Geometry Mathematic
-
Upload
chanonporn-thirati -
Category
Documents
-
view
97 -
download
8
description
Transcript of Geometry Mathematic
คณตศาสตรเพ�มเตม คณตศาสตรเพ�มเตม ช �น มธยมศกษาปท� ช �น มธยมศกษาปท� 4 4 4 4 4 4 4 4 –––––––– 6 6 6 6 6 6 6 6 เลม เลม 22222222
คณตศาสตรเพ�มเตม คณตศาสตรเพ�มเตม ช �น มธยมศกษาปท� ช �น มธยมศกษาปท� 4 4 4 4 4 4 4 4 –––––––– 6 6 6 6 6 6 6 6 เลม เลม 22222222
แกนโคออรดเนตแกนโคออรดเนต
Y
b P ((a,ba,b)) แกนโคออรดเนตแกนโคออรดเนต
Xa
b
คาสาคญคาสาคญ กรวย กรวย : conic , cone: conic , cone
ภาคตดกรวย คอ ภาคตดกรวย คอ รปในระนาบท �เกดจากการตดกนรปในระนาบท �เกดจากการตดกน
ของระนาบกบกรวยของระนาบกบกรวยรปในระนาบท �เกดจากการตดกนรปในระนาบท �เกดจากการตดกน
ของระนาบกบกรวยของระนาบกบกรวย
เราจะศกษา ภาคตดกรวย โดยใช
ตอไปน�ตอไปน�……....
โดยใชเรขาคณตวเคราะห
เรขาคณตวเคราะหเรขาคณตวเคราะห:Analytic Geometry:Analytic Geometry
พชคณตพชคณตAlgebraAlgebra
เรขาคณตเรขาคณตGeometryGeometry
เซตของจดท �งหมดในระนาบท�เซตของจดท �งหมดในระนาบท�หางจากหางจากจดๆหน�งจดๆหน�งท�ตรงอยกบท�ท�ตรงอยกบท�เปนเปนระยะทางคงตวระยะทางคงตว
อปกรณดนสอหรอปากกา เชอก
อปกรณดนสอหรอปากกา เชอก
จงสรางรปวงกลม โดยใชอปกรณท+กาหนดเทาน �น จงสรางรปวงกลม โดยใชอปกรณท+กาหนดเทาน �น พรอมอธบายเหตผลประกอบ
(x,y)
r
. (h,k)
r
เราตองการหาระยะทางจากจด เราตองการหาระยะทางจากจด ((h,kh,k) ) ไปยงไปยงเราตองการหาระยะทางจากจด เราตองการหาระยะทางจากจด ((h,kh,k) ) ไปยงไปยง จด จด ((x,yx,y) ) ท+มระยะทาง ท+มระยะทาง r r หนวยหนวย
แทนคาสตร จะไดวาr =
ยกกาลงสองท �งสองขาง
2 2( ) ( )x h y k− + −
จากสตร 2 21 2 1 2( ) ( )d x x y y= − + −
2 2 2( ) ( )r x h y k= − + −
2 2 2( ) ( )r x h y k= − + −
1
1-1
จากภาพ จดศนยกลางอยท+ จากภาพ จดศนยกลางอยท+ ((00,,00))
2 2 1x y+ =
จะไดสมการจะไดสมการ
-1 เรยกวา วงกลมหน+งหนวยเรยกวา วงกลมหน+งหนวย
2 2 0x y+ =
จะไดกราฟลกษณะอยางไรจะไดกราฟลกษณะอยางไร????
