Geo trasformazioni
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AvvioEsci
ITC SoveratoITC SoveratoProff. Santoro-MezzoteroProff. Santoro-Mezzotero
Le trasformazioni
geometriche
nel piano
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TourNozioni fondamentali sulle trasformazioni geometriche
Fare clic sull'argomento desiderato.
Esci
Le trasformazioni nel pianoDefinizioni e proprietà
Risorse e materiale aggiuntivoObiettivi, schede operative,
valutazione
MENUMENU
![Page 3: Geo trasformazioni](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/55b8ba25bb61ebef688b4592/html5/thumbnails/3.jpg)
Menu
TOURTOUR
Esci
Le simmetrie si ritrovano in molteopere artistiche: Nei rosoni delle cattedrali gotiche
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Nelle decorazioni dei vasi greciNelle decorazioni dei vasi greci
Esci
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Nei quadri di Escher:Nei quadri di Escher:
Esci
Nella prima figura, ogni cavaliere viene trasformato in un altro effettuando uno spostamento secondo una certa direzione. Nella seconda figura, le immagini sono ottenute mediante rotazioni lungo la linea orizzontale.
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Menu
NELLE TASSELLAZIONINELLE TASSELLAZIONI
Esci
Le tassellazioni sono ottenute riempiendo ilfoglio mediante trasformazioni geometriche,senza che rimangano spazi bianchi.
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MenuEsci
Le simmetrie sono presentianche in natura:
Nelle molecoleNei fiori Nelle stelle marineNegli animali.
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MenuEsci
Profili o bicchieri?La risposta dipende da
come interpreti lo sfondo - se bianco o nero. Il
fotografo Zeke Berman ha creato questo disegno usando silhouettes di
persone vere.
…e persino nelle illusioni ottiche.
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MenuEsci
LE SIMMETRIE SONO TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
Consideriamo una figura geometrica contenuta in un piano, ad esempio un triangolo, e uno specchio perpendicolare a questo piano
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MenuEsci
Vediamo nello specchio un’immagine che assomiglia al triangolo e che tuttavia non è del tutto identica; infatti anche se sono identiche le dimensioni, la sinistra e la destra risultano invertite.L’immagine risulta speculare e cioè è simmetrica del triangolo dato rispetto al piano dello specchio.
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Menu
Analoghe considerazioni valgono per Analoghe considerazioni valgono per villa Foscarivilla Foscari a Mira (la malcontenta di Andrea Palladio)a Mira (la malcontenta di Andrea Palladio) riflessa riflessa
nello specchio d’acquanello specchio d’acqua
Esci
![Page 12: Geo trasformazioni](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/55b8ba25bb61ebef688b4592/html5/thumbnails/12.jpg)
MenuEsci
I matematici dicono che esiste una corrispondenza biunivoca tra i punti della figura data e i punti dell’immagine.Risulta che alcune caratteristiche sono comuni alla figura iniziale e alla sua immagine (ad esempio, le dimensioni), mentre altre differiscono (ad esempio, l’orientamento dei punti dovuto allo scambio della sinistra con la destra).Le proprietà comuni sono chiamate invarianti.
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MenuEsci
Consideriamo una grata e la sua ombra proiettata dai raggi solari che possono essere considerati tutti paralleli tra di loro. Anche qui esiste una corrispondenza biunivoca tra i punti della grata e la sua ombra, ma non si conservano né il parallelismo né le dimensioni della grata.
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Esci
Possiamo quindi dire che: “Una trasformazione piana è una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che fa corrispondere ad ogni punto uno ed un solo punto del piano stesso”.
P P’
DEFINIZIONE DI TRASFORMAZIONE PIANA
Fine
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Fare clic sull'argomento desiderato.
MenuEsci
La traslazione La simmetria assiale
Le omotetie
I vettori
La rotazione
La simmetria centrale
LE TRASFORMAZIONILE TRASFORMAZIONI
La composizioneLa similitudine
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Esci Menu
I VETTORII VETTORIUn vettore è una classe di segmenti orientati aventi la stessa direzione, lo stesso verso e la stessa lunghezza, Un vettore è indicato con la lettera in grassetto v, oppure con B-A, dove B è l’estremo e A è l’origine..
