GEII - Ma3 - Représentations de Fourier et convolution
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MA3 (GEII - S3)B - REPRÉSENTATION DE FOURIER ET CONVOLUTION
F. Morain-Nicolier
2014 - 2015 / URCA - IUT Troyes
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OUTLINE
1. SÉRIES DE FOURIER COMPLEXES
2. DES SÉRIES DE FOURIER AUX INTÉGRALES DE FOURIER
3. IMPULSION DE DIRAC ET DISTRIBUTIONS
4. PRODUIT DE CONVOLUTION
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1.1 RAPPELS SUR LES SÉRIES DE FOURIER
Fourier à découvert (comme Euler, Lagrange et Bernouilliavant lui) qu’une fonction :
I définie sur R,I à valeurs complexes,I P-périodique,I et suffisamment régulière ( ? ! ?)
peut-être synthétisée à l’aide de sinusoïdes (cosinus et sinus).
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1.1 RAPPELS SUR LES SÉRIES DE FOURIER
Le développement en série de Fourier (DSF) d’une tellefonction f s’écrit :
f (t) = a0 +∞
∑n=1
(an cos(nωt) + bn sin(nωt))
I Les coefficients an et bn sont des constantes quicaractérisent f .
I Cette équation est une équation de synthèse.
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1.1 RAPPELS SUR LES SÉRIES DE FOURIER
Les coefficients an et bn peuvent être obtenus à partir desintégrales suivantes :
a0 =1P
∫ P
0f (t)dt,
an =2P
∫ P
0f (t) cos(nωt)dt,
bn =2P
∫ P
0f (t) sin(nωt)dt.
I Ce sont les équations d’analyse.
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1.1 RAPPELS SUR LES SÉRIES DE FOURIERLe DSF d’une fonction périodique réelle
f (t) = a0 +∞
∑n=1
(an cos(nωt) + bn sin(nωt))
peut également s’écrire uniquement sous la forme d’unesomme de cosinus déphasés :
f (t) =∞
∑n=0
An cos(nωt + φn).
Il est alors possible de tracer deux graphes :
I le spectre d’amplitude An
I le spectre de phase φn
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1.1 RAPPELS SUR LES SÉRIES DE FOURIER
Chaque harmonique est donc caractérisée par :
I An un module etI ϕn une phase.
⇒ un nombre complexe
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1.2 FORME COMPLEXE DU DSF
Le développement en série de Fourier (DSF) d’une fonctionpériodique réelle peut également s’écrire :
f (t) =∞
∑n=−∞
cneinωt.
(cette équation s’obtient aisément à l’aide des formules d’Euler.Voir exercice TD 1).
Les coefficients cn sont obtenus par :
cn =1P
∫ P
0f (t)e−inωtdt.
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1.2 FORME COMPLEXE DU DSF
Les coefficients complexes cn peuvent s’obtenir à l’aide descoefficients réels :
cn =an − ibn
2et
c−n =an + ibn
2= cn.
I Nombre de coefficients ?
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1.2 FORME COMPLEXE DU DSF
QUESTION 1 1 - Par rapport aux coefficients an et bn, le nombrede coefficients cn non redondants est :
1. plus grand2. identique3. plus petit
1. http://lc.cx/WJe10 / 50
1.3 SPECTRES
I Spectre d’amplitude |cn| (pair)I Spectre de phase arg cn (impair) - (attention à l’obtention
de l’angle d’un complexe)
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1.4 PROPRIÉTÉS : TRANSLATION
En posantg(t) = f (t− a),
montrons quecn[g] = cn[f ].e−inωa
et|cn[g]| = |cn[f ]|.
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1.5 PROPRIÉTÉS : DILATATION
En posantg(t) = f (λt),
montrons quecn[g] = cn[f ].
I La dilatation n’a aucun effet sur les coefficients du DSFd’une fonction.
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1.6 PROPRIÉTÉS : DÉRIVATION
En posantg(t) = f ′(t),
montrons quecn[g] = inωcn[f ].
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1.7 FORMULE DE PARSEVAL-PLANCHEREL
En S2, nous avons montré que
1P
∫ P
0f 2(t)dt = a2
0 +∞
∑k=1
(a2n + b2
n).
