Jika θ kecil, cos θ dapat didekati dengan (lihat Bab 3)

cos 〖θ ≅ 1-1/2 θ ^ 2〗

Kemudian

h ≅ 1/2 lθ ^ 2

dan energi potensial menjadi

PE + mgh = Mg 1/2 θ ^ 2 = 1/2 Mglθ_0 ^ 2 〖cos〗 ^ 2 ωt

Mengingat ω ^ 2 = g / l kita menemukan

K.E + P.E = 1/2 Mglθ_0 ^ 2 (konstsn)

Sistem rotasi Inertial

Keseimbangan roda (gambar 1.9) di arloji berosilasi tentang pusat. Sebuah pegas yang terhubung ke roda keseimbangan menyediakan memulihkan torsi daripada memulihkan kekuatan, dan rotasi inersia dari kestabilan kemudi memainkan peran inersia massa (inersia rotasi) dalam sistem massa-pegas.

Biarkan momen inersia keseimbangan roda akan saya (kg.m2) dan torsi memulihkan disediakan oleh musim semi menjadi

gambar

Dimana k, adalah konstanta (torsi konstan, Nm) yang memainkan peran yang sama sebagai konstanta pegas dalam sistem massa-pegas dan θ adalah sudut rotasi dari roda keseimbangan diukur dari keseimbangan (nol torsi) posisi sudut.

Gambar

Karena persamaan gerak untuk sistem rotasi diberikan oleh

Gambar

Dimana I adalah momen inersia, kita menemukan

Gambar

Ini lagi identik dalam bentuk matematika untuk Pers. (1.7) Frekuensi osicillation kemudian diberikan oleh

Gambar

Anda harus memeriksa bahwa √ (k_τ / I) memang memiliki dimensi frekuensi.

Contoh 6. Sebuah seragam tongkat lurus yang memiliki panjang l (m) dan M massa (kg) secara bebas diputar di salah satu ujung seperti ditunjukkan pada Gambar 1.10. Cari frekuensi osilasi tentang poros, dengan asumsi sudut θ kecil.

Gambar

Torsi memulihkan bertindak pada tongkat adalah

Gambar

Oleh karena itu, Mgl / 2 memainkan peran memulihkan torsi konstan k, disediakan | θ | «1 (ingat sin θ ≅ θ jika | θ |« 1). Momen inersia tentang ujung tongkat adalah

Gambar

Kemudian

Gambar

1.5. osilasi elektromagnetik

Kami belajar di kelas pada listrik dan magnet thet LC (induktansi dan kapasitansi) rangkaian berosilasi dengan frekuensi sudut

Gambar

Meskipun besaran fisik kita memperlakukan osilasi elektromagnetik sangat berbeda dengan yang ada di osilasi mevhanical, konsep dasar osilasi mekanisme yaitu, melempar energi menchanism-tetap sama. Alih-alih energi kinetik dan potensial dalam sistem massa-pegas, kita sekarang memiliki energi listrik dan magnetik yang tersimpan dalam kapasitor dan induktor, masing-masing.

Pertimbangkan sebuah kapasitor dibebankan pada biaya q_0 (coulomb) tiba-tiba terhubung ke L induktor (gbr. 1.11). Biaya awalnya disimpan dalam Capasitor cenderung toflow terhadap induktor dan menciptakan arus di sepanjang sirkuit. Tegangan kapasitor.

Gambar

Dan yang melintasi induktor adalah

Gambar

Kemudian tegangan Teorema Kirchhoff membutuhkan

Gambar

Karena kita telah memilih arah yang sesuai saat ini untuk sebuah kapasitor pemakaian, kita memiliki

Gambar

Dengan mensubstitusi persamaan (1.34) ke Persamaan (1.33), kita menemukan persamaan diferensial berikut untuk biaya q (t),

Gambar

Ini lagi matematis indetical ke Persamaan (1.7) untuk sistem massa-pegas dan kami segera menemukan bahwa sirkuit LC akan berosilasi dengan frequensi

Gambar

Karena kapasitor memiliki muatan q_0 awal, persamaan untuk menggambarkan muatan instan harus dipilih sebagai

Gambar

Menggunakan Persamaan (1.34) I saat ini (t) karena

gambar

Oleh karena itu energi listrik yang tersimpan dalam kapasitor

Gambar

Dan energi magnetik yang tersimpan dalam induktor adalah

Gambar

Mengingat, kita menemukan bahwa jumlah energi keduanya adalah costant.

