Geometri affine

Geometri Affine / 77

BAB 4

PENGENALAN GEOMETRI AFFINE

Janos meninggalkan sekolahnya pada saat kelas 4. Ia

masuk di Perguruan Tinggi Calvinist di

Marosvasarhely pada umur 12 tahun dan selama 3 tahun

lebih ia dijuluki sebagai “a real child genius”. Dan saat

umur 13 tahun dia telah menguasai kalkulus dan analitis,

mekanika dan yang lain. Pada umur 15 tahun, ia telah

menemukan solusi dalam menggunakan salah satu cabang

dari hiperbola xy=c. Ia juga ahli bahasa yang terkemuka

yang menguasai sembilan bahasa asing termasuk Cina dan

Tibet.

Ia belajar di Akademi Rancang-Bangun di kerajaan

Vienna dari tahun 1818 sampai 1822. Setelah itu ia

bergabung di Angkatan Perang Kesatuan Rancang-Bangun

selama 11 tahun. Kemudian pada tahun 1833 ia

dipensiunkan di rangking Kapten karena sering terkena

penyakit. Kemudian ia tinggal di pengasingan dengan

keluarganya di Marosvasarhely tanpa memperoleh informasi

tentang peristiwa ilmiah. Meskipun demikian ia mencapai

hasil penting didalam matematika.

Antara tahun 1820 dan 1824, ia mengembangkan

ilmu ukur non-Euclide-nya yang baru yang berasal dari

solusi permasalahan dalam parallel. Pada saat berusia 21

Janos Bolyai dilahirkan pada

tanggal 15 Desember 1802 di

Koloszvar, sekarang Cluj, bagian

dari Romania Transylvania. Orang

tua dari Janos Bolyai adalah Farkas

Wolfgang Bolyai dan Zsuzsanna

Benko. Ayahnya Farkas Bolyai

mempunyai pekerjaan di Perguruan

Tinggi Calvinist sebagai pengajar

Matematika, Ilmu Fisika dan Ilmu

Kimia.

/Geometri Affine 78

tahun, ia melaporkan temuannya pada ayahnya: “Aku sudah

menemukan hal yang bagus dan aku sangat dikejutkan…

Aku sudah menciptakan sesuatu yang baru, dunia yang lain,

yang keluar dari tidak ada apapun…”. Suatu catatan

tersebut adalah gambaran ilmu ukur kemutlakan yang

disebut ilmu ukur hyperbolic, dan diterbitkan sebagai

catatan tambahan pada buku teks ayahnya yang berjudul

“Tentamen” pada tahun 1832. Judulnya adalah catatan

tambahan, Scientiam Spatii Veram Absolut Exhibens …”,

yaitu “Ilmu Pengetahuan Riil yang Absolut …”.

Melalui ayahnya, ia menerima suatu catatan oleh

Lobachevski berjudul “Geometriche Untersuchungen Zur

Theorie der Parallellinien” (Penyelidikan Geometris

mengenai Teori Garis Sejajar), yang mana catatan tersebut

hampir sama dengan catatan tambahan dan dimana orang

Rusia Ahli Matematik menguraikan Ilmu Ukur non-Euclide

hyperbolic. Pada tahun 1850, Bolyai mulai menyiapkan

suatu naskah yang diberi hak Jerman yang berjudul

“Raumlehre” (Ilmu Pengetahuan Ruang). Ia mencoba untuk

mengembangkan suatu system Geometris lengkap berdasar

pada aksioma, tetapi pekerjaan ini tidak diselesaikan.

Bolyai juga mengembangkan suatu konsep Geometris

kaku tentang angka-angka kompleks sebagai penghembus

dari angka-angka riil. Walaupun ia tidak pernah

menerbitkan lebih dari 26 halaman catatan tambahan,

namun pemikirannya telah dibukukan lebih dari 14.000

halaman naskah mathematical. Dan pada saat itulah ia

meninggal. Ahli Matematika tulen telah ditemukan. Dialah

Janos Bolyai yang sebagian besar menghasilkan teori baru.

Dasar dari Geometri Affine adalah adalah

Geometri Terurut. Bidang Affine dipandang sebagai

keadaan khusus dari bidang terurut. Pengertian

pangkalnya sama yaitu titik dan keantaraan. Aksioma-

aksioma dari geometri terurut yang berlaku adalah


Aksioma 3.1, 3.7, 3.8, 3.9

Aksioma 4.1 Ada paling sedikit dua titik

Aksioma 4.2

Jika A B C suatu segitiga, [B C D] dan [C E A], maka

pada garis DE, ada suatu titik F yang memenuhi

[AFB].

