FUTEBOL - ENTRAM EM CAMPO A MODELAGEM MATEMÁTICA E O MÉTODO DO CASO

7/27/2019 FUTEBOL - ENTRAM EM CAMPO A MODELAGEM MATEMTICA E O MTODO DO CASO

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FUTEBOL: ENTRAM EM CAMPO A

MODELAGEM MATEMTICA E O MTODO

DO CASO.

CLIO ROBERTO MELILLO

OURO PRETO, 2011

DEPARTAMENTO DE MATEMTICA


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CARTA DE APRESENTAO

Caro(a) leitor(a);

Este material chega at voc como produto educacional, gerado a partir de uma

pesquisa de Mestrado Profissional em Educao Matemtica da Universidade Federal

de Ouro Preto UFOP. Tal pesquisa foi desenvolvida sob a orientao do Prof. Dr. Dale

Bean, e a dissertao completa poder ser obtida na pgina do programa.

Nosso intuito oferecer, ao professor em exerccio, uma sugesto de atividade de

modelagem matemtica, conduzida pelo mtodo do caso, deixando-a aberta para

adaptaes e, principalmente, desejando que sirva de inspirao para a criao deoutras atividades, adequadas a condies institucionais de tempo e de espao, e

ajustadas a diferentes aptides e anseios de professores e alunos.

A atividade de modelagem matemtica aqui apresentada consiste em uma situao

em que os alunos so encarregados de construir modelos matemticos que atribuam

probabilidades a resultados de jogos de futebol. Em torno do tema, surgem condies

apropriadas para discusses que extrapolam a natureza da previso de resultados,

como o mercado de apostas em eventos esportivos e a noo de probabilidade

subjetiva, ainda no contemplada na maioria dos livros didticos de nossoconhecimento.

Ao longo deste texto, descreveremos o que nos levou elaborao desta atividade e o

porqu de acreditarmos em sua adequao a nossos propsitos educacionais que, em

linhas gerais, consistem na aproximao entre atitudes de alunos, dentro e fora da

escola reflexo, argumentao, formulao de hipteses, capacidade de julgamento,

entre outras competncias que acreditamos serem benficas para a formao do

indivduo.

Faremos uma caracterizao do mtodo do caso, levantando algumas de suaspotencialidades e limitaes. Traremos uma descrio do desenvolvimento e aspectos

da realizao da atividade, incluindo fontes de consulta para o enriquecimento e,

finalmente, faremos algumas ponderaes pertinentes avaliao da atividade.

Clio Melillo


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SUMRIO

1. RESGATANDO A FONTE DE INSPIRAO....................................................... 05

2. A IDEIA DE MODELAGEM E PROBABILIDADE SUBJETIVA NO FUTEBOL........... 07

3. EXPLICITANDO OS OBJETIVOS DE NOSSA ATIVIDADE.................................... 10

4. A EDUCAO CONCEBIDA POR JOHN DEWEY: a escola de Dewey............... 11

5. A ATIVIDADE DE MODELAGEM NO FUTEBOL ENCAMINHADA PELO

MTODO DO CASO ................................................................................... 15

5.1. Parte 1: Probabilidade subjetiva e a problematizao................................ 19

5.2. Parte 2: Modelagem matemtica................................................................ 24

5.3. A construo de nosso modelo ilustrativo.................................................. 29

CONSIDERAES................................................................................................. 39

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS............................................................................ 43


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5Futebol: entram em campo a modelagem matemtica e o mtodo do caso.

1. RESGATANDO A FONTE DE INSPIRAO

Os homens ainda querem o apoio do dogma, das crenas

impostas pela autoridade, para se livrarem do embarao de ter

de pensar e da responsabilidade de dirigir sua atividade pela

reflexo (John Dewey).

Dewey enunciou h dcadas o que nos parece absolutamente atual, pelo

menos no que concerne atitude dos estudantes dentro da sala de aula.

Identificamos, entre nossos alunos, uma vontade latente de se destacar em seu grupo

social, seja pelo modo de agir, de falar, de se vestir ou, inclusive, de pensar. Contudo,

essa vontade parece perder fora durante as atividades escolares. Ainda que alguns

estudantes aqueles rotulados como alunos interessados apresentem uma

motivao intrnseca para propor/expor solues alternativas, levantar hipteses,

questionar as sugestes do professor, sentimos que o aluno padro aquele que v a

atividade, em sala de aula, como mera preparao para a prova, sem significado emsua plena formao como ser humano. No raro ouvirmos frases vindas desses

estudantes, como: professor... estou com preguia de pensar... ou no d pra

passar uma frmula que serve sempre? ou, ainda, no explique de duas formas

seno eu fico confuso.

Esse sentimento nos motiva a (re)pensar nossa prtica, no sentido de propor

contedos e mtodos de estudo que interessem ao aluno e ao professor, e que

contribuam para a integrao dos estudantes sociedade, por meio de uma atitude

crtica e de um posicionamento lcido e produtivo diante de situaes indeterminadas

do dia-a-dia. Queremos convidar o estudante a conjecturar, analisar, ponderar,

argumentar, avaliar, enfim, a pensar!

O gosto pessoal pelo futebol j me fez pensar, durante muito tempo, que

deveria existir uma maneira de aliar o assunto, para mim to prazeroso, aos objetivos

de minha prtica docente. Tais objetivos eram claros para mim, embora nunca os

tivesse sistematizado, o que veio a acontecer neste programa de Mestrado


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6 PRODUTO EDUCACIONAL

Profissional. Dentre eles, sempre se destacou a minha busca pela realizao de

atividades que proporcionassem o maior envolvimento possvel dos alunos. Sempre

tive a convico de que, com o aluno verdadeiramente envolvido numa atividade, o

ambiente escolar torna-se favorvel ao desenvolvimento de diversas competncias.Acreditava (e acredito cada vez mais) que, em condies emocionais positivas,

aumentam-se as chances de obter xito no ensino. O contedo abordado passa a ter

sentido; a atividade deixa de ser uma tarefa desagradvel a ser cumprida; os

estudantes assumem papel de protagonistas e suas aes tendem a ser coordenadas

na soluo de um problema encarado como legtimo.

No raro percebermos, na prtica docente, uma atitude de inrcia dos

estudantes. Isso nos preocupa e caminha em direo oposta ao que entendemos como

objetivo da educao. Atribuir a causa desse problema (pelo menos, assim

entendemos essa situao) exclusivamente aos prprios alunos beiraria a uma atitude

hipcrita. Se as atividades propostas pela escola, pela mediao do professor, no

encontram ressonncia nas atitudes dos alunos, devemos questionar o mtodo e,

sobretudo, o que vem antes dele: nossas concepes sobre educao e o papel da

escola na formao do indivduo e, consequentemente, a influncia disso na vida

social, extra-escolar.

Em algumas experincias realizadas em sala de aula umas bem sucedidas,

outras, nem tanto tentei usar vrios contextos como tema dos estudos, sejam temas

abstratos e que estimulam o raciocnio lgico e a capacidade de argumentao, sejam

temas do cotidiano, como epidemias, racismo, economia, entre outros que aproximam

as reflexes e as atitudes, na escola, do uso, no dia-a-dia, pelos alunos. Em particular,

em aulas sobre clculo combinatrio e probabilidades, eu costumava utilizar como

contexto os jogos com cartas, dados, moedas, etc., com avaliao positiva do efeito

desse tipo de trabalho.

Sempre me interessei por prognsticos e discusses sobre futebol. Em

particular, as probabilidades anunciadas na mdia, atribuindo mais ou menos chances

de sucesso para meu clube de corao, mexem com meu humor e aguam minha

curiosidade. Inclusive, comum responder a meus alunos perguntas sobre tais

nmeros: Como so calculadas essas chances? ou Voc concorda com a


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probabilidade de tal time ser campeo?. Esses momentos eram de pura

descontrao. Respondia aos alunos o que eu pensava e encerrava o assunto.

Ironicamente, nunca havia passado por minha cabea a ideia de trazer esse tema para

a sala de aula, como objeto de estudo, at que comecei a assimilar ideias sobremodelagem matemtica que, em nosso caso, parte de uma premissa, levantando

aspectos e formulando pressupostos (MELILLO e BEAN, 2011). Na mesma poca, fui

apresentado noo de probabilidade subjetiva, a qual ser definida com maiores

detalhes mais adiante. A partir da, a tarefa passou a ser: desenvolver uma atividade

envolvendo modelagem matemtica no futebol, de modo a contribuir com a prtica de

quem se interesse pelo assunto, ou ainda, inspirar a adaptao desta ou a criao de

outras atividades adequadas s condies e aos objetivos de outros educadores. Tal

atividade consistiria na construo de modelos matemticos, por parte dos alunos,

capazes de atribuir probabilidades de resultados em jogos de futebol.

2. A IDEIA DE MODELAGEM E PROBABILIDADE SUBJETIVA NO FUTEBOL

Ao planejar como poderia ser desencadeada uma atividade de modelagem

matemtica no futebol, levantamos questes relativas a este planejamento. Chegamos

concluso que seria necessrio construirmos um modelo que nos permitisse

antecipar situaes que ocorreriam ao longo da modelagem. Antes disso, definimos

que os resultados pretendidos seriam expressos em probabilidades atribudas, levando

em considerao o julgamento pessoal dos modeladores.

Muitas das nossas atitudes, no dia-a-dia, so tomadas com base em crenas e

expectativas pessoais quanto ocorrncia de certos eventos. Quantificar essas

crenas, em termos de probabilidades, conduzem a uma noo de probabilidade que,

embora possua aplicao em diversas reas da atividade humana, no costuma ser

contemplada pelos livros didticos de Matemtica: a probabilidade subjetiva.

Pensamos que a modelagem matemtica no futebol seria uma oportunidade mpar de

trazer essa noo de probabilidade para a sala de aula. No vemos outra maneira de

quantificar as chances de resultados, em jogos de futebol, que no seja com a

presena das crenas pessoais, da intuio, da subjetividade.


