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Notas de Aula de
Geometria Analítica
Carlos Antônio Freitas da Silva
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Sumário
1 Distância na Reta 31.1 Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Distância entre pontos na reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Espaço Euclidiano 82.1 Produto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Espaço Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Distância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Vetores 153.1 Espaço vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Vetores no espaço euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3 Norma de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.4 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.5 Ângulo entre vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.6 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 Retas no Espaço Euclidiano 364.1 Parametrização de Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2 Equação Cartesiana da Reta no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3 Equação Geral da Reta no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
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1Distância na Reta
1.1 Valor AbsolutoSeja x ∈ R, o valor absoluto de x , denotado por |x|, é definido por
|x| = x, se x > 0|x| = −x, se x < 0.
Proposição 1.1.1. Sejam x,y números reais. Então
|xy| = |x||y|
Demonstração: Suponhamos quexy > 0.
Assim, é necessário que x,y > 0 ou x,y < 0.No primeiro caso temos que
|x| = x, |y| = y, |xy| = xy,
e consequentemente|xy| = |x||y|.
De maneira análoga concluímos para o segundo caso. Suponhamos agora que
xy < 0.
Então ou x < 0 ou y < 0.Caso x < 0 temos que
|x| = −x, |y| = y, |xy| = −xy,
portanto,|xy| = |x||y|.
Proposição 1.1.2. Seja x ∈ R. Então
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4 1. Distância na Reta
i) |x|2 = |x2| = x2;
ii)√x2 = |x|.
Proposição 1.1.3. Para todo x ∈ R, tem-se que
x 6 |x|.
Demonstração: Se x > 0, então |x| = x. Se x < 0 temos que
0 < −x, |x| = −x,
consequentementex < −x = |x|.
Portantox 6 |x|, ∀x ∈ R.
Proposição 1.1.4 (Desigualdade Triângular). Para quaisquer x,y ∈ R, tem-se
|x+ y| 6 |x|+ |y|.
Demonstração: Segue do Corolário 1 e da Proposição 2 que
|x+ y|2 = (x+ y)2 = x2 + 2xy+ y2 6 |x|2 + 2|x||y|+ |y|2,
isto é,|x+ y|2 6 (|x|+ |y|)2.
Assim, obtemos|x+ y| 6 |x|+ |y|.
1.2 IntervalosNo conjunto dos números reais existem alguns subconjuntos importantes chamados intervalos.Sejam a,b ∈ R tais que a < b e consideramos os conjuntos:
(a,b) = {x ∈ R; a < x < b}
[a,b] = {x ∈ R; a 6 x 6 b}
(a,b] = {x ∈ R; a < x 6 b}
[a,b) = {x ∈ R; a 6 x < b}
Esses quatro conjuntos são chamados de intervalos limitados de extremidades a e b. São chama-dos rescpectivamentes por intervalo aberto, intervalo fechado, intervalo fechado à direitae intervalo fechado à esquerda. Podemos considerar também os intervalos ilimitados na reta;
(a,+∞) = {x ∈ R; a < x}
(−∞,a) = {x ∈ R; x < a}
[a,+∞) = {x ∈ R; a > x}
(−∞,a] = {x ∈ R; x 6 a}
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1.2. Intervalos 5
Podemos definir alguns intervalos limitados na reta utilizando a noção de valor absoluto denúmeros reais. Tais intervalos são de grande importância no estudo de Cálculo Diferencial,Análise e Topologia na Reta. Além da interpretação geometrica é também de grande importânciaque o leitor se atente para notação adequada desses elementos.
Proposição 1.2.1. Sejam r > 0 e a ∈ R. Então
(a− r,a+ r) = {x ∈ R; |x− a| < r}.
Tal conjunto é chamado intervalo aberto de centro em a e raio r > 0.
aa− r a+ r
Figura 1.2.1: Intervalo aberto de centro em a e raio r.
Demonstração: Seja x ∈ (a − r,a + r). Assim, temos necessariamente que a 6 x < a + r oua− r < x < a. Se a 6 x < a+ r, então
0 6 x− a < r,
e|x− a| = x− a < r.
Caso a− r < x < a, temos que−r < x− a < 0,
e consequentemente|x− a| = a− x < r.
Agora consideremos x ∈ R tal que|x− a| < r.
Se x− a > 0 segue que|x− a| = x− a < r,
dondex < a+ r (1.2.1)
Caso x− a < 0 teremos|x− a| = −x+ a < r,
ou seja,a− r < x. (1.2.2)
Portanto, segue das desigualdades (1.2.1) e (1.2.2) que
a− r < x < a+ r.
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6 1. Distância na Reta
1.3 Distância entre pontos na retaSeja x ∈ R, podemos observar que se x estiver à esquerda de 0, temos que a distância entre oponto x e a origem da reta, denotada por d(x, 0), pode ser dada por d(x, 0) = −x.
x 0
Figura 1.3.1: d(0, x) = −x
Da mesma forma, se x estiver à direita de 0 temos que a distância entre x e a origem é dadapor d(x, 0) = x.
0 x
Figura 1.3.2: d(0, x) = x
Para todo x ∈ R temos que |x| > 0 (ver exercício 1.1). Podemos então definir a distância entreum ponto x da reta e a origem através do valor absoluto dada por
d(x, 0) = |x|.
Proposição 1.3.1. Sejam x,y ∈ R, então
d(x,y) = |x− y|.
Demonstração: É facil verificar quando x = 0 ou y = 0 ou x = y. Sem perda de generalidade,suponhamos x < y com x 6= 0 e y 6= 0.
Caso 1: 0 < x < y
0 x y
Neste caso temosd(0,y) = d(0, x) + d(x,y).
Assim, temos qued(x,y) = y− x.
Como x− y < 0 segue qued(x,y) = −(x− y) = |x− y|.
Caso 2: x < y < 0
x y 0
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1.3. Distância entre pontos na reta 7
Temos qued(x,y) + d(0,y) = d(0, x),
onde obtemosd(x,y) = −x+ y.
Assim, segue qued(x,y) = −(x− y) = |x− y|.
Caso 3: x < 0 < y
x 0 y
Temos agora qued(x,y) = d(0, x) + d(0,y),
o que nos dád(x,y) = −x+ y.
Como nos casos anteriores segue que
d(x,y) = −(x− y) = |x− y|.
Exemplo 1.3.1 Sejam a ∈ R e r > 0. O intervalo aberto de centro em a e raio r é o conjuntode todos os pontos x ∈ R cuja distância entre x e a é menor que r.
aa− r a+ r
Figura 1.3.3: I = {x ∈ R; |x− a| < r}
Exemplo 1.3.2 O intervalo (3, 7) é o conjunto de todos os pontos x ∈ R que estão à umadistância igual a 2 do ponto a = 5, isto é,
(3, 7) = {x ∈ R; |x− 5| < 2}.
Temos que|x− 5| < 2⇔ −2 < x− 5 < 2⇔ 3 < x < 7.
