geotecnica 10 (prove triassiali) - ing.unitn.itlabgtec/corso_geotecnica/Dispense_Tarantino... ·...
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1.1
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
PROVE TRIASSIALIPROVE TRIASSIALI
1.2
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
Tipologie di provaTipologie di provaσ1
σ2
σ3
σ1
σ3
σ3
σ1
σ2
σ1
σ1
σ1
σ1
Compressionetriasiale vera
Stato piano di compressione
Compressione isotropa
Compressione cilindrica(triassiale)
Compressione semplice
1.3
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
Tensore della tensioneTensore della tensione
=
=
z
y
x
zyzxz
zyyxy
zxyxx
z
y
x
jjii
nnn
ttt
nt
στττστττσ
σ
y
z
x
tr
nr
Tetraedro di Cauchy
1.4
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
Tensioni principaliTensioni principali
σ2
σ3
σ1
Stato tensionale piano
Stato tensionale isotropo
Stato tensionale assialsimmetrico
1.5
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Convenzioni di segno per le tensioniConvenzioni di segno per le tensioni
y
z
x
σy
τyz
τyxτxy
τxz
σx
τzy
σz
τzx
y
z
x
σy
τyz
τyxτxy
τxz
σx
τzy
σz
τzx
Meccanica dei solidi Meccanica dei terreni
1.6
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
Invarianti del tensore delle tensioniInvarianti del tensore delle tensioni
( ) ( )[ ]
3213
13322122
2
3211
det
21
σσσσ
σσσσσσσσσσσσ
σσσσσ
==
++=−=−=
++===
I
trtrI
trI
ijijjjii
ii
1.7
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
Decomposizione del tensore della tensioneDecomposizione del tensore della tensione
−−
−+
=
pp
p
pp
p
zyzxz
zyyxy
zxyxx
zyzxz
zyyxy
zxyxx
στττστττσ
στττστττσ
000000
331 1Ip ii == σ
ijijij sp += δσ
tensore dellapressione media
deviatore di tensione
Pressione media
1.8
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
Tensione ottaedrica (1)Tensione ottaedrica (1)
( )( )( )
=
=
333
313131
00
0000
3
2
1
3
2
1
σσσ
σσ
σ
zoct
yoct
xoct
ttt
σ2
3
1,3
1,3
1nr
σ3
σ1
octtr
σoct
τoct
( )32131 σσσσ ++=⋅= ntoctoct
rr
222octoctoct tr
=+τσ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )213
232
221
2321
23
22
21 3
191
31 σσσσσσσσσσσστ −+−+−=++−++=oct
1.9
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
Tensione ottaedrica (2)Tensione ottaedrica (2)
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 031
31
31
222
321
=−+−+−=
++=++=
pppppp
ppp
oct
oct
τ
σσσσ
Per il tensore della pressione media:
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )213
232
221
321
31
031
σσσσσστ
σσσσ
−+−+−=
=−+−+−=
oct
oct ppp
Per il deviatore delle tensioni:
σoct è controllata dalla componente isotropa del tensore delle tensioneτoct è controllata dalla componente isotropa del tensore delle tensione
1.10
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
Tensione ottaedrica (3)Tensione ottaedrica (3)
( )
221133221
23
22
21
1321
332
32
331
II
I
oct
oct
−=−−−++=
=++=
σσσσσσσσστ
σσσσ
Le tensioni ottaedriche sono invarianti di tensione
( )
( ) ( ) ( )213
232
221
321
21
23
31
σσσσσστ
σσσσ
−+−+−==
++==
oct
oct
q
p
Possiamo introdurre altri due invarianti di tensione legati alle tensioni ottaedriche:
1.11
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
Stati di tensione assialsimmetrici Stati di tensione assialsimmetrici
q
σ3+∆σ
p’,p
σ3+∆σ
σ3+∆σ’
σ’3 σ’3+∆σ σ3 σ3+∆σ
uw=cost.
uw.
q
σ3
p’,p
σ3+∆σ
σ3
σ’3 σ’3+∆σ/3 σ3 σ3+∆σ/3
uw=cost.
uw.