Aksioma 4.3 (Dalam ruang dimensi dua)

Semua titik ada dalam satu bidang

Aksioma 4.4

Untuk setiap partisi dari semua titik pada suatu

garis dalam dua himpunan yang tidak kosong,

sedemikian hingga tidak ada titik dari masing-

masing himpunan yang terletak antara dua titik

dari himpunan lainnya, maka ada satu titik dari

satu himpunan yang terletak antara setiap titik dari

himpunan itu dan setiap titik himpunan lainnya.

Aksioma 4.5

Untuk sebarang titik A dan sebarang garis r yang

tidak melalui A ada paling banyak satu garis

melalui A dalam bidang Ar, yang tidak memotong

r.

Aksioma 4.6

Jika A, A’, B, B’ C, C’, O adalah 7 buah titik

berlainan sedemikian hingga AA’, BB’, CC’ adalah 3

buah garis berlainan melalui O dan jika AB//A’B’,

BC//B’C’, maka CA//C’A’.

C

B

A

B1

C1

0

A1

/Geometri Affine 80

Kesejajaran dalam Geometri Affine ini adalah suatu

relasi ekuivalensi. Jadi memenuhi sifat-sifat:

a. refleksi, yaitu setiap garis a sejajar dengan a sendiri

b. simetrik, yaitu jira garis a sejajar denga garis b,

maka garis b sejajar dengan garis a

c. transitif, yaitu jira garis a sejajar dengan garis b dan

garis b sejajar dengan garis c, maka garis a sejajar

denan garis c. Aksioma 2 dapat kita gambarkan

sebagai berkut:

Teorema 4.1

Jika ABC dan A’B’C’ adalah 2 segitiga dengan titik-titik

sudut yang berlainan, diletakkan sedemikian,hingga

BC//B’C’, CA/C’A’ dan AB//A’B’, maka ketiga garis

AA’, BB’ dan CC’ adalah berpotongan pada satu titik

(konkuren) atau sejajar.

Diketahui : BC//B’C’, CA/C’A’, AB//A’B’

Dibuktikan : AA’, BB’ dan CC’ berpotongan pada

satu titik atau sejajar.

Bukti:

Jika ketiga garis AA’, BB’ dan CC’ tidak semuanya

sejajar, dua diantaranya tentu berpotongan,

misalnya AA’ dan BB’ berpotongan di 0 dan 0C

memotong B’C’ di C”. Maka didapat AA’, BB’ dan

CC” berpotongan di 0 dan AB//A’B’, BC//B’C’,

karena C” pada B’C’. Menurut Aksioma 4.6 AC//

A’C”.

0

C

B

A1

A

B1

C1

C”

0

C

B

A’1

A

B’1

C’1


C

B

A1

A

B1

C”

Diketahui AC// A’C” , maka C” pada A’C’, C” juga

pada B’C’ (menurut pemisalan). Karena A’B’C’ suatu

segitiga, maka haruslah C” berimpit dengan C’. jadi

AA’, BB’ dan CC’ berpotongan pada satu titik 0, jika

AA’, BB’ dan CC’ tidak semuanya sejajar.

Teorema 4.2

Jika A, A’, B, B’, C, C’, adalah 6 titik berlainan pada 3

garis sejajar berlainan AA’, BB’, dan CC’, diletakkan

sedemikian, hingga garis AB sejajar dengan A’B’. BC

sejajar dengan B’C’, maka CA juga sejajar dengan C’A’.

Diketahui : AA’// BB’//CC’

AB//A’B’ dan BC//B’C’

Dibuktikan : CA// C’A’.

Bukti

Melalui A’ dilukis A’C’’, sejajar

AC, sehingga C’’ terletak pada

B’C’. Maka AB//A’B’, dan

BC//B’C’’ dan AC//A’C’’, jadi

menurut Teorema 4.1, AA’//

BB’//CC’’. Karena diketahui,

bahwa AA’// BB’//CC”, maka

C’’ terletak pada CC’, C’’ juga

terletak pada B’C’. Karena garis-

garis BB’ dan CC’ berlainan,

maka tidak mungkin B’ terletak

pada CC’. jadi dari C’’ pada CC’

dan C’’ pada B’C’ dapat

disimpulkan bahwa

C’’ berimpit dengan C’ dengan demikian CA sejajar

dengan C’A’.

D

A

P

B

C

/Geometri Affine 82

Definisi 4.1

Empat titik A, B, C, dan D yang tidak segaris dikatakan

membentuk suatu jajargenjang ABCD jika AB sejajar

dengan DC dan BC sejajar dengan AD.

