Geometrie non euclidee e teorie fisiche -...
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Geometrie non euclideee teorie fisiche
Marco PedroniUniversità di Bergamo
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Galileo Galilei, Il Saggiatore, Cap. VI:
La filosofia è scritta in questo grandissimo libro checontinuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (iodico l'universo), ma non si può intendere se primanon s'impara a intender la lingua, e conoscer icaratteri, ne' quali è scritto. Egli è scritto in linguamatematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, edaltre figure geometriche, senza i quali mezzi èimpossibile a intenderne umanamente parola; senzaquesti è un aggirarsi vanamente per un oscurolaberinto.
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Sommario
• A spasso per una superficie (ossia, moti per inerzia di un punto materiale su una superficie liscia)
• Breve storia delle geometrie non euclidee• Relatività ristretta• Relatività generale• Onde gravitazionali
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A spasso per il piano
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Fatto importante: le traiettorie (rette) minimizzano la distanza
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A spasso per il cilindro
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Le geodetiche del cilindro sono le eliche:
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A spasso per la sfera
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Le geodetiche della sfera sono i “cerchi massimi”
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Altre stranezze della geometria sferica
La somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di 180 gradi
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Altre stranezze della geometria sferica
Il rapporto tra circonferenza e diametro è minore di 𝛑
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A spasso per il “paraboloide iperbolico”
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Cioè, una sella:
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Stranezze della geometria iperbolica
La somma degli angoli interni di un triangolo è minore di 180 gradi
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Stranezze della geometria iperbolica
Il rapporto tra circonferenza e diametro è maggiore di 𝛑
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Geometria ellittica:
Geometria iperbolica:
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Breve storia delle geometrie non euclidee
Euclide (350-300 a.C.)nell’affresco La scuoladi Atene di Raffaello
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Il quinto postulato di Euclide
Data una retta e un punto al di fuori di essa, esiste una ed una sola parallela alla retta data passante per il punto dato (formulazione equivalente).Fino al XIX secolo, numerosi tentativi di dimostrarlo a partire dagli altri quattro, che hanno portato solo ad affermazioni equivalenti ad esso, come:- la somma degli angoli interni di un triangolo è 180 gradi;- l’area di un triangolo può essere grande a piacere;- tre punti nel piano o sono allineati o stanno sulla stessa circonferenza.
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La nascita delle geometrie non euclidee
Johann Carl Friedrich Gauss(Brunswick 1777 –Göttingen 1855)
János Bolyai (Cluj 1802 – Tirgu-Mures 1860)
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Nikolai Ivanovich Lobachevsky
(Nizhny Novgorod 1792 –Kazan 1856)
Eugenio Beltrami(Cremona 1835 – Roma 1900)
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Georg Friedrich Bernhard Riemann
Breselenz, 17 settembre 1826
–Selasca,
20 luglio 1866
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Nel periodo 1824-1868, grazie a Gauss, Bolyai,Lobachevsky, Riemann e Beltrami, furono scopertenuove geometrie nelle quali non vale il quintopostulato di Euclide.Geometria sferica: nessuna parallela.Geometria iperbolica: infinite parallele.
Queste idee andavano ben oltre il problema delleparallele e portarono ad una nuova concezione dellageometria. In particolare, le idee e le tecnichesviluppate da Riemann furono essenziali per laformulazione, da parte di Einstein, della relativitàgenerale.
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Relatività ristretta
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Elettricità Magnetismo
Relatività ristretta: una premessa
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Elettricità Magnetismo
Elettromagnetismo
Relatività ristretta: una premessa
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Elettricità Magnetismo
Elettromagnetismo
Relatività ristretta: una premessa
Onde elettromagnetiche
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Lo spettro elettromagnetico
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Lo “spettro” di Newton
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Maxwell aveva mostrato che le ondeelettromagnetiche (in particolare la luce) nelvuoto viaggiano sempre con la stessa velocità:
c = 300.000 km/s (circa)Ma questo è in contraddizione con la leggegalileiana di addizione delle velocità.
Einstein, a soli 16 anni, fece una riflessioneanaloga, chiedendosi cosa accadrebbe seinseguissimo un raggio di luce con la stessavelocità.
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La soluzione di Einstein fu quella di postulare l’invarianza della velocità della luce (nel vuoto) al cambiare dell’osservatore.
Ciò ha delle conseguenze importanti e controintuitive.
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Prima conseguenza: la simultaneità di due eventi dipende dall’osservatore (ossia, è un concetto relativo)
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Non ha quindi più senso separare in manieraassoluta il tempo dallo spazio. Bisogna lavorarenello spazio-tempo.
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Seconda conseguenza: la contrazione delle lunghezze
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La contrazione delle lunghezze
v = velocità dell’oggettoc = velocità della luce
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La giostra di Einstein
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Se la geometria dell’osservatore fisso è euclidea,non può esserla quella dell’osservatore ruotante(Slim e Jim).
Fusione tra geometria e fisica: lo spazio non si puòpiù concepire come un palcoscenico immutabile nelquale vengono poi introdotti i corpi, come facevaNewton.
Questa fusione sarà ancora più evidente nellarelatività generale (in realtà questo esempio fa giàparte di essa).
Geometria e fisica
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Relatività generale
Incompatibilità tra la teoria newtoniana della gravitazione e la relatività ristretta:a) La forza d’attrazione è inversamente
proporzionale al quadrato della distanza, ma quale distanza?
b) Le azioni si propagano con velocità infinita, mentre per la relatività ristretta nessun segnale può viaggiare più velocemente della luce.
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La nascita della relatività generale
Einstein, nel 1922: “Se tutti i sistemi [accelerati] sonoequivalenti, allora la geometria euclidea non puòvalere in ciascuno di essi. Abbandonare la geometria econservare le leggi [fisiche] è come descrivere ipensieri senza le parole. […]. Che cosa si dovevacercare a questo punto? Tale problema rimaseinsolubile per me fino al 1912, quando all’improvvisomi resi conto che la teoria di Gauss delle superficiforniva la chiave per svelare questo mistero. […]. Nonsapevo però a quell’epoca che Riemann aveva studiatoi fondamenti della geometria in maniera ancora piùprofonda.”
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Nel 1916 Einstein riuscì a conciliare relatività ristretta egravitazione nella cosiddetta relatività generale. Glistrumenti matematici che utilizzò per formulare questanuova teoria erano stati forgiati da Riemann e altri (tracui gli italiani Levi-Civita e Ricci) e sono strettamentelegati al problema delle geometrie non euclidee.
Continua Einstein: “Quando da Praga tornai a Zurigo,vi trovai il matematico Grossmann, mio caro amico: dalui appresi le prime notizie sul lavoro di Ricci e inseguito su quello di Riemann”
“Grossmann, aiutami sennò divento pazzo”
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Relatività generale: le idee chiave
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La materia incurva lo spazio-tempo
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Le “traiettorie” sono ancora le geodetiche!
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Un buco nero
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La prima conferma sperimentale della relatività generale
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L’ultima conferma sperimentale della relatività generale: onde gravitazionali