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2Espaço Euclidiano
2.1 Produto CartesianoSejam A e B conjuntos quaisquer. O produto cartesiano dos conjuntos A e B, denotado porA × B, é o conjunto dos pares ordenados (a,b) cujo primeiro elemento a ∈ A e o segundoelemento b ∈ B.
A× B = {(a,b); a ∈ A,b ∈ B}.
Exemplo 2.1.1 Sejam A = {a,b, c} e B = {µ,γ,ν}. O produto cartesiano de A por B éconjunto
A× B = {(a,µ), (a,γ), (a,ν), (b,µ), (b,γ), (b,ν), (c,µ), (c,γ), (c,ν)}.
Os elementos do conjunto A× B podem ser obtidos utilizando uma tabela como a seguir:
Tabela 2.1.1: Produto Cartesiano A× B
a b c
µ (a,µ) (b,µ) (c,µ)γ (a,γ) (b,γ) (c,γ)ν (a,ν) (b,ν) (c,ν)
O produto cartesiano de B por A é dado por
B×A = {(µ,a), (γ,a), (ν,a), (µ,b), (γ,b), (ν,b), (µ, c), (γ, c), (ν, c)}.
Tabela 2.1.2: Produto Cartesiano B×A
µ γ ν
a (µ,a) (γ,b) (ν, c)b (µ,a) (γ,b) (ν, c)c (µ,a) (γ,b) (ν, c)
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2.2. Espaço Euclidiano 9
É importante observar que A × B 6= B × A, pois os elementos desses conjuntos são paresordenados, portanto o elemento (a,µ) não é o mesmo que (µ,a).
De maneira mais geral, podemos definir o produto cartesiano dos conjuntos A1,A2,A3, ...,Ancom sendo o conjunto das listas ordenadas (a1,a2,a3, ...,an), onde ai ∈ Ai.
A1 ×A2 × · · · ×An = {(a1,a2, ...,an); ai ∈ Ai}.
2.2 Espaço EuclidianoSeja n um número natural. O espaço euclidiano Rn é o produto cartesiano do conjunto dosnúmeros reais n−vezes. Um ponto de Rn é uma lista ordenada
A = (x1, ..., xn),
cujos elementos xi são números reais. Dados pontos A = (x1, ..., xn) e B = (y1, ...,yn) em Rndizemos que A = B se, e somente se,
x1 = y1, ..., xn = yn.
Exemplo 2.2.1 Para n = 2 temos que os pontos de R2 são os pares ordenados A = (x1, x2)com x1, x2 ∈ R. O espaço euclidiano R2 é representado geometricamente no plano cartesiano.
Ax2
x1
Exemplo 2.2.2 O espaço R3 pode ser representado geometricamente por três retas x,y e zperpendiculares entre si em um ponto em comum chamado origem do espaço.
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10 2. Espaço Euclidiano
x
y
z
P
Ox1
x2
x3
Figura 2.2.1: Espaço R3
CRIAR ANIMAÇÃO
Cada ponto de R3 é uma terna P = (x1, x2, x3) e a origem é o ponto O = (0, 0, 0). O númeroreal x1 é representado na reta x como sendo a distância do ponto P até o plano determinadopelas retas y, z. De maneira análoga, os números reais x2 e x3 representam, respectivamente,as distâncias do ponto P até o plano determinado pelas retas x, z e o plano determinado pelasretas x,y.
Exemplo 2.2.3 No sistema RGB, cada cor é definida pela quantidade de vermelho (Red),verde (Green) e azul (Blue) que a compõem. As cores no sistema RGB são pontos do espaçoR3 cujas coordenadas (R,G,B) são números inteiros que variam de 0 a 255. o Espaço RGBpode ser representado geometricamente em um cubo de aresta de tamanho igual a 255.
CRIAR ANIMAÇÃO
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2.3. Distância 11
Exemplo 2.2.4 O espaço Rn para n > 3 torna-se para nós um espaço abstrato, pois nãoconseguimos representá-lo geometricamente. Este fato não o torna menos importante. Váriosobjetos definidos em liguagem de programação podem ser associados a pontos deste espaço,isto é, uma lista ordenada onde cada elemento desta lista representa uma característica oufunção do objeto. Por exemplo, o código abaixo é um código em Javascript que permite criaro desenho de um arco de circunferência de centro em (x,y) e raio r cujo ângulo inical é 0 e oângulo final é igual a π. Este objeto pode ser visto como um elemento de R5 considerenadoque o útimo elemento da lista não tem valores númericos, apenas “true” ou “false” indicandosentido horário ou anti-horário.
ctx.arc(x, y, r, 0 , Math.PI, false);
Exemplo 2.2.5 Com o código em Javascript abaixo podemos associar um retângulo cujocanto superior esquerdo têm coordenadas (x,y) à um elemento de R4.
rect(x, y, largura, altura)
2.3 DistânciaA distância entre pontos é um conceito fundamental, pois partir da noção de métrica é queconstruímos a geometria em espaços até mais gerais que o espaço euclidiano. A métrica pos-sibilita tanto no estudo da Topologia em espaços métricos quanto na Geometria Diferencial.Desta forma, faz-se necessário definirmos, de uma maneira ideal, a distância entre dois pontosno espaço euclidiano.
Definição 2.3.1 Sejam A = (x1, ..., xn) e B = (y1, ...,yn) pontos em Rn definimos a distânciaeuclidiana entre A e B por
d(A,B) =√(x1 − y1)2 + ...(xn − yn)2.
Na verdade existem outras maneiras de determinar distância entre dois pontos no espaço, poisdistância é um conceito mais geral.
Exemplo 2.3.1 Dados dois pontos A = (x1, x2) e B = (y1,y2) em R2 podemos definir adistância como sendo
d(A,B) = |x1 − y1|+ |x2 − y2|.
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12 2. Espaço Euclidiano
Essa distância é chamada distância do taxista. Dê uma interpretação geométria para estadistância.
Uma esfera de centro no ponto A ∈ Rn e raio r no espaço euclidiano Rn é o conjunto de todosos pontos X ∈ Rn cuja distância até o ponto A é igual a r.
S[A, r] = {X ∈ Rn; d(X,A) = r}
Exemplo 2.3.2 Considere um ponto C = (x0,y0, z0) ∈ R3. A esfera de centro em A e raior é o conjunto
S[A, r] = {X ∈ Rn; d(X,C) = r}.
Assim, todo para todo ponto X = (x,y, z) ∈ S[A, r] temos que
d(X,C) =√(x− x0)2 + (y− y0)2 + (z− z0)2 = r.
