Geometria Lineal per al Batxillerat - toomates.net · La història dels vectors. 1.10 Recopilatori...
Transcript of Geometria Lineal per al Batxillerat - toomates.net · La història dels vectors. 1.10 Recopilatori...
GEOMETRIA LINEAL
2n Batxillerat
Amb tots els problemes PAU 1998-2019
Gerard Romo Garrido
Toomates Cool·lección Los documentos de Toomates Cool•lección son materiales digitales y gratuitos. Son digitales porque están pensados para ser
consultados mediante un ordenador, tablet o móvil. Son gratuitos porque se ofrecen a la comunidad educativa sin coste alguno. Los
libros de texto pueden ser digitales o en papel, gratuitos o en venta, y ninguna de estas opciones es necesariamente mejor o peor que las otras. Es más: Suele suceder que los mejores docentes son los que piden a sus alumnos la compra de un libro de texto en papel,
esto es un hecho.
Lo que no es aceptable, por inmoral y mezquino, es el modelo de las llamadas "licencias digitales" con las que las editoriales pretenden cobrar a los estudiantes, una y otra vez, por acceder a los mismos contenidos (unos contenidos que, además, son de una
bajísima calidad). Este modelo de negocio es miserable, pues impide el compartir un mismo libro, incluso entre dos hermanos, pretende convertir a los estudiantes en un mercado cautivo, exige a los estudiantes y a las escuelas costosísimas líneas de Internet,
pretende pervertir el conocimiento, que es algo social, público, convirtiéndolo en un producto de propiedad privada, accesible solo a
aquellos que se lo puedan permitir, y solo de una manera encapsulada, fragmentada, impidiendo el derecho del alumno de poseer todo el libro, de acceder a todo el libro, de moverse libremente por todo el libro.
Nadie puede pretender ser neutral ante esto: Mirar para otro lado y aceptar el modelo de licencias digitales es admitir un mundo más
injusto, es participar en la denegación del acceso al conocimiento a aquellos que no disponen de medios económicos, en un mundo en el que las modernas tecnologías actuales permiten, por primera vez en la historia de la Humanidad, poder compartir el
conocimiento sin coste alguno, con algo tan simple como es un archivo "pdf".
El conocimiento no es una mercancía.
El proyecto Toomates Cool•lección tiene como objetivo la promoción y difusión entre el profesorado y el colectivo de estudiantes
de unos materiales didácticos libres, gratuitos y de calidad, que fuerce a las editoriales a competir ofreciendo alternativas de pago atractivas aumentando la calidad de unos libros de texto que actualmente son muy mediocres, y no mediante retorcidas técnicas
comerciales.
Este documento se comparte bajo una licencia “Creative Commons”: Se permite, se promueve y se fomenta cualquier uso,
reproducción y edición de todos estos materiales siempre que sea sin ánimo de lucro y se cite su procedencia.
Todos los documentos se ofrecen en dos versiones: En formato “pdf” para una cómoda lectura y en el formato “doc” de MSWord para permitir y facilitar su edición y generar versiones parcial o totalmente modificadas. Se agradecerá cualquier observación,
comentario o colaboración a
Actualmente Toomates Cool·lección consta de los siguientes documentos:
GA Geometría Axiomática (Teoría)
pdf 1 2 3 ... 22 23 portada
PG Problemas de Geometría pdf 1 2 3 4 5 6 7
AG Àlgebra (Llibre de text)
pdf 1 2 3 4
PA Problemas de Álgebra (en preparación)
pdf doc
GN Geometria analítica (Llibre de text)
pdf doc
TR Trigonometria (Llibre de text)
pdf doc
PT Problemas de Trigonometria pdf doc
CO Nombres complexos (Llibre de text)
pdf doc
PC Problemas con números complejos pdf doc
DE Desigualdades (Teoría y problemas)
pdf doc
AL Àlgebra Lineal 2n Batxillerat
pdf doc
GL Geometria Lineal 2n Batxillerat
pdf doc
CI Càlcul Infinitesimal 2n Batxillerat
pdf 1 2
PL Programació Lineal 2n Batxillerat
pdf doc
PT Compendium PAU TEC 1998-2019 pdf
PS Compendium PAU CCSS 1998-2019 pdf
PM Problemas de Matemáticas pdf doc
Versión de este documento: 23/12/2019
www.toomates.net
Índex
1 Punts i vectors. → 1.1 Vectors. Àlgebra vectorial.
1.2 Punts. Les dues operacions entre punts i vectors. 1.3 Mòdul d’un vector. Distància entre dos punts.
1.4 Vectors proporcionals. Punts alineats. 1.5 Producte escalar de dos vectors. Angle. 1.6 Producte vectorial de dos vectors. Àrea.
1.7 Producte mixt de tres vectors. Volum. Punts coplanaris.
1.8 Fora de programa: L’esfera. 1.9 Notes històriques. La història dels vectors.
1.10 Recopilatori d’exercicis.
1.11 Taula resum dels tres productes.
2 Varietats lineals. Rectes i plans. → 2.1 Dependència i independència lineal de vectors. 2.2 Rectes. Equacions de la recta.
2.3 Plans. Equacions del pla.
2.4 Punt d’intersecció entre recta i pla. 2.5 Recta intersecció de dos plans.
2.6 Rectes coplanàries.
2.7 Resolució de problemes mètrics amb rectes parametritzades.
3 Paral•lelisme. → 3.1 Paral·lelisme entre dues rectes. 3.2 Paral·lelisme entre dos plans.
3.3 Paral·lelisme entre recta i pla.
3.4 Pla paral·lel a dues rectes i que passa per un punt. 3.5 Pla que conté una recta i és paral·lel a una altra.
3.6 Recta paral·lela a dos plans.
4 Perpendicularitat. → 4.1 Perpendicularitat entre plans.
4.2 Perpendicularitat entre rectes. 4.3 Perpendicularitat entre recta i pla.
4.4 Projecció ortogonal d’un punt en una recta. Punt simètric respecte d’una recta. 4.5 Projecció ortogonal d’un punt en un pla. Punt simètric respecte d’un pla.
4.6 Recta perpendicular comú a dues rectes.
4.7 Problemes PAU de perpendicularitat i paral·lelisme.
5 Distància. → 5.1 Distància entre punt i recta. 5.2 Distància entre punt i pla.
5.3 Distància entre dos plans.
5.4 Distància entre recta i pla. 5.5 Distància entre dues rectes.
5.6 Problemes PAU amb distància, projecció ortogonal i punt simètric.
6 Posició relativa. → 6.1 Posició relativa entre recta i pla.
6.2 Posició relativa entre dos plans. 6.3 Posició relativa entre dues rectes.
6.4 Posició relativa de tres plans.
7 Angles. → 7.1 Angle entre dues rectes.
7.2 Angle entre dos plans. 7.3 Angle entre recta i pla.
8 Àrea i volum. → 8.1 Àrea de figures en l’espai.
8.2 Volum de figures en l’espai.
9 Recopilacions d’exercicis. →
10 Apèndix. → 10.1 Taula Paral·lelisme-Perpendicularitat-Angle.
10.2 Taula d’aplicacions de la projecció ortogonal.
10.3 Algunes demostracions. 10.4 Problemes PAU de geometria del pla.
Solucions. →
Links d’interès. →
1 Punts i vectors.
1.1 Àlgebra vectorial.
1.1.1 Definició. Vectors de IR3.
Un vector de IR3 és una terna ordenada de tres nombres reals: ),,( 321 vvvv
Els nombres 321 ,, vvv s’anomenen coordenades o components del vector.
Els vectors es designen, generalment, amb una lletra minúscula coronada amb una petita
fletxa al capdamunt.: ...,, twv
Per exemple: )4,1,2(v
, )1,0,3( w
.
1.1.2 Observació. Interpretació gràfica d’un vector.
Un vector en IR3 representa una direcció en l’espai, un moviment en línia recta, i per
tant es representarà per una fletxa.
1.1.3 Definició. Suma de vectors.
Dos vectors es poden sumar sumant els seus components corresponents. La
representació gràfica de la suma de vectors es basa en la llei del paral·lelogram.
Exemple: )7,2,1(v
i )1,4,5( w
, llavors )8,2,4()17,)4(2,51( wv
1.1.4 Proposició. Propietats de la suma de vectors.
Associativa: wvuwvu
Commutativa: uvvu
Existència de vector nul: vv
0 on )0,0,0(0
Existència de vector oposat: 0)(
vv , on si ),,(),,( 321321 vvvvvvvv
1.1.5 Observació. Interpretació gràfica de la suma de vectors.
Hem dit abans que un vector representa una direcció en l’espai. La suma de dos vectors
representa la direcció resultant de la combinació de les seves direccions.
Visualment la podem representar dibuixant el segon vector a continuació del primer:
1.1.6 Definició. Resta de vectors.
Per restar dos vectors wv
se suma a al primer el oposat del segon: wvwv
.
A la pràctica, restem component a component.
Exemple: )7,2,3( v
i )2,5,1(w
, llavors )5,7,4()27,52),1(3( wv
1.1.7 Multiplicació d’un vector per un escalar.
Anomenem escalar a qualsevol nombre real. Per a multiplicar un nombre per un vector
s’ha de multiplicar cada component del vector per aquest nombre. És fàcil comprovar
que aquesta operació multiplica la longitud del vector pel nombre. Si el signe del
nombre és negatiu, s’obté un vector de la mateixa longitud però en sentit contrari.
Exemple: )7,2,3( v
i 3k , llavors )21,6,9()7,2,3(3 vk
1.1.8 Propietats del producte de vectors per escalars.
Associativa : wbawba
Distributiva (I): wbwawba
)(
Distributiva (II): wavawva
Producte per la unitat : ww
1
Producte per zero: 00
w
1.1.9 Exercicis.
1. Calcula vu
, on )3,4,1( u
i )2,3,5(v
.
2. Calcula vu
, on )1,0,3(u
i )3,2,4( v
.
3. Determina el vector ,u1.3 v
on u
= ( 2 , -3 , -5 )
4. Determina el vector ,u0.7 v
on u
= ( 1 , 4 , -2 )
1.2 Punts. Les dues operacions entre punts i vectors.
1.2.1 Definició. Punts.
Un punt de IR3 és la representació matemàtica d’una posició en l’espai.
Analíticament ve representat per una terna ordenada ),,( 321 pppP , igual que els
vectors. Per anomenar els punts fem servir lletres majúscules: P, Q, R, ...
Per exemple: )1,2,4( P , )0,2,3(Q .
1.2.2 Observació. Representació gràfica de punts.
Els punts es representen per posicions en l’espai, marcades amb una petita “boleta”.
Atenció! Analíticament els punts i els vectors es representen de la mateixa manera: amb
matrius 1x3. Tanmateix no hem de confondre mai aquestes dues entitats matemàtiques.
No és el mateix anar en la direcció (1,3,-2) que estar a la posició (1,3,-2) . La primera
idea es representa amb un vector (1,3,-2)v
, i la segona amb un punt (1,3,-2)P .
Els punts no admeten operacions: No es poden sumar punts, ni es pot multiplicar un
punt per un escalar.
1.2.3 Definició. Primera operació entre punts i vectors: Punt+Vector=Punt.
Donat un punt P i un vector v
, definim el punt final vPQ
com el punt a on
arribem si sortim de P i anem en la direcció de v
:
),,(),,(
),,(332211
321
321vpvpvpvPQ
vvvv
pppP
Observació: La translació de punts és la única operació entre punts i vectors, i és la base
del que s’anomena “Geometria Afí”.
1.2.4 Definició. Segona operació entre punts i vectors: Punt-Punt=Vector.
Donats dos punts P i Q, existeix un únic vector v
tal que vPQ
.
Aquest vector s’anomena PQ , i es calcula restant component a component:
),,(),,(
),,(332211
321
321pqpqpqPQPQ
qqqQ
pppP
Gràficament serà la direcció que prenem quan anem des del punt inicial P al punt final
Q.
Atenció: L’ordre importa, no és igual PQ que QP , de fet són contraris l’un de l’altre:
QPPQ
El vector PQ s’anomena també “vector de desplaçament”.
1.2.5 Proposició. Divisió d’un segment.
Donats dos punts en l’espai ),,( 321 pppP i ),,( 321 qqqQ , podem trobar el seu punt
mig R:
PQPR2
1
Important! En comptes de memoritzar la “fórmula del punt mig”:
2,
2,
2),,(
),,(332211
321
321 qpqpqp
qqqQ
pppP
és molt més interessant estudiar i aprendre el mètode:
PQPR2
1
perquè amb el mètode estem entenent què fem i com podem dividir el segment PQ en
qualsevol nombre de parts, o de qualsevol manera.
Exemple:
Determina el punt P que divideix el segment AB en una proporció 6/5 , on
A=(-2,0,6) i B=(10,-6,-12).
Solució: P=(8,-5,-9)
1.2.6 Definició. Simètric d’un punt respecte d’un altre.
Donats dos punts en l’espai ),,( 321 pppP i ),,( 321 qqqQ , podem trobar el punt R
que fa que Q sigui el punt mig entre P i R:
PQPRqqqQ
pppP2
),,(
),,(
321
321
1.2.7 Exercicis.
1. Representa en l’espai els següents punts:
a) 1,1,4
b) 3,1,1
c) )1,1,3(
d) )3,2,2(
2. Determina les coordenades dels següents punts:
a)
b)
c)
d)
1.2.8 Problemes PAU.
1. Un segment d’origen en el punt A = (–1, 4, –2) i extrem en el punt B està dividit en
cinc parts iguals mitjançant els punts de divisió A1, A2, A3 i A4 (vegeu la figura). Si
sabem que A2 = (1, 0, 2), quines són les coordenades de B?
Solució PAU CAT TEC JUNY 2005 1.4
2. a) Si A, B i M són tres punts de l'espai que compleixen la relació AMAB 2
digueu quin serà el valor de r a l'expressió MBrMA
b) Si la relació anterior entre vectors s'hagués produït al pla i les coordenades de A i B
fossin respectivament (3, –5) i (–5, 7), quines serien les coordenades del punt M?
Justifiqueu la resposta.
PAU CAT TEC SET 1997 1A.2
1.3 Mòdul d’un vector. Distància entre dos punts.
1.3.1 Definició. Mòdul d’un vector.
Definim el mòdul (o “longitud”) d’un vector ),,( 321 vvvv
per
2
3
2
2
2
1 vvvv
1.3.2 Proposició. Propietats bàsiques del mòdul d’un vector.
a) 0v
b) 00 vv
c) vkvk
1.3.3 Proposició. La desigualtat triangular de Cauchy-Schwarz.
La norma de la suma de vectors és sempre menor o igual que la suma de les normes de
cadascun dels vectors:
vuvu
Demostració. Vegeu apartat 10.3.
Observació.
La desigualtat triangular de Cauchy-Schwarz garanteix que en tot triangle la longitud
d’un costat és sempre menor que la suma dels seus altres dos costats, o dit amb paraules
senzilles, que la línia recta és sempre el camí més curt entre dos punts.
1.3.4 Definició. Distància entre dos punts.
La distància entre dos punts ),,( 321 pppP i ),,( 321 qqqQ serà el mòdul del vector
que determinen:
2
33
2
22
2
11 )()()(),( pqpqpqPQQPdist
1.3.5 Definició. Longitud d’un segment.
La longitud d’un segment PQ d’extrems ),,( 321 pppP i ),,( 321 qqqQ serà la
longitud entre els seus extrems: 2
33
2
22
2
11 )()()( pqpqpqPQPQ
1.3.6 Exercicis.
1. Determina la distància entre els punts P = ( 14 , 1 , 17 ) i Q = ( 9 , -4 , 13 ).
2. Determina la distància entre els punts P = ( 4 , 2 , 7 ) i Q = ( -16 , -10 , 3 )
1.3.7 Problemes.
1. Els punts A= ( 5 , -1 , 1 ) , B= ( 7 , -4 , 7 ) , C= ( 1 , -6, 10 ) i D= (-1 , -3 , 4 ) són
coplanaris. Demostra que formen un rombe.
2. a) Demostra que els punts ),2,( A , )0,,2( B i )2,0,( C són els
vèrtexs d’un triangle isòsceles.
b) Determina el valor de per al qual el triangle ABC és equilàter.
3. Determineu el punt de l’eix Y que està a una distància 10 del punt )3,2,1(
4. Determina el punt de l’eix X que és equidistant als punts )2,2,3(A i
)4,5,5(B
5. Demostra que els punts )10,7,0(P , )6,6,1( Q i )6,9,4( R formen
un triangle rectangle isòsceles.
(Nota: demostra que és un triangle rectangle mitjançant el Teorema de Pitàgores)
6. Determina el punt de l’eix Z que equidista dels punts A=(2,3,-4) i B=(6,-2,-1)
)2,0,0(P
1.3.8 Problemes d’equidistància a tres punts.
Determina les coordenades del punt del pla 0x (és a dir, és de la forma ),,0( zyP )
que equidista dels tres punts A=(2,0,3), B=(0,3,2) i C=(0,0,1)
)3,1,0(3,163
03
63214469
03)2()3()00()3()0()20(
2222
222222
Pzyzy
yz
zyzzyzzyyPCPB
yzzyzyPBPA
1. Determina les coordenades del punt del pla 0z (és a dir, és de la forma
)0,,( yxP ) que equidista dels tres punts A=(3,2,-5), B=(5,1,7) i C=(4,-3,-6).
1.4 Vectors proporcionals. Punts alineats.
1.4.1 Definició. Vectors proporcionals.
Donats dos vectors ),,( 321 vvvv
i ),,( 321 wwww
, direm que són proporcionals quan
existeixi un IRk tal que wkv
, és a dir, quan podem passar d’un a l’altre
multiplicant per un escalar:
Per exemple,
)7,2,5( v
i )21,6,15( w
són proporcionals perquè vw
3 .
)3,1,2(v
i )11,4,8( w
no són proporcionals, perquè )2)(4(8 ,
1)4(4 però 3)4(11 .
Visualment dos vectors seran proporcionals quan determinin una mateixa direcció en
l’espai, independentment del seu mòdul i sentit.
1.4.2 Proposició.
Dos vectors u
i v
són proporcionals si i només si les raons de les seves components
són iguals:
3
3
2
2
1
1
321
321
),,(
),,(
v
u
v
u
v
uvku
vvvv
uuuu
Observació: Aquesta caracterització pot ser molt útil, però té l’inconvenient de què ens
podem trobar amb zeros als denominadors, cosa que fa mal als ulls.
Per exemple: Els vectors )2,0,1(u
i )4,0,2(v
són proporcionals perquè uv
2 .
Dividint components apareix un 0/0: 5.04
2
0
0
2
1
1.4.3 Definició. Punts alineats.
Direm que tres punts ),,( 321 aaaA , ),,( 321 bbbB i ),,( 321 cccC estan alineats quan
els vectors AB i AC siguin proporcionals: ABkAC .
1.4.4 Exercicis.
1. Determina si els punts )1,2,1( A , )0,3,2(B i )4,0,1(C estan o no alineats.
2. Determina si els punts )4,2,3(A , )2,1,6(B i )6,3,12(C estan o no alineats.
3. Donats els punts )1,0,2( A , )2,2,3( B i )4,6,( xC , determina el valor de x
que fa que estiguin alineats.
1.4.5 Problemes.
1. Calcula els valors de a i b per als què els punts )1,1,1(A , ),2,( baB i
)0,0,1(C estiguin alineats.
2. Demostra que els punts P=(2,4,6), Q=(-2,-2,-2) i R=(6,10,14) estan alineats.
3. Determina els valors de a i c per als quals el punt (a,1,c) pertanyi a la recta
determinada pels punts (0,2,3) i (2,7,8).
1.5 Producte escalar de dos vectors. Angle.
1.5.1 Definició. Producte escalar de dos vectors.
Donats dos vectors ),,( 321 vvvv
i ),,( 321 wwww
, es defineix el seu producte escalar
com:
332211 wvwvwvwv
1.5.2 Proposició. Desigualtat de Schwarz.
Sempre es compleix
vuvu
Demostració. Al final del document.
1.5.2 Definició. Angle entre dos vectors.
Sabem que vuvu i per tant 11
vu
vu
Aquesta propietat ens permet definir l’angle entre dos vectors com:
wv
wvwv
),cos(
1.5.3 Corol·lari. Vectors perpendiculars mitjançant el producte escalar.
Dos vectors ),,( 321 vvvv
i ),,( 321 wwww
són perpendiculars (o ortogonals) (i
escriurem wv
) quan el angle que determinen és de 90º, és a dir, quan formin un
angle recte.
Llavors 0)º90cos(),cos( wv
i per tant, aplicant 1.5.2 tenim
wvwvwvwvwv
wvwv
0),cos(0),cos(0
és a dir, dos vectors (no nuls) seran perpendiculars si i només si el seu producte escalar
és zero:
0 wvwv
1.5.4 Proposició.
Com que )cos(u
és la projecció escalar del vector u
sobre el vector v
, el producte
escalar es pot entendre com el producte d’aquesta projecció per la longitud de v
.
1.5.5 Proposició.
vvv
Demostració. Només cal desenvolupar les definicions:
vvvvvvvvvvvv
2
3
2
2
2
1321321 ),,(),,(
1.5.6 Exercicis.
1. Determineu k per a què els vectors )2,,3( ka
i )6,9,(kb
siguin:
a) perpendiculars,
b) paral·lels.
2. Determina l’angle, en graus, entre els dos vectors )1,5,1( v
i )4,3,2( w
.
3. Determina l’angle, en graus, entre els dos vectors v
= ( 5 , -2 , 1 ) i w
= ( 4 , -4 , -1 ).
4. Donats els vectors )0,1,1(u
i )1,1,( av
, trobeu el valor d’a per al què u
i v
formen un angle de 60º.
5. Sabent que ABCD és un quadrat, )2,0,2(A , )0,1,1(B i ),,0( zyC , trobeu
raonadament les coordenades y i z de C.
1.5.7 Problemes PAU.
1. Donats els vectors )1,2,1(1 aav
, )2,,2(2 aav
i )24,2,(3 aav
de IR3:
a) Calculeu l’angle que formen 1v
i 2v
quan a= 0.
b) Trobeu el valor del paràmetre a perquè els vectors 1v
, 2v
i 3v
siguin perpendiculars
dos a dos. Solució PAU CAT TEC SET 2009 1.4
2. Considereu els punts de l’espai A= (0, –2a–1, 4a–2),B= (1, –3, 4),C= (3, –5, 3).
a) Comproveu que el triangle de vèrtexs A, B i C és rectangle en B per a qualsevol valor
de a.
b) Calculeu els valors de a que fan que aquest triangle sigui isòsceles.
Solució PAU CAT TEC SET 2003 3.4
3. Els punts A(k–3, 2, 4), B(0, k+2, 2) i C(–2, 6, k+1) són tres dels vèrtexs d’un rombe
ABCD (vegeu la figura).
a) Calculeu el valor de k.
b) Demostreu que el rombe és un quadrat. Solució PAU CAT TEC JUNY 2004 1.4
4. Siguin u
i v
els dos vectors del pla :
)1,1(u
)31,31(2
1v
Calculeu l’angle que formen u
i v
.
PAU CAT TEC SET 1998 5.3
1.6 Producte vectorial de dos vectors. Àrea.
1.6.1 Definició. Producte vectorial.
Donats dos vectors ),,( 321 vvvv
i ),,( 321 wwww
, es defineix el producte vectorial
dels dos vectors com el vector:
21
21
31
31
32
32
321
321 ,,ww
vv
ww
vv
ww
vv
www
vvvwv
kji
1.6.2 Proposició. Propietat fonamental del producte vectorial.
El vector vu
és perpendicular als dos vectors u
i v
, i el seu sentit és el sentit de
desplaçament d’un tirabuixó que va de u
cap a v
per l’angle més petit.
La millor manera d’obtenir un vector perpendicular a altres dos donats és calculant el
seu producte vectorial.
1.6.3 Proposició. Altres propietats del producte vectorial.
1. ),sin( vuvuvu
2. El producte vectorial de dos vectors linealment dependents és nul.
3. El mòdul del producte vectorial de 2 vectors és igual a l’àrea del paral·lelogram que
determinen si es representen amb el mateix origen. (I per tant, com que un triangle és la
meitat d’un paral·lelogram, l’àrea és la meitat).
1.6.4 Exercicis.
1. Comprova amb els vectors )1,2,2( i )1,2,1( si el producte vectorial compleix la
propietat commutativa.
2. Donats els vectors )1,2,1(u
i )3,1,2(v
, trobeu un vector perpendicular a tots
dos i de mòdul 3.
3. Siguin els vectors )3,1,1( u
, )1,2,2(v
i )5,2,3( w
. Calculeu:
a) )( wvu
b) )( wvu
c) L’angle que formen u
i v
.
4. Tenim els punts )0,0,1(A , )2,1,2(B i )2,2,1(C . Si sabem que ABCD és un
paral·lelogram, trobeu el punt D, i el seu perímetre i àrea.