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Esci Menu
Le componenti di un vettoreLe componenti di un vettore
2
3
y
x
u
u
2
2
y
x
z
z
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Esci
La somma di due vettori La somma di due vettori regola del parallelogrammaregola del parallelogramma
Fine
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LA TRASLAZIONELA TRASLAZIONEUna traslazione è una trasformazione del pianio in sé completamente individuata da un vettore, ossia da: una direzione (lungo la quale avviene lo spostamento di ogni punto) da un verso su tale direzione (a ogni direzione si possono associare due versi di percorrenza, l’uno opposto all’altro) da una lunghezza (che rappresenta la misura dello spostamento che subisce ciascun punto)
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Esci
GLI INVARIANTI DI UNA GLI INVARIANTI DI UNA TRASLAZIONETRASLAZIONE
L’allineamento dei punti
La lunghezza dei segmenti
L’orientamento dei punti
L’ampiezza degli angoli
Il parallelismo
Le direzioni
Il rapporto tra i segmenti
Menu
![Page 21: Geo trasformazioni](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/55b8ba25bb61ebef688b4592/html5/thumbnails/21.jpg)
Esci
UN ESEMPIO DI TRASLAZIONEUN ESEMPIO DI TRASLAZIONE
Menu
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Le equazioni della traslazione Le equazioni della traslazione di vettore di vettore vv
Esci Fine
y
x
vyy
vxx
'
'
![Page 23: Geo trasformazioni](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/55b8ba25bb61ebef688b4592/html5/thumbnails/23.jpg)
LA LA ROTAZIONEROTAZIONE
Esci
O
P
P’
α
La rotazione di centro O e ampiezza α è la trasformazione del piano in sé che al punto O fa corrispondere O e a ogni punto P≠O associa un punto P’ in modo che d(O,P) = d(O,P’) e che l’angolo PÔP’ abbia ampiezza α
Il centro O è l’unico punto unito in una rotazione
Menu
![Page 24: Geo trasformazioni](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/55b8ba25bb61ebef688b4592/html5/thumbnails/24.jpg)
Invarianti della rotazioneInvarianti della rotazione• L’allineamento dei punti• La lunghezza dei segmenti• L’ampiezza degli angoli• Il parallelismo• L’orientamento dei punti nel piano• Il rapporto tra segmenti
Esci Menu
Non sono invece un invariante le direzioni!!!
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Un esempio di rotazione in Un esempio di rotazione in senso antiorario di centro Osenso antiorario di centro O
Esci Menu
O
α=45°
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Rotazione di 90° in senso Rotazione di 90° in senso antiorarioantiorario
Esci Menu
O
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Rotazione di 90° in senso orarioRotazione di 90° in senso orario
Esci Menu
O
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Rotazione di 180°Rotazione di 180°
Esci Menu
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Le equazioni della rotazione Le equazioni della rotazione
Se l’angolo dirotazione è 90°, le equazioni sono:
Se l’angolo è di 180°, le equazionisono:
Esci Fine
xy
yx
'
'
yy
xx
'
'
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Esci Menu
La simmetria centraleLa simmetria centralePer simmetria centrale di centro O si intende una trasformazione che ad ogni punto P, diverso da O, associa un punto P’, allineato con P ed O, in modo che PP’ abbia O come punto medio. Il centro O è l’unico punto unito di una simmetria centrale.
Una simmetria centrale di centro O è una rotazione di 180° attorno ad O.
Oltre agli invarianti della rotazione, la simmetria centrale conserva le direzioni.
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Esci Menu
Simmetria rispetto all’origineSimmetria rispetto all’origine
![Page 32: Geo trasformazioni](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/55b8ba25bb61ebef688b4592/html5/thumbnails/32.jpg)
Simmetria rispetto ad un puntoSimmetria rispetto ad un punto
Esci Menu
![Page 33: Geo trasformazioni](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/55b8ba25bb61ebef688b4592/html5/thumbnails/33.jpg)
Simmetria centraleSimmetria centrale
Esci Menu
![Page 34: Geo trasformazioni](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/55b8ba25bb61ebef688b4592/html5/thumbnails/34.jpg)
Le equazioni della Le equazioni della simmetria centralesimmetria centrale
Rispetto all’origine Odi un sistema di assicartesiani ortogonali,le equazioni sono:
Rispetto al centro di coordinate (e,f), le equazioni sono:
Esci
yy
xx
'
'
fyy
exx
2'
2'
Fine
![Page 35: Geo trasformazioni](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/55b8ba25bb61ebef688b4592/html5/thumbnails/35.jpg)
Esci
La simmetria assialeLa simmetria assiale
Menu
La simmetria assiale rispetto alla retta r, asse di simmetria, è una trasformazione che ad ogni punto P del piano associa il punto P’ tale che r sia l’asse del segmento PP’.
![Page 36: Geo trasformazioni](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/55b8ba25bb61ebef688b4592/html5/thumbnails/36.jpg)
Esci
Gli invarianti della simmetria assialeGli invarianti della simmetria assiale• L’allineamento dei punti• La lunghezza dei segmenti• L’ampiezza degli angoli• Il parallelismo• Il rapporto tra i segmenti
Non sono invarianti: Le direzioni e L’orientamento dei punti
Menu
![Page 37: Geo trasformazioni](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/55b8ba25bb61ebef688b4592/html5/thumbnails/37.jpg)
Esci
Un esempio di simmetria Un esempio di simmetria assiale rispetto agli assi x e y.assiale rispetto agli assi x e y.
Menu
![Page 38: Geo trasformazioni](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/55b8ba25bb61ebef688b4592/html5/thumbnails/38.jpg)
Esci
Un esempio di simmetria assiale Un esempio di simmetria assiale rispetto a una retta rispetto a una retta r r ortogonale.ortogonale.