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A modelagem que vislumbramos consistiria na adoo de uma premissa (uma

ideia mais geral que norteia o pensamento dos estudantes), seguida do levantamento

de aspectos (aquilo que influencia o resultado de um jogo, no caso da modelagem no

futebol) e da formulao de pressupostos (consideraes feitas pelos alunos de comoos aspectos levantados exercem influncia).

Como exemplo do ponto de chegada que pretendemos para os estudantes, a

tabela a seguir (tabela 1) mostra probabilidades atribudas para a 22 rodada do

campeonato brasileiro do ano 2010, fruto de uma modelagem nossa (MELILLO e BEAN,

2011) antes de levar a atividade sala de aula.

Tabela 1: Nossas probabilidades subjetivas para a 22

rodada do campeonato brasileiro de 2010 (valorespercentuais arredondados).

Vejamos as probabilidades que essa modelagem gerou, como percentuais, para

os resultados nos jogos: a coluna indicada por m o percentual de chance de vitria

do mandante, e o percentual de chance de empate e v o percentual de chance de

vitria do visitante. A modelagem, para se chegar s porcentagens, partiu da premissa:

expectativa sobre o desempenho de um time de futebol,


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em uma partida, quanto ao resultado final (vitria, empate

ou derrota) pode ser atribuda uma probabilidade, a partir

de aspectos considerados relevantes levantados antes do

incio da partida.

Foi a partir dessa premissa que levantamos aspectos como, por exemplo, o

mando de campo. Em nossa modelagem, pressupusemos que o time mandante tem

vantagem. Mais ainda, que certos times tm vantagem mais significativa que outros,

ao jogar no prprio campo. Essa diferenciao advm do fato de que cada time tira

proveito do fato de jogar em casa de maneira diferente. Quanto melhor o

desempenho de um time, nos jogos anteriores em seus domnios, maior ser a

vantagem esperada para esse time, ao ser mandante dos jogos seguintes.

A matematizao dos pressupostos formulados na modelagem foi feita por

meio da criao de fatores. Ofator campo, indicado por c, por exemplo, foi subdividido

em dois valores: cm o fator campo no caso do time em questo ser o mandante, e cv,

no caso em que este for o visitante. Quantificamos (ou matematizamos) esse fator,

pensando em nosso eventual modelo que deveria atribuir probabilidades (ver valores

na tabela 1) aos resultados possveis (vitria mandante, empate, vitria visitante). Para

isso, decidimos que, se um time jogar em seus prprios domnios (time mandante),

definimos cmcomo a mdia de pontos obtida1 em cada jogo por esse time, at ento,

nos jogos que realizou em casa. A escolha desse mtodo de clculo do fator cm advm

da crena de que tal mdia expressa adequadamente esse fator.2 De forma anloga ao

pressuposto para o time mandante, foi atribudo para o visitante um fator campo cv,

dado pela mdia de pontos por jogo que o time obteve, quando jogou nessa mesma

condio. Desse modo, a cada time foram atribudos dois fatores campo, um como

mandante e o outro como visitante. Em cada rodada, apenas um desses fatores ser

efetivamente considerado, dependendo do local onde o jogo ser realizado.

1Para classificao no campeonato so atribudos pontos para os times, com base nos resultados de

cada jogo (vitria: 3, empate: 1 e derrota: 0).2

Salientamos que um pressuposto pode admitir matematizaes diferentes. Exemplificando: o clculodo fator cm poderia ser realizado utilizando a pontuao mais frequente quando o time joga em casa(moda) ou ainda, a mdia de gols por jogo, quando o time joga em casa.


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Assim como o fator c, foram criados outros fatores em nossa modelagem

ilustrativa, e a probabilidade de vitria de cada time foi concebida relacionando-se a

mdia ponderada desses fatores com a mdia ponderada dos fatores do time

adversrio. A atribuio de pesos na mdia ponderada foi definida com base emcrenas e experincias nossas. Isso significa subjetividade embutida nas decises e

matematizaes, gerando a tabela deprobabilidades subjetivas.

Para analisar a situao e chegar a conceituaes e matematizaes, como as

que acabamos de descrever, esperamos que o aluno formule justificativas, seja capaz

de argumentar, de forma consistente, para destacar suas opinies, tenha a criatividade

aguada e o olhar crtico necessrio para testar suas prprias conjecturas, reforando

ou descartando crenas e avaliando os resultados obtidos no caso da modelagem,

testando a adequao de seus modelos.

Voltaremos com a descrio da modelagem, aps delinear nossos objetivos

educacionais para a atividade, situ-la em uma concepo de educao e fazer a

escolha de um mtodo para conduzi-la.

3. EXPLICITANDO OS OBJETIVOS DE NOSSA ATIVIDADE

At agora, falamos em objetivos ou propsitos educacionais, de maneira geral.

A seguir, enumeramos os objetivos da atividade de modelagem matemtica no futebol

que concebemos

I) diminuir o distanciamento entre a maneira de se agir e pensar, nos problemas

propostos em sala de aula, com o modo de tomar decises em situaes extra-

escolares;

II) fortalecer a capacidade dos alunos de argumentar, formular ideias-guia, justificar e

testar suas conjecturas por meio de uma atividade de modelagem matemtica, a partir

da adoo de premissas e formulao de pressupostos; e

III) criar uma oportunidade de lidar com o processo de construo de modelos


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matemticos, trabalhando o pensamento, a linguagem, e conceitos matemticos

diversos.

Os objetivos listados foram estipulados para a nossa atividade especfica,porm os consideramos pertinentes a uma viso mais global de educao, que

chamaremos de escola de Dewey.

4. A EDUCAO CONCEBIDA POR JOHN DEWEY: a escola de Dewey

Dewey defende a chamada educao progressiva que uma reorganizao

ou reconstruo da experincia, que esclarece e aumenta o sentido desta e tambm a

nossa aptido para dirigir o curso das experincias subsequentes(DEWEY, 1979, p. 83,

grifo do autor). Assim acreditamos que se deve entender a educao, promovendo a

aquisio da capacidade de reorganizar atos e pensamentos, de forma a melhorar a

qualidade da relao entre o indivduo e o mundo em que este se situa. Um elemento

importante para que a educao cumpra tal papel a atitude mental dos alunos

apresentar o pensamento reflexivo, espcie de pensamento que consiste em

examinar mentalmente o assunto e lhe dar considerao sria e consecutiva. (DEWEY,

1959, p. 13).

Dewey (1979) apresenta a definio etimolgica da palavra educao como o

processo de dirigir, de conduzir, de elevar. Devemos tomar cuidado com a

interpretao do sentido de palavras como conduzir, dirigir. Por um lado, essas

palavras carregam uma conotao de manipulao, de rigidez de mtodos. Por outro

lado o que queremos apontar significam orientar, no deixar sem algum rumo. Um

navegador pode utilizar-se das estrelas no cu para orientar sua viagem e atingir seus

objetivos, e isso no quer dizer que uma estrela seja capaz de mudar a direo do

barco e definir o caminho que o navegador ir seguir.

As atividades em sala de aula, como entendemos, devem estimular hbitos

ativos que, para Dewey, subentendem reflexo, investigao e iniciativa para dirigir as

aptides a novos fins (1979, p.57). Nesse caminho, Dewey afirma que o objetivo da

educao habilitar os indivduos a continuar a sua educao (p. 108). Dessa


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afirmao, entendemos que a educao comea no dia em que nascemos e dura

enquanto nossos sentidos forem capazes de receber qualquer estmulo. A fase escolar

quando estamos submetidos a condies que proporcionam ou pelo menos,

deveriam proporcionar uma ampliao na capacidade de desenvolvermos umarelao harmoniosa com as coisas, os indivduos e as emoes.

Para que a escola cumpra o ambicioso objetivo de ensinar a aprender, no

sentido descrito anteriormente, devem-se promover atividades na quais o estudante

seja o ator principal do processo. Despertar o interesse do aluno, desafi-lo, motiv-lo

a resolver uma situao problemtica. No esperamos encontrar pessoa engajada no

processo educativo, a quem tais situaes no seriam bem-vindas. Entretanto,

reconhecemos, em nossa prtica, um domnio indesejvel de prticas engessadas

sobre as prticas flexveis: das listas de exerccios sobre os verdadeiros desafios ao

intelecto; das respostas exatas sobre a apreciao de hipteses alternativas; da

autoridade sobre a autonomia.

A anlise dos resultados de nossa atividade em sala de aula apontou para uma

atitude de constante indagao por parte dos alunos participantes. A incerteza

subjacente ao material de estudo (resultados de jogos de futebol) fez com que os

alunos no conseguissem chegar a concluses estveis. Com esse carter da atividade,

os alunos foram conduzidos a uma constante busca por informaes, de modo a

refinar suas conjecturas e a prpria capacidade de avali-las.

O cuidado para formular e julgar conjecturas uma caracterstica saudvel do

ato de pensar. Acreditamos que a escola tem o papel primordial, alm de rduo e

controverso, de ensinara pensar. Primordial no sentido em que as atitudes, dentro e

fora da escola, sero mais ou menos qualificadas quanto for o indivduo apto a pensar.

rduo, pois o hbito de pensar no pode ser imposto, nem mesmo conseguido

mediante avisos ou conselhos. Controverso, pois, ao assumir que ensinar a pensar o

papel da escola, faz-se necessrio declarar o que entendemos porpensar.

Dewey (1979, p. 165) afirma que

Pensar o ato cuidadoso e deliberado de estabelecer relaes entreaquilo que se faz e suas consequncias. Por ele nota-se no somente

que estas coisas esto relacionadas, como tambm asparticularidades da sua associao. [...] Aparece o estmulo ao ato de


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pensar quando queremos determinar a significao de algum atorealizado ou a realizar-se. Pelo pensamento ns prevemos asconsequncias. Isto subentende que a situao do modo que ela ,quer por si mesma, quer para ns, incompleta e, por isso,indeterminada. A anteviso de consequncias significa uma soluo

proposta ou tentada. Para se aperfeioar esta hiptese, devem sercuidadosamente analisados as condies existentes e o contedo dahiptese adotada. Ento a soluo sugerida a ideia ou teoria tem deser posta em prova, procedendo-se de acordo com ela. [...] O ato depensar implica todos estes atos a conscincia de um problema, aobservao das condies, a formao e a elaborao racional deuma concluso hipottica e o ato de a pr experimentalmente emprova.