1.7 Producte mixt de tres vectors. Volum. Punts coplanaris.
1.7.1 Definició. Producte mixt de tres vectors.
Donats tres vectors ),,( 321 uuuu
),,( 321 vvvv
i ),,( 321 wwww
, el producte mixt
dels tres vectors és el determinant de la matriu que hi generen:
321
321
321
),,det(
www
vvv
uuu
wvu
1.7.2 Proposició. Propietats del producte mixt.
1. El valor absolut del producte mixt de tres vectors és igual al volum del paral·lepípede
que determinen.
|),,det(| wvuVolum
(observa que la fórmula porta valor absolut)
2. El volum del tetràedre desenvolupat per tres vectors és igual a un sisè del valor
absolut del producte mixt dels tres vectors (ja que el paral·lepípede correspon a 6
tetràedres).
|),,det(|6
1wvuVolum
3. Tres vectors són linealment dependents si i només si 0),,det( wvu
1.7.3 Proposició. Relació entre els tres productes:
wvuwvu
),,det(
Demostració.
),,det(
,,),,(),,(
321
321
321
21
21
3
31
31
2
32
32
1
21
21
31
31
32
32
321
321
321321
wvu
www
vvv
uuu
ww
vvu
ww
vvu
ww
vvu
ww
vv
ww
vv
ww
vvuuu
www
vvv
kji
uuuwvu
1.7.4 Definició. Tres vectors coplanaris.
Direm que tres vectors ),,( 321 uuuu
),,( 321 vvvv
i ),,( 321 wwww
són coplanaris
quan el paral·lepípede que generen té volum 0, o dit amb paraules senzilles, quan
generen en l’espai una “capsa plana”.
u
v
i w
són coplanaris 0),,det( wvu
Observació: Més endavant, en 2.1.3, donarem una definició equivalent com a “tres
vectors linealment independents”:
1.7.5 Definició. Quatre punts coplanaris.
Direm que quatre punts A, B, C i D són coplanaris quan els vectors AB , AC i AD
siguin coplanaris, és a dir, quan tinguin determinant zero:
A, B, C i D són coplanaris 0),,det( ADACAB
1.7.6 Exercicis.
1. Donats els vectors u
, v
i w
, calcula wv
, wvu
i ),,det( wvu
i comprova que
es compleix la propietat ),,det( wvuwvu
.
a) )4,1,3( u
, )7,0,2( v
, )1,3,5( w
.
b) )1,0,2(u
, )3,7,0(v
, )4,1,5( w
.
c) )5,1,3( u
, )0,6,5( v
, )3,2,0( w
.
2. Calcula el volum del prisma amb arestes definides per els vectors )1,1,4( , )12,2( i
)1,1,3( .
3. Si ABCDEFGH és un paral·lepípede, i sabent que )1,1,0(A , )1,1,2(B ,
)3,1,1(C i )1,0,2(E , trobeu la resta de vèrtexs i el seu volum.
4. Determina si els següents punts són o no coplanaris:
a) )1,0,1(A , )0,2,3(B , )2,1,1(C , )4,2,3(D
b) )5,1,0(A , )1,6,4(B , )1,2,2(C , )0,1,2( D
5. Determina x de forma que els següents quatre punts siguin coplanaris:
a) )1,0,0(A , )2,1,0(B , )3,1,2(C , )2,1,( xxD
b) )1,0,(xA , )2,1,0(B , )3,2,1(C , )1,2,7(D
1.7.7 Problemes.
1. Els punts )2,3,( aA , )1,,4( bB i ),1,6( aC estan alineats.
Determineu els valors d’a i b.
2. Les coordenades dels vèrtexs consecutius d’un paral·lelogram són )0,0,1(A i
)0,1,0(B . Les coordenades del centre M són )1,0,0(M . Trobeu les
coordenades dels vèrtexs C i D.
3. Determineu el volum del paral·lelepípede format pels vectors )5,2,3( u
,
)1,2,2( v
i )2,3,4( w
.
4. Determineu el volum del tetraedre de vèrtexs A=(3, 2, 1), B=(1, 2, 4), C=(4, 0, 3) i
D=(1, 1, 7).
5. Donats els punts A=(0,5,3), B=(0,6,4), C=(2,4,2) i D=(2,3,1), comproveu que els
quatre punts són coplanaris i que el polígon ABCD és un paral·lelogram.
6. Donats els punts A=(0,0,0), B=(1,0,−1), C=(0,1,−2) i D= (1,2,0), es demana
demostrar que els quatre punts no són coplanaris i calcular el volum del tetraedre que
formen.
7. Considerem els vectors )4,3,2(u
, )1,1,1( v
i )5,,1( w
.
a) Determina els valors de per als què el paral·lelepípede que formen els tres vectors
tingui volum igual a 6 unitats cúbiques.
b) Determina els valors de per als què són tres vectors linealment dependents (és a
dir, coplanaris).
8. Demostra que els quatre punts A=(1,0,-1), B=(2,1,0), C=(0,0,-1) i D=(-1,1,1) no són
coplanaris.
9. Determina els valors d’a i b per als què els punts A=(1,0,0), B=(a,b,0), C=(a,0,b) i
D=(0,a,b) siguin coplanaris.
10. Calcula el volum del tetraedre de vèrtexs A(1,1,1), B=(0, −2,2), C=(−1,0,2) i
D=(2, −1,2).
11. Donats els punts A=(1, 3, −1), B=(a, 2, 0), C=(1, 5, 4) y D=(2, 0, 2),
a) Trobeu el valor de a per al què els quatre punts siguin coplanaris.
b) Trobeu els valors de a per als quals el tetraedre de vèrtexs A,B, C i D tingui volum
igual a 7.
PAU Madrid 2012
1.8 Fora de programa: L’esfera.
1.8.1 Definició. Esfera.
Donat un punt ),,( 321 cccC i un radi 0r , l’esfera de centre C i radi r serà el lloc
geomètric de tots els punts ),,( zyxP tals que la seva distància al centre C és igual a
r, és a dir,
rPCrCPdist ),(
Naturalment, l’esfera en l’espai és l’equivalent a la circumferència en el pla.
1.8.2 Proposició. Equació de l’esfera.
Donat el centre ),,( 321 cccC i el radi 0r , el punt ),,( zyxP pertany a l’esfera si i
només si
2
3
2
2
2
1
321
)()()(
),,(
),(
czcycxCP
czcycxCPCP
rPCrPCrPCrCPdist
Per tant :
22
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
)()()(
)()()(
rczcycx
rczcycxrPC
La part de l’esquerra d’aquesta equació la podem desenvolupar en forma de polinomi en
x, y i z per arribar a una equació de la forma
0222 DCzByAxzyx
Un cop més, recorda que NO has de memoritzar cap d’aquestes fórmules. Has
d’estudiar, aprendre i entendre com passar d’una a l’altra sense haver de mirar els
apunts.
1.8.3 Problema resolt.
Donats dos punts de l’espai )1,0,0(A i )3,2,0(B , determineu el lloc geomètric de
tots els punts P tals que BPAP .
En primer lloc anem a fer un estudi geomètric del problema:
Si ens limitem a un pla, els punts P tals que BPAP són els punts de la
semicircumferència de diàmetre AB . Aquest resultat és la proposició 31 del Llibre III
dels Elements d’Euclides. (Vegeu www.toomates.net/biblioteca/AlgebraLineal.pdf
Apartat 9.1.4)
Com que estem en l’espai, hi ha moltes més solucions: Aquesta semicircumferència la
podem girar pel seu eix per obtenir una circumferència de diàmetre AB, formada per
punts que també satisfaran la condició de perpendicularitat:
El lloc geomètric solució del problema serà, doncs, la circumferència de diàmetre AB,
és a dir, aquella que té centre el seu punt mig M i radi 2/AB .
Anem ara a resoldre aquest mateix problema amb coordenades :
)3,2,(
)1,,(
),,(
)3,2,0(
)1,0,0(
zyxBPBP
zyxAPAP
zyxP
B
A
0342
0332
0)3)(1()2(
0)3,2,()1,,(0
222
222
2
zzyyx
zzzyyx
zzyyx
zyxzyxBPAPBPAP
Comprovem que es tracta de la circumferència de diàmetre AB:
Punt mig del segment AB:
)2,1,0()1,1,0()1,0,0(2
1)1,1,0(
2
1)2,2,0( ABAMABABAB
Diàmetre de la circumferència:
228220 222 ABd
Radi de la circumferència :
22
22
2
dr
Equació de la circumferència:
3420
244120
44122
)2()1(2
)2()1(2),(2
)2()1(),(
)2,1,()2,1,0(),,(
222
222
222
222
222
222
zzyyx
zzyyx
zzyyx
zyx
zyxMPd
zyxMPPMd
zyxzyxMPMP
I efectivament arribem a la mateixa equació.
1.9 Notes històriques. La història dels vectors.
La llei del paral·lelogram per a l’addició de vectors és tan intuïtiva que el seu origen és
desconegut. Podria haver aparegut en un treball ara perdut d’Aristòtil (384-322 aC), i es
troba en la Mecànica de Hieró d’Alexandria (segle I dC). Va ser, també, un dels
primers resultats del Principia Mathematica (1687) d’Isaac Newton (1642-1727). En els
Principia, Newton va tractar de manera extensa el que ara es consideren les entitats
vectorials (per exemple, velocitat, força), però mai el concepte de vector. L’estudi i l’ús
de vectors no es va sistematitzar fins als segles XIX i XX.
Els vectors van sorgir a les primeres dues dècades del segle XIX amb les
representacions geomètriques de nombres complexos. Caspar Wessel (1745-1810),
Jean Robert Argand (1768-1822) i Carl Friedrich Gauss (1777-1855) van concebre
nombres complexos com a punts en el pla de dues dimensions, és a dir, com a vectors
de dues dimensions. En 1837, William Rowan Hamilton (1805-1865) va demostrar
que els nombres complexos es podrien considerar parells de nombres (a, b). Aquesta
idea era una part de la campanya de molts matemàtics, incloent-hi el mateix Hamilton,
per a buscar una manera d’ampliar els "nombres de dues dimensions" a tres dimensions.
En 1827, August Ferdinand Möbius va publicar un llibre curt, Càlcul baricèntric, en
el qual va introduir el segment dirigit que va denotar amb les lletres de l’alfabet; ja eren
vectors, encara que no tenien aquest nom. En el seu estudi de centre de gravetat i la
geometria descriptiva, Möbius va desenvolupar el càlcul amb aquests segments dirigits;
els va sumar i va demostrar com es multiplicaven per un nombre.
William Rowan Hamilton (1805-1865)
Finalment, el mateix Hamilton va introduir en 1843 en concepte de vector, precisament
com un segment orientat de l’espai.
El desenvolupament de l’àlgebra de vectors i de l’anàlisi de vectors tal com el coneixem
avui va ser fet per primera vegada per J. Willard Gibbs (1839-1903) en les classes per
als seus estudiants en la Universitat de Yale. Gibbs va intuir que els vectors
proporcionarien una eina més eficient per al seu treball en la física. Així, doncs,
començant el 1881, Gibbs va imprimir en privat notes sobre anàlisi dels vectors per als
seus estudiants, que van ser distribuïts extensament entre els erudits dels Estats Units i
d’Europa.
1.10 Recopilatori d’exercicis.
1. Donats els punts )0,1,1( A , )4,,1( bB , ),10,4( cC , )3,2,1(D i
),5,0( eE , trobeu les coordenades que falten en B, C i D sabent que A, B i C estan
alineats i A, B, D i E són coplanaris.
2. Determineu els punts que divideixen el segment AB en 5 parts iguals, suposant que
)6,3,2( A i )6,6,13(B
3. Donats els quatre punts )3,2,1(A , )3,1,( bB , )4,,2( cC i ),2,5( dD
a) Trobeu b, c i d sabent que ABCD és un paral·lelogram.
b) Trobeu el centre del paral·lelogram.
c) Trobeu els punts que divideixen el segment CD en 3 parts iguals.
4. Els punts )2,3,(aA , )1,,4( bB i ),1,6( aC estan alineats. Trobeu els valors
d’A i B.
5. Trobeu k per a què els 4 punts següents siguin coplanaris:
)1,3,1(P , )1,0,2(Q , )1,0,0(R i )2,1,(kS
6. Trobeu k per a què els 4 punts següents siguin coplanaris:
)0,1,3(P , )1,2,2( Q , )1,3,0(R i ),2,1( kS
7. Si sabem que ABCD és un quadrat, )2,0,2(A , )0,1,1(B , ),,0( zyC , trobeu
les coordenades que falten de C.
8. Donats els vectors )1,2,1(u i )3,1,2(v
, trobeu un vector perpendicular a u
i v
de mòdul 3.
9. Donats els vectors )3,1,1( a
, )3,0,2(b
i ),2,7( zc
, trobeu:
a) els mòduls de a
i b
.
b) L’angle que formen a
i b
.
c) La coordenada que falta en c
, sabent que ac
.
10. Donats els vectors )3,1,2( a
, )1,3,2(b
i )5,1,0(c
, trobeu:
a) L’àrea el paral·lelogram determinat per a
i b
.
b) El volum del paral·lepípede determinat per a
, b
i c
.
11. Trobeu l’àrea del triangle ABC , on )3,2,1(A , )4,0,2(B i )0,5,10(C .
12. a) Si )1,0,3( A , )5,4,6( B i ),3,5( zC , trobeu z si sabem que el triangle
ABC és rectangle, on º90A .
b) Trobeu la seva àrea.
13. Donats )12,4,3( u
i )6,2,5( v
, calcula:
a) vu
b) u
i v
.
c) L’angle entre u
i v
.
d) Quant ha de valer y perquè )2,,7( yw
sigui perpendicular a u
?
14. Troba els vectors de 3IR que són perpendiculars a )1,0,1(v
i formen un angle de
60º amb
2
1,
2
2,
2
1v
.
15. Troba el valor de m perquè els vectors )1,5,3( u
, )1,1,2( v
i ),4,1( mw
determinin un paral·lelepípede de volum 11.
16. Donats els punts )1,1,2(A , )1,0,0(B i )0,0,(C , troba el valor de tal que
l’àrea del triangle ABC sigui 2.
17. Donats els vectors )1,,( bau
, )1,4,3(v
i ),2,1( cw
, determina els valor dels
paràmetres IRcba ,, de manera que els vectors v
i w
siguin perpendiculars i que, a
més, vwu
. Quin angle formen u
i v
en aquest cas?
18. Demostreu que els tres punts )1,1,1( , )1,0,2( i ( )1,2,0 són sobre una mateixa recta.
19. Considerem els vectors )1,1,1(u
, ),2,2( av
i )0,0,2(w
.
a) Determina els valors de a per als què els vectors u
, v
i w
son coplanaris.
b) Determina els valors de a per als què els vectors vu
i vu
son perpendiculars.
20. Siguin els punts )1,2,1(A , )1,3,2(B , )3,5,0(C i )3,4,1(D ,
a) Demostreu que els quatre punts són coplanaris.
b) Demostreu que ABCD és un rectangle.
c) Calculeu l’àrea d’aquest rectangle.
21. Calculeu un vector de mòdul 1 que sigui perpendicular als vectors )2,0,1( i )0,1,2( .
22. Donats els vectors )2,1,( aaau
, ),1,( aav
i )1,,1( aw
, trobeu els valors de a
per als què els tres vectors siguin coplanaris.
23. Se consideren els punts )0,,1( aA , )2,1,1( aB i ),1,1( aC .
a) Comproveu que no estan alineats, sigui quin sigui el valor del paràmetre a.
b) Trobeu l’àrea del triangle que determinen aquests punts.
24. Considerem el tetraedre de vèrtexs A=(1, 0, 0), B=(1, 1, 1), C=(-2, 1, 0) y D=(0, 1,
3).
a) Trobeu l’àrea del triangle ABC.
b) Trobeu el volum del tetraedre ABCD.
25. Els punts )1,1,1(A , )2,2,2(B i )3,3,1(C són tres vèrtexs consecutius d’un
paral·lelogram.
a) Trobeu les coordenades del quart vèrtex D.
b) Calculeu el seu àrea.
c) Comproveu que es tracta d’un rombe i no d’un rectangle.
26. Donats els punts )2,0,2( A , )1,4,3( B , )3,4,5( C y )4,1,0(D ,
a) Calculeu l’àrea del triangle de vèrtexs A, B i C.
b) Calculeu el volum del tetraedre (piràmide) ABCD.
27. Donats els punts )1,3,1( A , )0,2,(aB , )4,5,1(C i )2,0,2(D , es demana:
a) Trobeu el valor de a per a què els quatre punts siguin coplanaris.
b) Trobeu els valors de a per a què el tetraedre (piràmide) amb vèrtexs A,B,C,D tingui
un volum igual a 7.
28. Donats els punts )0,3,1( A , )2,1,3( B , )3,2,7(C , )5,2,5( D .
a) Demostreu que els punts A, B, C i D són coplanaris.
b) Demostreu que el polígon ABCD és un paral·lelogram i calculeu la seva àrea.
29. Donats els punts ),2,( A , )0,,2( B i )2,0,( C , existeix algun valor
de per al què els punts A, B i C estiguin alineats? Comproveu que els punts sempre
formen un triangle isòsceles.
1.11 Taula resum dels tres productes.
Fórmula
Interpretació
geomètrica Equació igual a zero
Pro
du
cte
esc
alar
332211 wvwvwvwv
Angle:
wv
wvwv
),cos(
Perpendicularitat:
wvwv
0
Pro
du
cte
vec
tori
al
321
321
kji
www
vvvwv
wv
és perpendicular a
v
i w
:
L’àrea del paral·lelogram
és igual a wv
Vectors proporcionals:
wkvwv
0
(no s’utilitza habitualment)
Pro
du
cte
mix
t
321
321
321
,,
www
vvv
uuu
wvu
El volum del
paral·lelepípede és igual a
wvu
,,
Vectors coplanaris:
coplanariswvuwvu
,,0,,
(és a dir, linealment dependents)
2 Varietats lineals. Rectes i plans.
2.1 Combinacions lineals de vectors.
2.1.1 Combinacions lineals d’un vector. Rectes vectorials.
Direm que t
és combinació lineal del vector u
quan existeix un nombre real a tal que
uat
El conjunt de totes les combinacions lineals d’un vector 0u
forma el que s’anomena
una recta vectorial:
IRauau ,
En particular, el vector zero sempre és combinació lineal de qualsevol vector, perquè
u
0)0,0,0(0
Exercicis.
1. Donat )4,3,2( u
, calcula u
2 i u
3 .
2. Donat )3,2,4(u
, escriu )9,6,12(t
com a combinació lineal de u
.
2.1.2 Combinacions lineals de dos vectors. Plans vectorials.
Direm que t
és combinació lineal dels vectors u
i v
quan existeixen nombres reals a i
b tals que
vbuat
El conjunt de totes les combinacions lineals dels vectors u
i v
formen el que
s’anomena un pla vectorial:
IRbavbuavu ,,,
Però atenció! No sempre! Només si els vectors u
i v
no són proporcionals, és a dir,
quan vku
.
Direm que els vectors u
i v
són linealment independents quan formin un pla
vectorial, és a dir, quan no siguin proporcionals. Si dos vectors són proporcionals
formen una recta vectorial.
En particular, el vector zero sempre és combinació lineal de qualsevol parella de
vectors, perquè
vu
00)0,0,0(0
Escriu el vector )13,11,12( com a combinació lineal dels vectors )3,1,2( u
i
)2,4,3( v
.
ba
ba
ba
bababa
bbbaaa
ba
2313
411
3212
)23,41,32()13,11,12(
)2,4,3()3,1,2()13,11,12(
)2,4,3()3,1,2()13,11,12(
Arribem a un sistema d’equacions sobredeterminat (3 equacions i 2 incògnites), que
hem de (intentar) resoldre:
3,2225123)114(212114
2313
411
3212
abbbbba
ba
ba
ba
Comprovem que la solució 2,3 ba satisfà les tres equacions, per tant el sistema és
compatible determinat i la resposta és:
)2,4,3(2)3,1,2(3)13,11,12(
Escriu el vector )2,4,3( com a combinació lineal dels vectors )1,4,3( u
i
)1,5,2( v
.
ba
ba
ba
bababa
bbbaaa
ba
2
544
233
),54,23()2,4,3(
)1,5,2(),4,3()2,4,3(
)1,5,2()1,4,3()2,4,3(
Arribem a un sistema d’equacions sobredeterminat (3 equacions i 2 incògnites), que
hem de (intentar) resoldre:
1,3632)2(332
2
544
233
abbbbba
ba
ba
ba
Però la solució 1,3 ab no satisfà la segona equació:
419154)3(5)1(4
Per tant el sistema és incompatible, és a dir, no es pot resoldre, i per tant el vector
)2,4,3( no es pot escriure com a combinació lineal de )1,4,3( u
i
)1,5,2( v
. El problema no té solució.
2.1.3 Combinacions lineals de tres vectors. Espai vectorial.
Direm que el vector t
és combinació lineal dels vectors u
, v
i w
quan existeixen
nombres reals a , b i c tals que
wcvbuat
El conjunt de totes les combinacions lineals dels vectors u
, v
i w
formen tot l’espai
de vectors:
3,,,,, IRIRcbawcvbuawvu
Però només quan el seu determinant és diferent de zero: 0,,det wvu
i en aquest cas direm que els vectors u
, v
i w
són linealment independents, o que
formen una base de 3IR .
2.1.4 Observació. L’espai IR3 té tres dimensions.
Aquest procés no pot créixer més, s’acaba aquí: És impossible trobar quatre vectors
linealment independents en IR3. Per això diem que l’espai IR
3 té tres dimensions.
Anomenem base de IR3 a qualsevol conjunt de tres vectors linealment independents, i
donada una base wvu
,, , qualsevol vector t
de IR3 sempre es pot escriure com a
combinació lineal d’aquests tres vectors, i a més a més de forma única:
wcvbuat
Donats els vectors )1,3,2( u
, )3,1,4( v
i )2,3,1(w
, demostra que formen una
base de 3IR i escriu el vector )5,10,1(t
com a combinació lineal de tots tres.
Formen una base perquè el seu determinant no és zero:
022
231
313
142
Volem trobar els nombres a, b i c de forma que
)2,3,1()3,1,4()1,3,2()5,10,1( cba
És a dir:
cba
cba
cba
cbacbacba
cccbbbaaa
235
3310
421
)23,33,42()5,10,1(
)2,3,()3,,4(),3,2()5,10,1(
Un sistema lineal 3x3 que sabem que és SCD perquè el seu determinant és diferent de
zero. El resolem per Gauss:
3
2
1
111100
25980
5231
9520
25980
5231
1142
10313
5231
5231
10313
1142
235
3310
421
a
b
c
cba
cba
cba
Per tant )2,3,1(1)3,1,4(2)1,3,2)(3()5,10,1(
2.1.5 Combinació lineal de vectors.
Una combinació lineal dels vectors nvv
,,1 és qualsevol vector de la forma
nnvvv
11 per a certs escalars IRn ,,1
En particular, el vector 0
sempre és combinació lineal de qualsevol conjunt de vectors:
nvv
000 1
Direm que un conjunt de vectors nvv
,,1 són linealment dependents quan podem
trobar un conjunt d’escalars n ,,1 , no tots nuls, tal que 011
nnvv .
Equivalentment, direm que són linealment dependents quan algun d’aquests vectors es
pot escriure com a combinació lineal dels altres. En cas contrari direm que són
linealment independents.
Nombre de vectors linealment
independents Condició
Objecte geomètric que es
genera
1 vector
0v
Recta vectorial
2 vectors vku
Pla vectorial
3 vectors
0),,det( wvu
Tot l’espai de vectors
IR3
2.1.8 Exercicis.
1. Donat )2,1,5( u
, determina u
2 , u
3 i u
5.0
2. Donat )5,7,2( u
, determina u
4 , u
i u
31
3. Comprova si els vectors (-2,1,0), (-1,3,1) i (3,3,0) són linealment independents.
4. Determina k per a que els vectors (-3,k,2), (4,1,0) i (-1,2,-1) siguin coplanaris.
5. Escriviu el vector )4,2,1(v
com a combinació lineal dels vectors )1,0,1(a
,
)0,1,1(b
i )1,1,0(c
.
2.1.9 Problemes PAU.
1. Sigui V= {(–1, 1, 1), (–2, –1, 0), (1, 2,a)} un conjunt de vectors de IR3.
a) Trobeu el valor o els valors de a perquè V sigui linealment dependent.
b) Quan a= 4, expresseu el vector 14) 9, (3, v
com a combinació lineal dels vectors de
V. Solució PAU CAT TEC SET 2013 1.1
2. Siguin 2) 3, (-1, 1 u
, 4) (2,-1, u2
i 2) 4a 1,-a1, (a u3
tres vectors de l’espai
vectorial IR3.
a) Trobeu el valor del paràmetre a per al qual el vector 3u
és combinació lineal dels
vectors 1u
i 2u
b) Comproveu que per a a= 0 el conjunt 321 ,, uuu
és linealment independent.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2010 4.6
3. Considereu els vectors de IR3:
4) 3, (-1, v1
, 3)- 1,- (2, 2 v
i 3) k 1, 2k (1, 3 v
.
a) Trobeu l’únic valor de k per al qual aquests vectors no són una base de IR3.
b) Per a un valor de k diferent del que heu trobat en l’apartat a), quins són els
components del vector 321 vvvw
en la base 321 v,v,v
?