Ce qui, avec des coefficients complexes, s’écrit :
1P
∫ P
0f 2(t)dt =
∞
∑k=−∞
c2n.
⇒ L’énergie totale d’un signal ne dépend pas de lareprésentation choisie.
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OUTLINE
1. SÉRIES DE FOURIER COMPLEXES
2. DES SÉRIES DE FOURIER AUX INTÉGRALES DE FOURIER
3. IMPULSION DE DIRAC ET DISTRIBUTIONS
4. PRODUIT DE CONVOLUTION
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2. DES SÉRIES DE FOURIER AUX INTÉGRALES DE
FOURIER
I DSF : Analyse harmonique (fonction périodiques)I TF : généralisation aux fonctions non-périodiques
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2.1. EN PREMIÈRE APPROCHE
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2.1. EN PREMIÈRE APPROCHE
I Toutes les fréquences sont présentes dans le spectred’une fonction non-périodique
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2.2. OBTENTION DES INTÉGRALES DE LA TF
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2.2. OBTENTION DES INTÉGRALES DE LA TF
I Équation de synthèse :
f (t) =1
2π
∫ ∞
−∞F(ω)eiωtdω.
I Équation d’analyse
F(ω) =∫ ∞
−∞f (t)e−iωtdt.
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2.2. OBTENTION DES INTÉGRALES DE LA TFI Équation de synthèse :
f (t) =1
2π
∫ ∞
−∞F(ω)eiωtdω.
I Équation d’analyse
F(ω) =∫ ∞
−∞f (t)e−iωtdt.
Pour mémoire, pour une fonction périodique :
f (t) =∞
∑n=−∞
cneinωt
etcn =
1T
∫T
f (t)e−inωtdt.
I Les propriétés du DSF sont (en général) retrouvée avec laTF.
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2.3. DIVERSES RÉPARTITIONS DE LA CONSTANTE
I La constante 2π peut se répartir différemment entre lesdeux équations, selon la communauté.
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2.4. EXISTENCE
F(ω) =∫ ∞
−∞f (t)e−iωtdt.
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2.4. EXISTENCE
F(ω) =∫ ∞
−∞f (t)e−iωtdt.
Pour que F(ω) existe, il faut que
limx→±∞
f (x) = 0.
C’est une condition très restrictive !
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2.5. CONVERGENCE
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2.5. CONVERGENCE
Si f (t) est absolument intégrable sur R, sa représentationfréquentielle converge vers
f (t+) + f (t−)2
, ∀x ∈ R.
I La représentation fréquentielle de f (t) converge donc versf (t) si f (t) est continue.
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2.6. UN EXEMPLE : CRÉNEAU RECTANGULAIRE
SYMÉTRIQUE
Soit c défini par
c(x) =
{A si |x| ≤ τ
0 sinon.
I Cherchons sa transformée de Fourier
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2.6. UN EXEMPLE : CRÉNEAU RECTANGULAIRE
SYMÉTRIQUE
Soit c défini par
c(x) =
{A si |x| ≤ τ
0 sinon.
Sa représentation fréquentielle est
C(ω) =2Aω
sin(ωτ).
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2.7. SPECTRES
De façon analogue au DSF, les spectres sont donnés par :
I spectre d’amplitude : |F(ω)|I spectre de phase : arg F(ω)
I le spectre d’énérgie |F(ω)|2 donne la répartition del’énergie en fonction de ω.
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2.7. EXEMPLE DE SPECTRE
FIGURE : Signal temporel (flute)
FIGURE : Spectres d’amplitude et de phase 31 / 50
2.7. EXEMPLE DE SPECTRE
QUESTION 2 2 - Qui contient le plus d’information sur lesignal ?
1. Le spectre d’amplitude2. Le spectre de phase3. L’un autant que l’autre
2. http://lc.cx/WJe32 / 50
2.7. MANIPULATION SONORE
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2.7. EXEMPLE : SPECTRE D’ÉNERGIE DU CRÉNEAU DE
LARGEUR 2τ
Soit c défini par
c(x) =
{A si |x| ≤ τ
0 sinon.
