Geometría Euclidiana

Historia de la geometría euclidiana

La necesidad de limitar terrenos llevaron al hombre a la noción de figuras geométricas simples, tales como: rectángulos, cuadrados, triángulos. Otros conceptos geométricos elementales, como las nociones de vertical, de rectas paralelas, de rectas perpendiculares, pueden haber sido sugeridos por la construcción de paredes y viviendas primitivas.

También muchas observaciones en la vida diaria pudieron haber conducido a los primeros seres humanos al concepto de curvas, superficies y sólidos. Por ejemplo, los casos de circunferencia

fueron numerosos: la periferia del sol, de la luna, las ondas que se forman al lanzar una piedra en un estanque de agua, etc. La noción de secciones cónicas: parábolas, elipses, hipérbolas, pudo haber

sido insinuada por las sombras producidas por el sol o una antorcha.

Los alfareros primitivos hicieron sólidos de revolución. Además, el cuerpo del

hombre, de los animales, las flores y las hojas de muchas plantas, las conchas marinas y algunos frutos, sugieren la

noción de simetría. La idea de volumen viene de manera casi inmediata, al

considerar y fabricar recipientes para contener agua, aceite, cereales y otros

alimentos de consumo diario.

No hay evidencias que permitan estimar el número de siglos que pasaron, antes que el hombre pudiera elevar la geometría al nivel de ciencia, pero todos los escritores e historiadores de la antigüedad que trataron este tema concuerdan unánimemente, con que en el valle del río Nilo, en el antiguo Egipto, fue donde la geometría empírica subconsciente se convirtió, por primera vez, en geometría científica.

La geometría fue primeramente descubierta en Egipto, teniendo su origen en la medición de áreas, ya que ésta era una necesidad para los egipcios, debido a que el Nilo, al desbordarse, barría con las señales que indicaban los límites de los terrenos de cada cual”.

“Y por tanto, no es sorprendente que el descubrimiento de la geometría y otras ciencias tuvieran su origen en las necesidades prácticas, viéndose que todas las

cosas se encuentran en el camino que progresa de lo imperfecto a lo perfecto. Por tanto, la transición de la mera sensación al razonamiento y de éste al

entendimiento no es más que una cosa natural.......”

“Y así como la Aritmética tuvo su origen entre los fenicios, debido a su uso en el comercio y las transacciones, la geometría fue descubierta en Egipto por las

razones antes expuestas... Esta opinión es compartida por otros autores, aunque todas ellas, parecen tener

su origen en el pasaje que Hero doto señala en tiempos de Ramsés II.

METODOS La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición, entonces es necesario un método riguroso (que no permita deslices). Para conseguirlo, se diferencian tres tipos de enunciados: los axiomas, las definiciones y los teoremas. •Método Deductivo •Método Inductivo •Método Analítico •Método Sintético •Método Análogo

METODO DEDUCTIVO:

La deducción va de lo general a lo particular. El método deductivo es aquél que parte los datos generales aceptados como valederos, para deducir por medio del razonamiento lógico, varias suposiciones, es decir; parte de verdades previamente establecidas como principios generales, para luego aplicarlo a casos individuales y comprobar así su validez. Se puede decir también que el aplicar el resultado de la inducción a casos nuevos es deducción.

METODO INDUCTIVO: La inducción va de lo particular a lo general. Empleamos el método inductivo cuando de la observación de los hechos particulares obtenemos proposiciones generales, o sea, es aquél que establece un principio general una vez realizado el estudio y análisis de hechos y fenómenos en particular. La inducción es un proceso mental que consiste en inferir de algunos casos particulares observados la ley general que los rige y que vale para todos los de la misma especie.

DIFERENCIAS ENTRE EL METODO DEDUCTIVO E INDUCTIVO: •La inducción parte de la observación exacta de fenómenos particulares, la deducción de la razón inherente a cada fenómeno. •La inducción llega a conclusiones empíricas sacadas de la experiencia, la deducción establece conclusiones lógicas. •Mientras que las proposiciones del Método Inductivo son concreciones que establecen cómo son los fenómenos, sus causas y efectos reales, las del Método Deductivo son abstracciones que tratan de establecer lo significativo de los fenómenos según el raciocinio del investigador.

METODO ANALITICO: Es aquél que distingue las partes de un todo y procede a la revisión ordenada de cada uno de sus elementos por separado. Analizar significa: Observar y penetrar en cada una de las partes de un objeto que se considera como unidad. En la Investigación documental es aplicable desde el principio en el momento en que se revisan, uno por uno los diversos documentos o libros que nos proporcionarán los datos buscados. El Análisis es provechoso en cuanto que proporciona nuevos elementos de juicio.

METODO SINTETICO: Consiste en reunir los diversos elementos que se

habían analizado anteriormente. En general la Síntesis y Análisis son dos fases complementarias. La síntesis es indispensable en cuanto reúne esos

elementos y produce nuevos juicios, criterios, tesis y argumentación

CONCLUSION: La investigación documental utiliza el método analítico

principalmente para iniciar la búsqueda, posteriormente, se procederá al uso del método sintético o reunión de datos.

METODO ANALOGICO: El método analógico sirve para trasladar el conocimiento obtenido de una realidad a la que se tiene acceso hacia otra que es más difícil de abordar,

siempre y cuando existan propiedades en común, puesto que las posibilidades de observación y verificación en la primera permiten, mediante el adecuado

manejo de similitudes existentes, la comprensión y formulación de conclusiones acerca de la segunda, sentando las bases para una

interpretación más objetiva de dicha realidad.