Segue que(x− x0)
2 + (y− y0)2 + (z− z0)
2 = r2 (2.3.1)
A expressão 2.3.1 é equação da esfera de centro em C e raio r. Para saber se um pontoX = (x,y, z) pertence à esfera basta substituir suas coordenadas na sua equação e verificar seé solução.
r
C
x
y
z
Figura 2.3.1: Esfera de centro em C e raio r
Exemplo 2.3.3 No espaço euclidiano R2 a esfera de centro em C = (x0,y0) e raio r échamada de circunferência e sua equação é dada por
(x− x0)2 + (y− y0)
2 = r2. (2.3.2)
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2.4. Exercícios 13
Para saber se um ponto P = (x,y) pertence à circunferência basta substituir suas coordenadasna sua equação e verificar se é solução. (Exercício 2.4.2)
Uma bola aberta de centro em A ∈ Rn e raio r > 0 é o conjunto de todos os pontos X ∈ Rncuja distância até o ponto A é menor que r. Denotaremos por
B(A, r) = {X ∈ Rn; d(A,X) < r}.
A noção de bola aberta no espaço euclidiano é muito utilizada no estudo de Cálculo de Funçõesde Várias Variáves e é fundamental para a Topologia em espaços métricos.
Exemplo 2.3.4 A bola aberta de centro em A e raio r em R2 é o interior da círcunferênciaS[A, r] ⊂ R2
r
A
B(A, r) = {X ∈ R2; d(A,X) < r}.
2.4 Exercícios
2.4.1 Esboce os pontos A = (1, 0, 5), B = (1,−2, 2), C = (−1,−3, 3) e C = (−2, 1,−3) no espaçoeuclidiano R3.2.4.2 Verifique se os pontos A = (1, 0),B = (2, 3),C = (−1,−1),D = (3, 4),E = (1, 4), F =(1, 2),G = (2,−1) pertencem à circunferência
(x− 2)2 + (y− 1)2 = 4
e esboce o gráfico.2.4.3 Sejam A = (−1, 3) e B = (2,−1). Determine os pontos P = (x,y) de modo que, o triânguloABP seja um triângulo isósceles. Interprete geometricamente.2.4.4 Dados os pontos A = (1, 4), B = (−3, 4) e C = (1, 5), determine o centro da circunfêrenciano qual esses pontos pertencem e escreva sua equação.2.4.5 Deduza a equação da circunferência de centro em C = (x0,y0) e raio r mostrada noExemplo 2.3.3
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14 2. Espaço Euclidiano
2.4.6 Dados três pontos no espaço euclidiano R3 é possivel encontrar um esfera que tem essespontos? Se for possível, dê um exemplo.2.4.7 Considere os pontos A = (1, 4, 3) e B = (1, 4, 8). Determine o conjunto dos ponto P =(x,y, z) de modo que d(A,P) = 5 e d(B,P) =
√50. Interprete geometricamente.
2.4.8 Considere o ponto P = (x0 + r cos θ,y0 + r sen θ), 0 6 θ 6 2π, como mostra a figuraabaixo. Prove que P pertence à circunferência de centro em (x0,y0) e raio r. Procure entender oque acontece quando θ varia entre 0 e 2π.
r
x0
y0C θ
P
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3Vetores
3.1 Espaço vetorial
Definição 3.1.1 Seja V um conjunto não vazio. Dizemos que V é um espaço vetorial sobreR se estiverem definidas em V duas operações binárias soma + : V × V → V e multiplicaçãopor um escalar · : R× V → V tais que para quaisquer u, v,w ∈ V e λ,γ ∈ R tem-se
1. u+v=v+u;
2. (u+v)+w=u+(v+w);
3. Existe 0V ∈ V tal que u+ 0V = 0V + u = u;
4. Para qualquer u ∈ V existe um elemento u ′ ∈ V tal que u+ u ′ = 0V = u ′ + u;
5. λ · (u+ v) = λ · u+ λ · v;
6. (λ+ γ) · u = λ · u+ γ · u;
7. (λγ) · u = λ(γ · u);
8. 1 · u = u.
Exemplo 3.1.1 O conjunto M2×2(R) da matrizes quadradas de ordem 2 com as operaçõesusuais de soma e multiplicação por um número real é um espaço vetorial, pois essas operaçõespossuem as propriedades das operações para espaço vetorial. Verifique!
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16 3. Vetores
Exemplo 3.1.2 Considere P2(R) o conjunto de todos os polinômios de grau menor que ouigual a 2. Para quaisquer p(x) = a0 + a1x + a2x
2 e q(x) = b0 + b1x + b2x2 em P2(R) e para
todo λ ∈ R, definimos as operações
p(x) + q(x) = a0 + b0 + (a1 + b1)x+ (a2 + b2)x2
λ · p(x) = λa0 + λa1x+ λa2x2.
O conjunto P2(R) munido dessas operações é um espaço vetorial real.
3.2 Vetores no espaço euclidianoOs pontos A = (x1, ..., xn) e B = (y1, ...,yn) em Rn definem um vetor −→AB em Rn dado por
−→AB = (y1 − x1, ...,yn − xn).
Os elementos yi − xi, onde i = 1, ...,n são chamados coordenadas do vetor −→AB. O vetor −→AB érepresentado por um segmento orientado de origem em A e extremidade em B.
Exemplo 3.2.1 No espaço R3 o vetor−→AB é representado como mostra a figura:
y
x
z
B
A
Figura 3.2.1: Vetor em R3
Exemplo 3.2.2 Sejam A = (1, 2), B = (3, 4), C = (3, 1) e D = (5, 3). Assim, temos que−→AB = (2, 2) e
−→CD = (2, 2).
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3.2. Vetores no espaço euclidiano 17
x
y
A
B
C
D
Figura 3.2.2: Vetores equivalentes
Podemos observar do Exemplo 4.1.1 que cada um dos vetores −→AB e −→CD possuem uma represen-tação geométrica diferente, porém têm as mesmas coordenadas e são, portanto, equivalentes.O que acontece é que a equivalência de vetores no espaço euclidiano Rn não depende de suarepresentação geométrica, mas apenas de suas coordenadas. Assim, dizemos que dois vetoresno espaço euclidiano são iguais se, e somente se, suas coordenadas são iguas.
Exemplo 3.2.3 O vetores−→AB e
−→CD do Exemplo 4.1.1 podem ser representados geometri-
camente no plano cartesiano por um segmento orientado de origem no ponto O = (0, 0) eextremidade no ponto P = (2, 2).
−→AB =
−→CD =
−→OP = (2, 2).
x
y
P
Figura 3.2.3: Representação do vetor na origem do plano cartesiano
Uma lista ordenada v = (x1, ..., xn) ∈ Rn é um vetor que pode ser representado geometricamentepor um segmento orientado com origem no ponto O = (0, ..., 0) e extremidade no ponto P =
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18 3. Vetores
(x1, ..., xn) e assim temos v =−→OP. O vetor −→0 = (0, 0, ..., 0) ∈ Rn, de origem e extremidade no
ponto O = (0, 0, ..., 0), é chamado de vetor nulo.