A, B, C, dan D adalah titik-titik sudutnya. Segmen-

segmen AB, BC, CD dan DA adalah sisi-sisinya dan

segmen-segmen AC dan BD diagonal diagonalnya.

Karena B dan D pada pihak yang berlainan dari AC,

maka diagonal-diagonal berpotongan di suatu titik

yang disebut pusat jajargenjang.

Definisi 4.2

Suatu dilatasi ialah suatu transformasi yang

mentransformasikan setiap garis ke garis yang sejajar.

Teorema 4.3

Dua segmen yang diketahui AB dan A’B’ pada garis-

garis yang sejajar menentukan dengan tunggal suatu

dilatasi AB A’B’.

Bukti

P1

A1 B

1

C1

P

A

B

C


Misalkan P sebarang titik pada bidang. Untuk

melukis bayangan P1 di buat garis melaui A’ yang

sejajar AP dan garis melalui B’ yang sejajar BP. Titik

potong kedua garis ini ialah P1, bayangan dari P.

Garis-garis melalui A’ dan B’ tidak mungkin sejajar,

sebab AP dan BP tidak sejajar. Dengan jalan serupa,

jika C diketahui, maka dapat dilukis C’.

Menurut Teorema 4.1, maka AA’// BB’// PP1. jadi

jika garis-garis sejajar AB dan A’B’ tidak berimpit,

maka garis-garis AA’ dan BB’, CC’ dan PP1 adalah

konkuren atau sejajar, sehingga C’P1 sejajar dengan

CP. Jadi transformasi itu betul suatu dilatasi dan

tunggal.

Jika garis-garis AB dan A1B1 berimpit, maka

transformasi dapat dipandang sebagai AC A1C1.

Sehingga dua segmen sejajar menentukan dengan

tunggal suatu latasi

Definisi 4.3

Invers dari dilatasi AB A’B’ ialah dilatasi A’B’ AB.

Definisi 4.4

Yang dimaksud dengan hasil kali dua dilatasi ialah

suatu dilatasi yang dilanjutkan dengan dilatasi yang

lain.

Maka hasil kali dua dilatasi AB A’B’ dan A’B’

A”B” ialah dilatasi AB A”B”

B1

A’

B

B11

A11

A

/Geometri Affine 84

Hasil kali suatu dilatasi dengan inversnya

adalah identitas AB AB.

Garis-garis yang menghubungkan suatu titik

dan bayangnya adalah garis-garis invarian.

Garis-garis ini berpotongan pada satu titik atau

sejajar.

Jika garis-garis yang menghubungkan titik dan

bayangannya, yaitu yang menghubungkan dua

titik berkorespondensi, berpotongan pada satu

titik, dilatasi disebut dilatasi sentral. Titik

potong garis-garis itu disebut titik pusat dilatasi

0, titik pusat dilatasi ini tunggal.

Jika garis-garis yang menghubungkan dua titik

berkorespondensi sejajar, maka dilatasi itu suatu

translasi.

● A

● A’

●

●

● B

● B’

● C

● C’


B1

C

A

D

C1

D1

Jika pada translasi AB A’B’, AA’B’B tidak

berupa jajargenjang dapat ditunjukkan

jajargenjang lainnya seperti pada gambar

berikut.

AB A1B1 sama dengan AC A1C1 dengan AA1 C1C

suatu jajargenjang atau AD A’D’ suatu jajargenjang.

Jika A, A’ dan B diketahui, maka letak B’ tidak

tergantung dari pemilihan C atau D, sehingga terdapat

Teorema berikut

Teorema 4.4.

Sebarang dua titik A dan A’ menentukan dengan

tunggal translasi A A’.

Bukti

Jadi suatu dilatasi adalah suatu translasi bila dan

A1

B

A1

B1

C1

0

A

C1

B

C1

B1

C1

A

A1

B

/Geometri Affine 86

hanya bila tidak mempunyai titik invarian. Translasi A

A’ sama dengan translasi B B’. Jika AA’ B’B suatu

jajargenjang.

A A’.

Teorema 4.5

Dilatasi AB → A’B’ mentransformasikan setiap titik.

Bukti A A’ atau B B’.

Dalam Geometri Terurut, ada Teorema yang

mengatakan, bahwa jika ABC dan A’B’C’

merupakan dua pasangan 3 titik yang segaris

sedemikian, hingga garis-garis AA’, BB’, dan CC’

tidak mempunyai titik potong dan jika [ACB] maka

[A’C’B’]. jika kita misalkan garis AA’ ialah garis A,

garis BB’ ialah garis b dan garis CC’ ialah garis c

maka kita dapat [ACB].

