GEOMETRIA 01

5/25/2018 GEOMETRIA 01

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Elementos fundamentales de la geometra

Para la geometra, el punto, la recta, elplano son elementos fundamentales

que no se definen, solo surgen de laidea partiendo de la realidad yformulando despus las propiedadesque caracterizan a cada uno de estoselementos.

Representacin grafica de un punto.

.A Notacin: Punto A

Representacin de una lnea recta

L

Representacin grfica de un plano

CONCEPTO

Es una parte de la rectacomprendida entre dos puntos, a loscuales se les denomina extremos delsegmento de recta o segmento de lnearecta. Por razones prcticas slo ledenominaremos segmento.

As, en el grfico se tiene el segmento de

extremos A y B

Notacin:Segmento AB:AB

LONGITUD DE UN EG!ENTO

Expresa el tamao o medida de unsegmento y resulta de la comparacindel segmento con otro, que es tomadocomo unidad (metro! por e"emplo# siun segmento tiene $ %eces la unidad(metro entonces dic&o segmento tieneuna longitud de $m.

'i la longitud de un segmento nose conoce, sta con%encionalmente seindicara con una letra latina minscula.)s, del grfico anterior, a es la longituddel segmento )*! entonces AB = a

"#:se lee longitud del segmento AB

$UNTO !EDIO DE UN EG!ENTO DE

RE%T"

s a!uel "unto !ue "ertenece al segmento

y !ue lo di#ide en $ segmentos "arciales

de igual longitud%

Notacion: Recta L : L

H Notacin:Plano H: H

A B

a

A

M B

m m

B

Notacin:

Recta AB:ABA


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Si: & "ertenece a AB y A&'&B(

entonces & es el "unto medio del

segmento AB%

O$ER"%IONE %ON L" LONGITUDE DEEG!ENTO DE RE%T"

n la figura los "untos A, B y ) son

colineales y consecuti#os, entonces, se

esta*lecen las siguientes o"eraciones con

las longitudes de segmentos de lnea

recta%

"dicin de longitudes de seg&entos de lnearecta

+el grafico:

ustraccin de longitudes de seg&entos delnea recta

+el grafico:

DE'INI%ION:

s a!uella figura geomtricaformada "or dos rayos !ue tienen el

mismo y -nico origen% Adems no

forman una recta %

A dic.os rayos se les denomina

lados y al origen com-n #rtice del

ngulo%

Ele&entos

Lados: OA y OB

()rtice:/

Notacin:0ngulo A/B: AOBS

A

B C

a b

x

ACAB + BC x a + b

ABAC - BC a x - b

NOTA: La distancia entre dos puntos, es la longitud delsegmento que tiene por extremos a dichos puntos. Esta

distancia se llama distancia Euclediana que por razonesprcticas solo se le denominar distancia.

Sean A y B dos puntos dados:

Si: AB =d

Luego: d: distancia entre A y B.

A

B

d

A

B

O

Region interior

del ngulo AOB

Region exterior


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&edida del ngulo A/B: m S A/B

Adems 12 3

3 4512

#IE%TRI* DE UN +NGULO

Es aquel rayo u+icado en la regininterior determinado por el ngulo cuyoorigen es el %rtice de dic&o ngulo yque forma con sus lados, ngulos deigual medida.

OM #*isectriz del S )* m S )- m S -*

CLASIFICACION DE NGLOS

Seg!n sus med"das

ngulo agudoEs aquel ngulo cuya medida es mayorque /0 y menor que 1/0.

/2


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Seg!n la %os"#"&n de sus lados

ngulos ad'a#entes'on ngulos coplanares que tienen elmismo %rtice y estn situados adistinto lado de un lado comn, ademsla interseccin de las regionesdeterminadas por stas es nula.

S )- y S -* son adyacentes.)dems se cumple el axioma de laadicin de medidas angulares.

ngulos #onse#ut"(os'e denominan as a dos o ms ngulosque son adyacentes con su inmediato)

S )*, S *5, S 56 y S 6Eson ngulos consecuti%os.

