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Geometria Métrica Espacial
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
Geometria Métrica Espacial
1.Prismas
2.Pirâmides
3.Cilindros
4.Cones
5.Esfera
3
Considere um polígono qualquer contido numplano α e seja r uma reta qualquer, secante a α emum ponto X. Em r, considere também um ponto Ydistinto de X.
1. Prismas
4
Chama-se prisma a reunião de todos ossegmentos paralelos e congruentes a que têmuma extremidade num ponto qualquer do polígono eque estão situados num mesmo semi-espaçodeterminado por α.
1. Prismas
XY
5
Vértices: São os pontos A, B, C, …, A’, B’, …
Bases: São os polígonos ABCDEF e A’B’C’D’E’F’. Asbases são congruentes e estão contidas em planosparalelos.
Altura: É a distância dos planos que contêm asbases do prisma.
1.1. Elementos do prisma
'
' '
'''
6
Arestas das bases: São os lados das bases. Ouseja, , , … , , …
Arestas laterais: São os segmentos que unem osvértices correspondentes das bases. Isto é, ,
, .
1.1. Elementos do prisma
AB BC ' 'AB ' 'BC
'AA'BB 'CC
'
' '
'''
2
7
Faces laterais: São os paralelogramos ABB’A’,BCC’B’, CDD’C’, … Genericamente, tanto as faceslaterais como as bases são denominadas faces doprisma.
Diagonal: É qualquer segmento que une doisvértices não pertencentes a uma mesma face.
1.1. Elementos do prisma
'
' '
'''
8
Conforme as bases de um prisma sejamtriângulos, quadriláteros, pentágonos … o prisma édenominado triangular, quadrangular, pentagonal, …,respectivamente.
1.2. Nomenclatura
prisma
triangular
prisma
pentagonal
9
Dentre os prismas quadrangulares convémdestacar os paralelepípedos. São aqueles cujasbases são paralelogramos.
1.2. Nomenclatura
paralelepípedo
10
Um prisma é denominado reto se suasarestas laterais são perpendiculares aos planos dasbases. Caso contrário, o prisma é denominadooblíquo.
Note que as faces laterais de um prismareto são retângulos.
1.3. Classificação
prisma
reto
prisma
oblíquo
11
Dentre os prismas retos convém destacar oparalelepípedo reto retângulo, no qual todas asfaces, incluindo as bases, são retângulos.
1.3. Classificação
Paralelepípedo reto retângulo
12
Um prisma reto cuja base é um polígonoregular é denominado prisma regular.
1.4. Prisma regular
3
13
Um prisma reto cuja base é um polígonoregular é denominado prisma regular.
1.4. Prisma regular
14
Dentre os prismas regulares devemosdestacar o cubo ou hexaedro regular. No cubo, as6 faces são quadrados.
1.4. Prisma regular
15
Chama-se área lateral de um prisma a somadas áreas de todas as suas faces laterais. A árealateral será denominada por Sl.
A área total de um prisma é a soma de suaárea lateral com as áreas de suas bases. A área deuma base e a área total de um prisma serãodenotadas por SB e St, respectivamente.
Assim sendo:
1.5. Área lateral e área total
2t l BS S S= + ⋅
16
Exercício 1: Calcular o comprimento de umadiagonal de um paralelepípedo reto retângulo,sabendo que as arestas de base medem 4 cm e 3cm e que sua altura é igual a 2 cm.
1.5. Área lateral e área total
17
Exercício 2: Calcular a área total de um prismatriangular regular, cuja aresta da base mede 4 m ecuja altura é igual a 6 m.
1.5. Área lateral e área total
18
Exercício 3: De um cubo de aresta a, calcule: a) aárea total e b) a diagonal.
1.5. Área lateral e área total
4
19
Exercício 4: A área total de um cubo é igual a 54cm2. Qual é a medida de sua diagonal?
1.5. Área lateral e área total
20
Exercício 5: As dimensões de um paralelepípedoreto retângulo são a, b e c. Calcule a área total e adiagonal, ambos em função de a, b e c.
1.5. Área lateral e área total
21
Exercício 6: Num prisma triangular reto asarestas da base medem 5 cm, 6 cm e 7 cm, e umaaresta lateral mede 10 cm. Calcule a área totaldesse prisma.
