Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
-
Upload
kenneth-calhoun -
Category
Documents
-
view
244 -
download
0
Transcript of Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
1/44
GEOMETRIJA BRODAGEOMETRIJA BRODA
12. 2D OPISIVANJE BRODSKIH FORMIB-SPLINE I NURB-SPLINE
FUNKCIJAMA
SVEUILITE U SPLITUFAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
2/44
2
SADRAJ:SADRAJ:1. POVIJESNI RAZVOJ,
2. B-SPLINE,
3. POVEZANOST BEZIEROVOG I B-SPLINE-,
!. NURB-SPLINE.
GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
3/44
3
1. POIJESNI RA!OJ1. POIJESNI RA!OJ
C. "# B$$%, 1&'2 (. G$%"$), R*+%" F. R*##)#/", 1&'!
L%%0 L. S+#%, T$ L0+#, N*% D0).
GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
4/44
!
ODNOSI BE!IEROOG I B-SPLINE-"ODNOSI BE!IEROOG I B-SPLINE-"
GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
5/44
4
RACIONALNE BE!IEROE KRIULJERACIONALNE BE!IEROE KRIULJE
BEZIEROVE KRIVULJE KOJIMA SU DODANI TE5INSKI
KOEFICIJENTI wiKAO6
TONO OPISUJU UNJOSJENICE 7KRIVULJE 2. STUPNJA8.
( ) 10,
)(
)(
0
0
=
=
= t
wtB
wtBP
tQ
i
n
i
ni
n
i
inii
GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE
( )
( )
( )
10,
1
1
0
0
=
=
=
t
wttin
wtti
nP
tQn
i
iini
n
i
iini
i
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
6/44
9
2.2. BBASISASIS SSPLINE (B-SPLINE)PLINE (B-SPLINE)
BEZIEROVE KRIVULJE6
ELEGANTNIJE SU, ALI ZAHTIJEVAJU PUNO KONTROLNIH TOAKA,
VE:A GLATKOST ; VIE KONTROLNIH TOAKA ; VII STUPANJ POLINOMA,
NEPO5ELJNO6 SVAKA KONTROLNA TOKA UTJEE NA CIJELU KRIVULJU.
BASIS SPLINE6
PROJEKTIRAN DA PONITI NEPO5ELJNA SVOJSTVA BEZIEROVIH KRIVULJA,
GLATKE FUNKCIJE IZGLA
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
7/44
'
BBASISASIS SSPLINE (B-SPLINE)PLINE (B-SPLINE)
SVOJSTVA6
POOP:ENJE 7GENERALIZACIJA8 BEZIEROVOG SPLINE-A,
POTREBAN JE MANJI BROJ TOAKA NEGO KOD BEZIEROVOG SPLINE-A,
OMOGU:UJE LOKALNU PROMJENU KRIVULJE,
PRIJELAZ OPISIVANJA S KRIVULJA NA PLOHE JE JEDNOSTAVAN.
=
=m
i
ii puBup0
)()(
B-SPLINE FUNKCIJE IZGLAIVANJA, 2. REDA
GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
8/44
>
MOTIACIJA !AMOTIACIJA !A B-SPLINEB-SPLINE
MOTIVACIJA 7U ODNOSU NA BEZIEROVE F.86
STUPANJ BEZIEROVE KRIVULJE JE
ODRE
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
9/44
&
MOTIACIJA !AMOTIACIJA !A B-SPLINEB-SPLINE
MOTIVACIJA 7U ODNOSU NA BEZIEROVE F.86
POVEZATI MNOGO BEZIEROVIH
KRIVULJA NI5IH STUPNJEVA U CJELINU
7SLIKA8
ALI ZADR5AVANJE KONTINUIRANOSTI
DERIVACIJA 5ELJENOG REDA U
SPOJNIM TOKAMA NIJE LAKO I MO5E
BITI TEKO IZVEDIVO I NEPO5ELJNO.
GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
10/44
1@
MOTIACIJA !AMOTIACIJA !A B-SPLINEB-SPLINE
MOTIVACIJA 7U ODNOSU NA BEZIEROVE F.86
POMICANJE KONTROLNE TOKE UTJEE
NA OBLIK CIJELE KRIVULJE 7SVOJSTVO
GLOBALNOG UTJECAJA8 TO JE
NEPO5ELJNO.
KOD B-SPLINE-A STUPANJ FUNKCIJE NEOVISI O BROJU KONTROLNIH TOAKA,
T.J., B-SPLINE KRIVULJA 3. STUPNJA JEODRE KONTROLNIH TOAKA.
GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
11/44
11
MOTIACIJA !AMOTIACIJA !A B-SPLINEB-SPLINE
PRIMJER6
4 SEGMENATA BZIER-OVE KRIVULJE
3. STUPNJA ZAJEDNO TVORI B-SPLINE
KRIVULJU, ODRE
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
12/44
12
DEFINICIJADEFINICIJA B-SPLINEB-SPLINE-A-A
ZA DEFINIRANJE B-SPLINE KRIVULJE POTREBNO JE
ODREDITI6
SKUP KONTROLNIH TOAKA 7#)=. CONTROL POINTS8,
SKUP VOROVA 7#)=. KNOTS POINTS8, I
STUPANJ KRIVULJE 7#)=. CURVE DEGREE8.
GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
13/44
13
B-SB-SPLINE FUNKCIJAPLINE FUNKCIJA
DEFINICIJA6
(u0
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
14/44
1!
B-SB-SPLINE FUNKCIJAPLINE FUNKCIJA
DEFINICIJA6
(u0
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
15/44
14
DEFINICIJADEFINICIJA B-SPLINEB-SPLINE-A-A
JEDNOLIKI RAZMAK 7#)=. UNIFORM8 VEKTORA VOROVA6
POJEDINANI VOR JE JEDNAKO RA!MAKNUT 7#)=.
EVENL SPACED8 KAO NPR.6
7@, 1, 2, 3, !8,
A ZATIM NORMALIZIRAN NA RASPON @, 16
7@, @.24, @.4, @.'4, 1.@8.
NORMALIZACIJA6 DIJELJENJE VRIJEDNOSTI SKUPA S NEKOM 7NAJVE:OM8
VRIJEDNOSTI.
GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
16/44
19
TIPTIPB-SB-SPLINE-" S UNIFORMNIMPLINE-" S UNIFORMNIMEKTOROM %OROAEKTOROM %OROA
NEPERIODIKI VOROVI7OTVORENI VOROVI8
PERIODIKI VOROVI7ZATVORENI VOROVI8
PRVI I ZADNJI VOR SEPONAVLJAJU kPUTA6
NPR.6 7@,@,@,1,2,2,28
KRIVULJA PROLAZI KROZ PRVU IZADNJU KONTROLNU TOKU.
GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE
PRVI I ZADNJI VOR SE NEPONAVLJAJU ? ISTI DOPRINOS6
NPR.6 7@, 1, 2, 38
KRIVULJA NE PROLAZI KROZ KRAJNJEKONTROLNE TOKE,
KORISTI SE ZA OPISIVANJEZATVORENIH KRIVULJA, KOD KOJIH JE
PRVA TOKA JEDNAKA ZADNJOJ.
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
17/44
1'
7ZATVORENI VOROVI8
TIPTIPB-SB-SPLINE-" S UNIFORMNIMPLINE-" S UNIFORMNIMEKTOROM %OROAEKTOROM %OROA
GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE
NEPERIODIKI VOROVI7OTVORENI VOROVI8
PERIODIKI VOROVI7ZATVORENI VOROVI8
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
18/44
1>
OSNONEOSNONE B-SB-SPLINE FUNKCIJEPLINE FUNKCIJE
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
1,1
1
1,
, ++
+
+
+
+
=
iki
ki
ki
iki
ki
ikiuu
uNuu
uu
uNuuuN
0
1
11,
= +iiiuuu
N
GDJE SU6
VRIJEDNOSTI U NAZIVNIKU MOGU IMATI VRIJEDNOST @, A ZA
@@ SE UZIMA DA JE @,
AKO JE STUPANJ B-SPLINE- @, STUPANJ ODNi,1(u)JEJEDNAK 1 ZAuUNUTARi? $= RASPONA VOROVA[ui, ui+1).
GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE
OSNONEOSNONE B-SB-SPLINE FUNKCIJEPLINE FUNKCIJE
GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
19/44
1&
NPR.6 ZA ! VORA u0= 0, u1= 1, u2= 2I u3= 3, RASPONI
IZME
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
20/44
2@
OSNONEOSNONE B-SB-SPLINE FUNKCIJEPLINE FUNKCIJE
GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
21/44
21
OSNONEOSNONE B-SB-SPLINE FUNKCIJEPLINE FUNKCIJE
GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE
GLATKOST ; STUPANJ ? VIESTRUKOST
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
22/44
22
OSNONE FUNKCIJE UNIFORMNOGOSNONE FUNKCIJE UNIFORMNOG
B-SB-SPLINE-"PLINE-"
GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE
ZVONOLIKE FUNKCIJE ZA SVAKU KONTROLNUTOKU
PREKLAPAJU:E OSNOVNE FUNKCIJE KONTROLNE TOKE ODGOVARAJU TOKAMA VOROVA
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
23/44
23
ZA PRORAUNNi,k(u)ZA kVE:I OD 0, KORISTI SE TROKUTNA
7TRIANGULARNA8 PRORAUNSKA SHEMA,
TE REKURZIJA.
OSNONEOSNONE B-SB-SPLINE FUNKCIJEPLINE FUNKCIJE
GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
24/44
2!
SOJSTASOJSTA B-B-SPLINE-"SPLINE-"
APROKSIMACIJSKO SVOJSTVO6
NE INTERPOLIRA DE BOOR-$# TOKE,
KONVEKSNOST,
AFINA INVARIJATNOST,
KONTROLA PROMJENJIVOSTI 7#)=. VARIATION DIMINISHING8,
C2? KONTINUIRANOST,
LOKALNA KONTROLA KRIVULJE6
ZA KUBNE OSNOVNE FUNKCIJE, SVAKI SEGMENT JE ODRE
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
25/44
24
&. E!A I!ME'U RA!LI%ITI&. E!A I!ME'U RA!LI%ITITIPOA OPISATIPOA OPISA BEZIEROV SPLINE I B-SPLINE SU RAZLIITI OPISI ISTIH
PARAMETARSKIH POLINOMSKIH KRIVULJA,
ONI IMAJU RAZLIITA GRA
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
26/44
29
A-A-OKIRI I KONTINUIRANOSTOKIRI I KONTINUIRANOST
KONTINUITET IZME
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
27/44
2'
I!GRADNJA SLOENOG SPLINE-"I!GRADNJA SLOENOG SPLINE-"
UMJESTO DEFINIRANJA BEZIEROVIH KONTROLNIH TOAKA,POTREBNO JE ODREDITI KUTEVE A-OKVIRA U SVRHUIZGRADNJE SPLINE- S C2KONTINUITETOM.
DOBIJAMO B-SPLINE. TOKE BiSE ZOVU DE BOOR-*+ TO%KE.
V0
V1 V2
V3
GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
28/44
2>
KONSTRUIRANJEKONSTRUIRANJEB-B-SPLINE-"SPLINE-" ZA CIJELI B-SPLINE6
KOJE SU BEZIER-$# KONTROLNE TOKE 7V8, DOBIVENE
POMO:U DE BOOR-$* TOAKA 7B82/3 1/3
1/3 2/3
2/3 1/31/2 1/22/31/3
1/6 1/64/6
1/6 1/64/6
GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE
V0
V1 V2
V3
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
29/44
2&
KONSTRUIRANJE BEZIER-$* TOAKA DOBIVENIH IZDE BOOR-$* TOAKA SE MO5E PRIKAZATI KAO6
KONSTRUIRANJEKONSTRUIRANJEB-B-SPLINE-"SPLINE-"
GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE
V0
V1 V2
V3
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
30/44
3@
KRAJEIKRAJEIB-B-SPLINE-"SPLINE-"
B-SPLINE NE INTERPOLIRA DE BOOR-$# TOKE.
