γ∆ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
γ) Να βρείτε σηmicroείο Α της ακτίνας ΟΒ ώστε η ευθεία ΓΑ να χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
33
ΑΣΚΗΣΗ 17η
Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο Ο cap
ΒΓ ακτίνας R Σηmicroείο Α κινείται πάνω στο τόξο cap
ΒΓ και έστω
Κ το σηmicroείο τοmicroής της ακτίνας ΟΑ microε τη ΒΓ Να βρείτε το microήκος του τόξου cap
ΒΑ όταν το
εmicroβαδό του τριγώνου ΟΚΓ ισούται microε το εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα
τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΒ και το τόξο cap
ΒΑ
ΑΣΚΗΣΗ 18η
∆ίνεται ηmicroικύκλιο κέντρου Ο microε διάmicroετρο ΑΑ1=2R Έστω Β σηmicroείο του ηmicroικυκλίου microε
( 1ΑΟΒand
)=φ microοίρες και ΟΓ ακτίνα που τέmicroνει τη χορδή ΑΒ στο Κ
α) Να βρείτε το microήκος S του τόξου cap
ΑΓ όταν το εmicroβαδόν του τριγώνου ΟΚΒ ισούται microε το
εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΓ και το τόξοcap
ΑΓ
β) Αν η γωνία 1ΑΟΒand
είναι 150ο πόσο είναι το S
γ) Για ποια τιmicroή του φ το S γίνεται microέγιστο
Β
Γ
φ
Α1 Α
ΑΣΚΗΣΗ 19η
Η περίmicroετρος ρόmicroβου ΑΒΓ∆ πλευράς α και κέντρου Ο είναι τετραπλάσια της microικρής
διαγωνίου του Β∆
i) Να υπολογιστεί συναρτήσει του α το εmicroβαδόν του Ε
ii) Φέρουmicroε Α∆perpΟΗ και Γ∆perpΟΖ Αν η ΑΖ τέmicroνει τον κύκλο διαmicroέτρου Ο∆ στο Θ να
δειχθεί ότι 2
3Ε=ΑΖsdotΑΘ
ΑΣΚΗΣΗ 20η
Το περίγραmicromicroα της βάσης ενός microεγάλου λόφου σχηmicroατίζει τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=γ ΑΓ=β
όπου βgtγ και στο οποίο η διάmicroεσος ΑΜ και το ύψος Α∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο ∆ίπλα στην
πλευρά ΑΓ υπάρχει ορθογώνιος ιδιωτικός χώρος διαστάσεων 2
γβ +και β-γ Σrsquo αυτόν το
χώρο πρόκειται να κατασκευαστεί ένας microεγάλος ανισόπεδος κόmicroβος που θα συνδέει δύο
δρόmicroους ταχείας κυκλοφορίας Γιrsquo αυτούς τους λόγους προτείνεται στον ιδιοκτήτη να δεχτεί
να ανταλλάξει αυτόν τον χώρο microε άλλον ορθογώνιο χώρο του δηmicroοσίου που βρίσκεται δίπλα
στην πλευρά ΒΓ και έχει διαστάσεις τα microήκη των ΒΓ και 2
ΑΜ Ο ιδιοκτήτης δηλώνει ότι θα
συmicroφωνήσει microε την πρόταση αρκεί οι ανταλλάξιmicroοι χώροι να έχουν την ίδια έκταση
Πρακτικά όmicroως είναι αδύνατον να microετρήσει την πλευρά ΒΓ και τη διάmicroεσο ΑΜ γιrsquo αυτό και
διστάζει Πως θα σκεφτόσαστε εσείς να βοηθήσετε τον ιδιοκτήτη να αποφασίσει
Κ
Ο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
34
ΑΣΚΗΣΗ 21η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε β=2γ και η διάmicroεσος του Β∆ Φέρουmicroε Β∆perpΑx που τέmicroνει την
Β∆ στο Ε και την ΒΓ στο Ζ και ΕyΑΓ που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ Να αποδείξετε ότι
i) ZB= 2
1ZΓ
ii) (ΑΒΓ)=3(ΑΒΖ)
iii) Να αποδειχθεί ότι 8
3
)(
)(=
ΑΒΖΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΗ 22η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε α=2γ και β= 7γ
α) i) Να αποδείξετε ότι 2
3αmicroα =
ii) Να βρείτε το είδος της γωνίας and
Β
iii) Αν ΑΕ perp ΒΓ να υπολογίσετε το ΒΕ συναρτήσει του γ
iv) Να βρείτε τη γωνία and
Β
β) Αν ΑΜ διάmicroεσος και Β∆ διχοτόmicroος να αποδείξτε ότι
i) Α∆ = 3
β
ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)
ΑΣΚΗΣΗ 23η
Έστω τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ο R) και σηmicroείο Μ το οποίο κινείται στο
ηmicroικύκλιο cap
ΑΒΓ
α) Να βρεθεί το ελάχιστο ( )minΕ και το microέγιστο ( )maxΕ εmicroβαδόν του τετράπλευρου ΑΜΓ∆
συναρτήσει της ακτίνας R
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε θέση του Μ είναι
i) Μ∆2 = ΑΓ ∆Ε όπου Ε η προβολή του Μ στην Β∆
ii) (ΑΜΓ∆) = 2
2Μ∆
γ) Να προσδιορίσετε τη θέση του σηmicroείου Μ όταν (ΑΜΓ∆) = 2
maxmin EE +
ΑΣΚΗΣΗ 24η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ M το microέσο της ΑΒ σηmicroείο Ν της ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΝ = 4
3ΑΓ και
σηmicroείο Κ της ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΚ = 4
1ΒΓ Να βρεθεί ο λόγος των εmicroβαδών του τριγώνου
ΑΒΓ προς του τριγώνου ΜΝΚ
ΑΣΚΗΣΗ 25η
Α) Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι 2
αmicro = βγ και β-γ = 5 2 Το microήκος της πλευράς
α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3
Β) Να δειχθεί ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει η σχέση (222
γβα micromicromicro ++ )2 = 27Ε
2 όπου
Ε το εmicroβαδό του
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
35
ΑΣΚΗΣΗ 26η
Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω περιπτώσεις
όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί να αποτελεί microήκη των
πλευρών του
i) 3 57
ii) 8 4 2
iii) 7 6 85
ΑΣΚΗΣΗ 27η
Αν η διάmicroεσος microα ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν προεκταθεί τέmicroνει τον περιγεγραmicromicroένο κύκλο
στο ∆ να αποδειχθεί ότι microα = Α∆+
2
22 γβ
ΑΣΚΗΣΗ 28η
Από ένα κυκλικό οικόπεδο ακτίνας R=30m θα αποκοπεί κυκλικό τmicroήmicroα χορδής 30 3 m για
την κατασκευή δρόmicroου
i) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου που έmicroεινε
ii) Να βρεθεί η αποζηmicroίωση που θα δοθεί στον ιδιοκτήτη αν η αρχική αξία του οικοπέδου
ήταν 10000000 δρχ
ΑΣΚΗΣΗ 29η
Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι α =13 β = 8 γ = 7
i) Να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς το είδος των γωνιών του
ii) Να υπολογιστεί το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ πάνω στην ΑΒ
iii) Να υπολογιστεί η γωνία and
Α
ΑΣΚΗΣΗ 30η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 4 ΑΓ = 5 ΒΓ = 7 Το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ
πάνω στην ΑΒ είναι Α 5 Β 1 Γ 6 ∆ 2
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 31η
Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (and
Α =90ο) microε
and
Β =60ο και ΒΓ=4 Με κέντρο το Β και
ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ και microε κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΜ
γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν να βρεθούν
i) Η θέση του σηmicroείου Μ στη ΒΓ
ii) Η περίmicroετρος του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
iii) Το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
36
ΑΣΚΗΣΗ 32η
Μια έκταση σχήmicroατος τετραγώνου microε A 30 H 70 ∆
πλευρά 100m πρόκειται να διατεθεί
για κατασκευή εργατικών κατοικιών
Οι κατοικίες θα ανεργεθούν σε τέσσερα 70 30
ίσα τριγωνικά οικόπεδα και η υπόλοιπη Μ
έκταση σχήmicroατος τετραπλεύρου θα
χρησιmicroοποιηθεί ως κοινόχρηστος χώρος Z
για δενδροφύτευση και κατασκευή γηπέδου
microπάσκετ 30 70
α) Να βρεθούν τα εmicroβαδά των τεσσάρων ίσων οικοπέδων
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινόχρηστου χώρου B 70 K 30 Γ
γ) Τι είδους τετράπλευρο είναι ο κοινόχρηστος χώρος Να βρεθούν οι πλευρές του
ΑΣΚΗΣΗ 33η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 90A =
and
και ΑΒ=y ΑΓ=β
Α∆=ν Β∆=micro ΒΓ=x ∆Γ=κ
i) Να συmicroπληρωθούν οι σχέσεις
β2=helliphelliphellip=helliphelliphelliphellip Α
ν2=helliphelliphelliphelliphelliphellip
2
2
βy
=helliphelliphelliphelliphellip βy=helliphelliphelliphellip y ν β
ii) Να δειχθεί ότι 111
222 νβ=+
y Β ν ∆ κ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 34η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroεία ∆Ε της πλευράς ΒΓ έτσι ώστε Β∆=∆Ε=ΕΓ Να απόδειχθεί
ότι
i) 2222 22 ΑΕminusΑ∆=∆ΕminusΑΒ ii)
2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 35η
∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε o90=Α
and
ΑΒ=5cm ΑΓ=12cm Α∆ το ύψος του και ΒΜ
η διάmicroεσος του Προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά ΓΕ=ΒΓ i) Να συγκρίνετε τα
εmicroβαδά των τριγώνων Α∆Γ και ΑΓΕ ii) Να δείξετε ότι η σχέση που συνδέει τα εmicroβαδά των
τριγώνων ΑΒΜ και ΑΒΕ είναι (ΑΒΕ)=4(ΑΒΜ)
ΑΣΚΗΣΗ 36η
Από σηmicroείο Μ εκτός κύκλου φέρνουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΜΕ του κύκλου και τις
τέmicroνουσες ΜΑΒ και ΜΓ∆ Αν είναι ΑΒ=9 ΓΜ=4 Γ∆=5 να υπολογίσετε i) το ΜΑ ii) το
ΜΕ
ΑΣΚΗΣΗ 37η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) ΑΒ microια διάmicroετρος του και Μ τυχαίο σηmicroείο του (διαφορετικό των Α
Β) Αν Γ είναι το microέσο της ΟΑ και ∆ το microέσο της ΟΒ ενώ η ΜΓ τέmicroνει τον κύκλο στο Ε και
η Μ∆ στο Ζ τότε να αποδείξετε ότι3
10=
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
37
Ζ
Ε
ΑΣΚΗΣΗ 38η
Ένα τριγωνικό αγρόκτηmicroα ΑΒΓ χωρίζεται
σε τέσσερα τριγωνικά αγροτεmicroάχια όπως Α
φαίνεται στο σχήmicroα έτσι ώστε ΑΒ=Α∆3
2
ΒΕ= ΒΓ4
1και ΓΖ= ΑΓ
2
1 α) Αν το εmicroβαδό ∆
του ΑΒΓ είναι 48 στρέmicromicroατα να υπολογίσετε το Β
Γ
εmicroβαδό του ∆ΕΖ β) Αν τα ∆ Ε Ζ είναι τα microέσα των ΑΒ
ΒΓ ΑΓ αντίστοιχα να βρεθούν τα εmicroβαδά των
τεσσάρων αγροτεmicroαχίων
ΑΣΚΗΣΗ 39η
∆ίνεται εγγράψιmicroο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ ώστε οι πλευρές του ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α microε τη σειρά
που δίνονται να αποτελούν γεωmicroετρική πρόοδο Να αποδείξετε ότι η διαγώνιος του Β∆ το
χωρίζει σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
ΑΣΚΗΣΗ 40η
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ∆ Ζ Γ
την ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m και
ο90=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος υ
∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο οποίος
θα χωρίσει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆
και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα α) Να βρεθεί
το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆ β) Να
βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο
ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο Α Ε Η Β
ΑΕ∆ δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου
∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
ΑΣΚΗΣΗ 41η
∆ίνεται ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ και τα σηmicroεία του ∆Γ έτσι ώστε ∆Β=Γ∆=ΑΓ Αν
Μ τυχαίο σηmicroείο εκτός του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατοςΑΒ
Να δείξετε ότι 2222 33 ΜΓ+ΜΒ=ΜΒ+ΑΜ
ΑΣΚΗΣΗ 42η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 222 2αγβ =+ Αν η διάmicroεσος ΑΜ τέmicroνει το περιγεγραmicromicroένο
κύκλο του τριγώνου στο ∆ να δείξετε ότι
α) 6
3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
38
ΑΣΚΗΣΗ 43η
Από ένα εξωτερικό σηmicroείο Α κύκλου ( )RΟ φέρουmicroε microια τέmicroνουσα ΑΒΓ έτσι ώστε
ΒΓ=ΑΒ Αν 7R=ΟΑ τότε να δείξετε ότι
i) ΒΓ=ΑΒ =λ3
ii) η γωνία and
ΑΟΓ είναι αmicroβλεία
iii) η προβολή της ΟΓ πάνω στην ΟΑ είναι ίση microε ΟΑ7
2
iv) Να δείξετε ότι ( )( ) 2
1=
ΑΟΓΒΟΓ
και στην συνέχεια να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του τριγώνου
and
ΑΟΓ
v) Να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που ορίζεται από την χορδή ΒΓ και
το microέτρο του τόξου cap
ΒΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
39
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
40
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
9
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΡΙΓΩΝΟ
Αν από τα άκρα ενός ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατος ΑΒ φέρουmicroε τις κάθετες ΑΑrsquo και ΒΒrsquo πάνω σε
microια ευθεία ε τότε το τmicroήmicroα ΑrsquoΒrsquo είναι η προβολή του ΑΒ πάνω στην ε
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο microιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο microε το
γινόmicroενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην υποτείνουσα
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ο λόγος των τετραγώνων των κάθετων πλευρών του είναι ίσος
microε το λόγο των προβολών τους πάνω στην υποτείνουσα
Γ∆Β∆
=ΑΓ
ΑΒ2
2
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισmicroα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών του είναι
ίσο microε το τετράγωνο της υποτείνουσας 222 ΑΓ+ΑΒ=ΒΓ
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει 222 ΑΓ+ΑΒ=ΒΓ τότε
90=Αand
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο του ύψους του που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα
είναι ίσο microε το γινόmicroενο των προβολών των κάθετων του στην υποτείνουσα
∆ΓsdotΒ∆=Α∆2
Έστω λοιπόν το ορθογώνιο ΑΒΓ και ∆ η προβολή της κορυφής
Α στην υποτείνουσα ΒΓ
Τότε ισχύει Β∆sdotΒΓ=ΑΒ2 και
Γ∆sdotΒΓ=ΑΓ2
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
10
bull Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές τότε βα 2=
bull Αν Α∆ είναι το ύψος ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα
τότε ισχύει 222
111
αυγβ=+ και βγαυα =
bull Το ύψος ισοπλεύρου τριγώνου ως συνάρτηση της πλευράς α
δίνεται από τον τύπο 2
3sdot=α
υ
ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ
Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία είναι ίσο microε το
άθροισmicroα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του ελαττωmicroένο κατά το διπλάσιο
γινόmicroενο της microιας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή
∆ηλαδή σε τρίγωνο ΑΒΓ microε 90ltΑ
and
και Α∆ η προβολή της πλευράς γ πάνω στην β
τότε ισχύει Α∆sdotminus+= βγβα 2222
Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από αmicroβλεία γωνία είναι ίσο microε το
άθροισmicroα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του αυξηmicroένο κατά το διπλάσιο
γινόmicroενο της microιας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
11
Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν οι ισοδυναmicroίες
bull 222 γβα +gt αν και microόνο αν 90gtΑ
and
bull 222 γβα += αν και microόνο αν 90=Α
and
bull 222 γβα +lt αν και microόνο αν 90ltΑ
and
Προσοχή Για να εφαρmicroόσουmicroε το πόρισmicroα αυτό πρέπει πάντα να συγκρίνουmicroε το
τετράγωνο της microεγαλύτερης πλευράς του τριγώνου microε το άθροισmicroα των τετραγώνων των
άλλων δύο πλευρών
Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση
Αsdotminus+= συνβγγβα 2222
Το ύψος υα ενός τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τον τύπο
( )( )( )γτβταττα
υα minusminusminus=2
όπου ( )γβατ ++=2
1
Ανάλογες εκφράσεις ισχύουν και για τα άλλα ύψη υβ και υγ
ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ∆ΙΑΜΕΣΩΝ
Το άθροισmicroα των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται microε το διπλάσιο του
τετραγώνου της διαmicroέσου που περιέχεται microεταξύ των πλευρών αυτών αυξηmicroένο κατά το
microισό του τετραγώνου της τρίτης πλευράς
∆ηλαδή σε τρίγωνο ΑΒΓ microε 90gtΑ
and
και
Α∆ η προβολή της πλευράς γ πάνω στην β
τότε ισχύει
Α∆sdot++= βγβα 2222
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
12
∆ηλαδή αν Α∆ =υα το ύψος και ΑΜ =microα η διάmicroεσος ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύει
2
22
222 αmicroγβ α +=+
Ανάλογα έχουmicroε και τους ακόλουθους τύπους
2
22
222 γmicroβα γ +=+
22
2222 β
microγα β +=+
Η διαφορά των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται microε το διπλάσιο γινόmicroενο της
τρίτης πλευράς επί την προβολή της αντίστοιχης διαmicroέσου πάνω στην πλευρά αυτή
Μ∆sdot=minus αγβ 222
Σηmicroείωση αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές ή ισόπλευρο τότε το Μ ταυτίζεται microε το ∆ και το 2ο
θεώρηmicroα διαmicroέσων ισχύει ταυτοτικά
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ
Αν δύο χορδές Γ∆ΑΒ ή οι προεκτάσεις τους τέmicroνονται σε ένα σηmicroείο Ρ τότε ισχύει
Ρ∆sdotΡΓ=ΡΒsdotΡΑ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
13
Αν από ένα εξωτερικό σηmicroείο Ρ κύκλου ( )R Ο φέρουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΡΕ
Και microια ευθεία που τέmicroνει τον κύκλο στα σηmicroεία ΒΑ τότε ισχύει η σχέση
Επίσης αν η ευθεία ΡΟ τέmicroνει τον κύκλο στα ∆ Γ και δ=ΟΡ τότε έχουmicroε ότι
Η διαφορά 22 Rminusδ λέγεται δύναmicroη σηmicroείου Ρ ως προς τον κύκλο ( )R Ο και
συmicroβολίζεται
( )2222
RRR minusΟΡ=minus=∆ΡΟ δ
bull Το Ρ είναι εξωτερικό σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 gt∆ΡΟ R
bull Το Ρ είναι εσωτερικό σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 lt∆ΡΟ R
bull Το Ρ είναι σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 =∆ΡΟ R
bull Για να είναι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι εγγράψιmicroο σε κύκλο αν ισχύει η σχέση
Ρ∆sdotΡΓ=ΡΒsdotΡΑ
bull Αν οι διαγώνιοι ενός τετράπλευρου ΑΒΓ∆ τέmicroνονται σε ένα σηmicroείο Κ τότε για να
είναι το τετράπλευρο εγγράψιmicroο σε κύκλο πρέπει να ισχύει η σχέση
Κ∆sdotΚΒ=ΚΓsdotΚΑ
ΡΒsdotΡΑ=ΡΕ2
( )( ) 22 RRR minus=+minus
=Ρ∆sdotΡΓ=ΡΒsdotΡΑ
δδδ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
14
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Οι πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου έχουν microήκη x x+1 και x+2 Η περίmicroετρος του
τριγώνου αυτού είναι
Α 3 Β 6 Γ 10 ∆ 12 Ε 15
Επιλέξτε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε
2 Θεωρούmicroε διάmicroετρο ΑΒ κύκλου (ΟR) και τις κάθετες ακτίνες ΟΓ και Ο∆ Αν Ε και
Ζ οι προβολές των Γ και ∆ αντίστοιχα στην ΑΒ να αποδειχθεί ότι
i) Τα τρίγωνα ΟΕΓ και Ζ∆Ο είναι ίσα
ii) 222 R=ΟΖ+ΟΕ
3 Έστω ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο )90( Οand
=Α και Β∆ η διάmicroεσός του Να αποδειχθεί
ότι 222
4
3ΒΓ=ΑΓ+Β∆
4 Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο ΑΟΒ κύκλου (ΟR) και τη διχοτόmicroο ΟΜ της γωνίας and
ΟΒΑ Από σηmicroείο Γ του τόξου cap
ΑΒ φέρουmicroε ΟΒperpΓ∆ που τέmicroνει την ευθεία
ΟΜ στο σηmicroείο Ε Να αποδειχθεί ότι α) ∆Ε=Ο∆ β) 222 R=∆Ε+∆Γ
5 Αν σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά
τmicroήmicroα Γ∆=2ΒΓ να αποδειχθεί ότι 222 6ΒΓ+ΑΓ=Α∆
6 Αν ∆ σηmicroείο της πλευράς ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) να αποδειχθεί ότι
22 ∆Γsdot∆Β=Α∆minusΑΒ
7 Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω
περιπτώσεις όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί
να αποτελεί microήκη των πλευρών του i) 357 ii) 842 iii) 76 85
8 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ πληρούν τη σχέση 222 βαγ +lt
τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο
9 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ πληρούν τις σχέσεις αltβltγ και 222 βαγ +lt τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο
10 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών ΑΒΓ πληρούν τη σχέση 444 γβα +lt τότε να
αποδειχθεί ότι 90Οand
ltΑ
11 Θεωρούmicroε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και σηmicroείο ∆ της ηmicroιευθείας ΑΒ
τέτοιο ώστε Β∆=ΑΒ Αν ΑΒperpΓΕ και είναι ΑΒ=4ΒΕ να αποδειχθεί ότι
2
3 222 ΑΓ+ΒΓ=Γ∆
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
15
12 Θεωρούmicroε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α τη διχοτόmicroο Γχ της εξωτερικής
γωνίας εξΓ
and
αυτού την κάθετη xΓperpΒΕ και την κάθετη ΑΓperpΕΖ
Να αποδειχθεί ότι i)4
α=ΓΖ ii)
2
7α=ΑΕ
13 Εκατέρωθεν της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ κατασκευάζουmicroε δύο ισόπλευρα
τρίγωνα ΒΓ∆ και ΒΓΕ Να αποδειχθεί ότι 22222 γβα ++=ΑΕ+Α∆
14 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ τα microήκη των πλευρών του οποίου συνδέονται microε τη σχέση
2 222 αγβ =+ Nα αποδειχθεί ότι α) 2
βmicro +2
γmicro =2
2 αmicro
β) 2
3αmicroα =
2
3γmicroβ =
2
3βmicroγ =
15 Θεωρούmicroε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ )90( Οand
=Α και τη διάmicroεσό του ΒΕ
α) Να αποδειχθεί ότι 222
4
3ΒΓ=ΑΓ+ΒΕ β) Αν Α∆ είναι η διάmicroεσος του
τριγώνου ΑΒΓ ΒΕ= 14 και o60=Β∆Α
and
να υπολογιστούν τα microήκη των πλευρών
του τριγώνου ΑΒΓ
16 Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει γβ micromicro perp τότε να αποδειχθεί ότι 222
αγβ micromicromicro =+
17 Αν ΒΒ΄ το ύψος τριγώνου ΑΒΓ microε o90ltΑ
and
και ΑΜ η διάmicroεσός του τότε να
αποδειχθεί ότι 4
22 ΄ΑΒsdotΑΓ+
ΒΓ=ΑΜ
18 Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ )90( Οand
=Α η διάmicroεσος του ΑΜ και ευθεία (ε)
κάθετη στην ΑΜ στο Μ Αν Ρ σηmicroείο της (ε) να αποδειχθεί ότι 222 2ΡΑ=ΡΓ+ΡΒ
19 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ ΑΜ διάmicroεσος η οποία προεκτεινόmicroενη τέmicroνει τον
περιγεγραmicromicroένο κύκλο (ΟR) στο ∆ και Θ το βαρύκεντρο του τριγώνου
Να δειχθεί ότι i)4
2α=Μ∆sdotΜΑ ii)
ΘΟ∆ )( R )(
9
1 222 γβα ++minus=
iii) AB2+AΓ
2=2ΑΜsdotΑ∆
20 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόmicroος του Α∆ Αν οι κύκλοι οι περιγεγραmicromicroένοι στα
τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓ∆ τέmicroνουν τις ΑΓ και ΑΒ στα σηmicroεία Ζ και Ε αντίστοιχα να
αποδειχθεί ότι ΒΕ=ΓΖ
21 Κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι εγγράψιmicroο σε κύκλο Αν το σηmicroείο τοmicroής Μ των
διαγωνίων του είναι microέσο της διαγωνίου Β∆ να αποδειχθεί ότι
i) ΜΓsdotΜΑ=∆Β 42 ii) 2 22222 ΑΓ=∆Α+Γ∆+ΒΓ+ΑΒ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
16
22 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) διαmicroέτρου ΑΒ Από ένα σηmicroείο Γ της προέκτασης της ΑΒ
προς το Β φέρνουmicroε την εφαπτοmicroένη Γ∆ και την ΑΓperpΓx Αν Ε είναι το σηmicroείο
τοmicroής των Α∆ και Γx να αποδειχθεί ότι
i) το τετράπλευρο ∆ΒΓΕ είναι εγγράψιmicroο ii) ΑΕsdotΑ∆minusΓΑ=Γ∆ 22
23 ∆ύο κύκλοι (ΚR) και
Λ2
R
εφάπτονται εσωτερικά στο Α Από ένα σηmicroείο Μ του
κύκλου
Λ2
R
φέρνουmicroε χορδή Γ∆ του κύκλου (ΚR) Να αποδειχθεί ότι
ΜΓΜ∆=ΜΑ2
24 Θεωρούmicroε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α και σηmicroείο ∆ της πλευράς ΒΓ Αν οι
περιγεγραmicromicroένοι κύκλοι στα τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓ∆ τέmicroνουν τις πλευρές ΑΓ και ΑΒ
στα σηmicroεία Ε και Ζ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι ΒΖ+ΓΕ=α
25 Στη διάmicroετρο ΑΒ κύκλου (ΟR) θεωρούmicroε τα σηmicroεία Γ και ∆ έτσι ώστε ΟΓ=Ο∆=α
και microεταβλητό σηmicroείο Μ του κύκλου Αν οι ΜΓ και Μ∆ τέmicroνουν τον κύκλο στα Ε
και Ζ αντίστοιχα να αποδείξετε ότι i) ΜΓΓΕ = Μ∆∆Ζ ii)
ΜΓ2+Μ∆
2 = 2(R
2+α
2) iii) το άθροισmicroα
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
είναι σταθερό
26 Θεωρούmicroε κύκλο (O2α) και σηmicroείο Ρ τέτοιο ώστε ΟΡ=2
3α Φέρουmicroε χορδή ΑΒ η
οποία διέρχεται από το Ρ και είναι τέτοια ώστε ΑΡ=α Να υπολογιστεί το microήκος της
χορδής ΑΒ
27 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) διάmicroετρο ΑΒ και τα microέσα Γ και ∆ των ΟΑ και ΟΒ
αντίστοιχα Από το σηmicroείο Γ φέρουmicroε χορδή ΕΖ = 2
13 Rsdot Να αποδειχθεί ότι
i) ΖΓ2+Ζ∆
2+ΓΕ
2+∆Ε
2=5R
2 ii)
and
Ε∆Ζ = 900
28 Έστω ΑΒ διάmicroετρος κύκλου (ΟR) και ΑΓ Β∆ δύο χορδές που τέmicroνονται στο Ρ Να
αποδειχθεί ότι i) αν οι Α∆ και ΒΓ τέmicroνονται στο Ε τότε το Ρ είναι ορθόκεντρο του
τριγώνου ΕΑΒ ii) ΑΓΑΡ+Β∆ΒΡ=ΑΒ2
29 Τρίγωνο ΑΒΓ microε β2+γ
2=2α
2 Β∆ ΓΕ ύψη ΑΜ διάmicroεσος και Ζ microέσο της ΑΜ Να
αποδειχθεί ότι i)and
Α lt900 ii) AE =
γα2
2
και ΑΜ = 2
3α iii) ΕΖ =
γαβ4
Ζ∆ = β
αγ4
30 Σε τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούmicroε σηmicroεία ∆Ε στην πλευρά ΒΓ ώστε Β∆ = ∆Ε = ΕΓ Να
αποδείξετε ότι i) AB2 ndash 2∆E
2 = 2A∆
2 ndash AE
2 ii) AB
2 + 2AΓ
2 = 3AE
2 +
6∆E2
31 Αν α β γ πλευρές τριγώνου να βρεθεί το είδος του τριγώνου στις παρακάτω περι-
πτώσεις i) α = ν2 + 1 β = 2ν γ = ν
2 ndash 1
ii) α = 4 β = 5 γ = 3
iii) α = 11 β = 13 γ = 12
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
17
32 Αν Ε ∆ Ζ microέσα των ΑΓ ΒΓ Β∆ αντίστοιχα ενός τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε ότι
i) Ε∆=2
1ΑΒ ii) ΕΖ
2 =
16
263 222 βminusγ+α
33 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ = 6 ΑΓ = 8 ΒΓ = 2 37 να αποδειχθεί ότι
i) ο120=Α
and
ii) να βρεθεί το microήκος Α∆ όπου Β∆ ύψος τριγώνου
iii) να βρεθεί το microήκος της διαmicroέσου microα
34 Σε τρίγωνο ΑΒΓ microε πλευρές α = 9 β = 7 γ = 4 να βρείτε i) το είδος του τριγώνου
ii) το microήκος της διαmicroέσου microα iii) την προβολή της διαmicroέσου microα πάνω στην
ΒΓ iv) την προβολή της πλευράς β πάνω στην γ
35 Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ο90=Α
and
ΑΜ διάmicroεσος και Ρ το microέσο
της ΑΜ Στην πλευρά ΒΓ = α παίρνουmicroε σηmicroείο Κ ώστε ΓΚ = 8
5α Να αποδειχθεί
ότι i) ΓΡ2 =
16
5 2α ii) ΡΚ
2 =
64
5 2α iii) ΡΓ = 2ΚΡ
36 Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε ο90=Α
and
α = 25 και β = 20 αν x είναι η προβολή της
πλευράς β πάνω στην πλευρά α τότε
i) η πλευρά γ έχει microήκος Α10 Β12 Γ13 ∆15 Ε21
ii) το ύψος υα έχει microήκος Α9 Β7 Γ12 ∆17 Ε5
iii) το τmicroήmicroα x έχει microήκος Α10 Β12 Γ17 ∆16 Ε21
(Να αιτιολογήσετε την απάντηση)
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
18
ΕΜΒΑ∆Α
ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ
Ας θεωρήσουmicroε ένα πολύγωνο
Ένα σχήmicroα που αποτελείται από πεπερασmicroένο πλήθος πολυγωνικών χωρίων που ανά δύο δεν
έχουν κοινά εσωτερικά σηmicroεία λέγεται πολυγωνική επιφάνεια
Ίσα πολυγωνικά χωρία έχουν ίσα εmicroβαδά
Αν ένα πολυγωνικό χωρίο (ή microια πολυγωνική επιφάνεια) χωρίζεται σε πεπερασmicroένου
πλήθους πολυγωνικά χωρία που δεν έχουν κοινά εσωτερικά σηmicroεία τότε το εmicroβαδόν του
ισούται microε το άθροισmicroα των εmicroβαδών των επιmicroέρους πολυγωνικών χωρίων
Το εmicroβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς 1 είναι 1
∆ύο σχήmicroατα που έχουν το ίδιο εmicroβαδόν ονοmicroάζονται ισεmicroβαδικά ή ισοδύναmicroα
Το πολύγωνο microαζί microε τα εσωτερικά του
στοιχεία ονοmicroάζεται πολυγωνικό χωρίο
Ένα πολυγωνικό χωρίο που ορίζεται από
τρίγωνο τετράγωνοhellipν-γωνο ονοmicroάζεται
τριγωνικό πολυγωνικόhellip ν-γωνικό
∆ύο πολυγωνικά χωρία λέγονται ίσα όταν τα
αντίστοιχα πολύγωνά τους είναι ίσα
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
19
ΕΜΒΑ∆Α ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
Το εmicroβαδόν τετραγώνου πλευράς α δίνεται από τον τύπο 2α=Ε
Το εmicroβαδόν ενός ορθογωνίου ισούται microε το γινόmicroενο των πλευρών του βα sdot=Ε
Το εmicroβαδόν ενός παραλληλογράmicromicroου ισούται microε το γινόmicroενο microιας πλευράς του επί το ύψος
που αντιστοιχεί σε αυτή
βα υβυα sdot=sdot=Ε
Το εmicroβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο microε το ηmicroιγινόmicroενο microιας πλευράς επί το αντίστοιχο ύψος
γβα υγυβυα sdot=sdot=sdot=Ε2
1
2
1
2
1
Το εmicroβαδόν τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο του ηmicroιαθροίσmicroατος των βάσεων του επί το
ύψος του υβsdot
+Β=Ε
2
Το εmicroβαδόν τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο της διαmicroέσου επί το ύψος του
bull Το εmicroβαδόν ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς α είναι ίσο microε 4
32α=Ε
bull Το εmicroβαδόν ρόmicroβου ισούται microε το ηmicroιγινόmicroενο των διαγωνίων του
bull Το εmicroβαδόν οποιουδήποτε κυρτού ή microη κυρτού τετραπλεύρου microε κάθετες διαγωνίους
ισούται microε το ηmicroιγινόmicroενο των διαγωνίων του
bull Η διάmicroεσος κάθε τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
bull Το βαρύκεντρο τριγώνου έχει την ιδιότητα να δηmicroιουργεί microε τις κορυφές του τριγώνου τρία
ισεmicroβαδικά τρίγωνα
bull Το βαρύκεντρου του τριγώνου οι κορυφές του και τα microέσα των πλευρών του ορίζουν έξι
ισεmicroβαδικά τρίγωνα
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
20
ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΕΜΒΑ∆ΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
( )( )( )γτβταττ minusminusminus=Ε όπου 2
γβατ
++= ηmicroιπερίmicroετρος του τριγώνου
ρτ sdot=Ε
R4
γβα sdotsdot=Ε
Γsdotsdot=Βsdotsdot=Αsdotsdot=Ε ηmicroβαηmicroαγηmicroγβ2
1
2
1
2
1
ΕΜΒΑ∆Α ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
Αν δύο τρίγωνα έχουν ίσες βάσεις τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο των
αντίστοιχων υψών ενώ αν έχουν ίσα ύψη τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο
των αντίστοιχων βάσεων
Αν δύο τρίγωνα είναι όmicroοια τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το τετράγωνο του
λόγου οmicroοιότητας
Ο λόγος των εmicroβαδών δύο όmicroοιων πολυγώνων είναι ίσος microε το τετράγωνο του λόγου
οmicroοιότητας
Αν microια γωνία ενός τριγώνου είναι ίση ή παραπληρωmicroατική microε microια γωνία ενός άλλου
τριγώνου τότε ο λόγος των εmicroβαδών των δύο τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο των γινοmicroένων
των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
21
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Αν ΑΒΓ∆ τραπέζιο ( Γ∆ΑΒ ) και Ο το σηmicroείο τοmicroής των διαγωνίων του ΑΓ και
Β∆ να αποδείξετε ότι ΟΑ∆ΟΒΓ Ε=Ε
2 Ένα τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) και ΒΓ=Γ∆=Α∆ και τη βάση ΑΒ κατά 2 microικρότερη
από το άθροισmicroα των τριών αυτών πλευρών Αν το ύψος του τραπεζίου είναι 5 να
υπολογιστεί το εmicroβαδό του
3 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ microε microήκη πλευρών α=10 β=8 γ=14 και ισόπλευρο τρίγωνο
∆ΕΖ το οποίο είναι ισοδύναmicroο microε το ΑΒΓ Το microήκος της πλευράς του ισόπλευρου
τριγώνου ∆ΕΖ είναι
Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20
Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε
4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=2 ΒΗ ύψος και η διάmicroεσος Β∆=1 Αν and
∆ΑΒ =30ο να
υπολογιστούν α) τα ΒΗ Η∆ ΑΗ
β) το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ
5 Με υποτείνουσες τις κάθετες πλευρές ΑΒ και ΑΓ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ microε
β+γ=20 κατασκευάζουmicroε ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓΕ εκτός
αυτού
α) Να αποδείξετε ότι τα σηmicroεία ∆ΑΕ είναι συνευθειακά
β) Να βρείτε το εmicroβαδό του τετραπλεύρου ΒΓΕ∆
6 Προεκτείνουmicroε τις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ ενός τριγώνου ΑΒΓ κατά τmicroήmicroατα
Γ∆=ΓΒ ΑΕ=ΑΓ και ΒΖ=ΒΑ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι (∆ΕΖ) = 7(ΑΒΓ)
7 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Μ στο εσωτερικό του Φέρνουmicroε από το Μ
παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των
σχηmicroατιζόmicroενων τριγώνων και Ε το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε
ότι 321 Ε+Ε+Ε=Ε
8 Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ που τέmicroνει τις πλευρές ΑΒ
και ΑΓ στα σηmicroεία ∆ και Ε αντίστοιχα Να αποδείξετε ότι (ΑΒΕ)2=(ΑΒΓ)(Α∆Ε)
9 Από σηmicroείο ∆ της πλευράς ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη προς την
πλευρά ΒΓ που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των τριγώνων
Α∆Ε Α∆Γ και ΑΒΓ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι 31
2
2 ΕsdotΕ=Ε
10 Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Α΄ της πλευράς του ΒΓ Από τα Β και Γ
φέρνουmicroε παράλληλες προς την ΑΑ΄ που τέmicroνουν τις ευθείες ΑΓ και ΑΒ στα σηmicroεία
Γ΄ και Β΄ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι
α) (ΑΑ΄Γ΄) = (ΑΒΑ΄) και (ΑΑ΄Β΄) = (ΑΓΑ΄)
β) (Α´ô) = (ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
22
11 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ microε ΑΒ=10 Α∆=4 και and
∆ =60ο Στην πλευρά ΑΒ
θεωρούmicroε τα σηmicroεία Ε και Ζ έτσι ώστε ΑΕ=ΕΖ=ΖΒ Αν Η είναι το σηmicroείο τοmicroής των
ευθειών ∆Ε και ΓΖ να υπολογιστούν
α) το εmicroβαδό του παραλληλογράmicromicroου ΑΒΓ∆
β) το εmicroβαδό του τραπεζίου Γ∆ΕΖ
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου ΗΕΖ
12 ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=ΑΓ=6 και ο120=Α
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του
β) Αν Ε σηmicroείο της ΑΓ τέτοιο ώστε ΓΕ=ΑΕ2
1 και Α∆ το ύψος του τριγώνου
ΑΒΓ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ∆ΕΓ
γ) Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει τη ∆Ε στο Η να βρεθεί το εmicroβαδό
του τριγώνου ΑΕΗ
13 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Ρ στο εσωτερικό του Από το Ρ φέρνουmicroε κάθετες
ηmicroιευθείες στις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ και πάνω σrsquo αυτές παίρνουmicroε τα σηmicroεία Α΄
Β΄ και Γ΄ αντίστοιχα έτσι ώστε ΡΑ΄=ΒΓ ΡΒ΄=ΑΓ και ΡΓ΄=ΑΒ Να αποδειχθεί ότι
α) οι γωνίες and
Γ και and
ΒprimeΡΑprime είναι παραπληρωmicroατικές
β) (ΡΑ΄Β΄)=(ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)
14 Θεωρούmicroε τρεις ίσες διαδοχικές γωνίες and
οψx zand
οψ xzand
ο και πάνω στις
ηmicroιευθείες Οx Oψ και Οz τα σηmicroεία Α Β Γ αντίστοιχα έτσι ώστε ΟΑ=1 ΟΒ=4 και
ΟΓ=8
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ψοand
x zand
οψ xzand
ο
β) Αν Οw η αντικείmicroενη ηmicroιευθεία της Οψ και Γ∆ wΟperp να υπολογίσετε τις Ο∆ και
Γ∆
γ) Να υπολογίσετε το (ΟΒΓ)
δ) Να αποδείξετε ότι (ΑΒΓ)= 311
15 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ και Κ Λ Μ Ν τα microέσα των ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α
αντίστοιχα α) Να αποδειχθεί ότι (ΚΛΜΝ)=2
1(ΑΒΓ∆)
β) Αν ΚΜ ΛΝperp να αποδειχθεί ότι (ΑΒΓ∆) = ΚΜΛΝ
16 Λ
Α Β Στο διπλανό σχήmicroα τα σηmicroεία Κ Λ είναι τα
Κ Ρ microέσα των τmicroηmicroάτων ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα
Να αποδείξετε ότι
Γ α) ο λόγος των εmicroβαδών των τριγώνων ΑΚΒ και ΑΛΓ είναι ίσος microε
β) αν Ρ είναι το σηmicroείο τοmicroής των ΛΓ και ΚΒ τότε τα τρίγωνα ΒΛΡ
και ΚΓΡ έχουν ίσα εmicroβαδά
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
23
17 ∆ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) microε ΑΒ=4 Α∆=2 καιο60=∆
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τραπεζίου ΑΒΓ∆
β) Αν Ε σηmicroείο της πλευράς ΑΒ τέτοιο ώστε ΕΒ= ΑΒ4
1 και οι Ε∆ ΕΓ τέmicroνουν τη
διάmicroεσο του τραπεζίου στα σηmicroεία Ζ και Η αντίστοιχα να βρεθεί το εmicroβαδό του
τριγώνου ΕΖΗ
γ) Αν οι ∆Ε και ΒΓ τέmicroνονται στο Ρ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ΡΕΒ
18 Αν οι διαγώνιοι κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓ∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο να αποδείξετε ότι
το τετράπλευρο έχει εmicroβαδό Β∆sdotΑΓ4
1
19 Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται ΑΒ=5 ο60=Α
and
και η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου
κύκλου 3
7=R Να βρεθούν οι άλλες δύο πλευρές του τριγώνου και το εmicroβαδόν του
20
∆ Ζ Γ
υ
Α Ε Η Β
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m
90ο=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος ∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο
οποίος θα χωρίζει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆ και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο
ΑΕ∆
δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου ∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
21 Αν Μ και Ν είναι τα microέσα των πλευρών ΒΓ και Γ∆ ενός παραλληλόγραmicromicroου ΑΒΓ∆
να αποδείξετε ότι (ΑΜΝ)= )(8
3ΑΒΓ∆
22 Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) θεωρούmicroε το microέσο Μ της πλευράς ΑΒ
και σηmicroείο Ν της πλευράς ΑΓ τέτοιο ώστε 3
ΑΓ=ΓΝ Να δειχθεί ότι
(ΜΝΒ)= )(3
1ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
24
23 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και τυχαίο σηmicroείο Σ στην προέκταση της πλευράς
∆Γ προς το Γ Να αποδείξετε ότι
α) (ΑΒ∆)= )(2
1ΑΒΓ∆
β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)
γ) αν η ΑΣ τέmicroνει την Β∆ στο σηmicroείο Ε τότε (Ε∆Σ)-(ΕΑΒ)=(ΣΒΓ)
24 Έστω Σ τυχαίο σηmicroείο της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ Στο σηmicroείο Α φέρουmicroε
microια ευθεία ε κάθετη στην ΑΣ Αν ∆ και Ε είναι αντίστοιχα οι προβολές των σηmicroείων
Β και Γ στην ευθεία ε να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ∆ΣΕ είναι ισοδύναmicroα
25 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 8=ΑΒ 12=ΑΓ και η Α∆ διχοτόmicroος της γωνίας and
Α Αν
( )ΑΒ∆ =20 τmicro να βρείτε το ( )ΑΒΓ
26 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ∆ σηmicroείο της πλευράς ΑΒέτσι ώστε 6=Α∆ ∆Β=5
8=ΑΓ Αν 80=Α
and
να βρείτε το εmicroβαδόν του τριγώνου Β∆Γ
27 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ microε 90=Β
and
και η γωνία and
Α να είναι το 3
1 της ορθής Αν
∆ σηmicroείο της προέκτασης της πλευράς ΒΓ προς το Γ τέτοιο ώστε η 30=Α∆Β
and
να
βρεθεί ο λόγος ( )( )ΑΒ∆ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
25
ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ
ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ
Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του
ίσες
Γωνία κανονικού ν-γώνου ν
φν
360
180 minus=
Κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου ν
ων
360=
Σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας R ισχύουν οι εξής τύποι 2
22
4R=+ ν
ν
λα
νν λν sdot=Ρ
ννν αsdotΡ=Ε2
1
όπου να απόστηmicroα νλ πλευρά νΡ περίmicroετρος νΕ εmicroβαδόν
∆ύο κανονικά πολύγωνα microε τον ίδιο αριθmicroό πλευρών είναι όmicroοια
Κάθε κανονικό πολύγωνο εγγράφεται σε έναν κύκλο και περιγράφεται σε έναν άλλον Οι δύο
αυτοί κύκλοι είναι οmicroόκεντροι
bull Το κοινό κέντρο τον κύκλων αυτών λέγεται κέντρο του πολυγώνου
bull Η ακτίνα R του περιγεγραmicromicroένου κύκλου λέγεται ακτίνα του πολυγώνου
bull Η απόσταση του κέντρου από microια πλευρά του δηλαδή η ακτίνα του εγγεγραmicromicroένου
κύκλου λέγεται απόστηmicroα του πολυγώνου
Σε δύο κανονικά ν-γωνα ο λόγος των πλευρών τους ισούται microε το λόγο των ακτινών τους και
το λόγο των αποστηmicroάτων τους
∆ηλαδή
ν
ν
ν
ν
αα
λλ
==R
R
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
26
ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ
ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ
ΚΑΝΟΝΙΚΟ
ΕΞΑΓΩΝΟ
ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ
ΤΡΙΓΩΝΟ
ΠΛΕΥΡΑ νλ 24 R=λ R=6λ 33 R=λ
ΑΠΟΣΤΗΜΑ να
2
24
R=α
2
36
R=α
23
R=α
RL sdot= π2
180
microπ sdotsdot=
Rl ή Rl sdot=α
180
microαπ
=
2Rsdot=Ε π
( )360
2 microπ sdotsdot=ΟΑΒ
cap R ή ( )
cap
sdot=ΟΑΒ 2
2
1Rα
( ) ( )ΟΑΒminusΟΑΒ=cap
ε
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
27
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Ένα κανονικό εξάγωνο είναι περιγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ορ) Η πλευρά του
εξαγώνου αυτού είναι
Α ρ Β 2
3ρ Γ 2ρ ∆
3
32ρ Ε
3
2ρ
2 ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και στις προεκτάσεις των
πλευρών ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α θεωρούmicroε τα τmicroήmicroατα ΒΚ=ΓΛ=∆Μ=ΑΝ=λ3 Να δείξετε
ότι το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο και ότι η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου κύκλου του
είναι 641 += RR
3 Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε δύο παράλληλες χορδές ΑΒ=λ4 και Γ∆=λ6 Να
αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι ισοσκελές τραπέζιο και να υπολογιστεί
το εmicroβαδό του ως συνάρτηση της ακτίνας R
4 Η περίmicroετρος ενός κυκλικού τοmicroέα ΟΑΒ ενός κύκλου (ΟR) είναι 6+π Αν
ο60=ΒΟΑand
τότε το microήκος της ακτίνας R είναι
Α 6 Β 3 Γ 2 ∆ 4 Ε 5 (δικαιολογήστε την απάντησή σας)
5 Έστω τεταρτοκύκλιο ΟΑΒ ακτίνας R και ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΟΒ στο εσωτερικό
του Να βρείτε το εmicroβαδό και την περίmicroετρο του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΑΒ
6 Έστω δύο κύκλοι (ΟR) και (Ο΄R) των οποίων η διάmicroετρος ΟΟ΄ έχει microήκος
ΟΟ΄=R 3 α) Να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι τέmicroνονται
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινού microέρους των δύο κύκλων
7 Το εmicroβαδό κυκλικού τοmicroέα 80ο είναι 8π Η ακτίνα του κύκλου είναι
Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15
8 Τετράγωνο ΑΒΓ∆ είναι εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και η ηmicroιπερίmicroετρος του
είναι 80cm Να υπολογιστούν
α) η ακτίνα R του κύκλου
β) ο λόγος του εmicroβαδού του κύκλου προς το εmicroβαδό του τετραγώνου
9 Στο εσωτερικό ηmicroικυκλίου διαmicroέτρου ΑΟΒ=2R γράφουmicroε ηmicroικύκλια microε
διαmicroέτρους ΟΑ και ΟΒ Να υπολογιστεί το microήκος και το εmicroβαδό του κύκλου που
εφάπτεται των τριών ηmicroικυκλίων
10 ∆ύο κύκλοι (Ο3R) και (Ο΄R) εφάπτονται εξωτερικά στο σηmicroείο Α Φέρουmicroε την
κοινή εξωτερική εφαπτόmicroενη ΒΓ αυτών Να βρεθεί το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου
τριγώνου ΑΒΓ και του περιγεγραmicromicroένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ
11 Έστω ο κύκλος (ΟR) και microια ακτίνα του ΟΑ Στην ηmicroιευθεία ΟΑ θεωρούmicroε
σηmicroείοΒ έτσι ώστε ΑΒ=ΑΟ Αν ΒΓ η εφαπτοmicroένη του κύκλου να βρεθεί το
εmicroβαδό α) του τριγώνου ΟΒΓ και β) του microικτόγραmicromicroου τριγώνου
ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
28
12 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=λ3 και Γ∆=λ6
προς το ίδιο microέρος του κέντρου Ο α) Να εκφράσετε τις χορδές ΑΒ και Γ∆ ως
συνάρτηση της ακτίνας R β) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό Ε1 του κυκλικού τmicroήmicroατος
που αντιστοιχεί στη χορδή Γ∆ γ) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό του τριγώνου ΟΑΒ
δ) Να βρείτε την περίmicroετρο και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τραπεζίου που έχει
κορυφές τα ΑΒΓ∆
13 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) χορδή ΑΒ=R την εφαπτοmicroένη ε του κύκλου στο σηmicroείο
Α και τη εperpΒΓ Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του τραπεζίου ΟΑΓΒ
β) το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
14 ∆ίνεται ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΑΒ και στο εσωτερικό του τα ηmicroικύκλια διαmicroέτρων
ΑΓ και ΓΒ όπου Γ σηmicroείο microεταξύ των Α και Β Αν κάθετη της ΑΒ στο Γ τέmicroνει το
αρχικό ηmicroικύκλιο στο ∆ να αποδείξετε ότι το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται
microεταξύ των τριών ηmicroικυκλίων είναι ίσο microε το εmicroβαδό του κύκλου διαmicroέτρου Γ∆
15 Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ο60=Β
and
και ΒΓ=α Με
κέντρο το Β και ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει τη ΒΓ στο Μ και microε κέντρο
το Γ και ακτίνα ΓΜ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν Να βρεθεί η
περίmicroετρος και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
16 Με κέντρο ένα σηmicroείο Κ κύκλου (ΟR) και ακτίνα ίση προς R 3 γράφουmicroε
κύκλο ο οποίος τέmicroνει τον (ΟR) στα σηmicroεία Α και Β Να υπολογιστούν η
περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου microηνίσκου
17 ∆ίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ΒΓ = 2R
Γράφουmicroε ηmicroικύκλιο microε διάmicroετρο ΒΓ εκτός τριγώνου και τόξο κύκλου (Α ΑΒ) microε
άκρα Β και Γ Να βρεθεί η περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου
microηνίσκου από το ηmicroικύκλιο και το τόξο αυτό
18 Ένα ορθογώνιο σπίτι microε διαστάσεις α = 20m και β = 10m έχει microια εξωτερική
πρίζα σε microια γωνία του Ένα χορτοκοπτικό microηχάνηmicroα συνδεδεmicroένο microε την πρίζα
έχει καλώδιο microε microήκος 15m Να βρεθεί το εmicroβαδόν της microεγαλύτερης επιφάνειας
του χόρτου που microπορεί να κοπεί
19 Σε κύκλο ακτίνας R = 4cm είναι εγγεγραmicromicroένο ισόπλευρο τρίγωνο
Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του κύκλου
β) την πλευρά του τριγώνου
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου
δ) το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται microεταξύ του κύκλου και του τριγώνου
20 Σε κύκλο microε διάmicroετρο ΑΒ φέρουmicroε τις χορδές ΜΒΑΜ Αν είναι 6=ΑΜ και
8=ΒΜ να βρεθεί η ακτίνα και το εmicroβαδόν του κύκλου
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
29
21 Να βρεθεί το εmicroβαδόν του καθενός από τα δύο microέρη στα οποία διαιρείται ένας
κύκλος ( )RΟ από την πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραmicromicroένου στον κύκλο
αυτόν
22 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και φέρουmicroε δύο κάθετες ακτίνες ΟΑ και ΟΒ Με
κέντρο το Α και ακτίνα R γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει το cap
AB στο σηmicroείο Γ Να
βρεθεί το εmicroβαδόν του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΒΓ
23 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και τόξο 60=ΑΒ
cap
Φέρουmicroε στο σηmicroείο Α την
εφαπτοmicroένη χΑ του κύκλου και την χΑperpΒΓ Να βρεθεί το εmicroβαδόν του
microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
30
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΗ 1η
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α∆ διχοτόmicroος Β∆ = 2 Γ∆ = 3 και 2τ = 15 (περίmicroετρος) η πλευρά
ΑΒ είναι
Α 3 Β 4 Γ 5 ∆ 6 Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 2η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 3α2 + 2γ
2 = 2β
2 Τότε
i) Α and
Α gt90ο Β
and
Β gt 90ο Γ
and
Β lt 90ο ∆
and
Γ gt 90ο Ε Κανένα από τα παραπάνω
ii) Η προβολή της διαmicroέσου microα στην ΒΓ ισούται microε
Α 4
a Β
2
a Γ
4
3a ∆
2
3a Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 3η
Αν ΑΒΓ∆ τετράγωνο πλευράς α και Ε microέσο του Α∆ τότε
i) ΒΕ =2
5α Σ Λ
ii) Ο λόγος ΒΕΕΖ
ισούται microε
Α 5
2 Β
4
5 Γ
4
1 ∆
5
1 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
Α Β
E
Z
∆ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 4η
Αν τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=4 ΒΓ=5 ΑΓ=6 και Α∆ διχοτόmicroος τότε
i) -Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο Σ Λ
- Ο λόγος ∆Γ∆Β
ισούται microε
Α 2
1 Β
3
1 Γ
3
2 ∆
4
3 Ε
2
3
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ii) Αν ε η προβολή του Α στην ΒΓ να υπολογίσετε το microήκος του ΒΕ
iii) Να αποδείξετε ότι 2
1=
∆Γ∆Ε
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
31
ΑΣΚΗΣΗ 5η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και Μ το microέσο της Α∆ Προεκτείνουmicroε τη ∆Γ προς το Γ
κατά ΓΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΒΜ)=2
)(ΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τραπεζίου ΑΒΕ∆ είναι οκταπλάσιο από το εmicroβαδόν του
τριγώνου ΑΒΜ
ΑΣΚΗΣΗ 6η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναιuα =3ρ όπου ρ του εγγεγραmicromicroένου κύκλου του τριγώνου Ο λόγος
αγβ +
ισούται microε Α 2 Β 3 Γ 3
1 ∆
2
3 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ΑΣΚΗΣΗ 7η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάmicroεσός του Α∆ Προεκτείνουmicroε την ΒΑ προς το Α κατά τmicroήmicroα
ΑΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι (ΒΕ∆)=3(Α∆Γ)
ΑΣΚΗΣΗ 8η
Στο εσωτερικό της αυλής ενός σπιτιού υπάρχει microικρός κήπος microε λαχανικά όπως στο
ακόλουθο σχήmicroα Αν το εmicroβαδόν του κήπου είναι 122m και οι διαστάσεις της αυλής είναι
12m και 13m να βρεθεί το x Αν θέλουmicroε να περιφράξουmicroε τον κήπο microε σύρmicroα πόσο σύρmicroα
θα χρειαστούmicroε
12m
13m
ΑΣΚΗΣΗ 9η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ Από τυχαίο σηmicroείο Ε της ΑΓ φέρουmicroε ευθεία παράλληλη
προς την Α∆ που τέmicroνει την Γ∆ στο Ζ Να αποδείξετε ότι
i) (Α∆Ζ)=(ΑΕΒ)
ii) (ΑΕΖ)=(ΒΕΓ)-(ΖΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 10η
Οι διάmicroεσοι Β∆ και ΓΕ τριγώνου ΑΒΓ τέmicroνονται στο Θ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΕ∆)=4
)(ΑΒΓ
ii) (ΒΘΓ)= 3
)(ΑΒΓ
iii)(ΑΕ∆)= (ΒΚΛΓ) όπου Κ Λ τα microέσα των ΒΘ και ΓΘ αντίστοιχα
x
x x
x
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
32
ΑΣΚΗΣΗ 11η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε τη διχοτόmicroο Α∆ Από το ∆ φέρνουmicroε παράλληλη προς την ΑΒ
που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει την προέκταση της
∆Ε στο Ζ να αποδείξετε ότι
α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)
β) β2(ΑΕΖ) = γ
2(∆ΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 12η
Θεωρούmicroε γωνία yxand
Α και σηmicroείο Ο της διχοτόmicroου της Αδ Αν ο κύκλος (ΟΟΑ) τέmicroνει τις
Οx Οy στα Β Γ αντίστοιχα και την Αδ στο ∆ να αποδείξετε ότι
α) (ΟΑΒ)=(ΟΑΓ)
β) (ΒΟΓ∆)=(ΑΒ∆)
γ) (ΒΟΓ∆)=2
1(ΟΑ)(ΒΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 13η
Από εσωτερικό σηmicroείο Μ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλες προς τις
πλευρές ΑΓ και ΑΒ που τέmicroνουν τις ΑΒ ΑΓ στα ∆ Ζ αντίστοιχα Αν (ΒΜ)=x (ΒΓ)=α
(Β∆Μ)=Ε1 (ΓΖΜ)=Ε2 και (ΑΒΓ)=Ε τότε
α) Να εκφράσετε ως συναρτήσεις των x και α τους λόγους Ε
Ε1 και Ε
Ε2
β) Να αποδείξετε ότι ΕgeΕ+Ε2
121
ΑΣΚΗΣΗ 14η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=Γ∆=λ3
Να βρεθεί
i) Η περίmicroετρος του ΑΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που αντιστοιχεί στη χορδή ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 15η
Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε τα διαδοχικά σηmicroεία Α Β Γ και ∆ ώστε ΑΒ=ΒΓ=Γ∆= R Να
βρεθεί
i) H περίmicroετρος του τριγώνου ΑΒ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τριγώνου ΒΓ∆
iii) Ο λόγος )(
)(
ΒΓ∆ΑΒ∆
ΑΣΚΗΣΗ 16η
∆ίνεται τεταρτοκύκλιο Οand
ΒΓ ακτίνας R
α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΓΒ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε δύο ισεmicroβαδικά χωρία
β) Αν ∆ σηmicroείο του τόξου ΒΓ να αποδείξετε ότι η ευθεία Γ∆ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
γ) Να βρείτε σηmicroείο Α της ακτίνας ΟΒ ώστε η ευθεία ΓΑ να χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
33
ΑΣΚΗΣΗ 17η
Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο Ο cap
ΒΓ ακτίνας R Σηmicroείο Α κινείται πάνω στο τόξο cap
ΒΓ και έστω
Κ το σηmicroείο τοmicroής της ακτίνας ΟΑ microε τη ΒΓ Να βρείτε το microήκος του τόξου cap
ΒΑ όταν το
εmicroβαδό του τριγώνου ΟΚΓ ισούται microε το εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα
τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΒ και το τόξο cap
ΒΑ
ΑΣΚΗΣΗ 18η
∆ίνεται ηmicroικύκλιο κέντρου Ο microε διάmicroετρο ΑΑ1=2R Έστω Β σηmicroείο του ηmicroικυκλίου microε
( 1ΑΟΒand
)=φ microοίρες και ΟΓ ακτίνα που τέmicroνει τη χορδή ΑΒ στο Κ
α) Να βρείτε το microήκος S του τόξου cap
ΑΓ όταν το εmicroβαδόν του τριγώνου ΟΚΒ ισούται microε το
εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΓ και το τόξοcap
ΑΓ
β) Αν η γωνία 1ΑΟΒand
είναι 150ο πόσο είναι το S
γ) Για ποια τιmicroή του φ το S γίνεται microέγιστο
Β
Γ
φ
Α1 Α
ΑΣΚΗΣΗ 19η
Η περίmicroετρος ρόmicroβου ΑΒΓ∆ πλευράς α και κέντρου Ο είναι τετραπλάσια της microικρής
διαγωνίου του Β∆
i) Να υπολογιστεί συναρτήσει του α το εmicroβαδόν του Ε
ii) Φέρουmicroε Α∆perpΟΗ και Γ∆perpΟΖ Αν η ΑΖ τέmicroνει τον κύκλο διαmicroέτρου Ο∆ στο Θ να
δειχθεί ότι 2
3Ε=ΑΖsdotΑΘ
ΑΣΚΗΣΗ 20η
Το περίγραmicromicroα της βάσης ενός microεγάλου λόφου σχηmicroατίζει τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=γ ΑΓ=β
όπου βgtγ και στο οποίο η διάmicroεσος ΑΜ και το ύψος Α∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο ∆ίπλα στην
πλευρά ΑΓ υπάρχει ορθογώνιος ιδιωτικός χώρος διαστάσεων 2
γβ +και β-γ Σrsquo αυτόν το
χώρο πρόκειται να κατασκευαστεί ένας microεγάλος ανισόπεδος κόmicroβος που θα συνδέει δύο
δρόmicroους ταχείας κυκλοφορίας Γιrsquo αυτούς τους λόγους προτείνεται στον ιδιοκτήτη να δεχτεί
να ανταλλάξει αυτόν τον χώρο microε άλλον ορθογώνιο χώρο του δηmicroοσίου που βρίσκεται δίπλα
στην πλευρά ΒΓ και έχει διαστάσεις τα microήκη των ΒΓ και 2
ΑΜ Ο ιδιοκτήτης δηλώνει ότι θα
συmicroφωνήσει microε την πρόταση αρκεί οι ανταλλάξιmicroοι χώροι να έχουν την ίδια έκταση
Πρακτικά όmicroως είναι αδύνατον να microετρήσει την πλευρά ΒΓ και τη διάmicroεσο ΑΜ γιrsquo αυτό και
διστάζει Πως θα σκεφτόσαστε εσείς να βοηθήσετε τον ιδιοκτήτη να αποφασίσει
Κ
Ο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
34
ΑΣΚΗΣΗ 21η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε β=2γ και η διάmicroεσος του Β∆ Φέρουmicroε Β∆perpΑx που τέmicroνει την
Β∆ στο Ε και την ΒΓ στο Ζ και ΕyΑΓ που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ Να αποδείξετε ότι
i) ZB= 2
1ZΓ
ii) (ΑΒΓ)=3(ΑΒΖ)
iii) Να αποδειχθεί ότι 8
3
)(
)(=
ΑΒΖΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΗ 22η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε α=2γ και β= 7γ
α) i) Να αποδείξετε ότι 2
3αmicroα =
ii) Να βρείτε το είδος της γωνίας and
Β
iii) Αν ΑΕ perp ΒΓ να υπολογίσετε το ΒΕ συναρτήσει του γ
iv) Να βρείτε τη γωνία and
Β
β) Αν ΑΜ διάmicroεσος και Β∆ διχοτόmicroος να αποδείξτε ότι
i) Α∆ = 3
β
ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)
ΑΣΚΗΣΗ 23η
Έστω τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ο R) και σηmicroείο Μ το οποίο κινείται στο
ηmicroικύκλιο cap
ΑΒΓ
α) Να βρεθεί το ελάχιστο ( )minΕ και το microέγιστο ( )maxΕ εmicroβαδόν του τετράπλευρου ΑΜΓ∆
συναρτήσει της ακτίνας R
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε θέση του Μ είναι
i) Μ∆2 = ΑΓ ∆Ε όπου Ε η προβολή του Μ στην Β∆
ii) (ΑΜΓ∆) = 2
2Μ∆
γ) Να προσδιορίσετε τη θέση του σηmicroείου Μ όταν (ΑΜΓ∆) = 2
maxmin EE +
ΑΣΚΗΣΗ 24η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ M το microέσο της ΑΒ σηmicroείο Ν της ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΝ = 4
3ΑΓ και
σηmicroείο Κ της ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΚ = 4
1ΒΓ Να βρεθεί ο λόγος των εmicroβαδών του τριγώνου
ΑΒΓ προς του τριγώνου ΜΝΚ
ΑΣΚΗΣΗ 25η
Α) Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι 2
αmicro = βγ και β-γ = 5 2 Το microήκος της πλευράς
α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3
Β) Να δειχθεί ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει η σχέση (222
γβα micromicromicro ++ )2 = 27Ε
2 όπου
Ε το εmicroβαδό του
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
35
ΑΣΚΗΣΗ 26η
Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω περιπτώσεις
όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί να αποτελεί microήκη των
πλευρών του
i) 3 57
ii) 8 4 2
iii) 7 6 85
ΑΣΚΗΣΗ 27η
Αν η διάmicroεσος microα ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν προεκταθεί τέmicroνει τον περιγεγραmicromicroένο κύκλο
στο ∆ να αποδειχθεί ότι microα = Α∆+
2
22 γβ
ΑΣΚΗΣΗ 28η
Από ένα κυκλικό οικόπεδο ακτίνας R=30m θα αποκοπεί κυκλικό τmicroήmicroα χορδής 30 3 m για
την κατασκευή δρόmicroου
i) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου που έmicroεινε
ii) Να βρεθεί η αποζηmicroίωση που θα δοθεί στον ιδιοκτήτη αν η αρχική αξία του οικοπέδου
ήταν 10000000 δρχ
ΑΣΚΗΣΗ 29η
Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι α =13 β = 8 γ = 7
i) Να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς το είδος των γωνιών του
ii) Να υπολογιστεί το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ πάνω στην ΑΒ
iii) Να υπολογιστεί η γωνία and
Α
ΑΣΚΗΣΗ 30η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 4 ΑΓ = 5 ΒΓ = 7 Το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ
πάνω στην ΑΒ είναι Α 5 Β 1 Γ 6 ∆ 2
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 31η
Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (and
Α =90ο) microε
and
Β =60ο και ΒΓ=4 Με κέντρο το Β και
ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ και microε κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΜ
γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν να βρεθούν
i) Η θέση του σηmicroείου Μ στη ΒΓ
ii) Η περίmicroετρος του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
iii) Το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
36
ΑΣΚΗΣΗ 32η
Μια έκταση σχήmicroατος τετραγώνου microε A 30 H 70 ∆
πλευρά 100m πρόκειται να διατεθεί
για κατασκευή εργατικών κατοικιών
Οι κατοικίες θα ανεργεθούν σε τέσσερα 70 30
ίσα τριγωνικά οικόπεδα και η υπόλοιπη Μ
έκταση σχήmicroατος τετραπλεύρου θα
χρησιmicroοποιηθεί ως κοινόχρηστος χώρος Z
για δενδροφύτευση και κατασκευή γηπέδου
microπάσκετ 30 70
α) Να βρεθούν τα εmicroβαδά των τεσσάρων ίσων οικοπέδων
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινόχρηστου χώρου B 70 K 30 Γ
γ) Τι είδους τετράπλευρο είναι ο κοινόχρηστος χώρος Να βρεθούν οι πλευρές του
ΑΣΚΗΣΗ 33η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 90A =
and
και ΑΒ=y ΑΓ=β
Α∆=ν Β∆=micro ΒΓ=x ∆Γ=κ
i) Να συmicroπληρωθούν οι σχέσεις
β2=helliphelliphellip=helliphelliphelliphellip Α
ν2=helliphelliphelliphelliphelliphellip
2
2
βy
=helliphelliphelliphelliphellip βy=helliphelliphelliphellip y ν β
ii) Να δειχθεί ότι 111
222 νβ=+
y Β ν ∆ κ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 34η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroεία ∆Ε της πλευράς ΒΓ έτσι ώστε Β∆=∆Ε=ΕΓ Να απόδειχθεί
ότι
i) 2222 22 ΑΕminusΑ∆=∆ΕminusΑΒ ii)
2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 35η
∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε o90=Α
and
ΑΒ=5cm ΑΓ=12cm Α∆ το ύψος του και ΒΜ
η διάmicroεσος του Προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά ΓΕ=ΒΓ i) Να συγκρίνετε τα
εmicroβαδά των τριγώνων Α∆Γ και ΑΓΕ ii) Να δείξετε ότι η σχέση που συνδέει τα εmicroβαδά των
τριγώνων ΑΒΜ και ΑΒΕ είναι (ΑΒΕ)=4(ΑΒΜ)
ΑΣΚΗΣΗ 36η
Από σηmicroείο Μ εκτός κύκλου φέρνουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΜΕ του κύκλου και τις
τέmicroνουσες ΜΑΒ και ΜΓ∆ Αν είναι ΑΒ=9 ΓΜ=4 Γ∆=5 να υπολογίσετε i) το ΜΑ ii) το
ΜΕ
ΑΣΚΗΣΗ 37η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) ΑΒ microια διάmicroετρος του και Μ τυχαίο σηmicroείο του (διαφορετικό των Α
Β) Αν Γ είναι το microέσο της ΟΑ και ∆ το microέσο της ΟΒ ενώ η ΜΓ τέmicroνει τον κύκλο στο Ε και
η Μ∆ στο Ζ τότε να αποδείξετε ότι3
10=
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
37
Ζ
Ε
ΑΣΚΗΣΗ 38η
Ένα τριγωνικό αγρόκτηmicroα ΑΒΓ χωρίζεται
σε τέσσερα τριγωνικά αγροτεmicroάχια όπως Α
φαίνεται στο σχήmicroα έτσι ώστε ΑΒ=Α∆3
2
ΒΕ= ΒΓ4
1και ΓΖ= ΑΓ
2
1 α) Αν το εmicroβαδό ∆
του ΑΒΓ είναι 48 στρέmicromicroατα να υπολογίσετε το Β
Γ
εmicroβαδό του ∆ΕΖ β) Αν τα ∆ Ε Ζ είναι τα microέσα των ΑΒ
ΒΓ ΑΓ αντίστοιχα να βρεθούν τα εmicroβαδά των
τεσσάρων αγροτεmicroαχίων
ΑΣΚΗΣΗ 39η
∆ίνεται εγγράψιmicroο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ ώστε οι πλευρές του ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α microε τη σειρά
που δίνονται να αποτελούν γεωmicroετρική πρόοδο Να αποδείξετε ότι η διαγώνιος του Β∆ το
χωρίζει σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
ΑΣΚΗΣΗ 40η
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ∆ Ζ Γ
την ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m και
ο90=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος υ
∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο οποίος
θα χωρίσει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆
και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα α) Να βρεθεί
το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆ β) Να
βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο
ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο Α Ε Η Β
ΑΕ∆ δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου
∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
ΑΣΚΗΣΗ 41η
∆ίνεται ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ και τα σηmicroεία του ∆Γ έτσι ώστε ∆Β=Γ∆=ΑΓ Αν
Μ τυχαίο σηmicroείο εκτός του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατοςΑΒ
Να δείξετε ότι 2222 33 ΜΓ+ΜΒ=ΜΒ+ΑΜ
ΑΣΚΗΣΗ 42η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 222 2αγβ =+ Αν η διάmicroεσος ΑΜ τέmicroνει το περιγεγραmicromicroένο
κύκλο του τριγώνου στο ∆ να δείξετε ότι
α) 6
3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
38
ΑΣΚΗΣΗ 43η
Από ένα εξωτερικό σηmicroείο Α κύκλου ( )RΟ φέρουmicroε microια τέmicroνουσα ΑΒΓ έτσι ώστε
ΒΓ=ΑΒ Αν 7R=ΟΑ τότε να δείξετε ότι
i) ΒΓ=ΑΒ =λ3
ii) η γωνία and
ΑΟΓ είναι αmicroβλεία
iii) η προβολή της ΟΓ πάνω στην ΟΑ είναι ίση microε ΟΑ7
2
iv) Να δείξετε ότι ( )( ) 2
1=
ΑΟΓΒΟΓ
και στην συνέχεια να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του τριγώνου
and
ΑΟΓ
v) Να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που ορίζεται από την χορδή ΒΓ και
το microέτρο του τόξου cap
ΒΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
39
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
40
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
10
bull Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές τότε βα 2=
bull Αν Α∆ είναι το ύψος ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα
τότε ισχύει 222
111
αυγβ=+ και βγαυα =
bull Το ύψος ισοπλεύρου τριγώνου ως συνάρτηση της πλευράς α
δίνεται από τον τύπο 2
3sdot=α
υ
ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ
Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία είναι ίσο microε το
άθροισmicroα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του ελαττωmicroένο κατά το διπλάσιο
γινόmicroενο της microιας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή
∆ηλαδή σε τρίγωνο ΑΒΓ microε 90ltΑ
and
και Α∆ η προβολή της πλευράς γ πάνω στην β
τότε ισχύει Α∆sdotminus+= βγβα 2222
Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από αmicroβλεία γωνία είναι ίσο microε το
άθροισmicroα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του αυξηmicroένο κατά το διπλάσιο
γινόmicroενο της microιας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
11
Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν οι ισοδυναmicroίες
bull 222 γβα +gt αν και microόνο αν 90gtΑ
and
bull 222 γβα += αν και microόνο αν 90=Α
and
bull 222 γβα +lt αν και microόνο αν 90ltΑ
and
Προσοχή Για να εφαρmicroόσουmicroε το πόρισmicroα αυτό πρέπει πάντα να συγκρίνουmicroε το
τετράγωνο της microεγαλύτερης πλευράς του τριγώνου microε το άθροισmicroα των τετραγώνων των
άλλων δύο πλευρών
Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση
Αsdotminus+= συνβγγβα 2222
Το ύψος υα ενός τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τον τύπο
( )( )( )γτβταττα
υα minusminusminus=2
όπου ( )γβατ ++=2
1
Ανάλογες εκφράσεις ισχύουν και για τα άλλα ύψη υβ και υγ
ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ∆ΙΑΜΕΣΩΝ
Το άθροισmicroα των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται microε το διπλάσιο του
τετραγώνου της διαmicroέσου που περιέχεται microεταξύ των πλευρών αυτών αυξηmicroένο κατά το
microισό του τετραγώνου της τρίτης πλευράς
∆ηλαδή σε τρίγωνο ΑΒΓ microε 90gtΑ
and
και
Α∆ η προβολή της πλευράς γ πάνω στην β
τότε ισχύει
Α∆sdot++= βγβα 2222
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
12
∆ηλαδή αν Α∆ =υα το ύψος και ΑΜ =microα η διάmicroεσος ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύει
2
22
222 αmicroγβ α +=+
Ανάλογα έχουmicroε και τους ακόλουθους τύπους
2
22
222 γmicroβα γ +=+
22
2222 β
microγα β +=+
Η διαφορά των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται microε το διπλάσιο γινόmicroενο της
τρίτης πλευράς επί την προβολή της αντίστοιχης διαmicroέσου πάνω στην πλευρά αυτή
Μ∆sdot=minus αγβ 222
Σηmicroείωση αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές ή ισόπλευρο τότε το Μ ταυτίζεται microε το ∆ και το 2ο
θεώρηmicroα διαmicroέσων ισχύει ταυτοτικά
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ
Αν δύο χορδές Γ∆ΑΒ ή οι προεκτάσεις τους τέmicroνονται σε ένα σηmicroείο Ρ τότε ισχύει
Ρ∆sdotΡΓ=ΡΒsdotΡΑ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
13
Αν από ένα εξωτερικό σηmicroείο Ρ κύκλου ( )R Ο φέρουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΡΕ
Και microια ευθεία που τέmicroνει τον κύκλο στα σηmicroεία ΒΑ τότε ισχύει η σχέση
Επίσης αν η ευθεία ΡΟ τέmicroνει τον κύκλο στα ∆ Γ και δ=ΟΡ τότε έχουmicroε ότι
Η διαφορά 22 Rminusδ λέγεται δύναmicroη σηmicroείου Ρ ως προς τον κύκλο ( )R Ο και
συmicroβολίζεται
( )2222
RRR minusΟΡ=minus=∆ΡΟ δ
bull Το Ρ είναι εξωτερικό σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 gt∆ΡΟ R
bull Το Ρ είναι εσωτερικό σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 lt∆ΡΟ R
bull Το Ρ είναι σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 =∆ΡΟ R
bull Για να είναι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι εγγράψιmicroο σε κύκλο αν ισχύει η σχέση
Ρ∆sdotΡΓ=ΡΒsdotΡΑ
bull Αν οι διαγώνιοι ενός τετράπλευρου ΑΒΓ∆ τέmicroνονται σε ένα σηmicroείο Κ τότε για να
είναι το τετράπλευρο εγγράψιmicroο σε κύκλο πρέπει να ισχύει η σχέση
Κ∆sdotΚΒ=ΚΓsdotΚΑ
ΡΒsdotΡΑ=ΡΕ2
( )( ) 22 RRR minus=+minus
=Ρ∆sdotΡΓ=ΡΒsdotΡΑ
δδδ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
14
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Οι πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου έχουν microήκη x x+1 και x+2 Η περίmicroετρος του
τριγώνου αυτού είναι
Α 3 Β 6 Γ 10 ∆ 12 Ε 15
Επιλέξτε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε
2 Θεωρούmicroε διάmicroετρο ΑΒ κύκλου (ΟR) και τις κάθετες ακτίνες ΟΓ και Ο∆ Αν Ε και
Ζ οι προβολές των Γ και ∆ αντίστοιχα στην ΑΒ να αποδειχθεί ότι
i) Τα τρίγωνα ΟΕΓ και Ζ∆Ο είναι ίσα
ii) 222 R=ΟΖ+ΟΕ
3 Έστω ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο )90( Οand
=Α και Β∆ η διάmicroεσός του Να αποδειχθεί
ότι 222
4
3ΒΓ=ΑΓ+Β∆
4 Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο ΑΟΒ κύκλου (ΟR) και τη διχοτόmicroο ΟΜ της γωνίας and
ΟΒΑ Από σηmicroείο Γ του τόξου cap
ΑΒ φέρουmicroε ΟΒperpΓ∆ που τέmicroνει την ευθεία
ΟΜ στο σηmicroείο Ε Να αποδειχθεί ότι α) ∆Ε=Ο∆ β) 222 R=∆Ε+∆Γ
5 Αν σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά
τmicroήmicroα Γ∆=2ΒΓ να αποδειχθεί ότι 222 6ΒΓ+ΑΓ=Α∆
6 Αν ∆ σηmicroείο της πλευράς ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) να αποδειχθεί ότι
22 ∆Γsdot∆Β=Α∆minusΑΒ
7 Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω
περιπτώσεις όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί
να αποτελεί microήκη των πλευρών του i) 357 ii) 842 iii) 76 85
8 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ πληρούν τη σχέση 222 βαγ +lt
τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο
9 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ πληρούν τις σχέσεις αltβltγ και 222 βαγ +lt τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο
10 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών ΑΒΓ πληρούν τη σχέση 444 γβα +lt τότε να
αποδειχθεί ότι 90Οand
ltΑ
11 Θεωρούmicroε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και σηmicroείο ∆ της ηmicroιευθείας ΑΒ
τέτοιο ώστε Β∆=ΑΒ Αν ΑΒperpΓΕ και είναι ΑΒ=4ΒΕ να αποδειχθεί ότι
2
3 222 ΑΓ+ΒΓ=Γ∆
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
15
12 Θεωρούmicroε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α τη διχοτόmicroο Γχ της εξωτερικής
γωνίας εξΓ
and
αυτού την κάθετη xΓperpΒΕ και την κάθετη ΑΓperpΕΖ
Να αποδειχθεί ότι i)4
α=ΓΖ ii)
2
7α=ΑΕ
13 Εκατέρωθεν της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ κατασκευάζουmicroε δύο ισόπλευρα
τρίγωνα ΒΓ∆ και ΒΓΕ Να αποδειχθεί ότι 22222 γβα ++=ΑΕ+Α∆
14 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ τα microήκη των πλευρών του οποίου συνδέονται microε τη σχέση
2 222 αγβ =+ Nα αποδειχθεί ότι α) 2
βmicro +2
γmicro =2
2 αmicro
β) 2
3αmicroα =
2
3γmicroβ =
2
3βmicroγ =
15 Θεωρούmicroε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ )90( Οand
=Α και τη διάmicroεσό του ΒΕ
α) Να αποδειχθεί ότι 222
4
3ΒΓ=ΑΓ+ΒΕ β) Αν Α∆ είναι η διάmicroεσος του
τριγώνου ΑΒΓ ΒΕ= 14 και o60=Β∆Α
and
να υπολογιστούν τα microήκη των πλευρών
του τριγώνου ΑΒΓ
16 Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει γβ micromicro perp τότε να αποδειχθεί ότι 222
αγβ micromicromicro =+
17 Αν ΒΒ΄ το ύψος τριγώνου ΑΒΓ microε o90ltΑ
and
και ΑΜ η διάmicroεσός του τότε να
αποδειχθεί ότι 4
22 ΄ΑΒsdotΑΓ+
ΒΓ=ΑΜ
18 Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ )90( Οand
=Α η διάmicroεσος του ΑΜ και ευθεία (ε)
κάθετη στην ΑΜ στο Μ Αν Ρ σηmicroείο της (ε) να αποδειχθεί ότι 222 2ΡΑ=ΡΓ+ΡΒ
19 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ ΑΜ διάmicroεσος η οποία προεκτεινόmicroενη τέmicroνει τον
περιγεγραmicromicroένο κύκλο (ΟR) στο ∆ και Θ το βαρύκεντρο του τριγώνου
Να δειχθεί ότι i)4
2α=Μ∆sdotΜΑ ii)
ΘΟ∆ )( R )(
9
1 222 γβα ++minus=
iii) AB2+AΓ
2=2ΑΜsdotΑ∆
20 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόmicroος του Α∆ Αν οι κύκλοι οι περιγεγραmicromicroένοι στα
τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓ∆ τέmicroνουν τις ΑΓ και ΑΒ στα σηmicroεία Ζ και Ε αντίστοιχα να
αποδειχθεί ότι ΒΕ=ΓΖ
21 Κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι εγγράψιmicroο σε κύκλο Αν το σηmicroείο τοmicroής Μ των
διαγωνίων του είναι microέσο της διαγωνίου Β∆ να αποδειχθεί ότι
i) ΜΓsdotΜΑ=∆Β 42 ii) 2 22222 ΑΓ=∆Α+Γ∆+ΒΓ+ΑΒ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
16
22 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) διαmicroέτρου ΑΒ Από ένα σηmicroείο Γ της προέκτασης της ΑΒ
προς το Β φέρνουmicroε την εφαπτοmicroένη Γ∆ και την ΑΓperpΓx Αν Ε είναι το σηmicroείο
τοmicroής των Α∆ και Γx να αποδειχθεί ότι
i) το τετράπλευρο ∆ΒΓΕ είναι εγγράψιmicroο ii) ΑΕsdotΑ∆minusΓΑ=Γ∆ 22
23 ∆ύο κύκλοι (ΚR) και
Λ2
R
εφάπτονται εσωτερικά στο Α Από ένα σηmicroείο Μ του
κύκλου
Λ2
R
φέρνουmicroε χορδή Γ∆ του κύκλου (ΚR) Να αποδειχθεί ότι
ΜΓΜ∆=ΜΑ2
24 Θεωρούmicroε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α και σηmicroείο ∆ της πλευράς ΒΓ Αν οι
περιγεγραmicromicroένοι κύκλοι στα τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓ∆ τέmicroνουν τις πλευρές ΑΓ και ΑΒ
στα σηmicroεία Ε και Ζ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι ΒΖ+ΓΕ=α
25 Στη διάmicroετρο ΑΒ κύκλου (ΟR) θεωρούmicroε τα σηmicroεία Γ και ∆ έτσι ώστε ΟΓ=Ο∆=α
και microεταβλητό σηmicroείο Μ του κύκλου Αν οι ΜΓ και Μ∆ τέmicroνουν τον κύκλο στα Ε
και Ζ αντίστοιχα να αποδείξετε ότι i) ΜΓΓΕ = Μ∆∆Ζ ii)
ΜΓ2+Μ∆
2 = 2(R
2+α
2) iii) το άθροισmicroα
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
είναι σταθερό
26 Θεωρούmicroε κύκλο (O2α) και σηmicroείο Ρ τέτοιο ώστε ΟΡ=2
3α Φέρουmicroε χορδή ΑΒ η
οποία διέρχεται από το Ρ και είναι τέτοια ώστε ΑΡ=α Να υπολογιστεί το microήκος της
χορδής ΑΒ
27 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) διάmicroετρο ΑΒ και τα microέσα Γ και ∆ των ΟΑ και ΟΒ
αντίστοιχα Από το σηmicroείο Γ φέρουmicroε χορδή ΕΖ = 2
13 Rsdot Να αποδειχθεί ότι
i) ΖΓ2+Ζ∆
2+ΓΕ
2+∆Ε
2=5R
2 ii)
and
Ε∆Ζ = 900
28 Έστω ΑΒ διάmicroετρος κύκλου (ΟR) και ΑΓ Β∆ δύο χορδές που τέmicroνονται στο Ρ Να
αποδειχθεί ότι i) αν οι Α∆ και ΒΓ τέmicroνονται στο Ε τότε το Ρ είναι ορθόκεντρο του
τριγώνου ΕΑΒ ii) ΑΓΑΡ+Β∆ΒΡ=ΑΒ2
29 Τρίγωνο ΑΒΓ microε β2+γ
2=2α
2 Β∆ ΓΕ ύψη ΑΜ διάmicroεσος και Ζ microέσο της ΑΜ Να
αποδειχθεί ότι i)and
Α lt900 ii) AE =
γα2
2
και ΑΜ = 2
3α iii) ΕΖ =
γαβ4
Ζ∆ = β
αγ4
30 Σε τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούmicroε σηmicroεία ∆Ε στην πλευρά ΒΓ ώστε Β∆ = ∆Ε = ΕΓ Να
αποδείξετε ότι i) AB2 ndash 2∆E
2 = 2A∆
2 ndash AE
2 ii) AB
2 + 2AΓ
2 = 3AE
2 +
6∆E2
31 Αν α β γ πλευρές τριγώνου να βρεθεί το είδος του τριγώνου στις παρακάτω περι-
πτώσεις i) α = ν2 + 1 β = 2ν γ = ν
2 ndash 1
ii) α = 4 β = 5 γ = 3
iii) α = 11 β = 13 γ = 12
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
17
32 Αν Ε ∆ Ζ microέσα των ΑΓ ΒΓ Β∆ αντίστοιχα ενός τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε ότι
i) Ε∆=2
1ΑΒ ii) ΕΖ
2 =
16
263 222 βminusγ+α
33 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ = 6 ΑΓ = 8 ΒΓ = 2 37 να αποδειχθεί ότι
i) ο120=Α
and
ii) να βρεθεί το microήκος Α∆ όπου Β∆ ύψος τριγώνου
iii) να βρεθεί το microήκος της διαmicroέσου microα
34 Σε τρίγωνο ΑΒΓ microε πλευρές α = 9 β = 7 γ = 4 να βρείτε i) το είδος του τριγώνου
ii) το microήκος της διαmicroέσου microα iii) την προβολή της διαmicroέσου microα πάνω στην
ΒΓ iv) την προβολή της πλευράς β πάνω στην γ
35 Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ο90=Α
and
ΑΜ διάmicroεσος και Ρ το microέσο
της ΑΜ Στην πλευρά ΒΓ = α παίρνουmicroε σηmicroείο Κ ώστε ΓΚ = 8
5α Να αποδειχθεί
ότι i) ΓΡ2 =
16
5 2α ii) ΡΚ
2 =
64
5 2α iii) ΡΓ = 2ΚΡ
36 Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε ο90=Α
and
α = 25 και β = 20 αν x είναι η προβολή της
πλευράς β πάνω στην πλευρά α τότε
i) η πλευρά γ έχει microήκος Α10 Β12 Γ13 ∆15 Ε21
ii) το ύψος υα έχει microήκος Α9 Β7 Γ12 ∆17 Ε5
iii) το τmicroήmicroα x έχει microήκος Α10 Β12 Γ17 ∆16 Ε21
(Να αιτιολογήσετε την απάντηση)
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
18
ΕΜΒΑ∆Α
ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ
Ας θεωρήσουmicroε ένα πολύγωνο
Ένα σχήmicroα που αποτελείται από πεπερασmicroένο πλήθος πολυγωνικών χωρίων που ανά δύο δεν
έχουν κοινά εσωτερικά σηmicroεία λέγεται πολυγωνική επιφάνεια
Ίσα πολυγωνικά χωρία έχουν ίσα εmicroβαδά
Αν ένα πολυγωνικό χωρίο (ή microια πολυγωνική επιφάνεια) χωρίζεται σε πεπερασmicroένου
πλήθους πολυγωνικά χωρία που δεν έχουν κοινά εσωτερικά σηmicroεία τότε το εmicroβαδόν του
ισούται microε το άθροισmicroα των εmicroβαδών των επιmicroέρους πολυγωνικών χωρίων
Το εmicroβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς 1 είναι 1
∆ύο σχήmicroατα που έχουν το ίδιο εmicroβαδόν ονοmicroάζονται ισεmicroβαδικά ή ισοδύναmicroα
Το πολύγωνο microαζί microε τα εσωτερικά του
στοιχεία ονοmicroάζεται πολυγωνικό χωρίο
Ένα πολυγωνικό χωρίο που ορίζεται από
τρίγωνο τετράγωνοhellipν-γωνο ονοmicroάζεται
τριγωνικό πολυγωνικόhellip ν-γωνικό
∆ύο πολυγωνικά χωρία λέγονται ίσα όταν τα
αντίστοιχα πολύγωνά τους είναι ίσα
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
19
ΕΜΒΑ∆Α ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
Το εmicroβαδόν τετραγώνου πλευράς α δίνεται από τον τύπο 2α=Ε
Το εmicroβαδόν ενός ορθογωνίου ισούται microε το γινόmicroενο των πλευρών του βα sdot=Ε
Το εmicroβαδόν ενός παραλληλογράmicromicroου ισούται microε το γινόmicroενο microιας πλευράς του επί το ύψος
που αντιστοιχεί σε αυτή
βα υβυα sdot=sdot=Ε
Το εmicroβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο microε το ηmicroιγινόmicroενο microιας πλευράς επί το αντίστοιχο ύψος
γβα υγυβυα sdot=sdot=sdot=Ε2
1
2
1
2
1
Το εmicroβαδόν τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο του ηmicroιαθροίσmicroατος των βάσεων του επί το
ύψος του υβsdot
+Β=Ε
2
Το εmicroβαδόν τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο της διαmicroέσου επί το ύψος του
bull Το εmicroβαδόν ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς α είναι ίσο microε 4
32α=Ε
bull Το εmicroβαδόν ρόmicroβου ισούται microε το ηmicroιγινόmicroενο των διαγωνίων του
bull Το εmicroβαδόν οποιουδήποτε κυρτού ή microη κυρτού τετραπλεύρου microε κάθετες διαγωνίους
ισούται microε το ηmicroιγινόmicroενο των διαγωνίων του
bull Η διάmicroεσος κάθε τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
bull Το βαρύκεντρο τριγώνου έχει την ιδιότητα να δηmicroιουργεί microε τις κορυφές του τριγώνου τρία
ισεmicroβαδικά τρίγωνα
bull Το βαρύκεντρου του τριγώνου οι κορυφές του και τα microέσα των πλευρών του ορίζουν έξι
ισεmicroβαδικά τρίγωνα
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
20
ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΕΜΒΑ∆ΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
( )( )( )γτβταττ minusminusminus=Ε όπου 2
γβατ
++= ηmicroιπερίmicroετρος του τριγώνου
ρτ sdot=Ε
R4
γβα sdotsdot=Ε
Γsdotsdot=Βsdotsdot=Αsdotsdot=Ε ηmicroβαηmicroαγηmicroγβ2
1
2
1
2
1
ΕΜΒΑ∆Α ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
Αν δύο τρίγωνα έχουν ίσες βάσεις τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο των
αντίστοιχων υψών ενώ αν έχουν ίσα ύψη τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο
των αντίστοιχων βάσεων
Αν δύο τρίγωνα είναι όmicroοια τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το τετράγωνο του
λόγου οmicroοιότητας
Ο λόγος των εmicroβαδών δύο όmicroοιων πολυγώνων είναι ίσος microε το τετράγωνο του λόγου
οmicroοιότητας
Αν microια γωνία ενός τριγώνου είναι ίση ή παραπληρωmicroατική microε microια γωνία ενός άλλου
τριγώνου τότε ο λόγος των εmicroβαδών των δύο τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο των γινοmicroένων
των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
21
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Αν ΑΒΓ∆ τραπέζιο ( Γ∆ΑΒ ) και Ο το σηmicroείο τοmicroής των διαγωνίων του ΑΓ και
Β∆ να αποδείξετε ότι ΟΑ∆ΟΒΓ Ε=Ε
2 Ένα τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) και ΒΓ=Γ∆=Α∆ και τη βάση ΑΒ κατά 2 microικρότερη
από το άθροισmicroα των τριών αυτών πλευρών Αν το ύψος του τραπεζίου είναι 5 να
υπολογιστεί το εmicroβαδό του
3 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ microε microήκη πλευρών α=10 β=8 γ=14 και ισόπλευρο τρίγωνο
∆ΕΖ το οποίο είναι ισοδύναmicroο microε το ΑΒΓ Το microήκος της πλευράς του ισόπλευρου
τριγώνου ∆ΕΖ είναι
Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20
Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε
4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=2 ΒΗ ύψος και η διάmicroεσος Β∆=1 Αν and
∆ΑΒ =30ο να
υπολογιστούν α) τα ΒΗ Η∆ ΑΗ
β) το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ
5 Με υποτείνουσες τις κάθετες πλευρές ΑΒ και ΑΓ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ microε
β+γ=20 κατασκευάζουmicroε ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓΕ εκτός
αυτού
α) Να αποδείξετε ότι τα σηmicroεία ∆ΑΕ είναι συνευθειακά
β) Να βρείτε το εmicroβαδό του τετραπλεύρου ΒΓΕ∆
6 Προεκτείνουmicroε τις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ ενός τριγώνου ΑΒΓ κατά τmicroήmicroατα
Γ∆=ΓΒ ΑΕ=ΑΓ και ΒΖ=ΒΑ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι (∆ΕΖ) = 7(ΑΒΓ)
7 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Μ στο εσωτερικό του Φέρνουmicroε από το Μ
παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των
σχηmicroατιζόmicroενων τριγώνων και Ε το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε
ότι 321 Ε+Ε+Ε=Ε
8 Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ που τέmicroνει τις πλευρές ΑΒ
και ΑΓ στα σηmicroεία ∆ και Ε αντίστοιχα Να αποδείξετε ότι (ΑΒΕ)2=(ΑΒΓ)(Α∆Ε)
9 Από σηmicroείο ∆ της πλευράς ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη προς την
πλευρά ΒΓ που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των τριγώνων
Α∆Ε Α∆Γ και ΑΒΓ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι 31
2
2 ΕsdotΕ=Ε
10 Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Α΄ της πλευράς του ΒΓ Από τα Β και Γ
φέρνουmicroε παράλληλες προς την ΑΑ΄ που τέmicroνουν τις ευθείες ΑΓ και ΑΒ στα σηmicroεία
Γ΄ και Β΄ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι
α) (ΑΑ΄Γ΄) = (ΑΒΑ΄) και (ΑΑ΄Β΄) = (ΑΓΑ΄)
β) (Α´ô) = (ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
22
11 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ microε ΑΒ=10 Α∆=4 και and
∆ =60ο Στην πλευρά ΑΒ
θεωρούmicroε τα σηmicroεία Ε και Ζ έτσι ώστε ΑΕ=ΕΖ=ΖΒ Αν Η είναι το σηmicroείο τοmicroής των
ευθειών ∆Ε και ΓΖ να υπολογιστούν
α) το εmicroβαδό του παραλληλογράmicromicroου ΑΒΓ∆
β) το εmicroβαδό του τραπεζίου Γ∆ΕΖ
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου ΗΕΖ
12 ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=ΑΓ=6 και ο120=Α
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του
β) Αν Ε σηmicroείο της ΑΓ τέτοιο ώστε ΓΕ=ΑΕ2
1 και Α∆ το ύψος του τριγώνου
ΑΒΓ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ∆ΕΓ
γ) Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει τη ∆Ε στο Η να βρεθεί το εmicroβαδό
του τριγώνου ΑΕΗ
13 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Ρ στο εσωτερικό του Από το Ρ φέρνουmicroε κάθετες
ηmicroιευθείες στις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ και πάνω σrsquo αυτές παίρνουmicroε τα σηmicroεία Α΄
Β΄ και Γ΄ αντίστοιχα έτσι ώστε ΡΑ΄=ΒΓ ΡΒ΄=ΑΓ και ΡΓ΄=ΑΒ Να αποδειχθεί ότι
α) οι γωνίες and
Γ και and
ΒprimeΡΑprime είναι παραπληρωmicroατικές
β) (ΡΑ΄Β΄)=(ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)
14 Θεωρούmicroε τρεις ίσες διαδοχικές γωνίες and
οψx zand
οψ xzand
ο και πάνω στις
ηmicroιευθείες Οx Oψ και Οz τα σηmicroεία Α Β Γ αντίστοιχα έτσι ώστε ΟΑ=1 ΟΒ=4 και
ΟΓ=8
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ψοand
x zand
οψ xzand
ο
β) Αν Οw η αντικείmicroενη ηmicroιευθεία της Οψ και Γ∆ wΟperp να υπολογίσετε τις Ο∆ και
Γ∆
γ) Να υπολογίσετε το (ΟΒΓ)
δ) Να αποδείξετε ότι (ΑΒΓ)= 311
15 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ και Κ Λ Μ Ν τα microέσα των ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α
αντίστοιχα α) Να αποδειχθεί ότι (ΚΛΜΝ)=2
1(ΑΒΓ∆)
β) Αν ΚΜ ΛΝperp να αποδειχθεί ότι (ΑΒΓ∆) = ΚΜΛΝ
16 Λ
Α Β Στο διπλανό σχήmicroα τα σηmicroεία Κ Λ είναι τα
Κ Ρ microέσα των τmicroηmicroάτων ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα
Να αποδείξετε ότι
Γ α) ο λόγος των εmicroβαδών των τριγώνων ΑΚΒ και ΑΛΓ είναι ίσος microε
β) αν Ρ είναι το σηmicroείο τοmicroής των ΛΓ και ΚΒ τότε τα τρίγωνα ΒΛΡ
και ΚΓΡ έχουν ίσα εmicroβαδά
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
23
17 ∆ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) microε ΑΒ=4 Α∆=2 καιο60=∆
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τραπεζίου ΑΒΓ∆
β) Αν Ε σηmicroείο της πλευράς ΑΒ τέτοιο ώστε ΕΒ= ΑΒ4
1 και οι Ε∆ ΕΓ τέmicroνουν τη
διάmicroεσο του τραπεζίου στα σηmicroεία Ζ και Η αντίστοιχα να βρεθεί το εmicroβαδό του
τριγώνου ΕΖΗ
γ) Αν οι ∆Ε και ΒΓ τέmicroνονται στο Ρ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ΡΕΒ
18 Αν οι διαγώνιοι κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓ∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο να αποδείξετε ότι
το τετράπλευρο έχει εmicroβαδό Β∆sdotΑΓ4
1
19 Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται ΑΒ=5 ο60=Α
and
και η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου
κύκλου 3
7=R Να βρεθούν οι άλλες δύο πλευρές του τριγώνου και το εmicroβαδόν του
20
∆ Ζ Γ
υ
Α Ε Η Β
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m
90ο=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος ∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο
οποίος θα χωρίζει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆ και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο
ΑΕ∆
δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου ∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
21 Αν Μ και Ν είναι τα microέσα των πλευρών ΒΓ και Γ∆ ενός παραλληλόγραmicromicroου ΑΒΓ∆
να αποδείξετε ότι (ΑΜΝ)= )(8
3ΑΒΓ∆
22 Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) θεωρούmicroε το microέσο Μ της πλευράς ΑΒ
και σηmicroείο Ν της πλευράς ΑΓ τέτοιο ώστε 3
ΑΓ=ΓΝ Να δειχθεί ότι
(ΜΝΒ)= )(3
1ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
24
23 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και τυχαίο σηmicroείο Σ στην προέκταση της πλευράς
∆Γ προς το Γ Να αποδείξετε ότι
α) (ΑΒ∆)= )(2
1ΑΒΓ∆
β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)
γ) αν η ΑΣ τέmicroνει την Β∆ στο σηmicroείο Ε τότε (Ε∆Σ)-(ΕΑΒ)=(ΣΒΓ)
24 Έστω Σ τυχαίο σηmicroείο της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ Στο σηmicroείο Α φέρουmicroε
microια ευθεία ε κάθετη στην ΑΣ Αν ∆ και Ε είναι αντίστοιχα οι προβολές των σηmicroείων
Β και Γ στην ευθεία ε να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ∆ΣΕ είναι ισοδύναmicroα
25 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 8=ΑΒ 12=ΑΓ και η Α∆ διχοτόmicroος της γωνίας and
Α Αν
( )ΑΒ∆ =20 τmicro να βρείτε το ( )ΑΒΓ
26 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ∆ σηmicroείο της πλευράς ΑΒέτσι ώστε 6=Α∆ ∆Β=5
8=ΑΓ Αν 80=Α
and
να βρείτε το εmicroβαδόν του τριγώνου Β∆Γ
27 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ microε 90=Β
and
και η γωνία and
Α να είναι το 3
1 της ορθής Αν
∆ σηmicroείο της προέκτασης της πλευράς ΒΓ προς το Γ τέτοιο ώστε η 30=Α∆Β
and
να
βρεθεί ο λόγος ( )( )ΑΒ∆ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
25
ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ
ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ
Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του
ίσες
Γωνία κανονικού ν-γώνου ν
φν
360
180 minus=
Κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου ν
ων
360=
Σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας R ισχύουν οι εξής τύποι 2
22
4R=+ ν
ν
λα
νν λν sdot=Ρ
ννν αsdotΡ=Ε2
1
όπου να απόστηmicroα νλ πλευρά νΡ περίmicroετρος νΕ εmicroβαδόν
∆ύο κανονικά πολύγωνα microε τον ίδιο αριθmicroό πλευρών είναι όmicroοια
Κάθε κανονικό πολύγωνο εγγράφεται σε έναν κύκλο και περιγράφεται σε έναν άλλον Οι δύο
αυτοί κύκλοι είναι οmicroόκεντροι
bull Το κοινό κέντρο τον κύκλων αυτών λέγεται κέντρο του πολυγώνου
bull Η ακτίνα R του περιγεγραmicromicroένου κύκλου λέγεται ακτίνα του πολυγώνου
bull Η απόσταση του κέντρου από microια πλευρά του δηλαδή η ακτίνα του εγγεγραmicromicroένου
κύκλου λέγεται απόστηmicroα του πολυγώνου
Σε δύο κανονικά ν-γωνα ο λόγος των πλευρών τους ισούται microε το λόγο των ακτινών τους και
το λόγο των αποστηmicroάτων τους
∆ηλαδή
ν
ν
ν
ν
αα
λλ
==R
R
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
26
ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ
ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ
ΚΑΝΟΝΙΚΟ
ΕΞΑΓΩΝΟ
ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ
ΤΡΙΓΩΝΟ
ΠΛΕΥΡΑ νλ 24 R=λ R=6λ 33 R=λ
ΑΠΟΣΤΗΜΑ να
2
24
R=α
2
36
R=α
23
R=α
RL sdot= π2
180
microπ sdotsdot=
Rl ή Rl sdot=α
180
microαπ
=
2Rsdot=Ε π
( )360
2 microπ sdotsdot=ΟΑΒ
cap R ή ( )
cap
sdot=ΟΑΒ 2
2
1Rα
( ) ( )ΟΑΒminusΟΑΒ=cap
ε
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
27
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Ένα κανονικό εξάγωνο είναι περιγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ορ) Η πλευρά του
εξαγώνου αυτού είναι
Α ρ Β 2
3ρ Γ 2ρ ∆
3
32ρ Ε
3
2ρ
2 ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και στις προεκτάσεις των
πλευρών ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α θεωρούmicroε τα τmicroήmicroατα ΒΚ=ΓΛ=∆Μ=ΑΝ=λ3 Να δείξετε
ότι το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο και ότι η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου κύκλου του
είναι 641 += RR
3 Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε δύο παράλληλες χορδές ΑΒ=λ4 και Γ∆=λ6 Να
αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι ισοσκελές τραπέζιο και να υπολογιστεί
το εmicroβαδό του ως συνάρτηση της ακτίνας R
4 Η περίmicroετρος ενός κυκλικού τοmicroέα ΟΑΒ ενός κύκλου (ΟR) είναι 6+π Αν
ο60=ΒΟΑand
τότε το microήκος της ακτίνας R είναι
Α 6 Β 3 Γ 2 ∆ 4 Ε 5 (δικαιολογήστε την απάντησή σας)
5 Έστω τεταρτοκύκλιο ΟΑΒ ακτίνας R και ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΟΒ στο εσωτερικό
του Να βρείτε το εmicroβαδό και την περίmicroετρο του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΑΒ
6 Έστω δύο κύκλοι (ΟR) και (Ο΄R) των οποίων η διάmicroετρος ΟΟ΄ έχει microήκος
ΟΟ΄=R 3 α) Να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι τέmicroνονται
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινού microέρους των δύο κύκλων
7 Το εmicroβαδό κυκλικού τοmicroέα 80ο είναι 8π Η ακτίνα του κύκλου είναι
Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15
8 Τετράγωνο ΑΒΓ∆ είναι εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και η ηmicroιπερίmicroετρος του
είναι 80cm Να υπολογιστούν
α) η ακτίνα R του κύκλου
β) ο λόγος του εmicroβαδού του κύκλου προς το εmicroβαδό του τετραγώνου
9 Στο εσωτερικό ηmicroικυκλίου διαmicroέτρου ΑΟΒ=2R γράφουmicroε ηmicroικύκλια microε
διαmicroέτρους ΟΑ και ΟΒ Να υπολογιστεί το microήκος και το εmicroβαδό του κύκλου που
εφάπτεται των τριών ηmicroικυκλίων
10 ∆ύο κύκλοι (Ο3R) και (Ο΄R) εφάπτονται εξωτερικά στο σηmicroείο Α Φέρουmicroε την
κοινή εξωτερική εφαπτόmicroενη ΒΓ αυτών Να βρεθεί το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου
τριγώνου ΑΒΓ και του περιγεγραmicromicroένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ
11 Έστω ο κύκλος (ΟR) και microια ακτίνα του ΟΑ Στην ηmicroιευθεία ΟΑ θεωρούmicroε
σηmicroείοΒ έτσι ώστε ΑΒ=ΑΟ Αν ΒΓ η εφαπτοmicroένη του κύκλου να βρεθεί το
εmicroβαδό α) του τριγώνου ΟΒΓ και β) του microικτόγραmicromicroου τριγώνου
ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
28
12 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=λ3 και Γ∆=λ6
προς το ίδιο microέρος του κέντρου Ο α) Να εκφράσετε τις χορδές ΑΒ και Γ∆ ως
συνάρτηση της ακτίνας R β) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό Ε1 του κυκλικού τmicroήmicroατος
που αντιστοιχεί στη χορδή Γ∆ γ) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό του τριγώνου ΟΑΒ
δ) Να βρείτε την περίmicroετρο και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τραπεζίου που έχει
κορυφές τα ΑΒΓ∆
13 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) χορδή ΑΒ=R την εφαπτοmicroένη ε του κύκλου στο σηmicroείο
Α και τη εperpΒΓ Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του τραπεζίου ΟΑΓΒ
β) το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
14 ∆ίνεται ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΑΒ και στο εσωτερικό του τα ηmicroικύκλια διαmicroέτρων
ΑΓ και ΓΒ όπου Γ σηmicroείο microεταξύ των Α και Β Αν κάθετη της ΑΒ στο Γ τέmicroνει το
αρχικό ηmicroικύκλιο στο ∆ να αποδείξετε ότι το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται
microεταξύ των τριών ηmicroικυκλίων είναι ίσο microε το εmicroβαδό του κύκλου διαmicroέτρου Γ∆
15 Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ο60=Β
and
και ΒΓ=α Με
κέντρο το Β και ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει τη ΒΓ στο Μ και microε κέντρο
το Γ και ακτίνα ΓΜ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν Να βρεθεί η
περίmicroετρος και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
16 Με κέντρο ένα σηmicroείο Κ κύκλου (ΟR) και ακτίνα ίση προς R 3 γράφουmicroε
κύκλο ο οποίος τέmicroνει τον (ΟR) στα σηmicroεία Α και Β Να υπολογιστούν η
περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου microηνίσκου
17 ∆ίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ΒΓ = 2R
Γράφουmicroε ηmicroικύκλιο microε διάmicroετρο ΒΓ εκτός τριγώνου και τόξο κύκλου (Α ΑΒ) microε
άκρα Β και Γ Να βρεθεί η περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου
microηνίσκου από το ηmicroικύκλιο και το τόξο αυτό
18 Ένα ορθογώνιο σπίτι microε διαστάσεις α = 20m και β = 10m έχει microια εξωτερική
πρίζα σε microια γωνία του Ένα χορτοκοπτικό microηχάνηmicroα συνδεδεmicroένο microε την πρίζα
έχει καλώδιο microε microήκος 15m Να βρεθεί το εmicroβαδόν της microεγαλύτερης επιφάνειας
του χόρτου που microπορεί να κοπεί
19 Σε κύκλο ακτίνας R = 4cm είναι εγγεγραmicromicroένο ισόπλευρο τρίγωνο
Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του κύκλου
β) την πλευρά του τριγώνου
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου
δ) το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται microεταξύ του κύκλου και του τριγώνου
20 Σε κύκλο microε διάmicroετρο ΑΒ φέρουmicroε τις χορδές ΜΒΑΜ Αν είναι 6=ΑΜ και
8=ΒΜ να βρεθεί η ακτίνα και το εmicroβαδόν του κύκλου
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
29
21 Να βρεθεί το εmicroβαδόν του καθενός από τα δύο microέρη στα οποία διαιρείται ένας
κύκλος ( )RΟ από την πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραmicromicroένου στον κύκλο
αυτόν
22 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και φέρουmicroε δύο κάθετες ακτίνες ΟΑ και ΟΒ Με
κέντρο το Α και ακτίνα R γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει το cap
AB στο σηmicroείο Γ Να
βρεθεί το εmicroβαδόν του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΒΓ
23 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και τόξο 60=ΑΒ
cap
Φέρουmicroε στο σηmicroείο Α την
εφαπτοmicroένη χΑ του κύκλου και την χΑperpΒΓ Να βρεθεί το εmicroβαδόν του
microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
30
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΗ 1η
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α∆ διχοτόmicroος Β∆ = 2 Γ∆ = 3 και 2τ = 15 (περίmicroετρος) η πλευρά
ΑΒ είναι
Α 3 Β 4 Γ 5 ∆ 6 Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 2η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 3α2 + 2γ
2 = 2β
2 Τότε
i) Α and
Α gt90ο Β
and
Β gt 90ο Γ
and
Β lt 90ο ∆
and
Γ gt 90ο Ε Κανένα από τα παραπάνω
ii) Η προβολή της διαmicroέσου microα στην ΒΓ ισούται microε
Α 4
a Β
2
a Γ
4
3a ∆
2
3a Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 3η
Αν ΑΒΓ∆ τετράγωνο πλευράς α και Ε microέσο του Α∆ τότε
i) ΒΕ =2
5α Σ Λ
ii) Ο λόγος ΒΕΕΖ
ισούται microε
Α 5
2 Β
4
5 Γ
4
1 ∆
5
1 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
Α Β
E
Z
∆ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 4η
Αν τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=4 ΒΓ=5 ΑΓ=6 και Α∆ διχοτόmicroος τότε
i) -Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο Σ Λ
- Ο λόγος ∆Γ∆Β
ισούται microε
Α 2
1 Β
3
1 Γ
3
2 ∆
4
3 Ε
2
3
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ii) Αν ε η προβολή του Α στην ΒΓ να υπολογίσετε το microήκος του ΒΕ
iii) Να αποδείξετε ότι 2
1=
∆Γ∆Ε
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
31
ΑΣΚΗΣΗ 5η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και Μ το microέσο της Α∆ Προεκτείνουmicroε τη ∆Γ προς το Γ
κατά ΓΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΒΜ)=2
)(ΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τραπεζίου ΑΒΕ∆ είναι οκταπλάσιο από το εmicroβαδόν του
τριγώνου ΑΒΜ
ΑΣΚΗΣΗ 6η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναιuα =3ρ όπου ρ του εγγεγραmicromicroένου κύκλου του τριγώνου Ο λόγος
αγβ +
ισούται microε Α 2 Β 3 Γ 3
1 ∆
2
3 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ΑΣΚΗΣΗ 7η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάmicroεσός του Α∆ Προεκτείνουmicroε την ΒΑ προς το Α κατά τmicroήmicroα
ΑΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι (ΒΕ∆)=3(Α∆Γ)
ΑΣΚΗΣΗ 8η
Στο εσωτερικό της αυλής ενός σπιτιού υπάρχει microικρός κήπος microε λαχανικά όπως στο
ακόλουθο σχήmicroα Αν το εmicroβαδόν του κήπου είναι 122m και οι διαστάσεις της αυλής είναι
12m και 13m να βρεθεί το x Αν θέλουmicroε να περιφράξουmicroε τον κήπο microε σύρmicroα πόσο σύρmicroα
θα χρειαστούmicroε
12m
13m
ΑΣΚΗΣΗ 9η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ Από τυχαίο σηmicroείο Ε της ΑΓ φέρουmicroε ευθεία παράλληλη
προς την Α∆ που τέmicroνει την Γ∆ στο Ζ Να αποδείξετε ότι
i) (Α∆Ζ)=(ΑΕΒ)
ii) (ΑΕΖ)=(ΒΕΓ)-(ΖΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 10η
Οι διάmicroεσοι Β∆ και ΓΕ τριγώνου ΑΒΓ τέmicroνονται στο Θ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΕ∆)=4
)(ΑΒΓ
ii) (ΒΘΓ)= 3
)(ΑΒΓ
iii)(ΑΕ∆)= (ΒΚΛΓ) όπου Κ Λ τα microέσα των ΒΘ και ΓΘ αντίστοιχα
x
x x
x
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
32
ΑΣΚΗΣΗ 11η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε τη διχοτόmicroο Α∆ Από το ∆ φέρνουmicroε παράλληλη προς την ΑΒ
που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει την προέκταση της
∆Ε στο Ζ να αποδείξετε ότι
α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)
β) β2(ΑΕΖ) = γ
2(∆ΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 12η
Θεωρούmicroε γωνία yxand
Α και σηmicroείο Ο της διχοτόmicroου της Αδ Αν ο κύκλος (ΟΟΑ) τέmicroνει τις
Οx Οy στα Β Γ αντίστοιχα και την Αδ στο ∆ να αποδείξετε ότι
α) (ΟΑΒ)=(ΟΑΓ)
β) (ΒΟΓ∆)=(ΑΒ∆)
γ) (ΒΟΓ∆)=2
1(ΟΑ)(ΒΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 13η
Από εσωτερικό σηmicroείο Μ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλες προς τις
πλευρές ΑΓ και ΑΒ που τέmicroνουν τις ΑΒ ΑΓ στα ∆ Ζ αντίστοιχα Αν (ΒΜ)=x (ΒΓ)=α
(Β∆Μ)=Ε1 (ΓΖΜ)=Ε2 και (ΑΒΓ)=Ε τότε
α) Να εκφράσετε ως συναρτήσεις των x και α τους λόγους Ε
Ε1 και Ε
Ε2
β) Να αποδείξετε ότι ΕgeΕ+Ε2
121
ΑΣΚΗΣΗ 14η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=Γ∆=λ3
Να βρεθεί
i) Η περίmicroετρος του ΑΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που αντιστοιχεί στη χορδή ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 15η
Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε τα διαδοχικά σηmicroεία Α Β Γ και ∆ ώστε ΑΒ=ΒΓ=Γ∆= R Να
βρεθεί
i) H περίmicroετρος του τριγώνου ΑΒ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τριγώνου ΒΓ∆
iii) Ο λόγος )(
)(
ΒΓ∆ΑΒ∆
ΑΣΚΗΣΗ 16η
∆ίνεται τεταρτοκύκλιο Οand
ΒΓ ακτίνας R
α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΓΒ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε δύο ισεmicroβαδικά χωρία
β) Αν ∆ σηmicroείο του τόξου ΒΓ να αποδείξετε ότι η ευθεία Γ∆ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
γ) Να βρείτε σηmicroείο Α της ακτίνας ΟΒ ώστε η ευθεία ΓΑ να χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
33
ΑΣΚΗΣΗ 17η
Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο Ο cap
ΒΓ ακτίνας R Σηmicroείο Α κινείται πάνω στο τόξο cap
ΒΓ και έστω
Κ το σηmicroείο τοmicroής της ακτίνας ΟΑ microε τη ΒΓ Να βρείτε το microήκος του τόξου cap
ΒΑ όταν το
εmicroβαδό του τριγώνου ΟΚΓ ισούται microε το εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα
τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΒ και το τόξο cap
ΒΑ
ΑΣΚΗΣΗ 18η
∆ίνεται ηmicroικύκλιο κέντρου Ο microε διάmicroετρο ΑΑ1=2R Έστω Β σηmicroείο του ηmicroικυκλίου microε
( 1ΑΟΒand
)=φ microοίρες και ΟΓ ακτίνα που τέmicroνει τη χορδή ΑΒ στο Κ
α) Να βρείτε το microήκος S του τόξου cap
ΑΓ όταν το εmicroβαδόν του τριγώνου ΟΚΒ ισούται microε το
εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΓ και το τόξοcap
ΑΓ
β) Αν η γωνία 1ΑΟΒand
είναι 150ο πόσο είναι το S
γ) Για ποια τιmicroή του φ το S γίνεται microέγιστο
Β
Γ
φ
Α1 Α
ΑΣΚΗΣΗ 19η
Η περίmicroετρος ρόmicroβου ΑΒΓ∆ πλευράς α και κέντρου Ο είναι τετραπλάσια της microικρής
διαγωνίου του Β∆
i) Να υπολογιστεί συναρτήσει του α το εmicroβαδόν του Ε
ii) Φέρουmicroε Α∆perpΟΗ και Γ∆perpΟΖ Αν η ΑΖ τέmicroνει τον κύκλο διαmicroέτρου Ο∆ στο Θ να
δειχθεί ότι 2
3Ε=ΑΖsdotΑΘ
ΑΣΚΗΣΗ 20η
Το περίγραmicromicroα της βάσης ενός microεγάλου λόφου σχηmicroατίζει τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=γ ΑΓ=β
όπου βgtγ και στο οποίο η διάmicroεσος ΑΜ και το ύψος Α∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο ∆ίπλα στην
πλευρά ΑΓ υπάρχει ορθογώνιος ιδιωτικός χώρος διαστάσεων 2
γβ +και β-γ Σrsquo αυτόν το
χώρο πρόκειται να κατασκευαστεί ένας microεγάλος ανισόπεδος κόmicroβος που θα συνδέει δύο
δρόmicroους ταχείας κυκλοφορίας Γιrsquo αυτούς τους λόγους προτείνεται στον ιδιοκτήτη να δεχτεί
να ανταλλάξει αυτόν τον χώρο microε άλλον ορθογώνιο χώρο του δηmicroοσίου που βρίσκεται δίπλα
στην πλευρά ΒΓ και έχει διαστάσεις τα microήκη των ΒΓ και 2
ΑΜ Ο ιδιοκτήτης δηλώνει ότι θα
συmicroφωνήσει microε την πρόταση αρκεί οι ανταλλάξιmicroοι χώροι να έχουν την ίδια έκταση
Πρακτικά όmicroως είναι αδύνατον να microετρήσει την πλευρά ΒΓ και τη διάmicroεσο ΑΜ γιrsquo αυτό και
διστάζει Πως θα σκεφτόσαστε εσείς να βοηθήσετε τον ιδιοκτήτη να αποφασίσει
Κ
Ο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
34
ΑΣΚΗΣΗ 21η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε β=2γ και η διάmicroεσος του Β∆ Φέρουmicroε Β∆perpΑx που τέmicroνει την
Β∆ στο Ε και την ΒΓ στο Ζ και ΕyΑΓ που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ Να αποδείξετε ότι
i) ZB= 2
1ZΓ
ii) (ΑΒΓ)=3(ΑΒΖ)
iii) Να αποδειχθεί ότι 8
3
)(
)(=
ΑΒΖΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΗ 22η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε α=2γ και β= 7γ
α) i) Να αποδείξετε ότι 2
3αmicroα =
ii) Να βρείτε το είδος της γωνίας and
Β
iii) Αν ΑΕ perp ΒΓ να υπολογίσετε το ΒΕ συναρτήσει του γ
iv) Να βρείτε τη γωνία and
Β
β) Αν ΑΜ διάmicroεσος και Β∆ διχοτόmicroος να αποδείξτε ότι
i) Α∆ = 3
β
ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)
ΑΣΚΗΣΗ 23η
Έστω τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ο R) και σηmicroείο Μ το οποίο κινείται στο
ηmicroικύκλιο cap
ΑΒΓ
α) Να βρεθεί το ελάχιστο ( )minΕ και το microέγιστο ( )maxΕ εmicroβαδόν του τετράπλευρου ΑΜΓ∆
συναρτήσει της ακτίνας R