1.5. Área lateral e área total
22
Exercício 7: A figura abaixo mostra um prismahexagonal regular. Calcule: a) a área lateral; b) aárea de uma base; c) a área total e d) a diagonal D.
1.5. Área lateral e área total
23
O volume de um paralelepípedo retoretângulo é o produto de suas três dimensões.
1.6. Volume do prisma
V a b c= ⋅ ⋅
24
Se a e b são as dimensões da base doparalelepípedo e c é sua altura, observe que oproduto a . b é a área da base desse sólido. Assim,
1.6. Volume do prisma
BV S H= ⋅O volume de um paralelepípedo reto
retângulo é igual ao produto da área da base pelaaltura.
5
25
Chama-se secção transversal de um prisma aintersecção, não-vazia, desse prisma com qualquer plano,paralelo às suas bases.
1.7. Secção transversal
26
Note que, num prisma qualquer, todas as secçõestransversais são congruentes às bases.
1.7. Secção transversal
27
O conceito de secção transversal se estende aoutros tipos de sólidos.
1.7. Secção transversal
28
Considere dois sólidos e um plano α. Suponha quetodo plano paralelo a α, que intercepte um dos sólidos,intercepte também o outro e determine secçõestransversais de áreas iguais. Nessas condições os doissólidos têm volumes iguais.
1.8. Princípio de Cavalieri
29
Vamos considerar um prisma qualquer e umparalelepípedo reto retângulo, ambos com altura H,cujas bases têm a mesma área SB.
Como já vimos, o volume do paralelepípedo édado por:
1.9. Volume do prisma
BV S H= ⋅
30
O volume de um prisma qualquer é igual aoproduto da área da base pela sua altura.
1.9. Volume do prisma
BV S H= ⋅
6
31
Por outro lado, as secções transversaisdesses dois sólidos também têm áreas iguais, poisessas secções são congruentes às respectivasbases dos sólidos. Então, pelo princípio deCavalieri, os dois sólidos têm volumes iguais. Logo,o volume do prisma é dado por:
1.9. Volume do prisma
BV S H= ⋅
32
Exercício 8: Uma certa peça tem a forma de umparalelepípedo reto retângulo e é transpassada porum furo triangular, conforme mostra a figuraabaixo. Qual é o volume dessa peça?
1.9. Volume do prisma
33
Exercício 9: Qual é o volume de um cubo dearesta a?
1.9. Volume do prisma
34
Exercício 10: Calcule a área total e a diagonal deum cubo cujo volume é igual a 125 cm3.
1.9. Volume do prisma
35
Exercício 11: Um aquário tem a forma de umparalelepípedo reto retângulo e contém água atéuma certa altura. As medidas internas da base doaquário são 40 cm por 25 cm. Uma pedra écolocada dentro do aquário, ficando totalmentesubmersa e fazendo com que o nível da água suba0,8 cm. Calcule o volume dessa pedra.
1.9. Volume do prisma
36
Exercício 12: Calcule o volume de um prismahexagonal regular sabendo que o perímetro de suabase é igual a 24 cm e que sua altura é igual a 8 cm.
1.9. Volume do prisma
7
37
Exercício 13: A base de um prisma reto é umlosango cujo lado mede 13 cm e cuja diagonal mede24 cm. Se a área lateral desse prisma é igual a 104cm2, determine o seu volume.
1.9. Volume do prisma
38
Considere um polígono qualquer contido numplano α e um ponto P, também qualquer, fora desseplano. Chama-se pirâmide a reunião de todos ossegmentos que têm uma extremidade em P e aoutra num ponto qualquer do polígono.
2. Pirâmides
39
Vértice da pirâmide: É o ponto P.
Base: É o polígono ABCDEF.
Altura: É a distância de P ao plano da base.
Arestas da base: São os lados do polígono debase.
2.1. Elementos da pirâmide
40
Arestas laterais: São os segmentos que unem P acada vértice da base. Ou seja, , , , …
Faces laterais: São os triângulos PAB, PBC, PCD, …
2.1. Elementos da pirâmide
PA PB PC
41
Uma pirâmide é denominada triangular,quadrangular, pentagonal, etc …, conforme suabase seja, respectivamente, um triângulo, umquadrilátero, um pentágono, etc …
As pirâmides triangulares são tambémdenominadas tetraedros (4 faces).
2.2. Nomenclatura
42
Área lateral de uma pirâmide é a soma dasáreas de todas as suas faces laterais. Área total éa soma da área lateral com a área da base.