Exemplo 3.2.4 O vetor v = (3, 1) em R2 é representado gemoetricamente com origem noponto O = (0, 0) e extremidade no ponto P = (3, 1).
x
y
P1
3
Figura 3.2.4: Representação do vetor na origem do plano cartesiano
Observação 3.2.1 Dois segmentos orientados paralelos, de mesmo sentido e mesmo compri-mento são equivalentes. Assim, um segmento orientado
−→AB, pode representar o conjunto de
todos os segmentos orientados paralelos, de mesmo sentido e mesmo comprimento que−→AB ob-
tendo assim uma classe de equivalência. Existe outra maneira de definir vetores utilizando essaideia de classes de equivalência a partir de uma relação de equivalência. Para mais detalhes oleitor deve consultar (citar as referencias).
Operações com vetores
Sejam u = (x1, ..., xn) e v = (y1, ...,yn) ∈ Rn e t ∈ R. As operações de soma de e a multilicaçãopor um escalar no espaço euclidiano são definidas, respectivamente por
u+ v = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn);
t · u = (tx1, tx2, ..., txn).
O espaço euclidiano Rn munido dessas operações torna-se um espaço vetorial, isto é, tais ope-rações possuem todas as propriedades da Definição 3.1.1.
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3.2. Vetores no espaço euclidiano 19
Exemplo 3.2.5 A soma dos vetores u = (3,−4, 5) e v = (4,−3, 0) é o vetor
u+ v = (7,−7, 5).
Exemplo 3.2.6 A soma dos vetores u = (3, 5), v = (3,−1) e w = (0, 2) é o vetor
u+ v+w = (6, 6).
Seja V um espaço vetorial. Dizemos que um vetor v ∈ V é uma combinação linear dos vetoresv1, v2, ..., vs ∈ V se exsitem λ1, ..., λs ∈ R tais que
v = λ1 · v1 + λ2 · v2 + · · ·+ λs · vs.
Exemplo 3.2.7 Seja v = (1,−2, 1) ∈ R3. Temos que
v = 1 · (1, 0, 0) − 2 · (0, 1, 0) + 1 · (0, 0, 1),
então v é uma combinação linear dos vetores−→i = (1, 0, 0),
−→j = (0, 1, 0) e
−→k = (0, 0, 1).
Exemplo 3.2.8 Seja v = (x,y, z) um vetor qualquer em R3. Temos que
v = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1).
Qualquer vetor de R3 é uma combinação linear dos vetores ~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0) e ~k =(0, 0, 1). Podemos dizer que os vetores ~i, ~j e ~k são geradores do espaço R3. O vetor v pode,também, ser escrito na forma
v = x~i+ y~j+ z~k.
Dado o vetor v = (2,−3,−4), escrevemos
v = 2~i− 3~j− 4~k.
Definição 3.2.1 Seja V um espaço vetorial real. Dizemos que os vetores v,w ∈ V sãoparalelos se existe um t ∈ R tal que
w = t · v.
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20 3. Vetores
Dados vetores u e v no espaço euclidiano, para representar geometricamente o vetor u + vtraçamos uma reta paralela ao vetor v passando pela extremidade de u e uma reta paralela aovetor u passando pela extremidade de v e em seguida marcamos o ponto de interseção dessasretas. O vetor u + v terá sua origem em O e sua extremidade no ponto de interseção dessasretas.
Vimos neste capítulo que a noção de vetores como elementos de um espaço vetorial é bem maisgeral, pois existem espaços vetoriais em que fica difícil ter uma representação geométrica deseus vetores e acabam se tornando em objetos abstratos. Tais espaços são objetos de estudoem Álgebra Linear e outras áreas da matemática pura.
3.3 Norma de vetoresDefinimos a norma de um vetor v = (x1, x2, ..., xn) no espaço euclidiano como sendo
‖v‖ =√x2
1 + x22 + · · ·+ x2
n.
A norma do vetor v é a medida de seu comprimento.
Exemplo 3.3.1 Considere o vetor v = (2,−3,−1). Então o seu comprimento é dado por
‖v‖ =√
22 + (−3)2 + (−1)2 =√
14.
Exemplo 3.3.2 Se v = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn e t ∈ R temos que
‖t · v‖ =√(tx1)2 + (tx2)2 + · · ·+ (txn)2 = |t|
√x2
1 + x22 + · · ·+ x2
n.
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3.4. Produto Escalar 21
Assim, obtemos uma propriedade de norma de vetores que é dada por
‖t · v‖ = |t|‖v‖
Exemplo 3.3.3 Considere um vetor v = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn de comprimento igual a zero.Tal vetor deve ser, necessariamente, o vetor nulo. Observe que se
‖v‖ =√x2
1 + x22 + · · ·+ x2
n = 0,
então é necessário quex2
1 + x22 + · · ·+ x2
n = 0. (3.3.1)
Como a expressão 3.3.2 é uma soma de números positivos, então x1 = x2 = · · · = xn = 0 e,portanto, v = (0, 0, ..., 0). Podemos concluir que
‖v‖ = 0⇔ v = ~0
Considere os vetores u = (x1, ..., xn) e v = (y1, ...,yn) em Rn. A norma do vetor u+v é dada por
‖u+ v‖ =√
(x1 + y1)2 + (x2 + y2)2 + ... + (xn + yn)2.
elevando ambos os membros ao quadrado e desenvolvendo o produto notável de cada parcelatemos que
‖u+ v‖2 = x21 + 2x1y1 + y
21 + · · ·+ x2
n + 2xnyn + y2n. (3.3.2)
Podemos reescrever a Equação 3.3.2 da seguinte forma
‖u+ v‖2 =x21 + · · · x2
n + y21 · · ·+ y2
n + 2(x1y1 + · · · xnyn)=‖u‖2 + ‖v‖2 + 2(x1y1 + · · · xnyn) (3.3.3)
Da Equação 3.3.3 podemos perceber que ao calcular a norma da soma dos vetores u e vobtivemos na terceira parcela a expressão x1y1 + · · · xnyn. Esta expressão aparece em outrassituações, como por exemplo no cálculo de ângulo entre vetores, e é chamada de produtoescalar entre os vetores u e v. É indispensável, portanto, que dediquemos um pouco de tempono estudo desta expressão, como será feito na proxima seção.
3.4 Produto EscalarSejam u = (x1, ..., xn) v = (y1, ...,yn) vetores em Rn. Definimos o produto interno entre osvetores u e v por
< u, v >= x1y1 + ... + xnyn.
Proposição 3.4.1. Sejam u, v e w vetores em Rn e λ ∈ R.
i) < u, v >=< v,u >;
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22 3. Vetores
ii) < u+ v,w >=< u,w > + < v,w >;
iii) < λv,u >= λ < v,u >
iv) ‖v‖2 =< v, v > .
Demonstração: Exercício
Proposição 3.4.2 (Desiguldade de Cauchy-Schwarz). Sejam u, v vetores em Rn. Então
| < u, v > | 6 ‖u‖‖v‖.
Demonstração: Seja λ > 0 e considere o vetor λv+ u. Temos então que
‖λv+ u‖2 > 0.