)dems cumple el siguiente teorema

m AOE= + + + R

Nota

ngulos o%uestos %or el (*rt"#e'on dos ngulos que tienen el mismo

%rtice y adems los lados de uno deellos son prolongaciones de los ladosdel otro en sentido contrario.

En la figura los ngulos )* 7 -8 sonopuestos por el %rtice.

'e cumplen#Teorema

m AOB m MON=R R

Es de#"r+

=

ngulos #om%lementar"os 'on dos 9ngulos cuya suma de susmedidas es igual a 1/0

En la figura se tienen a los nguloscomplementarios )* y -:8.Entonces#

%! + =

'ea 5 ( ) # complemento de .Entonces

( )c %! =

ngulos su%lementar"os'on dos ngulos cuya suma desus medidas es igual a 34/0.

AB

C

&

O

O

N

M

'

A

OB

#$!

A

M

BO

= +

O

( &C

B

A

O

B

A

N

M

PAR L)N(AL

A*)OMA: + = 18!


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En la figura se tiene los ngulossuplementarios )* y -8.Entonces#

'ea ' ( ) lementode: ,u- Entonces#

NOTA# ;a figura geomtrica que seforma al unir dos segmentos de lnearecta y comparten un mismo extremo,adems determinan un ngulo reci+enel nom+re de ?;)=@.

Nota+ la distancia de un punto a unrecta, es la longitud del segmentoperpendicular a dic&a recta trazado dedic&o punto.

'ea# PH L L.H / ! si# PA =d

d# distancia de P a L

,INTO POSTLADO GEO-.T/ICO DEACLIDES O DE PLA0FAI/

Por un punto exterior a una recta slose puede trazar una recta paralela aella.

En el grfico, si P es exterior a la recta;, entonces por P slo se puede trazarL L1 00 (recta ;3paralela a la recta ;.

ngulos formados %or dos re#tas %aralelas' una re#ta trans(ersal))l trazar un recta secante o trans%ersala dos rectas paralelas, se forman oc&ongulos cuyas medidas guardan ciertasrelaciones. )s tenemos#

ngulos #orres%ond"entes

'ea# L L1 00 , entonces m y n son lasmedidas de dos ngulos

correspondientes. )dems se cumple elsiguiente axioma. m n=

ngulos alternos "nternos

18! + =

( )S 18! =

Notacin:ABC Se lee par angular

B Extremo comn o vertice

A yC Extremos libres

ABy BC lados

m ABC

m ABC m ABC

2

: 2

: 2

: 2

)m-ortante :

=

= RB

A

C

P

LH

d

P L1

L

n

m

L1

L

L1

L


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'ea# L L1 00 , entonces y son lasmedidas de dos ngulos alternosinternos. )dems se cumple elsiguiente teorema. =

ngulos #on1ugados "nternos+

'ea# L L1 00 , entonces x e y son lasmedidas de dos ngulos con"ugados

internos. )dems se cumple elsiguiente teorema. x y 18!+ =

$RO$IED"DE

3 'i L L1 00

B 'i L L1 00

$ 'i L L1 00

C 'i#

Entonces#

D

! !

3 4ece, 3 4ece,

. 3 / 4ece, . 3 / 4ece,

Recuerde : C com-lemento 5 6 ,u-lemento

CCCC222CC 666622266

CCCC222CC C 666622266 6

3

+ +

= =

= =

= =

1 44 2 4 43 1 44 2 4 43

1 44 2 4 43 1 44 2 4 43

APLICACIONES

23)La suma de las med"das del#om%lemento m4s el su%lemento de un#"erto 4ngulo es "gual a 3325) 6alle lamed"da de d"#7o 4ngulo)A8 92: B8 ;2: C8 2:

2?)El do$le de la med"da del #om%lementode un 4ngulo@ m4s el tr"%le de la med"dadel su%lemento del m"smo@ es ;225@ 7allela med"da del 4ngulo)A8 9>: B8 ??: C8 ;9:D8 ?9: E8 99:

x = +

L

L1

+ + + + = 18"

+ = +

x

5

L1

L

L

L1

+ + = +

x

L1

L


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2)El do$le de la med"da de un 4ngulo es"gual al tr"%le de la med"da de su#om%lemento) 6alle la med"da del4ngulo)A8 ;9: B8 :

29)La med"da del su%lemento del#om%lemento de un 4ngulo ue m"de

' la med"da del #om%lemento de un4ngulo ue m"de les %ertene#en a dos4ngulos ue son #om%lementar"os)Cal#ule el (alor de )A8 2: B8 2: C8


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3C. ;as medidas de los ngulosconsecuti%os )*, *5, 56 7 6E,estn en progresin geomtrica derazn igual a B. 5alcule elcomplemento del ngulo

determinado por las +isectrices delos ngulos *5 7 6E, si m)E 1/2) $/2 * $C2

5 $G26 C$2 E $42

3;)En la f"gura mostrada 1 L 00 L ) 6alle elmenor (alor entero de @ s" es lamed"da de un 4ngulo agudo)

A8 ;?5B8 95C8 9


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diferencia de las medidas de dic&osngulos.

) /2 * C/25 D/2

6 G/2 E $D2

B$. 'e tiene los rayos# ), 8, - y*! orientados en un mismo sentido,de manera que m)* 1/2.5alcule m-8, si m)- Hm8* 3C/2

) BD2 * C/25 D/2

6 B/2 E $D2

BC. En la figura m5: BC2, P+isectriz del ngulo )*, :+isectriz del ngulo *6. Aalle x.

) D2 * D$25 CD26 G/2 E D/2

BD. ;a medida de dos ngulossuplementarios son entre s, como $a . Aalle el complemento delmenor.

) DC0 * $B05 DB0

6 $G2 E 3/0

BG. 6e qu ngulo se de+e restarselos BF$ de su complemento parao+tener DB0.

) BD0 * $405 B0

6 DC0 E G,B0

B1.'i 5 complemento! calcular


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ngulos determ"nados res%e#to altr"4ngulo)

-edida de los ngulos internos#L , , .

-edida de los ngulos externos#L x, y, z.

;ongitud del permetro de la regintriangular )*5# BP )*5

;ongitud del semipermetro de la regintriangular )*5

TEO/E-AS FNDA-ENTALES DELT/INGLO

Teorema 3En todo tringulo la suma de las

medidas de sus ngulos interiores esigual a 34/.

En el tringulo )*5 se cumplen#

H H 34/0

Teorema ?En todo triangulo la medida de unngulo exterior es igual a la suma delas medidas de dos ngulos interiores

no adyacentes a el.

En el tringulo )*5 se cumplen#x= +

Teorema En todo triangulo la suma de lasmedidas de los ngulos exterioresconsiderando uno por %rtice es igual a$G/.

En el tringulo )*5 se cumple#x y " #$!+ + =

Teorema 9En todo tringulo al lado de la mayorlongitud se le opone el ngulo de mayormedida y %ice%ersa (propiedad decorrespondencia.

En el )*5, si# a b>Entonces# >

Teorema ;

>

5

x

a

c

A

B

C

PABC

=a + + c

PABC

a b c

+ +=

A

B

C

A

B

C

x

>

5

x

B

A C

A

B

C

ca


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En todo tringulo la longitud de un ladoes mayor que la diferencia de laslongitudes de los otros dos y menor quela suma de las mismas (propiedad deexistencia

En el )*5, sea# a + c'e cumple# b c a b c < < +

TEO/E-AS ADICIONALES

3

=

B

=

$

C

D

En la figura, P es un punto interior al)*5, se cumple#

p PA PB PC p< + +

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