Podemos extrair da citao que o ato de pensar no se limita a uma ideia que

vem mente, uma intuio ou impulso aleatrio de se tentar uma soluo para um

problema, assim como um amontoado de ingredientes no necessariamente levaro

produo de um prato saboroso. No que tais ideias, que surgem de repente, no

tenham valor na formao do hbito de pensar, mas que esse hbito no pode se

reduzir a pensamentos desconexos. Isso quer dizer que, para se pensar

reflexivamente, a conexo entre as ideias deve ser intencional e coordenada.

Contudo, pouco ou nada adiantariam os esforos no sentido de estimular o

pensamento mais especificamente, o pensamento reflexivo se este movimento for

unidirecional, no sentido professor-aluno. preciso que o aluno sinta-se

verdadeiramente desafiado e interessado em solucionar um problema para provocar a

imerso deste no processo de reflexo. O combustvel da reflexo a dvida. A chama

que acende esse combustvel o interesse pelo problema.

Dewey (1979) acentua a importncia de se prolongar o estado de dvida. De

fato, se no h dvida, no h problema; se no h problema, no h o que investigar,

procurar, buscar, enfim, no h necessidade de crescer. Assim, concordamos com

Dewey, quando ele atribui ao interesse do estudante pelo problema um papel

fundamental para o encaminhamento da atividade. O autor enumera as acepes mais

comumente usadas para a palavra interesse: I) Interesse pela atividade considerada

em seu todo; II) Os resultados objetivos previstos e desejados; e III) A pessoal

propenso emocional. (p. 138).

O interesse do aluno por uma situao depende, em certa medida, da maneira


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pela qual esta situao lhe apresentada. Cabe ao educador uma postura de utilizar

temas e mtodos que despertem e/ou mantenham o interesse do aluno sempre vivo,

para que este assuma constante posio ativa e indagadora. Mais adiante,

abordaremos como o mtodo do caso, na fase de narrao e problematizao, podedespertar interesse para os estudantes.

Assim, conclumos, a respeito de um papel da escola, que esta deve dedicar-se

a formar um indivduo pessoal e socialmente apto a assumir uma posio reflexiva e

crtica perante as situaes que lhe so apresentadas. Mas isso pouco. Para que a

escola realmente cumpra o proposto, deve-se ampliar essa discusso para a escolha de

mtodos e contedos. Acreditamos que o mtodo, o objeto de estudo e as concepes

de educao devem estar integrados para que se aumente a possibilidade de se obter

os resultados desejados.

Buscamos, a partir das ideias expostas, elaborar uma atividade com potencial

para cumprir, ainda que em parte, cinco condies enumeradas por Ansio Teixeira no

prefcio de Dewey (1967):

1. S se aprende o que se pratica. Seja uma habilidade, seja uma

ideia, seja um controle emocional, seja uma atitude ou umaapreciao, s as aprendemos se as praticamos. [...];2. Mas no basta praticar. A inteno de quem vai aprender temsingular importncia. [...] No posso adquirir um novo modo de agir,se no tenho a inteno de adquiri-lo.[...];3. Aprende-se por associao. No se aprende somente o que setem em vista, mas as coisas que vm associadas com o objetivo maisclaro da atividade. [...];4. No se aprende nunca uma coisa s. Como acabamos de ver, medida que aprendemos uma coisa, vrias outras sosimultaneamente aprendidas. [...];

5. Toda aprendizagem deve ser integrada vida, isto , adquirida emuma experincia real de vida, onde o que for aprendido tenha omesmo lugarefuno que tem na vida. (TEIXEIRA, em DEWEY, 1967,pp. 33-36, grifo do autor).

Seguimos, ento, com a discusso sobre a escolha apropriada de mtodos e

materiais de estudos adequados para uma escola que associa o conhecimento

produzido, em sala de aula, vida cotidiana dos estudantes, discusso necessria e

explicitada por Dewey (1959).


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Coerentemente com as ideias de Dewey, enxergamos que o mtodo do caso,

que tambm ser mais bem detalhado a seguir, apresenta-se como um mtodo de

ensino adequado para estimular a atitude mental mencionada. Entendemos que esse

mtodo, ou uma adaptao dele, pode servir como inspirao para o encadeamentode atividades que estimulem o pensamento reflexivo.

5. A ATIVIDADE DE MODELAGEM NO FUTEBOL ENCAMINHADA PELO MTODO DO

CASO

Dewey afirma que, diante de uma situao problemtica, o estudante deve,

preferencialmente, agir pelo mtodo da reflexo. Sobre esse mtodo, preciso:

Primeiro, o aluno deve estar, em verdadeira situao de experinciaque haja uma atividade contnua a interess-lo por si mesma;segundo, que um verdadeiro problema se desenvolva nesta situaocomo um estmulo para o ato de pensar; terceiro, que ele possua osconhecimentos informativos necessrios para agir nessa situao efaa as observaes necessrias para o mesmo fim; quarto, que lheocorram sugestes para a soluo e que fique a cargo deledesenvolv-las de modo bem ordenado; quinto, que tenha

oportunidades para pr em prova suas ideias, aplicando-as,tornando-lhes clara a significao e descobrindo por si prprio o valordelas (DEWEY, 1979, p. 179).

Antes que se argumente em defesa da utilizao deste ou daquele mtodo, em

sala de aula, preciso ficar claro que no esperamos ter uma receita do ensino, que

funcionar sem restries. Um mtodo adequado, bem como um objeto de estudo,

deve ser apropriado para o professor, para os alunos, para a administrao escolar, em

determinado contexto de tempo, espao, sociedade e cultura. Seria pretenso sugerir

que houvesse o mtodo de ensino a ser adotado. Enxergamos no mtodo do caso uma

possibilidade promissora e coerente com as concepes de educao apresentadas na

seo anterior, e apropriado para conduzir uma atividade com uma situao posta e

objetivo pr-estabelecido, como a nossa atividade de modelagem no futebol.


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O mtodo do caso no se confunda com mtodo do estudo de caso3 uma

metodologia de ensino desenvolvida h pouco mais de um sculo, por Christopher

Columbus Langdell, na escola de Direito de Harvard (MENEZES, 2009). Ele consiste em

colocar os alunos frente a frente com uma situao de deciso. Uma situao relatada pelo professor (um caso), de modo claro e, ao mesmo tempo, indefinido. Essa

situao pode ser algo acontecido, algo que esteja acontecendo, ou algo plausvel de

se imaginar acontecendo. A partir da exposio do caso, cabe aos alunos, sempre com

o suporte do professor, assumir uma posio relacionada ao caso, fundamentando tal

posio e analisando as consequncias dessa postura.

Antecipamos que as ambiguidades principais em nosso caso iriam se referir

questo de quais aspectos interferem, significativamente, nos resultados dos jogos e,

alm disso, a questo de como conceitu-los em pressupostos que admitem uma

matematizao. Isso deveria gerar uma variedade de ideias com base em diferenas de

crenas, a respeito do que interfere no resultado de um jogo. Essa diversidade

forneceria material para discutir, argumentar e refletir; avaliando as justificativas para

a tomada de decises a respeito das modelagens, em consonncia com a ideia de que

o material de casos complexos deve permitir que o mesmo sejaestudado individualmente, debatido em pequenos grupos e depois,em plenrio, de modo que o aluno possa desenvolver suashabilidades de anlise e sntese, de negociao de suas ideias e desuas decises, dentre tantas outras habilidades que o mtodo docaso proporciona. (CESAR, 2005, f. 11).

Ao realizar essa atividade, durante a fase final do campeonato, pretendamos

aproveitar a repercusso do assunto na mdia e na sociedade em geral. Isso est de

acordo com Cesar quando afirma que o desenvolvimento do caso

deve contextualizar a situao de tal forma que, aos olhos do leitor[estudante], o caso possa se apresentar como uma situao vivida,da qual ele faz parte, o que justifica a incluso de dados subjetivosrelacionados viso que as pessoas envolvidas na situao tm damesma. (CESAR, 2005, f. 11).

3

O Estudo de Caso uma metodologia de pesquisa qualitativa. Ver, por exemplo, Fiorentini e Lorenzato(2006) ou Alves-Mazotti (2009).


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Utilizando o mtodo do caso, e tendo como base as ideias deweyanas,

pretendemos promover o pensamento reflexivo, incluindo a postura crtica, perante

uma situao, e atribuir a responsabilidade do aprendizado ao prprio estudante, alm

de possibilitar a significao de informaes, conceitos e tcnicas, e desenvolver acapacidade de colaborao, tornando vivo o ambiente de sala de aula.

No contexto das cincias econmicas, Hammond (2002) simplifica a definio

do mtodo como uma discusso de situaes da vida realcom as quais executivos se

depararam (grifo do autor). Por situaes da vida real entendemos acontecimentos em

qualquer parte relatados em qualquer tipo de mdia: TV, internet, livros, revistas,

jornais, relatrios empresariais, ou outras fontes de consulta, nas quais os alunos tero

a possibilidade de encontrar os dados que julgarem relevantes, incentivando a prtica

da pesquisa entre estes estudantes. Em nosso contexto, a situao em questo o

campeonato brasileiro de futebol.

Na literatura consultada, no encontramos uma definio explcita do mtodo

do caso, embora tenhamos encontrado uma srie de caracterizaes deste, o que nos

levou a sistematizar o mtodo de acordo com nosso entendimento. Construmos a

figura 1 para auxiliar essa sistematizao.