( )
( )
upp
p
w
=−=−=
+=+=
+=
3131
31
31
'''
'231
'2'31'
σσσσ
σσ
σσ
1.12
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CerchioCerchio di Mohrdi Mohrσy
τxy
σx
τyx
y
x
σn
τn
α(σx,τxy)
σn
τn
(σy,τyx)
(σy,τyx)
P=polo
τn positiva se suggerisce rotazioneantioraria
α
1.13
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StatiStati tensionalitensionali pianipiani
σ’1σ’3 σ’, σ
τ
σ1σ3
u
2
2
2'''
2'''
31
31
31
31
σσ
σσ
σσ
σσ
−=
+=
−=
+=
t
s
t
s (raggio)
(centro)
''ttuss
=+=
t’
s’
1.14
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
TensoreTensore delladella deformazionedeformazione
=
=
zyx
sss
xs
zyzxz
zyyxy
zxyxx
z
y
x
jjii
εγγ
γεγ
γγε
ε
21
21
21
21
21
21
y
z
x
sr
xr
1.15
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
InvariantiInvarianti di di deformazionedeformazione
( ) ( )[ ]
3213
13322122
2
3211
det
21
εεεε
εεεεεεεεεεεε
εεεεε
==
++=−=−=
++===
I
trtrI
trI
ijijjjii
ii
1.16
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
Decomposizione del tensore della Decomposizione del tensore della deformazionedeformazione
−
−
−
+
=
321
21
21
321
21
21
3
300
03
0
003
21
21
21
21
21
21
vzyzxz
zyv
yxy
zxyxv
x
v
v
v
zyzxz
zyyxy
zxyxx
εεγγ
γεεγ
γγεε
ε
ε
ε
εγγ
γεγ
γγε
1Iiiv == εε
ijijv
ij e+= δεε3
tensore isotropo deviatore di deformazione(distorsione)
Deformazione volumetrica
1.17
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
Deformazione ottaedrica (1)Deformazione ottaedrica (1)
( )( )( )
=
=
333
313131
00
0000
3
2
1
3
2
1
εεε
εε
ε
zoct
yoct
xoct
sss
ε2
3
1,3
1,3
1nrε3
ε1
octsr
εoct
(1/2)γoct
( )321311 εεεε ++=⋅=⋅ nsoctoct
rr
222
4111 octoctoct sr=
⋅+⋅ γε
( ) ( ) ( ) ( ) ( )213
232
221
2321
23
22
21 3
291
312 εεεεεεεεεεεεγ −+−+−=++−++=oct
31,
31,
31xr
1.18
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
Deformazione ottaedrica (2)Deformazione ottaedrica (2)
( )
03333333
2
31
33331
222
321
=
−+
−+
−=
++=
++=
vvvvvvoct
vvvoct
εεεεεεγ
εεεεεεε
Per il tensore della deformazione media:
( ) ( ) ( )213
232
221
321
32
03333
1
εεεεεεγ
εεεεεεε
−+−+−=
=
−+
−+
−=
oct
vvvoct
Per il deviatore della deformazione:
εoct è controllata dalla componente isotropa del tensore delle deformazioniγoct è controllata dalla componente isotropa del tensore delle deformazioni
1.19
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
Deformazione ottaedrica (3)Deformazione ottaedrica (3)
( )
221133221
23
22
21
1321
33
223
2233
1
II
I
oct
oct
−=−−−++=
=++=
εεεεεεεεεγ
εεεε
Le deformazioni ottaedriche sono invarianti di deformazione
( ) ( ) ( )213
232
221
321
32
21
3
εεεεεεγε
εεεεε
−+−+−==
++==
octq
octv
Possiamo introdurre altri due invarianti di tensione legati alle tensioni ottaedriche:
1.20
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
Lavoro di deformazione (terreno saturo)Lavoro di deformazione (terreno saturo)F1
F2
F3
a2
a3
a1
( ) ( ) ( ) ( )
vw
ww
ww
uVW
VVu
aa
aaF
aa
aaF
aa
aaF
VW
VuaFaFaFW
δεδεσδεσδεσδ
δδδδδ
δδδδδ
−++=
−
−+
−+
−=
−−+−+−=
332211
3
3
21
3
2
2
31
2
1
1
32
1
332211
332211 ''' δεσδεσδεσδ++=
VW
1.21
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
Variabili coniugate (stati di tensione e Variabili coniugate (stati di tensione e deformazione assialsimmetrici) deformazione assialsimmetrici)