2.3. Área lateral e área total
t l BS S S= +
8
43
Uma pirâmide é regular se, e somente se,sua base é um polígono regular e a projeçãoortogonal do vértice sobre o plano da base é ocentro da base.
2.4. Pirâmide regular
44
É de imediata verificação que as arestaslaterais de uma pirâmide regular são congruentesentre si. Consequentemente, todas as suas faceslaterais são triângulos isósceles congruentes.
2.4. Pirâmide regular
45
Chama-se apótema de uma pirâmide regularo segmento que une o vértice da pirâmide ao pontomédio de qualquer um dos lados do polígono dabase.
2.5. Apótema
46
Note que, por ser a mediana relativa à basede um triângulo isósceles, o apótema é também aaltura relativa à base desse triângulo.
2.5. Apótema
47
Além do apótema da pirâmide há também oapótema da base. Esse último é o segmento que uneo centro de um polígono regular ao ponto médio dequalquer um de seus lados.
2.5. Apótema
48
2.5. Apótema
2 2 2p ba a h= +
Apótema da base
Apótema da pirâmideAltura
ba r=raio do círculo inscritor =
9
49
2.5. Apótema
2 2 2la h R= +
AlturaAresta lateral
Raio do círculo
circunscrito
50
2.5. Apótema
22 2
2l p
la a = +
Apótema da pirâmide
Aresta lateral
l/2
51
Dentre as pirâmide regulares convémdestacar o tetraedo regular. Nele, as 6 arestassão congruentes e, consequentemente, todas asfaces, incluindo a base, são triângulos equiláteroscongruentes.
2.5. Apótema
52
2.5. Apótema
Exercício 14: Calcule a área total de umtetraedro regular de aresta a.
53
2.5. Apótema
Exercício 15: Numa pirâmide quadrangular regulartodas as arestas (da base e laterais) sãocongruentes entre si e medem 2 m cada uma.Calcule: (a) a altura; (b) o apótema da base; (c) oapótema; (d) a área lateral e (e) a área total.
54
2.5. Apótema
Exercício 16: A figura seguinte mostra umtetraedro triretângulo em O. Isto é,são perpendiculares dois a dois. Calcule a áreatotal dessa pirâmide sabendo que OA = OB = OC =a.
, e OA OB OC
10
55
2.5. Apótema
Exercício 17: A figura seguinte mostra umapirâmide quadrangular inscrita num cubo de aresta2a. O vértice da pirâmide é o centro da faceABCD. Calcule: (a) a aresta lateral e (b) a árealateral.
56
Secção transversal de uma pirâmide é aintersecção dessa pirâmide com qualquer planoparalelo à sua base.
2.6. Secção transversal
57
Toda secção transversal de uma pirâmide triangularé um triângulo semelhante ao triângulo da base. Além disso,se a altura da pirâmide é H e a distância de seu vértice aoplano da secção transversal é igual a h, então a razão desemelhança desses triângulos é:
2.6. Secção transversal
hk
H=
58
2.6. Secção transversal
Assim, com relação à figura, tem-se:
' ' 'ABC ABC∆ ∆∼' ' ' ' ' 'A B BC AC h
AB BC AC H= = =
59
2.6. Secção transversal
Como o plano que gera a secção transversalé paralelo ao plano da base, é de imediataverificação que os lados do triângulo A’B’C’ sãoparalelos aos correspondentes lados do triânguloABC. Logo,
60
2.6. Secção transversal
' ' ' '
' ' ' '
//
(1)
AB AB PAB PAB
AB PA PBAB PA PB
⇒ ∆ ∆
∴ = =
∼
' ' ' '
' ' '
//
(2)
BC BC PBC PBC
BC PBBC PB
⇒ ∆ ∆
∴ =
∼
' ' ' '
' ' '
//
(3)
AC AC PAC PAC
AC PAAC PA
⇒ ∆ ∆
∴ =
∼
11
61
2.6. Secção transversal
De (1), (2) e (3), conclui-se que:
' ' ' ' ' 'A B BC ACAB BC AC
= =
62
2.6. Secção transversal
Logo, pelo critério L.L.L. de semelhança detriângulos, temos:
' ' 'A BC ABC∆ ∆∼
63
2.6. Secção transversal
Para demonstrar que a razão de semelhançaé igual a h/H, por P traçamos a reta perpendicularaos planos dos triângulos A’B’C’ e ABC, a qualintercepta essses planos nos pontos D’ e D.