Gambar

Dan sama dengan energi listrik awal yang tersimpan dalam kapasitor.

Kapasitor dan pertukaran energi induktor berkala sebagai massa dan pegas lakukan, dan kita melihat thet mekanisme ini melempar energi umum untuk setiap jenis osilasi, mekanik atau elektromagnetik.

Gambar

Contoh 7. Dalam rangkaian LC ditunjukkan pada Gambar 1.12 saklar S ditutup untuk waktu yang lama. Kemudian saklar dibuka pada t = 0. Cari ungkapan untuk arus mengalir di sirkuit LC dan muatan pada kapasitor.

Arus awal yang mengalir melalui induktor adalah

Gambar

Kemudian saat memilih jam bijaksana digambarkan oleh

Gambar

Dimana

Gambar

Muatan pada pelat bawah dari kapasitor diberikan oleh

Gambar

Perhatikan thet kondisi awal dalam contoh ini berbeda dari yang di gambar 1.11

1.6 Ayunan Teredam

Sejauh ini kita telah mempertimbangkan kasus ideal di mana disipasi energi dapat benar-benar

diabaikan. Sebagai contoh, dalam sistem pegas massa. Kami berasumsi bahwa lantai di mana

massa ditempatkan adalah gesekan. Juga, di sirkuit LC. Kami mengabaikan perlawanan di

sirkuit. Kami mengabaikan perlawanan di sirkuit. Kedua gesekan mekanik dan ketahanan listrik

menimbulkan disipasi energi, dan osilasi tidak bisa terus selamanya. Tapi akhirnya harus

teredam. Energi Osilasi diubah menjadi panas secara ireversibel atau menjadi radiasi.

Pertimbangkan sekarang kapasitor C dengan muatan qo tiba-tiba terhubung ke sebuah

induktor L melalui perlawanan terbatas R (gambar 1.13). Menggunakan tegangan teorema

Kirchhoff, kita menemukan

qC

=Ri+ Ldidt

Mengingat kembali

I = - dq/dt

Kita sekarang memiliki persamaan diferensial berikut untuk biaya q (t)

d2qdt2 + R

Ldqdt

+ 1LC

q=0

Dalam batas R-0 (nol perlawanan), kita memang pulih Pers. (1.35)

Memecahkan Persamaan. (1.41) tidak lurus ke depan karena kehadiran dari turunan orde

pertama. Namun, dengan tidak adanya induktansi kita tahu bahwa muatan pada kapasitor yang

teredam secara eksponensial,

q(t)=qoe-t/RC,

Dimana RC adalah waktu konstan. Oleh karena itu, kita dapat berharap bahwa solusi untuk

Persamaan. (1.41) adalah kombinasi dari fungsi berosilasi dan fungsi eksponensial, dan kita

asumsikan

q(t) = qoe-st cos wt,

Dimana 7 adalah konstanta redaman yang akan ditentukan. Bentuk sebelumnya larutan. Namun,

ini hanya berlaku untuk kasus redaman lemah sehingga 7 << w. Kasus umum akan diberikan

sebagai masalah bab ini. Juga dalam bab 13, masalah yang sama akan diselesaikan dengan

metode transformasi Laplace.