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε θέση του Μ είναι
i) Μ∆2 = ΑΓ ∆Ε όπου Ε η προβολή του Μ στην Β∆
ii) (ΑΜΓ∆) = 2
2Μ∆
γ) Να προσδιορίσετε τη θέση του σηmicroείου Μ όταν (ΑΜΓ∆) = 2
maxmin EE +
ΑΣΚΗΣΗ 24η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ M το microέσο της ΑΒ σηmicroείο Ν της ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΝ = 4
3ΑΓ και
σηmicroείο Κ της ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΚ = 4
1ΒΓ Να βρεθεί ο λόγος των εmicroβαδών του τριγώνου
ΑΒΓ προς του τριγώνου ΜΝΚ
ΑΣΚΗΣΗ 25η
Α) Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι 2
αmicro = βγ και β-γ = 5 2 Το microήκος της πλευράς
α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3
Β) Να δειχθεί ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει η σχέση (222
γβα micromicromicro ++ )2 = 27Ε
2 όπου
Ε το εmicroβαδό του
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
35
ΑΣΚΗΣΗ 26η
Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω περιπτώσεις
όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί να αποτελεί microήκη των
πλευρών του
i) 3 57
ii) 8 4 2
iii) 7 6 85
ΑΣΚΗΣΗ 27η
Αν η διάmicroεσος microα ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν προεκταθεί τέmicroνει τον περιγεγραmicromicroένο κύκλο
στο ∆ να αποδειχθεί ότι microα = Α∆+
2
22 γβ
ΑΣΚΗΣΗ 28η
Από ένα κυκλικό οικόπεδο ακτίνας R=30m θα αποκοπεί κυκλικό τmicroήmicroα χορδής 30 3 m για
την κατασκευή δρόmicroου
i) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου που έmicroεινε
ii) Να βρεθεί η αποζηmicroίωση που θα δοθεί στον ιδιοκτήτη αν η αρχική αξία του οικοπέδου
ήταν 10000000 δρχ
ΑΣΚΗΣΗ 29η
Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι α =13 β = 8 γ = 7
i) Να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς το είδος των γωνιών του
ii) Να υπολογιστεί το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ πάνω στην ΑΒ
iii) Να υπολογιστεί η γωνία and
Α
ΑΣΚΗΣΗ 30η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 4 ΑΓ = 5 ΒΓ = 7 Το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ
πάνω στην ΑΒ είναι Α 5 Β 1 Γ 6 ∆ 2
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 31η
Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (and
Α =90ο) microε
and
Β =60ο και ΒΓ=4 Με κέντρο το Β και
ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ και microε κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΜ
γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν να βρεθούν
i) Η θέση του σηmicroείου Μ στη ΒΓ
ii) Η περίmicroετρος του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
iii) Το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
36
ΑΣΚΗΣΗ 32η
Μια έκταση σχήmicroατος τετραγώνου microε A 30 H 70 ∆
πλευρά 100m πρόκειται να διατεθεί
για κατασκευή εργατικών κατοικιών
Οι κατοικίες θα ανεργεθούν σε τέσσερα 70 30
ίσα τριγωνικά οικόπεδα και η υπόλοιπη Μ
έκταση σχήmicroατος τετραπλεύρου θα
χρησιmicroοποιηθεί ως κοινόχρηστος χώρος Z
για δενδροφύτευση και κατασκευή γηπέδου
microπάσκετ 30 70
α) Να βρεθούν τα εmicroβαδά των τεσσάρων ίσων οικοπέδων
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινόχρηστου χώρου B 70 K 30 Γ
γ) Τι είδους τετράπλευρο είναι ο κοινόχρηστος χώρος Να βρεθούν οι πλευρές του
ΑΣΚΗΣΗ 33η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 90A =
and
και ΑΒ=y ΑΓ=β
Α∆=ν Β∆=micro ΒΓ=x ∆Γ=κ
i) Να συmicroπληρωθούν οι σχέσεις
β2=helliphelliphellip=helliphelliphelliphellip Α
ν2=helliphelliphelliphelliphelliphellip
2
2
βy
=helliphelliphelliphelliphellip βy=helliphelliphelliphellip y ν β
ii) Να δειχθεί ότι 111
222 νβ=+
y Β ν ∆ κ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 34η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroεία ∆Ε της πλευράς ΒΓ έτσι ώστε Β∆=∆Ε=ΕΓ Να απόδειχθεί
ότι
i) 2222 22 ΑΕminusΑ∆=∆ΕminusΑΒ ii)
2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 35η
∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε o90=Α
and
ΑΒ=5cm ΑΓ=12cm Α∆ το ύψος του και ΒΜ
η διάmicroεσος του Προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά ΓΕ=ΒΓ i) Να συγκρίνετε τα
εmicroβαδά των τριγώνων Α∆Γ και ΑΓΕ ii) Να δείξετε ότι η σχέση που συνδέει τα εmicroβαδά των
τριγώνων ΑΒΜ και ΑΒΕ είναι (ΑΒΕ)=4(ΑΒΜ)
ΑΣΚΗΣΗ 36η
Από σηmicroείο Μ εκτός κύκλου φέρνουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΜΕ του κύκλου και τις
τέmicroνουσες ΜΑΒ και ΜΓ∆ Αν είναι ΑΒ=9 ΓΜ=4 Γ∆=5 να υπολογίσετε i) το ΜΑ ii) το
ΜΕ
ΑΣΚΗΣΗ 37η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) ΑΒ microια διάmicroετρος του και Μ τυχαίο σηmicroείο του (διαφορετικό των Α
Β) Αν Γ είναι το microέσο της ΟΑ και ∆ το microέσο της ΟΒ ενώ η ΜΓ τέmicroνει τον κύκλο στο Ε και
η Μ∆ στο Ζ τότε να αποδείξετε ότι3
10=
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
37
Ζ
Ε
ΑΣΚΗΣΗ 38η
Ένα τριγωνικό αγρόκτηmicroα ΑΒΓ χωρίζεται
σε τέσσερα τριγωνικά αγροτεmicroάχια όπως Α
φαίνεται στο σχήmicroα έτσι ώστε ΑΒ=Α∆3
2
ΒΕ= ΒΓ4
1και ΓΖ= ΑΓ
2
1 α) Αν το εmicroβαδό ∆
του ΑΒΓ είναι 48 στρέmicromicroατα να υπολογίσετε το Β
Γ
εmicroβαδό του ∆ΕΖ β) Αν τα ∆ Ε Ζ είναι τα microέσα των ΑΒ
ΒΓ ΑΓ αντίστοιχα να βρεθούν τα εmicroβαδά των
τεσσάρων αγροτεmicroαχίων
ΑΣΚΗΣΗ 39η
∆ίνεται εγγράψιmicroο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ ώστε οι πλευρές του ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α microε τη σειρά
που δίνονται να αποτελούν γεωmicroετρική πρόοδο Να αποδείξετε ότι η διαγώνιος του Β∆ το
χωρίζει σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
ΑΣΚΗΣΗ 40η
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ∆ Ζ Γ
την ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m και
ο90=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος υ
∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο οποίος
θα χωρίσει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆
και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα α) Να βρεθεί
το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆ β) Να
βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο
ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο Α Ε Η Β
ΑΕ∆ δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου
∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
ΑΣΚΗΣΗ 41η
∆ίνεται ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ και τα σηmicroεία του ∆Γ έτσι ώστε ∆Β=Γ∆=ΑΓ Αν
Μ τυχαίο σηmicroείο εκτός του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατοςΑΒ
Να δείξετε ότι 2222 33 ΜΓ+ΜΒ=ΜΒ+ΑΜ
ΑΣΚΗΣΗ 42η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 222 2αγβ =+ Αν η διάmicroεσος ΑΜ τέmicroνει το περιγεγραmicromicroένο
κύκλο του τριγώνου στο ∆ να δείξετε ότι
α) 6
3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
38
ΑΣΚΗΣΗ 43η
Από ένα εξωτερικό σηmicroείο Α κύκλου ( )RΟ φέρουmicroε microια τέmicroνουσα ΑΒΓ έτσι ώστε
ΒΓ=ΑΒ Αν 7R=ΟΑ τότε να δείξετε ότι
i) ΒΓ=ΑΒ =λ3
ii) η γωνία and
ΑΟΓ είναι αmicroβλεία
iii) η προβολή της ΟΓ πάνω στην ΟΑ είναι ίση microε ΟΑ7
2
iv) Να δείξετε ότι ( )( ) 2
1=
ΑΟΓΒΟΓ
και στην συνέχεια να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του τριγώνου
and
ΑΟΓ
v) Να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που ορίζεται από την χορδή ΒΓ και
το microέτρο του τόξου cap
ΒΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
39
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
40
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
11
Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν οι ισοδυναmicroίες
bull 222 γβα +gt αν και microόνο αν 90gtΑ
and
bull 222 γβα += αν και microόνο αν 90=Α
and
bull 222 γβα +lt αν και microόνο αν 90ltΑ
and
Προσοχή Για να εφαρmicroόσουmicroε το πόρισmicroα αυτό πρέπει πάντα να συγκρίνουmicroε το
τετράγωνο της microεγαλύτερης πλευράς του τριγώνου microε το άθροισmicroα των τετραγώνων των
άλλων δύο πλευρών
Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση
Αsdotminus+= συνβγγβα 2222
Το ύψος υα ενός τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τον τύπο
( )( )( )γτβταττα
υα minusminusminus=2
όπου ( )γβατ ++=2
1
Ανάλογες εκφράσεις ισχύουν και για τα άλλα ύψη υβ και υγ
ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ∆ΙΑΜΕΣΩΝ
Το άθροισmicroα των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται microε το διπλάσιο του
τετραγώνου της διαmicroέσου που περιέχεται microεταξύ των πλευρών αυτών αυξηmicroένο κατά το
microισό του τετραγώνου της τρίτης πλευράς
∆ηλαδή σε τρίγωνο ΑΒΓ microε 90gtΑ
and
και
Α∆ η προβολή της πλευράς γ πάνω στην β
τότε ισχύει
Α∆sdot++= βγβα 2222
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
12
∆ηλαδή αν Α∆ =υα το ύψος και ΑΜ =microα η διάmicroεσος ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύει
2
22
222 αmicroγβ α +=+
Ανάλογα έχουmicroε και τους ακόλουθους τύπους
2
22
222 γmicroβα γ +=+
22
2222 β
microγα β +=+
Η διαφορά των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται microε το διπλάσιο γινόmicroενο της
τρίτης πλευράς επί την προβολή της αντίστοιχης διαmicroέσου πάνω στην πλευρά αυτή
Μ∆sdot=minus αγβ 222
Σηmicroείωση αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές ή ισόπλευρο τότε το Μ ταυτίζεται microε το ∆ και το 2ο
θεώρηmicroα διαmicroέσων ισχύει ταυτοτικά
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ
Αν δύο χορδές Γ∆ΑΒ ή οι προεκτάσεις τους τέmicroνονται σε ένα σηmicroείο Ρ τότε ισχύει
Ρ∆sdotΡΓ=ΡΒsdotΡΑ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
13
Αν από ένα εξωτερικό σηmicroείο Ρ κύκλου ( )R Ο φέρουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΡΕ
Και microια ευθεία που τέmicroνει τον κύκλο στα σηmicroεία ΒΑ τότε ισχύει η σχέση
Επίσης αν η ευθεία ΡΟ τέmicroνει τον κύκλο στα ∆ Γ και δ=ΟΡ τότε έχουmicroε ότι
Η διαφορά 22 Rminusδ λέγεται δύναmicroη σηmicroείου Ρ ως προς τον κύκλο ( )R Ο και
συmicroβολίζεται
( )2222
RRR minusΟΡ=minus=∆ΡΟ δ
bull Το Ρ είναι εξωτερικό σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 gt∆ΡΟ R
bull Το Ρ είναι εσωτερικό σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 lt∆ΡΟ R
bull Το Ρ είναι σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 =∆ΡΟ R
bull Για να είναι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι εγγράψιmicroο σε κύκλο αν ισχύει η σχέση
Ρ∆sdotΡΓ=ΡΒsdotΡΑ
bull Αν οι διαγώνιοι ενός τετράπλευρου ΑΒΓ∆ τέmicroνονται σε ένα σηmicroείο Κ τότε για να
είναι το τετράπλευρο εγγράψιmicroο σε κύκλο πρέπει να ισχύει η σχέση
Κ∆sdotΚΒ=ΚΓsdotΚΑ
ΡΒsdotΡΑ=ΡΕ2
( )( ) 22 RRR minus=+minus
=Ρ∆sdotΡΓ=ΡΒsdotΡΑ
δδδ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
14
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Οι πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου έχουν microήκη x x+1 και x+2 Η περίmicroετρος του
τριγώνου αυτού είναι
Α 3 Β 6 Γ 10 ∆ 12 Ε 15
Επιλέξτε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε
2 Θεωρούmicroε διάmicroετρο ΑΒ κύκλου (ΟR) και τις κάθετες ακτίνες ΟΓ και Ο∆ Αν Ε και
Ζ οι προβολές των Γ και ∆ αντίστοιχα στην ΑΒ να αποδειχθεί ότι
i) Τα τρίγωνα ΟΕΓ και Ζ∆Ο είναι ίσα
ii) 222 R=ΟΖ+ΟΕ
3 Έστω ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο )90( Οand
=Α και Β∆ η διάmicroεσός του Να αποδειχθεί
ότι 222
4
3ΒΓ=ΑΓ+Β∆
4 Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο ΑΟΒ κύκλου (ΟR) και τη διχοτόmicroο ΟΜ της γωνίας and
ΟΒΑ Από σηmicroείο Γ του τόξου cap
ΑΒ φέρουmicroε ΟΒperpΓ∆ που τέmicroνει την ευθεία
ΟΜ στο σηmicroείο Ε Να αποδειχθεί ότι α) ∆Ε=Ο∆ β) 222 R=∆Ε+∆Γ
5 Αν σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά
τmicroήmicroα Γ∆=2ΒΓ να αποδειχθεί ότι 222 6ΒΓ+ΑΓ=Α∆
6 Αν ∆ σηmicroείο της πλευράς ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) να αποδειχθεί ότι
22 ∆Γsdot∆Β=Α∆minusΑΒ
7 Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω
περιπτώσεις όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί
να αποτελεί microήκη των πλευρών του i) 357 ii) 842 iii) 76 85
8 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ πληρούν τη σχέση 222 βαγ +lt
τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο
9 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ πληρούν τις σχέσεις αltβltγ και 222 βαγ +lt τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο
10 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών ΑΒΓ πληρούν τη σχέση 444 γβα +lt τότε να
αποδειχθεί ότι 90Οand
ltΑ
11 Θεωρούmicroε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και σηmicroείο ∆ της ηmicroιευθείας ΑΒ
τέτοιο ώστε Β∆=ΑΒ Αν ΑΒperpΓΕ και είναι ΑΒ=4ΒΕ να αποδειχθεί ότι
2
3 222 ΑΓ+ΒΓ=Γ∆
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
15
12 Θεωρούmicroε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α τη διχοτόmicroο Γχ της εξωτερικής
γωνίας εξΓ
and
αυτού την κάθετη xΓperpΒΕ και την κάθετη ΑΓperpΕΖ
Να αποδειχθεί ότι i)4
α=ΓΖ ii)
2
7α=ΑΕ
13 Εκατέρωθεν της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ κατασκευάζουmicroε δύο ισόπλευρα
τρίγωνα ΒΓ∆ και ΒΓΕ Να αποδειχθεί ότι 22222 γβα ++=ΑΕ+Α∆
14 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ τα microήκη των πλευρών του οποίου συνδέονται microε τη σχέση
2 222 αγβ =+ Nα αποδειχθεί ότι α) 2
βmicro +2
γmicro =2
2 αmicro
β) 2
3αmicroα =
2
3γmicroβ =
2
3βmicroγ =
15 Θεωρούmicroε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ )90( Οand
=Α και τη διάmicroεσό του ΒΕ
α) Να αποδειχθεί ότι 222
4
3ΒΓ=ΑΓ+ΒΕ β) Αν Α∆ είναι η διάmicroεσος του
τριγώνου ΑΒΓ ΒΕ= 14 και o60=Β∆Α
and
να υπολογιστούν τα microήκη των πλευρών
του τριγώνου ΑΒΓ
16 Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει γβ micromicro perp τότε να αποδειχθεί ότι 222
αγβ micromicromicro =+
17 Αν ΒΒ΄ το ύψος τριγώνου ΑΒΓ microε o90ltΑ
and
και ΑΜ η διάmicroεσός του τότε να
αποδειχθεί ότι 4
22 ΄ΑΒsdotΑΓ+
ΒΓ=ΑΜ
18 Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ )90( Οand
=Α η διάmicroεσος του ΑΜ και ευθεία (ε)
κάθετη στην ΑΜ στο Μ Αν Ρ σηmicroείο της (ε) να αποδειχθεί ότι 222 2ΡΑ=ΡΓ+ΡΒ
19 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ ΑΜ διάmicroεσος η οποία προεκτεινόmicroενη τέmicroνει τον
περιγεγραmicromicroένο κύκλο (ΟR) στο ∆ και Θ το βαρύκεντρο του τριγώνου
Να δειχθεί ότι i)4
2α=Μ∆sdotΜΑ ii)
ΘΟ∆ )( R )(
9
1 222 γβα ++minus=
iii) AB2+AΓ
2=2ΑΜsdotΑ∆
20 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόmicroος του Α∆ Αν οι κύκλοι οι περιγεγραmicromicroένοι στα
τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓ∆ τέmicroνουν τις ΑΓ και ΑΒ στα σηmicroεία Ζ και Ε αντίστοιχα να
αποδειχθεί ότι ΒΕ=ΓΖ
21 Κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι εγγράψιmicroο σε κύκλο Αν το σηmicroείο τοmicroής Μ των
διαγωνίων του είναι microέσο της διαγωνίου Β∆ να αποδειχθεί ότι
i) ΜΓsdotΜΑ=∆Β 42 ii) 2 22222 ΑΓ=∆Α+Γ∆+ΒΓ+ΑΒ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
16
22 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) διαmicroέτρου ΑΒ Από ένα σηmicroείο Γ της προέκτασης της ΑΒ
προς το Β φέρνουmicroε την εφαπτοmicroένη Γ∆ και την ΑΓperpΓx Αν Ε είναι το σηmicroείο
τοmicroής των Α∆ και Γx να αποδειχθεί ότι
i) το τετράπλευρο ∆ΒΓΕ είναι εγγράψιmicroο ii) ΑΕsdotΑ∆minusΓΑ=Γ∆ 22
23 ∆ύο κύκλοι (ΚR) και
Λ2
R
εφάπτονται εσωτερικά στο Α Από ένα σηmicroείο Μ του
κύκλου
Λ2
R
φέρνουmicroε χορδή Γ∆ του κύκλου (ΚR) Να αποδειχθεί ότι
ΜΓΜ∆=ΜΑ2
24 Θεωρούmicroε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α και σηmicroείο ∆ της πλευράς ΒΓ Αν οι
περιγεγραmicromicroένοι κύκλοι στα τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓ∆ τέmicroνουν τις πλευρές ΑΓ και ΑΒ
στα σηmicroεία Ε και Ζ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι ΒΖ+ΓΕ=α
25 Στη διάmicroετρο ΑΒ κύκλου (ΟR) θεωρούmicroε τα σηmicroεία Γ και ∆ έτσι ώστε ΟΓ=Ο∆=α
και microεταβλητό σηmicroείο Μ του κύκλου Αν οι ΜΓ και Μ∆ τέmicroνουν τον κύκλο στα Ε
και Ζ αντίστοιχα να αποδείξετε ότι i) ΜΓΓΕ = Μ∆∆Ζ ii)
ΜΓ2+Μ∆
2 = 2(R
2+α
2) iii) το άθροισmicroα
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
είναι σταθερό
26 Θεωρούmicroε κύκλο (O2α) και σηmicroείο Ρ τέτοιο ώστε ΟΡ=2
3α Φέρουmicroε χορδή ΑΒ η
οποία διέρχεται από το Ρ και είναι τέτοια ώστε ΑΡ=α Να υπολογιστεί το microήκος της
χορδής ΑΒ
27 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) διάmicroετρο ΑΒ και τα microέσα Γ και ∆ των ΟΑ και ΟΒ
αντίστοιχα Από το σηmicroείο Γ φέρουmicroε χορδή ΕΖ = 2
13 Rsdot Να αποδειχθεί ότι
i) ΖΓ2+Ζ∆
2+ΓΕ
2+∆Ε
2=5R
2 ii)
and
Ε∆Ζ = 900
28 Έστω ΑΒ διάmicroετρος κύκλου (ΟR) και ΑΓ Β∆ δύο χορδές που τέmicroνονται στο Ρ Να
αποδειχθεί ότι i) αν οι Α∆ και ΒΓ τέmicroνονται στο Ε τότε το Ρ είναι ορθόκεντρο του
τριγώνου ΕΑΒ ii) ΑΓΑΡ+Β∆ΒΡ=ΑΒ2
29 Τρίγωνο ΑΒΓ microε β2+γ
2=2α
2 Β∆ ΓΕ ύψη ΑΜ διάmicroεσος και Ζ microέσο της ΑΜ Να
αποδειχθεί ότι i)and
Α lt900 ii) AE =
γα2
2
και ΑΜ = 2
3α iii) ΕΖ =
γαβ4
Ζ∆ = β
αγ4
30 Σε τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούmicroε σηmicroεία ∆Ε στην πλευρά ΒΓ ώστε Β∆ = ∆Ε = ΕΓ Να
αποδείξετε ότι i) AB2 ndash 2∆E
2 = 2A∆
2 ndash AE
2 ii) AB
2 + 2AΓ
2 = 3AE
2 +
6∆E2
31 Αν α β γ πλευρές τριγώνου να βρεθεί το είδος του τριγώνου στις παρακάτω περι-
πτώσεις i) α = ν2 + 1 β = 2ν γ = ν
2 ndash 1
ii) α = 4 β = 5 γ = 3
iii) α = 11 β = 13 γ = 12
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
17
32 Αν Ε ∆ Ζ microέσα των ΑΓ ΒΓ Β∆ αντίστοιχα ενός τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε ότι
i) Ε∆=2
1ΑΒ ii) ΕΖ
2 =
16
263 222 βminusγ+α
33 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ = 6 ΑΓ = 8 ΒΓ = 2 37 να αποδειχθεί ότι
i) ο120=Α
and
ii) να βρεθεί το microήκος Α∆ όπου Β∆ ύψος τριγώνου
iii) να βρεθεί το microήκος της διαmicroέσου microα
34 Σε τρίγωνο ΑΒΓ microε πλευρές α = 9 β = 7 γ = 4 να βρείτε i) το είδος του τριγώνου
ii) το microήκος της διαmicroέσου microα iii) την προβολή της διαmicroέσου microα πάνω στην
ΒΓ iv) την προβολή της πλευράς β πάνω στην γ
35 Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ο90=Α
and
ΑΜ διάmicroεσος και Ρ το microέσο
της ΑΜ Στην πλευρά ΒΓ = α παίρνουmicroε σηmicroείο Κ ώστε ΓΚ = 8
5α Να αποδειχθεί
ότι i) ΓΡ2 =
16
5 2α ii) ΡΚ
2 =
64
5 2α iii) ΡΓ = 2ΚΡ
36 Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε ο90=Α
and
α = 25 και β = 20 αν x είναι η προβολή της
πλευράς β πάνω στην πλευρά α τότε
i) η πλευρά γ έχει microήκος Α10 Β12 Γ13 ∆15 Ε21
ii) το ύψος υα έχει microήκος Α9 Β7 Γ12 ∆17 Ε5
iii) το τmicroήmicroα x έχει microήκος Α10 Β12 Γ17 ∆16 Ε21
(Να αιτιολογήσετε την απάντηση)
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
18
ΕΜΒΑ∆Α
ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ
Ας θεωρήσουmicroε ένα πολύγωνο
Ένα σχήmicroα που αποτελείται από πεπερασmicroένο πλήθος πολυγωνικών χωρίων που ανά δύο δεν
έχουν κοινά εσωτερικά σηmicroεία λέγεται πολυγωνική επιφάνεια
Ίσα πολυγωνικά χωρία έχουν ίσα εmicroβαδά
Αν ένα πολυγωνικό χωρίο (ή microια πολυγωνική επιφάνεια) χωρίζεται σε πεπερασmicroένου
πλήθους πολυγωνικά χωρία που δεν έχουν κοινά εσωτερικά σηmicroεία τότε το εmicroβαδόν του
ισούται microε το άθροισmicroα των εmicroβαδών των επιmicroέρους πολυγωνικών χωρίων
Το εmicroβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς 1 είναι 1
∆ύο σχήmicroατα που έχουν το ίδιο εmicroβαδόν ονοmicroάζονται ισεmicroβαδικά ή ισοδύναmicroα
Το πολύγωνο microαζί microε τα εσωτερικά του
στοιχεία ονοmicroάζεται πολυγωνικό χωρίο
Ένα πολυγωνικό χωρίο που ορίζεται από
τρίγωνο τετράγωνοhellipν-γωνο ονοmicroάζεται
τριγωνικό πολυγωνικόhellip ν-γωνικό
∆ύο πολυγωνικά χωρία λέγονται ίσα όταν τα
αντίστοιχα πολύγωνά τους είναι ίσα
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
19
ΕΜΒΑ∆Α ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
Το εmicroβαδόν τετραγώνου πλευράς α δίνεται από τον τύπο 2α=Ε
Το εmicroβαδόν ενός ορθογωνίου ισούται microε το γινόmicroενο των πλευρών του βα sdot=Ε
Το εmicroβαδόν ενός παραλληλογράmicromicroου ισούται microε το γινόmicroενο microιας πλευράς του επί το ύψος
που αντιστοιχεί σε αυτή
βα υβυα sdot=sdot=Ε
Το εmicroβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο microε το ηmicroιγινόmicroενο microιας πλευράς επί το αντίστοιχο ύψος
γβα υγυβυα sdot=sdot=sdot=Ε2
1
2
1
2
1
Το εmicroβαδόν τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο του ηmicroιαθροίσmicroατος των βάσεων του επί το
ύψος του υβsdot
+Β=Ε
2
Το εmicroβαδόν τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο της διαmicroέσου επί το ύψος του
bull Το εmicroβαδόν ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς α είναι ίσο microε 4
32α=Ε
bull Το εmicroβαδόν ρόmicroβου ισούται microε το ηmicroιγινόmicroενο των διαγωνίων του
bull Το εmicroβαδόν οποιουδήποτε κυρτού ή microη κυρτού τετραπλεύρου microε κάθετες διαγωνίους
ισούται microε το ηmicroιγινόmicroενο των διαγωνίων του
bull Η διάmicroεσος κάθε τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
bull Το βαρύκεντρο τριγώνου έχει την ιδιότητα να δηmicroιουργεί microε τις κορυφές του τριγώνου τρία
ισεmicroβαδικά τρίγωνα
bull Το βαρύκεντρου του τριγώνου οι κορυφές του και τα microέσα των πλευρών του ορίζουν έξι
ισεmicroβαδικά τρίγωνα
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
20
ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΕΜΒΑ∆ΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
( )( )( )γτβταττ minusminusminus=Ε όπου 2
γβατ
++= ηmicroιπερίmicroετρος του τριγώνου
ρτ sdot=Ε
R4
γβα sdotsdot=Ε
Γsdotsdot=Βsdotsdot=Αsdotsdot=Ε ηmicroβαηmicroαγηmicroγβ2
1
2
1
2
1
ΕΜΒΑ∆Α ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
Αν δύο τρίγωνα έχουν ίσες βάσεις τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο των
αντίστοιχων υψών ενώ αν έχουν ίσα ύψη τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο
των αντίστοιχων βάσεων
Αν δύο τρίγωνα είναι όmicroοια τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το τετράγωνο του
λόγου οmicroοιότητας
Ο λόγος των εmicroβαδών δύο όmicroοιων πολυγώνων είναι ίσος microε το τετράγωνο του λόγου
οmicroοιότητας
Αν microια γωνία ενός τριγώνου είναι ίση ή παραπληρωmicroατική microε microια γωνία ενός άλλου
τριγώνου τότε ο λόγος των εmicroβαδών των δύο τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο των γινοmicroένων
των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
21
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Αν ΑΒΓ∆ τραπέζιο ( Γ∆ΑΒ ) και Ο το σηmicroείο τοmicroής των διαγωνίων του ΑΓ και
Β∆ να αποδείξετε ότι ΟΑ∆ΟΒΓ Ε=Ε
2 Ένα τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) και ΒΓ=Γ∆=Α∆ και τη βάση ΑΒ κατά 2 microικρότερη
από το άθροισmicroα των τριών αυτών πλευρών Αν το ύψος του τραπεζίου είναι 5 να
υπολογιστεί το εmicroβαδό του
3 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ microε microήκη πλευρών α=10 β=8 γ=14 και ισόπλευρο τρίγωνο
∆ΕΖ το οποίο είναι ισοδύναmicroο microε το ΑΒΓ Το microήκος της πλευράς του ισόπλευρου
τριγώνου ∆ΕΖ είναι
Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20
Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε
4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=2 ΒΗ ύψος και η διάmicroεσος Β∆=1 Αν and
∆ΑΒ =30ο να
υπολογιστούν α) τα ΒΗ Η∆ ΑΗ
β) το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ
5 Με υποτείνουσες τις κάθετες πλευρές ΑΒ και ΑΓ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ microε
β+γ=20 κατασκευάζουmicroε ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓΕ εκτός
αυτού
α) Να αποδείξετε ότι τα σηmicroεία ∆ΑΕ είναι συνευθειακά
β) Να βρείτε το εmicroβαδό του τετραπλεύρου ΒΓΕ∆
6 Προεκτείνουmicroε τις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ ενός τριγώνου ΑΒΓ κατά τmicroήmicroατα
Γ∆=ΓΒ ΑΕ=ΑΓ και ΒΖ=ΒΑ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι (∆ΕΖ) = 7(ΑΒΓ)
7 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Μ στο εσωτερικό του Φέρνουmicroε από το Μ
παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των
σχηmicroατιζόmicroενων τριγώνων και Ε το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε
ότι 321 Ε+Ε+Ε=Ε
8 Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ που τέmicroνει τις πλευρές ΑΒ
και ΑΓ στα σηmicroεία ∆ και Ε αντίστοιχα Να αποδείξετε ότι (ΑΒΕ)2=(ΑΒΓ)(Α∆Ε)
9 Από σηmicroείο ∆ της πλευράς ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη προς την
πλευρά ΒΓ που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των τριγώνων
Α∆Ε Α∆Γ και ΑΒΓ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι 31
2
2 ΕsdotΕ=Ε
10 Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Α΄ της πλευράς του ΒΓ Από τα Β και Γ
φέρνουmicroε παράλληλες προς την ΑΑ΄ που τέmicroνουν τις ευθείες ΑΓ και ΑΒ στα σηmicroεία
Γ΄ και Β΄ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι
α) (ΑΑ΄Γ΄) = (ΑΒΑ΄) και (ΑΑ΄Β΄) = (ΑΓΑ΄)
β) (Α´ô) = (ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
22
11 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ microε ΑΒ=10 Α∆=4 και and
∆ =60ο Στην πλευρά ΑΒ
θεωρούmicroε τα σηmicroεία Ε και Ζ έτσι ώστε ΑΕ=ΕΖ=ΖΒ Αν Η είναι το σηmicroείο τοmicroής των
ευθειών ∆Ε και ΓΖ να υπολογιστούν
α) το εmicroβαδό του παραλληλογράmicromicroου ΑΒΓ∆
β) το εmicroβαδό του τραπεζίου Γ∆ΕΖ
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου ΗΕΖ
12 ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=ΑΓ=6 και ο120=Α
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του
β) Αν Ε σηmicroείο της ΑΓ τέτοιο ώστε ΓΕ=ΑΕ2
1 και Α∆ το ύψος του τριγώνου
ΑΒΓ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ∆ΕΓ
γ) Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει τη ∆Ε στο Η να βρεθεί το εmicroβαδό
του τριγώνου ΑΕΗ
13 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Ρ στο εσωτερικό του Από το Ρ φέρνουmicroε κάθετες
ηmicroιευθείες στις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ και πάνω σrsquo αυτές παίρνουmicroε τα σηmicroεία Α΄
Β΄ και Γ΄ αντίστοιχα έτσι ώστε ΡΑ΄=ΒΓ ΡΒ΄=ΑΓ και ΡΓ΄=ΑΒ Να αποδειχθεί ότι
α) οι γωνίες and
Γ και and
ΒprimeΡΑprime είναι παραπληρωmicroατικές
β) (ΡΑ΄Β΄)=(ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)
14 Θεωρούmicroε τρεις ίσες διαδοχικές γωνίες and
οψx zand
οψ xzand
ο και πάνω στις
ηmicroιευθείες Οx Oψ και Οz τα σηmicroεία Α Β Γ αντίστοιχα έτσι ώστε ΟΑ=1 ΟΒ=4 και
ΟΓ=8
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ψοand
x zand
οψ xzand
ο
β) Αν Οw η αντικείmicroενη ηmicroιευθεία της Οψ και Γ∆ wΟperp να υπολογίσετε τις Ο∆ και
Γ∆
γ) Να υπολογίσετε το (ΟΒΓ)
δ) Να αποδείξετε ότι (ΑΒΓ)= 311
15 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ και Κ Λ Μ Ν τα microέσα των ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α
αντίστοιχα α) Να αποδειχθεί ότι (ΚΛΜΝ)=2
1(ΑΒΓ∆)
β) Αν ΚΜ ΛΝperp να αποδειχθεί ότι (ΑΒΓ∆) = ΚΜΛΝ
16 Λ
Α Β Στο διπλανό σχήmicroα τα σηmicroεία Κ Λ είναι τα
Κ Ρ microέσα των τmicroηmicroάτων ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα
Να αποδείξετε ότι
Γ α) ο λόγος των εmicroβαδών των τριγώνων ΑΚΒ και ΑΛΓ είναι ίσος microε
β) αν Ρ είναι το σηmicroείο τοmicroής των ΛΓ και ΚΒ τότε τα τρίγωνα ΒΛΡ
και ΚΓΡ έχουν ίσα εmicroβαδά
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
23
17 ∆ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) microε ΑΒ=4 Α∆=2 καιο60=∆
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τραπεζίου ΑΒΓ∆
β) Αν Ε σηmicroείο της πλευράς ΑΒ τέτοιο ώστε ΕΒ= ΑΒ4
1 και οι Ε∆ ΕΓ τέmicroνουν τη
διάmicroεσο του τραπεζίου στα σηmicroεία Ζ και Η αντίστοιχα να βρεθεί το εmicroβαδό του
τριγώνου ΕΖΗ
γ) Αν οι ∆Ε και ΒΓ τέmicroνονται στο Ρ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ΡΕΒ
18 Αν οι διαγώνιοι κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓ∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο να αποδείξετε ότι
το τετράπλευρο έχει εmicroβαδό Β∆sdotΑΓ4
1
19 Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται ΑΒ=5 ο60=Α
and
και η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου
κύκλου 3
7=R Να βρεθούν οι άλλες δύο πλευρές του τριγώνου και το εmicroβαδόν του
20
∆ Ζ Γ
υ
Α Ε Η Β
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m
90ο=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος ∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο
οποίος θα χωρίζει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆ και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο
ΑΕ∆
δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου ∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
21 Αν Μ και Ν είναι τα microέσα των πλευρών ΒΓ και Γ∆ ενός παραλληλόγραmicromicroου ΑΒΓ∆
να αποδείξετε ότι (ΑΜΝ)= )(8
3ΑΒΓ∆
22 Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) θεωρούmicroε το microέσο Μ της πλευράς ΑΒ
και σηmicroείο Ν της πλευράς ΑΓ τέτοιο ώστε 3
ΑΓ=ΓΝ Να δειχθεί ότι
(ΜΝΒ)= )(3
1ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
24
23 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και τυχαίο σηmicroείο Σ στην προέκταση της πλευράς
∆Γ προς το Γ Να αποδείξετε ότι
α) (ΑΒ∆)= )(2
1ΑΒΓ∆
β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)
γ) αν η ΑΣ τέmicroνει την Β∆ στο σηmicroείο Ε τότε (Ε∆Σ)-(ΕΑΒ)=(ΣΒΓ)
24 Έστω Σ τυχαίο σηmicroείο της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ Στο σηmicroείο Α φέρουmicroε
microια ευθεία ε κάθετη στην ΑΣ Αν ∆ και Ε είναι αντίστοιχα οι προβολές των σηmicroείων
Β και Γ στην ευθεία ε να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ∆ΣΕ είναι ισοδύναmicroα
25 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 8=ΑΒ 12=ΑΓ και η Α∆ διχοτόmicroος της γωνίας and
Α Αν
( )ΑΒ∆ =20 τmicro να βρείτε το ( )ΑΒΓ
26 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ∆ σηmicroείο της πλευράς ΑΒέτσι ώστε 6=Α∆ ∆Β=5
8=ΑΓ Αν 80=Α
and
να βρείτε το εmicroβαδόν του τριγώνου Β∆Γ
27 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ microε 90=Β
and
και η γωνία and
Α να είναι το 3
1 της ορθής Αν
∆ σηmicroείο της προέκτασης της πλευράς ΒΓ προς το Γ τέτοιο ώστε η 30=Α∆Β
and
να
βρεθεί ο λόγος ( )( )ΑΒ∆ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
25
ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ
ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ
Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του
ίσες
Γωνία κανονικού ν-γώνου ν
φν
360
180 minus=
Κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου ν
ων
360=
Σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας R ισχύουν οι εξής τύποι 2
22
4R=+ ν
ν
λα
νν λν sdot=Ρ
ννν αsdotΡ=Ε2
1
όπου να απόστηmicroα νλ πλευρά νΡ περίmicroετρος νΕ εmicroβαδόν
∆ύο κανονικά πολύγωνα microε τον ίδιο αριθmicroό πλευρών είναι όmicroοια
Κάθε κανονικό πολύγωνο εγγράφεται σε έναν κύκλο και περιγράφεται σε έναν άλλον Οι δύο
αυτοί κύκλοι είναι οmicroόκεντροι
bull Το κοινό κέντρο τον κύκλων αυτών λέγεται κέντρο του πολυγώνου
bull Η ακτίνα R του περιγεγραmicromicroένου κύκλου λέγεται ακτίνα του πολυγώνου
bull Η απόσταση του κέντρου από microια πλευρά του δηλαδή η ακτίνα του εγγεγραmicromicroένου
κύκλου λέγεται απόστηmicroα του πολυγώνου
Σε δύο κανονικά ν-γωνα ο λόγος των πλευρών τους ισούται microε το λόγο των ακτινών τους και
το λόγο των αποστηmicroάτων τους
∆ηλαδή
ν
ν
ν
ν
αα
λλ
==R
R
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
26
ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ
ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ
ΚΑΝΟΝΙΚΟ
ΕΞΑΓΩΝΟ
ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ
ΤΡΙΓΩΝΟ
ΠΛΕΥΡΑ νλ 24 R=λ R=6λ 33 R=λ
ΑΠΟΣΤΗΜΑ να
2
24
R=α
2
36
R=α
23
R=α
RL sdot= π2
180
microπ sdotsdot=
Rl ή Rl sdot=α
180
microαπ
=
2Rsdot=Ε π
( )360
2 microπ sdotsdot=ΟΑΒ
cap R ή ( )
cap
sdot=ΟΑΒ 2
2
1Rα
( ) ( )ΟΑΒminusΟΑΒ=cap
ε
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
27
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Ένα κανονικό εξάγωνο είναι περιγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ορ) Η πλευρά του
εξαγώνου αυτού είναι
Α ρ Β 2
3ρ Γ 2ρ ∆
3
32ρ Ε
3
2ρ
2 ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και στις προεκτάσεις των
πλευρών ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α θεωρούmicroε τα τmicroήmicroατα ΒΚ=ΓΛ=∆Μ=ΑΝ=λ3 Να δείξετε
ότι το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο και ότι η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου κύκλου του
είναι 641 += RR
3 Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε δύο παράλληλες χορδές ΑΒ=λ4 και Γ∆=λ6 Να
αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι ισοσκελές τραπέζιο και να υπολογιστεί
το εmicroβαδό του ως συνάρτηση της ακτίνας R
4 Η περίmicroετρος ενός κυκλικού τοmicroέα ΟΑΒ ενός κύκλου (ΟR) είναι 6+π Αν
ο60=ΒΟΑand
τότε το microήκος της ακτίνας R είναι
Α 6 Β 3 Γ 2 ∆ 4 Ε 5 (δικαιολογήστε την απάντησή σας)
5 Έστω τεταρτοκύκλιο ΟΑΒ ακτίνας R και ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΟΒ στο εσωτερικό
του Να βρείτε το εmicroβαδό και την περίmicroετρο του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΑΒ
6 Έστω δύο κύκλοι (ΟR) και (Ο΄R) των οποίων η διάmicroετρος ΟΟ΄ έχει microήκος
ΟΟ΄=R 3 α) Να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι τέmicroνονται
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινού microέρους των δύο κύκλων
7 Το εmicroβαδό κυκλικού τοmicroέα 80ο είναι 8π Η ακτίνα του κύκλου είναι
Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15
8 Τετράγωνο ΑΒΓ∆ είναι εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και η ηmicroιπερίmicroετρος του
είναι 80cm Να υπολογιστούν
α) η ακτίνα R του κύκλου
β) ο λόγος του εmicroβαδού του κύκλου προς το εmicroβαδό του τετραγώνου
9 Στο εσωτερικό ηmicroικυκλίου διαmicroέτρου ΑΟΒ=2R γράφουmicroε ηmicroικύκλια microε
διαmicroέτρους ΟΑ και ΟΒ Να υπολογιστεί το microήκος και το εmicroβαδό του κύκλου που
εφάπτεται των τριών ηmicroικυκλίων
10 ∆ύο κύκλοι (Ο3R) και (Ο΄R) εφάπτονται εξωτερικά στο σηmicroείο Α Φέρουmicroε την
κοινή εξωτερική εφαπτόmicroενη ΒΓ αυτών Να βρεθεί το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου
τριγώνου ΑΒΓ και του περιγεγραmicromicroένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ
11 Έστω ο κύκλος (ΟR) και microια ακτίνα του ΟΑ Στην ηmicroιευθεία ΟΑ θεωρούmicroε
σηmicroείοΒ έτσι ώστε ΑΒ=ΑΟ Αν ΒΓ η εφαπτοmicroένη του κύκλου να βρεθεί το
εmicroβαδό α) του τριγώνου ΟΒΓ και β) του microικτόγραmicromicroου τριγώνου
ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
28
12 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=λ3 και Γ∆=λ6
προς το ίδιο microέρος του κέντρου Ο α) Να εκφράσετε τις χορδές ΑΒ και Γ∆ ως
συνάρτηση της ακτίνας R β) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό Ε1 του κυκλικού τmicroήmicroατος
που αντιστοιχεί στη χορδή Γ∆ γ) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό του τριγώνου ΟΑΒ
δ) Να βρείτε την περίmicroετρο και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τραπεζίου που έχει
κορυφές τα ΑΒΓ∆
13 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) χορδή ΑΒ=R την εφαπτοmicroένη ε του κύκλου στο σηmicroείο
Α και τη εperpΒΓ Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του τραπεζίου ΟΑΓΒ
β) το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
14 ∆ίνεται ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΑΒ και στο εσωτερικό του τα ηmicroικύκλια διαmicroέτρων
ΑΓ και ΓΒ όπου Γ σηmicroείο microεταξύ των Α και Β Αν κάθετη της ΑΒ στο Γ τέmicroνει το
αρχικό ηmicroικύκλιο στο ∆ να αποδείξετε ότι το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται
microεταξύ των τριών ηmicroικυκλίων είναι ίσο microε το εmicroβαδό του κύκλου διαmicroέτρου Γ∆
15 Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ο60=Β
and
και ΒΓ=α Με
κέντρο το Β και ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει τη ΒΓ στο Μ και microε κέντρο
το Γ και ακτίνα ΓΜ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν Να βρεθεί η
περίmicroετρος και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
16 Με κέντρο ένα σηmicroείο Κ κύκλου (ΟR) και ακτίνα ίση προς R 3 γράφουmicroε
κύκλο ο οποίος τέmicroνει τον (ΟR) στα σηmicroεία Α και Β Να υπολογιστούν η
περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου microηνίσκου
17 ∆ίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ΒΓ = 2R
Γράφουmicroε ηmicroικύκλιο microε διάmicroετρο ΒΓ εκτός τριγώνου και τόξο κύκλου (Α ΑΒ) microε
άκρα Β και Γ Να βρεθεί η περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου
microηνίσκου από το ηmicroικύκλιο και το τόξο αυτό
18 Ένα ορθογώνιο σπίτι microε διαστάσεις α = 20m και β = 10m έχει microια εξωτερική
πρίζα σε microια γωνία του Ένα χορτοκοπτικό microηχάνηmicroα συνδεδεmicroένο microε την πρίζα
έχει καλώδιο microε microήκος 15m Να βρεθεί το εmicroβαδόν της microεγαλύτερης επιφάνειας
του χόρτου που microπορεί να κοπεί
19 Σε κύκλο ακτίνας R = 4cm είναι εγγεγραmicromicroένο ισόπλευρο τρίγωνο
Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του κύκλου
β) την πλευρά του τριγώνου
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου
δ) το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται microεταξύ του κύκλου και του τριγώνου
20 Σε κύκλο microε διάmicroετρο ΑΒ φέρουmicroε τις χορδές ΜΒΑΜ Αν είναι 6=ΑΜ και
8=ΒΜ να βρεθεί η ακτίνα και το εmicroβαδόν του κύκλου
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
29
21 Να βρεθεί το εmicroβαδόν του καθενός από τα δύο microέρη στα οποία διαιρείται ένας
κύκλος ( )RΟ από την πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραmicromicroένου στον κύκλο
αυτόν
22 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και φέρουmicroε δύο κάθετες ακτίνες ΟΑ και ΟΒ Με
κέντρο το Α και ακτίνα R γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει το cap
AB στο σηmicroείο Γ Να
βρεθεί το εmicroβαδόν του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΒΓ
23 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και τόξο 60=ΑΒ
cap
Φέρουmicroε στο σηmicroείο Α την
εφαπτοmicroένη χΑ του κύκλου και την χΑperpΒΓ Να βρεθεί το εmicroβαδόν του
microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
30
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΗ 1η
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α∆ διχοτόmicroος Β∆ = 2 Γ∆ = 3 και 2τ = 15 (περίmicroετρος) η πλευρά
ΑΒ είναι
Α 3 Β 4 Γ 5 ∆ 6 Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 2η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 3α2 + 2γ
2 = 2β
2 Τότε
i) Α and
Α gt90ο Β
and
Β gt 90ο Γ
and
Β lt 90ο ∆
and
Γ gt 90ο Ε Κανένα από τα παραπάνω
ii) Η προβολή της διαmicroέσου microα στην ΒΓ ισούται microε
Α 4
a Β
2
a Γ
4
3a ∆
2
3a Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 3η
Αν ΑΒΓ∆ τετράγωνο πλευράς α και Ε microέσο του Α∆ τότε
i) ΒΕ =2
5α Σ Λ
ii) Ο λόγος ΒΕΕΖ
ισούται microε
Α 5
2 Β
4
5 Γ
4
1 ∆
5
1 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
Α Β
E
Z
∆ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 4η
Αν τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=4 ΒΓ=5 ΑΓ=6 και Α∆ διχοτόmicroος τότε
i) -Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο Σ Λ
- Ο λόγος ∆Γ∆Β
ισούται microε
Α 2
1 Β
3
1 Γ
3
2 ∆
4
3 Ε
2
3
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ii) Αν ε η προβολή του Α στην ΒΓ να υπολογίσετε το microήκος του ΒΕ
iii) Να αποδείξετε ότι 2
1=
∆Γ∆Ε
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
31
ΑΣΚΗΣΗ 5η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και Μ το microέσο της Α∆ Προεκτείνουmicroε τη ∆Γ προς το Γ
κατά ΓΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΒΜ)=2
)(ΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τραπεζίου ΑΒΕ∆ είναι οκταπλάσιο από το εmicroβαδόν του
τριγώνου ΑΒΜ
ΑΣΚΗΣΗ 6η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναιuα =3ρ όπου ρ του εγγεγραmicromicroένου κύκλου του τριγώνου Ο λόγος
αγβ +
ισούται microε Α 2 Β 3 Γ 3
1 ∆
2
3 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ΑΣΚΗΣΗ 7η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάmicroεσός του Α∆ Προεκτείνουmicroε την ΒΑ προς το Α κατά τmicroήmicroα
ΑΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι (ΒΕ∆)=3(Α∆Γ)
ΑΣΚΗΣΗ 8η
Στο εσωτερικό της αυλής ενός σπιτιού υπάρχει microικρός κήπος microε λαχανικά όπως στο
ακόλουθο σχήmicroα Αν το εmicroβαδόν του κήπου είναι 122m και οι διαστάσεις της αυλής είναι
12m και 13m να βρεθεί το x Αν θέλουmicroε να περιφράξουmicroε τον κήπο microε σύρmicroα πόσο σύρmicroα
θα χρειαστούmicroε
12m
13m
ΑΣΚΗΣΗ 9η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ Από τυχαίο σηmicroείο Ε της ΑΓ φέρουmicroε ευθεία παράλληλη
προς την Α∆ που τέmicroνει την Γ∆ στο Ζ Να αποδείξετε ότι
i) (Α∆Ζ)=(ΑΕΒ)
ii) (ΑΕΖ)=(ΒΕΓ)-(ΖΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 10η
Οι διάmicroεσοι Β∆ και ΓΕ τριγώνου ΑΒΓ τέmicroνονται στο Θ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΕ∆)=4
)(ΑΒΓ
ii) (ΒΘΓ)= 3
)(ΑΒΓ
iii)(ΑΕ∆)= (ΒΚΛΓ) όπου Κ Λ τα microέσα των ΒΘ και ΓΘ αντίστοιχα
x
x x
x
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
32
ΑΣΚΗΣΗ 11η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε τη διχοτόmicroο Α∆ Από το ∆ φέρνουmicroε παράλληλη προς την ΑΒ
που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει την προέκταση της
∆Ε στο Ζ να αποδείξετε ότι
α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)
β) β2(ΑΕΖ) = γ
2(∆ΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 12η
Θεωρούmicroε γωνία yxand
Α και σηmicroείο Ο της διχοτόmicroου της Αδ Αν ο κύκλος (ΟΟΑ) τέmicroνει τις
Οx Οy στα Β Γ αντίστοιχα και την Αδ στο ∆ να αποδείξετε ότι
α) (ΟΑΒ)=(ΟΑΓ)
β) (ΒΟΓ∆)=(ΑΒ∆)
γ) (ΒΟΓ∆)=2
1(ΟΑ)(ΒΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 13η
Από εσωτερικό σηmicroείο Μ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλες προς τις
πλευρές ΑΓ και ΑΒ που τέmicroνουν τις ΑΒ ΑΓ στα ∆ Ζ αντίστοιχα Αν (ΒΜ)=x (ΒΓ)=α
(Β∆Μ)=Ε1 (ΓΖΜ)=Ε2 και (ΑΒΓ)=Ε τότε
α) Να εκφράσετε ως συναρτήσεις των x και α τους λόγους Ε
Ε1 και Ε
Ε2
β) Να αποδείξετε ότι ΕgeΕ+Ε2
121
ΑΣΚΗΣΗ 14η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=Γ∆=λ3
Να βρεθεί
i) Η περίmicroετρος του ΑΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που αντιστοιχεί στη χορδή ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 15η
Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε τα διαδοχικά σηmicroεία Α Β Γ και ∆ ώστε ΑΒ=ΒΓ=Γ∆= R Να
βρεθεί
i) H περίmicroετρος του τριγώνου ΑΒ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τριγώνου ΒΓ∆
iii) Ο λόγος )(
)(
ΒΓ∆ΑΒ∆
ΑΣΚΗΣΗ 16η
∆ίνεται τεταρτοκύκλιο Οand
ΒΓ ακτίνας R
α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΓΒ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε δύο ισεmicroβαδικά χωρία
β) Αν ∆ σηmicroείο του τόξου ΒΓ να αποδείξετε ότι η ευθεία Γ∆ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
γ) Να βρείτε σηmicroείο Α της ακτίνας ΟΒ ώστε η ευθεία ΓΑ να χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
33
ΑΣΚΗΣΗ 17η
Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο Ο cap
ΒΓ ακτίνας R Σηmicroείο Α κινείται πάνω στο τόξο cap
ΒΓ και έστω
Κ το σηmicroείο τοmicroής της ακτίνας ΟΑ microε τη ΒΓ Να βρείτε το microήκος του τόξου cap
ΒΑ όταν το
εmicroβαδό του τριγώνου ΟΚΓ ισούται microε το εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα
τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΒ και το τόξο cap
ΒΑ
ΑΣΚΗΣΗ 18η
∆ίνεται ηmicroικύκλιο κέντρου Ο microε διάmicroετρο ΑΑ1=2R Έστω Β σηmicroείο του ηmicroικυκλίου microε
( 1ΑΟΒand
)=φ microοίρες και ΟΓ ακτίνα που τέmicroνει τη χορδή ΑΒ στο Κ
α) Να βρείτε το microήκος S του τόξου cap
ΑΓ όταν το εmicroβαδόν του τριγώνου ΟΚΒ ισούται microε το
εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΓ και το τόξοcap
ΑΓ
β) Αν η γωνία 1ΑΟΒand
είναι 150ο πόσο είναι το S
γ) Για ποια τιmicroή του φ το S γίνεται microέγιστο
Β
Γ
φ
Α1 Α
ΑΣΚΗΣΗ 19η
Η περίmicroετρος ρόmicroβου ΑΒΓ∆ πλευράς α και κέντρου Ο είναι τετραπλάσια της microικρής
διαγωνίου του Β∆
i) Να υπολογιστεί συναρτήσει του α το εmicroβαδόν του Ε
ii) Φέρουmicroε Α∆perpΟΗ και Γ∆perpΟΖ Αν η ΑΖ τέmicroνει τον κύκλο διαmicroέτρου Ο∆ στο Θ να
δειχθεί ότι 2
3Ε=ΑΖsdotΑΘ
ΑΣΚΗΣΗ 20η
Το περίγραmicromicroα της βάσης ενός microεγάλου λόφου σχηmicroατίζει τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=γ ΑΓ=β
όπου βgtγ και στο οποίο η διάmicroεσος ΑΜ και το ύψος Α∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο ∆ίπλα στην
πλευρά ΑΓ υπάρχει ορθογώνιος ιδιωτικός χώρος διαστάσεων 2
γβ +και β-γ Σrsquo αυτόν το
χώρο πρόκειται να κατασκευαστεί ένας microεγάλος ανισόπεδος κόmicroβος που θα συνδέει δύο
δρόmicroους ταχείας κυκλοφορίας Γιrsquo αυτούς τους λόγους προτείνεται στον ιδιοκτήτη να δεχτεί
να ανταλλάξει αυτόν τον χώρο microε άλλον ορθογώνιο χώρο του δηmicroοσίου που βρίσκεται δίπλα
στην πλευρά ΒΓ και έχει διαστάσεις τα microήκη των ΒΓ και 2
ΑΜ Ο ιδιοκτήτης δηλώνει ότι θα
συmicroφωνήσει microε την πρόταση αρκεί οι ανταλλάξιmicroοι χώροι να έχουν την ίδια έκταση
Πρακτικά όmicroως είναι αδύνατον να microετρήσει την πλευρά ΒΓ και τη διάmicroεσο ΑΜ γιrsquo αυτό και
διστάζει Πως θα σκεφτόσαστε εσείς να βοηθήσετε τον ιδιοκτήτη να αποφασίσει
Κ
Ο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
34
ΑΣΚΗΣΗ 21η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε β=2γ και η διάmicroεσος του Β∆ Φέρουmicroε Β∆perpΑx που τέmicroνει την
Β∆ στο Ε και την ΒΓ στο Ζ και ΕyΑΓ που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ Να αποδείξετε ότι
i) ZB= 2
1ZΓ
ii) (ΑΒΓ)=3(ΑΒΖ)
iii) Να αποδειχθεί ότι 8
3
)(
)(=
ΑΒΖΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΗ 22η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε α=2γ και β= 7γ
α) i) Να αποδείξετε ότι 2
3αmicroα =
ii) Να βρείτε το είδος της γωνίας and
Β
iii) Αν ΑΕ perp ΒΓ να υπολογίσετε το ΒΕ συναρτήσει του γ
iv) Να βρείτε τη γωνία and
Β
β) Αν ΑΜ διάmicroεσος και Β∆ διχοτόmicroος να αποδείξτε ότι
i) Α∆ = 3
β
ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)
ΑΣΚΗΣΗ 23η
Έστω τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ο R) και σηmicroείο Μ το οποίο κινείται στο
ηmicroικύκλιο cap
ΑΒΓ
α) Να βρεθεί το ελάχιστο ( )minΕ και το microέγιστο ( )maxΕ εmicroβαδόν του τετράπλευρου ΑΜΓ∆
συναρτήσει της ακτίνας R
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε θέση του Μ είναι
i) Μ∆2 = ΑΓ ∆Ε όπου Ε η προβολή του Μ στην Β∆
ii) (ΑΜΓ∆) = 2
2Μ∆
γ) Να προσδιορίσετε τη θέση του σηmicroείου Μ όταν (ΑΜΓ∆) = 2
maxmin EE +
ΑΣΚΗΣΗ 24η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ M το microέσο της ΑΒ σηmicroείο Ν της ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΝ = 4
3ΑΓ και
σηmicroείο Κ της ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΚ = 4
1ΒΓ Να βρεθεί ο λόγος των εmicroβαδών του τριγώνου
ΑΒΓ προς του τριγώνου ΜΝΚ
ΑΣΚΗΣΗ 25η
Α) Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι 2
αmicro = βγ και β-γ = 5 2 Το microήκος της πλευράς
α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3
Β) Να δειχθεί ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει η σχέση (222
γβα micromicromicro ++ )2 = 27Ε
2 όπου
Ε το εmicroβαδό του
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
35
ΑΣΚΗΣΗ 26η
Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω περιπτώσεις
όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί να αποτελεί microήκη των
πλευρών του
i) 3 57
ii) 8 4 2
iii) 7 6 85
ΑΣΚΗΣΗ 27η
Αν η διάmicroεσος microα ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν προεκταθεί τέmicroνει τον περιγεγραmicromicroένο κύκλο
στο ∆ να αποδειχθεί ότι microα = Α∆+
2
22 γβ
ΑΣΚΗΣΗ 28η
Από ένα κυκλικό οικόπεδο ακτίνας R=30m θα αποκοπεί κυκλικό τmicroήmicroα χορδής 30 3 m για
την κατασκευή δρόmicroου
i) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου που έmicroεινε
ii) Να βρεθεί η αποζηmicroίωση που θα δοθεί στον ιδιοκτήτη αν η αρχική αξία του οικοπέδου
ήταν 10000000 δρχ
ΑΣΚΗΣΗ 29η
Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι α =13 β = 8 γ = 7
i) Να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς το είδος των γωνιών του
ii) Να υπολογιστεί το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ πάνω στην ΑΒ
iii) Να υπολογιστεί η γωνία and
Α
ΑΣΚΗΣΗ 30η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 4 ΑΓ = 5 ΒΓ = 7 Το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ
πάνω στην ΑΒ είναι Α 5 Β 1 Γ 6 ∆ 2
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 31η
Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (and
Α =90ο) microε
and
Β =60ο και ΒΓ=4 Με κέντρο το Β και
ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ και microε κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΜ
γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν να βρεθούν
i) Η θέση του σηmicroείου Μ στη ΒΓ
ii) Η περίmicroετρος του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
iii) Το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
36
ΑΣΚΗΣΗ 32η
Μια έκταση σχήmicroατος τετραγώνου microε A 30 H 70 ∆
πλευρά 100m πρόκειται να διατεθεί
για κατασκευή εργατικών κατοικιών
Οι κατοικίες θα ανεργεθούν σε τέσσερα 70 30
ίσα τριγωνικά οικόπεδα και η υπόλοιπη Μ
έκταση σχήmicroατος τετραπλεύρου θα
χρησιmicroοποιηθεί ως κοινόχρηστος χώρος Z
για δενδροφύτευση και κατασκευή γηπέδου
microπάσκετ 30 70
α) Να βρεθούν τα εmicroβαδά των τεσσάρων ίσων οικοπέδων
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινόχρηστου χώρου B 70 K 30 Γ
γ) Τι είδους τετράπλευρο είναι ο κοινόχρηστος χώρος Να βρεθούν οι πλευρές του
ΑΣΚΗΣΗ 33η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 90A =
and
και ΑΒ=y ΑΓ=β
Α∆=ν Β∆=micro ΒΓ=x ∆Γ=κ
i) Να συmicroπληρωθούν οι σχέσεις
β2=helliphelliphellip=helliphelliphelliphellip Α
ν2=helliphelliphelliphelliphelliphellip
2
2
βy
=helliphelliphelliphelliphellip βy=helliphelliphelliphellip y ν β
ii) Να δειχθεί ότι 111
222 νβ=+
y Β ν ∆ κ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 34η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroεία ∆Ε της πλευράς ΒΓ έτσι ώστε Β∆=∆Ε=ΕΓ Να απόδειχθεί
ότι
i) 2222 22 ΑΕminusΑ∆=∆ΕminusΑΒ ii)
2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 35η
∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε o90=Α
and
ΑΒ=5cm ΑΓ=12cm Α∆ το ύψος του και ΒΜ
η διάmicroεσος του Προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά ΓΕ=ΒΓ i) Να συγκρίνετε τα
εmicroβαδά των τριγώνων Α∆Γ και ΑΓΕ ii) Να δείξετε ότι η σχέση που συνδέει τα εmicroβαδά των
τριγώνων ΑΒΜ και ΑΒΕ είναι (ΑΒΕ)=4(ΑΒΜ)
ΑΣΚΗΣΗ 36η
Από σηmicroείο Μ εκτός κύκλου φέρνουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΜΕ του κύκλου και τις
τέmicroνουσες ΜΑΒ και ΜΓ∆ Αν είναι ΑΒ=9 ΓΜ=4 Γ∆=5 να υπολογίσετε i) το ΜΑ ii) το
ΜΕ
ΑΣΚΗΣΗ 37η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) ΑΒ microια διάmicroετρος του και Μ τυχαίο σηmicroείο του (διαφορετικό των Α
Β) Αν Γ είναι το microέσο της ΟΑ και ∆ το microέσο της ΟΒ ενώ η ΜΓ τέmicroνει τον κύκλο στο Ε και
η Μ∆ στο Ζ τότε να αποδείξετε ότι3
10=
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
37
Ζ
Ε
ΑΣΚΗΣΗ 38η
Ένα τριγωνικό αγρόκτηmicroα ΑΒΓ χωρίζεται
σε τέσσερα τριγωνικά αγροτεmicroάχια όπως Α
φαίνεται στο σχήmicroα έτσι ώστε ΑΒ=Α∆3
2
ΒΕ= ΒΓ4
1και ΓΖ= ΑΓ
2
1 α) Αν το εmicroβαδό ∆
του ΑΒΓ είναι 48 στρέmicromicroατα να υπολογίσετε το Β
Γ
εmicroβαδό του ∆ΕΖ β) Αν τα ∆ Ε Ζ είναι τα microέσα των ΑΒ
ΒΓ ΑΓ αντίστοιχα να βρεθούν τα εmicroβαδά των
τεσσάρων αγροτεmicroαχίων
ΑΣΚΗΣΗ 39η
∆ίνεται εγγράψιmicroο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ ώστε οι πλευρές του ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α microε τη σειρά
που δίνονται να αποτελούν γεωmicroετρική πρόοδο Να αποδείξετε ότι η διαγώνιος του Β∆ το
χωρίζει σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
ΑΣΚΗΣΗ 40η
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ∆ Ζ Γ
την ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m και
ο90=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος υ
∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο οποίος
θα χωρίσει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆
και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα α) Να βρεθεί
το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆ β) Να
βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο
ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο Α Ε Η Β
ΑΕ∆ δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου
∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
ΑΣΚΗΣΗ 41η
∆ίνεται ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ και τα σηmicroεία του ∆Γ έτσι ώστε ∆Β=Γ∆=ΑΓ Αν
Μ τυχαίο σηmicroείο εκτός του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατοςΑΒ
Να δείξετε ότι 2222 33 ΜΓ+ΜΒ=ΜΒ+ΑΜ
ΑΣΚΗΣΗ 42η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 222 2αγβ =+ Αν η διάmicroεσος ΑΜ τέmicroνει το περιγεγραmicromicroένο
κύκλο του τριγώνου στο ∆ να δείξετε ότι
α) 6
3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
38
ΑΣΚΗΣΗ 43η
Από ένα εξωτερικό σηmicroείο Α κύκλου ( )RΟ φέρουmicroε microια τέmicroνουσα ΑΒΓ έτσι ώστε
ΒΓ=ΑΒ Αν 7R=ΟΑ τότε να δείξετε ότι
i) ΒΓ=ΑΒ =λ3
ii) η γωνία and
ΑΟΓ είναι αmicroβλεία
iii) η προβολή της ΟΓ πάνω στην ΟΑ είναι ίση microε ΟΑ7
2
iv) Να δείξετε ότι ( )( ) 2
1=
ΑΟΓΒΟΓ
και στην συνέχεια να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του τριγώνου
and
ΑΟΓ
v) Να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που ορίζεται από την χορδή ΒΓ και
το microέτρο του τόξου cap
ΒΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
39
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
40
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
12
∆ηλαδή αν Α∆ =υα το ύψος και ΑΜ =microα η διάmicroεσος ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύει
2
22
222 αmicroγβ α +=+
Ανάλογα έχουmicroε και τους ακόλουθους τύπους
2
22
222 γmicroβα γ +=+
22
2222 β
microγα β +=+
Η διαφορά των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ισούται microε το διπλάσιο γινόmicroενο της
τρίτης πλευράς επί την προβολή της αντίστοιχης διαmicroέσου πάνω στην πλευρά αυτή
Μ∆sdot=minus αγβ 222
Σηmicroείωση αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές ή ισόπλευρο τότε το Μ ταυτίζεται microε το ∆ και το 2ο
θεώρηmicroα διαmicroέσων ισχύει ταυτοτικά
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ
Αν δύο χορδές Γ∆ΑΒ ή οι προεκτάσεις τους τέmicroνονται σε ένα σηmicroείο Ρ τότε ισχύει
Ρ∆sdotΡΓ=ΡΒsdotΡΑ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
13
Αν από ένα εξωτερικό σηmicroείο Ρ κύκλου ( )R Ο φέρουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΡΕ
Και microια ευθεία που τέmicroνει τον κύκλο στα σηmicroεία ΒΑ τότε ισχύει η σχέση
Επίσης αν η ευθεία ΡΟ τέmicroνει τον κύκλο στα ∆ Γ και δ=ΟΡ τότε έχουmicroε ότι
Η διαφορά 22 Rminusδ λέγεται δύναmicroη σηmicroείου Ρ ως προς τον κύκλο ( )R Ο και
συmicroβολίζεται
( )2222
RRR minusΟΡ=minus=∆ΡΟ δ
bull Το Ρ είναι εξωτερικό σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 gt∆ΡΟ R
bull Το Ρ είναι εσωτερικό σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 lt∆ΡΟ R
bull Το Ρ είναι σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 =∆ΡΟ R
bull Για να είναι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι εγγράψιmicroο σε κύκλο αν ισχύει η σχέση
Ρ∆sdotΡΓ=ΡΒsdotΡΑ
bull Αν οι διαγώνιοι ενός τετράπλευρου ΑΒΓ∆ τέmicroνονται σε ένα σηmicroείο Κ τότε για να
είναι το τετράπλευρο εγγράψιmicroο σε κύκλο πρέπει να ισχύει η σχέση
Κ∆sdotΚΒ=ΚΓsdotΚΑ
ΡΒsdotΡΑ=ΡΕ2
( )( ) 22 RRR minus=+minus
=Ρ∆sdotΡΓ=ΡΒsdotΡΑ
δδδ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
14
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Οι πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου έχουν microήκη x x+1 και x+2 Η περίmicroετρος του
τριγώνου αυτού είναι
Α 3 Β 6 Γ 10 ∆ 12 Ε 15
Επιλέξτε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε
2 Θεωρούmicroε διάmicroετρο ΑΒ κύκλου (ΟR) και τις κάθετες ακτίνες ΟΓ και Ο∆ Αν Ε και
Ζ οι προβολές των Γ και ∆ αντίστοιχα στην ΑΒ να αποδειχθεί ότι
i) Τα τρίγωνα ΟΕΓ και Ζ∆Ο είναι ίσα
ii) 222 R=ΟΖ+ΟΕ
3 Έστω ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο )90( Οand
=Α και Β∆ η διάmicroεσός του Να αποδειχθεί
ότι 222
4
3ΒΓ=ΑΓ+Β∆
4 Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο ΑΟΒ κύκλου (ΟR) και τη διχοτόmicroο ΟΜ της γωνίας and
ΟΒΑ Από σηmicroείο Γ του τόξου cap
ΑΒ φέρουmicroε ΟΒperpΓ∆ που τέmicroνει την ευθεία
ΟΜ στο σηmicroείο Ε Να αποδειχθεί ότι α) ∆Ε=Ο∆ β) 222 R=∆Ε+∆Γ
5 Αν σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά
τmicroήmicroα Γ∆=2ΒΓ να αποδειχθεί ότι 222 6ΒΓ+ΑΓ=Α∆
6 Αν ∆ σηmicroείο της πλευράς ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) να αποδειχθεί ότι
22 ∆Γsdot∆Β=Α∆minusΑΒ
7 Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω
περιπτώσεις όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί
να αποτελεί microήκη των πλευρών του i) 357 ii) 842 iii) 76 85
8 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ πληρούν τη σχέση 222 βαγ +lt
τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο
9 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ πληρούν τις σχέσεις αltβltγ και 222 βαγ +lt τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο
10 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών ΑΒΓ πληρούν τη σχέση 444 γβα +lt τότε να
αποδειχθεί ότι 90Οand
ltΑ
11 Θεωρούmicroε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και σηmicroείο ∆ της ηmicroιευθείας ΑΒ
τέτοιο ώστε Β∆=ΑΒ Αν ΑΒperpΓΕ και είναι ΑΒ=4ΒΕ να αποδειχθεί ότι
2
3 222 ΑΓ+ΒΓ=Γ∆
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
15
12 Θεωρούmicroε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α τη διχοτόmicroο Γχ της εξωτερικής
γωνίας εξΓ
and
αυτού την κάθετη xΓperpΒΕ και την κάθετη ΑΓperpΕΖ
Να αποδειχθεί ότι i)4
α=ΓΖ ii)
2
7α=ΑΕ
13 Εκατέρωθεν της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ κατασκευάζουmicroε δύο ισόπλευρα
τρίγωνα ΒΓ∆ και ΒΓΕ Να αποδειχθεί ότι 22222 γβα ++=ΑΕ+Α∆
14 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ τα microήκη των πλευρών του οποίου συνδέονται microε τη σχέση
2 222 αγβ =+ Nα αποδειχθεί ότι α) 2
βmicro +2
γmicro =2
2 αmicro
β) 2
3αmicroα =
2
3γmicroβ =
2
3βmicroγ =
15 Θεωρούmicroε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ )90( Οand
=Α και τη διάmicroεσό του ΒΕ
α) Να αποδειχθεί ότι 222
4
3ΒΓ=ΑΓ+ΒΕ β) Αν Α∆ είναι η διάmicroεσος του
τριγώνου ΑΒΓ ΒΕ= 14 και o60=Β∆Α
and
να υπολογιστούν τα microήκη των πλευρών
του τριγώνου ΑΒΓ
16 Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει γβ micromicro perp τότε να αποδειχθεί ότι 222
αγβ micromicromicro =+
17 Αν ΒΒ΄ το ύψος τριγώνου ΑΒΓ microε o90ltΑ
and
και ΑΜ η διάmicroεσός του τότε να
αποδειχθεί ότι 4
22 ΄ΑΒsdotΑΓ+
ΒΓ=ΑΜ
18 Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ )90( Οand
=Α η διάmicroεσος του ΑΜ και ευθεία (ε)
κάθετη στην ΑΜ στο Μ Αν Ρ σηmicroείο της (ε) να αποδειχθεί ότι 222 2ΡΑ=ΡΓ+ΡΒ
19 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ ΑΜ διάmicroεσος η οποία προεκτεινόmicroενη τέmicroνει τον
περιγεγραmicromicroένο κύκλο (ΟR) στο ∆ και Θ το βαρύκεντρο του τριγώνου
Να δειχθεί ότι i)4
2α=Μ∆sdotΜΑ ii)
ΘΟ∆ )( R )(
9
1 222 γβα ++minus=
iii) AB2+AΓ
2=2ΑΜsdotΑ∆
20 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόmicroος του Α∆ Αν οι κύκλοι οι περιγεγραmicromicroένοι στα
τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓ∆ τέmicroνουν τις ΑΓ και ΑΒ στα σηmicroεία Ζ και Ε αντίστοιχα να
αποδειχθεί ότι ΒΕ=ΓΖ
21 Κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι εγγράψιmicroο σε κύκλο Αν το σηmicroείο τοmicroής Μ των
διαγωνίων του είναι microέσο της διαγωνίου Β∆ να αποδειχθεί ότι
i) ΜΓsdotΜΑ=∆Β 42 ii) 2 22222 ΑΓ=∆Α+Γ∆+ΒΓ+ΑΒ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
16
22 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) διαmicroέτρου ΑΒ Από ένα σηmicroείο Γ της προέκτασης της ΑΒ
προς το Β φέρνουmicroε την εφαπτοmicroένη Γ∆ και την ΑΓperpΓx Αν Ε είναι το σηmicroείο
τοmicroής των Α∆ και Γx να αποδειχθεί ότι
i) το τετράπλευρο ∆ΒΓΕ είναι εγγράψιmicroο ii) ΑΕsdotΑ∆minusΓΑ=Γ∆ 22
23 ∆ύο κύκλοι (ΚR) και
Λ2
R
εφάπτονται εσωτερικά στο Α Από ένα σηmicroείο Μ του
κύκλου
Λ2
R
φέρνουmicroε χορδή Γ∆ του κύκλου (ΚR) Να αποδειχθεί ότι
ΜΓΜ∆=ΜΑ2
24 Θεωρούmicroε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α και σηmicroείο ∆ της πλευράς ΒΓ Αν οι
περιγεγραmicromicroένοι κύκλοι στα τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓ∆ τέmicroνουν τις πλευρές ΑΓ και ΑΒ
στα σηmicroεία Ε και Ζ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι ΒΖ+ΓΕ=α
25 Στη διάmicroετρο ΑΒ κύκλου (ΟR) θεωρούmicroε τα σηmicroεία Γ και ∆ έτσι ώστε ΟΓ=Ο∆=α
και microεταβλητό σηmicroείο Μ του κύκλου Αν οι ΜΓ και Μ∆ τέmicroνουν τον κύκλο στα Ε
και Ζ αντίστοιχα να αποδείξετε ότι i) ΜΓΓΕ = Μ∆∆Ζ ii)
ΜΓ2+Μ∆
2 = 2(R
2+α
2) iii) το άθροισmicroα
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
είναι σταθερό
26 Θεωρούmicroε κύκλο (O2α) και σηmicroείο Ρ τέτοιο ώστε ΟΡ=2
3α Φέρουmicroε χορδή ΑΒ η
οποία διέρχεται από το Ρ και είναι τέτοια ώστε ΑΡ=α Να υπολογιστεί το microήκος της
χορδής ΑΒ
27 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) διάmicroετρο ΑΒ και τα microέσα Γ και ∆ των ΟΑ και ΟΒ
αντίστοιχα Από το σηmicroείο Γ φέρουmicroε χορδή ΕΖ = 2
13 Rsdot Να αποδειχθεί ότι
i) ΖΓ2+Ζ∆
2+ΓΕ
2+∆Ε
2=5R
2 ii)
and
Ε∆Ζ = 900
28 Έστω ΑΒ διάmicroετρος κύκλου (ΟR) και ΑΓ Β∆ δύο χορδές που τέmicroνονται στο Ρ Να
αποδειχθεί ότι i) αν οι Α∆ και ΒΓ τέmicroνονται στο Ε τότε το Ρ είναι ορθόκεντρο του
τριγώνου ΕΑΒ ii) ΑΓΑΡ+Β∆ΒΡ=ΑΒ2
29 Τρίγωνο ΑΒΓ microε β2+γ
2=2α
2 Β∆ ΓΕ ύψη ΑΜ διάmicroεσος και Ζ microέσο της ΑΜ Να
αποδειχθεί ότι i)and
Α lt900 ii) AE =
γα2
2
και ΑΜ = 2
3α iii) ΕΖ =
γαβ4
Ζ∆ = β
αγ4
30 Σε τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούmicroε σηmicroεία ∆Ε στην πλευρά ΒΓ ώστε Β∆ = ∆Ε = ΕΓ Να
αποδείξετε ότι i) AB2 ndash 2∆E
2 = 2A∆
2 ndash AE
2 ii) AB
2 + 2AΓ
2 = 3AE
2 +
6∆E2
31 Αν α β γ πλευρές τριγώνου να βρεθεί το είδος του τριγώνου στις παρακάτω περι-
πτώσεις i) α = ν2 + 1 β = 2ν γ = ν
2 ndash 1
ii) α = 4 β = 5 γ = 3
iii) α = 11 β = 13 γ = 12
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
17
32 Αν Ε ∆ Ζ microέσα των ΑΓ ΒΓ Β∆ αντίστοιχα ενός τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε ότι
i) Ε∆=2
1ΑΒ ii) ΕΖ
2 =
16
263 222 βminusγ+α
33 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ = 6 ΑΓ = 8 ΒΓ = 2 37 να αποδειχθεί ότι
i) ο120=Α
and
ii) να βρεθεί το microήκος Α∆ όπου Β∆ ύψος τριγώνου
iii) να βρεθεί το microήκος της διαmicroέσου microα
34 Σε τρίγωνο ΑΒΓ microε πλευρές α = 9 β = 7 γ = 4 να βρείτε i) το είδος του τριγώνου
ii) το microήκος της διαmicroέσου microα iii) την προβολή της διαmicroέσου microα πάνω στην
ΒΓ iv) την προβολή της πλευράς β πάνω στην γ
35 Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ο90=Α
and
ΑΜ διάmicroεσος και Ρ το microέσο
της ΑΜ Στην πλευρά ΒΓ = α παίρνουmicroε σηmicroείο Κ ώστε ΓΚ = 8
5α Να αποδειχθεί
ότι i) ΓΡ2 =
16
5 2α ii) ΡΚ
2 =
64
5 2α iii) ΡΓ = 2ΚΡ
36 Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε ο90=Α
and
α = 25 και β = 20 αν x είναι η προβολή της
πλευράς β πάνω στην πλευρά α τότε
i) η πλευρά γ έχει microήκος Α10 Β12 Γ13 ∆15 Ε21
ii) το ύψος υα έχει microήκος Α9 Β7 Γ12 ∆17 Ε5
iii) το τmicroήmicroα x έχει microήκος Α10 Β12 Γ17 ∆16 Ε21
(Να αιτιολογήσετε την απάντηση)
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
18
ΕΜΒΑ∆Α
ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ
Ας θεωρήσουmicroε ένα πολύγωνο
Ένα σχήmicroα που αποτελείται από πεπερασmicroένο πλήθος πολυγωνικών χωρίων που ανά δύο δεν
έχουν κοινά εσωτερικά σηmicroεία λέγεται πολυγωνική επιφάνεια
Ίσα πολυγωνικά χωρία έχουν ίσα εmicroβαδά
Αν ένα πολυγωνικό χωρίο (ή microια πολυγωνική επιφάνεια) χωρίζεται σε πεπερασmicroένου
πλήθους πολυγωνικά χωρία που δεν έχουν κοινά εσωτερικά σηmicroεία τότε το εmicroβαδόν του
ισούται microε το άθροισmicroα των εmicroβαδών των επιmicroέρους πολυγωνικών χωρίων
Το εmicroβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς 1 είναι 1
∆ύο σχήmicroατα που έχουν το ίδιο εmicroβαδόν ονοmicroάζονται ισεmicroβαδικά ή ισοδύναmicroα
Το πολύγωνο microαζί microε τα εσωτερικά του
στοιχεία ονοmicroάζεται πολυγωνικό χωρίο
Ένα πολυγωνικό χωρίο που ορίζεται από
τρίγωνο τετράγωνοhellipν-γωνο ονοmicroάζεται
τριγωνικό πολυγωνικόhellip ν-γωνικό
∆ύο πολυγωνικά χωρία λέγονται ίσα όταν τα
αντίστοιχα πολύγωνά τους είναι ίσα
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
19
ΕΜΒΑ∆Α ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
Το εmicroβαδόν τετραγώνου πλευράς α δίνεται από τον τύπο 2α=Ε
Το εmicroβαδόν ενός ορθογωνίου ισούται microε το γινόmicroενο των πλευρών του βα sdot=Ε
Το εmicroβαδόν ενός παραλληλογράmicromicroου ισούται microε το γινόmicroενο microιας πλευράς του επί το ύψος
που αντιστοιχεί σε αυτή
βα υβυα sdot=sdot=Ε
Το εmicroβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο microε το ηmicroιγινόmicroενο microιας πλευράς επί το αντίστοιχο ύψος
γβα υγυβυα sdot=sdot=sdot=Ε2
1
2
1
2
1
Το εmicroβαδόν τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο του ηmicroιαθροίσmicroατος των βάσεων του επί το
ύψος του υβsdot
+Β=Ε
2
Το εmicroβαδόν τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο της διαmicroέσου επί το ύψος του
bull Το εmicroβαδόν ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς α είναι ίσο microε 4
32α=Ε
bull Το εmicroβαδόν ρόmicroβου ισούται microε το ηmicroιγινόmicroενο των διαγωνίων του
bull Το εmicroβαδόν οποιουδήποτε κυρτού ή microη κυρτού τετραπλεύρου microε κάθετες διαγωνίους
ισούται microε το ηmicroιγινόmicroενο των διαγωνίων του
bull Η διάmicroεσος κάθε τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
bull Το βαρύκεντρο τριγώνου έχει την ιδιότητα να δηmicroιουργεί microε τις κορυφές του τριγώνου τρία
ισεmicroβαδικά τρίγωνα
bull Το βαρύκεντρου του τριγώνου οι κορυφές του και τα microέσα των πλευρών του ορίζουν έξι
ισεmicroβαδικά τρίγωνα
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
20
ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΕΜΒΑ∆ΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
( )( )( )γτβταττ minusminusminus=Ε όπου 2
γβατ
++= ηmicroιπερίmicroετρος του τριγώνου
ρτ sdot=Ε
R4
γβα sdotsdot=Ε
Γsdotsdot=Βsdotsdot=Αsdotsdot=Ε ηmicroβαηmicroαγηmicroγβ2
1
2
1
2
1
ΕΜΒΑ∆Α ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
Αν δύο τρίγωνα έχουν ίσες βάσεις τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο των
αντίστοιχων υψών ενώ αν έχουν ίσα ύψη τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο
των αντίστοιχων βάσεων
Αν δύο τρίγωνα είναι όmicroοια τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το τετράγωνο του
λόγου οmicroοιότητας
Ο λόγος των εmicroβαδών δύο όmicroοιων πολυγώνων είναι ίσος microε το τετράγωνο του λόγου
οmicroοιότητας
Αν microια γωνία ενός τριγώνου είναι ίση ή παραπληρωmicroατική microε microια γωνία ενός άλλου
τριγώνου τότε ο λόγος των εmicroβαδών των δύο τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο των γινοmicroένων
των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
21
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Αν ΑΒΓ∆ τραπέζιο ( Γ∆ΑΒ ) και Ο το σηmicroείο τοmicroής των διαγωνίων του ΑΓ και
Β∆ να αποδείξετε ότι ΟΑ∆ΟΒΓ Ε=Ε
2 Ένα τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) και ΒΓ=Γ∆=Α∆ και τη βάση ΑΒ κατά 2 microικρότερη
από το άθροισmicroα των τριών αυτών πλευρών Αν το ύψος του τραπεζίου είναι 5 να
υπολογιστεί το εmicroβαδό του
3 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ microε microήκη πλευρών α=10 β=8 γ=14 και ισόπλευρο τρίγωνο
∆ΕΖ το οποίο είναι ισοδύναmicroο microε το ΑΒΓ Το microήκος της πλευράς του ισόπλευρου
τριγώνου ∆ΕΖ είναι
Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20
Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε
4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=2 ΒΗ ύψος και η διάmicroεσος Β∆=1 Αν and
∆ΑΒ =30ο να
υπολογιστούν α) τα ΒΗ Η∆ ΑΗ
β) το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ
5 Με υποτείνουσες τις κάθετες πλευρές ΑΒ και ΑΓ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ microε
β+γ=20 κατασκευάζουmicroε ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓΕ εκτός
αυτού
α) Να αποδείξετε ότι τα σηmicroεία ∆ΑΕ είναι συνευθειακά
β) Να βρείτε το εmicroβαδό του τετραπλεύρου ΒΓΕ∆
6 Προεκτείνουmicroε τις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ ενός τριγώνου ΑΒΓ κατά τmicroήmicroατα
Γ∆=ΓΒ ΑΕ=ΑΓ και ΒΖ=ΒΑ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι (∆ΕΖ) = 7(ΑΒΓ)
7 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Μ στο εσωτερικό του Φέρνουmicroε από το Μ
παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των
σχηmicroατιζόmicroενων τριγώνων και Ε το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε
ότι 321 Ε+Ε+Ε=Ε
8 Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ που τέmicroνει τις πλευρές ΑΒ
και ΑΓ στα σηmicroεία ∆ και Ε αντίστοιχα Να αποδείξετε ότι (ΑΒΕ)2=(ΑΒΓ)(Α∆Ε)
9 Από σηmicroείο ∆ της πλευράς ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη προς την
πλευρά ΒΓ που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των τριγώνων
Α∆Ε Α∆Γ και ΑΒΓ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι 31
2
2 ΕsdotΕ=Ε
10 Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Α΄ της πλευράς του ΒΓ Από τα Β και Γ
φέρνουmicroε παράλληλες προς την ΑΑ΄ που τέmicroνουν τις ευθείες ΑΓ και ΑΒ στα σηmicroεία
Γ΄ και Β΄ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι
α) (ΑΑ΄Γ΄) = (ΑΒΑ΄) και (ΑΑ΄Β΄) = (ΑΓΑ΄)
β) (Α´ô) = (ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
22
11 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ microε ΑΒ=10 Α∆=4 και and
∆ =60ο Στην πλευρά ΑΒ
θεωρούmicroε τα σηmicroεία Ε και Ζ έτσι ώστε ΑΕ=ΕΖ=ΖΒ Αν Η είναι το σηmicroείο τοmicroής των
ευθειών ∆Ε και ΓΖ να υπολογιστούν
α) το εmicroβαδό του παραλληλογράmicromicroου ΑΒΓ∆
β) το εmicroβαδό του τραπεζίου Γ∆ΕΖ
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου ΗΕΖ
12 ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=ΑΓ=6 και ο120=Α
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του
β) Αν Ε σηmicroείο της ΑΓ τέτοιο ώστε ΓΕ=ΑΕ2
1 και Α∆ το ύψος του τριγώνου
ΑΒΓ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ∆ΕΓ
γ) Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει τη ∆Ε στο Η να βρεθεί το εmicroβαδό
του τριγώνου ΑΕΗ
13 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Ρ στο εσωτερικό του Από το Ρ φέρνουmicroε κάθετες
ηmicroιευθείες στις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ και πάνω σrsquo αυτές παίρνουmicroε τα σηmicroεία Α΄
Β΄ και Γ΄ αντίστοιχα έτσι ώστε ΡΑ΄=ΒΓ ΡΒ΄=ΑΓ και ΡΓ΄=ΑΒ Να αποδειχθεί ότι
α) οι γωνίες and
Γ και and
ΒprimeΡΑprime είναι παραπληρωmicroατικές
β) (ΡΑ΄Β΄)=(ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)
14 Θεωρούmicroε τρεις ίσες διαδοχικές γωνίες and
οψx zand
οψ xzand
ο και πάνω στις
ηmicroιευθείες Οx Oψ και Οz τα σηmicroεία Α Β Γ αντίστοιχα έτσι ώστε ΟΑ=1 ΟΒ=4 και
ΟΓ=8
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ψοand
x zand
οψ xzand
ο
β) Αν Οw η αντικείmicroενη ηmicroιευθεία της Οψ και Γ∆ wΟperp να υπολογίσετε τις Ο∆ και
Γ∆
γ) Να υπολογίσετε το (ΟΒΓ)
δ) Να αποδείξετε ότι (ΑΒΓ)= 311
15 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ και Κ Λ Μ Ν τα microέσα των ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α
αντίστοιχα α) Να αποδειχθεί ότι (ΚΛΜΝ)=2
1(ΑΒΓ∆)
β) Αν ΚΜ ΛΝperp να αποδειχθεί ότι (ΑΒΓ∆) = ΚΜΛΝ
16 Λ
Α Β Στο διπλανό σχήmicroα τα σηmicroεία Κ Λ είναι τα
Κ Ρ microέσα των τmicroηmicroάτων ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα
Να αποδείξετε ότι
Γ α) ο λόγος των εmicroβαδών των τριγώνων ΑΚΒ και ΑΛΓ είναι ίσος microε
β) αν Ρ είναι το σηmicroείο τοmicroής των ΛΓ και ΚΒ τότε τα τρίγωνα ΒΛΡ
και ΚΓΡ έχουν ίσα εmicroβαδά
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
23
17 ∆ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) microε ΑΒ=4 Α∆=2 καιο60=∆
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τραπεζίου ΑΒΓ∆
β) Αν Ε σηmicroείο της πλευράς ΑΒ τέτοιο ώστε ΕΒ= ΑΒ4
1 και οι Ε∆ ΕΓ τέmicroνουν τη
διάmicroεσο του τραπεζίου στα σηmicroεία Ζ και Η αντίστοιχα να βρεθεί το εmicroβαδό του
τριγώνου ΕΖΗ
γ) Αν οι ∆Ε και ΒΓ τέmicroνονται στο Ρ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ΡΕΒ
18 Αν οι διαγώνιοι κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓ∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο να αποδείξετε ότι
το τετράπλευρο έχει εmicroβαδό Β∆sdotΑΓ4
1
19 Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται ΑΒ=5 ο60=Α
and
και η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου
κύκλου 3
7=R Να βρεθούν οι άλλες δύο πλευρές του τριγώνου και το εmicroβαδόν του
20
∆ Ζ Γ
υ
Α Ε Η Β
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m
90ο=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος ∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο
οποίος θα χωρίζει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆ και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο
ΑΕ∆
δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου ∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
21 Αν Μ και Ν είναι τα microέσα των πλευρών ΒΓ και Γ∆ ενός παραλληλόγραmicromicroου ΑΒΓ∆
να αποδείξετε ότι (ΑΜΝ)= )(8
3ΑΒΓ∆
22 Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) θεωρούmicroε το microέσο Μ της πλευράς ΑΒ
και σηmicroείο Ν της πλευράς ΑΓ τέτοιο ώστε 3
ΑΓ=ΓΝ Να δειχθεί ότι
(ΜΝΒ)= )(3
1ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
24
23 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και τυχαίο σηmicroείο Σ στην προέκταση της πλευράς
∆Γ προς το Γ Να αποδείξετε ότι
α) (ΑΒ∆)= )(2
1ΑΒΓ∆
β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)
γ) αν η ΑΣ τέmicroνει την Β∆ στο σηmicroείο Ε τότε (Ε∆Σ)-(ΕΑΒ)=(ΣΒΓ)
24 Έστω Σ τυχαίο σηmicroείο της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ Στο σηmicroείο Α φέρουmicroε
microια ευθεία ε κάθετη στην ΑΣ Αν ∆ και Ε είναι αντίστοιχα οι προβολές των σηmicroείων
Β και Γ στην ευθεία ε να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ∆ΣΕ είναι ισοδύναmicroα
25 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 8=ΑΒ 12=ΑΓ και η Α∆ διχοτόmicroος της γωνίας and
Α Αν
( )ΑΒ∆ =20 τmicro να βρείτε το ( )ΑΒΓ
26 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ∆ σηmicroείο της πλευράς ΑΒέτσι ώστε 6=Α∆ ∆Β=5
8=ΑΓ Αν 80=Α
and
να βρείτε το εmicroβαδόν του τριγώνου Β∆Γ
27 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ microε 90=Β
and
και η γωνία and
Α να είναι το 3
1 της ορθής Αν
∆ σηmicroείο της προέκτασης της πλευράς ΒΓ προς το Γ τέτοιο ώστε η 30=Α∆Β
and
να
βρεθεί ο λόγος ( )( )ΑΒ∆ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
25
ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ
ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ
Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του
ίσες
Γωνία κανονικού ν-γώνου ν
φν
360
180 minus=
Κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου ν
ων
360=
Σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας R ισχύουν οι εξής τύποι 2
22
4R=+ ν
ν
λα
νν λν sdot=Ρ
ννν αsdotΡ=Ε2
1
όπου να απόστηmicroα νλ πλευρά νΡ περίmicroετρος νΕ εmicroβαδόν
∆ύο κανονικά πολύγωνα microε τον ίδιο αριθmicroό πλευρών είναι όmicroοια
Κάθε κανονικό πολύγωνο εγγράφεται σε έναν κύκλο και περιγράφεται σε έναν άλλον Οι δύο
αυτοί κύκλοι είναι οmicroόκεντροι
bull Το κοινό κέντρο τον κύκλων αυτών λέγεται κέντρο του πολυγώνου
bull Η ακτίνα R του περιγεγραmicromicroένου κύκλου λέγεται ακτίνα του πολυγώνου
bull Η απόσταση του κέντρου από microια πλευρά του δηλαδή η ακτίνα του εγγεγραmicromicroένου
κύκλου λέγεται απόστηmicroα του πολυγώνου
Σε δύο κανονικά ν-γωνα ο λόγος των πλευρών τους ισούται microε το λόγο των ακτινών τους και
το λόγο των αποστηmicroάτων τους
∆ηλαδή
ν
ν
ν
ν
αα
λλ
==R
R
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
26
ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ
ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ
ΚΑΝΟΝΙΚΟ
ΕΞΑΓΩΝΟ
ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ
ΤΡΙΓΩΝΟ
ΠΛΕΥΡΑ νλ 24 R=λ R=6λ 33 R=λ
ΑΠΟΣΤΗΜΑ να
2
24
R=α
2
36
R=α
23
R=α
RL sdot= π2
180
microπ sdotsdot=
Rl ή Rl sdot=α
180
microαπ
=
2Rsdot=Ε π
( )360
2 microπ sdotsdot=ΟΑΒ
cap R ή ( )
cap
sdot=ΟΑΒ 2
2
1Rα
( ) ( )ΟΑΒminusΟΑΒ=cap
ε
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
27
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Ένα κανονικό εξάγωνο είναι περιγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ορ) Η πλευρά του
εξαγώνου αυτού είναι
Α ρ Β 2
3ρ Γ 2ρ ∆
3
32ρ Ε
3
2ρ
2 ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και στις προεκτάσεις των
πλευρών ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α θεωρούmicroε τα τmicroήmicroατα ΒΚ=ΓΛ=∆Μ=ΑΝ=λ3 Να δείξετε
ότι το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο και ότι η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου κύκλου του
είναι 641 += RR
3 Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε δύο παράλληλες χορδές ΑΒ=λ4 και Γ∆=λ6 Να
αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι ισοσκελές τραπέζιο και να υπολογιστεί
το εmicroβαδό του ως συνάρτηση της ακτίνας R
4 Η περίmicroετρος ενός κυκλικού τοmicroέα ΟΑΒ ενός κύκλου (ΟR) είναι 6+π Αν
ο60=ΒΟΑand
τότε το microήκος της ακτίνας R είναι
Α 6 Β 3 Γ 2 ∆ 4 Ε 5 (δικαιολογήστε την απάντησή σας)
5 Έστω τεταρτοκύκλιο ΟΑΒ ακτίνας R και ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΟΒ στο εσωτερικό
του Να βρείτε το εmicroβαδό και την περίmicroετρο του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΑΒ
6 Έστω δύο κύκλοι (ΟR) και (Ο΄R) των οποίων η διάmicroετρος ΟΟ΄ έχει microήκος
ΟΟ΄=R 3 α) Να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι τέmicroνονται
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινού microέρους των δύο κύκλων
7 Το εmicroβαδό κυκλικού τοmicroέα 80ο είναι 8π Η ακτίνα του κύκλου είναι
Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15
8 Τετράγωνο ΑΒΓ∆ είναι εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και η ηmicroιπερίmicroετρος του
είναι 80cm Να υπολογιστούν
α) η ακτίνα R του κύκλου
β) ο λόγος του εmicroβαδού του κύκλου προς το εmicroβαδό του τετραγώνου
9 Στο εσωτερικό ηmicroικυκλίου διαmicroέτρου ΑΟΒ=2R γράφουmicroε ηmicroικύκλια microε
διαmicroέτρους ΟΑ και ΟΒ Να υπολογιστεί το microήκος και το εmicroβαδό του κύκλου που
εφάπτεται των τριών ηmicroικυκλίων
10 ∆ύο κύκλοι (Ο3R) και (Ο΄R) εφάπτονται εξωτερικά στο σηmicroείο Α Φέρουmicroε την
κοινή εξωτερική εφαπτόmicroενη ΒΓ αυτών Να βρεθεί το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου
τριγώνου ΑΒΓ και του περιγεγραmicromicroένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ
11 Έστω ο κύκλος (ΟR) και microια ακτίνα του ΟΑ Στην ηmicroιευθεία ΟΑ θεωρούmicroε
σηmicroείοΒ έτσι ώστε ΑΒ=ΑΟ Αν ΒΓ η εφαπτοmicroένη του κύκλου να βρεθεί το
εmicroβαδό α) του τριγώνου ΟΒΓ και β) του microικτόγραmicromicroου τριγώνου
ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
28
12 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=λ3 και Γ∆=λ6
προς το ίδιο microέρος του κέντρου Ο α) Να εκφράσετε τις χορδές ΑΒ και Γ∆ ως
συνάρτηση της ακτίνας R β) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό Ε1 του κυκλικού τmicroήmicroατος
που αντιστοιχεί στη χορδή Γ∆ γ) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό του τριγώνου ΟΑΒ
δ) Να βρείτε την περίmicroετρο και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τραπεζίου που έχει
κορυφές τα ΑΒΓ∆
13 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) χορδή ΑΒ=R την εφαπτοmicroένη ε του κύκλου στο σηmicroείο
Α και τη εperpΒΓ Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του τραπεζίου ΟΑΓΒ
β) το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
14 ∆ίνεται ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΑΒ και στο εσωτερικό του τα ηmicroικύκλια διαmicroέτρων
ΑΓ και ΓΒ όπου Γ σηmicroείο microεταξύ των Α και Β Αν κάθετη της ΑΒ στο Γ τέmicroνει το
αρχικό ηmicroικύκλιο στο ∆ να αποδείξετε ότι το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται
microεταξύ των τριών ηmicroικυκλίων είναι ίσο microε το εmicroβαδό του κύκλου διαmicroέτρου Γ∆
15 Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ο60=Β
and
και ΒΓ=α Με
κέντρο το Β και ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει τη ΒΓ στο Μ και microε κέντρο
το Γ και ακτίνα ΓΜ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν Να βρεθεί η
περίmicroετρος και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
16 Με κέντρο ένα σηmicroείο Κ κύκλου (ΟR) και ακτίνα ίση προς R 3 γράφουmicroε
κύκλο ο οποίος τέmicroνει τον (ΟR) στα σηmicroεία Α και Β Να υπολογιστούν η
περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου microηνίσκου
17 ∆ίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ΒΓ = 2R
Γράφουmicroε ηmicroικύκλιο microε διάmicroετρο ΒΓ εκτός τριγώνου και τόξο κύκλου (Α ΑΒ) microε
άκρα Β και Γ Να βρεθεί η περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου
microηνίσκου από το ηmicroικύκλιο και το τόξο αυτό
18 Ένα ορθογώνιο σπίτι microε διαστάσεις α = 20m και β = 10m έχει microια εξωτερική
πρίζα σε microια γωνία του Ένα χορτοκοπτικό microηχάνηmicroα συνδεδεmicroένο microε την πρίζα
έχει καλώδιο microε microήκος 15m Να βρεθεί το εmicroβαδόν της microεγαλύτερης επιφάνειας
του χόρτου που microπορεί να κοπεί
19 Σε κύκλο ακτίνας R = 4cm είναι εγγεγραmicromicroένο ισόπλευρο τρίγωνο
Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του κύκλου
β) την πλευρά του τριγώνου
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου
δ) το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται microεταξύ του κύκλου και του τριγώνου
20 Σε κύκλο microε διάmicroετρο ΑΒ φέρουmicroε τις χορδές ΜΒΑΜ Αν είναι 6=ΑΜ και
8=ΒΜ να βρεθεί η ακτίνα και το εmicroβαδόν του κύκλου
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
29
21 Να βρεθεί το εmicroβαδόν του καθενός από τα δύο microέρη στα οποία διαιρείται ένας
κύκλος ( )RΟ από την πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραmicromicroένου στον κύκλο
αυτόν
22 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και φέρουmicroε δύο κάθετες ακτίνες ΟΑ και ΟΒ Με
κέντρο το Α και ακτίνα R γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει το cap
AB στο σηmicroείο Γ Να
βρεθεί το εmicroβαδόν του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΒΓ
23 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και τόξο 60=ΑΒ
cap
Φέρουmicroε στο σηmicroείο Α την
εφαπτοmicroένη χΑ του κύκλου και την χΑperpΒΓ Να βρεθεί το εmicroβαδόν του
microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
30
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΗ 1η
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α∆ διχοτόmicroος Β∆ = 2 Γ∆ = 3 και 2τ = 15 (περίmicroετρος) η πλευρά
ΑΒ είναι
Α 3 Β 4 Γ 5 ∆ 6 Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 2η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 3α2 + 2γ
2 = 2β
2 Τότε
i) Α and
Α gt90ο Β
and
Β gt 90ο Γ
and
Β lt 90ο ∆
and
Γ gt 90ο Ε Κανένα από τα παραπάνω
ii) Η προβολή της διαmicroέσου microα στην ΒΓ ισούται microε
Α 4
a Β
2
a Γ
4
3a ∆
2
3a Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 3η
Αν ΑΒΓ∆ τετράγωνο πλευράς α και Ε microέσο του Α∆ τότε
i) ΒΕ =2
5α Σ Λ
ii) Ο λόγος ΒΕΕΖ
ισούται microε
Α 5
2 Β
4
5 Γ
4
1 ∆
5
1 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
Α Β
E
Z
∆ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 4η
Αν τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=4 ΒΓ=5 ΑΓ=6 και Α∆ διχοτόmicroος τότε
i) -Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο Σ Λ
- Ο λόγος ∆Γ∆Β
ισούται microε
Α 2
1 Β
3
1 Γ
3
2 ∆
4
3 Ε
2
3
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ii) Αν ε η προβολή του Α στην ΒΓ να υπολογίσετε το microήκος του ΒΕ
iii) Να αποδείξετε ότι 2
1=
∆Γ∆Ε
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
31
ΑΣΚΗΣΗ 5η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και Μ το microέσο της Α∆ Προεκτείνουmicroε τη ∆Γ προς το Γ
κατά ΓΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΒΜ)=2
)(ΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τραπεζίου ΑΒΕ∆ είναι οκταπλάσιο από το εmicroβαδόν του
τριγώνου ΑΒΜ
ΑΣΚΗΣΗ 6η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναιuα =3ρ όπου ρ του εγγεγραmicromicroένου κύκλου του τριγώνου Ο λόγος
αγβ +
ισούται microε Α 2 Β 3 Γ 3
1 ∆
2
3 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ΑΣΚΗΣΗ 7η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάmicroεσός του Α∆ Προεκτείνουmicroε την ΒΑ προς το Α κατά τmicroήmicroα
ΑΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι (ΒΕ∆)=3(Α∆Γ)
ΑΣΚΗΣΗ 8η
Στο εσωτερικό της αυλής ενός σπιτιού υπάρχει microικρός κήπος microε λαχανικά όπως στο
ακόλουθο σχήmicroα Αν το εmicroβαδόν του κήπου είναι 122m και οι διαστάσεις της αυλής είναι
12m και 13m να βρεθεί το x Αν θέλουmicroε να περιφράξουmicroε τον κήπο microε σύρmicroα πόσο σύρmicroα
θα χρειαστούmicroε
12m
13m
ΑΣΚΗΣΗ 9η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ Από τυχαίο σηmicroείο Ε της ΑΓ φέρουmicroε ευθεία παράλληλη
προς την Α∆ που τέmicroνει την Γ∆ στο Ζ Να αποδείξετε ότι
i) (Α∆Ζ)=(ΑΕΒ)
ii) (ΑΕΖ)=(ΒΕΓ)-(ΖΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 10η
Οι διάmicroεσοι Β∆ και ΓΕ τριγώνου ΑΒΓ τέmicroνονται στο Θ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΕ∆)=4
)(ΑΒΓ
ii) (ΒΘΓ)= 3
)(ΑΒΓ
iii)(ΑΕ∆)= (ΒΚΛΓ) όπου Κ Λ τα microέσα των ΒΘ και ΓΘ αντίστοιχα
x
x x
x
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
32
ΑΣΚΗΣΗ 11η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε τη διχοτόmicroο Α∆ Από το ∆ φέρνουmicroε παράλληλη προς την ΑΒ
που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει την προέκταση της
∆Ε στο Ζ να αποδείξετε ότι
α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)
β) β2(ΑΕΖ) = γ
2(∆ΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 12η
Θεωρούmicroε γωνία yxand
Α και σηmicroείο Ο της διχοτόmicroου της Αδ Αν ο κύκλος (ΟΟΑ) τέmicroνει τις
Οx Οy στα Β Γ αντίστοιχα και την Αδ στο ∆ να αποδείξετε ότι
α) (ΟΑΒ)=(ΟΑΓ)
β) (ΒΟΓ∆)=(ΑΒ∆)
γ) (ΒΟΓ∆)=2
1(ΟΑ)(ΒΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 13η
Από εσωτερικό σηmicroείο Μ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλες προς τις
πλευρές ΑΓ και ΑΒ που τέmicroνουν τις ΑΒ ΑΓ στα ∆ Ζ αντίστοιχα Αν (ΒΜ)=x (ΒΓ)=α
(Β∆Μ)=Ε1 (ΓΖΜ)=Ε2 και (ΑΒΓ)=Ε τότε
α) Να εκφράσετε ως συναρτήσεις των x και α τους λόγους Ε
Ε1 και Ε
Ε2
β) Να αποδείξετε ότι ΕgeΕ+Ε2
121
ΑΣΚΗΣΗ 14η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=Γ∆=λ3
Να βρεθεί
i) Η περίmicroετρος του ΑΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που αντιστοιχεί στη χορδή ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 15η
Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε τα διαδοχικά σηmicroεία Α Β Γ και ∆ ώστε ΑΒ=ΒΓ=Γ∆= R Να
βρεθεί
i) H περίmicroετρος του τριγώνου ΑΒ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τριγώνου ΒΓ∆
iii) Ο λόγος )(
)(
ΒΓ∆ΑΒ∆
ΑΣΚΗΣΗ 16η
∆ίνεται τεταρτοκύκλιο Οand
ΒΓ ακτίνας R
α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΓΒ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε δύο ισεmicroβαδικά χωρία
β) Αν ∆ σηmicroείο του τόξου ΒΓ να αποδείξετε ότι η ευθεία Γ∆ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
γ) Να βρείτε σηmicroείο Α της ακτίνας ΟΒ ώστε η ευθεία ΓΑ να χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
33
ΑΣΚΗΣΗ 17η
Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο Ο cap
ΒΓ ακτίνας R Σηmicroείο Α κινείται πάνω στο τόξο cap
ΒΓ και έστω
Κ το σηmicroείο τοmicroής της ακτίνας ΟΑ microε τη ΒΓ Να βρείτε το microήκος του τόξου cap
ΒΑ όταν το
εmicroβαδό του τριγώνου ΟΚΓ ισούται microε το εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα
τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΒ και το τόξο cap
ΒΑ
ΑΣΚΗΣΗ 18η
∆ίνεται ηmicroικύκλιο κέντρου Ο microε διάmicroετρο ΑΑ1=2R Έστω Β σηmicroείο του ηmicroικυκλίου microε
( 1ΑΟΒand
)=φ microοίρες και ΟΓ ακτίνα που τέmicroνει τη χορδή ΑΒ στο Κ
α) Να βρείτε το microήκος S του τόξου cap
ΑΓ όταν το εmicroβαδόν του τριγώνου ΟΚΒ ισούται microε το
εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΓ και το τόξοcap
ΑΓ
β) Αν η γωνία 1ΑΟΒand
είναι 150ο πόσο είναι το S
γ) Για ποια τιmicroή του φ το S γίνεται microέγιστο
Β
Γ
φ
Α1 Α
ΑΣΚΗΣΗ 19η
Η περίmicroετρος ρόmicroβου ΑΒΓ∆ πλευράς α και κέντρου Ο είναι τετραπλάσια της microικρής
διαγωνίου του Β∆
i) Να υπολογιστεί συναρτήσει του α το εmicroβαδόν του Ε
ii) Φέρουmicroε Α∆perpΟΗ και Γ∆perpΟΖ Αν η ΑΖ τέmicroνει τον κύκλο διαmicroέτρου Ο∆ στο Θ να
δειχθεί ότι 2
3Ε=ΑΖsdotΑΘ
ΑΣΚΗΣΗ 20η
Το περίγραmicromicroα της βάσης ενός microεγάλου λόφου σχηmicroατίζει τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=γ ΑΓ=β
όπου βgtγ και στο οποίο η διάmicroεσος ΑΜ και το ύψος Α∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο ∆ίπλα στην
πλευρά ΑΓ υπάρχει ορθογώνιος ιδιωτικός χώρος διαστάσεων 2
γβ +και β-γ Σrsquo αυτόν το
χώρο πρόκειται να κατασκευαστεί ένας microεγάλος ανισόπεδος κόmicroβος που θα συνδέει δύο
δρόmicroους ταχείας κυκλοφορίας Γιrsquo αυτούς τους λόγους προτείνεται στον ιδιοκτήτη να δεχτεί
να ανταλλάξει αυτόν τον χώρο microε άλλον ορθογώνιο χώρο του δηmicroοσίου που βρίσκεται δίπλα
στην πλευρά ΒΓ και έχει διαστάσεις τα microήκη των ΒΓ και 2
ΑΜ Ο ιδιοκτήτης δηλώνει ότι θα
συmicroφωνήσει microε την πρόταση αρκεί οι ανταλλάξιmicroοι χώροι να έχουν την ίδια έκταση
Πρακτικά όmicroως είναι αδύνατον να microετρήσει την πλευρά ΒΓ και τη διάmicroεσο ΑΜ γιrsquo αυτό και
διστάζει Πως θα σκεφτόσαστε εσείς να βοηθήσετε τον ιδιοκτήτη να αποφασίσει
Κ
Ο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
34
ΑΣΚΗΣΗ 21η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε β=2γ και η διάmicroεσος του Β∆ Φέρουmicroε Β∆perpΑx που τέmicroνει την
Β∆ στο Ε και την ΒΓ στο Ζ και ΕyΑΓ που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ Να αποδείξετε ότι
i) ZB= 2
1ZΓ
ii) (ΑΒΓ)=3(ΑΒΖ)
iii) Να αποδειχθεί ότι 8
3
)(
)(=
ΑΒΖΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΗ 22η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε α=2γ και β= 7γ
α) i) Να αποδείξετε ότι 2
3αmicroα =
ii) Να βρείτε το είδος της γωνίας and
Β
iii) Αν ΑΕ perp ΒΓ να υπολογίσετε το ΒΕ συναρτήσει του γ
iv) Να βρείτε τη γωνία and
Β
β) Αν ΑΜ διάmicroεσος και Β∆ διχοτόmicroος να αποδείξτε ότι
i) Α∆ = 3
β
ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)
ΑΣΚΗΣΗ 23η
Έστω τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ο R) και σηmicroείο Μ το οποίο κινείται στο
ηmicroικύκλιο cap
ΑΒΓ
α) Να βρεθεί το ελάχιστο ( )minΕ και το microέγιστο ( )maxΕ εmicroβαδόν του τετράπλευρου ΑΜΓ∆
συναρτήσει της ακτίνας R
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε θέση του Μ είναι
i) Μ∆2 = ΑΓ ∆Ε όπου Ε η προβολή του Μ στην Β∆
ii) (ΑΜΓ∆) = 2
2Μ∆
γ) Να προσδιορίσετε τη θέση του σηmicroείου Μ όταν (ΑΜΓ∆) = 2
maxmin EE +
ΑΣΚΗΣΗ 24η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ M το microέσο της ΑΒ σηmicroείο Ν της ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΝ = 4
3ΑΓ και
σηmicroείο Κ της ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΚ = 4
1ΒΓ Να βρεθεί ο λόγος των εmicroβαδών του τριγώνου
ΑΒΓ προς του τριγώνου ΜΝΚ
ΑΣΚΗΣΗ 25η
Α) Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι 2
αmicro = βγ και β-γ = 5 2 Το microήκος της πλευράς
α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3
Β) Να δειχθεί ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει η σχέση (222
γβα micromicromicro ++ )2 = 27Ε
2 όπου
Ε το εmicroβαδό του
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
35
ΑΣΚΗΣΗ 26η
Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω περιπτώσεις
όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί να αποτελεί microήκη των
πλευρών του
i) 3 57
ii) 8 4 2
iii) 7 6 85
ΑΣΚΗΣΗ 27η
Αν η διάmicroεσος microα ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν προεκταθεί τέmicroνει τον περιγεγραmicromicroένο κύκλο
στο ∆ να αποδειχθεί ότι microα = Α∆+
2
22 γβ
ΑΣΚΗΣΗ 28η
Από ένα κυκλικό οικόπεδο ακτίνας R=30m θα αποκοπεί κυκλικό τmicroήmicroα χορδής 30 3 m για
την κατασκευή δρόmicroου
i) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου που έmicroεινε
ii) Να βρεθεί η αποζηmicroίωση που θα δοθεί στον ιδιοκτήτη αν η αρχική αξία του οικοπέδου
ήταν 10000000 δρχ
ΑΣΚΗΣΗ 29η
Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι α =13 β = 8 γ = 7
i) Να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς το είδος των γωνιών του
ii) Να υπολογιστεί το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ πάνω στην ΑΒ
iii) Να υπολογιστεί η γωνία and
Α
ΑΣΚΗΣΗ 30η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 4 ΑΓ = 5 ΒΓ = 7 Το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ
πάνω στην ΑΒ είναι Α 5 Β 1 Γ 6 ∆ 2
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 31η
Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (and
Α =90ο) microε
and
Β =60ο και ΒΓ=4 Με κέντρο το Β και
ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ και microε κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΜ
γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν να βρεθούν
i) Η θέση του σηmicroείου Μ στη ΒΓ
ii) Η περίmicroετρος του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
iii) Το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
36
ΑΣΚΗΣΗ 32η
Μια έκταση σχήmicroατος τετραγώνου microε A 30 H 70 ∆
πλευρά 100m πρόκειται να διατεθεί
για κατασκευή εργατικών κατοικιών
Οι κατοικίες θα ανεργεθούν σε τέσσερα 70 30
ίσα τριγωνικά οικόπεδα και η υπόλοιπη Μ
έκταση σχήmicroατος τετραπλεύρου θα
χρησιmicroοποιηθεί ως κοινόχρηστος χώρος Z
για δενδροφύτευση και κατασκευή γηπέδου
microπάσκετ 30 70
α) Να βρεθούν τα εmicroβαδά των τεσσάρων ίσων οικοπέδων
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινόχρηστου χώρου B 70 K 30 Γ
γ) Τι είδους τετράπλευρο είναι ο κοινόχρηστος χώρος Να βρεθούν οι πλευρές του
ΑΣΚΗΣΗ 33η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 90A =
and
και ΑΒ=y ΑΓ=β
Α∆=ν Β∆=micro ΒΓ=x ∆Γ=κ
i) Να συmicroπληρωθούν οι σχέσεις
β2=helliphelliphellip=helliphelliphelliphellip Α
ν2=helliphelliphelliphelliphelliphellip
2
2
βy
=helliphelliphelliphelliphellip βy=helliphelliphelliphellip y ν β
ii) Να δειχθεί ότι 111
222 νβ=+
y Β ν ∆ κ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 34η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroεία ∆Ε της πλευράς ΒΓ έτσι ώστε Β∆=∆Ε=ΕΓ Να απόδειχθεί
ότι
i) 2222 22 ΑΕminusΑ∆=∆ΕminusΑΒ ii)
2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 35η
∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε o90=Α
and
ΑΒ=5cm ΑΓ=12cm Α∆ το ύψος του και ΒΜ
η διάmicroεσος του Προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά ΓΕ=ΒΓ i) Να συγκρίνετε τα
εmicroβαδά των τριγώνων Α∆Γ και ΑΓΕ ii) Να δείξετε ότι η σχέση που συνδέει τα εmicroβαδά των
τριγώνων ΑΒΜ και ΑΒΕ είναι (ΑΒΕ)=4(ΑΒΜ)
ΑΣΚΗΣΗ 36η
Από σηmicroείο Μ εκτός κύκλου φέρνουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΜΕ του κύκλου και τις
τέmicroνουσες ΜΑΒ και ΜΓ∆ Αν είναι ΑΒ=9 ΓΜ=4 Γ∆=5 να υπολογίσετε i) το ΜΑ ii) το
ΜΕ
ΑΣΚΗΣΗ 37η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) ΑΒ microια διάmicroετρος του και Μ τυχαίο σηmicroείο του (διαφορετικό των Α
Β) Αν Γ είναι το microέσο της ΟΑ και ∆ το microέσο της ΟΒ ενώ η ΜΓ τέmicroνει τον κύκλο στο Ε και
η Μ∆ στο Ζ τότε να αποδείξετε ότι3
10=
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
37
Ζ
Ε
ΑΣΚΗΣΗ 38η
Ένα τριγωνικό αγρόκτηmicroα ΑΒΓ χωρίζεται
σε τέσσερα τριγωνικά αγροτεmicroάχια όπως Α
φαίνεται στο σχήmicroα έτσι ώστε ΑΒ=Α∆3
2
ΒΕ= ΒΓ4
1και ΓΖ= ΑΓ
2
1 α) Αν το εmicroβαδό ∆
του ΑΒΓ είναι 48 στρέmicromicroατα να υπολογίσετε το Β
Γ
εmicroβαδό του ∆ΕΖ β) Αν τα ∆ Ε Ζ είναι τα microέσα των ΑΒ
ΒΓ ΑΓ αντίστοιχα να βρεθούν τα εmicroβαδά των
τεσσάρων αγροτεmicroαχίων
ΑΣΚΗΣΗ 39η
∆ίνεται εγγράψιmicroο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ ώστε οι πλευρές του ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α microε τη σειρά
που δίνονται να αποτελούν γεωmicroετρική πρόοδο Να αποδείξετε ότι η διαγώνιος του Β∆ το
χωρίζει σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
ΑΣΚΗΣΗ 40η
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ∆ Ζ Γ
την ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m και
ο90=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος υ
∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο οποίος
θα χωρίσει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆
και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα α) Να βρεθεί
το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆ β) Να
βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο
ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο Α Ε Η Β
ΑΕ∆ δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου
∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
ΑΣΚΗΣΗ 41η
∆ίνεται ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ και τα σηmicroεία του ∆Γ έτσι ώστε ∆Β=Γ∆=ΑΓ Αν
Μ τυχαίο σηmicroείο εκτός του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατοςΑΒ
Να δείξετε ότι 2222 33 ΜΓ+ΜΒ=ΜΒ+ΑΜ
ΑΣΚΗΣΗ 42η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 222 2αγβ =+ Αν η διάmicroεσος ΑΜ τέmicroνει το περιγεγραmicromicroένο
κύκλο του τριγώνου στο ∆ να δείξετε ότι
α) 6
3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
38
ΑΣΚΗΣΗ 43η
Από ένα εξωτερικό σηmicroείο Α κύκλου ( )RΟ φέρουmicroε microια τέmicroνουσα ΑΒΓ έτσι ώστε
ΒΓ=ΑΒ Αν 7R=ΟΑ τότε να δείξετε ότι
i) ΒΓ=ΑΒ =λ3
ii) η γωνία and
ΑΟΓ είναι αmicroβλεία
iii) η προβολή της ΟΓ πάνω στην ΟΑ είναι ίση microε ΟΑ7
2
iv) Να δείξετε ότι ( )( ) 2
1=
ΑΟΓΒΟΓ
και στην συνέχεια να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του τριγώνου
and
ΑΟΓ
v) Να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που ορίζεται από την χορδή ΒΓ και
το microέτρο του τόξου cap
ΒΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
39
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
40
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
13
Αν από ένα εξωτερικό σηmicroείο Ρ κύκλου ( )R Ο φέρουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΡΕ
Και microια ευθεία που τέmicroνει τον κύκλο στα σηmicroεία ΒΑ τότε ισχύει η σχέση
Επίσης αν η ευθεία ΡΟ τέmicroνει τον κύκλο στα ∆ Γ και δ=ΟΡ τότε έχουmicroε ότι
Η διαφορά 22 Rminusδ λέγεται δύναmicroη σηmicroείου Ρ ως προς τον κύκλο ( )R Ο και
συmicroβολίζεται
( )2222
RRR minusΟΡ=minus=∆ΡΟ δ
bull Το Ρ είναι εξωτερικό σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 gt∆ΡΟ R
bull Το Ρ είναι εσωτερικό σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 lt∆ΡΟ R
bull Το Ρ είναι σηmicroείο του κύκλου ( )R Ο αν και microόνο αν ( ) 0 =∆ΡΟ R
