Geometria de Posição: Noções e Proposições Primitivas...
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Geometria de Posição:
Noções e Proposições Primitivas, Posições Relativas, Projeção Ortogonal e
Distâncias.
Noções Primitivas Ponto, reta e plano são entes primitivos, pois não admitem uma definição formal. Mesmo assim, intuitivamente podemos descobrir o que é cada um deles.
O espaço é entendido como o conjunto de todos os pontos. Ele tem comprimento, largura e altura (é tridimensional)
Qualquer figura é um subconjunto do espaço, seja plana, seja espacial.
Noções Primitivas
Noções Primitivas Como uma reta e um plano são conjuntos de pontos, para relacionar esses entes geométricos utilizamos nomenclaturas já conhecidas.
Exemplo 1: Complete pág. 07
Resposta: Falso. Pois o ponto pode estar simultaneamente na reta e no plano e a reta furar esse plano neste ponto, dessa forma a reta não estaria contida no plano.
Resposta: Verdadeira. Pois uma reta não pode furar um plano em dois pontos distintos, logo a reta está contida no plano.
Proposições Primitivas
Proposições Primitivas ou Postulados (ou axiomas) são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstrações.
Teoremas são proposições que necessitam de uma demonstração, a qual pode ser feita utilizando os postulados ou mesmo outros teoremas já demonstrados.
Proposições Primitivas
Proposições Primitivas
Exemplo: Teorema (demonstração)
Pelo Postulado 1, e , como ,
Pelo Postulado 4, um único plano tal que , ,
Portanto, por uma reta e um ponto nao pertencente a ela passsa um único plano.`
B r C r A r
A B C
Pelo Postulado 1, os pontos B e C estao em r, como A nao pertence a r,
os pontos A, B e C nao sao colineares, logo pelo Postulado 4, existe um único
plano que passa por A, B e C.
Portanto, existe um único plano que passa por uma reta e um ponto fora dela.
Pelo Postulado 1, existem B e C tais que
e , como ,
os pontos A, B e C nao sao colineares
, pelo Postulado 4, existe um único plano que passa por A, B e C.
Portanto, por uma reta e ponto
B r C r A r
Logo
nao pertencente a ela passsa um [unico plano.`
Exemplo 2: Complete pág. 09
Os pontos A, B e P nao sao colineares
Pelo postulado 4, existe um único plano que passa por A, B e P
Portanto, existe um único plano que contém duas retas concorrentes
Posições Relativas: 2 Retas
Posições Relativas: 2 Retas
1 Sim
0 Sim
0 Não
Retas Ortogonais e Retas Perpendiculares
Posições Relativas: 1 Reta e 1 Plano
Posições Relativas: 1 Reta e 1 Plano
Reta
Ponto
Vazia
Retas Perpendicular à Plano
Posições Relativas: 2 Planos
É possível que dois planos tenham apenas um único ponto em comum?
Posições Relativas: 2 Planos
Posições Relativas: 2 Planos
Reta
Vazia
Planos Perpendiculares
Projeção Ortogonal
Projeção Ortogonal
Projeção Ortogonal
Distâncias entre 2 Pontos
A distância entre os pontos A e B é simplesmente a medida do segmento AB, indicada por d(A,B).
Exemplo 3
Na figura abaixo, calcule o valor de d (distância entre os pontos A e B) e D (distância entre os pontos A e C)
2 2 2
2
6 2
36 4
40
2 10 cm
d
d
d
d
2 2 2
22 2
2
3
40 3
40 9
49
7 cm
D d
D
D
D
D
Distâncias Todas as demais distâncias se baseiam na distância entre os dois pontos
Distâncias
Distâncias
Distâncias
Distâncias
2 2
2
2 22
2 2
4 4
l ld
l ld
22
4
2
2
ld
ld
Distâncias
Tarefa de Casa
Resolver as atividades 1, 2, 3, 4, 5 e 6 das páginas 09 e 10 da Apostila 6.
Resolver as atividades 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 8 das páginas 14, 15 e 16 da Apostila 6.
Resolver as atividades 1, 2, 3, 4 e 5 da página 22 da Apostila 6.
FIM