geometria 5

SISTEMA HELICOIDAL

41

Compendio de Ciencias V-A GeometríaCAPÍTULO

1 3OBJETIVOS

• Conocer los paralelogramos y sus propiedades.• Aplicar dichas propiedades en la resolución de ejercicios y problemas.

- INTRODUCCION -

Los cuadriláteros o polígonos de cuatro lados, son los polígonos que siguen en complejidad a los triángulos y, con estos, son las figuras geométricas más utilizadas en actividades prácticas como la agrimensura y la construcción. Como el número de sus lados es par, en su estudio y clasificación se tiene en cuenta el hecho de que algunos de los dos pares de lados opuestos, o ambos pares, sean o no paralelos.

EL RECTÁNGULO DORADOLa construcción geométrica de un rectángulo Dorado parte de un cuadrado (en azul) que posteriormente se divide en dos partes a través de la línea de trazo discontinuo EF. El punto F sirve ahora de centro en un círculo cuyo radio es la diagonal FC. Se traza un arco de círculo (CG) y la línea de la base AD se extiende hasta cortarlo. Ésta pasa a ser la base del rectángulo. El nuevo lado HG se traza ahora formando ángulos rectos con la nueva base hasta hallar la línea BH. Si se suprime el cuadrado original, lo que queda continúa siendo un Rectángulo Dorado.

EN UN TEMPLO ANTIGUOEl Partenón de Atenas (a la derecha) encaja dentro de un Rectángulo Dorado casi exactamente una vez incorporado su ruinoso frontón (arriba). Sus construcciones en el siglo V a. de J. probablemente no tenían ningún conocimiento consciente de la Relación Dorada.

D E FI N I C I ÓN :Es aquel cuadrilatero que tiene dos pares de lados paralelos.

B C

AB CD

BC AD

A D

T E O R E M A S :• En todo paralelogramo, los lados paralelos tienen igual longitud, mientras que los ángulos

opuestos tienen igual medida.• En todo paralelogramo las diagonales se intersecan en su punto medio.

Compendio de Ciencias V-A

Geometría

42 PASCUAL SACO OLIVEROS

bB C

a a o

b A D

Además: +

= 180º AO = OC y BO = OD

C L AS IF I C AC I Ó N :

• ROMBOIDE.- Es aquel paralelogramo cuyo lados

consecutivos son de diferente longitud y cuyos ángulos internos no son ángulos rectos.

• ROMBO.- Es aquel paralelogramo cuyos lados son

de igual longitud y las medidas de sus ángulos interiores son diferentes a 90º.

Ba b

a a

A C B D

A CB

b C o

a aa o a

A b DD

• AC BD

• RECTÁNGULO.- Es aquel paralelogramo cuyos

• Las diagonales A B y

B D son bisectrices de los

lados consecutivos son de diferente longitud y cuyos ángulos internos miden 90º.a b

respectivos ángulos interiores.

• CUADRADO.- Es aquel paralelogramo cuyos lados son de igual longitud y sus ángulos interiores sonrectos.

A C B D

B b C AC BD

B

45º

a45º 45º

C

45º

a o

son bisectrices de losrespectivos á ngulos interiores.

ao

45º

a

45º45º 45º

A a D

x

Problema desarrollado1. En la figura, ABCD es un romboide. Calcular: x.

B C

80º

Problema por desarrollar2. En la figura, ABCD es un romboide. Calcular : x.

B C

70º

4x

A D A

2x+ 10

D

Resolución: Por Teorema4x = 80º

x 80º4

x 20º

Resolución:

1. Si: ABCD es un romboide. Calcule: x.

3. En el romboide. Calcular: x

B C B C

5x

81 x 2

110º

A D A D

Rpta: ..............................................................

2. En el romboide ABCD, Calcular: x

Rpta: ..............................................................

4. En el romboide ABCD. Calcular: x.

B C B 20 C

x

120ºA D A 6 D

Rpta: ..............................................................

Rpta: .............................................................

5. En el romboide ABCD. Calcular : x.

B C

9. En el cuadrado ABCD, CED equilátero. Calcular: x.

B C

E8

xA x D

A D

Rpta: .............................................................

6. En el rectángulo ABCD. Calcular : x.

B C

Rpta: .............................................................

10. En el rombo ABCD. Calcular : x.B

2x

x2+ 20 25 A x C

A D

Rpta: .............................................................

7. En el rectángulo ABCD. Calcular : x.

B C

DRpta: ........................................................

.....

11. Calcule el perímetro del romboide ABCD.

30º B 15 C

x

A D

A DRpta: .............................................................

8. En el cuadrado ABCD. Calcular : x. si AED: Equilátero.

Rpta: .............................................................

12. En el romboide ABCD. Calcular el valor de x.

B C x3x

E

x A E D

Rpta: .............................................................

