Vaidotas Mockus

GEOMETRIJOS ŽINYNAS moksleiviams

Trumpa teorinė medžiaga ir uždavinių sprendimo pavyzdžiai

Vaidotas Mockus

GEOMETRIJOS ŽINYNAS moksleiviams

Trumpa teorinė medžiaga ir uždavinių sprendimo pavyzdžiai Scanned by Cloud Dancing

Šiauliai, 1996

UDK

Leidinio autorius - Vaidotas Mockus, Šiaulių pedagoginio instituto

matematikos ir informatikos katedros dėstytojas.

Recenzentai - P. Grcbcničenkaitė, Šiaulių miesto "Salduvės" vidurinės

mokyklos mokytoja ekspertė,

R. Lukoševičius, Šiaulių pedagoginio instituto matematikos ir

informatikos katedros docentas, matematikos mokslų daktaras.

ISBN 9986 - 38 - 010 - 30. Šiaulių pedagoginis institutas, 1996

© Vaidotas Mockus

Pratarmė

Pastaruoju metu vis dar jaučiamas informacijos pobūdžio matematikos

leidinių trūkumas. Manau, kad šis skaitytojams siūlomas geometrijos žinynas

iš dalies užpildys šią spragą, nes visada paranku turėti vienoje knygoje viso

vidurinės mokyklos geometrijos kurso santrauką.

Leidinyje pateikiamos trumpos teorinės vidurinės mokyklos geometrijos

kurso žinios , kurių taikymą praktikoje iliustruoja nemažai uždavinių su

išsamiais jų sprendimo komentarais. Žinyno priede pateikiama geometrijos

uždavinių, dažniausiai pasitaikančių stojamųjų į aukštąsias mokyklas

matematikos egzaminų metu, tematika. Autorius nesiekė pateikti

matematikos vadovėlio pakaitalą, nes žinyne beveik visi geometrijos teiginiai

pateikti be įrodymų (apsiribota tik šių teiginių išsamiu paaiškinimu).

Geometrijos žinynas skirias pirmiausia bendrojo lavinimo mokyklų

moksleiviams, kurie visada jame ras reikiamą apibrėžimą, teoremą, formulę,

geometrijos uždavinių sprendimo pavyzdžių. Manau, kad šis leidinys

moksleiviams bus nepakeičiamas pagalbininkas savarankiškai sprendžiant

geometrijos uždavinius, rengiantis laikyti baigiamąjį matematikos egzaminą

vidurinėje mokykloje bei stojamuosius matematikos egzaminus į aukštąsias

mokyklas.

Žinynu taip pat sėkmingai galės naudotis ir aukštųjų mokyklų

(pirmiausia pedagoginių) studentai, norėdami pakartoti ir prisiminti

vidurinėje mokykloje įgytas geometrijos žinias.

Autorius

Turinys

PLANIMETRIJA

1. Kampai 4 2. Apskritimas ir skritulys 10 3. Tiesės plokštumoje 18 4. Laužte 21 5. Iškilieji daugiakampiai 22 6. Taisyklingieji daugiakampiai 25 7. Trikampiai 29 8. Keturkampiai 63 9. Figūrų transformacijos 86 10.Panašieji daugiakampiai 95 11 .Paprasčiausieji brėžimo uždaviniai 102

STEREOMETRIJA 1. Tiesės erdvėje 111 2. Tiesių ir plokštumų lygiagretumas 116 3. Tiesių ir plokštumų statmenumas 118 4. Kampas tarp tiesės ir plokštumos 121 5. Tiesės ir plokštumos padėtis erdvėje 121 6. Plokštumų padėtis erdvėje 122 7. Plokštumų lygiagretumas 122 8. Kampas tarp plokštumų 124 9. Plokštumų statmenumas 125 10.Dvisienis kampas 126 11.Trisienis kampas 127 12.Daugiakampio statmenosios projekcijos plotas 127 13.Briaunainiai (Bendrosios sąvokos) 128 14.Prizm 129 15. Gretasienis 132 16.Piramidė 134 17.Nupjaulinė piramidė 137 18.Taisyklingieji briaunainiai 140 19.Riliny 142 20.Kūgis 146 21.Nupjautinis kūgis 149 22.Sfcra 150 23. Rutulys 152 24.Rutulio dalys 153 25.Stereomctrįjos uždavinių sprendimo pavyzdžiai.. 156

VEKTORIAI 1. Pagrindinės sąvokos 171 2. Vektorių sudėtis ir atimtis. 3. Vektoriaus daugyba iš skaičiaus 173 4. Vektoriaus koordinatės 178 5. Vektorių skaliarinė sandauga 181 6. Vektorių kolincarumo sąlyga 185 7. Vektorių s tatmcnumo sąlyga 185

KOORDINAČIŲ METODAS PLOKŠTUMOJE IR E R D V Ė J E

1. Stačiakampė koordinačių sistema plokštumoje ir erdvėje.Taško koordinatės 192

2. Atkarpos vidurio taško koordinatės. Atstumas tarp dviejų taškų 193

3. Tiesės lygtis 195 4. Plokštumos lygtis 196 5. Apskritimo lygtis 197 6. Sferos lygtis 197 7. Sferos ir plokštumos tarpusavio padėtis 198

PRIEDAI

I. Geometrijos uždavinių, dažniausiai pasitaikančių stojamųjų į aukštąsias mokyklas matematikos egzaminų metu, tematika 202

II. Natūraliųjų skaičių nuo 10 iki 99 kvadratų lentelė 244

III. Ilgio matai 244 IV. Ploto matai 244 V. Tūrio ir talpos matai 245 VI. Kai kurie dažnai pasitaikantys pastovūs

dydžiai 245 VII. Sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento

reikšmių lentelė 245 VIII.Kampo radianinis malas. Kampų laipsnių

pakeitimo radianais ir atvirkščiai formulės 246 IX. Pagrindinės trigonometrijos formulės 247

P L A N I M E T R I J A

l . K A M P A I

pav.

Kampas yra figūra,kurių sudaro dvi skirtingos pusticsės,turinčios bendri} pradžios taškų (1 pav.).

Tij tašk.'} vadiname kampo viršūne , o pusticsės - kampo kraštinėmis. Žymime : ZAOB arba Z (ab) , arba Z O ; O - kampo AOB viršūnė , OA ir OB (tiesės α ir b) - kampo AOB kraštinės.

A

A

I'lokščiasis kampas yra plokštumos dalis,kuri;} riboja du iš vieno taško išeinantys ir nesutampantys spindu-liai (2 pav.).

Yra du plokštieji kampai su duotosiomis kraštinėmis. Juos vadi-name papildomaisiais. 2 paveiksle su-brūkšniuotas plokščiasis kampas , kurio kraštinės α ir b .

Kampo pusiaukampinė - spindulys, kuris išeina iš jo viršūnės,eina tarp jo kraštinių ir dalija kampų pusiau.

3 paveiksle spindulys OM yra kampo AOB pusiaukampinė.

• SMAILUSIS KAMPAS Kampų, mažesnį už 90°, t.y. mažesnį už statųjį kampų, vadiname smailiuoju (4 pav.)

• IŠTIESTINIS KAMPAS

Kampas,kurio kraštinės yra papildomosios pusticsės , vadi-namas išliesimai (5 pav.). Išticstinio kampo laipsninis malas lygus ISO .

Ig)" a = 180"

O 5 pav.

• STATUSIS KAMPAS Kampų, lygų 90°, vadiname slačiuoju kampu (6 pav.)

• GRETUTINIAI KAMPAI

Gretutiniais vadiname du kampus,kurių viena kraštinė bendra,o kitos dvi yra papildo-mosios pusticsės.

S pav.

S paveiksle pavaizduoti kampai α ir P yra gretutiniai. Gretutinių kampų suma lygi 180°:

α + β = 180°

• KRYŽMINIAI KAMPAI

Kryžminiais vadiname du kampus,kurių vieno kraštinės yra kito kraštinių papildomo-sios pusticsės.

9 paveiksle pavaizduoti kampai (a b) ir (a, b,) (kampai φ ir γ ) yra kryžminiai. Kryžminiai kampai yra lygūs:

α 90"

LL 90"

6 pav.

• BUKASIS KAMPAS Kampų, didesnį už 90", bet mažesnį už 180°, t.y. didesnį už statųjį, bet mažesnį už ištiestinį kampų, vadiname bukuoju (7 pav.)

90 < α < ISO"

7 pav.

Ι φ ^ Υ Ι

• KAMPAI,GAUNAMI DVI LYGIAGREČIAS TIESES KERTANT TREČIĄJA TIESE

2 ^ 1 Z 4 i r Z 5 bei Z3 irZ6 - vidaus vienašaliai kampai; Z4irZ6 bei Z3irZ5 - vidaus priešiniai kampai; Zl irZ5, Z2 irZ6 , Z4 irZ8 , Z3 irZ7

IOpav. -atitinkamieji kampai; Zl irZ7 boi Z2 irZ8 - išores prie-šiniai kampai.

Z1 = Z5 , Z2= Z6 , Z3= Z7 , Z4= Z8 , Z l = Z7 , Z2= .Z8 ;

Z3+ Z6=180f ; Z4+ Z5=18(T ; Zl+ Z8=180P ; Z2+ ZT=UCT .

• CENTRINIS KAMPAS.

• ĮBRĖŽTINIAI KAMPAI

B

Iškilas kampas,kurio viršūnė yra apskritimo centras,o kraštinės kerta jį , vadinamas duotojo apskritimo centriniu kampu.

ZAOli - centrinis kampas,O -apskritimo centras (žr. 11 pav.).

Iškilas kampas,kurio viršūnė priklauso apskritimui , o kraš-tinės kerta j į , vadinamas įbrėž-tiniu kampu.

Įbrėžtinis kampas ZAIJC remiasi į lank:} ADC,kuris yra įbrėžtiniame kampe (žr. 12 pav.).

Įbrėžtinių kampų savybės.

D

13 pav.

14 pav.

15 pav.

Visi įbrėžtiniai kampai,kurie remiasi į tą u

patį lanką AB yra lygūs.

13 paveiksle pavaizduoti visi įbrėžtiniai kampai ACB, ADB ir A E B remiasi į lanką AB ir todėl yra lygūs:

Z A C B = Z A D B = Z A E B

Visi įbrėžtiniai kampai,kurie remiasi į lanką , lygų pusei apskritimo , yra statūs, t .y. 14 paveiksle pavaizduoti visi įbrėžtiniai

kampai ACB , A D B ir AEB remiasi į apskritimo skersmenį AB ir todėl yra statūs,

t.y.

Z A C B = Z A D B = Z A E B = 90°

Jeigu ZACH - įbrėžtinis kampas ,o ZAOH - centrinis kampas,be to , aps-kritimo centras O ir įbrėžtinio kampo ACB viršūnė C yra vienoje stygos AB pusėje, (žr. 15 pav.), tai

Z A C B = - Z A O B 2

t,y, įbrėžtinio kampo didumas lygus pusei jį atitinkančio centrinio kampo didumo.Kitais žodžiais tariant,įbrėžtinio kampo didumas lygus pusės lanko,į kurį jis remias i , kampinio didumo , t.y.

1 u

Z A C B = - A B 2

Jeigu apskritimo centras O ir įbrėžtinio kampo ACB viršūnė C yra skirtingose stygos AB pusėse (16 pav.),tai

Z A C B = 1 8 0 ° - - Z A O B

• KAMPO , KURIO VIRŠŪNĖ YRA SKRITULIO VIDUJE, O KRAŠTINĖS KERTA APSKRITIMĄ , DIDUMAS (17 pav. a)

KAMPO, KURĮ SUDARO DVI APSKRITIMO KIRSTINĖS, TURINČIOS BENDRĄ PRADŽIOS TAŠKĄ, DIDUMAS (17 pav. b).

1 f V ZAMB = - IAmB+ A,nB,J

ZAMB = Д ( ZAOB + ZA1OB1)

(17 pav. A)

I f u u ^ ZAMB = - ( A m B - A , n B , J

ZAMB = ZAOB - ZA1OB1)

(17 pav. b)

• KAMPO , KURĮ SUDARO APSKRITIMO LIESTINĖ IR STYGA , EINANČIOS PER TĄ PATĮ BENDRĄ APSKRTIMO TAŠKĄ , DIDUMAS .

Kampo, kurį sudaro apskritimo liestinė MN ir styga AB (18 pav.), einančios per t;} patį bendrą apskritimo tašką A, didumas lygus

Z N A B = | ( 1 8 0 ° U 1

- B N C ) = y U

AmB

arba

I ( 1 8 0 ° - Z A O B 2

Z N A B = I ( 1 8 0 ° - Z B O C ) = - Z A O B 2

• Į KAMPĄ ĮBRĖŽTAS APSKRITIMAS

Jei apskritimas yra kampo ACB viduje ; BC ir AC - dvi apskritimo Iiesti-nės,išeinančios iš vieno taško C (žr. 19 pav.), tai

1)BC=AC 2)Ticsė CO dalo kampą ЛСВ - pusiau,t.y. CO yra kampo ACB

pusiaukanipinč. 3 ) O B ± C B , O A _ L C A , t.y. apskritimo spindulys statmenas ap-

skritimo Iicstinci lictiinosi taške: , U U

4) ZACB = - ( B E A - B D A ) .

• KAMPO KIRTIMAS LYGIAGREČIOMIS TIESĖMIS

Atkarpos AB ir CD vadinamos atkarpomis A1B1 ir C1D1 pro-porcingomis atkarpomis,kai tų atkarpų ilgiai proporcingi,t.y. ABiCD^AįBPCĮDĮ

Teorema. Lygiagrečios tiesės , ker-tančios kampo kraštines , iškerta jose proporcingas atkarpas , t.y.

jei BC 11 DE , tai

A B : A D = A C : A E , (žr. 20 pav.)

E

kJf \

A1/ B 1 / C i /

21 pav.

22 pav.

Jci kampų kerta trys viena kilai lygiagrečios tiesės AA1 , BB1 , CC1 (žr. 21 pav.), tai teisingi sąryšiai:

OA OB OC . OB = OH1 = BB1

OA1 OB1 OC1 ' OA OA1 AA1

OC OC l CC l . OC = OC1 = CCi . OA ~ OA1 ~ AA1 ' O B - O B 1 BB1 '

AB A1B1

BC AC B1C1 A1C1

A E

A 1 / B i / C 1 /

Talio tcorcma.Jei vienoje kampo kraštinėje nuosekliai atidėsime ke-lias lygias atkarpas ir per ji) galus išvesime lygiagrečias tieses , ker-tančias kitų kampo kraštinę , tai jos toje kampo kraštinėje iškirs viena ki-tai lygiagrečias a tkarpas ,

t.y. jei O A 1 = A 1 B i = B l C , ir A A , | IBB1 j |CC, ,tai

O A = A B = B C (žr. 22 pav.)

2.APSKRITIMAS IR SKRITULYS

• PAGRINDINĖS SĄVOKOS.

Apskritimas yra figūra,kurių sudaro visi plokštumos taškai, vienodai nutolę nuo duotojo plokštumos taško (23 pav.).

Tų taškų vadiname apskritimo centru (23 paveiksle taškas O ). Atkarpų , jungiančių bet kurį apskritimo taškų A su jo cen-trų,vadiname apskritimo spinduliu. 23 paveiksle A O = R - apskritimo spindulys.

24 pav.

25 pav.

Skritulys yra figūra , kurių su-daro visi plokštumos taškai , nutolę nuo duoto plokštumos taško atstumu , ne didesniu už duotųjį (24 pav.).

Tų taškų vadiname skritulio cen-tru , o duotąjį atstumą - skritulio spinduliu. Skritulio kraštas yra apskrit imas.

Apskritimo styga (CD) - atkarpa , jungianti du apskritimo taškus (25 pav.).

Apskritimo skersmuo (AB) -styga, einanti per apskritimo cen-trą (25 pav.).

Apskritimo kirstinė (GH) - tie-sq, kertanti apskritimą dviejuose taškuose (25 pav.).

Apskritinio licstinė (EF) - tiesė , einanti per apskritimo tašką K ir statmena spinduliui, išvestam į tą tašką (25 pav.).

APSKRITIMO KIRSTINĖS IR LIESTINĖS SĄRYŠIS

Jei MA ir MB - apskritimo licstinė ir kirstinė,išeinančios iš vieno taško M (26 pav.), tai

• DVIEJŲ APSKRITIMO KIRSTINIŲ , IŠEINANČIŲ IŠ VIENO TAŠKO , SAVYBĖ

27 pav.

Jci MA ir MC - dvi apskrtimo kirstinės , išeinančios iš vieno taško M ir kertančios apskritimą taškuose B ir D (27 pav.), tai

M A · M B = M C · M D

• SUSIKERTANČIŲ APSKRITIMO STYGŲ SĄVYBĖ

• APSKRITIMO ILGIS

Jeigu AB ir CD - dvi apskritimo stygos, einančios per tą patį skritulio tašką M (28 pav.), lai

M A - M B = M C - M D

Apskritimo ilgis

C = 2ΠΙΙ = ΠΟΙ ;

čia R - apskritimo spindulys, o d = A B - apskritimo skersmuo (29 pav.).

APSKRITIMO LANKO , ATITINKANČIO (T CENTRINĮ KAMPĄ , ILGIS. STYGOS ILGIS.

Д Jei R - apskritimo spindulys,AB - apskritimo styga, i - ap-skritimo lanko , atitinkančio a ° centrinį kampą A O B ilgis (30 pav.), tai

30 pav.

ί = KROC

180

• APSKRITIMO LANKO , KURIO KAMPINIS DIDUMAS YRA β RADIANŲ , ILGIS .

• SKRITULIO ISPJOVOS , KURIOS LANKO LAIPS-NINIS MATAS cc° , PLOTAS .

31 pav. čia i - išpjovos lanko ilgis ; R apskritimo spindulys (31 pav.).

SKRITULIO IŠPJOVOS KURIOS LANKO RADIANINIS MATAS YRA β RADIANŲ , PLOTAS

S j šp. 1

R 2 P

SKRITULIO NUOPJOVOS, NELYGIOS PUSSKRI-TULIUI , PLOTAS , KAI KAMPAS (a) IŠREIKŠTAS LAIPSNIAIS.

32 pav.

1) α < 180°

nuop. KR2CX

360 - S ΔΛΟΙ3

čia α - centrinio kampo A O B , kuriame yra tos nuopjovos lankas , laipsninis matas , o S a a o b - trikam-pio A O B plotas (32 pav.).

33 pav.

2) α > 1 8 0 ° (33 pav.)

nuop. n R α

360 + S ΔΛΟΒ

Abiem atvejais S a a 0 U — ̂ ^ 2 s ' n c t ·

Atsižvelgę į t a i , užrašysime skritulio nuopjovos ploto skaičiavimo for-mulę, kuri tinka abiem atvejais (universali formulė):

R 2 , πα nuop. ( sin a )

2 180

Jei kampas α didesnis už ištiestinį (α>180°) , tai s i n a < 0 ir gauname 2) atveją.

SKRITULIO NUOPJOVOS , KURIOS LANKO RA-DIANINIS MATAS YRA β RADIANŲ , PLOTAS .

R 2

s„uop. = - ( P - S i n P )

• SKRITULIO PLOTAS

; čia R - skritulio spindulys. S = u R '

Išspręsime keletą temos "Apskritimas if skritulys" uždavinių.

1 uždavinys.Iš taško A , esančio šalia apskritimo , išvesta liestinė ir kirstinė. Atstumas nuo A iki lietiinosi taško 16 cm , o ats tumas nuo A iki vieno iš susikirtimo su apskritimu taškų - 32 cm. Rasti apskritimo spindul j , jei a ts tumas nuo apskritimo centro iki kirstinės lygus 5 cm (34 pav.)

Sprendimas.

Pagal uždavinio sąlygą A B = 1 6 , A C = 3 2 . Iš apskritimo centro O išvedame statmenį į kirstinę A C (34 pav.). Statmens ir kirstinės susikir-t imo taškas yra E. Atkarpos O E ilgis yra kirstinės atstumas iki centro. Pa-gal sąlygą O E = 5 . Remiantis ap-skritimo liestinės ir kirstinės , išeinančiomis iš vieno taško , sąryšiu, turime :

A B 2 = A D - A C , 162 = A D - 3 2 , A D = 8 .Iš brėžinio matyti , kad C D = A C - A D = 3 2 - 8 = 2 4 . Ieškomasis spindulys yra atkarpos O C ilgis. Iš stataus trikampio C O E , remiantis Pitagoro teorema , gauname

OC2 = CE 2 +OE 2 .Bct CE = - C D = - - 2 4 = 12 . 2 2

Taigi OC2 = 122 + 52 = 169 , OC = 13 .

Atsakymas. 13 .

2 uždavinys. Per taškų M , nutolusį nuo apskritimo centro atstumu b , išvesta kirstinė MA taip , kad susikirtimo su apskritimu taškas B jų dalo pusiau : MB = MA (žr. 35 pav.). Rasti kirstinės MA ilgį, jeigu apskritimo spindulys lygus r.

Sprendimas .

35 pav.

Per apskritimo centrų O ir taškų M išveskime kirstinę MC, kuri kerta apskritimų taškuose C ir D (35 pav.). Per taškų M išveskime apskritimo liestinę ME (E - apskritimo ir liestinės lietimosi taškas). Remiantis ap-skritimo liestinės ir kirstinės sųryšiu, gauname

ME2=MA MB ir ME i=MC MD. Šių dviejų lygybių kairiosios pusės lygios , todėl turi būti lygios ir dešiniosios. Vadinasi, MA MB = MC MD (1). (1) lygybė išreiškia jau žinomų apskritimo kirstinių , išeinančių iš vieno taško savybę. Kadangi O C = O D = r , O M = b (pagal uždavinio sąlygą) , tiii M C = b + r ir MD=b-r . Pažymėkime MA=X. Tada MB = ̂ .Įrašę gautąsias MC , MD , MA ir BM išraiškas į (1) lygybę , tur ime:

x - ^ = (b + r ) ( b - r ) . Iš čia χ = ^ 2 ( b 2 - r 2 ) .

Atsakymas. т]2(Ъ2 - r 2 )

3 uždavinys.Du apskritimai liečiasi iš vidaus taške E (žr.brėžinį). Tiesė , einanti per mažesniojo apskritimo centrą O1 , kerta didesnįjį apskritimų taškuose A ir D , o mažesnįjį - taškuose B ir C. Rasti ap-skritimų spindulių santykį, jeigu AB : B C : CD = 2 : 4 : 3

(36 pav.).

Sprendimas.

Sakykime , R ir r - didesniojo ir mažesniojo apskritimų spinduliai atitinkamair-Tada BC=2r. Iš duotojo santykio randame :

AB = — = r , CD = — r. 2 2

Per didžiojo apskritimo centrų O ir tašką E nubrėžkime skersmenį EP. Skersmuo išvestas į lietimosi tašką , statmenas apskritimo Iies-tinci tame taške , todėl taškas Oj yra skersmens PE taškas.

Remiantis susikertančių stygų sąvybe , gauname O 1 E O 1 P = O 1 A O 1 D. Iš šios lygybės , atsižvelgdami į tai , jog

0 ]P=2R- r , 0 1 A = 0 1 B + BA=2r ir O 1 D = CD-I-CO1=Ir , gauname

г R i ( 2 R - r ) r = 5 r , arba R = 3 r . Vadinasi, ~ = 3-

Atsakymas. 3 .

3.TIESES PLOKŠTUMOJE

TIESIŲ PADĖTIS PLOKŠTUMOJE.

37 pav.

Dvi plokštumos tiesės α ir b yra lygiagrečios , jei jos neturi bendrų taškų , t.y. nesusikerta. 37 paveiksle pavaizduotos ly-giagrečios tiesės α ir b. Žymime : α | j b .

2

3)

38 pav.

39 pav.

38 paveiksle pavaizduotos susikertančios tiesės α ir b.

Statmenos tiesės yra dvi tiesės, kurios susikerta stačiu kampu.. 39 paveiksle pavaizduotos statmenos tiesės α ir b. Žymime : a l b .

• PAGRINDINĖ LYGIAGREČIŲ TIESIŲ SAVYBĖ LYGIAGRETUMO AKSIOMA.

Plokštumoje per tašką , nepriklausantį duotai tiesei , galima nubrėžti ne daugiau kaip vieną tiesę , lygiagrečią tai t iesei.

• TIESIŲ LYGIAGRETUMO POŽYMIAI:

Yra šie tiesių lygiagretumo požymiai: 1) Dvi tiesės , lygiagrečios trečiai tiesei, yra lygiagrečios viena kilai.

2) Jci vidaus priešiniai kampai lygūs arba vidaus vienašalių kampų suma lygi ISO" . tai tiesės lygiagrečios.

Vadinasi, jei tiesės α ir b yra lygiagrečios, Zi ir Z6 bei ZA ir Z5 yra vidaus priešiniai kampai, o ZA ir Z6 bei Zi ir Z5 yra vidaus vienašaliai kampai (40 pav.), tai

Z3 = Z6 ir Z4 = Z5 ,

Z4 + Z6 = 180" ir Z 3 + Z5 = 180°

• STATMUO DUOTAJAI TIESEI . ATSTUMAS NUO TAŠKO IKI TIESĖS.

Statmuo duotajai tiesei yra jai statmenos tiesės atkarpa , kurios galas yra tų tiesių susikirtimo taškas .

O Šj atkarpos galą vadiname stat-nicns pagrindu. 41 paveiksle tiesė AB - statmuo tiesei α , B - stat-mens pagrindas.

Atstumas nuo taško iki tiesės yra statmens , nuleisto iš taško į tiesę , ilgis.

41 paveiksle atstumas nuo taško A iki tiesės α yra statmens A B ilgis.

B

41 pav.

STATMUO IR PASVIROJI.

Jci BA - Statmuo , nuleistas iš taško B į tiesę α (42 pav.),o C -bet kuris tiesės α taškas , nesu-tampantis su tašku A , tai at-karpa BC yra pasviroj i , išvesta iš taško B į tiesę α . Taškas C yra pasvirosios pagrindas , o atkarpa AC - pasvirosios projekcija .

Tcorcnia.Jei iš vieno taško išvesti statmuo ir pasviroji į tiesę α , lai atstumas nuo to taško iki statmens pagrindo mažesnis už atstumų nuo minėto taško iki pasvirosios pagrindo; kitaip sakant , statmens ilgis visada mažesnis už pasvirosios ilgį.

42 paveiksle : BA < BC .

PASVIROSIOS PROJEKCIJOS ILGIO RADIMAS , KAI ŽINOMAS PASVIROSIOS ILGIS IR KAMPAS TARP PASVIROSIOS IR TIESĖS.

/ 1 B

Λα ΓΊ α

C A 43 pav.

Pasvirosios projekcijos ilgis lygus pasvirosios ilgio ir kosinuso kampo tarp pasvirosios ir jos projekcijos tiesėje sandaugai:

AC = BC cos α

čia AC - pasvirosios BC projekci-jos tiesėje α ilgis (43 pav.).

4 .LAU Z T E

Laužte A 1 A 2 - A n yra figūra , sudaryta iš taškų A 1 , A 2 , ... , An ir juos jungiančių atkarpų A1A2 , A 2 A 1 , ... , A n 0 A n .

Taškai A1 , A 2 , ... , An - Iaužtės viršūnės , atkarpos A1A2 , A 2 A 3 , ... , A n 0 A n - iaužtės grandys , taškai A 1 ir An (kai A11 * A1) - Iaužtės ga la i .

44 pav.

Neuždaroji laužte - laužte , kurios galai nesutampa .

Laužte A1A2A3A4A5A6

neuždaroji laužte (44 pav.).

45 pav.

Uždaroji laužte - laužte , kurios galai sutampa .

Laužte A1A2A3A4A5 - uždaroji laužte (45 pav.).

Paprastoji laužte - laiižtė (neuždaroji arba uždaroji) , kurios gretimos grandys yra ne vienoje tiesėje , o negretimos grandys neturi bendrų taškų . Vadinasi , paprastoji laužte neturi savikirtos taškų .

Laužte A1A2A3A4A5A6 yra paprastoji neuždaroji laužte , o laužte A1A2A3A4A5 - paprastoji uždaroji laužte.

A 2 46 paveiksle pavaizduotos laužtės nėra pa-prastos.

A 4 ^ ν Λ 2

Savikirtc laužte

Savikirtc laužte ^ 3

46 pav.

Laužtės ilgis - visų laužtės grandžių ilgių suma

Tcurcina(laužtės ilgiu teorema). Laužtės ilgis yra didesnis už atstumą tarp jos ga'4·

. 47 paveiksle pavaizduotai laužtei A1A2A3A4 A 4 47 pav. t j ; e :

A1A2 + A2A3 + A3A4 > A 1A 4 .

5.ISKILIEJI DAUGIAKAMPIAI

Daugiakampis yra paprastoji uždaroji laužte , kurios gretimos gran-dys nėra vienoje tiesėje.

Daugiakampio viršūnėmis vadiname laužtės viršūnes , o daugiakampio kraštinėmis - laužtės grandis. Daugiakampį , turintį n viršūnių , o tuo pačiu ir n kraštinių , vadiname n - kampiu .

A

B C 48 paveiksle pavaizduotas daugiakampis A B C D E F - paprastoji uždaroji laužte, A,B,C,D,E,F - daugiakampio viršūnės,

D AB , BC , CD , D E , E F , FA -daugiakampio kraštinės - laužtės grandys . A B C D E F - šešiakampis.

F ' 48 pav.

Daugiakampio įstrižainės - atkarpos, E jungiančios negretimas viršūnes .

Iškiliojo n-kampio įstrižainių skaičius lygus ———

49 pav.

I'lokščiasis daugiakampis , arba daugia-kampė sritis - baigtinė plokštumos dalis , kurią riboja daugiakampis .

49 paveiksle pavaizduotas plokščiasis daugiakampis ABCDEF. ABCDEI i - plokščiasis šešiakampis.

Iškiliuoju daugiakampiu vadiname daugiakampį , esantį vienoje pusplokštumėje nuo kiekvienos tiesės , kurioje yra jo kraštinė.

Iškilasis daugiakampis Neiškilasis daugiakampis

50 pav.

A D

51 pav.

ZCDA - iškilojo daugia-kampio ABCD kampas ; ZCDM - priekampis prie

эд viršūnės D (51 pav.).

52 paveiks le p a v a i z d u o t a s iškilasis p e n k i a k a m p i s ABCDB . αϊ , a2 , CC3 , Ct4 , Ot5 - p e n k i a k a m p i o k a m p a i p r i e v i ršūnių A,B,C,D,E a t i t i nkama i , o

Pi . P2 . Рз > P* . Ps -penkiakampio priekampiai prie viršūnių A , B , C , D , E atitinkamai.

Turime:

Iškilojo daugiakampio prickainpiu prie viršūnės vadiname kampą , gretutinį su daugiakampio kampu prie tos viršūnės.

Teorema. Iškiliojo n-kampio kampų suma lygi 180°(n-2).

Teorema. Iškiliojo n - kampio priekampių suma lygi 360° .

a , + Cx2 + a 3 + CX4 + a 5 = =180°(5-2) = 180°· 3 = 540°

β1 + β 2 + β 3 + β4 + β5 = 360ο .

6.TAISYKLINGIEJI DAUGIAKAMPIAI

Taisyklinguoju daugiakampiu vadinamas iškilasis daugiakampis kurio visos kraštinės lygios ir visi kampai lygūs.

Kiekvienas taisyklingojo n - kampio kampas lygus

suma lygi 180°(n-2) .

180°(n-2) n

O jų

Įbrėžtu į apskritimą daugia-kampiu (įbrėžtiniu daugiakam-piu) vadiname daugiakampį , kurio visos viršūnės yra viena-me apskri t ime.

53 pav. 53 paveiksle pavaizduotas daugiakampis A B C D E yra įbrėžtinis.

Pats apskritimas šiuo atveju vadinamas apibrėžtu apie daugiakampį apskritiniu (apibrėžtiniu apskritimu).

B,

a v ^

E 54 pav. av. I d

Apibrėžtu apie apskritimą daugiakampiu (apibrėžtiniu daugiakampiu) vadiname dau-giakampį , kurio visos kraštinės liečia vieną apskritimą . 54 paveiksle pavaizduotas daugiakampis A j B i Q D i E i yra apibrėžtinis. Pats apskritimas šiuo atveju

vadinamas {brėžtu j daugiakampį apskritimu (įbrėžtiniu apskritimu).

Kiekvienas taisyklingasis iškilasis daugiakampis yra įbrėžtinis ir api-brėžtinis daugiakampis , t.y. apie kiekvieną taisyklingąjį daugiakampį galima apibrėžti apskritimą ir į kiekvieną taisyklingąjį daugiakampį galima įbrėžti apskritimą.Apibrėžtojo ir įbrėžtojo apskritimų centrai yra taisyklingojo daugiakampio ccntrc(,t.y. jie sutampa).

PLANIMETRIJA 6.TA LS Y K LIN GIEJI D A U G I A K A M P I A I .

čia p - daugiakampio pusperimctris , r - į daugiakampį įbrėžto ap-skritimo spindulys (55 pav.).

Kiekvieno apibrėžlinio daugiakampio plotas lygus jo pusperimetrio ir įbrėžtinio apskritimo spindulio sandaugai .

Taigi

=pr

Toliau žymėsime (55 pav.):

n - taisyklingojo n-kampio kraštinių skaičius ;

a,, - taisyklingojo n - kampio kraštinės ilgis ;

p - taisyklingojo n - kampio pusperimctris ;

R - apie taisyklingąjį daugia-kampį (n-kampį) apibrėžto ap-

r - į taisyklingąjį daugiakampį įbrėžto apskritimo spindulys;

S - taisyklingojo daugiakam-pio plotas;

α - taisyklingojo daugiakam-pio vidaus kampas ;

a 1 - taisyklingojo n - kampio centrinis kampas ; β - taisyklingojo n - kampio priekampis.

PLANIMETRIJA 6.TAISYKLINGIEJI DAUGIAKAMPIAI.

Pagrindines ΓοΓτηιιΙ^χ;

αη = 2Rsin 180°

n

P = n a „

tet = — - ^ - - 1 8 0 ° n

Q I 1 5 2 . 360° S = —R n sin 2 n

α / _ 360° n

ς „ r η α«Γ P =

360° n

Duomenys apie atskiras taisyklingųjų daugiakampių rūšis surašyti len-telėje:

7. TRIKAMPIAI

Trikampiu vadiname figūrų, kurią sudaro trys taškai, nepriklausantys vienai

tiesei, ir trys atkarpos, jungiančios kiekvienus du iš tų taškų.

56 pav.

Tuos tris taškus vadiname trikampio viršūnėmis,

o atkarpas - jo kraštinėmis. Trikampį žymime,

nurodydami jo viršūnes. 56 paveiksle

C pavaizduotas trikampis ABC, kurio viršūnės yra

taškai A , B ir C, o kraštinės AB , BC ir AC.

APIBRESIME TRIKAMPIO ELEMENTUS :

57 pav.

Trikampio aukštinė - statmuo, išvestas iš

trikampio viršūnės į tiesę, kurioje yra prieš

viršūnę esanti kraštine.

57 paveiksle atkarpa AD yra trikampio ABC

aukštinė.

58 pav.

Trikampio pusiaukampinė - trikampio

kampo pusiaukampinės atkarpa, jungianti

trikampio viršūnę su prieš ją esančios

kraštinės tašku.

58 paveiksle atkarpa AD yra trikampio ABC

pusiaukampinė.

59 pav.

60 pav.

61 pav.

Trikampio pusiaukraštinė - atkarpa,

jungianti trikampio viršūnę su prieš ja

esančios kraštinės viduriu.

59 paveiksle atkarpa A D yra trikampio

ABC pusiaukraštinė ( B D = C D ) .

Trikampio ABC vidaus kampu (arba

tiesiog kampu) prie viršūnės A

vadiname kampą, kurį sudaro

pusticsės AB ir AC (žr. 60 pav.).

62 pav.

Panašiai apibrėžiami to trikampio

kampai prie viršūnių B ir C.

Trikampio prickampiu prie trikampio

viršūnės vadiname kampą, gretutinį

trikampio kampui prie tos viršūnės.

61 paveiksle kampas BAD - trikampio

prieškampis prie viršūnės A.

Trikampio vidurinė linija - atkarpa

jungianti dviejų jo kraštinių vidurio

taškus.

62 paveiksle atkarpa MN yra trikampio

ABC vidurinė linija.

• TRIKAMPIO LYGUMAS. TRIKAMPIŲ LYGUMO POŽYMIAI.

Trikampius ABC ir AjBjCi vadiname lygiais, kai A B = A i B b B C = B i C t ,

A C = A i C b Z A = Z A b Z B = Z B b Z C = Z C i , l.y. lygiais vadiname

trikampius, kurių atitinkamos kraštinės lygios ir atitinkami kampai lygūs..

Pagrindinė lygių trikampių egzistavimo savybė (trikampio, lygaus duotajam,

egzistavimo aksioma).

Kad ir koks būtų trikampis, yra jam lygus trikampis, kurio padėtis duotos

pusticsės atžvilgiu yra iš anksto nurodyta.

Trikampio lygumo požymiai.

1 požymis. Jci vieno trikampio dvi kraštinės ir kampas tarp jų atitinkamai

lygūs kilo trikampio dviem kraštinėms ir kampui tarp jų, tai tie trikampiai

lygūs {trikampių lygumo požymis pagal dvi kraštines ir kampą tarp jų).

2 požymis. Jci vieno trikampio kraštinė ir prie jos esantys kampai lygūs kito

trikampio kraštinei ir prie jos esantiems kampams, lai tie trikampiai lygūs

(trikampių lygumo požymis pagal kraštinę ir prie jos esančius kampus).

3 požymis. Jei visos vieno trikampio kraštinės atitinkamai lygios kilo trikampio

kraštinėms, lai lie trikampiai lygūs

(trikampių lygumo požymis pagal tris kraštines).

« PRAŽULNUSIS TRIKAMPIS

Žymėjimai (žr. 63 pav. ) :

α , β , γ - trikampio vidaus kampai ( Ζ Α = α , Z B = β , Z C = y );

α , b , с - trikampio kraštinės ( α = B C - p r i e š kampą α esančios kraštinės

ilgis; b = A C - prieš kampą β esančios kraštinės ilgis; C=AB -

prieš kampą γ esančios kraštinės ilgis;

α 1 , β ' , γ1 - trikampio prickampiai (a1- kampo αpr ickampis ; β1 - kampo β

priekampis; У - kampo γ prickampis);

h a j , h c - trikampio aukštinės, nuleistos iš trikampio viršūnių į tieses,

kuriose yra atitinkamos priešais esančios kraštinės a , b , c ;

m a , m b , m c - trikampio pusiaukrašlinės, jungiančios trikampio viršūnes su

priešais esančių kraštinių a , b, c vidurio taškais;

'a > 'ь i 'c - trikampio pusiaukampinės, jungiančios trikampio viršūnes su

priešais esančių kraštinių a , b , c taškais;

M N - trikampio ABC vidurinė linija;

P - trikampio perimetras;

P - trikampio pusperimctris;

R - apie trikampį apibrėžto apskritimo spindulys;

r - į trikampį įbrėžto apskritimo spindulys;

S длвс - trikampio ABC plotas.

* Visos šiame skyrelyje išvardintos savybės ir formulės teisingos bet kuriam trikampiui

Trikampio perimetras yra visų trikampio kraštinių ilgių suma.

P = a + b + c

Trikampio pusperimctris lygus pusei perimetro.

P d+b+C

Trikampio kampų suma lygi 180°.

α+β+γ=180°

Trikampio prickampiu savybės :

1. Trikampio prickampis lygus jam negretutinių trikampio vidaus kampų

sumai.

α'=β+γ ? β'=α+γ > γ'=α+β

Trikampio nelygybė.

Trikampio nelygybe vadiname atstumų tarp trijų taškų savybę, nusakomą šia

teorema :

Atstumas tarp dviejų taškų ne didesnis už sumą atstumų nuo tų taškų iki bet

kurio trečio taško.

Jei taškai A, B, C yra trikampio viršūnės, lai

kiekviena trikampio kraštinė yra mažesnė už kilų dviejų sumą.

a < b + c , b < a + c , c < a + b .

Trikampio vidurinės linijos savybe.

Trikampio vidurinė linija yra lygiagreti trečiajai kraštinei ir lygi jos pusei.

MN j Į AC , MN = -AC b

2 ~ 2

Trikampyje:

1) Lygias kraštines [kampus] atitinka lygūs kampai [lygios kraštinės].

Pavyzdžiui, jei a = b, lai ZA=ZU [jei Z A = Z B , tai a = b ] .

2) Prieš didesnį kampą [didesnę kraštinę] yra didesnė kraštinė [didesnis

kampas]

Pavyzdžiui, jei Z A > Z B . lai a > b [jei α > b , tai Z A > Z B ] .

• KOSINUSŲ TEOREMA. Trikampio kraštinės kvadratas lygus kilų dviejų kraštinių kvadratų sumai

minus dviguba sandauga tų kraštinių ir tarp jų esančio kampo kosinuso

(kosinusų teorema).

63 paveiksle pavaizduotam trikampiui ABC kosinusų teorema taip užrašoma :

a2 = b2 + c2 - 2bc cos a

b2 = Q2 + c2 - 2ac cos β

c2 = a2 + b2 - 2ab cos γ

Išvada iš kosinusų teoremos :

Trikampio kraštinės kvadratas lygus kitų dviejų kraštinių kvadratų sumai "±"

dviguba sandauga vienos jų ir kitos kraštinės projekcijos joje. Ženklą " + "

reikia rašyti tada, kai prieš esantis kampas yra bukas, o ženklą "-" rašyti, kai

tas kampas smailus.

Sinusii teorema.

Trikampio kraštinės proporcingos prieš jas esančių kampų sinusams

(sinusų teorema)

63 paveiksle pavaizduotam trikampiui sinusų teorema taip užrašoma :

α

s i n α s i n β s in γ

Jei apie trikampį ABC apibrėžtas

apskritimas, kurio spindulys yra R

(žr. 65 pav.), tai

a=2Rs ina , b=2RsinP, c=2Rsiny

Iš pastarųjų lygybių seka, kad

65 pav. s i n α s i n β s i n γ

= 2R

Trikampių aukštinių ha, Iib ir hc skaičiavimo formulės (kai žinomos kraštinės).

Trikampio aukštiniu savybė:

Trikampio aukštinės kertasi viename taške.

Trikampio aukštinių_ha, hb ir hc ir (brėžto į trikampi apskritinio spindulio r

sąryšis.

J _ J _ J _ _ I h„ hb hc ~ r

Trikampio aukštinių ir kraštinių sąryšis.

i i 2

C h :hb:hc = —:r'~ = bc:ac:ab

α b

'Frikampio ploto skaičiavimo formulės.

Trikampio plotas lygus pagrindo ir aukštinės sandaugos pusei.

S = j a h , S = ^ b h b S = ^ c h c

Trikampio plotas lygus dviejų jo kraštinių ir sinuso kampo tarp

jų sandaugos pusei.

S = — α ο β ί η β S = J d b s i n T S = - į - b e s i n a 2

Kitos formulės:

S = rp S = abc 4R

S=VP(P-a) (P"b) (p-c ) - Hcrono formulė;

a + b + c čia p - trikampio pusperimctris , P = ^

Trikampio ploto skaičiavimas, kai žinomi visi jo kampai :

о a2 sin Psiny b2 sinasiny c2 sinasinP S — _ .

2 sina 2 sin β 2 sin γ

o ha2sina hb

2 sin β hc2 sin γ

2 sin β sin γ 2sinasiny 25ΐηα5ΐηβ

Trikampio pusiaukampinės savybė.

66 pav.

Trikampio ABC

pusiaukampinės i ^ ir i c

kcrlasi viename taške

(žr.66 pav.).

Pusiaukampinė dalija

trikampio kraštinę į

atkarpas, proporcingas

kitoms dviem jo kraštinėms.

Pusiaukampinci I a ši savybė taip užrašoma:

; t.y. m : n = b : c CD : B D = A C : A B (žr.66 pav.).

L· =

£a = Vbc - m n

-y/bc(a + b + c)(b + c - a) b + c

Trikampio pusiaukraštinės ir iu savybė.

Trikampio pusiaukraštinės ma,

mb ir m c kertasi viename

taške, kuris dalija kiekvieną

pusiaukrašlinę santykiu 2 : 1

skaičiuojant nuo trikampio

viršūnės, t.y.

AO = 2 0 L , BO = 2 0 E ,

OC = 2 0 K (žr. 67 pav.)

Aišku, kad

O B = I B E

O E = ) ΐ - ( В Е = т ь )

O C = I k c

O K = Д к с ( К С = т с )

A O = f -

O L = > T - ( A L = т а )

а = — л / 2 ( т ь г + r r i c ! ) - m c !

mc = + b2) - c2

b = y^/2(ma2 + тс2) - т ь 2

2 — ^ c = — V2(ma

2 + ть2) - тс2

3 2 . 2 / 2 , l 2 , 2 \ т а + mb + т с = - ( а +b + с )

J trikampį įbrėžto apskritimo

centras yra to trikampio

pusiaukampinių susikirtimo

taškas.

I trikampį įbrėžtas apskrit imas.

Įbrėžtu į trikampį apskritimu (įbrėžtiniu apskritimu) vadiname apskritimą,

kuris liečia visas trikampio kraštines.

68 paveiksle pavaizduotas į trikampį ABC įbrėžtas apskritimas.

, arba

čia p - trikampio pusperimctris.

Apic trikampi apibrėžtas apskrit imas

69 pav.

Apie kiekvieną trikampį galima apibrėžti

apskritimą.

Apic trikampį apibrėžto apskritimo centras

yra to trikampio kraštinių vidurio statmenų

susikirtimo taškas.

Apibrėžtu apie trikampį apskritimu (apibrežtiniu apskritimu) vadiname

apskritimą, kuris eina per visas trikampio viršūnes.

69 paveiksle pavaizduotas apie trikampį ABC apibrėžtas apskritimas.

čia R = O C - apie trikampį apibrėžto apskritimo spindulys.

Pcr bet kuriuos tris taškus, nesančius vienoje tiesėje, galima nubrėžti tiktai

vieną apskritimą.

Jeigu du apskritimai turi tris bendrus taškus, tai tie apskritimai sutampa.

STATUSIS TRIKAMPIS

70 pav.

Stačiuoju trikampiu vadiname trikampį,

turintį statų kampą.

Kiekvienas statusis trikampis turi tik vieną

statų kampą. Kiti du stačiojo trikampio

kampai yra smailūs.

Stačiojo trikampio kraštinę, esančią prieš

statųjį kampą, vadiname įžumbine, o kitas dvi kraštines - statiniais. 70

paveiksle pavaizduotas trikampis yra statusis, ZC=90° - status, AB - įžambinė,

CB ir CA - statiniai.

Stačiojo trikampio kraštiniu ir kampu sąsajos.

Stačiojo trikampio smailiojo kumpo α sinusu (žymime sina) vadiname stalinio

ВС, esančio prieš kampą a , ir įžambinės AB santykį (žr. 70 pav.) :

Iš s ina apibrėžimo seka, kad statinis, esantis prieš kampą a , lygus įžambinei,

padaugintai iš s i n a , t.y.

BC = AB · sina , o įžambinė a ^ -BC

sina Kampo α kosinusu (žymime cosa)vadiname statinio AC, esančio prie to

kampo, ir įžambinės AB santykį (žr. 70 pav. ) :

Iš cosa apibrėžimo seka, kad statinis, esantis prie kampo a , lygus įžambinei,

padaugintai iš cosa , t.y.

Kumpo a tangentu (žymime tga) vadiname statinio ВС, esančio prieš kampą

a , ir statinio AC, esančio prie kampo a , santykį (žr. 70 pav.)

Iš tga apibrėžimo seka, kad statinis, esantis prieš kampą a , lygus antrajam

statiniui, padaugintam iš to tga , t.y.