Solució PAU CAT TEC SET 2005 3.2
4. Donats els vectors 2) (1, u
i 1) (-3, v
:
a) Comproveu que u
i v
formen una base de l’espai vectorial dels vectors del pla;
b) Trobeu els components del vector = (–1, 5) en la base vu
,
Solució PAU CAT TEC SET 2004 5.4
5. Donats els vectors 4) (1,-1, u
, 3) 1, (2, v
i 0) 0, (1, w
,
a) Determineu si són vectors linealment dependents o independents.
b) Calculeu la relació que hi ha d'haver entre els valors de a i b per tal que el vector (a,
1, b) sigui combinació lineal de u
i v
. Solució PAU CAT TEC SET 2000 2.3
6. Calculeu el valor de k per tal que els vectors ( 1 , 2 , -1, 1 ) , ( 1 , -1 , 1 , 1 ) i
( 2 , 5k , -3k, 2 ) siguin linealment dependents
PAU COU
7. Donats els vectors )2,1,( aaau
, ),1,( aav
i )1,,1( aw
, es demana:
a) Determineu els valors de a per als què els vectors u
, v
, w
siguin linealment
dependents.
b) Estudieu si el vector )0,3,3(c
depèn linealment dels vectors u
, v
, w
per al cas
2a . En cas afirmatiu, determineu la combinació lineal associada.
PAU MADRID TEC 2000 Opció A
2.2 Rectes. Equacions de la recta.
2.2.1 Definició. Equacions de la recta.
Una recta r en l’espai queda determinada per un punt ),,( 321 pppP (“punt base”) i
un vector ),,( 321 vvvv
(“vector director”)
Conjunt de punts: IRkvkPQr ,:
Equació vectorial: ),,(),,(),,( 321321 vvvkpppzyx
Equació paramètrica:
33
22
11
vkpz
vkpy
vkpx
Equació contínua: 3
3
2
2
1
1
v
pz
v
py
v
px
Equació cartesiana:
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
on ),,( 111 cba i ),,( 222 cba no són proporcionals.
Més endavant veurem que l’equació cartesiana d’una recta
és, en realitat, la interpretació de la recta com a intersecció
de dos plans.
2.2.2 Proposició. Recta que passa per dos punts.
Donats dos punts P i Q, existeix una única recta que passa per tots dos.
Agafem com a punt base qualsevol dels dos i com a vector director el vector que
determinen: PQv
.
2.2.3 Exercicis.
1. Determina l’equació contínua de la recta que passa per
P = ( -11 , -10 , -6 ) i Q = ( -8 , 17 , -17 )
2. Determina l’equació contínua de la recta que passa per
P =( 17 , 20 , -13 ) i Q =( -6 , -1 , -2 )
3. Determina el punt P d’intersecció entre les rectes r i s.
4
6
3
112:
zyxr
2
3
4
4
1:
z
yxs
4. Determina el punt P d’intersecció entre les rectes r i s.
2
33
3
6:
zy
xr 10
5
103:
z
yxs
2.2.4 Problemes PAU.
1. Considereu els punts de l’espai )3,1,1( aP , )1,2,0( aaQ i
)66,1,2( aR
a) Trobeu el valor de a per al qual els tres punts estan alineats.
b) Quan els tres punts estan alineats, quina és l’equació de la recta que els conté?
Solució PAU CAT TEC JUNY 2009 3.6
2. Trobeu l’equació de la recta continguda en el pla 0 2-6z2yx: , que talla els
eixos OY i OZ. Solució PAU CAT TEC JUNY 2007 1.4
3. Considereu els punts de l’espai P=(–1, a–1, 3), Q=(0, a–2, 1–a) i R=(2, –1, 6 – 6a).
a) Trobeu el valor de a per al qual els tres punts estan alineats.
b) Quan els tres punts estan alineats, quina és l’equació de la recta que els conté?
Solució PAU CAT TEC JUNY 2007 1.2
4. Considereu els punts de l’espai A(1, 1, 2),B(0, 1, 1) i C(k, 1, 5).
a) Trobeu l’equació de la recta que passa per A i B.
b) Per a quins valors de k els punts A, B i C formen un triangle?
Solució PAU CAT TEC JUNY 2004 4.1
2.3 Plans. Equacions del pla.
2.3.1 Definició. Equacions del pla.
Un pla en l’espai queda determinat per un punt P (“punt base”) i dos vectors
directors wv
, linealment independents (“vectors directors”).
Conjunt de punts: IRbawbvaPQ ,|:
Equació vectorial: ),,(),,(),,(),,( 321321321 wwwbvvvapppzyx
Equació paramètrica:
333
222
111
wbvapz
wbvapy
wbvapx
Equació cartesiana: DCzByAx
El vector ),,( CBAn
s’anomena vector normal del pla i
té unes propietats geomètriques molt interessants. (Vegeu
Apartat 2.3.7)
2.3.2 Proposició. Primer mètode per a obtenir l’equació cartesiana d’un pla.
Un punt ),,( zyxQ pertany al pla si i només si PQ , v
i w
son linealment dependents
i per tant, el determinant d’aquests tres
vectors ha de ser zero:
0
321
321
321
www
vvv
pzpypx
2.3.3 Proposició. Pla que passa per tres punts.
Donats tres punts no alineats de l’espai
),,(),,,(),,,( 321321321 cccCbbbBaaaA
Existeix un únic pla que passa per aquests tres punts.
Agafem com a punt base el punt A, com a vectors directors ABv
, ACw
, i
apliquem 2.3.2.
Determina el pla que passa pels següents punts:
)1,5,1(,)4,1,0(,)3,4,3( CBA
414
153
343
314531
344130
343
31)4(5)3(1
34)4(1)3(0
3)4()3(
0
zyxzyxzyx
=
76231619
481236020931646020
)4(12)3()3(20)3(3)4(4)3(20
)4(3)4()3(1)1()3(54)1(3)3(41)4()4(5)3(
zyx
yxzzyx
yxzzyx
yxzzyx
Per tant, l’equació és yzxzyx 16762319076231619
Efectivament, aquesta equació es satisfà amb els punts A, B i C de l’enunciat:
)4(1676)3(23)3(19
)1(1676)4(23)0(19
)5(1676)1(23)1(19
Exercicis.
1. Determina l’equació general del pla que passa pels següents tres punts:
a) P=(1, -2, 0), Q=(3, 1, 4), R=(0, -1, 2)
b) P=(1, 1, 1), Q=(1, 2, 0), R=(-1, 2, 1)
c) P=(2, 1, -1), Q=(0, -2, 0), R=(1, -1, 2)
d) P=(3, 2, 0), Q=(1, 3, -1), R=(0, -2, 3)
2. Determineu raonadament l’equació del pla que passa pels punts )0,0,0(A ,
)0,3,6( B i )1,0,3(C
3. Determina el pla que passa pel punt )7,1,2( P i té com a vectors directors
)0,1,2( v
i )2,0,1(w
.
4. Determina el pla que passa pel punt )3,0,5( P i té com a vectors directors
)4,2,1(v
i )0,1,3(w
.
Problemes PAU.
1. Donats els punts P=(1, 0, 0), Q=(0, 2, 0), R=(0, 0, 3) i S=(1, 2, 3),
a) Calculeu l’equació cartesiana (és a dir, de la forma Ax+By+Cz+D=0) del pla que
conté els punts P, Q i R.
b) Comproveu si els quatre punts són coplanaris (és a dir, si els quatre estan continguts
en un mateix pla). Solució PAU CAT TEC JUNY 2012 3.6
2. Considereu els punts de l’espai A(0, 0, 1), B(1, 1, 2) i C(0, –1, –1).
a) Trobeu l’equació del pla ABC.
b) Si D és el punt de coordenades (k, 0, 0), quant ha de valer k per tal que els
quatre punts A, B, C i D siguin coplanaris? Solució PAU CAT TEC JUNY 2004 1.2
3. Un quadrat de l'espai té tres dels seus vèrtexs consecutius situats en els punts de
coordenades enteres P = (3, –2, 4), Q = (a, –1, a + 1) i R = (2, –3, 0).
a) Tenint en compte que els vectors QP i QR han de ser perpendiculars, calculeu el
valor del nombre enter a.
b) Calculeu l'equació del pla que conté aquest quadrat.
c) Calculeu el quart vèrtex d'aquest quadrat.
d) Calculeu l'àrea d'aquest quadrat. Solució PAU CAT TEC JUNY 2000 3.6
2.3.4 Proposició. Pla que conté una recta i passa per un punt.
Donada una recta vPr
: i un punt rQ , existeix un únic pla que conté la recta r i
passa per Q.
Agafem com a punt base el punt Q i com a vectors directors el vector director de la recta
v
i el vector PQw
.
Problemes PAU.
1. Determineu l'equació del pla que conté a la recta 12
1 zy
x i passa per
l'origen de coordenades. PAU CAT TEC JUNY 2003 5.2
2. Considereu la recta r de l'espai d'equacions 2
1
2
3
zy
x
Trobeu l'equació cartesiana del pla que conté r i que passa pel punt P = (1, 1, 1)
(equació cartesiana vol dir la de la forma ax+by+cz=d).
PAU CAT TEC SET 1999 2.2
2.3.5 Proposició. Pla que conté dues rectes paral·leles.
Donades dues rectes paral·leles vPr
: i wQs
: , existeix un únic pla que conté a
totes dues.
Agafem com a punt base el punt P i com a vectors directors el vector director v
d’una
recta r i el vector PQw
.
Problemes PAU.
1. Donades les rectes 4
2
2
1
3
5::1
zyxr i
0112
0522::2
zyx
zyxr
a) Comproveu que són paral·leles.
b) Trobeu l’equació general (és a dir, de la forma Ax+By+Cz+D= 0) del pla que les
conté. Solució PAU CAT TEC JUNY 2010 1.4
2. Considereu les rectes 22
1:
zy
xr i
112
52:
yx
zxs
Comproveu que aquestes dues rectes són paral·leles i calculeu l'equació del pla que les
conté.
Sol: 12 zx PAU CAT TEC JUNY 1999 6.4
2.3.6 Proposició. Pla que conté dues rectes que es tallen.
Donades dues rectes vPr
: i wQs
: que es tallen, existeix un únic pla que conté
a totes dues.
Agafem com a punt base qualsevol punt d’una de les rectes i com a vectors directors els
vectors directors de les rectes.
Important: El punt base del pla no necessàriament ha de ser el punt de tall de les rectes.
No l’has de calcular, una feina menys!.
Les rectes
1
02:
z
yxr i
05
2:
zy
xs són secants. Determina el pla que les
conté.
Un vector director de la recta r és )0,1,1()0,1,1(
100
011
kji
v
Un vector director de s és )1,1,0()2,2,0(
110
002
kji
w
Clarament són vectors no proporcionals )1,1,0()0,1,1( k , per tant són rectes no
paral·leles.
Com a punt base del pla podem agafar qualsevol punt de les rectes, per exemple,
prenent la recta r, i fent 0x obtenim el punt
)1,2,0(2020 Pyy
Per tant, el pla que volem té com a punt base )1,2,0( P i vectors directors )0,1,1(v
i )1,1,0(w
33
10)1(
112
010
0
zyxyzx
z
y
x
Problemes PAU.
1. Siguin r i s dues rectes d’equacions
)1,1,2()4,3,4(),,(: tzyxr , 31
21:
azyxs
a) Trobeu el valor del paràmetre a perquè aquestes rectes es tallin.
b) En el cas en què es tallen, trobeu l’equació general (és a dir, de la forma
Ax+By+Cz+D=0) del pla que les conté. Solució PAU CAT TEC JUNY 2010 5.5
2.3.7 Definició. Vector normal del pla.
De l’equació cartesiana DCzByAx definim el vector normal al pla com
),,( CBAn
Aquest vector és molt important geomètricament perquè és perpendicular al pla.
2.3.8 Proposició. Segon mètode per a obtenir l’equació cartesiana d’un pla.
Obtenim el vector normal del pla amb el producte vectorial dels vectors directors:
wvn
El valor D s’obté substituint el punt base P a l’equació.
2.4 Punt d’intersecció entre recta i pla.
En l’apartat 6.1 veurem les diferents posicions relatives entre una recta i un pla. Aquí,
de moment, suposarem que la recta i el pla es tallen en un punt i estudiarem com
determinar aquest punt de tall.
Determina el punt de tall entre el pla 52: zyx i la recta
102
0:
zyx
zyxr .
Un mètode és resoldre el sistema 3x3
102
0
52
zyx
zyx
zyx
per Gauss.
Si no volem fer-lo, un mètode alternatiu és passar la recta a forma paramètrica:
Vector director de la recta: )3,1,2(
112
111
kji
v
Punt base de la recta (fent 0x ) )5,5,0(5,510
0
Pzy
zy
zy
Les equacions paramètriques de la recta r són, doncs:
35
5
2
z
y
x
Substituïm el punt genèric de la recta a l’equació del pla, obtenint així una equació de
primer grau en :
25)35(2)5(252: zyx
I per tant el punt de tall és )1,3,4(
235
25
22
z
y
x
2.4.1 Exercicis.
1. Determina el punt d’intersecció entre el pla 032: zyx i la recta
tz
ty
tx
r 34
21
:
2.4.2 Problemes PAU.
1. Donats el pla π: 3x –2y +5z = 6 i la recta 3
2
1
1
2
1:
zyxr , busqueu el punt de
tall, si existeix. Solució PAU CAT TEC JUNY 2008 5.4
2. Donades les rectes
12
1
1
2:
zyxr i
3
5
2
7
1
1:
zyxs
i el punt P= (1, 1, –1), volem trobar l’equació de la recta que passa per P i que talla r i s.
Per aconseguir-ho:
a) Trobeu l’equació general o cartesiana (és a dir, l’equació de la forma
Ax+By+Cz+D=0) del pla π que conté la recta r i el punt P.
b) Trobeu el punt M calculant el punt d’intersecció del pla π amb la recta s.
c) Trobeu l’equació de la recta que passa pels punts P i M.
d) Comproveu que la recta trobada en l’apartat anterior és la que busquem.
PAU CAT TEC JUNY 2008 2.6 (Problema)
3. Una recta r és paral·lela a la recta 111: zyxs , talla en un punt A la recta
123
1:
z
yxt , i en un punt B la recta
32
1
2
2:
zyxl
.
a) Trobeu l’equació del pla determinat per les rectes r i t.
b) Trobeu el punt B calculant el punt d’intersecció del pla anterior amb la recta l.
c) Trobeu l’equació de la recta r.
d) Trobeu el punt A. Solució CAT TEC SET 2007 3.5
4. Considerem el cub de vèrtexs A, B, C, D, E, F, G, H que té l'aresta de longitud 4 dm.
a) Determineu l'equació del pla inclinat EHBC si prenem com a origen de coordenades
el vèrtex D i com a eixos de coordenades DA, DC i DH en aquest ordre, tenint en
compte que el sentit positiu de cada un d'ells és el que sortint de l'origen D va cap a A,
C i H, respectivament.
b) Calculeu les equacions de les diagonals CE i AG i utilitzeu-les per calcular les
coordenades del seu punt d'intersecció. Solució PAU CAT TEC SET 2002 1.6 (Problema)
2.5 Recta intersecció de dos plans.
Dos plans no paral·lels es tallen en una recta.
Les equacions cartesianes dels dos plans
donen directament l’equació cartesiana
de la recta, ja que l’equació cartesiana
d’una recta no és res més que la
interpretació de la recta com a
intersecció de dos plans.
Propietat important: El vector director de la recta intersecció és perpendicular comú
als dos vectors normals dels plans, per tant:
Per determinar el vector director de la
recta intersecció podem calcular el
producte vectorial dels dos vectors
normals:
321
321
mmm
nnn
kji
mnv
2.6 Rectes coplanàries.
Pensem en carreteres. Si ens mantenim “a peu de terra”, només tenim dues opcions: O
fem carreteres paral·leles, o hem de fer encreuaments. Dues rectes diferents en el pla, o
bé són paral·leles o bé es tallen en un punt.
Però ara estem en l’espai, hem passat de dos dimensions a tres, i per tant tenim una
dimensió més per on ens hi podem escapar. Ara podem fer rectes que es creuen, és a
dir, que no estan al mateix pla:
Direm que dues rectes són coplanàries quan estiguin contingudes en un mateix pla.
Direm que dues rectes es creuen en cas contrari, és a dir, quan no siguin coplanàries.
Dues rectes paral·leles sempre seran coplanàries.
Aquí, l’expressió “creuar-se” no té el sentit habitual de “creuar-se amb una
persona pel carrer” que trobem al diccionari:
encreuar - intr. pron. [LC] Dues vies, trobar-se en un punt del seu recorregut i travessar l’una l’altra. Els dos camins s’encreuen a can Gomis. - intr. pron. [LC] Un automòbil, un tren, un missatger, etc., trobar-se en un punt determinat del recorregut amb un altre que va en sentit contrari. El Talgo de París i l’exprés de Barcelona s’encreuaran a l’estació de Girona. Encreuar-se dos correus.
2.6.1 Proposició. Com determinar si dues rectes són coplanàries.
Donada una recta r amb punt base P i vector director v
, i una recta s amb punt base Q i
vector director w
, les dues rectes seran coplanàries si i només si wvPQ
,, són vectors
coplanaris, és a dir, el seu producte mixt (és a dir, el determinant) és zero:
r i s coplanàries 0),,det( wvPQ
2.6.2 Exercicis.
1. Determina si les rectes r i s són o no coplanàries:
12
1:
zy
xr zyxs :
2. Determina si les rectes r i s són o no coplanàries:
022
03:
zyx
zyxr
3
1
1
1
2
1:
zyxs
2.6.3 Problemes.
1. Donades les rectes 2
112:
z
k
yxr i
2
2
1
:
z
y
x
s
Trobeu k per a què r i s siguin coplanàries.
2.6.4 Problemes PAU COU.
1. Quina condició han de complir p i q per tal que les dues rectes r1 i r2 de l’espai
estiguin contingudes en un pla ?
3
2:1
zy
pyxr
qzy
zxr
2
1:2
PAU COU
2. Considereu les dues rectes de l’espai donades per les equacions següents:
43
2
zyx
yx
azyx
yx
2
3
Determineu el paràmetre a per tal que siguin coplanàries. PAU COU
3. Considereu les rectes r1 i r2 de l’espai donades per les equacions següents:
zy
xr
2
1:1 ,
2
11:2
z
b
y
a
xr
a) Calculeu a i b per tal que r1 i r2 siguin paral·leles.
b) Calculeu la relació que hi ha d’haver entre a i b per tal que r1 i r2 pertanyin al mateix
pla. PAU COU
2.7 Resolució de problemes mètrics amb rectes parametritzades.
Molts dels problemes de determinació de punts sobre una recta es resolen seguint el
següent model: Prenem un punt genèric de la recta (és a dir, fem servir la seva equació
paramètrica), imposem sobre aquest punt la condició indicada a l’enunciat, i
simplifiquem fins a obtenir una equació sobre el paràmetre de la recta. Substituint les
solucions obtingudes a l’equació paramètrica obtenim els punts desitjats. Els problemes
resolts següents són exemples concrets que mostren com aplicar aquesta tècnica.
2.7.1 Determinació dels punts d’una recta a una distància fixa d’un punt.
Determineu els punts de la recta
zyx
37
1
3
2
Situats a una distància de 5 unitats del punt )1,4,3( P .
Passem la recta a forma paramètrica:
kz
ky
kxzyx
zyx
3
71
32
1
3
7
1
3
23
7
1
3
2
Un punt qualsevol de la recta serà )3,71,32( kkkQ
Per tant *))3(1())71(4())32(3(),( 222 kkkQPPQDist
168)4()31())3(1(
257049)75()714())71(4(
169)31()323())32(3(
2222
2222
2222
kkkkk
kkkkk
kkkkk
0177259
02542725954272595427259*
2
2222
kk
kkkkkk
32.0
90.0
118
293272
118
117272
592
175947272 2
k
kk
Per tant els punts són:
)1.2,3.5,7.0(
1.2)90,0(3
3.5)90,0(71
7.0)90,0(32
11
Q
z
y
x
Q
)68.2,24.1,04.1(
68.2)32,0(3
24.1)32,0(71
04.1)32,0(32
22
Q
z
y
x
Q
Problemes PAU.
1. Considereu la recta 11
1
2
4:
z
yxr .
a) Trobeu els dos punts, A i B, de la recta r que estan situats a una distància d=√6 del
punt P=(–1, 1, 2).
b) Trobeu l’àrea del triangle de vèrtexs A, B i P. Solució PAU CAT TEC SET 2010 2.6
2. Considereu la recta r d’equació
tz
ty
tx
3
25
23
i el punt M (2, 3, 7).
a) Trobeu, en funció de t, la distància de M a un punt qualsevol de la recta r.
b) Trobeu les coordenades dels punts A i B de r situats a distància 23 del punt M.
c) El triangle ΔAMB, és rectangle en M?
d) Els punts A i B formen part d’un paral·lelogram de vèrtexs ABCD que té el
centre de simetria en el punt M. Calculeu les coordenades de C i D.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2004 4.6 (Problema)
3. Considereu la recta r d'equacions: 4
7
3
51
zyx . Calculeu els punts d'aquesta
recta situats a una distància 3 del punt A = (1, 0, 1). Solució PAU CAT TEC JUNY 2002 3.4
4. Considereu la recta de 3IR d’equacions
34
322
zyx
zyx
Trobeu tots els punts de la recta donada, tals que la seva distància a l’origen de
coordenades és 14 . PAU COU
2.7.2 Projecció ortogonal d’un punt en una recta. Distància entre punt i recta.
Volem determinar el punt P de la recta r que és més proper a un punt A donat. Aquest
punt s’anomena projecció ortogonal de A en la recta i verifica una propietat molt
interessant: El punt de la recta amb distància mínima determina un angle recte:
0 vPA
on v
és el vector director de r
Amb aquesta condició podem determinar P, i amb aquest punt, la distància entre A i P:
),(),( PAdistrAdist
Nota: A l’apartat 4.4 resoldrem aquest mateix problema amb tècniques diferents.
Determineu la distància entre el punt )1,2,1( A i la recta definida per les equacions
72
2
zyx
yx
La recta tindrà com a vector director
)1,1,1(1,1,112
11,
12
01,
11
01
112
011
kji
v
Com a punt base fem 0z i per tant obtenim el sistema
(5,-3,0)basePunt 3,572
2
yx
yx
yx
Passem la recta a forma paramètrica:
z
y
x
r 3
5
: Per tant, un punt genèric de la recta serà ),3,5( P
)1,1,4()1,23,15( APAP
Imposem la condició de perpendicularitat:
2036
011)4)(1(0)1,1,1()1,1,4(
vAP
La projecció ortogonal de A en la recta és el punt )2,1,3()2,23,25( P
i la distància del punt A a la recta r serà la distància entre A i P:
611212,21,13),(),( 222 APPAdistrAdis
Problemes.
1. Determineu el punt de la recta
142
12
zyx
zyx més proper al punt )1,3,2( A , i la
distància entre el punt i la recta.
2.7.3 Punt simètric respecte d’una recta.
Donat un punt A i una recta r, volem determinar el punt A’, simètric de A respecte de r.
La projecció ortogonal C de A en r és el punt mig del segment AA’, i per tant
ACAA 2'
Determineu el punt simètric de )7,1,3( A respecte de la recta
2
1
2
31:
zyxr
Passem la recta a equació paramètrica:
Vector director: )2,2,1(v
Punt base: )1,3,1( P
)62,22,2()21,23,1(
21
23
1
:
ACC
z
y
x
r
Imposem la condició de perpendicularitat:
)5,1,3(201890)62(2)22(22
0)2,2,1()62,22,2(
C
vACrAC
Finalment:
)3,3,3()4,4,0(2)7,1,3(2' ACAA
2.7.4 Determinació del punt d’una recta que equidista respecte de dos punts.
Donats els punts )1,1,2(A i )1,0,1( B , i la recta r d’equació 2
25:
zyxr ,
trobeu el punt C de r que equidista de A i B. PAU VALÈNCIA TEC JUNY 2008
En primer lloc passem la recta a forma paramètrica:
22
0
5
)2,1,1(:directorVector
(5,0,-2)P :basePunt
2
25:
z
y
x
v
zyxr
Per tant, un punt genèric de la recta serà )22,,5( P
Imposem sobre aquest punt la condició de l’enunciat:
BPAPPBdistPAdist ),(),(
191662313
23,1,3
2222
AP
APAP
17126214
21,,4
2222
AP
BPBP
1,2
1,
2
9
2
1
171219161712619166
1712619166
22
22
C
BPAP
Problema PAU.
1. Donats els punts P= (1, 0, –1) i Q= (–1, 2, 3), trobeu un punt R de la recta
1
3
3
4
2
3:
zyxr que compleixi que el triangle de vèrtexs P, Q i R és isòsceles,
en què PR i QR són els costats iguals del triangle.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2013 4.5
2.7.5 Perpendicular comú a dues rectes.
Donades dues rectes r i s, volem determinar els únics punts P de r i Q de s tals que la
recta PQ és perpendicular a r i a s al mateix temps.
Prenem un punt genèric R de la recta r i prenem un punt genèric S de s i imposem la
condició de la doble perpendicularitat:
wRS
vRS
Amb aquestes dues condicions obtenim els punts P i Q. La recta que busquem serà la
recta que passa per aquests dos punts.
Nota: A l’apartat 4.6.1 resoldrem aquest mateix problema amb tècniques diferents.
