Geometria Espacial
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Geometria EspacialGeometria Espacial
Prof. Kairo O SilvaProf. Kairo O Silva
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AxiomasAxiomas
Axiomas, ou postulados (Axiomas, ou postulados (PP), são ), são proposições aceitas como proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e verdadeiras sem demonstração e que servem de base para o que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria. desenvolvimento de uma teoria.
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A reta é infinita, ou seja, contém A reta é infinita, ou seja, contém infinitos pontos.infinitos pontos.
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Por um ponto podem ser traçadas Por um ponto podem ser traçadas infinitas retas. infinitas retas.
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Por dois pontos distintos passa uma Por dois pontos distintos passa uma única reta. única reta.
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Por três pontos não-colineares passa Por três pontos não-colineares passa um único plano. um único plano.
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Por uma reta pode ser traçada uma Por uma reta pode ser traçada uma infinidade de planos. infinidade de planos.
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Posições relativas de duas Posições relativas de duas retasretas
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Posições relativas de duas Posições relativas de duas retasretas
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Posições relativas de duas Posições relativas de duas retasretas
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Temos que considerar dois Temos que considerar dois casos particulares: casos particulares:
retas perpendiculares: retas perpendiculares:
retas ortogonais: retas ortogonais:
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Postulado de Euclides ou Postulado de Euclides ou das retas paralelas das retas paralelas
Dados uma reta Dados uma reta rr e um ponto P r, e um ponto P r, existe uma única reta existe uma única reta ss, traçada por, traçada por PP, tal que , tal que r // s: r // s:
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Determinação de um Determinação de um planoplano
uma reta e um ponto não-uma reta e um ponto não-pertencente a essa reta: pertencente a essa reta:
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Determinação de um Determinação de um planoplano
duas retas distintas concorrentes: duas retas distintas concorrentes:
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Determinação de um Determinação de um planoplano
duas retas paralelas distintas: duas retas paralelas distintas:
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Posições relativas de reta e Posições relativas de reta e planoplano
reta contida no plano reta contida no plano
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Posições relativas de reta e Posições relativas de reta e planoplano
reta concorrente ou incidente ao reta concorrente ou incidente ao plano plano
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Posições relativas de reta e Posições relativas de reta e planoplano
reta paralela ao planoreta paralela ao plano
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Perpendicularismo entre Perpendicularismo entre reta e planoreta e plano
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Posições relativas de dois Posições relativas de dois planosplanos
planos coincidentes ou iguais planos coincidentes ou iguais
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Posições relativas de dois Posições relativas de dois planosplanos
planos concorrentes ou secantes planos concorrentes ou secantes
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Posições relativas de dois Posições relativas de dois planosplanos
planos paralelo planos paralelo
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Poliedros convexos e Poliedros convexos e côncavoscôncavos
Chamamos de Chamamos de poliedropoliedro o sólido o sólido limitado por quatro ou mais limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum dois somente uma aresta em comum
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Poliedros convexos e Poliedros convexos e côncavoscôncavos
Os poliedros convexos possuem nomes Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de especiais de acordo com o número de faces, como por exemplo:faces, como por exemplo:
tetraedro: quatro faces tetraedro: quatro faces pentaedro: cinco faces pentaedro: cinco faces hexaedro: seis faces hexaedro: seis faces heptaedro: sete faces heptaedro: sete faces octaedro: oito faces octaedro: oito faces icosaedro: vinte faces icosaedro: vinte faces
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Relação de EulerRelação de Euler
Em todo poliedro convexo é válida a Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte:relação seguinte:
V - A + F = 2V - A + F = 2
V=8 A=12 F=68 - 12 + 6 = 2
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Relação de EulerRelação de Euler
V = 12 A = 18 F = 8 V = 12 A = 18 F = 8 12 - 18 + 8 = 2 12 - 18 + 8 = 2
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Poliedros platônicosPoliedros platônicos
Diz-se que um poliedro é platônico Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se:se, e somente se:
a) for convexo;a) for convexo; b) em todo vértice concorrer o b) em todo vértice concorrer o
mesmo número de arestas;mesmo número de arestas; c) toda face tiver o mesmo número c) toda face tiver o mesmo número
de arestas;de arestas; d) for válida a relação de Euler.d) for válida a relação de Euler.
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Poliedros platônicosPoliedros platônicos
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Poliedros platônicosPoliedros platônicos
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PrismasPrismas
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PrismasPrismas
bases:as regiões poligonais bases:as regiões poligonais RR e e SS altura:a distância altura:a distância hh entre os planos entre os planos arestas das bases:os lados ( dos arestas das bases:os lados ( dos
polígonos) polígonos) arestas laterais:os segmentos arestas laterais:os segmentos faces laterais: os paralelogramos faces laterais: os paralelogramos
AA'BB', BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, AA'BB', BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A EE'A'A
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PrismasPrismas
ClassificaçãoClassificação reto: quando as arestas laterais reto: quando as arestas laterais
são perpendiculares aos planos são perpendiculares aos planos das bases;das bases;
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PrismasPrismas
ClassificaçãoClassificação oblíquo: quando as arestas oblíquo: quando as arestas
laterais são oblíquas aos planos laterais são oblíquas aos planos das bases.das bases.