BC = AC · tga

Kuinpo a kotungentu (žymime ctga) vadiname statinio AC , esančio prie

kampo a , ir stalinio ВС, esančio prieš kampą a , santykį (žr. 70 pav.) :

Iš ctga apibrėžimo seka, kad statinis, esantis prie kampo a , lygus antrajam

statiniui, panaudotam iš ctga , t.y.

A C = BC -Ctga

Panašius sąryšius galime užrašyti ir kitam trikampio smailiajam kampui β

(žr. 70 pav.), bū ten t : .

• л A C S m A B

A C = A B - S i n p A C

A B = - — s inp

« fiC c o s P = — BC = AB -Cosp

BC A B =

COS β „ A C

« = в с A C = B C - t g p

_ A C ВС = —

tgP „ BC

C* = AC B C = A C - C t g P

e tgp

Teisingos tapatybės:

s i n 2 a +cos 2 a = 1 ;

, . г ' 1 + tg -a = — r - ; cos a

, 1 1 Ig a sin a

s i n a c o s a t g a = ; c tga = —

c o s a s i n a

Nagrinėjant stačiuosius trikampius, galima taikyti bendruosius trikampių

lygumo požymius. Tačiau statiems trikampiams yra specialių požymių.

Kiti sąryšini ir formulės.

Žymėjimai (žr 71 nav.):

Nagrinėjant stačiuosius trikampius, galima taikyti bendruosius trikampių

lygumo požymius. Tačiau statiems trikampiams yra specialių požymių.

1. požymis. Jei vieno slačiojo trikampio įžambinė ir smailusis kampas yra

atitinkamai lygūs kilo trikampio įžambinci ir smailiajam kampui,

tai tie trikampiai lygūs (lygumo požymis pagal įžambinę ir

smailųjį kampą).

2. požymis. Jei vieno slačiojo trikampio statinis ir prieš jį esantis kampas yra

atitinkamai lygūs kito trikampio statiniui ir prieš jį esančiam

kampui, tai tie trikampiai lygūs (lygumo požymis pagal statinį ir

prieš jį esantį kampą).

3. požymis. Jci vieno slačiojo trikampio įžambinė ir statinis yra atitinkamai

lygūs kito trikampio įžambinci ir statiniui, lai tie trikampiai lygūs

(lygumo požymis pagal įžambinę ir statinį).

γ = Z C = 90° ;

α , β - smailieji trikampio kampai

α , b - staliniai

hc - aukštinė, nuleista iš slačiojo

kampo viršūnės C į įžambinę ;

a c - stalinio α projekcija įžambinėje;

bc - stalinio b projekcija įžambinėje;

S - slačiojo trikampio AliC plotas.

ZCBD=ZACD=P

ZC=ZA+ZB=90° (γ=α+β=90°)

Slačiojo trikampio statinis yra įžambiuos ir to statinio projekcijos įžambinėje

geometrinis vidurkis.

Ši savybė 71 paveiksle pavaizduotam slačiajam trikampiui užrašoma šitaip :

a 2 = с • a c a r b a α = V c - a c

b 2 = c - b c a r b a b = V c bc

Slačiojo trikampio aukštinė, nubrėžta iš slačiojo kampo viršūnės, yra stalinių

projekcijų įžambinėje geometrinis vidurkis.

Ši savybė 71 paveiksle pavaizduotam trikampiui užrašoma šitaip :

h c2 = Q c • b c ( a r b a h c = ^ a c b c )

VI a.p.m.c. senovės graikų matematikas Pitagoras įrodė teoremą, kurią

vadiname Pitagoro teorema.

Pitagoro teorema. Slačiojo trikampio įžambinės kvadratas lygus statinių

kvadratų sumai.

71 paveiksle pavaizduotam trikampiui Pitagoro teorema užrašoma šitaip :

C 2 = Q 2 + b 2

zCAD=ZBCD=a

Iš šios lygybės turime :

C = V a 2 + b 2 , a 2 = c 2 - b 2 , a = л / с 2 - b 2 ,

b 2 = c 2 - a 2 , b = V c 2 - a 2 .

Bet kuris stačiojo trikampio stalinis yra mažesnis už įžambinę.

Stačiojo trikampio ploto skaičiavimo formules.

(stačiojo trikampio plotas lygus stalinių sandaugos pusei)

Stačiojo trikampio sunkio centras (pusiaukrašlinių susikirtimo taškas) nutolęs

nuo kraštinių a, b ir c atstumu - b , ^ a ir ^ h atitinkamai.

Statusis trikampis, kurio vienas kampas lygus 30°. 72 paveiksle pavaizduotas

statusis trikampis ABC,

kurio vienas kampas lygus

30°.

Z A = 3 0

72 pav. Z C = 9 0 °

Z B = 6 0 °

Stačiojo trikampio stalinis, esantis prieš 30 kampą, lygus pusei įžambinės.

Trikampio ABC kampas C - stalus, Z A = 3 0 ° (žr. 72 pav.). Todėl

Kitos formules;

C

° = 2

I statuii trikampi ibrežtas apskritimas (jbrežtinis apskritimas).

Žymėjimai (žr. 73 pav. ) :

O - įbrėžtinio apskritimo centras

(pusiaukampinių AO, BO ir

CO susikirtimo taškas);

O M = O K = O L = T - įbrėžtinio

apskritimo spindulys;

B C = a , A C = b - staliniai;

A B = c - įžambinė. 73 pav.

Teisingos lygybės: C M = C L = r , BK=BL, A K = A M ; be to O M i . AC,

OK ± AB, O L J. B C .

Trikampio A B C perimetras lygus dvigubos įžambinės ir įbrėžto apskritimo

skersmens sumai.

73 paveiksle pavaizduotam trikampiui ABC ši savybė taip užrašoma :

a + b + c = 2 c + 2 r

Ta^la jbrčžlinio apskritimo spindulys α + b - c

r =

Apic Statujj trikampi apibrėžtas apskritimas

(apibrėžtims apskritimas')·

74 pav.

Žymėjimai (žr. 74 pav.)

O - apibrčžtinio apskritimo centras;

AB=C - slačiojo trikampio ABC

įžambinė ;

ITlc - pusiaukraštinė, nubrėžta iš

stačiojo kampo viršūnės C į

įžambinę;

R - apibrėžto apskritimo spindulys.

Apibrčžtinio apskritimo centras yra įžambinės vidurio taškas.

Apibrčžtinio apskritimo spindulys R lygus pusei įžambinės.

(žr. 74 pav.)

Skyrelio "Slalusis trikampis" pabaigoje išspręsime vieną uždavinį, kuris

išreiškia stataus trikampio stalinių savybę .

(rodykiIc, kad slačiojo trikampio statinių suma lygi įbrėžtojo ir apibrėžtojo

apie trikampį apskritimų skersmenų sumai.

Įrodymas.

7 5 p a v .

Sakykime, apie statųjį trikampį

ABC (žr. 75 pav.), kurio

staliniai α = B C ir b=AC, o

įžambinė c=AB, apibrėžtas R

β spindulio apskritimas ir į tą

trikampį įbrėžtas r spindulio

apskritimas. Iš brėžinio matyli,

kad O K = O M = O L = r ;

OK 1 AB , OM 1 BC ,

OL J. AC (spindulys išvestas į

apskritimo ir liestinės lietimosi tašką, statmenas licstinci); AO - kampo LAK

pusiaukampinė , OB - kampo KBM pusiaukampinė.

Trikampiai AOL ir AOK, o taip pat trikampiai BOM ir BOK yra lygūs, nes

turi po tris lygias kraštines (žr. trikampių lygumo požymį pagal tris kraštines).

Vadinasi, Saol=Saok (trikampio AOL plotas lygus trikampio AOK plotui) ir

Sauom=Saijok (trikampio BOM plotas lygus trikampio BOK plotui).

Keturkampis OLCM yra kvadratas, nes O L = O M = C L = C M = r . Iš brėžinio

matome , kad Sa»c=2Saol+2S»om+Solcm-

Kadangi S a u c

a b ( b - r ) r ( a - r ) r AOL jIiOM Solcm-r

tai a b ( b - r ) r ( a - r ) r , - r - = 2 0 + 2 V ' + r 2 2 2 arba ab=2r(b- r )+2r (a - r )+r 2 .

Sutvarkę paskutiniąją lygybę, gauname ab=2r (a+b) -2r 2 . Iš čia 2r2-

2r(a + b ) + a b = 0 .

Gavome kvadratinę lygtį r atžvilgiu (r - kintamasis).

α + Ь ± л / а 2 + b2

Ją išsprendę randame r = . Reikšmė

a + b W a 2 + b 2 a + b + c r ~ 2 = 2 netinka, nes iš pastarosios lygybės gautume

. v „ α + b - V a 2 + b 2

prieštarą 2 r > c , o taip negali būti. Vadinasi, r = . Taigi

2r = a + b - V a 2 + b 2 . Kadangi į apskritimą įbrėžtojo stačiojo trikampio

įžambinė lygi to apskritimo skersmeniui, tai c = л/а2 + b 2 = 2R . [rašę šią

reikšmę į 2r išraiška, gauname 2 r = a + b - 2R . Todėl

а + b = 2r + 2R

• LYGIASONIS TRIKAMPIS.

Lygiašoniu t r ikampiu vadinamas trikampis, turintis dvi lygias kraštines.

Lygiašonio trikampio lygios kraštinės vadinamos jo šoninėmis krašt inėmis, o

trečioji kraštinė - pagrindu. 76 pavaizduotas lygiašonis trikampis ABC.

Ž y m ė j i m a i (žr. 76 pav.1:

a, b - šoninės kraštinės ;

c - pagrindas.

Lygiašonio trikampio savybės:

1. а = b (šoninės kraštinės lygios);

2. Z A = Z B (kampai prie pagrindo

lygūs);

3. h c = l c = m c (aukštinė, pusiaukampinė ir 76 pav.

pusiaukraštinė, kertančios pagrindą c , su tampa ).

h = h, 2S

4 R =

2 h , r =

c ( 2 a - c) 4h,

STATUSIS LYGIASONIS TRIKAMPIS

Statusis trikampis, turintis du lygius stalinius, vadinamas

stačiuoju lygiašoniu t r ikampiu.

A ^

/ 4 5 й " 4 5 < \ а /

h \ а

/ v 5 ° Ί 4 5 / \ c

77 pav.

B

77 paveiksle pavaizduotas

trikampis A B C yra statusis

lygiašonis trikampis.

A B - įžambinė

A C = B C = a (statiniai lygūs)

Z C = 9 0 °

Z A = Z B = 4 5 °

h - t r ikampio aukštinė,

sutampant i su pusiaukraštinė

ir pusiaukampinė.

r 2 Q 2 L а = - 7 = V2 5 h - f ?

S = T 9 S = T

LYGIAKRAŠTIS TRIKAMPIS

Lygiakraščiu vadinamas trikampis, kurio visos kraštinės ir visi kampai lygūs.

A

A r \

o/y в

Ί

α B

78 pav.

78 paveiksle pavaizduotas lygiakraštis

trikampis A B C .

a = b = c (visos kraštinės lygios)

Z A = Z B = Z C = 6 0 ° (visi kampai lygūs)

(žr. 78 pav.)

h a = l a = m a ; h b = l b = m b ; Iic=Ic=ITi,.

(aukštinė, pusiaukampinė ir

pusiaukraštinė sutampa)

Lygiakraščio trikampio aukštinę

žymėsime raide h.

Г = a V Š

• Keturi ypatingi trikampio taškai

1 taškas. Trikampio aukštinės kertasi viename taške.

2 taškas. Trikampio pusiaukampinės kertasi viename taške. Šis taškas yra

įbrėžto į trikampį apskritimo centras.

3 taškas. Trikampio pusiaukraštinės kertasi viename taške.

4 taškas. Trikampio kraštinių vidurio statmenys kertasi viename taške. Šis

taškas yra apie trikampį apibrėžto apskritimo centras.

Išspręsime keletą skyriaus "Trikampiai" uždavinių.

1 uždavinys. Trikampio ABC pusiaukraštinė AM statmena pusiaukrašlinci

BN. Raskite trikampio ABC plotą, jeigu A M = m ir B N = n .

Snrcnd imas .

Sakykime pusiaukraštinės AM ir BN

kertasi taške O (79 pav.). Remdamiesi

trikampio pusiaukraštinių savybe,

2 ^ turime A O = - A M .Pusiaukraštinė AM

K N L 3 7 9 p a v . statmena pusiaukrašlinci BN, vadinasi,

AO — trikampio ABN aukštinė. Trikampio ABN plotas

1 1 2 1 1 S a u n = 2 A C ) ' 3 N = ^ " J a m b n " З A M - B N = - m n . Trikampiai ABC

ir ABN turi bendrą aukštinę BK, išvestą iš viršūnės B, bc to, trikampio ABC

pagrindas AC dvigubai ilgesnus negu trikampio ABN pagrindas AN. Vadinasi,

trikampio ABC plotas dvigubai didesnis negu trikampio ABN plotas.

Iš tikrųjų, S a u n = — A N - B K į r

3ADC | A C - B K = | - 2 A N - B K = 2 2 2

J - A N - B K j = 2SABN .

Taigi S a u c = 2 S a u n = 2 · - m n = T m n i

Atsakymas . ~ m n .

2 uždavinys.

J Statųjį trikampį ABC įbrėžtas apskritimas, kurio centras nutolęs nuo

trikampio viršūnių A ir B atstumais -Js ir -JlO . Raskite statinius AC ir ВС.

80 pav.

Sprendimas.

Sakykim, ABC - statusis trikampis,

kurio statiniai AC ir ВС, O - įbrėžtojo

apskritimo centras, AO= -Js ir

BO=VTo (žr. 80 pav.). Iš taško O

nubrėžkime statmenis OK, OM ir ON

į trikampio kraštines. Kadangi

apskritimas įbrėžtas į trikampį, lai

AO ir BO yra trikampio pusiaukampinės, o statmenys OK, OM ir ON lygūs

apskritimo spinduliui, kurį žymėsime raide r. Uždavinys sprendžiamas

nesunkiai, jeigu nežinomaisiais laikysime ne statinius, o įbrėžto apskritinio

spindulį ir kampą a = Z O A K .

Turime : Z C B A = 180° - ( 90° + 2 a ) = 90° - 2 a ,

Z O B K = Ά Z C B A = Ά ( 90° - 2 a ) = 45° - a .

Iš stačiųjų trikampių OAK ir OBK randame :

r = -Js s ina ir r = -Jlo sin ( 45° - a ) ; čia r = O K .

Todėl Vs s i n a = Vio sin ( 45° - a ) .

o Vž Kadangi sin (45 - α ) = — (cosa - s ina) , tai s ina = cosa - s ina ,

arba s ina = cosa - s ina , arba 2sina = cosa .

Gavome paprasčiausią trigonometrinę lygtį. Abi lygties puses dalijame iš cosa

ir gauname tga = Vi.

tga Žinome, kad s i n a - + · Kadangi 0°<a<45° ( I ketvirčio

kampas), tai prieš vardiklyje esančią šaknį rašomas ženklas " + " .

1 tga _ 2 1

Vl + le2a ΓΎΪΎ~>Γ5 •

1 _ . . tga į I I aigi sin α = . = -

^ Г ш

Turime : r = -Jssina=-Js " J j = I · Pritaikę Pitagoro teoremą staliems

trikampiams A M O ir BNO, randame :

AM = VAO 2 - ОМ2 , AM = J ( S ) 2 - I 2 = 2 ;

BN = VBO 2 -OB 2 , BN = ^ ( V i o ) 2 - i 2 =3 .

Kadangi A C = A M + M C , lai A C = 2 + 1 = 3 , n e s M C = r = l . Analogiškai

B C = B N + N C , t.y. B C = 3 + 1 = 4 , nes N C = r = l .

Atsakymas. 3 ; 4 .

3 uždavinys. Per smailiojo lygiašonio trikampio ABC pagrindo AC tašką A ir

apie tą trikampi apibrėžto apskritimo centrą O nubrėžta tiesė, kertanti

kraštinę BC taške D. Apskaičiuokite atkarpos AD ilgį, kai A B = B C = b , o

Z A B C = a .

Sprendimas.

Apie trikampį ABC apibrėžto apskritimo centras O yra pusiaukampinėje BK (žr. 81 pav.), nes BK yra kraštinės AC vidurio statmuo (BK 1 AC ir AK=KC). ZABO = α

γ , nes pusiaukampinė BK dalija kampą

Z A B C = a pusiau. Trikampis AOB yra

lygiašonis , nes turi dvi lygias kraštines AO = OB = R, čia R - apibrėžto α

apskritimo spindulys. Vadinasi, ZABO = γ (lygiašonio trikampio AOB

kampai prie pagrindo lygūs). Taigi du trikampio ABD kampai žinomi :

Z B A D = - , Z A B D = a . Tada trečiasis trikampio ABD kampas

Z A D B = 180° - ( Z B A D + ZABD ) = 180° - ( | + α ) = 180° - y .

Remdamiesi sinusų teorema, iš trikampio ABD gauname

AD AB A D _ b s i n C X

sin α " f o 3α V T o d 6 1 . 3 a . sin^lSO - — - I s i n - -

Pastaba. Trikampio ABD kampų BAD galėjome rasti ir kitu būdu. Z A O C = 2 Z A B C = 2 a (įbrėžtinis kampas ABC lygus pusei centrinio kampo AOC). Kadangi ADAC lygiašonis, lai ZOAC=ZOCA=90°-o t . Todėl

ZBAD = ZBAC - Z O A C = 90° - - - (90°-a) = - .

4 uždavinys. Duolas lygiašonis trikampis ABC, kurio A B = B C = a , o aukštinė

BD=h. Rasti į trikampį įbrėžto apskritimo spindulį.

smailųjį kampą DBC (yra bendrasi;

panašūs :ADEB~ACDB. Vadinasi

Sprendimas.

Sakykim, O - įbrėžtojo apskritimo

centras ; tad^a jis priklauso aukštinei BD

(žr. 82 pav.). Jeigu apskritimo ir

kraštinės BC lietimosi tašką

pažymėsime E, lai O E = r (r - įbrėžtojo

apskritimo spindulys) ir OEJ.BC

(spindulys statmenas licstinci lietimosi

taške). Kadangi trikampiai CDB ir

OEB yra statieji ir turi po vienodą

trikampių CDB ir OEB kampas), lai jie

i, trikampių OEB ir CDB atitinkamos

. . . . . OB OE krastines proporcingos. Turime : — = — . Bel O B = B D - O D = h - r ( O D = r ) ,

o DC = Va2 - h 2 ( taikėme Pitagoro teoremą stačiajam trikampiui BCD), todėl

h - r r

" ^ V a 2 - I i 2 ·

I i V a 2 - I i 2

Iš čia r -i + V a 2 - h 2 '

5 uždavinys, {trikampį ABC, kurio plotas lygus S, įbrėžtas spindulio r

apskritimas, liečiantis trikampio kraštines AC ir BC atitinkamai taškuose M

ir N. Rasti kraštinės AC ilgį, jeigu AM:MC=2:3 irBN:NC=5:6.

Sprendimas.

Sakykime, kraštinės AC ilgis

lygus α (83 pav.). Pagal sąlygą

AM : MC=2:3, todėl AM=2x , o

MC=3x (čia abiejose

paskutinėse lygybėse χ - p a s t o v u s

C daugiklis).

8 3 pav . Kadangi A M + M C = A C , lai o „ .» ». α 2α 3α 2 χ + 3 χ = α ; is cia χ = - . Vadinasi, Α Μ = 2 χ = γ , ο M C = 3 x = γ . Remdamiesi

. . . . . . . . 3α iicslinių, išvestų is vieno taško, savybe, turime: N C = M C = Y ir tada iš sąlygos

BN:NC=5:6 gauname: ^ = | , t.y. BN = γ Jeigu apskritimas liečia kraštinę

T

AB taške P, lai taip pat A P = A M = γ ir B P = B N = γ . Trikampio ABC plotą

galima skaičiuoti pagal formulę

S = p r , (1)

A C + A B + B C kur p = -trikampio pusperimctris.

Kadangi A C = a , A B = A P + B P , B C = B N + N C , tai

2α α α 3a a + AP + BP + BN + NC q + Y + 2 + 2 + T 3 O ' 0 3 a

P = 2 ~ 2 = 20 ~ 2 ' 3

[rašę rastąją puspcrimetrio p reikšmę į (1) formulę, gauname S = a r .

2 S Iš čia a = - - . 3 r

2 S Atsakymas. .

(i uždavinys. Stačiajame trikampyje ABC iš stačiojo kampo viršūnės C išvesta

aukštinė CD. Taškas D nutolęs nuo statinių AC ir BC atitinkamai atstumais m

ir n. Raskite stalinių ilgius.

Sprendimas.

Sakykime, DA1 JL AC ir DB1 1 ВС, nes

atstumu nuo taško iki tiesės laikomas

statmens, išvesto iš to taško į tiesę, ilgis (84

pav.). Jeigu dvi tiesės statmenos vienai ir tai

pačiai trečiajai tiesei, tai jos lygiagrečios.

Todėl, jei DAj J- A C ir BC ± AC , lai

DA1 ĮI BC . Analogiškai, jei DBi 1 BC ir

A j л A C i ВС, lai DB1 11 AC. Vadinasi, CB,DAj -

8 4 p a v . stačiakampis. Tada C A i = D B , = n ir

C B i = D A i = m . Atkarpa DAi yra stačiojo trikampio C D A aukštinė, išvesta iš

stačiojo kampo viršūnės D. Kadangi stačiojo trikampio aukštinė, išvesta iš

stačiojo kampo viršūnės yra statinių projekcijų įžambinėje

geometrinis vidurkis, tai

D A f = C A i A 1 A .

Pažymėję b = A C , šią lygybę perrašykime taip : m 2 =n(b-n) . Iš čia b = 11 Analogiškai, pažymėję B C = a , iš stataus trikampio BCD randame

n2 + m 3 '

n2 + m2

α = • m . Vadinasi, statinių ilgiai lygūs

„2 , „ 2 n + m n + m ir m

7 uždavinys. Stačiojo trikampio įžambinės taškas yra vienodai nutolęs nuo

statinių ir dalija įžambinę į 40 cm ir 30 cm ilgio atkarpas.

Raskite trikampio statinius.

Sprendimas.

Sakykim, kad duotas statusis trikampis ABC

(85 pav.). Ant įžambinės AB atidėkime tašką D

taip, kad A D = 4 0 , DB=30. Iš taško D

išveskime statmenis D F ir D E į statinius AC ir

ВС. Kadangi D F lygus taško D atstumui iki

statinio АС, o D E lygus taško D atstumui iki

statinio ВС, tai, remiantis uždavinio sąlyga,

D F = D E . Vadinasi, keturkampis C F D E - kvadratas, o CD - jo įstrižainė. Bet

tada CD trikampio ABC kampo C pusiaukampinė. Remiantis trikampio

\ 85 pav.

D III λ

U—H B

AC AD AC 40 4 pusiaukampines savybe, = ^ , arba — = — = Pažymėję AC=x, iš

uždavinio sąlygos pagal Pitagoro teoremą randame : BC = V702 - x 2 . Todėl

χ 4 ^ 7 q 2 = J · Iš čia x=56 arba x=-56. Kadangi 0<x<70 , tai AC=56, BC=42.

Atsakymas. 56 cm, 42 cm.

8 uždavinys. Slačiojo t r ikampio A B C įžambinė A B = C sudaro su staliniu BC

kampą α . Rasime tokį įžambinės AB tašką, kad jo ats tumų iki statinių AC ir

BC kvadratų suma būtų mažiausia.

Sprendimas.

Sakykime, A B = c - stačiojo

trikampio A B C įžambinė,

ZABC=Oi (žr . 86 pav. ) .

Paimkime bet kurį įžambinės AB

tašką D. Prisiminkime, kad

atstumu nuo taško iki tiesės

8 6 p a v . vadinamas statmens, išvesto iš šio

taško į tiesę, ilgis. Vadinasi, jei iš taško D nubrėšime atkarpas D M ± AC ir

DN .L BC , tai šios a tkarpos ir bus atstumai nuo taško D ati t inkamai iki tiesių

A C ir BC. Pažymėkime B D = x . Tada A D = c - χ . Iš tr ikampių D N B ir

D M A randanle : DN=X s i n a , D M = ( c - χ )cosa. Vadinasi, taško D atstumų

iki A C ir BC kvadratų suma lygi

f (x)=x 2 s i n 2 a + ( c - x)2 eos2 a = x 2 - 2x c cos 2 a+c 2 cos 2a , čia O < χ < c . Reikia

rasti funkcijos f(x) mažiausiąją reikšmę atkarpoje [ O ; C ] . R a n d a m e funkcijos

f(x) kritinius taškus : f ' ( x ) = 2 x - 2c cos 2a ; f ' (x )= O , kai x = c cos 2 a .

Kadangi O < cos 2a < 1 , tai c cos2a e [ O ; C].

Apskaičiuosime funkcijos f(x) reikšmes atkarpos [ O ; C ] galuose ir kritiniame

taške x = c cos2a. Iš šių reikšmių išrinksime mažiausiąją reikšmę, kuri ir bus

funkcijos f(x) mažiausioji re ikšmė atkarpoje [ O ; C ]. Tur ime :

f ( 0 ) = c 2 Cos2CC ; f (c)=c 2 sin2cc;

f(c cos 2 a )=c 2 s in2a cos 2 a . Ma tome , kad f(c cos 2 a )<f (0 ) ir f(c cos"'a)<f(c).

Vadinasi, mažiausiąją re ikšmę funkcija f(x) įgyja taške x = c cos2cc . Taigi

B D = c COS2Oc, t.y. įžambinės taškas D turi būti nutolęs nuo viršūnės B ats tumu

C COS2OC.

t"'

9 uždavinys. Koks turi būti kampo prie duotojo ploto lygiašonio tr ikampio

pagrindo laipsninis matas, kad įbrėžtojo į šį trikampį apskri t imo spindulys

būtų didžiausias ?

Sprendimas .

Sakykime, A B C - nagrinėjamasis trikampis.

Pažymėsime : A C = C B = a , Z C A B = Z C B A = o ,

SAHC=S (87 pav.).

AB Turime : A D = A C . cosa , AD = — ,

n A B u — = AC · cosa (žr. brėžinį).

8 7 P a v - Iš čia A B = 2 A C · c o s a = 2 o c o s a .

Tada S=1A A B - A C - Sina= lA 2a 2 s i na c o s a = = ' / 2 a 2 s i n 2 a . Iš šios lygybės

2S trikampio šoninė krašt inė a = Trikampio puspcrimctr is p = A C + ' / 2 ·

•AB= α + a cosa. Išrcikšimc įbrėžto apskrit imo spindulį r kaip kampo α

_ S funkciją. Tur ime r - . J šią lygybę surašę anksčiau gautas S, p bei α išraiškas,

g a u n a m e :

1 2

j • , 1 α sin 2α - α s i n 2 α

r(a) = a + a c o s a 1 + cosa

1 Γ2Š~ 2 V sin 2a

1 + cosa

sin 2a V2Š Vsin 2 a π — , k u r O < a < -2 1 + cosa 2

Rasime funkcijos r (a) kritinius taškus :

V2S (Vsin2a) ( l + cosa) - (1 + cos a)1 Vsin 2a rA0O = (l + cosa)2

rzF ~r===== (1 + cos a) + sin a Vsin 2a лг? - /. , \ V2S Vsin2a V25 cos2a(l + cosa; + sin a sin 2a (l + cosa)2 (l + cosa)Vsin2a

= O

cos2a cosa + sina sin2a + cos2a = 0 ; 3a a

cosa+cos2a=0 ; c o s — c o s - = 0.

3a π a π Iš paskutinės lygties = 2 ' l ^ - a ~ ^ ' a r l ) a ~2~ 2 ' α = π · Kritinis

π taškas α = π nepriklauso nagrinėjamam intervalui ( 0 ; ^ )> todėl jį atmetame.

(A n Kadangi > u , o

Iim a—>0

-JlS Vsin 2a 2 l + cosa

л ι

= Iim V2S л/sin 2a

«-+-v λ 2 l + cosa 0

tai didžiausią spindulio r reikšmę gauname, kai α = Z C B A = ^ . t.y. kai

trikampis ABC yra lygiašonis.

8. KETURKAMPIAI

Keturkampiu vadiname figūrą, kurią sudaro keturi taškai ir keturios

nuosekliai juos jungiančios atkarpos.

Laikome, kad bet kurie trys iš tų taškų nepriklauso vienai tiesei, o juos

jungiančios atkarpos nesusikerta. Tuos keturis taškus vadiname keturkampio

viršūnėmis, o juos jungiančias atkarpas - keturkampio kraštinėmis.

Keturkampį žymime jo viršūnėmis.

88 paveiksle pavaizduotas keturkampis

ABCD.

Gretimomis viršūnėmis vadiname

keturkampio viršūnes, kurios yra

vienos kraštinės galai. Ncgretimas

viršūnes vadiname priešingomis.

Atkarpas jungiančias priešingąsias

keturkampio viršūnes vadiname jo

įstrižainėmis. 88 paveiksle pavaizduoto

keturkampio ABCD viršūnės A ir B

yra gretimos, o viršūnės B ir D -

priešingos ; įstrižainės yra atkarpos AC ir BD.

Keturkampio kraštines, išeinančias iš vienos viršūnės, vadiname gretimomis

kraštinėmis. Neturinčios bendro galo kraštines vadiname priešingomis

kraštinėmis. 88 paveiksle pavaizduoto keturkampio priešingos kraštinės yra

AB ir CD, BC ir AD, o kraštinės AB ir AD yra gretimos.

Iškiliuoju keturkampiu (daugiakampiu) vadiname keturkampį (daugiakampį),

esantį vienoje pusplokštumėjc nuo kiekvienos tiesės, kurioje yra jo kraštinė.

Laikoma, kad pali tiesė priklauso pusplokštumei, kurioje yra keturkampis. 89

paveiksle pavaizduotas iškilasis keturkampis KLMN, o 90 paveiksle

pavaizduotas keturkampis A B C D yra neiškilasis.

89 pav.

M

N 90 pav.

Toliau nagrinėsime tik iškiliuosius keturkampius.

« BET KOKS IŠKILASIS KETURKAMPIS.

с Yi i

W Z r

7 / У /hi

С

\ь Cti 7 / ^ ^ 7 7

п 1

A α

91 pav.

91 paveiksle pavaizduotas iškilusis keturkampis ABCD.

B

Ž y m ė j i m a i ( ž r . 91 pav ." ) :

A B = a , B C = b , C D = c , A D = d - keturkampio A B C D kraštinės ;

Z A = a , Z B = p , Z C = y , Z D = 5 - ke turkampio vidaus k a m p a i ;

oti» Pi» Yi» δι - atitinkamų keturkampio vidaus kampų prickampiai;

a + b + c + d P - 2 " pusper imet r i s ;

φ - kampas tarp įstrižainių di ir d 2 ;

A C = d i , B D = d 2 - keturkampio įstrižainės ;

Θ - priešingų kampų sumos pusė ;

h i , h2 - statmenys, nuleisti iš priešingų viršūnių į vieną įstrižainę (paveiksle į

įstrižainę d ^ ;

S - keturkampio plotas .

Keturkampio kampų suma lygi 360°

α + β + γ + δ = 360°

Keturkampio vidaus kampų prickampių suma lygi 360°

a , + P, + γι + δ, = 360°

Keturkampio ploto skaičiavimo formulės :

1 S = - ( h , + h 2 ) d 2

1 S = — d,d 2 sin (p

( Keturkampio plotas lygus įstrižainių ir sinuso kampo tarp jų sandaugos pusei).

P L A N I M E T R I J A «. K E T U R K A M P I A I

S = y/(p - α)(ρ - b)(p - c)(p - d) - abed cos2 O

S = i 7 ( 2 d , d 2 + a2 + c 2 - b 2 - d 2 ) ( 2d , d 2 - a 2 - c 2 + b 2 + d 2

« LYGIAGRETAINIS

Lygiagretainiu vadiname keturkampį, kurio priešingos kraštinės lygiagrečios,

t.y. priklauso lygiagrečioms tiesėms.

Žymėjimai ("92 pav.) :

a, b, c, d - lygiagretainio A13CD kraštinės ;

α, β, γ, δ - lygiagretainio vidaus kampai ;

h = D E = C F - aukšt inė;

A C = d | , B D = d 2 - įstrižainės ;

φ - kampas tarp įstrižainių .

P L A N I M E T R I J A 8. K E T U R K A M P I A I

Lyuiagreta i n io nožym i s.

Teorema. Jei keturkampio įstrižainės susikerta ir susikirtimo taškas jas dalija

pusiau, tai tas keturkampis yra lygiagretainis.

Atvirkštinė teorema.

Teorema.

Lygiagretainio įstrižainės susikerta, ir susikirtimo taškas jas dalija pusiau.

A O = O C > O B = O D (žr . 9 2 p a v . )

Lygiagretainio priešingosios kraštinės lygios, priešingieji kampai lygūs.

Q = C > b = d (žr . 9 2 pav . ) ,

(χ = γ β = δ (žr . 9 2 pav . ) .

Lygiagretainyje prie vienos kraštinės esančių kampų suma lygi 180°.

α + β = β + γ = γ + δ = δ + α = 180" (žr. 92 pav.).

Lygiagretainio kraštinių kvadratų suma lygi įstrižainių kvadratų sumai.

a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 2 a 2 + 2 b 2 = d , 2 + d 22 (žr. 92 pav.).

Lygiagretainio ploto skaičiavimo formulės :

S = α h

(Lygiagretainio plotas lygus kraštinės ir į j;| nuleistos aukštines

S = α d sin α

(Lygiagretainio plotas lygus dviejų gretimų kraštinių ir sinuso kampo tarp jų sandaugai)

S = —d,d I 2 Sin (f) (Lygiagretainio plotas lygus įstrižainių ir kampo tarp jų sinuso sandaugos pusei)

• ROMBAS Rombu vadiname lygiagretainį, kurio visos kraštinės lygios.

O 4 N P / / d2

И а / п ,90° V

H / о d , ^ У Е \

B O l 93 pav.

93 paveiksle pavaizduotas rombas

Al iCD ( A B = B C = C D = A D ) .

Žymėjimai (žr. 93 pav.) :

A B = B C = C D = A D = Q - rombo

krašt inė;

A C = d , , BD = d 2 - rombo

įstrižainės (simetrijos ašys);

α, β, γ, δ - rombo vidaus kampai ;

D E = h - rombo aukštinė ;

Rombo įstrižainės susikerta stačiu kampu. Rombo įstrižainės yra jo kampų

pusiaukampinės. Rombo įstrižainių susikirtimo taškas kiekvieną jų dalija

pusiau.

d i ± d 2 ; Z D C O = Z O C B = Z D A O = Z O A B = Z A B O = Z O B C = Z A D O = Z O D C

A O = O C , B O = O D (žr. 93 pav.).

Rombo priešingieji kampai lygus.

α = γ , β = δ (žr. 93 pav.).

Rombo ploto S skaičiavimo

1

s = 2 d | d 2 '

S = a h

formulės:

S = a 2 s i n a = a 2 sin β

• STAČIAKAMPIS.

Stačiakampiu vadiname lygiagretainį, kurio visi kampai statūs.

C 94 paveiksle pavaizduotas

stačiakampis ABCD

b ( Z A = Z B = Z C = Z D = 9 0 ° ) .

AB IĮ CD , AD 11 BC

A B = C D = Q , B C = A D = b

Stačiakampio įstrižainės lygios.

d i = d 2 = d (žr. 94 pav.).

Stačiakampio ploto skaičiavimo formulės :

čia d - viena iš stačiakampio įstrižainių ; o (p - kampas tarp įstrižainių.

• KVADRATAS.

Kvadratu vadiname stačiakampį, kurio visos kraštinės lygios.

C 95 paveiksle pavaizduotas kvadratas ABCD

(AB = B C = C D = A D = a ) .

α Z A = Z B = Z C = Z D = 9 0 ° .

d i = d 2 = d (kvadrato įstrižainės lygios ir

, kertasi stačiu kampu). I

d. = d, = ал/2

H

Kvadrato ploto skaičiavimo fomulės :

1 S = Q2 S = - d 2

2 čia d - kvadrato įstrižainė.

TRAPECIJA

Trapecija vadiname iškiląjį keturkampį, kuris turi lik dvi lygiagrečias

priešingąsias kraštines.

K L u

96 pav.

Tas lygiagrečias kraštines vadiname trapecijos pagrindais. Kitas dvi kraštines

vadiname šoninėmis kraštinėmis.

96 paveiksle pavaizduota trapecija A13CD. Kraštinės UC ir A D - trapecijos

pagrindai, AH ir CD - trapecijos šoninės kraštinės.

Iš taškų B ir C nuleiskime statmenis BK ir CL į tiesę AD. Šie statmenys

vadinami trapecijos aukštine. Atkarpą, kuri jungia šoninių kraštinių vidurio

taškus, vadiname trapecijos vidurine linija. 96 paveiksle pavaizduotos

trapecijos vidurinė linija yra BF.

Trapecijų rūšys:

1) Lygiašonė trapecija.

97 pav. D

Trapeciją, kurios šoninės kraštinės

lygios, vadiname lygiašone.

97 paveiksle pavaizduota trapecija

A B C D yra lygiašonė, nes A B = C D .

Lygiašonės trapecijos kampai prie kiekvieno iš pagrindų lygūs.

ZA=ZD , ZB=ZC.

2) Stačioji trapecija.

B

A t l

98 pav.

Trapeciją, kurios viena šoninė

kraštinė statmena pagrindui,

vadiname stačiąja.

98 paveiksle pavaizduota stačioji

D trapecija ABCD, kurios

AB 1 A D .

Žymėjimai (žr. 99 pav.) :

Α Β = α , C D = b - t r a p e c i j o s

ABCD pagrindai ;

B C = c , A D = d - trapecijos

šoninės kraštinės;

E F = m - trapecijos vidurinė

linija ;

GH - atkarpa, lygiagreti pagrindams ir einanti per įstrižainių susikirtimo

DK = h - aukštinė ;

a + b + c + d P = 2 " pusperimetris ;

A C = d ] , B D = d 2 - trapecijos įstrižainės ;

(p - kampas tarp įstrižainių .

Trapecijos vidurinė linija lygiagreti pagrindams ir lygi jų sumos pusei.

m U α , m Il b a + b

m = (žr. 99 pav.)

d 2 a - c 2 b d , = a b + -

a - b

c 2 a - d 2 b d 2 = a b + —

a - b

2 a b GlI =

a + b Trapecijos ploto skaičiavimo formulės :

_S = m h (Trapecijos plotas lygus vidurinės linijos ir aukštinės sandaugai)

a + b S = — — h

(Trapecijos plotas lygus pagrindų sumos pusės ir aukštinės

s andauga i )

1 S = — d j d 2 s i n φ

(Trapecijos plotas Iygusjos įstrižainių ir sinuso kampo tarp jų sandaugos pusei)

Suformuluosime ir įrodysime keletą lygiašonės trapecijos savybių.*

1. Lygiašonės trapecijos, kurios įstrižainės statmenos viena kitai, plotas S lygus

jos aukštinės kvadratui , t.y.

S = h2

Įrodymas.

Lygiašonės trapecijos A B C D simetrijos

ašis yra į trapecijos pagrindus nubrėžtas

statmuo KL, einantis per įstrižainių

susikirtimo tašką O (žr. 100 pav.).

Statmuo KL yra ir trapecijos aukštinė

,t.y. KL=h.

Kadangi ZAOD=90° , lai trikampis

A O D yra statusis lygiašonis trikampis, o OK - šio trikampio aukštinė. Tada

ZAKO=90°. Jci OK lygiašonio trikampio A O D aukštinė, lai ji tuo pačiu metu

yra ir šio trikampio kampo A O D pusiaukampinė, todėl

ZAOK= , /2ZAOD=1 /290°=45°. Bet tada ir ZOAK=45° . Vadinasi, trikampis

AOK yra lygiašonis ir A K = O K . Kadangi A D = 2 A K (OK yra lygiašonio A O D

pusiaukraštinė), lai Λ I )=2 · OK . Analogiškai įrodoma, kad I3C=2 ' OL .

Vadinasi,

A D + BC 2 0 K + 2 0 L S a u c u = L K = — — LK = ( O K + O L ) L K = L K 2 = h 2

Savybė įrodyta

Pastaba. Iš įrodytos savybės išplaukia, kad lygiašonės trapecijos, kurios

įstrižainės statmenos viena kitai, vidurinė linija lygi aukštinei.

*Sios savybės dažniausiai pateikiamos kaip atskiri planimclri jos uždaviniai.

2. Lygiašonės trapecijos, į kurią galima jbrčžti apskritimą, aukštinė lygi

pagrindų geometriniam vidurkiui.

Įrodymas.

χ E α F X d

101 p a v .

kraštinių ilgių sumos yra lygios , tai a + b = 2 c (žr. pav.); iš čia ΛΒ =

A D - B C

Sakykime, A B C D trapecija, į kurią

įbrėžtas apskritimas, A B = C D=C -

šoninių kraštinių ilgis , A D = a -

didesniojo pagrindo ilgis , B C = c -

mažesniojo pagrindo ilgis

C F = B E = I i - trapecijos aukštinė

(101 pav.). Kadangi apie apskritimą

apibrėžto keturkampio priešingų

a + b

Pažymėkime AE=FD=X. Tada A D = B C + 2 x ; iš čia x =

A D - B C a - b Taigi AE = •

BE 2 =AB 2 -AE 21 Ly. h2 =

2 . Iš stačiojo trikampio A B E randame

fα + bY f a - b Y = a b . Vadinasi, h = V o b

Savybė Įrodyta.

I 2

ĮBRĖŽTINIAI KETURKAMPIAI

(brėžtu į apskritimą keturkampiu (įbrėžtiniu keturkampiu) vadinamas

keturkampis, kurio visos viršūnės yra viename apskritime.

102 paveiksle keturkampis A B C D įbrėžtas į apskritimą (įbrėžtinis

keturkampis). Apskri t imas šiuo atveju vadinamas apibrėžtu apie keturkampį

(apibrėžliniu apskritiniu).

Pažymėkime (žr. 102 pav . ) :

a , b, c, d - įbrėžtinio keturkampio

krašt inės;

α, β, γ, δ - įbrėžtinio keturkampio

vidaus k a m p a i ;

AC = d i , B D = d 2 - įbrėžtinio

keturkampio įstr ižainės;

R - apie keturkampį apibrėžto

1 0 2 p a v apskritimo spindulys ;

S - įbrėžtinio keturkampio plotas .

Apie keturkampį galima apibrėžti apskritimą tada ir lik tada, kai jo priešingų

kampų suma lygi 180('.

Vadinasi, jei keturkampis A B C D yra įbrėžtas į apskritimą (žr. 102 pav.), tai

α + β-(- = β + δ = 1 8 0 (įbrėžtinio keturkampio priešingų kampų suma lygi 180°).

r tolcniėjaus teorema. Įbrėžtinio keturkampio priešingų kraštinių sandaugų

suma lygi jo įstrižainių sandaugai. ,

102 paveiksle pavaizduotam įbrėžliniani keturkampiui Plolemėjaus teorema

užra.šoma šitaip :

α c + b d = d, d2

Įbrėžtinio keturkampio ABCD plotas

S = V ( p - a ) ( p - b ) ( p - c ) ( p - d ) . č i a

a+ b + c + d P - ~ - keturkampio pusperimetris

R = - ^ a b + cd)(ac + bd)(ad + bc)

< 4 (ab + cd)(ac + bd)

Ή (ac + bd)(ad + bc)

< 4 ad + bc Ή ab + cd

Iš visų lygiagretainių tik apie stačiakampį ir kvadratų galima apibrėžti

apskritimą ; jo centras yra įstrižainių susikirtimo taškas.

Apie trapeciją galime apibrėžti apskritimą tik tada, kai ji yra lygiašonė.

» APIBRĖŽTINIAI KETURKAMPIAI

Apibrėžtu apie apskritimą keturkampiu (apibrėžtiniu keturkampiu)

vadiname keturkampį, kurio visos kraštinės liečia vieną apskritimą.

103 paveiksle keturkampis ABCD apibrėžtas apie apskritimą (apibrėžtims

keturkampis). Apskritimas šiuo atveju vadinamas įbrėžtu į keturkampį

(įbrėžtiniu apskritimu).

Pažymėkime (žr. 103 pav . ) :

a, b, c, d - apibrėžto keturkampio

krašt inės;

r - į keturkampį įbrėžto apskritimo

spindulys;

a + b + c + d P = 2 " keturkampio

ABCD pusperimetris ;

S - apibrėžtinio keturkampio plotas.

Jei keturkampio priešingų kraštinių ilgių sumos lygios, tai į jį galima įbrėžti

apskritimą.

Teisingas ir atvirkštinis teiginys .

Apibrėžtinio keturkampio priešingųjų kraštinių ilgių sumos lygios.

103 paveiksle pavaizduotam keturkampiui ABCD ta savybė taip užrašoma :

α + b = b + d

Apibrėžtinio keturkampio plotas

S = r · p

Iš visų lygiagretainių tik į rombą (atskirai imant į kvadratą) galima įbrėžti

apskritimą. Jo centras yra įstrižainių susikirtimo taškas.

103 pav.

Išspręsime keletą skyriaus "Keturkampiai" uždavinių.

1 uždavinys. Trapecijos įstrižainės lygios (J1 ir d 2 , o aukštinė yra h.

Rasti trapecijos plotą.

Sprendimas.

Sakykime, AHCD - trapecija,

kurios įstrižainės BD=di ir

A O i I 2 (/r. 104 pav.). Per

tašką D išveskime tiesę, 104 pav. . . .. . . . . . . „ ' lygiagrečią įstrižainei AC.

Šios tiesės ir tiesės BC susikirtimo tašką pažymėkime K. Keturkampio ACKD

priešingos kraštinės poromis lygiagrečios ir lygios. Vadinasi, ACKD -

lygiagretainis, DK=AC=U 2 ir C K = A D .Iš paskutinės lygybės išplaukia, kad

B K = B C + C K = B C + A D , t.y. atkarpos BK ilgis lygus trapecijos pagrindu ilgiu

sumai. Jei trapecijos aukštinė lygi h, tai trapecijos plotas S = VI BK · h. Tegul

DM1BK, tada D M = h . Iš stačiųjų trikampių BMD ir DMK, remdamiesi

Pitagoro teorema, randame atkarpų BM ir MK ilgius :

BM = V B D 2 - D M 2 = V d i - h 2 , MK = V D K 2 - D M 2 = V d 2 - I i 2

Vadinasi, trapecijos ABCD plotas

S = yBK-h = W B M i-MK)h = y h ( V d F h i - i - V^2 - h 2 )

2 uždavinys. J stačiąją trapeciją įbrėžtojo apskritimo centras nutolęs nuo

šoninės kraštinės galų 9 cm ir 12 cm atstumais. Raskite trapecijos vidurinę

liniją ir plotų.

Sprendimas.

Sakykime, į stačiąją trapeciją A B C D

įbrėžtas apskritimas, kurio centras O. Iš

uždavinio sąlygos O C = 9 , 0 D = 1 2 ,

A p D ABAD=90° (žr. 105 pav.).

105 p a v . jbrėžlinio apskritimo spindulį pažymime

r, o lietimosi taškus su trapecijos ilgesniąja šonine kraštine ir ilgesniuoju bei

trumpesniuoju pagrindais - atitinkamai E, F ir K. Tada O E = O F = O K = r .

Remiantis dviejų apskritimo liestinių, išeinančių iš vieno taško, savybėmis, O D

yra kampo E D F pusiaukampinė, o CO - kampo KCE pusiaukampinė, be to ,

O E 1 CD, O F 1 AD, OK 1 ВС. Vadinasi, ZOCE=' /2 ZKCE, ZODE= ' /2

Z E D F ir Z O C E + Z O D E = ' / 2 ZKCE+' /г ZEDF= 1 A ( Z K C E + Z E D F ) = ' / 2

180°=90° , o tai reiškia, kad ACOD=90*. Taigi tr ikampis COD statusis. Pagal

Pitagoro teoremą C D 2 = O C 2 + O D 2 ; CD = V 0 C 2 + 0 D 2 ;

CD = V9J + 122 =V225 = 15 ; C D = I S . SACod='/2 O C O D , o, antra vertus,

Sacod=V4 CD O E . Sulyginę paskutiniųjų dviejų lygybių dešines puses, turime xh OC OD='/2 C D O E , arba Ά 9' 1 2 = ½ 15 O E . Todėl OE=7 ,2 .