( )
31
31
'''
'2'31'
σσ
σσ
−=
+=
q
p
( )31
31
32
2
εεε
εεε
−=
+=
q
v
( ) ( ) ( )VWqp qv
δδεσδεσεεσσεεσσδεδε =+=−−++
+
=+ 331131313131 '2'
32''2
3'2''
1.22
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
Condizioni al contorno nelle prove di Condizioni al contorno nelle prove di laboratoriolaboratorio
• Controllo/misura degli spostamenti totali
• Controllo/misura delle forze totali
• Controllo/misura delle pressioni dell’acqua interstiziale
• Controllo/misura del volume dell’acqua interstiziale
1.23
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
LL’’apparecchiatura triassialeapparecchiatura triassiale
σc
F
δ
trasduttore di pressione
Volumometro
rubinetto
pressione di cella
cella di carico
δV
ua
membrana
trasduttore di spostamento
1.24
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
Prova in condizioni drenate Prova in condizioni drenate
L’acqua può liberamente uscire o entrare dal provino per garantire l’equilibrio con la pressione dell’acqua nella buretta (uw≅0)I volumi di acqua entranti o uscenti dal provino sono misurati mediante la buretta (la variazione del volume dell’acqua coincide con la variazione del volume totale)
σc
F
δ
APERTO
δV
ua
1.25
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
Prova in condizioni non drenate Prova in condizioni non drenate
σc
F
δ
CHIUSO
L’acqua non può uscire o entrare nel provino ed il volume si mantiene costante.La variazione di pressione interstiziale è misurata mediante il trasduttore di pressione
δV
ua
1.26
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
Tensioni e deformazioni in Tensioni e deformazioni in una prova triassialeuna prova triassiale
Pressione assialeσa=σc (1-a/A)+F/A
Pressione radiale σr=σc
D + ∆D
Deformazione radialeεr = -∆D/D
H + ∆H
Deformazione assialeεa = -∆H/H
1.27
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Invarianti di tensione e deformazioneInvarianti di tensione e deformazione
( )
31
31
'''
'2'31'
σσ
σσ
−=
+=
q
p( )31
31
32
2
εεε
εεε
−=
+=
q
v
( )
'
'231
31
31
upp w
≡−=
+=+=
σσ
σσ
Tensione efficace
Tensione totale
Deformazione
1.28
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
Le condizioni iniziali di un provino triassialeLe condizioni iniziali di un provino triassiale
uw0< 0 σ’r = -uw0 >0 ;
La pressione efficace deve essere positiva perché il provino possa autosostenersi
Poiché la pressione totale è nulla, ne consegue che la pressione interstiziale ènegativa
uw0< 0 σr =0 ;
σa = 0 σ’a= -uw0 >0 ;
Tensioni totali Tensioni efficaci
1.29
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
Saturazione di un provino triassialeSaturazione di un provino triassiale
uw≅0 σr >0
σa = σr >0
Se ∆σr=∆σa=∆σ ed il campione è saturo:
∆uw=∆σ
1.30
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
Applicazione della pressione isotropa in Applicazione della pressione isotropa in condizioni drenatecondizioni drenate
uw= cost. σr +∆σ
∆σa = ∆σr = ∆σ
La pressione interstiziale assume il valore imposto dalle condizioni al contorno. La variazione di pressione di cella coincide con la variazione di pressione efficace, sia radiale, sia assiale
σa +∆σ
uw= cost.