Figura 1: Cenrio do caso envolve os estudantes, oprofessor e a situao em estudo a ser problematizada esolucionada.O professor um mediador na interao doaluno com a situao.

Concebemos que o mtodo do caso se inicia com a escolha de uma situao a

ser estudada, que pode ser encontrada em qualquer contexto. Aps a escolha da

situao, uma fase expositiva consiste na apresentao e problematizao, levantando

aspectos de tal situao, de modo que os prprios estudantes apropriem-na como

sendo problemtica. Aspectos da situao no podem ser confundidos com dados a

serem diretamente aplicados na soluo do problema. Para deixar os alunos

confortveis, o professor deve sugerir fontes de consulta e ficar disposio para

Situao(problemtica)

Estudantes Professor


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esclarecimentos, ao longo da atividade. Contudo, a partir da exposio inicial, feita

pelo professor, ele assume um papel coadjuvante, tornando-se um facilitador da

interao do aluno com o objeto de estudo, fornecendo mais perguntas do que

respostas para este aluno.Para conduzir a modelagem no futebol, amparados nesse mtodo, levamos

para a sala de aula uma sequncia de atividades composta de duas etapas, claramente

delimitadas, embora integradas na inteno de alcanar objetivos comuns. Alguns

aspectos permearam todos os momentos da atividade; em destaque, a aproximao

de fenmenos sociais, econmicos e culturais dos contedos abordados em sala de

aula.

A primeira etapa foi pensada como um momento para discusses acerca da

presena de modelos na sociedade; em particular, os modelos que envolvem

probabilidades e suas interferncias (positivas ou negativas) sobre hbitos e relaes

do nosso cotidiano. Presente em muitos desses modelos, est o conceito de

probabilidade subjetiva, cuja abordagem tambm foi contemplada em nosso

planejamento.

nessa etapa que desenvolvemos a problematizao da atividade, para que os

estudantes assumissem a modelagem no campeonato como situao de interesse

prprio. Alm disso, os estudantes poderiam se familiarizar com a noo de

probabilidade subjetiva e com questes sobre o controverso mercado de apostas em

eventos esportivos.

A segunda parte da sequncia consistiria numa modelagem a ser realizada

pelos alunos, divididos em grupos, na qual eles deveriam atribuir probabilidades para

resultados de jogos do campeonato brasileiro de futebol. Para nosso caso do

campeonato de 2010, o cenrio a ser fornecido aos estudantes incluiria: a) o objetivo

de construir modelos que atribuem probabilidades de vitria, empate e derrota para

os jogos; b) a premissa supracitada na seo 2; c) amostras de fontes de informaes

disponveis que podem ser consultadas, por exemplo, revistas e sites da internet; d)

informaes a respeito de probabilidade subjetiva; e e) encaminhamentos por meio de

discusses em classe. No final da atividade, a apreciao da adequao dos modelos

remeteria aos resultados dos jogos, nas ltimas rodadas do campeonato.


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5.1. Parte 1: Probabilidade subjetiva e a problematizao

Em nosso dia-a-dia, tomamos vrias decises, algumas de forma automtica ouimpulsiva, outras de forma metdica, minuciosamente planejadas. Quando samos de

casa em um dia fresco, pensamos em levar ou no um agasalho. No acreditamos que

seja natural algum quantificar a probabilidade de precisar daquele agasalho, antes de

decidir entre lev-lo ou no. Contudo, quanto mais certeza temos de que sentiremos

frio, maior a nossa tendncia de carregar o agasalho conosco. Esse tipo de deciso

baseia-se numa crena, a crena de que certo fenmeno ocorrer (ou no), de modo a

direcionar nossas atitudes e aes relacionadas ocorrncia desse fenmeno. Em

contextos mais complexos, essas crenas necessitam de quantificao, em termos de

probabilidades, e os valores obtidos podem determinar decises, cujo efeito pode

mudar o rumo de nossas vidas, ou transformaes significativas da realidade. Um

investimento do patrimnio de uma famlia, a adoo de certa poltica econmica por

um governo, so exemplos de decises baseadas na crena de sucesso.

A probabilidade de ocorrncia de um evento pode ser concebida de diferentes

formas.

De acordo com Gnedenko (2008, p. 24) a maioria das definies para oconceito de probabilidade podem ser desenvolvidas a partir das seguintesconcepes: probabilidade clssica, que remete noo de distribuioequiprovvel de ocorrncia de eventos; probabilidade frequentista (ouemprica), que se baseia na frequncia que um dado evento ocorre em umgrande nmero de experimentos; e probabilidade subjetiva, que umamedida que representa o grau de certeza do observador a respeito de

ocorrncia de eventos. (MELILLO e BEAN, 2011).

Bernabeu (1999) define probabilidade subjetiva como uma crena ou

percepo pessoal. (...) Ela mede a confiana que um indivduo particular tem sobre a

veracidade de uma proposio particular e, portanto, est univocamente

determinada. (p. 32).

Um julgamento (equivocado) que pode ser feito da probabilidade subjetiva

que, usando essa ideia como pretexto para no pensar, o indivduo se d o direito de


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atribuir qualquer probabilidade a qualquer evento, como se tudo fosse vlido, por se

tratar de opinio. Antes de correr esse risco, planejamos algumas discusses, em sala

de aula, conduzidas de modo a incentivar a reflexo em torno dessas opinies. Mais

que opinies, as consideraes sobre a ocorrncia de certos fenmenos devem sertidas como crenas justificadas.

Preparamos, para a sala de aula, discusses sobre diversas situaes em que a

probabilidade subjetiva tem efeitos sobre a atividade humana. Seguradoras, planos de

sade, previso do tempo, mercado financeiro, so algumas dessas atividades

(BERNABEU, 1999). Questionrios foram elaborados e discusses em grupo foram

planejadas.

Em particular, traamos um caminho que conduzisse noo de probabilidade

subjetiva, presente no mercado de apostas, em eventos esportivos. A realizao da

atividade, em ano de Copa do Mundo de Futebol, forneceu um enorme nmero de

citaes do tema na mdia, o que permitiria uma constante conexo entre assuntos

repercutidos fora da escola e as discusses dentro dela, facilitando uma aproximao

entre os estudantes e a situao a ser modelada, com o intuito de fornecer

informaes que indicariam o teor da modelagem e despertar o interesse pelo desafio

que estava por vir.

Reservamos um espao, em nosso planejamento, para inserir discusses acerca

dos benefcios e malefcios do bilionrio mercado de apostas, destacando-se a

discusso sobre os prs e contras de uma eventual legalizao desse tipo de atividade

no Brasil. Todas as discusses e atividades foram elaboradas de modo a fazer com que

os alunos justificassem as posies assumidas, seja com base em reflexes sobre

experincias anteriores, seja com base em dados apresentados. Com isso,

pretendamos estimular a reflexo e a argumentao dos estudantes, visando atitudes

coerentes com nossos propsitos educacionais.

Ao fim dessa parte da sequncia, a nossa expectativa era que os alunos (mesmo

aqueles para os quais o assunto futebol tivesse status de novidade) estivessem

relativamente inteirados do assunto, para iniciar a construo de seus prprios

modelos.

Dentre reportagens selecionadas sobre apostas em eventos esportivos, e


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vdeos que permitiam levantar questes sobre probabilidade subjetiva, destacamos os

links de alguns dos vdeos que utilizamos nesta etapa da sequncia:

vdeo sobre modelagem da Copa do Mundo de 2010:

vdeos sobre probabilidade subjetiva4:http://www.youtube.com/watch?v=U5qRK5EZbMY

http://www.youtube.com/watch?v=xqSlnsGPgq8

Os recursos utilizados tiveram relevncia no ano em que realizamos a atividade

com a turma. Isso no quer dizer que faramos as mesmas escolhas de instrumentos,

com os mesmos vdeos, em outro ano ou outro contexto.

Ainda com essa ideia de aproximar as atividades com os acontecimentos fora

da escola no espao / tempo da realizao das atividades, elaboramos um questionrio

(a seguir) envolvendo temas abordados nas discusses. Algumas perguntas foram

formuladas fazendo aluso a acontecimentos com repercusso na poca (eleio e

caso Bruno), enquanto outras questes tentavam provocar reflexes quantitativas e

qualitativas a partir de passagens corriqueiras das vidas dos estudantes.

QUESTIONRIO PROBABILIDADE SUBJETIVA E APOSTAS

1. Considere a seguinte escolha: Os 14 jogos da LOTECA so realizados e os resultadosdefinem os prmios, ou os resultados dos 14 jogos so sorteados. Em qual destassituaes voc se considera mais apto a acertar os 14 resultados? Por qu?

2. Escreva, sucintamente, os principais aspectos que voc levaria em considerao aopreencher os seus palpites em uma aposta da LOTECA:

3. As casas de apostas em resultados de eventos esportivos, proibidas no Brasil,deveriam ser liberadas, em sua opinio? Por qu?

4

Um dos vdeos mostra uma situao inusitada, utilizada para levantar questes sobre a probabilidadede uma nova ocorrncia daquele evento. O outro mostra um comercial de uma companhia de segurosque atribui probabilidades ocorrncia de acidentes com pessoas em seu dia-a-dia.


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4. Qual , na sua opinio, a probabilidade de:a) Chover amanh?__________b) A candidata Dilma Roussef ser eleita presidente do Brasil?__________c) Voc viver mais de 80 anos?__________d) Ocorrer um acidente de trnsito na sua volta para casa, esta noite?__________e) O candidato Jos Serra ser eleito presidente do Brasil?__________f) O ex-goleiro Bruno ter sido mandante da morte de Eliza Samudio?__________

Foram mltiplas as razes para a elaborao dos itens no questionrio. Na

primeira questo, os alunos expuseram a sensao de que so mais aptos a prever os

resultados a partir de uma anlise da situao dos clubes envolvidos em cada jogo

(inclusive os que assumiram no entender de futebol). A segunda questo foi oprimeiro passo da atividade de modelagem. Ainda que sem a separao dos

estudantes da turma em grupos que construiriam os modelos, foi possvel estabelecer

um continuum na abordagem da situao. Na terceira questo, o foco foi o estmulo

reflexo e necessidade de um posicionamento crtico dos estudantes. Muitas das

respostas dos alunos, com opinies divididas, mostraram grande temor destes quanto

ao risco de fraudes e manipulaes de resultados que poderiam ser causadas no caso

de uma eventual legalizao do mercado de apostas no Brasil. A quarta questo tinha

por propsito que os alunos tentassem quantificar suas expectativas de ocorrncia de

certos fenmenos, estimulando o pensamento em termos de probabilidades

subjetivas.