Pagal Pitagoro teoremą C E = V O C 2 - O E 2 ; C E = ^ 2 - T , ! 2 = 5 , 4 ;

CE=5,4 .Rasime trapecijų pagrindų ilgius. B C = C K + B K . Bet C K = C E = 5 , 4 ,

o B K = O K = O E = r = 7 , 2 , todėl BC=5,4+7,2=12,6. A D = D F + A F . Kadangi

D F = D E ,0 DE=CD-CE=15-5 ,4=9 ,6 , tai DF=9 ,6 .Turime :

A F = B K = O E = r = 7 , 2 . Vadinasi, ΛΙ)=9,6+7,2=16,8 . Trapecijos vidurinė

AD + BC 16,8 + 12,6 AD+BC linija lygi — - — = = 14,7 .Tadal rapeci josplo las S = h ;

čia h - trapecijos aukštinė. Kadangi h=A13 = K F = 2 0 K = 2 0 E , tai l i=2 ·

7,2=14,4. Taigi S=14,7 · 14,4=211,68 cm2.

Atsakymas. 211,68 cm2.

A D + B C

Pastaba. Trapecijos vidurinę liniją ~ galėjome surasti ir kilu būdu.

Kadangi trapecija yra apibrėžia apie apskritimą, tai jos priešingų kraštinių

ilgių sumos lygios , l.y. A D + B C = A B + C D .Vadinasi, trapecijos

AB + CD vidurinė linija lygi . B c l A B = l i = 2 0 K = 2 0 E = 2 7,2= 14,4 , o

14,4 + 15 CD = 15 , lodėl vidurinė linija lygi τ = 14,7 .

3 uždavinys. Lygiagretainio įstrižainės lygios 8 cm ir 14 cm , o kampo tarp jų

2 kosinusas lygus - . Raskite lygiagretainio perimetrą.

C Sprendimas.

Sakykime, ABCD - lygiagretainis,

kurio A C = 14 cm , B D = 8 cm , 2

cos(p=- (žr. 106 pav.).

1 0 6 P a v - Pažymėkime A B = x , BC=y .

Kadangi lygiagretainio kraštinių kvadratų suma lygi įstrižainių kvadratų sumai

(lygiagretainio įstrižainių sąvybė), lai A B 2 + B C 2 + A D 2 + D C 2 = A C 2 + B D 2 .

Kadangi CD=AB, o A D = B C , lai 2 A B 2 + 2 B C 2 = A C 2 + B D 2 . J šią lygybę įrašę

AB=x , BC=y , A C = 14 , B D = 8 , gauname 2x2+2y2= 196+64 , arba

x2+y2=130. Jei O - lygiagretainio įstrižainių susikirtimo taškas, tai O B = 4 ,

OC=7 . Pagal kosinusų teoremą BC2 = OC 2 + OB2 - 2 OC · OB cos(p , arba

y2 =7 2 +4 2 -2 · 7 · 4· | = 4 9 + 1 6 -16=49 . Iš čia y =7 . Todėl x2=130-49=81 ,

arba χ =9. Vadinas i , P =2x+2y =32 .

Atsakymas. 32 cm.

4 uždavinys. Lygiagretainio kraštinių santykis bei jo įstrižainių santykis yra

vienodas ir lygus 2. Iš bukojo kampo A viršūnės į didesniąją kraštinę CD

nuleista aukštinė AE. Koks atkarpų DE ir CE ilgių santykis?

Sprendimas.

Pagal uždavinio sąlygą duotojo

lygiagretainio ABCD (žr. 107 pav.)

A B = 2 A D , BD=2AC. Kadangi

107 p a v . lygiagretainio įstrižainio ilgių kvadratų

suma yra lygi visų jo kraštinių ilgių kvadratų sumai, tai 5 A C 2 = IOAD2 ,

АС=л/2 AD. Iš trikampio ACD pritaikę teoremą apie kraštinės, esančios prieš

smailųjį kampą, kvadratą, turime

A C 2 = A D 2 + C D 2 - 2 C D · D E ,

2AD 2 = AD 2 + 4AD 2 - 4AD · D E .

. , c DE 3 Iš šios lygybės D E = - A D , E C = C D - D E = 2 A D - - A D = - A D , —r = 7 . J U J 4 4 4 CB 5

Atsakymas. 3 : 5 .

108 p ' iv trapecijos šoninių kraštinių yra

K ir L. Trapecijos vidurinė linija

yra atkarpa EF. Iš brėžinio matyti, kad OL - apskritimo spindulys. Kadangi

spindulys statmenas į liestinę lictimosi taške, lai kampas O L F status :

ZOLF=90° . Turime : ML=1A KL. Pagal sąlygą KL=16, todėl ML=1A 16=8. Iš

stataus trikampio OLF, remdamiesi Pitagoro teorema, gauname O M 2 = O L -

ML2, arba OM 2 =10 2 -8 2 =36. Iš čia O M = 6 . Atkarpa LN yra stačiojo trikampio

O L F aukštinė, todėl ji yra statinių O L ir LF projekcijų įžambinėjc O F

geometrinis vidurkis, t.y. LN = VON · NI- (1). Kadangi O N = M L = S , o

L N = O M = 6 (OM jau radome anksčiau), tai, surašę šias reikšmes į (1) lygybę,

, 36 gauname 6 = V8-NF , arba 3 6 = 8 NF. Iš čia NF = - = 4,5 . Vadinasi, vidurinė

O

linija E F = 2 0 F = 2 ( 0 N + N F ) ; E F = 2 ( 8 + 4 , 5 ) = 2 5 . Kadangi trapecijos

aukštinė lygi įbrėžtojo į ją apskritimo skersmeniui ( h = 2 0 L ) , tai trapecijos

plotas S = E F - h = 2 E F - O L ; S = 2 - 2 5 - 1 0 = 5 0 0 .

Atsakymas. 500 .

Pastaba. Trapecijos vidurinę liniją galėjome rasti ir kitu būdu. Slalicji

trikampiai O M L ir O L F yra panašūs, nes turi po vienodą statųjį kampą

( Z M L O = Z L O F ) . Vadinasi, minėtų trikampių ati t inkamos kraštinės

OL ML OL2

proporcingos. Tur ime: qį7 = "qį~ > a r ' ) a O L 2 = O I 7 M L . Iš čia 01·' = . Bct

O L = I O (OL - apskri t imo spindulys), M L = 8 (žr. uždavinio sprendimą 1-uoju

IO2

būdu). Tada OF = -—• = 12,5 . Trapecijos vidurinė linija EF=20F=2*12 ,5=25 . O

j 6 i i/davinys. Iš skritulio formos plokštelės, kurios spindulys R, reikia išpjauti

didžiausio ploto stačiakampį. Kokios turi būti jo kraštinės?

J

X O / ΛI

r D

Sprendimas.

Sakykime, stačiakampis A B C D įbrėžtas į

spindulio R apskritimą (109 pav.). Vieną

stačiakampio kraštinę, pavyzdžiui AB,

pažymėkime χ : AB=.\ . Kadangi

A O = O C = R , lai A C = 2 A O = 2 R

(slačiakmapio Įstrižainė lygi apskritimo

skersmeniui).

Iš stačiojo tr ikampio A B C , remdamiesi

Pitagoro teorema, gauname

BC = л/ЛС2 - AB2 = V(2R)2 - X2 = V'IR2 - . Tada s tačiakampio plotas S=AB-

' BC , t.y. S(x)= xV'IR2-x2 . Vadinasi, stačiakampio plotas yra kintamojo Χ

funkcija. Rasime, su kuria kintamojo χ reikšme funkcija S(x) įgyja didžiausią

reikšmę. Kadangi xe[ O ; 2RJ, iai pakanka rasti, su kuria χ reikšme iš šio

intervalo funkcija S(x) įgyja didžiausią reikšmę. Randame funkcijos S(x)

109 p a v .

2x2 4 R 2 - 2 x 2

išvestinę :

4R2 - 2 x J

Randame kritinius taškus : S'(x) = 0 , ^ r 2 _ χ 2 = Q < = >

4R2 - 2 x 2 = 0.

x * 2 R .

4R--2X2=0 , t.y. X = ±V2R.

Reikšmė x = -V2R intervalui [ O ; 2R] nepriklauso, todėl jos nenagrinėsime.

Vadinasi, ploto funkcija turi vieną mus dominantį kritinį tašką

Rasime funkcijos S(x) reikšmes atkarpos Į 0 ; 2R] galuose bei kritiniame taške

χ = -J2R . Turime :

S(O) = O , S(R) = RVILL2 - R^ = RVILT2 = R 2 V 3

S(V2R) = >/2RV4R2 - 2R2 = V2·R·V2·R = 2R2 .

Matome, kad ploto funkcija S(x) didžiausią reikšmę atkarpoje ĮO ; 2R] įgyja,

kai X = V2R. Vadinasi, iš visų stačiakampių , įbrėžtų į duotojo spindulio R

apskritimą, didžiausią plotą turi stačiakampis, kurio viena kraštinė lygi

x = V2R, o kita AD = V iIR2-x2 =V iIR2-(V^R)2 =JlR. Taigi

A B = A D = V 2 R , t.y. ABCD - kvadratas.

Atsakymas. Visos keturios kraštinės lygios V2R.

7 uždavinys. į spindulio R apskritimą įbrėžta trapecija, kurios pagrindas yra

pusapskritimio skersmuo. Kokia turi būti trapecijos šoninė kraštinė, kad

trapecijos perimetras būtų didžiausias? Rasti šį perimetrą.

Sprendimas. Sakykime, į spindulio R apskritimą įbrėžta trapecija ABCD1

kurios ilgesnysis pagrindas AD yra skritulio skersmuo (110 pav.).

Kadangi apie trapeciją ABCD apibrėžtas apskritimas, tai ji yra lygiašonė

(prisiminkime, kad apie trapeciją galima apibrėžti apskritimą tik tada, kai ji

yra lygiašonė). Pažymėkime AB=CD=X .

Išreikškime trapecijos perimetrą P per

apskritimo spindulį R ir šoninę kraštinę χ.

Kadangi O A = O D = R , lai A D = 2 R . Iš

viršūnių B ir C nuleiskime statmenis BK ir

CM į trapecijos pagrindą AD. Tada

A K = M D , BC=KM , A D = 2 A K + B C .

A D - B C 2 R - B C AK = 1 . Kadangi kampas ABD

110 pav. Iš paskutinės lygybės AK = , —

remiasi į skersmenį, tai ZABD=90°. Iš stačiojo trikampio ABD statinį AB

išreikškime per įžambinę AD ir jo projekciją AK įžambinėje. Turime :

AB 2 =AD AK , t.y. X2 = 2R 2R - BC

. Iš pastarosios lygybės BC = 2R2 -X 2

R

Trapecijos perimetras :

P = A B + C D + A D + B C = 2 A B + A D + BC=2x+2R+BC. j šią lygybę įrašę anksčiau gautą BC išraišką, turime

2R2 - χ2 - x 2 + 2Rx + 4R2

P= 2x + 2R + ~ R R

Kadangi gautosios trupmenos vardiklis yra pastovus dydis, tai didžiausią

reikšmę ši trupmena (o kartu ir perimetras) įgyja, kai skaitiklyje esantis

kvadratinis trinaris įgyja didžiausią reikšmę. Skaitiklyje išskyrę pilnąjį

5 R 2 - ( x - R ) 2

kvadratą, turime P = — . Aišku, kad skaitiklis, o kartu ir visa

trupmena, įgyja didžiausią reikšmę, kai x = R . Vadinasi, iš visų į apskritimą

įbrėžtų trapecijų, kurių pagrindas yra pusapskritimio skersmuo, didžiausią

perimetrą turi ta, kurios šoninė kraštinė lygi apskritimo spinduliui R. Tokios

5R2

trapecijos perimetras lygus I' = —r - = 5R.

9 . F I G U R Ų T R A N S F O R M A C I J O S

Sakoma, kad nauja figūra yra gauta, transformuojant duotųjų, jei kiekvieną

duotos figūros taškų kokiu nors būdu perkeliame.

• Figūrų transformacijų pavyzdžiai;

1. SIMETRIJA TAŠKO ATŽVILGIU (CENTRINĖ SIMETRIJA).

Tarkime, kad O - fiksuotas

plokštumos taškas, o X - bet kuris

plokštumos taškas, (žr. 37 pav.)

111 pav.

Taškų Xi vadiname simetrišku

taškui X taško O atžvilgiu,jei taškai

X, O, Xi yra vienoje tiesėje ir

(žr. 111 pav.) O X = O X 1

Taškas, simetriškas taškui O, yra pats taškas O. 111 paveiksle taškai X ir X b

Y ir Y b Z ir Zi simetriški vienas kitam taško O atžvilgiu.

Tarkime, kad F - duota figūra ir O - fiksuotas plokštumos taškas.

112 pav.

Figūros F transformacija į figūrą

Fu kuri kiekvieną figūros F

tašką X perveda į tašką X b

simetrišką taško O atžvilgiu,

vadiname simetrija (arba

simetrijos transformacija)

taško O atžvilgiu.

112 paveiksle pavaizduotas keturkampis AiBiCiDisimetriškas keturkampiu;

ABCD centro O atžvilgiu.

113 pav.

Figūrą F vadiname simetriška centro O atžvilgiu, o

tašką O - simetrijos centru, jei simetrijos

transformacija taško O atžvilgiu figūrą F perveda į

ją pačių.

Pavyzdžiui, kvadratas yra figūra, simetriška centro

atžvilgiu. Jo simetrijos centras yra įstrižainiij

susikirtimo taškas (113 pav.). Apskritimas, kurio

centras O, taip pat yra simetriškas centro O

114 pav . atžvilgiu (114 pav.).

2. SIMETRIJA H E S ĖS ATŽVILGIU (AŠINĖ SIMETRIJA).

Tarkime, kad ( - fiksuota tiesė.

X

O

X .

115 pav.

e X Xt

Y Y

Z Z1

116 pav.

Taškų X i vadiname simetrišku taškui X tiesės

C atžvilgiu, jei tiesė XX 1 s tatmena tiesei t ir

O X i = O X ; čia O - tiesių XXi ir t. susikirtimo

taškas (115 pav.).

Jei taškas X priklauso tiesei tai jam

simetriškas yra pats taškas X. Taškas

simetriškas taškui X b yra taškas X.

116 paveiksle taškai X ir X b Y ir Y b Z ir Zi

simetriški tiesės č atžvilgiu.

B

117 pav.

/ 6 g

D

118 pav.

Figūros F ir Fi vadiname

simetriškomis tiesės t. atžvilgiu. 117

paveiksle pavaizduoti du trikampiai

ABC ir A j B | C | , simetriški tiesės C

atžvilgiu.

Figūrą F vadiname simetrišku tiesės

I atžvilgiu, jei simetrija tiesės (

atžvilgiu figūrą F perveda į ją pačią.

Tiesę i vadiname figūros F s imetr i jos

ašimi.

119 pav.

Pavyzdžiui, kvadrato simetrijos ašys

yra tiesės, einančios per kvadrato

įstrižainių susikirtimo tašką ir

lygiagrečios jo kraštinėms (žr. 118

pav.). Apskritimas simetriškas

kiekvienos per jo centrą einančios

tiesės atžvilgiu (žr. 119 pav.).

3. H O M O T E T U A .

Tarkime, kad F - duo ta figūra, O - fiksuotas taškas (120 pav.). Per bet kurį

figūros F tašką X nubrėžiame spindulį O X ir j ame a t idedame atkarpą O X b

lygią k O X (k - nelygus nuliui skaičius).

Figūros F transformaciją, kuria

kiekvienas jos taškas X nurodytu

būdu pervedamas į tašką Xi,

vadiname Iiomotetija centro O

atžvilgiu.

O B B , Skaičių k vadiname homoteti jos

1 2 0 p a v . koeficientu. Homotc t i ja su centru

O ir koeficientu k žymima Hk0 .

Figūros F ir Fi vadiname homotetiškomis. 120 paveiksle trikampis AiBiCi

homoleliškas trikampiui A B C centro O atžvilgiu ; homotet i jos koeficientas

k=2 . Rašome : AAiBiCi=H02 (AABC). 121 paveiksle trikampis A ,B ,C ,

homoleliškas trikampiui ABC centro O atžvilgiu ; homotet i jos koeficientas

šiuo atveju k = - 2 < 0 . Rašome : AAiBiCi=H0"2 (AABC).

= - 2

4. PANAŠUMO TRANSFORMACIJA,

ί Panašumo transformacija vadiname figūros transformaciją į kitą figūrą,

!kuri atstumus tarp taškų keičia (didina arba mažina) vienodą skaičių kartų.

jTai reiškia, jog bet kurie figūros F taškai X ir Y, atlikus panašumo

• transformaciją, pereina į lokius figūros Fi taškus X j ir Y b kad XiYi=kXY.

į Skaičių k vadiname panašumo koeficientu.

Homolelija yra panašumo transformacija.

Tačiau ne kiekviena panašumo transformacija yra homolelija. 122 paveiksle

figūra F | gauta iš figūros F, atlikus homoletiją, o figūra F2 gauta iš figūros F b

atlikus simetriją O Z ašies atžvilgiu. Figūros F transformacija į figūrą F2 yra

panašumo transformacija, nes ji nekeičia atstumų tarp atitinkamų taškų

santykių, bet tai nėra homotelija.

P a n a š u m o t rans formac i jo s savybes .

1. Panašumo transformacija tris taškus A, 13, C, priklausančius vienai tiesei,

perveda į tris taškus A b Bi, Ci, irgi priklausančius vienai tiesei. Be to, jei

taškas B yra tarp taškų A ir C, lai taškas B ι yra tarp taškų A1 IrC1.

2. Panašumo transformacija tieses perveda į tieses, puslieses - į pustieses,

atkarpas - j atkarpas.

3. Panašumo transformacija nekeičia kampų tarp pusliesių.

5. POSŪKIS APIE TAŠKĄ.

Figūros F posūkiu apie tašką vadinama tokia figūros F transformacija, kuria

kiekvienas spindulys, išeinantis iš laško, pasukdamas apie minėtą tašką tuo

pačiu kampu ir ta pačia kryptimi (pagal laikrodžio rodyklę arba prieš

laikrodžio rodyklę).

123 paveiksle pavaizduotas trikampis A lBiCi, gautas iš Irikampo ABC,

pasukus pastarąjį apie tašką O 60" kampu pagal laikrodžio rodyklę. Kampai

tarp spindulių OA ir OA1 , OB ir OB1, OC ir O C j lygūs 60°.

Svarbu pabrėžti, kad posūkis apie tašką nekeičia ats tumo tarp taškų.

6. LYGIAGRETUSIS POSTŪMIS

Lygiagrcčiuoju postūmiu vadinama figūros F transformacija, kuria kiekvienas figūros F taškas X atvaizdduojamas į lokį tašką Xi, kad :

1) visi spinduliai XXi yra vienakrypčiai;

2) visos atkarpos XXĮ yra vienodo ilgio (žr. 124 pav.).

Iš lygiagrečiojo postūmio apibrėžimo seka, kad lygiagrcčiuoju postūmiu visi

figūros F taškai pasislenka viena ir ta pačia kryptimi, vienu ir tuo pačiu

atstumu.

Spindulio XX) nusakyta kryptis vadinama lygiagrečiojo postūmio kryptimi, o

atkarpos XXi ilgis - lygiagrečiojo postūmio moduliu.

124 paveiksle pavaizduotas trikampis AIBICI yra gautas iš trikampio ABC pastūmus kiekvieną pastarojo tašką spindulio XXI kryptimi atstumu, lygiu atkarpos XX I ilgiui , t.y. atlikus lygiagretųjį postūmį. Lygiagretusis postūmis trikampį ABC perveda į jam lygų trikampį A I B 1 C , .

Lygiagrečiojo postūmio savybės .

1. Lygiagrctusis postūmis nekeičia atstumo .

2. Lygiagrcčiuoju postūmiu kiekvienas spindulys atvaizduojamas į vienakryptį

su juo spindulį.

3. Postūmio krypčiai lygiagreti tiesė atvaizduojama į ją pačią. Kiekviena kita

tiesė atvaizduojama į jai lygiagrečią tiesę.

124 pav.

. ATVIRKŠTINĖ TRANSFORMACIJA

Sakykime, figūros F transformacija į figūrą F1 skirtingus figūros F taškus

perveda į skirtingus figūros Fi taškus. Tarkime, kad bet kuris figūros F taškas

X, atliekant šią transformaciją, pereina į figūros F i tašką X b Figūros Fi

transformacija į figūrą F, kuri tašką Xi perveda į tašką X, vadiname

atvirkštine pradinei transformacijai.

Pavyzdžiui, homotelijai, kurios koeficientas k, atvirkštinė transformacija yra 1

homotetija, kurios centras tas pats, o koeficientas lygus "Γ .

• ,JUDESYS.

Judesiu vadiname figūros F transformaciją į figūrą FJ, kuri nekeičia atstumo

tarp taškų, t.y. bet kuriuos figūros F taškus X i r Y perveda į lokius figūros FI

taškus X, ir Y1, kad | X Y = X 1 Y , ] .

Simetrijos transformacija taško atžvilgiu yra judesys.

Simetrijos transformacija tiesės atžvilgiu yra judesys.

Kai k= 1 , panašumo transformacija yra judesys.

Posūkis apie tašką yra judesys.

Lygiagrctusis postūmis yra judesys.

Užrašysime keletą judesio savybių :

1) Judesys tiesės taškus perveda į tiesės taškus, nekeisdamas jų tarpusavio

padėties.

Tai reiškia, kad tiesės taškai A, B, C pereina į taškus Ai, Bi ,Ci ,

priklausančius vienai tiesei. Be to, jei taškas B yra tarp taškų A ir C, tai taškas

Bi yra tarp taškų Ai ir Q .

Vadinasi, judesys tieses perveda į tieses, pustieses - į pustieses, atkarpas - į

atkarpas.

2) Judesys nekeičia kampų tarp pustiesių.

3) Du vienas po kilo atliekami judesiai sudaro judesį.

Šių judesių atlikimo rezultatas vadinamas judesių kompozicija.

4) Judesiui atvirkštinė transformacija irgi yra judesys.

Trečiąją judesio savybę

, C i iliustruosime pavyzdžiu.

125 paveiksle pavaizduoti du

vienas po kilo atliekami

judesiai : figūra Fi gauta iš

figūros F, atlikus simetriją

ašies p atžvilgiu, o figūra F2

gauta iš figūros F b atlikus

simetriją taško O atžvilgiu. 125 pav.

Taip atlikus figūros F transformaciją Į figūrą F2, nepakito atstumai tarp

atitinkamų taškų : AB=A 2B 2 , BC=B 2 C 2 , AC=A 2 C 2 . Vadinasi, abiejų minėtų

judesių kompozicija irgi yra judesys. Figūra F2 gauta iš figūros Fi judesio

pagalba.

10. PANAŠIEJI DAUGIAKAMPIAI

Panašiomis Figūromis vadiname figūras, kurias panašumo transformacija

perveda vieną į kitą.

Figūrų panašumui žymėti vartojamas ženklas Jei figūra F j panaši į figūrą

F, tai rašome : F i ~ F .

Du daugiakampiai vadinami panašiaisiais, jeigu jų atitinkami kampai yra

lygūs, o atitinkamos kraštinės proporcingos.

д ^ β^ 126 paveiksle pavaizduoti

O / \ panašieji daugiakampiai

в / Α - , a i a - a ' " a » i r ^ t B» Daugiakampio Ai A2...A11-IA11 kraštinės yra д п 126 pav . A1A2 An.,AmA11A1, o

daugiakampio B 1 B 2 -B l HB n

kraštinės yra B1B2,...,B11^B11,B11Bi. Pagal panašiųjų daugiakampių apibrėžimą,

jeigu AiA2-A1 1 ~ B1B2-B11, lai

ZA1 = ZB 1 , Z A 2 = Z B 2 , . . . , ZAn=ZB l

A 1 A 2 A N . AN A N A 1

IR B1B2 ' в„_ .B1 " B N B L

k - panašumo koeficientas .

Panašiųjų daugiakampių perimetrų santykis lygus tų daugiakampių panašumo

koeficientui.

126 paveiksle pavaizduotiems panašiesiems daugiakampiams ši savybė

užrašoma šitaip :

P a A 1 A 2

PB B1B2 · " BnB l - k ; čia

Рл - daugiakampio AiA2--An perimetras, o

Pa - daugiakampio BiB2...Bn perimetras.

Panašiųjų daugiakampių plotų santykis lygus panašumo koeficiento kvadratui.

126 paveiksle pavaizduotiems panašiesiems daugiakampiams ši savybė

užrašoma šitaip :

/ A A V 1 2

v B 1 B 2 y v B11B1 ; cia

Sa - daugiekampio AjA2...An plotas, o

Su - daugiakampio BiB2...B„ plotas.

Sprendžiant uždavinius, dažnai tenka susidurti su trikampių panašumu. Toliau

nagrinėsime trikampių panašumą.

Du trikampiai panašus, kai jų atitinkami kampai lygus, o atitinkamos

kraštinės proporcingos.

127 paveiksle pavaizduoti panašieji

trikampiai ABC ir AjBiCi .Rašome :

AABC ~ AA1B1C1 . Kai trikampis ABC

panašus į trikampį A1B1C1, tai

ZA = ZA1 , ZB = ZBi , Z C = Z C i

A B A C B C ! U

A 1 B 1 - A 1 C 1 B 1C 1 IV

čia k - panašumo koeficientas

127 paveiksle pavaizduotiems panašiesiems trikampiams ABC ir AiBiCi

panašumo koeficientas k = 2 ,t.y. kiekviena trikampio ABC kraštinė yra du

kartus ilgesnė už atitinkamą trikampio AiBiC1 kraštinę.

S i i for i in i luos i i i ic t r ik i in ip io p a n a š u m o p o ž y m i u s .

(Pirmas trikampių panašumo požymis). Jei vieno trikampio dvi kraštinės

proporcingos kito trikampio dviem kraštinėms ir kampai tarp tų kraštinių

lygūs, lai tokie trikampiai yra panašūs, (pagal dvi kraštines ir kampą tarp jų).

Į (Antras trikampių panašumo poėmis). Jei vieno trikampio du kampai lygūs kito i

trikampio dviem kampams, lai tokie trikampiai yra panašūs

(pagal du kampus).

(Trečias trikampių panašumo požymis). Jci vieno trikampio trys kraštinės yra

proporcingos kito trikampio trims kraštinėms, lai tokie trikampiai yra panašūs I I (pagal tris kraštines).

SufoiMiiiiosiinc s t a č i ų j ų t r i k a m p i u p a n a š u m o p o ž y m i u s .

Du statieji trikampiai panašūs :

1) jeigu jie turi po vienodą lygų smailųjį kampą ;

2) Jeigu vieno stačiojo trikampio statiniai proporcingi kito statiniams ; I

С А

3) jeigu vieno įžambinė

ir stalinis yra proporcingi

kilo įžambi nei ir

statiniui.

Jei AABC ~ AA1B1C,

(žr. 128 pav.) ir

AB, ВС, A C - trikampio

ABC kraštinės,

trikampio A1B1, B1C1, A1C1-

A1B1C1 kraštinės.

1'ллис- trikampio ABC perimetras,

! 'длина " trikampio AiB1C I perimetras,

Ii - trikampio ABC aukštinė,

b, - trikampio A1B1CI aukštinė,

SAAHC " trikampio ABC plotas,

SAAIIIICI - trikampio A iB1CJ plotas.

Tada teisingos lygybės:

длис

' M1D1C1

A B B C

A 1 B 1 B1C1

A C h

= h 7

Ί

A 1C 1

jAABC

JAA1D IC I

/ A B V

ч Л . В . у

' B C v

v B 1 C 1 ,

^ A C ^ ' h v

V1My

A B B C A C r R

A1B1 ~ B1C1 " A 1 C 1 ~ r, - R1

; čia

r - Į trikampį ABC įbrėžto apskritimo spindulys .

Г] - į trikampį A1B1C i įbrėžto apskritimo spindulys ,

R - apie trikampį A B C apibrėžto apskritimo spindulys ,

R1 - apie trikampį AiB i Ci apibrėžto apskritimo spindulys ,

Paskutinioji lygybė išreiškia tokią panaš ių jų t r ikampių savybę :

Jei trikampiai A B C ir AiB1Ci yra panašūs, tai į šiuos tr ikampius įbrėžtų

apskritimų (taip pat ir apibrėžtų apskritimų) spindulių santykis lygus

ati t inkamų kraštinių ilgių santykiui.

* * *

I š s p r ę s i m e k e l e t u u ž d k j v i n j u .

ji uždavinys. Sateiajame trikampyje ABC iš stačiojo kampo viršūnės C išvesta

(aukštinė C D (žr. pav.). Į trikampį A C D įbrėžto apskritimo spindulys lygus r b

jo trikampį BCD įbrėžto apskritimo spindulys lygus T2. Rasti į trikampį ABC

j įbrėžto apskritimo spindulį (129 pav.).

Sprendimas.

Icškom.'uį spindulį pažymėkime

r. Sakykime, Al i=C , A C = b ,

В С = а .

Kadangi statieji trikampiai A C D

ir ABC panašūs (turi po lygų

kampą prie viršūnės A), tai į

juos įbrėžtų apskritimų spindulių santykis lygus ati t inkamų kraštinių santykiui.

r c r. Taigi ~ ~ Γ , iš čia b = — c . Statieji trikampiai CBA ir A B C taip pat panašūs, • Į и Г

L-i todėl - , iš čia а - c . r, α r

Kadangi pagal Pitagoro teoremų a 2 + b 2 = c 2 , lai, pakėlę kvadratu anksčiau

gautas statinių α ir b išraiškas ir sudėję jas, gauname

/ v

c 2 + _2 _ 2 c = c , a r b a r2 + r2

2

= 1

Iš paskutiniosios lygybės randame r = ^rl2 + гг

2 .

2 uždavinys. Per taškų M, esantį trikampio ABC viduje, išvestos trys tiesės,

lygiagrečios jo kraštinėms. Susidarė trys trikampiai (jie 130 paveiksle

subrūkšniuoti), kurių plotai lygūs S 1 , S2 ir S3. Rasti trikampio AHC plotų.

130 pav .

S1 E M 2

J = A Č T

Iš šių lygybių randame

ZsT

Sprendimas.

Trikampiai EKM ir AUC yra

panašūs (130 pav.). Panašūs taip pat

yra ir trikampiai M Q F ir ABC bei

PMN ir ABC. Jeigu S - trikampio

ABC plotas, lai

MF 2 S3 PN 2

S AC2

EM

S ~ AC 2

AC , M F = J — AC , PN = J - r A C

Kadangi E M = A P , M F = N C , lai

E M + P N + M F = A P + P N + N C = A C .

= A C Vadinasi ,

u čia М л + a + A ) 2

3. uždavinys. Tiesė, einanti per trapecijos įstrižainių susikirtimo taškų ir

lygiagreti jos pagrindams, kerta trapecijos šonines kraštines taškuose M ir N.

Rasti atkarpos MN ilgį, jeigu trapecijos pagrindai yra α ir b.

Sprendimas.

Tegul trapecijos A B C D įstrižainės kertasi taške O, atkarpa MN lygiagreti

pagrindams ir eina per tašką O (žr. 131 pav.), A D = a , B C = b . Jeigu dvi

lygiagrečios tiesės perkirstos trečiąja,

tai atitinkamieji bei išorės priešiniai

kampai lygūs. Trapecijos pagrindai

lygiagretūs (yra lygiagrečiose tiesėse),

^ j-j o juos kertančios tiesės yra AC ir ВС, 1 3 1 P a v - todėl Z B D A = Z C B D ir

Z C A D = Z B C A . Pagal antrąjį trikampių panašumo požymį ABOC — ADOA

(trikampiai BOC ir D O A turi po du lygius kampus Z C B O = Z O D A ,

Z B C O = Z O A D ) . Vadinasi,

BO BC BO b

OD = AD , t y ' OD = α

Pasinaudoję pastarąja lygybe, randame, kad

BO BO b

BD = BO+ OD = α + b Tiesė MN lygiagreti pagrindui AD, todėl Z B M O = Z B A D ir Z B O M = Z B D A

MO BO . Vadinasi, trikampiai MBO ir ABD taip pat panašūs ir lodėl - ^ j = — .Iš

a b čia, atsižvelgę į (1) lygybę gauname M O = ^ ^ . Analogiškai randame, kad

a b 2 a b N 0 = r Taiui M N = M O + ON -

QHD ' ь O+D

11. PAPRASČIAUSIEJI BRĖŽIMO UŽDAVINIAI

Visuose uždaviniuose naudosimės tik dviem braižymo įrankiais - liniuote ir

skriestuvu.

1 uždavinys. Padalykime duotąją atkarpą pusiau _ _ _

Reikia rasti 132 paveiksle pavaizduotos

atkarpos AB vidurį O. Brėžimas (žr. 132 pav.)

1) Iš taškų A ir B nubrėžiame du spindulio

R > VJ AB (tokį spindulį nesunku pasirinkti

"iš akies") apskritimus. Taškai A ir B yra

minėtų apskritimų centrai.

2) Pažymime apskritimų susikirtimo taškus C

ir C].

3) Per taškus C ir Ci nubrėžiame atkarpą CCi- Taškai C ir Ci yra skirtinguose

pusplokšlumėse, todėl atkarpa CC1 kerta AB.

4) Atkarpų CC1 ir AB susikirtimo taškas O ir yra atkarpos AB vidurio taškas.

įrodymas seka iš trikampių lygumo : ACACi=ACBCi (trikampių lygumo

požymis pagal tris kraštines) , ДАСО=ЛВСО (trikampių lygumo požymis

pagal dvi kraštines ir kampą tarp jų).

2 uždavinys. Nubrėžti tiesę, statmeną duotajai atkarpai ir einančią per jos

vidurį (atkarpos vidurio statmens radimo uždavinys).

O

Sprendimas analogiškas 1 uždavinio sprendimui.

B Tiesė CCi (žr. 54 pav.) ir yra ieškomoji tiesė.

C1

54 pav .

3. uždavinys. Per duotąjį tašką A nubrėžkite tiesy, statmeną duotajai tiesei o Į

(statmens tiesei brėžimo uždavinys).

Sakykime, duotasis taškas yra A, o duotoji tiesė yra α . Galimi du atvejai :

a) taškas A nepriklauso tiesei α

( Α ί α ) (žr. 134 pav., a ) ;

b) taškas A priklauso tiesei α ( Α ε α )

(žr. 134 pav., b).

Tiesės, statmenos duotajai tiesei ir

einančios per tašką A, brėžimas abiem

atvejais gali būti vienodas (žr. 134 pav.,

a,b).

1) Brėžiame apskritimą, kurio centras

yra taške A, o spindulys R toks , kad

apskritimas kirstų tiesę a.

2) Pažymime apskritimo ir tiesės α

134 pav. susikirtimo taškus M ir N.

3) Iš luškų M ir N, kaip iš ccnlrų, brėžiame vienodo spindulio r (r > Ά MN)

apskritimus.

4) Pažymime 3) etape nubraižytų dviejų apskritimų susikirtimo taškų P.

5) Tiesė AP - ieškomasis statmuo.

4 uždavinys. Nubraižykite kampų, lygų duotam kampui (kampo, lygaus

duotajam, atidėjimo uždavinys).

Tarkime, kad ZAOB - duotas kampas,

O1P - duota pustiesė (135 pav.).

Sakykime, O1P - viena ieškomojo

kampo kraštinė. Ji gali būti duota.

Gali būti nurodyta tik kampo viršūnė

(tada brėžtume bet kokį spindulį,

išeinanti iš taško O i) .

Brėžimas (žr. 135 pav.).

1) Iš centro O brėžiame bet kurio

spindulio R apskritimų. Pažymime

apskritimo ir duotojo kampo kraštinių

OA ir OB susikirtimo taškus A1 ir B1.

2) Iš centro O1 brėžiame to paties spindulio R (kaip ir 1) brėžimo etape

braižyto apskritimo) apskritimų. Pažymime šio apskritimo ir pustiesės O1P

susikirtimo taškų A b

3) Iš centro A1 brėžiame spindulio A1B1 apskritimų. Pažymime šio apskritimo

ir 2) etape nubraižyto apskritimo susikirtimo taškų B b Pustiesė O1B1 yra

ieškomojo kampo antroji kraštinė, o kampas A1O1B1 - ieškomasis.

5. uždavinys. Nubrėžkite duoto kampo pusiaukampinę.

Sakykime, kampas A O B duotasis (136

pav.). Nubražykimc kampo AOB

pusiaukampinę.

Brėžimas (žr. 136 pav.).

1) Iš centro O brėžiame bet kurio

spindulio R apskritimų ir pažymime jo ir 136 pav.

kampo kraštinių susikirtimo taškus A1 ir

B1 (žr. 57 pav.).

2) Iš centrų A1 ir B1 brėžiame vienodo spindulio R ^ R ^ ' / Z A ' B 1 ) apskritimus.

PaSymimcjij susikirtimo taškų P. 3) Taškų P sujungiame su tašku O. Pustiesė OP - kampo A O B pusiaukampinę

(>. uždavinys. Nubraižykite trikampį, kai duotos jo kraštinės.

c

b

α

Sakykime, a, b ir c - duotos

trikampio kraštinės (žr. 137 pav.).

Brėžimas (137pav.).

1) Nubrėžiamc kurių nors tiesę p ir

joje laisvai pasirenkame taškų B.

2) Iš centro B spinduliu R i = a

brėžiame apskritimų.

Pažymime apskritimo ir tiesės p

susikirtimo taškų C.

3) Iš centrų B ir C brėžiame

apskritimus : iš centro B brėžiame apskritimų spinduliu R 2 = C 1 o iš centro C -

spinduliu R 3 =b. Pažymime šių apskritimų susikirtimo taškų A.

4) Taškus A, B ir C sujungiame tiesių atkarpomis . Gauname ieškomąjį

trikampį ABC, kurio kraštinės lygios B C = a , A C = b ir A B = c (žr. 137 pav.).

Kad uždavinys turėtų sprendinį, trikampio kraštinės a, b ir c turi lenkinti

sąlygas a < b + c , b < a + c , c < a + b (žr. skyrelį "Trikampiai").

7 uždavinys. Per tašką M, nepriklausantį apskritimui, reikia nubrėžti

apskritinio Iiestinę (apskritimo liestinės brėžimo aždavinys).

Sakykime duotas apskritimas, kurio

centras yra taškas O. Pasirinkime

apskritimui nepriklausantį tašką M (žr.

J^j 138 pav.). Nubrėžiame apskritimo

liestines, einančias per tašką M.

Brėžimas (žr. 138 pav.).

138 pav.

1) Nubrėžiame atkarpą OM,

jungiančią duotojo apskritimo centrą O su tašku M.

2) Randame atkarpos OM vidurį Oi (žr. 1 uždavinį; spręsto uždavinio etapai

nenurodomi, jo sprendimas laikomas vienu brėžimu).

3) Iš centro Oi brėžiame R = O i O spindulio apskritimą. Pažymime šio

apskritinio ir duotojo apskritimo susikirtimo taškus N i ir N2.

4) Per taškus M ir N, bei M ir N2 nubėžiame tieses MN, ir MN2, kurios ir yra

ieškomosios liestinės.

8 uždavinys. Tam tikrų taisyklingųjų daugiakampių brėžimas.

Taisyklingųjų daugiakampių brėžimo uždavinys dar vadinamas apskritimo

dalijimo į lygias dalis uždaviniu, nes kiekvienas taisyklingasis n - kampis yra

įbrėžtinis n - kampis. Aptarsime tam tikrų taisyklingųjų daugiakampių,

kuriuos galima nubrėžti su skriestuvu ir liniuote, brėžimą.

• Taisyklingojo šešiakampio

brėžimas.

Žinome, kad taisyklingojo

šešiakampio kraštinė lygi apie jį

apibrėžto apskritimo spinduliui.

Nubrėžiame kokį nors

apskritimą, kurio centras yra

taškas O, o spindulys lygus R (139

pav.). Pasirenkame to apskritimo

139 pav . tašką Ai, kurį laikome

taisyklingojo šešiakampio viršūne.

Iš centro Ai brėžiame spindulio R apskritimą. Pažymime pradinio apskritimo

ir centro Ai nubraižyto apskritimo susikirtimo tašką A2. Taškas A2 yra kita

taisyklingojo šešiakampio viršūnė. Toliau iš centro A2 brėžiame to paties

spindulio R apskritimą ir pažymime pradinio ir nubraižyto apskritimo

susikirtimo tašką A3. Taškas A3 yra trečioji taisyklingojo šešiakampio viršūne.

Analogiškai randame ir likusias tris šešiakampio viršūnes A4, As ir A6.

Viršūnes Ai, A2, A3, A4, A5, A6 sujungę tiesių atkarpomis, gauname ieškomąjį

taisyklingąjį šešiakampį AiA2A3A4A5A6 .

• Lygiakraščio trikampio brėžimas.

Jau aprašytuoju būdu (žr. skyrelį "Taisyklingojo šešiakampio brėžimas")

randame šešis apskritimo taškus A b A2, A3, A4, A5, A6, kurie yra taisyklingojo

šešiakampio viršūnės. Sujungę taškus Ai, A3 ir A5 tiesių atkarpomis (žr. 139

pav.), gauname lygiakraštį trikampį AiA3A5.

• Taisyklingojo dvylikakampio brėžimas.

Iš apskritimo centro O per taisyklingojo šešiakampio (žr. skyrelį

"Taisyklingojo šešiakampio brėžimas") kraštines A i A 2 vidurio tašką (žr. 1

uždavinio sprendimą) nubrėžiame spindulį α , kuris yra atkarpos AiA 2 vidurio

statmuo. Pažymėkime apskritimo ir atkarpos AiA2 vidurio statmens

susikirtimo tašką Bi. Atkarpą AiBi yra į apskritimą įbrėžto taisyklingojo

dvylikakampio kraštinė.

i rIaisvklingoio keturkampio (kvadrato) brėžimas.

A 4

140 paveiksle pavaizduotas

taisyklingasis keturkampis (kvadratas).

Jo viršūnės A1, A2, A3 ir A4 yra vienas

kitam statmenų apskritimo skersmenų

galai.

A 2

140 pav.

• Taisyklingojo aštuoniakampio brėžimas.

Nubrėžiame kvadratą (žr. 140 pav.). Surandame alkarpo A1A2 (kvadrato

kraštinės) vidurio tašką. Per šį tašką ir apskritimo centrą nubrėžiame

apskritimo spindulį b (atkarpos A1A2 vidurio statmenį). Apskritimo ir

spindulio b susikirtimo taškas yra B1. Atkarpa A1B1 yra taisyklingojo

aštuoniakampio kraštinė.

9 uždavinys. Ketvirtos proporcingos atkarpos brėžimas.

Atkarpa, kurios ilgis χ lenkina proporciją α : b = c : χ , vadinama ketvirta

proporcingąja atkarpa atkarpoms a , b ir c.

Sakykime, duotos atkarpos o, b ir c (žr. 141 pav.). Reikia nubrėžti ketvirtą

proporcingąja atkarpa atkarpoms a , b ir c.

Brėžimas (žr. 141 pav.). Q

_ _ _ _ _ _ _ į, 1) Brėžiame bei kokį ncišlicslinį

c kampą.

2) Vienoje Io kampo kraštinėje

nuo kampo viršūnės O atidedame

atkarpas O A = Q ir O B = b , o kiloję

kraštinėje - O C = c .

3) Nubrėžiame alkarpą AC.

4) Brėžiame licsę MB, einančią per

tašką B ir lygiagrečią tiesei AC. Nubrėžtos tiesės ir spindulio O C susikirtimo

taškas yra X.

5) OX - ieškomoji atkarpa.

PLANIMETRIJA 11. PAPRASČIAUSIEJI BRĖŽIMO UŽDAVINIAI

10 uždavinys. Atkarpų geometrinio vidurio brėžimas.

Reikia nubrėžti atkarpų m ir n (142 pav.) geometrinį vidurkį.

Brėžimas (žr. 142 pav.).

1) Brėžiame bet kokią tiesę α ir

pažymime joje bet kurį taškų M.

2) Tiesėje α j skirtingas puses nuo

M atidedame MA = m ir MB=n .

3) Randamas AB vidurio taškas O

(žr. 1 uždavinį).

4) Iš centro O brėžiame spindulio

AO apskritimų.

5) Brėžiame statmenį tiesei a, einantį per taškų M. 142 paveiksle minėtas

Statmuo yra tiesė MN.

6) Pažymime statmens MN ir apskritimo susikirtimo taškų X.

7) MX - ieškomoji atkarpa.

STEREOMETRIJA 1. TIESES ERDVEJE

STEREOMETRIJA

1. TIESES ERDVEJE

• Dvi tiesės erdvėje gali būti:

1) Lygiagrečios.

Lygiagrečiomis tiesėmis erdvėje

vadinamos dvi tiesės, kurios yra vienoje

plokštumoje ir neturi bendrų taškų.

1 paveiksle pavaizduotos tiesės α ir b yra

lygiagrečios : žymima α 11 b.

2) Susikertančios.

Susikertančiomis tiesėmis erdvėje

vadinamos dvi tiesės, kurios yra vienoje

plokštumoje ir turi vienų bendrų taškų.

2 paveiksle pavaizduotos dvi

susikertančios tiesės α ir b (tiesės kertasi

taške A).

3) Prasilenkiančios.

Prasilenkiančiomis tiesėmis erdvėje

vadinamos dvi tiesės, kurios nesusikcrla ir

nėra vienoje plokštumoje.

3 paveiksle pavaizduotos tiesės α ir b yra

prasilenkiančios, nes jos yra skirtingose

plokštumose.

α e α , b e α , α n b = 0 .

2 pav.

α g α , b g α , α η b = A .

3 pav.

α G α , b ¢. α , anb = 0

• Lygiagrečiu licsiii teorema

Per kiekvieną erdvės tašką, nesantį tiesėje, eina tai tiesei lygiagreti tiesė,

tačiau tik viena (teoremos iliustraciją žr. 4 pav.).

α - nagrinėjamoji tiesė;

M - toje tiesėje nesantis taškas;

b - vienintelė tiesė, einanti per tašką M ir lygiagreti

tiesei α . 4 pav.

• P l o k š t u m o s ir lygiagrečiu t ies iu k ir t imosi t eorema

Jci viena iš dviejų lygiagrečių tiesių kerta plokštumą, tai ir kita tiesė kerta tą

plokštumą (žr. 5 pav.).

Jei α 11 b ir tiesė α kerta plokštumą α taške M,

tai tiesė b irgi kerta plokštumą a , t.y. su ja turi tik

vieną bendrą tašką.

D pav.

• Trijų tiesiu lygiagretumo teorema.

Jci dvi tiesės lygiagrečios trečiai tiesei, lai tai tos dvi tiesės lygiagrečios

(žr. 6 pav.).

Jei α I j c ir b j Į c , lai α | Į b.

Prasilcnkianeiuiu tiesių požymis.

7 pav.

• Prasilenkiančiu tiesiu teorema.

Per kiekvieną iš dviejų prasilenkiančių tiesių eina kitai tiesei lygiagreti

plokštuma, tačiau tik viena (žr. 8 pav.).

Jei α ir b yra dvi prasilenkiančios tiesės, tai per

tiesę α eina vienintelė plokštuma a , lygiagreti

tiesei b. Norėdami tuo įtikinti, per tiesės α tašką

Λ išveskime tiesę c, lygiagrečią licsci b (žr. 8

pav.). Plokštumą einančią per tieses α ir c

pažymėkime raide a . Kadangi tiesės α ir b yra

prasilenkiančios, tai tiesė b nėra plokštumoje a ,

be to, tiesė b lygiagreti tiesei c, esančiai toje

plokštumoje. Tiesė b lygiagreti plokštumai a . Si

plokštuma yra vienintelė, nes kiekviena kita plokštuma, einanti per tiesę a ,

kerta liesę c, vadinasi, kerta jai lygiagrečią tiesę b.