Sa représentation fréquentielle est
C(ω) =2Aω
sin(ωτ).
I Cherchons (et représentons) |F(ω)|2.
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2.8. RELATION D’INDÉTERMINATION
I Relation d’indétermination ou d’incertitude (cf.Heisenberg) :
∆t.∆ν = Cte
I Plus un signal est court temporellement, plus sa représentationfréquentielle est large.
I exemple : notes de musique.
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2.9. THÉORÊME DE PARSEVAL-PLANCHEREL
L’énergie de la fonction f :
∫ ∞
−∞|f (t)|2dt
peut être calculée dans le domaine fréquentiel :
∫ ∞
−∞|f (t)|2dt =
12π
∫ ∞
−∞|F(ω)|2dω.
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OUTLINE
1. SÉRIES DE FOURIER COMPLEXES
2. DES SÉRIES DE FOURIER AUX INTÉGRALES DE FOURIER
3. IMPULSION DE DIRAC ET DISTRIBUTIONS
4. PRODUIT DE CONVOLUTION
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3.1. UN CRÉNEAU PARTICULIER : L’IMPULSION DE
DIRAC
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3.1. UN CRÉNEAU PARTICULIER : L’IMPULSION DE
DIRAC
δ(t) vérifie :
i) ∀t, δ(t) ≥ 0
ii) δ(t) = 0 si t 6= 0
iii)∫
Rδ(t)dt = 1
QUESTION 3 3 - l’objet mathématique δ (impulsion de dirac)est-il une fonction ?
1. oui2. non
3. http://lc.cx/WJe39 / 50
3.1. UN CRÉNEAU PARTICULIER : L’IMPULSION DE
DIRAC
Les théoriciens de la physique des particules vers 1920–30(dont Paul Dirac, 1902–1984), on introduit la “fonction” δ(t)vérifiant “de gré ou de force” :
δ(t) = 0 si t 6= 0δ(t) = ∞ si t = 0∫
Rδ(t)dt = 1.
I Représentation graphiquementI Formalisme facilement exploitable
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3.2. EXEMPLE : CALCUL DE L’INTÉGRALE DU PRODUIT
D’UN DIRAC ET D’UNE FONCTION
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3.3. DÉRIVATION “NEW LOOK”
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3.3. DÉRIVATION “NEW LOOK”
I 1946 : proposition d’une théorie complète (théorie desdistributions) par Laurent Schwartz (1915 - 2002)
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OUTLINE
1. SÉRIES DE FOURIER COMPLEXES
2. DES SÉRIES DE FOURIER AUX INTÉGRALES DE FOURIER
3. IMPULSION DE DIRAC ET DISTRIBUTIONS
4. PRODUIT DE CONVOLUTION
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4.1. CELLULE RC
R
x(t) C v(t)
i(t)
FIGURE : Circuit RC
Ri(t) + v(t) = x(t)
i = Cdvdt⇒ RCv′(t) + v(t) = x(t)
Montrons que
v(t) =1
RC
∫ t
−∞e−
t−sRC x(s)dt
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4.1. CELLULE RC : EXPRESSION DE LA SORTIE
En posant
h(t) =1
RCe−tRC u(t),
u(t) étant l’échelon de Heaviside, la sortie v(t) peut s’écriresous la forme
v(t) =∫ +∞
−∞h(t− s)u(s)ds.
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4.2. DÉFINITION DU PRODUIT DE CONVOLUTION
La convolution de deux fonctions f et g est une fonction notéef ∗ g et définie par
(f ∗ g)(t) =∫ +∞
−∞f (t− u)g(u)du.
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4.3. UNE DÉFINITION “MANUELLE”
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4.4. PROPRIÉTÉS DU PRODUIT DE CONVOLUTION
(f ∗ g)(t) =∫ +∞
−∞f (t− u)g(u)du.
I Commutativité :
(f ∗ g)(t) = (g ∗ f )(t)
I Associativité :f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h
I Distributivité :
f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h
I Élément neutre δ :
f ∗ δ = δ ∗ f = f
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4.4. THÉORÈME DE CONVOLUTION
Montrons queTF[f ∗ g] = TF[f ].TF[g]
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