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PrismasPrismas
Chamamos de prisma regular todo Chamamos de prisma regular todo prisma reto cujas bases são prisma reto cujas bases são polígonos regulares: polígonos regulares:
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PrismasPrismas
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PrismasPrismas
volume de um prisma volume de um prisma V = AB.h V = AB.h
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Paralelepípedo retânguloParalelepípedo retângulo
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Diagonais da base e do Diagonais da base e do paralelepípedoparalelepípedo
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SendoSendo AL AL a área lateral de um a área lateral de um paralelepípedo retângulo, paralelepípedo retângulo,
temos: temos: AL= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc AL= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc
= AL = 2(ac + bc)= AL = 2(ac + bc)
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área total é a soma das áreas área total é a soma das áreas de cada par de faces opostas: de cada par de faces opostas:
AT= 2( ab + ac + bc)AT= 2( ab + ac + bc)
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volume de um volume de um paralelepípedoparalelepípedo
volume de um paralelepípedo volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões retângulo de dimensões aa, , bb e e cc é é dado por: dado por:
V = abcV = abc
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CuboCubo
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Diagonais da base e do Diagonais da base e do cubocubo
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Área lateralÁrea lateral
AL=4a2 AL=4a2
![Page 45: Geometria Espacial](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051401/568135aa550346895d9d1a24/html5/thumbnails/45.jpg)
Área totalÁrea total
AT=6aAT=6a²²
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VolumeVolume
V= a . a . a = aV= a . a . a = a³³
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CilindroCilindro
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Classificação do CilindroClassificação do Cilindro
circular oblíquo: quando as geratrizes circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas às bases; são oblíquas às bases;
circular reto: quando as geratrizes circular reto: quando as geratrizes são perpendiculares às bases são perpendiculares às bases
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cilindro de revolução cilindro de revolução
O cilindro circular reto é também O cilindro circular reto é também chamado de cilindro de revolução chamado de cilindro de revolução
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Secção transversal Secção transversal
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Secção meridiana Secção meridiana
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ÁreasÁreas
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VolumeVolume
Vcilindro = Ab.h Vcilindro = Ab.h
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PirâmidesPirâmides
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Relações entre os Relações entre os elementos de uma pirâmide elementos de uma pirâmide
regularregular
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Relações entre os Relações entre os elementos de uma pirâmide elementos de uma pirâmide
regularregular A face lateral da pirâmide é um A face lateral da pirâmide é um
triângulo isósceles. triângulo isósceles.
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Relações entre os Relações entre os elementos de uma pirâmide elementos de uma pirâmide
regularregular Os triângulos VOB e VOM são Os triângulos VOB e VOM são
retângulos. retângulos.
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ÁreasÁreas
AT = AL +AbAT = AL +Ab
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VolumeVolume
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Cone circularCone circular
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Cone circularCone circular
altura: distância altura: distância hh do vértice do vértice VV ao plano ao plano
geratriz (geratriz (gg):segmento com uma ):segmento com uma extremidade no ponto extremidade no ponto VV e outra num e outra num ponto da circunferência ponto da circunferência
raio da base: raio raio da base: raio RR do círculo do círculo eixo de rotação:reta determinada pelo eixo de rotação:reta determinada pelo
centro do círculo e pelo vértice do cone centro do círculo e pelo vértice do cone
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Cone retoCone reto
gg²² = h = h²²+ R+ R²²
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Secção meridianaSecção meridiana
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ÁreasÁreas
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Teorema de Pappus - Guldin Teorema de Pappus - Guldin
quando uma superfície gira em torno quando uma superfície gira em torno de um eixo e, gera um volume tal de um eixo e, gera um volume tal que:que:
d = distância do centro de gravidade (CG) da sua superfície ao eixo eS=área da superfície
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VolumeVolume
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Secção paralela à base de Secção paralela à base de uma pirâmideuma pirâmide
![Page 68: Geometria Espacial](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051401/568135aa550346895d9d1a24/html5/thumbnails/68.jpg)
Tronco da pirâmideTronco da pirâmide
![Page 69: Geometria Espacial](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051401/568135aa550346895d9d1a24/html5/thumbnails/69.jpg)
Áreas & VolumeÁreas & Volume
AT =AL+AB+Ab AT =AL+AB+Ab
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Tronco do coneTronco do cone
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ÁreasÁreas
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VolumeVolume
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EsferaEsfera
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Fuso esféricoFuso esférico
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Cunha esféricaCunha esférica
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Calota esféricaCalota esférica
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Zona esféricaZona esférica