. . . 7

S T E R E O M E T R I J A 1. TIl iSl iS U R D V L J l i

* A t s t u m a s t a r p dv ie jų p r a s i l e n k i a n č i u t i e s iu . Atstumu tarp prasilenkiančiųjų tiesių vadinamas jų bendrojo slalmens ilgis,

t.y. atkarpos, jungiančios artimiausius tiesių taškus, ilgis (žr. 9 pav.).

Tiesės α ir b yra prasilenkiančios.

AB 1 α , AB 1 b , t.y. AB -

bendrasis tiesių α ir b statmuo

(atkarpa, jungianti artimiausius tiesių

α ir b taškus A ir B).

AB - a ts tumas tarp prasilenkiančiųjų

tiesių α ir b.

• K a m p a s t a r p s u s i k e r t a n č i ų j ų t i e s iu .

Bet kurios dvi susikertančios tiesės yra vienoje plokštumoje ir sudaro keturis

ncišlieslinius kampus. Jei α - tas kampas , kuris ne didesnis už kiekvieną iš

kilų trijų kampų, tai jis vadinamas kampu ta rp susikertančiųjų tiesių

(žr. 10 pav.).

Jei α ir b yra dvi susikertančios tiesės,

esančios plokštumoje β , tai kampas a yra

laikomas kampu tarp susikertančiųjų

tiesių α ir b (10 pav.a).Aišku, kad

O0 < α < 90".

10 paveiksle, b, nubraižytos dvi

susikertančios tiesės α ir b ; kampas tarp

šių tiesių lygus 30°.

K a m p a s tarp p r a s i l e n k i a n č i ų j ų t ies iu

, A

A 1 B 1 I lAB C 1 D 1 H C D

11 pav. a )

Sakykime, AB ir CD - dvi prasilenkiančios tiesės (11 pav. a). Pasirinkime bet

kurį erdvės tašką M1 ir per jį išveskime tieses A1B1 ir C 1 D i , lygiagrečias

tiesėms AB ir CD.

Kampu tarp prasilenkiančiųjų tiesių AB irCD vadinamas kampas tarp

susikertančiųjų tiesių A1Bi ir C 1 D 1 .

Jei kampas tarp tiesių A1Bi ir C1D1 lygus φ , lai kampas tarp prasilenkiančiųjų

tiesių AB ir CD taip pat lygus φ (žr. 11 pav. a).

Kampas tarp prasilenkiančiųjų tiesių nepriklauso nuo taško M1. Tašku M

galime pasirinkti bet kurį vienos iš

prasilenkiančiųjų tiesių tašką.

Pavyzdžiui, 11 pav. b), pažymėtas tiesės

CD taškas M ir per jį išvesta tiesė A1B1

lygiagreti tiesei AB. Kampas tarp

prasilenkiančiųjų tiesių A1B1 ir CD irgi

lygus (p , t.y. lygus kampui tarp

pav . b ) prasilenkiančiųjų tiesių AB ir CD.

STLiRIiOMLiTRIJA 2. TIliSLiS IR PLOKŠTUMOS LYGIAGRLiTUMAS 1 2. TIESĖS IR PLOKŠTUMOS LYGIAGRETUMAS

Tiesė ir plokštuma, kurios neturi bendrų taškų, vadinamos lygiagrečiomis.

Jei tiesė α lygiagreti plokštumai a , tai rašome: α 11 α

α

• Tiesės ir plokštumos lygiagretumo požymis

Jei plokštumoje nesanti tiesė lygiagreti bet kuriai nors toje plokštumoje

esančiai tiesei, tai ta tiesė lygiagreti plokštumai (žr. 13 pav.).

b Tiesė α yra plokštumoje α

( α e α ). Jei b 11 α , tai b 11 α

13 pav. S

• Atstumas nuo tiesės iki jai lygiagrečios plokštumos

Atstumas nuo tiesės iki jai lygiagrečios plokštumos lygus atstumui nuo bet

kurio tiesės taško iki duotosios plokštumos.

STLRliOMLiTRIJA 2. TIIiSLiS IR PLOKŠTUMOS LYGIAGRETUMAS

• Kelios tiesės ir plokštumos lygiagretumo teoremos, kuriomis

dažnai remiamasi sprendžiant uždavinius.

1 .Teorema. Jei plokštuma eina per tiesę, lygiagrečią kitai plokštumai ir kerta

tą plokštumą, tai plokštumų susikirtimo tiesė lygiagreti tai tiesei (žr. 14 pav.).

Plokštumoje (3 yra tiesė b. Jei b | Į α

ir plokštuma (3 kerta plokštumą α ,

tai b | | a ;

čia α - plokštumų α ir [5 susikirtimo

linija.

2.Teorcma. Tiesė, lygiagreti kiekvienai iš dviejų susikertančių plokštumų, yra

lygiagreti ir tų plokštumų susikirtimo tiesei (žr. 15 pav.).

Tiesė b yra plokštumoje γ .

Jei b 11 α ir b| |[3 , lai b| |a;

čia α - plokštumų α ir β susikirtimo

tiesė.

3 .Tcorcma . Jei viena iš dviejų lygiagrečių tiesių lygiagreti plokštumai, tai kila

licsė arba lygiagreti tai plokštumai, arba yra toje plokštumoje.

3.TIESĖS IR PLOKŠTUMOS STATMENUMAS.

Tiesė, kuri statmena kiekvienai tiesei, esančiai plokštumoje, vadinama tai

plokštumai statmena tiese.

Tiesės α ir plokštumos α statmenumas žymimas šitaip : θ Ι α .

Jei tiesė α yra statmena plokštumai Α , tai ji kerta UI plokštumą.

• Tiesės ir plokštumos statmenumo požymis.

Jei liesė statmena dviem susikertančioms tiesėms, esančioms plokštumoje, tai

ji statmena lai plokštumai (žr. 16 pav.).

C

Jc i c I a ir c l b , tai c 1 α .

16 pav.

• Teoremos, atskleidžiančios tiesiu ir plokštumos lygiagretumo ir

statmenumo ryši.

Teorema. Jei viena iš dviejų lygiagrečių tiesių yra statmena plokštumai, lai ir

kita tiesė statmena lai plokštumai (žr. 17 pav.).

Jci α ĮI b ir α ί α , tai ir b l a

17 pav.

Atvirkštine teorema. Jei dvi tiesės statmenos plokštumai, tai jos lygiagrečios . (žr. 17 pav.).

Jei α Ι α ir b l a , tai a | | b (žr. 17 pav.).

• Tiesės, statmenos plokštumai, teorema.

Per kiekvieną erdvės taškų eina turimai plokštumai statmena tiesė,

tačiau tik viena.

• Statmuo ir pasvirosios. Taškas A nėra plokštumoje a . Per

tašką A išveskime tiesę, statmeną

plokštumai α Tos tiesės ir

plokštumos α susikirtimo tašką

pažymėkime raide N (žr. 18 pav.).

Plokštumoje α pažymėkime kurį

nors tašką M , nesutampantį su

tašku N. Išveskime atkarpą AM.

Tada : atkarpa AN - s ta t niuo, nuleistas iš taško Λ į plokštumą α ; taškas N -

statmens AN pagrindas ; atkarpa AM - pasviroji, išvesta iš taško A į

18 pav.

plok.šlumsĮ α ; taškas M - pasvirosios AM pagrindas ; atkarpa MN -

pasvirosios AM projekcija plokštumoje α .

Stalmuo, nuleistas iš taško į plokštumą, mažesnis už kiekvieną pasvirąją,

išvestą iš to taško į tą pačią plokštumą.

AN < AM (žr. 18 pav.).

• A t s t u m a s nuo taško iki p l o k š t u m o s .

Statmcns AN, nuleisto iš taško A j plokštumą a , ilgis vadinamas ats tumu nuo

taško A iki plokštumos <x(žr. 18 pav.).

• Triju s ta tmenu teorema.

Tiesė, išvesta plokštumoje per pasvirosios pagrindą ir statmena jos projekcijai

toje plokštumoje, yra statmena ir pasvirajai (žr. 19 pav.).

Teisinga ir atvirkštinė teorema :

Tiesė, išvesta plokštumoje per pasvirosios pagrindą ir statmena pasvirajai, yra

statmena ir jos projekcijai (žr. 19 pav.).

Ici a l A M , tai α _L MN (žr. 19 pav.).

4.KAMPAS TARP TIESĖS IR PLOKŠTUMOS.

Kampu tarp tiesės ir plokštumos , kertančios tą tiesę ir jai ncstalmenos,

vadinamas kampas tarp tiesės ir jos projekcijos plokštumoje (žr. 20 pav.).

α n α = A α g α α n α = 0

Jci AC - tiesės AB projekcija

plokštumoje α , tai φ - kampas tarp

tiesės AB = α ir plokštumos α .

5. TIESĖS IR PLOKŠTUMOS PADĖTIS ERDVĖJE.

Skiriamos trys tiesės ir plokštumos padėtys erdvėje:

1) Tiesė ir plokštuma turi vieną bendrą tašką A (tiesė ir plokštuma susikerta).

2) Tiesė priklauso plokštumai (yra plokštumoje).

3) Tiesė ir plokštuma neturi bendrų taškų (tiesė lygiagreti plokštumai).

6. PLOKŠTUMŲ PADĖTIS ERDVĖJE

Dvi plokštumos erdvėje arba kertasi (jų susikirtimo linija yra tiesė)

(žr. 21 pav.) arba sutampa (žr. 22 pav.), arba yra lygiagrečios (neturi bendrų

taškų) (žr. 23 pav.).

7. PLOKŠTUMŲ LYGIAGRETUMAS

Dvi plokštumos, kurios nesusikerta, vadinamos lygiagrečiomis plokštumomis.

Plokštumų α ir β lygiagretumas žymimas α || β .

• Dviejų plokštumų lygiagretumo požymis. Jei vienos plokštumos dvi susikertančios tiesės lygiagrečios kitos plokštumos

dviem susikertančioms tiesėms, tai los plokštumos lygiagrečios (žr. 24 pav.).

Susikertančios tiesės Cil ir a 2 yra

plokštumoje α, o susikertančios tiesės b] ir

b2 yra plokštumoje β. Jei a i j |b | ir a2 | |b2,

tai α H β . pav.

• Lygiagrečiu plokštumų savybės. 1 .teorema. Jei dvi lygiagrečias plokštumas kerta trečia plokštuma, tai jų

susikirtimo tiesės lygiagrečios (žr. 25 pav.).

2 teorema. Lygiagrečių tiesių atkarpos, esančios tarp lygiagrečių plokštumų,

lygios (žr. 26 pav.).

A1A2 = B1B2

Jei α y β , o a ir b - plokštumas α ir

β kertančios lygiagrečios tiesės, tai

čia Ai , A2 ir Bi , B2 - tiesių ir

plokštumų susikirtimo taškai.

3 teorema. Jei dvi lygiagrečias plokštumas kerta tiesė, s ta tmena vienai iš

plokštumų, tai ta tiesė statmena ir kitai plokštumai (žr. 27 pav.).

27 pav.

Jci otĮ Į β ir α ± α , tai ir α _L β

Jci α ±α ir (3 _La , lai α || β .

Teisinga ir atvirkštinė teorema:

Jei dvi plokštumos s ta tmenos tiesei, kertančių ją, tai tos plokštumos

lygiagrečios (žr. 27 pav.).

Atstumas tarp dviejų lyaiagrceiu plokštumų.

Atslumas tarp dviejų lygiagrečių plokštumų lygus atstumui nuo bei kurio

vienos plokštumos taško iki kilos plokštumos.

8. KAMPAS TARP PLOKŠTUMŲ.

28 pav.

Tegu α ir β - dvi susikertančios

plokštumos, o c - jų susikirtimo tiesė.

Išvedame plokštumą γ , s tatmeną

tiesei c. α - plokštumos α susikirtimo

su plokštuma γ tiesė, o b - plokštumos β

susikirtimo su γ tiesė. Kampas tarp

plokštumų α ir β lygus kampui tarp

susikertančiųjų tiesių α ir b (žr. 28 pav.).

9. PLOKŠTUMŲ STATMENUMAS.

Statmenomis (viena kitai statmenomis) plokštumomis vadinamos dvi

susikertančios plokštumos, kampas tarp kurių lygus 90° (žr. 29 pav.).

ii

α

Γ

Plokštumų α ir β s ta lmenumas

" T r žymimas taip: α ± β .

Visi keturi dvisieniai kampai , kuriuos

J sudaro vienai kitai s ta tmenos

plokštumos, yra statūs.

29 pav. • Dviejų plokštumu s ta tmenumo požymis.

Jei viena iš dviejų plokštumų eina per tiesę s ta tmeną kitai plokštumai, tai tos

plokštumos viena kilai s ta tmenos (žr. 30 pav.)

b β

/

Jei b J . α ir p lokštuma β eina per

tiesę b, tai β J- α .

30 pav. Išvada iš dviejų plokštumų s ta tmenumo požymio:

Plokštuma, s ta tmena dviejų plokštumų susikirtimo tiesei, yra s tatmena

kiekvienai tų plokštumų (žr. 31 pav.).

I P f

α

yV α \

/ /

/ Ь X

Jci γ ±c , lai γ Ι α ir γ ± β ;

čia с - plokštumų α ir β susikirtimo

licsė.

31 pav .

10. DVISIENIS KAMPAS

Dvisieniu kampu vadiname figūrų, kurių sudaro tiesė α bei dvi pusplokštumės,

turinčios bendrų kraštų a , bet nesančios vienoje plokštumoje (žr. 32 pav.).

Dvisienj kampų sudarančios pusplokštumės vadinamos dvisicnio kampo

sienomis, o pusplokštumių bendras kraštas - tiesė α - vadinamasdvisicnio

kampo briauna.

Dvisicnio kampo tiesiniu kampu

vadinamas kampas tarp statmenų

briaunai D E spindulių BC ir BA,

išvestų iš bet kurio briaunos taško B.

Dvisicnio kampo laipsniu matu

vadinamas jo tiesinio kampo laipsninis

matas. 32 pav. pavaizduoto dvisicnio

kampo laipsninis matas lygus tiesinio

kampo CBA laipsniniam matui.

32 pav .

11. TRISIENIS KAMPAS

33 p a v .

Trisienis kampas (abc) yra erdvinė

figūra, kurių sudaro trys plokštieji

kampai (ab), (bc) ir (ac) (žr. 33 pav.).

Trisienio kampo kampų savybės:

α < β + γ ; β < γ + α ; γ < α + β ;

α+β+γ<360" .

Tris ienio k a m p o k o s i n u s ų t e o r e m a :

COsa=COsp cosy + s i n p siny c o s A .

12. DAUGIAKAMPIO STATMENOSIOS PROJEKCIJOS PLOTAS.

C

3 4 p a v .

Daugiakampio statmenosios

projekcijos plokštumoje plotas lygus

jo ploto ir kampo tarp daugiakampio

plokštumos ir projekcijos plokštumos

kosinuso sandaugai.

Trikampio atveju (žr. 34 pav.):

S a a b c 1 - S a a b c " C O S γ

čia trikampis ABCi yra trikampio

ABC statmenoji projekcija

plokštumoje α .

13. BRIAUNAINIAI (Bendros sąvokos)

Paviršių sudarytų iš daugiakampių ir ribojantį tam tikrų geometrinį kūną,

vadiname daugiasieniu paviršiumi, arba briaunainiu.

Daugiakampiai, iš kurių sudarytas

briaunainis, vadinami briaunainio

sienomis. Briaunainio sienų kraštinės

vadinamos briaunainio briaunomis, o

briaunų galai - briaunainio viršūnėmis.

Alkarpa, jungianti dvi ne vienoje sienoje

esančias viršūnes, vadinama briaunainio

įstrižaine. 35 paveiksle pavaizduotas

briaunainis vadinamas tctracdru. Jo visos

trys sienos SAC, SCB ir SAB -

lygiakraščiai trikampiai. Tetraedro

briaunos yra SA, SC ir SB, o viršūnės S,

A, C ir B. 36 paveiksle pavaizduotas

briaunainis vadinamas gretasieniu. Jo

visos šešios sienos ABCD, AAIB1B,

BB 1 CIC, C C , D , D , A A , D , D ir A 1 B 1 C I D ,

lygiagretainiai. Gretasienio briaunos yra

A A B B B B C C B D D , , A B , BC 1 C D , A D ,

A 1 B , , B]C | , C I D B AJDI , o v i r šūnės A, B,

C, D, A B BI, C], DI. Gretasienis turi

keturias įstrižaines ACĮ, BD B CA B DB1,

kurios susikerta viename taške O.

36 pav .

14. PRIZMĖ

n - kampe prizme vadinamas briaunainis, kurį sudaro du lygūs n - kampiai,

esantys lygiagrečiose plokštumose, bei n lygiagretainių (žr. 37 pav.).

Daugiakampiai A i A 2 - A n ir B i B 2 - B n

vadinami prizmės pagrindais, o

lygiagretainiai AiA2B2B1 , . . . , AnAiBiBn

prizmes šoninėmis sienomis.

Atkarpos AiB1 , A2B2 ,..., AnB l l

vadinamos prizmės šoninėmis

briaunomis, - jos yra lygios ir

lygiagrečios. Prizmė, kurios pagrindai:

A 1 A 2 - A n ir B 1 B 2 - B n žymima

A i A 2 - A n B i B 2 - B n .

38 paveiksle pavaizduota trikampė

prizmė ABCAiB1C1 .

Statmuo, nuleistas iš vieno prizmės

pagrindo kurio nors taško į kitą

pagrindo plokštumą, vadinamas

prizmes aukštine. 38 paveiksle alkarpa

A 1 O yra trikampės prizmės aukštinė.

Prizmės paviršiaus plotu vadinama

visų jos sienų plolų suma, o prizmės

šoninio paviršiaus plotu - jos šoninių

sienų plotų suma.

Prizmės pagrindo perimetru vadiname prizmės pagrindo kraštinių sumą.

Toliau žymėsime:

S pagr. - prizmės pagrindo plotas;

S PR - prizmės paviršiaus plotas;

S son - prizmės šoninio paviršiaus plotas;

P - prizmės pagrindo perimetras;

H - prizmės aukštinė;

V - prizmės tūris.

PRIZMIŲ RŪSYS:

• Stačioji prizmė.

B,

3 9 p a v .

Prizmė, kurios šoninės briaunos statmenos pagrindams, vadinama

stačiąja.

39 paveiksle pavaizduota stačioji trikampė prizmė.

Stačiosios prizmės aukštinė lygi jos šoninei briaunai.

AA1=BB1=CC1=H

Sšon. = P H

S pr. S Son. + 2 S pągr V S pagr. H

Pasviroji prizmė Prizmė, kurios šoninės briaunos

nėra statmenos pagrindams, vadinama

pasvirųjų.

Pasvirosios prizmės šonines sienas

perkirtę šoninėms briaunoms statmena

plokštuma, gauname prizmės

statmenąjį pjūvį. Prizmės statmenojo

pjūvio perimetrą žymėsime raide p χ , o

statmenojo pjūvio plotą S x .

40 paveiksle pavaizduota pasviroji

trikampė prizmė ABCA1B1CB A 1 O = H - pasvirosios prizmės aukštinė (ji,

skirtingai negu statčiosios trikamoės prizmės atveju, nelygi šoninei briaunai);

trikampis KLM - prizmės statmenasis pjūvis (trikampio kraštinės statmenos

prizmės briaunoms), o

P i = KL + L M + K M - statmenojo pjūvio perimetras;

S дкш = S i - statmenojo pjūvio plotas; i = A A I = B B I = C C I - pasvirosios

trikampės prizmės šoninės briaunos ilgis. Teisingos formulės:

S Son — P x ' i S pr. S Jon "i" 2 S pagr. V = S 1 H

Taisyklingoji pr izmę

Stačioji prizmė, kurios pagrindai yra taisyklingieji daugiakampiai, vadinama

taisyklingąja prizme.

Taisyklingosios prizmės visos šoninės sienos yra lygus stačiakampiai.

Л 15. GRETASIENIS

Δ ι , ί ^ Χ Λ

b L i ^ Ū ^ L ·

Prizmė, kurios pagrindas yra

lygiagretainis, vadinama gretasieniu.

41 paveiksle pavaizduotas gretasienis

ABCDA,B,C,DI; AC1, DB1, BD,, CA, -

keturios gretasienio įstrižainės; O -

įstrižainių susikirtimo taškas.

41 pav.

Gretasienio priešingos sienos

lygiagrečios ir lygios. Gretasienio

įstrižainės susikerta viename taške, kuris

kiekvieną jų dalija pusiau. Gretasienio

įstrižainių susikirtimo taškas yra jo

simetrijos centras.

STAČIAKAMPIS GRETASIENIS Statusis gretasienis, kurio pagrindas yra

stačiakampis, vadinamas stačiakampiu

gretasieniu.

42 paveiksle pavaizduotas stačiakampis

gretasienis ABCDA,B1CID,.

AAI=BB 1=CC 1=DDI=H - stačiakampio

gretasienio aukštinė; AC,=D -

stačiakampio gretasienio įstrižainė;

AD=a, CD=b, AAI=C - stačiakampio

gretasienio matmenys (plotis, ilgis,

aukštis).

Visos stačiakampio gretasienio įstrižainės

yra lygios.

Stačiakampio gretasienio įstrižainės kvadratas lygus trijų jo matmenų kvadratų

sumai: d2=a2+b2+c2

S pagr. = ab S šo„. = 2(ac+bc) V= abc

• KUBAS

43 pav.

Stačiakampis gretasienis, kurio

visos briaunos lygios, vadinamas kubu.

43 paveiksle pavaizduotas kubas

ABCDA,B,CID,.

AB-BC=CD=AD=A,BI=BIC,=

=CIDI=A1D1=AA1=DD1=CC1=

= B B , = a .

Kubo visos sienos yra kvadratai.

S pagr. — Q S šon = 4a2 S kubo—6a2

d2=3a2 V=a3

formulėse S ku|4) - kubo paviršiaus plotas; d - kubo įstrižainė.

л 16. PIRAMIDE

Piramide vadinamas briaunainis, sudarytas iš n - kampio AjA2-An ir trikampių SA1A2, SA2A3,..., SAnA1 (žr. 44 pav.).

Daugiakampis A 1A 2 -A 1 1 vadinamas

piramidės pagrindu, o trikampiai

SA1A2, SA2A3,...,SAnA1 - piramides

šoninėmis sienomis.

Taškas S vadinamas piramidės

viršūne, o atkarpos SAi, SA2,...,SA11 -

piramidės šoninėmis briaunomis.

Piramidė, kurios pagrindas A i A 2 -A 1 1

ir viršūnė S, žymima SA1A2--A11 ir

vadinama n - kampe piramide.

45 paveiksle pavaizduotos keturkampė SABCD ir šešiakampė SABCDEF

piramidės.

44 pav.

Statmuo, nuleistas iš

piramidės viršūnės į

pagrindo plokštumą,

vadinamas piramidės

aukštine.

45 pav.

44 paveiksle alkarpa SI I - piramidės aukštinė.

Piramidės paviršiaus plotu vadinama visų jos sienų (t.y. pagrindo ir šoninių

sienų) plolų suma, o piramidės šoninio paviršiaus plotu - jos šoninių sienų

plotų suma.

Toliau žymėsime: S pagr. - piramidės pagrindo plotas;

S son. - piramidės šoninio paviršiaus plotas;

S pįr. - piramidės paviršiaus plotas; H - piramidės aukštinė;

P - piramidės pagrindo perimetras; V - piramidės tūris.

PIRAMIDŽIŲ RŪSYS.

. TAISYKLINGOJI PIRAMIDĖ. Piramidė - kurios pagrindas

taisyklingasis daugiakampis, o atkarpa,

jungianti piramidės viršūnę su

pagrindo centru, yra piramidės

aukštinė, vadinama taisyklingąja

piramide.

46 paveiksle pavaizduota taisyklingoji

trikampė piramidė.

Taisykligosios piramidės visos šoninės

briaunos lygios, o šoninės sienos yra

lygūs lygiašoniai trikampiai.

STEREOMETRUA 16. NRAMIDtl

Piramidės šoninės sienos aukštinė vadinama piramidės apotema.

Piramidės apolcma žymima raide d .

46 pav. pavaizduotoje piramidėje

S E = S F = S G = d - piramidės apolcmos;

SO=H - piramidės aukštinė;

Δ SEO = Δ SFO = Δ SGO = φ - kampas kurj, sudaro šoninė siena su

pagrindo plokštuma (dvisienis kampas prie pagrindo).

Teisingos formulės:

PIRAMIDĖ. KURIOS VISOS ŠONINĖS SIENOS SU PAGRINDO

PLOKŠTUMA SUDARO VIENA IR TA PATI KAMPA Ot

Tokiai piramidei tinka visos

taisyklingajam piramidei užrašytos

formulės. 47 pav. pavaizduota

penkiakampė piramidė, kurios visos

šoninės sienos su pagrindo plokštuma

sudaro vienų ir tų patį kampų a.

Tokios piramidės viršūnės S

statmenoji projekcija į pagrindų yra

taškas O, kuris yra j pagrindų (brėžto

apskritimo centras (žr. 47 pav.). 47

S

J l k / / /1 i \

/ I \ / / 1 \ \ B Ч -J^—t Lr ,/

: \ O C

D 47 pav.

STEREOMETRIJA 17. N U P J A U ' H N E P I R A M I D E

pav. r - j pagrindą (brėžto apskritimo spindulys.

Pastaba. Jei piramidės visų šoninių briaunų apotemų ilgiai lygūs, tai jos

viršūnės statmenoji projekcija į pagrindų taip pat yra į pagrindų įbrėžto

apskritimo centras.

• Piramide, kurios visos šoninės briaunos su pagrindo

plokštuma sudaro viena ir ta pati kampą β.

48 paveiksle pavaizduota

penkiakampė piramidė, kurios visos

šoninės briaunos su pagrindo

plokštuma sudaro vienų ir tų patį

kampų β .Tokios piramidės viršūnės

S statmenoji projekcija į pagrindų

yra taškas O, kuris yra apie

pagrindų apibrėžto apskritimo

centras (žr. 48 pav.).48 paveiksle R -

apie pagrindą apibrėžto apskritimo

spindulys. 48 pav.

Pastaba. Jei piramidės visos šoninės briaunos vienodo ilgio, lai jos viršūnės

statmenoji projekcija į pagrindų taip pat yra apie pagrindų apibrėžto

apskritimo centras.

17. NUPJAUTINE PIRAMIDE

Briaunainis, kurio sienos yra n kampiai A j Аг...Ап ir BiB2...Bn (apatinis ir

viršutinis pagrindai), esantys lygiagrečiose plokštumose, ir n keturkampių

A1A2B2B1, A2A3B3B2,.. . , A11AiBiB11 (šoninės sienos), vadinamas

nupjautinc piramide (žr. 49 pav.) .

S

49 paveiksle pavaizduotos nupjaulinės

Nupjaul inė piramidė

A iA 2 A 3 -A 1 1 BiB 2 -B n yra gauta iš

piramidės S A i A 2 - A n pastarąją

perkirtus plokštuma β , lygiagrečia

piramidės pagrindo A j A 2 - A n

plokštumai α (žr. 49 pav.).

Statmuo, nuleistas iš vieno pagrindo

kurio nors taško j kito pagrindo

plokštumą, vadinamas nupjaulinės

piramidės aukštine.

iramidės aukštinė yra O O i = H.

Nupjaulinės piramidės visos šoninės sienos yra trapecijos.

TAISYKLINGOJI NUPJAUTINĖ PIRAMIDĖ

Nupjaul inė piramidė, kuri gaunama

taisyklingąją piramidę perkirtus

pagrindui lygiagrečia plokštuma,

vadinama taisyklingąja nupjaul inė

piramide.

50 paveiksle pavaizduota taisyklingoji

nupjaulinė keturkampė piramidė.

50 pav.

Taisyklingosios nupjaulinės piramidės pagrindai yra taisyklingieji

daugiakampiai, o visos šoninės sienos - lygiašonės trapecijos. T ų trapecijų

aukštinės vadinamos apotemomis.

Nupjaulinės pi ramidės šoninio paviršiaus plotas yra jos šoninių sienų plotų

suma.

Nupjaut inės piramidės pagrindai yra panašieji daugiakampiai .

Pažymėkime:

P i - taisyklingosios nupjaulinės piramidės apatinio pagrindo per imetras; P 2 - taisyklingosios nupjautinės piramidės viršutinio pagrindo perimetras', 51 - taisyklingosios nupjaulinės piramidės apatinio pagrindo plotas; 52 - taisyklingosios nupjautinės piramidės viršutinio pagrindo plotas; d - taisyklingosios nupjautinės piramidės apotema (50 pav. a tkarpa E i E = d ) ;

S N.pir. - taisyklingosios nupjaulinės piramidės paviršiaus plotas; S N.$on." liiisyklingosios nupjaulinės piramidės šoninio paviršiaus plotas.

P . A B B C C D A D

P 2 ~ A i B l " B . C . ~ C 1 D 1 ~ A i D .

S i A B 2 B C 2 C D 2 A D 2

S2 ~ A i B i 2 ~ B i C . 2 ~ C i D . 2 ~ A i D i 2

čia φ - kampas tarp taisyklingosios nupjautinės piramidės šoninės sienos ir apatinio pagrindo plokštumos (50 pav. Δ Ε ι Ε Ο = φ ) .

S N . p i r . = S N.šon + S i + S 2

1 V = - H(S ι + S2 + -s/ŠiŠI)

STEREOMETRIJA 18. TAISYKLINGIEJI B R I A U N A I N I A I

18. TAISYKLINGIEJI BRIAUNAINIAI

Taisyklinguoju briaunainiu vadinamas iškilasis briaunainis, kurio visos sienos

yra lygūs taisyklingieji daugiakampiai ir į kiekvieną jo viršūnę sueina tiek pat

briaunų.

Nėra taisyklingojo briaunainio, kurio sienos yra taisyklingieji šešiakampiai,

septyniakampiai, apskritai n - kampiai, kai n £ 6.

Yra šie taisyklingieji briaunainiai:

« TAISYKLINGASIS TETRAEDRAS (51 pav.).

Jis sudarytas iš keturių

lygiakraščių trikampių.

Kiekviena jo viršūnė yra trijų

trikampių viršūnė, o prie

kiekvienos viršūnės esančių

plokščiųjų kampų suma lygi 5 1 p a v . 5 2 p a v .

180°. Taisyklingojo tetraedro išklotinė pavaizduota 52 paveiksle.

» TAISYKLINGASIS OKTAEDRAS (53 pav.) j

Jis sudarytas iš aštuonių lygiakraščių trikampių. Kiekviena oktaedro

viršūnė yra keturių trikampių viršūnė, o prie kiekvienos viršūnės esančių

plokščiųjų kampų suma lygi 240°. Taisyklingojo oktaedro išklotinė

pavaizduota 54 paveiksle.

S T E R E O M E T R I J A 18. TAISYKLINGIEJI B R I A U N A I N I A I

• TAISYKLINGASIS IKOSAEDRAS (55 pav.)

Jis sudarytas iš dvidešimt lygiakraščių trikampių. Kiekvienajo viršūnė

yra penkių trikampių viršūnė, o prie kiekvienos viršūnės esančių plokščiųjų

kampų suma lygi 300°. Taisyklingojo ikosaedro išklotinė pavaizduota 56

• KUBAS (57 pav.).

Jis sudarytas iš šešių kvadratų. Kiekviena jo viršūnė yra trijų kvadratų

viršūnė, o prie kiekvienos viršūnės esančių plokščiųjų kampų suma lygi 270°.

Kubo išklotinė pavaizduota 58 paveiksle.

/ i / I

I / 7

/ / S /

/ / / / /

57 pav. 58 pav.

» TAISYKLINGASIS DODEKAEDRAS (59 pav.).

Jis sudarytas iš dvylikos taisyklingųjų penkiakampių. Kickv iena jo

viršūnė yra trijų taisyklingųjų penkiakampių viršūnė, o prie kiekvienos

viršūnės esančių plokščiųjų kampų suma lygi 324°. Taisyklingojo dodekaedro

išklotinė pavaizduota 60 paveiksle.

59 pav. 60 pav.

19. RITINYS

6 1 pav .

Cilindrinis paviršius vadinamas ritiniu

šoniniu paviršiumi, o skrituliai - ritinio

pagrindais. Pagrindo spindulys vadinamas

ritinio spinduliu. Atkarpa A A j (61 pav.),

s ta tmena pagr indams ir jungiant i du

pagrindų taškus A ir A i , vadinamajr i t in io

sudaromąja. Ritinio visos sudaromosios

lygiagrečios ir lygios. Sudaromosios ilgis

vadinamas ritinio aukšt ine. Tiesė O O i

vadinama ritinio ašimi.

Ritinį galima gauti stačiakampį apsukus apie vieną jo kraštinę.

62 paveiksle pavaizduotas ritinys, gautas apsukus stačiakampį A B C D apie

kraštinę AB.

Ritinio pjūviai:

• AŠINIS PJŪVIS (63 nav)

Gaunamas ritinį perkirtus

plokštuma, einančia per ^ A j ^ / / D

ritinio ašį. Pjūvis yra

stačiakampis, kurio dvi

kraštinės - ritinio sudaromosios, o kilos dvi - ritinio pagrindų skersmenys

(63 pav.).

S T E R E O M E T R I J A 19. RI ' l lNYS

PJŪVIS, GAUTAS PERKIRTUS RITINI PLOKŠTUMA.

STATMENA JO AŠIAI (lygiagrečia pagrindams) (64 pav.).

Gaunamas ritinį perkirtus plokštuma

(kertamoji plokštuma), statmena ritinio

ašiai. Pjūvis yra skritulys (64 pav.). / Y

Ritinio ašiai statmena kertamoji plokštuma l—L

nuo nagrinėjamo ritinio nukerta kūną, kuris

irgi yra ritinys. To ritinio pagrindai yra du

skrituliai, kurio vienas nagrinėjamasis

pjūvis. 6 4 p a v .

Ritinio, kurio aukštinė yra H ir spindulys R, šoninio paviršiaus išklotinė

I i

A

65 pav. pavaizduota 65 paveiksle. Matome, kad šoninio paviršiaus išklotinė yra

i stačiakampis, kurio ilgis 2 π R , o plotis H .

S T E R E O M E T R I J A 19. RITINYS

Jei pažymėsime :

R - ritinio spindulį;

H - ritinio aukštinę;

S pagr. - ritinio pagrindo plotą;

S χοή. - ritinio šoninio paviršiaus plotą;

S шт. - ritinio paviršiaus plotą;

V - ritinio tūrį, tai:

S pagr. — TtR S = 2uRH

S U I T . - S š o n . + 2 S p a g r S шт. = 2πΙΙ (R+H) V = nR2H

20. KUGIS

Kūnas, ribojamas kūginio paviršiaus ir skritulio, vadinamas kūgiu (67 pav.) j

Kūginis paviršius vadinamas kūgio

šoniniu paviršiumi, o skritulys - kūgio

pagrindu. Taškas S vadinamas kūgio

viršūne. Atkarpa, jungianti kūgio viršūnę

su bet kuriuo pagrindo krašto

(apskritimo) tašku, vadinama kūgio

sudaromąja. 67 paveiksle pavaizduoto

kūgio atkarpos SA ir SI3 yra jo f-ГЧ

P a v ' sudaromosios. Kūgio sudaromoji žymima

raide i . Visos kūgio sudaromosios lygios. Tiesė SO , einanti per pagrindo

centrą O ir viršūnę S, vadinama kūgio ašimi. Kūgio ašis yra statmena pagrindo

plokštumai. Atkarpa SO vadinama kūgio aukštine (67 pav.).

Kūgis gaunamas statųjį trikampį

apsukus apie vieną jo statinį.

68 paveiksle pavaizduotas kūgis,

gautas statųjį trikampį ABC apsukus

apie statinį AB.

68 pav.

Kūgio pjūviai:

. AŠINIS PJŪVIS (68 pav.).

Gaunamas kūgį perkirtus plokštuma,

einančia per kūgio ašį. Ašinis pjūvis yra

lygiašonis trikampis, kurio pagrindas - kūgio

pagrindo skersmuo, o šoninės kraštinės -

kūgio sudaromosios. 68 pav.

. PJŪVIS. GAUTAS KŪGI PERKIRTUS PLOKŠTUMA,

STATMENA JO AŠIAI (lygiagrečia pagrindo plokštumai)

Jei kūgį kerta plokštuma, statmena

kūgio ašiai OS, tai kūgio pjūvis yra

skritulys, kurio centras Oi yra kūgio

ašyje, o spindulys yra Ri. Pjūvio

atstumas iki kūgio viršūnės yra

atkarpos SOi ilgis. Atkarpa SOi yra

mažesniojo kūgio , kurį atkerta nuo

duotojo kūgio kertamoji plokštuma

a , aukštinė. Kadangi statieji

trikampiai SOM ir SOiMi 6 9 p a v . SO1 R,

panašūs(luri po lygų kampą prie viršūnės S), tai — = — . Iš čia

čia SO - kūgio aukštinė (žr. 69 pav.).

STEREOMETRIJA 20. KŪGIS

Kūgio, kaip ir ritinio, šoninį

paviršių galima iškloti

plokštumoje.

Kūgio šoninio paviršiaus

išklotinė (70 pav.) yra skritulio

išpjova; skritulio spindulys

lygus kūgio sudaromajai C , o

išpjovos lanko ilgis - kūgio

pagrindo apskritimo ilgiui.

Kugio šoninio paviršiaus plotu Ia ikomasjo išklotinės plotas.

Kūgio šoninio paviršiaus plotas lygus

čia α - lanko ABA1 Iaipsninis malas (70 pav.).

Kūgio paviršiaus plotas yra kūgio šoninio paviršiaus ploto ir pagr indo

(skritulio) ploto suma.

Pažymėsime :

R - kūgio pagrindo spindulį;

I-I - kūgio aukštinę;

i - sudaromųjų;

S pagr. - kūgio pagrindo plotų;

S šon. - kūgio šoninio paviršiaus plotų;

S к . - kūgio paviršiaus plotų;

V - tūrį.

Tada :

S pagr. — Tt R S šon. = π R £

S к. — S šon. + S pagr. S K . = i t R ( R + f )

2 1 . N U P J A U T I N I S K Ū G I S .

71 pav.

Nupjautinis kūgis gaunamas kūgį

perkirtus plokštuma, s ta tmena ašiai

(69 pav.). Pradinio kūgio pagrindas ir

skritulys, gautas tų kūgį perkirtus

plokštuma, vadinami kūgio

pagrindais. Atkarpa , jungianti

nupjaul inio kūgio pagrindų centrus

O ir Oi ,vadinama nupjautinio kūgio

aukštine (71 pav.). Šoninio paviršiaus ir per ašį einančios plokštumos sankirta

yra dvi atkarpos, kurių kiekviena vadinama nupjautinio kūgio sudaromąja.

A B = i - viena iš nupjaut inio kūgio sudaromųjų (žr. 71 pav.).

STEREOMETRIJA 22. SL ERA

.1 Pažymėkime :

R - nupjaulinio kūgio apatinio pagrindo spindulį;

Γ - nupjaulinio kūgio viršutinio pagrindo spindulį;

H - nupjaulinio kūgio aukštinę;

i - nupjaulinio kūgio sudaromąją;

51 - nupjautinio kūgio apatinio pagrindo plotą;

5 2 - nupjaulinio kūgio viršutinio pagrindo plotą;

S šon. - nupjautinio kūgio šoninio paviršiaus plotą;

S N.K. - nupjaulinio kūgio paviršiaus plotą;

V - nupjautinio kūgio tūrį.

Tada :

S i o „ = 7 < R + r)j? S N.K. = 7L(R + l - ) ^ R 2 + 7TR2

V = J T I H ( R 2 + r 2 + R r ) SN.K. —Sšon. + SI + S2

22. SFERA.

Sfera vadinamas paviršius, sudarytas iš visų erdvės taškų, vienodai nutolusių

nuo vieno taško (72 pav.).

Tas taškas vadinamas sferos centru, o minėtas ats tumas - sferos spinduliu.

72 pav. pavaizduotas sferos centras yra taškas O, o spindulys lygus R.

STEREOMETRIJA 22. SI-ERA

7 2 p a v .

Atkarpa, jungianti du sferos taškus ir einanti

per jos centrą, vadinama sferos skersmeniu.

72 pav. pavaizduotos sferos skersmuo yra

a tkarpa A B = 2R.

Sferą galime gauti pusapskrit imį apsukus apie

jo skersmenį.

73 pav. pavaizduota sfera, gauta

pusapskritimį apsukus apie skersmenį AB.

B 7 3 p a v .

Plokštuma, kuri su sfera Iuri lik vieną bendrą tašką, vadinama sferos

liečiamąja p lokš tuma, o jų bendras taškas - plokštumos ir sferos Iietimosi

tašku.

7 4 p a v .

74 paveiksle pavaizduota sferos, kurios

centras O ir spindulys R, liečiamoji

plokštuma α .

Sferos liečiamosios p lokštumos savybė:

Teorema. Sferos spindulys, išvestas į

sferos ir plokštumos liclimosi tašką,

s ta tmenas licčiamajai plokštumai.

23. R U T U L Y S S T E R E O M l i T R I J A

Teorema teigia, kad jei plokštuma α taške A liečia sferą, kurios centras O

(žr. 74 pav.), tai OA ± a ; čia O A = R - sferos spindulys.

Teisinga ir atvirkštinė teorema :

Teorema. Jci sieros spindulys statmenas plokštumai, einančiai per spindulio

galą, priklausantį sferai, tai ta plokštuma yra sferos liečiamoji plokštuma,

(žr. 74 pav.).

Jei sieros spindulys yra R, lai sferos paviršiaus plotas apskaičiuojamas pagal

formulę

S = 4nR2

2 3 . R U T U L Y S

i Kūnas, kulį riboja sfera, vadinamas rutuliu. Taigi rutulį, kurio spindulys yra R f·

ir centras O, sudaro visi erdvės taškai, kurie nuo taško O nutolę per atstumą,

ne didesnį už R (įskaitant ir tašką O) (žr. 75 pav.).

Rutulio, kurio spindulys R, tūris

apskaičiuojamas pagal formulę

4 3 3 7 5 p a v .

S T T - R E O M b T R I J A 24. RU - I - ULIO D A L Y S

2 4 . R U T U L I O D A L Y S

RUTULIO NUOPJOVA.

Rutulio nuopjova vadinama rutulio dalis, kurią nuo jo nukerta kuri nors

plokštuma.

x<

Л ' / ,

α / B D = r

J L - Λ / O A = R

° j / A B = h / / / /

\ y

C /

7 6 p a v .

76 paveiksle rutulį kertanti

plokšluma α eina per tašką

B ir rutulį padalija į dvi

rutulio nuopjovas. Pjūvio

skrilulys vadinamas

kiekvienos tų nuopjovų

pagrindu, o kcrlamajai

plokštumai statmeno

skersmens A C atkarpų AB ir BC ilgiai vadinami atitinkamų rutulio nuopjovų

aukštinėmis.

Jci rutulio spindulys R, nuopjovos aukštinė h (76 paveiksle A B = h ) , rutulio

nuopjovos pagrindo spindulys r (76 paveiksle BD=r ) , nuopjovos paviršiaus

plotas S, o tūris V, tai teisingos sekančios formulės :

S = 2 h R 1 I

1 V = H h 2 ( R - - I i )

1 V = —π1ι(Ιι2 + 3 r 2 )

6

• RUTULIO SLUOKSNIS

Rutulio sluoksniu vadinama rutulio dalis, esanti tarp dviejų lygiagrečių

kertamųjų plokštumų.

Skrituliai, kurie gaunami

lygiagrečiomis plokštumomis

perkirtus rutulį, vadinami rutulio

sluoksnio pagrindais, o atstumas

tarp tų plokštumų - rutulio

sluoksnio aukštine.

Jei rutulio spindulys R, rutulio

sluoksnio aukštinė h .

(77 paveiksle MN=h) , apatinio

pagrindo spindulys r2 (77 paveiksle I3N=r2), viršutinio pagrindo spindulys n

(77 paveiksle AM=T j), rutulio sluoksnio paviršiaus plotas S, o tūris V, lai

_ į V = - T t h 3 + - π ( η 2 + Γ2

2)Η 6 2

Pastaba. Rutulio sluoksnio tūrį galima apskaičiuoti kaip dviejų rutulio

nuopjovų tūrių skirtumą. Pavyzdžiui, 77 paveiksle pavaizduoto rutulio

sluoksnio tūris lygus rutulio nuopjovų, kurių aukštinės NC ir MC tūrių

skirtumui. Jeigu duoti rutulio sluoksnio pagrindų spinduliai n ir r2 bei rululio

spindulys R, tai rululio sluoksnio tūrį galima rasti ir lokiu būdu : 1) Randame

4

rululio tūrį Vnit = - ^ R ; čia R = O A = O B - rululio spindulys (žr. 77 pav).

2) Randame rutulio nuopjovos, kurios aukštinė yra Iii=MC, o pagrindo

C

S=2nRli

spindulys r i = A M tūrį Vj : V1 = — . Rasime nuopjovos aukštinę

h,. Turime : h , = O C - O M = R - OM. Bet OM = VAO2 - AM2 = ^ R 2 - r,2 (iš

slalaus trikampio AOM), todėl h, = R - - ^ R 2 - η2 . 3) Analogiškai randame rutulio nuopjovos, kurios aukštinė yra Ii2=ND, o

/ 1 Ϊ pagrindo spindulys T2=BN tūrį V2 : V2 = 7th2 R - - h 2 . Randame nuopjovos

v i J aukštinę Ii2. Turime : h 2 = O D - O N = R - O N . Bet ON = >/θΒ2 - BN2 = ^R2 - r2

(iš stataus trikampio BON), todėl Iij = R-^R2-T2 . 4) Ieškomasis rululio sluoksnio tūris lygus V s i = V n U - ( V ] + V 2 ) .

« RUTULIO IŠPJOVA.

A

^ . B

Kutulio išpjova vadinama rululio dalis,

apribota rutulio nuopjovos MCBDA (žr. 78

pav.) rutuliniu paviršiumi ir kūginiu

paviršiumi OMCBD, kurio pagrindas yra

nuopjovos pagrindas MCBD, o viršūnė -

rululio centras.

Rutulio išpjova galima gauti skritulio išpjovą

OAB (žr. 79 pav.), kurios kampas mažesnis už

90°, apsukus apie tiesę, einančią per vieną

skritulio išpjovą ribojančių spindulių (79

paveiksle apie spindulį OA).

Jei rutulio spindulys yra R, o rululio

nuopjovos aukštinė lygi h (79 paveiksle

atkarpa AN=h) , tai rutulio išpjovos tūrio

formulė yra

V = ^ R 2 I i

i n S T E R E O M E T R I J A SKYRIAUS " S T E R E O M E T R I J A " U Ž D A V I N I A I

STEREOMETRIJOS UŽDAVINIŲ SPRENDIMO PAVYZDŽIAI

1 uždavinys. Rombo kraštine lygi α , o jo smailusis kampas lygus 45°. Erdvės

taškas K yra nutolęs atstumu b nuo rombo kraštinių.

Rasti to taško atstumą iki rombo plokštumos.

Sakykime, ABCD - rombas, kurio

A B = B C = C D = A D = a , ZD=45°

Q (80 pav.). Nubrėžiamo tiesę KO,

statmeną plokštumai ABCD.

Kadangi atstumu nuo taško iki tiesės

laikomas statmens, išvesto iš to taško

į nagrinėjamą tiesę, ilgis, tai

statmenų, nubrėžtų iš taško K į

rombo kraštines AB bei CD, ilgiai ir

yra taško K atstumai iki minėtų rombo kraštinių. Taigi K L 1 AB , KN 1 CD

ir pagal uždavinio sąlygą K L = K N = b . Remiantis trijų statmenų teorema,

OL 1 AB , ON 1 CD ( O L ir ON yra pasvirųjų KL ir KN projekcijos rombo

plokštumoje ABCD). Kadangi AB 11 CD , tai laužte LON yra atkarpa,

statmena rombo kraštinėms AB ir CD. Šios atkarpos LN ilgis lygus rombo

n aukštines ilgiui. Vadinasi, L N = a s i n 4 5 0 = - ^ - . Kadangi trikampis LKN

LN a>/2 lygiašonis, tai O L = O N = - = ——. Iš stačiojo trikampio OKL, remdamiesi

Pitagoro teorema, randame : OK = V K N 2 - O N 2 = Jb2 .