bull Για να είναι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι εγγράψιmicroο σε κύκλο αν ισχύει η σχέση
Ρ∆sdotΡΓ=ΡΒsdotΡΑ
bull Αν οι διαγώνιοι ενός τετράπλευρου ΑΒΓ∆ τέmicroνονται σε ένα σηmicroείο Κ τότε για να
είναι το τετράπλευρο εγγράψιmicroο σε κύκλο πρέπει να ισχύει η σχέση
Κ∆sdotΚΒ=ΚΓsdotΚΑ
ΡΒsdotΡΑ=ΡΕ2
( )( ) 22 RRR minus=+minus
=Ρ∆sdotΡΓ=ΡΒsdotΡΑ
δδδ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
14
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Οι πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου έχουν microήκη x x+1 και x+2 Η περίmicroετρος του
τριγώνου αυτού είναι
Α 3 Β 6 Γ 10 ∆ 12 Ε 15
Επιλέξτε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε
2 Θεωρούmicroε διάmicroετρο ΑΒ κύκλου (ΟR) και τις κάθετες ακτίνες ΟΓ και Ο∆ Αν Ε και
Ζ οι προβολές των Γ και ∆ αντίστοιχα στην ΑΒ να αποδειχθεί ότι
i) Τα τρίγωνα ΟΕΓ και Ζ∆Ο είναι ίσα
ii) 222 R=ΟΖ+ΟΕ
3 Έστω ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο )90( Οand
=Α και Β∆ η διάmicroεσός του Να αποδειχθεί
ότι 222
4
3ΒΓ=ΑΓ+Β∆
4 Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο ΑΟΒ κύκλου (ΟR) και τη διχοτόmicroο ΟΜ της γωνίας and
ΟΒΑ Από σηmicroείο Γ του τόξου cap
ΑΒ φέρουmicroε ΟΒperpΓ∆ που τέmicroνει την ευθεία
ΟΜ στο σηmicroείο Ε Να αποδειχθεί ότι α) ∆Ε=Ο∆ β) 222 R=∆Ε+∆Γ
5 Αν σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά
τmicroήmicroα Γ∆=2ΒΓ να αποδειχθεί ότι 222 6ΒΓ+ΑΓ=Α∆
6 Αν ∆ σηmicroείο της πλευράς ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) να αποδειχθεί ότι
22 ∆Γsdot∆Β=Α∆minusΑΒ
7 Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω
περιπτώσεις όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί
να αποτελεί microήκη των πλευρών του i) 357 ii) 842 iii) 76 85
8 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ πληρούν τη σχέση 222 βαγ +lt
τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο
9 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ πληρούν τις σχέσεις αltβltγ και 222 βαγ +lt τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο
10 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών ΑΒΓ πληρούν τη σχέση 444 γβα +lt τότε να
αποδειχθεί ότι 90Οand
ltΑ
11 Θεωρούmicroε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και σηmicroείο ∆ της ηmicroιευθείας ΑΒ
τέτοιο ώστε Β∆=ΑΒ Αν ΑΒperpΓΕ και είναι ΑΒ=4ΒΕ να αποδειχθεί ότι
2
3 222 ΑΓ+ΒΓ=Γ∆
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
15
12 Θεωρούmicroε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α τη διχοτόmicroο Γχ της εξωτερικής
γωνίας εξΓ
and
αυτού την κάθετη xΓperpΒΕ και την κάθετη ΑΓperpΕΖ
Να αποδειχθεί ότι i)4
α=ΓΖ ii)
2
7α=ΑΕ
13 Εκατέρωθεν της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ κατασκευάζουmicroε δύο ισόπλευρα
τρίγωνα ΒΓ∆ και ΒΓΕ Να αποδειχθεί ότι 22222 γβα ++=ΑΕ+Α∆
14 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ τα microήκη των πλευρών του οποίου συνδέονται microε τη σχέση
2 222 αγβ =+ Nα αποδειχθεί ότι α) 2
βmicro +2
γmicro =2
2 αmicro
β) 2
3αmicroα =
2
3γmicroβ =
2
3βmicroγ =
15 Θεωρούmicroε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ )90( Οand
=Α και τη διάmicroεσό του ΒΕ
α) Να αποδειχθεί ότι 222
4
3ΒΓ=ΑΓ+ΒΕ β) Αν Α∆ είναι η διάmicroεσος του
τριγώνου ΑΒΓ ΒΕ= 14 και o60=Β∆Α
and
να υπολογιστούν τα microήκη των πλευρών
του τριγώνου ΑΒΓ
16 Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει γβ micromicro perp τότε να αποδειχθεί ότι 222
αγβ micromicromicro =+
17 Αν ΒΒ΄ το ύψος τριγώνου ΑΒΓ microε o90ltΑ
and
και ΑΜ η διάmicroεσός του τότε να
αποδειχθεί ότι 4
22 ΄ΑΒsdotΑΓ+
ΒΓ=ΑΜ
18 Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ )90( Οand
=Α η διάmicroεσος του ΑΜ και ευθεία (ε)
κάθετη στην ΑΜ στο Μ Αν Ρ σηmicroείο της (ε) να αποδειχθεί ότι 222 2ΡΑ=ΡΓ+ΡΒ
19 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ ΑΜ διάmicroεσος η οποία προεκτεινόmicroενη τέmicroνει τον
περιγεγραmicromicroένο κύκλο (ΟR) στο ∆ και Θ το βαρύκεντρο του τριγώνου
Να δειχθεί ότι i)4
2α=Μ∆sdotΜΑ ii)
ΘΟ∆ )( R )(
9
1 222 γβα ++minus=
iii) AB2+AΓ
2=2ΑΜsdotΑ∆
20 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόmicroος του Α∆ Αν οι κύκλοι οι περιγεγραmicromicroένοι στα
τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓ∆ τέmicroνουν τις ΑΓ και ΑΒ στα σηmicroεία Ζ και Ε αντίστοιχα να
αποδειχθεί ότι ΒΕ=ΓΖ
21 Κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι εγγράψιmicroο σε κύκλο Αν το σηmicroείο τοmicroής Μ των
διαγωνίων του είναι microέσο της διαγωνίου Β∆ να αποδειχθεί ότι
i) ΜΓsdotΜΑ=∆Β 42 ii) 2 22222 ΑΓ=∆Α+Γ∆+ΒΓ+ΑΒ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
16
22 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) διαmicroέτρου ΑΒ Από ένα σηmicroείο Γ της προέκτασης της ΑΒ
προς το Β φέρνουmicroε την εφαπτοmicroένη Γ∆ και την ΑΓperpΓx Αν Ε είναι το σηmicroείο
τοmicroής των Α∆ και Γx να αποδειχθεί ότι
i) το τετράπλευρο ∆ΒΓΕ είναι εγγράψιmicroο ii) ΑΕsdotΑ∆minusΓΑ=Γ∆ 22
23 ∆ύο κύκλοι (ΚR) και
Λ2
R
εφάπτονται εσωτερικά στο Α Από ένα σηmicroείο Μ του
κύκλου
Λ2
R
φέρνουmicroε χορδή Γ∆ του κύκλου (ΚR) Να αποδειχθεί ότι
ΜΓΜ∆=ΜΑ2
24 Θεωρούmicroε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α και σηmicroείο ∆ της πλευράς ΒΓ Αν οι
περιγεγραmicromicroένοι κύκλοι στα τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓ∆ τέmicroνουν τις πλευρές ΑΓ και ΑΒ
στα σηmicroεία Ε και Ζ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι ΒΖ+ΓΕ=α
25 Στη διάmicroετρο ΑΒ κύκλου (ΟR) θεωρούmicroε τα σηmicroεία Γ και ∆ έτσι ώστε ΟΓ=Ο∆=α
και microεταβλητό σηmicroείο Μ του κύκλου Αν οι ΜΓ και Μ∆ τέmicroνουν τον κύκλο στα Ε
και Ζ αντίστοιχα να αποδείξετε ότι i) ΜΓΓΕ = Μ∆∆Ζ ii)
ΜΓ2+Μ∆
2 = 2(R
2+α
2) iii) το άθροισmicroα
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
είναι σταθερό
26 Θεωρούmicroε κύκλο (O2α) και σηmicroείο Ρ τέτοιο ώστε ΟΡ=2
3α Φέρουmicroε χορδή ΑΒ η
οποία διέρχεται από το Ρ και είναι τέτοια ώστε ΑΡ=α Να υπολογιστεί το microήκος της
χορδής ΑΒ
27 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) διάmicroετρο ΑΒ και τα microέσα Γ και ∆ των ΟΑ και ΟΒ
αντίστοιχα Από το σηmicroείο Γ φέρουmicroε χορδή ΕΖ = 2
13 Rsdot Να αποδειχθεί ότι
i) ΖΓ2+Ζ∆
2+ΓΕ
2+∆Ε
2=5R
2 ii)
and
Ε∆Ζ = 900
28 Έστω ΑΒ διάmicroετρος κύκλου (ΟR) και ΑΓ Β∆ δύο χορδές που τέmicroνονται στο Ρ Να
αποδειχθεί ότι i) αν οι Α∆ και ΒΓ τέmicroνονται στο Ε τότε το Ρ είναι ορθόκεντρο του
τριγώνου ΕΑΒ ii) ΑΓΑΡ+Β∆ΒΡ=ΑΒ2
29 Τρίγωνο ΑΒΓ microε β2+γ
2=2α
2 Β∆ ΓΕ ύψη ΑΜ διάmicroεσος και Ζ microέσο της ΑΜ Να
αποδειχθεί ότι i)and
Α lt900 ii) AE =
γα2
2
και ΑΜ = 2
3α iii) ΕΖ =
γαβ4
Ζ∆ = β
αγ4
30 Σε τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούmicroε σηmicroεία ∆Ε στην πλευρά ΒΓ ώστε Β∆ = ∆Ε = ΕΓ Να
αποδείξετε ότι i) AB2 ndash 2∆E
2 = 2A∆
2 ndash AE
2 ii) AB
2 + 2AΓ
2 = 3AE
2 +
6∆E2
31 Αν α β γ πλευρές τριγώνου να βρεθεί το είδος του τριγώνου στις παρακάτω περι-
πτώσεις i) α = ν2 + 1 β = 2ν γ = ν
2 ndash 1
ii) α = 4 β = 5 γ = 3
iii) α = 11 β = 13 γ = 12
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
17
32 Αν Ε ∆ Ζ microέσα των ΑΓ ΒΓ Β∆ αντίστοιχα ενός τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε ότι
i) Ε∆=2
1ΑΒ ii) ΕΖ
2 =
16
263 222 βminusγ+α
33 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ = 6 ΑΓ = 8 ΒΓ = 2 37 να αποδειχθεί ότι
i) ο120=Α
and
ii) να βρεθεί το microήκος Α∆ όπου Β∆ ύψος τριγώνου
iii) να βρεθεί το microήκος της διαmicroέσου microα
34 Σε τρίγωνο ΑΒΓ microε πλευρές α = 9 β = 7 γ = 4 να βρείτε i) το είδος του τριγώνου
ii) το microήκος της διαmicroέσου microα iii) την προβολή της διαmicroέσου microα πάνω στην
ΒΓ iv) την προβολή της πλευράς β πάνω στην γ
35 Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ο90=Α
and
ΑΜ διάmicroεσος και Ρ το microέσο
της ΑΜ Στην πλευρά ΒΓ = α παίρνουmicroε σηmicroείο Κ ώστε ΓΚ = 8
5α Να αποδειχθεί
ότι i) ΓΡ2 =
16
5 2α ii) ΡΚ
2 =
64
5 2α iii) ΡΓ = 2ΚΡ
36 Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε ο90=Α
and
α = 25 και β = 20 αν x είναι η προβολή της
πλευράς β πάνω στην πλευρά α τότε
i) η πλευρά γ έχει microήκος Α10 Β12 Γ13 ∆15 Ε21
ii) το ύψος υα έχει microήκος Α9 Β7 Γ12 ∆17 Ε5
iii) το τmicroήmicroα x έχει microήκος Α10 Β12 Γ17 ∆16 Ε21
(Να αιτιολογήσετε την απάντηση)
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
18
ΕΜΒΑ∆Α
ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ
Ας θεωρήσουmicroε ένα πολύγωνο
Ένα σχήmicroα που αποτελείται από πεπερασmicroένο πλήθος πολυγωνικών χωρίων που ανά δύο δεν
έχουν κοινά εσωτερικά σηmicroεία λέγεται πολυγωνική επιφάνεια
Ίσα πολυγωνικά χωρία έχουν ίσα εmicroβαδά
Αν ένα πολυγωνικό χωρίο (ή microια πολυγωνική επιφάνεια) χωρίζεται σε πεπερασmicroένου
πλήθους πολυγωνικά χωρία που δεν έχουν κοινά εσωτερικά σηmicroεία τότε το εmicroβαδόν του
ισούται microε το άθροισmicroα των εmicroβαδών των επιmicroέρους πολυγωνικών χωρίων
Το εmicroβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς 1 είναι 1
∆ύο σχήmicroατα που έχουν το ίδιο εmicroβαδόν ονοmicroάζονται ισεmicroβαδικά ή ισοδύναmicroα
Το πολύγωνο microαζί microε τα εσωτερικά του
στοιχεία ονοmicroάζεται πολυγωνικό χωρίο
Ένα πολυγωνικό χωρίο που ορίζεται από
τρίγωνο τετράγωνοhellipν-γωνο ονοmicroάζεται
τριγωνικό πολυγωνικόhellip ν-γωνικό
∆ύο πολυγωνικά χωρία λέγονται ίσα όταν τα
αντίστοιχα πολύγωνά τους είναι ίσα
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
19
ΕΜΒΑ∆Α ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
Το εmicroβαδόν τετραγώνου πλευράς α δίνεται από τον τύπο 2α=Ε
Το εmicroβαδόν ενός ορθογωνίου ισούται microε το γινόmicroενο των πλευρών του βα sdot=Ε
Το εmicroβαδόν ενός παραλληλογράmicromicroου ισούται microε το γινόmicroενο microιας πλευράς του επί το ύψος
που αντιστοιχεί σε αυτή
βα υβυα sdot=sdot=Ε
Το εmicroβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο microε το ηmicroιγινόmicroενο microιας πλευράς επί το αντίστοιχο ύψος
γβα υγυβυα sdot=sdot=sdot=Ε2
1
2
1
2
1
Το εmicroβαδόν τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο του ηmicroιαθροίσmicroατος των βάσεων του επί το
ύψος του υβsdot
+Β=Ε
2
Το εmicroβαδόν τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο της διαmicroέσου επί το ύψος του
bull Το εmicroβαδόν ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς α είναι ίσο microε 4
32α=Ε
bull Το εmicroβαδόν ρόmicroβου ισούται microε το ηmicroιγινόmicroενο των διαγωνίων του
bull Το εmicroβαδόν οποιουδήποτε κυρτού ή microη κυρτού τετραπλεύρου microε κάθετες διαγωνίους
ισούται microε το ηmicroιγινόmicroενο των διαγωνίων του
bull Η διάmicroεσος κάθε τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
bull Το βαρύκεντρο τριγώνου έχει την ιδιότητα να δηmicroιουργεί microε τις κορυφές του τριγώνου τρία
ισεmicroβαδικά τρίγωνα
bull Το βαρύκεντρου του τριγώνου οι κορυφές του και τα microέσα των πλευρών του ορίζουν έξι
ισεmicroβαδικά τρίγωνα
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
20
ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΕΜΒΑ∆ΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
( )( )( )γτβταττ minusminusminus=Ε όπου 2
γβατ
++= ηmicroιπερίmicroετρος του τριγώνου
ρτ sdot=Ε
R4
γβα sdotsdot=Ε
Γsdotsdot=Βsdotsdot=Αsdotsdot=Ε ηmicroβαηmicroαγηmicroγβ2
1
2
1
2
1
ΕΜΒΑ∆Α ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
Αν δύο τρίγωνα έχουν ίσες βάσεις τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο των
αντίστοιχων υψών ενώ αν έχουν ίσα ύψη τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο
των αντίστοιχων βάσεων
Αν δύο τρίγωνα είναι όmicroοια τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το τετράγωνο του
λόγου οmicroοιότητας
Ο λόγος των εmicroβαδών δύο όmicroοιων πολυγώνων είναι ίσος microε το τετράγωνο του λόγου
οmicroοιότητας
Αν microια γωνία ενός τριγώνου είναι ίση ή παραπληρωmicroατική microε microια γωνία ενός άλλου
τριγώνου τότε ο λόγος των εmicroβαδών των δύο τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο των γινοmicroένων
των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
21
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Αν ΑΒΓ∆ τραπέζιο ( Γ∆ΑΒ ) και Ο το σηmicroείο τοmicroής των διαγωνίων του ΑΓ και
Β∆ να αποδείξετε ότι ΟΑ∆ΟΒΓ Ε=Ε
2 Ένα τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) και ΒΓ=Γ∆=Α∆ και τη βάση ΑΒ κατά 2 microικρότερη
από το άθροισmicroα των τριών αυτών πλευρών Αν το ύψος του τραπεζίου είναι 5 να
υπολογιστεί το εmicroβαδό του
3 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ microε microήκη πλευρών α=10 β=8 γ=14 και ισόπλευρο τρίγωνο
∆ΕΖ το οποίο είναι ισοδύναmicroο microε το ΑΒΓ Το microήκος της πλευράς του ισόπλευρου
τριγώνου ∆ΕΖ είναι
Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20
Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε
4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=2 ΒΗ ύψος και η διάmicroεσος Β∆=1 Αν and
∆ΑΒ =30ο να
υπολογιστούν α) τα ΒΗ Η∆ ΑΗ
β) το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ
5 Με υποτείνουσες τις κάθετες πλευρές ΑΒ και ΑΓ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ microε
β+γ=20 κατασκευάζουmicroε ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓΕ εκτός
αυτού
α) Να αποδείξετε ότι τα σηmicroεία ∆ΑΕ είναι συνευθειακά
β) Να βρείτε το εmicroβαδό του τετραπλεύρου ΒΓΕ∆
6 Προεκτείνουmicroε τις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ ενός τριγώνου ΑΒΓ κατά τmicroήmicroατα
Γ∆=ΓΒ ΑΕ=ΑΓ και ΒΖ=ΒΑ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι (∆ΕΖ) = 7(ΑΒΓ)
7 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Μ στο εσωτερικό του Φέρνουmicroε από το Μ
παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των
σχηmicroατιζόmicroενων τριγώνων και Ε το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε
ότι 321 Ε+Ε+Ε=Ε
8 Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ που τέmicroνει τις πλευρές ΑΒ
και ΑΓ στα σηmicroεία ∆ και Ε αντίστοιχα Να αποδείξετε ότι (ΑΒΕ)2=(ΑΒΓ)(Α∆Ε)
9 Από σηmicroείο ∆ της πλευράς ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη προς την
πλευρά ΒΓ που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των τριγώνων
Α∆Ε Α∆Γ και ΑΒΓ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι 31
2
2 ΕsdotΕ=Ε
10 Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Α΄ της πλευράς του ΒΓ Από τα Β και Γ
φέρνουmicroε παράλληλες προς την ΑΑ΄ που τέmicroνουν τις ευθείες ΑΓ και ΑΒ στα σηmicroεία
Γ΄ και Β΄ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι
α) (ΑΑ΄Γ΄) = (ΑΒΑ΄) και (ΑΑ΄Β΄) = (ΑΓΑ΄)
β) (Α´ô) = (ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
22
11 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ microε ΑΒ=10 Α∆=4 και and
∆ =60ο Στην πλευρά ΑΒ
θεωρούmicroε τα σηmicroεία Ε και Ζ έτσι ώστε ΑΕ=ΕΖ=ΖΒ Αν Η είναι το σηmicroείο τοmicroής των
ευθειών ∆Ε και ΓΖ να υπολογιστούν
α) το εmicroβαδό του παραλληλογράmicromicroου ΑΒΓ∆
β) το εmicroβαδό του τραπεζίου Γ∆ΕΖ
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου ΗΕΖ
12 ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=ΑΓ=6 και ο120=Α
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του
β) Αν Ε σηmicroείο της ΑΓ τέτοιο ώστε ΓΕ=ΑΕ2
1 και Α∆ το ύψος του τριγώνου
ΑΒΓ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ∆ΕΓ
γ) Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει τη ∆Ε στο Η να βρεθεί το εmicroβαδό
του τριγώνου ΑΕΗ
13 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Ρ στο εσωτερικό του Από το Ρ φέρνουmicroε κάθετες
ηmicroιευθείες στις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ και πάνω σrsquo αυτές παίρνουmicroε τα σηmicroεία Α΄
Β΄ και Γ΄ αντίστοιχα έτσι ώστε ΡΑ΄=ΒΓ ΡΒ΄=ΑΓ και ΡΓ΄=ΑΒ Να αποδειχθεί ότι
α) οι γωνίες and
Γ και and
ΒprimeΡΑprime είναι παραπληρωmicroατικές
β) (ΡΑ΄Β΄)=(ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)
14 Θεωρούmicroε τρεις ίσες διαδοχικές γωνίες and
οψx zand
οψ xzand
ο και πάνω στις
ηmicroιευθείες Οx Oψ και Οz τα σηmicroεία Α Β Γ αντίστοιχα έτσι ώστε ΟΑ=1 ΟΒ=4 και
ΟΓ=8
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ψοand
x zand
οψ xzand
ο
β) Αν Οw η αντικείmicroενη ηmicroιευθεία της Οψ και Γ∆ wΟperp να υπολογίσετε τις Ο∆ και
Γ∆
γ) Να υπολογίσετε το (ΟΒΓ)
δ) Να αποδείξετε ότι (ΑΒΓ)= 311
15 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ και Κ Λ Μ Ν τα microέσα των ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α
αντίστοιχα α) Να αποδειχθεί ότι (ΚΛΜΝ)=2
1(ΑΒΓ∆)
β) Αν ΚΜ ΛΝperp να αποδειχθεί ότι (ΑΒΓ∆) = ΚΜΛΝ
16 Λ
Α Β Στο διπλανό σχήmicroα τα σηmicroεία Κ Λ είναι τα
Κ Ρ microέσα των τmicroηmicroάτων ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα
Να αποδείξετε ότι
Γ α) ο λόγος των εmicroβαδών των τριγώνων ΑΚΒ και ΑΛΓ είναι ίσος microε
β) αν Ρ είναι το σηmicroείο τοmicroής των ΛΓ και ΚΒ τότε τα τρίγωνα ΒΛΡ
και ΚΓΡ έχουν ίσα εmicroβαδά
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
23
17 ∆ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) microε ΑΒ=4 Α∆=2 καιο60=∆
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τραπεζίου ΑΒΓ∆
β) Αν Ε σηmicroείο της πλευράς ΑΒ τέτοιο ώστε ΕΒ= ΑΒ4
1 και οι Ε∆ ΕΓ τέmicroνουν τη
διάmicroεσο του τραπεζίου στα σηmicroεία Ζ και Η αντίστοιχα να βρεθεί το εmicroβαδό του
τριγώνου ΕΖΗ
γ) Αν οι ∆Ε και ΒΓ τέmicroνονται στο Ρ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ΡΕΒ
18 Αν οι διαγώνιοι κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓ∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο να αποδείξετε ότι
το τετράπλευρο έχει εmicroβαδό Β∆sdotΑΓ4
1
19 Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται ΑΒ=5 ο60=Α
and
και η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου
κύκλου 3
7=R Να βρεθούν οι άλλες δύο πλευρές του τριγώνου και το εmicroβαδόν του
20
∆ Ζ Γ
υ
Α Ε Η Β
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m
90ο=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος ∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο
οποίος θα χωρίζει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆ και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο
ΑΕ∆
δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου ∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
21 Αν Μ και Ν είναι τα microέσα των πλευρών ΒΓ και Γ∆ ενός παραλληλόγραmicromicroου ΑΒΓ∆
να αποδείξετε ότι (ΑΜΝ)= )(8
3ΑΒΓ∆
22 Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) θεωρούmicroε το microέσο Μ της πλευράς ΑΒ
και σηmicroείο Ν της πλευράς ΑΓ τέτοιο ώστε 3
ΑΓ=ΓΝ Να δειχθεί ότι
(ΜΝΒ)= )(3
1ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
24
23 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και τυχαίο σηmicroείο Σ στην προέκταση της πλευράς
∆Γ προς το Γ Να αποδείξετε ότι
α) (ΑΒ∆)= )(2
1ΑΒΓ∆
β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)
γ) αν η ΑΣ τέmicroνει την Β∆ στο σηmicroείο Ε τότε (Ε∆Σ)-(ΕΑΒ)=(ΣΒΓ)
24 Έστω Σ τυχαίο σηmicroείο της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ Στο σηmicroείο Α φέρουmicroε
microια ευθεία ε κάθετη στην ΑΣ Αν ∆ και Ε είναι αντίστοιχα οι προβολές των σηmicroείων
Β και Γ στην ευθεία ε να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ∆ΣΕ είναι ισοδύναmicroα
25 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 8=ΑΒ 12=ΑΓ και η Α∆ διχοτόmicroος της γωνίας and
Α Αν
( )ΑΒ∆ =20 τmicro να βρείτε το ( )ΑΒΓ
26 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ∆ σηmicroείο της πλευράς ΑΒέτσι ώστε 6=Α∆ ∆Β=5
8=ΑΓ Αν 80=Α
and
να βρείτε το εmicroβαδόν του τριγώνου Β∆Γ
27 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ microε 90=Β
and
και η γωνία and
Α να είναι το 3
1 της ορθής Αν
∆ σηmicroείο της προέκτασης της πλευράς ΒΓ προς το Γ τέτοιο ώστε η 30=Α∆Β
and
να
βρεθεί ο λόγος ( )( )ΑΒ∆ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
25
ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ
ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ
Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του
ίσες
Γωνία κανονικού ν-γώνου ν
φν
360
180 minus=
Κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου ν
ων
360=
Σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας R ισχύουν οι εξής τύποι 2
22
4R=+ ν
ν
λα
νν λν sdot=Ρ
ννν αsdotΡ=Ε2
1
όπου να απόστηmicroα νλ πλευρά νΡ περίmicroετρος νΕ εmicroβαδόν
∆ύο κανονικά πολύγωνα microε τον ίδιο αριθmicroό πλευρών είναι όmicroοια
Κάθε κανονικό πολύγωνο εγγράφεται σε έναν κύκλο και περιγράφεται σε έναν άλλον Οι δύο
αυτοί κύκλοι είναι οmicroόκεντροι
bull Το κοινό κέντρο τον κύκλων αυτών λέγεται κέντρο του πολυγώνου
bull Η ακτίνα R του περιγεγραmicromicroένου κύκλου λέγεται ακτίνα του πολυγώνου
bull Η απόσταση του κέντρου από microια πλευρά του δηλαδή η ακτίνα του εγγεγραmicromicroένου
κύκλου λέγεται απόστηmicroα του πολυγώνου
Σε δύο κανονικά ν-γωνα ο λόγος των πλευρών τους ισούται microε το λόγο των ακτινών τους και
το λόγο των αποστηmicroάτων τους
∆ηλαδή
ν
ν
ν
ν
αα
λλ
==R
R
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
26
ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ
ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ
ΚΑΝΟΝΙΚΟ
ΕΞΑΓΩΝΟ
ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ
ΤΡΙΓΩΝΟ
ΠΛΕΥΡΑ νλ 24 R=λ R=6λ 33 R=λ
ΑΠΟΣΤΗΜΑ να
2
24
R=α
2
36
R=α
23
R=α
RL sdot= π2
180
microπ sdotsdot=
Rl ή Rl sdot=α
180
microαπ
=
2Rsdot=Ε π
( )360
2 microπ sdotsdot=ΟΑΒ
cap R ή ( )
cap
sdot=ΟΑΒ 2
2
1Rα
( ) ( )ΟΑΒminusΟΑΒ=cap
ε
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
27
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Ένα κανονικό εξάγωνο είναι περιγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ορ) Η πλευρά του
εξαγώνου αυτού είναι
Α ρ Β 2
3ρ Γ 2ρ ∆
3
32ρ Ε
3
2ρ
2 ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και στις προεκτάσεις των
πλευρών ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α θεωρούmicroε τα τmicroήmicroατα ΒΚ=ΓΛ=∆Μ=ΑΝ=λ3 Να δείξετε
ότι το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο και ότι η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου κύκλου του
είναι 641 += RR
3 Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε δύο παράλληλες χορδές ΑΒ=λ4 και Γ∆=λ6 Να
αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι ισοσκελές τραπέζιο και να υπολογιστεί
το εmicroβαδό του ως συνάρτηση της ακτίνας R
4 Η περίmicroετρος ενός κυκλικού τοmicroέα ΟΑΒ ενός κύκλου (ΟR) είναι 6+π Αν
ο60=ΒΟΑand
τότε το microήκος της ακτίνας R είναι
Α 6 Β 3 Γ 2 ∆ 4 Ε 5 (δικαιολογήστε την απάντησή σας)
5 Έστω τεταρτοκύκλιο ΟΑΒ ακτίνας R και ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΟΒ στο εσωτερικό
του Να βρείτε το εmicroβαδό και την περίmicroετρο του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΑΒ
6 Έστω δύο κύκλοι (ΟR) και (Ο΄R) των οποίων η διάmicroετρος ΟΟ΄ έχει microήκος
ΟΟ΄=R 3 α) Να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι τέmicroνονται
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινού microέρους των δύο κύκλων
7 Το εmicroβαδό κυκλικού τοmicroέα 80ο είναι 8π Η ακτίνα του κύκλου είναι
Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15
8 Τετράγωνο ΑΒΓ∆ είναι εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και η ηmicroιπερίmicroετρος του
είναι 80cm Να υπολογιστούν
α) η ακτίνα R του κύκλου
β) ο λόγος του εmicroβαδού του κύκλου προς το εmicroβαδό του τετραγώνου
9 Στο εσωτερικό ηmicroικυκλίου διαmicroέτρου ΑΟΒ=2R γράφουmicroε ηmicroικύκλια microε
διαmicroέτρους ΟΑ και ΟΒ Να υπολογιστεί το microήκος και το εmicroβαδό του κύκλου που
εφάπτεται των τριών ηmicroικυκλίων
10 ∆ύο κύκλοι (Ο3R) και (Ο΄R) εφάπτονται εξωτερικά στο σηmicroείο Α Φέρουmicroε την
κοινή εξωτερική εφαπτόmicroενη ΒΓ αυτών Να βρεθεί το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου
τριγώνου ΑΒΓ και του περιγεγραmicromicroένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ
11 Έστω ο κύκλος (ΟR) και microια ακτίνα του ΟΑ Στην ηmicroιευθεία ΟΑ θεωρούmicroε
σηmicroείοΒ έτσι ώστε ΑΒ=ΑΟ Αν ΒΓ η εφαπτοmicroένη του κύκλου να βρεθεί το
εmicroβαδό α) του τριγώνου ΟΒΓ και β) του microικτόγραmicromicroου τριγώνου
ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
28
12 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=λ3 και Γ∆=λ6
προς το ίδιο microέρος του κέντρου Ο α) Να εκφράσετε τις χορδές ΑΒ και Γ∆ ως
συνάρτηση της ακτίνας R β) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό Ε1 του κυκλικού τmicroήmicroατος
που αντιστοιχεί στη χορδή Γ∆ γ) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό του τριγώνου ΟΑΒ
δ) Να βρείτε την περίmicroετρο και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τραπεζίου που έχει
κορυφές τα ΑΒΓ∆
13 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) χορδή ΑΒ=R την εφαπτοmicroένη ε του κύκλου στο σηmicroείο
Α και τη εperpΒΓ Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του τραπεζίου ΟΑΓΒ
β) το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
14 ∆ίνεται ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΑΒ και στο εσωτερικό του τα ηmicroικύκλια διαmicroέτρων
ΑΓ και ΓΒ όπου Γ σηmicroείο microεταξύ των Α και Β Αν κάθετη της ΑΒ στο Γ τέmicroνει το
αρχικό ηmicroικύκλιο στο ∆ να αποδείξετε ότι το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται
microεταξύ των τριών ηmicroικυκλίων είναι ίσο microε το εmicroβαδό του κύκλου διαmicroέτρου Γ∆
15 Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ο60=Β
and
και ΒΓ=α Με
κέντρο το Β και ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει τη ΒΓ στο Μ και microε κέντρο
το Γ και ακτίνα ΓΜ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν Να βρεθεί η
περίmicroετρος και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
16 Με κέντρο ένα σηmicroείο Κ κύκλου (ΟR) και ακτίνα ίση προς R 3 γράφουmicroε
κύκλο ο οποίος τέmicroνει τον (ΟR) στα σηmicroεία Α και Β Να υπολογιστούν η
περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου microηνίσκου
17 ∆ίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ΒΓ = 2R
Γράφουmicroε ηmicroικύκλιο microε διάmicroετρο ΒΓ εκτός τριγώνου και τόξο κύκλου (Α ΑΒ) microε
άκρα Β και Γ Να βρεθεί η περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου
microηνίσκου από το ηmicroικύκλιο και το τόξο αυτό
18 Ένα ορθογώνιο σπίτι microε διαστάσεις α = 20m και β = 10m έχει microια εξωτερική
πρίζα σε microια γωνία του Ένα χορτοκοπτικό microηχάνηmicroα συνδεδεmicroένο microε την πρίζα
έχει καλώδιο microε microήκος 15m Να βρεθεί το εmicroβαδόν της microεγαλύτερης επιφάνειας
του χόρτου που microπορεί να κοπεί
19 Σε κύκλο ακτίνας R = 4cm είναι εγγεγραmicromicroένο ισόπλευρο τρίγωνο
Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του κύκλου
β) την πλευρά του τριγώνου
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου
δ) το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται microεταξύ του κύκλου και του τριγώνου
20 Σε κύκλο microε διάmicroετρο ΑΒ φέρουmicroε τις χορδές ΜΒΑΜ Αν είναι 6=ΑΜ και
8=ΒΜ να βρεθεί η ακτίνα και το εmicroβαδόν του κύκλου
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
29
21 Να βρεθεί το εmicroβαδόν του καθενός από τα δύο microέρη στα οποία διαιρείται ένας
κύκλος ( )RΟ από την πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραmicromicroένου στον κύκλο
αυτόν
22 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και φέρουmicroε δύο κάθετες ακτίνες ΟΑ και ΟΒ Με
κέντρο το Α και ακτίνα R γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει το cap
AB στο σηmicroείο Γ Να
βρεθεί το εmicroβαδόν του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΒΓ
23 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και τόξο 60=ΑΒ
cap
Φέρουmicroε στο σηmicroείο Α την
εφαπτοmicroένη χΑ του κύκλου και την χΑperpΒΓ Να βρεθεί το εmicroβαδόν του
microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
30
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΗ 1η
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α∆ διχοτόmicroος Β∆ = 2 Γ∆ = 3 και 2τ = 15 (περίmicroετρος) η πλευρά
ΑΒ είναι
Α 3 Β 4 Γ 5 ∆ 6 Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 2η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 3α2 + 2γ
2 = 2β
2 Τότε
i) Α and
Α gt90ο Β
and
Β gt 90ο Γ
and
Β lt 90ο ∆
and
Γ gt 90ο Ε Κανένα από τα παραπάνω
ii) Η προβολή της διαmicroέσου microα στην ΒΓ ισούται microε
Α 4
a Β
2
a Γ
4
3a ∆
2
3a Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 3η
Αν ΑΒΓ∆ τετράγωνο πλευράς α και Ε microέσο του Α∆ τότε
i) ΒΕ =2
5α Σ Λ
ii) Ο λόγος ΒΕΕΖ
ισούται microε
Α 5
2 Β
4
5 Γ
4
1 ∆
5
1 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
Α Β
E
Z
∆ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 4η
Αν τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=4 ΒΓ=5 ΑΓ=6 και Α∆ διχοτόmicroος τότε
i) -Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο Σ Λ
- Ο λόγος ∆Γ∆Β
ισούται microε
Α 2
1 Β
3
1 Γ
3
2 ∆
4
3 Ε
2
3
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ii) Αν ε η προβολή του Α στην ΒΓ να υπολογίσετε το microήκος του ΒΕ
iii) Να αποδείξετε ότι 2
1=
∆Γ∆Ε
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
31
ΑΣΚΗΣΗ 5η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και Μ το microέσο της Α∆ Προεκτείνουmicroε τη ∆Γ προς το Γ
κατά ΓΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΒΜ)=2
)(ΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τραπεζίου ΑΒΕ∆ είναι οκταπλάσιο από το εmicroβαδόν του
τριγώνου ΑΒΜ
ΑΣΚΗΣΗ 6η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναιuα =3ρ όπου ρ του εγγεγραmicromicroένου κύκλου του τριγώνου Ο λόγος
αγβ +
ισούται microε Α 2 Β 3 Γ 3
1 ∆
2
3 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ΑΣΚΗΣΗ 7η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάmicroεσός του Α∆ Προεκτείνουmicroε την ΒΑ προς το Α κατά τmicroήmicroα
ΑΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι (ΒΕ∆)=3(Α∆Γ)
ΑΣΚΗΣΗ 8η
Στο εσωτερικό της αυλής ενός σπιτιού υπάρχει microικρός κήπος microε λαχανικά όπως στο
ακόλουθο σχήmicroα Αν το εmicroβαδόν του κήπου είναι 122m και οι διαστάσεις της αυλής είναι
12m και 13m να βρεθεί το x Αν θέλουmicroε να περιφράξουmicroε τον κήπο microε σύρmicroα πόσο σύρmicroα
θα χρειαστούmicroε
12m
13m
ΑΣΚΗΣΗ 9η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ Από τυχαίο σηmicroείο Ε της ΑΓ φέρουmicroε ευθεία παράλληλη
προς την Α∆ που τέmicroνει την Γ∆ στο Ζ Να αποδείξετε ότι
i) (Α∆Ζ)=(ΑΕΒ)
ii) (ΑΕΖ)=(ΒΕΓ)-(ΖΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 10η
Οι διάmicroεσοι Β∆ και ΓΕ τριγώνου ΑΒΓ τέmicroνονται στο Θ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΕ∆)=4
)(ΑΒΓ
ii) (ΒΘΓ)= 3
)(ΑΒΓ
iii)(ΑΕ∆)= (ΒΚΛΓ) όπου Κ Λ τα microέσα των ΒΘ και ΓΘ αντίστοιχα
x
x x
x
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
32
ΑΣΚΗΣΗ 11η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε τη διχοτόmicroο Α∆ Από το ∆ φέρνουmicroε παράλληλη προς την ΑΒ
που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει την προέκταση της
∆Ε στο Ζ να αποδείξετε ότι
α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)
β) β2(ΑΕΖ) = γ
2(∆ΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 12η
Θεωρούmicroε γωνία yxand
Α και σηmicroείο Ο της διχοτόmicroου της Αδ Αν ο κύκλος (ΟΟΑ) τέmicroνει τις
Οx Οy στα Β Γ αντίστοιχα και την Αδ στο ∆ να αποδείξετε ότι
α) (ΟΑΒ)=(ΟΑΓ)
β) (ΒΟΓ∆)=(ΑΒ∆)
γ) (ΒΟΓ∆)=2
1(ΟΑ)(ΒΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 13η
Από εσωτερικό σηmicroείο Μ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλες προς τις
πλευρές ΑΓ και ΑΒ που τέmicroνουν τις ΑΒ ΑΓ στα ∆ Ζ αντίστοιχα Αν (ΒΜ)=x (ΒΓ)=α
(Β∆Μ)=Ε1 (ΓΖΜ)=Ε2 και (ΑΒΓ)=Ε τότε
α) Να εκφράσετε ως συναρτήσεις των x και α τους λόγους Ε
Ε1 και Ε
Ε2
β) Να αποδείξετε ότι ΕgeΕ+Ε2
121
ΑΣΚΗΣΗ 14η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=Γ∆=λ3
Να βρεθεί
i) Η περίmicroετρος του ΑΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που αντιστοιχεί στη χορδή ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 15η
Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε τα διαδοχικά σηmicroεία Α Β Γ και ∆ ώστε ΑΒ=ΒΓ=Γ∆= R Να
βρεθεί
i) H περίmicroετρος του τριγώνου ΑΒ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τριγώνου ΒΓ∆
iii) Ο λόγος )(
)(
ΒΓ∆ΑΒ∆
ΑΣΚΗΣΗ 16η
∆ίνεται τεταρτοκύκλιο Οand
ΒΓ ακτίνας R
α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΓΒ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε δύο ισεmicroβαδικά χωρία
β) Αν ∆ σηmicroείο του τόξου ΒΓ να αποδείξετε ότι η ευθεία Γ∆ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
γ) Να βρείτε σηmicroείο Α της ακτίνας ΟΒ ώστε η ευθεία ΓΑ να χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
33
ΑΣΚΗΣΗ 17η
Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο Ο cap
ΒΓ ακτίνας R Σηmicroείο Α κινείται πάνω στο τόξο cap
ΒΓ και έστω
Κ το σηmicroείο τοmicroής της ακτίνας ΟΑ microε τη ΒΓ Να βρείτε το microήκος του τόξου cap
ΒΑ όταν το
εmicroβαδό του τριγώνου ΟΚΓ ισούται microε το εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα
τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΒ και το τόξο cap
ΒΑ
ΑΣΚΗΣΗ 18η
∆ίνεται ηmicroικύκλιο κέντρου Ο microε διάmicroετρο ΑΑ1=2R Έστω Β σηmicroείο του ηmicroικυκλίου microε
( 1ΑΟΒand
)=φ microοίρες και ΟΓ ακτίνα που τέmicroνει τη χορδή ΑΒ στο Κ
α) Να βρείτε το microήκος S του τόξου cap
ΑΓ όταν το εmicroβαδόν του τριγώνου ΟΚΒ ισούται microε το
εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΓ και το τόξοcap
ΑΓ
β) Αν η γωνία 1ΑΟΒand
είναι 150ο πόσο είναι το S
γ) Για ποια τιmicroή του φ το S γίνεται microέγιστο
Β
Γ
φ
Α1 Α
ΑΣΚΗΣΗ 19η
Η περίmicroετρος ρόmicroβου ΑΒΓ∆ πλευράς α και κέντρου Ο είναι τετραπλάσια της microικρής
διαγωνίου του Β∆
i) Να υπολογιστεί συναρτήσει του α το εmicroβαδόν του Ε
ii) Φέρουmicroε Α∆perpΟΗ και Γ∆perpΟΖ Αν η ΑΖ τέmicroνει τον κύκλο διαmicroέτρου Ο∆ στο Θ να
δειχθεί ότι 2
3Ε=ΑΖsdotΑΘ
ΑΣΚΗΣΗ 20η
Το περίγραmicromicroα της βάσης ενός microεγάλου λόφου σχηmicroατίζει τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=γ ΑΓ=β
όπου βgtγ και στο οποίο η διάmicroεσος ΑΜ και το ύψος Α∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο ∆ίπλα στην
πλευρά ΑΓ υπάρχει ορθογώνιος ιδιωτικός χώρος διαστάσεων 2
γβ +και β-γ Σrsquo αυτόν το
χώρο πρόκειται να κατασκευαστεί ένας microεγάλος ανισόπεδος κόmicroβος που θα συνδέει δύο
δρόmicroους ταχείας κυκλοφορίας Γιrsquo αυτούς τους λόγους προτείνεται στον ιδιοκτήτη να δεχτεί
να ανταλλάξει αυτόν τον χώρο microε άλλον ορθογώνιο χώρο του δηmicroοσίου που βρίσκεται δίπλα
στην πλευρά ΒΓ και έχει διαστάσεις τα microήκη των ΒΓ και 2
ΑΜ Ο ιδιοκτήτης δηλώνει ότι θα
συmicroφωνήσει microε την πρόταση αρκεί οι ανταλλάξιmicroοι χώροι να έχουν την ίδια έκταση
Πρακτικά όmicroως είναι αδύνατον να microετρήσει την πλευρά ΒΓ και τη διάmicroεσο ΑΜ γιrsquo αυτό και
διστάζει Πως θα σκεφτόσαστε εσείς να βοηθήσετε τον ιδιοκτήτη να αποφασίσει
Κ
Ο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
34
ΑΣΚΗΣΗ 21η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε β=2γ και η διάmicroεσος του Β∆ Φέρουmicroε Β∆perpΑx που τέmicroνει την
Β∆ στο Ε και την ΒΓ στο Ζ και ΕyΑΓ που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ Να αποδείξετε ότι
i) ZB= 2
1ZΓ
ii) (ΑΒΓ)=3(ΑΒΖ)
iii) Να αποδειχθεί ότι 8
3
)(
)(=
ΑΒΖΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΗ 22η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε α=2γ και β= 7γ
α) i) Να αποδείξετε ότι 2
3αmicroα =
ii) Να βρείτε το είδος της γωνίας and
Β
iii) Αν ΑΕ perp ΒΓ να υπολογίσετε το ΒΕ συναρτήσει του γ
iv) Να βρείτε τη γωνία and
Β
β) Αν ΑΜ διάmicroεσος και Β∆ διχοτόmicroος να αποδείξτε ότι
i) Α∆ = 3
β
ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)
ΑΣΚΗΣΗ 23η
Έστω τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ο R) και σηmicroείο Μ το οποίο κινείται στο
ηmicroικύκλιο cap
ΑΒΓ
α) Να βρεθεί το ελάχιστο ( )minΕ και το microέγιστο ( )maxΕ εmicroβαδόν του τετράπλευρου ΑΜΓ∆
συναρτήσει της ακτίνας R
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε θέση του Μ είναι
i) Μ∆2 = ΑΓ ∆Ε όπου Ε η προβολή του Μ στην Β∆
ii) (ΑΜΓ∆) = 2
2Μ∆
γ) Να προσδιορίσετε τη θέση του σηmicroείου Μ όταν (ΑΜΓ∆) = 2
maxmin EE +
ΑΣΚΗΣΗ 24η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ M το microέσο της ΑΒ σηmicroείο Ν της ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΝ = 4
3ΑΓ και
σηmicroείο Κ της ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΚ = 4
1ΒΓ Να βρεθεί ο λόγος των εmicroβαδών του τριγώνου
ΑΒΓ προς του τριγώνου ΜΝΚ
ΑΣΚΗΣΗ 25η
Α) Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι 2
αmicro = βγ και β-γ = 5 2 Το microήκος της πλευράς
α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3
Β) Να δειχθεί ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει η σχέση (222
γβα micromicromicro ++ )2 = 27Ε
2 όπου
Ε το εmicroβαδό του
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
35
ΑΣΚΗΣΗ 26η
Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω περιπτώσεις
όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί να αποτελεί microήκη των
πλευρών του
i) 3 57
ii) 8 4 2
iii) 7 6 85
ΑΣΚΗΣΗ 27η
Αν η διάmicroεσος microα ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν προεκταθεί τέmicroνει τον περιγεγραmicromicroένο κύκλο
στο ∆ να αποδειχθεί ότι microα = Α∆+
2
22 γβ
ΑΣΚΗΣΗ 28η
Από ένα κυκλικό οικόπεδο ακτίνας R=30m θα αποκοπεί κυκλικό τmicroήmicroα χορδής 30 3 m για
την κατασκευή δρόmicroου
i) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου που έmicroεινε
ii) Να βρεθεί η αποζηmicroίωση που θα δοθεί στον ιδιοκτήτη αν η αρχική αξία του οικοπέδου
ήταν 10000000 δρχ
ΑΣΚΗΣΗ 29η
Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι α =13 β = 8 γ = 7
i) Να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς το είδος των γωνιών του
ii) Να υπολογιστεί το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ πάνω στην ΑΒ
iii) Να υπολογιστεί η γωνία and
Α
ΑΣΚΗΣΗ 30η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 4 ΑΓ = 5 ΒΓ = 7 Το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ
πάνω στην ΑΒ είναι Α 5 Β 1 Γ 6 ∆ 2
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 31η
Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (and
Α =90ο) microε
and
Β =60ο και ΒΓ=4 Με κέντρο το Β και
ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ και microε κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΜ
γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν να βρεθούν
i) Η θέση του σηmicroείου Μ στη ΒΓ
ii) Η περίmicroετρος του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
iii) Το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
36
ΑΣΚΗΣΗ 32η
Μια έκταση σχήmicroατος τετραγώνου microε A 30 H 70 ∆
πλευρά 100m πρόκειται να διατεθεί
για κατασκευή εργατικών κατοικιών
Οι κατοικίες θα ανεργεθούν σε τέσσερα 70 30
ίσα τριγωνικά οικόπεδα και η υπόλοιπη Μ
έκταση σχήmicroατος τετραπλεύρου θα
χρησιmicroοποιηθεί ως κοινόχρηστος χώρος Z
για δενδροφύτευση και κατασκευή γηπέδου
microπάσκετ 30 70
α) Να βρεθούν τα εmicroβαδά των τεσσάρων ίσων οικοπέδων
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινόχρηστου χώρου B 70 K 30 Γ
γ) Τι είδους τετράπλευρο είναι ο κοινόχρηστος χώρος Να βρεθούν οι πλευρές του
ΑΣΚΗΣΗ 33η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 90A =
and
και ΑΒ=y ΑΓ=β
Α∆=ν Β∆=micro ΒΓ=x ∆Γ=κ
i) Να συmicroπληρωθούν οι σχέσεις
β2=helliphelliphellip=helliphelliphelliphellip Α
ν2=helliphelliphelliphelliphelliphellip
2
2
βy
=helliphelliphelliphelliphellip βy=helliphelliphelliphellip y ν β
ii) Να δειχθεί ότι 111
222 νβ=+
y Β ν ∆ κ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 34η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroεία ∆Ε της πλευράς ΒΓ έτσι ώστε Β∆=∆Ε=ΕΓ Να απόδειχθεί
ότι
i) 2222 22 ΑΕminusΑ∆=∆ΕminusΑΒ ii)
2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 35η
∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε o90=Α
and
ΑΒ=5cm ΑΓ=12cm Α∆ το ύψος του και ΒΜ
η διάmicroεσος του Προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά ΓΕ=ΒΓ i) Να συγκρίνετε τα
εmicroβαδά των τριγώνων Α∆Γ και ΑΓΕ ii) Να δείξετε ότι η σχέση που συνδέει τα εmicroβαδά των
τριγώνων ΑΒΜ και ΑΒΕ είναι (ΑΒΕ)=4(ΑΒΜ)
ΑΣΚΗΣΗ 36η
Από σηmicroείο Μ εκτός κύκλου φέρνουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΜΕ του κύκλου και τις
τέmicroνουσες ΜΑΒ και ΜΓ∆ Αν είναι ΑΒ=9 ΓΜ=4 Γ∆=5 να υπολογίσετε i) το ΜΑ ii) το
ΜΕ
ΑΣΚΗΣΗ 37η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) ΑΒ microια διάmicroετρος του και Μ τυχαίο σηmicroείο του (διαφορετικό των Α
Β) Αν Γ είναι το microέσο της ΟΑ και ∆ το microέσο της ΟΒ ενώ η ΜΓ τέmicroνει τον κύκλο στο Ε και
η Μ∆ στο Ζ τότε να αποδείξετε ότι3
10=
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
37
Ζ
Ε
ΑΣΚΗΣΗ 38η
Ένα τριγωνικό αγρόκτηmicroα ΑΒΓ χωρίζεται
σε τέσσερα τριγωνικά αγροτεmicroάχια όπως Α
φαίνεται στο σχήmicroα έτσι ώστε ΑΒ=Α∆3
2
ΒΕ= ΒΓ4
1και ΓΖ= ΑΓ
2
1 α) Αν το εmicroβαδό ∆
του ΑΒΓ είναι 48 στρέmicromicroατα να υπολογίσετε το Β
Γ
εmicroβαδό του ∆ΕΖ β) Αν τα ∆ Ε Ζ είναι τα microέσα των ΑΒ
ΒΓ ΑΓ αντίστοιχα να βρεθούν τα εmicroβαδά των
τεσσάρων αγροτεmicroαχίων
ΑΣΚΗΣΗ 39η
∆ίνεται εγγράψιmicroο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ ώστε οι πλευρές του ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α microε τη σειρά
που δίνονται να αποτελούν γεωmicroετρική πρόοδο Να αποδείξετε ότι η διαγώνιος του Β∆ το
χωρίζει σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
ΑΣΚΗΣΗ 40η
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ∆ Ζ Γ
την ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m και
ο90=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος υ
∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο οποίος
θα χωρίσει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆
και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα α) Να βρεθεί
το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆ β) Να
βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο
ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο Α Ε Η Β
ΑΕ∆ δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου
∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
ΑΣΚΗΣΗ 41η
∆ίνεται ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ και τα σηmicroεία του ∆Γ έτσι ώστε ∆Β=Γ∆=ΑΓ Αν
Μ τυχαίο σηmicroείο εκτός του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατοςΑΒ
Να δείξετε ότι 2222 33 ΜΓ+ΜΒ=ΜΒ+ΑΜ
ΑΣΚΗΣΗ 42η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 222 2αγβ =+ Αν η διάmicroεσος ΑΜ τέmicroνει το περιγεγραmicromicroένο
κύκλο του τριγώνου στο ∆ να δείξετε ότι
α) 6
3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
38
ΑΣΚΗΣΗ 43η
Από ένα εξωτερικό σηmicroείο Α κύκλου ( )RΟ φέρουmicroε microια τέmicroνουσα ΑΒΓ έτσι ώστε
ΒΓ=ΑΒ Αν 7R=ΟΑ τότε να δείξετε ότι
i) ΒΓ=ΑΒ =λ3
ii) η γωνία and
ΑΟΓ είναι αmicroβλεία
iii) η προβολή της ΟΓ πάνω στην ΟΑ είναι ίση microε ΟΑ7
2
iv) Να δείξετε ότι ( )( ) 2
1=
ΑΟΓΒΟΓ
και στην συνέχεια να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του τριγώνου
and
ΑΟΓ
v) Να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που ορίζεται από την χορδή ΒΓ και
το microέτρο του τόξου cap
ΒΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
39
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
40
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
14
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Οι πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου έχουν microήκη x x+1 και x+2 Η περίmicroετρος του
τριγώνου αυτού είναι
Α 3 Β 6 Γ 10 ∆ 12 Ε 15
Επιλέξτε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε
2 Θεωρούmicroε διάmicroετρο ΑΒ κύκλου (ΟR) και τις κάθετες ακτίνες ΟΓ και Ο∆ Αν Ε και
Ζ οι προβολές των Γ και ∆ αντίστοιχα στην ΑΒ να αποδειχθεί ότι
i) Τα τρίγωνα ΟΕΓ και Ζ∆Ο είναι ίσα
ii) 222 R=ΟΖ+ΟΕ
3 Έστω ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο )90( Οand
=Α και Β∆ η διάmicroεσός του Να αποδειχθεί
ότι 222
4
3ΒΓ=ΑΓ+Β∆
4 Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο ΑΟΒ κύκλου (ΟR) και τη διχοτόmicroο ΟΜ της γωνίας and
ΟΒΑ Από σηmicroείο Γ του τόξου cap
ΑΒ φέρουmicroε ΟΒperpΓ∆ που τέmicroνει την ευθεία
ΟΜ στο σηmicroείο Ε Να αποδειχθεί ότι α) ∆Ε=Ο∆ β) 222 R=∆Ε+∆Γ
5 Αν σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά
τmicroήmicroα Γ∆=2ΒΓ να αποδειχθεί ότι 222 6ΒΓ+ΑΓ=Α∆
6 Αν ∆ σηmicroείο της πλευράς ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) να αποδειχθεί ότι
22 ∆Γsdot∆Β=Α∆minusΑΒ
7 Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω
περιπτώσεις όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί
να αποτελεί microήκη των πλευρών του i) 357 ii) 842 iii) 76 85
8 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ πληρούν τη σχέση 222 βαγ +lt
τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο
9 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ πληρούν τις σχέσεις αltβltγ και 222 βαγ +lt τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο
10 Αν τα microήκη αβ και γ των πλευρών ΑΒΓ πληρούν τη σχέση 444 γβα +lt τότε να
αποδειχθεί ότι 90Οand
ltΑ
11 Θεωρούmicroε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και σηmicroείο ∆ της ηmicroιευθείας ΑΒ
τέτοιο ώστε Β∆=ΑΒ Αν ΑΒperpΓΕ και είναι ΑΒ=4ΒΕ να αποδειχθεί ότι
2
3 222 ΑΓ+ΒΓ=Γ∆
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
15
12 Θεωρούmicroε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α τη διχοτόmicroο Γχ της εξωτερικής
γωνίας εξΓ
and
αυτού την κάθετη xΓperpΒΕ και την κάθετη ΑΓperpΕΖ
Να αποδειχθεί ότι i)4
α=ΓΖ ii)
2
7α=ΑΕ
13 Εκατέρωθεν της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ κατασκευάζουmicroε δύο ισόπλευρα
τρίγωνα ΒΓ∆ και ΒΓΕ Να αποδειχθεί ότι 22222 γβα ++=ΑΕ+Α∆
14 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ τα microήκη των πλευρών του οποίου συνδέονται microε τη σχέση
2 222 αγβ =+ Nα αποδειχθεί ότι α) 2
βmicro +2
γmicro =2
2 αmicro
β) 2
3αmicroα =
2
3γmicroβ =
2
3βmicroγ =
15 Θεωρούmicroε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ )90( Οand
=Α και τη διάmicroεσό του ΒΕ
α) Να αποδειχθεί ότι 222
4
3ΒΓ=ΑΓ+ΒΕ β) Αν Α∆ είναι η διάmicroεσος του
τριγώνου ΑΒΓ ΒΕ= 14 και o60=Β∆Α
and
να υπολογιστούν τα microήκη των πλευρών
του τριγώνου ΑΒΓ
16 Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει γβ micromicro perp τότε να αποδειχθεί ότι 222
αγβ micromicromicro =+
17 Αν ΒΒ΄ το ύψος τριγώνου ΑΒΓ microε o90ltΑ
and
και ΑΜ η διάmicroεσός του τότε να
αποδειχθεί ότι 4
22 ΄ΑΒsdotΑΓ+
ΒΓ=ΑΜ
18 Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ )90( Οand
=Α η διάmicroεσος του ΑΜ και ευθεία (ε)
κάθετη στην ΑΜ στο Μ Αν Ρ σηmicroείο της (ε) να αποδειχθεί ότι 222 2ΡΑ=ΡΓ+ΡΒ
19 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ ΑΜ διάmicroεσος η οποία προεκτεινόmicroενη τέmicroνει τον
περιγεγραmicromicroένο κύκλο (ΟR) στο ∆ και Θ το βαρύκεντρο του τριγώνου
Να δειχθεί ότι i)4
2α=Μ∆sdotΜΑ ii)
ΘΟ∆ )( R )(
9
1 222 γβα ++minus=
iii) AB2+AΓ
2=2ΑΜsdotΑ∆
20 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόmicroος του Α∆ Αν οι κύκλοι οι περιγεγραmicromicroένοι στα
τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓ∆ τέmicroνουν τις ΑΓ και ΑΒ στα σηmicroεία Ζ και Ε αντίστοιχα να
αποδειχθεί ότι ΒΕ=ΓΖ
21 Κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι εγγράψιmicroο σε κύκλο Αν το σηmicroείο τοmicroής Μ των
διαγωνίων του είναι microέσο της διαγωνίου Β∆ να αποδειχθεί ότι
i) ΜΓsdotΜΑ=∆Β 42 ii) 2 22222 ΑΓ=∆Α+Γ∆+ΒΓ+ΑΒ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
16
22 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) διαmicroέτρου ΑΒ Από ένα σηmicroείο Γ της προέκτασης της ΑΒ
προς το Β φέρνουmicroε την εφαπτοmicroένη Γ∆ και την ΑΓperpΓx Αν Ε είναι το σηmicroείο
τοmicroής των Α∆ και Γx να αποδειχθεί ότι
i) το τετράπλευρο ∆ΒΓΕ είναι εγγράψιmicroο ii) ΑΕsdotΑ∆minusΓΑ=Γ∆ 22
23 ∆ύο κύκλοι (ΚR) και
Λ2
R
εφάπτονται εσωτερικά στο Α Από ένα σηmicroείο Μ του
κύκλου
Λ2
R
φέρνουmicroε χορδή Γ∆ του κύκλου (ΚR) Να αποδειχθεί ότι
ΜΓΜ∆=ΜΑ2
24 Θεωρούmicroε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α και σηmicroείο ∆ της πλευράς ΒΓ Αν οι
περιγεγραmicromicroένοι κύκλοι στα τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓ∆ τέmicroνουν τις πλευρές ΑΓ και ΑΒ
στα σηmicroεία Ε και Ζ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι ΒΖ+ΓΕ=α
25 Στη διάmicroετρο ΑΒ κύκλου (ΟR) θεωρούmicroε τα σηmicroεία Γ και ∆ έτσι ώστε ΟΓ=Ο∆=α
και microεταβλητό σηmicroείο Μ του κύκλου Αν οι ΜΓ και Μ∆ τέmicroνουν τον κύκλο στα Ε
και Ζ αντίστοιχα να αποδείξετε ότι i) ΜΓΓΕ = Μ∆∆Ζ ii)
ΜΓ2+Μ∆
2 = 2(R
2+α
2) iii) το άθροισmicroα
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
είναι σταθερό
26 Θεωρούmicroε κύκλο (O2α) και σηmicroείο Ρ τέτοιο ώστε ΟΡ=2
3α Φέρουmicroε χορδή ΑΒ η
οποία διέρχεται από το Ρ και είναι τέτοια ώστε ΑΡ=α Να υπολογιστεί το microήκος της
χορδής ΑΒ
27 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) διάmicroετρο ΑΒ και τα microέσα Γ και ∆ των ΟΑ και ΟΒ
αντίστοιχα Από το σηmicroείο Γ φέρουmicroε χορδή ΕΖ = 2
13 Rsdot Να αποδειχθεί ότι
i) ΖΓ2+Ζ∆
2+ΓΕ
2+∆Ε
2=5R
2 ii)
and
Ε∆Ζ = 900
28 Έστω ΑΒ διάmicroετρος κύκλου (ΟR) και ΑΓ Β∆ δύο χορδές που τέmicroνονται στο Ρ Να
αποδειχθεί ότι i) αν οι Α∆ και ΒΓ τέmicroνονται στο Ε τότε το Ρ είναι ορθόκεντρο του
τριγώνου ΕΑΒ ii) ΑΓΑΡ+Β∆ΒΡ=ΑΒ2
29 Τρίγωνο ΑΒΓ microε β2+γ
2=2α
2 Β∆ ΓΕ ύψη ΑΜ διάmicroεσος και Ζ microέσο της ΑΜ Να
αποδειχθεί ότι i)and
Α lt900 ii) AE =
γα2
2
και ΑΜ = 2
3α iii) ΕΖ =
γαβ4
Ζ∆ = β
αγ4
30 Σε τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούmicroε σηmicroεία ∆Ε στην πλευρά ΒΓ ώστε Β∆ = ∆Ε = ΕΓ Να
αποδείξετε ότι i) AB2 ndash 2∆E
2 = 2A∆
2 ndash AE
2 ii) AB
2 + 2AΓ
2 = 3AE
2 +
6∆E2
31 Αν α β γ πλευρές τριγώνου να βρεθεί το είδος του τριγώνου στις παρακάτω περι-
πτώσεις i) α = ν2 + 1 β = 2ν γ = ν
2 ndash 1
ii) α = 4 β = 5 γ = 3
iii) α = 11 β = 13 γ = 12
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
17
32 Αν Ε ∆ Ζ microέσα των ΑΓ ΒΓ Β∆ αντίστοιχα ενός τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε ότι
i) Ε∆=2
1ΑΒ ii) ΕΖ
2 =
16
263 222 βminusγ+α
33 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ = 6 ΑΓ = 8 ΒΓ = 2 37 να αποδειχθεί ότι
i) ο120=Α
and
ii) να βρεθεί το microήκος Α∆ όπου Β∆ ύψος τριγώνου
iii) να βρεθεί το microήκος της διαmicroέσου microα
34 Σε τρίγωνο ΑΒΓ microε πλευρές α = 9 β = 7 γ = 4 να βρείτε i) το είδος του τριγώνου
ii) το microήκος της διαmicroέσου microα iii) την προβολή της διαmicroέσου microα πάνω στην
ΒΓ iv) την προβολή της πλευράς β πάνω στην γ
35 Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ο90=Α
and
ΑΜ διάmicroεσος και Ρ το microέσο
της ΑΜ Στην πλευρά ΒΓ = α παίρνουmicroε σηmicroείο Κ ώστε ΓΚ = 8
5α Να αποδειχθεί
ότι i) ΓΡ2 =
16
5 2α ii) ΡΚ
2 =
64
5 2α iii) ΡΓ = 2ΚΡ
36 Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε ο90=Α
and
α = 25 και β = 20 αν x είναι η προβολή της
πλευράς β πάνω στην πλευρά α τότε
i) η πλευρά γ έχει microήκος Α10 Β12 Γ13 ∆15 Ε21
ii) το ύψος υα έχει microήκος Α9 Β7 Γ12 ∆17 Ε5
iii) το τmicroήmicroα x έχει microήκος Α10 Β12 Γ17 ∆16 Ε21
(Να αιτιολογήσετε την απάντηση)
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
18
ΕΜΒΑ∆Α
ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ
Ας θεωρήσουmicroε ένα πολύγωνο
Ένα σχήmicroα που αποτελείται από πεπερασmicroένο πλήθος πολυγωνικών χωρίων που ανά δύο δεν
έχουν κοινά εσωτερικά σηmicroεία λέγεται πολυγωνική επιφάνεια
Ίσα πολυγωνικά χωρία έχουν ίσα εmicroβαδά
Αν ένα πολυγωνικό χωρίο (ή microια πολυγωνική επιφάνεια) χωρίζεται σε πεπερασmicroένου
πλήθους πολυγωνικά χωρία που δεν έχουν κοινά εσωτερικά σηmicroεία τότε το εmicroβαδόν του
ισούται microε το άθροισmicroα των εmicroβαδών των επιmicroέρους πολυγωνικών χωρίων
Το εmicroβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς 1 είναι 1
∆ύο σχήmicroατα που έχουν το ίδιο εmicroβαδόν ονοmicroάζονται ισεmicroβαδικά ή ισοδύναmicroα
Το πολύγωνο microαζί microε τα εσωτερικά του
στοιχεία ονοmicroάζεται πολυγωνικό χωρίο
Ένα πολυγωνικό χωρίο που ορίζεται από
τρίγωνο τετράγωνοhellipν-γωνο ονοmicroάζεται
τριγωνικό πολυγωνικόhellip ν-γωνικό
∆ύο πολυγωνικά χωρία λέγονται ίσα όταν τα
αντίστοιχα πολύγωνά τους είναι ίσα
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
19
ΕΜΒΑ∆Α ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
Το εmicroβαδόν τετραγώνου πλευράς α δίνεται από τον τύπο 2α=Ε
Το εmicroβαδόν ενός ορθογωνίου ισούται microε το γινόmicroενο των πλευρών του βα sdot=Ε
Το εmicroβαδόν ενός παραλληλογράmicromicroου ισούται microε το γινόmicroενο microιας πλευράς του επί το ύψος
που αντιστοιχεί σε αυτή
βα υβυα sdot=sdot=Ε
Το εmicroβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο microε το ηmicroιγινόmicroενο microιας πλευράς επί το αντίστοιχο ύψος
γβα υγυβυα sdot=sdot=sdot=Ε2
1
2
1
2
1
Το εmicroβαδόν τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο του ηmicroιαθροίσmicroατος των βάσεων του επί το
ύψος του υβsdot
+Β=Ε
2
Το εmicroβαδόν τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο της διαmicroέσου επί το ύψος του
bull Το εmicroβαδόν ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς α είναι ίσο microε 4
32α=Ε
bull Το εmicroβαδόν ρόmicroβου ισούται microε το ηmicroιγινόmicroενο των διαγωνίων του
bull Το εmicroβαδόν οποιουδήποτε κυρτού ή microη κυρτού τετραπλεύρου microε κάθετες διαγωνίους
ισούται microε το ηmicroιγινόmicroενο των διαγωνίων του
bull Η διάmicroεσος κάθε τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
bull Το βαρύκεντρο τριγώνου έχει την ιδιότητα να δηmicroιουργεί microε τις κορυφές του τριγώνου τρία
ισεmicroβαδικά τρίγωνα
bull Το βαρύκεντρου του τριγώνου οι κορυφές του και τα microέσα των πλευρών του ορίζουν έξι
ισεmicroβαδικά τρίγωνα
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
20
ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΕΜΒΑ∆ΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
( )( )( )γτβταττ minusminusminus=Ε όπου 2
γβατ
++= ηmicroιπερίmicroετρος του τριγώνου
ρτ sdot=Ε
R4
γβα sdotsdot=Ε
Γsdotsdot=Βsdotsdot=Αsdotsdot=Ε ηmicroβαηmicroαγηmicroγβ2
1
2
1
2
1
ΕΜΒΑ∆Α ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
Αν δύο τρίγωνα έχουν ίσες βάσεις τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο των
αντίστοιχων υψών ενώ αν έχουν ίσα ύψη τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο
των αντίστοιχων βάσεων
Αν δύο τρίγωνα είναι όmicroοια τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το τετράγωνο του
λόγου οmicroοιότητας
Ο λόγος των εmicroβαδών δύο όmicroοιων πολυγώνων είναι ίσος microε το τετράγωνο του λόγου
οmicroοιότητας
Αν microια γωνία ενός τριγώνου είναι ίση ή παραπληρωmicroατική microε microια γωνία ενός άλλου
τριγώνου τότε ο λόγος των εmicroβαδών των δύο τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο των γινοmicroένων
των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
21
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Αν ΑΒΓ∆ τραπέζιο ( Γ∆ΑΒ ) και Ο το σηmicroείο τοmicroής των διαγωνίων του ΑΓ και
Β∆ να αποδείξετε ότι ΟΑ∆ΟΒΓ Ε=Ε
2 Ένα τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) και ΒΓ=Γ∆=Α∆ και τη βάση ΑΒ κατά 2 microικρότερη
από το άθροισmicroα των τριών αυτών πλευρών Αν το ύψος του τραπεζίου είναι 5 να
υπολογιστεί το εmicroβαδό του
3 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ microε microήκη πλευρών α=10 β=8 γ=14 και ισόπλευρο τρίγωνο
∆ΕΖ το οποίο είναι ισοδύναmicroο microε το ΑΒΓ Το microήκος της πλευράς του ισόπλευρου
τριγώνου ∆ΕΖ είναι
Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20
Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε
4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=2 ΒΗ ύψος και η διάmicroεσος Β∆=1 Αν and
∆ΑΒ =30ο να
υπολογιστούν α) τα ΒΗ Η∆ ΑΗ
β) το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ
5 Με υποτείνουσες τις κάθετες πλευρές ΑΒ και ΑΓ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ microε
β+γ=20 κατασκευάζουmicroε ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓΕ εκτός
αυτού
α) Να αποδείξετε ότι τα σηmicroεία ∆ΑΕ είναι συνευθειακά
β) Να βρείτε το εmicroβαδό του τετραπλεύρου ΒΓΕ∆
6 Προεκτείνουmicroε τις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ ενός τριγώνου ΑΒΓ κατά τmicroήmicroατα
Γ∆=ΓΒ ΑΕ=ΑΓ και ΒΖ=ΒΑ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι (∆ΕΖ) = 7(ΑΒΓ)
7 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Μ στο εσωτερικό του Φέρνουmicroε από το Μ
παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των
σχηmicroατιζόmicroενων τριγώνων και Ε το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε
ότι 321 Ε+Ε+Ε=Ε
8 Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ που τέmicroνει τις πλευρές ΑΒ
και ΑΓ στα σηmicroεία ∆ και Ε αντίστοιχα Να αποδείξετε ότι (ΑΒΕ)2=(ΑΒΓ)(Α∆Ε)
9 Από σηmicroείο ∆ της πλευράς ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη προς την
πλευρά ΒΓ που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των τριγώνων
Α∆Ε Α∆Γ και ΑΒΓ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι 31
2
2 ΕsdotΕ=Ε
10 Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Α΄ της πλευράς του ΒΓ Από τα Β και Γ
φέρνουmicroε παράλληλες προς την ΑΑ΄ που τέmicroνουν τις ευθείες ΑΓ και ΑΒ στα σηmicroεία
Γ΄ και Β΄ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι
α) (ΑΑ΄Γ΄) = (ΑΒΑ΄) και (ΑΑ΄Β΄) = (ΑΓΑ΄)
β) (Α´ô) = (ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
22
11 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ microε ΑΒ=10 Α∆=4 και and
∆ =60ο Στην πλευρά ΑΒ
θεωρούmicroε τα σηmicroεία Ε και Ζ έτσι ώστε ΑΕ=ΕΖ=ΖΒ Αν Η είναι το σηmicroείο τοmicroής των
ευθειών ∆Ε και ΓΖ να υπολογιστούν
α) το εmicroβαδό του παραλληλογράmicromicroου ΑΒΓ∆
β) το εmicroβαδό του τραπεζίου Γ∆ΕΖ
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου ΗΕΖ
12 ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=ΑΓ=6 και ο120=Α
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του
β) Αν Ε σηmicroείο της ΑΓ τέτοιο ώστε ΓΕ=ΑΕ2
1 και Α∆ το ύψος του τριγώνου
ΑΒΓ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ∆ΕΓ
γ) Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει τη ∆Ε στο Η να βρεθεί το εmicroβαδό
του τριγώνου ΑΕΗ
13 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Ρ στο εσωτερικό του Από το Ρ φέρνουmicroε κάθετες
ηmicroιευθείες στις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ και πάνω σrsquo αυτές παίρνουmicroε τα σηmicroεία Α΄
Β΄ και Γ΄ αντίστοιχα έτσι ώστε ΡΑ΄=ΒΓ ΡΒ΄=ΑΓ και ΡΓ΄=ΑΒ Να αποδειχθεί ότι
α) οι γωνίες and
Γ και and
ΒprimeΡΑprime είναι παραπληρωmicroατικές
β) (ΡΑ΄Β΄)=(ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)
14 Θεωρούmicroε τρεις ίσες διαδοχικές γωνίες and
οψx zand
οψ xzand
ο και πάνω στις
ηmicroιευθείες Οx Oψ και Οz τα σηmicroεία Α Β Γ αντίστοιχα έτσι ώστε ΟΑ=1 ΟΒ=4 και
ΟΓ=8
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ψοand
x zand
οψ xzand
ο
β) Αν Οw η αντικείmicroενη ηmicroιευθεία της Οψ και Γ∆ wΟperp να υπολογίσετε τις Ο∆ και
Γ∆
γ) Να υπολογίσετε το (ΟΒΓ)
δ) Να αποδείξετε ότι (ΑΒΓ)= 311
15 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ και Κ Λ Μ Ν τα microέσα των ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α
αντίστοιχα α) Να αποδειχθεί ότι (ΚΛΜΝ)=2
1(ΑΒΓ∆)
β) Αν ΚΜ ΛΝperp να αποδειχθεί ότι (ΑΒΓ∆) = ΚΜΛΝ
16 Λ
Α Β Στο διπλανό σχήmicroα τα σηmicroεία Κ Λ είναι τα
Κ Ρ microέσα των τmicroηmicroάτων ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα
Να αποδείξετε ότι
Γ α) ο λόγος των εmicroβαδών των τριγώνων ΑΚΒ και ΑΛΓ είναι ίσος microε
β) αν Ρ είναι το σηmicroείο τοmicroής των ΛΓ και ΚΒ τότε τα τρίγωνα ΒΛΡ
και ΚΓΡ έχουν ίσα εmicroβαδά
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
23
17 ∆ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) microε ΑΒ=4 Α∆=2 καιο60=∆
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τραπεζίου ΑΒΓ∆
β) Αν Ε σηmicroείο της πλευράς ΑΒ τέτοιο ώστε ΕΒ= ΑΒ4
1 και οι Ε∆ ΕΓ τέmicroνουν τη
διάmicroεσο του τραπεζίου στα σηmicroεία Ζ και Η αντίστοιχα να βρεθεί το εmicroβαδό του
τριγώνου ΕΖΗ
γ) Αν οι ∆Ε και ΒΓ τέmicroνονται στο Ρ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ΡΕΒ
18 Αν οι διαγώνιοι κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓ∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο να αποδείξετε ότι
το τετράπλευρο έχει εmicroβαδό Β∆sdotΑΓ4
1
19 Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται ΑΒ=5 ο60=Α
and
και η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου
κύκλου 3
7=R Να βρεθούν οι άλλες δύο πλευρές του τριγώνου και το εmicroβαδόν του
20
∆ Ζ Γ
υ
Α Ε Η Β
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m
90ο=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος ∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο
οποίος θα χωρίζει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆ και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο
ΑΕ∆
δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου ∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
21 Αν Μ και Ν είναι τα microέσα των πλευρών ΒΓ και Γ∆ ενός παραλληλόγραmicromicroου ΑΒΓ∆
να αποδείξετε ότι (ΑΜΝ)= )(8
3ΑΒΓ∆
22 Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) θεωρούmicroε το microέσο Μ της πλευράς ΑΒ
και σηmicroείο Ν της πλευράς ΑΓ τέτοιο ώστε 3
ΑΓ=ΓΝ Να δειχθεί ότι
(ΜΝΒ)= )(3
1ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
24
23 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και τυχαίο σηmicroείο Σ στην προέκταση της πλευράς
∆Γ προς το Γ Να αποδείξετε ότι
α) (ΑΒ∆)= )(2
1ΑΒΓ∆
β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)
γ) αν η ΑΣ τέmicroνει την Β∆ στο σηmicroείο Ε τότε (Ε∆Σ)-(ΕΑΒ)=(ΣΒΓ)
24 Έστω Σ τυχαίο σηmicroείο της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ Στο σηmicroείο Α φέρουmicroε
microια ευθεία ε κάθετη στην ΑΣ Αν ∆ και Ε είναι αντίστοιχα οι προβολές των σηmicroείων
Β και Γ στην ευθεία ε να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ∆ΣΕ είναι ισοδύναmicroα
25 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 8=ΑΒ 12=ΑΓ και η Α∆ διχοτόmicroος της γωνίας and
Α Αν
( )ΑΒ∆ =20 τmicro να βρείτε το ( )ΑΒΓ
26 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ∆ σηmicroείο της πλευράς ΑΒέτσι ώστε 6=Α∆ ∆Β=5
8=ΑΓ Αν 80=Α
and
να βρείτε το εmicroβαδόν του τριγώνου Β∆Γ
27 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ microε 90=Β
and
και η γωνία and
Α να είναι το 3
1 της ορθής Αν
∆ σηmicroείο της προέκτασης της πλευράς ΒΓ προς το Γ τέτοιο ώστε η 30=Α∆Β
and
να
βρεθεί ο λόγος ( )( )ΑΒ∆ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
25
ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ
ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ
Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του
ίσες
Γωνία κανονικού ν-γώνου ν
φν
360
180 minus=
Κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου ν
ων
360=
Σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας R ισχύουν οι εξής τύποι 2
22
4R=+ ν
ν
λα
νν λν sdot=Ρ
ννν αsdotΡ=Ε2
1
όπου να απόστηmicroα νλ πλευρά νΡ περίmicroετρος νΕ εmicroβαδόν
∆ύο κανονικά πολύγωνα microε τον ίδιο αριθmicroό πλευρών είναι όmicroοια
Κάθε κανονικό πολύγωνο εγγράφεται σε έναν κύκλο και περιγράφεται σε έναν άλλον Οι δύο
αυτοί κύκλοι είναι οmicroόκεντροι
bull Το κοινό κέντρο τον κύκλων αυτών λέγεται κέντρο του πολυγώνου
bull Η ακτίνα R του περιγεγραmicromicroένου κύκλου λέγεται ακτίνα του πολυγώνου
bull Η απόσταση του κέντρου από microια πλευρά του δηλαδή η ακτίνα του εγγεγραmicromicroένου
κύκλου λέγεται απόστηmicroα του πολυγώνου
Σε δύο κανονικά ν-γωνα ο λόγος των πλευρών τους ισούται microε το λόγο των ακτινών τους και
το λόγο των αποστηmicroάτων τους
∆ηλαδή
ν
ν
ν
ν
αα
λλ
==R
R
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
26
ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ
ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ
ΚΑΝΟΝΙΚΟ
ΕΞΑΓΩΝΟ
ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ
ΤΡΙΓΩΝΟ
ΠΛΕΥΡΑ νλ 24 R=λ R=6λ 33 R=λ
ΑΠΟΣΤΗΜΑ να
2
24
R=α
2
36
R=α
23
R=α
RL sdot= π2
180
microπ sdotsdot=
Rl ή Rl sdot=α
180
microαπ
=
2Rsdot=Ε π
( )360
2 microπ sdotsdot=ΟΑΒ
cap R ή ( )
cap
sdot=ΟΑΒ 2
2
1Rα
( ) ( )ΟΑΒminusΟΑΒ=cap
ε
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
27
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Ένα κανονικό εξάγωνο είναι περιγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ορ) Η πλευρά του
εξαγώνου αυτού είναι
Α ρ Β 2
3ρ Γ 2ρ ∆
3
32ρ Ε
3
2ρ
2 ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και στις προεκτάσεις των
πλευρών ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α θεωρούmicroε τα τmicroήmicroατα ΒΚ=ΓΛ=∆Μ=ΑΝ=λ3 Να δείξετε
ότι το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο και ότι η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου κύκλου του
είναι 641 += RR
3 Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε δύο παράλληλες χορδές ΑΒ=λ4 και Γ∆=λ6 Να
αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι ισοσκελές τραπέζιο και να υπολογιστεί
το εmicroβαδό του ως συνάρτηση της ακτίνας R
4 Η περίmicroετρος ενός κυκλικού τοmicroέα ΟΑΒ ενός κύκλου (ΟR) είναι 6+π Αν
ο60=ΒΟΑand
τότε το microήκος της ακτίνας R είναι
Α 6 Β 3 Γ 2 ∆ 4 Ε 5 (δικαιολογήστε την απάντησή σας)
5 Έστω τεταρτοκύκλιο ΟΑΒ ακτίνας R και ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΟΒ στο εσωτερικό
του Να βρείτε το εmicroβαδό και την περίmicroετρο του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΑΒ
6 Έστω δύο κύκλοι (ΟR) και (Ο΄R) των οποίων η διάmicroετρος ΟΟ΄ έχει microήκος
ΟΟ΄=R 3 α) Να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι τέmicroνονται
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινού microέρους των δύο κύκλων
7 Το εmicroβαδό κυκλικού τοmicroέα 80ο είναι 8π Η ακτίνα του κύκλου είναι
Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15
8 Τετράγωνο ΑΒΓ∆ είναι εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και η ηmicroιπερίmicroετρος του
είναι 80cm Να υπολογιστούν
α) η ακτίνα R του κύκλου
β) ο λόγος του εmicroβαδού του κύκλου προς το εmicroβαδό του τετραγώνου
9 Στο εσωτερικό ηmicroικυκλίου διαmicroέτρου ΑΟΒ=2R γράφουmicroε ηmicroικύκλια microε
διαmicroέτρους ΟΑ και ΟΒ Να υπολογιστεί το microήκος και το εmicroβαδό του κύκλου που
εφάπτεται των τριών ηmicroικυκλίων
10 ∆ύο κύκλοι (Ο3R) και (Ο΄R) εφάπτονται εξωτερικά στο σηmicroείο Α Φέρουmicroε την
κοινή εξωτερική εφαπτόmicroενη ΒΓ αυτών Να βρεθεί το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου
τριγώνου ΑΒΓ και του περιγεγραmicromicroένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ
11 Έστω ο κύκλος (ΟR) και microια ακτίνα του ΟΑ Στην ηmicroιευθεία ΟΑ θεωρούmicroε
σηmicroείοΒ έτσι ώστε ΑΒ=ΑΟ Αν ΒΓ η εφαπτοmicroένη του κύκλου να βρεθεί το
εmicroβαδό α) του τριγώνου ΟΒΓ και β) του microικτόγραmicromicroου τριγώνου
ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
28
12 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=λ3 και Γ∆=λ6
προς το ίδιο microέρος του κέντρου Ο α) Να εκφράσετε τις χορδές ΑΒ και Γ∆ ως
συνάρτηση της ακτίνας R β) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό Ε1 του κυκλικού τmicroήmicroατος
που αντιστοιχεί στη χορδή Γ∆ γ) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό του τριγώνου ΟΑΒ
δ) Να βρείτε την περίmicroετρο και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τραπεζίου που έχει
κορυφές τα ΑΒΓ∆
13 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) χορδή ΑΒ=R την εφαπτοmicroένη ε του κύκλου στο σηmicroείο
Α και τη εperpΒΓ Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του τραπεζίου ΟΑΓΒ
β) το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
14 ∆ίνεται ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΑΒ και στο εσωτερικό του τα ηmicroικύκλια διαmicroέτρων
ΑΓ και ΓΒ όπου Γ σηmicroείο microεταξύ των Α και Β Αν κάθετη της ΑΒ στο Γ τέmicroνει το
αρχικό ηmicroικύκλιο στο ∆ να αποδείξετε ότι το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται
microεταξύ των τριών ηmicroικυκλίων είναι ίσο microε το εmicroβαδό του κύκλου διαmicroέτρου Γ∆
15 Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ο60=Β
and
και ΒΓ=α Με
κέντρο το Β και ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει τη ΒΓ στο Μ και microε κέντρο
το Γ και ακτίνα ΓΜ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν Να βρεθεί η
περίmicroετρος και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
16 Με κέντρο ένα σηmicroείο Κ κύκλου (ΟR) και ακτίνα ίση προς R 3 γράφουmicroε
κύκλο ο οποίος τέmicroνει τον (ΟR) στα σηmicroεία Α και Β Να υπολογιστούν η
περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου microηνίσκου
17 ∆ίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ΒΓ = 2R
Γράφουmicroε ηmicroικύκλιο microε διάmicroετρο ΒΓ εκτός τριγώνου και τόξο κύκλου (Α ΑΒ) microε
άκρα Β και Γ Να βρεθεί η περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου
microηνίσκου από το ηmicroικύκλιο και το τόξο αυτό
18 Ένα ορθογώνιο σπίτι microε διαστάσεις α = 20m και β = 10m έχει microια εξωτερική
πρίζα σε microια γωνία του Ένα χορτοκοπτικό microηχάνηmicroα συνδεδεmicroένο microε την πρίζα
έχει καλώδιο microε microήκος 15m Να βρεθεί το εmicroβαδόν της microεγαλύτερης επιφάνειας
του χόρτου που microπορεί να κοπεί
19 Σε κύκλο ακτίνας R = 4cm είναι εγγεγραmicromicroένο ισόπλευρο τρίγωνο
Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του κύκλου
β) την πλευρά του τριγώνου
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου
δ) το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται microεταξύ του κύκλου και του τριγώνου
20 Σε κύκλο microε διάmicroετρο ΑΒ φέρουmicroε τις χορδές ΜΒΑΜ Αν είναι 6=ΑΜ και
8=ΒΜ να βρεθεί η ακτίνα και το εmicroβαδόν του κύκλου
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
29
21 Να βρεθεί το εmicroβαδόν του καθενός από τα δύο microέρη στα οποία διαιρείται ένας
κύκλος ( )RΟ από την πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραmicromicroένου στον κύκλο
αυτόν
22 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και φέρουmicroε δύο κάθετες ακτίνες ΟΑ και ΟΒ Με
κέντρο το Α και ακτίνα R γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει το cap
AB στο σηmicroείο Γ Να
βρεθεί το εmicroβαδόν του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΒΓ
23 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και τόξο 60=ΑΒ
cap
Φέρουmicroε στο σηmicroείο Α την
εφαπτοmicroένη χΑ του κύκλου και την χΑperpΒΓ Να βρεθεί το εmicroβαδόν του
microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
30
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΗ 1η
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α∆ διχοτόmicroος Β∆ = 2 Γ∆ = 3 και 2τ = 15 (περίmicroετρος) η πλευρά
ΑΒ είναι
Α 3 Β 4 Γ 5 ∆ 6 Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 2η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 3α2 + 2γ
2 = 2β
2 Τότε
i) Α and
Α gt90ο Β
and
Β gt 90ο Γ
and
Β lt 90ο ∆
and
Γ gt 90ο Ε Κανένα από τα παραπάνω
ii) Η προβολή της διαmicroέσου microα στην ΒΓ ισούται microε
Α 4
a Β
2
a Γ
4
3a ∆
2
3a Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 3η
Αν ΑΒΓ∆ τετράγωνο πλευράς α και Ε microέσο του Α∆ τότε
i) ΒΕ =2
5α Σ Λ
ii) Ο λόγος ΒΕΕΖ
ισούται microε
Α 5
2 Β
4
5 Γ
4
1 ∆
5
1 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
Α Β
E
Z
∆ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 4η
Αν τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=4 ΒΓ=5 ΑΓ=6 και Α∆ διχοτόmicroος τότε
i) -Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο Σ Λ
- Ο λόγος ∆Γ∆Β
ισούται microε
Α 2
1 Β
3
1 Γ
3
2 ∆
4
3 Ε
2
3
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ii) Αν ε η προβολή του Α στην ΒΓ να υπολογίσετε το microήκος του ΒΕ
iii) Να αποδείξετε ότι 2
1=
∆Γ∆Ε
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
31
ΑΣΚΗΣΗ 5η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και Μ το microέσο της Α∆ Προεκτείνουmicroε τη ∆Γ προς το Γ
κατά ΓΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΒΜ)=2
)(ΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τραπεζίου ΑΒΕ∆ είναι οκταπλάσιο από το εmicroβαδόν του
τριγώνου ΑΒΜ
ΑΣΚΗΣΗ 6η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναιuα =3ρ όπου ρ του εγγεγραmicromicroένου κύκλου του τριγώνου Ο λόγος
αγβ +
ισούται microε Α 2 Β 3 Γ 3
1 ∆
2
3 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ΑΣΚΗΣΗ 7η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάmicroεσός του Α∆ Προεκτείνουmicroε την ΒΑ προς το Α κατά τmicroήmicroα
ΑΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι (ΒΕ∆)=3(Α∆Γ)
ΑΣΚΗΣΗ 8η
Στο εσωτερικό της αυλής ενός σπιτιού υπάρχει microικρός κήπος microε λαχανικά όπως στο
ακόλουθο σχήmicroα Αν το εmicroβαδόν του κήπου είναι 122m και οι διαστάσεις της αυλής είναι
12m και 13m να βρεθεί το x Αν θέλουmicroε να περιφράξουmicroε τον κήπο microε σύρmicroα πόσο σύρmicroα
θα χρειαστούmicroε
12m
13m
ΑΣΚΗΣΗ 9η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ Από τυχαίο σηmicroείο Ε της ΑΓ φέρουmicroε ευθεία παράλληλη
προς την Α∆ που τέmicroνει την Γ∆ στο Ζ Να αποδείξετε ότι
i) (Α∆Ζ)=(ΑΕΒ)
ii) (ΑΕΖ)=(ΒΕΓ)-(ΖΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 10η
Οι διάmicroεσοι Β∆ και ΓΕ τριγώνου ΑΒΓ τέmicroνονται στο Θ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΕ∆)=4
)(ΑΒΓ
ii) (ΒΘΓ)= 3
)(ΑΒΓ
iii)(ΑΕ∆)= (ΒΚΛΓ) όπου Κ Λ τα microέσα των ΒΘ και ΓΘ αντίστοιχα
x
x x
x
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
32
ΑΣΚΗΣΗ 11η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε τη διχοτόmicroο Α∆ Από το ∆ φέρνουmicroε παράλληλη προς την ΑΒ
που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει την προέκταση της
∆Ε στο Ζ να αποδείξετε ότι
α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)
β) β2(ΑΕΖ) = γ
2(∆ΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 12η
Θεωρούmicroε γωνία yxand
Α και σηmicroείο Ο της διχοτόmicroου της Αδ Αν ο κύκλος (ΟΟΑ) τέmicroνει τις
Οx Οy στα Β Γ αντίστοιχα και την Αδ στο ∆ να αποδείξετε ότι
α) (ΟΑΒ)=(ΟΑΓ)
β) (ΒΟΓ∆)=(ΑΒ∆)
γ) (ΒΟΓ∆)=2
1(ΟΑ)(ΒΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 13η
Από εσωτερικό σηmicroείο Μ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλες προς τις
πλευρές ΑΓ και ΑΒ που τέmicroνουν τις ΑΒ ΑΓ στα ∆ Ζ αντίστοιχα Αν (ΒΜ)=x (ΒΓ)=α
(Β∆Μ)=Ε1 (ΓΖΜ)=Ε2 και (ΑΒΓ)=Ε τότε
α) Να εκφράσετε ως συναρτήσεις των x και α τους λόγους Ε
Ε1 και Ε
Ε2
β) Να αποδείξετε ότι ΕgeΕ+Ε2
121
ΑΣΚΗΣΗ 14η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=Γ∆=λ3
Να βρεθεί
i) Η περίmicroετρος του ΑΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που αντιστοιχεί στη χορδή ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 15η
Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε τα διαδοχικά σηmicroεία Α Β Γ και ∆ ώστε ΑΒ=ΒΓ=Γ∆= R Να
βρεθεί
i) H περίmicroετρος του τριγώνου ΑΒ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τριγώνου ΒΓ∆
iii) Ο λόγος )(
)(
ΒΓ∆ΑΒ∆
ΑΣΚΗΣΗ 16η
∆ίνεται τεταρτοκύκλιο Οand
ΒΓ ακτίνας R
α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΓΒ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε δύο ισεmicroβαδικά χωρία
β) Αν ∆ σηmicroείο του τόξου ΒΓ να αποδείξετε ότι η ευθεία Γ∆ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
γ) Να βρείτε σηmicroείο Α της ακτίνας ΟΒ ώστε η ευθεία ΓΑ να χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
33
ΑΣΚΗΣΗ 17η
Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο Ο cap
ΒΓ ακτίνας R Σηmicroείο Α κινείται πάνω στο τόξο cap
ΒΓ και έστω
Κ το σηmicroείο τοmicroής της ακτίνας ΟΑ microε τη ΒΓ Να βρείτε το microήκος του τόξου cap
ΒΑ όταν το
εmicroβαδό του τριγώνου ΟΚΓ ισούται microε το εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα
τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΒ και το τόξο cap
ΒΑ
ΑΣΚΗΣΗ 18η
∆ίνεται ηmicroικύκλιο κέντρου Ο microε διάmicroετρο ΑΑ1=2R Έστω Β σηmicroείο του ηmicroικυκλίου microε
( 1ΑΟΒand
)=φ microοίρες και ΟΓ ακτίνα που τέmicroνει τη χορδή ΑΒ στο Κ
α) Να βρείτε το microήκος S του τόξου cap
ΑΓ όταν το εmicroβαδόν του τριγώνου ΟΚΒ ισούται microε το
εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΓ και το τόξοcap
ΑΓ
β) Αν η γωνία 1ΑΟΒand
είναι 150ο πόσο είναι το S
γ) Για ποια τιmicroή του φ το S γίνεται microέγιστο
Β
Γ
φ
Α1 Α
ΑΣΚΗΣΗ 19η
Η περίmicroετρος ρόmicroβου ΑΒΓ∆ πλευράς α και κέντρου Ο είναι τετραπλάσια της microικρής
διαγωνίου του Β∆
i) Να υπολογιστεί συναρτήσει του α το εmicroβαδόν του Ε
ii) Φέρουmicroε Α∆perpΟΗ και Γ∆perpΟΖ Αν η ΑΖ τέmicroνει τον κύκλο διαmicroέτρου Ο∆ στο Θ να
δειχθεί ότι 2
3Ε=ΑΖsdotΑΘ
ΑΣΚΗΣΗ 20η
Το περίγραmicromicroα της βάσης ενός microεγάλου λόφου σχηmicroατίζει τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=γ ΑΓ=β
όπου βgtγ και στο οποίο η διάmicroεσος ΑΜ και το ύψος Α∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο ∆ίπλα στην
πλευρά ΑΓ υπάρχει ορθογώνιος ιδιωτικός χώρος διαστάσεων 2
γβ +και β-γ Σrsquo αυτόν το
χώρο πρόκειται να κατασκευαστεί ένας microεγάλος ανισόπεδος κόmicroβος που θα συνδέει δύο
δρόmicroους ταχείας κυκλοφορίας Γιrsquo αυτούς τους λόγους προτείνεται στον ιδιοκτήτη να δεχτεί
να ανταλλάξει αυτόν τον χώρο microε άλλον ορθογώνιο χώρο του δηmicroοσίου που βρίσκεται δίπλα
στην πλευρά ΒΓ και έχει διαστάσεις τα microήκη των ΒΓ και 2
ΑΜ Ο ιδιοκτήτης δηλώνει ότι θα
συmicroφωνήσει microε την πρόταση αρκεί οι ανταλλάξιmicroοι χώροι να έχουν την ίδια έκταση
Πρακτικά όmicroως είναι αδύνατον να microετρήσει την πλευρά ΒΓ και τη διάmicroεσο ΑΜ γιrsquo αυτό και
διστάζει Πως θα σκεφτόσαστε εσείς να βοηθήσετε τον ιδιοκτήτη να αποφασίσει
Κ
Ο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
34
ΑΣΚΗΣΗ 21η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε β=2γ και η διάmicroεσος του Β∆ Φέρουmicroε Β∆perpΑx που τέmicroνει την
Β∆ στο Ε και την ΒΓ στο Ζ και ΕyΑΓ που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ Να αποδείξετε ότι
i) ZB= 2
1ZΓ
ii) (ΑΒΓ)=3(ΑΒΖ)
iii) Να αποδειχθεί ότι 8
3
)(
)(=
ΑΒΖΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΗ 22η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε α=2γ και β= 7γ
α) i) Να αποδείξετε ότι 2
3αmicroα =
ii) Να βρείτε το είδος της γωνίας and
Β
iii) Αν ΑΕ perp ΒΓ να υπολογίσετε το ΒΕ συναρτήσει του γ
iv) Να βρείτε τη γωνία and
Β
β) Αν ΑΜ διάmicroεσος και Β∆ διχοτόmicroος να αποδείξτε ότι
i) Α∆ = 3
β
ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)
ΑΣΚΗΣΗ 23η
Έστω τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ο R) και σηmicroείο Μ το οποίο κινείται στο
ηmicroικύκλιο cap
ΑΒΓ
α) Να βρεθεί το ελάχιστο ( )minΕ και το microέγιστο ( )maxΕ εmicroβαδόν του τετράπλευρου ΑΜΓ∆
συναρτήσει της ακτίνας R
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε θέση του Μ είναι
i) Μ∆2 = ΑΓ ∆Ε όπου Ε η προβολή του Μ στην Β∆
ii) (ΑΜΓ∆) = 2
2Μ∆
γ) Να προσδιορίσετε τη θέση του σηmicroείου Μ όταν (ΑΜΓ∆) = 2
maxmin EE +
ΑΣΚΗΣΗ 24η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ M το microέσο της ΑΒ σηmicroείο Ν της ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΝ = 4
3ΑΓ και
σηmicroείο Κ της ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΚ = 4
1ΒΓ Να βρεθεί ο λόγος των εmicroβαδών του τριγώνου
ΑΒΓ προς του τριγώνου ΜΝΚ
ΑΣΚΗΣΗ 25η
Α) Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι 2
αmicro = βγ και β-γ = 5 2 Το microήκος της πλευράς
α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3
Β) Να δειχθεί ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει η σχέση (222
γβα micromicromicro ++ )2 = 27Ε
2 όπου
Ε το εmicroβαδό του
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
35
ΑΣΚΗΣΗ 26η
Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω περιπτώσεις
όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί να αποτελεί microήκη των
πλευρών του
i) 3 57
ii) 8 4 2
iii) 7 6 85
ΑΣΚΗΣΗ 27η
Αν η διάmicroεσος microα ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν προεκταθεί τέmicroνει τον περιγεγραmicromicroένο κύκλο
στο ∆ να αποδειχθεί ότι microα = Α∆+
2
22 γβ
ΑΣΚΗΣΗ 28η
Από ένα κυκλικό οικόπεδο ακτίνας R=30m θα αποκοπεί κυκλικό τmicroήmicroα χορδής 30 3 m για
την κατασκευή δρόmicroου
i) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου που έmicroεινε
ii) Να βρεθεί η αποζηmicroίωση που θα δοθεί στον ιδιοκτήτη αν η αρχική αξία του οικοπέδου
ήταν 10000000 δρχ
ΑΣΚΗΣΗ 29η
Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι α =13 β = 8 γ = 7
i) Να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς το είδος των γωνιών του
ii) Να υπολογιστεί το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ πάνω στην ΑΒ
iii) Να υπολογιστεί η γωνία and
Α
ΑΣΚΗΣΗ 30η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 4 ΑΓ = 5 ΒΓ = 7 Το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ
πάνω στην ΑΒ είναι Α 5 Β 1 Γ 6 ∆ 2
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 31η
Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (and
Α =90ο) microε
and
Β =60ο και ΒΓ=4 Με κέντρο το Β και
ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ και microε κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΜ
γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν να βρεθούν
i) Η θέση του σηmicroείου Μ στη ΒΓ
ii) Η περίmicroετρος του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
iii) Το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
36
ΑΣΚΗΣΗ 32η
Μια έκταση σχήmicroατος τετραγώνου microε A 30 H 70 ∆
πλευρά 100m πρόκειται να διατεθεί
για κατασκευή εργατικών κατοικιών
Οι κατοικίες θα ανεργεθούν σε τέσσερα 70 30
ίσα τριγωνικά οικόπεδα και η υπόλοιπη Μ
έκταση σχήmicroατος τετραπλεύρου θα
χρησιmicroοποιηθεί ως κοινόχρηστος χώρος Z
για δενδροφύτευση και κατασκευή γηπέδου
microπάσκετ 30 70
α) Να βρεθούν τα εmicroβαδά των τεσσάρων ίσων οικοπέδων
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινόχρηστου χώρου B 70 K 30 Γ
γ) Τι είδους τετράπλευρο είναι ο κοινόχρηστος χώρος Να βρεθούν οι πλευρές του
ΑΣΚΗΣΗ 33η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 90A =
and
και ΑΒ=y ΑΓ=β
Α∆=ν Β∆=micro ΒΓ=x ∆Γ=κ
i) Να συmicroπληρωθούν οι σχέσεις
β2=helliphelliphellip=helliphelliphelliphellip Α
ν2=helliphelliphelliphelliphelliphellip
2
2
βy
=helliphelliphelliphelliphellip βy=helliphelliphelliphellip y ν β
ii) Να δειχθεί ότι 111
222 νβ=+
y Β ν ∆ κ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 34η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroεία ∆Ε της πλευράς ΒΓ έτσι ώστε Β∆=∆Ε=ΕΓ Να απόδειχθεί
ότι
i) 2222 22 ΑΕminusΑ∆=∆ΕminusΑΒ ii)
2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 35η
∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε o90=Α
and
ΑΒ=5cm ΑΓ=12cm Α∆ το ύψος του και ΒΜ
η διάmicroεσος του Προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά ΓΕ=ΒΓ i) Να συγκρίνετε τα
εmicroβαδά των τριγώνων Α∆Γ και ΑΓΕ ii) Να δείξετε ότι η σχέση που συνδέει τα εmicroβαδά των
τριγώνων ΑΒΜ και ΑΒΕ είναι (ΑΒΕ)=4(ΑΒΜ)
ΑΣΚΗΣΗ 36η
Από σηmicroείο Μ εκτός κύκλου φέρνουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΜΕ του κύκλου και τις
τέmicroνουσες ΜΑΒ και ΜΓ∆ Αν είναι ΑΒ=9 ΓΜ=4 Γ∆=5 να υπολογίσετε i) το ΜΑ ii) το
ΜΕ
ΑΣΚΗΣΗ 37η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) ΑΒ microια διάmicroετρος του και Μ τυχαίο σηmicroείο του (διαφορετικό των Α
Β) Αν Γ είναι το microέσο της ΟΑ και ∆ το microέσο της ΟΒ ενώ η ΜΓ τέmicroνει τον κύκλο στο Ε και
η Μ∆ στο Ζ τότε να αποδείξετε ότι3
10=
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
37
Ζ
Ε
ΑΣΚΗΣΗ 38η
Ένα τριγωνικό αγρόκτηmicroα ΑΒΓ χωρίζεται
σε τέσσερα τριγωνικά αγροτεmicroάχια όπως Α
φαίνεται στο σχήmicroα έτσι ώστε ΑΒ=Α∆3
2
ΒΕ= ΒΓ4
1και ΓΖ= ΑΓ
2
1 α) Αν το εmicroβαδό ∆
του ΑΒΓ είναι 48 στρέmicromicroατα να υπολογίσετε το Β
Γ
εmicroβαδό του ∆ΕΖ β) Αν τα ∆ Ε Ζ είναι τα microέσα των ΑΒ
ΒΓ ΑΓ αντίστοιχα να βρεθούν τα εmicroβαδά των
τεσσάρων αγροτεmicroαχίων
ΑΣΚΗΣΗ 39η
∆ίνεται εγγράψιmicroο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ ώστε οι πλευρές του ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α microε τη σειρά
που δίνονται να αποτελούν γεωmicroετρική πρόοδο Να αποδείξετε ότι η διαγώνιος του Β∆ το
χωρίζει σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
ΑΣΚΗΣΗ 40η
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ∆ Ζ Γ
την ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m και
ο90=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος υ
∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο οποίος
θα χωρίσει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆
και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα α) Να βρεθεί
το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆ β) Να
βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο
ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο Α Ε Η Β
ΑΕ∆ δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου
∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
ΑΣΚΗΣΗ 41η
∆ίνεται ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ και τα σηmicroεία του ∆Γ έτσι ώστε ∆Β=Γ∆=ΑΓ Αν
Μ τυχαίο σηmicroείο εκτός του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατοςΑΒ
Να δείξετε ότι 2222 33 ΜΓ+ΜΒ=ΜΒ+ΑΜ
ΑΣΚΗΣΗ 42η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 222 2αγβ =+ Αν η διάmicroεσος ΑΜ τέmicroνει το περιγεγραmicromicroένο
κύκλο του τριγώνου στο ∆ να δείξετε ότι
α) 6
3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
38
ΑΣΚΗΣΗ 43η
Από ένα εξωτερικό σηmicroείο Α κύκλου ( )RΟ φέρουmicroε microια τέmicroνουσα ΑΒΓ έτσι ώστε
ΒΓ=ΑΒ Αν 7R=ΟΑ τότε να δείξετε ότι
i) ΒΓ=ΑΒ =λ3
ii) η γωνία and
ΑΟΓ είναι αmicroβλεία
iii) η προβολή της ΟΓ πάνω στην ΟΑ είναι ίση microε ΟΑ7
2
iv) Να δείξετε ότι ( )( ) 2
1=
ΑΟΓΒΟΓ
και στην συνέχεια να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του τριγώνου
and
ΑΟΓ
v) Να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που ορίζεται από την χορδή ΒΓ και
το microέτρο του τόξου cap
ΒΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
39
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
40
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
15
12 Θεωρούmicroε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α τη διχοτόmicroο Γχ της εξωτερικής
γωνίας εξΓ
and
αυτού την κάθετη xΓperpΒΕ και την κάθετη ΑΓperpΕΖ
Να αποδειχθεί ότι i)4
α=ΓΖ ii)
2
7α=ΑΕ
13 Εκατέρωθεν της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ κατασκευάζουmicroε δύο ισόπλευρα
τρίγωνα ΒΓ∆ και ΒΓΕ Να αποδειχθεί ότι 22222 γβα ++=ΑΕ+Α∆
14 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ τα microήκη των πλευρών του οποίου συνδέονται microε τη σχέση
2 222 αγβ =+ Nα αποδειχθεί ότι α) 2
βmicro +2
γmicro =2
2 αmicro
β) 2
3αmicroα =
2
3γmicroβ =
2
3βmicroγ =
15 Θεωρούmicroε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ )90( Οand
=Α και τη διάmicroεσό του ΒΕ
α) Να αποδειχθεί ότι 222
4
3ΒΓ=ΑΓ+ΒΕ β) Αν Α∆ είναι η διάmicroεσος του
τριγώνου ΑΒΓ ΒΕ= 14 και o60=Β∆Α
and
να υπολογιστούν τα microήκη των πλευρών
του τριγώνου ΑΒΓ
16 Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει γβ micromicro perp τότε να αποδειχθεί ότι 222
αγβ micromicromicro =+
17 Αν ΒΒ΄ το ύψος τριγώνου ΑΒΓ microε o90ltΑ
and
και ΑΜ η διάmicroεσός του τότε να
αποδειχθεί ότι 4
22 ΄ΑΒsdotΑΓ+
ΒΓ=ΑΜ
18 Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ )90( Οand
=Α η διάmicroεσος του ΑΜ και ευθεία (ε)
κάθετη στην ΑΜ στο Μ Αν Ρ σηmicroείο της (ε) να αποδειχθεί ότι 222 2ΡΑ=ΡΓ+ΡΒ
19 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ ΑΜ διάmicroεσος η οποία προεκτεινόmicroενη τέmicroνει τον
περιγεγραmicromicroένο κύκλο (ΟR) στο ∆ και Θ το βαρύκεντρο του τριγώνου
Να δειχθεί ότι i)4
2α=Μ∆sdotΜΑ ii)
ΘΟ∆ )( R )(
9
1 222 γβα ++minus=
iii) AB2+AΓ
2=2ΑΜsdotΑ∆
20 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόmicroος του Α∆ Αν οι κύκλοι οι περιγεγραmicromicroένοι στα
τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓ∆ τέmicroνουν τις ΑΓ και ΑΒ στα σηmicroεία Ζ και Ε αντίστοιχα να
αποδειχθεί ότι ΒΕ=ΓΖ
21 Κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι εγγράψιmicroο σε κύκλο Αν το σηmicroείο τοmicroής Μ των
διαγωνίων του είναι microέσο της διαγωνίου Β∆ να αποδειχθεί ότι
i) ΜΓsdotΜΑ=∆Β 42 ii) 2 22222 ΑΓ=∆Α+Γ∆+ΒΓ+ΑΒ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
16
22 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) διαmicroέτρου ΑΒ Από ένα σηmicroείο Γ της προέκτασης της ΑΒ
προς το Β φέρνουmicroε την εφαπτοmicroένη Γ∆ και την ΑΓperpΓx Αν Ε είναι το σηmicroείο
τοmicroής των Α∆ και Γx να αποδειχθεί ότι
i) το τετράπλευρο ∆ΒΓΕ είναι εγγράψιmicroο ii) ΑΕsdotΑ∆minusΓΑ=Γ∆ 22
23 ∆ύο κύκλοι (ΚR) και
Λ2
R
εφάπτονται εσωτερικά στο Α Από ένα σηmicroείο Μ του
κύκλου
Λ2
R
φέρνουmicroε χορδή Γ∆ του κύκλου (ΚR) Να αποδειχθεί ότι
ΜΓΜ∆=ΜΑ2
24 Θεωρούmicroε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α και σηmicroείο ∆ της πλευράς ΒΓ Αν οι
περιγεγραmicromicroένοι κύκλοι στα τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓ∆ τέmicroνουν τις πλευρές ΑΓ και ΑΒ
στα σηmicroεία Ε και Ζ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι ΒΖ+ΓΕ=α
25 Στη διάmicroετρο ΑΒ κύκλου (ΟR) θεωρούmicroε τα σηmicroεία Γ και ∆ έτσι ώστε ΟΓ=Ο∆=α
και microεταβλητό σηmicroείο Μ του κύκλου Αν οι ΜΓ και Μ∆ τέmicroνουν τον κύκλο στα Ε
και Ζ αντίστοιχα να αποδείξετε ότι i) ΜΓΓΕ = Μ∆∆Ζ ii)
ΜΓ2+Μ∆
2 = 2(R
2+α
2) iii) το άθροισmicroα
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
είναι σταθερό
26 Θεωρούmicroε κύκλο (O2α) και σηmicroείο Ρ τέτοιο ώστε ΟΡ=2
3α Φέρουmicroε χορδή ΑΒ η
οποία διέρχεται από το Ρ και είναι τέτοια ώστε ΑΡ=α Να υπολογιστεί το microήκος της
χορδής ΑΒ
27 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) διάmicroετρο ΑΒ και τα microέσα Γ και ∆ των ΟΑ και ΟΒ
αντίστοιχα Από το σηmicroείο Γ φέρουmicroε χορδή ΕΖ = 2
13 Rsdot Να αποδειχθεί ότι
i) ΖΓ2+Ζ∆
2+ΓΕ
2+∆Ε
2=5R
2 ii)
and
Ε∆Ζ = 900
28 Έστω ΑΒ διάmicroετρος κύκλου (ΟR) και ΑΓ Β∆ δύο χορδές που τέmicroνονται στο Ρ Να
αποδειχθεί ότι i) αν οι Α∆ και ΒΓ τέmicroνονται στο Ε τότε το Ρ είναι ορθόκεντρο του
τριγώνου ΕΑΒ ii) ΑΓΑΡ+Β∆ΒΡ=ΑΒ2
29 Τρίγωνο ΑΒΓ microε β2+γ
2=2α
2 Β∆ ΓΕ ύψη ΑΜ διάmicroεσος και Ζ microέσο της ΑΜ Να
αποδειχθεί ότι i)and
Α lt900 ii) AE =
γα2
2
και ΑΜ = 2
3α iii) ΕΖ =
γαβ4
Ζ∆ = β
αγ4
30 Σε τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούmicroε σηmicroεία ∆Ε στην πλευρά ΒΓ ώστε Β∆ = ∆Ε = ΕΓ Να
αποδείξετε ότι i) AB2 ndash 2∆E
2 = 2A∆
2 ndash AE
2 ii) AB
2 + 2AΓ
2 = 3AE
2 +
6∆E2
31 Αν α β γ πλευρές τριγώνου να βρεθεί το είδος του τριγώνου στις παρακάτω περι-
πτώσεις i) α = ν2 + 1 β = 2ν γ = ν
2 ndash 1
ii) α = 4 β = 5 γ = 3
iii) α = 11 β = 13 γ = 12
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
17
32 Αν Ε ∆ Ζ microέσα των ΑΓ ΒΓ Β∆ αντίστοιχα ενός τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε ότι
i) Ε∆=2
1ΑΒ ii) ΕΖ
2 =
16
263 222 βminusγ+α
33 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ = 6 ΑΓ = 8 ΒΓ = 2 37 να αποδειχθεί ότι
i) ο120=Α
and
ii) να βρεθεί το microήκος Α∆ όπου Β∆ ύψος τριγώνου
iii) να βρεθεί το microήκος της διαmicroέσου microα
34 Σε τρίγωνο ΑΒΓ microε πλευρές α = 9 β = 7 γ = 4 να βρείτε i) το είδος του τριγώνου
ii) το microήκος της διαmicroέσου microα iii) την προβολή της διαmicroέσου microα πάνω στην
ΒΓ iv) την προβολή της πλευράς β πάνω στην γ
35 Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ο90=Α
and
ΑΜ διάmicroεσος και Ρ το microέσο
της ΑΜ Στην πλευρά ΒΓ = α παίρνουmicroε σηmicroείο Κ ώστε ΓΚ = 8
5α Να αποδειχθεί
ότι i) ΓΡ2 =
16
5 2α ii) ΡΚ
2 =
64
5 2α iii) ΡΓ = 2ΚΡ
36 Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε ο90=Α
and
α = 25 και β = 20 αν x είναι η προβολή της
πλευράς β πάνω στην πλευρά α τότε
i) η πλευρά γ έχει microήκος Α10 Β12 Γ13 ∆15 Ε21
ii) το ύψος υα έχει microήκος Α9 Β7 Γ12 ∆17 Ε5
iii) το τmicroήmicroα x έχει microήκος Α10 Β12 Γ17 ∆16 Ε21
(Να αιτιολογήσετε την απάντηση)
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
18
ΕΜΒΑ∆Α
ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ
Ας θεωρήσουmicroε ένα πολύγωνο
Ένα σχήmicroα που αποτελείται από πεπερασmicroένο πλήθος πολυγωνικών χωρίων που ανά δύο δεν
έχουν κοινά εσωτερικά σηmicroεία λέγεται πολυγωνική επιφάνεια
Ίσα πολυγωνικά χωρία έχουν ίσα εmicroβαδά
Αν ένα πολυγωνικό χωρίο (ή microια πολυγωνική επιφάνεια) χωρίζεται σε πεπερασmicroένου
πλήθους πολυγωνικά χωρία που δεν έχουν κοινά εσωτερικά σηmicroεία τότε το εmicroβαδόν του
ισούται microε το άθροισmicroα των εmicroβαδών των επιmicroέρους πολυγωνικών χωρίων
Το εmicroβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς 1 είναι 1
∆ύο σχήmicroατα που έχουν το ίδιο εmicroβαδόν ονοmicroάζονται ισεmicroβαδικά ή ισοδύναmicroα
Το πολύγωνο microαζί microε τα εσωτερικά του
στοιχεία ονοmicroάζεται πολυγωνικό χωρίο
Ένα πολυγωνικό χωρίο που ορίζεται από
τρίγωνο τετράγωνοhellipν-γωνο ονοmicroάζεται
τριγωνικό πολυγωνικόhellip ν-γωνικό
∆ύο πολυγωνικά χωρία λέγονται ίσα όταν τα
αντίστοιχα πολύγωνά τους είναι ίσα
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
19
ΕΜΒΑ∆Α ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
Το εmicroβαδόν τετραγώνου πλευράς α δίνεται από τον τύπο 2α=Ε
Το εmicroβαδόν ενός ορθογωνίου ισούται microε το γινόmicroενο των πλευρών του βα sdot=Ε
Το εmicroβαδόν ενός παραλληλογράmicromicroου ισούται microε το γινόmicroενο microιας πλευράς του επί το ύψος
που αντιστοιχεί σε αυτή
βα υβυα sdot=sdot=Ε
Το εmicroβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο microε το ηmicroιγινόmicroενο microιας πλευράς επί το αντίστοιχο ύψος
γβα υγυβυα sdot=sdot=sdot=Ε2
1
2
1
2
1
Το εmicroβαδόν τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο του ηmicroιαθροίσmicroατος των βάσεων του επί το
ύψος του υβsdot
+Β=Ε
2
Το εmicroβαδόν τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο της διαmicroέσου επί το ύψος του
bull Το εmicroβαδόν ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς α είναι ίσο microε 4
32α=Ε
bull Το εmicroβαδόν ρόmicroβου ισούται microε το ηmicroιγινόmicroενο των διαγωνίων του
bull Το εmicroβαδόν οποιουδήποτε κυρτού ή microη κυρτού τετραπλεύρου microε κάθετες διαγωνίους
ισούται microε το ηmicroιγινόmicroενο των διαγωνίων του
bull Η διάmicroεσος κάθε τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
bull Το βαρύκεντρο τριγώνου έχει την ιδιότητα να δηmicroιουργεί microε τις κορυφές του τριγώνου τρία
ισεmicroβαδικά τρίγωνα
bull Το βαρύκεντρου του τριγώνου οι κορυφές του και τα microέσα των πλευρών του ορίζουν έξι
ισεmicroβαδικά τρίγωνα
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
20
ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΕΜΒΑ∆ΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
( )( )( )γτβταττ minusminusminus=Ε όπου 2
γβατ
++= ηmicroιπερίmicroετρος του τριγώνου
ρτ sdot=Ε
R4
γβα sdotsdot=Ε
Γsdotsdot=Βsdotsdot=Αsdotsdot=Ε ηmicroβαηmicroαγηmicroγβ2
1
2
1
2
1
ΕΜΒΑ∆Α ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
Αν δύο τρίγωνα έχουν ίσες βάσεις τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο των
αντίστοιχων υψών ενώ αν έχουν ίσα ύψη τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο
των αντίστοιχων βάσεων
Αν δύο τρίγωνα είναι όmicroοια τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το τετράγωνο του
λόγου οmicroοιότητας
Ο λόγος των εmicroβαδών δύο όmicroοιων πολυγώνων είναι ίσος microε το τετράγωνο του λόγου
οmicroοιότητας
Αν microια γωνία ενός τριγώνου είναι ίση ή παραπληρωmicroατική microε microια γωνία ενός άλλου
τριγώνου τότε ο λόγος των εmicroβαδών των δύο τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο των γινοmicroένων
των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
21
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Αν ΑΒΓ∆ τραπέζιο ( Γ∆ΑΒ ) και Ο το σηmicroείο τοmicroής των διαγωνίων του ΑΓ και
Β∆ να αποδείξετε ότι ΟΑ∆ΟΒΓ Ε=Ε
2 Ένα τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) και ΒΓ=Γ∆=Α∆ και τη βάση ΑΒ κατά 2 microικρότερη
από το άθροισmicroα των τριών αυτών πλευρών Αν το ύψος του τραπεζίου είναι 5 να
υπολογιστεί το εmicroβαδό του
3 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ microε microήκη πλευρών α=10 β=8 γ=14 και ισόπλευρο τρίγωνο
∆ΕΖ το οποίο είναι ισοδύναmicroο microε το ΑΒΓ Το microήκος της πλευράς του ισόπλευρου
τριγώνου ∆ΕΖ είναι
Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20
Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε
4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=2 ΒΗ ύψος και η διάmicroεσος Β∆=1 Αν and
∆ΑΒ =30ο να
υπολογιστούν α) τα ΒΗ Η∆ ΑΗ
β) το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ
5 Με υποτείνουσες τις κάθετες πλευρές ΑΒ και ΑΓ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ microε
β+γ=20 κατασκευάζουmicroε ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓΕ εκτός
αυτού
α) Να αποδείξετε ότι τα σηmicroεία ∆ΑΕ είναι συνευθειακά
β) Να βρείτε το εmicroβαδό του τετραπλεύρου ΒΓΕ∆
6 Προεκτείνουmicroε τις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ ενός τριγώνου ΑΒΓ κατά τmicroήmicroατα
Γ∆=ΓΒ ΑΕ=ΑΓ και ΒΖ=ΒΑ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι (∆ΕΖ) = 7(ΑΒΓ)
7 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Μ στο εσωτερικό του Φέρνουmicroε από το Μ
παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των
σχηmicroατιζόmicroενων τριγώνων και Ε το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε
ότι 321 Ε+Ε+Ε=Ε
8 Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ που τέmicroνει τις πλευρές ΑΒ
και ΑΓ στα σηmicroεία ∆ και Ε αντίστοιχα Να αποδείξετε ότι (ΑΒΕ)2=(ΑΒΓ)(Α∆Ε)
9 Από σηmicroείο ∆ της πλευράς ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη προς την
πλευρά ΒΓ που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των τριγώνων
Α∆Ε Α∆Γ και ΑΒΓ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι 31
2
2 ΕsdotΕ=Ε
10 Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Α΄ της πλευράς του ΒΓ Από τα Β και Γ
φέρνουmicroε παράλληλες προς την ΑΑ΄ που τέmicroνουν τις ευθείες ΑΓ και ΑΒ στα σηmicroεία
Γ΄ και Β΄ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι
α) (ΑΑ΄Γ΄) = (ΑΒΑ΄) και (ΑΑ΄Β΄) = (ΑΓΑ΄)
β) (Α´ô) = (ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
22
11 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ microε ΑΒ=10 Α∆=4 και and
∆ =60ο Στην πλευρά ΑΒ
θεωρούmicroε τα σηmicroεία Ε και Ζ έτσι ώστε ΑΕ=ΕΖ=ΖΒ Αν Η είναι το σηmicroείο τοmicroής των
ευθειών ∆Ε και ΓΖ να υπολογιστούν
α) το εmicroβαδό του παραλληλογράmicromicroου ΑΒΓ∆
β) το εmicroβαδό του τραπεζίου Γ∆ΕΖ
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου ΗΕΖ
12 ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=ΑΓ=6 και ο120=Α
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του
β) Αν Ε σηmicroείο της ΑΓ τέτοιο ώστε ΓΕ=ΑΕ2
1 και Α∆ το ύψος του τριγώνου
ΑΒΓ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ∆ΕΓ