64
2.6. Secção transversal
Então é imediato que ∆PA’D’ R ∆PAD. Logo,
' ' ' ' 'PA A B AB hPA AB AB H
= ⇒ =
65
2.6. Secção transversal
Porém, de (1) sabemos que
' ' 'PA PD PA hPA PD PA H
= ⇒ =
66
2.6. Secção transversal
Esse teorema pode ser facilmente estendidopara pirâmides de bases quaisquer. Daqui emdiante vamos admitir que ele é válido para qualquertipo de pirâmide. Assim, supondo que A’B’C’D’E’ sejauma secção transversal da pirâmide acima, temos:
12
67
2.6. Secção transversal
' ' ' ' ' 'PA PB AB BC hPA PB AB BC H
= = = = = =… …
68
2.6. Secção transversal
Além disso, como a razão entre as áreas depolígonos semelhantes é igual ao quadrado da razãode semelhança, se Sb e SB representam a área dasecção transversal e a área da base, temos:
2
2b
B
S hS H
=
69
2.5. Apótema
Exercício 18: A área da base de uma pirâmide éigual a 100 cm2 e sua altura é H. Calcule H, sabendoque uma secção transversal dessa pirâmide, feita a9 cm do vértice, tem área igual a 36 cm2.
70
2.5. Apótema
Exercício 19: A uma distância x do vértice de umapirâmide, um plano paralelo à base determina umasecção transversal cuja área é igual a 1/9 da áreada base. Calcule x em função da altura H dessapirâmide.
71
2.5. Apótema
Exercício 20: Na figura, a área da secçãotransversal é igual a 75 cm2. Qual é a área da baseda pirâmide?
72
2.7. Volume da pirâmide
Suponha que as duas pirâmides da figuraacima tenham a mesma altura H e que suas basestenham a mesma área SB. Sejam Sb e S’
b as áreasdas secções transversais determinadas por umplano situado a uma distância h dos vértices daspirâmides.
'
13
73
2.7. Volume da pirâmide
Então, da pirâmide 1, temos:2
2 (1)b
B
S hS H
=
e da pirâmide 2, temos:' 2
2 (2)b
B
S hS H
=
'
74
2.7. Volume da pirâmide
De (1) e (2) conclui-se que
''b b
b bB B
S SS S
S S= ⇒ =
'
75
2.7. Volume da pirâmide
A última igualdade mostra que as secçõestransversais, determinadas por um mesmo plano paraleloàs bases, têm áreas iguais. Logo, pelo princípio deCavalieri, as duas pirâmides têm volumes iguais.
A partir dessa propriedade é possível estabelecera fórmula que permite calcular o volume de uma pirâmide.
'
76
2.7. Volume da pirâmide
O volume de uma pirâmide triangularqualquer é igual a um terço do produto da área desua base pela sua altura.
13 BV S H= ⋅
77
2.7. Volume da pirâmide
Inicialmente vamos considerar um prismatriangular que tenha a mesma base e a mesmaaltura da pirâmide.
Agora, vamos decompor esse prisma em trêspirâmides (1, 2 e 3), conforme a figura seguinte, eprovar que essas três pirâmides têm volumesiguais.
78
2.7. Volume da pirâmide
14
79
2.7. Volume da pirâmide
As pirâmides 1 e 2 têm volumes iguais, poisas suas bases ABC e DEF têm áreas iguais (elas sãocongruentes) e ambas as pirâmides possuem amesma altura (a própria altura do prisma). Logo,
1 2 (1)V V=
80
2.7. Volume da pirâmide
Agora, observe as pirâmides 2 e 3.Considere como bases os triângulos FEC e BCE. Aárea de cada um desses triângulos é a metade daárea da face BCFE do prisma. Logo, essas basestêm áreas iguais.
81
2.7. Volume da pirâmide
Além disso, as pirâmides 2 e 3 têm a mesmaaltura (distância do vértice D ao plano da faceBCFE do prisma). Então,
2 3 (2)V V=
82
2.7. Volume da pirâmide
De (1) e (2), vem:
1 2 3V V V= =
83
2.7. Volume da pirâmide
Logo, o volume de cada uma dessaspirâmides é um terço do volume do prisma.Particularmente, como a pirâmide 1 tem a mesmabase e a mesma altura do prisma, conclui-se que
13 BV S H= ⋅ ⋅
84
2.7. Volume da pirâmide
Essa fórmula pode ser facilmentegeneralizada para pirâmides com quaisquer tiposde bases. Para tanto, suponha que, na figura acima,a pirâmide qualquer e a pirâmide triangular tenhama mesma altura H e que suas bases tenham amesma área SB.
