GEOMETRIA ANALITICA

Grafica, Extensión, Intersección, Simetría, de una función

Grafica de una función

Definición 1 : El conjunto de los puntos , y solamente de aquellos puntos cuyas coordenadas satisfagan una ecuación , se llama grafica de la ecuación o bien su lugar geométrico.

Definición 2 : Cualquier punto cuyas coordenadas satisfacen la ecuación pertenece a la grafica de la ecuación . Lo importante es que si las coordenadas de un punto satisfacen una ecuación, ese punto pertenece a la grafica de esa ecuación y recíprocamente, si un punto está sobre la grafica de una ecuación sus coordenadas satisfacen la ecuación.

Para los ejercicios siempre obtendremos y en función de x

Y cuando la ecuación esta elevada a la 1 es una línea

Cuando esta elevado a un exponente cuadrado es una curva

Cuando esta elevado al cubo es una s

Ejemplo:

5x+4y-20=0

Extensiones

Dominio:

Es la grafica en si despejando su componente ( y) en función de( x) ejemplo:

5x+4y-20= 20; y= 20−5 x

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En este caso como se puede dar todos los valores el dominio es todos los reales

Contra dominio o Rango:

Igual que el dominio en este caso despejaremos(x) en función de (y)

X= 20−4 y

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Para este caso también puedo darle cualquier valor entonces el contra dominio es todos los reales

Intersecciones:

Llamaremos intercepción de una curva con el eje x a la abscisa del punto de intersección de la curva con el eje. Análogamente, la intersección con el eje Y es la ordenada del punto de intersección de la curva con dicho eje.

Ejemplo:

Simetria:

Definicion 1: Se dice que dos puntos son simétricos con respecto a una recta si la resta es perpendicular al segmento que los une en su punto medio.

Definicion 2: Se dice que dos puntos son simétricos con respecto a un punto O si O es el punto medio del segmento que los une.

Definicion 3: Se dice que una curva es simétrica con respecto a un eje de simetría cuando para cada punto de la curva hay un punto correspondiente, también de la curva , tal que estos dos puntos son simétricos con respecto al eje.

Definicion 4: Se dice que una curva es simétrica con respecto a un centro de simetría O cuando para cada punto de la curva hay un punto correspondiente, también de la curva , tal que estos dos puntos son simétricos con respecto a O.

Dicho de mejor manera esto es:

Ejemplos:

Asíntotas:

Definición: Si para una curva dada, existe una recta tal que , a medida que un punto de la curva se aleja indefinidamente del origen , la distancia de ese punto a la recta decrece continuamente y tiende a cero , dicha recta se llama asíntota de la curva.

Esta definición implica dos cosas:

1) una curva que tiene una asíntota no es cerrada o de extensión finita, sino que se extiende indefinidamente.

2) una curva se aproxima a la asíntota más y mas a medida que se extiende mas y mas en el plano coordenado.

Siendo la asíntota una línea recta, puede tener una cualquiera de tres posiciones particulares. Si es paralela o coincide con el eje X, se llama asíntota horizontal; si es paralela o coincide con el eje Y, asíntota vertical; y si no es paralela a ninguno de los ejes coordenados, asíntota oblicua.

Ejemplos:

Ecuación de un Lugar Geométrico

Definicion: Se llama ecuación de un lugar geométrico plano a una ecuación de la forma

f(x, Y) = 0, cuyas soluciones reales para los valores de aquellos puntos correspondientes de (x) y (y) son todas las coordenadas de aquellos puntos . y solamente de aquellos puntos que satisfacen la condici6n o condiciones geométricas dadas que definen el lugar geométrico .Una curva es un lugar geométrico de todos aquellos puntos que satisfacen una o mas coodiciones geométricas dadas:

Ejemplos:

La Línea Recta

Llamamos línea recta a1 lugares geométricos de los puntos tales que tomados dos puntos diferentes cualesquiera

PI (XI,Y1) y P 2 (X2 , Y2) del lugar , el valor de la pendiente m se calcula por la formula dada

m= y 1− y 2x 1−x2

, x1≠X2

Ecuaci6n de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada.

Geométricamente , una recta queda perfectamente determinada por uno de sus puntos y su direcci6n. Analiticamente, la ecuaci6n de una recta puede estar perfectamente determinada si se conocen las coordenadas de uno de sus puntos y su ángulo de inclinaci6n

(y , por tanto , su pendiente) .

La recta que pasa por el punto dado Pl (XI, Yl) y tiene la pendiente dada m , tiene por ecuación

Ejemplos:

Otras formas de la ecuaci6n de la recta

Ecuación de la recta dada su pendiente y su ordenada en el origen

Consideremos una recta 1 cuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen, es decir , su intercepci6n con el eje Y, es b . Como sc conoce b , el punto cuyas coordenadas son (0, b) esta sobre la rectaPor tanto, el problema se reduce a hallar la ecuaci6n de la recta que pasa por un punto (0, b ) y tiene una pendiente dada.la ecuaci6n buscada es

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Geométricamente, una recta queda perfectamente determinada por dos cualesquiera de sus puntos.

Analíticamente, la ecuaci6n de una recta también queda perfectamente determinada conociendo las coordenadas de dos cualesquiera de sus puntos .La recta que pasa por dos puntos dados PI (X1 , Y1) y P2 (X2 , Y2 ) tiene por ecuación

Ejemplo:

Ecuación simétrica de la recta.

Sean a # 0 y b # 0 los segmentos que una recta determina sobre 1os ejes X y Y es decir, sus intercepciones. Entonces (a, 0) y (0, b) son dos puntos de la recta Por tanto, el problema de obtener la ecuaci6n de una recta cuando se conocen 1os segmentos que determina sobre 1os ejes se reduce a hallar

la ecuaci6n de la recta que pasa por dos puntos , y tenemos:

Esta ecuaci6n es la llamada ecuaci6n simétrica de la recta.

Ejemplo:

Forma general de la ecuación de una recta. Ax + By + C= o,

En donde ya sea A o B debe ser diferente de cero y C puede o no ser igual a cero. La ecuaci6n se llama la forma general de la ecuaci6n de una recta.

Posiciones Relativas de dos Rectas

Sean las ecuaciones A1X + B1Y+ C1= 0 ; A2X+ B2Y+C2=0La ecuaciones siguientes son necesarias y suficientes para determinar :

a) Paralelismo A 1A 2

= B1B2

de donde A1B2-A2B1=0

B) Perpendicularidad A1A2+B1B2 = 0

C) Coincidencia A1= KA2 ; B1=KB2 ; C1= KC2; K≠0

d) Intersección en uno y solamente en un punto A 1A 2

≠B1B2

Pendiente en forma General:

m= - AB

Ejercicios:

Forma Normal Ecuación de La Recta

La Forma Normal de la ecuación de la recta esta dado por

en donde (p) es un numero positivo numéricamente igual a la longitud de la normal , trazada desde el origen a la recta y (w) es el ángulo positivo menor que 360 grados , medido a partir de la parte positiva del eje x a la normal .

De donde la pendiente de la recta (L) , las coordenadas el punto ( X1, Y1) , sobre la recta en términos de (p) y (w) , sustituyéndolas en la forma pendiente , por trigonometría para cualquier recta L, excepto aquellos en que la recta pasa por el origen tenemos :

X = P COS W ; Y=P SEN W ; P( PCOSW, PSENW)

mp = 1

Tgw−1 = - Ctg = - coswsenw

Entonces tenemos remplazando en la forma Y-Y1 = m ( X-X1)

Reducción A La Forma General

Ejemplos: