Geometrická posloupnost (4.část)
description
Transcript of Geometrická posloupnost (4.část)
![Page 1: Geometrická posloupnost (4.část)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814702550346895db43d5e/html5/thumbnails/1.jpg)
Geometrická posloupnost (4.část)
VY_32_INOVACE_ 22-19
![Page 2: Geometrická posloupnost (4.část)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814702550346895db43d5e/html5/thumbnails/2.jpg)
Kontrola výsledků domácí práce Předpokládejme, že pro strany trojúhelníku platí
Potom můžeme psát
(nevyhovuje)
Závěr: Úloha nemá řešení, protože vypočtené délky stran nesplňují tzv. trojúhelníkové nerovnosti.
![Page 3: Geometrická posloupnost (4.část)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814702550346895db43d5e/html5/thumbnails/3.jpg)
V praxi se často setkáváme se vzrůstem nebo poklesem číselných údajů, které jsou členy geometrické posloupnosti. Změna jednotlivých členů takovýchto posloupností se obyčejně udává v procentech. Napříkladpočet obyvatel ve státě roste v určitém časovém období tak, že každým rokem přibývá p procent obyvatel;
obdobně vzrůstá např. v určitém časovém úseku ve státě výroba elektřiny nebo přirůstá dřevo v lese apod.;
naproti tomu ztrácí rádium rozpadem každý rok určité procento své hmotnosti, atd.
Užití geometrické posloupnosti
![Page 4: Geometrická posloupnost (4.část)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814702550346895db43d5e/html5/thumbnails/4.jpg)
Vzrůst (pokles) původní hodnoty a0
na hodnotu an
pro n období
při p % změně za jedno období:
![Page 5: Geometrická posloupnost (4.část)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814702550346895db43d5e/html5/thumbnails/5.jpg)
Úloha 1
Dle Českého statistického úřadu žilo v městě Karviná k 1.1.2011 celkem 59 688 obyvatel. Poslední statistická data ukázala, že k 31.12.2011 se počet obyvatel snížil na 58 823 osob (*).
a)Kolik procent obyvatel ubylo v městě během roku 2011?
b)Určete počet obyvatel k 1.1.2021, pokud by úbytek obyvatelstva v Karviné postupoval stejným tempem.
(*) Dostupné z <http://www.czso.cz/csu/2011edicniplan.nsf/t/BF0029A8F5/$File/400111q415.pdf>.
[cit. 2012-04-18]
![Page 6: Geometrická posloupnost (4.část)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814702550346895db43d5e/html5/thumbnails/6.jpg)
Řešení úlohy 1a)Absolutní úbytek obyvatel v r. 2011:
Vyjádřeno v procentech:
b)
Závěr: Během roku 2011 se počet obyvatel snížil o 1,45%.
Za deset let se tímto tempem sníží počet obyvatel na
51 577 osob.
![Page 7: Geometrická posloupnost (4.část)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814702550346895db43d5e/html5/thumbnails/7.jpg)
Úloha 2
Na konci roku 2005 dosáhl hrubý objem výroby ve firmě 10 miliónů Kč, v roce 2010 to bylo již 14 miliónů Kč.
a)Jak velký byl průměrný roční přírůstek objemu výroby (v %) ?
b)Za kolik let se objem výroby zvedne o polovinu, jestliže tempo růstu zůstane zachováno?
![Page 8: Geometrická posloupnost (4.část)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814702550346895db43d5e/html5/thumbnails/8.jpg)
Řešení úlohy 2
a)
b)
Závěr: Průměrný roční přírůstek výroby byl přibližně 7%.Výroba se zvedne o polovinu přibližně za 6 let.
![Page 9: Geometrická posloupnost (4.část)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814702550346895db43d5e/html5/thumbnails/9.jpg)
Úloha 3
Jak velký finanční obnos měl klient uložen v bance, jestliže jeho vklad za 20 let při roční úrokové míře 2,5 % vzrostl na 30 000 Kč. Úrokovací období je 1 rok. Úroky z vkladů jsou zdaňovány 15%. (Zaokrouhlete na stovky.)
![Page 10: Geometrická posloupnost (4.část)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814702550346895db43d5e/html5/thumbnails/10.jpg)
Řešení úlohy 3
Ve finanční matematice je nutno započítat i zdanění úroků z výnosů. Je-li zdanění 15 %, znamená to, že zisk z úroků je 85%. Ve výpočtu pak užijeme tzv. zdaňovací koeficient k = 0,85.
Závěr: Původní vklad klienta byl 19 700 Kč.
![Page 11: Geometrická posloupnost (4.část)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814702550346895db43d5e/html5/thumbnails/11.jpg)
Samostatná práce
Na začátku roku vložil klient do banky na vkladní knížku částku 17 000 Kč s úrokovou mírou 2,1%. Banka úročí jednou ročně, a to vždy na konci kalendářního roku. Úroky z vkladů jsou zdaňovány 15%.
Určete, za kolik let bude mít klient na vkladní knížce částku 20 000 Kč? (Zaokrouhlete na celé číslo.)
![Page 12: Geometrická posloupnost (4.část)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814702550346895db43d5e/html5/thumbnails/12.jpg)
Kontrola výsledků samostatné práce
Závěr: Částku 20 000 Kč bude mít klient na svém účtu za 9 let.
![Page 13: Geometrická posloupnost (4.část)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814702550346895db43d5e/html5/thumbnails/13.jpg)
Domácí úkol
a) Průměr drátu se po osmi taženích snížil o jednu třetinu. O kolik procent se průměr drátu snížil při každém tažení? (Zaokrouhlete na desetiny.)
b) Po kolika taženích bude průměr drátu poloviční, jestliže procentuální zmenšení poloměru při každém tažení zůstává stejné?
![Page 14: Geometrická posloupnost (4.část)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814702550346895db43d5e/html5/thumbnails/14.jpg)
Upozornění
Další úlohy na téma
GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST
naleznete zde.
![Page 15: Geometrická posloupnost (4.část)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062409/56814702550346895db43d5e/html5/thumbnails/15.jpg)
Děkuji za pozornost.
Autor DUM: RNDr. Ivana Janů
Autor příkladů: RNDr. Ivana Janů