Geometria Massas - Momento Inercia -...
Transcript of Geometria Massas - Momento Inercia -...
Momento de Inércia de uma SuperfícieNuma viga em flexão pura, as forças internas em qualquer secção da viga são forças distribuídas cujas intensidades variam linearmente com a distância y entre o elemento A e um eixo baricêntrico:
F k y AA resultante de todas as forças elementares F é:
xR k y dA k y dA k S
O momento de cada força elementar em relação a x é:2
xM y F k y AA soma dos momentos de todas as forças elementares é:
2 2xM k y dA k y dA k I
Uma comporta circular está submersa em água. Representando por y a profundidade de um elemento elementar de área A, e por o peso específico da água, a pressão no elemento elementar é:p y
A resultante de todas as forças elementares F é:
xR y dA y dA S
O momento de cada força elementar em relação a x é:2
xM y F y AA soma dos momentos de todas as forças elementares é:
2 2xM y dA y dA I
A intensidade da força exercida em A é:
F p A y A
ESTIG - Estática - Outubro 2006Mário Nuno Valente 1
Cálculo do Momento de Inércia de uma Superfície por Integração
Define-se momento de segunda ordem, ou momento de inércia de uma superfície de área A em relação ao eixo x e em relação ao eixo y como:
2 2x yI y dA I x dA
Aplicando a definição a um rectângulo dividido em faixas elementares paralelas ao eixo x, obtém-se:
dA b dy2 2
3 32
0
3
03 3
3
x x
h
x x
x
I y dA I y b dy
hI b y dy I b
bhI
Teorema dos Eixos ParalelosConsidere-se o momento de inércia I deuma superfície de área A relativamentea um eixo AA’:
2I y dATrace-se um eixo BB’ paralelo a AA’passando pelo centróide C da superfície, a este eixo chama-se eixo baricêntrico.Representando por y’ a distância do elemento dA a BB’, escreve-se: 'y y d
22 2 2'
2 2 2'
' ' 2 '
' 2 '
AA
BB
I y dA y d dA y y d d dA
y dA d y dA d dA I A d
(Momento de inércia de uma superfície em relação a um eixo genérico) =(Momento de inércia em relação a um eixo baricêntrico paralelo) +
(Área) x (distância entre os dois eixos)2
ESTIG - Estática - Outubro 2006Mário Nuno Valente 2
Raio de GiraçãoConsidere-se uma superfície de área A quetem um momento de inércia Ix relativamente ao eixo x.Imagine-se que se concentra esta superfície numa faixa estreita paralela ao eixo x.Se se pretender que a superfície assim concentrada tenha o mesmo momento de inércia em relação a x, a faixa deverá ser colocada a uma distância ix, tal que:
2x xI i A
À distância ix chama-se raio de giração.
xx
IiA
ESTIG - Estática - Outubro 2006Mário Nuno Valente 3