A D

Rpta: .............................................................

37º

13. En el rectángulo ABCD. Calcular : x. si el perimetro del rectángulo es igual a 80º.

B C

17. Si ABCD es un cuadrado de perímetro 8 2 .

Calcular : x+y.B C

x

A 4x D

P x R

y

Rpta: .............................................................

14. En el rectángulo ABCD. Calcular : x. El CDE es equilátero.

B Cx

A Q DRpta: ........................................................

.....

18. Calcule el perímetro del rombo ABCD. Si AC=24.

B

E

A D

Rpta: .............................................................

15. Si ABCD es un cuadrado, ADE: equilátero, Calcular : x.

A C

D

Rpta: .............................................................

19. En el gráfico, calcule el perímetro del rombo ABCD.

B C B

E 6

A C

x

A D

Rpta: .............................................................

16. Si ABCD es un cuadrado, CDE: Equilátero, Calcular : x.

B C

DRpta: ........................................................

.....

20. En el gráfico: ABCD: Rombo. Calcular : xB

40ºE

x A x

C

A DRpta: .............................................................

DRpta: ........................................................

.....

53º

B) 10 2 C) 4 2

E) 8 2

1. En el romboide ABCD. Calcular x.

4. Calcular el perímetro del romboide ABCD.

7x+ 18

B C

5x+ 36

B 12 C

A DA E 4 D

A) 8 B) 9 C) 7D) 6 E) 5

2. Si ABCD es un rectángulo de perímetro: 36 2 , Calcular x.

B C

A) 40º B) 30º C) 50º D) 20º E) 60º

5. Calcule el perímetro del rombo ABCD. Si: AC=12.

B

xA C

A 2x D

A) 12 2

D) 6 2

3. En el gráfico. Calcule x, si ABCD: cuadrado, AED: Equilátero.

D

A) 20 B) 50 C) 30D) 60 E) 40

B Cx

E

A D

A) 70º B) 30º C) 60ºD) 75º E) 15º

SISTEMA HELICOIDAL

47


1 4OBJETIVOS

• Establecer la importancia de la circunferencia en el desarrollo de la geometría.• Conocer las principales propiedades y su aplicación en la resolución de ejercicios y problemas.

- INTRODUCCION -

Desde la aparición del hombre y su interrelación con la naturaleza ha existido una fascinación especial por la circunferencia y las formas circulares. Las diversas culturas y civilización dentro de su evolución histórica potenciaron y elaboraron formas circulares en su quehacer cultural, social y religioso. Podemos citar desde la invención de la rueda, las herramientas circulares, medallones, escudos, trabajos en artesanía y orfebrería, pasando por las estraordinarias edificaciones y los grandes monumentos con dicha forma. Demás esta decir del culto asociado a la esfericidad de la tierra y los otros planetas incluido el sol. También el descubrimiento de la maravillosa estructura del número II. Por lo expuesto la fascinación por la circunferencia permanece intacta te invitamos a formar parte de ella.

EN LA BIBLIAEl libro primero de los Reyes (7, 23) dice: “Después hizo un depósito de bronce fundido. De forma redonda, media diez codos de un extremo a otro y cinco codos de profundidad. Tenía treinta codos de perímetro”-

De la anterior cita puede deducirse que los instrumentos de medida que utilizaban de los israelitas no eran muy precioso.¿Cuál es el valor de que se deduce del mencionado versículo de la Biblia?.

Solución:Como es la relación entre el perímetro de una circunferencia (treinta codos) y su diámetro (diez codos de un extremo a otro), se tiene:

tre int a co dos

30

3d iez cod os 10

El valor de en la Biblia es 3, algo alejado (4,5%) del valor 3,1416 usual.

BDEFINICIÓN: Es el conjunto de todos los puntos un plano, cuyas distancias a unpunto dado de dicho plano son iguales. R

El punto o se llama centro y R se llama radio. Se designará a la circunferencia indicando O

su centro y su país. R

D


Geometría

L

L


LÍNEAS ASOCIADAS A LA CIRCUNFERENCIA.

CUERDA

Se llama cuerda al segmento que tiene por extremo s do s puntos de la circunferencia.

B

ARCO

En una porción de la circunferencia comprendida

entre dos puntos de ella.

M

RECTA SECANTE YRECTA

TANGANTE

L a recta s ecante inters eca a la circunferencia en dos puntos. La recta tangente la interseca en un solo punto.

L1

A

C D ON

P

M N : AR C O MN

Toda cuerda que contenga al centro de la c ir cu nf er en ci a s e d en o m in a DIAMETRO.A B :

CUERDAC B :

DIAMETRO

L2

Recta Secante1 Recta Tangente2P : Punto de tangencia

TEOREMAS

I. Toda recta tangente

L1

L1 : Re cta tange nte a la circunferencia en T

III. Dos cuerdas de igual medida determinan en una

misma circunferencia, arcos de igual medida y viceversa.