σ’a +∆σ
σ’r +∆σ
Tensioni totali Tensioni efficaci
1.31
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
Applicazione della pressione isotropa in Applicazione della pressione isotropa in condizioni non drenatecondizioni non drenate
La pressione interstiziale si incrementa di un valore pari al’incremento della pressione di cella. Lo stato tensionale efficace non varia.
uw0. σr +∆σ
σa +∆σ
uw0+∆σ.
σ’a
∆σa = ∆σr = ∆σ
σ’r
Tensioni totali Tensioni efficaci
1.32
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
Applicazione dello sforzo deviatorico in Applicazione dello sforzo deviatorico in condizioni drenatecondizioni drenate
La pressione interstiziale si mantiene sempre costante. La pressione di cella e quindi la pressione efficace radiale σ’r è mantenuta costante e viene incrementata la pressione assiale σa e quindi q
uw= cost. σr
∆σa >0, ∆σr = 0
σa +∆σ
uw= cost.
σ’a +∆σa
σ’r
Tensioni totali Tensioni efficaci
1.33
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
Applicazione dello sforzo deviatorico in Applicazione dello sforzo deviatorico in condizioni non drenatecondizioni non drenate
La pressione interstiziale varia. La pressione efficace radiale σ’r e la pressione efficace assiale σ’a variano in funzione della variazione della pressione dell’acqua interstiziale. Lo sforzo deviatorico q si incrementa
uw0. σr
σa +∆σ
uw0+∆uw.
σ’a +∆σa-∆uw
σ’r -∆uw
∆σa >0, ∆σr = 0
Tensioni totali Tensioni efficaci
1.34
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
Prova consolidata drenata (CD)Prova consolidata drenata (CD)
p’,p
q,q’
Se ∆σa≠0, ∆σr=cost. 3=∆∆pq
Fase di taglio
∆uw=0 3'=
∆∆pq
Efficaci
Totali 1
2
3
Saturazione
Consolidazione
Taglio1 2
3
1
3
1 2
3
1.35
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
p’,p
q,q’
Se ∆σa≠0, ∆σr=cost. 3=∆∆pq
Fase di taglio
∆uw≠0 3'≠
∆∆pq
Efficaci
Totali 1
2
3
Saturazione
Consolidazione
Taglio1 2
3
1
3
1 2
3
Prova consolidata non drenata (CU)Prova consolidata non drenata (CU)
1.36
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
p’,p
q,q’
Se ∆σa≠0, ∆σr=cost. 3=∆∆pq
Fase di taglio
∆uw≠0 3'≠
∆∆pq
Efficaci
Totali
2
3
Consolidazione
Taglio
2
3
1
3
2
3
Prova non consolidata non drenata (UU)Prova non consolidata non drenata (UU)
1.37
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
Risposta dei terreni ad elevata porositRisposta dei terreni ad elevata porositàà in in condizioni drenatecondizioni drenate
q
εa
εv = ∆V/V
εa
La risposta è del tutto simile a quella osservata in prove di taglio diretto, con la varabile q in luogo della variabile τ.
1.38
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
Risposta dei terreni a bassa porositRisposta dei terreni a bassa porositàà in in condizioni drenatecondizioni drenate
q
εa
εv = ∆V/V
εa
La risposta è del tutto simile a quella osservata in prove di taglio diretto, con la varabile q in luogo della variabile τ.