Determineu l’equació de la perpendicular comú a les rectes:
3
2
1
1
2
4:
zyxr i
2
8
2
21:
zyxs
Les rectes venen donades per:
)3,1,2(
)2,1,4(:
u
Ar i
)2,2,1(
)8,2,1(:
v
Bs
Agafem un punt genèric R de la recta r i un punt genèric S de la recta s. Hem de fer
servir la equació paramètrica de cada recta, i hem de fer servir dues lletres diferents per
als paràmetres:
32,1,24
32
1
24
:
R
z
y
x
r
28,22,1
28
22
1
:
S
z
y
x
s
Per tant: )2310,23,23( RS
Ara imposem les condicions de perpendicularitat sobre aquest vector:
0)2310(3)23(1)23(20 uRSuRS
0)2310(2)23(2)23(10 vRSvRS
Simplifiquem el sistema de dues equacions amb dues incògnites anterior:
23910
271014
091023
0101427
0462042623
0693023246
Que té com a solució: 22
1
Substituïm per obtenir els punts P i Q:
2
1,
2
1,5P 4,2,1Q
Un vector director de la recta perpendicular serà:
3,1,49,3,122
9,
2
3,6
PQ
i per tant la seva equació contínua serà: 3
4
1
2
4
1:
zyxt
Determineu la perpendicular comú a les rectes
2
1
1
:
z
y
x
r i
1
1:
z
y
x
s
PAU ANDALUCÍA JUNY 2009 4A
Un punt genèric de r és )2,1,1( R i un punt genèric de s és )1,1,( S .
Per tant :
)1,2,1( RS
Imposem les condicions de perpendicularitat :
010 uRS
0210 vRS
Resolem el sistema que hem obtingut:
1 , 2
3
Per tant la recta demanada serà la recta que passa pels punts )1,1,1( P i
1,
2
1,
2
3Q .
El seu vector director serà )0,1,1(0,2
1,
2
1
PQ
I per tant tindrà equació:
1,1
1
1
1
z
yx
2.7.6 Determinació dels punts d’una recta equidistants a dos plans.
1. Sigui r la recta que passa pels punts A = (0, 1, 1) i B = (1, 1, –1).
a) Trobeu l’equació paramètrica de la recta r.
b) Calculeu tots els punts de la recta r que estan a la mateixa distància dels plans π1: x +
y = –2 i π2: x – z = 1.
Nota: Podeu calcular la distància d’un punt de coordenades (x0, y0, z0) al pla d’equació
Ax + By + Cz + D = 0 amb l’expressió 222
000
CBA
DCzAyAx
Solució PAU CAT TEC JUNY 2018 1.2
2. Considereu a IR3 la recta que té per equació r: (x, y, z) = ( –4+2λ , –2 , 1–λ ) i els
plans π1 i π2 d’equacions π1: x + 2y + 2z = –1 i π2: x – 2y + 2z = –3, respectivament.
a) Determineu la posició relativa de π1 i π2.
b) Comproveu que tots els punts de la recta r estan situats a la mateixa distància dels
plans π1 i π2.
Nota: Podeu calcular la distància d’un punt de coordenades (x0, y0, z0) al pla d’equació
Ax + By + Cz + D = 0 amb l’expressió 222
000
CBA
DCzByAx
Solució PAU CAT TEC JUNY 2015 2.4
3. A l’espai tridimensional considereu la recta r: (x, y, z) = (3+2α , –α , 3–α ) i els plans
π1: x + y + z = –1 i π2: (x, y, z) = (2 + λ, 1 – λ + μ, μ).
a) Calculeu l’equació cartesiana (és a dir, que té la forma Ax + By + Cz = D) del pla π2.
b) Trobeu els dos punts de la recta r que equidisten dels plans π1 i π2.
Nota: Podeu calcular la distància d’un punt de coordenades (x0, y0, z0) al pla d’equació
Ax + By + Cz + D = 0 amb l’expressió 222
000
CBA
DCzByAx
Solució PAU CAT TEC SET 2015 5.2
4. Siguin r i s les rectes de IR3
d’equacions 4
1
3
2:
zy
xr i
)34,3,21(),,(: zyxs , amb IR .
a) Comproveu que els punts mitjans dels segments que tenen un extrem situat sobre la
recta r i l’altre extrem situat sobre la recta s formen un pla.
b) Trobeu l’equació general (és a dir, que té la forma Ax+By+Cz=D) del pla de l’apartat
anterior.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2014 3.5
5. Trobeu els punts de la recta r: x–1 = y+2 = z que equidisten dels plans
01-3z-4x:1 i 0.1-4y3x:2
Solució PAU CAT TEC JUNY 2007 2.4
6. Determineu els extrems d’un segment AB sabent que el punt A pertany al pla
02 zyx , el punt B pertany a la recta 32
2
2
1 zyx
i el punt mitjà del segment
és (0,0,0).
Solució PAU CAT TEC SET 2006 4.4
7. Trobeu els punts situats sobre la recta d’equacions paramètriques següents:
1
12
z
y
x
i que disten 3
6 del pla 52 zyx .
8. Siguin la recta r: (x, y, z) = (5 + k, k, –2 – 2k) i els punts P = (1, 0, –1) i Q = (2, 1, 1).
a) Calculeu l’equació paramètrica de la recta que passa pel punt Q i és perpendicular al
pla determinat per la recta r i el punt P.
b) Calculeu el punt de la recta r que equidista dels punts P i Q.
Solució PAU CAT TEC SET 2016 1.1
3 Paral·lelisme.
3.1 Paral·lelisme entre dues rectes.
3.1.1 Definicions. Concepte de paral·lelisme en l’espai.
En el pla, diem que dues rectes són paral·leles quan no tenen cap punt en comú.
Es pot demostrar que, en el pla, dues rectes són paral·leles quan són diferents i els seus
vectors directors són proporcionals.
En l’espai, direm que dues rectes són paral·leles quan els seus vectors directors siguin
proporcionals.
En l’espai, dues rectes paral·leles o bé no tenen cap punt de tall o bé són la mateixa
recta, i sempre seran dues rectes coplanàries.
Per tant, en l’espai ens podem trobar amb tres situacions possibles:
1. Dues rectes coincidents:
2. Dues rectes que es tallen en un únic
punt:
3. Dues rectes paral·leles i no diferents
(i que, per tant, no tenen cap punt en
comú)
4. Dues rectes que es creuen, és a dir,
que no siguin coplanàries:
3.1.2 Definició. Rectes paral·leles.
Dues rectes són paral·leles, i escriurem sr // , si els seus vectors directors són
proporcionals, és a dir, determinen la mateixa direcció.
wkvwvsr
wwwbqqqzyxs
vvvapppzyxr
////
),,(),,(),,(:
),,(),,(),,(:
321321
321321
3.1.3 Proposició.
Si les rectes venen donades per les equacions cartesianes o implícites:
'''':
DzCyBxA
DCzByAxr
''''''''''''
'''''''':
DzCyBxA
DzCyBxAs
0
'''''''''
'''0
''''''
'''2
'''''''''
''''''
'''//
CBA
CBA
CBA
i
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA
Rangsr
3.1.4 Proposició. Recta paral·lela a una altra i que passa per un punt.
Donada una recta vkQr
: i un punt rP , existeix una única recta s paral·lela a r i
que passa per P.
Agafem com a punt base el punt P i
com a vector director el vector director
de la recta r.
3.1.5 Exercicis.
1. Determina l’equació contínua de la recta paral·lela a la recta 4
5
3
2
2
3 zyx
que passa pel punt )3,5,1( P .
2. Donats els punts )4,2,3( P , )2,1,5( Q y )3,4,1(R , determina la recta
paral·lela a la recta PQ que passa pel punt R.
3. Donats els punts )7,3,2(P , )3,1,4(Q y )4,5,3( R ,
a) Determina la recta paral·lela a la recta PQ que passa pel punt R
b) Determina punt d’intersecció entre aquesta recta i el pla 0z .
4. Donats els punts )2,1,3( P , )1,3,2(Q y )3,5,1( R ,
a) Determina la recta paral·lela a la recta PQ que passa pel punt R.
b) Determina punt d’intersecció entre aquesta recta i el pla 0z .
3.1.6 Problemes PAU.
1. Donada la recta
01
232:
zx
zyxr
a) Trobeu-ne un vector director.
b) Calculeu l’equació contínua de la recta que és paral·lela a r i que passa pel punt
)1,0,1( P
Solució PAU CAT TEC JUNY 2011 1.1
2. Calculeu l’equació de la recta paral·lela a la recta
12
0:
zyx
zyxr
que passa pel punt (0,1,0).
Solució PAU CAT TEC SET 2006 4.3
3. Considereu la recta de 3IR d’equacions
53
13
zyx
zyx
Digueu si el punt )2,2,6( es troba o no sobre la recta paral·lela a l’anterior que passa per
l’origen. Raoneu la resposta.
PAU COU
4. Donades les rectes zy
k
xr
1: i
1
2:
zx
yxks , determineu el valor de k per tal
que les rectes siguin paral·leles.
Solució: -1k PAU COU
5. Considereu les dues rectes r i s de 3IR donades per les equacions següents:
0
0:
zya
yxr i
azy
yaxs
1:
Digueu si hi ha algun valor d’a per al qual r i s es tallin, i si hi ha algun valor d’a per al
qual siguin paral·leles. Justifiqueu la resposta.
Solució: Paral·leles si a=1 PAU COU
6. Considereu les dues rectes r i s de 3IR donades per les equacions següents:
222
1:
zyax
zayxr i
2
5323:
zx
zyxbs
Determineu els valors d’a i b sabent que r i s són paral·leles.
PAU COU
3.2 Paral·lelisme entre plans.
3.2.1 Definició.
Direm que dos plans 1 i 2 són paral·lels quan són el mateix pla ( 21 ) o no tenen
cap punt en comú:
21
Dos plans DCzByAx :1 i '''':2 DzCyBxA seran paral·lels quan els
seus vectors normals siguin proporcionals:
'''
)',','(),,(
)',','(//),,(
// 21
C
C
B
B
A
A
CBAkCBA
CBACBA
3.2.2 Proposició.
Si els plans els tenim en forma vectorial:
),,(),,(),,(),,(: 3213213211 vvvbuuuapppzyx
),,(),,(),,(),,(: 3213213212 tttdwwwcqqqzyx
2//
3333
2222
1111
21
twvu
twvu
twvu
Rang
3.2.3 Proposició. Pla paral·lel a un altre i que passa per un punt.
Donat un pla DCzByAx i un punt P que no pertany al pla, existeix un únic pla
paral·lel a aquest i que passa per P.
Agafarem com a vector normal el vector
normal del pla i deduirem el valor D
amb el punt P.
3.2.4 Exercicis.
1. Determina el pla que passa per )2,3,4(Q i és paral·lel al pla zyx 426:
2. Determina el pla que passa per )3,2,1( Q i és paral·lel al pla
5452: zyx
3.2.5 Problemes PAU.
1. Un segment d’extrems A= (5, 3, 1) i B= (4, 2, –1) es divideix en tres parts iguals
mitjançant dos plans perpendiculars a aquest segment. Calculeu les equacions dels dos
plans i la distància entre ells. Solució PAU CAT TEC SET 2003 3.6
2. Quines condicions han de complir els coeficients de les equacions cartesianes de dos
plans de l’espai per tal que siguin paral·lels? Justifiqueu la resposta. Com a exemple,
determineu els valors de a que fan que els dos plans d’equacions
5)2( zayaxa i 3 zyxa
siguin paral·lels. Per a cada un d’aquests valors de a calculeu la distància entre els dos
plans paral·lels.
PAU COU
3.3 Paral·lelisme entre recta i pla.
Direm que la recta r és paral·lela al pla quan no tinguin cap punt en comú:
r
Un pla serà paral·lel a una recta quan el
vector director de la recta i el vector
normal del pla siguin perpendiculars.
0),,(),,(
),,(//
:
),,(),,(:
321
321321
CBAvvv
CBAvr
DCzByAx
vvvapppvkPr
Observació: A més a més, hem de
comprovar que el punt P no pertanyi al
pla.
Problemes PAU.
1. Determineu per a quins valors del paràmetre a el pla π : ax +2y +z = a és
paral·lel a la recta r :
1
1
azax
zayx
Solució PAU CAT TEC SET 2001 4.1
2. Digueu si existeix cap valor de per al qual la recta següent :
354
1232
zyx
zyx és
paral·lela al pla 51312 zyx . Expliqueu bé el perquè de la vostra resposta.
Solució: 1 , 4
PAU COU
3.4 Pla paral·lel a dues rectes i que passa per un punt.
Donades dues rectes vPr
: i wQs
: , que es creuen, i un punt R, existeix un únic
pla que passa per R i és paral·lel a les dues rectes.
El vector normal del pla serà
perpendicular als vectors directors de
les rectes, per tant, prendrem el seu
producte vectorial:
321
321
www
vvv
kji
wvn
I com a punt base del pla prendrem el
punt R.
Problemes PAU.
1. Donades les rectes
0122
04:1
zyx
zyxr i z
yxr
3:2
Calculeu l'equació del pla paral·lel a les dues rectes que passa per l'origen.
PAU CAT TEC SET 1999 5.2
3.5 Pla que conté una recta i és paral·lel a una altra.
Donades dues rectes vPr
: i wQs
: , que es creuen, existeix un únic pla que
conté a r i és paral·lel a s.
El vector normal del pla serà
perpendicular als vectors directors de
les rectes, per tant, prendrem el seu
producte vectorial:
321
321
www
vvv
kji
wvn
I com a punt base del pla prendrem el
punt base de la recta.
Problemes PAU.
1. Trobeu l’equació general (és a dir, de la forma 0 DCzByAx ) del pla que
conté la recta zyx
r
22
1:1 i és paral·lel a la recta
02
0:2
zyx
zyxr
Solució PAU CAT TEC JUNY 2010 1.1
2. Determineu el valor de a per al qual el pla de 3IR d’equació 1 zyx és
paral·lel a la recta
32
523
zyx
zayx. Escriviu després l’equació del pla que conté
aquesta recta i és paral·lel al pla .
Solució: 0a . El pla és 2 zyx
PAU COU
3. Trobeu l’equació cartesiana del pla de l’espai que conté la recta d’equacions
)1(23
2
z
yx i és paral·lel a la recta
02
632
zyx
zyx
Solució: 554 zyx
PAU COU
3.6 Recta paral·lela a dos plans.
Direm que la recta r és paral·lela a dos plans 1 i 2 quan no tingui cap punt en comú
amb ells:
1r , 2r
Donat un punt P que no pertany als plans 1 i 2 , existeix una única recta r paral·lela a
tots dos plans i que passa per P.
El vector director v
de la recta és
perpendicular als dos vectors normals
dels plans, per tant podem agafar com a
vector director de la recta el producte
vectorial dels vectors normals dels
plans:
321
21
mmm
nnn
kji
mnv e
Exercici.
1. Trobeu les equacions de la recta que és paral·lela als plans 0 yx i 0 zx i
passa pel punt )0,0,2( .
4 Perpendicularitat.
4.1 Perpendicularitat entre plans.
4.1.1 Definició. Perpendicularitat entre dos plans.
Dos plans són perpendiculars si els vectors normals a cada pla són perpendiculars entre
ells.
0)',','(),,(
)',','(),,(
'''':
:
21
2
1
CBACBA
CBACBA
DzCyBxA
DCzByAx
4.1.2 Problemes.
1. Responeu a les qüestions següents:
a) Calculeu l’equació cartesiana (és a dir, que té la forma Ax + By + Cz = D) del pla que
passa pel punt de coordenades (0, 0, 1) i és perpendicular als plans 3x + y – z = 1 i x + y
+ 2z = 5.
b) Suposeu que un pla π1 és perpendicular a un segon pla π2 i que el pla π2 és a la
vegada perpendicular a un tercer pla π3. Expliqueu raonadament si necessàriament els
plans π1 i π3 han de ser perpendiculars entre ells.
Solució PAU CAT TEC SET 2016 1.6
2. Siguin π1el pla 2x +3y –z=4 i π2 el pla x– 2y– 4z= 10.
a) Comproveu que els plans π1 i π2 són perpendiculars.
b) Trobeu l’equació contínua de la recta paral·lela als plans π1 i π2 i que passa pel punt
P= (–1, 3, 2).
Solució PAU CAT TEC JUNY 2013 5.1
4.2 Perpendicularitat entre dues rectes.
4.2.1 Definició. Perpendicularitat entre dues rectes.
Dues rectes són perpendiculars si els seus vectors directors són perpendiculars.
0
),,(),,(),,(:
),,(),,(),,(:
321321
321321
wvwvsr
wwwbqqqzyxs
vvvapppzyxr
4.2.2 Problemes PAU.
1. Siguin 2
1
2
32::1
zyxr
i
2
11
2
3:2
zy
xr .
a) Comproveu que r1 i r2 són perpendiculars.
b) Comproveu que es tallen mitjançant la determinació del punt de tall.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2011 1.5
2. Considereu en l’espai IR3 les rectes r i s, les equacions respectives de les quals són:
)1,1,()0,1,4(),,(: mzyxr ,
1
02:
zyx
zmyxs
en què m és un paràmetre real. Estudieu si hi ha cap valor d’aquest paràmetre per al qual
les rectes siguin perpendiculars i es tallin.
Solució PAU CAT TEC SET 2009 1.2
4.3 Perpendicularitat entre recta i pla.
4.3.1 Definició. Perpendicularitat entre recta i pla.
Una recta és perpendicular a un pla quan el seu vector director és proporcional al vector
normal al pla.
),,(),,(),,//(
:
),,(),,(:
321
321321
CBAkvvvCBAvr
DCzByAx
vvvapppvkPr
4.3.2 Proposició. Recta que passa per un punt i és perpendicular a un pla.
Donat un punt ),,( 321 pppP i un pla DCzByAx : , volem una recta r que
passi pel punt i sigui perpendicular al pla.
Agafarem com a vector director de la recta el vector normal del pla i com a punt base de
la recta el punt P.
4.3.3 Proposició. Pla que passa per un punt i és perpendicular a una recta.
Donat un punt P i una recta r, volem un pla que passi pel punt i sigui perpendicular a la
recta.
Agafarem com a vector normal del pla el vector director de la recta, i com a punt base
del pla el punt P.
4.3.4 Problemes.
1. Sigui r la recta de l’espai que té per equació zyx
r
1
3
2
1: i sigui P el punt de
coordenades (6, 0, –1).
a) Trobeu l’equació cartesiana (és a dir, que té la forma Ax + By + Cz = D) del pla que
passa pel punt P i talla perpendicularment la recta r.
b) Trobeu l’equació paramètrica del pla que passa pel punt P i conté la recta r.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2015 2.2
2. Sigui π: 3x –2y +z = 10.
a) Trobeu l’equació contínua de la recta r perpendicular a π que passa pel punt
P= (–1, 3, 2).
b) Trobeu també l’equació cartesiana (és a dir, de la forma Ax+By+Cz+D= 0) del pla π1
paral·lel a π que passa pel mateix punt P. Solució PAU CAT TEC JUNY 2013 3.1
3. Considereu els punts A= (–1, 2, 4) i B= (3, 0, –2).
a) Trobeu l’equació del pla format per tots els punts que equidisten de A i B.
b) Donat un punt C = (x,y,z), dividim el segment AC en tres parts iguals i obtenim els
punts A, A1, B i C. Trobeu el punt C. Solució PAU CAT TEC JUNY 2013 5.5
4. Considereu les rectes de l’espai següents:
1
11
2
1:
zy
xr
2
2
1
1
3
4:
zyxs
a) Comproveu que són secants.
b) Calculeu l’equació contínua de la recta que les talla i que és perpendicular a totes
dues. Solució PAU CAT TEC SET 2012 4.5
5. Donada la recta
01
232
zx
zyx, calculeu l’equació general (és a dir, de la forma
Ax+By+Cz+D=0) del pla perpendicular a la recta que passa pel punt P=(1, 0, –1).
Solució PAU CAT TEC SET 2011 2.2
6. Donats el pla π: x +2y +3z –4 = 0 i els punts P= (3, 1, –2) i Q= (0, 1, 2):
a) Calculeu l’equació contínua de la recta perpendicular al pla π que passa pel punt P.
b) Calculeu l’equació general (és a dir, de la forma Ax+By+Cz+D= 0) del pla
perpendicular a π que passa pels punts P i Q.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2010 4.1
7. Donats el punt P= (1, 2, 3) i la recta 1
5
3
2
2
1:
zyxr :
a) Trobeu l’equació cartesiana (és a dir, de la forma Ax+By+Cz+D=0) del pla π que
passa per P i és perpendicular a la recta r.
b) Trobeu el punt de tall entre la recta r i el pla π. Solució PAU CAT TEC JUNY 2009 4.1
8. Trobeu l’equació de la recta perpendicular al pla π: 2x –y +z +3 = 0, que passa pel
punt (–1, 3,a) del pla. Solució PAU CAT TEC JUNY 2008 2.4
9. Trobeu l’equació del pla perpendicular a la recta
32
1:
yx
zyxr que passa per
l’origen de coordenades. Solució PAU CAT TEC JUNY 2007 2.1
10. Donats els punts de l'espai A = (2, 0, 0), B = (0, 1, 0) i C = (0, 0, 3).
a) Determineu l'equació del pla π que els conté.
b) Calculeu l'equació de la recta r perpendicular al pla π i que passa per l'origen.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2001 2.3
4.4 Projecció ortogonal d’un punt en una recta. Punt simètric respecte
d’una recta.
4.4.1 Definició. Projecció ortogonal d’un punt en una recta.
La projecció ortogonal d’un punt P
sobre una recta r és un altre punt Q que
pertany a la recta, i de tal manera que el
vector PQ és perpendicular al vector
director de la recta.
4.4.2 Proposició. Mètode de determinació de la projecció ortogonal d’un punt en
una recta.
Primer pas: Trobem l’equació del pla
perpendicular a la recta r que passa pel
punt P.
Segon pas: Calculem el punt Q tall de la
recta amb el pla, i aquest punt serà la
projecció ortogonal.
Nota: A l’apartat 2.7.2 vam resoldre aquest mateix problema mitjançant rectes
parametritzades.
Exercicis.
1. Determina la projecció del punt )5,3,3( P sobre la recta
53
2
3
2:
z
yxr .
2. Determina la projecció del punt )3,2,0( P sobre la recta 25
5
4
4:
z
yxr .
3. Determina la projecció del punt )3,2,5( P sobre la recta
23
2
3
4:
zyxr
4.4.3 Proposició. Punt simètric respecte d’una recta.
Primer pas: Determinem la projecció
ortogonal Q de P en r.
Segon pas: Fem PQPS 2
Exercicis.
1. Determina el punt simètric del punt )2,5,0( P respecte de la recta
4
3
2
43:
zyxr .
2. Determina el punt simètric del punt )2,1,2(P respecte de la recta
2
25
3
2:
zy
xr .
3. Considera el punt )0,2,3(P i la recta
012
03:
zx
zyxr . Determina les
coordenades del punt Q simètric de P respecte de la recta r.
4.4.4 Problemes PAU.
1. Donats el punt P= (1, 0, –2) i la recta 3
3
2
3
2
5:
zyxr :
a) Trobeu l’equació contínua de la recta que passa pel punt P i talla perpendicularment
la recta r.
b) Calculeu la distància del punt P a la recta r.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2010 5.2
2. Considereu el punt P = (5, –2, 9) i la recta 63
1
2
1:
zyxr
a) Calculeu l’equació de la recta s que talla perpendicularment r i que passa per P.
b) Calculeu el punt de tall T entre les rectes r i s. Solució PAU CAT TEC JUNY 2003 2.3
3. Calculeu el peu de la recta perpendicular a la recta (x, y, z) = (1, –1, 1) + λ(0, 1, 1)
traçada des del punt (1, 0, –1).
Solució CAT TEC SET 2000 6.3
4. Considereu la recta r de 3IR d’equacions 6
33
3
33
3
33 xyx
. Calculeu les
coordenades del peu de la perpendicular traçada des de l’origen de coordenades a la
recta r i calculeu després la distància de l’origen a aquesta recta. PAU COU
5. Preneu tres eixos perpendiculars de coordenades a l’espai. Trobeu el peu de la
perpendicular traçada des de l’origen fins a la recta que passa pel punt (-1,7,1) i que té
(1,-1,2) com a vector director.
PAU COU
6. Considereu la recta r de 3IR d’equacions:
22
322
yx
zyx
Trobeu el peu de la perpendicular traçada des del punt P=(5,5,3) a la recta r, i calculeu
la distància entre P i la recta r.
4.5 Projecció ortogonal d’un punt en un pla. Punt simètric respecte
d’un pla.
4.5.1 Definició. Projecció ortogonal d’un punt en un pla.
La projecció ortogonal d’un punt P
sobre un pla és un punt Q que
pertany al pla, i tal que la recta PQ és
perpendicular al pla.
4.5.2 Proposició. Mètode de determinació de la projecció ortogonal d’un punt en
un pla.
Primer pas: Trobem l’equació de la
recta r perpendicular al pla que passa
per P
Segon pas: Calculem el punt de tall del
pla amb la recta r, i aquest punt serà la
projecció ortogonal.
Exercicis.
1. Determina la projecció ortogonal del punt )3,4,0( P en el pla zyx 245: .
2. Determina la projecció ortogonal del punt )3,2,4( P en el pla
632: zyx .