A CO T

OT : Ra dio de la circunferencia

OT L1 Si : AB = CD

m AB = m CD

II. Dos rectas paralelas, secantes a una circunferencia.

Determinan arcos de igual media.

A BL1

B D

IV. Todo diametro perpendicular a una cuerda biseca a dicha acuerda y a los arcos que subtiende.

A

Si :

L2

L1 L2

m AC = m BD MN: Es diame tro, AB: cuerda

M N


Geometría

SISTEMA HELICOIDAL

49

C D O H Si : MN ABAH = HB

y m AN = m BN

B

V. Los segmentos tangentes trazados desde un punto exterior a una misma circunferencia son congruentes.

A

Sean A y B Puntos deP Ta ngencia

PA = PB

B

Problema desarrollado

1. En el gráfico, calcular x. Si A y B son puntos de tangencia.

Problema por desarrollar

2. En el gráfico, calcular x. Si A y B son puntos de tangencia.

A A

P P

B

Resolución: Por Teorema x – 4 = 18x = 18 + 4x = 22

B

Resolución:


1. Si: L1 es tangente a la circunferencia en T, Calcular:

x. (O es centro).

5. En el gráfico, calcular x.B D

L1 O x 3 27

T x

A C

Rpta: .............................................................

Rpta: .............................................................. 6. En el gráfico, calcular x.

2. Si: L1 es tangente a la circunferencia en T, B

acalcular:x. Si OT=AT (0 es centro).

A

L1 CO a

A x D

T

Rpta: ..............................................................

3. En el gráfico, calcular: x (0 es centro).

Rpta: .............................................................

7. En el gráfico, calcular x. (0 es centro)A C

x2

A B O

36

Rpta: ..............................................................

4. En el gráfico, calcular x. (0 es centro)A

a a

O

B D

Rpta: .............................................................

8. En el gráfico, calcular x. Si: A B // C D

A B

x-8 24

O

x-43 40º

C D

Rpta: .........................................................

SISTEMA HELICOIDAL

51

....B

Rpta: .............................................................

x

P

9. En el gráfico, calcular x. Si: P y Q son puntos de tangencia.

P

13. En el gráfico, calcular : x.

A C

120º 120º

P

B D

Q

Rpta: .............................................................

10. Calcular x, en la circunferencia de centro O. Si

OA=10 y MN=16.

Rpta: .............................................................

14. En el gráfico, calcular: x. Si : A B // C D

A B

(x+ 40º )

O C D

60º

M N

ARpta: ........................................................

.....

Rpta: .............................................................

15. En el gráfico, calcular: x. si A y B son puntos de tangencia.

A

11. Si: L1 es tangente a la circunferencia en T, calcular:x(o es centro).

PT L12x20º

O

Rpta: .............................................................

12. En el gráfico, calcular x. Si O es centro de la circunferencia.

B

Rpta: .............................................................

16. En el gráfico, calcular: x. Si A y B son puntos de tangencia en la circunferencia de centro O.

A

3x+ 10

A B O

x+ 40

30º O x

B

Rpta: .............................................................

Rpta: .............................................................

17. Calcular: x, en la circunferencia de centro o y

MN = 6 OA=5.

19. En el gráfico: R, Q, S son puntos de tangencia.

Calcular x, en :B

M2

O A

N

Rpta: .............................................................

A 4 S C

Rpta: .............................................................

18. En el gráfico, calcular: x. o es centro de la

circunferencia.

B

20. En el gráfico: P, Q, R son puntos de tangencia.

Calcular x, en:

x 12 BD A x

P Q14 18

O40

CR

A CRpta: ............................................................. 16

Rpta: .............................................................

A) 4 B) 6 C) 8D) 10 E) 12

A) 15 B) 10 C) 12D) 14 E) 13

1. En el gráfico, calcular x. Si O es centro de la

circunferencia.

4. En el gráfico, calcular : xA C

x2 a a

A B O

49

A) 7 B) 6 C) 8D) 9 E) 10

2. En el gráfico, calcular x, si: A B // C D

5. P, Q, R son puntos de tangencia. En la figura,

calcular : xB

A B 6

(x+ 4)º 36º P Qx

C D

A) 36º B) 32º C) 40º A R

C7D) 44º E) 38º

3. En el gráfico, calcular : x, si P y Q son puntos de tangencia.

P

M

Q

A) 20 B) 22 C) 24D) 12 E) 18



1 5OBJETIVOS

• Conocer los ángulos asociados a la circunferencia.• Aplicar adecuadamente las propiedades de los ángulos asociados a la circunferencia en la resolución de ejercicios.