DA BI SE TO POSTIGLO KRAJNJE TOKE SE
PONAVLJAJU nPUTA, JEDNAKO STUPNJU OSNOVNE
FUNKCIJE 7ZA KUBINU FUNKCIJU 3 PUTA8.
GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
31/44
31
!ATARANJE KRIULJE!ATARANJE KRIULJE
AKO 5ELIMO ZATVORITI KRIVULJU POTREBNO JEKRU5NO PONOVITI nTOAKA OVISNO O STUPNJUOSNOVNE FUNKCIJE
B5=
B6= B7=
GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
32/44
32
E!A I!ME'U RA!LI%ITIE!A I!ME'U RA!LI%ITI TIPOA OPISATIPOA OPISA BEZIEROV SPLINE I B-SPLINE SU RAZLIITI OPISI ISTIH
PARAMETARSKIH POLINOMSKIH KRIVULJA,
ONI IMAJU RAZLIITA GRA
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
33/44
33
KOMPAKTNI PRIKA!KOMPAKTNI PRIKA!
PRIKAZ KOEFICIJENATA POLINOMA U MATRINOM OBLIKU6
GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE
GEOMETRIJA BRODA (140) 12 2D B SPLINE I NURB SPLINE FUNKCIJE
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
34/44
3!
MATRI%NI PRIKA!MATRI%NI PRIKA!
CSE MO5E NAPISATI KAO UMNO5AK MATRICE OSNOVNIH
FUNKCIJA MI VEKTORA OBLIKAG (+. GEOMETR VECTOR8.
GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE
GEOMETRIJA BRODA (140) 12 2D B SPLINE I NURB SPLINE FUNKCIJE
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
35/44
34
MATRI%NI PRIKA!MATRI%NI PRIKA!- KUBI%NI BE!IER- KUBI%NI BE!IER
MBezier G
GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE
GEOMETRIJA BRODA (140) 12 2D B SPLINE I NURB SPLINE FUNKCIJE
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
36/44
39
MATRI%NI PRIKA!MATRI%NI PRIKA!- KUBI%NI B-SPLINE- KUBI%NI B-SPLINE
TRANSFORMACIJA B-SPLINE- U BEZIER-$ SPLINE SEMO5E NAPISATI KAO6
BEZIER-$ ZAPIS JE6
UVRTAVANJEM 718 U 728, DOBIJAMO B-SPLINE OPIS 6B0
B1
B2
B3
(1)
(2)
GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE
GEOMETRIJA BRODA (140) 12 2D B SPLINE I NURB SPLINE FUNKCIJE
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
37/44
3'
MATRICA OSNONI FUNKCIJAMATRICA OSNONI FUNKCIJA B-B-SPLINE-"SPLINE-"
ZA KUBINI B-SPLINE FORMIRA SE 19
JEDNAD5BI S 19 NEPOZNANICA,
TIH 19 JEDNAD5BI OSIGURAVA C0, C1, I C2
KONTINUITET IZME
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
38/44
3>
B-SB-SPLINE U MATRI%NOM OBLIKUPLINE U MATRI%NOM OBLIKU
[ ]
=
=
3
2
1
0
23
0141
03030363
1331
611
)(
p
pp
p
ttt
GMTtP B
3
3
2
2
1
2
0
3
3
33
3
22
3
11
3
00
)1(3)1(3)1(
)()()()()(
bbbb
bbbbp
tttttt
tBtBtBtBt
+++=
+++=
33
3
233
2
233
1
33
0
6
1)(
)1333(6
1)(
)463(6
1)(
)1(61)(
ttB
ttttB
tttB
ttB
=
+++=
+=
=
GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE
GEOMETRIJA BRODA (140) 12 2D B SPLINE I NURB SPLINE FUNKCIJE
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
39/44
3&
UNIFORMNI B-SPLINE-*
APROKSIMIRAJU:I SPLINE-$*,
APROKSIMIRAJU n 1 KONTROLNU TOKU,
P0, P1, , Pn, n
KRIVULJA SE SASTOJI OD n? 2 KUBINA POLINOMSKA SEGMENTA6
Q3, Q4, Qn
VARIRA DU5 B-SPLINE- KAO Qi: uiui< ui+1
ui7i? CJELOBROJNA VRIJEDNOST8 SU TOKE VOROVI KOJI SPAJAJU
SEGMENTE QiDO Qi+1
KRIVULJA JE UNIFORMNA ZATO TO SU VOROVI JEDNOLIKO
RASPORE
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
40/44
!@
PROBLEMIPROBLEMI B-B-SPLINE OPISASPLINE OPISA
POVE:ANJE STUPNJA OPISA,
SMANJENJE STUPNJA OPISA,
UMETANJE VOROVA,
BRISANJE VOROVA.