15
85
2.7. Volume da pirâmide
Nessas condições, conforme jádemonstramos, as duas pirâmides têm volumesiguais.
1 2V V=
86
2.7. Volume da pirâmide
Porém, já sabemos que o volume da pirâmidetriangular é
1
13 BV S H= ⋅
87
2.7. Volume da pirâmide
Logo,
1 2 2
13 BV V V S H= ⇒ = ⋅
88
Exercício 21: Calcule o volume de um tetraedroregular de aresta a.
Ver slide 67.
Aula: Geometria Plana I
2.7. Volume da pirâmide
89
Exercício 22: Numa pirâmide quadrangularregular, a área lateral é igual a 260 cm2 e a arestada base mede 10 cm. Qual é o volume dessapirâmide?
2.7. Volume da pirâmide
90
Exercício 23: As arestas da base de uma pirâmidetriangular medem 5 cm, 7 cm e 8 cm. Calcule aaltura dessa pirâmide sabendo que ela éequivalente (isto é, tem o mesmo volume) a umcubo de aresta a = 6 cm.
2.7. Volume da pirâmide
16
91
Exercício 24: A figura mostra uma pirâmide que,seccionada por um plano paralelo à base, ficadecomposta em duas partes; uma pirâmide menor eum sólido denominado tronco de pirâmide. Se aárea da base da pirâmide primitiva é igual a 54cm2, calcule o volume: (a) da nova pirâmide e (b) dotronco de pirâmide.
2.7. Volume da pirâmide
92
3. Cilindros
Considere dois círculos de mesmo raio rcontidos em planos paralelos e seja e a reta quepassa pelo seus centros.
93
3. Cilindros
Chama-se cilindro circular, ou simplesmentecilindro, a reunião de todos os segmentos paralelosà reta e, cujas extremidades pertencem cada umaa um dos círculos considerados.
94
3.1. Elementos do cilindro
Bases: São os dois círculos considerados nadefinição.
Eixo: É a reta e, que passa pelos centros dasbases.
95
3.1. Elementos do cilindro
Geratriz: É qualquer segmento paralelo ao eixo,cujas extremidades pertencem às circunferênciasdas bases. Em todo cilindro, as geratrizes sãocongruentes entre si.
Altura: É a distância dos planos que contêm asbases.
96
3.2. Secções do cilindro
A intersecção, não-vazia, de um cilindro comqualquer plano que seja paralelo às bases é umasecção transversal do cilindro. A intersecção deum cilindro com qualquer plano que contém seu eixoé chamada secção meridiana do cilindro.
17
97
3.2. Secções do cilindro
Verifica-se que qualquer secção transversalde um cilindro é um círculo congruente às bases,enquanto toda secção meridiana é umparalelogramo.
98
3.3. Classificação dos cilindros
Um cilindro é denominado reto se o seu eixoé perpendicular aos planos das bases. Um cilindronão-reto é denominado oblíquo.
99
3.3. Classificação dos cilindros
Dentre os cilindros retos devemos destacaro cilindro equilátero, no qual as geratrizes sãocongruentes aos diâmetros das bases.
100
3.3. Classificação dos cilindros
Todo cilindro reto pode ser definido comosendo o sólido gerado pela rotação completa de umretângulo em torno de um de seus lados. Por isso, ocilindro reto também é chamado cilindro derevolução.
101
3.4. Área lateral e área total
Imagine que a superfície lateral de umcilindro circular reto seja feita de papel.Cortando-se essa superfície segundo uma geratriz,podemos planificá-la, obtendo um retângulo, cujabase tem o comprimento da circunferência da basedo cilindro e cuja altura é a própria altura docilindro.
102
3.4. Área lateral e área total
A área desse retângulo é a própria área dasuperfície lateral do cilindro reto. Logo,
2lS r Hπ= ⋅
18
103
3.4. Área lateral e área total
Para obter a área total do cilindro reto,basta somar as áreas das duas bases com a árealateral.