3. Determina la projecció ortogonal del punt )2,3,3( P en el pla
zyx 2535: .
4. Determina la projecció ortogonal del punt )3,5,4( P en el pla 7: yzx .
4.5.3 Proposició. Punt simètric respecte d’un pla.
Primer pas: Trobem la projecció
ortogonal Q del punt P
Segon pas: Fem PQPR 2
Exercicis.
1. Determina el punt simètric del punt )0,1,4( P respecte del pla
5255: zyx
2. Determina el punt simètric del punt )2,4,2(P respecte del pla 1134: zyx .
3. Determina el punt simètric del punt )4,0,2( P respecte del pla
1425: zyx .
Problemes PAU.
1. Un dron es troba en el punt P = (2, –3, 1) i volem dirigir-lo en línia recta fins al punt
més proper del pla d’equació π : 3x + 4z + 15 = 0.
a) Calculeu l’equació de la recta, en forma paramètrica, que ha de seguir el dron.
Quina distància ha de recórrer fins a arribar al pla?
b) Trobeu les coordenades del punt del pla on arribarà el dron.
Nota: Podeu calcular la distància que hi ha d’un punt de coordenades (x0, y0, z0) al pla
d’equació Ax + By + Cz + D = 0 amb l’expressió
222
000
CBA
DCzByAx
PAU CAT TEC JUNY 2019 1.3 (Solució: "Compendium Tec", Pàg. 532)
2. A IR3, siguin la recta
42
2
zy
zx i el punt P = (0, 1, –1).
a) Calculeu l’equació general (és a dir, la que té la forma Ax + By + Cz = D) del pla π
perpendicular a la recta r i que passa pel punt P.
b) Calculeu el punt simètric del punt P respecte del pla x + y + z = –3.
Solució PAU CAT TEC SET 2017 2.5
3. Considereu el punt A=(1, 2, 3).
a) Calculeu el punt simètric del punt A respecte de la recta d’equació
).-3,1,3(z)y,(x,:r
b) Calculeu el punt simètric del punt A respecte del pla que té per equació
3: zyx .
Solució PAU CAT TEC JUNY 2014 3.2
4. Donats el pla π: 2x –y +3z –8 = 0 i el punt P=(6, –3, 7),
a) Trobeu l’equació contínua de la recta que passa per P i és perpendicular a π.
b) Trobeu el punt del pla π que està més proper al punt P. Solució PAU CAT TEC SET 2013 1.5
5. Donats el pla π: x +2y –z = 0 i el punt P= (3, 2, 1):
a) Calculeu l’equació contínua de la recta r que passa per P i és perpendicular a π.
b) Calculeu el punt simètric del punt P respecte del pla π.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2009 3.4
4.6 Recta perpendicular comú a dues rectes.
4.6.1 Proposició. Determinació de la perpendicular comú amb intersecció de plans.
Donades la recta r amb vector director
v
, i la recta s amb vector director w
,
volem obtenir la única recta de l’espai
que talla r i s i és perpendicular a totes
dues.
Pas 1: Busquem un vector que sigui
perpendicular a les dues rectes, per tant,
calculem el producte vectorial dels dos
vectors directors:
wvu
Pas 2: Determinem el pla 1 que conté
a r i la direcció u
.
Pas 3: El punt Q serà el punt de tall
entre aquest pla 1 i la recta s.
Pas 4: Determinem el pla 2 que conté
a s i la direcció u
.
Pas 5: El punt P serà el punt de tall
entre aquest pla 2 i la recta r.
La perpendicular comú serà la
intersecció dels dos plans anteriors:
21
O també és la recta que passa per P i Q
Nota: A l’apartat 2.7.5 vam resoldre aquest mateix problema mitjançant rectes
parametritzades.
Considereu la recta r que passa pel punt (1,2,0) i que té (1,1,1) com a vector director, i
la recta s que passa per (0,0,1) i que té (1,2,1) com a vector director. Escriviu les
equacions paramètriques de la recta que talla les dues anteriors i que és perpendicular a
cadascuna.
Pas 1. Vector perpendicular als dos vectors directors. )1,0,1(
121
111
kji
wvu
Pas 2. Pla que conté la recta r i la direcció u
.
Punt base: )0,2,1(A
Vectors directors: )1,2,1(
101
111)1,0,1(
)1,1,1(1
kji
uvnu
v
3230)2(2)1(121 zyxDDDzyx
Pas 3. El punt Q és el punt de tall entre el pla anterior i la recta s.
321
4220
2210
21323)1()2(21
1
20
10
:
z
y
x
kkkkk
kz
ky
kx
s
)3,4,2(Q
Pas 4. Pla que conté la recta s i la direcció u
.
Punt base: )1,0,0(B
Vectors directors: )1,1,1()2,2,2(
101
121)1,0,1(
)1,2,1(2
kji
uwnu
w
11100111 zyxDDDzyx
Pas 5. El punt P és el punt de tall entre el pla anterior i la recta r.
2210
422
321
212111)2(1
10
12
11
:
z
y
x
kkkkk
kz
ky
kx
r
)2,4,3(P
Pas 6. La perpendicular comú és la recta que passa per P i Q
Punt base: )2,4,3(P
Vector director: )1,0,1( PQPQ
kz
y
kx
2
4
3
Determineu la perpendicular comú de les rectes
12
1:
zx
zyxr i
2
1
1
2:
zyxs
Passem les dues rectes a forma vectorial:
Recta r :
)1,1,2()1,1,2(
201
111
kji
v
Punt base )0,2,1(A (fent z=0)
Recta s:
)2,1,1( w
Punt base: )1,2,0( B
1. Vector perpendicular a v
i w
: )1,3,1()1,3,1(
211
112
kji
wvu
2. Pla 1 que conté la recta r i la direcció u
:
Punt base del pla: )0,2,1(A
Vectors directors del pla:
)7,1,4()7,1,4(
131
112)1,3,1(
)1,1,2(1
kji
uvnu
v
El pla té per equació Dzyx 74 , i substituint amb A obtenim la D:
274:2072)1(4 1 zyxDD
3. El punt Q serà la intersecció entre 1 i la recta s:
11
3,
11
15,
11
7
11
721,
11
72,
11
7
11
7
2147242)21(7)2(4
21
2
0
:
Q
z
y
x
s
4. Pla 2 que conté la recta s i la direcció u
:
Punt base del pla: )1,2,0( B
Vectors directors del pla:
)4,1,7(
131
211)1,3,1(
)2,1,1(2
kji
uwnu
w
El pla té per equació 247 Dzyx , i substituint amb B obtenim la 2D :
247:214)2(07 222 zyxDD
5. El punt P serà la intersecció entre 2 i la recta r:
11
7,
11
15,
11
3
11
7,
11
72,
11
721
11
7
24214724)2()21(7
0
12
21
:
P
z
y
x
s
Més endavant, a l’apartat 5.5.2, veurem que els punts P i Q que acabem de trobar són
molt útils per calcular la distància entre les dues rectes, perquè la distància entre les
dues rectes serà la distància entre P i Q:
11
10,
11
30,
11
10
11
7
11
3,
11
15
11
15,
11
3
11
7PQPQ
02.311
1110
11
10
11
100
11
10
11
30
11
10),(),(
222
PQQPdistsrdist
Determineu l’equació de la perpendicular comú a les rectes:
3
2
1
1
2
4:
zyxr i
2
8
2
21:
zyxs
Les rectes venen donades per:
)3,1,2(
)2,1,4(:
v
Ar i
)2,2,1(
)8,2,1(:
w
Bs
3,1,421
12,
21
32,
22
31
221
312
kji
wvu
Pla :1
019930382186
042182460)2(2)1(18)4(6
0)2(14
12)1(
34
32)4(
31
31
0
314
312
214
)3,1,4(
)3,1,2(
)2,1,4(
:1
zyxzyx
zyxzyx
zyx
zyx
u
v
A
Pla :2
0427118
05672211880)8(7)2(11)1(8
0)8(14
21)2(
34
21)1(
31
22
0
314
221
821
)3,1,4(
)2,2,1(
)8,2,1(
:2
zyx
zyxzyx
zyx
zyx
u
w
B
Per tant, la perpendicular comú serà la intersecció dels dos plans anteriors, i per tant la
seva equació cartesiana serà:
0427118
01993:
zyx
zyxt
Font: I.E.S. “Miguel de Cervantes” (Granada)
4.6.2 Exercicis.
1. Recta perpendicular comú a dues rectes que es creuen. A cada apartat, determineu la
perpendicular comú de les dues rectes:
a) zyxr 1: , zyxs : .
b) 2
8
2
9
3
3
zyx ,
2
1
1
2
2
3
zyx
c)
02
02:
z
yxr ,
064
0:
zy
yxs
d)
1
1:
zy
zxr ,
3
1
:
z
ty
tx
s e)
2
1
1
z
y
x
,
1
1
z
y
x
4.6.3 Problemes COU.
1. Doneu les equacions paramètriques de la recta que talla perpendicularment les rectes
1
3
1
:
z
y
x
r 24
4
2
4:
z
yxs
i doneu també els punts d’intersecció d’aquesta recta amb r i s. PAU COU
2. Considereu la recta r de 3IR que passa pel punt )1,1,1( i té )0,1,2( com a vector
director, i la recta r’ que passa per )2,2,2( i té )1,1,0( com a vector director. Calculeu el
punt P de r i el punt P’ de r’ que compleixen la condició que la recta 'PP és
perpendicular a r i a r’. PAU COU
3. Considereu la recta que passa pel punt (1,2,0) i que té (1,1,1) com a vector director, i
la recta que passa per (0,0,1) i que té (1,2,1) com a vector director. Escriviu les
equacions paramètriques de la recta que talla les dues anteriors i que és perpendicular a
cadascuna. PAU COU
4. Considereu la recta r de 3IR d’equacions paramètriques
6
3
3
z
y
x
i la recta r’
d’equacions 2
1
2
11
zyx .
Doneu les coordenades del punt A de r i del punt B de r’ que compleixen la condició
que la recta AB és perpendicular a r i a r’. PAU COU
4.7 Problemes PAU de perpendicularitat i paral·lelisme.
1. Siguin les rectes 51
21:1
z
yxr i r2: (x, y, z) = (2 – 3λ, –1 + λ, 2).
a) Trobeu l’equació cartesiana (és a dir, que té la forma Ax + By + Cz = D) del pla que
conté la recta r1 i és paral·lel a la recta r2.
b) Digueu quina condició s’ha de complir perquè existeixi un pla que contingui la recta
r1 i sigui perpendicular a la recta r2. Amb les rectes r1 i r2 de l’enunciat, comproveu si
existeix un pla que contingui la recta r1 i sigui perpendicular a la recta r2.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2018 5.5
2. Considereu els punts P = (3, –2, 1), Q = (5, 0, 3), R = (1, 2, 3) i la recta
0532
01:
zy
yxr
a) Determineu l’equació general (és a dir, que té la forma Ax + By + Cz = D) del pla
que passa per P i Q i és paral·lel a la recta r.
b) Donats el pla x + 2y + m · z = 7 i el pla que passa per P, Q i R, trobeu m perquè
siguin paral·lels i no coincidents.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2018 1.4
3. Donats el pla 052: zyx i la recta
102
0:
zyx
zyxr
a) Calculeu el punt d’intersecció entre el pla i la recta.
b) Trobeu l’equació contínua de la recta s continguda en el pla π, que és perpendicular a
la recta r i talla la recta r.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2012 3.3
4. Considereu les rectes r i s amb les equacions següents:
022
03:
zx
yxr
032
03
1
:
zx
ys
a) Calculeu, de cada una de les rectes, un punt i un vector director.
b) Determineu si existeix cada un dels objectes següents i en cas afirmatiu calculeu la
seva equació:
i) El pla paral·lel a la recta s que conté la recta r.
ii) El pla perpendicular a la recta s que conté la recta r.
iii) La recta perpendicular a les rectes r i s que passa per (0, 0, 0).
Solució PAU CAT TEC JUNY 2002 2.5 (Problema)
5. Donats el pla d'equació x + 2y + 3z – 1 = 0, la recta r d'equacions
4
32
z y
z x i el punt P = (2, 1, 1), calculeu:
a) Unes equacions de la recta que passa per P i és perpendicular a .
b) L'equació del pla que passa per P i és perpendicular a la recta r.
c) Unes equacions de la recta que passa per P i talla perpendicularment r.
d) Unes equacions de la recta que passa per P, és paral·lela al pla i tal que el seu
vector director és perpendicular al de r.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2000 1.6 (Problema)
6. Donat el tetràedre de vèrtexs A = (0, 0, 0), B = (1, 1, 1), C = (3, 0, 0) i D = (0, 3, 0)
a) Calculeu l'equació del pla que conté la cara BCD i la del pla que conté la cara ACD.
b) Calculeu les equacions de dues de les altures del tetràedre, la que passa pel vèrtex A i
la que passa pel vèrtex B, respectivament. (Nota: altura d'un tetràedre és la recta que
passa per un vèrtex i és perpendicular al pla que determina la cara oposada.)
c) Comproveu que les dues altures anteriors es tallen en un punt P.
d) Comproveu si la recta que uneix qualsevol vèrtex del tetràedre amb P és
perpendicular a la cara oposada (i és, per tant, una altura del tetràedre).
Solució PAU CAT TEC JUNY 1999 1.6 (Problema)
5 Distància.
5.1 Distància entre punt i recta.
5.1.1 Definició. Distància entre punt i recta.
La distància d’un punt P a una recta r serà la mínima distància entre el punt P i
qualsevol punt de la recta.
5.1.1 Proposició. Distància entre punt i recta amb el mètode geomètric
Primer Pas: Trobarem la projecció
ortogonal Q de P en r (Vegeu 4.4.1)
Segon Pas: La distància entre el punt i
la recta serà la distància entre P i Q.
5.1.3 Proposició. Fórmula de la distància entre punt i recta.
Distància d’un punt ),,( 321 pppP a la recta ),,(),,(),,(: 321321 vvvkqqqzyxr
v
vPQrPd
),(
Calcula la distància de )1,0,1( P a la recta ),1,2(: r
Solució:
- Pla que passa per P i és perpendicular a r:
El seu vector normal és el vector director de la recta: )1,1,2( n
.
La seva equació és 0320)1(1)1(2 zyxzyx
Intersecció Q de i r:
3
2,
3
1,
3
4
3
204603)1()2(2 Q
- La distància demanada és la distància entre Q i P:
58.03
3
3
21
3
10
3
41),(),(
222
QPdistrPdist
5.1.4 Problemes.
1. Trobeu la distància de l’origen de coordenades a la recta següent:
2
1
zx
yx
Solució: 2 PAU COU
5.2 Distància entre punt i pla.
5.2.1 Definició. Distància entre un punt i un pla.
La distància entre un punt i un pla és la mínima distància que hi ha entre el punt i
qualsevol punt del pla.
5.2.2 Proposició. Mètode geomètric per trobar la distància entre un punt i un pla.
La distancia d’un punt P a un pla és la distancia entre el punt P i la seva projecció
sobre el pla . Per tant:
a) Trobem la projecció ortogonal Q de P
en (Vegeu 4.5)
b) Calculem la distància entre P i Q.
5.2.3 Proposició. Fórmula de la distància d’un punt a un pla.
Distància d’un punt ),,( 321 pppP a un pla 0: dcxbyax
222
321),(
cba
dpcpbpaPd
Atenció!: Observa que l’equació del pla està igualada a zero, és a dir, el valor d està a l’esquerra de la igualtat.
5.2.4 Exercicis.
1. Determina la distància entre el punt P= ( -5 , -1 , 2 ) i el pla 115: zyx
2. Determina la distància entre el punt P= ( -2 , -1 , -3 ) i el pla zyx 53174:
5.2.5 Problemes PAU.
1. Considereu el pla que té com a vectors directors u = (–1, 3, 2) i v = (2, 1, 0) i que
passa pel punt A = (1, 0, 3).
a) Calculeu l’equació de la recta que és perpendicular al pla i passa pel punt A.
b) Calculeu la distància del punt P = (1, 5, 0) al pla.
Nota: Podeu calcular la distància d’un punt de coordenades (x0, y0, z0) al pla d’equació
Ax + By + Cz + D = 0 amb l’expressió 222
000
CBA
DCzAyAx
Solució PAU CAT TEC SET 2018 3.3
2. Siguin el pla d’equació π: x + y – z = 0 i el punt P = (2, 3, 2).
a) Calculeu el punt simètric del punt P respecte del pla π.
b) Calculeu l’equació cartesiana (és a dir, que té la forma Ax + By + Cz = D) dels dos
plans paral·lels a π que estan a una distància 3 del punt P.
Nota: Podeu calcular la distància d’un punt de coordenades (x0, y0, z0) al pla d’equació
Ax + By + Cz + D = 0 amb l’expressió 222
000
CBA
DCzAyAx
.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2018 5.2
3. Donat el pla 52: zyx :
a) Calculeu l’equació del pla paral·lel al pla π que passa pel punt P=(1, 0,−1).
b) Determineu també la distància entre el punt P i el pla π.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2011 4.2
4. Determineu l’equació del pla perpendicular a la recta
02
01:
zx
yxr que passa pel
punt (1,1,2). Quina distància hi ha d’aquest pla a l’origen de coordenades?
Solució PAU CAT TEC JUNY 2006 3.3
5. Considereu la recta r de l'espai que passa pel punt P = (1, 1, 3) i té per vector director
)1,,1( aav
. Sigui π el pla que té per equació 2x +y –z = 1.
a) Determineu per a cada valor del paràmetre a la posició relativa de la recta r respecte
al pla π (paral·lela, continguda o amb un punt d'intersecció).
b) Hi ha alguna de les rectes r que sigui perpendicular al pla π ?
c) Calculeu la distància que hi ha entre el punt P i el pla π.
Solució PAU CAT TEC SET 2000 6.5 (Problema)
6. a) Sigui P un punt de l’espai, i , un pla. Definiu el concepte de distància del punt P
al pla .
b) Sigui P el punt de coordenades (1,1,0), i , el pla d’equació x+y+z=5. Trobeu la
distància de P a .
Solució PAU CAT TEC JUNY 1998 6.4
5.3 Distància entre dos plans.
5.3.1 Definició. Distància entre dos plans paral·lels.
És la mínima distància possible entre qualsevol punt del primer pla i qualsevol punt del
segon pla.
Si els plans són paral·lels: És la
distància entre un punt qualsevol del
primer pla al segon pla
Si els dos plans no són paral·lels la
distància serà zero.
Calcula la distància entre els següents dos plans:
03:1 zy 0562:2 zy
Els plans són paral·lels perquè els vectors normals són proporcionals. Per tant, la
distància entre tots dos serà la distància entre un punt del primer pla al segon pla.
Prenem )1,3,0( P com punt de 1 .
79.040
5
364
5)1(66),(),( 221
Pdistdist
5.3.3 Determinació dels plans paral·lels a un pla donat a una distància fixa.
Determineu l’equació dels plans paral·lels al pla 012423: zyx que
equidisten 5 unitats de .
Els plans paral·lels a tindran per equació 0423:' Dzyx
Obtenim un punt qualsevol del pla fent 0 yx i obtenim
)3,0,0(301240203: Qzz
2951229512
295122951212295
29
125
29
12
423
12
423
340203)',()',(5
222222
DD
DDD
D
DDDQdistdist
Per tant els dos plans buscats són:
029512423:' zyx i 029512423:' zyx
Exercicis.
1. Trobeu les equacions dels plans paral·lels a 622: zyx situats a 10 unitats de
distància d’aquest.
5.3.4 Problemes PAU.
1. Trobeu les equacions dels plans paral·lels a π: 2x –y +2z = 3 situats a 6 unitats de
distància d’aquest. Solució PAU CAT TEC SET 2007 3.1
2. Trobeu les equacions d’un pla paral·lel al pla d’equació 0822 zyx i que
dista d’aquest sis unitats. N’hi ha més d’un, de pla, que compleixi aquestes condicions?
Solució PAU CAT TEC JUNY 1998 3.2
5.4 Distància entre recta i pla.
5.4.1 Definició. Distància entre una recta i un pla.
És la mínima distància entre qualsevol punt de la recta i qualsevol punt del pla.
Si la recta no és paral·lela al pla, la distància serà zero.
Si la recta és paral·lela al pla, la
distància serà la distància entre
qualsevol punt de la recta al pla, i
aplicarem 5.2.
A IR3, siguin la recta r que té per equació (x, y, z) = (1 + λ, λ, 1 – λ) i el pla π d’equació
-2=z+y-2x .
a) Determineu la posició relativa de la recta r i el pla π.
b) Calculeu la distància entre la recta r i el pla π.
Nota: Podeu calcular la distància d’un punt de coordenades (x0, y0, z0) al pla d’equació
Ax + By + Cz + D = 0 amb l’expressió 222
000
CBA
DCzByAx
Solució PAU CAT TEC JUNY 2016 3.2
Punt base de la recta: )1,0,1(P , vector director de la recta: )1,1,1( v
.
Vector normal del pla: )1,1,2( n
.
a) Posició relativa de la recta i el pla:
nvnv
01121)1()1(121
El punt base de la recta no pertany al pla: -21+0-12
Per tant la recta i el pla són paral·lels.
b) Distància entre la recta i el pla amb el mètode geomètric.
Primer pas: Recta s perpendicular al pla i que passa pel punt base de la recta: Prenem
com a vector director d’aquesta recta el vector normal del pla. L’escrivim en forma
paramètrica perquè serà la que necessitarem després per trobar el seu punt de tall amb el
pla:
kz
ky
kx
s
11
10
21
:
Segon pas: Punt Q d’intersecció entre el pla i la recta perpendicular.
6
5
236-2k1k4k2-2=1k)(1+1k)-(0-2k)2(1
k
k
6
1,
6
5,
3
2
6/1)6/5(11
6/5)6/5(10
3/2)6/5(21
: Q
z
y
x
s
Tercer pas: La distància entre la recta i el pla serà la distància entre P i Q:
04.26
5
6
25
6
5
6
5
3
5
6
5,
6
5,
3
51
6
1,
6
5,1
3
2)1,0,1(
6
1,
6
5,
3
2
),(),(
222
PQ
PQPQ
PQQPdistrdist
b) Distància entre la recta i el pla amb la fórmula:
Abans de tot hem d’igualar l’equació del pla a zero: 0=2z+y-2x-2=z+y-2x
6
5
1)1(2
2110)1(12),(
222
Pdist
5.4.2 Problemes PAU.
1. Siguin r i s les rectes de IR3 que tenen les equacions següents:
2
355:
zyxr i
1
1
3
2
2
3:
zyxs
a) Estudieu el paral·lelisme i la perpendicularitat entre les rectes r i s.
b) Trobeu l’equació general (és a dir, que té la forma Ax+By+Cz=D) del pla π que
conté la recta r i és paral·lel a la recta s. Calculeu la distància entre la recta s i el pla π
obtingut. Solució PAU CAT TEC SET 2014 5.1
2. Considereu la recta azyx
r
1
2
3
1: i el pla π:2x +y −5z =5.
a) Estudieu la posició relativa de la recta r i el pla π en funció del paràmetre a.
b) Quan a=3, calculeu la distància de la recta r al pla π.
Solució PAU CAT TEC SET 2011 2.5
3. Trobeu la distància entre la recta 3
2
3
1
4
3:
zyxr i el pla π: 3x + 4y + 7 = 0.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2005 1.3
4. Trobeu la distància entre la recta 3
2
3
1
2
3:
zyxr i el pla π : 2x – 3y + 3z + 5
= 0. Solució PAU CAT TEC SET 2005 3.3
5. Comproveu que la recta que passa pels punts A=(4,0,0) i B=(0,2,2) és paral·lela al pla
d'equació x –3y +5z =2, i calculeu la distància entre la recta i el pla.
Solució PAU CAT TEC SET 2002 1.3
5.5 Distància entre dues rectes.
5.5.1 Definició. Distància entre dues rectes.
La distància entre dues rectes és la mínima distància entre qualsevol punt de la primera
recta i qualsevol punt de la segona. Si les rectes es tallen, la distància serà zero.
5.5.2 Proposició. Mètode 1: Mitjançant la perpendicular comú.
Trobem la recta perpendicular comú a r
i s i els punts de tall P i Q respectius
(Vegeu apartat 4.6).
La distància entre r i s serà la distància
entre P i Q:
),(),( QPdistsrdist
5.5.3 Proposició. Mètode 2: Amb el producte mixt.
Si r és una recta que passa per ),,( 321 pppP i té per vector director ),,( 321 uuuu
i s és una recta que passa per ),,( 321 qqqQ i té per vector director ),,( 321 vvvv
Si u
i v
són proporcionals, és a dir les rectes r i s són paral·leles, la distància entre r i s
serà la distància entre qualsevol punt de la r a s.