γ) Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει τη ∆Ε στο Η να βρεθεί το εmicroβαδό
του τριγώνου ΑΕΗ
13 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Ρ στο εσωτερικό του Από το Ρ φέρνουmicroε κάθετες
ηmicroιευθείες στις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ και πάνω σrsquo αυτές παίρνουmicroε τα σηmicroεία Α΄
Β΄ και Γ΄ αντίστοιχα έτσι ώστε ΡΑ΄=ΒΓ ΡΒ΄=ΑΓ και ΡΓ΄=ΑΒ Να αποδειχθεί ότι
α) οι γωνίες and
Γ και and
ΒprimeΡΑprime είναι παραπληρωmicroατικές
β) (ΡΑ΄Β΄)=(ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)
14 Θεωρούmicroε τρεις ίσες διαδοχικές γωνίες and
οψx zand
οψ xzand
ο και πάνω στις
ηmicroιευθείες Οx Oψ και Οz τα σηmicroεία Α Β Γ αντίστοιχα έτσι ώστε ΟΑ=1 ΟΒ=4 και
ΟΓ=8
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ψοand
x zand
οψ xzand
ο
β) Αν Οw η αντικείmicroενη ηmicroιευθεία της Οψ και Γ∆ wΟperp να υπολογίσετε τις Ο∆ και
Γ∆
γ) Να υπολογίσετε το (ΟΒΓ)
δ) Να αποδείξετε ότι (ΑΒΓ)= 311
15 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ και Κ Λ Μ Ν τα microέσα των ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α
αντίστοιχα α) Να αποδειχθεί ότι (ΚΛΜΝ)=2
1(ΑΒΓ∆)
β) Αν ΚΜ ΛΝperp να αποδειχθεί ότι (ΑΒΓ∆) = ΚΜΛΝ
16 Λ
Α Β Στο διπλανό σχήmicroα τα σηmicroεία Κ Λ είναι τα
Κ Ρ microέσα των τmicroηmicroάτων ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα
Να αποδείξετε ότι
Γ α) ο λόγος των εmicroβαδών των τριγώνων ΑΚΒ και ΑΛΓ είναι ίσος microε
β) αν Ρ είναι το σηmicroείο τοmicroής των ΛΓ και ΚΒ τότε τα τρίγωνα ΒΛΡ
και ΚΓΡ έχουν ίσα εmicroβαδά
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
23
17 ∆ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) microε ΑΒ=4 Α∆=2 καιο60=∆
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τραπεζίου ΑΒΓ∆
β) Αν Ε σηmicroείο της πλευράς ΑΒ τέτοιο ώστε ΕΒ= ΑΒ4
1 και οι Ε∆ ΕΓ τέmicroνουν τη
διάmicroεσο του τραπεζίου στα σηmicroεία Ζ και Η αντίστοιχα να βρεθεί το εmicroβαδό του
τριγώνου ΕΖΗ
γ) Αν οι ∆Ε και ΒΓ τέmicroνονται στο Ρ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ΡΕΒ
18 Αν οι διαγώνιοι κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓ∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο να αποδείξετε ότι
το τετράπλευρο έχει εmicroβαδό Β∆sdotΑΓ4
1
19 Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται ΑΒ=5 ο60=Α
and
και η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου
κύκλου 3
7=R Να βρεθούν οι άλλες δύο πλευρές του τριγώνου και το εmicroβαδόν του
20
∆ Ζ Γ
υ
Α Ε Η Β
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m
90ο=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος ∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο
οποίος θα χωρίζει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆ και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο
ΑΕ∆
δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου ∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
21 Αν Μ και Ν είναι τα microέσα των πλευρών ΒΓ και Γ∆ ενός παραλληλόγραmicromicroου ΑΒΓ∆
να αποδείξετε ότι (ΑΜΝ)= )(8
3ΑΒΓ∆
22 Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) θεωρούmicroε το microέσο Μ της πλευράς ΑΒ
και σηmicroείο Ν της πλευράς ΑΓ τέτοιο ώστε 3
ΑΓ=ΓΝ Να δειχθεί ότι
(ΜΝΒ)= )(3
1ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
24
23 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και τυχαίο σηmicroείο Σ στην προέκταση της πλευράς
∆Γ προς το Γ Να αποδείξετε ότι
α) (ΑΒ∆)= )(2
1ΑΒΓ∆
β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)
γ) αν η ΑΣ τέmicroνει την Β∆ στο σηmicroείο Ε τότε (Ε∆Σ)-(ΕΑΒ)=(ΣΒΓ)
24 Έστω Σ τυχαίο σηmicroείο της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ Στο σηmicroείο Α φέρουmicroε
microια ευθεία ε κάθετη στην ΑΣ Αν ∆ και Ε είναι αντίστοιχα οι προβολές των σηmicroείων
Β και Γ στην ευθεία ε να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ∆ΣΕ είναι ισοδύναmicroα
25 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 8=ΑΒ 12=ΑΓ και η Α∆ διχοτόmicroος της γωνίας and
Α Αν
( )ΑΒ∆ =20 τmicro να βρείτε το ( )ΑΒΓ
26 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ∆ σηmicroείο της πλευράς ΑΒέτσι ώστε 6=Α∆ ∆Β=5
8=ΑΓ Αν 80=Α
and
να βρείτε το εmicroβαδόν του τριγώνου Β∆Γ
27 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ microε 90=Β
and
και η γωνία and
Α να είναι το 3
1 της ορθής Αν
∆ σηmicroείο της προέκτασης της πλευράς ΒΓ προς το Γ τέτοιο ώστε η 30=Α∆Β
and
να
βρεθεί ο λόγος ( )( )ΑΒ∆ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
25
ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ
ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ
Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του
ίσες
Γωνία κανονικού ν-γώνου ν
φν
360
180 minus=
Κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου ν
ων
360=
Σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας R ισχύουν οι εξής τύποι 2
22
4R=+ ν
ν
λα
νν λν sdot=Ρ
ννν αsdotΡ=Ε2
1
όπου να απόστηmicroα νλ πλευρά νΡ περίmicroετρος νΕ εmicroβαδόν
∆ύο κανονικά πολύγωνα microε τον ίδιο αριθmicroό πλευρών είναι όmicroοια
Κάθε κανονικό πολύγωνο εγγράφεται σε έναν κύκλο και περιγράφεται σε έναν άλλον Οι δύο
αυτοί κύκλοι είναι οmicroόκεντροι
bull Το κοινό κέντρο τον κύκλων αυτών λέγεται κέντρο του πολυγώνου
bull Η ακτίνα R του περιγεγραmicromicroένου κύκλου λέγεται ακτίνα του πολυγώνου
bull Η απόσταση του κέντρου από microια πλευρά του δηλαδή η ακτίνα του εγγεγραmicromicroένου
κύκλου λέγεται απόστηmicroα του πολυγώνου
Σε δύο κανονικά ν-γωνα ο λόγος των πλευρών τους ισούται microε το λόγο των ακτινών τους και
το λόγο των αποστηmicroάτων τους
∆ηλαδή
ν
ν
ν
ν
αα
λλ
==R
R
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
26
ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ
ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ
ΚΑΝΟΝΙΚΟ
ΕΞΑΓΩΝΟ
ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ
ΤΡΙΓΩΝΟ
ΠΛΕΥΡΑ νλ 24 R=λ R=6λ 33 R=λ
ΑΠΟΣΤΗΜΑ να
2
24
R=α
2
36
R=α
23
R=α
RL sdot= π2
180
microπ sdotsdot=
Rl ή Rl sdot=α
180
microαπ
=
2Rsdot=Ε π
( )360
2 microπ sdotsdot=ΟΑΒ
cap R ή ( )
cap
sdot=ΟΑΒ 2
2
1Rα
( ) ( )ΟΑΒminusΟΑΒ=cap
ε
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
27
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Ένα κανονικό εξάγωνο είναι περιγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ορ) Η πλευρά του
εξαγώνου αυτού είναι
Α ρ Β 2
3ρ Γ 2ρ ∆
3
32ρ Ε
3
2ρ
2 ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και στις προεκτάσεις των
πλευρών ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α θεωρούmicroε τα τmicroήmicroατα ΒΚ=ΓΛ=∆Μ=ΑΝ=λ3 Να δείξετε
ότι το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο και ότι η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου κύκλου του
είναι 641 += RR
3 Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε δύο παράλληλες χορδές ΑΒ=λ4 και Γ∆=λ6 Να
αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι ισοσκελές τραπέζιο και να υπολογιστεί
το εmicroβαδό του ως συνάρτηση της ακτίνας R
4 Η περίmicroετρος ενός κυκλικού τοmicroέα ΟΑΒ ενός κύκλου (ΟR) είναι 6+π Αν
ο60=ΒΟΑand
τότε το microήκος της ακτίνας R είναι
Α 6 Β 3 Γ 2 ∆ 4 Ε 5 (δικαιολογήστε την απάντησή σας)
5 Έστω τεταρτοκύκλιο ΟΑΒ ακτίνας R και ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΟΒ στο εσωτερικό
του Να βρείτε το εmicroβαδό και την περίmicroετρο του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΑΒ
6 Έστω δύο κύκλοι (ΟR) και (Ο΄R) των οποίων η διάmicroετρος ΟΟ΄ έχει microήκος
ΟΟ΄=R 3 α) Να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι τέmicroνονται
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινού microέρους των δύο κύκλων
7 Το εmicroβαδό κυκλικού τοmicroέα 80ο είναι 8π Η ακτίνα του κύκλου είναι
Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15
8 Τετράγωνο ΑΒΓ∆ είναι εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και η ηmicroιπερίmicroετρος του
είναι 80cm Να υπολογιστούν
α) η ακτίνα R του κύκλου
β) ο λόγος του εmicroβαδού του κύκλου προς το εmicroβαδό του τετραγώνου
9 Στο εσωτερικό ηmicroικυκλίου διαmicroέτρου ΑΟΒ=2R γράφουmicroε ηmicroικύκλια microε
διαmicroέτρους ΟΑ και ΟΒ Να υπολογιστεί το microήκος και το εmicroβαδό του κύκλου που
εφάπτεται των τριών ηmicroικυκλίων
10 ∆ύο κύκλοι (Ο3R) και (Ο΄R) εφάπτονται εξωτερικά στο σηmicroείο Α Φέρουmicroε την
κοινή εξωτερική εφαπτόmicroενη ΒΓ αυτών Να βρεθεί το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου
τριγώνου ΑΒΓ και του περιγεγραmicromicroένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ
11 Έστω ο κύκλος (ΟR) και microια ακτίνα του ΟΑ Στην ηmicroιευθεία ΟΑ θεωρούmicroε
σηmicroείοΒ έτσι ώστε ΑΒ=ΑΟ Αν ΒΓ η εφαπτοmicroένη του κύκλου να βρεθεί το
εmicroβαδό α) του τριγώνου ΟΒΓ και β) του microικτόγραmicromicroου τριγώνου
ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
28
12 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=λ3 και Γ∆=λ6
προς το ίδιο microέρος του κέντρου Ο α) Να εκφράσετε τις χορδές ΑΒ και Γ∆ ως
συνάρτηση της ακτίνας R β) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό Ε1 του κυκλικού τmicroήmicroατος
που αντιστοιχεί στη χορδή Γ∆ γ) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό του τριγώνου ΟΑΒ
δ) Να βρείτε την περίmicroετρο και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τραπεζίου που έχει
κορυφές τα ΑΒΓ∆
13 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) χορδή ΑΒ=R την εφαπτοmicroένη ε του κύκλου στο σηmicroείο
Α και τη εperpΒΓ Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του τραπεζίου ΟΑΓΒ
β) το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
14 ∆ίνεται ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΑΒ και στο εσωτερικό του τα ηmicroικύκλια διαmicroέτρων
ΑΓ και ΓΒ όπου Γ σηmicroείο microεταξύ των Α και Β Αν κάθετη της ΑΒ στο Γ τέmicroνει το
αρχικό ηmicroικύκλιο στο ∆ να αποδείξετε ότι το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται
microεταξύ των τριών ηmicroικυκλίων είναι ίσο microε το εmicroβαδό του κύκλου διαmicroέτρου Γ∆
15 Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ο60=Β
and
και ΒΓ=α Με
κέντρο το Β και ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει τη ΒΓ στο Μ και microε κέντρο
το Γ και ακτίνα ΓΜ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν Να βρεθεί η
περίmicroετρος και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
16 Με κέντρο ένα σηmicroείο Κ κύκλου (ΟR) και ακτίνα ίση προς R 3 γράφουmicroε
κύκλο ο οποίος τέmicroνει τον (ΟR) στα σηmicroεία Α και Β Να υπολογιστούν η
περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου microηνίσκου
17 ∆ίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ΒΓ = 2R
Γράφουmicroε ηmicroικύκλιο microε διάmicroετρο ΒΓ εκτός τριγώνου και τόξο κύκλου (Α ΑΒ) microε
άκρα Β και Γ Να βρεθεί η περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου
microηνίσκου από το ηmicroικύκλιο και το τόξο αυτό
18 Ένα ορθογώνιο σπίτι microε διαστάσεις α = 20m και β = 10m έχει microια εξωτερική
πρίζα σε microια γωνία του Ένα χορτοκοπτικό microηχάνηmicroα συνδεδεmicroένο microε την πρίζα
έχει καλώδιο microε microήκος 15m Να βρεθεί το εmicroβαδόν της microεγαλύτερης επιφάνειας
του χόρτου που microπορεί να κοπεί
19 Σε κύκλο ακτίνας R = 4cm είναι εγγεγραmicromicroένο ισόπλευρο τρίγωνο
Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του κύκλου
β) την πλευρά του τριγώνου
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου
δ) το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται microεταξύ του κύκλου και του τριγώνου
20 Σε κύκλο microε διάmicroετρο ΑΒ φέρουmicroε τις χορδές ΜΒΑΜ Αν είναι 6=ΑΜ και
8=ΒΜ να βρεθεί η ακτίνα και το εmicroβαδόν του κύκλου
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
29
21 Να βρεθεί το εmicroβαδόν του καθενός από τα δύο microέρη στα οποία διαιρείται ένας
κύκλος ( )RΟ από την πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραmicromicroένου στον κύκλο
αυτόν
22 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και φέρουmicroε δύο κάθετες ακτίνες ΟΑ και ΟΒ Με
κέντρο το Α και ακτίνα R γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει το cap
AB στο σηmicroείο Γ Να
βρεθεί το εmicroβαδόν του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΒΓ
23 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και τόξο 60=ΑΒ
cap
Φέρουmicroε στο σηmicroείο Α την
εφαπτοmicroένη χΑ του κύκλου και την χΑperpΒΓ Να βρεθεί το εmicroβαδόν του
microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
30
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΗ 1η
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α∆ διχοτόmicroος Β∆ = 2 Γ∆ = 3 και 2τ = 15 (περίmicroετρος) η πλευρά
ΑΒ είναι
Α 3 Β 4 Γ 5 ∆ 6 Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 2η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 3α2 + 2γ
2 = 2β
2 Τότε
i) Α and
Α gt90ο Β
and
Β gt 90ο Γ
and
Β lt 90ο ∆
and
Γ gt 90ο Ε Κανένα από τα παραπάνω
ii) Η προβολή της διαmicroέσου microα στην ΒΓ ισούται microε
Α 4
a Β
2
a Γ
4
3a ∆
2
3a Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 3η
Αν ΑΒΓ∆ τετράγωνο πλευράς α και Ε microέσο του Α∆ τότε
i) ΒΕ =2
5α Σ Λ
ii) Ο λόγος ΒΕΕΖ
ισούται microε
Α 5
2 Β
4
5 Γ
4
1 ∆
5
1 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
Α Β
E
Z
∆ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 4η
Αν τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=4 ΒΓ=5 ΑΓ=6 και Α∆ διχοτόmicroος τότε
i) -Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο Σ Λ
- Ο λόγος ∆Γ∆Β
ισούται microε
Α 2
1 Β
3
1 Γ
3
2 ∆
4
3 Ε
2
3
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ii) Αν ε η προβολή του Α στην ΒΓ να υπολογίσετε το microήκος του ΒΕ
iii) Να αποδείξετε ότι 2
1=
∆Γ∆Ε
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
31
ΑΣΚΗΣΗ 5η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και Μ το microέσο της Α∆ Προεκτείνουmicroε τη ∆Γ προς το Γ
κατά ΓΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΒΜ)=2
)(ΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τραπεζίου ΑΒΕ∆ είναι οκταπλάσιο από το εmicroβαδόν του
τριγώνου ΑΒΜ
ΑΣΚΗΣΗ 6η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναιuα =3ρ όπου ρ του εγγεγραmicromicroένου κύκλου του τριγώνου Ο λόγος
αγβ +
ισούται microε Α 2 Β 3 Γ 3
1 ∆
2
3 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ΑΣΚΗΣΗ 7η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάmicroεσός του Α∆ Προεκτείνουmicroε την ΒΑ προς το Α κατά τmicroήmicroα
ΑΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι (ΒΕ∆)=3(Α∆Γ)
ΑΣΚΗΣΗ 8η
Στο εσωτερικό της αυλής ενός σπιτιού υπάρχει microικρός κήπος microε λαχανικά όπως στο
ακόλουθο σχήmicroα Αν το εmicroβαδόν του κήπου είναι 122m και οι διαστάσεις της αυλής είναι
12m και 13m να βρεθεί το x Αν θέλουmicroε να περιφράξουmicroε τον κήπο microε σύρmicroα πόσο σύρmicroα
θα χρειαστούmicroε
12m
13m
ΑΣΚΗΣΗ 9η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ Από τυχαίο σηmicroείο Ε της ΑΓ φέρουmicroε ευθεία παράλληλη
προς την Α∆ που τέmicroνει την Γ∆ στο Ζ Να αποδείξετε ότι
i) (Α∆Ζ)=(ΑΕΒ)
ii) (ΑΕΖ)=(ΒΕΓ)-(ΖΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 10η
Οι διάmicroεσοι Β∆ και ΓΕ τριγώνου ΑΒΓ τέmicroνονται στο Θ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΕ∆)=4
)(ΑΒΓ
ii) (ΒΘΓ)= 3
)(ΑΒΓ
iii)(ΑΕ∆)= (ΒΚΛΓ) όπου Κ Λ τα microέσα των ΒΘ και ΓΘ αντίστοιχα
x
x x
x
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
32
ΑΣΚΗΣΗ 11η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε τη διχοτόmicroο Α∆ Από το ∆ φέρνουmicroε παράλληλη προς την ΑΒ
που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει την προέκταση της
∆Ε στο Ζ να αποδείξετε ότι
α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)
β) β2(ΑΕΖ) = γ
2(∆ΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 12η
Θεωρούmicroε γωνία yxand
Α και σηmicroείο Ο της διχοτόmicroου της Αδ Αν ο κύκλος (ΟΟΑ) τέmicroνει τις
Οx Οy στα Β Γ αντίστοιχα και την Αδ στο ∆ να αποδείξετε ότι
α) (ΟΑΒ)=(ΟΑΓ)
β) (ΒΟΓ∆)=(ΑΒ∆)
γ) (ΒΟΓ∆)=2
1(ΟΑ)(ΒΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 13η
Από εσωτερικό σηmicroείο Μ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλες προς τις
πλευρές ΑΓ και ΑΒ που τέmicroνουν τις ΑΒ ΑΓ στα ∆ Ζ αντίστοιχα Αν (ΒΜ)=x (ΒΓ)=α
(Β∆Μ)=Ε1 (ΓΖΜ)=Ε2 και (ΑΒΓ)=Ε τότε
α) Να εκφράσετε ως συναρτήσεις των x και α τους λόγους Ε
Ε1 και Ε
Ε2
β) Να αποδείξετε ότι ΕgeΕ+Ε2
121
ΑΣΚΗΣΗ 14η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=Γ∆=λ3
Να βρεθεί
i) Η περίmicroετρος του ΑΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που αντιστοιχεί στη χορδή ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 15η
Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε τα διαδοχικά σηmicroεία Α Β Γ και ∆ ώστε ΑΒ=ΒΓ=Γ∆= R Να
βρεθεί
i) H περίmicroετρος του τριγώνου ΑΒ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τριγώνου ΒΓ∆
iii) Ο λόγος )(
)(
ΒΓ∆ΑΒ∆
ΑΣΚΗΣΗ 16η
∆ίνεται τεταρτοκύκλιο Οand
ΒΓ ακτίνας R
α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΓΒ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε δύο ισεmicroβαδικά χωρία
β) Αν ∆ σηmicroείο του τόξου ΒΓ να αποδείξετε ότι η ευθεία Γ∆ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
γ) Να βρείτε σηmicroείο Α της ακτίνας ΟΒ ώστε η ευθεία ΓΑ να χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
33
ΑΣΚΗΣΗ 17η
Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο Ο cap
ΒΓ ακτίνας R Σηmicroείο Α κινείται πάνω στο τόξο cap
ΒΓ και έστω
Κ το σηmicroείο τοmicroής της ακτίνας ΟΑ microε τη ΒΓ Να βρείτε το microήκος του τόξου cap
ΒΑ όταν το
εmicroβαδό του τριγώνου ΟΚΓ ισούται microε το εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα
τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΒ και το τόξο cap
ΒΑ
ΑΣΚΗΣΗ 18η
∆ίνεται ηmicroικύκλιο κέντρου Ο microε διάmicroετρο ΑΑ1=2R Έστω Β σηmicroείο του ηmicroικυκλίου microε
( 1ΑΟΒand
)=φ microοίρες και ΟΓ ακτίνα που τέmicroνει τη χορδή ΑΒ στο Κ
α) Να βρείτε το microήκος S του τόξου cap
ΑΓ όταν το εmicroβαδόν του τριγώνου ΟΚΒ ισούται microε το
εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΓ και το τόξοcap
ΑΓ
β) Αν η γωνία 1ΑΟΒand
είναι 150ο πόσο είναι το S
γ) Για ποια τιmicroή του φ το S γίνεται microέγιστο
Β
Γ
φ
Α1 Α
ΑΣΚΗΣΗ 19η
Η περίmicroετρος ρόmicroβου ΑΒΓ∆ πλευράς α και κέντρου Ο είναι τετραπλάσια της microικρής
διαγωνίου του Β∆
i) Να υπολογιστεί συναρτήσει του α το εmicroβαδόν του Ε
ii) Φέρουmicroε Α∆perpΟΗ και Γ∆perpΟΖ Αν η ΑΖ τέmicroνει τον κύκλο διαmicroέτρου Ο∆ στο Θ να
δειχθεί ότι 2
3Ε=ΑΖsdotΑΘ
ΑΣΚΗΣΗ 20η
Το περίγραmicromicroα της βάσης ενός microεγάλου λόφου σχηmicroατίζει τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=γ ΑΓ=β
όπου βgtγ και στο οποίο η διάmicroεσος ΑΜ και το ύψος Α∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο ∆ίπλα στην
πλευρά ΑΓ υπάρχει ορθογώνιος ιδιωτικός χώρος διαστάσεων 2
γβ +και β-γ Σrsquo αυτόν το
χώρο πρόκειται να κατασκευαστεί ένας microεγάλος ανισόπεδος κόmicroβος που θα συνδέει δύο
δρόmicroους ταχείας κυκλοφορίας Γιrsquo αυτούς τους λόγους προτείνεται στον ιδιοκτήτη να δεχτεί
να ανταλλάξει αυτόν τον χώρο microε άλλον ορθογώνιο χώρο του δηmicroοσίου που βρίσκεται δίπλα
στην πλευρά ΒΓ και έχει διαστάσεις τα microήκη των ΒΓ και 2
ΑΜ Ο ιδιοκτήτης δηλώνει ότι θα
συmicroφωνήσει microε την πρόταση αρκεί οι ανταλλάξιmicroοι χώροι να έχουν την ίδια έκταση
Πρακτικά όmicroως είναι αδύνατον να microετρήσει την πλευρά ΒΓ και τη διάmicroεσο ΑΜ γιrsquo αυτό και
διστάζει Πως θα σκεφτόσαστε εσείς να βοηθήσετε τον ιδιοκτήτη να αποφασίσει
Κ
Ο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
34
ΑΣΚΗΣΗ 21η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε β=2γ και η διάmicroεσος του Β∆ Φέρουmicroε Β∆perpΑx που τέmicroνει την
Β∆ στο Ε και την ΒΓ στο Ζ και ΕyΑΓ που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ Να αποδείξετε ότι
i) ZB= 2
1ZΓ
ii) (ΑΒΓ)=3(ΑΒΖ)
iii) Να αποδειχθεί ότι 8
3
)(
)(=
ΑΒΖΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΗ 22η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε α=2γ και β= 7γ
α) i) Να αποδείξετε ότι 2
3αmicroα =
ii) Να βρείτε το είδος της γωνίας and
Β
iii) Αν ΑΕ perp ΒΓ να υπολογίσετε το ΒΕ συναρτήσει του γ
iv) Να βρείτε τη γωνία and
Β
β) Αν ΑΜ διάmicroεσος και Β∆ διχοτόmicroος να αποδείξτε ότι
i) Α∆ = 3
β
ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)
ΑΣΚΗΣΗ 23η
Έστω τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ο R) και σηmicroείο Μ το οποίο κινείται στο
ηmicroικύκλιο cap
ΑΒΓ
α) Να βρεθεί το ελάχιστο ( )minΕ και το microέγιστο ( )maxΕ εmicroβαδόν του τετράπλευρου ΑΜΓ∆
συναρτήσει της ακτίνας R
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε θέση του Μ είναι
i) Μ∆2 = ΑΓ ∆Ε όπου Ε η προβολή του Μ στην Β∆
ii) (ΑΜΓ∆) = 2
2Μ∆
γ) Να προσδιορίσετε τη θέση του σηmicroείου Μ όταν (ΑΜΓ∆) = 2
maxmin EE +
ΑΣΚΗΣΗ 24η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ M το microέσο της ΑΒ σηmicroείο Ν της ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΝ = 4
3ΑΓ και
σηmicroείο Κ της ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΚ = 4
1ΒΓ Να βρεθεί ο λόγος των εmicroβαδών του τριγώνου
ΑΒΓ προς του τριγώνου ΜΝΚ
ΑΣΚΗΣΗ 25η
Α) Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι 2
αmicro = βγ και β-γ = 5 2 Το microήκος της πλευράς
α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3
Β) Να δειχθεί ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει η σχέση (222
γβα micromicromicro ++ )2 = 27Ε
2 όπου
Ε το εmicroβαδό του
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
35
ΑΣΚΗΣΗ 26η
Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω περιπτώσεις
όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί να αποτελεί microήκη των
πλευρών του
i) 3 57
ii) 8 4 2
iii) 7 6 85
ΑΣΚΗΣΗ 27η
Αν η διάmicroεσος microα ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν προεκταθεί τέmicroνει τον περιγεγραmicromicroένο κύκλο
στο ∆ να αποδειχθεί ότι microα = Α∆+
2
22 γβ
ΑΣΚΗΣΗ 28η
Από ένα κυκλικό οικόπεδο ακτίνας R=30m θα αποκοπεί κυκλικό τmicroήmicroα χορδής 30 3 m για
την κατασκευή δρόmicroου
i) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου που έmicroεινε
ii) Να βρεθεί η αποζηmicroίωση που θα δοθεί στον ιδιοκτήτη αν η αρχική αξία του οικοπέδου
ήταν 10000000 δρχ
ΑΣΚΗΣΗ 29η
Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι α =13 β = 8 γ = 7
i) Να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς το είδος των γωνιών του
ii) Να υπολογιστεί το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ πάνω στην ΑΒ
iii) Να υπολογιστεί η γωνία and
Α
ΑΣΚΗΣΗ 30η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 4 ΑΓ = 5 ΒΓ = 7 Το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ
πάνω στην ΑΒ είναι Α 5 Β 1 Γ 6 ∆ 2
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 31η
Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (and
Α =90ο) microε
and
Β =60ο και ΒΓ=4 Με κέντρο το Β και
ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ και microε κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΜ
γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν να βρεθούν
i) Η θέση του σηmicroείου Μ στη ΒΓ
ii) Η περίmicroετρος του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
iii) Το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
36
ΑΣΚΗΣΗ 32η
Μια έκταση σχήmicroατος τετραγώνου microε A 30 H 70 ∆
πλευρά 100m πρόκειται να διατεθεί
για κατασκευή εργατικών κατοικιών
Οι κατοικίες θα ανεργεθούν σε τέσσερα 70 30
ίσα τριγωνικά οικόπεδα και η υπόλοιπη Μ
έκταση σχήmicroατος τετραπλεύρου θα
χρησιmicroοποιηθεί ως κοινόχρηστος χώρος Z
για δενδροφύτευση και κατασκευή γηπέδου
microπάσκετ 30 70
α) Να βρεθούν τα εmicroβαδά των τεσσάρων ίσων οικοπέδων
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινόχρηστου χώρου B 70 K 30 Γ
γ) Τι είδους τετράπλευρο είναι ο κοινόχρηστος χώρος Να βρεθούν οι πλευρές του
ΑΣΚΗΣΗ 33η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 90A =
and
και ΑΒ=y ΑΓ=β
Α∆=ν Β∆=micro ΒΓ=x ∆Γ=κ
i) Να συmicroπληρωθούν οι σχέσεις
β2=helliphelliphellip=helliphelliphelliphellip Α
ν2=helliphelliphelliphelliphelliphellip
2
2
βy
=helliphelliphelliphelliphellip βy=helliphelliphelliphellip y ν β
ii) Να δειχθεί ότι 111
222 νβ=+
y Β ν ∆ κ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 34η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroεία ∆Ε της πλευράς ΒΓ έτσι ώστε Β∆=∆Ε=ΕΓ Να απόδειχθεί
ότι
i) 2222 22 ΑΕminusΑ∆=∆ΕminusΑΒ ii)
2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 35η
∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε o90=Α
and
ΑΒ=5cm ΑΓ=12cm Α∆ το ύψος του και ΒΜ
η διάmicroεσος του Προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά ΓΕ=ΒΓ i) Να συγκρίνετε τα
εmicroβαδά των τριγώνων Α∆Γ και ΑΓΕ ii) Να δείξετε ότι η σχέση που συνδέει τα εmicroβαδά των
τριγώνων ΑΒΜ και ΑΒΕ είναι (ΑΒΕ)=4(ΑΒΜ)
ΑΣΚΗΣΗ 36η
Από σηmicroείο Μ εκτός κύκλου φέρνουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΜΕ του κύκλου και τις
τέmicroνουσες ΜΑΒ και ΜΓ∆ Αν είναι ΑΒ=9 ΓΜ=4 Γ∆=5 να υπολογίσετε i) το ΜΑ ii) το
ΜΕ
ΑΣΚΗΣΗ 37η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) ΑΒ microια διάmicroετρος του και Μ τυχαίο σηmicroείο του (διαφορετικό των Α
Β) Αν Γ είναι το microέσο της ΟΑ και ∆ το microέσο της ΟΒ ενώ η ΜΓ τέmicroνει τον κύκλο στο Ε και
η Μ∆ στο Ζ τότε να αποδείξετε ότι3
10=
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
37
Ζ
Ε
ΑΣΚΗΣΗ 38η
Ένα τριγωνικό αγρόκτηmicroα ΑΒΓ χωρίζεται
σε τέσσερα τριγωνικά αγροτεmicroάχια όπως Α
φαίνεται στο σχήmicroα έτσι ώστε ΑΒ=Α∆3
2
ΒΕ= ΒΓ4
1και ΓΖ= ΑΓ
2
1 α) Αν το εmicroβαδό ∆
του ΑΒΓ είναι 48 στρέmicromicroατα να υπολογίσετε το Β
Γ
εmicroβαδό του ∆ΕΖ β) Αν τα ∆ Ε Ζ είναι τα microέσα των ΑΒ
ΒΓ ΑΓ αντίστοιχα να βρεθούν τα εmicroβαδά των
τεσσάρων αγροτεmicroαχίων
ΑΣΚΗΣΗ 39η
∆ίνεται εγγράψιmicroο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ ώστε οι πλευρές του ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α microε τη σειρά
που δίνονται να αποτελούν γεωmicroετρική πρόοδο Να αποδείξετε ότι η διαγώνιος του Β∆ το
χωρίζει σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
ΑΣΚΗΣΗ 40η
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ∆ Ζ Γ
την ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m και
ο90=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος υ
∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο οποίος
θα χωρίσει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆
και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα α) Να βρεθεί
το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆ β) Να
βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο
ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο Α Ε Η Β
ΑΕ∆ δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου
∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
ΑΣΚΗΣΗ 41η
∆ίνεται ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ και τα σηmicroεία του ∆Γ έτσι ώστε ∆Β=Γ∆=ΑΓ Αν
Μ τυχαίο σηmicroείο εκτός του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατοςΑΒ
Να δείξετε ότι 2222 33 ΜΓ+ΜΒ=ΜΒ+ΑΜ
ΑΣΚΗΣΗ 42η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 222 2αγβ =+ Αν η διάmicroεσος ΑΜ τέmicroνει το περιγεγραmicromicroένο
κύκλο του τριγώνου στο ∆ να δείξετε ότι
α) 6
3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
38
ΑΣΚΗΣΗ 43η
Από ένα εξωτερικό σηmicroείο Α κύκλου ( )RΟ φέρουmicroε microια τέmicroνουσα ΑΒΓ έτσι ώστε
ΒΓ=ΑΒ Αν 7R=ΟΑ τότε να δείξετε ότι
i) ΒΓ=ΑΒ =λ3
ii) η γωνία and
ΑΟΓ είναι αmicroβλεία
iii) η προβολή της ΟΓ πάνω στην ΟΑ είναι ίση microε ΟΑ7
2
iv) Να δείξετε ότι ( )( ) 2
1=
ΑΟΓΒΟΓ
και στην συνέχεια να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του τριγώνου
and
ΑΟΓ
v) Να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που ορίζεται από την χορδή ΒΓ και
το microέτρο του τόξου cap
ΒΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
39
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
40
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
16
22 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) διαmicroέτρου ΑΒ Από ένα σηmicroείο Γ της προέκτασης της ΑΒ
προς το Β φέρνουmicroε την εφαπτοmicroένη Γ∆ και την ΑΓperpΓx Αν Ε είναι το σηmicroείο
τοmicroής των Α∆ και Γx να αποδειχθεί ότι
i) το τετράπλευρο ∆ΒΓΕ είναι εγγράψιmicroο ii) ΑΕsdotΑ∆minusΓΑ=Γ∆ 22
23 ∆ύο κύκλοι (ΚR) και
Λ2
R
εφάπτονται εσωτερικά στο Α Από ένα σηmicroείο Μ του
κύκλου
Λ2
R
φέρνουmicroε χορδή Γ∆ του κύκλου (ΚR) Να αποδειχθεί ότι
ΜΓΜ∆=ΜΑ2
24 Θεωρούmicroε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α και σηmicroείο ∆ της πλευράς ΒΓ Αν οι
περιγεγραmicromicroένοι κύκλοι στα τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓ∆ τέmicroνουν τις πλευρές ΑΓ και ΑΒ
στα σηmicroεία Ε και Ζ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι ΒΖ+ΓΕ=α
25 Στη διάmicroετρο ΑΒ κύκλου (ΟR) θεωρούmicroε τα σηmicroεία Γ και ∆ έτσι ώστε ΟΓ=Ο∆=α
και microεταβλητό σηmicroείο Μ του κύκλου Αν οι ΜΓ και Μ∆ τέmicroνουν τον κύκλο στα Ε
και Ζ αντίστοιχα να αποδείξετε ότι i) ΜΓΓΕ = Μ∆∆Ζ ii)
ΜΓ2+Μ∆
2 = 2(R
2+α
2) iii) το άθροισmicroα
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
είναι σταθερό
26 Θεωρούmicroε κύκλο (O2α) και σηmicroείο Ρ τέτοιο ώστε ΟΡ=2
3α Φέρουmicroε χορδή ΑΒ η
οποία διέρχεται από το Ρ και είναι τέτοια ώστε ΑΡ=α Να υπολογιστεί το microήκος της
χορδής ΑΒ
27 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) διάmicroετρο ΑΒ και τα microέσα Γ και ∆ των ΟΑ και ΟΒ
αντίστοιχα Από το σηmicroείο Γ φέρουmicroε χορδή ΕΖ = 2
13 Rsdot Να αποδειχθεί ότι
i) ΖΓ2+Ζ∆
2+ΓΕ
2+∆Ε
2=5R
2 ii)
and
Ε∆Ζ = 900
28 Έστω ΑΒ διάmicroετρος κύκλου (ΟR) και ΑΓ Β∆ δύο χορδές που τέmicroνονται στο Ρ Να
αποδειχθεί ότι i) αν οι Α∆ και ΒΓ τέmicroνονται στο Ε τότε το Ρ είναι ορθόκεντρο του
τριγώνου ΕΑΒ ii) ΑΓΑΡ+Β∆ΒΡ=ΑΒ2
29 Τρίγωνο ΑΒΓ microε β2+γ
2=2α
2 Β∆ ΓΕ ύψη ΑΜ διάmicroεσος και Ζ microέσο της ΑΜ Να
αποδειχθεί ότι i)and
Α lt900 ii) AE =
γα2
2
και ΑΜ = 2
3α iii) ΕΖ =
γαβ4
Ζ∆ = β
αγ4
30 Σε τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούmicroε σηmicroεία ∆Ε στην πλευρά ΒΓ ώστε Β∆ = ∆Ε = ΕΓ Να
αποδείξετε ότι i) AB2 ndash 2∆E
2 = 2A∆
2 ndash AE
2 ii) AB
2 + 2AΓ
2 = 3AE
2 +
6∆E2
31 Αν α β γ πλευρές τριγώνου να βρεθεί το είδος του τριγώνου στις παρακάτω περι-
πτώσεις i) α = ν2 + 1 β = 2ν γ = ν
2 ndash 1
ii) α = 4 β = 5 γ = 3
iii) α = 11 β = 13 γ = 12
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
17
32 Αν Ε ∆ Ζ microέσα των ΑΓ ΒΓ Β∆ αντίστοιχα ενός τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε ότι
i) Ε∆=2
1ΑΒ ii) ΕΖ
2 =
16
263 222 βminusγ+α
33 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ = 6 ΑΓ = 8 ΒΓ = 2 37 να αποδειχθεί ότι
i) ο120=Α
and
ii) να βρεθεί το microήκος Α∆ όπου Β∆ ύψος τριγώνου
iii) να βρεθεί το microήκος της διαmicroέσου microα
34 Σε τρίγωνο ΑΒΓ microε πλευρές α = 9 β = 7 γ = 4 να βρείτε i) το είδος του τριγώνου
ii) το microήκος της διαmicroέσου microα iii) την προβολή της διαmicroέσου microα πάνω στην
ΒΓ iv) την προβολή της πλευράς β πάνω στην γ
35 Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ο90=Α
and
ΑΜ διάmicroεσος και Ρ το microέσο
της ΑΜ Στην πλευρά ΒΓ = α παίρνουmicroε σηmicroείο Κ ώστε ΓΚ = 8
5α Να αποδειχθεί
ότι i) ΓΡ2 =
16
5 2α ii) ΡΚ
2 =
64
5 2α iii) ΡΓ = 2ΚΡ
36 Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε ο90=Α
and
α = 25 και β = 20 αν x είναι η προβολή της
πλευράς β πάνω στην πλευρά α τότε
i) η πλευρά γ έχει microήκος Α10 Β12 Γ13 ∆15 Ε21
ii) το ύψος υα έχει microήκος Α9 Β7 Γ12 ∆17 Ε5
iii) το τmicroήmicroα x έχει microήκος Α10 Β12 Γ17 ∆16 Ε21
(Να αιτιολογήσετε την απάντηση)
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
18
ΕΜΒΑ∆Α
ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ
Ας θεωρήσουmicroε ένα πολύγωνο
Ένα σχήmicroα που αποτελείται από πεπερασmicroένο πλήθος πολυγωνικών χωρίων που ανά δύο δεν
έχουν κοινά εσωτερικά σηmicroεία λέγεται πολυγωνική επιφάνεια
Ίσα πολυγωνικά χωρία έχουν ίσα εmicroβαδά
Αν ένα πολυγωνικό χωρίο (ή microια πολυγωνική επιφάνεια) χωρίζεται σε πεπερασmicroένου
πλήθους πολυγωνικά χωρία που δεν έχουν κοινά εσωτερικά σηmicroεία τότε το εmicroβαδόν του
ισούται microε το άθροισmicroα των εmicroβαδών των επιmicroέρους πολυγωνικών χωρίων
Το εmicroβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς 1 είναι 1
∆ύο σχήmicroατα που έχουν το ίδιο εmicroβαδόν ονοmicroάζονται ισεmicroβαδικά ή ισοδύναmicroα
Το πολύγωνο microαζί microε τα εσωτερικά του
στοιχεία ονοmicroάζεται πολυγωνικό χωρίο
Ένα πολυγωνικό χωρίο που ορίζεται από
τρίγωνο τετράγωνοhellipν-γωνο ονοmicroάζεται
τριγωνικό πολυγωνικόhellip ν-γωνικό
∆ύο πολυγωνικά χωρία λέγονται ίσα όταν τα
αντίστοιχα πολύγωνά τους είναι ίσα
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
19
ΕΜΒΑ∆Α ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
Το εmicroβαδόν τετραγώνου πλευράς α δίνεται από τον τύπο 2α=Ε
Το εmicroβαδόν ενός ορθογωνίου ισούται microε το γινόmicroενο των πλευρών του βα sdot=Ε
Το εmicroβαδόν ενός παραλληλογράmicromicroου ισούται microε το γινόmicroενο microιας πλευράς του επί το ύψος
που αντιστοιχεί σε αυτή
βα υβυα sdot=sdot=Ε
Το εmicroβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο microε το ηmicroιγινόmicroενο microιας πλευράς επί το αντίστοιχο ύψος
γβα υγυβυα sdot=sdot=sdot=Ε2
1
2
1
2
1
Το εmicroβαδόν τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο του ηmicroιαθροίσmicroατος των βάσεων του επί το
ύψος του υβsdot
+Β=Ε
2
Το εmicroβαδόν τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο της διαmicroέσου επί το ύψος του
bull Το εmicroβαδόν ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς α είναι ίσο microε 4
32α=Ε
bull Το εmicroβαδόν ρόmicroβου ισούται microε το ηmicroιγινόmicroενο των διαγωνίων του
bull Το εmicroβαδόν οποιουδήποτε κυρτού ή microη κυρτού τετραπλεύρου microε κάθετες διαγωνίους
ισούται microε το ηmicroιγινόmicroενο των διαγωνίων του
bull Η διάmicroεσος κάθε τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
bull Το βαρύκεντρο τριγώνου έχει την ιδιότητα να δηmicroιουργεί microε τις κορυφές του τριγώνου τρία
ισεmicroβαδικά τρίγωνα
bull Το βαρύκεντρου του τριγώνου οι κορυφές του και τα microέσα των πλευρών του ορίζουν έξι
ισεmicroβαδικά τρίγωνα
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
20
ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΕΜΒΑ∆ΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
( )( )( )γτβταττ minusminusminus=Ε όπου 2
γβατ
++= ηmicroιπερίmicroετρος του τριγώνου
ρτ sdot=Ε
R4
γβα sdotsdot=Ε
Γsdotsdot=Βsdotsdot=Αsdotsdot=Ε ηmicroβαηmicroαγηmicroγβ2
1
2
1
2
1
ΕΜΒΑ∆Α ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
Αν δύο τρίγωνα έχουν ίσες βάσεις τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο των
αντίστοιχων υψών ενώ αν έχουν ίσα ύψη τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο
των αντίστοιχων βάσεων
Αν δύο τρίγωνα είναι όmicroοια τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το τετράγωνο του
λόγου οmicroοιότητας
Ο λόγος των εmicroβαδών δύο όmicroοιων πολυγώνων είναι ίσος microε το τετράγωνο του λόγου
οmicroοιότητας
Αν microια γωνία ενός τριγώνου είναι ίση ή παραπληρωmicroατική microε microια γωνία ενός άλλου
τριγώνου τότε ο λόγος των εmicroβαδών των δύο τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο των γινοmicroένων
των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
21
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Αν ΑΒΓ∆ τραπέζιο ( Γ∆ΑΒ ) και Ο το σηmicroείο τοmicroής των διαγωνίων του ΑΓ και
Β∆ να αποδείξετε ότι ΟΑ∆ΟΒΓ Ε=Ε
2 Ένα τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) και ΒΓ=Γ∆=Α∆ και τη βάση ΑΒ κατά 2 microικρότερη
από το άθροισmicroα των τριών αυτών πλευρών Αν το ύψος του τραπεζίου είναι 5 να
υπολογιστεί το εmicroβαδό του
3 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ microε microήκη πλευρών α=10 β=8 γ=14 και ισόπλευρο τρίγωνο
∆ΕΖ το οποίο είναι ισοδύναmicroο microε το ΑΒΓ Το microήκος της πλευράς του ισόπλευρου
τριγώνου ∆ΕΖ είναι
Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20
Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε
4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=2 ΒΗ ύψος και η διάmicroεσος Β∆=1 Αν and
∆ΑΒ =30ο να
υπολογιστούν α) τα ΒΗ Η∆ ΑΗ
β) το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ
5 Με υποτείνουσες τις κάθετες πλευρές ΑΒ και ΑΓ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ microε
β+γ=20 κατασκευάζουmicroε ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓΕ εκτός
αυτού
α) Να αποδείξετε ότι τα σηmicroεία ∆ΑΕ είναι συνευθειακά
β) Να βρείτε το εmicroβαδό του τετραπλεύρου ΒΓΕ∆
6 Προεκτείνουmicroε τις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ ενός τριγώνου ΑΒΓ κατά τmicroήmicroατα
Γ∆=ΓΒ ΑΕ=ΑΓ και ΒΖ=ΒΑ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι (∆ΕΖ) = 7(ΑΒΓ)
7 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Μ στο εσωτερικό του Φέρνουmicroε από το Μ
παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των
σχηmicroατιζόmicroενων τριγώνων και Ε το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε
ότι 321 Ε+Ε+Ε=Ε
8 Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ που τέmicroνει τις πλευρές ΑΒ
και ΑΓ στα σηmicroεία ∆ και Ε αντίστοιχα Να αποδείξετε ότι (ΑΒΕ)2=(ΑΒΓ)(Α∆Ε)
9 Από σηmicroείο ∆ της πλευράς ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη προς την
πλευρά ΒΓ που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των τριγώνων
Α∆Ε Α∆Γ και ΑΒΓ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι 31
2
2 ΕsdotΕ=Ε
10 Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Α΄ της πλευράς του ΒΓ Από τα Β και Γ
φέρνουmicroε παράλληλες προς την ΑΑ΄ που τέmicroνουν τις ευθείες ΑΓ και ΑΒ στα σηmicroεία
Γ΄ και Β΄ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι
α) (ΑΑ΄Γ΄) = (ΑΒΑ΄) και (ΑΑ΄Β΄) = (ΑΓΑ΄)
β) (Α´ô) = (ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
22
11 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ microε ΑΒ=10 Α∆=4 και and
∆ =60ο Στην πλευρά ΑΒ
θεωρούmicroε τα σηmicroεία Ε και Ζ έτσι ώστε ΑΕ=ΕΖ=ΖΒ Αν Η είναι το σηmicroείο τοmicroής των
ευθειών ∆Ε και ΓΖ να υπολογιστούν
α) το εmicroβαδό του παραλληλογράmicromicroου ΑΒΓ∆
β) το εmicroβαδό του τραπεζίου Γ∆ΕΖ
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου ΗΕΖ
12 ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=ΑΓ=6 και ο120=Α
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του
β) Αν Ε σηmicroείο της ΑΓ τέτοιο ώστε ΓΕ=ΑΕ2
1 και Α∆ το ύψος του τριγώνου
ΑΒΓ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ∆ΕΓ
γ) Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει τη ∆Ε στο Η να βρεθεί το εmicroβαδό
του τριγώνου ΑΕΗ
13 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Ρ στο εσωτερικό του Από το Ρ φέρνουmicroε κάθετες
ηmicroιευθείες στις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ και πάνω σrsquo αυτές παίρνουmicroε τα σηmicroεία Α΄
Β΄ και Γ΄ αντίστοιχα έτσι ώστε ΡΑ΄=ΒΓ ΡΒ΄=ΑΓ και ΡΓ΄=ΑΒ Να αποδειχθεί ότι
α) οι γωνίες and
Γ και and
ΒprimeΡΑprime είναι παραπληρωmicroατικές
β) (ΡΑ΄Β΄)=(ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)
14 Θεωρούmicroε τρεις ίσες διαδοχικές γωνίες and
οψx zand
οψ xzand
ο και πάνω στις
ηmicroιευθείες Οx Oψ και Οz τα σηmicroεία Α Β Γ αντίστοιχα έτσι ώστε ΟΑ=1 ΟΒ=4 και
ΟΓ=8
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ψοand
x zand
οψ xzand
ο
β) Αν Οw η αντικείmicroενη ηmicroιευθεία της Οψ και Γ∆ wΟperp να υπολογίσετε τις Ο∆ και
Γ∆
γ) Να υπολογίσετε το (ΟΒΓ)
δ) Να αποδείξετε ότι (ΑΒΓ)= 311
15 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ και Κ Λ Μ Ν τα microέσα των ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α
αντίστοιχα α) Να αποδειχθεί ότι (ΚΛΜΝ)=2
1(ΑΒΓ∆)
β) Αν ΚΜ ΛΝperp να αποδειχθεί ότι (ΑΒΓ∆) = ΚΜΛΝ
16 Λ
Α Β Στο διπλανό σχήmicroα τα σηmicroεία Κ Λ είναι τα
Κ Ρ microέσα των τmicroηmicroάτων ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα
Να αποδείξετε ότι
Γ α) ο λόγος των εmicroβαδών των τριγώνων ΑΚΒ και ΑΛΓ είναι ίσος microε
β) αν Ρ είναι το σηmicroείο τοmicroής των ΛΓ και ΚΒ τότε τα τρίγωνα ΒΛΡ
και ΚΓΡ έχουν ίσα εmicroβαδά
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
23
17 ∆ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) microε ΑΒ=4 Α∆=2 καιο60=∆
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τραπεζίου ΑΒΓ∆
β) Αν Ε σηmicroείο της πλευράς ΑΒ τέτοιο ώστε ΕΒ= ΑΒ4
1 και οι Ε∆ ΕΓ τέmicroνουν τη
διάmicroεσο του τραπεζίου στα σηmicroεία Ζ και Η αντίστοιχα να βρεθεί το εmicroβαδό του
τριγώνου ΕΖΗ
γ) Αν οι ∆Ε και ΒΓ τέmicroνονται στο Ρ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ΡΕΒ
18 Αν οι διαγώνιοι κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓ∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο να αποδείξετε ότι
το τετράπλευρο έχει εmicroβαδό Β∆sdotΑΓ4
1
19 Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται ΑΒ=5 ο60=Α
and
και η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου
κύκλου 3
7=R Να βρεθούν οι άλλες δύο πλευρές του τριγώνου και το εmicroβαδόν του
20
∆ Ζ Γ
υ
Α Ε Η Β
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m
90ο=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος ∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο
οποίος θα χωρίζει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆ και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο
ΑΕ∆
δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου ∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
21 Αν Μ και Ν είναι τα microέσα των πλευρών ΒΓ και Γ∆ ενός παραλληλόγραmicromicroου ΑΒΓ∆
να αποδείξετε ότι (ΑΜΝ)= )(8
3ΑΒΓ∆
22 Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) θεωρούmicroε το microέσο Μ της πλευράς ΑΒ
και σηmicroείο Ν της πλευράς ΑΓ τέτοιο ώστε 3
ΑΓ=ΓΝ Να δειχθεί ότι
(ΜΝΒ)= )(3
1ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
24
23 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και τυχαίο σηmicroείο Σ στην προέκταση της πλευράς
∆Γ προς το Γ Να αποδείξετε ότι
α) (ΑΒ∆)= )(2
1ΑΒΓ∆
β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)
γ) αν η ΑΣ τέmicroνει την Β∆ στο σηmicroείο Ε τότε (Ε∆Σ)-(ΕΑΒ)=(ΣΒΓ)
24 Έστω Σ τυχαίο σηmicroείο της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ Στο σηmicroείο Α φέρουmicroε
microια ευθεία ε κάθετη στην ΑΣ Αν ∆ και Ε είναι αντίστοιχα οι προβολές των σηmicroείων
Β και Γ στην ευθεία ε να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ∆ΣΕ είναι ισοδύναmicroα
25 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 8=ΑΒ 12=ΑΓ και η Α∆ διχοτόmicroος της γωνίας and
Α Αν
( )ΑΒ∆ =20 τmicro να βρείτε το ( )ΑΒΓ
26 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ∆ σηmicroείο της πλευράς ΑΒέτσι ώστε 6=Α∆ ∆Β=5
8=ΑΓ Αν 80=Α
and
να βρείτε το εmicroβαδόν του τριγώνου Β∆Γ
27 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ microε 90=Β
and
και η γωνία and
Α να είναι το 3
1 της ορθής Αν
∆ σηmicroείο της προέκτασης της πλευράς ΒΓ προς το Γ τέτοιο ώστε η 30=Α∆Β
and
να
βρεθεί ο λόγος ( )( )ΑΒ∆ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
25
ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ
ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ
Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του
ίσες
Γωνία κανονικού ν-γώνου ν
φν
360
180 minus=
Κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου ν
ων
360=
Σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας R ισχύουν οι εξής τύποι 2
22
4R=+ ν
ν
λα
νν λν sdot=Ρ
ννν αsdotΡ=Ε2
1
όπου να απόστηmicroα νλ πλευρά νΡ περίmicroετρος νΕ εmicroβαδόν
∆ύο κανονικά πολύγωνα microε τον ίδιο αριθmicroό πλευρών είναι όmicroοια
Κάθε κανονικό πολύγωνο εγγράφεται σε έναν κύκλο και περιγράφεται σε έναν άλλον Οι δύο
αυτοί κύκλοι είναι οmicroόκεντροι
bull Το κοινό κέντρο τον κύκλων αυτών λέγεται κέντρο του πολυγώνου
bull Η ακτίνα R του περιγεγραmicromicroένου κύκλου λέγεται ακτίνα του πολυγώνου
bull Η απόσταση του κέντρου από microια πλευρά του δηλαδή η ακτίνα του εγγεγραmicromicroένου
κύκλου λέγεται απόστηmicroα του πολυγώνου
Σε δύο κανονικά ν-γωνα ο λόγος των πλευρών τους ισούται microε το λόγο των ακτινών τους και
το λόγο των αποστηmicroάτων τους
∆ηλαδή
ν
ν
ν
ν
αα
λλ
==R
R
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
26
ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ
ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ
ΚΑΝΟΝΙΚΟ
ΕΞΑΓΩΝΟ
ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ
ΤΡΙΓΩΝΟ
ΠΛΕΥΡΑ νλ 24 R=λ R=6λ 33 R=λ
ΑΠΟΣΤΗΜΑ να
2
24
R=α
2
36
R=α
23
R=α
RL sdot= π2
180
microπ sdotsdot=
Rl ή Rl sdot=α
180
microαπ
=
2Rsdot=Ε π
( )360
2 microπ sdotsdot=ΟΑΒ
cap R ή ( )
cap
sdot=ΟΑΒ 2
2
1Rα
( ) ( )ΟΑΒminusΟΑΒ=cap
ε
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
27
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Ένα κανονικό εξάγωνο είναι περιγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ορ) Η πλευρά του
εξαγώνου αυτού είναι
Α ρ Β 2
3ρ Γ 2ρ ∆
3
32ρ Ε
3
2ρ
2 ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και στις προεκτάσεις των
πλευρών ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α θεωρούmicroε τα τmicroήmicroατα ΒΚ=ΓΛ=∆Μ=ΑΝ=λ3 Να δείξετε
ότι το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο και ότι η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου κύκλου του
είναι 641 += RR
3 Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε δύο παράλληλες χορδές ΑΒ=λ4 και Γ∆=λ6 Να
αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι ισοσκελές τραπέζιο και να υπολογιστεί
το εmicroβαδό του ως συνάρτηση της ακτίνας R
4 Η περίmicroετρος ενός κυκλικού τοmicroέα ΟΑΒ ενός κύκλου (ΟR) είναι 6+π Αν
ο60=ΒΟΑand
τότε το microήκος της ακτίνας R είναι
Α 6 Β 3 Γ 2 ∆ 4 Ε 5 (δικαιολογήστε την απάντησή σας)
5 Έστω τεταρτοκύκλιο ΟΑΒ ακτίνας R και ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΟΒ στο εσωτερικό
του Να βρείτε το εmicroβαδό και την περίmicroετρο του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΑΒ
6 Έστω δύο κύκλοι (ΟR) και (Ο΄R) των οποίων η διάmicroετρος ΟΟ΄ έχει microήκος
ΟΟ΄=R 3 α) Να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι τέmicroνονται
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινού microέρους των δύο κύκλων
7 Το εmicroβαδό κυκλικού τοmicroέα 80ο είναι 8π Η ακτίνα του κύκλου είναι
Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15
8 Τετράγωνο ΑΒΓ∆ είναι εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και η ηmicroιπερίmicroετρος του
είναι 80cm Να υπολογιστούν
α) η ακτίνα R του κύκλου
β) ο λόγος του εmicroβαδού του κύκλου προς το εmicroβαδό του τετραγώνου
9 Στο εσωτερικό ηmicroικυκλίου διαmicroέτρου ΑΟΒ=2R γράφουmicroε ηmicroικύκλια microε
διαmicroέτρους ΟΑ και ΟΒ Να υπολογιστεί το microήκος και το εmicroβαδό του κύκλου που
εφάπτεται των τριών ηmicroικυκλίων
10 ∆ύο κύκλοι (Ο3R) και (Ο΄R) εφάπτονται εξωτερικά στο σηmicroείο Α Φέρουmicroε την
κοινή εξωτερική εφαπτόmicroενη ΒΓ αυτών Να βρεθεί το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου
τριγώνου ΑΒΓ και του περιγεγραmicromicroένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ
11 Έστω ο κύκλος (ΟR) και microια ακτίνα του ΟΑ Στην ηmicroιευθεία ΟΑ θεωρούmicroε
σηmicroείοΒ έτσι ώστε ΑΒ=ΑΟ Αν ΒΓ η εφαπτοmicroένη του κύκλου να βρεθεί το
εmicroβαδό α) του τριγώνου ΟΒΓ και β) του microικτόγραmicromicroου τριγώνου
ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
28
12 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=λ3 και Γ∆=λ6
προς το ίδιο microέρος του κέντρου Ο α) Να εκφράσετε τις χορδές ΑΒ και Γ∆ ως
συνάρτηση της ακτίνας R β) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό Ε1 του κυκλικού τmicroήmicroατος
που αντιστοιχεί στη χορδή Γ∆ γ) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό του τριγώνου ΟΑΒ
δ) Να βρείτε την περίmicroετρο και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τραπεζίου που έχει
κορυφές τα ΑΒΓ∆
13 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) χορδή ΑΒ=R την εφαπτοmicroένη ε του κύκλου στο σηmicroείο
Α και τη εperpΒΓ Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του τραπεζίου ΟΑΓΒ
β) το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
14 ∆ίνεται ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΑΒ και στο εσωτερικό του τα ηmicroικύκλια διαmicroέτρων
ΑΓ και ΓΒ όπου Γ σηmicroείο microεταξύ των Α και Β Αν κάθετη της ΑΒ στο Γ τέmicroνει το
αρχικό ηmicroικύκλιο στο ∆ να αποδείξετε ότι το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται
microεταξύ των τριών ηmicroικυκλίων είναι ίσο microε το εmicroβαδό του κύκλου διαmicroέτρου Γ∆
15 Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ο60=Β
and
και ΒΓ=α Με
κέντρο το Β και ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει τη ΒΓ στο Μ και microε κέντρο
το Γ και ακτίνα ΓΜ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν Να βρεθεί η
περίmicroετρος και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
16 Με κέντρο ένα σηmicroείο Κ κύκλου (ΟR) και ακτίνα ίση προς R 3 γράφουmicroε
κύκλο ο οποίος τέmicroνει τον (ΟR) στα σηmicroεία Α και Β Να υπολογιστούν η
περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου microηνίσκου
17 ∆ίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ΒΓ = 2R
Γράφουmicroε ηmicroικύκλιο microε διάmicroετρο ΒΓ εκτός τριγώνου και τόξο κύκλου (Α ΑΒ) microε
άκρα Β και Γ Να βρεθεί η περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου
microηνίσκου από το ηmicroικύκλιο και το τόξο αυτό
18 Ένα ορθογώνιο σπίτι microε διαστάσεις α = 20m και β = 10m έχει microια εξωτερική
πρίζα σε microια γωνία του Ένα χορτοκοπτικό microηχάνηmicroα συνδεδεmicroένο microε την πρίζα
έχει καλώδιο microε microήκος 15m Να βρεθεί το εmicroβαδόν της microεγαλύτερης επιφάνειας
του χόρτου που microπορεί να κοπεί
19 Σε κύκλο ακτίνας R = 4cm είναι εγγεγραmicromicroένο ισόπλευρο τρίγωνο
Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του κύκλου
β) την πλευρά του τριγώνου
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου
δ) το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται microεταξύ του κύκλου και του τριγώνου
20 Σε κύκλο microε διάmicroετρο ΑΒ φέρουmicroε τις χορδές ΜΒΑΜ Αν είναι 6=ΑΜ και
8=ΒΜ να βρεθεί η ακτίνα και το εmicroβαδόν του κύκλου
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
29
21 Να βρεθεί το εmicroβαδόν του καθενός από τα δύο microέρη στα οποία διαιρείται ένας
κύκλος ( )RΟ από την πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραmicromicroένου στον κύκλο
αυτόν
22 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και φέρουmicroε δύο κάθετες ακτίνες ΟΑ και ΟΒ Με
κέντρο το Α και ακτίνα R γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει το cap
AB στο σηmicroείο Γ Να
βρεθεί το εmicroβαδόν του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΒΓ
23 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και τόξο 60=ΑΒ
cap
Φέρουmicroε στο σηmicroείο Α την
εφαπτοmicroένη χΑ του κύκλου και την χΑperpΒΓ Να βρεθεί το εmicroβαδόν του
microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
30
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΗ 1η
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α∆ διχοτόmicroος Β∆ = 2 Γ∆ = 3 και 2τ = 15 (περίmicroετρος) η πλευρά
ΑΒ είναι
Α 3 Β 4 Γ 5 ∆ 6 Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 2η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 3α2 + 2γ
2 = 2β
2 Τότε
i) Α and
Α gt90ο Β
and
Β gt 90ο Γ
and
Β lt 90ο ∆
and
Γ gt 90ο Ε Κανένα από τα παραπάνω
ii) Η προβολή της διαmicroέσου microα στην ΒΓ ισούται microε
Α 4
a Β
2
a Γ
4
3a ∆
2
3a Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 3η
Αν ΑΒΓ∆ τετράγωνο πλευράς α και Ε microέσο του Α∆ τότε
i) ΒΕ =2
5α Σ Λ
ii) Ο λόγος ΒΕΕΖ
ισούται microε
Α 5
2 Β
4
5 Γ
4
1 ∆
5
1 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
Α Β
E
Z
∆ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 4η
Αν τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=4 ΒΓ=5 ΑΓ=6 και Α∆ διχοτόmicroος τότε
i) -Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο Σ Λ
- Ο λόγος ∆Γ∆Β
ισούται microε
Α 2
1 Β
3
1 Γ
3
2 ∆
4
3 Ε
2
3
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ii) Αν ε η προβολή του Α στην ΒΓ να υπολογίσετε το microήκος του ΒΕ
iii) Να αποδείξετε ότι 2
1=
∆Γ∆Ε
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
31
ΑΣΚΗΣΗ 5η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και Μ το microέσο της Α∆ Προεκτείνουmicroε τη ∆Γ προς το Γ
κατά ΓΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΒΜ)=2
)(ΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τραπεζίου ΑΒΕ∆ είναι οκταπλάσιο από το εmicroβαδόν του
τριγώνου ΑΒΜ
ΑΣΚΗΣΗ 6η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναιuα =3ρ όπου ρ του εγγεγραmicromicroένου κύκλου του τριγώνου Ο λόγος
αγβ +
ισούται microε Α 2 Β 3 Γ 3
1 ∆
2
3 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ΑΣΚΗΣΗ 7η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάmicroεσός του Α∆ Προεκτείνουmicroε την ΒΑ προς το Α κατά τmicroήmicroα
ΑΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι (ΒΕ∆)=3(Α∆Γ)
ΑΣΚΗΣΗ 8η
Στο εσωτερικό της αυλής ενός σπιτιού υπάρχει microικρός κήπος microε λαχανικά όπως στο
ακόλουθο σχήmicroα Αν το εmicroβαδόν του κήπου είναι 122m και οι διαστάσεις της αυλής είναι
12m και 13m να βρεθεί το x Αν θέλουmicroε να περιφράξουmicroε τον κήπο microε σύρmicroα πόσο σύρmicroα
θα χρειαστούmicroε
12m
13m
ΑΣΚΗΣΗ 9η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ Από τυχαίο σηmicroείο Ε της ΑΓ φέρουmicroε ευθεία παράλληλη
προς την Α∆ που τέmicroνει την Γ∆ στο Ζ Να αποδείξετε ότι
i) (Α∆Ζ)=(ΑΕΒ)
ii) (ΑΕΖ)=(ΒΕΓ)-(ΖΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 10η
Οι διάmicroεσοι Β∆ και ΓΕ τριγώνου ΑΒΓ τέmicroνονται στο Θ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΕ∆)=4
)(ΑΒΓ
ii) (ΒΘΓ)= 3
)(ΑΒΓ
iii)(ΑΕ∆)= (ΒΚΛΓ) όπου Κ Λ τα microέσα των ΒΘ και ΓΘ αντίστοιχα
x
x x
x
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
32
ΑΣΚΗΣΗ 11η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε τη διχοτόmicroο Α∆ Από το ∆ φέρνουmicroε παράλληλη προς την ΑΒ
που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει την προέκταση της
∆Ε στο Ζ να αποδείξετε ότι
α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)
β) β2(ΑΕΖ) = γ
2(∆ΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 12η
Θεωρούmicroε γωνία yxand
Α και σηmicroείο Ο της διχοτόmicroου της Αδ Αν ο κύκλος (ΟΟΑ) τέmicroνει τις
Οx Οy στα Β Γ αντίστοιχα και την Αδ στο ∆ να αποδείξετε ότι
α) (ΟΑΒ)=(ΟΑΓ)
β) (ΒΟΓ∆)=(ΑΒ∆)
γ) (ΒΟΓ∆)=2
1(ΟΑ)(ΒΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 13η
Από εσωτερικό σηmicroείο Μ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλες προς τις
πλευρές ΑΓ και ΑΒ που τέmicroνουν τις ΑΒ ΑΓ στα ∆ Ζ αντίστοιχα Αν (ΒΜ)=x (ΒΓ)=α
(Β∆Μ)=Ε1 (ΓΖΜ)=Ε2 και (ΑΒΓ)=Ε τότε
α) Να εκφράσετε ως συναρτήσεις των x και α τους λόγους Ε
Ε1 και Ε
Ε2
β) Να αποδείξετε ότι ΕgeΕ+Ε2
121
ΑΣΚΗΣΗ 14η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=Γ∆=λ3
Να βρεθεί
i) Η περίmicroετρος του ΑΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που αντιστοιχεί στη χορδή ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 15η
Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε τα διαδοχικά σηmicroεία Α Β Γ και ∆ ώστε ΑΒ=ΒΓ=Γ∆= R Να
βρεθεί
i) H περίmicroετρος του τριγώνου ΑΒ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τριγώνου ΒΓ∆
iii) Ο λόγος )(
)(
ΒΓ∆ΑΒ∆
ΑΣΚΗΣΗ 16η
∆ίνεται τεταρτοκύκλιο Οand
ΒΓ ακτίνας R
α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΓΒ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε δύο ισεmicroβαδικά χωρία
β) Αν ∆ σηmicroείο του τόξου ΒΓ να αποδείξετε ότι η ευθεία Γ∆ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
γ) Να βρείτε σηmicroείο Α της ακτίνας ΟΒ ώστε η ευθεία ΓΑ να χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
33
ΑΣΚΗΣΗ 17η
Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο Ο cap
ΒΓ ακτίνας R Σηmicroείο Α κινείται πάνω στο τόξο cap
ΒΓ και έστω
Κ το σηmicroείο τοmicroής της ακτίνας ΟΑ microε τη ΒΓ Να βρείτε το microήκος του τόξου cap
ΒΑ όταν το
εmicroβαδό του τριγώνου ΟΚΓ ισούται microε το εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα
τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΒ και το τόξο cap
ΒΑ
ΑΣΚΗΣΗ 18η
∆ίνεται ηmicroικύκλιο κέντρου Ο microε διάmicroετρο ΑΑ1=2R Έστω Β σηmicroείο του ηmicroικυκλίου microε
( 1ΑΟΒand
)=φ microοίρες και ΟΓ ακτίνα που τέmicroνει τη χορδή ΑΒ στο Κ
α) Να βρείτε το microήκος S του τόξου cap
ΑΓ όταν το εmicroβαδόν του τριγώνου ΟΚΒ ισούται microε το
εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΓ και το τόξοcap
ΑΓ
β) Αν η γωνία 1ΑΟΒand
είναι 150ο πόσο είναι το S
γ) Για ποια τιmicroή του φ το S γίνεται microέγιστο
Β
Γ
φ
Α1 Α
ΑΣΚΗΣΗ 19η
Η περίmicroετρος ρόmicroβου ΑΒΓ∆ πλευράς α και κέντρου Ο είναι τετραπλάσια της microικρής
διαγωνίου του Β∆
i) Να υπολογιστεί συναρτήσει του α το εmicroβαδόν του Ε
ii) Φέρουmicroε Α∆perpΟΗ και Γ∆perpΟΖ Αν η ΑΖ τέmicroνει τον κύκλο διαmicroέτρου Ο∆ στο Θ να
δειχθεί ότι 2
3Ε=ΑΖsdotΑΘ
ΑΣΚΗΣΗ 20η
Το περίγραmicromicroα της βάσης ενός microεγάλου λόφου σχηmicroατίζει τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=γ ΑΓ=β
όπου βgtγ και στο οποίο η διάmicroεσος ΑΜ και το ύψος Α∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο ∆ίπλα στην
πλευρά ΑΓ υπάρχει ορθογώνιος ιδιωτικός χώρος διαστάσεων 2
γβ +και β-γ Σrsquo αυτόν το
χώρο πρόκειται να κατασκευαστεί ένας microεγάλος ανισόπεδος κόmicroβος που θα συνδέει δύο
δρόmicroους ταχείας κυκλοφορίας Γιrsquo αυτούς τους λόγους προτείνεται στον ιδιοκτήτη να δεχτεί
να ανταλλάξει αυτόν τον χώρο microε άλλον ορθογώνιο χώρο του δηmicroοσίου που βρίσκεται δίπλα
στην πλευρά ΒΓ και έχει διαστάσεις τα microήκη των ΒΓ και 2
ΑΜ Ο ιδιοκτήτης δηλώνει ότι θα
συmicroφωνήσει microε την πρόταση αρκεί οι ανταλλάξιmicroοι χώροι να έχουν την ίδια έκταση
Πρακτικά όmicroως είναι αδύνατον να microετρήσει την πλευρά ΒΓ και τη διάmicroεσο ΑΜ γιrsquo αυτό και
διστάζει Πως θα σκεφτόσαστε εσείς να βοηθήσετε τον ιδιοκτήτη να αποφασίσει
Κ
Ο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
34
ΑΣΚΗΣΗ 21η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε β=2γ και η διάmicroεσος του Β∆ Φέρουmicroε Β∆perpΑx που τέmicroνει την
Β∆ στο Ε και την ΒΓ στο Ζ και ΕyΑΓ που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ Να αποδείξετε ότι
i) ZB= 2
1ZΓ
ii) (ΑΒΓ)=3(ΑΒΖ)
iii) Να αποδειχθεί ότι 8
3
)(
)(=
ΑΒΖΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΗ 22η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε α=2γ και β= 7γ
α) i) Να αποδείξετε ότι 2
3αmicroα =
ii) Να βρείτε το είδος της γωνίας and
Β
iii) Αν ΑΕ perp ΒΓ να υπολογίσετε το ΒΕ συναρτήσει του γ
iv) Να βρείτε τη γωνία and
Β
β) Αν ΑΜ διάmicroεσος και Β∆ διχοτόmicroος να αποδείξτε ότι
i) Α∆ = 3
β
ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)
ΑΣΚΗΣΗ 23η
Έστω τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ο R) και σηmicroείο Μ το οποίο κινείται στο
ηmicroικύκλιο cap
ΑΒΓ
α) Να βρεθεί το ελάχιστο ( )minΕ και το microέγιστο ( )maxΕ εmicroβαδόν του τετράπλευρου ΑΜΓ∆
συναρτήσει της ακτίνας R
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε θέση του Μ είναι
i) Μ∆2 = ΑΓ ∆Ε όπου Ε η προβολή του Μ στην Β∆
ii) (ΑΜΓ∆) = 2
2Μ∆
γ) Να προσδιορίσετε τη θέση του σηmicroείου Μ όταν (ΑΜΓ∆) = 2
maxmin EE +
ΑΣΚΗΣΗ 24η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ M το microέσο της ΑΒ σηmicroείο Ν της ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΝ = 4
3ΑΓ και
σηmicroείο Κ της ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΚ = 4
1ΒΓ Να βρεθεί ο λόγος των εmicroβαδών του τριγώνου
ΑΒΓ προς του τριγώνου ΜΝΚ
ΑΣΚΗΣΗ 25η
Α) Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι 2
αmicro = βγ και β-γ = 5 2 Το microήκος της πλευράς
α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3
Β) Να δειχθεί ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει η σχέση (222
γβα micromicromicro ++ )2 = 27Ε
2 όπου
Ε το εmicroβαδό του
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
35
ΑΣΚΗΣΗ 26η
Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω περιπτώσεις
όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί να αποτελεί microήκη των
πλευρών του
i) 3 57
ii) 8 4 2
iii) 7 6 85
ΑΣΚΗΣΗ 27η
Αν η διάmicroεσος microα ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν προεκταθεί τέmicroνει τον περιγεγραmicromicroένο κύκλο
στο ∆ να αποδειχθεί ότι microα = Α∆+
2
22 γβ
ΑΣΚΗΣΗ 28η
Από ένα κυκλικό οικόπεδο ακτίνας R=30m θα αποκοπεί κυκλικό τmicroήmicroα χορδής 30 3 m για
την κατασκευή δρόmicroου
i) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου που έmicroεινε
ii) Να βρεθεί η αποζηmicroίωση που θα δοθεί στον ιδιοκτήτη αν η αρχική αξία του οικοπέδου
ήταν 10000000 δρχ
ΑΣΚΗΣΗ 29η
Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι α =13 β = 8 γ = 7
i) Να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς το είδος των γωνιών του
ii) Να υπολογιστεί το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ πάνω στην ΑΒ
iii) Να υπολογιστεί η γωνία and
Α
ΑΣΚΗΣΗ 30η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 4 ΑΓ = 5 ΒΓ = 7 Το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ
πάνω στην ΑΒ είναι Α 5 Β 1 Γ 6 ∆ 2
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 31η
Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (and
Α =90ο) microε
and
Β =60ο και ΒΓ=4 Με κέντρο το Β και
ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ και microε κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΜ
γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν να βρεθούν
i) Η θέση του σηmicroείου Μ στη ΒΓ
ii) Η περίmicroετρος του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
iii) Το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
36
ΑΣΚΗΣΗ 32η
Μια έκταση σχήmicroατος τετραγώνου microε A 30 H 70 ∆
πλευρά 100m πρόκειται να διατεθεί
για κατασκευή εργατικών κατοικιών
Οι κατοικίες θα ανεργεθούν σε τέσσερα 70 30
ίσα τριγωνικά οικόπεδα και η υπόλοιπη Μ
έκταση σχήmicroατος τετραπλεύρου θα
χρησιmicroοποιηθεί ως κοινόχρηστος χώρος Z
για δενδροφύτευση και κατασκευή γηπέδου
microπάσκετ 30 70
α) Να βρεθούν τα εmicroβαδά των τεσσάρων ίσων οικοπέδων
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινόχρηστου χώρου B 70 K 30 Γ
γ) Τι είδους τετράπλευρο είναι ο κοινόχρηστος χώρος Να βρεθούν οι πλευρές του
ΑΣΚΗΣΗ 33η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 90A =
and
και ΑΒ=y ΑΓ=β
Α∆=ν Β∆=micro ΒΓ=x ∆Γ=κ
i) Να συmicroπληρωθούν οι σχέσεις
β2=helliphelliphellip=helliphelliphelliphellip Α
ν2=helliphelliphelliphelliphelliphellip
2
2
βy
=helliphelliphelliphelliphellip βy=helliphelliphelliphellip y ν β
ii) Να δειχθεί ότι 111
222 νβ=+
y Β ν ∆ κ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 34η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroεία ∆Ε της πλευράς ΒΓ έτσι ώστε Β∆=∆Ε=ΕΓ Να απόδειχθεί
ότι
i) 2222 22 ΑΕminusΑ∆=∆ΕminusΑΒ ii)
2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 35η
∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε o90=Α
and
ΑΒ=5cm ΑΓ=12cm Α∆ το ύψος του και ΒΜ
η διάmicroεσος του Προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά ΓΕ=ΒΓ i) Να συγκρίνετε τα
εmicroβαδά των τριγώνων Α∆Γ και ΑΓΕ ii) Να δείξετε ότι η σχέση που συνδέει τα εmicroβαδά των
τριγώνων ΑΒΜ και ΑΒΕ είναι (ΑΒΕ)=4(ΑΒΜ)
ΑΣΚΗΣΗ 36η
Από σηmicroείο Μ εκτός κύκλου φέρνουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΜΕ του κύκλου και τις
τέmicroνουσες ΜΑΒ και ΜΓ∆ Αν είναι ΑΒ=9 ΓΜ=4 Γ∆=5 να υπολογίσετε i) το ΜΑ ii) το
ΜΕ
ΑΣΚΗΣΗ 37η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) ΑΒ microια διάmicroετρος του και Μ τυχαίο σηmicroείο του (διαφορετικό των Α
Β) Αν Γ είναι το microέσο της ΟΑ και ∆ το microέσο της ΟΒ ενώ η ΜΓ τέmicroνει τον κύκλο στο Ε και
η Μ∆ στο Ζ τότε να αποδείξετε ότι3
10=
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
37
Ζ
Ε
ΑΣΚΗΣΗ 38η
Ένα τριγωνικό αγρόκτηmicroα ΑΒΓ χωρίζεται
σε τέσσερα τριγωνικά αγροτεmicroάχια όπως Α
φαίνεται στο σχήmicroα έτσι ώστε ΑΒ=Α∆3
2
ΒΕ= ΒΓ4
1και ΓΖ= ΑΓ
2
1 α) Αν το εmicroβαδό ∆
του ΑΒΓ είναι 48 στρέmicromicroατα να υπολογίσετε το Β
Γ
εmicroβαδό του ∆ΕΖ β) Αν τα ∆ Ε Ζ είναι τα microέσα των ΑΒ
ΒΓ ΑΓ αντίστοιχα να βρεθούν τα εmicroβαδά των
τεσσάρων αγροτεmicroαχίων
ΑΣΚΗΣΗ 39η
∆ίνεται εγγράψιmicroο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ ώστε οι πλευρές του ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α microε τη σειρά
που δίνονται να αποτελούν γεωmicroετρική πρόοδο Να αποδείξετε ότι η διαγώνιος του Β∆ το
χωρίζει σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
ΑΣΚΗΣΗ 40η
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ∆ Ζ Γ
την ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m και
ο90=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος υ
∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο οποίος
θα χωρίσει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆
και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα α) Να βρεθεί
το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆ β) Να
βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο
ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο Α Ε Η Β
ΑΕ∆ δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου
∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
ΑΣΚΗΣΗ 41η
∆ίνεται ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ και τα σηmicroεία του ∆Γ έτσι ώστε ∆Β=Γ∆=ΑΓ Αν
Μ τυχαίο σηmicroείο εκτός του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατοςΑΒ
Να δείξετε ότι 2222 33 ΜΓ+ΜΒ=ΜΒ+ΑΜ
ΑΣΚΗΣΗ 42η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 222 2αγβ =+ Αν η διάmicroεσος ΑΜ τέmicroνει το περιγεγραmicromicroένο
κύκλο του τριγώνου στο ∆ να δείξετε ότι
α) 6
3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
38
ΑΣΚΗΣΗ 43η
Από ένα εξωτερικό σηmicroείο Α κύκλου ( )RΟ φέρουmicroε microια τέmicroνουσα ΑΒΓ έτσι ώστε
ΒΓ=ΑΒ Αν 7R=ΟΑ τότε να δείξετε ότι
i) ΒΓ=ΑΒ =λ3
ii) η γωνία and
ΑΟΓ είναι αmicroβλεία
iii) η προβολή της ΟΓ πάνω στην ΟΑ είναι ίση microε ΟΑ7
2
iv) Να δείξετε ότι ( )( ) 2
1=
ΑΟΓΒΟΓ
και στην συνέχεια να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του τριγώνου
and
ΑΟΓ
v) Να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που ορίζεται από την χορδή ΒΓ και
το microέτρο του τόξου cap
ΒΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
39
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
40
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
17
32 Αν Ε ∆ Ζ microέσα των ΑΓ ΒΓ Β∆ αντίστοιχα ενός τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε ότι
i) Ε∆=2
1ΑΒ ii) ΕΖ
2 =
16
263 222 βminusγ+α
33 ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ = 6 ΑΓ = 8 ΒΓ = 2 37 να αποδειχθεί ότι
i) ο120=Α
and
ii) να βρεθεί το microήκος Α∆ όπου Β∆ ύψος τριγώνου
iii) να βρεθεί το microήκος της διαmicroέσου microα
34 Σε τρίγωνο ΑΒΓ microε πλευρές α = 9 β = 7 γ = 4 να βρείτε i) το είδος του τριγώνου
ii) το microήκος της διαmicroέσου microα iii) την προβολή της διαmicroέσου microα πάνω στην
ΒΓ iv) την προβολή της πλευράς β πάνω στην γ
35 Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ο90=Α
and
ΑΜ διάmicroεσος και Ρ το microέσο
της ΑΜ Στην πλευρά ΒΓ = α παίρνουmicroε σηmicroείο Κ ώστε ΓΚ = 8
5α Να αποδειχθεί
ότι i) ΓΡ2 =
16
5 2α ii) ΡΚ
2 =
64
5 2α iii) ΡΓ = 2ΚΡ
36 Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε ο90=Α
and
α = 25 και β = 20 αν x είναι η προβολή της
πλευράς β πάνω στην πλευρά α τότε
i) η πλευρά γ έχει microήκος Α10 Β12 Γ13 ∆15 Ε21
ii) το ύψος υα έχει microήκος Α9 Β7 Γ12 ∆17 Ε5
iii) το τmicroήmicroα x έχει microήκος Α10 Β12 Γ17 ∆16 Ε21
(Να αιτιολογήσετε την απάντηση)
9ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
18
ΕΜΒΑ∆Α
ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ
Ας θεωρήσουmicroε ένα πολύγωνο
Ένα σχήmicroα που αποτελείται από πεπερασmicroένο πλήθος πολυγωνικών χωρίων που ανά δύο δεν
έχουν κοινά εσωτερικά σηmicroεία λέγεται πολυγωνική επιφάνεια
Ίσα πολυγωνικά χωρία έχουν ίσα εmicroβαδά
Αν ένα πολυγωνικό χωρίο (ή microια πολυγωνική επιφάνεια) χωρίζεται σε πεπερασmicroένου
πλήθους πολυγωνικά χωρία που δεν έχουν κοινά εσωτερικά σηmicroεία τότε το εmicroβαδόν του
ισούται microε το άθροισmicroα των εmicroβαδών των επιmicroέρους πολυγωνικών χωρίων
Το εmicroβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς 1 είναι 1
∆ύο σχήmicroατα που έχουν το ίδιο εmicroβαδόν ονοmicroάζονται ισεmicroβαδικά ή ισοδύναmicroα
Το πολύγωνο microαζί microε τα εσωτερικά του
στοιχεία ονοmicroάζεται πολυγωνικό χωρίο
Ένα πολυγωνικό χωρίο που ορίζεται από
τρίγωνο τετράγωνοhellipν-γωνο ονοmicroάζεται
τριγωνικό πολυγωνικόhellip ν-γωνικό
∆ύο πολυγωνικά χωρία λέγονται ίσα όταν τα
αντίστοιχα πολύγωνά τους είναι ίσα
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
19
ΕΜΒΑ∆Α ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
Το εmicroβαδόν τετραγώνου πλευράς α δίνεται από τον τύπο 2α=Ε
Το εmicroβαδόν ενός ορθογωνίου ισούται microε το γινόmicroενο των πλευρών του βα sdot=Ε
Το εmicroβαδόν ενός παραλληλογράmicromicroου ισούται microε το γινόmicroενο microιας πλευράς του επί το ύψος
που αντιστοιχεί σε αυτή
βα υβυα sdot=sdot=Ε
Το εmicroβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο microε το ηmicroιγινόmicroενο microιας πλευράς επί το αντίστοιχο ύψος
γβα υγυβυα sdot=sdot=sdot=Ε2
1
2
1
2
1
Το εmicroβαδόν τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο του ηmicroιαθροίσmicroατος των βάσεων του επί το
ύψος του υβsdot
+Β=Ε
2
Το εmicroβαδόν τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο της διαmicroέσου επί το ύψος του
bull Το εmicroβαδόν ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς α είναι ίσο microε 4
32α=Ε
bull Το εmicroβαδόν ρόmicroβου ισούται microε το ηmicroιγινόmicroενο των διαγωνίων του
bull Το εmicroβαδόν οποιουδήποτε κυρτού ή microη κυρτού τετραπλεύρου microε κάθετες διαγωνίους
ισούται microε το ηmicroιγινόmicroενο των διαγωνίων του
bull Η διάmicroεσος κάθε τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
bull Το βαρύκεντρο τριγώνου έχει την ιδιότητα να δηmicroιουργεί microε τις κορυφές του τριγώνου τρία
ισεmicroβαδικά τρίγωνα
bull Το βαρύκεντρου του τριγώνου οι κορυφές του και τα microέσα των πλευρών του ορίζουν έξι
ισεmicroβαδικά τρίγωνα
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
20
ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΕΜΒΑ∆ΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
( )( )( )γτβταττ minusminusminus=Ε όπου 2
γβατ
++= ηmicroιπερίmicroετρος του τριγώνου
ρτ sdot=Ε
R4
γβα sdotsdot=Ε
Γsdotsdot=Βsdotsdot=Αsdotsdot=Ε ηmicroβαηmicroαγηmicroγβ2
1
2
1
2
1
ΕΜΒΑ∆Α ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
Αν δύο τρίγωνα έχουν ίσες βάσεις τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο των
αντίστοιχων υψών ενώ αν έχουν ίσα ύψη τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο
των αντίστοιχων βάσεων
Αν δύο τρίγωνα είναι όmicroοια τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το τετράγωνο του
λόγου οmicroοιότητας
Ο λόγος των εmicroβαδών δύο όmicroοιων πολυγώνων είναι ίσος microε το τετράγωνο του λόγου
οmicroοιότητας
Αν microια γωνία ενός τριγώνου είναι ίση ή παραπληρωmicroατική microε microια γωνία ενός άλλου
τριγώνου τότε ο λόγος των εmicroβαδών των δύο τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο των γινοmicroένων
των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
21
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Αν ΑΒΓ∆ τραπέζιο ( Γ∆ΑΒ ) και Ο το σηmicroείο τοmicroής των διαγωνίων του ΑΓ και
Β∆ να αποδείξετε ότι ΟΑ∆ΟΒΓ Ε=Ε
2 Ένα τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) και ΒΓ=Γ∆=Α∆ και τη βάση ΑΒ κατά 2 microικρότερη
από το άθροισmicroα των τριών αυτών πλευρών Αν το ύψος του τραπεζίου είναι 5 να
υπολογιστεί το εmicroβαδό του
3 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ microε microήκη πλευρών α=10 β=8 γ=14 και ισόπλευρο τρίγωνο
∆ΕΖ το οποίο είναι ισοδύναmicroο microε το ΑΒΓ Το microήκος της πλευράς του ισόπλευρου
τριγώνου ∆ΕΖ είναι
Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20
Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε
4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=2 ΒΗ ύψος και η διάmicroεσος Β∆=1 Αν and
∆ΑΒ =30ο να
υπολογιστούν α) τα ΒΗ Η∆ ΑΗ
β) το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ
5 Με υποτείνουσες τις κάθετες πλευρές ΑΒ και ΑΓ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ microε
β+γ=20 κατασκευάζουmicroε ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓΕ εκτός
αυτού
α) Να αποδείξετε ότι τα σηmicroεία ∆ΑΕ είναι συνευθειακά
β) Να βρείτε το εmicroβαδό του τετραπλεύρου ΒΓΕ∆
6 Προεκτείνουmicroε τις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ ενός τριγώνου ΑΒΓ κατά τmicroήmicroατα
Γ∆=ΓΒ ΑΕ=ΑΓ και ΒΖ=ΒΑ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι (∆ΕΖ) = 7(ΑΒΓ)
7 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Μ στο εσωτερικό του Φέρνουmicroε από το Μ
παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των
σχηmicroατιζόmicroενων τριγώνων και Ε το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε
ότι 321 Ε+Ε+Ε=Ε
8 Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ που τέmicroνει τις πλευρές ΑΒ
και ΑΓ στα σηmicroεία ∆ και Ε αντίστοιχα Να αποδείξετε ότι (ΑΒΕ)2=(ΑΒΓ)(Α∆Ε)
9 Από σηmicroείο ∆ της πλευράς ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη προς την
πλευρά ΒΓ που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των τριγώνων
Α∆Ε Α∆Γ και ΑΒΓ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι 31
2
2 ΕsdotΕ=Ε
10 Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Α΄ της πλευράς του ΒΓ Από τα Β και Γ
φέρνουmicroε παράλληλες προς την ΑΑ΄ που τέmicroνουν τις ευθείες ΑΓ και ΑΒ στα σηmicroεία
Γ΄ και Β΄ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι
α) (ΑΑ΄Γ΄) = (ΑΒΑ΄) και (ΑΑ΄Β΄) = (ΑΓΑ΄)
β) (Α´ô) = (ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
22
11 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ microε ΑΒ=10 Α∆=4 και and
∆ =60ο Στην πλευρά ΑΒ
θεωρούmicroε τα σηmicroεία Ε και Ζ έτσι ώστε ΑΕ=ΕΖ=ΖΒ Αν Η είναι το σηmicroείο τοmicroής των
ευθειών ∆Ε και ΓΖ να υπολογιστούν
α) το εmicroβαδό του παραλληλογράmicromicroου ΑΒΓ∆
β) το εmicroβαδό του τραπεζίου Γ∆ΕΖ
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου ΗΕΖ
12 ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=ΑΓ=6 και ο120=Α
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του
β) Αν Ε σηmicroείο της ΑΓ τέτοιο ώστε ΓΕ=ΑΕ2
1 και Α∆ το ύψος του τριγώνου
ΑΒΓ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ∆ΕΓ
γ) Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει τη ∆Ε στο Η να βρεθεί το εmicroβαδό
του τριγώνου ΑΕΗ
13 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Ρ στο εσωτερικό του Από το Ρ φέρνουmicroε κάθετες
ηmicroιευθείες στις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ και πάνω σrsquo αυτές παίρνουmicroε τα σηmicroεία Α΄
Β΄ και Γ΄ αντίστοιχα έτσι ώστε ΡΑ΄=ΒΓ ΡΒ΄=ΑΓ και ΡΓ΄=ΑΒ Να αποδειχθεί ότι
α) οι γωνίες and
Γ και and
ΒprimeΡΑprime είναι παραπληρωmicroατικές
β) (ΡΑ΄Β΄)=(ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)
14 Θεωρούmicroε τρεις ίσες διαδοχικές γωνίες and
οψx zand
οψ xzand
ο και πάνω στις
ηmicroιευθείες Οx Oψ και Οz τα σηmicroεία Α Β Γ αντίστοιχα έτσι ώστε ΟΑ=1 ΟΒ=4 και
ΟΓ=8
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ψοand
x zand
οψ xzand
ο
β) Αν Οw η αντικείmicroενη ηmicroιευθεία της Οψ και Γ∆ wΟperp να υπολογίσετε τις Ο∆ και
Γ∆
γ) Να υπολογίσετε το (ΟΒΓ)
δ) Να αποδείξετε ότι (ΑΒΓ)= 311
15 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ και Κ Λ Μ Ν τα microέσα των ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α
αντίστοιχα α) Να αποδειχθεί ότι (ΚΛΜΝ)=2
1(ΑΒΓ∆)
β) Αν ΚΜ ΛΝperp να αποδειχθεί ότι (ΑΒΓ∆) = ΚΜΛΝ
16 Λ
Α Β Στο διπλανό σχήmicroα τα σηmicroεία Κ Λ είναι τα
Κ Ρ microέσα των τmicroηmicroάτων ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα
Να αποδείξετε ότι
Γ α) ο λόγος των εmicroβαδών των τριγώνων ΑΚΒ και ΑΛΓ είναι ίσος microε
β) αν Ρ είναι το σηmicroείο τοmicroής των ΛΓ και ΚΒ τότε τα τρίγωνα ΒΛΡ
και ΚΓΡ έχουν ίσα εmicroβαδά
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
23
17 ∆ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) microε ΑΒ=4 Α∆=2 καιο60=∆
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τραπεζίου ΑΒΓ∆
β) Αν Ε σηmicroείο της πλευράς ΑΒ τέτοιο ώστε ΕΒ= ΑΒ4
1 και οι Ε∆ ΕΓ τέmicroνουν τη
διάmicroεσο του τραπεζίου στα σηmicroεία Ζ και Η αντίστοιχα να βρεθεί το εmicroβαδό του
τριγώνου ΕΖΗ
γ) Αν οι ∆Ε και ΒΓ τέmicroνονται στο Ρ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ΡΕΒ
18 Αν οι διαγώνιοι κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓ∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο να αποδείξετε ότι
το τετράπλευρο έχει εmicroβαδό Β∆sdotΑΓ4
1
19 Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται ΑΒ=5 ο60=Α
and
και η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου
κύκλου 3
7=R Να βρεθούν οι άλλες δύο πλευρές του τριγώνου και το εmicroβαδόν του
20
∆ Ζ Γ
υ
Α Ε Η Β
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m
90ο=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος ∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο
οποίος θα χωρίζει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆ και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο
ΑΕ∆
δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου ∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
21 Αν Μ και Ν είναι τα microέσα των πλευρών ΒΓ και Γ∆ ενός παραλληλόγραmicromicroου ΑΒΓ∆
να αποδείξετε ότι (ΑΜΝ)= )(8
3ΑΒΓ∆
22 Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) θεωρούmicroε το microέσο Μ της πλευράς ΑΒ
και σηmicroείο Ν της πλευράς ΑΓ τέτοιο ώστε 3
ΑΓ=ΓΝ Να δειχθεί ότι
(ΜΝΒ)= )(3
1ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
24
23 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και τυχαίο σηmicroείο Σ στην προέκταση της πλευράς
∆Γ προς το Γ Να αποδείξετε ότι
α) (ΑΒ∆)= )(2
1ΑΒΓ∆
β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)
γ) αν η ΑΣ τέmicroνει την Β∆ στο σηmicroείο Ε τότε (Ε∆Σ)-(ΕΑΒ)=(ΣΒΓ)
24 Έστω Σ τυχαίο σηmicroείο της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ Στο σηmicroείο Α φέρουmicroε
microια ευθεία ε κάθετη στην ΑΣ Αν ∆ και Ε είναι αντίστοιχα οι προβολές των σηmicroείων
Β και Γ στην ευθεία ε να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ∆ΣΕ είναι ισοδύναmicroα
25 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 8=ΑΒ 12=ΑΓ και η Α∆ διχοτόmicroος της γωνίας and
Α Αν
( )ΑΒ∆ =20 τmicro να βρείτε το ( )ΑΒΓ
26 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ∆ σηmicroείο της πλευράς ΑΒέτσι ώστε 6=Α∆ ∆Β=5
8=ΑΓ Αν 80=Α
and
να βρείτε το εmicroβαδόν του τριγώνου Β∆Γ
27 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ microε 90=Β
and
και η γωνία and
Α να είναι το 3
1 της ορθής Αν
∆ σηmicroείο της προέκτασης της πλευράς ΒΓ προς το Γ τέτοιο ώστε η 30=Α∆Β
and
να
βρεθεί ο λόγος ( )( )ΑΒ∆ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
25
ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ
ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ
Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του
ίσες
Γωνία κανονικού ν-γώνου ν
φν
360
180 minus=
Κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου ν
ων
360=
Σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας R ισχύουν οι εξής τύποι 2
22
4R=+ ν
ν
λα
νν λν sdot=Ρ
ννν αsdotΡ=Ε2
1
όπου να απόστηmicroα νλ πλευρά νΡ περίmicroετρος νΕ εmicroβαδόν
∆ύο κανονικά πολύγωνα microε τον ίδιο αριθmicroό πλευρών είναι όmicroοια
Κάθε κανονικό πολύγωνο εγγράφεται σε έναν κύκλο και περιγράφεται σε έναν άλλον Οι δύο
αυτοί κύκλοι είναι οmicroόκεντροι
bull Το κοινό κέντρο τον κύκλων αυτών λέγεται κέντρο του πολυγώνου
bull Η ακτίνα R του περιγεγραmicromicroένου κύκλου λέγεται ακτίνα του πολυγώνου
bull Η απόσταση του κέντρου από microια πλευρά του δηλαδή η ακτίνα του εγγεγραmicromicroένου
κύκλου λέγεται απόστηmicroα του πολυγώνου
Σε δύο κανονικά ν-γωνα ο λόγος των πλευρών τους ισούται microε το λόγο των ακτινών τους και
το λόγο των αποστηmicroάτων τους
∆ηλαδή
ν
ν
ν
ν
αα
λλ
==R
R
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
26
ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ
ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ
ΚΑΝΟΝΙΚΟ
ΕΞΑΓΩΝΟ
ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ
ΤΡΙΓΩΝΟ
ΠΛΕΥΡΑ νλ 24 R=λ R=6λ 33 R=λ
ΑΠΟΣΤΗΜΑ να
2
24
R=α
2
36
R=α
23
R=α
RL sdot= π2
180
microπ sdotsdot=
Rl ή Rl sdot=α
180
microαπ
=
2Rsdot=Ε π
( )360
2 microπ sdotsdot=ΟΑΒ
cap R ή ( )
cap
sdot=ΟΑΒ 2
2
1Rα
( ) ( )ΟΑΒminusΟΑΒ=cap
ε
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
27
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Ένα κανονικό εξάγωνο είναι περιγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ορ) Η πλευρά του
εξαγώνου αυτού είναι
Α ρ Β 2
3ρ Γ 2ρ ∆
3
32ρ Ε
3
2ρ
2 ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και στις προεκτάσεις των
πλευρών ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α θεωρούmicroε τα τmicroήmicroατα ΒΚ=ΓΛ=∆Μ=ΑΝ=λ3 Να δείξετε
ότι το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο και ότι η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου κύκλου του
είναι 641 += RR
3 Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε δύο παράλληλες χορδές ΑΒ=λ4 και Γ∆=λ6 Να
αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι ισοσκελές τραπέζιο και να υπολογιστεί
το εmicroβαδό του ως συνάρτηση της ακτίνας R
4 Η περίmicroετρος ενός κυκλικού τοmicroέα ΟΑΒ ενός κύκλου (ΟR) είναι 6+π Αν
ο60=ΒΟΑand
τότε το microήκος της ακτίνας R είναι
Α 6 Β 3 Γ 2 ∆ 4 Ε 5 (δικαιολογήστε την απάντησή σας)
5 Έστω τεταρτοκύκλιο ΟΑΒ ακτίνας R και ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΟΒ στο εσωτερικό
του Να βρείτε το εmicroβαδό και την περίmicroετρο του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΑΒ
6 Έστω δύο κύκλοι (ΟR) και (Ο΄R) των οποίων η διάmicroετρος ΟΟ΄ έχει microήκος
ΟΟ΄=R 3 α) Να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι τέmicroνονται
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινού microέρους των δύο κύκλων
7 Το εmicroβαδό κυκλικού τοmicroέα 80ο είναι 8π Η ακτίνα του κύκλου είναι
Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15
8 Τετράγωνο ΑΒΓ∆ είναι εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και η ηmicroιπερίmicroετρος του
είναι 80cm Να υπολογιστούν
α) η ακτίνα R του κύκλου
β) ο λόγος του εmicroβαδού του κύκλου προς το εmicroβαδό του τετραγώνου
9 Στο εσωτερικό ηmicroικυκλίου διαmicroέτρου ΑΟΒ=2R γράφουmicroε ηmicroικύκλια microε
διαmicroέτρους ΟΑ και ΟΒ Να υπολογιστεί το microήκος και το εmicroβαδό του κύκλου που
εφάπτεται των τριών ηmicroικυκλίων
10 ∆ύο κύκλοι (Ο3R) και (Ο΄R) εφάπτονται εξωτερικά στο σηmicroείο Α Φέρουmicroε την
κοινή εξωτερική εφαπτόmicroενη ΒΓ αυτών Να βρεθεί το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου
τριγώνου ΑΒΓ και του περιγεγραmicromicroένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ
11 Έστω ο κύκλος (ΟR) και microια ακτίνα του ΟΑ Στην ηmicroιευθεία ΟΑ θεωρούmicroε
σηmicroείοΒ έτσι ώστε ΑΒ=ΑΟ Αν ΒΓ η εφαπτοmicroένη του κύκλου να βρεθεί το
εmicroβαδό α) του τριγώνου ΟΒΓ και β) του microικτόγραmicromicroου τριγώνου
ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
28
12 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=λ3 και Γ∆=λ6
προς το ίδιο microέρος του κέντρου Ο α) Να εκφράσετε τις χορδές ΑΒ και Γ∆ ως
συνάρτηση της ακτίνας R β) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό Ε1 του κυκλικού τmicroήmicroατος
που αντιστοιχεί στη χορδή Γ∆ γ) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό του τριγώνου ΟΑΒ
δ) Να βρείτε την περίmicroετρο και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τραπεζίου που έχει
κορυφές τα ΑΒΓ∆
13 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) χορδή ΑΒ=R την εφαπτοmicroένη ε του κύκλου στο σηmicroείο
Α και τη εperpΒΓ Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του τραπεζίου ΟΑΓΒ
β) το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
14 ∆ίνεται ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΑΒ και στο εσωτερικό του τα ηmicroικύκλια διαmicroέτρων
ΑΓ και ΓΒ όπου Γ σηmicroείο microεταξύ των Α και Β Αν κάθετη της ΑΒ στο Γ τέmicroνει το
αρχικό ηmicroικύκλιο στο ∆ να αποδείξετε ότι το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται
microεταξύ των τριών ηmicroικυκλίων είναι ίσο microε το εmicroβαδό του κύκλου διαmicroέτρου Γ∆
15 Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ο60=Β
and
και ΒΓ=α Με
κέντρο το Β και ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει τη ΒΓ στο Μ και microε κέντρο
το Γ και ακτίνα ΓΜ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν Να βρεθεί η
περίmicroετρος και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
16 Με κέντρο ένα σηmicroείο Κ κύκλου (ΟR) και ακτίνα ίση προς R 3 γράφουmicroε
κύκλο ο οποίος τέmicroνει τον (ΟR) στα σηmicroεία Α και Β Να υπολογιστούν η
περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου microηνίσκου
17 ∆ίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ΒΓ = 2R
Γράφουmicroε ηmicroικύκλιο microε διάmicroετρο ΒΓ εκτός τριγώνου και τόξο κύκλου (Α ΑΒ) microε
άκρα Β και Γ Να βρεθεί η περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου
microηνίσκου από το ηmicroικύκλιο και το τόξο αυτό
18 Ένα ορθογώνιο σπίτι microε διαστάσεις α = 20m και β = 10m έχει microια εξωτερική
πρίζα σε microια γωνία του Ένα χορτοκοπτικό microηχάνηmicroα συνδεδεmicroένο microε την πρίζα
έχει καλώδιο microε microήκος 15m Να βρεθεί το εmicroβαδόν της microεγαλύτερης επιφάνειας
του χόρτου που microπορεί να κοπεί
19 Σε κύκλο ακτίνας R = 4cm είναι εγγεγραmicromicroένο ισόπλευρο τρίγωνο
Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του κύκλου
β) την πλευρά του τριγώνου
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου
δ) το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται microεταξύ του κύκλου και του τριγώνου
20 Σε κύκλο microε διάmicroετρο ΑΒ φέρουmicroε τις χορδές ΜΒΑΜ Αν είναι 6=ΑΜ και
8=ΒΜ να βρεθεί η ακτίνα και το εmicroβαδόν του κύκλου
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
29
21 Να βρεθεί το εmicroβαδόν του καθενός από τα δύο microέρη στα οποία διαιρείται ένας
κύκλος ( )RΟ από την πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραmicromicroένου στον κύκλο
αυτόν
22 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και φέρουmicroε δύο κάθετες ακτίνες ΟΑ και ΟΒ Με
κέντρο το Α και ακτίνα R γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει το cap
AB στο σηmicroείο Γ Να
βρεθεί το εmicroβαδόν του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΒΓ
23 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και τόξο 60=ΑΒ
cap
Φέρουmicroε στο σηmicroείο Α την
εφαπτοmicroένη χΑ του κύκλου και την χΑperpΒΓ Να βρεθεί το εmicroβαδόν του
microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
30
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΗ 1η
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α∆ διχοτόmicroος Β∆ = 2 Γ∆ = 3 και 2τ = 15 (περίmicroετρος) η πλευρά
ΑΒ είναι
Α 3 Β 4 Γ 5 ∆ 6 Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 2η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 3α2 + 2γ
2 = 2β
2 Τότε
i) Α and
Α gt90ο Β
and
Β gt 90ο Γ
and
Β lt 90ο ∆
and
Γ gt 90ο Ε Κανένα από τα παραπάνω
ii) Η προβολή της διαmicroέσου microα στην ΒΓ ισούται microε
Α 4
a Β
2
a Γ
4
3a ∆
2
3a Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 3η
Αν ΑΒΓ∆ τετράγωνο πλευράς α και Ε microέσο του Α∆ τότε
i) ΒΕ =2
5α Σ Λ
ii) Ο λόγος ΒΕΕΖ
ισούται microε
Α 5
2 Β
4
5 Γ
4
1 ∆
5
1 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
Α Β
E
Z
∆ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 4η
Αν τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=4 ΒΓ=5 ΑΓ=6 και Α∆ διχοτόmicroος τότε
i) -Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο Σ Λ
- Ο λόγος ∆Γ∆Β
ισούται microε
Α 2
1 Β
3
1 Γ
3
2 ∆
4
3 Ε
2
3
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ii) Αν ε η προβολή του Α στην ΒΓ να υπολογίσετε το microήκος του ΒΕ
iii) Να αποδείξετε ότι 2
1=
∆Γ∆Ε
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
31
ΑΣΚΗΣΗ 5η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και Μ το microέσο της Α∆ Προεκτείνουmicroε τη ∆Γ προς το Γ
κατά ΓΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΒΜ)=2
)(ΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τραπεζίου ΑΒΕ∆ είναι οκταπλάσιο από το εmicroβαδόν του
τριγώνου ΑΒΜ
ΑΣΚΗΣΗ 6η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναιuα =3ρ όπου ρ του εγγεγραmicromicroένου κύκλου του τριγώνου Ο λόγος
αγβ +
ισούται microε Α 2 Β 3 Γ 3
1 ∆
2
3 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ΑΣΚΗΣΗ 7η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάmicroεσός του Α∆ Προεκτείνουmicroε την ΒΑ προς το Α κατά τmicroήmicroα
ΑΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι (ΒΕ∆)=3(Α∆Γ)
ΑΣΚΗΣΗ 8η
Στο εσωτερικό της αυλής ενός σπιτιού υπάρχει microικρός κήπος microε λαχανικά όπως στο
ακόλουθο σχήmicroα Αν το εmicroβαδόν του κήπου είναι 122m και οι διαστάσεις της αυλής είναι
12m και 13m να βρεθεί το x Αν θέλουmicroε να περιφράξουmicroε τον κήπο microε σύρmicroα πόσο σύρmicroα
θα χρειαστούmicroε
12m
13m
ΑΣΚΗΣΗ 9η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ Από τυχαίο σηmicroείο Ε της ΑΓ φέρουmicroε ευθεία παράλληλη
προς την Α∆ που τέmicroνει την Γ∆ στο Ζ Να αποδείξετε ότι
i) (Α∆Ζ)=(ΑΕΒ)
ii) (ΑΕΖ)=(ΒΕΓ)-(ΖΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 10η
Οι διάmicroεσοι Β∆ και ΓΕ τριγώνου ΑΒΓ τέmicroνονται στο Θ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΕ∆)=4
)(ΑΒΓ
ii) (ΒΘΓ)= 3
)(ΑΒΓ
iii)(ΑΕ∆)= (ΒΚΛΓ) όπου Κ Λ τα microέσα των ΒΘ και ΓΘ αντίστοιχα
x
x x
x
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
32
ΑΣΚΗΣΗ 11η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε τη διχοτόmicroο Α∆ Από το ∆ φέρνουmicroε παράλληλη προς την ΑΒ
που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει την προέκταση της
∆Ε στο Ζ να αποδείξετε ότι
α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)
β) β2(ΑΕΖ) = γ
2(∆ΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 12η
Θεωρούmicroε γωνία yxand
Α και σηmicroείο Ο της διχοτόmicroου της Αδ Αν ο κύκλος (ΟΟΑ) τέmicroνει τις
Οx Οy στα Β Γ αντίστοιχα και την Αδ στο ∆ να αποδείξετε ότι
α) (ΟΑΒ)=(ΟΑΓ)
β) (ΒΟΓ∆)=(ΑΒ∆)
γ) (ΒΟΓ∆)=2
1(ΟΑ)(ΒΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 13η
Από εσωτερικό σηmicroείο Μ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλες προς τις
πλευρές ΑΓ και ΑΒ που τέmicroνουν τις ΑΒ ΑΓ στα ∆ Ζ αντίστοιχα Αν (ΒΜ)=x (ΒΓ)=α
(Β∆Μ)=Ε1 (ΓΖΜ)=Ε2 και (ΑΒΓ)=Ε τότε
α) Να εκφράσετε ως συναρτήσεις των x και α τους λόγους Ε
Ε1 και Ε
Ε2
β) Να αποδείξετε ότι ΕgeΕ+Ε2
121
ΑΣΚΗΣΗ 14η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=Γ∆=λ3
Να βρεθεί
i) Η περίmicroετρος του ΑΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που αντιστοιχεί στη χορδή ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 15η
Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε τα διαδοχικά σηmicroεία Α Β Γ και ∆ ώστε ΑΒ=ΒΓ=Γ∆= R Να
βρεθεί
i) H περίmicroετρος του τριγώνου ΑΒ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τριγώνου ΒΓ∆
iii) Ο λόγος )(
)(
ΒΓ∆ΑΒ∆
ΑΣΚΗΣΗ 16η
∆ίνεται τεταρτοκύκλιο Οand
ΒΓ ακτίνας R
α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΓΒ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε δύο ισεmicroβαδικά χωρία
β) Αν ∆ σηmicroείο του τόξου ΒΓ να αποδείξετε ότι η ευθεία Γ∆ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
γ) Να βρείτε σηmicroείο Α της ακτίνας ΟΒ ώστε η ευθεία ΓΑ να χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
33
ΑΣΚΗΣΗ 17η
Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο Ο cap
ΒΓ ακτίνας R Σηmicroείο Α κινείται πάνω στο τόξο cap
ΒΓ και έστω
Κ το σηmicroείο τοmicroής της ακτίνας ΟΑ microε τη ΒΓ Να βρείτε το microήκος του τόξου cap
ΒΑ όταν το
εmicroβαδό του τριγώνου ΟΚΓ ισούται microε το εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα
τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΒ και το τόξο cap
ΒΑ
ΑΣΚΗΣΗ 18η
∆ίνεται ηmicroικύκλιο κέντρου Ο microε διάmicroετρο ΑΑ1=2R Έστω Β σηmicroείο του ηmicroικυκλίου microε
( 1ΑΟΒand
)=φ microοίρες και ΟΓ ακτίνα που τέmicroνει τη χορδή ΑΒ στο Κ
α) Να βρείτε το microήκος S του τόξου cap
ΑΓ όταν το εmicroβαδόν του τριγώνου ΟΚΒ ισούται microε το
εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΓ και το τόξοcap
ΑΓ
β) Αν η γωνία 1ΑΟΒand
είναι 150ο πόσο είναι το S
γ) Για ποια τιmicroή του φ το S γίνεται microέγιστο
Β
Γ
φ
Α1 Α
ΑΣΚΗΣΗ 19η
Η περίmicroετρος ρόmicroβου ΑΒΓ∆ πλευράς α και κέντρου Ο είναι τετραπλάσια της microικρής
διαγωνίου του Β∆
i) Να υπολογιστεί συναρτήσει του α το εmicroβαδόν του Ε
ii) Φέρουmicroε Α∆perpΟΗ και Γ∆perpΟΖ Αν η ΑΖ τέmicroνει τον κύκλο διαmicroέτρου Ο∆ στο Θ να
δειχθεί ότι 2
3Ε=ΑΖsdotΑΘ
ΑΣΚΗΣΗ 20η
Το περίγραmicromicroα της βάσης ενός microεγάλου λόφου σχηmicroατίζει τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=γ ΑΓ=β
όπου βgtγ και στο οποίο η διάmicroεσος ΑΜ και το ύψος Α∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο ∆ίπλα στην
πλευρά ΑΓ υπάρχει ορθογώνιος ιδιωτικός χώρος διαστάσεων 2
γβ +και β-γ Σrsquo αυτόν το
χώρο πρόκειται να κατασκευαστεί ένας microεγάλος ανισόπεδος κόmicroβος που θα συνδέει δύο
δρόmicroους ταχείας κυκλοφορίας Γιrsquo αυτούς τους λόγους προτείνεται στον ιδιοκτήτη να δεχτεί
να ανταλλάξει αυτόν τον χώρο microε άλλον ορθογώνιο χώρο του δηmicroοσίου που βρίσκεται δίπλα
στην πλευρά ΒΓ και έχει διαστάσεις τα microήκη των ΒΓ και 2
ΑΜ Ο ιδιοκτήτης δηλώνει ότι θα
συmicroφωνήσει microε την πρόταση αρκεί οι ανταλλάξιmicroοι χώροι να έχουν την ίδια έκταση
Πρακτικά όmicroως είναι αδύνατον να microετρήσει την πλευρά ΒΓ και τη διάmicroεσο ΑΜ γιrsquo αυτό και
διστάζει Πως θα σκεφτόσαστε εσείς να βοηθήσετε τον ιδιοκτήτη να αποφασίσει
Κ
Ο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
34
ΑΣΚΗΣΗ 21η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε β=2γ και η διάmicroεσος του Β∆ Φέρουmicroε Β∆perpΑx που τέmicroνει την
Β∆ στο Ε και την ΒΓ στο Ζ και ΕyΑΓ που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ Να αποδείξετε ότι
i) ZB= 2
1ZΓ
ii) (ΑΒΓ)=3(ΑΒΖ)
iii) Να αποδειχθεί ότι 8
3
)(
)(=
ΑΒΖΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΗ 22η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε α=2γ και β= 7γ
α) i) Να αποδείξετε ότι 2
3αmicroα =
ii) Να βρείτε το είδος της γωνίας and
Β
iii) Αν ΑΕ perp ΒΓ να υπολογίσετε το ΒΕ συναρτήσει του γ
iv) Να βρείτε τη γωνία and
Β
β) Αν ΑΜ διάmicroεσος και Β∆ διχοτόmicroος να αποδείξτε ότι
i) Α∆ = 3
β
ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)
ΑΣΚΗΣΗ 23η
Έστω τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ο R) και σηmicroείο Μ το οποίο κινείται στο
ηmicroικύκλιο cap
ΑΒΓ
α) Να βρεθεί το ελάχιστο ( )minΕ και το microέγιστο ( )maxΕ εmicroβαδόν του τετράπλευρου ΑΜΓ∆
συναρτήσει της ακτίνας R
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε θέση του Μ είναι
i) Μ∆2 = ΑΓ ∆Ε όπου Ε η προβολή του Μ στην Β∆
ii) (ΑΜΓ∆) = 2
2Μ∆
γ) Να προσδιορίσετε τη θέση του σηmicroείου Μ όταν (ΑΜΓ∆) = 2
maxmin EE +
ΑΣΚΗΣΗ 24η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ M το microέσο της ΑΒ σηmicroείο Ν της ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΝ = 4
3ΑΓ και
σηmicroείο Κ της ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΚ = 4
1ΒΓ Να βρεθεί ο λόγος των εmicroβαδών του τριγώνου
ΑΒΓ προς του τριγώνου ΜΝΚ
ΑΣΚΗΣΗ 25η
Α) Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι 2
αmicro = βγ και β-γ = 5 2 Το microήκος της πλευράς
α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3
Β) Να δειχθεί ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει η σχέση (222
γβα micromicromicro ++ )2 = 27Ε
2 όπου
Ε το εmicroβαδό του
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
35
ΑΣΚΗΣΗ 26η
Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω περιπτώσεις
όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί να αποτελεί microήκη των
πλευρών του
i) 3 57
ii) 8 4 2
iii) 7 6 85
ΑΣΚΗΣΗ 27η
Αν η διάmicroεσος microα ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν προεκταθεί τέmicroνει τον περιγεγραmicromicroένο κύκλο
στο ∆ να αποδειχθεί ότι microα = Α∆+
2
22 γβ
ΑΣΚΗΣΗ 28η
Από ένα κυκλικό οικόπεδο ακτίνας R=30m θα αποκοπεί κυκλικό τmicroήmicroα χορδής 30 3 m για
την κατασκευή δρόmicroου
i) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου που έmicroεινε
ii) Να βρεθεί η αποζηmicroίωση που θα δοθεί στον ιδιοκτήτη αν η αρχική αξία του οικοπέδου
ήταν 10000000 δρχ
ΑΣΚΗΣΗ 29η
Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι α =13 β = 8 γ = 7
i) Να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς το είδος των γωνιών του
ii) Να υπολογιστεί το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ πάνω στην ΑΒ
iii) Να υπολογιστεί η γωνία and
Α
ΑΣΚΗΣΗ 30η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 4 ΑΓ = 5 ΒΓ = 7 Το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ
πάνω στην ΑΒ είναι Α 5 Β 1 Γ 6 ∆ 2
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 31η
Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (and
Α =90ο) microε
and
Β =60ο και ΒΓ=4 Με κέντρο το Β και
ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ και microε κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΜ
γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν να βρεθούν
i) Η θέση του σηmicroείου Μ στη ΒΓ
ii) Η περίmicroετρος του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
iii) Το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
36
ΑΣΚΗΣΗ 32η
Μια έκταση σχήmicroατος τετραγώνου microε A 30 H 70 ∆
πλευρά 100m πρόκειται να διατεθεί
για κατασκευή εργατικών κατοικιών
Οι κατοικίες θα ανεργεθούν σε τέσσερα 70 30
ίσα τριγωνικά οικόπεδα και η υπόλοιπη Μ
έκταση σχήmicroατος τετραπλεύρου θα
χρησιmicroοποιηθεί ως κοινόχρηστος χώρος Z
για δενδροφύτευση και κατασκευή γηπέδου
microπάσκετ 30 70
α) Να βρεθούν τα εmicroβαδά των τεσσάρων ίσων οικοπέδων
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινόχρηστου χώρου B 70 K 30 Γ
γ) Τι είδους τετράπλευρο είναι ο κοινόχρηστος χώρος Να βρεθούν οι πλευρές του
ΑΣΚΗΣΗ 33η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 90A =