As discusses e o questionrio formam pensados, conduzidos e elaborados de

forma coerente com a dinmica que o uso do mtodo do caso tem por intuito

desencadear. Entre os objetivos desse mtodo, Boehrer e Linsky (1990) citam:

Promover o pensamento crtico; Atribuir a responsabilidade do aprendizado ao prprio estudante; Assimilao de informaes, conceitos e tcnicas; Avivar a dinmica da sala de aula; Desenvolver a capacidade de colaborao; Questionar o modelo de ensino tradicional centrado no professor.

Acrescentaramos, pela experincia de nossas atividades, a essa lista, mais dois


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propsitos:

Promover o pensamento dialgico (no linear); Possibilitar a percepo de outras interpretaes do fenmeno em

estudo (o aspecto da alteridade).

Dando sequncia ao mtodo, satisfeitos, j que a situao fora adequadamente

problematizada e os estudantes ficaram devidamente familiarizados com a

probabilidade subjetividade, julgamos que eles se encontravam prontos para formular

seus prprios juzos na modelagem do campeonato; especificamos a situao e

explicitamos o objetivo da construo dos modelos.

Os estudantes partiram da premissa (enunciada na seo 2), que foi exposta no

quadro da sala de informtica onde foi feito, por meio da internet, o levantamento

inicial de informaes a respeito do que poderia ser utilizado na modelagem.

A premissa:

expectativa sobre o desempenho de um time de futebol em

uma partida quanto ao resultado final (vitria, empate ou

derrota) pode ser atribuda uma probabilidade, a partir de

aspectos considerados relevantes levantados antes do incio

da partida.

O objetivo, partindo dessa premissa, construir um modelo matemtico que

fornecesse probabilidades de vitria, empate e derrota, a cada time, nos jogos de uma

rodada do campeonato brasileiro.

Com a problematizao, o ponto de partida a premissa e o objetivo

explicitado, os alunos estavam diante de uma situao problemtica um caso para

a qual elaborariam uma soluo.

Durante a interao dos alunos com a situao problemtica, tentando

construir uma soluo para o caso, possvel que alguns deles no se sintam

suficientemente esclarecidos quanto ao tema futebol, de modo que indicamos fontes

de consulta para facilitar essa interao. Na atividade que realizamos, os alunos


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receberam, por escrito, a lista de fontes de informaes:

Dados oficiais:

Confederao Brasileira de Futebol CBF: www.cbf.com.br Informaes sobre cartes, transferncias, ranking, campeonatos

anteriores, punies, etc.

Imprensa esportiva especializada:

Globo Esporte: globoesporte.globo.com Jornal Lance: www.lancenet.com.br ESPN Brasil: www.espn.com.br Dirios Associados: www.superesportes.com.br Revista Placar: placar.abril.com.br Reportagens, anlises tticas, estatsticas, avaliao de jogadores, etc.

Probabilidades no futebol:

Departamento de matemtica da UFMG: mat.ufmg.br/futebol Tristo Garcia: www.infobola.com.br Marcelo de Leme Arruda: www.chancedegol.com.br Modelos de previso do campeo, rebaixados, resultados de cada

rodada, etc.

Alm disso, os alunos foram orientados a ficarem vontade para buscar

informaes em outras fontes de sua preferncia. Alguns alunos, inclusive,

desprezaram as fontes sugeridas e trabalharam integralmente com base em fontes

escolhidas por eles prprios.

Mediante a situao problemtica, com a premissa e objetivo estabelecidos, e

de posse de fontes de consulta s quais recorrerem, os alunos seguiram adiante com a

modelagem, conforme descrevemos a seguir.

5.2. Parte 2: modelagem matemtica

Nesta segunda etapa da sequncia de atividades, o eixo dos trabalhos foi a


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modelagem matemtica, nos jogos do campeonato brasileiro de 2010. A tarefa dos

alunos seria construir modelos capazes de atribuir probabilidades dos possveis

resultados dos jogos (empate, vitria ou derrota), nos ltimos jogos desse

campeonato. Antes de exemplificar a modelagem matemtica, esclarecemos arespeito do que entendemos por modelagem.

Concebemos modelagem como uma atividade de conceituao criativa que

remete aos objetivos, conhecimentos e valores do modelador (BEAN, 2005, 2007,

2009; MELILLO e BEAN, 2011). Tal atividade de conceituao conduzida mediante a

adoo de premissas e a formulao de pressupostos frente a uma situao

problemtica. Uma premissa como uma ideia-guia5 (DEWEY, 1959, p.136) que serve

como foco para todas as aes e reflexes realizadas durante a atividade de

modelagem. Geralmente, uma premissa uma ideia que no parte necessariamente

do modelador. Ela aceita previamente, de modo que a adoo de uma nova premissa

conduz a uma nova modelagem. Os pressupostos, por sua vez, so conceituaes de

aspectos especficos da situao em questo.

Por exemplo, mencionamos, no incio do texto, sobre o fator campo; um

conceito nosso cuja construo remete ideia que o aspecto referente ao lugar onde o

jogo ser realizado tem influncia no resultado desse jogo. Qualificamos esse aspecto,

isto , formulamos umpressuposto; com base em nossas experincias e a ideia que o

mandante do campo tende a ter uma maior chance de vitria, em relao ao visitante.

Em nosso modelo ilustrativo6, matematizamos esse pressuposto (como exposta

em seo 2) em termos da mdia de pontos ganhos quando um time joga em cada

situao (mandante ou visitante).

importante salientar que um mesmo pressuposto admite matematizaes

diferentes. Alguns estudantes que participaram da atividade tambm pressupuseram

que o mandante tende a ter uma maior chance de vitria em relao ao visitante, e

utilizaram estratgias prprias para matematizar esse pressuposto:

5 Dewey concebe a ideia-guia como uma hiptese, ou uma estratgia posta para a resoluo de umasituao problemtica ou indeterminada. Estamos ressignificando essa noo na concepo demodelagem para aproxim-la de um princpio ou teoria, utilizada para guiar ou nortear o pensamento

no levantamento de aspectos e formulao de pressupostos na construo de modelos.6 Mais adiante, detalharemos os passos na construo de nosso modelo ilustrativo (MELILLO e BEAN,2011).


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Jogo em casa se o time joga em casa, ele tem mais chances de vitria.

Ento, atribumos nota 2 para quem joga em casa e 1 para o visitante.

Aps discusso, chegamos concluso que alguns pressupostos so mais

importantes que outros, ento decidimos atribuir uma porcentagem para cada

fator e adotamos 45% para o aproveitamento, 30% para o jogo dentro ou fora

de casa, 15% para a posio na tabela e 10% para o histrico. [Nota: Neste

trecho, o pressuposto referente ao mando de campo um dos quatro

pressupostos utilizados pelo grupo. O aspecto mando de campo, ao qual

seriam atribudos valores 2 ou 1, responde por uma contribuio de 30% no

clculo das probabilidades. Os outros aspectos possuem pesos de 45%, 15% e

10%.].

Embora esses trechos extrados de trabalhos dos alunos no contenham as

justificativas das escolhas, eles so suficientes para observar duas caractersticas da

matematizao de um pressuposto. No primeiro trecho, vemos que os alunos

matematizaram a influncia do mando de campo de maneira diferente da nossa. No

segundo, os alunos, por meio da atribuio de pesos, estipularam a importncia

relativa de cada um dos quatro aspectos por eles levantados.Tambm relevante destacar que os alunos, os quais cursavam a disciplina

Modelagem Matemtica I, no curso de Licenciatura em Matemtica da UFOP, j

haviam estudado a nossa concepo de modelagem (BEAN, 2009) e realizado

atividades nessa tica. Assim, foi natural, para eles, trabalhar com a linguagem

premissa/aspectos/pressupostos.

Ainda, outro grupo escreveu:

Aspecto: Mando de campo (MC)

Pressuposto: O time, que mandante do jogo, possui mais chances de vencer

a partida devido ao fato de jogar com a torcida a seu favor, alm de conhecer

as dimenses do gramado e do estdio.

Este grupo justificou tanto a formulao do pressuposto quanto a

matematizao, apoiados em fontes de informaes que utilizaram para tratar seu


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conceito defator mando de campo, em termos de porcentagens:

Fator mando de campo: Em consulta a um site de informes esportivosencontramos a porcentagem referente a cada resultado dos jogos acontecidos

at a 36 rodada do campeonato brasileiro de 2010, encontrando-se: 46,9% devitria do Mandante, 31,2 % empate, 21,9% de vitria do visitante, ou seja,essas porcentagens foram transformadas em nossas probabilidades para estefator.

Este grupo, em um momento posterior, tambm atribuiu pesos para cada um

dos seus quatro aspectos levados em considerao na modelagem:

MC: Mando de campo peso 4;

DE: Desenvolvimento econmico da cidade que sedia o time [ndice econmico

da cidade do time similar s questes de PIB entre pases que disputaram a

Copa do Mundo no vdeo ver referncia na seo 5.1] peso 3;

SG: Saldo de gols peso 2;

CV: Cartes vermelhos peso 1.