Si u
i v
no són proporcionals, la distància entre les dues rectes és la distància entre els
respectius punts de contacte amb la recta perpendicular comú a totes dues, o si fem
servir el producte vectorial, amb la fórmula:
vu
vuPQsrd
),,det(),(
Per tant, dues rectes r i s no paral·leles es tallen en un punt si i només si
0),,det( vuPQ
Trobeu la distància entre les rectes
3
2
1
1
2
4:
zyxr i
2
8
2
21:
zyxs
Les rectes venen donades per:
)3,1,2(
)2,1,4(:
u
Ar i
)2,2,1(
)8,2,1(:
v
Bs
)10,3,3( AB
391812104096
221
312
1033
),,det(
vuAB
3,1,421
12,
21
32,
22
31
221
312
kji
vu
263)1(4 222 vu
2
263
26
39
26
39),,det(),(
vu
vuABsrd
5.5.4 Problemes PAU.
1. Considereu les rectes
21
1
2
2:
zyxr i
tz
ty
tx
5
41
31
a) Estudieu la seva posició relativa.
b) Trobeu l’equació del pla que conté s i és paral·lel a r.
c) Calculeu la distància entre r i s. Solució PAU CAT TEC SET 2004 5.6 (Problema)
2. Considereu les dues rectes r1 i r2 de l’espai donades per les equacions següents:
1,23
2:1
yz
xr )1,1,1()0,0,1(),,(:2 tzyxr .
Calculeu la distància entre elles. PAU COU
5.6 Problemes PAU amb distància, projecció ortogonal i punt simètric.
1. Siguin P= (3 – 2a, b, –4), Q= (a–1, 2 +b, 0) i R= (3, –2, –2) tres punts de l’espai IR3.
a) Calculeu el valor dels paràmetres a i b per als quals aquests tres punts estiguin
alineats.
b) Trobeu l’equació contínua de la recta que els conté quan estan alineats.
c) Quan b=0, trobeu els valors del paràmetre a perquè la distància entre els punts P i Q
sigui la mateixa que la distància entre els punts P i R.
d) Si b= 0, calculeu el valor del paràmetre a perquè els punts P, Q i R determinin un
triangle equilàter. Solució PAU CAT TEC JUNY 2009 3.6 (Problema)
2. Donats el punt P= (7, 5, 1), el pla π: x –2y –3z =10 i la recta
526
7223:
zyx
zyxr
a) Trobeu la distància del punt P al pla π.
b) Trobeu la distància del punt P a la recta r.
c) Trobeu la distància de la recta r al pla π. Solució PAU CAT TEC SET 2008 4.4
3. Trobeu les coordenades dels punts situats sobre la recta d’equació
(x,y,z) = (–1,1,1) +t·(1,2,1) que estan a distància 1 del pla 2x +2y +z = 5. Solució PAU CAT TEC JUNY 2006 1.1
4. Donats els punts A = (1, 0, 0) i B (0, 0, 1):
a) Trobeu un punt C sobre la recta d’equació paramètrica
1
1
1
z
y
x
que faci que el
triangle ABC sigui rectangle en C.
b) Trobeu l’àrea del triangle ABC. Solució PAU CAT TEC SET 2005 3.4
5. Sigui π el pla d'equació x –y +2z = 3 i P el punt (1, 1, 0).
a) Calculeu la distància d de P a π .
b) Determineu l'equació de l'altre pla π' paral·lel a π que també dista d del punt P.
c) Determineu l'equació de la recta r perpendicular a π que passa per P.
d) Calculeu la intersecció de la recta r amb el pla π. Solució PAU CAT TEC SET 2001 4.6 (Problema)
7. Considereu a l'espai la recta r d'equacions 1
1
3
3
2
2
zyx i la recta s
d’equacions 1
4
3
1
2
4
zyx
a) Determineu el punt de tall de la recta r amb el pla z = 0.
b) Comproveu que les rectes r i s són paral·leles i calculeu la distància entre elles.
c) Quina és l'equació del pla que conté les dues rectes?
d) Calculeu la distància del pla anterior a l'origen de coordenades. Solució PAU CAT TEC JUNY 2001 5.5
6 Posició relativa.
6.1 Posició relativa entre recta i pla.
6.1.1 Posició relativa entre recta i pla mitjançant l’estudi del sistema.
Sigui
2222
1111:
dzcybxa
dzcybxar una recta i 3333: dzcybxa un pla a l’espai.
Considerem el sistema
3333
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
333
222
111
cba
cba
cba
M
3333
2222
1111
'
dcba
dcba
dcba
M
1. SCD: Rang M = 3. Es tallen en un punt (que és la solució del sistema)
*#00
**#0
***#
Sistema Compatible
Determinat
SCD
2. SI: Rang M = 2 i Rang M’ = 3. La recta és paral·lela i externa al pla.
#000
**#0
***# Sistema Incompatible
SI
3. SCI: Rang M = 2 i Rang M’ = 2 La recta està continguda al pla.
0000
**#0
***# Sistema Compatible
Indeterminat
SCI
6.1.2 Posició relativa entre recta i pla mitjançant equacions vectorials.
Pla: DCzByAx : : vector normal ),,( CBAn
Recta r: Punt base ),,( 321 pppP i vector director ),,( 321 uuuv
vn
?
SI
NO: Recta i pla es tallen en un punt
El punt P pertany a ?
SI
NO: Recta paral·lela externa al pla.
Recta continguda al pla
6.1.3 Exercicis.
1. Determineu la posició relativa del pla 323: zyx i la recta
323
1:
z
yxr
2. Determineu la posició relativa entre la recta i el pla per als diferents valors del
paràmetre k:
22
12:
zyx
zyxr 42: zyxk
3. Determineu la posició relativa entre la recta i el pla per als diferents valors del
paràmetre t:
1
1:
zytx
zyxtr tztyx :
6.1.4 Problemes PAU.
1. Considereu el pla π: x + y + z = 1 i la recta r que passa pels punts P = (0, 0, 6) i Q =
(1, 2, 3).
a) Estudieu la posició relativa de la recta r i el pla π.
b) Calculeu la distància entre la recta r i el pla π.
Nota: Podeu calcular la distància d’un punt de coordenades (x0, y0, z0) al pla d’equació
Ax + By + Cz + D = 0 amb l’expressió 222
000
CBA
DCzByAx
.
Solució PAU CAT TEC SET 2017 2.1
2. Donats el pla π: x +2y –z = 3 i la recta 42
1:
mzy
xr
,
a) Comproveu que el vector característic (o normal) de π i el vector director de r són
perpendiculars.
b) Estudieu la posició relativa de π i r en funció del paràmetre m.
Solució PAU CAT TEC SET 2013 1.3
3. Donats el pla π: 5x +y +3z = 4 i la recta
32
2:
zy
yxar , estudieu-ne la posició
relativa en funció del paràmetre a.
Solució PAU CAT TEC SET 2010 2.2
4. Sigui el pla de l’espai que passa pel punt (0,0,3) i que conté els vectors
)5,2,1( u
i )3,1,2( v
. Sigui r la recta d’equacions:
02
04
zyx
zyx
a) Escriviu l’equació cartesiana del pla (equació de la forma ax+by+cz=d).
b) Estudieu la posició relativa de r respecte a (heu de dir si r és paral·lela a , si està
continguda en o bé si talla ). PAU CAT TEC JUNY 1998 6.3
5. Estudieu, segons els diferents valors que pot tenir el paràmetre m, les posicions
relatives del pla i de la recta r que es donen a continuació:
123: zymx
12
13:
zmyx
yxr
PAU CAT TEC JUNY 1997 3A.4
6.2 Posició relativa entre dos plans.
6.2.1 Posició relativa entre dos plans mitjançant l’estudi de sistema.
Un pla en l’espai queda determinat algèbricament amb una equació lineal de tres
variables:
dczbyax :
Per tant, l’estudi de la posició relativa de dos plans equival a discutir el sistema format
per les seves equacions:
22222
11111
:
:
dzcybxa
dzcybxa
o en forma matricial :
2222
1111
dcba
dcba
1. SCI : Rang M = Rang Ma = 2. Els dos plans es tallen en una recta.
**#0
***#
2. SI : Rang M = 1, Rang Ma = 2. Els plans són paral·lels i no coincidents.
#000
***#
3. SI : Rang M = Rang Ma = 1. Els plans són coincidents.
0000
***#
6.2.2 Posició relativa entre dos plans mitjançant equacions vectorials.
Pla 11111 : DzCyBxA : vector normal ),,( 111 CBAn
Pla 22222 : DzCyBxA : vector normal ),,( 222 CBAm
mkn
?
SI
NO: Els dos plans es tallen en una recta
),,,(),,,( 11111111 dcbakdcba ?
(és a dir, mirem si són equacions
equivalents)
SI
NO: Dos plans paral·lels i no
coincidents
Els dos plans són coincidents
6.2.3 Exercicis.
1. Estudia la posició relativa dels dos plans. En el cas que es tallin en una recta,
determina la seva equació vectorial.
a)
1153
45
zyx
zyx b)
1)5(3
45
xyz
zyx c)
yxz
zyx
45
045
2. Determineu m i n de forma què els plans 0946:1 zymx i
039:2 nznyx siguin paral·lels.
6.2.4 Problemes.
1. Considereu els plans d'equacions:
π1: x + 2y – z = 3 i π2 : ax + (a – 2)y + 2z = 4.
a) Hi ha algun valor del paràmetre a per al qual la intersecció dels plans π1 i π2 no és una
recta?
b) Calculeu un vector director de la recta que s'obté quan es fa la intersecció de π1 i π2
per al valor del paràmetre a=0.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2002 3.3
2. Discutiu la posició relativa dels plans
0:1 azyax i 1)/1()3(:2 zyaxa
segons els valors de a ( 0a ).
PAU COU
6.3 Posició relativa entre dues rectes.
6.3.1 Posició relativa entre dues rectes mitjançant l’estudi del sistema.
2222
1111:
dzcybxa
dzcybxar
4444
3333:
dzcybxa
dzcybxas
Considerem el sistema:
4444
3333
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
444
333
222
111
cba
cba
cba
cba
M
4444
3333
2222
1111
'
dcba
dcba
dcba
dcba
M
1. SCD. Rang M = 3, Rang M’ = 3. Les dues rectes es tallen en un únic punt.
2. SCI. Rang M = 2, Rang M’ = 2. Les dues rectes són coincidents.
3. SI. Rang M = 2, Rang M’ = 3. Les dues rectes són paral·leles i no coincidents.
4. SI. Rang M = 3, Rang M’ = 4. Les dues rectes es creuen.
6.3.2 Posició relativa entre dues rectes mitjançant equacions vectorials.
Recta r: Punt base ),,( 321 pppP i vector director ),,( 321 uuuu
Recta s: Punt base ),,( 321 qqqQ i vector director ),,( 321 vvvv
0),,det( PQvu
?
SI
NO: Les dues rectes es creuen.
vku
?
SI
NO: Les dues rectes es tallen en un únic
punt.
El punt P pertany
a la recta r ?
SI
NO: Les dues rectes són paral·leles i no
coincidents.
Les dues rectes són coincidents.
6.3.3 Exercicis.
1. Determineu la posició relativa de les rectes
2
92:
y
zxr i
022
1:
zyx
yxs
2. Determineu la posició relativa de les rectes
32
12:
yx
zyxr i
025
523:
zyx
yxs
3. Determineu la posició relativa de les rectes
3
3
2
1:
zy
xr i
43:
zyxs
4. Estudieu la posició relativa de les rectes, en funció del paràmetre t:
1
1:
zytx
zyxtr i
tzyx
ztyxs
1:
Posició relativa de dues rectes que depenen d’un paràmetre. Exemple resolt.
Estudieu la posició relativa de les rectes
0
0:
zya
yxr
azy
ayxs
1:
en funció del paràmetre a PAU COU
Vector director de r: ),1,1(
10
011 a
a
kji
v
Punt base de r: (Prenent 0y ) )0,0,0( P
Vector director de s: )1,1,(
110
01 aa
kji
w
Punt base de s: (Prenent 0y ) ),0,1( aQ
),0,1( aPQPQ
10
1
011
11
a
aa
a
Si 1a Les dues rectes es creuen.
Si
)1,1,1(
)1,1,1(1
w
va
Els vectors directors són proporcionals, per tant són
paral·leles. I com que )0,0,0(P no pertany a la recta s:
100
100:
as
Les dues rectes són paral·leles i no coincidents.
6.3.4 Problemes PAU.
1. Siguin r i s dues rectes de l’espai les equacions respectives de les quals, que depenen
d’un paràmetre real b, són les següents:
152
13:
zyx
zyxbr
1
1
11:
z
b
byxs
a) Trobeu el punt de tall de la recta r amb el pla d’equació x= 0 i el punt de tall de la
recta s amb aquest mateix pla.
b) Calculeu un vector director per a cada una de les dues rectes.
c) Estudieu la posició relativa de les dues rectes en funció del paràmetre b.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2009 4.6 (Problema)
2. Les rectes 4
1
12:1
zyaxr i
1
4
21
2:2
zbyxr són coplanàries (és a dir,
estan incloses en un mateix pla).
a) Expliqueu, raonadament, quina és la posició relativa d’aquestes rectes.
b) Trobeu la relació que hi ha entre els paràmetres a i b.
c) Trobeu els valors de a i b si el pla que les conté passa pel punt P= (2, 4, 6).
Solució PAU CAT TEC SET 2008 4.6 (Problema)
3. Estudieu la posició relativa de les dues rectes r i s de l'espai donades per les
equacions següents:
1
92:
y
zxr
532:
xzy
yxs
PAU CAT TEC JUNY 1997 2B.3
6.3.5 Problemes PAU COU.
1. Considereu la recta r de 3IR donada per
1
2
yz
ayx i la recta r’ que passa pels punts
)1,0,1( i )4,1,3( . Calculeu el valor d’a sabent que r i r’ es tallen. Calculeu també el punt
d’intersecció de r i r’. PAU COU
2. Considereu la recta de 3IR donada per 2
11
zyx i la recta donada per
422
4
zy
x. Digueu si aquestes dues rectes es tallen en un punt, són paral·leles
o bé es creuen (dues rectes de l’espai es creuen quan no es tallen ni són paral·leles).
PAU COU
3. Considereu, a 3IR , les dues rectes següents :
4
12
zx
zyx
0
0
yx
zax
on a és un nombre real. Digueu si existeix algun valor de a per al qual les rectes es
tallin.
PAU COU
4. Donades les rectes
zy
k
xr
1:1
1
2:2
zx
ykxr
determineu el valor de k per tal que les rectes siguin paral·leles. PAU COU
5. Donades les rectes d’equacions
332
42
yx
azay
33
233
yax
aazy
busqueu els valors de a pels quals les dues rectes es tallen.
PAU COU
6.4 Posició relativa de tres plans.
6.4.1 Posició relativa de tres plans mitjançant l’estudi del sistema.
L’estudi de la posició relativa de tres plans equival a discutir el sistema format per les
seves equacions:
33333
22222
11111
:
:
:
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
o en forma matricial :
3333
2222
1111
dcba
dcba
dcba
1. SCD: Rang M = Rang Ma = 3. Els tres plans es tallen en aquest punt formant un
tríedre.
*#00
**#0
***#
2. SCI: Dos casos:
2.1 SCI i Rang M = Rang Ma = 2 Els tres plans es tallen en una recta.
0000
**#0
***# (Una única fila de zeros)
2.2 SCI i Rang M = Rang Ma = 1. Tots tres plans són coincidents.
0000
0000
***# (Dues files de zeros)
3. SI: Els tres plans no tenen cap punt en comú. Hem d’estudiant el paral·lelisme entre
els plans:
3.1 Els tres plans són paral·lels:
3.1.1 Dues equacions són proporcionals : Dos plans coincidents i paral·lels (però no
coincidents) al tercer.
3.1.2 No hi ha equacions proporcionals : Tres plans paral·lels i no coincidents.
3.2 Una parella de plans paral·lels :
3.3 Cap parella de plans paral·lels: Els plans es tallen dos a dos amb rectes paral·leles.
Tenim el que col·loquialment s’anomena « tenda de campanya »
6.4.2 Exercicis resolts.
Determina la posició relativa dels tres plans
1:1 zyx
05:2 zyx
13:3 zyx
El sistema d’equacions dels punts d’intersecció és:
13
05
1
zyx
zyx
zyx
, en forma matricial:
1113
0115
1111
'A
016
113
115
111
AA
Per tant, el sistema és compatible determinat, i.e. els tres plans es tallen en un únic punt.
Determina la posició relativa dels tres plans
32:1 zyx
12:2 zyx
233:3 zy
El sistema d’equacions dels punts d’intersecció és:
233
12
32
zy
zyx
zyx
, en forma matricial:
2330
1211
3112
'A
0
330
211
112
AA
Agafant les 2 primeres files i columnes, obtenim un determinant no nul:
31211
12
, per tant, Rang(A) = 2
Rang(A’) = 3, només cal substituir la primera columna per la quarta :
09
332
211
113
Per tant, el sistema és incompatible. Els tres plans no tenen punts en comú.
1 i 2 es tallen en una recta, ja que el sistema associat
12
32
zyx
zyxés compatible:
La matriu associada
1211
3112té rang 3, només cal agafar les dues primeres
columnes : 31211
12
De la mateixa manera comprovem que també 1 i 3 es tallen en una recta, i 2 i 3 es
tallen en una recta, per tant, estem davant d’un cas de tres plans formant un prisma
triangular.
6.4.3 Exercicis.
1. Estudieu la posició relativa dels plans següents, en funció del paràmetre t:
1:1 ztytx
tztyxt :2
1:3 zytxt
6.4.4 Problemes PAU.
1. Considereu la matriu
134
11
101
a
a
a
A , en què a és un paràmetre real.
a) Trobeu els valors del paràmetre a per als quals la matriu és invertible.
b) Discutiu la posició relativa dels plans π1: x + (a – 1)z = 0, π2: x + ay + z = 1 i
π3: 4x + 3ay + z = 3 en funció dels valors del paràmetre a.
PAU CAT TEC SET 2019 5.2 (Solució: "Compendium Tec", Pàg. 543)
2. Siguin els plans de IR3 π1: –y +z = 2, π2: –2x + y + z = 1 i π3: 2x – 2z = –1.
a) Calculeu la posició relativa dels tres plans.
b) Comproveu que el pla π3 és paral·lel a la recta definida per la intersecció dels plans
π1 i π2.
Solució PAU CAT TEC SET 2015 5.4
3. Digueu per a quin valor del paràmetre m els plans
1:1 mzyx , mzyx :2 i 32:3 zmy
tenen com a intersecció una recta. Solució PAU CAT TEC JUNY 2012 3.1
4. A l’espai es consideren els tres plans d’equacions:
1z2yx:1 , 1pzypx:2 i 12zypx:3 , on p és un paràmetre real.
a) Esbrineu per a quins valors de p els tres plans es tallen en un únic punt. Trobeu
aquest punt quan p=1.
b) Hi ha algun valor de p que faci que la intersecció comuna sigui una recta? Si és així,
escriviu l’equació vectorial d’aquesta recta.
c) Trobeu quina és la posició relativa dels tres plans quan p=1/2
Solució PAU CAT TEC JUNY 2007 2.6 (Problema)
5. Discutiu el sistema següent en funció del paràmetre p.
1236
1022
52
zypx
zypx
zyx
Doneu la interpretació geomètrica del sistema en cada cas i resoleu-lo quan sigui
compatible. Solució PAU CAT TEC JUNY 2007 1.6
6. Donada la matriu següent dependent d’un paràmetre m:
mm
mmA
22
22
211
a) Estudieu-ne el rang segons els valors de m.
b) Digueu quina és la posició relativa dels plans π1:x +y +2z = 2, π2:2x +my +2mz
=2+m i π3: mx +2y +(2+m)z= 0, segons els valors de m.
Solució PAU CAT TEC SET 2007 3.2
7. Donat el sistema
1)22()22(
12
2
mzmxm
zyx
zy
on m és un paràmetre:
a) discutiu el sistema segons els valors de m;
b) resoleu els casos compatibles;
c) en cada un dels casos de la discussió de l’apartat a), feu una interpretació
geomètrica del sistema. Solució PAU CAT TEC JUNY 2004 3.5
8. Considerem els punts de l’espai A(1, 1, 0), B(0, 1, 2) i C(–1, 2, 1). Ens diuen que
aquests tres punts formen part del conjunt de solucions d’un sistema de tres equacions
lineals amb tres incògnites. Es demana:
a) aquests punts, estan alineats?
b) podem saber el rang de la matriu del sistema d’equacions?
Solució PAU CAT TEC JUNY 2004 3.4
9. Se sap que el sistema d'equacions
5102
182
2
zyx
zyx
azyx
té més d'una solució.
Calculeu a i digueu quina és la interpretació geomètrica que té el conjunt de
totes les solucions d'aquest sistema. Solució PAU CAT TEC JUNY 2000 3.3
10. Discutiu, segons els valors del paràmetre a, el sistema següent:
2
1
4
azyx
zayx
zyax
Doneu en cada cas la interpretació geomètrica.
PAU COU
11. Estudieu en funció del paràmetre a el sistema següent:
13554
5
92
zayx
azay
yax
Doneu en cada cas la interpretació geomètrica.
PAU COU
7 Angles.
7.1 Angle entre dues rectes.
7.1.1 Definició. Angle entre dues rectes.
És l’angle que formen els seus vectors directors, amb valor absolut:
vu
vu
cos
7.1.2 Exercicis.
1. Determina l’angle entre les dues rectes (en graus).
2
361:
zyxr
2
11
3
4:
zy
xs
2. Determina l’angle entre les dues rectes (en graus).
2
82
2
7:
zy
xr
z
yxs
3
5
9
3:
7.1.3 Determinació d’una recta coneixent l’angle. Problemes resolts.
Considereu la recta r de R3 d’equacions
1y
zx i la recta r’ d’equacions
a
zy
x 11
2
1
on a és una constant. Aquestes dues rectes es tallen en el punt (1,1,1) ja que aquest punt
compleix les equacions de les dues rectes. Determineu els valors de a que fan que r i r’
es tallin en aquest punt formant un angle de 30 graus.
PAU CAT COU
Passem les equacions de r a forma paramètrica per a extreure un vector director:
0
1
0
1
0
1
01
10
01
1z
z
y
x
zz
zy
zx
y
zx
Un vector director de r serà doncs )1,0,1(v
Un vector director de r’ es pot determinar agafant els denominadors de la seva equació
general: ),1,2( aw
Així doncs, hem de resoldre l’equació wv
wv
)30cos(
512
2101
211021
2
3)30cos(
2222
222
aaw
v
aawv
2256
2252352
2
2
3)30cos(
2
2
2
aa
aaa
a
wv
wv
Elevant al quadrat tots dos costats
1
77801538820
882153)44(253
)2(253)2(456
)2(42256
222
2222
2222
2222
aaaaaa
aaaaaa
aaaa
aaa
Efectivament, per a a=7 )7,1,2(w
i
)30cos(2
3
32
33
32
3
332
9
322
9
542
9
3
wv
wv
i per a a=1 , )1,1,2(w
i
)30cos(2
3
32
33
32
3
32
3
wv
wv
Considereu la recta r de l’espai donada per les equacions
0
0)1(
zx
zyxa
on a és un paràmetre, i la recta r’ que té com a vector director 1,2,1 i que passa per
l’origen formant un angle de 45 graus. Determina els possibles valors del paràmetre a.
PAU CAT COU
Passem les equacions de r a forma paramètrica per a extreure un vector director:
yazyzazzyzza
yzxazyxa
zxzx
))(1(
)1(0)1(
0
0
0
0
1
1
1
za
z
y
x
z
azy
zx
Per tant un vector director de la recta és )1,,1( a o equivalentment )1,,1( av
.
Un vector director de la recta r’ ja ens ve donat directament: 1,2,1 w
Així doncs, hem de resoldre l’equació wv
wv
)45cos(
24121)1()2(1
2)1(1
22121)1)(1(211
2
1)45cos(
222
2222
w
aav
aaawv
2222222
22
2
1)45cos( 2
2
aa
a
a
wv
wv
Elevem al quadrat tots dos costats de l’equació:
028
00280848284
8284844242284
2222422222
22
2222
22
222
aaaaa
aaaaaa
aaaa
Efectivament, per a a=0, )1,0,1( v
i )45cos(2
1
22
2
22
2
wv
wv
7.1.4 Problemes PAU COU.
1. En un sistema de coordenades rectangulars tenim la família de rectes r:
3
2
2
13
zy
a
x i la recta
1
1:
zyx
zyxs
a) Determineu les dues rectes de la família r que fan un angle de 60º amb la recta s.
b) Determineu l’angle d’aquestes dues rectes de la família r.
PAU COU
2. Considereu la recta r donada per
02
0224
yx
zyxi la recta r’ de vector director
)1,,1( a que passa per l’origen. Determineu per a quins valors de a, r i r’ es tallen a
l’origen formant un angle de 45 graus. PAU COU
3. Considereu a l’espai 3 les dues rectes següents: )1,,1()2,2,2(),,( azyx i
02
0
zx
yx, on a és un nombre real. Comproveu que aquestes dues rectes es tallen per
a qualsevol valor de a i determineu a perquè formin un angle de 60 graus. PAU COU
4. En un sistema de coordenades rectangulars tenim la recta 3
2
2
13:
zy
a
xr i la
recta
1
1:
zyx
zyxs . Determineu els dos valors d’a per als què les dues rectes fan un
angle de 60º.