Desta forma, obtemos< v, v > λ2 + 2 < u, v > λ+ < u,u >> 0 (3.4.1)
A desigualdade (3.4.1) é uma inequação de segundo grau da forma
Aλ2 + Bλ+ C > 0, ∀λ ∈ R.
Assim é suficiente que ∆ 6 0, ou seja,
4 < v,u >2 −4 < v, v >< u,u >6 0.
Portanto| < v,u > | 6 ‖v‖‖u‖.
Proposição 3.4.3 (Desigualdade Triângular). Para quaisquer vetores u, v ∈ Rn tem-se
‖u+ v‖ 6 ‖u‖+ ‖v‖.
Demonstração: Para quaisquer vetores u, v ∈ Rn tem-se que
‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + 2 < u, v > +‖v‖2.
Segue da desigualdade de Cauchy-Schwarz que
< u, v >6 ‖u‖‖v‖,
consequentemente
‖u+ v‖2 6 ‖u‖2 + 2‖u‖‖v‖+ ‖v‖2 = (‖u‖+ ‖v‖)2 .
Logo‖u+ v‖ 6 ‖u‖+ ‖v‖.
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3.5. Ângulo entre vetores 23
3.5 Ângulo entre vetoresConsidere os vetores u, v no plano e considere θ o ângulo entre esses vetores. A intersecão dareta perpendicular ao vetor v que contem a extremidade de u com a reta paralela ao vetor vdefine o vetor λv. Suponhamos que 0 < θ < π
2 e então temos que λ > 0.
λv v
u
θ
Figura 3.5.1: λ > 0
Observe que
cos θ =|λ|‖v‖‖u‖
= λ‖v‖‖u‖
(3.5.1)
Seja w = u− λv e assim obtemos
sen θ =‖u− λv‖‖u‖
Utilizando a relação fundamental tem-se
λ2‖v‖2 + ‖u− λv‖2 = ‖u‖2 (3.5.2)
Por outro lado,
‖u− λv‖2 = ‖u‖2 − 2λ < u, v > +λ2‖v‖2
e substituindo em (3.5.2) obtemos
λ =< u, v >‖v‖2 . (3.5.3)
Segue que
cos θ =< u, v >‖u‖‖v‖
. (3.5.4)
No caso em que π2 < θ < π temos que λ < 0.
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24 3. Vetores
λv v
θα
Figura 3.5.2: λ < 0
Consideramos α < π2 o ângulo entre os vetores u e λv. Desta forma, temos que
cos θ = − cosα = −|λ|‖v‖‖u‖
= λ‖v‖‖u‖
como na iguladade (3.5.1).
Exemplo 3.5.1 (Vetores ortogonais) Através da expressão (3.5.4) concluímos que doisvetores u e v são ortogonais se, e somente se, < u, v >= 0.
Exemplo 3.5.2 (Projeção de Vetores) O vetor λv como mostra na Figura 3.5.1 é chamadoprojeção de u sobre v denotado por Puv . Segue da expressão (3.5.3) que
Puv =< u, v >‖v‖2 v.
Exemplo 3.5.3 (Lei dos cossenos) Sejam u e v vetores no plano
‖u− v‖2 = ‖u‖2 − 2 < u, v > +‖v‖2
Se θ é o angulo formado pelos vetores u e v segue que
‖u− v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ (3.5.5)
A expressão (3.5.5) é chamada lei dos cossenos.
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3.5. Ângulo entre vetores 25
θv
u
u− v
Figura 3.5.3: Lei dos cossenos
Exemplo 3.5.4 (Força resultante) Sejam−→F1 ,−→F2 duas forças exercidas num objeto que
formam um ângulo θ e considere−→R =
−→F1 +
−→F2 a força resultante. Essas forças são vetores
num plano, então para obtermos o módulo da força resultante fazemos
‖−→R ‖2 =<
−→F1 +
−→F2 ,−→F1 +
−→F2 > .
Assim, obtemos‖−→R ‖2 = ‖
−→F1‖2 + ‖
−→F2‖2 + 2‖
−→F1‖‖−→F2‖ cos θ. (3.5.6)
θ
−→F1
−→F2
−→R
Figura 3.5.4: Força resultante
Observação 3.5.1 É comum denotar o módulo de uma força−→F por F. Não confunda o
número F com o vetor−→F . Assim, a expressão (3.5.6) é escrita como
R2 = F21 + F
22 + 2F1F2 cos θ.
Exemplo 3.5.5 (Trabalho) Se−→F é uma força exercida sobre um objeto realizando um des-
locamento−→d o trabalho realizado é dado pelo produto escalar entre a força e o deslocamento,
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26 3. Vetores
isto é,W =<
−→F ,−→d > .
Utilizando a expressão 3.5.4, podemos calcular o trabalho realizado pela força−→F por
W = F · d cos θ,
onde θ é ângulo entre a força exercida e o deslocamento.
Exemplo 3.5.6 (Área do paralelogramo) Considere o paralelogramo definido pelos ve-tores u e v.
Puv v
u
h
Figura 3.5.5: Paralelogramo
A área do paralelogramo é dada por
A = ‖v‖ · h.
Observe que h = ‖u− Puv ‖ e então
A2 = ‖v‖2 · ‖u− Puv ‖2 (3.5.7)
Por outro lado, segue do Teorema de Pitágoras que
‖u− Puv ‖2 = ‖u‖2 − ‖Puv ‖2,
portantoA2 = ‖v‖2‖u‖2 − ‖v‖2‖Puv ‖2.
ComoPuv =
< u, v >‖v‖2 v
então
‖Puv ‖2 =< u, v >2
‖v‖2 .
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3.6. Produto Vetorial 27
Assim, obtemos a expressão da área do paralelogramo dada por
A2 = ‖v‖2‖u‖2− < u, v >2 .
O Exercício 3.7.4 nos dá um método prático para o cálculo de área de paralelogramo.
Exemplo 3.5.7 (Equação do plano) Dado um vetor não nulo v = (a,b, c) ∈ R3 e umponto A = (x0,y0, z0). Existe um único plano α que contém o ponto A e é perpendicular aovetor v. Este plano é o conjunto de todos os pontos P = (x,y, z) ∈ R3 tal que
<−→AP, v > 0.
Como−→AP = (x− x0,y− y0, z− z0), obtemos
ax+ by+ cz = ax0 + bx0 + cz0.
Fazendo d = ax0 +bx0 +cz0, obtemos a equação do plano perpendicular ao vetor v = (a,b, c)dada por
ax+ by+ cz = d (3.5.8)
Exemplo 3.5.8 Para determinar a equação de um plano α que contém o ponto A = (3, 0, 1)perpendicular ao vetor v = (2, 1, 2) consideramos
<−→AP, v >= 0
para todo ponto P = (x,y, z) ∈ α. Como−→AP = (x− 3,y, z− 1) segue que
2(x− 3) + y+ 2(z− 1) = 0,
portanto a equação do plano α é dada por
2x+ y+ 2z = 8.