Convm notar que os trs aspectos levantados por esse grupo, alm do mando

do campo, no se encontram nas modelagens dos outros quatro grupos que

participaram da atividade. Interpretamos essa peculiaridade como efeito do

conhecimento diferenciado que estes alunos possuam do tema futebol, antes do

incio da modelagem. Apesar disso, a eficcia dos modelos no foi determinada por tal

nvel de conhecimento. De qualquer forma, interessante observar que algumas das

conceituaes desse grupo no vieram mente dos outros.

O levantamento de aspectos cabe ao modelador. Ao qualificar a influncia

desses aspectos no fenmeno modelado, formulam-se os pressupostos. Uma nica

premissa pode levar formulao de vrios pressupostos diferentes. A conceituao

de um nico aspecto tambm pode ser feita de vrias formas por indivduos ou grupos

diferentes, culminando na construo de inmeros modelos distintos.

Como nossa preocupao com o conceito elaborado estudantes, acerca da

situao, era grande, entendemos ser apropriado estimular uma sistematizao do

trabalho, na fase de levantamento de aspectos e a formulao de pressupostos,


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pedimos que os alunos relatassem essa conceituao:

A partir da interao inicial com o caso apresentado, enumere os

aspectos que o grupo, em consenso, acredita que possam

influenciar na atribuio de probabilidades para os resultados dos

prximos jogos do campeonato. Se possvel, explicite o aspecto a

ser considerado e, em seguida, formule um pressuposto, a partir

da conceituao deste aspecto.

Exemplo:

Aspecto a ser considerado: Horrio de realizao da partida.

Pressuposto: Jogos noturnos diminuem a chance de vitria de

times, nos quais os jogadores tm problemas de viso

Os estudantes foram capazes de levantar aspectos e formular pressupostos

sem muitas dificuldades, entretanto o desenvolvimento matemtico (no intuito de

atribuir probabilidades aos resultados dos jogos) de um conjunto de pressupostos,

principalmente incorporar o conceito de proporcionalidade, aps atribuir pesos e

mdias ponderadas, mostrou se tratar de uma tarefa mais desafiadora; no em

termos dos contedos matemticos empregados, mas em se tratando do

reconhecimento da aplicabilidade deles no contexto da modelagem.

Por matematizar os pressupostos, entendemos a utilizao explcita de

mtodos, conceitos, pensamento, linguagem ou representao matemtica para

construo do modelo. A seguir, trazemos a expresso matemtica, criada pelos

alunos que apresentaram os aspectos mando do campo (MC), desenvolvimento

econmico (DE), saldo de gols (SG) e cartes vermelhos (CV):

10

234 CVSGDEMC

Devidamente explicitadas, no relatrio dos alunos, so as justificativas, tanto

para o uso dos aspectos quanto para a formulao dos pressupostos. Cada uma das

quatro variveis na expresso assumiria um valor ente 0% e 100%, assim, a expresso

forneceria um valor entre 0% e 100% para um dado time.


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Alm da linguagem utilizada, ou seja, a expresso em termos de operaes

matemticas, h conceitos matemticos subjacentes, como a mdia ponderada, na

expresso exemplificada. Ainda h outra etapa da matematizao, tendo em vista a

atribuio de probabilidades, que a transformao dos valores obtidos pelaexpresso destacada em valores percentuais.

Para ilustrar como pode se dar o processo de modelagem, em sua totalidade,

detalharemos, a seguir, a construo de nosso modelo ilustrativo. Ao falar em

totalidade do processo, referimo-nos s etapas de levantamento de aspectos,

formulao de pressupostos, matematizao e avaliao do modelo todas as etapas

devidamente justificadas. Durante este texto, j fizemos aluso ao nosso modelo, o

qual ser explicitado na prxima seo.

5.3. A construo de nosso modelo ilustrativo

Quando falamos em um modelo que atribua probabilidades para cada

resultado, em um jogo de futebol, estamos interessados em responder s seguintes

perguntas: No confronto que acontecer entre as equipes A e B, qual a probabilidade

de vitria do time A? E do time B? E qual a probabilidade de ocorrer um empate?

Para tanto, construmos um modelo ilustrativo, no intuito de antever problemas, obter

subsdios prticos para conduzir a atividade, em sala de aula, e avaliar a viabilidade

dela. Poderamos utilizar qualquer modelo construdo por alunos em sala de aula, mas

trazemos no presente texto, a modelagem feita por ns, que pode ser encontrada em

Melillo e Bean (2011). A escolha pela nossa prpria modelagem para ser utilizada

como exemplo se deve ao fato de termos maiores detalhes para justificar e descrever

de cada escolha realizada no processo.

Para exemplificar tal modelagem, escolhemos a situao que nos era

apresentada aps a 21 rodada do campeonato brasileiro de 2010. As informaes

disponveis para a modelagem incluam todo o conjunto de resultados ocorridos, ao

longo do campeonato, at ento (inclusive dados de anos anteriores), bem como todos

os elementos de ordem tcnica, financeira, fsica e emocional dos clubes, existentes no

momento da anlise da situao.


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Para atribuir as probabilidades dos resultados nos 10 jogos da 22 rodada,

iniciamos nossa interao com o problema, ponderando sobre quais aspectos

antecedendo uma partida de futebol, pelo nosso ver, seriam importantes para

construir tais probabilidades. Entendemos que o modelo deve ser fundamentado emuma ou algumas premissas ou ideias-guia, ou nortear sua construo. Apropriamos e

ressignificamos o conceito de ideia-guia (ver pgina 25) de Dewey que, ao discorrer

sobre pensamento reflexivo e hipteses levantadas em investigaes, coloca: Sem

uma ideia-guia, os fatos seriam amontoados como gros de areia; no se organizam

em unidade intelectual. Para ns, em termos de premissas da modelagem,

aproximamos o conceito de ideia-guia com a noo de um princpio que orienta a

construo de um modelo. No querendo ser repetitivos, mas no intuito de destacar o

caminho de nossa modelagem, retomaremos, novamente, a premissa adotada:

Premissa para guiar o pensamento

Nossapremissa, ponto de partida da modelagem, foi a mesma postada para aturma:

expectativa sobre o desempenho de um time de futebol em uma partidaquanto ao resultado final (vitria, empate ou derrota) pode ser atribuda uma

probabilidade, a partir de aspectos considerados relevantes levantados antes doincio da partida.

Aspectos levados em considerao

A partir da premissa adotada, resolvemos nos orientar em trs aspectos que

consideramos pertinentes:

Primeiro: o local onde a partida realizada influencia nossa expectativa; Segundo: caractersticas de ordem tcnica e emocional, vividas recentemente

pelos times, so capazes de influenciar resultados;

Terceiro: o desempenho no campeonato como um todo (e no apenas odesempenho recente) deve ser levado em considerao, por representar onvel tcnico das equipes, de um modo geral.


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A formulao desses aspectos foi orientada por crenas pessoais, baseadas em

nossa experincia em relao ao tema. Outros aspectos poderiam ter sido levados em

considerao, mas a dificuldade em lidar com eles nos motivou a descart-los do

modelo. Entre alguns deles, podemos citar: conflitos internos na administrao de

clubes, atrasos de pagamentos, jogadores que no estariam habilitados a jogar,

desempenho de setores especficos, como ataque ou defesa, etc.

Pressupostos a partir dos aspectos e a sua matematizao

A partir da conceituao desses trs aspectos, formulamos trs pressupostos

numa linguagem que admite quantificao (BLUM e NISS, 1991; SKOVSMOSE, 2001;

CIFUENTES e NEGRELLI, 2009). Para tanto, criamos trs parmetros, denotados por c,

m e g, que representam, respectivamente, o que denominamos fator campo, o fator

momento tcnico-emocional e o fator desempenho global de cada time. O conjunto

desses trs parmetros determina o nmero fque chamamosfora do time, em uma

rodada especfica.

O fator campo, descrito na seo 2 e retomado aqui, indicado por c, foisubdividido em dois valores: cm o fator campo, no caso do time em questo ser o

mandante, e cv, no caso em que este for o visitante. De acordo com nossas crenas,

julgamos que, se um time jogar em seus prprios domnios (time mandante),

definimos cmcomo a mdia de pontos obtida em cada jogo por este time, at ento,

nos jogos que realizou em casa. De forma anloga ao pressuposto para o time

mandante, foi atribudo para o visitante um fator campo cv, dado pela mdia de pontos

por jogo que o time obteve quando jogou nessa mesma condio. Desse modo, a cada

time foram atribudos dois fatores campo, um como mandante e o outro como

visitante. Em cada rodada, apenas um desses fatores ser efetivamente considerado,

dependendo do local onde o jogo ser realizado. As tabelas 2a e 2b mostram os

valores de cme cv.


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Tabela 2a: Valor de cm Tabela 2b: Valor de cv

Para ofator momento tcnico-emocional, assumimos como pressuposto que os

resultados mais recentes tm um impacto significativo em relao s expectativas dos

resultados de jogos, e o indicamos por m em nosso modelo. O fator m foi definido

como a mdia ponderada da pontuao obtida pelo time nas ltimas 6 rodadas. Nesse

clculo, a rodada mais recente tem peso 6, e o peso decresce (por nmeros inteiros),

at a rodada mais remota, cujo peso da pontuao obtida igual a 1. O valor de m

pode ser observado na tabela 3.


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Tabela 3: Valor dofator momento tcnico-emocional(m).

A escolha de 6 jogos est relacionada ao tempo (normalmente, essa a mdia

de jogos realizados em um ms) e a escolha da mdia ponderada se d pela ideia de

que, quanto mais recente um resultado obtido, mais fortemente esse resultado

representa o momento vivido pelo time.

O terceiro fator, o desempenho globalde um time, g, representa uma medida

da qualidade tcnica de um time, ao longo de todo o campeonato. Consideramos que

a mdia aritmtica dos pontos obtidos pelo time por jogo matematiza adequadamente

esse fator. Na Tabela 4, podemos observar os valores de g para cada time.

Tabela 4: Valordo fator desempenho global (g).