PAU COU
7.2 Angle entre dos plans.
7.2.1 Definició. Angle entre dos plans.
L’angle que formen els plans DCzByAx :1 i '''':2 DzCyBxA és
l’angle que formen els seus vectors ortogonals )',','(),,( 21 CBAniCBAn
21
21cos
nn
nn
7.2.2 Exercicis.
1. Determina l’angle entre els dos plans (en graus)
187118:1 zyx 8625:2 zyx
2. Determina l’angle entre els dos plans (en graus)
6203:1 zyx 414132:2 zyx
7.2.3 Problemes PAU.
1. Considereu els plans π1: 5x – y –7z = 1 i π2: 2x + 3y + z = 5.
a) Determineu l’equació general (és a dir, la que té la forma Ax + By + Cz = D) del pla
que passa per l’origen de coordenades i és perpendicular als plans π1 i π2.
b) Calculeu l’angle que formen els plans π1 i π2.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2017 1.2
7.3 Angle entre recta i pla.
7.3.1 Definició. Angle entre recta i pla.
L’angle que formen una recta i un pla és el complementari de l’angle que formen un
vector normal al pla i un vector director de la recta:
un
un
cos
º90
7.3.2 Problemes PAU.
1. Calculeu l’equació general (és a dir, de la forma Ax+By+Cz+D=0) dels plans que
contenen la recta
1
2:
z
yr i que formen un angle de 45° amb el pla z=0.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2011 4.5
2. Considereu la recta
023
0352:
zyx
zyxr i el pla π: 2x –y +az +2 = 0 on a és un
paràmetre.
a) Trobeu un vector director de la recta i un vector perpendicular al pla.
b) Quin ha de ser el valor de a per tal que la recta i el pla siguin paral·lels?
c) Esbrineu si existeixen valors de a per als quals la recta i el pla siguin perpendiculars.
En cas afirmatiu, calculeu-los.
d) Esbrineu si existeixen valors de a per als quals la recta i el pla formin un angle de
30º. En cas afirmatiu, calculeu-los. Solució PAU CAT TEC JUNY 2006 3.6
3. Una recta r passa pel punt A=(3,0,2) i té la direcció del vector (–1,1,4).
a) Trobeu quin angle forma r amb el pla horitzontal.
b) Comproveu que no passa pel punt B=(1,3,10).
c) Trobeu l’equació de la recta que passa per A i B.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2006 1.5 (Problema)
4. Calculeu l’angle que forma el pla 12 zyx amb la recta determinada per les
equacions
2
1
z
ty
tx
Solució PAU CAT TEC JUNY 2002 2.4
5. Considereu la recta
023
0352
zyx
zyx
i el pla 022 zayx , on a és un paràmetre.
a) Per a quin valor de a la recta i el pla són paral·lels? Quina serà llavors la distància
entre el punt P=(1,0,-1) de la recta i el pla?
b) Existeix algun valor de a per al qual la recta i el pla siguin perpendiculars?
c) Determineu el valor de a perquè la recta i el pla formin un angle de 30º.
Solució PAU CAT TEC SET 2000 2.6
6. Considereu la recta de 3 donada per
1
2
zx
zyx i el pla d’equació 3 yx .
Digueu quin angle formen aquesta recta amb aquest pla.
Solució: 30º PAU COU
7. Trobeu els valors de a que fan que el vector perpendicular al pla 0z i la recta de
l’espai d’equacions
5223
52
zayx
zayx formin un angle de 30 graus.
Solució: 3,3 PAU COU
8 Àrea i volum.
8.1 Àrees de figures en l’espai.
8.1.1 Exercicis.
1. Determina l’àrea del paral·lelogram definit pels vectors
v
= ( -2 , -1 , 2 ) i w
= ( -1 , 0 , 4 )
2. Determina l’àrea del paral·lelogram definit pels vectors
v
= ( 3 , -4 , 1 ) i w
= ( 5 , 0 , 2 )
8.1.2 Problemes PAU.
1. Siguin P, Q i R els punts d’intersecció del pla d’equació x + 4y + 2z = 4 amb els tres
eixos de coordenades OX, OY i OZ, respectivament.
a) Calculeu els punts P, Q i R, i el perímetre del triangle de vèrtexs P, Q i R.
b) Calculeu l’àrea del triangle de vèrtexs P, Q i R.
Nota: Per a calcular l’àrea del triangle definit pels vectors v i w podeu fer servir
l’expressió wvS 2
1 , en què wv és el producte vectorial dels vectors v i w.
PAU CAT TEC SET 2019 5.5 (Solució: "Compendium Tec", Pàg. 548)
2. Un triangle d’àrea 3/2 té dos dels vèrtexs als punts P=(0, 0, 0) i Q=(2, 0, 1). El tercer
vèrtex, R, és un punt de la recta
1
0:
y
zyxr
i té la primera coordenada no nul·la. Calculeu les coordenades del vèrtex R.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2013 3.4
3. Donats els punts de l'espai A=(2, 1, 0), B=(0, 2, 0), C=(–3, 0, 0) i D=(0, –1, 0)
a) Són coplanaris? Formen un paral·lelogram?
b) Calculeu l'àrea del polígon ABCD.
c) Calculeu el punt simètric del punt E= (1, 1, 2) respecte del pla que determinen A, B i
C.
d) Calculeu la distància entre la recta que passa per E i A i la recta que passa per B i C.
PAU CAT TEC SET 1999 2.6 (Problema)
8.2 Volum de figures en l’espai.
8.2.1 Exercicis.
1. Determina el volum del paral·lelepípede generat pels vectors .w i v ,u
u
= ( 1 , -6 , -2 ), v
= ( 3 , -4 , -3 ), w
= ( -5 , -2 , 2 )
2. Determina el volum del paral·lelepípede generat pels vectors .w i v ,u
u
= ( 3 , 1 , -1 ), v
= ( -1 , -2 , 3 ) , w
= ( 3 , -5 , -3 )
8.2.2 Problemes PAU.
1. Considereu els punts de l’espai tridimensional A = (1, 1, 0), B = (3, 5, 0) i C = (1, 0,
0) i la recta 2
1:z
yxr .
a) Trobeu el punt d’intersecció de la recta r amb el pla que passa pels punts A, B i C.
b) Trobeu els punts P de la recta r per als quals el tetraedre de vèrtexs P, A, B i C té un
volum de 2u3.
Nota: El volum d’un tetraedre de vèrtexs P, Q, R i S es pot calcular amb l’expressió
),,det(6
1PSPRPQ
Solució PAU CAT TEC SET 2018 3.5
2. Donats els vectors u=(2, –1, 0), v=(–1, 3, 4) i w=(0, 3a–1, 4a),
a) Calculeu els valors del paràmetre a perquè els vectors u, v i w siguin linealment
dependents.
b) Calculeu els valors del paràmetre a perquè un tetràedre d’arestes u, v i w tingui un
volum de 2/3 d’unitats cúbiques.
Solució PAU CAT TEC SET 2014 5.5
3. Donats els punts P= (1, –1, 2), Q= (2, 0, 1) i R= (3, 2, –1),
a) Trobeu l’equació cartesiana (és a dir, de la forma Ax+By+Cz+D= 0) del pla que
determinen.
b) Trobeu un punt S pertanyent a la recta 3
5
1
1
2
5:
zyxr , de manera que el
tetràedre de vèrtexs P, Q, R I S tingui un volum igual a 1/2.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2013 5.3
4. Una piràmide de base quadrada té el vèrtex en el pla d’equació z = 3. Tres dels
vèrtexs de la base són els punts del pla OXY: A = (1, 0, 0), B = (1, 1, 0) i C = (0, 1, 0).
a) Feu un gràfic dels elements del problema. Quines són les coordenades del quart
vèrtex de la base, D?
b) Quin és el volum de la piràmide?
3
alturabaseàreaVolum
c) Si el vèrtex de la piràmide és el punt V = (a, b, 3), quina és l’equació de la recta que
conté l’altura sobre la base?
Solució PAU CAT TEC JUNY 2005 4.6 (Problema)
5. Tenim quatre punts a l’espai: A(0, 0, 0); B(0, 0, 2); C(0, 2, 0) i D(2, 0, 0). Es demana:
a) representeu gràficament els quatre punts;
b) calculeu el volum del tetràedre (piràmide de base triangular) ABCD;
c) trobeu l’equació del pla que passa per B, C i D;
d) calculeu la distància de l’origen al pla de l’apartat anterior.
Solució PAU CAT TEC JUNY 2004 3.6
6. Donat el pla p d'equació x+ 4y+z= 8 i sent A, B i C els punts d'intersecció d'aquest
pla amb els eixos de coordenades OX, OY i OZ, respectivament:
a) Determineu les coordenades dels punts A, B i C.
b) Determineu les equacions de la recta perpendicular al pla p que passa per l'origen de
coordenades.
c) Calculeu el volum del tetràedre determinat per OABC, on O és l'origen de
coordenades.
d) Calculeu la distància de l'origen de coordenades al pla p. Determineu l'àrea del
triangle ABC (podeu utilitzar el volum calculat en l'apartat anterior)
PAU CAT TEC SET 1998 5.6
9 Recopilacions d’exercicis.
9.1 Exercicis de repàs per al primer parcial.
1. Sigui la recta
0
1:
zyx
zyxr i el pla 0 zmx , on m és un paràmetre real.
Trobeu:
a) Un vector director de la recta r.
b) El valor de m per al qual la recta i el pla són paral·lels. PAU VALENCIA TEC SET 2012
2. Donades les rectes
42
4
3
4:
z
yxr i
32:
zyxs
es demana calcular raonadament:
a) Les coordenades del punt P d’intersecció entre les rectes r i s.
b) L’angle que formen les dues rectes.
c) L’equació implícita 0 DCzByAx del pla que conté les dues rectes.
PAU VALENCIA TEC SET 2010
3. Siguin A,B i C els punts d’intersecció del pla d’equació 0424 zyx amb els
tres eixos OX, OY i OZ, respectivament. Es demana calcular raonadament:
a) L’àrea del triangle ABC.
b) El perímetre del triangle ABC.
c) Els tres angles interiors del triangle ABC. PAU VALÈNCIA TEC JUNY 2009
4. Donades les rectes
013
032:
zyx
zyxr i
2
2
1
:
z
y
x
s , es demana:
a) La recta paral·lela a r que passa pel punt (0,1,0)
b) El pla que conté la recta r i és paral·lel a s. PAU VALÈNCIA TEC JUNY 2016
5. Donades les rectes
2
21
:
z
y
x
r i
21
1
1
:
z
y
x
s , on i són paràmetres reals,
calculeu raonadament:
a) Les coordenades del punt de tall de r i s.
b) L’equació del pla que conté aquestes dues rectes.
PAU VALÈNCIA TEC JUNY 2012
6. Donades les rectes
3
1:
z
y
x
r
i 31: zyxs , calculeu raonadament:
a) Un vector director de cada recta.
b) El punt d’intersecció de les rectes.
c) L’equació del pla que conté a aquestes rectes. PAU VALÈNCIA TEC JUNY 2011
7. Donades les rectes 21
1
3
1:
zyxr
i
0
1
:
z
y
x
s
, i el punt )2,3,0( P ,
calculeu:
a) Les equacions de la recta que passa pel punt P i és paral·lela a la recta r.
b) L’equació del pla que conté la recta r i és paral·lel a la recta s.
PAU VALÈNCIA TEC JUNY 2015
8. Donades les rectes
10
0:
z
yxr i
13
8:
zyx
yxs , determineu:
a) Un vector director de cada recta.
b) L’equació del pla que conté la recta s i és paral·lel a la recta r.
PAU VALÈNCIA TEC JUNY 2014
9.2 Exercicis de repàs de perpendicularitat i paral·lelisme.
1. Considerem la recta
4
05:
zyx
zyxr i el pla 546: zyxa .
Es demana calcular:
a) El valor de a per al què la recta i el pla siguin paral·lels.
b) El valor de a per al què la recta i el pla siguin perpendiculars.
2. Determineu si el pla 123 zyx és perpendicular a la recta
12
33:
zy
zyxr
3. Per a quin valor d’a són paral·leles les rectes:
0543
03254:
zyx
zyxr
092
910
0725
:z
ayx
zayx
s
4. a) Determina el pla que passa pel punt de coordenades )1,1,1( i talla
perpendicularment a la recta 1
1
12
1
zyx
b) Determina el punt de tall entre la recta i el pla.
5. Donades les rectes
1
0:
zyx
zyxr i
0
0:
zbxa
zyxs , trobeu la relació que ha
d’haver entre a i b de forma que:
a) Siguin rectes paral·leles.
b) Siguin rectes perpendiculars.
6. Determineu els valors d’a per als què els plans 0132 zayx i
0235 zyx siguin perpendiculars.
7. Donats els plans 3 zyx i 0 zayx , trobeu els valors de a de forma que:
a) Els plans siguin perpendiculars.
b) Els plans siguin paral·lels.
9.3 Exercicis de repàs de perpendicularitat, angle i distància.
1. Sigui el pla d’equació 012423: zyx . Es demana calcular raonadament:
a) Les equacions dels dos plans paral·lels a que disten 5 unitats de .
b) Els tres punts A, B i C, intersecció del pla amb cadascun dels tres eixos de
coordenades.
c) Els tres angles del triangle ABC.
2. Donats els punts )4,1,3( P i )1,0,1( Q i el pla d’equació
0522: zyx , es demana calcular raonadament:
a) L’equació de la recta r que passa pel punt P i és perpendicular al pla .
b) L’equació del pla ' que passa pels punts P i Q i és perpendicular al pla .
3. Donats els plans 3:1 zyx i 0:2 zayx , es demana calcular
raonadament:
a) El valor de a per al què els plans 1 i 2 siguin perpendiculars, i per a aquest valor
de a, obtenir les equacions paramètriques de la recta intersecció d’aquests dos plans.
b) El valor de a per al què els plans 1 i 2 siguin paral·lels, i per a aquest valor de a,
obtenir la distància entre tots dos.
4. En l’espai tenim la recta
0
1:
zyx
zyxr i el pla 0: zmx , on m és un
paràmetre real. Obtenir raonadament:
a) El vector director de la recta r.
b) El valor de m per al què la recta r i el pla són perpendiculars.
c) El valor de m per al què la recta r i el pla són paral·lels.
d) La distància entre r i en el cas anterior.
5. Donades les rectes r i s d’equacions
42
4
3
4:
z
yxr i
32:
zyxs
es demana calcular raonadament:
a) Les coordenades del punt P d’intersecció entre ambdues rectes.
b) L’angle que formen les rectes r i s.
c) L’equació implícita 0 DCzByAx del pla que conté a totes dues.
6. Es demana calcular raonadament:
a) L’equació del pla que passa pels punts )0,0,0(O , )0,3,6( A i )1,0,3(B .
b) L’equació de la recta r que passa pel punt )2,7,8( P i és perpendicular al pla .
c) El punt Q del pla la distància del qual al punt P és menor que la distància de
qualsevol altre punt del pla al punt P.
7. Sigui r la recta intersecció dels plans 0 zy i 012 yx , i sigui s la recta
d’equació 312
: zyx
s . Es demana:
a) Obtenir, raonadament, les equacions paramètriques de r i s.
b) La posició relativa entre totes dues rectes.
c) Calcular la distància entre les rectes r i s.
8. Donats els punts )1,1,2(A i )1,0,1( B , i la recta r d’equació 2
25:
zyxr ,
trobeu:
a) El punt C de r que equidista de A i B.
b) L’àrea del triangle ABC.
9.4 Llista d’exercicis de rectes en l’espai.
1. Determina el valor de m per a què els punts A=(m, 0, 1), B=(0, 1, 2), C=(1, 2, 3)
i D=(7, 2, 1) siguin coplanaris.
2. Donats els punts A=(m, 2,−3), B=(2, m, 1) y C=(5, 3,−2), determineu el valor de m
per al què els punts estiguin alineats i trobeu l’equació contínua de la recta que passa per
tots tres punts.
3. Escriu l’equació cartesiana de la recta 2
1
0
3
0
4
zxx
4. Determina un vector director i les equacions paramètriques de la recta
2
0
zy
yx
5. Escriu l’equació cartesiana de la recta zyx
1
1
2
6. Escriu la recta
03
013:
zyx
zyxr en forma paramètrica i contínua.
7. Determina l’equació contínua de la recta que passa pel punt )1,1,1( P i és
paral·lela a la recta que passa pels punts )1,0,2(A i )3,2,1(B .
8. Donats els punts A=(1, 3,2), B=(2, 5, 1) i C=(3, 0, -4), determineu l’equació
paramètrica de la recta que passa per C i és paral·lela a la recta determinada pels punts
A i B.
9. Determina l’angle que formen les rectes:
zyx
r
12
2: z
yxs
21
1:
10. Determina l’angle que formen les rectes:
022
0132:
zyx
zyxr
0132
033:
zyx
zyxs
11. Determina l’angle que formen les rectes:
3
2
2
1
1
1:
zyxr
0132
0:
zyx
zyxs
12. Determina el volum del tetraedre de vèrtexs A=(3, 2, 1), B=(1, 2, 4), C=(4, 0, 3) y
D=(1, 1, 7).
13. Estudia la posició relativa de les següents rectes:
5
1
23
:
z
y
x
r
5
33
61
:
z
y
x
s
14. Estudia la posició relativa de les següents rectes:
0
:
z
y
x
r
z
y
x
s 3
3
:
15. Estudia la posició relativa de les següents rectes:
1
2
3
:
z
y
x
r
1
23
2
:
z
y
x
s
16. Calcula a i b para que els punts A=(1, 2, –1), B=(3, 0, –2) y C=(4, a, b) estiguin
alineats.
17. Estudia la posició relativa de les següents rectes i troba el punt de tall quan sigui
possible:
a) 4
1
2
2
3
1:
zyxr
3
2
2
3
1
2:
zyxr
b) 1
2
2
1
1
1:
zyxr
2
5
1
4
4
4:
zyxs
c) 3
11
2:
zy
xr
013
012:
zy
yxs
d) 432
1:
zyxr
84
63
43
:
z
y
x
s
18. Determina el valor de a per al què les rectes r i s es tallen, i troba el punt de tall:
azyxr : 0
2
2
3
3
12:
zyxs
19. Determina els valors de m i n per als què les rectes r i s siguin paral·leles:
z
y
x
r 3
45
: n
zy
m
xs
3
3
1:
20. Estudia la posició relativa de la recta r determinada pels punts )1,1,1(A i
)2,1,3(B i la recta
02
012:
y
zxs
21. Demostra que les rectes )6,2,4()5,0,1(: r i )3,1,2()8,1,3(: s
són la mateixa recta.
22. Determina el valor de a per a què les rectes r i s siguin coplanàries:
2
02:
zy
yxr
azx
yxs
2
1:
23. Determina m per a què les rectes
2
21
3
:
z
y
x
r
0743
0754:
mzy
yxs
siguin coplanàries.
24. Estudiar, segons els valors del paràmetre a, la posició relativa de les rectes r i s:
az
y
ax
r 1
)2(
:
1
2
1:
3
a
az
a
yxas
25. Determina els valors de a i b per als què les rectes siguin paral·leles:
zyxr 624:
332
12:
zbyx
zyaxs
26. Trobeu els valors de m i n per als què les rectes r i s siguin paral·leles :
z
y
x
r 3
55
: n
zy
m
xs
3
3
1:
27. Comproveu que les rectes
0
0:
zx
yr i
4
0:
y
xs
es creuen i trobeu la distància entre ambdues.
28. Determineu les coordenades del punt 'A , simètric de )3,0,2(A respecte a la recta
2
1
1
2
1
1:
zyxr
9.5 Llista de repàs general.
1. Considereu les dues rectes r i s de IR
3 donades per les equacions següents:
222
1:
zayx
azyxr
2
5323:
zx
zybxs
Determineu els valors d’a i b sabent que són paral·leles.
2. Considereu la recta de IR3 donada per
1
2
zx
zyx i el pla d’equació 3 yx .
a) Determineu el seu punt de tall.
b) Digueu quin angle formen aquesta recta amb aquest pla.
3. Busqueu el punt simètric de (1,2,3) respecte del pla 0423 zyx
4. Busqueu l’equació del pla que conté la recta 2
1
2
1
zy
x i que passa pel punt (-
1,2,1).
5. Considereu la recta que passa pel punt (1,2,0) i que té (1,1,1) com a vector director, i
la recta que passa per (0,0,1) i que té (1,2,1) com a vector director. Escriviu les
equacions paramètriques de la recta que talla les dues anteriors i que és perpendicular a
cadascuna.
9.6 Llista de repàs general.
1. Troba l’equació del pla que conté la recta zyx 32 i és paral·lel a la recta
42
2
23
:
z
y
x
r
2. Troba el punt del pla 032243: zyx més proper al punt )4,2,1(P .
3. Estudia la posició relativa dels plans
12:
1:
12:
3
2
1
zymx
mzymx
zyx
en funció de m.
4. Es considera el punt )1,2,5(P i la recta 32: zyxr . Troba el punt simètric
de P respecte de r.
5. Siguin els punts )0,4,3(A , )3,6,3(B i )1,2,1(C els vèrtexs d’un triangle.
a) Calcula l’equació del pla que els conté.
b) Troba l’equació contínua de r perpendicular a que passa per l’origen de
coordenades.
6. Donades les rectes
24
1
3
:
z
y
x
r , 4
5
1
3
3
4:
zyxs
Calcula les equacions paramètriques de la recta perpendicular comú a r i s.
7. Determina el valor de m per al què la recta 33: zm
yxr i el pla
024: mzyx formin un angle de 30º.
10 Apèndix.
10.1 Taula Paral·lelisme-Perpendicularitat-Angle.
Angle Perpendicularitat Paral·lelisme
Entre dos vectors:
vu
vu
cos 0 vuvu
vkuvu
//
Entre dues rectes:
3
3
2
2
1
11 :
u
pz
u
py
u
pxr
),,( 321 uuuu
3
3
2
2
1
12 :
v
qz
v
qy
v
qxr
),,( 321 vvvv
vu
vu
cos
0 vusr
vkusr
//
Entre dos plans:
DCzByAx :1
'''':2 DzCyBxA
)',','(,),,( 21 CBAnCBAn
21
21cos
nn
nn
021
21
nn
2121 // nkn
Entre recta i pla:
DCzByAx :1
3
3
2
2
1
1:v
pz
v
py
v
pxr
),,( 321 vvvv
un
un
cos
º90
vkn
r
0// vnr
I, a més a més, hem de
comprovar que el punt
base de la recta no
pertany al pla
10.2 Que l’immens poder de la Projecció ortogonal t’acompanyi!
Si et donen un punt P i una recta r...
Si et donen un punt P i un pla ...
... determina el pla perpendicular a r que
passa per P, agafant vn
... determina la recta perpendicular a
que passa per P, agafant nv
... i troba el punt d’intersecció Q entre la
recta i el pla.
Aquest punt és la Projecció ortogonal de
P en la recta r
... i troba el punt d’intersecció Q entre la
recta i el pla.
Aquest punt és la Projecció ortogonal de
P en el pla
La distància entre el punt P i la recta r serà
PQQPdistrPdist ),(),(
La distància entre el punt P i el pla serà
PQQPdistPdist ),(),(
El punt simètric de P respecte a r serà
PQPP 2'
El punt simètric de P respecte a serà
PQPP 2'
10.3 Algunes demostracions.
Demostració 1.3.3.
vuvu
Ho demostrarem per al cas bidimensional. Si ),( 21 uuu
i ),( 21 vvv
,
2
222
2
2
2
111
2
1
2
22
2
1122112121
22
)()(),(),(),(
vvuuvvuu
vuvuvuvuvvuuvu
2
2
2
1
2
2
2
12121 ),(),( vvuuvvuuvu
Hem de demostrar, doncs, que
2
2
2
1
2
2
2
1
2
222
2
2
2
111
2
1 22 vvuuvvuuvvuu
Si elevem al quadrat els dos costats de la desigualtat:
2
222
2
2
2
111
2
1
22
222
2
2
2
111
2
1 2222 vvuuvvuuvvuuvvuu
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
22
2
2
1
2
2
2
1 2 vvuuvvuuvvuu
Simplificant 2
2
2
2
2
1
2
1 vuvu a esquerra i dreta, hauríem de comprovar que la resta
compleix: 2
2
2
1
2
2
2
12211 222 vvuuvuvu
Si elevem de nou al quadrat:
2211
2
2
2
2
2
1
2
12211
2
22
2
11
2
2211 8442222222 vuvuvuvuvuvuvuvuvuvu
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
22
2
2
1
2
2
2
1 442 vuvuvuvuvvuuvvuu
Simplificant 2
2
2
2
2
1
2
1 44 vuvu a esquerra i dreta, s’ha de demostrar que 2
2
2
2
2
2
2
12211 448 vuvuvuvu
Simplificant: 2
2
2
2
2
2
2
122112 vuvuvuvu
Posant el primer membre en el segon: 2211
2
2
2
2
2
2
2
1 20 vuvuvuvu
Finalment veiem que la part de la dreta s’adapta a la igualtat 222 )(2 bababa
És a dir, que 222210 vuvu
I aquesta última expressió és correcta, ja que qualsevol nombre al quadrat és més gran o
igual a 0. Per tant, l’expressió inicial també és certa: vuvu
Demostració de 1.5.2.
vuvu
Aquí utilitzarem que BA , amb 0B 22 BA
2211 vuvuvu
, 2
2
2
1
2
2
2
1 vvuuvu
Elevant al quadrat:
2
2
2
1
2
2
2
1
22
2
2
1
2
2
2
1
2
2211 vvuuvvuuvuvu
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1 vuvuvuvuvvuu
2211
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2211 2 vuvuvuvuvuvu
Eliminem els termes comuns 2
2
2
2
2
1
2
1 vuvu , i ens queda
022 2211
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
12211 vuvuvuvuvuvuvuvu
Però això és evident, ja que:
222112211
2
1
2
2
2
2
2
1 2 vuvuvuvuvuvu
i un quadrat mai és negatiu.