AXIOMAS

Los axiomas son proposiciones, o afirmaciones, que relacionan conceptos. Excepto el punto, la recta y el plano, todo otro concepto que se enuncie debe

ser definido en función de los primeros. Nótese que éstos sólo afirman cosas terriblemente obvias.

Para facilitar su estudio se distinguen cinco grupos de axiomas: Existencia, e Incidencia. Son aquellos que nos aseguran las condiciones de existencia de los puntos, rectas y planos. (Sin estos no podríamos empezar a trabajar) y Tambíen nos indican cómo inciden unos conceptos en los otros. Existen infinitos puntos, existen infinitos planos (que son conjuntos parciales e infinitos de puntos), también existen infinitas rectas (que también son conjuntos parciales e infinitos de puntos de un plano).

Para determinar una recta, son necesarios dos puntos (y solo dos). En cambio, para determinar un plano son necesarios tres.

Para ver estos conceptos más gráficamente se puede observar que si se agarra un palo ""recto"" en un solo punto, el palo se balancea, mientras que si se toman dos, este queda fijo. Igualmente, se puede ver al agarrar una hoja de cartón desde uno o dos puntos (entonces se balancea como la recta) y que se fija si la agarramos en tres puntos.

Además, la recta es intuitivamente una figura plana así como una figura recta, si dos puntos de una recta están en un plano, toda la recta está en el plano y si dos puntos de una recta están en una recta, las rectas coinciden (son las mismas).

Ordenación en la recta Estos axiomas nos ayudan a que la recta quede determinada como lo que conocemos como recta (o mejor dicho como nuestro ideal de recta) (téngase en cuenta que nunca la definimos).

Si seleccionamos dos puntos distintos en una recta, habrá un punto entre medio.

Si seleccionamos un punto cualquiera en una recta: el resto de los puntos de la recta quedan divididos en dos clases (los que están de un lado y los que están del otro).

Continuidad Tambíen es válido lo inverso de lo que se acaba de decir. O sea que si existen dos clases en una recta (los que están de un lado y los que están del otro), existe un punto que las divide.

División del plano Una recta, divide a los puntos del plano en dos categorías (los que están de un lado y los que están del otro) Movimiento y congruencia (o igualdad) En este se trabaja la idea de movimiento (como dar vuelta una caja, girarla, etc.) Pero solo se estudiaran como movimientos,

aquellos que no alteren la ""forma"" del objeto (por lo que abrir una caja no se considera un movimiento).

Solo existe un movimiento que transforma una semirrecta en otra y un semiplano determinado por la misma en otro determinado por la otra.

Movimiento La definición de un movimiento es más complicada que las anteriores, pero se hace más clara cuando se avanza en el estudio de los mismos. Aquí diremos simplemente que se trata de transformaciones que transforman figuras (puntos, rectas, planos, semiplanos, etc.) en otros de la misma clase, a estos últimos se los llama ""homólogos de los primeros en la transformación"". Hay que tener en cuenta que los mismos, transforman un punto que pertenece a una recta, en otro punto que pertenece a la recta homóloga. Esto se puede ver, cuando se piensa que si movemos una caja, que tiene un dibujo, el mismo seguirá en la caja al terminar de moverlo.

TEOREMAS Teniendo en cuenta los axiomas precedentes podemos demostrar una vasta cantidad de teoremas.

Podemos afirmar por ejemplo que entre dos puntos de una recta existen infinitos puntos (fíjese que eso no lo habíamos dicho), y para demostrarlo, alcanza con aplicar el axioma que nos indica que hay un punto entre ambos repetidas veces (primero entre los dos puntos dados y luego entre uno de los puntos dados y el punto indicado en el axioma, etc.)

También podemos afirmar que una recta cualquiera y un punto fuera de ella, determinan un plano (que contiene a la recta y al punto simultáneamente). La demostración se basa en observar que la recta está determinada por dos puntos (cualesquiera) de ésta, los tres puntos (el que teníamos y los de la recta) determinan un plano, que contiene al punto y a la recta (ya que la recta tiene dos puntos en el plano). Entre otros.

EL ÁNGULO:

El ángulo es una figura formada por 2 semirrectas que tienen el

mismo punto inicial.

Conceptos Básicos de la

Geometría Euclidiana

EL SEGMENTO:

El segmento es una parte de una recta, comprendido entre dos

puntos y todos los puntos que están entre ellos.

LA SEMIRRECTA O RAYO:

La semirrecta es una porción de una recta que contiene un punto A y

todos los puntos que estén del mismo lado de A, la semirrecta empieza en

un punto A y sigue infinitamente.

PUNTOS COLINEALES:

Los puntos colineales son los puntos que están sobre una misma

recta.

PUNTOS COPLANARES:

Son todos los puntos que están en un mismo plano.

Estudia las formas de las figuras y los cuerpos geométricos.

APLICACIONES DE LA GEOMETRIA

Aplicaciones De La Geometría- Es la base teórica de la geometría

descriptiva o del dibujo técnico. - También da fundamento a instrumentos

como el compás, el teodolito, el pantógrafo el sistema de posicionamiento

global.

El ser humano refleja en su quehacer diario y en sus obras de arte esas

imágenes ideales que obtiene de la observación de la Naturaleza: realiza

objetos de cerámica, dibujos, edificios y los más diversos utensilios

proyectando en ellos las figuras geométricas que ha perfeccionado en la

mente.

Créditos

Integrantes del equipo:

Castillo Tepexicuapan Laura Elizabet

Romero Zavala Abraham Isai

Zarate Flores Carlos Isaac

Profesora: Claudia Pavano

2IM09

A-38