A t s a k y m a s J b

S T E R E O M E T R I J A SKYRIAUS " S T E R E O M E T R I J A " U Ž D A V I N I A I

2 uždavinys. Jrodykimc, kad taisyklingosios keturkampės prizmės pagrindo

įstrižainė AC statmena plokštumai BB j D 1 D.

Įrodymas. Pakanka įrodyti, kad tiesė

A C statmena kurioms nors dviem

plokštumos BBiDiD susikertančioms

tiesėms (žr. tiesės ir plokštumos

s ta tmenumo požymį)(81 pav.).

Kadangi ABCD - kvadratas, tai AC

1 BD. {rodysime, kad AC 1 BBv

Duotoji prizmė yra taisyklingoji, todėl

BBi 1 ABCD. Iš tiesės ir plokštumos

s tatmenumo apibrėžimo išplaukia, 81 pav.

kad BBi -L A C . Vadinasi, tiesė AC statmena dviem plokštumos BBiDiD

susikertančioms tiesėms BD ir BB i. Pagal tieses ir plokštumos statmenumo

požymį tiesė A C yra statmena plokštumai BBiDiD. Tai ir reikėjo įrodyti.

3 uždavinys, {rodykime, kad kubo ABCDAiBiCjDi įstrižainė BDi statmena

pagrindo ABCD įstrižainei AC.

Įrodymas.

Tiesė BD yra pasvirosios BDi projekcija

plokštumoje ABCD, nes D i D 1 ABCD (82

pav.). Kadangi pagrindas ABCD - kvadratas,

lai, AC ± BD . Remiantis trijų statmenų

8 2 p a v . teorema, jei tiesė AC statmena pasvirosios

BDi projekcijai plokštumoje ABCD, t.y. tiesei BD, lai AC statmena ir pačiai

pasvirajai BDi. Tai ir reikėjo įrodyti.

'W

4 uždavinys. Taisyklingoje t r ikampėje prizmėje ABCA 1 BiC 1 A A i = A B . Rasti

kampą tarp prizmės jstrižainės ABi ir plokštumos A A i Q C .

Sprendimas . Nubraižysime tiesės ABj

projekciją plokštumoje A A i C i C (83 pav.).

Plokštumos AiBiCi ir A A i C i C statmenos

(prizmė stačioji), todėl s ta tmuo B iM į tiesę

AiCi yra taip pat ir s ta tmuo j plokštumą

AAiCiC. Tiesė A M yra statmenoji tiesės AB|

projekcija plokštumoje A A i Q C . Kampas

tarp tiesės AB1 ir plokštumos AA 1 CiC yra

kampas tarp tiesės AB 1 ir jos statmenosios

projekcijos plokštumoje A A i Q C , t.y. tiesės A M . Šj kampą pažymėkime α :

α = Ζ Β ι Α Μ . Sakykime, A B = a . Tada A A i = Q , o A B j = a V 2 . Lygiakraščio

83 pav.

. а-Уз trikampio AiBiCi aukštinė BiM lygi

stačiojo trikampio B jAM gauname sin а =

. Remdamiesi Pitagoro teorema, iš

a>/3

T s s V6 а>/2 4 ·

B1M

ABT sm а = -

Vadinas i , a = arcsin-S

Atsakymas, aresin-S

5 uždavinys. Taisyklingosios keturkampės piramidės S A B C D aukštinė ir

pagrindo kraštinė lygios a . Rasti a ts tumą nuo tiesės AB iki plokštumos SCD.

Sprendimas .

Išveskime plokštumą, einančią per

piramidės viršūnę S ir pagr indo

kraštinių A B ir C D vidurio taškus

M ir N (žr. 84 pav.). Ši plokštuma

s ta tmena plokštumai SCD.

Sta tmuo MP, išvestas iš taško M į

tiesę SN, yra taip pa t ir s ta tmuo j

plokštumą SCD. Jo ilgis lygus

atstumui nuo tiesės A B iki plokštumos SCD. Piramidės aukštinė S O ir a tkarpa

Ml ' yra tr ikampio S M N aukštinės. Kadangi pagal uždavinio sąlygą M N = a ir

SO=CI , lai; remdamies i Pitagoro teorema, iš stačiojo t r ikampio SON

gauname SN = <y/S02 + 0 N 2 = ^ a 2 + y = ^ a . Tur ime :

S,VSMN='/2 M N S O , O an t ra vertus, SASMN=VI SN ' MP . Vadinasi, Vi MN " S O

= l Z i S N ' M P . Iš paskut inės lygybės randame M P -M N - S O

SN T T

2a Atsakymas .

6 uždavinys. Te t r acd ro A B C D briaunų A B ir C D ilgiai lygūs а ,

o kitų br iaunų - b. Rasti a ts tumą tarp tiesių A B ir CD.

Sakykime, M ir N - br iaunų A B ir C D vidurio taškai (žr. 85 pav.). Tiesės A B ir

CD yra prasilenkiančios. Kadangi pagal sąlygą A C = B C = I ) ir A B = A D = b , lai

trikampiai A B C ir A B D yra lygiašoniai, o a tkarpos CM ir D M - jų aukštinės.

Iš trikampių A C M ir A D M , remiantis Pitagoro teorema, СМ = DM = J B 2 - ^ - .

85 pav.

Vadinasi, trikampis CMD lygiašonis,

todėl MN ± CD . Analogiškai

įrodomo, kad trikampis ANU taip pat

lygiašonis (AN=NB), todėl MN JL AB.

Taigi MN - bendrasis tiesių AB ir CD

statmuo Pagal atstumo tarp

prasilenkiančių tiesių apibrėžimą

statmuo MN - atstumas tarp

prasilenkiančių tiesių AB ir CD. Iš

stataus trikampio CMN raudame

M N = V C M 2 - C N 2 = ^jb2 - J - J - ^ b 2 - y .

Al.su k vilnis . b 2 - -

7 uždavinys. Piramidės pagrindas yra trikampis, kurio kraštinių ilgiai 5, 7 ir S,

o visos šoninės briaunos vienodos ir lygios -į-V174 .

Reikia apskaičiuoti piramidės tūrį.

86 pav.

Sprendimas.

Pažymėkime trikampio kraštines :

a = A B = 5 cm , b = B C = 7 cm ,

c = A C = 8 cm . Kadangi piramidės

šoninės briaunos yra lygios, tai viršūnės

projekcija sutampa su apibrėžto aplink

pagrindą apskritimo centru (žr. 86 pav.).

C Todėl piramidės aukštinę SO=M galima _ _ _

apskaičiuoti kaip stalinį trikampio SOC, kurio kitas stalinis OC yra minėto

apskritimo spindulys R, o įžambinė - šoninė briauna SC=/? : H = -Ji2-R2 .

abc Tačiau R = ~4Š~ » 1У· spindulys lygus visų trikampio kraštinių sandaugai,

padalytai iš keturgubo ploto. Trikampio ABC plotą rasime remdamiesi

a + b+c Herono formule S = V p ( p - a ) ( p - b ) ( p - c ) ; čia P = — ^ — - pusperimetris.

5 + 7 + 8 , r Turime: P = — - — = 1 0 , S = ^10(10-5X10—7X10-8) = 10V3 . Vadinasi,

578 7 7>/з К ' Ш з ' 7 : Γ — • T a d a H = V ^ F , H = ^ 1 7 4 - - 1 4 7 = V3 .

Piramidės tūris V=^S p a e r TI Žinome, kad Spagr.=10V3 (gavome,

skaičiuodami R). Taigi V = -10>/3 · л/3 = 10 .

A t s a k y m a s . 10 .

8 uždavinys. Trikampės prizmės A13CA|BiCi tūris lygus V. Briaunose BBi ir

CCi pažymėkime taškus M ir N laip, kad BM BBj=m , CN CCi=n.

Raskite briaunainio ABCAjMN tūrį.

S p r e n d i m a s .

Tegul A2B2C2 - prizmės statmenasis

pjūvis (žr. 87 pav.), o A2D - šio pjūvio

aukštinė. Pažymėsime AAi—t ,

B2C2=Q1 A2D=Ii . Turime BM=m£ ,

CN = nf , B,M=(l -m)£ , C , N = ( l - n X .

Rasime piramidės AIBICINM tūrį. Jos 13 87 pav.

STLiRLiOMliTRlJA SKYRIAUS " S T E R E O M E T R I J A " UŽDAVINIAI

pagrindas - trapecija B i Q N M . Šios trapecijos aukštinė lygi B2C2 , t.y. a.

Randame trapecijos plotą :

1 2 - m - n Slf = - ( B 1 M + C 1 N J - O = α C.

Pastebėkime, kad atkarpa A 2 D statmena plokštumai BBiCiC, todėl piramidės

AiBiCiNM aukštinė, išvesta iš viršūnės A b lygi A 2 D=Ii .

Vadinasi, jeigu Vi - piramidės A t BiCiNM tūris, tai

1 1

3 h S - = 6

Prizmės s ta tmenojo pjūvio plotas S = 1/; ah. Tada visos prizmės tūris V = IZJ / a h .

v I = T h S l r = - ( 2 - m - n ) f a h .

Palyginę V1 ir V išraiškas matome, kad V1 = - ( 2 - m - n ) V . Randame

briaunainio ABCAIMN tūrį V 2 :

1 + m + n V2 = V - V , = -

1 + m + n Atsakymas. V

9 uždavinys. Nupjaulinės piramidės tūris lygus 1720 c m 3 , aukštinė 20 cm.

Atitinkamos pagrindų kraštinės sutinka kaip 5:8. Rasti pagrindų plotus.

Sprendimas. Nupjautinės piramidės pagrindai yra panašieji daugiakampiai.

Sakykime, apatinio pagrindo plotas lygus S b o viršutinio - S2. Žinome, kad

panašiųjų daugiakampių (šiuo atveju - piramidės pagrindų) plotų santykis

lygus atitinkamų jo kraštinių santykio kvadratui. Kadangi pagal sąlygą

5 S2 f 5)2 25 25 pagrindų kraštinių santykis lygus g , lai y = ̂ - J = ^ - I s čia S j = —S, .

STIiREOMLiTRIJA SKYRIAUS " S T E R E O M E T R I J A " UŽDAVINIAI

Nupjaulinės piramidės tūris kur Ы - nupjaulinės

piramidės aukštinė. Įrašę gautąją S2 išrašką į tūrio formulę, turime

V = - H l 25 25

64 ' 1 129 43

: 3 h ^ T s ' = M h s ' Iš čia S1 = 64 V

43 H

64-1720 -Kadangi pagal sąlygą V=1720 cm3, o H = 2 0 cm, tai S 1 = 4 3 2 Q =128 cm

25 25 Tada S2 = - S 1 = — · 128 = 50 cm .

64 64

Atsakymas. 128 cm2 , 50 e n r

10 uždavinys. Piramidės pagrindas yra lygiašonis trikampis, kurio šoninės

kraštinės lygios b, o kampas Iarp jų lygus a . Rasti piramidės tūrį, jeigu visos

šoninės briaunos su piramidės aukštine sudaro kampą φ.

Sprendimas.

Sakykime, SABC - duotoji piramidė, SO

- piramidės aukštinė, A B = A C = I ) ,

ZBAC=Oc , Z A S O = Z B S O = Z C O S = ψ

(žr. 88 pav.). Įrodysime, kad piramidės

viršūnės S projekcija į pagrindo

plokštumą yra apie trikampį ABC

apibrėžto apskritimo centras O.

Piramidės viršūnė S O s ta tmena

trikampio ABC plokštumai priklausančioms tiesėms АО, ВО, СО, lodėl

trikampiai ASO, BSO ir CSO yra statieji, SO - jų bendroji kraštinė, o kampai

prie viršūnės S pagal sąlygą lygūs φ. Vadinasi, visi šie trikampiai lygūs ir

priešais lygius šių trikampių kampus yra lygios kraštinės : A O = O B = O C . Taigi

88 pav.

S T t i R E O M E T R I J A SKYRIAUS " S T E R E O M E T R I J A " UŽDAVINIAI

taškas O vienodai nutolęs nuo visų trikampio ABC viršūnių ir todėl yra apie

trikampį ABC apibrėžto apskritimo centras.

Rasime apibrėžto apie trikampį ABC apskritimo spindulį, t.y. atkarpos AO

ilgį. Aišku, kad trikampis AOB yra lygiašonis ( A O = O B ) . Iš viršūnės O

AB b išveskime aukštinę OD. Turime : Δ O A D - statusis, №> = — = — ·

b α AD 2 b

Z O A D = - . Iš stačiojo trikampio O A D randame AO = — — = ц = — — . cos— cos 2 cos··

2 2 2

b Iš stačiojo trikampio ASO rasime aukštinę SO : S O = A O Ctgcp= а " с 1 ё Ф .

2 cos 2

Piramidės pagrindo plotas Spagr.=1/: Irsina. Tada piramidės tūris

, , L 1 1 . , b 1 , а V = 3SP.cr s 0 = з ' 2 Ь s i n a — ctg<p = — b' sm-e tg ip .

2 c o s -2

1 U · а Atsakymas, - b smyctgcp .

11 uždavinys. [ piramidę, kurios pagrindas yra rombas su smailiuoju kampu а ,

įbrėžtas spindulio R rutulys. Piramidės šoninės sienos su pagrindo plokštuma

sudaro vieną ir tą patį kampą φ. Rasti piramidės tūrį.

Sprendimas. Iš piramidės SABCD viršūnės S išveskime aukštinę SO1 o iš

pagrindo (rombo) viršūnės A išveskime rombo aukštinę AK (žr. 89 pav.a). Pcr

pagrindo įstrižainių susikirtimo tašką O (rutulio pagrindo plokštumos

lietimosi tašką) išveskime atkarpą EF1 lygiagrečią pagrindo aukštinei AK.

Aišku, kad E F = A K - pagrindo aukštinė. Pagal sąlygą ZABC=Oi - rombo

smailusis kampas.

S T E R E O M E T R I J A S K Y R I A U S " S T E R E O M E T R I J A " U Ž D A V I N I A I

B Ii O F

Kampai SFE ir SEF yra dvisienių kampų, kuriuos sudaro šoninės sienos SBC

ir SAD su pagrindo plokštuma, tiesiniai kampai. Pagal sąlygą

ZSFE=ZSEF=<p . Vadinasi, trikampis SEF - lygiašonis (kampai prie pagrindo

lygūs). Rutulio centras Oi yra piramidės aukštinės ir kampo SEF

pusiaukampinės EOi susikirtimo taškas. Jeigu nagrinėtume piramidės pjūvį,

gautą perkirtus ją plokštuma, einančią per piramidės viršūnę S, aukštinę SO ir

atkarpą EF, tai pjūvis yra į lygiašonį trikampį SEF įbrėžtas skritulys, kurio

centras O i (žr. 89 pav. b). Piramidės tūris Vpi,. = ^ S p i r H = ^AB-EF-SO .

Rasime pagrindo kraštinę AB, aukštinę E F ir piramidės aukštinę H = S O . Iš

AK EF stačiojo trikampio ABK randame AB : AB = - — = - — (1) ( A K = E F ) . Iš Sina sina

Φ Φ stačiojo trikampio O i O F rasime O F : OF = OO 1-Ctg-= R c t g - , čia R = O O i -' 2 2

Φ ' 2 rutulio spindulys (žr. 89 pav. b). Tada EF = 20F = 2 R c t g | (2). (2) išraišką

Φ 2 Rctg ^ įrašome į (1) vietoje E F ir gauname, kad rombo kraštinė AB = - — ( 3 ) .

"Щ?

S T E R E O M E T R I J A SKYRIAUS " S T E R E O M E T R I J A " U Ž D A V I N I A I

Iš stačiojo trikampio SOF randame piramidės aukštinę SO : φ

SO = OFtgcp= Rctg-tg(p (4). Surašę (2), (3) ir (4) išraiškas į anksčiau gautas

piramidės tūrio išraišką, turime

l 2 R c t e ~ φ φ IRjCtg5 | t g ( P Vpir = τ — — - · 2 R c t g - · Rctg - tgq> = г — A

p 3 s i na 2 2 3s ina

A t s a k y m a s .

1 1 Ψ 4 R c tg - tg(p

3 s i n a

12 uždavinys. Į spindulio R rutulį įbrėžtas kūgis. Kugio ašinio pjūvio kampas

prie viršūnės lygus a . Rasti kūgio aukštinę, sudaromąją ir pagrindo spindulį.

/

7 H \

X r r O \ B

S p r e n d i m a s .

Rutulį perkirskime plokštuma,

einančia per kūgio ašį. Pjūvis yra

rutulio didysis skritulys, į kurį įbrėžtas

lygiašonis trikampis ABS (žr. 90 pav.).

Lygiašonio trikampio kampas prie

viršūnės pagal sąlygą lygus a , kraštinės

AS ir SB yra kūgio sudaromosios, o

pagrindas AB - kūgio pagrindo E 90 pav.

skersmuo. Kūgio aukštinę SO pratęskime iki susikirtimo su didžiuoju skrituliu.

Kūgio ašis SO kerta skritulį taške E. Trikampio ESA kampas SAE - stalus, nes

jis remiasi į skritulio skersmenį. Taigi trikampis ESA stalusis, jo įžambinė

α

SE=2R, ZASE=— (SO - lygiašonio trikampio ASB kampo S

pusiaukampinė), statinis A S = t - kūgio sudaromoji. Iš stataus trikampio ESA

S T E R E O M E T R I J A S K Y R I A U S " S T E R E O M E T R I J A " U Ž D A V I N I A I

AS=2Rcos^ \ Iš s tataus trikampio AOS randame kūgio pagrindo spindulį

α α α

r = A O ir aukštinę I I = S O : r = A O = A S s iny=2Rcos—sin—=Rsina ,

a a a 2 a H = S O = A S cos—=2Rcos—cos—=2Rcos — · , a a

Atsakymas· 2Rcos — , 2Rcos— , R s i n a .

I 3 „ždavinys. Nupjautinio kūgio apatinio pagrindo spindulys lygus r,, o

viršutinio - r2. Kūgio sudaromoji su pagrindo plokštuma sudaro kampą a .

Rasti apie tokį nupjautinį kūgį apibrėžto rutulio spindulį.

91 pav.

Sprendimas.

Rutulio pjūvis, gautas jį perkirtus

plokštuma, einančia per nupjautinio

kūgio ašį О1О2 (žr. 91 pav.), yra

didysis rutulio skritulys, į kurį įbrėžta

trapecija ABCD. Nagrinėsime

trikampį ABC, kuris taip pat yra

įbrėžtas į didįjį rutulio skritulį. Šiame

trikampyje Z C B A = a . Iš trikampio

AC A U ABC, remiantis sinusu teorema, — — = 2R , t.y A C = 2 R s i n a . Vadinasi, tam, 1 s i n a

kad rastume rutulio spindulį R, reikia apskaičiuoti AC. Iš taško C nulcisime

statmenį C E į kraštinę AB. Aišku, kad A O i = r i , o D 0 2 = r 2 . Todėl A E = r i + r 2 ,

BE=Tpr2 . Iš stataus trikampio ВСЕ CE=(r i - r 2 ) lga , todėl pagal Pitagoro

t eo remą:

A C = V A E 2 + CE2 = V(R, + r2 y T (r, - r2 y + 1 β * α >

= α » α ^ r ' + r 2 ) i c o s 2 a + ( r , - r 2 ) 2 s i n 2 a = ^r12 + r2

J +2r , r 2cos2a . cos α

Vadinasi, R : AC V r2 + г/ + 2r, r2cos2a 2 sin α sin 2α

Atsakymas. Vrl

2 +r2 +2r1rzcos2a

sin 2 a

14 uždavinys. I spindulio R rutulį reikia įbrėžti kūgį, kuris turėtų didžiausią

šoninio paviršiaus plotą. Kokia turi būti kūgio aukštinė?

Kam lygus didžiausias šoninio paviršiaus plotas?

Sprendimas.

Į rutulį, kurio centras yra O ι ir

spindulys R, įbrėžto kūgio aukštinę SO

(žr. 92 pav.) pažymėkime χ : SO=«x. Iš

brėžinio matome, kad A O i = S O i = R .

Kūgio sudaromoji ί-AS, o pagrindo

spindulys r=AO. Iš brėžinio randame

atkarpos OOi ilgį: OOi=SO-SO1=X-R.

, remiantis Pitagoro teorema.

Iš stataus trikampio ASO, remiantis

92 pav.

Iš stataus trikampio AOOi

r = , / R J - ( x - R ) * = > / 2 x R - x J .

Pitagoro teorema, kūgio sudaromoji t = Vx2 + r 1 . j šią lygybę įrašę gautąją r

išraišką turime : i = ^ x 2 + ( V ^ x R ^ x 7 ) 2 = Vx2 + 2 x R - x 2 = V2xR .

Vadinasi, kūgio šoninio paviršiaus plotas S i o n = m f - n ^ 2 x R ( 2 x R - X 2 ) .

Nagrinėsime funkciją f(x)=2xR(2xR-x3) ir rasime jos didžiausiąją reikšmę

atkarpoje [ O; 2 R ) . Aišku, kad su šia χ reikšme kūgio šoninio paviršiaus plotas

bus didžiausias. Rasime funkcijos f(x) išvestinę : f ' (x)=2Rx (4R-3x).

Randame funkcijos f(x) kritinius taškus : f ' (x )=0 ; 2Rx (4R-3x)=0, kai x=0

ir χ = Ι ~ ~ · Norint rasti funkcijos f(x) didžiausią reikšmę atkarpoje [ O ; 2R],

reikia apskaičiuoti funkcijos reikšmes atkarpos galuose bei kritiniuose

taškuose ir iš visų gautųjų reikšmių išrinkti didžiausią.

Tu r ime : f (0)=2 O'R(2 OR - 0 2 )=0 , f (2R)=2 2R R(2 2R R-(2R) 2 )=0 ,

f 4 R ^ 4R f 4R f 4 R Y ) 8 / 8 R 2 16R2) 64 . 1ITJ= 2 ' T ' r [ 2 t r ~ I T J J - r I T - - J ^ r ·Maiomc·kad

4R didžiausiąją reikšmę funkcija f(x) įgyja kritiniame taške x = . Vadinasi, kai

kūgio aukštinė lygi — , tai jo šoninio paviršiaus plotas Sj01,. yra didžiausias,

jrašę šią reikšmę į anksčiau gautąją Siull išraišką, randame ieškomąjį didžiausią

šoninio paviršiaus plotą :

I 4R f 4R Ш ] 164 л 8π ,

= Y - T T T r - I T J J=^27 r=3T3 r . 4R 8π 2 Atsakymas. — , j y j R .

IS uždavinys. Taškai A, B ir C išsidėstę sferos paviršiuje taip, kad, sujungę

juos tiesių atkarpomis, gauname trikampį, kurio kraštinės lygios 5, 7 ir 8 cm.

Sferą kertame plokštuma, einančia per minėtus taškus ir nutolusia nuo sfero!

centro - cm atstumu. Raskime sferos spindulį.

STEREOMETRIJA SKYRIAUS " S T E R E O M E T R I J A " UŽDAVINIAI

Sprendimas. Plokštumos , einančios per taškus A, B, C ir sferos susikirtimas

yra apskritimas, į kurį įbrėžtas trikampis ABC. Apibrėžto apie trikampį

apskritimo spindulį O1A (žr. 93 pav.) rasime, remdamiesi formule

abc r = O 1 A = - - ; čia a, b, c -

trikampio ABC kraštinės, S -

trikampio ABC plotas.

Remiantis Herono formule,

S = V p ( p - a ) ( p - b ) ( p - c ) ,

a + b + c kur P = trikampio

pusperimetris.

93 pav. Turime P = 5 + 7 + 8

= 10 cm,

S = V Ū a o 3 5 ) ( 1 o _ 7 ) ( i O - 8 ) = i (V3 c m 2 . Tada O l A - ^ = - L c n . 4-10л/3 л/3

Iš stačiojo trikampio AOO 1 , remiantis Pitagoro teorema, gauname

R = O A = V O ^ A t T C V )

R =

Pagal sąlygą O 1 O = ^ c m . Tada

' ' 7 Y ( 1 Y /49 49 14 .VsJ \ з 3 + y = J cm

14 A t s a k y m a s . ~ c m

V E K T O R I A I P A G R I N D I N Ė S S Ą V O K O S

V E K T O R I A I

1. PAGRINDINĖS SĄVOKOS.

• Vektorius yra kryptinė atkarpa, t.y. atkarpa, turinti atitinkam:) ilgį ir kryptį.

I pav. pavaizduotas vektorius a ; jeigu taškas A yra šio vektoriaus pradžia,

o taškas 13 - šio vektoriaus pabaiga, lai vektorius žymimas ЛВ ; spindulio AU

kryptis vadinama vektoriaus AB kryptimi, o atkarpos A B ilgis - vektoriaus

ЛВ IIjIiu (moduliu, absoliutiniu didumu). Vektoriaus a ilgis (modulis) žymimas |i/| .

Jeigu vektoriaus pradžia sutampa su jo pabaiga, lai vektorius •

vadinamas nuliniu (žymima O arba O ). Nulinio vektoriaus ilgis lygus nuliui.

A 1 pav.

Vienetinis yra toks vektorius, kurio ilgis lygus vienetui.

• Du ncnuliniai vektoriai vadinami kolincariaisiais jeigu jie yra vienoje tiesėje arba lygiagrečiose tiesėse.

Kolinearūs vektoriai gali bū t i : -* - + —•

- vienakrypčiai (vektor ia i a , b ir d 2 pav.). -* —+ —V

Užrašas a TT b reiškia, kad vektoriai a ir h vienakrypčiai. —» -1

- priešpriešiniai (vektoriai a ir c 2 pav.). - » - » —• - *

Užrašas a T 1 c reiškia , kad vektoriai a ir c priešpriešiniai.

PAGRINDINĖS SĄVOKOS

• Lygiais vektoriais vadinami vienakrypčiai kolincarieji vektoriai, kurių ilgiai lygūs.

- > —>

3 paveiksle vektoriai a ir b lygūs ( žymima a = b), nes a T t h ir I a l =

= I b I; 4 paveiksle pavaizduoti nelygūs vektoriai a ir b (a * b ), nes α T i b

(nors ir I a I = I b I ) . 5 paveiksle c * J, nes vektoriai c ir J nėra kolincarieji.

3 pav. 4 pav. 5 pav.

Kai A - vektoriaus « pradžia, .sakoma, kad vektorius a atidėtas nuo f .ško

^ L 4 S T ' T 1 0 , ? i b r 0 Ž i l n o «*• · kad nuo kiekvieno t k a i n t u r i n , a m vektoriui 1У8Ч vektorių, tačiau tik vienų

S 1 S t u S v c k l 0 r i u s Λ W 4 n * » plokštumai, jeigu tiesė AB lygiagreti

Komplanariaisiais vadinami nenuliniai vektoriai, kurie yra IyriaisrctQs v e n a , .R ta, pačiai plokštumai arba yra VICLLOJC p l o k š t u m o j '

- i r S , d U J l c n u I i n i a i V C k t 0 r i ! , i V i S : ' d : ' k o m P ' « " a r ū s . Bet kurie Uys vektona, gal, but, ,r komplanarūs, ir nekomplanarūs. 6 paveiksle pava izduok trikampė prizmė ABCA1B1C1 Vektoriai AC, ABi r C1B1 komplanarūs, o vektoriai AC,ЛВ ir AA1 nekomplanarūs.

6 pav.

VEKTORIAI PAGRINDINĖS SĄVOKOS

Trijų vektorių komplanarumo požymis :

Jci vektorių c galima išreikšti vektoriais a ir b , l.y.

c = χα + y b , (1)

(x ir y - kurie nors skaičiai), lai vektoriai a, b ir c komplanarūs.

'Teisingas ir atvirkščias teiginys : jei vektoriai a , b ir c komplanarūs, o -> -» ->

vektoriai u ir i nckoiincarūs, lai vektorių c galima išreikšti vektoriais a ir

b (l.y. (1) formule) ; išraiškos (1) koeficientai (t.y. skaičiai χ ir y ) nusakomi vienareikšmiškai.

Vektoriaus reiškimas trimis nckomplannriais vektoriais. —»

KickvicniĮ vektorių p vieninteliu būdu galima išreikšti trimis nckomplanariais -»

vektoriais a , b ir c t.y.

p = χ ч H- y b ·!· z c ;

čia χ, y ir z - tam tikri skaičiai , vadinami išraiškos koeficientais ; išraiškos koeficientai nusakomi vienareikšmiškai.

Priešingaisiais vektoriais vadinami du nenuliniai priešpriešiniai vektoriai , kurių ilgiai yra lygūs.

7 paveiksle pavaizduoti vektoriai AB ir BA yra priešingi. Vektoriui a

priešingas vektorius žymimas - a .

7 pav.

Turime - a = BA , I a I = I - a I , a t-l· (- a ).

Vektoriaus a ir jam priešingo vektoriaus - a suma yra nulinis vektorius.

2. V E K T O R I Ų SUDĖTIS IR ATIMTIS. V E K T O R I A U S D A U G Y B A IŠ SKAIČIAUS.

Dviejų vektorių a ir b suma vadinamas toks vektorius c , kurio pradžia

sutampa su vektoriaus u pradžia, o pabaiga - su vektoriaus b pabaiga.

V E K T O R I A I VI-KTORIŲsuDirns,ATIMTIS, DAUGYBA IŠ SKAIČIAUS

Dviejų vektorių Miikilos Irikamplo taisyklė : norint rasti dviejų nenulinių • » - > vektorių к ir b sumų reikia nuo vektoriaus « pabaigos atidėti vektorių, lygų

vektoriui b . Vektorių a ir b suma yra vektorius , kurio pradžia sutampa su

vektoriaus a pradžia, o pabaiga - su vektoriaus b pabaiga ( žr. 8 pav.). Pagal ši:Į taisyklę galima sudėti ir kolinearius vektorius, nors juos sudėjus trikampis ir negaunamas (žr. 9, 10 pav.).

Du nckolincariuosius vektorius galima taip pat sudėti pagal lygiagretainio

taisyklę : dviejų nekolinearių vektorių a ir b suma yra vektorius, vaizduojamas lygiagretainio, kurio dvi gretimos kraštinės yra šie vektoriai, įstrižaine, einančia iš minėtų vektorių bendros pradžios (žr. 11 pav.)

b

11 pav.

Vektorių sudėties dėsniai.

Bet kuriems vektoriams a , b ir c , teisingos lygybės : -> -> 1. a + b - b + a ( perstatymo dėsnis) ;

V E K T O R I A I VEKTORIŲ SUDĖTIS, ATIMTIS, DAUGYBA IŠ SKAIČIAUS

-* -* -* -* 2. (a + b )+ c = a + (b + c ) (jungimo dėsnis).

—> —>

Trijų vektorių a, b ir c suma apibrėžiama kaip vektoriaus a + b ir

vektoriaus c suma (žr. 12 pav.) Analogiškai apibrėžiama bet kurio vektorių

skaičiaus suma, pavyzdžiui a + b + c + d = ( a + £ + c ) + c / . 1 3 paveiksle - > - > - > —>

parodyta, kaip randama vektorių a , b ,c ir d suma pagal daugiakampio taisyklę.

13 pav.

Jeigu trys vektoriai я , b ir c nekomplanarūs, tai jų sumą galima rasti pagal

gretasienio taisyklę : vektorius я + b + c vaizduojamas įstrižame gretasienio, kurio matmenys (ilgis, plotis ir aukštis) yra minėti vektoriai, turintys bendrų pradžių (žr. 14 pav.). Iš tikrųjų :

14 pav.

=V =V =V =T , . . t Vektorių a ir b skir tumu a - b vadinama vektoriaus a ir vektoriui b - • - * * * priešingo vektoriaus - b suma , t.y. a - b = a + ( - b )

V E K T O R I A I VEKTORIŲ SUDĖTIS, ATIMTIS, DAUGYBA IŠ SKAIČIAUS

Jeigu О А = я ir O B = b (žr. 15 a) pav.), tai vektorius a - b yra kryptinė

atkarpa O A - O B = BA

Vektorių atimties taisyklė: norint rasti vektorių a ir b skirtumą , reikia nuo

vektoriaus a pradžios atidėti vektorių, lygų vektoriui b ; vektorius, kurio

pradžia yra vektoriaus b pabaiga, o pabaiga - vektoriaus a pabaiga ir yra

vektorius a - b (žr. 15 b) pav.).

V E K T O R I A I VEKTORIŲ SUDĖTIS, ATIMTIS, DAUGYBA IŠ SKAIČIAUS

Ncnulinio vektoriaus a ir skaičiaus k * O sandauga vadinamas vektorius

k a = b , kurio ilgis lygus I k I I α I ; vektoriai α ir k α vienakrypčiai, kai k > 0 , priešpriešiniai, kai k < 0 .

Nulinio vektoriaus ir bet kurio skaičiaus sandauga laikomas nulinis vektorius.

Nenulinio vektoriaus daugybą iš skaičiaus iliustruoja 17 paveikslas.

1 — a 2

1 -» -— a

2

k = — > 0 2

k=-— < 0 2

2 b k = 2 > 0 —

•2 b k = - 2 < 0

a) 17pav. b)

Kad ir kokie būtų skaičius k ir vektorius a , vektoriai a ir k α kol inearūs.

(-1) a yra vektoriui a priešingas vektorius, t.y.

(-1) a = - a

Pagrindinės vektoriaus ir skaičiaus daugybos savybės :

1. (kl) a = k(l a ) ( jungimo dėsnis); - > —> _ >

2. k( a + b ) = k a + k b (pirmasis skirstymo dėsnis);

3. ( k+ l ) a = k α + I α (antrasis skirstymo dėsn is ) .

Visose lygybėse k,l - skaičiai, o a ir b - vektoriai.

V E K T O R I A I V E K T O R I A U S K O O R D I N A T E S

Išspręsime keletu uždaviniu.

1. uždavinys. Įrodysime, kad trikampio vidurinė linija lygiagreti jo trečiajai kraštinei ir lygi

šios kraštinės pusei.

Sprendimas.

Nagrinėsime trikampį ABC. Sakykimd,

AB = c , BC = α , AC = b . Tada pagal vektorių sudėties

trikampio taisyklę c+ o = b (žr. brėžinį). Jeigu M ir N -

trikampio ABC kraštinių AB ir BC vidurio taškai, tai

1 . j , 1 * 1 - . 1 f* -Λ 1 · MN = MB+ BN = — AB+—BC = — c+ —o = — c + a = - b .

2 2 2 2 2^ ' 2

Kadangi AC = b ir MN = ^ b , tai MN = - A C . 'Vadinasi , vektoriai MN ir AC

1 · 1 vienakrypčiai, o lai reiškia, kad AC 11 MN. Kadangi MN = ^ A C , tai MN = - Л С , nes

lygių vektorių ilgiai (moduliai) lygūs.

2 uždavinys. Piramidės SABC visos sienos - taisyklingieji trikampiai; taškas M - trikampio

ABC centras, o taškas P dalija briaunų SC pusiau (žr. brėžinį). Vektorių MP išreiškite

vektoriais AB , AC ir AS.

\ p

A C

3

NC = AC- AN = AC

- 2 · 1 -MP = - A C - - A B -

3 3

Sprendimus.

IP = M C - P C . Šioje lygybėje l 'C = | š c = | ( A C - A S )

J ( A C - A S ) .

MP

Vadinasi MP = MC

2 2 ^

Rasime M C . Kadangi

atkarpa CN yra trikampio ABC pusiaukraštinė, išvesta iš

2 2 -viršūnės C, tai MC = - C N . Todėl M C = - N C . Kadangi

1 Λ

VEKTORIAI V E K T O R I A U S K O O R D I N A T E S

3. V E K T O R I A U S K O O R D I N A T E S

Vektoriaus koordinatės plokštumoje . Vektoriaus skaidymas koordinatiniais vektoriais plokštumoje.

Jei plokštumoje duota

stačiakampė koordinačių sistema Oxy, lai vektoriaus • a ,kurio pradžia yra taškas

Α(χι;>·ι), o pabaiga taškas IHxijyi) koordinatės yra

skaičiai d\ — X2 - Xi ir «2 = y 2 - y i ( ž r . ISpav . )

Jei vektorius я turi koordinates щ ir o2 , lai žymime a i a r, u2 ). Lygūs vektoriai turi lygias atitinkamas koordinates ir atvirkščiai , jei vektorių atitinkamos

- » - »

koordinatės lygios , tai tie vektoriai lygūs, l.y. lygybė a { a j ; u2) = i (Ii1 ; 1ъ} reiškia, kad a t = bi , ČIĮ = Ьг.

Pavyzdys. Duotas taškas A(- l ; 1) ir vektorius a { 3;2) . Rasime koordinates tokio —» taško B , kad AB = a .

Sprendimas. Tegul (x;y) - taško B koordinatės. Tada AB { x+1 ; y -1) ir jeigu a

= AB, tai χ + 1 = 3 ir y - 1 = 2 . Vadinasi , x=2 , y=3 . Taigi taško B koordinatės yra (2;3).

19 pav.

Vektorius OM , kurio pabaiga yra tam tikras taškas M(x ; y ) , o pradžia sutampa su koordinačių pradžia, vadinamas to taško vietos vektoriumi (žr. 19 pav.).

{rodoma, kad taško M(x ; y) vietos

vektoriaus OM koordinatės lygios jo pabaigos taško M koordinatėms :

O M | x , y ) .

VEKTORIAI V l i K l O R I A U S K O O R D I N A T E S

Kiekvienam plokštumos vektoriui a egzistuoja be galo daug jam lygių vektorių ,

turinčių tas pačias atitinkamas koordinates kaip ir vektorius a .

Pavyzdžiui, 18 paveiksle pavaizduoti vektoriai a , b, c k d yra vienakrypčiai,

be to jų moduliai lygus I O I = I Al = I C I = I </ I , todėl a = b = c = d ir turi tas pačias koordinates ai ir a2 ; tačiau visiems šiems vektoriams egzistuoja

vienintelis jiems lygus vektoriusOM, kurio pradžia yra koordinačių pradžios taškas O, o pabaiga - taškas M, kurio koordinatės yra χ = aj, y =a2 (žr. 19 pav.).

Vadinasi, bet kurį plokštumos vektorių a { ai; a i } , kurio pradžia nėra

koordinačių pradžios taškas O, galima pakeisti j a m lygiu vektoriumi O M , kurio pradžia yra koordinačių pradžios taškas O, o pabaiga - taškas M, kurio koordinatės yra χ = ai, у = a 2 .

Pasirinkime plokštumoje stačiakampę koordinačių sistemų Oxy . Kiekviename teigiamajame pusašyje nuo koordinačių pradžios atidėkime vienetinį vektorių -vektorių, kurio ilgis lygus vienetui. Jci absieisių ašies (Ox) vienetinį vektorių

pažymėsime / { 1;0}, o ordinačių ašies (Oy) - j (0;1) (vektorius / { 1;0)

ir j {0;1} vadiname koordinatiniais vektoriais) , tai bet kurį plokštumos •

vektorių a { x; y } galėsime išreikšti koordinatiniais vektoriais : (žr. 20 pav.).

a =X/ + y j

• Vektoriaus koordinatės erdvėje. Vektoriaus skaidymas koordinatiniais vektoriais erdvėje. Pasirinkime erdvėje stačiakampę koordinačių sistemų

Oxy/.. Jei erdvės vektoriaus α pradžia yra taškas A(xi; yr, / i ) , o pabaiga -taškas B(x;; y ; ; 7.2), lai Irys skaičiai a 1 = X2 - Xi , «2 = У2 - y 1 ir аз = /2 - z.i vadinami

VEKTORIAI V E K T O R I A U S K O O R D I N A T Ė S

vektoriaus AB = a koordinatėmis turimoje koordinačių sistemoje ; žymima -» a { а/ ; a2; aj ) . Lygūs vektoriai Iuri lygias ati t inkamas koordinates ir atvirkščiai, jeigu vektorių atitinkamos koordinatės lygios , lai vektoriai lygūs, l.y. jei a { ai; a2; a3 } = b { bi ; b2 ; b.i) , lai a, = bi , a2 = b2 , a3 = b j .

-t Bet kuriam erdvės vektoriui AB = a { ai; a2; a3 ) egzistuoja toks jam

lygus vektorius OM (taško M vietos vektorius), kurio pradžia yra koordinačių pradžios taškas O, o pabaiga - taškas, kurio koordinatės yra

х=а ; > y=a2 , Z=Uj , t.y. vektoriaus OM koordinatės Iygiosjo pabaigos taško

koordinatėms (žr. 21 pav. a) ) : OM { x; y; z ) .

Kiekvienų vektorių a vieninteliu būdu galima išreikšti pavidalu :

a = χ /' + y j +г k

išraiškos koeficientai x, y, z vadinami vektoriaus a koordinatėmis turimoje

koordinačių sistemoje ; / , j ,k - koordinaliniai vektoriai : i {1; 0; O }--* »

abscisių ašies (Ox) vienetinis vektorius (I / | =1), j { 0; 1; O } - ordinačių ašies

(Oy) vienetinis vektorius (I y 1=1), k {();(); 1 } -aplikačių ašies (Oz) vienetinis

vektorius (I k 1=1), (žr. 21 pav. b ) ) .

V E K T O R I A I V E K T O R I A U S K O O R D I N A T Ė S

Vektorių sumos , sk i r tumo , vektor iaus ir ska i č i aus s a n d a u g o s koord ina tės . Žinant vektorių koordinates, galima rasti vektorių sumos, skirtumo, vektoriaus ir skaičiaus sandaugos koordinates. -» -»

1. Jei α { Xi ; yi ; /-i } ir b { X2 ; уг ; Z2 } - turimi vektoriai , tai vektoriaus

a + b koordinatės yra { χι + X2; yi + y2; Zt + Z2}, t.y. kiekviena dviejų ar daugiau vektorių sumos koordinatė lygi tų vektorių atitinkamų koordinačių sumai.

2 . Jei a { Xi ; y i ; Z1 } ir b { X2; y 2 ; Z2 } - tur imi vek to r i a i , lai vek tor iaus

a-b koordinatės yra { Xi - x2; yi - y2; Z i - Z 2 ) , t.y. kiekviena dviejų vektorių skirtumo koordinatė lygi tų vektorių atitinkamų koordinačių skirtumui.

3. Jci a { χ, y, z ) - tu r imas vektorius, k - tu r imas skaičius, tai vektor iaus k a koordina tės yra { kx ; ky; kz ) , l.y. vektor iaus ir skaičiaus sandaugos

kiekviena koordinatė lygi vektoriaus atitinkamos koordinatės ir to skaičiaus sandaugai.

• Vektor iaus ilgio re i šk imas vektor iaus koo rd ina t ėmi s . Vek tor iaus a { x; y; /.) ilgį galima apskaičiuoti taikant formulę

I I I 2 . 2 , 2 Ix +y + z

Pavyzdžiui,

jei a { 6; -3; -2 }, tai vektor iaus a ilgis I a l = - į t f + ( - 3 ) 2 + ( - 2 ) 2 = 7 .

4. VEKTORIŲ SKALIARINĖ SANDAUGA.

K a m p a s t a rp vektorių O A = a ir -. ->

O B = b tai kampas t a rp spindulių O A ir O l i (žr .22 pav.), t.y. k a m p a s Л О В .

K a m p a s t a rp vektorių a ir b žymimas -* - y ši taip :a b .

• K a m p a s t a r p vektor ių .. —•

h- -

V E K T O R I A I S K A L I A R I N Ė S A N D A U G A

A a b = 0 " , kai vektor ia i α ir Л v ienakrypčia i (atskiru a tveju a rba v ienas iš jų a rba

abu nuliniai) (žr. 23 pav.) - » - » -» -> -t -,

Jei a b = 90°, tai vektor ia i α ir b s t a t m e n i . (žr .24a)pav.) ; žymima a 1 b .

/N a b = 180 , t a i v e k t o r i a i a ir b p r iešpr ieš in ia i , (žr. 24 pav. b ) ).

A

a h =0"

2 3 pav.

A a I) = 9 0 ° ; a Ib

24 pav. b)

Dviejų vektor ių a ir b s ka l i a r i ne s a n d a u g a (žymima a b ) v a d i n a m a jų ilgių ir k a m p o ta rp vektor ių kos inuso sandauga :

a b = I a I - I b I cos( a b

Vektor i aus skal iar inis kvadra ta s (t.y. vek tor iaus ir jo pa t ies skaliarinė sandauga ) Iygus jo ilgio k v a d r a t u i , t.y.

-t - >

a a = Α I '

Dviejų vektor ių skal iar inę sandaugų ga l ima apskaičiuoti ž inant tų vektorių

koord ina tes : vektor ių a { x, ; y,; z , ) ir Λ { X2 ; y2 ; Z2 } skal iar inė sandauga išreiškiama fo rmule

α b =X1X2 + y,y2 + Z1Z2

Pavyzdžiui, jei duot i vektoriai α { 1; -1; 4 ) ir b { 5; 6; 2 ) , tai jų skal iar inė sandauga

lygi a - b = 1 · 5 + (-1) - 6 + 4 - 2 = 5 - 6 + 8 = 7 .

' W !

K u m p o α t a r p nenu l in ių vektor ių a i r b kos inusas . K a m p o α Ia rp ncnuiinii)

vektorių α {Xi ;yr, Κι) ir b { x 2 ; y 2 ; Z 2 ) kosinusui apskaičiuoti taikoma formulė,

J j j f I i z i j l l f i i i

+yį + +У2 +4

я b cos α =

, - » ,

I ЯI I Al

• K a m p o t a r p dvie jų tiesių ( sus iker tanč ių a r b a p ras i l enk ianč ių ) , r a d i m a s kai ž inomos t II t iesių krypties vektor ių koord ina tės .

Jeigu p { Xi ; y i ; z ,} ir </ { X2; y2 ; Z 2 } - tiesių a ir b krypties vektor ia i (žr. 25 pav.), Φ - k a m p a s t a rp tiesių a ir b , lai

= I * t * 2 + J W + z I ^ 1 V*? + *? J x I +У2 + г 2

s. q b

25 pav.

• Kos inusų k a m p ų , ku r iuos s u d a r o vektorius я su koord ina t in i a i s vek tor ia i s / , —>

j , k apska ič i av imas .

Kosinuso kampo , kurį suda ro vektorius я {x; y; z) su abscisių ašies Ox vienet in iu

vektor iumi i apska ič iuo jamas taikant formulę

A COS ( Я / )

Λ·

Jx2 +у2 + Z2

V E K T O R I A I V E K T O R I Ų K O L I N E A R U M O S Ą L Y G A V E K T O R I Ų S T A T M E N U M O S Ą L Y G A

Kosinuso k a m p o , kurį suda ro vektor ius a {x; y; /.} su ord inač ių aš ies O y

vienetiniu vek tor iumi j apska ič iuo jamas laikant fo rmulę

/N —>

cos ( α j ) = V x 2 + / + Z 2

Kat inuso k a m p o , kurį suda ro vektor ius a {x; y; /.} su apl ikačių aš ies Oz

vienetiniu vektor iumi k apska ič iuo jamas la ikant f o rmu lę

/ 4 -» -> cos ( a k ) =

Jx2 H j-2+.-2

Teisinga lygybė

5. V E K T O R I Ų K O L I N E A R U M O S Ą L Y G A .

Kad du vektoriai я ir h būtų kol incarūs , būt ina ir p a k a n k a , kad egzistuotų toks skaičius k , kad

b = ka

• Jeigu vektoriai a { x,; y,; z, ) ir b { x2; y2; z2 } yra kol incarūs , lai jų

a t i t inkamos koord ina tės yra proporcingos , t.y. = Л = = * k € R. У t

6. V E K T O R I Ų S T A T M E N U M O S Ą L Y G A .

Jci a 1 b , Uu a b = x,x2 + y,y2 + ZiZ2 = O ; čia я b - vek tor ių a { χ , ; y,;

Zi J i r b { X2 ; y2; z2 ) skal iar inė sandauga . Jc i я b = x,x2 + y,y2 + Z | / 2 = O ,

lai « 1 Λ , kur a b - vektorių я ( χ ,; у, ; / , ) ir Л { x2 ; y2; z2 ) skal iar ine sandauga.