3.6 Produto VetorialUma força aplicada em um objeto tende a a faze-lo girar em torno de um eixo fora da linha deação da força. A tendência deste objeto girar é chamada de momento e este eixo é denominadoeixo de momento. Por exemplo, considere uma força F sendo aplicada em uma garrafa numponto A, como mostra a figura 3.6.1, então esta garrafa tende a girar em torno do eixo demomento que passa por um ponto B perpendicular ao plano de ação da força e o vetor −→BA. Ovetor −→BA é chamado braço de momento. O momento é uma grandeza vetorial que dá a direção
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28 3. Vetores
do eixo de momento. Assim, para determinarmos a direção do momento de uma força precisamosencontar um vetor que seja perpendicular a força e ao braço de momento simultaneamente. Pararesolvermos este tipo de problema utilizamos a noção de produto vetorial em R3.
Figura 3.6.1
Considere dois vetores u = (x1,y1, z1) e v = (x2,y2, z2) ∈ R3. Para determinarmos um vetorw = (a,b, c) perpendicular a u e v, simultaneamente, devemos encontrar uma solução para osistema
{x1a+ y1b+ z1c = 0x2a+ y2b+ z2c = 0. (3.6.1)
Podemos observar que o sistema tem uma infinidade de soluções. O vetor
w1 = (y1z2 − y2z1, x2z1 − x1z2, x1y2 − x2y1) (3.6.2)
é uma solução para o sistema e é chamado de produto vetorial de u por v.
Exemplo 3.6.1 Considere os vetores u = (1,−2, 0) e v = (−3, 1,−2). O produto vetorial deu por v é o vetor
w1 = (4, 2,−7).
Note que w1 é, simultaneamente, perpendicular a a u e v.
É importante observar que o vetor
w2 = (y2z1 − y1z2, x1z2 − x2z1, x2y1 − x1y2) (3.6.3)
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3.6. Produto Vetorial 29
é, também, uma solução para o sistema e é chamado produto vetorial de v por u.
Exemplo 3.6.2 Dados os vetores u = (2,−5, 1) e v = (2, 3,−3) temos que w1 = (12, 8, 16)e w2 = (−12,−8,−16) são vetores perpendiculares a u e v simultaneamente.
O produto vetorial de u por v será indicado por u × v e o produto vetorial de v por u seráindicado por v× u. Tais vetores tem sentidos opostos, isto é, v× u = −u× v.
u
v
u× v
v× u
Figura 3.6.2: Produto vetorial
Propriedades
É importane observar algumas propriedades do produto vetorial. Dados vestores u, v,w ∈ R3 et ∈ R então:
a) (u+ v)×w = u×w+ v×w e w× (u+ v) = w× u+w× v
b) (tu)× v = u× (tv) = t(u× v)
A propriedade associativa no produto vetorial não é válida, isto é,
(u× v)×w 6= u× (v×w).
O leitor deve dar um contra-exemplo para mostrar que a associatividade não é válida.
Método prático para cálculo do produto vetorial
As coordenadas do produto vetorial de u = (x1,y1, z1) por v = (x2,y2, z2) podem ser calculadasutilizando a matriz
M =
i j k
x1 y1 z1
x2 y2 z2
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30 3. Vetores
e por meio de seu determinante dado pordet(M) = (y1z2 − y2z1)i− (x1z2 − x2z1)j+ (x1y2 − x2y1)k.
Os coeficientes que multiplicam i, j,k serão, respectivamente, a primeira, segunda e terceiracoordenada de u× v. Desta maneira, obtemos como na expressão 3.6.2 o vetor
u× v = (y1z2 − y2z1, x2z1 − x1z2, x1y2 − x2y1).
Para obter o vetor v×u basta permutar as linhas 2 e 3 da matriz M e fazer o mesmo processo.
Exemplo 3.6.3 Dados os vetores u = (2,−2, 2), v = (−5, 0, 2) e calculando o determinante∣∣∣∣∣∣i j k
2 −2 2−5 0 2
∣∣∣∣∣∣ = −4i− 14j− 10k,
temos queu× v = (−4,−14,−10).
Ao permutarmos as linhas 2 e 3 o determinante muda de sinal e, consequentemente, teremos
v× u = (4, 14, 10).
Exemplo 3.6.4 (Momento de uma força) Uma estrutura tubular está sujeita a umaforça de 80 N como mostra a figura abaixo. Determine a direção do eixo de momento dessaforça em relaçao ao ponto C.
Fonte: HIBBELER
O eixo de momento é perpendicular ao plano que contém a força e o braço de momento. O
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3.6. Produto Vetorial 31
braço de momento é o vetor ~r com origem no ponto A e extremidade em C. No sistema SIsuas coordenadas são dadas por
~r = (0.55, 0.4,−0.2).
As coordenadas da força ~F são dadas por ~F = (40√
3 sen 40o, 40√
3 cos 40o,−40). Considerandosen 40o = 0.64 e cos 40o = 0.76 temos
~F = (44.34, 52.65,−40).
O momento da força ~F em relação ao ponto C é o vetor~r×~F, e suas componentes são calculadosa partir do determinante∣∣∣∣∣∣
i j k
0.55 0.4 −0.244.34 52.65 −40
∣∣∣∣∣∣ = −5.47i+ 13.132j+ 11.2215k,
e obtemos, portanto,~r×~F = (−5.47, 13.132, 11.2215)
A intensidade do momento é dada por ‖~r×~F‖ = 18.12 N· m.
Exemplo 3.6.5 Determine a intensidade do momento da força ~F em relação ao ponto A,onde θ = 30o.
Fonte: HIBBELER
Considerando um sistema de coordenadas cartesianas com a origem no ponto A temos que obraço de momento é
~r = (−3, 2, 0).
As componentes da força ~F são dadas por
~F = (−400 cos 30o,−400 sen 30o, 0) = (−200√
3,−200, 0).
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32 3. Vetores
Calculando as componentes do momento ~r×~F através do determinante∣∣∣∣∣∣i j k
−3 2 0−200
√3 −200 0
∣∣∣∣∣∣ = (600 + 400√
3)k,
obtemos, portanto,~r×~F = (0, 0, 600 + 400
√3)
A intensidade do momento é ‖~r×~F‖ = 1292, 8 N·m.
Exemplo 3.6.6 (Área do paralelogramo em R3) A área do paralelogramo determinadopelos vetores u e v em R3 pode ser calculada através do módulo do produto vetorial de u porv, isto é, podemos demonstrar a igualdade
‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2− < u, v >2 .
Ver exercício ??
Dados u = (2, 3, 3) e v = (−1, 0,−2), então a área do paralelogramo determinado por u e v éo módulo do vetor u× v. Temos∣∣∣∣∣∣
i j k
2 3 3−1 0 −2
∣∣∣∣∣∣ = −6i+ 1j+ 3k,
e, portanto,u× v = (−6, 1, 3).
A área do paralelogramo é A =√
46.
