Geometria analítica conicas BY GLEDSON
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Geometria AnalíticaProf. Gledson Guimarães
Cônicas Elipse – Hipérbole –
Parábola
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Elipse Considerando, num plano , dois pontos
distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real maior que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano tais que a soma das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.
Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2
pontos de um mesmo plano e F1F2 < 2a, temos:
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Elipse
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Elipse Elementos Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos:
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Elipse
Focos : os pontos F1 e F2 Centro: o ponto O, é o ponto médio
de Semi-eixo maior: a Semi-eixo menor: b Semi- distância focal: c Vértices: os pontos A1, A2, B1, B2 Eixo maior: A1A2 = 2a Eixo menor: B1B2 = 2b Distância focal: F1F2 = 2c
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Elipse Relação fundamental aplicando o Teorema de Pitágoras ao tri6angulo
OF2B2 , retângulo em O, podemos escrever a seguinte relação fundamental:
a2 =b2 + c2
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Elipse
ExcentricidadeChamamos de excentricidade o
número real e tal que:Pela definição de elipse, 2c < 2a, então c < a e, conseqüentemente, 0 < e < 1.Observação: Quando os focos são muito próximos, ou seja, c é muito pequeno, a elipse se aproxima de uma circunferência
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Equação da Elipse Elipse com centro na origem e eixo
maior horizontal Sendo c a semi-distância focal, os
focos da elipse são F1(-c, 0) e F2(c, 0):
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Equação da Elipse Elipse com centro na origem e eixo
maior vertical Nessas condições, a equação da elipse é:
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Hipérbole Considerando dois pontos
distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real menor que a distância entre F1 e F2 , chamamos de hipérbole o conjunto dos pontos do plano tais que o módulo da diferença das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.
Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 = 2c, temos:
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Hipérbole
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Hipérbole A figura obtida é
uma hipérbole. Observação:Os dois ramos da hipérbole são determinados por um plano paralelo ao eixo de simetria de dois cones circulares retos e opostos pelo vértice:
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HipérboleElementos Focos: os pontos F1 e
F2 Vértices: os pontos A1
e A2 Centro da hipérbole: O
ponto O, que é o ponto médio de
Semi-eixo real: a Semi-eixo imaginário:
b Semi-distância focal: c
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Hipérbole
•distância focal:
•eixo real:
•eixo imaginário:
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HipérboleExcentricidade Chamamos de excentricidade o
número real e tal que:
Como c > a, temos e > 1.
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Equação da Hipérbole
hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ox
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Equação da Hipérbole
hipérbole com centro na origem e focos no eixo Oy
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Hipérbole Equilátera
Uma hipérbole é chamada equilátera quando as medidas dos semi-eixos real e imaginário são iguais:
a = b
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Assíntotas da hipérbole Assíntotas são retas
que contêm as diagonais do retângulo de lados 2a e 2b.
Quando o eixo real é horizontal, o coeficiente angular dessas retas é
Quando é vertical, o coeficiente é
Assíntotas são retas que contêm as diagonais do retângulo de lados 2a e 2b.
Quando o eixo real é horizontal, o coeficiente angular dessas retas é ; quando é vertical, o coeficiente é .
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Assíntotas da hipérbole
Eixo real horizontal e C(0, 0)
As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas
equações são da forma:
As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma:
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Assíntotas da hipérbole
eixo vertical e C(0, 0) As assíntotas passam pela
origem e têm coeficiente angular
equações são da forma:
eixo vertical e C(0, 0)
As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma:
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PARÁBOLA
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PARÁBOLA Assim, sendo,
por exemplo, F, P, Q e R pontos de um plano e d uma reta desse mesmo plano, de modo que nenhum ponto pertença a d.
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PARÁBOLA A parábola é obtida seccionando-se
obliquamente um cone circular reto:
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PARÁBOLAElementosObserve a parábola representada a seguir, nela, temos os seguintes elementos:
Foco: o ponto F Diretriz: a reta d Vértice: o ponto V Parâmetro: p
O vértice V e o foco F ficam numa mesma reta, o eixo de simetria e. Assim, sempre temos
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PARÁBOLA
•DF = p •V é o ponto médio de
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Equação da PARÁBOLA parábola com vértice na origem, concavidade
para a direita e eixo de simetria horizontal
Como a reta d tem equação e na parábola temos:
y2 = 2px
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Equação da PARÁBOLA
parábola com vértice na origem, concavidade para a esquerda e eixo de simetria horizontal
y2 = -2px
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Equação da PARÁBOLA parábola com vértice na origem,
concavidade para cima e eixo de simetria vertical
x2=2py
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Equação da PARÁBOLA
parábola com vértice na origem, concavidade para baixo e eixo de simetria vertical
x2= - 2py
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Estudem!!!
Jamais subestimem o gigante intelectual adormecido dentro de cada um de nós.