10.4 Problemes PAU de geometria del pla. (Long time ago...)
1. a) Dibuixeu el gràfic de les rectes 3x –y –1 = 0 i x +3y –12 = 0.
b) Demostreu que les dues rectes anteriors són perpendiculars.
c) Calculeu el punt d’intersecció de les dues rectes.
d) Considereu el triangle format per les dues rectes anteriors i per l’eix d’ordenades.
Calculeu-ne l’àrea.
Solució PAU CAT CCSS SET 2003 3.6
2. Expliqueu quina condició han de verificar A i B si les rectes d’equacions
Ax + By + C = 0 i 3
2
2
1
yx
a) són paral·leles;
b) són perpendiculars.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2003 2.4
3. Un triangle rectangle té el vèrtex A, corresponent a l’angle recte, a l’origen de
coordenades. Un altre dels seus vèrtexs és el punt B(2,4), i la hipotenusa té per equació
la recta x = 2. Calculeu:
a) les equacions dels costats AB i AC;
b) el tercer vèrtex C;
c) l’àrea del triangle. Solució PAU CAT CCSS JUNY 2003 2.6
4. Considereu els punts del pla A(2,–1) i B(0,3) i la recta r d’equació x + y – 2 = 0.
Calculeu les coordenades d’un punt C de r que estigui alineat amb A i B.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2003 5.3
5. Calculeu el perímetre del triangle rectangle ABC, sabent que la longitud del segment
CP és 32 .
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2003 5.4
6. El costat BC d'un triangle està sobre la recta d'equació 3x –2y +1 = 0. El vèrtex A té
coordenades (2, –1). Determineu el peu de l'altura relativa a A.
Solució PAU CAT CCSS SET 2002 1.2
7. Un triangle té dos vèrtexs A i B en els punts A = (0, 0) i B = (2, 0). L'àrea val 3.
Sabent que el tercer vèrtex C té ordenada positiva i està situat sobre la recta 2x –y –5 =
0, calculeu les coordenades de C i el perímetre del triangle. Feu-ne la gràfica
corresponent.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2002 3.6
8. Considereu els punts del pla A(3, 2), B(–1, 8) i C( k, k+4 ), k real. Calculeu el valor
de k perquè A, B i C estiguin alineats.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2002 2.3
9. a) Determineu l'equació de la recta paral·lela a la bisectriu del segon i quart quadrant
que passa pel punt (0, a).
b) Determineu el valor de a perquè la recta anterior determini en el primer quadrant un
triangle d'àrea 8 amb els eixos.
c) Quina és la distància d'aquesta recta a l'origen de coordenades?
d) Quina és la distància d'aquesta recta al punt (–4, 0)?
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2002 2.5
10. Sigui r la recta d'equació 6x –15y +4 = 0. Trobeu les equacions de les rectes
paral·lela i perpendicular a r que passen pel punt (4, 1) i feu un esquema gràfic.
Solució PAU CAT CCSS SET 2001 4.3
11. Siguin r i s les dues rectes del pla d'equacions
032: yxr , 2
2
4
1:
yxs
Calculeu l'equació de la recta que passa pel punt d'intersecció de r i s i que és paral·lela
a la recta d'equació 3x + 5y – 1 = 0.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2001 2.3
12. Al triangle de vèrtexs A = (0, 3), B = (3, 7) i C = (6, 0) determineu
a) el perímetre;
b) l'equació de la recta perpendicular al segment BC que passa per A, és a dir, l'altura
del triangle des del vèrtex A;
c) la distància del punt A a la recta que conté el segment BC;
d) la superfície.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2001 2.6
13. Sigui r la recta d'equació 3x –5y +2 = 0. Trobeu les equacions de les rectes
paral·lela i perpendicular a r que passen pel punt (–15, 4).
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2001 5.3
14. Els punts A = (2, 5), B = (6, 8) i C = (22, d) estan alineats. Calculeu d.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2001 5.4
15. Considereu la recta d'equació y = –2x + 2. Trobeu les coordenades del punt
d'intersecció d'aquesta recta amb la recta perpendicular a ella que passa pel punt (6, 3).
PAU CAT CCSS SET 2000 2.3
16. Considereu la recta d'equació 4x + y – 3 = 0.
a) Calculeu l'equació de la recta paral·lela i de la recta perpendicular a l'anterior que
passen pel punt A = (3, –1).
b) Dibuixeu la gràfica de la recta 4x + y – 3 = 0 i de les que heu trobat a l'apartat a).
Solució PAU CAT CCSS SET 2000 6.1
17. Determineu el valor que ha de tenir el paràmetre a perquè les tres rectes d'equacions
3x + y = 5, x – 3y = –5 i x + ay = a es tallin en un punt.
Solució PAU CAT CCSS SET 2000 6.2
18. D'un rombe ABCD coneixeu les coordenades de tres vèrtexs. A és l'origen de
coordenades, B = (4, 1) i D = (1, 4).
a) Calculeu les coordenades del quart vèrtex C.
b) Comproveu analíticament que les diagonals són perpendiculars i que es tallen en el
seu punt mitjà.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2000 1.5
19. Determineu el valor de a perquè la recta x – 2ay = 1 i la recta x + 3y = 8 siguin:
a) paral·leles
b) perpendiculars
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2000 3.3
20. Considereu dos eixos perpendiculars de coordenades. Considereu els punts O i A de
coordenades O = (0, 0) i A = (9, 12). Una persona situada al punt O inicia un viatge en
línia recta cap a A.
a) Quina distància haurà de recórrer per anar de O a A?
b) Escriviu l'equació de la recta que haurà de seguir per anar de O a A.
c) Digueu quines seran les coordenades del punt P on es trobarà la persona quan hagi
recorregut la tercera part de la distància de l'apartat anterior (sempre sobre la recta que
uneix O amb A).
d) Si després d'haver recorregut el segment OP, quan arribi a P decideix dirigir-se cap al
punt Q = (7, 1), quin angle haurà de girar cap a la dreta? (Angle respecte a la trajectòria
OP que havia seguit fins ara.)
Solució PAU CAT CCSS JUNY 2000 3.5
21. a) Considereu el triangle de vèrtexs A = (2, 1), B = (4, 3) i C = (0, 3). Dibuixeu-lo.
Comproveu després per algun raonament matemàtic (no només gràficament) que és un
triangle rectangle.
b) Calculeu la seva àrea.
PAU CAT CCSS SET 1999 2.2
22. Considereu el rectangle del pla representat en el dibuix (recordeu que rectangle és
un quadrilàter en què els quatre angles són rectes).
a) Sabent que les coordenades de A són (0, 0) i les de B són (3, 4), calculeu la longitud
del costat AB.
b) Escriviu l'equació de la recta determinada per C i A.
c) Determineu les coordenades del vèrtex C sabent que la longitud del costat CA és
doble de la del costat AB.
d) Calculeu les coordenades del vèrtex D.
PAU CAT CCSS SET 1999 5.6
23. Escriviu l'equació de les dues rectes que passen pel punt (3, 2) i formen un angle de
45º amb l'eix de les x tal com s'indica en el dibuix següent:
Solució PAU CAT CCSS JUNY 1999 1.2
24. La hipotenusa d'un triangle rectangle és el triple que un catet. Busqueu el valor dels
angles d'aquest triangle i la relació entre la hipotenusa i l'altre catet.
(Useu calculadora per a les raons trigonomètriques. Si no, podeu deixar les operacions
indicades.)
Solució PAU CAT CCSS JUNY 1999 6.1
25. Els punts A = (1, 2) i D = (5, 4) representen els vèrtexs oposats d'un quadrat, tal com
s'indica a la figura.
a) Calculeu el punt mitjà M de la diagonal AD del quadrat (M serà el centre del
quadrat).
b) Escriviu l'equació de la recta que passa per M i és perpendicular a la diagonal AD
(aquesta recta serà l'altra diagonal del quadrat).
c) Calculeu les coordenades dels altres dos vèrtexs B i C del quadrat.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 1999 6.6
26. Trobeu les coordenades del punt simètric de P= (3, –4) respecte a la recta
0 6 3y 2x (el punt simètric de P respecte a la recta r és el punt P' , que té la propietat
que la recta determinada per P i P' talla perpendicularment r en el punt mitjà del
segment PP').
PAU CAT CCSS SET 1998 5.4
27. Un triangle ABC té els vèrtexs A i B situats respectivament en els punts de
coordenades (1, 3) i (3, 1). El vèrtex C està situat sobre la recta d'equació 2x –y = 4.
Sabent que el triangle ABC és isòsceles i que AC i BC són els costats iguals, trobeu les
coordenades de C i l'àrea del triangle.
PAU CAT CCSS SET 1998 5.6
28. Sigui v
el vector de components (1, 0). Considereu els punts del pla que tenen per
coordenades A=(–2, 9) i B=(4, 7).
a) Calculeu els components del vector u
, que va del punt A al punt B.
b) Calculeu el valor del producte escalar vu
c) Calculeu el valor de l'ordenada x del vector ),2( xw
, de manera que el vector
vu
3 sigui perpendicular al vector w
.
PAU CAT CCSS SET 1998 2.3
29. Considereu els punts A=(–1,3), B=(5,4), C=(4,1) i D=(–2,0). Comproveu que el
quadrilàter ABCD és un paral·lelogram i calculeu-ne les coordenades del centre (és a
dir, del punt mitjà de qualsevol de les dues diagonals).
Solució PAU CAT CCSS JUNY 1998 3.4
30. Considereu el parell de rectes donades per les equacions
2)2( ayaxa i 3 yax , on a és un paràmetre.
a) Calculeu un vector director de cadascuna d'aquestes.
b) Calculeu els valors de a per als quals les rectes són paral·leles.
c) Calculeu els valors de a per als quals les rectes són perpendiculars.
d) Calculeu la distància que hi ha entre les dues rectes quan a= 2.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 1998 3.6
31. Comproveu que les rectes d'equacions
313 yx i 133 yx
es tallen en el punt (1, 1). Calculeu l'angle que formen.
Solució PAU CAT CCSS JUNY 1998 6.3
Solucions
1.1.9 1. )5,1,4( vu
, 2. )4,2,1( vu
, 3. (2.6 , -3.9 , -6.5 ), 4. (0.7 , 2.8 , -1.4 )
1.2.7
1. a) b)
c) d)
2. a) (-1,0,1) b) (-4,2,3) c) (2,2,-1) d) (-4,-2,1)
1.3.6 1. 8.124 2. 23.664
1.3.7
1. 7 DACDBCAB , i per tant és un rombe.
2. a)
83)()2()2( 2222 AB
82)2(0 222 AC
83)2()2( 2222 BC
i per tant els costats AB i BC són iguals.
b) 0883 2
3. )0,,0( yP , )0,2,0(210)03()2()01( 222 Pyy
4. )0,0,( xP
0,0,4
49
4
49)40()50()5(
)20()20()3(
222
222
Pxx
xPBPAPBPA
5. 231611 PQ , 23099 QR , 616416 PR
i per tant QRPQ i és isòsceles. 222 361818 PRQRPQ es
verifica el Teorema de Pitàgores, i per tant és un triangle rectangle en el vèrtex
Q.
1.3.8 1.
0,
2
1,9P
1.4.4 1. No. 2. Sí. 3. 5x .
1.4.5 1. 2,1,1
1
1
01
bak
kb
k
a
ACkAB 3. 2,5 ca
1.5.6 1. a) k=2 b) No té solució. 2. 52.589° 3. 30.894. 4. a=0
5. 2,2 yz , 3
2,
2
2 yz
1.5.7 4. 2a , 5/4a
1.6.4 1. )1,6,4( ba
, )1,6,4(ab
2. )3,3,3( o )3,3,3(
3. a) 19 b) (-8,-11,-1) c) 95º 46’ 5’’
4. )0,1,0(D , perímetre = 64 , àrea = 32 .
1.7.6 1. a) 6,33,21 , 72, 72 b) )35,15,31( , 27, 27
c) )10,15,18( , -89, -89
2. 11 DetVol
3. )0,0,0(F , )3,0,3(G , )4,0,5(H , volum = 3
4. a) Són coplanaris. b) No són coplanaris.
5. a) 4x , b) 1x
1.7.7 1. a=-2, b=0 o a=5, b=7 2. )2,0,1( C i )2,1,0( D
3. 91 4. 5/6 7 a) 6,0 , 3
9.
1
0
0
0)1(0
0)1()1(0
1
01
01
),,1(
),0,1(
)0,,1(
22
ba
b
a
baabababba
cbababa
ba
ba
ba
baAD
baAC
baAB
Si a = 0 els punts són: (1, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, b) y (0, 0, b); i per tant els dos
últims coincideixen.
Si b = 0 los punts són: (1, 0, 0), (a, 0, 0), (a, 0, 0) y (0, a, 0); i també hi
coincideixen dos.
Per tant, per a que els punts siguin diferents i coplanaris és necessari que
1ba , amb a i b diferents de zero.
10. Volum=5/6
11.
3
4028210
331
520
111
)3,3,1(
)5,2,0(
)1,1,1(
aa
a
AD
AC
aAB
3/2
3/1072821
6
17),,det(
6
1
a
aaADACABV
1.10
1. b= 5, c= -6, e= 5
2. )6,5/18,1( , )6,5/21,4( , )6,5/24,7( , )6,5/27,10(
3. a) b=-4, c=1, d=10 b)
2
7,
2
3,
2
1 c) )6,3/4,3( i )8,3/5,4(
4. 0,2 ba o 7,5 ba 5. no existeix cap k.
6. k=18 7. 2,2 yz o 3/2,3/2 yz
8. )3,3,3( w
i )3,3,3( w
9. a) 11 , 13 b) )13/11arccos( c) z= -3
10. a) 203 b) 12 11. 2
103
12. a) z=0 b) 854 13. a) -49 b) 13 i 65 c) 117º52’
d) 4/3x
14. Hi ha dues solucions:
2
1,
2
1,
2
1u
i
2
1,
2
1,
2
1u
15. Hi ha dues solucions: 1m i 13/35m
16. 11 o 11 17. 5,5
1,
5
3 cba , 90º
19. a) 2a b) 1a 20. c) 24
21.
21
1,
21
4,
21
2 22. 0a o 1a
23. b) 1Àrea 24. a) 2
19 b) 7/6
25. a) D=(0,2,2) b) 22
26. a) 172 b) 3/50
27. a) 3/4a b) 3/10a o 3/2a
28. a) 24 CDAB , 42 ADBC , els seus costats oposats són iguals,
per tant és un paral·lelogram. Àrea= 2512
2.1.8 1. (-10, 2, -4), (15, -3, 6), (-2.5, 0.5, -1)
2. (8, 28, 20), (-2, 7, -5), (2/3, -7/3, 5/3)
3. 9Det per tant són lin.ind. 4. k = -13/4
5. cbav
2
5
2
1
2
3
2.19 5. a) 7
001
312
411
per tant són lin.ind. b) 0375 ba
6. k=2
7. a) Si 1a lin. dep. en cas contrari lin. ind. b) wvuc
32
3
2
3
2.2.3 1. 11
6
27
10
3
11
zyx 2.
11
13
21
20
23
17
zyx
3. P = ( 15 , 8 , -6 ) 4. ( 0 , -5 , 7 )
2.3.3 1. a) 18582 zyx , b) 522 zyx , c) 1057 zyx ,
d) 15119 zyx
2. 032 zyx 3. 0742 zyx 4. 017124 zyx
Problemes.
1. a) 6236 zyx 2. a) 3a , b) 1152 zyx
3. b) 0522 zyx 4. a) 012 zyx b) 1k
5. 0 zyx 6. 12 zy 7.
2.4.1 1. ( 1 , 1 , -1 )
2.6.2 1. No són coplanàries. 2. Sí són coplanàries.
2.6.3 1. 1k
2.6.4 1. 0123 qp 2. 2/17a . 3. a) a=2, b=4 b) 082 ba
2.7.2 1.
5
7,
5
14,1P ,
5
30d
3.1.5 Exercicis.
1. 4
3
3
5
2
1
zyx (o equivalent)
2. 6
3
3
4
8
1
zyx (o equivalent)
3. 0,7,1 4. 0,1,4
3.1.6 3. El punt no es troba sobre la recta paral·lela.
4. 1k .
5. No es tallen per a cap valor de a. Són paral·leles per a 1a .
6. 3/5,0 ba , 1,1 ba .
3.2.4 1. zyx 415 2. )5(452 zyx
3.2.5 1. a) Veure teoria. b) 2a , 12
6dist i 1a ,
3
38dist
3.6 1. zyx 2
4.4.2 1. (-2/19, -2/19, -83/19) 2. (8/7, 10/7, -9/7) 3. (-151/22, -19/22, -21/11)
4.4.3 4. (-124/21, 67/21, -92/21) 5. (-39/19, -22/19, 16/19) 6. (8/7, -79/7, -38/7).
7. (-1,0,-2)
4.4.4 4.
3
3,
3
3,
3
3P , 1d 5.
23
42,
23
9,
23
15 6.
23
42,
23
9,
23
15
4.5.2 1. (5/21, 64/21, -73/21) 2. (-51/14, -9/7, 57/14) 3. (39/38, -159/38, -23/19)
4. (7/3, -10/3, 4/3)
5. (-8/27, -127/27, -40/27) 6. (-2/13, 45/13, 5/13) 7. (10/3, -16/15, -92/15)
4.6.2 1. a) )0,1,1(4
1,
4
1,
4
1),,(
zyx ,
2
2dist
b) 42
5
2
3
z
yx, 3dist .
c) 1
2
2
1
2
1
zyx d)
3
6
z
ky
kx
e)
1
2
z
y
x
4.6.3 1. (1,1,-1) i (2,0,1) 2. )1,9/13,9/17(P , )9/11,9/11,2('P
3.
2
4
3
z
y
x
4. )6,4,3(A , )5,5,3(B
5.1.5 1. 2d
5.2.4 1. 3
311
5.3.2 1. 7.121 2. 3.818
5.3.3 1. 02422:1 zyx , 03622:2 zyx
5.5.4 2. 14
143
5.7 5. ( 1, 1, 0 ) i ( 2, 3, -1 )
6.1.3 1. La recta i el pla es tallen al punt )2/5,1,2/5(
2. Si 5k la recta i el pla es tallen al punt
k
k
k
k
k 5
312,
5
4,
5
1
Si 5k la recta i el pla són paral·lels.
3. Si t=1 la recta no està ben definida, és un pla. Si t=-2 és una recta continguda
en el pla i si 2,1t es tallen.
Problemes.
4. a) 937 zyx b) Recta i pla es tallen en un punt.
6.2.3 1. a) 1. Dos plans secants en la recta
2
15
5
0
4/13
4/3
z
y
x
b) Dos plans paral·lels i no coincidents.
c) Dos plans coincidents.
2. 2m i 6n .
6.2.4 2. Si 2a són paral·lels. Si 2a es tallen en una recta.
6.3.3 1. Es creuen. 2. Es tallen al punt )2,1,1(
3. Es creuen.
4. Si 1t no són rectes sinó plans coincidents, si 3t es tallen, si 3,1t es
creuen.
6.3.5 1. a=1, P=(1,0,1) 2. (2,1,3) 3. Les rectes no es tallen per cap
valor de a.
4. 1k 5. 2a (per a 6a les rectes són coincidents)
6.4.3 1. Si t=1 els tres plans són coincidents. Si t=-1/2 es tallen dos a dos segons
rectes paral·leles, si 2/1,1t es tallen en un punt.
6.4.4 9. Si 1a el sistema és incompatible (Prisma triangular). Si 1a el sistema
és compatible indeterminat amb un grau de llibertat (tres plans que es tallen en
una recta). Si 1,1a el sistema és compatible determinat (tres plans que es
tallen en un punt).
10. Per 0a o 15a incompatible (prisma triangular). Per a qualsevol altre
valor de a, compatible determinat (tres plans amb un punt d’intersecció).
7.1.2 1. 49.107 ° 2. 42.906 °
7.1.4 1. a) Les rectes corresponen als valors 214a i 214a
b) L’angle té 151
1512cos
2. a=0
3. )1,,1( aw
)2,1,1( v
42
21
2)1(111
)2,1,1)(1,,1(),cos()º60cos(
2
1
2
222222
a
a
a
a
vw
vwvw
793.0828.4827.52
828.4827.52)414.2(2
414.221
2122
211
42
21
2
1
2222
2
2
22
aa
aaaaa
aaa
a
a
a
Valor exacte: 222
221
a
4. 214a i 214a
7.2.2 1. 32.513° 2. 42.45°
7.2.3 1.
2.
3. a) Es tallen. b) 222
221
a
8.1.1 1. 7.28 2. 21.564
8.2.1 1. 16 2. 58
9.1 1. a) )1,0,1(v
, 1m
2. a) P=(1,2,3) b) 44.4153º c) 02 zyx
3. a) A=(4,0,0), B=(0,1,0), C=(0,0,-2), 21A . b) 10.83
c) º805.29ˆ A , º773,83ˆ B , º422,66ˆ C
4. a)
7
41
z
y
x
b) 06210 zyx
5. a) (-1,-1,3), b) 0324 zyx
6. a) )0,1,1( v
, )1,1,1(w
b) (1,0,3) c) 052 zyx
7. a) 2
2
1
3
3
zyx b) 0 zyx
8. a) )0,1,1(v
, )0,1,1(w
b) 5z
9.2 1. a) a = 26, b) a = -2
2.Sí és perpendicular.
3. Són paral·leles i no coincidents per 4a .
4. 42 zyx ,
2
1,
2
1,2
5 Són paral·leles si ba , són perpendiculars si ba
6. 19a
7. a) 2a , b) 1a
9.3 1. a) 029512423:1 zyx , 029512423:2 zyx
b) )0,0,4(A , )0,6,0(B , )3,0,0(C
c) º6560.63A , º9088.41B , º4352.74C
2. a) 2
4
2
1
1
3
zyx b) 01138:' zyx
3. a) 2a
1
2
z
y
x
b) 1a 3dist
4. a) )1,0,1(v
b) 1m c) 1m d) 3536.022
1d
5. a) )3,2,1(P b) º4153.44 c) 02 zyx
6. a) 0963 zyx b) 3
2
2
7
1
8
zyx c) )4,3,6(Q
7. a)
z
y
x
r
21
:
3
1
2
:
z
y
x
s b) Són dues rectes paral·leles
c) dist=3
5
8. a)
1,
2
1,
2
9C b)
2
66
9.4
1. m = -1 2. 6m , 1
3
1
2
1
6:
zyxr 3.
03
04
y
x
4. )1,1,1( v
,
2z
y
x
(la solució no és única) 5.
022
02
yx
zx
6.
22
1
z
y
x
2
2
1
1
1
zyx 7.
2
1
2
1
3
1
zyx
8.
4
2
3
:
z
y
x
r 9. 80.41º 10. 48.70º 11. 68.48º 12. 5/6
13. Les rectes coincideixen. 14. Les rectes es tallen en un punt.
15. Les rectes són paral·leles. 16. 1a , 2
5b
17.a) Es creuen. b) Es tallen en el punt (0,3,3) c) Són paral·leles i no coincidents.
d) Són la mateixa recta.
18. a=3, )2,1,1( 19. m = 12, n = -3 20. Són paral·leles.
21. 22. 3/4a 23. 6m
24. 2a la recta r no està definida, 1a es tallen en un punt
2,1a es creuen.
25. 5
1b , 5a 26. 5m , 1n 27. 2 28. )1,5,1('A
9.5 1. a=0, b=5/3 i a=1,b=0 2. a) (2,1,-1) b) 30 graus. 3. )1,1,2(
4. 01322 zyx 5.
2
4
3
z
y
x
9.6 1. 023: zyx 2. )2,6,4(Q
3. Si 2,2
1m els plans es tallen en un punt.
Si 2m els plans 32 , són coincidents i 1 els talla.
Si 2
1m 21, són plans paral·lels i 3 els talla.
4. )1,8,1( Q
5. a) 032: zx b) 20
zy
x
6. 142
1`
2
8:
z
yxt
7. 0m i 4m
Sèrie “Matemàtiques per al batxillerat”
Àlgebra Lineal:
http://www.toomates.net/biblioteca/AlgebraLineal.pdf
Geometria Lineal:
http://www.toomates.net/biblioteca/GeometriaLineal.pdf
Càlcul infinitesimal:
http://www.toomates.net/biblioteca/Calcul.pdf
Programació Lineal:
http://www.toomates.net/biblioteca/ProgramacioLineal.pdf
Compendium PAU TEC: Totes les Proves de la Selectivitat de Catalunya 1998 - 2019
http://www.toomates.net/biblioteca/Pautec.pdf
Compendium PAU CCSS: Totes les Proves de la Selectivitat de Catalunya 1998 - 2019
http://www.toomates.net/biblioteca/Pauccss.pdf
Links d'interès
Recull de Proves PAU Extremadura 2000-2017:
http://www.vicentegonzalezvalle.es/documentos/Examenes_selectividad_A4.pdf