( )2
2
2 2
2
t l B
t
t
S S S
S r H r
S r H r
π ππ
= + ⋅
= ⋅ + ⋅
= +
104
3.5. Volume do cilindro
Tal como o volume do prisma, o volume docilindro é dado pelo produto da área de sua basepela sua altura.
Cilindro PrismaV V=
105
3.5. Volume do cilindro
Com o auxílio do princípio de Cavalieri,podemos facilmente constatar que um cilindro e umprisma, cujas alturas são iguais e cujas bases têm amesma área, têm volumes iguais.
106
3.5. Volume do cilindro
2
BV S H
V r Hπ= ⋅
= ⋅
107
Exercício 25: Calcule o volume do sólido geradopela rotação completa do retângulo abaixo emtorno do eixo e.
3.5. Volume do cilindro
108
Exercício 26: Um cano de drenagem é um tubocilíndrico com 2,0 m de comprimento. Os diâmetrosexterno e interno são respectivamente iguais a 52cm e 46 cm. Calcule o volume de argila, em litros,necessário para fabricar um tubo. Utilize π = 3,14.
3.5. Volume do cilindro
19
109
Exercício 27: A embalagem de um certo produtoera uma lata cilíndrica de 4 cm de altura e 12 cmde diâmetro de base. O fabricante substituiu essaembalagem por uma outra lata cilíndrica do mesmomaterial e com o mesmo volume da antiga. Se odiâmetro da base da nova embalagem é de 6 cm,calcule: (a) a sua altura e (b) o percentual deeconomia de material na fabricação da novaembalagem.
3.5. Volume do cilindro
110
4. Cones
Considere um círculo contido num plano e umponto P fora desse plano. Chama-se cone circular,ou simplesmente cone, a reunião de todos ossegmentos que têm uma extremidade em P e aoutra num ponto qualquer do círculo.
111
4.1. Elementos do cone
Vértice: É o ponto P da figura.
Base: É o círculo considerado na definição.
Eixo: É a reta que passa pelo vértice e pelo centroda base.
112
4.1. Elementos do cone
Geratriz: É qualquer segmento com umaextremidade no vértice e outra num ponto qualquerda circunferência da base.
Altura: É a distância do vértice ao plano quecontém a base.
113
4.2. Secção transversal, sec-ção meridiana e classificação
Os conceitos de secção transversal e secçãomeridiana e a classificação dos cones sãoestabelecidos de modo análogo aos sólidos jáestudados.
114
4.2. Secção transversal, sec-ção meridiana e classificação
Geratriz
Altura
Raio
2 2 2g h r= +
20
115
4.2. Secção transversal, sec-ção meridiana e classificação
Verifica-se que qualquer secção transversalde um cone circular é um círculo. Para essa secção,vale a propriedade análoga à que demonstramospara as pirâmides.
2
2b
B
S hS H
=
116
4.3. Observações
• No cone reto todas as geratrizes sãocongruentes entre si.
• Cone equilátero é todo cone reto em que asgeratrizes são congruentes ao diâmetro da base.
2g r=
117
4.3. Observações
• Todo cone reto pode ser definido como sendo osólido gerado pela rotação de um triânguloretângulo em torno de um dos catetos. Assim, ocone reto é também chamado cone de revolução.
118
4.4. Área lateral e área total
Se l é o comprimento do arco AB da figura,então a medida θ, em radianos, do ângulo centralAOB é:
lRcomprimento do arco
raio
θ
θ
=
=
119
4.4. Área lateral e área total
A área do setor circular AOB, para θ emradianos, é dada por:
22
2 2set set
RS R S
θ π θπ
= ⋅ ⇒ = ⋅
120
4.4. Área lateral e área total
Agora, considere um cone circular reto degeratriz g e cujo raio da base é r. Planificando-se asuperfície lateral desse cone, obtém-se um setorcircular de raio g e cujo arco correspondente temcomprimento igual a 2πr (comprimento dacircunferência da base do cone). A área dessesetor é a área lateral do cone.
21
121
4.4. Área lateral e área total
Para θ em radianos, temos:
2
2
2
22
2
set
set
rg r g
Sgg
S
πθπ
θ
= ⇒ = ⋅
= ⋅
122
4.4. Área lateral e área total
Efetuando as simplificações, obtemos:
lS rgπ=
Assim, a área da superfície lateral do conereto é dada por:
setS rgπ=
123
4.4. Área lateral e área total
2
( )
t l B
t
t
S S S
S rg r
S r g r
π ππ
= +
= += +
Para calcular a área total do cone reto,basta somar a sua área lateral com a área da base.