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Para transformar esses trs fatores na fora f de um time, para uma

determinada rodada, calculamos a mdia ponderada de c, m e g, com pesos

respectivos 5, 4 e 1. Os pesos foram atribudos por meio de critrios subjetivos, queexpressam nossa ideia de quanto cada um deles influencia no resultado,

comparativamente entre eles. Como a pontuao obtida pelos times, individualmente,

em um jogo, varia de 0 a 3 pontos, optamos por estipular que os valores de todos os

parmetros considerados tambm variassem de 0 a 3, incluindo a foraf de cada time.

Na tabela 5 a seguir, esto representados o momento tcnico-emocional (fator

m), o desempenho global (fator g), o desempenho especfico como mandante e como

visitante (fatores cme cv) e afora (f) de cada um dos 20 times para a prxima rodada.

Isto , a tabela mostra o modelo matemtico que construmos para criar o que

chamamosforas dos times:

10

54 gcmf

Esses fatores, em conjunto, constituem a matematizao do que Bean (2009)

chama de isolado. A tabela 6 apresenta os confrontos da 22 rodada.


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Tabela 5: Valor dafora (f) Tabela 6: Confrontos da 22 rodada

A escolha de pesos de maneira subjetiva, bem como a escolha de medidas

estatsticas, como mdia aritmtica e mdia ponderada, conduz a um resultado

matemtico que expressa nossa expectativa pessoal a respeito dos fatores que afetam

o desempenho das equipes. Ao transformar essa expectativa em termos de

probabilidades, que a ltima fase da matematizao do modelo, chegamos

probabilidade subjetiva de ocorrncia de cada resultado.

A atribuio das probabilidades remete subjetividade embutida na atribuiodeforas para cada time. Alm disso, entendemos que a chance de vitria de um time

deve ser proporcional sua fora (f). Devemos lembrar, ainda, que o espao amostral

dos resultados de um jogo de futebol possui trs eventos. Alm da vitria do

mandante e da vitria do visitante, existe o empate como uma possibilidade.

Consideramos que, quanto mais prximas esto as foras de dois times, maior a

chance de empate entre eles. Utilizamos a ideia de que a chance de empate em um

jogo, por mais equilibrado que este seja, no pode ser considerada superior a 50%.


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Este valor tem carter altamente subjetivo, e foi um consenso entre pessoas que

participaram da construo do modelo, aps uma rica discusso. Um dado que foi

levantado durante esta discusso foi o seguinte: nos ltimos 5 anos, pouco menos de

27% dos jogos do campeonato brasileiro terminaram empatados. Chegamos, ento, seguinte forma para calcular a probabilidade de empate: a probabilidade de empate

a razo entre a menor e a maior das foras, multiplicada por 0,5. Dessa forma, a

chance de empate (e) ser sempre menor ou igual a 50%, diminuindo na medida em

que a diferena entre asforas aumenta.

Como exemplo, destacamos o clculo da chance de empate no jogo realizado

na 22 rodada entre Corinthians e Fluminense, os dois times que disputavam a

liderana do campeonato at ento. Como a fora da equipe do Fluminense para este

jogo era de 1,83 e a fora do Corinthians era de 1,15, calculamos a chance de empate,

(1,15/1,83)x0,5 = 0,31. Ou seja, consideramos que 31% a probabilidade de ocorrer

empate nesse jogo.

As probabilidades de vitria, de cada um dos dois times, so calculadas

dividindo-se o percentual de chance de haver um vencedor (1 - e) em partes

proporcionais s foras dos dois times. Para o jogo Fluminense xCorinthians, a chance

de haver um vencedor de 0,69, ou seja, um (1) menos a probabilidade de empate (e).

Os 69% de chance de no ocorrer empate devem, ento, ser divididos em partes

proporcionais a 1,83 e 1,15, gerando assim, as probabilidades de vitria de Fluminense

e Corinthians, respectivamente.

Retomamos aqui a tabela 1, j exposta no incio do texto, como resultado final

da modelagem. Vejamos as probabilidades que essa modelagem gerou, como

percentuais, para os resultados nos jogos da 22 rodada. A coluna indicada por m o

percentual de chance de vitria do mandante, e o percentual de chance de empate e

v o percentual de chance de vitria do visitante.


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Nesta 22 rodada, o modelo acertou os resultados de trs dos dez jogos, o

que consideramos um ndice pequeno. Chamamos de acerto o fato de atribuir maior

probabilidade para o resultado de fato ocorrido. Naturalmente, no se pode

considerar adequado ou inadequado o modelo, a partir da comparao com os

resultados de uma nica rodada. Esse modelo se auto-ajusta por meio de uma

realimentao realizada, a partir dos resultados de cada rodada. Nas rodadas

subsequentes, devemos estar atentos comparao entre previses do modelo e

resultados observados. Se as previses do modelo no correspondem, de forma

adequada, aos resultados do campeonato, devemos reavaliar a construo do modelo,

ora revendo parmetros e mtodos de clculos, ora questionando pressupostosassumidos. Alm disso, importante estar ciente de que o ndice de acertos pode estar

abaixo do esperado, por se tratar de um experimento com alto grau de complexidade

e inmeros fatores envolvidos, alm da subjetividade presente na construo do

modelo.

Levaramos ento, para a sala de aula, a sequncia de atividades descrita. Os

alunos no teriam acesso a nosso modelo ilustrativo. Imaginamos que isso seria

prejudicial para a modelagem, pois nosso modelo carregaria consigo o rtulo de


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modelo correto, devido autoridade intelectual normalmente atribuda s opinies

do professor. Esse tipo de juzo descaracterizaria toda a atividade, cujo esprito de

valorizar a criatividade, a diversidade de solues e, sobretudo, o processo acima do

produto.Para que os alunos participantes da atividade pudessem apreciar seus prprios

processos na construo dos modelos e conhecer as modelagens de colegas,

realizaram trabalhos escritos, ao longo da atividade, e elaboraram relatrios finais com

apresentaes desses trabalhos. Um roteiro para os relatrios finais (a seguir) foi

fornecido aos alunos para ajud-los a concatenar as ideias.

RELATRIO FINAL MODELAGEM MATEMTICA NO FUTEBOL:

Favor relatar, por escrito, os principais passos da modelagem matemtica

realizada nas ltimas aulas, constando, por exemplo, os seguintes dados:

- Argumentaes dentro do grupo;

- Mudanas de curso na construo do modelo;

- De onde surgiram as ideias (intuio, pesquisa, debate, etc.);

- Dificuldades (seja na escolha de aspectos, formulao de pressupostos,matematizao, etc.);

- Contedos matemticos utilizados;

- Conhecimentos prvios do grupo;

- Fontes de pesquisa utilizadas;

- O que foi aprendido pelo grupo;

- Pressupostos abandonados ao longo do caminho;

- Critrios de avaliao da adequao do modelo;

- Pressupostos ou parmetros reformulados no refinamento do modelo;

- Outras informaes que o grupo considerar relevantes.

Alm disso, preparar uma apresentao de aproximadamente 15 minutos,

para comunicar aos colegas como foi sua modelagem, bem como apresentar

as probabilidades atribudas pelos modelos construdos.


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Os relatrios produzidos pelos alunos permitiram um olhar para o processo de

modelagem como um todo, adicionalmente s observaes que realizamos durante as

aulas. Algumas das consideraes feitas por eles so destacadas a seguir:

O grupo aprendeu que um modelo matemtico sempre ser desenvolvido apartir de um conhecimento prvio, mas que nem sempre ser o melhor modelo.Modelos diferentes podem representar a mesma situao chegando aresultados diferentes o que no significa que existe um modelo certo ouerrado.

Conclumos que no preciso ter grande conhecimento sobre o assunto para

criar um modelo matemtico, que possvel aplicar o mtodo em diversassries do ensino mdio e fundamental para diferentes contedos a seremministrados.

Podemos afirmar que quanto ao assunto de futebol aprendemos muito e isto

nos deixou satisfeitas, pois o futebol faz parte da cultura brasileira.

No primeiro trecho destacado, alunos avaliam a atividade do ponto de vista da

construo de modelos, e no segundo, do ponto de vista da aproximao do contedo

escolar dos temas do dia-a-dia.

CONSIDERAES

Retomando os objetivos luz da realizao e anlise7 da atividade, pertinente

nos questionarmos: Em que medida conseguimos alcanar cada um deles?

I diminuir o distanciamento entre a maneira de se agir e pensar, nos problemas

propostos em sala de aula, com o modo de tomar decises em situaes extra-

escolares.

Podemos inferir da anlise da atividade que esse foi um objetivo cumprido a

contento. Algumas passagens observadas, durante a atividade, explicitaram relaes

entre a vida escolar e a vida cotidiana dos alunos, em geral. Essas relaes puderam

ser observadas tanto em assuntos discutidos (futebol, probabilidade, apostas, etc.)

quanto em atitudes (tomada de deciso, autonomia, etc.). A atividade mostrou

7 A dissertao que gerou este texto contm a anlise detalhada, realizada pelo mtodo da anlise decontedo.


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potencial para conscientizar os estudantes de que o mundo no dividido em dois

fragmentos disjuntos e independentes, um dentro e outro fora da escola.

II fortalecer a capacidade dos alunos de argumentar, formular ideias-guia, justificar etestar suas conjecturas por meio de uma atividade de modelagem matemtica, a partir

da adoo de premissas e formulao de pressupostos.

Aspectos do pensamento reflexivo que, em certos momentos, foram

contemplados no trabalho. Esses aspectos remetem, principalmente, a atitudes

intelectuais de previso, de antecipao de consequncias e da tentativa de empregar

o pensamento (mais que isso, o pensamento reflexivo) antes de agir impulsivamente,

diante de uma situao problemtica.