เฉลยเฉลยเฉลยเฉลยจดหน�งจดท� จดหน�งจดท� ((00,,0 0 )) น�นเองน�นเอง
2 2( 2) ( 1) 9x y− + + =
เม+อหาผลการยกกาลงสอง จะได2 2
2 2
4 4 2 1 9
4 2 4 0
x x y y
x y x y
− + + + + =
+ − + − =
น +นกคอ2 2x y ax by c o+ + + + = เม+อ a,b,c เปนคาคงตว
ลองทาดลองทาด............จงแสดงวา เปนสมการวงกลม และหาจดศนยกลางและความยาวรศม
2 2 10 4 13 0x y x y+ + − + =
2 2( 10 25) ( 4 4) 13 25 4 0x x y y+ + + + + + − − =( 10 25) ( 4 4) 13 25 4 0x x y y+ + + + + + − − =
จะได สมการรปแบบมาตรฐานของวงกลม ท�ม จดศนยกลางท� (-5,2) และรศม ยาว 4 หนวย
2 2 2( 5) ( 2) 4x y+ + − =
2 2( 5 ) ( 2 ) 1 6x y+ + − =
วงกลม และ เสนสมผสวงกลม และ เสนสมผส
จากทฤษฎบทพทากอรส จะไดวา
2 2 2PT PC TC= −
{ }2 2 2 2( ) ( )PT x h y k r= − + − −
จะได ความยาวเสนสมผส จะได ความยาวเสนสมผส PT PT เทากบเทากบ
{ }2 2 2( ) ( )x h y k r− + − −
จงหาความยาวของเสนสมผสจากจด P(2,5) กบจดสมผสวงกลม 2 2( 1) ( 2) 6x y− + − =
ให T เปนจดสมผสท+เกดจากเสนตรงท+ลากจากจด P(2,5)ให T เปนจดสมผสท+เกดจากเสนตรงท+ลากจากจด P(2,5)จะไดวา ความยาวของ PT =
= = 2น +นคอ ความยาวของเสนสมผส เทากบ 2 หนวย
2 2(2 1) (5 2) 6− + − −
4
เซตของจดท �งหมดในระนาบซ+งผลบวกของระยะทางจากจดใดๆไปยงจดโฟกส มคาคงตว โดยคาคงตวยงจดโฟกส มคาคงตว โดยคาคงตวน�ตองมากกวาระยะหางระหวางจดโฟกสท �งสอง
อปกรณดนสอหรอปากกา เชอก
อปกรณดนสอหรอปากกา เชอก
จงสรางรปวงร โดยใชอปกรณท+กาหนดเทาน �น พรอมจงสรางรปวงร โดยใชอปกรณท+กาหนดเทาน �น พรอมอธบายเหตผลประกอบ
PF’ + PF = PF’ + PF = คาคงตวคาคงตวF(-c,o)
F’ (c,o)
P(x,y)
X
Y
O ให PF’+PF = 2a
จากสตรระยะทางจะได 2 2 2 2( ) ( ) 2x c y x c y a+ + + − + =
2 2 2 2( ) 2 ( )x c y a x c y− + = − + +
ยกกาลงสอง จะได 2 2 2 2 2 2 2 2 22 4 4 ( ) 2x cx c y a a x c y x cx c y− + + = − + + + + + +
2 2 24 ( ) 4 4a x c y a cx+ + = +
หารดวย 4 แลวยกกาลงสอง จะได2 2 2 2 2( ) ( )a x c y a cx + + = +
2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 22 2a x a cx a c a y a a cx c x+ + + = + +2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )..................(1)a c x a y a a c− + = −
2 2 2( )a a c−a cf2 2 0a c− f
2 2
2 2 21
x y
a a c+ =
−2 2 2b a c= − 0b f a bf
จะไดสมการวงร จะไดสมการวงร
2 2
2 21
x y
a b+ = a bfเม+อเม+อ
แกนเอก -aa
แกนโท -bb
F F’ (c,o)
P(x,y)
X
Y
O-a a
bจดโฟกส
จดยอด(vertices)
จดศนยกลาง(center )
F(-c,o)
F’ (c,o) XO-a a
-b(LatusRectum)
2 2
2 21
x y
a b+ = a bfเม+อเม+อ
F
(-c,o)F’ (c,o)
P(x,y)
X
Y
O-a a
b
-b
2 2 2c a b= −
Latus Rectum = 22b
a
X
Y
b-b
a
c
-c
a bfเม+อเม+อ2 2
2 21
x y
b a+ =
-a
-c
2 2 2c a b= −
Latus Rectum = 22b
a
ลองทาด นะคะลองทาด นะคะ……
จงแสดงรายละเอยดตอไปน�พรอมท �งแสดงสมการวงร ซ+งมสมการเปน 2 29 16 144x y+ =
1. จดยอดอยท+………..และ…………1. จดยอดอยท+………..และ…………2. โฟกสอยท+ ………..และ…………3. จดปลายของแกนโท ………..และ…………4. ความยาวแกนเอก ……….หนวย5. ความยาวแกนโท ………..หนวย