and
και ΑΒ=y ΑΓ=β
Α∆=ν Β∆=micro ΒΓ=x ∆Γ=κ
i) Να συmicroπληρωθούν οι σχέσεις
β2=helliphelliphellip=helliphelliphelliphellip Α
ν2=helliphelliphelliphelliphelliphellip
2
2
βy
=helliphelliphelliphelliphellip βy=helliphelliphelliphellip y ν β
ii) Να δειχθεί ότι 111
222 νβ=+
y Β ν ∆ κ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 34η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroεία ∆Ε της πλευράς ΒΓ έτσι ώστε Β∆=∆Ε=ΕΓ Να απόδειχθεί
ότι
i) 2222 22 ΑΕminusΑ∆=∆ΕminusΑΒ ii)
2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 35η
∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε o90=Α
and
ΑΒ=5cm ΑΓ=12cm Α∆ το ύψος του και ΒΜ
η διάmicroεσος του Προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά ΓΕ=ΒΓ i) Να συγκρίνετε τα
εmicroβαδά των τριγώνων Α∆Γ και ΑΓΕ ii) Να δείξετε ότι η σχέση που συνδέει τα εmicroβαδά των
τριγώνων ΑΒΜ και ΑΒΕ είναι (ΑΒΕ)=4(ΑΒΜ)
ΑΣΚΗΣΗ 36η
Από σηmicroείο Μ εκτός κύκλου φέρνουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΜΕ του κύκλου και τις
τέmicroνουσες ΜΑΒ και ΜΓ∆ Αν είναι ΑΒ=9 ΓΜ=4 Γ∆=5 να υπολογίσετε i) το ΜΑ ii) το
ΜΕ
ΑΣΚΗΣΗ 37η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) ΑΒ microια διάmicroετρος του και Μ τυχαίο σηmicroείο του (διαφορετικό των Α
Β) Αν Γ είναι το microέσο της ΟΑ και ∆ το microέσο της ΟΒ ενώ η ΜΓ τέmicroνει τον κύκλο στο Ε και
η Μ∆ στο Ζ τότε να αποδείξετε ότι3
10=
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
37
Ζ
Ε
ΑΣΚΗΣΗ 38η
Ένα τριγωνικό αγρόκτηmicroα ΑΒΓ χωρίζεται
σε τέσσερα τριγωνικά αγροτεmicroάχια όπως Α
φαίνεται στο σχήmicroα έτσι ώστε ΑΒ=Α∆3
2
ΒΕ= ΒΓ4
1και ΓΖ= ΑΓ
2
1 α) Αν το εmicroβαδό ∆
του ΑΒΓ είναι 48 στρέmicromicroατα να υπολογίσετε το Β
Γ
εmicroβαδό του ∆ΕΖ β) Αν τα ∆ Ε Ζ είναι τα microέσα των ΑΒ
ΒΓ ΑΓ αντίστοιχα να βρεθούν τα εmicroβαδά των
τεσσάρων αγροτεmicroαχίων
ΑΣΚΗΣΗ 39η
∆ίνεται εγγράψιmicroο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ ώστε οι πλευρές του ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α microε τη σειρά
που δίνονται να αποτελούν γεωmicroετρική πρόοδο Να αποδείξετε ότι η διαγώνιος του Β∆ το
χωρίζει σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
ΑΣΚΗΣΗ 40η
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ∆ Ζ Γ
την ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m και
ο90=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος υ
∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο οποίος
θα χωρίσει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆
και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα α) Να βρεθεί
το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆ β) Να
βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο
ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο Α Ε Η Β
ΑΕ∆ δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου
∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
ΑΣΚΗΣΗ 41η
∆ίνεται ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ και τα σηmicroεία του ∆Γ έτσι ώστε ∆Β=Γ∆=ΑΓ Αν
Μ τυχαίο σηmicroείο εκτός του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατοςΑΒ
Να δείξετε ότι 2222 33 ΜΓ+ΜΒ=ΜΒ+ΑΜ
ΑΣΚΗΣΗ 42η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 222 2αγβ =+ Αν η διάmicroεσος ΑΜ τέmicroνει το περιγεγραmicromicroένο
κύκλο του τριγώνου στο ∆ να δείξετε ότι
α) 6
3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
38
ΑΣΚΗΣΗ 43η
Από ένα εξωτερικό σηmicroείο Α κύκλου ( )RΟ φέρουmicroε microια τέmicroνουσα ΑΒΓ έτσι ώστε
ΒΓ=ΑΒ Αν 7R=ΟΑ τότε να δείξετε ότι
i) ΒΓ=ΑΒ =λ3
ii) η γωνία and
ΑΟΓ είναι αmicroβλεία
iii) η προβολή της ΟΓ πάνω στην ΟΑ είναι ίση microε ΟΑ7
2
iv) Να δείξετε ότι ( )( ) 2
1=
ΑΟΓΒΟΓ
και στην συνέχεια να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του τριγώνου
and
ΑΟΓ
v) Να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που ορίζεται από την χορδή ΒΓ και
το microέτρο του τόξου cap
ΒΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
39
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
40
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
18
ΕΜΒΑ∆Α
ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ
Ας θεωρήσουmicroε ένα πολύγωνο
Ένα σχήmicroα που αποτελείται από πεπερασmicroένο πλήθος πολυγωνικών χωρίων που ανά δύο δεν
έχουν κοινά εσωτερικά σηmicroεία λέγεται πολυγωνική επιφάνεια
Ίσα πολυγωνικά χωρία έχουν ίσα εmicroβαδά
Αν ένα πολυγωνικό χωρίο (ή microια πολυγωνική επιφάνεια) χωρίζεται σε πεπερασmicroένου
πλήθους πολυγωνικά χωρία που δεν έχουν κοινά εσωτερικά σηmicroεία τότε το εmicroβαδόν του
ισούται microε το άθροισmicroα των εmicroβαδών των επιmicroέρους πολυγωνικών χωρίων
Το εmicroβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς 1 είναι 1
∆ύο σχήmicroατα που έχουν το ίδιο εmicroβαδόν ονοmicroάζονται ισεmicroβαδικά ή ισοδύναmicroα
Το πολύγωνο microαζί microε τα εσωτερικά του
στοιχεία ονοmicroάζεται πολυγωνικό χωρίο
Ένα πολυγωνικό χωρίο που ορίζεται από
τρίγωνο τετράγωνοhellipν-γωνο ονοmicroάζεται
τριγωνικό πολυγωνικόhellip ν-γωνικό
∆ύο πολυγωνικά χωρία λέγονται ίσα όταν τα
αντίστοιχα πολύγωνά τους είναι ίσα
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
19
ΕΜΒΑ∆Α ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
Το εmicroβαδόν τετραγώνου πλευράς α δίνεται από τον τύπο 2α=Ε
Το εmicroβαδόν ενός ορθογωνίου ισούται microε το γινόmicroενο των πλευρών του βα sdot=Ε
Το εmicroβαδόν ενός παραλληλογράmicromicroου ισούται microε το γινόmicroενο microιας πλευράς του επί το ύψος
που αντιστοιχεί σε αυτή
βα υβυα sdot=sdot=Ε
Το εmicroβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο microε το ηmicroιγινόmicroενο microιας πλευράς επί το αντίστοιχο ύψος
γβα υγυβυα sdot=sdot=sdot=Ε2
1
2
1
2
1
Το εmicroβαδόν τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο του ηmicroιαθροίσmicroατος των βάσεων του επί το
ύψος του υβsdot
+Β=Ε
2
Το εmicroβαδόν τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο της διαmicroέσου επί το ύψος του
bull Το εmicroβαδόν ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς α είναι ίσο microε 4
32α=Ε
bull Το εmicroβαδόν ρόmicroβου ισούται microε το ηmicroιγινόmicroενο των διαγωνίων του
bull Το εmicroβαδόν οποιουδήποτε κυρτού ή microη κυρτού τετραπλεύρου microε κάθετες διαγωνίους
ισούται microε το ηmicroιγινόmicroενο των διαγωνίων του
bull Η διάmicroεσος κάθε τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
bull Το βαρύκεντρο τριγώνου έχει την ιδιότητα να δηmicroιουργεί microε τις κορυφές του τριγώνου τρία
ισεmicroβαδικά τρίγωνα
bull Το βαρύκεντρου του τριγώνου οι κορυφές του και τα microέσα των πλευρών του ορίζουν έξι
ισεmicroβαδικά τρίγωνα
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
20
ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΕΜΒΑ∆ΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
( )( )( )γτβταττ minusminusminus=Ε όπου 2
γβατ
++= ηmicroιπερίmicroετρος του τριγώνου
ρτ sdot=Ε
R4
γβα sdotsdot=Ε
Γsdotsdot=Βsdotsdot=Αsdotsdot=Ε ηmicroβαηmicroαγηmicroγβ2
1
2
1
2
1
ΕΜΒΑ∆Α ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
Αν δύο τρίγωνα έχουν ίσες βάσεις τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο των
αντίστοιχων υψών ενώ αν έχουν ίσα ύψη τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο
των αντίστοιχων βάσεων
Αν δύο τρίγωνα είναι όmicroοια τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το τετράγωνο του
λόγου οmicroοιότητας
Ο λόγος των εmicroβαδών δύο όmicroοιων πολυγώνων είναι ίσος microε το τετράγωνο του λόγου
οmicroοιότητας
Αν microια γωνία ενός τριγώνου είναι ίση ή παραπληρωmicroατική microε microια γωνία ενός άλλου
τριγώνου τότε ο λόγος των εmicroβαδών των δύο τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο των γινοmicroένων
των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
21
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Αν ΑΒΓ∆ τραπέζιο ( Γ∆ΑΒ ) και Ο το σηmicroείο τοmicroής των διαγωνίων του ΑΓ και
Β∆ να αποδείξετε ότι ΟΑ∆ΟΒΓ Ε=Ε
2 Ένα τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) και ΒΓ=Γ∆=Α∆ και τη βάση ΑΒ κατά 2 microικρότερη
από το άθροισmicroα των τριών αυτών πλευρών Αν το ύψος του τραπεζίου είναι 5 να
υπολογιστεί το εmicroβαδό του
3 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ microε microήκη πλευρών α=10 β=8 γ=14 και ισόπλευρο τρίγωνο
∆ΕΖ το οποίο είναι ισοδύναmicroο microε το ΑΒΓ Το microήκος της πλευράς του ισόπλευρου
τριγώνου ∆ΕΖ είναι
Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20
Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε
4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=2 ΒΗ ύψος και η διάmicroεσος Β∆=1 Αν and
∆ΑΒ =30ο να
υπολογιστούν α) τα ΒΗ Η∆ ΑΗ
β) το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ
5 Με υποτείνουσες τις κάθετες πλευρές ΑΒ και ΑΓ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ microε
β+γ=20 κατασκευάζουmicroε ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓΕ εκτός
αυτού
α) Να αποδείξετε ότι τα σηmicroεία ∆ΑΕ είναι συνευθειακά
β) Να βρείτε το εmicroβαδό του τετραπλεύρου ΒΓΕ∆
6 Προεκτείνουmicroε τις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ ενός τριγώνου ΑΒΓ κατά τmicroήmicroατα
Γ∆=ΓΒ ΑΕ=ΑΓ και ΒΖ=ΒΑ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι (∆ΕΖ) = 7(ΑΒΓ)
7 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Μ στο εσωτερικό του Φέρνουmicroε από το Μ
παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των
σχηmicroατιζόmicroενων τριγώνων και Ε το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε
ότι 321 Ε+Ε+Ε=Ε
8 Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ που τέmicroνει τις πλευρές ΑΒ
και ΑΓ στα σηmicroεία ∆ και Ε αντίστοιχα Να αποδείξετε ότι (ΑΒΕ)2=(ΑΒΓ)(Α∆Ε)
9 Από σηmicroείο ∆ της πλευράς ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη προς την
πλευρά ΒΓ που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των τριγώνων
Α∆Ε Α∆Γ και ΑΒΓ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι 31
2
2 ΕsdotΕ=Ε
10 Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Α΄ της πλευράς του ΒΓ Από τα Β και Γ
φέρνουmicroε παράλληλες προς την ΑΑ΄ που τέmicroνουν τις ευθείες ΑΓ και ΑΒ στα σηmicroεία
Γ΄ και Β΄ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι
α) (ΑΑ΄Γ΄) = (ΑΒΑ΄) και (ΑΑ΄Β΄) = (ΑΓΑ΄)
β) (Α´ô) = (ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
22
11 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ microε ΑΒ=10 Α∆=4 και and
∆ =60ο Στην πλευρά ΑΒ
θεωρούmicroε τα σηmicroεία Ε και Ζ έτσι ώστε ΑΕ=ΕΖ=ΖΒ Αν Η είναι το σηmicroείο τοmicroής των
ευθειών ∆Ε και ΓΖ να υπολογιστούν
α) το εmicroβαδό του παραλληλογράmicromicroου ΑΒΓ∆
β) το εmicroβαδό του τραπεζίου Γ∆ΕΖ
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου ΗΕΖ
12 ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=ΑΓ=6 και ο120=Α
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του
β) Αν Ε σηmicroείο της ΑΓ τέτοιο ώστε ΓΕ=ΑΕ2
1 και Α∆ το ύψος του τριγώνου
ΑΒΓ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ∆ΕΓ
γ) Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει τη ∆Ε στο Η να βρεθεί το εmicroβαδό
του τριγώνου ΑΕΗ
13 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Ρ στο εσωτερικό του Από το Ρ φέρνουmicroε κάθετες
ηmicroιευθείες στις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ και πάνω σrsquo αυτές παίρνουmicroε τα σηmicroεία Α΄
Β΄ και Γ΄ αντίστοιχα έτσι ώστε ΡΑ΄=ΒΓ ΡΒ΄=ΑΓ και ΡΓ΄=ΑΒ Να αποδειχθεί ότι
α) οι γωνίες and
Γ και and
ΒprimeΡΑprime είναι παραπληρωmicroατικές
β) (ΡΑ΄Β΄)=(ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)
14 Θεωρούmicroε τρεις ίσες διαδοχικές γωνίες and
οψx zand
οψ xzand
ο και πάνω στις
ηmicroιευθείες Οx Oψ και Οz τα σηmicroεία Α Β Γ αντίστοιχα έτσι ώστε ΟΑ=1 ΟΒ=4 και
ΟΓ=8
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ψοand
x zand
οψ xzand
ο
β) Αν Οw η αντικείmicroενη ηmicroιευθεία της Οψ και Γ∆ wΟperp να υπολογίσετε τις Ο∆ και
Γ∆
γ) Να υπολογίσετε το (ΟΒΓ)
δ) Να αποδείξετε ότι (ΑΒΓ)= 311
15 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ και Κ Λ Μ Ν τα microέσα των ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α
αντίστοιχα α) Να αποδειχθεί ότι (ΚΛΜΝ)=2
1(ΑΒΓ∆)
β) Αν ΚΜ ΛΝperp να αποδειχθεί ότι (ΑΒΓ∆) = ΚΜΛΝ
16 Λ
Α Β Στο διπλανό σχήmicroα τα σηmicroεία Κ Λ είναι τα
Κ Ρ microέσα των τmicroηmicroάτων ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα
Να αποδείξετε ότι
Γ α) ο λόγος των εmicroβαδών των τριγώνων ΑΚΒ και ΑΛΓ είναι ίσος microε
β) αν Ρ είναι το σηmicroείο τοmicroής των ΛΓ και ΚΒ τότε τα τρίγωνα ΒΛΡ
και ΚΓΡ έχουν ίσα εmicroβαδά
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
23
17 ∆ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) microε ΑΒ=4 Α∆=2 καιο60=∆
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τραπεζίου ΑΒΓ∆
β) Αν Ε σηmicroείο της πλευράς ΑΒ τέτοιο ώστε ΕΒ= ΑΒ4
1 και οι Ε∆ ΕΓ τέmicroνουν τη
διάmicroεσο του τραπεζίου στα σηmicroεία Ζ και Η αντίστοιχα να βρεθεί το εmicroβαδό του
τριγώνου ΕΖΗ
γ) Αν οι ∆Ε και ΒΓ τέmicroνονται στο Ρ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ΡΕΒ
18 Αν οι διαγώνιοι κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓ∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο να αποδείξετε ότι
το τετράπλευρο έχει εmicroβαδό Β∆sdotΑΓ4
1
19 Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται ΑΒ=5 ο60=Α
and
και η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου
κύκλου 3
7=R Να βρεθούν οι άλλες δύο πλευρές του τριγώνου και το εmicroβαδόν του
20
∆ Ζ Γ
υ
Α Ε Η Β
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m
90ο=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος ∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο
οποίος θα χωρίζει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆ και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο
ΑΕ∆
δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου ∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
21 Αν Μ και Ν είναι τα microέσα των πλευρών ΒΓ και Γ∆ ενός παραλληλόγραmicromicroου ΑΒΓ∆
να αποδείξετε ότι (ΑΜΝ)= )(8
3ΑΒΓ∆
22 Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) θεωρούmicroε το microέσο Μ της πλευράς ΑΒ
και σηmicroείο Ν της πλευράς ΑΓ τέτοιο ώστε 3
ΑΓ=ΓΝ Να δειχθεί ότι
(ΜΝΒ)= )(3
1ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
24
23 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και τυχαίο σηmicroείο Σ στην προέκταση της πλευράς
∆Γ προς το Γ Να αποδείξετε ότι
α) (ΑΒ∆)= )(2
1ΑΒΓ∆
β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)
γ) αν η ΑΣ τέmicroνει την Β∆ στο σηmicroείο Ε τότε (Ε∆Σ)-(ΕΑΒ)=(ΣΒΓ)
24 Έστω Σ τυχαίο σηmicroείο της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ Στο σηmicroείο Α φέρουmicroε
microια ευθεία ε κάθετη στην ΑΣ Αν ∆ και Ε είναι αντίστοιχα οι προβολές των σηmicroείων
Β και Γ στην ευθεία ε να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ∆ΣΕ είναι ισοδύναmicroα
25 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 8=ΑΒ 12=ΑΓ και η Α∆ διχοτόmicroος της γωνίας and
Α Αν
( )ΑΒ∆ =20 τmicro να βρείτε το ( )ΑΒΓ
26 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ∆ σηmicroείο της πλευράς ΑΒέτσι ώστε 6=Α∆ ∆Β=5
8=ΑΓ Αν 80=Α
and
να βρείτε το εmicroβαδόν του τριγώνου Β∆Γ
27 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ microε 90=Β
and
και η γωνία and
Α να είναι το 3
1 της ορθής Αν
∆ σηmicroείο της προέκτασης της πλευράς ΒΓ προς το Γ τέτοιο ώστε η 30=Α∆Β
and
να
βρεθεί ο λόγος ( )( )ΑΒ∆ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
25
ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ
ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ
Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του
ίσες
Γωνία κανονικού ν-γώνου ν
φν
360
180 minus=
Κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου ν
ων
360=
Σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας R ισχύουν οι εξής τύποι 2
22
4R=+ ν
ν
λα
νν λν sdot=Ρ
ννν αsdotΡ=Ε2
1
όπου να απόστηmicroα νλ πλευρά νΡ περίmicroετρος νΕ εmicroβαδόν
∆ύο κανονικά πολύγωνα microε τον ίδιο αριθmicroό πλευρών είναι όmicroοια
Κάθε κανονικό πολύγωνο εγγράφεται σε έναν κύκλο και περιγράφεται σε έναν άλλον Οι δύο
αυτοί κύκλοι είναι οmicroόκεντροι
bull Το κοινό κέντρο τον κύκλων αυτών λέγεται κέντρο του πολυγώνου
bull Η ακτίνα R του περιγεγραmicromicroένου κύκλου λέγεται ακτίνα του πολυγώνου
bull Η απόσταση του κέντρου από microια πλευρά του δηλαδή η ακτίνα του εγγεγραmicromicroένου
κύκλου λέγεται απόστηmicroα του πολυγώνου
Σε δύο κανονικά ν-γωνα ο λόγος των πλευρών τους ισούται microε το λόγο των ακτινών τους και
το λόγο των αποστηmicroάτων τους
∆ηλαδή
ν
ν
ν
ν
αα
λλ
==R
R
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
26
ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ
ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ
ΚΑΝΟΝΙΚΟ
ΕΞΑΓΩΝΟ
ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ
ΤΡΙΓΩΝΟ
ΠΛΕΥΡΑ νλ 24 R=λ R=6λ 33 R=λ
ΑΠΟΣΤΗΜΑ να
2
24
R=α
2
36
R=α
23
R=α
RL sdot= π2
180
microπ sdotsdot=
Rl ή Rl sdot=α
180
microαπ
=
2Rsdot=Ε π
( )360
2 microπ sdotsdot=ΟΑΒ
cap R ή ( )
cap
sdot=ΟΑΒ 2
2
1Rα
( ) ( )ΟΑΒminusΟΑΒ=cap
ε
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
27
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Ένα κανονικό εξάγωνο είναι περιγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ορ) Η πλευρά του
εξαγώνου αυτού είναι
Α ρ Β 2
3ρ Γ 2ρ ∆
3
32ρ Ε
3
2ρ
2 ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και στις προεκτάσεις των
πλευρών ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α θεωρούmicroε τα τmicroήmicroατα ΒΚ=ΓΛ=∆Μ=ΑΝ=λ3 Να δείξετε
ότι το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο και ότι η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου κύκλου του
είναι 641 += RR
3 Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε δύο παράλληλες χορδές ΑΒ=λ4 και Γ∆=λ6 Να
αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι ισοσκελές τραπέζιο και να υπολογιστεί
το εmicroβαδό του ως συνάρτηση της ακτίνας R
4 Η περίmicroετρος ενός κυκλικού τοmicroέα ΟΑΒ ενός κύκλου (ΟR) είναι 6+π Αν
ο60=ΒΟΑand
τότε το microήκος της ακτίνας R είναι
Α 6 Β 3 Γ 2 ∆ 4 Ε 5 (δικαιολογήστε την απάντησή σας)
5 Έστω τεταρτοκύκλιο ΟΑΒ ακτίνας R και ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΟΒ στο εσωτερικό
του Να βρείτε το εmicroβαδό και την περίmicroετρο του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΑΒ
6 Έστω δύο κύκλοι (ΟR) και (Ο΄R) των οποίων η διάmicroετρος ΟΟ΄ έχει microήκος
ΟΟ΄=R 3 α) Να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι τέmicroνονται
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινού microέρους των δύο κύκλων
7 Το εmicroβαδό κυκλικού τοmicroέα 80ο είναι 8π Η ακτίνα του κύκλου είναι
Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15
8 Τετράγωνο ΑΒΓ∆ είναι εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και η ηmicroιπερίmicroετρος του
είναι 80cm Να υπολογιστούν
α) η ακτίνα R του κύκλου
β) ο λόγος του εmicroβαδού του κύκλου προς το εmicroβαδό του τετραγώνου
9 Στο εσωτερικό ηmicroικυκλίου διαmicroέτρου ΑΟΒ=2R γράφουmicroε ηmicroικύκλια microε
διαmicroέτρους ΟΑ και ΟΒ Να υπολογιστεί το microήκος και το εmicroβαδό του κύκλου που
εφάπτεται των τριών ηmicroικυκλίων
10 ∆ύο κύκλοι (Ο3R) και (Ο΄R) εφάπτονται εξωτερικά στο σηmicroείο Α Φέρουmicroε την
κοινή εξωτερική εφαπτόmicroενη ΒΓ αυτών Να βρεθεί το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου
τριγώνου ΑΒΓ και του περιγεγραmicromicroένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ
11 Έστω ο κύκλος (ΟR) και microια ακτίνα του ΟΑ Στην ηmicroιευθεία ΟΑ θεωρούmicroε
σηmicroείοΒ έτσι ώστε ΑΒ=ΑΟ Αν ΒΓ η εφαπτοmicroένη του κύκλου να βρεθεί το
εmicroβαδό α) του τριγώνου ΟΒΓ και β) του microικτόγραmicromicroου τριγώνου
ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
28
12 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=λ3 και Γ∆=λ6
προς το ίδιο microέρος του κέντρου Ο α) Να εκφράσετε τις χορδές ΑΒ και Γ∆ ως
συνάρτηση της ακτίνας R β) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό Ε1 του κυκλικού τmicroήmicroατος
που αντιστοιχεί στη χορδή Γ∆ γ) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό του τριγώνου ΟΑΒ
δ) Να βρείτε την περίmicroετρο και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τραπεζίου που έχει
κορυφές τα ΑΒΓ∆
13 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) χορδή ΑΒ=R την εφαπτοmicroένη ε του κύκλου στο σηmicroείο
Α και τη εperpΒΓ Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του τραπεζίου ΟΑΓΒ
β) το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
14 ∆ίνεται ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΑΒ και στο εσωτερικό του τα ηmicroικύκλια διαmicroέτρων
ΑΓ και ΓΒ όπου Γ σηmicroείο microεταξύ των Α και Β Αν κάθετη της ΑΒ στο Γ τέmicroνει το
αρχικό ηmicroικύκλιο στο ∆ να αποδείξετε ότι το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται
microεταξύ των τριών ηmicroικυκλίων είναι ίσο microε το εmicroβαδό του κύκλου διαmicroέτρου Γ∆
15 Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ο60=Β
and
και ΒΓ=α Με
κέντρο το Β και ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει τη ΒΓ στο Μ και microε κέντρο
το Γ και ακτίνα ΓΜ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν Να βρεθεί η
περίmicroετρος και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
16 Με κέντρο ένα σηmicroείο Κ κύκλου (ΟR) και ακτίνα ίση προς R 3 γράφουmicroε
κύκλο ο οποίος τέmicroνει τον (ΟR) στα σηmicroεία Α και Β Να υπολογιστούν η
περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου microηνίσκου
17 ∆ίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ΒΓ = 2R
Γράφουmicroε ηmicroικύκλιο microε διάmicroετρο ΒΓ εκτός τριγώνου και τόξο κύκλου (Α ΑΒ) microε
άκρα Β και Γ Να βρεθεί η περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου
microηνίσκου από το ηmicroικύκλιο και το τόξο αυτό
18 Ένα ορθογώνιο σπίτι microε διαστάσεις α = 20m και β = 10m έχει microια εξωτερική
πρίζα σε microια γωνία του Ένα χορτοκοπτικό microηχάνηmicroα συνδεδεmicroένο microε την πρίζα
έχει καλώδιο microε microήκος 15m Να βρεθεί το εmicroβαδόν της microεγαλύτερης επιφάνειας
του χόρτου που microπορεί να κοπεί
19 Σε κύκλο ακτίνας R = 4cm είναι εγγεγραmicromicroένο ισόπλευρο τρίγωνο
Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του κύκλου
β) την πλευρά του τριγώνου
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου
δ) το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται microεταξύ του κύκλου και του τριγώνου
20 Σε κύκλο microε διάmicroετρο ΑΒ φέρουmicroε τις χορδές ΜΒΑΜ Αν είναι 6=ΑΜ και
8=ΒΜ να βρεθεί η ακτίνα και το εmicroβαδόν του κύκλου
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
29
21 Να βρεθεί το εmicroβαδόν του καθενός από τα δύο microέρη στα οποία διαιρείται ένας
κύκλος ( )RΟ από την πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραmicromicroένου στον κύκλο
αυτόν
22 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και φέρουmicroε δύο κάθετες ακτίνες ΟΑ και ΟΒ Με
κέντρο το Α και ακτίνα R γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει το cap
AB στο σηmicroείο Γ Να
βρεθεί το εmicroβαδόν του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΒΓ
23 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και τόξο 60=ΑΒ
cap
Φέρουmicroε στο σηmicroείο Α την
εφαπτοmicroένη χΑ του κύκλου και την χΑperpΒΓ Να βρεθεί το εmicroβαδόν του
microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
30
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΗ 1η
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α∆ διχοτόmicroος Β∆ = 2 Γ∆ = 3 και 2τ = 15 (περίmicroετρος) η πλευρά
ΑΒ είναι
Α 3 Β 4 Γ 5 ∆ 6 Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 2η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 3α2 + 2γ
2 = 2β
2 Τότε
i) Α and
Α gt90ο Β
and
Β gt 90ο Γ
and
Β lt 90ο ∆
and
Γ gt 90ο Ε Κανένα από τα παραπάνω
ii) Η προβολή της διαmicroέσου microα στην ΒΓ ισούται microε
Α 4
a Β
2
a Γ
4
3a ∆
2
3a Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 3η
Αν ΑΒΓ∆ τετράγωνο πλευράς α και Ε microέσο του Α∆ τότε
i) ΒΕ =2
5α Σ Λ
ii) Ο λόγος ΒΕΕΖ
ισούται microε
Α 5
2 Β
4
5 Γ
4
1 ∆
5
1 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
Α Β
E
Z
∆ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 4η
Αν τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=4 ΒΓ=5 ΑΓ=6 και Α∆ διχοτόmicroος τότε
i) -Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο Σ Λ
- Ο λόγος ∆Γ∆Β
ισούται microε
Α 2
1 Β
3
1 Γ
3
2 ∆
4
3 Ε
2
3
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ii) Αν ε η προβολή του Α στην ΒΓ να υπολογίσετε το microήκος του ΒΕ
iii) Να αποδείξετε ότι 2
1=
∆Γ∆Ε
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
31
ΑΣΚΗΣΗ 5η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και Μ το microέσο της Α∆ Προεκτείνουmicroε τη ∆Γ προς το Γ
κατά ΓΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΒΜ)=2
)(ΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τραπεζίου ΑΒΕ∆ είναι οκταπλάσιο από το εmicroβαδόν του
τριγώνου ΑΒΜ
ΑΣΚΗΣΗ 6η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναιuα =3ρ όπου ρ του εγγεγραmicromicroένου κύκλου του τριγώνου Ο λόγος
αγβ +
ισούται microε Α 2 Β 3 Γ 3
1 ∆
2
3 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ΑΣΚΗΣΗ 7η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάmicroεσός του Α∆ Προεκτείνουmicroε την ΒΑ προς το Α κατά τmicroήmicroα
ΑΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι (ΒΕ∆)=3(Α∆Γ)
ΑΣΚΗΣΗ 8η
Στο εσωτερικό της αυλής ενός σπιτιού υπάρχει microικρός κήπος microε λαχανικά όπως στο
ακόλουθο σχήmicroα Αν το εmicroβαδόν του κήπου είναι 122m και οι διαστάσεις της αυλής είναι
12m και 13m να βρεθεί το x Αν θέλουmicroε να περιφράξουmicroε τον κήπο microε σύρmicroα πόσο σύρmicroα
θα χρειαστούmicroε
12m
13m
ΑΣΚΗΣΗ 9η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ Από τυχαίο σηmicroείο Ε της ΑΓ φέρουmicroε ευθεία παράλληλη
προς την Α∆ που τέmicroνει την Γ∆ στο Ζ Να αποδείξετε ότι
i) (Α∆Ζ)=(ΑΕΒ)
ii) (ΑΕΖ)=(ΒΕΓ)-(ΖΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 10η
Οι διάmicroεσοι Β∆ και ΓΕ τριγώνου ΑΒΓ τέmicroνονται στο Θ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΕ∆)=4
)(ΑΒΓ
ii) (ΒΘΓ)= 3
)(ΑΒΓ
iii)(ΑΕ∆)= (ΒΚΛΓ) όπου Κ Λ τα microέσα των ΒΘ και ΓΘ αντίστοιχα
x
x x
x
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
32
ΑΣΚΗΣΗ 11η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε τη διχοτόmicroο Α∆ Από το ∆ φέρνουmicroε παράλληλη προς την ΑΒ
που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει την προέκταση της
∆Ε στο Ζ να αποδείξετε ότι
α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)
β) β2(ΑΕΖ) = γ
2(∆ΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 12η
Θεωρούmicroε γωνία yxand
Α και σηmicroείο Ο της διχοτόmicroου της Αδ Αν ο κύκλος (ΟΟΑ) τέmicroνει τις
Οx Οy στα Β Γ αντίστοιχα και την Αδ στο ∆ να αποδείξετε ότι
α) (ΟΑΒ)=(ΟΑΓ)
β) (ΒΟΓ∆)=(ΑΒ∆)
γ) (ΒΟΓ∆)=2
1(ΟΑ)(ΒΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 13η
Από εσωτερικό σηmicroείο Μ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλες προς τις
πλευρές ΑΓ και ΑΒ που τέmicroνουν τις ΑΒ ΑΓ στα ∆ Ζ αντίστοιχα Αν (ΒΜ)=x (ΒΓ)=α
(Β∆Μ)=Ε1 (ΓΖΜ)=Ε2 και (ΑΒΓ)=Ε τότε
α) Να εκφράσετε ως συναρτήσεις των x και α τους λόγους Ε
Ε1 και Ε
Ε2
β) Να αποδείξετε ότι ΕgeΕ+Ε2
121
ΑΣΚΗΣΗ 14η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=Γ∆=λ3
Να βρεθεί
i) Η περίmicroετρος του ΑΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που αντιστοιχεί στη χορδή ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 15η
Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε τα διαδοχικά σηmicroεία Α Β Γ και ∆ ώστε ΑΒ=ΒΓ=Γ∆= R Να
βρεθεί
i) H περίmicroετρος του τριγώνου ΑΒ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τριγώνου ΒΓ∆
iii) Ο λόγος )(
)(
ΒΓ∆ΑΒ∆
ΑΣΚΗΣΗ 16η
∆ίνεται τεταρτοκύκλιο Οand
ΒΓ ακτίνας R
α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΓΒ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε δύο ισεmicroβαδικά χωρία
β) Αν ∆ σηmicroείο του τόξου ΒΓ να αποδείξετε ότι η ευθεία Γ∆ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
γ) Να βρείτε σηmicroείο Α της ακτίνας ΟΒ ώστε η ευθεία ΓΑ να χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
33
ΑΣΚΗΣΗ 17η
Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο Ο cap
ΒΓ ακτίνας R Σηmicroείο Α κινείται πάνω στο τόξο cap
ΒΓ και έστω
Κ το σηmicroείο τοmicroής της ακτίνας ΟΑ microε τη ΒΓ Να βρείτε το microήκος του τόξου cap
ΒΑ όταν το
εmicroβαδό του τριγώνου ΟΚΓ ισούται microε το εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα
τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΒ και το τόξο cap
ΒΑ
ΑΣΚΗΣΗ 18η
∆ίνεται ηmicroικύκλιο κέντρου Ο microε διάmicroετρο ΑΑ1=2R Έστω Β σηmicroείο του ηmicroικυκλίου microε
( 1ΑΟΒand
)=φ microοίρες και ΟΓ ακτίνα που τέmicroνει τη χορδή ΑΒ στο Κ
α) Να βρείτε το microήκος S του τόξου cap
ΑΓ όταν το εmicroβαδόν του τριγώνου ΟΚΒ ισούται microε το
εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΓ και το τόξοcap
ΑΓ
β) Αν η γωνία 1ΑΟΒand
είναι 150ο πόσο είναι το S
γ) Για ποια τιmicroή του φ το S γίνεται microέγιστο
Β
Γ
φ
Α1 Α
ΑΣΚΗΣΗ 19η
Η περίmicroετρος ρόmicroβου ΑΒΓ∆ πλευράς α και κέντρου Ο είναι τετραπλάσια της microικρής
διαγωνίου του Β∆
i) Να υπολογιστεί συναρτήσει του α το εmicroβαδόν του Ε
ii) Φέρουmicroε Α∆perpΟΗ και Γ∆perpΟΖ Αν η ΑΖ τέmicroνει τον κύκλο διαmicroέτρου Ο∆ στο Θ να
δειχθεί ότι 2
3Ε=ΑΖsdotΑΘ
ΑΣΚΗΣΗ 20η
Το περίγραmicromicroα της βάσης ενός microεγάλου λόφου σχηmicroατίζει τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=γ ΑΓ=β
όπου βgtγ και στο οποίο η διάmicroεσος ΑΜ και το ύψος Α∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο ∆ίπλα στην
πλευρά ΑΓ υπάρχει ορθογώνιος ιδιωτικός χώρος διαστάσεων 2
γβ +και β-γ Σrsquo αυτόν το
χώρο πρόκειται να κατασκευαστεί ένας microεγάλος ανισόπεδος κόmicroβος που θα συνδέει δύο
δρόmicroους ταχείας κυκλοφορίας Γιrsquo αυτούς τους λόγους προτείνεται στον ιδιοκτήτη να δεχτεί
να ανταλλάξει αυτόν τον χώρο microε άλλον ορθογώνιο χώρο του δηmicroοσίου που βρίσκεται δίπλα
στην πλευρά ΒΓ και έχει διαστάσεις τα microήκη των ΒΓ και 2
ΑΜ Ο ιδιοκτήτης δηλώνει ότι θα
συmicroφωνήσει microε την πρόταση αρκεί οι ανταλλάξιmicroοι χώροι να έχουν την ίδια έκταση
Πρακτικά όmicroως είναι αδύνατον να microετρήσει την πλευρά ΒΓ και τη διάmicroεσο ΑΜ γιrsquo αυτό και
διστάζει Πως θα σκεφτόσαστε εσείς να βοηθήσετε τον ιδιοκτήτη να αποφασίσει
Κ
Ο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
34
ΑΣΚΗΣΗ 21η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε β=2γ και η διάmicroεσος του Β∆ Φέρουmicroε Β∆perpΑx που τέmicroνει την
Β∆ στο Ε και την ΒΓ στο Ζ και ΕyΑΓ που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ Να αποδείξετε ότι
i) ZB= 2
1ZΓ
ii) (ΑΒΓ)=3(ΑΒΖ)
iii) Να αποδειχθεί ότι 8
3
)(
)(=
ΑΒΖΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΗ 22η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε α=2γ και β= 7γ
α) i) Να αποδείξετε ότι 2
3αmicroα =
ii) Να βρείτε το είδος της γωνίας and
Β
iii) Αν ΑΕ perp ΒΓ να υπολογίσετε το ΒΕ συναρτήσει του γ
iv) Να βρείτε τη γωνία and
Β
β) Αν ΑΜ διάmicroεσος και Β∆ διχοτόmicroος να αποδείξτε ότι
i) Α∆ = 3
β
ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)
ΑΣΚΗΣΗ 23η
Έστω τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ο R) και σηmicroείο Μ το οποίο κινείται στο
ηmicroικύκλιο cap
ΑΒΓ
α) Να βρεθεί το ελάχιστο ( )minΕ και το microέγιστο ( )maxΕ εmicroβαδόν του τετράπλευρου ΑΜΓ∆
συναρτήσει της ακτίνας R
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε θέση του Μ είναι
i) Μ∆2 = ΑΓ ∆Ε όπου Ε η προβολή του Μ στην Β∆
ii) (ΑΜΓ∆) = 2
2Μ∆
γ) Να προσδιορίσετε τη θέση του σηmicroείου Μ όταν (ΑΜΓ∆) = 2
maxmin EE +
ΑΣΚΗΣΗ 24η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ M το microέσο της ΑΒ σηmicroείο Ν της ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΝ = 4
3ΑΓ και
σηmicroείο Κ της ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΚ = 4
1ΒΓ Να βρεθεί ο λόγος των εmicroβαδών του τριγώνου
ΑΒΓ προς του τριγώνου ΜΝΚ
ΑΣΚΗΣΗ 25η
Α) Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι 2
αmicro = βγ και β-γ = 5 2 Το microήκος της πλευράς
α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3
Β) Να δειχθεί ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει η σχέση (222
γβα micromicromicro ++ )2 = 27Ε
2 όπου
Ε το εmicroβαδό του
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
35
ΑΣΚΗΣΗ 26η
Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω περιπτώσεις
όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί να αποτελεί microήκη των
πλευρών του
i) 3 57
ii) 8 4 2
iii) 7 6 85
ΑΣΚΗΣΗ 27η
Αν η διάmicroεσος microα ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν προεκταθεί τέmicroνει τον περιγεγραmicromicroένο κύκλο
στο ∆ να αποδειχθεί ότι microα = Α∆+
2
22 γβ
ΑΣΚΗΣΗ 28η
Από ένα κυκλικό οικόπεδο ακτίνας R=30m θα αποκοπεί κυκλικό τmicroήmicroα χορδής 30 3 m για
την κατασκευή δρόmicroου
i) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου που έmicroεινε
ii) Να βρεθεί η αποζηmicroίωση που θα δοθεί στον ιδιοκτήτη αν η αρχική αξία του οικοπέδου
ήταν 10000000 δρχ
ΑΣΚΗΣΗ 29η
Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι α =13 β = 8 γ = 7
i) Να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς το είδος των γωνιών του
ii) Να υπολογιστεί το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ πάνω στην ΑΒ
iii) Να υπολογιστεί η γωνία and
Α
ΑΣΚΗΣΗ 30η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 4 ΑΓ = 5 ΒΓ = 7 Το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ
πάνω στην ΑΒ είναι Α 5 Β 1 Γ 6 ∆ 2
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 31η
Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (and
Α =90ο) microε
and
Β =60ο και ΒΓ=4 Με κέντρο το Β και
ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ και microε κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΜ
γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν να βρεθούν
i) Η θέση του σηmicroείου Μ στη ΒΓ
ii) Η περίmicroετρος του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
iii) Το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
36
ΑΣΚΗΣΗ 32η
Μια έκταση σχήmicroατος τετραγώνου microε A 30 H 70 ∆
πλευρά 100m πρόκειται να διατεθεί
για κατασκευή εργατικών κατοικιών
Οι κατοικίες θα ανεργεθούν σε τέσσερα 70 30
ίσα τριγωνικά οικόπεδα και η υπόλοιπη Μ
έκταση σχήmicroατος τετραπλεύρου θα
χρησιmicroοποιηθεί ως κοινόχρηστος χώρος Z
για δενδροφύτευση και κατασκευή γηπέδου
microπάσκετ 30 70
α) Να βρεθούν τα εmicroβαδά των τεσσάρων ίσων οικοπέδων
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινόχρηστου χώρου B 70 K 30 Γ
γ) Τι είδους τετράπλευρο είναι ο κοινόχρηστος χώρος Να βρεθούν οι πλευρές του
ΑΣΚΗΣΗ 33η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 90A =
and
και ΑΒ=y ΑΓ=β
Α∆=ν Β∆=micro ΒΓ=x ∆Γ=κ
i) Να συmicroπληρωθούν οι σχέσεις
β2=helliphelliphellip=helliphelliphelliphellip Α
ν2=helliphelliphelliphelliphelliphellip
2
2
βy
=helliphelliphelliphelliphellip βy=helliphelliphelliphellip y ν β
ii) Να δειχθεί ότι 111
222 νβ=+
y Β ν ∆ κ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 34η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroεία ∆Ε της πλευράς ΒΓ έτσι ώστε Β∆=∆Ε=ΕΓ Να απόδειχθεί
ότι
i) 2222 22 ΑΕminusΑ∆=∆ΕminusΑΒ ii)
2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 35η
∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε o90=Α
and
ΑΒ=5cm ΑΓ=12cm Α∆ το ύψος του και ΒΜ
η διάmicroεσος του Προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά ΓΕ=ΒΓ i) Να συγκρίνετε τα
εmicroβαδά των τριγώνων Α∆Γ και ΑΓΕ ii) Να δείξετε ότι η σχέση που συνδέει τα εmicroβαδά των
τριγώνων ΑΒΜ και ΑΒΕ είναι (ΑΒΕ)=4(ΑΒΜ)
ΑΣΚΗΣΗ 36η
Από σηmicroείο Μ εκτός κύκλου φέρνουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΜΕ του κύκλου και τις
τέmicroνουσες ΜΑΒ και ΜΓ∆ Αν είναι ΑΒ=9 ΓΜ=4 Γ∆=5 να υπολογίσετε i) το ΜΑ ii) το
ΜΕ
ΑΣΚΗΣΗ 37η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) ΑΒ microια διάmicroετρος του και Μ τυχαίο σηmicroείο του (διαφορετικό των Α
Β) Αν Γ είναι το microέσο της ΟΑ και ∆ το microέσο της ΟΒ ενώ η ΜΓ τέmicroνει τον κύκλο στο Ε και
η Μ∆ στο Ζ τότε να αποδείξετε ότι3
10=
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
37
Ζ
Ε
ΑΣΚΗΣΗ 38η
Ένα τριγωνικό αγρόκτηmicroα ΑΒΓ χωρίζεται
σε τέσσερα τριγωνικά αγροτεmicroάχια όπως Α
φαίνεται στο σχήmicroα έτσι ώστε ΑΒ=Α∆3
2
ΒΕ= ΒΓ4
1και ΓΖ= ΑΓ
2
1 α) Αν το εmicroβαδό ∆
του ΑΒΓ είναι 48 στρέmicromicroατα να υπολογίσετε το Β
Γ
εmicroβαδό του ∆ΕΖ β) Αν τα ∆ Ε Ζ είναι τα microέσα των ΑΒ
ΒΓ ΑΓ αντίστοιχα να βρεθούν τα εmicroβαδά των
τεσσάρων αγροτεmicroαχίων
ΑΣΚΗΣΗ 39η
∆ίνεται εγγράψιmicroο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ ώστε οι πλευρές του ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α microε τη σειρά
που δίνονται να αποτελούν γεωmicroετρική πρόοδο Να αποδείξετε ότι η διαγώνιος του Β∆ το
χωρίζει σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
ΑΣΚΗΣΗ 40η
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ∆ Ζ Γ
την ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m και
ο90=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος υ
∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο οποίος
θα χωρίσει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆
και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα α) Να βρεθεί
το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆ β) Να
βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο
ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο Α Ε Η Β
ΑΕ∆ δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου
∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
ΑΣΚΗΣΗ 41η
∆ίνεται ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ και τα σηmicroεία του ∆Γ έτσι ώστε ∆Β=Γ∆=ΑΓ Αν
Μ τυχαίο σηmicroείο εκτός του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατοςΑΒ
Να δείξετε ότι 2222 33 ΜΓ+ΜΒ=ΜΒ+ΑΜ
ΑΣΚΗΣΗ 42η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 222 2αγβ =+ Αν η διάmicroεσος ΑΜ τέmicroνει το περιγεγραmicromicroένο
κύκλο του τριγώνου στο ∆ να δείξετε ότι
α) 6
3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
38
ΑΣΚΗΣΗ 43η
Από ένα εξωτερικό σηmicroείο Α κύκλου ( )RΟ φέρουmicroε microια τέmicroνουσα ΑΒΓ έτσι ώστε
ΒΓ=ΑΒ Αν 7R=ΟΑ τότε να δείξετε ότι
i) ΒΓ=ΑΒ =λ3
ii) η γωνία and
ΑΟΓ είναι αmicroβλεία
iii) η προβολή της ΟΓ πάνω στην ΟΑ είναι ίση microε ΟΑ7
2
iv) Να δείξετε ότι ( )( ) 2
1=
ΑΟΓΒΟΓ
και στην συνέχεια να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του τριγώνου
and
ΑΟΓ
v) Να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που ορίζεται από την χορδή ΒΓ και
το microέτρο του τόξου cap
ΒΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
39
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
40
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
19
ΕΜΒΑ∆Α ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
Το εmicroβαδόν τετραγώνου πλευράς α δίνεται από τον τύπο 2α=Ε
Το εmicroβαδόν ενός ορθογωνίου ισούται microε το γινόmicroενο των πλευρών του βα sdot=Ε
Το εmicroβαδόν ενός παραλληλογράmicromicroου ισούται microε το γινόmicroενο microιας πλευράς του επί το ύψος
που αντιστοιχεί σε αυτή
βα υβυα sdot=sdot=Ε
Το εmicroβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο microε το ηmicroιγινόmicroενο microιας πλευράς επί το αντίστοιχο ύψος
γβα υγυβυα sdot=sdot=sdot=Ε2
1
2
1
2
1
Το εmicroβαδόν τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο του ηmicroιαθροίσmicroατος των βάσεων του επί το
ύψος του υβsdot
+Β=Ε
2
Το εmicroβαδόν τραπεζίου ισούται microε το γινόmicroενο της διαmicroέσου επί το ύψος του
bull Το εmicroβαδόν ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς α είναι ίσο microε 4
32α=Ε
bull Το εmicroβαδόν ρόmicroβου ισούται microε το ηmicroιγινόmicroενο των διαγωνίων του
bull Το εmicroβαδόν οποιουδήποτε κυρτού ή microη κυρτού τετραπλεύρου microε κάθετες διαγωνίους
ισούται microε το ηmicroιγινόmicroενο των διαγωνίων του
bull Η διάmicroεσος κάθε τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
bull Το βαρύκεντρο τριγώνου έχει την ιδιότητα να δηmicroιουργεί microε τις κορυφές του τριγώνου τρία
ισεmicroβαδικά τρίγωνα
bull Το βαρύκεντρου του τριγώνου οι κορυφές του και τα microέσα των πλευρών του ορίζουν έξι
ισεmicroβαδικά τρίγωνα
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
20
ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΕΜΒΑ∆ΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
( )( )( )γτβταττ minusminusminus=Ε όπου 2
γβατ
++= ηmicroιπερίmicroετρος του τριγώνου
ρτ sdot=Ε
R4
γβα sdotsdot=Ε
Γsdotsdot=Βsdotsdot=Αsdotsdot=Ε ηmicroβαηmicroαγηmicroγβ2
1
2
1
2
1
ΕΜΒΑ∆Α ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
Αν δύο τρίγωνα έχουν ίσες βάσεις τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο των
αντίστοιχων υψών ενώ αν έχουν ίσα ύψη τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο
των αντίστοιχων βάσεων
Αν δύο τρίγωνα είναι όmicroοια τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το τετράγωνο του
λόγου οmicroοιότητας
Ο λόγος των εmicroβαδών δύο όmicroοιων πολυγώνων είναι ίσος microε το τετράγωνο του λόγου
οmicroοιότητας
Αν microια γωνία ενός τριγώνου είναι ίση ή παραπληρωmicroατική microε microια γωνία ενός άλλου
τριγώνου τότε ο λόγος των εmicroβαδών των δύο τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο των γινοmicroένων
των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
21
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Αν ΑΒΓ∆ τραπέζιο ( Γ∆ΑΒ ) και Ο το σηmicroείο τοmicroής των διαγωνίων του ΑΓ και
Β∆ να αποδείξετε ότι ΟΑ∆ΟΒΓ Ε=Ε
2 Ένα τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) και ΒΓ=Γ∆=Α∆ και τη βάση ΑΒ κατά 2 microικρότερη
από το άθροισmicroα των τριών αυτών πλευρών Αν το ύψος του τραπεζίου είναι 5 να
υπολογιστεί το εmicroβαδό του
3 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ microε microήκη πλευρών α=10 β=8 γ=14 και ισόπλευρο τρίγωνο
∆ΕΖ το οποίο είναι ισοδύναmicroο microε το ΑΒΓ Το microήκος της πλευράς του ισόπλευρου
τριγώνου ∆ΕΖ είναι
Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20
Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε
4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=2 ΒΗ ύψος και η διάmicroεσος Β∆=1 Αν and
∆ΑΒ =30ο να
υπολογιστούν α) τα ΒΗ Η∆ ΑΗ
β) το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ
5 Με υποτείνουσες τις κάθετες πλευρές ΑΒ και ΑΓ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ microε
β+γ=20 κατασκευάζουmicroε ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓΕ εκτός
αυτού
α) Να αποδείξετε ότι τα σηmicroεία ∆ΑΕ είναι συνευθειακά
β) Να βρείτε το εmicroβαδό του τετραπλεύρου ΒΓΕ∆
6 Προεκτείνουmicroε τις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ ενός τριγώνου ΑΒΓ κατά τmicroήmicroατα
Γ∆=ΓΒ ΑΕ=ΑΓ και ΒΖ=ΒΑ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι (∆ΕΖ) = 7(ΑΒΓ)
7 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Μ στο εσωτερικό του Φέρνουmicroε από το Μ
παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των
σχηmicroατιζόmicroενων τριγώνων και Ε το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε
ότι 321 Ε+Ε+Ε=Ε
8 Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ που τέmicroνει τις πλευρές ΑΒ
και ΑΓ στα σηmicroεία ∆ και Ε αντίστοιχα Να αποδείξετε ότι (ΑΒΕ)2=(ΑΒΓ)(Α∆Ε)
9 Από σηmicroείο ∆ της πλευράς ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη προς την
πλευρά ΒΓ που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των τριγώνων
Α∆Ε Α∆Γ και ΑΒΓ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι 31
2
2 ΕsdotΕ=Ε
10 Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Α΄ της πλευράς του ΒΓ Από τα Β και Γ
φέρνουmicroε παράλληλες προς την ΑΑ΄ που τέmicroνουν τις ευθείες ΑΓ και ΑΒ στα σηmicroεία
Γ΄ και Β΄ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι
α) (ΑΑ΄Γ΄) = (ΑΒΑ΄) και (ΑΑ΄Β΄) = (ΑΓΑ΄)
β) (Α´ô) = (ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
22
11 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ microε ΑΒ=10 Α∆=4 και and
∆ =60ο Στην πλευρά ΑΒ
θεωρούmicroε τα σηmicroεία Ε και Ζ έτσι ώστε ΑΕ=ΕΖ=ΖΒ Αν Η είναι το σηmicroείο τοmicroής των
ευθειών ∆Ε και ΓΖ να υπολογιστούν
α) το εmicroβαδό του παραλληλογράmicromicroου ΑΒΓ∆
β) το εmicroβαδό του τραπεζίου Γ∆ΕΖ
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου ΗΕΖ
12 ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=ΑΓ=6 και ο120=Α
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του
β) Αν Ε σηmicroείο της ΑΓ τέτοιο ώστε ΓΕ=ΑΕ2
1 και Α∆ το ύψος του τριγώνου
ΑΒΓ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ∆ΕΓ
γ) Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει τη ∆Ε στο Η να βρεθεί το εmicroβαδό
του τριγώνου ΑΕΗ
13 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Ρ στο εσωτερικό του Από το Ρ φέρνουmicroε κάθετες
ηmicroιευθείες στις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ και πάνω σrsquo αυτές παίρνουmicroε τα σηmicroεία Α΄
Β΄ και Γ΄ αντίστοιχα έτσι ώστε ΡΑ΄=ΒΓ ΡΒ΄=ΑΓ και ΡΓ΄=ΑΒ Να αποδειχθεί ότι
α) οι γωνίες and
Γ και and
ΒprimeΡΑprime είναι παραπληρωmicroατικές
β) (ΡΑ΄Β΄)=(ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)
14 Θεωρούmicroε τρεις ίσες διαδοχικές γωνίες and
οψx zand
οψ xzand
ο και πάνω στις
ηmicroιευθείες Οx Oψ και Οz τα σηmicroεία Α Β Γ αντίστοιχα έτσι ώστε ΟΑ=1 ΟΒ=4 και
ΟΓ=8
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ψοand
x zand
οψ xzand
ο
β) Αν Οw η αντικείmicroενη ηmicroιευθεία της Οψ και Γ∆ wΟperp να υπολογίσετε τις Ο∆ και
Γ∆
γ) Να υπολογίσετε το (ΟΒΓ)
δ) Να αποδείξετε ότι (ΑΒΓ)= 311
15 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ και Κ Λ Μ Ν τα microέσα των ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α
αντίστοιχα α) Να αποδειχθεί ότι (ΚΛΜΝ)=2
1(ΑΒΓ∆)
β) Αν ΚΜ ΛΝperp να αποδειχθεί ότι (ΑΒΓ∆) = ΚΜΛΝ
16 Λ
Α Β Στο διπλανό σχήmicroα τα σηmicroεία Κ Λ είναι τα
Κ Ρ microέσα των τmicroηmicroάτων ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα
Να αποδείξετε ότι
Γ α) ο λόγος των εmicroβαδών των τριγώνων ΑΚΒ και ΑΛΓ είναι ίσος microε
β) αν Ρ είναι το σηmicroείο τοmicroής των ΛΓ και ΚΒ τότε τα τρίγωνα ΒΛΡ
και ΚΓΡ έχουν ίσα εmicroβαδά
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
23
17 ∆ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) microε ΑΒ=4 Α∆=2 καιο60=∆
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τραπεζίου ΑΒΓ∆
β) Αν Ε σηmicroείο της πλευράς ΑΒ τέτοιο ώστε ΕΒ= ΑΒ4
1 και οι Ε∆ ΕΓ τέmicroνουν τη
διάmicroεσο του τραπεζίου στα σηmicroεία Ζ και Η αντίστοιχα να βρεθεί το εmicroβαδό του
τριγώνου ΕΖΗ
γ) Αν οι ∆Ε και ΒΓ τέmicroνονται στο Ρ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ΡΕΒ
18 Αν οι διαγώνιοι κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓ∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο να αποδείξετε ότι
το τετράπλευρο έχει εmicroβαδό Β∆sdotΑΓ4
1
19 Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται ΑΒ=5 ο60=Α
and
και η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου
κύκλου 3
7=R Να βρεθούν οι άλλες δύο πλευρές του τριγώνου και το εmicroβαδόν του
20
∆ Ζ Γ
υ
Α Ε Η Β
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m
90ο=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος ∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο
οποίος θα χωρίζει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆ και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο
ΑΕ∆
δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου ∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
21 Αν Μ και Ν είναι τα microέσα των πλευρών ΒΓ και Γ∆ ενός παραλληλόγραmicromicroου ΑΒΓ∆
να αποδείξετε ότι (ΑΜΝ)= )(8
3ΑΒΓ∆
22 Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) θεωρούmicroε το microέσο Μ της πλευράς ΑΒ
και σηmicroείο Ν της πλευράς ΑΓ τέτοιο ώστε 3
ΑΓ=ΓΝ Να δειχθεί ότι
(ΜΝΒ)= )(3
1ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
24
23 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και τυχαίο σηmicroείο Σ στην προέκταση της πλευράς
∆Γ προς το Γ Να αποδείξετε ότι
α) (ΑΒ∆)= )(2
1ΑΒΓ∆
β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)
γ) αν η ΑΣ τέmicroνει την Β∆ στο σηmicroείο Ε τότε (Ε∆Σ)-(ΕΑΒ)=(ΣΒΓ)
24 Έστω Σ τυχαίο σηmicroείο της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ Στο σηmicroείο Α φέρουmicroε
microια ευθεία ε κάθετη στην ΑΣ Αν ∆ και Ε είναι αντίστοιχα οι προβολές των σηmicroείων
Β και Γ στην ευθεία ε να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ∆ΣΕ είναι ισοδύναmicroα
25 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 8=ΑΒ 12=ΑΓ και η Α∆ διχοτόmicroος της γωνίας and
Α Αν
( )ΑΒ∆ =20 τmicro να βρείτε το ( )ΑΒΓ
26 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ∆ σηmicroείο της πλευράς ΑΒέτσι ώστε 6=Α∆ ∆Β=5
8=ΑΓ Αν 80=Α
and
να βρείτε το εmicroβαδόν του τριγώνου Β∆Γ
27 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ microε 90=Β
and
και η γωνία and
Α να είναι το 3
1 της ορθής Αν
∆ σηmicroείο της προέκτασης της πλευράς ΒΓ προς το Γ τέτοιο ώστε η 30=Α∆Β
and
να
βρεθεί ο λόγος ( )( )ΑΒ∆ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
25
ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ
ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ
Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του
ίσες
Γωνία κανονικού ν-γώνου ν
φν
360
180 minus=
Κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου ν
ων
360=
Σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας R ισχύουν οι εξής τύποι 2
22
4R=+ ν
ν
λα
νν λν sdot=Ρ
ννν αsdotΡ=Ε2
1
όπου να απόστηmicroα νλ πλευρά νΡ περίmicroετρος νΕ εmicroβαδόν
∆ύο κανονικά πολύγωνα microε τον ίδιο αριθmicroό πλευρών είναι όmicroοια
Κάθε κανονικό πολύγωνο εγγράφεται σε έναν κύκλο και περιγράφεται σε έναν άλλον Οι δύο
αυτοί κύκλοι είναι οmicroόκεντροι
bull Το κοινό κέντρο τον κύκλων αυτών λέγεται κέντρο του πολυγώνου
bull Η ακτίνα R του περιγεγραmicromicroένου κύκλου λέγεται ακτίνα του πολυγώνου
bull Η απόσταση του κέντρου από microια πλευρά του δηλαδή η ακτίνα του εγγεγραmicromicroένου
κύκλου λέγεται απόστηmicroα του πολυγώνου
Σε δύο κανονικά ν-γωνα ο λόγος των πλευρών τους ισούται microε το λόγο των ακτινών τους και
το λόγο των αποστηmicroάτων τους
∆ηλαδή
ν
ν
ν
ν
αα
λλ
==R
R
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
26
ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ
ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ
ΚΑΝΟΝΙΚΟ
ΕΞΑΓΩΝΟ
ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ
ΤΡΙΓΩΝΟ
ΠΛΕΥΡΑ νλ 24 R=λ R=6λ 33 R=λ
ΑΠΟΣΤΗΜΑ να
2
24
R=α
2
36
R=α
23
R=α
RL sdot= π2
180
microπ sdotsdot=
Rl ή Rl sdot=α
180
microαπ
=
2Rsdot=Ε π
( )360
2 microπ sdotsdot=ΟΑΒ
cap R ή ( )
cap
sdot=ΟΑΒ 2
2
1Rα
( ) ( )ΟΑΒminusΟΑΒ=cap
ε
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
27
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Ένα κανονικό εξάγωνο είναι περιγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ορ) Η πλευρά του
εξαγώνου αυτού είναι
Α ρ Β 2
3ρ Γ 2ρ ∆
3
32ρ Ε
3
2ρ
2 ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και στις προεκτάσεις των
πλευρών ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α θεωρούmicroε τα τmicroήmicroατα ΒΚ=ΓΛ=∆Μ=ΑΝ=λ3 Να δείξετε
ότι το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο και ότι η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου κύκλου του
είναι 641 += RR
3 Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε δύο παράλληλες χορδές ΑΒ=λ4 και Γ∆=λ6 Να
αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι ισοσκελές τραπέζιο και να υπολογιστεί
το εmicroβαδό του ως συνάρτηση της ακτίνας R
4 Η περίmicroετρος ενός κυκλικού τοmicroέα ΟΑΒ ενός κύκλου (ΟR) είναι 6+π Αν
ο60=ΒΟΑand
τότε το microήκος της ακτίνας R είναι
Α 6 Β 3 Γ 2 ∆ 4 Ε 5 (δικαιολογήστε την απάντησή σας)
5 Έστω τεταρτοκύκλιο ΟΑΒ ακτίνας R και ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΟΒ στο εσωτερικό
του Να βρείτε το εmicroβαδό και την περίmicroετρο του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΑΒ
6 Έστω δύο κύκλοι (ΟR) και (Ο΄R) των οποίων η διάmicroετρος ΟΟ΄ έχει microήκος
ΟΟ΄=R 3 α) Να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι τέmicroνονται
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινού microέρους των δύο κύκλων
7 Το εmicroβαδό κυκλικού τοmicroέα 80ο είναι 8π Η ακτίνα του κύκλου είναι
Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15
8 Τετράγωνο ΑΒΓ∆ είναι εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και η ηmicroιπερίmicroετρος του
είναι 80cm Να υπολογιστούν
α) η ακτίνα R του κύκλου
β) ο λόγος του εmicroβαδού του κύκλου προς το εmicroβαδό του τετραγώνου
9 Στο εσωτερικό ηmicroικυκλίου διαmicroέτρου ΑΟΒ=2R γράφουmicroε ηmicroικύκλια microε
διαmicroέτρους ΟΑ και ΟΒ Να υπολογιστεί το microήκος και το εmicroβαδό του κύκλου που
εφάπτεται των τριών ηmicroικυκλίων
10 ∆ύο κύκλοι (Ο3R) και (Ο΄R) εφάπτονται εξωτερικά στο σηmicroείο Α Φέρουmicroε την
κοινή εξωτερική εφαπτόmicroενη ΒΓ αυτών Να βρεθεί το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου
τριγώνου ΑΒΓ και του περιγεγραmicromicroένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ
11 Έστω ο κύκλος (ΟR) και microια ακτίνα του ΟΑ Στην ηmicroιευθεία ΟΑ θεωρούmicroε
σηmicroείοΒ έτσι ώστε ΑΒ=ΑΟ Αν ΒΓ η εφαπτοmicroένη του κύκλου να βρεθεί το
εmicroβαδό α) του τριγώνου ΟΒΓ και β) του microικτόγραmicromicroου τριγώνου
ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
28
12 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=λ3 και Γ∆=λ6
προς το ίδιο microέρος του κέντρου Ο α) Να εκφράσετε τις χορδές ΑΒ και Γ∆ ως
συνάρτηση της ακτίνας R β) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό Ε1 του κυκλικού τmicroήmicroατος
που αντιστοιχεί στη χορδή Γ∆ γ) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό του τριγώνου ΟΑΒ
δ) Να βρείτε την περίmicroετρο και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τραπεζίου που έχει
κορυφές τα ΑΒΓ∆
13 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) χορδή ΑΒ=R την εφαπτοmicroένη ε του κύκλου στο σηmicroείο
Α και τη εperpΒΓ Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του τραπεζίου ΟΑΓΒ
β) το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
14 ∆ίνεται ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΑΒ και στο εσωτερικό του τα ηmicroικύκλια διαmicroέτρων
ΑΓ και ΓΒ όπου Γ σηmicroείο microεταξύ των Α και Β Αν κάθετη της ΑΒ στο Γ τέmicroνει το
αρχικό ηmicroικύκλιο στο ∆ να αποδείξετε ότι το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται
microεταξύ των τριών ηmicroικυκλίων είναι ίσο microε το εmicroβαδό του κύκλου διαmicroέτρου Γ∆
15 Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ο60=Β
and
και ΒΓ=α Με
κέντρο το Β και ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει τη ΒΓ στο Μ και microε κέντρο
το Γ και ακτίνα ΓΜ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν Να βρεθεί η
περίmicroετρος και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
16 Με κέντρο ένα σηmicroείο Κ κύκλου (ΟR) και ακτίνα ίση προς R 3 γράφουmicroε
κύκλο ο οποίος τέmicroνει τον (ΟR) στα σηmicroεία Α και Β Να υπολογιστούν η
περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου microηνίσκου
17 ∆ίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ΒΓ = 2R
Γράφουmicroε ηmicroικύκλιο microε διάmicroετρο ΒΓ εκτός τριγώνου και τόξο κύκλου (Α ΑΒ) microε
άκρα Β και Γ Να βρεθεί η περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου
microηνίσκου από το ηmicroικύκλιο και το τόξο αυτό
18 Ένα ορθογώνιο σπίτι microε διαστάσεις α = 20m και β = 10m έχει microια εξωτερική
πρίζα σε microια γωνία του Ένα χορτοκοπτικό microηχάνηmicroα συνδεδεmicroένο microε την πρίζα
έχει καλώδιο microε microήκος 15m Να βρεθεί το εmicroβαδόν της microεγαλύτερης επιφάνειας
του χόρτου που microπορεί να κοπεί
19 Σε κύκλο ακτίνας R = 4cm είναι εγγεγραmicromicroένο ισόπλευρο τρίγωνο
Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του κύκλου
β) την πλευρά του τριγώνου
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου
δ) το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται microεταξύ του κύκλου και του τριγώνου
20 Σε κύκλο microε διάmicroετρο ΑΒ φέρουmicroε τις χορδές ΜΒΑΜ Αν είναι 6=ΑΜ και
8=ΒΜ να βρεθεί η ακτίνα και το εmicroβαδόν του κύκλου
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
29
21 Να βρεθεί το εmicroβαδόν του καθενός από τα δύο microέρη στα οποία διαιρείται ένας
κύκλος ( )RΟ από την πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραmicromicroένου στον κύκλο
αυτόν
22 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και φέρουmicroε δύο κάθετες ακτίνες ΟΑ και ΟΒ Με
κέντρο το Α και ακτίνα R γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει το cap
AB στο σηmicroείο Γ Να
βρεθεί το εmicroβαδόν του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΒΓ
23 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και τόξο 60=ΑΒ
cap
Φέρουmicroε στο σηmicroείο Α την
εφαπτοmicroένη χΑ του κύκλου και την χΑperpΒΓ Να βρεθεί το εmicroβαδόν του
microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
30
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΗ 1η
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α∆ διχοτόmicroος Β∆ = 2 Γ∆ = 3 και 2τ = 15 (περίmicroετρος) η πλευρά
ΑΒ είναι
Α 3 Β 4 Γ 5 ∆ 6 Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 2η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 3α2 + 2γ
2 = 2β
2 Τότε
i) Α and
Α gt90ο Β
and
Β gt 90ο Γ
and
Β lt 90ο ∆
and
Γ gt 90ο Ε Κανένα από τα παραπάνω
ii) Η προβολή της διαmicroέσου microα στην ΒΓ ισούται microε
Α 4
a Β
2
a Γ
4
3a ∆
2
3a Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 3η
Αν ΑΒΓ∆ τετράγωνο πλευράς α και Ε microέσο του Α∆ τότε
i) ΒΕ =2
5α Σ Λ
ii) Ο λόγος ΒΕΕΖ
ισούται microε
Α 5
2 Β
4
5 Γ
4
1 ∆
5
1 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
Α Β
E
Z
∆ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 4η
Αν τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=4 ΒΓ=5 ΑΓ=6 και Α∆ διχοτόmicroος τότε
i) -Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο Σ Λ
- Ο λόγος ∆Γ∆Β
ισούται microε
Α 2
1 Β
3
1 Γ
3
2 ∆
4
3 Ε
2
3
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ii) Αν ε η προβολή του Α στην ΒΓ να υπολογίσετε το microήκος του ΒΕ
iii) Να αποδείξετε ότι 2
1=
∆Γ∆Ε
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
31
ΑΣΚΗΣΗ 5η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και Μ το microέσο της Α∆ Προεκτείνουmicroε τη ∆Γ προς το Γ
κατά ΓΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΒΜ)=2
)(ΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τραπεζίου ΑΒΕ∆ είναι οκταπλάσιο από το εmicroβαδόν του
τριγώνου ΑΒΜ
ΑΣΚΗΣΗ 6η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναιuα =3ρ όπου ρ του εγγεγραmicromicroένου κύκλου του τριγώνου Ο λόγος
αγβ +
ισούται microε Α 2 Β 3 Γ 3
1 ∆
2
3 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ΑΣΚΗΣΗ 7η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάmicroεσός του Α∆ Προεκτείνουmicroε την ΒΑ προς το Α κατά τmicroήmicroα
ΑΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι (ΒΕ∆)=3(Α∆Γ)
ΑΣΚΗΣΗ 8η
Στο εσωτερικό της αυλής ενός σπιτιού υπάρχει microικρός κήπος microε λαχανικά όπως στο
ακόλουθο σχήmicroα Αν το εmicroβαδόν του κήπου είναι 122m και οι διαστάσεις της αυλής είναι
12m και 13m να βρεθεί το x Αν θέλουmicroε να περιφράξουmicroε τον κήπο microε σύρmicroα πόσο σύρmicroα
θα χρειαστούmicroε
12m
13m
ΑΣΚΗΣΗ 9η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ Από τυχαίο σηmicroείο Ε της ΑΓ φέρουmicroε ευθεία παράλληλη
προς την Α∆ που τέmicroνει την Γ∆ στο Ζ Να αποδείξετε ότι
i) (Α∆Ζ)=(ΑΕΒ)
ii) (ΑΕΖ)=(ΒΕΓ)-(ΖΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 10η
Οι διάmicroεσοι Β∆ και ΓΕ τριγώνου ΑΒΓ τέmicroνονται στο Θ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΕ∆)=4
)(ΑΒΓ
ii) (ΒΘΓ)= 3
)(ΑΒΓ
iii)(ΑΕ∆)= (ΒΚΛΓ) όπου Κ Λ τα microέσα των ΒΘ και ΓΘ αντίστοιχα
x
x x
x
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
32
ΑΣΚΗΣΗ 11η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε τη διχοτόmicroο Α∆ Από το ∆ φέρνουmicroε παράλληλη προς την ΑΒ
που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει την προέκταση της
∆Ε στο Ζ να αποδείξετε ότι
α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)
β) β2(ΑΕΖ) = γ
2(∆ΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 12η
Θεωρούmicroε γωνία yxand
Α και σηmicroείο Ο της διχοτόmicroου της Αδ Αν ο κύκλος (ΟΟΑ) τέmicroνει τις
Οx Οy στα Β Γ αντίστοιχα και την Αδ στο ∆ να αποδείξετε ότι
α) (ΟΑΒ)=(ΟΑΓ)
β) (ΒΟΓ∆)=(ΑΒ∆)
γ) (ΒΟΓ∆)=2
1(ΟΑ)(ΒΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 13η
Από εσωτερικό σηmicroείο Μ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλες προς τις
πλευρές ΑΓ και ΑΒ που τέmicroνουν τις ΑΒ ΑΓ στα ∆ Ζ αντίστοιχα Αν (ΒΜ)=x (ΒΓ)=α
(Β∆Μ)=Ε1 (ΓΖΜ)=Ε2 και (ΑΒΓ)=Ε τότε
α) Να εκφράσετε ως συναρτήσεις των x και α τους λόγους Ε
Ε1 και Ε
Ε2
β) Να αποδείξετε ότι ΕgeΕ+Ε2
121
ΑΣΚΗΣΗ 14η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=Γ∆=λ3
Να βρεθεί
i) Η περίmicroετρος του ΑΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που αντιστοιχεί στη χορδή ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 15η
Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε τα διαδοχικά σηmicroεία Α Β Γ και ∆ ώστε ΑΒ=ΒΓ=Γ∆= R Να
βρεθεί
i) H περίmicroετρος του τριγώνου ΑΒ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τριγώνου ΒΓ∆
iii) Ο λόγος )(
)(
ΒΓ∆ΑΒ∆
ΑΣΚΗΣΗ 16η
∆ίνεται τεταρτοκύκλιο Οand
ΒΓ ακτίνας R
α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΓΒ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε δύο ισεmicroβαδικά χωρία
β) Αν ∆ σηmicroείο του τόξου ΒΓ να αποδείξετε ότι η ευθεία Γ∆ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
γ) Να βρείτε σηmicroείο Α της ακτίνας ΟΒ ώστε η ευθεία ΓΑ να χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
33
ΑΣΚΗΣΗ 17η
Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο Ο cap
ΒΓ ακτίνας R Σηmicroείο Α κινείται πάνω στο τόξο cap
ΒΓ και έστω
Κ το σηmicroείο τοmicroής της ακτίνας ΟΑ microε τη ΒΓ Να βρείτε το microήκος του τόξου cap
ΒΑ όταν το
εmicroβαδό του τριγώνου ΟΚΓ ισούται microε το εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα
τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΒ και το τόξο cap
ΒΑ
ΑΣΚΗΣΗ 18η
∆ίνεται ηmicroικύκλιο κέντρου Ο microε διάmicroετρο ΑΑ1=2R Έστω Β σηmicroείο του ηmicroικυκλίου microε
( 1ΑΟΒand
)=φ microοίρες και ΟΓ ακτίνα που τέmicroνει τη χορδή ΑΒ στο Κ
α) Να βρείτε το microήκος S του τόξου cap
ΑΓ όταν το εmicroβαδόν του τριγώνου ΟΚΒ ισούται microε το
εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΓ και το τόξοcap
ΑΓ
β) Αν η γωνία 1ΑΟΒand
είναι 150ο πόσο είναι το S
γ) Για ποια τιmicroή του φ το S γίνεται microέγιστο
Β
Γ
φ
Α1 Α
ΑΣΚΗΣΗ 19η
Η περίmicroετρος ρόmicroβου ΑΒΓ∆ πλευράς α και κέντρου Ο είναι τετραπλάσια της microικρής
διαγωνίου του Β∆
i) Να υπολογιστεί συναρτήσει του α το εmicroβαδόν του Ε
ii) Φέρουmicroε Α∆perpΟΗ και Γ∆perpΟΖ Αν η ΑΖ τέmicroνει τον κύκλο διαmicroέτρου Ο∆ στο Θ να
δειχθεί ότι 2
3Ε=ΑΖsdotΑΘ
ΑΣΚΗΣΗ 20η
Το περίγραmicromicroα της βάσης ενός microεγάλου λόφου σχηmicroατίζει τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=γ ΑΓ=β
όπου βgtγ και στο οποίο η διάmicroεσος ΑΜ και το ύψος Α∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο ∆ίπλα στην
πλευρά ΑΓ υπάρχει ορθογώνιος ιδιωτικός χώρος διαστάσεων 2
γβ +και β-γ Σrsquo αυτόν το
χώρο πρόκειται να κατασκευαστεί ένας microεγάλος ανισόπεδος κόmicroβος που θα συνδέει δύο
δρόmicroους ταχείας κυκλοφορίας Γιrsquo αυτούς τους λόγους προτείνεται στον ιδιοκτήτη να δεχτεί
να ανταλλάξει αυτόν τον χώρο microε άλλον ορθογώνιο χώρο του δηmicroοσίου που βρίσκεται δίπλα
στην πλευρά ΒΓ και έχει διαστάσεις τα microήκη των ΒΓ και 2
ΑΜ Ο ιδιοκτήτης δηλώνει ότι θα
συmicroφωνήσει microε την πρόταση αρκεί οι ανταλλάξιmicroοι χώροι να έχουν την ίδια έκταση
Πρακτικά όmicroως είναι αδύνατον να microετρήσει την πλευρά ΒΓ και τη διάmicroεσο ΑΜ γιrsquo αυτό και
διστάζει Πως θα σκεφτόσαστε εσείς να βοηθήσετε τον ιδιοκτήτη να αποφασίσει
Κ
Ο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
34
ΑΣΚΗΣΗ 21η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε β=2γ και η διάmicroεσος του Β∆ Φέρουmicroε Β∆perpΑx που τέmicroνει την
Β∆ στο Ε και την ΒΓ στο Ζ και ΕyΑΓ που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ Να αποδείξετε ότι
i) ZB= 2
1ZΓ
ii) (ΑΒΓ)=3(ΑΒΖ)
iii) Να αποδειχθεί ότι 8
3
)(
)(=
ΑΒΖΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΗ 22η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε α=2γ και β= 7γ
α) i) Να αποδείξετε ότι 2
3αmicroα =
ii) Να βρείτε το είδος της γωνίας and
Β
iii) Αν ΑΕ perp ΒΓ να υπολογίσετε το ΒΕ συναρτήσει του γ
iv) Να βρείτε τη γωνία and
Β
β) Αν ΑΜ διάmicroεσος και Β∆ διχοτόmicroος να αποδείξτε ότι
i) Α∆ = 3
β
ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)
ΑΣΚΗΣΗ 23η
Έστω τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ο R) και σηmicroείο Μ το οποίο κινείται στο
ηmicroικύκλιο cap
ΑΒΓ
α) Να βρεθεί το ελάχιστο ( )minΕ και το microέγιστο ( )maxΕ εmicroβαδόν του τετράπλευρου ΑΜΓ∆
συναρτήσει της ακτίνας R
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε θέση του Μ είναι
i) Μ∆2 = ΑΓ ∆Ε όπου Ε η προβολή του Μ στην Β∆
ii) (ΑΜΓ∆) = 2
2Μ∆
γ) Να προσδιορίσετε τη θέση του σηmicroείου Μ όταν (ΑΜΓ∆) = 2
maxmin EE +
ΑΣΚΗΣΗ 24η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ M το microέσο της ΑΒ σηmicroείο Ν της ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΝ = 4
3ΑΓ και
σηmicroείο Κ της ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΚ = 4
1ΒΓ Να βρεθεί ο λόγος των εmicroβαδών του τριγώνου
ΑΒΓ προς του τριγώνου ΜΝΚ
ΑΣΚΗΣΗ 25η
Α) Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι 2
αmicro = βγ και β-γ = 5 2 Το microήκος της πλευράς
α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3
Β) Να δειχθεί ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει η σχέση (222
γβα micromicromicro ++ )2 = 27Ε
2 όπου
Ε το εmicroβαδό του
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
35
ΑΣΚΗΣΗ 26η
Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω περιπτώσεις
όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί να αποτελεί microήκη των
πλευρών του
i) 3 57
ii) 8 4 2
iii) 7 6 85
ΑΣΚΗΣΗ 27η
Αν η διάmicroεσος microα ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν προεκταθεί τέmicroνει τον περιγεγραmicromicroένο κύκλο
στο ∆ να αποδειχθεί ότι microα = Α∆+
2
22 γβ
ΑΣΚΗΣΗ 28η
Από ένα κυκλικό οικόπεδο ακτίνας R=30m θα αποκοπεί κυκλικό τmicroήmicroα χορδής 30 3 m για
την κατασκευή δρόmicroου
i) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου που έmicroεινε
ii) Να βρεθεί η αποζηmicroίωση που θα δοθεί στον ιδιοκτήτη αν η αρχική αξία του οικοπέδου
ήταν 10000000 δρχ
ΑΣΚΗΣΗ 29η
Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι α =13 β = 8 γ = 7
i) Να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς το είδος των γωνιών του
ii) Να υπολογιστεί το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ πάνω στην ΑΒ
iii) Να υπολογιστεί η γωνία and
Α
ΑΣΚΗΣΗ 30η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 4 ΑΓ = 5 ΒΓ = 7 Το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ
πάνω στην ΑΒ είναι Α 5 Β 1 Γ 6 ∆ 2
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 31η
Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (and
Α =90ο) microε
and
Β =60ο και ΒΓ=4 Με κέντρο το Β και
ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ και microε κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΜ
γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν να βρεθούν
i) Η θέση του σηmicroείου Μ στη ΒΓ
ii) Η περίmicroετρος του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
iii) Το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
36
ΑΣΚΗΣΗ 32η
Μια έκταση σχήmicroατος τετραγώνου microε A 30 H 70 ∆
πλευρά 100m πρόκειται να διατεθεί
για κατασκευή εργατικών κατοικιών
Οι κατοικίες θα ανεργεθούν σε τέσσερα 70 30
ίσα τριγωνικά οικόπεδα και η υπόλοιπη Μ
έκταση σχήmicroατος τετραπλεύρου θα
χρησιmicroοποιηθεί ως κοινόχρηστος χώρος Z
για δενδροφύτευση και κατασκευή γηπέδου
microπάσκετ 30 70
α) Να βρεθούν τα εmicroβαδά των τεσσάρων ίσων οικοπέδων
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινόχρηστου χώρου B 70 K 30 Γ
γ) Τι είδους τετράπλευρο είναι ο κοινόχρηστος χώρος Να βρεθούν οι πλευρές του
ΑΣΚΗΣΗ 33η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 90A =
and
και ΑΒ=y ΑΓ=β
Α∆=ν Β∆=micro ΒΓ=x ∆Γ=κ
i) Να συmicroπληρωθούν οι σχέσεις
β2=helliphelliphellip=helliphelliphelliphellip Α
ν2=helliphelliphelliphelliphelliphellip
2
2
βy
=helliphelliphelliphelliphellip βy=helliphelliphelliphellip y ν β
ii) Να δειχθεί ότι 111
222 νβ=+
y Β ν ∆ κ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 34η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroεία ∆Ε της πλευράς ΒΓ έτσι ώστε Β∆=∆Ε=ΕΓ Να απόδειχθεί
ότι
i) 2222 22 ΑΕminusΑ∆=∆ΕminusΑΒ ii)
2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 35η
∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε o90=Α
and
ΑΒ=5cm ΑΓ=12cm Α∆ το ύψος του και ΒΜ
η διάmicroεσος του Προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά ΓΕ=ΒΓ i) Να συγκρίνετε τα
εmicroβαδά των τριγώνων Α∆Γ και ΑΓΕ ii) Να δείξετε ότι η σχέση που συνδέει τα εmicroβαδά των
τριγώνων ΑΒΜ και ΑΒΕ είναι (ΑΒΕ)=4(ΑΒΜ)
ΑΣΚΗΣΗ 36η
Από σηmicroείο Μ εκτός κύκλου φέρνουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΜΕ του κύκλου και τις
τέmicroνουσες ΜΑΒ και ΜΓ∆ Αν είναι ΑΒ=9 ΓΜ=4 Γ∆=5 να υπολογίσετε i) το ΜΑ ii) το
ΜΕ
ΑΣΚΗΣΗ 37η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) ΑΒ microια διάmicroετρος του και Μ τυχαίο σηmicroείο του (διαφορετικό των Α
Β) Αν Γ είναι το microέσο της ΟΑ και ∆ το microέσο της ΟΒ ενώ η ΜΓ τέmicroνει τον κύκλο στο Ε και
η Μ∆ στο Ζ τότε να αποδείξετε ότι3
10=
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
37
Ζ
Ε
ΑΣΚΗΣΗ 38η
Ένα τριγωνικό αγρόκτηmicroα ΑΒΓ χωρίζεται
σε τέσσερα τριγωνικά αγροτεmicroάχια όπως Α
φαίνεται στο σχήmicroα έτσι ώστε ΑΒ=Α∆3
2
ΒΕ= ΒΓ4
1και ΓΖ= ΑΓ
2
1 α) Αν το εmicroβαδό ∆
του ΑΒΓ είναι 48 στρέmicromicroατα να υπολογίσετε το Β
Γ
εmicroβαδό του ∆ΕΖ β) Αν τα ∆ Ε Ζ είναι τα microέσα των ΑΒ
ΒΓ ΑΓ αντίστοιχα να βρεθούν τα εmicroβαδά των
τεσσάρων αγροτεmicroαχίων
ΑΣΚΗΣΗ 39η
∆ίνεται εγγράψιmicroο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ ώστε οι πλευρές του ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α microε τη σειρά
που δίνονται να αποτελούν γεωmicroετρική πρόοδο Να αποδείξετε ότι η διαγώνιος του Β∆ το
χωρίζει σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
ΑΣΚΗΣΗ 40η
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ∆ Ζ Γ
την ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m και
ο90=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος υ
∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο οποίος
θα χωρίσει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆
και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα α) Να βρεθεί
το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆ β) Να
βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο
ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο Α Ε Η Β
ΑΕ∆ δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου
∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
ΑΣΚΗΣΗ 41η
∆ίνεται ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ και τα σηmicroεία του ∆Γ έτσι ώστε ∆Β=Γ∆=ΑΓ Αν
Μ τυχαίο σηmicroείο εκτός του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατοςΑΒ
Να δείξετε ότι 2222 33 ΜΓ+ΜΒ=ΜΒ+ΑΜ
ΑΣΚΗΣΗ 42η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 222 2αγβ =+ Αν η διάmicroεσος ΑΜ τέmicroνει το περιγεγραmicromicroένο
κύκλο του τριγώνου στο ∆ να δείξετε ότι
α) 6
3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
38
ΑΣΚΗΣΗ 43η
Από ένα εξωτερικό σηmicroείο Α κύκλου ( )RΟ φέρουmicroε microια τέmicroνουσα ΑΒΓ έτσι ώστε
ΒΓ=ΑΒ Αν 7R=ΟΑ τότε να δείξετε ότι
i) ΒΓ=ΑΒ =λ3
ii) η γωνία and
ΑΟΓ είναι αmicroβλεία
iii) η προβολή της ΟΓ πάνω στην ΟΑ είναι ίση microε ΟΑ7
2
iv) Να δείξετε ότι ( )( ) 2
1=
ΑΟΓΒΟΓ
και στην συνέχεια να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του τριγώνου
and
ΑΟΓ
v) Να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που ορίζεται από την χορδή ΒΓ και
το microέτρο του τόξου cap
ΒΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
39
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
40
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
20
ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΕΜΒΑ∆ΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
( )( )( )γτβταττ minusminusminus=Ε όπου 2
γβατ
++= ηmicroιπερίmicroετρος του τριγώνου
ρτ sdot=Ε
R4
γβα sdotsdot=Ε
Γsdotsdot=Βsdotsdot=Αsdotsdot=Ε ηmicroβαηmicroαγηmicroγβ2
1
2
1
2
1
ΕΜΒΑ∆Α ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
Αν δύο τρίγωνα έχουν ίσες βάσεις τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο των
αντίστοιχων υψών ενώ αν έχουν ίσα ύψη τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το λόγο
των αντίστοιχων βάσεων
Αν δύο τρίγωνα είναι όmicroοια τότε ο λόγος των εmicroβαδών τους ισούται microε το τετράγωνο του
λόγου οmicroοιότητας
Ο λόγος των εmicroβαδών δύο όmicroοιων πολυγώνων είναι ίσος microε το τετράγωνο του λόγου
οmicroοιότητας
Αν microια γωνία ενός τριγώνου είναι ίση ή παραπληρωmicroατική microε microια γωνία ενός άλλου
τριγώνου τότε ο λόγος των εmicroβαδών των δύο τριγώνων είναι ίσος microε το λόγο των γινοmicroένων
των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
21
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Αν ΑΒΓ∆ τραπέζιο ( Γ∆ΑΒ ) και Ο το σηmicroείο τοmicroής των διαγωνίων του ΑΓ και
Β∆ να αποδείξετε ότι ΟΑ∆ΟΒΓ Ε=Ε
2 Ένα τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) και ΒΓ=Γ∆=Α∆ και τη βάση ΑΒ κατά 2 microικρότερη
από το άθροισmicroα των τριών αυτών πλευρών Αν το ύψος του τραπεζίου είναι 5 να
υπολογιστεί το εmicroβαδό του
3 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ microε microήκη πλευρών α=10 β=8 γ=14 και ισόπλευρο τρίγωνο
∆ΕΖ το οποίο είναι ισοδύναmicroο microε το ΑΒΓ Το microήκος της πλευράς του ισόπλευρου
τριγώνου ∆ΕΖ είναι
Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20
Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε
4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=2 ΒΗ ύψος και η διάmicroεσος Β∆=1 Αν and
∆ΑΒ =30ο να
υπολογιστούν α) τα ΒΗ Η∆ ΑΗ
β) το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ
5 Με υποτείνουσες τις κάθετες πλευρές ΑΒ και ΑΓ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ microε
β+γ=20 κατασκευάζουmicroε ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓΕ εκτός
αυτού
α) Να αποδείξετε ότι τα σηmicroεία ∆ΑΕ είναι συνευθειακά
β) Να βρείτε το εmicroβαδό του τετραπλεύρου ΒΓΕ∆
6 Προεκτείνουmicroε τις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ ενός τριγώνου ΑΒΓ κατά τmicroήmicroατα
Γ∆=ΓΒ ΑΕ=ΑΓ και ΒΖ=ΒΑ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι (∆ΕΖ) = 7(ΑΒΓ)
7 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Μ στο εσωτερικό του Φέρνουmicroε από το Μ
παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των
σχηmicroατιζόmicroενων τριγώνων και Ε το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε
ότι 321 Ε+Ε+Ε=Ε
8 Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ που τέmicroνει τις πλευρές ΑΒ
και ΑΓ στα σηmicroεία ∆ και Ε αντίστοιχα Να αποδείξετε ότι (ΑΒΕ)2=(ΑΒΓ)(Α∆Ε)
9 Από σηmicroείο ∆ της πλευράς ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη προς την
πλευρά ΒΓ που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των τριγώνων
Α∆Ε Α∆Γ και ΑΒΓ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι 31
2
2 ΕsdotΕ=Ε
10 Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Α΄ της πλευράς του ΒΓ Από τα Β και Γ
φέρνουmicroε παράλληλες προς την ΑΑ΄ που τέmicroνουν τις ευθείες ΑΓ και ΑΒ στα σηmicroεία
Γ΄ και Β΄ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι
α) (ΑΑ΄Γ΄) = (ΑΒΑ΄) και (ΑΑ΄Β΄) = (ΑΓΑ΄)
β) (Α´ô) = (ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
22
11 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ microε ΑΒ=10 Α∆=4 και and
∆ =60ο Στην πλευρά ΑΒ
θεωρούmicroε τα σηmicroεία Ε και Ζ έτσι ώστε ΑΕ=ΕΖ=ΖΒ Αν Η είναι το σηmicroείο τοmicroής των
ευθειών ∆Ε και ΓΖ να υπολογιστούν
α) το εmicroβαδό του παραλληλογράmicromicroου ΑΒΓ∆
β) το εmicroβαδό του τραπεζίου Γ∆ΕΖ
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου ΗΕΖ
12 ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=ΑΓ=6 και ο120=Α
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του
β) Αν Ε σηmicroείο της ΑΓ τέτοιο ώστε ΓΕ=ΑΕ2
1 και Α∆ το ύψος του τριγώνου
ΑΒΓ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ∆ΕΓ
γ) Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει τη ∆Ε στο Η να βρεθεί το εmicroβαδό
του τριγώνου ΑΕΗ
13 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Ρ στο εσωτερικό του Από το Ρ φέρνουmicroε κάθετες
ηmicroιευθείες στις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ και πάνω σrsquo αυτές παίρνουmicroε τα σηmicroεία Α΄
Β΄ και Γ΄ αντίστοιχα έτσι ώστε ΡΑ΄=ΒΓ ΡΒ΄=ΑΓ και ΡΓ΄=ΑΒ Να αποδειχθεί ότι
α) οι γωνίες and
Γ και and
ΒprimeΡΑprime είναι παραπληρωmicroατικές
β) (ΡΑ΄Β΄)=(ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)
14 Θεωρούmicroε τρεις ίσες διαδοχικές γωνίες and
οψx zand
οψ xzand
ο και πάνω στις
ηmicroιευθείες Οx Oψ και Οz τα σηmicroεία Α Β Γ αντίστοιχα έτσι ώστε ΟΑ=1 ΟΒ=4 και
ΟΓ=8
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ψοand
x zand
οψ xzand
ο
β) Αν Οw η αντικείmicroενη ηmicroιευθεία της Οψ και Γ∆ wΟperp να υπολογίσετε τις Ο∆ και
Γ∆
γ) Να υπολογίσετε το (ΟΒΓ)
δ) Να αποδείξετε ότι (ΑΒΓ)= 311
15 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ και Κ Λ Μ Ν τα microέσα των ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α
αντίστοιχα α) Να αποδειχθεί ότι (ΚΛΜΝ)=2
1(ΑΒΓ∆)
β) Αν ΚΜ ΛΝperp να αποδειχθεί ότι (ΑΒΓ∆) = ΚΜΛΝ
16 Λ
Α Β Στο διπλανό σχήmicroα τα σηmicroεία Κ Λ είναι τα
Κ Ρ microέσα των τmicroηmicroάτων ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα
Να αποδείξετε ότι
Γ α) ο λόγος των εmicroβαδών των τριγώνων ΑΚΒ και ΑΛΓ είναι ίσος microε
β) αν Ρ είναι το σηmicroείο τοmicroής των ΛΓ και ΚΒ τότε τα τρίγωνα ΒΛΡ
και ΚΓΡ έχουν ίσα εmicroβαδά
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
23
17 ∆ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) microε ΑΒ=4 Α∆=2 καιο60=∆
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τραπεζίου ΑΒΓ∆
β) Αν Ε σηmicroείο της πλευράς ΑΒ τέτοιο ώστε ΕΒ= ΑΒ4
1 και οι Ε∆ ΕΓ τέmicroνουν τη
διάmicroεσο του τραπεζίου στα σηmicroεία Ζ και Η αντίστοιχα να βρεθεί το εmicroβαδό του
τριγώνου ΕΖΗ
γ) Αν οι ∆Ε και ΒΓ τέmicroνονται στο Ρ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ΡΕΒ
18 Αν οι διαγώνιοι κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓ∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο να αποδείξετε ότι
το τετράπλευρο έχει εmicroβαδό Β∆sdotΑΓ4
1
19 Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται ΑΒ=5 ο60=Α
and
και η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου
κύκλου 3
7=R Να βρεθούν οι άλλες δύο πλευρές του τριγώνου και το εmicroβαδόν του
20
∆ Ζ Γ
υ
Α Ε Η Β
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m
90ο=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος ∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο
οποίος θα χωρίζει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆ και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο
ΑΕ∆
δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου ∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
21 Αν Μ και Ν είναι τα microέσα των πλευρών ΒΓ και Γ∆ ενός παραλληλόγραmicromicroου ΑΒΓ∆
να αποδείξετε ότι (ΑΜΝ)= )(8
3ΑΒΓ∆
22 Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) θεωρούmicroε το microέσο Μ της πλευράς ΑΒ
και σηmicroείο Ν της πλευράς ΑΓ τέτοιο ώστε 3
ΑΓ=ΓΝ Να δειχθεί ότι
(ΜΝΒ)= )(3
1ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
24
23 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και τυχαίο σηmicroείο Σ στην προέκταση της πλευράς
∆Γ προς το Γ Να αποδείξετε ότι
α) (ΑΒ∆)= )(2
1ΑΒΓ∆
β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)
γ) αν η ΑΣ τέmicroνει την Β∆ στο σηmicroείο Ε τότε (Ε∆Σ)-(ΕΑΒ)=(ΣΒΓ)
24 Έστω Σ τυχαίο σηmicroείο της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ Στο σηmicroείο Α φέρουmicroε
microια ευθεία ε κάθετη στην ΑΣ Αν ∆ και Ε είναι αντίστοιχα οι προβολές των σηmicroείων
Β και Γ στην ευθεία ε να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ∆ΣΕ είναι ισοδύναmicroα
25 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 8=ΑΒ 12=ΑΓ και η Α∆ διχοτόmicroος της γωνίας and
Α Αν
( )ΑΒ∆ =20 τmicro να βρείτε το ( )ΑΒΓ
26 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ∆ σηmicroείο της πλευράς ΑΒέτσι ώστε 6=Α∆ ∆Β=5
8=ΑΓ Αν 80=Α
and
να βρείτε το εmicroβαδόν του τριγώνου Β∆Γ
27 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ microε 90=Β
and
και η γωνία and
Α να είναι το 3
1 της ορθής Αν
∆ σηmicroείο της προέκτασης της πλευράς ΒΓ προς το Γ τέτοιο ώστε η 30=Α∆Β
and
να
βρεθεί ο λόγος ( )( )ΑΒ∆ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
25
ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ
ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ
Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του
ίσες
Γωνία κανονικού ν-γώνου ν
φν
360
180 minus=
Κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου ν
ων
360=
Σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας R ισχύουν οι εξής τύποι 2
22
4R=+ ν
ν
λα
νν λν sdot=Ρ
ννν αsdotΡ=Ε2
1
όπου να απόστηmicroα νλ πλευρά νΡ περίmicroετρος νΕ εmicroβαδόν
∆ύο κανονικά πολύγωνα microε τον ίδιο αριθmicroό πλευρών είναι όmicroοια
Κάθε κανονικό πολύγωνο εγγράφεται σε έναν κύκλο και περιγράφεται σε έναν άλλον Οι δύο
αυτοί κύκλοι είναι οmicroόκεντροι
bull Το κοινό κέντρο τον κύκλων αυτών λέγεται κέντρο του πολυγώνου
bull Η ακτίνα R του περιγεγραmicromicroένου κύκλου λέγεται ακτίνα του πολυγώνου
bull Η απόσταση του κέντρου από microια πλευρά του δηλαδή η ακτίνα του εγγεγραmicromicroένου
κύκλου λέγεται απόστηmicroα του πολυγώνου
Σε δύο κανονικά ν-γωνα ο λόγος των πλευρών τους ισούται microε το λόγο των ακτινών τους και
το λόγο των αποστηmicroάτων τους
∆ηλαδή
ν
ν
ν
ν
αα
λλ
==R
R
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
26
ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ
ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ
ΚΑΝΟΝΙΚΟ
ΕΞΑΓΩΝΟ
ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ
ΤΡΙΓΩΝΟ
ΠΛΕΥΡΑ νλ 24 R=λ R=6λ 33 R=λ
ΑΠΟΣΤΗΜΑ να
2
24
R=α
2
36
R=α
23
R=α
RL sdot= π2
180
microπ sdotsdot=
Rl ή Rl sdot=α
180
microαπ
=
2Rsdot=Ε π
( )360
2 microπ sdotsdot=ΟΑΒ
cap R ή ( )
cap
sdot=ΟΑΒ 2
2
1Rα
( ) ( )ΟΑΒminusΟΑΒ=cap
ε
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
27
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Ένα κανονικό εξάγωνο είναι περιγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ορ) Η πλευρά του
εξαγώνου αυτού είναι
Α ρ Β 2
3ρ Γ 2ρ ∆
3
32ρ Ε
3
2ρ
2 ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και στις προεκτάσεις των
πλευρών ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α θεωρούmicroε τα τmicroήmicroατα ΒΚ=ΓΛ=∆Μ=ΑΝ=λ3 Να δείξετε
ότι το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο και ότι η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου κύκλου του
είναι 641 += RR
3 Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε δύο παράλληλες χορδές ΑΒ=λ4 και Γ∆=λ6 Να
αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι ισοσκελές τραπέζιο και να υπολογιστεί
το εmicroβαδό του ως συνάρτηση της ακτίνας R
4 Η περίmicroετρος ενός κυκλικού τοmicroέα ΟΑΒ ενός κύκλου (ΟR) είναι 6+π Αν
ο60=ΒΟΑand
τότε το microήκος της ακτίνας R είναι
Α 6 Β 3 Γ 2 ∆ 4 Ε 5 (δικαιολογήστε την απάντησή σας)
5 Έστω τεταρτοκύκλιο ΟΑΒ ακτίνας R και ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΟΒ στο εσωτερικό
του Να βρείτε το εmicroβαδό και την περίmicroετρο του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΑΒ
6 Έστω δύο κύκλοι (ΟR) και (Ο΄R) των οποίων η διάmicroετρος ΟΟ΄ έχει microήκος
ΟΟ΄=R 3 α) Να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι τέmicroνονται
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινού microέρους των δύο κύκλων
7 Το εmicroβαδό κυκλικού τοmicroέα 80ο είναι 8π Η ακτίνα του κύκλου είναι
Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15
8 Τετράγωνο ΑΒΓ∆ είναι εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και η ηmicroιπερίmicroετρος του
είναι 80cm Να υπολογιστούν
α) η ακτίνα R του κύκλου
β) ο λόγος του εmicroβαδού του κύκλου προς το εmicroβαδό του τετραγώνου
9 Στο εσωτερικό ηmicroικυκλίου διαmicroέτρου ΑΟΒ=2R γράφουmicroε ηmicroικύκλια microε
διαmicroέτρους ΟΑ και ΟΒ Να υπολογιστεί το microήκος και το εmicroβαδό του κύκλου που
εφάπτεται των τριών ηmicroικυκλίων
10 ∆ύο κύκλοι (Ο3R) και (Ο΄R) εφάπτονται εξωτερικά στο σηmicroείο Α Φέρουmicroε την
κοινή εξωτερική εφαπτόmicroενη ΒΓ αυτών Να βρεθεί το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου
τριγώνου ΑΒΓ και του περιγεγραmicromicroένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ
11 Έστω ο κύκλος (ΟR) και microια ακτίνα του ΟΑ Στην ηmicroιευθεία ΟΑ θεωρούmicroε
σηmicroείοΒ έτσι ώστε ΑΒ=ΑΟ Αν ΒΓ η εφαπτοmicroένη του κύκλου να βρεθεί το
εmicroβαδό α) του τριγώνου ΟΒΓ και β) του microικτόγραmicromicroου τριγώνου
ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
28
12 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=λ3 και Γ∆=λ6
προς το ίδιο microέρος του κέντρου Ο α) Να εκφράσετε τις χορδές ΑΒ και Γ∆ ως
συνάρτηση της ακτίνας R β) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό Ε1 του κυκλικού τmicroήmicroατος
που αντιστοιχεί στη χορδή Γ∆ γ) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό του τριγώνου ΟΑΒ
δ) Να βρείτε την περίmicroετρο και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τραπεζίου που έχει
κορυφές τα ΑΒΓ∆
13 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) χορδή ΑΒ=R την εφαπτοmicroένη ε του κύκλου στο σηmicroείο
Α και τη εperpΒΓ Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του τραπεζίου ΟΑΓΒ
β) το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
14 ∆ίνεται ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΑΒ και στο εσωτερικό του τα ηmicroικύκλια διαmicroέτρων
ΑΓ και ΓΒ όπου Γ σηmicroείο microεταξύ των Α και Β Αν κάθετη της ΑΒ στο Γ τέmicroνει το
αρχικό ηmicroικύκλιο στο ∆ να αποδείξετε ότι το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται
microεταξύ των τριών ηmicroικυκλίων είναι ίσο microε το εmicroβαδό του κύκλου διαmicroέτρου Γ∆
15 Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ο60=Β
and
και ΒΓ=α Με
κέντρο το Β και ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει τη ΒΓ στο Μ και microε κέντρο
το Γ και ακτίνα ΓΜ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν Να βρεθεί η
περίmicroετρος και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
16 Με κέντρο ένα σηmicroείο Κ κύκλου (ΟR) και ακτίνα ίση προς R 3 γράφουmicroε
κύκλο ο οποίος τέmicroνει τον (ΟR) στα σηmicroεία Α και Β Να υπολογιστούν η
περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου microηνίσκου
17 ∆ίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ΒΓ = 2R
Γράφουmicroε ηmicroικύκλιο microε διάmicroετρο ΒΓ εκτός τριγώνου και τόξο κύκλου (Α ΑΒ) microε
άκρα Β και Γ Να βρεθεί η περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου
microηνίσκου από το ηmicroικύκλιο και το τόξο αυτό
18 Ένα ορθογώνιο σπίτι microε διαστάσεις α = 20m και β = 10m έχει microια εξωτερική
πρίζα σε microια γωνία του Ένα χορτοκοπτικό microηχάνηmicroα συνδεδεmicroένο microε την πρίζα
έχει καλώδιο microε microήκος 15m Να βρεθεί το εmicroβαδόν της microεγαλύτερης επιφάνειας
του χόρτου που microπορεί να κοπεί
19 Σε κύκλο ακτίνας R = 4cm είναι εγγεγραmicromicroένο ισόπλευρο τρίγωνο
Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του κύκλου
β) την πλευρά του τριγώνου
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου
δ) το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται microεταξύ του κύκλου και του τριγώνου
20 Σε κύκλο microε διάmicroετρο ΑΒ φέρουmicroε τις χορδές ΜΒΑΜ Αν είναι 6=ΑΜ και
8=ΒΜ να βρεθεί η ακτίνα και το εmicroβαδόν του κύκλου
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
29
21 Να βρεθεί το εmicroβαδόν του καθενός από τα δύο microέρη στα οποία διαιρείται ένας
κύκλος ( )RΟ από την πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραmicromicroένου στον κύκλο
αυτόν
22 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και φέρουmicroε δύο κάθετες ακτίνες ΟΑ και ΟΒ Με
κέντρο το Α και ακτίνα R γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει το cap
AB στο σηmicroείο Γ Να
βρεθεί το εmicroβαδόν του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΒΓ
23 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και τόξο 60=ΑΒ
cap
Φέρουmicroε στο σηmicroείο Α την
εφαπτοmicroένη χΑ του κύκλου και την χΑperpΒΓ Να βρεθεί το εmicroβαδόν του
microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
30
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΗ 1η
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α∆ διχοτόmicroος Β∆ = 2 Γ∆ = 3 και 2τ = 15 (περίmicroετρος) η πλευρά
ΑΒ είναι
Α 3 Β 4 Γ 5 ∆ 6 Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 2η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 3α2 + 2γ
2 = 2β
2 Τότε
i) Α and
Α gt90ο Β
and
Β gt 90ο Γ
and
Β lt 90ο ∆
and
Γ gt 90ο Ε Κανένα από τα παραπάνω
ii) Η προβολή της διαmicroέσου microα στην ΒΓ ισούται microε
Α 4
a Β
2
a Γ
4
3a ∆
2
3a Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 3η
Αν ΑΒΓ∆ τετράγωνο πλευράς α και Ε microέσο του Α∆ τότε
i) ΒΕ =2
5α Σ Λ
ii) Ο λόγος ΒΕΕΖ
ισούται microε
Α 5
2 Β
4
5 Γ
4
1 ∆
5
1 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
Α Β
E
Z
∆ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 4η
Αν τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=4 ΒΓ=5 ΑΓ=6 και Α∆ διχοτόmicroος τότε
i) -Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο Σ Λ
- Ο λόγος ∆Γ∆Β
ισούται microε
Α 2
1 Β
3
1 Γ
3
2 ∆
4
3 Ε
2
3
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ii) Αν ε η προβολή του Α στην ΒΓ να υπολογίσετε το microήκος του ΒΕ
iii) Να αποδείξετε ότι 2
1=
∆Γ∆Ε
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
31
ΑΣΚΗΣΗ 5η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και Μ το microέσο της Α∆ Προεκτείνουmicroε τη ∆Γ προς το Γ
κατά ΓΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΒΜ)=2
)(ΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τραπεζίου ΑΒΕ∆ είναι οκταπλάσιο από το εmicroβαδόν του
τριγώνου ΑΒΜ
ΑΣΚΗΣΗ 6η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναιuα =3ρ όπου ρ του εγγεγραmicromicroένου κύκλου του τριγώνου Ο λόγος
αγβ +
ισούται microε Α 2 Β 3 Γ 3
1 ∆
2
3 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ΑΣΚΗΣΗ 7η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάmicroεσός του Α∆ Προεκτείνουmicroε την ΒΑ προς το Α κατά τmicroήmicroα
ΑΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι (ΒΕ∆)=3(Α∆Γ)
ΑΣΚΗΣΗ 8η
Στο εσωτερικό της αυλής ενός σπιτιού υπάρχει microικρός κήπος microε λαχανικά όπως στο
ακόλουθο σχήmicroα Αν το εmicroβαδόν του κήπου είναι 122m και οι διαστάσεις της αυλής είναι
12m και 13m να βρεθεί το x Αν θέλουmicroε να περιφράξουmicroε τον κήπο microε σύρmicroα πόσο σύρmicroα
θα χρειαστούmicroε
12m
13m
ΑΣΚΗΣΗ 9η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ Από τυχαίο σηmicroείο Ε της ΑΓ φέρουmicroε ευθεία παράλληλη
προς την Α∆ που τέmicroνει την Γ∆ στο Ζ Να αποδείξετε ότι
i) (Α∆Ζ)=(ΑΕΒ)
ii) (ΑΕΖ)=(ΒΕΓ)-(ΖΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 10η
Οι διάmicroεσοι Β∆ και ΓΕ τριγώνου ΑΒΓ τέmicroνονται στο Θ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΕ∆)=4
)(ΑΒΓ
ii) (ΒΘΓ)= 3
)(ΑΒΓ
iii)(ΑΕ∆)= (ΒΚΛΓ) όπου Κ Λ τα microέσα των ΒΘ και ΓΘ αντίστοιχα
x
x x
x
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
32
ΑΣΚΗΣΗ 11η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε τη διχοτόmicroο Α∆ Από το ∆ φέρνουmicroε παράλληλη προς την ΑΒ
που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει την προέκταση της
∆Ε στο Ζ να αποδείξετε ότι
α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)
β) β2(ΑΕΖ) = γ
2(∆ΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 12η
Θεωρούmicroε γωνία yxand
Α και σηmicroείο Ο της διχοτόmicroου της Αδ Αν ο κύκλος (ΟΟΑ) τέmicroνει τις
Οx Οy στα Β Γ αντίστοιχα και την Αδ στο ∆ να αποδείξετε ότι
α) (ΟΑΒ)=(ΟΑΓ)
β) (ΒΟΓ∆)=(ΑΒ∆)
γ) (ΒΟΓ∆)=2
1(ΟΑ)(ΒΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 13η
Από εσωτερικό σηmicroείο Μ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλες προς τις
πλευρές ΑΓ και ΑΒ που τέmicroνουν τις ΑΒ ΑΓ στα ∆ Ζ αντίστοιχα Αν (ΒΜ)=x (ΒΓ)=α
(Β∆Μ)=Ε1 (ΓΖΜ)=Ε2 και (ΑΒΓ)=Ε τότε
α) Να εκφράσετε ως συναρτήσεις των x και α τους λόγους Ε
Ε1 και Ε
Ε2
β) Να αποδείξετε ότι ΕgeΕ+Ε2
121
ΑΣΚΗΣΗ 14η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=Γ∆=λ3
Να βρεθεί
i) Η περίmicroετρος του ΑΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που αντιστοιχεί στη χορδή ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 15η
Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε τα διαδοχικά σηmicroεία Α Β Γ και ∆ ώστε ΑΒ=ΒΓ=Γ∆= R Να
βρεθεί
i) H περίmicroετρος του τριγώνου ΑΒ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τριγώνου ΒΓ∆
iii) Ο λόγος )(
)(
ΒΓ∆ΑΒ∆
ΑΣΚΗΣΗ 16η
∆ίνεται τεταρτοκύκλιο Οand
ΒΓ ακτίνας R
α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΓΒ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε δύο ισεmicroβαδικά χωρία
β) Αν ∆ σηmicroείο του τόξου ΒΓ να αποδείξετε ότι η ευθεία Γ∆ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
γ) Να βρείτε σηmicroείο Α της ακτίνας ΟΒ ώστε η ευθεία ΓΑ να χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
33
ΑΣΚΗΣΗ 17η
Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο Ο cap
ΒΓ ακτίνας R Σηmicroείο Α κινείται πάνω στο τόξο cap
ΒΓ και έστω
Κ το σηmicroείο τοmicroής της ακτίνας ΟΑ microε τη ΒΓ Να βρείτε το microήκος του τόξου cap
ΒΑ όταν το
εmicroβαδό του τριγώνου ΟΚΓ ισούται microε το εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα
τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΒ και το τόξο cap
ΒΑ
ΑΣΚΗΣΗ 18η
∆ίνεται ηmicroικύκλιο κέντρου Ο microε διάmicroετρο ΑΑ1=2R Έστω Β σηmicroείο του ηmicroικυκλίου microε
( 1ΑΟΒand
)=φ microοίρες και ΟΓ ακτίνα που τέmicroνει τη χορδή ΑΒ στο Κ
α) Να βρείτε το microήκος S του τόξου cap
ΑΓ όταν το εmicroβαδόν του τριγώνου ΟΚΒ ισούται microε το
εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΓ και το τόξοcap
ΑΓ
β) Αν η γωνία 1ΑΟΒand
είναι 150ο πόσο είναι το S
γ) Για ποια τιmicroή του φ το S γίνεται microέγιστο
Β
Γ
φ
Α1 Α
ΑΣΚΗΣΗ 19η
Η περίmicroετρος ρόmicroβου ΑΒΓ∆ πλευράς α και κέντρου Ο είναι τετραπλάσια της microικρής
διαγωνίου του Β∆
i) Να υπολογιστεί συναρτήσει του α το εmicroβαδόν του Ε
ii) Φέρουmicroε Α∆perpΟΗ και Γ∆perpΟΖ Αν η ΑΖ τέmicroνει τον κύκλο διαmicroέτρου Ο∆ στο Θ να
δειχθεί ότι 2
3Ε=ΑΖsdotΑΘ
ΑΣΚΗΣΗ 20η
Το περίγραmicromicroα της βάσης ενός microεγάλου λόφου σχηmicroατίζει τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=γ ΑΓ=β
όπου βgtγ και στο οποίο η διάmicroεσος ΑΜ και το ύψος Α∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο ∆ίπλα στην
πλευρά ΑΓ υπάρχει ορθογώνιος ιδιωτικός χώρος διαστάσεων 2
γβ +και β-γ Σrsquo αυτόν το
χώρο πρόκειται να κατασκευαστεί ένας microεγάλος ανισόπεδος κόmicroβος που θα συνδέει δύο
δρόmicroους ταχείας κυκλοφορίας Γιrsquo αυτούς τους λόγους προτείνεται στον ιδιοκτήτη να δεχτεί
να ανταλλάξει αυτόν τον χώρο microε άλλον ορθογώνιο χώρο του δηmicroοσίου που βρίσκεται δίπλα
στην πλευρά ΒΓ και έχει διαστάσεις τα microήκη των ΒΓ και 2
ΑΜ Ο ιδιοκτήτης δηλώνει ότι θα
συmicroφωνήσει microε την πρόταση αρκεί οι ανταλλάξιmicroοι χώροι να έχουν την ίδια έκταση
Πρακτικά όmicroως είναι αδύνατον να microετρήσει την πλευρά ΒΓ και τη διάmicroεσο ΑΜ γιrsquo αυτό και
διστάζει Πως θα σκεφτόσαστε εσείς να βοηθήσετε τον ιδιοκτήτη να αποφασίσει
Κ
Ο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
34
ΑΣΚΗΣΗ 21η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε β=2γ και η διάmicroεσος του Β∆ Φέρουmicroε Β∆perpΑx που τέmicroνει την
Β∆ στο Ε και την ΒΓ στο Ζ και ΕyΑΓ που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ Να αποδείξετε ότι
i) ZB= 2
1ZΓ
ii) (ΑΒΓ)=3(ΑΒΖ)
iii) Να αποδειχθεί ότι 8
3
)(
)(=
ΑΒΖΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΗ 22η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε α=2γ και β= 7γ
α) i) Να αποδείξετε ότι 2
3αmicroα =
ii) Να βρείτε το είδος της γωνίας and
Β
iii) Αν ΑΕ perp ΒΓ να υπολογίσετε το ΒΕ συναρτήσει του γ
iv) Να βρείτε τη γωνία and
Β
β) Αν ΑΜ διάmicroεσος και Β∆ διχοτόmicroος να αποδείξτε ότι
i) Α∆ = 3
β
ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)
ΑΣΚΗΣΗ 23η
Έστω τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ο R) και σηmicroείο Μ το οποίο κινείται στο
ηmicroικύκλιο cap
ΑΒΓ
α) Να βρεθεί το ελάχιστο ( )minΕ και το microέγιστο ( )maxΕ εmicroβαδόν του τετράπλευρου ΑΜΓ∆
συναρτήσει της ακτίνας R
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε θέση του Μ είναι
i) Μ∆2 = ΑΓ ∆Ε όπου Ε η προβολή του Μ στην Β∆
ii) (ΑΜΓ∆) = 2
2Μ∆
γ) Να προσδιορίσετε τη θέση του σηmicroείου Μ όταν (ΑΜΓ∆) = 2
maxmin EE +
ΑΣΚΗΣΗ 24η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ M το microέσο της ΑΒ σηmicroείο Ν της ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΝ = 4
3ΑΓ και
σηmicroείο Κ της ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΚ = 4
1ΒΓ Να βρεθεί ο λόγος των εmicroβαδών του τριγώνου
ΑΒΓ προς του τριγώνου ΜΝΚ
ΑΣΚΗΣΗ 25η
Α) Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι 2
αmicro = βγ και β-γ = 5 2 Το microήκος της πλευράς
α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3
Β) Να δειχθεί ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει η σχέση (222
γβα micromicromicro ++ )2 = 27Ε
2 όπου
Ε το εmicroβαδό του
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
35
ΑΣΚΗΣΗ 26η
Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω περιπτώσεις
όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί να αποτελεί microήκη των
πλευρών του
i) 3 57
ii) 8 4 2
iii) 7 6 85
ΑΣΚΗΣΗ 27η
Αν η διάmicroεσος microα ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν προεκταθεί τέmicroνει τον περιγεγραmicromicroένο κύκλο
στο ∆ να αποδειχθεί ότι microα = Α∆+
2
22 γβ
ΑΣΚΗΣΗ 28η
Από ένα κυκλικό οικόπεδο ακτίνας R=30m θα αποκοπεί κυκλικό τmicroήmicroα χορδής 30 3 m για
την κατασκευή δρόmicroου
i) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου που έmicroεινε
ii) Να βρεθεί η αποζηmicroίωση που θα δοθεί στον ιδιοκτήτη αν η αρχική αξία του οικοπέδου
ήταν 10000000 δρχ
ΑΣΚΗΣΗ 29η
Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι α =13 β = 8 γ = 7
i) Να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς το είδος των γωνιών του
ii) Να υπολογιστεί το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ πάνω στην ΑΒ
iii) Να υπολογιστεί η γωνία and
Α
ΑΣΚΗΣΗ 30η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 4 ΑΓ = 5 ΒΓ = 7 Το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ
πάνω στην ΑΒ είναι Α 5 Β 1 Γ 6 ∆ 2
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 31η
Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (and
Α =90ο) microε
and
Β =60ο και ΒΓ=4 Με κέντρο το Β και
ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ και microε κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΜ
γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν να βρεθούν
i) Η θέση του σηmicroείου Μ στη ΒΓ
ii) Η περίmicroετρος του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
iii) Το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
36
ΑΣΚΗΣΗ 32η
Μια έκταση σχήmicroατος τετραγώνου microε A 30 H 70 ∆
πλευρά 100m πρόκειται να διατεθεί
για κατασκευή εργατικών κατοικιών
Οι κατοικίες θα ανεργεθούν σε τέσσερα 70 30
ίσα τριγωνικά οικόπεδα και η υπόλοιπη Μ
έκταση σχήmicroατος τετραπλεύρου θα
χρησιmicroοποιηθεί ως κοινόχρηστος χώρος Z
για δενδροφύτευση και κατασκευή γηπέδου
microπάσκετ 30 70
α) Να βρεθούν τα εmicroβαδά των τεσσάρων ίσων οικοπέδων
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινόχρηστου χώρου B 70 K 30 Γ
γ) Τι είδους τετράπλευρο είναι ο κοινόχρηστος χώρος Να βρεθούν οι πλευρές του
ΑΣΚΗΣΗ 33η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 90A =
and
και ΑΒ=y ΑΓ=β
Α∆=ν Β∆=micro ΒΓ=x ∆Γ=κ
i) Να συmicroπληρωθούν οι σχέσεις
β2=helliphelliphellip=helliphelliphelliphellip Α
ν2=helliphelliphelliphelliphelliphellip
2
2
βy
=helliphelliphelliphelliphellip βy=helliphelliphelliphellip y ν β
ii) Να δειχθεί ότι 111
222 νβ=+
y Β ν ∆ κ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 34η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroεία ∆Ε της πλευράς ΒΓ έτσι ώστε Β∆=∆Ε=ΕΓ Να απόδειχθεί
ότι
i) 2222 22 ΑΕminusΑ∆=∆ΕminusΑΒ ii)
2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 35η
∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε o90=Α
and
ΑΒ=5cm ΑΓ=12cm Α∆ το ύψος του και ΒΜ
η διάmicroεσος του Προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά ΓΕ=ΒΓ i) Να συγκρίνετε τα
εmicroβαδά των τριγώνων Α∆Γ και ΑΓΕ ii) Να δείξετε ότι η σχέση που συνδέει τα εmicroβαδά των
τριγώνων ΑΒΜ και ΑΒΕ είναι (ΑΒΕ)=4(ΑΒΜ)
ΑΣΚΗΣΗ 36η
Από σηmicroείο Μ εκτός κύκλου φέρνουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΜΕ του κύκλου και τις
τέmicroνουσες ΜΑΒ και ΜΓ∆ Αν είναι ΑΒ=9 ΓΜ=4 Γ∆=5 να υπολογίσετε i) το ΜΑ ii) το
ΜΕ
ΑΣΚΗΣΗ 37η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) ΑΒ microια διάmicroετρος του και Μ τυχαίο σηmicroείο του (διαφορετικό των Α
Β) Αν Γ είναι το microέσο της ΟΑ και ∆ το microέσο της ΟΒ ενώ η ΜΓ τέmicroνει τον κύκλο στο Ε και
η Μ∆ στο Ζ τότε να αποδείξετε ότι3
10=
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
37
Ζ
Ε
ΑΣΚΗΣΗ 38η
Ένα τριγωνικό αγρόκτηmicroα ΑΒΓ χωρίζεται
σε τέσσερα τριγωνικά αγροτεmicroάχια όπως Α
φαίνεται στο σχήmicroα έτσι ώστε ΑΒ=Α∆3
2
ΒΕ= ΒΓ4
1και ΓΖ= ΑΓ
2
1 α) Αν το εmicroβαδό ∆
του ΑΒΓ είναι 48 στρέmicromicroατα να υπολογίσετε το Β
Γ
εmicroβαδό του ∆ΕΖ β) Αν τα ∆ Ε Ζ είναι τα microέσα των ΑΒ
ΒΓ ΑΓ αντίστοιχα να βρεθούν τα εmicroβαδά των
τεσσάρων αγροτεmicroαχίων
ΑΣΚΗΣΗ 39η
∆ίνεται εγγράψιmicroο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ ώστε οι πλευρές του ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α microε τη σειρά
που δίνονται να αποτελούν γεωmicroετρική πρόοδο Να αποδείξετε ότι η διαγώνιος του Β∆ το
χωρίζει σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
ΑΣΚΗΣΗ 40η
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ∆ Ζ Γ
την ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m και
ο90=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος υ
∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο οποίος
θα χωρίσει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆
και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα α) Να βρεθεί
το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆ β) Να
βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο
ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο Α Ε Η Β
ΑΕ∆ δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου
∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
ΑΣΚΗΣΗ 41η
∆ίνεται ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ και τα σηmicroεία του ∆Γ έτσι ώστε ∆Β=Γ∆=ΑΓ Αν
Μ τυχαίο σηmicroείο εκτός του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατοςΑΒ
Να δείξετε ότι 2222 33 ΜΓ+ΜΒ=ΜΒ+ΑΜ
ΑΣΚΗΣΗ 42η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 222 2αγβ =+ Αν η διάmicroεσος ΑΜ τέmicroνει το περιγεγραmicromicroένο
κύκλο του τριγώνου στο ∆ να δείξετε ότι
α) 6
3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
38
ΑΣΚΗΣΗ 43η
Από ένα εξωτερικό σηmicroείο Α κύκλου ( )RΟ φέρουmicroε microια τέmicroνουσα ΑΒΓ έτσι ώστε
ΒΓ=ΑΒ Αν 7R=ΟΑ τότε να δείξετε ότι
i) ΒΓ=ΑΒ =λ3
ii) η γωνία and
ΑΟΓ είναι αmicroβλεία
iii) η προβολή της ΟΓ πάνω στην ΟΑ είναι ίση microε ΟΑ7
2
iv) Να δείξετε ότι ( )( ) 2
1=
ΑΟΓΒΟΓ
και στην συνέχεια να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του τριγώνου
and
ΑΟΓ
v) Να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που ορίζεται από την χορδή ΒΓ και
το microέτρο του τόξου cap
ΒΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
39
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
40
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
21
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Αν ΑΒΓ∆ τραπέζιο ( Γ∆ΑΒ ) και Ο το σηmicroείο τοmicroής των διαγωνίων του ΑΓ και
Β∆ να αποδείξετε ότι ΟΑ∆ΟΒΓ Ε=Ε
2 Ένα τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) και ΒΓ=Γ∆=Α∆ και τη βάση ΑΒ κατά 2 microικρότερη
από το άθροισmicroα των τριών αυτών πλευρών Αν το ύψος του τραπεζίου είναι 5 να
υπολογιστεί το εmicroβαδό του
3 Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ microε microήκη πλευρών α=10 β=8 γ=14 και ισόπλευρο τρίγωνο
∆ΕΖ το οποίο είναι ισοδύναmicroο microε το ΑΒΓ Το microήκος της πλευράς του ισόπλευρου
τριγώνου ∆ΕΖ είναι
Α6 Β 8 4 2 Γ 12 ∆ 10 Ε 20
Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε
4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=2 ΒΗ ύψος και η διάmicroεσος Β∆=1 Αν and
∆ΑΒ =30ο να
υπολογιστούν α) τα ΒΗ Η∆ ΑΗ
β) το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ
5 Με υποτείνουσες τις κάθετες πλευρές ΑΒ και ΑΓ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ microε
β+γ=20 κατασκευάζουmicroε ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓΕ εκτός
αυτού
α) Να αποδείξετε ότι τα σηmicroεία ∆ΑΕ είναι συνευθειακά
β) Να βρείτε το εmicroβαδό του τετραπλεύρου ΒΓΕ∆
6 Προεκτείνουmicroε τις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ ενός τριγώνου ΑΒΓ κατά τmicroήmicroατα
Γ∆=ΓΒ ΑΕ=ΑΓ και ΒΖ=ΒΑ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι (∆ΕΖ) = 7(ΑΒΓ)
7 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Μ στο εσωτερικό του Φέρνουmicroε από το Μ
παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των
σχηmicroατιζόmicroενων τριγώνων και Ε το εmicroβαδό του τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε
ότι 321 Ε+Ε+Ε=Ε
8 Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ που τέmicroνει τις πλευρές ΑΒ
και ΑΓ στα σηmicroεία ∆ και Ε αντίστοιχα Να αποδείξετε ότι (ΑΒΕ)2=(ΑΒΓ)(Α∆Ε)
9 Από σηmicroείο ∆ της πλευράς ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλη προς την
πλευρά ΒΓ που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν Ε1 Ε2 και Ε3 τα εmicroβαδά των τριγώνων
Α∆Ε Α∆Γ και ΑΒΓ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι 31
2
2 ΕsdotΕ=Ε
10 Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Α΄ της πλευράς του ΒΓ Από τα Β και Γ
φέρνουmicroε παράλληλες προς την ΑΑ΄ που τέmicroνουν τις ευθείες ΑΓ και ΑΒ στα σηmicroεία
Γ΄ και Β΄ αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι
α) (ΑΑ΄Γ΄) = (ΑΒΑ΄) και (ΑΑ΄Β΄) = (ΑΓΑ΄)
β) (Α´ô) = (ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄) = 2(ΑΒΓ)
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
22
11 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ microε ΑΒ=10 Α∆=4 και and
∆ =60ο Στην πλευρά ΑΒ
θεωρούmicroε τα σηmicroεία Ε και Ζ έτσι ώστε ΑΕ=ΕΖ=ΖΒ Αν Η είναι το σηmicroείο τοmicroής των
ευθειών ∆Ε και ΓΖ να υπολογιστούν
α) το εmicroβαδό του παραλληλογράmicromicroου ΑΒΓ∆
β) το εmicroβαδό του τραπεζίου Γ∆ΕΖ
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου ΗΕΖ
12 ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=ΑΓ=6 και ο120=Α
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του
β) Αν Ε σηmicroείο της ΑΓ τέτοιο ώστε ΓΕ=ΑΕ2
1 και Α∆ το ύψος του τριγώνου
ΑΒΓ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ∆ΕΓ
γ) Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει τη ∆Ε στο Η να βρεθεί το εmicroβαδό
του τριγώνου ΑΕΗ
13 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Ρ στο εσωτερικό του Από το Ρ φέρνουmicroε κάθετες
ηmicroιευθείες στις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ και πάνω σrsquo αυτές παίρνουmicroε τα σηmicroεία Α΄
Β΄ και Γ΄ αντίστοιχα έτσι ώστε ΡΑ΄=ΒΓ ΡΒ΄=ΑΓ και ΡΓ΄=ΑΒ Να αποδειχθεί ότι
α) οι γωνίες and
Γ και and
ΒprimeΡΑprime είναι παραπληρωmicroατικές
β) (ΡΑ΄Β΄)=(ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)
14 Θεωρούmicroε τρεις ίσες διαδοχικές γωνίες and
οψx zand
οψ xzand
ο και πάνω στις
ηmicroιευθείες Οx Oψ και Οz τα σηmicroεία Α Β Γ αντίστοιχα έτσι ώστε ΟΑ=1 ΟΒ=4 και
ΟΓ=8
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ψοand
x zand
οψ xzand
ο
β) Αν Οw η αντικείmicroενη ηmicroιευθεία της Οψ και Γ∆ wΟperp να υπολογίσετε τις Ο∆ και
Γ∆
γ) Να υπολογίσετε το (ΟΒΓ)
δ) Να αποδείξετε ότι (ΑΒΓ)= 311
15 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ και Κ Λ Μ Ν τα microέσα των ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α
αντίστοιχα α) Να αποδειχθεί ότι (ΚΛΜΝ)=2
1(ΑΒΓ∆)
β) Αν ΚΜ ΛΝperp να αποδειχθεί ότι (ΑΒΓ∆) = ΚΜΛΝ
16 Λ
Α Β Στο διπλανό σχήmicroα τα σηmicroεία Κ Λ είναι τα
Κ Ρ microέσα των τmicroηmicroάτων ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα
Να αποδείξετε ότι
Γ α) ο λόγος των εmicroβαδών των τριγώνων ΑΚΒ και ΑΛΓ είναι ίσος microε
β) αν Ρ είναι το σηmicroείο τοmicroής των ΛΓ και ΚΒ τότε τα τρίγωνα ΒΛΡ
και ΚΓΡ έχουν ίσα εmicroβαδά
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
23
17 ∆ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) microε ΑΒ=4 Α∆=2 καιο60=∆
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τραπεζίου ΑΒΓ∆
β) Αν Ε σηmicroείο της πλευράς ΑΒ τέτοιο ώστε ΕΒ= ΑΒ4
1 και οι Ε∆ ΕΓ τέmicroνουν τη
διάmicroεσο του τραπεζίου στα σηmicroεία Ζ και Η αντίστοιχα να βρεθεί το εmicroβαδό του
τριγώνου ΕΖΗ
γ) Αν οι ∆Ε και ΒΓ τέmicroνονται στο Ρ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ΡΕΒ
18 Αν οι διαγώνιοι κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓ∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο να αποδείξετε ότι
το τετράπλευρο έχει εmicroβαδό Β∆sdotΑΓ4
1
19 Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται ΑΒ=5 ο60=Α
and
και η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου
κύκλου 3
7=R Να βρεθούν οι άλλες δύο πλευρές του τριγώνου και το εmicroβαδόν του
20
∆ Ζ Γ
υ
Α Ε Η Β
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m
90ο=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος ∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο
οποίος θα χωρίζει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆ και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο
ΑΕ∆
δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου ∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
21 Αν Μ και Ν είναι τα microέσα των πλευρών ΒΓ και Γ∆ ενός παραλληλόγραmicromicroου ΑΒΓ∆
να αποδείξετε ότι (ΑΜΝ)= )(8
3ΑΒΓ∆
22 Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) θεωρούmicroε το microέσο Μ της πλευράς ΑΒ
και σηmicroείο Ν της πλευράς ΑΓ τέτοιο ώστε 3
ΑΓ=ΓΝ Να δειχθεί ότι
(ΜΝΒ)= )(3
1ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
24
23 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και τυχαίο σηmicroείο Σ στην προέκταση της πλευράς
∆Γ προς το Γ Να αποδείξετε ότι
α) (ΑΒ∆)= )(2
1ΑΒΓ∆
β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)
γ) αν η ΑΣ τέmicroνει την Β∆ στο σηmicroείο Ε τότε (Ε∆Σ)-(ΕΑΒ)=(ΣΒΓ)
24 Έστω Σ τυχαίο σηmicroείο της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ Στο σηmicroείο Α φέρουmicroε
microια ευθεία ε κάθετη στην ΑΣ Αν ∆ και Ε είναι αντίστοιχα οι προβολές των σηmicroείων
Β και Γ στην ευθεία ε να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ∆ΣΕ είναι ισοδύναmicroα
25 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 8=ΑΒ 12=ΑΓ και η Α∆ διχοτόmicroος της γωνίας and
Α Αν
( )ΑΒ∆ =20 τmicro να βρείτε το ( )ΑΒΓ
26 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ∆ σηmicroείο της πλευράς ΑΒέτσι ώστε 6=Α∆ ∆Β=5
8=ΑΓ Αν 80=Α
and
να βρείτε το εmicroβαδόν του τριγώνου Β∆Γ
27 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ microε 90=Β
and
και η γωνία and
Α να είναι το 3
1 της ορθής Αν
∆ σηmicroείο της προέκτασης της πλευράς ΒΓ προς το Γ τέτοιο ώστε η 30=Α∆Β
and
να
βρεθεί ο λόγος ( )( )ΑΒ∆ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
25
ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ
ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ
Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του
ίσες
Γωνία κανονικού ν-γώνου ν
φν
360
180 minus=
Κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου ν
ων
360=
Σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας R ισχύουν οι εξής τύποι 2
22
4R=+ ν
ν
λα
νν λν sdot=Ρ
ννν αsdotΡ=Ε2
1
όπου να απόστηmicroα νλ πλευρά νΡ περίmicroετρος νΕ εmicroβαδόν
∆ύο κανονικά πολύγωνα microε τον ίδιο αριθmicroό πλευρών είναι όmicroοια
Κάθε κανονικό πολύγωνο εγγράφεται σε έναν κύκλο και περιγράφεται σε έναν άλλον Οι δύο
αυτοί κύκλοι είναι οmicroόκεντροι
bull Το κοινό κέντρο τον κύκλων αυτών λέγεται κέντρο του πολυγώνου
bull Η ακτίνα R του περιγεγραmicromicroένου κύκλου λέγεται ακτίνα του πολυγώνου
bull Η απόσταση του κέντρου από microια πλευρά του δηλαδή η ακτίνα του εγγεγραmicromicroένου
κύκλου λέγεται απόστηmicroα του πολυγώνου
Σε δύο κανονικά ν-γωνα ο λόγος των πλευρών τους ισούται microε το λόγο των ακτινών τους και
το λόγο των αποστηmicroάτων τους
∆ηλαδή
ν
ν
ν
ν
αα
λλ
==R
R
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
26
ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ
ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ
ΚΑΝΟΝΙΚΟ
ΕΞΑΓΩΝΟ
ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ
ΤΡΙΓΩΝΟ
ΠΛΕΥΡΑ νλ 24 R=λ R=6λ 33 R=λ
ΑΠΟΣΤΗΜΑ να
2
24
R=α
2
36
R=α
23
R=α
RL sdot= π2
180
microπ sdotsdot=
Rl ή Rl sdot=α
180
microαπ
=
2Rsdot=Ε π
( )360
2 microπ sdotsdot=ΟΑΒ
cap R ή ( )
cap
sdot=ΟΑΒ 2
2
1Rα
( ) ( )ΟΑΒminusΟΑΒ=cap
ε
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
27
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Ένα κανονικό εξάγωνο είναι περιγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ορ) Η πλευρά του
εξαγώνου αυτού είναι
Α ρ Β 2
3ρ Γ 2ρ ∆
3
32ρ Ε
3
2ρ
2 ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και στις προεκτάσεις των
πλευρών ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α θεωρούmicroε τα τmicroήmicroατα ΒΚ=ΓΛ=∆Μ=ΑΝ=λ3 Να δείξετε
ότι το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο και ότι η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου κύκλου του
είναι 641 += RR
3 Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε δύο παράλληλες χορδές ΑΒ=λ4 και Γ∆=λ6 Να
αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι ισοσκελές τραπέζιο και να υπολογιστεί
το εmicroβαδό του ως συνάρτηση της ακτίνας R
4 Η περίmicroετρος ενός κυκλικού τοmicroέα ΟΑΒ ενός κύκλου (ΟR) είναι 6+π Αν
ο60=ΒΟΑand
τότε το microήκος της ακτίνας R είναι
Α 6 Β 3 Γ 2 ∆ 4 Ε 5 (δικαιολογήστε την απάντησή σας)
5 Έστω τεταρτοκύκλιο ΟΑΒ ακτίνας R και ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΟΒ στο εσωτερικό
του Να βρείτε το εmicroβαδό και την περίmicroετρο του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΑΒ
6 Έστω δύο κύκλοι (ΟR) και (Ο΄R) των οποίων η διάmicroετρος ΟΟ΄ έχει microήκος
ΟΟ΄=R 3 α) Να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι τέmicroνονται
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινού microέρους των δύο κύκλων
7 Το εmicroβαδό κυκλικού τοmicroέα 80ο είναι 8π Η ακτίνα του κύκλου είναι
Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15
8 Τετράγωνο ΑΒΓ∆ είναι εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και η ηmicroιπερίmicroετρος του
είναι 80cm Να υπολογιστούν
α) η ακτίνα R του κύκλου
β) ο λόγος του εmicroβαδού του κύκλου προς το εmicroβαδό του τετραγώνου
9 Στο εσωτερικό ηmicroικυκλίου διαmicroέτρου ΑΟΒ=2R γράφουmicroε ηmicroικύκλια microε
διαmicroέτρους ΟΑ και ΟΒ Να υπολογιστεί το microήκος και το εmicroβαδό του κύκλου που
εφάπτεται των τριών ηmicroικυκλίων
10 ∆ύο κύκλοι (Ο3R) και (Ο΄R) εφάπτονται εξωτερικά στο σηmicroείο Α Φέρουmicroε την
κοινή εξωτερική εφαπτόmicroενη ΒΓ αυτών Να βρεθεί το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου
τριγώνου ΑΒΓ και του περιγεγραmicromicroένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ
11 Έστω ο κύκλος (ΟR) και microια ακτίνα του ΟΑ Στην ηmicroιευθεία ΟΑ θεωρούmicroε
σηmicroείοΒ έτσι ώστε ΑΒ=ΑΟ Αν ΒΓ η εφαπτοmicroένη του κύκλου να βρεθεί το
εmicroβαδό α) του τριγώνου ΟΒΓ και β) του microικτόγραmicromicroου τριγώνου
ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
28
12 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=λ3 και Γ∆=λ6
προς το ίδιο microέρος του κέντρου Ο α) Να εκφράσετε τις χορδές ΑΒ και Γ∆ ως
συνάρτηση της ακτίνας R β) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό Ε1 του κυκλικού τmicroήmicroατος
που αντιστοιχεί στη χορδή Γ∆ γ) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό του τριγώνου ΟΑΒ
δ) Να βρείτε την περίmicroετρο και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τραπεζίου που έχει
κορυφές τα ΑΒΓ∆
13 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) χορδή ΑΒ=R την εφαπτοmicroένη ε του κύκλου στο σηmicroείο
Α και τη εperpΒΓ Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του τραπεζίου ΟΑΓΒ
β) το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
14 ∆ίνεται ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΑΒ και στο εσωτερικό του τα ηmicroικύκλια διαmicroέτρων
ΑΓ και ΓΒ όπου Γ σηmicroείο microεταξύ των Α και Β Αν κάθετη της ΑΒ στο Γ τέmicroνει το
αρχικό ηmicroικύκλιο στο ∆ να αποδείξετε ότι το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται
microεταξύ των τριών ηmicroικυκλίων είναι ίσο microε το εmicroβαδό του κύκλου διαmicroέτρου Γ∆
15 Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ο60=Β
and
και ΒΓ=α Με
κέντρο το Β και ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει τη ΒΓ στο Μ και microε κέντρο
το Γ και ακτίνα ΓΜ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν Να βρεθεί η
περίmicroετρος και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
16 Με κέντρο ένα σηmicroείο Κ κύκλου (ΟR) και ακτίνα ίση προς R 3 γράφουmicroε
κύκλο ο οποίος τέmicroνει τον (ΟR) στα σηmicroεία Α και Β Να υπολογιστούν η
περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου microηνίσκου
17 ∆ίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ΒΓ = 2R
Γράφουmicroε ηmicroικύκλιο microε διάmicroετρο ΒΓ εκτός τριγώνου και τόξο κύκλου (Α ΑΒ) microε
άκρα Β και Γ Να βρεθεί η περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου
microηνίσκου από το ηmicroικύκλιο και το τόξο αυτό
18 Ένα ορθογώνιο σπίτι microε διαστάσεις α = 20m και β = 10m έχει microια εξωτερική
πρίζα σε microια γωνία του Ένα χορτοκοπτικό microηχάνηmicroα συνδεδεmicroένο microε την πρίζα
έχει καλώδιο microε microήκος 15m Να βρεθεί το εmicroβαδόν της microεγαλύτερης επιφάνειας
του χόρτου που microπορεί να κοπεί
19 Σε κύκλο ακτίνας R = 4cm είναι εγγεγραmicromicroένο ισόπλευρο τρίγωνο
Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του κύκλου
β) την πλευρά του τριγώνου
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου
δ) το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται microεταξύ του κύκλου και του τριγώνου
20 Σε κύκλο microε διάmicroετρο ΑΒ φέρουmicroε τις χορδές ΜΒΑΜ Αν είναι 6=ΑΜ και
8=ΒΜ να βρεθεί η ακτίνα και το εmicroβαδόν του κύκλου
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
29
21 Να βρεθεί το εmicroβαδόν του καθενός από τα δύο microέρη στα οποία διαιρείται ένας
κύκλος ( )RΟ από την πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραmicromicroένου στον κύκλο
αυτόν
22 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και φέρουmicroε δύο κάθετες ακτίνες ΟΑ και ΟΒ Με
κέντρο το Α και ακτίνα R γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει το cap
AB στο σηmicroείο Γ Να
βρεθεί το εmicroβαδόν του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΒΓ
23 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και τόξο 60=ΑΒ
cap
Φέρουmicroε στο σηmicroείο Α την
εφαπτοmicroένη χΑ του κύκλου και την χΑperpΒΓ Να βρεθεί το εmicroβαδόν του
microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
30
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΗ 1η
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α∆ διχοτόmicroος Β∆ = 2 Γ∆ = 3 και 2τ = 15 (περίmicroετρος) η πλευρά
ΑΒ είναι
Α 3 Β 4 Γ 5 ∆ 6 Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 2η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 3α2 + 2γ
2 = 2β
2 Τότε
i) Α and
Α gt90ο Β
and
Β gt 90ο Γ
and
Β lt 90ο ∆
and
Γ gt 90ο Ε Κανένα από τα παραπάνω
ii) Η προβολή της διαmicroέσου microα στην ΒΓ ισούται microε
Α 4
a Β
2
a Γ
4
3a ∆
2
3a Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 3η
Αν ΑΒΓ∆ τετράγωνο πλευράς α και Ε microέσο του Α∆ τότε
i) ΒΕ =2
5α Σ Λ
ii) Ο λόγος ΒΕΕΖ
ισούται microε
Α 5
2 Β
4
5 Γ
4
1 ∆
5
1 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
Α Β
E
Z
∆ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 4η
Αν τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=4 ΒΓ=5 ΑΓ=6 και Α∆ διχοτόmicroος τότε
i) -Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο Σ Λ
- Ο λόγος ∆Γ∆Β
ισούται microε
Α 2
1 Β
3
1 Γ
3
2 ∆
4
3 Ε
2
3
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ii) Αν ε η προβολή του Α στην ΒΓ να υπολογίσετε το microήκος του ΒΕ
iii) Να αποδείξετε ότι 2
1=
∆Γ∆Ε
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
31
ΑΣΚΗΣΗ 5η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και Μ το microέσο της Α∆ Προεκτείνουmicroε τη ∆Γ προς το Γ
κατά ΓΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΒΜ)=2
)(ΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τραπεζίου ΑΒΕ∆ είναι οκταπλάσιο από το εmicroβαδόν του
τριγώνου ΑΒΜ
ΑΣΚΗΣΗ 6η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναιuα =3ρ όπου ρ του εγγεγραmicromicroένου κύκλου του τριγώνου Ο λόγος
αγβ +
ισούται microε Α 2 Β 3 Γ 3
1 ∆
2
3 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ΑΣΚΗΣΗ 7η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάmicroεσός του Α∆ Προεκτείνουmicroε την ΒΑ προς το Α κατά τmicroήmicroα
ΑΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι (ΒΕ∆)=3(Α∆Γ)
ΑΣΚΗΣΗ 8η
Στο εσωτερικό της αυλής ενός σπιτιού υπάρχει microικρός κήπος microε λαχανικά όπως στο
ακόλουθο σχήmicroα Αν το εmicroβαδόν του κήπου είναι 122m και οι διαστάσεις της αυλής είναι
12m και 13m να βρεθεί το x Αν θέλουmicroε να περιφράξουmicroε τον κήπο microε σύρmicroα πόσο σύρmicroα
θα χρειαστούmicroε
12m
13m
ΑΣΚΗΣΗ 9η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ Από τυχαίο σηmicroείο Ε της ΑΓ φέρουmicroε ευθεία παράλληλη
προς την Α∆ που τέmicroνει την Γ∆ στο Ζ Να αποδείξετε ότι
i) (Α∆Ζ)=(ΑΕΒ)
ii) (ΑΕΖ)=(ΒΕΓ)-(ΖΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 10η
Οι διάmicroεσοι Β∆ και ΓΕ τριγώνου ΑΒΓ τέmicroνονται στο Θ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΕ∆)=4
)(ΑΒΓ
ii) (ΒΘΓ)= 3
)(ΑΒΓ
iii)(ΑΕ∆)= (ΒΚΛΓ) όπου Κ Λ τα microέσα των ΒΘ και ΓΘ αντίστοιχα
x
x x
x
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
32
ΑΣΚΗΣΗ 11η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε τη διχοτόmicroο Α∆ Από το ∆ φέρνουmicroε παράλληλη προς την ΑΒ
που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει την προέκταση της
∆Ε στο Ζ να αποδείξετε ότι
α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)
β) β2(ΑΕΖ) = γ
2(∆ΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 12η
Θεωρούmicroε γωνία yxand
Α και σηmicroείο Ο της διχοτόmicroου της Αδ Αν ο κύκλος (ΟΟΑ) τέmicroνει τις
Οx Οy στα Β Γ αντίστοιχα και την Αδ στο ∆ να αποδείξετε ότι
α) (ΟΑΒ)=(ΟΑΓ)
β) (ΒΟΓ∆)=(ΑΒ∆)
γ) (ΒΟΓ∆)=2
1(ΟΑ)(ΒΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 13η
Από εσωτερικό σηmicroείο Μ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλες προς τις
πλευρές ΑΓ και ΑΒ που τέmicroνουν τις ΑΒ ΑΓ στα ∆ Ζ αντίστοιχα Αν (ΒΜ)=x (ΒΓ)=α
(Β∆Μ)=Ε1 (ΓΖΜ)=Ε2 και (ΑΒΓ)=Ε τότε
α) Να εκφράσετε ως συναρτήσεις των x και α τους λόγους Ε
Ε1 και Ε
Ε2
β) Να αποδείξετε ότι ΕgeΕ+Ε2
121
ΑΣΚΗΣΗ 14η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=Γ∆=λ3
Να βρεθεί
i) Η περίmicroετρος του ΑΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που αντιστοιχεί στη χορδή ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 15η
Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε τα διαδοχικά σηmicroεία Α Β Γ και ∆ ώστε ΑΒ=ΒΓ=Γ∆= R Να
βρεθεί
i) H περίmicroετρος του τριγώνου ΑΒ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τριγώνου ΒΓ∆
iii) Ο λόγος )(
)(
ΒΓ∆ΑΒ∆
ΑΣΚΗΣΗ 16η
∆ίνεται τεταρτοκύκλιο Οand
ΒΓ ακτίνας R
α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΓΒ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε δύο ισεmicroβαδικά χωρία
β) Αν ∆ σηmicroείο του τόξου ΒΓ να αποδείξετε ότι η ευθεία Γ∆ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
γ) Να βρείτε σηmicroείο Α της ακτίνας ΟΒ ώστε η ευθεία ΓΑ να χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
33
ΑΣΚΗΣΗ 17η
Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο Ο cap
ΒΓ ακτίνας R Σηmicroείο Α κινείται πάνω στο τόξο cap
ΒΓ και έστω
Κ το σηmicroείο τοmicroής της ακτίνας ΟΑ microε τη ΒΓ Να βρείτε το microήκος του τόξου cap
ΒΑ όταν το
εmicroβαδό του τριγώνου ΟΚΓ ισούται microε το εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα
τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΒ και το τόξο cap
ΒΑ
ΑΣΚΗΣΗ 18η
∆ίνεται ηmicroικύκλιο κέντρου Ο microε διάmicroετρο ΑΑ1=2R Έστω Β σηmicroείο του ηmicroικυκλίου microε
( 1ΑΟΒand
)=φ microοίρες και ΟΓ ακτίνα που τέmicroνει τη χορδή ΑΒ στο Κ
α) Να βρείτε το microήκος S του τόξου cap
ΑΓ όταν το εmicroβαδόν του τριγώνου ΟΚΒ ισούται microε το
εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΓ και το τόξοcap
ΑΓ
β) Αν η γωνία 1ΑΟΒand
είναι 150ο πόσο είναι το S
γ) Για ποια τιmicroή του φ το S γίνεται microέγιστο
Β
Γ
φ
Α1 Α
ΑΣΚΗΣΗ 19η
Η περίmicroετρος ρόmicroβου ΑΒΓ∆ πλευράς α και κέντρου Ο είναι τετραπλάσια της microικρής
διαγωνίου του Β∆
i) Να υπολογιστεί συναρτήσει του α το εmicroβαδόν του Ε
ii) Φέρουmicroε Α∆perpΟΗ και Γ∆perpΟΖ Αν η ΑΖ τέmicroνει τον κύκλο διαmicroέτρου Ο∆ στο Θ να
δειχθεί ότι 2
3Ε=ΑΖsdotΑΘ
ΑΣΚΗΣΗ 20η
Το περίγραmicromicroα της βάσης ενός microεγάλου λόφου σχηmicroατίζει τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=γ ΑΓ=β
όπου βgtγ και στο οποίο η διάmicroεσος ΑΜ και το ύψος Α∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο ∆ίπλα στην
πλευρά ΑΓ υπάρχει ορθογώνιος ιδιωτικός χώρος διαστάσεων 2
γβ +και β-γ Σrsquo αυτόν το
χώρο πρόκειται να κατασκευαστεί ένας microεγάλος ανισόπεδος κόmicroβος που θα συνδέει δύο
δρόmicroους ταχείας κυκλοφορίας Γιrsquo αυτούς τους λόγους προτείνεται στον ιδιοκτήτη να δεχτεί
να ανταλλάξει αυτόν τον χώρο microε άλλον ορθογώνιο χώρο του δηmicroοσίου που βρίσκεται δίπλα
στην πλευρά ΒΓ και έχει διαστάσεις τα microήκη των ΒΓ και 2
ΑΜ Ο ιδιοκτήτης δηλώνει ότι θα
συmicroφωνήσει microε την πρόταση αρκεί οι ανταλλάξιmicroοι χώροι να έχουν την ίδια έκταση
Πρακτικά όmicroως είναι αδύνατον να microετρήσει την πλευρά ΒΓ και τη διάmicroεσο ΑΜ γιrsquo αυτό και
διστάζει Πως θα σκεφτόσαστε εσείς να βοηθήσετε τον ιδιοκτήτη να αποφασίσει
Κ
Ο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
34
ΑΣΚΗΣΗ 21η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε β=2γ και η διάmicroεσος του Β∆ Φέρουmicroε Β∆perpΑx που τέmicroνει την
Β∆ στο Ε και την ΒΓ στο Ζ και ΕyΑΓ που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ Να αποδείξετε ότι
i) ZB= 2
1ZΓ
ii) (ΑΒΓ)=3(ΑΒΖ)
iii) Να αποδειχθεί ότι 8
3
)(
)(=
ΑΒΖΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΗ 22η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε α=2γ και β= 7γ
α) i) Να αποδείξετε ότι 2
3αmicroα =
ii) Να βρείτε το είδος της γωνίας and
Β
iii) Αν ΑΕ perp ΒΓ να υπολογίσετε το ΒΕ συναρτήσει του γ
iv) Να βρείτε τη γωνία and
Β
β) Αν ΑΜ διάmicroεσος και Β∆ διχοτόmicroος να αποδείξτε ότι
i) Α∆ = 3
β
ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)
ΑΣΚΗΣΗ 23η
Έστω τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ο R) και σηmicroείο Μ το οποίο κινείται στο
ηmicroικύκλιο cap
ΑΒΓ
α) Να βρεθεί το ελάχιστο ( )minΕ και το microέγιστο ( )maxΕ εmicroβαδόν του τετράπλευρου ΑΜΓ∆
συναρτήσει της ακτίνας R
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε θέση του Μ είναι
i) Μ∆2 = ΑΓ ∆Ε όπου Ε η προβολή του Μ στην Β∆
ii) (ΑΜΓ∆) = 2
2Μ∆
γ) Να προσδιορίσετε τη θέση του σηmicroείου Μ όταν (ΑΜΓ∆) = 2
maxmin EE +
ΑΣΚΗΣΗ 24η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ M το microέσο της ΑΒ σηmicroείο Ν της ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΝ = 4
3ΑΓ και
σηmicroείο Κ της ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΚ = 4
1ΒΓ Να βρεθεί ο λόγος των εmicroβαδών του τριγώνου
ΑΒΓ προς του τριγώνου ΜΝΚ
ΑΣΚΗΣΗ 25η
Α) Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι 2
αmicro = βγ και β-γ = 5 2 Το microήκος της πλευράς
α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3
Β) Να δειχθεί ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει η σχέση (222
γβα micromicromicro ++ )2 = 27Ε
2 όπου
Ε το εmicroβαδό του
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
35
ΑΣΚΗΣΗ 26η
Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω περιπτώσεις
όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί να αποτελεί microήκη των
πλευρών του
i) 3 57
ii) 8 4 2
iii) 7 6 85
ΑΣΚΗΣΗ 27η
Αν η διάmicroεσος microα ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν προεκταθεί τέmicroνει τον περιγεγραmicromicroένο κύκλο
στο ∆ να αποδειχθεί ότι microα = Α∆+
2
22 γβ
ΑΣΚΗΣΗ 28η
Από ένα κυκλικό οικόπεδο ακτίνας R=30m θα αποκοπεί κυκλικό τmicroήmicroα χορδής 30 3 m για
την κατασκευή δρόmicroου
i) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου που έmicroεινε
ii) Να βρεθεί η αποζηmicroίωση που θα δοθεί στον ιδιοκτήτη αν η αρχική αξία του οικοπέδου
ήταν 10000000 δρχ
ΑΣΚΗΣΗ 29η
Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι α =13 β = 8 γ = 7
i) Να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς το είδος των γωνιών του
ii) Να υπολογιστεί το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ πάνω στην ΑΒ
iii) Να υπολογιστεί η γωνία and
Α
ΑΣΚΗΣΗ 30η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 4 ΑΓ = 5 ΒΓ = 7 Το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ
πάνω στην ΑΒ είναι Α 5 Β 1 Γ 6 ∆ 2
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 31η
Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (and
Α =90ο) microε
and
Β =60ο και ΒΓ=4 Με κέντρο το Β και
ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ και microε κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΜ
γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν να βρεθούν
i) Η θέση του σηmicroείου Μ στη ΒΓ
ii) Η περίmicroετρος του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
iii) Το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
36
ΑΣΚΗΣΗ 32η
Μια έκταση σχήmicroατος τετραγώνου microε A 30 H 70 ∆
πλευρά 100m πρόκειται να διατεθεί
για κατασκευή εργατικών κατοικιών
Οι κατοικίες θα ανεργεθούν σε τέσσερα 70 30
ίσα τριγωνικά οικόπεδα και η υπόλοιπη Μ
έκταση σχήmicroατος τετραπλεύρου θα
χρησιmicroοποιηθεί ως κοινόχρηστος χώρος Z
για δενδροφύτευση και κατασκευή γηπέδου
microπάσκετ 30 70
α) Να βρεθούν τα εmicroβαδά των τεσσάρων ίσων οικοπέδων
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινόχρηστου χώρου B 70 K 30 Γ
γ) Τι είδους τετράπλευρο είναι ο κοινόχρηστος χώρος Να βρεθούν οι πλευρές του
ΑΣΚΗΣΗ 33η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 90A =
and
και ΑΒ=y ΑΓ=β
Α∆=ν Β∆=micro ΒΓ=x ∆Γ=κ
i) Να συmicroπληρωθούν οι σχέσεις
β2=helliphelliphellip=helliphelliphelliphellip Α
ν2=helliphelliphelliphelliphelliphellip
2
2
βy
=helliphelliphelliphelliphellip βy=helliphelliphelliphellip y ν β
ii) Να δειχθεί ότι 111
222 νβ=+
y Β ν ∆ κ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 34η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroεία ∆Ε της πλευράς ΒΓ έτσι ώστε Β∆=∆Ε=ΕΓ Να απόδειχθεί
ότι
i) 2222 22 ΑΕminusΑ∆=∆ΕminusΑΒ ii)
2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 35η
∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε o90=Α
and
ΑΒ=5cm ΑΓ=12cm Α∆ το ύψος του και ΒΜ
η διάmicroεσος του Προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά ΓΕ=ΒΓ i) Να συγκρίνετε τα
εmicroβαδά των τριγώνων Α∆Γ και ΑΓΕ ii) Να δείξετε ότι η σχέση που συνδέει τα εmicroβαδά των
τριγώνων ΑΒΜ και ΑΒΕ είναι (ΑΒΕ)=4(ΑΒΜ)
ΑΣΚΗΣΗ 36η
Από σηmicroείο Μ εκτός κύκλου φέρνουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΜΕ του κύκλου και τις
τέmicroνουσες ΜΑΒ και ΜΓ∆ Αν είναι ΑΒ=9 ΓΜ=4 Γ∆=5 να υπολογίσετε i) το ΜΑ ii) το
ΜΕ
ΑΣΚΗΣΗ 37η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) ΑΒ microια διάmicroετρος του και Μ τυχαίο σηmicroείο του (διαφορετικό των Α
Β) Αν Γ είναι το microέσο της ΟΑ και ∆ το microέσο της ΟΒ ενώ η ΜΓ τέmicroνει τον κύκλο στο Ε και
η Μ∆ στο Ζ τότε να αποδείξετε ότι3
10=
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
37
Ζ
Ε
ΑΣΚΗΣΗ 38η
Ένα τριγωνικό αγρόκτηmicroα ΑΒΓ χωρίζεται
σε τέσσερα τριγωνικά αγροτεmicroάχια όπως Α
φαίνεται στο σχήmicroα έτσι ώστε ΑΒ=Α∆3
2
ΒΕ= ΒΓ4
1και ΓΖ= ΑΓ
2
1 α) Αν το εmicroβαδό ∆
του ΑΒΓ είναι 48 στρέmicromicroατα να υπολογίσετε το Β
Γ
εmicroβαδό του ∆ΕΖ β) Αν τα ∆ Ε Ζ είναι τα microέσα των ΑΒ
ΒΓ ΑΓ αντίστοιχα να βρεθούν τα εmicroβαδά των
τεσσάρων αγροτεmicroαχίων
ΑΣΚΗΣΗ 39η
∆ίνεται εγγράψιmicroο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ ώστε οι πλευρές του ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α microε τη σειρά
που δίνονται να αποτελούν γεωmicroετρική πρόοδο Να αποδείξετε ότι η διαγώνιος του Β∆ το
χωρίζει σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
ΑΣΚΗΣΗ 40η
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ∆ Ζ Γ
την ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m και
ο90=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος υ
∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο οποίος
θα χωρίσει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆
και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα α) Να βρεθεί
το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆ β) Να
βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο
ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο Α Ε Η Β
ΑΕ∆ δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου
∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
ΑΣΚΗΣΗ 41η
∆ίνεται ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ και τα σηmicroεία του ∆Γ έτσι ώστε ∆Β=Γ∆=ΑΓ Αν
Μ τυχαίο σηmicroείο εκτός του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατοςΑΒ
Να δείξετε ότι 2222 33 ΜΓ+ΜΒ=ΜΒ+ΑΜ
ΑΣΚΗΣΗ 42η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 222 2αγβ =+ Αν η διάmicroεσος ΑΜ τέmicroνει το περιγεγραmicromicroένο
κύκλο του τριγώνου στο ∆ να δείξετε ότι
α) 6
3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
38
ΑΣΚΗΣΗ 43η
Από ένα εξωτερικό σηmicroείο Α κύκλου ( )RΟ φέρουmicroε microια τέmicroνουσα ΑΒΓ έτσι ώστε
ΒΓ=ΑΒ Αν 7R=ΟΑ τότε να δείξετε ότι
i) ΒΓ=ΑΒ =λ3
ii) η γωνία and
ΑΟΓ είναι αmicroβλεία
iii) η προβολή της ΟΓ πάνω στην ΟΑ είναι ίση microε ΟΑ7
2
iv) Να δείξετε ότι ( )( ) 2
1=
ΑΟΓΒΟΓ
και στην συνέχεια να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του τριγώνου
and
ΑΟΓ
v) Να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που ορίζεται από την χορδή ΒΓ και
το microέτρο του τόξου cap
ΒΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
39
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
40
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
22
11 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ microε ΑΒ=10 Α∆=4 και and
∆ =60ο Στην πλευρά ΑΒ
θεωρούmicroε τα σηmicroεία Ε και Ζ έτσι ώστε ΑΕ=ΕΖ=ΖΒ Αν Η είναι το σηmicroείο τοmicroής των
ευθειών ∆Ε και ΓΖ να υπολογιστούν
α) το εmicroβαδό του παραλληλογράmicromicroου ΑΒΓ∆
β) το εmicroβαδό του τραπεζίου Γ∆ΕΖ
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου ΗΕΖ
12 ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=ΑΓ=6 και ο120=Α
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του
β) Αν Ε σηmicroείο της ΑΓ τέτοιο ώστε ΓΕ=ΑΕ2
1 και Α∆ το ύψος του τριγώνου
ΑΒΓ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ∆ΕΓ
γ) Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει τη ∆Ε στο Η να βρεθεί το εmicroβαδό
του τριγώνου ΑΕΗ
13 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroείο Ρ στο εσωτερικό του Από το Ρ φέρνουmicroε κάθετες
ηmicroιευθείες στις πλευρές ΒΓ ΓΑ και ΑΒ και πάνω σrsquo αυτές παίρνουmicroε τα σηmicroεία Α΄
Β΄ και Γ΄ αντίστοιχα έτσι ώστε ΡΑ΄=ΒΓ ΡΒ΄=ΑΓ και ΡΓ΄=ΑΒ Να αποδειχθεί ότι
α) οι γωνίες and
Γ και and
ΒprimeΡΑprime είναι παραπληρωmicroατικές
β) (ΡΑ΄Β΄)=(ΑΒΓ)
γ) (Α΄Β΄Γ΄)=3(ΑΒΓ)
14 Θεωρούmicroε τρεις ίσες διαδοχικές γωνίες and
οψx zand
οψ xzand
ο και πάνω στις
ηmicroιευθείες Οx Oψ και Οz τα σηmicroεία Α Β Γ αντίστοιχα έτσι ώστε ΟΑ=1 ΟΒ=4 και
ΟΓ=8
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ψοand
x zand
οψ xzand
ο
β) Αν Οw η αντικείmicroενη ηmicroιευθεία της Οψ και Γ∆ wΟperp να υπολογίσετε τις Ο∆ και
Γ∆
γ) Να υπολογίσετε το (ΟΒΓ)
δ) Να αποδείξετε ότι (ΑΒΓ)= 311
15 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ και Κ Λ Μ Ν τα microέσα των ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α
αντίστοιχα α) Να αποδειχθεί ότι (ΚΛΜΝ)=2
1(ΑΒΓ∆)
β) Αν ΚΜ ΛΝperp να αποδειχθεί ότι (ΑΒΓ∆) = ΚΜΛΝ
16 Λ
Α Β Στο διπλανό σχήmicroα τα σηmicroεία Κ Λ είναι τα
Κ Ρ microέσα των τmicroηmicroάτων ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα
Να αποδείξετε ότι
Γ α) ο λόγος των εmicroβαδών των τριγώνων ΑΚΒ και ΑΛΓ είναι ίσος microε
β) αν Ρ είναι το σηmicroείο τοmicroής των ΛΓ και ΚΒ τότε τα τρίγωνα ΒΛΡ
και ΚΓΡ έχουν ίσα εmicroβαδά
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
23
17 ∆ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) microε ΑΒ=4 Α∆=2 καιο60=∆
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τραπεζίου ΑΒΓ∆
β) Αν Ε σηmicroείο της πλευράς ΑΒ τέτοιο ώστε ΕΒ= ΑΒ4
1 και οι Ε∆ ΕΓ τέmicroνουν τη
διάmicroεσο του τραπεζίου στα σηmicroεία Ζ και Η αντίστοιχα να βρεθεί το εmicroβαδό του
τριγώνου ΕΖΗ
γ) Αν οι ∆Ε και ΒΓ τέmicroνονται στο Ρ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ΡΕΒ
18 Αν οι διαγώνιοι κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓ∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο να αποδείξετε ότι
το τετράπλευρο έχει εmicroβαδό Β∆sdotΑΓ4
1
19 Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται ΑΒ=5 ο60=Α
and
και η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου
κύκλου 3
7=R Να βρεθούν οι άλλες δύο πλευρές του τριγώνου και το εmicroβαδόν του
20
∆ Ζ Γ
υ
Α Ε Η Β
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m
90ο=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος ∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο
οποίος θα χωρίζει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆ και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο
ΑΕ∆
δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου ∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
21 Αν Μ και Ν είναι τα microέσα των πλευρών ΒΓ και Γ∆ ενός παραλληλόγραmicromicroου ΑΒΓ∆
να αποδείξετε ότι (ΑΜΝ)= )(8
3ΑΒΓ∆
22 Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) θεωρούmicroε το microέσο Μ της πλευράς ΑΒ
και σηmicroείο Ν της πλευράς ΑΓ τέτοιο ώστε 3
ΑΓ=ΓΝ Να δειχθεί ότι
(ΜΝΒ)= )(3
1ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
24
23 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και τυχαίο σηmicroείο Σ στην προέκταση της πλευράς
∆Γ προς το Γ Να αποδείξετε ότι
α) (ΑΒ∆)= )(2
1ΑΒΓ∆
β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)
γ) αν η ΑΣ τέmicroνει την Β∆ στο σηmicroείο Ε τότε (Ε∆Σ)-(ΕΑΒ)=(ΣΒΓ)
24 Έστω Σ τυχαίο σηmicroείο της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ Στο σηmicroείο Α φέρουmicroε
microια ευθεία ε κάθετη στην ΑΣ Αν ∆ και Ε είναι αντίστοιχα οι προβολές των σηmicroείων
Β και Γ στην ευθεία ε να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ∆ΣΕ είναι ισοδύναmicroα
25 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 8=ΑΒ 12=ΑΓ και η Α∆ διχοτόmicroος της γωνίας and
Α Αν
( )ΑΒ∆ =20 τmicro να βρείτε το ( )ΑΒΓ
26 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ∆ σηmicroείο της πλευράς ΑΒέτσι ώστε 6=Α∆ ∆Β=5
8=ΑΓ Αν 80=Α
and
να βρείτε το εmicroβαδόν του τριγώνου Β∆Γ
27 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ microε 90=Β
and
και η γωνία and
Α να είναι το 3
1 της ορθής Αν
∆ σηmicroείο της προέκτασης της πλευράς ΒΓ προς το Γ τέτοιο ώστε η 30=Α∆Β
and
να
βρεθεί ο λόγος ( )( )ΑΒ∆ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
25
ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ
ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ
Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του
ίσες
Γωνία κανονικού ν-γώνου ν
φν
360
180 minus=
Κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου ν
ων
360=
Σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας R ισχύουν οι εξής τύποι 2
22
4R=+ ν
ν
λα
νν λν sdot=Ρ
ννν αsdotΡ=Ε2
1
όπου να απόστηmicroα νλ πλευρά νΡ περίmicroετρος νΕ εmicroβαδόν
∆ύο κανονικά πολύγωνα microε τον ίδιο αριθmicroό πλευρών είναι όmicroοια
Κάθε κανονικό πολύγωνο εγγράφεται σε έναν κύκλο και περιγράφεται σε έναν άλλον Οι δύο
αυτοί κύκλοι είναι οmicroόκεντροι
bull Το κοινό κέντρο τον κύκλων αυτών λέγεται κέντρο του πολυγώνου
bull Η ακτίνα R του περιγεγραmicromicroένου κύκλου λέγεται ακτίνα του πολυγώνου
bull Η απόσταση του κέντρου από microια πλευρά του δηλαδή η ακτίνα του εγγεγραmicromicroένου
κύκλου λέγεται απόστηmicroα του πολυγώνου
Σε δύο κανονικά ν-γωνα ο λόγος των πλευρών τους ισούται microε το λόγο των ακτινών τους και
το λόγο των αποστηmicroάτων τους
∆ηλαδή
ν
ν
ν
ν
αα
λλ
==R
R
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
26
ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ
ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ
ΚΑΝΟΝΙΚΟ
ΕΞΑΓΩΝΟ
ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ
ΤΡΙΓΩΝΟ
ΠΛΕΥΡΑ νλ 24 R=λ R=6λ 33 R=λ
ΑΠΟΣΤΗΜΑ να
2
24
R=α
2
36
R=α
23
R=α
RL sdot= π2
180
microπ sdotsdot=
Rl ή Rl sdot=α
180
microαπ
=
2Rsdot=Ε π
( )360
2 microπ sdotsdot=ΟΑΒ
cap R ή ( )
cap
sdot=ΟΑΒ 2
2
1Rα
( ) ( )ΟΑΒminusΟΑΒ=cap
ε
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
27
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Ένα κανονικό εξάγωνο είναι περιγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ορ) Η πλευρά του
εξαγώνου αυτού είναι
Α ρ Β 2
3ρ Γ 2ρ ∆
3
32ρ Ε
3
2ρ
2 ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και στις προεκτάσεις των
πλευρών ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α θεωρούmicroε τα τmicroήmicroατα ΒΚ=ΓΛ=∆Μ=ΑΝ=λ3 Να δείξετε
ότι το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο και ότι η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου κύκλου του
είναι 641 += RR
3 Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε δύο παράλληλες χορδές ΑΒ=λ4 και Γ∆=λ6 Να
αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι ισοσκελές τραπέζιο και να υπολογιστεί
το εmicroβαδό του ως συνάρτηση της ακτίνας R
4 Η περίmicroετρος ενός κυκλικού τοmicroέα ΟΑΒ ενός κύκλου (ΟR) είναι 6+π Αν
ο60=ΒΟΑand
τότε το microήκος της ακτίνας R είναι
Α 6 Β 3 Γ 2 ∆ 4 Ε 5 (δικαιολογήστε την απάντησή σας)
5 Έστω τεταρτοκύκλιο ΟΑΒ ακτίνας R και ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΟΒ στο εσωτερικό
του Να βρείτε το εmicroβαδό και την περίmicroετρο του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΑΒ
6 Έστω δύο κύκλοι (ΟR) και (Ο΄R) των οποίων η διάmicroετρος ΟΟ΄ έχει microήκος
ΟΟ΄=R 3 α) Να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι τέmicroνονται
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινού microέρους των δύο κύκλων
7 Το εmicroβαδό κυκλικού τοmicroέα 80ο είναι 8π Η ακτίνα του κύκλου είναι
Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15
8 Τετράγωνο ΑΒΓ∆ είναι εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και η ηmicroιπερίmicroετρος του
είναι 80cm Να υπολογιστούν
α) η ακτίνα R του κύκλου
β) ο λόγος του εmicroβαδού του κύκλου προς το εmicroβαδό του τετραγώνου
9 Στο εσωτερικό ηmicroικυκλίου διαmicroέτρου ΑΟΒ=2R γράφουmicroε ηmicroικύκλια microε
διαmicroέτρους ΟΑ και ΟΒ Να υπολογιστεί το microήκος και το εmicroβαδό του κύκλου που
εφάπτεται των τριών ηmicroικυκλίων
10 ∆ύο κύκλοι (Ο3R) και (Ο΄R) εφάπτονται εξωτερικά στο σηmicroείο Α Φέρουmicroε την
κοινή εξωτερική εφαπτόmicroενη ΒΓ αυτών Να βρεθεί το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου
τριγώνου ΑΒΓ και του περιγεγραmicromicroένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ
11 Έστω ο κύκλος (ΟR) και microια ακτίνα του ΟΑ Στην ηmicroιευθεία ΟΑ θεωρούmicroε
σηmicroείοΒ έτσι ώστε ΑΒ=ΑΟ Αν ΒΓ η εφαπτοmicroένη του κύκλου να βρεθεί το
εmicroβαδό α) του τριγώνου ΟΒΓ και β) του microικτόγραmicromicroου τριγώνου
ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
28
12 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=λ3 και Γ∆=λ6
προς το ίδιο microέρος του κέντρου Ο α) Να εκφράσετε τις χορδές ΑΒ και Γ∆ ως
συνάρτηση της ακτίνας R β) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό Ε1 του κυκλικού τmicroήmicroατος
που αντιστοιχεί στη χορδή Γ∆ γ) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό του τριγώνου ΟΑΒ
δ) Να βρείτε την περίmicroετρο και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τραπεζίου που έχει
κορυφές τα ΑΒΓ∆
13 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) χορδή ΑΒ=R την εφαπτοmicroένη ε του κύκλου στο σηmicroείο
Α και τη εperpΒΓ Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του τραπεζίου ΟΑΓΒ
β) το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
14 ∆ίνεται ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΑΒ και στο εσωτερικό του τα ηmicroικύκλια διαmicroέτρων
ΑΓ και ΓΒ όπου Γ σηmicroείο microεταξύ των Α και Β Αν κάθετη της ΑΒ στο Γ τέmicroνει το
αρχικό ηmicroικύκλιο στο ∆ να αποδείξετε ότι το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται
microεταξύ των τριών ηmicroικυκλίων είναι ίσο microε το εmicroβαδό του κύκλου διαmicroέτρου Γ∆
15 Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ο60=Β
and
και ΒΓ=α Με
κέντρο το Β και ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει τη ΒΓ στο Μ και microε κέντρο
το Γ και ακτίνα ΓΜ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν Να βρεθεί η
περίmicroετρος και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
16 Με κέντρο ένα σηmicroείο Κ κύκλου (ΟR) και ακτίνα ίση προς R 3 γράφουmicroε
κύκλο ο οποίος τέmicroνει τον (ΟR) στα σηmicroεία Α και Β Να υπολογιστούν η
περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου microηνίσκου
17 ∆ίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ΒΓ = 2R
Γράφουmicroε ηmicroικύκλιο microε διάmicroετρο ΒΓ εκτός τριγώνου και τόξο κύκλου (Α ΑΒ) microε
άκρα Β και Γ Να βρεθεί η περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου
microηνίσκου από το ηmicroικύκλιο και το τόξο αυτό
18 Ένα ορθογώνιο σπίτι microε διαστάσεις α = 20m και β = 10m έχει microια εξωτερική
πρίζα σε microια γωνία του Ένα χορτοκοπτικό microηχάνηmicroα συνδεδεmicroένο microε την πρίζα
έχει καλώδιο microε microήκος 15m Να βρεθεί το εmicroβαδόν της microεγαλύτερης επιφάνειας
του χόρτου που microπορεί να κοπεί
19 Σε κύκλο ακτίνας R = 4cm είναι εγγεγραmicromicroένο ισόπλευρο τρίγωνο
Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του κύκλου
β) την πλευρά του τριγώνου
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου
δ) το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται microεταξύ του κύκλου και του τριγώνου
20 Σε κύκλο microε διάmicroετρο ΑΒ φέρουmicroε τις χορδές ΜΒΑΜ Αν είναι 6=ΑΜ και
8=ΒΜ να βρεθεί η ακτίνα και το εmicroβαδόν του κύκλου
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
29
21 Να βρεθεί το εmicroβαδόν του καθενός από τα δύο microέρη στα οποία διαιρείται ένας
κύκλος ( )RΟ από την πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραmicromicroένου στον κύκλο
αυτόν
22 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και φέρουmicroε δύο κάθετες ακτίνες ΟΑ και ΟΒ Με
κέντρο το Α και ακτίνα R γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει το cap
AB στο σηmicroείο Γ Να
βρεθεί το εmicroβαδόν του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΒΓ
23 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και τόξο 60=ΑΒ
cap
Φέρουmicroε στο σηmicroείο Α την
εφαπτοmicroένη χΑ του κύκλου και την χΑperpΒΓ Να βρεθεί το εmicroβαδόν του
microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
30
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΗ 1η
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α∆ διχοτόmicroος Β∆ = 2 Γ∆ = 3 και 2τ = 15 (περίmicroετρος) η πλευρά
ΑΒ είναι
Α 3 Β 4 Γ 5 ∆ 6 Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 2η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 3α2 + 2γ
2 = 2β
2 Τότε
i) Α and
Α gt90ο Β
and
Β gt 90ο Γ
and
Β lt 90ο ∆
and
Γ gt 90ο Ε Κανένα από τα παραπάνω
ii) Η προβολή της διαmicroέσου microα στην ΒΓ ισούται microε
Α 4
a Β
2
a Γ
4
3a ∆
2
3a Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 3η
Αν ΑΒΓ∆ τετράγωνο πλευράς α και Ε microέσο του Α∆ τότε
i) ΒΕ =2
5α Σ Λ
ii) Ο λόγος ΒΕΕΖ
ισούται microε
Α 5
2 Β
4
5 Γ
4
1 ∆
5
1 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
Α Β
E
Z
∆ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 4η
Αν τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=4 ΒΓ=5 ΑΓ=6 και Α∆ διχοτόmicroος τότε
i) -Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο Σ Λ
- Ο λόγος ∆Γ∆Β
ισούται microε
Α 2
1 Β
3
1 Γ
3
2 ∆
4
3 Ε
2
3
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ii) Αν ε η προβολή του Α στην ΒΓ να υπολογίσετε το microήκος του ΒΕ
iii) Να αποδείξετε ότι 2
1=
∆Γ∆Ε
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
31
ΑΣΚΗΣΗ 5η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και Μ το microέσο της Α∆ Προεκτείνουmicroε τη ∆Γ προς το Γ
κατά ΓΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΒΜ)=2
)(ΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τραπεζίου ΑΒΕ∆ είναι οκταπλάσιο από το εmicroβαδόν του
τριγώνου ΑΒΜ
ΑΣΚΗΣΗ 6η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναιuα =3ρ όπου ρ του εγγεγραmicromicroένου κύκλου του τριγώνου Ο λόγος
αγβ +
ισούται microε Α 2 Β 3 Γ 3
1 ∆
2
3 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ΑΣΚΗΣΗ 7η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάmicroεσός του Α∆ Προεκτείνουmicroε την ΒΑ προς το Α κατά τmicroήmicroα
ΑΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι (ΒΕ∆)=3(Α∆Γ)
ΑΣΚΗΣΗ 8η
Στο εσωτερικό της αυλής ενός σπιτιού υπάρχει microικρός κήπος microε λαχανικά όπως στο
ακόλουθο σχήmicroα Αν το εmicroβαδόν του κήπου είναι 122m και οι διαστάσεις της αυλής είναι
12m και 13m να βρεθεί το x Αν θέλουmicroε να περιφράξουmicroε τον κήπο microε σύρmicroα πόσο σύρmicroα
θα χρειαστούmicroε
12m
13m
ΑΣΚΗΣΗ 9η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ Από τυχαίο σηmicroείο Ε της ΑΓ φέρουmicroε ευθεία παράλληλη
προς την Α∆ που τέmicroνει την Γ∆ στο Ζ Να αποδείξετε ότι
i) (Α∆Ζ)=(ΑΕΒ)
ii) (ΑΕΖ)=(ΒΕΓ)-(ΖΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 10η
Οι διάmicroεσοι Β∆ και ΓΕ τριγώνου ΑΒΓ τέmicroνονται στο Θ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΕ∆)=4
)(ΑΒΓ
ii) (ΒΘΓ)= 3
)(ΑΒΓ
iii)(ΑΕ∆)= (ΒΚΛΓ) όπου Κ Λ τα microέσα των ΒΘ και ΓΘ αντίστοιχα
x
x x
x
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
32
ΑΣΚΗΣΗ 11η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε τη διχοτόmicroο Α∆ Από το ∆ φέρνουmicroε παράλληλη προς την ΑΒ
που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει την προέκταση της
∆Ε στο Ζ να αποδείξετε ότι
α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)
β) β2(ΑΕΖ) = γ
2(∆ΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 12η
Θεωρούmicroε γωνία yxand
Α και σηmicroείο Ο της διχοτόmicroου της Αδ Αν ο κύκλος (ΟΟΑ) τέmicroνει τις
Οx Οy στα Β Γ αντίστοιχα και την Αδ στο ∆ να αποδείξετε ότι
α) (ΟΑΒ)=(ΟΑΓ)
β) (ΒΟΓ∆)=(ΑΒ∆)
γ) (ΒΟΓ∆)=2
1(ΟΑ)(ΒΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 13η
Από εσωτερικό σηmicroείο Μ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλες προς τις
πλευρές ΑΓ και ΑΒ που τέmicroνουν τις ΑΒ ΑΓ στα ∆ Ζ αντίστοιχα Αν (ΒΜ)=x (ΒΓ)=α
(Β∆Μ)=Ε1 (ΓΖΜ)=Ε2 και (ΑΒΓ)=Ε τότε
α) Να εκφράσετε ως συναρτήσεις των x και α τους λόγους Ε
Ε1 και Ε
Ε2
β) Να αποδείξετε ότι ΕgeΕ+Ε2
121
ΑΣΚΗΣΗ 14η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=Γ∆=λ3
Να βρεθεί
i) Η περίmicroετρος του ΑΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που αντιστοιχεί στη χορδή ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 15η
Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε τα διαδοχικά σηmicroεία Α Β Γ και ∆ ώστε ΑΒ=ΒΓ=Γ∆= R Να
βρεθεί
i) H περίmicroετρος του τριγώνου ΑΒ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τριγώνου ΒΓ∆
iii) Ο λόγος )(
)(
ΒΓ∆ΑΒ∆
ΑΣΚΗΣΗ 16η
∆ίνεται τεταρτοκύκλιο Οand
ΒΓ ακτίνας R
α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΓΒ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε δύο ισεmicroβαδικά χωρία
β) Αν ∆ σηmicroείο του τόξου ΒΓ να αποδείξετε ότι η ευθεία Γ∆ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
γ) Να βρείτε σηmicroείο Α της ακτίνας ΟΒ ώστε η ευθεία ΓΑ να χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
33
ΑΣΚΗΣΗ 17η
Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο Ο cap
ΒΓ ακτίνας R Σηmicroείο Α κινείται πάνω στο τόξο cap
ΒΓ και έστω
Κ το σηmicroείο τοmicroής της ακτίνας ΟΑ microε τη ΒΓ Να βρείτε το microήκος του τόξου cap
ΒΑ όταν το
εmicroβαδό του τριγώνου ΟΚΓ ισούται microε το εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα
τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΒ και το τόξο cap
ΒΑ
ΑΣΚΗΣΗ 18η
∆ίνεται ηmicroικύκλιο κέντρου Ο microε διάmicroετρο ΑΑ1=2R Έστω Β σηmicroείο του ηmicroικυκλίου microε
( 1ΑΟΒand
)=φ microοίρες και ΟΓ ακτίνα που τέmicroνει τη χορδή ΑΒ στο Κ
α) Να βρείτε το microήκος S του τόξου cap
ΑΓ όταν το εmicroβαδόν του τριγώνου ΟΚΒ ισούται microε το
εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΓ και το τόξοcap
ΑΓ
β) Αν η γωνία 1ΑΟΒand
είναι 150ο πόσο είναι το S
γ) Για ποια τιmicroή του φ το S γίνεται microέγιστο
Β
Γ
φ
Α1 Α
ΑΣΚΗΣΗ 19η
Η περίmicroετρος ρόmicroβου ΑΒΓ∆ πλευράς α και κέντρου Ο είναι τετραπλάσια της microικρής
διαγωνίου του Β∆
i) Να υπολογιστεί συναρτήσει του α το εmicroβαδόν του Ε
ii) Φέρουmicroε Α∆perpΟΗ και Γ∆perpΟΖ Αν η ΑΖ τέmicroνει τον κύκλο διαmicroέτρου Ο∆ στο Θ να
δειχθεί ότι 2
3Ε=ΑΖsdotΑΘ
ΑΣΚΗΣΗ 20η
Το περίγραmicromicroα της βάσης ενός microεγάλου λόφου σχηmicroατίζει τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=γ ΑΓ=β
όπου βgtγ και στο οποίο η διάmicroεσος ΑΜ και το ύψος Α∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο ∆ίπλα στην
πλευρά ΑΓ υπάρχει ορθογώνιος ιδιωτικός χώρος διαστάσεων 2
γβ +και β-γ Σrsquo αυτόν το
χώρο πρόκειται να κατασκευαστεί ένας microεγάλος ανισόπεδος κόmicroβος που θα συνδέει δύο
δρόmicroους ταχείας κυκλοφορίας Γιrsquo αυτούς τους λόγους προτείνεται στον ιδιοκτήτη να δεχτεί
να ανταλλάξει αυτόν τον χώρο microε άλλον ορθογώνιο χώρο του δηmicroοσίου που βρίσκεται δίπλα
στην πλευρά ΒΓ και έχει διαστάσεις τα microήκη των ΒΓ και 2
ΑΜ Ο ιδιοκτήτης δηλώνει ότι θα
συmicroφωνήσει microε την πρόταση αρκεί οι ανταλλάξιmicroοι χώροι να έχουν την ίδια έκταση
Πρακτικά όmicroως είναι αδύνατον να microετρήσει την πλευρά ΒΓ και τη διάmicroεσο ΑΜ γιrsquo αυτό και
διστάζει Πως θα σκεφτόσαστε εσείς να βοηθήσετε τον ιδιοκτήτη να αποφασίσει
Κ
Ο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
34
ΑΣΚΗΣΗ 21η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε β=2γ και η διάmicroεσος του Β∆ Φέρουmicroε Β∆perpΑx που τέmicroνει την
Β∆ στο Ε και την ΒΓ στο Ζ και ΕyΑΓ που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ Να αποδείξετε ότι
i) ZB= 2
1ZΓ
ii) (ΑΒΓ)=3(ΑΒΖ)
iii) Να αποδειχθεί ότι 8
3
)(
)(=
ΑΒΖΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΗ 22η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε α=2γ και β= 7γ
α) i) Να αποδείξετε ότι 2
3αmicroα =
ii) Να βρείτε το είδος της γωνίας and
Β
iii) Αν ΑΕ perp ΒΓ να υπολογίσετε το ΒΕ συναρτήσει του γ
iv) Να βρείτε τη γωνία and
Β
β) Αν ΑΜ διάmicroεσος και Β∆ διχοτόmicroος να αποδείξτε ότι
i) Α∆ = 3
β
ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)
ΑΣΚΗΣΗ 23η
Έστω τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ο R) και σηmicroείο Μ το οποίο κινείται στο
ηmicroικύκλιο cap
ΑΒΓ
α) Να βρεθεί το ελάχιστο ( )minΕ και το microέγιστο ( )maxΕ εmicroβαδόν του τετράπλευρου ΑΜΓ∆
συναρτήσει της ακτίνας R
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε θέση του Μ είναι
i) Μ∆2 = ΑΓ ∆Ε όπου Ε η προβολή του Μ στην Β∆
ii) (ΑΜΓ∆) = 2
2Μ∆
γ) Να προσδιορίσετε τη θέση του σηmicroείου Μ όταν (ΑΜΓ∆) = 2
maxmin EE +
ΑΣΚΗΣΗ 24η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ M το microέσο της ΑΒ σηmicroείο Ν της ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΝ = 4
3ΑΓ και
σηmicroείο Κ της ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΚ = 4
1ΒΓ Να βρεθεί ο λόγος των εmicroβαδών του τριγώνου
ΑΒΓ προς του τριγώνου ΜΝΚ
ΑΣΚΗΣΗ 25η
Α) Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι 2
αmicro = βγ και β-γ = 5 2 Το microήκος της πλευράς
α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3
Β) Να δειχθεί ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει η σχέση (222
γβα micromicromicro ++ )2 = 27Ε
2 όπου
Ε το εmicroβαδό του
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
35
ΑΣΚΗΣΗ 26η
Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω περιπτώσεις
όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί να αποτελεί microήκη των
πλευρών του
i) 3 57
ii) 8 4 2
iii) 7 6 85
ΑΣΚΗΣΗ 27η
Αν η διάmicroεσος microα ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν προεκταθεί τέmicroνει τον περιγεγραmicromicroένο κύκλο
στο ∆ να αποδειχθεί ότι microα = Α∆+
2
22 γβ
ΑΣΚΗΣΗ 28η
Από ένα κυκλικό οικόπεδο ακτίνας R=30m θα αποκοπεί κυκλικό τmicroήmicroα χορδής 30 3 m για
την κατασκευή δρόmicroου
i) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου που έmicroεινε
ii) Να βρεθεί η αποζηmicroίωση που θα δοθεί στον ιδιοκτήτη αν η αρχική αξία του οικοπέδου
ήταν 10000000 δρχ
ΑΣΚΗΣΗ 29η
Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι α =13 β = 8 γ = 7
i) Να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς το είδος των γωνιών του
ii) Να υπολογιστεί το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ πάνω στην ΑΒ
iii) Να υπολογιστεί η γωνία and
Α
ΑΣΚΗΣΗ 30η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 4 ΑΓ = 5 ΒΓ = 7 Το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ
πάνω στην ΑΒ είναι Α 5 Β 1 Γ 6 ∆ 2
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 31η
Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (and
Α =90ο) microε
and
Β =60ο και ΒΓ=4 Με κέντρο το Β και
ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ και microε κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΜ
γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν να βρεθούν
i) Η θέση του σηmicroείου Μ στη ΒΓ
ii) Η περίmicroετρος του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
iii) Το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
36
ΑΣΚΗΣΗ 32η
Μια έκταση σχήmicroατος τετραγώνου microε A 30 H 70 ∆
πλευρά 100m πρόκειται να διατεθεί
για κατασκευή εργατικών κατοικιών
Οι κατοικίες θα ανεργεθούν σε τέσσερα 70 30
ίσα τριγωνικά οικόπεδα και η υπόλοιπη Μ
έκταση σχήmicroατος τετραπλεύρου θα
χρησιmicroοποιηθεί ως κοινόχρηστος χώρος Z
για δενδροφύτευση και κατασκευή γηπέδου
microπάσκετ 30 70
α) Να βρεθούν τα εmicroβαδά των τεσσάρων ίσων οικοπέδων
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινόχρηστου χώρου B 70 K 30 Γ
γ) Τι είδους τετράπλευρο είναι ο κοινόχρηστος χώρος Να βρεθούν οι πλευρές του
ΑΣΚΗΣΗ 33η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 90A =
and
και ΑΒ=y ΑΓ=β
Α∆=ν Β∆=micro ΒΓ=x ∆Γ=κ
i) Να συmicroπληρωθούν οι σχέσεις
β2=helliphelliphellip=helliphelliphelliphellip Α
ν2=helliphelliphelliphelliphelliphellip
2
2
βy
=helliphelliphelliphelliphellip βy=helliphelliphelliphellip y ν β
ii) Να δειχθεί ότι 111
222 νβ=+
y Β ν ∆ κ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 34η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroεία ∆Ε της πλευράς ΒΓ έτσι ώστε Β∆=∆Ε=ΕΓ Να απόδειχθεί
ότι
i) 2222 22 ΑΕminusΑ∆=∆ΕminusΑΒ ii)
2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 35η
∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε o90=Α
and
ΑΒ=5cm ΑΓ=12cm Α∆ το ύψος του και ΒΜ
η διάmicroεσος του Προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά ΓΕ=ΒΓ i) Να συγκρίνετε τα
εmicroβαδά των τριγώνων Α∆Γ και ΑΓΕ ii) Να δείξετε ότι η σχέση που συνδέει τα εmicroβαδά των
τριγώνων ΑΒΜ και ΑΒΕ είναι (ΑΒΕ)=4(ΑΒΜ)
ΑΣΚΗΣΗ 36η
Από σηmicroείο Μ εκτός κύκλου φέρνουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΜΕ του κύκλου και τις
τέmicroνουσες ΜΑΒ και ΜΓ∆ Αν είναι ΑΒ=9 ΓΜ=4 Γ∆=5 να υπολογίσετε i) το ΜΑ ii) το
ΜΕ
ΑΣΚΗΣΗ 37η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) ΑΒ microια διάmicroετρος του και Μ τυχαίο σηmicroείο του (διαφορετικό των Α
Β) Αν Γ είναι το microέσο της ΟΑ και ∆ το microέσο της ΟΒ ενώ η ΜΓ τέmicroνει τον κύκλο στο Ε και
η Μ∆ στο Ζ τότε να αποδείξετε ότι3
10=
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
37
Ζ
Ε
ΑΣΚΗΣΗ 38η
Ένα τριγωνικό αγρόκτηmicroα ΑΒΓ χωρίζεται
σε τέσσερα τριγωνικά αγροτεmicroάχια όπως Α
φαίνεται στο σχήmicroα έτσι ώστε ΑΒ=Α∆3
2
ΒΕ= ΒΓ4
1και ΓΖ= ΑΓ
2
1 α) Αν το εmicroβαδό ∆
του ΑΒΓ είναι 48 στρέmicromicroατα να υπολογίσετε το Β
Γ
εmicroβαδό του ∆ΕΖ β) Αν τα ∆ Ε Ζ είναι τα microέσα των ΑΒ
ΒΓ ΑΓ αντίστοιχα να βρεθούν τα εmicroβαδά των
τεσσάρων αγροτεmicroαχίων
ΑΣΚΗΣΗ 39η
∆ίνεται εγγράψιmicroο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ ώστε οι πλευρές του ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α microε τη σειρά
που δίνονται να αποτελούν γεωmicroετρική πρόοδο Να αποδείξετε ότι η διαγώνιος του Β∆ το
χωρίζει σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
ΑΣΚΗΣΗ 40η
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ∆ Ζ Γ
την ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m και
ο90=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος υ
∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο οποίος
θα χωρίσει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆
και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα α) Να βρεθεί
το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆ β) Να
βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο
ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο Α Ε Η Β
ΑΕ∆ δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου
∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
ΑΣΚΗΣΗ 41η
∆ίνεται ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ και τα σηmicroεία του ∆Γ έτσι ώστε ∆Β=Γ∆=ΑΓ Αν
Μ τυχαίο σηmicroείο εκτός του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατοςΑΒ
Να δείξετε ότι 2222 33 ΜΓ+ΜΒ=ΜΒ+ΑΜ
ΑΣΚΗΣΗ 42η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 222 2αγβ =+ Αν η διάmicroεσος ΑΜ τέmicroνει το περιγεγραmicromicroένο
κύκλο του τριγώνου στο ∆ να δείξετε ότι
α) 6
3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
38
ΑΣΚΗΣΗ 43η
Από ένα εξωτερικό σηmicroείο Α κύκλου ( )RΟ φέρουmicroε microια τέmicroνουσα ΑΒΓ έτσι ώστε
ΒΓ=ΑΒ Αν 7R=ΟΑ τότε να δείξετε ότι
i) ΒΓ=ΑΒ =λ3
ii) η γωνία and
ΑΟΓ είναι αmicroβλεία
iii) η προβολή της ΟΓ πάνω στην ΟΑ είναι ίση microε ΟΑ7
2
iv) Να δείξετε ότι ( )( ) 2
1=
ΑΟΓΒΟΓ
και στην συνέχεια να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του τριγώνου
and
ΑΟΓ
v) Να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που ορίζεται από την χορδή ΒΓ και
το microέτρο του τόξου cap
ΒΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
39
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
40
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
23
17 ∆ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( Γ∆ΑΒ ) microε ΑΒ=4 Α∆=2 καιο60=∆
and
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τραπεζίου ΑΒΓ∆
β) Αν Ε σηmicroείο της πλευράς ΑΒ τέτοιο ώστε ΕΒ= ΑΒ4
1 και οι Ε∆ ΕΓ τέmicroνουν τη
διάmicroεσο του τραπεζίου στα σηmicroεία Ζ και Η αντίστοιχα να βρεθεί το εmicroβαδό του
τριγώνου ΕΖΗ
γ) Αν οι ∆Ε και ΒΓ τέmicroνονται στο Ρ να βρεθεί το εmicroβαδό του τριγώνου ΡΕΒ
18 Αν οι διαγώνιοι κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓ∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο να αποδείξετε ότι
το τετράπλευρο έχει εmicroβαδό Β∆sdotΑΓ4
1
19 Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται ΑΒ=5 ο60=Α
and
και η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου
κύκλου 3
7=R Να βρεθούν οι άλλες δύο πλευρές του τριγώνου και το εmicroβαδόν του
20
∆ Ζ Γ
υ
Α Ε Η Β
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m
90ο=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος ∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο
οποίος θα χωρίζει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆ και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα
α) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο
ΑΕ∆
δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου ∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
21 Αν Μ και Ν είναι τα microέσα των πλευρών ΒΓ και Γ∆ ενός παραλληλόγραmicromicroου ΑΒΓ∆
να αποδείξετε ότι (ΑΜΝ)= )(8
3ΑΒΓ∆
22 Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) θεωρούmicroε το microέσο Μ της πλευράς ΑΒ
και σηmicroείο Ν της πλευράς ΑΓ τέτοιο ώστε 3
ΑΓ=ΓΝ Να δειχθεί ότι
(ΜΝΒ)= )(3
1ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
24
23 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και τυχαίο σηmicroείο Σ στην προέκταση της πλευράς
∆Γ προς το Γ Να αποδείξετε ότι
α) (ΑΒ∆)= )(2
1ΑΒΓ∆
β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)
γ) αν η ΑΣ τέmicroνει την Β∆ στο σηmicroείο Ε τότε (Ε∆Σ)-(ΕΑΒ)=(ΣΒΓ)
24 Έστω Σ τυχαίο σηmicroείο της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ Στο σηmicroείο Α φέρουmicroε
microια ευθεία ε κάθετη στην ΑΣ Αν ∆ και Ε είναι αντίστοιχα οι προβολές των σηmicroείων
Β και Γ στην ευθεία ε να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ∆ΣΕ είναι ισοδύναmicroα
25 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 8=ΑΒ 12=ΑΓ και η Α∆ διχοτόmicroος της γωνίας and
Α Αν
( )ΑΒ∆ =20 τmicro να βρείτε το ( )ΑΒΓ
26 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ∆ σηmicroείο της πλευράς ΑΒέτσι ώστε 6=Α∆ ∆Β=5
8=ΑΓ Αν 80=Α
and
να βρείτε το εmicroβαδόν του τριγώνου Β∆Γ
27 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ microε 90=Β
and
και η γωνία and
Α να είναι το 3
1 της ορθής Αν
∆ σηmicroείο της προέκτασης της πλευράς ΒΓ προς το Γ τέτοιο ώστε η 30=Α∆Β
and
να
βρεθεί ο λόγος ( )( )ΑΒ∆ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
25
ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ
ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ
Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του
ίσες
Γωνία κανονικού ν-γώνου ν
φν
360
180 minus=
Κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου ν
ων
360=
Σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας R ισχύουν οι εξής τύποι 2
22
4R=+ ν
ν
λα
νν λν sdot=Ρ
ννν αsdotΡ=Ε2
1
όπου να απόστηmicroα νλ πλευρά νΡ περίmicroετρος νΕ εmicroβαδόν
∆ύο κανονικά πολύγωνα microε τον ίδιο αριθmicroό πλευρών είναι όmicroοια
Κάθε κανονικό πολύγωνο εγγράφεται σε έναν κύκλο και περιγράφεται σε έναν άλλον Οι δύο
αυτοί κύκλοι είναι οmicroόκεντροι
bull Το κοινό κέντρο τον κύκλων αυτών λέγεται κέντρο του πολυγώνου
bull Η ακτίνα R του περιγεγραmicromicroένου κύκλου λέγεται ακτίνα του πολυγώνου
bull Η απόσταση του κέντρου από microια πλευρά του δηλαδή η ακτίνα του εγγεγραmicromicroένου
κύκλου λέγεται απόστηmicroα του πολυγώνου
Σε δύο κανονικά ν-γωνα ο λόγος των πλευρών τους ισούται microε το λόγο των ακτινών τους και
το λόγο των αποστηmicroάτων τους
∆ηλαδή
ν
ν
ν
ν
αα
λλ
==R
R
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
26
ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ
ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ
ΚΑΝΟΝΙΚΟ
ΕΞΑΓΩΝΟ
ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ
ΤΡΙΓΩΝΟ
ΠΛΕΥΡΑ νλ 24 R=λ R=6λ 33 R=λ
ΑΠΟΣΤΗΜΑ να
2
24
R=α
2
36
R=α
23
R=α
RL sdot= π2
180
microπ sdotsdot=
Rl ή Rl sdot=α
180
microαπ
=
2Rsdot=Ε π
( )360
2 microπ sdotsdot=ΟΑΒ
cap R ή ( )
cap
sdot=ΟΑΒ 2
2
1Rα
( ) ( )ΟΑΒminusΟΑΒ=cap
ε
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
27
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Ένα κανονικό εξάγωνο είναι περιγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ορ) Η πλευρά του
εξαγώνου αυτού είναι
Α ρ Β 2
3ρ Γ 2ρ ∆
3
32ρ Ε
3
2ρ
2 ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και στις προεκτάσεις των
πλευρών ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α θεωρούmicroε τα τmicroήmicroατα ΒΚ=ΓΛ=∆Μ=ΑΝ=λ3 Να δείξετε
ότι το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο και ότι η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου κύκλου του
είναι 641 += RR
3 Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε δύο παράλληλες χορδές ΑΒ=λ4 και Γ∆=λ6 Να
αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι ισοσκελές τραπέζιο και να υπολογιστεί
το εmicroβαδό του ως συνάρτηση της ακτίνας R
4 Η περίmicroετρος ενός κυκλικού τοmicroέα ΟΑΒ ενός κύκλου (ΟR) είναι 6+π Αν
ο60=ΒΟΑand
τότε το microήκος της ακτίνας R είναι
Α 6 Β 3 Γ 2 ∆ 4 Ε 5 (δικαιολογήστε την απάντησή σας)
5 Έστω τεταρτοκύκλιο ΟΑΒ ακτίνας R και ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΟΒ στο εσωτερικό
του Να βρείτε το εmicroβαδό και την περίmicroετρο του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΑΒ
6 Έστω δύο κύκλοι (ΟR) και (Ο΄R) των οποίων η διάmicroετρος ΟΟ΄ έχει microήκος
ΟΟ΄=R 3 α) Να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι τέmicroνονται
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινού microέρους των δύο κύκλων
7 Το εmicroβαδό κυκλικού τοmicroέα 80ο είναι 8π Η ακτίνα του κύκλου είναι
Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15
8 Τετράγωνο ΑΒΓ∆ είναι εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και η ηmicroιπερίmicroετρος του
είναι 80cm Να υπολογιστούν
α) η ακτίνα R του κύκλου
β) ο λόγος του εmicroβαδού του κύκλου προς το εmicroβαδό του τετραγώνου
9 Στο εσωτερικό ηmicroικυκλίου διαmicroέτρου ΑΟΒ=2R γράφουmicroε ηmicroικύκλια microε
διαmicroέτρους ΟΑ και ΟΒ Να υπολογιστεί το microήκος και το εmicroβαδό του κύκλου που
εφάπτεται των τριών ηmicroικυκλίων
10 ∆ύο κύκλοι (Ο3R) και (Ο΄R) εφάπτονται εξωτερικά στο σηmicroείο Α Φέρουmicroε την
κοινή εξωτερική εφαπτόmicroενη ΒΓ αυτών Να βρεθεί το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου
τριγώνου ΑΒΓ και του περιγεγραmicromicroένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ
11 Έστω ο κύκλος (ΟR) και microια ακτίνα του ΟΑ Στην ηmicroιευθεία ΟΑ θεωρούmicroε
σηmicroείοΒ έτσι ώστε ΑΒ=ΑΟ Αν ΒΓ η εφαπτοmicroένη του κύκλου να βρεθεί το
εmicroβαδό α) του τριγώνου ΟΒΓ και β) του microικτόγραmicromicroου τριγώνου
ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
28
12 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=λ3 και Γ∆=λ6
προς το ίδιο microέρος του κέντρου Ο α) Να εκφράσετε τις χορδές ΑΒ και Γ∆ ως
συνάρτηση της ακτίνας R β) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό Ε1 του κυκλικού τmicroήmicroατος
που αντιστοιχεί στη χορδή Γ∆ γ) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό του τριγώνου ΟΑΒ
δ) Να βρείτε την περίmicroετρο και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τραπεζίου που έχει
κορυφές τα ΑΒΓ∆
13 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) χορδή ΑΒ=R την εφαπτοmicroένη ε του κύκλου στο σηmicroείο
Α και τη εperpΒΓ Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του τραπεζίου ΟΑΓΒ
β) το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
14 ∆ίνεται ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΑΒ και στο εσωτερικό του τα ηmicroικύκλια διαmicroέτρων
ΑΓ και ΓΒ όπου Γ σηmicroείο microεταξύ των Α και Β Αν κάθετη της ΑΒ στο Γ τέmicroνει το
αρχικό ηmicroικύκλιο στο ∆ να αποδείξετε ότι το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται
microεταξύ των τριών ηmicroικυκλίων είναι ίσο microε το εmicroβαδό του κύκλου διαmicroέτρου Γ∆
15 Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ο60=Β
and
και ΒΓ=α Με
κέντρο το Β και ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει τη ΒΓ στο Μ και microε κέντρο
το Γ και ακτίνα ΓΜ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν Να βρεθεί η
περίmicroετρος και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
16 Με κέντρο ένα σηmicroείο Κ κύκλου (ΟR) και ακτίνα ίση προς R 3 γράφουmicroε
κύκλο ο οποίος τέmicroνει τον (ΟR) στα σηmicroεία Α και Β Να υπολογιστούν η
περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου microηνίσκου
17 ∆ίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ΒΓ = 2R
Γράφουmicroε ηmicroικύκλιο microε διάmicroετρο ΒΓ εκτός τριγώνου και τόξο κύκλου (Α ΑΒ) microε
άκρα Β και Γ Να βρεθεί η περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου
microηνίσκου από το ηmicroικύκλιο και το τόξο αυτό
18 Ένα ορθογώνιο σπίτι microε διαστάσεις α = 20m και β = 10m έχει microια εξωτερική
πρίζα σε microια γωνία του Ένα χορτοκοπτικό microηχάνηmicroα συνδεδεmicroένο microε την πρίζα
έχει καλώδιο microε microήκος 15m Να βρεθεί το εmicroβαδόν της microεγαλύτερης επιφάνειας
του χόρτου που microπορεί να κοπεί
19 Σε κύκλο ακτίνας R = 4cm είναι εγγεγραmicromicroένο ισόπλευρο τρίγωνο
Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του κύκλου
β) την πλευρά του τριγώνου
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου
δ) το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται microεταξύ του κύκλου και του τριγώνου
20 Σε κύκλο microε διάmicroετρο ΑΒ φέρουmicroε τις χορδές ΜΒΑΜ Αν είναι 6=ΑΜ και
8=ΒΜ να βρεθεί η ακτίνα και το εmicroβαδόν του κύκλου
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
29
21 Να βρεθεί το εmicroβαδόν του καθενός από τα δύο microέρη στα οποία διαιρείται ένας
κύκλος ( )RΟ από την πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραmicromicroένου στον κύκλο
αυτόν
22 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και φέρουmicroε δύο κάθετες ακτίνες ΟΑ και ΟΒ Με
κέντρο το Α και ακτίνα R γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει το cap
AB στο σηmicroείο Γ Να
βρεθεί το εmicroβαδόν του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΒΓ
23 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και τόξο 60=ΑΒ
cap
Φέρουmicroε στο σηmicroείο Α την
εφαπτοmicroένη χΑ του κύκλου και την χΑperpΒΓ Να βρεθεί το εmicroβαδόν του
microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
30
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΗ 1η
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α∆ διχοτόmicroος Β∆ = 2 Γ∆ = 3 και 2τ = 15 (περίmicroετρος) η πλευρά
ΑΒ είναι
Α 3 Β 4 Γ 5 ∆ 6 Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 2η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 3α2 + 2γ
2 = 2β
2 Τότε
i) Α and
Α gt90ο Β
and
Β gt 90ο Γ
and
Β lt 90ο ∆
and
Γ gt 90ο Ε Κανένα από τα παραπάνω
ii) Η προβολή της διαmicroέσου microα στην ΒΓ ισούται microε
Α 4
a Β
2
a Γ
4
3a ∆
2
3a Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 3η
Αν ΑΒΓ∆ τετράγωνο πλευράς α και Ε microέσο του Α∆ τότε
i) ΒΕ =2
5α Σ Λ
ii) Ο λόγος ΒΕΕΖ
ισούται microε
Α 5
2 Β
4
5 Γ
4
1 ∆
5
1 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
Α Β
E
Z
∆ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 4η
Αν τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=4 ΒΓ=5 ΑΓ=6 και Α∆ διχοτόmicroος τότε
i) -Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο Σ Λ
- Ο λόγος ∆Γ∆Β
ισούται microε
Α 2
1 Β
3
1 Γ
3
2 ∆
4
3 Ε
2
3
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ii) Αν ε η προβολή του Α στην ΒΓ να υπολογίσετε το microήκος του ΒΕ
iii) Να αποδείξετε ότι 2
1=
∆Γ∆Ε
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
31
ΑΣΚΗΣΗ 5η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και Μ το microέσο της Α∆ Προεκτείνουmicroε τη ∆Γ προς το Γ
κατά ΓΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΒΜ)=2
)(ΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τραπεζίου ΑΒΕ∆ είναι οκταπλάσιο από το εmicroβαδόν του
τριγώνου ΑΒΜ
ΑΣΚΗΣΗ 6η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναιuα =3ρ όπου ρ του εγγεγραmicromicroένου κύκλου του τριγώνου Ο λόγος
αγβ +
ισούται microε Α 2 Β 3 Γ 3
1 ∆
2
3 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ΑΣΚΗΣΗ 7η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάmicroεσός του Α∆ Προεκτείνουmicroε την ΒΑ προς το Α κατά τmicroήmicroα
ΑΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι (ΒΕ∆)=3(Α∆Γ)
ΑΣΚΗΣΗ 8η
Στο εσωτερικό της αυλής ενός σπιτιού υπάρχει microικρός κήπος microε λαχανικά όπως στο
ακόλουθο σχήmicroα Αν το εmicroβαδόν του κήπου είναι 122m και οι διαστάσεις της αυλής είναι
12m και 13m να βρεθεί το x Αν θέλουmicroε να περιφράξουmicroε τον κήπο microε σύρmicroα πόσο σύρmicroα
θα χρειαστούmicroε
12m
13m
ΑΣΚΗΣΗ 9η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ Από τυχαίο σηmicroείο Ε της ΑΓ φέρουmicroε ευθεία παράλληλη
προς την Α∆ που τέmicroνει την Γ∆ στο Ζ Να αποδείξετε ότι
i) (Α∆Ζ)=(ΑΕΒ)
ii) (ΑΕΖ)=(ΒΕΓ)-(ΖΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 10η
Οι διάmicroεσοι Β∆ και ΓΕ τριγώνου ΑΒΓ τέmicroνονται στο Θ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΕ∆)=4
)(ΑΒΓ
ii) (ΒΘΓ)= 3
)(ΑΒΓ
iii)(ΑΕ∆)= (ΒΚΛΓ) όπου Κ Λ τα microέσα των ΒΘ και ΓΘ αντίστοιχα
x
x x
x
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
32
ΑΣΚΗΣΗ 11η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε τη διχοτόmicroο Α∆ Από το ∆ φέρνουmicroε παράλληλη προς την ΑΒ
που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει την προέκταση της
∆Ε στο Ζ να αποδείξετε ότι
α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)
β) β2(ΑΕΖ) = γ
2(∆ΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 12η
Θεωρούmicroε γωνία yxand
Α και σηmicroείο Ο της διχοτόmicroου της Αδ Αν ο κύκλος (ΟΟΑ) τέmicroνει τις
Οx Οy στα Β Γ αντίστοιχα και την Αδ στο ∆ να αποδείξετε ότι
α) (ΟΑΒ)=(ΟΑΓ)
β) (ΒΟΓ∆)=(ΑΒ∆)
γ) (ΒΟΓ∆)=2
1(ΟΑ)(ΒΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 13η
Από εσωτερικό σηmicroείο Μ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλες προς τις
πλευρές ΑΓ και ΑΒ που τέmicroνουν τις ΑΒ ΑΓ στα ∆ Ζ αντίστοιχα Αν (ΒΜ)=x (ΒΓ)=α
(Β∆Μ)=Ε1 (ΓΖΜ)=Ε2 και (ΑΒΓ)=Ε τότε
α) Να εκφράσετε ως συναρτήσεις των x και α τους λόγους Ε
Ε1 και Ε
Ε2
β) Να αποδείξετε ότι ΕgeΕ+Ε2
121
ΑΣΚΗΣΗ 14η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=Γ∆=λ3
Να βρεθεί
i) Η περίmicroετρος του ΑΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που αντιστοιχεί στη χορδή ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 15η
Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε τα διαδοχικά σηmicroεία Α Β Γ και ∆ ώστε ΑΒ=ΒΓ=Γ∆= R Να
βρεθεί
i) H περίmicroετρος του τριγώνου ΑΒ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τριγώνου ΒΓ∆
iii) Ο λόγος )(
)(
ΒΓ∆ΑΒ∆
ΑΣΚΗΣΗ 16η
∆ίνεται τεταρτοκύκλιο Οand
ΒΓ ακτίνας R
α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΓΒ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε δύο ισεmicroβαδικά χωρία
β) Αν ∆ σηmicroείο του τόξου ΒΓ να αποδείξετε ότι η ευθεία Γ∆ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
γ) Να βρείτε σηmicroείο Α της ακτίνας ΟΒ ώστε η ευθεία ΓΑ να χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
33
ΑΣΚΗΣΗ 17η
Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο Ο cap
ΒΓ ακτίνας R Σηmicroείο Α κινείται πάνω στο τόξο cap
ΒΓ και έστω
Κ το σηmicroείο τοmicroής της ακτίνας ΟΑ microε τη ΒΓ Να βρείτε το microήκος του τόξου cap
ΒΑ όταν το
εmicroβαδό του τριγώνου ΟΚΓ ισούται microε το εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα
τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΒ και το τόξο cap
ΒΑ
ΑΣΚΗΣΗ 18η
∆ίνεται ηmicroικύκλιο κέντρου Ο microε διάmicroετρο ΑΑ1=2R Έστω Β σηmicroείο του ηmicroικυκλίου microε
( 1ΑΟΒand
)=φ microοίρες και ΟΓ ακτίνα που τέmicroνει τη χορδή ΑΒ στο Κ
α) Να βρείτε το microήκος S του τόξου cap
ΑΓ όταν το εmicroβαδόν του τριγώνου ΟΚΒ ισούται microε το
εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΓ και το τόξοcap
ΑΓ
β) Αν η γωνία 1ΑΟΒand
είναι 150ο πόσο είναι το S
γ) Για ποια τιmicroή του φ το S γίνεται microέγιστο
Β
Γ
φ
Α1 Α
ΑΣΚΗΣΗ 19η
Η περίmicroετρος ρόmicroβου ΑΒΓ∆ πλευράς α και κέντρου Ο είναι τετραπλάσια της microικρής
διαγωνίου του Β∆
i) Να υπολογιστεί συναρτήσει του α το εmicroβαδόν του Ε
ii) Φέρουmicroε Α∆perpΟΗ και Γ∆perpΟΖ Αν η ΑΖ τέmicroνει τον κύκλο διαmicroέτρου Ο∆ στο Θ να
δειχθεί ότι 2
3Ε=ΑΖsdotΑΘ
ΑΣΚΗΣΗ 20η
Το περίγραmicromicroα της βάσης ενός microεγάλου λόφου σχηmicroατίζει τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=γ ΑΓ=β
όπου βgtγ και στο οποίο η διάmicroεσος ΑΜ και το ύψος Α∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο ∆ίπλα στην
πλευρά ΑΓ υπάρχει ορθογώνιος ιδιωτικός χώρος διαστάσεων 2
γβ +και β-γ Σrsquo αυτόν το
χώρο πρόκειται να κατασκευαστεί ένας microεγάλος ανισόπεδος κόmicroβος που θα συνδέει δύο
δρόmicroους ταχείας κυκλοφορίας Γιrsquo αυτούς τους λόγους προτείνεται στον ιδιοκτήτη να δεχτεί
να ανταλλάξει αυτόν τον χώρο microε άλλον ορθογώνιο χώρο του δηmicroοσίου που βρίσκεται δίπλα
στην πλευρά ΒΓ και έχει διαστάσεις τα microήκη των ΒΓ και 2
ΑΜ Ο ιδιοκτήτης δηλώνει ότι θα
συmicroφωνήσει microε την πρόταση αρκεί οι ανταλλάξιmicroοι χώροι να έχουν την ίδια έκταση
Πρακτικά όmicroως είναι αδύνατον να microετρήσει την πλευρά ΒΓ και τη διάmicroεσο ΑΜ γιrsquo αυτό και
διστάζει Πως θα σκεφτόσαστε εσείς να βοηθήσετε τον ιδιοκτήτη να αποφασίσει
Κ
Ο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
34
ΑΣΚΗΣΗ 21η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε β=2γ και η διάmicroεσος του Β∆ Φέρουmicroε Β∆perpΑx που τέmicroνει την
Β∆ στο Ε και την ΒΓ στο Ζ και ΕyΑΓ που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ Να αποδείξετε ότι
i) ZB= 2
1ZΓ
ii) (ΑΒΓ)=3(ΑΒΖ)
iii) Να αποδειχθεί ότι 8
3
)(
)(=
ΑΒΖΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΗ 22η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε α=2γ και β= 7γ
α) i) Να αποδείξετε ότι 2
3αmicroα =
ii) Να βρείτε το είδος της γωνίας and
Β
iii) Αν ΑΕ perp ΒΓ να υπολογίσετε το ΒΕ συναρτήσει του γ
iv) Να βρείτε τη γωνία and
Β
β) Αν ΑΜ διάmicroεσος και Β∆ διχοτόmicroος να αποδείξτε ότι
i) Α∆ = 3
β
ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)
ΑΣΚΗΣΗ 23η
Έστω τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ο R) και σηmicroείο Μ το οποίο κινείται στο
ηmicroικύκλιο cap
ΑΒΓ
α) Να βρεθεί το ελάχιστο ( )minΕ και το microέγιστο ( )maxΕ εmicroβαδόν του τετράπλευρου ΑΜΓ∆
συναρτήσει της ακτίνας R
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε θέση του Μ είναι
i) Μ∆2 = ΑΓ ∆Ε όπου Ε η προβολή του Μ στην Β∆
ii) (ΑΜΓ∆) = 2
2Μ∆
γ) Να προσδιορίσετε τη θέση του σηmicroείου Μ όταν (ΑΜΓ∆) = 2
maxmin EE +
ΑΣΚΗΣΗ 24η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ M το microέσο της ΑΒ σηmicroείο Ν της ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΝ = 4
3ΑΓ και
σηmicroείο Κ της ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΚ = 4
1ΒΓ Να βρεθεί ο λόγος των εmicroβαδών του τριγώνου
ΑΒΓ προς του τριγώνου ΜΝΚ
ΑΣΚΗΣΗ 25η
Α) Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι 2
αmicro = βγ και β-γ = 5 2 Το microήκος της πλευράς
α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3
Β) Να δειχθεί ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει η σχέση (222
γβα micromicromicro ++ )2 = 27Ε
2 όπου
Ε το εmicroβαδό του
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
35
ΑΣΚΗΣΗ 26η
Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω περιπτώσεις
όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί να αποτελεί microήκη των
πλευρών του
i) 3 57
ii) 8 4 2
iii) 7 6 85
ΑΣΚΗΣΗ 27η
Αν η διάmicroεσος microα ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν προεκταθεί τέmicroνει τον περιγεγραmicromicroένο κύκλο
στο ∆ να αποδειχθεί ότι microα = Α∆+
2
22 γβ
ΑΣΚΗΣΗ 28η
Από ένα κυκλικό οικόπεδο ακτίνας R=30m θα αποκοπεί κυκλικό τmicroήmicroα χορδής 30 3 m για
την κατασκευή δρόmicroου
i) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου που έmicroεινε
ii) Να βρεθεί η αποζηmicroίωση που θα δοθεί στον ιδιοκτήτη αν η αρχική αξία του οικοπέδου
ήταν 10000000 δρχ
ΑΣΚΗΣΗ 29η
Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι α =13 β = 8 γ = 7
i) Να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς το είδος των γωνιών του
ii) Να υπολογιστεί το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ πάνω στην ΑΒ
iii) Να υπολογιστεί η γωνία and
Α
ΑΣΚΗΣΗ 30η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 4 ΑΓ = 5 ΒΓ = 7 Το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ
πάνω στην ΑΒ είναι Α 5 Β 1 Γ 6 ∆ 2
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 31η
Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (and
Α =90ο) microε
and
Β =60ο και ΒΓ=4 Με κέντρο το Β και
ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ και microε κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΜ
γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν να βρεθούν
i) Η θέση του σηmicroείου Μ στη ΒΓ
ii) Η περίmicroετρος του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
iii) Το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
36
ΑΣΚΗΣΗ 32η
Μια έκταση σχήmicroατος τετραγώνου microε A 30 H 70 ∆
πλευρά 100m πρόκειται να διατεθεί
για κατασκευή εργατικών κατοικιών
Οι κατοικίες θα ανεργεθούν σε τέσσερα 70 30
ίσα τριγωνικά οικόπεδα και η υπόλοιπη Μ
έκταση σχήmicroατος τετραπλεύρου θα
χρησιmicroοποιηθεί ως κοινόχρηστος χώρος Z
για δενδροφύτευση και κατασκευή γηπέδου
microπάσκετ 30 70
α) Να βρεθούν τα εmicroβαδά των τεσσάρων ίσων οικοπέδων
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινόχρηστου χώρου B 70 K 30 Γ
γ) Τι είδους τετράπλευρο είναι ο κοινόχρηστος χώρος Να βρεθούν οι πλευρές του
ΑΣΚΗΣΗ 33η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 90A =
and
και ΑΒ=y ΑΓ=β
Α∆=ν Β∆=micro ΒΓ=x ∆Γ=κ
i) Να συmicroπληρωθούν οι σχέσεις
β2=helliphelliphellip=helliphelliphelliphellip Α
ν2=helliphelliphelliphelliphelliphellip
2
2
βy
=helliphelliphelliphelliphellip βy=helliphelliphelliphellip y ν β
ii) Να δειχθεί ότι 111
222 νβ=+
y Β ν ∆ κ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 34η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroεία ∆Ε της πλευράς ΒΓ έτσι ώστε Β∆=∆Ε=ΕΓ Να απόδειχθεί
ότι
i) 2222 22 ΑΕminusΑ∆=∆ΕminusΑΒ ii)
2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 35η
∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε o90=Α
and
ΑΒ=5cm ΑΓ=12cm Α∆ το ύψος του και ΒΜ
η διάmicroεσος του Προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά ΓΕ=ΒΓ i) Να συγκρίνετε τα
εmicroβαδά των τριγώνων Α∆Γ και ΑΓΕ ii) Να δείξετε ότι η σχέση που συνδέει τα εmicroβαδά των
τριγώνων ΑΒΜ και ΑΒΕ είναι (ΑΒΕ)=4(ΑΒΜ)
ΑΣΚΗΣΗ 36η
Από σηmicroείο Μ εκτός κύκλου φέρνουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΜΕ του κύκλου και τις
τέmicroνουσες ΜΑΒ και ΜΓ∆ Αν είναι ΑΒ=9 ΓΜ=4 Γ∆=5 να υπολογίσετε i) το ΜΑ ii) το
ΜΕ
ΑΣΚΗΣΗ 37η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) ΑΒ microια διάmicroετρος του και Μ τυχαίο σηmicroείο του (διαφορετικό των Α
Β) Αν Γ είναι το microέσο της ΟΑ και ∆ το microέσο της ΟΒ ενώ η ΜΓ τέmicroνει τον κύκλο στο Ε και
η Μ∆ στο Ζ τότε να αποδείξετε ότι3
10=
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
37
Ζ
Ε
ΑΣΚΗΣΗ 38η
Ένα τριγωνικό αγρόκτηmicroα ΑΒΓ χωρίζεται
σε τέσσερα τριγωνικά αγροτεmicroάχια όπως Α
φαίνεται στο σχήmicroα έτσι ώστε ΑΒ=Α∆3
2
ΒΕ= ΒΓ4
1και ΓΖ= ΑΓ
2
1 α) Αν το εmicroβαδό ∆
του ΑΒΓ είναι 48 στρέmicromicroατα να υπολογίσετε το Β
Γ
εmicroβαδό του ∆ΕΖ β) Αν τα ∆ Ε Ζ είναι τα microέσα των ΑΒ
ΒΓ ΑΓ αντίστοιχα να βρεθούν τα εmicroβαδά των
τεσσάρων αγροτεmicroαχίων
ΑΣΚΗΣΗ 39η
∆ίνεται εγγράψιmicroο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ ώστε οι πλευρές του ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α microε τη σειρά
που δίνονται να αποτελούν γεωmicroετρική πρόοδο Να αποδείξετε ότι η διαγώνιος του Β∆ το
χωρίζει σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
ΑΣΚΗΣΗ 40η
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ∆ Ζ Γ
την ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m και
ο90=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος υ
∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο οποίος
θα χωρίσει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆
και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα α) Να βρεθεί
το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆ β) Να
βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο
ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο Α Ε Η Β
ΑΕ∆ δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου
∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
ΑΣΚΗΣΗ 41η
∆ίνεται ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ και τα σηmicroεία του ∆Γ έτσι ώστε ∆Β=Γ∆=ΑΓ Αν
Μ τυχαίο σηmicroείο εκτός του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατοςΑΒ
Να δείξετε ότι 2222 33 ΜΓ+ΜΒ=ΜΒ+ΑΜ
ΑΣΚΗΣΗ 42η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 222 2αγβ =+ Αν η διάmicroεσος ΑΜ τέmicroνει το περιγεγραmicromicroένο
κύκλο του τριγώνου στο ∆ να δείξετε ότι
α) 6
3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
38
ΑΣΚΗΣΗ 43η
Από ένα εξωτερικό σηmicroείο Α κύκλου ( )RΟ φέρουmicroε microια τέmicroνουσα ΑΒΓ έτσι ώστε
ΒΓ=ΑΒ Αν 7R=ΟΑ τότε να δείξετε ότι
i) ΒΓ=ΑΒ =λ3
ii) η γωνία and
ΑΟΓ είναι αmicroβλεία
iii) η προβολή της ΟΓ πάνω στην ΟΑ είναι ίση microε ΟΑ7
2
iv) Να δείξετε ότι ( )( ) 2
1=
ΑΟΓΒΟΓ
και στην συνέχεια να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του τριγώνου
and
ΑΟΓ
v) Να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που ορίζεται από την χορδή ΒΓ και
το microέτρο του τόξου cap
ΒΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
39
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
40
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
24
23 ∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και τυχαίο σηmicroείο Σ στην προέκταση της πλευράς
∆Γ προς το Γ Να αποδείξετε ότι
α) (ΑΒ∆)= )(2
1ΑΒΓ∆
β) (Β∆Σ) = (ΣΑ∆)
γ) αν η ΑΣ τέmicroνει την Β∆ στο σηmicroείο Ε τότε (Ε∆Σ)-(ΕΑΒ)=(ΣΒΓ)
24 Έστω Σ τυχαίο σηmicroείο της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ Στο σηmicroείο Α φέρουmicroε
microια ευθεία ε κάθετη στην ΑΣ Αν ∆ και Ε είναι αντίστοιχα οι προβολές των σηmicroείων
Β και Γ στην ευθεία ε να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ∆ΣΕ είναι ισοδύναmicroα
25 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 8=ΑΒ 12=ΑΓ και η Α∆ διχοτόmicroος της γωνίας and
Α Αν
( )ΑΒ∆ =20 τmicro να βρείτε το ( )ΑΒΓ
26 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ∆ σηmicroείο της πλευράς ΑΒέτσι ώστε 6=Α∆ ∆Β=5
8=ΑΓ Αν 80=Α
and
να βρείτε το εmicroβαδόν του τριγώνου Β∆Γ
27 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ microε 90=Β
and
και η γωνία and
Α να είναι το 3
1 της ορθής Αν
∆ σηmicroείο της προέκτασης της πλευράς ΒΓ προς το Γ τέτοιο ώστε η 30=Α∆Β
and
να
βρεθεί ο λόγος ( )( )ΑΒ∆ΑΒΓ
10ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
25
ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ
ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ
Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του
ίσες
Γωνία κανονικού ν-γώνου ν
φν
360
180 minus=
Κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου ν
ων
360=
Σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας R ισχύουν οι εξής τύποι 2
22
4R=+ ν
ν
λα
νν λν sdot=Ρ
ννν αsdotΡ=Ε2
1
όπου να απόστηmicroα νλ πλευρά νΡ περίmicroετρος νΕ εmicroβαδόν
∆ύο κανονικά πολύγωνα microε τον ίδιο αριθmicroό πλευρών είναι όmicroοια
Κάθε κανονικό πολύγωνο εγγράφεται σε έναν κύκλο και περιγράφεται σε έναν άλλον Οι δύο
αυτοί κύκλοι είναι οmicroόκεντροι
bull Το κοινό κέντρο τον κύκλων αυτών λέγεται κέντρο του πολυγώνου
bull Η ακτίνα R του περιγεγραmicromicroένου κύκλου λέγεται ακτίνα του πολυγώνου
bull Η απόσταση του κέντρου από microια πλευρά του δηλαδή η ακτίνα του εγγεγραmicromicroένου
κύκλου λέγεται απόστηmicroα του πολυγώνου
Σε δύο κανονικά ν-γωνα ο λόγος των πλευρών τους ισούται microε το λόγο των ακτινών τους και
το λόγο των αποστηmicroάτων τους
∆ηλαδή
ν
ν
ν
ν
αα
λλ
==R
R
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
26
ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ
ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ
ΚΑΝΟΝΙΚΟ
ΕΞΑΓΩΝΟ
ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ
ΤΡΙΓΩΝΟ
ΠΛΕΥΡΑ νλ 24 R=λ R=6λ 33 R=λ
ΑΠΟΣΤΗΜΑ να
2
24
R=α
2
36
R=α
23
R=α
RL sdot= π2
180
microπ sdotsdot=
Rl ή Rl sdot=α
180
microαπ
=
2Rsdot=Ε π
( )360
2 microπ sdotsdot=ΟΑΒ
cap R ή ( )
cap
sdot=ΟΑΒ 2
2
1Rα
( ) ( )ΟΑΒminusΟΑΒ=cap
ε
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
27
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Ένα κανονικό εξάγωνο είναι περιγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ορ) Η πλευρά του
εξαγώνου αυτού είναι
Α ρ Β 2
3ρ Γ 2ρ ∆
3
32ρ Ε
3
2ρ
2 ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και στις προεκτάσεις των
πλευρών ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α θεωρούmicroε τα τmicroήmicroατα ΒΚ=ΓΛ=∆Μ=ΑΝ=λ3 Να δείξετε
ότι το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο και ότι η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου κύκλου του
είναι 641 += RR
3 Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε δύο παράλληλες χορδές ΑΒ=λ4 και Γ∆=λ6 Να
αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι ισοσκελές τραπέζιο και να υπολογιστεί
το εmicroβαδό του ως συνάρτηση της ακτίνας R
4 Η περίmicroετρος ενός κυκλικού τοmicroέα ΟΑΒ ενός κύκλου (ΟR) είναι 6+π Αν
ο60=ΒΟΑand
τότε το microήκος της ακτίνας R είναι
Α 6 Β 3 Γ 2 ∆ 4 Ε 5 (δικαιολογήστε την απάντησή σας)
5 Έστω τεταρτοκύκλιο ΟΑΒ ακτίνας R και ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΟΒ στο εσωτερικό
του Να βρείτε το εmicroβαδό και την περίmicroετρο του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΑΒ
6 Έστω δύο κύκλοι (ΟR) και (Ο΄R) των οποίων η διάmicroετρος ΟΟ΄ έχει microήκος
ΟΟ΄=R 3 α) Να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι τέmicroνονται
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινού microέρους των δύο κύκλων
7 Το εmicroβαδό κυκλικού τοmicroέα 80ο είναι 8π Η ακτίνα του κύκλου είναι
Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15
8 Τετράγωνο ΑΒΓ∆ είναι εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και η ηmicroιπερίmicroετρος του
είναι 80cm Να υπολογιστούν
α) η ακτίνα R του κύκλου
β) ο λόγος του εmicroβαδού του κύκλου προς το εmicroβαδό του τετραγώνου
9 Στο εσωτερικό ηmicroικυκλίου διαmicroέτρου ΑΟΒ=2R γράφουmicroε ηmicroικύκλια microε
διαmicroέτρους ΟΑ και ΟΒ Να υπολογιστεί το microήκος και το εmicroβαδό του κύκλου που
εφάπτεται των τριών ηmicroικυκλίων
10 ∆ύο κύκλοι (Ο3R) και (Ο΄R) εφάπτονται εξωτερικά στο σηmicroείο Α Φέρουmicroε την
κοινή εξωτερική εφαπτόmicroενη ΒΓ αυτών Να βρεθεί το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου
τριγώνου ΑΒΓ και του περιγεγραmicromicroένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ
11 Έστω ο κύκλος (ΟR) και microια ακτίνα του ΟΑ Στην ηmicroιευθεία ΟΑ θεωρούmicroε
σηmicroείοΒ έτσι ώστε ΑΒ=ΑΟ Αν ΒΓ η εφαπτοmicroένη του κύκλου να βρεθεί το
εmicroβαδό α) του τριγώνου ΟΒΓ και β) του microικτόγραmicromicroου τριγώνου
ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
28
12 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=λ3 και Γ∆=λ6
προς το ίδιο microέρος του κέντρου Ο α) Να εκφράσετε τις χορδές ΑΒ και Γ∆ ως
συνάρτηση της ακτίνας R β) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό Ε1 του κυκλικού τmicroήmicroατος
που αντιστοιχεί στη χορδή Γ∆ γ) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό του τριγώνου ΟΑΒ