Maka untuk setiap titik C, titik potong C dengan

suatu segmen AB dengan A pada a dan B pada b,

●A

●A’

●B

●P

●A

●A’

●B

●P

●B’

●B ●B


berlaku [ACB]. Maka Teorema di atas terbukti.

Jika ABC dan A’B’C’ merupakan 2 pasangan 3 titik

yang segaris pada garis-garis yang berlainan

sedemikian hingga ketiga garis AA’ BB’ dan CC’

mempunyai titik persekutuan O yang tidak terletak

antara A dan A’, tidak terletak antara B dan B’ dan juga

tidak antara C dan C’, dan jika [ACB], maka [A’C’B’].

Hal ini juga mudah dibuktikan mengingat bahwa sinar

OC terletak di dalam sudut AOB sehingga untuk setiap

titik C’, titik potong OC dengan suatu segmen A’B’

dengan A’ pada sinar OA dan B’ pada sinar OB

dipenuhi [A’C’B’].

D

A’ C’

B’

A C B D

A’ C’

B’

A C B

B

a b c

A’ C’ B’

C A

a c b

C B

A

A’

C’

B’

/Geometri Affine 88

Untuk titik-titik A, B dan C yang terletak pada garis

invarian digunakan garis-garis sejajar sebagai

pertolongan untuk menunjukkan kebenaran Teorema

4.5 ini.

[ACB] → [A1CB1] → [A2C’B2] → [A’C’B’]

[ACB] → [A1CB1] → [A2C’B2] → [A’C’B’]

Jadi terbukti, jika [ACB], maka [A’C’B’]

Teorema 4.6

Hasil kali 2 translasi A → B dan B → C adalah translasi

A → C

Bukti

Hasil kali 2 dilatasi adalah suatu dilatasi.

Andaikan hasil kali 2 translasi ini bukan suatu

translasi, maka tentu ada titik invariannya O,

oleh translasi pertama A → B, titik O dibawa ke

O’.

karena titik O titik invarian oleh B → C maka

titik O’ dibawa ke-O

O’ → O adalah invers dari O → O’.

jadi hasil kali dua translasi mempunyai titik

invarian jika yang satu invers dari yang lain,

dan hasil kali ini berupa identitas.

Jadi hasil kali dua translasi adalah suatu

translasi, yaitu dilatasi yang tidak ada titik

A

1

B

1

B C A

a c b a' b

' c'

B

2

A

2

A’ C’

B’

a

A’

0

c b

a'

A C B A’

A2 c'

C’

b'

B’

B2


invariannya.

Hasil kali dua translasi ini memenuhi sifat komutatif.

Hal ini mudah dibuktikan,

Misalkan kedua translasi itu tidak menurut dua

garis sejajar. Dengan melukis jajargenjang ABCD,

tampak bahwa A → B sama dengan D → C dan B

→ C sama dengan A → D,

A → C = (A → B) (B → C) = (A → D) (D → C) = (B

→ C) (A → B) (terbukti)

Jika kedua translasi menurut garis yang sama,

misalkan kedua translasi T dan X, misalkan

translasi Y suatu translasi yang tidak menurut garis

yang sejajar dengan translasi-translasi di atas, maka

X dan Y komutatif, demikian pula X dan TY.

T(X Y) = T(Y X) = (T Y)X = X(TY)

(TX)Y = (XT)Y, sehingga TX = XT (terbukti)

Definisi 4.5

Jika 2 titik berlainan, misalnya A dan B ditukar oleh

suatu dilatasi tunggal AB → BA atau A B, maka

transformasi itu disebut setengah putaran.

Jika C sebarang titik diluar garis AB, maka

untuk mencari bayangannya, kita hubungkan C

dengan A dan B, maka titik potong garis yang melalui

B A

C D

/Geometri Affine 90

B sejajar AC dan yang melalui A sejajar BC ialah D,

bayangan dari C.

Jika ACBD adalah suatu jajargenjang. Setengah

putaran itu dapat dinyatakan dengan C D. garis-

garis invarian AB dan CD, karena diagonal-diagonal

suatu jajargenjang, berpotongan di titik O, yang

menjadi titik invarian dari setengah putaran. Titik O

adalah titik pusat jajargenjang. Pada setengah putaran

A B, titik O adalah titik tengah segmen AB.

Untuk melukis bayangan titik T pada garis AB,

dihubungkan T dengan C (atau D) dan kemudian

dilukis garis melalui D (atau C) yang sejajar dengan TC

(atau TD) dan terdapat T’ pada garis AB.