VEKiOUIAI SKYRIAUS "VEKTORIAI" UŽDAVINIAI

Išspręsime keletą skyriaus "Vektoriai" uždavinių.

; 1 uždavinys. Įrodykite, kad bet kurio keturkampio AHCD kraštinių vidurio taškai yra 1 lygiagretainio viršūnės.

Įrodymas.

Sakykime, taškai E, F, G, II - keturkampio

kraštinių АН, НС, CD ir DA vidurio taškai

(žr. 26 pav.).

I'agal lygiagretainio požymį, jeigu

keturkampio priešingos kraštinės poromis

lygiagrečios ir lygios, lai Ias keturkampis yra

И lygiagretainis. Vadinasi, pakanka įrodyti, kad

atkarpos E F ir IIG vienodo ilgio ir

lygiagrečios. "Vektorių kalba" tai reiškia, kad

reikia įrodyti, jog vektoriai EF ir HG lygūs.

Turime : EF = EB+BF = ^ A B + B C j , o HG = HD+ DG = ^ A D + DC j . Bet

AB+ BC = AD+ DC . Todėl EF = HG.

! 2 uždavinys. Sakykime, A D - trikampio ABC pusiaukrašlinė, išvesta iš viršūnės A į kraštinę

ВС. Išreikškite vektorių AD vektoriais AB ir AC.

Sprendimas.

A 27 pav.

1 hiidas. Trikampį ABC papildome iki lygiagretainio

A B E C (žr. 27 pav.). Tuomet, remdamiesi

lygiagretainio taisykle, AB+ AC = ЛЕ . Kadangi

AD = - A E , tai AD = - f AB+ AC J. 2 2V )

VEKTORIAI SKYRIAUS " V E K T O R I A I " UŽDAVINIAI

2 '" '" '"* Remiantis trikampio taisykle, AD = A B + B D ir AD = A C + C D . Kadangi D -

atkarpos BC viduiys, tai CD = - B D . Vadinasi , 2 AD = AB I· BD i AC+ CD = AB+ A C . t.y.

AD = j ( A B + AC j.

3 uždavinys. Taškai A ( I ; I ) , B ( -1 ; O ) , C ( 2 ; 3 ) yra lygiagretainio viršūnės.

Rasti ketvirtojo taško D koordinates, lygiagretainio įstrižainių ilgius ir kampų tarp

įstrižainių (žr. 28 pav.).

Ii (-1

Sprendimas.

Sakykime, taško 1) koordinatės yra χ ir

y : D ( χ ; y ). Rasime vektorių BA ir

AC bei taško D koordinates.

T u r i m e : В Л { | - ( - ) ) , ) - θ ) = ВЛ{2, | | ,

A C { 2 - l ; - 3 - l J = AC{l;-4}

Cl'}{x - 2;y - ( - 3 ) } = CD{x - 2;y -i 3} .

Kadangi vektoriai BA ir CD lygūs

(priešingos lygiagretainio kraštinės

l ) : l v· lygios ir lygiagrečios), tai jie turi lygias

ati t inkamas koordinates, t.y. 2=x-2 ,

1 = y + 3 . Iš čia x = 4 , y = - 2 . Taigi i){4;-2). Rasime vektoriaus BD koordinates. Turime :

BD = { 4 - ( - 1 ) , - 2 - 0 ) - BDĮ5. -2J . Lygiagretainio įstrižainės A C ilgis lygus vektoriaus AC

ilgiui, o įstrižainės BD ilgis lygus vektoriaus BD ilgiui.

Vadinasi,

C (2 ;-3)

|AC|

Iubl

= V 1 ' Ή ) 2 = Vl + 16 = Vl7 ,

==-/52 -1-(-2)2 -- V25+T = V29 .

W

VEKTORIAI SKYRIAUS "VEKTORIAI" UŽDAVINIAI

Kampas Iarp įstrižainių AC ir IiD lygus kampui tarp vektorių AC ir BD. Tur ime :

BD- AC - I- -" t cod BD AC

T - »

BD AC ( 1 )·

Rasime vektorių BD ir AC skaliarinę sandaugų :

BD-AC = 1-5+(-4) ( - 2 ) = 5 + 8 = 13 ( 2 ) .

Surašę anksčiau gautas AC

ч/г Л 13 13 cosi, BD AC = -η==-—p= = - F =

V J V29 • V17 N/493

išraiškas bei ( 2 ) išraiškų į ( 1 ) iygybę, gauname

13

BD

. Iš čia BD-AC = arccos V493 '

Atsakymas. D{4;-2) , AC = VT7 , BD = V?9 , i J l ; , -r

>/493

4 uždavinys. Duoti trys taškai A( 1 ; 2 ; O ) , H( 3 ; O ; -3 ) , C( 5 ; 2 ; 6 ).

Apskaičiuoti trikampio ABC plotų (29 pav.).

;2;0)

pav.

Trikampio kraštinės yra AB,

BC ir AC.

Pažymėkime vektorius ABir

AC (žr. 29 pav.).

Trikampio ABC plotas

S.,„. = - A B -ACs inZA. 2 Kadangi

Sprendimas.

VEKTORIAI SKYRIAUS "VEKTORIAI" UŽDAVINIAI

Vektorių ABir AC skaliarinė sandauga lygi AB-AC =

AB- AC

AB AcĮeo.^AB Ac)

Iš čia co^AB A C j = AB AC

Kadangi co^AB A C j = cosZA, tai cosZA =

[rašę ( 2 ) išraiškų į ( 1 ) turime :

AB- AC Tl (2)

S a 1 I C = ^ A B - A C

todėl

AB- AČ]

AB AC j . Bet AB =

AB

AB

AC

.AC = AC

2 2 ( V AB AC -I AB- ACI 3 )

Vadinasi, norint rasti trikampio ABC plotų, pakanka surasti vektorių ABir AC ilgius bei tų

vektorių skaliarinę sandaugų. Rasime vektorių ABir AC koordinates :

A'B { 3 - 1 ; O - 2 ; -3 - O ) = AB { 2 ; -2 ; -3 )

AC { 5 - 1 ; 2 - 2 ; 6 - O } = AC { 4 ; O ; 6 )

Tada vektorių ABir AC ilgiai yra

AB = ^ + ( - 2 ^ + ( - 3 ) 2 =VT7 , AC = л /4 2 +O 2 +O 2 = V52 .

Vektorių ABir AC skaliarinė sandauga lygi AB- AC =2- 4+(-2)- 0+(-3)- 6=8+0-18=-10 .

Surašę gautąsias Į a B , | л С bei AB- AC reikšmes į ( 3 ) formulę, gauname

sAHC = į J ( J Ū ) ' +(VŠ2)3 - ( - I O ) 2 = j V l 7 + 52 -100 = ^V784 = 14 ploto vienetų.

Atsakymas. 14 pl. vnt.

5 uždavinys. Raskite tokius skaičius m ir n , su kuriais vektoriai α { 4 ; m ; n } ir

b { n ; 2 ; m 2 ) būtų kolincarūs.

V E K T O R I A I ^ S K Y R I A U S " V E K T O R I A I " U Ž D A V I N I A I

Sp rend imas . Sakykime, kad vektoriai a { 4 ; m ; 11 ) ir b { n ; 2 ; m 2 } kol incarūs . T a d a jų

4 m n . . . . a t i t inkamos koord ina tės yra proporcingos, t.y. galioja lygybe — = — = R e m d a m i e s i sia

lygybe, suda iyk imc lygčių sistemų

4 m m^ _ n

n " 2 ' 2 ~ m2

g

Iš p i rmosios s is temos lygties m = - . Šių m re ikšmę įrašykime į an t rų jų s i s temos lygtį.

8 G a u n a m e lygtį я = T^r r , a rba n4 =256 . Iš čia a rba n = 4 , a rba n = - 4 . T a d a , remiant i s

2 ®

lygybe— = — , r a n d a m e m : — = — , t.y. m = 2 a rba — = — , t.y. m = - 2 . Vadinasi , J O J n 2 4 2 -4 2

vektoriai α ir b kol incarūs , kai n = 4 , m = 2 a rba n = - 4 , m = - 2 .

Atsakymas . n = 4 , m = 2 a rba n = - 4 , m = - 2 .

6 uždavinys. Įrodykite, kad tr ikampis, kurio v i ršūnės A ( 6 ; -4 ; 2 ) , I3( 3 ; 2 ; 3 ) ,

C( 3 ; -5 ; -1 ) , yra stalusis.

-t> -» - k

į rodymas . T r ikampio krašt inės yra AB, BC ii AC. Nagr inės ime vektor ius A B , BC ir AC

R a n d a m e šių vektorių koord ina tes : A B { 3 - 6 ; 2 - ( - 4 ) ; 3 - 2 } = A B { -3 ; 6 ; 1 } ,

BC { 3 - 3 ; -5 - 2 ; -1 - 3 } = BC { O ; -7 ; -4 } ,

AC { 3 - O ; -5 - (-4) ; -1 - 2 } = AC { -3 ; -1 ; -3 ) .

Apskaič iuosime šių vektor ių skal iar ines sandaugas :

AB BC= -3· 0+6 (-7)+1 (-4)=-42 - 4=-46 ,

BCAC =0(-3) + (-7)(-1)+(-4)(-3)= 7 + 12 = 19,

ABAC =(-3)(-3)+6(-1)+1-(-3)= 9 - 6 - 3 = 0 .

V E K T O R I A I S K Y R I A U S " V E K T O R I A I " U Ž D A V I N I A I

Taigi AB AC = 0 , o lai reiškia, kad A B l A C . Vadinasi , t r ikampio kraš t inės AB ir AC yra

s ta tmenos vienai kilai. Todė l t r ikampis A B C status, o kraš t inės A B ir A C yra jo statiniai.

7 uždavinys, raskite vektoriaus α (X1; y i ; Z1) projekcijos į spindulį, kurio pradžia sutampa

su vektoriaus α pradžia, o kryptis sutampa su vektoriaus b {x2; y 2 ; z 2 ) kryptimi, ilgį.

Sprendimas.

a{xi;yi;z

Ieškomosios vektor iaus α pro jekci jos ilgis lygus

a tka rpos O A ilgiui (žr. 30 pav.) . 'Turime :

OA = p r . α =

a - b

a|- |cos| a , b ] = a - b

b V x l + y ! + z !

8 uždavinys. Raski te vektor ių χ , esant į vektorių α { 3, I, -1 } ir b { 2, -3, 1 } p lokš tumoje ,

s ta tmenų vektoriui b ir t enk inan t į sųlygą α χ = 7 5

Sprend imas . Sakykime, vektor ius χ yra vektor ių α ir is p lokš tumoje .Vektor ia i a , b ir χ

yra komplanarūs , nes j ie yra v ieno je p lokš tumoje . Todė l remiant i s vektor ių k o m p l a n a r u m o

požymiu, tur ime x = k a + m b (k, m e R). Kadangi pagal sųlygų x - b = 0 (nes x l b ) ,

χ · α = 75, tai k ( a b ) + m ( b b ) = 0 , k ( a a ) + m(b· a ) = 75. R a n d a m e vektor ių skaliarines

sandaugas : α α = 3 - 3 + 1 · 1 + ( - 1 ) · ( - 1 ) = 9 + 1 + 1 = 11 , a b = 2 - 2 + l ( - 3 ) + ( - l ) l = 6 - 3 - l = 2 ,

I 2k + 14m= 0, b b =2-2+( -3 ) - ( -3 )+1 · 1 = 4 + 9 + 1 = 14. Todėl j

į l Ik + 2m = 75.

Išsprcndę šių lygčių sistemų, r a n d a m e k = 7 , m = - l . Vadinasi , χ = 7 α - b . Todėl vektoriaus

χ koord ina tės yra {7-3-2 ; 7-1-(-3) ; 7-(-1)-1), t.y. { 19 ; 10 ; -8 ).

Atsakymas. x{ 19 ; 10 ; -8 }.

KOORDINAČIŲ METODAS P L O K Š T U M O J E IR E R D V Ė J E

KOORDINAČIŲ METODAS PLOKŠTUMOJE IR ERDVĖJE

l .STAČIAKAMPĖ KOORDINAČIŲ SISTEMA PLOKŠTUMOJE IR E R D V Ė J E . TAŠKO KOORDINATĖS.

• Kai per plokštumos taškų išvestos dvi viena kitai statmenos tiesės, kiekvienoje jų pasirinkta kryptis (ji žymima rodykle) ir pasirinktas atkarpų matavimo vienetas, sakoma, kad plokštumoje turime stačiakampę koordinačių sistemų. Tiesės Ox ir Oy, kuriose pasirinktos kryptys, vadinamos koordinačių ašimis; Ox - abseisių ašis, Oy -ordinačių ašis.

Taškas O - koordinačių ašių bendras taškas vadinamas koordinačių pradžia. Koordinačių sistema plokštumoje žymima Олу. Plokštuma, einanti per koordinačių ašis Ox ir Oy vadinama koordinačių plokštuma.

Taškas O kiekvienų koordinačių ašį dalija į du spindulius. Spindulys, kurio kryptis sutampa su ašies kryptimi, vadinamas teigiamuoju pusašiu, jo papildomasis spindulys - neigiamuoju pusašiu. Slašiakampėjc koordinačių sistemoje kiekvieną plokštumos tašką A atitinka du skaičiai χ ir y. Jie vadinami to taško koordinatėmis (koordinatė χ vadinama abscise, o koordinatė y vadinama ordinate); žymima K x ; y) (žr. 1 pav.).

• Kai per erdvės tašką išvestos trys viena kilai statmenos tiesės, kiekvienoje jų pasirinkta kryptis (ji žymima rodykle) ir pasirinktas atkarpų matavimo vienetas, sakoma, kad erdvėje turime stačiakampę koordinačių sistemą.

Ox , Oy, Oz - koordinačių ašys; Ox - abseisių ašis, Oy -ordinačių ašis, Oz - aplikačių ašis (žr. 2 pav.). Trys plokštumos, einančios per koordinačių ašis Ox ir Oy , Oy ir Oz , Ox ir Oz, vadinamos koordinačių plokštumo-mis ir žymimos Oxy, Oyz, Oxz.

K O O R D I N A Č I Ų M E T O D A S P L O K Š T U M O J E IR E R D V Ė J E

Stačiakampėje koordinačių sistemoje kiekvieną erdvės taškų M atitinka trys skaičiai, kurie vadinami to taško koordinatėmis.

Taško M koordinačių apibrėžimas. Per tašką M išvedame tris koordinačių ašims statmenas plokštumas, tų plokštumų ir abseisių, ordinačių bei aplikačių ašių susikirtimo taškus pažymime Mi , M2 , Мз (3 pav.). Tada taško M pirmoji koordinatė (ji vadinama abscisc ir žymima raide .r) apibrėžiama šitaip: .v = OMi , kai Mi - teigiamojo pusašio taškas;

.r = -OMi, kai Mi - neigiamojo pusašio taškas; χ = O , kai taškas Mi sutampa su tašku O . Panašiai apibrėžiamos ir likusios dvi taško M koordinatės ( antroji vadinama taško M ordinate ir žymima raide y , o trečioji vadinama taško M aplikate ir žymima z ): y = OM2, z = OM3 - kai taškai M2 ir M.<yra teigiamojo pusašio taškai;y = -OM2, z =-ОМз - kai taškai M2 ir Mjyrw neigiamojo pusašio taškai; y = O, z = O, kai M2 sutampa su tašku O ir Afrsutampa su tašku O.

Taško M koordinatės užrašomos taip: M(x; y; z;) (žr. 2 ir 3 paveikslus).

2. ATICARPOS V I D U R I O TAŠKO KOORDINATĖS. ATSTUMAS T A R P DVIEJŲ TAŠKŲ

• Atkarpos vidurio taško koordinatės. Atstumas tarp dviejų taškų:

a) plokštumoje. Jei koordinačių sistemoje Oxy taško A koordinatės yra (xi ; yi), taško H koordinatės -(X2; У2), tai atkarpos All (žr. 4 pav.) vidurio taško C koordinates (.r; y) randame remdamiesi lygybėmis:

У n В(*2;У2)

C(x;y) 'A(Xiiyi)

4 pav.

t = AJ+A'2 2

У1+У2 2

KOORDINAČIŲ METODAS PLOKŠTUMOJE IR ERDVĖJE

t.y. kiekviena atkarpos vidurio taško koordinatė lygi pusei jos galų atitinkamų koordinačių sumos.

AtasUimas tarp taškų A(\\; y;) ir !!(X2; y2) išreiškiamas formule

AB = J(X2-Xx)2 + (y2- y J2 .

b) erdvėje. Jei koordinačių sistemoje Oxyz taško A koordinatės yra (xj ; V; ; Zi), taško H koordinatės - ( ¾ y2 ; z2), tai atkarpos Ali (žr. 5 pav.) vidurio taško C koordinates (.v; y; z) randame remdamiesi lygybėmis:

2 2 · 2

t.y. kiekviena atkarpos vidurio taško koordinatė lygi pusei jos galų atitinkamų koordinačių sumos.

Atstumas tarp taškų Л ( ¾ ; y, ; zt) ir 1j ( x į У2 / Z2) išreiškiamas formule

AR = ̂ x 1 - X1)2 + Jy2 ~yj2+ (z2 - z,/

z м H(X2Jy2Iz2) C(x;y;z)

A(xi ;yi ;zi) N'

5 pav.

K O O R D I N A Č I Ų METODAS PLOKŠ TUMOJE IR E R D V E I L

3. TIESES LYGTIS

Bendroji tiesės lygtis yra ax + by + c = 0.

Tiesės padėtis koordinačių ašių atžvilgiu. c

1) a = 0, b * 0. Tiesės lygtis šiuo atveju yra y = - - , t.y. tiese lygiagreti л: b

ašiai. Jei a = 0 ir c = 0, tai tiesė sutampa su χ ašimi (šiuo atveju tiesės lygtis yra dar paprastesnė: y = 0.

c 2) b = 0, a * 0. Tiesės lygtis yra X = , t.y. tiesė lygiagreti y ašiai. Jei

a Ii = O i r e = O 1 Ia i tiesė sutampa su y ašimi (šiuo atveju tiesės lygtis yra dar paprastesnė: A' = 0 ).

a 3) e = 0. 'Tiesė eina per koordinačių pradžios taškų, jos lygtis yra y = — — χ .

• Jei b * 0, tai bendrųjų tiesės lygtį ax + by + C = O galima taip užrašyti: „. a c c ia k = - - , / = - 7 .

b b Skaičius k vadinamas tiesės krypties koeficientu.

k = У 7 ) ] = Ц α (žr.6 pav.), * = У2 = - ¾ ' α (•>,·. η pav.); A 2 -A ' , -V2

A1

Tiesės krypties koeficiento geometrinė prasmė: tiesės lygties koeficiento k

modulis lygus smailiojo kampo, kurį sudaro tiesė su λ' ašimi, tangentui.

Tiesių y = ki+lj ir y = кгх+h lygiagretumo ir s tatmenumo sąlygos

atitinkamai yra :

y = kx +I;

k, -It2=-I

KOORDINAČIŲ METODAS PLOKŠ ' IOMOJE IR E R D V Ė J E

4. PLOKŠTUMOS LYGTIS

Plokštumos, einančios per tašką Λ(Xft yo; Z0) ir statmenos vektoriui n (a; b;c ) lygtis :

Il(X-X0) + b(y - y0) + C (z - Z0) = O (žr. 8 pav).

Itendroji plokštumos lygtis: ад: + by + cz + d = O

čia koeficientai a, b, c yra plokštumai statmeno vektoriaus Π koordinatės; vektorius /7 vadinamas plokštumos normalės vektoriumi.

Atskiri atvejai: 1) d = 0. Koordinačių sistemos pradžia 0(0; 0; 0) yra plokštumoje, l.y. plokštuma eina per koordinačių pradžių. 2) Vienas iš koeficientų a, b, c lygus nuliui. Plokštuma lygiagreti vienai iš koordinačių ašių ir kerta kitas dvi. Pavyzdžiui, jei a = 0, tai normalės vektorius /7(0; b; c) statmenas (Ox) ašiai ir plokštuma lygiagreti (Ox) ašiai ir kerta kita dvi koordinačių ašis (Oy) ir (Oz) (žr. У pav.). 3) Bendrojoje plokštumos lygtyje tiktai vienas iš koeficientų a, b arba c nelygus nuliui, o kili du lygūs nuliui. Šiuo atveju plokštuma lygiagreti dviem koordinačių ašims, t.y. lygiagreti vienai iš koordinačių plokštumų. Pavyzdžiui, jei b * 0, o u = c = 0, tai normalės vektorius lygus /7(0; b; 0). Reiškia '7 JL (Ox) ir » 1 (Oz), o plokštuma, kurios lygtis by + d = 0 lygiagreti abseisių (Ox) ir aplikačių (Oz) ašims (žr. 10 pav.), t.y. lygiagreti koordinačių plokštumai Ozx.

8 pav.

KOORDINAČIŲ METODAS PLOKŠTUMOJE IR E R D V Ė J E

5. APSKRITIMO LYGTIS

Apskritimo lygtis - lygtis su dviem kintamaisiais A' ir y , kurių tenkina kiekvieno apskritimo taško koordinatės.

Jei (x; y ) - bet kurio apskritimo taško koordinatės, (a, b) - apskritimo centro Ao koordinatės, o R -apskritimo spindulys (žr. 11 pav.), tai apskritimo lygtis yra

(x- a)2 + (y - b ) 2 = R 2

Pa\yzdžitii, (x - i f + O' " -5)2 = 9

taške Ao • turinčiame koordinates (2; 3),

Jeigu apskritimo centras sutampa su koordinačių pradžios tašku (žr. 12 pav.), tai tokio apskritimo lygtis yra

1 . 2 r>2 χ + y = R

yra lygtis apskritimo, kurio centras yra ι spindulys lygus 3.

6. SFEROS LYGTIS

Stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxyz sferos, kurios spindulys R ir

centras C(X0; yo; z0) (žr. 13 pav.) lygtis yra

(X-X0)2 + b - y o ) 2 + (Z-Z0)2 = R 2

K O O R D I N A Č I Ų METODAS l ' I .OKŠTUMOJl i IR IiRDVFiIIi

Jci sferos centras yra koordinačių pradžios taškas, o spindulys yra R (žr. 14 pav.), tai sferos lygtis yra

-X2+y2+ Z2=R2

7. SFEROS IR PLOKŠTUMOS T A R P U S A V I O PADĖTIS

Sferos spindulį pažymėkime raide R, o atstumą nuo jos centro iki

plokštumos a - raide d. Galimos trys sferos ir plokštumos tarpusavio padėtys

erdvėje.

1) Jci d < R , t.y. kai atstumas nuo sferos centro iki plokštumos mažesnis už sferos

spindulį, sferos ir plokštumos sankirta yra apskri t imas. Rutulio ir plokštumos

sankirta šiuo atveju yra skritulys.

2) Jei d = R, t.y. kai atstumas nuo sferos centro iki plokštumos lygus sferos

spinduliui, sfera ir plokštuma turi tik vicnq Iicndr:) taškų.

3) Jci d > R , t.y. kai atstumas nuo sferos centro iki plokštumos didesnis už sferos

spindulį, sfera ir plokštuma neturi bendrų taškų.

SKYRIAUS "KOORDINAČIŲ Ml iTODAS" UŽDAVINIAI

Išspręsime kclctų skyriaus "Koordinačių metodas" uždavinių

1 uždavinys.

Duotos trikampio viršūnės : A ( - 2 ; -3 ) , H ( - 1 ; 2 ) , C ( 4 ; 1 ). Įrodykite, kad trikampis

AHC - lygiašonis, ir parašykite tiesės, kurioje yra iš viršūnės Ii nubrėžta aukštinė, lygtį.

Sprendimas.

Koordinačių plokštumoje atidėkime

taškus A ( -2 ; -3 ), H ( -1 ; 2 ), C ( 4 ; 1 ).

Sujungę juos tiesių atkarpomis, gauname

trikampį AHC (žr. 15 pav.) Reikia įrodyti,

kad jo kraštinės AH ir HC lygios.

Kraštinės AH ilgis lygus atstumui tarp

taškų Λ ir H, o kraštinės HC ilgis lygus

atstumui tarp taškų H ir C. Turime :

AU = 7 ( - 1 - ( - 2 ) ) 3 + ( 2 - ( - 3 ) ) ' =

15pav. = л/12 «-53 = V26

BC = , / ( 4 - ( - 1 ) ) 2 + ( 1 - 2 ) 2 = fi* + ( - I ) 2 = / 2 6

Taigi Al i=HC. Vadinasi, trikampis AHC lygiašonis. Iš viršūnės H nubrėžkime aukštinę HD

(žr. 15 pav.). Kadangi lygiašonio trikampio aukštinė, nubrėžta iš viršūnės H, yra kartu ir jo

pusiaukraštinė, tai taškas D yra kraštinės AC vidurys. Jeigu jo koordinates pažymėsime χ ir

У (D(x ; y)), tai

-2 + 4 -= 1 + 1

y =• - = -1

Sakykime, tiesės, kurioje yra aukštinė HD, lygtis yra y=kx+£ . Kadangi ši tiesė eina per

taškus H( -1 ; 2 ) ir D( 1 ; -1 ), tai jų koordinatės turi lenkinti minėtų lygtį.

Turime : 2 = k ( - I ) + £ ; -1 =k + £ . Iš antrosios lygties k = -l-£. Įrašę šių k išraiškų į

pirmųjų lygtį, gauname 2=(-1-ί)·(-1) + ί , arba 2=2Č+1 . I š čia f. = ½.

Iada k = - l - ^ = - γ . Vadinasi, ieškomoji tiesės Iygtisyra y = ι - , arba 3x-l-2y -1 =O .

S K Y R I A U S " K O O R D I N A Č I Ų M E T O D A S " U Ž D A V I N I A I

2 uždavinys. Apskri l imo skersmens galiniai taškai yra A( -3 ; -1 ) ir B( 7 ; 1 ).

Parašykite apskrit imo lygtį.

Sprendimas.

Kadangi apskrit imo centras 0(x<, ; y0) yra skersmens AB vidurio taškas, tai centro

koordinatės yra X0 = = 2 ; y„ = = 0. Taigi apskritimo centras yra 0 ( 2 ; O ).

Apskritimo spindulys R yra a tkarpos O A (arba a tkarpos OB) ilgis, kuris lygus atstumui tarp

taškų O ir A. R a n d a m e ats tumą tarp taškų O ir A :

OA = V ' - 3 - 2 ' 2 + < - 1 ~ °>J ="^26

Taigi apskri t imo spindulys U = V26.

Tada ieškomoji apskritimo lygtis yra (x-x,.)2+(y-y,>)2=R2 , kur x,„ y„ - apskri t imo cent ro

koordinatės. Surašę į ši;) lygtį rastąsias x„, yu ir R reikšmes, gauname, kad apskri t imo lygtis

yra ( χ - 2 f + y2 = 26 .

Atsakymas. ( χ - 2 )2 + y2 = 26 .

j3 uždavinys. Parašykite lygtį plokštumos, einančios per koordinačių pradžią ir s ta tmenos

vektoriui n{ -2 ; 1 ; 3 }.

Sprendimas. Plokštumos, einančios per tašką M( XU ; y„ ; z„ ) ir s tatmenos vektoriui n{ α ;

b ; c }, lygtis yra α( χ - x„ ) + b ( y - yn ) + c ( /. - Z0 ) = 0 . | pastarąją lygtį įrašę normalės

vektoriaus n{ -2 ; 1 ; 3 } koordinates ( a = - 2 , b = l , c = 3 ) ir taško M koordina.es ( X0=O ,

y«.=0 , / o = 0 ), gauname, kad ieškomoji plokštumos lygtis yra

-2( χ - O ) + 1 ( y -.0 ) + 3 ( z - 0 ) = 0 , a r b a - 2 x + y + 3 z = 0

Atsakymas. - 2 x + y + 3 z = 0 .

4 uždavinys. Parašykite lygtį plokštumos, einančios per tris taškus

A ( 0 ; 1 ; 5 ) , B ( 3 ; 0 ; 0 ) i r C ( - l ; 1 ; 6 ).

3 a + d = ( ) ,

- o + b + 6 c + d = 0 .

SKYRIAUS " K O O R D I N A Č I Ų MLiTODAS" U Ž D A V I N I A I

Sprendimas. Sakykime, šios plokštumos lygtis yra αχ + by + с/. + d = 0 . Taškų A, B ir C

koordinatės turi tenkinti šią lygtį, nes plokštuma eina per šiuos taškus. Sudarome lygčių

sistemą

a · 0 + b · 1 + e · 5 + d = 0 , , b + 5 c + d = 0 ,

a · 3 + b · 0 + e · 0 + d = 0 ,

a · ( - l ) + b • 1 + c · 6 + d = 0 , arba

Iš antrosios lygties randame d = - 3 a . Įrašę šią d reikšmę į pirmąją bei trečiąją sistemos

lygtis, gauname lygčių sistemą

d = - 3 a ,

b + 5 c = 3 a ,

b + 6 c = 4 a .

Iš pastarosios sistemos antrosios lygties a tėmę trečiąją, gauname, kad e = α . Įrašę šią c

išraišką į lygtį b + 6 c = 4 a , gauname b = - 2 a .

Vadinasi, ieškomoji plokštumos lygtis yra ax -2ay+az-3a=0 . Abi šios lygties puses padaliję

iš ciitO (visi koeficientai a , b ir c vienu metu negali būti lygūs nuliui), gauname plokštumos

lygtį χ - 2y + z - 3 = 0. Atsakymas. χ - 2y + z - 3 = 0.

5 uždavinys. Parašykite lygtį plokštumos, einančios per tašką A( 1 ; -3 ; 2 ) ir lygiagrečios

plokštumai 4x - 2y - z + 7 = 0.

Sprendimas. Jeigu plokštuma α lygiagreti plokštumai a x + b y + c z + d = 0 , tai vektorius

n {a ; b ; c) s ta tmenas plokštumai a . Vadinasi, plokštumos 4x - 2y - z + 7 = 0 normalės

vektorius n {4 ; -2 ; -1} yra taip pat ir ieškomosios plokštumos normalės vektorius. Taigi

plokštumos, einančios per tašką A( 1 ; -3 ; 2 ) ir s tatmenos vektoriui n {4 ; -2 ; -1}

(lygiagrečios plokštumai 4x - 2y - z + 7 = 0 ), lygtis yra 4(x - l )+ ( -2 ) (y - (-3))+(-1)(/ . -

2 )=0 , arba 4(x - 1) - 2(y + 3)-(z - 2 ) = 0 , t.y. 4x - 2y - z - 8 = 0 . Atsakymas. 4x - 2y - z - 8 = 0 .

PRIEDAI

I. G E O M E T R I J O S U Ž D A V I N I Ų , D A Ž N I A U S I A I P A S I T A I K A N Č I Ų S T O J A M Ų J Ų Į A U K Š T Ą S I A S

M O K Y K L A S M A T E M A T I K O S E G Z A M I N Ų M E T U , T E M A T I K A .

P L A N I M E T R U A

1. A P S K R I T I M A S I R S K R I T U L Y S

1. Dvi apskritimo Iicslincs kertasi smailiu kampu taške, kurio atstumas nuo centro lygus 25.

Atstumas tarp Iictimosi taškų lygus 24. Apskaičiuokite apskrit imo spindulio ilg|.

Atsakymas. 15.

2. Iš apskritimo vieno taško nubrėžtos dvi stygos, sudarančios statųjį kampų. Ats tumas tarp

Uj stygų vidurio taškų lygus 3,6. Apskaičiuokite apskri t imo skersmenį. Atsakymas 7,2.

3. Dviejų susikertančių apskritimų spinduliai lygūs 10 ir 17, o bendroji jų styga dalija

centrus jungiančių atkarpų santykiu 2 : 5. Raskite bendrosios stygos ilgį.

Atsakymas. 16.

4. Stalmuo, nuleistas iš apskritimo taško į skersmenį, dalija jį į a tkarpas, kurių ilgių

skirtumas lygus 18. Apskaičiuokite apskrit imo skersmens ilgį, kai s ta lmuo lygus 12.

Atsakymas. 30.

5. Apskrit imo viduje skirtingose nuo centro pusėse nubrėžtos dvi lygiagrečios stygos, kurių

ilgiai yra 36 ir 48. Atstumas tarp slygų lygus 42. Raskite apskrit imo spindulio ilgį.

Atsakymas. 30.

6. Vieno iš dviejų besiliečiančių apskritimų spindulys lygus 1, o šių apskritimų bedros

liestinės atkarpos, esančios tarp lietimosi taškų, ilgis lygus 4. Raskite kilo apskrit imo

spindulio ilgį. Atsakymas. 4.

7. Styga, kuri kerta apskritimo skersmenį, sudaro su juo 30° kampų ir dalija skersmenį į

atkarpas, lygias 2,8 ir 7,4. Apskaičiuokite stygos atstumų iki apskrit imo centro.

Atsakymas. 1,15.

8. Iš vieno taško nubrėžtos dvi apskritimo liestinės, kurių ilgiai lygūs 120. Raskite

apskritimo spindulį, kai atstumas tarp lietimosi taškų lygus 144. Atsakymas. 90.

9. Stalmuo, nubrėžtas iš apskrit imo taško į jo skersmenį, dalija jį į atkarpas, kurių ilgių

skirtumas lygus 18. Raskite apskrit imo spindulį, kai s latmens ilgis lygus 12.

Atsakymas. 15.

10.Taškas A yra dviejų apskritimų išorinio lietimosi taškas. Viena bendrųjų licslinių liečia

tuos apskritimus taškuose H ir D, o A H = 8 , A D = 6 . Raskite apskritimų spindulius.

20 15 Atsakymas. — .

3 4

11.Skritulio, kurio spindulys lygus 13, viduje duotas taškas M, nutolęs nuo skritulio centro

atstumu, lygiu 5. l 'cr taškų M nubrėžta styga АН, kurios ilgis lygus 23. Raskite atkarpų, j

kurias taškas M dalo stygų, ilgius. Atsakymas. 16 ; 9 .

12.Vieno apskritimo viduje nubrėžtas kitas apskritimas taip , kad apskritimai liečiasi.

Tiesė, einanti per didesniojo apskritimo centrų, kerta didesnįjį apskritimų taškuose A ir

D, o mažesnįjį apskritimų - taškuose H ir C. Raskite apskritimų spindulių santykį, jeigu

AH : HC : CD = 3 : 7 : 2 . Atsakymas. K

13.Apskritimo , kurio spindulys lygus 5, viduje nubrėžtas kitas apskritimas, kurio spindulys

lygus 3. Mažesnysis apskritimas liečia didesnįjį. Didesniojo apskritinio styga AIl liečia

mažesnįjį apskritimų taške C taip, kad A C : C H = 3 : 1. Raskite stygos AH ilgį.

Atsakymas. 8.

14.Du apskritimai, kurių spinduliai lygūs V2 ir 1, kertasi taške A. Atstumas tarp

apskritimų centrų lygus 2. Didesniojo apskritimo styga AC kerta mažesnįjį apskritimų

f ? taške H taip, kad šis taškas jų dalija pusiau. Raskite stygos A C ilgį. Atsakymas. J-.

15.Du apskritimai, kurių spinduliai lygūs 5 ir 4, liečiasi iš išorės. Tiesė, liečianti mažesnįjį

apskritimų taške A, kerta didesnįjį apskritimų taškuose H ir C taip, kad AH=HC.

Raskite atkarpos AC ilgį. Atsakymas. 12.

16.Du apskritimai, kurių spinduliai lygūs S ir л/2, kertasi taške Л. Atstumas tarp

apskritimo centrų lygus 3. Per taškų A nubrėžta tiesė, kertanti apskritimus taškuose H ii

C taip, kad AH=AC'. Raskite atkarpos AH ilgį. Atsakymas, —j=.

17. R spindulio viduje nubrėžtas r ( r<R ) spindulio apskritimas liečia didesnįjį apskritimą

taške A. Per didesniojo apskritimo tašką B nubėžta tiesė liečia mažesnįjį apskritimą

taške C, o B C = a . Raskite atkarpos AB ilgį. Atsakymas, α

lS .Dvi apskritinio, kurio spindulys lygus R, licstinės, nubrėžtos iš vieno taško, sudaro 60°

kampą. Į šių liestinių sudaromą kampą įbrėžtas apskritimas, kuris Iicčią duotąjį

R apskrit imą. Raskite apskritinio spindulį. Atsakymas. — ; 3R .

19.15 apskritimo vieno taško nubrėžtos 10 cm ir 12 cm ilgio stygos. Atsatumas tarp jų

85 vidurio taškų 5 cm. Apskaičiuokite apskritimo spindulį. Atsakymas. — cm.

8

20.Sta tmuo, nuleistas iš apskrit imo taško į skersmenį, dalija jį santykiu 9 : 16. Raskite to

taško ats tumą nuo skersmens galų sumą, kai apskri t imo spindulys lygus 25 . Atsakymas. 7 0 .

V R - r

2. T R I K A M P I S

21.Trikampio A B C kraštinių ВС, AC ir AB ilgiai yra ati t inkampai lygūs 50, 104 ir 102.

Raskite tr ikampio aukštinės, išvestos iš viršūnės B, ilgį. Atsakymas. 48.

22.Trikampyjc A B C duota A B = 2 6 , B C = 3 0 ir A C = 2 8 . Raskite plotą trikampio, apriboto

aukštine ir pusiaukampine, nubrėžtomis iš viršūnės B, bei tiesės A C atkarpa.

Atsakymas. 36.

23. Trikampio ABC pusiaukampine AD dalija kraštinę BC santykiu BD : CD=2 : 1. Kokiu

santykiu pusiaukraštinė CE dalija šią pusiaukampinę V Atsakymas. 3 : 1.

24.Trikampio kraštinės lygios 12, 15 ir 18. Apskritimas, kurio centras yra ilgiausioje

trikampio kraštinėje, liečia trumpesniąsias kraštines. Raskite atkarpų, į kurias

apskritimo centras dalo ilgiausiąją kraštinę, ilgius. Atsakymas. 8 ir 10.

25.Vieno trikampio kraštinės lygios 6,3 cm , 8,4 cm ir 10,5 cm. Raskite trikampio,

panašaus į duotąjį , kraštinių ilgius, žinodami, kad jo per imetras 15,6 cm didesnis už

duotojo tr ikampio perimetrą . Atsakymas. 10,2 cm ; 13,6 cm ; 17 cm.

26.Tr ikampio kraštinių santykis yra 13 : 14 : 15, o jo plotas lygus 336. Raskite į šį trikampį

įbrėžtojo apskritimo spindulį. Atsakymas. 8 .

27.Tr ikampio ABC kampas A lygus 45°, o kampas C - 3(1°. Raskite kampą tarp šio

-УЗ-1 trikampio aukštinės BD ir pusiaukraštines BE. Atsakymas, arclg — .

28.Trikampio dviejų kraštinių ilgiai lygūs 3 ir 8 cm. Ar gali tr ikampio plotas būti lygus:

1) IOem 2 ; 2) 15 cm 2 ; 3) 12 cm2. Atsakymas. 1) taip; 2) ne; 3) taip.

29.Trikampio kraštinės proporcingos skaičiams 5, 12 ir 13. Raskite tr ikampio plotą, kai

ilgiausios ir trumpiausios trikampio kraštinių ilgių skirtumas lygus 1,6.

Atsakymas. 1,2.

3().Trikampio ABC kampai H ir C sutinka kaip 3 : 1, o kampo A pusiaukampine trikampį

AHC dalija į du trikampius, kurių plotai sutinka kaip 2 : 1 . Raskite trikampio kampus.

Atsakymas. 60n . 30° , 90° .

31.Apskritimas, įbrėžtas į trikampį ABC, dalija pusiaukraštinė BM į tris lygias atkarpas.

Raskite trikampio A B C kraštinių ilgių santykį. Atsakymas. BC : A C : A B = 5 : 10 : 13.

32.Trikampio ABC kampas A lygus 75°, o aukštinė Iic , nubrėžta iš kampo C, lygi | a B .

Raskite kampą C Atsakymas. 75°.

33.Statumo, nubrėžtas iš tr ikampio A B C kraštinės AB vidurio D, kerta kraštinę AC taške

M, o statinuo, nubrėžtas iš kraštinės A C vidurio E, kerta kraštinę AB taške N;

— = 3 = 2. Raskite tr ikampio A B C kampus. CM BN

2 3 Atsakymas. A = 4 5 ° , B = a r e s m - j = , C = a r e s i n - ^ = .

34.'Trikampio ABC kraštinėje BC pažymėtas taškas D taip , kad BD : C D = I : 2 . Kokiu

santykiu pusiaukraštinė C E dalija atkarpą A D 7 Atsakymas. 3 : 2 .

35.Vienas trikampio kampas lygus kilų dviejų kampų sumai, trumpinusioji kraštinė lygi 2, o

trikampio ploto ir apie I:Į trikampį apibrėžto apskritimo ilgio santykis l y g u s ' - . Raskite

8 ilgiausiąją trikampio kraštinę. Atsakymas. , = .

36.Vienas trikampio kampas lygus k i t t Į dviejų kampų skirtumui, trumpinusioji kraštinė lygi

1, o kvadratų, nubrėžtų ant kitų dviejų kraštinių, plotų suma yra du kartus didesnė už

apibrėžto apie tų trikampį skritulio plotų. Raskite ilgiausiųjų trikampio kraštinę.

Л Atsakymas. , .

л/4-π

37.Tr ikampio AI iC plotas lygus 16 em2 , A C = 5 cm, H C = S cm. o kampas C yra bukas.

Raskite Ali . Atsakymas. V137 cm.

38 .Raski te t r ikampio plotų, jeigu viena trikampio kraštinė yra 40 cm, o kampai prie jos 35''

ir45°. Atsakymas. 400(]-tg10n).

39.Ί r ikumpio aukštinės lyginsi2 cm, 15 cm, 20 cm. Raskite jo plotų. Atsakymas. 150 cm".

40.Lygiakraščio trikampio aukštinė pratęsta už pagrindo liek, kad tųsa kartu su aukštine

būtų lygi trikampio kraštinei. Iš tokio brėžinio apskaičiuokite tg 15°.

Atsakymas. 2 - V I .

41.Trikampio kraštinių ilgiai yra I I , 13, 12. Į ilgiausių kraštinę nubrėžta pusiaukraštinė.

Raskite jos ilgį. Atsakymas. 9,5.

42.Dvi t r ikampio krašt inės lygios 6 cm ir S cm. Į jas nubrėžtos pusiaukraštinės yra viena

kitai s tatmenos. Raskite trečiųjų trikampio kraštinę. Atsakymas. s V i cm.

43.Trikampio AI lC kraštinės lygios A H = 2 6 cm , H C = 3 0 cm , A C = 2 9 cm. Kokiu santykiu j

trikampį įbrėžto apskritimo centras dalija ptisiaukampinę, išvestų iš viršūnės H 7

Atsakymas. 2 : 1 .

44 .Tr ikampio pusiaukraštinių ilgiai lygūs 5, 6 ir 5 cm. Raskite apie trikampį apibrėžto

194 apskritimo spindulį. Atsakymas. cm.

45.Ί ' r ikampio kraštinių santykis 5 : 4 : 3 . Raskite atkarpų, į kurias jbrėžlinio apskritimo

lietimosi taškas dalija kraštines, santykį. Atsakymas. 3 : 1 , 3 : 2 , 2 : 1 .

46.Trikampio aukštinė, kurios ilgis lygus 2 cm, dalija trikampio kampų santykiu 2 : 1, o

trikampio pagrindų - į dvi dalis, kurių trumpesnioji lygi 1 cm. Apskaičiuokite to

trikampio plotų. Atsakymas. cm.

47.Trikampio AHC kraštinėje pažymėtas taškas D. Apskritimai, įbrėžti į trikampius AIlO

ir IiCI), liečia kraštinę AC atitinkamai taškuose M ir N. Raskite trikampio AIlC 21 23

kraštinių ilgius, jeigu A M = 3 , M l ) = 2 , D N = 2 , N C = 4 . Atsakymas. — , — , 1 .

48.Trikampio aukštinė lygi 25. Kokiu atstumu nuo viršūnės reikia nubrėžti tiesę, statmenų

šiai aukštinei, kad išvestoji tiesė dalytų trikampio plotų į dvi lygias dalis 7

Atsakymas. 12, 5 · V I

49.Viena tr ikampio kraštinė lygi 15, o kitų dviejų kraštinių ilgių suma yra 27. Raskite

kampo, esančio prieš duotųjų kraštinę, kosinusų, jei įbrėžtojo apskrit imo spindulys

5 lygus 4. Atsakymas. — .

13

5().Dvi trikampio kraštinės lygios 3 ir 6. Aukštinių, nuleistų į šias kraštines, ilgių aritmetinis

vidurkis yra lygus trečiajai trikampio aukštinei. Raskite trečiosios kraštinės ilgį.

Atsakymas. 4.

51.Trikampyje aukštinė ir pusiaukraštinė, išvestos iš vienos viršūnės, dalija prie šios

viršūnės esantį kampų į tris lygias dalis. Raskite tr ikampio kampus.

Atsakymas. 30° , 60° , 1X)".

52.Smailiajame trikampyje AI iC pusiaukraštinės HM , CN ir aukštinė AII ati t inkamai

lygios 4 , 5 ir 6. Raskite tr ikampio plotų. Atsakymas. 8 )-2V7.

53.Dvi smailiojo tr ikampio aukštinės atit inkampai lygios 3 cm ir 2 S cm, o jų susikirtimo

taškas dalija trečiųjų auštinę santykiu 5 : 1 , skaičiuojant nuo tr ikampio viršūnės.

Apskaičiuokite trikampio plotų.. Atsakymas. 6 cm2.

54.Trikampio kampų santykis yra 2 : 3 : 7 . Trumpiausios kraštinės ilgis lygus a. Raskite

apie šį trikampį apibrėžto apskritimo spindulį. Atsakymas, a.

55 . Į skritulį įbrėžtas taisyklingasis trikampis ir apie tų patį skritulį apibrėžtas taisyklingasis

trikampis. Raskite tų trikampių plotų santykį. Atsakymas. 1 : 4.

56.Stačiojo trikampio staliniai sutinka kaip 3 : 4, o aukštinė, nubrėžta į įžambinę, lygi 24.

Raskite statinių ilgius. Atsakymas. 30 ir 40.

S T A T U S I S T R I K A M P I S

57. Raskite stačiojo t r ikampio kraštines, jei jos sudaro ari tmetinę progresiją, o trikampio

įžambinė lygi 35. Atsakymas. 21 , 28 , 35.

58.Stačiojo tr ikampio AI lC ( / C = 9 0 ° ) perimetras lygus 72 cm, o pusiaukraštinės CK ir

aukštinės C M ilgių skir tumas lygus 7 cm. Raskite trikampio A B C plotų.

Atsakymas. 144 cm2 .

59.Stačiojo tr ikampio statinių ilgiai 12 cm ir 35 cm. Raskite pusiaukraštinės, išvestos į

įžambinę, ilgį. Atsakymas. 12 c m .

60.Stačiojo trikampio pusiaukampinė dalija statinį į 4 cm ir 5 cm atkarpas. Raskite šio

trikampio perimetrų. Atsakymas. 36.

61.Stačiojo tr ikampio kraštinių ilgiai sudaro ari tmetinę progresijų. Apskaičiuokite tokio

trikampio smailiuosius kampus. Atsakymas, arėsi n ; 90°-arcsin·^.

62.Stačiajame trikampyje A l l C kampas Il stalus, o pusiaukraštinės A D ir BE tarpusavy

statmenos. Raskite kampų C. Atsakymas, a m y ί .