1.39
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
Percorsi nei piani di tensione e di Percorsi nei piani di tensione e di compressione in prove drenatecompressione in prove drenate
p’
q’
1
3
p’
v
1.40
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
Risposta dei terreni a elevata porositRisposta dei terreni a elevata porositàà in in condizioni non drenatecondizioni non drenate
q
εa
uw
εa
Durante la fase di taglio, il volume tenderebbe a diminuire. Poiché il volume è forzato a mantenersi costante, l’acqua reagisce quindi incrementando la sua pressione. La pressione efficace e, quindi la resistenza, diminuisce.
1.41
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
Risposta dei terreni a bassa porositRisposta dei terreni a bassa porositàà in in condizioni non drenatecondizioni non drenate
uw
q
εa
εa
Durante la fase di taglio, il volume tenderebbe ad aumentare. Poiché il volume è forzato a mantenersi costante, l’acqua reagisce diminuendo la sua pressione. La pressione efficace e, quindi la resistenza, aumenta.
1.42
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
Percorsi nei piani di tensione e di Percorsi nei piani di tensione e di compressione in prove non drenatecompressione in prove non drenate
p’
q’
1
3
p’
v
1.43
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
Stato criticoStato critico
p’
q’
1
3
p’
v
q=Mp’
v=Γ-λ ln p’
1.44
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
Previsione della resistenza ultima Previsione della resistenza ultima Condizioni drenate
q=Mp’
v=Γ-λ ln p’
q=3(p’-p’0)
p’
q’
13
p’
vp’0
Condizioni non drenate
q=Mp’
p’
q’
p’
vp’0
v=Γ-λ ln p’
v=cost.
1.45
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
Inviluppi di rottura Inviluppi di rottura (condizioni drenate e non drenate)(condizioni drenate e non drenate)
τ
σ’
resistenza di picco
τ
σ’
resistenza ultima
σ’aσ’r
σ’aσ’r
Gli inviluppi di rottura richiedono la costruzione dei cerchi di Mohr ed hanno un andamento simile a quello osservato in prove di taglio diretto.
1.46
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
Criterio di resistenza di MohrCriterio di resistenza di Mohr--CoulombCoulomb
σ’
resistenza di picco
resistenza ultima
φ’
φ’φ’ultimo
c’c’
τ
τ = σ’ tan φ’ultimoresistenza ultima:
resistenza di picco τ = c’ + σ’ tan φ’
1.47
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
Previsione della resistenza in Previsione della resistenza in condizioni non drenatecondizioni non drenate
Analisi in termini di pressioni efficaci
τ = c’ + (σ−uw0-∆uw) tan φ’
E’ necessario prevedere l’incrementodella pressione interstiziale ∆uw
Analisi in termini di pressioni totali
τ = cu + σ tan φu
Caratterizzo la resistenza in termini di tensioni totali a condizioni di eseguireprove che rispettinoi il vincolo di condizione non drenata (volume costante)
1.48
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
Resistenza a taglio in condizioni non drenate Resistenza a taglio in condizioni non drenate
Prove UU applicandodifferenti pressioni di cella
1.49
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
Inviluppi di rottura in C.N.D. Inviluppi di rottura in C.N.D.
σ
τ
σ’aσ’r σaσr
cu
Se il terreno è saturo, dopo l’applicazione della pressione di cella, lo stato tensionaleefficace dei tre campioni non cambia. Ne consegue che qualunque sia la pressione di cella σr=σc, il provino si trova sempre nelle stesse condizioni. Lo sforzo deviatorico che determina la rottura è quindi lo stesso qualunque sia la pressione di cella. Questo dà luogo ad un inviluppo costante in termini di pressioni totali
1.50
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
Criterio di resistenza di MohrCriterio di resistenza di Mohr--Coulomb in Coulomb in termini di tenzioni totali (c.n.d.)termini di tenzioni totali (c.n.d.)
τ = cu
σ
τ
cu
In condizioni non drenate, si assume che la resistenza sia indipendente dalla pressione totale σ.