Hasil kali dua setengah putaran dapat dinyatakan

sebagai (A B) atau (B C). andaikan hasil kali ini

mempunyai suatu titik invarian O, maka oleh setengah

putaran A B, O dibawa ke-O’. Jadi A B sama

dengan O O’. oleh setengah putaran B C maka

O’ dibawa ke O, jadi B C sama dengan O’ O. Jadi

ada titik invarian jika A B = B C. dalam hal ini

yang lain tidak ada titik invarian.

D A

B C

T

O T’


Teorema 4. 7

Hasil kali 2 setengah putaran A B dan B C adalah

translasi A C.

Bukti :

Jika A B tidak sama dengan B C, maka (A B) (B

C) tidak mempunyai titik invarian. Jadi berupa

translasi. Jika ADBC suatu jajargenjang, maka A B

sama dengan C D dan A D sama dengan C B

Hubungan ini tetap berlaku

jika jajargenjang berubah

menjadi segmen garis

dengan 4 titik yang letaknya

teratur simetrik.

A C D B

Contoh 4.1

1. Diketahui (A B) (B C) = (A C), tunjukkan

bahwa sebarang C yang ditentukan adalah titik

invarian dari suatu setengah putaran, dengan

mengganti A = C dalam persamaan

Penyelesaian

(A B) (B → C) = (A C)

Jika A = C, maka diperoleh

(C B) (B → C) = (C C)

(C C), berarti C suatu titik invarian.

Teorema 4.8

Setengah putaran A B dan C D sama, bila dan

hanya bila translasi A D dan C B sama.

Diketahui A B = C D

D A

B C

O

/Geometri Affine 92

Dibuktikan : A D = C B

Bukti: A D = (A B) (B D)

= (C D) (B D)

= (C D) (D B)

= C B

Diketahui A D = C B

Dibuktikan : A B = C D

Bukti: A B = (A D) (D B)

= (C B) (D B)

= (C B) (B D)

= C D

Jika C dan D berimpit, yang dapat disebut C’, maka

C’ adalah titik tengah AB bila dan hanya bila

translasi A → C’ dan C’ → B sama.

Kemudian dapat dibuat

jajargenjang AC’A’B’ dan

BC’C’A’ dan terdapat ∆

ABC dengan A’, B’ dan C’

sebagai titik-titik tengah

sisi-sisinya. Kemudian

diperoleh Teorema berikut.

Contoh 4.2

Jika ketiga diagonal dari suatu segienam (tidak perlu

konveks) mempunyai titik tengah yang sama, maka

buktikan sebarang dua sisi berhadapan sejajar.

Diketahui: AO = OD, BO = OE, CO = OF

Dibuktikan : 2 sisi berhadapan adalah sejajar.

Bukti:

D A = B E

D E = B A (Teorema 4.8)

A C’ B

B’ A’

C


Berarti DE sejajar dengan BA

D A = F C

D → C = F → A (terbukti)

Jadi DC sejajar dengan FA

E B = C F

E → F = C→ B (terbukti)

Jadi EF sejajar dengan CB. Terbukti sisi-sisi yang

berhadapan sejajar.

Teorema 4.9

Garis yang menghubungkan titik-titik tengah

DUA sisi suatu segitiga adalah sejajar dengan

sisi yang ketiga dan

suatu garis yang melalui titik tengah suatu sisi

dan sejajar dengan sisi yang lain akan melalui

titik tengah sisi yang ketiga.

Contoh 4.3

Titik-titik tengah sisi-sisi suatu segi empat sebarang

adalah titik-titik sudut suatu jajargenjang. Teorema ini

ditemukan oleh Pierre Varignon (1654 – 1722).

Diketahui: ABCD segi

empat sebarang P, Q, R

dan S berturut-turut

titik-titik tengah AB, BC,

CD dan DA.

C B A

F D

E

O

C

/Geometri Affine 94

Dibuktikan : PQRS suatu

jajargenjang.

Bukti:

Dipandang ∆ACD dan ACB. Maka SR sejajar

dengan AC dan PC sejajar dengan AC (menurut

Teorema 9). Jadi SR sejajar dengan PQ. Dipandang

∆BDA dan ∆BDC.

Maka PS sejajar dengan BD dan QR

PQRS suatu segiempat yang sisi-sisinya

berhadapan sejajar, jadi PQRS suatu jajargenjang.

LATIHAN 4

1. Buktikan Teorema 4.9

C

B A

D

R

S Q

P

Geometri affine

Engineering

Transcript of Geometri affine