63.Stačiojo trikampio aukštinė, išvesta į įžambinę, dalija jų į dvi dalis, kurių ilgių skirtumas

lygus 6 cm. Raskite šio tr ikampio statinių ilgius, jeigu aukštinės ilgis lygus 4 cm.

Atsakymas. 4VŠ ctn ir 2-Vi cm.

64.Stačiojo tr ikampio vienas stalinis 10 vienetų ilgesnis už kitų statinį, be t 10 vienetų

trumpesnis už įžambinę. Raskite trikampio plotų. Atsakymas. 600.

65.Stačiojo trikampio aukštinė, nuleista į įžambinę, lygi 12. Raskite trikampio perimetrų,

kai įžambinė lygi 25. Atsakymas. 60.

66.Apic statųjį (rikampį A B C apibrėžtas apskritimas. Atstumai nuo įžambinės galų A ir B

iki tiesės, liečiančios apskritimų taške C, atitinkamai lygūs m ir n. Raskite statinių A C

ir BC ilgius. Atsakymas. Vm3 + mn , Vn3 + nm .

67.Stačiajame trikampyje iš stačiojo kampo viršūnės nubrėžtos aukštinė ir pusiaukraštinė.

Jų ilgių santykis lygus 40 : 41. Rasti statinių ilgių santykį. Atsakymas. 0,8.

68.Stačiojo tr ikampio plolas lygus Q , o smailusis kampas lygus a . Raskite atstumų nuo 1 r—.

pusiaukraštinių susikirtimo taško iki įžambinės. Atsakymas. -VQsin 2 α .

69.Stačiojo trikampio statinių pusiaukraštinės lygios VŠ2 ir V73. Raskite trikampio

įžambinę. Atsakymas. 10.

70.Stačiojo trikampio įžambinės taškas yra vienodai nutolęs nuo statinių ir dalija įžambinę

į 40 cm ir 30 cm ilgio atkarpas. Raskite trikampio statinius.

Atsakymas. 56 cm , 42 cm.

71.Stačiojo trikampio įžambinė lygi 41, o jo plotas lygtis 180. Raskite tr ikampio statinius.

Ataskymas. 9 ir 40.

72.Raskite stačiojo trikampio plotų, jeigu jo aukštinė dalija įžambinę į 32 cm ir 18 cm ilgio

atkarpas. Atsakymas. 6 din2.

73.Stačiojo trikampio statiniai lygūs 10 ir 24. Raskite ilgį apskritimo , nubrėžto per

trumpesniojo statinio vidurį ir liečiančio įžambinę jos viduryje. Atsakymas. 31,2 π.

74.Apskritimas, kurio centras yra stačiojo trikampio įžainbiiiėjc, liečia abu statinius. Rasti

jo spindulį, kai tr ikampio statiniai lygūs 21 ir 28. Atsakymas. 12.

75.Į statųjį trikampį A B C (ZC=90° ) įbrėžtas apskritimas, liečiantis šonines kraštines

taškuose Ai , B i , Ci . A C = 4 cm, B C = 3 cm. Raskite trikampių ABC ir A |B |Ci plotų

santykį. Atsakymas. 5.

76.Stačiojo trikampio mažesniojo statinio projekcija į įžambinę lygi 3,6 , o įžambinės ilgis

lygus 10. Raskite į šį trikampį įbrėžto apskritimo spindulį. Atsakymas. 2.

77.Apie statųjį trikampį apibrėžto apskritimo spindulys lygus 8,5 ,0 įbrėžto - 3. Raskite

trikampio plotų. Atsakymas. 60.

78.Stačiojo trikampio statinių ilgių santykis lygus 1,05 , o apie trikampį apibrėžto ir į

trikampį įbrėžto apskritinių spindulių ilgių skirtumas lygus 17 dm. Raskite trikampio

plotų. Atsakymas. 8,4 m^. 4

79.Stačiojo trikampio statinių santykis lygus —, o aukštinė, išvesta į įžambinę, lygi 12.

Apskaičiuoti apibrėžto apie tų trikampį apskritinio spindulį. Atsakymas. 12,3.

80. Raskite stataus trikampio didesniojo smailaus kampo sinusą, kai apie šj trikampį

apibrėžto apskritimo spindulys 2,5 karto didesnis už įbrėžtojo į trikampį apskritimo

spindulį. Atsakymas. 0,8.

81.Staiiojo trikampio plotas lygus 60, o jo perimetras 40. Raskite apie tą trikampį

apibrėžto apskritimo spindulį. Atsakymas. 8,5.

82.Stačiojo trikampio ABC kampas C status, o AC : A B = 4 : 5. Apskritimas, kurio centras

yra statinyje AC, liečia įžambinę AB, o statinį BC kerta taške P taip, kad BP : P C = 2 : 3.

Raskite apskritimo spindulio ir stalinio BC santykį. Atsakymas. 13 : 20.

83.Staciojo trikampio įžambinės ilgis lygus u, o įbrėžtinio apskritimo spindulys r. Raskite

trikampio plotą. Atsakymas. (a+r)r.

84.Į slatijjį trikampį, kurio magesniojo stalinio ilgis yra K), įbrėžto apskritimo spindulys

lygus 3. Raskite apie šį trikampį apibrėžto apskritimo spindulį. Atsakymas. 7,25.

85.Slačiojo trikampio statiniai lygūs 15 ir 20. Raskite atstumą nuo į trikampį įbrėžto

apskritimo centi'o iki aukštinės, nubrėžtos į įžambinę. Atsakymas. 1.

ftft.Stnčiojo trikampio pusiaukraštinė, išvesta į įžambinę, dalija statųjį kampą santykiu 1 :

2. Raskite šio trikampio smailiuosius kampus. Atsakymas. 60° ; 30° .

87.Slačiojo trikampio vieno statinio ir įžambinės ilgių suma lygi c. Kokie turi būti stalinių

ilgiai, kad trikampio plotas liūtų didžiausias V Atsakymas, ^ c , ^ с У з .

88.J statųjį trikampį įbrėžto pusapskritimio skersmuo yra įžambinėje, jo centras dalija

įžambinę į 30 cm ir 40 cm atkarpas, o lankas liečia trikampio stalinius. Raskite

pusapskritimio lanko, esančio tarp Iietimosi taškų, ilgį. Atsakymas. 12π.

L Y G I A Š O N I S T R I K A M P I S

8У.Lygiašonio trikampio kraštinės santykiuoja kaip 2 : 3 : 3 , o įbrėžtojo skritulio spindulys

lygus 1. Apskaičiuokite to skritulio plotą. Atsakymas. 4У2.

90.Lygiašonio trikampio pagrindas lygus 8, o aukštinės, nuleistos į pagrindą, ilgis 3. Raskite

trikampio pagrindo vidurio taško atstumą iki šoninės kraštinės. Atsakymas. 2,4.

91.Lygiašonio trikampio aukštinės ir pagrindo santykis lygus \ Raskite trikampio plotą,

kai jo šoninė kraštinė lygi 10. Atsakymas. 30.

92.Lygiašonio trikampio pagrindas lygus 8, o šoninė kraštinė 12. Raskite ilgį atkarpos,

jungiančios trikampio kampų prie pagrindo pusiaukampinių ir šoninių kraštinių

susikirtimo taškus. Atsakymas. 4,8.

93.Lygiašonio trikampio pagrindo ir šoninės kraštinės santykis lygus 6 : 5. Raskite to

trikampio aukštinės, nuleistos į pagrindą, ilgį, kai jo plotas lygus 48. Atsakymas. 8.

9 4 . | statųjį lygiašonį trikampį įbrėžtas kvadratas, kurio dvi viršūnės yra įžambinėje, o kitos

dvi statiniuose. Raskite kvadrato kraštinę, kai įžambinė lygi 3m. Atsakymas. 1 111

95.Lygiašonio trikampio šoninė kraštinė lygi 39, o jo pagrindas lygus 30. Raskite į trikampį

įbrėžto apskritimo spindulį. Atsakymas. 10.

96.Lygiašonio trikampio šoninė kraštinė 2 cm, o kampas prie viršūnės 120°. Raskite apie

trikampio apibrėžto apskritimo skersmenį. Atsakymas. 4 cm.

97.I.ygiašonio trikampio pagrindas 9,6 mažesnis už šoninę kraštinę, o pusiaukampine

šoninę kraštinę dalija į atkarpas, kurių santykis lygus 0,6. Raskite trikampio perimetrą.

Atsakymas. 62,4.

98.Apie spindulio R apskritimą apibrėžtas lygiašonis trikampis, kurio kampas prie viršūnės

•Уз 120". Raskite trikampio kraštines. Atsakymas. R ( — + etgl5"); 2Rctgl5°.

99.Lygiašonio trikampio šoninė kraštinė lygi 4, o jos pusiaukra.štinės ilgis 3. Raskite

pagrindo ilgį. Atsakymas. VlO .

100.Lygiašonio trikampio pagrindas lygus 48, o šoninė kraštinė lygi 30. | šį trikampį

įbrėžtas ir apie jį apibrėžtas apskritimai. Raskite atstumą tarp apskritimų centrų.

Atsakymas. 15.

101.Lygiašoniame trikampyje ЛВС ( A B = B C ) pusiaukraštinė AD yra statmena

1 pusiaukampinei CE. Raskite kampą ACB. Atsakymas, a r ecos - .

3. KETURKAMPIAI

BET KOKS KETURKAMPIS

102.J keturkampį , kurio iš eilės einančios kraštinės lygios 2, 3 ir 4, įbrėžtas apskritimas.

Rasti ke turkampio plot;), kai apskritimo spindulys yra 1,2. Atsakymas. 7,2.

103.Keturkampio plotas lygus S. Per jo viršūnes nubrėžtos tiesės, lygiagrečios įstrižainėms.

Raskite gautojo keturkampio ploti). Atsakymas. 2 S .

104.Keturkampio įstrižainių ilgiai lygūs 10 ir 20, o kampas tarp jų lygus 60°. Raskite plotų

keturkampio , kurio viršūnės yra duotojo keturkampio kraštinių vidurio taškai.

Atsakymas. 25 V i .

LYGIAGRETAINIS 105.Lygiagretainio smailusis kampas 60°, o jo per imetro ilgis lygus 90. Raskite

lygiagretainio kraštines, jei įstrižainė dalija jo bukųjį kampų į dvi dalis santykiu 1 : 3.

Atsakymas. 15 ; 30.

106.Lygiagrctainio kraštinės ilgiai lygūs 4 ir 2, o smailusis kampas tarp jo įstrižainių lygus

60°. Raskite lygiagretainio plotų. Atsakymas. 2 V I .

107.Lygiagretainio kraštinės lygios 15 ir 12, O jo nelygių aukštinių suma lygi 22,5. Raskite

didesniosios lygiagretainio aukštinės ilgį. Atsakymas. 12,5.

108.Lygiagretainio įstrižainės lygios 14 ir 18, o kampo tarp jų kosinusas lygus .

Apskaičiuokite lygiagretainio perimetrų. Atsakymas. 44.

109. Apskaičiuokite lygiagretainio plotų, kai jo ilgesnioji įstrižainė lygi 5 cm,o aukštinės - 2

cm ir 3 cm. Atsakymas. (з V H - s) cm2.

110.Lygiagrctainio bukojo kampo pusiaukampinė dalija lygiagretainio kraštinę į atkarpas,

lygias 5 ir 15. Rasti lygiagretainio perimetrų. Atsakymas. 70.

111 .Lygiagretainio plotas lygus 36, perimetras lygus 30, o atstumas tarp ilgesniųjų kraštinių

lygus 4. Raskite atstumų tarp lygiagretainio trumpesniųjų kraštinių. Atsakymas. 6.

112.Lygiagretainio smailusis kampas lygus 60°, o įstrižainių ilgių kvadratų saiitykis

3 2 Raskite lygiagretainio gretintųjų kraštinių ilgių santykį. Atsakymas. - a t t o a - .

113.Lygiagretainio įstrižainių kvadratų suma lygi 712, o gretimų kraštinių ilgių skirtumas

lygus 6. Raskite lygiagretainio perimetrų. Atsakymas. 52.

114.Lygiagretainio įstrižainės lygios 24 ir 28, o kraštinių ilgių skirtumas lygus 8. Raskite

lygiagretainio kraštinių ilgius. Atsakymas. 22 ; 14 .

115 .Trumpesnės lygiagretainio kraštinės ilgis lygus 13, aukštinės, nuleistos į ilgesnę

kraštinę, ilgis 12, o t rumpesnės įstrižainės ilgis lygus 15. Raskite Iygiagetainio plotų.

Atsakymas. 540.

116.Lygiagretainį, kurio perimetras lygus 44, jo įstrižainės dalija į keturis trikampius.

Dviejų gretimų trikampių perimetrų skirtumas lygus 6. Raskite lygiagretainio kraštinių

ilgius. Atsakymas. 8 ; 14 .

117.Raskite lygiagretainio plotų, jeigu jo įstrižainių ilgiai lygūs 78, o trumpesniosios

kraštinės ilgis lygus 25. Atsakymas. 1680.

5

118.Lygiagretainio kraštinės lygios 3 ir 2, o kampas tarp jų lygus arccos — . Dvi statmenos

16

tiesės dalija lygiagretainį į keturias lygiaplotcs dalis. Apskaičiuokite a tkarpų į kurias šios

2 . 4 tiesės dalija lygiagretainio kraštines, ilgius. Atsakymas. 2 ir 1 ; — ir - .

119.Apie skritulį apibrėžtas lygiagretainis, kurio smailusis kampas a . Rasti lygiagretainio

plotų, kai skritulio plotas lygus 3π ir eosa=0 ,8 . Atsakymas. 20.

120.Lygiagrctainio kraštinės V i ir -Js, o smailusis kampas a. Rasti ilgesniosios įstrižainės

3V10 ilgį, kai s ina = Atsakymas. 3.

121.Lygiagretainio A l l C D aukštinė, nubrėžta iš bukojo kampo viršūnės 11 į kraštinę DA,

dalija jų santykiu 5 : 3 skaičiuojant nuo viršūnės D. A D : AI1=2. Raskite santykį

A C : BD. Atsakymas. 2 : 1 .

122.Lygiagretainio plotas lygus S, o jo aukštinės Iii ir Ii2. Rasti lygiagretainio perimetrų.

Atsakymas. 2S(hi+li2) / I11I12 •

123.Lygiagretainio plotas lygus S, viena jo įstrižainė dvigubai t rumpesnė už kitų, o kampas

S S tarp įstrižainių lygus a . Raskite įstrižainių ilgius. Atsakymas. .1 2.1

Lygiagretainyje išvestos jo kampų pusiaukampinės. Šių pusiaukampinių r ibojamo

keturkampio plotas lygus - duotojo lygiagretainio ploto. Raskite lygiagretainio 4

kraštinių ilgių santykį. Atsakymas. 2 : 1 .

R O M B A S

124.Rombo perimetras lygus 8%/l3 , o jo įstrižainių ilgių suma lygi 20. Raskite rombo plotą.

Atsakymas. 48.

125.Raskite rombo aukštinę, jeigu rombo įstrižainės lygios 16 ir 12. Atsakymas. 9,6

126.Rombo mažesnioji įstrižainė lygi jo kraštinei. Raskite rombo plotų, jeigu žinoma, kad į

rombų įbrėžto skritulio plotas lygus π. Atsakymas. бУз

127. Rombo įsrižainių ilgių suma 6 mažesnė už jo perimetrų. Raskite rombo kraštinę, kai jo

plotas lygus 24. Atsakymas. 5.

128 .Rombo perimetras 24 cm, bukas kampas 150°. Raskite rombo įstrižaines ir plotų.

Atsakymas. 1 2 s i n l 5 ° c m ; 12 eos 15° cm ; 18 em2 .

129.Rombo plotas lygus 96, o įstrižainių ilgių santykis lygus 0,75. Rasti rombo kraštinę.

Atsakymas. 10.

130 .Rombo trumposios įstrižainės ilgis lygus 5, o aukštinės - 3. Raskite rombo plotų. 7S

Atsakymas. — .

8

131.Rombo perimetras lygus 20, o vienos jo įstrižainės ilgis lygus 8. Raskite kitos

įstrižainės ilgį. Atsakymas. 3 .

132.Aukštinė, nubrėžta iš rombo bukojo kampo viršūnės, dalija priešingų kraštinę pusiau.

Raskite rombo kampus. Atsakymas. 60" ir 120°.

133.Raskite rombo kampus, jeigu rombo perimetro kvadrato santykis su jo plotu lygus 32.

Atsakymas. 30° , 150°.

134. Rombo kraštinės kvadratas lygus jo įstrižainių sandaugai. Raskite rombo smailųjį

kampų. Atsakymas. 30°.

135.Rombo trumpesnioji įstrižainė lygi 6 cm, smailusis kampas 60°. Raskite kilų romlw

įstrižainę, perimetrų ir plotų. Atsakymas. бУз cm ; 24 cm ; 18-Уз em2.

136.Kiekvienoje rombo kraštinėje yra po vienų viršūnę kvadrato, kurio kraštinės

lygiagrečios rombo įsrižainėms. Rombo įstrižainės lygios 8 ir 12. Raskite kvadrato

kraštinės ilgį. Atsakymas. 4,8 .

137.Rombo įstrižainių ilgių santykis 3 : 4. Kiek kartų rombo plotas didesnis už įbrėžtojo į jį

, . ,. , 25 skritulio plotų > Atsakymas. — .

6π

138.Raskite rombo plotų, jeigu jo ilgesnioji įstrižainė yra lygi p, o smailusis kampas

p2 Jį dvigubai mažesnis už bukų kampų. Atsakymas. .

6

139.Į rombų, kurio smailusis kampas 30", įbrėžtas skritulys. .Io plotas Q . Apskaičiuokite

8 Q rombo plotų. Atsakymas. — .

π

140 .Rombo įstrižainių ilgiai ir kraštinės ilgis sudaro geometrinę progresijų. Raskite kampo

tarp rombo kraštinės ir jo ilgesniosios įstrižainės sinusų jeigu žinoma, kad jis didesnis už 1 A ) , 1 P 1 7 - 1 - . Atsakymas. —

S T A Č I A K A M P I S

141.Stačiakampio per imetras lygus 14, o jo įstrižainių sudaromo kampo sinusas lygus 0,4.

Raskite stačiakampio plotų. Atsakymas. 7.

142.Stačiakampio per imetras lygus 48, o jo įsrižainės sudaro kampų a . Raskite

stačiakampio įstrižainės ilgĮ, kai sin α=0,44 . Atsakymas. 20 .

143.Stačiakampio įstrižainė lygi 20 ir su pagrindu sudaro 30° kampų. Raskite stačiakampio

perimetrų. Atsakymas. 20 (Уз i l ) .

144.Raskite stačiakampio kraštines, jeigu jo plotas lygus 300, o perimetras lygus 74.

Atsakymas. 12 ir 25.

145.Stačiakampio perimetras lygus 46, o apibrėžto skritulio plotas lygus 72,25π.

Apskaičiuokite stačiakampio plotų. Atsakymas. 120.

146.Statmuo, nubrėžtas iš stačiakampio viršūnės į įstrižainę, dalija statųjį kampą santykiu

1 :3 . Apskaičiuokite, koks kampų tarp įstrižainių santykis ? Atsakymas. 1 : 3 .

147.Stačiakampio plotas lygus 112. Ant dviejų gretimųjų stačiakampio kraštinių nubraižytų

kvadratų plotų suma lygi 260. Raskite stačiakampio kraštines. Atsakymas. 8 ir 14.

148.Į kvadratų įbrėžtas stačiakampis, kurio kraštinės lygiagrečios kvadrato įstrižainėms.

Kiekvienoje kvadrato kraštinėje yra stačiakampio viršūnė. Kvadrato įstrižainė lygi 12 m.

Viena stačiakampio kraštinė du karius ilgesnė už kitų. Raskite stačiakampio kraštines.

Atsakymas. 4 m. ir 8 m.

149.Ant stačiakampio kraštinių, kurių ilgiai lygūs 2 ir 4, nubraižyti lygiakraščiai trikampiai

taip , kad kiekvieno jų viena iš kraštinių sutampa su atitinkama stačiakampio kraštine.

I ̂ aisvusias trikampių viršūnes sujungiame tiesių atkarpomis. Raskite gautojo

stačiakampio plotų. Atsakymas. 16 + l oV I .

150.Stačiakampio plotas lygus 12, o jo įstrižainių sudaromo kampo sinusas 0,2. Raskite

stačiakampio perimetrų. Atsakymas. 24.

151.( spindulio R skritulį reikia įbrėžti didžiausio ploto stačiakampį. Kokios turi būti tokio

stačiakampio kraštinės ? Atsakymas. Kvadratas, kurio kraštinė R V i .

152.Skritulio plotas lygus Q. Į skritulį įbrėžtas stačiakampis. Raskite stačiakampio plotą,

4Qmn jeigu jo kraštinių ilgių santykis m : n . Atsakymas. ——; r- .

7t(m +n )

153.Į spindulio R pusskrilulį įbrėžtas didžiausio ploto stačiakampis. Raskite lokio

RV2 r slaeiakampio krastines. Atsakymas. — — , Rv2 .

154.J R spindulio pusapskritimį įbrėžtas stačiakampis (pagrindas pusapskritimio

skersmenyje). Kokios turi būti stačiakampio kraštinės, kad jo perimetras būtų

4VŠ -JŠ didžiausias? Atsakymas. — — R , — R .

j 5 5

155.Raskite mažiausio perimetro stačiakampio, kurio plotas lygus Q, kraštines.

Atsakymas. Kvadratas, kurio kraštinė VQ ·

156.Lango, kurio apatinė dalis yra stačiakampis, o viršutinė - pusapskritimis, plotas lygus 4.

Koks turi būti lango pagrindas, kad lango angos perimetras būtų mažiausias.

4-/2 Atsakymas. , .

ν4 + π

157.1 trikampį, kurio pagrindo kraštinė lygi α, o aukštinė h, įbrėžtas didžiausio ploto

ah stačiakampis. Raskite tokio stačiakampio plotų. Atsakymas. —

KVADRATAS

158.Kvadrato plotas 30% didesnis už skritulio plotų, o skritulio plotas lygus 80 %

trikampio ploto. Keliais procentais kvadrato plotas didesnis už trikampio plotų ?

Atsakymas. 4 % .

159.Į kvadratų įbrėžtas kitas kvadratas. Vienas iš smailiųjų kampų tarp kvadratų kraštinių

2 lygus a. Kuriai α reikšmei įbrėžtojo kvadrato plotas sudarys — duotojo kvadrato ploto 7

Atsakymas. αι = 15° , a2=75°.

160.Apskritimas liečia dvi gretimas kvadrato kraštines ir dalija kiekvienų iš kitų dviejų jo

kraštinių į 2 cm ir 23 cm ilgio atkarpas. Apskaičiuokite apskritimo spindulį.

Atsakymas. 17 cm.

[2

161.Į kvadratų, kurio įstrižainė lygi 1 oJ—, įbrėžtas skritulys. Rasti skritulio plotų.

Atsakymas. 25.

162.J skritulio nuopjovų, kurių atitinka 6 cm ilgio styga, įbrėžtas kvadratas. Jo kraštinė lygi

2 cm. Raskite skritulio spindulį. Atsakymas. VlO cm.

163.Į pusapskritimį, kurio spindulys lygus 5, įbrėžtas kvadratas taip, kad viena jo kraštinė

yra pusapskritimio skersmuo, o dvi viršūnės priklauso apskritimui. Raskite kvadrato

kraštinės ilgį. Atsakymas. 2 V S .

TRAPECIJA

165.Trapccijų pagrindų ilgiai lygūs 142 ir 89, o įstrižainių - 120 ir 153. Raskite trapecijos

plotų. Atsakymas. 8316.

166.Trapecijos pagrindų ilgiai yra 8,2 ir 14,2 cm. Raskite atstumų tarp įstrižainių vidurio

taškų. Atsakymas. 3 cm .

167.Ticsč, lygiagreti trapecijos pagrindams , dalija jų į dvi dalis, kurių plotai sutinka kaip

m : n .Raskite šios tiesės atkarpos, esančios tarp trapecijos šoninių kraštinių, ilgį, jeigu

na2 + m b J

trapecijos pagrindų ilgiai lygūs a ir b. Atsakymas. J — — .

V m + n

168.Trapecijos ilgesnysis pagrindas lygus 5, o viena iš šoninių kraštinių lygi 3. Žinoma, kad

viena iš trapecijos įstrižainių statmena duotajai šoninei kraštinei, o kita dalija kampų

tarp duotosios šoninės kraštinės ir duotojo pagrindo pusiau. Raskite trapecijos plotų.

Atsakymas. 9 ,6 .

169.Apic apskritimų apibrėžtos trapecijos perimetras lygus 36 cm. Raskite trapecijos

vidurinę linijų. Atsakymas. 9 cm .

170.Trapceijos plotas lygus 377 m2, aukštinė 13 cm, o pagrindai sutinka kaip 13 : 16.

Raskite pagrindų ilgius. Atsakymas. 26 cm ir 32 cm .

171.Trapecijos įstrižainė dalija vidurinę linijų santykiu 8 : 3, o jos apatinio ir viršutinio

pagrindų ilgių skirtumas lygus 20. Raskite trapecijos vidurinės linijos ilgį. Atsakymas. 22.

172/ IVapecijos trumpesnysis pagrindas lygus 2, o prie jo esantys kampai turi po 135 .

Kampas tarp įstrižainių prieš pagrindų lygus 150°. Apskaičiuokite trapecijos plotų.

Atsakymas. 2 .

173.Vienas iš trapecijos kampų lygus 30°, o pratęstos šoninės kraštinės susikerta,

sudarydamos statų kampų. Raskite mažesniosios šoninės kraštinės ilgį, jeigu trapecijos

vidurinė linija lygi 10 cm, o vienas iš pagrindų 8 cm. Atsakymas. 2 cm.

174.Prie trapecijos pagrindo esančių bukųjų kampų pusiaukanipinių susikirtimo taškas

priklauso kitam trapecijos pagrindui. Raskite trapecijos kraštines, jeigu jos aukštinės

ilgis lygus 12 cm, o pusiaukanipinių ilgiai lygūs 15 ir 13 cm.

Atsakymas. 16,9 cm ; 14 cm ; 12,5 cm ; 29,4 cm .

175.Trapccijos pagrindų ilgiai lygūs 16 ir 44, o šoninių kraštinių - 17 ir 25. Raskite

trapecijos plotų. Atsakymas. 450 .

176.Trapccijos pagrindų ilgiai 9 cm ir 7 cm, viena iš šoninių kraštinių , kurios ilgis 8 cm, su

pagrindu sudaro 30° kampų. Raskite trapecijos plotų. Atsakymas. 32 cm2 .

177.Trapccijos Al lCD šoninės kraštinės All ir CD, pratęstos iki susikirtimo, kertasi taške

E. Raskite atkarpos BE ilgį, jeigu BC=2, A D = 6 , o AB=3 . Atsakymas. 1,5.

178.Trapccijos ABCD pagrindai BC ir A D atitinkamai lygūs 12 cm ir 27 cm. Nubrėžus

įstrižainę AC, gauti lygūs kampai ABC ir ACD. Apskaičiuokite įstrižainės AC ilgį.

Atsakymas. 18 cm.

179.Apskritimas, kurio skersmuo yra trapecijos ABCD pagrindas AD, eina per trapecijos

šoninių kraštinių AB ir CD vidurio taškus ir liečia pagrindų ВС. Raskite trapecijos

kampus. Atsakymas. 75", IOSli.

180.Trapccijos trumpesniojo pagrindo ilgis lygus 6,2 cm, o atstumas tarp įstrižainių vidurio

taškų - 4 cm. Raskite ilgesniojo pagrindo ilgį. Atsakymas. 14,2 cm .

181.Trapecijos Al lCD šoninės kraštinės All ir C D pratęstos iki tarpusavio sankirtos taške

M. Raskite CM, jei AB= 1 m , C D = 1,5 m , BM=O,8 in. Atsakymas. 1,2 m .

182.Apie apskritimų apibrėžta trapecija. Raskite trapecijos vidurinės linijos ir perimetro

santykį. Atsakymas. 1 : 4 .

183.Trapecijos vienas pagrindas du kartus ilgesnis už kitų. Per įstrižainių susikirtimo taškų

nubrėžta tiesė, lygiagreti pagrindams. Raskite kiekvienos iš dviejų gautų trapecijų

aukštinės bei duotosios trapecijos aukštinės santykį. Atsakymas. 1 : 3 ; 2 : 3 .

184.Trapccijos pagrindai lygūs 84 cm ir 42 cm, o šoninės kraštinės - 39 cm ir 45 cm. Pcr

įstrižainių susikirtimo taškų nubrėžta tiesė, lygiagreti pagrindams. Apskaičiuokite

gautųjų trapecijų plotus. Atsakymas. 588 cm2 ir 1680 c m 2 .

185.Raskite trapecijos plotų, jeigu žinoma, kad sujungus jos kraštinių vidurio taškus

gaunamas kvadratas, kurio kraštinės ilgis lygus a. Atsakymas. Iai.

186.Trapecijos pagrindo ilgis lygus 2a. o visų kilų trapecijos kraštinių ilgiai lygūs a. Raskite

atstumų nuo vienos iš trapecijos šoninių kraštinių vidurio taško iki kitos šoninės

Зл/З kraštinės. Atsakymas. a.

187. Trapccijos pagrindų ilgiai a ir b. Alkarpa, lygiagreti pagrindams, dalija trapecijų į dvi

Iygiaplotes dalis. Raskite tos atkarpos ilgį. Atsakymas. .

188.Į trapecijų, kurios trumpesnysis pagrindas lygus a, įbrėžtas apskritimas. Lietimosi

taškas dalija vienų trapecijos šoninių kraštinių į m ir n ilgio atkarpas skaičiuojant nuo

ilgesniojo pagrindo. Apskaičiuokite trapecijos plotų. Atsakymas, ajnmį"' — - j .

189.Trapccijos mažesniojo pagrindo ir šoninių kraštinių ilgiai lygūs. Koks turi būti kampas

prie trapecijos didesniojo pagrindo, kad trapecijos plotas būtų didžiausias.

Atsakymas. 60°

190. Trapecijos pagrindai 4 cm ir 16 cm. Raskite į trapecijų įbrėžto ir apie jų apibrėžto

apskritimų spindulius. Atsakymas. 4 cm • 5 ^ " - с ш

4

191 .'Trapecijos AHCD pagrindas HC lygus 130, o kampas HAD smailus ir dvigubai didesnis

už kampų ADC. Apskritimas, kurio centras ant HC1 liečia tieses AC , A D ir atkarpų CD.

Rasti trapecijos AHCD plotų, jei apskritimo spindulys lygus 5. Atsakymas. 157,5.

192.Įrodykite, kad alkarpa, jungianti trapecijos pagrindų vidurio taškus, eina per trapecijos

įstrižainių susikirtimo taškų bei šoninių kraštinių susikirtimo taškų.

LYGIAŠONE T R A P E C I J A

193.Lygiašonės trapecijos mažasis pagrindas lygus šoninei kraštinei, o įstrižainė statmena

šoninei kraštinei. Raskite trapecijos kampus. Atsakymas. 60n ir 120°.

194.Lygiašonės trapecijos pagrinadai lygūs 12 ir 18, o kampo prie ilgesniojo pagrindo

kotangentas lygus . Raskite trapecijos įstrižainės ilgį. Atsakymas. 17.

195.Lygiašonės trapecijos aukštinės ir vidurinės linijos ilgių suma lygi c, o trapecijos plotas

2S lygus S. Raskite kampo tarp trapecijos įstrižainių sinusų. Atsakymas, s i i a = — .

196.Lygiašonės trapecijos įstrižainės tarpusavyje statmenos, o pagrindų ilgiai lygūs 12 ir 20.

Raskite trapecijos plotų. Atsakymas. 256 .

197.Lygiašonės trapecijos pagrindų ilgiai lygūs 51 ir 69, o šoninės kraštinės ilgis lygus 41.

Raskite trapecijos plotų. Atsakymas. 24 .

198.Lygiašonės trapecijos įstrižainė dalija jos bukų kampų pusiau. Mažesnysis trapecijos

pagrindas lygus 3 cm, o perimetras 42 cm. Raskite trapecijos plotų.

Atsakymas. 96 cm .

199.Lygiašonės trapecijos įstrižainių susikirtimo taškas dalija įstrižainę santykiu 1 : 2.

Raskite trapecijos plotų, jei šoninė kraštinė lygi 5 cm, o aukštinė 3 cm.

Atsakymas. 36 c m 2 .

200.Lygiašonės trapecijos vidurinė linija 24, o jos įstrižainės tarpusavy statmenos. Raskite

trapecijos plotų. Atsakymas. 576 .

201.Lygiašonės trapecijos įstrižainės ilgis yra 10, o jos plotas 48. Raskite aukštinę.

Atsakymas. 8 arba 6 .

202.Lygiašonės trapecijos pagrindai lygūs 20 cm ir 8 cm, o smailusis kampas 60°. Rasti šios

trapecijos plotų ir perimetrų. Atsakymas. 84>/3 e m ' ; 52 em.

203.Lygiašonės trapecijos plotas lygus 4S0, o šoninė kraštinė lygi Q\p2. Rasti trapecijos

didžiojo pagrindo ilgį, jei smailusis kampas lygus 45n. Atsakymas. 68 .

204.Per lygiašonės trapecijos šonines kraštines nubrėžtos tiesės susikerta stačiuoju kampu.

Trapecijos plotas lygus 12 cm2, o aukštinė 2 cm. Apskaičiuokite trapecijos kraštines.

Atsakymas. 4 cm ; 8 cm ; 2 J 2 cm ir 2У2 cm.

205.Lygiašonės trapecijos šoninės kraštinės pratęstos iki susikirtimo sudaro statų kampų.

Raskite trapecijos didžiojo pagrindo ilgį, kai jos aukštinė lygi 2, o plotas 12.

Atsakymas. 8 .

206.Apskaičiuokite lygiašonės trapecijos plotų, kai jos pagrindų ilgiai 10 cm ir 26 cm, o

įstrižainės statmenos šoninėms kraštinėms. Atsakymas. 216 c m ' .

207.Lygiašonės trapecijos pagrindai ir šoninė kraštinė atitinkamai sutinka kaip 1 0 : 4 : 5,

o trapecijos plotas lygus 112. Raskite trapecijos perimetrų. Atsakymas. 48 .

208.Lygiašones trapecijos aukštinė lygi Ii, o kampas tarp įstrižainių prieš šoninę kraštinę

lygus a . Apskaičiuokite trapecijos vidurinę linijų. Atsakymas, h ctg γ .

209.Lygiašonės trapecijos kampas prie pagrindo lygus 45°, o aukštinės ir ilgesniojo

pagrindo ilgių suma lygi a. Kokia turi būti trapecijos aukštinė, kad trapecijos plotas būtų

didžiausias. Atsakymas. ^ .

210 .Apic apskritimų apibrėžta lygiašonė trapecija, kurios vienas pagrindas tris kartus

didesnis už kitų. Raskite apibrėžto apie trapecijų ir įbrėžto į trapecijų apskritimų

spindulių santykį. Atsakymas.

211.Lygiašonės trapecijos vidurinė linija lygi IO cm, o vienas pagrindas «S cm.

Apskaičiuokite trapecijos įstrižainę bei plotų, jei kampo prie didesniojo pagrindo

V2I r— tangentas lygus - γ - . Atsakymas. 11 cm, 10V21 cm*.

212.Raski te lygiašonės trapecijos perimetrų, jei jos pagrindai sutinka kaip 1 : 3, o aukštinė

lygi mažesniajam pagrindui ir lygi - ( 2 - V 2 ) . Atsakymas. 2,4.

5

213.Lygiašonės trapecijos pagrindų santykis lygus 3 : 2 . Apskritimas nubrėžtas taip, kad

didesnysis jos pagrindas yra jo skersmuo, o iš viršutinio pagrindo iškerta atkarpų, lygių

šio pagrindo pusei. Kokiu santykiu apskrit imas dalija trapecijos šonines kraštines ?

Atsakymas. 1 : 2.

214.Rast i lygiašonės trapecijos , kurios pagrindai yra 20 cm ir 12 cm, šoninės kraštinės ir

jsrižainės ilgius, jei ž inoma, kad apibrėžto apskrit imo centras yra didesniame pagrinde.

Atsakymas. 4VŠ cm , sVŠ cm.

215.Lygiašonės trapecijos pagrindų ilgiai 6 ir 8 cm, o aukštinė 7 cm. Raskite apie trapecijų

apibrėžto apskritimo spindulį ir atstumų 11110 apskrit imo centro iki šoninės kraštinės.

Atsakymas. 5 ; .

216.Lygiašonės trapecijos pagrindai lygūs 40 ir 48, o aukštinė 8. Raskite apie tų trapecijų

apibrėžto apskritimo spindulį, kai apskrit imo centras yra šalia trapecijos.

Atsakymas. 25 .

217.Lygiašonės trapecijos pagrindai lygūs 21 ir 9 cm, o šoninė kraštinė 10 cm. Raskite apie

69 tokių trapecijų apibrėžto apskritimo spindulį. Atsakymas. — cm.

8

218.Apskri t imo įbrėžto į lygiašonę trapecijų spindulys VG kartų mažesnis už apskritimo,

apibrėžto apie šių trapecijų, spindulį. Raskite kampų, esantį prie didesniojo trapecijos

pagrindo. Atsakymas. 45°.

219.Apskaičiuokite ilgesnįjį pagrindų lygiašonės trapecijos, apibrėžtos apie apskritimų, kai

trapecijos šoninė kraštinė lygi 15, o apskritimo spindulys 6. Atsakymas. 2 4 .

220 .Apic 2 cm spindulio apskritimų apibrėžia lygiašonė trapecija, kurios plotas 20 cm2.

Raskite trapecijos kraštines. Atsakymas. 4 ; 5 ; 6 .

221. Į lygiašonę trapecijų įbrėžtas apskritimas. Raskile jo spindulį, jeigu trapecijos 3V5

pagrindai lygūs 9 ir 5 cm. Atsakymas. cm.

222.J lygiašonę trapecijų įbrėžtas apskritimas, kurios spindulys 10. Atstumas tarp šoninių

kraštinių lietimosi su apskritimu taškų lygus 16. Raskite trapecijos plotų.

Atsakymas. 500.

223 .Apie apskritimų apibrėžta lygiašonė trapecija. Keturkampio, kurio viršūnės yra

lietimosi taškuose, plotas sudaro — trapecijos ploto. Koks trapecijos pagrindų santykis V 8

Atsakymas. 3.

224 .Apic apskritimų apibrėžta lygiašonė trapecija, kurios ilgesnysis pagrindas lygus 20.

Raskite trapecijos mažesnįjį pagrindų, kai apskritimo spindulys lygus 5.

Atsakymas. 5 .

225 .Apie 15 cm ilgio skersmens apskritimų apibrėžta lygiašonė trapecija, kurios šoninė

kraštinė lygi 17 cm. Rasti trapecijos pagrindus. Atsakymas. 25 ir 9.

226 .Apic skritulį apibrėžtos lygiašonės trapecijos plotas lygus S. Raskite trapecijos šoninę

kraštinę, jei jos smailusis kampas prie pagrindo lygus 30". Atsakymas. V2S

227.Į lygiašonę trapecijų įbrėžtas skritulys. Lietimosi taškas šoninę kraštinę dalija | dvi

atkarpas, kurių ilgiai 111 ir n . Raskite trapecijos plotų. Atsakymas. 2(m 1 n)Vmn

228.Į lygiašonę trapeciją , kurios pagrindų ilgiai lygūs α ir b , įbrėžtas skritulys. Raski te

skritulio plotų. Atsakymas. — ab. 4

229-1 lygiašonę trapecijų, kurios pagrindų ilgiai lygūs α ir b, įbrėžtas apskritimas. Raskite

t rapeci jos įstrižainės ilgį. Atsakymas. ^ V a 2 + b2 + 6 a b .

230.Į lygiašonę trapeciją, kurios smailusis kampas prie pagrindo lygus a, įbrėžtas spindulio

8R R apskri t imas. Raski te t rapeci jos per imet rą . Atsakymas.

sina

231.Apie apskri t imą apibrėžta lygiašonė trapecija , kurios smailusis k a m p a s prie pagr indo

lygus a . Apie šią trapeciją apibrėžtas apskri t imas. Raski te apskri t imų spindulių santykį.

Vllsin2CC Atsakymas. — — •

STAČIOJI TRAPECIJA

232 .Stačiosios trapecijos aukšt inė lygi 8, o plotas lygus 96. Raski te t rapeci jos pe r imet rų , kai

pagrindų ilgių skir tumas lygus 6. Atsakymas. 42 .

233.Raskite į stačiųjų trapecijų įbrėžto apskr i t imo spindulį , jeigu šoninės krašt inės,

nes ta tmenos pagrindams, ilgis lygus 13 cm, o pagrindų ilgių ski r tumas lygus 12 cm.

Atsakymas. 2,5 cm .

234 .Stačiosios trapecijos įstrižainė lygi jos šoninei kraštinei . R a s k i t c j o s šoninę krašt inę, jei

aukšt inė lygi 3, o vidurinė linija lygi . Atsakymas . 6 .

235.Stačiosios trapecijos įstrižainė lygi jos šoninei kraštinei . Raski te t rapeci jos vidurinę

liniją, jei jos aukšt inė lygi 2 cm, o šoninė krašt inė lygi 4 cm. Atsakymas . з У з .

236.Stačiosios trapecijos pagrindai lygūs 18 ir 26. Raskite t rapeci jos plotą, kai jos įstrižainė

s ta tmena šoninei kraštinei. Atsakymas. 264 .

237.Stačiosios trapecijos didesniojo pagr indo ilgis lygus 15, pasvirosios šoninės kraštinės -

10, o smailiojo k a m p o kosinusas 0,8. Raskite trapecijos plotą. Atsakymas. 66.

2 3 8 . Į stačiąją t rapeciją įbrėžto apskri t imo cent ras nutolęs nuo ,šoninės krašt inės galų per

3 cm ir 9 cm. Apskaičiuokite t rapeci jos kraštines.

36 12 18 3 Atsakymas, —r— cm , —r— cm ,—r— cm , - r — cm . VlO VlO VlO VlO

239.Stačiosios trapecijos A B C D kampai A ir D statūs, krašt inė A l i lygiagreti kraštinei CD,

A B = I , C D = 4 , A D = 5 . K r a š t i n ė j e A D pažymėtas taškas M taip, kad kampas C M D yra

dvigubai didesnis už kampų BMA. Kokiu santykiu taškas M dalija krašt inę A D 7

AM 2 Atsakymas. ——· = —.

-7 M D 3

240.Stačiosios trapecijos pagrindai 16 ir 25, o jos Irumpesnioji įstrižainė s ta tmena šoninei

kraštinei. Rasti t rumpesniųjų įstrižainę. Atsakymas. 20 .

241 .Rask i t e stačiosios trapecijos, kurios pagrindai lygūs 7 cm ir 3 cm, o smailusis kampas

lygus 60°, plotų. Atsakymas. 20V3 em2 .

2 4 2 . J stačiųjų trapecijų įbrėžto apskri t imo centras nutolęs nuo šoninės krašt inės galų 12

cm ir 9 cm atstumais. Raskite t rapeci jos vidurinę liniją. Atsakymas. 14,7 .

243.Stačiosios t rapeci jos vidurinė linija 12, o jos plotas lygus 96. Raski te trapecijos

per imetrą , kai trapecijos pagrindų skir tumas lygus 6. Atsakymas. 42 .

244 . Į stačiųjų trapeciją įbrėžtas skritulys, kurio spindulys lygus 2,5. Pagrindams

nestatmenos krašt inės ilgis 13. Raskite trapecijos plotą. Atsakymas. 45.

245.Stačiosios trapecijos šoninė krašt inė yra s t a tmena pagr indams, o jos ilgis yra du kartus

didesnis už mažesniojo trapecijos pagr indo ilgį, lygų a. Trapec i jos įstrižainės s ta tmenos

viena kilai. Raski te a ts tumą larp t rapeci jos įstrižainių vidurio taškų.

Atsakymas. 1,5 a . 2 4 6 . A p i e skritulį, kurio spindulys r, apibrėžia stačioji t rapecija. Rasti jos plotų, kai

3r , mažesnysis pagr indas yra — . Atsakymas. 4,5 r .

247.Stačiosios trapecijos šoninė kraštinė lygi mažesniajam pagr indui ir sudaro su juo 120"

kampų. Raskite t rapeci jos plotų, jei didesnysis pagrindas lygus

Atsakymas. 7, 5Уз.

248.Stačiosios trapecijos plotas lygus S,o smailusis kampas lygus a. Raskite trapecijos

aukštinę, jei jos trumpcsnioji įstrižainė lygi ilgesniajam pagrindui.

Atsakymas. ^ S c t g a .

249.1 stačiiyų trapecijų (viena šoninė kraštinė statmena pagrindams), kurios pagrindų ilgiai

24 cm, 8 cm, o aukštinės ilgis 12 cm, įbrėžtas didžiausio ploto stačiakampis (dvi

stačiakampio viršūnės yra šoninėse trapecijos kraštinėse, o kitos dvi - didžiajame

pagrinde). Raskite tokio stačiakampio plotų. Atsakymas. 108 cm2 .

S T E R E O M E T R I J A

1. PRIZMĖ

250: Taisyklingosios keturkampės prizmės įstrižainė lygi 5 ir su pagrindo plokštuma sudaro

22"30' kampų. Raskite prizmės šoninio paviršiaus plotų. Atsakymas. 25 .

251.Stačiosios prizmės pagrindas yra lygiašonis trikampis, kurio pagrindas lygus α, o

kampas prie jo lygus 45°. Rasti prizmės tūrį, jei jos šoninio paviršiaus plotas lygus

pagrindų plotų sumai. Atsakymas. — ( / 2 - 1 ) .

8

252.Taisyklingosios trikampės prizmės tūris lygus 12VŠ, o šoninio paviršiaus plotas lygus 6.

Raskite prizmės pagrindo kraštinės ilgį. Atsakymas. 24 .

253.Taisyklingosios keturkampės prizmės pagrindo kraštinė lygi 3. Raskite prizmės tūrį,

kai kampo tarp prizmės įstrižainės ir šoninės sienos kotangentas lygus л/2. Atsakymas. 27

254. Taisyklingosios šešiakampės prizmės didžiausios įstrižainės ilgis lygus 8 ir jos

sudaromo kampo su šonine briauna didumas yra 30°. Raskite prizmės tūrį.

Atsakymas. 72.

255.Stačiosios prizmės pagrindas yra trapecija, kurios trys kraštinės lygios ir kiekvienos jų

ilgis 2, o ketvirtosios ilgis 4. Raskite prizmės įstrižaininio pjūvio plotų, kai prizmės

briaunos ilgis W I . Atsakymas. 24 .

256.Taisyklingosios keturkampės prizmės pagrindo plotas lygus 7, o šoninės sienos

įstrižainė su pagrindu sudaro kampų a. Raskite prizmės įstrižainės ilgį, kai tg α = VŠ.

Atsakymas. 7.

257.Taisyklingosios šešiakampės prizmės visų briaunų ilgiai lygūs 1. Raskite pjūvio,

einančio per pagrindo kraštinę ir ilgesniųjų prizmės įstrižainę, plotų. Atsakymas. 3.

258.Taisyklingosios keturkampės prizmės įstrižaininio pjūvio plotas lygus S, o šoninės

sienos įstrižainė su pagrindo plokštuma sudaro kampų a. Raskite prizmės tūrį.

Atsakymas. — ̂ /V2 Sctga .

259.Taisyklingos keturkampės prizmės įstrižainė su pagrindo plokštuma sudaro kampų a,

S-y/Šctg a o jos šoninio paviršiaus plotas lygus S. Raskite prizmės turį. Atsakymas. .

260.Taisyklingosios trikampės prizmės tūris lygus V, o pagridų plotų suma lygi šoninio

paviršiaus plotui. Raskite prizmės paviršiaus plotų. Atsakymas. 4^27 V4 .