A atividade de modelagem, na tica de premissas e pressupostos, associou-se,

de forma produtiva, ao estmulo do pensamento reflexivo. A responsabilidade

conferida aos alunos, para levantar aspectos, formular pressupostos e avaliar seus

prprios modelos contribuiu para que tais alunos tivessem domnio das possveis

consequncias de cada uma das suas escolhas. Tamanha conscincia do processo de

modelagem estimulou, na maneira de pensar dos estudantes, uma consecuo das

ideias, no intuito de construir solues satisfatrias para a situao problemtica,

diante da qual os alunos deveriam se posicionar.

III criar uma oportunidade de lidar com o processo de construo de modelos

matemticos, trabalhando o pensamento, a linguagem e conceitos matemticos

diversos.

Ainda que os conceitos matemticos utilizados pelos alunos para a construo

de seus modelos tenha sido bsicos, foi interessante perceber a liberdade dada a eles

para escolher, alm dos prprios conceitos, a linguagem matemtica a ser usada.

Principalmente, os alunos tiveram liberdade para pensar matematicamente, isto ,

utilizar diferentes estratgias para lidar com o caso apresentado.

Finalmente, conclumos sobre o mtodo do caso que este apresentou potencial

para conduzir a atividade de modelagem, estimulando atitudes e competncias


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referentes escola de Dewey.

Contudo, embora tenhamos analisado cuidadosamente os resultados de nossa

pesquisa de Mestrado Profissional, em antecedncia confeco deste produto

educacional, preciso ter em mente que as concluses da anlise so, maisprecisamente, interpretaes da situao observada.

Uma interpretao plausvel para os resultados de nossa pesquisa que eles

tenham apontado indcios de que a atividade proposta foi coerente com princpios da

educao progressiva. Apenas podemos refletir em que medida os objetivos de nossa

pesquisa foram atingidos. O prprio Dewey (2010) alerta que

no suficiente que certos materiais e mtodos tenham sidoeficientes com outros indivduos em outras ocasies. Deve haver umarazo para se acreditar que certos materiais e mtodos funcionarona produo de uma experincia que tenha qualidade educativa comdeterminados indivduos em determinado tempo. (p.47).

Ao julgar nossas concluses sobre o trabalho, convm inferir o que se pode

generalizar, ou melhor dizendo, o que se pode aproveitar/adaptar para diferentes

contextos e objetivos educacionais em que se tenha a inteno de utilizar nossa

atividade como inspirao.

Outra ponderao relevante com o mtodo a ser adotado para conduzir uma

atividade da natureza da que propusemos. O mtodo do caso apenas uma opo que

acreditamos ser adequada, dentre outros mtodos que poderiam ser utilizados.

Inclusive, entendemos que o mtodo do caso no seria adequado para conduzir vrias

atividades de modelagem em contextos e sob ticas que podemos encontrar na

literatura. Podemos ilustrar essa incompatibilidade com o trabalho de Franchi e

Mattos (2009), em que o problema em estudo foi reformulado algumas vezes, durante

a atividade, ou com a tica de Arajo (2009), segundo a qual o tema de estudo na

atividade de modelagem deve ser escolhido pelos alunos. Em ambos os casos,

entendemos que a utilizao de outro mtodo deva ser apreciada pelo professor.

Seria um contrassenso de nossa parte defender que determinado mtodo deve

ser utilizado sem restries, por qualquer professor e em qualquer contexto.


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Preferimos corroborar com o que enuncia Dewey (2010, p.59): O professor deve

planejar com flexibilidade e direcionamento.

Flexibilidade, para ns, uma condio necessria para se entender os

diferentes pontos de vista de estudantes e para adaptar as concepes do educador scondies objetivas e institucionais s quais os envolvidos no processo educacional

esto submetidos. Direcionamento tambm, pois o aluno precisa estar desafiado e ter

claro um propsito.

Acreditamos que, ao propor a atividade de modelagem matemtica no futebol,

possamos ter contribudo para o debate educacional, oferecendo uma estratgia de

construo de modelos matemticos na soluo de uma situao, apresentando uma

possibilidade de encaminhamento didtico em sala de aula de Matemtica (o mtodo

do caso) e escolhendo um contexto apropriado para a concepo da atividade (o

Campeonato Brasileiro de Futebol).

Um ponto alto da atividade, a nosso ver, foi a possibilidade de cada aluno

trabalhar a partir de suas prprias experincias de vida, deixando aberto o porto da

escola, para que crenas, atitudes e conhecimentos pudessem entrar e sair a

qualquer momento, diminuindo o distanciamento entre esses dois mundos.

Ao associar a atividade de sala de aula s atitudes, conhecimentos e

experincias do cotidiano dos estudantes, tentamos nos aproximar de uma escola h

dcadas vislumbrada e defendida por Dewey, em que competncias capazes de

incrementar a qualidade das experincias dos alunos roubam o lugar de frmulas

prontas, estratgias nicas, busca por respostas fechadas e acabadas... Em suma: uma

escola que preza pelo fim das mentes fechadas. Para ns, a atividade mostrou que

essa escola no mera utopia. possvel!


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REFERNCIASBIBLIOGRFICAS

ALVES-MAZZOTTI, Alda Judith. Usos e Abusos do estudo de Caso. Cadernos de

Pesquisa, So Paulo, v. 26, n.129, Set/Dez, 2009.

ARAJO, Jussara de L. Uma abordagem scio-crtica da modelagem matemtica: a

perspectiva da educao matemtica crtica. In: Alexandria revista de Educao em

Cincia e Tecnologia, v.2, n.2, p.55-68, jul. 2009.

BEAN, Dale - Modelagem: uma conceituao criativa da realidade. - In: IV Encontro de

Educao Matemtica de Ouro Preto, 2009, Ouro Preto MG. Anais do IV Encontro de

Educao Matemtica de Ouro Preto. Ouro Preto: Editora UFOP, 2009. p. 90-104.

__________. Modelagem matemtica: Uma mudana de base conceitual. In:CONFERNCIA NACIONAL SOBRE MODELAGEM NA EDUCAO MATEMTICA, 5, Ouro

Preto MG. Anais... Universidade Federal de Ouro Preto Ouro Preto e Universidade

Federal de Minas Gerais Belo Horizonte, 2007. p. 35-58.

__________. Realidade como interao com o mundo. In: CONFERNCIA NACIONAL

SOBRE MODELAGEM NA EDUCAO MATEMTICA, 4, Feira de Santana BA. Anais...

Universidade Estadual de Feira de Santana Feira de Santana, 2005. 10 p.

BERNABEU, Carmen Betanero. Didctica de la Probabilidad y de la Estadstica.

Universidad de Granada, Granada, 1999.

BOEHRER, J. and M. LINSKY. Teaching with Cases: Learning to Question. In M.D.

Svinicki (ed.), The Changing Face of College Teaching. New Directions for Teaching and

Learning, no. 42. San Francisco,: Jossey-Bass, 1990.

BLUM, Werner, NISS, Mogens. - Applied mathematical problem solving, modelling,

applications, and links to other subjects: state, trends and issues in mathematics

instruction. - Educational Studies in Mathematics, Dordrecht, v. 22, n. 1, p. 37-68, Feb.

1991.

CESAR, Ana Maria Roux Valentini Coelho. Mtodo do Estudo de Caso (Case Studies)

ou Mtodo do caso (Teaching Cases)? Uma anlise dos dois mtodos no Ensino e

Pesquisa em Administrao. Universidade Presbiteriana Mackenzie, So Paulo, 2005.

Disponvel em: . Acesso em: 10 out. 2010.

CIFUENTES, Jos C.; NEGRELLI, Lenia G. A modelagem matemtica: uma


46/48

UFOP 2011


epistemologia da matemtica aplicada. - Londrina: CNMEM, 2009.

DEWEY, John. Democracia e Educao. Traduo de Godofredo Rangel e Ansio

Teixeira. So Paulo: Companhia Editora Nacional, 1979. 421 p. (Coleo: Atualidades

pedaggicas, v. 21).

__________. Como Pensamos. Traduo de Hayde de Camargo Campos. So Paulo:

Companhia Editora Nacional, 1959. 292 p. (Coleo: Atualidades pedaggicas, v. 2).

__________. Experincia e Educao. Traduo de Renata Gaspar. Petrpolis, RJ:

Vozes, 2010. (Coleo: Textos Fundantes de Educao)

__________. Vida e Educao. So Paulo: Companhia Melhoramentos de So Paulo,

1967

FIORENTINI, Dario; LORENZATO, Sergio. Investigao em Educao Matemtica -

Percursos Tericos e Metodolgicos. Campinas: Autores Associados, 2006.

FRANCHI, R. H. O. L. ; MATTOS, A. C. - Aspectos peculiares da Modelagem na Educao

Matemtica. - In: VI Congreso Iberoamericano de Educacin Matemtica, 2009, Puerto

Montt. Conferencias, cursillos e ponencias - VI Congreso Iberoamericano de Educacin

Matemtica. Puerto Montt : Universidad de Los Lagos, 2009. v. 1. p. 1880-1885.

GNEDENKO, Boris Vladimirovich. A teoria da probabilidade. Traduo de Roberto

Malheiros Moreira. Rio de Janeiro: Editora Cincia Moderno Ltda. 691 p. 2008.

HAMMOND, John S. Learning by the Case Method. Harvard Business School,

Boston, april, 2002.

MELILLO, Clio; BEAN, Dale. Modelagem matemtica na atribuio de probabilidades

em jogos do campeonato brasileiro de futebol. In: ALMEIDA, Lourdes Maria Werle de;

ARAJO, Jussara Loiola;BISOGNIN, Eleni (Orgs.). Prticas de Modelagem Matemtica

na Educao Matemtica. Londrina: Editora da UEL,2011.

MENEZES, Maria Arlinda de Assis. Do mtodo do caso ao case: a trajetria de uma

ferramenta pedaggica. Educao e pesquisa, So Paulo, v.35, n.1, p. 129-143,

jan/abr, 2009.

SKOVSMOSE, Ole. Educao matemtica crtica: a questo da democracia. Campinas,

SP: Papirus, 2001. 160 p. (Coleo Perspectivas em Educao Matemtica).


47/48


48/48

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