Menu
![Page 39: Geo trasformazioni](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/55b8ba25bb61ebef688b4592/html5/thumbnails/39.jpg)
Esci
Un esempio di simmetria assiale Un esempio di simmetria assiale rispetto a una retta rispetto a una retta r r obliqua.obliqua.
Menu
![Page 40: Geo trasformazioni](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/55b8ba25bb61ebef688b4592/html5/thumbnails/40.jpg)
Esci
Le equazioni della simmetria Le equazioni della simmetria assialeassiale
Simmetria rispetto all’asse x:
yy
xx
'
'
Simmetria rispetto all’asse y:
yy
xx
'
'
Simmetria rispetto alla retta y=x:
Simmetria rispetto alla retta y=-x:
xy
yx
'
'
xy
yx
'
'
Fine
![Page 41: Geo trasformazioni](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/55b8ba25bb61ebef688b4592/html5/thumbnails/41.jpg)
Esci
LE OMOTETIELE OMOTETIE“Si chiama omotetia di centro O e rapporto k (k≠0), la corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che ad ogni punto P associa il P’ tale che tra i segmenti orientati OP e OP’ valga la relazione OP’= k OP.”L’omotetia permette di ingrandire o ridurre una figura, lasciandone inalterata la forma.Le equazioni dell’omotetia di centro O e rapporto k sono:
kyy
kxx
'
'
Menu
![Page 42: Geo trasformazioni](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/55b8ba25bb61ebef688b4592/html5/thumbnails/42.jpg)
Esci
TRIANGOLI OMOTETICITRIANGOLI OMOTETICI
Menu
![Page 43: Geo trasformazioni](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/55b8ba25bb61ebef688b4592/html5/thumbnails/43.jpg)
Esci
Riduzione con centro O e k = -0.5Riduzione con centro O e k = -0.5
Menu
![Page 44: Geo trasformazioni](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/55b8ba25bb61ebef688b4592/html5/thumbnails/44.jpg)
Esci
Riduzione con centro P e k = 0.5Riduzione con centro P e k = 0.5
Fine
![Page 45: Geo trasformazioni](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/55b8ba25bb61ebef688b4592/html5/thumbnails/45.jpg)
Esci
COMPOSIZIONE DI TRASFORMAZIONICOMPOSIZIONE DI TRASFORMAZIONI
Fine
![Page 46: Geo trasformazioni](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/55b8ba25bb61ebef688b4592/html5/thumbnails/46.jpg)
Esci
SIMILITUDINESIMILITUDINE
Fine
![Page 47: Geo trasformazioni](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/55b8ba25bb61ebef688b4592/html5/thumbnails/47.jpg)
Esci Menu
Materiale aggiuntivoMateriale aggiuntivo• Test e schede operative• Cerca in Internet• Obiettivi del corso• Tabella di valutazione
![Page 48: Geo trasformazioni](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/55b8ba25bb61ebef688b4592/html5/thumbnails/48.jpg)
Esci Menu
Test e schede operativeTest e schede operative
Test_iniziale Scheda_0 Scheda_1 Scheda_2 scheda_3 scheda_4
In formato Word sono raccolti test e schede di verifica utilizzate durante il corso
Verifica_finale
![Page 49: Geo trasformazioni](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/55b8ba25bb61ebef688b4592/html5/thumbnails/49.jpg)
• http://www.scuoladibase.it/docs/risordid/disper/INF_Gall.htm
(articolo interessante sulle isometrie nell’arte in cui si parla di Escher)
• http://www.matematicamente.it/arte/enriques.htm
(articolo su matematica e arte)• http://standards.nctm.org/document/eexamples/
chap6/6.4/index.htm(per comprendere le trasformazioni in modo
interattivo)
Esci Menu
CERCA IN INTERNET
![Page 50: Geo trasformazioni](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/55b8ba25bb61ebef688b4592/html5/thumbnails/50.jpg)
Esci Menu
OBIETTIVI DEL CORSO
• Conoscere il significato di trasformazione geometrica
• Conoscere il significato di isometria• Individuare gli invarianti di una
trasformazione• Classificare le trasformazioni
geometriche• Comporre isometrie
![Page 51: Geo trasformazioni](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062304/55b8ba25bb61ebef688b4592/html5/thumbnails/51.jpg)
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Tabella di valutazioneTabella di valutazioneGiudizio Conoscenze Competenze
Scarso Manca di conoscenze Non sa operare
MediocreConosce in maniera frammentaria e/o superficiale
Sa operare solo se guidato
Sufficiente Conosce i contenuti specifici Opera in modo autonomo
BuonoConosce i contenuti specifici in maniera organica e consapevole
Opera in modo critico e utilizza le varie tecniche con sicurezza
OttimoConosce i contenuti specifici in maniera approfonditae personale
Riesce a seguire strategie alternative e personalizzate.
Fine