124
4.5. Volume do cone
Empregando-se o princípio de Cavalieri,verifica-se que um cone e uma pirâmide, cujasalturas são iguais e cujas bases têm áreas iguais,têm volumes iguais.
cone pirâmideV V=
125
4.5. Volume do cone
Desse modo, podemos concluir que o volumede um cone qualquer é igual a um terço do produtoda área de sua base pela sua altura.
126
4.5. Volume do cone
( )21 13 3BV S H V r Hπ= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅
213
V r Hπ=
22
127
Exercício 28: Com um cartão em forma de setorcircular, cujo ângulo central mede 216o e cujo raiomede 15 cm, constrói-se um cone circular. Qual é ovolume desse cone?
4.5. Volume do cone
128
Exercício 29: Calcular o volume do sólido geradopela rotação completa do tiângulo isósceles ABC,em torno do lado AB.
4.5. Volume do cone
129
Exercício 30: Num cone reto, de altura H = 8 cm,a área de uma secção meridiana é igual a 48 cm2.Calcule: (a) a área lateral; (b) a área total e (c) ovolume.
4.5. Volume do cone
130
Exercício 31: No exercício abaixo, calcule ovolume do sólido gerado pela rotação da figura emtorno do eixo indicado.
4.5. Volume do cone
131
5. Esfera
Dados um ponto O e uma distância R, chama-se esfera o conjunto de todos os pontos do espaçocujas distâncias ao ponto O são menores ou iguaisa R.
O ponto O é o centro da esfera e R é o seuraio.
132
5. Esfera
Além da esfera, definimos também asuperfície esférica como sendo o conjunto detodos os pontos do espaço situados a uma mesmadistância R de um ponto fixo O.
23
133
5. Esfera
Os conceitos de esfera e de superfícieesférica podem também ser formulados por meiode rotações de figuras.
A esfera é gerada pela rotação de umsemicírculo em torno de seu diâmetro.
134
5. Esfera
A superfície esférica é gerada pela rotaçãode um semicircunferência em torno de seudiâmetro.
135
5.1. Área de uma secçãoesférica
Um plano e uma esfera que têm um únicoponto comum são denominados tangentes. Nessecaso, o raio que tem uma extremidade no ponto detangência é perpendicular ao plano.
136
5.1. Área de uma secçãoesférica
Observe que, sendo S a área da secção,temos: 2S rπ=
Por outro lado, pelo teorema de Pitágoras,obtemos:
2 2 2 2 2 2r d R r R d+ = ⇒ = −
137
5.1. Área de uma secçãoesférica
Logo,
2 2 2( )S r S R dπ π= ⇒ = −
138
5.1. Área de uma secçãoesférica
Esse resultado, que expressa a área dasecção em função do raio R da esfera e dadistância d, será de grande valia para determinar ovolume da esfera. Desde já, é importante vocêobservar que
2 2( )S R dπ= −
24
139
5.1. Área de uma secçãoesférica
é também a área de uma coroa circular de raios R ed.
2 2( )coroaS R dπ= −
140
5.2. Volume da esfera
O volume da esfera será obtido com oauxílio do princípio de Cavalieri. Para tanto, vamosutilizar o seguinte sólido conhecido comoanticlepsidra.
141
5.2. Volume da esfera
Trata-se de um cilindro equilátero, do qualforam “eliminados” dois cones retos cujas basessão as próprias bases do cilindro e cujas alturassão iguais à metade da altura do cilindro. O centrodo cilindro é o vértice dos dois cones.
142
5.2. Volume da esfera
Nesse sólido, vamos considerar uma secçãotransversal determinada por um plano situado auma distância d do vértice dos cones.
143
5.2. Volume da esfera
Essa secção é uma coroa circular. Nela, éimediato que o raio da circunferência menor é igualà distância d. O raio da circunferência maior é opróprio raio R da base do cilindro. Assim, a área dasecção é: ( )2 2S R dπ= −
144
5.2. Volume da esfera
Então, o princípio deCavalieri nos permiteconcluir que o volume daanticlepsidra é igual aovolume de uma esfera deraio R.