Perhatikan bahwa solusi untuk q(t) diberikan oleh Persamaan. (1.43) memenuhi kondisi awal

q(0)=qo

KIta sekarang menghitung dq/dt and d2q/dt2 (ini berasal):

dqdt

=qo¿-vt

d 2qdt 2

=qo¿-vt

Mensubstitusi Pers. (1.44) dan (1.45) ke dalam Pers. (1.41) dan menghilangkan faktor umum qo

dan e-vt, kita menemukan

(γ 2−ω2−RL

γ+ 1LC

¿ cos ωt+(2 γω−RL

ω)sin ωt=0,

Yang harus terus setiap saat. Kemudian koefisien cos wt dan sin wt harus identik dengan nol,

γ 2 – ω2 – RL

γ + 1LC

=0

2γ - RL

=0

Dari ini kita menemukan

γ=R

2 L,ω=

1

√LC,

Dimana dalam Pers. (1.47) kita telah mengabaikan istilah yang mengandung γ, karena kita telah

mengasumsikan γ ≪ω

Fungsi q(t)=qoe-vt cos wt secara kualitatif ditunjukkan pada Gambar. 1.14. The teredam osilasi

dibatasi antara dua kurva ±qoe-vt, yang disebut enyelopes. Perlu ditekankan lagi topi solusi yang

kami temukan adalah benar hanya untuk kasus redaman kecil, γ ≪ω, atau, sama,

R≪√ LC

Contoh 8. Dalam sistem osilasi massa-pegas, asumsikan terdapat kecil tapi terbatas gaya gesekan

antara massa dan lantai, yang sebanding dengan dia kecepatan massa,

Ffriction = - fv = -∫ dxdt

Dimana f adalah konstanta. Tunjukkan bahwa persamaan diferensial untuk perpindahan x (t)

secara matematis identicial untuk Pers. (1,41) dan menemukan kondisi osilasi teredam lemah.

Persamaan gerak untuk massa yang sekarang diberikan oleh

Md2 xdt2 =−kx−∫ dx

dt

Atau

d2 xdt2 + f

Mdxdt

+ kM

x=0

Membandingkan hal ini dengan Persamaan. (1.41), kita melihat bahwa jika substitusi berikut

dibuat

x→ q , M → L , f → R ,k →1C

,

Kedua persamaan adalah identik.

Kondisi untuk osilasi teredam lemah

R≪√ LC

Dengan demikian dapat diterjemahkan sebagai

f ≪√kM

1.7 Ayunan Terpaksa

Dalam bagian sebelumnya kami menemukan beberapa frekuensi osilasi muncul dalam

kedua sistem mekanik dan electromagneti. Mereka frekuensi osilasi (w = k / m, dll) juga secara

khusus disebut alam (atau resonansi) frekuensi, karena mereka muncul ketika sistem oscillaton

dibiarkan, atau terisolasi dari kekuatan pendorong eksternal. Kedua sistem mekanik dan

elektromagnetik, bagaimanapun, dapat dipaksa untuk frekuensi oscillatenwith selain frekuensi

alami.

Sebuah contoh typicial osilasi paksa ini adalah rangkaian ac, di mana sebuah generator

berosilasi dengan frekuensi sudut w mengendarai arus melalui L, C, elemen R (Gambar 1.15).

Meskipun ada resistor R di sirkuit, arus i (t) tidak lembab, berbeda dengan kasus yang kami

pelajari dalam bagian 1.6 karena generator dapat terus memberi makan energi untuk

mengimbangi jumlah energi yang dihamburkan dalam resistor.

Arus yang mengalir dalam rangkaian akan mencapai osilasi stabil dengan frekuensi w

yang sama setelah tahap transien selesai. Seperti yang telah kita pelajari dalam ac sirkuit teori,

amplitudo arus diberikan oleh

lo= Vo

√R2+¿¿¿

Ini memakan waktu maksimal ketika

ωL= 1ωC

∨ω= 1

√ LC

Seperti ditunjukkan dalam Gambar. 1.16. Frekuensi ditentukan dari 1 / √ LC demikian tepat

disebut frekuensi resonansi, di mana transfer energi dari generator ke resistor dapat dicapai

secara efisien. Dalam sistem osilasi mekanik, fenomena resonansi yang sama dapat ditemukan.

Ketika seseorang mendorong ayunan, dia secara alami cocok frekuensi nya mendorong dengan

frekuensi alami atau resonansi ayunan.