261.Taisyklingosios trikampės prizmės tūris lygus V. Kokia turi būti pagrindo kraštinė, kad

visas prizmės paviršius būtų mažiausias 7 Atsakymas. V4V .

262.1'cr taisyklingosios trikampės prizmės apatinio pagrindo kraštinę ir priešais jų esančių

viršutinio pagrindo viršūnę nubrėžta plokštuma. Su apatinio pagrindo plokštuma ji

s Vs • Уб sudaro 45° kampų. Pjūvio plotas lygus S. Raskite prizmės tūrį. Atsakymas. ~ .

263.Duota stačioji trikampė prizmė AHCAiIliCi (ΛΛι , IlBi , CCi - šoninės briaunos),

kurioje AC=G , AAi =8. Pcr viršūnę A išvesta plokštuma, kertanti briaunas BBi ir CX i

atitinkamai taškuose M ir N. Raskite , kokiu santykiu ši plokštuma dalo prizmės tūrį,

jeigu žinoma, kad B M = M B i , o AN yra kampo CACi pusiaukampinė.

Atsakymas. 7 :17.

264.Pasvirosios prizmės pagrindas - taisyklingasis trikampis, kurio kraštinė α Šoninės

briaunos ilgis b, o viena jų su prie pagrindo esančiomis kraštinėmis sudaro 45" kampus.

Raskite šoninį prizmės paviršių. Atsakymas, α b(V2 . I) .

265. Atstumas tarp pasvirosios trikampės prizmės bet kurių dviejų šoninių briaunų lygus a.

Šoninė briauna lygi / ir pasvirusi į pagrindo plokštumų 60° kampu. Raskite prizmės

paviršių. Atsakymas. 3 a f + a 2 V 3 .

266.Stačiosios prizmės pagrindas - statusis trikampis, kurio įžambinė c ir smailusis kampas

30°. I'er apatinio pagrindo įžambinę ir viršutinio pagrindo stačiojo kampo viršūnę

nubrėžia plokštuma. Su pagrindo plokštuma ji sudaro 45° kampų. Raskite trikampės

c3

piramidės, kurių plokštuma nukerta nuo prizmės, tūrį. Atsakymas. — .

267.Trikampės prizmės ABCAiBiQ taškai M , N ir P yra atitinkamai pagrindo ABC

kraštinių AB , BC ir CA vidurio taškai. Atkarpos MC1 , NA, , PB1 yra poromis

statmenos viena kilai, o kiekvienos jų ilgis lygus a. Raskite prizmės tūrį.

2 , Atsakymas. —α .

268.Taisyklingosios keturkampės prizmės A B C D A | B I Q D I pagrindo kraštinės ilgis lygus a.

Per taškų CI nubrėžta tiesė, statmena plokštumai BAID. Raskite šios tiesės atkarpos,

esančios prizmės viduje, ilgį, jeigu šoninės briaunos ilgis lygus aVI.

Atsakymas. ^VToa.

2. GRETASIENIS

269.Stačiojo gretasienio pagrindas yra rombas, kurio vienos įstrižainės ilgis lygus 16, o

kraštinės ilgis 10. Gretasienio trumpesniosios įstrižainės su pagrindo plokštuma

sudaromo kampo sinusas lygus 0,6. Raskite gretasienio tūrį. Atsakymas. 864.

270.Stačiojo gretasienio šoninė briauna lygi 10, o pagrindo kraštinės lygios 11 ir 23.

Raskite gretasienio mažesniojo įstrižaininio pjūvio plotų, kai jo pagrindo įstrižainės

santykiuoja kaip 2 : 3 . Atsakymas. 200.

271.Stačiojo gretasienio pagrindas - lygiagretainis, kurio vienas kampas lygus 30°. Pagrindo

plotas 4 dm2. Gretasienio šoninių briaunų plotai 6 dm2 ir 12 din2. Apskaičiuokite

gretasienio tūrį. Atsakymas. 12 dm3.

272.Stačiakampio gretasienio įstrižainė lygi 34 ir sudaro su pagrindo plokštuma 60° kampų,

o trumpesnioji pagrindo kraštinė lygi 8. Raskite gretasienio pagrindo plotų.

Atsakymas. 120.

273.Stačiakampio gretasienio šoninės sienos įstrižainė lygi 13, o tos sienos pagrindo

kraštinė lygi 12. Rasti kitos pagrindo kraštinės ilgį, kai gretasienio tūris lygus 120.

Atsakymas. 2 .

274.Staeiojo gretasienio pagrindas yra rombas, kurio trumpesniosios įstrižainės ilgis 6,

gretasienio trumpesniosios įstrižainės ilgis 10, o šoninio paviršiaus plotas З2У29.

Raskite ilgesniosios gretasienio įstrižainės ilgį. Atsakymas. 12 .

275.Stačiojo gretasienio pagrindo kraštinės, kurių ilgiai lygūs 4 ir 3, sudaro 60° kampų.

Šoninė briauna lygi pagrindo kraštinių geometriniam vidurkiui. Raskite gretasienio

didesniosios įstrižainės ilgį. Atsakymas. 7 .

276.Stačiojo gretasienio pagrindas yra lygiagretainis, kurio kraštinės lygios 1 ir 2, o

smailusis kampas 60°. Rasti ilgesniųjų gretasienio įstrižainę, kai jo aukštinė lygi 3.

Atsakymas. 4 .

277.Stačiojo gretasienio briaunos, išeinančios iš vienos viršūnės, lygios 1 , 2 ir 3, o dvi

mažesniosios briaunos sudaro 60° kampų. Raskite didesniosios gretasienio įstrižainės

ilgį. Atsakymas. 4 .

278.Slačiojo gretasienio pagrindas yra rombas, kurio įstrižainės lygios 16 ir 12, o tūris lygus

576. Raskite gretasienio šoninio paviršiaus plotų. Atsakymas. 240 .

279.Stačiojo gretasienio įstrižainės lygios 9 cm ir cm, pagrindo perimetras lygus

18 cm, šoninė briauna lygi 4 cm. Apskaičiuokite gretasienio tūrį. Atsakymas 64 em'.

280.Stačiakampio gretasienio įstrižainė 13 cm, o jo šoninių sienų įstrižainės lygios 4·\/ϊθ

cm ir 3Vl7 cm. Apskaičiuokite gretasienio tūrį. Atsakymas. 144 c m ' .

281.Stačiojo gretasienio pagrindas yra rombas. Pagrindo įstrižainių ilgiai yra 8 ir 2V23, o

šoninės sienos įstrižainės ilgis lygus 12. Raskite trumpesniosios gretasienio įstrižainės

ilgį. Atsakymas. 13.

282.Stačiojo gretasienio pagrindo kraštinių ilgiai lygūs 4 ir 6, o smailusis kampas tarp jų

lygus 30°. Ilgesnioji pagrindo įstrižainė lygi Irumpcsniajai gretasienio įstrižainei.

Apskaičiuokite gretasienio tūrį. Atsakymas. 40V27 .

283.Stačiakampio grclasicnio matmenys 2 cm, 3 cm ir 6 cm. Kubo ir šio gretasienio tūrių

santykis lygus jų paviršiaus plotų santykiui. Rasti kubo briaunos ilgį.

Atsakymas. 3 cm .

284 .Pcr stačiakampio gretasienio ABCDA|B ,C iD | viršūnes A , C ir Di nubrėžia

plokštuma sudaro 60° dvisienį kampų. Pagrindo kraštinės lygios 4 cm ir 3 cm. Rasti

144>/з i gretasienio lūrj. Atsakymas. cm3 .

5

285.Stačiojo gretasienio pagrindo kraštinės lygios α ir b, smailusis kampas ta φ jų 60°.

Pagrindo ilgesnioji įstrižainė lygi trumpesniajai gretasienio įstrižainei. Raskite . . . ab \ /6ab

gretasienio turj. Atsakymas. .

3. KUBAS

286.Raskite smailųjį kampų tarp kubo įstrižainių. Atsakymas, arccos-^ .

287.Kubo viso paviršiaus plotas lygus 36 cm2. Raskite atstumų tarp dviejų prasilenkiančių

jo briaunų vidurio taškų. Atsakymas . 3 cm .

288. Kubo briaunų, išeinančių iš vienos viršūnės, galai sujungti tiesių atkarpomis. Gautojo

trikampio plotas lygus 8-Уз. Raskite kubo tūrį. Atsakymas. 64 .

289.Kubo viršutinio pagrindo centras sujungtas su apatinio pagrindo kraštinių vidurio

taškais. Rasti gautos piramidės šoninį paviršių, kai kubo briauna lygi 2. Atsakymas. 6.

290.Kubo, kurio briauna a, viršutinės sienos centras sujungtas su pagrindo viršūnėmis.

Raskite gautos piramidės visų paviršių. Atsakymas. a2(VŠ + l).

291.Duotas kubas ABCDAiB,C|D,, kurio briauna lygi a. Per jo sienos AI3CD įstrižaine

AC nubrėžta plokštuma, lygiagreti tiesei HO1 : čia Ot - sienos A,BiC1Di centras.

Raskite gauto pjūvio plotų. Atsakymas. .

4. PIRAMIDĖ

292.Piramidės pagrindas - statusis trikampis, kurio statiniai lygūs 7 ir 24. Piramidės sienos,

einančios per šio trikampio statinius, yra statmenos pagrindo plokštumai, o trečioji siena

su pagrindu sudaro 60° kampų. Raskite piramidės aukštinę. Atsakymas. 6,72^3.

293.Piramidės pagrindas yra lygiašonis trikampis, kurio šoninės kraštinės lygios 6, o

pagrindas 8. Apskaičiuokite piramidės tūrį, kai visos šoninės briaunos lygios 9.

Atsakymas. 48 .

294.1'iramidės SABC pagrindas yra lygiakraštis trikampis ABC kurio kraštinės ilgis lygus а.

Siena SAB statmena pagrindo plokštumai, o sienų SAC ir SllC aukštinių, išvestų iš

viršūnės S, ilgiai atitinkamai lygūs -/Ša ir V ia . Raskite piramidės aukštinę. &

Atsakymas. - — а . 4

295.Piramidės pagrindas - lygiakraštis trikampis, kurio kraštinė a. Viena jos šoninė siena -

taip pat lygiakraštis trikampis, ji statmena pagrindo plokštumai. Raskite piramidės viso

a2 V3(2 + V5) paviršiaus plotų. Atsakymas. Į- .

296 . Piramidės pagrindas - lygiašonis trikampis, kurio kraštinių ilgiai 12 , 10 ir 10. Šoninės

sienos su pagrindo plokštuma sudaro 45° kampų. Apskaičiuokite piramidės tūrį.

Atsakymas. 48.

297Л'rikampės piramidės šoninės briaunos yra vienodo ilgio ir lygios a. Iš trijų plokščiųjų

viršūnės kampų, kuriuos sudaro los briaunos, du lygūs 45 , o trečias - 60". Raskite

aJ

piramidės tūrį. Atsakymas. — .

298.Piramidės aukštinė lygi 16, o jos pagrindo plotas lygus 512. Kokiu atstumu nuo

pagrindo yra piramidės pjūvis, lygiagretus pagrindui, kai jo plotas 50 ?

Atsakymas. 11.

299.Piramidės pagrindas yra stačiakampis, kurio kraštinės lygios 6 ir 8. Apskaičiuokite

piramidės tūrį, kai visos šoninės briaunos lygios 13. Atsakymas. 192 .

300. Piramidės pagrindas - stačiakampis, kurio kraštinės 6 cm ir 15 cm. Šoninės briaunos

yra vienodo ilgio, o piramidės aukštinė lygi 4 cm. Raskite piramidės šoninio paviršiaus

plotų. Atsakymas. 126 cm2 .

301.Piramidės pagrindas yra stačiakampis, kurio kraštinės 5 cm ir 9 cm. Viena iš šoninių

briaunų statmena pagrindo plokštumai, jos ilgis 12 cm . Apskaičiuokite viso piramidės

paviršiaus plotų. Atsakymas. 225 cm2 .

Nurodymas. Visos keturios duotosios piramidės šoninės sienos yra statieji trikampiai, o

jų plotai lygūs statinių sandaugos pusei.

302.Piramidės pagrindas - stačiakampis, kurio plotas S. Dvi šoninės sienos statmenos

pagrindo plokštumai, o kitos dvi pasvirusios į jų 30° ir 60° kampais. Raskite piramidės

sVš tūrį. Atsakymas. —— .

303.Keturkampės piramidės pagrindas - stačiakampis, kurio plotas S; šoninės jo briaunos

lygios ir sudaro su pagrindo plokštuma 45° kampų. Kampas tarp pagrindo įsrižainių

S V Š - V 2 7 lygus 60 . Raskite piramidės tūrį. Atsakymas. .

304.1'iramidės pagrindas - lygiašonis trikampis, kurio kraštinės 40 cm , 25 cm ir 25 cm .

Piramidės aukštinė eina per kampo, esančio prieš 40 cm kraštinę, viršūnę ir lygi 8 cm.

Apskaičiuokite piramidės šoninį paviršių.

Atsakymas. 540 cm2.

305.Piramidės pagrindas lygiagretainis, kurio kraštinių ilgiai 3 ir 7, o viena jo įstrižainė lygi

6. Piramidės aukštinė eina per pagrindo įstrižainių susikirtimo taškų ir jos ilgis 4. Raskite

piramidės šoninių briaunų ilgių sumų. Atsakymas. 22 .

306.Kclurkampės piramidės SABCD pagrindas yra lygiagretainis AI3CD. Pcr briauną AB

ir briaunos SC vidurio tašką M išvesta plokštuma. Gautasis pjūvis dalo pagrindą į dvi

dalis. Raskite šių dalių tūrių santykį. Atsakymas. 3 : 5 .

307.Piramidės pagrindas yra kvadratas. Viena piramidės briauna statmena pagrindui.

Ilgiausioji briauna lygi 6 cm ir su pagrindu sudaro 45° kampą. Raskite pagrindo plotą.

Atsakymas. 9 c m 2 .

308.Piramidės pagrindas yra kvadratas, kurio kraštinė lygi 3. Dvi šoninės sienos yra

statmenos į pagrindą, o kilos dvi su pagrindu sudaro kampą a . Raskite piramidės

paviršiaus plotą, kai s ina=0,6. Atsakymas. 27 .

309.Piramidės pagrindas kvadratas, jos aukštinė eina per vieną pagrindo viršūnių ;

piramidės pagrindo kraštinė lygi 20, o aukštinė 21. Apskaičiuokite piramidės šoninio

paviršiaus plotų. Atsakymas. 1000 .

310.Piramidės pagrindas yra rombas, kurio smailusis kampas lygus 60°, o rombo kraštinės

ilgis 8л/з. Piramidės aukštinė eina per rombo centrą, o trumpiausios šoninės briaunos

ilgis lygus 5Уз. Raskite piramidės tūrį. Atsakymas. 288 .

311.Piramidės pagrindas - rombas, kurio kraštinė lygi 15, o didesniosios įstrižainės ilgis

lygus 24. Piramidės šoninės sienos su pagrindo plokštuma sudaro 45° kampą. Raskite

piramidės tūrį. Atsakymas. 518,4.

312.Piramidės pagrindas - rombas, kurio įstrižainės 6 m ir 8 m ; piramidės aukštinė eina

per įstrižainių susikirtimo taškų ir lygi 1 m. Raskite piramidės šoninio paviršiaus plotų.

Atsakymas. 26 m .

313.Piramidės SABCD pagrindas yra rombas, kurio kraštinė lygi α, o smailusis kampas

lygus a . Piramidės aukštinė eina per rombo ABCD centrą. Sienų SAB ir SCD

plokštumos statmenos viena kitai. Raskite piramidės tūrį.

Atsakymas. -^o J s in 2 a .

314.Taisyklingojo tetraedro (visos briaunos lygios) tūris lygus V. Raskite jo aukštinės ilgį.

Atsakymas.

315.Taisyklingosios trikampės piramidės plokščiasis kampas prie viršūnės lygus 60°, o

apskritimo, apibrėžto apie šoninę sienų, sindulys R. Raskite piramidės tūrį.

R 3

Atsakymas. Уб .

316.Taisyklingosios trikampės piramidės pagrindo perimetras lygus ЗоУз, o šoninės

briaunos ilgis 2У1ЗЗ. Raskite piramidės tūrį. Atsakymas. 900 .

317.Tic.scs atkarpos, jungiančios taisyklingosios trikampės piramidės pagrindo centrą su

šoninės briaunos viduriu, ilgis lygus pagrindo kraštinės ilgiui. Raskite šoninių sienų

7 sudaromo dvisicnio kampo kosinusų. Atsakymas. — .

318.Taisyklingosios trikampės piramidės pagrindo kraštinė lygi 10. Rasti piramidės

aukštinę, kai jos šoninio paviršiaus plotas du karius didesnis už pagrindo plotų.

Atsakymas. 5 .

319.Taisyklingosios trikampės piramidės aukštinė lygi 1, o jos pagrindo kraštinė lygi 6.

Raskite piramidės šoninio paviršiaus plotų. Atsakymas. 18 .

320.Taisyklingosios t r ikampės prizmės šoninė briauna su pagrindo plokštuma sudaro 30°

kampų ir jos a ts tumas iki priešingos pagrindo kraštinės vidurio lygus 6. Raskite

piramidės tūrį. Atsakymas. 128 .

321 .l'iramidės pagrindas - taisyklingas trikampis su kraštine a. Viena šoninė briauna

statmena į pagrindų, o kilos dvi sudaro su pagrindu kampų a. Raskite piramidės tūrį.

o'VJtga Atsakymas. .

12

322.Taisyklingosios t r ikampės piramidės šoninė siena su pagrindo plokštuma sudaro 30°

kampų, o apie pagrindų apibrėžto apskrit imo spindulys lygus 2. Raskite piramidės

šoninio paviršiaus plotų. Atsakymas. 6 .

323.Taisykling;ijų trikampę piramidę kerla plokštuma, kuri statmena pagrindui ir dalija dvi

jo kraštines pusiau. Duotosios piramidės pagrindo kraštinė lygi α, o dvisienis kampas

prie pagrindo 45 . Raskite nukirstos p i ramidės tūrį. Atsakymas, — r .

128

324.Taisyklingosios trikampės piramidės pagrindo kraštinės ilgis lygus a, šoninė briauna su

pagrindo plokštuma sudaro kampų a. Raskite piramidės tūrį.

a'tga Atsakymas. .

12

325.Taisyklingosios trikampės piramidės plokščiasis kampas prie viršūnės lygus a. Raskite

piramidės šoninio paviršiaus ir pagrindo plotų santykį. Atsakymas. VŠctg^ .

326.Taisyklingosios trikampės piramidės pagrindo kraštinė lygi α ir su šonine briauna

sudaro kampą a. Raskite plotą pjūvio, nubrėžto per piramidės šoninę briauną ir

a2

aukštinę. Atsakymas. — tga . 4

327.Taisyklingosios trikampės piramidės tūris V, o kampas ta φ aukštinės ir šoninės

briaunos lygus a . Kam lygi aukštinė . Atsakymas.

328.Taisyklingosios keturkampės piramidės plokščiasis kampas prie viršūnės lygus 60°, o į

šoninę sieną įbrėžto apskritimo spindulys r. Raskite piramidės tūrį.

Atsakymas. 4 rVč .

329.Taisyklingosios keturkampės piramidės pagrindo įstrižainių ir šoninių briaunų ilgiai

lygūs л/з. Raskite piramidės tūrį. Atsakymas. 0,75 .

330.Taisyklingosios keturkampės piramidės pagrindo plotas lygus 9, o plokščias kampas

4 prie pagrindo a . Raskite piramidės tūrį, kai shot = . Atsakymas. 18 .

331.Taisyklingosios keturkampės piramidės aukštinė lygi 2, o šoninės sienos su pagrindo

4

plokštuma sudaromo k a m p o tangentas lygus — . Raskite piramidės pilną paviršių.

Atsakymas. 24 . 332.Taisyklingosios keturkampės piramidės šoninė briauna , kurios ilgis lygus C, sudaro su 1 .

pagrindu kampą a . Apskaičiuokite piramidės tūrį. Atsakymas, — r s i n 2 a c o s a .

333.Apskaičiuokite taisyklingosios keturkampės piramidės tūrį, jei jos viso paviršiaus

plotas lygus 1440 dm2, o aukštinės ir pagrindo kraštinės ilgiai sutinka kaip 6 : 5 .

Atsakymas. 3200 d m ' .

334.Taisyklingosios keturkampės piramidės šoninio paviršiaus plotas lygus 14,76, o pilno

paviršiaus plotas lygus 18. Raskite piramidės tūrį. Atsakymas. 4,32 .

335.Taisyklingosios keturkampės piramidės SAHCD pagrindo kraštinė lygi 2, aukštinė -

V I . Raskite atstumų tarp šoninės briaunos SA ir pagrindo įsrižainės HD.

Atsakymas. I.

V 3tga

336.Raskilc taisyklingosios kcturkainčs piramidės tūrį, jei jos šoninė briauna lygi α, o

4a1

Įstrižaines pjūvis ir piramidės pagrindas yra lygiapločiai. Atsakymas. — j = .

I S v S

337.Taisyklingosios keturkampės piramidės viršūnės plokščias kampas a, pagrindo briauna

lygi a. Per pagrindo įstrižainę nubrėžta plokštuma, statmena į šoninę briauną, esančią

prieš tą įstrižainę. Raskite gautojo pjūvio plotą. Atsakymas, ^ a 2 cosa.

338.Taisyklingosios keturkampės piramidės pagrindo įstrižainė ir dvi šoninės briaunos

sudaro lygiakraštį trikampį. Raskite piramidės tūrį, jei jos šoninės sienos plotas lygus S.

4S 6S-/7 Atsakymas. — ,

3 V 4 9

339.Taisyklingosios keturkampės piramidės SAliCD šoninė briauna SH su pagrindo

plokštuma sudaro 45° kampą. Kokį kampą ši briauna sudaro su plokštuma SCD ?

Atsakymas, aresin # 340.Taisyklingosios šešiakampės piramidės pagrindo plotas lygus 24-JS, O šoninio

paviršiaus plotas 72. Raskite šoninės sienos aukštinės ilgį. Atsakymas. 6.

341.Taisyklingoje šešiakampėje piramidėje per pagrindo centrą išvestas pjūvis, lygiagretus

vienai šoninei sienai. Raskite pjūvio ploto ir šoninės sienos ploto santykį.

Atsakymas. 5 : 4 .

342.Taisyklingosios šešiakampės piramidės tūris lygus 24>/з, o jos pagrindo plotas lygus

24\/з. Raskite piramidės šoninės briaunos ilgį. Atsakymas. 5 .

5. RITINYS

343.Ritinio šoninio paviršiaus plotas lygus 56, o ašinio pjūvio įstrižainės su pagrindu

sudaromo kampo tangentas lygus 2. Raskite ritinio pagrindo plotą. Atsakymas. 7.

344. Ritinio šoninis paviršius du kartus didesnis už jo pagrindų plotų sumą. Raskite kampą

tarp ašinio pjūvio įstrižainės ir pagrindo plokštumos. Atsakymas. 45 .

345.Metalinis ritinys, kurio pagrindo spindulys 6 cm, o aukštinė 8 cm, perlydytas į rutulį.

Koks gautojo rutulio spindulys ? Atsakymas. 6 cm .

346.Ritinio pagrindo plotas lygus šoninio paviršiaus plotui, o ašinio pjūvio įstrižainės ilgis

lygus 2V17. Raskite pagrindo spindulio ilgį. Atsakymas. 4 .

347.Ritinio tūris lygus 45π, o šoninio paviršiaus plotas lygus 12π. Raskite ritinio pagrindo

spindulio ilgį. Atsakymas. 7,5.

12 4 348.Ritinio tūris lygus — , o pagrindo plotas - . Raskite ritinio šoninio paviršiaus π л

išklotinės įstrižainės ilgį. Atsakymas. 5 .

349.Ritinio aukštinė 10 ilgesnė už pagrindo spindulį, o visas ritinio paviršius lygus 144π.

Raskite ritinio aukštinę. Atsakymas. 14 .

35Q.Ritinio aukštinė lygi 12-Jk, O šoninio paviršiaus išklotinės įstrižainė su jos pagrindu

sudaro 45° kampų. Rasti ritinio pagrindo plotų. Atsakymas. 36 .

351.Ritinio ašinio pjūvio plotas lygus 36\/3π, o šononio paviriaus išklotinės įstrižainė su jos

pagrindu sudaro 60n kampą. Apskaičiuokite ritinio pagrindo spindulio ilgį.

Atsakymas. 3 .

352.Ritinio šoninio paviršiaus plotas lygus S, o pagrindo plotas Q. Raskite ritinio tūrį.

S-JnQ Atsakymas. — - — .

2 π

353.Ritinio ašinio pjūvio įstrižainė, kurios ilgis lygus d, su pagrindo plokštuma sudro

kampų a . Raskite ritinio šoninio paviršiaus plotų ir tūrį.

Atsakymas, ^ d 2 sin 2α ; -^nd3 cos2 α sin α .

354.Atviras rezervuaras, kurio tūris V, yra ritinio formos. Koks turėtų būti pagrindo

spindulys ir aukštis, kad rezervuaro paviršius būtų mažiausias ?

Atsakymas.

6. KŪGIS

355.Kūgio tūris lygus 4()π, o kampo tarp sudaromosios ir aukštinės kosinusas lygus

Raskite kūgio sudaromosios ilgį. Atsakymas. 7

356.Kūgio šoninis paviršius lygus 30π, o kampo Iarp sudaromosios ir pagrindo tangentas

lygus-. Raskite kūgio aukštinę. Atsakymas.

4 2

357.Raskite kūgio tūrį, kai jo šoninio paviršiaus plotas lygus 18, o atstumas nuo pagrindo

centro iki sudaromosios lygus 6. Atsakymas. 36 .

358. Kūgio pagrindo ir ašinio pjūvio plotų santykis lygus π. Kokį kampų sudaro kūgio

sudaromoji su pagrindo plokštuma ? Atsakymas. 45° . 359.Kūgio tūris lygus 240π, o jo sudaromosios ir pagrindo plokštumos sudaromo kampo

tangentas lygus Raskite kūgio ašinio pjūvio plotų. Atsakymas. 60.

360.Kūgio tūris lygus 100π, o jo pagrindo spindulys lygus 5. Rasti kūgio ašinio pjūvio

perimetrų. Atsakymas. 36.

361.Apskaičiuokite kūgio paviršių, jei kūgio tūris lygus 324π cm2 , o aukštinės ir pagrindo

skersmens ilgiai sutinka kaip 2 : 3 . Atsakymas 216π cm2 .

362.Apskaičiuokite kūgio tūrį, jeigu jo pagrindo skersmuo lygus 10 cm , o aukštinė lygi

525 pagrindo spindulio kvadratui. Atsakymas, - y -π .

363.Kūgio aukštinė lygi 15, o kampas tarp aukštinės ir sudaromosios lygus 60°. Per dvi

sudaromąsias, kurios sudaro 30" kampų, išvesta plokštuma. Raskite pjūvio plotų.

Atsakymas. 225 .

364.Kūgio pagrindo spindulys lygus Pcr aukštinės vidurį nubrėžta plokštuma, ν π

lygiagreti su pagrindo plokštuma. Raskite pjūvio plotų. Atsakymas. 6,25 .

365.Kūgio tūris lygus 96π, o jo aukštinės ir sudaromosios santykis lygus 0,8. Raskite kūgio

aukštinę. Atsakymas. 8 .

366.Kūgio tūris lygus 240π, o ašinio pjūvio plotas lygus 60. Raskite kūgio sudaromosios ilgį.

Atsakymas. 13.

367. Kūgio ašinio pjūvio kampas prie viršūnės lygus 90°, o jo plotas 9 ^ 4 " · Rasti kūgio tūrį.

Atsakymas. 18.

368.Kūgio šoninis paviršius yra du kartus didesnio už jo pagrindo plotų. Raskite kūgio

išklotinės kampų. Atsakymas, π.

2 3 <S

369.Kūgio aukštinė h. Jo šoninio paviršiaus išklotinė yra išpjova, kurios centrinis kampas

Kbi

120 . Apskaičiuokite kūgio tūrį. Atsakymas. — .

370.Kūgio pagrindo skersmuo 10 cm, o aukštinė 4 cm. Raskite kūgio paviršių.

\sfT\ 1 Atsakymas

371.Statmuo, nuleistas iš kūgio pagrindo centro į sudaromųjų, yra sukamas apie kūgio ašį.

Raskite kampo tarp kūgio sudaromosios ir aukštinės dydį, jeigu sukimosi paviršius dalija

1 kūgio tūrį pusiau. Atsakymas, arccosy^ . /

1 2^72.Metalinis kūgis , kurio pagrindo spindulys 16 cm, o aukštinė 8 cm, perlydytas į rutulį.

Koks gautojo rutulio spindulys ? Ataskymas. 8 cm .

373.Per dvi kūgio sudaromąsias nubrėžta plokštuma, kuri su kūgio pagrindo plokštuma

sudaro 75° kampą. Rasti pjūvio plotą, jeigu kūgio aukštinė lygi 4 cm, o kampas tarp

n sudaromųjų 60 . Atsakymas. -—5—5-. j COS ZJ

374.Kūgio sudaromoji lygi f. Ašinio pjūvio kampas prie viršūnės lygus 2a. Raskite kūgio

π 3 , / π α ) tūrį ir pilną paviršiaus plotą. Atsakymas, - t sin acosa, ш cos J J-

375.Į kūgio pagrindą įbrėžtas kvadratas, kurio kraštinė a. Plokštuma, einanti per kūgio

viršūnę ir kvadrato kraštinę, pjūvyje su kūgio paviršiumi sudaro trikampį, kurio kampas

α V c o s α prie kūgio viršūnės lygus a. Raskite kūgio tūrį. Atsakymas. —.

I2sin-

376.K0gio paviršiaus plotas lygus T, o šoninio paviršiaus plotas S. Raskite kūgio ašinio

T -S pjūvio kampą prie viršūnės. Atsakymas. 2arcsin—g—.

377.Kūgio ašinio pjūvio plotas lygus S, o pjūvio , išvesto per aukštinės vidurį ir lygiagretaus

kūgio pagrindui, plotas lygus Q. Raskite kampų tarp kūgio sudaromosios ir pagrindo

3π plokštumos. Atsakymas, arclg—.

2 3 9

378. Kūgio sudaromoji t. Kokia turi būti kūgio aukštinė, kad jo tūris būtų didžiausias ?

t Atsakymas, - j ^ .

379.Kūgio aukštinės ir pagrindo spindulio suma lygi a. Kokia turi būti kūgio aukštinė, kad

jo tūris būtų didžiausias ? Atsakymas, j .

380.Kūgio šoninis paviršius lygus бТг, o jo pagrindo plotas - з-/б. Raskite kampų, kurj

sudaro kūgio sudaromoji su pagrindo plokštuma. Atsakymas. 30°.

7. RUTULYS 26

381.Rutulį, kurio spindulys - į = , kerta plokštuma, nutolusi nuo rutulio centro atstumu •νπ

10 „ - j = . Rasti pjūvio plotų. Atsakymas. 576.

382.Rutul io plotas lygus ^ л / ё я . Raskite rutulio paviršiaus plotų. Atsakymas. 6 .

383.Rutulį, kurio spindulys 15 cm, kerta dvi lygiagrečios plokštumos abiejose centro

pusėse: viena 12 cm , o kita - 9 cm atstumu. Apskaičiuokite gautojo rutulio sluoksnio

tūrį. Atsakymas. 3906 π cm3 .

8. ĮBRĖŽTIEJI IR APIBRĖŽTIEJI

BRIAUNAINIAI IR SUKINIAI.

384.Apskaičiuokite kubo ir į jį įbrėžto rutulio paviršių plotų santykį. Atsakymą užrašyti šį

santykį padauginus iš π. Atsakymas. 6 .

385.Kūgio ašinis pjūvis yra lygiakraštis trikampis. Raskite kūgio ir į kūgį įbrėžto rutulio

tūrių santykį. Atsakymas. 2 ,25 .

386.Apic kūgį apibrėžtas rutulys, kurio spindulys R. Raskite kūgio tūrį ir šoninį paviršių,

jei kampas tarp kūgio sudaromosios ir pagrindo lygus a.

2 V = - Jd l 3 Si n2 a s in 2 2a

Atsakymas. 3

S = 2π112 s inasin 2 a

387.Rutulio tūris lygus V. Į šį rutulį įbrėžtos taisyklingosios keturkampės piramidės

priešingųjų šoninių briaunų sudarytas kampas lygus a. Raskite piramidės tūrį.

V , α Atsakymas. —sin actg— .

2 π 2

388.Rutulio spindulys lygus R. ( šį rutulį įbrėžtos taisyklingosios keturkampės piramidės

šoninė briauna su pagrindo plokštuma sudaro kampų a. Raskite piramidės tūrį.

2 , , ' Atsakymas. - R sm 2atga.

389.J rutulį įbrėžta taisyklingoji keturkampė piramidė, kurios tūris lygus V, o pagrindo

plokštuma su šonine briauna sudaro kampų a. Raskite rutulio tūrį.

2TCV Atsakymas. -—;—ctga .

siu 2a

390.Į rutulį įbrėžta taisyklingoji keturkampė piramidė, kurios plokščias kampas prie

viršūnės lygus a. Raskite piramidės tūrį, jeigu rutulio tūris lygus V.

2 Atsakymas. —Vsin !a .

R

391.Į rutulį įbrėžta piramidė, kurios pagrindas - trikampis. Jo kraštinės lygios 13 cm ,

14 cm ir 15 cm. Piramidės viršūnė nutolusi nuo kiekvienos pagrindo kraštinės Įier 5 cm.

Apskaičiuokite rutulio paviršiaus plotą. Atsakymas. cm1.

392. Apie rutulį, kurio tūris V, apibrėžia stačioji keturkampė prizmė. Prizmės pagrindas -

rombas, kurio smailusis kampas a . Raskite piramidės tūrį, jei a = 3 0 h .

12V Atsakymas.

π

393.Apie rutulį apibrėžta taisyklingoji trikampė prizmė, o apie ją - rutulys. Raskite šių

rutulių paviršių santykį. Atsakymas. 5 : 1 . 394.Į vienetinio spindulio rutulį įbrėžtas kūgis. Kūgio šoninio paviršiaus plotas 2 kartus

didesnis už pagrindo plotą. Raskite kūgio tūrį. Atsakymas, —π .

8

395.Kūgio sudaromoji lygi t, o pagrindo spindulys lygus r. Raskite apie tą kūgį apibrėžto

π ί " rutulio paviršiaus plotą. Atsakymas. —į j .

3%.Kampo tarp kūgio aukštinės ir sudaromosios dydis yra α . Raskite kūgio ir apie jj

apibrėžto rutulio tūrių santykį. Atsakymas. 2 sin2a cos4 α .

397.Apie kūgį, kurio aukštinė h ir pagrindo spindulys r, vienas rutulys apibrėžtas, o kitas

rutulys į jį įbrėžtas. Raskite šių rutulių paviršiaus plotų santykį.

Atsakymas. ^ r ( r J + h')2(r+ Vrj+ h1)1.

398.J kūgį, kurio sudaromoji lygi pagrindo skersmeniui, įbrėžtas rutulys. Kūgio sudaromoji

lygi a. Apskaičiuokite rutulio tūrį ir paviršiaus plotų. Atsakymas. ; - - .

399.Į kūgį, kurio ašinio pjūvio viršūnės kampo dydis 2a , įbrėžtas rutulys. Raskite rutulio ir

kūgio tūrių santykį. Atsakymas. 4 t g a t g 3 ^ - ^ j .

400.J kūgį įbrėžtas ritinys, kurio aukštinė lygi kūgio pagrindo spinduliui. Raskite kampą

tarp kūgio ašies ir sudaromosios, jeigu ritinio paviršiaus plotas sutinka su kūgio pagrindo

plotu kaip 3 : 2 . Atsakymas, aretg^ .

401.Kūgis ir ritinys turi bendrą pagrindą, o kūgio viršūnė yra ritinio kito pagrindo centras.

Raskite kampą tarp kūgio ašies ir sudaromosios, jeigu ritinio paviršiaus plotas sutinka su

3 kūgio viso paviršiaus plotu kaip 7 : 4 . Atsakymas, aresin- .

402.Kūgio aukštinė dukart ilgesnė už įbrėžto į tą kūgį ritinio aukštinę, o sudaromoji su

pagrindu sudaro kampą a . Ritinio ašinio pjūvio plotas lygus S. Raskite kūgio tūrį.

2 Atsakymas. - T t S ^ S c t g o .

4 0 3 . | rutulį įbrėžtas kūgis, kurio sudaromoji pasvirusi, į pagrindo plokštumą kampu a.

Raskite kūgio tūrį, jeigu rutulio spindulys lygus R. g

Atsakymas. ynR3sin4acosJa .

404-1 R spindulio rutulį įbrėžtas kūgis. Raskite kūgio šoninio paviršiaus plotą, jei kūgio

aukštinė lygi h. Atsakymas. n l iV(2R-h) -2R .

405.Į rutulį įbrėžta taisyklingoji keturkampė piramidė, kurios tūris lygus V, o šoninė

briauna su pagrindo plokštuma sudaro kampą φ. Raskite rutulio tūrį.

JtV Atsakymas, -— ;——;— .

sin φ sill 2φ

406.Į rutulį, kurio spindulys R, įbrėžtas kūgis. Raskite kūgio tūrį, jei kūgio ašinio pjūvio

2 , , a kampas prie viršūnės lygus a. Atsakymas. jTcR sin acos — ,

407.Taisyklingos trikampės piramidės viršūnės plokštieji kampai statūs, o pagrindo

(з-Уз)'У2 , briaunos ilgis lygus a. Raskite įbrėžto rutulio tūrį. Atsakymas. — — - π α .

56Ο

408. J rutulį, kurio spindulys R, įbrėžtas ritinys. Kokia turi būti ritinio aukštinė ir pagrindo

R УБ spindulys, kad jo tūris būtų didžiausias ? Atsakymas. R v2 ; — R .

409.Apibrėžto apie pusrutulį, kurio spindulys R, kūgio pagrindo centras sutampa su

rutulio centru. Kokia turi būti kūgio aukštinė, kad jo tūris būtų mažiausiais 7

Atsakymas.

410.Apie rutulį, kurio spindulys R, apibrėžtas kūgis. Kokia turi būti kūgio aukštinė II, kad

kūgio tūris būtų mažiausiais V Atsakymas. 4R .

411.( pusrutulį, kurio spindulys 4 cm ,įbrėžtas cilindras. Cilindro pagrindas sutampa su

plokštuma, ribojančia pusrutulį. Koks turi būti cilindro pagrindo spindulys, kad cilindro

4Vi tūris būtų didžiausias ? Atsakymas. — .

412.Į pusrutulį, kurio spindulys 4 cm, įbrėžtas cilindras. Cilindro pagrindas sutampa su

plokštuma, ribojančių pusrutulį. Kokia turi būti cilindro aukštinė, kad jo šoninio

paviršiaus plotas būtų didžiausias? Atsakymas. 2У2.

413.Apie ritinį, kurio pagrindo spindulys r, aukštinė h, apibrėžtas mažiausio tūrio slatusis

skritulinis kūgis taip, kad jų pagrindai yra vienoje plokštumoje. Apskaičiuokite kūgio

aukštinę. Atsakymas. 3 h .

414.Apie pusrutulį, kurio spindulys r, apibrėžtas mažiausio tūrio kūgis taip, kad kūgio

pagrindo centras sutampa su rutulio centru. Rasti kūgio aukštinę.

Atsakymas, r Уз .

II. NATŪRALIŲJŲ SKAIČIŲ NUO 10 IKI 99 KVADRATŲ LENTELĖ

DEŠIM-IYS

V I E N E T A I DEŠIM-IYS 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 2 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841 3 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521 4 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401 5 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481 6 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761 7 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241 8 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921 9 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801

III. ILGIO MATAI

H 111111 cm dm 111 km Pavadinimas

μ 1 0,01 IO'4 IO"5 IO6 IOit mikronas mm 1000 1 0,1 0,01 0,001 IO6 milimetras cm IO4 10 1 0,1 0,01 IO5 centimetras (.Int IO5 100 K) 1 0,1 IO-4 dcėimclras m IO6 I(XX) 100 10 1 0,001 metras

km 10* IO6 IO5 IO4 1000 1 kilometras

IV. PLOTO MATAI

nun2 Clll2 dm2 in2 a ha km2 Pavadinimas 111 Ill2 1 10·* ΙΟ"4 IO"6 IO8 10.ιο IO''2 kvadratinis metras Clll2 IOi 1 IO-2 10-4 IO i IO8 J0-IU kvadratinis centimetras dm2 IO4 10* 1 IOa ΙΟ"4 IO i IO8 kvadratinis dccimctras m1 10" IO4 IOi 1 IO2 IO4 10"' kvadratinis metras a 10" IOi IO4 IOi · 1 IO2 Ю-4 aras

Iui IO1" 10* 10" IO4 IOi 1 10'2 hektaras km2 IOu IOlu 10" 10" IO4 IO2 1 kvadratinis kilometras

V. TŪRIO IR TALPOS MATAI cm ml

dm3

1 m3 Pavadinimas

cin' in I

1 O1OOI IO0 ktibinis centimetras mililitras

dm3

I 1000 1 0,001 kubinis dccimctras

litras m3 IO6 1000 1 kubinis

metras

VI. KAI KURIE DAŽNAI PASITAIKANTYS PASTOVUS DYDŽIAI

л/2 =1,4142 V6 =2,4495

л/3 = 1,7321 V7 =2,6458

л/5 =2,2361 л/Й)=3,1623

π=3,1416 2π=6,2832 ^ = 1,5708

• j = 1,0472

π2=9,8696

7 =0,7854 4 π3=31,0063

1 - = 0 , 3 1 8 3 π π4=97,4091 ί V

V^ = 1,7725 ^ = 0 , 0 1 7 5 I m =0'(Ю03

VII. SINUSO, KOSINUSO, TANGENTO IR KOTANGENTO REIKŠMIŲ LENTELĖ

α° 0 30° 45° 60° 90" 120" 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 3 1 5 ° 330° 360°

0 π

6~ π

T π

T

π

2~ 2π

3 Зл-4

5л-6 π

Ίκ

6 5л· 4

4лг 3

Зл· 2

5л· 3

7 Л ·

4 I k 6 2π

sin α 0 1 2

V2 2

Л

2 1 >/3

2 V I 2

1 2

0 1

~ 2 л

2

Уз 2

-1 л/3

2

12 2

1 ~ 2

0

cos a 1 S

2 V2 2

1 2

0 1

~ 2 7 2

2

л/3

2 -1

S 2

f2 2

1 ~2

0 1 2

л/2 2

л/3 2

1

Ig a 0 л/3 3

1 • Л - -Уз -1 /3 3

0 л/3 3

1 7 з - -Уз -1 л/3 3

0

ctg a - V3 1 S

3 0

л/3 3

-1 -Уз - 7 з 1 л/3 3

0 л/3 3

-1 -Уз -

VIII. KAMPO RADIANINIS MATAS. KAMPŲ LAIPSNIŲ PAKEITIMO RADIANAIS IR

ATVIRKŠČIAI FORMULĖS Kampo radianinis matas a yra kampą atitinkančio lanko ilgio ir apskritimo

spindulio santykis:

— Г U = —

R I=R

Kampą radianinio mato vienetas yra radianas.

Vieno radiano kampas yra centrinis kampas, besiremiantis į lanką, kurio ilgis lygus apskritimo spinduliui (žr. pav.).

Kampų laipsnių (a° laipsnių) pakeitimo radianais (u radianų) formulė:

f O a = r a 180°

Pavyzdys. Išreikšti radianais 30" kampų.

- A r - 3 0 0 = - . 180° 6

Kai e " = l ° iš laipsnių keitimo radianais formulės turime:

1" = ——r rad ю0,01745«к/ 180°

Radianų (a radiant)) pakeitimo laipsniais ( a laipsnių) formulė:

a" = - 1 8 0 ' π

Pavyzdys. Išreiškime laipsniais — rad kampų:

π

α» = 1 . 1 8 0 ° = — 180°= — =60°. π Зя· 3

Kai а= 1 rad iš radianų keitimo laipsniais formulės turime:

I W = M » 5 7 ° π

IX. PAGRINDINES TRIGONOMETRIJOS FORMULĖS

1. FORMULĖS, SIEJANČIOS T O PATIES A R G U M E N T O

TRIGONOMETRINES FUNKCIJAS.

s i i r a + c o s 2 a = l ; s i n 2 α = ± V l - c o s 2 α ; c o s 2 α = ± V l - s i n 2 α ;

sina cosa , 1 , 1 tga = ; clga = — — ; 1 + Ig α = — γ - · 1 + clg2a = -7-5— .

cosa ° s tna ь cos* a ' ь sin2 a

2. DVIGUBO KAMPO FORMULĖS.

2 tga s in2a=2 sina cosa ; cos2a=cos"a - s in : a ; tg2a =

1 - tg a

3. LAIPSNINIO ŽEMINIMO FORMULĖS.

. j 1 - cos 2 a , 1 + cos 2 a sin a = · cos a = r

4. ARGUMENTŲ SUDĖTIES FORMULĖS.

s in(a±p) = sina c o s P ± c o s a cosp ; cos(a ± β) = cosa α κ β + s ina sin β ;

T G ( A ± P ) = J ^ I Ą 1 + t g a t g p

5. TRIGONOMETRINIŲ FUNKCIJŲ SUDĖTIES FORMULĖS.

. . α + β α - β . rt „ . α - β α + β s ina + smp = 2 s t n — — cos—r— ; s i n a - s t n p = 2 s t n — T j l C o s - T i -

L· L· L· JL „ _ a + p a - P α + β α - β

cosa + cosP = 2 c o s — — c o s - — - ; со:, a - cos β = - 2 sin ~ ~ ~ sin ——• L Z . JL £

„ sin(a± β) I g a i t g P = i ~

cosa cos β

6. TRIGONOMETRINIŲ FUNKCIJŲ S A N D A U G A .

s inacos β = ^-(sin(a + β) + sin(a - β)) ; cosa cos β = ^-(cos(a + β) + cos(a - β)) ;

sinasin β = ^-(cos(a - β) - cos(a + β)) .

7. TRIGONOMETRINIŲ FUNKCIJŲ IŠREIŠKIMAS PUSES

A R G U M E N T O TANGENTU.

a , a . a 2 Ig 1 - t T

s ina = -1 + tf-

a ' cos a =

l + tg: a '

2 tg ; tga = •

I - I g 2 a

8. REDUKCIJOS FORMULES.

cosa s i n ( f ± a ) -

c t g ^ ± a j = + t g a

l g U ± a ) = ± lga ;

f 3π >1 c o s ^ — ± a j = ±s ina

s in(2n±a) = ±s ina ctg(2n± a) = I c t g a .

s ina ί π Ί - ·

cos ± a j = + si

sin(n ± a ) = + s ina

c t g U ± a ) = ±ctga f 3π 4I _

t g ^ — ± a j = +clga cos(2n ± a) = c o s a

I g ^ f a J = + e i g a

cos (n±a) = - c o s a

• Ί3Π Ί sm ± a J = - c o s a

f 3π 1 _ c t g ^ — ± a j = + l g a

t g ( 2 n ± a ) = ± t g a

9. TRIGONOMETRINIŲ FUNKCIJŲ ŽENKLAI KETVIRČIUOSE.

Funkcija Ketvirtis Funkcija I II III IV

sin + + — -

cos + - — + tg + - + -

clg + - + -

Vaidotas Mockus Geometrijos žinynas moksleiviams

Redaktorius A.Malakauskas

SL 843. 1996 02 leidyb. apsk. 115,6 Užsakymas Nr. 25/A. Tiražas egz. 5.000

Išleido Šiaulių pedagoginis institutas, P. Višinskio 25, 5400 Šiauliai. Spausdino Valstybinė "Titnago" spaustuvė, Vasario 16-osios g. 52, 5400 Šiauliai

Kaina sutartinė