25
145
5.2. Volume da esfera
Por outro lado, o volume da anticlepsidra éfácil de ser determinado. Para isso, basta subtrairos volumes dos dois cones do volume do cilindroequilátero.
146
5.2. Volume da esfera
2 2
3 3
3
12 2
32
23
43
V R R R R
V R R
V R
π π
π π
π
= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅
= − ⋅
= ⋅
147
Exercício 32: Calcular o volume da esferacircunscrita a um cubo de aresta a = 2 cm.
5.2. Volume da esfera
148
Exercício 33: Uma pequena bola de borracha, de3,5 cm de raio, é colocada dentro de um vasocônico. A abertura do vaso tem 7 cm de raio e suaprofundidade é de 24 cm. Calcular a distância dabola ao fundo do vaso.
5.2. Volume da esfera
149
Exercício 34: Calcule o volume de uma esferainscrita num cubo de 6 cm de aresta.
5.2. Volume da esfera
150
Exercício 35: Uma esfera, cujo volume é igual a256π/3 cm3, está inscrita num cilindro equilátero,conforme mostra a figura. Calcule, do cilindro: (a)a área lateral e (b) o volume.
5.2. Volume da esfera
26
151
Exercício 36: Calcule o volume da esfera inscritanum cone equilátero, cujo raio da base é .
5.2. Volume da esfera
3
152
Exercício 37: Calcule o volume do sólido geradopela rotação da figura em torno do eixo e.
5.2. Volume da esfera
153
5.3. Área da superfície esfé-rica
Considere um prisma cuja altura x sejabastante pequena.
Se S é a área da base desse prisma, entãoseu volume é: V S x= ⋅e, portanto, V
Sx
=
154
5.3. Área da superfície esfé-rica
Essa igualdade é válida para qualquer x > 0.Agora, imagine que x diminua assumindo valorespositivos infinitamente pequenos. Conforme xtende a zero, o prisma tende a tornar-se umasuperfície, cuja área continua sendo dada por
Vx
155
5.3. Área da superfície esfé-rica
Desde que x seja suficientemente pequeno,esse raciocínio pode também ser aplicado parafiguras não-planas. Assim, ele será utilizado paradeterminar a área da superfície esférica.
VS
x=
156
5.3. Área da superfície esfé-rica
Para tanto, considere duas esferasconcêntricas: uma de raio R e outra de raio R + x.
A região do espaço compreendida entre asduas superfícies esféricas é chamada conchaesférica.
27
157
5.3. Área da superfície esfé-rica
Se V é o volume da concha e S a área dasuperfície esférica de raio R, então V/x éaproximadamente igual a S.
VS
x≅
158
5.3. Área da superfície esfé-rica
Quanto menor for o valor de x, mais aexpressão V/x se aproxima de S, isto é, se xtender a zero, V/x tende a S.
Vamos calcular o volume V da concha eanalisar o que ocorre com a expressão V/x quandox → 0.
159
5.3. Área da superfície esfé-rica
O volume da concha é a diferença dosvolumes das esferas. Isto é,
( )
( )
3 3
3 3
4 43 343
V R x R
V R x R
π π
π
= + −
= + −
160
5.3. Área da superfície esfé-rica
343
V Rπ= 2 2 3 33 3R x Rx x R+ + + −( )( )
( )
2 2 3
2 2
43 3
34
3 33
V R x Rx x
V x R Rx x
π
π
= + +
= ⋅ + +
161
5.3. Área da superfície esfé-rica
Logo, ( )2 243 3
3V
R Rx xx
π= + +
Quando x tende a zero, os termos 3Rx e x2
também se aproximam de zero. Desse modo,
162
5.3. Área da superfície esfé-rica
( )2
2
43
3
4
VR
xV
Rx
π
π
→
→
28
163
5.3. Área da superfície esfé-rica
E já que V/x tende a S, conclui-se que
24S Rπ=
164
Exercício 38: Calcule a área da superfície de umaesfera cujo volume é 36π cm3.
5.3. Área da superfície esfé-rica
165
Exercício 39: A figura mostra um cone reto, cujabase tem área igual a 144π cm2, inscrito numaesfera cuja superfície tem área igual a 900π cm2.Calcule o volume do cone.
5.3. Área da superfície esfé-rica
166
Exercício 40: No exercício abaixo, calcule a áreatotal do sólido gerado pela rotação da figura emtorno do eixo e.
5.3. Área da superfície esfé-rica