- INTRODUCCIÓN -

Por un instante observa tu entorno, y te daras cuenta la cantidad de objetos de forma ovalda o circular, todo ellos en contacto contigo, imagina los planetas, los huevos de las aves, los objetos de tu casa o de tu aula, muchos presentan las formas mencionadas. Desde el inmenso del cosmos hasta lo microscópico como las células, la forma esférica predomina; sigue imaginado, frutas, semillas, hasta la posición de nuestro cuerpo cuando tenemos frío, acaso no nos acurrucamos y eso significa ponernos en una posición esférica para protegernos. Dicha forma ha sido seleccionada para estar presente en todas partes y es porque ha permitido la mejor evolución. Ya Platón dijo: la esfera es la forma perfecta, pues representa la máxima simetría.

Platón

ÁNGULO CENTRAL:Es aquel ángulo cuyo vértice es el centro de una circunferencia.

A

ÁNGULO SEMIINSCRITO:Es aquel ángulo cuyo vértice se ubica en la circunferencia y sus lados están determinados por una tangente y una secante.

O x

A

ÁNGULO INSCRITO:

A_ AOB : Angulo Central

A_B : Arco correspondiente a l _ AOB

x=

x

Es aquel ángulo en el que su vértice se ubica en la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.

A

P B

_ APB : Angulo Se miinscritoA_P : Arco co rrespond ie nte

Q x

_ AQB : An gu lo Tnscrito

A_B : Arco co rre spo n d ie nte a l _ AQB x=

2

a l _ APB

x=

SISTEMA HELICOIDAL

55

2B


Geometría

Problema desarrollado

1. En el gráfico, calcular x.

Problema por desarrollar2. En el gráfico, calcular x.

3aB

B

260º A xA x 2a

a CC

Resolución:m B_ C 260 º

360º m B_ C

360º 260 º m B_ C 1 00ºm_ AB C x (Ángulo Inscrito)

B_ C 100ºPor fórmula: x x 50º2 2

Resolución:

1. Del gráfico. Calcular: x.

2x

3. Del gráfico, calcular: x, si O es centro.

A

B

x+ 30º

C

3x+ 20º

2x-70ºx

O

BA D

130º

Rpta: ..............................................................

2. Del gráfico, calcular : x, si O es centro.

Rpta: ..............................................................

4. En el gráfico, calcular x.A

A x

O 2x 80º


Geometría

B

Rpta: ..............................................................

P 40º

B

Rpta: .............................................................

B

5. Del gráfico, calcular x.A

9. Del gráfico, calcular: x. si B y C son puntos de tangencia.

B132º

P x+ 28º B

xA 40º

Rpta: .............................................................

C

Rpta: .............................................................6. Del gráfico, calcular x.

44ºB C

10. Del gráfico, calcular: x. si

m B_ C 42º .

m _ A M D 76º y

B Cx

F

D M x

A98º

Rpta: .............................................................

7. Del gráfico, calcular: m A_ D . Si: m B_ C 100º

B A

105º

A D

Rpta: .............................................................

11. Del gráfico, calcular: x. si 0 es centro.A

Dx

40º OC C

Rpta: .............................................................

8. Del gráfico, calcular: x.B

Rpta: .............................................................

12. Del gráfico, calcular: x.

A 50ºD

C

120ºC

B x

Rpta: ............................................................. 140º A

Rpta: .............................................................

13. Del gráfico, calcular: x.

xB C

17. Calcular x. Si A B es diámetro.

x

A B

D

A 4x Rpta: .............................................................

Rpta: .............................................................

14. Del gráfico, calcular: x, si m A_B C 280 º

A

18. En la figura. Calcule: x.5a

a 6a

x

B C

Rpta: .............................................................

15. Del gráfico, calcular m A_ D . si m B_ C 20 º

A

8aRpta: .............................................................

19. Calcular x. Si T es punto de tangencia.T L

45º

B

60º

C

Dx

Rpta: .............................................................Rpta: .............................................................

16. Del gráfico, calcular x, si m A_ B 4 x ,

m C_ D 2 x

20. Si P y Q son puntos de tangencia. Calcular : x.

P Tx

P C B

20º

60ºD M

Q

A

Rpta: .............................................................

Rpta: .............................................................

1. Si o es centro, calcular : x.

4. Del gráfico, calcule: x, si P y T son puntos de

tangencia.A

240º O x

B

P

M 70º x Q

T

A) 140º B) 120º C) 130º D) 100º E) 150º

2. Del gráfico, calcular : x.

A) 80º B) 70º C) 50º D) 40º E) 60º

A 5. Del gráfico, calcular: x.

B

B 2x100º

C A C

A) 60º B) 50º C) 25º D) 100º E) 80º

3. Del gráfico m A_ B 80º , m C_ D 40º . Calcular: x.

2x

A) 120º B) 90º C) 60º D) 80º E) 100º

A C

x

B D

A) 20º B) 30º C) 40ºD) 50º E) 60º

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