จากสมการ 2 29 16 144x y+ =
นา 144 หารท �งสมการจะได 2 2
116 9
x y+ =
2จะได = 16 , = 9น +นคอ a = 4 , b = 3
2a 2b
จาก
2 2 2 16 9 7
7
c a b
c
= − = − =
∴ =
1. จดยอดอยท+ (4,0)และ (-4,0) 2. โฟกสอยท+ และ3. จดปลายของแกนโท (0,3)และ (0,-3)
( 7,0)− ( 7,0)−
3. จดปลายของแกนโท (0,3)และ (0,-3) 4. ความยาวแกนเอก 8 หนวย5. ความยาวแกนโท 6 หนวย
ให h,k เปนจานวนจรงบวก
1.แทน x ดวย x-h � กราฟเล+อนไปทางขวา h หนวย
2.แทน x ดวย x+h � กราฟเล+อนไปทางซาย h หนวยแทน ดวย กราฟเล+อนไปทางซาย หนวย
3.แทน y ดวย y-k � กราฟเล+อนข�นบน k หนวย
4.แทน y ดวย y+k � กราฟเล+อนลงลาง k หนวย
2 2
2 21
x y
a b+ =
•
(h,k)
••
0 •
P’(x,y)
h
k
2 2
2 2
( ) ( )1
x h y k
a b
− −+ =
P’(x-h,y-k)h
จงหาจดศนยกลางของสมการวงร
2 24 9 2 4 7 2 1 4 4 0y x y x+ − − + =
จากสมการ จดรปใหม จะได2 24( 6 ) 9( 8 ) 144y y x x− + − = −
จะได จดศนยกลางของวงร คอ (4,3) และแกนเอกขนานกบแกน Y
2 24( 6 9) 9( 8 16) 144 36 144y y x x− + + − + = − + +2 2
2 2
4 ( 3 ) 9 ( 4 ) 3 6
( 3 ) ( 4 )1
9 4
y x
y x
− + − =
− −+ =
เราพบเหนวงรในรปแบบใดบางเราพบเหนวงรในรปแบบใดบาง ในชวตประจาวนในชวตประจาวน?????? ในชวตประจาวนในชวตประจาวน??????
ce =
ความเย�องศนยกลาง ความเย�องศนยกลาง (eccentricity)
ce
a=
คาความเย7องศนยกลางของวงร คาความเย7องศนยกลางของวงร
0 1ep p
จงหาสมการของวงรท+มโฟกสอยท+ จงหาสมการของวงรท+มโฟกสอยท+ ((00,,44))และและ((00,,--44))และ และ ความเย�องศนยกลางเทากบความเย�องศนยกลางเทากบ 8
1 5
จากโจทย กาหนดให e = และ c = 4 จากความเย�องศนยกลาง e =
8
1 5 c
a จากความเย�องศนยกลาง
จะได =
a =
8
15
4
a
1 5
2
a
จากความสมพนธ 2 2 2c a b= −2 2 215
4 ( )2
b= −
2 161
4b =
161=
161
2b =
จะได สมการวงร คอ2 24 4
1225 161
x y+ =
� เซตของจดท7งหมดในระนาบ
อปกรณดนสอหรอปากกา ,เชอก, ไมท
อปกรณดนสอหรอปากกา ,เชอก, ไมท
จงสรางบางสวนของรปพาราโบลา โดยใชอปกรณท+จงสรางบางสวนของรปพาราโบลา โดยใชอปกรณท+กาหนดเทาน �น พรอมอธบายเหตผลประกอบ
สวนประกอบของพาราโบลาสวนประกอบของพาราโบลา
(x,y)
(0,p)
2 2( )x y p y p+ − = +22 2 2( ) ( )x y p y p y p+ − = + = +
2 2 2 2 22 2x y py p y py p+ − + = + +2 2 2x py py− =2 2x py py− =
2 4x py=
2 4x py=เม+อเม+อ 0p f เม+อ เม+อ 0p p
2 4y px=
เม+อเม+อ 0p f เม+อ เม+อ 0p p
เลตสเรกตมเลตสเรกตม : Latus rectum : Latus rectum
คอรดท+ต �งฉากกบแกน และผานคอรดท+ต �งฉากกบแกน และผานโฟกสของพาราโบลาโฟกสของพาราโบลา
ความกวางของพาราโบลาความกวางของพาราโบลาF(p,0)
ความกวางของพาราโบลาความกวางของพาราโบลา = = ความยาวความยาวเลตสเรกตมเลตสเรกตม = = 4p
จงหาโฟกส และความยาวของจงหาโฟกส และความยาวของเลตสเรกตมเลตสเรกตมของพาราโบลาของพาราโบลา 21
8y x=
เขยนสมการของพาราโบลาในรปแบบ 2 4x py=
2
2
1
8
8
y py
x y
=
=2 8x y=
จะได เลตสเรกตมยาว 4p = 8 หนวยp=2