δ) Να βρείτε την περίmicroετρο και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τραπεζίου που έχει
κορυφές τα ΑΒΓ∆
13 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) χορδή ΑΒ=R την εφαπτοmicroένη ε του κύκλου στο σηmicroείο
Α και τη εperpΒΓ Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του τραπεζίου ΟΑΓΒ
β) το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
14 ∆ίνεται ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΑΒ και στο εσωτερικό του τα ηmicroικύκλια διαmicroέτρων
ΑΓ και ΓΒ όπου Γ σηmicroείο microεταξύ των Α και Β Αν κάθετη της ΑΒ στο Γ τέmicroνει το
αρχικό ηmicroικύκλιο στο ∆ να αποδείξετε ότι το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται
microεταξύ των τριών ηmicroικυκλίων είναι ίσο microε το εmicroβαδό του κύκλου διαmicroέτρου Γ∆
15 Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ο60=Β
and
και ΒΓ=α Με
κέντρο το Β και ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει τη ΒΓ στο Μ και microε κέντρο
το Γ και ακτίνα ΓΜ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν Να βρεθεί η
περίmicroετρος και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
16 Με κέντρο ένα σηmicroείο Κ κύκλου (ΟR) και ακτίνα ίση προς R 3 γράφουmicroε
κύκλο ο οποίος τέmicroνει τον (ΟR) στα σηmicroεία Α και Β Να υπολογιστούν η
περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου microηνίσκου
17 ∆ίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ΒΓ = 2R
Γράφουmicroε ηmicroικύκλιο microε διάmicroετρο ΒΓ εκτός τριγώνου και τόξο κύκλου (Α ΑΒ) microε
άκρα Β και Γ Να βρεθεί η περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου
microηνίσκου από το ηmicroικύκλιο και το τόξο αυτό
18 Ένα ορθογώνιο σπίτι microε διαστάσεις α = 20m και β = 10m έχει microια εξωτερική
πρίζα σε microια γωνία του Ένα χορτοκοπτικό microηχάνηmicroα συνδεδεmicroένο microε την πρίζα
έχει καλώδιο microε microήκος 15m Να βρεθεί το εmicroβαδόν της microεγαλύτερης επιφάνειας
του χόρτου που microπορεί να κοπεί
19 Σε κύκλο ακτίνας R = 4cm είναι εγγεγραmicromicroένο ισόπλευρο τρίγωνο
Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του κύκλου
β) την πλευρά του τριγώνου
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου
δ) το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται microεταξύ του κύκλου και του τριγώνου
20 Σε κύκλο microε διάmicroετρο ΑΒ φέρουmicroε τις χορδές ΜΒΑΜ Αν είναι 6=ΑΜ και
8=ΒΜ να βρεθεί η ακτίνα και το εmicroβαδόν του κύκλου
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
29
21 Να βρεθεί το εmicroβαδόν του καθενός από τα δύο microέρη στα οποία διαιρείται ένας
κύκλος ( )RΟ από την πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραmicromicroένου στον κύκλο
αυτόν
22 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και φέρουmicroε δύο κάθετες ακτίνες ΟΑ και ΟΒ Με
κέντρο το Α και ακτίνα R γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει το cap
AB στο σηmicroείο Γ Να
βρεθεί το εmicroβαδόν του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΒΓ
23 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και τόξο 60=ΑΒ
cap
Φέρουmicroε στο σηmicroείο Α την
εφαπτοmicroένη χΑ του κύκλου και την χΑperpΒΓ Να βρεθεί το εmicroβαδόν του
microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
30
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΗ 1η
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α∆ διχοτόmicroος Β∆ = 2 Γ∆ = 3 και 2τ = 15 (περίmicroετρος) η πλευρά
ΑΒ είναι
Α 3 Β 4 Γ 5 ∆ 6 Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 2η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 3α2 + 2γ
2 = 2β
2 Τότε
i) Α and
Α gt90ο Β
and
Β gt 90ο Γ
and
Β lt 90ο ∆
and
Γ gt 90ο Ε Κανένα από τα παραπάνω
ii) Η προβολή της διαmicroέσου microα στην ΒΓ ισούται microε
Α 4
a Β
2
a Γ
4
3a ∆
2
3a Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 3η
Αν ΑΒΓ∆ τετράγωνο πλευράς α και Ε microέσο του Α∆ τότε
i) ΒΕ =2
5α Σ Λ
ii) Ο λόγος ΒΕΕΖ
ισούται microε
Α 5
2 Β
4
5 Γ
4
1 ∆
5
1 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
Α Β
E
Z
∆ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 4η
Αν τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=4 ΒΓ=5 ΑΓ=6 και Α∆ διχοτόmicroος τότε
i) -Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο Σ Λ
- Ο λόγος ∆Γ∆Β
ισούται microε
Α 2
1 Β
3
1 Γ
3
2 ∆
4
3 Ε
2
3
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ii) Αν ε η προβολή του Α στην ΒΓ να υπολογίσετε το microήκος του ΒΕ
iii) Να αποδείξετε ότι 2
1=
∆Γ∆Ε
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
31
ΑΣΚΗΣΗ 5η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και Μ το microέσο της Α∆ Προεκτείνουmicroε τη ∆Γ προς το Γ
κατά ΓΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΒΜ)=2
)(ΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τραπεζίου ΑΒΕ∆ είναι οκταπλάσιο από το εmicroβαδόν του
τριγώνου ΑΒΜ
ΑΣΚΗΣΗ 6η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναιuα =3ρ όπου ρ του εγγεγραmicromicroένου κύκλου του τριγώνου Ο λόγος
αγβ +
ισούται microε Α 2 Β 3 Γ 3
1 ∆
2
3 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ΑΣΚΗΣΗ 7η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάmicroεσός του Α∆ Προεκτείνουmicroε την ΒΑ προς το Α κατά τmicroήmicroα
ΑΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι (ΒΕ∆)=3(Α∆Γ)
ΑΣΚΗΣΗ 8η
Στο εσωτερικό της αυλής ενός σπιτιού υπάρχει microικρός κήπος microε λαχανικά όπως στο
ακόλουθο σχήmicroα Αν το εmicroβαδόν του κήπου είναι 122m και οι διαστάσεις της αυλής είναι
12m και 13m να βρεθεί το x Αν θέλουmicroε να περιφράξουmicroε τον κήπο microε σύρmicroα πόσο σύρmicroα
θα χρειαστούmicroε
12m
13m
ΑΣΚΗΣΗ 9η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ Από τυχαίο σηmicroείο Ε της ΑΓ φέρουmicroε ευθεία παράλληλη
προς την Α∆ που τέmicroνει την Γ∆ στο Ζ Να αποδείξετε ότι
i) (Α∆Ζ)=(ΑΕΒ)
ii) (ΑΕΖ)=(ΒΕΓ)-(ΖΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 10η
Οι διάmicroεσοι Β∆ και ΓΕ τριγώνου ΑΒΓ τέmicroνονται στο Θ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΕ∆)=4
)(ΑΒΓ
ii) (ΒΘΓ)= 3
)(ΑΒΓ
iii)(ΑΕ∆)= (ΒΚΛΓ) όπου Κ Λ τα microέσα των ΒΘ και ΓΘ αντίστοιχα
x
x x
x
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
32
ΑΣΚΗΣΗ 11η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε τη διχοτόmicroο Α∆ Από το ∆ φέρνουmicroε παράλληλη προς την ΑΒ
που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει την προέκταση της
∆Ε στο Ζ να αποδείξετε ότι
α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)
β) β2(ΑΕΖ) = γ
2(∆ΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 12η
Θεωρούmicroε γωνία yxand
Α και σηmicroείο Ο της διχοτόmicroου της Αδ Αν ο κύκλος (ΟΟΑ) τέmicroνει τις
Οx Οy στα Β Γ αντίστοιχα και την Αδ στο ∆ να αποδείξετε ότι
α) (ΟΑΒ)=(ΟΑΓ)
β) (ΒΟΓ∆)=(ΑΒ∆)
γ) (ΒΟΓ∆)=2
1(ΟΑ)(ΒΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 13η
Από εσωτερικό σηmicroείο Μ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλες προς τις
πλευρές ΑΓ και ΑΒ που τέmicroνουν τις ΑΒ ΑΓ στα ∆ Ζ αντίστοιχα Αν (ΒΜ)=x (ΒΓ)=α
(Β∆Μ)=Ε1 (ΓΖΜ)=Ε2 και (ΑΒΓ)=Ε τότε
α) Να εκφράσετε ως συναρτήσεις των x και α τους λόγους Ε
Ε1 και Ε
Ε2
β) Να αποδείξετε ότι ΕgeΕ+Ε2
121
ΑΣΚΗΣΗ 14η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=Γ∆=λ3
Να βρεθεί
i) Η περίmicroετρος του ΑΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που αντιστοιχεί στη χορδή ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 15η
Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε τα διαδοχικά σηmicroεία Α Β Γ και ∆ ώστε ΑΒ=ΒΓ=Γ∆= R Να
βρεθεί
i) H περίmicroετρος του τριγώνου ΑΒ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τριγώνου ΒΓ∆
iii) Ο λόγος )(
)(
ΒΓ∆ΑΒ∆
ΑΣΚΗΣΗ 16η
∆ίνεται τεταρτοκύκλιο Οand
ΒΓ ακτίνας R
α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΓΒ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε δύο ισεmicroβαδικά χωρία
β) Αν ∆ σηmicroείο του τόξου ΒΓ να αποδείξετε ότι η ευθεία Γ∆ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
γ) Να βρείτε σηmicroείο Α της ακτίνας ΟΒ ώστε η ευθεία ΓΑ να χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
33
ΑΣΚΗΣΗ 17η
Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο Ο cap
ΒΓ ακτίνας R Σηmicroείο Α κινείται πάνω στο τόξο cap
ΒΓ και έστω
Κ το σηmicroείο τοmicroής της ακτίνας ΟΑ microε τη ΒΓ Να βρείτε το microήκος του τόξου cap
ΒΑ όταν το
εmicroβαδό του τριγώνου ΟΚΓ ισούται microε το εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα
τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΒ και το τόξο cap
ΒΑ
ΑΣΚΗΣΗ 18η
∆ίνεται ηmicroικύκλιο κέντρου Ο microε διάmicroετρο ΑΑ1=2R Έστω Β σηmicroείο του ηmicroικυκλίου microε
( 1ΑΟΒand
)=φ microοίρες και ΟΓ ακτίνα που τέmicroνει τη χορδή ΑΒ στο Κ
α) Να βρείτε το microήκος S του τόξου cap
ΑΓ όταν το εmicroβαδόν του τριγώνου ΟΚΒ ισούται microε το
εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΓ και το τόξοcap
ΑΓ
β) Αν η γωνία 1ΑΟΒand
είναι 150ο πόσο είναι το S
γ) Για ποια τιmicroή του φ το S γίνεται microέγιστο
Β
Γ
φ
Α1 Α
ΑΣΚΗΣΗ 19η
Η περίmicroετρος ρόmicroβου ΑΒΓ∆ πλευράς α και κέντρου Ο είναι τετραπλάσια της microικρής
διαγωνίου του Β∆
i) Να υπολογιστεί συναρτήσει του α το εmicroβαδόν του Ε
ii) Φέρουmicroε Α∆perpΟΗ και Γ∆perpΟΖ Αν η ΑΖ τέmicroνει τον κύκλο διαmicroέτρου Ο∆ στο Θ να
δειχθεί ότι 2
3Ε=ΑΖsdotΑΘ
ΑΣΚΗΣΗ 20η
Το περίγραmicromicroα της βάσης ενός microεγάλου λόφου σχηmicroατίζει τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=γ ΑΓ=β
όπου βgtγ και στο οποίο η διάmicroεσος ΑΜ και το ύψος Α∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο ∆ίπλα στην
πλευρά ΑΓ υπάρχει ορθογώνιος ιδιωτικός χώρος διαστάσεων 2
γβ +και β-γ Σrsquo αυτόν το
χώρο πρόκειται να κατασκευαστεί ένας microεγάλος ανισόπεδος κόmicroβος που θα συνδέει δύο
δρόmicroους ταχείας κυκλοφορίας Γιrsquo αυτούς τους λόγους προτείνεται στον ιδιοκτήτη να δεχτεί
να ανταλλάξει αυτόν τον χώρο microε άλλον ορθογώνιο χώρο του δηmicroοσίου που βρίσκεται δίπλα
στην πλευρά ΒΓ και έχει διαστάσεις τα microήκη των ΒΓ και 2
ΑΜ Ο ιδιοκτήτης δηλώνει ότι θα
συmicroφωνήσει microε την πρόταση αρκεί οι ανταλλάξιmicroοι χώροι να έχουν την ίδια έκταση
Πρακτικά όmicroως είναι αδύνατον να microετρήσει την πλευρά ΒΓ και τη διάmicroεσο ΑΜ γιrsquo αυτό και
διστάζει Πως θα σκεφτόσαστε εσείς να βοηθήσετε τον ιδιοκτήτη να αποφασίσει
Κ
Ο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
34
ΑΣΚΗΣΗ 21η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε β=2γ και η διάmicroεσος του Β∆ Φέρουmicroε Β∆perpΑx που τέmicroνει την
Β∆ στο Ε και την ΒΓ στο Ζ και ΕyΑΓ που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ Να αποδείξετε ότι
i) ZB= 2
1ZΓ
ii) (ΑΒΓ)=3(ΑΒΖ)
iii) Να αποδειχθεί ότι 8
3
)(
)(=
ΑΒΖΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΗ 22η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε α=2γ και β= 7γ
α) i) Να αποδείξετε ότι 2
3αmicroα =
ii) Να βρείτε το είδος της γωνίας and
Β
iii) Αν ΑΕ perp ΒΓ να υπολογίσετε το ΒΕ συναρτήσει του γ
iv) Να βρείτε τη γωνία and
Β
β) Αν ΑΜ διάmicroεσος και Β∆ διχοτόmicroος να αποδείξτε ότι
i) Α∆ = 3
β
ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)
ΑΣΚΗΣΗ 23η
Έστω τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ο R) και σηmicroείο Μ το οποίο κινείται στο
ηmicroικύκλιο cap
ΑΒΓ
α) Να βρεθεί το ελάχιστο ( )minΕ και το microέγιστο ( )maxΕ εmicroβαδόν του τετράπλευρου ΑΜΓ∆
συναρτήσει της ακτίνας R
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε θέση του Μ είναι
i) Μ∆2 = ΑΓ ∆Ε όπου Ε η προβολή του Μ στην Β∆
ii) (ΑΜΓ∆) = 2
2Μ∆
γ) Να προσδιορίσετε τη θέση του σηmicroείου Μ όταν (ΑΜΓ∆) = 2
maxmin EE +
ΑΣΚΗΣΗ 24η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ M το microέσο της ΑΒ σηmicroείο Ν της ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΝ = 4
3ΑΓ και
σηmicroείο Κ της ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΚ = 4
1ΒΓ Να βρεθεί ο λόγος των εmicroβαδών του τριγώνου
ΑΒΓ προς του τριγώνου ΜΝΚ
ΑΣΚΗΣΗ 25η
Α) Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι 2
αmicro = βγ και β-γ = 5 2 Το microήκος της πλευράς
α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3
Β) Να δειχθεί ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει η σχέση (222
γβα micromicromicro ++ )2 = 27Ε
2 όπου
Ε το εmicroβαδό του
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
35
ΑΣΚΗΣΗ 26η
Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω περιπτώσεις
όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί να αποτελεί microήκη των
πλευρών του
i) 3 57
ii) 8 4 2
iii) 7 6 85
ΑΣΚΗΣΗ 27η
Αν η διάmicroεσος microα ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν προεκταθεί τέmicroνει τον περιγεγραmicromicroένο κύκλο
στο ∆ να αποδειχθεί ότι microα = Α∆+
2
22 γβ
ΑΣΚΗΣΗ 28η
Από ένα κυκλικό οικόπεδο ακτίνας R=30m θα αποκοπεί κυκλικό τmicroήmicroα χορδής 30 3 m για
την κατασκευή δρόmicroου
i) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου που έmicroεινε
ii) Να βρεθεί η αποζηmicroίωση που θα δοθεί στον ιδιοκτήτη αν η αρχική αξία του οικοπέδου
ήταν 10000000 δρχ
ΑΣΚΗΣΗ 29η
Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι α =13 β = 8 γ = 7
i) Να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς το είδος των γωνιών του
ii) Να υπολογιστεί το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ πάνω στην ΑΒ
iii) Να υπολογιστεί η γωνία and
Α
ΑΣΚΗΣΗ 30η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 4 ΑΓ = 5 ΒΓ = 7 Το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ
πάνω στην ΑΒ είναι Α 5 Β 1 Γ 6 ∆ 2
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 31η
Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (and
Α =90ο) microε
and
Β =60ο και ΒΓ=4 Με κέντρο το Β και
ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ και microε κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΜ
γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν να βρεθούν
i) Η θέση του σηmicroείου Μ στη ΒΓ
ii) Η περίmicroετρος του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
iii) Το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
36
ΑΣΚΗΣΗ 32η
Μια έκταση σχήmicroατος τετραγώνου microε A 30 H 70 ∆
πλευρά 100m πρόκειται να διατεθεί
για κατασκευή εργατικών κατοικιών
Οι κατοικίες θα ανεργεθούν σε τέσσερα 70 30
ίσα τριγωνικά οικόπεδα και η υπόλοιπη Μ
έκταση σχήmicroατος τετραπλεύρου θα
χρησιmicroοποιηθεί ως κοινόχρηστος χώρος Z
για δενδροφύτευση και κατασκευή γηπέδου
microπάσκετ 30 70
α) Να βρεθούν τα εmicroβαδά των τεσσάρων ίσων οικοπέδων
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινόχρηστου χώρου B 70 K 30 Γ
γ) Τι είδους τετράπλευρο είναι ο κοινόχρηστος χώρος Να βρεθούν οι πλευρές του
ΑΣΚΗΣΗ 33η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 90A =
and
και ΑΒ=y ΑΓ=β
Α∆=ν Β∆=micro ΒΓ=x ∆Γ=κ
i) Να συmicroπληρωθούν οι σχέσεις
β2=helliphelliphellip=helliphelliphelliphellip Α
ν2=helliphelliphelliphelliphelliphellip
2
2
βy
=helliphelliphelliphelliphellip βy=helliphelliphelliphellip y ν β
ii) Να δειχθεί ότι 111
222 νβ=+
y Β ν ∆ κ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 34η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroεία ∆Ε της πλευράς ΒΓ έτσι ώστε Β∆=∆Ε=ΕΓ Να απόδειχθεί
ότι
i) 2222 22 ΑΕminusΑ∆=∆ΕminusΑΒ ii)
2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 35η
∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε o90=Α
and
ΑΒ=5cm ΑΓ=12cm Α∆ το ύψος του και ΒΜ
η διάmicroεσος του Προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά ΓΕ=ΒΓ i) Να συγκρίνετε τα
εmicroβαδά των τριγώνων Α∆Γ και ΑΓΕ ii) Να δείξετε ότι η σχέση που συνδέει τα εmicroβαδά των
τριγώνων ΑΒΜ και ΑΒΕ είναι (ΑΒΕ)=4(ΑΒΜ)
ΑΣΚΗΣΗ 36η
Από σηmicroείο Μ εκτός κύκλου φέρνουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΜΕ του κύκλου και τις
τέmicroνουσες ΜΑΒ και ΜΓ∆ Αν είναι ΑΒ=9 ΓΜ=4 Γ∆=5 να υπολογίσετε i) το ΜΑ ii) το
ΜΕ
ΑΣΚΗΣΗ 37η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) ΑΒ microια διάmicroετρος του και Μ τυχαίο σηmicroείο του (διαφορετικό των Α
Β) Αν Γ είναι το microέσο της ΟΑ και ∆ το microέσο της ΟΒ ενώ η ΜΓ τέmicroνει τον κύκλο στο Ε και
η Μ∆ στο Ζ τότε να αποδείξετε ότι3
10=
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
37
Ζ
Ε
ΑΣΚΗΣΗ 38η
Ένα τριγωνικό αγρόκτηmicroα ΑΒΓ χωρίζεται
σε τέσσερα τριγωνικά αγροτεmicroάχια όπως Α
φαίνεται στο σχήmicroα έτσι ώστε ΑΒ=Α∆3
2
ΒΕ= ΒΓ4
1και ΓΖ= ΑΓ
2
1 α) Αν το εmicroβαδό ∆
του ΑΒΓ είναι 48 στρέmicromicroατα να υπολογίσετε το Β
Γ
εmicroβαδό του ∆ΕΖ β) Αν τα ∆ Ε Ζ είναι τα microέσα των ΑΒ
ΒΓ ΑΓ αντίστοιχα να βρεθούν τα εmicroβαδά των
τεσσάρων αγροτεmicroαχίων
ΑΣΚΗΣΗ 39η
∆ίνεται εγγράψιmicroο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ ώστε οι πλευρές του ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α microε τη σειρά
που δίνονται να αποτελούν γεωmicroετρική πρόοδο Να αποδείξετε ότι η διαγώνιος του Β∆ το
χωρίζει σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
ΑΣΚΗΣΗ 40η
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ∆ Ζ Γ
την ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m και
ο90=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος υ
∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο οποίος
θα χωρίσει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆
και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα α) Να βρεθεί
το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆ β) Να
βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο
ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο Α Ε Η Β
ΑΕ∆ δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου
∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
ΑΣΚΗΣΗ 41η
∆ίνεται ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ και τα σηmicroεία του ∆Γ έτσι ώστε ∆Β=Γ∆=ΑΓ Αν
Μ τυχαίο σηmicroείο εκτός του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατοςΑΒ
Να δείξετε ότι 2222 33 ΜΓ+ΜΒ=ΜΒ+ΑΜ
ΑΣΚΗΣΗ 42η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 222 2αγβ =+ Αν η διάmicroεσος ΑΜ τέmicroνει το περιγεγραmicromicroένο
κύκλο του τριγώνου στο ∆ να δείξετε ότι
α) 6
3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
38
ΑΣΚΗΣΗ 43η
Από ένα εξωτερικό σηmicroείο Α κύκλου ( )RΟ φέρουmicroε microια τέmicroνουσα ΑΒΓ έτσι ώστε
ΒΓ=ΑΒ Αν 7R=ΟΑ τότε να δείξετε ότι
i) ΒΓ=ΑΒ =λ3
ii) η γωνία and
ΑΟΓ είναι αmicroβλεία
iii) η προβολή της ΟΓ πάνω στην ΟΑ είναι ίση microε ΟΑ7
2
iv) Να δείξετε ότι ( )( ) 2
1=
ΑΟΓΒΟΓ
και στην συνέχεια να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του τριγώνου
and
ΑΟΓ
v) Να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που ορίζεται από την χορδή ΒΓ και
το microέτρο του τόξου cap
ΒΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
39
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
40
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
25
ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ
ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ
Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του
ίσες
Γωνία κανονικού ν-γώνου ν
φν
360
180 minus=
Κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου ν
ων
360=
Σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας R ισχύουν οι εξής τύποι 2
22
4R=+ ν
ν
λα
νν λν sdot=Ρ
ννν αsdotΡ=Ε2
1
όπου να απόστηmicroα νλ πλευρά νΡ περίmicroετρος νΕ εmicroβαδόν
∆ύο κανονικά πολύγωνα microε τον ίδιο αριθmicroό πλευρών είναι όmicroοια
Κάθε κανονικό πολύγωνο εγγράφεται σε έναν κύκλο και περιγράφεται σε έναν άλλον Οι δύο
αυτοί κύκλοι είναι οmicroόκεντροι
bull Το κοινό κέντρο τον κύκλων αυτών λέγεται κέντρο του πολυγώνου
bull Η ακτίνα R του περιγεγραmicromicroένου κύκλου λέγεται ακτίνα του πολυγώνου
bull Η απόσταση του κέντρου από microια πλευρά του δηλαδή η ακτίνα του εγγεγραmicromicroένου
κύκλου λέγεται απόστηmicroα του πολυγώνου
Σε δύο κανονικά ν-γωνα ο λόγος των πλευρών τους ισούται microε το λόγο των ακτινών τους και
το λόγο των αποστηmicroάτων τους
∆ηλαδή
ν
ν
ν
ν
αα
λλ
==R
R
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
26
ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ
ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ
ΚΑΝΟΝΙΚΟ
ΕΞΑΓΩΝΟ
ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ
ΤΡΙΓΩΝΟ
ΠΛΕΥΡΑ νλ 24 R=λ R=6λ 33 R=λ
ΑΠΟΣΤΗΜΑ να
2
24
R=α
2
36
R=α
23
R=α
RL sdot= π2
180
microπ sdotsdot=
Rl ή Rl sdot=α
180
microαπ
=
2Rsdot=Ε π
( )360
2 microπ sdotsdot=ΟΑΒ
cap R ή ( )
cap
sdot=ΟΑΒ 2
2
1Rα
( ) ( )ΟΑΒminusΟΑΒ=cap
ε
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
27
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Ένα κανονικό εξάγωνο είναι περιγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ορ) Η πλευρά του
εξαγώνου αυτού είναι
Α ρ Β 2
3ρ Γ 2ρ ∆
3
32ρ Ε
3
2ρ
2 ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και στις προεκτάσεις των
πλευρών ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α θεωρούmicroε τα τmicroήmicroατα ΒΚ=ΓΛ=∆Μ=ΑΝ=λ3 Να δείξετε
ότι το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο και ότι η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου κύκλου του
είναι 641 += RR
3 Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε δύο παράλληλες χορδές ΑΒ=λ4 και Γ∆=λ6 Να
αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι ισοσκελές τραπέζιο και να υπολογιστεί
το εmicroβαδό του ως συνάρτηση της ακτίνας R
4 Η περίmicroετρος ενός κυκλικού τοmicroέα ΟΑΒ ενός κύκλου (ΟR) είναι 6+π Αν
ο60=ΒΟΑand
τότε το microήκος της ακτίνας R είναι
Α 6 Β 3 Γ 2 ∆ 4 Ε 5 (δικαιολογήστε την απάντησή σας)
5 Έστω τεταρτοκύκλιο ΟΑΒ ακτίνας R και ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΟΒ στο εσωτερικό
του Να βρείτε το εmicroβαδό και την περίmicroετρο του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΑΒ
6 Έστω δύο κύκλοι (ΟR) και (Ο΄R) των οποίων η διάmicroετρος ΟΟ΄ έχει microήκος
ΟΟ΄=R 3 α) Να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι τέmicroνονται
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινού microέρους των δύο κύκλων
7 Το εmicroβαδό κυκλικού τοmicroέα 80ο είναι 8π Η ακτίνα του κύκλου είναι
Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15
8 Τετράγωνο ΑΒΓ∆ είναι εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και η ηmicroιπερίmicroετρος του
είναι 80cm Να υπολογιστούν
α) η ακτίνα R του κύκλου
β) ο λόγος του εmicroβαδού του κύκλου προς το εmicroβαδό του τετραγώνου
9 Στο εσωτερικό ηmicroικυκλίου διαmicroέτρου ΑΟΒ=2R γράφουmicroε ηmicroικύκλια microε
διαmicroέτρους ΟΑ και ΟΒ Να υπολογιστεί το microήκος και το εmicroβαδό του κύκλου που
εφάπτεται των τριών ηmicroικυκλίων
10 ∆ύο κύκλοι (Ο3R) και (Ο΄R) εφάπτονται εξωτερικά στο σηmicroείο Α Φέρουmicroε την
κοινή εξωτερική εφαπτόmicroενη ΒΓ αυτών Να βρεθεί το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου
τριγώνου ΑΒΓ και του περιγεγραmicromicroένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ
11 Έστω ο κύκλος (ΟR) και microια ακτίνα του ΟΑ Στην ηmicroιευθεία ΟΑ θεωρούmicroε
σηmicroείοΒ έτσι ώστε ΑΒ=ΑΟ Αν ΒΓ η εφαπτοmicroένη του κύκλου να βρεθεί το
εmicroβαδό α) του τριγώνου ΟΒΓ και β) του microικτόγραmicromicroου τριγώνου
ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
28
12 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=λ3 και Γ∆=λ6
προς το ίδιο microέρος του κέντρου Ο α) Να εκφράσετε τις χορδές ΑΒ και Γ∆ ως
συνάρτηση της ακτίνας R β) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό Ε1 του κυκλικού τmicroήmicroατος
που αντιστοιχεί στη χορδή Γ∆ γ) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό του τριγώνου ΟΑΒ
δ) Να βρείτε την περίmicroετρο και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τραπεζίου που έχει
κορυφές τα ΑΒΓ∆
13 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) χορδή ΑΒ=R την εφαπτοmicroένη ε του κύκλου στο σηmicroείο
Α και τη εperpΒΓ Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του τραπεζίου ΟΑΓΒ
β) το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
14 ∆ίνεται ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΑΒ και στο εσωτερικό του τα ηmicroικύκλια διαmicroέτρων
ΑΓ και ΓΒ όπου Γ σηmicroείο microεταξύ των Α και Β Αν κάθετη της ΑΒ στο Γ τέmicroνει το
αρχικό ηmicroικύκλιο στο ∆ να αποδείξετε ότι το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται
microεταξύ των τριών ηmicroικυκλίων είναι ίσο microε το εmicroβαδό του κύκλου διαmicroέτρου Γ∆
15 Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ο60=Β
and
και ΒΓ=α Με
κέντρο το Β και ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει τη ΒΓ στο Μ και microε κέντρο
το Γ και ακτίνα ΓΜ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν Να βρεθεί η
περίmicroετρος και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
16 Με κέντρο ένα σηmicroείο Κ κύκλου (ΟR) και ακτίνα ίση προς R 3 γράφουmicroε
κύκλο ο οποίος τέmicroνει τον (ΟR) στα σηmicroεία Α και Β Να υπολογιστούν η
περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου microηνίσκου
17 ∆ίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ΒΓ = 2R
Γράφουmicroε ηmicroικύκλιο microε διάmicroετρο ΒΓ εκτός τριγώνου και τόξο κύκλου (Α ΑΒ) microε
άκρα Β και Γ Να βρεθεί η περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου
microηνίσκου από το ηmicroικύκλιο και το τόξο αυτό
18 Ένα ορθογώνιο σπίτι microε διαστάσεις α = 20m και β = 10m έχει microια εξωτερική
πρίζα σε microια γωνία του Ένα χορτοκοπτικό microηχάνηmicroα συνδεδεmicroένο microε την πρίζα
έχει καλώδιο microε microήκος 15m Να βρεθεί το εmicroβαδόν της microεγαλύτερης επιφάνειας
του χόρτου που microπορεί να κοπεί
19 Σε κύκλο ακτίνας R = 4cm είναι εγγεγραmicromicroένο ισόπλευρο τρίγωνο
Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του κύκλου
β) την πλευρά του τριγώνου
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου
δ) το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται microεταξύ του κύκλου και του τριγώνου
20 Σε κύκλο microε διάmicroετρο ΑΒ φέρουmicroε τις χορδές ΜΒΑΜ Αν είναι 6=ΑΜ και
8=ΒΜ να βρεθεί η ακτίνα και το εmicroβαδόν του κύκλου
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
29
21 Να βρεθεί το εmicroβαδόν του καθενός από τα δύο microέρη στα οποία διαιρείται ένας
κύκλος ( )RΟ από την πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραmicromicroένου στον κύκλο
αυτόν
22 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και φέρουmicroε δύο κάθετες ακτίνες ΟΑ και ΟΒ Με
κέντρο το Α και ακτίνα R γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει το cap
AB στο σηmicroείο Γ Να
βρεθεί το εmicroβαδόν του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΒΓ
23 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και τόξο 60=ΑΒ
cap
Φέρουmicroε στο σηmicroείο Α την
εφαπτοmicroένη χΑ του κύκλου και την χΑperpΒΓ Να βρεθεί το εmicroβαδόν του
microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
30
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΗ 1η
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α∆ διχοτόmicroος Β∆ = 2 Γ∆ = 3 και 2τ = 15 (περίmicroετρος) η πλευρά
ΑΒ είναι
Α 3 Β 4 Γ 5 ∆ 6 Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 2η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 3α2 + 2γ
2 = 2β
2 Τότε
i) Α and
Α gt90ο Β
and
Β gt 90ο Γ
and
Β lt 90ο ∆
and
Γ gt 90ο Ε Κανένα από τα παραπάνω
ii) Η προβολή της διαmicroέσου microα στην ΒΓ ισούται microε
Α 4
a Β
2
a Γ
4
3a ∆
2
3a Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 3η
Αν ΑΒΓ∆ τετράγωνο πλευράς α και Ε microέσο του Α∆ τότε
i) ΒΕ =2
5α Σ Λ
ii) Ο λόγος ΒΕΕΖ
ισούται microε
Α 5
2 Β
4
5 Γ
4
1 ∆
5
1 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
Α Β
E
Z
∆ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 4η
Αν τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=4 ΒΓ=5 ΑΓ=6 και Α∆ διχοτόmicroος τότε
i) -Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο Σ Λ
- Ο λόγος ∆Γ∆Β
ισούται microε
Α 2
1 Β
3
1 Γ
3
2 ∆
4
3 Ε
2
3
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ii) Αν ε η προβολή του Α στην ΒΓ να υπολογίσετε το microήκος του ΒΕ
iii) Να αποδείξετε ότι 2
1=
∆Γ∆Ε
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
31
ΑΣΚΗΣΗ 5η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και Μ το microέσο της Α∆ Προεκτείνουmicroε τη ∆Γ προς το Γ
κατά ΓΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΒΜ)=2
)(ΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τραπεζίου ΑΒΕ∆ είναι οκταπλάσιο από το εmicroβαδόν του
τριγώνου ΑΒΜ
ΑΣΚΗΣΗ 6η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναιuα =3ρ όπου ρ του εγγεγραmicromicroένου κύκλου του τριγώνου Ο λόγος
αγβ +
ισούται microε Α 2 Β 3 Γ 3
1 ∆
2
3 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ΑΣΚΗΣΗ 7η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάmicroεσός του Α∆ Προεκτείνουmicroε την ΒΑ προς το Α κατά τmicroήmicroα
ΑΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι (ΒΕ∆)=3(Α∆Γ)
ΑΣΚΗΣΗ 8η
Στο εσωτερικό της αυλής ενός σπιτιού υπάρχει microικρός κήπος microε λαχανικά όπως στο
ακόλουθο σχήmicroα Αν το εmicroβαδόν του κήπου είναι 122m και οι διαστάσεις της αυλής είναι
12m και 13m να βρεθεί το x Αν θέλουmicroε να περιφράξουmicroε τον κήπο microε σύρmicroα πόσο σύρmicroα
θα χρειαστούmicroε
12m
13m
ΑΣΚΗΣΗ 9η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ Από τυχαίο σηmicroείο Ε της ΑΓ φέρουmicroε ευθεία παράλληλη
προς την Α∆ που τέmicroνει την Γ∆ στο Ζ Να αποδείξετε ότι
i) (Α∆Ζ)=(ΑΕΒ)
ii) (ΑΕΖ)=(ΒΕΓ)-(ΖΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 10η
Οι διάmicroεσοι Β∆ και ΓΕ τριγώνου ΑΒΓ τέmicroνονται στο Θ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΕ∆)=4
)(ΑΒΓ
ii) (ΒΘΓ)= 3
)(ΑΒΓ
iii)(ΑΕ∆)= (ΒΚΛΓ) όπου Κ Λ τα microέσα των ΒΘ και ΓΘ αντίστοιχα
x
x x
x
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
32
ΑΣΚΗΣΗ 11η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε τη διχοτόmicroο Α∆ Από το ∆ φέρνουmicroε παράλληλη προς την ΑΒ
που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει την προέκταση της
∆Ε στο Ζ να αποδείξετε ότι
α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)
β) β2(ΑΕΖ) = γ
2(∆ΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 12η
Θεωρούmicroε γωνία yxand
Α και σηmicroείο Ο της διχοτόmicroου της Αδ Αν ο κύκλος (ΟΟΑ) τέmicroνει τις
Οx Οy στα Β Γ αντίστοιχα και την Αδ στο ∆ να αποδείξετε ότι
α) (ΟΑΒ)=(ΟΑΓ)
β) (ΒΟΓ∆)=(ΑΒ∆)
γ) (ΒΟΓ∆)=2
1(ΟΑ)(ΒΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 13η
Από εσωτερικό σηmicroείο Μ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλες προς τις
πλευρές ΑΓ και ΑΒ που τέmicroνουν τις ΑΒ ΑΓ στα ∆ Ζ αντίστοιχα Αν (ΒΜ)=x (ΒΓ)=α
(Β∆Μ)=Ε1 (ΓΖΜ)=Ε2 και (ΑΒΓ)=Ε τότε
α) Να εκφράσετε ως συναρτήσεις των x και α τους λόγους Ε
Ε1 και Ε
Ε2
β) Να αποδείξετε ότι ΕgeΕ+Ε2
121
ΑΣΚΗΣΗ 14η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=Γ∆=λ3
Να βρεθεί
i) Η περίmicroετρος του ΑΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που αντιστοιχεί στη χορδή ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 15η
Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε τα διαδοχικά σηmicroεία Α Β Γ και ∆ ώστε ΑΒ=ΒΓ=Γ∆= R Να
βρεθεί
i) H περίmicroετρος του τριγώνου ΑΒ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τριγώνου ΒΓ∆
iii) Ο λόγος )(
)(
ΒΓ∆ΑΒ∆
ΑΣΚΗΣΗ 16η
∆ίνεται τεταρτοκύκλιο Οand
ΒΓ ακτίνας R
α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΓΒ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε δύο ισεmicroβαδικά χωρία
β) Αν ∆ σηmicroείο του τόξου ΒΓ να αποδείξετε ότι η ευθεία Γ∆ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
γ) Να βρείτε σηmicroείο Α της ακτίνας ΟΒ ώστε η ευθεία ΓΑ να χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
33
ΑΣΚΗΣΗ 17η
Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο Ο cap
ΒΓ ακτίνας R Σηmicroείο Α κινείται πάνω στο τόξο cap
ΒΓ και έστω
Κ το σηmicroείο τοmicroής της ακτίνας ΟΑ microε τη ΒΓ Να βρείτε το microήκος του τόξου cap
ΒΑ όταν το
εmicroβαδό του τριγώνου ΟΚΓ ισούται microε το εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα
τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΒ και το τόξο cap
ΒΑ
ΑΣΚΗΣΗ 18η
∆ίνεται ηmicroικύκλιο κέντρου Ο microε διάmicroετρο ΑΑ1=2R Έστω Β σηmicroείο του ηmicroικυκλίου microε
( 1ΑΟΒand
)=φ microοίρες και ΟΓ ακτίνα που τέmicroνει τη χορδή ΑΒ στο Κ
α) Να βρείτε το microήκος S του τόξου cap
ΑΓ όταν το εmicroβαδόν του τριγώνου ΟΚΒ ισούται microε το
εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΓ και το τόξοcap
ΑΓ
β) Αν η γωνία 1ΑΟΒand
είναι 150ο πόσο είναι το S
γ) Για ποια τιmicroή του φ το S γίνεται microέγιστο
Β
Γ
φ
Α1 Α
ΑΣΚΗΣΗ 19η
Η περίmicroετρος ρόmicroβου ΑΒΓ∆ πλευράς α και κέντρου Ο είναι τετραπλάσια της microικρής
διαγωνίου του Β∆
i) Να υπολογιστεί συναρτήσει του α το εmicroβαδόν του Ε
ii) Φέρουmicroε Α∆perpΟΗ και Γ∆perpΟΖ Αν η ΑΖ τέmicroνει τον κύκλο διαmicroέτρου Ο∆ στο Θ να
δειχθεί ότι 2
3Ε=ΑΖsdotΑΘ
ΑΣΚΗΣΗ 20η
Το περίγραmicromicroα της βάσης ενός microεγάλου λόφου σχηmicroατίζει τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=γ ΑΓ=β
όπου βgtγ και στο οποίο η διάmicroεσος ΑΜ και το ύψος Α∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο ∆ίπλα στην
πλευρά ΑΓ υπάρχει ορθογώνιος ιδιωτικός χώρος διαστάσεων 2
γβ +και β-γ Σrsquo αυτόν το
χώρο πρόκειται να κατασκευαστεί ένας microεγάλος ανισόπεδος κόmicroβος που θα συνδέει δύο
δρόmicroους ταχείας κυκλοφορίας Γιrsquo αυτούς τους λόγους προτείνεται στον ιδιοκτήτη να δεχτεί
να ανταλλάξει αυτόν τον χώρο microε άλλον ορθογώνιο χώρο του δηmicroοσίου που βρίσκεται δίπλα
στην πλευρά ΒΓ και έχει διαστάσεις τα microήκη των ΒΓ και 2
ΑΜ Ο ιδιοκτήτης δηλώνει ότι θα
συmicroφωνήσει microε την πρόταση αρκεί οι ανταλλάξιmicroοι χώροι να έχουν την ίδια έκταση
Πρακτικά όmicroως είναι αδύνατον να microετρήσει την πλευρά ΒΓ και τη διάmicroεσο ΑΜ γιrsquo αυτό και
διστάζει Πως θα σκεφτόσαστε εσείς να βοηθήσετε τον ιδιοκτήτη να αποφασίσει
Κ
Ο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
34
ΑΣΚΗΣΗ 21η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε β=2γ και η διάmicroεσος του Β∆ Φέρουmicroε Β∆perpΑx που τέmicroνει την
Β∆ στο Ε και την ΒΓ στο Ζ και ΕyΑΓ που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ Να αποδείξετε ότι
i) ZB= 2
1ZΓ
ii) (ΑΒΓ)=3(ΑΒΖ)
iii) Να αποδειχθεί ότι 8
3
)(
)(=
ΑΒΖΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΗ 22η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε α=2γ και β= 7γ
α) i) Να αποδείξετε ότι 2
3αmicroα =
ii) Να βρείτε το είδος της γωνίας and
Β
iii) Αν ΑΕ perp ΒΓ να υπολογίσετε το ΒΕ συναρτήσει του γ
iv) Να βρείτε τη γωνία and
Β
β) Αν ΑΜ διάmicroεσος και Β∆ διχοτόmicroος να αποδείξτε ότι
i) Α∆ = 3
β
ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)
ΑΣΚΗΣΗ 23η
Έστω τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ο R) και σηmicroείο Μ το οποίο κινείται στο
ηmicroικύκλιο cap
ΑΒΓ
α) Να βρεθεί το ελάχιστο ( )minΕ και το microέγιστο ( )maxΕ εmicroβαδόν του τετράπλευρου ΑΜΓ∆
συναρτήσει της ακτίνας R
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε θέση του Μ είναι
i) Μ∆2 = ΑΓ ∆Ε όπου Ε η προβολή του Μ στην Β∆
ii) (ΑΜΓ∆) = 2
2Μ∆
γ) Να προσδιορίσετε τη θέση του σηmicroείου Μ όταν (ΑΜΓ∆) = 2
maxmin EE +
ΑΣΚΗΣΗ 24η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ M το microέσο της ΑΒ σηmicroείο Ν της ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΝ = 4
3ΑΓ και
σηmicroείο Κ της ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΚ = 4
1ΒΓ Να βρεθεί ο λόγος των εmicroβαδών του τριγώνου
ΑΒΓ προς του τριγώνου ΜΝΚ
ΑΣΚΗΣΗ 25η
Α) Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι 2
αmicro = βγ και β-γ = 5 2 Το microήκος της πλευράς
α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3
Β) Να δειχθεί ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει η σχέση (222
γβα micromicromicro ++ )2 = 27Ε
2 όπου
Ε το εmicroβαδό του
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
35
ΑΣΚΗΣΗ 26η
Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω περιπτώσεις
όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί να αποτελεί microήκη των
πλευρών του
i) 3 57
ii) 8 4 2
iii) 7 6 85
ΑΣΚΗΣΗ 27η
Αν η διάmicroεσος microα ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν προεκταθεί τέmicroνει τον περιγεγραmicromicroένο κύκλο
στο ∆ να αποδειχθεί ότι microα = Α∆+
2
22 γβ
ΑΣΚΗΣΗ 28η
Από ένα κυκλικό οικόπεδο ακτίνας R=30m θα αποκοπεί κυκλικό τmicroήmicroα χορδής 30 3 m για
την κατασκευή δρόmicroου
i) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου που έmicroεινε
ii) Να βρεθεί η αποζηmicroίωση που θα δοθεί στον ιδιοκτήτη αν η αρχική αξία του οικοπέδου
ήταν 10000000 δρχ
ΑΣΚΗΣΗ 29η
Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι α =13 β = 8 γ = 7
i) Να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς το είδος των γωνιών του
ii) Να υπολογιστεί το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ πάνω στην ΑΒ
iii) Να υπολογιστεί η γωνία and
Α
ΑΣΚΗΣΗ 30η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 4 ΑΓ = 5 ΒΓ = 7 Το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ
πάνω στην ΑΒ είναι Α 5 Β 1 Γ 6 ∆ 2
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 31η
Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (and
Α =90ο) microε
and
Β =60ο και ΒΓ=4 Με κέντρο το Β και
ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ και microε κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΜ
γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν να βρεθούν
i) Η θέση του σηmicroείου Μ στη ΒΓ
ii) Η περίmicroετρος του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
iii) Το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
36
ΑΣΚΗΣΗ 32η
Μια έκταση σχήmicroατος τετραγώνου microε A 30 H 70 ∆
πλευρά 100m πρόκειται να διατεθεί
για κατασκευή εργατικών κατοικιών
Οι κατοικίες θα ανεργεθούν σε τέσσερα 70 30
ίσα τριγωνικά οικόπεδα και η υπόλοιπη Μ
έκταση σχήmicroατος τετραπλεύρου θα
χρησιmicroοποιηθεί ως κοινόχρηστος χώρος Z
για δενδροφύτευση και κατασκευή γηπέδου
microπάσκετ 30 70
α) Να βρεθούν τα εmicroβαδά των τεσσάρων ίσων οικοπέδων
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινόχρηστου χώρου B 70 K 30 Γ
γ) Τι είδους τετράπλευρο είναι ο κοινόχρηστος χώρος Να βρεθούν οι πλευρές του
ΑΣΚΗΣΗ 33η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 90A =
and
και ΑΒ=y ΑΓ=β
Α∆=ν Β∆=micro ΒΓ=x ∆Γ=κ
i) Να συmicroπληρωθούν οι σχέσεις
β2=helliphelliphellip=helliphelliphelliphellip Α
ν2=helliphelliphelliphelliphelliphellip
2
2
βy
=helliphelliphelliphelliphellip βy=helliphelliphelliphellip y ν β
ii) Να δειχθεί ότι 111
222 νβ=+
y Β ν ∆ κ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 34η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroεία ∆Ε της πλευράς ΒΓ έτσι ώστε Β∆=∆Ε=ΕΓ Να απόδειχθεί
ότι
i) 2222 22 ΑΕminusΑ∆=∆ΕminusΑΒ ii)
2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 35η
∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε o90=Α
and
ΑΒ=5cm ΑΓ=12cm Α∆ το ύψος του και ΒΜ
η διάmicroεσος του Προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά ΓΕ=ΒΓ i) Να συγκρίνετε τα
εmicroβαδά των τριγώνων Α∆Γ και ΑΓΕ ii) Να δείξετε ότι η σχέση που συνδέει τα εmicroβαδά των
τριγώνων ΑΒΜ και ΑΒΕ είναι (ΑΒΕ)=4(ΑΒΜ)
ΑΣΚΗΣΗ 36η
Από σηmicroείο Μ εκτός κύκλου φέρνουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΜΕ του κύκλου και τις
τέmicroνουσες ΜΑΒ και ΜΓ∆ Αν είναι ΑΒ=9 ΓΜ=4 Γ∆=5 να υπολογίσετε i) το ΜΑ ii) το
ΜΕ
ΑΣΚΗΣΗ 37η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) ΑΒ microια διάmicroετρος του και Μ τυχαίο σηmicroείο του (διαφορετικό των Α
Β) Αν Γ είναι το microέσο της ΟΑ και ∆ το microέσο της ΟΒ ενώ η ΜΓ τέmicroνει τον κύκλο στο Ε και
η Μ∆ στο Ζ τότε να αποδείξετε ότι3
10=
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
37
Ζ
Ε
ΑΣΚΗΣΗ 38η
Ένα τριγωνικό αγρόκτηmicroα ΑΒΓ χωρίζεται
σε τέσσερα τριγωνικά αγροτεmicroάχια όπως Α
φαίνεται στο σχήmicroα έτσι ώστε ΑΒ=Α∆3
2
ΒΕ= ΒΓ4
1και ΓΖ= ΑΓ
2
1 α) Αν το εmicroβαδό ∆
του ΑΒΓ είναι 48 στρέmicromicroατα να υπολογίσετε το Β
Γ
εmicroβαδό του ∆ΕΖ β) Αν τα ∆ Ε Ζ είναι τα microέσα των ΑΒ
ΒΓ ΑΓ αντίστοιχα να βρεθούν τα εmicroβαδά των
τεσσάρων αγροτεmicroαχίων
ΑΣΚΗΣΗ 39η
∆ίνεται εγγράψιmicroο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ ώστε οι πλευρές του ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α microε τη σειρά
που δίνονται να αποτελούν γεωmicroετρική πρόοδο Να αποδείξετε ότι η διαγώνιος του Β∆ το
χωρίζει σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
ΑΣΚΗΣΗ 40η
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ∆ Ζ Γ
την ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m και
ο90=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος υ
∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο οποίος
θα χωρίσει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆
και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα α) Να βρεθεί
το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆ β) Να
βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο
ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο Α Ε Η Β
ΑΕ∆ δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου
∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
ΑΣΚΗΣΗ 41η
∆ίνεται ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ και τα σηmicroεία του ∆Γ έτσι ώστε ∆Β=Γ∆=ΑΓ Αν
Μ τυχαίο σηmicroείο εκτός του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατοςΑΒ
Να δείξετε ότι 2222 33 ΜΓ+ΜΒ=ΜΒ+ΑΜ
ΑΣΚΗΣΗ 42η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 222 2αγβ =+ Αν η διάmicroεσος ΑΜ τέmicroνει το περιγεγραmicromicroένο
κύκλο του τριγώνου στο ∆ να δείξετε ότι
α) 6
3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
38
ΑΣΚΗΣΗ 43η
Από ένα εξωτερικό σηmicroείο Α κύκλου ( )RΟ φέρουmicroε microια τέmicroνουσα ΑΒΓ έτσι ώστε
ΒΓ=ΑΒ Αν 7R=ΟΑ τότε να δείξετε ότι
i) ΒΓ=ΑΒ =λ3
ii) η γωνία and
ΑΟΓ είναι αmicroβλεία
iii) η προβολή της ΟΓ πάνω στην ΟΑ είναι ίση microε ΟΑ7
2
iv) Να δείξετε ότι ( )( ) 2
1=
ΑΟΓΒΟΓ
και στην συνέχεια να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του τριγώνου
and
ΑΟΓ
v) Να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που ορίζεται από την χορδή ΒΓ και
το microέτρο του τόξου cap
ΒΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
39
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
40
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
26
ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ
ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ
ΚΑΝΟΝΙΚΟ
ΕΞΑΓΩΝΟ
ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ
ΤΡΙΓΩΝΟ
ΠΛΕΥΡΑ νλ 24 R=λ R=6λ 33 R=λ
ΑΠΟΣΤΗΜΑ να
2
24
R=α
2
36
R=α
23
R=α
RL sdot= π2
180
microπ sdotsdot=
Rl ή Rl sdot=α
180
microαπ
=
2Rsdot=Ε π
( )360
2 microπ sdotsdot=ΟΑΒ
cap R ή ( )
cap
sdot=ΟΑΒ 2
2
1Rα
( ) ( )ΟΑΒminusΟΑΒ=cap
ε
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
27
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Ένα κανονικό εξάγωνο είναι περιγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ορ) Η πλευρά του
εξαγώνου αυτού είναι
Α ρ Β 2
3ρ Γ 2ρ ∆
3
32ρ Ε
3
2ρ
2 ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και στις προεκτάσεις των
πλευρών ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α θεωρούmicroε τα τmicroήmicroατα ΒΚ=ΓΛ=∆Μ=ΑΝ=λ3 Να δείξετε
ότι το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο και ότι η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου κύκλου του
είναι 641 += RR
3 Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε δύο παράλληλες χορδές ΑΒ=λ4 και Γ∆=λ6 Να
αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι ισοσκελές τραπέζιο και να υπολογιστεί
το εmicroβαδό του ως συνάρτηση της ακτίνας R
4 Η περίmicroετρος ενός κυκλικού τοmicroέα ΟΑΒ ενός κύκλου (ΟR) είναι 6+π Αν
ο60=ΒΟΑand
τότε το microήκος της ακτίνας R είναι
Α 6 Β 3 Γ 2 ∆ 4 Ε 5 (δικαιολογήστε την απάντησή σας)
5 Έστω τεταρτοκύκλιο ΟΑΒ ακτίνας R και ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΟΒ στο εσωτερικό
του Να βρείτε το εmicroβαδό και την περίmicroετρο του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΑΒ
6 Έστω δύο κύκλοι (ΟR) και (Ο΄R) των οποίων η διάmicroετρος ΟΟ΄ έχει microήκος
ΟΟ΄=R 3 α) Να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι τέmicroνονται
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινού microέρους των δύο κύκλων
7 Το εmicroβαδό κυκλικού τοmicroέα 80ο είναι 8π Η ακτίνα του κύκλου είναι
Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15
8 Τετράγωνο ΑΒΓ∆ είναι εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και η ηmicroιπερίmicroετρος του
είναι 80cm Να υπολογιστούν
α) η ακτίνα R του κύκλου
β) ο λόγος του εmicroβαδού του κύκλου προς το εmicroβαδό του τετραγώνου
9 Στο εσωτερικό ηmicroικυκλίου διαmicroέτρου ΑΟΒ=2R γράφουmicroε ηmicroικύκλια microε
διαmicroέτρους ΟΑ και ΟΒ Να υπολογιστεί το microήκος και το εmicroβαδό του κύκλου που
εφάπτεται των τριών ηmicroικυκλίων
10 ∆ύο κύκλοι (Ο3R) και (Ο΄R) εφάπτονται εξωτερικά στο σηmicroείο Α Φέρουmicroε την
κοινή εξωτερική εφαπτόmicroενη ΒΓ αυτών Να βρεθεί το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου
τριγώνου ΑΒΓ και του περιγεγραmicromicroένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ
11 Έστω ο κύκλος (ΟR) και microια ακτίνα του ΟΑ Στην ηmicroιευθεία ΟΑ θεωρούmicroε
σηmicroείοΒ έτσι ώστε ΑΒ=ΑΟ Αν ΒΓ η εφαπτοmicroένη του κύκλου να βρεθεί το
εmicroβαδό α) του τριγώνου ΟΒΓ και β) του microικτόγραmicromicroου τριγώνου
ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
28
12 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=λ3 και Γ∆=λ6
προς το ίδιο microέρος του κέντρου Ο α) Να εκφράσετε τις χορδές ΑΒ και Γ∆ ως
συνάρτηση της ακτίνας R β) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό Ε1 του κυκλικού τmicroήmicroατος
που αντιστοιχεί στη χορδή Γ∆ γ) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό του τριγώνου ΟΑΒ
δ) Να βρείτε την περίmicroετρο και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τραπεζίου που έχει
κορυφές τα ΑΒΓ∆
13 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) χορδή ΑΒ=R την εφαπτοmicroένη ε του κύκλου στο σηmicroείο
Α και τη εperpΒΓ Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του τραπεζίου ΟΑΓΒ
β) το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
14 ∆ίνεται ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΑΒ και στο εσωτερικό του τα ηmicroικύκλια διαmicroέτρων
ΑΓ και ΓΒ όπου Γ σηmicroείο microεταξύ των Α και Β Αν κάθετη της ΑΒ στο Γ τέmicroνει το
αρχικό ηmicroικύκλιο στο ∆ να αποδείξετε ότι το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται
microεταξύ των τριών ηmicroικυκλίων είναι ίσο microε το εmicroβαδό του κύκλου διαmicroέτρου Γ∆
15 Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ο60=Β
and
και ΒΓ=α Με
κέντρο το Β και ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει τη ΒΓ στο Μ και microε κέντρο
το Γ και ακτίνα ΓΜ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν Να βρεθεί η
περίmicroετρος και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
16 Με κέντρο ένα σηmicroείο Κ κύκλου (ΟR) και ακτίνα ίση προς R 3 γράφουmicroε
κύκλο ο οποίος τέmicroνει τον (ΟR) στα σηmicroεία Α και Β Να υπολογιστούν η
περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου microηνίσκου
17 ∆ίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ΒΓ = 2R
Γράφουmicroε ηmicroικύκλιο microε διάmicroετρο ΒΓ εκτός τριγώνου και τόξο κύκλου (Α ΑΒ) microε
άκρα Β και Γ Να βρεθεί η περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου
microηνίσκου από το ηmicroικύκλιο και το τόξο αυτό
18 Ένα ορθογώνιο σπίτι microε διαστάσεις α = 20m και β = 10m έχει microια εξωτερική
πρίζα σε microια γωνία του Ένα χορτοκοπτικό microηχάνηmicroα συνδεδεmicroένο microε την πρίζα
έχει καλώδιο microε microήκος 15m Να βρεθεί το εmicroβαδόν της microεγαλύτερης επιφάνειας
του χόρτου που microπορεί να κοπεί
19 Σε κύκλο ακτίνας R = 4cm είναι εγγεγραmicromicroένο ισόπλευρο τρίγωνο
Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του κύκλου
β) την πλευρά του τριγώνου
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου
δ) το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται microεταξύ του κύκλου και του τριγώνου
20 Σε κύκλο microε διάmicroετρο ΑΒ φέρουmicroε τις χορδές ΜΒΑΜ Αν είναι 6=ΑΜ και
8=ΒΜ να βρεθεί η ακτίνα και το εmicroβαδόν του κύκλου
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
29
21 Να βρεθεί το εmicroβαδόν του καθενός από τα δύο microέρη στα οποία διαιρείται ένας
κύκλος ( )RΟ από την πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραmicromicroένου στον κύκλο
αυτόν
22 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και φέρουmicroε δύο κάθετες ακτίνες ΟΑ και ΟΒ Με
κέντρο το Α και ακτίνα R γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει το cap
AB στο σηmicroείο Γ Να
βρεθεί το εmicroβαδόν του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΒΓ
23 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και τόξο 60=ΑΒ
cap
Φέρουmicroε στο σηmicroείο Α την
εφαπτοmicroένη χΑ του κύκλου και την χΑperpΒΓ Να βρεθεί το εmicroβαδόν του
microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
30
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΗ 1η
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α∆ διχοτόmicroος Β∆ = 2 Γ∆ = 3 και 2τ = 15 (περίmicroετρος) η πλευρά
ΑΒ είναι
Α 3 Β 4 Γ 5 ∆ 6 Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 2η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 3α2 + 2γ
2 = 2β
2 Τότε
i) Α and
Α gt90ο Β
and
Β gt 90ο Γ
and
Β lt 90ο ∆
and
Γ gt 90ο Ε Κανένα από τα παραπάνω
ii) Η προβολή της διαmicroέσου microα στην ΒΓ ισούται microε
Α 4
a Β
2
a Γ
4
3a ∆
2
3a Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 3η
Αν ΑΒΓ∆ τετράγωνο πλευράς α και Ε microέσο του Α∆ τότε
i) ΒΕ =2
5α Σ Λ
ii) Ο λόγος ΒΕΕΖ
ισούται microε
Α 5
2 Β
4
5 Γ
4
1 ∆
5
1 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
Α Β
E
Z
∆ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 4η
Αν τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=4 ΒΓ=5 ΑΓ=6 και Α∆ διχοτόmicroος τότε
i) -Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο Σ Λ
- Ο λόγος ∆Γ∆Β
ισούται microε
Α 2
1 Β
3
1 Γ
3
2 ∆
4
3 Ε
2
3
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ii) Αν ε η προβολή του Α στην ΒΓ να υπολογίσετε το microήκος του ΒΕ
iii) Να αποδείξετε ότι 2
1=
∆Γ∆Ε
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
31
ΑΣΚΗΣΗ 5η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και Μ το microέσο της Α∆ Προεκτείνουmicroε τη ∆Γ προς το Γ
κατά ΓΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΒΜ)=2
)(ΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τραπεζίου ΑΒΕ∆ είναι οκταπλάσιο από το εmicroβαδόν του
τριγώνου ΑΒΜ
ΑΣΚΗΣΗ 6η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναιuα =3ρ όπου ρ του εγγεγραmicromicroένου κύκλου του τριγώνου Ο λόγος
αγβ +
ισούται microε Α 2 Β 3 Γ 3
1 ∆
2
3 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ΑΣΚΗΣΗ 7η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάmicroεσός του Α∆ Προεκτείνουmicroε την ΒΑ προς το Α κατά τmicroήmicroα
ΑΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι (ΒΕ∆)=3(Α∆Γ)
ΑΣΚΗΣΗ 8η
Στο εσωτερικό της αυλής ενός σπιτιού υπάρχει microικρός κήπος microε λαχανικά όπως στο
ακόλουθο σχήmicroα Αν το εmicroβαδόν του κήπου είναι 122m και οι διαστάσεις της αυλής είναι
12m και 13m να βρεθεί το x Αν θέλουmicroε να περιφράξουmicroε τον κήπο microε σύρmicroα πόσο σύρmicroα
θα χρειαστούmicroε
12m
13m
ΑΣΚΗΣΗ 9η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ Από τυχαίο σηmicroείο Ε της ΑΓ φέρουmicroε ευθεία παράλληλη
προς την Α∆ που τέmicroνει την Γ∆ στο Ζ Να αποδείξετε ότι
i) (Α∆Ζ)=(ΑΕΒ)
ii) (ΑΕΖ)=(ΒΕΓ)-(ΖΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 10η
Οι διάmicroεσοι Β∆ και ΓΕ τριγώνου ΑΒΓ τέmicroνονται στο Θ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΕ∆)=4
)(ΑΒΓ
ii) (ΒΘΓ)= 3
)(ΑΒΓ
iii)(ΑΕ∆)= (ΒΚΛΓ) όπου Κ Λ τα microέσα των ΒΘ και ΓΘ αντίστοιχα
x
x x
x
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
32
ΑΣΚΗΣΗ 11η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε τη διχοτόmicroο Α∆ Από το ∆ φέρνουmicroε παράλληλη προς την ΑΒ
που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει την προέκταση της
∆Ε στο Ζ να αποδείξετε ότι
α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)
β) β2(ΑΕΖ) = γ
2(∆ΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 12η
Θεωρούmicroε γωνία yxand
Α και σηmicroείο Ο της διχοτόmicroου της Αδ Αν ο κύκλος (ΟΟΑ) τέmicroνει τις
Οx Οy στα Β Γ αντίστοιχα και την Αδ στο ∆ να αποδείξετε ότι
α) (ΟΑΒ)=(ΟΑΓ)
β) (ΒΟΓ∆)=(ΑΒ∆)
γ) (ΒΟΓ∆)=2
1(ΟΑ)(ΒΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 13η
Από εσωτερικό σηmicroείο Μ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλες προς τις
πλευρές ΑΓ και ΑΒ που τέmicroνουν τις ΑΒ ΑΓ στα ∆ Ζ αντίστοιχα Αν (ΒΜ)=x (ΒΓ)=α
(Β∆Μ)=Ε1 (ΓΖΜ)=Ε2 και (ΑΒΓ)=Ε τότε
α) Να εκφράσετε ως συναρτήσεις των x και α τους λόγους Ε
Ε1 και Ε
Ε2
β) Να αποδείξετε ότι ΕgeΕ+Ε2
121
ΑΣΚΗΣΗ 14η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=Γ∆=λ3
Να βρεθεί
i) Η περίmicroετρος του ΑΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που αντιστοιχεί στη χορδή ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 15η
Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε τα διαδοχικά σηmicroεία Α Β Γ και ∆ ώστε ΑΒ=ΒΓ=Γ∆= R Να
βρεθεί
i) H περίmicroετρος του τριγώνου ΑΒ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τριγώνου ΒΓ∆
iii) Ο λόγος )(
)(
ΒΓ∆ΑΒ∆
ΑΣΚΗΣΗ 16η
∆ίνεται τεταρτοκύκλιο Οand
ΒΓ ακτίνας R
α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΓΒ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε δύο ισεmicroβαδικά χωρία
β) Αν ∆ σηmicroείο του τόξου ΒΓ να αποδείξετε ότι η ευθεία Γ∆ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
γ) Να βρείτε σηmicroείο Α της ακτίνας ΟΒ ώστε η ευθεία ΓΑ να χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
33
ΑΣΚΗΣΗ 17η
Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο Ο cap
ΒΓ ακτίνας R Σηmicroείο Α κινείται πάνω στο τόξο cap
ΒΓ και έστω
Κ το σηmicroείο τοmicroής της ακτίνας ΟΑ microε τη ΒΓ Να βρείτε το microήκος του τόξου cap
ΒΑ όταν το
εmicroβαδό του τριγώνου ΟΚΓ ισούται microε το εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα
τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΒ και το τόξο cap
ΒΑ
ΑΣΚΗΣΗ 18η
∆ίνεται ηmicroικύκλιο κέντρου Ο microε διάmicroετρο ΑΑ1=2R Έστω Β σηmicroείο του ηmicroικυκλίου microε
( 1ΑΟΒand
)=φ microοίρες και ΟΓ ακτίνα που τέmicroνει τη χορδή ΑΒ στο Κ
α) Να βρείτε το microήκος S του τόξου cap
ΑΓ όταν το εmicroβαδόν του τριγώνου ΟΚΒ ισούται microε το
εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΓ και το τόξοcap
ΑΓ
β) Αν η γωνία 1ΑΟΒand
είναι 150ο πόσο είναι το S
γ) Για ποια τιmicroή του φ το S γίνεται microέγιστο
Β
Γ
φ
Α1 Α
ΑΣΚΗΣΗ 19η
Η περίmicroετρος ρόmicroβου ΑΒΓ∆ πλευράς α και κέντρου Ο είναι τετραπλάσια της microικρής
διαγωνίου του Β∆
i) Να υπολογιστεί συναρτήσει του α το εmicroβαδόν του Ε
ii) Φέρουmicroε Α∆perpΟΗ και Γ∆perpΟΖ Αν η ΑΖ τέmicroνει τον κύκλο διαmicroέτρου Ο∆ στο Θ να
δειχθεί ότι 2
3Ε=ΑΖsdotΑΘ
ΑΣΚΗΣΗ 20η
Το περίγραmicromicroα της βάσης ενός microεγάλου λόφου σχηmicroατίζει τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=γ ΑΓ=β
όπου βgtγ και στο οποίο η διάmicroεσος ΑΜ και το ύψος Α∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο ∆ίπλα στην
πλευρά ΑΓ υπάρχει ορθογώνιος ιδιωτικός χώρος διαστάσεων 2
γβ +και β-γ Σrsquo αυτόν το
χώρο πρόκειται να κατασκευαστεί ένας microεγάλος ανισόπεδος κόmicroβος που θα συνδέει δύο
δρόmicroους ταχείας κυκλοφορίας Γιrsquo αυτούς τους λόγους προτείνεται στον ιδιοκτήτη να δεχτεί
να ανταλλάξει αυτόν τον χώρο microε άλλον ορθογώνιο χώρο του δηmicroοσίου που βρίσκεται δίπλα
στην πλευρά ΒΓ και έχει διαστάσεις τα microήκη των ΒΓ και 2
ΑΜ Ο ιδιοκτήτης δηλώνει ότι θα
συmicroφωνήσει microε την πρόταση αρκεί οι ανταλλάξιmicroοι χώροι να έχουν την ίδια έκταση
Πρακτικά όmicroως είναι αδύνατον να microετρήσει την πλευρά ΒΓ και τη διάmicroεσο ΑΜ γιrsquo αυτό και
διστάζει Πως θα σκεφτόσαστε εσείς να βοηθήσετε τον ιδιοκτήτη να αποφασίσει
Κ
Ο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
34
ΑΣΚΗΣΗ 21η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε β=2γ και η διάmicroεσος του Β∆ Φέρουmicroε Β∆perpΑx που τέmicroνει την
Β∆ στο Ε και την ΒΓ στο Ζ και ΕyΑΓ που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ Να αποδείξετε ότι
i) ZB= 2
1ZΓ
ii) (ΑΒΓ)=3(ΑΒΖ)
iii) Να αποδειχθεί ότι 8
3
)(
)(=
ΑΒΖΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΗ 22η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε α=2γ και β= 7γ
α) i) Να αποδείξετε ότι 2
3αmicroα =
ii) Να βρείτε το είδος της γωνίας and
Β
iii) Αν ΑΕ perp ΒΓ να υπολογίσετε το ΒΕ συναρτήσει του γ
iv) Να βρείτε τη γωνία and
Β
β) Αν ΑΜ διάmicroεσος και Β∆ διχοτόmicroος να αποδείξτε ότι
i) Α∆ = 3
β
ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)
ΑΣΚΗΣΗ 23η
Έστω τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ο R) και σηmicroείο Μ το οποίο κινείται στο
ηmicroικύκλιο cap
ΑΒΓ
α) Να βρεθεί το ελάχιστο ( )minΕ και το microέγιστο ( )maxΕ εmicroβαδόν του τετράπλευρου ΑΜΓ∆
συναρτήσει της ακτίνας R
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε θέση του Μ είναι
i) Μ∆2 = ΑΓ ∆Ε όπου Ε η προβολή του Μ στην Β∆
ii) (ΑΜΓ∆) = 2
2Μ∆
γ) Να προσδιορίσετε τη θέση του σηmicroείου Μ όταν (ΑΜΓ∆) = 2
maxmin EE +
ΑΣΚΗΣΗ 24η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ M το microέσο της ΑΒ σηmicroείο Ν της ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΝ = 4
3ΑΓ και
σηmicroείο Κ της ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΚ = 4
1ΒΓ Να βρεθεί ο λόγος των εmicroβαδών του τριγώνου
ΑΒΓ προς του τριγώνου ΜΝΚ
ΑΣΚΗΣΗ 25η
Α) Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι 2
αmicro = βγ και β-γ = 5 2 Το microήκος της πλευράς
α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3
Β) Να δειχθεί ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει η σχέση (222
γβα micromicromicro ++ )2 = 27Ε
2 όπου
Ε το εmicroβαδό του
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
35
ΑΣΚΗΣΗ 26η
Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω περιπτώσεις
όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί να αποτελεί microήκη των
πλευρών του
i) 3 57
ii) 8 4 2
iii) 7 6 85
ΑΣΚΗΣΗ 27η
Αν η διάmicroεσος microα ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν προεκταθεί τέmicroνει τον περιγεγραmicromicroένο κύκλο
στο ∆ να αποδειχθεί ότι microα = Α∆+
2
22 γβ
ΑΣΚΗΣΗ 28η
Από ένα κυκλικό οικόπεδο ακτίνας R=30m θα αποκοπεί κυκλικό τmicroήmicroα χορδής 30 3 m για
την κατασκευή δρόmicroου
i) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου που έmicroεινε
ii) Να βρεθεί η αποζηmicroίωση που θα δοθεί στον ιδιοκτήτη αν η αρχική αξία του οικοπέδου
ήταν 10000000 δρχ
ΑΣΚΗΣΗ 29η
Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι α =13 β = 8 γ = 7
i) Να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς το είδος των γωνιών του
ii) Να υπολογιστεί το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ πάνω στην ΑΒ
iii) Να υπολογιστεί η γωνία and
Α
ΑΣΚΗΣΗ 30η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 4 ΑΓ = 5 ΒΓ = 7 Το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ
πάνω στην ΑΒ είναι Α 5 Β 1 Γ 6 ∆ 2
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 31η
Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (and
Α =90ο) microε
and
Β =60ο και ΒΓ=4 Με κέντρο το Β και
ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ και microε κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΜ
γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν να βρεθούν
i) Η θέση του σηmicroείου Μ στη ΒΓ
ii) Η περίmicroετρος του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
iii) Το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
36
ΑΣΚΗΣΗ 32η
Μια έκταση σχήmicroατος τετραγώνου microε A 30 H 70 ∆
πλευρά 100m πρόκειται να διατεθεί
για κατασκευή εργατικών κατοικιών
Οι κατοικίες θα ανεργεθούν σε τέσσερα 70 30
ίσα τριγωνικά οικόπεδα και η υπόλοιπη Μ
έκταση σχήmicroατος τετραπλεύρου θα
χρησιmicroοποιηθεί ως κοινόχρηστος χώρος Z
για δενδροφύτευση και κατασκευή γηπέδου
microπάσκετ 30 70
α) Να βρεθούν τα εmicroβαδά των τεσσάρων ίσων οικοπέδων
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινόχρηστου χώρου B 70 K 30 Γ
γ) Τι είδους τετράπλευρο είναι ο κοινόχρηστος χώρος Να βρεθούν οι πλευρές του
ΑΣΚΗΣΗ 33η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 90A =
and
και ΑΒ=y ΑΓ=β
Α∆=ν Β∆=micro ΒΓ=x ∆Γ=κ
i) Να συmicroπληρωθούν οι σχέσεις
β2=helliphelliphellip=helliphelliphelliphellip Α
ν2=helliphelliphelliphelliphelliphellip
2
2
βy
=helliphelliphelliphelliphellip βy=helliphelliphelliphellip y ν β
ii) Να δειχθεί ότι 111
222 νβ=+
y Β ν ∆ κ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 34η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroεία ∆Ε της πλευράς ΒΓ έτσι ώστε Β∆=∆Ε=ΕΓ Να απόδειχθεί
ότι
i) 2222 22 ΑΕminusΑ∆=∆ΕminusΑΒ ii)
2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 35η
∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε o90=Α
and
ΑΒ=5cm ΑΓ=12cm Α∆ το ύψος του και ΒΜ
η διάmicroεσος του Προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά ΓΕ=ΒΓ i) Να συγκρίνετε τα
εmicroβαδά των τριγώνων Α∆Γ και ΑΓΕ ii) Να δείξετε ότι η σχέση που συνδέει τα εmicroβαδά των
τριγώνων ΑΒΜ και ΑΒΕ είναι (ΑΒΕ)=4(ΑΒΜ)
ΑΣΚΗΣΗ 36η
Από σηmicroείο Μ εκτός κύκλου φέρνουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΜΕ του κύκλου και τις
τέmicroνουσες ΜΑΒ και ΜΓ∆ Αν είναι ΑΒ=9 ΓΜ=4 Γ∆=5 να υπολογίσετε i) το ΜΑ ii) το
ΜΕ
ΑΣΚΗΣΗ 37η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) ΑΒ microια διάmicroετρος του και Μ τυχαίο σηmicroείο του (διαφορετικό των Α
Β) Αν Γ είναι το microέσο της ΟΑ και ∆ το microέσο της ΟΒ ενώ η ΜΓ τέmicroνει τον κύκλο στο Ε και
η Μ∆ στο Ζ τότε να αποδείξετε ότι3
10=
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
37
Ζ
Ε
ΑΣΚΗΣΗ 38η
Ένα τριγωνικό αγρόκτηmicroα ΑΒΓ χωρίζεται
σε τέσσερα τριγωνικά αγροτεmicroάχια όπως Α
φαίνεται στο σχήmicroα έτσι ώστε ΑΒ=Α∆3
2
ΒΕ= ΒΓ4
1και ΓΖ= ΑΓ
2
1 α) Αν το εmicroβαδό ∆
του ΑΒΓ είναι 48 στρέmicromicroατα να υπολογίσετε το Β
Γ
εmicroβαδό του ∆ΕΖ β) Αν τα ∆ Ε Ζ είναι τα microέσα των ΑΒ
ΒΓ ΑΓ αντίστοιχα να βρεθούν τα εmicroβαδά των
τεσσάρων αγροτεmicroαχίων
ΑΣΚΗΣΗ 39η
∆ίνεται εγγράψιmicroο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ ώστε οι πλευρές του ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α microε τη σειρά
που δίνονται να αποτελούν γεωmicroετρική πρόοδο Να αποδείξετε ότι η διαγώνιος του Β∆ το
χωρίζει σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
ΑΣΚΗΣΗ 40η
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ∆ Ζ Γ
την ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m και
ο90=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος υ
∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο οποίος
θα χωρίσει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆
και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα α) Να βρεθεί
το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆ β) Να
βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο
ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο Α Ε Η Β
ΑΕ∆ δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου
∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
ΑΣΚΗΣΗ 41η
∆ίνεται ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ και τα σηmicroεία του ∆Γ έτσι ώστε ∆Β=Γ∆=ΑΓ Αν
Μ τυχαίο σηmicroείο εκτός του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατοςΑΒ
Να δείξετε ότι 2222 33 ΜΓ+ΜΒ=ΜΒ+ΑΜ
ΑΣΚΗΣΗ 42η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 222 2αγβ =+ Αν η διάmicroεσος ΑΜ τέmicroνει το περιγεγραmicromicroένο
κύκλο του τριγώνου στο ∆ να δείξετε ότι
α) 6
3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
38
ΑΣΚΗΣΗ 43η
Από ένα εξωτερικό σηmicroείο Α κύκλου ( )RΟ φέρουmicroε microια τέmicroνουσα ΑΒΓ έτσι ώστε
ΒΓ=ΑΒ Αν 7R=ΟΑ τότε να δείξετε ότι
i) ΒΓ=ΑΒ =λ3
ii) η γωνία and
ΑΟΓ είναι αmicroβλεία
iii) η προβολή της ΟΓ πάνω στην ΟΑ είναι ίση microε ΟΑ7
2
iv) Να δείξετε ότι ( )( ) 2
1=
ΑΟΓΒΟΓ
και στην συνέχεια να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του τριγώνου
and
ΑΟΓ
v) Να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που ορίζεται από την χορδή ΒΓ και
το microέτρο του τόξου cap
ΒΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
39
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
40
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
27
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 Ένα κανονικό εξάγωνο είναι περιγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ορ) Η πλευρά του
εξαγώνου αυτού είναι
Α ρ Β 2
3ρ Γ 2ρ ∆
3
32ρ Ε
3
2ρ
2 ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και στις προεκτάσεις των
πλευρών ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α θεωρούmicroε τα τmicroήmicroατα ΒΚ=ΓΛ=∆Μ=ΑΝ=λ3 Να δείξετε
ότι το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο και ότι η ακτίνα του περιγεγραmicromicroένου κύκλου του
είναι 641 += RR
3 Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε δύο παράλληλες χορδές ΑΒ=λ4 και Γ∆=λ6 Να
αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι ισοσκελές τραπέζιο και να υπολογιστεί
το εmicroβαδό του ως συνάρτηση της ακτίνας R
4 Η περίmicroετρος ενός κυκλικού τοmicroέα ΟΑΒ ενός κύκλου (ΟR) είναι 6+π Αν
ο60=ΒΟΑand
τότε το microήκος της ακτίνας R είναι
Α 6 Β 3 Γ 2 ∆ 4 Ε 5 (δικαιολογήστε την απάντησή σας)
5 Έστω τεταρτοκύκλιο ΟΑΒ ακτίνας R και ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΟΒ στο εσωτερικό
του Να βρείτε το εmicroβαδό και την περίmicroετρο του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΑΒ
6 Έστω δύο κύκλοι (ΟR) και (Ο΄R) των οποίων η διάmicroετρος ΟΟ΄ έχει microήκος
ΟΟ΄=R 3 α) Να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι τέmicroνονται
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινού microέρους των δύο κύκλων
7 Το εmicroβαδό κυκλικού τοmicroέα 80ο είναι 8π Η ακτίνα του κύκλου είναι
Α 9 Β 8 Γ 6 ∆ 10 Ε 15
8 Τετράγωνο ΑΒΓ∆ είναι εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (ΟR) και η ηmicroιπερίmicroετρος του
είναι 80cm Να υπολογιστούν
α) η ακτίνα R του κύκλου
β) ο λόγος του εmicroβαδού του κύκλου προς το εmicroβαδό του τετραγώνου
9 Στο εσωτερικό ηmicroικυκλίου διαmicroέτρου ΑΟΒ=2R γράφουmicroε ηmicroικύκλια microε
διαmicroέτρους ΟΑ και ΟΒ Να υπολογιστεί το microήκος και το εmicroβαδό του κύκλου που
εφάπτεται των τριών ηmicroικυκλίων
10 ∆ύο κύκλοι (Ο3R) και (Ο΄R) εφάπτονται εξωτερικά στο σηmicroείο Α Φέρουmicroε την
κοινή εξωτερική εφαπτόmicroενη ΒΓ αυτών Να βρεθεί το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου
τριγώνου ΑΒΓ και του περιγεγραmicromicroένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ
11 Έστω ο κύκλος (ΟR) και microια ακτίνα του ΟΑ Στην ηmicroιευθεία ΟΑ θεωρούmicroε
σηmicroείοΒ έτσι ώστε ΑΒ=ΑΟ Αν ΒΓ η εφαπτοmicroένη του κύκλου να βρεθεί το
εmicroβαδό α) του τριγώνου ΟΒΓ και β) του microικτόγραmicromicroου τριγώνου
ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
28
12 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=λ3 και Γ∆=λ6
προς το ίδιο microέρος του κέντρου Ο α) Να εκφράσετε τις χορδές ΑΒ και Γ∆ ως
συνάρτηση της ακτίνας R β) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό Ε1 του κυκλικού τmicroήmicroατος
που αντιστοιχεί στη χορδή Γ∆ γ) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό του τριγώνου ΟΑΒ
δ) Να βρείτε την περίmicroετρο και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τραπεζίου που έχει
κορυφές τα ΑΒΓ∆
13 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) χορδή ΑΒ=R την εφαπτοmicroένη ε του κύκλου στο σηmicroείο
Α και τη εperpΒΓ Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του τραπεζίου ΟΑΓΒ
β) το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
14 ∆ίνεται ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΑΒ και στο εσωτερικό του τα ηmicroικύκλια διαmicroέτρων
ΑΓ και ΓΒ όπου Γ σηmicroείο microεταξύ των Α και Β Αν κάθετη της ΑΒ στο Γ τέmicroνει το
αρχικό ηmicroικύκλιο στο ∆ να αποδείξετε ότι το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται
microεταξύ των τριών ηmicroικυκλίων είναι ίσο microε το εmicroβαδό του κύκλου διαmicroέτρου Γ∆
15 Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ο60=Β
and
και ΒΓ=α Με
κέντρο το Β και ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει τη ΒΓ στο Μ και microε κέντρο
το Γ και ακτίνα ΓΜ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν Να βρεθεί η
περίmicroετρος και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
16 Με κέντρο ένα σηmicroείο Κ κύκλου (ΟR) και ακτίνα ίση προς R 3 γράφουmicroε
κύκλο ο οποίος τέmicroνει τον (ΟR) στα σηmicroεία Α και Β Να υπολογιστούν η
περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου microηνίσκου
17 ∆ίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ΒΓ = 2R
Γράφουmicroε ηmicroικύκλιο microε διάmicroετρο ΒΓ εκτός τριγώνου και τόξο κύκλου (Α ΑΒ) microε
άκρα Β και Γ Να βρεθεί η περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου
microηνίσκου από το ηmicroικύκλιο και το τόξο αυτό
18 Ένα ορθογώνιο σπίτι microε διαστάσεις α = 20m και β = 10m έχει microια εξωτερική
πρίζα σε microια γωνία του Ένα χορτοκοπτικό microηχάνηmicroα συνδεδεmicroένο microε την πρίζα
έχει καλώδιο microε microήκος 15m Να βρεθεί το εmicroβαδόν της microεγαλύτερης επιφάνειας
του χόρτου που microπορεί να κοπεί
19 Σε κύκλο ακτίνας R = 4cm είναι εγγεγραmicromicroένο ισόπλευρο τρίγωνο
Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του κύκλου
β) την πλευρά του τριγώνου
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου
δ) το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται microεταξύ του κύκλου και του τριγώνου
20 Σε κύκλο microε διάmicroετρο ΑΒ φέρουmicroε τις χορδές ΜΒΑΜ Αν είναι 6=ΑΜ και
8=ΒΜ να βρεθεί η ακτίνα και το εmicroβαδόν του κύκλου
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
29
21 Να βρεθεί το εmicroβαδόν του καθενός από τα δύο microέρη στα οποία διαιρείται ένας
κύκλος ( )RΟ από την πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραmicromicroένου στον κύκλο
αυτόν
22 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και φέρουmicroε δύο κάθετες ακτίνες ΟΑ και ΟΒ Με
κέντρο το Α και ακτίνα R γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει το cap
AB στο σηmicroείο Γ Να
βρεθεί το εmicroβαδόν του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΒΓ
23 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και τόξο 60=ΑΒ
cap
Φέρουmicroε στο σηmicroείο Α την
εφαπτοmicroένη χΑ του κύκλου και την χΑperpΒΓ Να βρεθεί το εmicroβαδόν του
microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
30
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΗ 1η
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α∆ διχοτόmicroος Β∆ = 2 Γ∆ = 3 και 2τ = 15 (περίmicroετρος) η πλευρά
ΑΒ είναι
Α 3 Β 4 Γ 5 ∆ 6 Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 2η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 3α2 + 2γ
2 = 2β
2 Τότε
i) Α and
Α gt90ο Β
and
Β gt 90ο Γ
and
Β lt 90ο ∆
and
Γ gt 90ο Ε Κανένα από τα παραπάνω
ii) Η προβολή της διαmicroέσου microα στην ΒΓ ισούται microε
Α 4
a Β
2
a Γ
4
3a ∆
2
3a Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 3η
Αν ΑΒΓ∆ τετράγωνο πλευράς α και Ε microέσο του Α∆ τότε
i) ΒΕ =2
5α Σ Λ
ii) Ο λόγος ΒΕΕΖ
ισούται microε
Α 5
2 Β
4
5 Γ
4
1 ∆
5
1 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
Α Β
E
Z
∆ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 4η
Αν τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=4 ΒΓ=5 ΑΓ=6 και Α∆ διχοτόmicroος τότε
i) -Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο Σ Λ
- Ο λόγος ∆Γ∆Β
ισούται microε
Α 2
1 Β
3
1 Γ
3
2 ∆
4
3 Ε
2
3
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ii) Αν ε η προβολή του Α στην ΒΓ να υπολογίσετε το microήκος του ΒΕ
iii) Να αποδείξετε ότι 2
1=
∆Γ∆Ε
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
31
ΑΣΚΗΣΗ 5η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και Μ το microέσο της Α∆ Προεκτείνουmicroε τη ∆Γ προς το Γ
κατά ΓΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΒΜ)=2
)(ΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τραπεζίου ΑΒΕ∆ είναι οκταπλάσιο από το εmicroβαδόν του
τριγώνου ΑΒΜ
ΑΣΚΗΣΗ 6η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναιuα =3ρ όπου ρ του εγγεγραmicromicroένου κύκλου του τριγώνου Ο λόγος
αγβ +
ισούται microε Α 2 Β 3 Γ 3
1 ∆
2
3 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ΑΣΚΗΣΗ 7η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάmicroεσός του Α∆ Προεκτείνουmicroε την ΒΑ προς το Α κατά τmicroήmicroα
ΑΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι (ΒΕ∆)=3(Α∆Γ)
ΑΣΚΗΣΗ 8η
Στο εσωτερικό της αυλής ενός σπιτιού υπάρχει microικρός κήπος microε λαχανικά όπως στο
ακόλουθο σχήmicroα Αν το εmicroβαδόν του κήπου είναι 122m και οι διαστάσεις της αυλής είναι
12m και 13m να βρεθεί το x Αν θέλουmicroε να περιφράξουmicroε τον κήπο microε σύρmicroα πόσο σύρmicroα
θα χρειαστούmicroε
12m
13m
ΑΣΚΗΣΗ 9η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ Από τυχαίο σηmicroείο Ε της ΑΓ φέρουmicroε ευθεία παράλληλη
προς την Α∆ που τέmicroνει την Γ∆ στο Ζ Να αποδείξετε ότι
i) (Α∆Ζ)=(ΑΕΒ)
ii) (ΑΕΖ)=(ΒΕΓ)-(ΖΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 10η
Οι διάmicroεσοι Β∆ και ΓΕ τριγώνου ΑΒΓ τέmicroνονται στο Θ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΕ∆)=4
)(ΑΒΓ
ii) (ΒΘΓ)= 3
)(ΑΒΓ
iii)(ΑΕ∆)= (ΒΚΛΓ) όπου Κ Λ τα microέσα των ΒΘ και ΓΘ αντίστοιχα
x
x x
x
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
32
ΑΣΚΗΣΗ 11η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε τη διχοτόmicroο Α∆ Από το ∆ φέρνουmicroε παράλληλη προς την ΑΒ
που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει την προέκταση της
∆Ε στο Ζ να αποδείξετε ότι
α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)
β) β2(ΑΕΖ) = γ
2(∆ΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 12η
Θεωρούmicroε γωνία yxand
Α και σηmicroείο Ο της διχοτόmicroου της Αδ Αν ο κύκλος (ΟΟΑ) τέmicroνει τις
Οx Οy στα Β Γ αντίστοιχα και την Αδ στο ∆ να αποδείξετε ότι
α) (ΟΑΒ)=(ΟΑΓ)
β) (ΒΟΓ∆)=(ΑΒ∆)
γ) (ΒΟΓ∆)=2
1(ΟΑ)(ΒΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 13η
Από εσωτερικό σηmicroείο Μ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλες προς τις
πλευρές ΑΓ και ΑΒ που τέmicroνουν τις ΑΒ ΑΓ στα ∆ Ζ αντίστοιχα Αν (ΒΜ)=x (ΒΓ)=α
(Β∆Μ)=Ε1 (ΓΖΜ)=Ε2 και (ΑΒΓ)=Ε τότε
α) Να εκφράσετε ως συναρτήσεις των x και α τους λόγους Ε
Ε1 και Ε
Ε2
β) Να αποδείξετε ότι ΕgeΕ+Ε2
121
ΑΣΚΗΣΗ 14η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=Γ∆=λ3
Να βρεθεί
i) Η περίmicroετρος του ΑΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που αντιστοιχεί στη χορδή ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 15η
Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε τα διαδοχικά σηmicroεία Α Β Γ και ∆ ώστε ΑΒ=ΒΓ=Γ∆= R Να
βρεθεί
i) H περίmicroετρος του τριγώνου ΑΒ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τριγώνου ΒΓ∆
iii) Ο λόγος )(
)(
ΒΓ∆ΑΒ∆
ΑΣΚΗΣΗ 16η
∆ίνεται τεταρτοκύκλιο Οand
ΒΓ ακτίνας R
α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΓΒ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε δύο ισεmicroβαδικά χωρία
β) Αν ∆ σηmicroείο του τόξου ΒΓ να αποδείξετε ότι η ευθεία Γ∆ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
γ) Να βρείτε σηmicroείο Α της ακτίνας ΟΒ ώστε η ευθεία ΓΑ να χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
33
ΑΣΚΗΣΗ 17η
Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο Ο cap
ΒΓ ακτίνας R Σηmicroείο Α κινείται πάνω στο τόξο cap
ΒΓ και έστω
Κ το σηmicroείο τοmicroής της ακτίνας ΟΑ microε τη ΒΓ Να βρείτε το microήκος του τόξου cap
ΒΑ όταν το
εmicroβαδό του τριγώνου ΟΚΓ ισούται microε το εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα
τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΒ και το τόξο cap
ΒΑ
ΑΣΚΗΣΗ 18η
∆ίνεται ηmicroικύκλιο κέντρου Ο microε διάmicroετρο ΑΑ1=2R Έστω Β σηmicroείο του ηmicroικυκλίου microε
( 1ΑΟΒand
)=φ microοίρες και ΟΓ ακτίνα που τέmicroνει τη χορδή ΑΒ στο Κ
α) Να βρείτε το microήκος S του τόξου cap
ΑΓ όταν το εmicroβαδόν του τριγώνου ΟΚΒ ισούται microε το
εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΓ και το τόξοcap
ΑΓ
β) Αν η γωνία 1ΑΟΒand
είναι 150ο πόσο είναι το S
γ) Για ποια τιmicroή του φ το S γίνεται microέγιστο
Β
Γ
φ
Α1 Α
ΑΣΚΗΣΗ 19η
Η περίmicroετρος ρόmicroβου ΑΒΓ∆ πλευράς α και κέντρου Ο είναι τετραπλάσια της microικρής
διαγωνίου του Β∆
i) Να υπολογιστεί συναρτήσει του α το εmicroβαδόν του Ε
ii) Φέρουmicroε Α∆perpΟΗ και Γ∆perpΟΖ Αν η ΑΖ τέmicroνει τον κύκλο διαmicroέτρου Ο∆ στο Θ να
δειχθεί ότι 2
3Ε=ΑΖsdotΑΘ
ΑΣΚΗΣΗ 20η
Το περίγραmicromicroα της βάσης ενός microεγάλου λόφου σχηmicroατίζει τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=γ ΑΓ=β
όπου βgtγ και στο οποίο η διάmicroεσος ΑΜ και το ύψος Α∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο ∆ίπλα στην
πλευρά ΑΓ υπάρχει ορθογώνιος ιδιωτικός χώρος διαστάσεων 2
γβ +και β-γ Σrsquo αυτόν το
χώρο πρόκειται να κατασκευαστεί ένας microεγάλος ανισόπεδος κόmicroβος που θα συνδέει δύο
δρόmicroους ταχείας κυκλοφορίας Γιrsquo αυτούς τους λόγους προτείνεται στον ιδιοκτήτη να δεχτεί
να ανταλλάξει αυτόν τον χώρο microε άλλον ορθογώνιο χώρο του δηmicroοσίου που βρίσκεται δίπλα
στην πλευρά ΒΓ και έχει διαστάσεις τα microήκη των ΒΓ και 2
ΑΜ Ο ιδιοκτήτης δηλώνει ότι θα
συmicroφωνήσει microε την πρόταση αρκεί οι ανταλλάξιmicroοι χώροι να έχουν την ίδια έκταση
Πρακτικά όmicroως είναι αδύνατον να microετρήσει την πλευρά ΒΓ και τη διάmicroεσο ΑΜ γιrsquo αυτό και
διστάζει Πως θα σκεφτόσαστε εσείς να βοηθήσετε τον ιδιοκτήτη να αποφασίσει
Κ
Ο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
34
ΑΣΚΗΣΗ 21η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε β=2γ και η διάmicroεσος του Β∆ Φέρουmicroε Β∆perpΑx που τέmicroνει την
Β∆ στο Ε και την ΒΓ στο Ζ και ΕyΑΓ που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ Να αποδείξετε ότι
i) ZB= 2
1ZΓ
ii) (ΑΒΓ)=3(ΑΒΖ)
iii) Να αποδειχθεί ότι 8
3
)(
)(=
ΑΒΖΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΗ 22η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε α=2γ και β= 7γ
α) i) Να αποδείξετε ότι 2
3αmicroα =
ii) Να βρείτε το είδος της γωνίας and
Β
iii) Αν ΑΕ perp ΒΓ να υπολογίσετε το ΒΕ συναρτήσει του γ
iv) Να βρείτε τη γωνία and
Β
β) Αν ΑΜ διάmicroεσος και Β∆ διχοτόmicroος να αποδείξτε ότι
i) Α∆ = 3
β
ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)
ΑΣΚΗΣΗ 23η
Έστω τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ο R) και σηmicroείο Μ το οποίο κινείται στο
ηmicroικύκλιο cap
ΑΒΓ
α) Να βρεθεί το ελάχιστο ( )minΕ και το microέγιστο ( )maxΕ εmicroβαδόν του τετράπλευρου ΑΜΓ∆
συναρτήσει της ακτίνας R
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε θέση του Μ είναι
i) Μ∆2 = ΑΓ ∆Ε όπου Ε η προβολή του Μ στην Β∆
ii) (ΑΜΓ∆) = 2
2Μ∆
γ) Να προσδιορίσετε τη θέση του σηmicroείου Μ όταν (ΑΜΓ∆) = 2
maxmin EE +
ΑΣΚΗΣΗ 24η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ M το microέσο της ΑΒ σηmicroείο Ν της ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΝ = 4
3ΑΓ και
σηmicroείο Κ της ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΚ = 4
1ΒΓ Να βρεθεί ο λόγος των εmicroβαδών του τριγώνου
ΑΒΓ προς του τριγώνου ΜΝΚ
ΑΣΚΗΣΗ 25η
Α) Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι 2
αmicro = βγ και β-γ = 5 2 Το microήκος της πλευράς
α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3
Β) Να δειχθεί ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει η σχέση (222
γβα micromicromicro ++ )2 = 27Ε
2 όπου
Ε το εmicroβαδό του
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
35
ΑΣΚΗΣΗ 26η
Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω περιπτώσεις
όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί να αποτελεί microήκη των
πλευρών του
i) 3 57
ii) 8 4 2
iii) 7 6 85
ΑΣΚΗΣΗ 27η
Αν η διάmicroεσος microα ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν προεκταθεί τέmicroνει τον περιγεγραmicromicroένο κύκλο
στο ∆ να αποδειχθεί ότι microα = Α∆+
2
22 γβ
ΑΣΚΗΣΗ 28η
Από ένα κυκλικό οικόπεδο ακτίνας R=30m θα αποκοπεί κυκλικό τmicroήmicroα χορδής 30 3 m για
την κατασκευή δρόmicroου
i) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου που έmicroεινε
ii) Να βρεθεί η αποζηmicroίωση που θα δοθεί στον ιδιοκτήτη αν η αρχική αξία του οικοπέδου
ήταν 10000000 δρχ
ΑΣΚΗΣΗ 29η
Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι α =13 β = 8 γ = 7
i) Να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς το είδος των γωνιών του
ii) Να υπολογιστεί το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ πάνω στην ΑΒ
iii) Να υπολογιστεί η γωνία and
Α
ΑΣΚΗΣΗ 30η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 4 ΑΓ = 5 ΒΓ = 7 Το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ
πάνω στην ΑΒ είναι Α 5 Β 1 Γ 6 ∆ 2
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 31η
Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (and
Α =90ο) microε
and
Β =60ο και ΒΓ=4 Με κέντρο το Β και
ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ και microε κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΜ
γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν να βρεθούν
i) Η θέση του σηmicroείου Μ στη ΒΓ
ii) Η περίmicroετρος του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
iii) Το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
36
ΑΣΚΗΣΗ 32η
Μια έκταση σχήmicroατος τετραγώνου microε A 30 H 70 ∆
πλευρά 100m πρόκειται να διατεθεί
για κατασκευή εργατικών κατοικιών
Οι κατοικίες θα ανεργεθούν σε τέσσερα 70 30
ίσα τριγωνικά οικόπεδα και η υπόλοιπη Μ
έκταση σχήmicroατος τετραπλεύρου θα
χρησιmicroοποιηθεί ως κοινόχρηστος χώρος Z
για δενδροφύτευση και κατασκευή γηπέδου
microπάσκετ 30 70
α) Να βρεθούν τα εmicroβαδά των τεσσάρων ίσων οικοπέδων
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινόχρηστου χώρου B 70 K 30 Γ
γ) Τι είδους τετράπλευρο είναι ο κοινόχρηστος χώρος Να βρεθούν οι πλευρές του
ΑΣΚΗΣΗ 33η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 90A =
and
και ΑΒ=y ΑΓ=β
Α∆=ν Β∆=micro ΒΓ=x ∆Γ=κ
i) Να συmicroπληρωθούν οι σχέσεις
β2=helliphelliphellip=helliphelliphelliphellip Α
ν2=helliphelliphelliphelliphelliphellip
2
2
βy
=helliphelliphelliphelliphellip βy=helliphelliphelliphellip y ν β
ii) Να δειχθεί ότι 111
222 νβ=+
y Β ν ∆ κ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 34η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroεία ∆Ε της πλευράς ΒΓ έτσι ώστε Β∆=∆Ε=ΕΓ Να απόδειχθεί
ότι
i) 2222 22 ΑΕminusΑ∆=∆ΕminusΑΒ ii)
2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 35η
∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε o90=Α
and
ΑΒ=5cm ΑΓ=12cm Α∆ το ύψος του και ΒΜ
η διάmicroεσος του Προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά ΓΕ=ΒΓ i) Να συγκρίνετε τα
εmicroβαδά των τριγώνων Α∆Γ και ΑΓΕ ii) Να δείξετε ότι η σχέση που συνδέει τα εmicroβαδά των
τριγώνων ΑΒΜ και ΑΒΕ είναι (ΑΒΕ)=4(ΑΒΜ)
ΑΣΚΗΣΗ 36η
Από σηmicroείο Μ εκτός κύκλου φέρνουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΜΕ του κύκλου και τις
τέmicroνουσες ΜΑΒ και ΜΓ∆ Αν είναι ΑΒ=9 ΓΜ=4 Γ∆=5 να υπολογίσετε i) το ΜΑ ii) το
ΜΕ
ΑΣΚΗΣΗ 37η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) ΑΒ microια διάmicroετρος του και Μ τυχαίο σηmicroείο του (διαφορετικό των Α
Β) Αν Γ είναι το microέσο της ΟΑ και ∆ το microέσο της ΟΒ ενώ η ΜΓ τέmicroνει τον κύκλο στο Ε και
η Μ∆ στο Ζ τότε να αποδείξετε ότι3
10=
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
37
Ζ
Ε
ΑΣΚΗΣΗ 38η
Ένα τριγωνικό αγρόκτηmicroα ΑΒΓ χωρίζεται
σε τέσσερα τριγωνικά αγροτεmicroάχια όπως Α
φαίνεται στο σχήmicroα έτσι ώστε ΑΒ=Α∆3
2
ΒΕ= ΒΓ4
1και ΓΖ= ΑΓ
2
1 α) Αν το εmicroβαδό ∆
του ΑΒΓ είναι 48 στρέmicromicroατα να υπολογίσετε το Β
Γ
εmicroβαδό του ∆ΕΖ β) Αν τα ∆ Ε Ζ είναι τα microέσα των ΑΒ
ΒΓ ΑΓ αντίστοιχα να βρεθούν τα εmicroβαδά των
τεσσάρων αγροτεmicroαχίων
ΑΣΚΗΣΗ 39η
∆ίνεται εγγράψιmicroο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ ώστε οι πλευρές του ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α microε τη σειρά
που δίνονται να αποτελούν γεωmicroετρική πρόοδο Να αποδείξετε ότι η διαγώνιος του Β∆ το
χωρίζει σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
ΑΣΚΗΣΗ 40η
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ∆ Ζ Γ
την ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m και
ο90=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος υ
∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο οποίος
θα χωρίσει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆
και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα α) Να βρεθεί
το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆ β) Να
βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο
ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο Α Ε Η Β
ΑΕ∆ δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου
∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
ΑΣΚΗΣΗ 41η
∆ίνεται ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ και τα σηmicroεία του ∆Γ έτσι ώστε ∆Β=Γ∆=ΑΓ Αν
Μ τυχαίο σηmicroείο εκτός του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατοςΑΒ
Να δείξετε ότι 2222 33 ΜΓ+ΜΒ=ΜΒ+ΑΜ
ΑΣΚΗΣΗ 42η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 222 2αγβ =+ Αν η διάmicroεσος ΑΜ τέmicroνει το περιγεγραmicromicroένο
κύκλο του τριγώνου στο ∆ να δείξετε ότι
α) 6
3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
38
ΑΣΚΗΣΗ 43η
Από ένα εξωτερικό σηmicroείο Α κύκλου ( )RΟ φέρουmicroε microια τέmicroνουσα ΑΒΓ έτσι ώστε
ΒΓ=ΑΒ Αν 7R=ΟΑ τότε να δείξετε ότι
i) ΒΓ=ΑΒ =λ3
ii) η γωνία and
ΑΟΓ είναι αmicroβλεία
iii) η προβολή της ΟΓ πάνω στην ΟΑ είναι ίση microε ΟΑ7
2
iv) Να δείξετε ότι ( )( ) 2
1=
ΑΟΓΒΟΓ
και στην συνέχεια να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του τριγώνου
and
ΑΟΓ
v) Να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που ορίζεται από την χορδή ΒΓ και
το microέτρο του τόξου cap
ΒΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
39
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
40
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
28
12 ∆ίνεται ένας κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=λ3 και Γ∆=λ6
προς το ίδιο microέρος του κέντρου Ο α) Να εκφράσετε τις χορδές ΑΒ και Γ∆ ως
συνάρτηση της ακτίνας R β) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό Ε1 του κυκλικού τmicroήmicroατος
που αντιστοιχεί στη χορδή Γ∆ γ) Να υπολογίσετε το εmicroβαδό του τριγώνου ΟΑΒ
δ) Να βρείτε την περίmicroετρο και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τραπεζίου που έχει
κορυφές τα ΑΒΓ∆
13 Θεωρούmicroε κύκλο (ΟR) χορδή ΑΒ=R την εφαπτοmicroένη ε του κύκλου στο σηmicroείο
Α και τη εperpΒΓ Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του τραπεζίου ΟΑΓΒ
β) το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
14 ∆ίνεται ηmicroικύκλιο διαmicroέτρου ΑΒ και στο εσωτερικό του τα ηmicroικύκλια διαmicroέτρων
ΑΓ και ΓΒ όπου Γ σηmicroείο microεταξύ των Α και Β Αν κάθετη της ΑΒ στο Γ τέmicroνει το
αρχικό ηmicroικύκλιο στο ∆ να αποδείξετε ότι το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται
microεταξύ των τριών ηmicroικυκλίων είναι ίσο microε το εmicroβαδό του κύκλου διαmicroέτρου Γ∆
15 Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ο60=Β
and
και ΒΓ=α Με
κέντρο το Β και ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει τη ΒΓ στο Μ και microε κέντρο
το Γ και ακτίνα ΓΜ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν Να βρεθεί η
περίmicroετρος και το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
16 Με κέντρο ένα σηmicroείο Κ κύκλου (ΟR) και ακτίνα ίση προς R 3 γράφουmicroε
κύκλο ο οποίος τέmicroνει τον (ΟR) στα σηmicroεία Α και Β Να υπολογιστούν η
περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου microηνίσκου
17 ∆ίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ο90=Α
and
) microε ΒΓ = 2R
Γράφουmicroε ηmicroικύκλιο microε διάmicroετρο ΒΓ εκτός τριγώνου και τόξο κύκλου (Α ΑΒ) microε
άκρα Β και Γ Να βρεθεί η περίmicroετρος και το εmicroβαδόν του σχηmicroατιζόmicroενου
microηνίσκου από το ηmicroικύκλιο και το τόξο αυτό
18 Ένα ορθογώνιο σπίτι microε διαστάσεις α = 20m και β = 10m έχει microια εξωτερική
πρίζα σε microια γωνία του Ένα χορτοκοπτικό microηχάνηmicroα συνδεδεmicroένο microε την πρίζα
έχει καλώδιο microε microήκος 15m Να βρεθεί το εmicroβαδόν της microεγαλύτερης επιφάνειας
του χόρτου που microπορεί να κοπεί
19 Σε κύκλο ακτίνας R = 4cm είναι εγγεγραmicromicroένο ισόπλευρο τρίγωνο
Να υπολογίσετε
α) το εmicroβαδό του κύκλου
β) την πλευρά του τριγώνου
γ) το εmicroβαδό του τριγώνου
δ) το εmicroβαδό του χωρίου που βρίσκεται microεταξύ του κύκλου και του τριγώνου
20 Σε κύκλο microε διάmicroετρο ΑΒ φέρουmicroε τις χορδές ΜΒΑΜ Αν είναι 6=ΑΜ και
8=ΒΜ να βρεθεί η ακτίνα και το εmicroβαδόν του κύκλου
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
29
21 Να βρεθεί το εmicroβαδόν του καθενός από τα δύο microέρη στα οποία διαιρείται ένας
κύκλος ( )RΟ από την πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραmicromicroένου στον κύκλο
αυτόν
22 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και φέρουmicroε δύο κάθετες ακτίνες ΟΑ και ΟΒ Με
κέντρο το Α και ακτίνα R γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει το cap
AB στο σηmicroείο Γ Να
βρεθεί το εmicroβαδόν του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΒΓ
23 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και τόξο 60=ΑΒ
cap
Φέρουmicroε στο σηmicroείο Α την
εφαπτοmicroένη χΑ του κύκλου και την χΑperpΒΓ Να βρεθεί το εmicroβαδόν του
microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
30
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΗ 1η
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α∆ διχοτόmicroος Β∆ = 2 Γ∆ = 3 και 2τ = 15 (περίmicroετρος) η πλευρά
ΑΒ είναι
Α 3 Β 4 Γ 5 ∆ 6 Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 2η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 3α2 + 2γ
2 = 2β
2 Τότε
i) Α and
Α gt90ο Β
and
Β gt 90ο Γ
and
Β lt 90ο ∆
and
Γ gt 90ο Ε Κανένα από τα παραπάνω
ii) Η προβολή της διαmicroέσου microα στην ΒΓ ισούται microε
Α 4
a Β
2
a Γ
4
3a ∆
2
3a Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 3η
Αν ΑΒΓ∆ τετράγωνο πλευράς α και Ε microέσο του Α∆ τότε
i) ΒΕ =2
5α Σ Λ
ii) Ο λόγος ΒΕΕΖ
ισούται microε
Α 5
2 Β
4
5 Γ
4
1 ∆
5
1 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
Α Β
E
Z
∆ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 4η
Αν τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=4 ΒΓ=5 ΑΓ=6 και Α∆ διχοτόmicroος τότε
i) -Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο Σ Λ
- Ο λόγος ∆Γ∆Β
ισούται microε
Α 2
1 Β
3
1 Γ
3
2 ∆
4
3 Ε
2
3
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ii) Αν ε η προβολή του Α στην ΒΓ να υπολογίσετε το microήκος του ΒΕ
iii) Να αποδείξετε ότι 2
1=
∆Γ∆Ε
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
31
ΑΣΚΗΣΗ 5η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και Μ το microέσο της Α∆ Προεκτείνουmicroε τη ∆Γ προς το Γ
κατά ΓΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΒΜ)=2
)(ΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τραπεζίου ΑΒΕ∆ είναι οκταπλάσιο από το εmicroβαδόν του
τριγώνου ΑΒΜ
ΑΣΚΗΣΗ 6η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναιuα =3ρ όπου ρ του εγγεγραmicromicroένου κύκλου του τριγώνου Ο λόγος
αγβ +
ισούται microε Α 2 Β 3 Γ 3
1 ∆
2
3 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ΑΣΚΗΣΗ 7η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάmicroεσός του Α∆ Προεκτείνουmicroε την ΒΑ προς το Α κατά τmicroήmicroα
ΑΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι (ΒΕ∆)=3(Α∆Γ)
ΑΣΚΗΣΗ 8η
Στο εσωτερικό της αυλής ενός σπιτιού υπάρχει microικρός κήπος microε λαχανικά όπως στο
ακόλουθο σχήmicroα Αν το εmicroβαδόν του κήπου είναι 122m και οι διαστάσεις της αυλής είναι
12m και 13m να βρεθεί το x Αν θέλουmicroε να περιφράξουmicroε τον κήπο microε σύρmicroα πόσο σύρmicroα
θα χρειαστούmicroε
12m
13m
ΑΣΚΗΣΗ 9η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ Από τυχαίο σηmicroείο Ε της ΑΓ φέρουmicroε ευθεία παράλληλη
προς την Α∆ που τέmicroνει την Γ∆ στο Ζ Να αποδείξετε ότι
i) (Α∆Ζ)=(ΑΕΒ)
ii) (ΑΕΖ)=(ΒΕΓ)-(ΖΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 10η
Οι διάmicroεσοι Β∆ και ΓΕ τριγώνου ΑΒΓ τέmicroνονται στο Θ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΕ∆)=4
)(ΑΒΓ
ii) (ΒΘΓ)= 3
)(ΑΒΓ
iii)(ΑΕ∆)= (ΒΚΛΓ) όπου Κ Λ τα microέσα των ΒΘ και ΓΘ αντίστοιχα
x
x x
x
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
32
ΑΣΚΗΣΗ 11η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε τη διχοτόmicroο Α∆ Από το ∆ φέρνουmicroε παράλληλη προς την ΑΒ
που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει την προέκταση της
∆Ε στο Ζ να αποδείξετε ότι
α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)
β) β2(ΑΕΖ) = γ
2(∆ΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 12η
Θεωρούmicroε γωνία yxand
Α και σηmicroείο Ο της διχοτόmicroου της Αδ Αν ο κύκλος (ΟΟΑ) τέmicroνει τις
Οx Οy στα Β Γ αντίστοιχα και την Αδ στο ∆ να αποδείξετε ότι
α) (ΟΑΒ)=(ΟΑΓ)
β) (ΒΟΓ∆)=(ΑΒ∆)
γ) (ΒΟΓ∆)=2
1(ΟΑ)(ΒΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 13η
Από εσωτερικό σηmicroείο Μ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλες προς τις
πλευρές ΑΓ και ΑΒ που τέmicroνουν τις ΑΒ ΑΓ στα ∆ Ζ αντίστοιχα Αν (ΒΜ)=x (ΒΓ)=α
(Β∆Μ)=Ε1 (ΓΖΜ)=Ε2 και (ΑΒΓ)=Ε τότε
α) Να εκφράσετε ως συναρτήσεις των x και α τους λόγους Ε
Ε1 και Ε
Ε2
β) Να αποδείξετε ότι ΕgeΕ+Ε2
121
ΑΣΚΗΣΗ 14η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=Γ∆=λ3
Να βρεθεί
i) Η περίmicroετρος του ΑΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που αντιστοιχεί στη χορδή ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 15η
Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε τα διαδοχικά σηmicroεία Α Β Γ και ∆ ώστε ΑΒ=ΒΓ=Γ∆= R Να
βρεθεί
i) H περίmicroετρος του τριγώνου ΑΒ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τριγώνου ΒΓ∆
iii) Ο λόγος )(
)(
ΒΓ∆ΑΒ∆
ΑΣΚΗΣΗ 16η
∆ίνεται τεταρτοκύκλιο Οand
ΒΓ ακτίνας R
α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΓΒ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε δύο ισεmicroβαδικά χωρία
β) Αν ∆ σηmicroείο του τόξου ΒΓ να αποδείξετε ότι η ευθεία Γ∆ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
γ) Να βρείτε σηmicroείο Α της ακτίνας ΟΒ ώστε η ευθεία ΓΑ να χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
33
ΑΣΚΗΣΗ 17η
Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο Ο cap
ΒΓ ακτίνας R Σηmicroείο Α κινείται πάνω στο τόξο cap
ΒΓ και έστω
Κ το σηmicroείο τοmicroής της ακτίνας ΟΑ microε τη ΒΓ Να βρείτε το microήκος του τόξου cap
ΒΑ όταν το
εmicroβαδό του τριγώνου ΟΚΓ ισούται microε το εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα
τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΒ και το τόξο cap
ΒΑ
ΑΣΚΗΣΗ 18η
∆ίνεται ηmicroικύκλιο κέντρου Ο microε διάmicroετρο ΑΑ1=2R Έστω Β σηmicroείο του ηmicroικυκλίου microε
( 1ΑΟΒand
)=φ microοίρες και ΟΓ ακτίνα που τέmicroνει τη χορδή ΑΒ στο Κ
α) Να βρείτε το microήκος S του τόξου cap
ΑΓ όταν το εmicroβαδόν του τριγώνου ΟΚΒ ισούται microε το
εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΓ και το τόξοcap
ΑΓ
β) Αν η γωνία 1ΑΟΒand
είναι 150ο πόσο είναι το S
γ) Για ποια τιmicroή του φ το S γίνεται microέγιστο
Β
Γ
φ
Α1 Α
ΑΣΚΗΣΗ 19η
Η περίmicroετρος ρόmicroβου ΑΒΓ∆ πλευράς α και κέντρου Ο είναι τετραπλάσια της microικρής
διαγωνίου του Β∆
i) Να υπολογιστεί συναρτήσει του α το εmicroβαδόν του Ε
ii) Φέρουmicroε Α∆perpΟΗ και Γ∆perpΟΖ Αν η ΑΖ τέmicroνει τον κύκλο διαmicroέτρου Ο∆ στο Θ να
δειχθεί ότι 2
3Ε=ΑΖsdotΑΘ
ΑΣΚΗΣΗ 20η
Το περίγραmicromicroα της βάσης ενός microεγάλου λόφου σχηmicroατίζει τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=γ ΑΓ=β
όπου βgtγ και στο οποίο η διάmicroεσος ΑΜ και το ύψος Α∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο ∆ίπλα στην
πλευρά ΑΓ υπάρχει ορθογώνιος ιδιωτικός χώρος διαστάσεων 2
γβ +και β-γ Σrsquo αυτόν το
χώρο πρόκειται να κατασκευαστεί ένας microεγάλος ανισόπεδος κόmicroβος που θα συνδέει δύο
δρόmicroους ταχείας κυκλοφορίας Γιrsquo αυτούς τους λόγους προτείνεται στον ιδιοκτήτη να δεχτεί
να ανταλλάξει αυτόν τον χώρο microε άλλον ορθογώνιο χώρο του δηmicroοσίου που βρίσκεται δίπλα
στην πλευρά ΒΓ και έχει διαστάσεις τα microήκη των ΒΓ και 2
ΑΜ Ο ιδιοκτήτης δηλώνει ότι θα
συmicroφωνήσει microε την πρόταση αρκεί οι ανταλλάξιmicroοι χώροι να έχουν την ίδια έκταση
Πρακτικά όmicroως είναι αδύνατον να microετρήσει την πλευρά ΒΓ και τη διάmicroεσο ΑΜ γιrsquo αυτό και
διστάζει Πως θα σκεφτόσαστε εσείς να βοηθήσετε τον ιδιοκτήτη να αποφασίσει
Κ
Ο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
34
ΑΣΚΗΣΗ 21η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε β=2γ και η διάmicroεσος του Β∆ Φέρουmicroε Β∆perpΑx που τέmicroνει την
Β∆ στο Ε και την ΒΓ στο Ζ και ΕyΑΓ που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ Να αποδείξετε ότι
i) ZB= 2
1ZΓ
ii) (ΑΒΓ)=3(ΑΒΖ)
iii) Να αποδειχθεί ότι 8
3
)(
)(=
ΑΒΖΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΗ 22η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε α=2γ και β= 7γ
α) i) Να αποδείξετε ότι 2
3αmicroα =
ii) Να βρείτε το είδος της γωνίας and
Β
iii) Αν ΑΕ perp ΒΓ να υπολογίσετε το ΒΕ συναρτήσει του γ
iv) Να βρείτε τη γωνία and
Β
β) Αν ΑΜ διάmicroεσος και Β∆ διχοτόmicroος να αποδείξτε ότι
i) Α∆ = 3
β
ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)
ΑΣΚΗΣΗ 23η
Έστω τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ο R) και σηmicroείο Μ το οποίο κινείται στο
ηmicroικύκλιο cap
ΑΒΓ
α) Να βρεθεί το ελάχιστο ( )minΕ και το microέγιστο ( )maxΕ εmicroβαδόν του τετράπλευρου ΑΜΓ∆
συναρτήσει της ακτίνας R
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε θέση του Μ είναι
i) Μ∆2 = ΑΓ ∆Ε όπου Ε η προβολή του Μ στην Β∆
ii) (ΑΜΓ∆) = 2
2Μ∆
γ) Να προσδιορίσετε τη θέση του σηmicroείου Μ όταν (ΑΜΓ∆) = 2
maxmin EE +
ΑΣΚΗΣΗ 24η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ M το microέσο της ΑΒ σηmicroείο Ν της ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΝ = 4
3ΑΓ και
σηmicroείο Κ της ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΚ = 4
1ΒΓ Να βρεθεί ο λόγος των εmicroβαδών του τριγώνου
ΑΒΓ προς του τριγώνου ΜΝΚ
ΑΣΚΗΣΗ 25η
Α) Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι 2
αmicro = βγ και β-γ = 5 2 Το microήκος της πλευράς