Exemplo 3.6.7 (Volume do paralelepípedo) Os vetores u, v e w em R3 determinam umparalelepípedo como mostra a figura.
u
v
w
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3.6. Produto Vetorial 33
O volume do paralelepípedo é o produto da área da base pela sua altura. Considerando abase como sendo o paralelogramo determinado pelos vetores u e v, então sua área é dada por‖u×v‖ como no Exemplo 3.6.6. A altura h é um segmento paralelo ao vetor u×v e é traçada,perpendicularmente, a partir da extremidade do vetor w até à base.
u
h
w
u× v
θ
θ
Temos, então, queh = ‖w‖| cos θ|.
Por outro lado, como θ é o ângulo entres os vetores u× v e w temos, também, que
cos θ =< u× v,w >‖u× v‖‖w‖
.
Portanto, a altura é dado por
h =| < u× v,w > |
‖u× v‖,
e, consequentemente, o volume é dado por
V = | < u× v,w > |.
O número < u× v,w > é chamado produto misto entre os vetores u, v e w.
Produto misto
O produto misto entre os vetores u = (x1,y1, z1), v = (x2,y2, z2) e w = (x3,y3, z3) pode sercalculado a partir do determinate da matrz cujo suas linhas são as corrdenadas dos vetores u, ve w.
< u× v,w >=
∣∣∣∣∣∣x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
∣∣∣∣∣∣
Exemplo 3.6.8 O Produto misto entre os vetores u = (1, 0, 1), v = (2, 1, 1) e w = (0,−2−1)é
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34 3. Vetores
< u× v,w >=
∣∣∣∣∣∣1 0 12 1 10 −2 −2
∣∣∣∣∣∣ = −4.
Como no Exemplo 3.6.7, o volume do paralelepípedo determinado por esses vetores é
V = | < u× v,w > | = 4
3.7 Exercícios
3.7.1 Determine as coordenadas do vetor v ∈ R2 de comprimento igual a 5 e faz um ângulo de60◦ com a horizontal e esboce o gráfico.3.7.2 Um bloco está sendo puxado por um fio sobre um superfície lisa, com uma força consatante~F intensidade
√3
3 N. Supondo que o ângulo da força em relação a superfície é de 30◦ determine ascoordenadas da força ~F e esboce num sistema de coordenadas.3.7.3 Suponha que um objeto está sob ação de forças como mostra o diagrama abaixo. Determineas coordenadas da forças ~F1, ~F2, ~F3 e as coordenadas da força resultante e a sua intensidade.
F1 =√
5 N
F2 = 2 N
F3 =√
8 N
60o
135o
165o
3.7.4 Considere um paralelogramo em R3 determinado pelos vetores u = (x1,y1) e v = (x2,y2).Mostre que sua área pode ser calculada como sendo o valor absoluto do determinate da matriz
A =
[x1 y1
x2 y2
]3.7.5 Mostre que a área A de um paralelogramo em R3 determinado pelos vetores u e v podeser calculada por
A = ‖u× v‖.
3.7.6 Determine a equação do plano α que contém o ponto A = (−1, 3, 2) perpendicular ao vetorv = (2, 3, 1).3.7.7 Determine a equação do plano que contém o conjunto dos pontos A = (3, 1, 2),B = (5, 2, 3)e C = (−1, 3 − 1).3.7.8 O método de levantamento topográfico por irradiação baseia-se em estabelecer uma estaçãocentral O, de onde todos os vértices que definem a poligonal possam ser vistos. A partir da estaçãocentral medem-se as distâncias aos vértices A,B e C da poligonal e os ângulos horizontais entre adireção norte sul com a linhas que possuem a estação central e o vértice, medido a partir do nortepara direita, chamado azimute à direita.
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3.7. Exercícios 35
NM
O
A
B
C
Figura 3.7.1: Levantamento topográfico
Considerando os valores na tabela abaixo calcule as coordenadas dos vértices e a área do terreno.
Linhas Azimute ComprimentoO−A 60◦ 50 mO− B 135◦ 30 mO− C 300◦ 35 m
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4Retas no Espaço Euclidiano
Quando uma partícula P descreve uma trajetória em R2 podemos determinar sua posição acada instante t, isto é, suas coordenadas podem ser dadas em função do tempo e escrevemosP = (x(t),y(t)). Parametrização de curvas no espaço euclidiano consiste em determinar ascoordenadas de seus pontos em função de um parâmetro t ∈ R. Assim, uma curva parametrizadano espaço euclidiano é uma função que associa cada t ∈ I ⊂ R a um único ponto P(t) ∈ Rn.
Exemplo 4.0.1 Uma particula descrevendo a trajetória no sentido anti-horário de umacircunferência de centro na origem e raio r tem coordenadas P(t) = (rcos(t), rsen(t)). Afunção P(t) é uma parametrização para esta circunferência.
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37
Observe que para todo t ∈ R tem-se que x = rcos(t) e y = rsen(t) são soluções para aequação da circunferência
x2 + y2 = r2.
Exemplo 4.0.2 A trajetória descrita pela particula cujas coordenadas, para cada instantet, são P(t) = (et cos(t), et sen(t)), é uma espiral como mostra a figura abaixo.
Exemplo 4.0.3 A função P(t) = (−1 + t, 3 + 2t) é a parametrização de uma reta em R2.Para cada t ∈ R tem-se que P(t) é um ponto desta reta.
Neste capítulo iremos focar apenas no estudo de parametrização de retas no espaço euclidiano.
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38 4. Retas no Espaço Euclidiano
4.1 Parametrização de RetasPara parametrizar uma reta no espaço euclidiano consideremos, inicialmente, um ponto A =(a1, ...,an) e um vetor v = (v1, ..., vn) em Rn. A reta paralela ao vetor v e que contém o pontoA, denotada por r, é o conjunto de todos os pontos P = (x1, ..., xn) ∈ Rn tais que o vetor −→AP éparalelo a v , isto é, para cada ponto P ∈ r existe um t ∈ R tal que
−→AP = tv.
Sendo assim, temos que(x1 − a1, ..., xn − an) = t(v1, ..., vn). (4.1.1)
Da Equação 4.1.1 temos que os pontos P ∈ r são dados por
P = (a1 + tv1, ...,an + tvn), t ∈ R. (4.1.2)
Observe que da Equação 4.1.2 cada coordenada xi, i = 1, ...,n, do ponto P ∈ r é uma funçãoreal dependendo do parâmetro t ∈ R, dada por
xi(t) = a1 + vit,
além disso, a reta “passa” 1 pelo ponto A em t = 0. Podemos definir a função
α(t) = (a1 + tv1, ...,an + tvn), t ∈ R,
chamada parametrização da reta que é paralela ao vetor v = (v1, ..., vn) que contém o pontoA = (a1, ...,an). Note que α(0) = A.