เพราะฉะน �น โฟกส คอ (0,2)
เซตของจดท �งหมดในระนาบซ+งผลตางของระยะทางจากจดใดๆไปยงจด
ไฮเพอรโบลาไฮเพอรโบลา : Hyperbola: Hyperbola
1 2,F F(จดโฟกส )ท+ตรงอยกบท+มคาคงตว (จดโฟกส )ท+ตรงอยกบท+มคาคงตว โดยคาคงตวนอยกวาระยะหางระหวางจดโฟกส
อปกรณดนสอหรอปากกา , เชอก , ไมท (ใชวงเวยนแทน)
อปกรณดนสอหรอปากกา , เชอก , ไมท (ใชวงเวยนแทน)
จงสรางบางสวนของรปไฮเพอรโบลา โดยใชอปกรณจงสรางบางสวนของรปไฮเพอรโบลา โดยใชอปกรณท+กาหนดเทาน �น พรอมอธบายเหตผลประกอบ
P
1F2F
1d
1'd
2d
2'd
จากนยาม จะไดวา
1 2 1 2' 'd d d d− = − = คาคงตวคาคงตว
P’
1F (-c,0) 2F (c,0)
P(x,y) ให 1 2 2PF PF a− =
2 2 2 2( ) ( ) 2x c y x c y a+ + − − + =
2 2 2 2( ) ( ) 2x c y x c y a+ + − − + = ±
2 2 2 2( ) 2 ( )x c y a x c y+ + = ± + − +
2 2 2 2 2 2 2( ) 4 4 ( ) ( )x c y a a x c y x c y+ + = ± + − + + − +2 2 2 2 2 2 2 2 22 4 4 ( ) 2x cx c y a a x c y x cx c y+ + + = ± + − + + − + +
2 2 24 4 4 ( )cx a a x c y− = ± + − +
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 4 2 2 2 2
( )
( ) (( ) )
2 ( 2 )
cx a a x c y
cx a a x c y
c x ca x a a x cx c y
− = ± − +
− = − +
− + = − + +2 2 4 2 2 2 2 2 2
2 2 4 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 4( )
c x a a x a c a y
c x a a x a c a y
c a x a y a c a
+ = + +
+ = + +
− − = −2 2 2 2 2 2 2 4
2 2 2 2 2 2 2 2
( )
( ) ( )
c a x a y a c a
c a x a y a c a
− − = −
− − = −
2 2
2 2 21
x y
a c a− =
−
จาก 0 a cp p จะไดวา 2 2 0c a− f
ให 2 2 2b c a= −
2 2
1x y− =
สมการไฮเพอรโบลาท+ระยะตดแกน สมการไฮเพอรโบลาท+ระยะตดแกน x =x = a±
2 21
x y
a b− =
•
•
•(-a,0)
(0,b)
(a,0)••
•
(-a,0)
(0,-b)
(a,0)
by x
a= ±
2 2
2 21; 0,
x ya b o
a b− = f f
(0,b)
(a,0)b
(-c,0) (c,0)
(-a,0)
(0,-b)
(a,0)b
y xa
= ±
โฟกส (-c,o),(c,0); 2 2 2c a b= +
(-c,0) (c,0)
2 2
2 21; 0,
y xa b o
b a− = f f
a
(0,a)
โฟกส (0,-c),(0,c); 2 2 2c a b= +
ay x
b= ±
(0,-a)
ลองทาดนะคะลองทาดนะคะ…..…..
จงหาจดยอด และโฟกส ของ จงหาจดยอด และโฟกส ของ 2 216 16 0x y− + =จดรปสมการในรปแบบมาตรฐาน
22 1
16
xy − =
จะได น +นคอ a=1 ,b=4 2 21, 16a b= =
จาก 2 2c a b= + 1 16 17= + = จาก c a b= + 1 16 17= + =
จะได จดยอด ท+ จะได จดยอด ท+ ((00,,--11) ) และ และ ((00,,11))โฟกส ท+ โฟกส ท+ ((00,,-- ) ) และ และ ((00, ), )17 17
เอกสารอางองเอกสารอางองสงเสรมการสอนวทยาศาสตร,สถาบน.(2552).หนงสอเรยนรายวชาเพ�มเตม
คณตศาสตร เลม 2 ช �นมธยมศกษาปท� 4 – 6 หลกสตรแกนกลางการศกษาข �นพ�นฐาน พทธศกราช 2551 .พมพคร �งท+ 1.กรงเทพมหานคร:โรงพมพสกสค.ลาดพราว
สโขทยธรรมาธราช,มหาวทยาลย.(2539).เอกสารการสอนชดวชา คณตศาสตร 1 หนวยท� 9-15.พมพคร �งท+ 3.กรงเทพมหานคร:โรงพมพชวนพมพ 469.แขวงบวรนเวศ เขตพระนคร
มหดลวทยานสรณ,โรงเรยน.(2552).เรขาคณตเพ�อสงเสรมอจฉรยภาพคณตศาสตรสาหรบเดก.พมพคร �งท� 1.กรงเทพมหานคร:องคการคาของ สกสค.ลาดพราว