α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3
Β) Να δειχθεί ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει η σχέση (222
γβα micromicromicro ++ )2 = 27Ε
2 όπου
Ε το εmicroβαδό του
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
35
ΑΣΚΗΣΗ 26η
Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω περιπτώσεις
όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί να αποτελεί microήκη των
πλευρών του
i) 3 57
ii) 8 4 2
iii) 7 6 85
ΑΣΚΗΣΗ 27η
Αν η διάmicroεσος microα ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν προεκταθεί τέmicroνει τον περιγεγραmicromicroένο κύκλο
στο ∆ να αποδειχθεί ότι microα = Α∆+
2
22 γβ
ΑΣΚΗΣΗ 28η
Από ένα κυκλικό οικόπεδο ακτίνας R=30m θα αποκοπεί κυκλικό τmicroήmicroα χορδής 30 3 m για
την κατασκευή δρόmicroου
i) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου που έmicroεινε
ii) Να βρεθεί η αποζηmicroίωση που θα δοθεί στον ιδιοκτήτη αν η αρχική αξία του οικοπέδου
ήταν 10000000 δρχ
ΑΣΚΗΣΗ 29η
Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι α =13 β = 8 γ = 7
i) Να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς το είδος των γωνιών του
ii) Να υπολογιστεί το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ πάνω στην ΑΒ
iii) Να υπολογιστεί η γωνία and
Α
ΑΣΚΗΣΗ 30η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 4 ΑΓ = 5 ΒΓ = 7 Το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ
πάνω στην ΑΒ είναι Α 5 Β 1 Γ 6 ∆ 2
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 31η
Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (and
Α =90ο) microε
and
Β =60ο και ΒΓ=4 Με κέντρο το Β και
ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ και microε κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΜ
γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν να βρεθούν
i) Η θέση του σηmicroείου Μ στη ΒΓ
ii) Η περίmicroετρος του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
iii) Το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
36
ΑΣΚΗΣΗ 32η
Μια έκταση σχήmicroατος τετραγώνου microε A 30 H 70 ∆
πλευρά 100m πρόκειται να διατεθεί
για κατασκευή εργατικών κατοικιών
Οι κατοικίες θα ανεργεθούν σε τέσσερα 70 30
ίσα τριγωνικά οικόπεδα και η υπόλοιπη Μ
έκταση σχήmicroατος τετραπλεύρου θα
χρησιmicroοποιηθεί ως κοινόχρηστος χώρος Z
για δενδροφύτευση και κατασκευή γηπέδου
microπάσκετ 30 70
α) Να βρεθούν τα εmicroβαδά των τεσσάρων ίσων οικοπέδων
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινόχρηστου χώρου B 70 K 30 Γ
γ) Τι είδους τετράπλευρο είναι ο κοινόχρηστος χώρος Να βρεθούν οι πλευρές του
ΑΣΚΗΣΗ 33η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 90A =
and
και ΑΒ=y ΑΓ=β
Α∆=ν Β∆=micro ΒΓ=x ∆Γ=κ
i) Να συmicroπληρωθούν οι σχέσεις
β2=helliphelliphellip=helliphelliphelliphellip Α
ν2=helliphelliphelliphelliphelliphellip
2
2
βy
=helliphelliphelliphelliphellip βy=helliphelliphelliphellip y ν β
ii) Να δειχθεί ότι 111
222 νβ=+
y Β ν ∆ κ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 34η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroεία ∆Ε της πλευράς ΒΓ έτσι ώστε Β∆=∆Ε=ΕΓ Να απόδειχθεί
ότι
i) 2222 22 ΑΕminusΑ∆=∆ΕminusΑΒ ii)
2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 35η
∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε o90=Α
and
ΑΒ=5cm ΑΓ=12cm Α∆ το ύψος του και ΒΜ
η διάmicroεσος του Προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά ΓΕ=ΒΓ i) Να συγκρίνετε τα
εmicroβαδά των τριγώνων Α∆Γ και ΑΓΕ ii) Να δείξετε ότι η σχέση που συνδέει τα εmicroβαδά των
τριγώνων ΑΒΜ και ΑΒΕ είναι (ΑΒΕ)=4(ΑΒΜ)
ΑΣΚΗΣΗ 36η
Από σηmicroείο Μ εκτός κύκλου φέρνουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΜΕ του κύκλου και τις
τέmicroνουσες ΜΑΒ και ΜΓ∆ Αν είναι ΑΒ=9 ΓΜ=4 Γ∆=5 να υπολογίσετε i) το ΜΑ ii) το
ΜΕ
ΑΣΚΗΣΗ 37η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) ΑΒ microια διάmicroετρος του και Μ τυχαίο σηmicroείο του (διαφορετικό των Α
Β) Αν Γ είναι το microέσο της ΟΑ και ∆ το microέσο της ΟΒ ενώ η ΜΓ τέmicroνει τον κύκλο στο Ε και
η Μ∆ στο Ζ τότε να αποδείξετε ότι3
10=
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
37
Ζ
Ε
ΑΣΚΗΣΗ 38η
Ένα τριγωνικό αγρόκτηmicroα ΑΒΓ χωρίζεται
σε τέσσερα τριγωνικά αγροτεmicroάχια όπως Α
φαίνεται στο σχήmicroα έτσι ώστε ΑΒ=Α∆3
2
ΒΕ= ΒΓ4
1και ΓΖ= ΑΓ
2
1 α) Αν το εmicroβαδό ∆
του ΑΒΓ είναι 48 στρέmicromicroατα να υπολογίσετε το Β
Γ
εmicroβαδό του ∆ΕΖ β) Αν τα ∆ Ε Ζ είναι τα microέσα των ΑΒ
ΒΓ ΑΓ αντίστοιχα να βρεθούν τα εmicroβαδά των
τεσσάρων αγροτεmicroαχίων
ΑΣΚΗΣΗ 39η
∆ίνεται εγγράψιmicroο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ ώστε οι πλευρές του ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α microε τη σειρά
που δίνονται να αποτελούν γεωmicroετρική πρόοδο Να αποδείξετε ότι η διαγώνιος του Β∆ το
χωρίζει σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
ΑΣΚΗΣΗ 40η
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ∆ Ζ Γ
την ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m και
ο90=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος υ
∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο οποίος
θα χωρίσει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆
και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα α) Να βρεθεί
το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆ β) Να
βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο
ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο Α Ε Η Β
ΑΕ∆ δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου
∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
ΑΣΚΗΣΗ 41η
∆ίνεται ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ και τα σηmicroεία του ∆Γ έτσι ώστε ∆Β=Γ∆=ΑΓ Αν
Μ τυχαίο σηmicroείο εκτός του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατοςΑΒ
Να δείξετε ότι 2222 33 ΜΓ+ΜΒ=ΜΒ+ΑΜ
ΑΣΚΗΣΗ 42η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 222 2αγβ =+ Αν η διάmicroεσος ΑΜ τέmicroνει το περιγεγραmicromicroένο
κύκλο του τριγώνου στο ∆ να δείξετε ότι
α) 6
3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
38
ΑΣΚΗΣΗ 43η
Από ένα εξωτερικό σηmicroείο Α κύκλου ( )RΟ φέρουmicroε microια τέmicroνουσα ΑΒΓ έτσι ώστε
ΒΓ=ΑΒ Αν 7R=ΟΑ τότε να δείξετε ότι
i) ΒΓ=ΑΒ =λ3
ii) η γωνία and
ΑΟΓ είναι αmicroβλεία
iii) η προβολή της ΟΓ πάνω στην ΟΑ είναι ίση microε ΟΑ7
2
iv) Να δείξετε ότι ( )( ) 2
1=
ΑΟΓΒΟΓ
και στην συνέχεια να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του τριγώνου
and
ΑΟΓ
v) Να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που ορίζεται από την χορδή ΒΓ και
το microέτρο του τόξου cap
ΒΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
39
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
40
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
29
21 Να βρεθεί το εmicroβαδόν του καθενός από τα δύο microέρη στα οποία διαιρείται ένας
κύκλος ( )RΟ από την πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραmicromicroένου στον κύκλο
αυτόν
22 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και φέρουmicroε δύο κάθετες ακτίνες ΟΑ και ΟΒ Με
κέντρο το Α και ακτίνα R γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει το cap
AB στο σηmicroείο Γ Να
βρεθεί το εmicroβαδόν του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΟΒΓ
23 ∆ίνεται κύκλος ( )RΟ και τόξο 60=ΑΒ
cap
Φέρουmicroε στο σηmicroείο Α την
εφαπτοmicroένη χΑ του κύκλου και την χΑperpΒΓ Να βρεθεί το εmicroβαδόν του
microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΒΓ
11ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
30
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΗ 1η
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α∆ διχοτόmicroος Β∆ = 2 Γ∆ = 3 και 2τ = 15 (περίmicroετρος) η πλευρά
ΑΒ είναι
Α 3 Β 4 Γ 5 ∆ 6 Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 2η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 3α2 + 2γ
2 = 2β
2 Τότε
i) Α and
Α gt90ο Β
and
Β gt 90ο Γ
and
Β lt 90ο ∆
and
Γ gt 90ο Ε Κανένα από τα παραπάνω
ii) Η προβολή της διαmicroέσου microα στην ΒΓ ισούται microε
Α 4
a Β
2
a Γ
4
3a ∆
2
3a Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 3η
Αν ΑΒΓ∆ τετράγωνο πλευράς α και Ε microέσο του Α∆ τότε
i) ΒΕ =2
5α Σ Λ
ii) Ο λόγος ΒΕΕΖ
ισούται microε
Α 5
2 Β
4
5 Γ
4
1 ∆
5
1 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
Α Β
E
Z
∆ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 4η
Αν τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=4 ΒΓ=5 ΑΓ=6 και Α∆ διχοτόmicroος τότε
i) -Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο Σ Λ
- Ο λόγος ∆Γ∆Β
ισούται microε
Α 2
1 Β
3
1 Γ
3
2 ∆
4
3 Ε
2
3
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ii) Αν ε η προβολή του Α στην ΒΓ να υπολογίσετε το microήκος του ΒΕ
iii) Να αποδείξετε ότι 2
1=
∆Γ∆Ε
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
31
ΑΣΚΗΣΗ 5η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και Μ το microέσο της Α∆ Προεκτείνουmicroε τη ∆Γ προς το Γ
κατά ΓΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΒΜ)=2
)(ΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τραπεζίου ΑΒΕ∆ είναι οκταπλάσιο από το εmicroβαδόν του
τριγώνου ΑΒΜ
ΑΣΚΗΣΗ 6η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναιuα =3ρ όπου ρ του εγγεγραmicromicroένου κύκλου του τριγώνου Ο λόγος
αγβ +
ισούται microε Α 2 Β 3 Γ 3
1 ∆
2
3 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ΑΣΚΗΣΗ 7η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάmicroεσός του Α∆ Προεκτείνουmicroε την ΒΑ προς το Α κατά τmicroήmicroα
ΑΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι (ΒΕ∆)=3(Α∆Γ)
ΑΣΚΗΣΗ 8η
Στο εσωτερικό της αυλής ενός σπιτιού υπάρχει microικρός κήπος microε λαχανικά όπως στο
ακόλουθο σχήmicroα Αν το εmicroβαδόν του κήπου είναι 122m και οι διαστάσεις της αυλής είναι
12m και 13m να βρεθεί το x Αν θέλουmicroε να περιφράξουmicroε τον κήπο microε σύρmicroα πόσο σύρmicroα
θα χρειαστούmicroε
12m
13m
ΑΣΚΗΣΗ 9η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ Από τυχαίο σηmicroείο Ε της ΑΓ φέρουmicroε ευθεία παράλληλη
προς την Α∆ που τέmicroνει την Γ∆ στο Ζ Να αποδείξετε ότι
i) (Α∆Ζ)=(ΑΕΒ)
ii) (ΑΕΖ)=(ΒΕΓ)-(ΖΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 10η
Οι διάmicroεσοι Β∆ και ΓΕ τριγώνου ΑΒΓ τέmicroνονται στο Θ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΕ∆)=4
)(ΑΒΓ
ii) (ΒΘΓ)= 3
)(ΑΒΓ
iii)(ΑΕ∆)= (ΒΚΛΓ) όπου Κ Λ τα microέσα των ΒΘ και ΓΘ αντίστοιχα
x
x x
x
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
32
ΑΣΚΗΣΗ 11η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε τη διχοτόmicroο Α∆ Από το ∆ φέρνουmicroε παράλληλη προς την ΑΒ
που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει την προέκταση της
∆Ε στο Ζ να αποδείξετε ότι
α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)
β) β2(ΑΕΖ) = γ
2(∆ΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 12η
Θεωρούmicroε γωνία yxand
Α και σηmicroείο Ο της διχοτόmicroου της Αδ Αν ο κύκλος (ΟΟΑ) τέmicroνει τις
Οx Οy στα Β Γ αντίστοιχα και την Αδ στο ∆ να αποδείξετε ότι
α) (ΟΑΒ)=(ΟΑΓ)
β) (ΒΟΓ∆)=(ΑΒ∆)
γ) (ΒΟΓ∆)=2
1(ΟΑ)(ΒΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 13η
Από εσωτερικό σηmicroείο Μ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλες προς τις
πλευρές ΑΓ και ΑΒ που τέmicroνουν τις ΑΒ ΑΓ στα ∆ Ζ αντίστοιχα Αν (ΒΜ)=x (ΒΓ)=α
(Β∆Μ)=Ε1 (ΓΖΜ)=Ε2 και (ΑΒΓ)=Ε τότε
α) Να εκφράσετε ως συναρτήσεις των x και α τους λόγους Ε
Ε1 και Ε
Ε2
β) Να αποδείξετε ότι ΕgeΕ+Ε2
121
ΑΣΚΗΣΗ 14η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=Γ∆=λ3
Να βρεθεί
i) Η περίmicroετρος του ΑΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που αντιστοιχεί στη χορδή ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 15η
Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε τα διαδοχικά σηmicroεία Α Β Γ και ∆ ώστε ΑΒ=ΒΓ=Γ∆= R Να
βρεθεί
i) H περίmicroετρος του τριγώνου ΑΒ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τριγώνου ΒΓ∆
iii) Ο λόγος )(
)(
ΒΓ∆ΑΒ∆
ΑΣΚΗΣΗ 16η
∆ίνεται τεταρτοκύκλιο Οand
ΒΓ ακτίνας R
α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΓΒ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε δύο ισεmicroβαδικά χωρία
β) Αν ∆ σηmicroείο του τόξου ΒΓ να αποδείξετε ότι η ευθεία Γ∆ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
γ) Να βρείτε σηmicroείο Α της ακτίνας ΟΒ ώστε η ευθεία ΓΑ να χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
33
ΑΣΚΗΣΗ 17η
Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο Ο cap
ΒΓ ακτίνας R Σηmicroείο Α κινείται πάνω στο τόξο cap
ΒΓ και έστω
Κ το σηmicroείο τοmicroής της ακτίνας ΟΑ microε τη ΒΓ Να βρείτε το microήκος του τόξου cap
ΒΑ όταν το
εmicroβαδό του τριγώνου ΟΚΓ ισούται microε το εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα
τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΒ και το τόξο cap
ΒΑ
ΑΣΚΗΣΗ 18η
∆ίνεται ηmicroικύκλιο κέντρου Ο microε διάmicroετρο ΑΑ1=2R Έστω Β σηmicroείο του ηmicroικυκλίου microε
( 1ΑΟΒand
)=φ microοίρες και ΟΓ ακτίνα που τέmicroνει τη χορδή ΑΒ στο Κ
α) Να βρείτε το microήκος S του τόξου cap
ΑΓ όταν το εmicroβαδόν του τριγώνου ΟΚΒ ισούται microε το
εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΓ και το τόξοcap
ΑΓ
β) Αν η γωνία 1ΑΟΒand
είναι 150ο πόσο είναι το S
γ) Για ποια τιmicroή του φ το S γίνεται microέγιστο
Β
Γ
φ
Α1 Α
ΑΣΚΗΣΗ 19η
Η περίmicroετρος ρόmicroβου ΑΒΓ∆ πλευράς α και κέντρου Ο είναι τετραπλάσια της microικρής
διαγωνίου του Β∆
i) Να υπολογιστεί συναρτήσει του α το εmicroβαδόν του Ε
ii) Φέρουmicroε Α∆perpΟΗ και Γ∆perpΟΖ Αν η ΑΖ τέmicroνει τον κύκλο διαmicroέτρου Ο∆ στο Θ να
δειχθεί ότι 2
3Ε=ΑΖsdotΑΘ
ΑΣΚΗΣΗ 20η
Το περίγραmicromicroα της βάσης ενός microεγάλου λόφου σχηmicroατίζει τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=γ ΑΓ=β
όπου βgtγ και στο οποίο η διάmicroεσος ΑΜ και το ύψος Α∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο ∆ίπλα στην
πλευρά ΑΓ υπάρχει ορθογώνιος ιδιωτικός χώρος διαστάσεων 2
γβ +και β-γ Σrsquo αυτόν το
χώρο πρόκειται να κατασκευαστεί ένας microεγάλος ανισόπεδος κόmicroβος που θα συνδέει δύο
δρόmicroους ταχείας κυκλοφορίας Γιrsquo αυτούς τους λόγους προτείνεται στον ιδιοκτήτη να δεχτεί
να ανταλλάξει αυτόν τον χώρο microε άλλον ορθογώνιο χώρο του δηmicroοσίου που βρίσκεται δίπλα
στην πλευρά ΒΓ και έχει διαστάσεις τα microήκη των ΒΓ και 2
ΑΜ Ο ιδιοκτήτης δηλώνει ότι θα
συmicroφωνήσει microε την πρόταση αρκεί οι ανταλλάξιmicroοι χώροι να έχουν την ίδια έκταση
Πρακτικά όmicroως είναι αδύνατον να microετρήσει την πλευρά ΒΓ και τη διάmicroεσο ΑΜ γιrsquo αυτό και
διστάζει Πως θα σκεφτόσαστε εσείς να βοηθήσετε τον ιδιοκτήτη να αποφασίσει
Κ
Ο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
34
ΑΣΚΗΣΗ 21η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε β=2γ και η διάmicroεσος του Β∆ Φέρουmicroε Β∆perpΑx που τέmicroνει την
Β∆ στο Ε και την ΒΓ στο Ζ και ΕyΑΓ που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ Να αποδείξετε ότι
i) ZB= 2
1ZΓ
ii) (ΑΒΓ)=3(ΑΒΖ)
iii) Να αποδειχθεί ότι 8
3
)(
)(=
ΑΒΖΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΗ 22η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε α=2γ και β= 7γ
α) i) Να αποδείξετε ότι 2
3αmicroα =
ii) Να βρείτε το είδος της γωνίας and
Β
iii) Αν ΑΕ perp ΒΓ να υπολογίσετε το ΒΕ συναρτήσει του γ
iv) Να βρείτε τη γωνία and
Β
β) Αν ΑΜ διάmicroεσος και Β∆ διχοτόmicroος να αποδείξτε ότι
i) Α∆ = 3
β
ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)
ΑΣΚΗΣΗ 23η
Έστω τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ο R) και σηmicroείο Μ το οποίο κινείται στο
ηmicroικύκλιο cap
ΑΒΓ
α) Να βρεθεί το ελάχιστο ( )minΕ και το microέγιστο ( )maxΕ εmicroβαδόν του τετράπλευρου ΑΜΓ∆
συναρτήσει της ακτίνας R
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε θέση του Μ είναι
i) Μ∆2 = ΑΓ ∆Ε όπου Ε η προβολή του Μ στην Β∆
ii) (ΑΜΓ∆) = 2
2Μ∆
γ) Να προσδιορίσετε τη θέση του σηmicroείου Μ όταν (ΑΜΓ∆) = 2
maxmin EE +
ΑΣΚΗΣΗ 24η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ M το microέσο της ΑΒ σηmicroείο Ν της ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΝ = 4
3ΑΓ και
σηmicroείο Κ της ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΚ = 4
1ΒΓ Να βρεθεί ο λόγος των εmicroβαδών του τριγώνου
ΑΒΓ προς του τριγώνου ΜΝΚ
ΑΣΚΗΣΗ 25η
Α) Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι 2
αmicro = βγ και β-γ = 5 2 Το microήκος της πλευράς
α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3
Β) Να δειχθεί ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει η σχέση (222
γβα micromicromicro ++ )2 = 27Ε
2 όπου
Ε το εmicroβαδό του
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
35
ΑΣΚΗΣΗ 26η
Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω περιπτώσεις
όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί να αποτελεί microήκη των
πλευρών του
i) 3 57
ii) 8 4 2
iii) 7 6 85
ΑΣΚΗΣΗ 27η
Αν η διάmicroεσος microα ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν προεκταθεί τέmicroνει τον περιγεγραmicromicroένο κύκλο
στο ∆ να αποδειχθεί ότι microα = Α∆+
2
22 γβ
ΑΣΚΗΣΗ 28η
Από ένα κυκλικό οικόπεδο ακτίνας R=30m θα αποκοπεί κυκλικό τmicroήmicroα χορδής 30 3 m για
την κατασκευή δρόmicroου
i) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου που έmicroεινε
ii) Να βρεθεί η αποζηmicroίωση που θα δοθεί στον ιδιοκτήτη αν η αρχική αξία του οικοπέδου
ήταν 10000000 δρχ
ΑΣΚΗΣΗ 29η
Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι α =13 β = 8 γ = 7
i) Να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς το είδος των γωνιών του
ii) Να υπολογιστεί το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ πάνω στην ΑΒ
iii) Να υπολογιστεί η γωνία and
Α
ΑΣΚΗΣΗ 30η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 4 ΑΓ = 5 ΒΓ = 7 Το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ
πάνω στην ΑΒ είναι Α 5 Β 1 Γ 6 ∆ 2
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 31η
Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (and
Α =90ο) microε
and
Β =60ο και ΒΓ=4 Με κέντρο το Β και
ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ και microε κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΜ
γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν να βρεθούν
i) Η θέση του σηmicroείου Μ στη ΒΓ
ii) Η περίmicroετρος του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
iii) Το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
36
ΑΣΚΗΣΗ 32η
Μια έκταση σχήmicroατος τετραγώνου microε A 30 H 70 ∆
πλευρά 100m πρόκειται να διατεθεί
για κατασκευή εργατικών κατοικιών
Οι κατοικίες θα ανεργεθούν σε τέσσερα 70 30
ίσα τριγωνικά οικόπεδα και η υπόλοιπη Μ
έκταση σχήmicroατος τετραπλεύρου θα
χρησιmicroοποιηθεί ως κοινόχρηστος χώρος Z
για δενδροφύτευση και κατασκευή γηπέδου
microπάσκετ 30 70
α) Να βρεθούν τα εmicroβαδά των τεσσάρων ίσων οικοπέδων
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινόχρηστου χώρου B 70 K 30 Γ
γ) Τι είδους τετράπλευρο είναι ο κοινόχρηστος χώρος Να βρεθούν οι πλευρές του
ΑΣΚΗΣΗ 33η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 90A =
and
και ΑΒ=y ΑΓ=β
Α∆=ν Β∆=micro ΒΓ=x ∆Γ=κ
i) Να συmicroπληρωθούν οι σχέσεις
β2=helliphelliphellip=helliphelliphelliphellip Α
ν2=helliphelliphelliphelliphelliphellip
2
2
βy
=helliphelliphelliphelliphellip βy=helliphelliphelliphellip y ν β
ii) Να δειχθεί ότι 111
222 νβ=+
y Β ν ∆ κ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 34η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroεία ∆Ε της πλευράς ΒΓ έτσι ώστε Β∆=∆Ε=ΕΓ Να απόδειχθεί
ότι
i) 2222 22 ΑΕminusΑ∆=∆ΕminusΑΒ ii)
2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 35η
∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε o90=Α
and
ΑΒ=5cm ΑΓ=12cm Α∆ το ύψος του και ΒΜ
η διάmicroεσος του Προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά ΓΕ=ΒΓ i) Να συγκρίνετε τα
εmicroβαδά των τριγώνων Α∆Γ και ΑΓΕ ii) Να δείξετε ότι η σχέση που συνδέει τα εmicroβαδά των
τριγώνων ΑΒΜ και ΑΒΕ είναι (ΑΒΕ)=4(ΑΒΜ)
ΑΣΚΗΣΗ 36η
Από σηmicroείο Μ εκτός κύκλου φέρνουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΜΕ του κύκλου και τις
τέmicroνουσες ΜΑΒ και ΜΓ∆ Αν είναι ΑΒ=9 ΓΜ=4 Γ∆=5 να υπολογίσετε i) το ΜΑ ii) το
ΜΕ
ΑΣΚΗΣΗ 37η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) ΑΒ microια διάmicroετρος του και Μ τυχαίο σηmicroείο του (διαφορετικό των Α
Β) Αν Γ είναι το microέσο της ΟΑ και ∆ το microέσο της ΟΒ ενώ η ΜΓ τέmicroνει τον κύκλο στο Ε και
η Μ∆ στο Ζ τότε να αποδείξετε ότι3
10=
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
37
Ζ
Ε
ΑΣΚΗΣΗ 38η
Ένα τριγωνικό αγρόκτηmicroα ΑΒΓ χωρίζεται
σε τέσσερα τριγωνικά αγροτεmicroάχια όπως Α
φαίνεται στο σχήmicroα έτσι ώστε ΑΒ=Α∆3
2
ΒΕ= ΒΓ4
1και ΓΖ= ΑΓ
2
1 α) Αν το εmicroβαδό ∆
του ΑΒΓ είναι 48 στρέmicromicroατα να υπολογίσετε το Β
Γ
εmicroβαδό του ∆ΕΖ β) Αν τα ∆ Ε Ζ είναι τα microέσα των ΑΒ
ΒΓ ΑΓ αντίστοιχα να βρεθούν τα εmicroβαδά των
τεσσάρων αγροτεmicroαχίων
ΑΣΚΗΣΗ 39η
∆ίνεται εγγράψιmicroο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ ώστε οι πλευρές του ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α microε τη σειρά
που δίνονται να αποτελούν γεωmicroετρική πρόοδο Να αποδείξετε ότι η διαγώνιος του Β∆ το
χωρίζει σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
ΑΣΚΗΣΗ 40η
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ∆ Ζ Γ
την ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m και
ο90=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος υ
∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο οποίος
θα χωρίσει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆
και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα α) Να βρεθεί
το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆ β) Να
βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο
ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο Α Ε Η Β
ΑΕ∆ δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου
∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
ΑΣΚΗΣΗ 41η
∆ίνεται ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ και τα σηmicroεία του ∆Γ έτσι ώστε ∆Β=Γ∆=ΑΓ Αν
Μ τυχαίο σηmicroείο εκτός του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατοςΑΒ
Να δείξετε ότι 2222 33 ΜΓ+ΜΒ=ΜΒ+ΑΜ
ΑΣΚΗΣΗ 42η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 222 2αγβ =+ Αν η διάmicroεσος ΑΜ τέmicroνει το περιγεγραmicromicroένο
κύκλο του τριγώνου στο ∆ να δείξετε ότι
α) 6
3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
38
ΑΣΚΗΣΗ 43η
Από ένα εξωτερικό σηmicroείο Α κύκλου ( )RΟ φέρουmicroε microια τέmicroνουσα ΑΒΓ έτσι ώστε
ΒΓ=ΑΒ Αν 7R=ΟΑ τότε να δείξετε ότι
i) ΒΓ=ΑΒ =λ3
ii) η γωνία and
ΑΟΓ είναι αmicroβλεία
iii) η προβολή της ΟΓ πάνω στην ΟΑ είναι ίση microε ΟΑ7
2
iv) Να δείξετε ότι ( )( ) 2
1=
ΑΟΓΒΟΓ
και στην συνέχεια να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του τριγώνου
and
ΑΟΓ
v) Να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που ορίζεται από την χορδή ΒΓ και
το microέτρο του τόξου cap
ΒΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
39
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
40
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
30
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΗ 1η
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α∆ διχοτόmicroος Β∆ = 2 Γ∆ = 3 και 2τ = 15 (περίmicroετρος) η πλευρά
ΑΒ είναι
Α 3 Β 4 Γ 5 ∆ 6 Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 2η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 3α2 + 2γ
2 = 2β
2 Τότε
i) Α and
Α gt90ο Β
and
Β gt 90ο Γ
and
Β lt 90ο ∆
and
Γ gt 90ο Ε Κανένα από τα παραπάνω
ii) Η προβολή της διαmicroέσου microα στην ΒΓ ισούται microε
Α 4
a Β
2
a Γ
4
3a ∆
2
3a Ε Κανένα από τα παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 3η
Αν ΑΒΓ∆ τετράγωνο πλευράς α και Ε microέσο του Α∆ τότε
i) ΒΕ =2
5α Σ Λ
ii) Ο λόγος ΒΕΕΖ
ισούται microε
Α 5
2 Β
4
5 Γ
4
1 ∆
5
1 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
Α Β
E
Z
∆ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 4η
Αν τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=4 ΒΓ=5 ΑΓ=6 και Α∆ διχοτόmicroος τότε
i) -Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο Σ Λ
- Ο λόγος ∆Γ∆Β
ισούται microε
Α 2
1 Β
3
1 Γ
3
2 ∆
4
3 Ε
2
3
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ii) Αν ε η προβολή του Α στην ΒΓ να υπολογίσετε το microήκος του ΒΕ
iii) Να αποδείξετε ότι 2
1=
∆Γ∆Ε
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
31
ΑΣΚΗΣΗ 5η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και Μ το microέσο της Α∆ Προεκτείνουmicroε τη ∆Γ προς το Γ
κατά ΓΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΒΜ)=2
)(ΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τραπεζίου ΑΒΕ∆ είναι οκταπλάσιο από το εmicroβαδόν του
τριγώνου ΑΒΜ
ΑΣΚΗΣΗ 6η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναιuα =3ρ όπου ρ του εγγεγραmicromicroένου κύκλου του τριγώνου Ο λόγος
αγβ +
ισούται microε Α 2 Β 3 Γ 3
1 ∆
2
3 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ΑΣΚΗΣΗ 7η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάmicroεσός του Α∆ Προεκτείνουmicroε την ΒΑ προς το Α κατά τmicroήmicroα
ΑΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι (ΒΕ∆)=3(Α∆Γ)
ΑΣΚΗΣΗ 8η
Στο εσωτερικό της αυλής ενός σπιτιού υπάρχει microικρός κήπος microε λαχανικά όπως στο
ακόλουθο σχήmicroα Αν το εmicroβαδόν του κήπου είναι 122m και οι διαστάσεις της αυλής είναι
12m και 13m να βρεθεί το x Αν θέλουmicroε να περιφράξουmicroε τον κήπο microε σύρmicroα πόσο σύρmicroα
θα χρειαστούmicroε
12m
13m
ΑΣΚΗΣΗ 9η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ Από τυχαίο σηmicroείο Ε της ΑΓ φέρουmicroε ευθεία παράλληλη
προς την Α∆ που τέmicroνει την Γ∆ στο Ζ Να αποδείξετε ότι
i) (Α∆Ζ)=(ΑΕΒ)
ii) (ΑΕΖ)=(ΒΕΓ)-(ΖΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 10η
Οι διάmicroεσοι Β∆ και ΓΕ τριγώνου ΑΒΓ τέmicroνονται στο Θ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΕ∆)=4
)(ΑΒΓ
ii) (ΒΘΓ)= 3
)(ΑΒΓ
iii)(ΑΕ∆)= (ΒΚΛΓ) όπου Κ Λ τα microέσα των ΒΘ και ΓΘ αντίστοιχα
x
x x
x
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
32
ΑΣΚΗΣΗ 11η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε τη διχοτόmicroο Α∆ Από το ∆ φέρνουmicroε παράλληλη προς την ΑΒ
που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει την προέκταση της
∆Ε στο Ζ να αποδείξετε ότι
α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)
β) β2(ΑΕΖ) = γ
2(∆ΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 12η
Θεωρούmicroε γωνία yxand
Α και σηmicroείο Ο της διχοτόmicroου της Αδ Αν ο κύκλος (ΟΟΑ) τέmicroνει τις
Οx Οy στα Β Γ αντίστοιχα και την Αδ στο ∆ να αποδείξετε ότι
α) (ΟΑΒ)=(ΟΑΓ)
β) (ΒΟΓ∆)=(ΑΒ∆)
γ) (ΒΟΓ∆)=2
1(ΟΑ)(ΒΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 13η
Από εσωτερικό σηmicroείο Μ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλες προς τις
πλευρές ΑΓ και ΑΒ που τέmicroνουν τις ΑΒ ΑΓ στα ∆ Ζ αντίστοιχα Αν (ΒΜ)=x (ΒΓ)=α
(Β∆Μ)=Ε1 (ΓΖΜ)=Ε2 και (ΑΒΓ)=Ε τότε
α) Να εκφράσετε ως συναρτήσεις των x και α τους λόγους Ε
Ε1 και Ε
Ε2
β) Να αποδείξετε ότι ΕgeΕ+Ε2
121
ΑΣΚΗΣΗ 14η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=Γ∆=λ3
Να βρεθεί
i) Η περίmicroετρος του ΑΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που αντιστοιχεί στη χορδή ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 15η
Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε τα διαδοχικά σηmicroεία Α Β Γ και ∆ ώστε ΑΒ=ΒΓ=Γ∆= R Να
βρεθεί
i) H περίmicroετρος του τριγώνου ΑΒ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τριγώνου ΒΓ∆
iii) Ο λόγος )(
)(
ΒΓ∆ΑΒ∆
ΑΣΚΗΣΗ 16η
∆ίνεται τεταρτοκύκλιο Οand
ΒΓ ακτίνας R
α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΓΒ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε δύο ισεmicroβαδικά χωρία
β) Αν ∆ σηmicroείο του τόξου ΒΓ να αποδείξετε ότι η ευθεία Γ∆ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
γ) Να βρείτε σηmicroείο Α της ακτίνας ΟΒ ώστε η ευθεία ΓΑ να χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
33
ΑΣΚΗΣΗ 17η
Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο Ο cap
ΒΓ ακτίνας R Σηmicroείο Α κινείται πάνω στο τόξο cap
ΒΓ και έστω
Κ το σηmicroείο τοmicroής της ακτίνας ΟΑ microε τη ΒΓ Να βρείτε το microήκος του τόξου cap
ΒΑ όταν το
εmicroβαδό του τριγώνου ΟΚΓ ισούται microε το εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα
τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΒ και το τόξο cap
ΒΑ
ΑΣΚΗΣΗ 18η
∆ίνεται ηmicroικύκλιο κέντρου Ο microε διάmicroετρο ΑΑ1=2R Έστω Β σηmicroείο του ηmicroικυκλίου microε
( 1ΑΟΒand
)=φ microοίρες και ΟΓ ακτίνα που τέmicroνει τη χορδή ΑΒ στο Κ
α) Να βρείτε το microήκος S του τόξου cap
ΑΓ όταν το εmicroβαδόν του τριγώνου ΟΚΒ ισούται microε το
εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΓ και το τόξοcap
ΑΓ
β) Αν η γωνία 1ΑΟΒand
είναι 150ο πόσο είναι το S
γ) Για ποια τιmicroή του φ το S γίνεται microέγιστο
Β
Γ
φ
Α1 Α
ΑΣΚΗΣΗ 19η
Η περίmicroετρος ρόmicroβου ΑΒΓ∆ πλευράς α και κέντρου Ο είναι τετραπλάσια της microικρής
διαγωνίου του Β∆
i) Να υπολογιστεί συναρτήσει του α το εmicroβαδόν του Ε
ii) Φέρουmicroε Α∆perpΟΗ και Γ∆perpΟΖ Αν η ΑΖ τέmicroνει τον κύκλο διαmicroέτρου Ο∆ στο Θ να
δειχθεί ότι 2
3Ε=ΑΖsdotΑΘ
ΑΣΚΗΣΗ 20η
Το περίγραmicromicroα της βάσης ενός microεγάλου λόφου σχηmicroατίζει τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=γ ΑΓ=β
όπου βgtγ και στο οποίο η διάmicroεσος ΑΜ και το ύψος Α∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο ∆ίπλα στην
πλευρά ΑΓ υπάρχει ορθογώνιος ιδιωτικός χώρος διαστάσεων 2
γβ +και β-γ Σrsquo αυτόν το
χώρο πρόκειται να κατασκευαστεί ένας microεγάλος ανισόπεδος κόmicroβος που θα συνδέει δύο
δρόmicroους ταχείας κυκλοφορίας Γιrsquo αυτούς τους λόγους προτείνεται στον ιδιοκτήτη να δεχτεί
να ανταλλάξει αυτόν τον χώρο microε άλλον ορθογώνιο χώρο του δηmicroοσίου που βρίσκεται δίπλα
στην πλευρά ΒΓ και έχει διαστάσεις τα microήκη των ΒΓ και 2
ΑΜ Ο ιδιοκτήτης δηλώνει ότι θα
συmicroφωνήσει microε την πρόταση αρκεί οι ανταλλάξιmicroοι χώροι να έχουν την ίδια έκταση
Πρακτικά όmicroως είναι αδύνατον να microετρήσει την πλευρά ΒΓ και τη διάmicroεσο ΑΜ γιrsquo αυτό και
διστάζει Πως θα σκεφτόσαστε εσείς να βοηθήσετε τον ιδιοκτήτη να αποφασίσει
Κ
Ο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
34
ΑΣΚΗΣΗ 21η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε β=2γ και η διάmicroεσος του Β∆ Φέρουmicroε Β∆perpΑx που τέmicroνει την
Β∆ στο Ε και την ΒΓ στο Ζ και ΕyΑΓ που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ Να αποδείξετε ότι
i) ZB= 2
1ZΓ
ii) (ΑΒΓ)=3(ΑΒΖ)
iii) Να αποδειχθεί ότι 8
3
)(
)(=
ΑΒΖΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΗ 22η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε α=2γ και β= 7γ
α) i) Να αποδείξετε ότι 2
3αmicroα =
ii) Να βρείτε το είδος της γωνίας and
Β
iii) Αν ΑΕ perp ΒΓ να υπολογίσετε το ΒΕ συναρτήσει του γ
iv) Να βρείτε τη γωνία and
Β
β) Αν ΑΜ διάmicroεσος και Β∆ διχοτόmicroος να αποδείξτε ότι
i) Α∆ = 3
β
ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)
ΑΣΚΗΣΗ 23η
Έστω τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ο R) και σηmicroείο Μ το οποίο κινείται στο
ηmicroικύκλιο cap
ΑΒΓ
α) Να βρεθεί το ελάχιστο ( )minΕ και το microέγιστο ( )maxΕ εmicroβαδόν του τετράπλευρου ΑΜΓ∆
συναρτήσει της ακτίνας R
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε θέση του Μ είναι
i) Μ∆2 = ΑΓ ∆Ε όπου Ε η προβολή του Μ στην Β∆
ii) (ΑΜΓ∆) = 2
2Μ∆
γ) Να προσδιορίσετε τη θέση του σηmicroείου Μ όταν (ΑΜΓ∆) = 2
maxmin EE +
ΑΣΚΗΣΗ 24η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ M το microέσο της ΑΒ σηmicroείο Ν της ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΝ = 4
3ΑΓ και
σηmicroείο Κ της ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΚ = 4
1ΒΓ Να βρεθεί ο λόγος των εmicroβαδών του τριγώνου
ΑΒΓ προς του τριγώνου ΜΝΚ
ΑΣΚΗΣΗ 25η
Α) Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι 2
αmicro = βγ και β-γ = 5 2 Το microήκος της πλευράς
α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3
Β) Να δειχθεί ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει η σχέση (222
γβα micromicromicro ++ )2 = 27Ε
2 όπου
Ε το εmicroβαδό του
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
35
ΑΣΚΗΣΗ 26η
Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω περιπτώσεις
όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί να αποτελεί microήκη των
πλευρών του
i) 3 57
ii) 8 4 2
iii) 7 6 85
ΑΣΚΗΣΗ 27η
Αν η διάmicroεσος microα ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν προεκταθεί τέmicroνει τον περιγεγραmicromicroένο κύκλο
στο ∆ να αποδειχθεί ότι microα = Α∆+
2
22 γβ
ΑΣΚΗΣΗ 28η
Από ένα κυκλικό οικόπεδο ακτίνας R=30m θα αποκοπεί κυκλικό τmicroήmicroα χορδής 30 3 m για
την κατασκευή δρόmicroου
i) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου που έmicroεινε
ii) Να βρεθεί η αποζηmicroίωση που θα δοθεί στον ιδιοκτήτη αν η αρχική αξία του οικοπέδου
ήταν 10000000 δρχ
ΑΣΚΗΣΗ 29η
Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι α =13 β = 8 γ = 7
i) Να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς το είδος των γωνιών του
ii) Να υπολογιστεί το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ πάνω στην ΑΒ
iii) Να υπολογιστεί η γωνία and
Α
ΑΣΚΗΣΗ 30η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 4 ΑΓ = 5 ΒΓ = 7 Το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ
πάνω στην ΑΒ είναι Α 5 Β 1 Γ 6 ∆ 2
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 31η
Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (and
Α =90ο) microε
and
Β =60ο και ΒΓ=4 Με κέντρο το Β και
ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ και microε κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΜ
γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν να βρεθούν
i) Η θέση του σηmicroείου Μ στη ΒΓ
ii) Η περίmicroετρος του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
iii) Το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
36
ΑΣΚΗΣΗ 32η
Μια έκταση σχήmicroατος τετραγώνου microε A 30 H 70 ∆
πλευρά 100m πρόκειται να διατεθεί
για κατασκευή εργατικών κατοικιών
Οι κατοικίες θα ανεργεθούν σε τέσσερα 70 30
ίσα τριγωνικά οικόπεδα και η υπόλοιπη Μ
έκταση σχήmicroατος τετραπλεύρου θα
χρησιmicroοποιηθεί ως κοινόχρηστος χώρος Z
για δενδροφύτευση και κατασκευή γηπέδου
microπάσκετ 30 70
α) Να βρεθούν τα εmicroβαδά των τεσσάρων ίσων οικοπέδων
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινόχρηστου χώρου B 70 K 30 Γ
γ) Τι είδους τετράπλευρο είναι ο κοινόχρηστος χώρος Να βρεθούν οι πλευρές του
ΑΣΚΗΣΗ 33η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 90A =
and
και ΑΒ=y ΑΓ=β
Α∆=ν Β∆=micro ΒΓ=x ∆Γ=κ
i) Να συmicroπληρωθούν οι σχέσεις
β2=helliphelliphellip=helliphelliphelliphellip Α
ν2=helliphelliphelliphelliphelliphellip
2
2
βy
=helliphelliphelliphelliphellip βy=helliphelliphelliphellip y ν β
ii) Να δειχθεί ότι 111
222 νβ=+
y Β ν ∆ κ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 34η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroεία ∆Ε της πλευράς ΒΓ έτσι ώστε Β∆=∆Ε=ΕΓ Να απόδειχθεί
ότι
i) 2222 22 ΑΕminusΑ∆=∆ΕminusΑΒ ii)
2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 35η
∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε o90=Α
and
ΑΒ=5cm ΑΓ=12cm Α∆ το ύψος του και ΒΜ
η διάmicroεσος του Προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά ΓΕ=ΒΓ i) Να συγκρίνετε τα
εmicroβαδά των τριγώνων Α∆Γ και ΑΓΕ ii) Να δείξετε ότι η σχέση που συνδέει τα εmicroβαδά των
τριγώνων ΑΒΜ και ΑΒΕ είναι (ΑΒΕ)=4(ΑΒΜ)
ΑΣΚΗΣΗ 36η
Από σηmicroείο Μ εκτός κύκλου φέρνουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΜΕ του κύκλου και τις
τέmicroνουσες ΜΑΒ και ΜΓ∆ Αν είναι ΑΒ=9 ΓΜ=4 Γ∆=5 να υπολογίσετε i) το ΜΑ ii) το
ΜΕ
ΑΣΚΗΣΗ 37η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) ΑΒ microια διάmicroετρος του και Μ τυχαίο σηmicroείο του (διαφορετικό των Α
Β) Αν Γ είναι το microέσο της ΟΑ και ∆ το microέσο της ΟΒ ενώ η ΜΓ τέmicroνει τον κύκλο στο Ε και
η Μ∆ στο Ζ τότε να αποδείξετε ότι3
10=
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
37
Ζ
Ε
ΑΣΚΗΣΗ 38η
Ένα τριγωνικό αγρόκτηmicroα ΑΒΓ χωρίζεται
σε τέσσερα τριγωνικά αγροτεmicroάχια όπως Α
φαίνεται στο σχήmicroα έτσι ώστε ΑΒ=Α∆3
2
ΒΕ= ΒΓ4
1και ΓΖ= ΑΓ
2
1 α) Αν το εmicroβαδό ∆
του ΑΒΓ είναι 48 στρέmicromicroατα να υπολογίσετε το Β
Γ
εmicroβαδό του ∆ΕΖ β) Αν τα ∆ Ε Ζ είναι τα microέσα των ΑΒ
ΒΓ ΑΓ αντίστοιχα να βρεθούν τα εmicroβαδά των
τεσσάρων αγροτεmicroαχίων
ΑΣΚΗΣΗ 39η
∆ίνεται εγγράψιmicroο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ ώστε οι πλευρές του ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α microε τη σειρά
που δίνονται να αποτελούν γεωmicroετρική πρόοδο Να αποδείξετε ότι η διαγώνιος του Β∆ το
χωρίζει σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
ΑΣΚΗΣΗ 40η
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ∆ Ζ Γ
την ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m και
ο90=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος υ
∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο οποίος
θα χωρίσει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆
και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα α) Να βρεθεί
το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆ β) Να
βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο
ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο Α Ε Η Β
ΑΕ∆ δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου
∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
ΑΣΚΗΣΗ 41η
∆ίνεται ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ και τα σηmicroεία του ∆Γ έτσι ώστε ∆Β=Γ∆=ΑΓ Αν
Μ τυχαίο σηmicroείο εκτός του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατοςΑΒ
Να δείξετε ότι 2222 33 ΜΓ+ΜΒ=ΜΒ+ΑΜ
ΑΣΚΗΣΗ 42η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 222 2αγβ =+ Αν η διάmicroεσος ΑΜ τέmicroνει το περιγεγραmicromicroένο
κύκλο του τριγώνου στο ∆ να δείξετε ότι
α) 6
3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
38
ΑΣΚΗΣΗ 43η
Από ένα εξωτερικό σηmicroείο Α κύκλου ( )RΟ φέρουmicroε microια τέmicroνουσα ΑΒΓ έτσι ώστε
ΒΓ=ΑΒ Αν 7R=ΟΑ τότε να δείξετε ότι
i) ΒΓ=ΑΒ =λ3
ii) η γωνία and
ΑΟΓ είναι αmicroβλεία
iii) η προβολή της ΟΓ πάνω στην ΟΑ είναι ίση microε ΟΑ7
2
iv) Να δείξετε ότι ( )( ) 2
1=
ΑΟΓΒΟΓ
και στην συνέχεια να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του τριγώνου
and
ΑΟΓ
v) Να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που ορίζεται από την χορδή ΒΓ και
το microέτρο του τόξου cap
ΒΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
39
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
40
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
31
ΑΣΚΗΣΗ 5η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ και Μ το microέσο της Α∆ Προεκτείνουmicroε τη ∆Γ προς το Γ
κατά ΓΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΒΜ)=2
)(ΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τραπεζίου ΑΒΕ∆ είναι οκταπλάσιο από το εmicroβαδόν του
τριγώνου ΑΒΜ
ΑΣΚΗΣΗ 6η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναιuα =3ρ όπου ρ του εγγεγραmicromicroένου κύκλου του τριγώνου Ο λόγος
αγβ +
ισούται microε Α 2 Β 3 Γ 3
1 ∆
2
3 Ε Κανένα από τα
παραπάνω
(Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας)
ΑΣΚΗΣΗ 7η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάmicroεσός του Α∆ Προεκτείνουmicroε την ΒΑ προς το Α κατά τmicroήmicroα
ΑΕ=2ΑΒ Να αποδείξετε ότι (ΒΕ∆)=3(Α∆Γ)
ΑΣΚΗΣΗ 8η
Στο εσωτερικό της αυλής ενός σπιτιού υπάρχει microικρός κήπος microε λαχανικά όπως στο
ακόλουθο σχήmicroα Αν το εmicroβαδόν του κήπου είναι 122m και οι διαστάσεις της αυλής είναι
12m και 13m να βρεθεί το x Αν θέλουmicroε να περιφράξουmicroε τον κήπο microε σύρmicroα πόσο σύρmicroα
θα χρειαστούmicroε
12m
13m
ΑΣΚΗΣΗ 9η
∆ίνεται παραλληλόγραmicromicroο ΑΒΓ∆ Από τυχαίο σηmicroείο Ε της ΑΓ φέρουmicroε ευθεία παράλληλη
προς την Α∆ που τέmicroνει την Γ∆ στο Ζ Να αποδείξετε ότι
i) (Α∆Ζ)=(ΑΕΒ)
ii) (ΑΕΖ)=(ΒΕΓ)-(ΖΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 10η
Οι διάmicroεσοι Β∆ και ΓΕ τριγώνου ΑΒΓ τέmicroνονται στο Θ Να αποδείξετε ότι
i) (ΑΕ∆)=4
)(ΑΒΓ
ii) (ΒΘΓ)= 3
)(ΑΒΓ
iii)(ΑΕ∆)= (ΒΚΛΓ) όπου Κ Λ τα microέσα των ΒΘ και ΓΘ αντίστοιχα
x
x x
x
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
32
ΑΣΚΗΣΗ 11η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε τη διχοτόmicroο Α∆ Από το ∆ φέρνουmicroε παράλληλη προς την ΑΒ
που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει την προέκταση της
∆Ε στο Ζ να αποδείξετε ότι
α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)
β) β2(ΑΕΖ) = γ
2(∆ΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 12η
Θεωρούmicroε γωνία yxand
Α και σηmicroείο Ο της διχοτόmicroου της Αδ Αν ο κύκλος (ΟΟΑ) τέmicroνει τις
Οx Οy στα Β Γ αντίστοιχα και την Αδ στο ∆ να αποδείξετε ότι
α) (ΟΑΒ)=(ΟΑΓ)
β) (ΒΟΓ∆)=(ΑΒ∆)
γ) (ΒΟΓ∆)=2
1(ΟΑ)(ΒΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 13η
Από εσωτερικό σηmicroείο Μ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλες προς τις
πλευρές ΑΓ και ΑΒ που τέmicroνουν τις ΑΒ ΑΓ στα ∆ Ζ αντίστοιχα Αν (ΒΜ)=x (ΒΓ)=α
(Β∆Μ)=Ε1 (ΓΖΜ)=Ε2 και (ΑΒΓ)=Ε τότε
α) Να εκφράσετε ως συναρτήσεις των x και α τους λόγους Ε
Ε1 και Ε
Ε2
β) Να αποδείξετε ότι ΕgeΕ+Ε2
121
ΑΣΚΗΣΗ 14η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=Γ∆=λ3
Να βρεθεί
i) Η περίmicroετρος του ΑΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που αντιστοιχεί στη χορδή ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 15η
Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε τα διαδοχικά σηmicroεία Α Β Γ και ∆ ώστε ΑΒ=ΒΓ=Γ∆= R Να
βρεθεί
i) H περίmicroετρος του τριγώνου ΑΒ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τριγώνου ΒΓ∆
iii) Ο λόγος )(
)(
ΒΓ∆ΑΒ∆
ΑΣΚΗΣΗ 16η
∆ίνεται τεταρτοκύκλιο Οand
ΒΓ ακτίνας R
α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΓΒ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε δύο ισεmicroβαδικά χωρία
β) Αν ∆ σηmicroείο του τόξου ΒΓ να αποδείξετε ότι η ευθεία Γ∆ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
γ) Να βρείτε σηmicroείο Α της ακτίνας ΟΒ ώστε η ευθεία ΓΑ να χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
33
ΑΣΚΗΣΗ 17η
Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο Ο cap
ΒΓ ακτίνας R Σηmicroείο Α κινείται πάνω στο τόξο cap
ΒΓ και έστω
Κ το σηmicroείο τοmicroής της ακτίνας ΟΑ microε τη ΒΓ Να βρείτε το microήκος του τόξου cap
ΒΑ όταν το
εmicroβαδό του τριγώνου ΟΚΓ ισούται microε το εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα
τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΒ και το τόξο cap
ΒΑ
ΑΣΚΗΣΗ 18η
∆ίνεται ηmicroικύκλιο κέντρου Ο microε διάmicroετρο ΑΑ1=2R Έστω Β σηmicroείο του ηmicroικυκλίου microε
( 1ΑΟΒand
)=φ microοίρες και ΟΓ ακτίνα που τέmicroνει τη χορδή ΑΒ στο Κ
α) Να βρείτε το microήκος S του τόξου cap
ΑΓ όταν το εmicroβαδόν του τριγώνου ΟΚΒ ισούται microε το
εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΓ και το τόξοcap
ΑΓ
β) Αν η γωνία 1ΑΟΒand
είναι 150ο πόσο είναι το S
γ) Για ποια τιmicroή του φ το S γίνεται microέγιστο
Β
Γ
φ
Α1 Α
ΑΣΚΗΣΗ 19η
Η περίmicroετρος ρόmicroβου ΑΒΓ∆ πλευράς α και κέντρου Ο είναι τετραπλάσια της microικρής
διαγωνίου του Β∆
i) Να υπολογιστεί συναρτήσει του α το εmicroβαδόν του Ε
ii) Φέρουmicroε Α∆perpΟΗ και Γ∆perpΟΖ Αν η ΑΖ τέmicroνει τον κύκλο διαmicroέτρου Ο∆ στο Θ να
δειχθεί ότι 2
3Ε=ΑΖsdotΑΘ
ΑΣΚΗΣΗ 20η
Το περίγραmicromicroα της βάσης ενός microεγάλου λόφου σχηmicroατίζει τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=γ ΑΓ=β
όπου βgtγ και στο οποίο η διάmicroεσος ΑΜ και το ύψος Α∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο ∆ίπλα στην
πλευρά ΑΓ υπάρχει ορθογώνιος ιδιωτικός χώρος διαστάσεων 2
γβ +και β-γ Σrsquo αυτόν το
χώρο πρόκειται να κατασκευαστεί ένας microεγάλος ανισόπεδος κόmicroβος που θα συνδέει δύο
δρόmicroους ταχείας κυκλοφορίας Γιrsquo αυτούς τους λόγους προτείνεται στον ιδιοκτήτη να δεχτεί
να ανταλλάξει αυτόν τον χώρο microε άλλον ορθογώνιο χώρο του δηmicroοσίου που βρίσκεται δίπλα
στην πλευρά ΒΓ και έχει διαστάσεις τα microήκη των ΒΓ και 2
ΑΜ Ο ιδιοκτήτης δηλώνει ότι θα
συmicroφωνήσει microε την πρόταση αρκεί οι ανταλλάξιmicroοι χώροι να έχουν την ίδια έκταση
Πρακτικά όmicroως είναι αδύνατον να microετρήσει την πλευρά ΒΓ και τη διάmicroεσο ΑΜ γιrsquo αυτό και
διστάζει Πως θα σκεφτόσαστε εσείς να βοηθήσετε τον ιδιοκτήτη να αποφασίσει
Κ
Ο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
34
ΑΣΚΗΣΗ 21η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε β=2γ και η διάmicroεσος του Β∆ Φέρουmicroε Β∆perpΑx που τέmicroνει την
Β∆ στο Ε και την ΒΓ στο Ζ και ΕyΑΓ που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ Να αποδείξετε ότι
i) ZB= 2
1ZΓ
ii) (ΑΒΓ)=3(ΑΒΖ)
iii) Να αποδειχθεί ότι 8
3
)(
)(=
ΑΒΖΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΗ 22η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε α=2γ και β= 7γ
α) i) Να αποδείξετε ότι 2
3αmicroα =
ii) Να βρείτε το είδος της γωνίας and
Β
iii) Αν ΑΕ perp ΒΓ να υπολογίσετε το ΒΕ συναρτήσει του γ
iv) Να βρείτε τη γωνία and
Β
β) Αν ΑΜ διάmicroεσος και Β∆ διχοτόmicroος να αποδείξτε ότι
i) Α∆ = 3
β
ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)
ΑΣΚΗΣΗ 23η
Έστω τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ο R) και σηmicroείο Μ το οποίο κινείται στο
ηmicroικύκλιο cap
ΑΒΓ
α) Να βρεθεί το ελάχιστο ( )minΕ και το microέγιστο ( )maxΕ εmicroβαδόν του τετράπλευρου ΑΜΓ∆
συναρτήσει της ακτίνας R
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε θέση του Μ είναι
i) Μ∆2 = ΑΓ ∆Ε όπου Ε η προβολή του Μ στην Β∆
ii) (ΑΜΓ∆) = 2
2Μ∆
γ) Να προσδιορίσετε τη θέση του σηmicroείου Μ όταν (ΑΜΓ∆) = 2
maxmin EE +
ΑΣΚΗΣΗ 24η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ M το microέσο της ΑΒ σηmicroείο Ν της ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΝ = 4
3ΑΓ και
σηmicroείο Κ της ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΚ = 4
1ΒΓ Να βρεθεί ο λόγος των εmicroβαδών του τριγώνου
ΑΒΓ προς του τριγώνου ΜΝΚ
ΑΣΚΗΣΗ 25η
Α) Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι 2
αmicro = βγ και β-γ = 5 2 Το microήκος της πλευράς
α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3
Β) Να δειχθεί ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει η σχέση (222
γβα micromicromicro ++ )2 = 27Ε
2 όπου
Ε το εmicroβαδό του
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
35
ΑΣΚΗΣΗ 26η
Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω περιπτώσεις
όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί να αποτελεί microήκη των
πλευρών του
i) 3 57
ii) 8 4 2
iii) 7 6 85
ΑΣΚΗΣΗ 27η
Αν η διάmicroεσος microα ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν προεκταθεί τέmicroνει τον περιγεγραmicromicroένο κύκλο
στο ∆ να αποδειχθεί ότι microα = Α∆+
2
22 γβ
ΑΣΚΗΣΗ 28η
Από ένα κυκλικό οικόπεδο ακτίνας R=30m θα αποκοπεί κυκλικό τmicroήmicroα χορδής 30 3 m για
την κατασκευή δρόmicroου
i) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου που έmicroεινε
ii) Να βρεθεί η αποζηmicroίωση που θα δοθεί στον ιδιοκτήτη αν η αρχική αξία του οικοπέδου
ήταν 10000000 δρχ
ΑΣΚΗΣΗ 29η
Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι α =13 β = 8 γ = 7
i) Να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς το είδος των γωνιών του
ii) Να υπολογιστεί το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ πάνω στην ΑΒ
iii) Να υπολογιστεί η γωνία and
Α
ΑΣΚΗΣΗ 30η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 4 ΑΓ = 5 ΒΓ = 7 Το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ
πάνω στην ΑΒ είναι Α 5 Β 1 Γ 6 ∆ 2
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 31η
Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (and
Α =90ο) microε
and
Β =60ο και ΒΓ=4 Με κέντρο το Β και
ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ και microε κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΜ
γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν να βρεθούν
i) Η θέση του σηmicroείου Μ στη ΒΓ
ii) Η περίmicroετρος του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
iii) Το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
36
ΑΣΚΗΣΗ 32η
Μια έκταση σχήmicroατος τετραγώνου microε A 30 H 70 ∆
πλευρά 100m πρόκειται να διατεθεί
για κατασκευή εργατικών κατοικιών
Οι κατοικίες θα ανεργεθούν σε τέσσερα 70 30
ίσα τριγωνικά οικόπεδα και η υπόλοιπη Μ
έκταση σχήmicroατος τετραπλεύρου θα
χρησιmicroοποιηθεί ως κοινόχρηστος χώρος Z
για δενδροφύτευση και κατασκευή γηπέδου
microπάσκετ 30 70
α) Να βρεθούν τα εmicroβαδά των τεσσάρων ίσων οικοπέδων
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινόχρηστου χώρου B 70 K 30 Γ
γ) Τι είδους τετράπλευρο είναι ο κοινόχρηστος χώρος Να βρεθούν οι πλευρές του
ΑΣΚΗΣΗ 33η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 90A =
and
και ΑΒ=y ΑΓ=β
Α∆=ν Β∆=micro ΒΓ=x ∆Γ=κ
i) Να συmicroπληρωθούν οι σχέσεις
β2=helliphelliphellip=helliphelliphelliphellip Α
ν2=helliphelliphelliphelliphelliphellip
2
2
βy
=helliphelliphelliphelliphellip βy=helliphelliphelliphellip y ν β
ii) Να δειχθεί ότι 111
222 νβ=+
y Β ν ∆ κ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 34η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroεία ∆Ε της πλευράς ΒΓ έτσι ώστε Β∆=∆Ε=ΕΓ Να απόδειχθεί
ότι
i) 2222 22 ΑΕminusΑ∆=∆ΕminusΑΒ ii)
2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 35η
∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε o90=Α
and
ΑΒ=5cm ΑΓ=12cm Α∆ το ύψος του και ΒΜ
η διάmicroεσος του Προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά ΓΕ=ΒΓ i) Να συγκρίνετε τα
εmicroβαδά των τριγώνων Α∆Γ και ΑΓΕ ii) Να δείξετε ότι η σχέση που συνδέει τα εmicroβαδά των
τριγώνων ΑΒΜ και ΑΒΕ είναι (ΑΒΕ)=4(ΑΒΜ)
ΑΣΚΗΣΗ 36η
Από σηmicroείο Μ εκτός κύκλου φέρνουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΜΕ του κύκλου και τις
τέmicroνουσες ΜΑΒ και ΜΓ∆ Αν είναι ΑΒ=9 ΓΜ=4 Γ∆=5 να υπολογίσετε i) το ΜΑ ii) το
ΜΕ
ΑΣΚΗΣΗ 37η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) ΑΒ microια διάmicroετρος του και Μ τυχαίο σηmicroείο του (διαφορετικό των Α
Β) Αν Γ είναι το microέσο της ΟΑ και ∆ το microέσο της ΟΒ ενώ η ΜΓ τέmicroνει τον κύκλο στο Ε και
η Μ∆ στο Ζ τότε να αποδείξετε ότι3
10=
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
37
Ζ
Ε
ΑΣΚΗΣΗ 38η
Ένα τριγωνικό αγρόκτηmicroα ΑΒΓ χωρίζεται
σε τέσσερα τριγωνικά αγροτεmicroάχια όπως Α
φαίνεται στο σχήmicroα έτσι ώστε ΑΒ=Α∆3
2
ΒΕ= ΒΓ4
1και ΓΖ= ΑΓ
2
1 α) Αν το εmicroβαδό ∆
του ΑΒΓ είναι 48 στρέmicromicroατα να υπολογίσετε το Β
Γ
εmicroβαδό του ∆ΕΖ β) Αν τα ∆ Ε Ζ είναι τα microέσα των ΑΒ
ΒΓ ΑΓ αντίστοιχα να βρεθούν τα εmicroβαδά των
τεσσάρων αγροτεmicroαχίων
ΑΣΚΗΣΗ 39η
∆ίνεται εγγράψιmicroο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ ώστε οι πλευρές του ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α microε τη σειρά
που δίνονται να αποτελούν γεωmicroετρική πρόοδο Να αποδείξετε ότι η διαγώνιος του Β∆ το
χωρίζει σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
ΑΣΚΗΣΗ 40η
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ∆ Ζ Γ
την ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m και
ο90=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος υ
∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο οποίος
θα χωρίσει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆
και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα α) Να βρεθεί
το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆ β) Να
βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο
ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο Α Ε Η Β
ΑΕ∆ δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου
∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
ΑΣΚΗΣΗ 41η
∆ίνεται ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ και τα σηmicroεία του ∆Γ έτσι ώστε ∆Β=Γ∆=ΑΓ Αν
Μ τυχαίο σηmicroείο εκτός του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατοςΑΒ
Να δείξετε ότι 2222 33 ΜΓ+ΜΒ=ΜΒ+ΑΜ
ΑΣΚΗΣΗ 42η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 222 2αγβ =+ Αν η διάmicroεσος ΑΜ τέmicroνει το περιγεγραmicromicroένο
κύκλο του τριγώνου στο ∆ να δείξετε ότι
α) 6
3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
38
ΑΣΚΗΣΗ 43η
Από ένα εξωτερικό σηmicroείο Α κύκλου ( )RΟ φέρουmicroε microια τέmicroνουσα ΑΒΓ έτσι ώστε
ΒΓ=ΑΒ Αν 7R=ΟΑ τότε να δείξετε ότι
i) ΒΓ=ΑΒ =λ3
ii) η γωνία and
ΑΟΓ είναι αmicroβλεία
iii) η προβολή της ΟΓ πάνω στην ΟΑ είναι ίση microε ΟΑ7
2
iv) Να δείξετε ότι ( )( ) 2
1=
ΑΟΓΒΟΓ
και στην συνέχεια να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του τριγώνου
and
ΑΟΓ
v) Να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που ορίζεται από την χορδή ΒΓ και
το microέτρο του τόξου cap
ΒΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
39
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
40
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
32
ΑΣΚΗΣΗ 11η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουmicroε τη διχοτόmicroο Α∆ Από το ∆ φέρνουmicroε παράλληλη προς την ΑΒ
που τέmicroνει την ΑΓ στο Ε Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέmicroνει την προέκταση της
∆Ε στο Ζ να αποδείξετε ότι
α) β(ΑΕ∆) = γ(∆ΕΓ)
β) β2(ΑΕΖ) = γ
2(∆ΕΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 12η
Θεωρούmicroε γωνία yxand
Α και σηmicroείο Ο της διχοτόmicroου της Αδ Αν ο κύκλος (ΟΟΑ) τέmicroνει τις
Οx Οy στα Β Γ αντίστοιχα και την Αδ στο ∆ να αποδείξετε ότι
α) (ΟΑΒ)=(ΟΑΓ)
β) (ΒΟΓ∆)=(ΑΒ∆)
γ) (ΒΟΓ∆)=2
1(ΟΑ)(ΒΓ)
ΑΣΚΗΣΗ 13η
Από εσωτερικό σηmicroείο Μ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουmicroε παράλληλες προς τις
πλευρές ΑΓ και ΑΒ που τέmicroνουν τις ΑΒ ΑΓ στα ∆ Ζ αντίστοιχα Αν (ΒΜ)=x (ΒΓ)=α
(Β∆Μ)=Ε1 (ΓΖΜ)=Ε2 και (ΑΒΓ)=Ε τότε
α) Να εκφράσετε ως συναρτήσεις των x και α τους λόγους Ε
Ε1 και Ε
Ε2
β) Να αποδείξετε ότι ΕgeΕ+Ε2
121
ΑΣΚΗΣΗ 14η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=Γ∆=λ3
Να βρεθεί
i) Η περίmicroετρος του ΑΒΓ∆
ii) Το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που αντιστοιχεί στη χορδή ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 15η
Σε κύκλο (ΟR) θεωρούmicroε τα διαδοχικά σηmicroεία Α Β Γ και ∆ ώστε ΑΒ=ΒΓ=Γ∆= R Να
βρεθεί
i) H περίmicroετρος του τριγώνου ΑΒ∆
ii) Το εmicroβαδόν του τριγώνου ΒΓ∆
iii) Ο λόγος )(
)(
ΒΓ∆ΑΒ∆
ΑΣΚΗΣΗ 16η
∆ίνεται τεταρτοκύκλιο Οand
ΒΓ ακτίνας R
α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΓΒ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε δύο ισεmicroβαδικά χωρία
β) Αν ∆ σηmicroείο του τόξου ΒΓ να αποδείξετε ότι η ευθεία Γ∆ δε χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
γ) Να βρείτε σηmicroείο Α της ακτίνας ΟΒ ώστε η ευθεία ΓΑ να χωρίζει το τεταρτοκύκλιο σε
δύο ισεmicroβαδικά χωρία
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
33
ΑΣΚΗΣΗ 17η
Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο Ο cap
ΒΓ ακτίνας R Σηmicroείο Α κινείται πάνω στο τόξο cap
ΒΓ και έστω
Κ το σηmicroείο τοmicroής της ακτίνας ΟΑ microε τη ΒΓ Να βρείτε το microήκος του τόξου cap
ΒΑ όταν το
εmicroβαδό του τριγώνου ΟΚΓ ισούται microε το εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα
τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΒ και το τόξο cap
ΒΑ
ΑΣΚΗΣΗ 18η
∆ίνεται ηmicroικύκλιο κέντρου Ο microε διάmicroετρο ΑΑ1=2R Έστω Β σηmicroείο του ηmicroικυκλίου microε
( 1ΑΟΒand
)=φ microοίρες και ΟΓ ακτίνα που τέmicroνει τη χορδή ΑΒ στο Κ
α) Να βρείτε το microήκος S του τόξου cap
ΑΓ όταν το εmicroβαδόν του τριγώνου ΟΚΒ ισούται microε το
εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΓ και το τόξοcap
ΑΓ
β) Αν η γωνία 1ΑΟΒand
είναι 150ο πόσο είναι το S
γ) Για ποια τιmicroή του φ το S γίνεται microέγιστο
Β
Γ
φ
Α1 Α
ΑΣΚΗΣΗ 19η
Η περίmicroετρος ρόmicroβου ΑΒΓ∆ πλευράς α και κέντρου Ο είναι τετραπλάσια της microικρής
διαγωνίου του Β∆
i) Να υπολογιστεί συναρτήσει του α το εmicroβαδόν του Ε
ii) Φέρουmicroε Α∆perpΟΗ και Γ∆perpΟΖ Αν η ΑΖ τέmicroνει τον κύκλο διαmicroέτρου Ο∆ στο Θ να
δειχθεί ότι 2
3Ε=ΑΖsdotΑΘ
ΑΣΚΗΣΗ 20η
Το περίγραmicromicroα της βάσης ενός microεγάλου λόφου σχηmicroατίζει τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=γ ΑΓ=β
όπου βgtγ και στο οποίο η διάmicroεσος ΑΜ και το ύψος Α∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο ∆ίπλα στην
πλευρά ΑΓ υπάρχει ορθογώνιος ιδιωτικός χώρος διαστάσεων 2
γβ +και β-γ Σrsquo αυτόν το
χώρο πρόκειται να κατασκευαστεί ένας microεγάλος ανισόπεδος κόmicroβος που θα συνδέει δύο
δρόmicroους ταχείας κυκλοφορίας Γιrsquo αυτούς τους λόγους προτείνεται στον ιδιοκτήτη να δεχτεί
να ανταλλάξει αυτόν τον χώρο microε άλλον ορθογώνιο χώρο του δηmicroοσίου που βρίσκεται δίπλα
στην πλευρά ΒΓ και έχει διαστάσεις τα microήκη των ΒΓ και 2
ΑΜ Ο ιδιοκτήτης δηλώνει ότι θα
συmicroφωνήσει microε την πρόταση αρκεί οι ανταλλάξιmicroοι χώροι να έχουν την ίδια έκταση
Πρακτικά όmicroως είναι αδύνατον να microετρήσει την πλευρά ΒΓ και τη διάmicroεσο ΑΜ γιrsquo αυτό και
διστάζει Πως θα σκεφτόσαστε εσείς να βοηθήσετε τον ιδιοκτήτη να αποφασίσει
Κ
Ο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
34
ΑΣΚΗΣΗ 21η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε β=2γ και η διάmicroεσος του Β∆ Φέρουmicroε Β∆perpΑx που τέmicroνει την
Β∆ στο Ε και την ΒΓ στο Ζ και ΕyΑΓ που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ Να αποδείξετε ότι
i) ZB= 2
1ZΓ
ii) (ΑΒΓ)=3(ΑΒΖ)
iii) Να αποδειχθεί ότι 8
3
)(
)(=
ΑΒΖΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΗ 22η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε α=2γ και β= 7γ
α) i) Να αποδείξετε ότι 2
3αmicroα =
ii) Να βρείτε το είδος της γωνίας and
Β
iii) Αν ΑΕ perp ΒΓ να υπολογίσετε το ΒΕ συναρτήσει του γ
iv) Να βρείτε τη γωνία and
Β
β) Αν ΑΜ διάmicroεσος και Β∆ διχοτόmicroος να αποδείξτε ότι
i) Α∆ = 3
β
ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)
ΑΣΚΗΣΗ 23η
Έστω τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ο R) και σηmicroείο Μ το οποίο κινείται στο
ηmicroικύκλιο cap
ΑΒΓ
α) Να βρεθεί το ελάχιστο ( )minΕ και το microέγιστο ( )maxΕ εmicroβαδόν του τετράπλευρου ΑΜΓ∆
συναρτήσει της ακτίνας R
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε θέση του Μ είναι
i) Μ∆2 = ΑΓ ∆Ε όπου Ε η προβολή του Μ στην Β∆
ii) (ΑΜΓ∆) = 2
2Μ∆
γ) Να προσδιορίσετε τη θέση του σηmicroείου Μ όταν (ΑΜΓ∆) = 2
maxmin EE +
ΑΣΚΗΣΗ 24η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ M το microέσο της ΑΒ σηmicroείο Ν της ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΝ = 4
3ΑΓ και
σηmicroείο Κ της ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΚ = 4
1ΒΓ Να βρεθεί ο λόγος των εmicroβαδών του τριγώνου
ΑΒΓ προς του τριγώνου ΜΝΚ
ΑΣΚΗΣΗ 25η
Α) Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι 2
αmicro = βγ και β-γ = 5 2 Το microήκος της πλευράς
α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3
Β) Να δειχθεί ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει η σχέση (222
γβα micromicromicro ++ )2 = 27Ε
2 όπου
Ε το εmicroβαδό του
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
35
ΑΣΚΗΣΗ 26η
Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω περιπτώσεις
όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί να αποτελεί microήκη των
πλευρών του
i) 3 57
ii) 8 4 2
iii) 7 6 85
ΑΣΚΗΣΗ 27η
Αν η διάmicroεσος microα ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν προεκταθεί τέmicroνει τον περιγεγραmicromicroένο κύκλο
στο ∆ να αποδειχθεί ότι microα = Α∆+
2
22 γβ
ΑΣΚΗΣΗ 28η
Από ένα κυκλικό οικόπεδο ακτίνας R=30m θα αποκοπεί κυκλικό τmicroήmicroα χορδής 30 3 m για
την κατασκευή δρόmicroου
i) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου που έmicroεινε
ii) Να βρεθεί η αποζηmicroίωση που θα δοθεί στον ιδιοκτήτη αν η αρχική αξία του οικοπέδου
ήταν 10000000 δρχ
ΑΣΚΗΣΗ 29η
Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι α =13 β = 8 γ = 7
i) Να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς το είδος των γωνιών του
ii) Να υπολογιστεί το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ πάνω στην ΑΒ
iii) Να υπολογιστεί η γωνία and
Α
ΑΣΚΗΣΗ 30η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 4 ΑΓ = 5 ΒΓ = 7 Το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ
πάνω στην ΑΒ είναι Α 5 Β 1 Γ 6 ∆ 2
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 31η
Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (and
Α =90ο) microε
and
Β =60ο και ΒΓ=4 Με κέντρο το Β και
ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ και microε κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΜ
γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν να βρεθούν
i) Η θέση του σηmicroείου Μ στη ΒΓ
ii) Η περίmicroετρος του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
iii) Το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
36
ΑΣΚΗΣΗ 32η
Μια έκταση σχήmicroατος τετραγώνου microε A 30 H 70 ∆
πλευρά 100m πρόκειται να διατεθεί
για κατασκευή εργατικών κατοικιών
Οι κατοικίες θα ανεργεθούν σε τέσσερα 70 30
ίσα τριγωνικά οικόπεδα και η υπόλοιπη Μ
έκταση σχήmicroατος τετραπλεύρου θα
χρησιmicroοποιηθεί ως κοινόχρηστος χώρος Z
για δενδροφύτευση και κατασκευή γηπέδου
microπάσκετ 30 70
α) Να βρεθούν τα εmicroβαδά των τεσσάρων ίσων οικοπέδων
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινόχρηστου χώρου B 70 K 30 Γ
γ) Τι είδους τετράπλευρο είναι ο κοινόχρηστος χώρος Να βρεθούν οι πλευρές του
ΑΣΚΗΣΗ 33η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 90A =
and
και ΑΒ=y ΑΓ=β
Α∆=ν Β∆=micro ΒΓ=x ∆Γ=κ
i) Να συmicroπληρωθούν οι σχέσεις
β2=helliphelliphellip=helliphelliphelliphellip Α
ν2=helliphelliphelliphelliphelliphellip
2
2
βy
=helliphelliphelliphelliphellip βy=helliphelliphelliphellip y ν β
ii) Να δειχθεί ότι 111
222 νβ=+
y Β ν ∆ κ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 34η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroεία ∆Ε της πλευράς ΒΓ έτσι ώστε Β∆=∆Ε=ΕΓ Να απόδειχθεί
ότι
i) 2222 22 ΑΕminusΑ∆=∆ΕminusΑΒ ii)
2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 35η
∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε o90=Α
and
ΑΒ=5cm ΑΓ=12cm Α∆ το ύψος του και ΒΜ
η διάmicroεσος του Προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά ΓΕ=ΒΓ i) Να συγκρίνετε τα
εmicroβαδά των τριγώνων Α∆Γ και ΑΓΕ ii) Να δείξετε ότι η σχέση που συνδέει τα εmicroβαδά των
τριγώνων ΑΒΜ και ΑΒΕ είναι (ΑΒΕ)=4(ΑΒΜ)
ΑΣΚΗΣΗ 36η
Από σηmicroείο Μ εκτός κύκλου φέρνουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΜΕ του κύκλου και τις
τέmicroνουσες ΜΑΒ και ΜΓ∆ Αν είναι ΑΒ=9 ΓΜ=4 Γ∆=5 να υπολογίσετε i) το ΜΑ ii) το
ΜΕ
ΑΣΚΗΣΗ 37η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) ΑΒ microια διάmicroετρος του και Μ τυχαίο σηmicroείο του (διαφορετικό των Α
Β) Αν Γ είναι το microέσο της ΟΑ και ∆ το microέσο της ΟΒ ενώ η ΜΓ τέmicroνει τον κύκλο στο Ε και
η Μ∆ στο Ζ τότε να αποδείξετε ότι3
10=
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
37
Ζ
Ε
ΑΣΚΗΣΗ 38η
Ένα τριγωνικό αγρόκτηmicroα ΑΒΓ χωρίζεται
σε τέσσερα τριγωνικά αγροτεmicroάχια όπως Α
φαίνεται στο σχήmicroα έτσι ώστε ΑΒ=Α∆3
2
ΒΕ= ΒΓ4
1και ΓΖ= ΑΓ
2
1 α) Αν το εmicroβαδό ∆
του ΑΒΓ είναι 48 στρέmicromicroατα να υπολογίσετε το Β
Γ
εmicroβαδό του ∆ΕΖ β) Αν τα ∆ Ε Ζ είναι τα microέσα των ΑΒ
ΒΓ ΑΓ αντίστοιχα να βρεθούν τα εmicroβαδά των
τεσσάρων αγροτεmicroαχίων
ΑΣΚΗΣΗ 39η
∆ίνεται εγγράψιmicroο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ ώστε οι πλευρές του ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α microε τη σειρά
που δίνονται να αποτελούν γεωmicroετρική πρόοδο Να αποδείξετε ότι η διαγώνιος του Β∆ το
χωρίζει σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
ΑΣΚΗΣΗ 40η
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ∆ Ζ Γ
την ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m και
ο90=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος υ
∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο οποίος
θα χωρίσει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆
και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα α) Να βρεθεί
το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆ β) Να
βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο
ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο Α Ε Η Β
ΑΕ∆ δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου
∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
ΑΣΚΗΣΗ 41η
∆ίνεται ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ και τα σηmicroεία του ∆Γ έτσι ώστε ∆Β=Γ∆=ΑΓ Αν
Μ τυχαίο σηmicroείο εκτός του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατοςΑΒ
Να δείξετε ότι 2222 33 ΜΓ+ΜΒ=ΜΒ+ΑΜ
ΑΣΚΗΣΗ 42η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 222 2αγβ =+ Αν η διάmicroεσος ΑΜ τέmicroνει το περιγεγραmicromicroένο
κύκλο του τριγώνου στο ∆ να δείξετε ότι
α) 6
3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
38
ΑΣΚΗΣΗ 43η
Από ένα εξωτερικό σηmicroείο Α κύκλου ( )RΟ φέρουmicroε microια τέmicroνουσα ΑΒΓ έτσι ώστε
ΒΓ=ΑΒ Αν 7R=ΟΑ τότε να δείξετε ότι
i) ΒΓ=ΑΒ =λ3
ii) η γωνία and
ΑΟΓ είναι αmicroβλεία
iii) η προβολή της ΟΓ πάνω στην ΟΑ είναι ίση microε ΟΑ7
2
iv) Να δείξετε ότι ( )( ) 2
1=
ΑΟΓΒΟΓ
και στην συνέχεια να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του τριγώνου
and
ΑΟΓ
v) Να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που ορίζεται από την χορδή ΒΓ και
το microέτρο του τόξου cap
ΒΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
39
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
40
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
33
ΑΣΚΗΣΗ 17η
Θεωρούmicroε τεταρτοκύκλιο Ο cap
ΒΓ ακτίνας R Σηmicroείο Α κινείται πάνω στο τόξο cap
ΒΓ και έστω
Κ το σηmicroείο τοmicroής της ακτίνας ΟΑ microε τη ΒΓ Να βρείτε το microήκος του τόξου cap
ΒΑ όταν το
εmicroβαδό του τριγώνου ΟΚΓ ισούται microε το εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα
τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΒ και το τόξο cap
ΒΑ
ΑΣΚΗΣΗ 18η
∆ίνεται ηmicroικύκλιο κέντρου Ο microε διάmicroετρο ΑΑ1=2R Έστω Β σηmicroείο του ηmicroικυκλίου microε
( 1ΑΟΒand
)=φ microοίρες και ΟΓ ακτίνα που τέmicroνει τη χορδή ΑΒ στο Κ
α) Να βρείτε το microήκος S του τόξου cap
ΑΓ όταν το εmicroβαδόν του τριγώνου ΟΚΒ ισούται microε το
εmicroβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τmicroήmicroατα ΚΑ ΚΓ και το τόξοcap
ΑΓ
β) Αν η γωνία 1ΑΟΒand
είναι 150ο πόσο είναι το S
γ) Για ποια τιmicroή του φ το S γίνεται microέγιστο
Β
Γ
φ
Α1 Α
ΑΣΚΗΣΗ 19η
Η περίmicroετρος ρόmicroβου ΑΒΓ∆ πλευράς α και κέντρου Ο είναι τετραπλάσια της microικρής
διαγωνίου του Β∆
i) Να υπολογιστεί συναρτήσει του α το εmicroβαδόν του Ε
ii) Φέρουmicroε Α∆perpΟΗ και Γ∆perpΟΖ Αν η ΑΖ τέmicroνει τον κύκλο διαmicroέτρου Ο∆ στο Θ να
δειχθεί ότι 2
3Ε=ΑΖsdotΑΘ
ΑΣΚΗΣΗ 20η
Το περίγραmicromicroα της βάσης ενός microεγάλου λόφου σχηmicroατίζει τρίγωνο ΑΒΓ microε ΑΒ=γ ΑΓ=β
όπου βgtγ και στο οποίο η διάmicroεσος ΑΜ και το ύψος Α∆ σχηmicroατίζουν γωνία 30ο ∆ίπλα στην
πλευρά ΑΓ υπάρχει ορθογώνιος ιδιωτικός χώρος διαστάσεων 2
γβ +και β-γ Σrsquo αυτόν το
χώρο πρόκειται να κατασκευαστεί ένας microεγάλος ανισόπεδος κόmicroβος που θα συνδέει δύο
δρόmicroους ταχείας κυκλοφορίας Γιrsquo αυτούς τους λόγους προτείνεται στον ιδιοκτήτη να δεχτεί
να ανταλλάξει αυτόν τον χώρο microε άλλον ορθογώνιο χώρο του δηmicroοσίου που βρίσκεται δίπλα
στην πλευρά ΒΓ και έχει διαστάσεις τα microήκη των ΒΓ και 2
ΑΜ Ο ιδιοκτήτης δηλώνει ότι θα
συmicroφωνήσει microε την πρόταση αρκεί οι ανταλλάξιmicroοι χώροι να έχουν την ίδια έκταση
Πρακτικά όmicroως είναι αδύνατον να microετρήσει την πλευρά ΒΓ και τη διάmicroεσο ΑΜ γιrsquo αυτό και
διστάζει Πως θα σκεφτόσαστε εσείς να βοηθήσετε τον ιδιοκτήτη να αποφασίσει
Κ
Ο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
34
ΑΣΚΗΣΗ 21η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε β=2γ και η διάmicroεσος του Β∆ Φέρουmicroε Β∆perpΑx που τέmicroνει την
Β∆ στο Ε και την ΒΓ στο Ζ και ΕyΑΓ που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ Να αποδείξετε ότι
i) ZB= 2
1ZΓ
ii) (ΑΒΓ)=3(ΑΒΖ)
iii) Να αποδειχθεί ότι 8
3
)(
)(=
ΑΒΖΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΗ 22η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε α=2γ και β= 7γ
α) i) Να αποδείξετε ότι 2
3αmicroα =
ii) Να βρείτε το είδος της γωνίας and
Β
iii) Αν ΑΕ perp ΒΓ να υπολογίσετε το ΒΕ συναρτήσει του γ
iv) Να βρείτε τη γωνία and
Β
β) Αν ΑΜ διάmicroεσος και Β∆ διχοτόmicroος να αποδείξτε ότι
i) Α∆ = 3
β
ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)
ΑΣΚΗΣΗ 23η
Έστω τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ο R) και σηmicroείο Μ το οποίο κινείται στο
ηmicroικύκλιο cap
ΑΒΓ
α) Να βρεθεί το ελάχιστο ( )minΕ και το microέγιστο ( )maxΕ εmicroβαδόν του τετράπλευρου ΑΜΓ∆
συναρτήσει της ακτίνας R
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε θέση του Μ είναι
i) Μ∆2 = ΑΓ ∆Ε όπου Ε η προβολή του Μ στην Β∆
ii) (ΑΜΓ∆) = 2
2Μ∆
γ) Να προσδιορίσετε τη θέση του σηmicroείου Μ όταν (ΑΜΓ∆) = 2
maxmin EE +
ΑΣΚΗΣΗ 24η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ M το microέσο της ΑΒ σηmicroείο Ν της ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΝ = 4
3ΑΓ και
σηmicroείο Κ της ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΚ = 4
1ΒΓ Να βρεθεί ο λόγος των εmicroβαδών του τριγώνου
ΑΒΓ προς του τριγώνου ΜΝΚ
ΑΣΚΗΣΗ 25η
Α) Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι 2
αmicro = βγ και β-γ = 5 2 Το microήκος της πλευράς
α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3
Β) Να δειχθεί ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει η σχέση (222
γβα micromicromicro ++ )2 = 27Ε
2 όπου
Ε το εmicroβαδό του
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
35
ΑΣΚΗΣΗ 26η
Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω περιπτώσεις
όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί να αποτελεί microήκη των
πλευρών του
i) 3 57
ii) 8 4 2
iii) 7 6 85
ΑΣΚΗΣΗ 27η
Αν η διάmicroεσος microα ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν προεκταθεί τέmicroνει τον περιγεγραmicromicroένο κύκλο
στο ∆ να αποδειχθεί ότι microα = Α∆+
2
22 γβ
ΑΣΚΗΣΗ 28η
Από ένα κυκλικό οικόπεδο ακτίνας R=30m θα αποκοπεί κυκλικό τmicroήmicroα χορδής 30 3 m για
την κατασκευή δρόmicroου
i) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου που έmicroεινε
ii) Να βρεθεί η αποζηmicroίωση που θα δοθεί στον ιδιοκτήτη αν η αρχική αξία του οικοπέδου
ήταν 10000000 δρχ
ΑΣΚΗΣΗ 29η
Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι α =13 β = 8 γ = 7
i) Να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς το είδος των γωνιών του
ii) Να υπολογιστεί το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ πάνω στην ΑΒ
iii) Να υπολογιστεί η γωνία and
Α
ΑΣΚΗΣΗ 30η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 4 ΑΓ = 5 ΒΓ = 7 Το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ
πάνω στην ΑΒ είναι Α 5 Β 1 Γ 6 ∆ 2
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 31η
Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (and
Α =90ο) microε
and
Β =60ο και ΒΓ=4 Με κέντρο το Β και
ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ και microε κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΜ
γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν να βρεθούν
i) Η θέση του σηmicroείου Μ στη ΒΓ
ii) Η περίmicroετρος του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
iii) Το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
36
ΑΣΚΗΣΗ 32η
Μια έκταση σχήmicroατος τετραγώνου microε A 30 H 70 ∆
πλευρά 100m πρόκειται να διατεθεί
για κατασκευή εργατικών κατοικιών
Οι κατοικίες θα ανεργεθούν σε τέσσερα 70 30
ίσα τριγωνικά οικόπεδα και η υπόλοιπη Μ
έκταση σχήmicroατος τετραπλεύρου θα
χρησιmicroοποιηθεί ως κοινόχρηστος χώρος Z
για δενδροφύτευση και κατασκευή γηπέδου
microπάσκετ 30 70
α) Να βρεθούν τα εmicroβαδά των τεσσάρων ίσων οικοπέδων
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινόχρηστου χώρου B 70 K 30 Γ
γ) Τι είδους τετράπλευρο είναι ο κοινόχρηστος χώρος Να βρεθούν οι πλευρές του
ΑΣΚΗΣΗ 33η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 90A =
and
και ΑΒ=y ΑΓ=β
Α∆=ν Β∆=micro ΒΓ=x ∆Γ=κ
i) Να συmicroπληρωθούν οι σχέσεις
β2=helliphelliphellip=helliphelliphelliphellip Α
ν2=helliphelliphelliphelliphelliphellip
2
2
βy
=helliphelliphelliphelliphellip βy=helliphelliphelliphellip y ν β
ii) Να δειχθεί ότι 111
222 νβ=+
y Β ν ∆ κ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 34η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroεία ∆Ε της πλευράς ΒΓ έτσι ώστε Β∆=∆Ε=ΕΓ Να απόδειχθεί
ότι
i) 2222 22 ΑΕminusΑ∆=∆ΕminusΑΒ ii)
2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 35η
∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε o90=Α
and
ΑΒ=5cm ΑΓ=12cm Α∆ το ύψος του και ΒΜ
η διάmicroεσος του Προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά ΓΕ=ΒΓ i) Να συγκρίνετε τα
εmicroβαδά των τριγώνων Α∆Γ και ΑΓΕ ii) Να δείξετε ότι η σχέση που συνδέει τα εmicroβαδά των
τριγώνων ΑΒΜ και ΑΒΕ είναι (ΑΒΕ)=4(ΑΒΜ)
ΑΣΚΗΣΗ 36η
Από σηmicroείο Μ εκτός κύκλου φέρνουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΜΕ του κύκλου και τις
τέmicroνουσες ΜΑΒ και ΜΓ∆ Αν είναι ΑΒ=9 ΓΜ=4 Γ∆=5 να υπολογίσετε i) το ΜΑ ii) το
ΜΕ
ΑΣΚΗΣΗ 37η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) ΑΒ microια διάmicroετρος του και Μ τυχαίο σηmicroείο του (διαφορετικό των Α
Β) Αν Γ είναι το microέσο της ΟΑ και ∆ το microέσο της ΟΒ ενώ η ΜΓ τέmicroνει τον κύκλο στο Ε και
η Μ∆ στο Ζ τότε να αποδείξετε ότι3
10=
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
37
Ζ
Ε
ΑΣΚΗΣΗ 38η
Ένα τριγωνικό αγρόκτηmicroα ΑΒΓ χωρίζεται
σε τέσσερα τριγωνικά αγροτεmicroάχια όπως Α
φαίνεται στο σχήmicroα έτσι ώστε ΑΒ=Α∆3
2
ΒΕ= ΒΓ4
1και ΓΖ= ΑΓ
2
1 α) Αν το εmicroβαδό ∆
του ΑΒΓ είναι 48 στρέmicromicroατα να υπολογίσετε το Β
Γ
εmicroβαδό του ∆ΕΖ β) Αν τα ∆ Ε Ζ είναι τα microέσα των ΑΒ
ΒΓ ΑΓ αντίστοιχα να βρεθούν τα εmicroβαδά των
τεσσάρων αγροτεmicroαχίων
ΑΣΚΗΣΗ 39η
∆ίνεται εγγράψιmicroο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ ώστε οι πλευρές του ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α microε τη σειρά
που δίνονται να αποτελούν γεωmicroετρική πρόοδο Να αποδείξετε ότι η διαγώνιος του Β∆ το
χωρίζει σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
ΑΣΚΗΣΗ 40η
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ∆ Ζ Γ
την ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m και
ο90=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος υ
∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο οποίος
θα χωρίσει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆
και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα α) Να βρεθεί
το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆ β) Να
βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο
ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο Α Ε Η Β
ΑΕ∆ δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου
∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
ΑΣΚΗΣΗ 41η
∆ίνεται ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ και τα σηmicroεία του ∆Γ έτσι ώστε ∆Β=Γ∆=ΑΓ Αν
Μ τυχαίο σηmicroείο εκτός του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατοςΑΒ
Να δείξετε ότι 2222 33 ΜΓ+ΜΒ=ΜΒ+ΑΜ
ΑΣΚΗΣΗ 42η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 222 2αγβ =+ Αν η διάmicroεσος ΑΜ τέmicroνει το περιγεγραmicromicroένο
κύκλο του τριγώνου στο ∆ να δείξετε ότι
α) 6
3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
38
ΑΣΚΗΣΗ 43η
Από ένα εξωτερικό σηmicroείο Α κύκλου ( )RΟ φέρουmicroε microια τέmicroνουσα ΑΒΓ έτσι ώστε
ΒΓ=ΑΒ Αν 7R=ΟΑ τότε να δείξετε ότι
i) ΒΓ=ΑΒ =λ3
ii) η γωνία and
ΑΟΓ είναι αmicroβλεία
iii) η προβολή της ΟΓ πάνω στην ΟΑ είναι ίση microε ΟΑ7
2
iv) Να δείξετε ότι ( )( ) 2
1=
ΑΟΓΒΟΓ
και στην συνέχεια να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του τριγώνου
and
ΑΟΓ
v) Να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που ορίζεται από την χορδή ΒΓ και
το microέτρο του τόξου cap
ΒΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
39
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
40
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
34
ΑΣΚΗΣΗ 21η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε β=2γ και η διάmicroεσος του Β∆ Φέρουmicroε Β∆perpΑx που τέmicroνει την
Β∆ στο Ε και την ΒΓ στο Ζ και ΕyΑΓ που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ Να αποδείξετε ότι
i) ZB= 2
1ZΓ
ii) (ΑΒΓ)=3(ΑΒΖ)
iii) Να αποδειχθεί ότι 8
3
)(
)(=
ΑΒΖΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΗ 22η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε α=2γ και β= 7γ
α) i) Να αποδείξετε ότι 2
3αmicroα =
ii) Να βρείτε το είδος της γωνίας and
Β
iii) Αν ΑΕ perp ΒΓ να υπολογίσετε το ΒΕ συναρτήσει του γ
iv) Να βρείτε τη γωνία and
Β
β) Αν ΑΜ διάmicroεσος και Β∆ διχοτόmicroος να αποδείξτε ότι
i) Α∆ = 3
β
ii) (ΑΒΓ) = 6(Α∆Μ)
ΑΣΚΗΣΗ 23η
Έστω τετράγωνο ΑΒΓ∆ εγγεγραmicromicroένο σε κύκλο (Ο R) και σηmicroείο Μ το οποίο κινείται στο
ηmicroικύκλιο cap
ΑΒΓ
α) Να βρεθεί το ελάχιστο ( )minΕ και το microέγιστο ( )maxΕ εmicroβαδόν του τετράπλευρου ΑΜΓ∆
συναρτήσει της ακτίνας R
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε θέση του Μ είναι
i) Μ∆2 = ΑΓ ∆Ε όπου Ε η προβολή του Μ στην Β∆
ii) (ΑΜΓ∆) = 2
2Μ∆
γ) Να προσδιορίσετε τη θέση του σηmicroείου Μ όταν (ΑΜΓ∆) = 2
maxmin EE +
ΑΣΚΗΣΗ 24η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ M το microέσο της ΑΒ σηmicroείο Ν της ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΝ = 4
3ΑΓ και
σηmicroείο Κ της ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΚ = 4
1ΒΓ Να βρεθεί ο λόγος των εmicroβαδών του τριγώνου
ΑΒΓ προς του τριγώνου ΜΝΚ
ΑΣΚΗΣΗ 25η
Α) Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι 2
αmicro = βγ και β-γ = 5 2 Το microήκος της πλευράς
α είναι Α 8 Β 10 Γ 12 ∆ 3 5 Ε 5 3
Β) Να δειχθεί ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει η σχέση (222
γβα micromicromicro ++ )2 = 27Ε
2 όπου
Ε το εmicroβαδό του
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
35
ΑΣΚΗΣΗ 26η
Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω περιπτώσεις
όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί να αποτελεί microήκη των
πλευρών του
i) 3 57
ii) 8 4 2
iii) 7 6 85
ΑΣΚΗΣΗ 27η
Αν η διάmicroεσος microα ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν προεκταθεί τέmicroνει τον περιγεγραmicromicroένο κύκλο
στο ∆ να αποδειχθεί ότι microα = Α∆+
2
22 γβ
ΑΣΚΗΣΗ 28η
Από ένα κυκλικό οικόπεδο ακτίνας R=30m θα αποκοπεί κυκλικό τmicroήmicroα χορδής 30 3 m για
την κατασκευή δρόmicroου
i) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου που έmicroεινε
ii) Να βρεθεί η αποζηmicroίωση που θα δοθεί στον ιδιοκτήτη αν η αρχική αξία του οικοπέδου
ήταν 10000000 δρχ
ΑΣΚΗΣΗ 29η
Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι α =13 β = 8 γ = 7
i) Να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς το είδος των γωνιών του
ii) Να υπολογιστεί το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ πάνω στην ΑΒ
iii) Να υπολογιστεί η γωνία and
Α
ΑΣΚΗΣΗ 30η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 4 ΑΓ = 5 ΒΓ = 7 Το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ
πάνω στην ΑΒ είναι Α 5 Β 1 Γ 6 ∆ 2
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 31η
Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (and
Α =90ο) microε
and
Β =60ο και ΒΓ=4 Με κέντρο το Β και
ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ και microε κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΜ
γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν να βρεθούν
i) Η θέση του σηmicroείου Μ στη ΒΓ
ii) Η περίmicroετρος του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
iii) Το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
36
ΑΣΚΗΣΗ 32η
Μια έκταση σχήmicroατος τετραγώνου microε A 30 H 70 ∆
πλευρά 100m πρόκειται να διατεθεί
για κατασκευή εργατικών κατοικιών
Οι κατοικίες θα ανεργεθούν σε τέσσερα 70 30
ίσα τριγωνικά οικόπεδα και η υπόλοιπη Μ
έκταση σχήmicroατος τετραπλεύρου θα
χρησιmicroοποιηθεί ως κοινόχρηστος χώρος Z
για δενδροφύτευση και κατασκευή γηπέδου
microπάσκετ 30 70
α) Να βρεθούν τα εmicroβαδά των τεσσάρων ίσων οικοπέδων
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινόχρηστου χώρου B 70 K 30 Γ
γ) Τι είδους τετράπλευρο είναι ο κοινόχρηστος χώρος Να βρεθούν οι πλευρές του
ΑΣΚΗΣΗ 33η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 90A =
and
και ΑΒ=y ΑΓ=β
Α∆=ν Β∆=micro ΒΓ=x ∆Γ=κ
i) Να συmicroπληρωθούν οι σχέσεις
β2=helliphelliphellip=helliphelliphelliphellip Α
ν2=helliphelliphelliphelliphelliphellip
2
2
βy
=helliphelliphelliphelliphellip βy=helliphelliphelliphellip y ν β
ii) Να δειχθεί ότι 111
222 νβ=+
y Β ν ∆ κ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 34η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroεία ∆Ε της πλευράς ΒΓ έτσι ώστε Β∆=∆Ε=ΕΓ Να απόδειχθεί
ότι
i) 2222 22 ΑΕminusΑ∆=∆ΕminusΑΒ ii)
2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 35η
∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε o90=Α
and
ΑΒ=5cm ΑΓ=12cm Α∆ το ύψος του και ΒΜ
η διάmicroεσος του Προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά ΓΕ=ΒΓ i) Να συγκρίνετε τα
εmicroβαδά των τριγώνων Α∆Γ και ΑΓΕ ii) Να δείξετε ότι η σχέση που συνδέει τα εmicroβαδά των
τριγώνων ΑΒΜ και ΑΒΕ είναι (ΑΒΕ)=4(ΑΒΜ)
ΑΣΚΗΣΗ 36η
Από σηmicroείο Μ εκτός κύκλου φέρνουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΜΕ του κύκλου και τις
τέmicroνουσες ΜΑΒ και ΜΓ∆ Αν είναι ΑΒ=9 ΓΜ=4 Γ∆=5 να υπολογίσετε i) το ΜΑ ii) το
ΜΕ
ΑΣΚΗΣΗ 37η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) ΑΒ microια διάmicroετρος του και Μ τυχαίο σηmicroείο του (διαφορετικό των Α
Β) Αν Γ είναι το microέσο της ΟΑ και ∆ το microέσο της ΟΒ ενώ η ΜΓ τέmicroνει τον κύκλο στο Ε και
η Μ∆ στο Ζ τότε να αποδείξετε ότι3
10=
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
37
Ζ
Ε
ΑΣΚΗΣΗ 38η
Ένα τριγωνικό αγρόκτηmicroα ΑΒΓ χωρίζεται
σε τέσσερα τριγωνικά αγροτεmicroάχια όπως Α
φαίνεται στο σχήmicroα έτσι ώστε ΑΒ=Α∆3
2
ΒΕ= ΒΓ4
1και ΓΖ= ΑΓ
2
1 α) Αν το εmicroβαδό ∆
του ΑΒΓ είναι 48 στρέmicromicroατα να υπολογίσετε το Β
Γ
εmicroβαδό του ∆ΕΖ β) Αν τα ∆ Ε Ζ είναι τα microέσα των ΑΒ
ΒΓ ΑΓ αντίστοιχα να βρεθούν τα εmicroβαδά των
τεσσάρων αγροτεmicroαχίων
ΑΣΚΗΣΗ 39η
∆ίνεται εγγράψιmicroο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ ώστε οι πλευρές του ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α microε τη σειρά
που δίνονται να αποτελούν γεωmicroετρική πρόοδο Να αποδείξετε ότι η διαγώνιος του Β∆ το
χωρίζει σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
ΑΣΚΗΣΗ 40η
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ∆ Ζ Γ
την ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m και
ο90=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος υ
∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο οποίος
θα χωρίσει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆
και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα α) Να βρεθεί
το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆ β) Να
βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο
ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο Α Ε Η Β
ΑΕ∆ δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου
∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
ΑΣΚΗΣΗ 41η
∆ίνεται ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ και τα σηmicroεία του ∆Γ έτσι ώστε ∆Β=Γ∆=ΑΓ Αν
Μ τυχαίο σηmicroείο εκτός του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατοςΑΒ
Να δείξετε ότι 2222 33 ΜΓ+ΜΒ=ΜΒ+ΑΜ
ΑΣΚΗΣΗ 42η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 222 2αγβ =+ Αν η διάmicroεσος ΑΜ τέmicroνει το περιγεγραmicromicroένο
κύκλο του τριγώνου στο ∆ να δείξετε ότι
α) 6
3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
38
ΑΣΚΗΣΗ 43η
Από ένα εξωτερικό σηmicroείο Α κύκλου ( )RΟ φέρουmicroε microια τέmicroνουσα ΑΒΓ έτσι ώστε
ΒΓ=ΑΒ Αν 7R=ΟΑ τότε να δείξετε ότι
i) ΒΓ=ΑΒ =λ3
ii) η γωνία and
ΑΟΓ είναι αmicroβλεία
iii) η προβολή της ΟΓ πάνω στην ΟΑ είναι ίση microε ΟΑ7
2
iv) Να δείξετε ότι ( )( ) 2
1=
ΑΟΓΒΟΓ
και στην συνέχεια να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του τριγώνου
and
ΑΟΓ
v) Να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που ορίζεται από την χορδή ΒΓ και
το microέτρο του τόξου cap
ΒΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
39
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
40
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
35
ΑΣΚΗΣΗ 26η
Να βρεθεί το είδος του τριγώνου (αν υπάρχει) σε κάθε microία από τις παρακάτω περιπτώσεις
όπου η τριάδα αριθmicroών είναι microήκη ευθυγράmicromicroων τmicroηmicroάτων και microπορεί να αποτελεί microήκη των
πλευρών του
i) 3 57
ii) 8 4 2
iii) 7 6 85
ΑΣΚΗΣΗ 27η
Αν η διάmicroεσος microα ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν προεκταθεί τέmicroνει τον περιγεγραmicromicroένο κύκλο
στο ∆ να αποδειχθεί ότι microα = Α∆+
2
22 γβ
ΑΣΚΗΣΗ 28η
Από ένα κυκλικό οικόπεδο ακτίνας R=30m θα αποκοπεί κυκλικό τmicroήmicroα χορδής 30 3 m για
την κατασκευή δρόmicroου
i) Να βρεθεί το εmicroβαδό του οικοπέδου που έmicroεινε
ii) Να βρεθεί η αποζηmicroίωση που θα δοθεί στον ιδιοκτήτη αν η αρχική αξία του οικοπέδου
ήταν 10000000 δρχ
ΑΣΚΗΣΗ 29η
Θεωρούmicroε τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι α =13 β = 8 γ = 7
i) Να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ΑΒΓ ως προς το είδος των γωνιών του
ii) Να υπολογιστεί το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ πάνω στην ΑΒ
iii) Να υπολογιστεί η γωνία and
Α
ΑΣΚΗΣΗ 30η
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 4 ΑΓ = 5 ΒΓ = 7 Το microήκος της προβολής Α∆ της πλευράς ΑΓ
πάνω στην ΑΒ είναι Α 5 Β 1 Γ 6 ∆ 2
(Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)
ΑΣΚΗΣΗ 31η
Θεωρούmicroε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (and
Α =90ο) microε
and
Β =60ο και ΒΓ=4 Με κέντρο το Β και
ακτίνα ΒΑ γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΒΓ στο Μ και microε κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΜ
γράφουmicroε τόξο που τέmicroνει την ΑΓ στο Ν να βρεθούν
i) Η θέση του σηmicroείου Μ στη ΒΓ
ii) Η περίmicroετρος του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
iii) Το εmicroβαδό του microικτόγραmicromicroου τριγώνου ΑΜΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
36
ΑΣΚΗΣΗ 32η
Μια έκταση σχήmicroατος τετραγώνου microε A 30 H 70 ∆
πλευρά 100m πρόκειται να διατεθεί
για κατασκευή εργατικών κατοικιών
Οι κατοικίες θα ανεργεθούν σε τέσσερα 70 30
ίσα τριγωνικά οικόπεδα και η υπόλοιπη Μ
έκταση σχήmicroατος τετραπλεύρου θα
χρησιmicroοποιηθεί ως κοινόχρηστος χώρος Z
για δενδροφύτευση και κατασκευή γηπέδου
microπάσκετ 30 70
α) Να βρεθούν τα εmicroβαδά των τεσσάρων ίσων οικοπέδων
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινόχρηστου χώρου B 70 K 30 Γ
γ) Τι είδους τετράπλευρο είναι ο κοινόχρηστος χώρος Να βρεθούν οι πλευρές του
ΑΣΚΗΣΗ 33η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 90A =
and
και ΑΒ=y ΑΓ=β
Α∆=ν Β∆=micro ΒΓ=x ∆Γ=κ
i) Να συmicroπληρωθούν οι σχέσεις
β2=helliphelliphellip=helliphelliphelliphellip Α
ν2=helliphelliphelliphelliphelliphellip
2
2
βy
=helliphelliphelliphelliphellip βy=helliphelliphelliphellip y ν β
ii) Να δειχθεί ότι 111
222 νβ=+
y Β ν ∆ κ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 34η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroεία ∆Ε της πλευράς ΒΓ έτσι ώστε Β∆=∆Ε=ΕΓ Να απόδειχθεί
ότι
i) 2222 22 ΑΕminusΑ∆=∆ΕminusΑΒ ii)
2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 35η
∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε o90=Α
and
ΑΒ=5cm ΑΓ=12cm Α∆ το ύψος του και ΒΜ
η διάmicroεσος του Προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά ΓΕ=ΒΓ i) Να συγκρίνετε τα
εmicroβαδά των τριγώνων Α∆Γ και ΑΓΕ ii) Να δείξετε ότι η σχέση που συνδέει τα εmicroβαδά των
τριγώνων ΑΒΜ και ΑΒΕ είναι (ΑΒΕ)=4(ΑΒΜ)
ΑΣΚΗΣΗ 36η
Από σηmicroείο Μ εκτός κύκλου φέρνουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΜΕ του κύκλου και τις
τέmicroνουσες ΜΑΒ και ΜΓ∆ Αν είναι ΑΒ=9 ΓΜ=4 Γ∆=5 να υπολογίσετε i) το ΜΑ ii) το
ΜΕ
ΑΣΚΗΣΗ 37η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) ΑΒ microια διάmicroετρος του και Μ τυχαίο σηmicroείο του (διαφορετικό των Α
Β) Αν Γ είναι το microέσο της ΟΑ και ∆ το microέσο της ΟΒ ενώ η ΜΓ τέmicroνει τον κύκλο στο Ε και
η Μ∆ στο Ζ τότε να αποδείξετε ότι3
10=
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
37
Ζ
Ε
ΑΣΚΗΣΗ 38η
Ένα τριγωνικό αγρόκτηmicroα ΑΒΓ χωρίζεται
σε τέσσερα τριγωνικά αγροτεmicroάχια όπως Α
φαίνεται στο σχήmicroα έτσι ώστε ΑΒ=Α∆3
2
ΒΕ= ΒΓ4
1και ΓΖ= ΑΓ
2
1 α) Αν το εmicroβαδό ∆
του ΑΒΓ είναι 48 στρέmicromicroατα να υπολογίσετε το Β
Γ
εmicroβαδό του ∆ΕΖ β) Αν τα ∆ Ε Ζ είναι τα microέσα των ΑΒ
ΒΓ ΑΓ αντίστοιχα να βρεθούν τα εmicroβαδά των
τεσσάρων αγροτεmicroαχίων
ΑΣΚΗΣΗ 39η
∆ίνεται εγγράψιmicroο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ ώστε οι πλευρές του ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α microε τη σειρά
που δίνονται να αποτελούν γεωmicroετρική πρόοδο Να αποδείξετε ότι η διαγώνιος του Β∆ το
χωρίζει σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
ΑΣΚΗΣΗ 40η
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ∆ Ζ Γ
την ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m και
ο90=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος υ
∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο οποίος
θα χωρίσει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆
και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα α) Να βρεθεί
το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆ β) Να
βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο
ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο Α Ε Η Β
ΑΕ∆ δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου
∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
ΑΣΚΗΣΗ 41η
∆ίνεται ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ και τα σηmicroεία του ∆Γ έτσι ώστε ∆Β=Γ∆=ΑΓ Αν
Μ τυχαίο σηmicroείο εκτός του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατοςΑΒ
Να δείξετε ότι 2222 33 ΜΓ+ΜΒ=ΜΒ+ΑΜ
ΑΣΚΗΣΗ 42η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 222 2αγβ =+ Αν η διάmicroεσος ΑΜ τέmicroνει το περιγεγραmicromicroένο
κύκλο του τριγώνου στο ∆ να δείξετε ότι
α) 6
3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
38
ΑΣΚΗΣΗ 43η
Από ένα εξωτερικό σηmicroείο Α κύκλου ( )RΟ φέρουmicroε microια τέmicroνουσα ΑΒΓ έτσι ώστε
ΒΓ=ΑΒ Αν 7R=ΟΑ τότε να δείξετε ότι
i) ΒΓ=ΑΒ =λ3
ii) η γωνία and
ΑΟΓ είναι αmicroβλεία
iii) η προβολή της ΟΓ πάνω στην ΟΑ είναι ίση microε ΟΑ7
2
iv) Να δείξετε ότι ( )( ) 2
1=
ΑΟΓΒΟΓ
και στην συνέχεια να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του τριγώνου
and
ΑΟΓ
v) Να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που ορίζεται από την χορδή ΒΓ και
το microέτρο του τόξου cap
ΒΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
39
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
40
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
36
ΑΣΚΗΣΗ 32η
Μια έκταση σχήmicroατος τετραγώνου microε A 30 H 70 ∆
πλευρά 100m πρόκειται να διατεθεί
για κατασκευή εργατικών κατοικιών
Οι κατοικίες θα ανεργεθούν σε τέσσερα 70 30
ίσα τριγωνικά οικόπεδα και η υπόλοιπη Μ
έκταση σχήmicroατος τετραπλεύρου θα
χρησιmicroοποιηθεί ως κοινόχρηστος χώρος Z
για δενδροφύτευση και κατασκευή γηπέδου
microπάσκετ 30 70
α) Να βρεθούν τα εmicroβαδά των τεσσάρων ίσων οικοπέδων
β) Να βρεθεί το εmicroβαδό του κοινόχρηστου χώρου B 70 K 30 Γ
γ) Τι είδους τετράπλευρο είναι ο κοινόχρηστος χώρος Να βρεθούν οι πλευρές του
ΑΣΚΗΣΗ 33η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 90A =
and
και ΑΒ=y ΑΓ=β
Α∆=ν Β∆=micro ΒΓ=x ∆Γ=κ
i) Να συmicroπληρωθούν οι σχέσεις
β2=helliphelliphellip=helliphelliphelliphellip Α
ν2=helliphelliphelliphelliphelliphellip
2
2
βy
=helliphelliphelliphelliphellip βy=helliphelliphelliphellip y ν β
ii) Να δειχθεί ότι 111
222 νβ=+
y Β ν ∆ κ Γ
ΑΣΚΗΣΗ 34η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηmicroεία ∆Ε της πλευράς ΒΓ έτσι ώστε Β∆=∆Ε=ΕΓ Να απόδειχθεί
ότι
i) 2222 22 ΑΕminusΑ∆=∆ΕminusΑΒ ii)
2222 632 ∆Ε+ΑΕ=ΑΓ+ΑΒ
ΑΣΚΗΣΗ 35η
∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ microε o90=Α
and
ΑΒ=5cm ΑΓ=12cm Α∆ το ύψος του και ΒΜ
η διάmicroεσος του Προεκτείνουmicroε την πλευρά ΒΓ κατά ΓΕ=ΒΓ i) Να συγκρίνετε τα
εmicroβαδά των τριγώνων Α∆Γ και ΑΓΕ ii) Να δείξετε ότι η σχέση που συνδέει τα εmicroβαδά των
τριγώνων ΑΒΜ και ΑΒΕ είναι (ΑΒΕ)=4(ΑΒΜ)
ΑΣΚΗΣΗ 36η
Από σηmicroείο Μ εκτός κύκλου φέρνουmicroε το εφαπτόmicroενο τmicroήmicroα ΜΕ του κύκλου και τις
τέmicroνουσες ΜΑΒ και ΜΓ∆ Αν είναι ΑΒ=9 ΓΜ=4 Γ∆=5 να υπολογίσετε i) το ΜΑ ii) το
ΜΕ
ΑΣΚΗΣΗ 37η
∆ίνεται κύκλος (ΟR) ΑΒ microια διάmicroετρος του και Μ τυχαίο σηmicroείο του (διαφορετικό των Α
Β) Αν Γ είναι το microέσο της ΟΑ και ∆ το microέσο της ΟΒ ενώ η ΜΓ τέmicroνει τον κύκλο στο Ε και
η Μ∆ στο Ζ τότε να αποδείξετε ότι3
10=
∆ΖΜ∆
+ΓΕΜΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
37
Ζ
Ε
ΑΣΚΗΣΗ 38η
Ένα τριγωνικό αγρόκτηmicroα ΑΒΓ χωρίζεται
σε τέσσερα τριγωνικά αγροτεmicroάχια όπως Α
φαίνεται στο σχήmicroα έτσι ώστε ΑΒ=Α∆3
2
ΒΕ= ΒΓ4
1και ΓΖ= ΑΓ
2
1 α) Αν το εmicroβαδό ∆
του ΑΒΓ είναι 48 στρέmicromicroατα να υπολογίσετε το Β
Γ
εmicroβαδό του ∆ΕΖ β) Αν τα ∆ Ε Ζ είναι τα microέσα των ΑΒ
ΒΓ ΑΓ αντίστοιχα να βρεθούν τα εmicroβαδά των
τεσσάρων αγροτεmicroαχίων
ΑΣΚΗΣΗ 39η
∆ίνεται εγγράψιmicroο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ ώστε οι πλευρές του ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α microε τη σειρά
που δίνονται να αποτελούν γεωmicroετρική πρόοδο Να αποδείξετε ότι η διαγώνιος του Β∆ το
χωρίζει σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
ΑΣΚΗΣΗ 40η
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ∆ Ζ Γ
την ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m και
ο90=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος υ
∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο οποίος
θα χωρίσει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆
και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα α) Να βρεθεί
το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆ β) Να
βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο
ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο Α Ε Η Β
ΑΕ∆ δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου
∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
ΑΣΚΗΣΗ 41η
∆ίνεται ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ και τα σηmicroεία του ∆Γ έτσι ώστε ∆Β=Γ∆=ΑΓ Αν
Μ τυχαίο σηmicroείο εκτός του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατοςΑΒ
Να δείξετε ότι 2222 33 ΜΓ+ΜΒ=ΜΒ+ΑΜ
ΑΣΚΗΣΗ 42η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 222 2αγβ =+ Αν η διάmicroεσος ΑΜ τέmicroνει το περιγεγραmicromicroένο
κύκλο του τριγώνου στο ∆ να δείξετε ότι
α) 6
3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
38
ΑΣΚΗΣΗ 43η
Από ένα εξωτερικό σηmicroείο Α κύκλου ( )RΟ φέρουmicroε microια τέmicroνουσα ΑΒΓ έτσι ώστε
ΒΓ=ΑΒ Αν 7R=ΟΑ τότε να δείξετε ότι
i) ΒΓ=ΑΒ =λ3
ii) η γωνία and
ΑΟΓ είναι αmicroβλεία
iii) η προβολή της ΟΓ πάνω στην ΟΑ είναι ίση microε ΟΑ7
2
iv) Να δείξετε ότι ( )( ) 2
1=
ΑΟΓΒΟΓ
και στην συνέχεια να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του τριγώνου
and
ΑΟΓ
v) Να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που ορίζεται από την χορδή ΒΓ και
το microέτρο του τόξου cap
ΒΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
39
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
40
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
37
Ζ
Ε
ΑΣΚΗΣΗ 38η
Ένα τριγωνικό αγρόκτηmicroα ΑΒΓ χωρίζεται
σε τέσσερα τριγωνικά αγροτεmicroάχια όπως Α
φαίνεται στο σχήmicroα έτσι ώστε ΑΒ=Α∆3
2
ΒΕ= ΒΓ4
1και ΓΖ= ΑΓ
2
1 α) Αν το εmicroβαδό ∆
του ΑΒΓ είναι 48 στρέmicromicroατα να υπολογίσετε το Β
Γ
εmicroβαδό του ∆ΕΖ β) Αν τα ∆ Ε Ζ είναι τα microέσα των ΑΒ
ΒΓ ΑΓ αντίστοιχα να βρεθούν τα εmicroβαδά των
τεσσάρων αγροτεmicroαχίων
ΑΣΚΗΣΗ 39η
∆ίνεται εγγράψιmicroο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ ώστε οι πλευρές του ΑΒ ΒΓ Γ∆ ∆Α microε τη σειρά
που δίνονται να αποτελούν γεωmicroετρική πρόοδο Να αποδείξετε ότι η διαγώνιος του Β∆ το
χωρίζει σε δύο ισεmicroβαδικά τρίγωνα
ΑΣΚΗΣΗ 40η
Το οικόπεδο ΑΒΓ∆ του σχήmicroατος έχει ∆ Ζ Γ
την ΑΒ=55m Γ∆=25m Α∆=40m και
ο90=∆=Αandand
Πρέπει να χαραχθεί ένας δρόmicroος υ
∆ΕΗΖ microε ∆ΕΓΒ και ΖΗΓΒ ο οποίος
θα χωρίσει το οικόπεδο σε δύο τεmicroάχια ΑΕ∆
και ΖΗΒΓ όπως στο σχήmicroα α) Να βρεθεί
το εmicroβαδό του οικοπέδου ΑΒΓ∆ β) Να
βρεθεί το εmicroβαδό του τεmicroαχίου ΑΕ∆
γ) Να βρεθεί το ∆Ζ έτσι ώστε το τεmicroάχιο
ΖΗΒΓ να έχει το ίδιο εmicroβαδό microε το τεmicroάχιο Α Ε Η Β
ΑΕ∆ δ) Ποιο είναι το πλάτος του δρόmicroου
∆ΕΗΖ στην περίπτωση (γ)
ΑΣΚΗΣΗ 41η
∆ίνεται ευθύγραmicromicroο τmicroήmicroα ΑΒ και τα σηmicroεία του ∆Γ έτσι ώστε ∆Β=Γ∆=ΑΓ Αν
Μ τυχαίο σηmicroείο εκτός του ευθυγράmicromicroου τmicroήmicroατοςΑΒ
Να δείξετε ότι 2222 33 ΜΓ+ΜΒ=ΜΒ+ΑΜ
ΑΣΚΗΣΗ 42η
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ microε 222 2αγβ =+ Αν η διάmicroεσος ΑΜ τέmicroνει το περιγεγραmicromicroένο
κύκλο του τριγώνου στο ∆ να δείξετε ότι
α) 6
3α=Μ∆ β) ( ) ( )Β∆Γ=ΑΒΓ 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
38
ΑΣΚΗΣΗ 43η
Από ένα εξωτερικό σηmicroείο Α κύκλου ( )RΟ φέρουmicroε microια τέmicroνουσα ΑΒΓ έτσι ώστε
ΒΓ=ΑΒ Αν 7R=ΟΑ τότε να δείξετε ότι
i) ΒΓ=ΑΒ =λ3
ii) η γωνία and
ΑΟΓ είναι αmicroβλεία
iii) η προβολή της ΟΓ πάνω στην ΟΑ είναι ίση microε ΟΑ7
2
iv) Να δείξετε ότι ( )( ) 2
1=
ΑΟΓΒΟΓ
και στην συνέχεια να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του τριγώνου
and
ΑΟΓ
v) Να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που ορίζεται από την χορδή ΒΓ και
το microέτρο του τόξου cap
ΒΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
39
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
40
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
38
ΑΣΚΗΣΗ 43η
Από ένα εξωτερικό σηmicroείο Α κύκλου ( )RΟ φέρουmicroε microια τέmicroνουσα ΑΒΓ έτσι ώστε
ΒΓ=ΑΒ Αν 7R=ΟΑ τότε να δείξετε ότι
i) ΒΓ=ΑΒ =λ3
ii) η γωνία and
ΑΟΓ είναι αmicroβλεία
iii) η προβολή της ΟΓ πάνω στην ΟΑ είναι ίση microε ΟΑ7
2
iv) Να δείξετε ότι ( )( ) 2
1=
ΑΟΓΒΟΓ
και στην συνέχεια να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του τριγώνου
and
ΑΟΓ
v) Να υπολογίσετε το εmicroβαδόν του κυκλικού τmicroήmicroατος που ορίζεται από την χορδή ΒΓ και
το microέτρο του τόξου cap
ΒΓ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
39
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
40
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
39
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
40
7ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙA 2001 - ΟΡΟΣΗΜΟ
40