Gerald Farin, Cr!e" and #r$a%e" $&r C&'er *ided Ge&'eri% e"in, 4-ed, *%ade'i%Pre"" (16)
/&nald . G&ld'an, &' %-e, edi&r", n& 5n"eri&n and elei&n *l&ri-'" $&r 7#line Cr!e" and #r$a%e", #5*8 (13)
GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE
GEOMETRIJA BRODA (140) 12 2D B SPLINE I NURB SPLINE FUNKCIJE
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
41/44
!1
B-B-SPLINE: UMETANJE %OROASPLINE: UMETANJE %OROA
UMETANJE %OROAJE DODAVANJE NOVOG VORA U
POSTOJE:I VEKTOR VOROVA BEZ PROMJENE OBLIKA
KRIVULJE.
NOVI VOR MO5E BITI JEDNAK POSTOJE:EM ?POVE:ANJE VIESTRUKOSTI ZA 16
BROJ VOROVA ; ) 1
AKO SE BROJ VOROVA POVE:A ZA 16 ILI STUPANJ ILI
BROJ KONTROLNIH TOAKA MORA BITI MORA TAKO
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
42/44
!2
B-B-SPLINE: UMETANJE %OROASPLINE: UMETANJE %OROA
UMETANJE NOVOG VORA ZAHTIJEVA DODAVANJE NOVE
KONTROLNE TOKE.
NEKE KONTROLNE TOKE SE PRITOM BRIU I DODAJU NOVE.
GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE
NOVI VORu= 0.9
GEOMETRIJA BRODA (140) 12 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
43/44
!3
4.4. NURBSNURBS
NON-UNIFORM RATIONAL B-SPLINES
OSNOVNA DEFINICIJA NURB-SPLINE KRIVULJE6
GDJE SU6
- RACIONALNE OSNOVNE FUNKCIJE,
Ni,k? OSNOVNE FUNKCIJE,
Pi? KONTROLNE TOKE,
wi? TE5INSKI KOEFICIJENTI.
GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE
( ) ( )
==
n
i
iki uRuC0
, P
( ) ( )
( )=
=
n
j
jkj
ikiki
wuN
wuNuR
0
,
,,
GEOMETRIJA BRODA (140) 12 2D B-SPLINE I NURB-SPLINE FUNKCIJE
-
7/23/2019 Geometrija Broda - Predavanje 12 - Opisivanje Brodskih Formi b i Nurb Spline Krivuljama
44/44
NURBSNURBS
NON-UNIFORM RATIONAL B-SPLINES
NEJEDNOLIKI 7NEUNIFORMNI, #)=. NON-UNIFORM8 RASPORED VOROVA,
RACIONALNI POLINOM6
POLINOM PODIJELJEN POLINOMOM, MO5E OPISIVATI KONINE KRIVULJE, TJ. KRIVULJE 2. STUPNJA
7KRU5NICE, ELIPSE I HIPERBOLE8
INVARIJATNI ZA PROJEKCIJSKE TRANSFORMACIJE.
NAPOMENA
UNIFORMNI B-SPLINE JE POSEBNI SLUAJ NEUNIFORMNOG B-SPLINE-,
NERACIONALNI B-SPLINE JE SPECIJALNI SLUAJ RACIONANOG B-SPLINE-.
GEOMETRIJA BRODA (140), 12. 2D B SPLINE I NURB SPLINE FUNKCIJE