Exemplo 4.1.1 Se A = (x0,y0) e v = (a,b), então uma parametrização da reta que passapelo ponto A na direção do vetor v é dada colocando para todo t ∈ R
x =x0 + at
y =y0 + bt
obtendo α(t) = (x0 + at,y0 + bt).
Exemplo 4.1.2 Se B = (x0,y0, z0) e u = (a,b, c), então uma parametrização da reta quepassa pelo ponto B na direção do vetor u é dada colocando para todo t ∈ R
x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0 + ct
obtendo α(t) = (x0 + at,y0 + bt, z0 + ct).1Passar não é no sentido de que a reta se movimenta, mas no sentido de que a reta é a trajetória de uma
partícula que passa por um ponto P num instante t0 ∈ R
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4.1. Parametrização de Retas 39
Exemplo 4.1.3 A reta r que contém o ponto A = (1,−2) paralela ao vetor v = (3, 1) podeser parametrizada colocando
x = 1 + 3ty = −2 + t,
e assim escrevemos r(t) = (1 + 3t,−2 + t).
Exemplo 4.1.4 Considere os pontos A = (2, 3, 0) e B = (1, 4, 2) em R3. Para determinarmosuma parametrização da reta r que contém os pontos A e B precisamos de um vetor que dá adireção desta reta e, neste caso, escolhemos o próprio vetor v =
−→AB = (−1, 1, 2). Considerando
o ponto A e fazendo para todo t ∈ R
x = 2 − ty = 3 + tz = 2t
(4.1.3)
obtemos uma parametrização α(t) = (2 − t, 3 + t, 2t). Se considerarmos o ponto B e fizermospara todo t ∈ R
x = 1 − 1ty = 4 + tz = 2 + 2t
(4.1.4)
iremos obter outra parametrização β(t) = (1 − t, 4 + t, 2 + 2t) para a reta r. Observe que naparametrização 4.1.3 a reta passa pelos pontos A e B em t = 0 e t = 1, respectivamente. Em4.1.4 a reta passa pelos pontos A e B respectivamente em t = −1 e t = 0.
Exemplo 4.1.5 Considere as retas α(t) = (−1 + 2t, 5 − 3t) e β(t) = (−1 + 4t, 5 − 6t) emR2.
A reta α(t) passa pelo ponto P = (−1, 5) na direção do vetor v = (2,−3) e a reta β(t) épassa pelo ponto P na direção do vetor u = (4,−6). Assim, temos que as retas α(t) e β(t)tem a mesma direção e passam pelo mesmo ponto e são, portanto, iguais. Neste caso, temosque embora as parametrizações são distintas a velocidade que um ponto se desloca nesta retaé diferente para cada parametrização. Observe que para t = 0 temos que α(0) = β(0) = P,enquanto que para t = 1 temos que α(1) = (1, 2) e β(1) = (3,−1).
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40 4. Retas no Espaço Euclidiano
Exemplo 4.1.6 Vamos determinar a equação da reta s que passa pelo ponto A = (−1, 0,−1)em t = 2 e passa pelo ponto B = (−5, 2,−7) em t = 4. Sejam d = (a,b, c) o vetor paralelo àreta e O = (x0,y0, z0) o ponto em que a reta passa quando t = 0. Temos então que para todoponto P = (x,y, z) em s
x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct
, t ∈ R. (4.1.5)
Para t = 2 tem-se−1 = x0 + 2a
0 = y0 + 2b−1 = z0 + 2c
, (4.1.6)
e para t = 4 tem-se que−5 = x0 + 4a
2 = y0 + 4b−7 = z0 + 4c
(4.1.7)
Das equações 4.1.6 e 4.1.7 obtemos d = (−2, 1,−3) e O = (3,−2, 5). Portanto,
x = 3 − 2ty = −2 + tz = 5 − 3t
, t ∈ R. (4.1.8)
Para parametrizarmos uma reta no espaço euclidiano, vimos que basta conhecermos pelo menosum de seus pontos e um vetor v que dá sua direção. No Exemplo 4.1.4 e no Exemplo 4.1.5 vimosque uma mesma reta pode ter parametrizações distintas. No caso do Exemplo 4.1.5 emboraos vetores v e u tem a mesma direção as parametrizações são diferentes. O que acontece éque o vetor dá, além da direção, a velocidade de deslocamento entre dois pontos da reta aléme a orientação. Tal vetor é chamado de vetor velocidade e sua norma é a velocidade dedeslocamento.
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4.2. Equação Cartesiana da Reta no Plano 41
Observação 4.1.1 Direção não é o mesmo que orientação.
No estudo de parametrização de retas em Rn utilizamos a noção de pontos, vetores e paralelismoque são, na verdade, objetos de espaços vetoriais. Assim, o mesmo pode ser feito em qualquerespaço vetorial. Imagine como seria um reta parametrizada no espaço vetorial P2(R), isto é, umareta cujos pontos são polinômios. Como seria a equação de uma reta em P2(R) passando porp(x) = 1 + x paralela ao vetor q(x) = x2?
4.2 Equação Cartesiana da Reta no PlanoA equação de uma reta r em R2 pode ser escrita na forma
y = mx+ k (4.2.1)
chamada equação cartesiana da reta. Considere r uma reta paralela ao vetor v = (a,b), ondeb 6= 0, parametrizada por
x =x0 + at (4.2.2)y =y0 + bt. (4.2.3)
Multiplicando Equação 4.2.2 por b e a Equação 4.2.3 por a e subtraindo obtemos
bx− ay = bx0 − ay0,
o que nos dáy =
b
ax+
ay0 − bx0
b.
Assim, obtemos a equação da reta na forma da Equação 4.2.1, onde m =b
ae k =
ay0 − bx0
b.
Observe que m é igual a tangente do ângulo que o vetor v faz com o eixo x que é o mesmoângulo que a reta faz com o eixo x. Dizemos que m é o cofeciente angular da reta.
4.3 Equação Geral da Reta no PlanoDados um ponto A = (x0,y0) e um vetor u = (a,b) em R2, podemos definir a reta s perpendicularao vetor u que contém o ponto A. A reta s é o conjunto de todos os pontos P = (x,y) tais queo vetor −→AP é perpendicular ao vetor u,
s ={(x,y) ∈ R2; <
−→AP, v >= 0
}.
Temos que<−→AP, v >= 0⇐⇒ ax+ by = ax0 + by0.
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42 4. Retas no Espaço Euclidiano
Considerando a constante c = ax0 + by0, obtemos a equação da reta na forma
ax+ by = c. (4.3.1)
A Equação 4.3.1 é chamada equação geral da reta perpendicular ao vetor u = (a,b).
Exemplo 4.3.1 A equação2x− 1y = −1
é de uma reta perpendicular ao vetor u = (2,−1).
2
−1 u
Figura 4.3.1: Reta perpendicular ao vetor u
Exemplo 4.3.2 Considerando a reta r do Exemplo 4.1.4, vamos determinar uma parame-trização de tal maneira que a reta passe pelo ponto A em t = 0 e no ponto B em t = 3.